O’ZBЕKISTОN RЕSPUBLIKASI ОLIY VA O’RTA MAХSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
Al-ХОRAZMIY NОMIDAGI
URGANCH DAVLAT UNIVЕRSITЕTI
Matеmatika fakul’tеti “Funksiyalar nazariyasi” kafеdrasi
matеmatika ta’lim yo’nalishi 401 – matеmatika guruhi tolibi
Dushamov Diyorbekning
“Umumlashgan funksiyalar va ularning xossalari”
mavzusidagi
BITIRUV MALAKAVIY ISHI
ISH KO’RILDI VA HIMОYAGA
Ilmiy rahbar: f.-m.f.n. Yarmetov J.R
TAVSIYA QILINDI
__________________________
“Funksiyalar nazariyasi”
kafеdrasi mudiri : f.-m.f.d. Imоmqulоv S.A.
«_____» ___________2009 y.
Taqrizchi: dots. Yaxshimuratov A
_________________________
Urganch
2010
ANNOTATSIYA
Umumlashgan funksiya klassik funksiya tushunchasini umumlashmasidir. Bu
umumlashma, masalan, moddiy nuqta zichligini, nuqtaviy zaryad zichligini
matematik formada ifodalashga imkon beradi.
Birlik massaga ega bo’lgan moddiy nuqtani zichligini hisoblaymiz. Birlik massani
U   x  R n : | x |   sharga teng taqsimlaymiz, natijada
 3
, | x | 

f  x    4 3
0,
| x | 
o’rtacha zichlikka ega bo’lamiz.
f  x  o’rtacha zichlikni   0 dagi nuqtali limitini izlayotgan zichlik  x 
sifatida qabul qilamiz, ya’ni
 , x  0,
x  0.
0,
 x   lim f  x   
 0
(1)
 x  zichlik funksiyasi uchun
1, 0 V
V
0, 0 
  x dx  
V
munosabat o’rinli bo’lishi kerak, bunda V  R n . (1) munosabatga ko’ra, bu
tenglikning chap tomoni nolga teng bo’ladi, demak f  x  ketma- ketlikni   0
dagi nuqtali limitini  x  zichlik funksiya sifatida qabul qilib bo’lmaydi.
Endi f  x  ketma- ketlikni   0 dagi sust limitini hisoblaymiz ya’ni R n da
ixtiyoriy  x  uzluksiz funksiya uchun
 f x  x dx
sonli ketma- ketlikni   0
da limitini hisoblaymiz
lim
 0
bo’ladi.
Haqiqatan
ham,
 f x  x dx   0
 x 
funksiya
uzluksizligidan
  0
uchun
 0  0, | x |  0 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x larda |  ( x)   (0) | 
bo’ladi, bundan    0 larda
2
3
 f  x  x dx   0  4  x    0dx 
3
| x|

3
4
3
3
  x    0 dx   4 dx  
3
| x|
| x|
Demak, f  x  ketma- ketlikni   0 dagi sust limiti har bir uzluksiz  x 
funksiyaga  0 sonini mos qo’yuvchi funksionallardan iborat ekan, ushbu
funksionalni  x  zichlik funksiya ta’rifi sifatida qabul qilamiz, bu Dirakning  
funksiyasidir.
Ixtiyoriy  x  uzluksiz funksiya uchun   0 da f x    x  :
 f x xdx   , ,   0
bo’ladi, bunda  ,   funksionalni  funksiyadagi  0 qiymati.
3
Mundarija
Kirish……………………………………………………………………….3
1-§. Asosiy funksiyalar fazosi……………………………………….........5
2-§. Umumlashgan funksiyalar fazosi va umumlashgan funksiyalar
ustida amallar………………………………………………………………8
3-§. Umumlashgan funksiya hosilasi va uning xossalari……………….17
4-§. Umumlashgan funksiyalarning to’g’ri ko’paytmasi va o’ramasi...21
5-§. Musbat umumlashgan funksiyalar va o’lchovlar…………………..25
Fоydalanilgan adabiyotlar…………………………………………………27
4
Kirish
Umumlashgan funksiya klassik funksiya tushunchasini umumlashmasidir. Bu
umumlashma, masalan, moddiy nuqta zichligini, nuqtaviy zaryad zichligini
matematik formada ifodalashga imkon beradi.
Birlik massaga ega bo’lgan moddiy nuqtani zichligini hisoblaymiz. Birlik massani
U   x  R n : | x |   sharga teng taqsimlaymiz, natijada
 3
, | x | 

f  x    4 3
0,
| x | 
o’rtacha zichlikka ega bo’lamiz.
f  x  o’rtacha zichlikni   0 dagi nuqtali limitini izlayotgan zichlik  x 
sifatida qabul qilamiz, ya’ni
 , x  0,
x  0.
0,
 x   lim f  x   
 0
(1)
 x  zichlik funksiyasi uchun
1, 0 V
V
0, 0 
  x dx  
V
munosabat o’rinli bo’lishi kerak, bunda V  R n . (1) munosabatga ko’ra, bu
tenglikning chap tomoni nolga teng bo’ladi, demak f  x  ketma- ketlikni   0
dagi nuqtali limitini  x  zichlik funksiya sifatida qabul qilib bo’lmaydi.
Endi f  x  ketma- ketlikni   0 dagi sust limitini hisoblaymiz ya’ni R n da
ixtiyoriy  x  uzluksiz funksiya uchun
 f x  x dx
sonli ketma- ketlikni   0
da limitini hisoblaymiz
lim
 0
bo’ladi.
Haqiqatan
ham,
 f x  x dx   0
 x 
funksiya
uzluksizligidan
  0
uchun
 0  0, | x |  0 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x larda |  ( x)   (0) | 
bo’ladi, bundan    0 larda
5
3
 f  x  x dx   0  4  x    0dx 
3
| x|

3
4
3
3
  x    0 dx   4 dx  
3
| x|
| x|
Demak, f  x  ketma- ketlikni   0 dagi sust limiti har bir uzluksiz  x 
funksiyaga  0 sonini mos qo’yuvchi funksionallardan iborat ekan, ushbu
funksionalni  x  zichlik funksiya ta’rifi sifatida qabul qilamiz, bu Dirakning  
funksiyasidir.
Ixtiyoriy  x  uzluksiz funksiya uchun   0 da f x    x  :
 f x xdx   , ,   0
bo’ladi, bunda  ,   funksionalni  funksiyadagi  0 qiymati.
Endi birlik massani hosil qilish uchun  x  funksionalni  x   1 funksiyadagi
qiymatini hisoblaymiz:  ,1  10  1 .
Agar x  0 nuqta m massaga ega bo’lsa, u holda zichlik m   x  ga teng
bo’ladi, agarda m massa x0 nuqtada bo’lsa zichlik m   x  x0  , umuman har xil
xk , k  1,2,...,N
nuqtalarga mk massa qo’yilgan bo’lsa, zichlik funksiya
N
 mk  x  x0 
k 1
ko’rinishda bo’ladi.
Moddiy nuqtadagi zichlik klassik funksiya tushunchasi orqali ifodalanmas ekan, u
chiziqli uzluksiz funksionallar (umumlashgan funksiyalar) yordamida ifodalanar
ekan [2].
Ushbu Bitiruv malakaviy ishida umumlashgan funksiyalar (§ 1), ularning
xossalari (§ 2), ular ustida amallar (§ 3) o’rganilgan. Oxirgi § 5 da esa musbat
umumlashgan funksiyalar va o’lchovlar orasidagi munosabat o’rganilgan.
6
1-§. Asosiy funksiyalar fazosi.
Kirish
qismida
keltirilgan
misoldan
ko’rinadiki
  funksiya uzluksiz
funksiyalar orqali chiziqli uzluksiz funksional sifatida aniqlandi, ya’ni uzluksiz
funksiyalar   funksiya uchun asosiy funksiya hisoblanadi. Umumlashgan
funksiyalarni chiziqli uzluksiz funksiyalar sifatida aniqlash maqsadida asosiy
funksiyalar fazosini aniqlash zarur.
G  R n soha va unda  x  funksiya aniqlangan bo’lsin. Agar biror G1  G
sohadan tashqarida  x   0 bo’lsa,  x  funksiya G sohada finit deyiladi.
 x   0 nuqtalar to’plamining yopilmasi  x  funksiyaning tashuvchisi deyiladi:
supp x   x : x  R n ,  x   0
R n fazoda aniqlangan cheksiz marta differensiallanuvchi finit funksiyalar asosiy
 
funksiyalar to’plami deyiladi. Asosiy funksiyalar to’plamini D  D R n
bilan
belgilaymiz.
D to’plamda yaqinlashish tushunchasini quyidagicha kiritamiz: D dan olingan
1 ,  2 ,... funksiyalar ketma –ketligi   D funksiyaga yaqinlashadi deyiladi, agar
1) R  0 : supp k  U R
2) har bir   1 , 2 ,..., n  multiindeks uchun
  k  x 
  x , k   .
1) va 2) shartlar bajarilganda D da k x    , k   kabi yoziladi.
Chiziqli D to’plam yuqorida kiritilgan yaqinlashish tushunchasi bilan birgalikda
asosiy funksiyalar fazosi deyiladi.
Asosiy funksiyalar fazosida    x  differensiallash amali D dan D ga
uzluksiz akslantirish bo’ladi.Haqiqatan ham, agar k  0, k   , bo’lsa, u holda
1) Biror R  0 uchun | x | R da  k x   0 ,
2) Har bir  uchun   k x 
0, k  .
7


Demak, supp   k x   U R va     k x      k x   0 , k  , ya’ni
  k x   0, k  .
 
Xuddi shunday   Ay  b va ax    x , ax  C  R n amallar ham D dan D ga
uzluksiz akslantirish bo’ladi.
Tashuvchisi biror G  R n sohaga tegishli bo’lgan asosiy funksiyalar to’plamini
DG  orqali belgilaymiz.
 
DG   D R n  D (ta’rifga ko’ra).
Noldan farqli asosiy funksiyaga quyidagi “shapkacha” funksiya misol bo’ladi:
 2

2
2

  x   C e  | x| , | x | 
0,
| x | 

bunda C o’zgarmas son
  x dx  1
shart bilan tanlangan, ya’ni

C  n  e
1
1 | | 2
d  1 .
U1
 
Lemma 1. Ixtiyoriy G  R n soxa va   0 son uchun   x  C  R n
0   x   1;
 x   0 x  G3 , bunda
 x   1, x  G ;
G 
U x,    G
xG
sohaning  atrofi.
Teorema 1.1. DG  to’plam L2 G  fazoda zich.
Isbot. f  L2 G  va   0 son berilgan bo’lsin. Lebeg integralining absolyut
uzluksizlik xossasiga ko’ra  G'  G :

| f x  | dx 
2
G \G '
8
2
5
.
Ko’phadlar to’plami L2 G  da zichligidan  P :
 | f  x   P x  |
2
dx 
G'
2
5
.
G" G' sohani shunday tanlaymizki,

| Px  | dx 
2
G '\G "
2
5
.
Lemmaga ko’ra   DG' : 0    1  x   1, x  G". U holda P  DG  va
f  P
2
  | f  P | 2 dx 
G

| f |
2
dx 
G \G '
2
3
 2  | f  P | 2 dx  2  | P  P | 2 dx   2 2  | P | 2 dx   2 .
5
5
G'
G'
G '\G"
Teorema isbotlandi.
9
2-§. Umumlashgan funksiyalar fazosi va umumlashgan funksiyalar ustida
amallar.
Umumlashgan funksiyalar fazosi.
Ta’rif 2.1. Asosiy funksiyalar fazosida aniqlangan chiziqli uzluksiz
funksional umumlashgan funksiya deyiladi.
f funksionalning  asosiy funksiyadagi qiymati
 f , 
bilan belgilanadi yoki
f x  kabi belgilanadi. (x,  asosiy funksiya argumentlari).
Umumlashgan funksiyalar fazosi D' D' R n  bilan belgilanadi.
1- ta’rifga asosan
f umumlashgan funksiya D dagi har bir  ga  f ,  (kompleks) sonni mos
1)
qo’yadi.
f umumlashgan funksiya D da aniqlangan chiziqli funksional, ya’ni agar
2)
  D,   D va  ,   C bo’lsa,
f        f ,     f ,  .
f umumlashgan funksiya D da aniqlangan uzluksiz funksional, ya’ni agar
3)
D dagi  k  0, k  , ketma - ketlik uchun  f ,k   0, k   .
Agar
D'
da
f
va
g
umumlashgan
funksiyalarni
f  g
chiziqli
kombinatsiyasini quyidagicha aniqlasak D' chiziqli to’plam tashkil qiladi :
f  g,     f ,    g, ,   D .
f  g funksionalni D da chiziqli va uzluksizligini tekshiramiz, ya’ni D' ga
tegishliligini. Haqiqatan ham, agar   D,   D va  ,   C bo’lsa, u holda
f  g,        f ,      g,    
    f ,    g ,      f ,    g ,    f  g ,    f  g , 
10
ya’ni bu funksional chiziqli.
f va g uzluksizligidan D dagi  k  0, k   ketma - ketlik uchun
f  g,k     f ,k    g,k   0,
k  ,
bo’lib, f  g funksionalning uzluksizligi kelib chiqadi.
D' da sust yaqinlashish tushunchasini aniqlab olamiz:
aniqlangan
ketma
-
ketlik
uchun
  D
f1 , f 2 ,.... D'
da
da
 f k ,     f ,  ,
k  , bo’lsa f k umumlashgan funksiyalar ketma – ketligi
f  D' umumlashgan funksiyaga yaqinlashadi deyiladi va f k  f , k   kabi
yoziladi.
Ushbu yaqinlashish tushunchasi bilan birgalikda D' umumlashgan funksiyalar
fazosi deyiladi.
Umumlashgan funksiyalar fazosining to’laligi.
Teorema 2.1. D' dan olingan f1 , f 2 ,... ketma - ketlik uchun   D da
 f k ,  sonli ketma - ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
 f ,   lim
 f k , ,   D,
k 
tenglik bilan aniqlangan f funksional D da chiziqli va uzluksiz bo’ladi.
Isbot.  f ,      lim  f k ,       lim  f k ,     lim  f k ,  
k 
k 
k 
  f ,     f , 
munosabatdan f funksionalning chiziqliligi kelib chiqadi. Uni uzluksizligini
isbotlaymiz,
 f ,v   0,
ya’ni
D
dagi
v  0, v  
ketma
-
ketlik
uchun
v  , bo’lishini isbotlaymiz.
Teskari faraz qilamiz, ya’ni barcha v  1,2,... uchun a  0 bo’lib, f , k  2a
bo’lsin.
 f ,v   lim
 f k , k 
k 
11
munosabatdan har bir v uchun shunday k v topilib, f kv , v  a bo’ladi, ikkinchi
tomondan teorema shartiga ko’ra
 f k ,k   0,
k   . Demak, farazimiz
noto’g’ri.
Teorema isbotlandi.
Izoh. Teorema shartini qanoatlantiruvchi f1 , f 2 ,... ketma - ketlik uchun D dan
olingan 1 ,  2 ,... nolga intiluvchi ketma - ketlik uchun
 f k ,k   0,
k 
ekanligi quyidagi lemmada isbotlangan.
Lemma 2.1. Teorema shartlarini qanoatlantiruvchi D' dan olingan f1 , f 2 ,...
funksionallar ketma – ketligi bo’lib, D dan olingan nolga intiluvchi 1 , 2 ,...
ketma - ketlik bo’lsa, u holda  f k , k   0, k   , bo’ladi.
Umumlashgan funksiya tashuvchisi.
Umumlashgan funksiyalar umuman aytganda alohida olingan nuqtada qiymatga
ega bo’lmaydi. Lekin uni biror sohada nolga tengligi haqida mulohaza yuritish
mumkin.
Ta’rif 2.2. f umumlashgan funksiya G sohada nolga teng deyiladi, agar
  DG  uchun  f ,   0 bo’lsa.
Agar
 f ,   0,   DG 
bo’lsa f  0, x  G yoki f x   0, x  G ko’rinishda
yoziladi.
Ushbu ta’rifga asosan G sohada f va g umumlashgan funksiyalar teng deyiladi,
agar f  g  0 , x  G bo’lsa: xususan agar   D uchun  f ,   g ,  bo’lsa.
f umumlashgan funksiya G sohada nolga teng bo’lsa, u holda G sohaning
ixtiyoriy nuqtasini biror atrofida ham nolga teng bo’ladi. Teskarisi ham o’rinli.
Lemma 2.2. Agar f umumlashgan funksiya G sohani ixtiyoriy nuqtasi
atrofida nolga teng bo’lsa, u holda G sohada nolga teng bo’ladi.
Isbot. Ixtiyoriy   DG  ni fiksirlaymiz. Aniqlanishiga ko’ra supp  G .
12
supp kompakt to’plam ekanligidan Geyne – Borel’ lemmasiga ko’ra uni chekli
sondagi U xk , rk , k  1,2,..., N   sharlar bilan qoplash mumkin. Lemma shartiga
ko’ra bu sharlarda f nolga teng. U xk , r 'k , r 'k  rk , sharlarni shunday tanlash
mumkinki, ular supp ni qoplaydi. Asosiy funksiyalar haqidagi lemmaga ko’ra
hk   :
hk x   1,
x U xk , r 'k ,
supphk  U xk , rk  , funksiyalar mavjud. Bu
funksiyalar orqali
N
hx    hk x ,  k x    x 
k 1
hk x 
h x 
funksiyalarni quramiz. Qurilishiga ko’ra supp atrofida hx   1.
Demak,
N
k  DU xk , rk  va  x    k x 
k 1
Bundan
 f ,    f ,  k     f , k   0 .
N

k 1
N

k 1
Lemma isbotlandi.
f  D' bo’lsin. f  0 atroflar birlashmasi Q f ochiq to’plam f umumlashgan
funksiyani nollik to’plami deyiladi.
Q f to’plamni R n gacha to’ldiruvchisi f ni tashuvchisi deyiladi. suppf yopiq
to’plam bo’ladi. Agar suppf chegaralangan to’plam bo’lsa, u finit deyiladi.
Regulyar umumlashgan funksiyalar.
f x  funksiya R n da lokal integrallanuvchi bo’lsin.
 f ,    f x  x dx,   D
funksionalni qaraymiz. Integralning chiziqliligidan
 f ,       f x  x    x dx 
  f x  x dx    f x  x dx    f ,      f , ;
13
(*)
Integral belgisi ostida limitga o’tish haqidagi teoremaga asosan  k  0, k  ,
k  D asosiy funksiyalar ketma – ketligi uchun
 f , k    f x  k x dx  0,
k  .
UR
bo’ladi. Demak,  f ,  chiziqli uzluksiz funksional.
Ta’rif 2.3. R n da lokal integrallanuvchi funksiyalar orqali aniqlangan (*)
umumlashgan funksiyalar regulyar umumlashgan funksiyalar deyiladi.
Lemma 2.3. (Dyu Bua - Reymon). G sohada lokal integrallanuvchi f x 
funksiya umumlashgan ma’noda G da nolga teng bo’lishi uchun f x  funksiya G
sohada deyarli nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.
(*) munosabatga asosan R n da lokal integrallanuvchi funksiya regulyar
umumlashgan funksiyani aniqlaydi. Dyu Bua – Reymon lemmasiga ko’ra regulyar
umulashgan funksiya R n da lokal integrallanuvchi funksiya orqali yagona ravishda
aniqlanadi. Demak, R n da lokal integrallanuvchi va regulyar umumlashgan
funksiyalar orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bu moslik (*) munosabat
orqali amalga oshiriladi. Shu ma’noda R n da lokal integrallanuvchi funksiyalar
regulyar umumlashgan funksiya bo’ladi.
Ta’rif 2.4. f umumlashgan funksiya C p G  sinfga tegishli deyiladi, agar u
G sohada C p G  sinfga tegishli fG x  funksiya bilan ustma – ust tushsa, ya’ni
  DG 
 f ,     f G x  x dx
Singulyar umumlashgan funksiyalar.
Ta’rif 2.5. Regulyar bo’lmagan umumlashgan funksiyalar singulyar
umumlashgan funksiya deyiladi.
Ushbu ta’rifga ko’ra singulyar umumlashgan funksiyani lokal integrallanuvchi
birorta ham funksiyaga mos qo’yib bo’lmaydi.
14
Singulyar umumlashgan funksiyaga oddiy misol Dirakning   funksiyasidir.
 ,    0,   D,
 x  singulyar umulashgan
ma’lumki   D' ,  x   0, x  0, supp  {0}
funksiya ekanligini isbotlaymiz. Teskari faraz qilamiz, ya’ni shunday R n da lokal
integrallanuvchi f x  funksiya mavjud bo’lsinki,   D uchun
 f x xdx   0
bo’lsin. x1   x  D ekanligidan
 f xx1 xdx  x1 x x0  0  x1  f ,  
Bundan ko’rinadiki, R n da lokal integrallanuvchi x1  f x  funksiya umumlashgan
ma’noda nolga teng bo’ladi. dyu Bua – Reymon lemmasiga ko’ra deyarli barcha
nuqtalarda x1  f x   0 , ya’ni f x   0 .
Bu esa
 f x xdx   0 ekanligiga ziddir. Demak, farazimiz noto’g’ri.
  0 da  x    x  ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham D' da yaqinlashish tushunchasiga asosan
lim   x  x dx   0,   D .
 0
 x  uzluksizligidan | x |  0 uchun  x    0   tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Demak
  x xdx   0    x x   0 dx     xdx   .
Endi Soxotskiy formulalarini keltirib chiqaramiz.
  
 x 
 1 
dx  lim    
 P ,    Vp
 0
x
 x 
  
P
  x 

 x dx,   DR .

1
funksional D da uzluksiz. Haqiqatan ham, D da  k  0, k  , ketma x
ketlik berilgan bo’lsin. U holda
15
R
 k x 
 0   ' k  x'
 1
dx  Vp  k
dx 
 P ,  k  Vp
x
x
 x
R
R
 ' k x   0,
  ' k x' dx  2 R max
| x|  R
k  .
R
1
Shunday qilib P  D'
x
x  0 da P
1
1
umumlashgan funksiya
x
x
umumlashgan funksiya
bilan ustma – ust tushadi. P
1
funksiya integralining bosh qismi Vp deyiladi.
x
 x 
dx  i 0  Vp
 0  x  i
lim
1
x
 x 
x
dx,   D
tenglikni isbotlaymiz.
Haqiqatan ham, | x | R da  x   0 ekanligidan
R
 x 
x  i
lim 
dx  lim  2
  x dx 
2
 0 x  i
 0
x


R
R
x  i
x  i
 x    0dx 
 0 lim  2
dx  lim  2
2
2
 0
 0
x


x


R
R
R
 2i 0 lim arg tg
 0
Ushbu tenglik    da
ko’rsatadi.
R


R
  x    0
R
x

dx  i 0  vp
 x 
x
dx.
1
ketma- ketlikni D' da limiti mavjudligini
x  i
1
1
ni   0 dagi limitini
bilan belgilasak,
x  i
x  i0
1
1
 i x   P
x  i0
x
1
1
 i x   P
x  i0
x
bo’ladi. Bu formulalar Soxotskiy formulalari deyiladi.
16
Umumlashgan funksiyalar ustida amallar.
Umumlashgan funksiyalarda o’zgaruvchini chiziqli almashtirish.
f x 
funksiya R n da lokal integrallanuvchi va x  Ay  b, det A  0 bo’lsin.   D
uchun
 f  Ay  b ,    f  Ay  b   y dy 


1
f  x  A1  x  b  dx 

| det A |
 

1
f , A1  x  b 
| det A |
Demak, f x  D' uchun f  Ay  b umumlashgan funksiya

,   D
  A1 x  b 
 f  Ay  b,    f ,
| det A |



formula orqali aniqlanadi.
Xususan, agar A'  A1 bo’lib, b  0 bo’lsa,
 f  Ay,    f ,  A' x ;
A  cI , c  0, bo’lib, b  0 bo’lsa,
 f cy ,  
1 
 x 
f
,


  ;
| cn | 
 c 
A  I bo’lsa,
 f  y  b,    f , x  b .
f x  b umumlashgan funksiya f x  umumlashgan funksiyani b vektorga surish
deyiladi. Masalan
 x  x0 ,    , x  x0    x0 .
Umumlashgan funksiyalarni ko’paytirish.
  funksiya
f x  R n da lokal integrallanuvchi funksiya va ax  C  R n
berilgan bo’lsin.   D uchun
af ,    ax f x xdx   f , a 
munosabat o’rinli bo’ladi.
17
 
Bu tenglikni f  D' bilan a  C  R n
funksiyalar ko’paytmasi sifatida qabul
qilamiz:
a f ,    f , a ,   D .
 
D da a  C  R n
funksiyaga ko’paytirish amali chiziqli va uzluksizligidan
af  D' bo’ladi.
 
Xuddi shunday a  C  R n funksiyaga ko’paytirish amali D' da ham chiziqli va
uzluksiz bo’ladi:
af  g    af    ag , f , g  D' ;
agar D' da f k  0, k   D' da af k  0, k   .
  funksiya
Agar f  D' bo’lib,   C  R n
f ni tashuvchisida birga teng
bo’lsa, f   f tenglik o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan ham,   D uchun f va 1    larni tashuvchilari umumiy nuqtaga
ega bo’lmaydi va
 f   f ,     f , 1      0
Misollar.
1. ax  x   a0 x .
  D uchun
a ,    , a   a0 0  a0 ,  .
2. x  P
1
 1.
x
  DR1  uchun
1   1
x x 


dx    x dx  1,  
 xP ,     P , x   Vp
x
x
x

 

18
3-§. Umumlashgan funksiya hosilasi va uning xossalari.
Umumlashgan
funksiya
f  C p R n 
hosilasi.
funksiya
berilgan
bo’lsin.
 , |  | p , va   D uchun bo’laklab integrallash formulasiga asosan
 f ,     f x xdx   1  f x      1  f ,   
| |
| |
tenglik o’rinli bo’ladi.
Ta’rif 3.1. f  D' umumlashgan funksiyani  f hosilasi deb
 f ,    1  f ,   ,   D
| |
ifodaga aytiladi.
 f  D' ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham,
1)
Chiziqliligi:
  f ,       1   f ,         1   f ,        


   1  f ,        1  f ,        f ,       f , .
| |
| |
2)
| |
| |
Uzluksizligi:
Agar D da  k  0, k  , va   k  0, k  , bo’lsa, u holda


f , k    1
| |
 f ,     0, k   .

k
1. Umumlashgan funksiya hosilasining xossalari.
10.   differensiallash amali D' dan D' ga chiziqli va uzluksiz, ya’ni D' ni D' ga
chiziqli va uzluksiz akslantiruvchi:
 f  g    f   g , f ; g  D';
Agar f k  0, k  , f k  D bo’lsa, u holda
 f k  0, k   .
Haqiqatan ham, hosila ta’rifiga ko’ra   D uchun


f k ,    1
| |
f
k
,     0, k   .
Bundan D' da k    f k  0 ekanligi kelib chiqadi.
  chiziqliligi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi.
19
20. Ixtiyoriy umumlashgan funksiya cheksiz marta differensiallanuvchi.
Haqiqatan ham, f  D' 
f
  f 

  D' va hokazo.
 D' 
xi
x j  xi 
30. f  D' va a  C  R n  uchun Leybnits formulasi o’rinli bo’ladi.
Masalan:
af  a
f

f a
x1
x1
x1
Haqiqatan ham,   D uchun
 af  


 a  a 
 
 

   f , a
   f ,
,    af ,

  

x

x

x

x

x
 1





1
1
1
1
 a   
  a
  f
  a

   f
   f , a
  
  f ,
, a   
f ,    a
,   
f ,  
x1  
x1   x1

  x1
  x1   x1

 f a

 a

f , 
 x1 x1

40. f Umumlashgan funksiya x G da f x   0 bo’lsa, u holda x G uchun
 f  0 va supp  f  supp f .
Haqiqatan ham,   DG  bo’lsa,    DG  bo’lib,


f ,    1
| |
 f ,     0,

  DG ,
bo’ladi, ya’ni  f  0, x  G .
2. Umumlashgan funksiyaning boshlang’ich funksiyasi.
n  1 bo’lsin. Matematik analiz kursidan ma’lumki, har qanday uzluksiz f x 
funksiya f 1 x  boshlang’ich funksiyaga ega:
f 1 x    f  d  C,
 f   x'  f x.
1
ta’rif. f 1  D' R  umumlashgan funksiya f  D' R  umumlashgan funksiyani
boshlang’ichi deyiladi, agar  f 1 '  f ya’ni  f 1 , '   f , ,   D bo’lsa.
Ta’rifdan ko’rinadiki, f  1 funksiyaning barcha asosiy funksiyalarda emas, faqat
20
ularning hosilalarida aniqlangan. f 1 funksionalni D fazoga chiziqli va uzluksiz
davom qildirishga harakat qilamiz.
Faraz qilamiz f  D' ni f 1  D' boshlang’ichi mavjud bo’lsin   DR 
funksiyani quyidagi ko’rinishda ifodalaymiz
 x    ' x    x    d
bunda  x   ”shapkacha” funksiya va



 x     x'   x'   d dx'

Endi
 x  DR  ligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham   C  R  va
 x   0, x   maxR,  , agar  x   0, | x | R x  maxR,   bo’lsa,






 x     x'dx'   x'dx'    d  0
Demak, | x | maxR,   bo’lsa,  x   0 bo’ladi, ya’ni   D .
f 
1


,   f 1 , ' x    x    d   f 1 , ' x    f 1 , x    d
f 
1
,    f ,   C    d ,   D
bunda C   f 1 , .
Demak, agar f umumlashgan funksiya f 1 boshlang’ichga ega bo’lsa, f 1
f 
1
,    f ,   C    d ,
 x    ' x    x    d ,
formula orqali hisoblanadi va aksincha C o’zgarmas son uchun ushbu formula
orqali aniqlangan f 1 f ni boshlang’ichi bo’ladi. Haqiqatan ham, f 1 chiziqli
funksional. Uni uzluksizligini isbotlaymiz.
D
da
k  0, k  
k   0, k  
ya’ni
berilgan
D
da
bo’lsin,
ya’ni
 k x   0, | x | R ,
 k x   , k   , bo’ladi.
uzluksizligidan
f 
1
, k    f , k   C   k  d  0, k   .
21
f
ni
va
D
Demak, f 1  D' .
Endi  x  ni ifodasida  funksiyani  ' funksiya bilan almashtirib,   '  d  0
ekanligini e’tiborga olsak,
f 
1
,    f , ,   D
bo’ladi.
22
4-§. Umumlashgan funksiyalarning to’g’ri ko’paytmasi va o’ramasi.
1. To’g’ri ko’paytma ta’rifi. f x  va g x  funksiyalar mos ravishda R n va R m
fazolarda lokal integrallanuvchi funksiyalar berilgan bo’lsin. f x   g x  ham
R n  m fazoda lokal integrallanuvchi bo’lib,  x, y  D asosiy funksiyalar fazosida
aniqlangan regulyar umumlashgan funksiyani aniqlaydi:
 f x g  y ,    f x g  y  x, y dx dy   f x  g  y  x, y dxdy 
 f x , g  y , x, y    g  y  f x  x, y dxdy  g  y ,  f x  x, y .
 
 
Ushbu tenglikni f x  D' R n
va g  y  D' R n
umumlashgan funksiyalarni
to’g’ri ko’paytmasi sifatida qabul qilamiz.


To’g’ri ko’paytmani D R n  m da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksionalligini
ko’rsatamiz. Shu maqsadda quyidagi lemmani isbotsiz keltiramiz.

 
va   D R n  m
Lemma 4.1. Ixtiyoriy g  D' R m
 

funksiyalar uchun
    g  y , x, y  funksiya D R n fazoga tegishli bo’lib, barcha  larda
 x   g  y ,  , y 


 
o’rinli bo’ladi. Agar D R n  m da k   da  k  0 bo’lsa, г holda D R n da
 k x   g  y ,k x, y   0, k   , bo’ladi.


 
Ushbu lemmaga asosan barcha   D R n  m uchun  x   g  y , x, y  D R n
ekanligidan
 f x  g  y ,     f x, g  y ,  x, y 
tenglikning o’ng tomoni barcha f va g umumlashgan funksiyalar uchun ma’noga


ega bo’ladi va D R n  m fazodagi funksionalni aniqlaydi.
f va g funksionallarning chiziqliligidan uning chiziqliligi kelib chiqadi. Uni




D R n  m da uzluksizligini isobotlaymiz. D R n  m da k   da k  0 bo’lsin. Г
 
holda lemmaga ko’ra D R n da g  y ,k x, y   0, k  , va f funksionalni
 
D R n da uzluksizligidan  f x , g  y ,k x, y   0, k   kelib chiqadi.
23


Demak, f x   g  y  D' R n  m ya’ni umumlashgan funksiya bo’ladi.
2. To’g’ri ko’paytmaning xossalari.
10. Kommutativligi. f  D' R n , g  D' R m  umumlashgan funksiyalar uchun
f x   g  y  kabi g  y   f x  to’g’ri ko’paytma aniqlanadi:
g  y   f x,   g  y ,  f x,  x, y ,   DR nm .
f x   g  y   g  y   f x 
tenglik o’rinli.
Haqaqatan ham,   DR nm :
 x, y   U l x Vl  y , U l  DR n , Vl  DR m 
N
l 1
asosiy funksiya DR nm  fazoda zichligidan
 f x   g x ,    f , U l g ,Vl  
N


l 1
N
 N

   f , U l g , Vl    g ,  Vl  f , U l   g  y   f x ,   .
l 1
 l 1

20. f x   g x  to’g’ri ko’paytma f va g larga nisbatan chiziqli va uzluksiz, ya’ni
masalan:
f x   f1 x  g  y     f x  g  y     f1 x  g  y ,
f , f1  D' R n , g  D' R m ; D' R n  da k   f k  0 bo’lsa, u holda D' R nm  da
k   da f k x   g x   0 .
Haqiqatan
ham,
  DR nm 
bo’lsin.
Yuqoridagi
lemmaga
asosan
 x   g  y , x, y  DR n  bo’lib,
 f k x : g  y ,    f k x, g  y , x, y    f k ,   0,
k  .
30. Assosativligi. Agar f  D' R n , g  D' R n  va h  D' R k  bo’lsa, u holda
f x   g  y   hz    f x   g  y   hz .
Haqiqatan ham, agar   DR nmk  bo’lsa,
 f x  g  y   hz     f x, g  y   hz ,  
24
  f x   g  y , hz ,     f x   g  y   hz ,  
40. Hosilasi.
x  f x   g  y   x f x   g  y 
Haqiqatan ham,   DR nm  bo’lsa,
  f x  g  y ,    1  f x  g  y ,   x, y    1 g  y ,  f x,   x, y  
| |


x
| |
x

x
 g  y , x f x ,   x f x   g  y , 
3. Umumlashgan funksiyalarning o’ramasi va uning xossalari.
f x  va g x  funksiyalar R n da lokal integrallanuvchi bo’lsin, u holda
hx    | g ( y) f ( x  y) |dy
funksiya ham R n da lokal integrallanuvchi bo’ladi.
f * g o’rama deb
 f * g x   f  y g x  y dy  g  y  f x  y dy g * f x
funksiyaga aytiladi.
Ta’kidlash lozimki, f * g va | f | * | g | h o’ramalar bir vaqtda mavjud bo’lib,
 f * g  h
bo’ladi, ya’ni f * g R n da lokal integrallanuvchi bo’lib, regulyar
umumlashgan funksiyani aniqlaydi:
  DR n  uchun
 f * g ,      f * g    d    g  y  f   y dy   d 
  g  y  f   y   d dy   g  y  f  y  x  y dx dy.
 f * g ,    f xg  y  x  y dx dy,   DR n  .
Xossalari
10. Chiziqliligi.
f * g o’rama f va g larga nisbatan D' da chiziqli, masalan
25
f  f1  * g    f * g ,
f , f1 , g  D' ;
agar f * g va f1 * g o’ramalar mavjud bo’lsa.   f ,*g 
20. Kommutativligi.
Agar f * g o’rama mavjud bo’lsa, g * f o’rama ham mavjud bo’lib,
f *g  g* f
bo’ladi.
30. O’ramaning hosilasi.
Agar f * g o’rama mavjud bo’lsa,  f * g va f *  g o’ramalar ham mavjud
bo’lib,
 f * g    f * g   f *  g
bo’ladi.
26
5-§. Musbat umumlashgan funksiyalar va o’lchovlar.
Ta’rif 5.1. Ixtiyoriy
 x  DG ,  x   0, G  R n , uchun
 f ,   0
munosabat o’rinli bo’lsa, f  D' G  musbat umumlashgan funksiya deyiladi.
Musbat umumlashgan funksiyalar bilan o’lchovlar orasidagi bog’lanishni
o’rganish uchun o’lchov ta’rifini keltirib o’tamiz.
Ta’rif 5.2. G  R n sohaning barcha qism to’plamlarida aniqlangan sanoqli
additiv, nomanfiy to’plam funksiyasi G sohada aniqlangan o’lchov deyiladi.
Ma’lumki
G
da
lokal
integrallanuvchi
f x 
funksiya
regulyar
umumlashgan funksiyani aniqlaydi.
 f ,    f x  x dx,   DG 
G
G sohada aniqlangan  o’lchov quyidagi
 ,      x d x ,   DG 
G
funksionalni aniqlaydi. Ushbu tenglik bilan aniqlangan  ,  DG  da chiziqli
uzluksiz funksional bo’ladi. Dirakning   funksiyasi bunga misol bo’ladi.
  0 asosiy funksiya uchun  ,   0 bo’ladi, ya’ni  o’lchov orqali
aniqlangan funksional musbat umumlashgan funksiya bo’ladi. Teskarisi ham
o’rinli, ya’ni har qanday f  D' G  musbat umumlashgan funksiyaga G sohada
aniqlangan yagona 1 o’lchov mos keladi, ya’ni
 f ,     x d1 ,   DG 
G
Ushbu paragraf so’ngida subgarmonik funksiyalar haqida to’xtalib o’tamiz.
G  R n sohada u x  funksiya berilgan bo’lib, yuqoridan yarim uzluksiz ya’ni
1)    ux   
2) x  G uchun lim u x   ux0  bo’lsin.
x  x0
27
Ta’rif 5.3. G  R n sohada aniqlangan u x  funksiya G da subgarmonik
deyiladi agar u G sohada yuqoridan yarim uzluksiz bo’lib, x0  G nuqta uchun
shunday yetarlicha kichik r  0 son mavjud bo’lib,
ux0  
1
 ux d x
wn r n 1 S  x0 ,r 

tengsizlik o’rinli bo’lsa, bunda S x0 , r   x  R n : x  x0  r

wn  birlik sfera
sirt yuzasi, d x  S x0 , r  sferaning yuza elementi.
G sohada subgarmonik funksiyalar sinfida ShG  orqali belgilaymiz.
Ixtiyoriy ux   C 2 G  funksiya uchun Laplas operatori quyidagicha
aniqlanadi:
u
 2u
i 1
xi2
u  
C 2 G  sinfga tegishli subgarmonik funksiyalar uchun u  0 bo’ladi, ya’ni
quyidagi teorema o’rinli bo’ladi.
Teorema ([3]). ux  C 2 G  funksiya G sohada subgarmonik bo’lishi
uchun u  0 bo’lishi zarur va yetarli.
Ixtiyoriy subgarmonik funksiya umuman aytganda ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bo’lmaydi, lekin u ni umumlashgan ma’noda qarash
 
mumkin, ya’ni   D R n uchun umulashgan funksiya xosilasi ta’rifiga ko’ra
u,    u,  
Ma’lumki (qarang[3]) u musbat umumlashgan funksiya bo’ladi. Yuqorida
ta’kidlanganidek, har bir musbat umumlashgan funksiya shu sohada aniqlangan
o’lchov mos keladi, ya’ni
u,     d u
G
Demak, u   u bo’ladi.
28
Fоydalanilgan adabiyotlar
1. Шабат
Б. В. Введение в комплексный анализ. Част I ,II. Москва,
«Наука», 1969.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической
физики. Москва,
«Наука» 1988.
3. Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных.
Москва, «Наука», 1971.
4. Маркушевич А.И. Теория
аналитических
функций . II том,
М.
«Наука», 1968.
5. Бицадзе
А.В.
Основы теории
аналитических
функций
комплексного переменного. Москва, «Наука»,1969.
6. Садуллаев. А. С.
Кўп аргументли голоморф функциялар. Урганч ,
2004.
29