Thème 2 Les fonctions Kartable.fr Les fonctions 1/19 Terminale S Mathématiques Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions I Limites de fonctions A Limites et opérations THÉORÊME Limite d'une somme α +∞ −∞ On désigne par un réel, ou . On désigne par L et L' deux réels. Les fonctions f, g et sont dé nies au voisinage de . f +g α Limite de g en α Limite de f + g en α Limite de f en THÉORÊME α L L' L + L′ L L +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ ? Limite d'un produit α +∞ −∞ On désigne par un réel, ou . On désigne par L et L' deux réels. Les fonctions f, g et sont dé nies au voisinage de . f ×g α Limite de g en α Limite de f × g en α Limite de f en THÉORÊME L L' L × L′ L>0 +∞ +∞ α L<0 +∞ −∞ L>0 −∞ −∞ L<0 −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ 0 +∞ −∞ −∞ ±∞ +∞ +∞ −∞ ? Limite d'un quotient α un réel, +∞ ou −∞. On désigne par L et L' deux réels. f Les fonctions f, g et sont dé nies au voisinage de α. g Limite de f en α L L +∞ +∞ −∞ −∞ Limite de g en α L′ ±∞ L′ L′ L′ L′ ≠0 >0 <0 >0 <0 L f 0 +∞ −∞ −∞ +∞ Limite de en α L′ g On désigne par PIÈGE 0 ±∞ L > 0 ou +∞ ±∞ 0+ 0− ? ? 0 +∞ −∞ L < 0 ou −∞ 0+ 0− −∞ +∞ ∞ 0 Il existe 4 formes indéterminées : " ∞ − ∞ " ; " 0 × ∞ " ; " " ; " ". ∞ 0 Les formes indéterminées, sont les con gurations pour lesquelles les règles opératoires sur les limites ne permettent pas de conclure. Il faut alors modi er l'expression pour en déterminer la limite. ASTUCE Voici quelques techniques qui peuvent s'avérer utiles pour "lever une indétermination". Lorsque est une fonction polynôme, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en factorisant l'expression par le terme de plus haut degré. Lorsque est une fonction rationnelle, en cas d'indétermination, on peut déterminer sa limite en factorisant numérateur et dénominateur de l'expression par les termes de plus haut degré, puis en simpli ant le résultat obtenu. f f ±∞ en ±∞ en Dans le cas d'une indétermination du type 0 pour la limite en un réel a, on peut parfois montrer que 0 g(x) − g(a) l'expression est du type où g est une fonction dérivable de dérivée connue. Dans ce cas, la x − a dé nition de g′ (a) permet de conclure. THÉORÊME Limite d'une fonction composée Soit f une fonction dé nie sur J, et g une fonction dé nie sur I à valeurs dans J. La fonction (se lit "f rond g") est la fonction dé nie sur I par Si et alors . f ∘g lim g(x) = β lim x→α x→β f (x) = γ Kartable.fr f ∘ g(x) = f [g(x)]. lim f ∘ g(x) = γ x→α 2/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions Terminale S Mathématiques B Limites et ordre THÉORÊME Théorème d'encadrement α f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Soient f, g et h trois fonctions telles que sur un voisinage de , Si et alors . lim f (x) = L lim h(x) = L x→α x→α THÉORÊME lim g(x) = L x→α Théorème de comparaison (1) α f (x) ≤ g(x). Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de , ′ alors ′. Si et lim f (x) = L x→α lim g(x) = L x→α THÉORÊME L≤L Théorème de comparaison (2) α f (x) ≤ g(x) : Soient f et g deux fonctions telles que sur un voisinage de , Si , alors . lim f (x) = +∞ x→α lim g(x) = +∞ x→α Si lim g(x) = −∞, alors lim f (x) = −∞. x→α x→α C Asymptotes ±∞ La droite d'équation y = L est asymptote horizontale à C en +∞ (resp. en −∞ ) si et seulement si : lim f (x) = L (resp. x→−∞ lim f (x) = L ) x→+∞ DÉFINITION ASTUCE Kartable.fr Asymptote horizontale en Pour étudier la position relative entre la courbe d'une fonction f et une asymptote horizontale (à cette courbe) d'équation , on étudie le signe de . y=L (f (x) − L) 3/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions DÉFINITION Asymptote verticale La droite d'équation Kartable.fr Terminale S Mathématiques x = a est asymptote verticale à C si et seulement si : lim f (x) = ±∞ x→a− ou lim f (x) = ±∞ x→a+ 4/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions II Dérivation Dérivées des fonctions usuelles THÉORÊME Soient un réel dérivabilité. λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de dé nition de f et par Df ′ son domaine de f (x) λ f ′ (x) 0 1 nxn−1 n − xn+1 1⎯ 2√x x xn (n ≥ 1) 1 (n ≥ 1) xn √⎯x THÉORÊME λ Df ℝ ℝ ℝ ℝ∗ Df ′ ℝ ℝ ℝ ℝ∗ ℝ+ ℝ+∗ Dérivées et opérations Soit un réel , on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I . f λu u+v uv 1 (si u ne s'annule pas sur I ) u u (si v ne s'annule pas sur I ) v un (n ≥ 1) 1 (n ≥ 1, et u ne s'annulant pas sur I) un √⎯⎯u (soit u(x) > 0 pour tout x appartenant à I , soit u > 0 ) THÉORÊME Dérivées et variations f f >0 I I f <0 I I f I I Soit une fonction dérivable sur un intervalle , inclus dans son ensemble de dé nition. Si ′ sur , sauf peut-être en un nombre ni de valeurs pour lesquelles ′ s'annule, alors sur . Si ′ sur , sauf peut-être en un nombre ni de valeurs pour lesquelles ′ s'annule, alors sur . Si ′ est nulle sur , alors est constante sur . f f f f′ λu′ u′ + v′ u′ v + uv′ ′ u − u2 u′ v–uv′ v2 nu′ un−1 −n × u′ un+1 u′ ⎯⎯ 2√u f est strictement croissante f est strictement décroissante I La réciproque de chacune des assertions précédentes est vraie. ASTUCE Kartable.fr 5/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions PROPRIÉTÉ f f (c) f I ℝ c I Soient une fonction dérivable sur un intervalle ouvert de et un réel de . Si est un extremum local, alors ′ . Si ′ s'annule en en changeant de signe, alors est un extremum local. THÉORÊME c f (c) = 0 f (c) Équation de la tangente à la courbe d'une fonction en un point donné Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I. Alors la courbe de f admet une tangente au point d'abscisse a. Cette tangente admet pour équation : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) ASTUCE Kartable.fr Après avoir déterminé l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a, on demande souvent d'étudier la position relative entre courbe de f et sa tangente. Si la tangente admet pour équation , avec et réels, il s'agit alors d'étudier le signe de : y = αx + β α β f (x) − (αx + β) 6/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions III Continuité DÉFINITION Fonction continue Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon. Une fonction f est continue en un réel a si et seulement si : lim f (x) = f (a) . x→a REMARQUE PROPRIÉTÉ Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse. THÉORÊME Théorème des valeurs intermédiaires Soient f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Alors, pour tout réel k compris entre et , il existe au moins un réel c compris entre f (a) f (b) COROLLAIRE a et b tel que : f (c) = k. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires [a;b] f (a) f (b) [a;b] f (c) = k Si f est continue sur et si et sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b. Si f est continue et strictement monotone sur , alors pour tout réel k compris entre et , il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : . ASTUCE Kartable.fr f (a) f (b) On demande souvent de déterminer un encadrement d'amplitude donné (ou une valeur approchée à une précision donnée) d'une solution d'une équation du type . On peut utiliser une méthode de balayage avec plusieurs tableaux de valeurs (de plus en plus précis) de la fonction f obtenus avec la calculatrice. On peut également utiliser la méthode de dichotomie vue en classe. f (x) = k 7/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions IV Terminale S Mathématiques Fonction exponentielle DÉFINITION La fonction exponentielle La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur x. On la note ou exp x ↦ e THÉORÊME ℝ telle que f ′ = f et f (0) = 1. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Soient deux réels x et y, et un entier n. exx = eyy ⇔ x = y ex+y< e ⇔x yx < y e =ee e−x = e1x x e x−y e = ey (ex )n = enx THÉORÊME Limites de la fonction exponentielle THÉORÊME Limites : croissances comparées THÉORÊME Limite : taux d'accroissement en 0 THÉORÊME Dérivées ℝ La fonction exponentielle est dérivable sur . Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors Les dérivées sont données par : Kartable.fr x=0 lim e x→−∞x lim e = +∞ x→+∞ x=0 lim x e x→−∞ x e lim x = +∞ x→+∞ x−1 e lim x→0 x = 1 eu = exp ∘ u est dérivable sur I. Fonction Dérivée ex eu ex u′ eu 8/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions V Fonction logarithme népérien DÉFINITION Fonction logarithme népérien x > 0, il existe un unique réel y tel que ey = x. ln(x) et on appelle fonction logarithme népérien la fonction f dé nie sur ℝ+∗ par f (x) = ln(x). Pour tout réel Ce réel y est noté PROPRIÉTÉ ln(e ) = x x Pour tout réel x : . Pour tout réel x strictement positif : THÉORÊME eln(x) = x. Propriétés algébriques de la fonction ln Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n : ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln( 1x ) = −ln(x) x ln( y ) = ln(x) − ln(y) ln(xn ) = nln(x) 1 ⎯ ln(√x) = 2 ln(x) THÉORÊME Limites de la fonction ln THÉORÊME Limites : croissances comparées THÉORÊME Limite : taux d'accroissement en 1 et 0 THÉORÊME Dérivées lim ln(x) = −∞ + x→0 lim ln(x) = +∞ x→+∞ ln(x) = 0 lim x→+∞ x lim xln(x) = 0 x→0+ ln(x) ln(1 + x) lim x→1 x − 1 = 1 et lim x→0 x = 1 ℝ La fonction logarithme népérien est dérivable sur ⋆ +. Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors Les dérivées sont données par : THÉORÊME Dérivées Fonction Dérivée ln(x) 1 x u′ u ln(u) DÉFINITION Logarithme décimal La fonction logarithme décimal, notée Kartable.fr ln(u) = ln∘u est dérivable sur I. log, est dé nie sur ℝ+∗ par : ln(x) log(x) = ln(10) 9/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions VI Terminale S Mathématiques Fonctions trigonométriques A Parité et périodicité DÉFINITION f Fonction paire I x ∈ I f (−x) = f (x) f Soit une fonction dé nie sur . Si : est symétrique par rapport à 0 Et pour tout , Alors la fonction est paire. La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. I Kartable.fr 10/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions DÉFINITION Terminale S Mathématiques Fonction impaire Soit f une fonction dé nie sur I. Si : I est symétrique par rapport à 0 Et pour tout , Alors la fonction f est impaire. La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. x ∈ I f (−x) = −f (x) Kartable.fr 11/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions DÉFINITION Terminale S Mathématiques Fonction périodique Soit f une fonction dé nie sur I. S'il existe un réel T strictement positif, tel que : Pour tout , Et Alors la fonction f est périodique de période T. On dit aussi qu'elle est T-périodique. x ∈ I x+T ∈ I f (x + T) = f (x) B Fonction sinus DÉFINITION Fonction sinus f La fonction sinus , dé nie sur Kartable.fr ℝ, est égale à : f (x) = sin(x) 12/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions Terminale S Mathématiques PROPRIÉTÉ La fonction sinus est impaire. La fonction sinus est -périodique. La fonction sinus est toujours comprise entre −1 et 1. La fonction sinus est dérivable et continue sur . ′ Pour tout réel x, . 2π ℝ sin (x) = cos(x) THÉORÊME Taux d'accroissement et limite En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 : sin(x) = sin′ (0) = cos(0) = 1 lim x→0 x C Fonction cosinus DÉFINITION Fonction cosinus La fonction cosinus f, dé nie sur Kartable.fr ℝ, est égale à : f (x) = cos(x) 13/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions Terminale S Mathématiques PROPRIÉTÉ La fonction cosinus est paire. La fonction cosinus est -périodique. La fonction cosinus est toujours comprise entre −1 et 1. La fonction cosinus est dérivable et continue sur . ′ Pour tout réel x, . 2π cos (x) = −sin(x) Kartable.fr ℝ 14/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions VII Terminale S Mathématiques Primitives THÉORÊME Primitives des fonctions usuelles Soient un entier n, k un réel ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. f (x) k xn 1⎯ √x 1 x ex sin(x) cos(x) sin(ax + b) cos(ax + b) THÉORÊME F(x) kx xn+1 n+1 2√⎯x I ℝ n≥1 : ℝ n ≤ −2 : ]−∞;0[ ou ]0;+∞[ ]0;+∞[ si si ln(x) ]0;+∞[ ex −cos(x) sin(x) − a1 cos(ax + b) 1 sin(ax + b) a ℝ ℝ ℝ ℝ, avec a ≠ 0 ℝ, avec a ≠ 0 Opérations et primitives Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. f F u′ un un+1 n+1 ln(u) 2√⎯⎯u u′ u u′⎯⎯ √u u′ eu u′ sin(u) u′ cos(u) Kartable.fr Conditions si n ≤ −2 : u(x) ≠ 0 u>0 u>0 eu −cos(u) sin(u) 15/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions VIII Terminale S Mathématiques Intégrales A Aires et intégrales DÉFINITION Intégrale d'une fonction continue positive Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle orthogonal. b [a;b](a < b), et C sa courbe représentative dans un repère ∫a f (x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b. L'intégrale Kartable.fr 16/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions DÉFINITION Intégrale d'une fonction continue négative Soient f une fonction continue et négative sur un intervalle orthogonal. b Terminale S Mathématiques [a;b](a < b), et C sa courbe représentative dans un repère ∫a f (x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b. L'intégrale Kartable.fr 17/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Les fonctions DÉFINITION Terminale S Mathématiques Intégrale d'une fonction continue [a;b](a < b) , et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. b L'intégrale ∫a f (x) dx de la fonction f sur [a;b] est égale à la différence entre la somme des aires où f est positive et la Soient f une fonction continue sur un intervalle somme des aires où f est négative. THÉORÊME Aire entre deux courbes [a;b]. L'aire située entre les courbes de f et g sur [a;b] est égale à : b ∫a |f (x) − g(x)| dx Avec les notations précédentes, si sur l'intervalle [a;b], on a f (x) ≤ g(x) , alors l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par les courbes des deux fonctions puis les droites d'équations x = a et x = b est égale à : b ∫a (g(x) − f (x))dx Soient f et g deux fonctions continues sur ASTUCE B Propriétés de l'intégrale DÉFINITION Valeur moyenne d'une fonction On appelle valeur moyenne de f sur Kartable.fr [a;b](a < b) le réel : b 1 f (x) dx b − a ∫a 18/19 Les fonctions Thème 2 Les fonctions Terminale S Mathématiques Les fonctions PROPRIÉTÉ Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque. a ∫a a f (x) dx = 0 b ∫b b f (x) dx = − ∫a bf (x) dx ∫a kf (x) dx = k ∫a f b(x) dx c b Relation de Chasles : f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx ∫ ∫ ∫ a b ba bc Linéarité : ∫a (f (x) + g(x)) dx = ∫a f (x) dx + ∫a g(x) dx PROPRIÉTÉ Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que sur . m ≤ f ≤ M [a;b] b Positivité : si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫a f (x)b dx ≥ 0. b Comparaison : si f ≤ g sur [a;b], alors ∫ab f (x) dx ≤ ∫a g(x) dx. Inégalité de la moyenne : m(b − a) ≤ ∫a f (x) dx ≤ M (b − a). a ≤ b, m et M deux réels tels que C Primitives et intégrales THÉORÊME Intégrale et primitive Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I : b THÉORÊME Primitive qui s'annule en a ∫a f (t) dt = F(b) − F(a) Soient f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F dé nie ci-après est l'unique primitive de f qui s'annule en a : x F(x) = ∫a f (t) dt Kartable.fr 19/19 Les fonctions