גיאומטריה מבוא לדמיון 010412 מבוא לדמיון הקדמה במבוא זה נעסוק בדמיון משולשים. מהו דמיון? א. דמיון של מצולעים פירושו שלשני המצולעים אותה צורה ,אך הגודל יכול להיות אחר .במילים אחרות ,אפשר לקבל אחד מהם על-ידי הגדלה או הקטנה של האחר. אם כן ,צורות דומות נראות "אותו דבר" ,אך אין להן בהכרח אותו גודל .הצלעות והזוויות שומרות על אותה הפרופורציה. במבוא זה נתמקד במשולשים דומים ,אולם זכרו ,ייתכנו עוד צורות דומות )למשל מעגלים, ריבועים ,וכל מצולע משוכלל אחר(. לדוגמה ,נביט במשולשים שלפנינו: 30° 45° 30° 45° 60° 60° א' 45° 45° ב' ד' ג' ניתן לראות ,שמשולשים א' ו -ב' הם בעלי גודל שונה ,אך הם דומים :בשני המשולשים קיימת אותה פרופורציה בין הצלעות )יחס הצלעות הוא .(1 : 3 : 2פרופורציה זהה זו ,נובעת מכך שזוויות המשולשים שוות :לשני המשולשים אותן זוויות ).(90° ,60° ,30° באופן דומה ,ניתן לראות ,שמשולשים ג' ו -ד' הם בעלי גודל שונה ,אך הם דומים :בשני המשולשים קיימת אותה פרופורציה בין הצלעות )יחס הצלעות הוא .(1 : 1 : 2פרופורציה זהה זו ,נובעת מכך שזוויות המשולשים שוות :לשני המשולשים אותן זוויות ).(90° ,45° ,45° שני משולשים ,שלהם שלושה זוגות של זוויות שוות ,הם דומים. α α γ 114 β γ β גיאומטריה ב. מבוא לדמיון צלעות מתאימות במשולשים דומים שתי צלעות בשני משולשים דומים ,המונחות מול זוויות שוות ,נקראות "צלעות מתאימות". נביט בסרטוט: α α e b f γ c γ β β d a לשני המשולשים שלוש זוויות זהות ,ולכן הם דומים. הצלעות aו d -מונחות מול הזווית ,αולכן הן צלעות מתאימות. הצלעות bו e -מונחות מול הזווית ,βולכן הן צלעות מתאימות. הצלעות cו f -מונחות מול הזווית ,γולכן הן צלעות מתאימות. למשולשים הדומים צורה שונה ,וההבדל ביניהם נובע רק מהשינוי בגודל המשולשים. כלומר ,כל צלע במשולש השמאלי גדולה מהצלע המתאימה לה במשולש הימני ,באותו היחס. למשל ,אם הצלע aגדולה פי xמהצלע ,dגם הצלע bגדולה פי xמהצלע ,eוגם הצלע cגדולה פי x מהצלע .f אפשר לומר ,כי כל האורכים במשולש הגדול גדולים פי xמהאורכים המתאימים במשולש הקטן. בין כל הזוגות של הצלעות המתאימות מתקיים יחס שווה. a b c )בסרטוט= = : d e f ( α α e b f γ β d c γ β a D α דוגמה: נביט במשולשים שבסרטוט: α ס"מ 6 8ס"מ לשני המשולשים שלוש זוויות זהות ,ולכן הם דומים. 3ס"מ 4ס"מ נוכל לשים לב שבין הצלעות המתאימות במשולשים הדומים מתקיים אותו יחס: γ β γ β B C מול :αהצלע 4) EFס"מ( גדולה פי 2מהצלע 2) BCס"מ(.F 2ס"מ E 4ס"מ מול :βהצלע 6) DFס"מ( גדולה פי 2מהצלע 3) ACס"מ(. מול :γהצלע 8) DEס"מ( גדולה פי 2מהצלע 4) ABס"מ(.כלומר ,כל אחת מהצלעות במשולש DEFגדולה פי 2מהצלע המתאימה לה במשולש .ABC A 115 גיאומטריה מבוא לדמיון אנו יודעים כי לשני משולשים דומים אותה הצורה ,רק אחת גדולה מהאחרת ,והיחס בין אורכים מתאימים הוא קבוע .אם כך גם היחס בין זוג צלעות במשולש אחד ליחס בין זוג הצלעות במשולש השני זהה. היחס בין כל שתי צלעות במשולש אחד זהה ליחס בין שתי צלעות מתאימות במשולש השני. b e c f a d = ( וגם: וגם: )בסרטוט: = = a d b e c f α α e b f γ β c γ β d a D דוגמה: נביט במשולשים שבסרטוט: α 6ס"מ A α 8ס"מ 3ס"מ לשני המשולשים שלוש זוויות זהות ,ולכן הם דומים. F β γ 4ס"מ 4ס"מ γ E 2 Cס"מ B במשולש הגדול הצלע DEגדולה פי 2מהצלע .EFיחס זה נשמר גם בצלעות המתאימות במשולש הקטן ,הצלע ) ABהמתאימה לצלע (DEגדולה פי 2מהצלע ) BCהמתאימה לצלע .(EF 8ס "מ DE 1 4 1ס "מ AB = ובאופן דומה ,במשולש הגדול= 1 : = ,ובמשולש הקטן= 1 : 6ס "מ DF 3 3 3ס "מ AC 116 β . גיאומטריה מבוא לדמיון נביט במשולשים שלפנינו: D A β β F α E C α B ניתן לראות כי בין שני המשולשים קיימים רק שני זוגות של זוויות זהות. סכום הזוויות בכל משולש הוא ,180°לכן נוכל לרשום את המשוואות הבאות: עבור משולש .α + β + ∠ABC = 180° :ABC נפחית ) (α + βמשני האגפים ,ונקבל.∠ABC = 180° – (α + β) : עבור משולש .α + β + ∠DEF = 180° :DEF נפחית ) (α + βמשני האגפים ,ונקבל.∠DEF = 180° – (α + β) : קיבלנו.∠ABC = ∠DEF : כלומר ,אם בין שני משולשים קיימים שני זוגות של זוויות זהות ,הרי שבהכרח זוג הזוויות השלישי זהה אף הוא .מכאן ,שאם נתונים שני משולשים בעלי שני זוגות של זוויות זהות ,ניתן לקבוע כי הם דומים. לסיכום: אם נתונים שני משולשים ,ואחד התנאים שלהלן מתקיים ,אזי ניתן לקבוע בוודאות שהמשולשים דומים )ומכאן שמתקיימים כל שלושת התנאים גם יחד(: א .שלוש הזוויות באחד המשולשים שוות לשלוש הזוויות במשולש השני )באופן מעשי ,מספיקים שני זוגות של זוויות זהות(. ב .בין כל הזוגות של הצלעות המתאימות מתקיים יחס שווה a b c )בסרטוט.( = = : d e f ג .היחס בין כל שתי צלעות במשולש אחד זהה ליחס בין שתי צלעות מתאימות במשולש השני b e c f a d = (. וגם: וגם: )בסרטוט: = = a d b e c f α α b f e γ β d c β γ a 117 גיאומטריה מבוא לדמיון ג .מציאת אורך צלע באמצעות דמיון דוגמה: נתונים שני משולשים ,כמתואר בסרטוט. ? = AB A D 85º F 35º 85º 3ס"מ 60º E 35º C 60º 6ס"מ B 18ס"מ פתרון: לשני המשולשים שלושה זוגות של זוויות זהות ,ולכן הם דומים. ראשית ,נבדוק לאילו צלעות מתאימות בין שני המשולשים נתונים ערכים ִמספריים )צלעות אלו מהוות את ה"עוגן" שבאמצעותו נמצא את היחס בין הצלעות המתאימות(. הצלעות המתאימות מול :85°הצלע 18) BCס"מ( גדולה פי 3מהצלע 6) EFס"מ(. מכיוון שבין כל הזוגות של הצלעות המתאימות מתקיים יחס שווה ,הרי שכל צלע במשולש ABCתהיה גדולה פי 3מהצלע המתאימה לה במשולש .DEF הצלעות המתאימות מול :35°הצלע ) ABהצלע המבוקשת( גדולה פי 3מהצלע 3) DEס"מ(. אם כך 9 :ס"מ = 3ס"מ ⋅ .AB = 3 ⋅ DE = 3 תרגול )פתרונות בעמוד :(126 .1נתונים שני משולשים ,כמתואר בסרטוט. 5ס"מ 2.5ס"מ ? = EF F C D 45º 45º 6ס"מ 65º ? 65º E B .2נתונים שני משולשים ,כמתואר בסרטוט. ? ? = DF F β 4ס"מ γ E 118 A α A D 1ס"מ C γ β α 2ס"מ B גיאומטריה מבוא לדמיון .3נתונים שני משולשים ,כמתואר בסרטוט. D ? = AC A 3ס"מ α F ד. E ? α C 5ס"מ 3ס"מ B מצבי דמיון מוכרים קיימים מצבים של דמיון משולשים ,שבהם המשולשים אינם נפרדים זה מזה ,אלא מצויים במגע זה עם זה .נבחן שלושה מקרים כאלו. א .שני ישרים מקבילים ,a || bשביניהם עוברים שני ישרים היוצרים צורת .X מתקבלים שני משולשים. a 'β 'α 'γ γ הזוויות αו α' -שוות זו לזו )יוצרות צורת Zבין מקבילים(, הזוויות βו β' -שוות זו לזו )יוצרות צורת Zבין מקבילים(, והזוויות γו γ' -שוות זו לזו )קודקודיות(. β α b אם כך ,לשני המשולשים שלוש זוויות זהות ,ולכן הם דומים. )למען הנוחות ,נכנה מצב זה בשם X" :בין מקבילים"(. ב .משולש ,שבתוכו עובר ישר נוסף המקביל לאחת מצלעות המשולש .BC || DE מתקבלים שני משולשים ,זה בתוך זה ) ABCו.(ADE - A γ E הזוויות αו α' -שוות זו לזו )מתאימות בין מקבילים(, הזוויות βו β' -שוות זו לזו )מתאימות בין מקבילים(, C β D α והזווית γמשותפת לשני המשולשים. B אם כך ,למשולשים ABCו ADE -שלוש זוויות זהות ,ולכן הם דומים. )למען הנוחות ,נכנה מצב זה בשם" :מקביל לצלע"(. ג .משולש ישר זווית )בסרטוט ,(ABC :שבתוכו עובר ישר ֶתר. נוסף )בסרטוט (DE :המאונך לי ֶ מתקבלים שני משולשים ישרי זווית ,זה בתוך זה ) ABCו.(EBD - לשני המשולשים זווית בת ,90°וזווית משותפת .α אם בין שני משולשים קיימים שני זוגות של זוויות שוות, הרי שזוג הזוויות השלישי זהה אף הוא ),(∠ACB = ∠BED = 90° – α ומכאן שמשולשים ABCו EBD -דומים. ֶתר"(. )למען הנוחות ,נכנה מצב זה בשם" :אנך לי ֶ A E C α D 119 B גיאומטריה מבוא לדמיון דוגמה: בסרטוט שלפניכם .a || b B על-פי נתוני הסרטוט, ? = CD 6ס"מ 9ס"מ E פתרון: בסרטוט שלפנינו מצב של " Xבין מקבילים", כלומר ,המשולשים דומים. C a A ? 3ס"מ D b סימון זוויות :נסמן שלושה זוגות של זוויות זהות. סימון הזוויות נחוץ על מנת לזהות את הצלעות המתאימות בין שני המשולשים )ראו סימון זוויות בעמ' הקודם(. קביעת היחס :נבדוק לאילו צלעות מתאימות בין שני המשולשים נתונים ערכים ִמספריים )צלעות אלו מהוות את ה"עוגן" שבאמצעותו נמצא את היחס בין הצלעות המתאימות(. הצלעות ABו DE -מונחות מול זוויות שוות )קודקודיות( ,ולכן הן צלעות מתאימות. הצלעות המתאימות :הצלע 9) ABס"מ( גדולה פי 3מהצלע 3) DEס"מ(. כלומר ,כל אחת מצלעות המשולש העליון גדולה פי 3מצלעות המשולש התחתון. מציאת האורך המבוקש :הצלע ) CDהצלע המבוקשת( מתאימה לצלע ) BCשתיהן מונחות מול זוויות שוות -זוויות המתקבלות בצורה Zבין מקבילים(. מכיוון שנתון כי 6 :ס"מ = ,BCומכיוון שמצאנו שכל אחת מצלעות המשולש העליון גדולה פי 3מצלעות המשולש התחתון ,הרי ש 2 :ס"מ = 6) CDס"מ = 2ס"מ ⋅ .(3 תרגול )פתרונות בעמוד :(126 A .4בסרטוט שלפניכם .AB || CD 2 Cס"מ E על-פי נתוני הסרטוט, ? = AE D 3ס"מ ? 4ס"מ B A .5בסרטוט שלפניכם .AB || DE D על-פי נתוני הסרטוט, ? = BC 1ס"מ C 120 3ס"מ 2ס"מ E ? B גיאומטריה מבוא לדמיון A .6על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, 16ס"מ ? = DE D 6ס"מ ? C E 8ס"מ A דוגמה נוספת: על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, 3ס"מ 4ס"מ E ? = EC ? פתרון: ABCהוא משולש ישר זווית ,שהועבר בו אנך )(DE ֶתר", ליתר ) .(ACכלומר ,בסרטוט שלפנינו מצב של "אנך לי ֶ ומכאן שהמשולשים דומים. B D 2ס"מ C B סימון זוויות :נסמן שלושה זוגות של זוויות זהות .סימון הזוויות נחוץ על מנת לזהות את הצלעות המתאימות בין שני המשולשים )זוג אחד כבר מסומן ב ,90° -זווית אחת בקודקוד Aמשותפת לשני המשולשים – נסמן אותה ב ,α -ואת זוג הזוויות הנותר נסמן ב.(β - קביעת היחס :נבדוק לאילו צלעות מתאימות בין שני המשולשים נתונים ערכים ִמספריים )צלעות אלו מהוות את ה"עוגן" שבאמצעותו נמצא את היחס בין הצלעות המתאימות(. הצלעות ) AEבמשולש הקטן( ו) AB -במשולש הגדול( מונחות מול זוויות שוות ) ,(βולכן הן צלעות מתאימות .גודל הצלע ABהוא 6ס"מ )= 2ס"מ 4 +ס"מ( ,ולכן היא ארוכה פי 2מהצלע 3) AEס"מ(. כלומר ,כל אחת מצלעות המשולש הגדול גדולה פי 2מצלעות המשולש הקטן. מציאת האורך המבוקש :הקטע המבוקש ECאינו צלע באף אחד מהמשולשים ,אולם הוא חלק מתוך הצלע ) ACבמשולש הגדול( .אם נמצא את אורכה של הצלע ,ACנוכל להפחית ממנה את אורכה של הצלע ) AEבמשולש הקטן( ,ולמצוא את הקטע המבוקש. הצלע ACבמשולש הגדול מתאימה לצלע ADבמשולש הקטן )שתיהן מונחות מול .(90° מכיוון שנתון כי 4 :ס"מ = ,ADומכיוון שמצאנו שכל אחת מצלעות המשולש הגדול גדולה פי 2 מצלעות המשולש הקטן ,הרי ש 8 :ס"מ = 8) ACס"מ = 4ס"מ ⋅ .(2 אם כך ,אורכו של הקטע המבוקש הוא 5 :ס"מ = 3ס"מ – 8ס"מ = .EC = AC – AE 121 גיאומטריה מבוא לדמיון תרגול )פתרונות בעמוד :(126 A .7על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, ? ? = AD D C E 7ס"מ B 2ס"מ A .8בסרטוט שלפניכם .BC || DE על-פי נתוני הסרטוט, ? = EC 3ס"מ 3ס"מ 2ס"מ D E 6ס"מ ? B C A .9בסרטוט שלפניכם .AC || DE על-פי נתוני הסרטוט, ? = AD D 4ס"מ 3ס"מ C 122 ? E 9ס"מ B גיאומטריה מבוא לדמיון דף סיכום "צורות דומות" הן צורות שיש להן אותה פרופורציה בין הקווים המרכיבים אותן. צורות דומות נראות "אותו דבר" ,אך אין להן בהכרח אותו גודל. אם נתונים שני משולשים ,ואחד התנאים שלהלן מתקיים ,אזי ניתן לקבוע בוודאות שהמשולשים דומים )ומכאן שמתקיימים כל שלושת התנאים גם יחד(: א .גודלי שלוש הזוויות באחד המשולשים שווים לגודלי שלוש הזוויות במשולש השני )באופן מעשי ,מספיקים שני זוגות של זוויות זהות(. ב .בין כל הזוגות של הצלעות המתאימות* מתקיים יחס שווה a b c )בסרטוט.( = = : d e f ג .היחס בין כל שתי צלעות במשולש אחד זהה ליחס בין שתי צלעות מתאימות* במשולש השני a d c f b e = (. וגם: וגם: )בסרטוט= : = a d c f b e α α e b f γ β c γ d β a * צלעות מתאימות = שתי צלעות בשני משולשים דומים ,המונחות מול זוויות שוות. מצבי דמיון מוכרים a א .שני ישרים מקבילים ,a || bשביניהם עוברים שני ישרים היוצרים צורת .X נוצרים שני משולשים דומים )מצב זה מכונה " Xבין מקבילים"(. ב .משולש ,שבתוכו עובר ישר נוסף המקביל לאחת מצלעות המשולש .BC || DE מתקבלים שני משולשים דומים ,זה בתוך זה )מצב זה מכונה "מקביל לצלע"(. ג .משולש ישר זווית )בסרטוט ,(ABC :שבתוכו עובר ישר ֶתר. נוסף )בסרטוט (DE :המאונך לי ֶ מתקבלים שני משולשים ישרי זווית דומים ,זה בתוך זה ֶתר"(. )מצב זה מכונה "אנך לי ֶ γ β α b A γ E 'β 'α β C D α B A D β β C α E 123 B גיאומטריה מבוא לדמיון שאלות לסיכום )פתרונות בעמוד (126 הערה :לפני פתרון שאלות הסיכום ,יש לוודא שפתרון כל התרגילים הקודמים ברור! .1 בסרטוט שלפניכם .BC || DE A ? על-פי נתוני הסרטוט, ? = AD )(1 )(2 )(3 )(4 .2 18ס"מ D E 4ס"מ 6ס"מ 8ס"מ 9ס"מ 12ס"מ B C 12ס"מ A על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, ? = DE )(1 )(2 )(3 )(4 E 6ס"מ 1ס"מ 2ס"מ 1.5ס"מ 2.5ס"מ 1.5ס"מ D B C 4ס"מ .3 בסרטוט שלפניכם שני משולשים ABCו.DEF - על-פי נתוני הסרטוט, ? = ∠ACB )(1 )(2 )(3 )(4 .4 α β γ אין לדעת מהנתונים C D 6ס"מ α γ F 2ס"מ β ? 14ס"מ E 12ס"מ 7ס"מ B A 4ס"מ A בסרטוט שלפניכם .AC || DE 10ס"מ על-פי נתוני הסרטוט, ? = EC 4ס"מ C ) 5 (1ס"מ 124 ) 2 (2ס"מ ) 3 (3ס"מ ) 4 (4ס"מ ? E 2ס"מ D B גיאומטריה .5 מבוא לדמיון על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, C α ? = BE )(1 )(2 )(3 )(4 6ס"מ 6.5ס"מ 7ס"מ 7.5ס"מ 5ס"מ 4ס"מ A E D 6ס"מ ? α B .6 על-פי נתוני הסרטוט שלפניכם, A ? = BD )(1 )(2 )(3 )(4 .7 6ס"מ 8ס"מ 10ס"מ אין לדעת מהנתונים 4ס"מ C B D 2ס"מ ? בסרטוט שלפניכם שני משולשים ABCו,DEF - 4ס"מ ? = BC F )(1 )(2 )(3 )(4 C 70º D 75º 8ס"מ 10ס"מ 12ס"מ 14ס"מ 75º 8ס"מ ? 6ס"מ 70º B E .8 בסרטוט שלפניכם .AB || CD 9ס"מ B A על-פי נתוני הסרטוט, ? = CE )(1 )(2 )(3 )(4 1ס"מ 2ס"מ 3ס"מ 4ס"מ A 8ס"מ E ? D C 3ס"מ 125 גיאומטריה מבוא לדמיון התשובות הנכונות תרגול 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3ס"מ 8ס"מ 5ס"מ 6ס"מ 6ס"מ 3ס"מ 3ס"מ 4ס"מ 3ס"מ שאלות לסיכום 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 3 3 4 2 3 2 126