Unidad II: Entropı́a
Ejemplos
1. Un compresor de 40 kW comprime aire de P1 a P2 . La temperatura del aire se
mantiene constante a 25 ◦ C durante este proceso como resultado de la transferencia de calor hacia el medio circundante a 20 ◦ C. Determine la tasa de cambio de
entropı́a del aire. Exponga las suposiciones hechas en la solución de este problema.
Respuesta: -0.134 kW/K
Solución:
Ssistema =
Q
Tsistema
(1)
Sustituyendo valores numéricos
Ssistema =
−40 kW
= 0.134 kW/K
(25 + 273.15) K
(2)
En este ejercicio no se considera la temperatura ambiente exterior, usualmente el
dato de T0 ayuda a determinar la exergı́a también llamada energı́a disponible.
1
2. 2 lbm de vapor de agua a 300 psia llenan un dispositivo de cilindro-émbolo, cuyo volumen es 2.5 f t3 . El agua luego se calienta a presión constante hasta que la
temperatura llega a 500 ◦ F. Determine el cambio resultante en la entropı́a total del
agua. Respuestas ∆S = 0.474 Btu/R
Solución:
La ecuación que se usa en mezclas lı́quido-vapor, o vapor de agua sobrecalentado es
∆S = m (s2 − s1 )
(3)
En el texto se indica que se trata de agua, por esta razón los datos se buscan en las
tablas de agua saturada, para obtener los datos se requiere la calidad de la mezcla.
Primero se obtendrá el volumen especı́fico
V = mv
(4)
Se despeja en favor de v
v =
2.5 f t3
V
=
= 1.25 f t3 /lbm
m
2 lbm
(5)
Se determina la calidad con el valor del volumen especı́fico y los datos obtenido en
la tabla de agua saturada a 300 psia
Figura 1: Tabla de agua saturada
x =
Sustituyendo valores numéricos
2
v − vf
vg − vf
(6)
x =
1.25 − 0.0189
= 0.807
1.5435 − 0.0189
(7)
Con el valor de la calidad se calcula la entropı́a promedio en la mezcla
sprom = sf + x sf g
(8)
sprom = 0.58818 + (0.807) (0.92289) = 1.332 Btu/lbm R
(9)
Sustituyendo valores numéricos
En el punto 2 el agua ha superado el valor de su temperatura de saturación por lo
que ahora se trata de vapor de agua sobrecalentado
Figura 2: Tabla de agua sobrecalentada
El valor de la entropı́a especı́fica en el estado 2 es s2 = 1.5706 Btu/lb R. Sustsituyendo valores en la ecuación 3
∆S = (2 lbm) (1.332 − 1.5706) Btu/lbm R = 0.477 Btu/R
3
(10)
3. El refrigerante R-134a se expande isentrópicamente de 600 kPa y 70 ◦ C a la entrada
de una turbina de flujo estacionario a 100 kPa a la salida. El área de salida es de 1 m2 ,
y el área de entrada es de 0.5 m2 . Calcule las velocidades de entrada y salida cuando la tasa de flujo másico es de 0.75 kg/s. Respuestas a) 0.0646 m/s y b) 0.171 m/s
Solución:
El refrigerante R-134a en el estado inicial se encuentra sobrecalentado
Figura 3: Tabla de R-134a sobrecalentado
Para resolver el ejercicio se usarán la siguientes relaciones
.
.
V = mv
.
(11)
.
Donde V es el caudal volumétrico, m es el caudal másico y v es el volumen especı́fico.
.
V = vel · A
(12)
Donde vel es la velocidad y A es el área de sección transversal. Sustituyendo 11 en
la ecuación 12 y despejando vel
.
mv
vel =
A
a)
Sustituyendo valores numéricos
4
(13)
vel =
(0.75 kg/s) (0.043069 m3 /kg)
= 0.0646 m/s
0.5 m2
(14)
b)
El refrigerante sufre una expansión isentrópica por lo que s1 = s2 = 1.0706 kJ/kg K,
buscando este valor se descubre que el refrigerante sigue sobrecalentado, en ese punto
se determina su volumen especı́fico.
Figura 4: Tabla de R-134a sobrecalentado
Interpolando linealmente para encontrar v2 y sustituyendo valores numéricos
vel =
(0.75 kg/s) (0.2283 m3 /kg)
= 0.171 m/s
1 m2
5
(15)
4. Una turbina de vapor isentrópica procesa 2 kg/s de vapor de agua a 3 MPa, el
cual se descarga a 50 kPa y 100 ◦ C. El cinco por ciento de este flujo se desvı́a para
calentar el agua de alimentación a 500 kPa. Determine la potencia que produce esta
turbina, en kW. Respuesta W = 2287 kW
Figura 5: Turbina de vapor
Solución:
.
m
P
T
Estado 1 Estado 2
2 kg/s
0.05 m1
3000 kPa 500 kPa
6
Estado 3
0.95 m2
50 kPa
100 ◦ C
Figura 6: Tabla de agua sobrecalentada
De la tabla anterior se encuentra el valor de s3 = 7.6953 kJ/kg K y h3 = 2682.4 kJ/kg.
Como se trata de una proceso isentrópico entonces s1 = s2 = s3 . Para encontrar
valores del estado 2 se entra a las tablas de vapor de agua a 500 kPa y s2
Figura 7: Tabla de agua sobrecalentada
Interpolando el valor de la entalpı́a se obtiene h2 = 3207.42 kJ/kg.
7
Para encontrar valores del estado 1 se busca el valor de 3000 kPa y s1
Figura 8: Tabla de agua sobrecalentada
Interpolando el valor de la entalpı́a se obtiene h1 = 3853.44 kJ/kg
Resumiendo los valores
Estado 3
m
0.95 m2
P
50 kPa
T
100 ◦ C
s 7.6953 kJ/kg K 7.6953 kJ/kg K 7.6953 kJ/kg K
h 3853.44 kJ/kg
3207.42 kJ/kg
2682.4 kJ/kg
.
Estado 1
2 kg/s
3000 kPa
Estado 2
0.05 m1
500 kPa
La ecuación de una turbina que desarrolla un trabajo isentrópico con dos salidas es
.
.
.
.
.
m1 h1 = Wsalida + m2 h2 + m3 h3
(16)
Despejando el trabajo
.
Wsalida = m1 h1 − m2 h2 − m3 h3
(17)
Sustituyendo valores numéricos
Wout = (2 kg/s)(3853.44 kJ/kg) − (0.05)(2 kg/s)(3207.42 ) −
(0.95)(2 kg/s)(2682.4 kJ/kg) = 2289.5 kW
Wout = 2289.5 kW
(18)
(19)
(20)
Çengel utiliza interpolaciones polinomiales de distintos órdenes por lo que si el
alumno aplica únicamente interpolaciones lineales el resultado final puede diferir
respecto al resultado mostrado en el texto.
8
5. Vapor a 100 psia y 650 ◦ F se expande adiabáticamente en un sistema cerrado hasta
10 psia. Determine el trabajo producido, en Btu/lbm, y la temperatura final del
vapor para una eficiencia de expansión isentrópica de 80 por ciento.
Solución:
El procedimiento para resolver este tipo de ejercicios es considerarlo en primera
instancia como un proceso totalmente isentrópico, es decir, s1 = s2 . Como se trata
de un volumen cerrado el cambio de energı́a interna será equivalente al trabajo
realizado. Esto es
wout|s=const = (u1 − u2|s=const )
(21)
En la tabla de vapor sobrecalentado se obtiene el valor de s1
Figura 9: Tabla de agua sobrecalentada
De la tabla y al interpolar valores se obtiene
s1 = 1.7811 Btu/(lbm R) y u1 = 1 233.7 Btu/lbm
Se determina la calidad
s − sf
sf g
(22)
1.7811 − 0.28362
= 0.9957
1.50391
(23)
x =
x =
9
Se busca el valor de 10 psia al valor de s1 en la tabla de vapor saturado
u2|s=const = uf + x uf g
(24)
u2|s=const = 161.22 + (0.9957) (910.75) = 1 068.05 Btu/lbm
(25)
Sustituyendo valores numéricos en 21
wout|s=const = (1 233.7 − 1 068.05) = 165.65 Btu/lbm
(26)
a):
La fórmula de la eficiencia en un proceso isentrópico es
η =
trabajo real
wa
=
ws
trabajo isentrópico
(27)
Despejando wa
wa = η ws = (0.8)(165.65 Btu/lbm) = 132.5 Btu/lbm
(28)
b):
wout se calculó suponiendo que u2 correspondı́a a un proceso isentrópico, ahora se
calculará u2|real
wout = (u1 − u2 )
(29)
u2 = wout − u1 = (1233.7) − (132.52) = 1 101.18 Btu/lbm
(30)
Despejando u2
Buscando el valor de 10 psia y u2 = 1 101.18 Btu/lbm se obtiene la temperatura de
273.79 ◦ F
10
6. Se va a condensar vapor en el condensador de una planta termoeléctrica a una temperatura de 60 ◦ C con agua de enfriamiento de un lago cercano, la cual entra a los
tubos del condensador a 18 ◦ C a razón de 75 kg/s y sale a 27 ◦ C. Suponiendo que
el condensador está perfectamente aislado, determine a) la tasa de condensación del
vapor y b) la tasa de generación de entropı́a en el condensador.
Solución:
El calor que recibe el agua en el condensador es
.
.
Q = m cp (T2 − T1 )
(31)
Q = (75 kg/s) (4.182 kJ/kg K) (27 − 18)◦ C = 2822.85 kJ/s
(32)
.
a)
La entalpı́a de vaporización del agua saturada a 60 ◦ C es hf g = 2 357.7 kJ/kg, y la
ecuación que se usará es
.
.
Q = m hf g
(33)
2822.85 kJ
Q
= 1.197 kg/s
=
m =
hf g
2357.7 kJ/kg
(34)
.
Despejando m
.
.
b)
La entropı́a que cede el vapor que entra al condensador es
S =
Q
2822.85 kW
=
= − 8.47 kW/K
T
333.15 K
(35)
La entropı́a que se genera al calentarse el agua es
.
S = mcp ln
S = (75 kg/s)(4.182 kJ/kg K) ln
11
T2
T1
300.15
291.15
(36)
= + 9.54 kW/K
(37)
El balance global de entropı́a es
∆S = Sconden + Sagua
(38)
∆S = −8.47 + 9.54 = 1.07 kW/K
(39)
12
7. La temperatura de 2.27 kg de aire se eleva desde 93.3 ◦ C hasta 260 ◦ C a presión constante mediante calor que proviene de una resistencia eléctrica. a) ¿Cuánta energı́a
se necesita?, b) si la temperatura del medio ambiente es T0 = 4.4 ◦ C, ¿qué parte
de la energı́a del inciso a) estaba disponible antes de entrar al sistema gaseoso?, y
¿qué parte estaba disponible después de entrar al sistema gaseoso?, c) Halle el ∆S
del sistema gaseoso.
Solución:
a)
El calor que se necsesita para calentar el aire a presión constante es:
Q = m cp (T2 − T1 )
(40)
Q = (2.27 kg) (0.24 kcal/kg K) (260 − 93.3)◦ C = 90.8 kcal
(41)
Sustituyendo valores numéricos
b)
La energı́a disponible en la resistencia eléctrica antes de la transferencia de calor
es al menos la misma que recibe el aire, es decir Q = 90.8 kcal, no le afecta la
temperatura ambiente. La conversión de energı́a eléctrica a energı́a térmica en una
resistencia se considera del 100 %.
Le entropı́a generada por la resistencia eléctrica es
Sresistencia =
Q
Tresistencia
=
90.8 kcal
= − 0.17 kcal/K
260 + 273.15
(42)
En el mejor de los casos la temperatura del aire iguala a la temperatura de la
resistencia, por esa razón se supuso que Tresistencia = 260 ◦ C.
La energı́a no disponible (Eu ) durante el calentamiento del aire es
Eu = T0 ∆Saire
(43)
Eu = (4.4 + 273.15) (0.2024 kcal/K) = 56.176 kcal
(44)
Por lo que la energı́a disponible (Ea ) será
Ea ≡ Exerg ía = Q − Eu = 90.8 − 56.176 = 34.6 kcal
13
(45)
c)
La entropı́a generada por el aire al calentarse es
Saire = m cp ln
T2
533.15
= (2.27 kg)(0.24 kcal/kg K) ln
= 0.2024 kcal/K
T1
366.45
(46)
14
8. Una masa de acero de 10 kg cae desde una altura de 100 m al suelo; su velocidad
inicial y su velocidad final son iguales a cero. La temperatura inicial del acero es
de 20 ◦ C, y su calor especı́fico a volumen constante es de 460 J/(kg K). Se permite
despreciar el efecto de friccón con el aire durante la caı́da y la transferencia de calor
al ambiente después de la caı́da, ası́ como el cambio de volumen del acero durante
el proceso. a) ¿Cuál es la temperatura final del acero?; b) ¿Cuál es el cambio de
entropı́a en el acero? Respuestas a) 22.1 ◦ C, b) 33.3 J/K
Solución:
La fórmula para calcular la energı́a potencial de la masa de acero antes de la caı́da
libre es
Ep = m g h
(47)
La fórmula para calcular el calor necesario para aumentar la temperatura en una
masa a volumen constante es
Q = m cv (T2 − T1 )
(48)
Se supone que no hay disipaciones de energı́a con el ambiente por lo que el total de
la energı́a potencial se transfiere en forma de calor a la masa del acero aumentando
su tempertaura. Por lo tanto se igualan las ecuaciones 47 y 48
m g h = m cv (T2 − T1 )
(49)
a)
Se observa que el cálculo es independiente de la masa de la sustancia, despejando
en favor de T2
gh
+ T1
cv
(50)
(9.81 m/s2 ) (100 m)
+ 20 ◦ C = 22.13 ◦ C
460 J/(Kg ◦ C)
(51)
T2 =
Sustituyendo valores numéricos
T2 =
b)
La fórmula para calcular la entropı́a en una masa a volumen constante es
∆S = m cv ln
15
T2
T1
(52)
Sustituyendo valores numéricos
∆S = (10 kg) (460 J/(kg K)) ln
16
295.28
= 33.3 J/K
293.15
(53)
9. Se mueven 10 kg de agua lı́quida por medio de un rotor al que se aplica una torca
de 5 N m cuando la velocidad de rotación es igual a 1000 rpm. La temperatura del
agua en un instante es igual a 20 ◦ C. Se permite suponer que la temperatura es
uniforme en la masa del agua. El calor especı́fico del agua lı́quida a presión constante es de 4.2 kJ/(kg K). Se desprecia el cambio de volumen y de presión del agua,
ası́ como la pérdida de calor al ambiente. a) ¿Cuál es el cambio de temperatura del
agua en ◦ C/s?, b) ¿Cuál es la razón de cambio de entropı́a del agua en J/(K s)?.
Respuestas a) 0.0125 ◦ C/s, b) 1.79 J/(K s)
Solución:
a)
El trabajo de flecha que desempeña el rotor es una forma de energı́a que se transfiere
al agua, esta energı́a modifica la energı́a interna del agua provocando un aumento
de temperatura en la misma; usando la primera ley de la termodinámica resulta que
∆E
c
+
∆E
Q
− W
p + ∆U = ∆U = −W
(54)
(55)
.
mcp∆T = −(−2π nτ )
(56)
.
en donde n es la velocidad de rotación expresada en rpm y τ es el momento de
torsión expresado en Nm.El signo negativo dentro del paréntesis es porque que el
agua recibe el trabajo. Despejando en favor de ∆T
.
2π nτ
∆T =
mcp
(57)
1
min
2π (1000 min
)( 160
)(5 N m)
s
∆T =
= 0.0125 ◦ C/s
J
(10 kg)(4200 Kg K )
(58)
Sustituyendo valores numéricos
b)
∆S = mcpLn
T2
T1
(59)
Sustituyendo valores numéricos
∆S = (10 kg)(4.2 kJ/kg K) Ln
17
20.0125 + 273.15
= 1.79 J/K s
20 + 273.15
(60)
10. En un intercambiador de calor se desea calentar 50 kg/min de agua (cp = 1 kcal/kg K)
desde 60 ◦ C hasta 115 ◦ C mediante gases calientes (cp = 0.25 kcal/kg K) que entran
al intercambiador a 227 ◦ C, los gases circulan a un gasto de 98.2 kg/min. Calcular
a) la entropı́a generada en el proceso de calentamiento del agua, b) la entropı́a generada en el enfriamiento de los gases y c) el cambio de entropı́a total. Respuestas
a) + 7.63 kcal/(min K), b) - 6.25 kcal/(min K), c) 1.41 kcal/(min K)
Solución:
La fórmula para determinar el cambio de entropı́a en lı́quidos o sólidos que no
modifican su densidad es
∆S = m cp ln
T2
T1
(61)
a)
Sustituyendo valores numéricos
∆Sagua = (50 kg/min) (1 kcal/(kg K)) ln
388.15
kcal/min
= + 7.63
333.15
K
(62)
b)
Para poder determinar la entropı́a generada y cedida por el enfriamiento sensible
del gas primero se debe conocer el calor transferido al agua
Q = m cp (T2 − T1 )
(63)
Sustituyendo valores numéricos
Qagua = (50 kg/min) (1 kcal/(kg ◦ C)) (115 − 60)◦ C = 2750 kcal/min
(64)
Por primera ley de la termodinámica se supone que el calor que recibió el agua
provino del gas, por lo tanto
Qagua = Qgas
Aplicando la misma ecuación para el gas y despejando en favor de T2
18
(65)
T2 = T1 +
T2 = 227 ◦ C +
Qagua
m cp
(66)
−2750 kcal/min
= 114.98 ◦ C
◦
(98.2 kg/min) (0.25 kcal/(kg C))
(67)
En el texto del problema no se especifica el tipo de gas ni tampoco condiciones
adicionales, pero los gases circulan a presión constante ya que se da el valor del cp ,
esto significa que sus volúmenes no se ven modificados, por lo que se usa la ecuación
∆S = m cp ln
T2
T1
(68)
388.13
kcal/min
= −6.22
500.15
K
(69)
Sustituyendo valores numéricos
∆S = (98.2 kg/min) (0.25 kcal/(kg K)) ln
El balance global de entropı́a es
∆S = ∆Sagua + ∆Sgas
∆S = 7.63 − 6.22 = 1.419
19
kcal/min
K
(70)
(71)
Referencias
Termodinámica, Cengel Yunus, Novena edición Mc Graw Hill
Termodinámica, Faires, Quinta edición, UTEHA
Termodinámica para ingenierı́a, Frederik Golden Muldberg, Primera edición, Trillas
20