ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL
Métodologı́as de Estudio
EXAMEN I Bimestre
Autor: Néstor D. Vargas
La Ecuación (1) representa el modelo dinámico del éndulo Furuta escrito en Variables de estado [1]:
x˙1 = x2
βγx22 (sin2 (x3 − 1) sin x3
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
2β 2 x2 x4 cos x3 sin x3
−
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
x˙2 =
βγ x˙3 2 sin x3 − γδ cos x3 sin x3 + βτθ
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
x˙3 = x4
+
βx21 (φ + β sin2 x3 ) cos x33
x˙4 =
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
+
−
+
Con:
φ = J + ( 13 ma + mp )la2 ,
γ = 12 mp la lp ,
τθ = KRe V − KeRKt θ̇
(1)
2βγ x˙1 x˙3 (1 − sin2 x3 ) sin x3
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
γ 2 x˙2 cos x sin x
3
3
3
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
δ(φ + β sin2 x3 ) sin x3 − γτθ cos x3
φβ − γ 2 + (β 2 + γ 2 ) sin2 α
β = 13 mp lp2 ,
δ = 12 mp glp ,
Este modelo puede ser representados por modelos difusos Takagi-Sugeno (2) [2]:
(i ...i )
Sysj 1 n :
IF x1 (k) is Mji11 andx2 (k) is Mji22 and...xn (k) is Mjinn T HEN :
(i ...in )
x(k + 1) = a0 1
+ A(i1 ...in ) x(k) + B; (i1 ...in )u(k)
1
(2)
(i ...i )
Donde: ao 1 n ∈ ℜn , A(i1 ...in ) ∈ ℜnxn , B i1 ...in ℜnxm and M1I1 (i1 = 1, 2, ..., r1 ) son conjuntos
difusos de x1 (k), Mni1 (i1 = 1, 2, ..., r1 ) son conjuntos difusos de xn (k) y, u(k) es la entrada del
sistema [3]
El sistema difuso es descrito por (3) [4]:
x(k + 1) =
r1
X
i1
...
rn
X
(i ...in )
β (i1 ...in ) (x) [a0 1
+ A(i1 ...in ) x(k) + B (i1 ...in ) u(k)]
(3)
in =1
Donde:
β (i1 ...in ) x(i1 ...in ) (k) =
Pr1
i1
...
u1i1 (x1 )...uni1 (xn )
P rn
in =1 u1i1 (x1 )...unin (xn )
(4)
i
donde ujij (xj ) es la funcion de membresia que corresponde al conjunto difuso de Mj j .
Si se toma como sistema extendido con N nuevos estados:
w(k + 1)
I −A
w(k)
−B
I
=
+
u(k) +
xr
x(k + 1)
0 A
x(k)
B
0
(5)
Donde I es la matriz identidad y 0 es la matriz nula. El sistema extendido es considerado acorde a
la siguiente nomenclatura:
w(k + 1)
I −A
−B
xa =
; Aa =
; Ba
x(k + 1)
0 A
B
Con el objetivo de determinar las ganancias de realimentación optima,
donde la meta es minimizar
xr :
el indice de costo Je con los estados extendidos de referencia xra = 0
Je =
∞ X
(xra − xa (k))t
k=0
Qw
0
0
Qx
(xra − xa (k))
+
∞
X
k=0
De esta manera el modelo puede ser escrito de la siguiente manera:
Sys11 : IF x2 (k)isM11 andx3 (k) isM21 T HEN :

a11
0


0.000
0.000
 0.001 
 0.159
11



=
, B =
0.000 
0.000
0.000
-0.102

A11
1.000 0.010 -0.003
 -0.002 0.975 -0.610
=
 0.000 0.000 1.005
0.003 0.018 1.172
2


,


0.000
-0.014 

0.010 
1.014
u(k)t Ru(k)
(6)
Reproducir las siguientes tablas utilizando overleaf [5]:
Cuadro 1:
Furuta’s Péndulum Parameters
Parameter
Unit
Description
mp = 0.027
[Kg]
Mass of pendulum and weight combined
ma = 0.008
[Kg]
Mass of the horizontal arm
lp =0.191
[m]
Total pendulum length
la = 0.0826
[m]
Length of horizontal arm
−6
2
J = 1.8e
[Kg · m ]
Motor-rotor moment of inertia
2
g = 9.8
[m/s ]
Gravity
Kt = 0.03334 [N · m]
Motor current-torque constant
Ke = 0.03334 [N · m]
Motor back-emf constant
Rm = 8.6
[Ω]
Motor armature resistance
In Table 2, the parameters of the quadruple-tank process are shown.
Cuadro 2:Large Quadruple-Tank Parameters
Symbol
Ai
ai
g
kc
Description
Value
A1 = A3 = 28
Area tank i
A2 = A4 = 32
a = a3 =0.071
Area of the pipe flo- 1
a = a4 =0.057
wing out from tank i 2
Gravitational cons- 981
tant
Gain Level Trans- 0.5
mitter
3
Unit
[cm2 ]
[cm2 ]
[cm/s2 ]
[V /cm]
Figura 1: Quadruple tank level process (QTLP) scheme with fault.
Figura 2: Adaptive model predictive control of constrained multiple-input multiple-output systems and
its application to the quad tank system
Referencias
[1] G. Chamayou, A Theory of the Drone.
New Press, The, 2015.
[2] A. V. LUTTINEN and H. FURNES, “Flood basalts of vestfjella: Jurassic magmatism across an
archaean–proterozoic lithospheric boundary in dronning maud land, antarctica,” Journal of Petrology, vol. 41, no. 8, pp. 1271–1305, 2000.
[3] P. Bergsten, R. Palm, and D. Driankov, “Observers for takagi-sugeno fuzzy systems,” IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), vol. 32, no. 1, pp. 114–
121, 2002.
[4] T. Taniguchi, K. Tanaka, H. Ohtake, and H. O. Wang, “Model construction, rule reduction, and
robust compensation for generalized form of takagi-sugeno fuzzy systems,” IEEE Transactions on
Fuzzy Systems, vol. 9, no. 4, pp. 525–538, 2001.
[5] J. Yoneyama, M. Nishikawa, H. Katayama, and A. Ichikawa, “Output stabilization of takagi–sugeno
fuzzy systems,” Fuzzy sets and Systems, vol. 111, no. 2, pp. 253–266, 2000.
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