Lösningar basuppgifter
1.3 Krafter i tre dimensioner
B1.4
Kraftvektorn kan skrivas som
F = F eAB ,
där eAB är en enhetsvektor riktad längs kraftens verkningslinje AB.
Denna kan bestämmas som
−→
AB
eAB = −→ .
|AB|
Här är
−→
AB = (−3 − 1, 6 − 3, 8 − 2) m = (−4, 3, 6) m,
vilket ger
(−4, 3, 6)
1
eAB = √
= √ (−4, 3, 6),
16 + 9 + 36
61
och svaret
F
F = √ (−4, 3, 6).
61
B1.5
Momentsumman fås som
ΣM A = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 ,
där r 1 och r 2 är lägesvektorerna för krafternas angreppspunkter relativt
momentpunkten, som vi väljer att beteckna A. Vi får då
r 1 = (−2 − 2, 4 − 4, 0 + 1) m = (−4, 0, 1) m,
r 2 = (−2 − 2, 3 − 4, 2 + 1) m = (−4, −1, 3) m.
Momentsumman blir då
ΣM A =
ex ey ez
ex ey ez
−4 0
1 Nm+ −4 −1 3
0
2 −5
1
5
0
som till sist ger svaret
ΣM A = (−17, −17, −27) Nm.
Nm = (−2, −20, −8) Nm+(−15, 3, −19) Nm,
B1.6
Vi konstaterar direkt att verkningslinjen för en av krafterna går genom punkten P,
vilket innebär att denna kraft inte bidrar till momentet med avseende på OP.
De övriga två krafterna kan skrivas som
F 1 = (0, −F, 0),
F 2 = (0, 0, F ).
Momentsumman med avseende på axeln OP kan beräknas som
ΣMOP = (ΣM O ) · eOP ,
(1)
där eOP är en enhetsvektor längs OP.
Momentsumman med avseende på punkten O ges av
ΣM O = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 ,
där r 1 och r 2 är lägesvektorerna för angreppspunkterna för F 1 respektive F 2 ,
det vill säga
r 1 = (L, L, L),
r 2 = (L, L, 0).
Momentsumman med avseende på punkten O blir då
ΣM O =
ex ey
L
L
0 −F
ez
L
0
+
ex ey ez
L L 0
0 0 F
=
= (F L, 0, −F L) + (F L, −F L, 0) = (2F L, −F L, −F L).
Enhetsvektorn eOP bestäms ur sambandet
eOP
−→
(0, 1, 1)
1
OP
= √ (0, 1, 1).
= −→ = √
1+1
2
|OP|
Insättning i ekv (1) ger den sökta momentsumman
√
1
ΣMOP = √ (2F L, −F L, −F L) · (0, 1, 1) = − 2F L.
2
B1.7
M P = (2F L, −3F L, F L).
a)
My = M P · ey = −3F L.
b)
MPQ = M P · ePQ ,
där
1
ePQ = √ (0, −1, 1)
2
är en enhetsvektor längs axeln PQ, det vill säga
√
3F L F L
MPQ = √ + √ = 2 2F L.
2
2
c)
√
MQP = M P · eQP = −M P · ePQ = −MPQ = −2 2F L.
B1.8a. Momentet med avseende på punkten Q ges av
−→
ΣM Q = QP × F 1 ,
där
−→
QP = (4L, L, −L) − (L, 0, −2L) = (3L, L, L)
och
F 1 = (2F, −F, 0).
Insättning ger
MQ =
ex ey
3L L
2F −F
ez
L
0
= (F L, 2F L, −5F L).
B1.8b. Momentet med avseende på en axel genom Q parallell med y-axeln fås ur
MQy = M Q · ey = 2F L,
eftersom ey är en enhetsvektor parallell med axeln ifråga.