คณิตศาสตร์ พืน้ ฐาน ม.3 เล่ ม1
บทที่01 พื ้นที่ผิวและปริมาตร
บทที่02 กราฟ
บทที่ 03 ระบบสมการเชิงเส้ น
บทที่4 ความคล้ าย
คณิตศาสตร์ พืน้ ฐาน ม.3 เล่ ม1
บทที่01 พื ้นที่ผิวและปริมาตร
พืน
้ ทีผ
่ ว
ิ และปริมาตร
สิ่งต่างๆ ที่อยู่รอบๆ ตัวเราหลายสิ่งมีส่วนประกอบที่มี
ลักษณะเป็นรูปทรงเลขาคณิตสามมิติ ในบทเรียนนี้เราจะมาทา
ความรู้จักกับรูปทรงเลขาคณิตสามมิติ 5 อย่าง คือ ปริซึม
ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม
ปริซม
ึ
รูปเลขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุก
ประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็น
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ตัวอย่างปริซึมที่พบเจอได้ในชีวิตประจาวัน
ส่วนประกอบของปริซม
ึ
ปริมาตรปริซึม
ปริมาตรของปริซึมใดๆ = พื้นที่ฐาน x สูง
ตัวอย่าง
2
2
9
จงหาปริมาตรปริซึมฐานสี่เหลี่ยมนี้
ตัวอย่าง
2
2
10
2
จงหาปริมาตรปริซึมฐานสามเหลี่ยมนี้
ตัวอย่าง
5
5
10
3
3
4
4
5
5
จงหาปริมาตรปริซึมนี้
ทรงกระบอก
รูปเลขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นวงกลมที่เท่ากันทุก
ประการและอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเลขาคณิตสามมิตินั้น
ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุก
ประการกับฐานเสมอ
ตัวอย่างทรงกระบอกที่พบเจอได้ในชีวต
ิ ประจาวัน
ส่วนประกอบของทรงกระบอก
ปริมาตรทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง
= 𝜋𝑟 2 ℎ
ตัวอย่าง
7
20
จงหาปริมาตรของทรงกระบอกนี้
พีระมิด
รูปเลขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่
บนระนาบเดียวกับฐานและหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด
ร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น
ตัวอย่างพีระมิดที่พบเจอได้ในชีวิตประจาวัน
ส่วนประกอบของพีระมิด
ปริมาตรพีระมิด
1
ปริมาตรพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง
3
ตัวอย่าง
พีระมิดมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 5 หน่วย สูง 12 หน่วย จะ
มีปริมาตรเท่าใด
กรวย
รูปเลขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บน
ระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆ บนขอบ
ของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง
ตัวอย่างกรวยที่พบเจอได้ในชีวิตประจาวัน
ส่วนประกอบของกรวย
ปริมาตรกรวย
ปริมาตรกรวย
1
= x พื้นที่ฐาน x สูง
3
1
= 𝜋𝑟 2 ℎ
3
ตัวอย่าง
กรวยสูง 9 หน่วย รัศมี 7 หน่วย จะมีปริมาตรเท่าใด
ทรงกลม
รูปเลขาคณิตสามสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่
ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน
จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
ระยะที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม
ตัวอย่างทรงกลมทีพ
่ บเจอได้ในชีวิตประจาวัน
ส่วนประกอบของทรงกลม
ปริมาตรทรงกลม
4
ปริมาตรทรงกลม = 𝜋𝑟 3
3
ตัวอย่าง
ทรงกลมรัศมี 21 หน่วย มีปริมาตรเท่าใด
พื้นทีผ
่ ิว
การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใดๆ เป็นการหาพื้นที่ของ
พื้นผิวทั้งหมดของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น
หรือก็คือการหาพื้นที่ของรูปคลี่ของรูปทรงนั้นๆ
ตัวอย่างการหาพืน
้ ที่ผว
ิ ของปริซม
ึ
6
8
10
4
ตัวอย่างการหาพืน
้ ที่ผว
ิ ของทรงกระบอก
7
10
ตัวอย่างการหาพืน
้ ที่ผว
ิ ของพีระมิด
3
3
3 3
3
3
การหาพืน
้ ทีผ
่ ิวของกรวย
พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
= 𝜋𝑟 2 + 𝜋𝑟𝑙
ตัวอย่างการหาพืน
้ ที่ผว
ิ ของกรวย
14
7
การหาพืน
้ ทีผ
่ ิวของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4𝜋𝑟 2
ตัวอย่างการหาพืน
้ ที่ผว
ิ ของทรงกลม
ทรงกลมรัศมี 7 หน่วย มีพื้นที่ผิวเท่าใด
สรุปเพือ
่ จาและนาไปใช้
1. ปริมาตรของปริซึมใดๆ = พื้นที่ฐาน x สูง
2. ปริมาตรของทรงกระบอก
= พื้นที่ฐาน x สูง
= 𝜋𝑟 2 ℎ
1
3. ปริมาตรพีระมิด
= x พื้นที่ฐาน x สูง
4. ปริมาตรกรวย
= x พื้นที่ฐาน x สูง
3
1
3
1
= 𝜋𝑟 2 ℎ
3
5. ปริมาตรทรงกลม
4
= 𝜋𝑟 3
3
6. พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4𝜋𝑟 2
7. พื้นที่ผิวของรูปทรงใดๆ
= พื้นที่รวมของรูปคลี่
8. พื้นที่ผิวของกรวย
= พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
แบบฝึกหัดเรื่องพืน
้ ที่ผว
ิ และปริมาตร
ข้อ 1 จากรูป จงตอบคาถามต่อไปนี้
1)
ปริซึมนี้มีทั้งหมดกี่หน้า
ตอบ
2)
ฐานของปริซึมมีกี่ด้าน แต่ละด้านเป็นรูปใดบ้าง
ตอบ
3)
ด้านข้างของปริซึมเป็นรูปอะไร มีกี่ด้าน
ตอบ
ข้อ 2 จงหาปริมาตรของรูปทรงนี้
12
16
4
14
ข้อ 3 จะสามารถบรรจุน้าที่มีอยู่เต็มโอ่งลงในแก้วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
กว้าง 2 นิ้ว ยาว 2.5 นิ้ว สูง 4 นิ้ว ได้กี่แก้ว ถ้าโอ่งจุน้าได้ 4000
ลูกบาศก์นิ้ว
ข้อ 4 แม่น้าลึก 9 เมตร กว้าง 180 เมตร น้าไหลลงทะเลด้วยอัตราเร็ว
ประมาณ 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่าน้าไหลลงทะเลวินาทีละเท่าใด
ข้อ 5 มีที่ดินกว้าง 50 เมตร ยาว 80 เมตร ต้องการถมพื้นที่รอบๆ ที่ดิน
กว้าง 1 เมตร ให้สูงขึ้น 50 เซนติเมตร จะต้องใช้ดินเท่าใด
ข้อ 6 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมนี้
8
4
4
ข้อ 7 ถ้าต้องการตัดกระดาษและพับเป็นรูปงทรงดังกล่าวจะต้องใช้
กระดาษอย่างน้อยที่สุดเท่าใด
11
8
8
2
12
ข้อ 8 ถังเก็บน้าทรงกระบอกสูง 5 เมตร วัดเส้นรอบวงภายในของถังได้
3.14 เมตร ถังใบนี้จุน้าฝนได้มากที่สุดเท่าใด
ข้อ 9 ท่อเหล็กอันหนึ่งยาว 50 เซนติเมตร วัดเส้นผ่านศูนย์กลาง
ภายนอกได้ 30 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 23 เซนติเมตร
เหล็กที่ใช้ทาท่อนี้มีปริมาตรเท่าใด
ข้อ 10 ทรงกระบอกสองอันมีปริมาตรเท่ากัน อันหนึ่งรัศมี 7 หน่วย สูง
10 หน่วย ถ้าอีกอันรัศมี 10 หน่วย จะสูงเท่าใด
ข้อ 11 ขวดน้าทรงกระบอก 2 ขนาด ดังนี้
1)
รัศมี 3.5 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร ราคา 10 บาท
2)
รัศมี 7 เซติเมตร สูง 5 เซนติเมตร ราคา 15 บาท
ขวดน้าขนาดใดราคาถูกกว่า
ข้อ 12 ต้องการติดฉลากบนด้านข้างและด้านล่างของกระป๋อง
ทรงกระบอกรัศมี 1.75 นิ้ว สูง 5 นิ้ว ต้องใช้กระดาษขนาดเท่าใด
ข้อ 13 จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของชิ้นเค้กที่เกิดจากการตัดแบ่งจาก
เค้กวงกลมทาให้เกิดมุมที่จุดศูนย์กลางเป็น 60 องศา เค้กวงกลมมีรัศมี
5.25 นิ้ว สูง 6 นิ้ว
ข้อ 14 จงหาพื้นที่ผิวของวงแหวนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกเป็น 6
เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางภายในเป็น 4 เซนติเมตร สูง 2 เซนติเมตร
(π = 3.14)
ข้อ 15 จงบอกชื่อส่วนประกอบของพีระมิดนี้
ข้อ 16 จงหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี
ด้านประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 ฟุต สูง 10 ฟุต
ข้อ 17 ถ้าจุดยอดทั้งหมดของพีระมิดชนกับด้านแต่ละด้านของลูกบาศก์
ที่ยาวด้านละ 20 พอดี พีระมิดคู่จะมีปริมาตรเท่าใด
ข้อ 18 จงหาปริมาตรของศิลาจารึกนี้
4
10
6
8
ข้อ 19 จงหาพื้นที่ผิวของศิลาจารึกนี้
4
10
6
8
ข้อ 20 กรวยสูง 9 หน่วย มีปริมาตร 462 ลูกบาศก์หน่วย จะมีรัศมีเท่าใด
ข้อ 21 เด็ก 30 คน ช่วยกันตักน้าใส่บ่อโดยใช้แก้วทรงกรวย รัศมี 3.5
เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จะได้น้าปริมาตรเท่าใด
ข้อ 22 จงหาปริมาตรของกรวยขนาดใหญ่ที่สุดที่สามารถบรรจุใน
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจตุรัสยาวด้านละ 9 หน่วย สูง 14 หน่วย
ข้อ 23 ถ้าต้องการตัดกระดาษแปะทรงกรวยตันรัศมี 6 หลา สูงเอียง 14
หลา ต้องใช้กระดาษอย่างน้อยพื้นที่เท่าใด
ข้อ 24 ถ้ากรวยรัศมี 7 เมตร มีพื้นที่ผิวข้าง 176 ตารางเมตร กรวยนี้จะมี
สูงตรงเท่าใด
ข้อ 25 ทรงกลมรัศมี 3 เมตร มีปริมาตรเท่าใด
ข้อ 26 ถ้าใส่หินทรงกลมรัศมี 1.75 เซนติเมตร 3 ก้อน ลงในกล่องที่สูง
มาก มีพื้นที่ฐาน 10 ตารางเซนติเมตร ระดับน้าจะสูงขึ้นเท่าใด
ข้อ 27 ครึ่งทรงกลมรัศมี 7 นิ้ว มีพื้นที่ผิวเท่าใด
ข้อ 28 ถ้าลูกบอลนี้มีปริมาตร 462 ลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบอลนี้จะมี
พื้นที่ผิวเท่าใด
ข้อ 29 ถ้านาน้าเชื่อมที่อยู่ในแก้วทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง 10.5
เซนติเมตร สูง 15 เซนติเมตร ไปเทใส่ถาดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความ
กว้าง 2 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร สูง 1 เซนติเมตร จะต้องใช้ถาดกี่
ถาดในการรองรับน้าเชื่อม
ข้อ 30 ถ้าค่อยๆ หยดน้าที่มีรัศมี 2.1 มิลมิเมตรลงในแก้วทรงกรวยใบ
หนึ่ง พบว่าน้าจะเต็มแก้วเมื่อหยดได้ 400 หยดพอดี ถ้าแก้วดังกล่าวมี
เส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงเท่ากัน แก้วนี้มีรัศมีเท่าใด