MATERI TEORI GRAPH
PERTEMUAN 6
A. Derajat titik
Derajat titik v (dinotasikan dengan dG(v)) pada graf G adalah banyaknya sisi dari G yang
terkait dengan titik v, setiap loop dihitung sebagai 2 sisi. Kita menotasikan  (G ) sebagai
derajat minimum dan  (G ) sebagai derajat maksimum titik di G.
Teorema 1.1
 d (v)  2
vV
Tugas 1
Buktikan teorema 1.1
Suatu graf G dikatakan regular-k jika d(v)=k untuk semua v  V . Graf lengkap dan graf
bipartisi lengkap merupakan contoh dari graf regular.
B. Lintasan dan keterhubungan
Suatu jalan di G adalah barisan tak nol berhingga W= v0e1v1e2…ekvk dimana terdiri dari
urutan titik dan sisi sedemikian hingga untuk 1  i  k , ujung dari sisi ei adalah titik vi-1 dan
vi. kita sebut bahwa W adalah jalan dari v0 ke vk atau jalan (v0,vk). titik v0 dan vk disebut
dengan awal dan terminal, sedangkan v1, v2,…vk-1 adalah titik internalnya. Panjang dati W
adalah k. suatu titik/sisi boleh dilalui beberapa kali dalam sebuah jalan.
Jika sisi-sisi dari suatu jalan W semuanya berbeda, maka W disebut trail. Jika semua titik
yang dilalui trail W juga berbeda, maka W disebut dengan path (lintasan).
Tugas 2
G
Jalan W : u_a_v_b_w_b_v_g_y  panjang W = 4; awal : u; ujung : y; internal : v,w,v
W bukan trail karena sisi b dilewati lebih dari 1 kali
Jalan T : u_e_y_d_x_c_w_h_y_g_v T adalah trail
T bukan lintasan karena titik y dilewati 2 kali
Jalan S : u_e_y_d_x_c_w S adalah lintasan
Tuliskan a) hitunglah derajat setiap titik graf G; b) 4 jalan dari graf G; c) 2 trail; d) 2 lintasan;
e) adakah trail yang memuat semua sisi dari graf G; f) adakah lintasan yang memuat semua
titik dari G.
Dua titik u dan v pada graf G dikatakan terhubung jika ada lintasan (u,v) di G. keterhubungan
memiliki relasi ekivalen dengan himpunan titik V. jadi terdapat partisi dari V menjadi subsetsubset tak kosong V1, V2,…Vw sedemikian hingga titik u dan v terhubung jika berada pada
himpunan yang sama Vi. subgraf-subgraf G[V1], G[ V2],…G[Vw] disebut dengan komponen
dari G. jika G memiliki tepat 1 komponen, maka G dikatakan terhubung.
Gambar a adalah contoh graf terhubung (memiliki 1 komponen)
Gambar b adalah contoh graf tidak terhubung (memiliki 3 komponen)
C. Matriks keterkaitan (incidence)
Untuk sebarang grap G terdapat sebuah matrik berukuran m×n yang
berkorespondensi disebut dengan matrik keterkaitan G. Misal titik-titik di G dinotasikan v1,
v2,…, vm dan sisi-sisinya dinotasikan e1, e2,…, en. Maka matrik keterkaitan dari G adalah
matrik M(G)=[mij], dimana mij adalah banyaknya vi dan ej terkait (0, 1, atau 2). Matrik
keterkaitan adalah suatu cara lain untuk merepresentasikan sebuah grap.
Perhatikan grap G berikut ini.
Langkah-langkah membuat matrik keterkaitan
1. Tentukan banyak baris dengan menghitung banyaknya titik dan kolom dengan
menghitung banyaknya sisi
Contoh : pada grap G terdapat 4 titik dan 7 sisi. Sehingga ukuran matrik M(G)
adalah 4×7.
2. Buatlah bentuk kosong dari matrik yang telah ditentukan pada nomor 1
Contoh :
v1
v2
v3
v4
e1
....
 ...

 ...

 ...
e2 e3 e4 e5 e6 e7
.... .... .... .... .... ....
... ... ... ... ... ... 
... ... ... ... ... ... 

... ... ... ... ... ... 
3. Isilah matrik mulai dari kolom e1 dengan melihat titik apa yang terkait pada e1 dan
seterusnya
Contoh :
v1
v2
v3
v4
e1
1
1

0

0
e2 e3 e4 e5 e6 e7
.... .... .... .... .... ....
... ... ... ... ... ... 
... ... ... ... ... ... 

... ... ... ... ... ... 
Karena sisi e1 terkait dengan titik v1 dan v2 maka isi baris 1 dan 2 pada kolom 1
dengan angka 1 dan baris lainnya dengan 0 (karena tidak terkait dengan sisi e1).
4. Untuk sisi loop isi dengan angka 2 karena berawal dan berakhir pada 1 titik
Contoh : sisi e6 merupakan loop yang terkait dengan titik v4, maka pada baris ke 4
kolom ke 6 diisi dengan 2
v1
M (G )  v 2
v3
v4
e1
1
1

0

0
e2 e3 e4 e5 e6 e7
1
0 0 1 0 1 
1 1 0 0 0 0 
0 1 1 0 0 1 

0 0 1 1 2 0 
Perhatikan matrik M(G) yang telah penuh pada nomor 4.
a. Masing-masing kolom jika dijumlah selalu bernilai 2. Hal ini dikarenakan setiap 1
sisi selalu memiliki 2 ujung.
b. Masing-masing baris jika dijumlah memiliki nilai sama dengan banyaknya sisi yang
terkait padanya. Sebagai contoh v1 terkait dengan 4 sisi maka, jumlah entri pada
baris 1 adalah 4.
c. Sisi rangkap dapat dilihat jika terdapat 2 atau lebih kolom yang memiliki entri
serupa. Contoh kolom 1 dan kolom 2 memiliki entri kembar, maka sisi e1 dan e2
adalah sisi rangkap.
d. Sisi yang berupa loop memiliki entri angka 2.
D. Matriks keterhubungan (adjacency)
Matrik lain yang juga merupakan representasi dari grap G adalah matrik
keterhubungan, yaitu matrik berukuran m×m, A(G)=[aij], dimana aij adalah banyaknya sisi
yang menghubungkan titik vi dan vj.
Perhatikan gambar grap G pada contoh sebelumnya.
Langkah-langkah membuat matrik keterhubungan
1. Tentukan banyak baris dan kolom dengan menghitung banyaknya titik.
Contoh : grap G memiliki 4 titik, maka bentuk matrik dengan ukuran 4×4
2. Buatlah bentuk kosong dari matrik yang telah ditentukan pada nomor 1
Contoh :
v1
v2
v3
v4
v1
....
 ...

....

....
v 2 v3 v 4
.... .... ....
.... .... ....
.... .... ....

.... .... ....
3. Isi mulai dari baris 1 dengan entri banyaknya sisi yang menghubungkan titik-titik
bersesuaian dan seterusnya
Contoh : titik v1 tidak terhubung dengan dirinya sendiri jadi pada kolom 1 baris 1
diisi dengan 0. Sedangkan v1 terhubung oleh sebanyak 2 sisi dengan v2 sehingga,
pada kolom 1 baris 2 diisi dengan 2. Karena hubungan antara v1 dan v2 berlaku
kebalikan, maka isi kolom 2 baris 1 juga 2.
v1
v1  0
v 2  2
v3 ....

v 4 ....
v 2 v3 v 4
v1 v 2 v3 v 4
2 .... ....
v1 0 2 1 1
.... .... ....  A(G )  v 2 2 0 1 0
.... .... ....
v 3 1 1 0 1 



.... .... ....
v 4 1 0 1 1 
Perhatikan matrik A(G) yang telah penuh pada nomor 3.
a. Masing-masing kolom/baris jika dijumlah nilainya sama dengan banyaknya sisi
yang terkait dengan titik pada kolom tersebut. Sebagai contoh, v1 memiliki
sebanyak 4 titik yang terkait padanya, maka jumlah kolom dan barisnya juga 4.
b. Sisi rangkap dapat dilihat jika entri matriks bernilai 2 atauh lebih.
c. Loop dapat dilihat jika pada diagonal utama terdapat entri yang tidak 0.
d. Matrik A(G) selalu simetris terhadap diagonal utamanya.
E. Subgrap
Suatu grap H adalah subgrap dari G (ditulis H  G ) jika V ( H )  V (G ) ,
E ( H )  E (G ) , dan  H adalah batasan dari  G ke E(H). Ketika H  G tetapi
H  G , maka kita tulis H  G dan menyebutnya proper subgrap (subgrap sejati).
Jika H subgrap G, maka G adalah supersubgrap dari H. Sebuah subgrap merentang
dari G adalah subgrap H dimana V(H)=V(G).
Dengan menghapus semua loop dan sisi rangkap sehingga hanya
meninggalkan sisi tunggal dari grap G, maka kita akan mendapatkan subgrap
merentang sederhana dari G yang disebut dengan underlying simple graph (grap
dasar sederhana) dari G. Berikut ini adalah contoh grag dasar sederhana
Grap dasar sederhana bisa diperoleh dengan menghapus sisi-sisi rangkap dan loop
dengan meninggalkan sisi tebal pada gambar di atas.
a. Grap G
b. subgrap merentang sederhana dari G
c. Contoh subgrap G
Gambar di atas merupakan contoh subgrap dan subgrap merentang sederhana.
Misal V’ adalah subset tak kosong dari himpunan titik V. Subgrap dari G yang
himpunan titiknya V’ dan sisi-sisinya memiliki kedua ujungnya di V’, disebut dengan
subgrap dari G yang diinduksi oleh V’ dan dinotasikan G[V’]. Subgrap terindukasi
G[V\V’] dinotasikan dengan G – V’, yaitu subgrap yang diperoleh dengan menghapus
titik-titik pada V’ beserta sisi-sisi yang berkaitan dengannya. Gambar c merupakan
subgrab terinduksi G[V\{u,w}]. Dengan cara yang serupa kita dapat mencari subgrap
terinduksi sisi.
Misal G1 dan G2 adalah subgrap dari G. G1 dan G2 dikatakan disjoint jika
tidak memiliki titik yang sama. G1 dan G2 dikatakan disjoint sisi jika tidak memiliki
sisi yang sama. Gabungan dari G1 dan G2 ( G1  G2 ) adalah subgrap dengan
himpunan titik V (G1)  V (G 2) dan himpunan sisi E (G1)  E (G 2) . Dengan cara yang
serupa dengan himpunan, kita juga mendefinisikan G1  G2 .