Fișa 1 – funcții trigonometrice (directe și inverse)
I. Să se reprezinte grafic funcțiile:
𝜋
𝜋
a) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 1 + sin 𝑥
c) 𝑓: (− ; ) ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −𝑡𝑔𝑥
2 2
b) 𝑓: [−𝜋; 2𝜋] ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = |cos 𝑥|
d) 𝑓: (0; 𝜋) ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = |𝑐𝑡𝑔𝑥|
II. Să se determine domeniul maxim de definiție:
a) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥−1
3
c) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔√𝑥
b) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = arccos(𝑥 − 2𝑥 2 ) d) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√1 − 𝑥
III. Calculați:
a) arccos(−1) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
√3
2
d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
b) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3
2
√2
2
e) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−√3) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(1)
IV. Calculați:
𝜋
1
1
a) 𝑡𝑔 ( − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 )
2
2
𝜋
d) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 )
3
2
2
b) 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 )
2
3
1
1
e) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 )
3
3
2
c) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 )
2
3
f) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
√5
+ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
3
)
10
V. Calculați:
1
1
a) 𝑡𝑔 (2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 )
2
d) 𝑡𝑔 (2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2)
2
b) 𝑐𝑜𝑠 (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 )
3
1
e) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
c) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 )
2
3
f) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
3
5
13
5
13
+ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
VI. Arătați că:
2
1
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 =
3
5
1
4
9
7
5
𝜋
4
b) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 =
c) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
9
1
e) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−𝑠𝑖𝑛
1
3𝜋
4
7𝜋
𝜋
) = −3
3
2
f) 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
7
4
41
49
3𝜋
g) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 =
3
9
1
d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− ) < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− )
2
3
5
3
1
7
3
h) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 < 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
4
12
)
13
12
13
)
Fișa 2 – ecuații trigonometrice
I. Să se rezolve ecuațiile:
√2
2
√3
=
2
1
a) sin 𝑥 =
e) 𝑡𝑔 𝑥 = √3
b) sin 3𝑥
f) 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = −1
c) cos 𝑥 = −
d) cos 2𝑥 =
g) 𝑡𝑔2𝑥 =
2
√2
1
√3
h) 𝑐𝑡𝑔 3𝑥 = √3
2
II. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare:
a) 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3
e) 6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0
b) 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
f) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0
c) 𝑡𝑔2 𝑥 = 3
g) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0
d) 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 1
h) 𝑡𝑔2 𝑥 − 5𝑡𝑔𝑥 + 6 = 0
III. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare:
a) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1
e) 2 cos 2𝑥 − 1 = 4𝑐𝑜𝑠𝑥
b) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − √3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
f) cos 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
𝑥
𝑥
2
2
c) 2 sin + √3𝑐𝑜𝑠 = 2
g) sin 2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥
d) √3 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 = √2
h) 3𝑡𝑔𝑥 − 2𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1
IV. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare:
a) sin 3𝑥 = sin 𝑥
e) cos 4𝑥 = sin 2𝑥 + 1
b) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥
f) 8 cos 2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 5
c) cos 2𝑥 = cos 3𝑥
g) 𝑡𝑔2 𝑥 − (1 + √3)𝑡𝑔𝑥 + √3 = 0
d) 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 = − cos 𝑥
h) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 =
3
4
𝜋
𝜋
V. a) Găsiți soluția ecuației 𝑡𝑔3𝑥 = 𝑡𝑔 ( − 2𝑥), situată în intervalul 𝐼 = (0; )
2
9
b) Găsiți soluția ecuației sin 3𝑥 + cos 3𝑥 = √2, situată în intervalul 𝐼 = [
7𝜋
4
;
9𝜋
4
]