RÉSEAU D'ANTENNES
La mise en réseau d'antennes permet:
d'augmenter le gain,
de contrôler la direction de lobes,
de synthétiser un diagramme de rayonnement.
RÉSEAUX D’ANTENNES
Un réseau d'antennes peut être:
linéaire à éléments équidistants,
bidimensionnel à éléments équidistants,
circulaire à éléments équidistants,
arbitraire.
Les éléments du réseau peuvent être alimentés:
en phase et avec amplitude uniforme,
en phase et avec amplitude non uniforme.
a amplitude égale et phase différente (réseau phasé),
Réseau de station de base pour les mobiles
formé sous-réseau de dipôles 2x2 alimentés en
technologie imprimée
arbitrairement.
=> La difficulté majeure est la complexité du circuit d'alimentation des éléments!
02/2009
67
02/2009
RÉSEAU D'ANTENNES: EXEMPLES
68
RÉSEAU D'ANTENNES: EXEMPLES (suite)
Multi-satellite DVB-S receivers
Membrane
outline
TFMS
acces
02/2009
4 x 4 patch array at 41.5 GHz (LMDS)
69
02/2009
70
RÉSEAU D'ANTENNES: EXEMPLES (suite)
RÉSEAU LINÉAIRE D'ANTENNES
Considérons un réseau linéaire d’éléments équidistants. Le point d’observation se
trouve en zone lointaine:
E k (θ, φ)
0
θ
≅
k
A k (θ, φ)
1
∼θ
2
∼θ
k
θk ≅ θ
N-1
d
z=0
Déphaseur 3 bits
I k e+ jαk A k (θ, φ) e + jkβd cosθ
r
r
∝
R
Couplage par fente des
éléments rayonnants
Di
ff
r - éren
R ce
k ≅ d
kd e m
co arc
sθ he
:
Entrée signal micro-ondes
φ z
∼θ
Axe du réseau
I k e + jα k
Pour des éléments à rayonnement identique Ae(θ, φ), équiamplitudes (Ik = 1) et à
déphasage progressif αk = kα, le champ total se trouve par superposition:
ψ
Réseau d’antennes
imprimées à encoches.
Alimentation en
technologie multi-couches.
E (θ, φ)
Couche inférieure pour
l’alimentation des éléments
02/2009
71
N-1
N-1
k=0
k=0
A e (θ, φ) ¦ e + jkα e + jk βd cosθ = A e (θ, φ) ¦ e + jk(βd cosθ+α )
02/2009
RÉSEAU LINÉAIRE D'ANTENNES (suite)
72
RÉSEAU LINÉAIRE D'ANTENNES (suite)
En posant donc:
Le diagramme total devient: A(θ,φ) = A e (θ,φ) FR
§d·
ψ = βd cosθ + α = 2π ¨ ¸ cosθ + α
©λ¹
=> FR correspond au diagramme de rayonnement de sources isotropes mises en
réseau dans les conditions géométriques décrites ci-dessus!
le champ peut s’exprimer comme une progression géométrique de raison r = e+jψ:
L’hypothèse pour l’utilisation de FR pour le calcul de rayonnement d’un réseau est
¦
E
N-1
∝
¦ e
1− rN
=
1− r
jkψ
k=0
E ∝
que la mise en réseau ne modifie pas le rayonnement individuel des éléments:
sin(Nψ /2)
sin(ψ /2)
dans lequel la formule de Moivre a été utilisée.
En normalisant, on définit la facteur de réseau:
FR=
=> Le couplage entre
éléments est négligé!
sin(Nψ / 2)
N sin(ψ / 2)
=> Pour une configuration donnée, FR ne dépend que de l'angle θ entre l'axe de
réseau et la direction d'observation!
=> FR est indépendante de l’angle φ et donc invariante dans tout plan
perpendiculaire à l’axe du réseau!
02/2009
73
02/2009
74
FONCTION RÉSEAU
FONCTION RÉSEAU
La fonction réseau a des propriétés fondamentales:
La fonction réseau constitue un diagramme de rayonnement de N éléments
Périodique en ψ de période 2π.
Symétrie autour de l'axe vertical (fonction paire).
isotropes seulement sur un intervalle limité de valeur de ψ.
L’angle θ varie entre 0 et 180° (symétrie azimutale) et ψ dépend de θ:
Possède exactement (N-2) lobes secondaires de largeur 2π/N.
Le niveau des lobes secondaires n'est jamais en dessous de 1/N.
§d·
ψ = βd cosθ + α = 2π ¨ ¸ cosθ + α
©λ¹
Lorsque N → ∞, le niveau du premier lobe secondaire tend vers 0,217 (niveau
de celui d'une distribution continue uniforme).
La fenêtre de visibilité est donc définie par les valeurs de ψ quand θ varie de 0 à
1
FR
N=3
N=6
N = 13
N = 24
N=1
0.8
sin(N ψ /2)
N sin( ψ /2)
FR =
180°:
ψ = (βd cosθ+α)
α − βd ≤ψ ≤ α + βd
0.6
On constate une valeur médiane de ψ = α:
0,217 (-13,3 dB)
0.4
De plus, ψ varie de ± βd autour de α:
0.2
C'est en ajustant la fenêtre de visibilité que l'on définit la contribution au
0
02/2009
0
π/4
π/2
3π/4
ψ
rayonnement de la fonction réseau.
π
75
02/2009
76
FR: FENÊTRE DE VISIBILITÉ
1
MISE EN RESEAU: DEUX ELEMENTS ISOTROPES
FR dans le cas d’éléments en phase:
FR(ψ
ψ)
N=10
0.8
=> Fenêtre de visibilité centrée à l’origine!
Le déphasage α positionne la
fenêtre de visibilité:
0.6
1
90
1
0.8
0.6
d/λ = 1/8
0.4
0.2
FR(ψ
ψ)
N=2
180
0
0.2
0.4
=> C’est le moyen d’ajuster la
direction du lobe principal
(maximum)
βd
βd
0.2
0
-8
-6
-4
-2
0
α
2
4
6
8
2βd = π/2
0.8
90
1
0.8
0.6
0.2
180
L’espacement d entre éléments
N=5
2βd = 2π
-3π
π
0.2
0
-4
-2
0
2
4
6
8
ψ
0.6
0.8
1
270
-2π
π
-π
π
0
π
2π
π
90
1
0.8
3π
π
0.6
d/λ = 1
0.4
0.2
α = 0°
180
2βd = 4π
=> C’est le moyen d’ajuster le
nombre de lobes ou zéros!
-6
0
0.4
ψ
0
permet d’ajuster la largeur de la
fenêtre de visibilité:
2π
-8
0
0.2
0.4
02/2009
0.4
0.4
0.2
0.6
0.6
d/λ = 1/2
ψ
FR(ψ
ψ)
0.8
0.6
0.8
1
270
Fenêtre de visibilité
1
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
270
L'étude de la fonction réseau (universelle pour un N donné), permet de rapidement
déterminer le nombre de lobes et de zéros!
77
02/2009
78
FR: CONSTRUCTION DU DIAGRAMME POLAIRE (α = 0)
RÉSEAU PHASÉ: MAXIMUM DANS UNE DIRECTION ARBITRAIRE θ0
B
1
FR(ψ
ψ)
Maximum dans la direction θ = 90° ∀ N:
N=5
0.8
=> Toutes les contributions des sources
arrivent en phase à l’observateur dans
cette direction!
0.6
Fenêtre visible: largeur 2 βd = 2π
π
0.4
P
E
0.2
ψ
0
-3
-2
-1
B
0
1
ψP
2
compenser et remettre les rayonnements en phase dans une direction d’observation:
Le champ total est maximum au point d'observation:
=> contributions en phase!
=> La fenêtre est centrée à l’origine!
L’abscisse correspond donc au cosinus de
l’angle issu du cercle de rayon βd:
I
θ0
os
dc
ψ = βd cosθ
βd =
P
π
θP
I
O
E
Il existe deux solutions par symétrie. On
retrouve la propriété de la fonction FR
autour de la ligne de réseau!
Elément en phase (α = 0): Réseau
normal ("broadside array")!
02/2009
I'
r
Les éléments sont déphasés de βd cosθ0:
=> La différence de marche est exactement
compensée par ce déphasage dans la direction θ0
θ0
d
Le maximum de FR se trouve dans la direction où ψ = 0:
θ 'P
P'
Point d'observation
α = -βd cosθ0 :
Élément déphasé
α = 0 ! (cas arbitraire βd = π)
3
α=0
βd cosθ
θP
Si les sources sont déphasées, le déphasage dû à la différence de marche peut
FR=
79
02/2009
RÉSEAU PHASÉ: DEUX ÉLÉMENTS ISOTROPES
sin(Nψ / 2)
ψmax = βd cosθ0 + α = 0
maximum pour Nψ/2 = 0!
N sin(ψ / 2)
α = −βd cosθ0
∀ N!
80
RÉSEAU PHASÉ: DEUX ÉLÉMENTS ISOTROPES
Cas α =180° et d = λ: Diagramme 3D polaire de rayonnement:
λ
FR dans le cas d’éléments déphasé:
=> Fenêtre de visibilité centrée en α!
α = 180°
1
FR(ψ
ψ)
θ
90
1
0.8
N=2
90
1
0.6
d/λ = 1/8
0.8
0.4
180
0.8
θ
0.2
0.6
0
0.2
0.4
0.4
2βd = π/2
φ
0.2
0.6
0.8
1
270
0.6
Symétrie
de
révolution
180
90
1
0
0
0.2
0.8
0.4
0.4
D
180
0.2
2βd = π
ψ
-2π
π
-π
π
0
π
2π
π
0.2
0
0.6
R
0.8
0
0.2
1
0.4
270
0.6
0.8
1
270
0
-3π
π
0.4
0.6
d/λ = 1/4
Axe du
réseau
3π
π
La symétrie de révolution autour de l’axe de réseau sera détruite si les éléments du
α = 90°
réseau ont un diagramme qui dépend de φ:
A(θ, φ) = A ind (θ, φ) ⋅ FR = A ind (θ, φ)
Le déphasage oriente le lobe principal hors normale et peut modifier la symétrie!
02/2009
81
02/2009
sin(Nψ / 2)
N sin(ψ / 2)
82
RÉSEAU PHASÉ: CAS DE DEUX SOURCES ISOTROPES
90
1
RÉSEAU PHASÉ CONSTRUCTION DE DIAGRAMME POLAIRE
90
1
0.8
0.8
0.8
1
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
180
0
180
0
0
0.2
0
180
0
180
0
180
FR(ψ)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
1
270
0.8
1
270
0.8
1
0.8
1
270
0.8
1
270
90
1
0.6
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
180
0
180
0
0
180
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0 180
0
0
0 180
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
1
270
1
270
90
1
0.8
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0 180
0 180
0
0
180
0
0
180
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
1
270
0.8
1
270
0.8
1
270
0.8
1
270
0.8
1
270
d/λ = 1/4
d/λ = 1/2
d/λ = 3/4
d/λ = 1
02/2009
Fenêtre de visibilité = 2π
02/2009
84
RÉSEAU PHASÉ: RAYONNEMENT LONGITUDINAL (suite)
1
3
4
α =− βd = π
5
6
avec θ0 = π ou 0.
On peut supprimer un des lobes
principaux en diminuant la fenêtre
de visibilité:
Largeur 2π centrée en π N = 5
W Fenêtre diminuée à 2βd = 1,6π
0.6
On peut encore augmenter la
Hansen-Woodyard 2βd = 1,4π
0.4
ψ
directivité en occultant une partie
du lobe principal:
2π/5
0.2
α = ±βd
0
ψ
Ε
1
0
2
3
4
5
=> Réseau optimisé longitudinal
d'Hansen-Woodyard!
6
α = βd = 0,8 π
βd
=> On remarque un élargissement
substantiel des lobes principaux
avec l’angle d’inclinaison du
lobe principal!
=π
θ
30
20
HansenWoodyard
P
O
0,35
α = 0,9 π
Rayonnement longitudinal ordinaire
W
85
02/2009
D
10
0
0
A
Réseau longitudinal
(« endfire array")!
0,8
π
2
FR(ψ)
0.8
ψmax = βd cosθ0 + α = 0
P
02/2009
E
Les réseaux phasés peuvent faire
pointer le rayonnement maximum (ou
un zéro) dans une direction choisie!
dans l'axe du réseau en posant:
0.2
B
La construction s’effectue de la même
manière que dans le cas à
rayonnement normal!
θ
O
On peut obtenir un lobe principal
N=5
1
P
A
FR(ψ)
0
π
0
0.4
0
4
L’abscisse correspond donc au cosinus de
βd =
RÉSEAU PHASÉ: RAYONNEMENT LONGITUDINAL
0.6
Mais il peut exister des directions où
elles arrivent en phase (max.) ou
opposition de phase (zéros)!
l’angle issu du cercle de rayon βd mais
cette fois-ci centré en ψ = α:
B
0.8
3
B
0
83
1
2
βd cosθ
α=π/2
0
0.2
d/λ = 1/8
1
0
0.2
0.2
0
-1
90
1
90
1
0.2
0.2
180
0
1
270
1
270
90
1
0.8
90
1
E
ψ
0
0.2
1
270
α = 180°
R
0.2
P
90
1
βd
=
α = 90°
0.4
D
0.2
arrivent déphasées à l’observateur
dans cette direction!
Fenêtre de visibilité = 2π
0.4
0.2
90
1
90
1
Les contributions des sources
0
Ouverture minimum sans
lobes secondaires
90
1
dans la direction θ = 90°:
N=5
0.8
0
0.4
Si α  0, le maximum ne peut plus être
1
0.2
0
0.2
270
B
90
0.8
0.2
α = 0°
90
1
90
1
O
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
d /λ
Ε
Réseau longitudinal
ordinaire à directivité
augmentée
86
MULTIPLICATIONS DE DIAGRAMMES
A(θ, φ) se trouve par la multiplication du diagramme identique des éléments par FR:
DÉCOMPOSITION EN SOUS-RÉSEAUX
Soit un réseau linéaire uniforme en phase suivant:
=> Le diagramme final peut s’esquisser par simple multiplication des fonctions
(module) pour un angle θ fixé!
λ/2
λ/2
Exemple: Rayonnement dans la page d'un réseau de 5 dipôles:
Des éléments peuvent être groupés en sous-réseaux:
λ
FR
Diagramme du
dipôle perpendiculaire à la
page
Diagramme des
sous-réseaux
=
Cas: dipôles perpendiculaires à la page
FR
Diagramme du
X dipôle vertical
dans le plan de
la page
02/2009
= >La référence de phase de chaque groupe est placé
en leur centre!
Plan H
=
Cas: dipôles verticaux dans la page
Plan E
87
= >Si les éléments originaux ne sont pas isotropes, le diagramme
total est modifié en le multipliant par celui des l'éléments!
02/2009
RÉSEAU NON-UNIFORME: DOLPH-CHEBYSHEV
faisceau principal relativement large.
Une fonction réseau optimale devrait produire:
des niveau de lobes secondaires en dessous d'une certaine valeur,
une fonction à croissance rapide dans la région du lobe principal.
=> Ces propriétés sont remplies par les polynômes de Chebyshev d’ordre p:
λ/2
λ/2
X
5
λ/2
4
λ/2
T4 (x)
3
λ/2
T3 (x)
2
1
1
1
2
λ/2 2 λ/2
3
λ/2
1
0
3
λ/2
T5 (x)
1
-1
X
1
88
Malgré l'absence de lobes secondaires, le réseau à distribution binomiale produit un
= > L'idée est de grouper de tels réseaux avec leur centre de phase distant de λ/2!
1
Nouveau
FR
λ
RÉSEAU BINOMIAUX
1
X
Dans la zone lointaine, on peut considérer le réseau équivalent:
Deux éléments en phase séparés de λ/2, ne produisent aucun lobe secondaire:
1
λ/2
λ/2
R ≅ 12 dB
X
1
λ/2
-2
distribution d'amplitude binomiale des N éléments
du réseau:
02/2009
Zone lobes latéraux
-4
λ/2
En continuant la procédure, on débouche sur une
T2 (x)
-3
1
-5
-1.2
N-1
I k = C k-1
(N-1)!
=
(k-1)!(N-k)!
89
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0 0.2
X
0.4
xR
0.6
0.8
1
1.2
On montre facilement que FR[x = cos(ψ/2), Ik] = TP(x)
=> La procédure identifie les amplitudes Ik pour un niveau de lobe R.
02/2009
90
COMPARAISON ENTRE RÉSEAUX NON UNIFORMES
COUPLAGE ENTRE ANTENNES
Soit un système de 2 antennes disposées de façon arbitraire:
I2
I1
I1
V2
V1
V1
Beaucoup de techniques d’optimisation ont été développées pour les réseaux:
Fourrier
Taylor
Algorithmes génétiques
=> D’une générale, il s’agit de s’approcher la fonction réseau d’un gabarit de
rayonnement désiré!
I2
[Z]
V2
La synthèse de Dolph, par exemple offre un bon compromis entre la largeur du lobe
principal et le niveau maximum des lobes secondaires:
­V = Z I + Z I
Réciprocité
Z12 = Z21
[V ] = [ Z ][ I ] ⇔ ®V1 = Z11 I1 + Z12 I2
¯
α=0
∆θ-3dB= 31°
LLmax→ -∞
∆θ-3dB= 23°
LLmax= -12,4dB
d = λ/2
1
1
1
1
1
1
4
6
4
∆θ-3dB=27°
LLmax= -20dB
1
60
20
=> Ces impédances peuvent être mesurées, ou calculées par des simulateurs EM!
02/2009
92
Considérons le rayonnement en plan H d'un réseau de deux éléments couplés, de
longueur ≅ λ/2 et dont un seul est alimenté:
Actif
R e (Z 1 2 )
Im (Z 1 2 )
20
10
D
d/λ
λ
0
A longueur égale peu d'effet est observable par rapport au dipôle seul!
-2 0
d/λ
λ
0,9
1,3
1,7
2,1
2,5
-4 0
0
Si l'élément passif est légèrement plus long, un caractère omni-directionnel est
noté:
λ
d /λ
0 ,4
0 ,8
1 ,2
1 ,6
=> L'élément passif agit en réflecteur!
2 ,0
Si l'élément passif est légèrement plus court, une certaine directivité apparaît:
=> Le couplage affecte la contribution de la fonction réseau puisqu'il modifie
la distribution du courant dans les éléments!
=> L'élément passif agit en directeur!
Dans certains cas, des éléments isolateurs sont insérés dans le substrat des
antennes plaquées pour éliminer le couplage!
02/2009
Passif
R
d /λ
λ
0
-10
0,5
Z 2 2 ( Z 1 1 - Z 1c c ) où Z1cc est
l' impédance d'entrée, avec les autres accès court-circuités.
Ω]
[Ω
40
Im (Z12)
Vi
Ii I = 0
j≠ i
ANTENNE YAGI-UDA
Exemples d’impédances de couplage calculées entre antennes filaires:
Re (Z12)
22 2
L'impédances de transfert est évaluée par: Z 1 2 =
1 1,161 1,93 1,161 1
COUPLAGE ENTRE ANTENNES
[Ω]
21 1
La self-impédance est évaluée par: Z ii =
=> On note la faible gamme d’amplitudes du réseau Dolph ce qui facilite la mise en
œuvre technique!
02/2009
91
30
2
La longueur et l’espacement des éléments peuvent être optimisés pour obtenir une
caractéristiques de rayonnement unidirectionnel avec une bonne directivité.
93
02/2009
94
ANTENNE À RÉSEAU FILAIRE
L'antenne Yagi (utilisée en VHF/UHF) est un réseau de tels éléments:
Passifs
(Directeurs)
Actif ("feeder")
Gain [dB]
10
ANTENNES À OUVERTURES
5
0
Passif
(Réflecteur)
1
5
10
Nombre total de directeurs N
Antenne log-périodique (tous les éléments sont
alimentés:
Bande (0,2-1 GHz)
Pcw = 1000 W
Dimensions: 90x80 cm
(polarisation linéaire)
02/2009
95
02/2009
96
OUVERTURES RAYONNANTES: DÉFINITION
OUVERTURE: FORMULE DE KOTTLER
Dans le cadre des antennes à conducteurs nous avons expliqué le rayonnement par
Kottler a reformulé le problème vectoriel de diffraction d’une ouverture plane
directement des équation de Maxwell:
la variation temporelle d’une distribution de courant bornée ou de charge associée.
Certaines structures à conducteurs comprennent des fentes ou ouvertures qui
E(r) =
rayonnent de l’énergie mais sur lesquelles des courants de conduction n’existent pas.
∂g(r, r' ) º
1
∂ E(r' )
1 ª
'
«g(r, r' ) ∂n − E(r' ) ∂n » ds1 + 4πjβ ³ ∇ g(r, r' )(H(r' ) dl)
4π ³³
¬
¼
S
C
1
En faisant l’hypothèse, que le rayonnement ne se fait que par l’ouverture, on montre
+
qu’il existe une relation entre les champs d’ouverture et les champs rayonnés.
La notion d’ouverture rayonnante peut s’étendre à d’autre type d’antennes qui,
physiquement, n’ont pas d’ouverture mais près desquelles on peut définir une
surface finie sur laquelle les champs existent et sont quasi nuls en dehors.
Cornet
Plan
d'ouverture
Lentille
Réflecteur
1
g(r, r' )(E(r' ) ∧ dl)
4π C³
Les champs E et H dans l’expression ci-dessus
sont dans le plan de l’ouvertureet g est la fonction
de Green de l’espace libre (onde sphérique):
S
dl
x'
La discontinuité des composantes tangentielles
P(r') n
est prise en compte par les intégrales curvilignes.
S1 r'
=> On montre que leur contribution diminue
beaucoup plus vite que celle avec la
y'
distance d’observation!
Surface
d'ouverture
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97
02/2009
C
α
u
O
R=||r-r'||
r
δ θ
γ
P(r)
z
98
OUVERTURES: ZONE DE FRAUNHOFER
OUVERTURES: FORMULE DE GOUDET
La variation du terme de phase de la fonction de Green g(r,r')=exp(-jβR)/R durant les
intégrations indique les différentes zones de diffraction:
Goudet a proposé des hypothèses simplificatrices pour résoudre l’intégrale de
Kottler dans la zone lointaine (Fraunhofer):
Les champs E et H dans l'ouverture sont linéairement polarisés, en phase et
mutuellement perpendiculaires.
la phase subit une variation de λ/4 ou plus ⇔ ||r|| < D2/2λ
=> Zone de Rayleigh
Les champs E et H dans l'ouverture sont proportionnels tel que ||E||= η||H||
la phase a une variation de λ/16 à λ/4 ⇔ (r ≅ R pour l’amplitude)
=> Zone de Fresnel
=> Les polarisations quelconques se traitent par superposition!
=> La deuxième hypothèse se renforce dans le cas de larges ouvertures et des
distributions de sources quasi-uniformes (en phase et amplitude)!
la phase subit une variation inférieure à λ/16 ⇔ ||r|| > 2 D2/λ
=> Zone de Fraunhofer (ou lointaine)
Soit le champ électrique dans l’ouverture exprimé par: E (r') = A(x',y') e+ jϕ(x',y')
Dans la zone de Fraunhofer, la contribution des intégrales de contour devient
négligeable et la formule de Kottler se réduit à:
E(r) = j
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La formule de Kottler se simplifie alors en:
º
µ
e- jβr ª
³³ u ∧ [n ∧ E(r' )] − [n ∧ H(r' )] + [n E(r' )]u» ds1
ε
2λr S1 «¬
¼
E (r,δ,γ ) = j
=> Les champs dans l’ouverture peuvent être vus comme des source équivalente de
rayonnement (sources d’Huygens)!
99
S
γ
S1
=> les angle δ et γ sont fixes pendant l’intégration!
100
OUVERTURES: RAYONNEMENT EN PLAN H
plan vertical constitue le Plan H de rayonnement de l’ouverture!
onde dont le champ H est toujours contenu
dans ce plan et E y est toujours perpendiculaire.
x'
S1
E(x',y') r'
Dans ce cas la formule de Goudet devient avec δ = 0):
E E (r, k y , γ ) = j
[cosδ + cosγ ] e+ jβ[x'sinδ+ y' cosδ sinγ ] dx'dy'
L’observateur en P sur ce plan observe une
onde dont le champ E est toujours contenu dans
ce plan et H y est toujours perpendiculaire.
y'
+ jϕ (x' , y' )
Toujours sous les hypothèses de Goudet, l’onde rayonnée en zone lointaine dans le
linéairement polarisés (ici horizontalement pour E) et mutuellement perpendiculaires:
L’observateur en P sur ce plan observe une
³³ A(x',y') e
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OUVERTURES: RAYONNEMENT EN PLAN E
Sous les hypothèses de Goudet, l’ouverture porte une distribution de champs
=> Par conséquent, l’onde rayonnée en zone
lointaine dans le plan horizontal
constitue le Plan E de rayonnement de
l’ouverture!
e- jβr
2λ r
O
Plan E
H(x',y')
r
θ=γ
P(r)
E(r)
Plan H
E(r)
x'
S
E(x',y') r'
δ=0
z
Dans ce cas la formule de Goudet devient
avec γ = 0):
S1
y'
r
P(r)
H(r)
θ=δ
H(x',y')
z
O
γ=0
H(r)
e - jβ r
+ jk y'
[1 + cosγ ]³³ A(x' , y' ) e + jϕ(x', y') e y dx' dy'
2λ r
E H (r, k x , δ) = j
δ
S1
e - jβ r
[1 + cosδ]³³ A(x' , y' )e + jϕ(x', y') e + jk x x' dx' dy'
2λr
S1
avec ky = β sinγ = β sinθ où θ est l’angle par rapport à la normale à l’ouverture.
avec kx = β sinδ = β sinθ où θ est l’angle par rapport à la normale à l’ouverture.
On remarque que le champs rayonné en Plan E correspond à une transformée de
On remarque que le champs rayonné en Plan H correspond à une transformée de
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Fourrier spatiale de la distribution du champ E dans l’ouverture avec kx = 0!
101
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Fourrier spatiale de la distribution du champ E dans l’ouverture avec ky = 0!
102
OUVERTURE EQUIPHASE
OUVERTURE: DIRECTIVITÉ MAXIMUM
Par définition, la directivité maximum est donnée par:
Pour une ouverture équiphase ϕ(x',y')=0, le champ lointain rayonné est:
E (r, δ, γ ) = j
e - jβ r
[cosδ + cosγ ]³³ A(x' , y' ) e + jβ[x'sinδ + y'cosδ sinγ ] dx' dy'
2λ r
S1
D max
Le maximum a lieu lorsque toute les termes de l’intégrale sont en phase:
ª
º
« ³³ A(x',y') dx'dy'»
U
4π « S
»¼
= max = 2 ¬ 1 2
Pr /4 π λ ³³ A (x',y') dx'dy'
S1
β [x'sin δ + y'cos δ sinγ] = 0
=> Le rayonnement maximum est dans la direction normale (δ, γ = 0) pour
une ouverture équiphase ∀ la distribution d’amplitude A(x’, y’) des sources!
La question qui se pose est de savoir s’il existe une distribution A(x’, y’) d’une
2
> ³³ Ada (inégalité de Schwartz), l’égalité ayant lieu
seulement si A est une constante. Dans ce cas, avec ³³ da = S1 :
On montre que
³³ A da
2
Dmax = 4π
2 S1
λ
ouverture équiphase donnant une directivité maximum donnée par Umax/(Pr/4π):
U max = Smax r 2 =
2
º
E (r,0, 0) 2
1 ª
r =
A(x',y') dx'dy'»
2 « ³³
2η
2ηλ ¬« S1
»¼
2
rendement de directivité ou d’ouverture 0 < rd ≤ 1, tel que:
l’ouverture (cas sans pertes). Les hypothèses de Goudet sur les champs dans
l’ouverture donnent:
1
Pr = Pouv =
A 2 (x',y') dx'dy'
2η ³³
S1
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103
D = rd Dmax = rd 4π
S
2 1
λ
Il existe donc une relation entre la directivité d’une antenne et l’aire de son
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ouverture physique (si elle peut être identifiée)!
PARAMETRES D’OUVERTURE:
D = rd
A comparer avec:
Ouvertures rectangulaire avec l’hypothèse: A(x',y') = A x (x') A y (y')
4π
S1
λ2
=> L’intégrale donnant le champ rayonné est séparable en x' et y'.
Pour le plan E (kx=0), l’intégration selon x' donne une constante, disons K:
Par identification Aem = rd S1
+∞
Pour les cas avec pertes, la surface effective devient: Ae = e rd S1 où 0 < e ≤ 1 est le
x'
rendement (de puissance) de l’antenne.
On peut aussi définir un rendement de gain d’ouverture par rg = e rd ≤ 1
G parabole
γ
y'
2
+ jk y y'
{
}
dy' = K[1 + cosγ]) A y (y')
−∞
avec kx = β sinδ et ky = β sinγ.
b/2 P(x',y')
r
E
O
a/2 S1
P(r)
z
H
=>
Proportionnel à une transformée de Fourier de la
variation de la fonction de distribution des
sources Ay(y’)!
De façon similaire, dans le plan H, le champ rayonné devient:
+∞
E H (kx , δ) = K ' [1 + cosδ] ³ Ax (x') e+ jkx x' dx' = K [1 + cosδ]) {Ax (x')}
Une ouverture non équiphase provoque généralement une inclinaison du lobe
principal par rapport à la normale (θ = 0)!
=> Phénomène similaire vu dans les réseaux, les sources de Huygens étant
assimilables à un réseau continu bi-dimensionnel!
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E E (k y , γ) = K [1 + cosγ] ³ A y (y') e
S
Exemple: Une parabole constitue une antenne à ouverture équiphase mais non
équiamplitude dont l’aire vaut S1 = πr2 où r est le rayon d’ouverture. Le rendement
de gain rg intègre aussi les pertes (typiquement 50- 60%). D’après ci-dessus:
§ 2πr ·
= rg ¨
¸
© λ ¹
104
EXEMPLES D’OUVERTURES PLANE ÉQUIPHASES
On rappelle que la surface effective maximum est liée à D par:
4π
A em
λ2
S1
Dans la cas d’ouvertures à distribution quelconque d’amplitude, on définit un
La puissance rayonnée Pr est égale au flux de la densité de puissance à travers
D=
2
δ
−∞
=> Proportionnel à une transformée de Fourier de la variation de la fonction de
105
02/2009
distribution des sources Ax(x’)!
106
EXEMPLES DE FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES
FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES: OUVERTURES CIRCULAIRES
Pour les ouvertures circulaires à distribution purement radiale, la fonction
0.9
Uniforme
Triangle
Cosinus
0.8
Cosinus2
caractéristique est proportionnelle à une transformée de Bessel.
x'
S
b/2
S1
0.7
y'
0.6
1
a/2
r
θ
O
z
0.5
0.4
­ A(w'), w' = x', y'
®
¯-h/2 ≤ w' ≤ + h/2, h = b, a
0.3
0.2
x'
0.8
S
0.7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
π h sin θ
λ
y'
0.5
107
0
1
court-circuit
h
λg/2
λg/2
λg/2
Une onde stationnaire se forme dont les maxima sont situés au niveau des fentes:
λg/2
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fente A
Amplitude de l’onde stationnaire
6
7
8
9
10
108
E
l=λg/2
h
λg/2
λg/2
λg/2
3λg/4 x
Le champ transverse est supposé
uniformément distribué selon x
=> Dans le plan E, le rayonnement est de type
sinus cardinal dont l’argument tend vers 0:
h
TE10
→0
λ
E γE (γ ) 
→ = K [1 + cosγ ]
Le champ transverse varie dans la direction longitudinale y selon l’onde
stationnaire, c’est-à-dire une fonction cosinus:
2
h
Champs induit
dans la fente A
5
être toutes en phase (rayonnement normal selon z maximum):
z
La distribution du champ E dans les
fentes peut être déterminée:
y
δ γ
Le court-circuit fait opérer le dispositif
en mode résonnant.
On néglige la finitude de la paroi et le couplage entre
les fentes.
TE10
4
On montre facilement que les fentes doivent être disposées comme ci-dessous pour
Par exemple, les fente sont usinées dans les parois d’un guide métallique et disposées
3λg/4
3
FENTES RAYONNANTES (suite)
beaucoup plus petite que sa longueur et la longueur d’ondes.
l=λg/2
2
approcher la distribution de
champs dans l’ouverture d’une
parabole!
2 π a sinθ
λ
spatiale rapide mais un lobe principal plus étroit!
02/2009
FENTES RAYONNANTES
On appelle fentes les ouvertures rectangulaires dont un des côtés a une dimension
fente A
z
En général, on observe des lobes plus élevés pour des distribution à variation
diagrammes de rayonnement car l’abscisse n’est pas l’angle d‘observation!.
en réseau:
θ
O
a
=> Le profil (p = 1) est utilisé pour
0.3
0
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P(r)
0.4
0.1
Comme dans les réseaux linéaires, les fonctions ci-dessus ne sont pas des
r
S1
0.6
0.2
0.1
0
­ A(ρ') = (1 − ρ' 2 ) p
®
¯0 ≤ ρ' ≤ 1
p=0
p=1
p=2
0.9
P(r)
Fonction caractéristique
Fonction caractéristique
1
=> Dans le plan H, le rayonnement
est proportionnel à la transformée
de Fourier d’un cosinus (l = λg/2):
Amplitude transverse
109
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π
§π·
¨ ¸ cos( sin δ )
2
2
E δH ( δ ) = K (1 + cos δ ) © ¹
2
2
·
§π
§π·
¨ ¸ − ¨ sin δ ¸
¹
©2
©2¹
110
ANTENNES PLAQUÉES
ANTENNES « PATCH »
Ce type d’antenne utilise des motifs conducteurs déposé sur un substrat généralement
par gravure, le substrat étant déposé sur un plan de base métallique.
Le motif rayonnant gravé sur le substrat est appelé antenne ruban ou « patch ».
Exemple : l’élément rayonnant carré
Principe général:
Élément rayonnant
Support
= Substrat
Une variété de formes accessible ….
Substrat diélectrique
Motifs imprimés = Antenne
circulaire
L
Carré à polarisation
circulaire
İr
rectangulaire
ellipse
Alimentation par ligne
microruban
Conformable
Facile à réaliser techniquement
Compatible avec la technologie
monolithique et les composants RF
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pentagone
111
anneau
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ANTENNES « PATCH » (suite)
112
ANTENNES « PATCH »: CIRCUIT ÉQUIVALENT
Le phénomène de rayonnement est basé sur une résonance:
L
Antenne Patch
Le patch peut être vu comme un tronçon de ligne ruban terminé par des admittances
qui représentent la discontinuité (qui n’est pas un pur circuit ouvert) et le
rayonnement (modèle de ligne):
=
Cavité parallélépipédique ouverte
W
Excitation Mode quasi-TEM
w
Phénomène de résonance.
w
E
Onde guidée quasi TEM :
diffractée par discontinuité de bout
L
İr
Vue de face
ONDE RAYONNEE
(énergie active perdue par la cavité)
Rayonnement
Propagation guidée
Propagation guidée
Discontinuité
Modes de substrat
Admittance vue en entrée:
Discontinuité
L
+ Onde guidée dans le substrat.
Stockage d’énergie
02/2009
Diffraction
+ Modes supérieurs évanescents
(stockage d’énergie réactive).
113
Ye = G + jB + Yc
02/2009
G + j[B + Yc tg(β L)]
Yc + j (G + jB)tg(β L) Ye
Ligne de transmission
Zc, β
G+jB
114
ANTENNES « PATCH »: RÉSONANCE
ANTENNES « PATCH »: RAYONNEMENT
Il existe une fréquence de résonance:
fr =
A la résonance : Im(Ye) = 0 donne : L ~ λg/2
La conductance modèle le rayonnement du patch qui, au sens des ligne produit des
c0
2(L+2∆l) ε eff
pertes:
Conductance équivalente normalisée:
Permittivité relative effective:
w
ε eff =
L
ε r + 1 ε r + 1 § 12h ·
+
¨1 +
¸
2
2 ©
w ¹
w
−1 / 2
L
Correction de longueur:
İr
İr
§w
·
+ 0,264 ¸
εeff + 0,3 ¨ h
∆l = 0,412h
¨
¸ avec h/w <<1
εeff − 0,258 ¨ w + 0,8 ¸
© h
¹
Impédance caractéristique de la ligne:
L
Zc
g + jb
La susceptance modèle la discontinuité de bord:
L
120π h
Zc =
si h/w << 1
εeff w
h
Zc = 240π
si h grand et ε r ≈ 1
w
02/2009
g + jb
2π∆l
εeff
λ0 Zc
116
ANTENNES « PATCH » : RAYONNEMENT (suite)
La puissance rayonnée peut se calculer par le circuit équivalent et le diagramme de
distribution uniforme pour étudier le rayonnement:
rayonnement par la théorie des réseaux et de Goudet:
Patch
Plan d’ouverture
θE
≈λg/2
Plan H
θH
Plan E
Surfaces
d’ouverture
w
E
h
∆l/2
L ∼λg/2
L
L
İr
İr
A E (θE ) =
Le problème se ramène au rayonnement d’un réseau de deux fentes à champs
uniformément distribué séparées de λg/2:
w
w
Vue de dessus
Le modèle ne prend pas en compte la finitude du substrat et du plan de base
=> erreur dans les angles larges de pointage dues aux modes de substrat!
∆l/2
ʌ∆l
1+cosθE sin( 2Ȝ sinθE )
⋅
ʌ∆l sinθ
2
E
2Ȝ
Fonction caractéristique d'une fente
w
A H (ș H ) =
=> Le modèle de Goudet permet facilement de déterminer le rayonnement!
02/2009
b=
02/2009
ANTENNES « PATCH » : RAYONNEMENT (suite)
On peut évaluer le rayonnement du patch par un modèle simple de fentes (h << w)
Ligne microruban
Susceptance équivalente normalisée:
Zc
115
λg/2
w2
w
pour
< 0,35
2
90λ 0
λ0
w
1
w
g=
pour 0,35 λ 0 ≤
<2
−
120λ 0 60π2
λ0
w
w
g=
pour
≥ 2
120λ 0
λ0
g=
117
02/2009
2ʌ L
cos(
cosθE )
Ȝ 2
FR: deux éléments en phase
séparés de L
ʌw
1 + cosș H sin( Ȝ sinș H )
ʌw sinș
2
H
Ȝ
118
ANTENNES « PATCH » : MODES RESONNANTS RÉELS
ANTENNES « PATCH » : RAYONNEMENT (suite)
La théorie et la mesure correspondent assez bien dans le cas du simple patch:
En réalité le patch résonne sur des modes non TEM:
Coefficient de réflexion d’une antenne
Patch (calculé):
Les fentes sont en phase:
=> Maximum dans l’axe normal!
Diagrammes mesuré et simulé en
plan H
Diagrammes mesuré et simulé en
plan E
Pour un substrat usuel : Gain d’un patch ~ [5 - 7 dBi].
Le patch a des caractéristique unidirectionnelle de rayonnement à gain modeste par
rapport à l’antenne isotrope.
Les fentes sont en opposition de phase:
=> Zéro dans l’axe normal!
=> Il est cependant simple à réaliser en réseau!
02/2009
119
02/2009
ANTENNES « PATCH » : LIMITATION DU MODÈLE SIMPLIFIÉ
120
ANTENNES « PATCH » : PERFORMANCES
Le modèle de ligne ne tient pas compte de certains phénomènes:
Gain et rendement théorique d’une antenne patch:
Rayonnement
Modes de substrat
w
E
w
Stockage d’énergie
Diffraction
Le modèle à 2 fentes rayonnantes
ne prend pas en compte la finitude
du substrat et du plan de masse: il
y a donc une erreur pour les angles θ
grands car on ne tient pas compte
des phénomènes de diffraction en
bordure de substrat.
02/2009
Le débordement des champs
électromagnétiques sur les côtés de
l’antenne
est
responsable
des
mauvaises propriétés de l’antenne
patch en terme de polarisation croisée
(typiquement: -14dB).
121
=> D’une manière générale, le gain augmente lorsque h augmente et la permittivité
diminue!
02/2009
122
ANTENNES « PATCH » : PERFORMANCES (suite)
ANTENNES « PATCH » : PERFORMANCES (suite)
0.5 mm< Substrate Thickness < 2.5 mm
Fr = 3 GHz
4
h = 2.5 mm
h = 2.0 mm
h = 1.5 mm
h = 1.0 mm
h = 0.5 mm
2
1
0
1
5
Substrate relative Permittivity
9
Relative bandwidth (%)
er = 2.2
er = 4.3
er = 9.6
2
3
Fréquency (GHz)
4
Bande -3dB
0.6
h = 2 mm
0.4
εr = 1
0.0100
Dielectric losses (tg δ)
0.0
-90
0.0200
0
θE [°]
On remarque que le patch exhibe une
faible bande passante BP < 10% :
La BP diminue lorsque εr augmente!
5
02/2009
0.8
εr = 10
PLAN H
h =10 mm
1.0
90
0
θE [°]
εr = 1
h = 1 mm
0.8
0.6
PLAN H
0.4
0.4
εr = 1
0.0
-90
123
PLAN E
0.0
-90
h = 2 mm
0.2
La BP augmente avec les pertes
(tg δ) mais le rendement diminue!
0.6
0.2
90
0.6
εr = 1
h = 1 mm
0.8
0.4
PLAN E
0.2
La BP augmente avec h!
3
1
εr = 7
εr = 4
1.0
er = 1.07
0
1.5
0.0001
1.07< Relative permittivity < 9.6
H = 2mm
er = 1.07
2.0
1.0
10
6
er = 4.3
0.8
Champ normalisé
3
2.5
1.0
εr = 10
1.0
Fr = 3.6 GHz
H = 2mm
Champ normalisé
5
1.07 < Dielectric permittivity < 4.3
3.0
Relative bandwidth (%)
Relative bandwidth (%)
6
Champ normalisé
3.5
7
Influence sur rayonnement du substrat (fr = 3 GHz):
Champ normalisé
Bande passante relative calculée du patch (TOS ” 2):
0.2
90
0
θH [°]
h =10 mm
0.0
-90
0
θH [°]
90
02/2009
124
ANTENNES « PATCH » : ALIMENTATION
ANTENNES « PATCH » : ADAPTATION
Admittance équivalente à la résonance est fonction de la position et εr:
Un patch peut être alimenté de plusieurs façons:
2+ 2
ª
Ye = 2G « cos2 β + G 2B sin 2 β − B sin(2β
Yc
Yc
¬
º
)»
¼
−1
1800
Alimentation par câble
coaxial à travers le substrat
Couplage par ligne
microruban enterrée
Couplage par ligne
microruban à travers une
fente d’un plan de base
1600
1400
O
1200
1000
__ εr =10
__ εr=4
__ εr =2
__ εr=1
800
Rayonnement de l’alimentation diminué
600
400
Couplage par ligne
microruban proche
02/2009
La difficulté est d’optimiser
les connexions/transitions
pour une bonne adaptation
200
0
Alimentation directe
par ligne microruban
avec encoche
d’adaptation
125
β O (en degres)
Bord
02/2009
Z=Z max = 1/2G
Centre
Z=0
h =1 mm, fr=2 GHz,
W/L=1
126
CORNETS HYPERFRÉQUENCES
Les cornets sont des antennes simples, généralement alimentés par un guide, et
communément utilisés dans les télécommunications:
CORNET SECTORAL EN PLAN H
Pour étudier ce cornet quelques hypothèses simplificatrices sont nécessaires:
La transition du guide vers l’espace libre est graduelle telle qu’elle conserve la
distribution du mode TE10 dans l’ouverture.
E
E
E
H
Le déphasage linéique dans l’ouverture est β0.
Cornet sectoral en plan E
Cornet sectoral en plan H
Cornet pyramidal
E
E
E
b
z
Distribution du mode TE10
du guide:
• sinusoïdale selon x (plan H)
• uniforme selon y (plan E)
E
E
x
y
a
En réalité la distribution dans l’ouverture n’est pas équiphase:
Cornet pyramidal exponentiel
Cornet conique
=>
Cornet TEM biconique
=> Les cornets sont capables de soutenir des puissance considérables!
02/2009
127
02/2009
CORNET SECTORAL EN PLAN H (suite)
Pour une longueur R1 fixée, on montre que la directivité du cornet passe par un
Dans l’ouverture le champ E vaut environ (R1>>A/2): E y ≅ E 0 cos
R1
Plan d’ouverture
A
z
π x − j (β0 /2R 1 )x 2
e
A
maximum lorsque l’on varie son ouverture:
L’écart de phase relativement au centre
(x = 0) s’exprime par:
ϕ (x) = (β 0 /2R 1 )x
b
2
(λ
λ/b) DH
a
x
R
128
CORNET SECTORAL EN PLAN H: DIRECTIVITÉ
Le déphasage dans l’ouverture peut être calculé:
Front d’onde
Le front d’onde dans la section variante ne peut rester plat et les conditions aux
limites sur un conducteur montrent qu’il doit s’arrondir!
Pour une directivité maximum, il faut la condition nécessaire (mais non suffisante)
a
A
Maximum:
A/λ =
3R1
λ
d’une ouverture équiphase:
Pour une longueur donnée, on peut diminuer l’ouverture A ce qui diminuerait les
écarts de phase dans l’ouverture et augmenter la directivité:
=> Mais si les écarts de phase diminuent, l’aire effective aussi ce qui contribue
à diminuer la directivité!
02/2009
Il existe une valeur optimale de A pour une directivité maximum!
129
02/2009
A/λ
130
CORNET SECTORAL EN PLAN H: DIRECTIVITÉ (suite)
CORNET SECTORAL EN PLAN H: RAYONNEMENT
On peut calculer la fonction caractéristique du cornet dans les deux plans pour
L’écart de phase est maximum pour x = A/2:
différentes valeurs du déphasage t (facteur 1+cosθ non inclus):
L’écart de phase:
2
β
ϕ max = ( 0 ) A
2R 1 4
=> En posant topt = ϕmax/2π l’optimum est donc donné pour A2 = 3λR1 Ÿ topt = 3/8!
On remarque donc que pour n’importe quelle longueur du cornet, il faut un
déphasage maximum de ¾ de π!
On peut calculer le rayonnement, et donc la directivité, du cornet par la formule de
Goudet générale (par exemple dans le plan H):
+ A/2
³
- A/2
E 0cos
πx' − j (β 0 /2R 1 )x'2 + jk x x'
e
e
dx'
A
a
b
Fonction caractéristique [dB]
Le déphasage maximum optimum ϕopt est trouvé pour la valeur A/λ donnant DHmax:
EδH (r, k x , δ) = K '[1 + cosδ]
Augmente le niveau des lobes
secondaires.
Plan H
Plan E
3R1
Les courbes de directivité passent par un maximum DHmax tel que: A/λ =
λ
Enlève les zéros de
rayonnement.
A
Tend à lisser les lobes
secondaire.
Le cas t = 0 correspond au
guide ouvert (A = a) à
distribution équiphase et
d’amplitude cosinusoïdale.
En plan E, la fonction
correspond à la TF d’une
fonction porte (sinus cardinal)!
(A/λ
λ) sinδ
δ => plan H
(b/λ
λ) sinγγ => plan E
=> L’intégrale débouche sur des fonctions spéciales!
02/2009
131
02/2009
CORNET SECTORAL EN PLAN H: RAYONNEMENT (suite)
132
CORNET SECTORAL EN PLAN E
En faisant varier l’angle d’observation de la normale à l’ouverture de ± 90°, on peut
Pour cette structure, les mêmes hypothèses de transitions sont faites que dans le cas
calculer avec la fonction caractéristique le diagramme polaire de rayonnement
du cornet sectoral en plan H.
y
Distribution du mode TE10
du guide:
• sinusoïdale selon x (plan H)
• uniforme selon y (plan E)
φ0 = 30°
x
a
z
b
R1 / λ = 6
E
Dans l’ouverture le champ E vaut à peu
près (R2>>B/2):
R1/λ = 12
E y ≅ E 0 cos
Diagrammes de rayonnement polaires calculés d’un cornet sectoral en plan H avec
des angles d’ouverture φ0 et des longueurs R1 différents.
02/2009
133
πx − j (β 0 /2R 2 )y 2
e
A
Comme pour le cornet en plan E, la distribution dans l’ouverture n’est pas équiphase
mais l’écart à lieu dans la direction verticale y cette fois alors que la phase est
constante dans la direction x.
02/2009
134
CORNET SECTORAL EN PLAN E (suite)
L’écart de phase relativement au centre (x = 0) s’exprime par:
y
Front d’onde
R
=> Comme dans le cas du cornet en plan H, il
existe une dimension d’ouverture optimum!
z
R2
2
a
L’écart de phase maximum est pour y = B/2:
B
B
b
2
Plan
d’ouverture
ϕmax = (
β0 B
)
2R2 4
(λ
λ/a) DE
b
ϕ (y) = (β 0 /2R 2 )y
CORNET SECTORAL EN PLAN E (suite)
Pour une longueur R2 fixée, la directivité du cornet en plan E passe aussi par un
maximum lorsque l’on varie son ouverture:
Le déphasage optimum normalisé sopt = ϕmax/2π est donc donné pour B2 = 2λR2 :
Ÿ sopt = ¼!
On peut calculer le rayonnement, et donc la directivité, du cornet par la formule de
B/λ =
Goudet (par exemple dans le plan E):
E γE (r, k y , γ ) = K [1 + cos γ ]
+ B/2
³
Maximum:
2R 2
λ
2 + jk y'
y
E 0 e − j (β 0 /2R 2 )y' e
dy'
- B/2
=> L’expression débouche aussi sur des fonctions spéciales!
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135
B/λ
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CORNET SECTORAL EN PLAN E: RAYONNEMENT
136
CORNET SECTORAL EN PLAN E: RAYONNEMENT (suite)
On peut calculer la fonction caractéristique du cornet dans les deux plans pour
différentes valeurs de s (facteur 1+cosθ non inclus):
Fonction caractéristique [dB]
Plan E
Plan H
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b
a
On remarque la transformée
B
φ0 = 35°
de la fonction cosinus pour le
plan H puisque la distribution
de phase est uniforme selon x.
R2 / λ = 6
Le cas s = 0 correspond au
cas du guide ouvert (B = b)
à distribution équiphase et
amplitude uniforme (sinus
cardinal).
R2 /λ = 15
=> On note un comportement
similaire à celui du guide en
plan H pour les lobes et les
zéros!
(B/λ
λ) sinδ
δ => plan E
(a/λ
λ) sinγγ => plan H
Diagrammes de rayonnement polaires calculés d’un cornet sectoral en plan E avec
des angles d’ouverture φ0 et des longueurs R2 différents.
137
02/2009
138
AUTRES CORNETS
AUTRES CORNETS (suite)
L’expression des directivité des cornets est plutôt compliquée et il est préférable
d’utiliser les abaques du cours. Cependant, on peut facilement déduire les ouvertures
à -3dB des fonctions caractéristiques:
=> Pour un A optimum >> λ Ÿ ∆δ H = 78
λ
[°] (cornet H)
A
E
=> Pour un B optimum >> λ Ÿ ∆γ = 54
λ
[°] (cornet E)
B
Cornet pyramidal (suite):
E B
Plan H
Plan E
H
A
On peut augmenter la directivité en faisant varier l’ouverture à la fois dans le plan E
et H => Cornet pyramidal.
Exemple de diagramme de rayonnement
d’un cornet pyramidal dans les conditions
optimales à 9,3 GHz (terme [1+cosθ]
inclus).
La directivité peut s’exprimer simplement par:
D≅
π §λ
·
·§ λ
¨ D E ¸¨ D H ¸
32 © A
¹
¹© B
dans lequel DE et DH sont calculés respectivement par les courbes des cornets en plan
E et H avec en ordonnée a et b remplacés respectivement par A et B.
02/2009
139
Dans les conditions optimales => A = 3λR1 , B = 2λR 2 , le rendement de gain
du cornet pyramidal est d’environ 50%.
R1 et R2 ne sont pas géométriquement indépendants!
02/2009
AUTRES CORNETS (suite)
140
AUTRES CORNETS (suite)
La directivité des cornets peut aussi être améliorée par d’autres techniques. Le
Un cornet droit peut utiliser plusieurs modes (« Box-horn »):
principe de base est de faire tendre la distribution à l’ouverture vers une distribution
uniforme équiphase.
Exemples:
=> La superposition de plusieurs modes de type TEn0 est utilisée pour faire tendre
vers une distribution quasi-uniforme!
Le cornet peut être prolongé par un réflecteur parabolique:
Le guide surdimensionné par rapport au seul mode TE10 possède une
ouverture large et équiphase d’où une meilleurs directivité.
Cornet
pyramidal
Ouverture
La symétrie de la structure et de l’excitation (mode TE10 dans le petit guide)
permet d’exciter que des modes pairs (n impair)!
ETE10ETE30
a
ETE10
b
ETETotal
Réflecteur
Cornet pyramidal avec réflecteur de 6m d’ouverture utilisé pour la mise au point des
satellites de télécommunications Echo et Telstar et pour la mesure du rayonnement
cosmique universel (3°K) à 4 GHz
02/2009
Il existe un dimensionnement optimum donnant un rapport d’amplitude
E30/E10 = 0,35 pour lequel le gain est maximum!
141
02/2009
142
RÉFLECTEURS
RÉFLECTEURS PARABOLIQUE
Le soucis du concepteur est d’obtenir une ouverture équiphase et si possible
Pour une source primaire ponctuelle, les champs décroissent en 1/r (onde sphérique).
équiamplitude. Quelques solutions ont été proposées:
Après réflexion, l’onde devient plane avec les propriétés suivantes:
L’utilisation de réflecteurs.
L’idée du réflecteur est de faire parcourir aux ondes (rayons) issues d’une source des
chemins tels qu’ils se retrouvent en phase dans un plan appelé plan d’ouverture:
=> La distribution des champs dans le plan d’ouverture d’un réflecteur parabolique
est équiphase mais pas équiamplitude!
Soit un réflecteur sans pertes, la puissance incidente d’une source focale isotrope et
ponctuelle dans un angle solide dΩ vaut Ps dΩ.
Une surface à profil parabolique possède une propriété intéressante:
Cette puissance se réfléchit totalement (sans pertes) dans l’ouverture correspondante
FP + PK = r(1 + cosψ ) = 2f = constante
de surface dA= 2π ρdρ.
=> Les rayons issus du centre de phase d’une source placée au foyer F sont toujours
en phase dans le plan d’ouverture!
ρ
a
P
r
F
Plan d’ouverture // Directrice
ψ
ρ
K
dψ
Focale = f
K
dρ
Er
P
ûouv
r
n
ûs
S
143
144
PARABOLE: POLARISATION CROISÉE
Il faut encore exprimer toutes les grandeurs en fonction de ρ et φ et intégrer sur
l’ouverture pour calculer le champ rayonné.
P dΩ 2π sinψ dψ
sinψ dψ 1 dψ
Souv (ρ) ∝ s
∝
=
⋅
= ⋅
dA
2πρ dρ
r sinψ dρ r dρ
dψ 1
=
dρ r
Es
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CHAMP DANS L'OUVERTURE D'UNE PARABOLE
La densité de puissance dans l’ouverture varie selon:
Les propriétés de la parabole montrent que
F
ψ
a
02/2009
Exemple: alimentation par un dipôle court orienté selon y:
Souv ∝ ||E ||2∝1/r2
=> On montre que le champ dans l’ouverture vaut:
E ouv ( ψ , φ ) = E 0
=> Les champs dans l’ouverture varient en 1/r!
On utilise la notion de rayon pour déterminer la polarisation du champ dans
y
l'ouverture (vecteur unitaire ûouv) pour un champ de source Es:
[
1
ˆ sin φ cos φ (1 - cos ψ ) - y
ˆ (sin 2 φ cos ψ + cos 2 φ )
x
r
=> En normalisant par rapport à ||Es|| = ||Er ||: uˆ ouv = 2(n uˆ s ) n − uˆ s
x
Il existe une dépolarisation de la source par le réflecteur!
φ
Une telle antenne dépolarise le champ de la
source (primaire) sauf dans le plan E et H!
La polarisation croisée diminue avec le
rapport 2a/f (f = focale)!
Pour une source quelconque au foyer le champ dans l’ouverture vaut
F (ψ, φ)
E ouv (ψ, φ) = E0 s
ûouv
r
dans lequel Fs est la fonction caractéristique de la source.
]
Dipôle
Pour un réflecteur parfait (a >> λ), Etot= Es+ Er = 2(n°Es)n
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φ
f
L’utilisation de lentilles.
=> La polarisation croisée est maximum dans les plans φ = ± 45°!
145
02/2009
146
PARABOLE: GAIN ET RAYONNEMENT
PARABOLE: GAIN ET RAYONNEMENT (suite)
Diagramme de rayonnement typique d'une antenne parabolique:
En pratique, la source primaire est indépendante de φ et le champ E dans
l'ouverture peut être approchée par une distribution de type parabolique avec seuil:
=> Le rayonnement se calcule par les formules classiques impliquant des fonctions
de Bessel (voir fonctions pour ouverture circulaire)!
Le gain d’une parabole se calcule par la formule simplifiée
dans lequel le rendement global rg = erd vaut typiquement 0,6
G = rg 4π
S1
λ2
Différents points affectent le rendement des antennes paraboliques:
Les pertes ohmiques (augmentent avec la fréquences).
L ’effet d’ombre (masque) de la source primaire.
Le débordement des champs (« spill over »).
=> Augmentation de la température de bruit par réflexions multiples du sol!
Couplage réflecteur-source primaire.
Courbe plan E mesurée (solide) et calculée (traits) d’un
réflecteur de 1,22 m de diamètre (47,6 dB de gain à 28,56 GHz
avec 2a/f=2).
Non uniformité de l’illumination (plan d’ouverture).
Défocalisation de la source primaires
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=> Pointage du faisceau dévié de la normale!
147
02/2009
AUTRES STRUCTURES A RÉFLECTEURS
=> On remarque la bonne correspondance pour le lobe principal!
148
STRUCTURES DE TYPE CASSEGRAIN
Pour éliminer le débordement, on utilise une configuration de type Cassegrain qui
Pour diminuer l'effet de blocage, on peut décentrer ("off-set") la source primaire:
comporte une source primaire active qui illumine un réflecteur hyperbolique appelé
source secondaire:
Système décentré
Cette configuration comporte un plus grand effet de blocage dû à la source
secondaire. Cependant, il offre l'avantage d'avoir la source primaire directement
accessible et réduit les pertes dues à l'alimentation de la source.
=> L’aire éclairée est plus faible d’où une diminution du gain!
Même ouverture avec une focale deux fois plus petite que la parabole simple!
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02/2009
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EXEMPLE DE SYSTÈME CASSEGRAIN (suite)
Antennes réflecteur de type "Cassegrain" pour grande station
terrestre:
Ø réflecteur: 70 m, Ø source secondaire: 6 m
Opérations: bande X (8,4 GHz) et Ka (32 GHz)
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