UNIDAD IV
Integrales Múltiples.
Integrales de Lı́nea.
Definición 1. Sea J = [a, b] un intervalo cerrado en R. Un camino continuo en
Rn es cualquier función α : J → Rn continua. Diremos que el camino es regular
si existe α0 y es continua en (a, b). El camino es regular a trozos si [a, b] se puede
descomponer en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales el
camino es regular.
Definición 2. Sean J = [a, b] un intervalo cerrado en R, α : J → Rn un camino regular a trozos y f un campo vectorial definido y acotado
sobre α(J).
Z
f · dα, al valor
Definimos la integral de lı́nea de f a lo largo de α, denotado
Z b
f (α(t)) · α0 (t)dt, siempre que esta integral exista. Esto es,
a
Z
Z b
f · dα =
f (α(t)) · α0 (t)dt,
(1)
a
Si C = α(J) entonces
Z
Z
f · dα también se representa por
f · dα y se llama
C
integral de f a lo largo de C.
Si a = α(a) y b = β(b) son los extremos de C, la integral de lı́nea se representa
por
Z
Z
b
b
f · dα y se denomina integral de lı́nea desde a hasta b a lo largo de α.
Z b
Cuando se use la notación
f deberá tenerse en cuenta que la integral depende
fo
a
a
a
no solamente de los extremos a y b sino del camino α que los une.
Si a = b, el camino se llama cerrado.
Cuando f y α se expresan en función de sus componentes, esto es,
f = ( f1 , ..., fn ) y α = (α1 , ..., αn ) entonces (1) se transforma en
Z
f · dα =
n Z
X
i=1
b
a
1
fi (α(t)) · α0i (t)dt,
(2)
Z
En este caso la integral de lı́nea también se escribe como
f1 dα1 + ... + fn dαn .
Z
Z
Para n = 2, hacemos x = α1 (t), y = α2 (t) y
f ·dα se escribe como
f1 dx+ f2 dy
C
C
Z
o
f1 (x, y)dx + f2 (x, y)dy.
C
Z
Para n = 3, hacemos x = α1 (t), y = α2 (t), z = α3 (t) y
f · dα se escribe como
C
Z
Z
f1 dx + f2 dy + f3 dz o
f1 (x, y, z)dx + f2 (x, y, z)dy + f3 (x, y, z)dz.
C
C
Teorema 1. (Propiedades de la integral de lı́nea)
Z
Z
Z
1.
(a f + bg) · dα = a
f · dα + b g · dα, ∀a, b ∈ R.
Z
2.
f · dα =
C
Z
f · dα +
C1
Z
f · dα
C2
donde las curvas C1 y C2 forman la curva C.
Demostración: (ejercicio).
Definición 3. Sea α : [a, b] → Rn un camino continuo y u : [c, d] → [a, b] una
función tal que u0 nunca se anula en [c,d]. Entonces la función β : [c, d] → Rn
dada por β = α ◦ u es un camino continuo tal que β([c, d]) = α([a, b]).
En este caso, diremos que α y β son equivalentes.
Sea C = β([c, d]) = α([a, b]). Si u0 siempre es positiva, u es creciente y decimos que α y β originan C en la misma dirección. Si u0 siempre es negativa, u es
decreciente y decimos que α y β originan C en direcciones opuestas.
Teorema 2. Si α y β son caminos equivalentes regulares a trozos entonces se tiene
que
Z
Z
f · dα =
C
f · dβ
C
si
Z α y β originan
Z a C en la misma dirección y
f · dα = −
f · dβ
C
C
si α y β originan a C en direcciones opuestas.
2
Demostración: Basta probar el resultado para caminos regulares y luego se aplica
la propiedad aditiva para concluir el resultado para caminos regulares a trozos.
0
0
0
Sabemos que
Z β = α ◦ u.ZAsı́, por la regla de laZcadena β (t) = α (u(t)).u (t).
d
f · dβ =
Por lo que,
C
d
f (β(t)) · β (t)dt =
f (α(u(t))) · α0 (u(t)).u0 (t)dt
0
c
c
En esta última integral hacemos el cambio v = u(t), dv = u0 (t)dt y obtenemos que
Z
Z u(d)
Z b
Z
0
0
f · dβ =
f (α(v)) · α (v).dv = ±
f (α(v)) · α (v).dv = ±
f · dα, (3)
C
u(c)
a
C
en donde se usa el signo + si a = u(c) y b = u(d) y el signo − si a = u(d) y
b = u(c).
El primer caso ocurre cuando α y β originan a C en la misma dirección y el
segundo si originan C en direcciones opuestas.
Definición 4. Sea Q un rectángulo, Q = [a, b] × [c, d] producto cartesiano de dos
intervalos [a, b] y [c, d] y consideremos 2 particiones P1 = (x1 , ..., xn ) de [a, b],
P2 = (y1 , ..., ym ) de [a, b]. Dado que P1 descompone [a, b] en n subintervalos y P2
descompone [c, d] en m subintervalos entonces P = P1 × P2 es una partición de
Q en nm subrectángulos.
Una partición P0 de Q es más fina que P si P ⊂ P0 . Esto es si todo punto de P es
también un punto de P0 .
El producto cartesiano de subintervalos abiertos de P1 y P2 respectivamente es
un rectángulo abierto. Lo llamaremos subrectángulo abierto de P o de Q.
Definición 5. Sea f una función definada sobre un rectángulo Q. Diremos que f
es escalonada, si existe una partición P de Q tal que f es constante en cada uno
de los subrectángulos abiertos de P.
Definición 6. Sea f una función escalonada que toma el valor ci j en cada rectángulo abierto (xi−1 , xi ) × (y j−1 , y j ) de un rectángulo Q.
La integral doble de f sobre Q, se define por
Z Z
n X
m
X
f =
ci j · (xi − xi−1 )(y j − y j−1 ).
Q
i=1 j=1
Usaremos la notación ∆xi = xi − xi−1 , ∆y j = y j − y j−1 .
Z Z
n X
m
X
Por lo que
f =
ci j · ∆xi ∆y j .
Q
i=1
j=1
Z Z
También usaremos
f (x, y)dxdy para representar esta integral.
Q
3
Observación 1. Es claro que si f es constante en el interior de Q, esto es, si
Zf (x,Zy) = k, para a < x < b, c < y < d entonces
f (x, y)dxdy = k.(b − a)(d − c).
Z bZ
y esto lo podemos escribir como
Q
Por
Z Zlo que, en este caso
Z bZ
f (x, y)dxdy =
Q
a
a
d
f (x, y)dydx =
c
d
Z
f (x, y)dxdy.
c
d
f (x, y)dydx =
c
Z
d
b
Z
a
b
Z
f (x, y)dxdy
c
a
Teorema 3. (Propiedades de la integral de funciones escalonadas).
Sean s, t funciones escalonadas sobre un rectángulo Q entonces
1. Z
(Linealidad)
∀c1 , c2 ∈ R
Z
Z Z
Z Z
c1 s(x, y) + c2 t(x, y)dxdy = c1
s(x, y)dxdy + c2
t(x, y)dxdy
Q
Q
Q
2. (Aditividad respecto del dominio)
Si
Q1 , Q2Zentonces
Z Q
Z está dividido enZ2 rectángulos
Z
Z
s(x, y)dxdy =
s(x, y)dxdy +
s(x, y)dxdy
Q
Q1
Q2
3. (Monotonı́a)
Si s(x, y) ≤ t(x, y), ∀(x, y) ∈ Q entonces
Z Z
Z Z
s(x, y)dxdy ≤
t(x, y)dxdy.
Q
(4)
Q
En Z
particular, si t(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Q entonces
Z
t(x, y)dxdy ≥ 0.
Q
Demostración: (ejercicio)
Definición 7. Sea f una función definida y acotada sobre un rectángulo Q. Entonces existe M > 0 tal que | f (x, y)| ≤ M, ∀(x, y) ∈ Q. Definamos s(x, y) = −M y
t(x, y) = M, ∀(x, y) ∈ Q, entonces s y t son funciones escalonadas y
s(x, y) ≤ f (x, y) ≤ t(x, y), ∀(x, y) ∈ Q.
4
(5)
Integral de una función acotada sobre un rectángulo
Definición 8. Sea f una función definida y acotada sobre un rectángulo Q. Diremos que f es integrable sobre Q, si existe un único número real I tal que
Z Z
Z Z
s(x, y)dxdy ≤ I ≤
t(x, y)dxdy para todo par de funciones escalonaQ
Q
das s, t satisfaciendo (5).
En este caso, a I la llamaremos integral doble de f sobre Q, denotada
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy o simplemente
f.
Q
Q
Sea f una función
(Z Z definida y acotada sobre un rectángulo
) Q.
Definamos S =
s : s es escalonada, s ≤ f en Q y
Q
(Z Z
)
T =
t : t es escalonada, t ≥ f en Q , por (5), sabemos que S , T , ∅ y
Z ZQ
Z Z
por (4)
s≤
t, para cualquier par de funciones escalonadas s, t tal que
Q
Q
s ≤ f ≤ t en Q. Por lo que x ≤ y, ∀x ∈ S , y ∈ T .
Ası́, fijando y ∈ T , tenemos que x ≤ y, ∀x ∈ S esto es, sup S ≤ y y como y ∈ T es
arbitrario, sup S ≤ y, ∀y ∈ T , por lo que
sup S ≤ ı́nf T
(6)
Sea f una función definida y acotada sobre un rectángulo Q.
Llamaremos integral inferior de f , denotado I( f ), al número sup S , esto es I( f ) =
sup S . Llamaremos integral superior de f , denotado I( f ), al número ı́nf T , esto es
I( f ) = ı́nf T .
De todo lo anterior, concluı́mos que
Teorema 4. Sea f una función definida y acotada sobre un rectángulo Q.Entonces
I( f ) ≤ I( f ). Más
Z Zaún, f es integrable sobre Q si y sólo si I( f ) = I( f ).
f = I( f ) = I( f )
En este caso,
Q
Demostración: (inmediato).
Teorema 5. Sea f una función definida y acotada sobre un rectángulo Q = [a, b]×
[c, d] tal que f es integrable sobre Q. Supongamos que para cada y ∈ [c, d],
5
b
Z
Z
b
f (x, y)dx existe. Hagamos A(y) =
f (x, y)dx, ∀y ∈ [c, d]. Si
Z Z
Z d
Za d Z b
existe, entonces
f =
A(y)dy =
(
f (x, y)dx)dy.
Z
a
Q
c
c
d
A(y)dy
c
a
Demostración: Sean s, t funciones
escalonadas satisfaciendo
(5), integrando
resZ
Z
Z
b
b
s(x, y)dx ≤ A(y) ≤
pecto de x en [a, b] tenemos
a
d
t(x, y)dx y como
a
A(y)dy
c
existe,
[c, d] y obtenemos
Z d Z bpodemos integrar
Z drespecto deZy en
dZ b
s(x, y)dxdy ≤
A(y)dy ≤
t(x, y)dxdy.
c
a Z Z
c
c
a
Z d
Z Z
Esto es,
s≤
A(y)dy ≤
t, para cualesquiera s, t funciones escaloQ
c
Q
nadas satisfaciendo
Z (5).
d
Esto es, I( f ) ≤
A(y)dy ≤ I( f )
c
yZ como
sobre
Q, tenemos que
Z f es
Z integrable
Z dZ
d
b
f =
A(y)dy =
(
f (x, y)dx)dy
Q
c
c
a
Observación 2. El resultado análogo también
Z es cierto:
d
Supongamos que para cada x ∈ [a, b],
f (x, y)dy existe. Hagamos A(x) =
c
Z d
Z b
f (x, y)dy, ∀x ∈ [a, b]. Si
A(x)dx existe, entonces
c
a
Z Z
Z b
Z bZ d
f =
A(x)dx =
(
f (x, y)dy)dx.
Q
a
a
c
Ejemplo 1. f : [0, 1] × [0, 1] −→ R
(
1 x∈Q
f (x, y) =
2y x < Q
Z
1
Z
1
!
f (x, y) dy dx,
0
para x ∈ Q,
existe pero f no es integrable
0
A(x) =
1
Z
f (x, y) dy =
0
1
Z
dy = 1
0
6
para x < Q,
A(x) =
1
Z
2y dy = y2
1
0
=1
0
Z
1
A(x) dx = 1
0
Teorema 6. Sea f una función continua sobre el rectángulo Q = [a, b] × [c, d]
entonces Zf esZ integrable
sobre Q.
Z bZ
Z dZ b
d
Además,
f =
(
f (x, y)dy)dx =
(
f (x, y)dx)dy.
Q
a
c
c
a
Demostración: Como f es continua sobre Q entonces f es acotada sobre Q ya
que Q es compacto. Por lo que existen I( f ) y I( f ). Veamos que son iguales.
De nuevo, por ser Q compacto, f es uniformemente continua sobre Q.
Dado > 0, existe δ = δ() > 0 tal que x, y ∈ Q, kx − yk < δ ⇒ | f (x) − f (y)| < /2.
δ
.
Sea C = máx{b − a, d − c} > 0. Existe N ∈ N : N1 < 2C
k
k
< 2δ ,
Hagamos xk = a + N (b − a), yk = c + N (d − c), entonces |xk+1 − xk | = b−a
N
|yk+1 − yk | = d−c
< 2δ , ∀k ∈ {0, ..., N}.
N
Obtenemos ası́ una partición de Q con (N + 1)2 subrectángulos. Dado uno de estos
subrectángulos Qk, j ,
(x, y), (z, w) ∈ Qk, j ⇒ k(x, y) − (z, w)k = k(x − z, y − w)k ≤ |x − z| + |y − w| < δ
⇒ | f (x, y) − f (z, w)| < 2 . Por lo podemos escoger una cantidad finita de subrectángulos Q1 , ..., Qk de Q tal que sup{| f (x) − f (y)| : x, y ∈ Qi } ≤ /2, ∀i ∈
{1, ..., k}.
Ejercicio: sup{ f (x) : x ∈ S } − ı́nf{ f (x) : x ∈ S } = sup{| f (x) − f (y)| : x, y ∈ S }.
Dado i ∈ {1, ..., k}, hagamos Mi ( f ) = sup{ f (x) : x ∈ Qi }, mi ( f ) = ı́nf{ f (x) :
x ∈ Qi },
de lo anterior tenemos que Mi ( f ) − mi ( f ) ≤ /2, ∀i ∈ {1, ..., k}.
Definamos funciones escalonadas s, t por s(x) = mi ( f ), t(x) = Mi ( f ) si x ∈ int(Qi )
y s(x) = m, t(x) = M para x en los bordes de Qi , donde m, M son los valores
mı́nimo y máximo de f en Q, respectivamente.
Ası́, s, t satisfacen (5)
Z Z
Z Z
k
k
X
X
Además,
s=
mi ( f )a(Qi ) y
t=
Mi ( f )a(Qi ) donde a(Qi ) es el
Q
Q
i=1
área del rectángulo Qi , ∀i ∈ {1, ..., k}.
7
i=1
k
k
X
X
a(Qi ) = .a(Q).
(Mi ( f ) − mi ( f ))a(Qi ) <
s=
Q
Q
i=1
Z Z
Z i=1
Z
Pero,
s ≤ I( f ) y
t ≥ I( f )
Z Z
Z Z
t−
Ası́,
Q
Q
Por lo que, 0 ≤ I( f ) − I( f ) ≤ a(Q), ∀ > 0.
Esto es, I( f ) = I( f ), por lo que, f es integrable sobre Q.
Z b
Por otro lado, fijemos y ∈ [c, d] entonces
f (x, y)dx existe ya que f (·, y) es
a
Z b
continua en [a, b]. Hagamos A(y) =
f (x, y)dx, ∀y ∈ [c, d]. veamos que A es
a
continua en [c,d].
Si y, y1 ∈ [c, d] entonces |A(y) − A(y1 )| = |
Z
b
f (x, y) − f (x, y1 )dx|
a
Ası́, |A(y) − A(y1 )| ≤ (b − a) máx{| f (x, y) − f (x, y1 )| : x ∈ [a, b]} =
(b − a)| f (x1 , y) − f (x1 , y1 )|, donde x1 es un punto en el que la función
| f (x, y) − f (x, y1 )| alcanza un máximo en [a, b].
Por lo que A(y) → A(y1 ) cuando y → y1 .
Esto es A es continua
Z en todo y1 ∈ [c, d].
d
Por lo que existe
A(y)dy y por el teorema (5)
c
Z Z
Z d
Z dZ b
f =
A(y)dy =
(
f (x, y)dx)dy.
Q
c
c
a
De
análoga se obtiene que
Z Zforma completamente
Z bZ d
f =
(
f (x, y)dy)dx.
Q
a
c
Definición 9. Sea A un subconjunto acotado del plano. Diremos que A tiene contenido nulo si para todo > 0 existe un conjunto finitos de rectángulos cuya unión
contiene a A y las sumas de las áreas de los rectángulos es menor que .
Teorema 7. Sea f una función definida y acotada en Q = [a, b] × [c, d]. Si"
el conjunto de discontinuidades de f en Q tiene contenido nulo entonces existe
f
Q
Demostración: Sea M > 0 tal que | f | ≤ M en Q y sea D el conjunto de discontinuidad de f en Q. Fijemos δ > 0 y sea P una partición de Q tal que la suma de las
áreas de todos los subrectángulos de P que contienen puntos de D sea menor que
δ.
8
Procediendo como en la prueba del teorema (6). Definamos s y t funciones escalonadas tal que s(x) = −M y t(x) = M para x en esos rectángulos y en los restantes
definimos s y t como en la prueba de (6)), entonces s ≤ f ≤ t en Q.
"
"
"
s =
t−
Q
"
t−s+
S
Q
i∈A
Qi
t−s
S
i∈B
Qi
< a(Q) + 2Mδ
"
ası́
0 ≤ I( f ) − I( f ) ≤
"
s < a(Q) + 2Mδ, ∀ > 0
t−
Q
Q
es decir,
0 ≤ I( f ) − I( f ) ≤ 2Mδ, ∀δ > 0
por tanto, f es integrable sobre Q
Integral sobre regiones más generales.
Sea S un conjunto acotado en el plano y Q un rectángulo tal que S ⊂ Q. Sea
f una función definida y acotada en S .
Definamos


f (x, y) si (x, y) ∈ S



e
f (x, y) = 



0 si (x, y) ∈ Q − S
Diremos que f es integrable sobre S si e
f es integrable sobre Q, en este caso
"
"
e
f =
f
S
Q
Si S = (x, y) : a ≤ x ≤ b y ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) , donde ϕ1 y ϕ2 son continuas
en [a, b] tal que ϕ1 ≤ ϕ2 , diremos que S es una región del tipo I.
Análogamente, si T = (x, y) : c ≤ y ≤ d y ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) , donde ψ1 y ψ2
son continuas sobre [c, d] con ψ1 ≤ ψ2 , diremos que T es una región del tipo II.
9
Teorema 8. Si ϕ : [a, b] −→ R es continua, entonces G(ϕ) tiene contenido nulo.
Demostración: Sea A = G(ϕ), entonces A = {(x, y) : y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b}.
Dado > 0, como ϕ es uniformemente continua existe una partición P de [a, b] en
una cantidad finita de subintervalos tal que la oscilación de ϕ en cada subintervalo
.
es menor o igual b−a
Ası́, en cada subintervalo de P, la gráfica de ϕ está dentro de un rectángulo de
.
altura b−a
Por lo que, toda la gráfica de ϕ está contenida en una reunión finita de rectángulos
tal que la suma de las áreas es menor que .
X
a(Qi ) ≤
X
X
.∆xi =
∆xi = b−a
b−a
A tiene contenido nulo.
Si S es una región de tipo I
int(S ) = (x, y) : a < x < b y ϕ1 (x) < y < ϕ2 (x)
Teorema 9. Sea S una región del tipo I. Supongamos que
! f está definida y es acotada en S y que es continua en int(S ). Entonces existe
f y puede calcularse
por
S
"
f =
Z
b
!
f (x, y)dy dx
ϕ1 (x)
a
S
ϕ2 (x)
Z
Demostración: Sea Q = [a, b] × [c, d] un rectángulo que contiene a S , y sea e
f la
extensión de f a Q.
Los únicos puntos que pueden ser de discontinuidad para e
f son los de ∂S .
Pero ∂S tiene contenido nulo, ası́ e
f esZintegrable en Q.
d
Ahora, para cada x ∈ (a, b) fijo, existe
e
f (x, y)dy ya que e
f (x, ·) tiene a los más
c
dos discontinuidades en [c, d] y por el teorema (5),
!
"
Z b Z d
e
e
f =
f (x, y)dy dx
a
Q
=
Z
c
b
Z
ϕ2 (x)
!
f (x, y)dy dx
a
ϕ1 (x)
10
ası́,
"
f =
b
Z
Z
ϕ2 (x)
!
f (x, y)dy dx.
a
S
ϕ1 (x)
Existe un teorema análogo para región del tipo II, en ese caso
!
"
Z d Z ψ2 (y)
f =
f (x, y)dx dy.
c
S
ψ1 (y)
Teorema de Green.
Sea C una curva descrita por la función α : [a, b] −→ R2 continua.
Si α(a) = α(b), diremos que C es cerrada.
Si α(t1 ) , α(t2 ), para todo t1 , t2 , t1 , t2 ∈ (a, b), C es una curva cerrada simple,
diremos que C es una curva de Jordan. Toda curva de Jordan C descompone al
plano en dos conjuntos abiertos, conexos y disjuntos que tienen a C como frontera
común. Uno acotado y se llama interior de C, el otro no acotado y se llama exterior
de C.
Teorema 10 (Teorema de Green para regiones planas acotadas por curvas
de Jordan regulares a trozos.). Sean P y Q campos escalares derivables con
continuidad en un conjunto abierto S del plano R2 . Sea C una curva de Jordan
regular a trozos, y representamos por R la unión de C y su interior. Supongamos
que R ⊂ S . Se tiene entonces la igualdad
!
,
"
∂Q ∂P
−
dx dy =
P dx + Q dy,
∂x
∂y
C
R
En la que la integral de linea se toma alrededor de C en sentido antihorario.
Demostración: Probaremos que,
"
,
∂Q
dx dy =
Q dy
∂x
C
R
y
"
−
∂P
dx dy =
∂y
R
11
,
P dx
C
Demostración: Para regiones especiales. Probaremos para regiones tipo II.
R tiene la forma R = (x, y) : c ≤ y ≤ d y f (y) ≤ x ≤ g(y) donde f y g son continuas en [c, d], la frontera C de R consta de cuatro partes, C1 (gráfico de f ), C2
(gráfico de g) y dos segmentos rectilı́neos horizontales.
∂Q
Por hipótesis,
es continua en R, ası́, por el teorema 9
∂x
!
"
Z d Z g(y)
∂Q
∂Q
dx dy =
(x, y)dx dy
∂x
c
f (y) ∂x
R
Z d
(Q(g(y), y) − Q( f (y), y)) dy
=
c
Z d
Z d
=
Q(g(y), y) dy −
Q( f (y), y) dy
c
c
por otro lado,
Z
Q dy =
C
Z
ya que
Z
Q dy +
C1
Z
Q dy,
C2
Q dy = 0 en cada segmento horizontal γ contenido en S
γ
para C1 usamos la representación α(t) = ( f (t), t), con t ∈ [c, d] y teniendo en
cuenta el sentido invertido
Z
Z d
Z d
Q dy = −
Q(α(t)) dt = −
Q( f (t), t) dt
c
C1
c
y para C2 usamos β(t) = (g(t), t), con t ∈ [c, d]
Z
Z d
Z
Q dy =
Q(β(t)) dt =
c
C2
d
Q(g(t), t) dt
c
ası́,
Z
Q dy = −
Z
"
C
=
d
Q( f (t), t)dt +
c
Z
d
Q(g(t), t)dt
c
∂Q
dx dy
∂x
R
12
Cambio de variable en una integral doble.
Teorema 11. Sea g : R∗ −→ R2 una función inyectiva definida en una región R∗
de R2 , hagamos R = g(R∗ ). Entonces
g(u, v) = (X(u, v), Y(u, v)) , ∀(u, v) ∈ R∗
Supongamos que R y R∗ son regiones elementales, X, Y tienen segundas derivadas parciales continuas en R∗ y que el determinante Jacobiano
J(u, v) =
∂X
∂u
∂X
∂v
∂Y
∂u
∂Y
∂v
nunca se anula en R∗ ( o se anula en un conjunto de contenido cero), entonces
J(u, v) es siempre positivo o siempre negativo en R∗ . Concluimos que
"
"
dx dy =
|J(u, v)| du dv
R∗
R
Demostración: Supongamos que J(u, v) > 0, ∀(u, v) ∈ R∗ , entonces
!
"
"
∂Q ∂P
−
dx dy
dx dy =
∂x
∂y
R
R
donde Q(x, y) = x y P(x, y) = 0.
Por el teorema de Green
"
Z
Z
dx dy =
P dx + Q dy =
x dy,
R
C
C
donde C es la frontera de R recorrido en sentido antihorario.
Ahora,
∂X ∂Y ∂X ∂Y
−
∂u ∂v ∂v ∂u
∂X ∂Y
∂2 Y
∂2 Y
∂X ∂Y
=
+X
−X
−
∂u ∂v ! ∂u∂v
∂u∂v
∂v ∂u
!
∂
∂Y
∂
∂Y
=
X
−
X
∂u
∂v
∂v ∂u
J(u, v) =
13
y por el teorema de Green sobre R∗
!
!
"
"
∂
∂Y
∂
∂Y
X
−
X
du dv
|J(u, v)| du dv =
∂u
∂v
∂v ∂u
∗
∗
R
ZR
∂Y
∂Y
=
X
du + X
dv
∂u
∂v
C∗
Supongamos que C ∗ está descrita por α : [a, b] −→ C ∗ dada por
α(t) = (U(t), V(t))
y sea β = g ◦ α, entonces
β(t) = (X (U(t), V(t)) , Y (U(t), V(t)))
ası́, cuando t varı́a en [a, b], α(t) describe a C ∗ y β(t) a C,
por la regla de la cadena
!
∂X 0
∂Y 0
∂Y 0
∂X 0
U (t) +
V (t),
U (t) +
V (t)
β (t) =
∂u
∂v
∂u
∂v
0
ası́,
Z
x dy =
b
Z
a
C
!
∂Y 0
∂Y 0
U (t) +
V (t) dt.
X (U(t), V(t)) .
∂u
∂v
Por otro lado,
Z
X
∂Y
∂Y
du + X
dv
∂u
∂v
C∗
∂Y
∂Y
(α(t))U 0 (t) + X(α(t)) (α(t))V 0 (t) dt
∂u
∂v
a
!
Z b
∂Y 0
∂Y 0
=
X (U(t), V(t))
U (t) +
V (t) dt
∂u
∂v
a
=
esto es
Z
b
X(α(t))
"
"
dx dy =
R
|J(u, v)| du dv
R∗
14
Corolario 1. Con las hipótesis del teorema 11, si R es un rectángulo y s es una
función escalonada en R, entonces
"
"
s(x, y)dx dy =
s (X(u, v), Y(u, v)) |J(u, v)| du dv
R∗
R
Teorema 12. En las condiciones del teorema anterior. Si f : R −→ R es integrable y R es un rectángulo, entonces
"
"
f (x, y)dx dy =
f (X(u, v), Y(u, v)) |J(u, v)| du dv
R∗
R
Demostración: Sea f integrable en R y sean s y t funciones escalonadas tal que
s(x, y) ≤ f (x, y) ≤ t(x, y), ∀(x, y) ∈ R
(7)
ası́,
s (X(u, v), Y(u, v)) ≤ f (X(u, v), Y(u, v)) ≤ t (X(u, v), Y(u, v)) , ∀(u, v) ∈ R∗
hagamos
S (u, v) = s (X(u, v), Y(u, v))
F(u, v) = f (X(u, v), Y(u, v))
T (u, v) = t (X(u, v), Y(u, v))
es decir
S (u, v) ≤ F(u, v) ≤ T (u, v)
ası́,
S (u, v) |J(u, v)| ≤ F(u, v) |J(u, v)| ≤ T (u, v) |J(u, v)|
luego,
"
"
"
S (u, v) |J(u, v)| du dv ≤
F(u, v) |J(u, v)| du dv ≤
T (u, v) |J(u, v)| du dv
R∗
R∗
R∗
por el corolario
"
"
"
s(x, y)dx dy ≤
F(u, v) |J(u, v)| du dv ≤
t(x, y)dx dy
R
R?
R
15
∀ s, t escalonadas satisfaciendo (7)
como f es integrable sobre R tenemos que
"
"
f (x, y)dx dy =
F(u, v) |J(u, v)| du dv
∗
R
"
R
=
f (X(u, v), Y(u, v)) |J(u, v)| du dv
R∗
Finalmente, si f es integrable sobre una región acotada S
"
"
e
f (x, y)dx dy =
f (x, y)dx dy
R
"
S
=
e
f (X(u, v), Y(u, v)) |J(u, v)| du dv
∗
R
"
=
f (X(u, v), Y(u, v)) |J(u, v)| du dv
T
Ejemplo 2. Sea"
P el paralelogramo acotado por y = 2x, y = 2x − 2, y = x, y =
x + 1. Evaluar
xy dx dy.
P
Haciendo el cambio de variable
X(u, v) = u − v, Y(u, v) = 2u − v, g(u, v) = (u − v, 2u − v), entonces g es C 2
g es 1 − 1 y envı́a P∗ acotado por v = 0, v = −2, u = 0, u = 1 sobre P
"
#
∂(X, Y)
1 −1
= det
= |1| = 1
2 −1
∂(u, v)
16
Ası́,
"
"
xy dx dy =
x(u, v)y(u, v)
?
∂(x, y)
du dv
∂(u, v)
P
"
P
=
(u − v)(2u − v)du dv
P∗
=
=
Z 0Z
1
(u − v)(2u − v)du dv
−2
Z 0
−2
0
Z
1
2u2 − 3uv + v2 du dv = 7
0
Superficies.
Definición 10. Una superficie S es la imagen de un conjunto conexo T ⊂ R2 por
una función r : T −→ R3 .
En este caso
r(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) , ∀(u, v) ∈ T
esta se llama ecuación vectorial de la superficie.
Supongamos que X, Y y Z son continuas en T . La imagen de T a través de r se
llama superficie paramétrica y se representa por r(t). Si r es inyectiva en T , diremos que r(t) es una superficie paramétrica simple. En este caso toda curva cerrada
simple en T se aplica en una curva cerrada simple en la superficie.
Si X, Y, Z son independientes de v, r(t) es una curva.
Si X, Y, Z son diferenciables en T , consideremos
∂X
∂r
=
i+
∂u
∂u
∂r
∂X
=
i+
∂v
∂v
17
∂Y
∂Z
j+
k
∂u
∂u
∂Y
∂Z
j+
k
∂v
∂v
∂r ∂r
× , lo llamaremos producto vectorial fundamental de
Al producto vectorial
∂u ∂v
r.
∂Y
∂u
∂r ∂r
×
=
∂u ∂v
∂Z
∂u
∂Z
∂u
∂X
∂u
i +
j +
∂Y ∂Z
∂Z ∂X
∂v ∂v
∂v ∂v
∂(Y, Z)
∂(Z, X)
∂(X, Y)
=
i+
j+
k
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
∂X
∂u
∂Y
∂u
∂X
∂v
∂Y
∂v
k
∂r ∂r
∂r ∂r
Si (u, v) ∈ T,
,
son continuas en (u, v) y
×
es no nulo, el punto
∂u ∂v
∂u ∂v
(u, v) se llama punto regular de r. En caso contrario (u, v) es un punto singular
La superficie r se llama regular si todos sus puntos son regulares.
Definición de área de una superficie.
El área de S , denotada a(S ) se define por la integral doble
"
∂r ∂r
a(S ) =
×
du dv
∂u ∂v
T
s
!2
!2
!2
"
∂(Y, Z)
∂(Z, X)
∂(X, Y)
+
+
du dv
=
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
T
Si S está dada por la ecuación z = f (x, y) entonces
r(x, y) = (x, y, f (x, y))
s
!2
!2
∂f
∂f
∂f
∂r ∂r
∂f
×
= − i−
+k = 1+
+
∂x ∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
Ejercicio 1. Calcular el área de la región que en el plano x + y + z = a determina
el cilindro x2 + y2 = a2 .
18
z = a − x − y = f (x, y)
∂f
∂f
= −1,
= −1,
R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2 }
∂x
∂y
" √
a(S ) =
1 + 1 + 1 du dv
√ "
3
du dv
R
=
R
=
=
√
3 a(R)
√ Z
√ Z aZ
3 r dr dθ = 3
0
R∗
=
2π
r dθ dr
0
√ Z a
√
3
2πr dr = 3πa2
0
donde,
x = rcos(θ) , 0 ≤ r ≤ a
y = rsen(θ)
0 ≤ θ ≤ 2π
R∗ = [0, a] × [0, 2π]
∂(x, y)
cosθ senθ
=
= rcos2 θ + rsen2 θ = r
rsenθ rcosθ
∂(r, θ)
Definición de integral de superficie.
Sea S = r(t) una superficie paramétrica descrita por una función diferenciable
r definida en una región T del plano uv, y sea f un campo escalar definido y
acotado en S .
"
La integral de superficie de f sobre S se representa con el sı́mbolo
f dS o
r(t)
19
"
f dS y está definida por la ecuación
S
"
"
f dS =
f (r(u, v))
∂r ∂r
×
du dv,
∂u ∂v
T
r(t)
siempre que esta integral exista.
Sea S = r(t) una superficie paramétrica simple. En cada punto regular de S
designemos con n1 el vector unitario normal que tenga el mismo sentido que el
producto vectorial fundamental.
N
∂r ∂r
×
y n2 = −n1 , entonces n1 =
.
Haciendo N =
∂u ∂v
kNk
Sea n cualquiera de los dos vectores
! normales n1 ó n2 . Sea F un campo vectorial definido en S y supongamos que F.n dS exista, entonces
S
"
"
∂r ∂r
×
du dv,
∂u ∂v
T
!
"
∂r ∂r
= ±
×
du dv,
F(r(u, v)).
∂u ∂v
F.n dS =
S
F(r(u, v))n(u, v)
T
+ si n = n1 y − si n = n2 .
Hagamos F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k
y
r(u, v) = X(u, v)i + Y(u, v) j + Z(u, v)k
El producto vectorial fundamental de r viene entonces dado por
N=
∂r ∂r ∂(Y, Z)
∂(Z, X)
∂(X, Y)
×
=
i+
j+
k
∂u ∂v ∂(u, v)
∂(u, v)
∂(u, v)
20
Si n = n1 , entonces
"
"
"
∂(Y, Z)
∂(Z, X)
F.n dS =
P(r(u, v))
du dv +
Q(r(u, v))
du dv
∂(u, v)
∂(u, v)
S
T
T
"
∂(X, Y)
+
R(r(u, v))
du dv
∂(u, v)
T
Si n = n2 , cada integral se multiplica por −. La integral anterior la escribimos
"
"
"
F.n dS =
P(x, y, z) dy ∧ dz +
Q(x, y, z) dz ∧ dx
S
S
"
+
S
R(x, y, z) dx ∧ dy
S
o también
"
"
F.n dS =
S
esto es,
"
"
P dy ∧ dz +
S
Q dz ∧ dx +
S
"
S
"
P dy ∧ dz =
S
P(r(u, v))
∂(Y, Z)
du dv
∂(u, v)
T
∂(Y, Z)
∂(Z, Y)
=−
∂(u, v)
∂(u, v)
"
"
P dy ∧ dz = −
P dz ∧ dy.
Usando esta notación, ya que
entonces,
S
S
21
R dx ∧ dy
Teorema de Stokes.
Teorema 13. Supongamos que S es una superficie paramétrica simple regular,
S = r(T ), siendo T una región del plano uv limitada por una curva de Jordan
regular a trozos Γ. Supongamos también que r es una aplicación uno a uno
cuyos componentes tienen derivadas parciales segundas continuas en un cierto
conjunto abierto que contenga T ∪ Γ. Designemos con C la imagen de Γ por
r, y sean P, Q y R campos escalares derivables con continuidad en S . Tenemos
entonces
!
!
!
"
∂P ∂R
∂Q ∂P
∂R ∂Q
−
dy ∧ dz +
−
dz ∧ dx +
−
dx ∧ dy
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x
∂y
S
Z
=
P dx + Q dy + R dz
C
La curva Γ se recorre en sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj) y
la curva C en el sentido que resulte de aplicar a Γ la función r.
Demostración: Para demostrar el teorema basta establecer las tres fórmulas siguientes
Z
"
∂P
∂P
P dx =
−
dx ∧ dy +
dz ∧ dx,
∂y
∂z
C
S
Z
"
∂Q
∂Q
Q dy =
−
dy ∧ dz +
dx ∧ dy,
∂z
∂x
C
S
Z
"
∂R
∂R
R dz =
− dz ∧ dx +
dy ∧ dz.
∂x
∂y
C
S
Probaremos solamente que
Z
"
∂Q
∂Q
Q dy =
−
dy ∧ dz +
dx ∧ dy
∂z
∂x
C
S
escribamos r(u, v) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)) , entonces
"
∂Q
∂Q
dy ∧ dz +
dx ∧ dy
−
∂z
∂x
S
#
" "
∂Q(r(u, v)) ∂(X, Y)
∂Q(r(u, v)) ∂(Y, Z)
=
−
+
du dv
∂z
∂(u, v)
∂x
∂(u, v)
T
22
Sea q(u, v) = Q [X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)] = Q ◦ r(u, v)
entonces,
!
!
!
∂Y
∂
∂Y
∂Q ∂X
∂Q ∂Y
∂Q ∂Z ∂Y
∂2 Y
∂
q.
−
q.
=
+
+
.
+ q.
∂u
∂v
∂v
∂u
∂x ∂u
∂y ∂u
∂z ∂u ∂v
∂u∂v
!
∂Q ∂X
∂Q ∂Y
∂Q ∂Z ∂Y
∂2 Y
−
+
+
.
− q.
∂x ∂v
∂y ∂v
∂z ∂v ∂u
∂v∂u
!
!
∂Q ∂X ∂Y ∂X ∂Y
∂Q ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y
=
−
+
−
∂x ∂u ∂v ∂v ∂u
∂y ∂u ∂v ∂v ∂u
!
∂Q ∂Z ∂Y ∂Z ∂Y
+
−
∂z ∂u ∂v ∂v ∂u
∂Q ∂(X, Y)
∂Q ∂(Z, Y)
=
+
∂x ∂(u, v)
∂z ∂(u, v)
∂Q ∂(X, Y)
∂Q ∂(Y, Z)
+
= −
∂z ∂(u, v)
∂x ∂(u, v)
Ası́,
" "
#
∂Q(r(u, v)) ∂(X, Y)
∂Q(r(u, v)) ∂(Y, Z)
+
du dv
−
∂z
∂(u, v)
∂x
∂(u, v)
T
!
!
"
∂Y
∂
∂Y
∂
=
q.
−
q.
du dv
∂u
∂v
∂v
∂u
ZT
∂Y
∂Y
=
q.
du + q.
dv
por el teorema de Green
∂u
∂v
Γ
en donde Γ se recorre en sentido antihorario. Sea γ una parametrización de Γ en
[a, b] y sea α(t) = r(γ(t)), la correspondiente parametrización de C.
γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t))
α(t) = r(γ(t)) = (X(γ(t)), Y(γ(t)), Z(γ(t)))
23
entonces,
Z
Z
Q dy =
b
Q(α(t)).(Y ◦ γ)0 (t) dt
a
C
!
∂Y
∂Y
0
0
=
Q(α(t)).
(γ(t))γ1 (t) +
(γ(t))γ2 (t) dt
∂u
∂v
a
Z b
Z b
∂Y
∂Y
0
=
Q(α(t)). (γ(t))γ1 (t) dt +
Q(α(t)) (γ(t))γ20 (t) dt
∂u
∂v
a
Za
∂Y
∂Y
=
q.
du + q.
dv
∂u
∂v
Z
b
Γ
Definición 11. Sea F un campo vectorial
F(x, y, z) = P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z)
El rotacional de F está dado por
!
!
!
∂R
∂P
∂Q
∂Q
∂R
∂P
rotF =
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
sus componentes son las que aparecen en el teorema de Stokes.
Ası́, el teorema de Stokes se transforma en
"
Z
(rotF).n dS =
F dα
S
C
Si S es una región del plano xy y n = k, esta fórmula se reduce a
!
"
Z
∂Q
∂P
−
dx dy =
P dx + Q dy
∂x
∂y
S
i
rotF :=
C
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q R
:= ∇ × F
24
donde,
∇ :=
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
∇.F :=
∂Q
∂R
∂P
+
+
∂x
∂y
∂z
es un campo escalar llamado divergencia de F
Teorema de cambio de variable
Teorema 14. Supongamos que T es una función de clase C1 , inyectiva de un
conjunto abierto E ⊂ Rk en Rk , tal que JT (x) , 0 para todo x ∈ E. Si f es una
función continua en Rk , cuyo soporte es compacto y contenido en T (E), entonces
Z
Z
f (y) dy =
f (T (x)) |JT (x)| dx.
Rk
Rk
Demostración: Ver Rudin, página 272
25