‫وﺟﻮد ﺧﺎزن و اﻟﻘﺎﮔﺮ در ﻳﻚ ﻣﺪار و ﻳﺎ دو اﻟﻤﺎن ذﺧﻴﺮه ﻛﻨﻨﺪه‬
‫ﻛﻪ ﺳﺎده ﻧﻤﻲﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﺑﻪ وﺟﻮد‬
‫ﻣﻲآورد‪.‬‬
‫‪1.Parallel RLC circuit,‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2.Series RLC circuit,‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.RCC circuit.‬‬
‫‪V‬‬
‫‪4.RLL circuit,‬‬
‫) ‪d 2 y (t‬‬
‫) ‪dy (t‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪ a2‬‬
‫‪ a3 y (t )  b1 x(t )  b2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪ ‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ دو ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﻳﻦ ازدﻳﺎد درﺟﻪ‬
‫‪ ‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﺸﺘﻖ اول ﺷﺮط‬
‫‪L2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪L1‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪9-2‬‬
9-3
‫ﻣﺪارﻫﺎي ‪ RLC‬ﻛﻪ ﻣﻨﺒﻊ اﻧﺮژي آﻧﻬﺎ ‪ dc‬ﻳﺎ ﭘﻠﻪ واﺣﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﻛﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ درﺟﻪ دوم ﻣﺠﻤﻮع ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر )ﭘﺎﺳﺦ واداﺷﺘﻪ =ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ‬
‫ﺗﺤﺮﻳﻚ( و ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺬرا )ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ= ﭘﺎﺳﺦ ذاﺗﻲ( اﺳﺖ‪.‬‬
‫) ‪f (t )  f f (t )  f n (t )  f t (t )  f ss (t‬‬
‫روش ﻛﻠﻲ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺪارﻫﺎ ﺷﺒﻴﻪ ﻣﺪارﻫﺎي ‪ RL‬و ‪ RC‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر)ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺗﺤﺮﻳﻚ(‪ :‬ﺑﺮاي ﺗﺤﺮﻳﻚ ‪ dc‬ﭘﺎﺳﺦ واداﺷﺘﻪ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﻲ ﻧﻬﺎﻳﺖ‬
‫∞‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺬرا )ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ(‪:‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﻛﺎﻣﻞ‪:‬‬
‫) ‪f n (t‬‬
‫) ‪f (t )  f f  f n (t‬‬
‫‪9-4‬‬


i(0)  I0 ،v (0)  V0
i C  i R  i L  0،C
dv v 1 t
   vd   i (t 0 )  0
L
dt R L t 0
d 2v 1 dv 1

 v 0
2
dt
RC dt LC
1
1
st
v(t )  Ae
As e 
Ase 
Ae st  0
RC
LC
1
1
1
1
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻛﻤﻜﻲ ﻳﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ‬
Ae st (s 2 
s  )  0  s2 
s
0
RC
LC
RC
LC
1
1
2
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻛﻤﻜﻲ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﺪار ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
s 
s
0
RC
LC
st
2
st
1
1 2 1
 s1  
 (
) 
2RC
2RC
LC
9-5
1
1 2 1
 (
s2  
) 
2RC
2RC
LC
‫‪ S1t‬و ‪ S2t‬ﺑﻲﺑﻌﺪ ﭘﺲ ‪ S1‬و ‪ S2‬ﻛﻤﻴﺘﻲ از ﺟﻨﺲ ﺑﺮﺛﺎﻧﻴﻪ ﻳﻌﻨﻲ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ‬
‫‪ S1‬و ‪) S2‬رﻳﺸﻪﻫﺎ( را ﻫﻢ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺗﺸﺪﻳﺪ ﺳﻠﻒ و ﺧﺎزن‬
‫ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﭙﺮي ﻳﺎ ﺿﺮﻳﺐ ﻣﻴﺮاﻳﻲ‬
‫‪1‬‬
‫) ‪( Np / s‬‬
‫‪LC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(rad / s‬‬
‫‪2 RC‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ α‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪه ﺳﺮﻋﺖ ﻣﻴﺮاﻳﻲ ﻳﺎ اﺳﺘﻬﻼك ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺗﺎ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪Oliver Heaviside‬‬
‫)‪(1850–1925‬‬
‫) ‪d 2 f (t‬‬
‫) ‪df (t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 f (t )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪9-6‬‬
s1     2   0 2 ,
1)    0
s2     2   0 2
LC  4R 2C 2  s1 , s2  R , s1 , s2  0 
v(t )  A 1 e s1t  A 2 e s2t ‫ ﻣﻴﺮاي ﺷﺪﻳﺪ‬-‫ ﻓﺮاﻣﻴﺮا‬-‫ﻓﻮق ﻣﻴﺮا‬
2)    0
L  4 R 2 C  s 1 , s 2  R , s1  s 2 
v(t )  (A 1 t  A 2 )e t
3)    0
‫ﻣﻴﺮاﻳﻲ ﺑﺤﺮاﻧﻲ‬
LC  4R 2C 2  s1 , s2   d   0 2   2
v(t )  (A 1 cos  d t  A 2 sin  d t )e t
9-7
‫ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺗﺸﺪﻳﺪ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬
‫ ﻣﻴﺮاﻳﻲ ﻧﻮاﺳﺎﻧﻲ‬-‫ زﻳﺮ ﻣﻴﺮا‬-‫ﻣﻴﺮاي ﺿﻌﻴﻒ‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ دارد ‪.‬‬
‫ﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن زﻣﺎن ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺷﺪن از ﭘﺎﺳﺦ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﺮﻓﺘﻪ و آن را ﻣﺴﺎوي ﺻﻔﺮ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺳﻮال ‪ :‬ﭼﻘﺪر ﻃﻮل ﻣﻲﻛﺸﺪ ﺗﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺬرا از ﺑﻴﻦ ﺑﺮود )ﻣﻴﺮا ﺷﻮد(؟‬
‫زﻣﺎن ﻧﺸﺴﺖ‪ -‬ﻣﻌﻴﺎري ﺑﺮاي زﻣﺎن ﻣﻴﺮا ﺷﺪن ﭘﺎﺳﺦ ‪ .‬در ﻋﻤﻞ ﻫﻤﻮاره ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ زﻣﺎن ﻧﺸﺴﺖ‬
‫ﻣﻲﻧﻴﻤﻢ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﭘﺲ از اﻳﻨﻜﻪ داﻣﻨﻪ وﻟﺘﺎژ ﺑﻪ ﻳﻚدرﺻﺪ ﻗﺪرﻣﻄﻠﻖ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﻣﻲرﺳﺪ ﭘﺎﺳﺦ ﻗﺎﺑﻞ اﻏﻤﺎض اﺳﺖ و‬
‫زﻣﺎن ﻻزم ﺑﺮاي رﺳﻴﺪن ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻘﺪار را زﻣﺎن ﻧﺸﺴﺖ ‪ ts‬ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬
‫‪|Vm|*1%= Vs‬‬
‫‪V(ts)=Vs‬‬
‫‪9-8‬‬
‫ﻓﻮق ﻣﻴﺮا‬- RLC Over damped
RLC Under damped-‫زﻳﺮ ﻣﻴﺮا‬
9-9
‫ﻣﻴﺮاﻳﻲﺑﺤﺮاﻧﻲ‬- RLC Critically damped
9-10
9-11
0
9-12
0
0
0→
0
0
0
0
9-13
9-14
→∞
9-15
‫ﻣﺪار ‪ RLC‬ﺳﺮي دوﮔﺎن ﻣﺪار ‪ RLC‬ﻣﻮازي اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﻤﺎم ﺑﺤﺚﻫﺎي ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪ RLC‬ﻣﻮازي را ﻣﻲﺗﻮان در ﻣﺪار ‪ RLC‬ﺳﺮي ﻫﻢ ﻣﻌﺘﺒﺮ‬
‫داﻧﺴﺖ‪.‬‬
‫‪9-16‬‬
9-17
9-18
9-19
‫ﻣﺪار ﺳﺮي ﻳﺎ ﻣﻮازي اﺳﺖ؟‬
‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺿﺮﻳﺐ ﻣﻴﺮاﻳﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺗﺸﺪﻳﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺪار )ﻓﻮق ﻣﻴﺮا‪-‬‬
‫ﻣﻴﺮاي ﺑﺤﺮاﻧﻲ‪ -‬ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ ﻣﻴﺮا(‬
‫اﻟﻒ‪ -‬ﭘﺲ از ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻴﺪ ﻣﻨﺒﻊ ﻣﺴﺘﻘﻠﻲ در ﻣﺪار ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣﺪار ﺑﺪون ﻣﻨﺒﻊ و ﭘﺎﺳﺦ‬
‫ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻛﻞ ﭘﺎﺳﺦ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب‪ -‬در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﻣﺪار ﭘﺲ از ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ ﻫﻢ ﻣﻨﺒﻊ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺪار داراي ﺗﺤﺮﻳﻚ اﺳﺖ و‬
‫ﺑﺎﻳﺪ ﭘﺎﺳﺦ واداﺷﺘﻪ آن را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﭘﺎﺳﺦ ﻛﺎﻣﻞ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از‪:‬‬
‫) ‪f (t )  f f (t )  f n (t‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻤﺎم وﻟﺘﺎژﻫﺎ و ﺟﺮﻳﺎنﻫﺎي ﻣﺪار ﻳﻜﻲ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﮔﺎم آﺧﺮ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎي ﻣﺠﻬﻮل ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪9-20‬‬
‫ﻣﻮازي‬

v ( 0)  V f  A  B
dv
 0  s1 Ae s1t  s2 Be s2t
dt






di
 0  s1 Ae s1t  s2 Be s2t
dt

di (0) v L (0)

dt
L
iC (0)  iR (0)  iL (0)
vC (0)
 iL (0)
iC (0)  
R

i ( 0)  V f  A  B

dv(0) iC (0)

dt
C
‫ﺳﺮي‬





vL (0)  vR (0)  vC (0)



vL (0)   RiL (0)  vC (0)
‫ ﻳﻌﻨﻲ ﺟﺮﻳﺎن‬،‫ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را روي ﻣﻘﺎدﻳﺮي ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ دﻓﻌﺘﺎً ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻨﻨﺪ و ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
.‫اﻟﻘﺎﮔﺮ و وﻟﺘﺎژ ﺧﺎزن ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‬
9-21
9-22
9-23
‫ﻣﺪارﻫﺎي ﻣﺮﺗﺒﻪ دوﻣﻲ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ داراي دو اﻟﻤﺎن ذﺧﻴﺮه ﻛﻨﻨﺪه ﺳﻠﻒ و ﺧﺎزن ﺑﻮده وﻟﻲ ﻧﻪ‬
‫‪ RLC‬ﺳﺮي ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻧﻪ ﻣﻮازي‪ .‬ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﺪارﻫﺎ؟‬
‫‪t <0‬‬
‫‪ -‬ﻣﺜﺎل‪:4‬‬
‫‪9-24‬‬
9-25
‫‪ -‬ﺑﺮاي ‪ t > 0‬ﻣﻘﺪار ?=‪Vo‬‬
‫‪9-26‬‬
:5 ‫ ﻣﺜﺎل‬-
KCL 2:
KCL 1:
9-27
0
9-28
‫اﮔﺮ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻳﻚ ﻣﺪار ‪ RLC‬ﻣﻮازي ﺑﻲﻧﻬﺎﻳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و ﻳﺎ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻳﻚ ﻣﺪار ‪ RLC‬ﺳﺮي ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺣﻠﻘﻪ ﺳﺎده ‪ LC‬دارﻳﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ آن ﺑﺮاي ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ )ﻣﺪار‬
‫‪ LC‬ﺑﻲﺗﻠﻒ(‪.‬‬
‫) ‪d 2 f (t‬‬
‫) ‪df (t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 f (t )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪   0‬‬
‫‪2RC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪    0  v(t)  ACosd t  BSind t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪RLC : parallel  R     ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪RLC : seri  R  0   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪LC‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪9-29‬‬
9-30