Fișa 1 – funcții trigonometrice (directe și inverse) I. Să se reprezinte grafic funcțiile: 𝜋 𝜋 a) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 1 + sin 𝑥 c) 𝑓: (− ; ) ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −𝑡𝑔𝑥 2 2 b) 𝑓: [−𝜋; 2𝜋] ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = |cos 𝑥| d) 𝑓: (0; 𝜋) ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = |𝑐𝑡𝑔𝑥| II. Să se determine domeniul maxim de definiție: a) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥−1 3 c) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔√𝑥 b) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = arccos(𝑥 − 2𝑥 2 ) d) 𝑓: 𝒟 ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√1 − 𝑥 III. Calculați: a) arccos(−1) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 √3 2 d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 b) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3 2 √2 2 e) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−√3) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(1) IV. Calculați: 𝜋 1 1 a) 𝑡𝑔 ( − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ) 2 2 𝜋 d) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) 3 2 2 b) 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) 2 3 1 1 e) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ) 3 3 2 c) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ) 2 3 f) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 √5 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 3 ) 10 V. Calculați: 1 1 a) 𝑡𝑔 (2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ) 2 d) 𝑡𝑔 (2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2) 2 b) 𝑐𝑜𝑠 (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) 3 1 e) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 c) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ) 2 3 f) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3 5 13 5 13 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 VI. Arătați că: 2 1 a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 3 5 1 4 9 7 5 𝜋 4 b) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 = c) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 9 1 e) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−𝑠𝑖𝑛 1 3𝜋 4 7𝜋 𝜋 ) = −3 3 2 f) 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 7 4 41 49 3𝜋 g) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 3 9 1 d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− ) < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− ) 2 3 5 3 1 7 3 h) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 < 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 4 12 ) 13 12 13 ) Fișa 2 – ecuații trigonometrice I. Să se rezolve ecuațiile: √2 2 √3 = 2 1 a) sin 𝑥 = e) 𝑡𝑔 𝑥 = √3 b) sin 3𝑥 f) 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = −1 c) cos 𝑥 = − d) cos 2𝑥 = g) 𝑡𝑔2𝑥 = 2 √2 1 √3 h) 𝑐𝑡𝑔 3𝑥 = √3 2 II. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare: a) 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3 e) 6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0 b) 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 f) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 c) 𝑡𝑔2 𝑥 = 3 g) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0 d) 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 1 h) 𝑡𝑔2 𝑥 − 5𝑡𝑔𝑥 + 6 = 0 III. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare: a) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1 e) 2 cos 2𝑥 − 1 = 4𝑐𝑜𝑠𝑥 b) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − √3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 f) cos 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 𝑥 𝑥 2 2 c) 2 sin + √3𝑐𝑜𝑠 = 2 g) sin 2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 d) √3 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 = √2 h) 3𝑡𝑔𝑥 − 2𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1 IV. Știind că 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] să se rezolve ecuațiile următoare: a) sin 3𝑥 = sin 𝑥 e) cos 4𝑥 = sin 2𝑥 + 1 b) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥 f) 8 cos 2 𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥 = 5 c) cos 2𝑥 = cos 3𝑥 g) 𝑡𝑔2 𝑥 − (1 + √3)𝑡𝑔𝑥 + √3 = 0 d) 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 = − cos 𝑥 h) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 3 4 𝜋 𝜋 V. a) Găsiți soluția ecuației 𝑡𝑔3𝑥 = 𝑡𝑔 ( − 2𝑥), situată în intervalul 𝐼 = (0; ) 2 9 b) Găsiți soluția ecuației sin 3𝑥 + cos 3𝑥 = √2, situată în intervalul 𝐼 = [ 7𝜋 4 ; 9𝜋 4 ]