Karno kartalari
1953 yil Moris Karno Bul ifodalarini soddalashtirish va grafik tasvirlash
tizimini ishlab chiqqanligi haqida maqola e‟lon qildi. Hozirda bu metod
Karno kartalari metodi deb yuritiladi.
Ikki o‘zgaruvchili Karno kartasi.
Aytaylik, Bul ifodasi ikkita mulohaza o’zgaruvchisidan tashkil topgan
Bo’lsin va quyidagi rostlik jadvali bilan berilgan bo‟lsin. U holda ikki
o’zgaruvchili
Karno kartasi quyidagicha bo’ladi:
Agar F(A,B) formula MDNSh da berilgan bo‟lsa, u holda
№1 o‟ringa AB
№2 o‟ringa AB
№3 o ‟ringa AB
№4 o‟ringa AB
hadlar mos kelib, shunday hadlar F(A,B) formulada mavjud bo‟lsa, Karno
kartasida bu hadlarga mos o‟rinlarga 1, qolgan o‟rinlarga 0 raqami yoziladi.
Ikki o„zgaruvchili Karno kartasi to‟ldirilgandan keyin 2 ning darajalaricha
birlarni o‟z ichiga oladigan (20, 21, 22, 23, …) konturlar chiziladi. Bu konturlar
gorizontaliga yoki vertikaliga bir-biriga qo‟shni bo‟lgan birlarni o‟z ichiga olishi
kerak. Konturga olish jarayoni barcha birlar kontur ichida ichida qolguncha davom
ettiriladi va konturlar iloji boricha maksimal ikkining darajalaricha birlarni o‟z
ichiga olishi kerak.
Konturga olish jarayoni tugagandan keyin har bir kontur ichida qatnashgan birbiriga teskari bo‟lgan fikr o‟zgaruvchilari tushirib qoldiriladi va har bir konturda
qolgan o‟zgaruvchilarning diz‟yunktsiyasi olinadi. Hosil bo‟lgan ifoda Karno
kartasi bo‟yicha minimallashgan ifoda bo‟lib, undan ortiq minimallashtirish
mumkin emas.
Misol. Quyidagi rostlik jadvali bilan berilgan ifodani soddalashtiring:
Ifodaning to‟liq ko‟rinishi:
F(A,B)=ABABAB
minimal ko‟rinishi esa: F(A,B)= AB
Misol. (A,B)=ABABAB
Karno kartasi quyidagi ko‟rinishni oladi, ya‟ni karta
bo‟yicha tuziladi:
Yuqorida keltirilgan sxemaga muvofiq gorizontaliga, vertikaliga bir-biriga qo„shni
bo„lgan birlar konturlarga birlashtiriladi. Har bir konturda qatnashgan bir-birini
to„ldiruvchi o„zgaruvchilar tushirib qoldiriladi, har bir konturdan qolgan
o„zgaruvchilarning diz‟yunksiyasi olinadi. Natijada formula quyidagi ko„rinishni
oladi: F(A, B)= AB.
Uch o‘zgaruvchili Karno kartalari
Aytaylik, Bul ifodasi uchta mulohaza o‟zgaruvchisidan tashkil topgan
bo‟lsin va quyidagi rostlikjadvali bilan berilgan bo‟lsin. U holda uch o„zgaruvchili
Karno kartasi quyidagicha bo’ladi
Uch o„zgaruvchili Karno kartalarida ham ikki o„zgaruvchili Karno
kartalaridagidek gorizontaliga, vertikaliga bir-biriga qo„shni bo„lgan birlar
konturlarga birlashtiriladi. Har bir kontur iloji boricha ko„proq ikkini darajalaricha
birlarni (21 , 22 , 23 ,…) o„z ichiga olishi va kontur olish jarayoni barcha birlar
kontur ichida qolguncha davom ettirilishi lozim. Har bir kontur soddalashtirilgan
F(A,B,C) formula quyidagicha rostlik jadvali bilan berilgan bo„lsin:
Ikkilik mantiqiy amallariga mos sxemalar tuzish.
XX asrning boshlaridan boshlab tez rivojlana
boshlagan matematik mantiqdan yangi mustaqil sohalar ajralib chiqdi:
avtomatlar
nazariyasi, rele-kontakt va elektron sxemalar sintezi, algoritmlar
nazariyasi shular jumlasidandir.Avtomatik boshqarish qurilmalari va
elektron hisoblash mashinalarida yuzlab va minglab rele-kontakt,
elektron-lampa, yarimo'tkazgich va magnit elementlarini o'z ichiga olgan
rele- kontakt va elektron-lampa sxemalar uchraydi. Bu sxemalar
avtomatik boshqarish qurilmalari va EHM lari tarkibida benihoya katta
tezlikda juda murakkab operatsiyalar bajarishda bevosita ishtirok etadi va
avtomatlarning barcha ish faoliyatini boshqarib turadi. Rele-kontakt va
elektron sxemalami analiz va sintez qilishda mulohazalar algebrasi
muhim ahamiyatga ega. Har qanday sxemaga mulohazalar algebrasining
biror formulasini mos qo'yish mumkin. Va aksincha, mulohazalar
algebrasining har bir formulasini rele - kontakt sxema (RKS) orqali ifoda
qilish mumkin. RKS bilan mulohazalar algebrasining formulalari
orasidagi bunday munosabat murakkab RKS larni mulohazalar
algebrasining formulalari yordamida soddalashtirish imkoniyatini beradi.
Quyida RKS larini mulohazalar algebrasining formulalari yordamida
ifodalash masalasini ko'rib chiqamiz. Kontaktni shartli ravishda yoki •,
yoki, yoki • • ko'rinishda belgilaymiz. Kontakt yopiq (tok o'tkazadigan)
yoki ochiq (tok o'tkazmaydigan) holatda bo'lishi
mumkin. Kontaktning yopiq holatiga 1 ni, ochiq holatiga 0 ni mos
qo'yamiz. Barcha kontaktlar orasida doimo tok o'tkazadigan (doimo yopiq)
hamda butunlay tok o'tkazmaydigan (doimo ochiq) kontaktlar mavjuddir.
Ularni ham mos ravishda 1 va 0 bilan belgilaymiz va hamda •, ko'rinishda
ifodalaymiz.Shunday qilib, agar mulohazaning mazmunini e'tiborga
olmasak, har bir mulohazaga ma'lum bir kontaktni mos qo'yishimiz
mumkin ekan. Biz o'zgaruvchi kontaktlar bilan ish ko'rganimiz uchun
ularni X, Y, Z,... harflar bilanbelgilaymiz. U holda ikkita X va Y
mulohazalarning konyunksiyasiga kontaktlarni ketma-ket ulash natijasida
hosil bo'ladigan *X* *Y* sxemani, X va Y mulohazalarning
dizyunksiyasiga kontaktlarni parallel ulash natijasida hosil bo'ladigan
quyidagi sxemani mos qo'yamiz.
Ilgari isbot qilingan teoremaga asosan mulohazalar algebrasining har
qanday formulasini faqat 1, l, v amallar orqali ifodalash mumkin. Demak,
mulohazalar algebrasining har bir formulasi RKS orqali ifoda qilinishi va
aksincha, har qanday RKS ni mulohazalar algebrasining formulasi orqali
ifodalash mumkin ekan.
1-misol. Mulohazalar algebrasining (X l Y) v ~‫ך‬X - formulasiga quyidagi
rele-kontakt sxemasi mos keladi:
2-misol. Ovoz berish schetchigi. Uch kishidan iborat komissiya biror bir
masalani hal qilish uchun ovoz berayotgan bo'lsin. Masalaning biror yechimi
uchun komissiya a'zolari oldilaridagi tugmachani bosadilar. Ikkita yo uchta
tugmacha bosilsa, chiroq yonadi va shu yechim qabul qilinadi. Aks holda, chiroq
yonmaydi va yechim qabul qilinmaydi.
Ovoz berish schetchigining RKS sini tuzamiz. Bu sxema uch o'zgaruvchili
bo'lishi ravshan. Uch o'zgaruvchili RKS mulohazalar algebrasining uch
o'zgaruvchili formulasi, bu formula esa o'z navbatida F (X, Y, Z) - funksiyadan
iborat bo'lib, uning qiymatlari quyidagi jadval orqali berilishi mumkin:
Bu funksiyani mulohazalar algebrasining MDNF si orqali ifoda qilaylik:
F(X,Y,Z)=X ^Y ^ Z v X ^‫ך‬Y ^Z v ‫ך‬X^Y^Z v X^Y^‫ך‬Z
Teng kuchli almashtirishlar yordamida bu formulani soddalashtiramiz:
F(X, Y, Z)=X ^Y ^Z V X^‫ך‬Y ^Z V ‫ך‬X ^Y ^Z V X ^Y ^‫ך‬Z =
(X ^U ^Z V X ^‫ך‬Y ^Z) v (X ^Y ^Z V‫ך‬X v ^ Y ^ Z) V (X ^Y ^ Zv X^Y
^‫ך‬Z) =((X ^Z)^ (Y V ‫ך‬y ) ) V ( Y ^Z ^( X V‫ך‬X ) V ( X ^Y^ ( Z V ‫ך‬Z ) ) = X
^Zv Y ^ Z V X ^Y =(Z ^( X v Y ) ) V X^Y .
Hosil qilingan formula uchun RKS ni tuzamiz: