Centroid dari Suatu Luasan
Teknik Integral
Kasus
• Dalam konstruksi pelat miring, kita punya dinding beton (dengan
lubang pintu dan jendela) yang perlu kita tegakkan (berdirikan). Kita
tidak ingin dinding retak saat didirikan, jadi kita perlu mengetahui
pusat massa dinding (centroid). Bagaimana kita menemukan pusat
massa untuk bentuk yang tidak rata?
Bagian 1
Pada bagian ini kita akan melihat bagaimana mencari pusat massa dari
sebuah area dengan sisi lurus
Berawal dari Momen
• Momen suatu massa adalah ukuran kecenderungannya untuk
berputar pada suatu titik. Jelas, semakin besar massa (dan semakin
besar jarak dari titik), semakin besar kecenderungan untuk berputar.
momen  massa  jarak dari titik
Contoh Momen
• Tentukan tingkat kecenderungan struktur ini berotasi (Nilai momen)
nb: titik rotasi ada di sekitar titik O (acuan) dan rotasi searah jarum jam dinilai positif
momen   2 1  10  3  28 kg  m
Pusat Massa
Contoh mencari Centroid
• Kita memiliki 3 massa: 10 kg, 5 kg dan 7 kg pada jarak 2 m, 2 m, dan 1 m dari O
Kita ingin mengganti 3 massa ini dengan 1 massa tunggal gabungan yang menghasilkan momen setara. Di titik mana kita
harus menempatkan massa tunggal tsb (d)?
momen total ketiga massa
kesetaraan momen (lama = baru)
momentotal  10  2    5  4    7  5   75 kg.m
momen 3 massa  momen 1massa
_
75 kg .m  22kg  d
momen total ketiga massa
massatotal  10  5  7  22 kg
d adalah jarak massa tunggal gabungan dari titik putar
_
d
75
 3.4m
22
Sehingga sistem yg setara dg memakai massa 22 kg adalah:
Centroid Plat Tipis
A. Persegi Panjang
Centroid (jelas) akan berada tepat di tengah piring di (2, 1)
B. Bentuk Lebih Kompleks
Kita bagi bentuk komplek ke bentuk persegi panjang lalu cari koordinat x bar (koordinat x dari centroid) dan y bar (kordinat y dari centroid)
melalui momen sekitar y dan x
Karena pelat tipis dengan kerapatan seragam, kita dapat menghitung momen menggunakan luas
Contoh mencari Centroid bentuk kompleks
Kita bagi menjadi 2 persegi Panjang dan
mengasumsi centroid tiap persegi
panjang ada di bagian tengah-tengahnya
Persegi panjang kiri:
Akiri  3  2  6 satuan luas
 1 
Titiktengahkiri    ,1
 2 
Persegi panjang kanan:
Akiri  2  4  8 satuan luas
Titiktengahkiri   2, 2 
Fokus momen terhadap sumbu y
(sumbu y sebagai acuan arah x)
Fokus momen terhadap sumbu x
(sumbu x sebagai acuan arah y)
momen2 persegi  momentunggal
momen2 persegi  momentunggal
1

6



  8  2    6  8 x
2

 6 1  8  2    6  8  y
3  16  14  x
x
13
14
Sehingga centroidnya ada di:
 
 13 4 
letakcentroid  x, y   ,1 
 14 7 
6  16  14  y
y
22
 14
7
14
Secara umum kordinat x dan y dari centroid adalah:
momen total arah x
x
luas total
y
momen total arah y
luas total
Bagian 2
Pada bagian ini kita akan melihat bagaimana mencari pusat massa dari
sebuah area dengan sisi melengkung dimana kita akan menggunakan
integrasi
Pusat massa dari luasan yang didefinisikan oleh fungsi f(x), dan garis vertikal x = a dan x = b
prinsipnya sama dengan sisi lurus, persegi panjang terletak
sejauh x dari sumbu y dengan lebar Δx (atau dx saat
diintegralkan) dan tinggi y =f(x)
dengan demikian terdapat tiga parameter (x, f(x), dan Δx) yang
apabila kita kalikan ketiganya lalu dijumlahkan sebanyak tidak
terhingga dari batas x=a hingga x=b maka diperoleh momen
total (momen = luas . jarak dari sumbu y)
b
momen total 1
x
  x f ( x) dx
luas total
Aa
d
serupa dengan arah x, untuk arah y (terhadap
sumbu x)
momen total 1
y
  y f ( y ) dy
luas total
Ac
b
momen total 1 f ( x)
y
 
f ( x) dx
luas total
Aa 2
Atau dengan cara alternatif
1  f ( x)
 
dx
Aa
2
b
2
Centroid Luasan di Antara 2 Kurva
"persegi panjang" memiliki lebat delta x dan tinggi
y2-y1, maka momen total untuk arah x terhadap luas
total adalah
b
momen total 1
x
  x  y2  y1  dx
luas total
Aa
Untuk koordinat y ada 2 cara:
cara 2
cara 1
d
y
momen total 1
  y ( x2  x1 ) dy
luas total
Ac
2
2
b
momen total 1  y2    y1 
y
 
dx
luas total
Aa
2
Contoh Soal:
Tentukan Centroid luasan yang dibatasi y = x3, x = 2, dan sumbu X
Jawaban:
Langkah 1: Jika memungkinkan Gambar untuk menentukan kondisi batas (batas bawah dan atas integral)
y=f(x)=x3, a= 0, b
=2
2
2
b
momen total 1  y2    y1 
y
 
dx
luas total
Aa
2
b
1
x   x f ( x) dx
Aa
Langkah 2: tentukan luas wilayah yang dibatasi
2
2
x4
16
3
A   x dx 
 4
4 0 4
0
Langkah 3: tentukan koordinat x dari centroid
2
2
1
1
  x  x 3  dx   x 4 dx
40
40
2
1  x5 
32
   
 1.6
4  5  0 20
Langkah 4: tentukan koordinat y dari centroid
Jika memakai metode 2
Jika memakai metode 1
seakan akan adalah centroid luasan di antara 2 kurva
1  f ( x)
y 
dx
Aa
2
b
2
3 2
2

x
1  
1 x6
 
dx   dx
40 2
40 2
2
x2 = 2, x1 =y 1/3, c =0, d =8
d
Sehingga centroid
terletak di: (0.16 , 2.29)
1
y   y ( x2  x1 ) dy
Ac
8
8
1
1
  y (2  y1/3 ) dy   (2 y  y 4/3 ) dy
A0
40
8
1  2 3 y 7/3 
1
3 128 
 y 

64



  2.29
4
7 0 4
7 
1 7 2
  x   2.29
0
56