Plasticité et Rupture
Jean-Jacques Marigo
Plasticité et Rupture
Amphi 1
1
Equipe enseignante
•
Amphis
‣
Jean-Jacques Marigo
Ecole Polytechnique
marigo@lms.polytechnique.fr
•
PC
‣
‣
Martin Genet
Eric Lorentz
Plasticité et Rupture
Ecole Polytechnique
EDF R&D
Amphi 1
2
Organisation du cours
•
Emploi du temps
‣
9 amphis
‣
9 PC
‣
Examen écrit de 3h à la séance 10
•
Support du cours
‣
Format papier
-
Polycopié
-
Diapositives des amphis
-
Sujets des PC
‣
Format pdf
https://moodle.polytechnique.fr/course/view.php?id=3239
-
Polycopié
-
Sujets des PC
-
Diapositives des amphis
-
Enoncés des contrôles des années précédentes
Plasticité et Rupture
Amphi 1
3
Rappels de MMC
Cadre :
• Milieu 3D
• Petits déplacements
• Quasi-statique
Plasticité et Rupture
Amphi 1
4
• Géométrie
transformation
M
M 7! x = '(M )
'(M )
déplacement
⇠(M ) = '(M )
e2
M
gradient de la transformation
e1
M
e3
F
= I + r⇠
F e2
F e3
'(M )
Plasticité et Rupture
= r'
F e1
condition de non retournement :
Amphi 1
det F > 0
5
• Déformations
décomposition polaire
M
F (M ) = R(M ) U (M ) = V (M ) R(M )
rotation
'(M )
dilatation
déformations de Green-Lagrange
e2
2"(M ) = F T (M )F (M )
= r⇠(M ) + r⇠ T (M ) + r⇠ T (M )r⇠(M )
|
{z
} |
{z
}
e1
M
e3
linéaire
F e2
F e3
'(M )
non linéaire
déplacements rigides
F e1
"(M ) = 0,
Plasticité et Rupture
I
8M
Amphi 1
()
⇠(M ) = ⇠ 0 + (R0
I) M
6
changements de longueur
M
'(M )
q
F ei ·F ei
1 =
=
q
p
F T F ei ·ei
1 + 2"ii
1
1
(sans sommation)
e2
changements d’aire
i 6= j
e1
M
e3
F e2
kF ei ^ F ej k
q
1 =
(F T F ei ·ei )(F T F ej ·ej ) (F T F ei ·ej )2
q
=
(1 + 2"ii )(1 + 2"jj ) 4("ij )2 1
(sans sommation)
F e3
'(M )
F e1
changements de
volume
q
det F
Plasticité et Rupture
Amphi 1
det F T F 1
q
=
det(I + 2") 1
1 =
7
1
Les déformations dans le cadre HPP
M
HPP:
• petits déplacements
• petits gradients des déplacements
r⇠ ⌧ I
'(M )
linéarisation des déformations
2" = F T F
e2
= r⇠ + r⇠ T + r⇠ T r⇠
| {z } | {z }
linéaire
e1
M
e3
I
quadratique
@⇠ j
@⇠ i
2"ij =
+
@xj
@xi
F e2
petits déplacements rigides
F e3
'(M )
Plasticité et Rupture
F e1
⇤(M ) = 0,
8M
Amphi 1
()
(M ) = a + ⇥ ^ M
8
Approximations HPP
changements de longueur
M
'(M )
q
F ei ·F ei
1 =
p
1 + 2"ii
1
⇡ "ii
(sans sommation)
changements d’aire
e2
i 6= j
e1
M
e3
kF ei ^ F ej k
F e2
q
1 =
(1 + 2"ii )(1 + 2"jj )
4("ij )2
⇡ "ii + "jj
(sans sommation)
changements de volume
F e3
'(M )
F e1
det F
q
1 =
det(I + 2") 1
q
⇡
1 + 2 Tr " 1
⇡ Tr " = div ⇠
Plasticité et Rupture
Amphi 1
9
1
•
Equations de compatibilité (en HPP)
‣ Objet
Sous quelle condition un champ de tenseurs d’ordre 2 symétriques est-il la partie symétrique du gradient
d’un champ de vecteurs?
‣ Conditions (en coordonnées cartésiennes)
@ 2 "j`
@ 2 "ij
@ 2 "k`
@ 2 "ik
+
=
+
@xk @x` @xi @xj
@xj @x` @xi @xk
-
En 1D : aucune
En 2D : une équation de compatibilité
@ 2 "11 @ 2 "22
@ 2 "12
+
=2
@x2 2
@x1 2
@x1 @x2
-
En 3D : six équations de compatibilité
8
>
<"11,22 + "22,11 = 2"12,12
"22,33 + "33,22 = 2"23,23
>
:
"33,11 + "11,33 = 2"31,31
Plasticité et Rupture
,
8
>
<"11,23 + "23,11 = "12,13 + "13,12
"22,31 + "31,22 = "23,21 + "21,23
>
:
"33,12 + "12,33 = "31,32 + "32,31
Amphi 1
10
‣ Exemples
-
Tout champ de tenseurs symétriques constant ou affine les vérifie (car équations du second ordre)
"ij (x) = "0ij
⇠i (x) = "0ij xj
=)
(unique à un petit déplacement rigide près)
-
Exemple de champ non compatible
0
0
B
B
"(x) = B
B x1 x2
@
0
x1 x2 0
0
0
1
C
C
0 C
C
A
0
"11,22 + "22,11 = 06=2 = 2"12,12
Plasticité et Rupture
Amphi 1
11
•
Efforts intérieurs et extérieurs
‣ Milieu 1D
-
‣ Milieu 3D
Hypothèse sur les efforts intérieurs
-
Hypothèse de Cauchy sur les efforts intérieurs
Des forces : effort normal et effort tranchant
Des forces surfaciques dépendant de l’orientation
Des moments fléchissants
Pas de couples surfaciques
Hypothèse sur les efforts extérieurs
-
Hypothèse sur les efforts extérieurs
Des forces et moments linéiques
Des forces surfaciques ou volumiques
Des forces et moments ponctuels
Pas de forces ponctuelles ou linéiques
R(s)
T1 (x, e1 )
T2 (x, e1 )
M (s)
e2
e1
Plasticité et Rupture
Amphi 1
12
le tenseur des contraintes
M
'(M )
théorème de Cauchy
22
T (x, n) = (x) n
12
+
-
2
n
21
1
11
x
ij
contraintes de Cauchy
Plasticité et Rupture
(x)
11 ,
12
22 ,
=
ji
: contraintes normales
= 12 , 23 = 32 , 31 = 13 : cisaillements
Amphi 1
33
13
les équations d’équilibre
dans la configuration d’équilibre
e2
M
e1
'(M )
Equilibre volumique
div
+ ⇢g = 0
dans
Conservation de la masse
⇢ det F = ⇢0
Plasticité et Rupture
'(⌦)
@ ij
@xj
⇢g
i2
8
@ 11 @ 12 @ 13
>
>
+
+
=0
>
>
@x1
@x2
@x3
>
>
>
>
>
>
<@
@ 22 @ 23
21
=0
+
+
⇢g = 0
>
@x1
@x2
@x3
>
>
>
>
>
>
>
@
@
@
>
>
: 31 + 32 + 33 = 0
@x1
@x2
@x3
⇢ : masse volumique dans la configuration d’équilibre
⇢0 : masse volumique dans la configuration de référence
Amphi 1
14
les équations d’équilibre en HPP
On néglige les changements de géométrie,
on écrit l’équilibre en confondant
la configuration d’équilibre avec la configuration de référence
M
e2
e1
'(M ) ⇡ M ,
'(⌦) ⇡ ⌦
Equilibre volumique
div
+ ⇢0 g = 0
dans
⌦
@ ij
@xj
⇢0 g
i2
=0
Conservation de la masse
⇢ ⇡ ⇢0
Plasticité et Rupture
⇢ : masse volumique dans la configuration d’équilibre
⇢0 : masse volumique dans la configuration de référence
Amphi 1
15
•
Les conditions de continuité aux interfaces
‣ Interface parfaite
-
n0
Hypothèses
adhésion parfaite entre les constituants
t1
absence de forces surfaciques localisées sur l’interface
-
M
Conditions de continuité en transformations finies
continuité des déplacements
continuité du vecteur contrainte dans la configuration d’équilibre
[[
[[⇠i ]] = 0
-
ij ]]nj
=0
n
+
Conditions de continuité en HPP
continuité des déplacements
x
continuité du vecteur contrainte dans la configuration de référence
[[
[[⇠i ]] = 0
ij ]]n0 j
=0
continuité des dérivées tangentielles des déplacements
non continuité (apriori) de la dérivée normale des déplacements
0
? ? 0
B
B
[[ ]] = B
B ? ? 0
@
0 0 0
Plasticité et Rupture
1
C
C
C
C
A
0
(t1 ,t2 ,n0 )
0 0 ?
B
B
[["]] = B
B 0 0 ?
@
? ? ?
[[f ]] = f +
f
1
C
C
C
C
A
(t1 ,t2 ,n0 )
Amphi 1
16
‣ Interface imparfaite
-
Exemples
décollement de toute ou partie de l’interface
contact avec ou sans frottement de deux surfaces
-
Conditions à écrire
discontinuité possible des déplacements tangentiels et normaux
conditions de non interpénétration dans le contact unilatéral
continuité du vecteur contrainte en l’absence de forces surfaciques
+
cf la partie Rupture
Plasticité et Rupture
Amphi 1
17
•
Conditions aux limites
‣ Condition de Dirichlet sur une partie du bord
⇠(M ) = ⇠ d (M ),
position ou déplacement contrôlé en chaque point de ce bord
M 2 @D ⌦
encastrement
⇠(M ) = 0
Essai de traction à déplacement contrôlé
translation
e3
encastrement
Plasticité et Rupture
Amphi 1
⇠(M ) = 0
18
‣ Condition de Neumann sur une partie du bord
force surfacique imposée en chaque point de ce bord
n0
fluide en équilibre
n
M
x
pression du fluide
En grandes transformations
(x)n(x) =
p(x) n(x)
pression au point de la configuration d’équilibre
normale à la configuration d’équilibre
Plasticité et Rupture
En HPP
(M )n0 (M ) =
p(M ) n0 (M )
pression au point de la configuration de référence
normale à la configuration de référence
Amphi 1
19
‣ Condition de Neumann sur une partie du bord en HPP
force surfacique imposée en chaque point de ce bord
configuration de référence
(M )n0 (M ) = T (M ),
M 2 @N ⌦
la force surfacique est exercée au point de la configuration de référence
la normale est la normale à la configuration de référence
Plasticité et Rupture
Amphi 1
20
‣ Conditions de contact sans frottement en HPP
(
déplacement normal imposé
cisaillement nul
⇠ ·n0 donné
n0 parallèle à n0
Essai de compression simple
(
=
⇠3 =
13
23
=0
translation du plateau
e3
e3
déplacements latéraux libres
(
=
⇠3 = 0
13
Plasticité et Rupture
23
=0
plateau fixé
Amphi 1
21
‣ Conditions non locales
-
nB
Exemple 1: Conditions de périodicité (en HPP)
B
nA
A
0
nA
A
B0
nB
cellule de base
périodicité des déplacements
⇠(M ) = ⇠(M 0 )
milieu périodique
anti-périodicité du vecteur contrainte
(M )nM = (M 0 )nM
Plasticité et Rupture
Amphi 1
22
‣ Conditions non locales (en HPP)
-
Exemple 2: Essai de traction à forces imposées
Fe3
force imposée au centre du plateau
plateau rigide mobile
Conditions à la limite
sur la section attachée au plateau mobile?
L
e3
granulat
plateau rigide fixe
O
S
éprouvette hétérogène à section circulaire
Plasticité et Rupture
Amphi 1
23
force imposée au centre du plateau
Fe3
plateau rigide mobile
Conditions cinématiques en HPP
-
petit déplacement rigide du plateau
a+!^M
mais a et ! sont inconnus
L
e3
adhésion de l’éprouvette au plateau
⇠(M ) = a + ! ^ M ,
M 2 S ⇥ {L}
différent de conditions de type Dirichlet car les vecteurs
translation et rotation sont inconnus
O
S
Plasticité et Rupture
Amphi 1
24
force imposée au centre du plateau
Fe3
Conditions statiques en HPP
-
efforts exercés par l’extérieur sur le plateau
Fe3
plateau rigide mobile
(M )e3
action de l’éprouvette sur la plateau
L
e3
O
équilibre du plateau
équilibre des forces
Z
équilibre des moments
S
Plasticité et Rupture
-
(x1 , x2 , L)e3 dx1 dx2 = Fe3
S
Z
S
(x1 e1 + x2 e2 ) ^ (x1 , x2 , L)e3 dx1 dx2 = 0
différent de conditions de type Neumann car la
répartition précise des forces surfaciques n’est pas
donnée
Amphi 1
25
‣ Conditions non locales (en HPP)
-
Exemple 3: conditions sur le bord d’une cavité contenant un fluide incompressible
Conditions à la limite
sur le bord de la cavité?
fluide en équilibre
Plasticité et Rupture
Amphi 1
26
‣ Conditions de contact unilatéral sans frottement en HPP
condition cinématique de contact ou de non-interpénétration
condition statique de non contact ou de non cohésion et non frottement
condition de consistance
Si le point est en contact
A0
A
n
support rigide fixe
(
A : point de non contact
A0 : point de contact
8
déplacement normal nul :
>
>
<
cisaillement nul :
>
>
:
contrainte normale de compression :
n=
nn
nn n
0
Si le point n’est pas en contact
8
déplacement normal positif :
>
>
<
cisaillement nul :
>
>
:
contrainte normale nulle :
Dans tous les cas :
Plasticité et Rupture
⇠ ·n = 0
Amphi 1
⇠ ·n
0
n=
nn
nn n
=0
n·⇠ = 0
27
Le comportement élastique
(cadre HPP)
Plasticité et Rupture
Amphi 1
28
•
Définition
l’état actuel de contrainte de l’élément de volume
ne dépend que
de l’état actuel de déformation de l’élément de volume,
pas de son histoire
= f (")
ij
= fij ("11 , · · · , "33 )
ij
"kl
pas d’irréversibilité, pas de dissipation
Plasticité et Rupture
Amphi 1
29
•
Nécessité de l’existence d’un potentiel élastique
Hypothèse physique
Z
t1
t
t0
: "˙ t dt =
I
f (") : d"
8cycle
0,
impossibilité de récupérer de l’énergie
dans un cycle de déformation
travail de déformation
1
"t
"1
"0
"0
2
I
8cycle
Z
=) travail indépendant du chemin de déformation suivi :
=) travail nul dans tout cycle :
=) existence d’un potentiel :
Plasticité et Rupture
f (") : d" = 0,
f (") =
f (") : d" =
1
Z
f (") : d"
2
@W
(")
@"
Amphi 1
30
•
‣
Propriétés du potentiel élastique
Energie élastique
"1
Z
Z
@W
: d" = _
(")d"ij = W ("1 )
" " @"ij
_
" "
0 1
travail de déformation
W ("0 )
0 1
variation d’énergie
"0
‣
‣
Choix de la constante arbitraire
W (0) = 0
Z
=) W (") = _
: d"
0"
Interprétation graphique dans un essai uniaxial
W ("1 )
"1
Plasticité et Rupture
Amphi 1
"
31
•
‣
Hypothèses de convexité
W
Convexité de W
"1 6= "2 ,
⇣
W ✓"1 + (1
‣
✓ 2 (0, 1)
✓)"2
⌘
⇣ ⌘
< ✓W "1 + (1
⇣ ⌘
✓)W "2
Monotonie de la relation contrainte-déformation
"1
"2
"
"1 6= "2
2
⇣
2
⌘ ⇣
: "2
1
⌘
"1 > 0
"1
"
"2
‣
Positivité du tenseur d’élasticité tangent
@2W
Cijkl (") :=
(")
@"ij @"kl
Plasticité et Rupture
1
Cijkl (")"⇤ij "⇤kl > 0 ,
Amphi 1
8"⇤ 6= 0
32
•
‣
Comportement élastique linéarisé
Développement du potentiel au deuxième ordre
W (") ⇡ 0 +
0
: " + 12 " : C : "
par convention de la fixation de la constante
0
: précontrainte
C : tenseur de rigidité
‣
Symétries du tenseur de rigidité
C ijkl = C jikl = C ijlk
C ijkl = C klij
petites symétries dues à la symétrie de
et de "
grandes symétries dues à l’existence d’un potentiel
dimension
sans
avec
grande symétrie grande symétrie
1D
1
1
2D
9
6
3D
36
21
nombre de coefficients d’élasticité indépendants
Plasticité et Rupture
Amphi 1
33
‣
Positivité des coefficients d’élasticité
convexité du potentiel élastique
‣
()
C ijkl "ij "kl > 0,
8" 6= 0
Inversion de la relation d’élasticité
"=S:(
0
)
S : tenseur de souplesse
mêmes symétries, même nombre de coefficients, mêmes conditions de positivité que le tenseur de rigidité
‣
Potentiel élastique dual
W ⇤( ) =
Plasticité et Rupture
1
2
(
0
):S:(
0
)
Amphi 1
34
•
‣
Matériau isotrope
Invariance du potentiel dans toute rotation ou symétrie
W (QT " Q) = W ("),
=) W = W ("I , "II , "III )
"I = Tr " = "ii ,
‣
W fonction des invariants de "
"II = " : " = "ij "ij ,
"III = det "
Potentiel linéarisé
W (") =
‣
8Q : QT Q = I
0
Tr " +
1
2
une précontrainte scalaire :
0
deux coefficients d’élasticité :
,
(Tr ")2 + µ"·"
µ
(coefficients de Lamé)
unité : MPa
Positivité des coefficients d’élasticité
(Tr ")2 + 2µ" : " > 0,
Plasticité et Rupture
8" 6= 0 ()
3 + 2µ > 0 , µ > 0
Amphi 1
35
Décomposition d’un tenseur en partie sphérique et déviateur (en 3D)
Tr "
"=
I + "D ,
3
partie sphérique
":" =
=
=
Tr("D ) = 0
déviateur
✓
◆ ✓
◆
Tr "
Tr
"
I + "D :
I + "D
3
3
(Tr ")2
2
I : I + (Tr ") I : "D + "D : "D
9
3
(Tr ")2
+ "D : "D
3
(Tr ")2 + 2µ" : " =
Plasticité et Rupture
I : I = Tr I = 3
I : "D = Tr("D ) = 0
3 + 2µ
(Tr ")2 + 2µ"D : "D
3
Amphi 1
36
‣
Relation contrainte-déformation
=
‣
0
Loi de Hooke
I + (Tr ") I + 2µ"
Essai de glissement simple
µ = module de cisaillement
0
B
B
"=B
B
@
‣
Essai de contraction sphérique
0
/2 0
/2
0
0
0
C
C
0 C
C
A
0
0
0
µ
B
B
=B
B µ
@
0
=)
0
Amphi 1
=)
=
0
1
C
C
0 C
C
A
0
0
0
2
+ µ = module de compressibilité
3
" = eI
Plasticité et Rupture
1
+ (3 + 2µ)e I
37
‣
Inversion de la relation contrainte-déformation
⌫
Tr
E
" =
1
=
0
3
2⌫
E
0
1+⌫
E
I+
1+⌫
I +
E
E = module de Young
E
1 2⌫
2µ =
⌫=
1
2
⌫=
‣
⌫
Tr
E
I
sans dimension
3 + 2µ =
1<⌫<
I
⌫ = coefficient de Poisson
unité : MPa
E>0
0
1
2
E
1+⌫
: matériau incompressible, Tr " = 0
1 : distorsion impossible,
" = "I
Potentiel élastique dual
W ⇤( ) =
Plasticité et Rupture
⌫
Tr
2E
3
0 2
+
1+⌫
2E
Amphi 1
0
I :
0
I
38
‣
Essai de traction uniaxiale en l’absence de précontrainte
0
0 0
B
B
=B
B 0 0 0
@
0 0 0
1
C
C
C
C
A
B E
B
B
B
=) " = B 0
B
B
@
0
Matériau
0
0
⌫
E
0
0
⌫
E
1
C
C
C
C
C
C
C
A
E
(GPa)
Diamant
Verre (Silice)
Composites à fibres de carbone
Béton
Acier
Plexiglas
Plasticité et Rupture
0
1000
70
200–400
30
200
1–5
Amphi 1
39
•
‣
Matériau thermo-élastique linéaire isotrope
Configuration de référence naturelle
libre
T0 : température de référence
libre
T0
libre
" = 0,
=0
libre
‣
Dilatation thermique libre
libre
" = ↵(T
libre
T > T0
libre
T0 )I ,
=0
↵ : coefficient de dilatation thermique
libre
‣
Précontrainte thermique due au blocage des déformations
T > T0
" = 0,
=
0
I,
0
=
(3 + 2µ)↵(T
T0 )
dilatation interdite
Plasticité et Rupture
Amphi 1
40
‣
Relations de comportement (écritures équivalentes)
" = "e + "th
(
"e :
"th :
e
déformation élastique
déformation thermique = ↵(T
" =
T0 )I
⌫
1+⌫
(Tr )I +
E
E
= (Tr "e )I + 2µ"e
Plasticité et Rupture
Amphi 1
41