Kapitel 4
Grupp: A6
Räknefärdighet uppgift:
Bevisa med hjälp av induktion att fibonacciekvationen har lösningen
n
1  1 5 
1  1 5 
fn 

 


5 2 
5  2 
n
Vi börjar med att förenkla formeln tills det blir
n
n
n
n
1  1 5 
1  1 5 
1  1  5   1  5  

fn 

 

 
 
 
5  2 
5  2 
5  2   2  


Den fibonaccio talföljd börjar med: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….
Då har vi f 0  0 , f1  1 och f n  f n1  f n2 , för n  2 :
Bevis:
Bassteg
1) Visa sant för n=0
0
0
1  1  5   1  5   1

f0 
[1  1]  0
 
 
5  2   2  
5


f0  0
2) Visa sant för n=1
1
1
1  1  5   1  5   1  1  5  1  5  1  2 5 
5

f1 
1
  
  

 

 

2
2
5  2   2  
5
5
5





f1  1
Induktionssteg
Vi kommer att anta sant för n=k-1 och n=k-2
1  1  5 

f k 1 

5  2 

f k 2
k 1
1  1  5 



5  2 

1 5 
 

 2 
k 2
Nu ska vi bevisa för n = k:
k 1
1 5 
 

 2 




k 2




f k  f k 1  f k  2
1  1  5 

fk 

5  2 

k 1
1 5 
 

 2 
k 1
 1  1  5  k  2  1  5  k  2 


  
 
2
5  2 


 


 1  5 
 1 5 
 1 5 
1  1  5 












2 
2 
5  2 
 2 




k 2
k 2
1  1  5   1  5   1  5   1  5  


 1  
 1 
 
 
2
2
5  2   2
 
 
 

1  1  5 



5  2 

k 1
k 2
k 1
k 2
 1 5  2  1 5 

  

2

  2 
k 2
k 2




 1  5  2 

 
2

 
 1 5  2 
 1 5  2 
 och 
 med 2 till nämnare och täljare:
2
2




Vi multiplicera 

1  1  5 



5  2 

k 2
 6  2 5   1 5 

  

4

  2 
k 2
 6  2 5 

 
4

 
1  1  5 



5  2 

k 2
 6  2 5   1 5 

  

2
2

  2 
k 2
 6  2 5 

 
2
2

 

Vi vet redan att 1  5

2

 1  2 5  5  6  2 5 och 1  5

2
 1  2 5  5  6  2 5 då blir
det:
1  1  5 



5  2 

k 2
2
 1 5   1 5 

  

 2   2 
k 2
2
k
 1  5   1  1  5 


  

2
5

 2 

 

k
1 5  
 
 
2

 
Sant för n=k
Slutsats: både bas och induktionssteg visar tillsammans att formeln fungera för n=0 och n=1,
Om den fungerar för n=k-2 och n=k-1 där n=k, därför formeln fungerar för alla positiva heltal n Z
enligt induktionsprincip.