USBN 2019 Matematika Peminatan
A.
PILIHAN GANDA
3.
Return adalah keuntungan dari suatu investasi. Sebagai contoh, jika investasi berupa tabungan di
bank, return adalah bunga bank; jika investasi berupa kepemilikan saham pada suatu perusahaan,
return dapat berupa kenaikan harga saham maupun hasil bagi keuntungan perusahaan. Jika return
yang diperoleh diinvestasikan kembali, berlaku hubungan berikut:
1 + R = (1 + r)t
dengan R adalah return selama jangka waktu t, dan r adalah tingkat return per-unit waktu.
Ayah berinvestasi pada suatu perusahaan sebesar Rp10.000.000,00 dengan return 15% per tahun.
Saat pembagian keuntungan di tiap akhir tahun, Ayah menginvestasikan kembali keuntungan
tersebut. Di akhir tahun ke-𝑡, investasi ayah di perusahaan tersebut bernilai Rp15.200.000,00
(pembulatan ke ratusan ribu terdekat). Diketahui log1,52 = 0,18 dan log1,15 = 0,06 . Nilai t adalah
….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Pembahasan:
Besar investasi adalah sebesar Rp10.000.000,00, di akhir tahun ke 𝑡 investasi menjadi bernilai
Rp15.200.000,00. Maka keuntungan selama 𝑡 tahun adalah:
15.200.000 − 10.000.000 = 5.200.000
Persentase keuntungan (𝑅) selama jangka waktu 𝑡 adalah:
5.200.000
𝑅=
× 100% = 52%
10.000.000
Besar return per tahun (𝑟) adalah 𝑟 = 15% (diketahui di soal)
Untuk menentukan nilai 𝑡, kita substitusikan nilai 𝑅 dan 𝑟 ke formula yang diketahui pada soal:
1 + 𝑅 = (1 + 𝑟)𝑡
1 + 52% = (1 + 15%)𝑡
1 + 0,52 = (1 + 0,15)𝑡
1,52 = 1,15𝑡
𝑡=
1,15
log 1,52
log 1,52
=
log 1,15
0,18
=
0,06
=3
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
1
USBN 2019 Matematika Peminatan
5.
Diketahui (x – 1) salah satu faktor dari persamaan suku banyak: x3 – 2x2 – 5x + b = 0.
Salah satu faktor lainnya adalah ....
A. x – 3
B. x – 2
C. x + 1
D. x + 3
E. x + 6
Pembahasan:
Kita akan mencari hasil bagi 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑏 oleh (𝑥 − 1), dalam pembahasan ini saya akan
menggunakan horner.
1
1
1
−2
−5
𝑏
1
−1
−6
−6
𝑏−6
−1
Kita peroleh hasil baginya adalah 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
Maka faktor lainnya adalah (𝑥 − 3) atau (𝑥 + 2)
sin 8x + sin 4 x
= ....
x →0 2 x(cos12x + cos8 x)
10. Nilai lim
A. –3
3
10
1
C. 5
3
D.
10
B.
−
E. 3
Pembahasan:
sin 8𝑥 + sin 4𝑥
sin 8𝑥 + sin 4𝑥
1
lim
= lim
×
𝑥→0 2𝑥(cos 12𝑥 + cos 8𝑥)
𝑥→0
2𝑥
cos 12𝑥 + cos 8𝑥
sin 8𝑥 sin 4𝑥
1
= lim (
+
) × lim
𝑥→0
𝑥→0 cos 12𝑥 + cos 8𝑥
2𝑥
2𝑥
1
= (4 + 2) ×
cos 0 + cos 0
1
=6×
2
=3
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
2
USBN 2019 Matematika Peminatan
Cara lain:
sin 8𝑥 + sin 4𝑥
2 sin 6𝑥 cos 2𝑥
lim
= lim
𝑥→0 2𝑥(cos 12𝑥 + cos 8𝑥)
𝑥→0 2𝑥. 2 cos 10𝑥 cos 2𝑥
2 sin 6𝑥
= lim
𝑥→0 4𝑥. cos 10𝑥
2.6
=
4
=3
13. Suatu mesin diprogram untuk menggerakkan sebuah alat penggores sedemikian hingga posisi alat
tersebut dinyatakan dengan x = 3 cos 4t dan y = 2 cos3t (posisi dalam satuan cm dan waktu t dalam
2
 dx   dy 
satuan detik). Kecepatan gerak alat penggores pada saat t dinyatakan dengan v =   +  
 dt   dt 
dalam satuan cm/detik. Besar kecepatan gerak alat tersebut saat
t=

2
2
detik adalah ….
A. 2 cm/detik
13 cm/detik
B.
C. 6 cm/detik
D. 6 5 cm/detik
E. 12 cm/detik
Pembahasan:
𝑥 = 3 cos 4𝑡 maka
𝑦 = 2 cos 3𝑡 maka
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −12 sin 4𝑡
= −6 sin 3𝑡
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑣(𝑡) = √( ) + ( )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= √(−12 sin 4𝑡)2 + (−6 sin 3𝑡)2
= √144 sin2 4𝑡 + 36 sin2 3𝑡
Kecepatan pada saat 𝑡 =
𝜋
2
adalah:
𝜋
3
𝑣 ( ) = √144 sin2 2𝜋 + 36 sin2 ( 𝜋)
2
2
= √144(0)2 + 36(−1)2
= √36
=6
Jadi kecepatan pada saat 𝑡 =
𝜋
2
adalah 6 cm/detik
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
3
USBN 2019 Matematika Peminatan
(
)
19. Himpunan penyelesaian persamaan sin 3x + 300 =
A.
B.
C.
D.
E.
1
2 pada interval 0o ≤ x ≤ 180o adalah ....
2
{5o, 35o}
{5o, 125o}
{5o, 35o, 65o, 95o }
{5o, 35o, 125o, 155o }
{5o, 35o, 95o, 155o }
Pembahasan:
1
√2
2
Karena nilai dari sin(3𝑥 + 30°) positif, maka (3𝑥 + 30°) berada di kuadran 1 atau 2, yang memenuhi
adalah:
sin(3𝑥 + 30°) =
3𝑥 + 30° = 45°
3𝑥 = 15°
𝑥 = 5°
3𝑥 + 30° = 135°
3𝑥 = 105°
𝑥 = 35°
3𝑥 + 30° = 360° + 45°
3𝑥 + 30° = 405°
3𝑥 = 375°
𝑥 = 125°
3𝑥 + 30° = 360° + 135°
3𝑥 + 30° = 495°
3𝑥 = 465°
𝑥 = 155°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah: {5°, 35°, 125°, 155°}
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
4
USBN 2019 Matematika Peminatan
20. Diketahui segitiga ABC siku siku di B. Jika sin A . sin C =
1
2
dan sin(A − C) = x , nilai x yang
10
5
memenuhi adalah … .
A. –2
B.
−
C.
1
4
1
2
D.
1
2
E. 2
Pembahasan:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° karena 𝐵 = 90° maka 𝐴 + 𝐶 = 90°
cos(𝐴 + 𝐶) = cos 𝐴 cos 𝐶 − sin 𝐴 sin 𝐶
cos 90° = cos 𝐴 cos 𝐶 − sin 𝐴 sin 𝐶
1
0 = cos 𝐴 cos 𝐶 −
10
1
cos 𝐴 cos 𝐶 =
10
cos(𝐴 − 𝐶) = cos 𝐴 cos 𝐶 + sin 𝐴 sin 𝐶
1
1
cos(𝐴 − 𝐶) =
+
10 10
2
cos(𝐴 − 𝐶) =
10
1
cos(𝐴 − 𝐶) =
5
1
Misal 𝐴 − 𝐶 = 𝛼 maka cos 𝛼 = 5
Dengan demikian sin 𝛼 = sin(𝐴 − 𝐶) =
√24
5
2
2
= 5 √6
Pada soal dikatakan bahwa sin(𝐴 − 𝐶) = 5 𝑥, jadi nilai 𝑥 = √6 (untuk 𝐴 > 𝐶) atau 𝑥 = −√6 (untuk
𝐴 < 𝐶)
Pada soal ini tidak ada pilihan jawaban yang tepat.
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
5
USBN 2019 Matematika Peminatan
→
→
→
23. Diketahui vektor a = −2iˆ + 3 ˆj + kˆ dan b = 4iˆ + 4 ˆj + mkˆ . Jika panjang proyeksi vektor a pada
→
b adalah 1 , nilai m yang memenuhi adalah ….
3
A. – 7
B. – 5
C. 2
D. 5
E. 7
Pembahasan:
4
−2
1
𝑎⃗ = ( 3 ) dan 𝑏⃗⃗ = ( 4 ). Misal 𝑐⃗ adalah proyeksi 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗, maka diketahui |𝑐⃗| = 3
1
𝑚
⃗⃗
𝑎⃗. 𝑏
|𝑐⃗| =
|𝑏⃗⃗|
1 (−2)(4) + (3)(4) + (1)(𝑚)
=
3
√42 + 42 + 𝑚2
1
−8 + 12 + 𝑚
=
3 √16 + 16 + 𝑚2
1
4+𝑚
=
3 √32 + 𝑚2
dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh:
√32 + 𝑚2 = 12 + 3𝑚
32 + 𝑚2 = 144 + 72𝑚 + 9𝑚2
8𝑚2 + 72𝑚 + 112 = 0
bagi dengan 8
2
𝑚 + 9𝑚 + 14 = 0
(𝑚 + 2)(𝑚 + 7) = 0
𝑚 = −2 atau 𝑚 = −7
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
6
USBN 2019 Matematika Peminatan
28. Sepasang suami istri merencanakan untuk mempunyai 4 orang anak. Jika variabel acak X
menyatakan banyak anak perempuan, nilai dari P ( X ≤ 2 ) adalah ….
A. 4
B.
C.
D.
E.
16
5
16
6
16
10
16
11
16
Pembahasan:
Dari empat anak, kemungkinan banyak anak perempuan kurang dari atau sama dengan 2 adalah:
0𝑃 4𝐿, 1𝑃 3𝐿, 2𝑃 2𝐿 dengan menggunakan distribusi binomial kita peroleh:
1 0
1 4
1 1
1 3
1 2
1 2
2
2
0𝑃 4𝐿
𝐶04 . (2) . (2)
1𝑃 3𝐿
𝐶14 . (2) . (2)
2𝑃 2𝐿
𝐶24 . ( ) . ( )
1
1
= 1.1. 16
1 1
= 4. 2 . 8
1 1
= 6. .
4 4
4
6
1
= 16
4
= 16
=
6
16
11
Sehingga 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 16 + 16 + 16 = 16
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
7
USBN 2019 Matematika Peminatan
B.
URAIAN
33. Gambar di bawah adalah sebuah trapesium ABCD dengan AD = CD = BC = m cm, dan
DAB = CBA = 2 ( a adalah sudut lancip).
Berapakah luas maksimum trapesium tersebut (dalam m cm2)? Tuliskan langkah penyelesaiannya!
Pembahasan:
Perhatikan Δ𝐴𝑃𝐷 dan Δ𝑄𝐵𝐶, dari segitiga tersebut kita peroleh:
𝐴𝑃 = 𝑄𝐵 = 𝑚 cos 2𝛼
𝑃𝐷 = 𝑄𝐶 = 𝑚 sin 2𝛼
𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 = 𝑚 + 2𝑚 cos 2𝛼
Luas trapesium adalah:
1
𝐿 = (𝐴𝐵 + 𝐷𝐶). 𝑃𝐷
2
1
= (𝑚 + 2𝑚 cos 2𝛼 + 𝑚). 𝑚 sin 2𝛼
2
1
= (2𝑚 + 2𝑚 cos 2𝛼). 𝑚 sin 2𝛼
2
= (𝑚 + 𝑚 cos 2𝛼). 𝑚 sin 2𝛼
= 𝑚2 sin 2𝛼 + 𝑚2 sin 2𝛼 cos 2𝛼
1
= 𝑚2 sin 2𝛼 + 𝑚2 (2 sin 2𝛼 cos 2𝛼)
2
1
= 𝑚2 sin 2𝛼 + 𝑚2 sin 4𝛼
2
𝑑𝐿
Luas maksimum, maka 𝐿′ = 𝑑𝛼 = 0
2𝑚2 cos 2𝛼 + 2𝑚2 cos 4𝛼 = 0
2𝑚2 (cos 2𝛼 + cos 4𝛼) = 0
cos 2𝛼 + cos 4𝛼 = 0
cos 2𝛼 + 2 cos2 2𝛼 − 1 = 0
2 cos 2 2𝛼 + cos 2𝛼 − 1 = 0
(2 cos 2𝛼 − 1)(cos 2𝛼 + 1) = 0
1
cos 2𝛼 = 2
atau cos 2𝛼 = −1
2𝛼 = 60° ⇔ 𝛼 = 30°
2𝛼 = 180° ⇔ 𝛼 = 90°
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
8
USBN 2019 Matematika Peminatan
Pada soal dikatakan bahwa 𝛼 adalah sudut lancip, jadi yang memenuhi adalah 𝛼 = 30°
1
𝐿 = 𝑚2 sin 2𝛼 + 𝑚2 sin 4𝛼
2
Untuk 𝛼 = 30°, maka:
1
𝐿 = 𝑚2 sin 60° + 𝑚2 sin 120°
2
1
1
1
= 𝑚2 ( √3) + 𝑚2 ( √3)
2
2
2
1
1
= √3𝑚2 + √3𝑚2
2
4
3
= √3𝑚2
4
3
Jadi luas maksimum trapesium tersebut adalah 4 √3𝑚2 satuan luas.
Untuk download soal dan pembahasan UN dan SBMPTN silakan kunjungi blog www.m4th-lab.net dan jangan lupa ikuti
beberapa media sosial m4th-lab sebagai berikut untuk memperoleh informasi terupdate:
FP Facebook
Telegram
YouTube
IG
: https://facebook.com/mathlabsite
: https://t.me/banksoalmatematika
: https://youtube.com/m4thlab
: @banksoalmatematika
Download Bank Soal Matematika di
Video pembelajaran matematika gratis
: www.m4th-lab.net
: www.youtube.com/m4thlab
9