BỘMÔNCÔNGNGHỆKỸ THUẬT ĐIỆN-ĐIỆNTỬ
VIỆNKỸ THUẬT VÀCÔNGNGHỆ-TRƯỜNGĐẠI HỌCVINH
CƠ SỞ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
TS. ĐỖMAI TRANG
9/2021
BỘMÔNCÔNGNGHỆKỸ THUẬT ĐIỆN-ĐIỆNTỬ
VIỆNKỸ THUẬT VÀCÔNGNGHỆ-TRƯỜNGĐẠI HỌCVINH
CHƯƠNG 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
CHUẨN ĐẦU RA
• Trình bày được một số công thức đại số và giải tích véc tơ
• Hiểu các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
• Vận dụng được định luật Coulomb
• Vận dụng được định luật dòng điện toàn phần
• Hiểu nguyên lý về tính liên tục của từ thông
• Vận dụng được định luật cảmứng điện từFaraday
• Vận dụng được định luật ômvà định luật Jun –Lenxơ
• Nắmvữngkhái niệmvàbiểuthứcnănglượngcủatrườngđiệntừ
• Nắmvữngkhái niệmvàbiểuthứcxunglượngcủatrườngđiệntừ
• Ápdụngđượccácđiềukiệnbiên
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phan Anh, Trường điện từ và truyền
sóng, Trường ĐHQG Hà nội, 2000.
[2]. Ngô Đức Thiện, Lý thuyết trường
điện từ và siêu cao tần, Học viện bưu
chính viễn thông, 2013.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[3].
Elements
Matthew
N.
of
O.
University Press, 2021.
[4].
Electromagnetic,
Sadiku,
Oxford
CHƯƠNG1: CÁCPHƯƠNGTRÌNHCƠBẢNCỦATRƯỜNGĐIỆNTỪ
1. Đại số vectơ
2. Giải tích vectơ
3. Các khái niệm cơ bản
4. Định luật Coulomb
5. Định luật dòng toàn phần
6. Nguyên lý về tính liên tục của từ thông
7. Định luật cảm ứng điện từ Faraday
8. Hệ phương trình Maxwell
9. Năng lượng của trường điện từ
Bài tập
5 tuần
1. ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG VÀ ĐẠI LƯỢNG VECTƠ
Đại lượng vật lý
Đại lượng vô hướng: Một đại lượng vật lý được mô tả hoàn toàn bởi độ lớn
của nó thì gọi là đại lượng vô hướng: nhiệt độ, khối lượng, thời gian, thể
tích, công, điện tích…
 Độ lớn được biểu thị bằng một con số: Ví dụ: nhiệt độ 20°,
khối lượng 100 g, điện tích 5.10-6 C
 Ký hiệu bằng một chữcái: ví dụ: nhiệt độ ký hiệu là 𝑡𝑡, khối
lượng ký hiệu là 𝑚𝑚, điện tích ký hiệu là 𝑄𝑄, …
Đại lượng hữu hướng: Một đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng thì được
gọi là một đại lượng vectơ: vận tốc, trọng lực, cường độ điện trường…
 Một đại lượng vectơ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có
hướng (có mũi tên chỉ hướng) và có độ dài bằng giá trị của đại
7
lượng vật lý theo một tỷ lệ xích nào đó.
1. ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG VÀ ĐẠI LƯỢNG VECTƠ
Đại lượng vật lý
𝑎𝑎⃗
Vectơ vận tốc
𝑣𝑣⃗
Vectơ cường độ điện trường
𝐸𝐸
𝑃𝑃
Vectơ trọng lực
Vectơ gia tốc
Vectơ mômen lực
𝑀𝑀
8
1. ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG VÀ ĐẠI LƯỢNG VECTƠ
 Độ lớn của vectơthể hiện độ dài của vectơ được xác định bởi:
(*)
Độ lớn của vectơ thể hiện giá trị của đại lượng vật lý (có
đơn vị).
 Vectơ 𝐴𝐴⃗ có thể được biểu diễn:
𝑎𝑎�
𝐴𝐴⃗
Trong đó 𝐴𝐴 là độ lớn của vectơ 𝐴𝐴⃗ (được xác định bởi biểu thức (*))
và 𝑎𝑎⃗𝐴𝐴 là vectơ đơn vị: là vecto có hướng dọc theo hướng của vectơ
𝐴𝐴⃗ sao cho
 Vectơ đơn vị có
độ dài bằng đơn vị.
9
1. ĐẠI LƯỢNG VECTƠ VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG
Khái nhiệmTrường (trong Vật lý)
 Khái niệmTrường trong Vật lý:
Khi nói đến trường là nói đến một vùng không gian mà tại mỗi điểmcủa nó
một đại lượng vật lý đặc trưng cho trường đó có giá trị xác định. Tính chất
tác dụng của trường được đặc trưng bởi giá trị của đại lượng vật lý đó và
nói lên ý nghĩa của đại lượng vật lý đó trong không gian và theo thời gian.
 Biểu diễn khái niệmTrường trong Toán học: Trường là một hàmtoán học
biểu diễn một đại lượng vật lý tại mọi điểmtrong một vùng không gian.
Nếu đại lượng vật lý là:
 Một đại lượng vô hướng, thì trường tương ứng là một trường vô hướng;
 Một đại lượng có hướng, thì trường tương ứng là một trường vectơ.
Giá trị của đại lượng vật lý đó trong trường luôn luôn phụ thuộc vào vị trí
và có thể phụ thuộc hay không phụ thuộc vào thời gian.
10
1. ĐẠI LƯỢNG VECTƠ VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG
Khái nhiệmTrường (trong Vật lý)
Ví dụ 1: Trên bản đồ thời tiết, nhiệt độ bề mặt tại mỗi điểmđịa lý được
gán chomột số và thường được mã hóa bởi màu sắc từ màu lạnh tới
màu nóng để thể hiện giá trị của nhiệt độ ở điểmđó tại một thời điểm
xác định.
Nhiệt độ là một đại
lượng vật lý vô
hướng. Trường tương
ứng tại một vùng địa
lý gọi là trường
nhiệt độ. Trường
nhiệt độ là một
trường vô hướng.
11
1. ĐẠI LƯỢNG VECTƠ VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ HƯỚNG
Khái nhiệmTrường (trong Vật lý)
Ví dụ 2: Trên bản đồ thời tiết, gió bề mặt được biểu diễn bằng một mũi
tên để chỉ tốc độ gió và hướng giótại mỗi điểmđịa lý.
Vận tốc gió là một đại
lượng có hướng. Tại
một thời điểmnào đó,
tập hợp tất cả các giá
trị vận tốc gió tại mọi
điểmđịa lý tạo nên một
trường. Đây là ví dụ về
một trường vectơ.
12
HỆTỌAĐỘDESCARTES
1. GIẢI TÍCH VECTƠ
Được tạo bởi 3 trục vuông góc với nhau từng đôi một.
Các trục được chọn theo quy tắc vặn đinh ốc.
Một điểmA trong không gian Descartes được xác định bởi các tọa độ: 𝑥𝑥𝐴𝐴 , 𝑦𝑦𝐴𝐴 , 𝑧𝑧𝐴𝐴
Mặt phẳng x =0
Mặt
phẳng
y =0
Gốc tọa độ
Mặt phẳng z =0
13
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Vector vị trí 𝑟𝑟⃗ của điểm𝑃𝑃(𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑍𝑍) được định nghĩa là vectơ
hướng từ gốc tọa độ 𝑂𝑂 đến điểm𝑃𝑃:
trong đó
lần lượt là các
vectơ đơn vị trên các trục 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂
và 𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑍𝑍 lần lượt là hình chiếu của 𝑟𝑟⃗
lên các trục tọa độ 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂.
 Độ lớn của vectơ vị trí:
 Vectơ đơn vị dọc theo vectơ 𝑟𝑟⃗ :
14
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Tổng của 2 vector: Cho vectơ 𝐴𝐴⃗ có tọa độ trên ba trục 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂 lần
lượt là 𝐴𝐴𝑥𝑥 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 , 𝐴𝐴𝑧𝑧 . Vector 𝐴𝐴⃗ có thể được biểu diễn là:
Tương tự, vectơ 𝐵𝐵
Tổng của 2 vectơ 𝐴𝐴⃗ và 𝐵𝐵 là vectơ
𝐶𝐶⃗ = 𝐴𝐴⃗ + 𝐵𝐵
15
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Ví dụ 3: Cho vectơ vị trí
Hãy:
a. Biểu diễn vectơ 𝑟𝑟⃗𝑃𝑃 trên hệ tọa độ
b. Xác định độ lớn của vectơ 𝑟𝑟⃗𝑃𝑃
c. Xác định vectơ đơn vị dọc theo 𝑟𝑟⃗𝑃𝑃
Giải:
 Biểu diễn nhưhình vẽ
 Độ lớn của vectơ vị trí:
 Vectơ đơn vị dọc theo vectơ 𝑟𝑟⃗ :
16
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Ví dụ 4: Cho 2 điểm𝑃𝑃(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 , 𝑧𝑧1 ) và 𝑄𝑄(𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 , 𝑧𝑧2 )và hướng từ Pđến Q.
a. Tìmvectơ𝑅𝑅 nối 2 điểmP, Qvà hướng từ Pđến Q.
b. Xác định độ lớn của vectơ 𝑅𝑅
c. Xác định vectơ đơn vị dọc theo 𝑅𝑅
Giải:
 Biểu diễn nhưhình vẽ
 Độ lớn của vectơ vị trí là khoảng cách
từ điểmPđến điểmQ:
17
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Tích vô hướng của hai vectơ:
-
𝐴𝐴⃗ , 𝐵𝐵 là các môđun hay độ
⃗ 𝐵𝐵
lớn của các vecto 𝐴𝐴,
- 𝜃𝜃 là góc nhỏhơn tạo bởi 2
⃗ 𝐵𝐵.
vecto 𝐴𝐴,
Hình chiếu của vectơ𝐵𝐵 lên phương
của vectơ 𝐴𝐴⃗
18
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Tích cóhướng của hai vectơ:
𝐴𝐴⃗ , 𝐵𝐵 môđun hay độ lớn của các
⃗ 𝐵𝐵
vecto 𝐴𝐴,
⃗ 𝐵𝐵.
- 𝜃𝜃 là góc nhỏhơn tạo bởi 2 vectơ 𝐴𝐴,
- 𝑛𝑛 vectơ pháp tuyến: vectơ vuông góc
⃗ 𝐵𝐵 và
với mặt phẳng tạo bởi 2 vectơ 𝐴𝐴,
⃗ 𝐵𝐵, 𝑛𝑛 tạo thành một
có chiều sao cho 𝐴𝐴,
tamdiện thuận
-
Quy tắc bàn tay phải
19
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Tích cóhướng của hai vectơ:
Ta có:
và
Suy ra:
20
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Tích cóhướng của hai vectơ:
Viết lại dưới dạng định thức:
21
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
⃗ 𝐵𝐵, và 𝐶𝐶⃗ trong đó 𝐴𝐴⃗ = 2𝑎𝑎⃗𝑥𝑥 +
Ví dụ 5: Tính thể tích hình hộp tạo bởi 𝐴𝐴,
𝑎𝑎⃗ 𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 , 𝐵𝐵 = −𝑎𝑎⃗𝑥𝑥 + 3𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 + 5𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 và 𝐶𝐶⃗ = 5𝑎𝑎⃗𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 .
Giải:
Thể tích của hình hộp được tính bởi biểu thức:
3x3
1 x3
.
1 x3
=
22
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
⃗ 𝐵𝐵, và 𝐶𝐶⃗ trong đó 𝐴𝐴⃗ = 2𝑎𝑎⃗𝑥𝑥
Ví dụ 5: Tính thể tích hình hộp tạo bởi 𝐴𝐴,
+ 𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 , 𝐵𝐵 = −𝑎𝑎⃗𝑥𝑥 + 3𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 + 5𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 và 𝐶𝐶⃗ = 5𝑎𝑎⃗𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎⃗ 𝑦𝑦
−
2𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 .
Giải:
Thể tích của hình hộp được tính bởi biểu thức:
Hay dưới dạng định thức:
Thay số vào ta được thể tích của
hình hộp:
23
HỆTỌAĐỘDESCARTES
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
 Vi phân chuyển dời 𝑑𝑑𝑑𝑑 tại điểmP là một vectơ từ điểm𝑃𝑃 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)
đến điểm𝑃𝑃’ 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
 Diện tích của vi diện:
Điểm 𝑃𝑃′
Điểm P
 Thể tích của vi khối:
24
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
Hệ tọa độ Descartes ↦ Hệ tọa độ trụ tròn
ĐiểmPtrong hệ tọa độ trụ được xác
định bởi 3 tọa độ:
- Khoảng cách trục (hoặc khoảng
cách xuyên tâm) ρlà khoảng cách
từ điểmPđến trục 𝑂𝑂𝑂𝑂.
- Góc phương vị φlà góc giữa chiều
dương của trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 và mặt phẳng
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 .
-
Tọa độ trục hoặc độ cao zlà khoảng
cách từmặt phẳngz =0đến điểmP.
25
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
Có thể coi Plà giaocủa 3 mặt:
• Mặt phẳng z =const
• Mặt trụ ρ =const.
• Mặt phẳng đường sinh φ =const.
26
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Chuyển đổi hệ tọa độ:
 Vectơ đơn vị trong hệ tọa độ trụ tròn:
27
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Chuyển đổi hệ tọa độ:
 Vectơ đơn vị trong hệ tọa độ trụ tròn:
28
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Chuyển đổi vectơ đơn vị :
Viết lại dưới dạng ma trận:
29
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Chuyển đổi vectơ giữa các hệ tọa độ:
⃗ 𝜌𝜌 , 𝐴𝐴𝜙𝜙 , 𝐴𝐴𝑧𝑧 ) trong hệ tọa độ trụ tròn. Các thành phần
Cho vectơ 𝐴𝐴(𝐴𝐴
của 𝐴𝐴⃗ trong hệ tọa độ Descartes được xác định bởi:
Tương tự
Viết lại dưới dạng ma trận
30
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Chuyển đổi vectơ giữa các hệ tọa độ:
⃗ 𝑥𝑥 , 𝐴𝐴𝑦𝑦 , 𝐴𝐴𝑧𝑧 ) trong hệ tọa Descartes có các
Tương tự, một vectơ 𝐴𝐴(𝐴𝐴
thành phần trong hệ tọa độ độ trụ tròn được xác định bởi:
Viết lại dưới dạng ma trận
31
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
Ví dụ 6: Chuyển vectơ𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝑎𝑎⃗ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 sang hệ tọa độ
trụ tròn.
Giải
32
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
Ví dụ 6: Chuyển vectơ𝐵𝐵 = 𝑦𝑦𝑎𝑎⃗ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑎𝑎⃗𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 sang hệ tọa độ
trụ tròn.
Giải
Vì thế
33
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘTRỤTRÒN
 Vi phân chuyển dời 𝑑𝑑𝑑𝑑 tại điểmP là một vectơ từ điểm𝑃𝑃 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)
đến điểm𝑃𝑃’ 𝜌𝜌 + 𝑑𝑑𝜌𝜌, 𝜙𝜙 + 𝑑𝑑𝜙𝜙, 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 .
 Diện tích của vi diện:
 Thể tích của vi khối:
34
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
 Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ Descartes:
Một điểmP trong không gian được xác định bởi:
 𝑟𝑟 khoảng cách từ P đến gốc
tọa độ (tâmcầu).
 𝜃𝜃 góc hợp bởi chiều dương của
trục Oz với đường thẳng nối gốc
tọa độ với điểmP.
 𝜙𝜙 góc dương hợp bởi trục Ox
với đường thẳng nối gốc tọa độ
với hình chiếu của P lên mặt tọa
độ cực.
35
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
 Vectơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu:
𝑎𝑎⃗ 𝑟𝑟 : vector pháp tuyến của mặt
cầu tại điểmP, có chiều hướng ra
ngoài, nằmtrên đáy của hình nón
θ =const, và mặt phẳng φ =const
𝑎𝑎⃗ 𝜃𝜃 : vector pháp tuyến của đáy
mặt nón, nằmtrong mặt phẳng, và
tiếp tuyến với mặt cầu tại P.
𝑎𝑎⃗ 𝜙𝜙 : giống trong hệ tọa độ trụ
tròn.
36
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
 Vectơđơn vị trong hệ tọa độ cầu:
37
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
Các công thức chuyển đổi tọa độ:
38
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
Ví dụ 7:
39
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
HỆTỌAĐỘCẦU
 Vi phân chuyển dời 𝑑𝑑𝑑𝑑 tại điểmP là một vectơ từ điểm𝑃𝑃 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)
đến điểm𝑃𝑃𝑃 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝜃𝜃 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝜙𝜙 + 𝑑𝑑𝜙𝜙 .
 Diện tích của vi diện:
 Thể tích của vi khối:
40
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
TÍCHPHÂNĐƯỜNG, TÍCHPHÂNMẶT, TÍCHPHÂNTHỂTÍCH
Tích phân đường
là tích phân của thành phần tiếp tuyến
của 𝐴𝐴⃗ dọc theo đường cong L.
Cho trường vectơ 𝐴𝐴⃗ và đường cong L, tích phân:
Được gọi là tích phân đường của 𝐴𝐴⃗ dọc theo đường cong L. Nếu L là
đường cong khép kín, tích phân dọc theo một đường cong kín chobởi:
41
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
TÍCHPHÂNĐƯỜNG, TÍCHPHÂNMẶT, TÍCHPHÂNTHỂTÍCH
Cho trường vectơ 𝐴𝐴⃗ , liên tục trong một miền chứa một mặt nhẵn S, tích phân
mặt hay thông lượngcủa 𝐴𝐴⃗ chảy xuyên qua mặt Scho bởi:
hay
Tích phân thể tích
𝜌𝜌 là đại lượng vô hướng và 𝑣𝑣 là thể tích (tạo bởi một mặt kín)
42
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Toán tử Nabla (∇)
Ví dụ: cho
∇ cũng được gọi
là toán tử Del
hay Grad
. Hãy tính
tại điểmP(1, 1, 2)
Từ đó ta có:
2
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Toán tử Nabla (∇) trong hệ tọa độ trụ tròn
Toán tử Nabla (∇) trong hệ tọa độ cầu
Vlà trường vô hướng
Vlà trường vô hướng
44
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Gradient của một đại lượng vô hướng Vlà vectơthể hiện cả độ lớn
và hướng biến đổi lớn nhất của Vtrong không gian.
Trong hệ tọa độ trụ:
Trong hệ tọa độ cầu:
45
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Tính chất của ∇𝑉𝑉 :
1. độ lớn của ∇𝑉𝑉 bằng tốc độ thay đổi lớn nhất của Vtrên một
đơn vị dài.
2. Hướng của ∇𝑉𝑉 là hướng theo hướng thay đổi lớn nhất của V.
3. ∇𝑉𝑉 tại một điểmbất kỳ luôn vuông góc với công-tua không
đổi của Vđi qua điểmđó.
4. Nếu 𝐴𝐴⃗ = ∇𝑉𝑉 thì 𝑉𝑉 được gọi là thế vô hướng của 𝐴𝐴⃗
46
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Ví dụ 8: TìmGradient của các hàmvô hướng sau đây:
(a).
(b).
(c).
Giải:
(a).
47
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Ví dụ 8: TìmGradient của các hàmvô hướng sau đây:
(b).
(c).
Giải:
(b).
48
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Ví dụ 8: TìmGradient của các hàmvô hướng sau đây:
(c).
Giải:
(c).
49
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Bài tập: TìmGradient của các hàmvô hướng sau đây:
(c).
50
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gradient
Các tính chất của phép tính Gradient
số nguyên )
51
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Divergence của một đại lượng vectơ 𝐴𝐴⃗ tại điểmP cho trước là thông lượng
chảy ra ngoài một đơn vị thể tích khi thể tích đó thu nhỏ dần về điểmP.
 Trong hệ tọa độ trụ:
 Trong hệ tọa độ cầu:
52
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Ví dụ 9. Chứng minh rằng ∇ � 𝑟𝑟⃗ = 3 đối với mọi vectơvị trí 𝑟𝑟⃗ của
bất cứđiểmP nào trong không gian.
Giải
Ví dụ 10..
53
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Thông lượng toàn phần của một vectơ 𝐴𝐴⃗ chảy qua
Định luật Gauss
⃗
m
ột
m
ặt
kín
𝑆𝑆
bằng
tích
phân
thể
tích
của
∇
�
𝐴𝐴.
-Otrogradsky
Ví dụ 10. Tính Divergence của các trường vectơsau:
54
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Ví dụ 10. Tính Divergence của các trường vectơsau:
Giải
55
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Ví dụ 10. Tính Divergence của các trường vectơsau:
Giải
56
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Ví dụ 10. Tính Divergence của các trường vectơsau:
Giải
57
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Bài tập. Tính Divergence của các trường vectơsau tại các điểmđã
cho:
58
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Divergence
Các tính chất của phép tính Divergence
59
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl (rot)
Độ cong(Curl)của 𝐴𝐴⃗ là một vectơ hướng trục (hoặc quay) có độ lớn là độ biến
thiên cực đại của 𝐴𝐴⃗ trên một đơn vị diện tích khi diện tích miềnđó thu nhỏ lại
bằng không và có hướng là hướng pháp tuyến của miềnkhi miềnđó được định
hướng để tạo ra sựlưu thông tối đa.
60
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl (rot)
 Trong hệ tọa độ trụ:
61
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl (rot)
 Trong hệ tọa độ cầu:
62
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl (rot)
Các tính chất của phép tính Curl
63
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl hay Rota
Định lý Stokes
Lưu thông của trường vectơ 𝐴𝐴⃗ xung quanh một
đường đi (đóng) L bằng tích phân mặt của ∇ � 𝐴𝐴⃗
trên mặt (mở)S giới hạn bởi L với điều kiện 𝐴𝐴⃗ và
∇ � 𝐴𝐴⃗ liên tục trên S.
Ví dụ 11. Tính Curl của các trường vectơtrong ví dụ 10.
64
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Curl (rot)
Ví dụ 12. Cho
. Dùng định lý Stokes hãy
tính
dọc theo đường cong kín L nhưtrong hình vẽ dưới
đây.
Gợi ý:
-Tính 𝑑𝑑𝑑𝑑 dọc theo các đoạn 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑑𝑑𝑑𝑑
(Descartes)
(Trụ tròn)
(Cầu)
Đáp số:
65
2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Bài tập thực hành tính toán sử dụng Matlab
% This script allows the user to compute the integral of
% a function using two different methods:
% 1. the built-in matlab 'quad' function
% 2. user-defined summation
%
% The user must first create a separate file for the
function
% y = (-1/20)*x^3+(3/5)*x.^2-(21/10)*x+4;
% The file should be named fun.m and stored in the same
% directory as this file, and it should contain the
following
% two lines:
66
% function y = fun(x)
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
LỰC TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC ĐIỆN TÍCH ĐIỂM
Hai điện tích điểmcùng dấu:
Hai điện tích điểmtrái dấu:
𝑟𝑟12
̂ -là vectơ đơn vị nằmtrên đường thẳng nối 2 điện tích và cùng chiều với 𝐹𝐹⃗ 12
𝑟𝑟21
̂ -là vectơ đơn vị nằmtrên đường thẳng nối 2 điện tích và cùng chiều với 𝐹𝐹⃗ 21
r -là khoảng cách giữa hai điện tích (tính theo m)
là hằng số điện môi của chân không.
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
LỰC TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC ĐIỆN TÍCH ĐIỂM
(*)
Giả sử Q1, Q2 đặt tại điểmcó
bán kính vector 𝑟𝑟⃗1, 𝑟𝑟⃗2 ta có:
Vecto đơn vị dọc theo 𝑟𝑟⃗21 là
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Ví dụ: Cho điện tích 𝑄𝑄1 = 3.10−4 C đặt tại A(1, 2, 3), và điện
tích 𝑄𝑄2 = −10−4 C đặt tại B(2, 0, 5) trong chân không. Tính
lực tác dụng của Q1 lên Q2.
Giải
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Ví dụ: Cho điện tích 𝑄𝑄1 = 3.10−4 C đặt tại A(1, 2, 3), và điện
tích 𝑄𝑄2 = −10−4 C đặt tại B(2, 0, 5) trong chân không. Tính
lực tác dụng của Q1 lên Q2.
Giải
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẬP
Giả sử có Nđiện tích điểm𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 , 𝑄𝑄3 ,… 𝑄𝑄𝑁𝑁 định xứ tại những
điểmcó vecto vị trí lần lượt là 𝑟𝑟⃗1 , 𝑟𝑟⃗2 , 𝑟𝑟⃗3 ... 𝑟𝑟⃗𝑁𝑁 , lực tác dụng lên điện
tích 𝑄𝑄 đặt tại điểm𝑟𝑟⃗ bằng tổng các lực tác dụng lên 𝑄𝑄 bởi mỗi các
điện tích thành phần 𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 , 𝑄𝑄3 ,… 𝑄𝑄𝑁𝑁 . Do đó:
Hay
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 KHÁI NIỆM CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
Cường độ điện trường 𝐸𝐸 là lực tác dụng lên một đơn vị điện tích
dươngkhi đặt nó trong điện trường.
Đơn vị của cường độ điện trường: 𝑁𝑁/𝐶𝐶 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑉𝑉/𝑚𝑚
Cường độ điện trường gây ra tại
điểmcó vectơvị trí 𝑟𝑟⃗ gây ra bởi
điện tích 𝑄𝑄 đặt tại điểm𝑟𝑟′:
⃗
Nguyên lý chồng chập điện trường
gây ra bởi 𝑁𝑁 điện tích điểm:
73
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 KHÁI NIỆM CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG
Viết lại dưới dạng gọn hơn: Cường độ điện trường tại điểmP(x,y,z) gây ra
bởi điện tích 𝑄𝑄 đặt tại điểmQ(x’,y’,z’):
Là vectơkhoảng cách
từ điểmPđến điểmQ
Là vectơđơn vị dọc theo 𝑅𝑅
Biểu thức vectơcường độ điện trường gây
ra bởi một điện tích điểmđược viết lại:
74
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Bài tập B3.1 Cho 𝑄𝑄1 = 4.10−9 𝐶𝐶 tại điểm𝑃𝑃1 (3, −2, 1), 𝑄𝑄2
= 3.10−9 𝐶𝐶 tại điểm𝑃𝑃2 (1, 0, −2), 𝑄𝑄3 = 2.10−9 𝐶𝐶 tại điểm
𝑃𝑃3 (0, 2, 2), 𝑄𝑄4 = 10−9 𝐶𝐶 đặt tại điểm𝑃𝑃4 (−1, 0, 2). Tính cường độ điện
trường tại điểm𝑃𝑃(1, 1, 1).
Giải
75
Ví dụ 3.1
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Chođiện tích điểm𝑄𝑄1 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 tại điểm𝑃𝑃1 3, 2, −1 , 𝑄𝑄2 = −2 𝑚𝑚𝑚𝑚 tại
điểm𝑃𝑃2 (−1, −1, 4). Tính lực tác dụng lên điện tích 𝑄𝑄 = 10 𝑛𝑛𝑛𝑛 đặt tại
𝑀𝑀(0,3,1) và cường độ điện trường tại điểmđó.
Giải
76
Ví dụ 3.1
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
Chođiện tích điểm𝑄𝑄1 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 tại điểm𝑃𝑃1 3, 2, −1 , 𝑄𝑄2 = −2 𝑚𝑚𝑚𝑚 tại
điểm𝑃𝑃2 (−1, −1, 4). Tính lực tác dụng lên điện tích 𝑄𝑄 = 10 𝑛𝑛𝑛𝑛 đặt tại
𝑀𝑀(0,3,1) và cường độ điện trường tại điểmđó.
Giải
77
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
Điện tích phân bố liên tục trên một: sợi dây thẳng, một bề mặt, một
khối
Mật độ điện tích khối 𝜌𝜌 [C/m3 ]
Mật độ điện tích mặt 𝜌𝜌𝑆𝑆 [C/m2 ]
Mật độ điện tích dài 𝜌𝜌𝐿𝐿 [C/m]
+
+
+
+
+
+
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+
+
+
+
+
+
+
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
Cần tính toán
cho các trường
hợp cụ thể (các
dạng hình học cụ
thể)
79
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
sợi dây thẳng dài tích điện
80
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
một bề mặt rộng vô hạn
81
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
một khối cầu tích điện
82
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
Ví dụ: Mặt vuông nằmtrongmặt phẳngx-ygiới hạn(-3<x<3) và (-3 < y < 3)
mang điện với mật độ 𝜌𝜌𝑆𝑆 = 2𝑦𝑦2 (C/m2) . TìmQcủa mặt
Giaûi
S .dSz
 Ta có: Q
-3
S
Q
3 3
3 3
Q
(2y 2 )(dxdy)
-3
3
3
3
3
dx (2y 2 )dy
3
3
2
6. [33 ( 3)3 ] 216 C
3
83
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 ĐIỆN TRƯỜNG GÂY BỞI HỆ ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ LIÊN TỤC
Ví dụ: Vỏ cầu, tâmtại gốc tọa độ, bán kính trong 𝑎𝑎
= 2 𝑐𝑐𝑚𝑚, bánkính ngoài 𝑏𝑏
= 3 𝑐𝑐𝑐𝑐, mangđiệnvới mật độkhối 𝜌𝜌𝑉𝑉 = 6𝑟𝑟 × 10−4 (C/m3). Tìm Q của vỏ
cầu.
b
 Ta có: Q
V
.dV
V
a
0
Q
b
2
(6r)(r2 sinθdrdθd ).10 4
a 0 0
6 4 b
2
(r ) ( cosθ) 0 ( ) 0 .10 4
a
4
Q 1, 225 nC
84
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
 Định nghĩa vectơ𝐷𝐷:
[C / m2 ]
Từ
Từ đó, thông lượng của vectơcảmứng điện được xác định bởi:
Mật độ thông lượng điện
= 0 r = độ thẩm điện tuyệt đối của môi trường [F/m].
r = độ thẩm điện tương đối ;
e = độ cảm điện. Cả 2 đều không có thứ nguyên.
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
 Định nghĩa vectơ𝐷𝐷 trong mối liên hệ với vectơcường độ điện
trường 𝐸𝐸 trong chân không:
[C / m2 ]
Từ biểu thức 𝐸𝐸 gây ra bởi một điện tích điểmta có:
Từ đó, thông lượng của vectơcảmứng điện được xác định bởi:
Mật độ thông lượng điện
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
Ví dụ: Cho một điện tích điểm60 µ𝐶𝐶 đặt tại gốc tọa độ, tìmthông lượng điện toàn
𝜋𝜋
phần chảy qua (a) phần hình cầu bán kính 𝑟𝑟 = 26 𝑐𝑐𝑐𝑐 giới hạn bởi 𝜃𝜃 < và
𝜋𝜋
; (b) một mặt kín xác định bởi ρ
2
0 < 𝜙𝜙 <
mặt phẳng 𝑧𝑧 = 26 𝑐𝑐𝑐𝑐.
Giaûi
(a) 7.5 µC
(b) 60 µC
(c) 30 µC
2
= 26 𝑐𝑐𝑐𝑐 và 𝑧𝑧 = ±26 𝑐𝑐𝑐𝑐; (c)
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
Giaûi
(a) Vectơmật độthông lượng điện 𝐷𝐷 tại một điểmtrên mặt cầu 𝑟𝑟 xác định bởi
𝑎𝑎⃗𝑟𝑟 là vectơđơn vị dọc theo bán
kính vectơ 𝑟𝑟⃗
Yếu tố vi phân diện tích (vi diện) trong hệ tọa độ cầu tại bán kính 𝑟𝑟 là:
Thông lượng điện toàn phần chảy qua phần mặt cầu đã cho là:
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
Giaûi
(b)
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
Giaûi
(c)
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
Ví dụ: Tính Dtrong hệ tọa độ Descartes tại điểm𝑃𝑃 (2, −3, 6) gây ra bởi:
(a) một điện tích điểm𝑄𝑄𝐴𝐴 = 55 𝑚𝑚𝑚𝑚 đặt tại 𝑄𝑄 (−2, 3, −6);
(b) một điện tích phân bố đều trên đường thẳng có mật độ điện tích dài 𝜌𝜌𝐿𝐿𝐿𝐿
= 20 mC/m trên trục x;
(c) mật độ điện tích bề mặt đều 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑆𝑆 = 120 𝜇𝜇C/m2 trên mặt phẳng 𝑧𝑧 = −5 m.
2
3. ĐỊNH LUẬT GAUSS-PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
 ĐỊNH LUẬT GAUSS
Định luật Gaussphát biểu rằng tổng thông lượng điện 𝜓𝜓 xuyên qua bất
kỳ mặt kín nào cũng bằng tổng điện tích được bao bọc bởi mặt kín đó.
tổng điện tích được bao bọc bởi S
Đây là dạng tích phân
của ĐLGauss
2
3. ĐỊNH LUẬT GAUSS-PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
 ĐỊNH LUẬT GAUSS
Ví dụ: Dùng định luật Gauss, hãy tìm𝐸𝐸 tại điểmPbất kỳ trong
không gian gây ra bởi một điện tích điểmQ.
2
3. ĐỊNH LUẬT GAUSS-PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
 ĐỊNH LUẬT GAUSS
Ví dụ: Dùng định luật Gauss, hãy tìm𝐸𝐸 tại điểmPbất kỳ trong
không gian gây ra bởi một điện tích điểmQ.
2
3. ĐỊNH LUẬT COULOMB
 MẬT ĐỘ THÔNG LƯỢNG ĐIỆN – VECTƠ CẢM ỨNG ĐIỆN
2