Integral Lipat Dua pada Persegipanjang
Diferensiasi dan integrasi merupakan proses utama di dalam kalkulus. Partisi 𝑃
dinysatakan oleh ‖𝑃‖ merupakan panjang diagonal terpanjang dari setiap sub persegipanjang di
dalam partisi.
Definisi Integral Lipat Dua:
Misalkan 𝑓 suatu fungsi dua variabel yang terdefinisi pada suatu persegipanjang
tertutup 𝑅.
𝑛
lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘
‖𝑃‖→0
𝑘=1
Jika limit tersebut ada maka dapat dikatakan bahwa 𝑓 dapat diintegrasikan pada 𝑅.
Lebih lanjut:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
yang disebut integral lipat-dua 𝑓 pada 𝑅 diberikan oleh:
𝑛
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥
̅̅̅,
𝑦𝑘 ∆𝐴𝑘
𝑘 ̅̅̅)
‖𝑃‖→0
𝑅
𝑘=1
➢ Pertanyaan Eksistensi
Tidak setiap fungsi du variabel dapat diintegrasikan pada persegipanjang 𝑅. Pada hal khusus,
suatu fungsi yang tak terbatas pada 𝑅 aka selalu tidak dapat diintegrasikan.
Teorema A (Teorema Keterintegrasian)
Jika 𝑓 terbatas pada suatu persegipanjang tertutup 𝑅 dan Jika 𝑓 kontinu di sana kecuali pada
sejumlah berhingga kurva-kurva mulus maka 𝑓 dapat diintegrasikan pada 𝑅. Khususnya , jika
𝑓 kontinu pada semua titik 𝑅 maka 𝑓 dapat diintegrasikan di sana.
Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi biasa (asalkan terbatas) dapat diintegrasikan pada setiap
persegipanjang
➢ Sifat-sifat Integral Lipat Dua
Integral lipat dua mewarisi hampir semua sifat-sifat integral tunggal. Semua sifat-sifat ini
berlaku pada himpunan-himpunan yang lebih umum daripada persegipanjang.
1. Integral lipat dua bersifat linear:
∬ 𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
𝑅
∬[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
𝑅
𝑅
2. Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada persegipanjang yang saling
berhimpit pada hanya sebuah ruas garis:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
𝑅1
𝑅2
3. Integral lipat dua bersifat monoton. Sifat perbandingan berlaku, jika 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑖 𝑅 maka:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ≤ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
𝑅
1.1 Integral Berulang
Sekarang persoalan yang sesungguhnya dalam menghitung ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 dengan 𝑅
adalah persegipanjang 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} sehingga diperoleh integral berulang
yaitu:
𝑑
𝑏
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦
𝑅
𝑐
𝑎
Jika melalui proses dengan bidang- 𝑦𝑧 maka diperoleh:
𝑏
𝑑
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥
𝑅
𝑎
𝑐
➢ Menghitung Integral Berulang
Integral berulang sering kali mudah dihitung dengan menggunakan perhitungan yang
sederhana.
Contoh:
3
2
2
3
8
4 1
1. Hitunglah: ∫0 [∫1 (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦
2. Hitunglah: ∫1 [∫0 (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥
3. Hitunglah: ∫0 ∫0
16
(64 − 8𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑦
4. Tentukan volume 𝑉 dari benda pejal yang dibatasi oleh 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 dan di bawah
persegipanjang 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}
Penyelesaian:
1. Pada integral sebelah dalam 𝑦 berupa konstanta sehingga:
2
∫(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 = [𝑥 2 + 3𝑦𝑥]
1
2
= 4 + 6𝑦 − (1 + 3𝑦) = 3 + 3𝑦
1
akibatnya:
3
3
2
3
3
27 45
∫ [∫(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦 = ∫(3 + 3𝑦)𝑑𝑦 = (3𝑦 + 𝑦 2 ) = 9 +
=
2
0
2
2
0
1
0
2. Perhatikan bahwa soal (2) hanya menukar urutannya dengan soal (1), sehingga jawabannya
harus sama:
3
3
3
27
∫(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 = [2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ] = 6𝑥 +
2
0
2
0
sehingga:
2
3
2
∫ [∫(2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥 = ∫ [6𝑥 +
1
0
1
= 12 + 27 − (3 +
27
27 2
] 𝑑𝑥 = [3𝑥 2 + 𝑥]
2
2
1
27
45
)=
2
2
3. Penyelesaian integral dengan mulai dari dalam ke luar:
8 4
8 4
1
64 8𝑥 𝑦 2
∫ ∫ (64 − 8𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫( −
+ )𝑑𝑥 𝑑𝑦
16
16 16 16
0 0
0 0
8 4
8
1
1
1
1 2 4
= ∫ ∫ (4 − 𝑥 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ [4𝑥 − 𝑥 2 +
𝑦 𝑥] 𝑑𝑦
2
16
4
16
0
0 0
0
8
8
1
1
4
1
= ∫ [4𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥] 𝑑𝑦 = ∫ [16 − 4 + 𝑦 2 𝑥] 𝑑𝑦
4
16
0
4
0
0
8
1
𝑦3 8
512
2
= ∫ (12 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = [12 + ] = 96 +
= 138
4
12 0
12
3
0
4. 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 dan 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2} maka:
2 1
𝑉 = ∬(4 − 𝑥 2 − 𝑦) 𝑑𝐴 = ∫ ∫(4 − 𝑥 2 − 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑅
2
0 0
2
𝑥3
1
1
= ∫ [4 − − 𝑦𝑥] 𝑑𝑦 = ∫ (4 − − 𝑦) 𝑑𝑦
3
0
3
0
=[
0
11
1
2 22
16
𝑦 − 𝑦2] =
−2=
3
2
0
3
3
Soal-soal:
1. Hitunglah:
2
3
2
3
2
3
𝜋
1
a. ∫0 ∫0 (9 − 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
b. ∫0 ∫1 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
c. ∫1 ∫0 (𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
d. ∫0 ∫0 𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜋
1
e. ∫02 ∫0 𝑥 sin 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
3
1
𝜋
3
f. ∫0 ∫0 2𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
g. ∫0 ∫0 𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2. Hitunglah integral lipat dua yang ditunjukkan pada 𝑅:
a. ∬𝑅 𝑥𝑦 3 𝑑𝐴; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1}
b. ∬𝑅 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}
𝜋
𝜋
c. ∬𝑅 sin(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴; 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 }