บทที่ 4
การแจกแจงความน่าจะเป็ นตัวแปรสุ่ มต่อเนื่อง
ประกอบด้วย หัวข้อต่อไปนี้
❑ การแจกแจงแบบปกติ
❑ การแจกแจงแบบที
❑ การแจกแจงแบบไคสแควร์
❑ การแจกแจงแบบเอฟ
การแจกแจงแบบปกติสาคัญอย่างไร
การแจกแจงปกติ เป็นเครื่องมือมางคณิตศาสตร์ทีทรงพลังอย่างยิ่ง
ในการวิเคราะห์และวางแผนเรื่องต่างๆ ทั้งด้านเศรษฐศาสตร์ การตลาด
จนถึงวิทยาศาสตร์
เมื่อเราเก็บข้อมูลมาจานวนหนึ่งแล้ว นาข้อมูลนั้นมาสร้างเส้นโค้ง
การแจกแจงความถี่ จะพบว่าเส้นโค้งการแจกแจงความถี่มหี ลากหลาย
รูปแบบ ทาให้ยากต่อการวิเคราะห์ข้อมูล
การแจกแจงแบบปกติ เป็นศูนย์กลางของการแจกแจงทัง้ หมด และช่วย
ในการเข้าถึงข้อมูลสาคัญของประชากรจานวนมากได้เป็นอย่างดี
ตัวอย่าง
มีนักศึกษาลงเรียนวิชาสถิติวิศวกรรม จานวน 50 คน อ. บุษกร นาคะแนนสอบกลางภาค มา
แจกแจงความถี่ด้วยฮิสโตแกรมจะได้ ดังรูปนี้
คะแนน
จากตัวอย่าง คะแนนสอบกลางภาคมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 17.5 บาท จะพบว่านักศึกษาส่วนใหญ่
จะมีคะแนนสอบกลางภาคอยู่ใกล้กับ 17.5 บาทมากที่สุด ส่วนค่าแตกต่างจาก 17.5 ก็จะค่อยๆ
ลดหลั่นกันไปในลักษณะใกล้เคียงกันทั้งทางด้านซ้ายและขวา ซึ่งลักษณะแบบนี้เราจะเรียกว่าข้อมูล
มีการแจกแจงแบบปกติ
การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)
ให้ X แทน ตัวแปรสุ่ม
สัญลักษณ์
X
N(, )
ฟังก์ชันการแจกแจง
ค่าเฉลี่ย
ความแปรปรวน
2
1 x − 
− 
2   
2
1
f ( x) =
e
 2
E( X ) = 
V( X ) = 
2
; −  x  
ลักษณะของโค้งการแจกแจงปกติ
1
คล้ายรู ประฆังควา่
5
เส้นโค้งจะลู่เข้าหาแกนนอน แต่จะไม่ตดั กับแกนนอน
1 x − 
 
− 
1
f ( x) =
e 2
 2
2
; −  x  
2
โค้งปกติมีลกั ษณะสมมาตร
ที่
6
3
พื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดเท่ากับ 1
4
0.5
0.5
ความสู งของโค้งที่สูงที่สุดอยูท่ ี่ค่า µ
มัธยฐาน(median) =ค่าเฉลี่ย(mean)=ฐานนิยม(mode)
การหาความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
การหาค่าความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง คือ การพื้นที่ภายใต้
เส้นโค้งปกติ นั่นเอง
การหาพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งปกติ
ทาได้ 2 วิธี
1. การอินทิเกรต
2. การใช้ตารางสาเร็จรูป เรียกว่า ตาราง Z
วิธีที่ 1
การอินทิเกรต
โจทย์กาหนด ถ้า X มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 10 และความแปรปรวนเท่ากับ 25
X  N(10, 25)
โจทย์ถาม
ความน่าจะเป็น P( 15 < X < 25)
15 25
25
P(15  X  25) =  f ( x)dx
15
25
=
15
1
e
2
2
−1 ( x− )2
2 2
dx
จะพบว่า การอินทิเกรตมันดูยุ่งยาก
วิธีที่ 2 การใช้ตารางสาเร็จรูป
วิธีการ
แปลงการแจกแจงปกติ ให้เป็ น การแจกแจงปกติมาตรฐาน
X ~ N(, )
2
สู ตร
Z=
Z ~ N(0,1)
เปิ ดตารางได้เลย
xi − 

Z คือ ค่ามาตรฐาน
 คือ ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
X i คือ ข้อมูลดิบ
 คือ ค่าเฉลี่ยของประชากร
1
2
3
4
5
6
ประโยชน์ ค่ามาตรฐาน
เปรี ยบเทียบค่าของข้อมูลตั้งแต่ 2 ค่าขึ้นไป ที่มาจากข้อมูลคนละชุด ว่ามีความแตกต่างกัน
มากน้อยเพียงใด โดยการแปลงค่าของข้อมูลให้เป็ นค่ามาตรฐาน
ตัวอย่ าง
นาย A
นาย B
นาย C
Cal 1
PHY
CHEM
70
75
70
75
75
70
70
65
70
จงเปรี ยบเทียบความสามารถในการเรี ยนทั้ง 3 คน ว่าใครเก่งสุ ด
ขั้นตอนที่ 1
นาย A
นาย B
นาย C
หาค่าเฉลี่ยและส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแต่ละวิชา
Cal 1
70
PHY
75
CHEM
70
75
70
75
70
65
70
Cal 1
PHY
CHEM
ขั้นตอนที่ 2 แทนค่าสู ตร เพื่อ หาค่ามาตรฐาน
Z=
xi − 

นาย C
นาย A
นาย B
Cal 1
Cal 1
Cal 1
PHY
PHY
PHY
CHEM
CHEM
CHEM
ขั้นตอนที่ 3 ตอบ ใครเก่งสุ ด
นาย A
Z=
นาย B
Z=
นาย C
Z=
ข้ อสั งเกต
1. ค่ามาตรฐานเป็ นตัวเลขไม่มีหน่วย
2. ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่ามาตรฐานทั้งหมดของชุดข้อมูล จะมีค่าเท่ากับ 1
3. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆจะเป็ นบวก หรื อลบก็ได้ข้ ึนอยูก่ บั ค่าของข้อมูลนั้น ๆ กับค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุด
นั้นว่าค่าใดมีค่ามากกว่ากัน
4.ค่ามาตรฐานโดยทัว่ ไปจะมีค่า - 3 ถึง +3 แต่อาจจะมีบางข้อมูลที่มีค่ามาตรฐานสู งหรื อต่ากว่านี้เล็กน้อย
5.เมื่อแปลงข้อมูลทุก ๆค่าในข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งให้เป็ นค่ามาตรฐานแล้ว นาค่ามาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณหา
ค่าเฉลี่ยคณิ ตจะได้เท่ากับ 0 และส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้เท่ากับ1 (คะแนนมาตรฐานจะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิ ต
เท่ากับ 0 และส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 )
การเปิดตารางการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานเพื่อหาความน่าจะเป็น
การหาค่าความน่าจะเป็น คือ การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
พืน้ ทีใ่ ต้ เส้ นโค้งปกติมาตรฐาน
ค่ ามาตรฐาน
ค่ ามาตรฐานในตาราง z บอกให้ ทราบอะไร
เป็ นค่าที่บอกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้นๆ กับค่าเฉลี่ยชุดนัน่ เป็ น
กี่เท่าของส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ข้อสอบรู ปแบบการเปิ ดตาราง Z
มี 2 รูปแบบ
รูปแบบ 1
กาหนดค่า Scale - Z มาให้ หาความน่าจะเป็ น
รูปแบบ 2
กาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มาให้ หา Scale - Z
รู ปแบบการเปิ ดตาราง Z
รูปแบบ 1
กาหนดค่า Scale - Z มาให้ หาความน่าจะเป็น
กรณี 1 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างซ้าย
กรณี 2 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างขวา
กรณี 3 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูร่ ะหว่าง
มีทั้งหมด 3 กรณี
รูปแบบ 1
กาหนดค่า Scale - Z มาให้ หาความน่าจะเป็ น
กรณี 1 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างซ้าย
หลัก
ตัวอย่าง
เปิ ดตาราง z ตอบได้เลย
ตัวอย่าง
ทาส่ ง
กรณี 1 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างซ้าย
ตัวอย่าง นาย A รหัส 591222256
P(Z < 1 . ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง) = P(Z < 1. 56) =
จงหาค่าความน่าจะเป็ น
1. P(Z< 1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
1. P(Z< -1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
รูปแบบ 1
หลัก
กรณี 2 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างขวา
ใช้หลักการสมมาตร หรื อ 1 – พื้นที่ทางซ้าย
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง
หลักการสมมาตร
หลักการสมมาตร
1 – พื้นที่ทางซ้าย
1 – พื้นที่ทางซ้าย
ทาส่ ง
กรณี 2 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูท่ างขวา
ตัวอย่าง นาย A รหัส 591222256
P(Z > 1 . ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง) = P(Z > 1. 56) =
จงหาค่าความน่าจะเป็ น
1. P(Z > 1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
1. P(Z > -1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
รูปแบบ 1
ตัวอย่าง
กรณี 3 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูร่ ะหว่าง
จงหาค่าความน่าจะเป็ น
ทาส่ ง
กรณี 3 พื้นที่ที่เราต้องการหาอยูร่ ะหว่าง
ตัวอย่าง นาย A รหัส 591222256
P(-1. ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง < Z < 1 . ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง) = P(-1.56 < Z < 1. 56) =
จงหาค่าความน่าจะเป็ น
1. P( 1. ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง < Z < 2.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
2. P( -2. ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง < Z < 1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
3. P( -2. ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง < Z < -1.ตามด้วยรหัสนักศึกษา 2 ตัวหลัง)
ลองฝึกทา
Z ~ N(0,1)
1. P(Z< -0.25)
2. P(Z > -2.05)
3. P(Z < 1.60)
4. P(Z > 2.35)
5. P(-5 < Z < 2.27)
6. P(-3.04 < Z <-1.96)
7. P(1.1 < Z < 2)
8. P(0 < Z < 1.24)
9 P(-3.97 < Z < 0)
ลองฝึกทา
ให้ x แทน คะแนนสอบกลางภาค
X N(25,49)
จงหา
1. P(x < 19)
2. P(x < 36)
3. P(x > 30)
4. P(x > 12)
5. P(19<x<30)
รูปแบบ 2
ตัวอย่าง
กาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มาให้ หา Scale - Z
ให้ Z เป็ นตัวแปรสุ่ มแบบปกติมาตรฐาน จงหาค่า z ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. P(Z < z) = 0.9788
2. P(Z > z) = 0.0630
3. P(-1.45 < Z < z) = 0.5175
โจทย์ปัญหา การแจกแจงปกติ
ในการสอบสถิติของนักศึกษากลุ่มหนึ่ง คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลข
คณิ ตเป็ น 60 คะแนน และส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 10 คะแนน จงหา
1. มีนกั เรี ยนที่สอบได้นอ้ ยกว่า 45 คะแนน กี่เปอร์เซ็นต์
2. มีนกั เรี ยนที่สอบได้ต่ากว่า 70 คะแนน กี่เปอร์เซ็นต์
3. มีนกั เรี ยนที่สอบได้สูงกว่า 75 คะแนน กี่เปอร์เซ็นต์
4. มีนกั เรี ยนที่สอบได้สูงกว่า 50 คะแนน กี่เปอร์เซ็นต์
5. มีนกั เรี ยนที่สอบได้ระหว่าง 45 คะแนน ถึง 65 กี่เปอร์ เซ็นต์
6. มีนกั เรี ยนที่สอบได้ระหว่าง 35 คะแนน ถึง 70 กี่เปอร์ เซ็นต์
การแจกแจงแบบ t (t-Distribution)
การแจกแจงแบบ t มีค่าเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน เมื่อจานวนข้อมูลมีค่ามาก ๆ
36
การแจกแจงแบบ t (t-Distribution)
➢ ความน่าจะเป็นของตัวอย่างสุ่ม จะเท่ากับ พื้นที่ใต้โค้งของการแจกแจงแบบ t
➢การแจกแจงแบบ t ใช้สัญลักษณ์ t
 ,
➢การแจกแจงแบบ t พื้นที่ใต้โค้งความน่าจะเป็นเท่ากับ

อยู่ทางขวามือของค่านี้ ดังรูป
คุณสมบัติ
1. กราฟของฟังก์ชันเป็ นรูประฆังควา่
2. สมการ t = 0 เป็ นแกนสมมาตร
3. มีจุดสู งสุ ดอยู่จุดเดียว (unimodel) ที่ t = 0
4. พืน้ ที่ใต้ กราฟรวมกันทั้งหมด มีค่าเท่ ากับ 1
37
ข้อสอบรูปแบบการเปิดตาราง t
มี 2 รูปแบบ
รูปแบบ 1
กาหนดสัญลักษณ์
รูปแบบ 2
กาหนดค่า Scale - t ให้หาความน่าจะเป็น
t ,
ให้หา Scale - t
รูปแบบ 1
จงหาค่าของ
39
รูปแบบ 2
กาหนดค่า Scale - t มาให้ หาความน่าจะเป็ น
df = 8
P(T < – 2.479) df = 26
P( lTl < 1.440) df=6
1
df = 11
P(– 1.337 < T ≤ 3.252) df=16
P(T ≤ 2.145) df = 14
P(0.697 < T < 2.201) df=11
P(T<1.397) df=8