NAMA KELOMPOK :
• ACH. ZAINULLAH
• AKHMAD WAHID MAULANA
• FAIDATUL HASANAH
• FIRMANINGSIH SAJNIYAH
• HESTI FRIDA LUCYANA
• ISTIFARUL NUR AINI
• SUCI INDARYATI
• VERLINA TRI HARLINDA
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang
sama terhadap satu titik tertentu.
– Diketahui, titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan
pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' adalah segitiga siku-siku di P'.
– Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.
– OP2 = (OP')2 + (P'P)2
– ↔ r2 = x2 + y2
– Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.
– L= {(x, y) | x2 + y2 = r2}
– Pandang titik P1(x1, y1) pada ΔOP1P'1. Pada segitiga tersebut berlaku x12 + y12 = r12.
– Pandang titik P2(x2, y2) pada ΔOP2P2'. Pada segitiga tersebut berlaku x22 + y22 = r22, dan
seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada lingkaran ini berlaku x2 + y2 = r2.
– Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :
– x2 + y2 = r2.
– Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh :
– x2 + y2 + Ax + By + C = 0
– (x2 + Ax) + (y2 + By) = – C
Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran
dan jari-jari lingkaran
– Titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui
titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g
adalah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.
– Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada segitiga TPQ berlaku
teorema Pythagoras sebagai berikut.
– TP2 = TQ2 + PQ2 ↔ r2 = (x – a)2 + (y – b)2
– Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:
– L: {(x, y)(x – a)2 + (y – b)2 = r2}
– Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r adalah :
– (x – a)2 + (y – b)2 = r2
– Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar (baku).
–
– Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu
:
– (x – a)2 + (y – b)2 = r2
– Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh :
– x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
– x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
– x2 + y2 + Ax + By + C = 0
– dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a2 + b2 – r2); A, B, dan C bilangan real. Jadi,
– x2 + y2 + Ax + By + C = 0
– adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a2 +
b2 – r2, A, B, dan C bilangan real
POSISI TITIK TERHADAP
LINGKARAN
– Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya
dengan mengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b).
– Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang dari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di
dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(a). Secara matematis ditulis |PT| < r
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0
Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) sama
dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada
pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(b).
POSISI TITIK TERHADAP
LINGKARAN
– Secara matematis, ditulis |PT| = r
– (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0
– Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih dari jari-jari lingkaran maka
titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(c).
Secara matematis ditulis |PT| > r
–
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 atau,
x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0
POSISI GARIS TERHADAP
LINGKARAN
– Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran :
– L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
– Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah :
– x2 + y2 + Ax + By + C = 0
– x2 + (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
– x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0
– (1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0
– Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah :
– D = b2 – 4ac
– D = (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m2) (n2 + Bn + C)
POSISI GARIS TERHADAP
LINGKARAN
– Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.
– Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar 7(a).
– • Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.
– Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0,
di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan
pada Gambar 7(b).
– • Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g
: y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
seperti diperlihatkan pada Gambar 7(c).