Media
Distribuzione di frequenza unitaria
x
1 n
 xi
n i 1
Distribuzione di frequenza
x
1 k
 x j n j dove x1 , x2 ,..., xk sono le k modalità distinte e n  n1  n2  ...  nk .
n j 1
Varianza
Distribuzione di frequenza unitaria
2 
1 n
( xi  x )2

n i 1
2 
1 n 2
xi  x 2

n i 1
Distribuzione di frequenza
2 
dove
1 k
1 k 2
2
2
(
x

x
)
n


xjnj  x2


j
j o
n j 1
n j 1
x1 , x2 ,..., xk sono le k modalità distinte e n  n1  n2  ...  nk .
Quartili
 0.25  FQ1 1 
Q1  I Q1  

 FQ  FQ 1  Q1
1
 1

 0.5  FQ2 1 
Me  Q2  I Q2  

 FQ  FQ 1  Q2
2
 2

 0.75  FQ3 1 
Q3  I Q3  

 FQ  FQ 1  Q3
3
 3

I Qi è l’estremo inferiore della classe dove cade l’i-esimo quartile
FQi è la frequenza relativa cumulata della classe che contiene l’i-esimo quartile
FQi 1 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente a quella in cui cade l’i-esimo quartile
Qi è l’ampiezza della classe dove cade l’i-esimo quartile
Concentrazione
 F  Q 
R=
 F
n 1
i 1
i
n 1
i 1
Fi 
dove
i
i
Ai
i
, Qi 
, A  x1  x2  ...  xi
An i
n
e
x1  x2  ...  xn
Associazione
n 'ij 
ni 0n0 j
n
rappresentano le frequenze teoriche nel caso di indipendenza.
Cov(X,Y)= xy
 xy
1 n
   xi  x  yi  y 
n i 1
1 n
  xi yi  xy
n i 1
 xy 
 xy
 x y
Probabilità
A e B siano due eventi:
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
A e B sono eventi incompatibili se : A  B  
A e B sono eventi indipendenti se : P  A  B   P  A  P  B 
La probabilità condizionata di A dato B è : PA B  
P A  B   PA B PB   PB AP A
V.c. Binomiale
n
n!
p( x )    p x q n  x 
p x qn x
x
x
!(
n

x
)!
 
x  0,1,..., n
P A  B 
P B 
V.c. Normale

X ~ N , 2

standardizzazione Z 
X 
( z)  P( Z  z )
(1.282)  0.90
(1.645)  0.95
(2.326)  0.99
(2.575)  0.995

~ N 0,1
(1.96)  0.975
Stimatori
Lo stimatore T è uno stimatore corretto di  se E (T )  
Distorsione di uno stimatore: B(T )  E (T )  
2
Errore quadratico medio di uno stimatore: MSE (T )  E T      Var (T )  B(T ) 2


T1 è più efficiente di T2 se e solo se MSE (T1 )  MSE (T2 )
2
Lo stimatore Tn è consistente in media quadratica se lim MSE (Tn )  lim E Tn      0 .


n
n
Intervallo di confidenza
Intervallo di confidenza della media  della popolazione al livello 1  
Varianza incognita(n >120)
Varianza nota
S
S 

(1   ) IC   xn -z /2
; xn  z /2

n
n


 

(1   ) IC   xn -z /2
; xn  z /2

n
n

dove S 2 
n
1 n
xi  x 2 e xn  1  xi

n i 1
n  1 i 1
Intervallo di confidenza per la proporzione  di una popolazione bernoulliana al
livello 1   per n grande (n>30)

x (1  xn )
x (1  xn ) 
(1   ) IC   xn -z /2 n
; xn  z /2 n

n
n


dove xn o ˆ 
1 n
 xi .
n i 1
Verifica di ipotesi
Regione di rifiuto al livello di significatività  per la verifica d’ipotesi sulla media 
della popolazione
Varianza incognita(n >120)
Statistica test Z 
dove X 
Varianza nota
X  0
S n
Statistica test Z 
X  0
 n
1 n
 Xi .
n i 1
H 0 :   0
H 0 :   0
R  Z  z 
H1 :   0
H 0 :   0
H1 :   0
R  Z   z 
R   | Z | z /2 
H1 :   0
Regione di rifiuto ad un livello di significatività  per la verifica d’ipotesi sulla
proporzione  di una popolazione bernoulliana per n grande (n>30):
Statistica test Z 
H0 :    0
H1 :    0
H0 :    0
H1 :    0
dove X o ˆ 
X  0
 0 (1   0 )
n
R  Z  z 
R  | Z | z /2 
1 n
 Xi .
n i 1
H0 :    0
H1 :    0
R  Z   z 