Synthèse de math Q2
Table des matières
I
Algèbre et équations différentielles
4
1 Rappels
4
2 Espaces Euclidiens (E)
5
3 Opérateurs linéaires (valeurs propres)
6
4 Triangularisabilité
7
5 Application adjointe
8
6 Formes quadratiques
8
7 Équation différentielles
7.1 Solution homogène .
7.2 Solution particulière
7.3 Problème de Cauchy
II
linéaires
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Calcul différentiel à plusieurs variables
10
8 Topologie
10
9 Limites
10
9.1 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
10 Continuité
11
11 Différentielles
11
11.1 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12 Gradient, plan et vecteurs tangents
12.1 Vecteur tangent . . . . . . . . . . .
12.2 Plan tangent . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Exemple A . . . . . . . . .
12.2.2 Exemple B . . . . . . . . .
12.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
13
13
13
13
13 Classes de fonctions
13
14 Jacobienne
14
15 Hessiennes
14
15.1 Dérivée partielle seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
16 Règle de la chaîne
14
16.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
17 Dérivée k eme d’une fonction multivariable
1
14
Synthèse de math Q2
TABLE DES MATIÈRES
18 Taylor
15
18.1 Reste de Taylor en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
18.2 Reste de Taylor en deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
19 Extremas
19.1 Définitions . . . . . . . . . . . .
19.2 Propriétés . . . . . . . . . . . .
19.3 Théorème des bornes atteintes
19.4 Lagrangien . . . . . . . . . . .
19.4.1 Méthode générale . . . .
III
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Intégrales multiples
16
16
16
16
16
17
18
20 Comment résoudre des intégrales multiples
18
21 Changements de variables
19
IV
20
Intégrales de lignes et de surface
22 Intégrales de ligne
20
23 Intégrales de surface
20
24 Recapitulatif
20
V
Théorèmes intégraux
21
25 Champ de vecteurs conservatifs
21
26 Définitions
21
27 Propriétés
22
28 Opérateurs différentiels
22
29 Théorèmes intégraux
29.1 Th. Fondamental de l’analyse
29.2 Th. de Green (2D) . . . . . .
29.3 Th. de la divergence . . . . .
29.4 Th. de Stokes . . . . . . . . .
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23
23
23
23
24
A L’opérateur ∇ n’est pas commutatif !
24
B Questions examens
24
VI
25
Math 2 que je dois repasser
C Vocabulaire
25
D Random
25
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Synthèse de math Q2
E Exponentielle matricielle
TABLE DES MATIÈRES
25
F Équations de récurrence
25
F.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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Synthèse de math Q2
1 RAPPELS
Première partie
Algèbre et équations différentielles
1
Rappels
Notions de base
— 1
— A*B=Ligne A *Col B
2
3 →(1x3)
Produit scalaire
—
—
—
x | #»
y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn
( #»
Le produit scalaire est associatif
Le produit scalaire est symétrique
x | #»
y ) =< #»
x , #»
y >= #»
x ⊙ #»
y
— ( #»
— ( #»
x | #»
y ) = || #»
x ||.|| #»
y ||. cos ( #»
x , #»
y)
Déterminant
— det I=1
— det d’une matrice triangulaire=produit de la
diagonale
— Si on change 2 lignes : det A’=-det A
— det kA = k det A
— det AB = det A det B
— Si une ligne est nulle detA=0
— Si on fait une combi lin de lignes le det
change pas
— On peut pas utiliser la règle de Sarrus pour
des matrices autres que 3x3 et 2x2 !!!
Inverse
A est inversible ssi :
— ↔ BA = I = AB
— ↔ A est de rang plein
— ↔ det A ̸= 0( A est régulière). Une matrice est appelée singulière si son det=0.
Géométrie
Un plan≡1 point + paramètre*vecteur +paramètre*vecteur=0
Si on nous donne une équation de plan, on cherche 2 vecteurs qui lui appartiennent.
Divers
— A est symétrique ↔ A = At ↔ A =
A + At
2
— A est orthogonale ↔ AA = I
t
— (M.N )t = N t .M t
— Un scalaire transposé=ce scalaire (utile pour
démo)
— null L+ rang L= dim A
— dim Im L +dim ker L= rang L
— Q est orthogonale ↔ Qt .Q = I
— rang=nbr de lignes(col) non nulles
— Une application L(x) est linéaire ssi
L(λx) = λL(x) et L(x + y) = L(x) + L(y)
— Équation cercle de centre (a,b) et de rayon
r : (x − a)2 + (y − b)2 = r2
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Synthèse de math Q2
2
ESPACES EUCLIDIENS (E)
Espaces et sous espaces vectoriels
Pour qu’un ensemble soit un espace vectoriel il faut que cet ensemble soit un groupe commutatif
pour l’addition et la multiplication. C’est a dire que l’addition et la multiplication admettent
— Associativité
— Commutativité
— Neutre 0 (addition)
— Neutre 1 (multiplication)
— La symétrie (chaque élément a un opposé)
De plus cet ensemble admet la distributivité.
Sous espaces vectoriel (sev)
Un ensemble est un sev si l’addition et la multiplication par une constante d’éléments de cet
ensemble est linéaire, c’est a dire que le résultat de ces opération appartient toujours au sev.
Bases
Par combinaison linéaire d’éléments de la base on peut retrouver chacun des éléments de l’ensemble.
Ex : Base des polynômes de degrés strictement inférieurs à 2 : (x,1)
2
Espaces Euclidiens (E)
C’est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire. C’est à dire d’une application : (∀x, y, z ∈
E)
— Bilinéaire : (αx + βy)|z = α(x|z) + β(y|z)
— Symétrique : (x|y) = (y|x)
— Définie positive. (x|x) > 0
Propriétés et définitions
p
— || #»
x || = ( #»
x | #»
x ) tjrs>0
— dist(x,y)=|| #»
x − #»
y || tjrs >0 si x ̸= y
— ||α ∗ #»
x || = |α| ∗ || #»
x ||
#»
#»
#»
— |( x | y )| ≤ || x || ∗ || #»
y || (cauchy)
#»
#»
#»
— || x + y || ≤ || x || + || #»
y || (triangulaire)
Orthogonalité
— #»
x ⊥ #»
y ↔ ( #»
x | #»
y ) = 0 ↔ || #»
x + #»
y || = || #»
x || + || #»
y ||
— Le complément orthogonal de V(≜sev de E) : V ⊥ = { #»
x ∈ E| #»
x ⊥ #»
v ∀v ∈ V }
Base orthonormée
Soit e#»1 , ...e#»
n ∈E
#»
#
»
— e1 , ...en est une base orthogonale ↔ e#»i ̸= 0 et e#»i ⊥ e#»j ∀i
— eb1 , ...c
en est une base orthonormée ↔ ||ebi || = 1 et e#»i ⊥ e#»j ∀i ↔ (e#»i |e#»j ) = 0
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Synthèse de math Q2
3
OPÉRATEURS LINÉAIRES (VALEURS PROPRES)
Comment trouver une base orthonormée ? → Avec Graham - Schmidt
Soit e#»1 , ...e#»
n une base de V
e#»1
||e#»1 ||
#»
#»
2. e2 = e2 − < e#»2 , eb1 > ∗eb1
e#»2
3. eb2 = #»
||e2 ||
4. e#»3 = e#»3 − < e#»3 , eb2 > ∗eb2 − < e#»3 , eb1 > ∗eb1
e#»3
5. eb3 = #»
||e ||
1. eb1 =
3
6. etc
Projection orthogonale
x ) est la projection orthogonale de x sur V . Soit ec
Pv ( #»
n une base orthonormée de V .
Pv ( #»
x ) = ( #»
x |eb1 ) ∗ eb1 + ... + ( #»
x |c
en ) ∗ ec
n
La projection orthogonale de x sur V minimise la distance entre x et un élément de V .
Problème d’approximation
#»
Soit l’équation S :A. #»
x = b
1. S n’as pas de solutions exactes càd qu’il n’y a pas n équations à n inconnues
2. On trouve une base de col(A) (=2colonnes indépendantes)
3. On orthonorme la base de col(A) avec Graham-Schmidt
#»
#»
#»
#»
#»
4. Soit b′ la projection orthogonale de b sur col(A) : b′ = Pcol(A) ( b ) = ( b |eb1 ) ∗ eb1 + ... + ( b |c
en ) ∗ ec
n
#»′
#»
5. On résout S’=A x = b
3
Opérateurs linéaires (valeurs propres)
— Pour trouver les valeurs propres (λi ) de A, on résout det(A − Iλi ) = 0. det(A − Iλi ) est appelé
le polynôme caractéristique de A
— Pour trouver les vecteurs propres ( #»
x ) de A, on résout (A − Iλi ) #»
x = 0. Il faut donc le faire pour
#»
chaque λ. On obtient autant de ( x ) que de λ
Propriétés
— L( #»
x ) = λ #»
x
n
P
P
P
— T r(A) =
λi ( de la diagonale = valeurs propres)
i=1
— det A = Πni=1 λi (produit des λi =det A)
!
#»
— L L L( x )
= Lk ( #»
x ) = λk #»
x
— Si 2 vecteurs propres sont orthogonaux (leur produit scalaire vaut 0) alors ils ne sont pas associés
à la même valeur propre, sinon ils le sont.
— Si une matrice a coefficients réels possède une valeur propre complexe λ alors son conjugué λ̄ est
une valeur propre aussi.
— Toute matrice symétrique réelle possède des valeurs propres réelles et un ensemble complet de
vecteurs propres orthogonaux.
— Pour toute valeur propre λ d’une matrice symétrique réelle ma (λ) = mg (λ)
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Synthèse de math Q2
4
TRIANGULARISABILITÉ
Espace propre
    

x1
0
a − λi
b
c
e − λi
f  ∗ x2  = 0
E(λi ) = ker(A − λi I) −→  d
g
h
j − λi
x3
0
Les valeurs de x seront l’espace propre de la valeur propre (λi ). Ducoup c’est comme le vecteur propre
associé à la valeur propre λi
Sous espace propre
C’est le vecteur propre associé à la valeur propre dont un parle.
Diagonabilisité
— A est diagonalisable elle admet n vecteurs propres linéairement indépendants. On peut très bien
avoir une racine double et toujours avoir des vecteurs propres indépendants. Le vecteur propre
nul ne compte pas.
— Si A admet n(n=rang) valeurs propres distinctes alors A est diagonalisable (suffisant mais pas
nécessaire, ex la matrice identité est diagonalisable.)
— A.P=P.D ou A=P.D.P −1 avec P une matrice avec les vecteurs propres de A en colonnes. (P est
carrée et inversible)
−1
— M = P.D.P
et M k 
= P.Dk .P −1 avec D une matrice avec les valeurs propres en diagonale.

λ1
 alors P= x#»1 x#»2 x#»3 dans cet ordre la.
λ2
Soit D= 
λ3
— La puissance nème d’une matrice diagonale D s’obtient en élevant chacun de ses éléments à cette
puissance.
Pour diagonaliser avec une matrice orthogonale : Soit Q une matrice orthogonale. Dans une
matrice orthogonale, chacun des vecteurs qui la composent sont orthogonaux entre eux.
— A = QT DQ
— Q est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A orthonormés par GrahamSchmidt.
— De la on peut trouver la matrice diagonale D aisément.
Multiplicités
— Multiplicité algébrique d’une valeur propre λi : ma (λi )= sa multiplicité comme racinne du polynome caractéristique.
— Multiplicité géométrique d’une valeur propre λi : mg (λi )=dim(E(λi ))=n-rang(A-λi I)
— 1 ≤ mg (λi ) ≤ ma (λi ) ≤ n avec n la dimension de la matrice de l’application
4
Triangularisabilité
— Toute matrice carrée peut être triangularisée.
— Toute matrice diagonalisable est triangularisable
— A est triangularisable ssi A=P.T.P −1


1 2 3
—  4 5 est une matrice triangulaire supérieure
6
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Synthèse de math Q2
5
6
FORMES QUADRATIQUES
Application adjointe
—
—
—
—
—
—
—
6
L’adjoint L∗ d’un opérateur L vérifie < L(u), v >=< u, L∗ (v) > ∀u, v
I ∗ =I
(L∗ )∗ = L
(T ◦ L)∗ = L∗ ◦ T ∗
l’adjoint est unique
Soit L et son adjoint L∗ , M la matrice associée à L, M ′ à L∗ . M ′ est la transposée de M
L est l’auto adjoint ssi L = L∗ , autrement dit M = M ′ est symétrique
Formes quadratiques
Une forme quadratique est une somme de termes de forme coeff.var1 .var2 . Soit q(x) une forme
quadratique
Th. Spectral pour les matrices réelles
Les conditions suivantes sont équivalentes :
— A est symétrique (AT = A)
— Rn admet une base orthonormée formée par des vecteurs propres de A
— ∃Q ∈ Rn×n orthogonale, D ∈ Rn×n diagonale telles que A = QDQ−1 = QDQT
Ce th. implique que toute matrice symétrique est diagonalisable.
Note Si Q est orthogonale alors elle est inversible et Q−1 = QT ou encore Q ∗ Qt = I
On notera que si B = M M T , B sera toujours symétrique peut importe la matrice M , ce qui impliquera
qu’elle admet des valeurs propres réelles.
Caractère
—
—
—
—
—
Définie positive : q(x) > 0∀x ou λi > 0∀i
Semi définie positive : q(x) ≥ 0∀x ou λi ≥ 0∀i
Indéfinie : q(x) > 0 et ∃y : y < 0 ou ∃λi > 0 et ∃λj < 0
Une quadratique définie positive est aussi semi-définie positive.
Le caractère peut être déterminé avec le signe de la trace et du déterminant
Indices de positivité, négativité et nullité
C’est le nombre de λi positifs, négatifs, nuls.
— Loi d’inertie de Sylvester : Après changement de base, les indices sont conservés
— ind+ (q) +ind− (q) = rang(q) = nbr deλi ̸= 0
Forme quadratique associée
T −1
x
x
et la forme quadratique associée q(x,y)=
Q
.
3
y
y


x
y
Pour retrouver q(x) : x 3 −1 → 3x2 + 3y 2 − 2xy On fait comme si la matrice était un tableau
y −1 3
(normalement les x et y sont pas dans la matrice et on a une 2x2)
−3
Soit Q=
−1
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Synthèse de math Q2
7
7
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Équation différentielles linéaires
Une EDO est une équation qui ne dépends que d’une variable, elle est de la forme suivante :
a(t) +
∂f (x)
+ b(x)f (x) = c(x)
∂x
(1)
Solution=solution homogène + particulière(s)
7.1
Solution homogène
Méthode normale (ex)
Quand il y a des racines doubles (ex) :
— y ′′′ + y ′′ − 12y ′ = 0
— y (4) + 2y (3) + y (2) = 0
— x + x − 12x = 0
— x2 (x + 1)2 = 0 et donc x = 0, 0, −1, −1
3
2
— x = 0, 4, −3
0t
4t
— y = Ae + Be + Ce
−3t
— y = Ae0t + Bte0t + Ce−t + Dte−t
A, B, C, D ∈ C
, A, B, C ∈ C
Pour se limiter à la partie réelle/imaginaire
1. On trouve la solution de l’équation homogène/non-homogène.
2. On sépare, pour chaque coefficient, partie imaginaire et partie réelle (e.g. si vous avez un coefficient A ∈ C, posez A = Ax + iAy avec Ax , Ay ∈ R).
3. Séparez la partie réelle et imaginaire de vos exponentielles avec ea+bi = ea ebi = ea (cos b + i sin b).
4. Développez votre expression pour isoler la partie réelle et imaginaire.
5. Imposez que la partie réelle/imaginaire soit nulle.
7.2
Solution particulière
On utilise le principe de superposition (si le terme indépendant est de la forme A+B avec A et B
des fonction quelconques, une solution sera Sh + SP A + SP B ). Le tableau suivant nous propose des
termes à essayer en fonction de la forme du terme indépendant. on remplacera y par yp :
Forme du terme indépendant
Forme de yp
Polynôme de degré n
Polynôme de degré n si a(x) ̸= 0
Polynôme de degré n + 1 si a(x) = 0
k sin θx ou/et k cos θx
eλx P (x)
tet
P (x) un polynôme de degré n et λ un
réel ou un complexe.
A sin θx + B cos θx
eλx Q(x)
(a + bt)et
Q(x) un polynôme de degré n ou n + 1
Constante
A
Si la forme qu’on essaye est une racine de la solution homogène, on rajoute un t devant. Un t2 si
la racine est double etc
Attention que y ′′ + y ′ − 6y = 3 n’est pas une forme homogène !
Page 9
Synthèse de math Q2
7.3
9
LIMITES
Problème de Cauchy
C’est une équation différentielle avec d’autres équations qui disent y(0)=42, y’(0)=21, etc. Pour le
résoudre on trouve la solution générale puis avec les conditions on détermine la valeur des constantes
A, B, C, etc. La solution du problème de Cauchy si elle existe est unique.
Deuxième partie
Calcul différentiel à plusieurs variables
8
Topologie
— Un point est intérieur à un ensemble s’il existe une boule ouverte centrée en ce point entièrement
incluse dans cet ensemble.
— Un point est frontière d’un ensemble si toute boule ouverte centrée en ce point contient au moins
un point de l’ensemble et un point hors de l’ensemble.
— Un ensemble est fermé si il contient tous ses points frontières
— Un ensemble est dit ouvert si tous ses points sont intérieurs c’est à dire qu’il ne contient aucun
point de sa frontière.
— La fermeture de A notée Ā : L’ensemble des points limites ou isolés de A.
— A est compact si il est borné et fermé. La continuité conserve la compacité mais pas le caractère
borné.
— L’ensemble vide et l’espace complet (Rn ) sont à la fois ouvert et fermés.
— Un ensemble et son complémentaire possèdent la même frontière.
— Un ensemble est ouvert seulement si son complémentaire est fermé.
9
(a) A
(b) int(A) — l’intérieur de A
(c) Ā — la fermeture de A
(d) fr(A) — la frontière de A
(e) Les points limites ou d’accumulation de A
(f) Les points isolés de A
Limites
Si f admet une limite en a, elle et unique → quand on teste une limite sur des chemins, il faut que
le résultat soit le même peut importe le chemin qu’on choisit. Ducoup avant de calculer une limite
on vérifie toujours qu’elle existe en la calculant sur quelques chemins et en vérifiant que c’est bien la
même sur tous les chemins (x=y,x=1,y=1, etc).
Choses à garder à l’esprit :
Page 10
Synthèse de math Q2
11 DIFFÉRENTIELLES
sin x
=1
x
1
— limx→∞ sin = 0
x
x2
x
≤
— 0≤ 2
≤ 1 aussi −1 ≤ p
x + y2
(x² + y²)
1
— limx→0
9.1
— lim fonction bornée*fonction→0=0
— f (x) > 0 → limx→a f (x) ≥ 0
— Théorème du sandwich
— Trigonométrie (cos 2x et cos2 + sin2 )
Coordonnées polaires
Parfois passer en coordonnées polaires simplifie fortement le calcul de la limite.
— x = ρ cos θ
— y = ρ sin θ
— lim(x,y)→(1,1) f (x, y) = lim
√ π
(ρ,θ)→( 2, )
— lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = lim
ρ→0
θ variable
10
— ρ=
p
x2 + y 2
f (ρ cos θ, ρ sin θ)
4
f (ρ cos θ, ρ sin θ)
Continuité
— Pour une fonction univariée :
— dérivabilité en a ⇒ continuité en a
— f dérivable ⇔ f différentiable
— f différentiable ⇒ f continue.
— f est continue en a ⇔ limx→a f (x) = f (a)
— Par définition f (x, y) sera continue en (a, b) si il existe un ϵ > 0 tel que ||(x, y) − (a, b)|| < δ =⇒
||f (x, y) − f (a, b)|| < ϵ
— Si f et g sont continues en a, f ± g et f ∗ g sont continues. Si g(a) ̸= 0 f /g continu. Si f continue
en g(a) alors f ◦ g(a) continue
— Une fonction vectorielle est continue si toutes ses composantes sont continues.
11
Différentielles
Pour montrer qu’une dérivée partielle existe on part de la définition, il faut montrer que la limite
existe.
f (a + td) − f (a)
— Dd f (a) = limt→0
= dérivée directionnelle de f en a dans la direction d
t
— Pour trouver la dérivée directionnelle selon une certaine composante on peut prendre le produit
scalaire entre le vecteur gradient et la direction souhaitée. (elle sera positive si les vecteurs forment
un angle < π2 et négative sinon, de par la définition du produit scalaire.)
∂f
f (a + t, b) − f (a, b)
(a, b) = limt→0
∂x
t
∂f
f (a, b + t) − f (a, b)
—
(a, b) = limt→0
∂y
t
—
∂f
∂f
(a, b)dx +
(a, b)dy
∂x
∂y
— La différentielle est une application linéaire
— L[h] = dfa =différentielle en de f en a=
— La différentielle d’une fonction vectorielle est g(x) est donnée par Jg(x)x avec J la jacobienne.
Page 11
Synthèse de math Q2
11 DIFFÉRENTIELLES
Différentiabilité
— f est différentiable en (a,b) ssi lim||(h,k)||→0
√
équivalent à h2 + k 2 → 0)
f (a + h, b + k) − f (a, b) − L[h]
√
= 0 (||(h, k) → 0|| est
h2 + k 2
— si f n’est pas continue en (a,b) f n’est pas différentiable en (a,b).
Réciproque : f différentiable → f continue.
— Si toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues en (a,b) (= si f est de classe C 1 )
alors f est différentiable en (a,b)
— Même si la fonction n’est pas continue elle peut quand même avoir des dérivées partielles.
— Le graphe de f admet un plan tangent en (a,b) ↔ f est différentiable en (a,b)
La composée, produit, quotient,somme, différence d’une fonction préservent la différentiabilité
Pour une fonction définie par morceaux, la différentielle à la frontière de ces morceaux n’existe pas.
11.1
Approximation
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + dfa [h, k] = f (a, b) +
∂f
∂f
(a, b)∂x +
(a, b)∂y avec ∂x = h et ∂y = k
∂x
∂y
Page 12
Synthèse de math Q2
12
12.1
13
CLASSES DE FONCTIONS
Gradient, plan et vecteurs tangents
Vecteur tangent
Le vecteur tangent d’une fonction multivariable est représenté par la transposée du gradient.
12.2
Plan tangent
Soit f : Rn → R différentiable en a, l’équation du plan tangent α à f au point (a, f (a)) est donnée
par l’expression suivante :
α ≡ z = f (a) + ∇f (a)(xi − ai )
On remarque que cette expression correspond enfait au polynôme de Taylor à l’ordre 1 de la fonction.
On peut donc utiliser cette expression pour approximer un point a′ proche de a.
La normale à ce plan est ∇f (a) −1
12.2.1
Exemple A
Soit f (x, y) = x2 + y 2 . Son graphe est z = x2 + y 2 . On choisit un point : x=2 et y=1 → z=5. Le
plan tangent en (2,1) à pour équation :
∂f
∂f
z=
(2, 1) ∗ (x − 2) +
(2, 1)(y − 1) + f (2, 1) ↔ 4x + 2y − z = 5
∂x
∂y
12.2.2
Exemple B
√ √
Soit f (x, y) = ( x, y, x + y). On cherche le plan tangent à la surface paramétrée Imf au point
(4,1) càd (2,1,5).
 
  1
0
2
1



4
z=1 +  0  λ +   µ
2
5
1
1
Les expression des exemples A et B sont les mêmes mis à part leur domaine, on peut le vérifier
comme suit :
λ
— x(λ, µ) = 2 +
4
µ
— y(λ, µ) = 1 +
2
— z(λ, µ) = 5 + λ + µ
On utilise ces expressions et on les remplace dans l’équation. (8 + λ) + (2 + µ) − (5 + λ + µ) = 5?Oui!
12.3
Gradient
∇f (a) =
∂f
(a)
∂x
∂f
(a) ...
∂x2
∂f
(a)
∂xn
Le gradient indique la direction de plus forte pente. ∇T représente le vecteur tangent
13
Classes de fonctions
Une fonction est dite de classe C k sur une ensemble ouvert A ssi toutes les dérivées partielles k e
existent et sont continues sur A. On écrit f ∈ C k (A). On a C 3 ⊂ C 2 ⊂ C 1 ⊂ C 0 .
C 0 Signifie que la fonction est juste continue.
Un exemple que C 1 ⇏ C 2 est la fonction x|x| qui est de classe C 1 sur R mais de classe C 2 sur R\(0, 0)
Page 13
17 DÉRIVÉE K EM E D’UNE FONCTION MULTIVARIABLE
Synthèse de math Q2
14
Jacobienne


∇f1 (a)
 ∇f2 (a) 

Jf (a) = 
 ... 
∇fn (a)
15
— Le nombre de lignes : le nombre de composantes (fcts vectorielles).
— Le nombre de colonnes : le nombre de variables.
Hessiennes

∂2f
 ∂x2
 2
 ∂ f
2
∇ f (a) = Hf (a) = 
 ∂y∂x
 2
 ∂ f
∂z∂x
15.1
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
∂2f
∂z∂y

∂2f
∂x∂z 

∂2f 

∂y∂z 

∂2f 
Elle est presque toujours symétrique. (il faut que
les dérivés partielles ∈ C 2 pour que ce soit le cas)
∂z 2
Dérivée partielle seconde
∂f
∂f ∂f (a) =
(a)
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
∂f ∂f ∂f ∂f (a) =
(a) Si la dérivée partielle seconde est continue autour de a
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
16
Règle de la chaîne
Soit g R3 → R3 et f R3 → R : g(f (x)) = g f1 (x1 , x2 , x3 ), f2 (x1 , x2 , x3 ), f3 (x1 , x2 , x3 )
∂g(f (x))
∂g
∂f1
∂g
∂f2
∂g
∂fm
(a) =
(f (a))
(a) +
(f (a))
(a) + .... +
(f (a))
(a)
∂xi
∂y1
∂xi
∂y2
∂xi
∂ym
∂xi
16.1
Exemple
Soit
— r :R → R : t → r(t)
— s : R2 → R : (x, y) → s(x, y)
— g : R3 → R(u, v, w) → g(u, v, w)
— f :R2 → R : (x, y) → g s(x, y), r(y), r(x) ∗ s(x, y)
∂f
∂g ∂s
∂g ∂r
∂g ∂r ∗ s
=
+
+
∂x
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
17
Dérivée k eme d’une fonction multivariable
D 3 f = x3
3
∂3f
∂3f
∂3f
2
3∂ f
2
+
3x
y
+
y
+
3y
x
∂x3
∂x2 ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
On voit tout de suite la similarité avec le binome de Newton et le triangle de pascal. On peut
utiliser ça pour les dérivées d’ordre supérieur.
Page 14
Synthèse de math Q2
18
18 TAYLOR
Taylor
En une dimension
Autour du point a :
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
1
1 ′′
f (a)(x − a)2 + f ′′′ (a)(x − a)3 + ...
2!
3!
En 2 dimensions à l’ordre 3
a = (a1 , a2 )
f (x, y) ≈ f (a) +
2
X
∂f (a)
i=1
∂xi
1 X X ∂ 2 f (a)(xi − ai )(xj − aj )
+
2! i=1 j=1
∂xi ∂xj
2
(xi − ai ) +
2
1 X X X ∂ 3 f (xi − ai )(xj − aj )(xk − ak )
3! i=1 j=1
∂xi ∂xj ∂xk
2
+
2
2
k=1
∂f (a)
∂f (a)
1 ∂ 2 f (a)
1 ∂ 2 f (a)
1 ∂ 2 f (a)
2
(x−a)+
(y−a)+
(x−a)
+2
(x−a)(y−a)+
(y−a)2 +
∂x
∂y
2! ∂x2
2! ∂x∂y
2! ∂y 2
1 ∂ 3 f (a)
1 ∂ 3 f (a)
1 ∂ 3 f (a)
1 ∂ 3 f (a)
3
2
2
(x
−
a)
+
3
(x
−
a)
(y
−
a)
+
3
(x
−
a)(y
−
a)
+
(y − a)3
+
3! ∂x3
3! ∂x2 ∂y
3! ∂x∂y 2
3! ∂y 3
= f (a)+
Taylor ne marche pas en vectoriel
18.1
Reste de Taylor en une dimension
Le "Lagrange error bound" ou le théorème du reste d’un polynôme de Taylor donne le pire cas pour
la différence entre la valeur de la fonction estimée par le polynôme de Taylor d’ordre n et la vraie
valeur. La formule est la suivante :
Rn (x) =
M
(x − a)n+1
(n + 1)!
(2)
Avec M une borne supérieure de la (n + 1) ème dérivée pour a < z < x :
|f (n+1) (z)| ≤ M
18.2
∀z ∈ [a, x]
Reste de Taylor en deux dimensions
Le reste pour un développement à l’ordre 2 est simplement le terme qu’on ajoute lorsqu’on développe
l’ordre 3 c’est à dire :
1 ∂ 3 f (α, β)
1 ∂ 3 f (α, β)
1 ∂ 3 f (α, β)
1 ∂ 3 f (α, β)
(x − a)3 + 3
(x − a)(y − a)2 +
(y − a)3
(x − a)2 (y − a) + 3
3
2
2
3! ∂x
3! ∂x ∂y
3! ∂x∂y
3!
∂y 3
Le point (α, β) ou sont évaluées les dérivées partielles est a + M (x, y) avec M une borne supérieure
de la (n + 1) ème dérivée ? PAs sur
Page 15
Synthèse de math Q2
19
19.1
19
EXTREMAS
Extremas
Définitions
— Un extremum local libre est un extremum local à l’intérieur du domaine (→ les non libres sont
sur la frontière et le calcul différentiel n’apporte pas d’information sur ces points)
— Un point critique est une point ou le gradient s’annule
— Un point singulier est un point ou le gradient n’existe pas
— Un point critique qui n’est ni maximum local libre ni minimum local libre se nomme un point
de selle ou col
— On dit également qu’un extremum local est strict pour désigner qu’il est strictement meilleur
que tous les autres points d’un certain voisinage.
19.2
Propriétés
1. Tout extremum local libre est soit un point critique soit une point singulier. Ducoup une condition
nécessaire pour qu’un point soit un extrema est que ce point soit un point critique
2. Si la hessienne est définie positive en a alors a est un minimum local libre 1
3. Si la hessienne est définie négative en a alors a est un maximum local libre
4. Si la hessienne est indéfinie en a alors a est un point de selle
5. Si la hessienne est semi-définie positive on a un point-selle ou un minimum local
6. Si la hessienne est semi-définie négative on a un point-selle ou un maximum local
7. Si les λ de la hessienne sont nuls on a un min, un max ou un point selle.
Rappel : Définie positive et négative fait référence aux valeurs propres et si λ1 = 0 et λ2 = 1 c’est
semi-défini positif. det(A)=λ1 λ2 et tr(A)= λ1 + λ2 . Il existe une technique pour trouver si la matrice
est définie positive ou pas qui utilise les mineurs principaux, mais ça a pas l’air pratique.
Si on demande les extremas globaux, il faut calculer la limite de la fonction ou vérifier si elle est bornée,
puis comparer ses résultats et les images des extremas locaux entre eux.
19.3
Théorème des bornes atteintes
Ce théorème permet de garantir l’existence d’extremas globaux.
Soit f : Rn → R une fonction scalaire continue. Si son domaine A est compact (=fermé et borné) alors
il contient 2 points xmin ∈ A et xmax ∈ A tels que :
f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmax )
19.4
∀x ∈ A
Lagrangien
Si a est un extremum local de f sur le domaine admissible Φ et les dérivées partielles de f et g
existent et sont continues au point a et ∇g(a) ̸= 0 alors il existe un multiplicateur de Lagrange λ tel
que (a, λ) est un point critique de L(x, λ)
L(a, λ) = f (a) − λg(a)
C’est à dire :
∇L(x, λ) = ∇f (x) − λ∇g(x), g(x) = 0, 0
C’est une condition nécéssaire a l’existence d’un extrema.
Pour plusieurs contraintes c’est un peu différent mais c’est expliqué au point suivant :
1. Les propriétés 2-3-4 ne marchent pas avec les points frontières et viennent du théorème de Fermat
Page 16
Synthèse de math Q2
19.4.1
19
EXTREMAS
Méthode générale
1. On vérifie les hypothèses : ∇g(x) ̸= 0 sur le domaine admissible 2 et f et g sont de classe C 1 .
Si on a plusieurs contraintes il faut vérifier que les gradients des contraintes sont linéairement
indépendants ((J(g(a)) de rang plein)

∇f (x, y) = λ1 ∇g1 (x, y) + · · · + λn ∇gn (x, y)




g1 (x, y) = 0
2. On résout le système 3
..


.



gn (x, y) = 0
3. Si il n’existe pas de solution, il n’existe à priori pas d’extremums qui satisfont cette contrainte.
Il reste cependant une chose a vérifier, il faut vérifier que les points ou ∇g(x, y) = (0, 0) ne sont
pas des extremas, on regarde premièrement si ils vérifient la contrainte, ensuite on regarde si ils
sont biens des extremas en regardant leur image par la fonction.
Un extremum local lié est soit un point qui ne répond pas aux conditions de continuité/différentiabilité,
soit un point critique du Lagrangien, soit un point sur la frontière du domaine de f ou g soit un point
qui ne répond pas a la condition de rang plein de la jacobienne des contraintes
Un extremum local libre de la fonction sans contrainte, qui vérifie la contrainte est d’office un extremum local libre sous contrainte également.
L’existence d’une solution au système du point 2 est une condition nécessaire mais pas suffisante à
l’existence d’extremums sous contrainte.
Pour vérifier si un extrema est global on utilise le théorème des bornes atteintes. Si f est continue
et la contrainte g(x, y) = 0 décrit un ensemble compact (domaine fermé et borné), le théorème des
bornes atteintes entraîne l’existence d’au moins un minimum global et un maximum global. Ceux ci
doivent se trouver parmi les candidats trouvés par la méthode de Lagrange (car tout extremum global
est aussi un extremum local). On compare ensuite les valeurs obtenues par ces différents points ce qui
nous permettra d’identifier lesquels sont des extremas globaux.
Si le théorème des bornes atteintes n’est pas vérifié car le domaine n’est pas borné, on peut contourner
le problème en restreignant le domaine a une partie intéressante (attention pas strictement sinon le
domaine est plus fermé)
2. On trouve donc les points ou ∇g(x, y) = (0, 0) et on regarde si ils vérifient la contrainte, si oui on ne peut pas
utiliser la règle des multiplicateurs de Lagrange. Sinon il existe peut être un multiplicateur de Lagrange qui vérifie le
système du point 2.
3. qui équivaut en fait à résoudre ∇L = 0
Page 17
Synthèse de math Q2
20
COMMENT RÉSOUDRE DES INTÉGRALES MULTIPLES
Troisième partie
Intégrales multiples
Propriétés de parité
— L’intégrale d’une fonction´impaire sur un domaine symétrique (ex [-1 ;1]) vaut 0. Exemple : Soit
f (x, y) = y 3 , On cherche D f (x, y)dA comme f (x, −y) = −f (x, y) la fonction est impaire de y,
si le domaine est symétrique par rapport à l’axe y l’intégrale sera nulle.
— La somme de fonction paires (impaires) est une fonction paire (impaire).
— La parité pour le quotient ou le produit suis "la règle des signes".
(paire*paire=paire, impaire*impaire=paire, paire*impaire=impaire etc)
— Impaire ◦ Impaire=Impaire ; Paire ◦ Impaire=paire ; Quelconque ◦ Paire=Paire
Th. de Fubini
Si f (x, y) est continue sur D l’ordre d’intégration n’importe pas.
Exemple : Soit D un domaine x et/ou y simple (sinon on peut pas sortir l’intégrale de l’intégrale).
ˆ
ˆ 2ˆ 3
ˆ 2 ˆ 3
ˆ 3 ˆ 2
2
2
f dA =
x + ydy dx =
dx
dy(x + y) =
dy
dx(x2 + y)
D
0
1
0
1
1
0
Typiquement on utilise cette méthode pour résoudre les intégrales sur un domaine rectangulaire [a, b]×
[c, d] Pour des domaines plus compliqués on utilisera une autre méthode, décrite plus loin.
20
Comment résoudre des intégrales multiples
• Pour une intégrale sur un domaine rectangulaire on intègre 2 fois, dans n’importe quel ordre (merci
Fubini).
• Pour une intégrale sur un domaine un peu plus complique (voir figure 2)
Figure 2 – Un domaine compliqué
On fera les observations suivantes :
— x est délimité par 2 fonctions, on a :a(y) < x < b(y)
— y est délimité par deux nombres : c < y < d
La méthode consiste a fixer une valeur pour y en tirant une horizontale jusqu’au coté opposé et ensuite
faire varier x entre les bornes de délimitations de la droite horizontale. On obtient :
ˆ x=b(y)
f (x, y)dx
x=a(y)
Page 18
Synthèse de math Q2
21 CHANGEMENTS DE VARIABLES
On intègre ensuite ce résultat selon y pour faire bouger la droite de haut en bas, on obtient :
ˆ
d
ˆ
x=b(y)
f (x, y)dxdy
c
x=a(y)
La méthode est similaire si on fixe une valeur pour x et que cette fois c’est y qui est délimité par deux
fonctions.
21
Changements de variables
˜
Exemple On veut calculer D f (x, y)dA. Si f est continuement dérivable sur un domaine borné
alors on peut effectuer un changement de variable.
— Soit f (x, y) = f x(u, v), y(u, v) = g(u, v).


∂x ∂x
∂(x, y)  ∂u ∂v 
— J=
=  ∂y ∂y 
∂(u, v)
∂u ∂v
— dA = det(J)dudv
De cette manière on trouve dA,dV pour les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
Coordonnées polaires
— (x, y) = (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)
— dA = rdθdr
Coordonnées cylindriques
— (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, h)
— dV = rdrdθdh
Figure 3 – Coordonnées sphériques
Coordonnées sphériques
— (x, y, z) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)
— dA = r2 sinθdθdϕ
— dV = r2 sin θdrdϕdθ
Figure 4 – Élément d’aire des coordonnées sphériques (périmètre cercle=θr, on considère dA
comme un rectangle.)
Page 19
Synthèse de math Q2
24 RECAPITULATIF
Quatrième partie
Intégrales de lignes et de surface
22
Intégrales de ligne
Une intégrale de ligne est une intégrale ou la fonction a intégrer est évaluée sur une courbe. Soit
X une fonction continue sur [a, b], X(t) = (x(t), y(t), z(t)). Le domaine de X appelé C est une
´ courbe
régulière de X(a) à X(b). La longueur de la courbe est donnée par la formule suivante : L = C 1ds =
´b
||X ′ (t)||dt (voir figure 5). L’intégrale d’une fonction f continue sur une courbe C paramétrée par
a
X(t) = (x(t), y(t), z(t)) est donnée par la formule suivante :
ˆ
ˆ
f (x, y, z)dr =
C
a
b
r
d #»
f ( #»
r (t))
dt
dt
La valeur moyenne de f sur C est donnée par :
´b
´
f ds
f (X(t))||X ′ (t)||dt
C
´
= a ´b
ds
||X ′ (t)||dt
C
a
Figure 5 – Comment on trouve la longueur de la courbe C
23
Intégrales de surface
24
Recapitulatif
# »
r(t) est une courbe paramétrée.
#
»
r(u, v) est une surface parametrée
Type
Scalaire sur une ligne
Scalaire sur une surface
Vectoriel sur une ligne
Vectoriel sur une surface
Formule
ˆ b
d #»
r
dt
f (x, y, z)dr =
f ( #»
r (t))
dt
C
a
¨
¨
∂ #»
r
∂ #»
r
dudv
f (x, y, z)dS =
×
f ( #»
r (u, v))
∂u
∂v
S
R
#» ˆ
ˆ b
dr
#»
#»
F ⊙ d #»
r =
F ( #»
r (t)) ⊙
dt
dt
C
a
#»
¨
¨
∂r
∂ #»
r
#»
#»
#»
F ⊙ dS = ±
F ( #»
r (u, v)) ⊙
×
dudv
∂u
∂v
S
D
ˆ
Page 20
Synthèse de math Q2
26
DÉFINITIONS
Cinquième partie
Théorèmes intégraux
25
Champ de vecteurs conservatifs
#»
#»
F est un champ de vecteurs conservatif ssi ∃ une fonction scalaire ϕ : F = ∇ϕ.
∂ϕ
#»
En d’autres mots : Soit F = F (F1 , F2 , ..., Fn ) avec Fi (x1 , x2 , ..., xn ) ∃ϕ(x, y) tel que Fi =
.
∂xi
On dit alors que ϕ est un potentiel scalaire et que F dérive d’un potentiel. Dans ce cas on a si C et
une courbe dont les extrémités sont P1 et P2 :
ˆ
#»
F ⊙ d #»
r = ϕ(P2 ) − ϕ(P1 )
C
Th.
—
—
—
—
26
Soit D un domaine ouvert connexe (entrée=sortie), les énoncés suivants sont équivalents
#»
#»
F est conservatif sur D (=F dérive d’une potentiel scalaire)
¸ #»
#»
F ⊙ d #»
r = 0 pour toute courbe fermée dans D si F est conservatif couille ici
C
´ #»
Pour tous points P1 , P2 dans D, C F ⊙ d #»
r a la même valeur quel que soit le chemin C entre P1
et P2 4
∂Fi
∂Fj
(Th. Poincaré) Si D est ouvert et simplement connexe alors
=
∀i, j = 1, 2, 3
∂xj
∂xi
Définitions
Champ de vecteurs
#»
#»
— F est un champ de vecteur incompressible (solénoidal) ssi div F = 0 dans D
#»
# » #»
— F est irrotationnel ssi rotF = 0
#»
#»
— F est irrotationnel sur D ouvert et simplement connexe ↔ F est conservatif
# » #»
— Un condition nécessaire pour qu’un champ vectoriel soit conservatif est rotF = 0
Domaines
,R\(0,0) OK)
— D est x-simple si y ∈ [c, d] et x ∈ [a(y), b(y)]
— Domaine étoilé : la partie rouge est étoilée
par rapport au point vert, pas par rapport au
point bleu car on peut pas relier tout point
du domaine par une droite sans en sortir depuis le point bleu.
— D est simplement connexe ssi toute courbe
fermée qui ne s’intersecte pas peut être
transformée de manière continue en un seul
point de D sans quitter D (ex :R OK
4. On dit que l’intégrale d’un champ vectoriel conservatif est indépendante de la trajectoire
Page 21
Synthèse de math Q2
28
OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS
Autres
— Soit L la longueur de [a,b], la valeur moyenne (f¯) de f sur[a,b] est telle que : f¯L =
´b
a
f (x)dx
— Une différentielle est exacte si on peut trouver une fonction dont les dérivées partielles équivalent
∂ϕ
∂ϕ
les composantes de la différentielle (ex : y 2 dx+2xydy exacte car ∃ϕ(x, y) = xy 2 |
= Fx et
=
∂x
∂y
Fy )
— R3 , R2 est ouvert et simplement connexe.
27
Propriétés
— Si f est continue sur D alors f est intégrable sur D
— L’intégrale est un opérateur linéaire càd ´:
´
´
∀L, M ∈ R, ∀f, g intégrables sur D⊂ R : D (Lf + M g) = L D f + M D g
´
— Soit n le nombre d’intégrales et D un domaine borné, D 1 est égale à :
— La longueur de l’intervalle si n = 1
— L’aire de D si n = 2
— Le volume de D si n = 3
— dA = dydx = dxdy
´
´
f ≤ Dg
´
´
— Inégalité triangulaire : | D f | ≤ D |f |
— Si f ≤ g sur D alors
D
— Si D = D1 ∪ ... ∪ Dk et les sous domaines ne se recouvrent pas (Di ∩ Dj = ∅) :
28
´
D
f=
Pk
´
j=1 Dj
f
Opérateurs différentiels
#»
#»
#»
Soit f (x, y, z) = F1 (x, y, z) i + F2 (x, y, z) j + F3 (x, y, z) k
#»
On rappelle que F est un champ de vecteur conservatif.
∂· #» ∂· #» ∂· #»
#»
i +
j +
k)
∇=(
∂x
∂y
∂z
Divergence
C’est un scalaire. Ça représente la densité de flux par unité de volume.
∂· #» ∂· #» ∂· #»
∂F1
∂F2
∂F3
#»
#» #» #»
#»
#»
div F = ∇ ⊙ F = (
i +
j +
k ) ⊙ (F1 i + F2 j + F3 k ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Rotationel
C’est un vecteur. Ca représente la circulation d’un vecteur par unité de surface.
#»
i
#»
#» #» #»
∂·
rotF = curl F = ∇ × F =
∂x
F1
#»
j
∂·
∂y
F2
#»
k
∂F2 #» ∂F1
∂F3 #» ∂F2
∂F1 #» ∂F3
∂·
= i
+ j
+k
−
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
F3
Page 22
Synthèse de math Q2
29
THÉORÈMES INTÉGRAUX
Propriétés
#» #»
— ∇ × F ̸=
#» #»
— ∇ ⊙ F ̸=
#» #»
F ×∇
#» #»
F ⊙ ∇ (explication en annexe)
— L’opérateur ∇, la divergence et le gradient mais pas le rotationel peuvent êtres étendus à Rn
#»
#» #»
# » #»
— div rot(F ) = 0 = ∇ ⊙ (∇ × F )
#»
#» #»
#» # »
— rot(∇ϕ) = 0 = ∇ × (∇ϕ)= rot(grad ϕ)
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
#»
#» #»
— div(∇) = ∇ ⊙ ∇(ϕ) = ∇2 ϕ = ∆ϕ = laplacien de ϕ =
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
— Le gradient est un opérateur différentiel
29
29.1
Théorèmes intégraux
Th. Fondamental de l’analyse
ˆ
b
ˆ
′
b
f (x)dx = f (b) − f (a) ou
a
29.2
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Th. de Green (2D)
Pour les courbes/surfaces fermées. Pour transformer une intégrale sur une surface en intégrale sur
un contour fermé et inversément. C est un bord orienté dans le sens anti-horloger. Sinon le signe de la
première égalité est inversé.
Soit F1 et F2 des fonctions continues sur un domaine R délimité par une frontière C. Si les dérivées
F1′ et F2′ existent et sont continues sur R, avec R un domaine compact délimité par C on peut écrire :
¨ ˛
¨
˛
∂F2
∂F1 #»
# » #» #»
−
dA =
F1 dx + F2 dy =
rotF ⊙ k dA =
F ⊙ d #»
r
∂x
∂y
R
C
R
C
29.3
Th. de la divergence
Pour les surfaces fermées. Donne le flux sortant d’une surface. En 2D ce th. équivaut à celui de
Green.
Soit D un domaine compact dont le bord est une surface S, supposons que D soit défini sur un
champ de vecteurs à dérivées continues, on peut alors écrire :
˚
‹
#»
#»
div F dV =
F ⊙ N̂ dS
D
S
Note : N̂ est un vecteur orthonormé normal à la surface. Si on a pas une surface fermée, le théorème
calcule quand même le flux qui passe à travers l’endroit ouvert donc il faudra le prendre en compte
et soustraire le flux qui passe par la (pour l’octant d’une sphère par ex, ca sort aussi des cotés non
courbes.)
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Synthèse de math Q2
29.4
B
QUESTIONS EXAMENS
Th. de Stokes
C’est la version 3D du th. de Green ! Pour calculer le flux du rotationnel
#»
Pour les surfaces ouvertes avec des trous. Avec N le vecteur normal unitaire à la surface.
Soit S un domaine compact et simplement connexe et C son bord, on peut écrire :
˛
¨
#»
# » #»
rotF ⊙ N̂ dS =
F ⊙ d #»
r
S
A
C
L’opérateur ∇ n’est pas commutatif !
∂v
∂vy
∂vz ∂vx
∂vy
∂vz
#»
x
(∇ ⊙ #»
v )f =
+
+
f=
f+
f+
f
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
tandis que :
∂
∂
∂ ∂f
∂f
∂f
#»
( #»
v ⊙ ∇)f = vx
+ vy
+ vz
f = vx
+ vy
+ vz
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Ce qui est tout à fait différent. Il en va de même pour le produit vectoriel et ∇.
Pourtant, en temps normal le produit scalaire est commutatif ! La différence est que ∇ n’est pas juste
un vecteur, c’est un opérateur différentiel.
B
Questions examens
#»
Expliquer ce que signifie le rotationnel d’un champ vectoriel f en un point p donné de R3
On considère un disque Sϵ de rayon centré en P avec ϵ tendant vers 0. Le théorème de Stokes combiné
au théorème de la moyenne donne :
˛
1
#» #»
#»
# » #»
rot f (P ) ⊙ N = limϵ→0 2
f ⊙ dr
πϵ Cϵ
#»
#»
# » #»
Avec N le vecteur normal unitaire au disque et Cϵ son bord. rot f (P ) ⊙ N s’interprète comme la limite
#»
de la circulation de f par unité de surface calculée le long du bord d’un disque centré en P de normale
#»
N et de rayon tendant vers 0.
#»
Expliquez ce que signifie la divergence d’un champ vectoriel f en un point P donné de R3
On considère une sphère Sϵ de rayon ϵ centrée en P avec ϵ tendant vers 0. Le théorème de la divergence
combiné au théorème de la moyene nous donne :
¨
3
#»
#»
#»
f ⊙ dS
div f (P ) = limϵ→0
4πϵ3 Sϵ
#»
#»
La divergence de f au point P s’interprète donc comme la limite du flux de f par unité de volume
hors d’une sphère centrée en P et de rayon tendant vers 0
Page 24
Synthèse de math Q2
F ÉQUATIONS DE RÉCURRENCE
Sixième partie
Math 2 que je dois repasser
C
Vocabulaire
— Intégrale : chiffre (avec bornes),
— Primitive : expression (sans bornes)
— Diagonalisable par similitude : Si le polynôme caractéristique de A possède n racines distinctes ou
si pour chacune des valeurs propres de A, ma = mg alors A est diagonalisable par transformation
de similitude.
D
Random
— A et B on les mêmes valeurs propres ssi AB=BA
E
Exponentielle matricielle
On suppose A diagonalisable par similitude : A = XΛX −1 On définit eA comme suit :
1
1
eA = I + A + A2 + A3 + ...
2
3!
Dès lors :
 λ1

e
0 ... 0
 0 eλ2 . . . 0 


−1 A
X e X= .

 ..

λn
0
0 ... e
F
(3)
Équations de récurrence
Équations de type :
a0 xn+k + a1 xn+k−1 + a2 xn+k−2 + · · · + ak xn = bn
F.1
(4)
Méthode
—
—
—
—
On traite d’abord la forme homogène
On réécrit l’équation de sorte à ne plus avoir de terme en xn−1 mais que en xn+1
On écrit le polynôme caractéristique (xn+2 = x2 etc)
On résout pour x, en fonction de la valeur trouvée plusieurs solutions sont envisageables :
— x1 ̸= x2 Solution de la forme : C1 xn1 + C2 xn2
— x1 ≈ x2 Solution de la formeC1 xn1 + C2 xn2 (1 + δ)
— x1 = x2 Solution de la forme C1 xn1 + nC2 x2
p
— x1 = x¯2 Solution de la forme C1 ρn cos nθ + C2 ρn sin nθ avec ρ = (R{x1 })2 + (I{x1 })2 et
I{x1 }
θ = tan−1 R{x
1}
— On s’intéresse maintenant à la solution particulière, elle sera de la même forme que le terme
indépendant on la teste en la plaçant dans le polynôme caractéristique (par ex xn = d3n )
— On somme la solution particulière et homogène pour trouver la solution générale.
— On résout pour trouver la valeur des constantes grâce aux conditions initiales si il y en a.
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