‫נוסחאון מתמטיקה‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד‬
‫אלגברה‬
‫‪(a ! b) 2 = a2 ! 2ab + b2‬‬
‫)‪a2 - b2 = (a - b) (a + b‬‬
‫‪(a ! b) 3 = a3 ! 3a2 b + 3ab2 ! b3‬‬
‫)‪a3 ! b3 = (a ! b) (a2 " ab + b2‬‬
‫משוואה ריבועית‪(a ! 0) ax2 + bx + c = 0 :‬‬
‫‪b2 - 4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫השורשים‪:‬‬
‫! ‪-b‬‬
‫= ‪x1, 2‬‬
‫סדרות‪:‬‬
‫סדרה חשבונית‬
‫‪a1 = a‬‬
‫‪an + 1 = an + d‬‬
‫כלל נסיגה‪:‬‬
‫איבר ‪–n‬י‪:‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫‪a =a‬‬
‫‪* 1‬‬
‫‪an + 1 = an $ q‬‬
‫*‬
‫‪a n = a1 + (n - 1) d‬‬
‫)‪n $ (a1 + a n‬‬
‫‪2‬‬
‫סכום‪:‬‬
‫‪a n = a1 $ q n - 1‬‬
‫)‪a (q n - 1‬‬
‫‪Sn = 1 q - 1‬‬
‫= ‪Sn‬‬
‫סכום אין–סופי‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S = 1 -1q‬‬
‫גדילה ודעיכה‪ :‬כעבור זמן ‪ — q , M t = M 0 $ q t : t‬שיעור הגדילה (או הדעיכה) ליחידת זמן‬
‫לוגריתמים‪:‬‬
‫‪,oga c‬‬
‫‪,oga b‬‬
‫= ‪,oga (a b) = b , a,oga b = b , ,og b c‬‬
‫‪, ,oga b bc l = ,oga b - ,oga c , ,oga (b t) = t $ ,oga b‬‬
‫)‪ (a, b, c 2 0 ; a, b !1‬‬
‫‪,oga (b $ c) = ,oga b + ,oga c‬‬
‫הסתברות‬
‫נוסחת ברנולי — ההסתברות ל–‪ k‬הצלחות מתוך ‪ n‬ניסיונות בהתפלגות בינומית כאשר‬
‫‪n‬‬
‫ההסתברות להצלחה היא ‪Pn (k) = c m p k $ (1 - p) n - k :p‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪P (A + B‬‬
‫הסתברות מותנית‪P (B) :‬‬
‫= )‪ P (A/B‬‬
‫‪,‬‬
‫!‪n‬‬
‫= ‪cn m‬‬
‫ ! )‪k! (n - k‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪P (B/A) $ P (A‬‬
‫נוסחת בייס‪ :‬‬
‫)‪P (B‬‬
‫= )‪P (A/B‬‬
‫נוסחאון מתמטיקה‪ 5 ,‬יחידות לימוד‬
‫‪--‬‬
‫טריגונומטריה וגאומטריה‬
‫זהויות‪:‬‬
‫‪cos (a ! b) = cos a$cos b " sin a$sin b‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪sin (a ! b) = sin a $ cos b ! cos a $ sin b‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪a -b‬‬
‫‪2 cos 2‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪a -b‬‬
‫‪cos a + cos b = 2 cos 2 cos 2‬‬
‫‪a -b‬‬
‫‪sin a - sin b = 2 sin 2 cos 2‬‬
‫‬
‫‪a -b‬‬
‫‪sin a + sin b = 2 sin‬‬
‫‪a +b‬‬
‫‪cos a - cos b =- 2 sin 2 sin 2‬‬
‫‬
‫‪ sina a = b = sinc c = 2R‬‬
‫‪sin b‬‬
‫משפט הסינוסים‪ :‬‬
‫‪ c ( c2 = a2 + b2 - 2ab$cos c‬היא הזווית הכלואה בין ‪ a‬ל– ‪)b‬‬
‫משפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫אורך קשת של ‪ a‬רדיאנים‪:‬‬
‫שטח משולש‪:‬‬
‫(‪ — R‬רדיוס המעגל החוסם)‬
‫‪1‬‬
‫שטח ג ִזרה של ‪ a‬רדיאנים‪S = 2 aR2 :‬‬
‫‪ , = aR‬‬
‫‪ a ( S = 12 $ b $ c $ sin a‬היא הזווית הכלואה בין ‪ b‬ל– ‪)c‬‬
‫גופים במרחב‬
‫פירמידה וחרוט‪:‬‬
‫נפח‪:‬‬
‫‪ V = B3$ h‬‬
‫( ‪ — B‬שטח הבסיס‪ — h ,‬גובה הגוף)‬
‫חרוט‪:‬‬
‫שטח מעטפת‪:‬‬
‫‪M = rR,‬‬
‫(‪ — R‬רדיוס העיגול‪ — , ,‬הקו היוצר)‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫נגזרות‪:‬‬
‫‪ t( (x t)' = t x t - 1‬ממשי) ‬
‫‪1‬‬
‫‪cos2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫= ')‪(,oga x‬‬
‫‪x $ ,na‬‬
‫= ')‪(tan x‬‬
‫נגזרת של מכפלת פונקציות‪:‬‬
‫נגזרת של מנת פונקציות‪:‬‬
‫נגזרת של פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫=')‪( x‬‬
‫‪(cos x)' =- sin x‬‬
‫‪(sin x)' = cos x‬‬
‫‪(a x)' = a x $ ,na‬‬
‫)‪[f (x) $ g (x)] ' = f ' (x) $ g (x) + f (x) $ g'(x‬‬
‫)‪f (x) ' f '(x) g (x) - f (x) g'(x‬‬
‫‪F‬‬
‫= )‪g (x‬‬
‫‪[g (x)] 2‬‬
‫<‬
‫)‪[f (u (x))]' = f ' (u) $ u' (x‬‬
‫)‪ u'(x‬היא נגזרת של ‪ u‬לפי ‪( x‬נגזרת פנימית)‬
‫ו– )‪ f '(u‬היא נגזרת של ‪ f‬לפי ‪( u‬נגזרת חיצונית)‬
‫נוסחאון מתמטיקה‪ 5 ,‬יחידות לימוד‬
‫‪-‬‬‫אינטגרלים‪:‬‬
‫‬
‫‪xt + 1‬‬
‫‪= t+1 +C‬‬
‫(‪ t‬ממשי‪) t !- 1 ,‬‬
‫‪# xt dx‬‬
‫אם )‪ F(x‬היא פונקציה קדומה של הפונקציה )‪ f(x‬אז‪# f (mx + b) dx = m1 F (mx + b) + C :‬‬
‫‪# f [u (x)] $ u' (x) dx = F [u (x)] + C‬‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫משפט דה–מואבר‪:‬‬
‫){‪[R (cos { + i sin {)] n = R n (cos n{ + i sin n‬‬
‫‪{ 2kr‬‬
‫‪{ 2kr‬‬
‫פתרונות המשוואה ){ ‪z k = n R [cos b n + n l + i sin b n + n l] : z n = R (cos { + i sin‬‬
‫‪k = 0, 1, 2, ..., n-1‬‬
‫וקטורים‬
‫‪x12 + x22 + x32‬‬
‫אורך של וקטור‪:‬‬
‫מישור דרך קצות הווקטורים ‪: c , b , a‬‬
‫מכפלה סקלרית‪:‬‬
‫= ‪x = x$x‬‬
‫)‪x = a + t (b - a) + s (c - a‬‬
‫‪x $ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = x $ y cos a‬‬
‫מרחק בין נקודה ‪ p‬למישור ‪: v $ x + e = 0‬‬
‫מציאת זווית בין הישר ‪ a + tb‬למישור ‪: v $ x + e = 0‬‬
‫מציאת זווית בין המישורים ‪: v2 $ x + e2 = 0 , v1 $ x + e1 = 0‬‬
‫‪v$p+ e‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v$b‬‬
‫‪v $ b‬‬
‫= ‪sin b‬‬
‫‪v1 $ v2‬‬
‫‪v1 $ v2‬‬
‫= ‪cos a‬‬
‫נוסחאון מתמטיקה‪ 5 ,‬יחידות לימוד‬
‫‪--‬‬
‫גאומטריה אנליטית‬
‫קו ישר‪:‬‬
‫‪y -y‬‬
‫‪m = x2 - x1‬‬
‫שיפוע‪ , m ,‬של ישר העובר דרך הנקודות )‪: (x2 , y2) (x1 , y1‬‬
‫משוואת ישר ‪ y = mx + b‬עם שיפוע ‪ , m‬העובר בנקודה )‪: (x1 , y1‬‬
‫שיעורי הנקודה ‪ C‬המחלקת (בחלוקה פנימית) את הקטע‬
‫‪k‬‬
‫‪: AC‬‬
‫שקצותיו הם )‪ B (x2 , y2) , A (x1 , y1‬ביחס = ‪BC‬‬
‫‪,‬‬
‫שני ישרים‪ ,‬בעלי שיפועים ‪ m2 , m1‬מאונכים זה לזה אם ורק אם‬
‫מרחק הנקודה )‪ (x 0 , y 0‬מהישר ‪: Ax + By + C = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪y - y1 = m (x - x1‬‬
‫‪,x + kx2 ,y1 + ky2‬‬
‫‪d 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪,‬‬
‫‪k+,‬‬
‫‪k+,‬‬
‫‪m1 $ m2 =- 1‬‬
‫‪Ax 0 + By 0 + C‬‬
‫‪A2 + B2‬‬
‫=‪d‬‬
‫מעגל‪:‬‬
‫משוואת המשיק למעגל ‪ (x - a) 2 + (y - b) 2 = R2‬בנקודה )‪ (x 0 , y 0‬על המעגל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(x 0 - a) $ (x - a) + (y 0 - b) $ (y - b) = R2‬‬
‫פרבולה‪:‬‬
‫משוואת המשיק לפרבולה ‪ y2 = 2px‬בנקודה )‪ (x 0 , y 0‬על הפרבולה‪:‬‬
‫‬
‫מדריך של פרבולה‪:‬‬
‫‬
‫מוקד של פרבולה‪:‬‬
‫אליפסה‪:‬‬
‫‬
‫משוואת אליפסה‪:‬‬
‫‬
‫מרחק המוקד מהראשית‪:‬‬
‫סכום מרחקי נקודה על האליפסה מהמוקדים‪:‬‬
‫)‪y $ y 0 = p (x + x 0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x =- 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪F b 2 , 0l‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+ 2 =1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪c = a2 - b2‬‬
‫‪r1 + r2 = 2a‬‬