4. Преобразование сигналов в частотную форму
4.1 Частотное представление сигналов
Кроме традиционного представления сигналов как функции от времени,
возможен вариант представления сигналов в частотной области, который
наглядно показывает их частотный состав.
Если сигнал описывается функцией s1 t   A sin 1t  , то его круговая частота равна 1 , а f1  1 / 2 . Соответственно, s2 t   A sin 2t  , f 2  2 / 2 .
Каждый из этих сигналов имеет одну частоту определенной величины, отметив
которую на графике частот можно получить изображение, однозначно указывающее на частотную характеристику сигнала. Если сигналы имеют различный
частотный состав, то графики будут различны. На этих же графиках можно указать и значение амплитуды сигнала.
Таким образом, можно говорить о трех эквивалентных способах описания
сигналов – математическом, временном и частотном.
Пример соответствия временного и частотного представления сигналов
показан на рис.1, на котором сигнал
s3 t   s1 t   s2 t   sin 2f1t   0.6  sin 2f 2t  .
Рис.1 Представление сигналов во временной и частотной областях
При частотном представлении мощность сигнала можно выразить через
мощность его частотных составляющих (рис.2). При этом из-за квадратичной
зависимости мощности от амплитуды сигналы с небольшой разностью амплитуд имеют большую разность мощностей. Например, по амплитуде сигнал s1
больше сигнала s2 в 1,67 раза, а по мощности – в 2,78 раза.
Рис.2 Мощность сигнала в частотной области
Для удобного указания на графиках больших малых значений мощности
используют шкалу в децибелах.
4.2. Разложение в действительный ряд Фурье
Периодический сигнал любой формы можно преобразовать в ряд Фурье.
При этом сигнал представляется в виде суммы гармонических функций либо
комплексных экспонент.
Например, сигнал является суммой некоторого числа синусоид различной
амплитуды и частоты:
K
st    bk  sin kt ,   1, bk   1k 1
k 1
2
, т.е. st   2 sin t  1 sin 2t  1 sin 3t  1 sin 4t  ...
k
4
3
2


st   s1  s2  s3  s4  ...  b1 sin t  b2 sin 2t  b3 sin 3t  b4 sin 4t  ...
Синусоиды имеют вид, представленный на рис.3.
Коэффициенты b1 = 2, b2 = -1, b3 = 2/3, b4 = -1/2, b5 = 2/5, b6 = -1/3 и т.д.
(рис.4).
Следовательно, при K=1 st   2 sin t (рис.5а),


1

sin 2t  ,
2



1
2
при K=2 st   2 sin t 


при K=3 st   2 sin t  sin 2t  sin 3t  (рис5б).
1
3
а) первая гармоника s1  b1 sin t
б) вторая гармоника s2  b2 sin 2t 
в) третья гармоника s3  b3 sin 3t 
г) четвертая гармоника
s4  b4 sin 4t 
Рис.3 Гармоники периодической функции
Рис.4 Амплитудный спектр периодической функции
С увеличением числа синусоид форма сигнала постепенно изменяется с
исходной синусоидальной на некоторую другую. При K=10 сигнал принимает
ступенчатую (рис.5в), а при K=100 - четкую пилообразную форму (рис.5г). Таким образом, из гармонических синусоид сформирован пилообразный сигнал,
имеющий разрыв при нечетных значениях  .
а)
б)
в)
г)
Рис.5 Синтез сигнала из синусоид
Теория, предложенная Фурье в 1807г. и опубликованная в 1822г., предполагает, что если любой сигнал может быть синтезирован из гармонических колебаний, то, следовательно, любой сигнал может быть разложен на гармонические составляющие. Основной принцип разложения в ряд Фурье – разложение
по системе функций, свойства которых хорошо известны заранее.
В одном из вариантов, разложение периодического сигнала в ряд Фурье
имеет вид:

2
2 

st   s0    ak cos k t  bk sin k t  ,
T
T 
k 1 
где T – период повторения сигнала, - среднее значение сигнала на периоде. Такое представление называют действительным разложением в ряд Фурье.
Так как 2 T   - круговая частота сигнала, то входящие в формулу
частоты k кратны круговой частоте периодического сигнала и называются
гармониками. Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, а частота
k  k называется k-гармоникой сигнала.
Поскольку все гармоники имеют период, кратный  , то результирующий
сигнал также периодичен, т.е. разложение в ряд Фурье – это способ представления периодических функций.
Коэффициенты ряда Фурье ak и bk рассчитываются по формулам:
2 T /2
ak 
 st coskt dt ,
T T / 2
bk 
2 T /2
 st sin kt dt .
T T / 2
Среднее значение сигнала на периоде определяется по формуле:
T /2
1
s0 
st dt
T T/ 2
При k=0 константы a0 и b0 рассчитываются по общим формулам, т.е. конT /2
2
st dt . Следовательно, среднее значение предстанта b0 равна нулю, а a0 
T T/ 2
T /2
a
1
st dt  0 .
ставляет собой половину значения константы a0: s0 

2
T T / 2
Выражение разложения в ряд Фурье принимает вид:
st  
a0 
  ak coskt   bk sin kt 
2 k 1
Несмотря на то, что ряд Фурье может быть бесконечным, предлагаемая
форма записи оказывается удобной при анализе и обработке сигналов. Единственным изменяющимся коэффициентом является целое число k. Это означает,
что ряд Фурье сигнала s(t) можно представить графически, отложив по оси
абсцисс значение k, а по оси ординат – значения коэффициентов ak и bk. Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье, т.е. значений коэффициентов ak и bk ,
называют амплитудным спектром.
В общем случае, во временной области сигнал выражается набором гармоник функции s(t), а в частотной области, где переменной величиной является
частота, сигнал представляется коэффициентами ak и bk .
Набор коэффициентов зависит от свойств функции. Например, рассмотренная пилообразная функция обладает свойством нечетности, т.е.
st   s t  , при котором функция симметрична относительно точки отсче-
та. Очевидно, что sin kt (k=1, 2, 3, …) - нечетная функция, а cos kt (k=0, 1,
2, 3, …) - четная. Поэтому в разложении пилообразного сигнала представлены
только слагаемые, содержащие синусы.
Наоборот, четные функции, имеющие осевую симметрию, т.е. обладаю-

 
щие свойством s t  s  t , в разложении представляются только слагаемыми, содержащими косинусы.
Чтобы разложение в ряд Фурье было выполнимо, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:
 не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями),
 число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным,
 число экстремумов должно быть конечным.
4.3. Разложение в комплексный ряд Фурье
Основной формой разложения в ряд Фурье является комплексная форма,
при которой в качестве базисной функции используется экспонента.
Комплексное число z выражается как z  a  jb , где j   1 – мнимая
единица, a  Rez  - действительная часть, b  Imz  - мнимая часть комплекс-
2
2
ного числа z (рис.6). Величина z  a  b называется абсолютной величиной
b
или модулем числа z, а   arctg
- его аргументом. Комплексные числа
a
z  a  jb и z*  a  jb называются сопряженными комплексными.
Рис.7 Графическое представление
формулы Эйлера
Рис.6 Комплексное представление чисел
jt
 jt
В свою очередь, e
и e
- это точки, которые движутся в противоположных направлениях по единичной окружности со скоростью  (рис.7).
jt
По формуле Эйлера e  cos t  j sin t , а e  jt  cos t  j sin t .
1 jt
1 jt
 jt

e  e  jt . При
Следовательно, cos t  e  e
, а sin t 
2j
2


jt
 jt
этом e и e
являются сопряженными функциями.
Таким образом,
s(t ) 
a0   ak jkt
b

   e  e  jkt   j k e jkt  e  jkt  или
2 k 1  2
2

a0   jkt  ak  jbk   jkt  ak  jbk  
 e 
e 
 .
2 k 1 
2 
2 


Эту систему функций можно трактовать следующим образом:
a

 a

 j 2t
, e  jt , 0 , e jt , e j 2t ,...   0 , e jkt , k  1,2,... .
...,e
2

 2

Если трактовать экспоненты с отрицательным показателем как члены ряда
Фурье с отрицательными номерами, а постоянное слагаемое a0/2 как член ряда
с нулевым номером, то получаем комплексную форму записи ряда Фурье:
s(t ) 


st    Ck e jkt
k  
.
При этом, значения коэффициентов:
1
 2 a k  jbk , k  1,2,3,...


1
C k   a0 , k  0
2
1
 2 a k  jbk , k  1,2,3,...


Общая формула для расчета коэффициентов C k выглядит следующим образом:

1 T /2
Ck 
st   e   jkt  dt .

T T / 2

Комплексные коэффициенты C k  a k  jbk можно выразить через дей  
  
b
Im


a
Re
C
 Ck  .


k
ствительные коэффициенты: k
k ,


 


Коэффициенты обладают комплексной сопряженной симметрией: C k  Ck* .


Следовательно, Ck  Ck* (четная симметрия),
 k   k (нечетная).

C k k  0,1,2,...
Множество абсолютных значений коэффициентов

C k  a k2  bk2
называют спектром амплитуд, который показывает значи-
мость гармоник внутри сигнала. Значения  k  arctg bk называют спектром фаз.
ak
2

Множество величин C k
называют спектром мощности.
При анализе действительной функции выражение для s(t) имеет вид:
st  


C
k 
k
e
jkt


jkt

 C0    C k e  C k e jkt  .

k 1 

Поскольку коэффициенты являются сопряженными, то
  jkt  *  jkt 
st   C0    C k e  C k e  .
k 1 


Используя спектр амплитуд и спектр фаз, функцию s(t) можно выразить следующим образом:
st   C0   C k e j kt    e j kt  


k
k 1

В результате,

st   C0  2 C k coskt  k  .
k 1
k
Например, для последовательности прямоугольных импульсов разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом. Характеристики сигнала: амплитуда A , длительность  , период повторения T (рис.10)
Рис.10 Последовательность прямоугольных импульсов
Коэффициенты Фурье:

1 T /2
1
Ck 
st   e   jkt dt 

T T / 2
T
 /2


A  e   jkt dt 
 /2
1
A
e jkt  / 2/ 2 
T  j k


jk 
1    jk 2 
A
 e

 e 2 
T  j k 

1 jx  jx
e  e  , т.е. e jx  e jx    j  2 sin x .
2j

A 1
 j   2 sin  k    A  2  sin  k   .
C
Следовательно, k 
T  j k
 2
 2  T k

2
A 2
 2   A
 k 
 sin  k
 sin    .
Поскольку  
, то Ck  

T k 2
T
 T 2  k
T 
T
Исходя из формулы Эйлера: sin x 
Можно изменить полученное выражение, преобразовав его к виду sin x  / x :
 k 
 k 
sin   
sin   

A
A
T  k
T 
.
 
 
Ck 
 
k
k
k
T
T


T
T
T
После ввода в формулу обозначения скважности q 
получаем:

 k
sin 

A  q
Ck 
k
q
q


.
При k=0:

C0 
A sin 0 A
 .
q 0
q
Тогда ряд Фурье можно записать в виде:
 k 
sin  

q
A
A
 2

st    2     cos k
t  k  .
k
q
k 1 q
 T

q
Амплитуды гармонических слагаемых ряда изменяются согласно номеру
гармоники по закону sin x  / x , который имеет лепестковый характер.
Ширина лепестков равна скважности. При k=nq , кратных скважности,
sin k / q   sin n   0 , если n целые и n  0 . Следовательно, гармоники с
номерами, кратными скважности, имеют нулевые амплитуды.
Расстояние между гармониками равно круговой частоте   2 / T (это
видно из выражения в косинусе при различных значениях k ). Например, при
q=6 в ширину лепестка помещается 6 гармоник (рис.11).
Рис.11 Коэффициенты ряда Фурье последовательности
прямоугольных импульсов
Значения относительно круговой частоты получены из выражения:
  
  

sin
sin
k

k




A
A
A
2 
T 
 A
 2


 coskt   k 
 2
 cos k
st  
 2
t  k  


T
T
T
k 1 T
k 1 T


k 
k
2
T
На частотах   n
2
синус принимает нулевое значение:

sin kn2 2   sin kn   0 , где n=1,2,3,…
Фазовый спектр показан на рис.12.
Рис.12 Фазовый спектр прямоугольного импульса
4.4. Преобразование Фурье непериодических сигналов
Преобразование Фурье применяется также для спектрального анализа непериодических сигналов.
Если увеличить период повторения импульсов (заполнив промежутки нулевым значением) в предыдущем примере для последовательности прямоугольных импульсов и рассчитать коэффициенты ряда Фурье, то согласно выраже
1 T /2
st   e  jkt dt вычисляется тот же самый интеграл, но для бонию C k 

T T / 2
лее тесно расположенных частот k  k . Изменение пределов интегрирования
не важно, т.к. между импульсами сигнал имеет нулевое значение. Существенное
изменение состоит в уменьшении общего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период T (рис.13).
Таким образом, при увеличении периода следования импульсов гармоники располагаются ближе друг к другу, а общий уровень спектральных составляющих уменьшается. При устремлении периода к бесконечности (одиночный
импульс) гармоники с бесконечно малыми амплитудами плотно занимают всю
частотную ось. Однако взаимное соотношение между уровнями гармоник остается неизменным и определяется тем же выражением для расчета спектральных
коэффициентов.
Рис.13 Последовательности прямоугольных импульсов и их спектры
Для спектрального анализа непериодических сигналов формула расчета
коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется:
 частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным
параметром преобразования, т.е. k заменяется на  ,
 удаляется множитель 1/Т.
Результатом вычислений являются значения спектральной плотности:


S     st   e  jt dt .

Формула для расчета спектральной плотности называется формулой прямого преобразования Фурье.
В формуле восстановления сигнала суммирование заменяется интегрированием, а перед интегралом появляется деление на 2 . Полученное выражение
называется обратным преобразованием Фурье:
1
st  
2
 
 S    e
jt
d

При использовании частоты f   / 2 формулы прямого и обратного
преобразования Фурье выглядят следующим образом:

S f  

 st   e
 j 2 ft
dt ,
st  

 
 S  f  e
j 2 ft
df .

Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять следующим требованиям:
 выполнимость условий Дирихле,
 абсолютная интегрируемость сигнала, т.е. интеграл от его модуля должен

быть конечной величиной:
 st dt   .

Если сигнал s(t) - вещественная функция, то его спектральная функция

S   является "сопряженно-симметричной" относительно нулевой частоты. Это
означает, что значения спектральной функции на частотах  и   являются


комплексно-сопряженными по отношению друг к другу: S     S *   . Модуль спектральной функции называют амплитудным спектром, а ее аргумент –
фазовым спектром. Таким образом, S     S   ,  s      s   .


По отношению к прямоугольному импульсу, центрированному относительно начала отсчета времени, преобразование Фурье будет выглядеть следующим образом. Спектральная плотность равна:

 /2
j 
A   j2
A

  
 jt
2 









A
e
dt
e
e
2
j
sin



  j
S   / 2
 j 
2



.



2A
sin

/
2



 sin 
  A

 / 2
 2 
 
Таким образом, спектр представляет собой функцию вида sin(x)/x. Амплитудный спектр имеет лепестковый характер с шириной лепестков 2 / 
2
  


n

0
(рис.14). Это следует из того, что sin 
при
значениях
, где


 2 
n=1,2,3,… Фазовый спектр показан на рис.15.
Рис.14 Амплитудный спектр прямоугольного импульса
Рис.15 Фазовый спектр одиночного
прямоугольного импульса
4.5. Свойства преобразования Фурье
1. Сдвиг сигнала во времени. Для импульса, сдвинутого во времени на
интервал  / 2 преобразование Фурье имеет вид:


A
A  1  e  j    j2
 jt
 j 
1  e     j e 
S     A  e dt 
j
j
0
 e 2 
.





 j   j 
A  j 2
sin  / 2  j 2
A
    j
e
 2 j sin     e 2  A

 e  e 2 e 2 

j 
2
/
2

j



В общем случае, для импульса, сдвинутого во времени на интервал  , спра


ведливо: S   S   e
. После сдвига импульса во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый приобретает сдвиг, линейно зависящий
от частоты (рис.16).
 j
Рис.16 Фазовый спектр задержанного прямоугольного импульса
2. Изменение амплитуды сигнала. С изменением амплитуды сигнала в a
раз спектр амплитуд изменяется также в
остается без изменений.

a

a раз: S   a  S  , а спектр фаз
3. Сложение сигналов. При сложении сигналов коэффициенты Фурье




сигналов суммируются: S   S 1  S 2  ...  S N .
4. Поведение в точках разрыва.
С повышением числа гармоник ряда
Фурье амплитуда колебаний вблизи точек
разрыва не уменьшается, несмотря на
уменьшение периода колебаний (рис.17).
Величина амплитуды колебаний не становится меньше некоторого значения.
Этот эффект называется явлением Гиббса.
Рис.17 Явление Гиббса
5. Соотношение спектральной функции и коэффициентов. Спектральные коэффициенты, в отличие от спектральной функции, рассчитываются при
дискретных значениях частоты k  k , а интегрирование выполняется по

периоду. Таким образом,
1 
Ck  S k  .
T
6. Энергия спектра. Спектр сигнала сохраняет информацию об энергии
исходного сигнала.
Энергию сигнала во временной и частотной формах представления можно
вычислить по выражению, называемому равенством Парсеваля:


2

1
E   st  dt 
S  d .

2



2
В свою очередь, средняя мощность периодического сигнала равна сумме
квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:
Pср 

C
k  
2

k
.
4.6. Частотно-временное разрешение преобразования Фурье
Согласно
S f  

 st   e
выражению
 j 2ft
для
прямого
преобразования
Фурье
dt для расчета назначается бесконечный интервал анализа,

что позволяет точно определить набор частот в сигнале. Но при этом не устанавливается момент присутствия в сигнале отдельной частоты. Это означает на
наличие хорошего разрешения по частоте и плохого – по времени.
С уменьшением размера исследуемого фрагмента разрешение по времени
улучшается, но ухудшается частотное. Поэтому при преобразовании Фурье всегда присутствует вопрос выбора длины интервала. Причем в нестационарном
сигнале разные участки требуют применения разных фрагментов.
Проблема частотно-временного разрешения исходит из принципа неопределенности Гейзенберга (принципа неопределенности спектрального анализа),
который утверждает, что невозможно получить произвольно точное частотновременное представление сигнала, т.е. нельзя определить для какого-то момента
времени точный набор спектральных компонентов, присутствующих в сигнале.
Допустимо установить только временные интервалы, в течение которых в сигнале присутствуют наборы частот. Эта проблема также называется проблемой
разрешения.
При практической реализации преобразования Фурье сигналы разбиваются на отдельные фрагменты. Как следствие, спектр фрагмента содержит информацию о частотах только в соответствующем временном интервале сигнала без
точного указания момента присутствия отдельных частот в этом интервале.
Временные интервалы называются окнами. Параметры окна зависят от
специальной оконной функции. Одна из оконных функций имеет прямоугольный вид. При использовании такой функции фрагмент сигнала выделяется без
изменения его исходной формы. Анализ сигнала последовательно в различных
фрагментах (окнах) позволяет получить данные о частотах сигналов и времени
их присутствия.
Выражение для оконного преобразования имеет вид:

v
s
STFT
 f , b    st   t  b  e  j 2ft dt ,

где s(t) – исходный сигнал, v(t ) - оконная функция, b – параметр сдвига оконной функции вдоль оси времени.
Общие недостатки преобразования Фурье произвольных сигналов:
 базисной функцией является гармоническое (синусоидальное) колебание, которое математически определено в интервале бесконечного
времени и имеет неизменные во времени параметры,
 численная обработка данных во временной бесконечной области при
прямом преобразовании и в бесконечном частотном диапазоне при обратном связана с вычислительными сложностями,
 локальные изменения сигнала вызывают изменения спектра сигнала во
всем диапазоне частот,
 по составу высоких гармоник спектра невозможно оценить местоположение особенностей сигнала во времени,
 в условиях практического ограничения числа гармоник точное восстановление сигнала затруднительно.