Г. И. ЗАПОРОЖЕЦ
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Издание четвертое
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов втузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1966
\-2-2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Г л а в а I. Введение в анализ
§ I. Переменные величины и функции, их обозначение
§ 2. Область определения (существования) функции . . .
§ 3. Построение графика функции по точкам
§ 4. Построение графика функции путем сдвига и дефор­
мации известного графика другой функции
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество.
Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Предел функции
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах
§ 7. Вычисление пределов
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов
§ 9. Сравнение бесконечно малых
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции
Г л а в а II. Производная и дифференциал функции
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение.
Непосредственное нахождение производной
§ 2. Производные простейших алгебраических и тригоно­
метрических функций
§ 3. Производная сложной функции
§ 4. Производные показательных и логарифмических
функций
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
§ 8. Производные высших порядков
§ 9. Производные неявной функции
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически
§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между
двумя кривыми
§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость
и ускорение прямолинейного движения
§ 13. Дифференциал функции
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента нее дифферен­
цирование. Касательная к пространственной кривой
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения . .
Г л а в а III Исследование функций и построение их графиков . . . .
§ 1. Теорема (формула) Тейлора
§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению
предела функции
§ 3. Возрастание и убывание функции
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции . . . .
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . .
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях ве­
личин
§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба
§ 8. Асимптоты
1*
—3 —
6
7
7
12
14
20
23
30
33
45
46
.48
57
57
60
63
66
67
69
71
73
75
78
79
85
88
90
93
95
95
105
ПО
Ill
118
121
127
130
cj 9. Пб;!!лп схема исследогония функции и построения их
графи г.ом
134
$ 1С). Приближенное решение ураппелий
144
£ И. Кривизна плоской кривой
149
Г л а !:• а IV. Неопределенный интеграл
154
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Оспог.пые формулы интегрирования
\Ы
§ 2. Ин гет рировапие посредством разложения подынте­
гральной функции на слагаемые
159
§ 3 Интегрирование посредством замены переменной . . 161
§ 4. Интегрирование по частям
163
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный
трехчлен
166
С
Ах + В
)^+n+i^
§
§
§
§
.
С
Ах + В
.
С .
J V^+to + h**'' }№
+ ** + '**
6.
7.
8.
9.
Интегрирование тригонометрических функций , . . 170
Интегрирование рациональных функций
173
Интегрирование некоторых иррациональных функций 178
Интегрирование некоторых трансцендентных (неалге­
браических) функций
182
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование
183
Г л а в а V. Определенный интеграл
184
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных
сумм, его свойства и связь с неопределенным инте­
гралом
184
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле . . .186
§ 3. Схема применения определенного интеграла к вычис­
лению различных величин. Площадь плоской фигуры 189
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений 1%
§ 5. Объем тела сращения
199
§ 6. Длина дуги плоской кривой
-5Q2
§ 7. Площадь поверхности вращения
205"•
§ 8. Физические задачи
209
§ 9. Координаты центра тяжести
223
§ 10. Несобственные интегралы
225
§ П. Приближенное вычисление определенных интегралов 230
Г л а в а VI. Функции многих переменных
236
§ I. Функции многих переменных, их обозначение и об­
ласть определения
2'Л§
§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность 239
§ 3. Частные производные функции многих переменных 241
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных , . . 243
$ 5. Дифференцирование сложных функций
246
§ 6. Дифференцирование неявных функции
148
§ 7. Частные производные высших порядков
24!)
§ 8. Касательная плоскость i нормаль к поверхности 252
§ 9. Экстремум функции многих переменных
254
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . 256
Г л а в а VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . 261
§
1. Двойной интеграл, его вычисление днукратиым
интегрированием
Ж2
$ 2. Двойной интеграл в полярчых Учоорхннатах . . . . 2.71
§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла 274
§ 4. Вычисление объема тела
277
_. 4 —
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции . . . . 281
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным
интегрированием
286
§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 293
§ 8, Криволинейные интегралы, их вычисление и усло­
вие независимости от линии интегрирования . . . 301
§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных
интегралов
307
§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311
§ 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведе­
нием к двойным интегралам
313
§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных
интегралов
322
Г л а в а VIII. Элементы теории поля
328
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Гра­
диент
328
§ 2, Векторное поле. Поток и дивергенция поля . • . . 333
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля
33$
Г л а в а IX. Ряды
342
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необ­
ходимый признак сходимости ряда. Достаточные
признаки сходимости рядов с положительными чле­
нами
342
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопере­
менного ряда. Признак сходимости знакочередую­
щегося ряда
347
§ 3. Функциональные ряды
350
§ 4. Ряды Тейлора
354
§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов
к приближенным вычислениям
358
§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 3G5
§ 7. Ряды Фурье
369
§ 8. Интеграл Фурье
382
Г л а в а X. Дифференциальные уравнения
386
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий **"и частные интегралы
386
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . 389
§ 3. Однородные уравнения первого порядка
391
§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения
Бернулли
393
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
395
§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие пони­
жение порядка
397
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами
400
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших ,порядков с постоянными коэффициентами
403
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений
разных типов
411
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411
§ П. Метод Эйлера приближенного интегрирования урав­
нений первого порядка
42i
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов. . . 427
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений. , 431
§ 14. Уравнения математической физики
435
Ответы
443
—5—
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Руководство» предназначено для студентов высших техничес­
ких учебных заведении и особенно для тех, кто самостоятельно,
без повседневной квалифицированной помощи преподавателя,
изучает математический анализ и желает приобрести необходи­
мые навыки в решении задач.
В начале каждого раздела помещены определения, теоремы,
формулы и другие краткие сведения по теории и методические
указания, необходимые для решения последующих задач; затем
приводятся подробные примерные решения типичных задач
с краткими пояснениями теоретических положений; в конце
каждого раздела содержится достаточное количество методически
подобранных задач для самостоятельного решения с ответами
к ним и необходимыми разъяснениями.
Содержание этого пособия соответствует программе по мате­
матическому анализу для машиностроительных, приборострои­
тельных, механических, энергетических и строительных специ­
альностей. Это пособие вполне пригодно также и для студентов
технологических специальностей, которые могут опустить те
разделы и ?адачи, которые не входят в их программу по курсу
математического анализа.
Задачи, отмеченные звездочкой, не входят в обязательным
минимум, необходимый для усвоения курса. Они предназначены
для студентов, желающих глубже изучить предмет, но не пре­
вышают требований программы
Автор просит извинить недостаточно подробное разъяснение
некоторых вопросов и надеется, что будет иметь возможность
устранить этот недостаток в следующем издании.
ГЛАВА
I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Предметом математического анализа является изучение пере­
менных величин и зависимостей между ними.
Понятия о функции и о пределе переменной величины состав­
ляют основу математического анализа.
§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение
Интервалом от а до b называется совокупность всех чисел х,
удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
1) а^х^Ь\
2) а<х<Ь\
3) a^x<b\
4) а < Ж & .
Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается
[ау Ь\\ открытый интервал 2 обозначается (а, Ь)\ полуоткрытые
интервалы 3 и 4 обозначаются соответственно [а, Ь) и (а, Ь\.
Переменной называется величина, принимающая различные
числовые значения.
Областью изменения переменной называется совокупность всех
принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного
или нескольких интервалов и из отдельных точек.
Взаимосвязанное изменение переменных называется функцио­
нальной зависимостью.
При изучении функциональной зависимости между двумя
переменными полагают, что одна из них является независимой
переменной, которой можно придавать произвольные значения
из области ее изменения, а другая— зависимой от нее. Незави­
симая переменная называется аргументом, а зависимая —
функцией.
Н. И. Л о б а ч е в с к о м у принадлежит следующее определе­
ние понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х, из области ее изменения,
соответствует определенное значение у.
Для сокращения записей употребляется символическое обоз­
начение функции: y = f(x), 5 = ф(/), u = F(v),.„
Если функция от х обозначена символом Р (х), то Р (а) обоз­
начает частнсе значение этой функции при х = а.
— 7—
Т л к, ее л и Р (х) •=- х- 4 • 2х — 5, то
р(3) = 32 + 2- 3 — 5 = 10; Р ( 0 ) = — 5 ; Р (л) - а 2 4 - 2 а - 5 .
Основными элементарными функциями называются: ^степен­
ная функция у = хп\ 2) показательная функция у = аху а > 0 ;
3) логарифмическая функция w^=logax, а > 0 ; 4) тригонометриче­
ские функции г/ = sin x, */-^=cosx, y=\gx,
y = ctgx, t/ = secx,
у ~- cosec x; 5) обратные тригонометрические функции у = arc sin x,
г/-^ arc cos x, j/ = arctgx, */ = arcctgx.
Функции, заданные одной формулой посредством конечного
числа арифметических действий и операций, определяемых
основными элементарными функциями, называются э л е м е н ­
т а р н ы м и . Например:
y = 5x*sm2x;
y^[gl±^l.
Все остальные функции называются н е э л е м е н т а р н ы м н .
Например, неэлементарной является функция, определяемая
несколькими различными формулами для различных интервалов
изменения аргумента:
( х3 при х^О
у =
\ х + 2 при х > 0 .
Функция /(х), обладающая свойством /(х) = /( —х), назы­
вается четной, например х2, cosx, а обладающая свойством
[(х) -•='"•/(""*)» называется нечетной, например х : \ sinx. Многие
функции не являются ни четными, ни нечетными, например
а'х, Vx.
1. Определить и построить на числовой оси области измене­
ния переменных х, t и а, заданные следующими неравенствами:
1) х 2 ^ 4 ; 2) \t — 2 | > 3 ; 3) — 9 < 1 — 2 а < 5 .
Р е ш е н и е . 1) Извлекая квадратный корень из обеих частей
первого неравенства, получим | х | ^ 2 . Отсюда следует, что
— 2 < ; х ^ 2. Эти неравенства и определяют собой область измене­
ния переменной х, т. е. совокупность принимаемых ею числовых
значений. Она представляет закрытый интервал или отрезок
[—2; 2]. Построим этот отрезок на числовой оси Ох (черт. 1);
он будет симметричен относительно начальной точки х = 0.
Черт. I
Черг. 2
—8—
2) Избавляясь от знака абсолютной величины в неравенстве, со­
держащем t, получим два неравенства: / — 2 < —3 и / — 2 > 3 .
Разрешая их относительно t, найдем t <.— 1 и / > 5 . Следова­
тельно, область изменения переменной t (черт. 2) состоит из
двух бесконечных открытых интервалов { — оо\ — 1) и (5; +оо).
3) Решаем неравенства, содержащие а. Вычитая из всех
частей неравенств по единице и затем деля их на —2, получим
— 10 ^ — 2а < 4,
— 2 < ос ^ 5.
Следовательно, область изменения переменной а (черт. 3) представ­
ляет полуоткрытый интервал ( — 2; 5).
2. Вычислить частное значение _ _ ^ и в и ^ _ И В Ш И 1 И и Л _ _ ^
Функции:
-j> Q
^
Г
а) п р и * = 0; б) при х = а+\;
Черт
'
d
2) <p(;t)=--2arcsinx + arc tg2x при * = — у ;
3) у = *2 arc cos у — Зх arc ctg х при * = — 1 .
Р е ш е н и е . 1а) Подставляя значение х = 09 получим соот­
ветствующее частное значение функции f(x):
f (0) = ]/02 - 5 - 0 -1-4 = / 4 = 2.
Здесь взято арифметическое значение корня, а не + 2 .
Вообще в математическом анализе рассматриваются только
однозначные функции, которые могут иметь только одно значе­
ние при каждом значении аргумента.
16) При дг = а + 1 частное значение функции f(x) будет
/(a
+
l ) - K ( a + l) 2 -5(fl + l) + 4 = l / a 2 - 3 a .
2) Частное значение функции ф(х) при х= —-о'-
^(-т)=2агс^1П(-1)+агс18(^1)^2(-т) +
Здесь учтено, что arc sin x и arctgx — однозначные функции,
изменяющиеся между —-^- и -^ . При х > 0 их значения бе­
рутся в первой четверти, а при x<z0 — в четвертой.
* — у <a:csiiuc<y ; — у < лгс tg x < у .
— S
-
Z) При х=— 1 частное значение функции у будет
y(-l)=(-l)2arcco.s(—3)-3(-l)arcctg(-l) =
п
z.
=
:
3
.
ТТ _ |
л
(\
J
ГГ
' ч
\ Г.
». J
ТТ
12 '
так как arc cos л: и arcctg.v — однозначные функции, изменяю­
щиеся от 0 до л*. При л > 0 их значения берутся в первой
четверти, а при , * < 0 — во второй.
3. Найти корни >:х и х« функции F (л;) = л:2 4-10.* 4-9 И ВЫЧИС­
ЛИТЬ ее частные значения при .*, равном среднему арифмети­
ческому и среднему геометрическому этих корней.
Р е ш е н не. Корнями функции на'&шютс?. зныкн\1.я чр?.\)мента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции F (х), приравняв ее нулю:
л:2-г 10.* + 9 = 0, откуда ^ = — 9 , д \ = — L
Среднее арифметическое корней х1 к х„ равно их полусумме
~Чг— =—ту—г= —о, а среднее неметрическое —квадратному
корню нз их произведения )•' лг*2 = [ ij = 3. Искомые частные
значения функции Fix) будут:
f (—5) = ( - 5)2 + 10 ( - 5) «:•• 9 - - 16;
F (3) = 32 4 - 1 0 . 3 - г 9 - 4 8 .
4. Дана функция
P[j)
Р (х) = х2 — 2х-\~
.
Показать,
что
= P(x).
Р е ш е н и е . Найдем Pi — ) , подставляя — вместо х в данное
аналитическое выражение функции Р (х),
[ X)
Л
Следовательно, р (— \ =,Р (х) при любом значении х. На­
пример,
Р Ш
= Я ( 2 ) = - | ; Р ( - 1 ( ) ) - Р ( - 0 , 1)= 120,21.
0 <~~ ;KI- tub л а£ л; 0 < £1 с U;.; x < л.
— 10 —
5. Определить, какая из данных функций является четной,
нечетной или не четной и не нечетной:
VfM=W2i'
2) V (*) = 4 - 2 * * + sin«*;
3) и(х)=х* + 2х-1;
4) </(*)-,
Лх .
1—а*
Р е ш е н и е . Чтобы определить, будет ли некоторая функция
Q(x) четной или нечетной, необходимо найти Q(—л;).
Заменяя х через —xt получим:
( — X)*
! ) / ( - * ) = " sin 2 (—х)
Х*_
—sin2x
sin2x'
т. е. / ( — х)= — f(x), значит, функция f(x) нечетная;
2) <р(— х) = 4 — 2(— *) 4 + sin 2 (— x) = 4 — 2^4 + sin 2 x,
т. е. ф(—л;) = ф(^), следовательно, функция <р(х) четная;
3) и( — *) = ( — *) 3 + 2( — *) — 1 = — * 3 — 2л:— 1,
здесь и(— х)^=и (л:) и и(—х)^
— и(х), поэтому функция и(х)
не четная и не нечетная;
(числитель и знаменатель первой дроби умножены на акх), т. е.
#(— х)= — у (Л), следовательно, функция у(х) нечетная.
6. Построить на числовой оси области изменения переменных,
заданные следующими неравенствами:
1) | ж | < 4 ; 2) ( у - 1 ) 2 г * 9 ;
3)-3<z+l<4;
4)2|х|+3>5.
2
7. /(Л:) = Л: + 3 * - 1 ; вычислить: /(0), /(2), f( —1), f(a + l),
f(a)+l,
f(a>), [f(a))'.
8- *<*)-£$;
найти f
<°)- F(2)> F ( l ) '
F
{i)> FF)'
F(6)-F(1) + 7 F ( - 1 ) .
9. Ф (/) = /»: найти: 1)Ф <»>-*<а>;
2)
Ф(£±*)=Ф(£=*).
10. f(x) = x2, <p(x) = x3; показать, что f\(f>(2)] = ф \f(2)];
Ф[1+/(1)] = 2/|1+Ф(1)1.
11. Определить, какая из данных функций четная, нечетная
или не четная и не нечетная:
1)0 = 3*—2 Ух;
2) z = 5jtsin3x;
3)и = | / | - / 3 ;
4) v = | х | ctg 2 х\
5) ш = а 2 + |а + 2|;
6)л: = ^ ^ .
—// —
§ 24 Область определения (существования) функции
Областью определения функции называется совокупность всех
точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет
не вея числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, дли
функции t) = V х областью определения является полуоткрытым
интервал 0 <^.v < + °с; для функции ? = — т область опреде­
ления состоит из двух интервалов: —оо <сх < I п 1 < х <-+- оо,
Основные элементарные функции имеют следующие области
определения:
степенная функция у = х" с рациональным положительным показателем n=z~a п рн нечетном р определена на всей числовой
оси ~ с о <х<С-\- оо, а при четном В определена в интервале
0,..,:л'<+ос*;
показательная функция у~аху
а > 0 определена па всей
числовой оси;
логарифмическая функция y^log^x, а > 0 определена в Ни­
гер вале 0 < х < -|- оо;
тригонометрические функции у = sin A:, y — cosx определены
па всей числовой оси; y==tgx, y = secx определены на всей
числовой оси, исключая точки xk = (2k+ 1)V> k^Q,
± 1,
-)_-. 2, ...; у•-••••ctg v, у =••-cosee x определены на всей числовой оси,
исключая точки
xh^kn\
обратные
тригонометрические
функции
у ==arcsin.v,
/./ aire cos х определены на отрезке — 1 <; х ^ 1; у =- arc tg д\
// - arcctgx определены на всей числовой оси.
При нахождении области определения элементарной функ­
ции, заданной формулой y~f(x)9
нужно обращать внимание на
следующие элементы формулы:
1) на радикалы четной степени —функция будет определена
только для тех значений л\ при которых их подкоренные выра­
жения будут неотрицательны;
2) на знаменатели дробных выражений-—функция будет опре­
делена только для тех значений Л', при которых знаменатели
отличны от нуля;
3) на трансцендентные функции loga,tgy ,clgt\ sect1, cosec г»,
arc sin vy arc cos i\ которые определены не всюду, а только при
указанных выше значениях своего аргумента v.
Рели эти перечисленные элементы отсутствуют в формуле
// •/(*), то областью определения функции убудет вся число* При р~-1 показатель п будет целым чпсюм.
-
12 —
вая ось (исключая те случаи, когда область определения функ­
ции ограничивается специальными условиями задачи).
12. Найти область определения каждой из следующих
функции:
1) y = V\=i*
2) и = - ^ ^ + ^ 2 Г Г Г ;
3) u - a r c c o s ^ - ^ ;
4) Р = -£^\
5) q =
\og2(x2-9).
Р е ш е н и е . 1) Поскольку аргумент х содержится под ради­
калом четной степени, то функция у будет иметь вещественные
значения только при тех значениях JC, при которых подкорен­
ное выражение будет неотрицательно, т. е. 1— х2^0.
Решая
это неравенство, получим
x2^U
|*|<1; —1<*<1.
Следовательно, область определения функции у есть отрезок
[ - 1 ; П.
2) Здесь аргумент х содержится в знаменателе дроби. Поэтому
х не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель
в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв
знаменатель нулю, найдем эти значения х:
jc2 —5х + 6 ~ 0 ;
хг = 2\ х2 = 3.
Второе слагаемое в выражении функции и не накладывает
никаких ограничений на значения х, поскольку показатель
радикала нечетный. Следовательно, областью определения функ­
ции и является вся числовая ось, кроме точек х = 2 и х = 3.
3) Функция v будет определена только для тех значений х,
[
2х
для которых —1 ^ — ~ — ^ 1 . Решив эти неравенства, получим
4
2
2
Отрезок I—1; 2] и является областью определения функ­
ции V.
4) Найдем значения х, которые обращают знаменатель функ­
ции р в нуль: sinx = 0; xk = kn; k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
При этих значениях л: функция р не имеет никаких значений.
Областью определения функции р является вся числовая
ось, кроме точек xk.
5) Логарифмическая функция q определена только для поло­
жительных значений своего аргумента (логарифмируемого выра­
жения), поэтому х2 — 9;>0.
Решая это неравенство, получим | x | > 3 , откуда следует,
что — о о < х < —3 и 3 < х < + оо1 т. е. область определения
функции q состоит из двух бесконечных интервалов (—оо; —3)
и (3; + ос).
- /3 —
13. Найти области определения функции и построить их на
числовой оси:
1) *Н£=?"'
3) и= aVtJ
5) и = 4 - "
;
»
2)2 = VTf7-2/5=7;
4) г = УШ^.\
6) r = I g ( x —l)-harcsin—.
§ 3. Построение графика функции по точкам
Наглядное графическое изображение функциональной запи­
си мости между двумя переменными х и /у можно получить, рас­
сматривая значения ьтих переменных как координаты точек на
плоскости.
Графиком функции, заданной уравнением у = /(л:)> называется
совокупность всех точек плоскости, координаты которых удов­
летворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую
линию.
Построение графика аналитически заданной функции по
точкам выполняется в следующем порядке:
1) по данному аналитическому выражению функции состав­
ляется таблица соответствующих друг другу значений пере­
менных;
2) выбирается система координат с подходящими единицами
масштаба для каждой переменной.
Обычно применяется прямоугольная система координат
и одна общая единица масштаба для обеих координатных осей;
3) строятся точки, координатами которых являются соответ­
ствующие друг другу значения аргумента и функции, содержа­
щиеся в таблице;
4) полученные точки соединяются плавной линией.
Построенный этим способом график функции будет тем точ­
нее, чем больше значений переменных содержится в таблице,
чем больше точек будет нанесено на координатную плоскость.
Построение графика функции упрощается, если она является
четной, нечетной или периодической. График четной функции
симметричен относительно оси 0у\ график нечетной функции
симметричен относительно начала координат\ график периоди­
ческой функции получается путем повторения части ее гра­
фика, соответствующей одному периоду.
14. Построить графики функций:
1) у = х2— 2х— \ на отрезке [—2; 4|;
4х
2
) У = — ^ р т н а о т Р е з к е 1~~5; 5 | ;
3) у = 7х2— 1 0 0 / 1 +х2 на отрезке | . v | < 7 ;
— 14 —
4) r/ = Jt2 — 4[л: — 1 |Ч-1 на отрезке [—6; 5];
5) у = -ъ — 1 между точками пересечения с осью Ох.
Р е ш е н и е . 1) В условии задачи указано, что независимой
переменной х можно придавать только значения, заключенные
на отрезке [—2; 4]. Учитывая это, составим следующую таб­
лицу, беря для простоты только целые значения х и вычисляя
из данного уравнения соответствующие значения у:
х
у
—2
7
—1
2
0
—1
1
—2
2
—1
3
2
4
7
Введем прямоугольную систему координат, как показано на
черт. 4, с одинаковыми единицами масштаба, которые указаны
числовыми пометками на координатных осях.
Построим точки, откладывая содержащиеся в таблице зна­
чения аргумента х по оси абсцисс, а значения функции у по
оси ординат. Соединим полученные точки плавной кривой,
которая п будет графиком данной функции. Эта кривая назы­
вается параболой.
Вообще графиком всякой квадратной функции у = ах2 + Ьх-т~с
является парабола, ось симметрии которой параллельна оси Оу.
Ах
2) Функция у — X £—-т
— нечетная, так как для нее у (—х) =
-j- I
= —у(х). Для значений аргумента, отличающихся только по
знаку, значения нечетной функции будут также отличаться
только по знаку. Поэтому при составлении таблицы здесь доста­
точно вычислить из данного уравнения значения функции только
для положительных значений аргумента. Значения функции
для отрицательных значений аргумента получим путем простой
перемены знаков.
Выберем систему координат с одинаковыми масштабами на
координатных осях (черт. 5).
Построим точки для каждой пары числовых значений х и у,
которые содержатся в строках таблицы. Соединяя эти точки
—
15-
плавной кривой, получим график, симметричный относительно
начала координат.
3) Функция у = 7х2 — 100 ;/ 1 + х2
является четной, так как при пере­
мене знака у любого значения аргу­
мента значение этой функции не из­
меняется, у (—х)=у(х).
Поэтому
здесь при составлении таблицы до­
статочно вычислить значения функ­
ции только для положительных зна­
чений аргумента: значения функции
6
т 5"
16
±4
+ 17
±5
Т -.,-
1С)
Черт. 5
для отрицательных значений аргумента будут те же.
Составив таблицу, замечаем, что значения аргумента есть
числа 1-го порядка, тогда как
значения функции — числа 3-го
порядка . Поэтому для построе­
ния соответствующих точек
X
//
берем р а з н ы е м а с ш т а0
-100
±1
7—100 1^2^—134
±2
28-100 / 5 ^ — 1 9 5
.--3
GH— 1001/"Т5 =5=—253
/
i'l
112—100 1/17^—300
5
175—100К2Т>:^_ 335
:Ь6
252—100 У "37^—356 i
±
:!./
!:из—юо/5'о^—збч
- 16
X
l
'=7x -W0\ 1^x~2
4opi
f
бы а б с ц и с с и о р д и н а т ; они показаны числовыми помет­
ками на координатных осях* (черт. 6).
График данной четной функции симметричен относительно
оси ординат.
4) Составим таблицу значений функции у = х2 —4 | х — 1 | + 1
для значений аргумента xt заключенных на отрезке [—6; 5].
Затем строим точки и, соединяя их сплошной линией, полу­
1
X
У
чим искомый график (черт. 7).
1
Данная функция не является
Q
G
четной
или нечетной. Поэтому ее
1 график не симметричен ни относи­
2
тельно оси Оу, ни относительно
1 -5
начала координат.
—4
1
~~3
—2
-3
—6
7
—1
-6
0
-3
1
2
2
1
3
2
4
5
5
10
5) Абсциссы точек пересечения графика данной функции
с осью Ох найдем из данного уравнения, зная, что в этих точ­
ках ордината */ = 0. При */ = 0, 16—х2 = 0, откуда х = ± 4 .
Далее составляем таблицу значений данной четной функции на
отрезке [—4; 4] и строим ее график (черт. 8).
Когда х приближается к нулю слева или справа, значения
функции и ординаты ее графика неограниченно возрастают.
При х = 0 функция не имеет никакого числового значения, ее
график Лстоит из двух отдельных бесконечных ветвей.
#—in
*-ЛорйдКо^ числа | Л Ч ^ 1 называется число его цифр до запятой,
а порядиом\числа | N | < 1 называется число нулей после запятой до пер­
вой значащей- цифры, взятое со знаком минус.
— 77 —
15. Построить на одном чертеже графики функций f/ L =l 44- — х и z/2 =^ sin JC« Путем сложения ординат полученных линий
построить график функции у=1 -\- у л*+ sin v.
1
i
i "1
±0.5
63
±l
15
1 ±2
i
3
о
±4
P e ш е н и е. График всякой линейной функции есть прямая
линия. Поэтому для построения графика первой данной функ­
ции, которая является линейной, достаточно иметь две пары
соответствующих друг другу значений переменных, т. е. две точки.
Для построения графика второй данной функции берем зна­
чения х в радианах, а значения у2 из тригонометрических табл л л 2л 5л
6~ 3" У 3 6
7л
6
5л
1 4л 'Зл
2
3
| Ил
2л
6
А:
0 2
X
//1
1
У* 0 0,5 0,9 1 0,9 0,5 0 —0,5 —0,9 — 1 —0,9 —0.5 1 0
2
0
л
|
\
Черт. 9
— 18 —
к
и
—1
—2,1
0
0,5
1
—S), 9
2
— 1,5
-J
3,5
лиц. Учитываем также периодичность этой функции: построив
ее график на протяжении одного периода [0; 2л], затем повто­
ряем его. Алгебраически складывая ординаты точек линий ijv
и у2У имеющих одинаковые абсциссы х, получим искомый график
функции у = Уг+у2 (черт. 9).
16. Найти приближенные значения кор­
ней функции y = 0tSxz — 2л:2—0,2х + 0,5,
построив ее график на отрезке [—1;3].
Р е ш е н и е . Корни функции, т. е. зна­
чения аргумента, обращающие ее в нуль,
можно найти как абсциссы точек пересе­
чения графика функции с осью абсцисс, так
как в этих точках // = 0.
Составив таблицу числовых значений
переменных х я у, построим график данной
функции (черт. 10). Из чертежа находим
Черт. 10
искомые приближенные значения корней
функции: х^—0,4;
х2 « 0,5; xs « 2,6.
17. Построить по точкам на отрезке [—3; 3| графики сле­
дующих функций:
1) У-
хЗ—\2х
| 1—х
\
1 +V3x
4 ) У=
2)*/= 1-2*;
3)
y=\-\x*-\[t
при х^0
при х > 0 .
18. Найти области определения функций и построить их
графики:
1) y = 2Vx +
2) y = xV&—x2
V6-x;
3)* y = \fx*—l — ifl6—x2;
4)* y = AV\x\ — VX3.
19. Построить графики функций между точками пересечения
с осью Ох:
1) // =
3) у-
6JC
х2
— х2;
— 4х — 5
(х- 2)2
2) у = ±(х3 — 12x2 + 36x);
4)* у =
\х-2\-3.
20. Построить графики функций между точками пересечения
с осями Оу и Ох:
1) у = 2 — У2х- -8;
4)* у =
2)у =
-8
х_А,
10 —А;
при х<.5
1
14х — х' — 40 при х 3*5.
— 19 —
3)* у =
\х*-Ьх\;
§ 4. Построение графика функции путем сдвига
и деформации известного графика другой функции
Зная график какой-либо функции, можно построить графики
многих других более сложных функций чисто геометрическим
путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции y--=f(x), можно посредст­
вом, его сдвига или деформации построить графики для функ­
ций вида
|/ = /(дс-а), y = f(x) + b, y = Af(x)y
y = f(kx)9 y=Af[k(x-a)]
+ b.
График функции y = f(x — a) получается из исходного графика
путем сдвига его вдоль оси абсцисс на а масштабных единиц
этой оси, вправо при о > 0 и влево при а < 0 (черт. 11).
График функции y = f(x)-\-b получается из исходного графика
путем сдвига его вдоль оси ординат на Ь масштабных единиц
этой осп, вверх при Ь>0 и вниз
при Ь < 0 (черт. 11).
y=f(*-V
График функции y = Af(x) получается из исходного путем умноже­
ния ординат его точек на коэффи­
циент А. При этом, если | Л | > 1 ,
то ординаты всех точек исходного
графика увеличиваются по абсолют­
ной величине в | А | раз, если | А | < 1 ,
то они уменьшаются по абсолютной
величине в Л\-раз, если Л < 0 , то
Черт. 11
изменяются еще и их знаки. График
< 0 будет симметричен графику функ­
функции у--^ Af (x) при
ции у = \"А \f (x) относительно оси абсцисс (черт. 12).
График функции y = f(kx) получается из исходного графика
путем деления абсцисс его точек на коэффициент k. При этом,
если | £ | > 1 , то абсциссы всех точек исходного графика умень­
шаются по абсолютной величине в \k\ раз; если | k \ < 1, то они
У
у=гт
у-т
;
Л
^
^
£
-''у-гт
Черт. 12
Черт. 13
— 20 -
увеличиваются по абсолютной величине в т-j-r раз; если / г < 0 ,
то изменяются еще и их знаки. График функции */ = /(£*)» П Р И
/ г < 0 , симметричен графику функции y = f(\k\x) относительно
оси ординат (черт. 13).
Выполняя указанные сдвиги и деформации графика функции
у^--\(х) в последовательном порядке, одно вслед за другим,
можно строить графики и для функций более сложного вида:
y=Af[k(x-a)]
+ b.
(1)
x
на
21. Построить по точкам график функции y = Y
отрезке
[0; 9] и затем, исходя из этого графика, путем последовательных
деформаций его и сдвигов, построить график функции у =
= 2V— 3 ( * + l , 5 ) - l , 2 .
Р е ш е н и е . Составим таблицу соответственных значений
переменных хну
для функции y = Yx и построим ее график
(черт. 14).
X
У
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1,0
1,4
1.7
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
9
3,0
Черт. 14
Обозначим функцию У и символом f(u). Тогда данная функ­
ция преобразуется к виду
y = 2f[— 3 ( х + 1 , 5 ) ] - 1 , 2 .
Сопоставляя ее с выражением (1), находим следующие зна­
чения параметров: А = 2; k = — 3; а = —1,5; Ь==—1,2.
— 21 —
Далее, согласно общим указаниям, строим искомый график
следующим путем:
__
увеличивая в 2 раза ординаты точек графика функции у = J/ Л
и сохраняя неизменными их абсциссы, строим график функции
У = ?Ух\
уменьшая в 3 раза абсциссы точек графика функции // = 2 \гх
и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции
У = 2/Зх;
_
меняя знаки у абсцисс точек графика функции у = 2\гЪх
и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции
j/ = 2j/*—Зл: (графики функций у = 2УЗх и // = 2 У—Зл' симме­
тричны относительно оси ординат);
перенося точки графика функции у = 2 У—ЗА* в направлении
оси абсцисс на 1,5 единицы масштаба этой оси влево, строим
график функции j / = 2 | / " — 3 ( ^ + 1 , 5 ) ; перенося точки графика
функции y = lY—3 (Л + 1,5) в направлении оси ординат на 1,2
единицы масштаба этой оси вниз, строим искомый график функ­
ции // = 2 1 / — 3 0 + 1,5) — 1,2.
22. Исходя из графика функции f/ = sin*, путем его дефор­
маций и сдвигов построить график функции у =— 3sin(2.v' + 8).
Р е ш е н и е . Заменяя в выражении (1) символ произвольной
функции f символом тригонометрической функции sin, получим
у —A sin k(x — a) + b.
(2)
Преобразуем данную функцию:
у = — 3 sin (2х + 8) = — 3 sin 2 (х + 4)
и, сопоставляя ее с выражением (2), определим следующие зна­
чения параметров: А= — 3; к = 2; а = — 4; 6 = 0.
Построение искомоy=-3sin2x
го графика выполняем,
M=-3sin2(x+4j
руководствуясь общими
указаниями:
увеличивая в 3 раза
ординаты точек графи­
ка функции
у = sin х
по абсолютной величи­
не, меняя их знаки и
сохраняя неизменными
y=-3smx
абсциссы, строим гра­
фик
функции
у—
Черт. 15
= — 3 s i n x (черт. 15);
— 22 —
уменьшая в 2 раза абсциссы точек графика функции у =
= —3 sinx и сохраняя неизменными их ординаты, строим график
функции у =— 3 sin 2х\
перенося точки графика функции у = — 3 sin 2х в направлении
оси абсцисс на 4 единицы масштаба этой оси влево, строим
искомый график функции у = — 3sin2(x + 4).
Пользуясь периодичностью данной функции, полученный
график можно продолжить в обе стороны.
23. Построить по точкам на отрезке [— 4; 4] график функции
у = х2 и затем путем его деформаций и сдвигов построить (на
отдельных чертежах) графики следующих функций:
\)у = 2х*-5; 2)у = 3 ~ ;
3) у = 1 ( * - 2 ) * - I.
24. Исходя из графика функции у = ]/х (черт. 14), путем его
деформаций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики
следующих функций:
1) y=\+V2i;
2) */ = 31^=2^-2;
3) */ = 2-3]/Т+~5;
4)* f/ = i | / 2 ^ 6 - 5 .
25. Зная график функции у = sinx (черт. 9), путем его дефор­
маций и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики
следующих функций:
1) y = 2sm(x+l);
2) у = 1 + 3 sin 2r,
3) у = — 2 sin 3(х— 1); 4)* у = 2 — s i n ^ .
26. Зная график функции y = cosjt*, путем его деформаций
и сдвигов построить (на отдельных чертежах) графики функций:
1)
у =
1— i-cosx;
3) у = — 4cos(2л:+ 3);
2) */-2,3 + 4cos(l,4 — A);
4)* */ = 4,2-3cos ~ ^ .
§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество.
Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Предел функции
Переменная величина определяется не только множеством тех
числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком,
в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математи­
ческом анализе переменная рассматризается как множество
чисел, расположенных в известной последовательности, т. е. кап
упорядоченное числовое множество.
* Его можно взять из учебника.
— 23 —
Простейшим частным случаем переменной является такал
величина v, последовательные значения которой могут быть
перенумерованы: и,, v±J v2, . . . , vn, . . .
Такое простейшего вида упорядоченное числовое множество
называется числовой последовательностью.
I. Число а называется пределом переменной х, если абсолютное значение их разности а — х для всех значений х, следующих
за некоторым значением х 0 , будет меньше любого заранее дан­
ного положительного числа г, как бы мало оно ни было,
II. Переменная а называется бесконечно малой, если все ее
значения, следующие за некоторым значением а 0 , по абсолют­
ному значению будут меньше любого заранее данного положи­
тельного числа е, как бы мало оно ни было.
I I I . Переменная г называется бесконечно большой, если все ее
значения, следующие за некоторым значением z0, по абсолютному
значению будут больше любого заранее данного положительного
числа N, как бы велико оно ни было.
Если число а есть предел переменной х, то говорят, что х
стремится к а и пишут: \т\х — а% или х—> а.
Бесконечно большая величина z не имеет предела, однако
для сокращения речи и записей условно говорят, что 2 стремится
к бесконечности, или предел z равен бесконечности, и пишут
г—г оо, или limz — oo.
Говорят и пишут также, что z - + + oo, l i ! n z = + ° ° , или
z--» — oo, limz = — оо, если все значения бесконечно большой ;?,
следующие за некоторым значением z0l сохраняют положительный
или отрицательный знак.
Из определений предела переменной, бесконечно малой и
бесконечно большой величин следует:
1) предел бесконечно малой равен нулю (т. е. если а беско­
нечно м а л а я , т о Нш а •-=-•-• О, и л и a—*-0);
2) разность между переменной и ее пределом есть величина
бесконечно малая (т. е. если \imx = ay то х — а — а)\
3) величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно
малая
(т. е. если z— >оо, то
4) величина,
обратная
-0];
бесконечно
большая (т. е, если ос-—0, то
малой,
есть
бесконечно
~ оо).
Если f(х)—*Ь, когда х—+а не совпадая с а, то число Ъ на­
зывается пределом функции f (х) в точке а.
Предел функции можно определить иначе, не ссылаясь на
определение предела переменной: Число Ь называется пределом
функции f(х) при х—+а (в точке а), если для каждого числи
;••>() можно найти такое число б > 0 , что |/(х) — Ь\ будет
меньше г, когда \х — а\, при хфау меньше 6,
-•- 24 •-
Если число Ь есть предел функции f (х) при х, стремящемся
к д, то пишут:
lim f(x) = b, когда х стремится к а произвольным способом;
х^а
lim f(x) = by когда х стремится к а слева, оставаясь меньше а\
х-у-а-о
lim / (х) = Ь, когда х стремится к а справа, оставаясь больше а *.
х-+а + о
При этом, если существует предел функции, когда х—>а
произвольным способом, то существуют и будут с ним одинаковы
односторонние пределы функции, когда х—>а только слева или
только справа, т. е.
если lim f(x) = b, то Hm f(x)= lim f(x) = b.
x->a
х-ьа-о
x^a + o
Если же односторонние пределы различны или хотя бы один
из них не существует, то не существует и предел функции при
х—>а произвольным способом, т. е.
если \imf(x)=j^ lim f(x), то hmf(x) не существует.
х~*а-о
х-+а + о
х-+а
27. Полагая п = 0> 1, 2, 3, . . . , составить таблицу значений
переменных
х = 1 + 0 , Г ; у = — 0,1"", 2 = (— ОЛГ, и = (—1)п + 0.1"
и определить характер их изменения при неограниченном уве­
личении я, т. е. ири п—* + оо.
Р е ш е н и е . Вычисляя значения заданных переменных при
указанных значениях пу получим следующую таблицу:
п
0;
1;
2;
X
2;
1,1;
1,01;
—10;
— 100; —1000;
У — 1;
2
1;
-0,1;
и
2;
—0,9;
0,01;
1,01;
3;
1,001;
-0,001;
—0,999;
4;
5;
. .; п -> + оо
1,0001;
1,00001;
. ..; х— 1+0
— 10000;
—100000;
0,0001
—0,00001;
0,0001;
—0,99999;
. ..;
у -+—00
...;
2^0
Из рассмотрения этой таблицы можно заключить:
1) С увеличением п последовательные значения переменной х
приближаются к единице так, что при достаточно большом п
* Если tf = 0, то вместо 0 + 0 (0—0) пишут просто + 0 (—0).
— 25 —
абсолютное значение их разности \х— 1| будет меньше любого
заранее данного положительного числа е, как бы мало оно
ни было.
Это же можно и доказать. Пусть задние число с ;> 0. Полагая
|л'— 1 | = 0 , 1 " < е , находим, логарифмируя обе части неравенства,
/ i > l g —, т. е. |л-—1| будет меньше е, как только п станет
больше lg —. Следовательно, согласно определению I переменная
л имеет предел, равный единице, \\\пх=^1, к которому она стреП -г 4- J.
мится справа, оставаясь больше его, т. е. м о н о т о н н о
(неизменно) убывая.
2) Последовательные значения переменной и с увеличением п
неограниченно убывают так, что при достаточно большом п они
по абсолютному значению будут больше любого заданного поло­
жительного числа Л/, как бы велико оно пи было. Докажем это.
Пусть задано число / V > 0 . Полагая |.;./1 = 0,1 ~ и > N, находим,
логарифмируя обе части неравенства, /z>!g:V, т. е. \и\ будет
больше N, как только п станет больше Ig.V. Следовательно,
согласно определению III, переменная у есть бесконечно большая
величина: lim // = — оо.
3) С увеличением п последовательные значения переменной z
приближаются к нулю так, что при достаточно большом п они
по абсолютному значению будут меньше любого заданного по­
ложительного числа Е, как бы мало оно ни было. Докажем это.
Пусть задано число t-;>0. Полагая | z| = 0,1" <с е, находим,
логарифмируя обе части неравенства, n>\g~,
т. e. jzj будет
меньше е, как только п станет больше lg —. Следовательно,
согласно определению II переменная г есть бесконечно малая
величина: lim 2 = 0. Она стремится к своему пределу— нулю,
п ->• + оо
к о л е б л я с ь около него, т. е. не м о н о т о н н о .
4) Последовательные значения переменной и с увеличением п
не приближаются ни к какому определенному числу- Поэтому
переменная и не имеет предела. Она не является и бесконечно
большой, так как ее значения не растут безгранично вместе с п.
Переменная а —ограниченная величина.
О,
если 0 < а < 1
28. Доказать, что Пгаа"^<
оо,
если а > 1.
/1-*4- со
'
Р е ш е н и е . 1) Пусть постоянная а есть правильная поло­
жительная дробь 0 < а < 1 . Тогда с увеличением п переменная
f(n)--=an будет монотонно убывать, т. е. каждое следующее ее
значение будет меньше предыдущего. Докажем, что, начиная
с определенного значения п = п0 и для всех последующих зпа— 26 —
чений n>nQ, значения функции а" будут меньше любого задан­
ного положительного числа г.
Полагая а*л<Се, найдем искомое значение л 0 . Логарифмируя
обе части неравенства, получим n 0 l g a < l g e , откуда найдем
nQ> у— (знак неравенства изменился, так как при 0 < я < С 1
lga<0).
Следовательно, значение функции ап при n = nQ и все после­
дующие ее значения при п>п0 будут меньше е, как бы мало
оно ни было, т. е. доказано, что приО<Ся<1 и при п—*+оо
функция ап является бесконечно малой величиной, т. е. lim an = 0.
2) Пусть а > 1. Тогда с увеличением п переменная ап будет
монотонно возрастать. Докажем, что, начиная с определенного
значения п = п0 и для всех последующих значений п>п0, зна­
чения функции ап будут больше любого заданного положитель­
ного числа N.
Полагая an«>N, найдем
rc0>j|—.
Следовательно, для всех значений п^п0 значения функции
ап будут больше N, как бы велико оно ни
было, т. е. доказано, что
при а > 1 и при п—* + оо функция ап является положительной
бесконечно большой величиной, т. е. lim а" = +оо.
п-++ со
29. Доказать, что:
1) l i m ? £ + i
Х-+СВ
J X
Решение.
*
°
2) l i m ( 2 * + l ) = 7.
К-+3
2х 4- 3
1) Составим разность—^
2
1
-j ==— . При х —»-оо
эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная
*
2л:+ 3
бесконечно большой. А если переменная —^— отличается от
2
постоянной -тг на величину бесконечно малую, то постоянная
„ ~
,- 2л:+ 3 2
является пределом переменной. Следовательно, п т -» =-»-.
2) Положим х = 3 + а и составим разность: (2х+1) — 7 =
= [2(3 + ot)+1]—7 = 2а. При JC —*- 3 переменная а —• О и раз­
ность между функцией 2х + 1 и числом 7, т. е. 2а, будет беско­
нечно малой. Из этого следует, что lim (2х-\- \) = 7.
Х-*3
5
30. Найти пределы функции у = к^Г:
') ПРИ * ^ 2 —0 н
2) при х—•2 + 0. Пояснить решение таблицами.
Р е ш е н и е . 1) Если х будет стремиться к 2 слева, оставаясь
меньше 2, то 2-х
будет положительная бесконечно малая,
— 27 —
a 5z:~ будет положительная бесконечно большая, т. е. если
х —> 2 — 0, то (2 —>:) —• + 0, а ^
> + со, пли Пш ^-- ------ -+- со .
Указанное поведение переменных х, 2-х
следующей таблицей:
н ^"zr поясняется
х
I;
1,9;
1,99;
1.999;
1,9991);
1,99999;
1,999999;
2—х
I;
0,1;
0,01;
0,001;
0,0001;
0,00001;
0,000001;
...
5
2~х
5;
50;
500;
5000;
50000;
3)0000;
5000000;
...
5
2) Если
л; —• 2 + 0,
то (2 — .v)--- — 0 , a -^zri""* ~~ °° •
или
1 ~2 - = — со.
+
о ~*
Таблица соответствующих значений неременных х, 2—г и
5
;— наглядно показывает их поведение:
2,1;
1-х
2,01;
2,001;
2,0001;
! —1; —0,1; —0,01; —0,001; —0,0001;
—5;
-50;
—500;
—5000;
2,00001;
2,000001;
-0,00001; —0,000001;
—50000:. —500000; —5000000; . . .
5
График функции у = -^—^ изображен на черт, 16.
31. Найти пределы функции у=2х
при х, стремящемся
к нулю: I) слева, 2) справа и 3) произвольным способом.
Р е ш е н и е . 1) Если переменная х Судет стремиться к нулю
слева, оставаясь отрицательной, т. е. если х будет отрицатель­
ной бесконечно малой, то — будет отрицательной бесконечно
1
х
большой и lim 2 - Пш (~9-) ' = ( —j
решения задачи 28 (1).
— 28 —
= 0 , что еяедует
из
• + оо и lim 2 х == 2 + со = + оо.
2) Если х —» + 0, то
*
X - • -г О
3) Если х будет стремиться к нулю произвольным способом,
не оставаясь с одной стороны от него (например, как г в за­
даче 27), то — будет стремиться к бесконечности, принимая
значения разных знаков. Вследствие этого при х—*0 функция
1
2х не имеет предела, не будучи при этом и бесконечно большой величиной Jim 2 х =2*—не существует.
График функции у=2х
показан на черт. 17.
\0
Черт. 16
Черт. 17
32. Найти пределы функции */ = arctg — :
2) при х—*-ь0
1
• — оо, a arctg — —•—-^ »
п
т. е. lim arc tg — = arc tg (— oo) = — 2
2) Если
I) при *—•—0;
и 3) при JC—>0.
Р е ш е н и е . 1) Если *—• —0, то
X-+ - 0
1
X
х—- + 0,
то
*
>-\<эо, a arctg —
2 '
е.
lim arctg--==arctg(-foo) = i ,
3) Если х—-+ 0, то
+ оо, a arctg — не стремится ни к какому
значению, т. е. lim arctg — = arctg оо не существует.
*-• о
х
График этой функции показан на черт. 18.
33. Полагая п = 1 , 2, 3, . . . , составить таблицу соответст­
вующих значений переменных: а г = 2л; а 2 = —2"; а 3 = (—2)";
а 4 = 2" л ; с*б =—2~"; ав = (—2)""" и определить характер их
изменения при п—• + °°.
34. Полагая /2=1, 2, 3, . . . , написать последовательности
;
значении переменных: х = —--; // = (—1) ——; z=
, '— ;
0 71 COS П71
и=
,,
„
д ^ — ; у= 2
п+3
.
/Ш
s i n — и определить, у какой из этих пере-
менпых существует предел
при п—• 4- оо и чему он ра­
вен.
35. Доказать, что:
1) lim (Зх — 2 ) = 1;
2) "inn (;;2H-3) = 7;
3) АШп ( л 2 - З х ) - 0 ;
1) lim
Черт. 18
,.
= —;
*-«
5) lim t ^ + 4
К
36.
1) lim л- Ц ;
х->з-о
4)
-*•
С
Найти следующие пределы:
lim
°
2)
lim
—Ц-;
х->з+о
З7*"1"; 5)
*
lim
°
3) lim
х
'
х^»з
З 7 7 7 ; 6)
J
lim 3 ~ + т .
Пояснить решение таблицами.
37. Отрезок АВ длины / разделен нал равных частей (черт. 19)
и на каждой из них, кроме крайних, построены правильные
треугольники. Как будет изменяться площадь Sn и периметр Рп
полученной зубчатой фигуры, когда п—^ + со?
лллллл
А
В
Черт. 19
§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах
I. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бес­
конечно малая.
II. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину
есть также бесконечно малая.
I I I . Предел постоянной равен самой постоянной.
IV. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме их
пределов'.
lim {и + v —'ju)= lim и + lini v — lim w.
— 30 —
V. Предел произведения конечного числа множителей
произведению их пределов:
\im(u vдо)= lim a • lim и-lim ш.
равен
VI. Предел частного равен частному пределов делимого
делителя, если предел делителя отличен от нуля:
..
a
lim и
,.
hm — = - р — ,
.
и
л
lira v =ф04
38. Найти пределы следующих функций:
1) /(х) = 2х—3—JL при х — 1 ;
* 3 - З А : 2 + 2*—5
0v
2)
^
=
.
при
F+2
*—'—
1 -
»
3) // = x s i n — при л:—^0.
Р е ш е н и е . Пользуясь указанными теоремами,
тельно находим:
1) lim (2х—3— - W l i m 2 - l i m x —ШпЗ-
последова­
lim 1
lim х
= 2-1 — 3 — | - = —2;
ov
'
fc
r» — 3 x * - h 2 s — 5 __ (lim A:)3 — 3 (lim x ) 2 - h 2 Km x—5 __
j.
*2 + 2
ЖЛ™1
(Iimx)2 + 2
"~
(—1)3—3 (—1)2 + 2 (—1) — 5 _ — 1 — 3 — 2 — 5 ^
(_i)2_f_2
~
3
11 .
3 *
3) при x—+0 аргумент
^oo, а множитель sin— будет
при этом колебаться между —1 и + 1 , не стремясь ни к какому
определенному числу, т. е. этот множитель не имеет предела, но
является величиной ограниченной, sin — < 1. Поэтому согласно
теореме II данная функция, представляющая произведение
бесконечно малой х на величину, ограниченную sin — , есть
бесконечно малая величина, а ее предел равен нулю:
lim л* sin — = 0.
х-* о
х
39. При п—>- + <х> найти пределы следующих функций:
1)7 s х v(n}) = -L + -L + J L + . .
п
' и
2)S 2 (n) = i-2 + A
' п
+
3
'
+
_
.+!LzL;
'
> i +
п
„-i
— 5/ —
'
Р е ш е н и е . Каждая из данных функций представляет сумму
п—\ членов арифметической прогрессии. Разность первой
1
.
1
„ 1
прогрессии —, второй — и третьей — .
Выполняя сложение и переходя к пределу, найдем:
-1 (
I)
l
-1
х
\п
п
lim Sl = — (limn- 1 ) - +оо.
2)
n 2 "*"
lim S2 =
T
- > + CO
^
„_]
lini 5.,
/7 - • +
x
/ 1
I1
~n
1/1
1
/г"a" ; ~ " 2
Я
lini /г
-1 N
|_ 11 111 /l
(lnii
a)2
= 0.
В этой задаче, при п—>+оо функции Si9 S2 и S3 являются
суммами бесконечно малых величин, число которых неограни­
ченно возрастает вместе с п. Полученные результаты показы­
вают, что Si есть величина бесконечно большая, S2 — величина,
стремящаяся к ^ , S 3 —величина бесконечно малая.
Следовательно, решение этой задачи показывает: если число
слагаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма
может оказаться любой величиной.
хп
40. Доказать, что lim — = 0 при любом значении х.*
п -*• + со
tl
'
Р е ш е н и е . Каково бы ни было значение х, всегда найдутся
такие два последовательных целых положительных числа k и
/<Ч-1, между которыми заключается \х\у т. е. / г < | Л'| < £ + 1 .
Исходя из этого, получим очевидное неравенство:
_
:
|тг
й+1
/г + 2
/г 4-3
•т<
Первый множитель A/f1= -т^Л1 не зависит от п и при любюм
данном значении
х является постоянным; второй множитель
х. |"- л '
^—-j
при п—*-\-оо будет величиной бесконечно малой,
ибо
*+1
< 1 . (См. решение задачи 28,)
*) л! (л—факториал) есть произведение
до п\ п\^ 1-2-3. . / г .
— 32
нсех натуральных 'ысел т I
Поэтому МХ-М,1У как произведение постоянной величины на
бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.
Вследствие этого функция —. также будет величиной бескоX
нечно малой, т. е. Нт — = 0 при любом значении х.
п-> + се
Найти следующие
пределы:
41.
lim (JC2 + 5JC + 6).
43. lim
(2x
42. Игл ^ ^ - •
~y)23~Si7 •
45- 1) Hm - J cgt - ;1
X- > - o l - 2
**
44. lim 5 sin
2) lira
' ^
+
"-;
ol~-2ctfi^
~^3) lim
x-ol-F***9
46. Как изменяются внутренний угол ап и апофема hn пра­
вильного многоугольника, когда число его сторон п неограни­
ченно возрастает?
§ 7. Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, определена она в пре­
дельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов
элементарных функций это обстоятельство имеет существенное
значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное зна­
чение аргумента принадлежит ее области определения, то вы­
числение предела функции сводится к простой подстановке
предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функ­
ции f(x) при х, стремящемся к значению а, которое входит
в область ее определения, равен частному значению функции при
х = а, т. е.
lim/(*) = /(а).
47. Найти предел функции:
1) f(x)=x* — 5*2 + 2л; + 4 при JC—- —3;
2) <р(/)--=/!/> —20 — \g(t + Vt2-20)
при / — 6.
Р е ш е н и е . Данная функция является элементарной, она
определена в предельной точке, поэтому находим предел функ­
ции как ее частное значение в предельной точке:
I) lim /(*) = / ( - 3 ) = ( - 3 ) * - 5 Ч ~ 3 ) 2 + 2 . ( - 3 ) + 4 - - 7 4 ;
2) limq)(0 = 9(6) = 6 l / 6 2 - 2 0 - l g ( 6 + ^ 6 2 - 2 0 ) = 23 e
2
№ 3201
— 33 —
Найти следующие пределы:
48. lim -J^Fr 4 •
49. lim ( J K S - 5 * + 1 + 3).
50. lim lg (2 + 2x + x2 — x3). 51. lim sin x sin 2x sin 3*.
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, ко­
торое не принадлежит области определения функции, то в каж­
дом таком случае нахождение предела функции требует специаль­
ного исследования.
В простейших из этих случаев можно найти предел функции
путем рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в ре­
шениях задач § 5 и 6.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов,
получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная а > 0 )
1. lim ах = со.
X
3.
-*•
2. lim — = оо.
* - * ее
СО
lim — = — оо.
Х-*-
- 0
4.
а
lim — = + оо
X
Х
= оо.
Б. lim —
х
6. lim - = 0.
х-+ о
Л:
'
-»• оо
*
о, если | а | < 1
7.
lim a* = . + 00, если а> 1
00
. если а < — 1*.
{ °' если | а \ > 1
8. lim а х = { +оо, если 0 < а < 1
оо, если —1 < а < ; 0 * .
( + оо, если а> 1
9. lim 1о£Лл; = ч
а
*-+«>
{ —оо, если 0 < а < 1 .
| — оо, если а> 1
10. lim log /7 x=< ,
*_*+n Sa
\ +oo, если 0 < а < 1 .
11. lim -—— = 1 (x есть радианная мера угла).
12. lim ( l + - V = l i m (1 + а)"5" = е ж 2,71828.
> -+ + со
Этими простейшими пределами можно пользоваться как фор­
мулами.
* При я < 0 переменная х может принимать только целочисленные зна­
чения; для всех значений х при а < 0 функция а* не определена.
— 34 —
Более сложные случаи нахождения предела функции: -^, — ,
О-оо, оо —оо, И рассматриваются далее каждый в отдельности.
I. Случай, когда при х—»а или х—• оо функция f(x) пред­
ставляет отношение двух бесконечно малых величин (случай j-) .
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно
важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахожде­
ние предела отношения бесконечно малого изменения функции
к бесконечно малому изменению аргумента является одним из
основных средств для изучения функций.
Найти следующие пределы:
52. 1) hm ^ ^
;
2) lim
4
3) i ™ , ^ + 2,3 + 3^ + 5 , - 2 •
Зх,_ш^5
;
) !™n J + O T •
Р е ш е н и е . Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя
найти непосредственной подстановкой, что при указанном изме­
нении аргумента она представляет отношение двух бесконечно
малых величин (случай -g-j ; затем делаем преобразования,
чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1) Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь
на лс — 2:
,.
JC — 2
.
х— 2
,.
.
1
hm -*а_4
5 — r = \\m-(x
sr = lim x + 2
+ 2)(*~-2)
t——яг-,
1
4'
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо.
Согласно определению предела функции аргумент х стремится
к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая.
Поэтому здесь х — 2Ф0.
Вообще, если ищется предел функции при х—>а, то необ­
ходимо помнить, что х не принимает значения а, т. е. что
х Фа и х — афО.
2) Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители,
как квадратные трехчлены, по формуле
ах2 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2),
где хх и jt2 —корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на х — 5:
tf
-"^-llm" =
J™ W-Ш-Ь
lim
^3 ( х
^'' (
ы1\\
^ -l i m Зл2 +
- 11 - 1 6
-»Ы)
-35 —
3) Сократим дробь, разделив на х~\-2 числитель и знамена­
тель в отдельности:
* 5 + 2х4 + л:2— Зх —10
Г
х4 + х — 5 _
,.
3
Вообще, если ищется предел дроби, числитель и знаменатель
которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке
х — а, то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без
остатка на х — а, т. е. такую дробь всегда можно сократить
на к—а.
4) Разложим числитель и знаменатель на множители и сокра­
тим дробь на 1 H-cos*:
..
sin2*
.
1—cos2*
3
hm
_> я г-:
1 + cosч—
x = nm (1 -j- cos x) (I — cos x 4- cos2 *)
,.
1—cos*
= 1101-!
2
;
=-=-0- •
1 —cos л' 4- cos2 x
53. 1) И т Ь И ;
оч 1-
3
2) lim
tg*
-4 ..
4
3) bm -— Л ГГТ-\— ;
~^ _ ;
1 — Yx
) ilm
' * - o 1 - K 1 + tg*'
2
TY=- •
^^i
1-}Л
Р е ш е н и е . Выяснив вначале, что при указанном изменении
аргумента данная функция представляет отношение двух беско­
нечно малых величин (случай —) , преобразуем затем дробь
так, чтобы сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
1) уничтожаем иррациональность в числителе путем умноже­
ния числителя и знаменателя на 1 + К * + 1» затем сокращаем
дробь на х:
' lim ' - ^ ^ g i i m 0 - ^ ^ ) ( I + j f ^ + i L =
= lim—
—X
..
: — — •--= lim
—1
r
I
= — -^ ;
2) умножаем числитель и знаменатель на произведение
и затем сокращаем дробь на 4 - х :
lim
2
-Д-
*-* 4 3—1^2^+1
= йт«~х)У
+ 1П5
^
(9—2*—1)(2 + V *)
= Hm
3
^ Щ =\ ;
2(2 4 - / д с )
3) умножаем числитель и знаменатель на 1 +Vl
ращаем дробь на tgx:
l, m
!L*
= l i m | g M i t ^ + tg.)
+tgx
=
4
и сок­
4) умножаем числитель и знаменатель на произведение
затем сокращаем дробь на 1—х\
\-уГ(i_*)(i + з / 7 + з / ] ? )
з
1+3/7+з/^з
lim WT7=^ = lim
^
= lim
- ^ — = -я-.
2
(1-JC)(1 + ^ )
1 + ^х
х^х\-ух
Иначе можно решить эту задачу путем замены переменной.
Полагая х=--/в, получим / - * 1, когда * - • 1 и
Л™!-^-
Д™1-/«
54. 1) l i m ^ ;
C0S
Пт
0-0(1+0
2) lim
**
Я*
9~
2
-
1 Ш
1+*
_
2 -
•
1
Р е ш е н и е . Устанавливаем, что данная функция не опреде­
лена в предельной точке, что при заданном изменении аргумента
она представляет отношение двух бесконечно малых величин
(случай -jj-J. После этого подвергаем функцию преобразованиям
с тем, чтобы использовать 1-й замечательный предел:
lim
1) l
= 1 (а—радианная мера угла).
i m
5!^
х -• о
2) Применяем
= 2sin2y:
х
= l i r a
3 ^ = 31ims-i^ = 3.1=3.
6х
тригонометрическую
lim I—cos*
, л~ =lim
X^Q
6Х
гх -+ о
формулу
1—COSJC^
*' - = 2[» lim —^r 1 = 2 . 1 = 2 .
3) Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел,
сделаем замену переменной: 1— x = t. Тогда при х-+\ будет
/-> 0 и
яде
/я
я Л
. я.
L
lim -;
= lim —-—-.
= lim — - — =
= тя ,.
2
~zr
= Tя
2
— 57 —
t
тя
*
4) Полагая arctg(jt + 2 ) ^ u ,
когда х-+— 2, и
4
получим
=
v_^0
55. lim lf^.
56. lim
57- ^lim-^-f-.
58.
y^-%W
lim
,.
63. lim
,.
x^O
fiQ*
lim
.
cos2
,
60. lim .
T^—r.
62.
я
1—* 2
=
+ o 2— |Лс + 4 "
p+ 1
lim
/>--i 1 - M + P + P2
64.
.
*
Sill ф — COS ф
lim
sin 2JC
,.
lim
2/a + 5 < _ ?
, T + s ?+ e 2 .m
+ W + *y
v2
urn
X — 0
67.
fe^.
lun
t
65.
У-•О,
l j m (tg^—2)^ —4 = U m ( t g a - 4 ) t g t ; _
v
о
.. ter v—4 ! sin v
. л
А
= lim —
lim
= — 4 • 1 = — 4.
cose/
v
lim a r c t g ( * + 2)
x^-2
61.
x-\-2 = tgv,
л
2
a
limfcQsin(x—a)*
.
66.
sin Зл:
-Г--Г-.
68.
JT •
*
S l n 4
lim
1
-^-',
*
^3 +
1
, _ _ , arcsinU+l)-
sin
70*. lim
'
x
*
^0 ^l+tg*—»0=tg^ '
II. Случай, когда при x^a или *-»оо функция f(x) пред­
ставляет отношение двух бесконечно больших величин (случай — ) .
Найти пределы:
71. 1) П т ^ = ^ ;
5) ] i m
У
-;
_ J L c t g ( ^ - * ч) '
2) lim - 7 4 = ;
6)<
я^.1'+2»
+ У + - + «'-
Р е ш е н и е . Убедившись, что имеет место случай — t подвер­
гаем функцию преобразованиям.
1) Деля числитель и знаменатель дроби на х2 (наивысшая
здесь степень х), находим
3-1
к
— 38 —
так как при х -> оо величины —^ и — являются бесконечно малыми. Эту задачу можно решить иначе, посредством замены
переменной. Полагая х =—, получим: а - > 0 , когда х-^оо и
3*2—1
г
-а12 - 1
Пт
+
а*
г
3-а 2
3
а
Вообще, предельный переход при х -+ оо всегда может быть
заменен предельным переходом при а - • О , гели за новую незави­
симую переменную принять величину, обратную первоначаль­
ной переменной, т. е. если положить а = —:.
2) Эту задачу можно решить теми же двумя способами, что
и предыдущую.
Деля числитель и знаменатель на я, получим
lim
r
"
= lim
— = —г = — 1,
г
П2
V
или, полагая я = — , найдем ос-+— 0 при п-+ — оо, и
J_
lim
= lim —
а
= lim—
= — 1.
Здесь появляется минус вследствие внесения под знак квадрат­
ного радикала (в первом решении) или вынесения за этот знак (во
втором решении) отрицательного делителя, ибо если а < 0 , то
aVb=
— Va*b
и V~tfb = — aVb .
Из этого решения следует, что при п^ + оо предел данной
функции будет равен единице, а при п -* оо предел этой функ­
ции не существует.
3) Умножая числитель и знаменатель дроби на 7~", получим
J l T . " з Ь * - = 1 Ш 1 3.7-^-1 в 0=Г = ~
так как lim 7-" = 7-°°=0.
49
>
я - > + оо
4) Здесь числитель дроби есть сумма п членов арифметической
прогрессии, а знаменатель есть сумма п+ 1 членов другой арифме­
тической прогрессии. Преобразуя их по известной формуле,
— 39 —
получим
is™
2 + 4 + 6+...+2*
(2/2 + 1)
„XT- ! + 3 + £>+... +
2 + 2л
n
l
= liml ^ f 1 = lim
lim
^±^(«+1)
l
i+n
5) Тождественно преобразуем дробь так, чтобы затем сокра­
тить ее на множитель, стремящийся к нулю:
sin2x sin f x
г- I
л п
lim — j *
r = lim
-.
^
x
cos 2* cos ( x—~-J
X-+JL ctgf —^)
Sln
. о
sin 2Л:
,-
= lim COS
—7
X
_(-T)
,.
-T)
г lim — cos 2x
i ,. S ' " ( * - T ) __,.
г- П
)
4-=lin-
,
-
S
'"(Tx
X
,
• 1 cos
)
—з
\ ~
JC
i
о
•
(*-*)
" • ( * - ) « - ( *
6)* Преобразуя знаменатель с помощью формулы для суммы
квадратов натурального ряда чисел:
1« + 2« + 3» + . . .
+
« а = " ( я Н "' ) 6 ( 2 я + ' ) ,
получим
hm ,,,а . ™
. о« .
:—у=1ип
+ 22 + ЗМ--..+п 2
я(я + 1)(2«+1)
/1";«1
= lim7
_Л
72.
74.
жИт
-з^Ь+г•
11т ^ 2 , + ' .
JC-> +
76.
6л-2 + 5х—1
,.
lim
— = 3-
ТТ7
п
_0
,-
1 — х —2 г
73. ^U,n - ^
^
75. lim i ± i ^ L = i
OD
JUT - V — CD
TftBJ..
,r.
77. hm
III. Случай, когда при х-+а или х-+оо функция f(x) пред­
ставляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно
большую (случай Ооо).
ЭТОТ случай нахождения предела функции приводится путем
преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев,
0
00
т. е. к случаю -^ или к случаю —.
— 40 ~
Найти пределы:
78.1)
lim ( 1 - х ) tg™;
2) lim (~х
3) lim xarcctg*;
) cosec (-J-я + Л
4) lira х (-?- + arc tgjc).
Р е ш е н и е . Установив, что при указанном изменении аргу­
мента функция представляет произведение бесконечно малой ве­
личины на бесконечно большую (случай 0 • оо), преобразуем ее к
виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стре­
мятся к нулю или к бесконечности.
( 1 — x)sin —
1) lirn (1 — JC) tg ^ = lim —
cosT
,.
ПХ
-.
1.
1 —X
= hm sin -тг
2 • lim
c o
=
nx
s _
.
|.
1 —X
= 1 -lim . / я
sm^
T
пх
-T
Alitn_ll!z!l_ = A.i = A.
It
. Я
Sill-^-(1-Х)
я
Я
Здесь можно было решать другим путем, заменив переменную.
Полагая 1 — х = а, получим
Hm (1 - х ) tg f = lirai a tg ( £ - f ) = lim a ctg f =
..
aC0S
па
T
= lim
..
яа
,.
a
-
-
2 ,.
яа
~~Y~
2
= hmcos— . lim —— = 1 • - l i m — — = —.
. яа
2
sin—
, яа
sin—
я
. яа
Sln_
я
2"
2) Полагая -^—x = t, получим
lim (~—x j cosec f-j-я + JC) = lim /cosec(n — t) = lim ^ 7 = I.
3) Полагая arcctgjc = a, имеем x = ctga и
lim xarcctgjt = lim a c t g a = iim — r -^ = limcosa-lim-r^L-= 1.
*-+«
б
o - +o
slna
— 4/ —
sina
4) Положим a r c t g * = z , тогда x = tge и
/
\
lim
mex(-5- + arctg*J=
/
\
(^- + 2 ) s i n 2
Нтя ( f +2) tgz = lim W c Q / 2
=
я
2
^-lim sin г* lim
= — 1 -lim—7r- = — 1-1 = — 1 cos 2
. /я >
Sm ( Y + 2
79. lim *ctg2*.
80. lim sin2*ctgjt.
X -->• Л
X -> О
81. lim n sin —.
П - > 00
82. Iim2 , 1 tg2^ n .
"
л -У + «>
IV. Случай, когда при х->а или х ^ о о функция f(x) пред­
ставляет разность двух положительных бесконечно больших
величин (случай со —со).
ЭТОТ случай нахождения предела функции можно привести
к случаю -^ или — путем преобразования функции к виду
дроби.
Найти пределы:
83. 1) lim ( * _ * ) ;
3)
2) lim (x-V*
+ bx);
lim (]/tg 2 oH sec ос —tg a); 4) lim (2cosec2x — ctg*).
Р е ш е н и е . Анализируя условие задачи, заключаем, что при
указанном поведении аргумента функция представляет разность
двух положительных бесконечно больших величин (случай со—со).
После этого преобразуем данную функцию к виду дроби,
числитель и знаменатель которой одновременно стремятся
к нулю или к бесконечности. Тем самым данный случай на.
0
оо
хождения предела функции оо — со сводится к случаю-^-или — .
1) Производим вычитание дробей и полученную в результате
дробь сокращаем на х—2:
j™
(^-^)-Пт^Л- lim х + 2
2) Рассматривая данную функцию как дробную, со знамена­
телем, равным единице, избавимся от иррациональности в
числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби
— 42 —
на х:
t.
—5х
= Urn —
,.
—5
: = lim
r
* + / * • +5*
—5
5
= -r—~r = — j r - .
r
+
l + ] / l + |-
3) Как и в предыдущей задаче, переводим иррациональность
в знаменатель, затем умножаем числитель и знаменатель дроби
на cos а:
a
lim
я
->
2
( K t g 2 a + seca — tg a) = lim
о
lim
sec a
=
r
=
У tg2a + seca+tga
1
1
1
У sin a-|-cos a-|-sin a
1+ '
^
2
4) Тождественно преобразуем данную функцию к виду дроби,
затем сокращаем дробь на sin x:
lim (2cosec2jc—ctg JC) = lim f - Д :
,.
2—2 cos 2 *
= lim x-=—;
sin 2 *
,.
= lim -
2sinjt,cos*
,.
S^)
.
=
Л
= lim tg x = 0.
sin* cos*
ь
84. lim (V2x2+l—Vxr¥i).
85. lim(Vx2
86. lim f - i - j + ' V
87. lim (tg*—sec*).
+2x—V^+^x).
V. Случай, когда при х-+а или *—•оо функция f(x) пред­
ставляет степень, основание которой стремится к единице,
а показатель—к бесконечности (случай 1да).
В этом случае для нахождения предела функции исполь­
зуется 2-й замечательный предел:
lim (l + I T = Hm ( 1 + a ) a = ^
Число е — иррациональное; е = 2,7182818... Логарифмы с
основанием е называются натуральными и обозначаются In.
Натуральные и десятичные логарифмы чисел связаны форму­
лами:
\gx = M\nxy
lnx = ^ - l g x ,
где M = \ge = 0,43429...,
—
-lj- = In 10 = 2,30258...
43-
Найти пределы:
88. 1) ton f 1 -f i V ;
П
tl - > CD V
2) lim j / b = 2 j ;
/
A' -> 0
3) Kin ( | = 5 ) *' +1 ;
4) lining *)<* «
4
Р е ш е н и е . Убедившись сначала, что при указанном изме­
нении аргумента функция представляет степень, основание
которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности
(случай 1 а ), далее преобразуем функцию так, чтобы использо­
вать 2-й замечательный предел.
1) Полагая п = ах, получим л;—оо, когда n-+oot и
.5».(1+т)'-Л»('ЧГ-»»[(1+т)Г-[lta(l+!)']•-Л
Возможно и другое решение без замены переменной:
lim f l + - y = Hiii
(м^г=Ы,+^Г-°
2) Полагая — 2х = а, найдем а-* О, когда х-* 0, и
1
__2_
J
lim (1 — 2х) т = lira (1 + а) « = [lira (1 + а) а "]~ 2 = е~2.
х-+о
а ~> о
5
3) Исключив целую часть из дроби, полагаем —^Г2 = *-
= [lim(l+x)*]-l0Aim(l+xy-2
e-l0-\=e-l\
=
4) Полагая t g ; t = l + a , получим а -+ 0, когда я ~> -^, и
tg2*:
2 t g * __
2(a + l)
1 —tg 2 JC
a (a+2)'
l
lim(tgx)tfi2x = l i m [ ( l + a ) a ] "
я
a -> о
* -> —
так как
— 44
2 ( a i-1)
a+2
=^'1,
89. H m ( l + * * ) * .
90.
X -+ О
91. lim(l +cosjc)
2se
И-.Ш-
92. lim(H-3tgjt) c t *'
".
§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов
Найти пределы:
si
93. lim
94. lim
П-» /l+^/ft*+l '
"^l__.
95. l\m(V* + x+\-Vx*-x+l).
96. lira g £ .
97. \imx(Vx* +
98. lira
l-x).
s
-^ii±l>
1—*a
1 — r*
99. lim
u3 + 4w'2 + 4u
101. К т ^ ^ * Н
*(1—tg*)
100. lim
cos 2*
д
М )
arccos I
*<хл г ** — 18лга + 81
104.
lim 2 j c a _ 3 , _ 9 .
103. lim f/ I + sin x.
X-*-
102. lim
О
,05. lira
p8
T2p:trr3P6+2-
107. Hmsin3A:ctg5jc.
109*. lim jf/* + i .
110*. lim (sin л;)1*1*.
l i t . Как изменяются корни хх и *2 полного квадратного
уравнения ах2 + 6дс + с = 0, когда коэффициент а -* 0? (6=^=0 и
с —постоянные).
112. Прямоугольная трапеция
с
разделена прямыми, параллельны­
ми ее основаниям, на п равных по
высоте малых трапеций, и в каж­
дую из них вписан прямоугольник а\
(черт. 20). Как будут изменяться
площадь Sn и периметр Рп полу­
ченной ступенчатой фигуры, когда
^
/1 -> -+ оо?
4epi. 20
— 45 —
§ 9. Сравнение бесконечно малых
Чтобы сравнить между собой бесконечно малые величины а
и Р, находят предел их отношения. При этом:
1) если Нт-тг = 0, то а называется бесконечно малой высшего порядка, чем Р;
2) если Ит-¥г = оо, то а называется бесконечно малой низ­
шего порядка, чем р;
3) если limy = Л (Л =^=0 и Афоо), то а. называется беско­
нечно малой того же порядка, что и р;
4) если Нт ~ = 1, то а и р называются эквивалентными
бесконечно малыми. Эквивалентность бесконечно малых а и р
обозначается знаком приближенного равенства: а ^ р .
Эквивалентные бесконечно малые обладают следующими
свойствами:
1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бес­
конечно малая высшего порядка, чем каждая из них.
П. При нахождении предела отношения двух бесконечно
малых можно каждую (или только одну) из них заменить дру­
гой бесконечно малой, ей эквивалентной, т.е. если а « a L и
р « р1т то
Hrn£ = l i m £ = l i m ^ = = i i m £ .
р
р
Pi
Pi
113. Если х - * 0 , то какие из следующих бесконечно малых:
1) 10*; 2) х3\ 3) УЪх\ 4) tg-g-; 5) l g ( l + x ) имеют порядок
высший, чем х, низший, чем ху и тот же, что х?
Р е ш е н и е . Находим предел отношения каждой данной бес­
конечно малой к бесконечно малой х:
l)lim ^ = 1 0 .
Следовательно, Юх есть бесконечно малая того же порядка,
что х\
2) Нт — = Птд:2 = 0;
Jt-*U
Х
х3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем х;
3) Нт - ^ = Нт 1 / Г т в = + ° ° '
— 4(5 —
V3x есть бесконечно малая низшего порядка, чем х\
s,n
tg-c-
4) xHm
-w,
л
Sin
"5-
= lim
X
= lim
-5T
i
lim
X
X COS -=-
~* °
X
COS -=-
5
1 .
5
S i n
|
1
1
,
1
T
tg -g- есть бесконечно малая того же порядка, что х\
1
5) lim | g( 1 +*> = limlg(l+*) T = s lgg;
lg(1 Ч-лг) есть бесконечно малая того же порядка, что х.
114. Доказать, что при #—0:
1) sin ахжах; 2) tg ахжах\ 3) arcsin ая^а*;
4) arctgax^ax; 5) УI -{-х — 1 ~-*x.
Р е ш е н и е . Чтобы доказать эквивалентность двух беско­
нечно малых, нужно найти предел их отношения. Если этот
предел окажется равным единице, то бесконечно малые экви­
валентны.
i\ I:— sin ax ,. sinfljc <
1) lim
- = hm
= 1.
х-»о
ЛЧ
2)
ах
ах-+о
ах
..
tg ах ,.
s'max
lim -г—flJC= hm —
*-»о
ax cos ax
..
sin ах *.
1
• hm
_
ax
cos
a*
JJt >0
= lim
-
= Ы1 = л l.
3) Полагая arcsin a* = a, получим:
|iffl!«!!!!«B|iffl«
x-+o
aX
a-a
I.
s i n a
4) Полагая arctgax = z, найдем:
limarctI^ = lim
5) hm -——
*
в
= 2 hm , Л
ц
ш
*
limc0S2=l#
— - = 2-тг=1.
2
115. Пользуясь тем, что при отыскании предела отношения
двух бесконечно малых можно заменять их эквивалентными
— 47 —
бесконечно малыми (свойство II), найти следующие пределы:
sin Ах t
2) li!« **"
1) И*, !sin£ Зх£ :*
- n •
3) htn , — .
,
•,
4)*
Р е ш е н и е . Пользуясь тем, что sin a я= t g a ^= arc sin а s~
^2arctga=5=ot при а—*0, что следует из решения задачи 114,
и применяя указанное свойство эквивалентных бесконечно ма­
лых, получим:
f4
оч
4
,.
sinАх
—
sin-*.
,.
,.
xsir»2*
Ах
4
(т)
,.
>*h". 2 ,
х
2*
2
i—Lnr=hm -2—i—г-
= Iim ^ 4- ^ = 0,3.
!0n 4 ^
!0n V^ n
116. Доказать, что при х—^0:
1) ]/6x + 1 — 1 « Зх;
2) sin x + tg JC « 2x;
3) yi+b-2*fc
4) l - c o s A « ^ .
117. Пользуясь свойством эквивалентных бесконечно малых,
найти следующие пределы:
- v ,.
оч
,.
sin 5Л:
_
arcsin3;t
„ ч ,. _ sin2 (л:— 1)
3
> losses-*•
-v ,.
tg 2гpaгcsinЗф
.
V~2x v
Vl™-*=r-~4 ,.
sin*
§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке xQt если
в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х—xQ— Дл:
соответствует бесконечно малое приращение функции у—у0 = Ayf
— 48 —
т. е. если
Нт Ду = Нт[/(* 0 + Дл-)-/(л: 0 )]=0.
Ах-Ю
Дх->о
Этому определению равносильно следующее:
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если при
х—*xQ предел функции существует и равен ее частному значе­
нию в этой точке, т. е. если lim f (х) = f (х0).
х->х0
Для непрерывности функции f (х) в точке xQ необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:
1) функция должна быть определена в некотором
интервале,
содержащем точку х0 ( т . е. в самой точке xQ и вблизи этой
точки);
2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы
lim / (x) = lim f (х)\
х -*-х0 - 0
х -> х0 + о
3) эти односторонние пределы должны быть равны f(x0).
Функция f(x) называется разрывной в точке хОУ если она опре­
делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не
удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.
Разрыв функции f(x) в точке х0 называется конечным, или
1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы
lim f(x) и lim f(x). Все другие случаи разрыва функции на­
ле + Х0-0
Х-*ЛГ0+0
зываются разрывами 2-го рода; в частности, если хотя бы один
из указанных односторонних пределов окажется бесконечным,
то и разрыв функции называется бесконечным.
Скачком функции f(x) в точке разрыва х0 называется раз­
ность ее односторонних пределов lim / ( J C ) — l i m / ( x ) , если они
х-+х0 + о
х-+х0-о
различны.
Если точка х0 является левой или правой границей области
определения функции f(x)t то следует рассматривать значения
функции соответственно только справа или только слева от этой
точки и в самой точке. При этом:
1) если граничная точка xQ входит в область определения
функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз­
рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при
х—>х0 изнутри ее области определения равен или не равен /(л: 0 );
2) если граничная точка х0 не входит в область определения
функции, то она является точкой разрыва функции.
Функция называется непрерывной в некотором
интервале,
если она непрерывна во всех точках этого интервала.
Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах,
в которых они определены.
При отыскании точек разрыва функции можно руководство­
ваться следующими положениями:
— 49 —
1. Элементарная функция может иметь разрыв только в от­
дельных точках, но не может быть разрывной во всех точках
какого-либо интервала.
2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той
точке, где она не определена, при условии, если она будет оп­
ределена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно
близких к ней точках.
3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точ­
ках, где она не определена, так и в точках, где она определена;
в частности, если функция задана несколькими различными ана­
литическими выражениями (формулами) для различных
интер­
валов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех
точках, где меняется ее аналитическое выражение *.
118. Показать, что элементарные функции: 1) // = 2х 2 — 1;
2) u = cosecA: непрерывны во всей своей области определения.
Р е ш е н и е . Найдем область определения функции и затем
убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция
будет непрерывна в этой ж е области.
1) Областью определения функции у является вся числовая
ось. Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Дл:
и, подставив в данное выражение функции вместо х наращенное
значение х + Ах, найдем наращенное значение функции:
у + Ау = 2(х + Ах)2 — 1.
Вычитая из этого наращенного значения функции ее первона­
чальное значение, найдем приращение функции:
Д у = 2 (х + Ах)2 — 1 — (2х 2 — 1) = 4хАх 4- 2Дх 2 .
Пусть теперь Ах—•О. Тогда Н т Д # = 0 при любом значении х.
Следовательно, согласно определению непрерывности, функ­
ц и я у будет непрерывна при любом значении х, т. е. во всей
сетей области определения.
2) Тригонометрическая функция cosecx определена на всей
числовой оси, за исключением точек x==feri, fc = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
Повторяя указанные выше рассуждения, найдем приращение
функции Av и затем его предел при Ах—•О:
At; = cosec(x + A x ) ^ c o s e c x = s . n U 1 + A j c ) - ^ =
•
/
2
, л v
COS
___ sin JC — sin (x+ ^x)
"""" sin(* + Ax)sinx
"~"
X + -^
\
Sin
2J
— —
V
sin (x + A x ) s i n *
2/.
'
r A i- 2cos[x+Y)
. / Ax\ 2cosx
r
n
л
sin(x+Ajc)sinx
\
2 у sin2 л;
Ajf_^0
при всех значениях xf кроме x = knt ft = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
* Неэлементарные функции могут иметь весьма сложную структуру и
могут быть определены и вместе с тем разрывны в каждой точке числовой оси.
— 50 —
Следовательно, область непрерывности и область определения
элементарной функции cosec* полностью совпадают.
119. Дана функция. Найти ее точки разрыва, если они суще­
ствуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:
2
О / i W = i2T4'
) М*) = *» + 2х+Ю ;
3) / 3 (х) = arc ctg ^ ; 4) / 4 (*) = Lf^l- 1 ;
5) / 5 (х) = Ig (*2 + Зж).
Р е ш е н и е . 1) Функция /х(л:) определена, т. е. может быть
вычислена при всех значениях л:, кроме х = ± 2 . Эта функция
элементарная, поэтому она непрерывна во всей области своего
определения: — о о < л : < — 2 , — 2 < х < 2, 2 <х < + <х>. Она не
определена в точках x t = — 2 и * с = 2, но определена вблизи
этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения 1-го условия
непрерывности, данная функция в точках хг и х2 имеет разрывы.
Для определения скачка функции в найденных ее точках раз­
рыва вычислим односторонние пределы этой функции при стрем­
лении аргумента х к точкам разрыва слева и справа:
а
,im
)
Т23Г4==+00'
* - * - 2 - 0
так как при х—• —2— 0 величина я 2 —4 является положитель­
ной бесконечно малой, а обратная ей величина а
является
положительной бесконечно большой;
lim
JT -J--2
-5—т = —°°»
+ 0
Л
^
так как при х—+ — 2 + 0 величина л:2 — 4 является отрицатель­
ной бесконечно малой, а обратная ей величина является отри­
цательной бесконечно большой.
Следовательно, в точке х = — 2 функция имеет бесконечный
разрыв (черт. 21).
б)
НШ
- 2 ^ = -
ОО,
так как при л:—*-2 — 0 величина л2 — 4 есть отрицательная беско­
нечно малая, а обратная ей величина есть отрицательная беско­
нечно большая;
Х-* 2 + 0
Ч
так как при х—>2 + 0 величина л:2 — 4 есть положительная бес­
конечно малая, а обратная ей величина есть положительная
бесконечно большая.
Следовательно, и в точке л: = 2 разрыв функции бесконечный.
— 51 —
2) Элементарная функция f2(x) определена на всей числовой
оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные).
Поэтому она и непрерывна на всей числовой оси, т. е. не имеет
точек разрыва.
3) Элементарная функция / 3 (*) определена, а следовательно,
и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точке
х~0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой
окрестности этой точки, за исключением самой точки.
\ 9
J
\1
т
—чг
Черт. 21
Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
lim arcctg-— = arcctg (—оо) = я;
lim arcctg — = arcctg ( + oo) = 0.
Следовательно, разрыв функции конечный (черт. 22); при
х^О она имеет конечный скачок
lim f3 (А:) — lim / 3 (х) = 0 —я = — я .
Х-+ + 0
ДС—>•— О
4) Функция f4 [x) определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке я = 3
функция имеет разрыв.
Исследуем эту точку разрыва:
lim
У
У
1
0
1
т\
х-З
так как при всяком значении х < : 3
эта функция равна—I;
X
hm
Jt-»3 + 0
Черт. 23
~ = — 1,
Ц—тг
= 1,
х-3
так как при всяком значении х > 3
эта функция равна + 1 .
— 52 —
Следовательно, в точке х = 3 функция имеет конечный разрыв
(черт. 23); ее скачок в этой точке разрыва конечный:
lim / 4 (x) —lim / 4 (х) = 1 —(—1) = 2.
^-•3 + 0
Х-+3-0
5) Логарифмическая функция y — \gu определена только для
положительных значений своего
аргумента и. Поэтому элемен­
тарная функция / б (х) = Ig (х2 + Зх) будет определена2 и непрерывна
для значений х, удовлетворяющих неравенству x + 3 x > 0 . Ре­
шая это неравенство, найдем область определения и область
непрерывности функции,— она будет состоять из двух интерва­
лов числовой оси:
— o o < x < — 3 и 0 < л : < + оо.
Во всех точках отрезка — 3 < х ^ 0 данная функция не опре­
делена, однако точками ее разрыва являются только граничные
точки * = — 3 и х = 0 . В этих граничных точках функция не
определена, но она определена в сколь угодно близких точ­
ках слева от точки х = — 3 и справа от точки jr = 0. Все осталь­
ные внутренние точки отрезка [—3; 0], в которых функция также
не определена, как и в точках х = — 3 и x = 0, не являются
точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек
функция не определена.
Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя
бы с одной стороны вблизи этой точки.
Найдя односторонние пределы функции при стремлении х
к точкам разрыва изнутри области определения функции
limlg(A:2 + 3x) = IgO:
оо;
Iimlg(jc2-h3x) = lg0 = — о о ,
X-+-Z-0
заключаем, что в точках х = — 3 и х = 0 функция имеет беско­
нечные разрывы (черт. 24).
Черт. 24
120. Для каждой из следующих функций найти точки раз­
рыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой
— 55 —
точке разрыва и построить график:
1)
^
x2
х£ при
f(x)=\-Y
"P»хx- ^ 2
х при д:> 2;
(2 Vic
2) ф(х) = Ч 4 —2х
при
при
0<JC^ 1
1<JC<2,5
\2х — 7 при 2 , 5 ^ * < + оо;
(2х-\-Ъ при — о о < л ; < — 1
3)FW=|I
при
_1<х<4-оо.
Р е ш е н и е . 1) Функция f(x) определена на всей числовой оси.
Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой
оси, так как эта функция неэлементарная; она задана двумя
различными формулами для различных интервалов изменения
аргумента х и может иметь разрыв в точке * = 2, где меняется
ее аналитическое выражение.
Исследуя точку л;--2, находим односторонние пределы функ­
ции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:
lim f(X) = lim( — ±xA=
так как слева от точки х = 2 функция
— 2,
/(*)==—ТГХ2\
lim f(x) = limx = 2f
так как справа от точки х = 2 функция f(x) = x.
Левый и правый пределы функции конечны, но не равны
между собой. Поэтому, вследствие невыполнения 2-го условия
непрерывности, в точке JC = 2 функция
у\
/
имеет разрыв (конечный).
В этой точке разрыва функция имеет
конечный скачок:
/
lira /(*)—lim /(x) = 2 - ( — 2) = 4.
/
Ч"
х
Во всех остальных точках числовой
оси функция f{x) непрерывна, так как обе
формулы, которыми она задана, опредеЧерт. 25
ляют собой элементарные непрерывные
функции.
График этой функции показан на черт. 25.
2) Неэлементарная функция Ф(Я) определена для всех зна­
чений х^О. Она может иметь разрыв в точках х = 1 и х = 2,5,
где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных
точках своей области определения функция <р(х) непрерывна,
поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет
— 54 —
собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале
изменения аргумента х.
Исследуем точки х = 1 и х = 2,5:
a) lim ф (х) = lim 2 Vx = 2; lim ф(х) = Нт(4 — 2х) = 2.
*-*• 1 - 0
JK->-l + 0
Согласно условию значение функции ф(х) в точке х=1
ляется первой формулой
Ф(1) = 21/Т=2.
опреде­
Следовательно, в точке х~\
выполняются все условия не­
прерывности: функция определена в окрестности точки j t = l и
Нт Ф ( Х ) = Нт ф(*) = ф(1)JT-* 1 - 0
Х-+ 1 + 0
Поэтому в точке х = 1 функция ф(*) непрерывна.
б) lim ф(х) = Нт(4 — 2х) = — 1; Нт ф(х) = Нт(2* — 7) = — 2.
Jt-*2.5 —О
JT->2,6 + 0
Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одина­
ковы, т. е. не выполняется 2-е условие непрерывности. Поэтому
в точке * = 2,5 функция имеет разрыв (конечный), черт. 26.
Скачок функции в точке разрыва конечный:
lim Ф(Х)— Нт Ф(JC) = — 2 — (— 1) = — 1.
Х->2.Б + 0
*-^2,Б-0
3) Неэлементарная функция F(x)
определена на всей числовой оси,
кроме точки JC = 0. Это значит, что
в точке х = 0 функция разрывна*
Исследуем эту точку:
lim F(х) = lim — = — оо,
х
х->-о
lim F(x) = lim^=
*-+о
+ oc.
х
Че
Рт-
26
Следовательно, в точке л; = 0 функция F(x) имеет бесконеч­
ный разрыв.
Исследуем далее точку х = — 1. Поскольку функция F(x) не­
элементарная, она может иметь разрыв в этой точке, где меняется
ее аналитическое выражение:
lim ^(x) = lim(2x + 5) = 3,
lim F(*) = lim~ = — 1
*->--1-0
Найденные односторонние пределы функции конечные, но
различные. Поэтому в точке х = —1 функция имеет конечный
— 55-
разрыв; ее конечный скачок в этой точке равен
lim
F(x)-
lim F(x) = — 4.
t•-*• - 1
-
о
Во всех остальных точках числовой оси функция F (х) непре­
рывна; ее график показан на черт. 27.
121. Для следующих элементарных
функций: 1) у = х*— 2х; 2) z=^Vx\
y=2x+5>
3) и = ^ ^ \
4
) W = COS2JC проверить, что
область непрерывности функции совпа­
дает с областью ее определения.
122. Дана функция. Найти ее точки
разрыва, если они существуют, и ска­
чок функции в каждой точке разрыва:
чет. 27
I
1) У —х 3 — Зх 2 . — АХ
4) у = arcsin — ;
2) y = ]JZT{>
3)
У = ^(2х+1У*
х
COS X '
123. Для каждой из следующих функций:
1ч
3) * =
4
2|.г-1
X2 — X3
оч
.х + 2
4) л/ = fX 2 — 1;
( 1 - х 2 при
х<0
v
( — х при я ^ —1
I
^
5) </ =
2 п р и х > _ 1 ; 6)* </ = < С " » ) » при 0 < *
F
U-l
^ 4-х
при х > 2
найти точки разрыва, скачок функции в каждой точке разрыва
и построить график.
ГЛАВА
II
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение
Непосредственное нахождение производной
Производной функции y = f(x) называется предел отношения
ее приращения Ду к соответствующему приращнию Ал незави­
симой переменной, когда Ах—•О:
lim^=
AJC-^O^*
Urn /(х + Ах)-.М*)
AJC-Ю
/*.
Д*
Производная обозначается у' или /' (х), или jdyНахождение производной называется д и ф ф е р е н ц и р о в а ни ем.
Геометрически производная у' функции y — f{x) представляет
угловой коэффициент касательной к графику этой функции
(черт. 28):
Ах
= tgp; y'=
lim j£=
Iimtgp = tga.
Функция называется дифференцируе­
мой в некоторой точке х, если в этой точ­
ке она имеет определенную производную,
т. е. если предел (*) существует и имеет
одно и то же значение при Ах—• () лю­
Чсрт
бым способом; при этом функция будет
* 28
и непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное)
условие дифференцируемости функции. Функция, непрерывная
в некоторой точке х, может быть и недифференцируемой в этой
точке.
Простейшие случаи недифференцируемости непрерывной функ­
ции y-f(x)
изображены на черт. 29.
В точке а при Дя—• () отношение -^ не имеет предела, но
— 57 —
имеет различные односторонние пределы при Ах—• — 0 и
АЛ:—• + (), которые называются односторонними (левой и правой)
производными:
I'm £ = у<-, и
lim Ьх :1/( + )
В соответствующей точке графика функции нет определенной
касательной, но есть две различные односторонние касательные
с угловыми коэффициентами:
kl=^y{_) и Л2 = {/(+) (угловая точка).
В точках Ь и Ьг при А* —+0 отношение ^ является знако­
постоянной бесконечно большой величиной:
Дх-*-0 "
Ддг-
lim д^ = —оо (или +оо).
В этом случае говорят, что функция имеет бесконечную про­
изводную. В соответствующих точках график функции имеет
вертикальную касательную (точ­
ки перегиба с вертикальной каса­
У
тельной).
с в (у-ящ
В точке с односторонние про­
[ '
изводные являются бесконечно
большими величинами разных зна­
в\
ков. В соответствующей точке
^Л\
график функции имеет две слив­
0 / а
шиеся вертикальные касательные
в 1: t1, !•
(точка возврата с вертикальной
Черт. 29
касательной, частный случай угло­
вой точки).
В точках а, Ь, Ьг и с функция y=~-f(x) непрерывна, но не
дифференцируема.
Для непосредственного нахождения производной у' от функ­
ции y = f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу х произвольное приращение Ал; и,
подставляя в данное выражение функции вместо х наращенное
значение х + Ах, находим наращенное значение функции
y + Ay = f(x + Ax).
II. Вычитая из наращенного значения функции ее первона­
чальное значение, находим приращение функции
Ay = f(x +
Ax)-f(x).
III. Делим приращение функции на приращение аргумента,
т. е. составляем отношение
Дх
Ах
— 58 —
IV. Ищем предел этого отношения при Але—>0. Этот предел
и даст искомую производную у' от функции y = f(x).
124. Путем вычисления предела lim ~
найти производные
следующих функций:
1) у = 3х*-4х\
2) у = ±;
3) y = Vx\
4) </ = cos3*.
Р е ш е н и е : Руководствуясь указанным общим правилом для
непосредственного нахождения производной, последовательно
находим:
1) Для функции у = 3х2 — Ах\
I) у + Ау = 3 (х + Ах)2 — 4 (х н- Ах) = ЗА:2 + 6хДх +
+ ЗДх2 —4x-4Ax;
1 1 ) Д # = (3* 2 + 6Л;ДЛ' + ЗДЛ:2 — 4ЛГ — 4 АЛ:) — (ЗЛ:2 —4Л:) =
6 Х Д Л : + З Д Л : 2 —4ДЛГ;
=
1П)
Ag=atoAx + 3 A ^ - 4 A x g a 6 j c + 3 A x , . 4 ;
IV) lim ^ = lim (6* + З А * - 4 ) = 6 * - 4 .
(
Следовательно, ^ =
*Г~ *' = 6* — 4.
2) Для функции у = —:
jt-f-Длс '
И) Аг/
1
= х + Ах
» 1 >Аде£ ~ -
Ах
х(х + Ах) •
1
х
'
дс(* + Дх) '
""Й.й-Н-гстЕг]—АСледовательно, ( —J =
5.
3) Для функции y = Vx:
I) г/ + А*/ = К * + А*;
II) Ay = Vx + bx-~V7i
Ц П A ^— 1^"* + A * — | / T .
' Ax
Ax
-lira-
*+ д *~*
-
— 59 —
l
4) Для функции y = cos3x:
I) y-\-Ay = cos3(x + Ax)\
II) Ay^cos3(x-r
Ax) — cos 3A: =
= — 2 sin i 3X + Y^X)
U l
'
sin
у
Ax;
АЛ:
ДА:"
sin -^ A*
=
IV) t / ' = l i m ^ = — 21imsin( 3x + ^Ax)>U r n — т
Ax -*o A *
.3
- 2 -Ax
l
Л
I
3
= — 2 sin 3A;-4im —— = — 2sin ЗА; --^- = — 3sin 3A:. *
Ал:
2
125. Исходя из определения у'= lim ~Ах9
ные следующих функций:
1) */ = х2 + 5 * - 1 ; 2 ) у = ~ ;
4) у = 1 / 4 * + 1 ;
найти производ­
А*-*о
3)у-^_,
5) # = sin3x;
^*
6)* */ = tg2A\
§ 2. Производные простейших алгебраических
и тригонометрических функций
Понятие производной широко применяется для решения
разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз нахо­
дить производную путем предельного перехода, посредством тех
четырех операций, которые указаны в общем правиле диффе­
ренцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся
по формулам дифференцирования, как это разъясняется в после­
дующих задачах.
Простейшие формулы дифференцирования:
1) (с)' = 0;
2) (u + v—w)' = u' + o' — w';
3) (uv)' = u'v + v'u\
За) (си)' = си'\
-ч (ну
a'v—v'u
46) ( i - ) ' —
^
6) (sin A:)'= cos А:;
8) (tg JC)' = sec2*;
, v ( и\'
и'
в
5) (*Т = /1*"-ь
7) (cos A:)' = — sin x; j
9) (ctg x)' = — cosec2A:.
* Здесь при отыскании предела отношения двух бесконечно малых одна
3
3
из них заменена другой, ей эквивалентной: sin - у А* =^ у А*. См. свойства
эквивалентных бесконечно малых в гл. I, § 8.
— 60 —
Здесь обозначено: с —постоянная; * — независимая перемен­
ная; и% vt w—функции от х.
126. Пользуясь формулами дифференцирования, найти про­
изводные следующих функций:
1) у = х*-Ьх + 4;
2) у = Ух+~-^
3)
4) /(дС) =
г = =
сч
5)
*б(
2
- ! + а**);
/*\
1°
^W-asln^tos^
1
+ ^3;
^-т;
с\ о / Л \ cos a eta a
W = T+2i^-
6)R
Р е ш е н и е 1) у' = (JC2 — 5л: + 4)' = (л:2)' — (бл:)' + (4)' (по фор­
муле 2);
у' = 2х — 5-1 + 0 = 2* — 5 (по формулам 5, За и 1).
2) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем
данную функцию:
у = х* +5х
» —х-2+з-х"3.
Применяя формулы 2, 5 и За, получим
2 К*
з ^ ? *'
***
3) /-й способ. Пользуясь формулой 3, получим
z' = (x*y
fo-±+3xA+x*(2-~j
+ 3xA' =
= 5 x 4 ( 2 - y + 3x 2 ) + jc5 (— | + 6 * ) - 1 0 x 4 - 2 x B + 21* e .
2-й способ. Сначала раскроем скобки, затем дифференцируем,
как сумму:
в
7
Z' = lOx4 — 2х& + 21* в .
г = 2х* — у х + ЗА; ;
Этот способ предпочтительнее, так как быстрее приводит к цели.
Следует иметь в виду, что вообще не обязательно дифферен­
цировать заданную функцию сразу. Можно предварительно подвергнуть ее тождественным преобразованиям (если это целесо­
образно, т. е. ведет к упрощению дифференцирования).
— 67 —
4) Пользуясь формулой 4, получим
v * * + i ) ~~
<*2-Н)2
_ 2 х ( г а + 1 ) — 2х-х»_ 2х
~
(* 2 +1) 2
~ (**+!)*"
i w
5
10 (a sin / — 6 cos О'
(д sin /—Л cos О2
10 (а c o s / - f & s i n / )
(а s i n / — 6 cos /) 2
) < P'< / )=(?Ii!,/-6cOS<)
=
Здесь применена формула 46 (постоянный числитель), а не фор­
мула 4, что целесообразнее.
6) Пользуясь формулой 4а (постоянный знаменатель), получим
dR __ (cosactgg)' __ — sin a eta a 4- cos a (— cosec2a) __
da~~~ 1 + 2 tgс ""
1 + 2 tgc
~~
cosa(l-f cosec2a)
l + 2tgc
~*
127. Найти производную данной функции и затем вычислить
ее частное значение при указанном значении аргумента:
1)FW
_ ! l = p £ . дг-0.01; 2) . - i ^ n ,
<=J;
Р е ш е н и е . 1) Вначале раскрываем скобки и производим
деление, затем дифференцируем:
F(x) =
= --—r+l=xi-2x
.+1;
Подставляя значение х = 0,01, получим
f'(0,01) = -
0
-l
T
+
F
i = = -100^103 = -9000.
2) По формуле 4 найдем
2
=
(cos / у (1—sin 0—cos t ( l — s i n 0 '
(1—sin/)3
=-
— sin / (1—sin /) — cos t (—cos /)
—sin / + sin2f + cos2/ __
1
(1 — s i n / ) 2
~~
(1—sin/)2
~ 1-sin/
Полагая *="-g-, получим г ' ( ^ ) ==у^о~5 = 23) Применяя формулы 46 и 4а, получим
,_
( а + 6) (3-2*)' (Ьх<-\)'=2(а
+ Ь)
20*»
У —
|?.—2*)* "*" a — b
(3—2x) 2_r a —6 #
— 6^ —
2
При х = 0 найдем у* (0) = -д(а + Ь).
По формулам дифференцирования найти производные следую­
щих функций:
128. у = х + 3х2-^.
129. y =
3
131. s = 1f +. -1 ^ .
130. y = (Vx-Va)\
132. z = 3l/x
x-2Vx.
— 2 j / 7 3 + 4.
133.^ = ^ ^ 3 - .
x2smx.
134. v = ^~-x.
135. y =
136.
137. y = _ 3 c o s r c t g / .
r==i±S215.
138. f(x) = —
t—;
вычислить /'(1).
139. F (Л = ~ + —; вычислить [тг]
w
*_'"*'
\dt Jt=m
140. г(ф) = ф sincp-f-coscp; вычислить г'(л).
141. z = (y2 — 2y)tgyt вычислить г'(0).
г2
2Л: 2
/du\
142. и (г) в й 1 — д . ; вычислить ( y j ^ .
§ 3. Производная сложной функции
Если y — f(u)> где ы = ф(л:), т. е. если у зависит от х через
посредство промежуточного аргумента и, то у называется слож­
ной функцией от х.
Производная сложной функции равна произведению ее произ­
водной по промежуточному аргументу на производную этого
аргумента по независимой переменной:
Так, если и = у(х)у то формулы 5, 6, 7, 8 и 9 предыдущего
параграфа будут иметь следующий общий вид:
5) (un)f = nun-^uf;
8) (tgu)' = sec2u«tt';
6) (sin и)' = cosu-u';
9) (ctgu)' =— cosec2a«w'.
7) (cosu)' =—sin и-и';
Полезно запомнить словесные выражения формул дифферен­
цирования:
производная степени равна показателю, умноженному на то
же основание с показателем на единицу меньше и на производ­
ную основания;
— 63 —
производная синуса равна косинусу того же аргумента, умноженному на производную от аргумента.
Выразить словесно остальные формулы дифференцирования
рекомендуется студенту самостоятельно.
Найти производные следующих функций:
143. 1) г/ = (1+5л:)3; 2) ^ = sin 5л:; 3) y = cos*x\
4) у = sin х2\
5) у = У'2 + хК
Р е ш е н и е . 1) Полагая у = и3, где и=\ + Ъху и применяя
правило дифференцирования сложной функции, имеем:
du-6u>
die-**
dx-du
dx~6tl
'*>-l&(l + o*).
Легко проверить правильность этого результата: возведя в
куб и дифференцируя полученный многочлен, приходим к тому
же ответу.
2) Полагая Ъх = и и пользуясь формулами б и За, найдем
у' = (sin Ьх)' = (sin и)' = cos и -и' = 5 cos Ъх.
3) Полагая cosx = и и применяя формулы 5 и 7, получим
у' = (cos2 х)' = (и2)' = 2и • и' = 2 cos A: (— sin х) = — sin 2х.
4) При я2 = м по формулам 6 и 5 найдем
(sin х2)' = (sin a)' = cos a • u' = 2x cos х2.
5) Полагаем 2 + х4 = и, и, пользуясь формулой 5, имеем
J8_
3
= 4" ( 2 + • * * ) " .4л:3 = -
ы' =
4 3
*
з£Л'2+ **)*'
Дифференцирование этой сложной функции можно записать
иначе:
d
3 ^ ( 2 + ^)2
Второй способ записи без особого обозначения промежуточ­
ного аргумента значительно проще. Этому способу записи и сле­
дует научиться при дифференцировании сложных функций.
144. 1) z = (3ax-x*)k\
3) 5=^27X1 ) 1 0 j
3
г"> 2) р = 2 j / s i n - g - ; £ ?
вычислить s
' ( — О-
3
4) г = sin 2ф — cos 2(p, вычислить
— 64 —
''(^Ь
Р е ш е н и е . 1) Применяя формулы 5 и 2, найдем
z* =k(3ax-x2)k-l.(3ax-x2y
= k(3a — 2x)(3ax — x2)k-1.
2) Используем формулы 5 и 6:
1
p' = 2.i(sin|)
2
.(sin|)'=(sm|)
* -cosf. (-£)' =
а
3]/si„f
3) Применяем формулы 5 и 4:
EV
V2/ Ч-1/
#
(2/Н-1)2
""(2/ + 1)»*
При / = — 1 получим s'( — 1) = 10.
4) Сначала запишем данную функцию в виде
г = (sin 2ф)3 — (cos 2<p)3,
что всегда полезно при дифференцировании степеней тригоно­
метрических функций.
Пользуясь формулами 2, 5, 6 и 7, получим
г' = 3 (sin 2<p)2 (sin 2<р)' - 3 (cos 2ф)2 (соз 2ф)' =
= 3 sin 2 2ф - 2 cos 2ф — 3 cos2 2ф • (— 2 sin 2ф) =
= 3 sin 4ф (sin 2ф + cos 2ф).
При Ф = тг найдем г' ( j J = 3 sin-£ (sin ~ -fcos~-J « 3 ^ 2 !
Найти производные следующих функций:
145. у = (2 + 3х)\
146. t/= sin(2x— I).
147. y = ctgV7.
149. ы = sin a/cos —.
148. 2 = у x + V7.
150. r = 2cos 2 y.
,51
152. . - I t g - s - t g i + i.
'
u
= (TfiLl^i-
153. y = 9 - ^ - .
^
2 cos2 *
2
154.
r=
l£^=».
sec аф
155. t / = s i n x + s i n x 2 ; вычислить у' (0).
156. # = cos—f-cos —. вычислить у' (а).
157*. г=\/\ -f-cos*4; вычислить г' ( l / у ) .
3 №3201
— 65 —
§ 4. Производные показательных и логарифмических функций
Общие формулы и их частные виды:
10) (а»У = аа1па-и'\
11) (\ogu)' = ~ loge;
10а) (еиУ = еии'\
Па) (lnu)' = £ ;
106) (ах)' = ах\па;
116) ( l o g ^ ) ' = ^ loge;
Юв) (е*)'=ех;
Ив) (1п*)'=4>
Для дифференцирования логарифмической функции с основа­
нием а ^ е можно предварительно преобразовать ее в логарифми­
ческую функцию с основанием е по формуле
\ogau = logae-\nu.
158. Найти производные следующих функций:
+ 6Vx; вычислить f (\).
1) у = х*2>\
2) f(x)=--l/^+~
3) y==\ncos3x.
4) г = а * 6 ^ +lg(5q>) —4 l g V ^
5
) // =
l n
S ^ J - 6) у - I n у ~^-x\
вычислить y'(0)«
Р е ш е н и е . 1) Дифференцируем как произведение и по фор­
мулам 5 и 106:
у' = (х*)' 3 х + * 3 (3 х )' = 3*23х + х*¥ In 3 = х23* (3 + х In 3).
2) Вводим дробные и отрицательные показатели, затем диф­
ференцируем как сумму и по формуле 10:
П*) = ( з ^ + 2 - * * + б * т ) = 3 " h n 3 . ( ^ y +
+ 2- 5 X ln2.( —5jc)/ + 6*"r]n6.(jc"5")
1
J-
i
JL
=
J
-
= — ^ 3 * l n 3 - 5 . 2 ~ 5 X l n 2 + ~ - ; T 2 6 * 2 In6.
Полагая J C = 1 , найдем / ' ( 1 ) = — 3 1 n 3
^ - + 3 1п6 = ^1п 2.
3) Согласно формулам 11а и 7а имеем
/1
о v
и = (In cos Зле) =
^
v
'
(cos3x)'
— 3sin3x
т^- =
cos Зх
o+^o^
о—= —3tg3x.
cos Зх
&
4) Здесь предварительно тождественно преобразуем данную
функцию:
r = (abc)' + lg5 + lg9 — 4 ~ 1 g 9 = (a6c)T + lg5 —1ее.1пф.
— 66 —
Затем дифференцируем по формулам 106 и 116:
d
l
{abcf\n{abc)- f.
±=
5) Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем
логарифм дроби в разность логарифмов числителя и знаменателя:
у=|п 5т5=1п (а2 - *2) - In ( f l 2 + х 2 ) Согласно формуле 11а найдем
,__(а2—
х*)'
(а*+ х*)' _ —2х
2
2
2
У ~~ а — х
2
а* + х
^а —х
, _ 1 /о
Зг3* \
У ~ T ^ ~ f + ^ V
Чх
2
__ 4а2х
2
а + л: 2 ~ х4 —а4 '
3
2(1+*»*)'
3
//л,
* IW-J-
Здесь, как и в предыдущем случае, на основании свойств
логарифмов данная логарифмическая функция преобразована
сначала к более удобному для дифференцирования виду.
И вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию
логарифмической функции содержится выражение, поддающееся
логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то
полезно сначала выполнить логарифмирование.
Найти производные следующих функций:
159. </ = 2* + 2 з х .
160. у = а**-е-*ж.
161. z = 3Vxe-x
162. x = ee*sln&<p.
!63
' 5= Й ^ 165. // = cos 2 jc~21ncosjc.
167.
164
- У = Щах*+Ьх + с).
166. z = *(l —In*).
U^ITIT-^.
1—?x2
2e
168. v = \n
V
VX-~.
1—x
169. г = 1пе-^—т; вычислить r'(0).
§ 5. Производные обратных тригонометрических функций
Общие формулы и их частные виды:
12) ( a r c s i n W r = - 7 ^ = ;
13) (arc cos и ) ' = -
"'
12a) (arc sin x)' = - J = = ;
;
13а) (arccos*)' :
'
•а '
14) (arc tg и ) ' = ^ 5
14а) (arctg *)'
15) ( a r c c t g u ) ' » - ^ ;
15a) (arcctgx)' =
— 67 —
'
- ^ .
170. Найти производные следующих функции:
1) у = 5 arc sin kx + 3 arc cos kx\ 2) у = arc sin — — arc ctg — ;
3) r = arctg-^ + arcctg(mctg<p); r'(0)? f г' (я)?
Р е ш е н и е . 1) По формулам 12 и 13 найдем
5*
(fix)'
У' = Ьf\ — (kx)*+ з
П L—(ftx)»J
^ 1 — ЛV
2fc
3/?
2) Используя формулы 12 и 15, имеем
._ilL_ L(ll
/-5
У =
1+-a " j
a
V
x2
Г~-- 2
' a* + >fl-
a» + **
(JC,
^^Ttfi*
так как Ух2 равен не х, а |лг| и х ^ О .
3) Гфименяем формулы 14 и 15:
(MCtgq?)'
+
ф2
_
1 + го2 ctg2 ф
т]
ф2+т2
ф2
— т cosec2 <p
1 + m2 ctg2 ф
ф2
ф2 _|_ тг
'
sjn2
ф _|_ m 2
tQs2
ф '
Подставляя вместо ф заданные значения 0 и л, найдем
т
,
л2
1
2
т (я + т 2 ) *
Пайти производные следующих функций:
172. у = arc ctg
171. t/ = arc sin Ух.
2х
174. г = arc cos -
173. г - a r c t g y — - 2 .
175. */ = xarccosx — V\ —x2.
176. у = arc cos ^ .
177. х ^ ф а г ^ ф — InV^l + ф 2 ; вычислить x'( —1).
178. y^xVl—
x2 + arctg ^ /
^T=3
o;
вычислить #'(Q)-
179. Q = a r c t g1 —
y t^^ 1; вычислить Q'(0) и Q'(—1).
— 68 —
§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование
Найти производные следующих функций:
180. t) y=£-t(ahlnx-cosx);
2) r = ln K l S f J
5
3) s = x2(l+rn*/e)\
показать, что эта функция удовлетво­
ряет уравнению x2(s'—1) = (2л:—l)s.
Р е ш е н и е . 1) Последовательно применяя формулы 3, 10, 2,
6 и 7, получим
у' = ут^2 №*Y (а s i n х — cos х) + еах (a sin x — cos x)'\ =»
=
х
,
а
[а<?"* (a sin JC — cos *) -f £Л* (а cos JC + sin x)] =
eax
= j-x^j (я2 sin * + sin x) = ea* sin x.
2) Вначале преобразуем данную функцию согласно свойствам
логарифмов, затем дифференцируем по формулам 8 и 11:
г = ^ [1 п (1 + tg Ф ) — 1 п (1 — tg Ф )];
4р 4 |_ 1 + 1гф
1 — tg ф J
_sec»y(l—tgy+l + t g y ) _
4(1 —tg^)
4 U+tgq> 1—^ф/
1
_ ^ qpp 9
~2(cos2q)—sin^)~ 2 b e e
zcp
'
3) Заменим радикал дробным показателем и дифференцируем
по формулам 3, 5 и 10:
s' = 2x\l+mex)
s = x*[l+me*)\
+ x2me~r(—±)j
= 2х +
+
тет(2х—\).
Подставив 5 и s' в данное уравнение, получим тождество
х*[2х + те^(2х-1)-\\
= ( 2 х - 1)х* ( 1 + т Д ) ; 0 = 0.
181. 1) y = _ ^ + l n t g i . ;
3) г = ф2 arc cos
4
у
7
2)
г/ = arc sin (cos JC); */'?
2]/ф 2 —4; вычислить г'(2) и /-'(— 5).
)* # Н 1 — * 2 |; найти у' f-j-J , */' ( —2) и точки, где функция
не дифференцируема.
— 69 —
Р е ш е н и е . 1) Последовательно применяя формулы 2, 4, 7,
5, 6, 11 и 14, получим
fte-V
4
(cosx)' sin2 sin
x—cosx
(sin2 x)' .' \
x
у
9
2
A
x/
_
*
sin 3 *-f 2 sin ATCOS2* .
2
sin2 x + 2cos2 *
4
sin x
n. *
sin3 A:
2tgT
1
^l+cos2*
1 __ 2
x
sin 3 * ' sin*
sin 3 * 4
Л . x
2 sin— c o s - j
2) Пользуясь формулами 12 и 7, найдем
,
У
(cos*)'
—sin x __
~ J^i —cos2"^ ~~ ^shTTi ~~ _
sin*
I sin x | '
Смысл этого результата таков: в точках х, где sin*:>0,
г/' = — 1 ; в точках, где s i n x < 0 , # ' = 1 ; в точках, где sinx = 0,
т. е. х = £л, ft = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , данная функция не диффе­
ренцируема (черт. 30).
3) Заменив радикал дробным показателем и применяя фор­
мулы 2, 3, 5, 13 и 4, имеем
г' = (ф2)'агссоз — + (Warecos— Y — 2 [(ср2 — 4) T J
=
2^
-2ср arc cos — - ф 2 —
(p2
—2» ~ ( ф 2 - 4 ) " . 2 ф =
= 2f фаге cos — + ; ф |
), так как 1Лр2 = |ф|r^
2
2
,Tl
V
«р^Уф —4 }Лр -4/
^
2
При ф > 0 : г' = 2фагссо& —; г'(2) = 4 arc cos l = 0 .
При ф < 0 : г ' = 2 ^ф arc cos — — -jM=J\\ r'( — 2 ) = + o o .
4)* а) При
1—x2>0,
т.
е.
2
в
I/' = (l—A: )'= — 2x, поэтому f/' ("2") =
интервале — 1 < * < 1,
— 1;
б) при 1 — x 2 < 0 , т. е. в интервалах — о с х С Ж — 1,
и 1 < х < + о о , */' = — (1— х 2 )' = 2х, поэтому i/'( — 2)= —4;
в) при 1— #2 = 0, т. е. в точках * = ± 1 » данная непрерыв­
ная функция не дифференцируема; в этих точках производная у'
не существует, но существуют две различные (по знаку) левая
и правая производные: у ( _ ) = — 2 и у ( + ) = 2 .
— 70 —
В соответствующих точках график функции (черт. 31) имеет
по две различных односторонних касательных с угловыми коэф­
фициентами kx= — 2 и k2 = 2 (угловые точки).
Черт. 31
Найти производные следующих функций:
182. у =
(1+Ух)\
186. s = sin 4 / + cos 4 /.
188. х = 2el sin / cos2 /.
190. u = e2V\ntg^
.
183. y-
/i+;
185. JC = ]/COS 4 a .
187. r = (psec2a<p.
189. y = x*(8\n2x —
2
191. y = \n(x+Vx
193. r/ = in
192. x = \n VtA
194. л: = /(cosIn/— sin In/). 195. y=2: -f
V
5
4\nx+l).
+ a) .
/ 1—sin
S
a
,
2X
|/"4 -f- 5«* *
196. # = arcsin j/sin #.
197. */ = arccos(cosx).
198.
/ / = i - a r c t g x — In У fz^\ вычислить £/'( — ~) .
199.
H=X"|/4 —
x 2 -f 4arcsin ~ ; вычислить ы'(2)-{-и'(0).
200*.у = яе-*'п* + s'inx — 1; показать, что у' -f /у cos x = -^ sin2x.
201*. y = 2|cos,t| + cosx; найти у' (-?-), У' \~Т) и угловые
точки графика функции.
202*. # = |х|е х ; вычислить у' (—1), у'(1) и односторонние
производные для угловой точки графика функции.
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование многих функций значительно упрощается,
если их предварительно прологарифмировать.
Если требуется найти у' из уравнения y = f(x), то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения (по основанию е)
\ny = \x\f(x) = (f{x)\
— 71 —
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где
\и у есть сложная функция от ху
— = <p'(*) (согласно формуле 11);
у
в) заменить у его выражением через х и определить у'\
y' = y<?'(x) = f(x)<f'(x).
Логарифмическое дифференцирование полезно применять,
когда заданная функция содержит логарифмирующиеся опера­
ции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение
корня) и, в частности, для нахождения
производной от пока­
зательно-степенной функции y = uv, где и и v — функции от х.
203. Найти производные следующих функций:
1) у = хх\
2) г = (cos a) ,in 2a ;
3)s = - ^ L = ;
4) R = ( * - l ) i / ( T + l ) 4 * - 2 ) .
Р е ш е н и е . Применяя логарифмическое дифференцирование,
последовательно находим:
1) а) \пу = х \пх\
б) — = х' In лс + *(1гис)' = \nx-\-x- — = lnx + I;
в) у' = у(\ + \пх) = х*(1+\пх).
2) a) In r = sin 2a In cos a;
б) — = (sin 2 a ) ' l n c o s a + s i n 2 a ( l n c o s a ) ' = 2cos2alncosa-f+ sin 2a ( —s—)
1
V
= 2cos2alncosa-2sin2a;
cos a /
в) r' = 2 (cos 2a In cos a — sin2 a) (cos a)*'n 2a .
3) a) l n s - l n 2 + ln/ — ~ In (1 —12)\
°'
ч
s
,
t'
2*1—**
s
в) s = 'Ml—^ 2 )
2f
/ (1—f2) ^ 1-Г*
4) a) l n / ? = = l n ( j c - l ) +
fix
£1__J
2
/?
A:— 1 ^ 3 ( x + D
B)J?' =
t ^ i — t*
t(\—t2)f
2
" |^(t—/2)3
|-ln(Jc+I)+~-ln(Jc-2);
1
3(.r-2)
2л:2—3JC —l
(x3 —1)(JC—2) '
? * 2 - 3 * - l (JC_ l ) ^ ( j c + l ) a ( x — 2 )
U 2 - l ) (*-2)
2
^~3j:~1
* Л * + l> ( * - 2 ) *
Найти производные следующих функций:
204. у=^у\
205. j/ = f / T .
206. r = (sinq>)*.
207. у = Щ^±.
90Я и-208
(1+/
)2
209
w
2 9
' " - ( 2 + /)»(3 + />"
-l/^n±^>
° ' ^~ К 0 - * ) ' •
2 1 1 * . O = JC*X.
2 1 0 . s = <p'".
§ 8. Производные высших порядков
Если #' есть производная от функции y = f(x)t то произ­
водная от у' называется второй производной, или производной
второго порядка от первоначальной функции у, и обозна^
чается у\ или /"(*), или g .
Аналогично определяются и обозначаются производные лю­
бого порядка:
производная третьего порядка (;/')' =£/'" = Г " (*) = ; ^ •
производная четвертого порядка (у'")' =у < 4 , = /(4) ( х ) = - ^ ;
производная л-ro порядка О/"" 1 ^ =# <Я) = /<лЧ*) = ;Нг •
Для нахождения производной какого-либо высшего порядка
от данной функции приходится последовательно находить все
ее производные низших порядков.
Для произведения двух функций можно получить производ­
ную любого л-го порядка, пользуясь формулой Л е й б н и ц а :
(uv)in> = u(n)v + nutn-" ve +
+
Я(Я-1)
П{П
^ (^k+^)uin^)v(k)+
])
2~
и(п'2) v"+ ...+
+ п и
^ ^
1 )
+
ци(пК
212. Для данных функций найти производные указанного
порядка:
1) у = хь—7х* + 2; #'"? 2) у = in *; </<5>? 3) s = arctg 2л:; s" (— 1)?
4) y = £~9sin<p; показать, что функция удовлетворяет уравнению
y" + 2y' + 2y = Q. 5) */ = * х ( х 2 - 1 ) ; #(24>? 6) y = xm\ //*>?
Решение.
1) Дифференцируя функцию у, получим
(</)'=#'= 5 * 4 - 2 1 * 2 .
Дифференцируя производную у\ получим
{уу = у" = 20х* — 42х.
— 73-
Дифференцируя вторую производную у", получим
(t,")' = £/'" = 60JC2 —42.
2) у' = {\пх)' = ± = х-1.
Для нахождения следующих производных здесь полезно
ввести отрицательный показатель степени:
24
3
(4,
4
6
5
/ = _ * - » ; у'" = 2х- ; (/ = - б л : - ; t/<> =24лГ = - 6 .
3 ) S ' = (arctg2^ =
T
i ^ =
r
^
i
;
2 /
s
„ _ _ 2(1-Н* ) __ _
16л:
—
(1+4х2)2 ~~ (1+4л-2)2 #
1 (\
При х = —1 найдем s" (—1) = ^л
4) Найдем у' и у":
у' = (e~*)' sin ф + е"* (sin ф)' = — е~'* sin ф + e~'f СОБФ =
= е~* (cos ф — sin ф);
у"-—— е~'* (созф — sin ф) + е~* (— sin ф —созф) = — 2г~?соБф.
Подставляя у, у' и у" в данное уравнение, получим тождество:
— 2е~- cos ф + 2е~* (cos ф—- sin ф) + 2е~? sin ф = 0; 0 = 0.
5) Применяя формулу Лейбница, получим
у^ - [е* (х2 — 1)]<24> = (еху™ (х2— 1) + 24(е*)<23) {х2 - 1)' +
+ ?1^?(в*)12а)^я_1)»#
Все следующие слагаемые равны нулю, ибо все высшие
производные от функции х2— 1, начиная с третьей, тождественно
равны нулю;
у"» =<,* (Х2 _ 1) + 24е* • 2х + 12 • 23е* • 2 = ех (JC2 + 48* + 551)
(так как производная любого порядка от ех есть ех).
6) Дифференцируя ft раз, получим:
у = хт\ у, = тхт'1\ уа = т(т— 1)х т " 2 ; . . . ;
0<*> = m(/n—1) . . . ( m ~ * + l).vm-*.
В частности, если m —целое положительное число, то
213. 2=* 2 + sin5/; z "'?
214. о = а 8 1па; v'"?
Б
(4)
215. х = (2р— 1) ; х (3)? 216. y = xWx\ у"?
217. y = c1e2* + c2xe2* + e*\ показать, что функция удовлетво­
ряет уравнению у" — \у' -\-\у = ех.
~74 —
2(8. y = aiX; y(n>?
219. y = (1 +x)m;
0 ?
У ? 221*. у = * я - Ч п х ; ^Л)(1)?
220. y = xs\nx\
§ 9. Производные неявной функции
Если у есть неявная функция от х, т. е. задана уравнением
f(x, f/) = 0, не разрешенным относительно*/, то для нахождения
производной j - нужно продифференцировать по х обе части ра­
венства, помня, что у есть функция от х, и затем разрешить
полученное равенство относительно искомой производной. Как
правило, она будет зависеть от х и у\ -/ —ф(*, у)Вторую производную j ~ от неявной функции получим, диф­
ференцируя функцию Ф(Л:, у) по переменной х и помня при этом,
что у есть функция от х:
dhj_dq>(xt у) _F( Y „
dx*~
dx
~ Г V y>
dy\
dx)u
Заменяя здесь ~ через ф(*, у), получим выражение второй
производной через
хну:
Совершенно так же и все высшие производные от неявной
функции можно выразить только через х и у: каждый раз,
когда при дифференцировании появляется производная -~-, ее
следует заменять через ф(*, у).
К тому же результату приводит последовательное дифферен­
цирование равенства f(xy y) = 0 с последующим исключением
из полученной системы всех производных низшего порядка.
Для данных неявных функций найти производные указан­
ного порядка.
222.
• > 3 - S - l : Й??)«- + ^ - 8 г - 2 - 0 ; ( ^ и 1 ?
3) хУ = ух; | ?
4) *» + 0 « - 4 х - 1 0 0 + 4 = 0; у ' , . . ?
Каков геометрический смысл решения этой задачи?
5) * - s + arctgs = 0; «"? «/ = x + l n # ; г/"?; *"?
— 75 —
Р е ш е н и е . 1) Дифференцируем по х обе части равенства,
где у есть функция от х, получим
~2
^Г = 0. Отсюда найдем у = ^ .
2) Дифференцируя по ф и считая г функцией <р, найдем
Из этого равенства определяем -р =
3_
Подставляя данное по условию значение <р--2 в исходное
уравнение, найдем соответствующее значение гф=,2=--= — 1 .
Искомое частное значение производной— при <р = 2 будет
3) Логарифмируем обе части данного уравнения (по основа­
нию е), затем дифференцируем по г/, рассматривая х как функцию у:
у\пх = х\пу\
у' \пх + у(\пх)' = * ' ln# + *(lny)';
х'
1
Ы п л: + у — = х' \п у + х— .
Отсюда найдем:
/ / У
х
1
\
х
~ — \пу)=
V*
У
)
,
,
4лс
х
(х—у\пх)
lux; х = з - = —г
У
dy
S—г.
у(у—х\х\у)
4) Дифференцируя по х, получим 2х + 2*/#' —4—10*/'=0.
Отсюда имеем и' = =— .
Подставляя заданное значение х = 6 в исходное уравнение,
найдем два соответствующих ему значения у: ух~2\ у2 = 8Поэтому при х = 6 и производная #' имеет
два значения:
Геометрически, в прямоугольной системе
координат, заданное в условии задачи уравне­
ние определяет окружность, у которой абсцис­
су х = 6 имеют две точки: (6; 2) и (6; 8). Най­
денные значения производной представляют
угловые коэффициенты касательных к этой окружности в той и
другой точке (черт. 32).
-76
—
5) 1-й способ. Дифференцируем по t и находим «':
Последнее равенство снова дифференцируем по t и находим sT:
s" = — 2s-V = — %
.
s3
Заменяя здесь s' через s \
, окончательно получим
S5
2-й способ. Данное равенство последовательно дифференци­
руем по t два раза:
_ s - + ^1ГМ:^) - 2SS-S- Q
б)
5
и
{0)
-г
<i+s 2 ) 2
*
Из уравнения (а) определяем s' и, подставляя в уравне­
ние (б), получаем соотношение между /, s и s", из которого и
выражаем s" через t и s. Результат будет тот же, что и при
решении 1-м способом.
6) а. Дифференцируем по х и определяем у':
у* *
у-\ '
Дифференцируем последнее равенство по х и определяем у"
и" = ^ ( У -
1
) " ^ -s _
У'
*
<</-i)a
(y-W
Подставляя вместо у' его значение, имеем у" = —
^ ^.
б. Дифференцируем данное равенство по у и определяем *':
Дифференцируем полученное равенство по у и определяем х":
^
!•</-- I ( у - 1 ) _
1
2
2
2
3
223. 5X + 3 J « / - 2 I / + 2 = 0; ^ - ?
224. х* + у
225. <?>sin* = <r*cosi/; ^ - ?
226. f/J=
=а* ; у'х=а?
'{/Г;
^?
227. лг» + у* - Зосу = 0; у"?
228. у = tg (x + у); у"?
229*. ех-еУ = у-х; у"?
230*. х + у = ех-у; у"?
231. t/ + c1lne/ = x + c2; показать, что уу" — (у')1 + (у')3 = 0.
— 77 —
§ 10. Производные от функции, заданной параметрически
Если функция у от независимой переменной х задана через
посредство вспомогательной переменной (параметра) /:
* = / ( ' ) . У = Ф<0.
то производные от у по х определятся формулами:
dy
dy'
,,' — *!!—**-<
y
~ dx ~dx^>
y
dy^
ts-*yL-*L.
,,'" = %£=• — -
~ dx ~ dx^' y
dt
(A
v
dx ' dx • ' "
dt
dt
Все эти формулы составлены по одному общему правилу:
производная от параметрически заданной величины 2 по неза­
висимой переменной х равна отношению производных от 2 и
от х, взятых по параметру /.
Для следующих функций, заданных параметрически, найти
указанные производные:
( х = k sin / + sin kt
232
1}
{y = kcost + coskt;(%)tJ
Каков геометрический смысл результата?
/ х = а 2 + 2а
i x= l+ea*
2 )
3)
b = ln(a+l);g?
Ь = аФ + , - ; § ?
Р е ш е н и е . 1) Находим производные от х и от у по пара­
метру /
~
-тт= — k sin t — k sin ki.
at = k cos / -f- k cos kt\ at
Искомая производная от у по х находится как отношение про­
изводных от у и от х по t:
. t + kt
t — kt
2 sin — — c o s — —
dy
Щ)_
dt
«**
dx~
J
dx
dt
Л
—
fc(sin/
/с у д щ t +
- р оsin
щ мkt)
-;
k (cos /-J-cos kt)
A
_
-чф
,
-L.
t J
' • "
't—kt
t+kt
2 cos —-—cos —- —
~
K
n. -jrt
,
L
l
'
При t==0 получим - p = 0 . Согласно геометрическому значе­
нию производной (§ 1) в точке (0; &+1), где / = 0, касательная
к графику данной функции параллельна оси Ох.
2) Находим производные от х и от у по параметру а:
da
da
a -f-1
и искомую производную от # по лс:
, d^ dy_.d*
!
_±/a .
y
dx
do.'do.
2(a+l)2— 2 ^ ^
— 78 —
П-2
l )
'
Далее находим производную от у' по а, а затем искомую вторую
производную от у по х как отношение производных от у' и от х по а:
]
^ _ _ / * 4 - П - « - ,/ = <У _ *У, д* _ - (а +1 г» _
da
V«-rU
> У
dA.
da'da^
2(a+l)
2(а+1)4'
""
3) Пользуясь общими формулами (А) для производных от
функции, заданной параметрически, получим
y
У
in
dy
dy dx
а — ае a ? —
У
dx
dy" dy
aea?
dy' _dy\dx
_2ае-™-ае-«Г
dx
dtp 'dy~
aea">
uy
dx
2
uy их
d<p ' dip
zae ••-•
( X= t
233. <^
,. dy .
— од
aea*
£
р-а?
/>-2«*.
fl„
g
2ДФ,
~
;—
_ Zrt
о^>-зл? ^ ~ u^t ;- 4л<р•
/
3a/
1 X~~\ + 2t*
234. ]
3a/ Ф dy .
( x = acost
235. <
. , d?y.
236.
( p = cosa + a s i n a
\ q = sin a— a cos a; -7-5?
/ ;c = acos 3 /
l X = Z*
" 4 »-*+••. (3)..,»
238.
\ // = asin 3 /; ( 0 ) / = i L ?
§ П. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Угол между двумя кривыми
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе
координат (черт. 33), то уравнения касательной и нормали
к ней в точке М (xQl y0) имеют вид:
У-Уо = Уо(х~ХоУ> У—Уо =
г(х — х0)9
(1)
Уо
- dy
где Уо —значение в точке х0 производной ~ из уравнения
кривой.
Направление кривой в каждой ее точке определяется на­
правлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя
пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя
прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения
(черт. 34) по формуле
(2)
**-ГтЙ'
где k1 и £2 — угловые коэффициенты касательных к кривым
в точке их пересечения Р(х0, у0), т. е. частные значения в точ— 79 —
ке х^ производных от у по х из уравнений этих кривых:
У
х
\
0
'
/
хр&вф)
а
л i \ _
х0
\х
Черт. 34
Черт. 43
239. Составить уравнения касательной и нормали:
1) к параболе у = хг — Ах в точке, где х=1\
2) к окружности х2-\-у2 — 2х + 4у — 3 = 0 в точках пересече­
ния ее с осью Ох\
3) к циклоиде x = t — sin/, # = 1 — c o s / в точке, где ^ = 4-5
4) * к кривой г / = | х 3 — 1 | в ее угловой точке.
Р е ш е н и е . 1) Подставляя в уравнение параболы заданную
абсциссу точки касания х= 1, найдем ее ординату у = — 3.
Для определения углового коэффициента касательной у0
находим производную от у по х из уравнения параболы и вы­
числяем ее частное значение в точке л; = 1:
у' = 2 х - 4 ;
у'о=у'(\)=-2.
Подставляя значения х09 у0 и у0 в общие уравнения (I),
получим уравнение касательной
у + 3 = — 2 (х - 1) или 2л: + у + 1 - 0
и уравнение нормали
г/Н-3 = -^-(JC—1) или х— 2у — 7=^0.
Парабола, касательная и нормаль построены на черт. 35.
Л
Черт. 35
Черт. 36
— Я0 —
2) Решая совместно заданное уравнение окружности и урав­
нение оси Ох, */ = 0, находим точки их пересечения: Л (— 1; 0),
fl(3; 0) черт. 36. Дифференцируя по х уравнение окружности
2x + 2yy' — 2-l-4y' = 0t находим производную у' = г— и вычи­
сляем ее значения для точек А и В: y\=U Ув= — 1.
Подставляя в общие уравнения (1), получим искомые уравне­
ния касательной и нормали:
для точки Л соответственно х — г/+ I = 0 и х + */-|-1 = 0;
для точки В JC -J- f/ — 3 = 0 и х — у — 3 = 0.
3) Подставляя в уравнения циклоиды / = | , находим коор­
динаты точки касания: * = -о—1; у = 1 .
Затем определяем производную от у по х из уравнений
циклоиды, как от функции, заданной параметрически
<*У
-г.
У
.
о • t
t
2 Sin -рг COS —
.
/__ dt _
sin t __
"" dx ~ 1-cos t ~~
Л
2
Г771
2sm
2
—
g
/
Y •
T
и вычисляем ее значение для точки касания у0=у' ( у ) = 1.
Подставляя х0, t/0 и у0 в уравнения (1), получим уравнение
касательной 2JC — 2# — я + 4 = 0 и уравнение нормали 2х + 2# —
— я = 0.
4)* Найдем производную у' и затем угловую точку данной
кривой из условия, что для этой точки производная у' не су­
ществует, но существуют различные односторонние производные:
д/' = | jc a — 1 |' = dh Зд:*.
где плюс соответствует интервалу х > 1 , в котором х3— 1 > 0 ,
а минус — интервалу х < 1 , где х3— 1<с0.
Отсюда заключаем, что точка, где х = 1 , является угловой;
в этой точке кривая имеет две односторонние касательные с уг­
ловыми коэффициентами
kx=
lira Й = *'<- ( 0 = - 3 и *а = lira £ W ,
+ I
(D = 3.
Пользуясь общими уравнениями (1), получим уравнения
касательных Зх — у — 3 = 0 и Зле + у — 3 = 0 и уравнения норма­
лей х + Зу— 1 = 0 и х—3*/— 1 = 0 (черт. 37).
240. Найти углы, под которыми пересекаются следующие
линии:
1) прямая х\у — 4 = 0 и парабола 2у = 8—х2;
2) эллипс х2-\-4у* = 4 и парабола 41/ = 4 — 5х2;
3) синусоида / / = s i n x и косинусоида y = cosx.
-57
-
Р е ш е н и е . 1) Совместно решая уравнения параболы и пря­
мой, находим, что они пересекаются в двух точках: Л (0; 4) и
В (2; 2), черт. 38.
Далее находим производную от у по х из уравнения пара­
болы: 2*/'= — 2xt у' — —х и определяем угловые коэффициенты
касательных к параболе в точках Л и В, как частные значения
этой производной:
уА = kA = 0\ ув = kB =-- — 2.
Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точ­
ках; у данной прямой он равен — 1 .
Согласно формуле (2) получим
tg Л = 1, Л = 45°; tgfl = - 1 + 2
1+ 2 •
= yf
B^18,5°.
^
^
/ *
V
'/ ' а } \
Черт. 37
ч?
W ч
Черт. 38
2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие
точки: Л (1,2; - 0 , 8 ) , 5(0; 1) и С(—1,2; —0,8), черт. 39.
Затем определяем угловые коэффициенты kt и k2 касательных
в любой точке эллипса и параболы как производные от у по х
из их уравнений
* , = -
/?2 —
Ау
2 ^*
Подставляя координаты точки Л, получим &i=-o- и &2= — 3.
Следовательно, в точке Л:
tgq> = -
•+з
= —27;
ф^92°
8
Под таким же углом кривые пересекаются и в точке С вслед­
ствие их симметричности относительно оси Оу.
В точке В имеем: ki = k2 = 09 следовательно, в точке В кри­
вые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга.
В этой точке угол между кривыми равен нулю.
— 52 —
3) Абсциссы точек пересечения кривых (черт. 40) определя­
ются уравнением sinjc = cosjc, решая которое, получим
х = ~- + ял;(я = 0, ± 1, ±2
• ..).
Дифференцированием находим угловые коэффициенты каса­
тельных к синусоиде и косинусоиде: kl = co(^x\ k2= — sin*.
Искомый угол между кривыми определяем по общей фор­
муле (2)
Чч =
cos x-\- sin x
т—
1 — cos x sinjc =
±-
2
+
" 2
= ±ZV12.
1-
Положительному знаку соответствует острый угол ф ^ 70,5°,
отрицательному —тупой, смежный с ним угол (fl ж 109,5°.
У
б
/ / /
\J
0
\L
1
Х
4JHT
Черт. 40
Черт. 39
241. В каких точках кривой лг = / — 1, y = t'A—\2t+\
каса­
тельная параллельна: 1) оси Ох\ '2) прямой 9х + у + 3 = 0?
Р е ш е н и е . Используем здесь условие параллельности пря­
мых, заключающееся в равенстве их угловых коэффициентов.
Найдем производную от у п о л из уравнений кривой:
, _dytdx__3t2
У ~~ йГ dt~~
— \2
1
-31*— 12.
Эта производная представляет угловой коэффициент каса­
тельной к данной кривой в любой ее точке.
1) Приравнивая у' угловому коэффициенту оси Ох, который
равен нулю, получим З/2 — 12 = 0; /2 = 4; t = ±2.
Подставляя эти значения параметра t в данные уравнения
кривой, найдем координаты тех ее точек, где касательная па­
раллельна оси Ох: (1;—15); (— 3; 17).
2) Приравнивая у' угловому коэффициенту данной прямой,
который равен —9, получим З/ 2 —12=— 9; * 2 = 1 ; / = ± 1 .
По найденным значениям параметра t из уравнений кривой
определяем координаты искомых точек, где касательная к кривой
параллельна данной прямой: (0; —10), ( — 2; 12).
— 83 —
242*. Составить уравнения касательных к параболе у = х2—
— 4*4-1» проходящих через не лежащую на ней точку: 1) О(0; 0);
2) А(1; 1).
Р е ш е н и е . Уравнение касательной к данной параболе имеет
общий вид
У-Уо = (*2 — 4х + 1)о(*-х 0 ),
или
У - (*о — 4х0 + 1) = (2х0 - 4) (х - х0),
где (х9 у) — текущая точка на касательной;
(хо> Уо) — неизвестная точка касания.
1) Так как касательная проходит через точку О, то
0 - ( * ; - 4 * 0 + 1 ) = (2* 0 -4)(0--* 0 ).
Решая это квадратное уравнение, находим для абсциссы
точки касания xQ два значения: х0 = ± 1, а отсюда и уравнения
двух касательных: 2х4 у = 0 и 6х 4 у = 0.
2) Для точки А те же рассуждения при­
водят к квадратному уравнению xl — 2х0 + 4 =
=0, корни которого комплексные. Поэтому
через точку А нельзя провести к данной
параболе ни одной касательной.
Полученные результаты имеют простой гео­
метрический смысл: из каждой точки, принад­
лежащей внешней области параболы, можно
провести к ней две касательные, а из точки,
принадлежащей ее внутренней области, — ни
одной (черт. 41).
В общем случае задача о проведении каса­
тельных к кривой # = /(*) через точку (а, 6), не
лежащую на этой кривой, решается этимжеспоЧерт. 41
собом, исходя из общего уравнения касательной
У — Уо = Уо(х — Ч).
Эта задача имеет столько же решений, сколько вещественных
корней имеет уравнение
b-f{x0) =
f'(x0)(a-x0).
В задачах 243—248 найти уравнения касательных и норма­
лей к данным кривым в указанных точках и построить кривые,
касательные и нормали.
243. К параболе у = 4 — х2 в точке, где х= — I.
244. К гиперболе у2 — 2х2=\ в точках, где х = 2.
245. К эллипсу x=-2\f~3cost, у = 2 sin/ в точке, где/ = -^-.
— 84 —
246. К астроиде х = a cos 3 /, y = a s i n 3 / в точке, где * = - г #
247*. К кривой y = \s\nx\ в ее угловой точке, где х = л.
248*. К кривой у = \2х-~х2\ в ее угловых точках.
В задачах 249 — 254 найти углы, под которыми пересекаются
данные линии, и построить эти линии и углы.
249. 9/у = х3; х—у = 0.
250. y = cosx\ 2у=1.
251*. yi2 = 2ax + a*\ y2 = b2 — 2bx. 252. у = е*\ у = е*х.
253. х2 — у 2 - 6 ; х* + 4у2 = 16.
254. y = i\nx\ y=sin2jt.
255. Зная, что касательная к параболе у = ах2-\~Ьх-\-с в ее
вершине параллельна оси Ох, найти вершины следующих па­
рабол:
1) у = х* + 2х—1;
2) у=
1+8JC — 2х\
3) 2у = 2х — х2
и по­
строить их.
256. На окружности х2 + у2 = 25 найти точки, где касатель­
ная параллельна прямой Зх + 4у —12 = 0. Построить окруж­
ность, прямую и касательные.
257. На каждой из следующих кривых:
1) y = 2 x 3 - 9 * 2 + 1 2 x - 5 ; 2) у = х + \Гх\
3) * = *« + 1, у = 3 — Р\ 4) JC2 + 3t/2 — 2х + 6 г / - 8 = 0
найти такие точки, где касательная параллельна оси Ох,
258. Найти угол между касательными к эллипсу х = 2 cost,
t/ = 3sin/, в точках, где t = -^ и / = у . Построить эллипс и
касательные.
259*. Построить на отрезке [ — 2; 21 график функции у = \ х3 +
+ х\ и найти угол между касательными в его угловой точке.
260. Построить и найти углы, образуемые параболой у = 2* —
— х2 и хордой, соединяющей ее точки с абсциссами 1 и 4.
261*. Определить угол между касательными к параболе
у = х2 — Зх+\у проведенными из точки (4; 1). Построить пара­
болу и касательные.
§ 12. Скорость изменения переменной величины.
Скорость и ускорение прямолинейного движения
Если величина z изменяется с течением времени t, то скорость
„ dz
ее изменения определяется производной -^
Зная зависимость между двумя переменными х и у, можно
найти зависимость между скоростями их изменения по формуле
производной сложной функции
ay
dy djc
Tt~~~TxTf
— 55 —
Если точка движется прямолинейно, то ее скорость v и уско­
рение w определяются первой и второй производными от пути s
по времени /:
ds
dv
d2s
262. Точка движется по кубической параболе 12*/ = х3. Какая
из ее координат изменяется быстрее?
Р е ш е н и е . Считая в уравнении параболы у сложной функ­
цией от времени t и дифференцируя его по t, получим
Отсюда найдем отношение скоростей изменения ординаты и
абсциссы:
dy dx х2
Tt:~dt~~T '
При | * | < 2 это отношение будет меньше единицы, при | х | =
= 2 —равно единице и при | х | > 2 оно будет больше единицы.
Следовательно:
1) при — 2 < х < С 2 ордината изменяется медленнее абсциссы;
2) при х = ± 2 скорости изменения абсциссы и ординаты
одинаковы:
3) при х<С — 2 и х > 2 ордината изменяется быстрее абсциссы.
263. Резервуар, имеющий форму полушара с внутренним
радиусом R О), наполняется водой со скоростью Q (л) в секунду.
Определить скорость повышения уровня воды в резервуаре
в момент, когда он будет равен 0,5 R.
Р е ш е н и е . Обозначим через h уровень воды в ж и через v
ее объем в мя. Найдем зависимость между переменными h и vt
пользуясь формулой для объема шарового сегмента
v = nh2(^R — у ) .
Дифференцируя это равенство по времени /, найдем зависи­
мость между скоростями изменения переменных h и v.
dv dv dh
dt ~~ dh
Гп, /
И
n
1 .Adh
o n
,
dh
l2\
Полагая, согласно условию, -^ = 0,001 Q f — j ,
dh
Q f M\
получим
-л
= nh,0,0)1
., — .
J
/on
dt
(2R—h) \сек)
0
,
R
dh
0,004 Q ( м \
При h = T получим 7t = ^ - [ — y
264. Скорость прямолинейного движения тела пропорцио­
нальна квадратному корню из пройденного пути (как, например,
— 56 —
при свободном падении). Доказать, что это движение происхо­
дит под действием постоянной силы.
Р е ш е н и е . По закону Ньютона сила Ft вызывающая дви­
жение, пропорциональна ускорению
г
~
R
dt* '
Согласно условию -^ = К | / s . Дифференцируя это равенство,
найдем
Следовательно, действующая сила F = -~- (const).
265. Точка совершает прямолинейное колебательное движе­
ние по закону ^ = Л sin оз/. Определить скорость и ускорение
9тт
движения в момент времени / = — . Показать, что ускорение
движения пропорционально отклонению х.
Р е ш е н и е . Найдем скорость v и ускорение w движения
в любой момент времени t:
v = -rt = Лео cos со/; w = ^ = —Лео2 sin to/.
При t = —, V = A(U,
w=0.
Сравнивая выражения для ускорения w и для отклонения xt
видим, что первое отличается от второго только постоянным
множителем: w = — со2*.
266. Зависимость количества Q вещества, получаемого в хи­
мической реакции, от времени t определяется формулой Q =
= а(1 +be~mt). Определить скорость реакции.
267. Точка движется по параболе у = 5 — х2 так, что ее абс­
цисса х изменяется с течением времени / по закону x = at2.
С какой скоростью изменяется ордината точки?
268. Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью
2 см/сек. С какими скоростями возрастают поверхность и объем
шара? Каковы будут эти скорости в момент, когда г достигнет
10 см?
269. Движение точки по оси Ох определяется формулой х —
= (/— 2)2е~*. Определить скорость и ускорение движения и те
моменты времени, когда точка меняет направление движения.
270. Точка массы т колеблется по оси Ох так, что в момент
времени t ее отклонение х от положения равновесия опреде­
ляется уравнением х= Ae~at cos (at + b). Найти скорость движе­
ния точки и действующую на нее силу.
-87
—
§ 13. Дифференциал функции
Из определений производной у' = Пт -~
и предела переменЛ
Ах -ю
*
ной следует, что д^ = #' + е и л и Ау = у'Ах-{-в Ах, где е —*0 при
Ал:—*0, Т. е. что приращение функции можно разбить на две
части.
Главная часть приращения функции, линейная относительно
приращения независимой переменной, называется дифференциалом
функции и обозначается знаком d:
dy = y' Ax.
Дифференциал независимой переменной х равен ее прира­
щению, dx = Ax. Поэтому
dy = y'dxt
(a)
т. е. дифференциал функции равен ее производной, умноженной
на дифференциал независимой переменной.
Для всякой данной функции y = f(x) производная у' зависит
только от одной переменной х, тогда как ее дифференциал dy
зависит от двух независимых друг от друга переменных: х и Ах.
Нахождение дифференциала функции называется дифферен­
цированием, гак же как и нахождение производной, так как
согласно формуле (а), чтобы найти дифференциал какой-либо
функции, надо найти производную этой функции и умножить
ее на дифференциал независимой переменной.
Формула (а) верна и в случае, если у есть сложная функция,
т. е. если х есть функция переменной /4
При достаточно малых значениях \dx\ приращение функции
может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой
относительной ошибкой:
Ау ж dy.*
Это приближенное равенство применяется для приближенных
вычислений, так как вычисление дифференциала функции значи­
тельно проще, чем вычисление ее приращения.
271. Найти дифференциалы функций:
1)у = *з_з*;
2) F(cp) = c o s | + s i n A ;
3) 2 = In (l +e 10 *) + arcctg£ 5 *; вычислить dz| * = 0 ; djc=0)1
Р е ш е н и е . Находим производную данной функции и, умно­
жив ее на дифференциал независимой переменной, получим
* Исключая точки, где у' = 0.
— 88 —
искомый дифференциал данной функции:
1) dy = (/'dx = (x 3 -3*)'dx = (Зх 2 -3*1 n2>)dx\
2) £(/г(ф)==й (cos -|- + s i n — j = fcos-^ + sin — J d<p =
•[-й!-(1)'+«г(Я1*-(>ЬИ)*
5*б*(2е Б * — 1)
•dx.
l+gio*
Полагая A: = 0 и dx = 0,l, получим dz = 0,25.
272. Вычислить приближенное значение: 1) у/П) 2)arctgO t 98:
3) sin 29°.
Р е ш е н и е . Если требуется вычислить f{xt) и если проще
вычислить f (х0) и /' (х0), то при достаточно малой по абсолютному
значению разности jq — x0 = dx можно заменить приращение
функции ее дифференциалом / (xx) — f (х0) « /' (х0) dx и отсюда
найти приближенное значение искомой величины по формуле
f(Xi)~f(*o)
+ f'Mdx.
(б)
1) Будем рассматривать J/17 как частное значение функции
х
f ( ) — Vх
П И
Р * = 17 = Xj. Пусть х0 = 16, тогда / (х0) = J/16 = 2,
~3
1
f'{x.) = jx
1
*
1
, dx = x2 — х 0 = 1 .
Подставляя в формулу (б), получим
Vl7*f{x0)
+ r(x0)dx = 2 + ±.\ = | « 2,031.
2) Пусть arctg0,98 есть частное значение функции £/ = arctgл:
при
х = 0,98 = хА. Пусть
1
l+*»|*ei
=
т
2
,
х0=\,
тогда у (*0) = -т . У'(*о) =
d x ^ ^ —х0 = —0,02.
Пользуясь формулой (б), найдем:
arctgO^e^^^ + i / ' ^ ^ ^ T + T ^ 0 ' 0 2 ^ 0 » 7 7 5 4 — 89.-
3) Полагая, что sin 29° есть частное значение функции у =
= sin Л: при * = TgQ•29 = * 1 и что xQ = jon*30=- -g-, получим
у(х0) = sin -£ = 1 «
*/' (*0) = cos x I
я
I
, _
_ 29л
я __
tfx — Arx — x 0 — yg^-
-g--:
= l^i
;
Q
jrt_ .
18Q;
sin 29°*y(x0) + y'(x0)dx = ± + Q ( — ш ) ^ 0 , 4 8 4 8 в
Найти дифференциалы функций:
273. y = (a + bx)m.
274. 2 = ^-£ (2 —2/ —/ 2 ).
275. и = ~(1 — п\пх).
276. t? = (l —In sin ф) sin ф.
Вычислить с точностью до 0,01 дифференциалы функций:
277. у = х(1+х)(1-х)
при JC = — 10 и d* = 0,l.
278. г = хУх* + 5 при х = 2 и djc =-g-.
2 9. г = ф + (ф 2 + l)aгcctgф при ф = —-5. и йф = 0,2.
осп
2sin 2x —3cos2x
n
,
Л ЛО
280. v =
^
при х = 0 и rf.x= —0,03.
281. Вычислить приближенное значение функции
у^х1—
4
3
— Зл + 4х —2 при х= 1,002, исходя из ее значения при х=\
и заменяя приращение функции дифференциалом*.
282. Найти приближенное значение tg44°56 / , исходя из зна­
чения функции y = tgx при х = 45° и заменяя ее приращение
дифференциалом *.
283. Найти приближенное значение arc cos 0,4993, исходя из
значения функции */= arc cos % при л: = 0,5 и заменяя ее прира­
щение дифференциалом*,
284. Найти приближенное значение In 1,01.*
285. Найти приближенное значение £/31.*
§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента
и ее дифференцирование.
Касательная к пространственной кривой
Переменный вектор г называется вектор-функцией скалярного
аргумента t, если каждому рассматриваемому числовому значению
t соответствует определенное значение г (т. е. определенный
модуль и определенное направление вектора г).
* Все вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками.
— 90 —
Если начало переменного вектора r = r(t) неизменно поме­
щается в начале координат О, т. е. если г (0 есть радиусвектор ОМ, то при изменении скаляра / его подвижный конец М
описывает некоторую линию, которая называется г о д о г р а ф о м
этого вектора.
При разложении радиуса-вектора r(t) по ортам r = xi+yj +
+ zk его проекции rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) совпадают с ко­
ординатами его конца М (xf у, z), а система x = x(t), y = y(t),
z = z{t) представляет параметрические уравнения его годографа.
П р о и з в о д н о й вектор-функции r(t) называется предел
lim гг ; она обозначается -^ , или г, или 7 \
Правила дифференцирования (нахождения производной) век­
тор-функции r(t) аналогичны правилам дифференцирования
скалярных функций:
с ' = 0 , если с —постоянный вектор.
<fi±~r2y = r'i±~r'2'> (гиУ=Ри + ги\
Если r = xi + yj + zkt то г = xi + yj + zk. Вектор г направлен
по касательной к годографу вектора г.
Если вектор г (t) изменяется только по направлению, то его
годограф представляет линию, расположенную на сфере радиуса
R=\r\
с центром в начале координат, а вектор г перпендику­
лярен к годографу вектора 7\ если вектор r(t) изменяется только
по модулю, то его годограф представляет лун, исходящий из
начала координат, а вектор г направлен по этому лучу.
Всякую кривую можно рассматривать как годограф радиусавектора ее текущей точки М (х, у, z). Поэтому, если x = x(t),
y = y(t), z = z(t) — параметрические уравнения кривой и M0(xQ,
yQt 20) — точка этой кривой, то касательная прямая к этой кри­
вой в точке MQ определяется уравнениями
х
—*о ^У—Уо ^z—zp
(1)
X
Q
Уо
г
0
а нормальная плоскость (перпендикулярная
определяется уравнением
(* — хо)хо + (у—уь)уо
к касательной)
+ (г — го)го = 0.
(2)
286. Найти уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости к кривой:
1) x = t*t y = t2, z = t в точке, где t = — 1 ;
2) х — у2, y = z2 в точке, где z = 2.
— 91 —
Р е ш е н и е . 1) Определяем координаты точки касания:
х = — 1, # = 1, 2 = — 1 (подставляя / = — 1 в данные уравнения).
Находим производные от х, у и г по / и вычисляем их значения
в точке касания: я = 3/ 2 , y = 2ty z= 1; .*(— 1) = 3, у( — 1) = — 2,
Подставляя в общие уравнения (1) и (2) координаты точки
касания и вычисленные значения производных, получим урав- Х+\
2+1
и—\
нения касательной прямой —~-=^—^--=——- и уравнение нор­
мальной плоскости 3(* + 1) — 2(у— l ) f z+ l = 0 или Зх —2у +
+ z + 6 = 0.
2) Здесь кривая определена как пересечение двух поверх­
ностей. Вначале преобразуем уравнения кривой к параметри­
ческому виду. Полагая z = t, получим y = t2, x = t*.*
Далее определяем координаты точки касания: х=\6у */ = 4,
2 = 2 и значения производных х, у, z в этой точке: х = 4/ 3 ,
y = 2t, i = l ; i(2) = 32, y ( 2 ) - 4 , z ( 2 ) = l .
Подставляя в общие уравнения (1) и (2), получим уравнения
касательной
Л:—16 __ ц— 4 _ 2 — 2
32
~
4
—
1
и уравнение нормальной плоскости
32(л: — 16) + 4(£/ — 4) + z — 2 = 0
или
32Л; + 4 * / + 2 - 5 3 0 = 0.
287. Найти уравнения касательной к винтовой линии у = acos/,
y=--as\nt, z = bt в точке, где t = t0l и угол, образуемый ею
с осью Oz.
Р е ш е н и е . Обозначив координаты точки касания (х0, у0, г0)
и пользуясь общими уравнениями (1), получим следующие урав­
нения касательной:
—asin/ 0
acos/0
6
Отсюда направляющий косинус угла, образованного каса­
тельной с осью Oz:
cos Y : J/^2 y2_f_22
+
V V s i n 2 / 0 + a 2 cos 2 / 0 + 62
y V + 6*
Этот результат показывает, что все касательные к винтовой
линии образуют с осью Oz один и тот же угол.
* Можно получить и другие параметрические уравнения дайной линии.
Вообще, если линия задана уравнениями /(*, у, 2) = О, F (ху уУ z) = 0, то для
нее можно получить бесчисленное множество различных параметрических
уравнений вида x = yl(t), у = фа(0» * = фз(0-
—
92-
В задачах 288 — 290 написать уравнения касательной прямой
и нормальной плоскости к кривой:
288. Jt = 2f, у—Ant, 2 = t2 в точке, где / = 1 .
289. x = cos 2 -j, */ = stn/, 2 = sin^- в точке, где * = я.
290. у = х, г = х2 — у2 в начале координат.
291,* Найти направляющие косинусы касательного вектора
к кривой у2 = 2х, z2 = 8x в точках, где х = 2.
§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения
Если в любой момент времени t положение движущейся
точки М определяется ее радиусом-вектором OM=r(t), то г есть
вектор скорости, г есть вектор ускорения, а годограф вектора г
есть траектория движения точки УИ.
Вектор скорости г направлен по касательной к траектории,
а его модуль равен производной от пути по времени \r\ = ^~t292. Зная уравнение движения точки, определить (назвать),
какую линию представляет ее траектория и найти скорость
и ускорение этой точки:
1) 7 = (3/ —2) Г—4//;
2
3) r = (2t -3)i-3t*j
4) г = а sin со/Л
2)7 = 2co3/.7+sin/-ft;
+
(At2-5)k\
+acosЫ-j-\-btk.
Р е ш е н и е . 1) Траектория точки есть годограф ее радиусавектора г{3/ —2; —4/}, т. е. линия, определяемая параметри­
ческими уравнениями х = 3£ —2, // = — 4Л Исключая из них па­
раметр (время) tt получим прямую 4х + 3у + 8 = 0, расположенную
в плоскости хОу.
Скорость v и ускорение w движения точки найдем как первую
и вторую производные от г по t:
v = r — 3i — 4/; ay = r = 0.
Следовательно, точка движется прямолинейно с постоянной
скоростью, модуль которой \v\ = К3 2 + ( — 4)2 = 5.
2) Здесь траектория точки есть эллипс, определяемый пара­
метрическими уравнениями х = 2 cost, z=s\nt или уравнением
х2
-т- + 2 2 = 1 , который расположен в плоскости хОг.
Скорость точки v = г = — 2 sin t-i-\- cos t • k, ускорение w = r =
= — 2cos t-i — sin /• k.
-93
~
3) Параметрические уравнения траектории точки х = 2/ 2 — 3,
у = — З/ 2 , z = 4/ 2 — 5 после исключени51 параметра / преобразу„ *+ 3
у
2+ 5
ются в канонические уравнения прямой—^— = ^ з = —^—.
Скорость точки v = r = 4ti — 6tj + 8/£, ускорение w = r = М —
— 6 / + 8&—постоянно (не зависит от времени /).
Здесь движение точки является прямолинейным и равно­
мерно-переменным.
4) Траектория точки есть цилиндрическая винтовая линия
# = asinG)/ t у = а cos cat, z = bt.
Скорость точки v = ^=£0) cos at- i — аса sin о)/-/ + bk,
ускорение w = r = — аса2 sin cot • /—аса2 cos cot * /.
Здесь движение точки является равномерным, так как модуль
скорости | v | = 1/а2о)2 + b2 остается неизменным.
293. Зная уравнение движения точки г = cos 3 /-/ + sin*/.J,
построить ее траекторию и векторы скоро­
сти и ускорения в моменты времени / г =
л
Черт. 42
В момент /А =
,
я
= ¥ и ^ = ТР е ш е н и е . Траектория точки или го­
дограф вектора г есть астроида х — cos3 /,
у — sin 3 1.
В любой момент времени / скорость точ­
ки v = г = — 3cos 2 /sin/-i + 3 sin2/ cos/./,
а ее ускорение ay==r = 3cos/ (3 sin2/—
— 1) Н - 3 sin / (3cos2 / - 1) J.
3 |/"з 0i = — -s- *
8
'
8
-
3 |/"з .- , 1 5 ^
8
0—0.
*/•
—
2
2 j / - 2 = <н-7).
а*.
Траектория точки и найденные векторы ее скорости и уско­
рения в моменты ^I=-Q и /2 = — построены на черт. 42.*
В задачах 294—296 по данному векторному уравнению дви­
жения точки построить ее траекторию и векторы скорости
и ускорения в моменты времени / = 0 и / = 1 .
294. r - a c o s M + asin/•'/". 295. г = 3 / / + ( 4 / — /2)fe.
296. r = 3(/ — s i n / ) ' + 3 ( 1 - c o s / ) / .
В момент /2 =
У2о = "2 j / - 2 м
* Координаты JC, г/ начала каждого вектора определяются из уравнений
траектории по данным значениям t.
— 94 —
Г Л А В Л III
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ИХ ГРАФИКОВ
§ 1. Теорема (формула) Тейлора
Многочисленные применения дифференциального исчисления
в естествознании и технике основываются на теоремах Ролля,
Лагранжа, Коши и Тейлора. В каждой из этих теорем утверж­
дается существование некоторого среднего значения аргумента
х~су вследствие чего все они называются теоремами о среднем.
Т е о р е м а Т е й л о р а . Функция f(x), дифференцируемая
п+ 1 раз в некотором интервале, содержащем точку а, может
быть представлена в виде суммы многочлена п-й степени и
остаточного члена Rn:
+ f^(x-ay
f{x) = f{a) + ^(x^a)
+^ ( x ^ a r +
+ ...+f^(x-ay
{n + l)
- f
* я -
(c)
(я+
1)!
+ Rn),
,
(T)
у,+1
\Х
а
>
'
где с—некоторое среднее значение между а и л\
с= а + 6(х-а),
0 < 9 < 1.
Эта теорема является самой общей теоремой о среднем, из
которой вытекают все остальные.
Формула Тейлора (Т) позволяет приближенно представить
(аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде много­
члена
; ( х ) * / ( 0 ) + ф ( * - 0 ) + ^ ( х - 0 ) « + . . . + ^ ( х - в ) " (*)
(называемого многочленом Тейлора) и вместе с тем позволяет
оценить возникающую при этом погрешность /?„, которая во
многих случаях может быть сделана как угодно малой. Поэтому
—5 5 -
она является одной из важнейших формул математического
анализа, которая широко применяется и как тонкий инструмент
теоретического исследования и как средство решения многих
практических задач.
Частный, простейший вид формулы Тейлора при а = 0 при­
нято называть формулой М а к л о р е н а :
Ш х + ф ^ + ^ ) х . + ...+
,Г(0) п , п , _г+»<е*) „+1
/(х)в/(0)+
+ -^ГХ+Кп>
*п--(^+цГх
•
ш
(м)
Она дает разложение функции по степеням самой независимой
переменной.
Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора
неприменима, ибо при х^=0 многие функции или их производные
не существуют (например: Inx; j/V, ctgr, — J.
297. Каждую из данных функций аппроксимировать много­
членом /2-й степени относительно х, оценить погрешность и
установить, при каких значениях х она может Сыть сделана
сколь угодно малой.
1) ех\ 2) sinx; 3) cos л:.
Р е ш е н и е . Чтобы получить приближенное выражение дан­
ной функции f (х) в виде многочлена относительно независимой
переменной ху следует написать для этой функции многочлен
Маклорена. Затем для оценки той погрешности, которая возни­
кает в результате замены данной функции ее многочленом Мак­
лорена, следует найти остаточный член Rn формулы Маклорена,
применяя его общую формулу к данной функции, и, наконец,
для определения тех значений ху при которых погрешность
может быть сделана сколь угодно малой, необходимо исследовать
поведение остаточного члена при п —• -t- oo и при различных зна­
чениях х. Погрешность может быть сделана сколь угодно малой
только при тех значениях х, при которых lim /?п = 0.
1) Вычислив значения данной функции и ее производных
при х = 0:
f(x) = ex; ГМ = ГМ = Г М = . .Л. = / , Л , М = ^ ;
/(0) = Г(0) = Г ( 0 ) = . . . = Г > ( 0 ) = 1
и пользуясь многочленом Маклорена (*), получим искомое
приближенное выражение данной трансцендентной функции в
виде многочлена n-й степени:
«-*!+£ + £ + £ + . . . + £ .
(1)
Погрешность этого приближенного равенства определяется
остаточным членом формулы Маклорена. Для функции ех
-96
—
получим
xn
+i
К^ЙЛ)]^. 0<«<1.
Очевидно, что величина погрешности Rn зависит как от сте­
пени п аппроксимирующего многочлена, так и от значений
переменной х.
При неограниченном
возрастании п и при любом значении х
хп + 1
величина :—г~г^г является бесконечно малой, что было установ(/1 + 1)!
лено в решении задачи 40, а величина евх является ограни­
ченной. Поэтому при любом значении х и при п—> + оо оста­
точный член в разложении функции ех неограниченно убывает,
стремясь к нулю:
Из этого следует, что при любом значении х можно аппрок­
симировать трансцендентную функцию ех ее многочленом Маклорена с любой желаемой точностью и что последовательное
повышение степени аппроксимирующего многочлена дает и по­
следовательное повышение точности аппроксимации.
Полагая п = 1 , 2, 3, получим приближенные формулы
е* ж 1 -\-х,
X2
е* « Ц- х + у '
е* « 1 +х +Y + T '
которые расположены в порядке возрастающей точности.
2) Вычисляем значения функции sin л; и ее производных
при х = 0:
fix) -sinx,
/(0) =0,
f'{x) = cosx = sin(;c+i),
/'(0) =1,
Г(х) = -sin*=sin(x + 2^-),
Г(0) =0,
/'''(x) = -co3*=sin(x + 3 i ) f
/"'(0) = - 1 ,
•
•
•
•
•
•
•
/<*> (х) = sin (х + k \ ) ,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Г (0) = sin k \ .
Здесь при x = 0 все производные четного порядка равны нулю.
Поэтому аппроксимирующий эту функцию многочлен Маклорена
будет содержать только н е ч е т н ы е степени х:
X3
Xs
Sinx«»x зГ~*"5!
(х —радианная мера угла).
4
X» 3201
JC7
х2т-1
7Г+ — ± (2m-l)!
— 97 —
^
Это приближенное равенство отчетливо выражает н е ч е т ­
н о с т ь функции sin х, т. е. что sin(—х) = — sin x.
Погрешность этого приближенного равенства определим по
общей формуле остаточного члена Rn формулы Маклорена.
Для функции sin л: погрешность
^=(Й^)Т5'1П[0д;+ (2т+,)т]'о<е<1-*
Используя очевидное неравенство | s i n a | < l , избавимся от
неизвестной величины в и получим простое выражение для
оценки погрешности, возникающей при замене функции sin x
многочленом (2)
|XJ2M + I
I R'lm I ^ (2m'+l)f '
Как было доказано в задаче 40 при n - ^ + оо и при любом
значении х величина — стремится к нулю. Вследствие этого
при / n - ^ - f o o и остаточный член R2m формулы Маклорена для
функции sin x также стремится к нулю при любом значении х,
т. е.
lim R 2 m = Q.
Следовательно, при любом значении х можно заменить функ­
цию sin х ее многочленом Маклорена с любой сколь угодно
малой погрешностью. При этом последовательное уменьшение
погрешности достигается путем последовательного увеличения
числа членов аппроксимирующего многочлена (2).
Полагая т = 1 , 2, 3, получим простейшие приближенные
выражения для sin x:
sinx^x,
sin*»** —-g,
l#2l<-75T->
|Я 4 |<^1__ц
sin*»* —- д +
ш
.
|/?e|^!_L.
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
3) При х = 0 значения функции cosx и ее производных будут:
/(*) =co 4 s*,
/(0) = 1 ,
fix)
= —sinx = c o s ( x + £ ) ,
ПО)
=0,
/"(*) = - c o s x = c o s ^ + 2 i ) ,
Г(0) = - l ,
r ' ( * ) = sin* = cos(* + 3 i ) ,
f"'(Q) = 09
P*(x) = COs(x+k%y
fik>(0) =
CQSk±.
* R2m соответствует многочлену Маклорена 2/л-й степени, который для
функции sin* тождествен многочлену (2т — 1)-й степени.
— 98 —
Здесь значения всех производных нечетного порядка равны
нулю. Поэтому многочлен Маклорена, аппроксимирующий функ­
цию COSJC, содержит только ч е т н ы е степени х:
cosJC«l-5r
+ 4T_5i
+ ...±i
5 I
.
(3)
Эта приближенная формула отчетливо выражает ч е т н о с т ь
функции cosx, т. е. что cos(—x) = cosx.
Погрешность этой приближенной формулы будет
^ - ^ ( 2 ^ Г
С О 5
[
0 х
+ (2т + 2 ) ^ ] ,
О<0<1.
Избавляясь от неизвестной G, в силу неравенства | c o s a | ^ : l ,
получим неравенство
l^2m + l l < (2m + 2)l '
которое позволяет легко оценить погрешность при замене функ­
ции cos л: многочленом (3).
Исследуя поведение погрешности R2/n+i П Р И различных зна­
чениях х и при т—•Ч-оо, посредством таких же рассуждений,
как и в двух предыдущих задачах, приходим к выводу:
При любом значении х и при т—*+оо остаточный член
/? 2ст+1 формулы Маклорена для функции cos x стремится к нулю,
т. е.
lim /? 2 ш + 1 = 0.
Из этого следует, что при любом значении х функцию cos л:
можно аппроксимировать ее многочленом Маклорена с любой
заданной точностью, причем последовательное повышение точ­
ности аппроксимации достигается путем простого увеличения
числа членов аппроксимирующего многочлена (3).
Полагая / п = 1 , 2, 3, получим простейшие приближенные
формулы для cos л;:
COS* «
**
|/?3i — 41
1— у ,
C 0 S ^ « 1 — у + 25»
х
2
, х
4
|/?6|
X
е
,
п
,
• 61
^ х8
1 ^ 7 1 "^81 '
C O S * ^ * ~ Y + 2 4 — 720'
которые расположены в порядке повышающейся точности.
298. Аппроксимировать функции: 1) хт и 2) In л; многочле­
нами л-й степени относительно двучлена х—1 и оценить по­
грешность. Затем, полагая я—1 = /, получить разложения функ­
ций по степеням £.
Р е ш е н и е . Чтобы аппроксимировать данную функцию f(х)
многочленом относительно двучлена х — 1, следует написать для
нее многочлен Тейлора, полагая а=\. Погрешность, возникаю4*
-99
-
[цая при замене даниой функции ее многочленом Тейлора, опре­
деляется величиной остаточного члена /?„ формулы Тейлора.
1) Для функции х'п, где т — любое вещественное число, имеем:
f(x) = *»,
f{x) =mx'"-',
f"(x) =т{т-\)х'"-\
f'"(*) = т(т-\)(т-2)х"-\
/(1) = 1 ,
/'(1) =т,
Г(1) = m(/n-l),
/'"(1) = т ( т - 1)(т-2),
/(*'(x) = m(m-l)(m-2)...
. . . (т —/г+ 1 )*'"-*,
/<*> (1) = т ( / п - 1)(т-2)...
. . . (m — k + l).
Пользуясь многочленом Тейлора (*), получим
т(т—1)(т—2) ,
^3.
т(т-1) ... (т — л + |)
^в
Погрешность этого приближенного равенства найлем по общей
формуле остаточного члена Rn формулы Тейлора, полагая
/ (х) = хт и а - 1:
Rn=m{m-ll-f!n-n)
(х-\)п+1[1+в(х-\))'»-п-\
0<в<1.
Полагая *—1=--*, получим
от (от — 1) . . . (m — n + \)tn
п
_ т(т—\)
. . . (rn — n) jn + 1 ,« , о / \ m-n-i
Последняя формула представляет обобщение бинома Ньютона
дли любого показателя т . В частности, когда показатель т —
целое положительное число, то Rm обращается в нуль, а равен­
ство (4) обращается в элементарную формулу бинома Ньютона.
Если т не будет целым положительным числом, то равенство
(4) дает приближенное выражение бинома в виде многочлена
с биномиальными коэффициентами, которые составлены потому же
закону, что и в элементарной формуле бинома Ньютона.
Как доказывается в теории рядов, погрешность Rn биноми­
альной формулы (4) может быть сделана сколь угодно малой
величиной, т. е. стремится к нулю с возрастанием п только
для тех значении /, которые по абсолютному значению меньше
единицы:
- K f <1.
— 100 —
Полагая п-^ 1, 2, 3, получим простейшие приближенные бино­
миальные формулы:
(1 + 0 , я « 1 + mf,
Вторая из этих формул точнее первой, а третья точнее второй.
2) Для функции In Л: получим:
/<*) = 1 п * .
/(1) - О ,
/'(*) =х-\
Г(1) = 1 ,
Г(х) =-\-х-\
/"(I) = - l .
/'"(X)=1-2-JC-3,
f"(l)
/">(*) = _ 1-2-Зх"4,
/ (4) (1) = — 3 !
/•*>(х) = ( - 1 ) * - » ( Л - 1 ) Ы * ,
= 2!
^ ( 1 ) = (—!)*-»(*-1)!
Погрешность этой приближенной формулы
*.= £ £ [т+^ГТ)]"1.
Полагая х — 1 = ^, получим
/2
ln(i +
0
/3
О<0<1.
rf/i
/4
^ / - i - + L— i . + . . .
+ (
_ir-iL
;
( 5)
rt + 1 \ 1 + 6 /
Здесь Rn—> О с возрастанием п при— 1 <С* ^ 1, т. е. погреш­
ность вычисления логарифмов по формуле (5) можно довести до
любой сколь угодно малой величины только для значений t из
указанного полуоткрытого интервала.
При л = 1, 2, 3 получим приближенные формулы
1п(1 + 0 « Л
ln(l + 0 « ' - j ,
ln(l+/)«/-^ + J f
которые следуют в порядке возрастающей точности.
Аналогичным образом, как в задачах 297 и 29§, MH0SU6 дру­
гие трансцендентные и сложные алгебраические функции можно
аппроксимировать посредством формулы Тейлора простейшими
алгебраическими функциями — степенными многочленами с любой
— 101 —
заданной точностью, что имеет огромное теоретическое и прак­
тическое значение.
299. Вычислить с точностью до 10"6 приближенное значение:
1) or, 5°; 2) sin 49; 3) {/83; 4) У~[2\.
Р е ш е н и е . 1) Воспользуемся приближенной формулой для
cos,v, полученной в решении задачи 297.
Подставляя в эту формулу раднанную меру угла 5°, получим
слъь - - - с о ь ^ » ! _ _ _ + _ _ _ , . .
±
_ _ _ .
Чтобы определить, сколько взять первых членов этой формулы
)Хяп получения заданной точности вычисления, оценим величины
последовательных остаточных членов /?*,л+1:
1#1!<£ = ^ < 0 , 0 0 4 ,
l^i<- 4 T= 4 -fJ- 4 < о.оооооз,
l^i^gy==6]i<0'00000003Величина | /?51 < Ю"в. Поэтому для получения заданной точ­
ности вычисления достаточно взять три первых члена формулы,
предшествующих R5:
соз 5° ж [ - Л
+ . т г ^ ~ 1 -0,0038077 + 0,0000024 « 0,96195.
Здесь для обеспечения заданной точности значения числа я и
всех результатов промежуточных действий взяты с одним лиш­
ним знаком, т. е. с точностью до 10~7 (л ж 3,1415917).
2) Чтобы вычислить sin 49°, напишем формулу Тейлора для
функции sin х:
sin * = sin a-l~j-p sin I a + - y ) +
, ( A — a)n
.
/
sin ( a -f 2-y J + . . .
t>!
.
я
e A'-a) + (ri-i-i)^-],
/ \ . — Ц — Г Т Т Т - Sin a + t
(/l-t-1)'
Ц- — a | n + 1
o<o<i,
! Rn I ^ -;—, ,v , , так как I sin al ^ 1.
По этой формуле можно вычислять значения sin А при лю­
бых значениях х и а и с любой желаемой точностью, так как
по мере увеличения числа членов в ней погрешность Rn неогра­
ниченно убывает, стремясь к нулю. При этом чем меньше будет
величина разности \х — а\ , тем меньше потребуется брать первых
членов этой формулы для достижения какой-либо заданной точ— 102 —
ности вычисления
Полагая хV~= ——
49
180 "*и
и "а~=1 8^0г - 4 5 , получим
, _ а = ^ ( 4 9 - 4 5 ) = я^ ,
Vе! м
Sill 49° ^ - у ^ А г
л.
п 45
Ля"
ll
я2
2! 452
яЗ_
3! 45^ "*"••• ±
я"
п[ 4 5 " ;
\
/р
+ ^«'
л" + 1
-: (/i -|-1)!45' г + 1 *
Для определения числа первых членов этой формулы, обес­
печивающих заданную точность вычисления, оцениваем величины
последовательных остаточных членов Rn:
|/?il<2li<0,003,
l^l^aW^'00006'
I Д а I < ^ - < 0,0000009 < 10- 6 Следовательно, заданная точность вычисления будет достиг­
нута, если взять четыре первых члена формулы, предшествую­
щих R3:
У2 (,
я
л2
л3
sin49°^ - у - ( ^
+1&-^Ц&~-^&
^0,7071068(1+0,0698131—0,0024369-0,0000567)^0,754709.
(Значения л, 1/2 и всех результатов промежуточных действий
взяты с одним лишним знаком, т. е. с семью десятичными
знаками.)
Иначе можно было вычислить sin 49° по формуле Маклорена
для функции sinx, однако при этом для достижения заданной
точности пришлось бы взять очень много членов этой формулы.
3) Преобразуем заданный корень
J/83= / 8 1 + 2 - 3 ( l
+~
и применим обобщенную формулу бинома (4), полученную в реше­
нии задачи 298.
Полагая t = ^r и т = -г> получим
1
{/83 = 3(1 + 162
1
162-108 ' 162.108-486
7
162-108.4С6.54 ' •
— 103 —
+« . )
Оценивая величины последовательных ошибок вычисления
3! Ц„\, находим:
3
1К1|<-162Л08<°>0002'
3
1^1<Г62^86<°>000003'
3
1 Лз I < T ,^TT^86:rvr < 0,00000006.
Следовательно, для получения заданной точности вычисле­
нии достаточно взять сумму четырех членов биномиальной
формулы, которые предшествуют остатку Rz'
{/83 «3(1+0,0061728 — 0,0000572 + 0,0000008)« 3,018349.
4) Преобразуя данный корень
^121=j7l25"-4=5(l-4)
4
и подставляя в биномиальную формулу t = — у^н^— 0,032 и
1
т ---=•, получим
3/7777
оТ
с Л
Л
/ 121
1\-Ъ
\\
°-032
з
°°.°
. °322
9
5-0.0323
81
10.0,032*
243
•••
\
")
+К
Путем последовательных испытаний величины погрешности
51 /?„ | находим
5 [ /?31 = —L^_V^
М |
X 0,032* (1 -0,032в)з
ИЗ
- 3 - 1
/I
x
< Ю~в,
т. е. находим, что заданная точность вычисления обеспечивается
четырьмя первыми членами биномиальной формулы, предшест­
вующими Rs:
3/727 ~ 5(1-0,0106667-0,0001138-0,0000020) « 4,946088.
Подобным образом с помощью формулы Тейлора можно нахо­
дить числовые значения всех других трансцендентных и сложных
алгебраических функций. Именно таким путем составлены г,се
таблицы числовых значений для логарифмических, показатель­
ных, тригонометрических функций, для квадратных и кубиче­
ских корней и для многих других функций.
.'500. Для каждой из следующих функций:
1) 3*f 2 ) c o s ( x - - j ) , 3) хе*
— 104 —
найти приближенное выражение в виде многочлена л-й степени
относительно А, определить возникающую при этом погрешность
и установить, при каких значениях х она может быть сделана
сколь угодно малой.
301. Найти приближенные выражения в виде многочленов
3-й степени относительно х для следующих функций:
1) tgx; 2) * cos*; 3) In (1 — х + х2).
X
302. Аппроксимировать функции: 1) еа и 2) COSA многочле­
нами n-й степени относительно двучлена х—а и оценить возни­
кающую при этом погрешность.
303. Аппроксимировать многочленами 4-й степени относи­
тельно двучлена х — а функции: \) у/ х при а = —1; 2) sin ЗА
при а =
g-; 3) tgA при а = — .
304. Вычислить с точностью л о 0,001:
1) sin 18°; 2) V7; 3) ^ 7 0 ; 4) ^/245.
305. Вычислить с точностью до 0,0001:
1) cos 10°; 2) У1\
3) ( / 1 2 9 ; 4) sin 36°.
§ 2. Правило Лопиталя и применение его
к нахождению предела функции
В задачах § 7 гл. I были разъяснены элементарные способы
нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент
неограниченно возрастает или стремится к значению, которое
не входит в область определения функции. Кроме этих элемен­
тарных способов, весьма эффективным средством для нахожде­
ния предела функции в указанных особых случаях является
следующее п р а в и л о Л о п и т а л я : предел отношения двух бес­
конечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу
отношения их производных (если последний предел существует
или равен бесконечности).
а) Случаи нахождения предела:
1) -д-—когда функция представляет отношение двух беско­
нечно малых величин;
2) ——когда функция представляет отношение двух бес­
конечно больших величин.
Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять
отношение величин отношением их производных, т. е. если
Ф] (х) и ФгМ одновременно стремятся к нулю или к бесконечности
при х—*а или х—юо, то
Ф»(*>
— 105 —
ч\{х)
Если последний предел существует или ранен бесконечности,
то он будет равен искомому пределу. Если же отношение пронз.
..
О
оо
тюдных также будет представлять случаи тг или — , то можно
1
J
0
со
снова и снова применять правило Лопгталя, если это полезно,
до получения результата.
Найти пределы:
.-4
| (\
..-т _
т
v.2.v
1
306. 1) lim , , г \
:-— гг .; 2) lim-—--•„-, 3) lisu - - — ;
-ч
,-
,•
I — c o s ах
г-ч
4) hiii -. __, , --; о)
6)
е''х
inn - - ,
lim —-—; 7) lim
'
^ see x
'
Решение.
где
/г > и ,
п — иат^.^пыюе
.—
„ X + SIP. *
Убедившись, что имеет место случай - г или -- ,
применяем затем правило Лопиталя.
Г
-у-4 — 1 6
П
3
л 1 2 * + 5 ^ — 6 л — 16 ~
п
2
. 1 .
л —
— иа'"
х'"
|.
шХ
,....
шх"*
*
е *—1
2е
г
г
hrn —sinx
-—• = lim •
3)
х
4х 3
_ ^ _ ^ .
Зк* + 10х—~0 " " 26 ~" "13 »
гп _ _ , .
/71
т ;
s = ' , m — 2яХ = г = —
) lim -^2
ох
г
ПЯ|
_, о
cos л
а
2
0
= -у = 2;
1
,.
1—cos ад:
,.
а ь'ш ах
,.
4) lim —= hm — ^ — - = U m
1 — c o s bx
b s i n bx
x _^
о2
—-pjl
b
о - c o s ox
- ^l
—
b cos ox
Здесь правило Лопиталя применено дважды.
5)
lim -jjr
— lim «——гтг=1
= Нп1 » I ( / I - I ) A ' '
JC'*
л""1
е /-* = -г со .
= . . . = 11 ;TI,,«
——
п\
Здесь правило Лопиталя применено п раз.
,.
7
л
\« х
sec х
,.
sec-А:
secxt^x
»•
sec х
lg ;:
,.
tp x
<ес л
A - » • -'—
2
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно. Предел легко
найти без этого правила путем элементарного преобразования:
,.
tprx
,.
inn —-— = lim
sec x
sin х cos х
cos x
2
„v
7)
'
,.
lim
x—sinx
,
V.-C11-. V
,.
1—cos x
=--hm
1 + COS X *
— 106 —
г
•
i
= inn sin x -^ J.
Здесь применение правила Лопиталя бесполезно, ибо отноше1 ~"~COS X
X
ние производных .
= t g 2 y не имеет предела при х —• оо.
Искомый предел можно найти элементарным путем:
SWX
1-х—sin х ,.
Inn—;—:— = lmi
х
«
, .
i^i
:— = 1, так как sin л: < I.
Это не противоречит теореме Лопиталя, ибо в ней утверждается
лишь то, что геля отношение производных стремится к пределу,
то к тому же пределу стремится и отношение функций, но не
наоборот.
307. lim 4 = £ х £ •
х-+2
х
308. lim ™* .
—i2jc + lb
л
cos A:
2
309.
П;п - r - r f r - r .
е +е
\ ~*~2.
310. lim
1
311. Innп -rtg3*
^-•
312.
lim
* - •
—
.
CO
2
о.»
In sin x
313. 1:Inn j—--г- .
X-+
+(\
0
-.
«.
314. lim
In sin 5л:
arc t g 2л:
r*-=—
. _ _ arc sin 5л:
б) Случаи нахождения предела:
3)0-oo— когда функция представляет произведение беско­
нечно малой величины на бесконечно большую;
4) сю —сю —когда функция представляет разность двух поло­
жительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю
у или — путем преобразования функции к виду дроби.
315. Найти пределы: 1) lim*ctg2jt;
3) I™ а ё Ф - 5 е с Ф ) ; 4) lim
fe-^)
2) lim \/x
\пх\
; 5) H n j ^ - f ) .
Р е ш е н и е. Установив, что имеет место случай 0* сю или сю —
— сю, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаме­
натель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконеч­
ности, затем применяем правило Лопиталя:
1
I) ; i m / c t g 2 ^ = l i m r ^ = l i m 2 - I ^ ^
— 107 —
1
;j / - ,
) lim
!.
In X
X
li ill -
-~-31im j / v . - 0 ;
i
~з]/Г<
г
/^
ч 1- sinu— I
,.
cos ф
3ov Inn
(tgffi
—sec Ф)-1РП ——
—Inn
r^-=r «0;
K
f
*
n
LOS ф
—Sin
q
•2
x
-+x
'
1 n x 4-
л: In x
t.
*= — lim —j
xmx-^x—
.. 1 4-ln x
I
7 = — l i m n-f-:— = - -Й- ;
1
2-f In к
1
здесь правило Лопиталя применено дважды;
cv
I-
/ I
1\
..
t — sin t
,.
1— cos r
5) lim —.—г —T- b = l i i n — - . - - = lim . . , .
= lim
;
71
7-T—; =
7
=
0
У cos / — / s i n /
здесь правило Лопиталя применено дважды.
316. lim cos*tg5A;.
317. lim (ctg 4 — cosec ~\
2
318. Hm x2e
319. lim ctgJt-ln (x + ex).
m
x -•> о
320. lim
ш f-^j
я -* о
-^rr) •
321.
lim
i\n(2x-l).tgnx.
1
322. lim (ctg ф
).
323.* lim (cosec- / — 4 cosec2 2t).
в) Случаи нахождения предела:
5) 1°°—когда функция представляет степень, основание кото­
рой стремится к единице, а показатель —к бесконечности;
6) оо° —когда функция представляет степень, основание кото­
рой стремится к бесконечности, а показатель —к нулю;
7) 0° — когда функция представляет степень, основание и
показатель которой стремятся к нулю.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю
О-со fa затем к случаю -=г или — j следующим путем: функция
логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а
затем по найденному пределу логарифма находится и предел
— 108 —
самой функции.
324. Найти пределы: 1) lim (tg * ) ' * " ; 2) lim (In *)*;
4
3) lim x1 + 2 ,n *;
4)
\imxxt~l.
Р е ш е н и е . 1) Сначала устанавливаем, что имеет место слу­
чай 1°°. Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее лога­
рифма:
а = lim (tgx) tfi2 *;
л
* ->• —
4
In a = In lim (tg xfl
2X
= lim tg 2x- In tg x =-- lim ^ j | ^ .
Здесь нахождение предела свелось к случаю ~ .
правило Лопиталя, получим
Применяя
In a = lim r s -^lf : (_2cosec 2 2jt) = — 1.
Теперь по найденному пределу логарифма функции находим
искомый предел самой функции: а = е~1.
2) Установив, что имеет место случай оо°, делаем преобра­
зования:
А = Hm (In*)*; l n a = lim In (In x) * = lim i n " n
x)
;
получили случай —. Применяем правило Лопиталя:
\па = lim (-f— :И=0,
откуда следует, что искомый предел а = £ ° = 1 .
3) Убедившись, что имеет место случай 0°, преобразовываем:
а= lim *i+2in*.
l n a = lim In x 1 + ? |пдс = Пт-1
6 In х
с).
получили случай ^ . Применяем правило Лопиталя:
ln — 6 ^
(1:|)-6.1-3.
Следовательно, искомый предел д = е 8 .
— /ДО —
-f
4) Установив, что имеет место случал 1°°, преобразовываем:
a = limjcjc2-1 ;
lna = Iim \пхх2~] = liiii %-^-\
получили случай ^-. Применяем правило Лопнталя:
Следовательно,
т
1
325. lim (1 + ^ )
327. lim f c o s - V 4
T
а
.
1
329. lim (cos A?a)u\
a-*o
326. lim
(x—\)^T<~K
328. lim (ctg 2л')1'"^.
t -1
330. lim(2 — x)li 2 .
л->1
331. Доказать, что при х— * 0:
1) е2Х— е*=*=.г,
2) * — a r c t g j c ^ ^ ;
3) arcsin x — х ^ — ;
X
5) [/ 1+JC— 1 * -П ;
4) 4,v — ln(4,v -f I) ^= Ъх*\
6) e*v —4JC— l = 8.t
§ 3. Возрастание и убывание функции
При изучении поведения функции в зависимости от измене­
ния независимой переменной обычно предполагается, что во всей
области определения функции независимая переменная изменя­
ется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее зна­
чение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также
возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они
убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изме­
няются монотонно—только возрастают или только убывают (на­
пример 2 х , arcctgx).
Многие функции изменяются не монотонно. В одних интер­
валах изменения независимой переменной они возрастают, а в
других интервалах убывают (например, sin.v, cos*).
Возрастание и убывание функции //=./(:;) характеризуется
знаком ее производной у'\ если в некотором интервале # ' > 0 ,
— НО —
то функция возрастает, а если г / ' < 0 , то функция убывает в
этом интервале.*
332. Определить интервалы возрастания и убывания следую­
щих функций:
1) р = 1п(1— л-2);
2) z = x(l+2Vx)\
3)* y = l n | j c | .
2х
Р е ш е н и е . 1) Производная р ' = — ] П 7 2 положительна при
— 1 < х < 0 и х>1
и отрицательна при 0 < * < : 1 и при
л:<:—1. Учитывая, что область определения функции р есть
интервал —1 < л <; 1, заключаем: в интервале(— 1; 0)функция/?
возрастает, а в интервале (0; 1) она убывает.
2) Функция г определена в полуоткрытом интервале
0 ^ л г < + оо; ее производная г' = 1 + 3 " | / д : > 0 — во всем этом
интервале. Поэтому функция г монотонная, она возрастает во
всей своей области определения.
3)* Функция // определена на всей числовой оси, исключая
точку х = 0; ее производная у' = (In | х ])' = -^j- = ± г—;, = —; у' > 0
| X I
|X |
X
при х > 0 ; у' < 0 при x < 0 . Отсюда
следует, что функция у убывает в ин­
тервале (—оо; 0) и возрастает в интерва­
ле (0;4-оо). График этой четной функ­
ции приведен на черт. 43.
333. Исследовать на возрастание и
убывание следующие функции:
Черт. 43
3
1) y = x* + 3x* + 3x\ 2) */ = х - 3 * + 5; 3) у = е*х\
4) f/ = |/(л:2_9)з ;
5) # = cosx — x\
6) :: у = х\х\.
§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции
Значение функции f(x) в точке х0 называется максимумом
(минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по
сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках
слева и справа от х0.
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум)
только в тех точках, которые лежат внутри области опреде­
ления функции и где ее производная равна нулю или не суще­
ствует** Такие точки называются к р и т и ч е с к и м и . В соот­
ветствующих точках графика функции касательная параллельна
* В интервале возрастания (убывания) функции могут быть отдельные
точки, в которых у'—0.
** Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут
выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках х2, хъ, xv
черт. 44.
—Ш —
оси абсцисс (//' = ()), или оси ординат (V = oo) пли нет опреде­
ленной касательной (например, как в угловой точке).
На графике функции (черт. 44) отчетливо видно, что точками
экстремума являются вес точки, где функция мгняет свое поведена?,
и непрерывна.
Точки хх и х4, при переходе через которые аргумента х
возрастание функции сменяется на убывание, являются точками
максимума, а точки хг и х6, при переходе через которые аргу­
мента х убывание функции сменяется на возрастание, являются
точками минимума.
Черт. 44
Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее
производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках,
где ее производная меняет свой знак, а сама функция непре­
рывна*.
Отсюда вытекает следующее правило исследования функции
на экстремум.
Чтобы найти точки экстремума функции y = f(x), в которых
она непрерывна, нужно:
I. Найти производную у' и критические точки, в которых
у' = 0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые
лежат внутри области определения функции.
Па. Определить знак // слева и справа от каждой крити­
ческой точки.
Если при переходе аргумента х через критическую точку л'0:
1) у' меняет знак с + на —, то хп есть точка максимума;
2) у' меняет знак с — на + , то х0 есть точка минимума;
3) у' не меняет знака, то в точке *0 нет экстремума.
Иногда проще исследовать критические точки, гдег/' = 0, по
знаку второй производной,— вместо правила Па можно поль­
зоваться следующим правилом:
116. Найти вторую производную у" и определить ее знак в
каждой критической точке.
* Это достаточные условия экстремума (если они выполнены в какой
либо точке, то оиа обязательно будет точкой экстремума).
— 112 —
Если в критической точке х0, где у'--О:
1) у " > 0 , то х0 есть точка минимума;
2) у" <С0, то * 0 есть точка максимума;
3) у" = 0у то вопрос о наличии экстремума в гочке х0 остается
открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую,
можно исследовать по правилу На.
Далее следует найти экстремумы функции, т. е. вычислить
значения функции в найденных точках экстремума.
При исследовании на экстремум некоторых типов функций
возможны существенные упрощения. Например, если функция
представляет дробь с постоянным числителем или корень с целым
положительным показателем.
Характер упрощений, возможных при исследовании на экстре­
мум указанных функций, разъясняется в решении задачи 335.
334. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) у = (1-*') 3 ;
2)
u = xV\-xl\
3) 0 = 2 j / ? — 5 j / j ? + l ;
5) q = x2 + (/j?;
7)* s = l + | a r c t g ( * - l ) | .
4) р = х3— 12JC;
6) r = sin2 x\
Р е ш е н и е . 1) Согласно правилу исследования функции на
экстремум:
I. Находим производную: у* = 3 ( 1 — х2)2(—2х) = — 6л:(1 —л:2)2
и критические точки. Полагая у' = 0, получим Xj=0, х 2 = 1 ,
х3 = — 1. Функция у определена и непрерывна на всей числовой
оси. Поэтому точки xlf x2 и х3 являются критическими.
Других критических точек нет, так как производная у' су­
ществует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак у' слева
и справа от каждой этой точки (по правилу Па). Для сокра­
щения вычислений и для наглядности это исследование удобно
записать в виде следующей таблицы:
X
_. 1 -. 1
1
У
и
+
возр.
|
о
нет
экстр.
1
2
+
возр.
0
1
2
0
-
max
убыв.
' 1 "
0
-
нет
экстр.
убыв.
В первой строке помещены все критические точки в порядке
расположения их на числовой оси; между ними вставлены про­
межуточные точки, расположенные слева и справа от критиче­
ских точек. Во второй строке помещены знаки производной п
указанных промежуточных точках, т. е. знаки у' (—2),у' ( — ^ j ,
— 113 —
-v , и t/ (2). В третьей строке —заключение оповедении функ­
ции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума—точку
максимума х = 0, где утзк = у(0) = 1. До этой точки в интервале
( — оо,0) функция неизменно возрастает, а после нее в интер­
вале (0; +оо) она неизменно убывает (черт. 45).
2
2) I. Ищем критические точки. Производная и'= 1— 2х
обращается в нуль при А Ь 2 = ± - ^ и не существует (разрывна)
при *:}М = н= I. Однако критическими точками являются только
точки xL и лу. они лежат внутри области определения функции и,
Черт, 45
которая представляет отрезок [—1; 1], и в них эта функция
непрерывна. Точки х3 и х4 не являются критическими, так как
они лежат не внутри области определения функции и, а на ее
границах.
П. Исследуем критические точки по знаку производной а'
в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:
1
х
|
«'
и
!
-0,9
|
-
—т^
\^2
0
|
убыв.
и
J
|
+
|
— 1
0
max
иозр.
пп'п
0,9
7?
убыв.
Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума:
1
/
I
точку минимума л = — —==, где пт\п = и1—-^=J
точку максимума х = ^=9
0
5
I
= — -^ ,
где « max = u f -^=j = y (черт. 46).
3). I. Находим производную
,
X
*
г
2
-!
— //; —
10
JK:— I
и
и критические точки: v = О при х~ 1; v не существует (равна оо)
при х = 0. Функция v определена и непрерывна на всей числовой
оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II. Исследуем критические точки по знаку производной v
в соседних с ними точках. Составим таблицу:
1
—1 |
X
v'
V
|
+
возр.
1
1
0
<*>
Л
max
1
1 1 1 2 1
2
1
!
-
i
0
убыв.
1
min
|
|
+
|
возр.
Из таблицы следует, что функция v имеет две точки экстре­
мума: точку максимума х = 0, где и т а х = а(0) = 1, и точку ми­
нимума * = 1 , где vm\n = v(\) = — 2 (черт. 47).
4) I. Найдем критические точки. Производная р'=3л; 2 —12
равна нулю в точках я = ± 2 . Эти точки являются критиче­
скими, так как функция р определена и непрерывна на всей
числовой оси. Производная р ' сущестр^
вует всюду. Поэтому других критиче­
ских точек функция р не имеет.
Черт. 47
Черт. 48
II. Исследуем критические точки по знаку второй производ­
ной р" в самих этих точках (по правилу II б): р" = 6х; р"(—2) =
= — 1 2 < 0 , следовательно, критическая точка х = — 2 есть
точка максимума, где ртах = р(—2)= 16; р"(2) = 12 > 0, поэтому
критическая точка х = 2 есть точка минимума, где p n i i n = p(2) =
= —16 (черт. 48).
5
-
5) I. Ищем производную q' = ~кХ 2 + 2яи критические точки:
ц' обращается в нуль в точке х-^0. В этой точке функция q
непрерывна, но она не лежит внутри области определения функ­
ции q, которая представляет интервал 0 < х < + о о . Поэтому
точка JC = 0 не является критической; q' не обращается в нуль
в других точках и существует во всей области определения
— 115 —
функции. Поэтому функнгя q, как не имеющая пи одной кри­
тической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области
определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо q ' ^ 0
во всей этой области (черт. 49).
Если не учесть, что точка х = 0 не лежит внутри области
15 определения функции q,TO, применяя правило Пб, q" = — х2 + 2,
<7"(0) = 2 > 0 , приходим к ошибочному заключению, что в этой
точке функция q имеет минимум.
6) I. Находим критические точки: г' = 2 sin хсозх = sin 2х\
г' = 0 при х А = у , ft = 0, ± 1, ± 2 , . . .
Все точки xk являются критическими, так как функция г
определена и непрерывна на всей числовой оси; г' существует
всюду, поэтому других критических
точек нет.
II. Исследуем критические точки
по знаку второй производной в самих
этих точках: /*" = 2 cos 2x\ г" (xk) ==
Черт. 50
= 2 cos/ел. При четном /г, r"(xk) = 2>0, точки хк являются точ­
ками минимума, где rrr,i„ = 0; при нечетном k, г" (xk) = — 2 < ( ) ,
точки кк являются точками максимума, где r m a x = l (черт. 50).
Здесь оказалось, что у функции г максимумы и минимумы
строго чередуются. То же будет и у любой непрерывной функ­
ции, имеющей несколько экстремумов.
7)* I. Находим критические точки: s'
=Ь Т-н* —I) 2 . где
знак плюс соответствует г.терналу 1 <1 х <: Н- оо, а минусинтервалу — о о < х - < 1 . Про­
изводная s' нигде не обраща­
1 л J а
|
•
| *
ется и нуль и существует всю­
1 < I
—
1 не сущ. 1 +
ду, кроме точки х• = 1. Эта точ­
Y
ка является критической, так
! у бы п.
niin
возр.
как функция s определена и не­
прерывна на всей числовой оси.
II. Исследуем критическую точку л*=1 по знаку производ­
ной $' слева и справа от этой точки. Составив таблицу, заклю­
чаем, что х = 1 есть точка минимума, где sinin = s ( l ) = 1. На
—116 —
графике функции (черт. 51) это будет угловая точка с двумя
различными односторонними касательными, угловые коэффици­
енты которых равны —1 и -!- 1.
335*. Найти экстремумы функ­
ций:
Ч У"
12—36* 2 + 20JK3 — З * 4 '
2) u = V V - l .
1) Дробь с постоянным полоQtcu тельным числителем имеет
Черт. 51
экстремумы в тех же точках,
что и ее знаменатель, но они
будут противоположного смысла: там, где знаменатель имеет
максимум, эта дробь имеет минимум, и наоборот. (Из этого
общего положения исключается случай, когда экстремум зна­
менателя равен нулю.)
Используя это свойство, найдем точки экстремума знамена­
теля, т. е. вспомогательной функции ух = 12 — 36Л;2 + 20Л;3 — ЗА:4.
I. Найдем критические точки. у^ =— 72л: + 60л:2—12л:3; у[ = 0
в точках х=--0, х = 2 и х = 3. Все они являются критическими,
поскольку функция yt определена и непрерывна на всей чис­
ловой оси. Других критических точек нет, ибо производная у'
всюду существует.
II. Исследуем критические точки по знаку второй производ­
ной в самих этих точках (по правилу Пб); у\-= — 72-(-120* — 36Л:2;
у\ (0)=- — 72 < 0 , следовательно, критическая точка х--=--0 есть
точка максимума; у[(2)>0,
следовательно, точка л: = 2 есть
точка минимума; у\ (3) < 0, следовательно, точка х = 3 есть точка
максимума функции уг.
Для заданной функции у найденные точки экстремума функ­
ции ух будут иметь противоположный смысл: для функции у
точка х = 0 есть точка минимума, где y m i n =y(0) = 2,5; л: = 2есть
точка максимума, где утлх~у(2) =—1,5; л: = 3 есть точка ми­
нимума, где ymin = y(3) = — 2.
2) Точки экстремума сложной функции у= ^^(х),
при це­
лом положительном п, совпадают с точками экстремума подко­
ренной функции ф(я), лежащими внутри области определения
функции у.
Воспользуемся этим свойством и найдем точки экстремума
подкоренной функции их = ехг—1.
I. Ищем критические точки: и1 = 2хех\ ^ = 0 в точке х = 0,
которая является критической, так как функция иг определена
и непрерывна на всей числовой оси. Производная их сущест— 117 —
вует всюду, поэтому других критических точек функция иг не
имеет.
II. Исследуем критическую точку л: = 0 по знаку второй про­
изводной в этой точке. ul=2cxZ(\
f 2х2)\ и\ (0) = 2 > 0, поэтому
точка х = <) есть точка минимума функции н г
Согласно указанному здесь свойству точка х = 0, как лежа­
щая внутри области определения функции и, будет также точ­
кой минимума и для функции и. При .v = 0, « min = 0.
Без использования указанного свойства решение этой задачи
было бы затруднительно. (Найденная точка является угловой
точкой графика функции и, где и' не существует.)
Исследовать на экстремум следующие функции:
336.
337. у = 3 —2х- —А'1.
Ч*-б).
338. у = * 3 — 3 * г + 3х.
339. у =
340. // = ^ + р .
341. _{/ :
342*
344. //
10
4*
3-2 J/i2.
343*. у== у/Тх*
</ = 4хл —9^ 2
:<Г х + е3
-г 3-е2 — 36х.
345. y = 3x + tgx.
х
346. у = х*е- .
347. <у =
у
349
348. r/ = sin х- -j-cos дс.
й
^ .
In х
// =
-Зх 2 |
§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшим значением функции называется самое большее, а
наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только о д н о наибольшее значение и
только о д н о наименьшее значение или может не иметь их со­
всем. Например, во всей своей области
определения функция s i n * имеет наи­
большее значение, равное единице, и
наименьшее значение, равное минус
единице; функции t g x и л*3 не имеют ни
наибольшего, ни наименьшего значе­
ний; функция— х1 имеет наибольшее
.ц±-х2
значение, равное нулю, но не имеет
наименьшего значения; функция 1 +
+ 1^~\х~\ имеет наименьшее значение,
Чет
равное единице, но не имеет наиболь­
шего значения (черт. 52).
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерыв­
ных функций основывается па следующих свойствах этих функций:
-
118 —
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном)
функция f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если
это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наимень­
шим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция f (х) непрерывна на некотором отрезке [а, Ь],
то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках
экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого
отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наи­
большего или наименьшего значения функции f(x) на отрезке
[а, Ь], где она непрерывна:
I. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка [ау Ь],
и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь
в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого
вида).
II. Вычислить значения функций на концах отрезка, т. е. /(а)
и /(&)•
III. Сравнить полученные значения функции: самое большее
из них будет наибольшим значением, а самое меньшее —наи­
меньшим значением функции на всем данном отрезке.
350. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из
следующих функций:
1) и=л; 3 — 3 J C 2 - 9 X + 3 5 на отрезке [—4; 4);
2) р = х2\пх на отрезке [1, е]\
Г
3
1
3) г = 2 sin х + sin 2х на отрезке 0; —:I \
4) у = arc tg x2.
Р е ш е н и е . Согласно практическому правилу:
1) I. Найдем критические точки функции и, лежащие внутри
отрезка [—4; 4], и вычислим ее значения в этих точках*, и' =
= 3JC2 — бх — 9; и' = 0 в точках х = — 1 и * = 3. Эти точки лежат
внутри отрезка [—4; 4] и являются критическими. Других кри­
тических точек нет, так как производная и' существует всюду.
Значения функции и в критических точках: и(— 1)^40; w ( 3 ) ^ 8 .
II. Вычислим значения функции на концах отрезка [—4; 4]:
и ( _ 4 ) = —41; и (4) - 1 5 .
III. Сравнивая все вычисленные значения функции во внут­
ренних критических точках и на концах отрезка, заключаем:
наибольшее значение функции и на отрезке [—4; 4] равно 40
и достигается ею во внутренней критической точке х = — 1 , а
ее наименьшее значение равно —41 и достигается на левой
границе отрезка х = — 4 (черт. 53).
2) I. Ищем критические точки: р' = х(\ 4 21пх); р' = 0 в точ­
ках х ^ О и * 2 = £ . Точка хг лежит вне области определения
данной функции 0 < * < + «>; точка х2 лежит вне заданного
-
119 —
отре.жл [I, г]. Производная р* существует во всем интервале
определения функции р. Поэтому внутри заданного отрезка нет
критических точек.
II. Вычислим значения функции р на концах отрезка: р(])--^
= 0; р(е) = сГ
III. Поскольку внутри отрезка [\,е\ нет критических точек,
то функция изменяется на этом отрезке монотонно и ее наи­
меньшее и наибольшее значения на этом отрезке достигаются
на концах отрезка: рпм = р (I) = 0, рн6 = р(е) = е2 (черт. 54).
3) I. Найдем критические точки: г ' = 2 cos JC + 2 cos 2*=^о о
3
1
~ 2 • 2 COS - - X COS -я А'
Зх
х
г'-—0 при cos-j = 0 и соз—=0; корни пер­
вого уравнения xk = -^ (2k + 1),
корни второго уравнения *,.—
= л ( 2 й г 1), где Л - 0 , ± 1 , ± 2 / . . .
р
р=хг1пх 1
/
/
ч-
0 "* 7
Черт. 53
.г
/>
Черт. 54
Из них внутри заданного отрезка 0; у л лежат критиче­
ские точки *| = -з- и хн=^л. Производная г' существует всюду,
поэтому других критических точек функция г не имеет. Значения
функции в найденных внутренних критических точках хх и хн:
II. Вычислим значения функции на концах отрезка: г(0) = 0;
'(т)-Г 2 III. Сравнение вычисленных значений функции во внутрен­
них критических точках и на концах отрезка показывает, что
ее наибольшее значение на этом отрезке rrt6 = r — )=—^— , а
/ЗиЛ
^ J
наименьшее значение гнм = г — ) = — 2.
— 724 —
4) Здесь изменение аргумента х не ограничено каким-либо
отрезком, а функция определена на всей числовой оси. Поэтому
следует рассмотреть все значения функции, принимаемые ею
при изменении х от — оо до -j- оо.
^
I. Найдем критические точки: у' = .——4; у' = 0 в точке х = 0.
Эта точка является критической, так как функция всюду опре­
делена и непрерывна. Других критических точек нет, так как
производная у' существует всюду.
II. Исследуем критическую точку х = О по знаку первой про­
изводной слева и справа от этой точки (см. табл.). Это иссле­
дование показывает, что точка л* = 0 есть точка минимума, где
III. Основываясь на указанном выше свойстве 1 непрерывных
функций, заключаем: функция у, как имеющая единственный
экстремум — минимум и не имеющая точек разрыва, имеет наи­
меньшее значение, совпадающее с ее минимумом,
У им =Ут\п
=
^»
но не имеет наибольшего значения, хотя она не растет неогра­
ниченно. При х—.> ± оо она асимптотически приближается к зна­
чению -у (черт. 55).
X
—1
у'
-
0
+
У
убЬП!
mfn
возр
1
•
Черт. 55
Найти наибольшие и наименьшие значения функций:
351. у = л: 3 —9JC 2 + 24Л:— 10 на отрезке [0; 3].
352. и = х — 2 In x на отрезке \\\ е].
353. v = 2 sin л- + соз 2л: на отрезке
354. у = е~х\
355.
0; ^ - 1 .
у=1/'7*—1.
§ 6. Задачи о наибольших или наименьших
значениях величин
Во многих геометрических, физических и технических зада­
чах требуется найти наибольшее или наименьшее значение ве­
личины, связанной функциональной зависимостью с другой
величиной.
— 121 —
Широкая распространенность и большое значение этих задач
послужили одним из главных поводов к развитию математиче­
ского анализа.
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия,
выбрать независимую переменную и выразить исследуемую ве­
личину через эту переменную, а затем найти искомое наиболь­
шее или наименьшее значение полученной функции. При этом
интервал изменения независимой переменной, который может
быть конечным или бесконечным, также оп­
X
X
ределяется из условия задачи.
ЗЛ6. Из трех одинаковых тонких досок
изготовить желоб с наибольшим попереч­
ным сечением.
/
Р е ш е н и е . Поперечное сечение желоба
будет представлять равнобочную трапецию
Черт. 56
(черт. 56), площадь которой s зависит от на­
клона боковых сторон. Выберем за незави­
симую переменную угол а между боковой стороной и высотой
трапеции и выразим через эту переменную исследуемую площадь s:
jt = a s i n a , h = acosa и s = h(a-\-x)
или
s=--ci2(\ + sin a) cos a,
где по смыслу задачи a может изменяться на отрезке 0; ~\
Далее найдем наибольшее значение функции s(a) на отрезке
7
Ч
'
-Ч__:
(с, - ] .
Найдем критические точки функции s, лежащие внутри этого
отрезка:
s' = a2 [cos2 a — (1 + sin a) sin a] = a2 (1 — sin a — 2 sin2 a).
Приравнивая производную s' нулю, получим уравнение:
2 sin2 a -f sin a— 1 ;=0,
решая которое, как квадратное, найдем
sin a = y и sin a= — 1.
Из всех точек а, определяемых этими двумя уравнениями,
внутри отрезка 0; 4М лежит только одна точка а = -у.
Эта
точка является критической, в ней выполняются все необходимые
для этого условия. Производная s' существует всюду, поэтому
других критических точек нет.
Вычислим значения функции s в найденной
внутренней крип
А
тическои точке и на концах отрезка f (J;
—
(т)'
: - ^ д2 да 1,28a2; s (0) = а2 -, s ( • - ) = 0.
— 122 —
Сравнивая эти значения, заключаем: наибольшее значение функ­
ции s на отрезке 0; -^- достигается во внутренней точке а = •?-.
Таким образом, желоб из трех одинаковых досок будет иметь
наибольшее поперечное сечение, когда это сечение представляет
равнобочную трапецию, верхнее основание которой вдвое боль­
ше нижнего.
357. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с за­
данным объемом v и с наименьшей полной поверхностью.
Р е ш е н и е . Обозначив радиус и высоту цилиндра через г и / i ,
а его полную поверхность через s, получим
s = 2nrh + 2nr2.
Здесь переменные г и h не являются независимыми, а связаны
между собой равенством v = nr2h, так как согласно условию
цилиндр должен иметь заданный объем v. Определяя из этого
равенства h и подставляя в выражение полной поверхности,
получим
где г изменяется в интервале 0 < г < + °°Выразив таким образом исследуемую полную поверхность
цилиндра s через одну переменную г, найдем теперь ее наимень­
шее значение при изменении г в интервале (0; +оо).
Найдем критические точки; s = 2 ( 2лг — -^ \ = 2 — ^ — ;
з /"тг
s' = 0 в единственной точке г = 1/ — которая лежит в рас­
сматриваемом интервале. Эта точка является критической, так
как в ней выполняются все необходимые для этого условия.
Других критических точек в интервале (0; +оо) функция s не
имеет, так как ее производная s' существует во всем этом ин­
тервале.
Исследуем найденную критическую точку по знаку второй
производной в этой точке:
:4 я
( + 7.)^(Кй) = 12л>0-
откуда следует, что критическая точка г = 1/ -^-есть точка ми­
нимума.
Функция s(r) непрерывна в интервале (0; +оо). Поэтому
согласно свойству 1 непрерывных функций единственный мини­
мум функции s в интервале (0; +оо) совпадает с ее наимень­
шим значением в этом интервале.
При г = | / £ получим А = £ = 2 Yk
— 123 —
= 2r
-
Следовательно, цилиндрическая закрытая цистерна, имеющая
любой заданный объем, будет иметь наименьшую полную по­
верхность, когда ее осевое сечение представляет квадрат.
358. Из куска жести, форма и размеры которого (в дм) по­
казаны на черт. 57, вырезать прямоугольник с наибольшей
площадью.
Р е ш е н и е . Обозначим стороны вырезаемого прямоугольника
через хну. Тогда его площадь S = ху. Выразим // через х, исходя
из подобия треугольников ВВС и ЛЕС:
ВВ^\\—х\
ВС-=у-6\
BD
Г1
АЕ = 8\ ЕС =4.
ЛЕ
11-
Подставляя в пропорцию д£ = -FT* , получимi / - 6
23 х
у^
. Заменяя у в выражении площади,
имеем
S = -i-(23x-* 2 ),
_8
4 '
откуда
где х согласно условию задачи изменяется на отрезке [3; 11].
Ищем далее наибольшее значение функции S (х) на указанном
1
*
23
отрезке. S' = у (23 — 2х)\ S' = 0 в точке х=^^ н о э т а точка ле­
жит вне рассматриваемого отрезка; S' существует всюду, по­
этому на отрезке [3; 11] нет ни одной критической точки. При
изменении л: от 3 до 11 производная S ' ; > 0 , а функция S неиз­
менно возрастает и достигает наибольшего значения на правом
конце отрезка х = 11.
Итак, прямоугольник, вырезанный из данного куска жести,
будет иметь наибольшую площадь, когда точка В совпадает
с точкой С; Sli6 = S(\\) = 66 дм2.
з А
Черт. 58
359. Выбрать место для постройки моста через реку, чтобы
длина дороги между двумя пунктами, расположенными по раз­
ные стороны от реки, была наименьшая.
Р е ш е н и е . Сделаем схематический план местности вблизи
указанных в условии объектов (черт. 58). Расстояния ау 6, с и h
—Ш —
согласно условию задачи являются постоянными. Если мост
построен в указанном в плане месте, то длина дороги между
пунктами А и 3
l = AC + h + DB.
Выбрав за независимую переменную х расстояние Л,6\ получим
Л С - 1 / V + x2,
и
DB = ]/b2 +
(c-x)2
I •.= У а2 + х2 + h + Vb2 + (x — г)2,
где х изменяется на отрезке [0; с], что очевидно.
Теперь найдем наименьшее значение функции 1(х) на отрезке
[0; с].
Найдем производную V и критические точки, лежащие вну­
три отрезка [0; с]:
.,__
х
1 1
~~ VоЧ *
х—с
^х
/^+(Х~С)Н(-У-П
2
V Ь + (х—с)*
/' = 0, когда х Vb2 + (х-с)2
2
^Т72
^
2
^ ( а + * ) ( ^ + (* — c*T\
+ (х — с) V'a2 + х2 = 0.
Решая это уравнение, получим
2
2
2
2
х* [ь* + (х - с) ] = (* — с) (а + х );
ас
Ь2х2 = а2 (х — с)2;
яс
Точка хх лежит вне отрезка О ^ х ^ с : при а > Ь , дс 1 >с;
при а < & , х 1 < 0 . Точка х2 лежит внутри этого отрезка при
любых положительных значени­
ях a, b и с, так как при этом
х2
с
X
0
х
2 > 0 и ~ ь < 1, т. е. х2 < с.
Г
0
—
+
Производная Г существует
всюду, поэтому функция / дру­
min
возр
у Гил в
1
гих критических точек не имеет.
Внутри отрезка [0; с] функ­
ция / имеет одну критическую
точку д.,- Исследуя эту критическую точку по знаку производ­
ной /' слева и справа от нее, как это показано в таблице, убеж­
даемся, что точка х2 есть точка минимума.
Согласно свойству 1 непрерывных функций, в этой единст­
венной на отрезке [0; с] точке минимума непрерывная функция /
имеет и наименьшее значение из всех ее значений на этом отрезке.
Следовательно, чтобы длина дороги между двумя пунктами,
расположенными по разные стороны от реки, была наименьшая,
л
/^
ОС
следует построить мост в том месте, где расстояние А1С = --^^ш
— 125 —
360. Из куска проволоки длиной / согнуть прямоугольник,
чтобы его площадь была наибольшей.
361. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает
к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы
должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равня­
лась 800 ж*2, а длина забора была наименьшая?
362. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной
30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся
части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова дол­
жна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки
был наибольшим?
363. На прямой между двумя источниками света силы F и 8F
найти наименее освещенную точку, если расстояние между источ­
никами 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна рас­
стоянию ее от источника света.)
364. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить конус с наибольшим объемом.
365. Завод А расположен на расстоянии а км от железной
дороги, идущей в город В, и на расстоянии Ь км от города В.
Под к а к и м углом к железной дороге следует
Г44**.
провести шоссе с завода Л , чтобы доставка
I
^ЧччЧц^
грузов из Л в В была наиболее дешевой, если
1
^ Т * 4 ^ стоимость перевозок по шоссе в k р а з д о р о ж е ,
j!
^ ^
чем по железной дороге?
366. К е р о с и н о в а я цистерна, имеющая форЧерт. 59
му ц и л и н д р а , з а в е р ш е н н о г о конусом, д о л ж н а
быть построена на данном круглом фунда­
менте и д о л ж н а иметь заданный объем. П о к а з а т ь , что коли­
чество материала д л я постройки цистерны потребуется наимень­
шее, если угол при в е р ш и н е осевого сечения конуса будет равен
2
2 arc cos у « 96°.
367. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную
площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть рав­
нобочная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых
сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на сопротив­
ление трения были наименьшими, т. е. чтобы сумма нижнего осно­
вания и боковых сторон трапеции была наименьшая?
368*. От канала шириной 4 м отходит под прямым углом дру­
гой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно
сплавлять по этим каналам из одного в другой (не учитывая
толщины бревен)?
369*. Две точки движутся по осям координат в положительных
направлениях с постоянными скоростями v1 и а,. В какой момент
расстояние между движущимися точками будет наименьшее,
если в начальный момент они занимали положения (—3; 0) и
(0; 5)?
— 126 —
370*. Шар СЕюбодно скатывается по наклонной плоскости
(черт. 59). Если основание АВ остается неизменным, то каков
должен быть угол наклона ф, чтобы время скатывания шара
было наименьшее?
§ 7. Направление выпуклости кривой
и точки перегиба
Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой
своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она рас­
положена выше любой своей касательной, то называется выпуклой
вниз в этом интервале.
Точкой перегиба называется тонка на
кривой, где меняется направление ее вы­
пуклости.
На черт. 60 в интервале (а, Ь) кривая
выпукла вверх, в интервале (Ь, с) она вы- J
пукла вниз, а точка В есть точка перегиба, а
Направление выпуклости кривой у=
черт, ьо
= / (х) характеризуется знаком второй
производной у": если в некотором интервале у " > 0 , то кривая
выпукла вниз, а если у" < 0 , то кривая выпукла вверх в этом
интервале.
Абсциссы точек перегиба кривой y=zf(x)y или графика функ­
ции f(x), являются точками, в которых меняется поведение произ­
водной у'. Поэтому их можно найти по следующему правилу:
I. Найти у" и точки х, в которых у" = 0 или не существует, а
кривая непрерывна и которые лежат внутри области ее распо­
ложения.
II. Определить знак у" слева и справа от каждой из этих точек.
Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по
разные стороны от нее у" имеет разные знаки.
Интервалы, где кривая выпукла вверх и где она выпукла вниз,
определяются из условия, что их границами могут быть только
абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки
области расположения кривой.
371. Определить направление выпуклости и точки перегиба
кривых:
1)у = Зл*-5х« + 4;
2) у = 3 - У(х + 2)7;
3) у = 4 V(^W+
20 / ( 7 = 1 ) 3 ;
4)
у=j
^
\
5)* £/ = 2 — /JC*— 11.
Р е ш е н и е . Находим точки перегиба кривой, руководствуясь
указанным правилом.
— 127 —
1) I. Ищем точки л-, н которых :/" = 0 или не существует, а
кривая непрерывна и которые лежат внутри области расположе­
ния кривой:
/у'=
IDJC*—20.V3; / / , - 6 0 Л - ~ 6 0 Л 2 - 6 0 . Х * 2 ( Х - I).
//" = 0 в точках V
. —0 и л'=: 1. Эти точки являются искомыми, так
как область расположения и область непрерывности данной кри­
вой есть вся ось абсцисс. Других точек л', которые могли бы быть
абсциссами точек перегиба, нет, так как if существует всюду.
II. Исследуем найденные точки, определяя знак у" слева и
справа от каждой из них. Запишем это исследование в таблицу,
подобную той, которая составляется при отыскании точек экстре­
мума:
X
— 1
0
1
2
у"
—
0
—
У
в. вверх
нет
в. вверх
перегиба
1
10
0
+
перегиб
в. вниз
Из таблицы следует, что А = 1 есть абсцисса точки перегиба
кривой: у(\) = 2. Поскольку эта кривая непрерывная, то во всем
интервале(—оо, I) она выпукла вверх, а во всем
интервале (1, ч-оо)— выпукла вниз (черт. 61).
2) I. Находим вторую производную:
i/ =
-j(x+2)>
2
У '-3§<* + >
Черт. 61
X
— 10
У"
+
У
в. вниз
3
5
—
14
2 5 { / ( * + 2) 3 '
Здесь у" нигде не обращается в нуль, а
при х =— 2 она не существует.
При х =— 2 кривая может иметь перегиб,
так как ее областью расположения и областью
непрерывности является вся ось абсцисс.
II. Исследуем значениех=—2
по знаку у" при значениях х,
— 2
0
меньших и больших его. Соглас­
но таблице х = — 2 есть абсцисса
точки перегиба.
00
—
Слева от нее во всем интер­
вале (—оо, —2) данная непре­
рывная кривая выпукла вниз, а
перегиб в. вверх
справа, в интервале (—2, + ос),
она выпукла вверх; у (— 2) = 3.
— 126 —
3) I. * / ' = 1 0 ( * - l ) 2 4 3 0 ( * - l ) 2 ;
1 5 ( x - l ) 2 +\5(x— i f 2
=
15*
Vx—\ '
Здесь у" обращается в нуль при х = 0 и не существует (равна
+ оо) при х— 1. Но ни одно из этих значений х не может быть абс­
циссой точки перегиба, так как областью расположения кривой
является интервал 1 =^ л: < -} о°; * = О лежит вне этой области, а
х=\
есть граница этой области, т. е. лежит не внутри ее.
Кривая не имеет точек перегиба; во всей области своего рас­
положения она выпукла вниз, так как во всей этой области у°>0.
4) 1. у =—
(jt+1)4»
У = (jt+l)^
Здесь у" не может обратиться в нуль, а при х — — 1 она не
существует. Однако х = — 1 не может быть абсциссой точки пере­
гиба, так как в этой точке кривая разрыв­
на. П р и х < — 1,//"<0;при х>— 1,*/">0.
Поэтому в интервале (—оо, —1) кривая
выпукла вверх, а в интервале (—1, + сю)
она выпукла вниз. Не имея точек перегиба,
эта кривая меняет направление выпуклости
при переходе х через точку разрыва х = — 1.
5)* I. у'=±5х4;
у'' = ±20х3, где знак
плюс соответствует значениям х из интервала
Черт. 62
(—оо, 1), в котором Л:5— 1 < 0 , а знак ми­
нус соответствует значениям х из интервала (1, +оо), в кото­
ром хъ—1>0.
у" не существует при х = 1 ; у" = 0 при х = 0.
Эти значения х могут быть абсциссами точек перегиба данной
кривой, так как ее областью расположения и областью непрерыв­
ности является вся ось абсцисс.
X
у
*
У
— 10
0
1
2
1
10
—
0
+
не сущ.
—
в. вверх
перегиб
в. вниз
перегиб в. вверх
II. Определяя знак у" слева и справа отточек л: = 0 и х=1,
заключаем, что х = 0 и х — 1 — абсциссы точек перегиба. Левее
точки х = 0 кривая выпукла вверх, между точками х = 0 и х= 1
она выпукла вниз и правее точки х = 1 выпукла вверх (черт. 62).
Ординаты точек перегиба определяются из уравнения кривой по
5
№ 3201
— 129 —
известным их абсциссам: у(0)=\\ г/ (1) == 2. Здесь точка перегиба
(1; 2) совпадает с угловой точкой кривой, в которой она имеет
максимальное значение ординаты и две различные односторон­
ние касательные у—2=±5(х—1).
Найти точки перегиба и исследовать направление выпуклости
кривых:
372. у^х3 — ЗА:2 — 9x + 9.
373. у = х +
26х2-2х3-х\
374. у = 1 - 1 п ( * > —4).
375. y = x + 2-i/r!fi.
l
376. £/ = arc tg —.
377. у
378*. */= arc sin j - .
379*. ij= 1 — [ .v 2 —2|.
§ 8. Асимптоты
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой
неограниченно приближается точка кривой при неограниченном
удалении ее от начала координат.
Кривая может приближаться к своей асимптоте теми же спосо­
бами, как и переменная к своему пределу: оставаясь с одной сто­
роны от асимптоты, как, например, в задаче 380 (1) или с разных
сторон, бесчисленное множество раз пересекая асимптоту и пере­
ходя с одной ее стороны на другую, как, например, в задаче
380 (3).
Для нахождения асимптот пользуются следующими положе­
ниями:
а) если при х = а кривая y = f(x) имеет бесконечный разрыв,
т. е. если при х^а — 0 или при х - > а + 0 функция f(x) стре­
мится к бесконечности (того или иного знака), то прямая х = а
является ее вертикальной асимптотой;
б) невертикальные асимптоты кривой y = f(x), если они суще­
ствуют, имеют уравнения вида y = kx+bt где параметры k и b
определяются формулами
k=
lim £W и Ь = lira [f(x) — kx]
при одинаковом в обеих формулах поведении ху т. е. в обеих фор­
мулах х - ^ + о о или х-> — оо.
380. Найти асимптоты кривых:
.,
*) У=
х1 — 6*4-3
л_3
Л*
v
0,
. sinx
.v
,
; 2) у = хех\ 3)# = л : + - ^ - ; 4) </= л: arcctg л;;
5) у = In (4 - Л:2); 6)* у =
f/x3-6xK
Р е ш е н и е . 1) (а) При д: = 3 данная кривая имеет бесконеч­
ный разрыв. Поэтому прямая х — Ъ есть ее вертикальная асимп­
тота;
<- 130 —
(б) далее ищем невертикальные асимптоты:
А= hm ^
JC->+OB
= hm
,
*
*
£
= hm
«— = 1;
°*
I
_£_
X
x
b= lim
6x +3
f/(jt)-fejt]«limf '~ -
-jc)=»
1-3
= lim
~~
0
JC —
3
= lim
5- = — 3.
3
x
Подставляя найденные значения^ и b в уравнение г/ = £* + ft,
получим уравнение невертикальной асимптоты: у = х — 3. Дру­
гих невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при
Черт. 63
Черт. 64
х-+ — оо значения k и Ь будут те же самые. Кривая (гипербола)
изображена на черт. 63.
2) (а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она
всюду непрерывна;
(б) k= Hm ^- = l i m e * = + o o ,
Х-*-+ 00
Х
т. е. при х -> + оо угловой коэффициент асимптоты не существует,
вследствие чего при л:-* + оо кривая не имеет асимптоты;
k=
Hm £ = lim<?* = 0;
* - • -
00
Х
X
1
b= Hm (# —&0 = Нт*е* = Нт-rr*==lim
=* = ()•
(Здесь применено правило Лопиталя.)
Следовательно, при я - * — оо кривая имеет невертикальную
асимптоту у — 0 (ось Ох).
5*
—737 —
3) (а) Кривая у = х-\-^^не имеет бесконечных разрывов,
поэтому не имеет и вертикальных асимптот;
(б) А= Htn ^L=lim(\+~)
= \t
так как | sin х К 1;
Ъ = lim (у - kx) = lim -"— = 0 .
При х-* — оо параметры асимптоты имеют те же значения.
Следовательно, при х -> + оо и при л: -* —оо кривая имеет
асимптоту */ = *. Эта кривая бесчисленное множество раз пересе­
кает свою асимптоту, переходя с одной ее стороны на другую
(черт. 64).
Способ приближения кривой к своей невертикальной асимптоте
определяется путем исследования знака разности ординат кривой
и асимптоты. Здесь эта разность упр — уас =
бесчисленное
множество раз меняет свой знак в точках, где
x = kn% ft = ± l ,
±2,-...
4) (а) Кривая не имеет вертикальных асимптот, так как она
всюду непрерывна;
(б) k=
lim — = lim arcctg JC = arcctg ( + oo) = 0;
& = lim (у —kx) = h m xarcctgx ==lnn—p—.
X
Применяя правило Лопиталя дважды, получим
__ — ! _
•
,-
0 = lim
*-*+»
arcctg
5 х
,.
г-— = hm
_L
2
14-JC
L
T—=
L
x
Следовательно, при x-++oo
x-
.-
х1
,.
2х
.
lttn ], , x а = lim-^-^
1.
2
+
*
кривая имеет асимптоту
у—\\
k = lim — = lim arcctg x = arcclg( —oo) = я;
X-*—
•»
*
b = lim (*/ — kx) = lim (x arcctg x - л х ) = limя (arcctgx — л) =
,. arcctg x — я ,.
= lim
-t
= lim
1
X
l
l-fjc 2
,.
x2
,
-.— = lim , , 9 = 1.
1
1 -f хг
X*
Следовательно, при л;-> — оо кривая имеет асимптоту у = пх-\-\
(черт. 65),
5) (а) Кривая имеет две вертикальные асимптоты х = —2 и
х = 2> так как при л:= ± 2 она имеет бесконечные разрывы;
*- 132 —
(б) невертикальных асимптот кривая не имеет, ибо ее обла­
стью расположения является интервал — 2 < х < 2 и поэтому х
не может стремиться к бесконечности (черт. 66).
ln(b-x2)
Черт. 65
Черт. 66
6)* (а) Вертикальных асимптот кривая не имеет;
(б) *=-- lim "7 = H m ^ — :
=lim \
^Т^1»
HOD
X -*
b= lim (y-kx) = \im(l/x*—6x2-x).
X-++
ос
Заменяя х через — и применяя затем правило Лопиталя, получим
b
=
lim
=j™XV~5-i-^
j/l-ба-]
(-6)
^.^(1-ба!
I
При JC-• — оо значения парамет­
ров k и 6 асимптоты будут те же са­
мые. Следовательно, при х -+ -\- оо
и при *-+ — оо данная кривая име­
ет асимптоту у = х — 2. Эта непре­
рывная кривая пересекает свою асим2
птоту в точке, где х = — и неограни­
ченно приближается к ней при
х-> — оо сверху, а при х -• + оо снизу
(черт. 67).
Найти асимптоты кривых:
381. у
2х 2 —9
х+2
383. у = хе
382. у = ^г~х
х
385*. </ = 2х-
Черт. 67
384. у = л; arctg x.
C O S JC
386*. 0 = * + ! ^ .
/55 —
§ 9. Общая схема исследования функций
и построения их графиков
Общее исследование функций и построение их графиков удоб­
но выполнять по следующей схеме:
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пре­
делы в этих точках.
III. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или
периодической.
IV. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­
динат и интервалы знакопостоянства функции1.
•* V. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные и б) не­
вертикальные.
- VI. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убыва­
ния функции.
VII. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его
выпуклости вверх и вниз.
VIII. Построить график функции, используя все полученные
результаты исследования. Если их окажется недостаточно, то сле­
дует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее
уравнения. Построение графика функции целесообразно выпол­
нять по его элементам, вслед за выполнением отдельных пунк­
тов исследования.
387. Исследовать функции и построить их графики:
1) у = —^—;
3) У = У(х+1)*5) у = х2У7\
2
> У=
У(х—1)*\
~^'>
4) у = sin 4 х + cos4х\
6) y = x + 2arcctgx\
7)* у =
\ех-1\.
Р е ш е н и е . Руководствуясь указанной общей схемой, после­
довательно находим:
1) I. Областью определения данной функции, как и всякого
многочлена, является вся числовая ось.
II. Функция не имеет точек разрыва. Как у всякой элемен­
тарной функции, ее область непрерывности совпадает с областью
определения.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио­
дической.
IV. При л; = 0 из данного уравнения найдем у = 0, а при
у = 0 найдем х = 0 и х = 4. Это значит, что график функции
пересекает координатные оси в точках. (0; 0) и (4; 0).
1
Выполнение этого пункта исследования требует решения уравнения
/(*):= 0 и может быть опущено в задачах этого параграфа, если это решение
нельзя получить элементарным путем. Общий метод решения уравнении разъ­
ясняется в следующем § 10.
— 134 —
Интервалы, где функция сохраняет знак, определяются из
условия, что их границами могут быть только точки пересече­
ния графика функции с осью Ох, точки разрыва и границы
области определения функции.
Для исследуемой функции такими точками являются точки
х = 0 и JC = 4. Определяя знак функции при каком-либо значе­
нии х из интервала ( —оо, 0), например у{— 1 ) < 0 , заключаем,
что во всем этом интервале функция имеет отрицательные зна­
чения; во всем интервале (0; 4) функция имеет положительные
значения, ибо # ( 1 ) > 0 ; во всем интервале (4, + оо) функция
имеет отрицательные значения, так как у ( 1 0 ) < 0 .
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так
как она всюду непрерывна;
б) k=
lim ^ = | l i m j t 2 ( 4 - ; t ) = - o o .
J C - ^ + OO
D
Х
При х—• — оо угловой коэффициент k асимптоты также не
существует. Поэтому невертикальных асимптот график функции
также не имеет.
VI. #' = ^(12*2_4* 3 ) = - ^ ( 3 - х ) ;
#' = 0 в точках х=0 и х = 3, которые являются критическими,
так как они удовлетворяют всем необходимым для этого усло­
виям. Других критических точек нет, поскольку производная
у' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку у' слева и справа
от каждой из этих точек:
!
х
У'
У
|
—1
0
1
3
+
0
+
0
—
возр.
нет
экстр.
возр.
max
убыв.
10
Следовательно, х = 3 есть точка максимума: */тах = #(3) = 5,4.
Интервалы возрастания и убывания функции определяются из
условия, что их границами могут быть только точки экстремума,
точки разрыва и границы области определения функции.
Исследуемая функция всюду непрерывна и имеет единствен­
ную точку максимума я = 3. Поэтому в интервале ( — oof 3) она
возрастает, а в интервале (3, -{-оо) — убывает.
12
VII. у" = -гх (2-х) всюду существует и обращается в нуль
при х = 0 и х = 2. Эти значения х могут быть абсциссами точек
перегиба. Исследуем их, определяя знак у" слева и справа:
— 135 —
X
— 1
0
1
2
10
У"
.—
0
+
0
— 1
в. вверх
перегиб
в. вниз
перегиб
у
в. вверх
Следовательно, график функции имеет две точки перегиба
(0; 0) и (2; 3,2) (их ординаты найдены из данного уравнения).
Так как исследуемая функция непрерывна на всей числовой
оси, то, согласно таблице, в интервалах (— оо, 0) и (2, 4 оо)
ее график обращен выпуклостью вверх, а в интервале (0; 2) он
обращен выпуклостью вниз.
Черт. 68
Черт. 69
VIII. Учитывая все полученные результаты исследования,
строим график функции (черт. 68).
1 хз
2) I. Функция у =—— определена на всей числовой оси,
кроме точки х = 0.
II. В точке х = 0 функция имеет бесконечный разрыв: при
х—• —0 и при х—* + 0 \imy=+oo.
Во всех других точках
числовой оси функция непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио­
дической.
IV. График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не
пересекает оси Оу.
Слева от точки разрыва, при — о о < х < 0 , у > 0 ; между
точкой разрыва и точкой пересечения с осью Ох, при 0 < J C < 1 ,
*/>0; справа от точки пересечения с осью Ох, при \ <x< + oof
</<0.
— 136 —
V. а) Прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной
асимптотой графика функции, ибо при х = 0 она имеет беско­
нечный разрыв;
б) й = lim -^ = l i m ^ = ^ = — 1;
b= lim (y — kx) = \\m(l-=£- +
x)=lim\=0.
Следовательно, прямая у== —х есть невертикальная асимпто­
та. При х —• — оо параметры k кЬ имеют те же значения, поэтому
других асимптот нет.
VI. у'—
-j-; у' = 0 в точке х = — у 2% которая является
критической; у' не существует в точке х = 0, но эта точка не
является критической, так как она есть точка разрыва.
Исследуем критическую точку по знаку if\
!f = j<\
/(-V2)>0,
следовательно, х-- — JJ/2 есть точка минимума:
Ут\п = У( — УЪ) = Т7^-Слева от точки минимума при — оо<л;<С— J/2, у'<;0
функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва
при — 1/2<.х<С.О, у'>0 функция возрастает; справа от точки
разрыва при 0-<л; <: + <*>, */'«<0 функция убывает.
VII. #" = -«•; ^=7^=0; if не существует при x = 0t по это зна­
чение х не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно
является точкой разрыва. Следовательно, график функции не
имеет точек перегиба.
Во всей области определения функции у">0, поэтому ее
график всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII. Используя все полученные данные, строим график
функции (черт. 69).
3) I, II. Функция у = %/(х+ \)2—У(х— I)2 определена и не­
прерывна на всей числовой оси.
III. Функция нечетная, ибо у( — JC)= — y(x)\ ее график
будет симметричен относительно начала координат.
IV. График функции пересекается с осями координат только
в начале координат.
При J C < 0 значения */<0; при х>0 значения у>0.
— 137 —
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет;
б) * - Ит
Я.,птШГГ-У^=
6 = lim {у — *A') = lim[v^(jc+l) 2 — У(х— 1)2] =
Х
у+(Л
= lim . . ,
(х + 1 ) а - ( * - 1 ) а
— /
—ч,
п
= 0.
Подставляя найденные значения k = b = Q в уравнение
y = kx + b9 получим уравнение невертикальной асимптоты: (/ = 0.
Тот же результат получится и при х—• — оо.
2
-—2
— 2
Ух^
— Ух + Т
vi. У'=4(^+1) з_|(х-1) . - 4 - ^ ^_У7
+
!
*/' нигде не обращается в нуль; у' не существует в точках
х = ± 1, которые являются критическими. Исследуя критические
точки по знаку у' в соседних с ними точках слева и справа:
X
—5
—1
У'
—
со
убыв.
У
min
У
|
0
1
5
+
со
—
Л
max
убыв.
возр.
заключаем, ч т о * = —1 есть точка минимума, где утХп — у(—1) =
= —j/*4, а х = 1 есть точка максимума, где #max = f/(l) = р/4.
Слева от точки минимума в интервале ( — оо, —1) и справа
от точки максимума в интервале (1, +оо), где у' < 0 , функция
убывает, а между точками минимума и максимума в интервале
(—1; 1), где # ' > 0 , функция возрастает.
2
-— 2
—
2 У(5с+Т?—У(Т=1)*
vn./=-|(* + i) >+!(*-о \=v l ^
»
#" —0 в точке х = 0; у" не существует в точках х = ± 1 . Эти
точки оси Ох могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя
их по знаку у" в соседних с ними точках слева и справа:
к
\ у"
У
—5
—
—1
1
"2
0
1
2
1
5
— со
—
0
+
4-со
+
нет
в. вверх перегиба в. вверх
перегиб
— 138 —
нет
в. вниз перегиба
в. вниз
заключаем, что х = 0 есть абсцисса точки перегиба; //(0) =
= 0.
Слева от точки перегиба, в интервале (— со, 0), где у" < 0 ,
график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от точки
перегиба, в интервале (0, +оо), где г/">0, график функции
обращен выпуклостью вниз.
Черт. 70
VIII. Основываясь па полученных результатах исследования,
строим график функции (черт. 70).
4) I, II. Функция r/ = sin 4 jc+cos 4 х определена и непрерывна
на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как */( — х) = у(х), и пе­
риодической, так как у(х) = у (х + ~ j , с периодом у . Доста­
точно исследовать поведение этой функции и построить ее график
в интервале 0; у ) ; в остальных точках числовой оси поведе­
ние функции и ее график будут повторяться.
IV. При х = 09 г / = 1 ; у^=0. График функции пересекает ось
Оу в точке (0; 1) и не пересекает ось Ох. При любом значении
х функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот,
поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
*\ t
б)
k=
i«
ц
hm —
= h1' m sin
4
JC + COS4 х
—
= ~0;
Ь = lim (у — ^Jc) = lim(sin 4 x + cos4A:) — не существует.
При х—• — оо невертикальной асимптоты также не суще­
ствует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. у' = 4 sin 3 A:cosx — 4cos a x sin л: = 4 sin A: cos x (sin 2 * — COS2JC) =
= —2 sin 2x cos 2X = — sin 4JC;
у обращается в нуль в интервале 0, -£• ] в точках д: = 0 и
х=:-у> которые являются критическими. Других критических
— 139 —
точек в интервале 0, у J нет,
Исследуем критические точки
у" = —4 cos Ах\ у" (0) = —4 < 0,
максимума, где r/max = у(0) = 1;
так как у' существует всюду.
по знаку у" (по правилу Пб):
следовательно, х = 0 есть точка
у" (-5.) = 4 > 0 , поэтому х = ^
есть точка минимума, где ymin = y f-j J = -2~В интервале (0, ~ ) , где у' < 0 , функция убывает, а в интер/ я
я \
^
'
вале I — , у ] , где # ' > 0 , функция возрастает.
VII. у" = —4cos4#; у" существует всюду и обращается в нуль
в интервале 0, у J при * = 4г и х = ~- Эти точки оси Ол: мо­
гут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку у"
в соседних точках:
0
X
я
я
Зя
8
я
¥
Т
У*
—
0
+
0
—
У
в. вверх
перегиб
в. вниз
перегиб
в. вверх
заключаем, что в интервале
А
( я
3\
0, у ] график функции имеет две
/Зя
3 \
точки перегиба: ( ^ , —J и ( ^ , T J .
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения.
В интервалах Го, - ^ и ( ^ , -£Л , где # " < 0 , график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервале l-g-, ^-1 , где
y=stn*x+cos*x у " > 0 , он обращен выпуклостью
вниз.
VIII. Согласно полученным ре­
зультатам исследования строим гра­
фик функции в интервале 0, -^\ ,
длина которого равна периоду дан­
Черт. 71
ной функции, и затем повторяем его
влево и вправо по периодическому закону (черт. 71).
5) I. Функция у = х2ех определена на всей числовой оси,
кроме точки х = 0.
II. В точке х = 0 функция имеет разрыв: она определена
вблизи этой точки, но не определена в самой точке
lim y = 0y ибо lim ex
140 —
0.
При х —*+0 имеет место случай нахождения предела Ооо.
Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило
Лопиталя, получим
1 Т
-L
±
ех
lirn y^lim
-г-= lirn
Ж -* + О
я—=lim-s- =
_L
_
X2
= lim
-Z.
X*
X
J-
A T
x2
ех
~~ х*е
ex
e
e + co
Y~ = lirn - 2 - = - ^ - = + oo.
Следовательно, в точке x = 0 разрыв функции бесконечный.
В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио­
дической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; со­
гласно п. II исследования начало координат является предель­
ной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки
разрыва, например */( — 2 ) > 0 , и в какой-либо точке справа от
нее, например // (2) > 0, заключаем, что функция имеет поло­
жительные значения во всей своей области определения.
V. а) Вертикальной асимптотой графика функции является
прямая х = 0, ибо при * = () функция имеет бесконечный разрыв;
—
_L
б) k=-- lim — = lim яг* = +00, так как lim ex = 1.
х-*> + ао
Х
х; - • + оо
При х—• — оо угловой коэффициент невертикальной асимпто­
ты также не существует, т. е. таких асимптот график функции
не имеет.
±
l
VI. у'=ех (2х—1); #'==0 в точке x = -^-t которая является
критической; у' не существует в точке х = 0, но она не является
критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку у" в этой точке:
„
2JT2 — 2JC-|- 1
У=
^~*
~
„ / 1 \ ^
> У4 " 2 j
1
л
>0
'
/ I\
<?»
заключаем, что ^ = у есть точка минимума: ут\п = у[ -%) = т •
Определяя знак у' в интервалах, границами которых явля­
ются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
(—оо, 0) и (0; -А , где у <0, функция убывает, а в интервале
(—у +00V, где r/'Х), она возрастает.
— 141 —
2
2x ~ * ex нигде не обращается в нуль и суще­
VII. tf=ствует во всей области определения функции. Поэтому график
функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак у" в какой-либо точке слева от точки раз­
рыва, например tf (— 2 ) > 0 , и в какой-либо точке справа от
нее, например f/"(3)>0, заключаем, что график функции Есюду
обращен выпуклостью вниз.
VIII. Ввиду недостаточности полученных данных находим до­
полнительно несколько точек графика, беря подходящие значения
х и определяя соответствующие значения у из данного уравнения:
е-*?)
•1. 7
, (1. *)•
Наконец, строим график функции (черт. 72).
\j
Q\
У л
Yy-x+2arcctgi
Черт. 72
Черт. 73
6) I, II. Функция */ = * + 2arcctgx определена и непрерывна
на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио­
дической.
V. а) Вертикальных асимптот нет;
б) k= lim М- = цт(1 + *£1«*2<) = 1;
bx=
lim {у — &x;) = lim2arcctg;t = 2arcctg( + oo)^0;
Х-к + ао
b2= lim (у — 6;c) = lim2arcctgA; = 2arcctg( — оо) = 2л.
* - • — а>
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимп­
тоты: у = х и у = х + 2л.
-1
VI. у'=\1 + *а t2** , t существует всюду и ооращается
в нуль в точках х = ± 1 , которые являются критическими. Ис­
следуем эти точки по знаку второй производной:
^ ( Г ^ р
< / " ( - 1 ) < 0 ; </"(1)>0.
— 142 —
Следовательно, х = — 1 есть точка максимума, а х= 1 есть точка
минимума: утлк-=у(—\)=--~~1\
утЫ = у(\) = ^-+1'
В интервалах ( —оо, —1) и (1, +<*>), где у' > 0 , функция
возрастает, а в интервале (— 1; 1), гле у' < 0 , функция убывает.
VII. У" = ({.i^x2\2 всюду существует и обращается в нуль
в точке * = 0. Определяя знак у" слева и справа от этой точки:
у"{— 1 ) < 0 и if'(1)>0,
заключаем, что при х = 0 график функ­
ции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале (— оо, 0),
где#"<:0, график функции обращен выпуклостью вверх, а справа,
в интервале (0, +<»), где у">0, он обращен выпуклостью
вниз; #(0) = ~ .
VIII. Согласно результатам исследования строим график
функции (черт. 73).
7)* I, II. Функция у = \ех~1\ определена и непрерывна на
всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни перио­
дической.
IV. Функция всюду неотрицательна; ее график проходит
через начало координат.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет,
б) При х ^ О , у = ех—1; при х < 0 , */=1—е х ,
4й
рХ
Х-^
+ СО
Х
рХ
1
к = lim — = lim
= lim -т- = + °°,
Х
*
т. е. при х—*-{-оо асимптоты нет;
k=
lim — ==lim ——- = 0 f
x-+-<n
b=
X
X
lim (y —*jc) = l i m ( l — e * ) = l ,
* - > •
— <x>
т. е. при x—•—оо график функции имеет невертикальную асимп­
тоту у = 1.
VI. у' = ±ех, где знакх плюс соответствует значениям х из
интервала (0, + оо), где е —1>0, а знак мидус соответствует
значениям л: из интервала (— оо, 0), где ех—1<0; у' нигде не
обращается в нуль и существует всюду, кроме точки x = 0t
которая является критической. Слева от этой точки, где ух =
= —е*<<0, функция убывает, а справа от нее, где
у'=е >0,
функция возрастает. Это значит, что х = 0 есть точка минимума:
VII. у" = ±ext где как и у у' знак плюс соответствует зна­
чениям * > 0 , а знак минус соответствует значениям х < 0 ;
if нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме
точки х = 0. Слева от этой точки, где # " = — ех<0,
график
— 143 —
функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее, где
у" = е*>0, график функции обращен выпуклостью вниз. Следо­
вательно, х = 0 есть абсцисса точки пере­
гиба; у(0) = 0.
Здесь точка перегиба совпала с уг­
ловой точкой, в которой график функ­
ции имеет две различные односторонние
касательные: у =—х, у=х и минимальное
значение ординаты.
VIII. Для построения графика функ­
Черт. 74
ции дополнительно найдем несколько
его точек, например (1; е—1), (—1;
1—в"1), (— 2; 1—е~2) и определим угловые коэффициенты ка­
сательных (левую и правую производные) в угловой точке (0; 0):
*1=0(->(О)= — 1, А 2 ==Л + )(0)=1.
Согласно полученным данным график функции изображен
на черт. 74.
Исследовать функции и построить их графики:
388. у = х* + ЗлЛ
389.
у=\6х(х—\)3.
390.
(f±j)!
39К у =
392.
393. У-
-^
X 2 -J- 1 '
(*-3)УХ
394. у = 2(х+1) — 3$/(х+1)*. 395. y = xe 2 .
397. y^x — 2arctgx.
396. у = sin х — cos x.
398*. у = JC— | siruc |.
399*. # = arcsin|x|.
§ 10. Приближенное решение уравнений
1) Графический метод. Отделение корней. Действительные
корни уравнения f(x)~0 являются абсциссами точек пересече­
ния кривой y = f(x) с осью Ох, а если это уравнение преобра­
зуется к виду фх (х) = <р2 (х), то его действительные корни будут
абсциссами точек пересечения кривых у = фг(*) и # = ф2(я).
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 16,
можно находить приближенные значения действительных корней
алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения
соответствующих кривых.
Однако этим графическим методом можно получить лишь
грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их
вычислить с наперед заданной большой точностью.
Поэтому графический метод обычно применяется лишь как
вспомогательное средство для определения числа действительных
корней уравнения и для их о т д е л е н и я , т. е. для нахождения
таких отрезков оси Ох, внутри которых содержится только по
— 144 —
одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый
из них может быть вычислен с любой желаемой точностью
посредством аналитических методов.
2) Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных.
Если на отрезке [а, Ь] функция f(x) непрерывна, а ее производ­
ная /' (х) сохраняет знак и если f(a)-f(b)< 0, то внутри этого
отрезка содержится только один действительный корень функ­
ции f(х) или уравнения /(*)= 0.
Если, кроме того, на этом отрезке f"(x) также сохраняет
знак, то можно найти границы av и Ьх более узкого отрезка,
содержащего тот же корень, по формулам
(b-a)f(a)
b_o_№±
,n
где Р — тот конец отрезка [a, b], в котором f(x) имеет тот же
знак, что и Г(х).
Геометрически (черт. 75) границы нового отрезка ах и Ьх пред­
ставляют абсциссы точек пересечения с осью Ох хорды А В и
касательной ВЬУ, которые будут ближе
к искомому корню x0t чем границы ис- ^
ходного отрезка [а, Ь].
Далее, исходя из полученного сужен­
ного отрезка, по тем же формулам (*) мож­
но найти границы а2 и Ь2 еще более уз- _
кого отрезка, содержащего в себе ко- °
рень х0.
Повторяя этот процесс последователь­
ного сужения отрезка, содержащего коЧерт. 75
рень хф т. е. повторяя применение фор­
мул (*), можно найти приближенное значение корня х0 с лю­
бой заданной точностью*.
Чтобы найти х0 с точностью до б, следует вести вычисление
ап и Ьп до тех пор, когда впервые окажется
\аа-Ьп\<6
или Ъ<\ая-Ьа\<2Ъ.
(**)
Тогда, с точностью до б, в первом случае х0 ж ап (или х0 « Ьп)у
а во втором случае х0 ж а^2~п •
400. Отделить действительные корни следующих уравнений:
1) x 2 - c o s x - 0 ; 2) 2х3±х-f 1 = 0 ; 3) х-ctg* = 0.
* 1) Здесь возможно ап $ Ьп. Если, как всегда а < Ь, то при р = 6 бу­
дет al<blt
a2<b2, .-., а при р=>д будет ах>Ь1ч а2>Ь2у ...
2) При повторном применении формул (*) но вторую из них (формулу
касательных) всегда подставляется новая граница Ьп, вычисленная по этой
второй формуле.
— 145 —
Р е ш е н и е . Чтобы отделить действительные корни данного
уравнения, т. е. чтобы каждый из них заключить внутри особого
небольшого отрезка, воспользуемся графическим методом.
1) Преобразуем данное уравнение к виду х2 = cos% и построим
кривые у = х2 и у = cos я, в одних и тех же координатных осях
и при одной и той же единице масштаба (черт. 76).
Число точек пересечения этих кри­
.У\
вых равно числу действительных кор­
1
ней данного уравнения, а их абсциссы
являются этими корнями.
Согласно этому положению из чер­
тежа находим: данное трансцендентное
У \\ \ . уравнение х2-— cosx = 0 имеет два дей­
2
-V 0
ствительных корня, один из которых
Черт. 76
хх содержится на отрезке [ — 1; — 0,8],
а другой х2 на отрезке [0,8; 1].
2) Преобразуя уравнение 2х3 + х4-1 = 0 к виду 2х* = — х— 1
и построив кривые у = 2х3 и у = — х— 1 в одних координатных
осях (черт. 77), заключаем: данное алгебраическое уравнение
имеет только один действительный корень, содержащийся на
отрезке [ — 0,6; —0,5].
3) Приводим уравнение х — ctgx = 0 к виду x = ctgx и пост­
роим кривые у = х и y^ctgx
(черт. 78). Котангенсоида имеет
6i-
Черт. 78
бесчисленное множество бесконечных ветвей, каждая из которых
пересекает прямую у = х. Поэтому данное уравнение имеет бес­
численное множество действительных корней. Наименьший по­
ложительный корень х± этого уравнения содержится на отрезке
[0,8; 0,9].
— 146 —
401. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень
уравнения
*» — * _ 0 , 2 = 0.
Р е ш е н и е . Вначале отделим искомый корень графическим
методом. Преобразуя уравнение к виду хъ==х + 0,2 и построив
кривые у = хъ и у = ^ + 0,2 в одних координатных осях (черт.
79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для
обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый
наибольший корень содержится на от­
резке [1; 1,11.
Далее вычислим приближенное зна­
чение корня с заданной точностью, поль­
зуясь методом хорд и касательных, т. е.
применяя формулы (*), сужающие отре­
зок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять эти
формулы, следует убедиться в том, что
Черт. 79
функция f(x) = xb—х—0,2 и найденный
отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а) значения функции f(x) на концах отрезка имеют разные
знаки и что
б) первая и вторая производные от функции на этом отрезке
сохраняют каждая свой знак:
а) / ( 1 ) = _ 0 , 2 < 0 ;
б) П * ) = 5 * 4 - 1 > 0
/(1,1)-0,31051 > 0 ;
^
и
W = = 2
0JC3>0
для всех значений х на отрезке [1; 1,1].
Так как f(x) имеет тот же знак, что и f"(x) при * = 1 , 1 , то,
обозначив концы отрезка а = 1 , Ь=1,1 = р и применяя фор­
мулы (*), получим:
"1"
&!=1,1
L
/ (1,1)—/; (1)
/(1.1)
=
"Г (1.1)
1,1"
^0,51051 ~~ 1 , и о у >
0,31051
= 1,051.
' 6,3205
К полученным новым границам ах и Ьг более узкого отрезка,
содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):
а
2
~~
h
_(b,-a,)f{a,)_
I (bx) —I (ax)
ьа = V
fibi)
t'(bi)
j 03g
L,и0У
^
= 1,051-
,0.012.0,0282
1
0,0595
,и^оу,
0,0313
1,04487.
'5,1005 :
Длина полученного отрезка [а2, Ь2] меньше 26, но больше 6;
0,0001<|д я —Ь 3 | = 0,00018<0,0002.
— 147 —
Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня
данного уравнения с точностью до 0,0001 будет
х0^а~^=
1,0448.
402. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный ко­
рень уравнения 2 — х — lg JC = 0.
Р е ш е н и е . Чтобы отделить иско­
мый корень, преобразуем уравнение
к виду lgx = 2 — х и построим кривые
y = \gx и у = 2 — х (черт. 80). По чер­
тежу определяем, что искомый корень
содержится внутри отрезка (1,6; 1,8].
Для проверки условий, соблюде­
ние которых необходимо при пользо-'
вании методом хорд и касательных, вы­
ч
80
числяем значения функции /(х) = 2 —
— х — Igjc на концах найденного отрезка и находим произ­
водные /' (х) и f"(x):
Д1,6) = 2— 1,6 — 0,2041 =0,1959>0;
Д1,8) = 2— 1,8 — 0,2553= — 0,0553<0;
f'(x)=_l—Llgo;
Г(*) = ^1в*;
/ ' ( х ) < 0 , Г (*)>0 на всем отрезке [1,6; 1,8].
Убедившись, что на концах отрезка функция f(x) имеет раз­
ные знаки и что на всем этом отрезке производные f'(x) и /"(*)
сохраняют каждая свой знак, обозначаем концы отрезка:
а = 1 , 6 = 0; Ь = 1,8 и применяем уточняющие формулы (*):
^ = 1 , 6 - 1 ^ = 1 , 6 + 0^540=1,7540.
Повторно применяем формулы (*) до тех пор, пока не получим
отрезок [ЬпУ an]t длина которого будет удовлетворять одному
из условий (**):
а а = 1,7559
(lJ540-1.7te9)H1.7559)
, -.го.
{(1.7540)—£(К7559) - 1>7ЬЬЪ*>
а 3 = 1,7555816;
Ь 8 = 1,7555807.
Здесь длина отрезка [b3, a3] менее 0,000001; а^ — Ь^^
= 0,0000009. Поэтому искомое приближенное значение корня
данного уравнения с точностью до 0,000001
* о - ь з = 1J55581.
~- 148 -
В задачах 403—406 определить число действительных корней
уравнения3 и вычислить наибольший из них с точностью до 0,01.
403. х —9л: —5 = 0.
404. х*-х10 = 0.
406. х— sin2* = 0.
406. х — 2-\-е* = Ъ.
В задачах 407—410 найти приближенные значения действи­
тельных корней уравнения с точностью до 0,01.
407. х3-6х+3
= 0.
408. х4+ \0х— 1 020 - 0 .
2
409. (х— I ) - 2sinx = 0.
410. е* — 2(1 — х) = 0.
§ 1 1 . Кривизна плоской кривой
Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе коор­
динат и задана уравнением y = ~-f(x) или уравнениями x = y(t)t
y^rty(t)t то ее кривизна К в любой точке определяется формулой
/С = -
\у
\ху—ух |
(1)
11 + (</')3]2 (х*+у2)2
где х, ху у, у— первая и вторая производные от х и у по пара­
метру t.
Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует откло­
нение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только
прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется
от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю\ у других
линий кривизна может равняться нулю только в отдельных
точках. Кривизна окружности радиуса R всю­
у
ду равна -д .
Величина R, обратная кривизне кривой в
некоторой ее точке, R = -^- , называется радиу­
сом кривизны кривой в этой точке.
Кругом кривизны кривой в ее точке М назы­
вается окружность с радиусом, равным радиусу
х
кривизны кривой в точке М, центр которой С
Черт. 81
лежит на нормали к кривой в точке М со
стороны ее вогнутости (черт. 81).
Координаты (X, Y) ц е н т р а к р и в и з н ы (центра круга
кривизны) кривой в ее точке М(х, у) определяются формулами
to
Х = Х-
*2+у2
• _у
У~л
д+(яу
у' У >
ху — у'х
*2 + У2 ; _ „ • Ч-ОО»
ху—ух
— 149->
(2)
Геометрическое место центров кривизны С(Х, Y) линии на­
зывается эволютой этой линии. Уравнения (2) являются пара­
метрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется
эвольвентой.
411. Найти кривизну кривой: 1) x=t2t y = 2t3 в точке, где
t—\\ 2) */ = COS2JC в точке, где х = у .
Р е ш е н и е . 1) Находим производные x = 2t, х = 2, y = 6t2,
y=\2tt вычисляем их значения в точке, где * = 1:
i = 2, i"=2, y = 6t у = 1 2
и, подставляя в формулу (1), получим
К
_ \ху-ух\
_ 2-12 —G-2
±
±
' 20 ]Ло '
2) Из данного уравнения находим первую и вторую произ­
водные от у по х:
у = — 2 sin 2х, г/" = — 4 cos 2xf
вычисляем их значения в данной точке: f/'fyj—O, ^ ( Y )
=
*
и, подставляя в формулу (1), получим / ( = — ^ — • — - = 4.
[!+(</') 2 ] Т
412. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса
х —a cost, y = bs\nt.
Р е ш е н и е . Найдем производные х = — a sin tf x = — acos/,
y = bcostt у—— ft sin f и определим радиус кривизны эллипса
в любой его точке:
п/м
1
(*2 + */ 2 ) 2
(a2slu2/4-62cos202
\ху — ух\
Для вершин эллипса, лежащих на его оси 2а, параметр t
равен 0 или я. Поэтому радиус кривизны эллипса в этих вер­
шинах R (0) = R (я) = — .
В двух других вершинах эллипса, лежащих на оси 2Ь,
t=-y
или t = -£' ^
этих
ве
Р ш и н а х РаДиУс кривизны эллипса
413. Найти координаты центра кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой:
— 150 —
1) у = 4л: — х2 в ее вершине;
2) x = t — sin/, £/=l— cos* в точке, где * = -тгР е ш е н и е . 1) Данное уравнение определяет параболу, ось
которой параллельна оси Оу. Найдем ее вершину как точку,
где касательная параллельна оси Ох, т.е. где у' = 0:
у' = 4 — 2х; у' = 0 при Jt = 2; */(2) = 4.
Далее по формулам (2) находим координаты центра кри­
визны С данной параболы в ее вершине (2; 4)
У
и
у
v
\
у»
2
и строим параболу и круг кривизны в ее вершине (черт. 82).
Черт. 82
2) Находим производные i = l — c o s / ,
у = cost, их значения при t = ^r\
* = sin/,
*/=sin/,
*(£)-'• =(f)-«. »(!)-'• " ( r H
и по формулам (2) координаты центра кривизны
Х-.
Х2 + У2 '
Я
, .
,.
ху—ух
.
Х2 + */2 '
t
ху — ух
Затем строим данную циклоиду, ее точку A ( у ~ 1 » 0 »
где
t=Y> найденный центр кривизны С(^+\\
— 1) и круг кри­
визны (черт. 83).
414. В каких точках параболы y = }f2x2 радиус кривизны
равен единице?
Р е ш е н и е . Находим производные у' = 2\г2ху г/" = 2 ] / 2 и
по формуле (1) радиус кривизны параболы в любой ее точке
с абсциссой х:
(1+8JCV
R(x) = 2 V'2
151 —
Полагая /?•(*) = 1, получим абсциссы искомых точек
Я
2
2К~2 = ( 1 + 8 х * ) т ; (21/"2)^"=1+8х 2 ; 8*2 = 1; х = ±
2^2
х
415. В какой точке кривая у = е имеет наибольшую
кривизну?
Р е ш е н и е . Находим производные у'=у" = ех и кривизну
данной кривой в любой точке:
(i+e 2 V
Далее ищем наибольшее значение функции /((*), которая
определена и непрерывна на всей числовой оси:
/('(х)^*0"2*2^;
/<"(х) = 0 при 1 — 2e2X = 0f
т.е. в единственной точке х0 =
^-. Определяя знаки К'(х)
слева и справа от этой критической точки: К' (— Ю)>0, К' (0)<;0 |
устанавливаем, что она является точкой максимума функции
К(х). Поскольку х0 есть единственная точка экстремума непре­
рывной функции К(х) во всем интервале ( — оо, +оэ), то в этой
точке она достигает и своего наибольшего значения. Следова/ in 2 VY\ £ГЛ
тельно, искомая точка есть (
s~; —т>— 1. (Ордината этой точ­
ки вычислена из данного уравнения кривой по известной ее
абсциссе.)
416. Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую
и ее эволюту:
1) л:2 = 2(1 — у)\ 2) x = acos*, t u f t s i n / .
Р е ш е н и е . 1) Из данного уравнения параболы находим
производные: у' = — ху у"=—\
и по формулам (2) находим
координаты любой точки на ее эволюте:
Х=х
Х=-х\
Y=-\x*
Это параметрические уравнения эволюты. Исключая из них
параметр ху получим 27А'2 = —8V3 — уравнение полукубической
параболы. Данная парабола и найденная ее эволюта изображены
на черт. 84.
2) Из уравнений эллипса найдем производные х = — a s i n / ,
х = — acostf y^bcosl,
y= —bs'm t и по формулам (2) получим,
— 152 —
после упрощений, параметрические уравнения эволюты эллипса
Эллипс и его эволюта построены на черт. 85.
Черт. 84
Черт. 85
Найти радиус кривизны кривой:
417. ху = А в точке (2; 2) и в точке, где х = 8.
418. у = е~х* в точке пересечения с осью Оу.
419. x = a(t —3sin Ot y = 3a(l—cost) в точке, где t=^n.
420. л: = a cos /, y = as\n t в любой ее точке.
Найти координаты центра кривизны и построить кривую и
круг кривизны кривой:
421. Зу = хг в точке, где х =•- — 1.
422. у3 = х2 в точке, где у=-\.
423. у = \пх в точке пересечения с осью Ох.
424. у — ех в точке пересечения с осью О*/.
Найти точки кривых с наименьшим радиусом кривизны:
425. у = \пх. 426. \nc + V~y==V~a.
Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее
эволюту:
427. у* — 2х = 0. 428. х7—у'А==а2.
429. x = a(cost-{-t sin t), y=a(s\nt — tcost).
ГЛАВА
IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл*
Основные формулы интегрирования
Отыскание функции F(x) no известному ее дифференциалу
dF (x) = f(x)dx [или по известной ее производной F' (х) = /(*)!,
т. е. действие обратное дифференцированию, называется инте­
грированием, а искомая функция F (х) называется п е р в о о б ­
р а з н о й функцией от функции
Всякая непрерывная функция
f(x) имеет бесчисленное множе­
ство различных первообразных
функций, которые отличаются
друг от друга постоянным слага­
емым: если F(x) есть первообра­
зная от f(x), т. е. если F'(x) =
= /(*), то и F(x) + C, где С —
произвольная постоянная, есть
также первообразная от /(*)» ибо
lF(x) + C\' = F'(x) = f(x).
Общее выражение F(x) + C совокупности всех первообразных
от функции f(x) называется неопределенным интегралом от
этой функции и обозначается знаком f:
^f(x)dx
= F(x) + C, если d\F(x) + C\ = f(x)dx.
Геометрически, в системе координат хОу, графики всех пер­
вообразных функций от данной функции f(x) представляют
семейство кривых, зависящее от одного параметра С, которые
получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль
сел Су (черт. 86).
— i5-4 —
Свойства неопределенного интеграла
I. 4dx [J f(x)dx] =f(x) или d§ f{x)dx = f{x)dx.
II. Jf / (x)dx = F(x) + C или \dF{x) = F(x) + C.
III. f af(x)dx = a [f(x)dx, т. е. постоянный множащель можно выносить за знак интеграла.
IV. $ [/х(х) + f2 (х)-/3(х)}dx = J / t
(x)dx+lf2(x)dx-lb(x)dx,
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех сла­
гаемых.
Основные формулы интегрирования:
1. С uadu = t^[ + C, аф—\.
7. С cosec2uda = — ctgu + C.
= 1п|м| + С.
3. fa B da = ^ - + C; (>Лг =
J
1пд '
u
J
9. f ^ Ц = 1 1 п | ^ | + С.
J u2-a2
2a
\u + a\
= e + C.
4. I sin udu = — cosw + C.
5. I cos и du = sin w + C.
J
6. £ sec2udu = tgu + C.
10. 1
u
= arc sin—+ C«
r
11. i r
=
J J ^ +a
= In | M+Ki?HPb| + C.
В этих формулах а —постоянная, a —независимая перемен­
ная или любая (дифференцируемая) функция от независимой
переменной. Например:
Интеграл / t = I j / " * dx= I x* dx представляет формулу 1 при
2
1
—
2
г—
и = xt а = у . Согласно этой формуле l ^ - y j c 2 -j- С = -<г V х 3 +С.
Интеграл I2=[3xdx
представляет формулу 3 при и^х,
а = 3. Согласно этой формуле ^ 2 = уп* + ^ •
С
dt
Интеграл / 3 = \ ^ Г з представляет формулу 8 при u = t9
а — У^З. По этой формуле /s==T7==arctg-^=+C.
— /55 —
Интеграл / 4 = I , ^
представляет формулу 11 при н = <р,
а = —5. По этой формуле / 4 = 1 п|<р + Уф 2 — 51 + С.
Интеграл h = ] J^dx
= ^^ldx
представ= ^A^±Il
ляет формулу 2 при и = х2-\-7, так как (л:2+ 7)' = 2х. По этой
формуле / 5 = In (х2 + 7) + С. Здесь опущен знак абсолютной
величины, ибо всегда л:2 + 7 > 0 .
Вообще, в формулах 2, 9, 11 следует писать знак абсолют­
ной величины только в тех случаях, когда логарифмируемое
выражение может иметь отрицательные значения.
Интеграл / в = С 5 sin 5t dt = f sinЫd {Ы) представляет фор­
мулу 4 при и = Ы. Поэтому / б = —cos 5/ + С .
Интеграл / 7 = \ esin* cos cp d<p = {e5in(t>ds'm ф,так каксо&фЛр =
= d sin ф. По формуле 3 при и ^ э т ф получим: / 7 i=e sin(l) + C.
Интеграл 16 = \ # х \
= \ ( х>1_ * так как е*йл; = Лех. По
формуле 9 при и = ех, а = 1 , получим / 8 = — In ' JX:
+C.
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый
результат интегрирования можно проверить путем дифферен­
цирования, ибо, как было упомянуто, интегрирование есть дей­
ствие, обратное дифференцированию.
В простейшем случае, когда заданный интеграл представ­
ляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования
сводится к простому применению этой формулы.
Во всех других случаях задача интегрирования состоит
в том, чтобы путем подходящих преобразований привести дан­
ный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирова­
ния (если это возможно).
430. Найти следующие интегралы и проверить результаты
дифференцированием:
С dx
х~2
С
1
3
Р е ш е н и е : 1) \ —- = \ x~ dx = —^ + C = C—^ , по фор­
муле 1, при и = ху а = — 3.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции
и убеждаемся, что он равен подынтегральному выражению:
d
{c-^)=-hx~2ydx-x~*dx=T*
dx
з •
2)f
*L
arc sin - Fx= + С, по формуле
V2.
— 156-
10, при
и = х.
Проверка, df arc sin -y-^-fC J —f arc sin —— J dx —
(JLX
dx
,dx-
Y•те*
3) f 3*5*d/= f 15'd/ = ГйТ5+ с » п о Формуле 3, при и = *.
а-15.
Проверка. d ( ^ + c ) = T ^ T g l 5 M n l 5 d / - 1 5 f d / .
2
г
1
д = у , т а к как
у У ( у + 1 ) 3 + С, по формуле I, при u=y+l,
Проверка, d [ | K ( 7 ^ T ) 3 + C] = | - | ( y + l ) T r f y = l^H r Trfy.
«л
dx
2^2_6
I f 4r
1
I ,
2-\
J x- 2 —3 = -2• 2——
КЗ In
•V*
+c
- + V"3
согласно
свойству III и по формуле 9, при и = х, а = ]/"3.
Проверка.
df—-^-Лп * ~ ,- + С J = — ^ ( l n l x —1^31- —
— ln|jc + l/"3|) / dx = — i ^ - Y — ~ - - ^ - ) d x =
1
l7
4K^3\JC—/3
x+YV
dx
.
2(x* —3)
Здесь для нахождения производных (\и\х — УЩУ и (In | JC -f+ "КЗ"!)' применена формула (1п|и|)' = —.
431. Найти интегралы:
"1^
4) \ £
2
dx\
Решение.
3
2
>J7fep;
3)$созЗ<р* Ф ;
5) \ sin (ax + b)dx;
1)
1Т-Д= = Т—I л:
7
J j/5x
v 5J
6) \ 5JX4<*х.
3
d j c ^ ^ - ^ • - 2^ х 3 + С =
j/5
я х—
2
2 ^ 5 |/л; + С, согласно свойству III и по формуле 1, при
и = х, а = — 3 '
2) - т = = — I - 7 = = = = — arc sin —^ + С,
7
J ^3-4/2 2 J }^3-(20a
2
1^3
свойству III и по формуле 10, при u = 2tf a = 1/^3.
— /57 —
согласно
3) Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель
3 под знак интеграла (согласно свойству III), затем под знак
дифференциала:
\ cos Зф dcp = -j Г cos Зф d (Зф) = у sin Зф + С,
по формуле 5, при а = 3ф.
4) Умножим и разделим интеграл на —2 и внесем делитель
—2 под знаки интеграла и дифференциала:
__L
2
^ _
х
/
\
—
\е dx = — 2\e~^d(—^\==
— 2e~*+C9
по формуле 3, при и = — ~.
5) Умножая и деля на а и замечая, что adx = d(ax-\-b),
получим
\ sin (ax + b)dx = — \ sin (ax + b)d (ах + Ь) =
cos (ax -\- b) + С,
по формуле 4, при а = ал; + &.
6) Умножая и деля на 5, получим:
по формуле 2, при а = 5л: + 4; а' —5.
Этот интеграл можно найти иначе:
J5Fr4^ = l j ^ T ^ = -5- ln h + 3| + C'
4
по формуле 2, при г/ = JC + -g-, и' = 1.
Полученные результаты оба правильные, в чем можно убе­
диться путем их дифференцирования.
432. Найти интегралы
1) J ( 3 - 2х)7 dx\ 2) J sec2 (т - пх) dx\ 3) $ tg q> dq>.
Р е ш е н и е . 1) Умножаем и делим на —2, вносим множи­
тель —2 под знак интеграла, согласно свойству III, и заме­
няя —2dx через d(3 — 2x), что одно и то же, получим:
f (3 - 2хУ dx - — 4- f (3 - 2х)7 (—2dx) = _ I Jf (3 - 2x)7d(3—2x)=
^ J
i
(3_2JC)« . n
*
= —з
Q ЬС,
по формуле 1, при а = 3 — 2,v, a = 7.
2) Умножая и деля на —п и используя равенство — ndx =
= d (m — пх), найдем:
J
\ sec2 (т — пх) dx =
\ sec2 (пг — пх)- (—п dx) =
= — — \ sec2 (т — пх) d (т — пх) = — — tg (m — пх)-\- С,
по формуле 6, при и = гп — пх.
— 158 —
3) Заменяя tg <p через 5HL2. t получим:
j
a r
J COS ф
Y
Y
J
COS ф
Г
J
COS ф
= — ln|cos<p|-fC f
по формуле 2, при a = cos(p (u' = — sin9, du = — sinq)d<p).
Полезно запомнить словесное выражение формулы 2: инте­
грал от дроби, числитель которой является дифференциалом
знаменателя, равен логарифму абсолютной величины .знаме­
нателя.
Найти следующие интегралы и проверить результаты диф­
ференцированием:
(Для сокращения записей в ответах к задачам этой главы
произвольная постоянная С опущена.)
433. §x*dx.
434. f
e
437. j ( a —5) dbt.
439
438. Г
f-=£=.
*2 + 9'
J 22'442. I sin — dx.
J утл?* •
443. С cosec 2ф
3*
dx
440. f_* 4
J W +7
441. I . , " * . .
2
УtUt.
•J
rfcp.
444. [e**dx.
445. f * £ .
J 52'
446.
447
448
' JWW •
f-*L.
J 2л: + 5
- №***'
§ 2. Интегрирование посредством разложения
подынтегральной функции на слагаемые
Если подынтегральная функция представляет алгебраиче­
скую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству IV,
можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.
Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме
более простых интегралов.
449. Найти интегралы:
1) J(3JC 2 —2x + 5)dx;
2 ) j — ~^dx\
3) j ( l + e*)ad*;
4) ]%±±dx;
6)J^dx;
6)^
— 159 —
Ф
Лр.
Р е ш е н и е . 1) Интегрируя* каждое слагаемое отдельно, по­
лучим:
J (Зх2 — 2х + 5) dx = J Зх2 dx - J 2x dx + J 5dx = 3 J * 2 dx x3-x2-\-5x-\-C1
—2 j x d x + 5 f^ = 3 - y — 2-^ + 5x + C =
по формуле 1.
2) Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля
числитель почленно на знаменатель. Затем интегрируем каждое
слагаемое отдельно:
по формулам 2, I.
fty Возводим в квадрат и, интегрируя каждое слагаемое, по­
лучим
\j(l+ex)2dx==^(l
+ 2ex + e2X)dx =
= §dx + 2[ exdx + ~[ е2Хd (2х) = х + 2ех+ ±е*х+ С.
4) Разложим подынтегральную дробь на две слагаемых
дроби, затем интегрируем по формулам 2 и 9:
J х*~5
J *«—5
J x*—5
|T
'
2V^5
| ••+Vs
+c
5) Деля числитель на знаменатель, исключим из неправиль­
ной подынтегральной дроби целую часть*, затем интегрируем:
6) Пользуясь тригонометрической формулой 1 + tg 2 a = sec2 a,
имеем:
\ tg2(pd(p = \ ($ес2ф — l)d<p— \ sec2 ф Ар— [ d(p = tg ф— Ф + С
Найти интегралы:
450. $(2 i/rx—l/r2x+5)dx.
451. $ (sin ф — cos<p)2d<p.
452. \ ,tdx**.
453. |
454. j - ^ L d x * * .
455. f ( t g x + ctgx) 2 dx.
456. j (ex—e~x)*dx.
457. j^J^d**.
^_
rfx.
* Алгебраическая рациональная дробь называется неправильной, если
степень многочлена-числителя выше или равна степени многочлена-знаме­
нателя.
** Здесь, как в решении 449(5), из подынтегральной неправильной дроби
нужно исключить целую часть.
— 160 —
§ 3. Интегрирование посредством замены переменной
Весьма эффективным методом интегрирования является метод
замены переменной интегрирования, в результате чего заданный
интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интег­
рала \ f(x)dx можно заменить переменную х новой переменной /,
связанной с х подходящей формулой x = <p(t). Определив из этой
формулы dx = y'(t)dt и подставляя, получим
\f{x)dx
=
\f[<v(t)]<v'{t)dt=\F(t)dt.
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирова­
ния / будет найден, то преобразовав результат к переменной ху
пользуясь исходной формулой x = tp(t)t получим искомое выра­
жение заданного интеграла.
Х
Например, чтобы найти интеграл J = I
у~ , положим х = /~.
Тогда dx~2idt
и
4m-*№*-*K'-nn)*-*J*_ - 2 J > r ^ T = 2 / - 2 l n ( / + I ) + C = 2l/"j K -2ln(V r jc+l) + C.
Или иначе: пусть / = 1 -\-Vx. Отсюда x = (t — \)2,dx = 2(t— \)dt»
= 2(1 +yrx) — 2\n(\
+Ух)
+
С.
Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2;
оба они правильные, в чем можно убедиться путем их диффе­
ренцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно
брать как формулу x = (p(t), выражающую х через t, так и фор­
мулу t = ty(x), выражающую / через х.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены перемен­
ной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее
правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Неко­
торые частные правила для важнейших типов интегралов даются
ниже.
458. Найти интегралы:
2xdx
.
_
*4 + 3 '
4) [УЛ+^ldx;
6
tk 2201
р
sxuxdx
f
"> \ |/'l+2cos*'
5) [-jM^161
°; \
x dx
уx2+a
6)\-JL=,
Р е ш е н и е . 1) Полагаем JK2 = /; дифференцируем 2xdx = dt,
подставляем в подынтегральное выражение, находим получен­
ный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной х:
Г 2х dx
С dt
J *4 + 3
J'2 + 3
1
j^3
л
.
/
6
.
п
V^3
1
^.
х*
б
КЗ
.
п
|^3
2) Положим 1+2COSA: = ^ Тогда — 2 sirutdx^d/ и
2
J ^1+2сом
2
JV^_
2
J
= C —1/"7 = C — / 1 + 2cosx
3) Беря подстановку x2 + a = z, имеем 2xdx = dz и
J / ^
•0 ^ 1
2
J
2
2
+
4) Подстановка 1 + 1пл; = и дает - = du и
5) Берем подстановку £ у + 1 = **, дифференцируем eydy=--2t dt,
определяем ay = -^- = а
, подставляем в подынтегральное
выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной у:
W+1 +1
6) Полагая f = sin<p, получим dt = cosy dyt
dt
Г
__ Г ^Ф = {£ ф , £» __ sing) | £ _
*
, р
Найти следующие интегралы и проверить результаты диффе­
ренцированием:
459. \ *
6
. Подстановка t = JC3.
460- \ 3-L4gx # Подстановка г = 3 -f 4е*.
461. ^tg3(pd<p. Подстановка cp = arctg/.
462. Г Л:3 У а — х2 dx. Подстановка Уа — х2 = г.
— 162 —
4 6 3 - I * _ * <fo- Подстановка д: — 2 = /.
464.
J xVa — xdx. Подстановка а — x^f 2 .
465*. I — *
. Подстановка л: = — .
466*. \ in2jg . Подстановка tgx = z.
Найти интегралы:
Г *d*
м о Г V^d*
467
469
471.
JW +l
f ^ .
J \+Vx
470. f *
J ex—1
I
_.
J 1^1+2sin 3 x
472.
473*. Г т ^ = .
J л in л
-^—
_• •
J K 2 + cos2^
474*. P ^ L .
§ 4. Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d(uv) = udv-\-vdu
интегрированием обеих частей равенства получается ф о р м у л а
и н т е г р и р о в а н и я по ч а с т я м :
С udv = uv— \ vdu.
(*)
По этой формуле отыскание интеграла [ и dv сводится к оты­
сканию другого интеграла {vdu. Применение ее целесообразно
в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исход­
ного или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы интегрирования по частям к неко­
торому интегралу [f(x)dx следует подынтегральное выражение
f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: и и dv\
за dv всегда выбирается .такое выражение, с о д е р ж а щ е е dx,
из которого посредством интегрирования можно найти v; за и
в большинстве случаев принимается функция, которая при диф­
ференцировании упрощается (например: arcsin xy arctg Зх,1пх, х 3 ).
475. Найти интегралы:
1) Г х cos xdx;
2) \-~dx\
4) fare sin xdx\
5) \x2ezxdx;
3) fx arctg xdx\
6) f
e~xcos-^-dx.
Р е ш е н и е . 1) Положив u = x> dv = cosxdxt найдем: du^dx,
v = [cosxdx = sin*. Подставляя в формулу (*), получим
[ х cos x dx = x sin x— f sin x dx = x sin x + cos x + C.
6*
— 163 -
2) Пусть и = \пх, dv = ~,
TOIда du = -^,
Vz=z
\~l==:
= \ x~*dx = — Y~2- Подставляя в формулу (*), найдем
3) Пусть w = arctgx, dv = xdx, тогда dw = j — ^ , a = \ x d x = =
= '~2 . По формуле (#), получим
/ = ^x.4rctg^dx = yarctgA: — ^ j p ^ d x .
(1)
Последний интеграл находим отдельно:
J 7 ^ * = f 4 f ^ * = ^ ( 1 - п ^ ) d* = *-arc tg *.
Подставляя этот результат в равенство (1), имеем
/ - y a r c t g x — y + yarctgx + C ^ C — y + ^ - a r c t g x .
dx
4) Полагая и = arc sin x, dv = dxt
o—V dx = x. По формуле (*) получим
найдем:
J = \ arc sin Adx = A:arcsin x— i *
du=-Vi—x* *
.
(2)
Последний интеграл найдем, преобразуя его к формуле 1:
= -\^{\-х*)~d{\-x*)
= -{\-x*y
.
Подставляя в равенство (2), имеем
J = х arc sin jc + l / l —x 2 + C
5) Положим и = A:2, dv = e3Xdx, тогда d« = 2xdx, 0 = V e3Xdx =
= — \ e3JCd(3.x;)=-^e3A\ По формуле (*) найдем
l=\x4*xdx
= x^e3X—~\
xe3Xdx.
(3)
К последнему интегралу вновь применяем формулу интегри­
рования по частям. Положим и = х, dv = e**dxt тогда du = dx,
v== \ ег%dx — -^e*x. По формуле (*) получим
f xe*xdx = ^c*x-\^e**dx
—Ш —
= ^e*x—
|е3\
Найти интегралы:
476. \ х sin xdx.
477.
^x2\nxdx.
478.
[ \n(xn)dx.
479.
^(х2+\)е-*хс1х.
480.
\ л: sec2 xdx.
481.
482.
\ arcctg/d/.
483. J ln(l+*V*-
ах
484.
\е
486*.
С1 п х dx
^х1п(х—1)с1х.
485*. I'-^dx.
sin bx dx
487*. С arc tg
(*+1)2
V2x—ldx.
§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
к
i
Ах + В dx;
Л* + Я
dx;
алг2 + йдг + с(/х.
ах2 + Ьх + с
Для отыскания указанных интегралов от функций, содержа­
щих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам
интегрирования следует вначале выделить п о л н ы й к в а д р а т
из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется
в
квадратный
двучлен
ах2 + Ьх + с=^а ( х2-\—х+ — ] =
I
-[(*+£)'+£-5]-[( *+£)*=•=*•]•
В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести
к формулам интегрирования посредством преобразований, при­
меняемых в решении следующих задач.
488. Найти интегралы:
*) J х а н _ 4л + 8 •
2
) J 2х* —3* + l d * ;
3) J x 2 + e , + 9 ^;
4) j — ^ - ^ — d x .
Р е ш е н и е . 1) Выделив из квадратного трехчлена полный
кгадрат х2 + 4л:-|-8 = (х + 2)2 + 4, записав d(x + 2) вместо dx и
интегрируя, получим
d( +2)
2
J x2 + 4* + 8 ^ J (jж + '2)2 + 4 ~- 2 ' аaГ rС c1 8t g ' 2+ +I СС'
по формуле 8, при и=х + 2, а = 2.
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат
*.-8.+i-a(*.-4,+4-)-*[(*-4)'+i-fi]— 166 —
и заменим переменную х, полагая х—-r^tdx = dtt
.
Г (7-Sx)dx
Тогда
получим:
_ 1 Г 1—8/ ,,
2 V ^2_ J_ aU
•= I 2**-3* + Г
Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых ин­
теграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим
их по формулам:
1
J
16
J l
16
16
l
1
= -g- - — p i n
2- —
4
1
t-
t+
— 2 In
1
1
16
+C*
Возвращаясь к переменной .г, окончательно получим
/ = 1 п | ^ ^ | - 2 1 п | * 2 - 1 , 5 * + 0,5| + С.
3) Выделяем полный квадрат xa + 6x + 9 = (x-f3) a , вводим
новую переменную / = х + 3; тогда получим dx = dt и
11
:31n|f | + 11Г 1 + С = 31п|* + 3 |
*+3
с.
4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби
целую часть, деля числитель на знаменатель:
6x3 — 7д:2 + 3х—1
2х—З* 2
*—1
= —2х+1 + 2х— З*2
'
загем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
= — X* + X + Jx.
Интеграл Jt преобразуем к формулам 2 и 9:
1 I (x-l)dx
Л= - т
х1
1_ I
dx
х
~т
, 1\
+4
1
—
У1п
+т
2^ .31
У*~"з]
1 \2 1
* ~ з ) -Т
1
1+
*~з
1
3
т|
= -ylnU—f-l + 4-ln 1*~з
X
1
* Первый интеграл по формуле 9 при ы = /, я = -т-| второй интеграл
по формуле 2 при u = f2 — т^.
— /57
Окончательно получим
J = C—*2 + * + -§-1п|х—1|_Л- In J JC|.
489. Найти интегралы:
1) f
*
2) Г < ^ 5 > ^ = .
;
Р е ш е н и е . 1) Выделив из трехчлена полный квадрат х2—
— Ах—?> = (х — 2)2—7, записав d(x — 2) вместо dx и интегрируя,
найдем
J |Л х а_ 4л ; —3
J ^-2)
2
-7
'
^
V
'
'^
(по формуле 11, при и = х — 2, а = — 7).
2) Выделяем из квадратного трехчлена полный квадрат 9 + 6х—
— Зх а = — 3(х2 — 2х — 3 ) = — 3[(х — I)2—4] - 3[4 — (х — I)2]
и вводим новую временную г^=х—1. Тогда получим: dx = dzt
/—Г
(3*—5)d*
__ 1 Г Зг—2
,
Разложив полученный интеграл на два интеграла,
|^3 J / 4 - 2 *
V^3j ^ 4 - 2 *
*
/3
*
находим каждый из них отдельно.
Первый интеграл преобразуем к формуле 1, умножая и деля
его на —2 и заменяя —2zdz через d(4—z 2 ):
" \ с
-= — у ( 4 — 22) 2 rf(4—22) = — ( 4 — 2 2 ) 4 .
Второй интеграл находим по формуле 10, при и = г, а = 2:
/91 = I ./-^ х2 = arcsin -|-.
J ^4-z
Подставляя найденные интегралы 1Х и / 2 и возвращаясь
к переменной JC, получим
/ = С —^3(4—z2)
j L arcsin 4 = С — 1 / 9 + 6*—3JC* —
2
.
JC —
1
_ —arcsin-^-.
490. Посредством формулы интегрирования
\ udv = uv — С vdu (§4) найти интегралы:
A) lVF+bdt
и Б) Y~tf^pdt.
— 168 —
по частям
Затем, пользуясь полученными результатами как формулами,
найти интегралы:
1) ^V^^dx;
2) [Vx* + 2x + 6dx\ 3) $ ]/"3 + Ах—H*dx.
Р е ш е н и е . А) Полагая в формуле интегрирования по частям
и =}/t* + b, dv = dtt получим du = -7=>
v= t и
Прибавив и вычтя постоянную b в числителе подынтегральной
функции последнего интеграла, разложим его на два интеграла:
Далее, перенося искомый интеграл / из правой части равен­
ства в левую и заменяя интеграл, оставшийся в правой части
равенства, по формуле 11, получим
2I = tVi4:'b
I^^Yi^dt
+b
[-jJL=
J VP
+ Ь*
9
= L Vt^+b + 4 In \t + УР+Ъ \+C.
Б) Пусть и —\rdl — t2, dv=-dty тогда du = -^==dtf
V o? — 1 %
(A)
v=t
и по формуле интегрирования по частям
J - f 1 / а * = ? Л = < Ka*=7 2 — Г
Y~*-xdU
Последний интеграл разложим на два интеграла, прибавляя
и вычитая постоянную а2 в числителе его подынтегральной
функции:
J^tVa^t
— J + a* Г -у—
,
откуда получим
J=fV<P=Ttdt=^VlP=t*+^aKsm^
+ C.
(Б)
1) Пользуясь равенством (А) как формулой, npai =>х, Ь = — 3,
получим
2) Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении
х2 + 2*-f 6 = (х-{- 1)а + 5, затем применяем формулу (А), полагая
— 169 —
в ней t = x-\-1, b = 5:
^Vx2 + 2x + 6dx=\)V(x+l)'i
+ 5d(x+ 1) =
= ф ] / ( л ; + 1 ) 2 + 5 + | - ] п [ ж 4 - 1 + 1 / ' ( х + 1 ) 2 + 51 + С.
3) Выделяя полный квадрат в подкоренном
выражении
3 + 4ж — х2 = — (х2—4JC — 3) = — [(JC—2)2 — 7] = 7 - ( х — 2)2 и при­
меняя формулу (Б), при t = x—2, а2 ==7, получим
5 1/3-1-4*—x2d* = J j/7-(x—2) 2 d (* —2) =
* 2V7—(x—2)i+1 arcsin
Найти интегралы:
491.
492
-.f^( -\-4x<** 4-29*
ii^b-
493. Г з - ^ Ц т
497.
494. f - f e ^ 4 .
^a_2*2 + 4 .
...
499. ( 4 = ^ .
500.
501. Г ( 4 = £ Ш .
502*.
J )/\' 2 + 6х
Г
d*
V2 + x — x'
№ Ш .
f _ £ ^
= =
.
J 1Л-2Л:-ЗА 2
503. ( V * 2 + 4xd*.
504. W \—2x-x*
dx.
§ 6. Интегрирование тригонометрических функций
Часто встречающиеся интегралы от выражении, содержащих
тригонометрические функции следующих видов:
1. \s\nnxdxt
С co^xdx,
III.
II.
$tg n ;cdx,
\
i\nmхсоъпхdx^
^ctgnxdx,
где m и л — целые положительные числа.
IV. [ s'maxcosbxdx,
f sin ax sin bxdx,
[ cos ax cos bxdx
можно свести к формулам интегрирования, а следовательно,
и найти, руководствуясь следующими правилами:
1. Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно
найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:
sin2tf = y (1— cos2w); cos 2 a = y (1 +cos2w); slnucosw = -i- sin2u.
— 170 —
2. Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса можно
найти путем отделения от нее одного множителя и замены
кофункции новой переменной.
3. Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если тип
оба четные, или по правилу 2, если т или п (или и т и п) нечетно.
4. Интегралы вида III можно найти путем замены tgx, или
соответственно, ctgx новой переменной.
5. Интегралы вида IV можно найти путем разложения на
слагаемые по формулам:
sin ax cos bx = -j [sin (a + b) x + sin (a—b) x],
sin ax sin bx = -к- [cos (a—b) x—cos (a -f b) x],
cos ax cosfcx= Y [cos (a + b) x -f cos (a—b) x].
505. Найти интегралы:
1) Jsin 2 3xdx;
2) J cos4 xdx\
3) J sin5 xdx;
4) V sin 4 xcos 2 xdx; 5) V ъ\п* kx cos* kx dx\ 6) f sin 3 xcos 5 xdx.
Р е ш е н и е . 1) Согласно правилу 1 имеем
\ sin 2 Зхdx = -^ I (I—COS6JC)^ = -2- \ dx— ^ ] cos6xd(6x) =
= -§- — 1 2
sin 6
* + c-
2) Применяя правило 1, получим
j cos4 x dx = j (cos2 x)2 dx = | j (1 + cos 2x)2 dx =
=
T [ j ^ + j c o s 2 ^ d ( 2 ^ ) + Jcos22xdxl.
Первые два интеграла представляют формулы, последний
интеграл находим отдельно, по правилу 1:
j c o s a 2 x d x = -i- j ( l + c o s 4 x ) d x = -ij*dx+-^ С cos4xd(4x) =
X
t
1
-
л
= у + -g- sin 4x.
Подставляя в предыдущее равенство, получим
Ccos*xdx = -^ ^ + s i n 2 x + ~- + y s i n 4 x W c = - ^ х + - ^ sin 2x +32 sin 4x + С
— /7/ —
3) По правилу 2 отделяем от нечетной степени один множи­
тель sin5 х = sin4 x sin х и заменяем кофункцию новой переменной,
т. е. полагаем cosx = z. Тогда получим —sin xdx = dz.
\ s\nbxdx=Л
(1 — cos2 x)2 s'm x dx ^ \ (\—z2)2(—dz)
==-§(l--2z2
+ z*)dz = - z + ^ - ~ + C==
2
1
= C—COSA;+o-cos 3 x—Fcosr>
4) Применяя правило 3 (1), получим
I=\
^^-=^.™^dx
=
x.
s'm* x cos2 x dx = \ sin2 jc(sin XCOSA)2 dx =
=
±^sm>2xdx-$s\n>2x<:os2xdx).
Первый интеграл находим по правилу 1:
I s\n22xdx^-^
\ О ~~cos4x)dx = у \ dx—^ \ cos4Jcd(4x) =
= ~2
х
~-g-sin4x.
Второй интеграл находим по правилу 3 (2), полагая sin 2x = z.
Тогда 2cos2*d;t = dz,
\ sin2 2x cos 2x dx = -^ V z2 dz = ~ = -g- sin 3 2JC.
Подставляя эти результаты, имеем
/==-g-(-2-х—-g-sin4x —g-sin 3 2jc j + C .
5) Согласно правилу 3(2) отделяем от нечетной степени один
множитель cos3 kx — cos2 kx cos kx и заменяем кофункцию новой
переменной, т. е. полагаем s\nkx = 2. Тогда имеем k cos kx dx =
-dz,
\ sine kx cos3 kx dx = \ sin6 fcx(l— sin2 kx)coskxdx =
= ^ sin7ftjc —^r sinfl*x-|- С
6) Применяем правило 3(2): отделяем от одной из нечетных
степеней (низшей) один множитель sin3 я = sin 2 * sin x и заме­
няем COSJC через г\ тогда найдем: —b\xixdx — dz и
\ sin3 х cos5 xdx= [ (1 — cos2 x) cos6 л: sin л dx = — С (1—22)z6dz =
= — f 2 6 d z + f z'*dz = ±z* — ~ 2 e + C - | c o s 8 x - | c o s e x + C.
506. Найти интегралы: 1) ^ t g 4 x d x ;
— 172 —
2) ^
s\r\3xcos5xdx.
Р е ш е н и е : 1) Применяя правило 4, полагаем tgx = zt тогда
x=arctg2, d x - p - p ^ ,
z + MCtgz + C = Ttgax
— tgx + x + C.
2) Применяем правило 5; разлагаем подынтегральную функ­
цию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой,
затем интегрируем:
( sin 3xcos5xdx = Y \ \sm8x + s\n(—2x)\dx =
^\s\n8xd(8x)^
IP
1
1
—т- \ sin2^c/(2A:)=-rCOs2A: —TgCOs8x + C.
Найти интегралы:
507. i cos25xdx,
508. С cos5 xdx.
509. i sin2 x cos2 x dx.
510. С sin 3 xcos 2 xdx.
511. 1 sin^Jccos3A:dx.
512 \ sin 4 xdx.
513. Jctg4t/d//.
514. \ COS у X COS 3* ЙЛГ.
515. \ sin 5Л: sin bxdx.
516. V sin at cos Md/.
517*. \ sin 3A: sin \x sin bxdx.
518* . J ( t g z + ctgz) 3 dz.
§ 7. Интегрирование рациональных функций
Рациональные функции всегда интегрируются в элементарных
функциях.
Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется
непосредственно:
§(a0xn +
alxn-i+...-\-an)dx.
/i-И
^ + ^хГ+...+аях
+ С.
Интеграл от дробной рациональной функции \ j^\dx,х
гдеР(л:)
J О. \ )
и Q(*) многочлены, можно найти (выразить через элементарные
функции) путем разложения на слагаемые, которые всегда пре­
образуются к формулам интегрирования.
Н е п р а в и л ь н у ю рациональную дробь, у которой степень
числителя выше или равна степени знаменателя, можно делением
числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, у которой степень числителя
ниже степени знаменателя.
— 173 -
П р а в и л ь н у ю рациональную дробь можно разложить на
элементарные, всегда интегрируемые слагаемые дроби следующих
двух видов:
A
Mx + N
(х—а)т • (х2 + р.г + <?)л '
где т и п—целые положительные числа.
R (х)
Для разложения правильной рациональной дроби —^ на
элементарные слагаемые дроби нужно:
а) Разложить знаменатель Q (х) на простейшие действительные
множители.
В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это
разложение может содержать линейные и квадратные множители:
Q(x) = a0(x — а)т ...(х — b)k .(x* + px + q)n ... (x* + cx + d)r.
б) Написать схему разложения данной дроби на элементарные
слагаемые дроби в следующем виде:
Q (х)
х—а^
(х — а)2 ' ' " *
г
(х — а)т ^
• • • -Tx-b^ix-by^'^(х-Ьр^х^
+ Рх + Я '
, Мгх + Nj
. Mnx + Nn
C.x + D,
"*" (x2 + px + q)2~t~ ' ' * ~*~ (x2 + px + q)n ' " * •"ха + « + о "t"
где Alf . . . , Bly .. . , M lf . . . , Nl9 . . . , Cu . . . , D,, . . . — некото­
рые постоянные. В эту схему для каждого множителя в раз­
ложении знаменателя Q (х) вписывается столько элементарных
слагаемых дробей, какова его кратность ( т , /г, /г, / * , . . . ) .
Знаменателями элементарных дробей являются все целые
степени каждого множителя в разложении Q (х), начиная с пер­
вой степени и кончая той степенью, которую множитель имеет
в разложении Q (х).
Числителями элементарных дробей служат либо постоянные
Alf Л 2 , . . . либо линейные функции Mvx + Nl7 . .. смотря по тому,
является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной
или квадратной функции.
в) Освободиться от знаменателей, умножая обе части равен­
ства на Q (х).
г) Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в обеих частях полученного тож­
дества. (Число этих уравнений должно быть равно числу не­
известных Аи . . . , Blt .;.. , Mlt . . . , Л/, . . . , Cj, . . . , D lf . . . ) .
д) Решить систему и подставить найденные значения А19 . . . ,
В1У ... , Ми . . . , Л^, . . . в схему разложения.
После разложения на элементарные слагаемые дроби инте­
грирование всякой правильной рациональной дроби сводится
— 174 —
к нахождению интегралов вида
j _ р dx
1-){х-аГ
1
И
Интеграл It при тф\
__ С Mx + N
'-""J {х^рх + ЯГ
f
,
йХ
'
представляет формулу 1:
а при т = 1 представляет формулу 2:
J £ ; = ln[*--«| + C.
Интеграл / 2 при /2=1 можно найти по правилу, указанному
в § 5, а при п = 2, 3, 4, . . . путем преобразований, показанных
в решении следующей задачи.
519. Найти интегралы:
l
+10* 2 + 25 "
Р е ш е н и е . 1) Разложим подынтегральную правильную
рациональную дробь на элементарные слагаемые дроби. Согласно
указанному правилу:
а) разложим знаменатель на простейшие действительные
множители: х3 + 4х2 -\~4х = х (х2 + Ах + 4) = х(х + 2)2;
б) напишем схему разложения подынтегральной дроби на
элементарные слагаемые дроби
Зх2 + 8
х(х + 2)2
А . В ,
С
х г х + 2 ' (х + 2)2'
в) освободимся от знаменателей, умножая обе части равен­
ства на х(х + 2)2:
Зх2 + 8=А(х + 2)2 + Вх(х + 2) + Сх =
= (А + В)х2 + (АА + 2В + С)х + АА\
г) составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х в обеих частях полученного тождества
Л + В - 3 , 4Л + 2Й + С = 0, 4,4 = 8;
д) решим эту систему: Л = 2, 5 = 1 , С = —10 и подставим
найденные значения постоянных Л, В, С в схему разложения
3*2 + 8 = 2 _J
х(д: + 2)2 ~ д; г * 4 - 2
10
(х + 2) 2 '
Подставляя под знак интеграла полученную сумму элемен­
тарных дробей и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем
Г (3*2 + 8) rfs = Г Г2
J^
+
4X2 + 4A:
1
J [*^д: + 2
_
10
= 21п|*|+1п|* + 2| + ^
— 175 —
"I ,
_
(x-j-2)^ "* —
+ С.
2) Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую
часть, деля числитель на знаменатель:
x 4 -f-3x 2
-~~ > д:4 -f-Злг2 *
Разложим полученную в результате правильную дробь на эле­
ментарные слагаемые дроби:
а) х* + 3х2 = х2(х2 + 3)\
ел
—А\
1
в
4- Cx+D
•
в) \=Ax(x2
+ 3) + B(x* + 3) + (Cx + D)x2--=
= (A + C)x* + (B + D)x2 + 3Ax + 3B;
г) А + С = 0; B + D = 0; З Л = 0 ; З Д = 1 ;
д)Л=0;
Д=1;
С*0;
Я= —|;
1
1
1
*2(л:2 + 3) З*2 3 (х2 + 3) •
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим
_ « г _**._!—*
*+с.
arctg
3 J х2 + 3
3* з J/3
/3
3) Разложим подынтегральную правильную дробь на элемен­
тарные слагаемые дроби:
а) х* + х = х(х*+1) =
х(х+1)(х2—х+\)\
*з + 4* 2 — 2 д : + 1
б) х(х-\-\)(х*—лс-4-
1)
Л . В ,
Cx-\-D
д: л лг+1 ' * 2 — * + 1 '
в) х3 + 4л;2 — 2х+\ = А (х3 + \) +Вх(х2 — х ]-\) +
+(Cx+D)(x* + x) = (A + B + C)x* + (C + D-B)x2 + (B + D)x + A\
г) A+B+C=l\
C+D — B = A\ B + D = — 2\ A = U
д) >4 =- 1; В = — 2 ; С = 2; D = 0;
X3 + 4JC2 — 2л:+ 1 _
х4 + *
1
~" л
2
2х
дс+1 ' * 2 — х + Г
Подставляя под интеграл и интегрируя, получим
= ln|*| —21n|x+ lH-2/i.
— 176 —
Последний интеграл /А находим отдельно, по правилу, ука­
занному в § 5. Выделяем полный квадрат в знаменателе х2—х+
+ \ = (х—yj +— и полагаем х — у = /. Тогда dx = dt,
+
FJ" ctg FT = 5 l "<'' I ~' + | )+ 7 V i , , c , g Tr-
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
,
|,|(х»-*+1)
2
t g
2*-l
•
с
4) Разложим подынтегральную дробь на элементарные сла­
гаемые дроби:
а) * 4 + 1 0 х я Ч - 2 5 = (х2 + 5)*;
fi\ * * ~ 3 _ Лл + Д • Сх + Р .
' ( х 2 + 5 ) 2 ~ х« + 5 ~Г(х я + 5 ) а ;
в) х* — 3 = (Ax±B)(x2 + b) + Cx-\-D =
= Ax* + Bx2 + (5A + C)x + (5B±D);
г ) Л = 1; В = 0; 5 Л + С = 0; 5fi + Z) = — 3 ;
д ) Л = 1; Д = 0; С = —5; D = — 3 ;
л*» —3 _ х _ 5х + 3
(*2 + 5 ) 2 ~ * 2 + 5 (л 2 -|-5) 2 "
Интегрируя, имеем
Г л 3 —3
,
, __ Г jcdx
J(* 2 + 5 ) 2 ^ - J * 2 + 5
г С xdx
- D J ( x 2 + 5)2
ч
f
dx
^ J(x» + 5)5e
Первый интеграл преобразуем к формуле 2:
С xdx 1 f'2*<h:
I fd(s* + 5 ) _ 1 ,
2
-.
Второй интеграл преобразуем к формуле 1:
Г
xdx
2
- * fix* ' 5)-*<Ш2 1 5 ) - ' (*а + 5 > " ' -
J (л:2 + 5 ) ~ 2 J (X ' D>
fl(^-t^-2
- l
""
L__
2(* 2 + 5)*
В третьем интеграле заменяем переменную jt = |/5~tg z\ тогда
dx= |/5sec 2 zdz,
С
dx __ Г 1^5" sec2 z dz _
1 Г
, _
0
)(x*+W~)
25 sec* 2 ~ " 5 ^ 5 J C O S - 2
"
^irkJ(1+cos22^
1 /
10 / 5 V
— 177 —
* * . x Vb\
/ 5 *- + 5 /
Окончательно имеем:
Найти интегралы:
520. 1 ^ .
52,. J ^ .
Б22. f - ^ -
523
C_j£!±I)^L_
x 4 dx
§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются
в элементарных функциях только в некоторых определенных
случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов
от иррациональных функций, которые выражаются через эле­
ментарные функции:
I. Интеграл } R (х, х*, х?, . • .)dx, где R — рациональная функция, а = —±, р = --± , . . . —рациональные числа, сводится к инп1
п2
тегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается
в элементарных функциях с помощью подстановки x = tkt где
k—общий знаменатель всех дробных показателей у х.
Интегралы более общего вида] R[xt (ax + b)at (ax + bft.. ,]dx
или j R [ ^ . ( ^ j ) . ( ^ + 7 ) P » --']dx
находятся (приводятся
к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок:
ax + b = tk или ^ ± 5 = **.
cx-\-d
II. К интегралам от функций, рационально зависящих от
тригонометрических функций, сводятся интегралы:
\ R (х, У а2—хг) dx—подстановкой х = a sin /;
j R (*> Va2 + *2) dx—подстановкой х = a tg t\
\ R(xt ]/x2—аг)
dx — подстановкой х = a sec t.
— 178 —
III. Интеграл от дифференциального бинома \ хт (а + bxn)p dx
сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях: *
1) когда р — целое число, —разложением на слагаемые по
формуле бинома Ньютона,
2) когда — :
целое число, — подстановкой а-\-Ьхп--гг,
3) когда —'-—hp — целое число,—подстановкой a-rbxn = xn2rf
где г —знаменатель дроби р.
С Р (х)
IV. Интеграл \ n,..!dx, где Рп(х) — многочлен /2-й степени,
v = ax2 + bx-j-с, можно найти по формуле
= (Alxa^ + A,x"-> + . . . + An)Vv + B j ^
f ^0dx
,
где Alt A2, .. . , В — постоянные, определяемые путем дифферен­
цирования этого равенства, умножения его на ]/и и сравнения
коэффициентов при одинаковых степенях х.
Подобным путем можно найти и интеграл
л г 1я
С
V. Интеграл \
х-а
{Ax + B)dx
_-г= можно найти подстановкой
г
J(*-u) Vax* + bx + c
t
530. Найти интегралы:
"Ш«- *>&№<« *>$^<*
л\
4)
Г
dx
J ?Fnr^
Решение.
:
a\ f2jca—лс — 5 .
5)
Лч
6)
f
dx
J т т а ; "*• J (^1Г7т=? •
1) Положив х==/ 4 , согласно правилу I, получим
dx^Athit и
= 4* + 2 l n ( < 2 + l ) — 4arctg* + C.
Возвращаясь к переменной х, имеем
/ = 4 { / J + 2 1 n ( H - T / x ) —4arctg J/jt + C.
* Это доказано П. Л. Чебышевым.
— 179 —
14- х
2) Применяя правило I, берем подстановку —?-—=
t*t откуда
1
,
2tdt
_{
* ~~
найдем х =•t%-^—
г , ах = •
(^_i)*'
__»,.+с_с-4/(ш)'.
3) Применяя подстановку x = 2s'mt, получим dx=- 2 cost At и
4) Это интеграл от дифференциального бинома:
5
где m = — 2 , л = 3, р== — - j .
Здесь ^-±_^_p = — 2— целое число.
Поэтому согласно правилу III полагаем 1 + х 3 = л:323. Тогда
I
£3
i+^3=z-3zrr; ^ = (2"-i)-
х
- 1
_4
d X = — 2 a ( 2 s — 1) »"dr,
/ = _J(2»-l)5-(^-1)-5"«»(z»-l)"i-£fc = J ^ ( f a =
J
J
- 2
2z2
'
2*3/(1+*»)*
5) Согласно правилу IV применяем следующую схему инте­
грирования:
I=[2x*Z^.I^dx
J
W--2JC
= (Ax + B)Vx*-2x
V
'
+ D Г -_^L__,
J
^ - 2 *
Для определения постоянных А, В, D дифференцируем обе
части равенства, затем умножаем его на j/л; 2 — 2х:
2 * 2 - х — 5 = Д ( х 2 - 2 х ) + (Лх + Д)(л:-1) + 0 =
= 2Дх2 + ( В — З Л ) х + ( 0 —fl),
— /SO —
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях последнего равенства, получим систему уравнений:
2Л = 2; В-ЪА=—\\
D — В = — 5.
Решим эту систему: Л = 1, В = 2, D = — 3 и подставим зна­
чения У1, В, D в схему интегрирования:
Последний интеграл преобразуем к формуле 11:
Подставляя в предыдущее равенство, окончательно получим
] = (x + 2)Vx*-2x-3\n\x—l+Vx2-2x\+C.
]
6) Согласно правилу V применяем подстановку х— 1 = у ,
тогда dx^ — j^dty
dx
I
(*-1)1Л-.**
r
f
If IД
J /)/~-l-2/
/2
J I T /
=
1+2*
Г tf/
•1—2*
J V"—1-
Здесь учтено, что l/7* = | / | , что подынтегральная функция
определена в интервале — 1 < лс <с 1, вследствие чего х— 1 < 0
и / < 0 и что поэтому | / | = — / .
Далее преобразуем интеграл к формуле 1:
/ = f(—1 — 2 0 ~ Т Л = — у j \ - l - 2 0 ~ T d ( - - l - 2 0 - =
Найти интегралы:
631.
Г-
£——.
533.
J±/==-'*.
532.
Гж/З^хйх.
».. f ^
535. j^y^-dA:.
536. f^VT^J^dx.
637*.
538*.
,_
\¥—-i—-dx.
J xyV_9
539*. f t—Y~l-t
^ =3 .'
*«
C
x dx
2*
540
"""" J y"x + 2x + 3'
541.
542*. f - T £ ^ = .
f_*±lf— rfjc .
J
— 181 —
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных
(неалгебраических) функций
К интегралам от рациональных функций сводятся следующие
интегралы, где R — рациональная функция:
I. l/?(sinx, cosх)dx — подстановкой 2 = tg-^.
г,
.
22
1 — 2*
_,.
2dz
При этом sin*; 14-2а» wCOS*:
~~° ~" l + 2 * f dx- 1 + 2 » '
II. \ R(tgx)dx — подстановкой tgx = z.
При этом x = arctgzf dx
dz
1-f 2a
III. \ R (ex) dx — подстановкой e* = z. При этом * — In z, dx = — .
543. Найти интегралы:
2
dx
2sinx — c o s * '
> Ы cos ax
°' J 1-ctg»*'
Р е ш е н и е . 1) Полагая tg — = z и заменяя sin x, cos* и dx
указанными их выражениями через z, вытекающими из этой под­
становки, получим
С
dx
_ f
2rfz
_
J 2sinx—cos*
2a + 42— Г
0
f
d(2 + 2)
J (2 + 2)^-5
2-V r 5 + t g 4
^5
12 + 2+ / 5 |
Vb
+ C.
2+y"6 + tg-
. ax = z, согласно правилу I имеем
2) Полагая tg^1_ Z 2
cos ax = 1 + 2 » '
P
d<
J 5+4cosox"
2 Г
dz
2
A
_,__
2dz
djc =
""* 0 ( 1 + 2 * ) '
2 , ~
2
.„ / 1 .
ax\
3) Полагая tgx = z, согласно правилу II получим
Jl-ctg** - J 2 « _ I - 4 J 2«-l - 4 m
+ C = 4 - l n | t g « x - l | + C.
| Z
4i
<fz
^
4) Применяя подстановку e* = z, получим dx = — и
Г e3*dx _ Г г3dz _ P г» dz _ РЛ
1
\dz=z
,
Je»* + l " ' J ( Z » + l ) 2 ~ j 2 + l ~ J V
241/
= J ^г - j p ^ y = z - arctg 2 + С=e* - arctg e* + C.
— /82 —
, ~
Найти интегралы:
544. С ^ ^ - .
546
S4S. fС-J^
545.
J l -j-COSJt
C dx
J Sinлкх
C
dx
«'• I
i.w-
-'-
4 cos x-f-3 sin x
548. jtg»3*dx.
550. ('^~2f'^.
549.
jjj-^551. f^=}d-«.
552*. V+^xdx.
553*. f (2 + <?** *+d xб _ Л ) 2 ,
J
2
J
sin 2Л:
§ 10. Смешанные задачи на интегрирование
В предыдущих параграфах указывались способы отыскания
заданных интегралов. Здесь студент должен самостоятельно
избирать тот или другой способ для отыскания каждого из
следующих интегралов:
dx
554.
Г
—у^г.
555. [ xcos2xdx.
556. f "
вдя Г
.
557.
dz
Ifr^dx.
559 Г W + V**
560.
[V\^dx.
561. f^U+fidx.
562.
f arccos*dx.
563*. Г
564.
f ^ d / .
565. f ^ U .
566.
Г/ ~
568.
£(1-1пдс)»Лс.
569.
570.
\-—i—dx.
57i
572.
j arc tg Vvdv. .
573. j| ^
574.
П ^ + 21^+14^
5?5>
576.
f — ^ = .
577*.
578.
(
579. \ x arc sin x dx.
5
d*.
*
580*. f ^ d * .
.
-?'
567. [(x2 +
x+l)exdx.
fj^d*.
\ ,
~ dx.
P"('+*)^.
68f. f
— 183 —
- .
fj^r-.
^
=
.
ГЛ АВ А V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм,
его свойства и связь с неопределенным интегралом
Если функция [(х) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и если:
1) разделить этот отрезок произвольным способом на п частичных
отрезков длиною Axlt Ах2, Ах3, . . . . Ахп, 2) выбрать в каждом
частичном отрезке по одной произвольной точке £lf £2> £3» ••••&«»
3) вычислить значения функции f(x) в выбранных точках и
4) составить сумму
f &x) Ах, + f (Б2) Ах2 + f (б,) Axn+...+f
(|я) Ахп = 2 / (£,) Дх„
то она называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й функции f(x)
на отрезке |а, 6].
По-разному деля отрезок [а, Ь| на п частичных отрезков и поразному выбирая в них по одной точке £,-, можно для всякой
заданной функции f (х) и всякого заданного отрезка [а, Ь] соста­
вить бесчисленное множество различных интегральных сумм.
При этом оказывается, что все эти различные интегральные
суммы при неограниченном возрастании п и при стремлении
к нулю наибольшей из длин частичных отрезков, имеют один
общий предел. Этот общий предел всех интегральных сумм фун­
кции f(x) на отрезке [а, Ь] называется определенным интегралом
ь
от f (х) в пределах от а до Ь и обозначается f f(x)dx.
а
Простейшие свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
ь
[f{x)dx^—^f(x)dx.
а
Ь
% Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: С f(x)dx = Q.
а
— 184 —
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
ь
с
ь
\f(x)dx =
y(x)dx+\f(x)dx.
а
а
с
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
всех слагаемых:
ь
ъ
ъ
ь
J tfi(*) + /2(*)-hMldx =-- j fi(«)d* + S /2(*)<**- J /,(x)dx.
a
a
a
a
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
ь
ъ
\ cf(x)dx = c \ f(x)dx.
а
а
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти
соответствующий неопределенный интеграл, служит ф о р м у л а
Ньютона-Лейбница
jftjc/dx-J
f(x)dx
= f(x) =
F(b)-F(a),
(*)
— определенный интеграл равен разности значений неопределен­
ного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
582. Вычислить интегралы:
1) i'3x2djt;
2)
Г
dt .
3)J УЩГ4'
^{\+e*)dx;
у
4) ^ (* + 3)sinaxdx.
о
-1
Р е ш е н и е . Применяя формулу Ньютона —Лейбница (*) и
свойства определенного интеграла, получим:
1) ^3x2dx = 3^x2dx=
2
2) [[l+e^)dx=
3)
х*
= З3 —2 3 = 19.
2
(dx + 4 [eTd-% =x + 4e~< = 4 + 4 e —4 = 4e.
]v§rri\{3t
1
+
i) ]ld(3t+4) {St+4)lt
'
^i
-T(5-D=T-
4) Здесь для нахождения неопределенного интеграла приме­
няем формулу интегрирования по частям f udv = 'uu— [ vdu.
— 185 —
Полагая и = х + 3, dv—s'maxdx,
получим du — dx%
v = I sin axdx = — \ sin ax d (ax) =
2a
Г (x + 3)sin ax dx = •
*-f-3
cos ax -f
о
л
x +3
2a
cosax + —, sin ax
cos ax,
_л_
a
2a
cos ax dx
— 1 4- i . — 1 + 3 a
Вычислить интегралы:
i
583.
584.
3JC-
l)f
586. f *2+ 3 dx.
x +4
585.
о
л
a
\ xcos^-dx.
587.
588. \ cos -^ cos ~ dx.
-a
л
589*.
о
С x sin x cos x dx.
590.
\{\+\nyydy.
§ 2. Замена переменной в определенном интеграле
Для вычисления многих определенных интегралов полезно
заменять переменную интегрирования. При этом, если опредеь
ленный интеграл \/(x)rfx преобразуется при помощи подстаа
новки х = ф(/) [или t = ty(x)] в другой интеграл, с новой пере­
менной интегрирования t, то заданные пределы хх — а и х2 = Ь
заменяются новыми пределами /х = а и ^ ^ Р * которые опреде­
ляются из исходной подстановки, т. е. из уравнений
a = q>(a), Ь = ф(Р) [или а = г|)(а), р = -ф(Ь)]4 Если ф'(/) и /[ф(01
непрерывны на отрезке [а, р], то
р
ь
Э
\ \(x)dx=\\\4(t)W
(i)dt =
\F{t)dt.
591. Вычислить интегралы:
In з
Б
1) U*L= ;
2)
Уг
а
f тАз» 3) | ^ ± 1 Ш ; 4)J2T^'
— 186 —
Р е ш е н и е . 1) Вводим новую переменную интегрирования,
полагая У 1 +3x = t. Отсюда находим х = — ^ , dx = -?tdt и
о
О
новые пределы интеграла: / х = 1 при *! = (), ^ = 4 при л;2 = 5<
Подставляя, получим
4
xd*
2 f
J ^г+з* 9
_2 /64 —
9
Л
2) Полагая e* = tf имеем * = lnf, rfx =— ;/ 1 = 2 прих1 = 1п2;
f2 = 3 при л;2 —1пЗ и
In з
8
d
С
*
з
_ f
&
_ С dt __
In 2
=
I .
1п
/—1 I
2- грт|
=
1 Л
у(,
2
1п
,
т-
1п
1\
In 1,5
т]=^--
2
3) Полагая * = 2sinf, получим: dx = 2costdt\
tx =-5. при
^j^^T ПРИ X<i=V3\
*!=!;
J
X2
|Л4_X2
J
4sin*f
J
в
4 J sin4
е
е
я
= —2cosf — — ctg*
2^3
4) Заменяя переменную при помощи подстановки tg ~ = zt
1
2
2dz
2
найдем COSA: = J—-^; dx = -j—* (см. гл. IV, § 9); г1 = 0прн
*i = 0; г 2 = 1 при *a = Y и
_я_
2
J 2 + COSAP
J г» +3
/3
B
/57-
V^:
Уз
б
зУз'
592. Доказать, что для четной функции f(x):
а
а
$/(*)<ix = 2 J/(*)<**,
о
-л
а для нечетной функции f(x):
а
I f (x) dx = 0.
Р е ш е н и е . Разделив отрезок интегрирования [—а, а] точ­
кой х = 0 на две части, согласно свойству 3 получим тождество
а
о
а
lf(x)dx=lf(x)dx+
-а
^f(x)dx.
-а
о
Заменив переменную в последнем интеграле по формуле х=
*= — 2, имеем dx = — dz\ z1 = a при Jtt = — a; z2 = 0 при х2 = 0\
о
О-
а
а
J / ( * ) < k = — J / ( - Z ) dz = J f(-2)dz=
а
-а
$ / ( - * ) d*.
о
о
.
так как значение определенного интеграла не зависит от того,
какой буквой обозначена переменная интегрирования. Следова­
тельно,
а
а
а
а
lf(x)dx=lf(x)dx+lf(-x)dx
-а
о
= l[f(x) +
о
H-x)]dx.
о
Для четной функции /(—*) = /(#), а для нечетной функции
/(—х) = — f(x), поэтому
$/<*)**=
2^f(x)dx,
если {(х) четная,
о
I 0,
если f (х) нечетная.
Пользуясь доказанными положениями, можно упрощать вы­
числение некоторых определенных интегралов. Например:
1) без вычислений, заключаем:
$ (Зх — 2хь) dx = 0y
J sin7 2x dx = 0,
J /8 arcsin t dt = 0
вследствие нечетности подынтегральной функции;
2)
^^-ь^^-в^-, ^
=
2
2
2
+ 1Й^*=°+ W =
о
— 188 —
2
2
16
3
вследствие того, что под знаком первого интеграла функция
нечетная, а под знаком второго — четная.
Вычислить интегралы:
2 fa
.—г-тгт .
f~ (*-Ы)
x
4
Подстановка х + 1 = z.
о
111 2
594.
Подстановка Уех — 1 = f.
\ ]/<?* — 1 dx.
о
595.
I
а/*
Подстановка 2 = дс2Ч-L
' + lnJC dx.
Подстановка f = 1 + In*.
LVw+w
V з
596. I
l/
1
ft
597. JJC2 1Л) — jc2djc.
Подстановка л; = Зсозф.
-s
я
С tdt
598
- ]тЩг
6
о
f l + tg*9
599
' JT i ^ * 0
о
J l+e*
1ПЗ
J I + v^x + 1
-1
Я
~2
8
602*.
f y^g^L-dx.
603*. f s i n ^ l / c o s ^ d q ) .
§ 3. Схема применения определенного интеграла
к вычислению различных величин. Площадь плоской
фигуры
Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактно­
сти широко применяется для вычисления различных геометри­
ческих и физических величин.
Для вычисления некоторой величины и при помощи опре­
деленного интеграла можно руководствоваться следующей
оэщей схемой (I):
1. Разбить и на большое число п малых слагаемых элемен­
тов Ди^:
а
и = Ли! + Аи. + • • • + Аи„ = X, А"«— 189 —
2. Найти приближенное значение каждого элемента Aut
в виде произведения Aut^ f(x£)-Ax и затем приближенное
значение и в виде интегральной суммы
я
и » X / (*/)А*»
^
(*)
где л:—один из параметров величины и, который по условию
задачи изменяется в известном интервале a^x^b\
f(x) — дан­
ная или определяемая из условия задачи функция от х\
х0 = а, х1У Х2, . . . , х„ = Ь — точки интервала [а, Ь], которые при
разбиении и на п элементов разбивают этот интервал на я
равных частей Д х = - ^ .
Здесь при нахождении приближенного значения малого эле­
мента Дм- используются различные допущения. Например,
здесь допустимо малые криволинейные отрезки заменять стяги­
вающими их хордами; переменную силу (или скорость) на
малых участках пути здесь можно заменять постоянной силой
(или скоростью),— допуская, что она неизменно сохраняет на
всем малом участке пути ту величину и то направление, кото­
рые она имела в начальной или конечной точке этого малого
участка; переменную температуру непрерывно нагреваемого или
охлаждаемого тела в течение малых промежутков времени здесь
можно считать постоянной, допуская, что в течение каждого
малого промежутка времени она неизменно сохраняет то зна­
чение, которое имела в начале или в конце этого промежутка.
3. Если из условия задачи следует, что при п—» + оо по­
грешность приближенного равенства (*) стремится к нулю, то
искомая величина и будет численно равна определенному
ь
интегралу и = j f (x) dx.
а
Многие величины можно выразить посредством определен­
ного интеграла, пользуясь другой схемой (II):
1. Полагаем, что некоторая часть искомой величины U есть
неизвестная функция и(х)у где х — один из параметров вели­
чины U% который изменяется в известном из условия задачи
интервале
а^х^Ь.
2. Найдем дифференциал du функции и(х), т. е. приближен­
ную величину (главную часть) ее приращения Аи при измене­
нии х на малую величину dx в виде произведения du = f(x)dx,
где f(x) данная или определяемая из условия задачи
функция от х.
При этом здесь также используются различные допущения,
которые в общем сводятся к тому, что при изменении аргу­
мента х на малую величину dx изменение функции и(х) счи­
тается пропорциональным dx.
— 190 —
3. Убедившись, что дифференциал du найден верно, что при
Ах—+0 бесконечно малые Аи и du будут эквивалентны, найдем
искомую величину U, интегрируя du в пределах отх = а до х = Ь:
ь
U=
\f(x)dx.
а
Так, согласно схеме II:
а) Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох, черт. 87,
дифференциал переменной площади S(X) = SXIAMX есть площадь
прямоугольника со сторонами у и dxt т. е. dS = ydx.
Черт. 8«
Площадь SXlABxa, если вся трапеция расположена над осью Ох,
выражается интегралом
*3
S=£ ydx.
(1)
б) Для криволинейной трапеции, прилежащей к оси Оу, черт.
88, дифференциал переменной площади 5 (у) = S9IAMH есть площадь
прямоугольника со сторонами х и dy, т. е. dS = xdy.
Площадь SytAByit если вся трапеция расположена справа от
оси Oyt выражается интегралом
Ум
S=\xdy.
(2)
У1
В частности каждая из параллельных сторон трапеции
а) или б) может свестись к точке.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной
системе координат, Mooicem быть составлена из площадей кри­
волинейных трапеций, прилежащих к оси Ох или к оси Оу.
в) Дифференциал переменной площади S (<p) = SoMi черт. 89,
есть площадь кругового сектора с центральным углом d<p и ра­
диусом р,
— 191 —
т. е. dS = -<r p2d<p.
Площадь криволинейного сектора ОАВ выражается формулой
S=4jV<*q>.
(3)
В частности точка А или В или обе они могут совпасть с
полюсом О.
Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к полярной сис теме координат, может быть составлена из площадей криво­
линейных секторов.
604. Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:
1) параболой 4у = 8х—хг и прямой 4у = л: + 6;
2) параболами у = 4—х2 и у = х*—2х;
3) кубическими параболами 6х = у3—16у и 24х = у* — 16у;
4) эллипсом .* = acos/, y=-as\nt;
5) кардиоидой p = a ( l - f coscp);
6) окружностями p = 2|^Tacos<p и p = 2a sin <p.
Черт. 89
Р е ш е н и е . 1) Совместно решая данные уравнения, опре­
делим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую
площадь, All; -j ) , В (6; 3). Построив эти точки и проходящие
через них данные линии, черт. 90, видим, что искомая площадь
AN В равна разности площадей S1= AlANBB1 и S2 = АгАВВ1л
Площадь Sx согласно формуле (1) выражается интегралом
S1 = $ydx = ±§(8x-x*)dx
1
= ±(4x*-£)
| =^5.
1
1
Площадь So трапеции АгАВВг
суммы ее оснований на высоту:
равна произведению полу­
<, _АХА + ВХВ
Л р
_95
205
95
5
Следовательно, искомая площадь S = Si—S2 = -y^—-z
12
8 —5 ?24
— 192
5
Если за единицу длины принят дециметр, то S = 5 ~ кв. дм.
2) Определив точки пересечения парабол А (— 1; 3) и В (2; 0)
и построив эти точки и параболы, черт. 91, видим, что искомую
площадь S можно найти как алгебраическую сумму площадей
криволинейных трапеций: S = SA1ACB +
S0BD—SA1AO'
8 - 4 + 4-4 = 9.
S ^ / i c o ^ j (4— x*)dx = 4x — : j |
- 1
- 1
о
о
2
"2
Площадь OSD расположена под осью Ох, поэтому, чтобы
пэлучить ее величину с положительным знаком, пределы ин­
тегрирования взяты справа налево.
о
SAIAO = §
о
(x*-2x)dx
= ^-x*\
-1
=|+1 = 1.
-1
4
4
Следовательно, S = 9 + у — у = 9.
Площадь S можно найти иначе, определив ее дифференциал ds
кзк площадь прямоугольника, у которого высота есть разность
ординат данных парабол, а основание dxt черт. 91:
ds = (yl — y2)dx=[(4—x*) — (x2 — 2x)]dx=r.(4 + 2x — 2x2)dx.
Отсюда S = \ (4 + 2х — 2х2) dx- 4х + *1—\ г?
3) Находим три точки пересечения данных парабол: 0(0, 0),
Л (0; —4), fl(0; 4), затем строим эти точки и параболы, ч<.:ут. 92.
'.' Заказ N-; 3201
— 193
Искомая площадь S состоит из двух~одинаковых частей; поло­
вину ее можно найти как разность площадей криволинейных тра­
пеций ОСВ и ODB, прилежащих к оси Оу. Согласно формуле (2)
имеем
о
о
(i/3 — 16у)
SOCB = [ *i dy = ^
4
О
S0DB = ^
dy\
4
О
x2dy = 24 J (if — 16y) rfy;
4
4
О
0
S = 2(SocB-S 0 DB)=2^(x 1 -Ag% = !jV-16(/)<ty =
4
4
О
=т(т~ 8 ^)|
=T(~64+128)=16-
4) Оси координат совпадают с осями симметрии данного
эллипса (черт. 93), и поэтому они делят его на четыре одина­
ковые части. Четвертую часть иско­
мой площади S, расположенную в
первом квадранте, найдем как пло*
щадь криволинейной трапеции, при\А(о,о) лежащей к оси Ох:
±ч*
dx.
Черт. 93
Пользуясь данными параметри­
ческими уравнениями эллипса, пре­
образуем интеграл к переменной /; y = bsmtt dx = — asmtdt\
когда х = 0, то / = —; когда x = at то ^ = 0;
S= 4 ^ У dx = — Aab ^ sin2 / dt =
я
2
lab С (1— cos2t)dt = 2ab(t— ^ sin 2 ^ 1
=яа&.
Отсюда при а = Ь получается формула для площади круга:
па*
5) Кардиоида симметрична относительно полярной оси
(черт. 94). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади
— 194 —
криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом
юлярного радиуса р при изменении полярного угла (р от 0 до л.
Поэтому согласно формуле (3)
л
л
5 = 2— f pM<p = a-f(l+cos«p)V/cp =
О
О
л
= а2 ^ (1 + 2 cos ф + cos2 ф) с/ф =
о
2
= а \ \ dip + 2 Г cos ф d(p + у \ (1 + cos 2ф) йф Г =
= а2 (-^ Ф + 2 sin ф + т sin 2ср ]
= у ла 2 .
6) Решив совместно данные уравнения, найдем точку пересе­
чения окружностей А (-^ , aY~b ) .
Построив
окружности,
5
Черт. 94
Черт. 95
терт. 95, видим, что искомая площадь S равна сумме площа­
дей криволинейных секторов ОБА и ОСА.
Дуга АВО описывается концом полярного радиуса р большей
скружиости при изменении полярного угла ф от — до —
этому
iL
2
л
И
2
2
по­
5одл = у \ р 2 ^ф = 6 а 2 \ cos2 ф dip = За2 \ (1+соь2ф)^ф =
л
*
= За2 f ф + у sin 2ф
-
За2
3
VJ
Дуга ОС71 описывается концом полярного радиуса р меньшей
окружности
г
при
изменении
полярного
— 195 —
угла от 0 до ~ ,
поэтому
з
SOCA
= у j p 2 Лр = 2a2 J sin2 q> d<p = a 2 J (i _ c o s 2ф) dip =
0
0
О
Следовательно, S = S 0ZM + 5 0 С Л = a 2 ( - J T 1 1 - V ^ 3 J « 0,89.
Найти площадь, ограниченную линиями:
605. Параболой у = 6х—х2 и осью Ол:.
606. Полукубической параболой £/2 = х8 и прямыми х = 0,
607.
608.
и осью
609.
Астроидой А: = a cos 3 /, y = a s i n 3 / .
Одной аркой циклоиды x = a(t — sin/), f/ = a(1—cos/)
Ox.
Параболой y = x2 + 4x и прямой х—# + 4 = 0.
610. Цепной линией у = ~(еа + е а ) ипрямымил; = 0, х = а.
611. Гиперболой ху = 6 и прямой # = 7—х.
612. Кубической параболой у = х* и прямыми у = х, у=^2х.
613. Окружностью х2-\-у2 = 4х и параболой у2 = 2*.
614. Лемнискатой p2 = a2cos2<p.
615. Первым завитком спирали Архимеда р = аср и полярной
осью.
616. Трехлепестковой розой p = ac.os3cp.
617. Кардиоидой p = a ( l — coscp) и окружностью р = а.
618*. Эллипсами а—*
+о 2тъ= 1 ио 20 +а 2^ = 1 .
2
§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений
Если известна площадь S(x) любого сечения тела плоско­
стью, параллельной некоторой плоскости Р, где х—расстояние
сечения от плоскости Р, черт.96,
то при изменении х на величи­
ну Ах дифференциал объема
тела равен объему прямого
цилиндра с высотой dx и пло­
щадью основания S(x)y т. е.
dv = S (x) dx, а объем всего те­
ла выражается интегралом,
V=^S(x)dx,
a
где а и Ь — левая и правая границы изменения х.
— 196 -
п
619. Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью,
которая проходит через диаметр 2R его основания под углом а
к плоскости основания.
Р е ш е н и е . Изобразив половину данного тела, черт. 97,
замечаем, что всякое сечение его плоскостью, параллельной
плоскости ABC, представляет прямоугольный треугольник.
Найдем площадь сечения, отстоящего от точки О на расстоя­
нии ОР = х. Из прямоугольного треугольника AMP имеем
MP2 = R2 — (R — х)2. Из прямоугольного
треугольника PNM имеем MN =--- MP tg а.
Площадь сечения S(x)9 как прямо­
угольного треугольника с катетами MP
;•! MN:
S(x) = ±MP-MN
= ^MP>tga
=
= Y \R2 - (R - *Y\ tg OL = I (2Rx - x2) tg a.
При изменении х на величину dx
объем v изменится на величину Да, эк­
вивалентную объему прямого цилиндра (призмы) с высотой dx и
площадью основания S(x):
A v « dv = S (x) dx = 2~ (2/?д; — л:2) tg a dx.
Всему искомому объему соответствует изменение х от 0 до
<!/?, поэтому
О
О
л: 2
/у 2
22
620. Найти объем трехосного эллипсоида -g +га + - 2 = 1.
Р е ш е н и е . Плоское сечение эллипсоида, параллельное плос­
кости хОг и отстоящее от нее на расстоянии у = А, черт. 98,
представляет эллипс
* 2 _1_ 2 2 — 1
^ 'J
^ 2 J_ ^ 2 — 1
с полуосями
al = ~Vb2-ii2
и. cr = Wb2
— U2.
Площадь этого сечения, как площадь эллипса, найдем по
формуле, полученной в решении задачи 604 (4),
— 197 —
Подставляя в формулу (*)» получим объем всего эллипсоида
о
о
При а = Ь = с полученная формула для объема эллипсоида
преобразуется в формулу для объема шара У = у л а 3 .
621. Найти объем, общий двум цилиндрам: х2 + у2 = а2
и t/2 + z2 = a2 (ограниченный данными цилиндрическими поверх­
ностями).
Р е ш е н и е . Построим восьмую часть тела, расположенную
в первом октанте, черт. 99.
Любое сечение тела плоскостью, параллельной плоскости xOz,
представляет квадрат. Площадь сечения PQNM, отстоящего от
плоскости xOz на расстоянии OM = ht
квадрата со стороной
S(h) = a2-h\
Весь искомый
интегралом
найдем как площадь
0</г<а.
объем, согласно формуле (*), выразится
а
а
V=8^(a*-h*)dh
= 8(a*h — у ) |
16
0
622. Найти объем тела, отсекаемого от эллиптического пара­
болоида Z=-~,fc+Га ПЛОСКОСТЬЮ Z — k
(k>0).
623. Найти объем, общий двум эллиптическим цилиндрам
43 + ^2—
1
И
a2
+ £2 —
L
624*. Найти объем тела, ограниченного параболическим ци­
линдром z = 4 — г/2, плоскостями координат и плоскостью х = а.
— 198 —
§ 5. Объем тела вращения
Если тело образуется при вращении вокруг оси Ох криволи­
нейной трапеции х1АВх2 (черт. 100), то любое его плоское
сечение, перпендикулярное коси Ох, будет круг, радиус которого
равен соответствующей ординате кривой y = f(x).
Площадь сечения S(x)t соответствующего абсциссе х, как
ллощадь круга, равна пу2.
Черт. 100
Дифференциал объема тела, соответствующий приращению dx>
будет dv = ny2dxt а весь объем тела вращения определяется
формулой
л
2
V = n^tfdx
(x1<xi).
(А)
Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криво­
линейной трапеции y1ABy2t прилежащей к оси Оу, черт. 101,
то dv = KX2dy,
V=n]x*dy
(1Л<у2).
(В)
625. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями:
вокруг оси Ох;
П 2 _ 2рху х = а
вокруг оси Оу\
2)£i + f i = l
3) 2у = х2, 2x + 2y-3 = 0
4) х--=--a cos31, у = a sin 3 /
5) у = А-х\
у=0
вокруг оси Ох;
вокруг оси Ох;
вокруг прямой х = 3.
Р е ш е н и е . !) Построив параболу у2 = 2рх и прямую х = ау
получим параболический сегмент ОАВ, черт. 102. При враще­
нии его вокруг оси Ох образуется сегмент параболоида вращения.
Объем этого тела, согласно общим указаниям, найдем по
— 199 —
формуле (А):
*.
а
V = к} y*dx=n\
2рх dx = ярх2 " = яра 2 .
2) Если у данного эллипса Ь<а, то при вращении его
вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения,
Черт. 102
Черт. 103
черт. 103. Вычислим объем 1/, этого тела по формуле (В):
-ь
При вращении эллипса вокруг его большой оси получается
удлиненный эллипсоид вращения, черт. 104, объем которого
V 2 =--|-nab 2 . Очевидно, VV>V2.
3) Ограниченная данными линиями фигура ОАВ, черт. 105,
при вращении вокруг оси Ох образует тело, объем которою
можно найти как разность объемов тел, образованных враще­
нием вокруг оси Ох трапеций АХАВВХ и АхАОВВл.
Объем Vly образованный вращением трапеции AiABBl1 можно
найти по формуле (А):
X,
1
VX = TL J y*dx= л J (1,5 —x) 2 d* =
= я f (JC— l,5)2rf(jc— 1,5) =
— 200 —
л ( х — 1,5)» I
91
или как объем усеченного конуса по формуле элементарной
геометрии.
Объем ]/2У образованный вращением криволинейной трапеции
А±АОВВи найдем по формуле (А):
1
- 3
2
Искомый объем V = VX — V2 --= 18у^ л .
4) Фигура, ограниченная астроидой, черт. 106, при враще­
нии вокруг оси Ох образует тело вращения, объем которого
определяется формулой (А):
х2
а
1/= я J y2dx=n
кх
а
J y2dx = 2n \ if dx.
—а
о
Исходя из данных параметрических уравнений астроиды
х —acos 3 /, 2 / / = a2 s i nQ3 / , преобразуем
последний интеграл к пере­
менной t\ у = а s\n t\dx= —3acos2 /sin tdt\
i="2~ при х = 0\ / = 0 при л: = а;
о
a
2
3
V = 2л $ y dx = — 6а л J sine / cos2 t sin / Л.
Далее тождественно преобразуем подынгегральное выражение и, применяя формулу
интегрирования степени, получим
Черт. 106
V = 6а3л 5(1— cos2 О3 cos21 ( — sin t) dt =
и
= 6а3л \ (cos2 / — 3 cos41 + 3 cos6 / — cos8 t)dzost
=
л
0
= 6а3л ( — cos3 / — — cos 5 / + y cos7 / — -Q-cos9 / j I = —да 3 .
5) Параболический сегмент ABC, ограниченный параболой
у = 4 — х2 и осью Ох, черт. 107, при вращении вокруг прямой
;; = 3 образует тело, любое сечение которого плоскостью, пер­
пендикулярной к оси вращения, представляет круговое кольцо,
— 201 —
ограниченное концентрическими окружностями. Площадь такого
сечения, отстоящего от начала координат на расстоянии //,
S = nR2 — пг2 - я [(3 -f х)2 — (3 - л-)2] = 12лх = 12л У\~-~^у, так как
есть абсцисса точки, лежащей на данной параболе, т. е.
При изменении у на величину dy
дифференциал объема тела
будет
dv = S (у) dy = 12л 1/4 — // dy.
Весь искомый объем получается
при изменении у от 0 до 4. Поэтому,
интегрируя dv в этих пределах, полу­
чим
V = 12л$1/4 —ydj/ =
Г
-
-
= 64л.
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра­
ниченной линиями:
626. ~2 — Ь = 1 » У ^ 0 ' # =
Ь
вокруг оси Оу.
627. y=^s\nx (одной волной), у = 0 вокруг оси Ох.
628. у2 -f-# —4 = 0, х = 0 вокруг оси Оу.
629. ху — 4, у = 0, л ; = 1 , Л: = 4 вокруг оси Ох.
630. г/2 = (х + 4)3, х = 0 вокруг оси Оу.
631*. у = х2, у = 4 вокруг прямой х=—2.
632. V x+Vy =Va , дс = 0, // = 0 вокруг оси Оу.
633*.
Найти объем тора, образованного вращением круга
г2 -и-(y — b)2^a2(a<cb)
вокруг оси Ох.
634. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x — a(t —
— sin О, у=-а{\— cost) и осью Ох.
§ 6. Длина дуги плоской кривой
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе
координат и задана уравнением y-~f(x)t
или х =•• F (у) или
параметрическими уравнениями * = <р(/), у = /ф(0» Т 0 дифферен­
циал dl длины ее дуги, черт. 108, выражается формулой
а длина дуги АВ определяется формулой
Х
(Я)
dl
LAB=
у
В
J =
В
S VT+(yTdx=
(A)
X
A
S
Vl+(xydy.
4
= J
Vx2+y*dt.
(1)
(xA<xB; yA<yB\
tA<tB).
Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат
и задана уравнением р = /(<р) (черт. 109), то dl = Vp2 + (pyd(pi
<1>В
(В)
L
AB=\dl=
J Vp^TipTdif.
(Л)
(Ф Д <Ф Д ).
(2)
ФЛ
635. Вычислить длину дуги: 1) полукубической параболы
//2 = (Л; — 1)з между точками А (2; — 1) и В (5; —8); 2) одной арки
циклоиды x = a(t — sin/), # = a ( l —cosf); 3) кривой p = a c o s 3 - 5 - #
Atedl*jdx*+d&
0.
А
У\
X
о\
1
dx
х
Черт. 108
Черт. 109
Р е ш е н и е . 1) Разрешаем данное уравнение относительно у
и находим у':
у=±(х-1)Т;
f / ' = ± | ( x _ 1 ) T
(Знаки ± в выражении у указывают, что кривая симметрична
оси Ох\ точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат
на той ветви кривой, которая расположена ниже оси Ох.)
Подставляя в формулу (1), получим
"л
, Д
= ls\(9x-5)3
а
*
J_
d(9x-5)
,
л.,
= ±(9x-5)*
«7,63.
ЯЮ —
2) Дифференцируем по / параметрические уравнения циклоиды
x = j-t = a(\— cos/); у = ^ = asin t
и находим дифференциал ее дуги
dl = Vх2 -\-J2dt = Va2(i^cosry+a2s\n4dt
r
=
2
- a ^ 2 ( l - c o s 0 ^ = a ] / 4 s i n ^ ^ = 2flsin |-d/.
Одна арка циклоиды (черт. 83) получается при изменении
параметра / от 0 до 2л, поэтому
1Л
2Л
2Л
L = 2tf f sin ^dt=~-Aa \ sin y d j = —4a cos-^
0
0
=8a.
0
3) Изданного уравнения кривой р =cos3-^- находим производ­
ную n/ = ^- = —a cos2 -1J- sin -^- и дифференциал ее дуги
rf/ = I/V + (p') 2 ^P = У а1 соь й -|-+ a2 cos4 -|-sin2-^dfp = acos2|-dfp.
Черт. МО
Половина этой кривой, черт. 110, описывается концом поляр3
но го радиуса при изменении <р от 0 до -^-л. Поэтому согласно
формуле (2) длина всей кривой
Я
3
—л
L = 2a f
—л
a
Cos -jj-rfcp
/
, 3
.
= a j ( 1-|-cos 2 | ) d c p 2<Г;\ \2
3
f>36. Найти периметр фигуры, ограниченной кривыми у3 = *2
Р е ш е н и е . Совместно решая уравнения кривых, определим
дне точки их пересечения А (1; 1) и В(— 1; 1). Построив эти точки
и проходящие через них данные кривые, получим фигуру, сим— 204 —
метричную оси Оу (черт. 111). Периметр этой фигуры L=
= 2(L_ + L_).
V
OA
AC'
Пользуясь формулой (1), найдем:
°
УО
о
о
_ 8 /13 УТЗ
—
27 V 8
Х
А
Л .
J '
1
1
i/""H
• * I я У2
= К 2 arc sin ->— =—^—•
о
(Это восьмая часть длины окружности, радиус которой У 2.)
Следовательно, искомый периметр фигуры
^2^зГГЗ-8 + я О ^ 5 д 0 2
Вычислить длину дуги кривой:
637. 9«/2 = 4(3—Л:)3 между
точками пересечения с осью Оу.
638. Астроиды л; = a cos 3 /, y^=as'm3t.
X
К
639. Цепной линии у = ~(еа +е а ) между прямыми х =—а
и х — 0.
640. 2у = х2 — 2 между точками пересечения с осью Ох.
641*. у=1пх между прямыми x = V 3 и х = У8.
642. Кардиоиды p = a(l+cos<p).
643. Первого завитка спирали Архимеда р = а<р.
с2
с2
3
644*. Эволюты эллипса х = — cos /, f/=T-sin 3 f.
645. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями:
I) л:а = (£/+ I) 3 и у = 4 ;
2) у2 = 2рх и 2* = р.
§ 7. Площадь поверхности вращения
Если поверхность образуется при вращении дуги ЛЛ4 плоской
кривой вокруг оси Ох (черт. 112), то дифференциал площади этой
поверхности равен площади боковой поверхности усеченного
— 205 —
круглого конуса с о б р а з у ю щ е й dl и радиусами оснований у и
У + dy:
dl,
ds = ? 5 ^ ± 2 л 0Н^Х> dl = п{2у
+ dlJ} dl^2ny
а площадь поверхности, образованной
определяется формулой
(В)
S=
вращением дуги
АВ,
(В)
\ ds = 2 л С </d/,
(l)
(Л)
И)
где (А) и (fi) обозначают значения в точках А и В выбранной
переменной интегрирования, dl—дифференциал
дуги кривой.
Черт. П2
Черт. 113
При вращении дуги АВ кривой в о к р у г оси Оу (черт. 113)
Ш)
dszz2nxdl\
(В)
S= { ds = 2 n f * d / .
(Л)
(2)
(А)
646. Н а й т и площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох: 1) дуги кубической параболы у = х39 заключен2
2
нои между прямыми х--= —-„- и х = -^-;
У\
•J
/I
А)>Л
2) астроиды
x>i
n\
x = acos3/,
i у
2
1
О
y^asin3/;
^
L
3) эллипса - 2 - + ^ - = 1, a > b .
Р е ш е н и е . 1) Построив дугу пара­
Черт. 114
болы между точками Л (~^ ; = ) и В
— -у ;—27 ) 1чеРт- 1 Н), замечаем, что
поверхность, образуемая вращением этой дуги вокруг оси Ох,
состоит из двух одинаковых частей. Поэтому и согласно формуле
(1), имеем
2
JL
•л
Т
S - 2 • 2я J у ] Л + ( # Т d* - 4теf .х3 /Г-Г9г* d*.
^*х
/60 —
Д л я вычисления интеграла полагаем \-\-9x* = z,
25
2
тогда 36x3dx^dz;
2 Х = 1 при * = 0; z2 —"g П Р И * = ~з *
25
25
*-Ч ^71=т^< =M'f Г =£(f-'И8451
1
1
2) Применяя "формулу (1), преобразуя ее к переменной tt
исходя из уравнений астроиды, получим
5 - 2 - 2 л [ у 1Лс а + у а Л =
о
я
2
= 4л Г a sin 3 1 V( — За cos 2 /'sin О 2 + (За sin 2 1 cos /) 2 d* =
о
JL
iL
2
2
2
4
2
= 12а к С sin fcos*d* = 12a n f s i n 4 / d sin ^ =
:- Е -а 2 л sin-1 г
=тм
о
2
.
о
(Четвертая часть астроиды, расположенная в первом квадранте
(черт. 106) получается при изменении f от 0 до | - . )
3) Дифференцируя по х обе части уравнения эллипса
-а + - т г = 0, */#'=
а и подставляя в формулу (1), находим
а
а
5 = 2я ^ yVT+{^Tdx=AK^V¥TW?dx
-а
о
о
о
а
Ка2—6* с
где е = ^
= — — эксцентриситет эллипса.
— 207 —
=
Полагая ex = a sin /, получим zdx = a cos t dt\ iy-=Q прил: = 0;
t2 = arc sine при х=а\
S = i f J К а * - а * s i n » / ^ cos M/ = ^ j c o s » / J / =
e
^
| ( ! + Cos 2/) Л = 2-f-6( / + у sin 2/
=^2nft( /? -|—arcsine ) .
Отсюда при е—>0 получается площадь поверхности шара
5 = 4ла 2 .
647. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси 0у\ 1) дуги окружности х2 + (у — b)2 = R2 между ее
точками, где у = у1 иу = у2\ 2) петли кривой 9ахг = у(3а—у)2.
Р е ш е н и е . 1) Если дуга данной окружности не пересекает
оси Оу (своего диаметра), то при вращении ее вокруг этой оси
образуется поверхность, называемая сферическим поясом
(черт. 115). Дифференцируя по у обе части уравнения окруж­
ности 2хх' + 2(у — Ь) = 0, *х'=—(// — Ь) и подставляя в фор­
мулу (2), получим
S = 2л С х | Л + ( * ' ) 2 dy = 2л f |/V+(ju;') 2 rfy .У 2
/Ь
= 2KR $dy = 2nR(yi
—
yl)^2nRH,
где // — высота пояса. При H — 2R получим формулу площади
сферы S = 4JI/? 2 .
2) Петля данной кривой (черт. 110) описывается текущей точкой
при изменении у от 0 до За. Поэтому, дифференцируя по у
обе части ее уравнения:
18ахх'=-(3а— у)2 — 2у(3а — у)~
= 3(3а — у)(а — у), хх' = а~~у1 {а~У> и подставляя в формулу
(2), получим
ла
за
о
о
Ла
за
= 2я j
3
2
- ^ Ка + 2ау + у ф = £ \ ( За * + 2<Ч/ - </2) 4/ = Зла 2 .
о
2
о
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох:
648. Окружности x = acos/, y = as\nt.
649. Дуги параболы у2 = 2х между точками пересечения
с прямой 2х = 3.
650. Одной арки циклоиды x=^a(t — sin /), у = а(\—cos/).
651. Одной волны синусоиды у = $'тх.
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу.
652. Дуги полукубической параболы л = 4 — у , у = -г между
точками пересечения с осями координат.
653. Эллипса Зх2 + 4у2 = 12.
654. Найти площадь поверхности тора, образованного вра­
щением окружности х2-\-у2=^а1 вокруг прямой y = b, b>a.§ 8. Физические задачи
655. Определить давление воды на вертикальный прямоуголь­
ный шлюз с основанием 18 м, и высотой 6 м.
Р е ш е н и е . Величина р давления жидкости на горизонталь­
ную площадку зависит от глубины ее погружения .v, т. е. от рас­
стояния площадки до поверхности жидкости: р = 8ах\ 6 —удельный вес жидкос­
х
ти, а—площадь площадки.
\?//////////////////////////\dx
Руководствуясь общей схемой (II) при­
менения определенного интеграла к
вычислению величин, разделим шлюз на
Черт. \\1
глубине х
горизонтальной
прямой
(черт. 117). Тогда давление воды на верхнюю часть шлюза будет
некоторой функцией р (х). Найдем дифференциал dp этой функ­
ции, т. е. приближенную величину (главную часть) ее прира­
щения Др при изменении глубины х на малую величину d.x.
Допустим, ввиду малости dxt что все точки заштрихованной
полоски находятся на глубине х, т. е. что она расположена на
— 209 -,
глубине х в горизонтальной плоскости. Тогда приближенная ве­
личина давления воды на эту полоску будет равна весу, столба
воды, имеющего основанием эту полоску, и. высотой ^глубину х:
&pzzdp=l86xdx=l8xdx.
(Удельный вес воды б==1*.)
Согласно условию задачи глубина х изменяется на отрезке
О ^ ^ ^ б . Поэтому искомое давление Р на весь шлюз найдем,
интегрируя dp в пределах от 0 до 6:
о
= 324Г«324000-9,81н«3178440«**«3,18М«.
656. При условиях предыдущей задачи найти, на какой глуби­
не х — с надо разделить шлюз горизонтальной прямой, чтобы
давление воды на верхнюю и нижнюю части шлюза было оди­
наково.
Р е ш е н и е . Определим давление воды на каждую часть шлю­
за, интегрируя dp в пределах от 0 до с и в пределах от сдоб,
затем приравниваем интегралы друг другу:
с-
«
18 \ xdx= 18 \ xdx\
= х'
с2 = 36
-с\
Решая полученное уравнение, найдем c=?>V 2^4,23 м.
657. Определить давление воды на вертикальную плотину, име­
ющую форму трапеции, размеры которой указаны на черт. 118.
Р е ш е н и е . Допуская, что заштрихованная полоска располо­
жена на глубине* в горизонталь­
ной плоскости и что она является
прямоугольником со сторонами у
и dx, найдем приближенную ве^ j
личину давления воды на эту поаху~
ч
|_ _ \
/ J_
\ лоску Ар«xydx = dp и затем
давление воды на всю плотину:
Черт. 118
= \ xydx.
Для вычисления интеграла выразим переменную у через пере­
менную х. Проведя вспомогательную прямую СЕ параллельно
В А, из подобия треугольников DCE и MCN имеем пропорцию
(а — Ь): (а — у) = h: х,
из которой находим у = а—-г (а — Ь).
* Здесь и далее удельный вес задается в Г(см?.
** н (ньютон)—единица силы (веса) в Международной системе единиц
СИ; 1 ^ ^ 0,102 кГ; 1 /сГ^9,81 н.
— 210 —
Подставляя в подынтегральное выражение и интегрируя, по­
лучим
О
658. Найти давление воды на поверхность шара диаметром
4 м, если его центр находится на глубине 3 м от поверхности
воды.
Р е ш е н и е . Проведем через центр шара вертикаль­
ную плоскость и выберем на ней прямоугольную систему
координат хОу, как показано на черт. 119.
Рассечем шар на глубине h горизонталь­
ной плоскостью. Тогда давление воды на
отсеченную часть поверхности шара будет
некоторой функцией р(/г).
При изменении h на величину dh площадь
5 отсеченной части поверхности шара, как
площадь поверхности вращения вокруг оси
Ох, изменится на величину Aszz2jiydl = dsy
где dl — дифференциал дуги окружности, а
давление p(h) изменится на величину
Aptt2jihydl = dp.
Выразив dp через одну переменную х и
интегрируя в пределах от х=—2 до £ = 2, найдем давление
воды на всю поверхность шара. Из уравнения окружности
х2 + у2 — 4 найдем
£ / ' = — - и затем
dl = V1 + (уТ<$х= | / 1 + ^-dx = -dx\
из
чертежа находим h = 3 + x. Следовательно,
2
2
Р = 2я C(3 + x ) 0 y d * = 4ji
- 2
f (3 + *)^х = 2я(3 + *) 2 Г
=
-2
= 48я(Г)«470880я(«)«0,471я(Л4«).
Давление на верхнюю половину поверхности шара получим,
интегрируя dp в пределах от —2 до 0:
Я 1 = 2я(3 + х) 2 Г_ = 16я(Т)«156960я(н)«0,157я(Л!«).
Давление на нижнюю половину поверхности шара будет
Р2 - 2я (3 + х)212 = 32я (7,)ж313920я(«)«0,314я(Л1«).
— 211 —
659. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла
из вертикального цилиндрического резервуара высотой // — 6 ж
и радиусом основания R = 2 м. Удельный вес масла 6 = 0,9.
Р е ш е н и е . Величина работы qt затрачиваемой на поднятие
некоторого тела, зависит от высоты х его подъема: q=Px1 Р—
вес тела.
Допустим, что работа, затраченная па выкачивание из резер­
вуара слоя масла толщиною х, черт. 120, есть некоторая функ­
ция q(x) и найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем и слоя масла уве­
личится на величину Av —- nR2dx, его вес р увеличится на вели-
я
гг== 1
Черт. 120
Черт. 121
чипу &p=n6R2dxt
а затраченная работа q увеличится на вели­
чину Д<у«л6/?2 xdx = dq.
Всю искомую работу Q получим при изменении х от 0 до //.
Поэтому
Q=nbR2
{xdx =
n6R2~
= ^ г — « 64800л (кГл):
« 64800 -9,81 л (дж)ж 635688л (дж)*
660. При условиях предыдущей задачи вычислить работу, необ­
ходимую для выкачивания масла из цилиндрического резервуара,
если его ось имеет горизонтальное направление.
Р е ш е н и е . Как и в решении предыдущей задачи, полагаем,
что работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя
масла толщиною х (черт. 121), есть некоторая функция q (х) и
найдем дифференциал этой функции.
При увеличении х на величину dx объем v слоя масла
увеличится на величину Ди ^ И у dx = dvy его вес р увеличится
на величину &pzz6Hydx = dpf а затраченная работа q увели­
чится на величину kq m Ь Hyxdx = dq.
Вся искомая работа Q выразится интегралом от dq в пре* дж (джоуль) — единица работы в Международной системе единиц СИ;
1 сЬлг^ 0,102 кГм\ 1 /с/л*^ 9,81 дж.
— 212 —
делах от * = 0 до * = 2/?:
2R
2 *
Q = bH ^xydx = 2t>H §xVR2
о
—
(x-R)2dxf
о
где переменная у выражена через переменную х из прямоуголь­
ного треугольника ONM.
Для вычисления этого интеграла полагаем * — R = R sin/.
Тогда dx = R cos t dt\ t = — -£-при x = 0] t = %- при x = R\
Q=26H f (i? + ^sin/)/? 2 cos 2 /d/ = 2 6 W ^ 3 ( f c o s 2 / ^ +
+ f cos 2 / sin * d/) 1 2 л = 2 6 Я / ? 3 ( у / + ^ - sin 2 / — j c o s 3 / ) | 2 ^ 4
- ябЯ/? 3 = 43200я (кГм) « 423792я (дет).
661. Шар лежит на дне бассейна глубиной Н=14дм. Опре­
делить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если
его радиус R = 3 дму а удельный вес 6 = 2.
Р е ш е н и е . При подъеме шара до поверхности воды сила Ри
совершающая работу, постоянна и равна разности между весом
шара и весом вытесняемой им воды:
Л = у л Я 3 б - у я / ? 3 = - 1 я/?» (4-1).
Поэтому работа Qlf необходимая для под­
нятия шара до поверхности воды, опре­
деляется элементарным путем как произ­
ведение силы Рх на высоту подъема Я —2/?:
Ql = P1(H-2R)
=
Черт. 122
^nR*(6-l)(H-2R).
При дальнейшем подъеме шара сила р, совершающая работу,
будет изменяться в зависимости от высоты х надводной части
шара (черт. 122):
р(х) = Рш — рй,
где Рш — вес шара, рв — вес воды, вытесняемой подводной частью
шара, численно равный объему шарового сегмента с высотой
h = 2R— х:
pe = nh2(R~}
= ±(2R-x)*(R+x)
= ±(x*-3Rx*
+ 4R*).
Очевидно, и работа, совершаемая силой р(х), будет некоторой
функцией q(x). Допуская, что при подъеме шара еще па малую
— 213 —
высоту dx сила р(х) остается неизменной, найдем приближен­
ную величину приращения работы
Aq^p(x)dx
= (Ptu — pe)dx = ^-[4R3(b—l)
— x* + 3Rx2]dx = dq.
Интегрируя dq в пределах от ^ = 0 д о х = 2/?1 найдем работу
Q,2, которую надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бас­
сейна до поверхности воды, полностью извлечь из воды:
1R
Q2 = ^ - ^[4^ 3 (S— 1) —Л:3 + 37?jc2]rfjc =
о
iR
= | [ 4 t f 3 ( 6 - l ) x - ^ + tfx3]| =
-^nR*(2b-\).
о
Вся искомая работа Q = Q t + Q2 = -1 л/?3 [R + ( б — 1) Н] =
= 61,2я (кГж) « 600,4я (дж).
662. Определить работу, необходимую для запуска ракеты
весом Р = 1,5 Т с поверхности земли на высоту // = 2000 км.
Р е ш е н и е . Сила F притяжения тела землей или вес тела
зависит от его расстояния х до центра земли: F(x) = —^> гДе
X —постоянная.
Если Р есть вес тела, когда оно находится на поверхности
земли, т. е. на расстоянии земного радиуса R от центра земли,
X
то P = -^f \ = PR2 и сила F, преодолеваемая двигателем под­
нимающейся ракеты в момент, когда она находится на расстоя­
нии х от центра земли, является известной функцией от х:
р/
PRi
ч
Полагая, что работа, совершаемая двигателем ракеты при
подъеме ее на высоту х, есть некоторая функция q (x) и допуская,
что при дальнейшем подъеме ракеты на малую высоту dx сила F
остается неизменной, найдем приближенную величину прираще­
ния работы
PR*
&q » F (x) dx — —J- dx=>dq.
При подъеме ракеты с поверхности земли на высоту Н пере­
менная х изменяется от RJXOR+H.
Поэтому искомая работа Q
выражается интегралом
R+H
Q = $F(x)dx
R
R+H
= PR*$±
=
R
— 214 —
PR*(-L) ,я + л
R
PRH
R + H'
При Р = 1,57, Н = 2000KAt, # = 6400к.и
Q«2285714000кГмя:
« 22 422 854 340 дж.
Работу, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью
освободить ракету от земного притяжения, можно определить
как предел работы Q (Н) при неограниченном возрастании Я:
При указанных значениях Р и R эта работа составит
9 600 000 000 кГм ж 94176 000 000 дж.
663. Цилиндр высотой Я = 1 , 5 л ! и радиусом /? = 0,4JW, напол­
ненный газом под атмосферным давлением (ЮЗЗО/сГ/л*2), закрыт
поршнем. Определить работу, затрачи­
ваемую на изотермическое сжатие газа
при перемещении поршня на расстояние
/2=1,2 м внутрь цилиндра.
Р е ш е н и е . При изотермическом из­
менении состояния газа, когда его темпе­
ратура остается неизменной, зависимость
dx
между объемом v и давлением р газа выра­
Черт. 123
жается формулой pv — c — const. (Закон
Бойля — Мариотта.)
Поэтому, если поршень будет вдвинут на х м внутрь цилиндра
(черт. 123), то давление р(х) газа на единицу площади поршня
будет р(х) = —^г- = ^-тт^—г, а давление на всю площадь 5
поршня будет P(x) = Sp(x) ' НПолагая, что работа, затрачиваемая при вдвижении поршня
на х м, есть некоторая функция q(x)y и допуская, что при
дальнейшем вдвижении поршня на малое расстояние dx испыты­
ваемое им давление Р(х) остается неизменным, найдем прибли­
женную величину приращения (дифференциал) функции q(x):
Aq « Р (х) dx —
Н—х
dx = dq.
Всей искомой работе Q соответствует изменение х от 0 до А,
поэтому
о
о
При / / = 1 , 5 л, /? = 0 , 4 * . h = 1,2 м, р 0 = 10 330 кГ/м* най­
дем У0 = Я / ? 2 / / = 0 , 2 4 Л Л 3 ; с = р„и0 = 2479,2л; Q « 12533,3 кГмя*
« 122951,7 дж.
— 215
664. При условиях предыдущей задачи определить работу
адиабатического сжатия газа*, при
котором его объем и и дапление р связаны соотношением pvk=^c=^const (закон Пуассона),
где к — постоянная для данного газа величина, большая единицы.
(Для воздуха k » 1,4.)
Р е ш е н и е . Повторяя те же рассуждения и употребляя те
же обозначения, как и в решении предыдущей задачи, найдем
следующее выражение для дифференциала работы;
dq(x):
с dx
S*~ ! ( / / — * ) *
Интегрируя в пределах от * = 0 д о х = й, получим всю иско­
мую работу
с
п
о
Q= — —[—*L__e ' f(//_ x)-"d(H-x) =
с
S*"
_ х ) 11 - * | о =
(Н—х)
Pot , 0 *
г
1
1_-|
-йКтгаГ-']Полагая Я = 1 , 5 ж, /г =1,4, найдем
Q- 2 4 7 0 9 , 4 2 J I [ ( о ) ° , 4 ~ ] 1 ~ 17593Д /сГл*^ 172591,3 дж.
Сравнение этого результата с предыдущими показывает, что
работа, затрачиваемая при адиабатическом сжатии газа, больше,
чем при изотермическом.
665. Прямоугольный резервуар с площадью
горизонтального сечения S = 6M2 наполнен
водой до высоты И =~~Ьм. Определить время, в
течение которого вся вода вытечет из резер­
вуара через небольшое отверстие в его дне
площадью s = 0,01 м1, если принять, что ско­
рость истечения воды равна 0,61/26/?, где И —
высота уровня воды над отверстием, g—ус­
корение силы тяжести.
Черт. 124
Р е ш е н и е . Согласно общей схеме (1) ра­
зобьем искомое время Т на большое число п малых про­
межутков Atlt А/2, ...,Д/ М , и пусть за каждый такой промежу­
ток уровень воды в резервуаре понижается на величину
Ах = — (черт. 124).
* В адиабатическом процессе температура газа меняется: при увеличе­
нии объема она понижается, а при уменьшении объема повышается.
— 216 —
Если допустить, что в течение каждого малого промежутка
времени А/,- скорость истечения воды через отверстие в дне ос­
тается постоянной, равной ее значению в начале промежутка
0,6 V2g(H — xi)9 то, приравняв объем воды, вытекшей с такой
скоростью через отверстие в дне за промежуток А/,-, объему опо­
рожнившейся за этот же промежуток части резервуара, получим
приближенное равенство
0,6s V2g(H — xj) Mt « SHxy
откуда
S /\x
A,
A/, «
r
0,6s |Л>£(//-*,)
.
Приближенное значение всего искомого времени Т будет равно
сумме
где по условию задачи точки х( заключены на отрезке [0, / / ] .
Убедившись, что с возрастанием п погрешность полученно­
го приближенного значения Т стремится к нулю, найдем точное
значение Т как предел интегральной суммы (*) при я—-> + оо,
т. е. как соответствующий определенный интеграл
T=-^UH-x)-^dx--*S(H-xjT\
0,6s^2gJ
0,6s ^ 2 ^
I
= - Д6s°»
Г
л/Ш.
«
Подставляя числовые значения параметров, получим Т ss
« 1010 ^/с ж 16,83 лшн.
Если бы убыль воды в резервуаре постоянно возмещалась,
т. е. если бы уровень воды в нем оставался неизменным, то и
скорость истечения воды была бы постоянной, равной 0,6]/2g77.
В этом случае в каждую секунду через отверстие в дне резер­
вуара будет вытекать объем воды 0,6s V2gH, равный объему
прямого цилиндра с площадью основания s и высотой 0,6 \ 2gH.
Поэтому при указанном предположении объем воды, вмещающейся
в резервуаре, вытечет из него за время
1
o,6s V'2gR
V'izH
0,6s
2 o,6s У a Сопоставление этого результата с предыдущим показывает,
что время истечения Т, без возмещения убыли воды в резервуаре,
в два раза больше времени истечения Т19 при постоянном возмещеннп убыли воды; Т = 2Т1.
666. При условиях предыдущей задачи определить, за какое
время уровень воды в резервуаре изменится на h м, если сверху
в него непрерывно будет протекать V ж3 воды в секунду?
-
2!7
-
Р е ш е н и е . В этом случае за малый промежуток времени At
объем воды в резервуаре изменится на величину
S А* « [0,6s Ylg{H-~)—V]
At,
откуда
At ж
^
0,6s ) Л 2 £ ( / / — j c j — l/
= dt.
Интегрируя d/ в пределах от х = 0 д о х = //, найдем искомое
время Г 2 , за которое уровень воды в резервуаре изменится ка1г(м):
где
0,6s y~2g'
U,6s V"2^'
Применяя подстановку Ун—x~z,
получимdx~— 2zdz\ zx =
-=VH при x = 0\ z2 = ]/H—h при x = h;
*t
T2 = a(j=^£
= 2a§(l
.
+ 7±--)clZ = 2a(z + b\n\z-b\)\
YTi
__
=
= 2 o (Kff-l/ff^+M„j F g^|).
Здесь изменение уровня воды в резервуаре может быть двояким.
Если в начальный момент при Л = 0 скорость притока воды V
будет меньше скорости ее убывания из резервуара 0fis]/r2gH, то
уровень воды будет понижаться до тех пор, пока эти скорости
не станут одинаковыми. После этого вода будет оставаться па
постоянном уровне, меньшем первоначального уровня Н на
величину hl9 определяемую из уравнения 0,6s]/2g(# — /ч) = ^«
Если же в начале процесса V >0,§s\r2gH y то уровень воды в
резервуаре будет подниматься до тех пор, пока не превысит перво­
начальный уровень Н на величину Л2, определяемую из уравнения
0,6sV2g(H + lh)-=Vi
после чего уровень воды в резервуаре будетоставаться неизменным.
667. Два одинаковых сосуда имеют форму прямого круглого
конуса с вертикальной осью; их расположение и размеры показаны
на черт. 125. Оба сосуда наполнены водой и затем опорожняются
через небольшие одинаковые круглые отверстия внизу.
Определить время опорожнения каждого сосуда и в какой
момент времени вода в обоих сосудах будет на одном уровне,
если их опорожнение началось одновременно.
- 218 —
Р е ш е н и е . Полагаем, что время /, за которое уровень воды
в первом или во втором сосуде понизится на величину ху есть
некоторая функция t (х) и найдем ее дифференциал dt при измене­
нии х на величину dx.
Пусть понижению уровня воды в сосуде на малую величину dx
соответствует малое приращение времени А/. Тогда, допуская,
что в течение этого малого промежут­
ка времени вода вытекает из сосу­
да с постоянной скоростью, равной
0,§\r2g(H — х), найдем, что объем во­
ды, вытекшей за время Л^ через от­
верстие в дне площадью лг2, будет
Av « 0,6лг2 V2g(H—x) M.
Черт. 125
За это же время At объем воды
в сосуде уменьшится на величину
Avt « ny2dx, которая должна быть равна объему вытекшей воды
Av. Отсюда, из равенства Aw = Aylf получим
y2dx
0,6r* j/"2g (Я — *)
At
= dt.
Время Т полного опорожнения первого или второго сосуда
получим, интегрируя dt в пределах от х = 0 до х = Н:
1_
т =
Г
y2dx
Для вычисления этого интеграла выразим переменную у через
переменную х.
Из подобия треугольников ABC и NBM* имеем:
И н—х
R ,„
ч
а) для первого сосуда -^- = ——
у
=
—
(Н— х);
У f
-ч
Н
х
R
б) для второго сосуда -^- = —; у = —х.
Поэтому время 7\ полного опорожнения первого сосуда будет
Тг =
R2
<Н-х)*
2а J
dx
_2R*
~~ 3r2
R*
'0,6r*H*V2g
2 (Н—х)'
-./_//_
V 2g '
* Здесь вследствие малости г по сравнению с другими размерами сосуда
и для упрощения вычислений допускается, что осевое сечение сосуда пред­
ставляет треугольник, а не трапецию.
— 219 —
Время Т2 полного опорожнения второго сосуда выражается
интегралом
T =2
__
0t6r2H2lf2g<
dz\ zx = H
Вводя новую переменную z = H—x, имеем: dx =
при * = 0; г.2 = 0 при х = И;
/•/
о
и
1
№~^М<«"
1
я
16,
2
— 2Hz
+2*)dz=^H
Подставляя найденное значение интеграла, получим Т2 =
16/?2 -ш/~1Г
9г 2
У
2ц '
2g
Сопоставив Т 2 и 7\, взяв их отношение 4^ =
заключа­
ем, что первый сосуд опорожняется значительно (почти в три
раза) быстрее второго. При этом, если опорожнение сосудов
начинается одновременно, то в начале процесса уровень воды
в первом сосуде будет выше, чем во втором, затем наступит
момент, когда уровни воды в обоих сосудах сравняются, после
чего уровень воды в первом сосуде будет неизменно и все бо­
лее ниже, чем во втором.
Для определения времени, спустя которое после начала од­
новременного опорожнения сосудов вода в них будет на одном
уровне, найдем зависимость времени / истечения воды от вели­
чины х понижения ее уровня для каждого сосуда.
Интегрируя dt в пределах от х = 0 до х = х% получим:
а) для первого сосуда
/ = b^(H-xydx
= ^b{H-xy
где
|" = Jfe | / Л
-{Н-х)Ц
/?2
Ь =0,6г*//а
\f2g '
б) для второго сосуда
t =.,
J Vtl-x
J
i
2 __
V
2Hz 2 + z * ) U2 =
•
-+l=
I.
6)2//a
*
)
II-X
О
[H* - ( / / - * ) *
+*
О
•H'-(H-x)
TlO
//-.V
-{H -x)'
//
f-
+
Рассматривая полученные зависимости t от х для первого
и второго сосудов как уравнения с искомыми неизвестными
t и х и решая их как систему (исключая if), найдем:
у |_// т -(//-*)"J =2Я2 [н^ -(Н-ху\
—
-~Н [н^-(Н-х)Ц + | [/Д-(//-*)Т| ;
Н [н^-(Н-х)?\—
~ [ я ^ _ ( Я _ х ) т ] =0;
VH~=~x(H + 2x) = V№\
З Я 2 - 4 х 2 = 0;
x = £-jpL.
По найденному значению л: из первого (или второго) урав­
нения определяем /:
По истечении этого промежутка времени t после начала од­
новременного опорожнения обоих сосудов вода в них будет на
одном уровне
h = H-x
= H (l--^-)^0,l5tf.
668. Определить массу шара радиуса г, если плотность
в каждой его точке пропорциональна расстоянию ее от центра
шара.
Р е ш е н и е . Пусть масса шара произвольного радиуса х есть
некоторая функция т(х)>
При увеличении х на малую величину dx объем v этого
шара увеличится на величину Ли, равную разности объемов
шаров с радиусами х и x + dx\
Ду = у я [(х + dx)* — х3] =
= х л (3x2dx + Зл: dx2 + dx3) ж 4ях2 dx = dv.
Допуская, что во всех точках малого объема dv плотность
остается неизменной и равной кху найдем приближенную вели­
чину его массы dtn = kxdv = 4knx* dx.
Искомую массу М шара радиуса г получим, интегрируя dm
в пределах от х = 0 до х = г:
г
М = 4/гя ^ х3 dx --= /гях 4 £ = Ляг4.
о
— 2Й/ —
669. Квадрат со стороною 8 м вертикально погружен в воду
так, что одна из его сторон лежит на поверхности воды. Опре­
делить давление воды на весь квадрат и на каждую из частей,
на которые он разделяется диагональю.
670. Цилиндрический резервуар с горизонтальной осью и ра­
диусом 3 дм наполовину наполнен ртутью (удельный вес 13,6).
Определить давление ртути па каждую из плоских вертикаль­
ных стенок резервуара.
671. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды
из когла, имеющего форму полусферы с радиусом 2 м.
672. Цилиндрический сосуд объемом в 0,1 м'л наполнен ат­
мосферным воздухом, который, изотермически расширяясь, вы­
талкивает поршень (в пустоту). Найти работу, совершаемую
воздухом при увеличении его объема до 0,3; 0,4; 0,5 м-К (Атм.
дагмение 10330 кГ/м2.)
673. При условиях предыдущей задачи найти работу адиа­
батического расширения воздуха.
674. Прямой круглый конус с вертикальной осью погружен
в воду так, что его вершина находится на поверхности воды.
Определить работу, необходимую для извлечения конуса из воды,
если его высота 10 дм, диаметр основания 20 дм, а удельный
вес 3.
675. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вы­
числить работу, необходимую для извлечения балки из воды,
если известны ее размеры а = 6 м, й==0,3 м, с = 0,2 м и удель­
ный вес 6 = 0,8.
676. Зная, что растяжение (удлинение) пружины пропорци­
онально растягивающей силе, найти работу, затрачиваемую при
растяжении пружины на 4 см, если для удлинения ее на 1 см
требуется сила 3 кГ'.
677. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имею­
щая высоту Н и радиус основания R, заполнена водой.
Определить, за какое время через отверстие в дне пло­
щадью S опорожнится:
1) верхняя половина цистерны и 2) нижняя половина
цистерны. *
678. Определить количество воды, протекающей за 1 секунду
через прямоугольный водослив вертикальной плотины, если его
глубина ft, а ширина а*.
679. Определить массу прямого круглого конуса, высота
которого равна Н, а угол между высотой и образующей ос, если
плотность в каждой точке конуса пропорциональна расстоянию
ее от плоскости, проходящей через его вершину параллельно
основанию.
* См. указание к задаче G65.
— 222 —
§ 9. Координаты центра тяжести
Центром тяжести совокупности материальных точек называ­
ется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих
точках.
Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные
координаты центра тяжести С определяются формулами
(В)
(В)
[bxdl
л
с~
J by dl
m ~~ (B)
f б dl
»
Ус
~
m ~~ (B)
\ddl
(A)
»
I1'
(A)
где m —масса дуги АВ\ тх и my —статические моменты этой
дуги относительно осей Ох и Оу\ б (Af)—-линейная плотность
распределения массы в точке Af (х, у) дуги; Л —дифференциал
дуги; (А) и (В) обозначают значения выбранной переменной
интегрирования в точках А и В.
Если материальная дуга является однородной, то формулы (1)
упрощаются: постоянная б выносится за знаки интегралов и со­
кращается.
Для материальной однородной криволинейной трапеции, при­
лежащей к оси Ох (см. черт. 87),
ь
ь
^ xydx
\ у2 dx
*с = ^
I
[ у dx
Ус = —ъ
•
%\ydx
(2)
Центр тяжести однородной материальной линии или фи­
гуры, имеющей ось симметрии, лежит на этой оси.
680. Найти центр тяжести четверти окружности x2 + */2 = a2t
расположенной в первом квадранте, если в каждой ее точке ли­
нейная плотность пропорциональна произведению координат
точки.
Р е ш е н и е . Из уравнения окружности найдем у\ затем dl:
2х + 2уу'=0;
у' = — ±;
у
Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах (1),
полагая, согласно условию, 6=kxy:
(В)
а
а
\ 6х dl = \ kxy • х • — dx = ka I x2dx = -£ x*\ = ~ ,
M)
(В)
а
а
\ 6f/d/ = £aj xydx =--ka} x ]/ra2 — x2dx =
о
e ^J(fl._*.)T d ( f l ._ j e . ) =
(B)
to(flt_jtt)tj«==^f
a
l bdl
б dl =ka
= ka \\ xdx
J
= ~ xx
Подставляя значения интегралов в формулы (1), получгм
х
с =~~ i/c = у а-
Очевидно, найденная точка не лежит па данной дуге, а рас­
положена ниже ее.
681. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды
x = a(t— sin /), y = a(\ — cos/), черт. 126.
Р е ш е н и е . Данная однородная дуга симметрична относи­
тельно прямой х = ла. Поэтому центр тяжести дуги лежит на
этой прямой, т. е. хс = па. Для определения ус найдем диффе­
ренциал дуги циклоиды
dl - V'x2 + у2dt = 1/а 2 (1— созО 2 + л2 sin 2 /dt = 2а sin у d t
и вычислим интегралы, содержащиеся во второй из формул (1):
Ш)
2Л
2
/ х = [ bydl = 2bd - C ( l - c o s / ) s i r i y d/ =
{Л)
= 26а2 (\ sin Y d/ — \ cos / sin у-dt
= 26a 2 J2 J sin J ^ 4 ~ T 1
|sin|-/-hsin(-4)]d/|
1
2
= 26a (— 3 cos у + ~ cos |- / J
(Я)
i'Jl
0
2Я
I2= \ 8dl = 26a \ siny dt -- — 46a cos
[А)
По формуле (1),
2Л
О
о
Ус^^а.
224
I о
мoa.
2Я
0
682. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки),
ограниченной параболой ]/" х + \ г у -- У а и осями координат.
Р е ш е н и е . Данная однородная фигура симметрична отно­
сительно биссектрисы первого коор­
динатного угла (черт. 127), поэтому
*с ^ Уса
WX+\/y~\f(L
Ус
/Ь\ хс
а
X
Черт. 127
Черт. 126
Вычислим интегралы, содержащиеся в первой из формул (2):
—х2)
l1=\xydx=\x\a*
a
dx--=] \ax — 2a,2x* + x2)dx=*
n
0
2
т т
+ -**3
3
- ( у ах - - j а х
/ 2 = \ ydx - I \а
п
2
'30 "
— JC 2 у dx -- \ ^а —2а * х 2 -•]- * J dx = -g- .
о
о
1
Следовательно, х с = ус = у = -^ .
G83. Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности
х2 -\-у2 = а2, расположенной под осью Ох.
684. Найти центр тяжести однородного полукруга х2-\-у2<^а2,
расположенного над осью Ох.
685. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной
дугой эллипса x = acos/, y^bs'mt
и координатными осями,
расположенной в первом квадранте.
686. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограничен­
ной параболами х2 = 20у и у2 = 20х.
687. Найти центр тяжести однородной дуги астроиды х = a cos3/,
y = as'm:ity расположенной правее оси Оу.
688. Найти центр тяжести дуги астроиды, расположенной
в мерном квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке
пропорциональна абсциссе точки.
§ 10, Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами или от разрьшных функ­
ций называются несобственными.
8
З а к а з ЛГ- 3201
— 225
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами ин­
тегрирования определяются посредством предельного перехода:
J f(x)dx = lim lf(x)dx,
(1)
b
J f(x)dx = lim Sf(A-)dx,
$/(*)<& =
(2)
lim Jf(*)d* + lim $f(x)dx,
(3)
где с — произвольное вещественное число.
II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными
разрывами также определяются посредством предельного
перехода:
если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х — сл
принадлежащий отрезку [a, b\y и непрерывна во всех других
точках этого отрезка, то
I)
\f(x)dx
C-£t
= lim
Ь
[ f(x)dx+
lim
Г f(x)dx,
(4)
где Ej и е2 изменяются независимо друг от друга.
Несобственные интегралы называются сходящимися или расхо­
дящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие
их пределы соответствующих определенных (собственных) интег­
ралов.
689. Найти следующие несобственные интегралы:
»!«-**: *>Т?ТГ- *h
-ее
О
4
> lv£v-
0
—1
Пояснить решение геометрически.
Р е ш е н и е . 1) Пользуясь равенством (1), имеем
+ *>
р
р
С e- x djc= в _lim
Г e- x dx = lim( —e"*)!
= li;n(e° — *-?) = 1.
J
^
J
I
0
+00
0
0
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.
Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий
ь
определенный интеграл \f(x)dx дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой у = /(*), двумя вертикальными пря­
мыми х = а, х = Ь и осью Ох. Поэтому, построив кривую у = е~х
и ее ординаты в точках * = 0 и х = $ (черт. 128), получим кри— 226 —
волинейную трапецию ОАВ$, площадь которой
S(P) = J * - * d x = : l —в-Р.
При р—^ + оо получим трапецию с бесконечным основанием,
которая имеет конечную площадь S( + oo)= HmS(P) = l.
У[
А^
а
ШШЫт
1 р
0
X
Черт. 129
2) Пользуясь определением (3), получим
1^ = j i ? J ^ i + ^
+
р
-flimarctg х
= — arctg( —oo) + arctg( + oo) =
о
-[-Т)+-2=П-
=
Геометрически (черт. 129) интеграл от функции
f(x)=-^
.1
в пределах от а до р выражает площадь криволинейной трапе­
ции aABfi, a данный несобственный сходящийся интеграл выра­
жает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая
неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем
имеет конечную величину я .
3) Здесь при х = 0 подынтегральная функция — имеет бес­
конечный разрыв. Согласно определению (4)
dx
--
х
С dx
i
I
i liin \ — = lim In JC
=lim(ln 1 — l n e ) = — lnO= + o o ,
т. е. этот несобственный интеграл расходится.
8*
— 227 —
Геометрически (черт. 130) полученный результат указывает,
что площадь криволинейной трапеции zABb
S(e,«J£=-lne
при в—Н~0 неограниченно возрастает.
4) Здесь подынтегральная функция имеет бесконечный раз­
рыв в точке х = 1 , лежащей внутри отрезка интегрирования
[ — 1; 21. Поэтому, согласно определению (4),
Г
dx
л.
Г
dx
...
Г
dx
X —l)
-l
+ l\m?>y/x-l
= lim3 J/JC —1
2
l+e.
-l
31im(v/^—У^2)-\i + e2
Для
+ 31im(^l-$/ea) ==3(^2+1).
графика
подынтегральной функции
у=
ъ
.
=====
(черт. 131) прямая дс=1 является вертикальной асимптотой. Ин-
о\ £ *=/
Черт. 130
0|
£ /$
2 X
Черт. 131
тегралы от этой функции в пределах от — 1 до 1 — гу и от 1 + е2
до 2 выражают площади криволинейных трапеций аАРг и r\QBb.
При eL—• + (") и е2—>+0 эти трапеции неограниченно прости­
раются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма
которых равна найденному значению данного несобственного
сходящегося интеграла.
690. Найти несобственные интегралы:
% ;
I) .1 V*=*
2)[^dx.
X*
Решение.
1) Преобразуем интеграл к новой переменной. Полагая
х = 2 sin/, получим: dx = 2 cos tdt\ /--=0 при х = 0; / =~
при х = 2\
я
я_
j ' ^ - 8 | . 5 ? ^ ^ * - 8 j s . n . / d / = eJ(l-co^/)dcos/-.
и
0
0
Я
IT
о
ИЗ
3 '
= 8 f C O S / — у COS3/
Здесь в результате замены переменной данный несобственный
интеграл (от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом
конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный
интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом
интегрирования, который вычислен обычным путем без приме­
нения предельного перехода.
Возможно и обратное. При замене переменной собственный
интеграл может перейти в несобственный.
2) Согласно определению (1)
.
С 1 п х dx
,.
Г 1 п х dх
К последнему интегралу применяем формулу интегрирования
Полагая и = \пх, dv = x~3dx, попо частям \udv = uv—\vdu.
dx
лучим d « = ^ , v= — 2х2
1 Cdx\
i^—TP+TI
xA
In* _ \
' 2x2
4x2
P
""
20*
4p 2 ~*~ 4 *
Подставляя в предыдущее равенство, имеем:
/
г
/1
1
1пр\
1
1 ,.
1п р
1
1 ,.
/ 1
OQ\
l
Здесь для нахождения предела последнего слагаемого приме­
нено правило Лопиталя.
Найти несобственные интегралы:
692
691. \eUt.
'Тте'А; 4 - 2 '
1
693. I \nxdx.
694.
О
х dx
)У*
2
О
2
x
695. \ xe dx.
697. \ , ,. d *
696. С
.
d*
(*-1)2'
698.
•2
- 2
699. Найти площадь, заключенную между кривой у = е'•>и
осями координат (при х^О).
700. Найти объем тела, образованного вращением кривой
у——%= (при х^О) вокруг ее асимптоты.
У ех
§ 11. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Для приближенного вычисления определенных интегралов
имеется несколько способов. Если функция f (х) задана форму­
лой или таблицей, то приближенное значение определенного
ь
интеграла \ f(x)dx можно найти следующим путем:
а
1) разделить интервал интегрирования [а, Ь\ точками xlt х2,
*з> •••» xn-i н а п равных частей h = - ^ ;
2) вычислить значения подынтегральной функции y = f(x)
в точках деления yQ = f(a), yl=-!(xl)i
y, = f(x2), . . . , * / „ _ ! =
= /(*H-I)> Уп = НЪ)\
3) воспользоваться одной из приближенных формул.
Наиболее употребительны следующие приближенные форму­
лы, основанные на геометрическом представлении определенного
интеграла в виде площади криволинейной трапеции.
/ . Формула прямоугольников
n-i
b
lydx&h(y0
+ y1 + y2+...
+ff„-i) = ft£ yx
a
(1)
i= 0
ИЛИ
b
\ydx&
n
It (yx + y2 + th 4- • • • +Уп) = A 2 < / f
a
i= l
— 230 —
(la)
Геометрически (черт. 132) по этой формуле площадь криво­
линейной трапеции аАВЬ, которая соответствует интегралу
ь
\ydx,
заменяется суммой площадей заштрихованных прямоа
угольников.
У, . fa)
8
А
Х^б
X
0
ЖSS$«S$s
а
^
11к
б X
Черт. 132
Погрешность формулы прямоугольников
где У'НБ — наибольшее значение \у | в интервале fa, b].
II. Формула трапеций
\ydXKh( &±*-" + У1 + у2 + . . . + Уп _ 1 ) = h (&±iL« +
Геометрически (черт. 133) по этой формуле площадь криво­
линейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихован­
ных трапеций.
Погрешность формулы трапеций
где унв — наибольшее значение \у"\ в интервале [а, 6].
/ / / . Формула параболических трапеций (Сим п е о н а); я —
число четное.
ь
j ydx « £ fy0+У„+4 (& + у3 + . . . 4- г/„_ J +
+ 2(i/2 + «/4 + -..4-l/„-JI.
— 23/ —
(3)
Геометрически (черт. 134) ио этой формуле площадь каждой
пары вертикальных полосок XiPiPi + <>xi + > заменяется площадью
одноименной параболической трапеции, получаемой при замене
соответствующего участка кривой у =-- / (х) дугой параболы // ----— ах2 4-$х-{-у (с вертикальной осью), проходящей через три
точки кривой с абсциссами xh л:/+1 = xi+h и xi+2 = xi + ^h.
р
y*LXZ+fiXtJ
У=№
Черт. 134
Погрешность формулы Симпсона
в (я)
(Ь-а)5 ,/4)
180/г4 УиБ*
где £///в — наибольшее значение |# ( 4 , | в интервале [я, ft].
Очевидно, все указанные приближенные формулы будут тем
точнее, чем больше взято п, т. е. при достаточно большом зна­
чении п посредством каждой из этих формул можно вычислить
приближенное значение определенного интеграла с любой же­
лаемой точностью.
При одном и том же значении п обычно вторая формула
точнее первой, а третья точнее второй.
9
701. Е^ычислить интеграл j Убх — 5 dx по формуле Ньютона—
Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, тра­
пеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 8 рав­
ных частей. Затем оценить в процентах погрешность результа­
тов, полученных по приближенным формулам.
Р е ш е н и е . По формуле Ньютона —Лейбница
9
,
_L
_L
:38.
Далее делим интервал интегрирования [1; 91 на 8 равных
частей, находим длину одной части Л = 1, точки деления xit
значения yL подынтегральной функции */=|/бл: — 5 в этих
— 232 —
точках:
x0=l
xL = 2
Jt»-3
xs = A
x4 = 5
*6 = 6
хб-7
x7=8
*e = 9
i/0 = K~f= 1.0000
* / t - / 7 = 2,6458
y2 = / 1 3 = 3,6056
ys = yj9 = 4,3589
1/4 = 1^25 = 5,0000
/Уь = / з 1 = 5,5678
j / e = / 3 7 = 6,0828
y7 = / 4 3 = 6,5574
r/e = / 4 9 = 7,0000
и вычисляем интеграл по приближенным формулам.
7
По формуле прямоугольников (1) / « V #{ = 34,8183.
Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по не­
достатку) равна 38 — 34,8183 = 3,1817, а относительная (про.
3,1817.100
центная)v ошибка
равна ——«н
« 8о, 3о 7т о%/ .
в
По формуле прямоугольников (1а) / « Уг/< = 40,8183.
Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а отно2,8183-100
,о0/
сительная ——^
« п7,42%.
По формуле трапеций / « 4 4 - 2 ^ = 37,8183.
Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а отно0,1817-100
.оо/
сительная ——Т5
« 0л, 4 8 % .
По формуле Симпсона
/ « у (8 4 4.19,1299 + 2-14,6884) «37,9655.
Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная
0^i00«0(09%.
702. По формуле Симпсона вычислить приближенное значел
ние интеграла С cosxdx с точностью до 0,00001.
о
Р е ш е н и е . Вначале определим, на какое число л частей
следует разделить интервал интегрирования 0, -^- , чтобы по­
лучить заданную точность вычисления.
— 233 —
Полагая погрешность 6(п) формулы Симпсона меньше 10~5,
имеем
Подставляя а = 0, ^=тг> УНБ=1
= [ cos Л: | в интервале
0, у
(наибольшее значение \уш\ =
получим
п5
Далее, полагая /г == 10 (ближайшее четное число, большее 8,5)
определяем точки деления х{ и соответствующие им значения у;
подынтегральной функции y — cosx (с одним лишним десятичным
знаком, л «3,141592):
х0 = 0,000000
у0= 1,000000
л:, = 0,157080
у1 = 0,987688
х2 = 0,314159
у2 = 0,951057
*, = 0,471239
Уз = 0.891007
* 4 = 0,628318
{/„ =0,809017
хъ = 0,785398
уь = 0,707107
хв = 0,942478
у6 = 0,587785
х 7 = 1,099557
у-, = 0,453991
*„= 1,256637
{/„ = 0,309017
х , = 1,413716
у9 = 0,156435
х10 = 1,570796
У ю = 0,000000
Подставляя в формулу Симпсона, получим искомое значение
интеграла с точностью до К)"6:
Jcosjed*» 0,0523599(1+4.3,196228 + 2-2,656876)« 1,00000.
О
В решении этой задачи показано, что для вычисления ин­
теграла с заданной точностью, когда известно аналитическое
выражение интегрируемой функции, можно, исходя из указанных
неравенств для оценки погрешности приближенных формул,
заранее определить необходимое число делений интервала ин­
тегрирования, которое бы обеспечило заданную точность.
Однако во многих случаях аналитическое выражение инте­
грируемой функции таково, что трудно найти наибольшее зна­
чение во всем интервале интегрирования для производных первого,
гторого или четвертого порядков, которые содержатся в нера­
венствах, определяющих погрешности формул прямоугольников,
— 234 —
трапеций или Симпсона. Поэтому в вычислительной практике
вместо указанных неравенств для оценки погрешности прибли­
женного вычисления интегралов часто применяют другие критерии,
с которыми можно ознакомиться в специальных пособиях по
приближенным вычислениям.
703. Следующие интегралы вычислить по формуле Ньютона —
Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников,
трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на
10 равных частей. Затем оценить в процентах погрешность ре­
зультатов, полученных по приближенным формулам. (Все вычи­
сления делать с четырьмя десятичными знаками.)
1
0
704*. На сколько частей следует разделить интервал инте­
грирования интеграла \ —, чтобы вычислить его с точностью
1
до 10~2 по приближенным формулам:
2) трапеций и 3) Симпсона.
1) прямоугольников,
705. По формуле Симпсона вычислить интегралы
з
\ -.— и
С dx
2
Я
4
J sin (x2) dx, разделив интервал интегрирования на 10 равных
о
частей.*
706*. Найти длину дуги эллипса л: = 10cos/, у = 6 sin/, при­
менив к интегралу, определяющему четверть всей дуги, форму­
лу Симпсона,*
* Все вычисления выполнять с тремя десятичными знаками.
ГЛАВА
VI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции многих переменных, их обозначение
и область определения
Переменная и называется функцией п переменных (аргументов)
х, у, 2, . . . , /, если каждой системе значений х, у, г, . . . , t, из
области их изменения, соответствует определенное значение и.
Функциональная зависимость и от х, у, z, . . . , / символически
обозначается: и = /(х, у, 2, . . . , t), где после символа функции
(которым может быть не только буква /, но и другие буквы)
в скобках указываются все переменные, от которых зависит
данная функция.
Частное значение функции Р (х, у, 2, . . . , t) при х = а, у = Ь,
z••=---с,...,t = l обозначается Р(ауЬ,с, . . . , / ) . Например, если
F(x,y, 2) = 3* , то F ( — 2 ; 3 ; \0) = f^-=— 3.
Геометрически каждая система значений двух переменных
х, у изображается точкой на плоскости, а функция двух пере­
менных z = f(x, у)— некоторой поверхностью в пространстве;
система значений трех переменных х, yt z изображается точкой
в пространстве. (Обычно значения переменных рассматриваются
как абсцисса, ордината и аилмката точки в прямоугольной
системе координат.)
Система значений четырех и большего числа переменных не
имеет геометрического изображения. Однако, в целях общности,
для упрощения записей и рассуждений, систему значений лю­
бого числа п переменных х, уу 2, . . ., / называют точкой п-мерного пространства M(x,y,z,
. . . , / ) , а функцию иу зависящую
от п переменных, называют функцией точки п-мерного про­
странства U = f(X, у, 2, . . ., t) = f(M).
Областью определения (существования) функции называется
совокупность всех точек, в которых она имеет определенные
действительные значения.
Для функции двух переменных z = f(x, у) область определения
представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для
— 236 —
функции трех переменных и - F (х, у, г) — некоторую совокуп­
ность точек пространства.
707. Вычислить частное значение функции:
1) /(*. y) = Vx2—y2 при л:==5, у = — 3;
2) и l n2f/^ t—Lz в Т 0 Ч К е Л (6; 2; — 1).
Решение.
1) /"(5; — 3) = \ 52 — (— З)2 - 4;
708. Построить область D изменения переменных х и у,
заданную следующими неравенствами:
1) 2 < х < 6 , 1 < / / < 3 ;
2
2) % + ^ < 1 ;
4) 0 < < / < л ; .
2
3) 4 < х + # < 9 ;
Р е ш е н и е . 1) Данным неравенствам удовлетворяют коор­
динаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямо­
угольника, стороны которого лежат на прямых х = 2, х = 6,
у=1 и i/ = 3. Этот прямоугольник и есть область D изменения
Я
23X46
;«у«5
х
Черт .135
Черт. 136
переменных х и у (черт. 135). Такая область, в которую входит
и ее граница, называется замкнутой.
2) Здесь область
D есть совокупность всех точек, лежащих
х1
и2
внутри эллипса ~к+^т = 1, так как все эти точки, и только
они, удовлетворяют данному неравенству (черт. 136). Такая
область, в которую не входит ее граница, называется открытой.
3) Здесь область D есть круговое кольцо, ограниченное ок­
ружностями х2 + у2 = А и х2-{-у2 = 9 с общим центром в начале
координат и радиусами г1 = 2 и г2 = 3, черт. 137 (замкнутая
область).
4) Здесь область D (открытая) ограничена биссектрисой пер­
вого координатного угла и осью абсцисс (черт. 138).
— 237
709. Найти области определения следующих функций:
1)
2 = 4 -*-2</;
2) Р = ^
4) q=-y^\
2
\
5)u=^f^;
3) 2 = 1/!-*2-у2;
6) a=arcsin(x+t/).
Р е ш е н и е . Руководствуясь указаниями § 2, гл. I, после­
довательно находим:
tf.$xz+i/z£9
L4epT. 138
Черт. 137
1) Функция 2, как и всякая целая рациональная функция,
определена (может быть вычислена) при любых значениях хну,
т. е. область определения функции 2 есть вся числовая пло­
скость хОул — о о < л ' < : + 00» —°° <У <Ц- °°. Геометрическое
изображение (график) этой функции есть плоскость, пересекаю­
щая координатные оси в точках А (4; 0; 0), В (0; 2; 0) и С(0; 0; 4).
2) Функция р определена при любой системе значений ху у,
кроме системы л: = 0, /у = 0, при которой ее знаменатель обра­
щается в нуль. Поэтому областью определения функции р
является вся числовая плоскость, кроме точки (0; 0).
3) Область определения функции г есть круг с центром в
начале координат и радиусом г = 1, включая и его границу —
окружность х2+у2=\
(замкнутая область). Внутри круга под­
коренное выражение положительно, на его границе —равно
нулю, а вне круга —отрицательно. Графическим изображением
функции является полусфера, расположенная над плоскостью хОу
(черт. 139).
4) Функция q определена в тех и только в тех точках пло­
скости хОу, координаты которых удовлетворяют неравенству
ху>0. Все эти точки лежат внутри первого и третьего квад­
рантов (открытая область).
5) Областью определения функции и является вся плоскость
хОу, за исключением прямой 2х + */ = 0, в точках которой зна­
менатель функции и обращается в нуль.
— 238 —
6) Область определения функции v есть совокупность систем
значений хну,
удовлетворяющих неравенствам — \<^х
-\-у^\.
На плоскости хОу эта область представляет полосу, ограничен­
ную параллельными прямыми х + у~\- 1 = 0 и
х-\-у—1=0
(черт. 140).
710. ф(х, */) = 7^2<
Ф(2&, —6).
;
вычислить ф(1; 2), ф(3; 1), ф(д; 2а),
Черт. 140
711. F(xf у) = 3x2z/ —К* 6 —#*; показать, что F(/*, /#) =
=
t'F(x,y).
712. Построить области изменения переменных х и у, задан­
ные неравенствами:
1) — 1 < * < 1 , — 1 < * / < 1 ;
2) х 2 + у * < 9 , # < 0 ;
2
2
3) х + 2 / / < 4 , * > 0 , * / > 0 ;
4) 1 ^ х — ^ / ^ 3 .
713. Найти области определения функций:
1) z = a2—х2 — 2у2\ 2) и= — ]/2 — х2 — 2у2\
3)7 и = .^J—
;
4) w = V Ъх ^L;
л 2 — у22
5)р =
6) ^ =
ar
c cos (x2 -f- г/2).
§ 2. Предел функции многих переменных.
Непрерывность
Число А называется пределом, функции f(M) в точке MQ:
lim f(M) = At
м-+м0
если абсолютное значение разности f(M) — f(MQ) будет меньше
любого заранее данного положительного числа е, когда расстояние
MMQ меньше некоторого положительного числа Ь (зависящего от е).
Функция f(M) называется непрерывной, в точке М0, если
lim /(Л1) = /(Л40).
м-*м0
— 239 —
Для непрерывности функции f(M) в точке УИ0 необходимо
выполнение следующих условий:
1) f(M) должна быть определена в точке М0 и вблизи этой
точки;
2) f (M) должна иметь предел, когда точка М~>М0 про­
извольным способом;
3) этот предел должен быть расен /(УМ0).
Функция f(M), непрерывная в каждой точке некоторой об­
ласти D, называется непрерывной в этой области.
714. Найти пределы:
1) Иш liLi^);
з
У
'
2) lim
х-*«х
+ У'
Р е ш е н и е . Убедившись, что функция не определена в пре­
дельной точке, делаем преобразования, руководствуясь указа­
ниями § 7, гл. I:
1) l i m ^ i ^ ) = limx^imi?J^ ) = = 3.1==3 i так как
х-+я
у -> о
*У
У
2) ltm -—— = lim
.'/ -* о
l i mа ^ = l .
а
->о
не существует, ибо отношение —
^ х
не имеет предела при произЕюльном стремлении точки М (х, /у)
к точке М о (0; 0). Так, если М—> М{) вдоль различных прямых
y=^kx, то — = £, т. е. зависит от углового коэффициента пря­
мой, по которой движется точка М.
715. В каких случаях функция многих переменных f(M)
будет разрывна в точке М0? Пояснить их примерами.
Р е ш е н и е . 1) Функция f(M) будет разрывна в точке Л10,
если она определена вблизи этой точки, но не определена в са­
мой точке Л40.
Например, функция z = - ,. -—• определена на всей плоскости хОу, но не определена в точке М 0 (0; 0), поэтому в этой
точке функция разрывна. Во всех других точках числовой пло­
скости она непрерывна.
2) Функция f(M) будет разрывна в точке ЛТ0, если она
определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет
предела, когда точка М—• ;И0.
Например, функция
sin
i4r^
3
при х
^°>
У^0
при х — у = 0
— 240 —
разрывна в точке М о (0; 0), так как она определена вблизи этой
точки и в самой точке (на всей плоскости хОу), но не имеет
предела при М—>-М0. В остальных точках плоскости хОу она
непрерывна.
3) Функция f{M) будет разрывна в точке М0, если она
определена вблизи этой точки и в самой точке, но lim f(M) ф f(MQ).
M->MiX
Например, функция
f 5—х — у при хф 1, у ф2
2--.
1
при * = 1, у =2
\
разрывна в точке М0(\; 2), ибо она определена вблизи этой
точки и в самой точке, но ее предел при М—»М0 не совпадает
с частным значением в точке Л40; lim z =
м -+ мй
г\(0;0;5)
= 2Фг{М0) = 1.
Графиком этой функции является вся
плоскость z--5 — х — у без точки Р(1; 2;
2), вместо которой графику принадлежит
точка Q(l; 2; 1) (черт. 141).
Функция двух переменных z = f(x,y) мо­
жет иметь множество точек разрыва; если
они составляют линию, то она. называется
линией разрыва функции.
Например, функция z = . 2 _ 2 разрыЧерт. 141
вна в каждой точке окружности х2 + у2 = 1.
Эта окружность есть линия разрыва данной функции.
716. Найти пределы:
1) lim-
Va2-
Х
У .
ху
ху
_+'0s\n{xy)
2) lim
3) l i m ^ ± ^
' X^Q
* 2 + */2
717. Указать точки или линии разрыва функций:
10*
1) * = ( * - 1 ) 2 + 0 / - 1 ) 2 '
2) г
3) г = х* — 2у2 — 4
§ 3. Частные производные функции
многих переменных
Функцию u = f(x, у, г, . . . , t) можно дифференцировать
по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные
аргументы постоянными.
Производная от функции u=^f(x, у, г, . . ., t) no х, взятая в
предположении, что все остальные аргументы у, z, . . . , t явля­
ются постоянными, называется частной производной от и по х
— 241 —
и обозначается ^- или uXt т. е.
дх
ди
,
--= и =
дх
Х
*
,. f(x-\-kx, и, г
hm -^—-—— J —
Ах-*о
i) — f(x, ц, 2
т^—————•
А
t)
.
*
Аналогично определяются и обозначаются частные производ­
ные от функции и по каждому из остальных ее аргументов.
Частные производные функции многих переменных находятся
по известным правилам дифференцирования функции одной
независимой переменной (гл. II).
718. Нант и частные производные от функций:
1) г = х* + 5ху*-у*;
2) tt==£ + | - - L \ 3) и = ^ .
Р е ш е н и е . 1) Считая z функцией только одного аргумента х,
по формулам гл. II, находим у = 3х2 + 5у2.
Аналогично, считая z функцией только у, получим ^- =
= 10JH/—З.у2.
2) Считая и функцией только х, затем только у и только zt
получим:
3) Заменяя корень степенью с дробным показателем и затем
дифференцируя по каждой из двух переменных, получим:
и = е * ; и' = — -4 е * I °</ ~ ~хГ е *'
719. Вычислить значения частных производных данных функ­
ций при указанных значениях аргументов:
1) /(a, P) = cos(ma — яр); a = g^, Р = 0;
2) 2 = 1п(х2 —г/2); * = 2, ( / = — 1 .
Р е ш е н и е . 1) По формулам дифференцирования (гл. II)
находим частные производные:
f'a = — т sin (ma —пР);
f'& =n sin (та — пР).
Полагая о с = ^ , Р = 0, получим f'Jj^
, о) = — т\ f'Jj^ , 0) = л.
2) Находим производные, затем вычисляем их частные зна­
чения в указанной точке:
720. Проверить, что функция z = x\n—
dz .
удовлетворяет урав-
dz
нетюхГх +
у^=г.
Р е ш е н и е . Тождественно преобразуем данную функцию и на­
ходим ее частные производные по х и по у:
,i
1
ч dz
z = x(\ny-\nx)\
^
1
л
^x=\ny-\nx-\
dz
,
» Ц
1
dz
х
= \n~— l; g^ = - .
дг
Подставляя z, ^ и ^- в данное уравнение, получим тож­
\
х
J *у
*
дество
х\\п——1
] + у— =х\п—
; 0 =уравнению
0. Это значит,
что данная функция
удовлетворяет
данному
(является
его
решением).
Найти частные производные от функций:
721. z = ( 5 * y + l ) 3 722. r =
yax*-bif723. v = In (x + J / V + у2).
724. р = arc sin ~ .
725. /(m, я) = (2т)3"; вычислить f'm и /^ в точке А (-^ ; 2] .
726. р(х, у, z) = sin2(3A;-h2y — 2); вычислить р^(1; — 1; 1),
р;0;
1; 4), Р ; ( - - | ; о;
-i).
727. Проверить, что функция v = xy удовлетворяет уравнению
^у дх +' In
—х ~ду = 2v
728. Проверить, что функция w = x + - ^ удовлетворяет уравdw.dw.dw
нению
л
^ + ^ + дТ =1 -
§ 4. Дифференциалы функции многих переменных
Частным дифференциалом функции u = f(x, у> . . . , £ ) по х
называется главная часть соответствующего частного прираще­
ния Ахи =^f{x-v Ах, уу . . . , t) — f (х, уу .. ., /), линейная относи­
тельно приращения Ал; (или, что то же, дифференциала dx).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции и
по каждому из остальных ее аргументов. Частные дифферен­
циалы функции и по х, по у, . .., по / обозначаются, соответ­
ственно, dxu, dyuy . . . , dxu.
Из определения частных производных следует, что
J
d u
x
ди ,
= dxdx'>
,
y
d U =
du .
d~ydy> ' • • '
— 243 —
,
d u
t
=
du }.
Ttdtm
Полным дифференциалом функции u^---f(x% у, . . . , / ) называ­
ется главная часть ее полного приращения
Au = f(x + Ax, у Л-by, . . . . t + &t) — f(x, у, . . . , 0.
линейная относительно приращений Ах, Ау, .. ., At (или, что
то же, дифференциалов dx, dy, . . . , dt).
Полный дифференциал du функции и {если он существует)
равен сумме всех ее частных дифференциалов
du = dxu -\-dyu + . .. -\-dtu ==-=r-,dx Л-^-dy + . .. -\--~r-dt.
Функция и (xt у, . . ., t) называется дифференцируемой в точке
(х, у, . . . , /), если в этой точке она имеет полный дифференциал.
При достаточно малых (по абсолютному значению) прираще­
ниях аргументов полное приращение функции можно с как
угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным
дифференциалом
Дм « du.*
Вычисление полного дифференциала функции значительно
проще, чем вычисление ее полного приращения. Поэтому указан­
ное приближенное равенство используется для приближенных
вычислений, простейшие из которых разъясняются в задаче 731.
729. Найти полные дифференциалы функций:
1) г = З*2//5;
2) и = 2А-'2;
3)* р = arc cos L .
Решение.
1) а. Находим частные производные данной функции:
б. Умножая частные производные на дифференциалы соответ­
ствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
dxz = 6хуъ dx\ dyz = I5x2y* dy.
в. Искомый полный дифференциал функции найдем как сумму
ее частных дифференциалов: dz = dxz-\dyz = 6xyb dx+ 15Л/ 4 dy.
2) Следуя указанному плану, последовательно находим:
а) их = 2угх*'г-1\ ufj = 2zx^\nx\ и'г = 2ух*2\пх\
б) dxu == 2yzx"*-1 dx\ dyu = 2zxlJZ \nxdy\ dzu = 2yxyz In x dz\
в) du == 2tf
dx -f 2 In .x dy + у In xdz j .
dp
3) * a) du~
l«<4
* JИсклкJ чая
.
!"° 1
dp
WD2 W J
ТОЧКИi,
где
4 =
2
- 1
• -. = w) = 0.
— 244
'
f\\ A n
'
И
\v\du
\u\dv
J
J / V L ' 2 — I \ v\u\
^
u\v\
730. Вычислить значение полного дифференциала функции
z= arcctg — при * = 1, у = 3, ^л: = 0,01, dy = —0,05.
Р е ш е н и е . Находим частные производные, затем частные
дифференциалы и полный дифференциал данной функции:
<te _
у
дх ~~ ~ ~ х 2 + у *
t
;
<te __ х
ду ~~~ х'Ч^р
л
;
, __ xdy — ydx
"" х 2 + г/2 '
Подставляя заданные значения независимых переменных ху у>
dx и dy, функцией которых является полный дифференциал dz,
получим
,
Ь ( — 0,05) — 3-0,01
Л
ппо
dz = —у- уфу
^-=—0,008.
731. Вычислить приближенное значение:
,) , ) 0 8 з,,« ; 2) «"MQ-.rctgO.O^
Р е ш е н и е . Если требуется вычислить значение функции
f(x, у, . . * , / ) в точке Afx(A:lt # lf . . ., / t ) и если проще вычис­
лить значения этой функции и ее частных производных в точке
M0(xQi yQt . .., / 0 ), то при достаточно малых, по абсолютной
величине, значениях разностей хх—x0 = dx, ух—y^ = dy, . . .,
ty — t^ — dt можно заменить полное приращение функции ее пол­
ным дифференциалом:
fiMj-fW,)*
и отсюда найти
по формуле
f(Ml)*f(M0)
f'x(M0)dx+
ry(M0)dy+
...
+rt(M0)dt,
приближенное значение искомой величины
+ f'JM0)dx+ru(M0)dy+...+rt(M0)dt.
(a)
1) Полагая, что l f 08 3/J(i есть частное значение функции
f(xy y) — xy в точке Мх (1,08; 3,96) и что вспомогательная точка
будет М 0 (1; 4), получим
f{M0)=l*=U
Гх{М0) = ух*-*\Хя1 = А\ /;ДЛ* 0 )=*>1п*|, е 1 =0;
1/ = 4
.'/=4
dx = 1,08— 1 = 0,08; dy = 3,96—4 = —0,04.
Подставляя в формулу (а), найдем
\,08*-™ ж f(M0) + f'x(M0)dx + ry(M0)dy=
— 245 —
1 + 4 - 0 , 0 8 = 1,32.
лч
r-r
sin 1,49-arc tg 0,07
2) Пусть
•—22>95
s
,
— есть частное значение функции трех
переменных <р(*, у, г) = 2х sin у arc tg z в точке М1( — 2,95; 1,49;
0,07) и пусть вспомогательная точка будет М0(—3; - ? г ; 0 ) Тогда
ах=— 2,95—(—3) = 0,05;
dy= 1,49—1,57= —0,08;
dz=-0,07;
Ф (М0) = 2" 3 sin -у arc tg 0 - 0; ср; {MQ) = 2X 1п2 • sin у arctg z | л*0=0;
cp^7Wc,) = 2*cos;/arctgz| A , 0 = 0 ;
Фг(/М0)
= ~ # |
iVi
= 2-».
Подставляя в формулу (а), получим
5ilM^EEiiO ! 07»2-'.0,07 « 0 , 0 1 .
Найти полные дифференциалы функций:
732. z = r/ln2Jt.
733. а - sin2 / COS2JC.
735. /(m, n, p) = £ ' m c o s - .
734. f = y .
736. Вычислить значение полного дифференциала функции:
1
X
1) z = Tzry
П И х = 2
Р
» 1/=1« d* = — у »
1
d
y =Y '
2) /(*, у, z) = Vx2 + y2-\-z2 при перемещении точки Л4(х, у, z)
из положения М о (10; —10; 5) в положение УИ^Э; —11; 6).
737. Найти приближенное значение 1,942е0,12, исходя из зна­
чения функции f{x% у)-=х2еу в точке Л40(2; 0) и заменяя ее
полное приращение полным дифференциалом*.
738. Найти приближенное значение sin 1,59 tg3,09, исходя
из значения функции z=--s\nxtgy в точке Л1 0 (-у , я ) и заменяя
ее приращение дифференциалом*.
739. Найти приближенное значение 2,68 sln0 ' 05 , исходя из зна­
чения функции z = x*iny в точке М0(е, 0) и заменяя ее прираще­
ние дифференциалом.*
§ 5. Дифференцирование сложных функций
Переменная z называется сложной функцией от независимых
переменных ху у, . . ., t, если она задана через посредство про­
межуточных аргументов и, v, . . . , w\
z = F {a, v, . .., w),
* Все вычисления выполнять с точностью до 0,01.
— 240 —
где
u = f(x, У> • •> 0. *> = ф(*. У> • • м 0 . • • •» w=^(x> у, . . . . 0Частная производная сложной функции по одной из незави­
симых переменных равна сумме произведений ее частных про­
изводных по промежуточным аргументам на частные производ­
ные этих аргументов по независимой переменной:
dz
дг ди . dz дс ,
дх
ди дх
dv дх
' '
dz __ dz ди
дг dv
dy~~dudy
dvdy* ' ' '""
дг _ dz ди . dz dv
.dzdww
dw дх '
dz dw .
д® Ify 7
dzdw
Если, в частности, все аргументы и, v, . . . , w будут функ­
циями от одной независимой переменной х, то и z будет сложной
функцией только от х. Производная такой сложной функции
(от одной независимой переменной) называется полной производ­
ной и определяется формулой
dz
dz du .дг dv
.dzdw
aTx~ du~Tx^~\dvTx + ' ' '+d4>dx '
***'
(Она получается из формулы для полного дифференциала функ­
ции г (и, v, . , . , w) путем деления на dx.)
740. Найти производные сложных функций:
х
1) у = u2evy ы = sin Л:, t> = cosx; 2) р = uv, и = In (х—y),v=*e~u'\
3) 2 = xs\nvcosw9
u = I n ( x 2 + l), ОУ=^—[/"I—л 2 .
Р е ш е н и е . 1) Здесь # есть сложная функция одной незави­
симой переменной х. Пользуясь формулой (**), получим
du
du du . du dv
-r = ^dw-dx
r + ^dvdx
^- =
d*
.
.
ч
2uevv cos x +' u9zevv(v — sin *).
'
n
2) p есть сложная функция двух переменных JC и */. По об­
щим формулам (*), найдем
dp
dpdu , dp dv
*,_,
1
2
-Г = ^]Г+1Г7Г
= ии
dx
du dx
dvdx
x—у
dp
dpdu . dp dv
1 ,
v-1
, v,
\- uv\nu'
-,
f
1 —
— ev
у
* "Г]
3) z есть сложная функция одной переменной х вида: z =
= F(*» v, w), v=f(x), до = <р(я). Формулу для полной производ­
ной такой функции падучим, полагая (1 = х в формуле (##):
d£ _ dz , дг Ju
d* dx dv dx
дг da^
djudx '
— 247 —
Согласно этой формуле, найдем
\ = sin vcos w + xcost/ cos W'-ir-г-г — x sin и sin w741. ы==ег-я», z = sinx, </ = x3; ^ ?
742. z==ln(e* + e'); найти 1 ) ^ , 2) ^ ,если x = /3.
u =
743. /):=иМпо,
f-
о = Зх —2i/;
744. /(x) = a r c s i n ~ , y=V^T~U
d
£?
0?
g?
§ 6. Дифференцирование неявных функций
Переменная и называется неявной функцией от независимых пе­
ременных х, у, . . . , / , если она задана уравнением f (х, у, ..., iy и) —О,
которое не разрешено относительно и. При этом, если функция
f(x> У
t, и) и ее частные производные рх, \'и, . . . , \\у \'и
определены и непрерывны в некоторой точке Л40(х0, у0. . . . , tQf u0)
и вблизи нее и если /(М 0 ) = 0, а f'u(M0)=fcO, то уравнение
f(xt у, . . . , t, и) = 0 вблизи точки Р(х09 yQy . ., /0) и в самой
этой точке определяет и как однозначную, непрерывную и диф­
ференцируемую функцию от х, у, . . . , t.
Производные неявной функции и, заданной уравнением
f(xt у
tt и) = 0, при соблюдении указанных условий оп­
ределяются формулами
ди
дх~
tx
f'u
'
ди
Ъу
fy
.
»:•
*
du
• •* ai ~
ft
f'u
(А)
В частности, если у есть неявная функция одной переменной А,
заданная уравнением f (x, t/) = 0, то
'У
745. Найти производную неявной функции уу заданной
уравнением: 1) х2 + у2-\-2х—6^+2 = 0; 2) ху—ух, и вычислить
ее значение при J C = 1 .
Р е ш е н и е . 1) Обозначив левую часть данного уравнения
через f (х, у)у найдем частные производные f'x = 2x-\-2> \у=*2у—6
и, подставив их в формулу (Б), получим // = ~ ^ - .
Далее, подставляя в исходное уравнение х = 1 , найдем два
соответствующих значения функции yL = 1 и t/2 = 5. Поэтому
при я— 1 ипроизводная имеет два значения: ^ ( 1 ) = 1, у' 2 (1)=—I.
— 24ti —
2) Преобразовав данное уравнение к виду ху—ух = 0, согласно
формуле (Б), получим
(ху — Ук)х_
txy
ух\'
&[)_
dx
ух\\лу~ухУ~х
хУ In х — хух~х
При А'—-1 из данного уравнения определяем у — 1 . Искомое
значение у'(1) = 1 .
746. Найти частные производные неявной функции z(x, у)у
заданной уравнением: 1) x 2 +(/ 2 + z2—z = 0; 2) ax-\-by—cz =
= k cos (ax~\-by—cz).
Р е ш е н и е . 1) Обозначив левую часть уравнения через
Ф(А, yt z) и пользуясь формулами (А), получим
дг
ф',
<5*
ф
;
2х
2^-1
.
дг
%__
'
ду
ф
;
2;/
22-1 *
2) Преобразуя уравнение к виду ax+by—cz— kcos(ax+
+by—cz)=0 и обозначая его левую часть через F(xt у, г)
по формулам (А) найдем
дг
дх~
a-\-ak sw(ax-\-by—cz)
—с—ck sin (ax-\-by— cz)
дг
F'
b-\-bk sin(ax-\-by—cz)
— с—ck sin (ax-\- by—cz)
a
с
b
с
Найти производные неявных функций:
747. )Г~х+)Гу=]ГЪ\ g ?
749. ifJ = xx-+-V\%\
— y dx\y=
2
748. uv=-\n(uv)\
? 750. xsin</-f-eos2i/
Jy J ij'\
ц?
У
* = cosw,
v = j-
751. A2 + < / 2 4 - Z 2 + 2 X Z = 1 ; z?
*
'
'
fj
x
z? 752. ea - c o s t ; cos/;
у
^?~?
ди
dl
753. Проверить, что функция 4 sin (Зх + 2#+5г) = 3x~\-2y + bz
удовлетворяет уравнению зг + ;г + 1 = 0 .
§ 7. Час1ные производные высших порядков
Функцию многих аргументов u = f(x, у, . .., /) можно диф­
ференцировать по каждому аргументу. Полученные частные
ди да
да ,
ч
производные 7- , у , . . м -^ (первого порядка) обычно зависят
от тех же аргументов и каждую из них также можно дифферен­
цировать по каждому аргументу.
— 249 —
Частные производные от частных производных первого порядка
называются частными производными второго порядка. Они обозна­
чаются:
дх [дх) ~~ дх* ~ Uxx ;
д (ди\ __ д2и __ -
дх~ [ду) ~дудх~
U x
ду [дх )~дхду~
_д_ (ди\_д*и
Нх
_
ду [ду) - ду2 -
" '
У»
-
u
»v '
Частные производные от частных производных второго порядка
называются частными производными третьего порядка. Они обо­
значаются:
а* V ^ v "" dxZ~~
ду [bxdy)~
дхду2 ~ *xyy
:
;
ai/ \aA:2J
дх°-ду ~ *xxlJ'
дх [дх ду) ~~ дх ду дх ~" Jxyx
m
Аналогично определяются и обозначаются частные производ­
ные четвертого, пятого и других высших порядков.
Частные производные высших порядков, отличающиеся только
последовательностью дифференцирования, равны, если они непре­
рывны. Например,
д2и __ д2а
дх ду ~~~ ду дх '
д*и _ д*и __ д*и
дх2 ду ~~ ду дх2 ~ дх ду дх '
Согласно этому положению,функциядвух переменных z = f(x,y)
имеет три различных частных производных второго порядка
дЧ
дх2 '
дЧ
дхду'
дЧ .
ду2;
четыре различных частных производных третьего порядка
d*z
дх* '
дЧ
дхЧГу '
дЧ
дЧ
дхду2 ' ду*
и вообще / г + 1 различных частных производных я-го порядка.
Частные производные высших порядков находятся путем пос­
ледовательного нахождения одной производной вслед за другой но
правилам дифференцирования функции одной переменной (гл. II).
754. Найти частные производные второго порядка следующих
функций: 1) z = x3 — 2х2у + ?>у2; 2) и (х, у, t) = exyt.
Р е ш е н и е . 1) Сначала находим частные производные первого
порядка, затем искомые частные производные второго порядка:
гх = Зх-' — 4ху\ г у = — 2х2 + 6у\
гхх = 6х — 4у\ 2ху = zyx•-=— Ах\ г „у = 6.
— 250 —
2) Последовательно дифференцируя, находим
их = yte**;
и у = xte**;
щ - xycxyi\
ихх = y*t4xyt;
uxlf = uyx = t(l+xyt)exyt;
uxi = uix=y(l +ху()ехУ<;
uyt = ti'ty = x (1 + xyt) ех**\ tiyy = ХЧЧХУ*\ utt = x ^ .
755. Проверить, что zxy = zlJX для функций: 1) 2 = cos {ax — by),
2) 2 = l n ( x 2 4 - ^ 2 + l ) .
Р е ш е н и е . 1) Дифференцируя 2 по x, найдем 2X =
= — a sin (ax —by); дифференцируя zx по у, найдем (е*)у = гхд =
= ab cos (ax —by).
Дифференцируем в другом порядке: сначала найдем производ­
ную от z по у, z,, = & sin (ax — by), затем производную от гд по
х, (z^==z*/A: = tf&cos(ax—6)Сопоставляя полученные результаты, заключаем, что для дан­
ной функции гхи—-гух.
2) Последовательно дифференцируя, находим zxyt затем zyx :
2х
Zx'z» =
т
t"
4ху
•
Следовательно, и для этой функции zxy = zyx.
756. Проверить, что функция z = 2cos>2(y—-£-) удовлетво­
ряет дифференциальному уравнению 2^4 + - р ~ = 0.
Р е ш е н и е . Найдем частные производные второго порядка,
содержащиеся в данном уравнении:
g = 2.2cos(y — - 0 . [ - s i n ( # - f ) ] • (— y ) = s i n ( 2 y - x ) ;
g = _cos(2*/-x); ^ - = 2cos(2</-x).
Подставляя их в данное уравнение, получим тождество: 0 = 0.
757. Найти частные
производные второго порядка следующих
к2 ;
функций: 1) z = ~ '_з
^ и = ех
\ny-\-slnylnx.
758. Найти
д 2
^ > если м = 1п(л; + у).
759. Найти ихуу, если w = sin(jq/).
760. Найти
_ Э ' ц _ , если м = 2*Л
a* а*/ 02
761. Проверить, что д - ^ = = - _ для функций:
1) z = l n ^ ;
2) z = arcctg(x + 2y).
— 25/ —
762. Проверить, что -> 'J-, = S * * для функции v = — .
г
г
дх ду дх
ду ox2
l J
2
xyz
2
763. Проверить, что функция / ; = \\л(х -\-у ) удовлетворяет
уравнению ^ + ^ = 0.
X
764. Проверить, что функция и = еи удовлетворяет уравнеди ди . д2и п
ПИЮ ^
г+!/т-^- = 0.
дх ду • J дх ду
§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность задана уравнением F(xyytz)^=0
и точка
М0(х0У у0, 20) лежит на ней, то:
касательная плоскость к поверхности в точке М0 определяется
уравнением
(x-x{))Fx(MQ)
+ (y-yQ)F'y(MQ)
+ (z-z0)F'2(M{))--=0;
(I)
нормаль к поверхности в точке М0 (прямая, проходящая через
точку М0 перпендикулярно к касательной плоскости) определяется
уравнениями
* —*о
F'X(M0)
__
У — Уо _
F'„(M0)
2 — г0
F'2(M0)
JJ
Точки поверхности F (xt yt z) = 0, где одновременнообращаются
в пуль все частные производные первого порядка FXy F y , FZi на­
зываются особыми. В таких точках поверхность не имеет ни
касательной плоскости, ни нормали.
765. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
эллиптическому параболоиду z = 2x2 + y2 в точке А (1; — 1; 3).
Р е ш е н и е . Преобразуем уравнение поверхности к виду 2х2 +
+ у2—z = 0 и, обозначив его левую часть через F (х, у, г), най­
дем частные производные Fx = $xy Fy = 2yt F2 = — 1 , вычислим
их числовые значения в данной точке Fx(A) = 4y Fy(A) — — 2,
F2(A) = —1 и, подставляя в общие уравнения (I) и (II), получим:
уравнение касательной плоскости 4(х—1)—2(х+ 1) — (г—3) = 0
пли 4лс—2у—2 — 3 = 0;
X—1
Г/+1
2—3
уравнения нормали —r- = '£^zo = ~ZT *
766. На сфере х2 + у2 + г2 = 676 найти точки, где касательная
плоскость параллельна плоскости Ъх — 12y + 4z = 0.
Р е ш е н и е . Пользуясь общим уравнением (I), составим урав­
нение касательной плоскости к данной сфере в ее точке (х0, yQ> z0):
Хо(х—Хо) + Уо(У — Уо)+го(г — го) = Ъ
или
*о* + УоУ + V = Л'о + yl + 2J = 676.
Согласно условию параллельности двух плоскостей, чтобы ка­
сательная плоскость была параллельна данной плоскости, в их
уравнениях коэффициенты при текущих координатах должны
быть пропорциональны: ~- = ~[2= Т" = ^*
Определив отсюда л'0 = ЗХ, у0 =—12Jt, z0 = 4A. и подставляя
в уравнение сферы, находим два значения коэффициента пропор­
циональности: к =^±2 и две искомых точки на сфере (6; —24;
3)и (—6; 24; —8), в которых касательная плоскость параллель­
на данной плоскости.
767. Показать, что касательные плоскости к поверхности xyz —
=-т3 образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоян­
ного объема.
Р е ш е н и е . Уравнение касательной плоскости к данной по­
верхности в точке Р(х0, у0, zQ) будет y0z0x + xQzQy + xihy0z =
= 3x0y0zQ. Она отсекает на ссях координат отрезки a = 3xQ, b =
= 3ytlt c = 3zQ. ЭТИ отрезки являются взаимно перпендикулярны­
ми ребрами тетраэдра, образованного касательной плоскостью и
плоскостями координат. Приняв одно из этих ребер за высоту тет1
9
9
раэдра, найдем, что его объем V = -g- abc = у хсу{}г0 = -j m3 (так
как точка Р лежит на данной поверхности) не зависит от коорди­
нат точки касания Р. Из этого следует, что различные касатель­
ные плоскости к данной поверхности образуют с плоскостями ко­
ординат тетраэдр постоянного (одинакового) объема.
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверх­
ности:
768. х2 + 2«/2 + 3z2 - 6
769. 2г = х2 — у2
в точке (1; — 1 ; I).
в точке (3; 1; 4).
770. -f^+iL —-l-=l
в точках (xot yQf zQ) и (af by с).
771.
Найти касательные плоскости к эллипсоиду 4х2 + 4у2-]2
+ z = 4, параллельные плоскости \2х—3// + 2z = 0.
772. Найти уравнения касательных плоскостей к параболоиду
4г — х2-\-у2 в точках пересечения его с прямой x — y = z.
773. Проверить, что поверхности х2 —ху — 8л:-|- 2-1-5 = 0 и
4 + x + 2y---\nz касаются друг друга, т. е. имеют общую каса­
тельную плоскость, в точке (2; —3; 1).
— 253 —
§ 9. Экстремум функции многих переменных
Значение функции f(M) в точке М() называется максимумом
(минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по срав­
нению с ее значениями во всех достаточно близких точках.
Функция многих переменных может иметь максимум или мини­
мум (экстрему м) только в точках, лежащих внутри области опре­
деления функции, в которых все ее частные производные первого по­
рядка равны нулю или не существуют*. Такие точки называются
к р мтич ее к и ми.
Критическая точка М0 будет точкой экстремума функции / (M)t
если для всех точек М, достаточно близких к М0(в окрестности М0),
приращение функции A/ = f(Af)—/(М 0 ) не изменяет знака. При
этом, если Д/сохраняет положительный знак, то УИ0 есть точка ми­
нимума, а если Д/ сохраняет отрицательный знак, то М0 есть
точка максимума функции.
Для функции двух переменных / (х, у) вместо исследования зна­
ка Af можно исследовать каждую критическую точку М 0 , в кото­
рой функция дважды дифференцируема, по знаку определителя
A RI
вс\ =
АС вг
- >
где
A = f"xx(M0)t
B = fxy(M0)>
C=
fgg(MQ).
При этом:
1) если Д > 0 , то М0 есть точка экстремума: при А < 0 (или
С < 0 ) точка максимума, а при А>0 (или С > 0 ) точка мини­
мума;
2) если Д<С0, то в точке М0 нет экстремума;
3) если Д = 0, то для решения вопроса о наличии или отсут­
ствии экстремума в точке М0 требуется дальнейшее исследование,
например по знаку приращения Д/ вблизи этой точки.
Условия 1) и 2) являются достаточными условиями наличия
или отсутствия экстремума.
774. Найти экстремумы функций:
1) г = х3 + 8у8 —6*1/ + 5;
2) и = хъ + у2 — Зх + 4 Уу*\
3) и=(*—у) а + (у—I) 8 ;
4) w = xT + y^ + zT.
2
2
Ч
Р е ш е н и е . 1) Находим частные производные 1-го порядка
гх и z'u и критические точки, в которых они равны нулю
или не существуют и которые лежат внутри области опре* Это необходимые условия экстремума (но недостаточные, они могут вы­
полняться и в точках, где нет экстремума).
— 254 —
деления функции: 2х = 3х2 — 6у\
z'y-~- 24у2 — 6х. Решая систему
уравнений z'x = 0, zy = 0, на идем две точки: МХ{0\ 0) и М2 (1; — J.
Обе точки являются критическими, так как функция z определена
на всей плоскости хОу. Других критических точек нет, так как
2Х и 2У существуют при любых значениях х и у.
Далее исследуем критические точки Мг и М2 по знаку опре­
делителя Д, составленного из частных производных второго по­
рядка: z"xx= A==6x\ zxy = B = — 6\ zyy = C = 4Sy.
Для точки Мг получим Л — 0, В = — 6, С = 0 и Д (Мг) = АС —
— Я 2 < 0 . Следовательно, согласно достаточному условию 2), в
точке А^ нет экстремума.
Для точки М2 имеем А =6, В=- — 6, С = 24 и Д ( М , ) > 0 .
Согласно достаточному условию 1), М2 есть точка минимума.
Z m i n = 2 ( M , ) = 4.
2) Ищем критические точки их=3х2 — 3; и^ = 2г/ + 21Л/ 3 . Из
системы уравнений w* = 0, и^ = 0 найдем точки Р., (1; 0) и Р 2 (—1; 0).
Эти точки принадлежат области определения исследуемой функ­
ции: — оо 0 ' < ; Н - о о , 0 ^ £ / < + °° (которая представляет поло­
вину плоскости хОу, лежащую выше оси Ох, включая и ось Ох),
но они расположены не внутри этой области, а на ее границе
г/ = 0. Поэтому точки Рг и Р 2 не являются критическими. Частные
производные их и иу существуют во всей области определения
функции и. Поэтому данная функция, как не имеющая крити­
ческих точек, не имеет экстремума. (Если не учесть, что гранич­
ные точки не могут быть точками экстремума, то, определив
знак Д в точке P l t придем к ошибочному заключению, что она
есть точка минимума.)
3) Ищем критические точки vx = 2(x — y)\ vy =— 2(х — */) +
+ 3(у-1)2.
Решая систему уравнений vx = 0, vy = 0, найдем единственную
точку М0(\\ 1), которая является единственной критической точ­
кой функции v.
Далее, чтобы установить, будет ли экстремум в точке Л10, вы­
числяем значение Д в этой точке: vxx = 2, vxy = —2, vyy = 2 +
+ 6 0 / - 1 ) ; Д(Л*0) = 0.
Здесь оказалось, что Д (MQ) не имеет знака (случай 3). Чтобы
установить, имеет ли экстремум функция v в критической точке Л10,
исследуем знак ее приращения Av = v(M) — v(M0) = (x — у)2-\+ (*/ — I) 3 вблизи точки М0.
Пусть точка М лежит на биссектрисе у = х. Тогда Ди = (у — I) 3 .
Если М будет ниже /W0, т. е. если ум< 1, то Д ^ < 0 , а если М
будет выше М0, т. е. если г/д*>1, то Д и > 0 . Здесь оказалось,
что вблизи М0 разность Av не сохраняет знака, вследствие чего
в точке М0 нет экстремума.
— 255 —
2
2
*
2
4) Ищем критические точки wx = —г-— ; w., --= —Г7~ ; w£ = —г->—'
Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких зна­
чениях х, у, г\ они не существуют (обращаются в бесконечность)
в точке Я о (0; 0; 0). Точка Р 0 лежит внутри области определения
функции ш, которая представляет совокупность всех точек (х, у, z)
пространства. Поэтому Р0 критическая точка.
2
2
2
Исследуя знак разности w(P) — w(PQ) — х 3 + У 3 + 2 3 вблизи
точкиР0, убеждаемся, что при любых отличныхотнуля значениях*,
у, 2 она сохраняет положительный знак. Поэтому Р0 есть точка
МИНИМума, Wnnn = W(P{))
=
0.
Исследовать на экстремум функции:
775. 2=х2-\-ху + у2 — 6х — 9у. 776. v = х \Гу — х2 — у + Ьх + 3.
777. р = 2ху — 2х — Ау.
778. 2 = х3 + xif + бху.
779. <р = (х2 + у)УёУ. 780. q = 3 In ~ + 2 In у + In ( 1 2 - * - * / ) .
781.*. 2 = 2 + (х-1) 4 (</+1) 6 .
782*. a = l - ( x - 2 ) e -1/»".
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции
Понятия наибольшего и наименьшего значений функции мно­
гих переменных определяются так же, как и для функции одной
переменной (гл. III, § 5).
Наибольшее или наименьшее из всех значений функции нельзя
смешивать, с максимумом или минимумом функции, которые яв­
ляются наибольшим или наименьшим значением функции только
по сравнению с ее значениями в соседних точках.
Если функция разрывна или непрерывна в незамкнутой области,
то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функция f(M), непрерывная в некоторой ограниченной замкну­
той области D, обязательно имеет в этой области наибольшее и
наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках
экстремума, лежащих внутри области D, или в точках, лежащих
ИЛ границе области.
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции f (M)
в OI раниченной замкнутой области Dy где она непрерывна, можно
руководствоваться следующим правилом:
Л. Найти критические точки, лежащие внутри области D, и
вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в ис­
следование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
Б. Нгйти наибольшее (наименьшее) значение функции на гра­
нице области D.
В. Сравнить полученные значения функции: самое большее
(меньшее) из них и будет наибольшим (наименьшим) значением
функции во йсей области D.
— 256 —
783. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) z = x2—y23 + 2a2 2 в 2круге х2 + у2^а2\
2) v =•• 2х + 4х + у — 2ху в замкнутой области, ограничен­
ной линиями у = х2 и у = 4.
Р е ш е н и е . 1) Согласно указанному правилу:
A. Найдем критические точки функции г, лежащие внутри
круга, и вычислим ее значения в этих точках: z'x = 2x, z\ =—2у\
решая систему уравнений z'x==0, z'ff = 0, найдем критическую
точку /С(0; 0), которая лежит внутри круга. Других критиче­
ских точек нет. Значение функции в этой точке z(K) = 2a2.
Б. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на
границе заданной области —на окружности х2+у2 = а2. Урав­
нение окружности связывает между собой переменные х и уОпределяя из этого уравнения одну переменную через другую,
например у=±Уа2—х2,
и подставляя в выражение функции г*
преобразуем ее в функцию одной переменной: z(x) = 2x2 + a29
где х изменяется на отрезке [ — а, а].
Далее ищем наибольшее и наименьшее значения функции
z(x) на отрезке [—а, а], которые и будут искомыми наиболь­
шим и наименьшим значениями функции z(xt у) на границе
заданной области — на окружности.
Согласно правилу, указанному в гл. III, § 5:
I. Ищем критические точки функции z(x), лежащие внутри
отрезка [—я, а], и вычисляем ее значения в этих точках-, z' (x) =
^Ах\ z (х) = 0 в точке лс = 0. Эта единственная критическая
точка лежит внутри данного отрезка. Значение z(x) в этой
точке z(0) = a2.
II. Вычисляем значения z(x) на концах данного отрезка:
z( — a) = e(a) = 3a2.
III. Сравнивая вычисленные значения z (x) во внутренней
критической точке х = 0 и на концах отрезка х=~-—а и х = а,
заключаем: наибольшее значение функции z(x) на отрезке [—а, а]
[или что то же, функции г(ху у) на границе данной области—
на окружности х2 + у2 = а2] равно За2, а наименьшее значение
z(x) на данном отрезке [или, что то же, z(xy у) на данной гра­
нице] равно а2.
B. Сравнивая значение z во внутренней критической точке К
с ее наибольшим и наименьшим значениями на окружности,
заключаем: наибольшее значение функции z в данной замкну­
той области — круге равно За2 и достигается ею в граничных
точках А1( — а, 0) и А2(ау 0), а ее наименьшее значение в этой
области равно а2 и достигается в граничных точках Л 3 (0,—о)
и Л 4 (0, а), (черт. 142). Ординаты точек Al9 A2t A3l A4y кото­
рые лежат на окружности, вычислены из уравнения окружно­
сти по известным их абсциссам.
2) Руководствуясь указанным правилом:
9
Заказ № 3201
— 257 —
А. Ищем критические точки функции о, лежащие внутри
заданной области (черт. 143) v'x~6x2 + 8x— 2у\ v =2у—2х\ ре­
шая систему уравнений v'x = 0, v'g^=Qy найдем две критические
точки (0; 0) и (—1; —1), из которых ни одна не лежит внутри
заданной области. Других критических точек функция v не имеет.
Б. Ищем наибольшее и наименьшее значения v на границе
заданной области. Она состоит из двух участков АОВ и АВ,
имеющих различные уравнения. Поэтому вначале найдем наи­
большее и наименьшее значения v на каждом из этих участ-
У
С В
А
У"-*
М
о\\
Черт. 142
)
х
Черт. 143
ков, затем, сопоставляя их, найдем наибольшее и наименьшее
значения v на всей границе.
На участке АОВ имеем у = х2, v1(x) = x*-\-4x2y где х изме­
няется на отрезке [ — 2; 2].
Согласно правилу гл. I l l , §5, ищем наибольшее и наимень­
шее значения vx на отрезке [ — 2; 2]:
I. v\ -.= 4Л:3 + 8х\ v[^0 при х = 0; и1(0) = 0.
II. vx( — 2) = ^ ( 2 ) = 32.
III. Сравнивая значения vx во внутренней критической точке
х = 0 и на концах отрезка х = — 2, л: = 2, заключаем: наиболь­
шее значение vx на отрезке [ — 2; 2] равно 32 (в точках х= ±2),
а наименьшее значение vx на этом отрезке равно нулю (в точке
х = 0).
На участке АВ имеем у = 4, о> (х) = 2х3 + 4х2 — 8х + 16, где
—2<*<2.
Ищем наибольшее и наименьшее значения v2 на отрезке
[ - 2 ; 2]:
I. с/ — 6Х2 + 8А' — 8; внутри данного отрезка ^ = 0 П Р Н
2
/ 2\
22
^="3 ( в точке С); a 2 (^-J = 1 6 ^ .
II. о, ( - 2 ) = о, (2) = 32.
— 258 —
III. Наибольшее значение v2 на отрезке [ — 2; 2] равно 32
(в точках х = ± 2 ) , а наименьшее значение v2 на этом отрезке
.22 (
2 \
равно 162у (в точке х-—-~-:ш
Сопоставляя значения v на участках АОВ и ЛВ, приходим
к выводу: на всей границе АОВ А наибольшее значение функции
v равно 32 (в точках А и В), а ее наименьшее значение равно
нулю (в точке О).
В. Внутри заданной замкнутой области функция v не имеет
точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения дости­
гаются в точках, лежащих на границе этой области. В гранич­
ных точках А (—2; 4) и В(2\ 4) функция v имеет наибольшее
значение, vH6 — v(A) = v(B) = 32, а в граничной точке 0(0, 0)
она имеет наименьшее значение, vhM =
= и(О) = 0.
У
784. Найти такую точку равнобедрен­
ного прямоугольного треугольника, для а
которой сумма квадратов расстояний до
его вершин будет наименьшая.
^
Р е ш е н и е . Выберем прямоугольную си­ *6
'/Г
стему координат хОу, как показано на
^д
черт. 144, тогда координаты вершин треу­
Л
а х
гольника будут Л(0, 0), В(а, 0), C(0,a). V
Возьмем произвольную точку треугольника
Черт. 144
М (х, у) и определим сумму квадратов рассто­
яний ее до вершин треугольника и = МА2 + МВ2 + МС2 = Зх2 +
+ 3//2— 2ау— 2ах-\-2а2. Она зависит от двух переменных х и у,
которые согласно условию могут принимать любые значения из
замкнутой области треугольника ABC.
Далее,согласно правилу, указанному в начале этого параграфа,
найдем наименьшее значение функции и(х, у) в треугольнике ABC:
А. и'х = 6х—2а; иу = 6у — 2а.
Из системы уравнений и'х = 0, и = 0 найдем единственную кри­
i
~х
тическую точку К ( у , у ) , лежащую внутри треугольника ABC.
4
Значение и в этой точке u(/() = y a 2 .
Б. На стороне АВ имеем: # = 0, и(ху 0) = и1 = Зя2 — 2ах +
-\-2а2, где 0 ^ л ; < а .
I. и[ = 6х — 2а; и[ = 0 при * = у (в точке Мх)\ иг (у J = уЯ 2 II. u,(0) = 2a2; и1(а) = 3а2.
III. Наименьшее значение их (х) на отрезке [0, а] равно у а2.
На стороне ВС имеем; х = а—у (из уравнения прямой ВС);
и {а—у, у) = и2 = 6у2 — 6ау + 3а\ где
О^у^а.
I. t/ = 12# — 6a; и'2 = 0 при // = у (в точке М2); i/2 ( у J = зу a2
— 255 —
II. МО) = M a ) = За 2 .
з
III. Наименьшее значение и2 (у) на отрезке [0, а] равно у а 2 .
На стороне СЛ имеем: лг^О; и(0, у) = и3 = 3у2— 2ау + 2а\
где
О^у^а.
I. и'з = 6у — 2а; и'з = 0 при # = у ( в точке М3); и3 ( у J = у а2.
II. и3(0) = 2а2; w3(a) = 3a2.
III. Наименьшее значение и3(у) на отрезке [0, а] равно у а 2 .
Сравнивая значения и на сторонах А В, ВС, С А, заключаем:
5
наименьшее значение и на всей границе ABC А равно у а2.
В. Сопоставляя значением во внутренней критической точке К
с ее наименьшим значением на границе области, приходим к выводу,
что среди всех значений и в различных точках треугольника ABC
наименьшим является ее значение в точке К [ у , у ) . Легко убе­
диться, что точка К является центром тяжести данного треуголь­
ника.
Эту задачу можно решить и для любого треугольника;, иско­
мая точка также будет его центром тяжести.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
785. fp = * 3 + #3—9ху + 27 в квадрате 0 ^ х ^ 4 ,
0^(/<4
786. т-^Ъху в круге х2 + у 2 < 2 .
787. Найти наибольшее значение функции v = xy(A—х—у)
в треугольнике, ограниченном прямыми х=\,
{/ = 0, х-\-у = 6.
788*. Найти наименьшее значение функции и — s i n x + sin г/ +
+ COS(JC + //) в квадрате 0 < х ^ 1 , 5 я ,
0^у^\,Ья.
789. Найти точку треугольника А (0; 0), Я(1;0), С(0; 1), сумма
квадратов расстояний которой до его вершин имеет наибольшее
значение.
790. Какой треугольник с данным периметром 2р имеет наи­
большую площадь? (Использовать формулу для площади тре­
угольника по трем его сторонам.)
791. Найти точку четырехугольника (0, 0), (а,0), (а, а), (0, 2а),
сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наи­
меньшее значение.
792. Из куска проволоки длиной / сделать каркас прямо­
угольного параллелепипеда с наибольшим объемом.
793. Определить размеры открытого прямоугольного ящика
с данным объемом V и с наименьшей поверхностью.
ГЛ А В Л
VII
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхност­
ные интегралы, как и обыкновенные (однократные) определен­
ные интегралы, служат для вычисления различных величин.
В главе V «Определенный интеграл» разъяснен общий метод
вычисления различных величин как пределов соответствующих
интегральных сумм. Суть его заключается в следующем:
1. Искомая величина разбивается на большое число малых
элементов.
2. Вычисляется приближенное значение (главная часть) каждо­
го элемента и путем их суммирования находится приближенное
значение всей искомой величины в виде интегральной суммы.
3. Находится предел этой интегральной суммы, который и
дает точное значение искомой величины*
В простейших задачах, приведенных в главе V, вычисление ве­
личины сводилось к вычислению предела интегральной суммы, рас­
пространяющейся на прямолинейный отрезок изменения одной
переменной, который называется простым или обыкновенным
определенным интегралом.
В более сложных задачах, рассматриваемых в этой главе, вы­
числение величины сводится к вычислению предела интегральной
суммы, распространяющейся или на плоскую область изменения
двух переменных, или на пространственную область изменения
трех переменных, или вдоль дуги некоторой кривой, или по
некоторой поверхности, которые и называются соответственно
двойным, тройным, криволинейным и поверхностным интегра­
лами.
Все указанные определенные интегралы определяются вполне
аналогично и отличаются друг от друга в основном лишь областью
интегрирования.
— 261 —
§ 1. Двойной интеграл, его вычисление
двукратным интегрированием
Если функция /(М) непрерывна в некоторой замкнутой плоской
области D и если разбить эту область произвольным способом на п
частичных областей с площадями Д51т As2, . . . , Asn, выбрать
в каждой из них по одной произвольной точке Mlt М2, . . . , Мп>
вычислить значения функции в этих точках и составить сумму
f(Mi)As1 +
f(M2)As2+...+f(Mn)Asn=%f(Mi)Ash
1 = 1
то она называется интегральной суммой функции f (M) по обла­
сти D.
Очевидно интегральная сумма зависит как от способа раз­
биения области D на п частичных областей, так и от выбора
в них точек Mh т. е. для всякой данной функции f (M) и всякой
данной замкнутой области D можно составить бесчисленное мно­
жество различных интегральных сумм.
Однако при неограниченном увеличении п и при стремлении
к нулю наибольшего из диаметров* частичных областей все эти
различные интегральные суммы имеют один общий предел, кото­
рый называется двойным интегралом от функции f(M) по обла­
сти D и обозначается \ \ f(M)ds.
D
Двойной интеграл обладает всеми основными свойствами обык­
новенного определенного интеграла: область интегрирования
двойного интеграла можно разбивать на части, двойной интеграл
от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех сла­
гаемых, постоянный множитель можно выносить за знак двой­
ного интеграла.
Вычисление двойного интеграла \ \ f (M)ds сводится к вычисD
лению одного или нескольких д в у к р а т н ы х интегралов вида
а2
/l =
02
а2
F(a
I
tt '
Oi
Рг
PMP] A* = £ < * « $ F(a, P)dP
Pi
o-i
0i
или
*Il
7
e
/l
»„
2 = S [ $ F(«> P ) d a ] d p = J dp J F ( a . P)da,
p
/
a
/
P/
каждый из которых есть результат последовательного вычисле­
ния двух обыкновенных определенных интегралов.
* Диаметром области называется наибольшая из ее хорд.
-262
—
В двукратном интеграле / х вначале функция F(a, Р) интегри­
руется по р, причем а рассматривается как постоянная, а затем
полученный результат интегрируется по а.
В двукратном интеграле / 2 интегрирование выполняется в об­
ратном порядке: вначале по а, причем р рассматривается как
постоянная, а затем полученный результат интегрируется по р.
Как правило пределы при первом интегрировании являются
переменными, зависят от той переменной, которая при этом
рассматривается как постоянная. Пределы при втором интег­
рировании всегда постоянны.
Если область интегрирования D отнесена к прямоугольной
системе координат хОу и если она разбивается на частичные
Черт. 145
Черт. 146
области сетью прямых, параллельных осям координат (черт. 145),
то площадь частичной области ds~dxdy
(как площадь прямо­
угольника со сторонами dx и dy) и
\§f(M)ds = ^f(x, y)dxdy.
D
D
Если при этом область D такова, что любая прямая, про­
ходящая внутри этой области параллельно оси Оу, пересекает
ее границу в двух точках (черт. 145), то она определяется
неравенствами вида
где y = ql(x) и у=ц)2(х)—уравнения нижней (АХМЛВ) и верх­
ней (А2М2В) линий границы; а и Ъ — абсциссы крайних слева
и справа точек области D. В этом случае двойной интеграл вы­
ражается через двукратный интеграл по формуле
Ь
ф 2 (х)
ЭД/(х, y)dxdy = §dx J /(*, y)dy.
D
a
(1)
q, (x)
По этой формуле интегрирование выполняется вначале по //—
в пределах от #i = <Pi(*) до #2 = Ф2(*)» которые указывают гра— 263 —
ницы изменения у при постоянном, но произвольном значении х,
а потом по х% — в пределах от хх = а до х2 = bf которые являются
крайними (наименьшим и наибольшим) значениями х во всей
области D.
В этом случае, если окажется, что нижняя или верхняя линия
границы состоит из нескольких участков, имеющих различные
уравнения, то область D следует разбить прямыми, параллель­
ными оси Оу% на части, в каждой из которых нижняя и верхняя
линии границы определялись бы каждая одним уравнением.
,ш
Ш
Черт, 147
Так, для области D, изображенной на черт. 146, вычисление
двойного интеграла приводится к вычислению двух двукратных
интегралов:
с
Й
О
udx dy = \\ udxdy+\\
Di
udx dy=\dx
D2
а
Ф? {X)
Ь
<f a (ЛГ)
f udy+{dx
ф г {x)
с
[
Ф,
udy.
<*)
Если граница области D пересекается в двух точках всякой
прямой, проходящей внутри этой области параллельно оси Ох
(черт. 147), то она определяется неравенствами вида
А\{у)^х^\\>2(у),
c^y^li,
где х = ^1(у) и x = ty2(y)— уравнения левой (CNjH) и правой
(CN2H) линий границы,
с и А —ординаты крайних снизу и сверху точек области D
В этом случае двойной интеграл выражается через двукрат­
ный интеграл по формуле
h
ij)2 (т
j j / ( * , y)dxdy = §dy J f(x,y)dx.
•О
с
(2)
ih (у)
Здесь интегрирование выполняется в другом порядке: вначале
по х, затем по у. Пределы внутреннего интеграла указывают гра­
ницы изменения х при постоянном, но произвольном значении у,
— 264 —
пределы внешнего интеграла указывают границы, в которых мо­
жет изменяться у во всей области D.
В этом случае, если левая или правая линия границы будет сос­
тоять из нескольких участков с различными уравнениями, то об­
ласть D следует разбить прямыми, параллельными оси Ох, на
части, где левая и правая линии границы определялись бы каж­
дая одним уравнением.
Согласно этому положению, двойной интеграл по области D,
изображенной на черт. 148, сводится к двум двукратным интег­
ралам
ft
^ з («л
\\ и dx dy = \ \ a dx dy + \ I и dx dy = \ dy \ и dx +
D
D,,
Dy
с
t])t {yt
* 3 (M
+ \ dy
k
\
udx.
ф а (У)
Пределы внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы внут­
реннего интеграла, как правило, являются переменными и зависят
от той переменной, которая рассматривается как постоянная; оба
они будут постоянными только в том случае, когда область интег­
рирования представляет прямоугольник со сторонами, параллель­
ными осям координат.
794. Вычислить двукратные интегралы:
I
IX
4
1) l^dx^x-y+^dy;
O
U
2) /2 = J dy f - ^ dx.
X
>
(I
Р е ш е н и е . 1) Сначала вычисляем внутренний интеграл, где
у является переменной, а к постоянной:
\ (х — у + I) dy = xy—l4j + у
х'г
у=9лг
Далее вычисляем внешний интеграл, — полученный результат
интегрируем по х:
'.-К"-4Ь'
A'
JC"1
о
о.
2) Здесь интегрируем сначала по х, считая у постоянной,
затем по у:
* = и _ я.*/'
*=о
О
О
4
— 265 —
4
Вычисление можно записывать короче:
/ a =M^*=U*arctg||;_:>=
2
0
2
4
2
795. Вычислить двойной интеграл П xydxdy,
если область D:
1) прямоугольник, ограниченный прямыми л: = 0, x — at
у = 0, у = 6;
2) эллипс 4х2 + У 2 ^ 4 ;
3) ограничена прямой у = х—4 и параболой
у2=--2х.
Ш
Решение.
1) Построив данные прямые
(черт. 149), получим прямоугольник ОАВС со
сторонами, параллельными осям координат. При
такой простейшей области интегрирования без­
а
А
различно, вычислять ли двойной интеграл по
Черт. 149
формуле (1) или по формуле (2).
Интегрируя вначале по у, затем по х [по формуле (1)], получим
I
тI
а
Ь
а
J j xy dx dy = j x dx j у dy = ^ (f" 10) * d * =
о
2J
X t f X —
2"2|o
4 '
Интегрируя в другом порядке — вначале по xt затем по у
[по формуле (2)], получим тот же результат:
ь
а
ь
^ xy dx dy = j у dy \^x dx = j \^~ | J у dy =
2) Построив область D (черт. 150), будем сначала интегри­
ровать по х9 а затем по у [по формуле (2)].
Разрешая уравнение границы области D (эллипса) относи­
тельно х, найдем пределы внутреннего интеграла (с перемен­
ной х):
x = — - j A —у2 и х = - } / 4 —у 2 .
— 266
Пределы внешнего интеграла (с переменной у) найдем как ор­
динаты самой нижней и самой верхней точек области D (или как
наименьшее и наибольшее значения у во всей области D): у — —2
и у = 2.
Подставляя найденные пределы и интегрируя, получим
2
^xydxdy
*>
2
2
= §ydy
J
-*
-±V7=T*
xdx=
§ уdy-0 = 0,
так как пределы внутреннего интеграла отличаются только по зна­
ку, а его подынтегральная функция нечетная (см. гл. V, зад. 592).
Тот же результат получим, интегрируя сначала по у, а затем
по х:
1
\\
2 VT^xF
xydxdy=\xdx
\
ydy = 0.
4Х* + У*
Здесь границы изменения у (пределы внутреннего интеграла)
найдены из уравнения эллипса путем решения его относительно у\
границы изменения х (пределы внешнего интеграла) найдены как
наименьшее и наибольшее значения х во всей области D.
3) Построив данные линии между точками их пересечения
(2; —2) и (8; 4), получим параболический сегмент АОВ (черт. 151).
л(М
8(2^2)
Черт. 150
Черт. 151
Если вначале интегрировать по х, а затем по у, то двойной ин­
теграл по этой области выражается одним двукратным интегралом
4
.(/ + 4
i
— 267
так как точки А и В (с наибольшей и наименьшей ординатами) раз­
бивают границу области на левую (AGB) и правую (АВ) линии,
2
каждая из которых определяется одним уравнением: * = уу и
х = у + 4.
Пределы внутреннего интеграла (по х) можно найти иначе:
рассматривая область интегрирования как заключенную в гори­
зонтальной полосе между прямыми */ = — 2 , у = 4 и ограничен­
ную линиями АОВ (слева) и ВА (справа), получим пределы внут­
реннего интеграла, разрешая уравнения этих линий относи­
тельно х.
Вычисляя двукратный интеграл, получим
- 2
4
w
-I $('+*•+ »-'?)<»-H$+¥+*'-S)
•2
= 90.
Если интегрировать в другом порядке — сначала по у, а затем
по ху то согласно замечанию к формуле (1) необходимо разбить об­
ласть интегрирования прямой ВС, параллельной оси Or/, ка две час­
ти, так как здесь нижняя линия границы состоит из двух участ­
ков, которые имеют различные уравнения: у =—]/ 2х (ОВ) и
у=х—4
(ВА).
Вследствие этого вычисления несколько усложняются:
-
1 = [ \ ху dx dy + i \ ху Ах dy = 1 х dx
8
-\-\xdx
2
1 / Г 2Х
2
J
Х-А
VTx
\ ydy +
8
ydy^^xdx-O+^^l^xdx-^
0
2
8
52 f (10*« —Л:3— 16*) dx^-g- ( д ** —-J- *4 —8** ) = 90.
2
Иначе пределы внутренних интегралов (поу) можно найти, рас­
сматривая область интегрирования как заключенную в верти­
кальной полосе между прямыми х = 0, х = & и ограниченную
линиями ОВ и ВА (снизу) и О А (сверху), путем решения урав­
нений этих линий относительно у.
В решении этой задачи оказалось, что при любом порядке
интегрирования каждый двойной интеграл имеет одно и то же
значение. Это не случайно, ибо вообще значение двойного интег­
рала не зависит от порядка интегрирования. Однако для эконо— 268 —
мии вычислительной работы следует, если это возможно, выби­
рать такой порядок интегрирования, при котором нет надобности
разбивать область интегрирования на части.
796. Изменить порядок интегрирования в интеграле:
1) / t = J<**£/(*, y)dy\ 2) /2 = p y f udx.
I
0
3) / 3 = J dx
j* t;dy.
Р е ш е н и е . 1) Вначале по пределам интегрирования опреде­
ляем область интегрирования. Полагая х равным пределам интег­
рала с переменной х, а у равным пределам интеграла с перемен­
ной у, получим уравнения линий, ограничивающих эту область:
* = — 2 , х = 2 , у = х2, 0 = 4.
^/ад
Черт. 152
Черт. 153
Построив эти линии па черт. 152, получим параболический
сегмент ОАВ, симметричный оси Оу.
Интегрируем в другом порядке — вначале по х, затем по у. Пре­
делы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно .*
уравнение параболы х=—V у и х=]/гу. Пределы внешнего
интеграла !/ = 0 и [/ = 4 находим как наименьшее и наибольшее
значения // во всей области ОАВ. Следовательно,
2
1
4
V 1}
J dx j / (х, у) dy = ^ dy J / (хъ у) dx.
2) Здесь область интегрирования ограничена прямыми y=lt
у = 3, х = 0, х = 2#. На черт. 153 она представляет трапецию
При интегрировании в другом порядке, вначале по у, необходи­
мо разбить область ABCD прямой ВН, параллельной оси Оу, на
две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из
— 269
двух частей АВ и ВС, которые имеют различные уравнения:
Вследствие этого и интеграл / 2 при изменении порядка интег­
рирования будет равен сумме двух интегралов:
12= \ dx \ и dy -\~ \ dx \ udy.
3) Написав уравнения линий, ограничивающих область интег­
рирования: х=—УЗУ х=\, у=—]/г4:—х2, 1/ = 0 и построив их
на черт. 154, получим криволинейную трапецию ABCD.
Если интегрировать в другом порядке, сначала по х, то область
ABCD необходимо разбить прямыми ВВХ и ССи параллельными оси
Ох, на три области, в каждой из которых левая и правая линии
границы определяются каждая одним уравнением.
В области С^С, заключенной в горизонтальной полосе между
прямыми у=—2,
f / = — У з , левая линия границы С\Р имеет
уравнение х=—У4 — у2, а правая PC — уравнение х~У\ — у2.
В области ВСХСВ1У которая заключена в горизонтальной поло­
се между прямыми у= —j/З, г/= — 1 , левая линия границы оп­
ределяется уравнением х=—|/4—у*,
а правая — уравнением
х=1.
В области ABBxDy заключенной в горизонтальной полосе
между прямыми у=—1, у = 0, уравнение левой линии границы
х=—У 3> а уравнение правой линии границы лс=1.
Следовательно, при новом порядке интегрирования интеграл
/ 3 будет равен следующей сумме трех интегралов:
-У~г
h=
\
VА-
dy
\
у*
1
-1
vdx+
\
dy
0
\
vdx+
1
\ dy \
vdx.
797. Вычислить двукратные интегралы:
2
3
0
1) f dx £ (x* + 2xy) dy;
0
0
I
u
3) [dv^e^du;
0
2) j dy j (x + 2y) dx;
2
V
0
J/1
0
Б
Ь-Х
4) fdx f \/T+x
0
+ ydy.
0
798. Вычислить двойной интеграл I \ (x + y)dxdyi где область
D—треугольник, ограниченный прямыми:
1) x = 0, # = 0, x-\-y = 3\ 2) x = ay y — 0, y = x.
— 270 —
799. Вычислить двойной интеграл М ^т—«•
если
область D
D
ограничена:
1) прямыми * —2, у = х, х=2у\
2) параболой 2у = х2 и прямой у = х.
800. Вычислить двойные интегралы по областям, ограничен­
ным указанными линиями:
1) ^x*ydxdy\
\г2ах-х\
у = 0, у =
D
2) (Г sin (х +у) dxdy\
y = 0,
y = xt
x+y = ^ \
D
3) ^x*(y-x)dxdy\
x = y\
у = х\
о
80 1. Вычислить двойной
интеграл \ \ (2х + 3у+ \)dxdy
по
Q
области, ограниченной треугольником с вершинами (1; 3),
( - 1 ; - 1 ) , (2; - 4 ) .
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах;
Kl-.c'
802. [dy Г f(x, y)dx.
2
1
803. С rfjc С
У
-1
2 - Xх
804. J dx J ?dy.
2
805
U
- I dy j
i
806. J d</ J dx.
-2
у»
udy.
*+1
zdx
*
i
у
807*. J d*
о
J dy.
^2~лГ^~*
§ 2. Двойной интеграл в полярных координатах
Если область интегрирования двойного интеграла отнесена
к системе полярных координат ф, р и если она разбивается на
частичные области лучами <р = ф/ = const, исходящими из полюса,
и концентрическими окружностями р = р,- = const с центром
в полюсе (черт. 155), то d s = p d ф d p (как площадь прямоуголь­
ника со сторонами рйф и dp) и
ЭД / (Af) ds = j J / (ф, р) р dф dp = J j F (<p, p) dф dp.
— 271 —
Обычно двойные интегралы в полярных координатах выра­
жаются через двукратные интегралы вида
$ d4> J
a
f
(Ф. P)dp.
pi <ф)
где первое (внутреннее) интегрирование выполняется по р, считая
Ф постоянной, а второе (внешнее) интегрирование выполняется
ПО ф .
Пределы интегрирования по р указывают границы измене­
ния р при постоянном, но произвольном значении ф. Пределы
интегрирования по ф являются наименьшим и наибольшим зна­
чениями ф во всей области D.
Как правило, пределы внутреннего интеграла (по р) зависят
от ф; они оба будут постоянными только в том случае, когда
область интегрирования представляет
круговой сектор или разность круговых
секторов с центром в полюсе. Пределы
внешнего интеграла (по ф) всегда посто­
янны.
В приложениях двойных интегралов к
геометрическим и физическим задачам
обычно искомая величина выражается по­
средством двойного интеграла, отнесен­
ного к прямоугольным координатам, а
затем во многих случаях для упроще­
ния вычислений полученный интеграл
преобразуется к полярным координатам с помощью следую­
щего правила:
Для преобразования двойного интеграла, отнесенного к пря­
моугольным координатам, в двойной интеграл в полярных коор­
динатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные
координаты заменить полярными', х = р cos ф, у = р sin ф, а вместо
dxdy подставить pchpdp.
При этом уравнения линий, ограничивающих область интег­
рирования, также преобразуются к полярным координатам
(посредством указанных формул перехода от прямоугольных
координат к полярным).
808. Вычислить двойной интеграл / = \ \ р smydpdip, если
D
область D:
1) круговой
сектор, ограниченный линиями р = а, ф = 4т-
и ф = п]
2) полукруг р ^ 2 а с о э ф , О ^ ф ^ - ^ - ;
3) заключена между линиями p = 2 + cosq> и р = 1 .
— 272 —
Р е ш е н и е . 1) Построив окружность р = а и лучи, образую­
щие с полярной осью углы Ф = 4>- и (р—л, получим круговой
сектор ОАВ с центром в полюсе О (черт. 156).
Интегрируя вначале по р, затем по ф, получим
л
а
л
л
,2
I = J sin ср Лр £ р dp = J *£ |* sin ф с/ф = у J sin
Ф С^Ф =
"
£=2QCQS<P
Y=7Z
2) Построив область D, черт. 157, интегрируем, как обычно
принято в полярных координатах, сначала по р, затем по ф:
л
л
2
2 Д COS(p
2
/ = У sin ф dip \
рrfp= I ~\
и
л
о
sin ф //ф =
о
я
т
т
= 2аа \ cos2 ф sin ф dtp — — 2а2 \ (cos ф)2 d (cos ф) =
о
о
л
|~2~
2
2
= —-5-a2 cos3 ф
= — а2.
3) Построив область D (черт. 158) и интегрируя, получим
2Я
2 +СО« ф
I = \s\n(pdip
О
\
2Я
2 + COsqp
pdp=\^-
1
U
2Л
sin<pricp =
1
О
2
= у I [(2 +cos ф) —1] sin фdф= -^ \ (3 + 4cosq> + cos^)deos<p =
О
2Л
2
= — ( 3 COS ф + 2 COS ф -f- 7Г COS3 ф )
2. \
О
=0.
J |2Я
809. Преобразовать к полярным координатам и затем вычис­
я
лить двойной интеграл У =-
dx dy
D
— 273
, где D — круговое кольцо,
заключенное между окружностями х2-\-у2 = \ и х2 + у2 = 4 (т. е.
K x 2 + t / 2 < 4 ) , черт. 159.
Р е ш е н и е . Пользуясь указанным правилом, получим:
2Я
/«
ff
Р*Р<*Р
ff
= д
1<р<2
2
^ < / р = Г Жр Г ф = 2л.
1 <p <2
О
1
p = l и p — 2—полярные уравнения данных окружностей.
I
=Z+cosf
х2+у*=4
— '— '
Черт. 158
Черт. 159
810. Вычислить двойной интеграл \ \ p'Mcpdp, если область Q
ограничена:
^
1) окружностями р = а , р = 2а;
2) первым завитком спирали р = йф и полярной осью;
3) кривой p = a s i n 2 9 .
811. Вычислить двойной интеграл \ \ p2sincpdpdq> по области,
о
ограниченной кардиоидой p = a(l+coscp) и полярной осью, если
а) О ^ ф ^ л
и б)
Л^Ф^2Л.
812. Преобразовать к полярным координатам и вычислить
двойные интегралы:
1) \\ xy2dxdy, если область R ограничена окружностями
х2 + (у—\)2=1
и х* + у* = 4у.
x
2) \\e- *-v*dxdy,
если область Я — круг х2 +
у2^а2.
§ 3. Вычисление площади посредством
двойного интеграла
Площадь S плоской области D равна двойному интегралу
от ds} распространенному на область D:
D
— 274 —
В прямоугольных координатах ds = dxdy и
S^Ndxdy.
д
(1)
В полярных координатах ds = pdfdp
и
(2)
813. Найти площадь области, ограниченной линиями:
1) у* = х\ г/2 = 8Г6—х)3;
2) у = 2ху у = 2-*х, у = 4;
3) p = acoscp, p = &coscp, й > я > 0 ;
4) {x*-\-tfY = 2a4y.
Решение.
1) Построив данные
полукубические параболы (черт. 160), по­
лучим криволинейный четырехугольник
ОАВС. Точки А и С пересечения кри­
вых найдены путем совместного решения
их уравнений.
Вследствие симметричности фигуры
относительно оси Ох ее площадь S рав­
на удвоенной площади криволинейного
треугольника ОВС, расположенного в
Черт. 160
первом квадранте.
Согласно формуле (1) площадь обла­
сти ОВС равна двойному интегралу от dxdy, распространен­
ному на эту область:
l
3
л-—
в
S = 2[[dxdy
= 2^dy
у
Г
dx = 2§x\
^
dy =
ОВС
8
О
Если интегрировать в другом порядке, то необходимо разбить
область ОВС прямой, проходящей через точку С, параллельно
оси Оу на две части. При этом
4
Vx*
К 8
S = 2Qdx j d y + J i x
4
О
0
4
(6-JC)3
|
О
Разумеется, результат будет тот же самый.
— 275 —
dy
2) Данные линии ограничивают криволинейный треуголь­
ник ABC (черт. 161).
Согласно формуле (1) искомая площадь
In и
InT
ABC
l
Int/
41
I
1
2 Ifl 2
Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования
по частям, получим
S = 2 i ^ 2 ( W n f / - ? / ) | ; = 2 4 2 ( 4 ! n 4 - 3 ) = 1 2 - 1 l T «5,507.
И здесь при другом порядке интегрирования необходимо
разбить область ABC на две области АЕС и ABE, вследствие
чего площадь S будет равна сумме двух
двойных интегралов:
S = \\ dx dy = V V dx dy + \\ dx dy =
ЛВС
ЛЕС
ЛВЕ
0
4
2
4
= £ dx J dy + £ dx ^ dy.
3) Построив данные окружности в по­
лярной системе координат (черт. 162), нпходим площадь S ограниченной ими обла­
сти D по формуле (2):
Черт. 161
я
b cos ф
S = \ \ p d ( p d p = 2 \ l p d q ) d p = 2 \ dip \ p dp =
О
АВО
о
я
я
2
2
асозф
- (Ь2 —а2) С cos2 Ф dtp - ^ = ^ Г (1 + cos 2ф) dy =
+ -о- sin 2ф
(b2 — а 2 ).
Здесь учтено, что обе окружности симметричны относительно
полярной оси и что верхняя половина каждой из них полу­
чается при изменении угла ф от 0 до —-.
— 276 —
4) Площадь фигуры, ограниченной данной замкнутой кривой
(лемнискатой), проще вычислить, перейдя к полярным коорди­
натам.
Полагая Е данном уравнении кривой A' = pcos<p, z/ = psin<p,
получим после упрощений полярное уравнение этой кривой
р2-.= а2 sin2<p.
S>=6co$tp
Черт. 162
Построив кривую (черт. 163) и замечая, что она симметрична
относительно полюса и что при изменении <р от 0 до ~- текущая
точка (ф, р) опишет половину кривой, расположенную выше
полярной оси, по формуле (2) найдем
МП 2ф
S = 2 Ыф
0
I
p dp = а 2 \ sin 2ф с/ф = — ^- cos 2ф
0
0
= а2.
О
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
814.
816.
818.
819.
821.
Ьу2 = 9х.
815. ху = 4, х + у = 5.
у = е*, у = е2Ху х=\.
817. р = асоБ2ф.
х + у=1, х + 3у=\, х = у, х = 2у.
p = 4sin<p, p = 2sincp.
820. р ^ - а э т З ф .
(х 2 +// 2 ) 2 = 2у3.
\ Перейти к полярным координаЗА2 = 25*/,
822. (х 2 + // 2 ) 3 = а 2 ( х 4 + */ 4 ). f там.
§ 4. Вычисление объема тела
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим
основанием область D на плоскости хОу и ограниченного сверху
поверхностью z=^f(xty) (черт 164), выражается двойным интег­
ралом
V=
^zdxdy.
— 277 —
(а)
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится
к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких верти­
кальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными
оси Oz).
823. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1) У = х*> //=1» х + у + г = 49 z = 0.
2) z = y22-x\
2 = 0, у = ±2.
3) 2 = 4-х -у2,
2z = 2 + x2 + y2
2
2
2
2
4) х + у + z = R . z = a, z = b\ R > b > a > 0.
z=b-x-y
z=/fc0
Р е ш е н и е . 1) Данное тело (черт. 165) представляет верти­
кальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости
2—4— х—у, а снизу — частью плоскости хОу, заключенной
между параболой г/ = х а и прямой / / = 1 .
Согласно формуле (а) объем этого тела
1
V~u
V=[[zdxdy=\dy С (4-x—y)dx =
о
ОАВ
1
_у~у
x = V~y
«J[(4-if)x-^]|
1
dy=2^(4-y)Vydy
:
68
15'
r=-K'i
При интегрировании в другом порядке
1
1/=
1
fd*f
(4—х—y)dy=..
:
68
15*
2) Гиперболический параболоид z = y2—х2 пересекает пло­
скость хОу (2 = 0) по двум прямым у = ±х. Вместе с плоско­
стями 2 = 0, {/ = ± 2 он ограничивает тело, симметричное отно-
снтельно плоскостей xOz и yOz. Согласно формуле (а) объем
четвертой части тела, расположенной в первом октанте (черт. 166),
олв
2Г
3
,
2
у*\
8
..
32
3
3) Тело, ограниченное данными параболоидами вращения,
изображено на черт. 167. Его объем можно найти как разность
объемов двух вертикальных цилиндрических тел, которые имеют
Z=4-x2-y2
=2+х2+у2
Черт. 167
общее нижнее основание D на плоскости хОу, а сверху огра­
ничены данными поверхностями.
V=V1-V,
= ^(4-x2-y2)dxdy-^^(2
+ x2 + y>)dxdy =
D
D
=
2
~^(2-x -y*)dxdy.
Линия L пересечения данных поверхностей определяется си­
стемой из их уравнений: z = 4— х2 — у2, 2г = 2 + х2 + //2.
Исключая из этой системы г, получим х2-{-у2 = 2— уравне­
ние вертикальной цилиндрической поверхности, которая прохо­
дит через линию L и проектирует ее на плоскость хОу. Полу­
ченное уравнение будет и уравнением проекции линии L на
плоскость хОу — окружности Lu ограничивающей область D.
Чтобы упростить вычисление интеграла, преобразуем его
к полярным координатам. Полагая A'-=pcoscp, ^/ = р sin ф и за- 279 -
меняя dxdy через prfcpdp, получим
fi"
2
2
v=4 Я < -р )р^р=т1М (2р ~ р3)ф=
? ^ 2
3 Р /
•
Р*\\У*
А
3
ГА
3
| 2Л
О
(р = 1Л> есть полярное уравнение окружности x2-t-z/2 = 2).
4) Сфера x2 + y2 + z2 = R2 и плоскости г = д и г = 6 ограни­
чивают шаровой слой (черт. 168). Его объем V=V1 + V2 — Vi9
где Vlt Va и V3 — объемы верти­
кальных цилиндрических тел:
2
2
•y*+z**fi* Vt = nOA b\ V9 = nOB a\
V2 = J J VR2—x2
— y2dx dy,
D
где D —круговое кольцо
О Л 2 < х 2 + // 2 <ОА 2 .
Радиусы гг = ОА и г2 = ОВ
определяются из уравнений вер­
тикальных цилиндров, проектирующих окружности / и L на
плоскость хОу.
Исключая г из уравнений сферы и плоскости z — b% получим
уравнение х2 + у2 = R2 — b2t откуда О A =V R2—b'1. Аналогичным
путем из уравнений сферы и плоскости z = a получим уравнение
x2+y2 = R2 — a2, откуда OB = V"R*-a2.
Следовательно, Vv = nb{R2 — b2), V3 = na(R2 — a2).
Для вычисления двойного интеграла, определяющего 1Л, пе­
рейдем к полярным координатам:
Черт. 168
я
я
= - ~ (Я 2 - р 2 ) т £ J dq> = ^ (&» - а3).
О
з
2
2
Искомый объем шарового слоя V=nb (R — b )+-^ я (ft3 — а3) —
—да (Я 2 - а2) = у [З/?2 (&_ а )+а я —&*| = ^ р ^ (3/? 2 -а 2 — а&—&*).
— 2Sfl —
о
При я = 0, b=R получаем объем полушара V = -» л/? 3 .
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
824. Цилиндром х2 + у- = а2 и плоскостями x + y + z = 2a9
2 = 0.
825. Плоскостями х + у-\-г = 2, Зх + */ = 2, Зх + 2£/ = 4, y = Q,
2=0.
X2
£/а
826. Эллиптическим параболоидом г = ^ + г г и плоскостями
* ~ ± 1, У = ± 1827. Плоскостями y+z = Qy 2 = 0 и цилиндром ^i + j ^ — l»
828. Сферой х2 + у2 + 22 = 2а2 и цилиндром х 2 +У 2 = я 2 *•
829. Плоскостями у + г=2, у — 2 = 2 и цилиндром x 2 +i/ 2 = 4 *.
830. Конусом x2-{-y2 = z2t цилиндром х2 + у2 = 2у и плоско­
стью 2 = 0*.
§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции
Если 6(М) есть поверхностная плотность** в точке М (х, у)
плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей об­
ласть D, то ее масса т , координаты центра тяжести С и мо­
менты инерции 1ХУ I / 0 относительно осей Ох и Оу и начала
координат О выражаются формулами:
1) m = [\b(M)dxdy\
\\xbdxdy
2)*, = -' = ^
(1)
\ \ //б dx dij
; *
e
- ^
,
(2)
где m t и mv — статические моменты пластинки относительно осей
Ох и О/у.
Если пластинка однородна, то б = const выносится за знаки
интегралов и сокращается;
3) /x = l\y*bdxdu;
/v=\\x*bdxdy;
It
(3)
'О
'о = lx + /v = J J (** + У2) 8 <** dlJ-
(4>
* В этой задаче для вычисления двойного интеграла полезно перейти
к полярным координатам
** Поверхностной плотностью распределения массы в точке М пластинки
называется предел отношения массы площадки, содержащей точку М к ее
площади, когда эта площадка стягивается к точке /И.
— 281 —
Для однородного вертикального цилиндрического тела (с об­
разующей, параллельной оси Ог), имеющего своим основанием
область D на плоскости хОу и ограниченного поверхностью
* = /(*. У) (черт. 164),
\\xzdxdy
*.==
\ \ г2dxdy
\ \ yzdxdy
Ус
C = Тг
[[ zdxdy
[[zdxdy
D
>
2
c = —rf
~ ° 2^ zdxdy
D
W
D
831. Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке
по верхностная плотность обратно пропорциональна квадрату
расстояния ее до центра кольца.
Р е ш е н и е . Обозначим радиусы окружностей, ограничиваю­
щих кольцо, через гх и г2 (г1<С.г2)9 и поместим полюс полярной
системы координат в центре кольца; тогда уравнения окружно­
стей будут р = г1 и р = г2, а поверхностная плотность в точке
k
М (ф, р) кольца &(М)=--—2.
Массу всего кольца найдем по формуле (1), преобразуя ее
к полярным координатам:
m = \Т 6р dcp dp =
\\
— d<p dp = k \ dcp \ -£- = k \ In pi d<p =
2Л
= * l n ^ f Лф = 2/гл1п^.
r
l
r
J
l
0
832. Найти массу пластинки, имеющей форму эллипса, если
поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорци­
ональна ее расстоянию г от малой оси эллипса и при г= 1 она
равна X.
Р е ш е н и е . Обозначим полуоси эллипса через а и Ъ (а> Ь)
и выберем оси Ох и Оу прямоугольной системы координат так,
чтобы они
совпали с осями эллипса, тогда уравнение эллипса
х2 и2
будет ^ + | , = 1.
Согласно условию задачи в точке М (х, у) пластинки плот­
ность 6(М) = к\х\.
По формуле (1) масса правой половины пластинки
-2-П—.
m=\\hxdxdy
= X[dy
\
x dx = нр \ (^2 ~~ У2) dy ~
Следовательно, масса всей пластинки гп =-^а*Ьк.
— 282 —
833. Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного
треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность
пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы.
Р е ш е н и е . Пусть в прямоугольном равнобедренном тре­
угольнике А ВС гипотенуза ЛВ==2д. Тогда относительно системы
координат, изображенной на черт. 169, уравнения катетов АС
и ВС будут у = х + а п у = а — х.
Согласно условию задачи в точке (х, у) треугольника плот­
ность 6 = ky.
Далее, пользуясь формулами (2), вычислим величины тх, т у
и т для данного треугольника:
а
т
^ky2dxdy
х=
а —у
= k^y2dy
ABC
а
J dx=^2k\y2(a
о
у-а
— y)dy=-
о
-»К-?)С-ха
т
у
=
л - г/
J J kxy dxdy=-k\>ydy
ABC
о
а
j
а
x dx = k J у dy • 0 = 0.
~{a-y)
a — rj
о
а
m= } \ kydxdy — k] ydy } dx = 2k j у (a — y) dy = - | - .
ЛВС
y-a
Следовательно, xc = — = 0, ye — — = y Если бы по всей области треугольника масса была распре­
делена равномерно, то его центр тяжести помещался бы в точке
пересечения медиан (0, у ) .
834. Найти момент инерции треугольника, данного в условии
предыдущей задачи, относительно его гипотенузы.
Р е ш е н и е . Относительно указанной на черт. 169 системы
координат искомый момент инерции есть Iх. Поэтому, поль­
зуясь формулой (3), найдем
Л
3
3
/ . = \\ ky dx dy = k\ y dy
ABC
= 2* \jy3(a-y)dy
\ dx =
У-а
= -w.
Черт. 169
835. Однородная пластинка ограничена двумя концентриче­
скими эллипсами с совпадающими линиями осей (эллиптическое
— 283 —
кольцо). Найти моменты инерции этой пластинки относительно
ее осей.
Р е ш е н и е . Пусть внешний эллипс имеет полуоси ах и Ьх,
а внутренний — полуоси а2 и Ь2 и пусть оси прямоугольной си­
стемы координат направлены по осям симметрии пластинки.
Тогда уравнения эллипсов будут
х2
и2
х2
и2
а искомые моменты инерции будут 1Х и 1у. Применяя фор­
мулы (3) и используя симметричность пластинки (D) относительно
осей координат, получим
!x = ^y*bdxdy
= 4&(^
y*dxdy-^
y*dxdy)
\ Dy
D
D2
,
/
где Dx и D2 —расположенные в первом квадранте части
областей, ограниченных соответственно внешним и внутренним
эллипсами.
Интегрируем вначале по у, затем по х:
\dx\y>dy-\dx\y^y)
0
0
0
=
0
±&[\y\dx-[yldxU
'
\0
0
^
-т»
Для вычисления интегралов заменяем переменную. В первом
интеграле — по формуле x = als\nt, во втором —по формуле х=
= а2 sin t\
1х = 1 б ( й1Ь\ J cos1 * dt-a2b32 f cos4 / d/ j =
\
о
о
~2~
4
=
/
6 fllb
T (
fl
ft
i~ * »)$
cosUdt.
Зя
Согласно решению задачи 505 последний интеграл равен т^- .
Следовательно,
I x = -£ n&iaibl—ajtl).
Аналогично применяя вторую из формул (3), найдем
1у =
-£пЬ{Ьха\-Ь2а1).
— 284 —
Отсюда при a2 = b2 = 0 получаем моменты инерции полного
эллипса:
1
1
При bv~ax и b2 = a2 получаем момент инерции кругового
кольца: / = jnb(a\ — at), взятый относи­
тельно любого его диаметра.
Для круга радиуса а момент инерции
относительно любого диаметра / = —лба4.
836. Найти центр тяжести однород­
ной усеченной призмы, ограниченной ко­
ординатными плоскостями и плоскостями
x + r/ + z = 4, лс = 1, {/=1.
Р е ш е н и е . Построив данные плоско­
сти (черт. 170), замечаем, что ограничен­
ная ими усеченная призма симметрична от­
носительно плоскости х = у. Вследствие
Черт. 170
этого хс = ус.
Далее вычисляем интегралы, содержащиеся в формулах (5),
U= \\ xzdxdy = \) x(\ — x — y)dxdy =
О А ВС
1
1
i
= — ^xdx^(4-x—y)d(A
— x-y)
=— р
'2
|// = 0
L 7 .;
= 1 j" (2*« - 7л-) dx = 1 ( 4 х » - \ х*)
12
1
/ a =$$z 2 d*rf/y = SJ (4-*-.</) a d.*d// =
,t
плис
1
1
I
= — \ctx^ (4-х —у)* d ( 4 - х - / / ) = — J i 4 - * - ^
3
d.v =
i
t
i
!3 = ^zdxcly-~^dx§(4-x-U)dy
i
-{§(4-x-y)2\2'(idx-
=
1
= —i-J[(3—*:)»—(4 —x)»|djr. = 4 [ :( * — З )
1
(x — 4 ) 3
= 3.
з
з
Подставляя в формулы (5) найденные значения интегралоз,
— 285 —
получим:
Х
с — Ус— уз
36»
2
£~2I3
36*
837. Найти массу круглой пластинки, если поверхностная
плотность в каждой точке пластинки пропорциональна квадрату
ее расстояния от центра пластинки.
838. Найти массу квадратной пластинки, в каждой точке
которой поверхностная плотность пропорциональна сумме ее
расстояний до диагоналей пластинки.
839. Пластинка ограничена параболой у2 — 2рх и ее хордой,
проходящей через фокус перпендикулярно к оси параболы.
Найти массу пластинки, если в каждой ее точке поверхностная
плотность обратно пропорциональна расстоянию точки до ди­
ректрисы параболы.
840. Найти массу прямоугольника со сторонами а и ft, в каж­
дой точке которого поверхностная плотность пропорциональна
квадрату расстояния ее от одной данной его вершины.
В задачах 841—843 найти моменты инерции однородных пло­
ских фигур:
841. Прямоугольника со сторонами а и Ь: 1) относительно
стороны а\ 2) относительно одной из его вершин; 3) относительно
точки пересечения диагоналей.
842. Прямоугольного треугольника с катетами а и Ь\ 1) от­
носительно вершины прямого угла; 2) относительно катета а.
843. Круга радиуса R: 1) относительно касательной; 2) от­
носительно точки на окружности.
844. Найти центр тяжести прямоугольного треугольника,
катеты которого равны а и Ьу если в каждой его точке поверх­
ностная плотность пропорциональна квадрату расстояния ее от
вершины прямого угла.
845. Найти центр тяжести расположенной в первом квадранте части эллипса -^ + р = 1 (пластинки), если в точке (х, у)
поверхностная плотность &~kxy, где k — постоянная.
Найти центры тяжести следующих однородных тел:
846. Полушара x2 + y2 + z2 <а2, zr^O.
847. Тетраэдра, ограниченного плоскостями x-\-2y-\-z = 1,
JC = 0, y = 0, z = 0.
848. Шарового слоя, заключенного между сферой х2 + у2 +
+ z2 = R2 и плоскостями х = ау л: = Ь.
§ 6. Тройной интеграл, его вычисление
трехкратным интегрированием
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М некоторой
замкнутой пространственной области О и если разбить эту область
произвольным способом на п частичных областей с объемами Ai^,
— 286 —
Да., . . . , Дая, выбрать в каждой из них по одной произвольной
точке Ми M2i . . . , Мп, вычислить значения функции в этих
точках и составить сумму
f(Ml)bvl
+ f(M2)bv2+...+f(Mn)bvn
=
yf(Mi)bvh
то она называется интегральной суммой функции f(M) по об­
ласти G.
При составлении интегральной суммы можно различными
способами разбивать область G на п частичных областей и в каж­
дой из них можно произвольно выбирать одну точку Мг По­
этому для всякой данной функции f(M) и всякой данной обла­
сти G можно составить сколько угодно различных интегральных
сумм. И все эти интегральные суммы при неограниченном воз­
растании п и при стремлении к нулю наибольшего из диамет­
ров частичных областей имеют один общий предел, который
называется тройным интегралом от функции f(M) по области
G и обозначается ^^
f(M)dv.
G
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного
и обыкновенного определенных интегралов: область интегриро­
вания можно разбивать на части; интеграл от суммы функций
равен сумме интегралов от всех слагаемых; постоянный множи­
тель можно выносить за знак интеграла.
Вычисление тройного интеграла сводится к трехкратному
интегрированию, т. е. к последовательному вычислению трех
обыкновенных (однократных) определенных интегралов по каж­
дой из трех переменных координат точки трехмерного прост­
ранства.
Если область интегрирования G отнесена к прямоугольной
системе координат Oxyz и если она разбивается на частичные
области плоскостями, параллельными координатным плоскостям,
то объем частичной области dv = dxdydz (как объем прямоуголь­
ного параллелепипеда с ребрами dxy dy и dz) и тройной интег­
рал преобразуется к виду
mf(M)dv
G
= Hlf(xf
yy z)dxdydz.
a
При этом, если область G такова, что любая прямая, проходя­
щая внутри этой области параллельно оси Ог, пересекает ее
границу (ограничивающую ее замкнутую поверхность) в двух
точках* (черт. 171), то тройной интеграл можно вычислить по
* Если область G имеет более сложный пид, то ее следует разбить на
части указанного простого вида и затем вычислить данный интеграл как
сумму интегралов по составляющим областям
— 287 —
формуле
Ш ^ * * У* z)dxdydz=[\dxdy
]
f(xt у, z)dz,
(*)
где Gxy—проекция области G на плоскость хОу\ z = tyx(x, у)
и 2 = г|)2(л:, у) — уравнения нижней и верхней поверхностей, ог­
раничивающих область G*.
По этой формуле вычисление тройного интеграла сводится
к последовательному вычислению обыкновенного (однократного)
определенного интеграла с переменной г, причем х и у рас­
сматриваются как постоянные, и двойного интеграла с перемен­
ными х и у по области Gxyf расположенной в плоскости хОу.
M(x:ytz)
Как правило, пределы внутреннего обыкновенного интеграла
являются переменными; они зависят от тех двух переменных,
которые в этом интеграле рассматриваются как постоянные.
Оба они будут постоянными только в том случае, когда область
интегрирования G есть прямой цилиндр, образующие которого
параллельны оси Oz, а основания расположены в плоскостях, параллельных плоскости хОу.
Меняя ролями переменные х, у и z в формуле (*), можно
получить и другие аналогичные формулы для вычисления трой­
ного интеграла посредством последовательного вычисления обык­
новенного и двойного интегралов.
При вычислении тройного интеграла указанным путем после
вычисления внутреннего обыкновенного интеграла иногда целе­
сообразно бывает затем, для вычисления двойного интеграла,
перейти от прямоугольных координат к полярным, как это
разъясняется в § 2. Такой способ вычисления тройного интеграла,
отнесенного к прямоугольным координатам, называется вычис­
лением его посредством преобразования к ц и л и н д р и ч е с к и м
к о о р д и н а т а м , ибо, как показано на черт. 172, переменные ф,
р и г являются цилиндрическими координатами точки М (х> у, z).
* Иначе, г|?1 (х, у) и г|?2 (х, у) — апликаты точек N и Q пересечения по­
верхности, ограничивающей область G, с прямой, проходящей через про­
извольную внутреннюю точку области G параллельно оси Ог.
— 268 —
Тройной интеграл можно вычислять и иначе, как обыкно­
венный интеграл от двойного.
1
I
i
849. Вычислить трехкратный интеграл У = \ dx ^ dy ^ (4+2) <1г
- 1
X*
Й
и построить его область интегрирования.
Р е ш е н и е . Последовательно вычисляем три обыкновенных
(однократных) определенных интеграла, начиная с внутреннего:
/! = | ( 4 + г)£Ь =
L
36—16
(4 + 7)1
= Ю;
•
/., = $ /, dy= 10 J dy= \0у\\ = 10 ( 1 - х 2 ) ;
x*
i
'*
h
l
40
/* = / = j / a djr=10 J ( l - x ) ^ = 1 0 ( x - | j | ^ - ~
3 '
2
Здесь, как и при вычислении двукратного интеграла, можно
пользоваться более краткой записью:
1
1
i
t
1
у = f d x n i ± ^ P d t / = 10 ^dx^dy=\0
- 1
X1
-
I
X
2
-»H)L-?Для построения области интегрирования
j(l—x*)dx =
- 1
данного трехкрат­
ного интеграла пишем вначале уравне­
ния поверхностей, ограничивающих эту
область. Приравнивая переменную ин­
тегрирования каждого интеграла его пре­
делам, получим следующие уравнения:
х = — 1, х=\у у = х2у у = 1 , 2 = 0, 2 = 2.
Построив в системе координат Oxyz
поверхности, соответствующие этим урав­
нениям (черт. 173), видим, что ограничен­
ная ими область есть прямой цилиндр,
образующие которого параллельны оси
Oz.
850. Вычислить тройной интеграл / = \ \ \
о
ласть О ограничена плоскостями:
Z=2
^*>?
ч
173
^_ •y__z , если об-
1) х + // + г = 1 , х = 0, j/ = 0 t г = 0;
2) х = 0, х = 1 , i/ = 2, у=.5, 2 - 2 , 2 = 4.
Р е ш е н и е . 1) Построим данные плоскости. Ограниченная
ими область G есть тетраэдр О ЛВС (черт. 174). Любая прямая,
10 Закаа aN« 3201
— 289 —
проходящая внутри этого тетраэдра параллельно оси Oz, пере­
секает его границу (поверхность) в двух точках. Поэтому,
согласно формуле (*), вычисление данного тройного интеграла
сводится к последовательному вычислению обыкновенного ин­
теграла с переменной z и двойного интеграла с переменными х
и у. Пределами однократного интеграла будут значения z = zN=0
(ич уравнения плоскости АВО) и Z — ZQ — 1 - Х — у (из уравнения
плоскости АВС)\ областью интегрирования двойного интеграла
будет треугольник АВО (проекция тетраэдра на плоскость хОу).
Следовательно,
-х-у
'.-tf^£-, I *•
АВО
Z+y+Z=1
<\
-7
I
I
1
i
-~'\ \ - — — у*
1
1* 1v
1
!С
У
В
Черт. 174
Черт. 175
Вычисляя внутренний однократный интеграл, а затем двой­
ной интеграл, получим:
АВО
АВО
2) Данные плоскости ограничивают прямоугольный параллеле­
пипед, ребра которого параллельны осям координат (черт. 175).
При такой простейшей области интегрирования пределы всех
трех однократных интегралов, к вычислению которых сводится
вычисление тройного интеграла, будут постоянные.
Интегрируя вначале по z, затем по х и по г/, получим:
ABCD
X
2
- 1
= 2 j l n | l - * - < / | | dy=-2§(\n\y\-ln\y-l\)dy
= 2[</1п|у|-(</-1)1п|у-1|]
2
4
Б
5
=
*
* Последний интеграл (с переменной у) найден по формуле интегрирова­
ния по частям, гл. IV, § 4.
— 290 —
851. Вычислить следующие тройные интегралы:
О ^ = \ \ \ /—;—г^—гт^ * гДе область G ограничена шюскоо
стями л'+ 2 = 3, // = 2, jt = 0, //---0, Z--0;
2) J = Ц I (x2 + y2 + z2)dxdydz,
где область И? ограничена
° и/
поверхностью 3 (лс2 + #2) + z2 = За2; ,
3) К= \] \ ydxdydz, где область Т ограничена поверхностями
г
у = ухъ _|_z1 и i/ = A, А > 0 .
*+2=3
Черт. 177
Р е ш е н и е . 1) Построив данные плоскости, получим треуголь­
ную призму (черт. 176), Пользуясь формулой (*), имеем:
1= \\ dxdy
J
(х + у + 2+ I)" 3 Jz =
ХЯ
^1±^±1Г!\
-dxia,
АВСО
з
г
р х j [ ( А + /у + 1)-' - (//+ 4)-*] Л / =
2 J W + 4"
dx ~ 2 J (л + Г jt + 3
* + </+!
= ~(1п M-3|
12^ |
12J r f j f _
8
О
2) Область W, ограниченная данной поверхностью, есть эллип­
соид вращения (черт. 177). L:ro проекция Wх на плоскость хОу
10*
— ли —
есть круг х2 -\-у2^а2.
Применяя формулу (*), получим:
J = \\dxdy
\ (х2 + у2 + 22) dz,
W
где z , и 2 —значения z из данного уравнения эллипсоида,
Вычисляя внутренний однократный интеграле переменной г,
найдем:
2
Q
J^jj
Г(^
+
у 2 ) г + | ^ | dxdy = Qa*\fS
к if
jj
Va*—x*—y*dxdy.
/V
Далее, чтобы упростить вычисление полученного двойного
интеграла, преобразуем его к полярным координатам. Полагая *---=
= pcosq>, f/ = psin<p и заменяя dxdy через pihpdp, получим:
J = 2a2V 3 JJ l/V —Р*Р<Мр =
л
2
2
2
2
= а / 1 р Ф f (а - р V d (а* - р ) = а / З " j
о
2(а
а
*~
о
р2)
| <*ф =
я
(р = а есть полярное уравнение окружности х2 + у2 = а2).
3) Ограниченная данными поверхностями область Г есть
конус, изображенный на черт. 178. Всякая прямая, проходящая
через внутреннюю точку конуса парал­
лельно оси 0у% пересекает его границу
z
\
Л;
в двух точках, а проекция Тхг этого
конуса на плоскость xOz есть круг
ъ*+2г=ьШЬ' %Ш \y=fj
x2-\-z2^h2.
Поэтому, меняя ролями
ЩМг$Щ 1
переменные z \\ у в формуле (*), по?Ж5----I- I лучим
Ш>. Та I ^
"=1/о
/< = 55 dxdz
5 ^^'
где уы == jAr2 -|- г2 г </<? --7/.
Вычисляем однократный интеграл
— 292 —
а полученный двойной интеграл преобразуем к полярным коорди­
натам (полагая * = pcos<p, z — p sin ф и заменяя dxdz через pJydp):
Jl
2Л
А
2
d,
к - 4 Я ( * - р> р p ^ p = T J
p < /i
d<p
О
;>Я
ft
1 f /Лу
p*\ I
J" <A*p - p 3) d p =
0
2Я
h4 Г ,
.
я/г 4
(p=h есть полярное уравнение окружности * 2 ч-г 2 = /2*).
852. Вычислить трехкратные интегралы:
Л
.1
<*
е
2
1) J dz J d# J (X - -I- </* -I- г ) dx;
О
1
0
V X
'/
(1 -
1}
2) J </ dij J <lv J dr,
0
О
2 - 2 *
2
3) jdx ]#d/y j <:/г;
4) ^d*/
0
О
2
j
I)
Л
*<1*}22(1г
* iy-7"
и построить их области интегрирования.
Вычислить тройные интегралы:
853. \^ (2x + 3y — z)dxdydzi где G — призма, ограниченная
о
плоскостями * = 0, /у = 0, z = 0, 2=^3, * + */=-2.
854. \\\(1—x)' 2 \fl—y 2 dxdydz,
где G — куб, ограниченный
G
плоскостями х = : ± 1 , у = ± 1 , 2 = ± 1 855
- Я1
y-dxdydz%
где область G расположена в первом
октанте и ограничена конусом 4г2 — х2-\-у2 и плоскостями х = 0,
# = 0, z=: 1.
856. \^dxdydz,
где G —параллелепипед, ограниченный илип
скостями x + y=\t х-\-у = 2, // = 0, // = 1, г = 0, 2 — 3,
§ 7. Вычисление величин посредством тройного
ингеграла
1. Объем пространственной области G
О
и
— 293 —
2. Масса тела, занимающего область б,
т= \\\ b(M)dv=
5J5 Ъ(х9 уУ z)dxdydz,
G
(2)
G
где б (М)—объемная плотность распределения массы в точке
М (х, //, г) тела.
3. Координаты центра тяжести С тела
т
mxt
z
mxv
*с = - £ , Ус = — . *с = — ,
(3)
где myz, mxz и тху—статические моменты тела относительно
координатных плоскостей:
myz = 5JS х&d*dydzy mxz = \\\ybdxdydz,
G
mxy = \\\
G
гЪdxdydz.
G
Для однородного тела 6 = const выносится за знаки интегра­
лов и сокращается.
4. Моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу и Oz
и начала координат О
Ix^SW^+z^bdxdydz,
lv=\\\(x*±z*)bdxdydzy
G
Iz=\]\(x*
G
+ y*)bdxdydz.
l0 = ^(x*+y*
G
+ z*)t>dxdydz.
(4)
G
857. Найти объем тела, ограниченного данными
ностями:
1) * + </ + * = 4, х = 3, 0 = 2, х = 0, у = 0> z = 0;
2) х2 + у2 + 22 = 2г, x* + y2 = z2\
поверх­
3) 2г = х2 + *А */ + г = 4.
Р е ш е н и е . 1) Данные плоскости ограничивают шестигран­
ник G (черт. 179). Согласно формуле (I) его объем
4 -х — д
V=\[\dxdydz=\]dxdy
G
=
G
хц
1
3
\
dz = \] (4—x—y)dxdy =
o
OABCO
2
4—
4-0
d
W S( *—»)<**+5 i/ S (4~*—0)d* =
0
0
1
1
2
0
2
0
— 294 —
' I
Здесь при вычислении двойного интеграла по области OABCD
пришлось разбить ее прямой BE, параллельной оси Ох, на две
части.
2) Тело, ограниченное сферой х2 + y2-\-z2--= 2z [с центром
в точке (0; 0; 1)] и конусом x2 + y2 = z29 изображено на черт. 180.
Его объем
1—1
с
V=[\\dxdydz=\\dxdy
G
\ dz = \\{2c — zk)dxdy,
G
г=ги
xy
Ь
k
xy
где G — область, занимаемая данным телом; Gxy— ее проекция
на плоскость хОу\ zk — положительное значение z из уравнения
конуса, zk = Vx2 + y2\ zc — большее значение z из уравнения
сферы, z t f =l + j / l — х 2 — у 2 . Линия, ограничивающая плоскую
z
z+y+z=4
x'+yz+z*-Zz
Черт. 180
Черт. 179
область Gxy, есть окружность jt 2 -f-i/ 2 =l; ее уравнение полу­
чается путем исключения z из данных уравнений сферы и конуса.
Переходя к полярным координатам, найдем:
v=
=
2Л
И
(ze-zk)dxdy=^(l+VT=f*~-p)pd<pdp
х2 + у* < 1
р< 1
2Л,
I
«=jd(pj(p-p«+pva=^)dp=j [ § 0
0
Р3
3
0
=
П-Р2)
3
<*ф=Я.
О
3) Параболоид вращения 2z — x2-\-y2 и плоскость y-\-z = 4
(параллельная оси Ох) ограничивают тело, изображенное
на черт. 181.
По формуле (1) объем этого тела
У = $$$ dxdydz=
G
И dxdy \ dz = 5J
h
zx
xy
G
xy
295 —
(Zz—zjdxdy,
где G—область, занимаемая телом; С ху — круг х2 + (у-\- 1 ) 2 ^ 9 * ;
Чтобы упростить вычисление двойного интеграла, перенесем
начало координат в центр указанного круга —и точку (0; —1),
а затем перейдем к полярным координатам. При этом перемен­
ные х и у заменяются по формулам ;c = pcos<p, ;/= —l + psin<p,
произведение dxdy заменяется произведением pdcpdp и двойной
интеграл преобразуется к простому виду:
2Л
Я
V = \ JJ (9—р2) pd<pdp = I j 4ф j(9p-p a ) d p р< 3
0
0
- и (¥-$)i>-?];*-?«
о
о
(р = 3 полярное уравнение окружности JC 2 + (у + I) 2 = 9).
2g+z=2
Х2+(у+1)г=9
Черт. 181
858. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверх­
ностью jc2 = 2jjf и плоскостями у-1-2=1, 2у + 2 = 2, если в каж­
дой его точке объемная плотность численно равна ординате этой
точки.
Р е ш е н и е . Согласно условию в точке М (х, i/, z) тела
объемная плотность 6(М) = //. По формуле (2) масса этого тела
m=:
J J J * ( M ) d a = j j J У dxdydz,
где G—область, занимаемая данным телом (черт. 182).
* Уравнение окружности х2 + (у-f 1 )2 =>9 получено путем исключения ^
из двух данных уравнений.
— 296 —
Выч\1сяяя тройной интеграл но формуле (*), получим:
ш == 5 \ yd* 6-У I
%
'""
dz
= \ \ (,{[~lj)
(ix dlJ
= i" («/ — У2) dy J dx
ч
ЛОЛ
| (</-;/ 2 ) 2 |/27/r/(/ = 2 К 2 ( у У ' - у SfT)
_,>."
о
8^2
35
859. Найти центр тяжести сегмента шара, если в каждой
его точке объемная плотность пропорциональна ее расстоянию
от основания сегмента.
Р е ш е н и е . Обозначим радиус шара
*,1._?2+Уг+гг-Я*
через /?, высоту сегмента через А; по^^y^^V?1^^
местим начало прямоугольной систе- у ^ Л
\h ' • ;^v
мы координат в центре шара и направим /^£ГЛг~"^\
ось апликат по оси сегмента (черт. 183). i -——, |
—?^»
Уравнения сферы и плоскости, которые ^/птшШШшМйУт/т ' v
ограничивают сегмент (G), будут, соот- ^ ^ ^ ^ ^ Ё | ^ ^ ^ ^ ^ ^ —
ветственно, x2 + y2 + z2 = R2 и 2 =
Я*/*тштш^т^^
—/? —Л; объемная плотность в точке
'х
Л1 (х, г/, 2) сегмента выразится формучерт# |дя
лой b = k (z— /?-f/z). Любое сечение
данного неоднородного сегмента плоскостью, параллельной его
основанию, есть однородный круг, центр тяжести которого ле­
жит в его центре. Поэтому центр тяжести данного сегмента
помещается на его оси, т. е. хе = ус = 0.
Для нахождения апликаты центра тяжести применим фор­
мулу (3). Вычислим: I) статический момент /
и 2) массу т
сегмента.
I) lX9 = l^zbdxdydz=r-k^(z—a)zdxdydzt
G
a = R—h.
О
Преобразуем тройной интеграл в двойной от простого:
1ху = к J J dx dy J {z2—az) dz9
(г
Xif
где О^ — круг x2-\-y2^r2t
r2 = R'*—a*; zx == V R2 ~ *'' - уг.
Вычисляем внутренний простой интеграл:
'» = т - т I.,' = т KRa ~ К*~ уг)^-«3\
- \ W* - х* - v* -**)•
Подставляем этот результат в предидуш.ее рм;; i!?r»;:> и вы^ислясм полученный двойной иптстрол, переходи к полярным.
координатам:
lx, = kЭД!ldxdy = k j j [-1 (Г<2-р2)~* + ' f
2Л
- f (/?*-pa)]pd<P<*P = ftj [ф 3 -г 5 (^ 2 -Р 2 ) 2 +
О
а
+ -J (/?• —Р*) ] | ^Ф = 2*я { ^
+
l5[^_(R2_r2)f j
+
+ f-[(tf 2 -r'-) 2 -tf 4 l}.
Исключая вспомогательные постоянные г и а, после упроще­
ний, получим
]ху = ^ (20#2 — \5Rh + ЗА2).
2) m = Cff6dxdi/dz = *fj{(2-a)dxdi/dz =
о
с
= /г С С dx dy [(г—a) dz = ^ j j (z—a)21** dx dj/ =
=
H I ( / # 2 - * 2 - < / 2 - a ) 2 dx Ф = 4 Н (V fl2-p2-a)2 p dip dp =
= 4 j d ( p J [ # 2 — p 2 - 2 a ( t f 2 - p 2 ) s + a 2 ] pd<pdp =
О
О
о
Согласно формуле (3) искомая алликата центра тяжести дан­
ного сегмента
2с
"
—
'ху
20К2 — \5Rh + 3ft2
m ""
5(4/? —/i)
Для полушара при h — R имеем
. _ 2knR* .
;
xy—
15
l
т
__ knR* ,
~
4 '
_8R
* с ~ 15 '
860- Найти центр тяжести однородного полого усеченного
цилиндра (черт. 184) и момент инерции этого цилиндра относи­
тельно его оси.
Решение. Обозначим внешний и внутренний радиусы ци­
линдра через R и г, а его высоту через //. Тогда относительно
указанной на черт. 184 прямоугольной системы координат урав-298-
нения цилиндрических поверхностей и плоскостей, ограничи­
вающих цилиндр (G), будут
л-2 + у 2 = /? 2 ;
** + //* = г2;
г = 0;
Hy + 2Rz = HR.
Абсцисса центра тяжести данного однородного цилиндра равна
нулю, поскольку он симметричен относительно плоскости yOz.
Ординату и апликату центра тяжести
найдем по формулам (3), полагая в них
О
где
CsZlJ
Gxy — круговое
о
г2^х2-\-
кольцо
+ *•<*'; z. = 4 - ( l - f
Последовательно вычисляя внутрен­
ний простой интеграл, затем двойной
(с переходом к полярным координатам),
получим:
r*^:x*+y*^R*
г<р<^Я
2Я
/?
= -J J sin ф ^ф j (p 2 — p S ^ nq) ) dp О
Г
2Я
=
// Г / f l 3 - ' 3 tf4 —r4
\ ..
,
H [r*-R*
~2j i~з
^-sm9jsin9d9 = ^^—у-соБф —
0
4tf
U
4 УJ 1 о
8/?
2) / л у == \ I \ 2 dx dy dz = Г Г d* df/ \ 2 dz =
2Я
Я
о
г
2Л
о
2(/? 3 — г 3 )5Шф
ЗК
(/^* — r 4 >sin a q)"| ,
+
4/?2
J
_ я Я 2 (/? 2 — г 2 ) (3/? а — л2)
ф
32 / ^
"~
3) Масса m данного полого усеченного цилиндра в предпо­
ложении, что его плотность 6 = 1 , численно равна объему V этого
— 299 —
цилиндра. Его можно найти или по формуле (1) или элементар­
ным путем как половину объема полого иеусеченного цилиндра:
m = V = —Ц>
-.
Подставляя значения / хгл I
Ус-
и т в формулы (3), получим:
т р - •,
AR
— т
**сс ~
ш
16Я2
Момент инерции данного цилиндра относительно его оси на­
ходим по формуле (4):
lz^^6(x*
+ y*)dxdydz = b^(x* + y*)dxdy§dz =
-ТЙ-'('-ЦР)Р^2Л
Я
2Л
( а
-¥М0*- т )*-?И*-е:йг,1::>o r
о
2Я
=
bHC/R*
— r*
i r j (—4
Rb — r* .
\
.
5^— 31Г1ф^ф =
n6H{R* — r')
^
*.
о
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
861. Сферой x2 + y2 + z2 = 3a2 и параболоидом x2 + y2 = 2az.
862. Цилиндрами х2 = у9 х2 = 4—Зу и плоскостями 2 = 0,
2 = 9.
863. Конусом х2 + у а = 22 и параболоидом х2 + */2 = 6—2;
2^0.
864. Цилиндром x2 + y2 =г Rx 3 и сферой
я а + Уа + 2:а = /? а .
2
х
у
2
865. Части эллипсоида -2 + га +-у = 1, расположенной в пер­
вом октанте между плоскостями х = 0, у = 09 2 = 0 и bx + ay — ab.
866. Найти массу куба, если в каждой его точке объемная
плотность численно равна сумме ее расстояний до трех граней
этого куба, проходящих через одну данную его вершину.
867. Найти массу цилиндра х2 + у2^г2,
0 < 2 ^ А и егомо*
мент инерции относительно диаметра основания, если объемная
плотность в каждой точке цилиндра пропорциональна квадрату
расстояния ее от его оси.
868. Найти массу вещества, заполняющего общую часть двух
шаров x2 + y2 + z2^R2
и х* + г/2 + г 2 ^ 2 # г , если его плотность
в каждой точке пропорциональна расстоянию ее до плоскости хОу.
869. Найти центр тяжести:
— 300 —
1) однородного тела, ограниченного параболоидом с(х2 -\- у2) —
= 2а22 и конусом c2(x2-\-tj2) = a2z2\
х2
и'1
г2
2) восьмой части однородного эллипсоида - ^ + тт + V ^ '»
расположенной в первом октанте;
3) полушара O ^ z ^ J ^ / ? 2 — х'2— /Д у которого объемная
плотность в каждой точке численно равна ее расстоянию от
центра его основания.
870. Неоднородное тело ограничено плоскостями х = 2, у = 0,
# = 1 , z = 0 и цилиндром z2 = 6x. Объемная плотность вещества
в каждой его точке пропорциональна ее расстоянию от плоскости
хОу. Найти момент инерции этого тела относительно оси Oz.
871. Найти полярный момент инерции (относительно начала
координат) однородного тела, ограниченного конусом z2 = x2—у2
и сферой x2 + y2 + z2=R2.
§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие
независимости от линии интегрирования
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М дуги АВ
и если разбить эту дугу произвольным способом на п частичных
дуг длиною Д/х, Д/2
Д/п, выбрать на каждой из них по
одной произвольной точке Mif M2f . • . , Мп, вычислить значения
функции в этих точках и составить сумму
/(М 1 )Д/, + / ( М 2 ) Д / 2 + . . . + Д М я ) Д / л = 2 / ( Л 1 / ) Д / / ,
то она называется интегральной суммой функции f(M) по
дуге АВ.
Очевидно при этом, что для всякой данной функции /(М) и
всякой данной дуги АВ можно составить бесчисленное множе­
ство различных интегральных сумм, — если по-разному делить
эту дугу на п частичных дуг и по-разному выбирать на каждой
из них по одной точке М(.
Но при неограниченном увеличении п и при стремлении
к нулю наибольшей из длин частичных дуг все эти различные
интегральные суммы имеют один общий предел, который назы­
вается криволинейным интегралом от функции f(M) по д л и н е
д у г и А В и обозначается J f(M)dl.
АВ
Криволинейные
\ R(M)dz
интегралы
^ P(M)dxf
J 0(M)dy
АВ
АВ
или
по к о о р д и н а т а м ху у или z определяются ана-
АВ
логично, как пределы интегральных сумм функций P(M)f Q(M)
или R(M), взятых по дуге ABt с той лишь разницей, что при
— 301 —
составлении этих сумм значения функции в точках М( умно­
жаются не на длины частичных дуг Alh а на их проекции Ал',-,
Л/у, или Azt на координатные осн.
Криволинейный интеграл J P dx ••[- Q dy + R dz обозначает
АВ
сумму криволинейных интегралов указанных видов.
Криволинейный интеграл по замкнутой плоской линии / при
положительном направлении ее обхода (против движения часо­
вой стрелки) обозначается (pt а при отрицательном направлеими обхода обозначается (р.
-i
Обыкновенный (прямолинейный) определенный интеграл яв­
ляется частным случаем криволинейного интеграла, у которого
линией интегрирования служит прямолинейный отрезок оси
координат.
При перемене направления на кривой интегрирования криво­
линейный интеграл (по координатам) изменяет свой знак:
S--SАВ
ВА
Кривую интегрирования можно разбивать на части:
J - S + JАВ
АС
СВ
Вычисление криволинейного интеграла j сводится к вычислеАВ
кию обыкновенного определенного интеграла: исходя из урав­
нения (или уравнений) линии интегрирования АВ подынтеграль­
ное выражение криволинейного интеграла преобразуется к одной
переменной, значения которой в начале и в конце дуги АВ будут
пределами полученного обыкновенного интеграла.
Обычно криволинейный интеграл V зависит от линии интеАВ
грирования. Взятый вдоль разных линийу соединяющих точки А
и Ву он будет иметь различные значения.
Но если в некоторой односвязной * области D выражение
Р (х, y)dx-\-Q (x, у) dy является полным дифференциалом, то кри­
волинейный интеграл \ Р dx ~\- Q dy не зависит от линии интеАВ
грирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замк­
нутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.
* Плоская область называется односвязной, если любая замкнутая ли­
ния, лежащая в этой области, может быть стянута в точку, оставаясь в этой
области.
— 302 —
Выражение Р (х, y)dx-\-Q (x, у) dy будет полным дифферен­
циалом функции и(х,у) в некоторой односвязной области D,
если Pt,= Qx и если Р, Q, Р,„ Q^ непрерывны в этой области.
872. Вычислить криволинейный интеграл / = [ (ху—\)dx +
L
+ x2ydy от точки Л(1; 0) ДО ТОЧКИ fi(0; 2):
1) по прямой 2х--\- у — 2\
2) по дуге параболы 4л: + */2 = 4;
3) по дуге эллипса J&=COS/\ y = 2s\nt (черт. 185).
Р е ш е н и е . 1) Пользуясь данным уравнением линии инте­
грирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновен­
ный определенный интеграл с переменной х% затем вычисляем
его:
у = 2—2ху dy = — 2dxy
X
R
/ 1= = J [x(2 — 2x)— l]dx + x2(2 — 2x)( — 2dx) =
Х
А
= 5(4х — 6*2 + 2Л;— l)d* = jt4 —2JC3 + JC2—JC |° = l.
о
3
2) Здесь удобно преобразовать криволинейный
в обыкновенный интеграл с переменной у:
x=l—^,dx
интеграл
= — ^-dy.
vn=*
Л
+('-?)V*-KS+i:-T-¥+!)*=
о
96-40
8
£ , 3£|
b "г 4
1
~"
5 '
Черт. 185
3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с перемен­
ной /, затем вычисляем ero:jt = cos/, dx = — sin tdt\ y = 2s\ntt
dy = 2costdt:
<я=Т
/3=
f (cosb2sin/ —1)( —sin/d/) + cos 2 /.2 sin ^-2cos/d/ =
Я
2
= f (4 cos3 / sin / + sin t—2 sin2 / cos t) dt = — 4 f cos3 f dcos f -f
0
JT
Л
2
2
+ f sinfdf — 2 f s i n 2 / d s i n / I = — cos4 /— cos* — - | sin3 /I = j .
— 303 —
(Значения параметра / в точках А и В найдены из данных па­
раметрических уравнений эллипса по известным координатам
этих точек.)
873. Вычислить криволинейный интеграл / = ^ (4 ]/ х—
L
— 3Vy)dl между точками £ ( — 1 ; 0) и У/(0; 1):
1) по прямой ЕН\
2) по дуге астроиды x = cos 3 /, jy = sin3 /.
Р е ш е н и е . 1) Вначале составляем уравнение линии инте­
грирования— прямой ЕНУ как уравнение прямой, проходящей
через две известные точки: у— х=\.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для диф­
ференциала дуги плоской кривой (гл. V, § 6), преобразуем
данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с пе­
ременной х и вычисляем его:\
у = х-\Л, y'-=l\
dl-^V^^rfdx-~--Y2dx\
/1 =
\
(4 Ух-
3 KJT+T) Vidx-----V 2 [4 \ х3 dx -
1
- 3 J(x+l)1d(x+l)]|ll = /2[3x3-2(jc+l)3]|°.l==-5Vr2.
2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с пере­
менной t, затем вычисляем:
х = cos 3 1, dx = — 3 cos21 sin i dt\ у = sin 3 1, di/ = 3 sin2 / cos / dt\
dl = l/dj/ a + djKa'"==3 I sin / cos /1 dt=— 3 sin / cos t dt, ибо ~ < / < я;
я
ч
'" = T
/2== ^ (4 cos Г - 3 V7" sin 3 /) 3 sin/ cos tdt=—12
тт.
$cos a /dcos/~
л
46
' 7 '
-9 Csin*~/dsin* I = — 4 c o s 3 / - y S i n 2 /
Я
Я
874. Даны точки .4(3;—6; 0) и Д(— 2; 4; 5). Вычислить
криволинейный интеграл / = j xy2dx + yz2dy — zx2dz:
с
1) по прямолинейному отрезку ОВ и
2) по дуге ЛВ окружности, заданной уравнениями х2 + у2-\+ га = 45, 2х + у = 0.
Р е ш е н и е . 1) Вначале составляем уравнения линии инте­
грирования—прямой Oil. Пользуясь общими уравнениями приХ — Хл
Ц — Ул
2 —2л
мои, проходящей через две точки
=—— =
~ , получ и м — 2 = Т = 5 " * Приравнивая эти равные отношения пара— 304 —
метру /, преобразуем полученные канонические уравнения прямой
ОВ к параметрическому виду: х =— 2/, // = 4/, 2 = Ы.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный
криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с перемен­
ной /, затем вычисляем его
1к =
J
-2t (40* (— 2d/) - - 4/ (50 2 4Л - 5/ (— 2/)2 5Л -
/о " О
1
= 364$/*Л = 91.
0
2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметри­
ческому виду. Полагая x^=t, получим у =— 2t (из второго дан­
ного уравнения), 2 = ]/45 — Ы2 (из первого уравнения). Отсюда
bidi
dx = dt9 dy = — 2dt, dz =
'*=-
/a=
J
/(— 2t)*dt-i (_2/) ( 4 5 - 5/2)(— 2dt) - 2
-/45^57*/*7
* ' * , )=[(№t-\7l*)dt^—
17з|«
з
875. Вычислить криволинейные интегралы:
1) (f)2xdx — (x + 2y)dy
и 2) (ft ycosxdx + sln xdy
-/
+/
вдоль периметра треугольника с вершинами А(—1; 0), В(0; 2)
и С (2; 0).
Р е ш е н и е . 1) Здесь (черт. 186) ли­
У 1
ния интегрирования (замкнутая) состоит
из трех отрезков, которые лежат на раз­
личных прямых (с различными уравнени­
ями). Соответственно этому криволиней­
/
\
ный интеграл по ломаной АВСА вычис­
С(2;0)
А(-Щ 0
ляем как сумму интегралов, взятых по
отрезкам А В, ВС и С А.
Черт. 186
Составив уравнение
прямой АВ,
у—2х = 2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволиней­
ный интеграл на отрезке А В в обыкновенный интеграл с переменнои х:
а
У 2JC + 2, dy = 2dx, J = — 8 J (x+\)dx =
1
АВ
x, = -l
= -4(х+1)2|_1 = - 4 .
— 305 —
Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на
отрезках ВС и С А, получим
х = 2-у,
dx^-dy,
J=
ВС
у = 0,
j (sr_6)dj,
„я =2
= ^=^|;=10;
dy = 0, J = 2 J xdx = x*\
си
<с=,
= — 3.
Следовательно,
§ = $ +S +5 = - 4 + 1 0 - 3 = 3.
ЛвС-4
ДА
вС
СА
2) Здесь подынтегральное выражение есть полный диффе­
ренциал функции двух переменных, ибо (у cos J C ) ^ (sin *)* = cosx.
Вследствие этого данный криволинейный интеграл, взятый по
периметру данного треугольника, равен нулю. Он будет равен
нулю и по любому другому замкнутому контуру.
Вычислить криволинейные интегралы:
876. jj y(x — y)dx + xdy
по линиям:
1) у = 2х\
2) у = 2х2\
ОА
3) у2 = Ах\ О(0; 0), А(\; 2).
877. (р (x2 — y)dx вдоль периметра прямоугольника, образо+с
ванного прямыми х = 0, у = 0, х = 1 , у = 2.
-
по отрезку прямой х — 2у = 4; Д(0; —2),
Ад
В (4; 0).
879. j ydx+zdy + xdz: 1) по отрезку прямой ОС и 2) по
ос
ломаной ОАВС\ О(0; 0; 0)f Л(1; 0; 0), Я(1; 1; 0), С(1; 1; 1)880. § (x2 — y*)dx + (x2 + y2)dy по эллипсу ~ + | ^ = 1 .
-с
881. \ 2ys\n2xdx — cos2xdy по любой линии; A f ( ~ ; 2 j ,
Л* Л/
^(т'О882. J (0*e*to + (x—1)е*^полюбойлинии; /4(0; 2), Б(1; 2).
A3
883. J) 2x(y— l)dx + x2dy no контуру фигуры, ограниченной
+G
линиями у = х2 и £/ = 9.
— 306 —
§ 9. Вычисление величин посредством
криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы, как и все другие определенные
интегралы, служат для вычисления различных геометрических
и физических величин.
Наиболее просто посредством криволинейных интегралов
вычисляются следующие величины:
1) Длина дуги АВ плоской или пространственной линии
SdL
(о
АВ
2) Площадь фигуры, расположенной в плоскости хОу и огра­
ниченной замкнутой линией С,
S^~§
xdy-ydx.
+с
3) Масса материальной дуги АВ
(2)
т= J *(М)Л,
(3)
АВ
где 6(М) — линейная плотность вещества в точке М дуги.
4) Координаты центра тяжести С дуги АВ
xb(M)dl
J yb(M)dl
АВ
АВ
«
• Ус =
| г 6{M)dl
.
Гп
^
2
АВ
• с=
iA.
т
~т
.
(4)
(В случае равномерного распределения массы 6 = const вы­
носится за знаки интегралов и сокращается.)
5) Работа» совершаемая силой F[P, Q, R}, действующей на
точку при перемещении ее по дуге АВУ
£ = f Pdx+Qdy
+ Rdz.
(5)
АВ
884, Найти длину кардиоиды x = 2acos/ — acos2t, у=^
— 2a sin t — a sin 2/.
Р е ш е н и е . Применяем формулу (1); исходя из данных пара­
метрических уравнений кардиоиды и формулы для дифферен­
циала дуги плоской кривой (гл. 5Т § 6), преобразуем криволиней­
ный интеграл формулы (1) в обыкновенный интеграл с переменной t.
х = —2asin t + 2а sin 2/,
dl=y
у = 2a cos t — 2a cos 2tb
xl + if dt = Aa sin ~dt.
— 307 —
''•ся кардиоида (черт. 187) получается при изменении / от
О до 2п. Поэтому
С
/
t
2"
L = 4a\ sln-b-dt— — 8acos-^-
i
=16a.
\»
885. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом x = acos/ f у = 6 sin/;
2) петлей декартова листа х3 + #3 —3tm/ = 0.
х+у+а =0
*2acost-acos2t
lasint-ashnlt
Черт. 187
Зя
3аху
Черт. 188
Р е ш е н и е . 1) Применяем формулу (2). Исходя из данных
параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволиней­
ный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вы­
числяем его:
^
=
~2 ФKdy — ydx = -^\ acos/d Ф sin /) —fr sin id (acos/) =
+c
2 11
= — ab \ d/ = rcafr.
2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметрическому ьиду. Полагая y-=xt, получим л =
- t/ = 1-И3
1 -и»
Геометрически параметр / = — есть угловой коэффициент
полярного радиуса ОМ (черт. 188); точка М (х% у) опишет всю
петлю кривой при изменении / от 0 до + со.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы (2) в обык­
новенный интеграл с переменной /, получим
S=
=^<p xdy-ydx
= ~Y J (T+Ti)^.
—ш
886. Найти массу дуги АВ кривой у = \пх, если в каждой
ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы
точки; хА = 1, хв —• 3.
Р е ш е н и е . Применяем формулу (3). Исходя из данного
уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл фор­
мулы (3) в обыкновенный с переменной х:
m=
f ЙЛ = Л ) х1 Y*±±dx = \ J V + l)"*d(xa + l) =
лв
з
= 4-(* а + 1 ) я Г = = 4 ( 1 0 / Ю - 2 / 2 ) «9,6 /г.
887. Найти координаты центра тяжести дуги А В винтовой
линии x = acostf, y = asintt z = btt если в каждой ее точке
линейная плотность пропорциональна апликате этой точки;
'л==0, <в = я.
Р е ш е н и е . Применяем формулы (4). Вычислим криволиней­
ные интегралы, содержащиеся в этих формулах, преобразуя их
в обыкновенные интегралы с переменной t:
х = — a s i n f , y = acost,
z = b\ dl — y
xl + у2 + z2dt =
/ X - J jc6d/ = J acost-kbtVa2+b*dt
АВ
=
О
- afc& / a M ^ p (/ Sin / + cos /) | ? = - 2a/?fc / a 2 + ft2;
л.
/ 2 =, С 6dZ = С Ш l ^ f l H i * * = Aft ]/a 2 + Z>2 -y I [
Лв
e
о
/ 3 = 5j/6dZ = ^ a s i n / - f t W / a 2 + f t » d / =
= a№ / a 2 + 62 (sin / — / cos 0 | * = attfen Va^Tb*;
Я
AH
Следовательно, *c = у == — -^ = yc = у = - ; zc: = T = т ^я83S. Вычислить работу, совершаемую сплои тяжести мри
перемещении точки массы т по дуге А В некоторой кривой.
— 309 —
Р е ш е н и е . Если выбрать прямоугольную систему координат
так, чтобы направление оси Oz совпало с направлением силы
тяжести, то действующая на точку сила F = mgkt а ее проекции
на оси координат Fx = P = 0, Fy = Q = Q, Fz = R = mg.
Согласно формуле (5) искомая работа
£ = } Pdx+Qdy
+ Rdz = \ mgdz=mg
AB
AB
J dz = mg(zB — zA).
z,
A
Она зависит только от разности апликат начала и конца
пути, но не зависит от формы пути.
889. Найти работу силового поля, в каждой точке (х, у) ко­
торого напряжение (сила, действующая на единицу массы) р =
— (х-{- y)i — xj, когда точка массы т описывает окружность
x = acost, y — asmt, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Р е ш е н и е . Подставляя в формулу (5) проекции силы F = тр%
действующей на точку: Fx = т(х + у)у Fy——mx, и преобразуя
криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной /, полу­
чим
£ = (ft Pdx-Y Qdy = (ft m(x + y)dx — mxdy =
-с
-с
— in
= J m(acost-\-a
sin t)d (a cos t) — ma cos id (a sin f) =
0
-2Я
= - m a 2 \ (l + sin/cos/)d/ = -ma2
(t+s^\
[~2Л = 2лта 2 .
о
/4
/в
890. Найти длину дуги кривой JC = 2 — j - , у = -g- между точ­
ками пересечения ее с осями координат.
891. Найти длину дуги АВ кривой е2У(е2* — 1) = е2* + 1 ;
хА= \, х в = 2,
892. Найти площадь, ограниченную кривой:
1) кардиоидой x = 2cos/ — cos 2/, # = 2 sin / — sin 2t\
2) астроидой x = acos 3 /, (/ = asin 3 /.
893*. Найти площадь: 1) ограниченную кривой у2 = х2 — *4;
2) петли кривой у2 — х2-\-х3. (Перейти к параметрическим
уравнениям, полагая y = xt.)
894. Найти массу дуги О А кривой:
1) 3t/ = 2x V х* если в каждой ее точке М линейная плотность
пропорциональна длине дуги 0М% 0(0; 0), Л (4; -^-j;
X
X
а (еа -\- е а ) , если линейная плотность в каждой ее
2) у = —
точке обратно пропорциональна ординате точки, *0 = 0, хд = а.
— 310 —
895. Найти центр тяжести однородном дуги АВ винтовой
линии JC = COS/, j / ^ s i n / , z=^uit\ tA--=0, / в = 2я.
JL
3
L
2
898. Найти центр тяжести дуги NP астроиды л» + у* = а 3 ,
если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна
абсциссе точки; N (0, я), Р(а, 0).
897. Найти работу силового ноля ири перемещении точки
массы т вдоль периметра кьадрата, образованного прямыми
х = ±а, у — ±а, если в каждой точке (х, у) поля напряжение
(сила, действующая на единицу массы) р = (х — y)i + xj.
898*. Точка массы т перемещается в силовом поле по дуге
АВ кривой /(*, */) = 0. Найти работу поля, если в каждой его
точке (х, у) сила, действующая на единицу массы, направлена
к началу координат и по модулю равна расстоянию точки от
начала координат.
§ 10. Нахождение функции
по ее полному дифференциалу
Если известен полный дифференциал функции двух пере­
менных du = Pdx + Qdy, где Py = Qx, то ее можно найти, интег­
рируя du по любой линии между произ­
вольной фиксированной точкой A(xQt yQ)
»
и переменной точкой М (х, у):
9 \Ы2?*£1--(£М
J P (х, y)dx + Q (*, у) dy + С.
(*)
AM
•
лроМ
"t(**M
Обычно в качестве линии интегрирова­
ния AM берется ломаная ANLM или
AN2M со звеньями, параллельными осям
ч е р т 139
координат (черт. 189). При этом криво­
линейный интеграл [ наиболее просто выражается через обыкАМ
новенные интегралы, и формула (*) преобразуется к виду
J P ( * , y0)dx+lQ{x,
y)dy + C
(1)
y)dy + C.
(2)
и = ^du + C=<
AM
it
x
]p{xt
y)dx + lQ{x0,
</o
Во многих случаях можно найти функцию и по ее полному
дифференциалу du = Pdx + Qdy иначе.
Поскольку полный дифференциал равен сумме частных диф­
ференциалов du = dxu + dyii, dxii = Pdx, dyu = Qdy, то интегри­
руя каждым из них отдельно, найдем два выражения искомой
— 311 —
функции и:
а) и=\
Рdx-\~ip(y), считая у постоянной;
Qdy-\-ty(x),
считая х постоянной,
где ф(у) и ty(x) — неизвестные функции.
Беря все известные члены из первого выражения и дописан
к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго
выражения получим функцию и.
Решение такой задачи легко проверить: если функция и
найдена верно, то ее полный дифференциал, найденный по формуле du = uKdx-\-uydyf должен быть тождествен данному полному
дифференциалу Pdx + Qdy.
899. Проверить, что данное выражение является полным
дифференциалом функции и (хъ у), и найти и:
1) (2х - З*/2 + I) dx + (2 - бху) dy\
2) (еху +• 5) (х dy + у dx);
3) (I—sin2jc)dy —(3 + 2ycos2x)dx.
Р е ш е н и е. 1) Обозначим коэффициенты при дифференциала к
Р — 2х — 3// 2 +1 # Q = 2 —6х# и найдем Ру= — 6// и<Э'г= — 6у.
Так как здесь Pff = Qx и Р, Q, Р,,, Qx непрерывЕ ы, то заданное
выражение является полным дифференциалом некоторой функ­
ции и.
Найдем эту функцию по формуле (1), выбрав точку А в на­
чале координат О(0, 0)
х
и
и = ^ (2х + \)dx+\(2
— бху) dy + C = х2 -{- х + 2// - Зху2 -f С.
2) Преобразуем заданное дифференциальное выражение к виду
Pdx+Qdy
и найдем Р_0 и Q r :
г/ (г** + 5) dx + х (е*У + 5) </*/; Р, = 5 + <?х" (1 + *//) =-- Q^
Условие Pu=zQK выполнено. Заданное выражение есгь пол­
ный дифференциал некоторой функции и(х, у).
Найдем эту функцию но формуле (2):
If
X
X
и = $ у (в'" + 5) dx 4- $ л:0 (« *•* + 5) dj/ 4- С = гх" -|- Гт/ | 4-!- e<J> + Бх0у | + С = с*' + 5.w/ - с V . - 5 г0'Л + С = **> 4- Ъху -{• С,.
I/O
где СХ = С —гVo—Г>*0{/0.
— 312 —
3) Вначале находим частные производные
рд = — (3 -}- 2у соз 2х)у = - 2 cos 2*f
Q.t - (I — sin 2x)'x - — 2 cos 2x
и убеждаемся, что они тождественно равны и что заданное вы­
ражение есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у).
Затем найдем эту функцию вторым способом, интегрируя каж­
дый частный дифференциал Pdx и Qdy отдельно.
а) и=~- — \ (3 + 2ycos2x)dx= —Ъх—у sin 2х+<р(у),
считая
у постоянной;
б) и == V (1 — sin 2x)dy~-=y— у sin 2x + ty(x)t считая х постоян­
ной.
Объединяя эти два выражения —дописав к известным членам
первого выражения недостающий член, зависящий только от у,
из второго выражения получим одну из первообразных функций,
а прибавив к ней произвольную постоянную С, получим общее
выражение первообразной функции для заданного полного диф­
ференциала ы = у — Зх — //sin 2хЛ- С.
В задачах 900—905 проверить, что данное дифференциальное
выражение есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у)
и затем найти и:
900. (2>x2y-\-\)dx + (x*-~\)dy.
901. cos x cos у dx—sin у (sin x -f 4 cos y) dy.
902. [I + cos (xy)](ydx + xdy).
903. (y*exy—3)dx +
exy(l+xy)dy.
g04
xdy — ydx
хг-\-у2
g05
'
(x + 2y)dx + ydy
(x + y)2
§ П. Интегралы по поверхности,
их вычисление сведением к двойным интегралам
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке М гладкой*
поверхности а и если разбить эту поверхность произвольным
способом на п частичных поверхностей с площадями Д$,, ДА\2,
. . . , Asn, выбрать на каждой из них по одной произвольной
точке Mly M.lt . . . , М я , вычислить значения функции в этих
точках и составить сумму
f(Mv) Л*, + / ( М 2 ) Д ^ + . . . +/(М„) Д*„ = 2 / Т О д*<>
/= i
то она называется интегральной суммой функции f(M) по пло­
щади поверхности а.
Поскольку в описанном процессе составления интегральной
суммы можно по-разному разбивать поверхность а на п частич* Гладкая поверхп-кгь в каждой сноей точке смеет определенную ка­
сательную ггпоскосгь, положение которой непрерывно меняется вместе с
точкой касании.
пых поверхностен и на каждой из инк можно по-разному вы­
бирать по одной точке М{, то для всякой данной функции f(M)
н всякой данной поверхности а можно составить бесчисленное
множество различных интегральных сумм. При этом, если п
будет неограниченно возрастать, а наибольший из диаметров
частичных поверхностей будет стремиться к нулю, то все эти
интегральные суммы будут иметь один общий предел, который
называется поверхностным интегралом от функции f(M) по
п л о щ а д и п о в е р х н о с т и а и обозначается
\\f(M)ds.
а
Поверхностные интегралы по к о о р д и и а т а м х и у, х и z
или у и z
^P(M)dxdyt
^Q(M)dxdz
или ^R(M)dydz
(»)
а
а
о
определяются аналогично, как пределы интегральных сумм
функций Р(М), Q (М) или R(M)t взятых по поверхности о,
с той лишь разницей, что при составлении этих сумм значения
функции в точках М( умножаются не на площади частичных
поверхностей As,-, а на их проекции на координатные плоскости
хОу, xOz или yOz.
Поверхностный интеграл по координатам общего вида
^P(M)dxdy
+ Q(M)dxdz +
R(M)dydz
представляет сумму поверхностных интегралов по координатам
вида (*).
Вычисление поверхностных интегралов обоих типов сводится
к вычислению двойных интегралов: исходя из уравнения поверх­
ности о подынтегральное выражение поверхностного интеграла
преобразуется к двум переменным, областью изменения которых
будет проекция о на соответствующую (этим переменным) коор­
динатную плоскость.
Если область интегрирования поверхностного интеграла —
поверхность о имеет уравнение г = ф(л', //), то поверхностный
интеграл первого типа (по площади поверхности) преобразуется
в двойной интеграл (и затем вычисляется) по формуле
J J / (х, у, г) ds = J J f [х, у,
Ф
(х, у)} VTTWyT(%)2
dx dy,
(1)
где а —проекция области о на плоскость хОуу
а поверхностный интеграл второго типа (по координатам) — по
формуле
$ \ / (*. У, 2) dx dy = ± \ \ f \х% у% ф [xt y)\ dx dy%
(2)
где двойной знак соответствует двум различным сторонам по­
верхности а: плюс соответствует интегрированию по верхней
стороне поверхности о (обращенной в сторону положительного
направления оси Oz), а минус —интегрированию по нижней
стороне поверхности а (обращенной в сторону отрицательного
направления оси Oz).
Если для всей поверхности а нельзя z выразить однозначной
функцией от х и у, то ее следует разбить на части, для которых
это возможно, и затем вычислить данный интеграл как сумму
интегралов по составляющим частям.
Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого
и второго типов, когда поверхность а имеет уравнение вида
у = у1(х, z) или х = <рл_(у9 z).
При этом для поверхностного интеграла второго типа, как
и в правой части формулы (2), перед двойным интегралом вы­
бирается знак плюс или минус, смотря по тому, берется ли
поверхностный интеграл по стороне поверхности а, которая
обращена в сторону положительного или отрицательного на­
правления соответствующей координатной оси (перпендикуляр­
ной к координатной плоскости расположения области интегри­
рования двойного интеграла).
Поверхностный интеграл по координатам х9 у, взятый по
куску цилиндрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz, равен нулю. В аналогичных случаях равны нулю и по­
верхностные интегралы по координатам х9 z или у, z.
Если о замкнутая поверхность, то интеграл по внешней ее
стороне обозначается (П), а по внутренней стороне (ш.
-о
+о
Интеграл по замкнутой поверхности о можно преобразовать
в тройной интеграл по области С, ограниченной этой поверх­
ностью, и, наоборот, по формуле Ост ро гр а д е к о г о — Гаусса:
§Pdydz
+ <J
+ Qdxdz + Rdxdy = ^(P'x
+ Q'g + R't) dx dy dz,
(3)
G
где функции Р(х, у, г), Q (x, у, г), R(x, yy z) и их частные
производные первого порядка должны быть непрерывны в об­
ласти С.
Интеграл по незамкнутой поверхности о связан с криволи­
нейным интегралом по контуру /, ограничивающему эту поверх­
ность, по формуле С т о к с а:
а
= <f Pdx+QJy
— 315 —
+ Rdz,
(4)
где функции Р (х, у, z), Q (х, у, z)y R (ху //, z) и их частные про­
изводные первого порядка должны быть непрерывны в некото­
рой области G, содержащей а.
Направление обхода контура / и сторона поверхности а
согласуются по следующему правилу: с той стороны поверхности
о, по которой ведется интегрирование, обход контура I должен
быть направлен против часовой стрелки *.
Если по этой формуле криволинейный интеграл по замкну­
тому контуру / преобразуется в поверхностный интеграл, то
а может быть любая (кусочно-гладкая) поверхность, «натяну­
тая» на / и содержащаяся в области G.
В случае, когда а есть плоская область D на плоскости хОу
(2 = 0), формула (4) упрощается:
H(Qx-Pu)dxdy
= fPdx
+ Qdy.
(5)
Этот частный вид формулы Стокса принято называть форму­
лой Г р и н а .
906. Вычислить поверхностные интегралы першго типа (по
площади поверхности):
1) / = С С (6x + 4y + 3z)dst
где а —часть плоскости х + 2у +
+ 32 = 6, расположенная в первом октанте.
2) / f = J j ( j / + z + |/а 2 — Л:2)ds, где W — поверхность цилиндра
w
х2 + у2 = а2у заключенная между плоскостями z = 0 и z = h.
Р е ш е н и е . 1) Поверхность интегрирования о есть треуголь­
ник ДВС (черт. 190). Пользуясь ее уравнением и формулой (1),
преобразуем данный поверхностный интеграл в двойной интеграл
с переменными х и у:
2 = ^ ( 6 - * - 2 j r t , ds = V 1 + (гх)* + (z/dxdy
l = ^\\(bx
= lQ±dxdy%
+ 2y + 6)dxdy,
где a xv —треугольник ABO, являющийся проекцией a на пло­
скость хОу.
* Точнее* При обходе контура / по стороне интегрирования поверхнос­
ти о прилежащая к нему часть а должна быть слева.
— 31Ь —
Полученный двойной интеграл вычисляем двукратным интег­
рированием*
)df/==2VT4f (У2 — Юу + 2l)rf,/ =
з j Y - J ^ - f 2*I/ + 6JC|
О
ДГ=0
<•
a
= 2 / 1 4 (-у—5у* + 21//) | = 54 J/14.
0
2) Здесь для всей поверхности W нельзя выразить одну из
координат однозначной функцией от двух других координат
Части цилиндрической поверхности, расположенные но разные
Черт. 190
стороны от вертикальных координатных плоскостей (черт. 191),
имеют различные явные уравнения: часть W 1% расположенная
слева от плоскости xOz% имеет уравнение у= — V^a2 —х2, а часть
\К\, расположенная справа от этой плоскости, имеет уравнение
f/ = jAi 2 — А;2. Поэтому вычисляем данный интеграл К по поверх­
ности W как сумму интегралом /(, и /С2 по составляющим ос
частям Wy и W2.
Преобразуя поверхностные интегралы /<\ и /<2 в двойные
интегралы с переменными к и г, получим:
ds =-- Vl+{t/K)* + (,/£y dxdz - - ~ ^ Ц ,
V a1 — x 2
Следовательно,
AHCD
— 317 —
так как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхно­
стей Wt и W2 на плоскость xOz.
Вычисляя полученный двойной интеграл, найдем:
h
a
Л = 2в Л
'
h
1
1 1 ( +7^)
о
d x = 2e Jf +2arcsin
J(
-а
x—a
f| )dz-
о
х--а
= 2аГ(2а + лг)Лг = 2а(2а2 + ^
I =аЛ(4а + яА).
о
о
907. Вычислить поверхностные интегралы второго типа (по
координатам):
1) / = }} ]/x2 + y*dxdy,
где о —нижняя
сторона
круга
а
х2 -\-у'2 ^а2.
2) J=^2dxdy
+ ydxdz — x2zdydzy где Г —внешняя сторона
т
части эллипсоида 4х2 + У2 + 4г2 = 4, расположенной в первом
октанте.
3) /С = QP # d*de, где №— поверхность тетраэдра, ограничен- w,
ного плоскостями л; + У + 2 = 1.
JC = 0, y = 0, г = 0.
2
1
Р е ш е н и е - 1) Поверхность о
\С(0;0;1)
2+ь2*=4
совпадает со своей проекцией оху
н а ПЛ0СК0СТЬ
^v/7
хОу. Поэтому и соr.
т
;Р\
"~ ~"^\
гласно формуле (2), учитывая,
т г
/;• •#
У _"\
У^ что интегрирование распростра*-'*-•'
~~*B(0;Zfi) няется на нижнюю сторону кру­
га, получим:
X,
ж2 + 1/ 2 <а«
Черт. 192
2Я
p-^'tf
0
Л
3
0
2Л
О
Здесь выполнен переход от прямоугольных координат к по­
лярным.
2) Расчленяем данный поверхностный интеграл по коорди­
натам общего вида на три слагаемых интеграла
J = 2^dxdy+[^ydxdz
— ^ х* г dy dz
и, пользуясь уравнением поверхности Т и формулой (2), пре- 318 —
образуем каждый из них в двойной интеграл;
Jl=--]ylxdy
^]]dxdy,
где
Тху — проекция Т на плоскость
хОу — часть ОАВ эллипса 4х2-\-у2^4
(черт. 192);
= 2^VT^x^-^72dxdz,
J2 = ^ydxdz
где Тхх — часть ОЛС
круга лг2 + г 2 < 1;
J3 = f Jjc"2rdydz=^z(\
—-£_.*») <fydz,
где Т уг — часть ОВС эллипса */2 + 4 z 2 ^ 4 .
Первый интеграл численно равен площади области Тху— чет­
верти площади эллипса с полуосями а = 1, 6 = 2, т.е. Уг=а
= ^ = Д- (см. задачу 604 (4), стр. 196).
Второй интеграл вычислим, переходя к полярным коорди­
натам:
л
y i = s 2jJKl-p*pd9dp=-j Лр$(1-рУ<1(1-р>) =
ОАС
0
0
0 = 2 Vl-2»
0
t/p
0
4
f
/i
24T .
\
0= 0
2 2(1 — 2 2)
-2
- T 1*0-2*) а г =_-Ц—>
О
4
о
I
1
4
/
4
=Г5.
Следовательно, / = 2Уг + У2 — J 3 = V я —т**
3) Замкнутая поверхность U7 состоит из четырех частей —
треугольников ABC, ВСО, АСО, АВО, расположенных в раз­
личных плоскостях (см. черт. 174). Соответственно этому вычи­
сляем данный интеграл как сумму четырех интегралов.
Преобразуя поверхностный интеграл по внутренней (обра­
щенной к началу координат) стороне треугольника ABC в
— 319 —
двойной интеграл и вычисляя его, получим:
I
1-х
\ \ уdxdz = — \ }(\—x — z)dxdz=\^ dx $ (x + z•— 1)dzABC
ACQ
-$й^|,;:>--Н«'-|>'*-^
(x-Vf
6
] \\ ydxdz=\
hCO
}ydxdz = Q, так как плоскости БСО и ABO
ABO
перпендикулярны плоскости xOz (см. стр. 315);
\\ydxdz^
АСО
\\
Odxdz^O.
ACQ
Следовательно, К ~
g-.
908. По формуле Остроградского — Гаусса вычислить поверх­
ностный интеграл / = <JJ) 4х3 dy dz + Ay:i dx dz—6z4dxdt/, где о —
полная поверхность цилиндра, черт. 191, данного в задаче 906(2).
Р е ш е н и е . Путем сопоставления данного интеграла с левой
частью формулы (3) определяем: Р — 4x3t Q = 4у3, /? = — 6za.
Затем находим производные: Р*=12л:2, Qy=\2y2y R*2 = — 24z3,
подставляем их в правую часть формулы (3) и таким образом
вместо данного поверхностного интеграла по замкнутой поверх­
ности о получим тройной интеграл по области G, ограниченной
этой поверхностью:
/ = 12 Щ(*2
+ У2—2z*)dxdydz.
G
Интегрируя вначале по z, а затем переходя к полярным
координатам, найдем
h
+ y2 — 2z3)dz=\2
/ - 1 2 Hdxdy^(x*
'271
$$
\(Х* + У*)г —
tl
= 12й fd<p j(l-> 3 — 4г р)^Р = 6яааА(аа—Л8).
о
о
Я09. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный
интеграл К=фехdx
+ z(xz + y2)2 dy + yz*dzt
где /—замкнутая
линия ОСЬ АО (черт. 193) пересечения поверхностей z = \/rx2 + ij*f
х = 0у х = 2, у = 0, {/==1.
Р е ш е н и е . Сопоставляя К с формулой (4), определяем:
Р = ех, Q = z(x2 + y2yy R = yz'\
Находим производные:
_з_
R, = z3
и подставляя их в формулу Стокса, получим
К=
ъ\\хгУх*-\-1/йхЛу.
О
Здесь а может быть любая (гладкая или кусочно-гладкая)
поверхность, «натянутая» на данный
контур /. П о л ь з у я с ь
этим, выберем в качестве о часть
данной
конической
поверхности
z-\/x2+y*
г = К * 2 + У2у ограниченную конту­
ром /.
Тогда, интегрируя по нижней сто­
роне указанной поверхности, на ко­
торой заданный обход контура / на­
правлен против часовой стрелки,
найдем:
К = — 3 J \х (х2 + у2) dx dy =
a
x.'J
2
1
= — J dy I (x3 + xy2) dx = —\4
Ч е р т . 19-Я
(axy — прямоугольник
OA^fi^}.
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
910. \\ds, где о — часть плоскости x + y + z — at располо­
жу
женная в первом октанте.
911. } J xdsy где Т — полусфера
z=]/r\—х2—у2.
т
912. j j (х2 + у 2 ) ds, где W — поверхность, отсекаемая от параw
болоида x2-\-y2 — 2z плоскостью 2 = 1 .
913. \\ (x2y2 + x2z2 + y2z2)dsy где а — поверхность, отсекаемая
о
от полости конуса г = \/Гх2 + у2 цилиндром х2-\-у2
11 Заказ № 3201
— '327 —
= 2х,
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
914. \\ (у2 -\-z2)dydzf где а — внешняя сторона части парабоо
лоида х = а2 —у2—z2, отсеченной плоскостью уОг.
915. <&z2dxdy, где а —эллипсоид х2 + у2 + 2z2 = 2.
916. <fyzdxdy + ydxdz + xdydzf
где а —поверхность
куба,
-а
ограниченного плоскостями х = 0, х=\, у = 0, у=\> г = О, 2 = 1 .
917. <&(z+l)dxdy, где Г—сфера x2 + */2 + z2 = Я 2 .
918. Пользуясь формулой Остроградского — Гаусса, решить
задачи 915, 916, 917.
919. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейные
интегралы:
1) <ft(2x + y)dx—2ydy,
где
L—периметр
треугольника
-L
Л(0; —1), 5(0, 2); С (2; 0). За поверхность а принять данный
треугольник;
2) (р %у У (1 — х2—г2)3 dx + *</3 dy + sin гdzf где /—замкнутый
контур АСВА (черт. 192), данный в задаче 907(2). В качестве
поверхности а взять часть данного эллипсоида.
§ 12. Вычисление величин посредством
поверхностных интегралов
1) Площадь S поверхности а
S=$$*-
(1)
О
2) Масса материальной поверхности а
m = $$8(Af)ds,
(2)
о
где б (Af) — поверхностная плотность распределения массы в точке
М (х, у, z) поверхности о.
3) Координаты центра тяжести С поверхности а
\[^ds
[\xbds
с
т
п
— ±хг. — Л
~ss «** ^—п--]^'
а
а
\\2б ds
, 2с
„
т
- *У
~^""^Г'
(3)
о
где туг, тХ71 mxv—статические моменты поверхности а относи­
тельно плоскостей координат.
— 322 —
Для однородной поверхности б = const выносится за знаки
интегралов и сокращается.
Другие применения поверхностных интегралов указываются
в следующей главе.
920. Найти площадь части поверхности:
1) конуса г2 = 2ху> расположенной в первом октанте между
плоскостями х = 2, у = 4;
2) сферы x2 + y2 + z2 = R2t расположенной внутри цилиндра
2
x + y2 = Rx;
3)
цилиндра
х2 + у2 = Rx, расположенной внутри сферы х2 -f2
2
+ y + z = R\
Р е ш е н и е . 1) Применяем формулу (1). Пользуясь уравне­
нием конуса, преобразуем поверхностный интеграл в двойной
интеграл с переменными х и у:
1 + (zx)2 + (2у)2 dxdy =
Yt
*ху
+ Y\)
dxd
y>
где oxy—проекция о на плоскость хОу — прямоугольник О ABC
(черт. 194).
Вычисляя двойной интеграл, получим
о
о
О
= 16.
2) Данная поверхность * симметрична относительно плоскостей
хОу и xOz\ в первом октанте помещается ее четвертая часть (а) (черт.
195), для которой апликата 2 = У R2 — х2—у2. Поэтому согласно
формуле (1) искомая площадь
5 4
= Я ds - 4 Я ^ + ( ^ + ^ ^ ^= 4 * Я 7 J P S ^ ? *
где Gj — полукруг, ограниченный окружностью x2 + y2 = Rx и
осью Ох (х2 +1/ 2 < i?x, y ^ O ) .
* Верхнее и нижнее д^нования «тела Вивиани», вырезаемого цилиндром
из шара. На черт. 195 изображена половина этого тела, расположенная
над плоскостью хОу.
11*
— 323 —
Переходя к полярным координатам и интегрируя, имеем:
О <; р <: R cos ф,
0 <; ср ^с — ;
я
~Й~
/<* COS (р
S = 4tf^-^-=ur = -2tf J*p
*at
о
t
2
2
J (tf -p )"d(/? 2 -p 2 ) =
о
я
_l_ I I R cos ф
T
S [2(/? -pVj
2
I
o
А
rfcP = 4/? 2 ^ (I— sincp)d(p = 2# 2 (n — 2)
_я_
о
2
(p = /? cos ф —полярное уравнение окружности х2-\-у2 = Rx).
Черт. 194
3) Данная поверхность* (черт. 195) также симметрична отно­
сительно плоскостей хОу и хОг\ в первом октанте помещается
ее четвертая часть (Т), для которой ордината y = ]^Rx—х2.
Поэтому, преобразуя поверхностный интеграл формулы (1)
з двойной интеграл с переменными х и 2, получим
где Т^—плоская область, ограниченная осями Ох и Oz и пара­
болой /, уравнение которой z2 = R2— Rx получается путем исклю­
чения у из данных уравнений. (Эта парабола является проек­
цией на плоскость xOz линии пересечения цилиндра и сферы.)
Интегрируя, найдем
О
* Боковая поверхность «тела Вивиаии».
— 324 —
921. Найти массу полусферы, если в каждой ее точке поверх­
ностная плотность численно равна расстоянию этой точки от
радиуса, перпендикулярного основанию-полусферы.
Р е ш е н и е . Поместим начало прямоугольной системы коор­
динат в центре основания полусферы и направим ось апликат
перпендикулярно этому основанию. Тогда уравнение полусферы
будет Z=VR2
— х2— у2, где R— радиус полусферы; поверхност­
ная плотность в точке М (х, уу 2) полусферы будет 6(Af) =
-Vx*
+ y\
ds = Vi + {2'х)2 +
(г;)2
dx dy --= y ^ J ^
-
Подставляя в формулу (2), получим:
т
tfв*=*Я£й§=?' ™°*>-w*•+*•<*•
Переходя к полярным координатам, найдем
(Внутренний интеграл вычисляется посредством замены перемен­
ной по формуле р = R sin t.)
922. Найти центр тяжести полусферы, данной в условии
предыдущей задачи.
Р е ш е н и е . При том же расположении системы координат
вследствие симметричного расположения данной поверхности и
распределенной на ней массы относительно оси апликат * с =« с ==0.
Для определения апликаты центра тяжести вычислим стати­
ческий момент
тху = j j z 6 d s = l ?
*2 +
jj
Vx2 + y*dxdy =
y2^R*
t^.R
Масса полусферы найдена B
решении предыдущей задачи.
Согласно формуле (3) zгсr =
т
__ ху _
т
R^p2d<pdp----^nR*.
4/?
Зя
923. Найти центр тяжести одно­
родной поверхности параболоида
у2 + г2 = 1 Ох, отсеченной плоскостью х— 10.
Р е ш е н и е . Данная однород­
ная поверхность (а) симметрич­
на относительно оси абсцисс
(черт. 196). Поэтому yr = zc=0.
— 325 —
Чтобы найти абсциссу центра тяжести, вычислим: 1) статиче­
ский момент ту2 и 2) массу т данной поверхности:
1) m ^ = J 5 x f i d s = 6 Ц ху \ + (Xy)* + {xz)2dydz =
= А ЭД p «V^5+ppd9dp =
Г' ^
2Я
10
10
Здесь после перехода к полярным координатам внутренний
интеграл вычисляется с помощью подстановки ]/25 + Р2 = ^а
#« + z * ^ i o o
2JI
10
1
= 4 JJv r 25Tp T pd9dp = ^ Jrfq>J (25 + p«)Td(25 + p*) =
p ^ 10
0
2Я
3
=foH ( 2 5 + f > 2 ) 2 i:°^=?^(5/5--D
« I f
По формуле (З) хс = ~^
m '
25 Vb +1
5 ]/"5 — I
Найти площадь части поверхности:
924. 2x + 2y + z = &a, заключенной внутри цилиндра * 2 + у2 =
925. Цилиндра x2jry2 = R2t заключенной между плоскостями
у + г = 0 и г = 0.
# a + z2 = /? 2 , заключенной внутри цилиндра
2 926.2 Цилиндра
2
* +# =# .
927. Параболоида * 2 + г/2 = 6г, заключенной внутри цилиндра
х + у* = 27.
928. Сферы x2 + y2 + z2 = 3a2, заключенной внутри параболо­
ида x2 + y2 = 2az.
929. Найти массу цилиндрической поверхности * 2 + #2 = /? 2 ,
заключенной между плоскостями г = 0 и z — H, если в каждой
ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна
квадрату расстояния ее до начала координат.
в
—
326-
930. Найти массу поверхности куба, ребро которого равно
единице, если в каждой ее точке поверхностная плотность чис­
ленно равна произведению расстояний этой точки до трех граней
куба, проходящих через одну данную его вершину.
931. Найти центр тяжести полусферы г = YR2 — x2—y2, если
в каждой ее точке поверхностная плотность пропорциональна
квадрату расстояния этой точки от радиуса, перпендикулярного
основанию полусферы.
932. Найти центр тяжести однородной поверхности конуса
a2z2 = b2(x2 + y2)t 0 ^ 2 < b .
ГЛАВА
Vlir
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению.
Градиент
Скалярным полем называется плоская или пространственная
область, с каждой точкой М которой связано определенное зна­
чение некоторой скалярной физической величины и=^и (Af). Задание
поля скалярной величины и равносильно заданию скалярной
(числовой) функции и(М).
Функция и(М)у определяющая плоское скалярное поле, как
функция точки М (х, у)% зависит от двух переменных и = и(ху у),
а функция, определяющая пространственное скалярное поле,
как функция точки М (х, у, г), зависит от трех переменных
и = и(х% у, г).
Линией уровня плоского скалярного поля называется совокуп­
ность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет
одинаковые значения. Линия уровня, во всех точках которой
функция поля и (х, у) имеет одно и то же значение С, опреде­
ляется уравнением и(х, у)==С\ различным постоянным значе­
ниям Сх, С2, С3, . . . функции поля соответствуют различные
линии уровня: и(х, у) = Сх> и(х, у) = С2, и(х, у)=С3> . . .
Поверхностью уровня пространственного скалярного поля назы­
вается совокупность точек пространства, в которых функция
этого поля имеет одинаковые значения. Поверхность уровня, во
всех точкач которой функция поля и(х, у, г) имеет одно и то
же значение С, определяется уравнением и (ху у, z) = G.
Через каждую точку проходит только одна поверхность
(линия) уровня; они заполняют всю рассматриваемую область
и не пересекаются между собой.
Производной функции и (М) по направлению MP называется
предел отношения разности и(Мх) — и(М) к величине направ­
ленного отрезка ММ19 когда точка М1 стремится к точке М,
оставаясь на прямой MP.
Производная функции и по направлению / обозначается -^
— .325 —
или иг.
~iT ~ Щ ==
Hill
rm
и вычисляется по формуле
ди
ди
. ди
г, . ди
-г-, -,-п
— ^ c o s a + ^cosp + ^cosy^-/0,
.
ч
(a)
где N < ~ , ^ , ^ > — нормальный вектор к поверхности уровня,
/°{cosa, cosp, cosy}—единичный вектор направления / .
Производная щ определяет величину скорости изменения
функции и(М) при перемещении точки М по направлению / .
В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет
производную по любому направлению.
Производные функции и (х, уу г) по положительным направ­
лениям осей координат Ox, Oy, Oz равны ее частным производ­
ным их, иу и uz.
Производные по прямо противоположным направлениям отли­
чаются только по знаку.
Производная функции и (х, у) по направлению линии уровня
(касательному к линии уровня) и производная функции и(х9 у, г)
по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня
(по любому направлению, касательному к поверхности уровня),
равны нулю.
Градиентом функции (поля) и(М) называется вектор
•
gradu
ди— . ди— , ди г
= rxi+TyJ
+ Jzk.
,- ч
(б)
Направление вектора grad и в каждой точке М совпадает
с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, прохо­
дящей через эту точку.
Из всех производных функции и(М), взятых по различным
направлениям, наибольшее значение всегда имеет производная
по направлению градиента функции
ди
дГ
ег
-№\-Y{t)'+(%)'+m
Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания
функции.
933. Построить линии уровня плоских скалярных полей:
1) и = х-\-у, 2) и = х2 + у2, 3) и = ~|, соответствующие зна­
чениям и = 1 , 2, 3, 4, 5.
—
329-
Р е ш е н и е . 1) Полагая и = 1 , 2, 3, 4, 5, получим уравнения
соответствующих линии уровня: х-гу=\\
х + у = 2] х + у = 3\
х^-у = 4\ х-\-у = Ь. Построив эти линии в прямоугольной системе
координат хОуу получим прямые, параллельные биссектрисе
2-го и 4-го координатных углов (черт. 197).
У\и=хг+уг
U=1
Черт. 197
Черт. 198
2) Написав
уравнения
линий
уровня: x2 + r / 2 = l , * 2 + #2 = 2,
2
2
2
2
д-2 _|_ у2^ з, x + i/ = 4, х + */ = 5 и построив их в плоскости хОу,
получим концентрические окружности с центром в начале ко­
ординат (черт. 198).
3) Линии уровня 2# = JK2,
2у = Ъх\
у = 2х\
у = х\
2у = 5х2 представляют пара­
болы, симметричные оси Оу
и-1
с общей вершиной в начале
координат (черт. 199).
934. Найти производную
функции u = Yx2 + y2 B точ­
ке А (3; 4):
1) по направлению бис­
сектрисы первого координат­
ного угла;
Черт. 199
2) по направлению радиу­
са-вектора точки А\
3) по направлению вектора q{4\ —3}.
Р е ш е н и е . Находим частные производные функции и и вы­
числяем их значения в точке А:
ди
ди
дх
дх
ди
' КА'ЧУ'
ди
ду " \Г-хг + у2' ду
— 330 —
_3_.
5 '
5"'
Подставляя в формулу (я), найдем производную функции
и в точке А по любому направлению /{cosa, cosp}:
ди\
, 4
3
0
57U=ir c o s a +^ c o s FНаходим далее косинусы углов а и р , образованных задан­
ным направлением дифференцирования с осями координат, и про­
изводную функции и по заданному направлению:
1) Для биссектрисы первого координатного угла: а = р = 45°,
г/~2~
cos а = cos р = - ^ - ;
ди
:
2
5 '
Vl^UCl
¥AL±
2
+
5 '
2 "" 10
2) Для вектора ОА {3; 4}: cosa = -^-, cosp = ^-;
З2
dlt
4*
=—+—=I
2
1#
А
5 2 ^ 5вектора
3) Для
</{4; — 3}: cos a = у , cosp = — -g-; ~
935. Найти производную функции u = xy + yz+l по направ­
лению вектора / {12; — 3; — 4} в любой точке и в точках
4(0; —2; —1) и В (3; 3; 5).
Р е ш е н и е . Найдем частные производные функции и и на­
правляющие косинусы вектора /:
их = у\ иу=*х + г\ uz = y;
j|;
cosp =
_^;
COSY =
_T5<
Подставляя в формулу (а), найдем производную функции
ы по направлению / в любой точке:
12
3 . , ч 4 fy—3 (* + z)
ц =
/ Гз^-Гз^ + 2)-ГзУ=
13
Подставляя координаты точек А и В, получим и'1{А) = — 1 ;
и',(В) = 0.
936. С какой наибольшей скоростью может возрастать функ­
ция и (М)= а а 2 . при переходе точки М (х, у, г) чере^
точку М0(—1; 2; —2)? В каком направлении должна двигаться
точка М при переходе через точку ML(2\ 0; 1), чтобы функ­
ция и (М) убывала с наибольшей скоростью?
Р е ш е н и е . Наибольшая по абсолютной величине скорость
изменения (возрастания или убывания) функции и (М) при пе­
реходе точки М через точку Р численно равна модулю градиента
функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или
убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли
— 331 -
точка Af при переходе через точку Р двигаться по направле­
нию градиента функции в точке Р или по прямо противополож­
ному направлению.
Руководствуясь этими положениями, находим частные про­
изводные функции и и по формуле (б) —ее градиент в любой
точке:
mad и = — - „ , й",
2
, , v, (xi + yj -\-zk).
Далее находим: 1) grad и (Л40) = -g-- (i— 2/ + 2fe); его модуль,
численно равный искомой наибольшей скорости возрастания
функции ы(М) при переходе М через /W0, будет | grad и (М0) | =
10 • -
г
)
2) grad ы (Мг) = — -д-i — ^у/г; искомый вектор, имеющий прямо
10 —
5
• •
противоположное направление, будет —grad и (Af,) = -<r i +-9"^*
Чтобы функция w (M) убывала с наибольшей скоростью, при пе­
реходе через точку Mv точка М должна двигаться в направле­
нии вектора —grad и (Мх).
937. Найти точки, в которых функция z = ex (х— у3 + 3у)
стационарна (т. е. точки, в которых производная по любому
направлению равна нулю).
Р е ш е н и е . Чтобы в некоторой точке Р производная функ­
ции по любому направлению была равна нулю, необходимо и до­
статочно, чтобы в этой точке все частные производные первого
порядка функции одновременно обращались в нуль. [Согласно
формуле (а).\
Поэтому, найдя частные производные:
г'х=е*(х—t/3-]-3y+1),
x
2
z' =3e (l—у )
и решая систему уравнений z'x = 0, ^ = 0, полу­
чим две точки: (—3; 1) и (1; —1), в которых функция ста­
ционарна.
938. Построить линии уровня скалярных полей:
1) z = x* + 2y, 2) z = ^ - 2 )
соответствующие значениям 2 = — 2, — 1 , 0, 1, 2. Найти и по­
строить градиент каждого поля в точках А (1; —1) и В (—2; —2).
939. Найти производную функции z^arctg— по направлению
вектора l = 3i + 4j в любой точке и в точках /4(1; 3) и В (2; 1).
Построить линии уровня соответствующего скалярного поля,
проходящие через точки Л и В, и его градиент в этих точках.
940. Найти производную функции u~xyz в точке Q (1; —2; 2)
по любому направлению и по направлению радиуса-вектора
точки Q.
- 332 —
941. По какому направлению должна двигаться точка М (x,y,z)
при переходе через точку УИ„(—1; 1; —1), чтобы функция
F(M) = —\—
-\—
возрастала с наибольшей скоростью?
у
z
х
942. С какой наибольшей скоростью может убывать функция
и (М) =•-\п (х2—y2-\-z2) при переходе точки М (х, у, г) через
точку Л40(1; 1; 1)?
943. Показать, что в точке А (4; —12) производная функции
z = x3 + 3x2+6xy-\~y2 по любому направлению равна нулю (функ­
ция стационарна).
944. Найти точки, в которых функция <р (х, у) =х3 + у3-\-Зху
стационарна.
§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля
Векторным полем называется плоская или пространственная
область, с каждой точкой М которой связано определенное зна­
чение некоторой векторной физической величины а = а(М).
Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе ко­
ординат Oxyz, то вектор а будет векторной функцией, а его
проекции ах> а 9 аг на оси координат будут скалярными функ­
циями от переменных х, у и z:
а(М)=а(х.
у, z) = ax(x, у, z)7+ay(x,
у, z)j + az(xf у, z)~L
Поэтому задание поля векторной величины а равносильно зада­
нию трех скалярных (ЧИСЛОВЕ>1Х) функций аХУ ау} а2.
Векторной линией векторного поля называется кривая, на­
правление которой в каждой точке М совпадает с направлением
вектора, соответствующего этой точке поля.
Потоком
векторного поля, образованного
вектором
а{ах, ayt az) через поверхность о называется поверхностный
интеграл (скаляр)
K=]]axdydz
+ ay dx dz + az dx dy.
(1)
о
Если вектор а определяет поле скоростей текущей жидкости,
то интеграл К выражает количество жидкости, протекающей
через поверхность о за единицу времени. При этом если о —
замкнутая поверхность, ограничивающая область G, и если
интеграл (1) берется по внешней стороне а, то величина К на­
зывается потоком вектора а изнутри поверхности а; она дает
разность между количествами жидкости, вытекшей из области G
и втекшей в эту область за единицу времени (предполагается,
что жидкость может свободно протекать через поверхность а).
При К>0 из области G вытекает жидкости больше, чем
в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источ— 55с?-
пиков, питающих поток жидкости. При / С < 0 из области G вы­
текает жидкости меньше, чем втекает, что означает наличие
в этой области стоков, где жидкость удаляется из потока. При
К = 0 из области G вытекает жидкости столько же, сколько в нее
и втекает.
Д и в е р г е н ц и е й векторного поля, определяемого векто­
ром а, называется скаляр
_ да^ да„ дау
*™а=-Ш + Ъ + Ж'
(2)
Если diva ( М 0 ) > 0 , то точка М0 называется источником,
а если diva (M0) < 0 , то точка М0 называется стоком, ибо в пер­
вом случае в любой бесконечно малой области, окружающей
точку М0, жидкость возникает, а во втором случае она исчезает.
Абсолютная величина diva(M 0 ) характеризует мощность
источника или стока.
Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна
нулю, называется с о л е н о и д а л ь н ы м . Поток такого поля че­
рез любую замкнутую поверхность равен нулю.
Согласно формуле О с т р о г р а д с к о г о — Г а у с с а (гл. VII,
§ 11) поток и дивергенция векторного поля связаны между со­
бой равенством
ЭД) ах dy dz + ау dx dz + а2 dx dy =
которое имеет следующий смысл: поток секторного поля мрез
замкнутую поверхность (о) равен тройному интегралу по обла­
сти (G), ограниченной этой поверхностью, от дивергенции поля.
945. Найти поток векторного полярах/—y 2 j-\-(x 2 + z2—\)k
через поверхность ^2 + г2 + -з = 1 (эллипсоид) изнутри этой по­
верхности.
Р е ш е н и е . Согласно формуле (1)
K = tyxdydz — y2dxdz + (x2 + z2 — l)dxdy.
+а
Расчленяем этот поверхностный интеграл (II типа) на три
слагаемых интеграла и, пользуясь данным уравнением эллип­
соида (о), сводим их вычисление к вычислению двойных ин­
тегралов.
1) K1 =
§xdydz=l\xdydz+^xdydz,
+0
Gt
О,
где ах и а2—части данного эллипсоида, расположенные по раз­
ные стороны от плоскости ijOz (см. черт. 98), которые имеют
— 334 —
различные явные уравнения:
Преобразуя эти поверхностные интегралы в двойные (по фор­
муле, указанной в § 11 предыдущей главы), получим:
^xdydz
= — J|
\
—ay\—^—~dydzy
(ot)y2
так как поверхность о1 обращена в сторону отрицательного на­
правления оси 0х\
^xdydz
= j j ay
<h
\—y~—z~dydz,
(о2)уг
так как поверхность а2 обращена в сторону положительного
направления оси Ох.
Проекции (ох) и {а2)уг поверхностей ах и а2 на плоскость
yOz представляют один и тот же эллипс тз + ^ 2 ^ 1 - Поэтому
-ft
где
-2
2Х—положительное
X
значение z из
уравнения
эллипса
Вычисляя двукратный интеграл, найдем Кх — ^-паЬс. (Внут­
ренний интеграл легко найти по формуле (Б), гл. IV, § 5, по­
лагая а= ] / l — 1 5 , t = ~ .)
K2=<$y2dxdz=^y*dxdz+^y2dxdz,
2)
где а 3 и а4—части поверхности а, расположенные по разные
стороны от плоскости xOz, уравнения которых
У.
7
/
— 335 —
/
X.
2.
Преобразуя поверхностные интегралы в двойные, получим
*»-- И*'( 1 -5-£) Л " /2+
{О
А)
так как проекции (о3)хг и (о 4 )^ поверхностей а 3 и а 4 на пло­
скость хОг одинаковы.
3) По аналогичной причине вследствие четности подынтег­
ральной функции поверхностного интеграла К3 и симметрично­
сти поверхности о относительно плоскости хОу
/( 3 = <§ (х2 + г2 — 1) dxdy = 0.
4
Следовательно, К = К1 — К2 + К3 = -g- nabc.
По формуле Остроградского — Гаусса эта задача решается
проще: находим дивергенцию поля
div р = (х)\ + (—у2)[ -i- (х2 + za — 1 >: = 1 — 2г/ + 22
и подставляем в формулу (3):
К= J J J divprfo = J5J (1— 2y + 2z)dxdydzt
X2
22
/Г
где область G — эллипсоид -^ + \-> + -:> ^ 1.
а*
с*
№
Полученный тройной интеграл расчленяем:
K = \\\dxdyd2—2\\dxdz
\ ydy + 2^dxdy
\zdz,
где
Первый интеграл равен объему области G, т. е. объему эл­
липсоида /Ci^-o- nabc (гл. V, § 4).
Второй и третий интегралы равны нулю, ибо равны нулю
их указанные внутренние простые интегралы, как интегралы от
нечетной функции (гл. V, § 2).
Следовательно, как и в первом решении, К— -^ nabc.
— 336 —
94(5. Найти дивергенцию векторного поля:
\)7=xi
+ yj + zk; 2 ) р =
3) q = exy(yj—xi
^ £ = ;
Г 7
+ xyk).
Р е ш е н и е . Применяем формулу (2):
дг ^ дг., дг7
1) d i v r ( A f ) - ^ + ^ + ^ - l
2
+
l+
l-3.
2
) Px=Py = Pz = (x+y + z) T ;
d/?x
^
_
<fyv
dp z
ду
дг
2
$у
х+ у+
2)ь*
_ь_
divp(M)= — 2{x+y + z) 3 = / ( М )
3) ,/, = - « " ; <7, = 0**'! Я, = хуех';
Полученные результаты имеют следующий смысл:
1. Каждая точка поля радиус-вектора г является источни­
ком постоянной мощности.
2. Точка М поля вектора р в зависимости от ее координат
может быть или источником, или стоком. Например, точка
Мt (0; 0; 1), в которой divp = — 2, является стоком; точка
М2(—1; 0; 0), в которой divp = 2, является источником.
3. В поле вектора q нет ни источников, ни стоков. Поток этого
соленоидального поля через любую замкнутую поверхность ра­
вен нулю.
947. Найти поток радиус-вектора r = xi + yj + zk: 1) через
боковую поверхность цилиндра х'* + у'*^ R2> — Н ^ г ^ Н в сто­
рону ее внешней нормали; 2) через боковую поверхность конуса
* 2 ~ЬУ2 ^ 4z2, 0 ^ 2 ^ 1 в сторону ее внутренней нормали; 3) че­
рез полную поверхность куба — а ^ х ^ а , — а ^ у ^ а , — a ^ z ^ a
изнутри этой поверхности.
948. Найти поток векторного поля: I) р = xyi + yzj + xzk
через расположенную в первом октанте часть сферы x2~\-y2jr
- f z 2 = l , в сторону ее внешней нормали; 2) q = x3i-f-y'A/-f-z3k
через полную поверхность конуса х2 + у2 ^ z2, 0 <; z <: Н из­
нутри этой поверхности.
949. Найти дивергенцию векторного поля:
1) a = xy'4-\-x2yj + z3k в точке Л(1; — 1 ; 3);
2) градиента функции u = xy2z3.
— 337 —
950. Проверить, что векторное поле p=yz(Axi—yj—zk)
яв­
ляется соленоидальным.
951. Решить задачи 947 (3) и 948 (2), пользуясь формулой
Остроградского — Гаусса.
§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля
Линейным интегралом вектора а вдоль линии / называется
криволинейный интеграл
C=^axdx
+ aydy + a2dz.
(1)
В силовом поле он выражает работу сил поля при перемещении
точки вдоль линии / (см. гл. VII, § 9).
В случае замкнутой кривой этот интеграл называется цир­
к у л я ц и е й поля вектора а по контуру /. Циркуляция харак­
теризует вращательную способность поля на контуре /.
В и х р е м (или ротором) векторного поля, определяемого век­
тором а, называется вектор
i j k
д_
д_ д_
rota =
| дх ду дг \
<*х ау а.
"Ад//
дг )
1+
V дг
дх J ' +
\дх
(2)
Если через точку М поля а провести плоскость Р, опреде­
ляемую единичным нормальным вектором п, то скалярное про­
изведение хо\.а(М)'П характеризует вращательную способность
этого поля в точке М. Она зависит как от координат точки М,
так и от направления плоскости Р и достигает наибольшей ве­
личины, равной |rota(Af)|, когда плоскость Р перпендикулярна
вектору rota (М).
Векторное поле, во всех точках которого вихревой вектор
равен нулю, называется п о т е н ц и а л ь н ы м (или безвихревым).
В потенциальном поле линейный интеграл (работа) не зависит
от формы линии, соединяющей какие-либо две его точки, а цир­
куляция всегда равна нулю.
Векторнсе поле, являющееся одновременно и соленоидальным
и потенциальным, называется гармоническим.
Согласно формуле С т о к с а (гл. VII, § 11) циркуляция и вих­
ревой вектор поля связаны между собой равенством
(р ах dx -\-aydy + az dz =
i
} j (rot a)x dy dz + (rot a)y dx dz -f (rot a)2 dx dyt
— 338 —
(3)
смысл которого заключается в следующем: циркуляция вектора
по замкнутому контуру (/) равна потоку вихря вектора через
поверхность (а), ограниченную этим контуром.
952. Вычислить циркуляцию поля вектора:
1) r=xj вдоль окружности x = acostt y = as'mt\
2) р = (х—2) i + (x + y) j — 2zk вдоль периметра треугольника
с вершинами А{\\ 0; 0), В(0; 1; 0), С(0; 0; 1);
3) q {xz, —yz2, ху) вдоль замкнутой линии (L)z = x2—у2 + 2а2,
2
х + у2 = а2 (см. черт. 142, стр. 258) и вихревой вектор этого
поля в точке А (0, —ау а2).
Р е ш е н и е . Применяя формулу (1), получим:
2Я
1) с=фхйу
2Л
= а2[ cos2tdt==~ f ( l + c o s 2 / ) ^ =
я2 Л , 1 • оЛ 12Л
2) С=
(f (x—2)dx+(x
+
y)dy—2zdz.
А ВС А
Периметр АВСА треугольника состоит из трех отрезков, ко­
торые лежат на прямых, имеющих различные уравнения. Поэ­
тому криволинейный интеграл по контуру АВСА вычисляем как
сумму интегралов по отрезкам АВ, ВС и С А.
Составив уравнения прямой АВ\ х + у=\, 2 = 0 и исходя
из этих уравнений, преобразуем криволинейный интеграл по
отрезку АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:
и
§=§(x-3)dx-
(я_3) 2 |о
5
2
АВ
Для отрезка ВС: y-\-z=l,
х = 0; \ = \ (2— y)dy = — -^ .
ВС
1
1
Для отрезка С A: х + г = 1, у = 0\
\ = — \ x d x = —^-.
СА
о
ф = \ + \ + \ —у •
л вел л в вс ел
3) C=(pxzdx—yz2dy
+ xydz.
Следовательно, С =
L
Для вычисления этого интеграла преобразуем данные урав­
нения кривой L в параметрические: полагая x = acos/, получим
y = asmi, z = a2 (2 +cos 2/).
* Если выбрать другое направление обхода данного контура, то ре­
зультат будет иметь противоположный знак.
— 339 —
Пользуясь этими уравнениями, преобразуем криволинейный
интеграл С в обыкновенный интеграл с переменной /, затем вы­
числяем его:
2J1
2Л
С = — ^ С (2 +cos 20 sm2tdt— * f (2 + cos 2/) 2 sin 2 / Л —
2 Л
4
—а f sin*2/<tt =
а4 (2 + cos 2/)2 , g g (2 + cos2/)3
12
sin 4f \ |2Л
= — яа*
Вихревой вектор данного поля в любой его точке М(х, у, z)
находим по формуле (2):
rot q (M) = (x + 2yz)~i + (x—y)~j.
В данной точке Л (0, —a, a2), voiq = aj — 2a3i.
953. Пользуясь формулой Стокса, вычислить циркуляцию
векторного поля a = xi + xzj + z~k по контуру АСВА (черт. 200),
образованному пересечением поверхности г2 = 4—х—у с пло­
скостями координат.
Р е ш е н и е . По формуле (2) найдем вихревой вектор данного
ноля: voia = zk — xi. Подставляя его проекции в формулу (3),
получим:
С = \\^zdxdy—xdydz
=
о
= ^zdxdy
— \}xdy
о
dz.
о
В качестве поверхности a t
ограниченной данным конту­
ром, возьмем расположенную
в первом октанте часть данной
поверхности.
Пользуясь ее
уравнением, преобразуем по­
верхностные интегралы в двойные, учитывая при этом, что со­
гласно формуле Стокса о есть внутренняя сторона (обращенная
к началу координат) указанной поверхности, на которой задан­
ный обход контура АСВА направлен против часовой стрелки:
CL = ЭД z dx dy = — f f VA—X — У dx dy =
a
0
4-Jt
a
xy
i
4
T
= §dx j" (4-*-*/) d*/=|-J (A-x-y)
4
0
d* =
У= 0
0
0
_3_
T
= H (4-*) d* = ^(4-*)"
— 340 —
128
15
(оху есть треугольник ОАВ)\
С2 = j j Л: Ж/ с/2 - —ЭД(4 — у—z2) dy dz =
о
Ул-ц
о
=j4y J (4-i/-22)d2=j [(4-у)2—f]|;:0K4~^/4
_ _!??
о ~~
15
(oyz есть криволинейный треугольник О ВС).
Следовательно, искомая циркуляция С = С1—С2 = 0.
В потенциальном поле циркуляция по любому замкнутому
контуру равна нулю. Но поле вектора а не потенциальное;
его циркуляция по данному контуру равна нулю, а, например,
по контуру окружности x = cos/, y = s\nt, z=\ она равна не
нулю, а ± л .
954. Вычислить циркуляцию векторного поля:
1) p = x2y3i + j + zk вдоль окружности х2 +у2 — а2у z = 0.
2) q = (x—2z)i + (x + 3y-\-z)j -|- (эх f у) k вдоль периметра
треугольника АСВ, данного в условии задачи 952 (2).
955. Найти вихревой вектор в любой точке векторного поля:
1) p"=j« — z2j+y2k\ 2) q = yzi+xzj
+xyk.
956. Проверить, что векторное поле градиента функции
u = Y *¥ У V2 является потенциальным.
_
;
957. Проверить, что векторное поле вектора а = *L—г
2
V (х +у + г-)3
является гармоническим.
958. Решить задачи 954 (1, 2), пользуясь формулой Стокса.
ГЛАВА
IX
РЯДЫ
Решение многих задач сводится к вычислению значений
функций и интегралов или к решению дифференциальных урав­
нений, содержащих производные или дифференциалы неизвест­
ных функций (гл. X).
Однако точное выполнение указанных математических опе­
раций во многих случаях оказывается весьма затруднительным
или невозможным. В этих случаях можно получить прибли­
женное решение многих задач с любой желаемой точностью
при помощи рядов.
Ряды представляют простой и весьма совершенный инстру­
мент математического анализа для приближенного вычисления
функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.
§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся.
Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами
Числовым рядом называется выражение
al + a2 + cis+ . ..+ап+
. . . = 2 а„,
(1)
где числа ait a2, . . . , ап, . . . , называемые членами ряда,
образуют известную числовую последовательность.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма п пер­
вых его членов Sn = at + a2 + . . . + ап при п —•+ оо имеет предел.
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если же limS n не существует, то ряд называется расходящимся.
Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член
ряда ап, при неограниченном увеличении его номера пу стремится
к нулю: Нта ;1 = 0. (Это необходимый, но недостаточный признак
П->-+ со
сходимости для всякого ряда.)
— 342 —
Если же \[тапФО, то ряд расходится. (Это достаточный
признак расходимости для всякого ряда.)
Для числовых рядов с положительными членами (а„>0),
при исследовании их сходимости, употребительны следующие до­
статочные признаки сходимости:
И н т е г р а л ь н ы й п р и з н а к К о ш п . Ряд с положитель­
ными убывающими членами an = f(n) сходится или расходится^
смотря по тому, сходится или расходится несобственный ин+ 00
теграл ^ f(x)dx, где/(х) —непрерывная убывающая функция *.
1
Этим признаком можно пользоваться, когда выражение
общего члена an = f(ri) имеет смысл не только для целых по­
ложительных значений п, но и для всех п, больших некоторого
положительного числа ш.
П р и з н а к Д а л а м б е р а . Если lim ^±J
= p, то при р < 1
а
п-»- + а>
п
ряд сходится, а при р > 1 расходится. При р = 1 вопрос о схо­
димости ряда остается нерешенным.
П р и з н а к с р а в н е н и я . Если ряд с положительными
членами
...
(а)
ai + a2 + az+ ... +аа+
сравнить с другим рядом с положительными членами
b1 + b2 + b3+...+bn+...
(Ь)
сходимость или расходимость которого известна, и если начи­
ная с некоторого номера п:
1) ап<Ьп и ряд (Ь) сходится, то и ряд (а) также сходится;
2) ап^Ьп и ряд (Ь) расходится, то и ряд (а) также рас­
ходится.
При использовании этого признака исследуемый ряд часто
сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией
1 + ? + 4 2 + ? 3 + . . . = 2!<Л
которая при q<\ сходится, а при q^\
ходящимся гармоническим рядом
<?>о>
(*)
расходится, или с рас­
/1 = 1
* Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число
из области определения 1(х).
— 343 —
959, Проверить, выполняется ли необходимый признак схо^
д и мости для ряда:
^
у2,г-1_
Z-3/t-h2^
г
2
+
1
;;
V
2» _
5 Ч 8 + ' " * ^ ' ^ - я* + 1 ~
Р е ш е н и е . Ищем предел общего члена art данного ряда
при неограниченном увеличении его номера п:
2-1
1v
•-
2rt — 1
,.
1
/i
2
r»v i-
2rt
,.
Л
1
/г
Необходимый
n
~п
признак сходимости
lima n = 0 для первого
п
rt-* + ao
ряда не выполняется. Поэтому этот ряд
расходится. Для вто­
рого ряда необходимый признак выполняется, вследствие чего
он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно
установить лишь после дополнительного исследования (см. сле­
дующую задачу).
960. Исследовать по интегральному признаку сходимость
ряда:
+ <Ю
!
+00
) 2 - й«+1; 2) 2-1 ;Г!^7; 3* ^
«=1
+00
+ <Ю
п=2
VA^TX
«=о
г
; 4
' *
*^ ^ ^
#
а=з
Р е ш е н и е . Заменяем в заданном выражении общего члена
ряда an = f(n) номер п непрерывной переменной х и убеждаемся,
что полученная функция f(x) является непрерывной и убыва­
ющей во всем бесконечном интервале изменения х. Затем на­
ходим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним
пределом
+ *>
р
= 1п( + оо) —1п2= + о о .
Здесь несобственный интеграл расходится. Следовательно,
согласно интегральному признаку и данный ряд также рас­
ходится.
\,21па2
2 In2 р ) — 2 In2:
— 344--
3) Г -_L=-rfA: = l
lira
[(4x+l)"d(4x+l)'.
= _1
-4i - l i m 2 / 4 x + l | =-J- Hra ( / 4 p + 1 — 1) = + oo.
4
I0
^
4) J i I b ^ = 7"™J(]^-^,in,lnF+ILBe
3
3
Несобственные интегралы 2) и 4) сходятся, а интеграл 3)
расходится. Поэтому согласно интегральному признаку и ряды
2) и 4) сходятся, а ряд 3) расходится.
961. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
0 2"4-1
2
О 2-12*;
) 2 - 12^з«-1*
=1;
«t —i
3
;
4
) 2-.
"/
^ 5 5«
'"
/* — и
^' ^-(2/Г
^-(2л—5)1
Я= 1
/1 = 3
Р е ш е н и е . Зная п-\\ член ряда, находим следующий за
ним (я+1)-й член, заменяя в выражении я-го члена п через
и + 1 . Затем ищем предел отношения последующего члена а я + 1
к предыдущему ап при неограниченном возрастании п:
п
— (д + 1) 8 .
_ ^ .
Здесь р < 1 . Поэтому согласно признаку Даламбера данный
ряд сходится.
о2« + 1
*"/ flrt
==
93"
о 2/1+3
~ 1" >
а
п + 1 == ^3«4-2 *
р = lim ^ ± i = lim ^й+тапг, = т>
3)
а
-!iL
fl
л-^ + оо
. .ОН-»'.
а
п
5
«з«
4
=
П т ^
Г1!
D
~зл+з
) fl" = (2я - 5 ) 1 '
р
1•
=
а
«+1 = (2 Я _3)| '
1ш73П+3(2"-;И=Пт/9
(2я — 3)!7Л"
— 545 —
*
(2п—4)(2п —3)
= 0<1,
Согласно признаку Даламбера ряды 2) и 3) расходятся, а
ряд 4) сходится.
962. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:
'>Sr5- 1 + r i + 7 1 + - '
2)
+ 00
3
?>
+ ОС
) 2 - ПГ^
=
ЙГ2 + ГТГз + ПГЗ + • • • *
4
) 2-i («+1)3" •
Р е ш е н и е . 1) Сравним данный ряд с гармоническим рядом
(**). Каждый член а , , ^ - ^ данного ряда, начиная со второго,
V п
больше соответствующего члена Ьп = — гармонического
ряда:
р ^ - . > — , и так как гармонический ряд расходится, то, сог­
ласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.
2) Каждый член ап = --п данного ряда, начиная с третьего,
меньше соответствующего члена Ьп бесконечной геометрической
+ 00
1 , 1 , 1 ,
+ - ^ + . . . , которая представляет схоЕ 2й1 = уЧ-^2
п-\
дяшийся ряд, ибо ее знаменатель q = ^<i 1. Поэтому, согласно
признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
3) Каждый член ап данного ряда больше соответствующего
члена Ъп расходящегося гармонического ряда (**): г~^>~7Г«
Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд расходится.
4) Каждый член ап = -—гтг™ данного ряда, начиная со второго, меньше соответствующего члена Ьп = ^ бесконечной гео­
метрической прогрессии, знаменатель которой q — -^-<l.
Эта
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть ряд
сходящийся. Поэтому согласно признаку сравнения данный
ряд сходится.
В задачах 963—966 написать пять первых членов ряда и
проверить, выполняется ли для него необходимый признак схо­
димости.
964. V _ _ ^ _
963. J-+ Л (71-И) *
П =
1
+ оз
965. V sin— .
966. £ % •
n— \
— 346 —
Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
+ 00
4-30
967. X i .
968. X з Н = 2 •
*=г l / ( 2 n — З) 2
n=i
+ »
+00
969. У - Л г .
970. У
Цг-г-.
Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
+»
972
971. X " V " *
' £ 2-(2п + 1) •
/2=1
П=0
+05
+ 00
974. X 4 4=2 .
IT, V^n3"
973. У jfrr- .
£ i (2,,)l
Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:
™-Z*Tl-
978*. f ' ^ 1 1 .
т
л= о
n=i
V п2
Исследовать сходимость ряда:
+ 00
979. £ - * _ .
Л= 1
981- £+ 0От ^ Т ? лоо
V1
983. У.
980. 1 4 - l + f + | + . . .
982. 1 + | + | ; 4 - 3 ^ + . . .
Лол In 2 . 1п 3 , In 4 , In 5 ,
1
r
.
984. _ + -— + — + _ + . . .
4
f?2 Yn{n+\)
9
16 25
+ 00
985
986
- n2=- i 72^)Г •
• 1 + 2 2 + Зз + 4*+---
§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость
знакопеременного ряда.
Признак сходимости знакочередующегося ряда
Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)
+ 00
X fln =fli+ a2 + a 3 + - - — <347 —
называется а б с о л ю т н о сходящимся, если сходится ряд, сос­
тавленный из абсолютных значений его членов
+ со
П-1
Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется не а б с о ­
лют но сходящимся, если ряд (2) расходится.
Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящейся.
Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чере­
де»
дуются) ^ (— I)"" 1 ап=--а1~а2 + а3~-аА-\- . . . , а„>0 сходится,
если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к
нулю, т . е. если а{>а<>>а.Л>. .. и Ита Л = 0. (Признак Л е й б ­
ница.)
П-> + сс
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно
ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускае­
мая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оцени­
вается для знакочередующихся рядов:
Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося
ряда* суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного
значения первого из отброшенных членов.
987. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. (Опре­
делить, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно
сходящимся или расходящимся.)
1) у (- 1 )"" 1 . 2) у S2L™. з) V (~])" . 4) У sin™
п-у
п-1
п=о
п-1
Р е ш е н и е . 1) Члены данного знакочередующегося
убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:
1
ряда
>т>т>т>--- ия!™.зга=°-
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно,
исследуем ряд с положительными членами > ,т——^ , составлен­
ный из абсолютных значений членов данного ряда.
Применяя интегральный признак
У*ГГТЛ-тЛ»,1^-±И«.»(2,-1,|'I
P
I
= -ilimln(2p—1)= + оо,
заключаем, что ряд с положительными членами расходится.
:,:
С убывающими по абсолютному значению членами.
— 348 —
Следовательно, данный ряд 1) сходится неабсолютно.
2) Заменим члены данного знакопеременного ряда , где, а —
любое число, их абсолютными значениями и исследуем полу~
х ^ I cos па |
чеиныи ряд \ —^—[ с положительными членами. Сравним его
с геометрической бесконечно убывающей прогрессией V ™ •
которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда
не превосходит соответствующего члена геометрической про| cos па I _ 1 п
грессии: —^—<*ш> Поэтому согласно признаку сравнения
ряд с положительными членами также сходится, а заданный
знакопеременный ряд 2) сходится абсолютно.
3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по
абсолютному значению, стремясь к нулю: -у > Т Г ^ Т о ^
lifn —т—гтг=0.
Поэтому
••• *
согласно признаку Лейбница он
сходится. Ряд У —-—ГТт , составленный из абсолютных значеА* п (п + 1)
ний членов данного ряда, также сходится согласно интеграль­
ному признаку
' '(*+т)
e
( +,,
)* * ~^-)(*+f)*-f
= ln2.
1
Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.
4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется не­
обходимое условие сходимости: V\man = lim sin не существует
[см. решение задачи 38(3)]. Вследствие этого он расходится.
988. Проверить, что знакочередующийся ряд / , к
'.
схо-
п=\
дится и вычислить приближенное значение его суммы с точ­
ностью до 0,01.
Р е ш е н и е . Проверяем сходимость ряда по признаку Лейб­
ница: убеждаемся, что его члены убывают по абсолютному
значению и что Нш \ап I = lim —~-г = 0.
Далее вычисляем несколько последовательных первых членов
данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значе­
ние которого меньше 0,01:
—
01-
1
;
2
а 2
—
" 9
1
;
а
_
i.
з ~ — 28»
—
а
*-(Я
;
1
—
а
*-—
1
[26-
Согласно указанному выше свойству знакочередующихся
сходящихся рядов для вычисления суммы данного ряда с точ— 349 —
ностью до 0,01 достаточно взять сумму четырех его первых
членов:
Х
+
*
< — 1 >"
1 , 1
1
,
1
А
л
В задачах 989—992 написать шесть первых членов ряда и
исследовать его сходимость:
+ 00
+00
о (-«"-•
»» v
(-1)"
991. £ ( _ ! ) • « » £ .
992. £
^ .
Исследовать сходимость ряда:
"3- т-ш\+шъ-шъ+
995. c o s l + ^ + ^
-
c
+ -^+...
«**• Е(-1)"*йтгс = 1
+ «о
996*. £ Ж ^
/1=1
.
~
Проверить, что данный знакочередующийся ряд сходится и
вычислить приближенное значение его суммы с точностью до
0,01:
+ 00
997. 1— >4+з4— 4 4+ •••
998
' 2 - П ( П +1)( П + 2)"
§ 3. Функциональные ряды
+ 00
Ряд ^iun(x)
П =
= u1(x) + u2(x)+uA(x)^
..., члены которого явля-
1
ются функциями от переменной х, называется функциональным.
При различных значениях х из функционального ряда полу­
чаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд
сходится, называется его областью сходимости.
Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее упо­
требительными являются с т е п е н н ы е ряды вида
+ OD
2 апхп = а0 + aLx -f а2х2 + а3х* +...
(1)
л=о
или более общего вида
+ 0D
2 М * — х 0 ) п = ай + а1(к~ х0) + а,(х—х0)2+ ...
л=о
-350
—
(2)
No page in original
No page in original
Следовательно, интервал сходимости данного ряда есть
1,45<*<1,55.
1000. Определить область сходимости функционального ряда:
+ СО
+ 00
Л=1
П=\
Р е ш е н и е : 1) Используем признак Даламбера:
1
n(x + 2)nt
р = 1ПП
"л + 1 I=
ltn
П -*• + ос
1
( / i + l ) ( x + 2) ,J + i»
"" +1
1ип
'{a+\)\x + 2\
\x + <l\
1
17Щ-<i; l* + 2|> l; x + 2<—l, * + 2>l;
—oo<x<—3,
-
K
K
+ oo.
J V
"
^
к-"'1
Гранины двух найденных интервалов исследуем особо.
При х = —3 получим знакочередующийся числовой ряд
с общим членом п , } ) а > который сходится согласно признаку
Лейбница.
При х — —1 получим гармонический расходящийся ряд.
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из
двух бесконечных интервалов ( —оо, —31 и ( — 1, Ч^оо),
2) ип = п У smnx;
п -* + оо I
и я + 1 = (п+ 1) j / s i i V ^ ;
и
к
п
I
Этот предел р будет меньше единицы, а исследуемый ряд будет
сходящимся, согласно признаку Даламбера, для всех значе­
ний х, кроме xk — -^ + nkt k = 0, + 1, ± 2 , . . . , при которых
Р
=1.
При x = xk и при четном k получим ряд 1 + 2 + 3 + . . . + я +
+ ..., а при нечетном /г —ряд—1 + 2 — 3 + ... + (— 1)" п + ... ,
которые оба расходятся вследствие невыполнения необходимого
услови я сходимости.
Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся
числовая ось, исключая точки xk.
Определить интервал сходимости степенного ряда:
+ 00
1001. x + j + ^-\-^+ ...
1002. £ ( — 2)пх2".
п=о
1003. \ + 2\х + Ых% + 4\х*+...
1004. £ ( — l ) " " l ( i i ~ ^ — .
/1 = 1
12 Заказ № 3201
— 353 —
n= l
/1 = 1
v
'
Определить область сходимости функционального ряда:
1007. 1 + 1 + 1 + 1 + . . .
1
X2
X
,009. tgx + ^
'
1008. V
п
=\
**^
X3
+^
1^.
+ оо
+
% l + . . .
,0.0*.
П
2
^
.
/1 = 1
§ 4. Ряды Тейлора
Р я д о м Т е й л о р а для функции f (х) в окрестности точки а
называется степенной ряд относительно двучлена х—а вида
/ (а) + ф
(х-а) + ф - (х-а)* +...
+ ^
(х-а)» + . . .
(Т)
Этот ряд можно получить из многочлена Тейлора, указанного
в гл. III, § 1, при неограниченном увеличении числа его членов.
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, ко­
торая в окрестности точки а имеет производные любого порядка.
Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции */(х)
только при тех значениях х, при которых остаточный член #„ фор­
мулы Тейлора (гл. III, § 1) для этой функции при неограничен­
ном возрастании п стремится к нулю.
При а = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно неза­
висимой переменной х:
no) +
rMx + q±хЧ....
+ 111°^ + ...,
(м)
который принято называть р я д о м М а к л о р е н а .
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
А) написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычислить
значения этой функции и ее производных при х = а и подставить
их в общее выражение ряда Тейлора (Т) для произвольной функ­
ции;
Б) исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для
данной функции и определить совокупность значений х, при кото­
рых полученный ряд сходится к данной функции (т. е. при кото­
рых lim Rn = 0).
Для многих функций, употребляемых в практических примене­
ниях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора
полностью совпадает с совокупностью тех значений х, при которых
соответствующий остаточный член Rn—• (), когда п—• +оо, т. е.
для многих функций каждая точка х сходимости ряда Тейлора
является и точкой сходимости этого ряда к породившей его
— 354 —
функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тей­
лора можно вместо исследования соответствующего остаточного
члена Rn, что во многих случаях весьма затруднительно, иссле­
довать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степен­
ного ряда.
1011. Разложить в ряд Маклорена функции ех, sin x, cos*.
Р е ш е н и е . А) Значения данных функций и их производных
любого порядка при х = 0 были вычислены ранее в решении зада­
чи 297 (гл. Ill, § 1). Подставляя эти значения в общее выра­
жение ряда Маклорена (М) для произвольной функции, получим
ряды Маклорена для данных функций:
W+
«*=i+A+
II ' 21 +' 3!
5
sinx
3! ^ 5!
+~+
v7
71 ^ • • • ^ V
i
f
(2/г — 1)!
1
4!
"6Г + •+<- >"fei+
Б) Каждый из этих рядов сходится к породившей его функции
при всех значениях xt поскольку в решении задачи 297 было дока­
зано, что для каждой из данных функций остаточный член Rn фор­
мулы Маклорена при неограниченном возрастании п стремится к
нулю при любом значении х.
1012. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) (1+д:) т ,
2) 1п(1+*).
Р е ш е н и е . 1) А. Исходя из решения задачи 298 и согласно
определению ряда Маклорена для произвольной функции, получим
C O S * = l — 2J- +
{1+х)а
1
I
1+
т(т — 1)
m(m — l ) ( m — 2)
JC 2 -f
2!
3!
т (т — 1) . . . (m — п -f-1) п
^
тг*-
*Ч-
х+ .
(Б)
При целом положительном показателе т этот биномиальный
ряд будет содержать конечное число т+\ членов, ибо коэффи­
циенты всех последующих членов будут равны нулю. В этом слу­
чае он обращается в элементарную формулу бинома Ньютона.
Б. Исследуем сходимость биномиального ряда, когда т не
есть целое положительное число, по признаку Даламбера:
__ w [т — 1)... (т — п-\-1) Пл
т ( т —1) . . . (т — п) « + 1 #
(n+l)!
HL-1
iI u„ + , I
,.
I (m — n)x I , . . .
= x
*+ T
P < 1 при —1 < x < 1.
Следовательно, согласно признаку Даламбера биномиальный
ряд (Б) сходится в интервале —1<л:><1 и, как доказывается
в учебниках, он сходится именно к биному (1-\-х)т.
12*
— 355
2) А. Используя решение задачи 298, получим следующий ряд
Маклорена для данной логарифмической функции:
1,1(1+*)=х-^- + ^ - х + • • • + < - 1 >
7Г+--Б. Исследуем сходимость полученного ряда по признаку ДаI хп I
I х" + 'I
ламбера: \ип\ = ,-^-\
р=
|нп+1| =
~^г'>
lim | ^ | = и т
"
| * | = |*|;
p < 1 при — 1 < x < 1.
При x, равном левой границе найденного интервала, т. е. при
1
„
.
1
1
1
х^~—1, получается числовой р я д — 1 — у — ~ ~ — - j — . . . , кото­
рый расходится, так как Ejceero члены отличаются от соответствую­
щих членов расходящегося гармонического ряда только знаками.
При х—\ получается знакочередующийся ряд 1 — п" + -о-—
— - J + . . . , который сходится согласно признаку Лейбница.
Следовательно, полученный ряд Маклорена для данной лога­
рифмической функции сходится в полуоткрытом интервале (— 1; 1 j.
Можно доказать, что он сходится в этом интервале именно к дан­
ной функции 1п(1+*)1013. Разложить в ряд Тейлора функции:
1
я
1) — при а = — 2; 2) созх при а = -г-.
Р е ш е н и е . 1) А. Вычисляем значения данной функции псе
производных при х = а~— 2:
/(*) = х H-2) = - i
П*) = — b x - J
П-2) = - 1 |
f" (JC) = 1 • 2х~3
f(-2) =
"'(*)=— Ь2-3*-*
Г(-2)=-|
f<»> (х) = (—!)" п\ х-п'л
р (— 2) =
- |
я!
2«+i
Подставляя эти значения в ряд Тейлора (Т) для произволь­
ной функции, получим
1
1 l!(x + 2) 21(JC + 2)2 31(* + 2)8
п\ (* + 2)"
х ~
2
24!
23 2!
24 3!
'"
2п^п\
Б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Дз(х + 2)п т
__(л- + 2)/г+1.
ламбера: ип2« + 1
2"
j х -Н 2 i
2
lim
р < 1 , если
]
Л±*1<£1а
Решая это неравенство, находим интервал — 4 < л : < с 0 .
Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд
х =— 4, затем х — О, получим числовые ряды 1 —1 + 1 — 1 + . . .
и 1 + 1 + 1 + 1 + .. ., которые расходятся, так как у них не вы­
полняется необходимое условие сходимости ряда Mm ая —0.
rt-->- -Ь со
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора
для данной функции есть (—4; 0). Исследуя остаточный член Ra
формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в
указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной
функции.
nl)-%
2) A. y ^ c o s x
у' = — sin х = cos ( x + 4r I
2
tf = — cos x = cos (x + 2 —
tj" =-- sin x = cos (x + 3 -^r
У
-cos
i
(*+ и т)
= cos [
Я
я
/2"
л
T
т)
\3
T
cosx =
2!
3!
Б. Исследуем соответствующий остаточный член Rn формулы
Тейлора:
/
я Y +1
(1+1)1
cos[-^-i-e(%-^) + (n + i ) f ] , o<e<i.
При любом х lim
(-*Г
= 0, что было доказано в реше(п+\)\
нии задачи 40, a | c o s c t | ^ l . Поэтому lim Я „ = 0 при любом х,
rt-v + оо
т. е. полученный ряд Тейлора для cos* сходится к СОЗА' при
любом х.
1014. Написать три первых члена ряда Маклорена для функ­
ции: 1) sec л:; 2) \п(ех + х).
— 357 —
1015. Написать три первых члена ряда Тейлора для функции:
1) г-— при а = 2; 2) *3 In x при а = 1 .
1016. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) 10х; 2) In (1—л:);
3)*cos(x—1).
1017. Разложить в ряд Тейлора функции:
1) ех при а = — 2; 2) ]/"х при а = 4; 3) cos-^- при а = - у .
§ 5. Действия со степенными рядами.
Применение рядов
к приближенным вычислениям
Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по
правилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимо­
сти полученного нового степенного ряда будет совокупность всех
точек, в которых одновременно сходятся оба ряда. *
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно
интегрировать, а внутри интервала сходимости можно почленно
дифференцировать.
Использование этих правил для разложения функций в ряды
и применение рядов для вычисления приближенных значений функ­
ций и интегралов разъясняется в решении следующих задач.
1018. Используя ряды Маклорена для функций ех, sinx, cos л:,
(l-hJt)"1, In (1 -Ь х) и правила умножения и сложения степенных
рядов, найти разложения в ряд по степеням х для следующих
з
х
функций: 1) (1+х)е*\
2) sin 2 x; 3)
e~xsmx\
2 ; 4)
2
5) ln(l 4-ЗА: + 2Х ).
Р е ш е н и е . 1) Рассматриваем двучлен \-\-x как степенной
ряд, у которого коэффициенты всех членов, кроме двух первых,
равны нулю и который сходится на всей числовой оси. Умножая
почленно этот ряд на ряд Маклорена для функции е*, который
также сходится на всей числовой оси, получим искомое разложе­
ние в ряд данной функции:
0 + *>«* = <1+*>(1+£ + £ + £ + . . . + £ + • • • ) которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех
значениях х.
* Иногда в этот интервал включаются и некоторые точки» в которых
сходится только один из исходных рядов.
— 31>1 -
2) Ряд для sin2 Л: МОЖНО получить почленным умножением
самого на себя известного ряда Маклорена для sinx:
sin»*=sin*sin*= ( * - £ + £ - . . . ) ( * - £ + £ - . . . ) =
Полученный ряд, как и ряд для sin я, сходится при всех
значениях х.
Тот же результат можно получить, исходя из формулы sin 2 x =
~у(1—cos2x) и пользуясь рядом для cos2x:
cos2^=l-^« + ^ * - . . . + ( - l ) e ( - g j ^ " + . . . ,
который получается из ряда Маклорена для cos л: путем замены х
на 2х.
з
х
3) Преобразуем данную функцию в произведение у-—г^ =
= (х — 3)(л:+ 1)~2; рассматриваем двучлен х — 3 как степенной
ряд, сходящийся при любом значении х\ пользуясь биномиальным
рядом (Б), полагая в нем т — — 2, разлагаем в ряд бином
(1 +х)'2=
1 —2х+ 3* 2 -4x 3 -f . . . + ( — I)"" 1 пхп-г+
...
(*)
Умножая почленно ЭТОТ ряд на х — 3, получим искомый ряд
для данной функции:
* ~ 3 а = _ 3 + 7 J C - ИХ 2 + . . . + ( - l ) » - i ( l - 4м)
хп^+...у
<*+1) '
который сходится к данной функции в интервале (—1; 1), по­
скольку в этом интервале сходится к биному (1+х)~ 2 ряд (*).
4) Ряд для функции е~х sin x найдем почленным умножением
ряда для е~х (получаемого из ряда Маклорена для ех при заме­
не х на — х) на ряд Маклорена для sin x:
-X
•
/ 1
X
. X2
X3 .
W
X* . Хь
X1 ,
Полученный ряд сходится к данной функции во всем своем ин­
тервале сходимости — на всей числовой оси, ибо ряды дляе"*и
sin х сходятся к этим функциям на всей числовой оси.
5) Преобразуем данную функцию: ln(l + 3x + 2*2) = l n ( l 4+ x)(l + 2x)==ln(l-f-*)-|-ln(H-2A'). Пишем ряды Маклорена
— 359 —
для полученных слагаемых функций:
ln(l+x) = £
(_i)»-i£,
_1<х<1;
(второй ряд получен из первого путем замены х на 2х) и скла­
дывая их почленно, имеем
(-l)n-l(l+F)£,
In (1 + 3* + 2х*) = £
- ± < * < ± .
Все полученные в решении этой задачи ряды для заданных
функций являются рядами Маклорена для этих функций, ибо
вообще, если какая-либо функция разлагается в степенной ряд,
то он является ее рядом Тейлора.
1019. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точ­
ностью до 0,0001: 1) In 1,1; 2) / I T .
Р е ш е н и е . Для вычисления приближенных значений функ­
ции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том
случае, когда соответствующий ряд является знакочередую­
щимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оце­
нить погрешность приближенного значения суммы —она меньше
абсолютного значения первого из отброшенных членов (§ 2).
В других случаях приближенные значения функции с задан­
ной точностью вычисляются по формуле Тейлора (Маклорена),
как это показано в решении задачи 299 (гл. III, § 1).
1) Возьмем ряд для функции 1п(1+л:), полученный в реше­
нии задачи 1012:
1 п( 1
+ х) = х
^
+
|_.
в в + (
-1)«-1^
+
....
который сходится к 1п(1+х) в интервале ( — 1 ; 1], и, полагая
х ^ 0 , 1 , получим ряд для вычисления In 1,1 с любой точ­
ностью:
In 1,1 = 0 , 1
5~ + "%
Г + •* '
Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше
0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходя­
щегося ряда (§ 2), для вычисления приближенного значения
In 1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых
членов ряда
In 1,1 ж 0,1—TT- + - V - ~ 0,0953.
— 360 —
2) Преобразуем данный корень J/l7^= J/16 + 1 = 2 М. + ^ 1
и применяем биномиальный ряд (Б), полученный в решении
задачи 1012, полагая х = ^у
2 (1 + ±У^
Z
V
т = ~:
= 2Г1+-!
^16^
^ L
416
Li_ +
137
''
1
2
4 . 8 - 1 6 ^ 4 . 8 - 1 2 . 163
-.-J-
Чтобы определить, сколько вчять первых членов этого зна­
кочередующегося сходящегося ряда для вычисления у/\7 с точ­
ностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых
членов ряда: ау=\\ а 2 » 0,01562; я 3 ~ — 0,00037; а 4 « 0,00001.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда,
если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка
искомого приближенного значения корня будет меньше 2а 4 л:
« 2-0,00001 < 0,0001. Следовательно,
/ 1 7 « 2(1 +0,01562-0,00037) « 2,0305.
1020. Найти разложение в ряд функции arctg*, исходя из
выражения ее в виде интеграла: arctg х = \ ^
2,
разлагая
и
подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно его
интегрируя.
Р е ш е н и е . Преобразуем подынтегральную функцию т——ъ =
= (1 + / 2 ) - 1 и разложим ее в биномиальный ряд (Б), полагая
в нем х=^ t2, m = — 1:
Интегрируя в пределах от 0 до ху получим искомый ряд
Y3
arctgx = x-^
Г Г>
+ ^-j+
у7
... + (-l)n->
Г2"
~ *
£—{+...,
который сходится к arctgх в интервале (—1; 1), ибо разложение
подынтегральной функции в биномиальный ряд справедливо в этом
интервале. Можно доказать, что полученный ряд сходится
к arctg л: и на границах этого интервала при х = ± 1 .
1021. Найти ряд Маклорена для функции arcsinx, исходя
dt
из выражения ее в виде интеграла: arcsin x — f
Р е ш е н и е . Как и в решении предыдущей задачи, преобра1
зуем подынтегральную функцию
= (1—t2)
^
V
•
— 361 —
*
--*2
, разложим
ее в биномиальный ряд (Б), полагая в нем х = —/2, т= — TJ~:
"^
1-3. ..(2/1 — 1) / 2 „ _j_
1
2-4...2/2
' '"'
и интегрируя в пределах от 0 до *, получим искомый ряд
, 1 х* , 1-3 хъ . 1-3-5 х7 .
+
,
Ь 3 . . . ( 2 я — 1) * 2 " + г
2-4...2л
2л + 1 + ' * ' '
который сходится к arcsinx при | я | ^ 1 .
1022. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих
интегралов:
2) \Vxexdx\
1) [smx*dx\
3)
\VT^x*dx.
Р е ш е н и е . 1) Пользуясь рядом Маклорена для sinx, заме­
няя в нем х на х2, имеем
уб
Г
Ю
у
14
(2/i — 1)! ' *
Почленно интегрируя, получим искомое разложение
1sin х dx2
"3—317 + 5! 11 — 7ТТ5+ '••
+С
>
которое справедливо при любом значении х.
2) Заменяя функцию ех ее рядом Маклорена,
умножая его на ]Лх и интегрируя, получим
в
2
т
J_
дс1
i
2
+ш
3
1
J-
дс,
2
2Я+1
_Ь_
2
v 2
,
почленно
^ 2
JL
^ ^
2
+ш* +--+нг№й^*
2
+.-. + C
Полученный ряд сходится к искомому интегралу при х^О.
3) Разложим подынтегральную функцию в биномиальный
ряд (Б)
у У
X =(1
X )
=1
ур2 #
— 362 —
2Г2?Х
зГ2з Х
' ' *
и интегрируя почленно, получим искомый ряд
10
5 VT
лил. —л
П 2 4
212а?
ЬЗк
312310
•••^L"
который сходится при | А ' | < 1 .
1023. С помощью рядов вычислить с точностью до 0,0001
приближенные значения следующих интегралов:
1.5
1
'
~
/,= \
Г
/.,= I cos У xdx\
г
I4=J
— arc's -rdv.
о
Р е ш е н и е . 1) Разложим подынтегральную функцию в бино­
миальный ряд (Б), полагая в нем х = ^4, т= —
1
4
e
4i+/v*=i-4-<
+^'
-S<"+2
24
2 46
|/т+т*
*
*'
1
Этот ряд сходится к биному ( l + ^ 4 ) 2 при | / | < 1 .
Интегрируя в пределах от 0 до -~-,
найдем
2
1
/ - Г
dt
t
I t*
L3tf e
2 5 '2-4 9
1-3.5M3
2 . 4 - 6 13 ' ' "
0
1
2
1
1-3
2-5- 25 * 2 . 4 . 9 . 2 f l
1.3-5
.
2-4.6.13-213 ' ' " "
Вычислим несколько последовательных первых членов полу­
ченного знакочередующегося сходящегося ряда (с одним лишним
знаком): ах = 0,50000; а2 я^—0,00313; а3 ^ 0,00008.
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда
(§ 2), для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно
взять сумму двух первых членов ряда 11« а1 + а2« 0,4969.
Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного
значения первого из отброшенных членов ряда, т. е. меньше
а,^0Д)0008.
2) Пользуясь рядом Маклорена для cos л:, заменяя в нем
х на Ух, имеем
cos/x«i-£+j;-£+f;-...<*>o).
Интегрируя в указанных пределах, получим
С
)—
х2
t3
ж4
я5
Пятый член этого знакочередующегося сходящегося ряда
меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближен­
ного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых
членов ряда:
0 7635
Л~1-т+^-ш~ '
-
3) Пользуясь рядом Маклорена для arctgx, при x = - j - , по­
лучим
arctg T = T - _ + _ _ _ ^ + . . . ( | t , | < 4 ) .
Деля обе части равенства на v и интегрируя, найдем
Г
1.5
Г
1
х
V
,
L'3
V
.
V*
V7
,
+
- - - ~
|1.Ь
]
~
4
43-З2
"+" 45-52
4 7 -7 2
«0,12500 — 0,00412+0,00026 — 0,00002+ . . .
Полученный результат представляет знакочередующийся схо­
дящийся ряд. Взяв сумму трех его первых членов, получим приб­
лиженное значение интеграла с заданной точностью: / : ) «0,1211,
ибо абсолютное значение четвертого члена меньше 0,0001.
1024. Пользуясь рядами, полученными в решениях задач
1011, 1012, 1020, н правилами сложения и умножения степенных
рядов, найти разложения в степенные ряды следующих функций:
1) х cos 2х; 2) In | ^ ; 3) (1 + х2) arctg*;
4
) 2ZTX> 5 ) * *'sin*; 6)*
(1+ех)\
1025. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,0001:
1) cos0,3; 2) sin 0,4; 3) arctg0,2; 4) j / 3 0 .
1026. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и интегрируя его почленно, найти разложения в ряд следующих
интегралов:
1) J > a r c t g * d x ; 2) j £ d f ; 3) j y f e
4) ji=^dx; 5)*
y^^dx.
— 364 —
;
1027. Пользуясь рядами, вычислить с точностью до 0,001
следующие интегралы:
0,6
0,1
1) j cos^rfx;
1
3) j" s -^d*;
2) j УГ+хЧх;
0
0
0
0,25
0,126
4) \ \n(\+Vx)dx\
5)*
0
J
l/xcos*xdx.
0
§ 6. Числовые и степенные ряды
с комплексными членами
Числовым рядом с комплексными членами называется ряд
+ 00
с, 4- с а + . . . + с „ + . . . = 2 с».
/1 = 1
где c l = fll-f6^", c^=_a2 + 62f, . . . , c / I =a / l + ft/li, ...—комплекс­
ные числа (i=-Y — 1; fl„ 6,,я 2 , fc2, . . . , fl„, &„, . . . —действи­
тельные числа).
Сходимость и сумма числового ряда с комплексными членами
определяются так же, как и для числового ряда с действитель­
ными членами (§ 1). Выполнение условия liinca = 0 есть необходимый (но недостаточный) признак сходимости, а не выполнение
этого условия есть дос1аточный признак расходимости всякого
числового ряда с комплексными членами.
Исследование сходимости ряда с комплексными членами
можно свести к исследованию сходимости двух рядов с действи­
тельными членами:
Ряд с комплексными членами
+ ее
ч сп
2см=2(а|1 + М
(1)
Л = 1
П=1
будет сходящимся, если сходятся два ряда с действительными
членами
2а„
" 2V
(2)
При этом, если ряды (2) сходятся соответственно к суммам
Л и В, то ряд (1) сходится к сумме С = А + Bi. Если же хотя
бы один из двух рядов (2) расходится, то и комплексный ряд
(1) также расходится.
Ряд с комплексными членами (1) называется абсолютно схо­
дящимся, если сходится ряде действительными положительными
— 365 —
членами
S I c„ i = S 1 а„+bnt | = s Vfi+ftJl.
rt = 1
/1=1
(3)
/1 = 1
составленный из модулей его членов. Если же ряд (1) сходится,
а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется неабсолютно схо­
дящимся.
Абсолютная сходимость ряда есть достаточный (но не необхо­
димый) признак сходимости ряда, т. е. если ряд сходится
абсолютно, то он сходящийся.
Для исследования сходимости комплексных рядов можно
пользоваться п р и з н а к о м Д а л а м б е р а : если lim '*" + | ' =
-liml^-1
с„
р, то при р <С 1 ряд сходится (абсолютно), а при
р > 1 расходится.
Если 2 есть комплексная переменная, т. е. величина, прини­
мающая различные числовые комплексные значения, z = x-\-iy,
где х и у—действительные переменные, то ряд
+ CD
a0 + a lZ + a , 2 4 - • • • + a „ z " + . . . = 2 а „ Л
(4)
n=o
где a0, a l t . . . , апУ ...—комплексные постоянные, называется
степенным рядом с комплексными членами.
Если изображать комплексное число а + Ы точкой (a, b)
плоскости хОуу то область сходимости всякого степенного ряда
(4) с комплексными членами (т. е. совокупность точек, в которых
ряд сходится) представляет круг с центром в начале координат*.
Радиус R круга сходимости комплексного степенного ряда
называется радиусом сходимости этого ряда. При R=Q ряд
сходится только в одной точке (0, 0), т. е. z = 0, а при R = -f- °° —
во всех точках комплексной плоскости хОу.
Показательная функция ez комплексного аргумента z = x-\-iy
определяется как сумма степенного ряда
^ = 1 + ^ + 2! + ^ + . . . + - , + . . . ,
которая существует при любом значении z [см. решение задачи
1029(2)].
Отсюда при z = iy (* = ()), затем при z = — i y получаются,
соответственно, следующие ф о р м у л ы Э й л е р а :
е'у = cosy + i sin r/; e~iy — cos у — i sin у,
(5)
* На границе (окружности) круга сходимости комплексного степенного
ряда могут быть как точки сходимости этого ряда, так и точки его расхо­
димости.
— 366 —
которые выражают показательные функции через тригонометри­
ческие. Путем их сложения и вычитания получаются еще две
формулы:
COSr/ =
::
^
sin
# =
2l
(6)
•
которые выражают тригонометрические функции через показа­
тельные. Они также называются формулами Эйлера.
1028. Последовать сходимость ряда с комплексными членами:
« =о
я=i
«=о
Р е ш е н и е . 1) Заданный общий член ряда есть комплексное
3
число, действительная часть которого ап =
^ и мнимая
1+Уп
часть Ьп~
-р=. Здесь числовые ряды с действительными
членами *£ап и ^Ьп оба расходятся, что следует из сравнения
их с гармоническим рядом V —. Поэтому данный ряд с ком­
плексными членами также расходится.
2) Используем признак Даламбера. По заданному члену ряда
сп найдем следующий за ними член с п+1 :
_ / i ( 3 i — 1) я .
_ (д+1)(3< —1)"+ 1
и вычислим предел отношения их модулей
р =
lim L^tiI = ii m K_a±iUii IT1 (л + 1)(3/-1)|
|
5/г
5
n
Ъ
5
Следовательно, согласно признаку Даламбера, данный ряд
абсолютно сходящийся.
3) Здесь ряды с действительными членами а„ = 1 ' и &„ =
= k—TV знакочередующиеся. Согласно признаку Лейбница оба
они сходятся. Поэтому заданный комплексный ряд также схо­
дится.
Ряд, членами которого являются модули членов данного ряда
+ 00
+00
Y\an + bni\=YVa\
1^\
Л= 0
«"г „ l
^
+30
+ b%n = Y i / _ !
л-г
+_!
Z* |/ (2л-1) 2 + (2я+1) а
П= 0
«= 0
2
~~2-i 4^г — 1 •
п-о
— 567 —
/
х
|
/
=
расходится (согласно признаку сравнения, ибо
1
>
п V'l
v^
l
i
£+
а \ГЧ
/1 = 1
Это же следует из расходимости рядов ^\ап\ и И\Ьп\).
Поэтому данный комплексный ряд сходится как таковой, но
но абсолютно.
1029. Найти радиус сходимости степенного ряда с комплекс­
ными членами:
1) ^ T{Vl^\-i)2n;
2) £ £ : 3) £
/1=1
Л= 0
(
^±^V.
« =1
Р е ш е н и е . Пользуемся признаком Даламбера,
1) ы„ = 2" 0 Л 1 = 1 - 0 2"; ы„+1 = 2" + • ( / л - 0 2"+ >)
р = lira ifi»-±il = lim 2 ( ^ | Г - 0 у
/ н — I— i
1
'
|(y r „_i_i)(^ n _i + ;-)
= 21 г I lim LLd^jgc^rr)+(^
- у-ттзп) M д 2! z, lim т^Е+^ _ 2 |г|
Согласно признаку Даламбера при всех значениях z~x + iyt
удовлетворяющих неравенству | 2 | < у , данный ряд сходится,
а при всех | 2 | > у он расходится.
Геометрически данный ряд сходится внутри круга | г | =
= Ух2 + у2 < ^ и расходится вне этого круга, т. е. искомый
радиус сходимости " = - 9 " .
На границе круга сходимости —на окружности |z|=-7r или
х2 + у2 = ~4 данный ряд расходится, ибо во всех точках этой
границы общий член ряда cn = \^n—\—i
мится к нулю.
9\
—
2
1
— г"*1
— 36S —
при п—*-+оо не стре­
Согласно признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при
любом комплексном значении z, т. е. его радиус сходимости
/г = +оо.
3)
и
=(3+ii^23-
„(3-r4^ + t
u
(п+1) а
l i m ' , " , ' ~ lini| ,„ , 7,92 z3 | =
p=
fl-> + 00
(* + l)
I **/i I
3
2
= | z | ] / 3 + 4Miin
"
(я + 1)а
Следовательно, ряд сходится при 5 | z | 3 < l , т. е. искомый
радиус сходимости ряда 7? = ^ - ^ . В точках на границе круга
сходимости | z | = — ^ данный ряд также сходится, так как в этих
V5
точках сходится числовой ряд \ -^, составленный из модулей
его членов.
Исследовать сходимость ряда с комплексными членами:
ЮЗО. У <1 + / > а в .
£и
1031, V У*-1
п\
L+
/Z
_LI
•
/1 = f .
rt = l
/1=1
И= 1
Найти радиус сходимости степенного ряда с комплексными
членами:
+ 00
+00
1035. £ (л!-1)г2".
1034. l + £ j L .
/1=1
,036. £ <
/1=1
1+
1037. 2 ( -1Г 1
^V.
/1 = 0
+
^"г".
Л=1
10зо.£^'+'т""п'(-гГ.
«038. Е ( Й Й ) Т ^ '
я-1
§ 7. Ряды Фурье
Функциональный ряд вида
QQ
, {
лх . ,
. пх\ , (
2лх , ,
f Н - ^ с о г э — +fe 1 sm —J +^a2cos-T-
. 2лх \ ,
+/?, sin — j +
+ ( аг cos — + Ьъ sin — J + . . . =
+ ao
/
tf<i , v ^ /
x
лях , ,
.
/?лл:\
= i + X^ncos-r-fAsm-rj,
/1=1
— 365
0)
где / > 0 , aQ, ап, Ьп (/1=1, 2, . . . ) — постоянные, называется
тригонометрическим рядом.
Все члены тригонометрического ряда—синусы и косинусы
углов, кратных J—, и их сумма S(x), если она существует, яв­
ляются периодическими функциями от х с периодом 21; S(x) =
= S(x + 2l). Поэтому тригонометрические ряды широко приме­
няются для изучения различных периодических процессов в
электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических
колебаний и во многих других областях естествознания и тех­
ники.
Разложение данной функции в тригонометрический ряд на­
зывается г а р м о н и ч е с к и м а н а л и з о м , ибо этим достига­
ется разложение какого-либо сложного периодического явления
на простые гармонические колебания.
Рядом Фурье для функции f (х) в интервале [ — /, /) назы­
вается тригонометрический ряд вида (1), если его коэффициенты
ап и Ьп вычислены по формулам Фурье:
i
a
n = j lf(x)cos^dx%
/
bn = jlf(x)sm^dxt
л = 0, 1, 2, . . .
n = l , 2, 3, . . .
(2)
Простейшие достаточные условия разложимости функции
в ряд Фурье сформулированы в следующей теореме Дирихле.
Если в интервале [ — /, 1\ функция f (х) имеет конечное число
точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число
точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье
сходится, т. е. имеет сумму S(x), во всех точках этого интер­
вала. При этом:
а) в точках непрерывности функции f (х) он сходится к
самой функции, S(x)=^f (x)\
б) в каждой точке разрыва xk функции—к полусумме одно­
сторонних пределов функции слева и справа,
S(xk) = ~ llim f(x)+
lira
f(x)\;
в) в обеих граничных точках интервала [ — /, / ] — к полу­
сумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим
точкам изнутри интервала,
S ( - Z ) = S ( 0 = y [lim f(x) + \im f(x)].
Д л я ч е т н о й ф у н к ц и и f(x) = f(—x) все коэффициенты
bn = 0* и соответствующий р я д Ф у р ь е не с о д е р ж и т
* Согласно решению задачи 592.
— 370 —
синусов
/ W ^ + IXcos^,
a„ = ^ / ( x ) c o s ^ ^ ,
(3)
n = Q, 1, 2, . . .
Д л я н е ч е т н о й ф у н к ц и и / ( * ) = — /( — х) все коэффи­
циенты я„ = 0 и соответствующий р я д Ф у р ь е с о д е р ж и т
только синусы
f(*) = I > » s i n ^ ,
bn = ^\f(x)sin^dx,n^l,2,3,...
(4)
о
п—1
Если функция /(*), удовлетворяющая условиям теоремы
Дирихле, является периодической, то на всей числовой оси ее
ряд Фурье в точках непрерывности функции сходится к самой
функции, а в каждой точке разрыва функции —к полусумме
ее односторонних пределов.
а)
,-~.
/
У
\
.
\
/
0
S/
1
S)
к
Ч
|\
t \
ч
^_^/
Черт. 201
Функцию /(Л:), заданную в интервале [0, /], можно произ­
вольно продолжить в соседний интервал [ —/, 0) и поэтому ее
можно представить различными рядами Фурье. Пользуясь этим,
такую функцию обычно представляют неполным рядом Фурье,
содержащим только косинусы или только синусы.
Ряд по косинусам получается при четном, а ряд по сину­
сам при нечетном продолжении данной функции на соседний
слева интервал [— /, 0). В первом случае график данной функ­
ции продолжается на интервал [ — /, 0) симметрично относи­
тельно оси- ординат, а во втором случае —симметрично относи­
тельно начала координат, черт. 201 д, б.
— 371 —
помощью формул Эйлера (§ 6) получается удобная во
многих случаях к о м п л е к с н а я ф о р м а р я д а Ф у р ь е :
/(*) = Ц
с е
п '
• гДе сп = 2[ \f(x)e"~T~dx.
П= —CD
(5)
_i
Если функция {(х) задана несколькими различными форму­
лами на разных частях интервала I — /, /], то при разложении
ее в ряд Фурье, при вычислении интегралов в формулах (2)
или (5) для коэффициентов ряда, следует разбить интервал ин­
тегрирования точками, в которых меняется аналитическое вы­
ражение функции, на части и затем вычислять указанные ин­
тегралы как сумму интегралов по составляющим частям.
При разложении функции f(x) в ряд Фурье в интервале
|0, 2/) пределы интегралов в формулах (2) или (5) будут 0 и
2/, а в случае произвольного интервала \а, Ь\ длины 2/ эти
пределы будут а и а+ 21.
1040. Разложить в ряд Фурьз данную функцию в указанном
1)<р(*) = | ;
х
3) у^(х)=е" \
(0,2л);
|6при0<*<2
( — л, я);
I 3* при 2 < * < 4 ;
4) t/ = | sin л:|; [—я, л|. Пользуясь полученным разложением,
паГ.ги сумму 5 ряда ^ +-ig + ^ + .. . + _ _ ! _ _ + . . .
Р е ш е н и е . Вначале проверяем, что данная функция в ука­
занном интервале удовлетворяет условиям Дирихле; затем вы­
числяем коэффициенты аи и Ьп (или са) по формулам Фурье и,
подставляя их в ряд (Г) [или (5)], получаем искомое разло­
жение данной функции в ряд Фурье; наконец, основываясь на
теореме Дирихле, определяем, при каких значениях х полу­
ченный ряд сходится к данной функции.
1) Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вы­
числяем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (2), пола­
гая 1 = п и беря пределами интегралов 0 и 2л, поскольку функ­
ция задана в интервале (0, 2л):
2Я
ап = — \ 4- cos пх dx = тг- ( — sin пх
"
я J 2
о
2л V п
1
2яп*
\ sin nxdx)
п J
J
2пп—
cos пх |о|2л = cos2л
п* 1
(Для вычисления интеграла применена формула интегриро­
вания по частям.)
При я = 1 , 2, 3, . . . , п Ф 0, а„ = 0; при п = 0 полученное
здесь выражение для ап не имеет смысла. Поэтому коэффици— 372 —
ент aQ вычисляем отдельно по формуле (2), полагая п = 0 (со$пх= 1):
х2
1 Г х .
2Л
= я;
о
оо
2JT
х cos /t;<\ \27Т
п
J \Q
1 /sinnx
Ьпп = —\'7г
я J 2 sin nxdx = 2л \ /г2
1
n '
Подставляя значения коэффициентов д„ и brt в тригономет­
рический ряд (1), получим искомое разложение данной функ­
ции в ряд Фурье:
+ ао
х
2
я
2
М П nx
П
v^ 1^ sin
2-L
А * Пп
л
2
sin x
\
sin 2*
2
sin Зл:
3
п=1
Это разложение справедливо, т. е. полученный ряд сходит­
ся к данной функции во всех точках ее области определения
О <Сх < 2 я . (В граничных точках х = 0 и х = 2п сумма ряда
равна -у- , в этих точках все члены ряда, кроме первого, об­
ращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указан­
ных точках и по теореме Дирихле.)
2) Пользуясь формулами (2), полагая 1 = 2 и разбивая ин­
тервал интегрирования (0; 4) точкой х~2 на две части, по­
скольку в каждой из них функция задана различными форму­
лами, получим:
4
a
1 С
2
cos
ппхdx,
=
n = Y) У ~2Г
4
1 / С6~c o s ппх ,
Y {)
О
, Го
0
1 Г12 .
ппх |2
0
ппх
t
- у - d * + \ 3xcos-^-dx)
2 inn
2 |о
=
^ (
/2х
.
ппх .
4
ппх\ 1*1
2
/г 2 л 2
2 у |2]
\ пл
1
=
2
— s , n ~о~ + 3 [ — sin ~7г + -2-2 cos ~7Г-
= т
\
— созлл),
=
пфО.
12
При
1 /ги четном
а„ ' л 2 я 2c"o s n n ^ l и я„ = 0; при л нечетном cos/m =
При п = 0 по формуле (2) получим:
4
2
4
0
4
*
I P .
ппх ,
1 / р~ .
лл* .
. Гп
.
плл: ,
Ьп = -2" \ ysm~^-dx = -j f V 6 sin —dx+ \ 3x sin -g-d-v
1 Г12
nnx\° , 0 / 4 . imx 2x
nnx\ 1*1
2 [_мл;
2 |2
\п2л2
2
пл
2 ) | _-= J
= - L | 1 2 ( l — cos /m) + 3(4 cos я л - 8)1= — —.
— 37<3 —
Искомое разложение данной функции имеет вид
15
,
12 /
пх
.
1
3JTJC
,
1
5ях
.
\
^= T + ^ l C 0 S T + T C 0 S — + 2 5 C O S 1 T + " - ) Оно справедливо во всей области определения данной функ­
ции: в интервале (0; 2) сумма ряда S(x) = 6, а в интервале
(2; 4) S(JC) = 3JC. В точке разрыва х = 2, где функция не оп­
ределена,
S(2) = ±{limy + Km у) = 6.
Z
К -+2-<\
Х^-2 + й
3) Здесь удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.
По формуле (5):
с =-L fe-V-'»*dv-JL ?с-«+"»*^- '""tM"' Гя.-,
-Я
-Л
2n(\+in)
2л(1 + т)
m
По формулам Эйлера e±" = cosnn ± i sin пл = (— I)".
Следовательно, сп=у
*
~~ ^
£{l
6
»^
\
+ ln)
""
2я
(а)
^
1+ т
*
В интервале ( — я, л) ряд представляет функцию е"*, а в
точках х = ± л его сумма равна т>-(е* +е~ я ).
Чтобы преобразовать полученный ряд в комплексной форме
к обычной тригонометрической форме ряда Фурье (если это
нужно), следует объединить слагаемые с индексами п и — л и
заменить в результате по формулам Эйлера (§ 6) показательные
функции тригонометрическими:
"« + "-« =
1 + /я
+
=
f—;
(_1)
= 2(-irCQS/1; + ;2sifln\
Г+7^
n = i , 2 , 3, . . .
Из равенства (а), полагая п = 0, вычисляем aQ = e—^—
Следовательно,
e_JC
= — i ~ [ т + Z , l + *a (cos ял: + я sin nx)j .
/1 = 1
— J74 —
~
4) Данная функция четная (черт. 202), вследствие чего все
коэффициенты Ьп = 0. В интервале [0, я] функция определяется
формулой y--=s\nx. Поэтому по формуле (3) при 1^п получим:
я
я
art = — \ sin xcosnxdx = — \ (sin (1 +n)x + s\n (1—п)х\(1х =
о
о
__ 1 f c o s ( H - ^ ) ^
~7T [
Г+я
i
CQ
s О —n) *1 1° __ 1 P — COS(1+H).T:
1 l
1 —ft
Jk""jiL
1+л"
1 — cos (1 —n) л
1-
]•
Если п четное, n = 2k, то cos(l =ь п) л = — 1 w ап-
я(1—4#V
Если я нечетное, пф\, то яи = 0.
При /г=1 полученное здесь общее выражение для ап непри­
годно, вследствие чего коэффициент а, вычисляем отдельно,
полагая / 2 = 1 , в формуле (2)2
я
2
л
2
•
J
sin
а,1 = ~ Г
\ sin
х cos Л:rfx
= —Г\ •sin л:j a•sin л; =
л J
о
nj
о
д: |
я
= 0.
Подставив значения коэффициентов в ряд (1), получим ис­
комое разложение
. .
,
2
4
fcos 2x , cos 4х . cos 6* .
151П*1 = 7 Г — Ы г
+
W Ь ^:7-+•
cos 2kx
(2/ г -l)(2*+l)
•)•
которое справедливо во всей области определения данной функ­
ции—л ^ л ; ^ л.
При х = 0 полученное разложение преобразуется в равенство
0
я
1
я | Ь З ^ З - 5 ^ 5 - 7 • • ' * ^ (2* —1)(2* + 1)
•]•
откуда и определяется сумма числового ряда, указанного в
условии:
S=
1
Здесь, как и в решении за- -л*
дач 1040 (1, 2), оказалось, что
для данной функции один из коэфЧерт. 202
фициентов ряда нельзя было вы­
числить по найденному его общему выражению. Поэтому при
разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения
общих выражений для коэффициентов ап и Ьп, следует проверять,
будут ли они пригодны при всех [указанных в формулах (2)]
значениях п. Для тех значений л, при которых эти общие вы­
ражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие
375
коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значе­
ния п в общие формулы Фурье.
1041. Разложить
в ряд Фурье периодические функции:
1) f(x) = x2 при — л ^ л : < л ; f(x) = f(x + 2si).
Пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда:
а) 1
±4-1-1422 ~г2за
42 "Г"
•'. б ) 1 + ^г + ^ + ^ + -
2) ф(х) = х при 0 < х < л ; Ф(х) —ф(х + л),
3) i/ = cos-^- при 0 < х ^ 2 л ; и (х) = и (х + 2л).
Р е ш е н и е . Все заданные функции удовлетворяют условиям
теоремы Дирихле, что обеспечивает возможность их разложения
в ряд Фурье.
1) Данная функция четная, ее график (черт. 203) симметри­
чен относительно оси Оу. Все коэффициенты Ь„ = 0, а коэффи­
циенты ап вычисляются по формулам (3), при / = л:
4 cos п л
'<-»>"£
^0.
(Здесь дважды применена формула интегрирования по частям.)
При м = 0 (и / = л) по формуле (3) найдем:
Следовательно,
*-т-4
cos к
cos 2.v , cos 3*
22
32
+ (-1Г
-4
...]
Это разложение дайной периодической и всюду непрерывной
функции справедливо при любом значении х, т. е. полученный
Черт. 203
ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси.
Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью
совпадают.
— 376 —
Полагая в полученном разложении х = 0, найдем сумму ука­
занного в условии числового ряда (а):
1 . _L 4- J2
22 i з
--L
4
Л-(
2
nrt-lJ-4-
~ 12 '
я2
^
а полагая х — л, найдем сумму ряда (б):
1+1+1+1
+1+
=
5!
2) Вычисляем коэффициенты Фурье данной функции по об­
щим формулам (2), полагая / = у (период этой функции равен
я, черт. 204):
2
апп = —
я J \ х cos 2 л* dx = я—I 2п 2 eos2/tx + (^
о
cos 2/гя
/гй
= —2, /г=/=0;
х2 dx =
Ь=—
я
\ х2 sin 2nxdx = — \~
2x3 л
Зя о
2
2
о
sin 2лх—(1
я [2л2
я J
— )sin2/ix
4/гзу
— )co$2/u'\\ = —1 .
\2гг
4^з у
J |0
n
о
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (1),
получим
п -1
Разложение справедливо во всей области определения дан­
ной периодической функции — на всей числовой оси, исключая
точки x/i=^kn1 /г = 0, ± 1 , + 2 , . . . , в которых функция раз­
рывна (не определена). В точках разрыва функции полученный
ряд также сходится. Согласно теореме Дирихле, в этих точках
я2
его сумма равна -у. У графика данной функции нет точек с
абсциссами xk\ график суммы ряда отличается от графика дан­
ной функции наличием точек lxkt у ) .
3) Функция и нечетная (черт. 205). Поэтому коэффициенты
ап=^0> а Ьп вычисляем по формуле (4):
Ьп— — \ cos Y sin nxdx = — И sin ( л + -у Jx + sin (n—у J . ш ^ =
cos (•+*)•
cos I n — — ) x
Sn
U
П+
2
— 377 —
я (2/1-1) (2/1+1)'
Следовательно,
COS
х
8 fsin
Tsinjx . 2 sin 2x
3-5
3 sin Ъх
5-7
1
(2л — 1) (2д + 1)
Полученное разложение данной функции справедливо во
всей ее области непрерывности — при всех значениях х> кроме
Черт. 205
значений xk = 2nk, & = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , которые являются
точками разрыва функции. В точках xk по теореме Дирихле
сумма полученною ряда равна нулю. Это же очевидно потому,
что в этих точках все члены ряда обращаются в нуль. Графики
суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсцис­
сами xk. У графика данной функции ординаты этих точек рав­
ны — 1, а у графика суммы ряда они равны 0.
1042. Разложить данную функцию в указанном интервале в
неполные ряды Фурье, содержащие только косинусы или толь­
ко синусы:
л\ ( \— i
°>3 П Р И 0 < х < 0 , 5
U < P W - у _ о , 3 при
ри 0 , 5 < * < 1 .
2) y = xcosx в интервале от 0 до я. Пользуясь полученным
+ СО
ЧП 4 * 2 + 1
разложением, найти сумму ряда 2* (4fc2 — l) 2 '
Р е ш е н и е . 1) а. Чтобы получить разложение данной функ­
ции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжаем
ее на соседний слева интервал (—1; 0] четным образом (черт.
206, а).
Тогда Ь„ = 0, а по формуле (3), подставляя / = 1 , ф(х) = 0,3
в интервале (0; 0,5) и <p(*) = —0,3 в интервале (0,5; 1), найдем
/0,6
1
1
а„ = -р \ Ф (^)cosnK xdx= 2у \ 0,3 cos mixdx—
= 06
tmx
•Ь
0,5
0
sin nnx
o,6/
1,2 . мл
~ — Sin -pr,
nn
2 '
Если п четное, то а„ = 0.
Если п нечетное, n = 2/г— 1, / г = 1 , 2, 3,
\
\ 0,3 cos лях d* ] =
.Л
/1^=0.
^
TO
1,2
(2/2 — 1) Ti *
a„ =
— 378 —
При п = 0 по формуле (3) найдем
aQ = 2[ J 0,34л; — $ 0 , 3 d * ) - 0
Следовательно, искомое разложение данной функции в не­
полный ряд Фурье, содержащий только косинусы, таково:
Ф (Л:) =
1,2 cos яде
1
cos 2>лх . cos Ьлх
3
• /
Оно справедливо во всей
области определения данной
функции. В интервале (0; 1)
график суммы полученного ряда -/
отличается от графика дан­ i
ной функции наличием точки
(0,5; 0).
б. Для разложения данной
функции в ряд Фурье, содержа­ I
щий только синусы, продолжа­ I
ем ее на соседний слева интер­ -1
вал (—1; 0] нечетным образом
(черт. 206, б).
Тогда ап = 0, а по формуле (4)
i4/t-iCos(2fe — .) лх
У'
п
)
i
-ад
i
В)
У^ ,
|
I
= 0,6
\
/ c o s nnx I i
\ tin
I o.
ял
I
I
I
Черт. 206
1
0
COS ПКХ I 0 . 5
и
\х
\о,5
0
-0J5\
fc/1 = y \ Ф (х) sin nnxdx = 2( I 0,3 sin nnxdx—
0
i
i
.0.6
1
1
!Д5
0
'
\ 0,3sin rmxrfx\ =
0.5
0.6
Iо
/
cos tin.— 2 :osf+l)
cos
Если п нечетное, то bn = 0.
cut
E ели п четное, n = 2k
} то b9b=
*•*
0 , 6 ( 1 — C O S kЛ)
—
L
kn
.
При четном k получим bn = 0y при нечетном /г = 2ш—1
6
1.2
(2т—1) я
я"
, л = 2£ = 2(2т—1), т= 1,2,3,
Искомое разложение данной функции в неполный ряд Фурье,
содержащий только синусы, имеет вид
, ч
1,2 Tsin 2лх , sin блх , sin Шля
I
•" — 3
'
5
sin 2 (2т— 1) лх
2т^Л
••]•
Оно справедливо во всей области определения функции Ф(Я).
— 379 —
2) а. Продолжив данную функцию четным образом (черт. 207,а),
имеем: &„ = 0,
я
я
ап = — I х cos х cos шс d* = — \ х [cos (/2 + I) x + cos (/2— 1) л:]rfjt:=
о
о
^ 1 ( r s i n ( f t + l ) * . sin (а —1)^11 "
^'я!
I
я+1
"^
я—L
J1 о
Г pin ( я + 1)* sin ( / 2 - \) хЛ ^ | ^
JL
я+ 1
'
п— 1 J
|
— 1) ДС1 |Я __ 1 [COS ( я + 1) Я — ] _ , cos (я — 1)я—1
1 [ c o s ( n + l ) x . c o3Ss (Я
(я—
я [ (я + 1)2
'
(л
я |L
(я
'
(я— I)2
( n—- i )Оa а" J Jlo
I о - "JT
( «++ i1))2a
F+-
]•
Если я четное, я = 2/г, то с о з ( и ± 1 ) л = — 1 и
Л» =
й
2*
4(4/г 2 +1)
я(4/г 2 -1) 2
:
Если м нечетное, то cos (п ± 1) л = 1 и а„ = 0, /1=^=1.
Коэффициент aL вычисляем отдельно, полагая п=\ в фор­
муле (3):
^
д:
я
я
2 Г
\С
a гt = — \
^ J
JC
о
cos х cos x d* = — \ лсv(1 +
лJ
о
я
+cos2x)djc=l( f xdx +
О
/
x sin 2x . cos 2x\ 1 л
H
2
'
я
J I o — 2"
4
ж
Таким
образом,
получаем
следующее разложение данной
функции в неполный ряд Фурье,
содержащий только косинусы,
л^
2 , я
X COS Х =
\- тг COS X —
я
Черт. 207
2
0 <;* <^ я.
Подставляя в полученное разложение х = 0, имеем:
А
0 =
я
? -
2
4 V 4/г2+1
—я^4А*=Т?'
fc=r
°
ТКУДа
СЛ6Д
— 530 —
У
еТ
V^ 4/г2+1
я2 . 1
^(4]?1Г1)а==-8+у.
А- = о
х
б. Продолжив данную функцию нечетным образом (черт. 207,6),
имеем ап = 0,
л.
л.
bn = ~\ xzosx sin nxdx = — I x[sin (n+ l)x+ sin (п— 1) х\ dx =
о
о
—1 I vr
Л J
cos
( * + ! ) * I c o s (n — l)x 1 I ° i
II — 1
П + \
|_
' /Z2 — 1 '
V
J/
Коэффициент £»А вычисляем отдельно:
л
n
й,1 = —
sin
я J\ л: cos x sin xdx =я—\x
J
о
2 A:
dx = —2 -77 .
о
Следовательно,
vcosx= — ~^A + 2 ) , (— U";22^.i
s i n nx
< 0 s^x < я #
tf=2
Разложить в ряд Фурье данную функцию в указанном ин­
тервале:
1043. /(.*) = я — х\ (О, 2л). 1044. <р (х) ^х sin л:; [—я, я | .
г 0 при — 3 < ж 0
1045. //= -^
п ^
^о
^
I х при 0<<л'<СЗ; пользуясь полученным разло­
жением, найти сумму ряда 1+ 32 + 52 + • • • +-(^zrfj2" + • • <
Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:
1046. f(x) = \x\ при — 1 < х < 1 ; / ( х ) - / ( х + 2),
5
1047. cp(x) = sin-g-* при — я < х < л ; ф (х) = ф (л + 2л),
1048. у(х)=ех при — 2 < х < 2 ; /у (х) = у {х + 4),
1049. и = х (л—х) при 0 < с х < я ; и (х) = и (х + л)
и построить графики каждой данной функции и суммы ее ряда
Фурье.
Разложить данную функцию в указанном интервале в непол­
ный ряд Фурье, содержащий только косинусы.
1050. f(x)=cosx,
0, ~
; пользуясь полученным разложе— 3&/ —
нием , найти сумму ряда
met Ф(*)=
/ ч <( ! П Р И 0 <^ * < 1
1051.
\ л0 при t1 < х ^ л ; пользуясь полученным раз+ оо
+ао
ложением, найти сумму ряда: а) / ^ —
/1=1
, б) У*\—ч
.
П-1
"
1052. Разложить функцию у=\ в интервале (0,1) в непол­
ный ряд Фурье, содержащий только синусы.
1053. Разложить в неполные ряды Фурье: а) по косинусам
и б) по синусам функцию
\ _ J х ПРИ 0 ^ х < 1
« P W - | 2-х при 1 < х < 2 .
§ 8. Интеграл Фурье
Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой
+ оо
оси, т. е. если интеграл \^\f(x)\dx
сходится, и если она удовле-
— CD
творяет условиям Дирихье на любом конечном интервале, то ее
можно представить интегралом Фурье:
+ 00
/ ( * ) = j [A cos ax + В sin ax] da,
(1)
о
+ со
+ со
где А (а) = ~ С f (0 cos а/ Л , Б (а) = 1 С / (t) sin at it.
— со
— со
Эта интегральная формула Фурье получается из ряда Фурье
для функции \[х) в интервале (—/, /) при I— * + о о .
Интеграл Фурье функции f(x) сходится к этой функции
всюду, кроме, быть может, точек разрыва xk, где (как и ряд
Фурье) он дает значение, равное
1 [ lim /(*)+ lim /(*)]
В отличие от ряда Фурье, который дает разложение функ­
ции на гармонические колебания с дискретно меняющейся часто­
той ™, л = 1 , 2, 3, . . . , интеграл Фурье дает разложение
функции на гармонические колебания с непрерывно меняющейся
от 0 до + о о частотой а.
— 382 —
Для четной или нечетной функции интеграл Фурье упрощается:
Если f(—x) = f(x)t то
f (х) ==- \ cos ax da Г / (/) cos at dt.
(2)
Если /(— х) = — f(x), то
+ 00
+ '-Л
/(*) = — \ sin ax da ^ / (/) sin at dt.
(3)
Если функция f (х) задана только в интервале [0, + оо), то,
по-разному продолжая ее в соседний слева интервал (—оо, 0),
можно затем представить ее различными интегралами Фурье.
Обычно такую функцию представляют интегралом Фурье или по
формуле (2) или по формуле (3); по формуле (2) при четном,
а по формуле (3) при нечетном продолжении этой функции
в интервал (—оо, 0).
С помощью формул Эйлера (§ 6) из формулы (1) получается
к о м п л е к с н а я форма и н т е г р а л а Фурье:
(4)
1054. Данную функцию представить в виде интеграла Фурье:
I 2 при 0 < л - < 3
ПРИ
1) „<*) = { ~f
*<°
2) р(х)=
1 при * = 3
1* * при х > 0 .
^ 0 при х > 3 .
( О при х<0
3) q(x) = \ пх П Р И 0 < х < 1
у О при х> 1.
Р е ш е н и е . 1) Данная функция нечетная (черт. 208). Поэтому
согласно формуле (3)
+ 00
+00
Ф (х) = — \ sin ax da \ e~f sin at dt.
Внутренний интеграл / вычисля­
ем отдельно по формуле интегриро­
вания по частям (см. задачу 484):
р
/ = lim \е"г s\n at dt-
lime * (sin at -facosal)
1-ha— 383 —
Следовательно,
-Г ао
.
2 Р а sin ах da
ч
/ Л
Здесь хт^О, ибо при х = 0 полученный интеграл Фурье ра­
вен не Ф ( 0 ) — — 1, а нулю — полусумме пределов данной функции
при х—•—0 и при дс—• + ().
2) Функция />(%) определена только в интервале (0, + оо).
Поэтому ее можно представить различными интегралами Фурье.
При четном продолжении данной функции в интервал
(—оо, 0] по формуле (2) получим:
+ оо
2
/ ч
р(х)=—
+00
Ч
Г\ cos„ ax da
л С
4 \Г cos a* sin За da .
\ 2о cos^ a/ 4dtы = —
0
0
О
При нечетном продолжении данной
(—оо, 0] по формуле (3) получим:
f
СО
3
функции
в
интервал
Г OD
р ( х ) = — I sin a x d a \ 2 sin at dt = — \ (1—cos 3a) sin ax da
Оба полученных интеграла Фурье представляют данную функ­
цию во всей области ее определения, включая и точку х = 3 ,
в которой функция разрывна, ибо в этой точке значение каж­
дого из полученных интегралов:
-5-Г lim
p(x)+
Hm
p(x)] = 1 ( 2 + 0) = 1
и значение данной функции р ( 3 ) = 1 — о д и н а к о в ы .
3) Применяем формулу (1), вычисляем коэффициенты А и В:
+ 00
Г о
А (а) = — С q (t) cos atdt = 1
I
С 0. cos a/ d/ + я С / cos a/ dt +
+ 00
+
Co-cosa/d/
+ CD
/ sin at , cos a/1 * = i
a
a2 | / = o
a sin a -j- cos a— 1
a2
l
В (a) = — \ q (t) sin a/ dt = I / sin a/ dt =
sina
~ecQsa.
Подставляя в формулу (1), получим
(a sin а + cos а—1) cos ax + (sin a — a cos a) sin a*
da.
384 —
Это равенство справедливо, т. е. полученный интеграл сходится
к функции q (*), на всей числовой оси, кроме точки * = 1, в кото­
рой эта функция разрывна. В точке х=1 интеграл равен -£• f
тогда как q (1) = л .
Решение будет короче, если воспользоваться комплексной
формой (4) интеграла Фурье:
+00
+ СО
Q(x)-=~
^е~^х
+00
da J q(t)eutdt
=\
1
j г~Ых da J teiat dt -
00
[1
~ 2 ) \ ia
2 2
/aJ
TOO
„-tax
da
41
ei«(\—ig)-
-e~'°xda.
Разумеется, это представление данной функции интегралом
Фурье в комплексной форме и полученное выше представление ее
интегралом Фурье в обычной форме отличаются только по форме и
могут быть преобразованы одно в другое с помощью формул Эйлера.
Построить графики данных функций и представить их ин­
тегралами Фурье:
1055. у- f sin А: п ри |л:|<;я 1056. г (cos* при 0 < л : < я
10 при
I 0 при Х\>п.
ри
\х\^п.
О при х<:0
( 1 +х при — 1 < л ; < 0
sin *приО<л:«<л
1—
х
при
0
<
л
;
<
1
Ю58,
1057. и:
О при х ^ л .
О при | * | ^ 1 .
(
13 № 3201
ГЛАВА
X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Главная цель инженера-исследователя, изучающего какойлибо физический или технический процесс, заключается в вы­
явлении его закономерности, в получении аналитического
выражения функциональной зависимости между переменными
параметрами этого процесса.
Большинство таких задач на отыскание связи между перемен­
ными сводится к решению уравнений, содержащих производные
или дифференциалы неизвестных функций.
Огромное значение этих задач как для практики, так и
в теории обусловливает особо важное значение этого раздела
математического анализа.
§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок,
общий и частные интегралы
Дифференциальным уравнением называется равенство, содер­
жащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргу­
мента, то дифференциальное уравнение называется о б ы к н о ­
в е н н ы м , а если она зависит от нескольких аргументов и
дифференциальное уравнение содержит ее частные производные
по этим аргументам, то оно называется уравнением с част­
н ы м и п р о и з в о д н ы м и . Уравнения с частными производ­
ными рассматриваются лишь в последнем параграфе этой
главы, а все остальное ее содержание посвящено обыкновенным
дифференциальным уравнениям.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Так, уравнение у" + 3ху'—х3г/2 = 0—второго порядка,
Ш=
Щз—
—третьего порядка,
х
у' -\-уе = \%Ъх — первого порядка.
— 386 —
Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению,
т. е. обращающая его в тождество, называется интегралом (или
решением) этого уравнения.
Например, функция у = 2х является интегралом уравнения
х*у"—2ху' -\-2у = 0, ибо, найдя производные этой функции у' =
= 2, у" = 0 и подставляя в данное уравнение у, у', у"\ получим
тождество: —4х-\-4х~ 0.
Интеграл дифференциального уравнения называется общим,
если он содержит столько независимых произвольных постоян­
ных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего
интеграла при различных числовых значениях произвольных по­
стоянных, называются частными интегралами этого уравнения.
Так, функция */= — + С2, удовлетворяющая уравнению 2-го
порядка ху" + 2у' = 0 (в чем можно убедиться путем подстановки)
и содержащая две произвольных постоянных С\ и С2, является
общим интегралом этого уравнения, а функции */ = —, у—
з
= —— + 5, у = —1 (получающиеся из общего интеграла при
различных значениях Сх и С2) являются его частными ин­
тегралами.
Геометрически каждому частному интегралу дифференциаль­
ного уравнения соответствует плоская линия, его график, кото­
рая называется интегральной кривой этого уравнения, а обиугму
интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интег­
ральных кривых.
Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения
п-го порядка (гс=1, 2, 3, . . . ) , удовлетворяющего п началь­
ным условиям вида
у(*о)=Уо'> у'(Хо)=у'о>
У"(ХО)=У1>
•••;
У{П~1)(Ч)=УОП~1\
называется з а д а ч е й К о ш и.
В указанных п начальных условиях Коши задаются значения
функции у и ее производных у', у" , . . . , уп'х при некотором
заданном значении аргумента х — х0. По этим п начальным
условиям определяются значения всех п произвольных по­
стоянных С19 С2, . . . , Сп, входящих в общий интеграл уравнения
п-го порядка.
1059. Проверить, что данная функция является интегралом
(решением) данного дифференциального уравнения:
1) y = V^c,
2yy'=\.
2) \ъх\х\у = с, у\п ydx^r x\nxdy = 0.
3)
13*
S
= _ * — I s i n 2 / , g + t g / g = sin2/.
— 387 —
Решение.
ции у
2\Г
1)
Найдем
производную
данной
функ-
— . Подставив в данное уравнение y = V х и у =
= — ^1 = , убедимся, что оно обращается в тождество: 2 ] / х х
2Vх
X—5=г=1; 1 = 1.
2) Дифференцируем данную неявную функцию: In у
\-
ц_1пл:у = 0 и находим d# = — ^ny dx. Подставляя это выра­
жение dy в данное уравнение, получим тождество: ylnydx +
+ x\nx(—^-dx)=0\
0 = 0.
ds
3) Дважды дифференцируя данную функцию, найдем -г =
d2s
s=—1—соз2/, g72 = 2 sin 2t. Подставив эти выражения для первой
и второй производных в данное уравнение: 2sin2/ + (—1 —
— cos 20 tg t = sin 2/;
sin 2^ — 2 cos2 / tg г = 0;
sin 2/ —
— 2 c o s / s i n / = 0; 0 = 0 убеждаемся, что оно удовлетворяется,
т. е. обращается в тождество.
1060. Зная общий интеграл 4х2 + у2 = С2 некоторого диффе­
ренциального уравнения 1-го порядка, найти и построить его
интегральные кривые (частные интегралы),
проходящие через точки Вх (—1; 0),
В 2 ( 0 ; - 3 ) и В 3 (2; 0).
Р е ш е н и е . Общий интеграл F (х, у, С) =
= 0 уравнения 1-го порядка f(x, y% у') = 0
геометрически определяет семейство интег­
ральных кривых, зависящее от одного пара­
метра С. Подставляя в общий интеграл
координаты какой-либо точки Р, найдем
значение С, при котором из общего интег­
рала получается уравнение интегральной
кривой, проходящей через точку Р.
Для точки В}: 4 = С2;
4х2-\-у2=4.
2
2
Для точки В2: 9 = С ; 4х + у2 = 9.
Для точки В,: 16 = С2; 4х2 + у2= 16.
Черт. 209
По найденным уравнениям интеграль­
ных кривых, проходящих через точки Blt
В2, £3> строим эти кривые (черт. 209). Они представляют кон­
центрические эллипсы, оси которых расположены на осях коор­
динат.
Проверить, что данная функция является интегралом дан­
ного уравнения:
1061. y = Ce~2X\ у' + 2у = 0.
— 388 —
1062. у = С1х + С2х*\ x2y"—2xy'-\-2y = Q.
1063. х2 + 2ху =.= С; (х + у) dx + л: dy = 0.
1064. s = / 2 In Z + Cx^ + C^ + C,; ^ = 2.
1065*. ^ - x + C J n / / ^ - - ^ ; #;/'--(А/') 2 + (</Т = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение первого порядка Р(х, #)d*+Q(*» y)dy = Q назы­
вается уравнением с разделяющимися переменными, если функ­
ции Р и Q разлагаются на множители, зависящие каждый
только от одной переменной:
/i (*) /2 (У) d* + Ф1 (Л:) ф 2 (//) dy = 0.
(*)
В таком уравнении путем деления его членов на / 2 (#) * <Pi (*)
переменные разделяются:
После разделения переменных, когда каждый член уравне­
ния будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл
уравнения находится почленным интегрированием:
J <Pi М
J /2 (У) J
1066. Найти общие интегралы следующих уравнений:
1) (х+ l)3dy — (y — 2)2dx = 0. 2) sec2 x sec у dx = — ctgjc sin ydy.
3) (Vw + VT)y'—y
= 0.
4) 2х+У + Зх-2Уу' = 0.
Р е ш е н и е . 1) Разделим переменные в данном уравнении,
деля обе его части на (х+ 1)3(у — 2)2:
*У
dx
n
(У—2)2 (*Н) 3
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
\{y-2)-*d{y-2)-\{x+\)-*d{x+\)
у - 2 ^ 2 (*+])*
= C;
""
2) Для разделения переменных делим все члены уравнения
на secyctgx:
sec2Artgx<ix:+ sin
ycosydy^O.
Интегрируя, получим
i
\tgxdtgx+[
sin у d sin у = с; ~ tg 2 x + ^ sin2 // = у С;
t g 2 x + sin2 у = С.
* Если (pi(x1) = 0 (или / 2 (l/i) = 0), то x - xY (у — ух) также будет интегра­
лом уравнения (*), который может быть потерян при разделении перемен­
ных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.
— 389 —
3) Выразим производную через дифференциалы переменных:
t/ = j - y умножим обе части уравнения на dx и разлоким коэф­
фициент при dy на множители:
{VJ+\)V~x
dy-ydx = 0.
Далее разделяем переменные:
£ £ ± ! 4,
»** = <>
у
V*
и, интегрируя, находим общий интеграл
){i4
+ \)dy-\x~Tdx
= C\ 2УТ + 1п|0|-21ЛГ = С.
4) Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф­
фициенты при dx и dy на множители:
2x2ydx + 3x?>-2ydy = 0.
Разделяем переменные, умножая на 2~у 3~*:
2xZ-xdx + 3-*y2-ydy
= 0y
и интегрируем:
(1Y
3
1067. Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий
указанному начальному условию:
1) ydx + ctgxdy = 0\
{/^-yJ = — 1 .
2
2) s = s'cos / Ins; s(n)= 1.
Р е ш е н и е . 1) Разделяя переменные и интегрируя, находим
сначала общий интеграл данного уравнения:
tgxdx + ^ = 0\
\y\ = С|созл:|;
—In | cosx | + In | у | = In C;
у = ± С cos лс = Cx cos я.
Затем, используя указанное начальное условие {/( — ) = — 1,
подставляем в общий интеграл заданные значения переменных
( х = 4 г - , # = — 1) и определяем соответствующее значение про­
извольной постоянной: —1 = Сх cos-тт-; CL = — 2.
— 390 —
При этом значении Ct из общего интеграла получаем иско­
мый частный интеграл, удовлетворяющий заданному начальному
условию, // = — 2 cos Л:.
2) Умножая на ^-^-dtt
разделяем
переменные
sec 2 /^/ =
= — ds и, интегрируя, находим общий интеграл
С d (tg /) = C l n s d l n s + Cj
Подставляя
значение С:
tgt = ^\n2s
начальные значения
tgn = ±\nl+C\
+ C.
/ = л, 5 = 1 , определяем
C = 0.
Следовательно, искомый частный интеграл l n 2 s — 2 t g / = 0 .
Решить следующие дифференциальные уравнения (найти их
общие интегралы):
1068. (y + xy)dx + (x — xy)dy = 0.
1070. sin a cos р da = cos a sin р dp.
1072. 3£*sin*/dx = (e*— \)secydy.
1069. уу' + х=1л
1071. i + (1 +y')ey = 0.
1073*. x2(2yy' — l)= i.
Найти частные интегралы следующих уравнений при ука­
занных начальных условиях:
1074. у* + х2у' = 0\ у(—\)=\.
1075.
2(\+ех)уу'
= ех\
у(0) = 0.
1076. {l+x*)y*dx—(y*—l)x*dy
= Q\ </(1) = - 1 .
§ 3. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка y' = f(x, у) называется однород­
ным, если f(x, у) можно представить как функцию только
одного отношения переменных f(x} i/) = ф ( — ) , т. е. уравнение
вида </' = ( p ( | j .
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяю­
щимися переменными, а следовательно, и решается посредством
замены функции у (или х) новой функцией и по формуле
у = их (или х = иу).
1077. Проинтегрировать следующие уравнения:
I) (x* + y*)dx-2xydy
3) xdy—ydx
= 0;
2) y-xy'
=
y\tij\
= ydy при условии у(— 1) = 1.
— 391 —
Р е ш е н и е . 1) Разрешая данное уравнение относительно
производной
dx~y
— Чх„ ~
2}L
-Vyx)
'
X
устанавливаем, что она является функцией только отношения
переменных —, т. е. устанавливаем, что данное уравнение
является однородным.
Далее вводим новую функцию и, полагая у = их; при этом
и
Л~ + Х^} и после подстановки данное уравнение преобра­
зуется в уравнение с разделяющимися переменными
и + х т = -^—
Разделим переменные:
или
xdu = —z—ах.
" " = — и, интегрируя, найдем
— In11 — u 2 | = l n | x | — InC или JC(1—a a ) = ± C = CL.
Исключая вспомогательную функцию и ( " = — ) • оконча­
тельно получим i/2 = x2 — С^к.
2) Вначале устанавливаем, что данное уравнение — однородное:
1r_±(l-lBi)_Z(,+I„X)_,(Z).
затем заменяем функцию #. Полагая у = их, получим уравнение
с разделяющимися переменными
,
du
/1 , 1
du
\
,
и + х-г- = и{\ +\п и) или х^ = и\пи.
dx
Умножая обе его части на — : — , разделим переменные
du dx
и In и
и интегрируем:
$ЁЁГ) = $Т +
,ПС
;
1п|1пн| = 1п|х| + 1пС.
Потенцируя и исключая вспомогательную переменную и,
найдем искомый общий интеграл |1пи| = С|х|; a=eF^K\ y = xec*x.
3) Выяснив, что уравнение однородное:
У_
у
'х — у
•
=
х
х__у^
— 392 —
<i)
и полагая у —их,
получим уравнение
,
/
dll
It
U?
ИЛИ X -г = .
dx
1—и
U + XU — :
1—a
.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
L^Ldu = и2
t
х
_ ± _ 1 п | ы | = 1п|*|-С
и
1
'
'
'
ИЛИ
- + 1п|*£/| = С.
Возвращаясь к переменной у,
находим
общий
интеграл
х=*у(С—Щу\).
Подставив заданные значения переменных: у = 1 при х = — 1,
находим, что С — — 1 .
Следовательно, искомый частный интеграл уравнения будет
х = — у{\+\п\у\)ш
Решить следующие уравнения:
1078. у—ху' = х + уу'.
1079. ydy + (x—2y)dx = 0.
Ш0. ydx+(2]/lcy — x)dtj = 0.
1081. у = х (у' — f/P).
1082. (y2—3x2)dy + 2xydx^()i
при условии у{\) = — 2.
1083*. у — ху'=х
sec — при условии у(\) = я.
§ 4. Линейные уравнения первого порядка
и уравнения Бернулли
Уравнение вида у' + Р(х)у = Q (JC), где Р(х) и Q (JC) извест­
ные функции от х, линейное (первой степени) относительно
функции у и ее производной у' называется линейным.
Посредством замены функции у произведением двух вспомо­
гательных функций y = uv линейное уравнение сводится к двум
уравнениям с разделяющимися переменными относительно каж­
дой из вспомогательных функций.
Уравнение Б е р н у л л и у' + Р(х) y = ynQ (x), отличающееся
от линейного уравнения тем, что в правую часть входит мно­
жителем некоторая степень функции уу решается так же, как
и линейное. Посредством подстановки y — uv оно также сводится
к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
1084. Решить уравнения:
I) У' — f/ctg* = sin x\
2) х2у2у' + ху*=\;
3) у dx — (Зх-\- 1 + In y)dy = 0 при условии у ( — у J = 1.
— 393 —
Р е ш е н и е : 1) Убедившись, что данное уравнение линейное,
полагаем y~uv\ тогда у' = u'v + v'u и данное уравнение преоб­
разуется к виду
u'v-\-v'u — wwctgx= sin* или u'v + и (i>' — uctgx) = sin*.
Так как одну из вспомогательных функций и или v можно
взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный
интеграл уравнения v'—uctgjt = 0.
Тогда для отыскания и получим уравнение
u'v=s\nx.
Решая первое из этих уравнений, найдем v\ разделяя пере­
менные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля
частный интеграл:
— = c\gxdx\
In u = In sin х- u = s i n x .
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и
как общий интеграл этого уравнения:
u's'mx=s'mx;
du = dx\ u — x-\-C.
Зная и и v, находим искомую функцию у:
y = uv — (x-\- С) sin х.
2) Разделив обе части уравнения на х2у2:
У г
х
—У
'х2 »
убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где P = x~lf
Q=x~2.
Заменяя функцию у по формуле y = uv, имеем у' = u'v + v'u,
u'v
+ v'u+- = ^T-2
или
u'v + U ( V* + — ] =
2 а2
.
Отсюда, как и в решении предыдущей задачи, получаем два
уравнения с разделяющимися переменными:
1) V'
•
+
0- = Q
х
и 2) ufv = ^-2
.
x2u*v2
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный
интеграл этого уравнения:
— | — = 0 ; In D+lnx^O; vx=l\
v=—.
Подставляя г; во второе уравнение и решая его, находим и
как общий интеграл этого уравнения:
- = -^; u2du = xdx\ - = - + — ; ц = | / _ * 2 + С .
— 394 —
Следовательно, искомый общи ft интеграл данного уравнения
3) Преобразовав данное уравнение к виду
dx
Зх
I -Ь1 п г/
dx
п
.
>n / \
ч
выясняем, что оно является линейным, если рассматривать л:
как функцию от г/.
Далее, заменяя функцию х по формуле x = uv, где л и v
,
dx
du .
dy
функции от у, имеем jy = vjy + u^y
у
dij
dy
и
у
пли
fdu
\dy
du .
dy
\+\ny
у
3u\
у )
Отсюда для нахождения и и v имеем два уравнения:
. ч dv ЗУ Л
rfa l-f-lnw
ОЧ
1) -,
= 0 и 2) ^ х - = —
-.
1
}
у
dy
dy
у
Из первого уравнения находим v:
dv
3 dy
,
«,
n t
— = — - ; In у = 3 In r/;
v
у
J*
v-=tr.
J
Подставляем и во второе уравнение н, решая его, находим и:
«du
1 -}- In ы
.
у3 j - = —•
- : rf/7 =
1 + In
у у .
dj/;
4
Второй интеграл, обозначенный / , находим отдельно по фор­
муле интегрирования по частям. Полагая ul = \nyf dvx = y~*&y%
j
dy
получим
dUi=—
,
1
J
у
У~*
и, = —6 и
—3
/ = J ых d ^ = и ^ — ^ иА dML = — ^
=
_Ьт_у
З^з
Следовательно,
и= —3^ —^
+ у J </~4 Л/ =
L
9//3 "
— 9 ^ + С-
Умножая а на у, получим общий интеграл данного уравнения:
х = Су*—-д— у In у.
— 355 —
Подставляя сюда заданные значения переменных х =
^ ,
у=\,
находим значение произвольной постоянной С=-^9 *
Следовательно, искомый частный интеграл будет
Решить следующие уравнения:
1085. у'-у = ех. 1086. (х2 + \)у' + 4ху = 3.
_
1087. cosydx = (x+2cosy)smydy.
1088. у'+ у = x}f~y~.
1089. (1— х)(у'+у) = е-х_при условии у(2) = 0.
1090*. ydx + 2xdy = 2yVx $>ec2ydy при условии у(0) = п.
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
Если в уравнении 1-го порядка Pdx+Qdy
г>
/л
дР
= 0 коэффициенты
дО
Р и Q удовлетворяют условию -тг~~1Г~» т ° е г о левая часть
есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у)*. Такое
уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Записав такое уравнение в виде du = 0 и найдя первообраз­
ную функцию и(х, у) по правилу, указанному в гл. VII, § 10,
получим общий интеграл этого уравнения, полагая и(х9 у) = С.
1091. Решить уравнения:
1) (2у-3) dx + (2х + Зу2) dy = 0;
2) (x +
\n\y\)dx+(l+j+smy}dy^0.
Р е ш е н и е . 1) Вначале убеждаемся, что данное уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах:
Ру^(2у—3)у
= 2- Qx = (2x + 3y2)'K = 2- P'y = Qx.
Затем находим неопределенные интегралы:
] Р dx=\(2y—3)dx
= 2xy — 3% + ф Ы ,
2
3
,
считая
у
постоянной,
\ Q dy= ^ (2x + 3y ) dy = 2xy + y -\- ty(x)) считая х постоянной.
Беря все известные члены из первого результата и дописав
к ним недостающие члены, зависящие только от у, из второго
результата, получим функцию и(х,у)^=2ху — Зх + у3, полным
дифференциалом которой является левая часть данного диф­
ференциального уравнения, а приравняв ее произвольной посто­
янной, получим искомый общий интеграл данного уравнения:
2ху—Зх + у* = С.
* См. гл. VII, § 8.
— 396 —
2) Проверив, что в данном уравнении левая часть есть пол­
ный дифференциал некоторой функции u(xt у):
{x+\n\tj\);/
= ^^l+j.+
smy)'Kt
затем находим эту функцию, интегрируя каждый ее частный
дифференциал отдельно:
u = §(x + ln\y\)dx = -^-+xln\y\
u=
§\ "l"7 +
sin
У)
dy
+ <p(y);
^ у + х ]п\ У \ ~cos У + У W-
Далее составляем окончательное выражение функции и (допи­
сываем к известным членам первого выражения недостающие
члены, зависящие только от у, из второго выражения) и, при­
равняв его произвольной постоянной С, находим искомый общий
интеграл данного уравнения:
х2
-^- + x\n\y\+y
— cosy = C.
Проверить, что следующие уравнения 1-го порядка суть
уравнения в полных дифференциалах и решить их.
1092. (3x2y2+7)dx + 2x*ydy^0.
1093. (ey + yex + 3)dx = (2—х<? —ex)dy.
1094. s'm (x + у)dx + xcos(x + у) (dx + dy) =0.
1095. (2x + yexy)dx + (\+xexy)dy = 0 при условии t/(0) = L
§ 6. Уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
1) У р а в н е н и е п- го п о р я д к а у{П) = f (x) решается последовагельным интегрированием.
Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем урав­
нение (п—1)-го порядка: y{n-1)=\^ f(x)dx~}-Ci~(\)] (х) + С1.
Снова умножая обе части на dx и интегрируя, получаем
уравнение (п — 2)-го порядка: у{п~2)= j q^ (x)dx+ ^ Cxdx + C2^
= (fi(x)+C1x + C2 и т. д.
После «-кратного интегрирования получаем общий интеграл
у этого уравнения в виде явной функции от х и п произволь­
ных постоянных: y — yn(x) +
c1xn~l-\-cixn~2+...+cn.
— 397 —
2) У р а в н е н и я 2 - г о п о р я д к а : A) / ( * , у\ у")=0 и
Б) F (у, у\ z/") = 0, не содержащие явно функции у или аргу­
мента х, преобразуются в уравнения 1-го порядка посредством
подстановки у'~ р (откуда у' = •£-—для уравнения А или
y" = Pjy—Для уравнения Б J .
1097. Решить уравнения:
1) у ' " = 60х2.
2) (JC—3)iT + 4f' = 0.
3) УУ"-{УТ = У\ если 4,(0)= — - 1 - , у'(0) = 0.
Р е ш е н и е . 1) Умножая обе части данного уравнения 3-го
порядка на dx и затем интегрируя, получаем уравнение 2-го
порядка: y'"dx = 60x2dx\ / = 20xs + C1Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка и
затем искомую функцию—общий интеграл данного уравнения:
tf dx = 20JC3 dx + Cx dx;
y ' d ^ ^ + C ^ + CJdx;
y' = 5JC4 + Cxx + C2;
y = x5 + C 1 4 - + C a ^ + C 8 .
2) Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функ­
ции у. Полагая y' = pt получим У* = -£ и после подстановки
данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, найдем —-f —ДБ = 0;
\п\р\ + \п\х—3|
= 1пС;
\р(х—3)| = С;
р(х—3) = ± С = СХ.
Заменяя вспомогательную переменную р через -р-, получим
уравнение (х—3)-~- = С1, решая которое найдем искомый общий
интеграл:
* = 7=ЗГ! » = C l l n | x - 3 | + C v
3) Это неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее
явно аргумента х. Положим у'— р\ тогда у" = р~- и данное
уравнение преобразуется в уравнение 1-го порядка:
dp
о
ч
dp
УРТу-р* = У* или
p
Ty-f
у2
= f ,
которое является уравнением Бернулли, если р рассматривать
как функцию от у.
— 398 —
Заменяя функцию по формуле p = uv, имеем
dv . da
U-r + V-.
dy
dy
// 2
= —
uv
LIV
у
u\
t/2
)=sJ—u
уJ
uv
dv . (da
ИЛИ U^ + Vl-:
dy
\dy
Отсюда для нахождения и и v получим два уравнения:
du
dy
и
у
dv
ay
Гх
ц1
uv
Из первого уравнения находим а, как его простейший част­
ный интеграл:
du
и
dy
у
,
л
«
у
я
Подставляя и во второе уравнение, находим v, как его
общий интеграл:
У% = ^ \
vdv = dy- ^
y + Ci,
v=±V2(y
+ Cl).
Зная и и v, находим р = uv= ± yVTiy + CJ.
Заменяя \р через •—,, получим уравнение с разделяющимися
переменными
%=±yV2(y
+ Cl).
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно
определить значение постоянной C t , используя заданные значе­
ния у = — Y » #' = 0:
0 = ± | / 2 ( - ± + С1);
С1 = | .
Подставляя значение Ct в последнее уравнение, разделяв
в нем переменные и интегрируя, найдем
Для отыскания интеграла / полагаем |/"2r/-f-1 = г, тогда
2у+\ = г 3 , dy = zdz.
Следовательно,
c.±*-in"-^±il.
l+l^iy + l
Наконец, используя заданные значения л: = 0, у = -2-» 0ПРеДе"
ляем значение постоянной С 2 ==1п|—1| = 0 и получаем искомый
— 399 —
частный интеграл
А'= - f In '
,.__••' .
1+I/2// + 1
Как показано в решении этой задачи, при отыскании част­
ных интегралов уравнений высших порядков (указанных типов)
нет необходимости сначала находить общий интеграл, а лишь
затем определять значения всех постоянных. Можно, и лучше,
определять значение каждой постоянной немедленно после того,
как она появляется в процессе решения.
Решить уравнения:
1098. */'"=<?2*.
1099. y" = xs\nx.
1100. x(y*+l) + y' = Q.
1101. y' = V\-(y'F1102. y" + ay = b.
1103*. yy" — (y')* = y*.
В задачах 1104—1106 найти частный интеграл данного урав­
нения, удовлетворяющий указанным начальным условиям:
1104. у" = Ъх\ */(0) = 2, 0'(О)=1.
1105. (у'х-у')у'=х*\
|/(1)= 1, £/'(1) = 0.
1106*. 2y(y')* + !f = 0i у(0) = 0, с,'(0) = — 3 .
§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами
Линейным однородным уравнением называется уравнение
ym+P1yia-u+P2y{n-2)
+ -..+Pn-ly'
+ P!ty=o,
(1)
все члены которого первой степени относительно функции и ее
производных, а коэффициенты plf p 2 , ...tpn—известные
функ­
ции от аргумента х или постоянные.
Общий интеграл линейного однородного уравнения п-го порядка
(1) имеет вид
У = СгУ1+С2у2+ . • . +Cnynt
где уг, у2>---*Уп—линейно
независимые частные интегралы
этого уравнения.
Если все коэффициенты pi линейного однородного уравне­
ния (1) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью
характеристического уравнения
rn + Plra-1 + p2rn-*+...+pa_1r+pn
= 0,
(2)
которое получается из этого уравнения, если сохраняя
все коэффициенты ph заменить функцию у единицей, а
производные соответствующими степенями г. При этом:
1) если все корни rlf r2> . . . , гп характеристического
нения (2) действительны и различны (однократны), то
— 400 —
в нем
все ее
урав­
общий
интеграл уравнения (1) выражается формулой
у = с^х + С2ег*х + . . . + Спе'**\
(3)
2) если характеристическое уравнение имеет пару однократ­
ных комплексных сопряженных корней r l t 2 — а ± р/, то в фор­
муле (3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым
е*х {Сг cos р* + С2 sin {Jjt);
3) если действительный корень г, уравнения (2) имеет крат­
ность k(rL = r2= . .. =г А ), то соответствующие k членов в фор­
муле (3) заменяются слагаемым
е^(С1 + С2х + С^ + . . . +Ckxk-*)4) если пара комплексных сопряженных корней г Ь 2 = а ± | М
уравнения (2) имеет кратность &, то соответствующие k пар
членов в формуле (3) заменяются слагаемым
е"х 1(Сг + С2х + . . . + Ckxk-1) cos PA: +
+ (Ck+l + Ck+2x+ . . . Ч - С ^ - 1 ) sin p*l.
1107. Решить уравнения:
1) у"-Ьу'-6у
= 0;
2) у'"-6у'+13у'
5) f/<4>+13i/2) + 36i/ = 0;
= 0;
6) </7> + 2*/<5> + */(3) = 0.
Р е ш е н и е . 1) Заменяя в данном дифференциальном уравне­
нии функцию у единицей, а ее производные соответствующими
степенями г, напишем его характеристическое уравнение: г2—
_ 5 г — 6 = 0.
Корни этого уравнения /^ = 6, г2 = — 1 действительны и раз­
личны. Поэтому, согласно правилу 1, искомый общий интеграл
данного уравнения будет y = C1esx + С2е~~*.
2) По указанному правилу составляем характеристическое
уравнение: г 3 —6г 2 +13г = 0. Оно имеет один действительный
однократный корень гх — 0 и пару комплексных сопряженных
корней г2тз = 3 ± 2 £ . Согласно правилам 1 и 2 общий интеграл
данного уравнения у = Сх + ё*х (C2cos2x + C9 sin 2x).
3) Написав характеристическое уравнение г2 + 4г + 4 = 0,
находим, что оно имеет равные действительные корни гх== г0 = —2. Согласно правилу 3, общий интеграл данного урав­
нения 8 = е~**(Ск + С20.
4) Характеристическое уравнение г 4 —1 = 0 данного диффе­
ренциального уравнения уш—у = 0 имеет корни rl = — \i г 2 = 1 ,
г 3 , 4 = ± ^ Поэтому, согласно правилам 1 и 2, искомый общий
интеграл y = Cle~x~\-C2ex + C3cosx + C4t sin дс.
5) Дифференциальному уравнению {/(4) + 13t/<2) + 36# = 0 соот­
ветствует характеристическое уравнение г 4 + 13г2 + 3б = 0 или
'-•-^'
- —401 —
(r2 + 4) (r2 + 9) = 0. Оно имеет две пары мнимых сопряженных
корней r l i 2 = ± 2 i f /"..t4 = ± 3 t . Согласно правилу 2, общий инте­
грал данного уравнения у = Сг соз2х- + С2 sin 2х + Са cos 3*+
+ С4 sin Зх.
6) Дифференциальному уравнению */(7) + 2*/(б> + //3)==0 соот­
ветствует характеристическое уравнение r7 + 2r5 + r3 = 0 или
г 3 (г 2 +1) 2 = 0. Оно имеет трехкратный действительный корень
г = 0 (г, = г 2 = г3 = 0) и пару двукратных мнимых сопряженных
корней r=±i(ri
= rb = i, гб == г7 = — i). Согласно правилам 3 и 4,
общий интеграл этого уравнения y = Cl + C2x-\-C3x2+(Ci +
4- Съх) cos х + (Св + С7х) sin x.
1108- Найти частный интеграл уравнения, удовлетворяющий
указанным начальным условиям:
1) у' + *у' + 5у = 0\ у(0) = - 3 , y'(0) = Q.
2) y'" + ty + 3y' + y = Q\ г/(0) = — 1 , у'(0) = 2, г/"(0) = 3Р е ш е н и е . 1) Вначале находим общий интеграл данного
уравнения. Его характеристическое уравнение г2 + 4г + 5 = 0
имеет корни /Ч,2 =—2 ± i. Поэтому, согласно правилу 2, общий
интеграл у = е~2х (Сг cosx + C2 sin х).
Далее, используя начальные условия, определяем значения
постоянных Сх и С2. Подставляя в общий интеграл заданные
значения х = 0, г/ = —3 (первое начальное условие), получим
—3 = 6°(C1cosO + C u sinO) или —3 = СГ.
Дифференцируя общий интеграл (как произведение)
у = е~2Х [(С2 — 2С1) cos х— (CL + 2С2) sin x\
и подставляя в результат заданные значения х = 0, у' = 0
(второе начальное условие), получим второе уравнение с неиз­
вестными Сг и С2:
0 = б°1(Са —2C,)cosO — ( ^ Ч - г С ^ Б т О ! или С 2 ~2С 1 =-0.
Решая полученные уравнения, как систему, найдем, Сг = —3,
С2 = -6.
Подставляя значения С, и С2 в общий интеграл, получим
искомый частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий
данным начальным условиям: у =—Зе~2Х (cosx + 2 sin x).
2) Характеристическое уравнение г3 + 3г2 + 3г + 1 = 0 или
(г4- 1)3 = 0 данного дифференциального уравнения имеет трех­
кратный действительный
корень г = —1 (rl=r2 = r;i =—1).
Согласно правилу 3, общий интеграл есть у = е~х (Сл + С2х + С^х2).
Дважды дифференцируя его
yf = e-x\C2-Cl
+
(2C3-C2)x-Osx2\;
tf = e-x[Ci-2Cu + 2Cz + {Ct—ACa)x + C9x*]
— 402 —
и подставляя в выражения для у, у' и у" заданные их значе­
ния при х ^ О , получим для определения постоянных С\, C2, С3
систему из трех уравнений:—1=^; 2=С 2 —С 2 ; 3=С Х —2С 2 +2С 3 ,
откуда найдем Сг — — 1; С 2 = 1 ; С3 = 3. Следовательно, искомый
частный интеграл у = е~х (Зх2 + х—1).
Решить уравнения:
1109. */"—5t/' + 6*/ = 0.
1110. y"'—4tf + Zy' = Q.
«<>«-8 + 6 g + 25g = 0.
n,2.g + 5g-0.
1113. у'"-Ъу" + 3у'-у
1114. у"' — 8у™—9у = 0.
= 0.
1117. £/" — £/ = 0, если г/(0) = 0,
у'(0)=\.
1118. #" + 2t/' + 2*/ = 0, если */(0)=1, */'(0)=1.
,119
*- $-+ 2 а ^+ а 2 Р = 0 »
если
р(°) = а ' Р'(0) = О.
§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков
с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение
первой степени относительно функции и ее производных
!f»>
+ pdf-»
+ pt!fi"-»+...+pn_1y'+p,y
= <,(x),
(1)
отличающиеся от линейного однородного уравнения наличием
в правой части некоторой известной функции q от независимой
переменной х.
Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен
сумме какого-либо его частного интеграла ух и общего интеграла
а соответствующего однородного уравнения (получающегося из
неоднородного при q = 0)m
Согласно этому свойству, для решения линейного неоднород­
ного уравнения (1) с постоянными коэффициентами рь вначале
находится функция и (по правилам § 7), затем функция ух.
Их сумма и дает общий интеграл у неоднородного уравнения:
У^и + у^
Для некоторых специальных видов функции q(x) частный
интеграл ух можно найти методом неопределенных коэффициентов.
По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного
интеграла ylt где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и
затем найти его без всяких квадратур в следующих простейших
случаях:
1) q(x) = emxP (х), где Р (х) — многочлен, *
2) q(x) = eax (A1cGsbx~\-A2s'mbx)i
3) q(x) есть сумма указанных функций.
* В частности, если /п = 0, то g (х)— многочлен, а если Р(х)есть посто­
янная с (многочлен нулевой степени), то q (х) — показательная функция сетх.
— 403 —
В этих случаях уг есть функция, подобная q{x)y т. е. отли­
чается от q(x) только числовыми коэффициентами.
Но если число т (для случая 1) или числа aztbi
(для
случая 2) являются корнями характеристического уравнения
кратности ky то уг отличается от q (x) множителем лЛ
Таким образом, для указанных видов правой части q(x), зная
заранее вид функции уг и написав ее выражение с неопределен­
ными буквенными коэффициентами по указанному правилу, затем
находим их, подставляя yv в данное неоднородное уравнение
и сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства.
В общем случае, при любой функции q (x) частный интеграл yv
уравнения (1) можно найти посредством п квадратур (интеграции)
по формуле
ух=ег1х\е<г*-Чх[1е{г>-г1*[
(*)
где rlt г2, . . . , г„—корни характеристического уравнения.*
Из этой общей формулы вытекают и правила нахождения
частного интеграла уу для указанных специальных видов функ­
ции q (JC).
При лг = 2, т. е. для уравнения второго порядка,
yL = er>x \ *"»-'•>х ( J qe-r*xdx) dx.
(2)
Для уравнения третьего порядка (я = 3)
уг=е'*х $всг.-г.> x [ J elr*-r*> х ( J qe-r*xdx) dx] dx.
(3)
Пользуясь этими формулами, полезно иногда выражать три­
гонометрические функции через показательные по формулам
Эйлера (гл. IX, § 6).
1120. Решить уравнения:
1) </" + 6у' + 5у = 25х2—2;
3) у" — 6у' + 9у = 3х—8ех\
2) if — 2у' + 10t/ = 37cos3jc;
4) у'" + 4у' = 8е*х + 5ех sin х.
Р е ш е н и е . 1) Вначале находим общий интеграл и однород­
ного уравнения у" + 6y'-f5y = 0, соответствующего данному неод­
нородному уравнению. Его характеристическое уравнение г 2 +
+ 6г + 15=:0 имеет корни гх = — 5, г2 = — 1 . Поэтому (согласно
правилу 1, § 7) и = С1е^5х -\-С2е~х.
Далее находим частный интеграл yi данного неоднородного
уравнения. Для правой части данного уравнения q(x) = 2bx* — 2,
* Если в формуле (*) после каждой интеграции прибавлять произвольную
постоянную С/, i = \, 2, . . . , / 2 , то получится не частный интеграл ylt a
общий интеграл у уравнения (1).
— 404 —
согласно указанному правилу (случай 1, число т = О и не является
корнем характеристического уравнения), уг есть функция, по­
добная q(x), т. е. многочлен второй степени: ух = Ах2 + Вх + С.
Отсюда, дифференцируя, находим у\ = 2Ах + В, у\=2А и
подставляя уи у[, у\ в данное уравнение, получим равенство
2А + 6 (2Ах + В) + 5 (Ах2 + Вх+ С) - 25х2 — 2
или
5Лх2 + (12i4 + 5Я) х + (2А + 65 + 5С) = 25х2—2.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из
обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тож­
дественным, получим систему
ЪА = 2 5 , 1 2 Л + 5 В - 0 , 2А+6В + 5С= - 2 ,
из которой находим А = 5, В=—12, С = 1 2 .
Следовательно, у1=Бх2—12А: + 12, а искомый общий интеграл
данного неоднородного уравнения
5x
+ C2e-x + 5x2—12*+12.
y = tl + yl = Cle2) Составляем характеристическое уравнение г 2 —2г+10 = 0,
лределяем его корни r l i 2 = l ± 3 f и (согласно правилу 2, § 7 )
заходим общий интеграл' и однородного уравнения, соответст­
вующего данному неоднородному уравнению
и = е* (Сх cos Зх + С2 sin 3*).
Частный интеграл ух данного неоднородного уравнения, соот­
ветственно его правой части q (х) = 37 cos Зх (случай 2 при а = О,
6 = 3, числа a±bi = ±3i не являются корнями характеристи­
ческого уравнения), будет функция вида
ух = A cos Зх + В sin 3*. *
Подставляя функцию ух и ее производные
у[ = — ЗЛ sin ЗА:+ ЗВ cos ЗА:,
у\ = —9 A cos ЗА:—9 В sin ЗА:
в данное неоднородное уравнение, получим равенство
(А —6В) cos 3x + (B + 6A) sin ЗА: = 37 cos Зл,
которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов
у подобных членов (у cos ЗА: И у sin Зле) в обеих его частях:
А— 6В = 37;
В + 6Л = 0.
* В данном уравнении q(x) = 37 cosSx. Но если бы его правая часть
была i42sin3A: или A1cos3x-\- A2 sin3x, то все равно, согласно правилу,
данному для случая 2, частный интеграл уравнения следовало искать в виде
функции указанного вида, т. е. у1 — А cosix-{-В sin3x.
— 405 —
Решая эту систему, найдем Л = 1; В —— 6. Следовательно,
yl = cos3x — 6 sin Зх,
х
у = и + у1 = е (Сг cos Зх + С. sin Зх) + cos Зх — 6 sin Зх.
3) Написав характеристическое уравнение г2 — 6г + 9 = ()или
(л —3)2 = 0 и найдя его корни ^,0 = 3, получим (по правилу 3,
§ 7) общий интеграл соответствующего однородного уравнения
a = e[iX{C1 + C2x).
Правая часть данного уравнения есть сумма многочлена первой
степени Зх и показательной функции —8ех (случаи 3 и 1).
Поэтому частный интеграл этого уравнения yt = Лх-'г BArCex.
Подставляя уг, у'х = А-\-Сех, у"=Сех в данное уравнение
9 А х + (9В — 6 А) + \Сех = Зх — 8ех
и приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства, имеем систему: 9 Л = 3 , 9В — 6 Л = 0 ,
1
4С= — 8, из которой находим Л = у ,
Следовательно,
2
В=-~-, С = — 2 .
tf = «+ffi=« 3 X (C 1 + C2x) + -i-x + | -
-2ех.
4) Характеристическое уравнение г3 + 4г = 0 имеет корни
гх = 0, r2>3 = ± 2 i , поэтому общий интеграл соответствующего од­
нородного уравнения есть
и = С1 + С9 cos 2х + С3 sin 2x.
Частный интеграл уу данного неоднородного уравнения, со­
гласно указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), есть функция,
подобная правой части;
уг = Ае2Х + ex(Bcosx + C sin x).
Для определения коэффициентов Л, В, С находим производные
у\ = 2Ае2Х + ех [{В + С) cosx+ (С — В) sin х],
г/'; - 4Ле2Х + 2ех (С cos x — В sin x),
у7 = 8Л<?2* + 2ех \(С - В) cos х - (В + С) sin х],
подставляем у и у"' в данное уравнение:
16Аегх + 2ех [(В + ЗС) cos х + (С — ЗВ) sin х] = 8е2Х + Ъех sin x
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему
16Л=8, 2(В + ЗС) = 0, 2(С—ЗВ)=5, из которой находим Л = у ,
4 *
4
— 406 —
Следовательно,
yl = -j £2* + j e* (Sin * — 3 cos JC),
// = ы + yt = Cx + C2 cos 2* + C3 sin 2x-\--^ e2* + ~ ex (s\n x—3 cos x).
1121. Решить уравнения:
3) V / / + r// = 3 ^ + 2 s i n | ;
4)* *,'" + </"= 1-6* 2 *-*.
Решение.
1) Написав характеристическое уравнение
г4—3г2 = 0, находим его корни г 1 2 = 0, г3>4 = ±к Л 3' и, по пра­
вилам § 7, составляем общий интеграл и соответствующего одно­
родного уравнения: u = C1 + C2x + C3ev*x + C/le-v*x.
Правая часть данного неоднородного уравнения есть многочлен
второй степени, т. е. функция вида етх Р(х) (случай 1), где число
<п = 0 и является двукратным корнем характеристического урав\гия. Поэтому, согласно правилу, указанному в начале этого
раграфа, частный интеграл уу данного уравнения отличается
т правой части множителем х2, т. е.
2
2
2
Уг = х (Ах + Вх + С) = Ах* + Вх* + Сх .
Чтобы определить значения коэффициентов А, В, С, находим
производные
2
2
у[« 4Ах* + ЗВх + 2Сх, у\ = 12Ах + 6Вх+ 2С,
U)
у';' = 24Ах + 6В, y = 2iA,
подставляем у" и y(i) в данное уравнение
24Л—3(12ЛЛ: 2 + 6ВЛ; + 2С) = 9Х2
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л:, получим
систему: —36Л = 9,—18В = О, 24Л—6С = 0, из которой получим
А = —-j-> В = 0, С = — 1 . Следовательно,
l/i = - ^X- * 2 ;
y^u + y^C.
+ C.x + C ^
+
C.e-^-'j-x2.
2) Здесь характеристическое уравнение г3—Зг2 + 2г = 0 имеет
корни гх = 0, г 2 = 1, г3 = 2, поэтому общий интеграл соответству­
ющего однородного уравнения есть функция и — Сг + С.ге* + С3е2'Правая часть данного уравнения есть функция видаг|Я|'Р1 ( 0 +
+е**Р 2 (0 (случаи 3 и 1), г д е т , = 2, Р 1 (0 = 4, т 2 = 3, P2(t) = — 3,
причем число тг является однократным корнем характеристи­
ческого уравнения. Поэтому частный интеграл хх данного урав­
нения есть функция вида
x1 = Ateut + Be»\
— 407 —
Далее, найдем производные
x'i = Ae»(l+2t)
+ 3Be3t,
х';' = 4Ае*'(3 + 2П + 27Ве**,
подставим их в данное уравнение 2Ле2' + 6В£3' = 4е2' — 3e3i и,
сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей
полученного равенства, получим систему 2Л = 4, 6В = — 3, из
которой найдем А = 2, В==— -^ .
Следовательно,
xl = 2te*t—^eU,
x = u + xl = Cl + C2el + Cse*1 + 2te2t — \еъ*.
3) Характеристическое уравнение 4r3 + r = 0 имеет корни
r
i = °. г2,з = ± у ' » поэтому
u = Ci + C2 cos — + C3 sin у .
Правая часть данного уравнения есть сумма функций вид.
е Р(х) и eax(Alcosbx+
Л2 sin foe), где m = l , P(JC) = 3, а = 0,
6 = у , Лх = 0, Л2 = 2. (Случаи 3, 1, 2.) Число m не является
тх
корнем характеристического уравнения, а числа a ± W = ± y '
являются его однократными корнями. Поэтому частный интеграл
данного уравнения есть функция вида
ух = Ае* + х ( В cos у + С sin ~ ) .
Для определения коэффициентов Л» В, С трижды дифференци­
руем функцию ylt подставляем у\ и у" в данное уравнение
5Лех —2В cos -*-—2С sin | - = Зех + 2 sin - |
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему
5 Л = 3 , — 2В = 0, — 2С = 2, откуда имеем Л = - | , В = 0,С = — 1,
Следовательно,
3
У1==-5е
х
• х
— *Siny,
у - u + ух = Сх + С, cos у + C3sin|- + -5^—^ sin j
t
4) Характеристическое уравнение г 1 -|/- 2 = 0 имеет корни
г 1 2 = 0, г3=—1; общий интеграл соответствующего однородного
— 408 —
уравнения
и = С>+С2х + С3е-х.
Правая тчасть
данного уравнения есть функция вида
х
ет>хР1(х)
+
е
>
Р
т 2 = — 1, Р2(х) =
2(х), где m1 = 0, Pt(x)=lf
= —6л:2. (Случаи 3 и 1.) При этом число тг есть двукратный
корень, а число т2 есть однократный корень характеристичесского уравнения. Поэтому частный интеграл данного уравнения
Уг
= Ах2 + х (Вх2 + Сх + D) е'х.
Подставляя эту функцию в данное уравнение, получим ра­
венство
2Л + [ЗВл;2 + (2С— 12В)х + (6В—4C + D)]e~x=l—
6ЛГХ,
откуда имеем систему
2Л=1,
ЗВ = —6,
2С— 12В = 0,
6B-4C+D
= 0f
из которой найдем
Л = у , В = — 2 , С = —12, D = - 3 6 .
Следовательно,
ух = у х2—2х (х2 + 6х + 18) е-*,
у = и + у1 = С1 + С2;с + С з ^ х + у ^ - 2 х ( х 2 + 6 х + 1 8 ) ^ Л .
1122. Пообщей формуле (*) найти частный интеграл уравнения:
О y" + *y' + 4y = e-*xsec*x; 2) у" + 5у'+ 6у = (е*х + 1) 2 ;
3) у ' " —3jf+ 3y' — r/ = 5 x V 4 3 e 2 * ; 4) / + 4</ = cos 3 *.
Р е ш е н и е . 1) Сначала составляем характеристическое урав­
нение г2 + 4г + 4 = 0 и находим его корни r l t 2 = —2. Затем под­
ставляем эти корни и правую часть q (х) данного уравнения
в формулу (2) и, дважды интегрируя, получим искомый частный
интеграл:
у1==е-2Х
J Q s e c 2 * dx} dx = e~2X J igxdx = — e~2x ln| cosx|.
2) Характеристическое уравнение r2 + 5r + 6 = 0 имеет корни
ri =— 3, r2 = —2. Подставляя их и правую часть данного
уравнения в формулу (2), получим
yL = e~3x ^ех [^е2* (е™ + l)"Tdjc] dx.
— 405 -
Интегралы находим отдельно:
ix=j e« ( ^ +1) ~Tdx=Y\
(e'2X + l ) " T j (e2x +1)=—te2*+1) ~ ;
Следовательно, искомый частный интеграл данного уравнения
у1 = — е-**\п(ех + Уе2Х+ 1).
3) Характеристическое уравнение г3 — З г 2 + 3 г — 1 = 0 имеет
корни r1 = r2 = r 3 = 1. Подставляя эти корни и правую часть дан­
ного уравнения в формулу (3) и трижды интегрируя, получим
У1
= е* J { J [$(5х а + Зех) dx\ dx}dx =
4) Характеристическое уравнение г 2 + 4 = 0 имеет корпи
rif2 = ± 2 / . Пользуясь формулой (2), получим
yx=:e2ix \e~Aix (\e2txcosa
xdx} dx.
Выражая cos 3 * через показательные функции (по формуле
Эйлера, гл. IX, § 6) и интегрируя, найдем
1г = Г e*ix cos3 х их = f e2ix
=
1 fetx
87\"5Г
еГ1Х
1
е'Ых .
~i •"
{^f^Ydx=-
е~ы*\л
Ы ) '
Вторично пользуясь формулами Эйлера, выразим результат
через тригонометрические функции
уг =— j Г-g-cos3JC—2со5х] = ~ (cosx—-^-COS3JM .
Решить уравнения:
1123. y" + 4y = 5ex.
1124. y" + y'—2y = 6x2.
1125. yT + 6y' + 9*/= 10 sin x. 1126. i,'"—/—4i/' + 4*/=x2 + 3.
1127. g : _ 2 * = /<r<.
1128. g _ 2 g = 4 ( * + l ) .
1129. */" + 9i/ = 15 sin 2д:, если */(0)=—7, t/'(0) = 0.
1130. */"—Зу' = 3х + х\ если y(Q) = 0, y'(Q) = £.
— 4/0 —
1133*. r/' — 2yf + y = xex.
1134*. ;/" — 5i/' + 6</ = 6 + 2ex + e2*.
2
1135*. у — 4r/' -f 13y = e * cos 3*. 1136*. yU) + 2y(2> + y = 8 cos*.
По общей формуле (*) найти частный интеграл уравнения:
1137. у"-Ьу' + 6у = ех(ех+4).
1138. tf +
2y'+y*=xexcosx.
x
11
1139. if + 6у' + 9y = e'* cos х. 1140. */'+ 16*/ = sin3 v.
1141. у" —Зу'+ 2у = е2Х (ех + I)" 1 . 1142. г/'"+ 4*/'= sin 2 * cosх.
§ 9. Смешанные задачи на интегрирование
уравнений разных типов
В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены
наиболее употребительные типы дифференциальных уравнений,
приводящихся к квадратурам, и указаны способы их решения.
В нижеследующих задачах студент должен самостоятельно
определить тип данного дифференциального уравнения и затем
решить его соответствующим способом.
1143. хуу' + х2—у2 = 0.
1144. \ + (xcosy — s'm2y)y' = G.
1145. х + уу' + (\+у')ху = 09 если г/(0) = 0.
1146. (ycos^—x)dx
= xcos^dy. 1147. 2xsyy' + Sx2y2 + 7 = 0.
1148. t/"+4 = 8cos a x, если у(0) = у (0) = 0.
1149. ху' cos у + sin у = 0. 1150. (1 — л;*/3) dx = x2y2 dy.
1151. у" sinjt= (1 +у') COSJC, если < / ( у ) = 0 > ^ ' ( т / — * •
1152*. y2dx—(2xy
— 3)dy = Q, если # ( 1 ) = 1 .
1153. (1 — ye'x)dx+e'еxdy=0.
1154*./—2y'+y=4e x +e- x s\nx.
1155. </' + # ' = 2* V , если (/(0) = 5, / ( 0 ) = 0,5.
1156. */"sin£/-2 0/') 2 cos# = 0, если у(0) = ~-, / ( 0 ) = 2.
1157. y ' " s i n 4 x = s i n 2 x . 1158*. f/r/' — Згу' — 2/у — sin JC = 2 cosJC.
1159. у'" —у" — y' + y = 3x + ex(24x—4).
1160. y" + y = secx. 1161*. / + 2a#' + a 2 #=K*e~**.
§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Задачи, решение которых приводится к интегрированию
дифференциальных уравнений, содержащих производные или
дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны.
В таких задачах ищется функция или зависимость между пере­
менными факторами какого-либо физического, химического или
технического процесса, уравнение (форма)линии или поверхности.
При решении этих задач вначале составляется дифференциаль­
ное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным
способом в зависимости от его типа.
— 411 —
Дифференциальное уравнение задачи составляется по ее усло­
вию и в зависимости от условия задачи оно получается либо как
соотношение между дифференциалами переменных величин, либо
как соотношение, содержащее производные неизвестной функции.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде
соотношения между дифференциалами переменных можно делать
различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не
отражающиеся на результатах. Так, например, подобно тому как и
при отыскании дифференциала неизвестной величины (гл. V,§3),
здесь можно небольшой участок кривой считать прямолинейным,
небольшой участок поверхности —плоским, в течение малого
промежутка времени переменное движение можно рассматривать
как равномерное, а всякий физический, химический или техни­
ческий процесс как протекающий с неизменной скоростью.
При составлении дифференциального уравнения задачи в виде
соотношения между производными используется геометрический,
физический или механический смысл производной (гл. II, § 1 , 1 1 ,
12, 14, 15).
Кроме того, при составлении дифференциального уравнения
задачи, в зависимости от ее условия, используются известные
законы физики, химии, механики и других наук и различные
математические сведения.
1162. У какой кривой отрезок любой касательной, заключен­
ный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью орди­
нат пополам?
Р е ш е н и е . Уравнение касательной в любой точке (ху у)
искомой кривой будет Y — y = y'(X — x)> где X, У — координаты
любой точки на касательной (гл. II, § 11).
Полагая в этом уравнении У = 0, найдем абсциссу Х0 точки
пересечения касательной с осью Ох: Х0 — х — ~ .
Согласно условию задачи, Х0 + лс = 0, т. е. 2х—^=--0.
Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как
уравнение с разделяющимися переменными, получим
2df = ^;
2 1 n | y | = I n | * | + lnC;
у2 = Сх.
Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной
в начале координат, симметричная относительно оси Ох.
1163. Какую форму должна иметь однородная вертикальная
колонна с круглым поперечным сечением, чтобы давление удержи­
ваемого ею груза Р и ее собственного веса, приходящееся на
единицу площади горизонтального сечения, было всюду одина­
ково? (Колонна равного давления.) Удельный вес материала
колонны 6, а радиус ее верхнего основания г.
Найти затем радиусы верхнего и нижнего оснований мосто­
вого быка, чтобы давление в любом его горизонтальном сечении
— 412 —
было 3000 кГ/дм2, если удельный вес материала быка 2,5, его
высота 12 му а удерживаемый им груз 90 000 кЛ
Р е ш е н и е . Пусть сечение колонны вертикальной плоскостью,
проходящей через ее ось симметрии, имеет вид, изображенный
на черт. 210.
Выбрав прямоугольную систему координат хОу, пересечем
колонну горизонтальной плоскостью, проходящей через произ­
вольную точку М (х, у) искомой кривой АЛХ и определим давле­
ние груза Р и собственного веса верхней отсеченной части
колонны на единицу площади полученного
горизонтального сечения MN.
Объем верхней отсеченной части колонны
как объем тела, образованного вращением
криволинейной трапеции ОАМВ, прилежащей
к оси Oxt вокруг оси Ох (гл. V, § 5),
v = я V у2 dxy а ее вес Q — бу.
Взяв отношение P + Q к площади 5 = пу2
сечения MN', получим давление на единицу
Черт. 210
площади этого сечения, которое по условию
задачи должно быть равно давлению на единицу площади лю­
бого другого горизонтального сечения.
Давление на единицу площади верхнего основания колонны
равно ~ а , г = ОАу что следует из условия задачи. Поэтому
иг*
P+ Q
^р-
=
Р
пг
—л2
p s
п , п
или P + Q = —2f
X
P + nb^y2dx
=
^y2
Дифференцируя обе части этого равенства, получим диффе­
ренциальное уравнение кривой АА1
2Р
nby2dx = ^rydy.
Решая его как уравнение с разделяющимися переменными,
найдем
лог2 у
nor*
J
Из условия у = г при х = 0 находим, что постоянная с =
Следовательно, уравнение кривой ААХ есть
2Р .
х = -g-з In
-413
—
2Р In г
^-^
(1)
а искомая форма колонны равного давления есть поверхность,
образованная вращением этой кривой вокруг оси Ох:
х = -т~} In
ЛО>
2
y
^
.
Г
При такой форме колонны давление во всех ее точках будет
одинаково.
Для указанного в условии мостового быка радиус верхнего
основания определяется из равенства
2 ^ = 3000; г^З,09<Элс,
а радиус нижнего основания путем подстановки известных вели­
чин в равенство (1)
2-90000
lon
120
,
rx
0 ПЛ
^ 1 Г 2 ^ Г з Т 1 ^ 1 г 1 з т Ь ; ' i « 3 , 2 4 м.
Аналогично определяется и форма длинных стержней или
канатов, которые под действием собственного веса и некоторого
груза имеют во всех поперечных сечениях одинаковое натяжение.
1164. Найти зависимость скорости падения тела в воздух
от времени, если сила сопротивления воздуха пропорциональна
квадрату скорости v и площади S наибольшего сечения тела
перпендикулярного к направлению движения, F = kSv2.
Найти затем: 1) поведение скорости падения тела при воз­
растании времени и 2) радиус парашюта, чтобы при общем весе
парашюта и летчика в 100 кГ наибольшая скорость падения
не превосходила 5 м/сек, полагая /2 = 0,083.
Р е ш е н и е . Согласно условию задачи и второму закону
Ньютона в механике, дифференциальное уравнение движени
центра тяжести падающего тела будет
m-^ = mg — kSv2
или
-^=g-av2,
a= —y
где m — масса тела, и — скорость падения тела в момент времени
/, g — ускорение силы тяжести.
Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим
d
-
g—av2
;
= dt.
'
f=
'
2 Vag
l n ^ *
+ p
^ + C.
Vg — v \Ta
(2)
Из начального условия v = 0 при / = 0 определяем значение
постоянной с = 0, подставляем его в равенство (2) и, разрешая
это равенство относительно v, найдем искомую зависимость
* Если линия / (Ху */) = 0, лежащая в плоскости хОу% вращается во­
круг оси Ох, то уравнение полученной поверхности вращения будет
— 414 —
No page in original
No page in original
Зл;
жащего щШ(кг) соли, а выльется 3d/ (л) рассола, содержащего
~.dt (кг) соли у т. е. за время dt количество соли во втором
резервуаре изменится на величину
dy = 0,03Л:dt — 0,03yd/, или d// = 0,03(x-//)d/.
Заменяя х в этом уравнении по формуле (4), получим линей­
ное уравнение 1-го порядка
d*/ = 0,03(10<r°>03!-i/)d/,
//' + 0,03*/= 0,3<r0'oa,f
общий интеграл которого
Mt
y = e-* (cx + Qt3t).
(Его легко найти способом, указанным в § 4.)
Значение постоянной сг = 0 определяем из начального условия:
у^О при / = 0.
Следовательно, зависимость количества соли у во втором
сосуде от времени / будет
*/ = 0,3/<r°' 03t .
Искомый момент времени, в который количество соли в обоих
сосудах будет одинаково, найдем, полагая х = у:
10е-°' оа ' = 0,3/<Г0'03'; 10 = 0,3/; t = 33-^ сек.
о
В этот момент в каждом сосуде будет по — ^ 3 , 6 8 кг соли.
1167. Локомотив движется по горизонтальному участку пути
со скоростью 72 км/час. Во сколько времени и на каком рассто­
янии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движе­
нию после начала торможения равно 0,2 его веса.
Р е ш е н и е . Согласно второму закону Ньютона в механике,
дифференциальное уравнение движения локомотива будет
где s— путь, пройденный за время /, т — масса локомотива, g—
ускорение силы тяжести.
Умножая обе части этого уравнения на dt и затем интегрируя
дважды, получим
fi = — 0,2gt + cl9 s==-0,]gt* + cvt + c2.
Значения постоянных с1 и с2 определяем по начальным
условиям: при / = 0 , s = 0, ~ = 72 км/час- = 20 м/сек.
Из первого условия имеем с2 = 0. Из второго условия следует,
что с{ ~ 20.
14 к, У20\
— 417 —
Следовательно, уравнения движения локомотива будут
d
± = v = 20 - 0,2g/ (м/сек),
(5)
dt
2
s=--20t— 0,1 gt (м).
(6)
Полагая у = 0 в уравнении (5), найдем время торможения,
в течение которого локомотив будет остановлен тормозом:
.
20
T
100
1П
~o^g ~9j~
о
\u9zceK.
Полагая £ да 10,2 в уравнении (6), найдем тормозной путь:
s да 20-10,2-0,1 -9,8-10,22 да 102 м.
1168. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью
200 м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/сек.
Найти, сколько времени продолжалось движение пули через
доску, если сопротивление доски движению пули пропорцио­
нально квадрату ее скорости.
Р е ш е н и е . Пусть т —масса пули, 5 — путь, пройденный ею
за время t, отсчитываемое от момента входа ее в доску. Тогда
дифференциальное уравнение движения пули через доску будет
d2s
т
, fdsy
или
№=-Ь[Ш)
d'fs
/<fs\2
k
dr» = - f l U ) '* = «
Полагая в этом уравнении 2-го порядка -^ = и,
получим
уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
dv
0
Tt=
— av\
du
j ,
^ = — adtf
интегрируя которое, найдем
1
4
1
I
— = at-\~cl или v = —r\—.
По начальному условию и = 200 при /=-0, данному в задаче,
определим постоянную cL:
200
С
= сТ-
^Ш-
Следовательно, зависимость скорости движения пули через
доску от времени будет
200
V=
~\+2MaC
Полагая в последнем уравнении v = -jjt
ные и интегрируя, получим
— 418 —
1
п
'
разделяя перемен­
Из условия s = 0 при / = 0 следует, что с2 = 0.
Следовательно, зависимость расстояния, проходимого пулей
в доске, от времени будет
s = l In (1 + 200а/).
(8)
Полагая v = 50 в равенстве (7) и s = 0,1 (м) в равенстве (8j,
получим систему уравнений с неизвестными / и а:
Ь0
= ТТЖГ
0,1 = 1 In (1 +200а/).
Определив из первого уравнения 1 + 2 0 0 а / = 4 и подставляя
во второе, найдем значение а:
0,l=-ln4;
a = 10 In 4.
Наконец, подставляем значение а в первое уравнение решае­
мой системы и определяем из него искомое время полета пули
через доску:
50==
Й-(20(Ы01п4)Г
'
=
20001n4~°>001
СеК
'
1169. Цепь, висящая на гладком крюке, соскальзывает вниз.
В начале движения по одну сторону крюка свисает 10 м цепи,
а по другую 8 м. Не учитывая сопротивлений, найти: 1) во
сколько времени с крюка соскользнет вся цепь и 2) какова
будет скорость цепи в начальный момент ее свободного падения.
Р е ш е н и е . Если в момент времени / длина движущейся
вниз части цепи равна s (м)у то в этот момент сила F, движущая
.цепь, равна разности между весами частей цепи, свисающими
по разные стороны крюка, F=--6gs — Sg(18 — s) = 26g (s—- 9), где
б —масса 1 м цепи, g— ускорение силы тяжести.
Согласно второму закону механики, дифференциальное урав­
нение движения цепи будет
1 8 6 ^ ! = 2 S g ( S - 9 ) или 9 g = g ( s - 9 ) .
Решим его как неполное уравнение 2-го порядка, не содер­
жащее явно независимой переменной / (§ 6)*.
г-.
ds
Полагая
ш
d2s
dv
ds
dv
= и, имеем ^ = ^ . Ts = vTg ,
9 y ^ = g(s —9); 9vdv = g(s — 9)ds;
| ^ = | ( s - 9 ) 4 - | ' . 9u« = g(s-9)» + cl.
* Иначе его можно решать как линейное неоднородное уравнение с по­
стоянными коэффициентами (§ 8).
14*
— 419 —
Значение постоянной с, определяем из начального условия,
данного в задаче: при s = 10, у = 0:
0 = g ( 1 0 - 9 ) 2 + c i ; Cl = - g ;
9^==g(s-9)2-g.
(9)
ds
Заменяя в уравнении (9)v = -^-, разделяя переменные и ин­
тегрируя, получим:
d(s — 9)
/(.<; —9) 2 — I
i^rf/;
ln[s-9
Значение постоянной с. определяем из начального условия:
при / = 0, s= 10.
In I = t\>; cz = 0;
(Ю)
/ = ^ l n [ s - 9 + K(s-9)2-l|.
Время, за которое с крюка соскользнет вся цепь, найдем
из уравнения (10), полагая в нем s= 18:
f = -*L|n(9-|-V80) 2Т9 сек.
Скорость цепи в начальный момент ее свободного падения
найдем из уравнения (9), полагая в нем s = l 8 :
v = —jp2- « 9 , 3 м/сек.
1170, Шарик скатывается по гладкому желобу, изогнутому
по циклоиде (черт. 212). Не учитывая трения и сопротивления
воздуха, найти: I) зависимость пути,
проходимого центром тяжести шарика,
от времени; 2) за какое время шарик
\A(0,Za)
скатывается от начала желоба до его
\оЛ/
низшей точки: а) по желобу и б) по пря­
мой линии.
Х
^av4^
--**
Р е ш е н и е . Если тело массы т
0
В(жа.0)
движется как угодно в плоскости или
Черт. 212
в пространстве, то равнодействующая
F приложенных к нему сил и уско­
рение w его центра тяжести связаны соотношением mw=F. (Вто­
рой закон Ньютона в механике.)
Из этого соотношения между векторами можно получить
соотношения, содержащие скалярные величины, проектируя
векторы F и w на какое-либо направление. Так, если проекция
— 420 —
w на какую-либо ось есть wk, а проекция г на туже ось есть
Fk, то mwk = Fk.
Согласно этому закону механики, проектируя ускорение
центра тяжести шарика и действующую на него силу на на­
правление касательной к траектории (циклоиде), получим диф­
ференциальное уравнение движения центра тяжести шарика:
m~ = mgs\na,
(11)
где s = AM — путь, пройденный центром тяжести шарика за
время /, т — масса шарика, g — ускорение силы тяжести.
1) Чтобы в этом уравнении было только две переменных,
выразим sin а через s, исходя из параметрических уравнений
циклоиды х = а(<р — sin <p)T */ = а (1+coscp) относительно указан­
ной на чертеже прямоугольной системы координат.
Найдем производную
л
J
•
dx
Л
2S1I1 -£ COS -£•
a (\—cos w)dw
x
^/ Y
ё
_ . „ф
2 sin2 -£^
2*
.•
затем дифференциал дуги циклоиды
ds = V\ + (y')2dx= | / l + c t g 2 - | - 2 a s i n 2 | - r f ( p = 2 f l s i n | - ^
и длину ее дуги AM
<Р
s=\2a
sin ^rfq> = 4flcos-9M° =4a(l
— cos^-V
(*)
0
Отсюда
c o s y = l — ^ , a из чертежа
#' = tg(:rc — <x) = — t g a .
Поэтому
tga
sin a = t g a cos a == / ._?
•=
*
l^l + t g ' a
т. e.
ct2^
y'
* 2
Ф
^
= —r
= cos -*: ,
2
)Л+(;/)а
1/1+с^2Ф
'
sin a = 1 — -'- .
4a
Следовательно, уравнение (11) преобразуется к виду
dt2
=
^ ( j ~47i)
или
4fl
5P + ffs =
4fl
ff-
<12)
Решаем его как линейное неоднородное уравнение с постоян­
ными коэффициентами (§ 8)*.
* Иначе его можно решать как неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной t (§ 6).
Характеристическое уравнение 4ar* -\-g = Q имеет мнимые
корни r l>2 = ± t l / ^ = ± f e i . Поэтому общий интеграл соответ­
ствующего однородного уравнения u = cicoskt + ci sin kt.
Частный интеграл s t неоднородного уравнения (12) подобен
его правой части: s t = А. Подставляя sL в уравнение (12), полу­
чим gA~4ag,
А = 4а, т. е. s1 — 4a.
Общий интеграл уравнения (12) есть
s = u + sl = 4a + c1coskt -\-c« sin/?/.
(13)
Значения постоянных сг и с2 определим из начальных условий
при / = 0, 5 = 0, ^ = 0.
Из первого условия имеем: 0 = 4^ + ^ ;
сх=—4а.
da
Найдя -г=^—cxk sin kt + c2kcoskt из равенства (13) и ис­
пользуя второе условие, получим: Q = c2k; с 2 = 0 .
Следовательно, искомая зависимость пути, проходимого цент­
ром тяжести шарика, от времени будет
(14)
s = 4a((l-cos/}/£).
I—cos/
2) В низшей точке В желоба ос==0. Поэтому из уравнения (11)
,ч
d2s I
—'
следует, что -^ = 0 , а из уравнения (12) следует, что АВ^4а.
(Длину дуги АВ циклоиды можно найти и по формуле (*) при
сра = л.)
^
Подставляя s = АВ = 4а в уравнение (14), найдем время ска­
тывания шарика от точки А до точки В по циклоидальному
желобу:
4a = 4 a ( l - c o s ; ]/£);
Г
4а
ля
2
cost ] / £ = 0;
Г
£
При скатывании шарика по прямой А В дифференциальное
уравнение движения его центра тяжести будет
d2s
в0
т-р = mg sin Z. А
d2s
или g ^ i = &,
где
Решаем это простейшее уравнение 2-го порядка последова­
тельным интегрированием обеих его частей (§ 6):
— 422 —
При тех же начальных условиях: s = 0 и ^ = 0 при 1 = 0,
найдем Сх = С2 = 0. Поэтому уравнение движения центра тяже­
сти шарика по прямой АВ будет
f>t2
S=—~
:.
J/44- ^
Подставляя в это уравнение вместо s длину прямолинейного
отрезка Л В ^ а У ^ + л^, найдем время скатывания шарика из
точки А в точку В по прямой линии:
Простое сравнение полученных результатов обнаруживает
замечательный факт: АВ> АВ, a t^<CtAB, т. е. хотя кратчай­
шее расстояние между двумя точками есть длина соединяющего
их прямолинейного отрезка, время скатывания шарика по цик­
лоиде значительно меньше, чем по прямой линии.
Объясняется это тем, что при скатывании шарика по дуге А В
циклоиды модуль его скорости возрастает быстрее, чем при ска­
тывании по прямой АВ, хотя в точке В обе эти скорости по
модулю будут одинаковы.
Циклоида обладает еще одним замечательным свойством: вре­
мя скатывания шарика до низшей точки циклоиды не зависит
от его начального положения на циклоиде. Если несколько
шариков, положенных в разные точки циклоидального желоба,
одновременно начнут скатываться, то все они одновременно
достигнут его низшей точки.
В справедливости этого можно убедиться, если для выраже­
ния sin а через s в уравнении (11) вместо точки А за началь­
ную точку движения шарика взять произвольную точку Ах
циклоиды (cp^cpj). Это свойство, также кажущееся парадоксаль­
ным, ибо шарик А должен преодолеть тот же путь, что и
шарик Му и еще путь AM, объясняется тем, что первый шарик
пройдет путь MB быстрее, чем второй, н это обстоятельство
полностью компенсирует излишек пути AM первого шарика.
1171. Найти кривую, у которой все нормали проходят через
точку (2; —3).
1172. Найти кривую, проходящую через точку (3; 4), у ко­
торой отрезок любой касательной, заключенный между осями
координат, делится в точке касания пополам.
1173. Известно, что скорость распада радия пропорциональна
его наличному количеству и что половина его первоначального
количества распадается в течение 1600 лет. Определить, какой
процент данного количества а радия распадается в течение
100 лет.
1174. В воде с температурой 20° в течение 10 мин тело охлаж­
дается от 100° до 60°. Во сколько времени тело охладится до 30°,
если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна
разности температур тела и охлаждающей среды?
1175. В резервуаре находится 60 л рассола, содержащего 5 кг
растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды
и вытекает 2 л рассола, причем концентрация соли поддержи­
вается равномерной. Сколько соли останется в резервуаре через
40 мин?
1176*. Найти форму поверхности, все точки которой оди­
наково освещены одним источником света. (Освещение пропор­
ционально косинусу угла падения и обратно пропорционально
квадрату расстояния. Использовать полярную систему коорди­
нат и формулу tg8 = ~ " , где 0 — угол между полярным радиу­
сом и касательной.)
1177*. Найти кривые, у которых касательная и нормаль
любой точки равноудалены от начала координат.
1178. Моторная лодка движется со скоростью 18 км/час. Через
5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до
6 км/час. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за
15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости
движения лодки.
1179*. Материальная точка массы т брошена вертикально
вверх с начальной скоростью v^ Считая, что сопротивление
воздуха пропорционально квадрату скорости движения, найти:
1) время tx подъема точки до наибольшей высоты;
2) наибольшую высоту It подъема точки;
3) скорость v2 точки в момент ее падения на землю;
4) время г2 обратного падения точки до земли.
1180. Цепь длиной 6 м соскальзывает вниз с гладкой гори­
зонтальной площадки. Не учитывая сопротивлений, найти, во
сколько времени соскользнет вся цепь, если в начальный момент
свисал 1 м цепи.
1181*. Решить задачу 1169, учитывая силу трения, равную
весу 1 м цепи.
1182. Аэросани скользят по горизонтальному снежному полю
со скоростью vQy преодолевая трение лыж о снег, пропорцио­
нальное весу саней, и сопротивление воздуха, пропорциональ­
ное квадрату скорости движения. Найти расстояние, пройденное
санями после выключения мотора, по инерции.
1183*. Вагон, стоящий на прямолинейном горизонтальном
участке пути, приходит в движение вследствие давления ветра,
пропорционального квадрату скорости ветра относительно вагона.
Найти уравнения движения вагона, считая скорость ветра
постоянной и учитывая силу трения, пропорциональную весу
вагона.
— 424 —
Каково будет поведение скорости движения вагона с увели­
чением времени?
1184. Маятник, состоящий из небольшого тела массы т, при­
вешенного на нити длиной /, отклонен от положения равновесия
на небольшой угол G0. Найти уравнение колебаний маятника и
период колебания (не учитывая сопротивлений и полагая
sin В » 9).
1185*. Решить задачу 1184, учитывая сопротивление воздуха,
пропорциональное скорости движения.
§ 1L Метод Эйлера приближенного интегрирования
уравнений первого порядка
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести
к интегрированию известных функций (к квадратурам). Поэтому
большое значение имеют различные приближенные методы интег­
рирования уравнений.
Для уравнения 1-го порядка y' = f(x, у) можно составить
таблицу приближенных значений частного интеграла, удовлет­
воряющего начальному условию у{х0) = у0, или приближенно
вычертить интегральную кривую на некотором отрезке [х0, хп],
пользуясь методом Эйлера.
По методу Эйлера данный отрезок [л0, хп] разбивается точ­
ками xL, x2, . . . , дгя_, на п частичных отрезков.
На первом частичном отрезке [л:0, xL] искомая интегральная
кривая, проходящая через известную точку М0(х0, у0), заме­
няется касательной к ней в точке М0:
У — УЬ = {Х—Ч)У'{ХО> <Л>)>
откуда при х = хх получается приближенное значение yL иско­
мого интеграла уравнения в точке хк:
У1 = Уо + (*i—*о) У' (хо> Уо) =-Уо + >*oV
Далее, тем же способом для отрезка [х19 х2] находим при­
ближенное значение у± искомого интеграла в точке х2:
У* = У± + (x*—*i) У' (*i. У1)==У1 + 'ЧУГ
Продолжая этот процесс, последовательно находим прибли­
женные значения у3, */4j . . . , уп искомого интеграла в точках
#3»
*4»
• • • »
Хп.
С увеличением л, при достаточно малой длине частичных
отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности
решения.
Обычно заданный отрезок [х0, хп] делится на частичные от­
резки одинаковой длины h=^ n~ ° и все последовательные при­
ближенные значения #,, у2, . . . , уп интеграла уравнении //' =
= f(.Xy у)у удовлетворяющего начальному условию
у{х0)-^у0,
— 425 -
вычисляются по рекуррентной формуле
yk^yk-i
+ by'k-!'
k
2
> 3> • • - «•
=^
(*)
1186. Пользуясь методом Эйлера, составить таблицу при­
ближенных значений частного интеграла уравнения у'=у'2—х'1,
удовлетворяющего начальному условию у (1) = 1, на отрезке [1; 2],
разбив его на 10 равных частей.
Р е ш е н и е . Определив длину каждого частичного отрезка
х
Л-
2
1
(шаг таблицы) h= пп ° s = - ^ - = 0,l. находим точки ^ = 1 , 1 ;
х2= 1,2; . . . , разбивающие данный отрезок [1; 2] на 10 равных
частей.
Затем по заданным значениям л' 0 = 1, у0 = 1 из данного урав­
нения у' = у2—х2, находим у'0 — 0 и по формуле (*) вычисляем
У1 = 9о + Л ^ = 1 Зная jCj и у1 из данного уравнения находим у'1 = —0,210 и
по формуле (*) вычисляем jy.2==#i + ^У\ -~- 0,9790.
Далее, исходя из значений х2у y2i вычисляем Уъ = УъЛ~ку'^
затем, зная х2, #3» вычисляем у^ = Уъ + ^У.л и т. д.
Результаты вычислений записываем в следующую таблицу:
k
Ч
Ук
Ук
hyk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
IJ
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1.7
1,8
1,9
2,0
1
1
0,9790
0,9308
0,8484
0,7244
0,5519
0,3264
0,0481
—0,2757
-3,8097
0
-0,210
—0,4316
-0,8236
— 1,2402
— 1 ,7252
—2,2554
-2,7834
—3,2377
—3,5340
0
—0,0210
—0,0482
—0,0824
—0,1240
—0,1725
—0,2255
—0,2783
—0,3238
—0,3534
Здесь столбцы хк и ук представляют искомую таблицу при­
ближенных значений интеграла данного уравнения; остальные
столбцы — вспомогательные.
В задачах 1187— 1190 по методу Эйлера на указанном отрезке,
разделяя его на 10 равных частей, составить таблицу прибли­
женных значений интеграла данного уравнения, удовлетворяю­
щего указанному начальному условию. Все вычисления вести
с точностью до 0,001.
1187. у' = х + у; у ( - 1 ) = 0; [ - 1 ; 0].
1188. у' = 2х-у2\ 0(О) = О; [0; 1].
1189. у'~у*—х; 0(О) = 1; [0; 2].
1190*. у'-0,\у*
= ху; //(1)-0: [1; 2].
— 426 —
§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов
Интеграл дифференциального уравнения не всегда можно
выразить в элементарных функциях или посредством конечного
числа квадратур (интегралов).
В большинстве случаев каждое дифференциальное уравнение
определяет собой особую функцию, которую можно, вообще гово­
ря, представить лишь в виде бесконечного функционального ряда.
Интегралы многих дифференциальных уравнений, общие или
частные, могут быть представлены в виде степенного ряда, схо­
дящегося в некотором интервале значений независимой пере­
менной.
В таком случае ряд, являющийся интегралом уравнения,
можно найти или методом неопределенных коэффициентов или
методом, основанным на применении ряда Маклорена (Тейлора).
Эти методы нахождения ряда, являющегося интегралом дан­
ного уравнения, разъясняются в решениях следующих задач.
1191. Найти общий интеграл уравнения ~ = ^/2 в виде сте­
пенного ряда.
Р е ш е н и е . Пусть искомый интеграл есть степенной ряд
у = ал + а1х + аъх2+я.я+апхя+...,
(1)
где а0, а1ч . . . , ап> . . . неизвестные, подлежащие определению
постоянные.
Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором
интервале значении х, найдем ряд для j - его почленным диф­
ференцированием
£ = а1 + 2а2х + За3х2 + . . . + папхп~1 + . . .
и ряд для у2— почленным умножением ряда (1) самого на себя:
у2 = а>1 + 2a^atx -f 2а0а.2х2 + 2а()а^хя 4 - . . . + а\х2 + 2а1а2х* + . . .
Подставляя эти ряды вместо -т- и у2 в заданное уравнение
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из
обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны
только при этом условии, получим следующую систему:
а
г = а1
2а2 = 2a(iaL
3 a 3 - 2 a 0 a 2 + aJ
\ах — 2a0a3 + 2a t a 2
Решая эту систему, найдем: av^a\\
а^а%"\
...
— 427 —
аг^а\\
аъ = а\\
..,?
Следовательно, искомое разложение в степенной ряд общего
интеграла данного уравнения есть
у = а0(1+а(>х + а1х* + а1х*+ ... +а»х"+ .. .),
где а{) является произвольной постоянной.
Полученный ряд представляет бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем q — aQx и при |<7|<1 имеет сумму
Решение этой задачи показывает достоверность метода инте­
грирования уравнений с помощью рядов, так как непосредст­
венное интегрирование данного уравнения, как уравнения 1-го
порядка с разделяющимися переменными, дает тот же резуль­
тат.
1192. Найти в виде степенного ряда частный интеграл урав­
нения #" + — + у = 0, удовлетворяющий начальным условиям:
г/(0) = 1 , i/ f (0) = 0.
Р е ш е и и е. Полагая, что искомый интеграл представляет
сходящийся степенной ряд (1), найдем ряды для у' и у" его
почленным дифференцированием
у' = а, + 2а2х + За**2 + . . . + папхп'х + . . .
/ / = 2 а а + 3-2аах + 4-За 4 х 2 + . . . + п(п — \)апхп~2 + - ..
Используя начальные условия, найдем значения двух первых
коэффициентов: «/(0) = а 0 = 1 ; у' (0) = а1 = 0.
Подставляя ряды для у, у' и у" в заданное уравнение и сде­
лав приведение подобных членов, получим
(1 -{- 22а2) + ЪЧ& + (а* + *2а4) * 2 + (а8 + 52afi) х* + . . .
. . . + К + (л + 2)Ч + 2 1^+...=0.
' Приравнивая нулю все коэффициенты ряда, находящегося в
левой части этого равенства, так как только при этом условии
ряд будет тождественно равен нулю, получим систему 1-f 22я2 = 0;
32а8 = 0;а а -Ь4 2 а 4 = 0;А, + 5 а я 5 = 0 : . . .; ап + (л + 2)аа|1 + 2 = 0; ...,
из которой определяются следующие значения всех остальных
коэффициентов: а3 = я 5 = а7 = . . . = a ^ + i = • • • = 0;
1_.
__
2а '
"2
"2'»
_
4
1_.
1 .
2 а ! ~1 2 *
2Ма...(2ш)2
fl
2 2 '1 2 6 2 '
4м (/н!)2'
' ' '*
"'
Таким образом, искомый частый интеграл данного уравне­
ния есть степенной ряд
— 1_
*8
_1- — * -
—
— 428 —
-4- ( ~ 1 ) < Я * Й ' Я
который сходится при любом значении х (согласно признаку
Даламбера, так как здесь абсолютная величина отношения
последующего члена ряда к предыдущему:
4 Ь+ Ч('"-Н)Ч 2 * 4* (™02 = 4 (т+1) а
при любом л: и при неограниченном возрастании m стремится к
нулю).
И93. Найти четыре первых члена разложения в степенной
ряд частного интеграла уравнения у' -f- ху2 = 2 cos x, удовлетво­
ряющего начальному условию: у(0)=1.
Р е ш е н и е . Как и в предыдущих задачах, ищем интеграле
виде степенного ряда (1).
Согласно начальному условию у (0) ^ а 0 = 1.
Далее, найдя ряды для у2 и у' и подставляя их и ряд для
cos А:
,
X1
Xх
COSA-= 1—2гЧ-41
X*
.
6 Г + • --
в заданное уравнение, получим
а 1 + ( 1 + 2 а а ) х + (2а1 + З а 3 ) * 2 + . . . = 2 — х 8 + . . .
Отсюда путем сравнения коэффициентов при одинаковых сте­
пенях х из обеих частей равенства найдем aL = 2\ а^=—-^ ;
_
5
°"л ~~ 3 *
Следовательно, искомый частный интеграл есть
1194. Найти разложение в степенной ряд частного интегра­
ла уравнения у" + ху = 0, удовлетворяющего начальным усло­
виям: £/ (0) = 1, </'(0) = 0.
Р е ш е н и е . Пусть искомая функции у (х) разложена в ряд
Маклорена
У(х) = У(0) + ^ х
+ ™*
+ ...+£$>*+...,
(2)
где величины у(0), у'(0), у"(0), . . . являются значениями функ­
ции у(х) и ее производных при х = 0.
Два первых коэффициента у(0) и у' (0) даны в условии за­
дачи, третий получим при подстановке известных величин в дан­
ное уравнение, #"(0)=0, а следующие коэффициенты найдем
путем последовательного дифференцирования данного уравнения:
у'" = -(у+хуу9
{П)
{п
tf° = -{2y'+xymy,
{п
</(5) = - ( 3 y " + * < / " % . . ;
У =— [{п — 2)у -* + ху -*\\ . . . Отсюда при JC---0 получим:
у"' (0) - - 1 ; у<* (0) = у(6> (0) = 0; t/<6) (0) = 1-4; у^ (0) =0*» (0) = 0;
у<»(0) = —1-4.7; . . .
— 429 -
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд Маклореиа (2),
получим искомый частный интеграл в виде ряда
у
3!
Х
^6)
Х
9!
Х
' •••+1
^
(3,/z)!
А
+ —»
который сходится при любом значении *.
1195. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд
частного интеграла уравнения у"—уех =0, удовлетворяющего
начальным условиям: */(0)==2, i / ' ( 0 ) = l .
Р е ш е н и е . Применяя тот же способ, что и в решении пре­
дыдущей задачи, получим:
У' = уех>
У'7(0) = 2,
{a
i/ > = ( у + ! / > * ,
ty' 3 >(0)-3,
ш
У = {у + 2у' + у")е\
</4,(0) = 6,
у
= 2 + х + х2 + ^ + ^-+...
Этот второй способ определения коэффициентов степенного
ряда, удовлетворяющего заданному дифференциальному урав­
нению, который основан на использовании ряда Маклорена*,
в некоторых случаях требует меньшей вычислительной работы,
чем метод неопределенных коэффициентов. Он применим для
отыскания общего или частного интегралов уравнения, если оно
разрешимо относительно производной высшего порядка и если
путем его последовательного дифференцирования возможно полу­
чить производную любого порядка.
Интегрирование уравнений при помощи рядов имеет большое
значение, однако следует иметь в виду, что не для всякого
уравнения можно получить интеграл в виде пригодного степен­
ного ряда.
Например, уравнение х2и'— у(х+\) = —х2 (линейное) имеет
общин интеграл
Однако предполагая, что существует интеграл в виде степен­
ного ряда (1) и определив его коэффициенты, получим ряд
который практически непригоден, так как он расходится при
всяком значении х, отличном от нуля.
1196. Найти первые три члена разложения в степенной ряд
частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего ука* Или ряда Тейлора а более общем случае, когда ищется разложение
интеграла по степеням двучлена х — а.
— 430 —
занному начальному условию:
1) y'—y% = x(x+l)9 tf(0)=l;
2) y' + y* = ext f/(0) = 0.
1197. Найти первые четыре члена разложения в степенной
ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего
указанным начальным условиям:
1) уп — усоъх = х, {/(0)=1, у ' ( 0 ) = 0 ;
2) if — y'smx + y=l, y(0) = y'(Q)=\.
1198. Найти первые пять членов разложения в степенной
ряд частного интеграла данного уравнения, удовлетворяющего
указанным начальным условиям:
1) !f-x%y = 0, у(0) = у'(0) = 1;
2) y" + ycosx = 0, у(0) = 3, у'(0) = 0.
1199*. Найти разложение в степенной ряд частного интег­
рала данного уравнения, удовлетворяющего указанным началь­
ным условиям:
1) </"-*</ = 0, 0(0) = 0, j / ( 0 ) = l ;
2) xtf + 2y' + xy = 0, y(0) = U у'(0) = 0.
§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений
Совокупность п линейных дифференциальных уравнений пер­
вого порядка с п неизвестными функциями ylt у2, . . . , уп от
одной независимой переменной х:
(
У\ + РпУх + РхгУ* + • • • + 1>ыУп = 4i
|
У* + Р*\У1 + Рг2У2+---+Р*пУп=*Я%
(#)
( Уп + PnitJi + РпгУг + • • • + РппУп = Qn>
где коэффициенты р(к и правые части с/,- — данные функции от х
или постоянные, называется нормальной системой линейных диф­
ференциальных уравнений.
Общим решением (или интегралом) такой системы называется
совокупность п функций от независимой переменной х и п про­
извольных постоянных Ct1 С2, . . . , Сп
у{ =//, (х, C lf Co
С„)
Уп=Уп(х> Си С2, . . . , Ся),
которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.
Интегрирование системы (*), путем исключения /г —I неиз­
вестных функций (и их производных), как правило, можно
— 431 —
свести к интегрированию одного линейного дифференциального
уравнения /i-го порядка относительно одной из неизвестных
функций yk:
уГ + РгУГ^ +
Р^Г^+.-.+РпУ^а-
Остальные /г — 1 неизвестные функции выражаются через об­
щий интеграл этого уравнения посредством одних алгебраических
действий и дифференцирования*.
Например, чтобы найти общее решение системы двух линей­
ных дифференциальных уравнений первого порядка
| y, + a1y + b1z = q1(x)
\ z' + a2y-\-b2z = q2(x),
где у и 2 —искомые функции от независимой переменной х\ alt
&!, а2, &2 —известные постоянные; qlt <72 —известные функции
от х, дифференцируем по х первое уравнение
уГ + а&' + Ьх2' = яг
(2)
и, исключая г и г' из трех уравнений (1) и (2), получим одно
линейное дифференциальное уравнение второго порядка с посто­
янными коэффициентами
y" + ay' + by = q(x)y
a = at + b2l b=- агЬ2 — афх, q = q\ + b2qx — bxq2
и с одной неизвестной функцией у. Интегрируя это уравнение
(см. § 8), найдем y=F1(x1 C lt C2). Подставив найденное выра­
жение функции у и ее производной у' в первое уравнение сис­
темы (1), найдем вторую искомую функцию z = F2(x, Clt C2).
Совокупность функции у и z и будет общим решением системы (1).
Чтобы найти частное решение системы (*), удовлетворяющее
заданным начальным условиям у1(х0) = (у1)0, у2 (х0) = (у2)0, . . . ,
уп(х0) = (уп)0 (задача Коши), следует из уравнений (**) опреде­
лить соответствующие этим начальным условиям значения посто­
янных С,, С2, . . . , Сп.
Системы, содержащие уравнения высших порядков, также
можно решать путем сведения их к одному уравнению. Сущест­
вуют и другие способы решения систем.
1200. Найти общее решение системы линейных дифференциаль­
ных уравнений с постоянными коэффициентами:
1) Г dy
*f.
) dx
2^-42 = 0
£ + 0-32 = 3*;
2)
бы' — а — 7в + 5о> = \0ех
Здо' — и-f 2a — w = ex.
* В исключительных случаях может получиться уравнение более низ­
кого порядка, причем отыскание некоторых из остальных искомых функций
требует нескольких дополнительных операций интегрирования.
— 432 —
Р е ш е н и е . 1) Дифференцируем по х первое уравнение:
</" + 2 / / ' - 4 2 ' = 0,
затем исключаем г и z' из полученного уравнения и двух дан­
ных уравнений. В результате получаем одно дифференциальное
уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у:
у"-у'-2у=\2х*.
Решая его как линейное неоднородное уравнение с постоян­
ными коэффициентами (§ 8), найдем
у = Схе-Х + С£** - 6х2 + 6 х - 9 .
Вторую неизвестную функцию г находим из первого уравне­
ния данной системы, подставляя в него
найденное выражение
функции у и ее производной у'= — С^'30 -\г2С.1е2х — 12х + б:
г =*У±2У=
|
Cie-x
+ с^х
_ Зх2 _ 3<
Совокупность двух найденных функций есть искомое общее
решение данной системы.
2) Дифференцируем по х первое уравнение:
6и"-и' — 7v' + bw'=\0ex
и заменяем в результате производные v* и w' их выражениями
из второго и третьего уравнений:
36а" —6м' + 31и + п—llw=5(te*.
(a)
Полученное уравнение опять дифференцируем но х:
36и'"-6и"
+ 3\и' + v'- Uw' = 50ех
и опять заменяем в результате производные о* и и/указанными
их выражениями:
2\6u'"-36u+№u'--25u
+ 4\v--\9w = 322e\
(P)
Далее из первого уравнения данной системы и уравнения
(а) определяем v и w через х, и, и\ и":
v = у и" + ~ и' + 2и - 5ех,
w=\ и" — ^ а1 +3и - Ъех (у)
и, внося их в уравнение (Р), получим дифференциальное урав­
нение третьего порядка с одной неизвестной функцией и
и"* + и' = 2ех.
Интегрируя это линейное неоднородное уравнение с посто­
янными коэффициентами (§ 8), находим
и — Сх+С.2соъх + С3$\пх-\-ехш
— 433 —
Подставляя найденное выражение функции и и ее производ­
ных и' и и" в равенства (у), находим две другие искомые функ­
ции:
v = 2Cl + -S- (С3—С2)созх—"2-(С3 + С2) sin х,
Ш
= ЗС 1 —у (С 2 +С 3 )cosл'+^-(С 2 — С3) sin х + ^х.
В решении последней задачи показан общий способ приве­
дения системы линейных дифференциальных уравнений к одному
уравнению. Но во многих случаях это можно сделать проще.
1201. Найти частное решение системы дифференциальных
уравнений
~ + 2х + у = sin t;
-jt — 4JC—2y = cos t,
удовлетворяющее начальным условиям: x(n)=\,
у (я) = 2.
Р е ш е н и е . Сначала находим общее решение данной системы.
Дифференцируем по t первое уравнение: х? -{- 2х' -\-у' = cos /
и, заменяя в результате производную у' ее выражение через t и
х\ определяемым из данной системы, получим уравнение вто­
рого порядка с одной неизвестной функцией х:
х" + 2 sin / - 0.
Решая его как простейшее уравнение высшего порядка путем
двукратного интегрирования обеих частей (§ 6) или как линей­
ное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (§8).
найдем
x = Clt + C2 + 2s'mt.
(a)
Подставляя найденную функцию х и ее производную x ' = C t +
4-2 cos/ в первое уравнение данной системы, найдем
y=—2Ct—C1(2t+l)
— 2co^t — 3s\nt.
(б)
Совокупность функций хну
есть общее решение данной
системы.
Далее, исходя из заданных начальных условий, определяем
значения постоянных Сг и С 2 . Из первого условия: * = 1 при
t = n и равенства (а) имеем уравнение
а из условия: у = 2 при t=n и равенства (б) имеем второе
уравнение с неизвестными С, и С2
2= —2Сй—С1(1 + 2к) + 2.
Решая эти уравнения как систему, найдем: CL=—2,
= 1 + 2п.
— 434 —
Са =
Наконец, подставляя эти значения Ci и С2 в общее решение,
получим искомое частное решение данной системы, удовлетво­
ряющее данным начальным условиям:
х = 1—2(/— я ) + 2 sin t\ y^4 (t — я) — 2cost — 3 sin /.
1202. Решить систему if — 2 = 0 ; z'-(-8.(/-T=Q.
Р е ш е н и е . Дифференцируя первое уравнение, определяем
г', и, подставляя ее во второе уравнение, получим у'" + 8# —0.
Отсюда находим (§ 7)
у = Сге'2х + ех (С2 cos Ybx + С6 sin Vb-x).
Дважды дифференцируя у и подставляя в первое уравнение,
находим
2^4C1e-*x + 2ex\(V3C3—C2)COS1/TJC-(|/3"C,
+ C 3 ) sin J/TTAJ .
Решить систему уравнений:
\ $ + 2 » + З г = 0,
f £ - 2 и - 4 » = с©&/,
1203. I а.х
1204. < "
I а + У = 0.
| g + a + 2i> = sin/.
1205. -jx-\~u — v—w = 0\ ^ — u + v—w^0\
-г-—a—v—w = 0.
Найти частное решение системы уравнений, удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
1206. g + 3* + i/ = 0,
g-x + ^ 0 ;
JC(0) = 1,
0(0) = — 1 .
1207. J + 4u = cos2xy
j x + 4u = sm'2x\ м(0) = 0, » ( 0 ) = 0 , 1 .
§ 14. Уравнения математической физики
Многие физические задачи сводятся к линейным дифферен­
циальным уравнениям с частными производными второго поряд­
ка, которые поэтому и называются уравнениями математической
физики.
Основными уравнениями математической физики для случая,
когда искомая функция зависит от двух независимых перемен­
ных, являются:
I. В о л н о в о е у р а в н е н и е - ^ — а ^ - - = 0,
представляющее простейшее уравнение е частными- производными
второго порядка гиперболического типа. К решению такого
уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и
продольных колебаниях стержней, о звуковых и( электромагнит­
ных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи
о распространении колебаний в однородной среде.
— 435 —
IL У р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и
ы^^дх*1
представляющее простейшее уравнение с частными производными
второго порядка параболического типа. К решению такого урав­
нения сводятся задачи о распространении тепла в однородной
среде, о фильтрации жидкостей или газов и многие другие
задачи.
in
лг
гт
д2Ы . d2U
Л
111. У р а в н е н и е Л а п л а с а T I + ^-I = 0,
представляющее простейшее уравнение с частными производ
ными второго порядка эллиптического типа. К решению такого
уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электро­
магнитных полей, о стационарном распределении тепла в одно­
родном теле, о потенциале скорости безвихревого течения жид­
кости и многие другие задачи о свойствах стационарных (уста­
новившихся) процессов.
Задача интегрирования уравнения с частными производными,
т. е. задача отыскания функции, удовлетворяющей этому урав­
нению, имеет бесчисленное множество решений. Например, уравнение -з—д-=0 можно записать в виде -т- ( ^ p l ^ U , откуда сле­
ди
дует, что ^- не зависит от у, а является некоторой произволь­
ной (дифференцируемой) функцией только от одной переменной *,
т. е. т^ = [(х). Интегрируя это равенство по х, получим
u = F(x)-\-C. Постоянная интегрирования С есть постоянная
относительно х, но она может быть любой (дифференцируемой)
функцией от //, т. е. С = <р(#). Поэтому общее решение данного
уравнения с частными производными второго порядка содержит
две произвольные функции: и == F (х) + ц>(у). А подставляя вместо
произвольных функций F и ф различные определенные функции,
можно получить из этого общего решения бесчисленное мно­
жество различных частных решений данного уравнения:
и-^х—2у + \\ и =A*3 + sin 3//; и = 7; . . .
В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математи­
ческой физики, всегда ищется не общее, а частное решение
уравнения, удовлетворяющее некоторым определенным условиям,
которые называются к р а е в ы м и у с л о в и я м и .
Для решения уравнений математической физики обычно при­
меняется м е т о д Ф у р ь е :
Вначале ищутся частные решения данного уравнения в виде
произведения функций, каждая из которых зависит только от
одного аргумента. Затем, исходя из заданных краевых условий,
определяются значения произвольных постоянных, содержащихся
в этих частных решениях. В результате искомое решение, удов­
летворяющее и данному уравнению и данным краевым условиям,
— 436 -
получается или в виде ряда, составленного из найденных част­
ных решений, или в виде несобственного интеграла с бесконеч­
ными пределами. Этот метод разъясняется в решении следую­
щих задач»
1208. Найти
частное
решение u(x,t)
дифференциального
2
д'2и
0 д и
уравнения ~^-2—а*г—
=Л 0, удовлетворяющее краевым условиям:
2
1) и(0, 0 = 0.
) "(*. 0 = 0,
3) и(х, 0) = ф 1 (^). 4) ut(x, 0) = q>2(*).
Р е ш е н и е . По методу Фурье вначале ищем частные реше­
ния данного уравнения в виде произведения двух функций, из
которых одна зависит только от х, а другая только от t:
и(х9 t) = X(x)T(t).
(1)
Найдя производные ихх=ТХХХ9 иц = ХТи и подставив их в
данное уравнение, получим
ХГ—а*ТХ" = 09 или ^ = = 4 ^ .
В последнем равенстве переменные разделены. Левая его часть
не зависит от t, а правая не зависит от х. Это возможно лишь
в том случае, когда обе части равенства не зависят ни от (,
ни от х, т. е. представляют одну и ту же постоянную. Обозна­
чив эту постоянную через —А2, получим два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
— = — А* и ^ 7 = — к\
(а)
или
Х" + \2Х=0
и Г + А2а2Г = 0.
Решая их как линейные однородные уравнения с постоян­
ными коэффициентами (§ 7), найдем
X = A cos \х + В sin кх\
Т = С cos akt + D sin akt,
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
Подставляя эти выражения для X и Т в равенство (1), по­
лучим
t) = (A cos Ал: -f- В sin кх)(С cos akt -\- D sin akt).
(2)
и(х,
Далее, исходя из данных краевых условий, определим зна­
чения постоянных. Подставляя в равенство (2) заданные значе­
ния х = 0, и = 0 (первое условие) п х-- /, и =^0 (второе условие)
и сократив на множитель T(t)y'iQ, получим
0 = A cos 0 + В sin 0, 0 = A cos kl + В sin A/.
Из первого уравнения находим Л—0, а из второго следует
sin X/ = 0 (ибо В^=0 при /4=--0), откуда определяется параметр
— 437 —
A. = - ^ , « = l , 2, 3, . . . , который был также произвольным*Каждому значению к (или п) соответствует частное решение
вида
v
r~
r
(
««= *« « = (^«
cos
л/ш*
t Q
. annt\
sln
— + P« ~r J
. rrnx
sin
~r •
где an = BnCn> $n = BnDn — произвольные постоянные.
Вследствие линейности и однородности заданного уравнения
сумма его решений также будет его решением. Поэтому и сумма
ряда
tl
а cos
+
sin
sin
(3)
и (x, о = 2d n = 2-. ( «
— Р« ~т)
"г
есть решение данного уравнения, удовлетворяющее условиям
I) и 2).
Для определения постоянных ап и Рд используем два по­
следних краевых условия. Подставляя в равенство (3) * = 0 ,
H~(p t (jt) (третье условие), получим
Н-оо
Ф1 (*) = 2-1 а « s i n — •
(4)
Дифференцируя по f решение (3)
du
=
1
V7
(о
V 1 апп
ягт /'о
amit
лил/
л
. аялА
• ля,
c ocso s
a sin
7 - {^Р»
-—
- г J; s m "Г
1иt -—
"1 --«-»
«
—
c 77= ^
и подставляя в результат t^0f
-^ = ц>2(х) (четвертое условие).
получим
+ Q0
Ф«(*) = 2-—P«sin — .
(5)
n= i
Равенства (4) и (5) представляют разложения заданных функ­
ций ф, (х) и ф 2 (х) в интервале (0, /) в неполные ряды Фурье,
содержащие только синусы. Коэффициенты таких разложений
определяются по известной формуле, гл. IX, § 7:
Если f(x) =
'fibns\n^f
то 6 n = = 2 . ^ ( x ) s i n ^ d J C .
(*)
* Если в равенствах (а) вместо — Я,2 взять +№у то Х = Ае~*х-{-Ве*х,
а для такого вида функции X ныполнеине условий I) и 2) возможно лишь
при X s O .
— 438 —
Согласно этой формуле
«« = тI <h М sin ^Г ^Л' Р« = ТГаИ.Icf * W
О
sin
Т^ dx '
(6
'
(I
Следовательно, искомое частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее указанным краевым условиям, есть функция
(3), где постоянные ап и р„ определяются формулами (6).
Очевидно, что при различных исходных данных а, /, срх (JC),
<р2М п о формулам (6) будут получаться различные значения
для ап и Р„, а следовательно, и различные ряды (3) для функ­
ции и(х, /), удовлетворяющей данному дифференциальному
уравнению и данным краевым условиям.
Решению этой задачи можно дать, например, следующее фи­
зическое истолкование. Натянутая струна, закрепленная кон­
цами в точках х^О и х = 1 оси Ох, в начальный момент вре­
мени / = 0 имела форму кривой и = у1(х), а каждая ее точка
с абсциссой х имела скорость ut = <p2(x); затем эта струна, пре­
доставленная самой себе, колеблется, оставаясь в плоскости
хОи. Даннэе уравнение есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны. (Параметр д2 = —, где h — иатяжение, р — плотность струны.)
Найденное
его решение
u(x,t)
определяет форму струны в любой момент времени /.
1209. Найти решение уравнения с частными производными
ди a „д2и
irt— jr\а» удовлетворяющее краевым условиям:
1) М (0, 1) = 0, 2) u(lt 0 = 0, 3) и{х, 0)==ф(А').
Р е ш е н и е . Пользуясь методом Фурье, полагаем
и(х, t) =
X(x)T(t).
Тогда заданное уравнение преобразуется к виду
V"
Т'
" __ _[__ __
Л'
^2
а~Т
и распадается на два уравнения
X" + >AY = 0
и
Т' -I- а2К*Т - 0,
решая которые, найдем
X = A cos Xx+ В sin A*f T = С*-** 1 ',
и (х, t) = е~а*ш (a cos Ялг + Р sin Ь ) ,
где а —АС и 0 = 5С—произвольные постоянные.
— 439 —
Используя первое условие: ы = 0 при х = 0 и второе условие:
и = 0 при х = /, получим
0 = a cos 0 + Р sin 0, 0 = a cos XI + р sin A./,
откуда следует: а = 0, Л = ~ , я = 1 , 2, 3, . . .
Как и в решении предыдущей задачи, каждому значению
к(п) соответствует частное решение
a2n2n2t
l
пе
sin — ,
сумма которых и(х, t) также будет решением данного уравнения
+ оо
ч-лэ
а*п*лЧ
и (х, 0 = £ un == £ ( V ~ ^ ~ sin ^
П=-1
.
(7)
/1=1
Исп;»льзуя третье условие: и = <р(л:) при / = 0, получим для
определения р„ равенство
4-ос
Ф (*) = 2 - Р» sin — •
Это равенство есть разложение в интервале (0, /) данной
функции ц>(х) в неполный ряд Фурье, содержащий только си­
нусы. Поэтому согласно формуле (*)
Р„ = yj<p(x)sin^d*.
(8)
о
Таким образом, сумма ряда (7), коэффициенты которого опре­
деляются формулами (8), есть частное решение данного уравне­
ния, удовлетворяющее данным краевым условиям.
Решенная задача может иметь такой физический смысл.
Однородный стержень длины 1У имеющий теплонепроницаемую
боковую поверхность, расположен между точками я: = 0 и х = 1
оси Ох; на его концах поддерживается постоянная температура
« = 0 и в начальный момент £ = 0 распределение температуры
вдоль стержня есть известная функция и = <р(х). Данное урав­
нение есть дифференциальное уравнение распространения тепла
в стержне (параметр а2 = — , где k — коэффициент теплопроводиости, с—теплоемкость, р — плотность стержня), а полученное
его решение и(х, t) определяет распределение температуры вдоль
стержня в любой момент времени Л
Распространению тепла в стержне неограни­
ч е н н о й д л и н ы (бесконечного в обе стороны) соответствует то
— 440 -
же дифференциальное уравнение (II) и единственное начальное
условие: u(xt 0) = ф(х), —оо < ; х < + оо, определяющее распре­
деление температуры и вдоль этого стержня в начальный момент
/=0.
По методу Фурье, полагая и = Х (х)Т (t), и в этой задаче
получаем частные решения вида
и
= е-а*кч (acoskx+fisln
Хх).
(9)
Но здесь параметр X является совершенно произвольным,
ибо нет никаких оснований (условий) для выбора каких-то
определенных его значений. Здесь, в формуле (9), X может иметь
любое значение от —оо до + оо. Поэтому здесь решением будет
не сумма ряда, составленного из частных решений, как это
было в предыдущих задачах, а несобственный интеграл но
параметру X:
+ ж.
u(xt /) = J e-"s)Ji (aco$Xx + $s\nXx)dX.
(10)
— ас
Для определения коэффициентов а и Р используем заданное
условие и(х, 0) = ф(х), — подставляем /==0, и=ц>(х) в последнее
равенство:
Ф ( * ) = \ (<*созЪ:-|-Р sin Xx)dX.
— ее
Сопоставляя полученное равенство с формулой Фурье (гл. IX,
§ 8) для функции Ф(Х):
ф
М
=
й I {[ j Ф(г)cosXzdz]cosA.JCH-
+ |_ ) у (z) s'm \z dzjslnXx) d'k,
находим для а и Р следующие выражения:
+ со
a
=
М йJ
+ х-
ф (г) cos Л г dz
' Р ^ = i i ф <г> sin ^ г dz.'(11)
— 0&
— ,jo
Итак, искомое частное решение данного уравнения, удовлет­
воряющее данному начальному условию, пли решение задачи о
распространении тепла в бесконечном стержне, получено здесь
в виде несобственного интеграла (10), где а и р определяются
формулами (11).
— 44 J —
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее
указанным краевым условиям:
1210. ^ _ а ^ = 0;
и (0, 0 = 0,
и'х (/, 0 = 0,
и(х, 0) = ф(дс), u'i(x, 0) = 0.
д
0 - 0 , и(х,
и{х, 0) = ц>(х),
1211. % = а* ^2; и(0, 0==0,
0 < х < + ° ° . *5г0.
и (0, у) = 0,
0, u{a,
и (а, у) = 0,
1212. g + g = 0; ы(0,
и(х, 0) = ф1(лг), и{х, Ь) = у.,{х).
ОТВЕТЫ
6. — оо < у < — 2, 4 < // < ~[- эо . — оо < ^ < — I, I • : х < + оо . 7. — 1;
9; —3; а 2 + 5 а + 3; а-+3а; а' + 3аа — 1; a4 + Gu3 + 7 a 2 - r,tf + 1 . 8. 4; 2;
2 (За+ 8) х (4* + 3)
*2+1
36+4 л
, м .
., ~,
[(
• а2. +, 4, ; х\ 2 +, 1, ; Зл:
,» +Г ,-4 ; - rб2r r+i1 - 9- fl + 6- *2а- п - Функции I и 6) нечетные; 2) и 4) четные; 3) и 5) не четные и не нечетные. 13.
\^x<2t
2 < л; < + оо; — К / ^ 5; — оо < а < — 3, 3 < а < + оо; 2/гя < ф ^ (2k + 1 )я|
(4/г— l ) i < x < ( 4 f e + l ) i - .
К * < 2 . 18. 0 < х < 6 ; | х | < 2 ^ 2; [— 4;— 1|,
[I; 4J; [О, + о о ] . 33. а ь а2 и а;1 — бесконечно большие величины: a L —*+«>«
da + — оо, а ;] —•оо; а4, а 5 и ав — бесконечно малые величины: а4—>- + 0,
а 6 —• — О, ан—» 0. 34. I i m x = l ; limz = 3, lima = 0; lim г/ и lini а не сущест­
вуют. 36. I) —оо; 2) +оо; 3) оо; 4) 0; 5) + оо; 6) не существует.
37. Iimsn = 0; limP rt =.3/. 41. 0. 42. 2. 43. 8x. 44. Не существует. 45. 8; 0;
не существует. 46. \iman = n\ \im!in=iR — радиусу описанной окружности.
•
су
<•>
С
48. 0. 49. I. 50. I. 51. -g . 55. 3. 56. -- . 57. 0. 58. ~ . 59. - ^ . 60 — |^~2.
61. —2. 62. —4
63. 4. 64. 2. 65. 2. 66. 2а. 67. 4 •
4
68
- 4 . 69. 3. 70. I.
о
72. 2. 7:}. 0. 74. 2. 75. — j/~~2. 76. 0,1- 77. 2. 79. 0.5. 80. 2. 81. *. 82. I.
84. + о о . 85. 0.5. 86. L 87. 0. 89. «*". 90. е~1. 91. е2.' 92. *». 93. 9.
94. -12
95. I. 96. ~ . 97. ~ . 98. -i • 99. 0. 100. ~ - . 101. 2 cos*. 102. —оо.
/>
2
2
4
103. е. 104. 0. 105. Jr. 106. -- 107. ~
108. е~3. 109. —I. НО. е - 0 6 .
7
2
5
^.. . ..
111. * L _ ^ - ^ ; хъ—+оо. 112. lim 5„ -^ ( " " ^ /; ; lim Р„ = 2(6 + А). 117. 5;
У' 2; -~- ; 0; I; — 1 . 122. I) Функция имеет бесконечные разрывы в точках
х — — I,- JC = 0 и х = 4; 2) функция разрывна в точке х=>1, где ее скачок
равен —2; 3) функция имеет бесконечный разрыв в точке дс =>—-~- ; 4) функ­
ция не имеет точек разрыва, она определена и непрерывна в интервалах
(— оо, — 1 | и [1, +со); 5) функция имеет бесконечные разрывы в точках
л
* = + I; 6) функция имеет бесконечные разрывы в точках * = — (2Л+1).
123. 1) Функция имеет бесконечный разрыв в
ция разрывна в точке х=> —2, где ее скачок равен
в точке х —0, где ее скачок бесконечный, и
скачок равен —4; 4) функция имеет бесконечный
— 443 —
точке лс=1; 2) функ­
2; 3) функция разрьшна
в точке х - - 1 , где ее
разрыв в точке х^=0'
Г) функция разрывна в точке х== — 1, где ее скачок равен — 2< и в точке
* = 1, гле ее скачок бесконечный; 6) функция разрывна в точке х = 2, где
2
1
2
ее скачок равен I. 125. 2х + 5; — - 3 ;
= ; ,3cos3x; 2sec22x.
" * * 2 V х* ' V*x + I
128.
I -j-бх —х2.
IS2.
5-L__3|/"*.
П6.
142.
129.
1 — -==.
Ш. j
^
130.
. 134.
(1
У+
w
'
^з)5.
т
*"'
«Я5. « ( 2 s i n * + * « » * ) .
cos
Ф . Ш . 3 ( ) + c o s e c 2 / ) c o s / . 138. -^. 139. 0. 140. - л . 141. 0.
sin2 cp
eosec2 Y *
— . 145. 15(Зх + 2)4.
146. 2cos(2x—1).
147.
_
]
T7^
V
14-2 Y x
.
148. - / ~
_- г — \
4|/x(x+/x)
149. rt cos at cos
t
1
a/ i
a/I
/
sin at sin— .
/7
150.
— sin<
« I . - Т Г Т ^ Г Д - 152 * *g 4 2 l 5 3 ' У ^ Т - 5 - !54 * А(С08 0ф+Ь81П11ф).
(1-fsiri 4(/)4
_
2cos 3 x
155. 0. 156. 0 157. _ j / j . 159. (2 x + 3-2 3X ))n2. 160. 2 x ( a x 2 ! n a - l - r x 2 ) .
4
3g X < 1
2JC)
I6i.
164
Z
.
,65
f, Л , - *
ax2 + bx + с
162.
^
^.
171
175.
arc cosx.
2 V^X-J
176
182. ( l 4 - x ~ T ) .
fop).
- 2 t g x s i n 2 x . 166. - I n * . 167.
1
169.
(A sin fop+ 6 cos
.
172.
4-х2
i
1
.
177.
IxlV^x 2 —I
1
183.
163.
x(\—x2)
168. ,
2
173.
2
z
_ * .
z
174.
|78.
2.
179.
4
184.
„ .
1;
I
2
**
,85.
- ^ L .
3
186. — sin4/. 187. (l-|-2a<ptgfl<p)sec 0(p. 188. e* cos / (3 cos 2/ -|-sin 2/— 1).
+
189. 32x 3 ln 2 x. 190. 6 2 *(cosecu + 21ntg ^
',- .
l V 1 9 1 . - —lL = = . 192. - ./*
\
I
V x 4- a
*\t —Ч
5 2x In 5
cosx
196.
193. secx. 194. —2sin In/. 195.
r .
i»u.
:
r
r ..
2
K4 + 5 *
2 К (I— sinx)sinx
• w' = l в интервалах, где sin x > 0; «' = — 1 в интервалах, где
197. _
r
| sin х I
г/1
y=2\cos x\+cosx
^/3w\=y
y=arccos(cosxi)
2
Ж
2
Черт. 214
Черт. 213
s i n x < 0 ; в точках х = £л,
(черт. 213). 198. ^
2
;
где sinx = 0, функция- не дифференцируема
- ^
199. 2 / 4 ^ ? ;
-444
—
4. 201.
- | ;
—^ ,
* = (2* + 1 ) - у .
черт.
214.
202. 0; 2e; у{_)(0)=-1,
204. ay f l + ln - ) . 2 0 5 . ^ In -
. 206. r (<pctg<p + ln sin <p). 207.
(/+2)4('+3)5
x
А: (Л: — 1) (л:2 + I)
2
211. ox ( — + 1п* + 1п лЛ.
3X
{,;+)(0)=l.
+3**-2A:4 .
^Ф
213. — 125cos5*.
2
L
214.
n 2x
215. L920(2p — 1 ) . 2 1 6 . e (9x -|-12x + 2 ) . 2 l 8 . (2\na) a .
a (47 + GO In a).
219. m(m — I)(m— 2)...
...(m—ft + I). 220. 10 cos x —л sinJC. 221. (»— 1)! 223. * ? * + . ? У . 224. T(/
225.
g
y
/
2
l / -^ .
r
J.f
3
~ * s ' " y + g s i n * 226. У ^ + У>п/у) 2 2 ?
2д х</
228
e~*cos f/-f-e^'cos x '
' л'(z/ + jclnx) '
* (<wc + t/2)3 '
'
JC
2(t/ 2 -H)
{/b
^Г-^У;1-').
230.
*}*+%
233. *.,.
234. 2 ' = £ .
3
3
(е->' + 1)
(л: H- f/ H-1 )
2
1—2.'*
235. - ^ c o s e c 2 / . 236. — - . 237. ~ . 238. ^ - . 243. 0 — 2* = 5 ; х--|-2и=.-5.
y
tH
a
2
27a
244. 3// — 4 x = l , 3x-]-40=l8; 4jc-f-3y=—1; 3x — 4y=18. 245. л--{-^=4;
x—y = 2. 246. j/~2(A:-f-</) — a; p = x. 247. ^ = ± ( J C —я). 248. В точке (0; 0):
i/= — 2x, x = 2*/; */ = 2x:, x=—2y.
В точке (2; 0): 2х + # = 4 , * —2</=-.2;
1
|Лз
с
2л:—f/==4. х + 2^ = 2.
249.45°; arc tg -^ - 250. arc tg -—- . 251. 90°.
229.
252. a r c t g y .
253. 90°. 254. arc tg 3; arc tg ~ . 255. ( —I;
—2); (2; 9);
( l ; - I V 256. (3; 4); ( — 3; —4). 257. (I; 0), (2; 1); таких точек нет; (1, 3);
(I.
261.
1); (i;
_3).
arctg45
2
258. a r c t g ^ - p p .
266. d-£- = k{a-Q)
at
3
259. 90°.
260. arc tg 3, arc tg ~ .
267. ^ = _ 4 л 2 / 3 .
ш
2
_/
268. ~ = 1 6 я / — ;
at
сек
2
°--==8пг см /сек. 269. ir=(6/ — / — 8)е ; ai' = (/ —8/ + 14)e~'; tv=--2,
at
%
t2=A.
at
270.
i>^ — ae~ [cos (a/ + 6 ) + sin (at +b)\\
F = 2ma e' sin (at -\-b).
273. б т ^ + б х ) 1 " ' 1 ^ . 274. t2e"ldt. 275.—A:""1 In JC^JC. 276. cosqo lncosecq)rfrp.
277. —29, 90. 278. 0,87. 279. —0,31. 280. —0,39. 281. 0,0140. 282. 0,9976.
283. 60°3'. 284. 0,0100. 285. 1,9875. 288. f ^ ? = - | . = ^ z J
294.
u = a c o s / - / — a s i n f •£
300. 1 + - _ + - _ ^ _ - | - . . . +
2
ш= — A.
n!
295.
П / , , x
x
, * \
_ ^ l + _ - - - . . . ± _ j .
я 1I
+ И + 1 ) - 2 - | . # г я — ^ 0 при любом х\
— 445
-
w=—2k.
ПрИ Л
'°'
I x" +
Гл
я ,
| _ _ | C 0 S ^ - T +
л: х-1
jtrt + 1
+ Pi + 2] + - " + ~ ^ ~ - Я « ~ ^ °
D
/?e =
2
x
ft;
' ^" " ^
l
Сом х,
2 х + Н - 2 * = 6.
i» = 3/-t-(4 —2/)
-; /?„= — ( ^ p j J T "
я
;
при любом х. 301. х+£-х-~;
+ ... +
п , аЛ—
• /?„—*0
-x + £ + ?g . 302. e\l+~+{-~^
при любом х,
+
coso+—гт- cos ( a + - ? - ) +
+ - ^ — c o s ( ' a + 2 - i ) + ...+<*=]^-'cos(« + » - j ) )
Я.—0
при лю-
304. 0,309; 1,648; 4,121; 3,004. 305. 0,9848; 1,3955; 2,0022; 0,5878. 207. ~з308. —3. 309. + о о . 310. i * 311. ^-. 312. — 1 . 313. 1., 314. — t 316.—
317. 0. 318. -[- оо. 319. 2. 320. 1. 321.
з
5'*
. 322. 0. 323. —1. 325. е.326. еа. 327. 1.
328. е - 1 , 329. е 2 . 330. е я . 333. 1) Функция возрастает в интервале (— оо%
-т-оо); 2) функция возрастает в интервалах (— оо, —1) и (1, +оо) и убы­
вает в интервале (— 1; 1); 3) при к > 0 функция монотонно возрастает, а
при к < 0 монотонно убывает на всей числовой оси; 4) функция убывает
в интервале (— оо, —3] и возрастает в интервале [3, +<х>]; 5) функция
убывает на всей числовой оси, 6) функция возрастает на всей числовой оси.
336.y max = tf(0) = 0;ymine=iS/(4) = - 3 2 . 3 3 7 . i , m a x = tf(±]) = 4 ; y i n i n = « ( 0 ) = 3 .
338. Нет экстремума, 339. ymin=--y (— 2) = - 1; утах = у (2) = 1. 340. £/min =
= у(±2) = 4. 341. y max =J7(0) = 3. 342. ymln = y (0,5) = 8; у„1ах = ^(1)=Ю.
343. s w = H - 3 ) = 3 j / З ; t/ m i n -</ (2) = - j^44. 344.
Ут1П
= у ( _!lL?) =
3
4
345. Нет экстремума.
347. у
н
346. ym-ln = y (0) = 0; J/max = 0 (2) = - j .
= !/(е) = б . 348. у т а х = ? / ( ~ + 2 я / ^ = ^ 2 ; V m i n ^ S / ( ^ + 2 я Л )
=
--Г2.
349, у т | „ = ^ ( 0 ) = у<3) = 0.
351. i/lfff = i/Iliax = i/(2) = 10; г/ Я Л = 0(0) = —10. 352. инб = и{\)=\; инм = ити] = и (2) = 2(\ — 1п2). 353. аяб- =
= LWx = «(-^-j = 4-'
у
«^ = И 0 ) - - ^ ( - ^ ) - 1 -
Черт. 215
354. уя^ = £/m-JX = у (0) = 1;
Черт. 216
наименьшего значения функция не имеет (черт. 215). 355, Унм^Ут'т^
= у(0):=>— 1; наибольшего значения функция не имеет (черт. 216). 360. Пря­
моугольник должен быть квадратом. 361. 20 м и 40 м. 362. 6 см. 363. 16 JW
от более сильного источника света. 364. Центральный уголсекюра должен
— 446 —
VI
быть равен 2я
вии, если к :
радианов, или около 294°. 365. cos a— — при уело
V~b*—a2
367. 60°. 368. /^=£,3JU (определяется как минимум
функции / = 2sec(p + 4cosec<p, где ф — угол между бревном и одной из сте
370. ф —45°. (Использовать зависимость пути
нок канала). 369. t = -
v\ + v\
от времени при равномерно-ускоренном движении.) 372. Точка перегиба
(I; —2); при —оо < х < I кривая выпукла вверх, а при 1 < х < -f- оо вы­
пукла вниз. 373. Точки перегиба (— 3; 294) и (2; 114); при —оо < х < — 3
и 2 < х < + оо кривая выпукла вверх, а при —3 < х < 2 выпукла вниз
374. Кривая выпукла вниз во всей области своего расположения: —оо <
< JC<—2 и 2 < к < + ао. 375. Точка перегиба (0; 2); при х < 0 кривая
/=arcs£n±
о
?
я
"2
Черт. 218
Черт. 217
выпукла вниз, а при лг>0 выпукла вверх. 376. Кривая не имеет точек
перегиба, но меняет направление выпуклости в точке разрыва * = (): слепа
от нее она выпукла вверх, а справа выпукла вниз (черт. 18). 377. Точек
перегиба кривая не имеет; направление ее выпуклости меняется в точках
разрыва * = db 2; при — оо<х < — 2 и 2 < х < + со кривая выпукла вниз, а
при — 2 < J C < 2 она выпукла вверх (черт. 21). 378. Кривая не имеет точек
перегиба; при — со < * < — I она выпукла вверх, а при 1 <х < -f оо вы­
пукла вниз (черт. 217). 379. Точки перегиба ( — V2. О и (l/~2;_l) в угло­
вых точках кривой, где у" не существует; при — оо < х < — К 2 и У 2 <
< * < - { - с о кривая выпукла вверх, а при — У 2 < х < 1^2 она выпукла
у=-¥*-'
Черт. 219
вниз (черт. 218).
Черт. 220
381. х = — 2 и у=2х — 4.
382.
:— 1,
X= I
И У = *.
383. f/^О при JC-^ + CO» 384. у = —-х — \ при jc-r-r-co; (/ =
о~*~~1 П*)И
х-*. — оо (черт. 219). 385. л: = 0, г/--= 2с. Наклонную асимптоту кривая пере-
— 447
-
я
секает бесчисленное множество развточках х — -^- (2k-\-1). 386. х=»0, у—х.
388. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. График пе­3
ресекает оси координат в точках (—3; 0) и (0; 0). Асимптот нет. t/max^
*=$/(— 2) = 4; ynihx = y(0) = Q. Точка перегиба ( —I; 2). 389. Функция опре­
делена и непрерывна на всей числовой оси. График пересекает оси коорди/ 1\
27
наг в точках (0; 0) и (1; 0). Асимптот нет. //mln = f/( — 1 = — - ^ . Точки пе­
региба (1, 0) и ( — , 1 ) . 390. Функция определена и непрерывна всюду,
кроме точки x = 2, которая является точкой бесконечного разрыва. График
пересекает оси координат в точках (—1, 0) и (0; —— J . Асимптоты х — 2
и t/ = * + 4; ут7кХ = у(— 1) = 0; f/mln = t/(5)= 12. Точек перегиба нет (гипер­
бола). 391. Функция определена и непрерывна всюду. Нечетная. График
пересекается с осями координат только в их начале. Асимптота у~2х.
Экстремумов нет» функция всюду возрастает. Точки перегиба ( — ^ 3 ;
- 3 \ 3 ) , (0,0) и ( |/~~3; ^-~-)
• 3 9 2 - Функция определена и непре­
рывна гсюду. График пересекает оси координат в точках (0; 1) и (1; 0).
Асимптота */«=— х Экстремумов нет, функция всюду убывает. Точки пере­
гиба (0; I) и (1; 0). 393. Область определения и непрерывности лс^О. Гра­
фик пересекает оси координат в точках (3, 0) и (0; 0)—концевая точка.
Асимптот нет. Ут^^У (1)== — 2. Точек перегиба нет. 394. Функция опре­
делена и непрерывна всюду. График пересекается с координатными осями
в точках (— 1; 0), U - i O ] и (0; — 1). Асимптот нет. утах=>У (— 1)«=0 (точка
возврата); (/ га | п =(/ ( 0 ) » — 1. Точек перегиба нет. 395. Функция определена
и непрерывна всюду. Нечетная. График пересекает оси координат в их на­
чале. Асимптота t/ = 0. Утщ^У (— 1) = — -у— ^г— 0,6; ут^>=у (1)=.—^ .
У е
у е
Точки перегиба (— ^ З ; — 1 / - | } , (0; 0) и (V"3;
l/ -J.
396. Функ­
ция определена и непрерывна всюду; периодична с периодом 2я. Асимптот
нет На отрезке [0, 2я]: график пересекает оси координат в точках ( - т - И ) ] .
(5р; о) и 10,-1);
дтах=.у
( j ) = ^"2; ymin-y
( ? - f ) « — ^ 2 ; точки ..е-
Фу н к и и я определена и непрерывна всюду,
региба ( -г . 0 ) и ( -J » ^ ) * ^'
нечетная. Асимптоты */ — х—я при х—•-f-00
Ушах=-^(—П^-у—I; ymln^yW^l
и */«=* + я при х—• —со,
FT- Точка перегиба (0,0) (черт. 220).
498. Функция определена и непрерывна всюду, монотонно возрастает. Гра­
фик пересекает оси координат в их начале, асимптот и точек перегиба пе
имеет. Угловые точки с абсциссами х — knt к = 0, ± I, ± 2 , . . . расположены
на прямой t/ = JC, для каждой из этих точек у^тт)^29 у< + )=»0 (черт. 221).
Й99. Функция определена и непрерывна иа отрезке [ — 1; 1], четная. Гра­
фик проходит через начало координат. Асимптот нет. vm|n—•// (0) = 0 (угло­
вая точка, где у, v=^—1, у( + )="* 1) Точек перегиба нет. Концевые то^кп
— «а —
( —1,
^ - ) и f I, y j (черт. 222). 403. 3; 3,25. 404. 2; 185. 405. 3; 0,95.
406. 1; 0,44. 407. —2,66; 0,52; 2,15. 408. —3,40; 2,90.
,/~.
у^2573
2573
410. 0,21. 417. 2 V 2;
64
409. 0,27; 2,25.
1
/
. 418. —. 419. 4л. 420. I,5asin2/. 421. ( 0;
Ч ) •422' Н г = ? ) •423- <* ~2)- 424- <-* 3 ^ ™- (у~г Щ •
426.
(j;
= а».
jV
427. 8Х* = 27К2. 428. X*-Y*=(2a)*.
433. £ . 4 3 4 .
* у*.
435. - - L
436.
441.
446.
437.
(Q
5)
9
-.
i—V~2
440.
- ^ a r c tь g 4 439. \n(v+Vlfi
+ 7).
1п
3 "'~ 3
4 tf'2 z+V2 2
1
1
3
Ъ~ *
х
arcsiriy. 442. — 3 cos -g-. 443. — у ctg 2<p* 444. — е4*. 445. — 2 1п5''
1
5
б/—
ln|2
* + 5 ' , 447.
, 9vg •
448. In | sin x |.
450. — я j / я—
2
'
6 ( 3 * + 2)'
3^2
3/-
1
r
I A:— 1 I
-—4—л: V x + 5x. 451. фН-ycos2cp. 452. x + l n
454. ^ —3 1n(*2-}-6). 455. tgx —ctgx. 456. -^- (e2X
+ 21n|* + 2|.
459.
6 V\
+ In | cos ф 1.462. - * 2 Д 2 а V(a-x*y*.
X(3* 2 — ал: — 2а2) Va — x. 465. ± In
значениям о
-
+
463. In j x - 2 | - ^ | ^
1 ± |Л+* 2
,
где « + »
О, «—» —значениям * < 0 , или короче In
l l n | t g A : | . 467. ^ l n ( * « + i / T + 7 « ) .
15 № 3201
r
^-p-j- . 453. 2 K^(x—l) 2 .
(x—2)2
— s - 2 *) — 2*. 457.
x3 + ]Tb
. 460. — ln(3 + 4ex). 461. i - tga<p"+
x3— V ъ
3
466.
In|jc + 3|.
Черт. 222
Черт. 221
438.
429. X^ + K*
— 449-
2
. 464. ^ X
соответствует
1*1
1 + /Т+3'
468. лс —2 l / T + 2 In ( 1 + ^ * ) .
469.
ех + [п\ех — 1 |.
470. In] 1пл|. 471. - - ^ I n / s i n x + | / -~ + sin 2 xj .
472. - 2 / 2 + cos2Jt.
z
— In (\ + \/x )\4e2X
484.
еалг (a sin 6*—6 cos bx)
a2 + b2
48U
[^
478. nx(\nx— 1).
il_ m|x-l|-^-|-.
л: In (x2 + 1) — 2x + 2 arc tg x,
483.
485. In
4 Г4
l
^tgAr-Hnlcos*!.
4gQ
/ a r c c t g < + y ln(l + *2).
482.
474.
476. sinx— ATCOSJC. 477. ^- (3 In * —1).
2x2 + 2x + 3
479.
¥(ех+\?.
473. 1 ( 3 ^ - 4 )
1-/Г-
1
* In л:
, ,
*+ 1
491. ^ X
arc sin*. 486.
X
*—3
— In I jc+1 I- 487. xarctg V°2x~=\ - ^ / 2 * 7 ^ 1 491. -i In
x+ 2
1
2
494.
2ln(* + 3* + 4 ) _ ^ a r c t g ^ ,
493.
X arc tg - ^ - .
4x — 2 '
i - l n | * | + y l n | x + 5|. 496. 2* + i ( g ^ + ln | 3* + 1 | ) . 497.-1 * 2 _
495.
—4^4-
| - l n | x — 1 | - h ~ l n | x + 31
+ \rxY~—2x\.
498.
500. -^-arcsin 2x—
4 - 3 + / x 2 - f 6*|. 502.
3/3
T
arcsin^-1.
499.
ln|jc—1 +
501. Y~x2-{-6x—6 In | x-\-
/l—4лЛ
sin ^ ± 1 - 1 / l - 2 * - 3 * 2 . 503.
2 3
Ц?Х
x / * a 4 - 4 x — 2 1 п | х + 2 + / * Ч - ~ 4 * | . 504. ^ ± J / ! __2л: —л;2 + arcsin £ ± 1
1
У2
3
507. y + ^sinlOx.
508. sin* — у sin * + -i sin5 л:.
509. | - _ 1 8 т 4 л : .
510.
-^rcos 5 *—^cos 3 *.
5
o
1
511.
1
-f^sin4*. 513. y+ctgy—2-ctg3t/.
l - i i
n c cos (a—6) *
- 2 2 sin 11*. 516.
2(&_fl)
cos 2*
2*—1
" (x-1)2'
to
512.
О
— x—T sin2*-fо
4
С
1
514. ^ s i n у *4-JQ sin у t.
cos(a + 6)^
2 ( f l + ft)
.517.
cos 12*
—
522. i3- l n J *2 ^ 1 1 — + J ^ a r c t g ^ i .
Vx + x+\
/ 3
О
524.
- f + ^arctg*.
529.
О
515. -^ sin x—
cos 6л:
24
cos 4*
16
• 518. l ( t g 2 2 - c t g 2 2 ) + 21nltgz|. 520. 1 + l n I 1—~[. 521. InX
~~TT
. 1*1
У"*2 + Г
528.
— sin 4 *— — sin8 x.
4
о
3 in ^ - ^
+
5
+ 2arctg * = ! .
526. | a r c t g | - | a r c t g ,
* —2
523. In | AT — 1 | —
525. ± In I \ ± 1
527. | g ^ + |
In | * = j |
л / 2 t <n~J 77=arctg—г^ (подынтегральная дробь—элементарная).
*\x -г*)
4 У2
К2
1
2
1
*
+
*
^
1 arctg
. *-; / 2 "я ,[знаменатель разла— х-\
^=1п
-2 "=+ 1 ,—т^з
2/2
*2-лг/2+1
/ 2
1-*а
*
— 456>
гается на множители: х4+ 1 = * 4 + 2*2 + 1— 2JC2=>(*2 + I)2 —2х2*=*(х2+ 1 -f+ х V2) (х2 + 1 — х ] / Т ) .
531. 6 £/** — 6arctg */*".
532. 0,4 (*2 —
—JC—6) /"3"=1
—^==,
5 у b — x2
- 2 j / ^ ^ - i n | | * | Л _ yrxSll\
533.
I
537.
534.
536. 2агс51п4 + х ^ 2 2. ь
535. ln(* + )/"^+T)— * *'x + ! ,
X V^4 — x 2 .
l,
2 ) х
О
i - ^ a r c c o s —;
538.
— 4 - * ~ 5 < 2 * 3 + ! ) 3 , 539.
541.
^ ^ Л :
1
-f
In
при
x > 0,
|J—|/"l—JC3|
—
при
*<0.
x —3
. 5 4 0 . ^ ? j / > + 2* + 3 .
l + / " l - J
2
+ 2Л: + 2 - 1 1 П ( ^ + } - Ь ^ Х
2
+ 2^ + 2).
^ - a r c s i n JC —
542.
_ i + 3 ? / 2 S = 3 . 544. * - t g | . 545. 11 tg f |. 546. 1 (in | ti
2-tgf
2 l n ( ^ + l ) — JC.
2
18г * + 27е*-И1
+ e^+iy» '•
556.
*2 — 2
I
T -
548. I t g 4 3 * - - i t g 2 3 * _ I In | cos 3A: |.
547. —In
о
у (* + In | sin x + c o s * | ).
551.
x
g
l+2tg^-
cos* \
sin2 * J '
549.
a
j/"*a+l.
552,
554
550.
In (e2t + 1) — 2 arctg eK
-£- ( t g x + l n | t g * | ) .
' hSVi»+#-V*\.
In(e*+1) +
553.
*
2
, cos 2* , x sin 2*
555. ^ + ^ « + i _ _
557. l » n [ ( e * + 2)*|e* — 1 | » | .
558. ~ arctg (3 tg 2).
дr
2
2
559.. ^z^ + * + l n J1^* —1 1 —arctgjc, 560. j/~l — * + arcsin*. 561. б KУ ( ^ 1 ) х
J/ л;- + 1
( ^"so""1"9 + ^ т ^ ) • 562- x arccos x ~ ^ г - 72 -
563
- 4 V^+Vf.
cosec/ — — cosec33 /. 56
565.
• ^
^ —„у arrsin *. 566. j / ~ * 2 + 1 0 * —
v. —
2
3
2
2 | Л —л:
—10 in I x + 5 + J^x 2 -}-10*|. 567. (x2—x + 2)ex.
568. * (In2 * —4 In * + 5).
564.
569. 2sec JC. 570. *(?~7^.3
21*
— |Л> . 573.
-1П(1+Х)>
*
578.
4(2^ + 3)3"
571.
574
'
6 2
* + 6*+*
^
12 V^(4* + l) 3
2 ( * + 2) j/"3* 2 + 3* + 4.
576. ** + l j / " ( 4 — * 2 ) 3 .
«э
580.
IxI
^_
575. In l ^ L .
arctg *
579. i - [* | Л ~ ^ * Ч - ( 2 * 2 - 1 ) X
«• "/Iff- «т 3 -
684. | . 585. - i | n - | - . 586. ^ + i ^ . 587. 0. 588. 0. 589. - ^ - .
15*
a r c t g
577. l ( 4 * + 31n | 4 c o s * + 3 sin* | ) .
^o
-i^+J^JTZi) _i-ln|*+Vr*2^I|.
X arcsin*].
(o+1)
— 4.5/
590.
2e-l.
593.
^.
594. 1 ^ 5 .
598.
- —.
595.
599. In 2.
600. l n ^ - .
8
(подстановка x = 6sin 2 0608.
Зла2.
614. a2.
125
609. Чг1.
6
615. | a ¥ .
3.
596.
0,8(2 J / 2 - 1 ) .
601.
1,5 (In 4 — 1).
«05. 36.
36.
605.
603. . - .
*•(*»-!)
610. —±-=
'-.
2e
Й|Л
622. -^ abk2it.
(перейти к полярным координатам).
•
618.
4-™ 2 6. 627. я 2 . 628. 34 i n . 629. 12я. 630. ? Ш ^ . 631. ^ .
633.
2я2а26.
+ ln(| / r ^+V r 3").
+
641.
£^п(2я+)/4^*+Т).
+ 1^2+111 (l + }^2)].
4afcarctg —
632. ^
1+-Lln|-.
642.
- 4 ( Д д Ь "" У ) .
8а.
645.
643.
па j / i i P + l +
ю(^+^5~);
29,6я.
670.
244,8 кГ.
654. 4аЬя2.
653. 2л(4 + 3 1пЗ).
669.
9
256Г;
-~T\\70--T.
о
673. 919 кГя;
= 23,04 кГж.
«_«J5=.
0,95 | / g
671. 4000я кГм.
1099 кГм:
676.
672. 1134 кГм\
1226 /сПи.
0,24 кГм.
678. 0,4а* V ^ i .
*
p[2 +
650. ^ я а 2 . 651. 4я []/"2 + l n (1 + V^2)].
649. ~ .
9^(1
652.
.
638.6а. 639. £ ( e — в"1). 640. у Т -f
637. ~ .
644.
613. 0,95.
623. -~-ab2< 624. -77- •
626.
634. 5а3я2.
( ^~ 2 >
^
Зяа*
607.
^p
612. 1,5.
617. 2a2 ( - y — 1 Y
616. | л а » .
3 я
602.
606. 4| У
^2
606.
611. 6,76.
597. - ^ .
677.
674. 750я /сГж.
а }/"£»;
679.
о
1430 кГл;
1661 кГм.
675. у 6 2 с 2 а Ь -
а ^ Д * (2 )/~2 — 1), где а=э
^ ^ а
4
.
683.
(о. -*?) .
V
л /
~ (*£)• «• (I'D- •**» «•(*••)••»•(?•
J | j g ) . 691. е. 692. я. 693. - 1 . 694. | - { / 1 2 5 .
695. —I. 696. Расходится
6 9 7 . 6 ^ / 2 " . 698. Расходится. 699. 3. 700. 2я. 703. 1) In 2 ^= 0.6931
0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932; 2) -^^=0,7854; 0,8100; 0,7600; 0,7850
0,7854. 704. nv > 100; «2 > 4; л3 > 1. 705. 1,118; 0,157. 706. 34,008
5
710. 0; 5; 0; -т-. 713. 1) Вся числовая плоскость; 2) точки, лежащие впу
три эллипса х2-\-2у2 — 2 и на этом эллипсе; 3) вся плоскость хОу, кроме
прямых у=±х\
4) х^>0, у>0—первый
квадрант плоскости хОу
5) у > х, t/ > 0, х ^ 0—второй квадрант и точки, лежащие выше 2биссек
трисы перпого координатного угла плоскости хОу; 6) круг
х -\-у2^[
716.
£— ; 1; не существует.
717. Одна точка разрыва (I; —1); линия раз
рыва — прямая у = 2х, линия разрыла—гипербола х2 — 2*/2=>4.
— 452 —
721. г* —
- 45* V (5* V - h i ) 2 ;
723.
*?,=
*
zy « 30x3[/ (5JC V + 1 ) 2 .
; g? =
722.
У
^ = ™ ; ~- = -
724. g ^ =
^
1^1
^ =
*
725. 12; 0.
726. 0; 2 s i n 2 ^ 1,82; — sin( —1)^=
dt
\t\ } / > —x2
^=0,84. 732. ^-dx + ln2xd</.
733.
sin 2t cos2 x Л —sin 2 1 s\n2xdx.
734.
yzdx + xzdy—xydz
—• -
m(
.
22
\-~ sin—dp]
o p )
t
eam
735.
737
736. - i ; 4-6
6
-
bn
acos — dm
V
4 24
738
> -
P
-
b . bn , .
sin — dn 4P
—0,05.
P
739.
1,05.
/41. ^ - 2 ' ( c o s x - 6 x 2 ) . 742. —f—• - + 3 ^ * . 743. - (3x + 2u In v), - ^ ( * / +
+ ulno).'
744. xT2 V
+ 1T -
747
-
748
— l r/ —
x•
*
——a •
749
- —9-
75
°- — l -
Л
'
752. - t e5n ; - t *s < . 7 5 7 . ^2 = , 2
x+ 2
'
'
' d*
2^—3' dx<fy
(2</ — 3) 2 '
2
2
2
x
2
8x
^«
д.
sin*
d u __e
cos у t
d u __ ex
e
75,. _ i ; d2z __
Wl~&y— 3)*;
- s i n у In x.
dx 2 " 6
dx~cty~7 + ^T~ ;
~dy2~~~ij*~
759. — 2xa —x2*/cos (X</). 760. (1 + x2</222 ln 2 2 +
758. •• _f
+ 3*.</г In 2) 2***111 2.
х2"''
^
7G8. x—20 + З г - б ,
^1==^±1=£^1.
769.3* —
- * / - 2 = 4.
770.^+ ^ - ^ = 1 .
771. 12х-3г/ + 2 г = ± 13. 772.2 = 0;
a*
b* cA
.t + 0 — z = 2. 775. 2 mitl =-2(l; 4) = - 2 1 . 776. и т а х = о(4; 4) =15. 777. Нет
экстремума. 778. z mln = z ( У 3 \ - 3 ) = - 6 ) / ~ 3 ; 2 т а х = 2 ( - J / ^ —3) =
= 6 l/"3".
779. Ф т 1 п -Ф(0; - 2 ) = - ^ .
780. ^ т а х = t? (6; 4) = 5 In 2.
781. В единственной критической точке М0 (1; —I) определитель Д=0.%
Исследование знака г(М) —г(М 0 ) показывает, что М0 есть точка мини­
мума, где г = 2. 782. В единственной критической точке Р0 (2; 0) функция
не дифференцируема. Исследование знаки и(Р) — и (Р 0 ) показывает, что Р 0
есть точка максимума, где и = 1. 785. фнб = ф(4; 0) = ф (0; 4) = 9 1 ; Фим^
« ф ( 3 ; 3) = 0. 786. гнб = М1; l) = M - l :
- 1 ) = 3 ; rim = r{i,
-1)в,<_1;
= —3.
1)=-3.
789.
787. *нб = , ( | ; 4 ) = ^ *
Вершины
В и С.
790.
788
- и™вИ(т'
Равносторонний
у)-
треугольник.
791. (-гг. "9")- 7 ^2. Куб с ребром -г^. 793. Искомый ящик имеет квад­
ратное основание и высоту, равную половине ребра основания. 797. 26;
- 1 1 , 2 ; *-=!; ^ .
798. 9; - £ . 799. i - 2 a r c t g i ; In 2. 800. 1 Л
4
— ggj -
S01.
3.
X
802. ^ <ix J / (x, у) dy.
2
2
1
803.
£ dy
0
— 453^
1 ;
у-1
J
-Kf^J/5
udx.
}
804.
a
i
$4/J<?d*+J<ty
\
л
О
Г
Л
О
1
ут^д
1
Я^х.
2
} rf* J 2 йУ + \
805.
1
1
1
Vic
i
806. Cdx
4
С <fy + Cdx
1
2
1
1
4л
807. N
~
o
^
^
)
I
X
X
2
dx +
2 dl
J
o
\
J
dx W +
i + V^i-i/«
X2
71
/
У2
Черт. 224
Черт. 223
a
a
+ J d i f j d * . 810. lAna*< | n ^ : 0. 811. -| a 3 < - i - a 3 .
1
dx
х
1 / 1 - Vl-У*
j
2
812. 0; я ( 1 - е - а 2 ) .
0
814. 5. 815. ^ — 4 In 4. 8 1 6 . ^ = ^ . 8 1 7 . ^ . 818. yL . 819. Зл. 820. ~
821. — . 822. ~- яа2 (черт. 223).
824.
2яа 3 .
826*
825. -^
9 .' 826
.
tl£±*l
3aW
y+z=0 f
x2
иг
Черт. 226
Черт. 225
(черт. 224). 827, i - a b a (черт. 225). 828. у я а 3 ( 2 1 ^ 2 - 1 ) .
830. ^ . 837. -^АяД4.
(черт. 226).
840.
Ш
*£&
3
+ »).
841. ^ ;
838. ^ ! _ 0 .
f (а* + Ь>); g <* + *).
— 454 —
829. 16 я
839. ftp (4—я).
842. ^ ( а > + 6 ' ) ;
аЬ
*
5
Я41
n/?4-
3
„/?4 «44 *(За а + Ь2). Ма 2 + ЗЬа)
катеты а ий
лежат на осях координат 0* и 0</. 845. ( гг, гг ) •
846
- (0; 0, д-) .
х(а 2 + ^ + ^2); ^ ;
855
- о - - 856- 3-
гп ; 30-
0
853
- и-
854
- -т-
1^
У
о
861. 52! ( 6 ^ 3 - 5 ) . 862.16. 863. — n(GXv-KPyrx2+y2<4).
(черт.
868.
195).
/гЯ/?
12
865.
^ ( 5 Г 2 - 4 ) .
8вв. •§-«•. 867. * i ^ ;
5
2(2
~ ^ 2 ) ябЯ». 876. 1 ;
у
5
877. 2. 878. 1 п
?+
^
5
о
^ . 891. ~1п(е 2 + е-2)=5=1,01.
(А2Б—
г\).
?J:
30
:
- 1 .
15
• 879. 1,5; 1. 880. 0. 881. —0,5. 882. 2. 883. 0.
892. 6я; 4 яа2. 893. -i ; — .
894. i - £ ( 6 3 — 5 К" 5); *. 895. (О, 0, тя). 896. fj.
898. -2
^Of+i!!) .
( О х у - к р у г *2 + < / * < - | Я 2 ) . 869. (О, 0. с ) ; ( - | а . " | * ' T C )
О, 0. 1 R ) . 870. 14*. 871.
890.
864.^-^=11
, ~ ^ ) . 897. ± 8аЬп.
3
900. ж //+*—*/ +-С. 901. sin x cos y+cos2y+C. 902. ху+-
+ sin(*y)+C. 903. j/e*' — Зх + С. 904. arc tg -^ +C. 905. In | * + (/ I
~-+
^р.
911. 0. 9.2. 5 5 + 6 9 5 ^ ~ 3 " 9.3. » р « .
9R « ! .
4
Я2
915.0.916.— 3.917.^я/? 3 . 919. 3;—. 924.3я# 2 . 925.4#2(черт.'225). 926.8Я2(черт.
+ С.
910.
а
99). 927. 42я. 928. 2 яа2 (3— j/~~3). 929. 2я/г arctg-^- . 930. -|-. 931. (о, 0, ~ ] .
932. (о, 0, ^ ) .
938.
27 + 27; 2 / - 4 7 ; 2?; — ^
939
' "5(^ + у У "
940. 2(cosp—2cosa —cosy); — 4" • М1-"/{1; 0; — 1}. 942. 2УН*. 944.(0;0);
( _ 1 ; —1). 947. 4я# 2 #; —4я; 24а3. 948. А я: -^яЯ*. 949. 29;2*2(г2+3</2).
яд 0
954. ± ^ - ; 3. 955. 2(y + z)i\ 0. 963. Да. 964. Нет. 965. Да. 966. Да.
о
967. Сходится. 968. Расходится. 969. Сходится. 970. Сходится. 971. Схо­
дится. 972. Расходится. 973. Сходится. 974. Сходится. 975. Расходится.
976. Сходится. 977. Сходится. 978. Расходится. 979. Сходится. 980. Рас­
ходится. 981. Расходится. 982. Сходится. 983. Расходится. 984. Сходится.
985. Сходится. 986. Сходится. 989. Сходится абсолютно. 990. Сходится не
абсолютно. 991. Расходится. 992. Сходится абсолютно. 993. Сходится не
абсолютно. 994. Сходится не абсолютно (сравнить с гармоническим рядом).
995. Сходится абсолютно* 996. При | а | > 1 сходится абсолютно; при
| а | = 1 сходится не абсолютно; при | а\ < 1 расходится. 997. 0,96. 998. 0,04.
— 455 —
1001. — К х < 1 . 1002.
х = 0.
_ < * < _ _ .
1004. 3 < * < 5 .
ЮОЗ. Сходится
1005. — оо<*< + оо.
- 1 ) ; (1, +оо). 1008. [0,1, 10). 1009. ( * ~ )
±1» ± 2 , . . .
только при
1006. | х \ < 4 . 1007. ( — со,
я <
* ^ (*
+
Я>
т)
* = 0,
1010. —oo<;t<-J-oo (использовать интегральный признак).
1014. 1 + ! L + 2 L + . . .
2 * - ^ - + - ^ + . . . 1015. _ l + ( x _ 2 ) - ( x - 2 J « +
;
Ю16. Ц - ^ . * " 1 ; ' 1 0 ,
+ . . . : * - 1 + |-<*_1)« + £ < * - 1 ) » + . . .
Л= 1
— <,< + .;
+
-f
£ . -1<,<1; (iL_^ + if_...)sinl +
( 1 -1Г + Ж—••) c o s 1 , - ~ < * < + « » o « 7 . e - 2 | i + 2 ( £ ^ r - •
_oo < J t < + oo; 2 1 + Х ( - В - > Ь З , 5 - ; ; ^ ~ 3 ) ( х - 4 ) » 1 . 0<Ж<8;
¥[l-^-t^+...±fc^+...J. —<х<
+ CD
+OD
«-^
1024. 1)* + £
02П у 2Л+1
(-')"
(2п) ,
__
Y2n-1
, -с»<*<+ао; 2 ) 2 ^ ^ ,
+ 00
8
-f* 00.
|х|<1;
+ OD
>«+ 2 S 2л-1)(2«+1г
, х , < 1 : 4)
•|,с,<2;
2?
5)
*+*2+f-
П=1
П= 1
/2
5
-Г0+-+
s
sin ^
+«
х
Si
" + — — <*< + «:
6) 4+X<2+2")J r ,
Л= 1
—co<*<+co.
1025.
0,9554;
0,3894;
0,1973;
3,1072.
1026
- ' ) c + +f {^п-7нС+зу " l < i : 2> c + ' n M I + f ^ , |/|>a.
rt = l
*б
3 c
n= l
ЗА:9
i ^ f — 1У,~1*ал
> + x + I T - 8 ^ + - • I*l<»: «> C + L l i f e r - -»<*< + -:
+ ec
5) C + ^
(—l)*"1^,
|*|<1.
Ю27.
0,500;
0,201;
0,946;
n= ]
0,072; 0,047.
1032. Сходится
1035.
0.
1030. Сходится абсолютно.
1031. Расходится.
не абсолютно.
1033. Сходится абсолютно.
1034. 1.
1036. 2.
1037.
1.
1038. + оо.
1039.
1.
1043.
2 ^ ^ ^ .
Л= 1
— 456 —
1044.
1
Xcos
COS X
(—l)
fc=
(2n — \)nx
v^
2
(— 1)"
+ Хтн^Ь(
3 ^
3
2с05
I *
v^
IT Т - Ц
«яле
-
36 ^-^
T S ^
, ) n
^")]-
. „COS2MX I
« - ^ - Т ^ й Ь
1
я
Т - Т
"2~
,049
^
cos 2пдс
- т~2—г?~•
(ПР"*-0).
2 / 1
- U
Ю51.
+
\
_
4
\-ч
1
-Л Л
Л;=я
>- 1 0 5 2 - " ^ 2 - | 2 " 7 Г ^ Т х
rj = l
1013
*
4 у ? cos(2n-l)Jt*.
1053. у - - * 2 (2п-1)»
'
1055
. A2 fp ssinxasinna
in^asinKa^
n J
1—a2
и
2
я2
/
(2« + 1) лх
4
eA—1 Г1 .
«048. - ^ - | T +
n sin nx
25=36^" •
. лядс\1
пЯ5,п
V=in(2n~1)jU
Xsin
.
?
х sin
1
1
L
n=i
J
, v ^ sin п
\ я—1 ,
1 ,
4-2^ " T f c o s пх ) ; — ^ <ПРИ * = 0 > ; —«Г <ПР"
П= 1
6 ^
(—1)" . nnx я 2
лляя
,047
/л
4
.«,.«
,05
°-
cosnx
+»z ??
cos zri_ 1
i cos
ж-ч
l(2n -fh 1)) я*
лх
л
* X
<2n+l)»
•
л
n
8 ^
rt*2-
(-1)" ч,
(2n + l J » X
2 Сf a sin л-acosxa
_2
da;
я J
^
H
da. 1058.
— jy + »n I JC«r | = CT.
1069. ( * — 1 ) * + ^ = C * .
Г a ( l + cos яд) sin xa
da, x =^ я. 1057.
a 2 —1
о
2
Г (1 —cos a) cos *a
+ 00
J_
Г
2я J
(gl1M+l)dd ^
(l_a2)^a
106g>
ж
1070. cosP = Ccosa. 1071. {еУ + \)ех = С. 1072. tg // = C ( ^ — l) 3 . 1073.
x(y* + C) = x2 — \. 1074. х + и = 0. 1075. 2 e ^ = e * + l . 1076. * - » + //"« =
1078. arctg—x -bin С / x 2 + /y2 = 0.
= 2 1 + ln — V
У \J
1079. x = (y — x)X
и
X\nC(y
3
— x). 1080. V^ + V"iT In C// = 0.
Ю81. *
T
4 - l n C * = 0. 1082.
2
3V = 8(JC* — i/ ). 1083. sin 4 + in | x | = 0. 1085.// = (* + C ) e * . 1086. //(* 2 4- l)2 =
= x* + 3x + C.
1087. 2*cos?/ = C — cos 2y.
»089. y = —e~x\n\
\—x\
1088.
8. y=\x-2
1093. хеУ + уех + Зх—2у = Ст 1094. * s i n ( * + 0) = C.
Sin2 X
1096. *(l + f/) +
У
+ C a —*sin*—2cos*.
+ C*~*
1090. x ^ = (In | cos »/| +/y tg j/)*. 1092. * V 4 - 7 . Y = C .
1095. x* + y + ex-v = 2
л2ДС
= C. 1098. // =Я V +C i x 2 +C'^ +C 3
v2
1100.
y= Ciln|x|
— 457 —
т~ + С2-
109э
- V^Cix-l-
1101
-
У = ^2~
—cos (л:+ <?!). 1102. ay^b + Ct sin {x Va+C*).
1103. u^Cx sec Cx (x + CJ.
П04. 4y = x* + 4jc + 8. 31105. 225(^-1)2 = 8 (JC —l)8(3je + 2)a. 1106. ^ - i / = 3x.
1109. 3 ^ = C 1 ^* + Cae *.
1110. r / ^ d + C ^ + C g ^ . 1 п и . «= Я С 1 +
+ <r *(C 2 cos4* +2 C3Sln4x).
1U2. S ^ + CJ + Ctf-* .
1113. y = e* X
X ^ + C ^ + Cgjc ). 1114. ^ C ^ r ^ + C ^ + ^ c o s x - f - ^ s i n * .2 1115. y =
= Cx cos * + C2 sin x + C3 cos 5* + C4 sin bx.
1116. * = d e ~ ' + e < (C2 -f C3t).
1117. 0 = i - ( e * _ * - * ) . 1118. y = * - * ( c o s * + 2sin*). 1119. р = шГл? (1 + аф).
1123. r/ = e* + ClCos2jt: + <;2sin2jt.
1124. у^С^'^
+ С** —Зх2 — ЗА:—4,5.
1125. f/ = 6 _3A; (Ci + <V)— 0,6cosx + 0t8sinjc.
1126. y = Cle-**+Ctfx +
+ С*е2Х+^Г+^
+ Ч' Ш7' * = Ci*~tV% +C2etV*
+(2-t)e-K
1128.* =
C1-\-C2e2X — x2— 3jt. 1129. # = 3sin2A:—7cos3x—2sin3*. ИЗО. # = е з * _
I 33 —T^^
_ l i 2_
2 1 Lx
— 1—4~^
—ii - l 1 8 1 - * = C1 + C,a/ + (/ + C 8 )e- | + ' 8 - 3 f t 1132.
9 *
18 X 27J
5 = C1 + ^ + C 3 ^ + c 4 e - 4 4 T ^ ( c o s 4 j c - s i n 4 A : ) - 1133. y = ex(Сх + С^+^
1134.
у = С 1 е 2ДГ Н-С 2 е зл: +1+^— re2*.
.
1135. */ = е2ЛГ tacosSje + C^in 3JC +
+ | - s i n 3 * V 1136. y = (C1 + C2Je—Jt2)cosJt + (C3-f-C4*)sinjt. 1137. y1 = 2ex—
-xe™.
1138.
yi=e*(2sinx—xcos*).
П40. ^ = s - ^ - ^ .
=
+
1139.
= - * ^ U + ^^j
yi
П41. yi^ex\l+xex^(\+ex)\n{\+ex)}.
ll43e
2
1142. y 1
n44
.
=
aia
"¥
T"
4 + 2гЧпС* = 0,
- x = Ce- ^—2(1 —sinf/).
1145. * + y = l n | ( * + l ) ( y + l ) | . 1146. sin-^- + I n | * | = C. 1147. x*y2 + 7x = C.
1148. f/ = 2sin 2 *. 1149. *siny = C.
1152L
JO/=L
1153.
1150. 2*3i/3 = 3x2 + C.
x + 0 e - * = C.
1151. 2{х + у) = я.
y = ex(Cx + C2x + 2x*) +
1154.
4 - - ^ - ( 3 s i n x + 4cosA:). 1155. y= 1,5 + e* (JC2— 3x + 3,5). 1156. 2jc + ctg */ = 1.
1157. у = C^r* + Cj* + C8 + In | sin x|. 1158. y^e~x(Cl + C2x) + C3e2X^ 0,5 sin л.
1159. y=Cle-x
+ ex(2x3— 4x2 + C2* + C3) + 3 (*-j-1).
1160. ^CxCOs^H+ C2sinjc + rslnx + cos x l n | c o s * | .
1171.
(ж—2)2 + (r/4-3)2 = C
= -L(2—*)•
1161. y = e~ax ( Cl-\-C2x + TFVX~* J .
Дифференциальное
1172. J O / ^ 1 2 , у dx + xdy = 0.
уравнение
задачи 3-f-#=>
1173. 4 f = u*; * = *?*'; при / = 0
__*
,
x= a
и
c = a,
f = 100 — = 2
при
1C™
/=>1600
a
x^=~\
L
In 2
^ = ^ТБ^К\
0
x — a-2
leoo
, при
_ l
6
=^ 0,958. По истечении 100 лег распадается только 4,2 °/0
нт
радия. 1174. - ^ ^ ( Г — 2 0 ) ; Г = 2 0 + <:«*'; при* = 0 Т = 100; при t=* 10 Г=60;
Г = 20 + 80.2"М^; при Г = 30 /-=30 (мин.) 1175. 1,8кг; dx
2xdt
60-И '
х = т~~—•—- . 1176. Сфера, образованная вращением окружности р=»с вокруг
диаметра,
или поверхность,
образованная
— 458 —
вращением
лемнискаты
p 2 = a sin (2ф + с) вокруг ее оси, если источник
1177. In \fx2-\-y2
= a i arctg -—. Расстояние
V 1 + (у ) 2
In и=я— AjiZ+c^
^ = 300-3
ь
при t = 0
/ ^
1
- .
1179.
т ^
at
S==,
at
,
1
=
j / f
?T-^n—-—*l
2a
П
Л=
ЙХ
Р И s — A ^ =»
g—ALT
ln J^±fL^;
ПРИ «
;^<^^>^H80.-
a
^
=| s ; n p n ^ 0
* , =
v = 0.
l n ( s + K s s = T ) = ^ ] / | - ; npns=6 f=^l,94ce/c. 1181. ~ | = i ( 2 s — 19);
* = 0 u = 0,
+ l/"(2s—19)2 —1];
0 = - ^ . K(2s—19) 2 —1,
s=10;
/=-7/—ln [2s —19 +
при s = 18 v=^b>9 м/сек> /=^3,4а?/с.
1182. m ~ = »
2
«=—kmg —av\
-
1
при 0 = 0
2S ^+^
При падении -jr = g— a v 2 >
^, 0 |/ZZZ ;
при
1 g + ^o
,n
;
s=
о
7 ^
при * = 0 * = 0, с2 = 1*™,
In 3
(arctg v0 l / -^ — arctg и 1 / —V а = Д ; п р и u = 0
''"i^^h
s=l,
т%~-kvr%
"'
при *=>5 i>= 100;
и«= 18 кл1/<шс = 300 м/мин\
; s = — 1 ^ 0 . 3 ^ ь + с2;
In 3
1
=
V 1 + (У')2
1178. 5=5: 1313 и;
L
= — mg — fzv2, t==y=a
x In
в полюсе.
j
I У — *У' I
равно dx*=*-i-^— J
, а до нормали равно d.t =ш
<*i~d2> х + уу'~±(у-ху').
_1
помещен
х
«. «»
,,^
тельной г — у = * у (X— х)
= \?*УУ'}'.
света
от начала координат до каса-
при u = u0
Л-Д+М +Д)**
B = l \fing, D = k \ y
,
s = 0,
^
=
£-\
/emg -f- ay
m
s==^r- In ; \\
2a
kmg -\- av2,
1 п (Л
+
Д
Um о = а — у .
) ^
7
( Д -
при u - = 0 s, ==i
Д
) е ^
1184. ^ | = —gsinO,
s—
длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия, или — - } - у 6 = 0
(для окружности 5 = 8/);
при * = 0 ^ = 0 , 0 = 00, 0 = G o cosU
у j ) '*
kt
t
период колебания Т = 2 я | / — . 1185. ^ + ^ ^ + " f
— 455 —
8==0;
° = V"^"X
+ ! * ' + . . . : j,=,l + * + ^ + ... U97. y = l + J + ^ + ^ + . . . ; {, = * +
80+2688
"• ""• » ~ * + 2 -
+ 30
Z~
(
1)П
"
xa * *
(2n-l)l'
-
(Зл+1)1
- » < * < + »•
,2(w
"<*< + "•
-0-Cie-»* +C * \
2=
«= 1
3
^-^-C^" *—С 2 е*. 12 o4. « = ^ ( 1 + 2 * ) — 2 C 2 — 2 c o s / —3sirW, o = C e — C^ +
+ 2 sin*. 1205. « « С ^ ' + Сав-' + Сзв-**, с; = С,е2х Н-С2е"х — СУ~ ах , w —
2
— C1t)e'21, у = (С\1—С2)е-*;
х~*е'г1\
& 2C t e * —C a e~*. 1206. x^(Cl^C2
1
x
x
l207.u=Cie-*
+ C2e* + Qt3s\n2xt v^Ctf'** — C2e** + 0 t l cos 2*;
у = -е-* .
И - 0 . 3 sin 2*. « = 0,lcos2x. 1210. M (x, / ) = X a a c o s ( 2 " + ^ ) f l j U s i n ( 2 "+|> ™ t
+00
f
flagjUw
s m ^ + ^ d j c . 1211. «и, 0= CcuT^'sintadX, a (X) «
о
о
+00
+ 00
= |
f <p(z)sinb2d2.
nnb
1212.
«(x, y ) - £
^aae
ПЯ//
a
+ |V
) sin ^
nnb
a(ea
&
ЯП//
a
a
a
С
. nnxdx.
.
С , ч . гслх .
sln
\ 9i (*)
> ' 2 = \ Ф2 (*) sin
dx.
—e
a
\
;
617-29
Григорий Иванович Запорожец
РУКОВОДСТВО
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
•
Редактор А. И. Селиверстова
Художественный редактор А. К Зефиров
Художник В- И. Панферов
Технический редактор Н. И. Баранова
Корректор Л. П. Тарасова
Т-С5237. Сдано п набор 4/XII-65 г. Подп. к печати 1I/IV-66 Р.
Формат 6 0 x 9 0 V i e - Объем 29 печ. л . Уч.-изд. 26.92 л.
Изд. № ФМ-312, Тираж 300 000 экз. Цена 1 руб.
Тематический план. Изд-na «Высшая школа» (вузы и техникумы)
на 1966 г. Позиция Кв 49
Москпа, И - 5 1 , Неглниная ул., д. 29/14
Издательство «Высшая школа»
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполнграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28. З а к а з № 3201
2-2-3
49-66
ВНИМАНИЮ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ И СТУДЕНТОВ ВУЗОВ,
РАБОТНИКОВ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УЧРЕЖДЕНИЙ И
ЛАБОРАТОРИЙ, А ТАКЖЕ РАБОТНИКОВ ОБЩЕСТВЕННЫХ
ОРГАНИЗАЦИЙ!
ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ НА ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ ЖУРНАЛ
сВЕСТНИК ВЫСШЕЙ 111 КОЛ ЬЬ
Единственный в Советском Союзе ежемесячный журнал, освещающий
актуальные вопросы учебной, научной и воспитательной деятельности ву­
зов,— «Вестник высшей школы»—издается 25-й год. Журнал помещает на
своих страницах интересные и разнообразные материалы — статьи, репор­
тажи, обзоры, письма и т. п., в которых обсуждаются, нередко в дискус­
сионной форме, проблемы улучшения подготовки молодых специалистов,
перспективы развития высшего образования и вузовской науки.
В журнале существуют постоянные разделы — «Учебный процесс», «На
темы дня», «Наука в высшей школе», «Воспитывать активных строителей
коммунизма», «Из практики работы кафедр общественных наук», «Опыт и
предложения», «За рубежом», «Критика и библиография» и др.
В разделе «Наука в высшей школе» широко освещается опыт и ставят­
ся вопросы методики научных исследований, подготовки научной смены,
повышения квалификации специалистов; публикуются сообщения о новей­
ших открытиях, сделанных учеными вузов (для этого журнал имеет спе­
циальный раздел «На передовых рубежах науки»), даются информации о
межвузовских научных и научно-методических конференциях.
В разделе «Воспитывать активных строителей коммунизма» ставятся
общие проблемы воспитания молодежи.
В разделе «За рубежом» читатели знакомятся с опытом педагогической
и научной работы вузов социалистических, развивающихся и капиталисти­
ческих стран,
В «Вестнике высшей школы» принимают постоянное участие видные уче­
ные. Все это делает журнал интересным и полезным не только для работ­
ников высших учебных заведений, но и для сотрудников исследовательских
учреждений, научных отделов и лабораторий, для самых различных обще­
ственных организаций, для всех, кто занимается научной и воспитательной
деятельностью.
Журнал выходит 12 раз в год.
Подписная цена на год —6 руб.
В каталоге «Союзпечать» журнал значится под № 70117.
Подписка принимается без ограничения с начала любого месяца в пунк­
тах подписки «Союзпечати», отделениях и узлах связи, почтамтах, а также
общественными распространителями печати на предприятиях, в учебных
заведениях и организациях. В розничную продажу журнал не поступает.
В 1967. году издательство «Высшая школа» выпус­
тит для студентов вузов учебные пособия по матема­
тике:
Гусельников И. И., Турпитько А. Ф. Перфокарты с краевой перфора­
цией. Учебное пособие. 13 л., 15 000 экз., ц. 70 к., I кв.
В книге изложены вопросы теории научной информации, показаны
простейшие приемы организации (хранение и поиск) информации на перфо­
картах ручного обращения, не требующих специальных машин.
Авторы разбирают наиболее употребительные ключи для записи инфор­
мации на перфокартах и приводят примеры их применения*
Учебное пособие предназначается для студентов вузов и может быть
использовано специалистами, работающими в области информации.
Киселев А. И. и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциаль­
ным уравнениям. Учебное пособие. Изд. 2, перераб., 12 л., 20 000 экз.,
ц. 55 к., III кв.
^
Задачник содержит около 400 задач и упражнений по разделам курса
обыкновенных дифференциальных уравнений. В начале каждого параграфа
имеется краткое теоретическое введение, приводятся основные определения
и методы решения задач данного параграфа. В задачнике даются достаточно
подробные решения типовых задач. Все задачи и примеры снабжены отве­
тами, для, некоторых даются указания к решению. Кроме типовых задач,
в сборник включено некоторое количество задач повышенной трудности.
Предназначается в качестве учебного пособия для студентов заочных и
вечерних втузов и факультетов.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений. Учебное пособие. Изд. 3, перераб., 30 л., 25 000 экз.,
ц. 1 р. 05 к., IV кв.
В пособии даны основные понятия и определения теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, изложены наиболее важные методы интегри­
рования, доказаны теоремы существования решений и исследованы их свой­
ства.
Наряду с подробным изложением теории приведено достаточное коли­
чество примеров.
Предназначается в качестве учебного подобия для студентов механикоматематических факультетов университетов.
Михелович Ш. X. Теория чисел» Учеб ое пособие. Изд. 2, перераб.,
14 л., 26 000 экз., ц. 60 к., IV кв.
Книга составлена в" соответствии с г рограммой по данному курсу.
В кратком изложении даны основные сведения из истории развития теории
чисел. Подробно освещен раздел «Числовые функции».
Предназначается в качестве учебного пособия для студентов физикоматематических факультетов педагогических институтов.
Мусхилишвили Н. И. Курс аналитической геометрии- Учебное пособие.
Изд. 3, испр. и доп., 52 л., 25 000 экз., ц. 1 р. 70 к., II кв.
В книге излагаются вопросы программы курса аналитической геометрии
для университетов- Основная цель—ознакомить начинающих с определен­
ными общими методами приложения анализа к геометрии и развить у сту­
дентов необходимые навыки в этой области.
Данное изложение курса построено так, чтобы приучить студентов воз­
можно раньше пользоваться векторами и практически применять теорию
определителей, а также теорию линейных и квадратичных форм.
Предназначается в качестве учебного пособия для студентов механикоматематических и физико-математических факультетов университетов, а
также может быть использовано студентами физико-математических факуль­
тетов педагогических институтов.
УВАЖАЕМЫЙ
ЧИТАТЕЛЬ!
Предварительный заказ на книги издательства Вы можете оформить
в местном магазине книготорга или потребкооперации.
Предварительный заказ гарантирует своевременное получение необхоу
димой Вам книги.