Univerzitet u Beogradu
Maxinski fakultet
S. Qantrak, M. Leqi, A. oi
MEHANIKA FLUIDA B
Beograd, 2009.
Sadraj
1 Osnovni pojmovi i fiziqka svojstva fluida
1.1 Predmet, znaqaj i razvoj mehanike fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Predmet i podela mehanike fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Znaqaj i primena mehanike fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Kvantitativni opis strujaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Istorijski razvoj mehanike fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Model fluida kao neprekidne lako deformabilne sredine . . . . . . . . . .
1.3 Pojam fluidnog delia. Gustina fluida. Nestix ivi i stix ivi fluidi
1.3.1 Gustina fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Kvalitativni opis stix ivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Jednaqina staa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Viskoznost i reoloxki modeli. Napon, deforma ija i brzina deformisaa
1.5.1 Mikroskopski model viskoznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Makroskopski model viskoznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Zavisnost dinamiqke viskoznosti od pritiska i temperature za gasove
i teqnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Otpor promeni oblika - viskoznost. Napon, deforma ija, brzina deformisaa - reoloxki model. Fiziqko tumaqee izvoda brzine u
izrazima (1.5) i (1.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 utnovski i neutnovski fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
3
4
5
5
6
8
9
9
9
10
11
12
2 Analiza opxteg staa napona u fluidu
14
3 Mirovae fluida
22
2.1 Masene sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Povrxinske sile. Vektor i tenzor napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Osnovna svojstva napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Pritisak i naponi usled viskoznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Naponski modeli u stati i i dinami i neviskoznog i viskoznog fluida 20
2.2.4 Rezultujui vektor povrxinskih sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
3.2
3.3
Stae napona. Statiqki pritisak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Pojam apsolutnog pritiska, potpritiska i natpritiska . . . . . . . .
Ojlerova jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OdreÆivae po a pritiska u nestix ivom i stix ivom fluidu . . . . . .
22
23
24
25
SADRAJ MEHANIKA FLUIDA
3.3.1 Po e pritiska i jednaqine izobarskih povrxi u sluqaju mirovaa
nestix ivog homogenog fluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mirovae stix ivog fluida u po u sile Zem ine tee . . . . . . .
3.4 Dejstvo sile pritiska na ravne i krive povrxi . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 OdreÆivae sile pritiska na ravnu povrx . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Metoda potiska pri odreÆivau sile pritiska na krivu povrx . . . .
3.4.4 Metoda ravnotee teqnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Proraqun sudova pod pritiskom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Dinamika neviskoznog fluida
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
a
4.7
4.8
4.9
26
30
31
32
37
42
44
47
48
Didaktiqki kon ept (aspekt) dinamike neviskoznog fluida (DNF) . . . . . 48
Algoritam didaktiqkog kon epta (aspekta) DNF (U~ 6= 0, η = 0) . . . . . . . . 49
Stae napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Metode opisa strujnog po a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Materijalne i kontrolne zapremine i povrxi . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Zapreminski i maseni protok fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kretae i dekompozi ija brzine fluidnog delia . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.1 Kretae, deformisae i dekompozi ija izvoda brzine fluidnog delia 56
4.5.2 Analiza tenzora brzine deformisaa. Fiziqki smisao diverengenije brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5.3 Analiza asimetriqne matri e ω (qista rota ija) . . . . . . . . . . . 59
4.5.4 Vrtlona i poten ijalna strujaa. Pojam vrtloga i irkula ije. . . 61
Ubrzae fluidnog delia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.1 Dekompozi ija ubrzaa i pojam materijalnog izvoda. Lokalni i konvektivni deo iner ijalne sile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.2 Fiziqko znaqee materijalnog izvoda. Prelaz od Lagraneve ka Ojlerovoj metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.3 Fiziqka analiza i uvoÆee iner ijalne sile R~ . Matematiqki izrazi
za sile iner ije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.4 Ubrzae, tj. iner ijalna sila u prirodnim koordinatama . . . . . . . 68
Metodologija izvoÆea osnovnih jednaqina mehanike fluida . . . . . . . . . 70
Zakon odraa mase - jednaqina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8.1 Konaqna materijalna zapremina - materijalni izvod - Lagranev metod 72
4.8.2 Konaqan domen (oblast) prostora - kontrolna zapremina - Ojlerov metod 73
4.8.3 Analiza jednaqine kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8.4 UvoÆee strujne funk ije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8.5 Interpreta ija promene u vremenu integrala fiziqke veliqine f (~r, t)
po materijalnoj zapremini pomou integrala te fiziqke veliqine po
fiksnoj kontrolnoj zapremini (metode Lagrana i Ojlera) . . . . . . 76
Zakon odraa (konzerva ije) impulsa. Jednaqina koliqine kretaa - Ojlerova jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ij
4.6
2
SADRAJ MEHANIKA FLUIDA
3
4.10 Zakon momenta koliqine kretaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.11 Zakon odraa energije. Jednaqina energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.12 Zatvoren sistem jednaqina. Jednaqina staa. Poqetni i graniqni uslovi . 85
4.12.1 Poqetni i graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.13 ZAKUQAK. Osnovne jednaqine dinamike neviskoznog stix ivog fluida 89
4.14 Bernulijeva jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.14.1 Bernulijev integral Ojlerove jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.14.2 Analiza Bernulijeve teoreme u sluqajevima jednostavnijih barotropnih pro esa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.15 Primene Bernulijeve jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.15.1 IzvoÆee Bernulijeve jednaqine pomou izraza (4.41) za ubrzae u
prirodnim koordinatama (s, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.15.2 Bernulijeva jednaqina za nesta ionarno strujae. Promena pritiska
u prav u upravnom na strujni e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.15.3 Dinamiqki i totalni pritisak. Meree pritiska. Pitove i PitoPrantlove sonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.15.4 Kretae fluidnog delia po kon entriqnimkrunim trajektorijama
(vrtlog). Raspodele brzine i pritiska u vrtlogu . . . . . . . . . . . . 98
4.15.5 Bernulijeva jednaqina u rotirajuem sistemu. Primena zakona momenta koliqine kretaa. Ojlerova jednaqina turbomaxina . . . . . . . . 100
4.16 Primena osnovnih jednaqina mehanike fluida pri rexavau kvazi-jednodimenzijskih strujaa fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.16.1 Modeli jednodimenzijskih i kvazi-jednodimenzijskih strujaa . . . . 102
4.16.2 Osnovne jednaqine kvazi-jednodimenzijskog strujaa u algebarskom
obliku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.16.3 Osnovne jednaqine kvazi-jednodimenzijskog strujaa u diferen ijalnom obliku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.17 ZAKUQAK. Osnovne jednaqineneviskoznog fluida za kvazi-jednodimenzijski
model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.18 Jednodimenzijska sta ionarna strujaa gasova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.18.1 Brzina zvuka i Mahov broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.18.2 Totalne i kritiqne veliqine staa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.18.3 Osnovne jednaqine u sluqaju jednodimenzijskog sta ionarnog strujaa
gasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.18.4 Prav udarni talas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.19 Izentropska strujaa gasova kroz konverentno-divergentne mlaznike . . . . 122
4.19.1 Osnovne jednaqine. Primena konvergentno-diveregentih mlaznika . . 122
4.20 Strujae neviskoznog gasa sa dovoÆeem toplote . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Dinamika viskoznog fluida
133
5.1 Stae napona i viskozne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2 Naqelno o uti aju trea - viskozna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
SADRAJ MEHANIKA FLUIDA
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
4
5.2.1 Kvalitativna analiza uti aja trea i smi ajni napon τ . . . . . . . 134
5.2.2 Viskozne sile. Analiza sila u dinami i viskoznog fluida . . . . . . 135
Karakteristiqni bezdimenzijski brojevi - meÆusobni odnosi sila u strujnom
po u - zakoni sliqnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.1 Zakoni sliqnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.2 Formirae karakteristiqnih bezdimenzijskih brojeva i ihov fiziqki smisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Model viskoznog fluida. Opxti izrazi za povrxinske sile . . . . . . . . . 139
5.4.1 Analiza povrxinskih sila u viskoznom fluidu . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.2 IzvoÆee diferen ijalnogizraza (5.17), tj. (5.19) pomou elementarne
kontrolne zapremine dV = dxdydz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.3 Viskozna sila za nestix iv utnovski fluid . . . . . . . . . . . . . 140
Integralni i diferen ijalni obli i jednaqine koliqine kretaa . . . . . 141
5.5.1 Jednaqina koliqine kretaa. Navije-Stoksove jednaqine . . . . . . . 141
5.5.2 Zakon koliqine kretaa u integralnom obliku - primena u tehniqkoj
praksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Reimi strujaa - laminarna i turbulentna strujaa . . . . . . . . . . . . . 144
5.6.1 Laminarna strujaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.6.2 Hidrodinamiqka stabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.6.3 Turbulentna strujaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Fiziqko-matematiqke osnove turbulentnih strujaa . . . . . . . . . . . . . . 146
5.7.1 Svojstva turbulentnih strujaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.7.2 Rejnoldsov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.7.3 Rejnoldsova statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.7.4 Analiza osredavaa sila u vremenu i novi fiziqki efekti . . . . 149
5.7.5 Fiziqka znaqea korela ija ρu i ρu v . Rejnoldsov, turbulentni
smi ajni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7.6 Proseqne vrednosti proizvoda fluktua ionih brzina i Rejnoldsovi
(turbulentni) naponi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.7.7 Jednaqina koliqine kretaa vremenski osredenog strujaa - Rejnoldsove jednaqine turbulentnog strujaa nestix ivog fluida . . . 157
5.7.8 Jednaqina kontinuiteta za turbulentno strujae nestix ivog fluida 159
5.7.9 Rejnoldsove jednaqine za utnovski nestix iv fluid izraene posredstvom Rejnoldsovih napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.7.10 Opxte stae napona pri turbulentnom strujau . . . . . . . . . . . . 161
Laminarno strujae kroz prave krune evi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.8.1 Profil brzine i pad pritiska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.8.2 Sreda brzina u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.8.3 Izraz za pad pritiska. Gubitak energije usled trea. Koefi ijent
trea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.8.4 Fluks koliqine kretaa. Presek sa neravnomernim profilom brzine.
Korek ioni koefi ijent - Busineskov koefi ijent . . . . . . . . . . . 167
′2
5.8
s
′ ′
SADRAJ MEHANIKA FLUIDA
5.9 Turbulentno strujae u evi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Primena zakona koliqine kretaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Primena dimenzijske analize - tangen ijalni napon na zidu evi Darsijeva formula. Sreda brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3 Sreda brzina u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.4 Smi ajni napon na zidu. Darsijeva formula . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.5 Zakoni trea za turbulentno strujae u hidrauliqki glatkim evima
5.9.6 Stepeni zakon raspodele brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.7 Turbulentno strujae kroz hidrauliqki hrapave i potpuno hrapave
evi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.8 Laminarno i turbulentno strujae u ulaznom (poqetnom) delu evi.
Pad pritiska u poqetnoj deoni i evi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Hidrauliqki proraqun prostog evovoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Uvod - osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2 Jednaqina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3 Bernulijeva jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Hidrauliqki proraqun sloenog evovoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.1 Jednaqina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.2 Bernulijeva jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s
5
169
169
171
172
172
173
174
175
180
183
183
184
185
190
190
191
rag repla emen
1 Osnovni pojmovi i fiziqka svojstva
fluida
1.1 Predmet, znaqaj i razvoj mehanike fluida
1.1.1 Predmet i podela mehanike fluida
Fluid je zajedniqki naziv za teqnosti i gasove. Mehanika fluida se bavi problemima
mirovaa i kretaa (strujaa) fluida. Umesto naziva mehanika fluida qesto se koriste
i pojmovi: nauka o strujau, hidromehanika, aerodinamika, dinamika fluida, hidraulika
i pneumatika, dinamika gasova i drugo (slika 1.1).
gas-qvrsta faza
gas-teqnost
Ventilator,
kompresor
Pneumatski transport
Strujaa
gasqvrsta faza
Strujaa
praxkastih
materijala
Dinamika
gasova
Gas
MATERIJA
Gas
Strujaa
teqnostqvrsta faza
Hidrauliqki
transport
M >1
M ≫1
Strujaa
u atmosferi
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111
Qvrsta faza
M ≪1
Teqnost
Hidrodinamika
Pumpe
Hidraulika
Talasi
Jonizovani gas
Civilna
avija ija
Nadzvuqna
strujaa
Hipersoniqna
strujaa
Plazma
Strujaa
gas-teqnost
K uqae,
kondenza ija
Reologija
Neutnovski fluidi
Bio-fluidi
Brodovi
Slika 1.1. Oblasti mehanike fluida
MEHANIKA FLUIDA
2
1.1.2 Znaqaj i primena mehanike fluida
Mehanika fluida igra veliku ulogu u nau i i tehni i. Primene se, grubo govorei,
mogu podeliti u dve razliqite grupe.
(a) Opstrujavae tela, na primer, motornih vozila, aviona, zgrada, plovnih objekata.
Ovde je od interesa spo axe strujae, tj. brzina, pritisak, gustina i temperatura
u blizini tela i daleko od ega. To omoguuje izraqunavae, na primer, dejstva sile
na opstrujavano telo.
• Strujae kroz kanale, vodove, maxine i qitava postrojea. U ovom sluqaju su od
interesa unutraxa strujaa, tj. strujaa u evima, difuzorima, mlazni ima. Ovde
su vani uti aji trea koji se manifestuju kroz padove (gubitke) pritiska.
Prirexavau aktuelnihtehniqkihproblema najqexese pojav uju obe grupe problema.
Mnogobrojne primene su u oblastima strujnih maxina, pro esne tehnike, vazduhoplovstva,
energetskog i saobraajnog maxinstva, aerodinamike zgrada, meteorologije, geofizike i
drugo.
1.1.3 Kvantitativni opis strujaa
Kvantitavni opis strujaa podrazumeva poznavae, tj. odreÆivae brzine U~ (u, v, w),
pritiska p, gustine ρ i temperature T u svakoj taqki ~r(x, y, z) posmatranog po a u bilo
kom trenutku t. Drugim reqima, pretpostav a se egzisten ija ovih fiziqkih veliqina
kao funk ija prostorno-vremenske taqke, tj f = f (~r, t) = f (x, y, z, t), gde je f = U~ , ρ, p, T .
Ovo pripada oblasti mehanike kontinuuma. Ukupno je xest zavisno i qetiri nezavisno
promeive. Za odreÆivae 6 nepoznatih veliqina potrebno je 6 jednaqina, tj. fiziqkih,
osnovnih zakona nauke o strujau koji se obiqno formulixu u obliku zakona odraa
(tabela 1.1).
Fiziqki
(znaqee)iskaz
Zakoni Kontinuitet (odrae mase)
odraa Koliqina
kretaa (zakon impulsa)
Energija (prvi prin ip termodinamike )
Fluid Jednaqina staa (termodinamiqka zavisnost izmeÆu p, ρ i T )
Tabela 1.1. Zakoni odraa u nau
Broj jednaqine
Vrsta
jednaqina
1
3
1
1
i o strujau
skalarna
vektorska
skalarna
skalarna
Ovim jednaqinama u algebarskom, diferen ijalnom ili integralnom obliku pridodaju
se poqetni i graniqni uslovi da bi se iz skupa svih moguih rexea pronaxlo jednoznaqno
odreÆeno rexee postav enog problema. Pri traeu opxteg rexea osnovnih jednaqina
mehanike fluida naixlo se na do sada nepremostive texkoe, jer su odgovarajue diferen ijalne jednaqine nelinearne.
MEHANIKA FLUIDA
3
1.1.4 Istorijski razvoj mehanike fluida
Priblino do 1900. godine mehanika fluida se razvijala u dva razliqita prav a:
(a) Teorijska, pretezno matematiqka mehanika fluida povezana je sa imenima utna
(Newton, 1642-1727), Ojlera (Euler, 1707-1783), Bernulija (Bernoulli, 1700-1782) Dalambera (D’Alambert, 1717-1783), Kirhofa (Kirchhoff, 1824-1887), Helmhol a (Helmholtz,
1821-1894), Rejli (Reyleigh, 1842-1919). Pri tome se preteno radilo o teorijskom
prouqavau strujaa neviskoznog fluida, tzv. poten ijalnom strujau, tako da, na
primer, nije bilo mogue kvantitativno odrediti gubitke u unutraxim i spo axim strujaima.
(b) Tehniqka hidromehanika ili hidraulika najvixe duguje Hagenu (Hagen, 1797-1884),
Puazeju (Poiseuille, 1799-1869), Rejnoldsu (Reynolds, 1842-1912). Najvei doprinos je
u oblasti merea i rexavau problema strujaa viskoznog fluida, na primer, u
odreÆivau zakona trea pri strujau u evima.
Oba prav a je Prantl (Prandtl, 1875-1953) 1904. godine svojom teorijom graniqnog sloja,
zdruio. Saglasno ovoj teoriji uzrok za otpor trea tela potrebno je traiti u tzv.
graniqnom sloju. To je sloj fluida u kome nastaje znatna promena brzine od nule na
zidu (qvrstoj povrxi) do vrednosti brzine spo axeg strujaa. Pri tome je bitan uslov
prijaaa (lep ea) fluida na povrxi tela. Ako se telo kree, tada fluid na povrxi
tela struji istom brzinom, tj. kree se na isti naqin. On prijaa! Na sli i 1.2 dat
je primer graniqnog sloja na ravnoj ploqi. Prantlov kon ept graniqnog sloja omoguava
bitna pojednostav ea u nelinearnim
PSfrag repla emen
PSfrag repladiferen
emen ijalnim jednaqinama.
( )
T
( )
neviskozan
graniqni
U
U
U
fluid
sloj
(η = 0) neviskozan
δ
T
viskozan
δ
δviskozan
fluid
fluid U 11111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
00000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
T
(η 6= 0)
graniqni
sloj
Slika 1.2. Brzinski i temperaturski graniqni sloj na poduno opstrujavanoj ploqi; U - brzina
spo axeg neporemeenog strujaa; δ - deb ina graniqnog sloja; η - dinamiqka viskoznost fluida;
T - temperatura spo axeg strujaa; T - temperatura na ploqi; σ - deb ina temperaturskog
graniqnog sloja.
∞
∞
∞
∞
T
∞
∞
w
∞
∞
w
T
U sluqaju da je pored uti aja trea vano i prenoxee toplote, onda se osim brzinskog
graniqnog sloja pojav uje i temperaturski graniqni sloj. Uzrok je u potpuno analognim
pojavama: treu i prenoxeu toplote.
MEHANIKA FLUIDA
4
1.2 Model fluida kao neprekidne lako deformabilne sredine
Molekularno-kinetiqka
teorija materije
(Mikroskopska teorija)
Mehanika neprekidne sredine
Makroskopska teorija - kontinuum
Statistiqka fizika
Molekularna struktura materije
(molekuli, atomi)
• preqnik molekula d ≈ 10
m
Vazduh u ko ki zapremine 1 mm
• sredi slobodni put molekula l = 10 m
PSfrag repla emen
2, 7 · 10 molekula
• sreda brzina molekula V = 500 m/s
• broj sudara u sekundi ≈ 5, 5 · 10
−10
3
−7
16
9
Hipoteza o neprekidnosti materije. Prostor je neprekidno ispuen materijom.
Fluid se ponaxa kao kontinuum. Knudsenov broj Kn = ≤ 0, 01 (L - karakteristiqna
dimenzija tela). Posledi e hipoteze: poxto je materija nosila pojedinih fiziqkih karakteristika fluida, onda je i bilo koja veliqina staa (skalarna, vektorska, tenzorska)
f neprekidna funk ija prostornih koordinata i vremena, tj. f = f (x, y, z, t). Ovime
je omoguena primena teorije po a i diferen ijalnog i integralnog raquna. Napomena:
treba voditi raquna da ova pretpostavka ne vai bax uvek - na rastojau od 160 km od povrxine Zem e u ko ki strani e 1 mm nalazi se samo 1 molekul! Oblast mehanike fluida
koja prouqava takve sluqajeve se naziva Dinamika razreÆenih gasova.
Hipoteza o velikoj pokret ivosti. Ova hipoteza se jox naziva i hipoteza o lakoj
i velikoj deformabilnosti. Posledi a molekularne (mikro) strukture teqnosti i gasova
je laka pokret ivost (teq ivost), tako da i vrlo male sile izazivaju velike deforma ije
fluida. Direktne posledi e hipoteze su:
(a) Smi ajni (tangen ijalni) naponi, tj. tree ne jav aju se u fluidu koji miruje. Dakle, statiqko tree u fluidu nije mogue. MeÆutim, bez obzira xto strujae fluida
neminovno dovodi do stvaraa sila trea, poznato je da su u mnogim problemima
strujaa one vrlo male i da se u odnosu na iner ijalne sile mogu zanemariti, xto
odgovara modelu neviskoznog (savrxenog) fluida.
(b) Iz svojstva (a) sledi da se meÆudejstvo fluida sa razliqitih strana izvesne povrxi
ostvaruje isk uqivo u prav u normale na povrx, dakle posredstvom normalnih napona. MeÆutim, naponi istezaa se ne mogu pojaviti u fluidu, tako da se normalni
naponi svode na pritisak.
l
L
MEHANIKA FLUIDA
5
1.3 Pojam fluidnog delia. Gustina fluida. Nestix ivi
i stix ivi fluidi
Fluidni deli je deo materije vrlo male zapremine u kojoj se promene svih veliqina (p,
T , ρ, ...) mogu zanemariti, pa ima smisla govoriti o temperaturi delia, gustini delia
i sliqno. S druge strane, meÆutim, fluidni deli je toliko "velike” zapremine koja
jox uvek sadri vrlo mnogo molekula, tako da je hipoteza kontinuuma, tj. neprekidnosti
sredine zadovo ena.
PSfrag repla emen fluidni deli
~
U
A
dm
,
ρ dV
V
M
,
∆V ∆m
m
Fluid mase m u konaqnoj zapremini V ograniqenoj sa povrxi A. Veliqine U~ , ρ, dV
i dm su: brzina, gustina, zapremina i masa fluidnog delia.
Slika 1.3.
1.3.1 Gustina fluida
Gustina fluida je veliqina staa fluida i predstav a skalarno po e, ρ = ρ(x, y, z, t).
• Sreda gustina fluida je ρ = m/V .
• Gustina fluida:
∆m
ρ=
lim
∆V →0
(∆V →M)
∆V
= ρ(M).
Fluidni deli je u fenomenoloxkom smislu mehanike kontinuuma definisan elementarnom masom dm = ρ dV koja je konstantna, ne mea se. MeÆutim, iako delii imaju
uvek istu masu, dm = const , ihova gustina ρ(x, y, z, t) = dm/dV , a time i zapremina i
oblik se mogu, ali ne moraju, meati tokom vremena. To vodi ka pitau stix ivosti i
deformisaa neprekidne sredine.
Napomena: Sa matematiqke taqke gledixta je vano da se deli moe zamisliti i kao
elementarna ko ka, va ak, tetraedar, lopta ili bilo koje drugo pravilno ili
nepravilno geometrijsko telo. To je posledi a vrlo malih dimenzija delia
(koje su pak neizmerno vee od dimenzija molekula), pa egov oblik ne igra
ulogu pri posmatrau i fiziqko-matematiqkom modelirau.
MEHANIKA FLUIDA
6
1.3.2 Kvalitativni opis stix ivosti
Molekularna struktura materija - meÆumolekularne sile
brzina molekula je pro(a) Braunovo molekularno kretae kod gasa. Sreda statistiqka
√
por ionalna kvadratnom korenu iz temperature V ∼ T (karakteristiqna zavisnost
od temperature)!
(b) Molekuli relativno blizu jedan drugom, deluju meÆumolekularne, tzv. Vandervalsove
(Van-der-Waals) sile dostiuirastojae preko 10d ∼ 10 m. Ove sile su po prirodi
gravita ione i mogu da fiksiraju molekule, na primer u jednu regularnu kristalnu
rexetku.
Razliqiti uzajamni odnosi qieni a (a) i (b) dovode do formiraa tri agregatna staa
materije (gas, teqnost, qvrsto telo).
−9
F
r
PSfrag repla emen
+
d
V
r
−
odbijae
privlaqee
MeÆumolekularna sila F kojom deli u koordinatnom poqetku deluje na drugi na
meÆumolekularnom rastojau r.
Slika 1.4.
Nestix ivi fluidi (uglavnom teqnosti)
MeÆumolekularna rastojaa r su vrlo mala, meÆumolekularne sile F su velike i odbojne
(slika 1.4), pa sile pritiska ne dovode do bitnijih promena r, a sa tim i zapremine V i
gustine ρ.
Znaqi, mea se samo oblik zapremine (hipoteza o lakoj pokret ivosti i deformabilnosti), dok ena vrednost ostaje ista.
Stix ivi fluidi (uglavnom gasovi)
Rastojaa r izmeÆu molekula su velika, sile meÆudejstva F su male i privlaqne (slika
1.4), pa dejstvo pritiska moe da promeni zapreminu V , a time i gustinu ρ , saglasno
zakonu odraa mase, m = ρV = const, tj. dm = ρ dV = const. Dakle, gas se sabija
(kompresija) ili xiri (ekspanzija) i ρ 6= const (stix iv fluid).
1
1
MEHANIKA FLUIDA
PSfrag repla emen
7
trajektorija fluidnog delia
dm = ρ dV = const
,
,
ρ dV
ρ dV
dV1 = dV2 = dV = const
,
,
m V
m V
(fluidni deli)
⇒
ρ1 = ρ2 = ρ = const
nestix iv fluid
PSfrag repla emen
Slika 1.5. Nestix iv fluid, ρ = const , mase m = const u dva trenutka t i t .
trajektorija fluidnog delia
t = t1
t = t2
1
,
ρ2
dV2 6= dV1
ρ1 dV1
,
,
m V1
m V2 6= V1
t = t1
Slika 1.6. Stix
iv fluid,
t = t2
ρ 6= const
2
ρ1 dV1 = ρ2 dV2
dV2 6= dV1
ρ1 6= ρ2
ρ 6= const
(stix iv fluid)
, mase m = const u dva trenutka t i t .
1
2
Napomene: (a) Pri velikim promenama pritiska (hidrauliqki udar, podvodne eksplozije)
nestix iv fluid (uglavnom teqnost) ponaxa se kao stix iv.
(b) Pri sporom, laganom strujau gasa, kada su promene pritiska male, gas se ponaxa prilino kao nestix iv fluid (problemi termotehnike, klimatiza ije,
vetila ije i drugo).
Kvantitativni opis stix ivosti.
Gustina je veliqina staa, ρ = ρ(x, y, z, t) i zavisi od druge dve veliqine staa - od
pritiska p i temperature T .
Koefi ijent stix ivosti s je relativna promena zapremine delia po jediniqnoj promeni pritiska:
s=−
∂(dV ) 1
∂p dV
Dejstvo pritiska - stix ivost
dV = f (p, T )
dρ = F(p, T )
⇔
dp > 0 → d(dV ) < 0,
dp < 0 → d(dV ) > 0.
∂ρ
∂(dV )
1 ∂ρ
ρ dV = const →
dV + ρ
= 0 =⇒ s =
∂p
ρ ∂p
↑ ∂p
uti aj pritiska
MEHANIKA FLUIDA
•
8
Modul stix ivosti ε = ε(p, T )
ε=
1
→
s
εvoda ≈ 20 · 103 bar = 20 · 105 kPa,
εvazduh ≈ 1 bar = 105 Pa
1.4 Jednaqina staa
Jednaqina staa predstav a jednu od konstitutivnih jednaqina mehanike fluida. Ona
je obiqno algebarska jednaqina i povezuje tri skalarna po a, tj. po a pritiska gustine i
temperature u imli itnom ili ekspli itnom obliku kako sledi
f (ρ, p, T ) = 0 ↔ ρ = ρ(p, T ).
(1.1)
Poznato je da se mnogi gasovi u oblastima pritisaka i temperatura koje se jav aju u
tehniqkoj praksi ponaxaju kao idealni gas, tako da se u tim sluqajevima umesto jednaqine
(1.1) koristi jednaqina staa idealnog gasa
p = ρRT,
(1.2)
koja je deta no razmatrana u termodinami i. Veliqina R je konstanta koja zavisi od vrste
gasa (za vazduh ona iznosi R = 287 J/kgK). Ako su p , ρ i T neke referentne vrednosti
pritiska, gustine i temperature, onda vai zavisnost
1
p T1
ρ
=
.
ρ1
p1 T
1
1
Dakle, gustina se kod idealnog fluida mea propor ionalno pritisku i obrnuto propor ionalno temperaturi! Rela ijom (1.1) definisani su baroklini fluidi. MeÆutim,
u mnogim pro esima gustina ρ isk uqivo, taqnije reqeno mnogo vixe zavisi od pritiska
nego od temperature, koja naknadno, ako je potrebno, moe da se izraquna. Takva klasa
fluida su barotropni fluidi
ρ = ρ(p),
(1.3)
koji e se u ovom kursu uglavnom i prouqavati. Oqigledno je da u ovu grupu spadaju fluidi
qija je jednaqina staa pokorava jednaqini staa za idealni gas, kao i konstitutivna
jednaqina oblika
ρ
p
p
(1.4)
=
⇔
= const,
ρ
p
ρ
kojom se opisuju izotermske (n = 1), adijabatske (n = κ) i politropske (ekponent n uzima
ostale mogue vrednosti) promene staa fluida. Nestix iv fluid je takoÆe barotropan
fluid.
n
1
1
n
MEHANIKA FLUIDA
9
1.5 Viskoznost i reoloxki modeli. Napon, deforma ija i
brzina deformisaa
1.5.1 Mikroskopski model viskoznosti
Kinetiqka teorija gasova - pro esi molekularnog prenosa mase, impulsa i energije difuzija, viskoznost, toplotna provod ivost.
y
V
PSfrag repla emen y + l
u(y + l)
τ
y
x
y−l
u(y − l)
V
Slika 1.7. Xematski prikaz molekularnog prenosa impulsa.
Metode statistiqke fizike → ukupan prenos impulsa u jedini i vremena po jedini i
horizontalne povrxi na rastojau y → sila po jedini i povrxi → tangen ijalni, tj.
smi ajni napon τ u sloju na nivou y:
frag repla emen
ρV l ∂u
.
τ=
(1.5)
3 ∂y
1.5.2 Makroskopski model viskoznosti
Makroskopski model - unutraxe tree, viscosité - lep ivost.
u∞
y
y
F
U0
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
u(y)
h
u(y) = U0
τ
11111111111111111111111
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
τ=
y
h
F
U0
∂u
=η
=η
A
h
∂y
τ
y
spo axe strujae
η ≈ 0, τ ≈ 0
u(x, y)
graniqni sloj
η 6= 0, τ 6= 0
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
Slika 1.8. Kuetovo (Couette) strujae (smi ajno strujae u ravanskom pro epu) i spo axe strujae - graniqni sloj. Smi ajni napon τ - unutraxe tree, dinamiqka viskoznost; η - prijaae
(lep ee) fluida na qvrstim povrxima.
Promena brzine, tj. profil brzine u(x, y) je posledi a delovaa athezionih i kohezionih meÆumolekularnih sila. Ta meÆudejstva se ispo avaju u prav u tangente kao
tangen ijalni, tj. smi ajni napon τ definisan izrazom
∂u
τ =η
( utn, 1687)
(1.6)
.
∂y
MEHANIKA FLUIDA
10
Viskoznost je makroskopski efekat molekularne, tj. mikroskopske razmene impulsa pojedinih fluidnih delia, koji se ispo ava kao unutraxe tree fluida u vidu smi ajnih
napona i sila trea. Veliqina η je koefi ijent dinamiqke viskoznosti, tj. dinamiqka
viskoznost i predstav a fiziqko svojstvo fluida. Kinematiqka viskoznost se definixe
kao ν = η/ρ.
η · 10 [ Pa · s℄ ν · 10 [ m /s℄
vazduh
18,2
15,11
voda
1002
1,004
silikonsko u e 130950
135
6
Napomena: ν
6
2
Tabela 1.2. Karakteristiqne vrednosti viskoznosti.
vode
,
= 1 mm2 /s νvazduha = 15 mm2 /s
(!)
1.5.3 Zavisnost dinamiqke viskoznosti od pritiska i temperature za gasove i teqnosti
Dinamiqkaviskoznost η zavisi temperaturei pritiska, ali je zavisnost od temperature
znatno izraenija, pa se moe smatrati da je η(T, p) ≈ η(T ). Pri tome η raste sa porastom
temperature kod gasova, a opada kod teqnosti (slika 1.9), xto je posledi a mikrostrukture
teqnosti i gasova.
η
teqnosti
PSfrag repla emen
gasovi i pare
T
Slika 1.9. Promena dinamiqke viskoznosti η sa temperaturom T .
Kod
gasova se sa poveaem temperature poveava i brzina molekula (Tր→ V ր jer je
√
V ∼ T ), a samim tim i prenoxee impulsa pri sudaru molekula, xto saglasno izrazima
(1.5) i (1.6), tj. rela iji η = ρV l, dovodi do porasta viskoznosti η.
Kod teqnosti, meÆutim, meÆumolekularne sile imaju odluqujuu ulogu, tako da sa porastom temperature, slabi meÆusobna veza molekula, delii se lakxe pokreu, viskoznost
opada (slika 1.9).
U literaturi se daju mnogobrojne empirijske formule, tabele i dijagrami za odreÆivae η u funk iji od T i p za razliqite fluide. U ovom kurs navode se dve karakteristiqne
1
3
MEHANIKA FLUIDA
11
formule za gasove i teqnosti. Za gasove vai sledea rela ija:
T0 + Ts
η
=
η0
T + Ts
↑
T
T0
3/2
Saterlend (Sutherlend)
kinetiqka teorija gasova
≈
T
T0
↑
n
(1.7)
.
Empirijska
formula
Referentne vrednosti za vazduh pri p = 1 bar su T = 273, 16 K, η = 17, 1 µPa · s i
T = 122 K je Saterlendova (Satherlend) konstanta. Eksponent n zavisi od vrste gasa i
temperaturskog intervala. Za vazduh je n = 1, ali za velike temperature je n ≈ 0, 76.
Vrednosti n su u intervalu 0.5 ≤ n ≤ 1, 56.
Za teqnosti u temperaturskom intervalu 0 < T < 100 C primeuje se izraz
η
T
T
(1.8)
= exp
−
.
η
T +T
T +T
Za vodu
PSfrag repla
emen su vrednosti konstanti T = 506 K, T = −150 K i pri pritisku p = 1 bar su
referentne vrednosti T = 273, 16 K i η = 1, 793 mPa · s
0
0
0
s
◦
c
A
0
A
B
A
0
B
0
B
0
0
1.5.4 Otpor promeni oblika - viskoznost. Napon, deforma ija, brzina
deformisaa - reoloxki model. Fiziqko tumaqee izvoda brzine
u izrazima (1.5) i (1.6).
napon smi aa
τ ≡ τyx
y
C C′
D D′
uC = uA +
A
B
τ ≡ τyx
dy
dγ
A
B
C
u(x, y)
dy
y
x
A
brzine
C′
D D′
uC
dγ
uA
∂u
∂y
tg(dγ) ≈ dγ =
CC′ =
A
dy
CC′
AC
∂u
dy dt, AC = dy
∂y
dγ
∂u
=
≡ γ̇
dt
∂y
(1.9)
B
Slika 1.10. Fiziqko-geometrijski smisao izvoda brzine ∂u/∂y.
Veliqina γ̇ predstav a brzinu deforma ije, promenu oblika fluidnog delia u jedini i vremena, tj. brzinu deformisaa fluidnog delia, koja je u ovom sluqaju izraena
brzinom promene ugla smi aa γ̇, tj. brzinom promene oblika delia. Druga vrsta deformisaa, tj. brzina promene zapremine fluidnog delia razmotrie se u okviru jednaqine
kontinuiteta.
PSfrag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
12
Hipoteza o velikoj pokret ivosti i deformabilnosti
Qvrsto, elastiqnoF telo
Fluid
A
γ
11111111111111
00000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
F
=τ
A
(Huk, 1678)
napon deforma ija
Hukov reoloxki model
G - modul smi aa (klizaa)
γ - ugao smi aa (klizaa)
τ = Gγ
R. Hooke (1635-1703)
dγ
⇔
( utn, 1687)
napon brzina deforma ije
Reoloxki model utnovskog fluida
linearna zavisnost izmeÆu napona
i brzine deformisaa!
-kofi ijent propro ionalnosti je η!
τ = η γ̇
Suxtinska razlika izmeÆu fludia i qvrstog tela (elastiqne materije) je u reoloxkoj
zakonitosti, tj. u meÆuzavisnosti napona i deforma ija:
Naponi su funk ije deforma ija kod elastiqnog tela, dok su kod fluida naponi funk ije od brzine deformisaa.
1.5.5 utnovski i neutnovski fluidi
Reologija je nauka koja izuqava meÆuzavisnosti naponskog i deforma ionog staa neprekidne sredine, tj. kontinuuma. U praksi se qesto pojav uje opxta reoloxka zavisnost
τ = f (γ̇). Ako je f linearna funk ija onda se radi o utnovskim fluidima (voda,
vazduh, tehniqka u a). Nelinearnim funk ijama f (γ̇) opisani su neutnovskim fluidima
(suspenzije, polimeri, u ane boje i drugo). Zajedniqka reoloxka zakonitost prikazuje se
stepenom funk ijom


 n < 1 − pseudoplastiqni fluidi
τ = k γ̇
n = 1 − utnovski fluidi


n > 1 − dilatantni fluidi.
Bingamov fluid za τ < τ (slika 1.11) ponaxa se kao qvrsto elastiqno telo, a za τ > τ
kao utnovski fluid. Primer za Bingamov tip fluida je zubna pasta.
n
g
g
MEHANIKA FLUIDA
τ
PSfrag repla emen
τg
elastiqne
materije
id
u
l
vf )
o
m
iB nga e paste
n
(zub
13
pseudoplastiqni fluidi (n < 1)
(rastvori viskopolimernih materija)
utnovski fluid (n = 1)
dilatanatni fluidi (n > 1)
(suspenzije qvrstih delia
pri visokim kon entra ijama, lepkovi)
γ̇ ≡ ∂u/∂y
neviskozan fluid
Slika 1.11. Reoloxki dijagram - funk ija napona od brzine deformisaa - krive teqea.
Ovde je vano istai sledee:
1. Kod utnovskih fluida η je nezavisno od γ̇.
2. Najopxtija reoloxka zakonitost je data izrazom P = F(Ṡ), u kome je P tenzor napona,
a Ṡ tenzor brzine deformisaa.
3. Reoloxke zakonitosti predstav aju osnov za izuqavae dinamike kako utnovskih,
tako i neutnovskih fluida.
rag repla emen
2 Analiza opxteg staa napona u fluidu
U mehani i fluida sve sile se dele na masene, tj. zapreminske i povrxinske. Masene
sile deluju na mase fluidnih delia, tj. na masu izdvojenog dela fluida zapremine V ,
a povrxinske sile svoje dejstvo ostvaruju preko graniqne povrxi A izmeÆu izdvojenog
fluida i egove okoline, tj. okruea (sl. 2.1).
−−→
∆Rn
~n
−−→
∆Rm
A
−−→
∆N
M
∆A
F~
M
,
m
,
−−→
∆T
p~n
pnn
~n2
~t
M
M
dA
p~n2
pnt
F~
~r
~k
~i
~n
p~n1
A1
z
x
~n1
ρ dV
∆m ∆V
0 ~j
|~n| = |~t| = 1
p~−n
A2
V
−~n
y
Slika 2.1. Masene i povrxinske sile. Vektori napona ~p ≡ ~p (~r; t; ~n ) i p~ ≡ ~p (~r; t; ~n ) u taqki
M zavise od orijenta ije povrxi A i A , tj. od ihovih jediniqnih vektora ~n i ~n normala u
taqki M. Komponentne vektora napona ~p u taqki M u prav u normale (p ) i tangente (p ) na
povrxini u dA u taqki M.
1
1
n1
1
2
1
n
2
n2
2
2
nn
nt
2.1 Masene sile
Masene sile su: gravita ione sile (sila Zem ine tee), iner ijalne sile ( entrifugalna, Koriolisova), elektromagnetne sile (Loren ova - kada elektroprvodni fluid
struji u magnetnom i elektriqnom po u), sile koje se jav aju pri razliqitim hemijskim
reak ijama i druge. Vektorsko po e jediniqne masene sile F~ (~r, t), koje moe da bude homogeno ili nehomogeno, sta ionarno ili nesta ionarno, odreÆeno je rela ijom
−→
−−→
−−→
−−→
∆Rm
∆Rm
∆Rm
1
1 dRm
= lim
=
lim
=
.
∆V →0 ρ ∆V
∆m
ρ ∆V →0 ∆V
ρ dV
(2.1)
Masena sila koja deluje na jedan fluidni deli je dR~ , a ukupna, tj. rezultujua masena
sila koja deluje na izdvojenu koliqinu fluida mase m i zapremine V je R~ i one su
~ =
F
lim
∆m→M
m
m
MEHANIKA FLUIDA
15
definisane izrazima
−→
dRm = ρF~ dV
~m =
R
=⇒
˚
(2.2)
~ dV .
ρF
V
2.2 Povrxinske sile. Vektor i tenzor napona
Uti aj okoline (teqnosti, gasa, qvrstih povrxi i drugog) preko povrxi A na izdvojenu
koliqinu materije, tj. neprekidne sredine mase m u posmatranoj zapremini V se prikazuje
neprekidnim vektorskim po em povrxinskih sila, qijim se svoÆeem na jedini u povrxi
dobija vektor napona p~ u proizvo noj taqki strujnog prostora.
n
p~n
−→
−−→
dRn
∆Rn
=
= ~pn (~r, t; ~n) .
= lim
∆A→0 ∆A
dA
M∈∆A
(2.3)
U izrazu (2.3) veliqina −dR→ je elementarna povrxinska sila koja deluje na povrxini u
dA qiji je jediniqni vektor spo axe normale ~n. Posredstvom vektora napona (2.3),
definixe se ukupna, rezultujua povrxinska sila R~ kako sledi
¨
−−→
~
p~ dA .
=⇒
R =
(2.4)
dR = p~ dA
n
n
n
n
n
n
A
Vektor napona ~p , saglasno oznakama na sli i 2.1, moe da se prikae preko svojih
komponenti u obliku
p~ = p ~i + p ~j + p ~k = p ~n + p ~t,
(2.5)
pri qemu veliqine
n
n
nx
ny
−→
−−→
dN
∆N
=
pnn~n = lim
∆A→0 ∆A
dA
nz
nn
nt
−
→
−
−→
dT
∆T
~
=
pnt t = lim
∆A→0 ∆A
dA
i
predstav aju vektor normalnog napona i vektor smi ajnog, tj. tangen ijalnog napona.
Primenom treeg utnovog zakona i u skladu sa oznakama na sli i 2.1, dobija se rela ija
p~ dA = −~
p dA
=⇒
p~ = −~
p .
(2.6)
Sa slike 2.1 se uoqava da kroz taqku M, u kojoj je potrebno odrediti stae napona, prolazi beskonaqno mnogo povrxi sa razliqitim orijenta ijama, tj. razliqitim jediniqnim
vektorima normale ~n, tako da je saglasno izrazu (2.3), po e vektora napona ~p nejednoznaqno vektorsko po e. Naime, p~ u taqki M ne zavisi samo od vektora poloaja ~r i
vremena t, ve i od orijenta ije povrxi ~n koja kroz tu taqku prolazi. Na to ukazuje
(sl. 2.2), tj. to i jeste smisao oznake "n" u obeleavau vektora napona p~ .
Prin ip napona Koxija (Cauchy, 1789-1857) i Koxijeve jednaqine (1822) su razrexile
ovaj problem u mehani i kontinuuma. U tom i u se iz fluida zapremine V (sl. 2.1)
izdvaja elementarna koliqina fluida zapremine ∆V u obliku tetraedra, sl. 2.2, i na tu
n
−n
−n
n
n
n
n
frag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
16
elementarnu masu ∆m = ρ ∆V primeuje drugi utnov zakon kretaa
(2.7)
~aρ ∆V = ρF~ ∆V + ~
pn ∆An + p~−x ∆A−x + ~p−y ∆A−y + p~−z ∆A−z .
| {z }
| {z }
|
{z
}
iner ijalna
sila
masena sila
povrxinska sila (vektorski zbir povrxinskih
sila na strani ama tetraedra)
U jednaqini (2.7) ~a oznaqava ubrzae, a ~p , p~ i p~ su vektori napona za povrxini e
qije su spo axe normale paralelne i suprotno usmerene od osa x, y i z, tj. od ihovih
jediniqnih vektora ~i, ~j i ~k. Saglasno izrazu (2.6), dobija se
p~ = −~
p , p~ = −~
p , ~p = −~
p ,
(2.8)
−x
x
−x
−y
−y
−z
y
−z
z
z
z
z
∆Ax
~n
∆Ay
p~−y
p~n
M
p~−x
−~i
−~j
M
y
x
∆Az
−~k
p~−z
τzx
τxz
z
~a
−pyy~j
σzz
∆Ax
F~
~k
p~x
x
−pyz~k
p~−y
y
y
x
σxx
τzy
τyz
τxy τyx
p~−x
M
−pyx~i
x
σyy
~r
z1
x1
~i
0
y
~j
p~−z
y1
Slika 2.2. Analiza vektora napona p~n i ~p−ξ gde je ξ = x, y, z .
Za analizu jednaqine (2.7) koriste se sledee rela ije:
~n = nx~i + ny~j + nz~k = cos(n, x)~i + cos(n, y)~j + cos(n, z)~k
∆Aξ
∆Ay
∆Ax
∆Az
= nx ,
= ny ,
= nz ⇔
= nξ , ξ = x, y, z
∆An
∆An
∆An
∆An
∆V l→0
∆V
→ 0,
=0 ⇔
lim
∆V ∝ l3 ∆An ∝ l2 .
l→0 ∆An
∆An
(2.9)
jer je
i
Posle de ea jednaqine (2.7) sa povrxini om A i korixea rela ija (2.9) dobija se
Koxijeva jednaqina
p = ~p n + p~ n + p~ n
~
(2.10)
koja predstav a osnovnu, fundamentalnu jednaqinu za analizu staa napona u mehani i
neprekidne sredine. Ona vai za bilo koji vektor ~n. Dakle, stae napona u proizvo noj
taqki M fluida potpuno je odreÆeno vektorima napona p~ , p~ i p~ , tj. ako se zna stae
napona u tri ravni koje odreÆuju proizvo nu taqku, onda se ono zna i sa bilo koju qetvrtu
ravan, odreÆenu sa ~n koja prolazi kroz tu taqku.
Poznato je da se vektorska jednaqina (2.10) moe napisati u razliqitim skalarnim i
matriqnim obli ima. Na primer, ako se izraz za p~ (sl. 2.2),
n
n
x x
y y
z z
x
x
y
z
MEHANIKA FLUIDA
17
px
~
|{z}
pxx~i
| {z
}
=
normalni napon
vektor napona
za povrx qija je
normala paralelna
osi x
(2.11)
pxy~j + pxz~k
|
{z
}
+
smi ajni (tangen ijalni)
naponi
i analogni izrazi za p~ i p~ uvrste u jednaqinu (2.10) dobija se sistem skalarnih jednaqina
y
z
pnx = pxx nx + pyx ny + pzx nz
(2.12)
pny = pxy nx + pyy ny + pzy nz
pnz = pxz nx + pyz ny + pzz nz
koji moe da se napixe u uobiqajenom kompaktnom obliku
pnm =
X
pkmnk = pkm nk ,
k
(2.13)
m, k = x, y, z.
↑
Sumira se po k!
NAPOMENA 1: UvoÆeem indeksne nota ije i pravila o sumirau po ponov enim indeksu, jednaqina (2.10) dobija oblik
p~n = p~1 n1 + ~p2 n2 + p~3 n3 = p~i ni ,
(2.14)
i = 1, 2, 3.
Prema tome, p~ predstav a linearnu funk iju komponenata vektora ~n pa vai:
p = p n , gde je p = p (~r, t).
(2.15)
Matri a koefi ijenata p formira, oqigledno tenzor, koji se naziva tenzorom napona
i u ovom kursu e se oznaqiti sa P . Tada je indeksnom zapisu (2.15), kao i sistemu jednaqina
(2.12) u matriqnom obliku
p~ = P · ~n,
(2.16)
u kome je


p
p
p


P = || p || =⇒ P =  p
(2.17)
p
p .
n
nj
ij i
ij
ij
ij
n
ij
xx
yx
zx
xy
yy
zy
pxz
pyz
pzz
Svaka komponenta p ima jasnu fiziqku interpreta iju, jer predstav a komponentunapona
koja deluje na povrx qija je spo axa normala paralelna osi i i usmerena je u j prav u.
Pojedinaqne komponente napona p matri e (2.17) saglasno izrazima (2.10)-(2.16), zavise od
izbora koordinatnog sistema, meÆutim tenzor P je fiziqka veliqina koja jednoznaqno
odreÆuje stae napona u taqki fluida P = P (~r, t) i ne zavisi od izbora koordinatnog
sistema, tj. invarijantan je u odnosu na ega.
NAPOMENA 2: U literaturi je qesto pored ovih oznaka p koriste i oznake σ za normalne napone i τ (i 6= j) za smi ajne napone. Shodno ovome uvode se sledea ekvivalentna
ij
ij
ij
ij
kk
MEHANIKA FLUIDA
oznaqavaa:
18
Normalni naponi
Smi ajni naponi
pxx = σxx = σ11
pxy = τxy = τ12
pyy = σyy = σ22
pxz = τxz = τ13
pzz = σzz = σ33
pyz = τyz = τ23
(2.18)
Matriqni zapis jednaqine sistem sada ima oblik

pnx



τyx
τzx

 
 pny  =  τxy
pnz
τxz
σyy


τzy   ny  .
σzz
nz
2.2.1 Osnovna svojstva napona
I

σxx
τyz
nx
(2.19)
Simetriqnost
(2.20)
Tenzor napona je simetriqan. Dokaz se izvodi primenom jednaqine o momentu koliqine kretaa.
τij = τji ⇔ τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy
II
Prva invarijanta tenzora, matri e napona
(2.21)
U najopxtijem sluqaju povrxinskih sila normalni nay
poni u proizvo noj taqki M fluida meaju se sa promenom orijenta ije povrxi (rota ija koordinatnog sistema
0xyz → 0x y z ) u toj taqki (na primer, σ 6= σ ). Me0
y
Æutim, zbir normalnih napona na tri meÆusobno ortogox
nalne ravni u jednoj taqki predstav a invarijantu. Dax
kle, zbir elemenata na glavnoj dijagonali tenzora napona
P je skalarna veliqina invarijantna u odnosu na orijentaiju koordinata.
Izraz (2.21), saglasno rela ijama (2.18), glasi:
+σ
+σ
σ +σ +σ =σ
(2.22)
PSfrag repla emen
σx′ x′ + σy′ y′ + σz ′ z ′ = σxx + σyy + σzz .
z
z′
′
′ ′ ′
xx
x′ x′
′
11
III
22
33
1′ 1′
2′ 2′
3′ 3′
Svojstvo normalnih napona za sluqaj kada ne deluju smiqui, tj. tangenijalni naponi
MEHANIKA FLUIDA
19
Nepostojae smi ajnih napona je, saglasno izrazima (2.5), (2.15) i (2.18), definisano
rela ijom
p = 0 ⇔ τ = 0, i 6= j
⇔ τ =τ =τ =0.
(2.23)
Stae napona odreÆeno je normalnim naponima
p~ = p ~n ≡ σ ~n, p~ = σ ~i, . . . , p~ = σ ~k.
(2.24)
Uvrxtavaem rela ija (2.24) u Koxijevu jednaqinu (2.10) dobija se
nt
ij
n
nn
xy
nn
x
xx
xz
yz
z
zz
σnn (nx~i + ny~j + nz~k) = σxx nx~i + σyy ny~j + σzz nz~k
odakle, izjednaqavaem veliqina uz iste jediniqne vektore sa leve i desne strane
jednaqine sledi Paskalov zakon
= σ , ... .
σ =σ =σ =σ
⇔
σ
(2.25)
Dakle, ako su smi ajni naponi jednaki nuli, onda normalni naponi u datoj taqki
ne zavise od orijenta ije povrxi, tj. normalni napon je i jednoj taqki isti za sve
prav e.
nn
xx
yy
zz
1′ 1′
11
2.2.2 Pritisak i naponi usled viskoznosti
Shodno hipotezi o lakoj pokret ivosti i velikoj deformabilnosti fluida normalni
naponi u (2.25) ne mogu biti naponi istezaa, jer fluid trpi samo pritisak. Dakle,
pritisak p pri τ = 0, kada vai rela ija (2.25), je normalni napon uzet sa suprotnim
znakom:
τ = 0 ⇒ p = −σ = −σ = −σ = −σ .
(2.26)
Dakle, pritisak je skalarna veliqina. On ne zavisi od orijenta ije povrxi, tj.
isti je u svim prav ima koji prolaze kroz neku taqku (Paskalov zakon). Normalni naponi,
tj. vektori napona u ovom sluqaju, saglasno izrazima, (2.25) i (2.26), izraqunavaju se
pomou pritiska:
τ = 0 ⇒ p~ = −p ~n, p~ = −p~i, ~p = −p ~j, p~ = −p~k
(2.27)
Znak "−"pokazuje da je vektor normalnog napona uvek usmeren suprotno spo axoj
normali povrxi i da se jav a kao napon pritiska.
Kako se definixe pritisak kada je τ 6= 0? Nastajae i dejstvo smi ajnih napona
~ 6= 0) i egovom
τ izazvano je istovremenim uti ajem kretaa, tj. strujaa fluida (U
viskoznoxu (η 6= 0). Viskoznost dovodi do pojave ne samo tangen ijalnih, tj. smi ajnih
napona τ ve i do promene normalnih napona u odnosu na sluqaj neviskoznog fluida
(η = 0). Shodno tome uvodi se hipoteza za normalne napone:
σ = −p + σ , σ = −p + σ , σ = −p + σ ,
(2.28)
ij
ij
ij
nn
n
xx
x
yy
y
zz
z
ij
ij
ij
xx
η
xx
yy
η
yy
zz
η
zz
MEHANIKA FLUIDA
20
pri qemu gori indeks η oznaqava da se radi o normalnim naponima usled viskoznosti, tj. normalnih viskoznim naponima. Veliqine τ , i, j = 1, 2, 3, su smi ajni naponi
koji su direktna posledi a viskoznosti fluida. U ovakvom po u napona, saglasno izraz
u (2.21), zbir normalnih napona je invarijantan i ima svojstvo pritiska. Uopxtavaem
ovog pojma pritiska izraava se sledeom hipotezom: pritisak je negativna sreda aritmetiqka vrednost normalnih napona. Dakle, pritisak u viskoznom fluidu se definixe
prvom invarijantom tenzora napona u obliku
1
p = − (σ + σ + σ ) .
(2.29)
3
Skalarno po e pritiska u viskoznom fluidu, tj. hidrodinamiqki pritisak u nekoj
taqki fluida odreÆuje se pomou ukupnih normalnih napona.
ij
xx
yy
zz
2.2.3 Naponski modeli u stati i i dinami i neviskoznog i viskoznog
fluida
Statika fluida
Model napona
~ =0
U
pnt = 0
pnn = σnn =
l
σxx = σyy =
p~y = −p ~j
p~z = −p ~k
σzz = −p
τij = 0
Dinamika
neviskoznog
fluida
~pn = −p ~n
~px = −p~i
pij = −p δij
P = −p E
~ 6= 0, η = 0
U

−p

P = || pij || =  0
0
Dinamika
viskoznog fluida
~ 6= 0, η 6= 0
U
0
0


−p 0 
0 −p

1 0 0


E= 0 1 0 
0 0 1
Model napona
p~n = −p~n + p~ηn
pij = −p δij + pηij
P = −pE + T
p = − 31 (σxx + σyy + σzz )

δij =
(
1, i = j
0, i 6= j
- vektor viskoznih napona
(vektor napona trea)
T - tenzor viskoznih napona
p~ = T · ~n,
p~ = P · ~n,
p~ηn
η
n
n

η
η
η 
σxx
τyx
τzx
 η
η
η 
T =  τxy
σyy
τzy

η
η
η
τxz τyz σzz .
MEHANIKA FLUIDA
21
2.2.4 Rezultujui vektor povrxinskih sila
Statika fluida
~ =0
U
~n =
R
‹
A
Dinamika
neviskoznog
fluida
=−
p~n dA = −
˚
V
˛
p ~n dA =
A
grad dV ≡ P~
Gaus- Ostrogradski
(sila pritiska)
Teorema
Gaus-Ostrogradskog
˚
‹
~ 6= 0, η = 0
U
∂
(. . . )dV
∂x
nx (. . . )dA =
V
A
Dinamika
viskoznog fluida
~n =
R
‹
p~n dA =
=
(~
px nx + p~y ny + p~z nz ) dA
A
A
~ 6= 0, η 6= 0
U
‹
Gaus- = ˚
Ostrogradski
V
∂~
px ∂~
py
∂~
pz
+
+
∂x
∂y
∂z
dV
PSfragNAPOMENA
repla emen 3: Naponi i povrxinske sile u proizvo nim prav ima
Stae napona moe da se opixe pomou komponenata kako sledi
pij =
i
dRj
dAi
i,j=x,y,z
pxz ≡ τxz =
=⇒
dRz
.
dAx
τxy
y
j
σxx
x
z
dAi
pij
τxz
- komponenta napona koja deluje na i-povrx (dA ) u j-prav u
i
Rezultujua povrxinska sila u j-prav u data je izrazom
Rj =
‹
A
pij ni dA
=
↑
˚
V
Gaus-Ostrogradski
∂pij
dV.
∂xi
Dakle, za izraqunavae dejstva povrxinske sile na masu fluida u zapremini V ograniqenoj povrxi A dovo no je poznavati po e napona samo na graniqnoj povrxi A, a ne i
unutar zapremine V .
3 Mirovae fluida
3.1 Stae napona. Statiqki pritisak
Iz poglav a 1.2 i 2.2.3 sledi
p~n = −p~n,
pξ = −p~iξ ,
(3.1)
ξ = x, y, z.
U fluidu koji miruje ne postoji tree.
• Pritisak p pri mirovau fluida oznaqava se kao statiqki pritisak.
• Po e, tj. stae napona definisano je skalarnim po em pritiska p = p(~r). Pritisak
•
je skalar!
Tako se stae napona u stati i saglasno sli i 2.7 moe prikazati slikom 3.1.
z
p~−x ≡ −~
px = −(−p~i ) = p~i
PSfrag repla emen
p~−y ≡ −~
py = p ~j
p~n
~n
M
y
Slika 3.1.
fluida.
p~−z ≡ −~
pz = p ~k
x
Povrxinske sile koje deluju na fluidni deli oblika tetraedra u sluqaju statike
pn = pnn ~n = −p ~n,
~
~px = −p~i,
~py = −p ~j,
~pz = −p ~k
U fluidu koji miruje jedina postojea normalna komponenta napona ne zavisi od orijenta ije povrxi i u svakoj taqki tog fluida je
pnn = pxx = pyy = pzz = −p
MEHANIKA FLUIDA
3.1.1 Pojam apsolutnog pritiska, potpritiska i natpritiska
23
Kao xto je reqeno u uvodu, pri mirovau fluida naponsko stae u fluidu se svodi
na pritisak. Osnovna jedini a u SI sistemu za pritisak je paskal - [Pa]. Alternativna
jedini a za pritisak, koja se qesto koristi u mehani i fluida je bar - 1bar = 100000 Pa ≡
10 Pa.
5
p
PSfrag repla emen
A
(pm )A
Atmosferski pritisak
V
pA
(pv )B
pa
pB
Apsolutna nula pritiska (vakuum)
Slika 3.2. Razni naqini predstav aa pritiska
Definiximo sada pojmove vezane za pritisak, a koje emo qesto sretati. To su:
• Atmosferski pritisak - predstav a pritisak okolnog vazduha, i on je funk ija
vremenskih uslova i nadmorske visine. Oznaqava se sa p ili p . U naxim prora hunima najqexe se uzimati da je p = const, i da ta vrednost iznosi priblino
p ≈ 1 bar, taqnije p = 101325 Pa . Ova vrednost predstav a tzv. standardnu atmosferu.
• Apsolutni pritisak - apsolutni pritisak se meri u odnosu na apsolutnu nulu
pritiska (vidi sliku sliku 3.2), i on u fluidu moe biti mai, jednak ili vei od
atmosferskog. Oznaqava se sa p.
• Natpritisak - ako je u nekoj taqki fluidu pritisak vei od atmosferskog, onda se u
toj taqki moe definisati natpritisak koji predstv a razliku apsolutnog pritiska
u toj taqki i atmosferskog pritiska. Oznaqava se sa p .
• Potpritisak - ako je u nekoj taqki u fluidu pritisak mai od atmosferskog, onda
se u toj taqki moe definisati potpritisak koji predstav a razliku atmosferskog
pritiska i apsolutnog pritiska u toj taqki. Oznaqava se sa p .
a
b
a
a
a
m
v
pA = pa + (pm )A
pB = pa − (pv )B
(pm )A
(pv )B
apsolutni pritisak u taqki A
− apsolutni pritisak u taqki V
− natpritisak u taqki A
− potpritisak u taqki V
−
MEHANIKA FLUIDA
24
3.2 Ojlerova jednaqina
Posmatra se proizvo na zapremina fluida V koji se nalazi u stau mirovaa (sl.
3.3).
PSfrag repla emen
A
~n
m
dA
~ n = dP
~ = −p~ndA
dR
,
V
ρ dV
f~
Slika 3.3. Izdvojena proizvo
na koliqina fluida mase m i zapremine V koja se nalazi u stau
mirovaa.
Iz poglav a 2.2.4 i izraza (3.1) sledi izraz za rezultujuu povrxinsku silu
(3.2)
koja se u ovom sluqaju svodi na silu pritiska P~ . U izrazu (3.2) je korixena formula
Gaus-Ostrogradskog
˚
‹
(3.3)
gradp dV.
p~n dA =
Primenom prvog utnovog zakona na izdvojenu masu fluida u zapremini V ograniqenoj
sa povrxi A dobija se
~n =
R
‹
A
p~n dA = −
‹
A
p~n dA = −
i
~i = 0
F
⇒
V
∇p dV = P~
V
A
X
˚
~m + R
~n = 0 →
R
˚
ρf~ dV +
V
˚
V
−gradp dV = 0,
(3.4)
Jednaqina (3.4) predstav a integralni oblik Ojlerove jednaqine statike. Kako je zapremina V potpuno proizvo na, a zapreminski integral jednak nuli, onda, pod pretpostavkom
da je podintegralna funk ija neprekidna, mora integrand biti jednak nuli kako sledi:
grad p = ρf~ .
(3.5)
Jednaqina (3.5) predstav a diferen ijalni oblik Ojlerove jednaqine.
Napomena 1: O obliku povrxi p = const
Iz vektorske jednaqine (3.5) sledi: skalarno po e pritiska se tako formira da povrxi
konstantnog pritiska (izobarske povrxi) p = const u svakoj svojoj taqki za normalu imaju
zadato po e masenih sila f~(~r)! Vektori ∇p i f~ su meÆusobno kolinearni vektori.
˚ V
ρf~ − ∇p dV = 0.
MEHANIKA FLUIDA
∇p
Sfrag repla emen
f~
p = const
25
Kada su izobarske povrxi ravne, a kada krive? To zavisi
od karaktera (prirode) masenih sila f~. Oqigledno, kada
je vektorsko po e sila f~ homogeno (f~ 6= f~(~r) → f~ = const)
povrxi p = const moraju biti ravne povrxi! Za sluqaj nehomogenog po a masenih sila f~, povrxi konstantnog pritiska (izobarske povrxi, ekvipritisne povrxi) su krive
povrxi!
3.3 OdreÆivae po a pritiska u nestix ivom i stix ivom
fluidu
Po e pritiska p(~r) se odreÆuje iz jednaqine (3.5) za zadato skalarno po e gustine ρ(~r)
i zadato vektorsko po e masenih sila f~(~r).
Zadato
Ojlerova
jednaqina
nestix iv fluid)
barotropan fluid)
baroklin fluid)
(homogeno po e)
(nehomogeno po e)

(

 ρ = const
ρ⇒
ρ = ρ(p)
(


ρ = ρ(p, T ) (
f~ ⇒
(
f~ = const
f~ = f~(~r)
Trai se
p(~r) = p(x, y, z)
Dobija se
(1) p(M) (pritisak u bilo kojoj taqki
M u fluidu - po e pritiska)
(2) p = const (jednaqina izobarskih
¨ povrxi)
(3) P~ = − p ~n dA (sila pritiska)
A
Napomena 2: Skalarni oblik Ojlerove jednaqine
U i u odreÆivaa po a pritiska potrebno je Ojlerovu vektorsku jednaqinu napisati u
enim skalarnim obli ima kako sledi:
∂p
= ρfx ,
∂x
∂p
= ρfy
∂y
f~ = fx~i + fy~j + fz~k,
~
∇p = ρf~/ · dr
∂p
= ρfz ,
∂z
~ = dx~i + dy ~j + dz ~k
dr
~
→ dp = ρ f~ · dr
dp = ρ (fx dx + fy dy + fz dz)
(3.6)
MEHANIKA FLUIDA
26
Napomena 3: Spe ijalni sluqajevi masenih sila vanih za mehaniku fluida
1. Homogeno po e sila
Sila Zem ine tee: f~ = ~g = {0, 0, −g}
• Iner ijalna sila pri translatornom pravolinijskom kretau konstantnim ubrzaem ~a: f~ = −~a
•
in
2. Nehomogeno po e sila
Centrifugalna sila pri rota iji konstantnom ugaonom brzinom ω oko vertikalne
ose z
f~ = ω 2 ~r = ω 2 x~i + ω 2 y~j = ω 2 x, ω 2 y, 0
Strogo uzevxi, ovaj sluqaj ne pripada oblasti statike fluida. MeÆutim, kada se u
sistemu postigne rota ija fluida kao krutog tela, onda se mogu primeniti analizirane jednaqine.
3.3.1 Po e pritiska i jednaqine izobarskih povrxi u sluqaju mirovaa
nestix ivog homogenog fluida.
Posmatra se mirovae nestix ivog homogenog fluida - ρ = const, u sluqaju kada se on
nalazi u homogenom i nehomogenom po u masenih sila.
Mirovae u po u sile Zem ine tee
Kada fluid miruje u po u zem ine tee, vektorsko po e zapreminskih sila je konstantno, tj. f~ = g ~k ili f~ = −g ~k, u zavisnosti od toga kako je usmerena osa z (navixe ili
nanie). Posmatrajmo sud koji je napuen teqnoxu koja miruje (slika 3.4). Pozitivan
smer z ose je vertikalno nanie, tako da je f~ = g ~k.
Za ovako usvojeni koordinatni sistem projek ije vektora f~ na ose koordinatnog sistema
x, y, z su f = f = 0 i f = g . Ako se to zameni u jednaqinu (3.6) dobija se:
x
y
z
p = p(x, y, z) =
ˆ
ρ (g dz ) + C
p = pa
0
11111
00000
PSfrag repla emen
~g
x
H
z
ρ
111111
000000
Slika 3.4. Raspodela pritiska pri mirovau nestix
11111111111111
00000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
p = pa + ρgH
ivog fluida u po u sile Zem ine tee
MEHANIKA FLUIDA
27
Kako se radi o mirovau nestix ivog fluida, tj. ako je ρ = const., dobija se:
p = ρgz + C
(3.7)
Konstanta C se odreÆuje iz graniqnih uslova. Za konkretan primer sa slike 1.3 za x = z =
0, p = p , gde je p atmosferski pritisak. Tako se konaqno dobija raspodela pritiska:
p = p + ρgz
(3.8)
Iz jednaqine (3.7) zak uqujemo da su izobarske povrxi odreÆene jednaqinom z = const,
i one predstav aju horizontalne ravni. TakoÆe, te izobarske povrxi i vektor ~g su normalni, xto smo i ranije zak uqili; vektor ~g pokazuje i smer najveeg porasta pritiska
- vertikalno nanie. Izobarska povrx na kojoj je p = p naziva se slobodna povrx;
oznaqavaemo je obrnutim trougliem.
Ako se teqnost nalazi u nekom zatvorenom sudu, i ako se iznad e nalazi neki gas u kome
vlada natpritisak p (primer - bo a nekog gaziranog pia), raspodela pritiska e biti
vrlo sliqna jednaqini (3.7), razlikovae se samo konstantna C . U tom sluqaju ona e biti
C = p + p . Sa druge strane, ako je iznad nivoa teqnosti gas u kome vlada potpritisak
p , vrednost konstante C e biti C = p − p .
a
a
a
a
m
a
m
v
a
v
Mirovae u po u iner ijalnih sila i sile Zem ine tee
Posmatrajmo rezervoar koji se kree po horizontalnoj podlozi konstantnim ubrzaem
~a. U stau apsolutnog mirovaa sud je bio napuen do visine H . Iz iskustva znamo da
e teqnost zauzeti poloaj prikazan na sli i 3.5. Ako neki koordinatni sistem veemo
za sud, u tom koordinatnom sistemu neemo imati kretae teqnosti - u tom koordinantom
sistemu e vaiti Ojlerova jednaqina.
U ovom sluqaju masene sile koje deluju na fluid su g i iner ijalna sila a . Inerijalna sila je istog intenziteta a suprotnog smera od smera ubrzaa kojim se kree sud,
~a = −~a. Ukupna zapreminska sila koja deluje na fluid je:
(3.9)
f~ = ~g + ~a = ~g − ~a
Iz diferen ijalnog oblika Ojlerove jednaqine, ρf~ = gradp, zak uquje da su vektori
normala izobarskih povrxi i vektor f~ kolinearni, tj. vektor f~ je upravan na izobarske
povrxi koje su nagnute pod uglom α u odnosu na horizontalu. Ugao α je propor ionalan
inentzitetu ubrzaa a.
Koristei jednaqinu (3.6), i imajui u vidu da su projek ije vektorskog po a zapreminskih sila na ose usvojenog koordinantog sistema
in
in
in
fx = a,
fy = 0
fz = −g,
MEHANIKA FLUIDA
28
z
PSfrag repla emen
α
y
x
O
~a
11111
00000
p=
con
~ain
0
11111
000000
1
st 1
α
H
f~
~g
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Slika 3.5. Relativno mirovae fluida pri transla
iji.
po e pritiska je odreÆeno izrazom:
dp =
ˆ
ρ (a dx − g dz)
=⇒
p = ρ (ax − gz) + C
Konstanta C se odreÆuje iz graniqnih uslova, koji je za konkretan primer i usvojeni
kooordinatni sistem:
x = 0, z = 0 : p = pa
=⇒
C = pa
Konaqno, po e pritiska je odreÆeno izrazom:
p − pa = ρ (ax − gz)
Moe se zak uqiti da su izobarske povrxi meÆusobno paralelne prave
p = C,
C = const.
⇒
z=
a
x+C
g
koje zaklapaju ugao α = arctg sa pozitivnim smerom ose. Jednaqinu slobodne povrxi
odreÆujemo iz po a pritiska i uslova da je na slobodnoj povrxi p = p - vrednost konstante
C je u tom sluqaju jednaka nuli, tako da je jednaqina slobodne povrxi odreÆena izrazom
a
g
a
z=
a
x.
g
Mirovae fluida u po u entrifugalne sile
Posmatra se jedan ilindriqni sud, preqnika D koji je napuen teqnoxu gustine ρ do
visine H . Neka se sud poqne obrtati konstantnom ugaonom brzinom ω oko vertikalne ose,
i neka se ta osa poklapa sa osom suda. Usled dejstva viskoznosti delii teqnosti koji se
nalaze na zidu suda e se obrtati zajedno sa sudom; ti delii e u tom kretau sa sobom
povlaqiti i ostale delie, a ovi sebi susedne na maem radijusu, sve do ose evi. Posle
izvesnog vremena sva teqnost u sudu e se obrtati zajedno sa im - moemo smatrati da se
rag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
29
teqnost obre kao kruto telo. U koordinatnom sistemu vezanom za sud, teqnost miruje, pa
e za u vaiti Ojlerova jednaqina statike fluida.
z
ω = const
fluidni deli
z
f~c
~r
0
H
f~c
~r
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
r
D
0
y
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
ω = const
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
x
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
Relativno mirovae pri rota iji. Koordinatni sistem 0xy takoÆe rotira ugaonom
brzinom ω oko ose z.
Slika 3.6.
Poxto teqnost rotira konstantnom ugaonom brzinom, na svaki fluidni deli koji
se nalazi na rastojau r od ose rota ije, deluje entrifugalna sila (po jedini i mase)
usmerena ka osi rota ije:
(3.10)
f~ = f ~i + f ~j = ω ~r = ω (x~i + y ~j)
pa su projek ije zapreminske sile koja deluje na fluid, za usvojeni koordinatni sistem
(z osa se mora poklapati sa osom rota ije, zbog naqina definisaa entrifugalne sile; r
osa se moe usvojiti bilo gde na osi rota ije).
f = ω x;
f = ω y;
f = −g
(3.11)
Zamenom jednaqine (3.11) u jednaqinu (3.6), i enim integra eem dobija se:
1
1
p = ρ ω (x + y ) −ρgz + C = ρ ω r − ρgz + C
(3.12)
| {z }
2
2
c
x
2
x
2
2
2
y
y
2
2
z
2
2 2
r2
Koordinata r se meri od ose suda, i ona je uvek pozitivna (to je radijus meren od ose
rota ije)! Konstanta C se odreÆuje iz graniqnih uslova. Za usvojeni koordinatni sistem,
taj graniqni uslov je:
x = 0, z = 0 : p = pa
pa je konaqno po e pritiska odreÆeno izrazom:
=⇒
C = pa
(3.13)
Dakle, po e pritiska je nelinearno po koordinati r, a linearno po koordinati z. Izop − pa =
1
ρ ω 2 r 2 − ρgz
2
MEHANIKA FLUIDA
30
barske povrxi su obrtni paraboloidi
z=
ω2 2
r + C,
2g
C = const
(3.14)
a jednaqina slobodne povrxi (p = p ) slobodne povrxi je odreÆena izrazom
a
z=
ω2 2
r
2g
3.3.2 Mirovae stix ivog fluida u po u sile Zem ine tee
(3.15)
Posmatra se mirovae stix ivog fluida u po u sile Zem ine tee (vazduh u Zem inoj atmosferi).
z
Ojlerova jednaqina: dp = −ρg dz
Jednaqina staa: p = ρRT
Iz prethodne dve jednaqine hovim meÆusobnim de eem dolazi se do diferen ijalne jednaqine
f~ = −g~k
rag repla emen
~k
ρ
dp
g dz
=−
p
R T (z)
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
qije se rexee, za graniqni uslov z = z
0
→ p = p0
ˆ
p = p0 exp −
z
z0
, odreÆuje iz izraza
g dz
RT (z)
Tri karakteristiqna sluqaja zavisnosti T = T (z):
1. T = T = const
g
0
2. T (z) = T
0
p = p0 exp −
− γz
p = p0
3. p/ρ
κ
= p/ρκ0
RT0
.
(z − z0 )
γz
1−
T0
g
γR
"
κ #
κ
p κ−1
p
z − z0 =
1−
κ − 1 gρ0
p0
Pojam standardne atmosfere
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Zem ina atmosfera je slojevita, i definixu se qetiri ena sloja: troposfera, stratosfera, mezosfera i jonosfera. U troposferi, koja je deb ine oko 11 km je temperatura
MEHANIKA FLUIDA
31
linearno opada sa visinom, tj.
T (z) = T0 − γz,
T0 = 288 K,
γ = 6, 5 K/km
pa je raspodela pritiska u troposferi definisana izrazom (3.17), dok se do zavisnosti
gustine od visine dolazi primenom jednaqine staa p = ρRT
(3.19)
U stratosferi temperatura vazduha je priblino konstantna, i ona priblino iznosi
t = −56, 5 C pa ke raspodela pritiska u stratosferi definisana izrazom (3.16).
PSfrag repla
emen
ρ = ρ0
γz
1−
T0
g
−1
γR
◦
z
z
Izoterma
Stratosfera
Eksponen ijalna funk ija
Tropopauza
∼ 10 km
Troposfera
T0
Stepena funk ija
T
Slika 3.7. Raspodela temperature i pritiska u atmosferi.
p0
p
Obe funk ije pritiska, stepena u troposferi i eksponen ijalna u stratosferi su u
tropopauzi neprekidne, tj. prelaze jedna u drugu u tropopauzi neprekidno i neprekidno
diferen ijabilno (neprekidne vrednosti i neprekidni prvi izvod u spajau obe funk ije,
tj. nema skoka (prekida) ni prve ni druge vrste pri prelasku eksponen ijalne funk ije
pritiska u stepenu i obratno.
3.4 Dejstvo sile pritiska na ravne i krive povrxi
(a) Ravne povrxi
Po e elementarnih povrxinskih sila, tj. elementarnih sila pritiska dP~ predstav a po e meÆusobno paralelnih vektora, tako da se vektorsko sabirae zameuje
skalarnim:
PSfrag repla emen
−→
dP
−→
dP = p ~n dA
→
dP = p dA
dA
~n
P~ =
→
¨
p ~n dA = ~n
A
P =
¨
A
¨
p dA.
A
p dA.
(3.20)
(3.21)
MEHANIKA FLUIDA
(b) Krive povrxi
32
U ovom sluqaju vektorsko po e jediniqnih vektora normala povrxi ~n nije homogeno, tj. n 6= const! Shodno
tome, vae sledee rela ije ¨
−→
dP
PSfrag repla emen
~n
dA
ili zapisano u indeksnoj nota iji
dPj = p nj dA = p dAj
−→
p ~n dA
dP = p ~n dA → P~ =
A
¨
p nx~i + ny~j + nz~k dA,
P~ =
A
⇒
P =
¨
p nj dA,
j = x, y, z.
A
(3.22)
(3.23)
(v) Rezultujua povrxinska sila na potpuno okvaxenu zatvorenu povrx A Arhimedova sila (sila potiska)
~n
PSfrag repla emen
−→
dP
dA
V
A
ρ
(3.24)
Povrx A je zatvorena pa se moe primeniti teorema Gaus-Ostrogradskog, kao i Ojlerova jednaqina
(3.5) nakon toga, pa sledi izraz za Arhimedovu sila
potiska
˚
˚
Ojler
G-O
~
∇p dV = −
ρf~ dV.
(3.25)
P = −
Potisak nije nikakva dopunska sila u odnosu na
silu pritiska!
−→
dP = −p ~n dA
→
P~ = −
‹
p ~n dA
A
A
V
V
Zak uqak: Dakle, u stati i fluida, bitno je odrediti stae napona, tj. skalarno po e
pritiska p(~r) = p(x, y, z) iz Ojlerove jednaqine gradp = ρf~, tj. dp = ρF dx (sumirae po i =
1, 2, 3)! Uvrxtavaem skalarne funk ijepritiska p u izraze (3.20) - (3.24) iizraqunavaem
naznaqenih integrala dobijaju se sile pritiska na ravne i krive povrxi!
i
3.4.1 OdreÆivae sile pritiska na ravnu povrx
i
Posmatra se jedan rezervoar sa kosim boqnim zidom u kome se nalazi teqnost gustine ρ
(slika 3.8). Na boqnom zidu se nalazi pravougaoni otvor, koji je zatvoren nekim zatvara hem. Kolikom silom teqnost deluje na taj zatvaraq (on je priqvrxen re imo zavrtaskim
vezama za zid suda - da bi smo odredili sile optereea u vezama, moramo sraqunati silu
pritiska)? Kako je usmerena ta sila? Gde se nalazi napadna taqka te sile? Odgovori na
ova pitaa slede iza ovih redova.
• Sila pritiska na neku ravnu povrx deluje uvek u prav u koji je normalan na tu
povrx.
MEHANIKA FLUIDA
33
Silu pritiska usmeravamo od teqnosti ka povrxi koja je okvaxena tom teqnoxu.
• Silu pritiska raqunamo pomou izraza (3.20), i imajui u vidu raspodelu pritiska
u teqnosti koja je odreÆena izrazom (3.8):
•
P
=
¨
p dA =
A
¨
A
(pa + ρgz)dA −
¨
pa dA =
A
pa A + ρg
¨
A
= (pa + ρgzC ) A − pa A = (pc − pa ) A ≡ ρgzC A
|
{z
}
zdA − pa A
(3.26)
pC
gde su
- z koordinata teixta povrxi merena od slobodne povrxi teqnosti
• p - apsolutni pritisak u teixtu povrxi
• p - atmosferski pritisak okolnog vazduha
• A - povrxina povrxi na koju se trai sila pritiska
• zC
c
a
PSfrag repla emen
zC
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
000000
111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
000000
111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
000000
111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
000000
111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
000000
111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
000000
111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0000000
1111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000000
11111111111
00000000
11111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000000
11111111111
00000000
11111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000000
11111111111
00000000
11111111
00000000000
11111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
0
dA
dP~
~n
z
u
P
vC
vD
C
D
ξ
v
ρ
α
∆vC
η
Slika 3.8. Sila pritiska na ravni povrx
Dakle, rexavaem integrala izrazu (3.20) dobija se jednostavan, algebarski izraz za
odreÆivae intenziteta sile pritiska:
P = (p − p ) A.
(3.27)
Kada povrx zaklapa neki ugao α sa horizontalom (180 < α < 0 ), raspodela pritiska
na povrxi je neravnomerna (pritisak linearno raste sa poveaem koordinate z), te stoga
sila pritiska deluje u taqki D koja se naziva entar pritiska. Poloaj te taqke se
odreÆuje primenom Varionove teoreme: moment rezultujue sile za proizvo nu osu jednak
je sumi momenata enih komponenata u odnosu na tu istu osu, i uzimajui kao merodavnu
c
a
◦
◦
MEHANIKA FLUIDA
34
osu osu u sledi da je
P vD =
¨
⇒
vdP
A
ρgzC A vD = ρg
odnosno, imajui u vidu vezu koordinata z = v sin α
1
vD =
vC A
¨
v 2 dA =
A
ˆ
z v dA,
A
Iu
,
vC A
gde je I moment iner ije povrxi A u odnosu na osu u. Ako se sada primeni Xtajnerova
teorema, odnosno da je I = I + v A, dobija se relativni poloaj entra pritiska u
odnosu na teixte:
u
u
vD =
2
Cξ
C
1
vC2 A + ICξ = vC + ∆vC
vC A
Ako se u posledi izraz v izrazi kao v
C
C
∆vC =
⇒ ∆vC ≡ vD − vC =
ICξ
.
vC A
, a potom z A kao P/ρg dobija se
= zC / sin α
ICξ sin α
ρgICξ sin α
=
zC A
P
C
Dakle, relativni poloaj entra pritiska u odnosu na teixte povrxi se odreÆuje na
osnovu izraza
ρgI sin α
I
≡
∆v =
(3.28)
v A
P
gde su I teixni moment iner ije za osu ξ, a P rezultujua sila pritiska odreÆena
izrazom (3.27).
Ako povrx nije simetriqna, onda postoji
i pomerae napadne taqke po koordinati u. To
I
rastojae je odreÆeno izrazom ∆u = u A . U veini zadataka povrxi e biti simetriqne.
U sluqaju horizontalnih povrxi pritisak u svim taqkama povrxi ima istu vrednost, pa sila pritiska deluje u teixtu povrxi!
Cξ
C
c
cξ
c
ξη
c
Cξ
frag repla emen
frag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
35
PRIMER 3.1: Odrediti sile pritiska na ravne povrxi prikazane na sli i.
pv
pm
h1
h2
h2
ρ2
C
ρ2
P
1
h1
ρ1
ρ1
ρ1
h2
ρ2
pm
h1
h1
ρ1
pv
P
ρ2
h2
h3
ρ3
∆vc
∆vc
3
2
4
Na osnovu prethodnih razmatraa, na sli i 3.9 su u rtane sile pritiska.
pv
pm
h1
h2
P
1
Slika 3.9
h2
ρ2
C
ρ2
∆vc
h1
ρ1
ρ1
ρ1
h2
C
ρ2
pm
h1
h1
ρ1
pv
P
P1
h3
P2
ρ3
∆vc
h2
C2
∆vc
P
ρ2
000000000000000000000000000
111111111111111111111111111
10 1010 1010 1010 1010 10 1010
1010 10 10 10 10 1010 10
1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010
10 10 10 10
10
3
4
2
. Karakteristiqni sluqajevi odreÆivaa sile pritiska na ravnu povrx
1 Apsolutni pritisak u teixtu:
Sila pritiska:
Koordinata teixta:
pc = pa − pv + ρ1 gh1 + ρ2 gh2
P = (pc − pa )A = (−pv + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 )A
zc =
pv
ρ1
pc − pa
=−
+ h1 + h2
ρ2 g
ρ2 g ρ2
Napadna taqka sile P - entar pritiska (u svim sluqajevima je α = 90 )
◦
∆vc ≡ ∆zc =
Icξ
zc A
Ako je vrednost potpritiska p vea od zbira ρ gh + ρ gh (u teixtu povrxi vlada apsolutni pritisak mai od atmosferskog, tj. potpritisak), dobie se negativna vrednost za
silu P , xto znaqi da je pretpostav eni smer sile pogrexan - u tom sluqaju ne treba mev
1
1
2
2
ati smer sile, ali taj znak minus treba uzimati u obzir kada se zameuje brojna
vrednost za u u neku od jednaqine ravnotea ili neku momentnu jednaqinu za
MEHANIKA FLUIDA
36
neku od osa.
TakoÆe, u ovom sluqaju e se dobiti i negativna vrednost za ∆v - fiziqki,
to znaqi da je taqka D iznad teixta, ali ne treba pomerati silu u tu napadnu taqku dovo no je pri sraqunavau uzeti u obzir negativnu vrednost za ∆v (ako se pixu momentne
jednaqine). Dakle, uvek smatramo da sila pritiska deluje od teqnosti ka povrxi
koju je okvaxena tom teqnoxu, i da je entar pritiska uvek ispod teixta.
2 Apsolutni pritisak u teixtu:
c
c
pc = pa + pm + ρ1 gh1 + ρ2 gh2
Sila pritiska:
Koordinata teixta:
P = (pc − pa )A = (pm + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 )A
zc =
pc − pa
pm
ρ1
=
+ h1 + h2
ρ2 g
ρ2 g ρ2
Napadna taqka sile P - entar pritiska (α = 90 )
◦
∆vc ≡ ∆zc =
Icξ
zc A
U ovom sluqaju nema nedoumi a - u teixtu vlada natpritisak, pretpostav eni smer je
ispravan, i fiziqki napadna taqka sile je ispod teixta.
3 Ako imamo sluqaj da jednu povrx kvase vixe teqnosti, imaemo onoliko sila koliko ima
teqnosti koje su u kontaktu sa povrxi. Ovde se daju izrazi samo za silu P . Izraz za silu
P je porpuno analogan kao u prvom sluqaju.
Apsolutni pritisak u teixtu:
2
1
Sila pritiska:
pc = pa − pv + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 + ρ3 gh3
P = (pc − pa )A = (−pv + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 + ρ3 gh3 )A2
Koordinata teixta:
zc =
pc − pa
ρ2
pv
ρ1
=−
+ h1 + h2 + h3
ρ2 g
ρ3 g ρ3
ρ3
Napadna taqka sile P - entar pritiska (α = 90 )
◦
Ovde vai ista priqa kao pod 1.
4 Apsolutni pritisak u teixtu:
∆vc ≡ ∆zc =
Icξ
zc A
pc = pa + pm + ρ1 gh1 + ρ2 gh2
Sila pritiska:
P = (pc − pa )A = (pm + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 )A2
MEHANIKA FLUIDA
37
Koordinata teixta:
zc =
Centar pritiska je u teixtu!
pc − pa
pm
ρ1
=
+ h1 + h2
ρ2 g
ρ2 g ρ2
Sluqaj kada je gas u kom vlada natpritisak ili potpritisak u kontaktu sa
ravnom povrxi
Pri odreÆivau sile kojom gas deluje na neku povrx, pretpostav amo da je po e pritiska u gasu homogeno, tj. u svakoj taqki u gasu pritisak ima istu vrednost - na sli i
3.10 u sluqaju 1 svuda u sudu je p , tj. u sluqaju 2 je svuda p . Poxto u svakoj taqki ravne
pritisak ima istu vrednost, sila pritiska deluje u teixtu povrxi.
Za odreÆivae sile koristi se potpuno isti obraza kao i u sluqaju teqnosti, jednaqina
(3.27). Za sluqajeve na sli i dobija se:
P = p A tj. P = −p A
Vidimo da emo u sluqaju 2 dobiti negativnu vrednost za silu P . To znaqi da je
stvarni smer dejstva sile suprotan, tj. u okolnom vazduh vlada vei pritiskom nego u
vazduhu u sudu, pa sila deluje na zatvaraq sa spo ne strane! Taj stvarni smer sile P je
u rtan na sli i 3.10, dok je en intenzitet P = p A.
m
1
v
m
2
v
2
2
2
pv
pm
PSfrag repla emen
1111
0000
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
P1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
11111111
00000000
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
pm
v
pa
P2
pv
1
0000
1111
0
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
11111111
00000000
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
0
1
2
1
Slika 3.10. Sila pritiska u sluqaju dejstva pritiska koji vlada u gasu na ravnu povrx
3.4.2 OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx
Posmatra se jedna krivu povrx koja je u kontaktu sa teqnoxu gustine ρ (sl. 3.11).
Neka je ta povrx simetriqna u odnosu na ravan x − z.
MEHANIKA FLUIDA
38
Elementarna sila pritiska dP~ je odreÆena izrazom (3.22). Za razliku od ravnih povrxi, kod krivih povrxi vektori normala elementarnih povrxi dA nisu istog prav a,
tako da e i elementarne sile dP biti razliqitog prav a.
ys
xs dAz
0
−−→
dPx = dPx ~i
PSfrag repla emen
zs
−−→
dPz
z
−→
dP
−→
dP
A
xs
dAx
111
000
000
111
000
111
000
111
−→
dP
ρ
γ
dA
α
~n
zs
~n
Slika 3.11. Sila pritiska na krivu povrx.
Za proizvo nu elementarnu povrx dA povrxi A qiji je poloaj odreÆen koordinatom
z , vektor ~n te povrxi se moe napisati kao:
~n = ~i cos ∠(~n,~i) + ~k cos ∠(~n, ~k) = ~i cos α + ~k cos γ
(3.29)
gde se uglovi α i γ uglovi koje vektor normale ~n gradi sa pozitivnim smerom odgovarajuih
osa.
Elementarnu silu dP~ koja deluje na posmatranu povrx dA moemo izraziti preko ene
dve projek ije (obe projek ije ove sile, na ose x i z su pozitivne, a i kosinusi uglova α i
γ su cos α > 0 i cos γ > 0):
dP~ = dP~ + dP~ ≡ dP ~i + dP ~k = ρ g z (~i cos α + ~k cos γ)dA
(3.30)
Iz poslede jednaqine sledi:
ˆ
z dA
⇒
P = ρg z A
dP = ρ g z (dA cos α) ⇒ P = ρg
(3.31)
| {z }
x
z
x
z
x
x
x
x
Ax
dAx
gde su: A - projek ija povrxi A u prav u x-ose na ravan y − z
z - koordinata teixta povrxi A merena od slobodne povrxi.
x
cx
x
cx
x
MEHANIKA FLUIDA
39
Iz jednaqine (3.30) sledi da je projek ija dP odreÆena izrazom:
z
dPz = ρ g z (dA cos γ)
| {z }
⇒
Pz = ρg
dAz
ˆ
zdAz
A
⇒
Pz = ρgV
(3.32)
gde je V zapremina koja se dobija projektovaem krive povrxi u vertikalnom prav u do
slobodne povrxi. Napadna linija sile P prolazi kroz teixte zapremine V .
Kako se praktiqno odreÆuju komponente P i P bie prikazano na sledeim primerima.
z
x
z
PRIMER 3.2: Odrediti silu pritiska koja deluje na krivu povrx oblika dela omotaqa sfere
za primer za slike 3.12.
Prvo se odreÆuje horizontalna komponenta sile pritiska. Povrx A koja se dobija projektovaem
krive povrxi u x-prav u predstav a jednu ravnu povrx i sila pritiska koja deluje na tu ravnu
povrx se moe odrediti pomou izraza (3.27) ili izraza (3.31), tj.
x
Px = (pcx − pa )Ax ≡ ρg zcx Ax
Za konkretan primer sa slike ta sila je odreÆena izrazom:
Px = ρ g (H + R)R2 π
PSfrag repla emen
x
H
z
zcx
R
Cx
Projeku ija krive povrxi u x
prav
Dx
Px
ρ
Ax
pritiska
iElementarne
odgovarujuesile
x projek ije
. OdreÆivae x projek ije sile pritiska na krivu povrx oblika omotaqa polusfere
Pri odreÆivau vertikalne komponente, povrx emo podeliti na dva dela, kao xto je prikazano
na sli i 3.12. Evidentno je da e na gori deo povrxi delovati sila koja je usmerena vertikalno
navixe, i to silu emo oznaqiti sa P . Na doi deo povrxi deluje sila koja je usmerena vertikalno
nanie, i tu silu emo oznaqiti sa P . Rezultujua vertikalna sila koja deluje na poklopa bie
jednaka razli i ove dve sile i bie usmerena vertikalno nanie, jer je kao xto emo videti,
intenzitet sile P vei od intenziteta sile P .
Slika 3.12
z1
z2
z2
z1
MEHANIKA FLUIDA
40
Intenziteti sila P i P se odreÆuju pomou izraza (3.32). Tako se za silu P dobija:
z1
z2
Pz1 = ρgVz1 = ρgVz1
z1
1 4
R
H
1
+
= ρ g R2 π(H + R) − · R3 π = ρgR2 π
2
4 3
2
6
Zapremina V je jednaka razli i zapremina qetvrtine ilindra polupreqika R i visine H + R
i qetvrtine lopte polupreqika R. Napomenimo jox jednom da je ova sila usmerena vertikalno
navixe.
Intenzitet sile P je:
PSfrag repla emen
z1
z2
Pz2 = ρgVz2 = ρgVz2
1 2
1 4 3
5R
H
2
= ρ g R π(H + R) + · R π = ρgR π
+
2
4 3
2
6
x
mentarne sile pritiska
dgovarujue projek ije
ek ija krive povrxi u
prav u
Vz1
H
z
Vz2
zcx
R
Pz2
Pz1
ρ
. OdreÆivae vertikalne projek ije sile pritiska na krivu povrx oblika omotaqa
polusfere
Kao xto moemo videti intenzitet sile P je vei od sile P , pa je rezultujua sila P
usmerena vertikalno nanie i en intenzitet je:
Slika 3.13
z2
Pz = Pz2 − Pz1 = ρgR2 π
z1
z
2
H
5R
R
H
− ρgR2 π
= ρgR3 π
+
+
2
6
2
6
3
Dakle, ukupnu silu pritiska smo razloili na dve meÆusobno upravne komponente, koje qine
suqe ni sistem sila - to je iz razloga xto xto je kriva povrx simetriqna u odnosu na vertikalnu
x − z ravan koja prolazi kroz eno teixte; to e biti sluqaj u svim zada ima koji e biti
raÆeni u okviru ovog kursa.
1
PSfrag repla emen
Px
Px
P
Pz
Slika 3.14
1
Pz
. Komponenta rezultujue sile pritiska qine suqe
ni sistem sila.
Sistem sila qije se napadne linije seku u jednoj taqki se naziva suqe ni sistem sila.
MEHANIKA FLUIDA
41
Ta rezultujua sila pritiska je jednaka:
p
P = Px2 + Pz2 =
s
[ρ g (H +
2
R)R2 π]
2
ρgR3 π
+
3
2
2
= ρgR π
r
(H + R)2 +
4R2
9
Smer vertikalne komponente sile koja deluju na neku krivu povrx moeno odrediti i na
sledei, jednostavan naqin:
Ako se zapremina koja se dobija projektovaem krive povrxi do slobodne
povrxi teqnosti koja je sa om u kontaktu formira sa neokvaxene strane
povrxi, onda je smer sile usmeren vertikalno navixe (sila P ). Ako se ta
zapremina formira sa okvaxene strane povrxi, smer vertikalne komponente
sile je usmeren vertikalno nanie (sila P ).
z1
z2
PRIMER 3.3: Odrediti silu pritiska koja deluje na krivu povrx oblika dela omotaqa sfere
za primer za slike 3.15.
PSfrag repla emen
U ovom primeru, prilikom odreÆivaa P , krivu povrx povrx delimo na dva dela i odreÆujemo
odgovarajue projek ije P i P koje deluju na ta dva dela krive povrxi.
x
x1
x2
x
Elementarne sile pritiska i odgovarujue x projek ije
z
Vz
H
Cx
Ax1 = Ax2
ρ
Px1
R
Slika 3.15
. OdreÆivae x projek
Sile P i P
x1
4R
3π
x2
Ax1
Px2
Ax2
ije sile pritiska na krivu povrx oblika omotaqa polusfere
su istog intenziteta i one su, na osnovu (3.31) odreÆene izrazom:
4R R2 π
Px1 = Px2 = ρg H +
3π
2
tj:
Kako su ove sile suprotnih smerova rezultujua sila pritiska u x-prav u e biti jednaka nuli,
Px = Px1 − Px2 = 0
Mogli smo do istog zak uqka da doÆemo i jednostavnom analizom. Naime, svakoj elementarnoj
povrxi dA se moe pridruiti i odgovarajua simetriqna elementarna povrx dA koja se nalazi
1
′
1
MEHANIKA FLUIDA
42
na istoj horizontali (istoj izobarskoj povrxi!) na koju deluje sila dP istog intenziteta i prav a,
ali suprotnog smera. Ako sumiramo (integralimo) po eloj povrxi A, dobie se da je rezultujaa
sila pritiska u x prav u jednaka nuli.
Komponenta P je odreÆena izrazom:
x
z
Kako je P
x
1 4 3
2R
2
2
Pz = ρgVz = ρg R πH + · R π = ρgR π H +
2 3
3
=0
, rezultujua sila pritiska P je P = P .
z
3.4.3 Metoda potiska pri odreÆivau sile pritiska na krivu povrx
U nekim sluqajevima, qieni a da je rezultujua sila pritiska koja deluje na neko
potop eno telo upravo sila potiska nam moe znatno olakxati odreÆivae sile pritiska
na neku krivu povrx.
Pv
PSfrag repla emen
A1
A2
A1
D
PN∗
P
P
V
ρ
Slika 3.16. OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx metodom potiska
Posmatra se kriva povrx sa slike 3.16. elimo da odredimo kolika je sila pritiska
P na tu krivu povrx. U tom i u moemo primeniti i sledei postupak.
Ako zamislimo da krivoj povrxi dodamo odreÆeni broj ravnih povrxi, dobiemo jednu
zapreminu za koju moemo smatrati da predstav a jedno telo koje je potop eno u teqnosti.
Kao xto je dobro poznato rezultujua sila pritiska koja deluje na tako dobijeno telo je
sila potiska. Integral u izrazu (3.24) se moe podeliti na integral po povrxi A i
integral po povrxi A .
1
2
P~v = −
‹
A
p ~n dA = −
|
¨
p ~n dA1 + −
A1
{z
}
|
~
P
¨
p ~n dA2
A2
{z
}
!
= P~ + P~N∗
~∗
P
N
Poxto elimo da odredimo silu P , i imajui i vidu da je P~
∗
N
= −P~N
, dobija se konaqan
MEHANIKA FLUIDA
43
izraz za odreÆivae sile pritiska na krivu povrx metodom potiska:
(3.33)
gde je V zapremina koja se dobija zatvaraem krive povrxi sa odgovarajuim brojem ravnih
povrxi. Za konkretan sluqaj sa slike, zapremina V je formirana samo uvoÆeem jedne
ravne povrxi.
Ako elimo da napixemo jedan opxti izraz, kada se zapremina V dobija uvoÆeem n
ravnih povrxi, izraz za silu pritiska na krivu povrx je:
P~ = P~v − P~N∗ = P~v + P~N = −ρ~gV + P~N
P~ =
n
X
P~N i + P~v =
n
X
i=1
i=1
(3.34)
P~N i − ρ~g V
Koliko ravnih povrxi izabrati za rexavae problema je stvar liqnog izbora. Generalno,
postoji beskonaqan broj naqina (izbora ravnih povrxi) na koji moete rexiti zadati
problem.
Jednaqina(3.34) je vektorska jednaqinai projektovaem na dva izabrana upravna prav a
dobijamo odgovarajue projek ije.
PV
PV
PV
PN
PSfrag repla emen
PN
P
P
PN
ρ
Slika 3.17. OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx metodom potiska
PRIMER 3.4: Odrediti intenzitet sile pritiska na krivu povrx sa slike, oblika qetvrtine
omotaqa ilindra polupreqika R i duine L. Veliqine ρ i H takoÆe smatrati poznatim.
Problem e biti rexen na dva naqina, oznaqena sa (a) i (b) na sli i 3.18.
U sluqaju pod sile (a) P i P su odreÆene izrazima:
N1
PN 1
v1
√
R
= (pc1 − pa )A1 = ρg H −
R 2L
2
Pv1 = ρgV1 = ρg
π
R2 π
1
1
L
− R2 L = ρgR2
−
4
2
4
2
PSfrag repla
emen FLUIDA
MEHANIKA
44
y
P =?
(a) P
H
Pv1
x
N1
Pv2
(b)
V2
PN 2
R
V1
PN 3
. OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx oblika qetvrtine omotoqa
dom potiska
Slika 3.18
ilindra meto-
Projek ije sile P na ose koordinatnog sistema x − y su odreÆene izrazima:
√
2
R
Px = PN 1 cos 45 = PN 1
= ρg H −
RL
2
2
◦
π 1
R
R
RL − ρgR2
L = ρg H − π RL
−
Py = PN 1 sin 45◦ − Pv1 = ρg H −
2
4
2
4
Intenzitet sile P je:
s
2 2
q
R
R
2
2
P = Px + Py = ρgRL
+ H− π
H−
2
4
U sluqaju pod (b) intenziteti odgovarajuih sila su odreÆeni izrazom:
R
RL ,
PN 2 = ρg H −
2
Projek ije sile P su:
1
Pv2 = ρgV2 = ρg · R2 πL
4
Px = PN 2
Py = PN 3 − Pv2
PN 3 = ρgHRL
R
= ρg H −
2
RL
1 2
R
= ρgHRL − ρg · R πL = ρg H − π RL
4
4
Naravno, dobijeni su isti rezultati.
3.4.4 Metoda ravnotee teqnosti
Treba odrediti silu pritiska na krivu povrx sa slike 3.19. Prilikom izvoÆea Ojlerove jednaqine posmatrana je potpuno proizvo na zapremina fluida i za u primeen
prvi utnov zakon.
Ako se sada izabere zapremina kao na sli i 3.19, tako da jedan deo povrxi koji je
ograniqava bude kriva povrx na koju traimo silu pritiska, a ostali deo jedna ili vixe
MEHANIKA FLUIDA
45
PN
P
PSfrag repla emen
ρ
PG
R
Slika 3.19. OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx metodom ravnotee teqnosti
ravnih povrxi. Dakle, teqnost koja se nalazi unutar te zapremine je u stau mirovaa,
tj.
X
~ =0 ⇒
~
F
P~ + R
+
P~
=0
(3.35)
| {z }
|{z}
i
i
gde su:
N
Ukupna povrxinska sila Zapreminska sila
G
- sila pritiska na ravnu povrx;
- teina teqnosti koja se nalazi unutar zapremine;
~
R - sila kojom kriva povrx deluje na teqnost unutar zapremine.
P~N
P~G = ρ ~g V
Sila P deluje u teixtu zapremine V , dok sila P deluje ispod teixta ravne
povrxi (pogledaj priqu vezanu za sile pritiska na ravne povrxi).
Kako je po treem utnovom zakonu, P~ = −R~ , dolazimo do izraza za silu pritiska:
(3.36)
P~ = P~ + P~ = P~ + ρ~g V
U opxtem sluqaju, kada se zapremina sastoji od n ravnih povrxi i krive povrxi na koju
traimo silu pritiska, izraz sa silu pritiska je:
G
N
N
P~ =
n
X
i=1
G
P~N + P~G =
N
n
X
i=1
P~N + ρ~g V
(3.37)
PRIMER 3.5: Odrediti intenzitet sile pritiska na krivu povrx sa slike 3.20, oblika 3/4
omotaqa ilindra polupreqnika R i xirine L. Smatrati poznatim veliqine H , ρ, R i L.
Kao i prethodni primer, i ovaj e biti uraÆen na dva naqina, uvoÆeem razliqitih ravnih povrxi
u i u dobijaa zapremine V .
PSfragMEHANIKA
repla emen FLUIDA
46
H
y
(a)
PN 1
x
(b)
PN 2
V2
PN 3
R
PG1
V1
PG2
. OdreÆivae sile pritiska na krivu povrx metodom ravnotee teqnosti na krivu
povrx oblika 3/4 omotaqa ilindra.
Slika 3.20
Tako je za sluqaj pod (a):
PG1
√
R
PN 1 = ρg H −
R 2L
2
3
1 2
1
3 2
R2 L
R π + R L = ρg
π+
= ρgV1 = ρg
4
2
4
2
Projek ije sile pritiska na ose koordinatnog sistema x − y:
R
RL
Px = PN 1 cos 45◦ = ρg H −
2
Py = PG1 + PN 1 sin 45◦ = ρg
3
1
π+
4
2
Intenzitet rezultujue sile pritiska je:
R
3R
R2 L + ρg H −
RL = ρg
π + H RL
2
4
s
2 2
q
3R
R
P = Px2 + Py2 = ρgRL
+
π+H
H−
2
4
Za sluqaj pod (b) intenziteti sila P , P i P su odreÆeni izrazima:
N2
PN 2
Odgovarajue projek ije sile P :
N3
G2
R
= ρg H −
RL;
2
PG2 = ρgV2 =
PN 3 = ρgHRL
3
ρgR2 πL
4
R
Px = PN 2 = ρg H −
RL
2
Py = PN 3 + PG2 = ρg
3R
π + H RL
4
MEHANIKA FLUIDA
47
3.4.5 Proraqun sudova pod pritiskom
Posmatra se sud, sa poklop em oblika sfere preqnika D u kome se nalazi gas u kome
vlada natpritisak p . Treba odrediti zavisnost napona koji se jav aju u materijalu u
funk iji pritiska koji vlada u sudu, i geometrijskih karakteristika suda - dimenzionisae suda pod pritiskom.
m
PSfrag repla emen
δ
z
σp
−→
dP
D
~n
α
Popreqni presek
D
δ
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
l
σu
pm
000000000000000
111111111111111
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
1111111111111
0000000000000
l
Uzduni presek
Slika 3.21. Uzduni presek suda izloenog dejstvu konstantnog pritiska p
m
Rezultujua sila pritiska na sfernu povrx je
Pz =
ˆ
pm dAz = pm Az = pm
Az
D2 π
= 0,
4
i ona je jednaka sili istezaa u popreqnom preseku suda, tj.
pm
D2 π
= σp Dπδ
4
⇒
σp =
pm D
< σdoz .
4δ
Napon σ je napon istezaa u popreqnom preseku suda.
Cilindriqni deo suda visine l u uzdunom preseku je izloen dejstvu sile pritiska
p
P = pm Dl
i ta sila je jednaka sili istezaa u zidovima ilindriqnog dela suda, tj.
p D
<σ
p Dl = σ 2δl ⇒
σ =
- Mariotova formula
2δ
Kako je σ > σ , Mariotova formula se koristi pri dimenzionisau deb ine suda, tj
m
u
u
u
m
p
δ≥
pm D
.
2 σdoz
doz
4 Dinamika neviskoznog fluida
4.1 Didaktiqkikon ept (aspekt) dinamike neviskoznog fluida (DNF)
1. Zaxto je vano stae napona, tj. model napona?
2. Koji su osnovni zakoni i jednaqine DNF?
3. Zaxto su bitni dekompozi ija (razlagae) brzinskog po a U~ (~r, t) i ispitivae fiziqkog znaqea izvoda brzine ∂u /∂x ?
4. U kakvoj je vezi brzina deformisaa fluidnog delia sa taqkom 3? U kakvoj su
meÆusobnoj vezi taqke 1 i 4?
5. U kakvoj su vezi pojmovi divergen ije brzine (divU~ ) i rotora brzine (rotU~ ) sa sadrzhajem taqaka 3 i 4?
6. U kakvoj je vezi ubrzae fluidnog delia ~a sa taqkom 3? Koje je fiziqko znaqee
materijalnog izvoda?
7. Zaxto je vana analiza i dekompozi ija ubrzaa fluidnog delia ~a? Koji su najvaniji izrazi za ubrzae ~a?
8. U kakvoj su meÆusobnoj vezi drugi utnov zakon, Dalamberov prin ip, zakon o koli hini kretaa, teorema impulsa, masene, povrxinske i iner ijalne sile sa pojmovima,
fiziqko-matematiqkim sadrajima i fiziqkim tumaqeima veliqina u taqkama 1-7?
9. Koje su osnovne rela ije koje povezuju Lagranev i Ojlerov metod, kao i kon epte
materijalnih i kontrolnih (prostornih) zapremina i povrxi?
10. Kojim metodama se izvode i matematiqki formulixu osnovne jednaqine odraa
mase, impulsa i energije kako u materijalnom i prostornom prikazu, tako i u integralnim i diferen ijalnim obli ima?
11. Dati jasna fiziqka tumaqea svih veliqina, izraza, jednaqina i zakona obuhvaenih
taqkama 1-10.
12. Primerima i zada ima suxtinski, fiziqki i matematiqki, pokazati primenu materije obuhvaene taqkama 1-10 pri rexavau praktiqnih ineerskih problema.
i
i
MEHANIKA FLUIDA
49
4.2 Algoritam didaktiqkog kon epta (aspekta) DNF (U~ 6= 0,
η = 0)
"The principle is most important, not the detail"
| Theodore von Karman, 1954
DNF (U~ 6= 0, η = 0)
reologija
Stae napona
Povrxinska sila R~
n
Dekompozi ija brzine U~ ↔ fiziqko znaqee izvoda brzine ∂u /∂x
i
Brzina deformisaa
Promena
zapremine
j
Ugaona brzina fluidnog delia
Promena
oblika
Fiziqko znaqee rotora brzine.
Pojmovi vrtlonosti i irkula ije.
Fiziqko znaqee
divergen ije brzine
Ubrzae fluidnog delia ~a
Fiziqko znaqee materijalnog izvoda
Dekompozi ija ubrzaa ~a = DU~ /Dt
D()
∂()
~ · ∇)()
=
+ (U
Dt
∂t
Analiza i uvoÆee iner ijalne sile R~
a
∗
Nastavak na sledeoj strani
MEHANIKA FLUIDA
50
∗
Metodologija izvoÆea osnovnih jednaqina
dinamike neviskoznog fluida (DNF)
Fiksiran izdvojen materijalni sistem.
Langraneva metoda.
Materijalna zapremina V i
materijalna povrx A
m
m
Jednaqine kontinuiteta,
koliqine kretaa,
i energije (JKKKE) u
integralnom obliku
(materijalni prikaz)
Fiksni, nepokretni prostorni sistem.
Ojlerova metoda.
Kontrolna zapremina V i
kontrolna povrx A strujnog prostora
Integralni oblik
JKKKE
(prostorni prikaz)
JKKKE u diferen ijalnom
oblik u
Diferen ijalni oblik
JKKKE
Primene JKKKE, Bernulijeve jednaqine i jednaqine staa
pri rexavau praktiqnih problema strujaa nestix ivog i stix ivog fluida
Slika 4.1. Didaktiqko-pedagoxka mapa za glavu 4.
Didaktiqki kon ept i prikazan pedagoxko-metodoloxki algoritam na sli i 4.1 vae i
za Dinamiku viskoznog fluida (glava 5)! Oqigledno je, meÆutim, da u tom sluqaju bitne
razlike nastaju u sledeem:
(a) novo stae napona (pojava viskoznih napona), v. poglav e 2.2.3
(b) nova povrxinska sila R~ , v. poglav e 2.2.4
(v) odgovarajue reoloxke zavisnosti i konstitutivne jednaqine.
Analiza svih ostalih rela ija, zakona, teorema i jednaqina je ista kao i u glavi 4, tj.
u Dinami i neviskoznog fluida! Iz tih razloga je glava 4 sa svojim sadrajem vrlo
znaqajna.
n
MEHANIKA FLUIDA
51
Iner ijalna sila
Saglasno utnovim zakonima i Dalamberovom (J. D’Alambert, 1717-1783) prin ipu u
dinami i fluida su masa, iner ija, kretae, brzina i ubrzae fluidnog delia povezani izvesnim rela ijama sa povrxinskim i masenim silama. Naime, iz utnovih zakona
proizilazi da je zbir masenih i povrxinskih sila jednak proizvodu mase fluida i egovog ubrzaa. Dakle, sila iner ije, koja karakterixe prirodnu tenden iju, tj. svojstvo
materije da se suprotstav a svakom dejstvu koje dovodi do promene enog staa kretaa,
zajedno sa rezultujuom masenom i povrxinskom silom, odreÆuje vrste, reime i stabilnost strujaa fluida. Zbog toga se ubrzau fluidnog delia, sili iner ije i zakonu
impulsa posveuje posebna paa u ovom kursu mehanike fluida!
4.3 Stae napona
U dinami i neviskoznog fluida stae napona je, zbog nepostojaa smi ajnih napona,
odnosno viskoznih napona uopxte, identiqno stau napona u stati i fluida (v. poglav e
2.2.3). Dakle, p = 0 → τ = 0, σ = 0, i, j = x, y, z, T = 0 → p = −pδ , pa su povrxinske
sile odreÆene, tj. definisane skalarnim po em pritiska (v. poglav e 2.2.4).
η
ij
ij
η
ii
ij
ij
4.4 Metode opisa strujnog po a
Ukupnost xest veliqina U~ (u, v, w), p, ρ, T u posmatranom prostoru i vremenskom domenu
odreÆuju strujno po e. U tom i u su na raspolagau i xest jednaqina (v. tabelu 1.1). Za
opis strujnog po a, kao i za izvoÆee osnovnih jednaqina mehanike fluida, na raspolagau
su Langraneva i Ojlerova metoda (v. sliku 4.1).
Langraneva (Lagrange, 1736-1812) metoda podrazumeva praee uoqenog fluidnog
delia pri egovom kretau u prostoru. Na primer, brzina je data funk ijom (sl. 4.2)
~ =U
~ [ x(t), y(t), z(t), t ] = U
~ [ ~r(~r , t), t ],
(4.1)
U
u kojoj ~r[ x (t)], i = 1, 2, 3 oznaqava vektore poloaja uoqenog delia tokom vremena t! Dakle,
ako se fluidni deli nalazi u taqki M(~r) u trenutku t, a potom u taqki N(~r ) u trenutku
t , onda je brzina fluidnog delia u taqki M vektor
~ = lim ~r − ~r = lim ~r(t + ∆t) − ~r = ~r˙.
(4.2)
U
t −t
∆t
Ojlerova (Euler, 1707-1783) metoda podrazumeva posmatrae promene strujnih veli hina u fiksnoj prostornoj taqki, dok kroz u prolaze pojedini fluidni delii. Ovo
odgovara postupku merea sa mernim instrumentom fiksiranim na jednom mestu strujnog
prostora. Brzinsko po e je zadato funk ijom
~ =U
~ (x, y, z, t) = U
~ (~r, t),
(4.3)
U
u kojoj su koordinate x, y, z fiksne prostorne koordinate, tj. ~r(x, y, z) je vektor poloaja
0
i
1
1
1
t1 →t
1
∆t→0
MEHANIKA FLUIDA
52
geometrijske taqke u strujnom po u (sl. 4.3).
Lagraneve koordinate (~r , t) − skup qetiri nezavisno promeive
veliqine (x , y , z , t)
(4.4)
Ojlerove koordinate (~r, t) − skup qetiri nezavisno promeive
veliqine (x, y, z, t)
Trajektorija (T), tj. putaa izvesnog fluidnog delia je niz uzastopnih poloaja
entra mase tog delia tokom egovog kretaa. Diferen ijalne jednaqine trajektorije
delia u Dekartovim koordinatama imaju, saglasno izrazima (4.1) i (4.2), oblik
0
0
−
→
dr
~
=U
dt
0
0
(4.5)
Ukoliko je poznato po e brzine konaqne jednaqine putae delia se dobijaju integra eem
sistema diferen ijalnih jednaqina (4.5)
dx = u (x , t) dt, i, k = 1, 2, 3
(4.6)
uz zadate poqetne uslove! Pri tome su x = x, y, z i u = u, v, w. Na primer, x = y i
u = w.
dx
dy
dz
= u(x, y, z, t),
= v(x, y, z, t),
= w(x, y, z, t).
dt
dt
dt
⇒
k
k
i
1,2,3
1,2,3
2
3
M
PSfrag repla emen
~ (~r0 , t)
U
~ (~r0 , t0 )
U
M0
Trajektorija (T) fluidnog delia
t0
Slika 4.2. Lagranev opis strujaa fluida.
t
t
Poloaji delia (taqke M i M) su funk ije
egovog poqetnog poloaja ~r u trenunutku t i vremena t. Putaa, tj. trajektorija T fluidnog
delia zadata je jednaqinom ~r = ~r(~r , t).
0
0
0
0
Strujni e (S) su vektorske linije brzinskog po a! Dakle, to su krive koje u bilo
kom fiksnom, zadatom trenutku za svoje tangente imaju vektore brzina. One prikazuju
trenutnu sliku brzinskog po a (sl. 4.3). Diferen ijalne jednaqine familije strujni a,
saglasno oznakama na sl. 4.3, glase:
→
dy
dz
dx
~ ×−
U
dl = 0
=
=
,
⇒
(4.7)
u(x, y, z, t)
v(x, y, z, t)
w(x, y, z, t)
u kojima se x, y, z Ojlerove koordinate! Integra eem jednaqina (4.7) u kojima je vreme t
MEHANIKA FLUIDA
53
parametar, dobijaju se konaqne jednaqine strujni a
f1 (x, y, z, t) = C1 ,
(4.8)
f2 (x, y, z, t) = C2 ,
gde su veliqine C i C integra ione konstante.
1
PSfrag repla emen
2
~ (~r, ti )
U
−
→
dl
Strujni a (S)
u trenutku t
M
~ (~r, tj )
U
i
~r
~ (~r, tk )
U
0
−
→
dl(dx, dy, dz)
~ (u, v, w)
U
Slika 4.3. Ojlerov opis strujnog po a.
Ojlerove koordinate qine skup od qetiri nezavisno
aju prostorne koordinate, a qetvrta vreme! Ovim je
definisan qetvorodimenzionalni prostor, tj. prostorno-vremenska taqka skalarnog, vektorskog
ili tenzorskog po a, koje je u opxtem sluqaju nesta ionarno i nehomogeno. Taqka M je proizvo na
fiksirana taqka u prostoru, a U~ (~r, t ), l = 1, 2, . . . , i, . . . , j, . . . , k, . . . su vektori brzina fluidnih
delia koji se u oj nalaze u trenu ima . . . , t , . . . , t , . . . , t , . . . . Kriva linija (S) predstav a
strujni u u taqki M u trenutku t , a dl~ je usmereni element te strujni e.
promeive veliqine, od kojih tri predstav
l
i
j
k
i
Izvorni a, tj. emisiona linija je linija koju u nekom trenutku vremena formiraju
(saqiavaju) svi fluidni delii koji su proxli kroz istu izvorsku, emisionu taqku u
strujnom po u.
Oqigledno je, da se pri sta ionarnom strujau, kada se u Ojlerovom smislu brzina u
prostornoj taqki ne mea tokom vremena (na primer, U~ (M , t) = U~ (M , t )), trajektorije,
strujni e i izvorni e (koje se u ovom kursu ne razmatraju deta nije) meÆusobno poklapaju.
U jednaqinama (4.7) i (4.8) tada ne postoji zavisnost od vremena. Za sluqaj nesta ionarnog
strujaa ove familije krivih linija u opxtem sluqaju se meÆusobno razlikuju!
1
1
′
4.4.1 Materijalne i kontrolne zapremine i povrxi
•
Materijalne linije l , povrxi A i zapremine V sastoje se tokom vremena od
istih fluidnih delia. Dakle, kada se govori o materijalnom sistemu onda se, u
smislu Lagrana, podrazumeva izdvojena koliqina fluida mase m u zapremini V
ograniqenoj sa povrxi A , koja se prati u toku vremena i time omoguuje analiza
i izraqunavae promena fiziqkih veliqina (koliqine kretaa, energije i sliqno)
qiji je nosila posmatrana materija (sl. 4.4a)
• Kontrolna zapremina V i povrx A su geometrijski pojmovi. Dakle, kada se govori
o fiksnom, nepokretnom, prostornom sistemu onda se, u smislu Ojlera, misli na
nepokretnu kontrolnu povrx A koja obuhvata kontrolnu geometrijsku zapreminu V ,
tj. izvestan domen strujnog prostora (sl. 4.4b).
m
m
m
m
m
MEHANIKA FLUIDA
•
54
Kontrolna povrx A za materijalnu zapreminu V predstav a nepokretnu, fik-
snu povrx u prostoru koja u datom trenutku t ograniqava posmatranu zapreminu fluida V , tj. poklapa se sa materijalnom povrxi A i obuhvata kontrolnu zapreminu
V , tako da je V (t) = V (sl. 4.4v). U trenutku t materijalni sistem (V , A ) je
delimiqno napustio geometrijski fiksni kontrolni prostor (V , A).
m
m
rag repla emen
m
′
m
′
m
′
m
t′
t
Vm′ = Vm (t)
A
V
Vm
V = Vm (t)
Am
A′m = Am (t)
A = Am (t)
(v)
(b)
(a)
Slika 4.4. Materijalne i kontrolne zapremine i povrxi: (a) Materijalna zapremina proizvo nog
dela fluida V i materijalna povrx A koji se kreu zajedno sa fluidom tako, da se sastoje stalno
od istih fluidnih delia (Lagran); (b) Kontrolna zapremina V i kontrolna povrx A fiksirani
u prostoru kroz koje protiqe fluid (Ojler); (v) Kontrolna povrx A za materijalnu zapreminu V
i fluks, tj. protok materijalnog sistema (V , A ) kroz graniqnu, nepokretnu kontrolnu povrx A
tokom vremenskog intervala ∆t = t − t. Strujno po e je prikazano strujni ama.
m
m
m
m
m
′
Sfrag repla emen
(a)
~
U
(b)
dVm
dV
Infinitezimalne materijalne i kontrolne zapremine: (a) Infinitezimalna
matezapremina fluidnog delia (dV ≡ δV ) koji se kree brzinom U~ jednakoj
lokalnoj brzini strujaa u svakoj taqki (Lagran); (b) Infitezimalna kontrolna zapremina dV
fiksna u prostoru kroz koju struji, tj. protiqe fluid (Ojler).
Slika 4.5.
rijalna zapremina, tj.
m
Konaqne zapremine V i V , kao i povrxi A i A su od znaqaja za izvoÆee jednaqina
mehanike fluida u integralnom obliku. MeÆutim, qesto je svrsishodno diferen ijalne
jednaqine izvesti direktno, a ne transforma ijama integralnih jednaqina. Dakle, korixeem infinitezimalnih materijalnih zapremina dV i kontrolnih zapremina dV , sl.
4.5, izvode se osnovne jednaqine mehanike fluida u diferen ijalnom obliku.
m
m
m
MEHANIKA FLUIDA
55
4.4.2 Zapreminski i maseni protok fluida
Zapreminski protok fluida predstav a koliqinu fluida koja u jedini i vremena
protekne kroz fiksnu kontrolnu povrx A. On se oznaqava sa V̇ .
(a)
dV
~
U
(b)
~n
~
U
~n
PSfrag repla emen
dA
t
|∆
|~U
dA
A
V
A
(a) Otvorena i (b) zatvorena fiksna kontrolna povrx A u strujnom po u. Jediniqni
vektor spo axe normale povrxi dA je ~n, a dV je zapremina elementarnog ilindra.
Slika 4.6.
Saglasno oznakama na sl. 4.6a, slede rela ije:
dV
∆V
h
i
~ ∆t · ~n dA = U
~ · ~n dA ∆t
U
ˆ
ˆ
~ · ~n dA
~
U
U · ~n dA ∆t = ∆t
=
=
A
A
def
∆V
=
∆t→0 ∆t
V̇ = lim
ˆ
A
~ · ~n dA
U
(4.9)
Fiziqka interpreta ija zapreminskog protoka je da on predstav a fluks brzinskog
po a U~ kroz povrx A.
Maseni protok fluida se definixe kao masa teqnosti koja u jedini i vremena
protekne kroz neku povrx A. Oznaqava se sa ṁ, i analogno izrazu (4.9) za zapreminski
protok sledi da je maseni protok definisan izrazom
ˆ
∆m
~ · ~n dA
ρU
=
ṁ = lim
(4.10)
∆t
def
∆t→0
A
Oqigledno je da izrazi (4.9) i (4.10) u uobiqajenoj indeksnoj nota iji i konven iji o
sabirau po ponov enom indeksu dobijaju oblik
ˆ
ˆ
(4.11)
ρu n dA
u n dA ,
ṁ =
V̇ =
Na osnovu fluksa vektora brzine bilo kroz infinitezimalnu zatvorenu fiksnu povrx, sl. 4.5b, ili kroz konaqnu zatvorenu fiksnu kontrolnu povrx A (sl. 4.6b) dokazuje se fiziqki smisao divergen ije brzine divU~ , kao i fiziqko tumaqee formule
i i
i i
A
A
MEHANIKA FLUIDA
56
Gaus-Ostrogradskog (deta nije o ovome videti, fakultativno, u kizi S. Qantrak, Hidrodinamika, poglav e 2.11). Korisno je u okviru ove materije navesti rela iju u vektorskom
obliku i u indeksnoj nota iji koja povezuje dexavaa na graniqnoj povrxi A i unutar
zapremine V koju ona obuhvata:
˚
‹
˚
‹
∂u
~
~
u n dA =
divU dV ⇔
(4.12)
U · ~n dA =
dV.
∂x
Fiziqki pojam divU~ razmatra se u narednom poglav u 4.5.
U poglav ima 4.5 i 4.6 koja slede daju su bitna fiziqka tumaqea neophodna kako za
pravilnorazumevae suxtinskog u nau io strujau, tako i za izvoÆee osnovnih jednaqina
mehanike fluida i ihovu primenu!
i
i i
i
V
A
V
A
4.5 Kretae i dekompozi ija brzine fluidnog delia
4.5.1 Kretae, deformisae i dekompozi ija izvoda brzine fluidnog
delia
Prva Helmholqeva teorema ( H. Helmholtz, 1821-1894) teorema: Opxte kretae fluidnog
delia sastoji se iz: (1) translatornog (pravolinijskog ili krivolinijskog) kretaa; (2)
obrtnog (rota ionog) kretaa oko trenutne sopstvene ose i (3) deforma ionog kretaa.
~ (~r, t)
U
t
PSfrag repla emen
−
→
dr
~r
−
→
~r + dr
→
~ +−
U
dU
0
Slika 4.7.
j = 1, 2, 3
.
~
},
Dekompozi ija po a brzine unutar fluidnog delia: dU~ {du }, i = 1, 2, 3; dr{dx
i
j
(4.13)
Iz (4.13) sledida se delikree kao kruta (nedeformabilna) elinabrzinom U~ , tj. u , a
da su egova rota ija i deforma ija odreÆeni samo priraxtajem brzine. Dakle, potrebno
je razmatrati qlan (∂u /∂x ) dx u izrazu (4.13), koji predstav a priraxtaj brzine u
u prav u koordinate x , tj. u datom indeksnom zapisu (i, j = 1, 2, 3) totalni (ukupni)
priraxtaj funk ije tri promeive. Oqigledno da devet veliqina (izvoda brzine) ∂u /∂x
formira matri u 3 × 3 koja moe da se rastavi, tj. moe da se izvrxi ena dekompozi ija
→ ~
−
→
~ +−
~
U
dU = U
+ (dr · ∇) U
⇔
ui + dui = ui +
∂ui
dxj
∂xj
i
i
j
j
i
j
i
j
MEHANIKA FLUIDA
57
na jedan simetriqan i jedan nesimetriqan (asimetriqan) deo (matri u) kako sledi:
∂ui
1
=
∂xj
2
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
1
+
2
∂uj
∂ui
−
∂xj
∂xi
(4.14)
Oznake
= Ṡij + ωij
Simetreqni deo izvoda brzine, Ṡ predstav a komponentu tenzora brzine deformisaa, dok asimetriqni deo ω predstav a komponentu tenzora vrtlonosti. Sada
e se biti izvrxena deta na analiza tih tenzora.
ij
ij
4.5.2 Analiza tenzora brzine deformisaa. Fiziqki smisao diverengen ije brzine
1
Ṡij =
2
∂uj
∂ui
+
∂xj
∂xi
komponenta tenzora brzine deformisaa (simetriqni tenzor
drugog reda)
−
Analiza qlanova ∂u /∂x sa istim indeksima (i = j)
i
j
se fluidni deli oblika pravougaonika (ABCD), strani a dx i dx , slika
frag repla emen 4.8.Posmatra
Nakon vremenskog intervala dt, doxlo je do izduea egovih strani a, tako da je
1
2
on sada oblika A B C D .
′
′
′
′
x2
dx2 + u2 dt
dx2
C′
D′
C
Fiziqki smisao dijagonalnih elemenata ∂u /∂x (ne sumira
se po i!) u matri i Ṡ ; | t (nedeformisan fluidni deli); - - - t + dt (deformisani fluidni deli) - izduee ili skraee duine egovih strani a → promena zapremine fluidnog
delia.
Slika 4.8.
D
i
i
ij
B′
B
A ≡ A′
x1
dx1 + u1 dt
dx1
Koordinate taqaka A , B , C i D (sl. 4.8)
′
′
′
′
′
′
A(0, 0) → A (0, 0),
D(dx1 , dx2 ) → D
∂u1
′
B(dx1 , 0) → B dx1 +
dx1 dt, 0 ,
∂x1
∂u2
∂u1
dx1 dt, dx2 +
dx2 dt
dx1 +
∂x1
∂x2
∂u2
′
C(0, dx2 ) → C 0, dx2 +
dx2 dt
∂x2
PSfrag repla emen
Oznake:
x1 = x,
x2 = y,
x3 = z
u1 = u,
u2 = v,
u3 = w
(y)(2 v)
(z)(w) 3
1 (x)(u)
MEHANIKA FLUIDA
58
Razliqite koordinate taqaka fiziqki oznaqavaju dilata iju (izduee) ili kontrakiju (skraee) strani a u prav ima osa 0x i 0x . Na primer, duina dui A B definisana je rela ijom:
1
′
2
A′ B′ = dx1 + [u1 (dx1 ) − u1 (0)] dt ≈ dx1 +
′
∂u1
dx1 dt.
∂x1
Relativna promena duine strani e (dui, ivi e) AB u vremenskom intervalu dt iznosi
∂u1
d(AB)
=
dt
AB
∂x1
d(dx1 )
∂u1
=
dt
dx1
∂x1
⇔
Relativna promena povrxine pravougaonika ABCD odreÆena je izrazom
(4.15)
Uzimajui u obzir promenu brzine i u treem prav u x , upravnom na ravan slike 4.8,
dobija se relativna promena zapremine V elementarnog paralelopipeda
∂u
∂u
∂u
∂u
dV
~ )dt.
=
+
+
dt = (divU
dt =
(4.16)
V
∂x
∂x
∂x
∂x
Dakle, ekspanzija ili kompresija zapremine izraava se pomou divergen ije brzine divU~ !
Ako je V = dV zapremina fluidnog delia onda iz rela ije (4.16) sledi:
d(AB) d(AC)
dA∗
=
+
=
A∗
AB
AC
∂u1 ∂u2
+
∂x1 ∂x2
~ dt.
dt = divU
3
m
1
2
3
i
1
2
3
i
m
d(dVm )
~ dt
= divU
dVm
⇔
~ =
divU
d(dVm ) 1
.
dt
dVm
(4.17)
Dakle, divergen ija brzine divU~ predstav a brzinu relativne promene zapremine fluid~!
nog delia! Za sluqaj nestix ivog fluida ( = 0 ↔
= 0) je divU
d(dVm )
dVm
dV
V
Analiza qlanova ∂u /∂x u Ṡ za i 6= j
Sa slike 4.9 sledi
i
j
ij
A(0, 0) → A′ (0, 0)
∂u2
′
dx1 dt
B(dx1 , 0) → B dx1 ,
∂x1
′ ∂u1
C(0, dx2 ) → C
dx2 dt, dx2
∂x2
∂u2
∂u1
′
dx2 dt, dx2 +
dx1 dt
D(dx1 , dx2 ) → D dx1 +
∂x2
∂x1
Ugao dα karakterixe rota iju strane AB u vremenu dt:
dα ≈ tg(dα) = [u2 (dx1 ) − u2 (0)]
dt
∂u2
≈
dt
dx1
∂x1
MEHANIKA FLUIDA
59
odakle sledi
dα
∂u2
=
dt
∂x1
Analogno se dobija i dβ/dt = −∂u /∂x (saglasno sl. 4.9), tako da se promena dγ/dt
ugla γ izmeÆu strani a A B i A C definixe rela ijom
Sfrag repla emen
∂u
dα − dβ
∂u
dγ
(4.18)
=−
=−
+
= −2Ṡ
1
′
′
′
dt
2
′
dt
2
1
∂x1
∂x2
12
Analiza rota ije ostalih strani a i promena uglova izmeÆu ih je potpuno analogna.
x2
D′
C
dx2
C′
D
dβ
Slika 4.9. Deforma ija pravih uglova iz-
B′
B
dα
A ≡ A′
meÆu strani a usled nedijagonalnih qlanova
, u matri i Ṡ ; | t (nedeformisan fluidni deli); - - - t + dt (deforma ija
pravih uglova)
∂ui /∂xj i 6= j
x1
dx1
ij
Dakle, qlanovi ∂u /∂x , i 6= j u matri i Ṡ definixu lokalnu brzinu promene (deforma ije) uglova, tj. brzinu deforma ije oblika fluidnog delia. Zbog toga se simetriqna
matri a Ṡ, qiji su elementi Ṡ defisani rela ijom (4.14), naziva tenzorom brzine deformisaa. Veliqine Ṡ za sluqaj i = j definixu promenu zapremine,
i
ij
j
ij
ij
∂ui
∂u1 ∂u1 ∂u1
~
+
+
≡
= divU
∂x1 ∂x1 ∂x1
∂xi
dok veliqine Ṡ za i 6= j odreÆuju brzinu deforma ije oblika fluidnog delia, tj. promenu
uglova izmeÆu karakteristiqnih prava a!
ij
4.5.3 Analiza asimetriqne matri e ω (qista rota ija)
ij
Posredstvom rela ije (4.14), poglav a 4.5.2 i slike 4.10 slede rela ije:
• ω = 0 za i = j (ω = 0; ne sumira se po i!)
• ω = −ω (asimetriqnost),
• Ṡ = 0 za ∂u /∂x = −∂u /∂x ,
• dα ≈
dt,
ij
ii
ij
ji
ij
i
j
j
i
∂u2
∂x1
∂u1
• dβ ≈ − ∂x
dt = dα
2
•
⇒
dγ = −(dα − dβ) = 0
(nema promene ugla izmeÆu strani a AB i AC)
Sfrag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
(a)
60
x2
dx2
x2
(b)
D
C
C′
dβ
D′
dx2
B′
u2 (dx1 )dt
dα
B
A
dx1
A′
u1 (dx2 )dt
x1
dx1
Slika 4.10. Efekat izvoda brzine ∂u /∂x za sluqa i 6= j i ∂u /∂x
(b) trenutak t + dt
i
j
i
= −∂uj /∂xi
j
x1
: (a) trenutak t;
Na osnovu prethodno navedenih rela ija sledi
(4.19)
Dakle, qlan ω fiziqki oznaqava ugaonu brzinu dα/dt lokalne rota ije, bez deforma ije, fluidnog delia! Qista rota ija, definisana izrazom (4.19), nastaje rota ijom
strani a AB i AC u istu stranu jednakim ugaonim brzinama (ugao izmeÆu strani a se ne
mea, veliqina Ṡ je jednaka nuli saglasno rela iji (4.18). Analogno je i za ostale ravni,
tako da sledi:
∂u2
1
dα =
dt =
∂x1
2
∂u2 ∂u1
−
∂x1 ∂x2
dt = ω21 dt
21
12
ωij = 0, i = j
ωij = −ωji

→

0 ω12 ω13


||ωij || =  ω21 0 ω23 
ω31 ω32 0
⇒
ω12 = −ω21 , ω23 = −ω32 , ω31 = −ω13

 



 
 ω1 

=
ω2


 




ω3
1
2
1
2
1
2
∂u3
∂x2
∂u1
∂x3
∂u3
∂x2
−
−
−





∂u2
∂x3 ∂u3
∂x1 ∂u1
∂x2
(4.20)




Matri a, tj. asimetriqni tenzor drugog reda ||ω || se naziva tenzor vrtlonosti. I
on, kao i tenzor napona ||p || i tenzor brzine deformisaa ||Ṡ || ima devet komponenti,
od kojih su, meÆutim samo tri meÆusobno nezavisne, jer za razliku od tenzora ||p || i
||Ṡ ||, antisimetriqan! Dakle, saglasno izrazu (4.20), tenzoru vrtlonosti ||ω || se u
trodimenzionalnom prostoru, u kome ima tri meÆusobno nezavisne komponente koordinira,
tj. pridruuje jedan vektor ~ω (ω , ω , ω ) qije su komponente, na osnovu, (4.19) i (4.20),
definisane rela ijama:
dα
1 ∂u
∂u
(4.21)
=
−
=ω =ω ,
ω =ω ,
ω =ω
dt
2 ∂x
∂x
Rezultujua ugaona brzina fluidnog delia u trodimenzionalnom prostoru odreÆena je
vektorom
ij
ij
ij
ij
ij
ij
1
2
1
1
2
2
3
21
3
13
ω
~ = ωx ~i + ωy ~j + ωz ~k
2
32
1
MEHANIKA FLUIDA
61
(4.22)
Rota ija fluidnog delia, tj. egova ugaona brzina ~ω izraena je posredstvom izvoda
brzinskog po a ∂u /∂x !
1
ω=
~
2
i
∂w ∂v
−
∂y
∂z
~i +
∂u ∂w
−
∂z
∂x
~j +
∂u
∂v
−
∂x ∂y
~k
j
Fiziqko znaqee rotora brzine i pojam vrtlonosti
Saglasno defini iji rotora brzinskog po a1 rotU~ i izrazu (4.22) dobija se rela ija
~ = 2~ω
~ ≡∇×U
~)
rotU
(rotU
(4.23)
Rotor brzine rotU~ predstav a dvostruku ugaonu brzinu kojom fluidni deli kao elina
(deli krute materije) vrxi rota iju oko sopstvene ose!
U literaturise intenzitetvektora rotora brzine, tj. dvostrukog vektora ugaone brzine
delia definixe kao vrtlonost |Ω|~ , a sam vektor kao vektor vrtlonosti Ω~ :
~ = rot U
~ = 2ω
Ω
~
(4.24)
U ovom kursu mehanika fluida, pojam vrtlonosti e se odnositi na veliqinu ~ω.
4.5.4 Vrtlona i poten ijalna strujaa. Pojam vrtloga i irkula ije.
Defini ija vrtlonih i poten ijalnih strujaa se definixe na osnovu vrednosti
rotora brzine.
1. Ako je ∇×U~ 6= 0 u svakoj taqki strujnog po a, strujae je vrtlono (~ω 6= 0). Strujae
je rota iono (obrtno) i fluidni deli ima konaqnu ugaonu brzinu!
2. Ako je ∇ × U~ = 0 u svakoj taqki brzinskog po a, onda je strujae poten ijalno (nevrtlono)! U tom sluqaju ugaona brzina fluidnog delia je jednaka nuli, pa je egovo
kretae u prostoru qista transla ija, ili transla ija udruena sa deforma ijom
(zapremine i oblika).
Poxto je rotgradϕ = 0 ≡ ∇ × ∇ϕ ≡ 0, za bilo koju funk iju ϕ(x, y, z, t), onda iz u slova
~ = gradϕ, gde funk ija ϕ oznaqava poten ijal brzine!
~ = 0 sledi da je U
~ω = 0, tj. rotU
Ako nestix iv fluid (divU~ = 0) struji poten ijalno (~ω = 0 → U~ = gradϕ) onda je
divgradϕ = 0 ⇒ ∇ · ∇ϕ ≡ ∇ ϕ ⇒
∆ϕ = 0
(4.25)
ili u Dekartovim koordinatama
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
+
+
= 0 (Laplasova jednaqina)
(4.26)
∂x
∂y
∂z
2
2
2
2
2
2
2
(Osnovno matematiqko oruÆe za mehaniku fluida pogledaj u kizi S. Qantrak, Hidrodinamika, glava
2.11.)
1
MEHANIKA FLUIDA
62
Dakle, u sluqaju poten ijalnog strujaa nestix ivog fluida poten ijal brzine zadovoava Laplasovu (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827) jednaqinu, koja je linearna par ijalna
diferen ijalna jednaqina drugog reda. Ovu jednaqinu za zadate graniqne uslove potrebno
rexiti, u i u dobijaa funk ije ϕ.
Vrtlog predstav a odgovarajuu strujnu strukturu razliqitih razmera u brzinskom
po u, koja nastaje kretaem fluidnih delia du zatvorenih linija (putaa) oko zajedniqkog entra. MeÆu vrtlozima, koji se karakterixu strujaem u kojem su strujni e
kon entriqni krugovi, posebno se izdvaja kombinovani vrltlog, tzv. Rankinov vrtlog.
Rankinov vrtlog
Modelom Rankinovog vrtloga je opisan ravanski vrtlog u kome se fluidni deli kreu
du kon entriqnih kruni a u ravni x0y. Ovim modelom je predstav ena kombina ija
dva tipa vrtloga: (1) prinudnog vrtloga, i (2) slobodnog, tj. poten ijalnog vrtloga.
ϕ
U
rag repla emen
y
U = ωr
v
U
U=
u
k
r
r
ω
ϕ
x
0
r
R
ω
Cilindriqne koordinate (r, ϕ, z)
~ =
rotU
ω=0
r
1 ∂
(ruϕ ) ~k
r ∂r
ur = uz = 0, uϕ = uϕ (r)
ω
ω
U = uϕ
ω ≡ ωz =
1 ∂
(rur )
2r ∂r
za U = ωR, r < R
ω=
POTENCIJALNI

0, za U = ωR /r, r > R
VRTLOG
Slika 4.11. Raspodela brzine i vrtlonosti u Rankinovom, tj. prinudno-poten ijalnom vrtlogu.
PRINUDNI
VRTLOG

 ω,
2
1. Prinudni vrtlog - rota ija fluida kao krutog tela oko ose Oz konstantnom ugaonom
brzinom ω - sl. 4.11). U ovom sluqaju se brzina linearno poveava sa poveaem
MEHANIKA FLUIDA
63
rastojaa od entra rota ije ukupne mase fluida.
~ =~
U
ω × ~r
→
ur = uz = 0, uϕ = ω r = U
u = −ωr sin ϕ = −ωy, v = ωr cos ϕ = ωx.
Iz ovih rela ija, saglasno izrazu (4.22) i (4.23) sledi da je
∂v
∂u
−
= 2ω
∂x ∂y
~ = 2ω ~k
rotU
⇔
(4.27)
(ω = ωz )
2. Poten ijalni vrtlog. U svakoj taqki strujnog po a poten ijalnog vrtloga proizvod
brzine i radijalnog rastojaa od entra vrtloga je konstantan, tj. brzina je obrnuto
propor ionalna rastojau od entra rota ije. Tako je po e brzine za slobodnog
vrtloga
U = k/r
→
tako da vai (k = const)
u = −k
sin ϕ
y
=k 2
,
r
x + y2
v=
cos ϕ
x
=k 2
r
x + y2
(4.28)
Oqigledno je da se uslov poten ijalnog strujaa (4.28) ispuava funk ijom potenijala brzine ϕ
∂u
∂v
−
=0
∂x ∂y
u=
∂ϕ
∂ϕ
, v=
∂x
∂y
~
divU=0,
−→
jdn. (4.28)
−→
Cirkula ija brzine
jdn. (4.27)
ω ≡ ωz = 0.
∂2ϕ ∂2ϕ
+
=0
∂x2
∂y 2
⇔
∆ϕ = 0.
Cirkula ija brzine Γ je suxtinski povezana sa
~n
~
pojmom vrtlonosti i predstav a bitnu karakterirotU
stiku brzinskog po a. Cirkula ija se povezuje sa
vektorom vrtlonosti preko Stoksove teoreme. Tako
dA
je, na osnovu e, fluks vektora rotU~ kroz
proizvo
PSfrag
replanuemen
nezatvorenu povrx A jednak je irkula ije brzine
l
du konture na koju se ta povrx oslaa (sl. 4.12).
ˆ
ˆ
˛
~
→
−
U
~
~
2~ω · ~n dA. (4.29)
rotU · ~n dA ≡
Γ = U · dl =
→
−
dl
Postojae vrlonosti ~ω se utvrÆuje izraqunavaSlika 4.12. Stoksov obraza - fiem irkula ije du odgovarajuih krivih. Na pri- ziqka
zavisnost vektora brzine i vekmer, ako je strujae poten ijalno, a irkula ija je tora vrtlonosti
i pojam irkula ije
ipak razliqita od nule, onda se unutar povrxi obu- brzine.
hvaenoj krivom du koje je Γ 6= 0 postoje hidrodinamiqki singulariteti tipa vrtloga. Tako se primenom obras a (4.29) na strujno po e
l
A
A
MEHANIKA FLUIDA
64
Rankinovog vrtloga (sl. 4.11) dobija Γ = 2πωR , gde je l bilo koja kriva koja obuhvata
singularitet r = 0! Cirkula ija je u poten ijalnom strujau povezana sa poten ijalom
brzine ϕ, a pri opstrujavau tela sa silom uzgona! Cirkula ija ima suxtinsku ulogu u izvoÆeu, dokazu i primenama kinematiqkim i dinamiqkih teorema o vrtlonosti (Kelvin,
Helhol , Lagran).
2
l
4.6 Ubrzae fluidnog delia
4.6.1 Dekompozi ija ubrzaa i pojam materijalnog izvoda. Lokalni i
konvektivni deo iner ijalne sile.
Posmatra se isti deli u taqkama M (~r ) i M (~r ) u dva proizvo na trenutka t i t
sa brzinama U~ (~r , t) i U~ (~r , t ) (sl. 4.13). Dakle, uh trenutku
t = t + ∆t deli se nalazi u
i
~
taqki M (~r ) odreÆenoj sa ~r = ~r + U (~r , t)∆t + O (∆t) u kojoj ima brzinu U~ (~r , t )
Promena (priraxtaj) brzine ∆U~ fluidnog delia u vremenu ∆t = t − t sastoji se od:
(a) promene ekspli itno vezane za promenu po a brzine U~ (~r, t) u toku vremena; ako je
strujae sta ionarno, ova promena ne postoji (qlanovi U~ (~r , t ) − U~ (~r , t), sl. 4.13).
(b) promene izazvane kretaem fluidnog delia; ako je po e brzine uniformno (homogeno) onda ovaj deo ne postoji (qlanovi U~ (~r , t ) − U~ (~r , t ), sl. 4.13).
Ukupna promena vektora brzine fluidnog delia definisana je izrazom:
1
1
2
2
′
2
′
2
2
1
2
′
1
2
1
2
′
′
1
2
~ =U
~ (~r2 , t′ ) − U
~ (~r1 , t) =
∆U
′
1
′
1
′
~
~
~
~
∂U
∂U
∂U
∂U
∆t +
∆x +
∆y +
∆z,
∂t
∂x
∂y
∂z
gde su ∆x, ∆y i ∆z komponentne vektora ~r − ~r (sl. 4.13).
2
1
~ (~r2 , t′ )
U
PSfrag repla emen
~ (~r1 , t′ )
U
M2 (~r2 )
i
h
~ (~r1 , t)∆t + O (∆t)2
~r2 = ~r1 + U
~ (~r1 , t )
U
′
(~r2 − ~r1 ) {∆x, ∆y, ∆z}
M1 (~r1 )
~ (~r1 , t)
U
Slika 4.13. Dekompozi ija ubrzaa fluidnog delia u sluqaju nesta
Ubrzae ~a fluidnog delia odreÆeno je rela ijom:
~
∆U
lim
= lim
∆t→0 ∆t
∆t→0
~ ∆x ∂ U
~ ∆y ∂ U
~ ∆z
~
∂U
∂U
+
+
+
∂t
∂x ∆t
∂y ∆t
∂z ∆t
!
=
ionarnog strujaa.
~
~
~
~
~ def. DU
∂U
∂U
∂U
∂U
≡
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
Dt
(4.30)
MEHANIKA FLUIDA
65
ili u jox kompaktnijem obliku
(4.31)
~
~
∂U
DU
~ · ∇)U
~
=
+ (U
Dt
∂t
- ubrzae fluidnog deli → iner ijalna sila R~
- lokalni deo ubrzaa (jednak nuli u sta ionarnom strujau) → lokalna R~
∂t
~ · ∇)U
~ - konvektivni deo ubrzaa (jednak nuli u uniformnom brzinskom po u) → kon(U
vektivna R~
Saglasno izrazu (4.31) operatorom
~
DU
Dt
~
∂U
a
a
a
(4.32)
D()
∂()
~ · ∇)() = ∂() + ui ∂()
=
+ (U
Dt
∂t
∂t
∂xi
Dekartove koordinate
se definixe materijalni izvod fiziqke veliqine (), tj. materijalni (brzinski, Stoksov,
totalni, individualni, substan ijalni) izvod skalarne, vektorske ili tenzorske veliqine
staa (). Na primer, promena temperature T (~r, t) fluidnog delia du egove trajektorije
odreÆena je izrazom DT ∂T
∂T
Dt
=
∂t
~ · ∇)T =
+ (U
∂t
~ · gradT
+U
Veliqina DT /Dt odreÆuje materijalnu promenu (vezanu za fluidni deli) temperature, dok qlan ∂T /∂t definixe lokalnu promenu temperature T . Razlika ove dve promene
izraava se konvektivnom promenom U~ · gradT , koja opisuje uti aj brzinskog po a!
4.6.2 Fiziqko znaqee materijalnog izvoda. Prelaz od Lagraneve ka
Ojlerovoj metodi
Deta na analiza i matematiqko oruÆe dati su u ode ku 2.11.14 u kizi S. Qantrak,
Hidrodinamika. Taj materijal se ovde dopuava samo sa izvesnom grafiqkom interpretaijom, kako sledi.
Lagranev
izvod po
vremenu
Ojlerov
vremenski
izvod
Materijalni
Lokalni
izvod
z
}|
Df
Dt
Konvektivni izvod
izvod
{
=
z
}|
∂f
∂t
{
+
z
u
nesta ionarnost
|
{z
}
Lagraneva
metoda
(fluidni deli)
|
}|
{
∂f
∂f
∂f
+v
+w
∂x
∂y
∂z
nehomogenost
Ojlerova metoda (naqin opisa po
{z
(fiksna taqka) - mesto u prostoru
a)
}
(4.33)
MEHANIKA FLUIDA
66
U izrazu (4.33) veliqina f (~r, t) predstav a skalarno, vektorsko ili tenzorsko po e,
koje je u opxtem sluqaju nesta ionarno i nehomogeno! Pri izvoÆeu jednaqina mehanike
fluida, kao i pri prelazu iz Lagranevog sistema u Ojlerov i interpreta iji fiziqkog
znaqea pojedinih izraza (sl. 4.1), rela ija (4.33) igra bitnu ulogu i ima vano fiziqkomatematiqko znaqee.
Transforma ija iz Langraevih u Ojlerove koordinate, tj. promeive
Kada se u izrazu za brzinu U~ (~r, t) veliqina ~r smatra funk ijom vremena u smislu
Lagrana onda je U~ (~r, t) ekspli itna i impli itna funk ija vremena, pa se par ijalnim
diferen iraem dobija ubrzae u obliku
~a(~r, t) =
~
∂U
∂t
!
(~
r
fiksno)
+
(4.34)
~ dxi
~
~
∂U
∂U
∂U
=
+ ui
∂xi dt
∂t
∂xi
koji kompletno definixe transforma iju od Langraevih u Ojlerove koordinate. U Ojlerovom smislu ~r predstav a fiksirane taqke prostora u kome se posmatra strujno po e.
Iz rela ija (4.30)-(4.34) slede izrazi
~
~
∂
DU
~ = dt ∂ U + (d~r · ∇)U
~,
D = dt + (d~r · ∇), DU
(4.35)
= ~a(~r, t)
∂t
∂t
Dt
u kojima D oznaqava materijalni (substan ijalni) diferen ijalni operator!
4.6.3 Fiziqka analiza i uvoÆee iner ijalne sile R~ . Matematiqki izrazi za sile iner ije
a
Matematiqki izraz za iner ijalnu silu u Dekartovim pravouglim koordinatama u
prav u x-ose (ρ ≡ ρ~a ≡ R~ - sila iner ije za jediniqnu zapreminu fluida):
~
DU
Dt
∗
a
2ωy
2ωz
2Ṡxy
2Ṡxz
z }| {
z }| {
z }| {
z }| {
∂v
∂u ∂w
∂u ∂w
∂v
∂u 1
∂u
∂u
1
1
1
∂u
+u
+ v
+
+
−
−
+ w
+ w
− v
ρ
∂t
∂x 2
∂x ∂y
2
∂z
∂x
2
∂z
∂x
2
∂x ∂y
|
{z
} |
{z
}
1
≡ ρ
2
∂u
+ ρ
∂t
3
∂u
∂u
∂u
+v
+w
∂x
∂y
∂z
4
(4.36)
konvektivna
lokalna
sila iner ije R
1 - lokalno ubrzae izazvano promenom translatornog kretaa
∗
a,x
= ρax
MEHANIKA FLUIDA
67
2 - ubrzae linearne (zapreminske) deforma ije
3 - ubrzae ugaone deforma ije (smi aa, promene oblika)
4 - ubrzae obrtaa (rota ije) (vrtlono)
2
+
3
+
4 - qlanovi konvektivnog ubrzaa
Analogno se, ikliqnom permuta ijom, dobijaju izrazi u prav ima y i z ose.
Vrlo qesto se svrsishodno da se izraz za ubrzae, a time i iner ijalnu silu, napixe
tako da su posebno izdvojeni qlanovi koji karakterixu kinetiqku energiju i qlanovi koji
definixu vrtlono kretae, tj. strujae. Saglasno izrazima (4.36) i (4.22) dobija se
sledei izraz za iner ijalnu silu du ose 0x:
∗
Iner ijalna sila Ra,x
z
}|
lokalna
z
konvektivna
}|
izazvana promenom
kinetiqke energije
z }| {
ρ
∂u
∂t
z
∂
∂x
+
}|
2
U
2
{
{
izazvana
vrtlonoxu
z
}|
2(wωy − vωz )
+
{
{
Cikliqnom permuta ijom dobijaju se i sliqni izrazi za iner ijalne sile R i R .
Iz te tri skalarne jednaqine se dobija izraz za iner ijalnu silu R~
∗
a,y
∗
a,z
∗
a
"
~
∂U
ρ
+ grad
∂t
1
2
U2
2
#
~
~ × rotU
~ ≡ ρ DU ≡ ρ~a
−U
Dt
3
(4.37)
1 - lokalna iner ijalna sila; 2 - deo usled promene kinetiqke energije; 3 - deo usled
vrtlonosti; 2 + 3 - konvektivna iner ijalna sila
Veliqina U predstav a intenzitet rezultujue brzine, tj.
~| =
U ≡ |U
p
u2 + v 2 + w 2 .
Ovde se istiqe da se izraz (4.37) dobija bez transforma ija skalarnih oblika direktno iz
(4.31) korixeem poznate formule iz vektorske analize
~ × rotU
~
~ · ∇)U
~ ≡ 1 gradU − U
(4.38)
(U
2
2
|
{z
konvektivno ubrzae
}
MEHANIKA FLUIDA
Iner
ijalna sila
~
R
∗
a
68
~
∂U
+
ρ
∂t
U2
+
ρ grad
2
~
2ρ ω
~ ×U
Fiziqki smisao (zna- Lokalna iner- Promena kinetiqke Uti aj ~ vrtlonoqee)
ija
energije u prostoru sti (rotU = 2~ω)
Konvektivna iner ija
Matematiqke karakte- Linearni qlan Nelinearni qlanovi
- nelinearni
ristike
prvog reda
kvadratni qlan (U~ · ∇)U~
Aproksima ija
Pri sta ionarnom strujau
jednaka nuli
U poten ijalnom
strujau jednaka
nuli. Rexea
su harmonijske
funk ije.
Pri veoma sporom Pri veoma sporom
strujau jednaka strujau jednaka
nuli
nuli
Tabela 4.1. Fiziqko znaqee, matematiqka priroda i izvesne aproksima
ije iner ijalne sile.
4.6.4 Ubrzae, tj. iner ijalna sila u prirodnim koordinatama
Za primenu, a naroqito pri izuqavau jednodimenzijskih strujaa fluida, potrebno je
raspolagati sa izrazima za tangentno i normalno ubrzae, tj. sa izrazima za komponente
iner ijalne sile u prav ima trajektorija i strujni a, kao i u prav ima ortogonalnim na
ih (slika 4.14).
Za sluqaj nesta ionarnog strujaa (sl. 4.14(v)) a nije vixe odreÆeno izrazom U
ve izrazom + U . U tom i u se zamix a fiksna kriva (L) koja se u trenutku t
poklapa sa strujni om (sl. 4.14(v)) i na kojoj se u tom trenutku nalazi fluidni deli
qije se kretae posmatra. Brzina tog fluidnog delia u trenutku t je U (s, t). Za vreme
dt deli se pomeri u poloaj s + ds = s + U dt. Fluidni deli se kree du trajektorije
(T), ali poxto je u kriva (L) u trenutku t strujni a (S), i strujni a i trajektorija se
poklapaju u taqki u kojoj se nalazi fluidni deli, onda je takoÆe taqno rei, da deli
prelazi rastojae ds du krive (L). On ima tada brzinu U (t + dt, s + ds). Brzina fluidnog
delia se u intervalu vremena dt promenilaza dU = U (t+dt, s+ds)−U (s, t) = U dt+ dt,
tako da je ubrzae
DU
∂U
∂U
dU
∂U
∂s
s
∂U
∂t
∂U
∂s
∂U
∂s
as =
dt
≡
Dt
=
∂t
+U
∂s
.
∂U
∂t
MEHANIKA FLUIDA
69
Vektor ubrzaa ~a fluidnog delia, koji se kree du krivolinijske trajektorije, razlae se osim na ubrzae a i na normalno ubrzae a ( entripetalno ubrzae koje je
usmereno ka entru krivine 0 trajektorije - sl. 4.14a). Ovo ubrzae je odreÆeno izrazom
a = U /R, tako da je odgovarajua iner ijalna sila za fluidni deli dm = ρdV data
izrazom ρ(U /R)dV .
s
n
n
2
2
fluidni
deli
U (t + dt, s + ds)
~
U
=
ds
s
t
Ud
R
∂U
=0
∂t
0
t : (S) ≡ (L)
(S)
(a)
U (t, s)
fluidni deli
t : U (s)
~n
∂U
6= 0
∂t
dt
(S)
U
~s
fluidni
deli
(T)
t + dt :
U (s + ds)
=
~
U
ds
frag repla emen
(v)
(b)
Ubrzae ~a = DU~ /Dt~ u prirodnim koordinatama (s, n). Oznake: (S) - strujni a; s duina koja raste u smeru brzine U ; ~s i ~n - jediniqni vektori u prav u tangente i normale na (S);
R - polupreqnik krivine (slika (a)); (b) sta ionarno strujae; (v) nesta ionarno strujae; (T)trajektorija; (L) - fiksna kriva koja se u odgovarajuem trenutku t poklapa sa strujni om; a ubrzae fluidnog delia u prav u strujaa (tangentno ubrzae ) je promena u vremenu intenziteta
brzine U fluidnog delia (slika b): u trenutku t fluidni deli je u ~poloaju s, a u trenutku
t + dt je u taqki s + ds = s + U dt. Promena intenziteta brzine U = |U | u vremenu dt je: dU =
U dt, tako da odavde sledi a =
≡
=U . Iner ijalna sila u prav u
U (s + U dt) − U (s) =
strujaa za fluidni
deli dm = ρdV iznosi ρdV U = ρ
dV , a za nestix iv fluid
(ρ = const) je ρ dV .
Slika 4.14.
s
∂U
∂s
∂
∂s
s
dU
dt
∂U
∂s
DU
Dt
∂U
∂s
U2
2
∂
∂s
U2
2
Na osnovu prethodne analize i oznaka na sli i 4.14 proizilaze sledee rela ije:
∂()
D()
~ ·∇)();
=
+ (U
Dt
∂t
~ = |U
~ |~s = U~s;
U
U = U (s, t);
~ ·∇)() = (|U
~ |~s ·∇)() = U ∂ ()
(U
∂s
∂()
∂()
D()
~ |)
(U = |U
=
+U
.
Dt
∂t
∂s
D
∂U
∂U
U2
~a =
(U~s) =
+U
~n = as~s + an~n
~s +
Dt
∂t
∂s
R
Kako je U~s = U~ i
∂U
∂t
+ U ∂U
∂s =
DU
Dt
(4.39)
(4.40)
moe se konaqno vektor ubrzaa napisati u obliku
~
DU
U2
DU
=
~s +
~n =
~a =
Dt
Dt
R
∂U
∂U
+U
∂t
∂s
~s +
U2
~n.
R
(4.41)
MEHANIKA FLUIDA
70
4.7 Metodologija izvoÆea osnovnih jednaqina mehanike fluida
Saglasno prikazanom algoritmu na sli i 4.1, u ovom poglav u se obrazlae metodologija koja je usvojena pri izvoÆeu jednaqine kontinuiteta, jednaqine koliqine kretaa i
jednaqine energije.
Metodologija izvoÆea jednaqina
Jednaqine mehanike fluida
u lokalnom obliku diferen ijalne jednaqine
Fluidni deli
Lagran
(dVm , dAm )
Jednaqine mehanike fluida
u integralnom obliku zakoni konzerva ije (odraa)
Elementarna fiksna
zapremina
Ojler (dV , dA)
Konaqna materijalna
zapremina Lagran (Vm , Am )
Konaqna fiksirana
oblast prostora kontrolna zapremina Ojler (V , A)
integra ee po zapremini V
Jednaqine kontinuiteta, koliqine kretaa i energije (JKKKE) izvedene primenom Lagraneve
metode, tj. posmatraem pokretne elementarne (infinitezimalne) (dVm ) ili konaqne (V )
kontrolne zapremine strujnog prostora. Izbor jedne, ili vixe od ovih metoda zavisi od vrste
problema koji se analizira i prouqava!
Slika 4.15. Metodoloxkamapa izvoÆea osnovnih jednaqina mehanike fluida u diferen
i integralnom obliku
ijalnom
Iz didaktiqkih razloga i najoqiglednije fiziqke interpreta ije, naroqito pri primeni teorije za rexavae praktiqnih problema u mehani i fluida, prednost je data izvoÆeu jednaqina iz ihovog integralnog oblika kako za materijalnu, tako i za kontrolnu zapreminu, uz neophodno korixee fiziqko-matematiqkog pojma materijalnog
izvoda. Ovakav pristup omoguuje:
1. Suxtinsko povezivae Lagraneve i Ojlerove metode, tj. materijalne i kontrolne
zapremine, tj. materijalnih sistema i fiksne oblasti (domena) prostora.
frag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
71
2. Fiziqki razum ivu primenu osnovnih zakona odraa (konzerva ije) mase, impulsa
i energije pri izvoÆeu osnovnih jednaqina, kao i jasnu interpreta iju fiziqkog
smisla pojedinih qlanova u ovim jednaqinama.
3. Jednostavan i razum iv metod dobijaa JKKKE u diferen ijalnom obliku iz ihovih integralnih oblika. Ovim postaje potpuno jasan i obrnut postupak, kada se iz
diferen ijalnih oblika jednaqina izvode ihovi integralni obli i.
4. U ineerskoj praksi su fiziqko razumevae i primene osnovnih jednaqina napisanih za svrsishodno izabrane kontrolne zapremine i povrxi razmatranih tehniqkih
sistema od ogromnog znaqaja! Na primer, uprkos jednostavnoj formula iji zakona impulsa, tj. koliqine kretaa on ostaje i da e najtei zakon nauke o strujau! Jedna
od texkoa, koja ga takvim qini, je upravo i problem svrsishodnog izbora kontrolne
zapremine, pored svih drugih potrebnih znaa o strujnom po u.
5. Kroz primere i primenu bie demonstrirane i druge navedene metode izvoÆea
jednaqina, kao i fiziqka tumaqea osnovnih jednaqina mehanike fluida u diferenijalnom i integralnom obliku. Nije i formalna primena gotovih formula,
izraza i jednaqina, ali jeste i fiziqko razumevae problema i primena zakona,
teorema i jednaqina u ihovom izvornom obliku! To je zadatak ineera i osnovni
smisao ineerstva uopxte!
4.8 Zakon odraa mase - jednaqina kontinuiteta
~n
t
~
U
ulaz − izlaz
izlaz
dA
~n
ulaz
m
V
dA
u i ni > 0
u i ni < 0
~
U
−
‹
A
~ · ~n dA
ρU
izlaz
u i ni > 0
V
ulaz
~n
u i ni < 0
t:
Am
V = Vm
(a)
˚
A
V
∂ρ
dV
∂t
A
(b)
Slika 4.16. (a) Integralni oblik jednaqine kontinuiteta za konaqni materijalni domen (materijalna zapremina Vm ) i za konaqni fiksirani domen prostora (kontrolna zapremina V ) - u trenutku
materijalna A i kontrolna povrx A se poklapaju; (b) Xematski prikaz pro esa definisanog
jednaqinom (4.47) za kontrolnu povrx A i kontrolnu zapreminu V .
t
m
MEHANIKA FLUIDA
72
4.8.1 Konaqna materijalna zapremina - materijalni izvod - Lagranev
metod
Zakon odraa mase - jednaqina kontinuiteta
Promena mase m materijalnog sistema, tj. odreÆene koliqine fluida zapremine V
tokom vremena jednaka je nuli (sl. 4.16a)
D
Dt
D
Dt
ˆ
MASA u Vm
dm =
ˆ
(M)
˚
D
(dm) = 0
Dt
D
D
(dm) ≡
(ρdV ) = 0
Dt
Dt
(4.42)
ρ dV = 0
Vm
D
Dt
˚
(4.43)
ρdV =
(Vm )
=
m
˚ V
˚
(V )
Dρ
dV +
Dt
Dρ
~
+ ρdivU
Dt
~ =
divU
˚
ρ
(V )
D(dV )
=
Dt
dV = 0
(4.44)
D(dV ) 1
Dt dV
Kako je zapremina V potpuno proizvo na, a podintegralna funk ija neprekdna, onda
iz jednaqine kontinuiteta (4.44) u integralnom obliku sledi en diferen ijalni oblik.
Dρ
~ =0
+ ρdivU
Dt
Lagran
∂ρ
~) = 0
+ div(ρU
∂t
∂ρ ~
(1) Dρ
=
+ U · gradρ
Dt
∂t
(4.45)
Ojler
(2) div(ρU~ ) = ρdivU~ + U~ · ∇ρ
(4.46)
Oqigledno je da se diferen iraem jednaqine (4.42) i korixeem defini ije diveregen ije brzine dobija jednaqina kontinuiteta (4.45) kako sledi:
∂ui
Dρ
+ρ
=0
Dt
∂xi
∂
∂ρ
+
(ρui ) = 0
∂t
∂xi
D
Dρ
D(dV )
Dρ
~ =0
(ρdV ) =
dV + ρ
=
+ ρdivU
Dt
Dt
Dt
Dt
MEHANIKA FLUIDA
73
4.8.2 Konaqan domen (oblast) prostora - kontrolna zapremina - Ojlerov
metod
Promena
mase u jedini i vremena u kontrolnoj zapremini =
P
ulaznih masenih protoka u kontrolnu zapreminu −
P
izlaznih masenih protoka iz kontrolne zapremine
slika 4.16(b)
˚
V
∂ρ
dV = −
∂t
‹
A
d
dt
~ · ~n dA
ρU
˚
V
ρdV = −
‹
ρui ni dA
A
(4.47)
Promena ukupne mase m fluida unutar zapremine V jednaka je enom fluksu,
tj. masenom protoku kroz kontrolnu povrx A.
slika 4.16(b)
d
dt
Vae sledee rela ije:
d
dt
˚
V
∂
ρdV =
∂t
˚
˚
V
ρdV = −
ρdV =
˚
V
V
‹
A
∂ρ
dV
∂t
~ · ~n dA
ρU
−
Lajbni ovo pravilo
(4.48)
(4.49)
formula Gaus-Ostrogradskog (4.50)
Zamena redosleda diferen iraa i integra ea kod zapreminskog integrala (4.49) je
mogua, jer je zapremina V fiksna - kontrolna, pa su grani e integrala konstantne, i tada
vai Lajbni ovo pravilo diferen iraa pod znakom integrala! Iz rela ije (4.47), odnosno (4.48) dobija se, pomou rela ija (4.49) i (4.50) jednaqina kontinuiteta u integralnom
obliku
˚ ∂ρ
~
(4.51)
+ divρU dV = 0.
∂t
Kontrolna zapremina V je potpuno proizvo na pa integrand mora biti jednak nuli, tako
da se iz (4.51) dobija jednaqina kontinuiteta u diferen ijalnom obliku
Dρ
∂ρ
~) = 0
~ = 0.
+ div(ρU
⇔
+ ρ∇ · U
(4.52)
∂t
Dt
Oqigledna je ekvivalentnost, tj. identiqnost izraza (4.45) i (4.52). Uoqiti razliqite
metode pomou kojih su ove jednaqine dobijene!
‹
A
~ · ~n dA =
ρU
˚
V
~ )dV
∇ · (ρU
V
−
MEHANIKA FLUIDA
74
4.8.3 Analiza jednaqine kontinuiteta
1. Fiziqko znaqee divergen ije brzine:
~ =
divU
1 D(dV )
1 Dρ
=−
dV Dt
ρ Dt
Divergen ija brzine - relativna izdaxnosti strujnog po a!
2. Promena gustine jednog fluidnog delia (Dρ/Dt)
(4.53)
∂ρ ~
~ = 0.
+ U · gradρ +ρdivU
|∂t
{z
}
Dρ
Dt
Konvektivni izvod je korespodentan sa Langranevim opisom jer definixe promenu
u prav u brzine fluidnog delia.
3. Uslov nestix ivosti fluida - jednaqina kontinuiteta za nestix iv homogen ili
nehomogen fluid.
∂u
Dρ
~ =0
⇔
(4.54)
=0
=⇒
divU
=0
Dt
∂x
i
i
4. Jednaqina (4.53) moe da se napixe u obliku koji povezuje promenu gustine i zapremine fluidnog delia
1 D(dV )
1 Dρ
+
= 0.
(4.55)
ρ Dt
dV Dt
5. Ako u svakoj taqki strujnog po a divU~ = 0 onda se analizom izraza (4.53) mogu izvesti
sledei zak uq i:
=0
(a) Dρ
Dt
{ ρ = const u elom prostoru (za sve fluidne delie) → nestix iv homogen
fluid!
{ ρ = cont, i = 1, 2, . . . , k, . . . ρ 6= ρ → svaki fluidni deli ima konstantu
gustinu, ali se ona razlikuje od delia do delia → nestix iv nehomogen
fluid!
(b) ∂ρ∂t + U~ · gradρ = 0
ako je po e gustine sta ionarno (∂ρ/∂t) onda su vektori U~ i gradρ meÆusobno
upravni. Ovo je strujae nestix ivog fluida u slojevima iste (konstantne) gustine; svi fluidni delii jednake konstantne gustine rasporeÆeni su u jednom
sloju i gustina se razlikuje od sloja do sloja; ovo je sluqaj strujaa stratifikovanog fluida.
i
i
k
MEHANIKA FLUIDA
75
4.8.4 UvoÆee strujne funk ije
Uslov poten ijalnog strujaa 2~ω = rotU~ = 0 ispuen je poten ijalnom funk ijom
~ = gradϕ, koja zadovo ava Laplasovu diferen ijalnu jednaqinu ∆ϕ = 0.
ϕ(x, y, z, t), tj. U
Za ravansko i sta ionarno strujae (w = 0, ∂/∂z = 0, ∂/∂t = 0, u(x, y), v(x, y)) nestish ivog fluida jednaqina kontinuiteta
~ =0
divU
=⇒
zadovo ena je strujnom funk ijom ψ(x, y)
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
∂ψ
,
∂y
v=−
∂ψ
∂x
(4.56)
∂ψ
∂ϕ
=
,
∂y
∂x
v=−
∂ψ
∂ϕ
=
∂x
∂y
(4.57)
u=
Ako je strujae i poten ijalno, onda vae rela ije
u=
tako da i strujna funk ija ψ zadovo ava Laplasovu jednaqinu
(4.58)
Jednaqine (4.57) se nazivaju Koxi-Rimanove (Cauchy-Riemann) diferen ijalne jedPSfrag replanaqine
emen koje imaju vrlo veliku ulogu u mehani i fluida. ihova analiza, kao i analiza analitiqkih funk ija kompleksne promeive
i kompleksnog poten ijala w(z) =
√
ϕ(x, y) + iψ(x, y), gde je z = x + iy i i = −1 prevazilaze okvire ovog kursa mehanike
fluida.
∂2ψ ∂2ψ
+
=0
∂x2
∂y 2
⇔
∆ψ = 0 .
−
→
dl
y
ψB
dy
B
−
→
dl
∇ψ
dx
ψ = const
~n
,
~
U
~n(a, b)
∇ϕ
ψA
A
0
~
U
u
−
→
dl(dx, dy)
−
→
dl · ~n = adx + bdy
√
|~n| = a2 + b2 = 1
x
v
b
~n
~n
−
→
dl
a
~n =
dy
dx
,−
dl
dl
Slika 4.17. Fiziqko znaqee strujne funk ije ψ u ravanskom strujau.
strujni a (ψ = const) i ekvipoten ijalnih linija (ϕ = const).
Ortogonalna mrea
MEHANIKA FLUIDA
76
Poten ijal brzine ϕ i strujna funk ija ψ imaju vana fiziqka svojstva! Ovde se
navode samo neka od ih, koja su najznaqajnija:
1. Za linije ψ = const vai rela ija
∂ψ
∂ψ
dψ =
dx +
dy = −vdx + udy = 0
∂x
∂y
=⇒
dy
dx
=
ψ=const
v
.
u
Odavde sledi da su linije ψ = const strujni e! Analizirati ovaj rezultat u skladu
sa ranije razmatranom defini ijom familije strujni a! U tom smislu je svrsishodno
navesti rela iju
∂ψ
∂ψ
~ · gradψ = u
U
∂x
+v
∂y
=0
2. Za ekvipoten ijalne linije ϕ = const takoÆe vae rela ije
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy = udx + vdy = 0
dϕ =
∂x
∂y
=⇒
dy
dx
ϕ=const
u
=− .
v
Dakle, strujni e ψ = const i ekvipoten ijalne linije ϕ = const predstav aju familiju meÆusobno ortogonalnih trajektorija, tj. formiraju ortogonalnu mreu (sl.
4.17). Oqigledno je da se do ovog rezultat dolazi i pomou Koxi-Rimanovih jednaqina
(4.57) kako sledi (sl. 4.17)
gradψ · gradϕ =
∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ
+
= −vu + uv = 0
∂x ∂x
∂y ∂y
Familija strujni a ψ = const formira strujnu sliku u ravni strujaa!
3. Za zapreminskiprotok V̇ izmeÆu dve strujni eu ravanskom strujau izmeÆu dve strujni e u ravanskom strujau za jediniqnu visinu u prav u ose 0z upravne na sturujnu
ravan vai rela ije (slika 4.17)
ˆ
ˆ ˆ
∂ψ
∂ψ
~
V̇
dy + −
dψ = ψ − ψ
(−dx) =
(U · ~n) dl =
=
(4.59)
| {z }
∂y
∂x
B
B
B
AB
B
A
A
A
A
dV̇
Zapreminski protok ne zavisi od obliak krive koja spaja taqke A i B i jednak je
razli i vrednosti strujne funk ije u ovim taqkama!
4.8.5 Interpreta ija promene u vremenu integrala fiziqke veliqine
f (~r, t) po materijalnoj zapremini pomou integrala te fiziqke veliqine po fiksnoj kontrolnoj zapremini (metode Lagrana i Ojlera)
Na osnovu analize razliqitih metoda pri izvoÆeu jednaqine kontinuiteta, saglasno
jednaqinama (4.43), (4.44) i (4.47) zak uquje se da se promene u vremenu materijalnog integrala moe izraqunati zamenom redosleda integra ea i diferen iraa. Time se promeiva oblast V = V (t) zameuje sa fiksnom oblaxu V , koja se u trenutku t poklapa sa
m
MEHANIKA FLUIDA
77
promeivom oblaxu V , (sl. 4.16a). Ta promena se definixe integralom
m
(4.60)
u kome je f = f (~r, t) fiziqka veliqina (skalar ili vektor) svedena na jedini u mase fluida. MeÆutim, iako se domen intergra ije, tj, zapremina V mea u vremenu (grani e
zapreminskog integrala su funk ije vremena), masa fluida koja se nalazi u toj materijalnoj zapremini je konstantna u svakom trenutku! U saglasnosti sa tim zapreminskiintegral
(4.60) prevodi se u integral po masi pomou sledee rela ije ρdV = dm kako sledi
D
Dt
˚
ρf dV
Vm =V (t)
m
D
Dt
˚
ρf dV
=
Vm =V (t)
D
Dt
ˆ
ˆ
f dm
ˆ
=
M
(masa u Vm )
M
D
(f dm)
Dt
(masa u Vm )
(4.61)
Pri izvoÆeu rela ije (4.61), prilikom diferen iraa integrala po masi, vai sledee:
• oblast integra ea konstantna
• masa dm fluidnog delia konstantna
• f i Df /Dt su neprekidne funk ije
• Lajbni ovo pravilo - diferen irae pod znakom integrala
Rezultat posledeg integrala u (4.61) se ne mea ako se promeiva oblast, tj. materijalna zapremina V = V (t) zameni sa fiksnom (nepokretnom) oblaxu, tj. kontrolnom
zapreminom V koja se u trenutku t poklapa sa V (sl. 4.16a), tako da se dobija suxtinski
rezultat
˚
˚
Df
D
ρ
ρf dV =
dV
(4.62)
Dt
Dt
Dakle, pri materijalnoj formula iji fiziqkih zakona, tj. zakona odraa mase, impulsa
i energije izvodi po vremenu materijalnih integrala se mogu zameniti zapreminskim integralima!
Rela ija (4.62) izvedena je korixeem zakona o odrau mase, tj. jednaqine kontinuiteta. SvoÆee vremenske promene materijalnog zapreminskog integrala na zapreminski
integral sa fisknim grani ama je qiste kinematiqke prirode. Analogno se, korixeem
izraza (4.17) koji odreÆuje fiziqki smisao divergen ije brzine, razmatra se i sledei
izraz:
˚
ˆ
D
D
4.61 ˚ D
=
M
m
Df
dm =
Dt
˚
ρ
Vm
Df
dV.
Dt
m
m
V
Vm
Dt
Da e sledi
˚
V
f dV =
Vm
D
(f v)dm =
Dt
˚
V
Dt
f vdm
(
=
)
M
Df
dV +
Dt
V
˚
V
D(dV )
f
=
Dt
Dt
˚ V
(f v)dm
Df
~
+ f divU
Dt
dV.
MEHANIKA FLUIDA
78
Tako se dobija jox jedan bitan rezultat
D
Dt
˚
f dV =
˚ V
Vm
Df
~
+ f divU
Dt
(4.63)
dV
koji daje vezu izmeÆu promene fiziqkih po a i materijalnoj (V ) i (V ) kontrolnoj zapremini.
m
Rela ije (4.62) i (4.63) imaju fundamentalno fiziqko
i matematiqko znaqee!
Transforma ija izraza (4.63)
U podpoglav u 4.8.2 jednaqina kontinuiteta je data u obliku (4.47) koja je od izuzetne
vanosti za primenu u praksi! Iz tih razloga je korisno izvrxiti transforma iju izraz
(4.63), da bi se doveo na analogni oblik obliku (4.47), koji je povo an za direktnu praktiqnu primenu. U tom i u se najpre koristi defini ija materijalnog izvoda tako da
(4.63) glasi
D
Dt
˚
f dV
=
˚ V
Vm
∂f
~ · ∇f + f ∇ · U
~ dV
+U
{z
}
∂t |
~)
∇·(f U
(4.64)
Ako je f proizvo no tenzorsko po e bilo kog stepena, koje je u V zajedno sa svojim
par ijalnim izvodima neprekidno, onda vai integralna formula Gaus-Ostrogradskog
˚
‹
˚
‹
∂f
(4.65)
~nf dA
⇔
∇f dV =
n f dA.
=
∂x
Povrx A je orijentisana graniqna povrx zapremine V , a jediniqni vektor normale ~n je
pozitivan kada je usmeren napo e. Transforma ijom integrala po zapremini u integral
po povrxi saglasno formuli (4.65) rela ija (4.64) se svodi na oblik
‹
˚
˚
∂f
D
~ · ~n dA
(4.66)
fU
dV +
f dV =
Dt
∂t
=
˚ V
V
A
V
|
˚ ∂f
∂
∂f
~
+ div(f U ) dV =
+
(f ui ) dV.
∂t
∂t
∂xi
V
Vm
V
Brzina promene
ukupnog f
u materijalnoj
zapremini
Lokalna promena ukupnog f
u kontrolnoj
zapremini
{z
Lagran
}|
i
i
A
A
Konvektivna promena
tj. fluks ukupnog f
kroz kontrolnu
povrx
{z
Ojler
}
Na sli i 4.18 je dato tumaqee i fiziqko znaqee pojedinih qlanova koji figurixu
u izrazu (4.66).
Oqigledno je da se svi izvedeni obli i jednaqine kontinuiteta jednostavno dobijaju iz
ovih izraza u koje treba uvrstiti f = ρ ili f = 1 u izraze (4.60)-(4.62)! Izrazi (4.66)
MEHANIKA FLUIDA
79
i (4.63) su identiqni! Oni predstav aju prvi i drugi oblik Rejnolds-Lajbni ove teoreme prenosa! Jednaqina (4.66), svojim fiziqkim znaqeem direktno povezuje Lagranevu
i Ojlerovu metodu i daje smisao ihove primene. Ova jednaqina suxtinski predstav a
uopxtee jednaqine (4.32) kojom se definixe materijalni izvod fiziqke veliqine fluidnog delia, dok (4.66) obuhvata sve delie koji formiraju materijalnu zapreminu!
Materijalna zapremina u trenutku t + dt
~n
frag repla emen
~ · ~n dA dt
U
t
t : V = Vm , A = Am
∂f
∂t
A
Am
~
U
~n
u i ni > 0
~n
M
f
~n
dA
dA
~
U
u i ni < 0
~ · ~n dA dt
U
˚
V
‹
A
d
∂f
dV ≡
∂t
dt
~ · ~n dA =
fU
˚
f dV
V
‹
A
- lokalna promena f (promena f tokom vremena u V )
f ui ni dA
- konvektivni deo promene f - fluks veliqine f brzinom fluida U~
kroz kontrolnu povrx A
Slika 4.18. Fiziqko tumaqee promene ukupnog po a fiziqke veliqine f (~r, t) u materijalnoj
(V ) i kontronoj (V ) zapremini. U trenutku t kontrolna zapremina je jednaka materijalnoj, a
kontrolna povrx A se poklapa sa materijalnom povrxi A .
m
m
Oblikkontrolne zapremine V , tj. grani e sistema A mogu da se tako izaberu, da najbo e
odgovaraju postav enom problemu i da na taj naqin znatno olakxaju rexavae praktiqnih
zadataka! Ono sto je vano napomenuti je da jednaqina (4.66) ne sadri prostorne izvode,
qime se ena primena znatno olakxana.
Fiziqki smisao teoreme Gaus-Ostrogradskog se moe dobiti iz teoreme prenosa
(4.63) i (4.66), a sama formula (4.65) sledi iz (4.63) i (4.66) kada se u ih formalno uvrsti
f ≡ 1. Obraza Gausa-Ostrogradskog izraava balans, tj. uravnoteavae fiziqkog po a
u zapremini V i na enoj graniqnoj povrxi A. Ako je to po e vektorsko po e brzinem
onda formula
˚
‹
A
~ · ~n dA =
U
~ dV
divU
V
povezuje fluks brzinskog po a, tj. protok fluida kroz povrx A sa promenama unutar
zapremine V povezanim sa stix ivoxu fluida, odreÆenoj sa divU~ i sa eventualnim postojaem izvora i ponora mase!
MEHANIKA FLUIDA
80
4.9 Zakon odraa (konzerva ije) impulsa. Jednaqina koliqine kretaa - Ojlerova jednaqina
Primenom drugog utnovog zakona mehanike u mehani i fluida dobija se zakon impulsa, tj. jednaqina koliqine kretaa.
• Defini ija 1 za materijalni sistem, tj. masu fluida u materijalnoj zapremini
(Lagranev metod)
Promena koliqine kretaa uoqene mase fluida jednaka je zbiru impulsa
svih sila koje deluju na tu masu, tj. promena koliqine kretaa u vremenu
jednaka je rezultujuoj sili koja tu promenu izaziva.
•
Defini ija 2 za fiksni oblast prostora, tj. za kontrolnu zapreminu (Ojlerov
metod)
Promena
koliqine kretaa u vremenu u kontrolnoj zapremini =
P
ulaznih flukseva koliqine kretaa u zapreminu −
P
izlaznih flukseva koliqine kretaa u zapreminu +
P
sila koje deluju na masu fluida u zapremini.
Ekvivalentnost ovih defini ija zakona koliqine kretaa matematiqki je izraena
rela ijom (4.66). Promena koliqine kretaa odreÆene mase fluida u vremenu matematiqki
je definisana izvodom koliqine kretaa po vremenu kako sledi
‹
˚
˚
D
~
~
(4.67)
−p ~n dA
ρf dV +
ρU dV =
Dt
|
Am
Vm
Vm
{z
}
−−→
DK
~a
∝R
Dt
|
{z
}
|
{z
}
(neviskozan fluid)
Na osnovu prethodnih razmatraa mogu se na desnoj strani jednaqine (4.67) vremenskim
promen ivi domen integra ea, bez ikakvog ograniqea opxtosti, zameniti fisknim
(kontrolnim, nezavisnim od vremena) domenima (oblastima) integra ije. Primenom izraza
(4.62) na levu stranu jednaqine (4.67) i korixeem izraza (4.65) za transforma iju qlana
koji definixe povrxinske sile u (4.67), rela ija (4.67) dobija oblik
˚
Vm
~m
R
~n
R
!
~
DU
ρ
− ρf~ + gradp dV = 0
Dt
(4.68)
Saglasno pretpostav i o neprekidnosti podintegralne funk ije (integranda) kao i
proizvo nosti oblasti integra ije V , mogue je iz integralnog oblika jednaqine koli hine kretaa (4.68) dobiti en diferen ijalni oblik, tj. Ojlerovu jednaqinu dinamike
neviskoznog fluida
~
DU
= ρf~ − gradp
ρ
(4.69)
Dt
MEHANIKA FLUIDA
81
Skalarni obli i Ojlerove jednaqine (4.69) u indeksnom zapisu glase
ρ
∂p
Dui
= ρfi −
Dt
∂xi
∂
∂
∂p
(ρui ) +
(ρui uj ) = ρfi −
∂t
∂xj
∂xi
←→
(4.70)
pri qemu je korixen izraz (4.32) kojim se definixe materijalni izvod, kao i jednaqina
kontinuiteta
∂ρ ∂(ρu )
∂t
+
j
∂xj
=0
Za sluqaj U~ = 0 jednaqine (4.69) i (4.70) se svode na Ojlerovu jednaqinu statike fluida!
Zakonu koliqine kretaa u integralnom obliku pripada u tehniqkoj primeni posebno
znaqajna uloga, ako se napixe u obliku u kome su integrali u (4.67) izraeni pomou
povrxinskih integrala! To se postie na dva naqina. Prvi je xto je u praksi najqexi
sluqaj, da se jednaqina koliqinekretaa dobije matematiqkomformula ijom defini ije
2 (Ojlerov metod). Takav pristup dovodi direktnim putem do jednaqine (4.72)! Drugi
naqin je povezan sa jednaqinom (4.67), koji je matematiqka interpreta ija defini ije 1.
U tom i u se leva strana jednaqine (4.67) transformixe pomou rela ija (4.64)-(4.66)
uvrxtavaem u ih izraza sa fiziqku veliqinu f u obliku f = ρU~ , tako da jednaqina
koliqine kretaa dobija oblik
‹
˚
˚
‹
~)
∂(ρU
~ (U
~ · ~n) dA =
p ~n dA
ρ f~ dV −
ρU
dV +
(4.71)
∂t
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
1
2
3
4
1 - Lokalna promena koliqine kretaa - potrebno poznavae strujnih veliqina
u kontrolnoj zapremini!
2 - Konvektivna promena ≡ fluks koliqine kretaa kroz povrx - ovde se pojav uju
promeive samo na grani i (kontrolnoj povrxi)!
3 - Masena sila koja deluje na masu u zapremini
V
A
V
A
4 - Povrxinska sila koja svoje dejstvo na masu u zapremini ostvaruje preko grani e
(povrxi)
Jednaqina (4.71) predstav a jednaqinu koliqine kretaa za kontrolnu zapreminu V i
kontrolnu povrx A i qesto se pixe u obliku koji daje eno puno fiziqko znaqee, saglasno
defini iji 2 (Ojlerova metoda)
∂
∂t
˚
V
~ dV = −
ρU
I
‹
A
~ (U
~ · ~n)dA +
ρU
II
˚
V
ρf~dV −
III
‹
p~n dA
A
IV
(4.72)
MEHANIKA FLUIDA
82
Fiziqko znaqee pojedinih qlanova (slika 4.18)
I - ukupna promena koliqine kretaa u zapremini V
II - fluks (prenos) koliqine kretaa kroz povrx A ≡ (ulaz)-(izlaz) koliqine
kretaa kroz povrx A u jedini i vremena
~ koja deluje na masu fluida u zapremini V .
III - rezultujua masena sila R
~ koja preko povrxi A ostvaruje svoje dejstvo
IV - rezultujua povrxinska sila R
na masu fluida u zapremini V
Integral na levoj strani jednaqine (4.72) ne moe da se prevede u integral po povrxi!
Zbog toga jednaqine (4.71) i (4.72) imaju pomenuti znaqaj naroqito pri sta ionarnom strujau, kada ovaj integral isqezava! Zapreminski integral na desnim stranama jednaqina
(4.71) i (4.72) moe da se izrazi pomou povrxinskog integrala kada masene sile f~ mogu
da se prikau kao gradijent izvesne skalarne funk ije Φ, tj. kada je ρf~ = gradΦ. Pri
tome je uslov ∇ × (ρf~) = 0 potreban i dovo an uslov za egzisten iju poten ijala Φ masene
sile! U tom sluqaju vai rela ija
‹
˚
˚
~
(4.73)
Φ~n dA
gradΦ dV =
ρf dV =
Jednaqina koliqine kretaa za primenu u praksi za sluqaj sta ionarnog strujaa i
~
ρf = gradΦ ima najqexe korixen oblik
‹
‹
~
~
(4.74)
(Φ − p)~n dA
ρU (U · ~n)dA =
m
n
A
V
V
A
A
U literaturi se definixe impulsna sila R~ izrazom
i
(4.75)
koja je lokalno paralelna brzini U~ i uvek je usmerena ka unutraxosti kontrolne zapremine! Za praktiqnu primenu jednaqina koliqine kretaa se izraava pomou sila u vrlo
jednostavnom obliku
~ +R
~ +R
~ = 0.
(4.76)
R
Znaqaj zakona koliqine kretaa je da se na osnovu strujnih parametara na grani ima
mogu izraqunati sile, tj. ihovo dejstvo! Za primenu je bitan svrsishodan izbor kontrolne
zapremine. Pri tome su potrebna mnoga znaa o strujau. Nepoznate strujne veliqine u
unutraxosti kontrolne zapremine se ne pojav uju u zakonu impulsa, ali su pojave i
fiziqke veliqine na kontrolnoj povrxi vrlo znaqajne. Zato ove povrxi, tj. grani e zapremine treba tako birati, da se integrali xto je mogue lakxe izraqunaju! Vano je,
da osim sta ionarnosti nikakve druge pretpostavke nisu potrebne. Naroqito je vano
~i = −
R
i
‹
A
m
~ (U
~ · ~n) dA,
ρU
n
MEHANIKA FLUIDA
83
napomenuti, da se u ova razmatraa mogu uk uqiti i strujaa viskoznog fluida! Gubi i se ovde obuhvataju dodavaem i proraqunom strujnih veliqina na grani ama strujnog
prostora, tj. na kontrolnoj povrxi.
Za praktiqnu primenu pogodan je skalarni oblik jednaqine (4.72)
‹
˚
‹
˚
∂
pn dA,
ρf dV −
(4.77)
ρu u n dA +
ρu dV = −
∂t
koji se onda lako prilagoÆava usvojenom Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu u
kome se definixe odgovarajui problem i kontrolna zapremina.
Veoma vano je, zbog razumevaa meÆusobne povezanosti diferen ijalnih i integralnih oblika osnovnih jednaqina, naglasiti da se (4.77) dobija integra eem Ojlerove jednaqine (4.70) po kontrolnoj zapremini fiksnog domena u prostoru
˚
˚
˚ ∂(ρu )
∂
∂p
(4.78)
=−
(ρu u )dV +
ρf −
dV.
∂t
∂x
∂x
Primenom formule Gausa-Ostrogradskog (4.65) na dva qlana desne strae jednaqine (4.78),
jednaqina (4.78) se transformixe u jednaqinu (4.77).
U Dekartovim pravouglim koordinatama je U~ = u~i + v~j + w~k tako da se x komponenta
vektorske jednaqine (4.72) dobija kada se u (4.77) uvrsti i = 1 (u = u) kako sledi
i
V
A
V
A
V
i
i
i j j
i
V
j
i j
i
i
V
1
˚
V
∂(ρu)
=−
∂t
‹
A
~ · ~n)dA +
ρu(U
˚
V
ρfx dV −
‹
pnx dA.
A
Analogno se iz (4.78) dobija skalarni oblik jednaqine u prav u x ose
˚ V
∂(ρu)
~ ) − ρfx + ∂p dV = 0
+ ∇ · (ρuU
∂t
∂x
koji se svodi na diferen ijalnu jednaqinu (4.70) za i = 1. Komponente u prav ima osa y
i z slede na isti naqin. Skalarni obli i vektorske jednaqina (4.74) u sluqaju f~ = 0, tj.
Φ = 0 glase
~) = −
∇ · (ρuU
∂p
,
∂x
~) = −
∇ · (ρv U
∂p
,
∂y
4.10 Zakon momenta koliqine kretaa
~) = −
∇ · (ρwU
∂p
.
∂z
Ovaj zakon je vaan za mnogobrojne primene, posebno u oblasti strujnih maxina. Zasniva se na zakonu koliqine kretaa, tj. prethodno odreÆenim silama i omoguuje odreÆivae razmeene snage.
Defini ija:
Promena u vremenu momenta koliqine kretaa uoqene mase fluida jednaka je sumi
momenata masenih i povrxinskih sila koje deluju na tu masu.
MEHANIKA FLUIDA
84
Analogno izvoÆeu i analizi jednaqine koliqine kretaa dobija se izraz
(4.79)
u kome desna strana oznaqava sumu momenata svih sila, a ~r je vektor poloaja. Primeri
najbo e ilustruju vanu primenu jednaqine (4.79). Diskusija je sliqna kao i u sluqaju
zakona koliqine kretaa.
˚
V
~)
∂ρ(~r × U
dV +
∂t
‹
A
~ )(U
~ · ~n)dA =
ρ(~r × U
X
~ m,n
M
4.11 Zakon odraa energije. Jednaqina energije
Na potpuno analogan naqin kao xto su prethodno razmatrani bilansi mase i impulsa,
razmatra se i bilans energije. U ovom kursu mehanike fluida, meÆutim, analiza strujnih
problema sa korixeem jednaqine energije je elementarna. Iz tih razloga se opxti
integralni i diferen ijalni obli i jednaqine energije navode radi zatvaraa sistema
jednaqina dinamike neviskoznog fluida, a u primerima se ovi opxti obli i svode na
dosta jednostavnije. Iz zakona energije izvodi se jednaqina energije u mehani i fluida.
Defini ija u smislu Lagrana (materijalna zapremina - sistem)
Promena energije uoqene mase fluida jednaka je zbiru snaga svih sila koje
deluju na tu masu i energiji koju masa razmeni sa okolinom u jedni i vremena.
(4.80)
gde su: e - unutraxa energija po jedini i mase; U /2 - kinetiqka energija po jedini i
mase; q̇ - razmeena energija u jedini i vremena po jedini i mase sa okolinom (q̇ > 0 dovoÆee, q̇ < 0 - odvoÆee); dva oblika razmene energije: (a) razmena toplote (provoÆeem, zraqeem), (b) mehaniqki rad u jedini i vremena (snaga) (mehaniqkim putem - pumpa,
ventilator, kompresor, turbina i drugo).
D
Dt
ˆ
U2
ρ e+
2
Vm
dV =
˚
V
~ dV −
ρf~ · U
‹
~ · ~n dA +
pU
A
˚
ρ q̇dV,
V
2
Defini ija u smislu Ojlera (kontrolna zapremina)
Promena
energije fluida u jedini i vremena u fiksnoj zapremini =
P
flukseva energije kroz povrx (zbir energija koje se neposredno prenose u jedini i
vremena masom fluida koja protiqe kroz povrx) +
P
snaga svih masenih sila koje deluju na fluid u zapremini +
P
snaga svih povrxinskih sila koje deluju na fluid u zapremini +
P
razmeenih energija (toplotne, mehaniqke)
∂
∂t
˚
V
U2
ρ e+
2
dV = −
U2
ρ e+
2
A
‹
~ · ~n dA +
U
˚
V
~ dV −
ρf~ · U
‹
A
~ · ~n +
pU
˚
ρq̇ dV
(4.81)
V
MEHANIKA FLUIDA
85
Jednaqina (4.81) je jednaqina energije u integralnom obliku napisana za kontrolnu
zapreminu. Ovaj oblik jednaqine je pogodan za primenu u praksi. Jednaqina (4.81) je
suxtinski prvi zakon termodinamike primeen na strujae fluida.
Diferen ijalni obli i jednaqine energije izvode se iz enih integralnih oblika analognim transforma ijama primeenih pri analizi jednaqine kontinuiteta i koliqine
kretaa. Na primer, prevoÆeem povrxinskih integrala u zapreminske u izrazu (4.81) i
izjednaqavaem integranda sa nulom dobija se
U
U
∂
~ = ρf~ · U
~ − ∇ · (pU
~ ) + ρq̇.
U
ρ e+
+∇· ρ e+
(4.82)
∂t
2
2
Jednaqina (4.82) je par ijalna diferen ijalna jednaqina koja povezuje promeive veliqine
strujnog po a udatoj taqki prostora!
U primerima pri rexavau konkretnih problema koriste se razliqiti obli i ovih
jednaqina sa razliqitim pretpostavkama. Na primer, u praksi se qesto jav a sluqaj staionarnog adijabatskog (q̇ = 0) strujaa u kome se uti aj masenih sila moe zanemariti
~
(f = 0).
Diferen ijalni oblik jednaqine (4.80) je, saglasno defini iji materijalnog izvoda,
ekvivalentan izrazu (4.82)
D
U
~ − gradp · U
~ − pdivU
~.
ρ
(4.83)
e+
= ρf~ · U
Dt
2
Sa jednaqinom energije uvedena je nova zavisno promeiva - unutraxa energija e!
Sada je potrebno odgovoriti na sledea pitaa:
• Da li jednaqine analizirane u ovoj glavi formiraju zatvoren sistem jednaqina Dinamike neviskoznog fluida?
• Xta je sa poqetnim i graniqnim uslovima?
Odgovori na ta pitaa se daju u sledeem poglav u.
2
2
2
4.12 Zatvoren sistem jednaqina. Jednaqina staa. Poqetni
i graniqni uslovi
Saglasno mapi prikazanoj na sli i 4.1 u tabeli 4.2 se analizira broj osnovnih i konstitutivnih jednaqina, kao i karakter i broj nepoznatih, tj. zavisno promeivih veliqina u
i u sagledavaa problema zatvaraa sistema jednaqina u Dinami i neviskoznog fluida.
U tu svrhu formira se tabela 4.2.
U modelu fluida barotropnog fluida (ρ = ρ(p)) odreÆivae strujnog po a se obav a
potpuno odvojeno, tj. nezavisno od temperaturskog po a! Po e temperature T (~r, t), ako
je potrebno, odreÆuje se iz jednaqine energije ili jednaqine staa. U modelu fluida
baroklinog fluida (f (p, ρ, T ) = 0) su brzinsko i temperatursko po e meÆusobno spregnuta
(kuplovana) po a i jednaqine koliqine kretaa i energije se moraju zajedno rexavati!
MEHANIKA FLUIDA
Model
fluida
Nestix iv
fluid
Barotropan
fluid
Baroklin
fluid
Tabela 4.2.
fluida
Nepoznate
veliqine
(zavisno
promeive)
Osnovne jednaqine
Jednaqina staa. Ukupan
Ukupan
Konstitutivne
broj ne- broj jedjednaqine.
poznatih naqina
jednaqina kontinuiteta
(nestixjednaqina koliqine kre- ρ iv= const
homogen
ili
taa (Ojlerova jednaqi- nehomogen fluid)
na)
4
4
jednaqina kontinuiteta
jednaqina koliqine kretaa (Ojlerova jednaqina)
ρ
=
ρ(p)
p/ρ
=
const
p/ρκ
= const
p/ρκ = const
,
,
5
5
jednaqina kontinuiteta
jednaqina koliqine kretaa (Ojlerova jednaqina)
• jednaqina energije
jednaqina staa
f (p, ρ, T ) za model
idealnog gasa
p = ρRT ; unutraxa energija
fluida e = c T
5
5
~, p
U
•
•
~ , p, ρ
U
•
•
~ , p, ρ, T
U
86
•
•
v
Formirae zatvorenog, tj. krunog sistema jednaqina u Dinami i neviskoznog
Za kasniju analizu, bie neophodni diferen ijalni oblik jednaqine staa idealnog
gasa, tj. Klapejronove (Clapeyron) jednaqine staa p = ρRT , koji se dobija enim logaritmovaem i diferen iraem. Ona je oblika
dp dρ dT
(4.84)
−
−
=0
p
ρ
T
4.12.1 Poqetni i graniqni uslovi
Konvektivni deo ubrzaa, tj. qlan (U~ · ~n)U~ sa svojim komponentama u ∂u /∂x je izvor
nelinearnosti jednaqine koliqine kretaa, zbog qega su Ojlerove jednaqine veoma
sloene za integra iju! Jasno je da pri tome moraju biti i zadati i zadovo eni odgovarajui poqetni i graniqni uslovi.
• Poqetni uslovi: Potrebno je poznavati stae kretaa materijalnog sistema, tj.
po a fiziqkih veliqina u poqetnom trenutku t = t , na osnovu qega se odreÆuju
vrednosti konstanti i time otklaa neodreÆenost rexea:
~ , p, ρ, T, . . .
t = t : f (~r, t ) = f (~r), f = U
(4.85)
• Graniqni uslovi su fiziqki uslovi koji moraju biti zadovo eni na grani ama
j
0
0
0
0
i
j
MEHANIKA FLUIDA
87
fluida, tj. strujnog po a. Ovi uslovi su vrlo razliqiti i zavise od vrste strujaa,
kao i od prirode graniqnih povrxi sa kojima je fluid u kontaktu (meÆudejstvu):
unutraxa i spo axa strujaa, postojae ili odsustvo slobodne povrxi, stae
kretaa qvrstih ili teqnih (drugi fluid) grani a (graniqnih povrxi). Pri ovome
treba voditi raquna da se radi o neviskoznom fluidu.
• Qvrsta, pokretna i neporozna povrx (grani a) u kontaktu sa fluidom:
Defini ija graniqnog uslova: u svakoj taqki grani e, u svakom trenutku vremena,
komponenta relativne brzine izmeÆu fluida i qvrste povrxi u prav u normale na
povrx mora da ixqezne:
~ · ~n = U
~ · ~n na qvrstoj povrxi!
(4.86)
U
Oznake: U~ - brzina fluida, U~ - brzina pokretne povrxi A i ~n - jediniqni vektor normale povrxi A. Iz jednaqine (4.86) sledi da je u svakoj taqki qvrste krute
povrxi u svakom trenutku normalna komponenta brzine fluida jednaka normalnoj
komponenti brzine povrxi! Drugim reqima, normalne komponente brzine fluida i
krutog tela, tj. qvrste povrxi moraju imati isti prava , smer i intenzitet na graniqnoj povrxi, inaqe bi se fluid odvojio od povrxi A ili protekao kroz u kao da je
porozna (promoqiva, propusna)! Za strujae bez odvajaa od qvrste fiksne neporozne
povrxi vai
~ · ~n = 0 na nepokretnoj (fiksnoj) qvrstoj povrxi!
(4.87)
U
Iz (4.87) sledi da je normalna komponenta brzine U = U~ · ~n na nepokretnoj i neporoznoj qvrstoj povrxi jednaka nuli.
• Korixee pojma materijalnog izvoda za defini iju graniqnih uslova.
Neka je qvrsta povrx A u izrazu (4.86), koja se kree relativno u odnosu na fluid,
zadata jednaqinom
gradF
A
A
n
F (~r, t) = 0
−→
~n = ±
|gradF |
gde je F (~r, t) skalarna funk ija poloaja i vremena, a ~n jediniqni vektor normale
povrxi A. Na primer, takva povrx moe da bude deformabilna qvrsta povrx koja
je fiksna ili se kree kroz fluid. To moe biti i kruta qvrsta povrx koja se kree
u fluidu. Sada se graniqni uslov (4.86) definixe uslovom
~ · gradF = U
~ · gradF na povrxi F (~r, t) = 0
(4.88)
U
Fiktivni qvrsti delii neprekidno formiraju qvrsu povrx pa svojim koordinatama
x (t) (Lagran!) zadovo avaju jednaqinu graniqne povrxi F [x(t), y(t), z(t), t] = 0
u svakom trenutku. Poxto je ukupna (totalna) promena funk ije F jednaka nuli
A
i
MEHANIKA FLUIDA
88
(dF/dt = 0) i kako je dx /dt = u dobija se (U~ (u , v , w ))
i
A,i
∂F
∂F
∂F
∂F
+ uA
+ vA
+ wA
=0
∂t
∂x
∂x
∂z
A
A
←→
A
A
~ A · gradF = − ∂F .
U
∂t
(4.89)
Koristei ovu rela iju, graniqni uslov (4.88) izrava se u obliku
∂F
DF
~ · gradF = 0 na povrxi F (~r, t) = 0.
=
+U
(4.90)
Dt
∂x
Ako je grani a formiranafiksnom krutomqvrstom povrxizadatoj jednaqinom F (~r) =
0 onda se uslov (4.90) redukuje na
~ · gradF = 0 na graniqnoj povrxi F (~r) = 0,
(4.91)
U
xto je ekvivalentno graniqnom uslovu (4.87). Ovi graniqni uslovi su kinematiqke
prirode, pa se postav a pitae xta je sa tangentnom komponentom brzine? U slu haju neviskoznog fluida za u ne postoji a priori neki fiziqki uslov. Za u se
obiqno pretpostav a ona vrednost koja je saglasna sa rexeem strujaa sa odgovarajuim uslovima. Naime, ovde nema "lep ea"fluida za zid, pa iz uslova da je
normalna komponenta jednaka nuli, sledi da je vektor brzine U~ u prav u tangente
na graniqnu povrx, koja se tada moe smatrati strujnom povrxi, tj. strujni om.
Fluidni deli se kliza i kotr a (ako je ~ω = 0) du konture tela, tj. povrxi A!
Dakle, svaka strujni a moe da se zameni konturom qvrstog tela! U slusqaju viskoznog fluida, meÆutim, viskoznost i relativnu tangen ijalnu brzinu izmeÆu fluida
i grani e svodi na nulu! O tome e biti reqi u Dinami i viskoznog fluida.
• Graniqni uslovi na slobodnoj povrxi. Svi ovi kinematiqki uslovi su ispueni ako je graniqna povrx A slobodna povrx fluida zadata jednaqinom F (~r, t) = 0
ili F (~r) = 0. Pojav uje se, meÆutim, dodatni dinamiqki uslov koji mora da bude
zadovo en. Naime, pritisak u taqkama graniqne slobodne povrxi mora biti jednak
atmosferskom pritisku! U mnogim sluqajevima pritisak na grani i je ili konstantan, ili je funk ija prostorno-vremenske taqke.
MEHANIKA FLUIDA
89
4.13 ZAKUQAK. Osnovne jednaqine dinamike neviskoznog
stix ivog fluida
Jednaqina kontinuiteta:
d
dt
˚
ρdV +
V
‹
A
~ · ~n dA = 0
ρU
∂ρ
~) = 0
+ div(ρU
∂t
Jednaqina koliqine kretaa ⇔ Ojlerova jednaqina:
∂
∂t
ρ
˚
V
~ dV = −
ρU
‹
Du
∂p
= ρFx −
,
Dt
∂x
A
~ (U
~ · ~n)dA +
ρU
ρ
˚
Dv
∂p
= ρFy −
,
Dt
∂y
V
ρf~dV −
ρ
‹
p~n dA
A
Dw
∂p
= ρFz −
Dt
∂z
Jednaqina energije:
∂
∂t
˚
V
˚
‹
˚
‹ U2
U2 ~
~ · ~n +
~ dV −
ρq̇ dV
pU
ρf~ · U
ρ e+
ρ e+
U · ~n dA +
dV = −
2
2
V
A
V
A
∂
U2
U2 ~
~ − ∇ · (pU
~ ) + ρq̇
U = ρf~ · U
ρ e+
+∇· ρ e+
∂t
2
2
Unutraxa energija (idealni gas):
e = cv T
Jednaqina staa (model idealnog gasa):
p = ρRT
MEHANIKA FLUIDA
90
Ako je strujae sta ionarno (∂()/∂t = 0) i adijabatsko (q̇ = 0) i ako se uti aj masenih
sila moe zanemariti (f~ = 0) onda se jednaqine (4.13) i (4.13) mogu zameniti jednaqinom
U
h =h+
(4.92)
= const
2
pri qemu su
p
• h = e + (entalpija)
ρ
• h (totalna entalpija)
• Za idealan gas vae sledee rela ije:
2
0
0
e = cv T
h = cp T
cv =
R
κ−1
cp =
κR
κ−1
κ=
cp
cv
U poglav ima koja slede, saglasno didaktiqko-pedagoxkoj mapi za Dinamiku neviskoznog fluida prikazanoj na sli i 4.1 izvedene jednaqine se rexavaju, uproxavaju i primeuju pri rexavau razliqitih praktiqnih problema.
4.14 Bernulijeva jednaqina
Ojlerova jednaqina (4.69) se, pod odreÆenim uslovima moe integraliti. Jedan od najvanijihintegrala Ojlerove jednaqineje Bernulijev integral. Pre izvoÆea Bernulijevog
integrala, potrebno je definisati sledee:
• Sila f~ je konzervativna ako zavisi samo od poloaja - f~ = f~(~r) i ako je rotf~ = 0. Tada
se vektorsko po e sile moe izraziti kao f~ = gradΦ gde je Φ = Φ (~r) funk ija
sile.
• Skalarna funk ija, tj. skalar G = −Φ je poten ijalsile ilipoten ijalnaenergija.
Vae sledee rela ije:
rotf~ = 0 → f~ = gradΦ = −gradG ↔ konzervativna sila
• U sluqaju da je fluid barotropan, ρ = ρ(p), moe se pokazati da vai sledee
f
f
f
f
f
ρ = ρ(p)
•
→
1
gradp = grad
ρ
ˆ
dp
ρ
Za nestix iv i homogen fluid definixe se generalisani pritisak p kako sledi
p = p − ρΦ
za nestix iv homogen fluid (ρ = const)
G
G
f
MEHANIKA FLUIDA
91
Bernulijev troqlani izraz B definisan rela ijom
U2
B≡
− Φf +
2
dp
U2
≡
+G+
ρ(p)
2
ˆ
ˆ
dp
ρ(p)
(4.93)
ima smisao ukupne mehaniqke energije jediniqne mase fluida u datoj taqki. Zaista,
veliqina U /2 ≡ U~ ·U~ /2 predstav a kinetiqku energiju sraqunatu za jedini u mase, a qlan
−Φ = G oznaqava poten ijalnu energiju, gde je G poten ijal masene sile f~. Veliqina
´
(dp/ρ), koja predstav a funk iju pritiska, ima fiziqki smisao poten ijala (poten ijalne energije) zapreminskog dejstva sila pritiska, tj. dejstva sila pritiska na jedini u
mase fluida. Zaista, qlan ρ gradp izraava glavni (rezultujui) vektor sila pritiska
u datoj taqki ´za jediniqnu masu fluida ili vektor zapreminskog
dejstva tih sila, tako da
´
u izrazu grad[ (dp/ρ)] veliqina pod znakom gradijenta (dp/ρ) predstav a poten ijal tog
dejstva. Ovde je, zbog pravilnog fiziqkom tumaqea, potrebno rei da pojam poten ijala
ili poten ijalne energije ne postoji za skalarna po a, kojima pripada i po e pritiska.
2
f
−1
4.14.1 Bernulijev integral Ojlerove jednaqine
Ojlerova diferen ijalna jednaqina (4.69) se moe korixeem izraza (4.38) za transforma iju konvektivnog qlana ubrzaa, kao i defini ije vrtloznosti (4.23) napisati u
takozvanom Gromeko-Lambovom obliku kao
~
1
∂U
~ × ~ω = ρf~ − 1 gradp
(4.94)
+ gradU − 2U
∂t
2
ρ
U transformisani oblik Ojlerove jednaqine (4.94) uvrxtavaju se sledee, Bernulijeve
pretpostavke
• strujae je sta ionarno, ∂/∂t = 0
• fluid je barotropan, ρ = ρ(p)
• po e masenih sila je konzervativno, f~ = gradΦ
UvoÆeem ovih pretpostavki dobija se transformisani oblik Ojlerove jednaqine
ˆ
dp
U
~ × ~ω .
−Φ +
= 2U
grad
(4.95)
2
ρ
Mnoeem jednaqine (4.95) sa jediniqnim vektorom ~s koji je usmeren du strujni e u
svakoj taqki strujnog po a, uz defini iju (4.93), izraz (4.95) se da e transformixe
~ ×ω
~ × ~s) ⇔ gradB · ~s = 0,
gradB · ~s = 2~s · (U
~ ) ⇔ gradB · ~s = 2~ω · (U
(4.96)
jer su vektori U~ i ~s = U~ /|U~ | kolinearni, pa je ihov vektorski proizvod je jednak nuli.
Skalarni proizvod gradB · ~s predstav a projek iju vektora gradijenta Bernulijevog
troqlana (skalarne funk ije) na prava strujni e, i fiziqki taj skalarni proizvod pred2
f
2
f
MEHANIKA FLUIDA
92
stav a promenu funk ije B u prav u strujni e!
(4.97)
Kako je taj skalarni proizvod jednak nuli, znaqi da se vrednost Bernulijevog troqlana
ne mea du strujni e, tj.
gradB · ~s = 0
B≡
⇔
U2
+G+
2
ˆ
∂B
∂B
∂B
sx +
sy +
sz = 0
∂x
∂y
∂z
dp
= CB (ψ)
ρ(p)
(const
⇔
ds B = 0
du strujni e ψ = const)
(4.98)
Konstanta C (ψ) ima istu vrednost du jedne strujni e (ψ = const), ali ta vrednost
moe, a i ne mora da se mea od strujni e do strujni e. TakoÆe, vano je napomenuti
da je Bernulijevom integralu (4.98) zadrana vrtlonost, tj. da on vai i za vrtlona
strujaa (~ω 6= 0)!
B
Bernulijeva teorema:
Pri sta ionarnom strujau neviskoznog barotropnog fluida u po u konzervativnih masenih sila zbir kinetiqke energije fluida po jedini i mase, poten ijala
masenih sila po jedini i mase i funk ije pritiska, tj. poten ijala zapreminskog
dejstva povrxinskih sila se ne mea, tj. ima stalnu vrednost du strujni e, a sa
tim i u svim taqkama trajektorije fluidnog delia, jer se u sta ionarnom strujau
trajektorije i strujni e poklapaju.
4.14.2 Analiza Bernulijeve teoreme u sluqajevima jednostavnijih barotropnih pro esa
Sluqaj nestix ivog fluida u po u sile Zem ine tee
U sluqaju nestix ivog fluida koji se kree u po u sile Zem ine tee, ako je vertikalna osa z usmerena navixe, tako da je ~g = −g~k, onda je Φ = −gz, odnosno G = gz. U tom
sluqaju Bernulijeva jednaqina se svodi na
f
p
U2
+ gz + = CB (ψ)
2
ρ
(4.99)
Izraz (4.99) napisan u obliku
du strujni e,
gde prvi qlan na levoj strani jednaqine predstav a brzinsku, drugi geodezijsku, a trei
pijezometarsku visinu predstav a osnovnu jednaqinu u klasiqnoj hidrauli i. U tom smislu, klasiqna formula ija teoreme Bernulija glasi:
p
U2
+z+
= const.
2g
ρg
MEHANIKA FLUIDA
93
U sta ionarnom strujau neviskozne nestix ive teqnosti u po u sile Zem ine
tee hidrauliqka visina koja je jednaka sumi brzinske, geodezijske i pijezometrijske visine, ima stalnu vrednost du strujni e, trajektorije ili vrtlone
linije.
Da e se moe zak uqiti i sledee: u sta ionarnom strujau je saglasno (4.95), takoÆe
ω · gradB ≡ ω
~
~
ω
dB
·∇ B =ω
= 0,
ω
dl
gde d()/dl oznaqava diferen irae du luka krive vrtlone linije (~ω × −→dl = 0), tako
da vai B = const du vrtlone linije. Dakle, u sta ionarnom strujau vektor ~ω × U~
formira poten ijalno vektorsko po e sa poten ijalom B!
Konaqno, oblik Bernulijeve jednaqine
U
p+ρ
(4.100)
= const
2
koji sledi iz (4.99) kada je z = const, ili kada uti aj masenih sila moe da se zanemari u
poreÆeu sa povrxinskim silama, odnosno pritiskom, bie analiziran u poglav ima koja
slede u vezi sa pojmom pritiska.
2
Sluqaj kada je u svim taqkama strujnog prostora zadovo en uslov U~ × ω~ = 0.
U sta ionarnom strujau, saglasno jednaqinama (4.98) i (4.99) je ∇B = 0, odakle sledi
jednaqina (4.101)
)
ˆ
(a) ω
~ =0
U
dp
−→
+G+
= C = const u svom prostoru ispuenom fluidom
~
2
ρ
~ kU
(b) ω
(4.101)
Uslov paralelnosti U~ k ~ω → vrtlone linije se poklapaju sa strujni ama → spiralno
kretae → strujae u po u slobodnih vrtloga koji se odvajaju na povrxima krila konaqnih
dimenzija.
2
∗
B
Obli i Bernulijevog integrala za izotermska i adijabatska strujaa
U sluqaju strujaa stix ivog fluida (uglavnom gasova), izuzimajui strujaa u atmosferi, moe da se zanemari uti aj masenih sila pa se iz jednaqine (4.98) dobija oblik
Bernulijeve jednaqine za tu klasu strujaa:
U2
+
2
ˆ
dp
= CB (ψ)
ρ
(4.102)
Jednaqina (4.102) e sada biti analizirana za dva sluqaja strujaa idealnog gasa: izotermskog i adijabatskog sluqaja.
MEHANIKA FLUIDA
94
(a) Izotermsko strujae (T = const, p/ρ = const, p/p
1
= ρ/ρ1
) (sl. 4.20)
(4.103)
p1
p
U 2 p1
ρ
U2
+
ln
=
+
ln
= const
2
ρ1 p1
2
ρ1 ρ1
(b) Adijabatsko strujae [p/p
1
,
= (ρ/ρ1 )κ ρ/ρ1 = (p/p1 )1/κ
℄ (sl. 4.20)
"
κ−1 #
κ
κ p1
p
U2
= const;
−
1−
2
κ − 1 ρ1
p1
(4.104)
"
κ−1 #
U2
κ p1
ρ
−
= const;
1−
2
κ − 1 ρ1
ρ1
p
κ
p
U 2 − U12
+
−
= 0.
2
κ − 1 ρ ρ1
Indeks 1 se odnosi na bilo koju proizvo no izabranu taqku na strujni i, trajektoriji ili
vrtlonoj liniji.
4.15 Primene Bernulijeve jednaqine
4.15.1 IzvoÆee Bernulijeve jednaqine pomou izraza
prirodnim koordinatama (s, n)
(4.41)
za ubrzae u
Ojlerova jednaqina je data izrazom (4.69). Uvrxtavaem rela ije (4.41) u (4.69) i
skalarnim mnoeem sa vektorom brzine U~ = U~s dobijaju se rela ije kako sledi
ˆ
~
DU
dp
1
DU
U2
~
~ = U~s
= f − gradp →
~s +
~n = grad ΦF −
·U
Dt
ρ
Dt
R
ρ
ˆ
dp
DU
~
= U · grad ΦF −
.
U
Dt
ρ
Desna strana jednaqine se izraava pomou materijalnog izvoda
D
Dt
~ ·U
~
U
2
D
Dt
!
D
=
Dt
U2
− ΦF +
2
U2
− ΦF +
2
ˆ
→
∂
−
∂t
ΦF −
ˆ
dp
ρ
D
Dt
U2
− ΦF +
2
Ako je strujae sta ionarno, onda sledi
∂()
=0
∂t
dp
ρ
ˆ
dp
= const
ρ
∂
=−
∂t
ΦF −
dp
ρ
ˆ
ΦF −
ˆ
dp
ρ
dp
ρ
=0
ˆ
du trajektorije i strujni e
(4.105)
(4.106)
MEHANIKA FLUIDA
95
4.15.2 Bernulijeva jednaqina za nesta ionarno strujae. Promena pritiska u prav u upravnom na strujni e
Svrsishodno je Ojlerove jednaqine napisati u prirodnim koordinatama (s, n). U tom
i u se izraz za ubrzae (4.41) uvrxtava u Ojlerovu jednaqinu (4.69) tako da se saglasno
oznakama na sli i 4.14, dobijaju posle skalarnog mnoea sa jediniqnim vektorima ~s i ~n
sledee jednaqine
∂U
∂U
1 ∂p
(4.107)
+U
=F −
∂t
∂s
ρ ∂s
U
1 ∂p
(4.108)
=f −
R
ρ ∂n
u kojima su: f = −g∂z/∂s i f = −g∂z/∂n, za f = ~g i osu z usmerenu vertikalno navixe.
Jednaqina (4.107) moe da se integrali du strujni e pri qemu konstanta zavisi od koordinate n u prav u normale na strujni u, tj. mea se, u opxtem sluqaju, od strujni e
do strujni e. Razum ivo je da je rezultat te integra ije, za sluqaj sta ionarnog strujaa
Bernulijev integral (4.106) u kome je Φ = −gz.
Za nesta ionarno strujae nestix ivog fluida integra ee jednaqine (4.107) du
strujni e od taqke 1 do taqke 2 daje izraz
s
2
n
s
n
f
(4.109)
koji prikazuje Bernulijevu jednaqinu nesta ionarnog strujaa nestix ivog fluida. Za
tehniqku praksu su interesantni
sluqajevi kada je U = U (t), tj. kada brzina ne zavisi od
´
s. Tada je U = U i ρ (∂U/∂s)ds = ρldU/dt, gde je l = s − s .
Jednaqina (4.108) odreÆuje promenu pritiska u prav u upravnom na strujni e. Ova
jednaqina moe da se integrali ako su poznate zavisnosti veliqina U i R od promeive
n. Kada se zanemari uti aj masenih sila jednaqina dobija oblik:
ρ
1
2
ˆ
2
1
∂U (s, t)
1
1
ds + p2 + ρU22 + ρgz2 = p1 + ρU12 + ρgz1
∂t
2
2
2
1
2
U2
∂p
,
= −ρ
∂n
R
1
(4.110)
gde je R polupreqnik krivine strujni e (sl. 4.14). Iz (4.110) sledi da pritisak raste u
radijalnom prav u od entra krivine napo e, tj. suprotno smeru normale ~n (sl. 4.14).
Ovaj porast pritiska je u ravnotei sa entrifugalnom silom, tj. postoji ravnotea sila
u prav u upravnom na strujni u! Iz (4.110) sledi da pritisak raste u radijalnom
prav u od entra krivine napo e, tj. suprotno smeru normale ~n (sl. 4.14). Ovaj porast
pritiska je u ravnotei sa entrifugalnom silom, tj. postoji ravnotea sila u prav u
upravnom na strujni u! Kod pravolinijskih strujni a je R = ∞ i iz (4.110) sledi ∂p/∂n =
0, tj. pritisak se ne mea u prav u upravnom na strujni e. Dakle, u jednom paralelnom
strujau, tj. u pravolinijskoj paralelnoj struji svuda vlada isti pritisak. Ako pri
tome brzina na razliqitim strujni ama imaju razliqite vrednosti, onda je oqigledno da
i konstanta C mora da ima razliqite vrednosti na tim strujni ama, jer je na svima ima
pritisak isti!
B
frag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
96
4.15.3 Dinamiqki i totalni pritisak. Meree pritiska. Pitove i
Pito-Prantlove sonde
Bernulijeva jednaqina za strujae nestix ivog fluida u po u sile Zem ine tee
data je izrazom (4.99), odnosno zapisana u jedini ama pritiska
ρ
U2
+ ρgz + p = CB (ψ)
2
diferen ijalni
manometar
proizvo na taqka na zaustavnoj strujni i
U ∞ , p∞
zaustavna taqka
A
(a)
Slika 4.19. (a) Opstrujavae tela.
A
U, p
U =0
p = p0
B
U
′
(b)
(b) Prin
z
′
}|
{
B
O
Pojam pritiska.
ip Pito-Prantlove sonde (dinamiqki pritisak) (H.Pitot, 1695-1771; L. Prantl, 1875-1953). Bernulijeva jednaqina je primeena
du strujni e A B .
′
′
U mnogim strujaima u tehniqkoj praksi je ili z = const ili visinske razlike u
strujnom po u ne igraju neku veu ulogu. Tada je razlika pritisaka u razliqitim taqkama
jedne strujni e odreÆena razlikama brzina u tim taqkama. U tom sluqaju moe da se
koristi jednostavan oblik Bernulijeve jednaqine
(4.111)
koja povezuje pritisak i brzinu u svakoj taqki strujnog po a. Konstanta C se odreÆuje
pomou pogodnih referentnih vrednosti na svakoj strujni i. Du strujni e koja prolazi
kroz zaustavnu taqku ( U = 0) vai Bernulijeva jednaqina (sl. 4.19a)
1
1
p + ρU = p + ρU = p
(4.112)
2
2
gde su:
• p - strujni (statiqki) pritisak (p = p )
1
• ρU - dinamiqki pritisak (p
=p )
2
• p - totalni (ukupni, zaustavni) pritisak (p = p = p
)
Primene Bernulijeve jednaqine du odgovarajuih strujni a daju sledee rela ije (sl.
4.19(b)):
Strujni a AO :
p + ρU = p
Strujni a A B : p + ρU = p + ρU = p + ρU
p+ρ
U2
= CB
2
B
2
∞
∞
2
0
s
2
dyn
d
0
tot
0
1
2
A
′
′
A′
1
2
2
B′
zaust
2
1
2
0
2
B′
B
1
2
2
MEHANIKA FLUIDA
97
Taqka B je taqno na vertikali u odnosu na taqku B i obiqno van graniqnog sloja. U emu
se pritisak u prav u upravnom na prava strujaa praktiqno ne mea pa je p = p . Taqke
A i A su vrlo bliske, a taqka O je zaustavna taqka (Pitova sonda), tako da se iz gorih
jednaqina dobija
s
2p
ρ
p −p = U
U=
(4.113)
=⇒
| {z } 2
ρ
′
B′
B
′
0
B
dyn
2
pdyn
Sa Pito-Prantlovom sondom moe da se odredi brzina U mereem dinamiqkog pritiska
. U izrazu (4.113) treba uoqiti da postoji nelinearna zavisnost izmeÆu p i U !
pdyn
dyn
U, p
U∞
PSfrag repla emen
U∞
U =0
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000
11111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000
00000000
11111111
00000000000000000 11111111111111
11111111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000
11111111
(a)
(b)
p
p = p0
pd = pO − p = 21 ρU 2
Slika 4.20. (a) Meree brzine U∞ homogenom paralelnog strujaa Pito-Prantlovom
evi; (b)
Otvor u zidu pokazuje statiqki (strujni) pritisak. Iz pokazivaa diferen ijalnog manometra
odreÆuje se brzina strujaa U .
Kavita ija
Iz Bernulijeve jednaqine sledi da je pritisak u fluidu najmai kada je brzina strujaa najvea. Iz (4.112) sledi: p = 0 → U = U = (U + 2p /ρ) .
U evi promeivog popreqnog preseka, na primer u Venturijevoj evi, je mogue da
se u najuem preseku gde je brzina strujaa najvea, saglasno jednaqini kontinuiteta,
pritisak toliko smai (Bernulijeva jednaqina), da na temperaturi koja vlada nastane
k uqae teqnosti uz nastajae i izdvajae mehurova pare. Ova pojava dovodi do kavita ije i dvofaznog strujaa! Do iste pojave moe da doÆe i na povrxi brzo rotirajuih
lopati a hidrauliqnihmaxina. Mehurovi pare noxeni strujom fluida dospevaju u oblast
poveanog pritiska koji izaziva ihovo kondezovae. Ovo dovodi do intenzivne erozije
materijala, vibra ije postrojea i buke. Kavita ija je, dakle, nepoe na pojava, koju je
potrebno izbei i spreqiti! O ovome e biti vixe govora u glavi 5 u okviru proraquna
evovoda spregnutog sa pumpom.
max
1/2
∞
∞
MEHANIKA FLUIDA
98
4.15.4 Kretae fluidnog delia po kon entriqnim krunim trajektorijama (vrtlog). Raspodele brzine i pritiska u vrtlogu
U prirodi i tehni i veliki znaqaj ima prouqavae vihornog strujaa. Teorijski
model se formira kada se aksijalnom strujau superponira Rankinov vrtlog, tj. prinudnoporen ijalni vrtlog (sl. 4.11). U ovom problemu razmatra se ravansko strujae fluida
gustine ρ sa strujni ama u obliku kon entriqnih kruni a (sl. 4.21).
PSfrag repla emen
U (r)
~r
~n
r
O
p1
O
U1
r=R
r1
∂p
∂p
dp
=−
=−
∂n
∂r
dr
Slika 4.21. Raspodele brzine i pritiska u vrtlogu.
Uti aj masenih sila se zanemaruje i poxto je strujae osnosimetriqno (rota ionosimetriqno) onda sve veliqine zavise samo od radijalne koordinate r, a ne i od polarne
koordinate ϕ. Nezavisnost od koordinate z je posledi a ravanskog strujaa. Obimna brzina je ukupna rezultujua brzina U qija se raspodela u opxtem sluqaju zadaje stepenom
funk ijom
r
U (r) = k r = U
(4.114)
r
u kojoj r oznaqava radijalnu koordinatu. Veliqine U i r i eksponent m su konstante (sl.
4.21), pri qemu je U brzina na rastojau r od entra. Dakle, veliqine U , p , r , ρ i m su
u ovom problemu poznate. Analizirae se skup rexea koja definixu raspodelu brzine i
pritiska za razliqite vrednosti parametra m, koje odreÆuju tip vrtloga!
Primenom jednaqine (4.110) slede rela ije (sl. 4.21)
U
dp
U
∂p
= −ρ
→
=ρ .
(4.115)
∂n
R
dr
r
Integra eem izraza (4.115) pomou (4.114) i korixeem graniqnog uslova p(r ) = p
dobija se:
m
m
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
"
#
r 2m
−1 ,
=
m 6= 0
r1
r
2
= ρU1 ln
m=0
,
r1
(4.116)
p−p
za
(4.117)
Na sli i 4.22 su za razliqite vrednosti eksponenta m prikazane raspodele brzine i
p − p1
1
ρU12
2m
za
1
MEHANIKA FLUIDA
99
pritiska u zavisnosti od raspodele brzine i pritiska u zavisnosti od rastojae r od ose.
Posebno fiziqko znaqee imaju vrednosti eksponenta m = 1 (U ∝ R: rota ija krutog tela
- prinudni vrtlog) i m = −1 (U ∝ 1/r: poten ijalni vrtlog).
5
m = −0.5
m=2
m=1
U (r)/U1
4
3
m = 0.5
2
PSfrag repla emen
m=0
1
0
0
1
2
3
4
5
r/r1
5
4
m=1
m = 0.5
3
2
p − p1
ρU12
m=0
1
m = −1
0
-1
-2
PSfrag repla emen
-3
-4
0
1
2
3
4
5
r/r1
Slika 4.22. Raspodele brzine i pritiska u prinudno-poten ijalnom i drugim vrtlozima. Naro hito vae vrednosti eksponenta m su: m = 1: prinudni vrtlog (rota ija krutog tela); m = −1:
poten ijalni (slobodni) vrtlog.
Oba vrtloga kao i ihova kombina ija, tj. Rankinov vrtlog (sl. 4.11) se vixe ili
mae dobro realizuju i nastaju u mnogobrojnim strujaima, tzv. vihornim strujaima
prisutnim u prirodi i tehni i. U tehniqkoj praksi se razliqitim ureÆajima (aksijalnim
ventilatorima, lopati ama radijalnog sprovodnog aparata i sliqno) ostvaruju razliqite
vrednosti eksponenta m, kojima odgovaraju razni profili brzine i pritiska (sl. 4.22).
Oqigledno je iz prethodne analize na koji naqin Bernulijeva jednaqina meÆusobno povezuje stae strujaa na razliqitim strujni ama. Uoqava se da se brzina i pritisak u
MEHANIKA FLUIDA
100
poten ijalnom vrtlogu (r ≥ r ) ponaxaju razliqito, tj. imaju razliqit karakter promene.
To je tipiqan iskaz Bernulijeve jednaqine (sl. 4.22). U blizini ose, tj. za r → 0 ove veli hine tee beskonaqno velikimvrednostima (r = 0 je singularitet za poten ijalnivrtlog!),
xto je posledi a svih uqienih pretpostavki, naroqito pretpostavke modela neviskoznog fluida, tj. nepostojae trea! Naime, u viskoznom fluidu tree ima odluqujuu
ulogu u blizini ose za r = 0. Smi ajni naponi bi u toj oblasti proizvo no narasli za
sluqaj raspodele brzine koja bi odgovarala poten ijalnom vrtlogu. Viskoznost i priroda
sve to regulixu i umesto toga fluid rotira kao kruto telo (ugaona brzina ω = const,
smiqui napon τ (r) ≡ 0, sl. 4.11). Iz (4.114) i (4.116) sledi (m = 1):
1 U
1
U
r, p = p + ρ
r −r
−→ p − ρU , r ≤ r
U = ωr =
(4.118)
r
2 r
2
Za r < r (prinudni vrtlog) brzina i pritisak se meau na isti naqin, tj. imaju isti
karakter zavisnosti od r.
Raspodela pritiska (4.118) pri r = r neprekidno (zajedniqka tangenta) prelazi u
raspodelu pritiska u poten ijalnom vrtlogu (m = −1 u izrazu (4.116))
1
1
ρ
1
−→
p + ρU , r ≥ r
p=p + U r
(4.119)
−
2
r
2
r
Uti aj viskoznosti u sloju fluida r = r (ili r = R, sl. 4.11) dovodi do zaob avaa profila brzine, neprekidnog (kontinualnog) prelaza jednog profila u drugi i do
formiraa smiqueg vrtlonog sloja sa vrlo sloenom strukturom i fiziqkim karakteristikama. Posebno treba istai da u vrtlonom jezgru, u kome fluid rotira kao kruto
telo (r ≤ r ), moe da nastane znatan potpritisak! I ova pojava qini vihorna strujaa
vrlo sloenim za istraivae. OdreÆivae veliqine polupreqnika jezgra r vrtloga, u
opxtem sluqaju, nije mogua bez uzimaa u obzir viskoznosti fluida!
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
r→0
1
1
1
1
2 2
1 1
2
1
2
2
1
1
r→∞
1
1
1
1
4.15.5 Bernulijeva jednaqina u rotirajuem sistemu. Primena zakona
momenta koliqine kretaa. Ojlerova jednaqina turbomaxina
Jednaqina koliqine kretaa daje iskaz o silama. Analogno, jednaqina momenta koli hine kretaa daje odgovarajui iskaz o momentima tih sila. To je znaqajno za mnogobrojne
primene, naroqito u oblasti turbomaxina. Oqigledno je da se pri strujau fluida kroz
obrtno kolo hidrauliqnih i toplotnih maxina snaga ili dovodi ili odvodi. Pri strujau u rotirajuem sistemu uvode se pojmovi apsolutnog, prenosnog i relativnog kretaa,
brzina i ubrzaa. Na fluid u rotirajuim sistemima, pored sile zem ine tee, deluju
jox dve masene sile, a to su entrifugalna i Koriolisova sila, tj. tangentno i normalno
ubrzae prenosnog rota ionog kretaa i Koriolisovo ubrzae. Ako sistem rotira konstantnom brzinom ~ω (~ω 6= ~ω(t)), onda ne postoji tangentno ubrzae prenosnog rota ionog
kretaa, pa su entrifugalna sila f~ i en poten ijal Φ definisani rela ijama
1
(4.120)
f~ = −~
ω × (~
ω × ~r) → f~ = ∇Φ
→ Φ = (~ω × ~r) · (~ω × ~r).
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
MEHANIKA FLUIDA
101
Za sluqaj rota ije oko fiksne ose z, [~ω(0, 0, ω), ~r(x, y, 0)] iz (4.120) sledi
(4.121)
Koriolisova sila, tj. Koriolisovo ubrzae ~a = 2(~ω × U~ ) je upravno na brzinu, pa prema
tome i na strujni u, tako da Koriolisova sila nema komponentu u prav u strujni e. Dakle, Bernulijeva jednaqina za relativno sta ionarno strujae u sistemu koji rotira
oko fiksne ose z konstantnom ugaonom brzinom ω ima oblik
1
Φω = ω 2 r 2 .
2
c
(4.122)
Ova jednaqina vai du svake strujni e, a konstanta C moe, a ne mora, da ima razliqite
vrednosti od strujni e do strujni e. U sluqaju da ne postoji relativno strujae (U = 0)
onda izraz (4.122) definixe po e pritiska pri relativnom mirovau fluida u sistemu
koji rotira konstantnom ugaonom brzinom ω (vidi potpoglav e 3.3.1).
Nesta ionarno relativno strujae. Pomou jednaqina (4.109) i (4.122) dobija se
izraz za Bernulijevu jednaqinu nesta ionarnog relativnog strujaa u ravnomerno (jednoliko) rotirajuem sistemu oko fiksne ose
ˆ
ρ
ρ
ρ
ρ
∂U
ds + p + U + ρgz − ω r = p + U + ρgz − ω r
ρ
(4.123)
∂s
2
2
2
2
p+
1
U2
+ ρgz − ρ ω 2 r 2 = Cω
2
2
ω
2
2
2
2 2
2
2
1
2
1
1
2 2
1
1
Ojlerova jednaqina turbomaxina - primena jednaqine momenta koliqine kretaa. Jednaqina (4.79) se primeuje na turbinsko kolo (ugaona brzina ω) kroz qiji lo-
patiqni kanal fluid struji radijalno iz spo axosti (r ) ka unutraxosti (r < r )
kanala. Izborom kontrolne zapremine u meÆulopatiqnom prostoru, razmatraem apsolutnih i relativnih brzina strujaa u rotirajuem sistemu i korixeem jednaqine (4.79)
za sta ionarno strujae dobijaju se izrazi za korisni moment M turbine i korisnu snagu
kola P kako sledi
M = ṁ(r U − r U ), P = M ω = ṁ(w U − w U )
(4.124)
gde su
• ṁ - maseni protok fluida kroz turbinsko kolo;
~ (U , U ) sa kojom fluid pri r = r
• U - obimska komponentna apsolutne brzine U
ulazi u lopatiqni kanal
~ (U , U ) kojom fluid pri r = r napuxta kanal
• U - obimska komponenta brzine U
• w =r ω iw =r ω
Jednaqina (4.124) je u literaturi poznata kao Ojlerova jednaqina turbine. Ova jednaqina,
meÆutim, vai ne samo za turbine, ve ona vai i za pumpe, ventilatore i kompresore.
Zbog toga ona nosi naziv Ojlerova jednaqina turbomaxina. Na primer, ako se radi o
1
2
1
T
k
1
T
ϕ1
2
ϕ2
k
1
ϕ1
ϕ2
1
1
T
2
1
2
2
r2
ϕ2
r1
ϕ1
2
ϕ2
ϕ1
1
2
MEHANIKA FLUIDA
102
pumpi, tj. o kolu pumpe, vai ista jednaqina (4.124) uz promenu znaka na desnoj strani.
Oba sluqaja se razlikuju samo u smeru razmenu energije izmeÆu fluida i rotirajueg dela
(radnog kola) maxine kroz koju fluid struji. Pumpa se zbog toga naziva radnom maxinom,
jer fluidu predaje (saopxtava) energiju. Korisna snaga pumpe P je definisana izrazom
U
U
− p + ρgz + ρ
P = V̇
p + ρgz + ρ
(4.125)
2
2
gde je V̇ - zapreminski protok fluida koji ostvaruje pumpa koja je ugraÆena izmeÆu preseka
1-1 i nizstrujnog (nizvodnog) preseka 2-2 koji se nalaze na meÆusobnoj visinskoj razli i
z − z . Oznake za druge veliqine su uobiqajene. Ako se zamisli da se pumpa uda i iz
strujnog toka, onda se u jednaqinu (4.124) mora staviti P = 0, tako da se ona svodi na
Bernulijevu jednaqinu (4.99). Dakle, na osnovu zakona odraa mehaniqke energije, Bernulijeva jednaqina ima znaqee jednaqine energije za strujae neviskoznog fluida. Ovde
jox treba napomenuti da Ojlerova jednaqina turbomaxina vai ne samo za radijalne, ve
takoÆe i za aksijalne turbomaxine u kojima fluid uglavnom struji u aksijalnom prav u.
Spe ijalni sluqaj - slobodni vrtlog. Ako se razmatra prva jednaqina sistema
(4.124) u sluqaju radnog kola na koje se pri strujau fluida ne prenosi nikakav moment
(M = 0), onda oqigledno vai ili ṁ = 0 ili rU = const. U drugom sluqaju obimska
komponenta je poten ijalni vrtlog. Izraz Γ = rU definixe irkula iju Γ, pa se u turbomaxinama koristi termin zakon konstantne irukula ije (Γ = rU = const). Strujae
se uz prisustvo i radijalne komponente brzine obav a se po spiralnim putaama. Takvo strujae nastaje u po u poten ijalnog vrtloga zdruenog sa izvorom ili ponorom. U
tehniqkoj praksi je ova klasa strujaa vrlo prisutna, na primer, u razliqitim vrstama
iklonskih aparata i ureÆaja.
k
2
k
2
2
2
2
1
1
2
1
1
k
ϕ
T
ϕ
ϕ
4.16 Primena osnovnih jednaqina mehanike fluida pri rexavau kvazi-jednodimenzijskih strujaa fluida
4.16.1 Modeli jednodimenzijskih i kvazi-jednodimenzijskih strujaa
Modeli strujni e (MS) i strujnog vlakna (MSV)
Najpre se uoqava strujni a S od taqke 1 ka taqki 2. Potom se u taqki 1 posmatra inifinitezimalna povrx a ortogonalna na strujni i S. Ako se kroz svaku graniqnu taqku
povrxini e a povuku ostale strujni e, onda one formiraju omotaq strujnog vlakna
1
. Poxto je ovaj prostoru neposrednoj okolini strujni e S1-2, promene veliqina staa f
i taqkama popreqnog preseka a su znatno mae od promena u podunom prav u s i mogu se
i odnosu na ih zanemariti, tako da vai f = f (s, t). Dakle, sve veliqine su konstantne
u preseku a strujnog vlakna i zavise samo od jedne pravolinijske ili krivolinijske koordinate s upravne na presek a, kao i od vremena t ako je strujae nesta ionarno! Postoji
samo jedna projek ija brzine U~ koja je upravna na popreqni presek SV i koja je zadata
1
SV
1
MEHANIKA FLUIDA
103
sa U~ = U~ (s, t). Ovde se radi o jednodimenzijskom strujau! Iako MSV predstav a
jednu apstrak iju, on je vano pomono sredstvo u nau i o strujau. Veliki znaqaj ima u
praktiqnoj primeni i qini osnov hidraulike.
PSfrag repla emen (a)
−
→
ds
2
a2
~
U
s
~n
a1
s
2
a
1
1
1
Model strujni e ≡
Model strujnog vlakna ≡
MS
(v)
(v)
2
~
U
1
2
(b)
~
U
A
A2
s
SV
2
11
00
00
11
00
11
00
11
1
2
a
A
S
SC
1
1
Model strujne evi ≡
2
~
U
s
~n
A1
MSV
MSC
A
- normalni presek strujne evi
Slika 4.23. Jednodimenzijsko i kvazi-jednodimenzijsko strujae: (a) strujni a (S); (b) strujno
vlakno (SV): a - povrx infinitezimalnog popreqnog preseka SV; U~ = U~ (s, t) - brzina ortogonalna
na povrx preseka a; ~n - jediniqni vektor povrxini e a u prav u tangente na strujni u; strujna
ev (SC): A - povrxina popreqnog preseka SC koji je ortogonalan na strujni ama (normalni presek
); U~ - brzina upravna na ortogonalni (normalni) presek A strujne evi (SC), koja se u opxtem
sluqaju mea od taqke do taqke unutar preseka A, ili je konstantna po preseku; (g) prostorni
prikaz strujni e (S), strujnog vlakna (SV) i strujne evi SC.
SC
Strujae u kanalima i evima. Strujae u kanalima i evima razliqitih popreqnih
preseka, koji su konstantni ili promeivi u prostoru i vremenu, je u opxtem sluqaju
vixedimenzijsko i zbog toga znaqajno komplikovanije za izuqavae od jednodimenzijskog
strujaa! To naroqito dolazi do izraaja u sluqaju sta ionarnog strujaa kroz strujno
vlakno kada se osnovne jednaqine mehanike fluida u integralnom i diferene ijalnom
obliku svode na svoje veoma jednostavne algebarske oblike.
Osnovno pitae. Prirodno se u ovom trenutku postav a osnovno pitae: Da li je
mogue ovaj novi sloeniji sluqaj strujaa svesti na prethodni jednostavniji? Pod kojim
uslovima se jedno strujae kroz ev sa sve tri projek ije brzine koje zavise od sve tri
prostorne koordinate i vremena moe analizirati primenom modela jednodimenzijskog
strujaa MSV? Odgovor se dobija uvoÆeem pojma strujne evi SC, tj. MSC!
MEHANIKA FLUIDA
104
Model strujne evi MSC - model kvazi-jednodimenzijskog strujaa
Strujna ev je vektorska ev po a brzine. Formira se analogno kao i strujno vlakno.
en omotaq qine strujni e, a eni popreqni prese i (A , A , A, ...) su konaqni. Zbog toga
se, za razliku od strujnog vlakna, kod strujne evi ne mogu zanemariti promene fiziqkih
veliqina f po preseku u odnosu na ihove promene u podunom prav u! Da bi se jedan
ovakav model MSC sveo na prethodni jednostavniji MSV oqigledno je da treba razmatrati
brzinsko po e i u strujnoj evi pronai one popreqne preseke A na koje su strujni e ortogonalne. U tom sluqaju, kao i kod strujnog vlakna, postoji samo jedna projek ija brzine
~ ortogonalna na povrx preseka A, tj. u prav u normale ~n na taj presek (sl. 4.23(v)(g))!
U
Poxto strujna ev SC konaqnog preseka A, za razliku od SV infinitezimalnog preseka a
obuhvata znatno veu oblast (domen) oko strujni e S1-2, onda se brzina U~ u opxtem sluqaju,
mea od taqke do taqke unutar preseka i formira neravnomeran (neuniformni) profil
brzine. Dakle, strujaa nije jednodimenzijsko, ali ima jednodimenzijski karakter!
Nije, meÆutim, ni jednostavno, a ni mogue formirati normalni presek A! To zavisi
kako od geometrije strujnog prostora, tako i od strujnog po a, jer pri tome mora da bude
zadovo en uslov U~ · rotU~ = 0. Ako normalni presek postoji, onda brzina po tom preseku
moe da bude konstantna (ravnomerna) ili promeiva (neravnomerna) (sl. 4.24). U ovom
drugom sluqaju, koji se odnosi na neravnomernu raspodelu brzine izrazito prisutnu pri
strujau viskoznog fluida, mogu se odrediti srede konstantne vrednosti fiziqkih
veliqina, o qemu e biti vixe reqi u Dinami i viskoznog fluida.
1
2
Primenakon epta kvazi-jednodimenzijskog strujaa na probleme strujaa fluida kroz evi, kanale i mlaznike.
Model neviskoznog fluida omoguuje primenu kon epta kako jednodimenzijskog, tako
i kvazi-jednodimenzijskog strujaa fluida pri analizi osnovnih jednaqina mehanike fluida, tj. zakona odraa mase, impulsa i energije u ihovim integralnim obli ima. Iako
prihvatae konstantnih vrednosti u popreqnom preseku evi podrazumeva da se ti aji
viskoznosti zanemar ivo mali, kon ept teorije jednodimenzijskog strujaa moe da se
prenese i primeni na strujae viskoznog fluida uvoÆeem sredih vrednosti fiziqkih
veliqina.
Strujae prikazano na sli i 4.24(b) je suxtinski trodimenzijsko i zavisno promeive
su funk ije od x, y i z. Zaista, brzina na grani i (omotaqu) strujne evi mora da ima
prava tangente na tu grani u (konturu), zbog qega nastaju i ene komponente u y i z prav u.
MeÆutim, ako je promena preseka kontinualna i spora (umerena), onda su i komponente
u y i z prav ima male u poreÆeu sa komponentom u x prav u. U tom sluqaju moe
se pretpostaviti da su promeive strujnog po a funk ije samo od x koordinate, tj. da
imaju uniformnu (ravnomernu) raspodelu u bilo kom popreqnom preseku odreÆenom sa
koordinatom x! Takvo strujae, u kome je osim f = f (x) i A = A(x), gde je f ≡ u, p, ρ, T, . . . ,
definisano je kao kvazi-jednodimenzijsko!
MEHANIKA FLUIDA
105
y
A = A(x)
A = const
x
x
z
frag repla emen
y
u|x=const = const
,
u = u(x)
f = f (x) f = u, p, ρ, T
u 6= const
v, w ≪ u
p = p(x)
A = const
x
z
x
ρ = ρ(x)
T = T (x)
za x = const
Slika 4.24. (a) Jednodimenzijsko strujae: strujna ev je konstantnog popreqnog preseka
A = const i sve fiziqke veliqine zavise samo od podune koordinate x; (b) Kvazi-jednodimenzijsko
strujae : strujna ev je promeivog popreqnog preseka A = A(x) ; strogo govorei, strujae je
trodimenzijsko ali se na izvesnim duinama (delovima) evi moe pretpostaviti da su fiziqke
veliqine funk ije samo od x i da su zadovo eni uslovi (4.126).
u = const
Primena kon epta kvazi-jednodimenzijskog strujaa podrazumeva (sl. 4.24)
1. f (x)
(4.126)
= const
2. A = A(x)
3. f = f (x) f = u, ρ, p, T, . . .
x=const
1. Pretpostavka da su fiziqke veliqine f konstantne u taqkama popreqnog preseka A
strujne evi. Ova pretpostavka ne mora da bude ispuena za qitavu strujnu ev,
ve samo na onim enim delovima na koje se pri proraqunu primeuje model kvazijednodimenzijskog strujaa. Dakle, strujae mora bar na pojedinimduinama (delovima) evi da bude ujednaqeno (ravnomerno), tj. praktiqno konstantno po popreqnom
preseku i da se sporo mea u podunom prav u.
2. Potrebna spora promena profila brzine u podunom (aksijalnom) prav u podrazumeva da je povrx popreqnog preseka A = A(x) evi lagana, sporo promeiva
funk ija od nezavisno promeive x.
3. U strujau sa zadovo enim uslovima 1 i 2, tj. sa ispuenim taqkama 1 i 2 zak uqka
(4.126) fiziqke veliqine f su funk ije samo od podune koordinate x, tj. f = f (x).
IzmeÆu deoni a strujne evi u kojima su ispueni uslovi (4.126) strujae moe da
MEHANIKA FLUIDA
106
ima trodimenzijski karakter, ali se ono ne moe proraqunavati primenom metoda
i modela jednodimenzijskog i kvazi-jednodimenzijskog strujaa.
4.16.2 Osnovne jednaqine kvazi-jednodimenzijskog strujaa u algebarPSfrag repla emen skom obliku
Iako je pretpostavka o kvazi-jednodimenzijskom strujau izvesna aproksima ija realnih strujaa u kanalima, evima i mlazni ima promeivog popreqnog preseka, mogue je
koristiti integralne oblike jednaqina odraa, tj. jednaqine kontinuiteta (4.13), jednaqine koliqine kretaa (4.13) i jednaqine energije (4.13) u i u izvoÆea odgovarajuih
oblika ovih jednaqina za kvazi-jednodimenzijsko strujae. Tako izvedene jednaqine su fiziqki konzistentne, opisuju fiziku odgovarajuih pro esa i daju rexee za probleme u
tehniqkoj praksi.
~n ≡ ~nw
2
~w
U
Aw
1
U1 = u 1
p1
ρ1
A = A(x)
A1
~n
~i
1
T1
U2 = u 2
dAw
x
Kontrolna
zapremina V
~n
A2
p2
ρ2
T2
Kontrolna povrx
2
A = A1 + A2 + Aw
Konaqna kontrolna zapremina V i kontrolna povrx A za model kvazievi. Fiziqko-matematiqki kon ept ovog modela i znaqee
pojedinih oznaka dati su u tekstu.
Slika 4.25.
jednodimenzijskog strujaa u strujnoj
Jednaqina kontinuiteta
Primenom kon epta kvazi-jednodimenzijskog strujaa na opxti integralni oblik jednaqine kontinuiteta (4.13) za sluqaj sta ionarnog strujaa dobija se
‹
‹
˚
∂
~ · ~n dA = 0
~ · ~n dA = 0
ρU
ρU
−→
ρ dV +
(4.127)
∂t
A
A
V
Primena jednaqine (4.127) na konaqnu kontrolnu zapreminu V za strujnu ev ograniqenu
kontrolnom povrxi A = A + A + A (slika 4.25) daje
¨
¨
¨
~ · ~n dA = 0.
~ · ~n dA +
~ · ~n dA +
ρU
ρU
ρU
(4.128)
U popreqnimprese ima A i A profili brzinama su ravnomerni (uniformni). Jediniqni
vektori ~n spo asih normala odgovarajuih kontrolnih povrxi su, po defini iji, uvek
usmereni od povrxi ka okolini (okrueu). Du omotaqa strujne evi (zida kanala u
1
2
w
A2
A1
1
2
Aw
MEHANIKA FLUIDA
107
opxtem sluqaju) brzina strujaa je u prav u tangente na povrx omotaqa. Sve veliqine su
oznaqene indeksima onih delova kontrolne povrxi kojima pripadaju, tako da vae rela ije
(sl. 4.25)
¨
A1
~ ·~n dA = −ρ1 U1 A1 ,
ρU
¨
A2
~ ·~n dA = ρ2 U2 A2 ,
ρU
~ w ·~nw = 0
U
⇒
Uvrxtavaem izraza (4.129) u (4.128) dobija se
¨
Aw
~ ·~n dA = 0.
ρU
(4.129)
(4.130)
Za nestix iv i homogen fluid ρ = ρ = ρ = const izraz (4.130) se pojednostav uje
U A =U A .
(4.131)
Umesto normalnih preseka 1-1 i 2-2, qije su povrxine A i A , mogu da se izaberu bilo koja
druga dva preseka u kojima je zadovo en uslov (4.126). Drugim reqima, ako se u jednaqinama
(4.130) i (4.131) nizstrujni presek (kraje stae) posmatra kao promeiv, tj. kao izabran
bilo gde du x-ose, ali tako da budu zadovo eni uslovi modela (4.126), onda prethodne
jednaqine glase
ρU A = const
(4.132)
U A = const
(4.133)
Jednaqina (4.132) je jednaqina kontinuiteta kvazi-jednodimenzijskog strujaa fluida.
Ona vai i za nestix iv i za stix iv fluid. eno fiziqko znaqee je da se maseni
protok ṁ du evi ne mea (ulazni maseni fluks jednak izlaznom). Uporediti ovaj zak uqak sa defini ijom masenog protoka (4.10). Veliqina ṁ = ρU A je maseni protok kroz
proizvo ni presek strujne evi u kome je ispuen uslov jednodimenzijskog modela.
Jednaqina (4.133) je kvazi-jednodimenzijski oblik jednaqine kontinuiteta za nestish iv homogen fluid. Iz e sledi nepromeivost (konstantnost) zapreminskog protoka V̇
(videti izraz (4.9)) du strujne evi, jer izraz V̇ = U A oznaqava zapreminski protok kroz
proizvo ni presek strujne evi u kome je ostvaren karakter jednodimenzijskog strujaa
(U = const u svim taqkama povrxi preseka A i U~ = U~n).
Iz (4.132) i (4.133) se izvode dva vana zak uqka:
(1) Pri strujau nestix ivog fluida brzina strujaa se poveava sa smaeem popreqnog preseka strujne evi i obratno (A ↓ → U ↑ i obrnuto A ↑ → U ↓). Ovaj
zak uqak pri strujau stix ivog fluida (ρ 6= const) nee uvek da vai! Naime,
mogue je da se usled velikog porasta gustine istovremeno smauju i brzina strujaa
u popreqni presek strujne evi (ρ ↑↑ → U ↓ A ↓).
(2) Jednaqina kontinuteta za nestix iv fluid, (4.133) vai ne samo za sta ionarna,
ve i za nesta ionarna strujaa! Zak uqak se jednostavno izvodi iz izraza (4.13)
u kome zapreminski integral izqezava za sluqaj strujaa nestix ivog fluida. To
je posledi a zakona odraa mase. Naime, kod nestix ivog fluida masa fluida
− ρ1 U1 A1 + ρ2 U2 A2 + 0 = 0
1
=⇒
ρ1 U1 A1 = ρ2 U2 A2
2
1
1
2
2
1
2
MEHANIKA FLUIDA
108
u kontrolnoj zapremini V se ne mea tokom vremena, iako je strujae nesta ionarno! Videti sliku 4.16 i jednaqine (4.42)-(4.55).
Po e brzine U = u (jednodimenzijski model). Deta na analiza svih pojmova i oznaka
za jednodimenzijsko i kvazi-jednodimenzijsko strujae, koja je data u poglav u 4.16.1 i
u analizi jednaqine kontinuiteta, direktno se koristi pri izvoÆeu jednaqine koliqine
kretaa i jednaqine energije. Poxto e u da em tekstu, kako je prikazano na sli i 4.25,
strujae biti usmereno u prav u x-ose, onda je svrsishodno da se brzina |U~ | = U oznaqi sa
~ = u~i + v ~j + w ~k u prav u x-ose. Drugim reqima, veli u, jer je to komponenta brzine U
hina U oznaqava brzinu u proizvo noj taqki strujni e u trodimenzijskom strujau, tako
da, saglasno tome, veliqina u predstav a brzinu u modelu jednodimenzijskog ili kvazijednodimenzijskog strujaa du x-ose! Oznake u i u , poxto je merodovna samo komponenta
brzine u, definixu uniformno (ravnomerno) po e brzine u popreqnim prese ima 1-1 i
2-2 qije su povrxine A i A . Dakle, doi indeksi 1 i 2 brzine u ne znaqe indeksnu
nota iju, ve oznaqavaju presek strujne evi. Saglasno ovome i oznakama na sli i 4.25,
jednaqine kontinuiteta (4.130)-(4.133) glase
1
1
2
2
ρ1 u1 A1 = ρ2 u2 A2
−→
u1 A1 = u2 A2
−→
uA = const
ρ = const
ρuA = const
(4.134)
Jox jednom se naglaxava da izrazi bez indeksa vae za bilo koji presek strujne evi, koji
zajedno sa fiziqkimveliqinamakoje mupripadaju, zadovo ava model kvazi-jednodimenzijskog
strujaa (4.126).
Jednaqina koliqine kretaa
Razmatra se jednaqina impulsa u integralnom obliku, (4.13). en oblik za sta ionarno
strujae u kome se uti aj masenih sila moe zanemariti (F~ = 0) glasi
‹
‹
~
~
(4.135)
p~n dA
ρU (U · ~n)dA = −
Komponenta ove vektorske jednaqine u prav u x-ose je
‹
‹
~ · ~n)dA = −
(4.136)
pn dA.
ρu(U
Jednaqina (4.136) je uproxen oblik jednaqine (4.72) u kojoj pn dA oznaqava x-komponentu
elementarne sile pritiska. Izraqunavae integrala po kontrolnoj povrxi A na levoj
strani jednaqine (4.136) deta no je analizirano pri izvoÆeu jednaqine kontinuiteta.
Poxto je jedhaqina (4.136) skalarna jednaqina, potrebno je voditi raquna o znaku xkomponente pri razmatrau integrala po kontrolnoj povrxi A. Ponovo se naglaxava da
kontrolnu povrx A omotaqa kontrolne zapremine V formiraju strujni e, pa je u taqkama
ove povrxi U~ · ~n dA ≡ U~ · ~n dA = 0 (sl. 4.25). Tako integral na levoj strani jednaqine
(4.136) ima vrednost −ρ u A + ρ u A . Integral po a pritiska p po povrxima preseka
A
A
x
A
A
x
w
w
w
2
1 1
1
2
2 2
2
MEHANIKA FLUIDA
i A iznosi −(−p A
daje
¨
A1
2
1
1
109
. Integra ee po a pritiska po povrxi A (sl. 4.25)
+ p2 A2 )
w
(4.137)
gde je dA x-komponenta vektora ~n dA = ~n dA , tj. dA = ~n ·~i dA = (n ) dA = (dA ) .
Dakle, dA je projek ija oblasti povrxi dA na ravan upravnu na x-osu! Uvrxtavaem
dobijenih izraza, zajedno sa (4.137) u jednaqinu (4.136) sledi
−
Aw
pnx dA = −
¨
(Aw )x
p(dAw )x = −
w
Aw
ˆ
A2
A1
−p dA =
w
w
¨
A2
p dA
A1
w
w x
w
w x
w
−ρ1 u21 A1
+
ρ2 u22 A2
= −(−p1 A1 + p2 A2 ) +
odnosno u sreÆenom obliku
p1 A1 + ρ1 u21 A1
+
ˆ
A2
A1
ˆ
A2
p dA
A1
p dA = p2 A2 + ρ2 u22 A2 .
(4.138)
Jednaqina (4.138) predstav a jednaqinu koliqine kretaa za sta ionarno kvazi-jednodimenzijsko strujae fluida. Oqigledno da integral na levoj strani jednaqine definixe
silu pritiska u prav u x-ose kojom okruee, tj. okolni fluid deluje na omotaq strujne
evi, a preko ega na ukupnu masu fluida u kontrolnoj zapremini. U praktiqnim problemima, meÆutim, obiqno se trai sila kojom masa fluida deluje na svoju okolinu preko
omotaqa strujne evi, tj. preko povrxi A . Zato, saglasno, treem utnovom zakonu akije i reak ije, negativnu vrednost integrala u jednaqini (4.138) treba shvatiti kao silu
reak ije kojom fluid u kontrolnoj zapremini V deluje na grani e (zidove) svog strujnog
prostora, koje se biraju kao kontrolna povrx A za omotaq strujne evi! U primerima to
posebno dolazi do izraaja!
w
w
Jednaqina energije
Integralni obli i (4.81) i (4.13) jednaqine energije omoguuju direktno dobijae enih algebarskih oblika. Model sta ionarnog (∂()/∂t) adijabatskog (q̇ = 0) strujaa u
kome je zanemaren uti aj masenih sila (F~ = 0) dobija se iz jednaqine (4.13) u koju se
uvrxtavaju pretpostavke ∂()/∂t = 0, q̇ = 0 i F~ = 0:
‹ ‹
U
~ · ~n dA.
~ · ~n) dA = −
(4.139)
ρ e+
pU
(U
2
Primena kontrolne zapremine sa sl. 4.25 omoguuje da se, na osnovu raquna objaxenog pri
izvoÆeu jednaqine kontinuiteta i koliqine kretaa, iz jednaqine (4.139) dobije rezultat
2
A
ρ1
A
1 2
1 2
e1 + u1 (−u1 A1 ) + ρ2 e2 + u2 (−u2 A2 ) = −(−p1 u1 A1 + p2 u2 A2 )
2
2
ili posle izvesnog grupisaa qlanova
p1 u1 A1 + ρ1 u1 A1
1
e1 + u21
2
= p2 u2 A2 + ρ2 u2 A2
1 2
e2 + u2 .
2
(4.140)
MEHANIKA FLUIDA
110
De eem jednaqine (4.140) sa masenim protokom ṁ = ρ u A
1 1
e1 +
1
= ρ2 u2 A2
, sledi izraz
(4.141)
p2 u22
p1 u21
+
= e2 +
+
ρ1
2
ρ2
2
koji se posle uvoÆea pojma entalpije h kao u termodinami i
h=e+
svodi na izraz
(4.142)
p
ρ
(4.143)
Ako se, opet kao kod jednaqina kontinuiteta i koliqine kretaa, kraje stae (presek)
2-2 uzme promeivo, tj. bilo koji nizstrujni presek koji ispuava uslove (4.126), onda
jednaqina energije postaje
u
h+
(4.144)
= const
2
Jednaqina (4.143), tj. (4.144) je najprostiji oblik jednaqine energije za sta ionarno
adijabatsko kvazi-jednodimenzijsko strujae neviskoznog fluida. Ova jednaqina
ima znaqajno i vredno pomiaa srodstvo sa Bernulijevom jednaqinom, sa kojom se, meÆutim, usaglaxava i identifikuje samo u spe ijalnim (posebnim) sluqajevima. To e biti
deta no analizirano u poglav ima koji slede.
1
1
h2 + u22 = h1 + u21
2
2
2
Zatvorenost sistema jednaqina
Jednaqine (4.134), (4.138) i (4.144) su jednaqine kontinuiteta, koliqine kretaa o energije kvazi-jednodimenzijskog strujaa fluida. One su algebarske jednaqine, sa izuzetkom integralnog qlana u (4.138). Pretpostav a se da su ulazni parametri ρ , u , p , T i
h zadati i da je zakon promene povrxi popreqnog preseka A = A(x) poznat. Pomenutim
jednaqinama pridruuje se jox i jednaqina staa idealnog gasa
p = ρ RT
(4.145)
kao i izraz za entalpiju idealnog gasa
h = c T + RT = c T
(4.146)
Jednaqine (4.134), (4.138), (4.144), (4.145), (4.146) formiraju pet jednaqina sa pet nepoznatih ρ , u , p , T i h . Sistem jednaqina je zatvoren i rexava se odgovarajuim algebarskim postup ima. MeÆutim, mogue je istraiti neke od fiziqkih karakteristika
kvazi-jednodimenzijskog strujaa bez kompletnog rexavaa ovih jednaqina. Veliku pomo
u toj analizi pruaju neki diferen ijalni obli i jednaqina kontinuiteta, impulsa
i energije.
1
1
2
2
2
2
2
2
2
v 2
2
2
2
p
1
1
1
MEHANIKA FLUIDA
rag repla emen 4.16.3
111
Osnovne jednaqine kvazi-jednodimenzijskog strujaa u diferenijalnom obliku
U opxtem trodimenzijskom nesta ionarnom strujau diferen ijalne jednaqine kontinuiteta, koliqine kretaa i energije izvedene su iz integralnih oblika ovih jednaqina.
Za sluqaj kvazi-jednodimenzijskog strujaa su iz integralnih oblika dobijeni algebarski
obli i osnovnih jednaqina, pa je prirodno i fiziqki konzistentno da se iz ovih jednaqina
izvedu diferen ijalni obli i jednaqina kontinuiteta, impulsa i energije.
Zakon bilansa mase
(algebarski oblik)
ρuA = const
2
p + dp
1
p, u
u + du
A
ρ, T
1
A + dA
dV
1-1
2-2
- infinitezimalna kontrolna
zapremina za dva beskonaqno bliska
preseka strujne evi - diferen ijalni
oblik jednaqine
Slika 4.26.
jaa
ξ = u, p, ρ, T, A
ξ1 = ξ ξ2 = ξ + dξ
T + dT
ρuA = (ρ + dρ)(u + du)(A + dA)
dx
dV
(!)
;
ρ + dρ
2
dx
zanemarivae malih veliqina
vixeg reda
Jdn. (4.148)
(diferen ijalni oblik)
Infinitezimalna kontrolna zapremina dV za model kvazi-jednodimenzijskog stru-
To matematiqki znaqi da e prese i 1-1 i 2-2 na sl. 4.25 biti na beskonaqno bliskom
rastojau dx! Drugim reqima, ne radi se vixe o konaqnoj kontrolnoj zapremini V , ve
o beskonaqno maloj kontrolnoj zapremini dV , kao infinitezimalnom delu konaqne kontrolne zapremine formirane za model kvazi-jednodimenzijskog strujaa (sl. 4.26).
Jednaqina kontinuiteta
Diferen iraem jednaqine kontinuiteta (4.134) ρuA = const sledi en diferen ijalni oblik
1 dρ 1 du
1 dA
d (ρU A) = 0 −→
(4.147)
+
+
=0
ρ dx u dx A dx
Ako se izraz (4.134) logaritmuje, pa diferen ira, dobija se jednaqina
dρ du dA
+
+
=0
(4.148)
ρ
u
A
u kojoj su veliqine dρ, du i dA infinitezimalne promene gustine ρ, brzine u i preseka A
izmeÆu bliskih preseka A i A + dA strujne evi na meÆusobnom rastojau dx (sl. 4.26).
x
MEHANIKA FLUIDA
112
Na sli i 4.26 je prikazana primena zakona balansa mase na infinitezimalnu kontrolnu zapreminu dV strujne evi u sluqaju sta ionarnog kvazi-jednodimenzijskog strujaa.
Jednaqine(4.147) i (4.148) predstav aju diferen ijalneoblike jednaqinekontinuiteta
za kvazi-jednodimenzijsko strujae.
Jednaqina koliqine kretaa
Diferen ijalni oblik jednaqine koliqine kretaa dobija se iz jednaqine (4.138) za
sluqaj infinitezimalne kontrolne zapremine dV prikazane na sli i 4.26 zameniti svojim
integrandom, dobija oblik
pA + ρu A + pdA = (p + dp)(A + dA) + (ρ + dρ)(u + du) (A + dA)
(4.149)
Zanemarivaem malih veliqina vixeg reda, na primer, dp dA, dρ(du) i sliqno, u jedna hini (4.149) dobija se
A dp + Au dρ + ρu dA + 2ρuA du = 0.
(4.150)
Korixeem jednaqine kontinuiteta (4.148) u obliku
Au dρ + ρuAdu + ρu dA = 0
(4.151)
i enim oduzimaem od jedhanqine (4.150) sledi jednaqina
ρudu = −dp
(4.152)
Jednaqina (4.152) je diferen ijalni oblik jednaqine koliqine kretaa za sta ionarno
kvazi-jednodimenzijsko strujae. Ona je u stvari Ojlerova jednaqina, koja je ranije
izvedena za opxti sluqaj nesta ionarnog i trodimenzijskog strujaa (jednaqina (4.69)), i
iz koje se moe dobiti jednaqina (4.152). Ovaj oblik Ojlerove jednaqine, iako je izveden za
strujnu ev, ne sadri normalni popreqni presek strujne evi koji je u opxtem sluqaju
promeiv! Ojlerova jednaqina (4.152) moe da se integrali kako za nestix iv tako i za
barotropan fluid, tj. za adijabatsko strujae koje je ovde i pretpostav eno. Pri tome se
dobijaju Bernulijevi integrali (4.111) za ρ = const
u
p
(4.153)
+ = const
2
ρ
koji za p/ρ = const dobija oblik (4.104)
2
2
2
2
2
2
2
2
κ
κ p
u2
+
= const.
2
κ−1ρ
(4.154)
Bernulijeve jednaqine (4.153) i (4.154) bile su izvedene za strujni u. MeÆutim, rezultati
dobijeni u ovom poglav u pokazuju da Bernulijeva jednaqina vai ne samo za strujni u,
ve i za strujnu ev promeivog popreqnog preseka!
MEHANIKA FLUIDA
113
Zak uqak - Bernulijeva jednaqina
Bernulijeva jednaqina vai za strujni u, za strujno vlakno stalnog i promeivog popreqnog preseka (jednodimenzijsko strujae) i za strujnu ev qiji je
popreqni presek u opxtem sluqaju promeiv (kvazi-jednodimenzijsko strujae).
Jednaqina energije
Diferen ijalni oblik jednaqine energije za kvazi-jednodimenzijsko sledi direktno iz
algebarskog oblika (4.144)
qijim se diferen iraem dobija
h+
u2
= const
2
(4.155)
Jednaqine (4.148), (4.152) i (4.155) predstav aju diferen ijalne oblike jednaqina kontinuiteta, koliqine kretaa i energije za sta ionarno, adijabatsko, kvazi-jednodimenzijsko
strujae neviskoznog fluida kada su masene sile zanemarene. Kombinovaem jednaqina
koliqine kretaa (4.152) i energije (4.155) dobija se
dp
dh −
(4.156)
=0
ρ
Zak uquje se da je u ovom sluqaju jednaqina (4.154) identiqna jednaqini (4.144), tj.
dh + u du = 0.
u2
κ p
u2
κ
u2
u2
+
=
+
RT =
+ cp T ≡ h + .
2
κ−1ρ
2
κ−1
2
2
To je vaan spe ijalni sluqaj adijabatskog strujaa, u kome se Bernulijeva jednaqina
podudara sa jednaqinom energije! Razlika ove dve jednaqine postaje bitna tek onda, kada
se pojav uju u strujnim pro esima oni obli i energije koji nisu sadrani u jednaqini
koliqine kretaa! Primeri za to su dovoÆee ili odvoÆee toplote, pojave provoÆea
toplote, uqexe zraqea i drugo.
Bernulijeva jednaqina moe da se izvede i iz opxte jednaqine energije, (4.13). Ova
qieni a da se Bernulijeva jednaqina moe interpretirati kao jednaqina koliqine kretaa (drugi utnov zakon) ili kao jednaqina energije pokazuje da je energijska jednaqina
suvixna (nepotrebna) pri analizi neviskoznog nestix ivog strujaa. Za takvo strujae
su dovo ne jednaqina kontinuiteta i koliqine kretaa!
MEHANIKA FLUIDA
114
4.17 ZAKUQAK. Osnovne jednaqine neviskoznog fluida
za kvazi-jednodimenzijski model
Jednaqina kontinuiteta:
•
algebarski oblik
•
diferen ijalni oblik
ρ1 u1 A1 = ρ2 u2 A2
Jednaqina koliqine kretaa:
•
diferen ijalni oblik
Jednaqina energije:
•
algebarski oblik
h1 +
•
ρuA = const
(4.157)
(4.158)
dρ du dA
+
+
=0
ρ
u
A
algebarski oblik
p1 A1 +
•
↔
diferen ijalni oblik
ρ1 u21 A1
+
ˆ
A2
A1
p dA = p2 A2 + ρ2 u22 A2
(4.160)
ρudu = −dp
u2
u21
= h2 + 2
2
2
↔
h+
dh + udu = 0
(4.159)
u2
= const
2
(4.161)
(4.159)
MEHANIKA FLUIDA
115
4.18 Jednodimenzijska sta ionarna strujaa gasova
U okviru ovog poglav a se prouqavaju jednodimenzijska, sta ionarna strujaa gasova u
kojima se promene gustine gasa ne mogu zanemariti. U ovoj kizi e biti razmatrani
• prav udarni talas i
• izentropska strujaa gasova kroz konvergentne i konvergentno-divergentne mlaznike
4.18.1 Brzina zvuka i Mahov broj
Dok ovo qitate, zastanite na trenutak i razmislite o vazduhu koji vas okruuje. Vazduh se sastoji od ogromnog broja molekula koji se kreu haotiqno, razliqitim trenutnim
brzinama i poseduju razliqitu energiju u razliqitim vremenskim trenu ima. Naravno,
gotovo je nemogue pratiti kretaa svakog od molekula, pa se zato u kinetiqkoj teoriji gasova vremenskim osredavaem definixe sreda brzina kretaa molekula. Kod idealnih
gasova ta brzina zavisi samo od temperature. Zamislite sada da nedaleko od vas eksplodira
mala petarda. Eksplozijom se oslobaÆa odreÆena energija koju absorbuju okolni molekuli
vazduha, xto dovodi do poveaa brzine kojom se oni kreu. Ti molekuli se sudaraju
sa okolnim molekulima, predajui im energiju koju poseduju. Na taj naqin, meÆusobnom
interak ijom molekula se energija osloboÆena detona ijom prenosi kroz vazduh. Dakle,
moemo smatrati da kroz okolni vazduh putuje "energetski talas" nekom brzinom koja na
neki naqin mora biti povezana sa sredom brzinom kretaa molekula, jer meÆusobna interak ija molekula u stvari prenosi tu energiju. Prolaskom kroz talas, poveae energije
molekula se makroskopski manifestuje i malim promenama pritiska (samim tim i gustine
i temperature). Kada talas proÆe pored vas, tu malu promenu pritiska registruje vaxa
bubna opna, ta informa ija se prenosi do vaxeg mozga kao zvuk. Zato se brzina rasprostiraa malih poremeaja naziva brzina zvuka. Brzina zvuka je vana veliqina u prouqavau
stix ivih strujaa fluida, i kod idealnih gasova ona se raquna po obras u:
√
c = κRT
(4.162)
Kao xto moemo videti, ona je propor ionalna temperaturi, i zavisi od vrste gasa. Tu je
u skladu sa prethodnom diskusijom,p jer se sreda brzina kretaa molekula u kinetiqkoj
teoriji gasova odreÆena izrazom 8 R T /π. Za vazduh na standardnim uslovima, brzina
zvuka iznosi c = 340.9 m/s.
Mahov broj u nekoj taqki strujnog prostora se definixe kao odnos lokalne brzine
strujaa i vrednosti brzine zvuka u toj taqki:
v
M=
(4.163)
c
s
MEHANIKA FLUIDA
116
Na osnovu vrednosti Mahovog broja, strujaa se mogu podeliti na:
M <1
dozvuqna strujaa
M =1
kritiqan reim strujaa
M >1
nadzvuqna strujaa
Mahov broj ima i odreÆeno fiziqko znaqee. Zamislimo fluidni deli koji se kree
nekom brzinom v. Kinetiqka i unutraxa energija po jedini i mase fluidnog delia su
v /2 i e. Odnos ove dve energije je:
2
v 2 /2
v 2 /2
(κ/2) v 2
κ(κ − 1) 2
v 2 /2
=
=
= 2
=
M
e
cv T
R T /(κ − 1)
c /(κ − 1)
2
Dakle, kvadrat Mahovog broja je propor ionalan odnosu kinetiqke i unutraxe energije - on je mera makroskopskog kretaa gasa u odnosu na haotiqna kretaa egovih molekula.
4.18.2 Totalne i kritiqne veliqine staa
Posmatrajmo neku proizvo nu taqku u strujnom po u, u kojoj se trenutno nalazi fluidni deli koji se kree nekom brzinom v, i neka su vrednosti pritiska, temperature i
Mahovog broja u toj taqki redom p, T i M . Zamislimo da taj fluidni deli izentropski
usporimo do brzine v = 0. Vrednosti pritiska, temperature i gustine se u tom sluqaju
oznaqavaju redom sa p , T i ρ i nazivaju se totalni pritisak, totalna temperatura i totalna gustina. Dakle, u onim taqkama strujnog prostora u kojima je v = 0 vladaju totalne
vrednosti fiziqkih veliqina. TakoÆe, u svakoj taqki u kojoj v 6= 0 mogu se na osnovu vrednosti strujnih (statiqkih) veliqina (p, T , ρ) odrediti odgovarajue totalne vrednosti.
Totalna brzina zvuka c je odreÆena izrazom:
0
0
0
0
c0 =
p
κ R T0
TakoÆe, totalna gustina je povezana sa totalnim pritiskom preko jednaqine staa:
ρ0 =
p0
R T0
Posmatrajmo ponovo fluidni deli sa poqetka ovog dela uvoda, i zamislimo sada da
fluidni deli adijabatski usporimo ili ubrzamo (u zavisnosti od toga da li se on kree
dozvuqno ili nadzvuqno) do vrednosti M = 1. Vrednosti pritiska, temperature i gustine
se u tom sluqaju oznaqavaju redom sa p , T i ρ i nazivaju se kritiqni pritisak, kritiqna
temperatura i kritiqna gustina. Dakle, u onim taqkama strujnog prostora u kojima je
M = 1 vladaju kritiqne vrenosti fiziqkih veliqina. TakoÆe, u svakoj taqki u kojoj
je M 6= 1 se na osnovu vrednosti totalnih fiziqkih veliqina u toj taqki mogu odrediti
kritiqne vrednosti pritiska, temperature i gustine. Kritiqna brzina zvuka se definixe
kao:
p
k
k
ck =
k
κ R Tk
MEHANIKA FLUIDA
117
U nekim situa ijama je pogodno koristiti karakteristiqni Mahov broj, koji se definixe na sledei naqin:
v
M∗ =
ck
4.18.3 Osnovne jednaqine u sluqaju jednodimenzijskog sta ionarnog strujaa gasa
Osnovne jednaqine mehanike fluida (kontinutet, koliqina kretaa i energija) se u
sluqaju sta ionarnog jednodimenzijskog strujaa gasa svode na algebarske jednaqine koje
povezuju vrednosti fiziqkih veliqina u dve razliqite taqke u strujnom prostoru (taqnije
te taqke odgovaraju regionima - npr. pri strujau u evi u smatramo da u svakoj taqki
jednog popreqnog preseka vladaju iste vrednosti fiziqkih veliqina). TakoÆe, te jednaqine
opisuju i kretae fluidnog delia, povezujui dva staa u kojima se on nalazi pri svom
kretau (slika 4.27 - staa u taqki A i taqki B).
A
PSfrag repla emen
V
,
v M
dV
Slika 4.27. Fluidni deli se kree du strujni
e brzinom ~v koja je jednaka lokalnoj vrednosti
brzine u taqki u kojoj se u tom trenutku vremena nalazi fluidni deli.
Do tih algebarskih jednaqina se moe doi na vixe naqina (videti prethodno poglav e), a jedan od ih je direktno iz integralnog oblika osnovnih jednaqina za odgovarajui
oblik kontrolne zapremine. U zavisnosti od konkretnog problema koji se posmatra (da li
se radi o udarnom talasu, strujau sa razmenom toplote, itd.) te jednaqine e se razlikovati u pojedinim qlanovima, ali e ihova forma ostati ista. Mi emo se ovde zadrati
na jednaqini energije, da bi smo iz e dobili rela ije izmeÆu strujnih, totalnih i kritiqih vrednosti fiziqkih veliqina.
Jednaqinaenergije, u sluqaju kada nema predajetoplote (adijabatsko strujae) je oblika:
v
v
=h +
h +
(4.164)
2
2
Poxto posmatramo strujaa idealnih gasova, za koje vai rela ija h = c T , jednaqina
(4.164) se moe napisati i u obliku:
v
v
c T +
(4.165)
=c T +
2
2
Da e, imajui u vidu da je c = i c = √κ R T , dolazimo do sledeeg oblika jednaqine
2
2
2
1
2
1
p
p
p
κR
κ−1
2
1
1
p
2
2
2
MEHANIKA FLUIDA
118
energije:
(4.166)
Poxto jednaqina (4.165) vai za adijabatsko strujae, i ako imamo u vidu defini iju
kritiqih vrednosti onda moemo doi do veze izmeÆu kritiqne brzine zvuka i brzine
zvuka. U taqki 1 emo imati vrednosti c = c i v = v, a u taqki 2 je c = c i v = c .
c21
v2
c22
v2
+ 1 =
+ 1
κ−1
2
κ−1
2
1
1
2
2
k
k
c2k
c2
c2
v2
+
=
+ k
κ−1
2
κ−1
2
(4.167)
Jednaqina (4.167) nam omoguava da na osnovu poznatih vrednosti c i v u pojedinim
taqkama strujnog prostora izraqunamo vrednosti kritiqne brzine zvuka c u tim taqkama.
Ovde jox jednom treba napomenuti da smo mi imaginarno ubrzali ili usporili fluidni
deli do vrednosti M = 1; drugim reqima, strujae koje posmatramo ne mora biti adijabatsko re imo od neke taqke A do taqke V (od preseka A do preseka V). U jednaqini (4.167)
adijabatski pro es se odvija u naxim mislima kao deo defini ije kritiqnebrzine zvuka.
Primeeno na taqku A to daje vrednost c , a na taqku V to daje vrednost c . Ako
strujae nije adijabatsko onda je c 6= c . S druge strane, ako je strujae adijabatsko
onda kritiqna brzina zvuka c ima istu vrednost u svakoj taqki po a.
Vratimo se sada na defini ijutotalnihvrednosti fiziqkih veliqina. Fluidnideli
u naxim mislima izentropski usporavamo do vrednosti v = 0, pa je T = T i v = v, dok je
T = T i v = 0:
v
c T+
(4.168)
=c T
2
Jednaqina (4.168) omoguuje izraquvae totalne temperature T u bilo kojoj taqki na
osnovu vrednosti strujne temperatute T i brzine strujaa v u toj istoj taqki. Ovde
treba napomenuti da je defini iji totalne temperature korixena jednaqina energije za
adijabatsko strujae - u sluqaju izentropskog strujaa jednaqina energije ima isti oblik
kao za adijabatsko. Dakle, moemo rei takoÆe da pri definisau totalne temperature
fluidni deli adijabatski zaustav amo. MeÆutim, za defini iju totalnog pritiska i
totalne gustine emo smatrati da se radi o izentropskom pro esu.
Nekoliko veoma korisnih jednaqina za totalne vrednosti se mogu dobiti iz jednaqine
(4.168):
c2
v2
κ+1 2
+
=
c
κ−1
2
2 (κ − 1) k
k
kA
kA
kB
kB
k
1
2
0
1
2
2
p
p
0
0
v2
u2
κ−1
T0
=1+
=1+
=1+
T
2 cp T
2 κ R T /(κ − 1)
2
v
c
2
(4.169)
Jednaqina (4.169) daje odnos totalne i strujne temperature u nekoj taqki strujnog prostora
T0
κ−1 2
=1+
M
T
2
MEHANIKA FLUIDA
119
u funk iji Mahovog broja M u toj taqki. Za izentropski pro es vae sledee rela ije:
T
ρ
p
(4.170)
=
=
p
ρ
T
pa se iz jednaqina (4.169) i (4.170) dobijaju sledee rela ije:
κ
κ−1
κ
0
0
0
p0
=
p
κ−1 2
1+
M
2
(4.171)
κ
κ−1
(4.172)
Jednaqine (4.169), (4.171) i (4.172) omoguavaju izraqunavae totalnih vrednosti fiziqkih veliqina ako su poznati Mahov broj, temperatura, pritisak i gustina u nekoj zadatoj taqki strujnog po a. Pri tome strujae ne mora biti adijabatsko ili izentropsko od
jedne to druge taqke - u svakoj taqki se mogu odrediti i odgovarajue totalne vrednosti.
Neka je na primer strujae izmeÆu taqaka A i V neadijabatsko (samim tim ono nije ni
izentropsko) - onda je T 6= T , p 6= p i ρ 6= ρ . S druge strane, ako je strujae
adijabatsko, onda je T = T , ali je p 6= p i ρ 6= ρ . Konaqno, ako imamo izentropsko strujae onda totalne veliqine staa imaju iste vrednosti u svakoj
taqki u strujnom po u.
I na kraju moemo povezati kritiqne i totalne vrednosti. Imajui u vidu da su
kritiqne vrednosti definisane za M = 1, onda se iz jednaqine (4.169) dobija:
κ−1
T
2
T
=1+
=⇒
=
(4.173)
T
2
T
κ+1
Iz jednaqina (4.171) i (4.172) se na isti naqin dobija:
ρ0
=
ρ
0A
0A
0B
κ−1 2
1+
M
2
0A
0B
0B
0A
0A
0B
0B
0A
0
k
k
0
pk
=
p0
2
κ+1
1
κ−1
0B
(4.174)
κ/(κ−1)
(4.175)
Poxto emo se uglavnom baviti strujaima vazduha, za koji je κ = 1.4, ovi odnosi
iznose:
p
ρ
T
= 0.833,
= 0.528,
= 0.634
(4.176)
T
p
ρ
ρk
=
ρ0
2
κ+1
1/(κ−1)
k
k
k
0
0
0
MEHANIKA FLUIDA
120
4.18.4 Prav udarni talas
Prav udarnitalas se jav a u nadzvuqnoj strujigasa (M > 1). Udarni talas je veoma male
xirine (reda veliqine 10 mm za vazduh na standardnim uslovima), i u razmatraima on
predstav a jednu povrx diskontinuiteta na kojoj dolazi do skokovitih promena pritiska
gustine i temperature. Strujae ispred talasa je nadzvuqno (M > 1), a iza talasa je
podvuqno (M < 1). Formirae udarnih talasa je povezano sa brzinom kojom se poremeaji
prostiru kroz gas, a to je brzina zvuka.
To emo objasniti na sledeem primeru. Posmatrajmo ilindar koji se opstrujava (a)
pozdvuqno i (b) nadzvuqno (slika 4.28).
−5
M∞ > 1
M∞ < 1
PSfrag repla emen
00000000000000000000000
11111111111111111111111
11111111111111111111111
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
11111111111111111
00000000000000000
000000
111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
Slika 4.28. Izgled strujni
1111111111111111
0000000000000000
PSfrag repla emen
00000000000000000000000
11111111111111111111111
11111111111111111111111
00000000000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
1111111111111111
0000000000000000
1111111
0000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
1111111111111111
0000000000000000
00000000000000000000000
11111111111111111111111
a u sluqaju (a) dozvuqnog i (b) nadzvuqnog opstrujavaa ilindra
PreÆimo za trenutak sa makroskopskog posmatraa problema na mikroskopski - gas koji
struji se sastoji od molekula, i pojedini molekuli udaraju u i odbijaju se od ilindra.
Pri tome dolazi do promene koliqine kretaa molekula i ihove molekularne energije,
i u svom haotiqnom kretau, oni prenose informa iju ostalim molekulima o prisustvu
ilindra. Ta informa ija se prenosi u svim prav ima, pa i u prav u suprotnom smeru
opstrujavaa, brzinom zvuka. Ako je ostrujavae dozvuqno, informa ija o prisustvu tela
se prenosi daleko uz struju gasa, tako da se strujni e prilagoÆavaju telu na relativno
velikom rastojau od tela. Nasuprot tome, ako imamo nadzvuqno opstrujavae (brzina
strujaa je vea od brzine kojom se rasprostiru poremeaji), informa ija o prisustvu
tela vixe ne moe da "putuje"uzstrujno, i na veoma malom rastojau od tela se formira
udarnitalas. Tek prolaskom kroz udarni talas, dolazi do prilagoÆavaa strujni a obliku
tela. PSfrag repla emen
p1
p2 > p1
T1
v1
ρ1
T2 > T1
v2 < v1
ρ2 > ρ1
M1 > 1
M2 < 1
1
Slika 4.29. Ski
2
a udarnog talasa
MEHANIKA FLUIDA
121
Kao xto je ve reqeno, osnovne jednaqine u sluqaju jednodimenzijskog, sta ionarnog
strujaa gasa su algebarske jednaqine koje povezuju vrednosti pritiska, gustine, brzine i
temperature u dvema taqkama strujnog prostora. Kod udarnog talasa, obiqno su poznate
vrednosti ispred talasa, a trae se vrednosti iza udarnog talasa. Osnovne jednaqine pri
prouqavau problema udarnog talasa su:
Jednaqina kontinuiteta:
ρ1 v1 = ρ1 v1
(4.177)
p1 + ρ1 v12 = p2 + ρ2 v22
(4.178)
Jednaqina koliqine kretaa:
Jednaqina energije:
h1 +
(4.179)
v2
v12
= h2 + 2
2
2
Ovim rela ijama se pridodaju i dve konstitutivne rela ije:
p = ρRT
i h=c T
(4.180)
Iz jednaqina (4.177)-(4.180) se mogu dobiti odnosi veliqina iza i ispred talasa u funkiji Mahovog broja ispred talasa M . TakoÆe, vrednost Mahovog broja M iza talasa se
moe odrediti na osnovu M . Svi ovi odnosi za vazduh (κ = 1.4) se obiqno daju tabelarno u priruqniku je to tabela T-3. TakoÆe, su pre poqetka te tabele dati i odgovarajui odnosi
koji se ovde nee ponav ati.
p
1
2
1
Vane stvari koje treba zapamtiti:
Strujae ispred talasa uvek nadzvuqno, M > 1, dok je iza talasa uvek
M < 1, tj. udarni talas moe nastati samo u nadzvuqnoj struji gasa.
• Totalna temperatura je konstantna, tj. T = T jer je req o adijabatskom pro esu.
• Strujae kroz udarni talas je praeno porastom entropije - strujae
nije izentropsko, pa je p 6= p i ρ 6= ρ .
•
1
2
01
01
02
01
02
02
MEHANIKA FLUIDA
122
4.19 Izentropska strujaa gasova kroz konverentno-divergentne
mlaznike
Mlazni i su relativno kratke evi promeivog popreqnog preseka u kojima se zahvaujui upravo promeni preseka postiu i e ene promene fiziqkih veliqina. Poxto
su mlazni i kratke evi pri proraqunu se zanemaruju uti aj trea i razmene toplote sa
okolinom, tako da se strujaa kroz mlaznike mogu smatrati izentropskim.
4.19.1 Osnovne jednaqine. Primena konvergentno-diveregentih mlaznika
Uz ve spomenute pretpostavke na poqetku ovog poglav a, iz osnovnih jednaqina u integralnom obliku se ihovom primenom na kontrolnu zapreminu sa slike 4.30 dobijaju
sledee jednaqine:
PSfrag repla emen
Kontrolna povrx A
v1
v2
p1
p2
Kontrolna zapremina V
T1
T2
A1
A2
1
2
Slika 4.30. Kontrolna zapremina u sluqaju strujaa kroz mlaznike
1. Jednaqina kontinuiteta
ρ1 v1 A1 = ρ1 v1 A1
2. Jednaqina koliqine kretaa
p1 A1 +
ρ1 u21 A1
+
ˆ
3. Jednaqina energije
A2
A1
p dA = p2 A2 + ρ2 u22 A2
(4.181)
(4.182)
(4.183)
Iz jednaqina (4.181)-(4.183) se mogu dobiti i diferen ijalni obli i osnovnih jedna hina iz kojih se mogu izvui vani zak uq i vezani za izentropsko strujae kroz mlaznike. Diferen ijlani oblik jednaqine kontinuiteta se moe direktno dobiti iz jedna h1 +
v12
v2
= h2 + 2
2
2
MEHANIKA FLUIDA
123
hine (4.181):
(4.184)
PSfrag repla emenDiferen ijalni oblik jednaqine koliqine kretaa emo dobiti primenom jednaqine
(4.182) na infinitezimalnu kontrolnu zapreminu.
ρ v A = const
=⇒ ln ρ + ln v + ln A = const
2
1
dρ dv dA
+
+
=0
ρ
v
A
p A+ρ v 2 A+p dA = (p+dA)(A+dA)+(ρ+dρ)(v+dv)2 (A+dA)
p + dp
A + dA
v + dv
ρ + dρ
p
A
v
ρ
=⇒
dx
Zanemarujui diferen ijalne qlanove drugog i vixeg
reda, dobija se:
A dp + A v dρ + ρ v dA + 2ρ v dA = 0
(4.185)
Ako razvijemo jednaqinu kontinuiteta, tj. d(ρvA) = 0 i
pomnoimo sa v, dobiemo sledeu jednaqinu:
ρ v dA + ρ v A dv + A v dρ = 0
(4.186)
2
2
2
2
Oduzimaem jednaqine (4.186) od jednaqine (4.185) dobija se sledea jednaqina:
dp = −ρ v dv
(4.187)
Jednaqina (4.187) se naziva jox i Ojlerova (Euler) jednaqina.
Do diferen ijalnogoblika jednaqineenergije moemo doi na osnovu jednaqine(4.183),
tj. iz qieni e da je h + v /2 = const, odakle sledi da je:
dh + v dv = 0
(4.188)
Koristei diferen ijalne oblike jednaqine kontinuiteta i koliqine kretaa moe
se doi do vane rela ije koja povezuje promenu brzine strujaa sa promenom popreqnog
preseka mlaznika. Jednaqinu (4.188) moemo napisati i kao:
dp
dp dρ
(4.189)
=
= −v dv
ρ
dρ ρ
Podsetimo se, razmatramo izentropsko strujae - tj. adijabatsko, neviskozno strujae
(nema razmene toplote izmeÆu fluida i okoline, kao ni disipativnih efekata kao xto
su uti aj trea). Dakle, bilo koja promena pritiska, dp pri strujau ja praena odgovarajuom izentropskom promenom gustine, dρ. Stoga, moemo pisati:
∂p
dp
(4.190)
=
=c
dρ
∂ρ
2
2
s
MEHANIKA FLUIDA
124
Iz jednaqina (4.187) i (4.190) se dobija:
c2
dρ
= −v dv
ρ
=⇒
dv
dρ
v dv
v 2 dv
= − 2 = − 2 = −M 2
ρ
c
c v
v
(4.191)
Konaqno, zameujui jednaqinu (4.191) u jednaqinu (4.184) dobijamo:
(4.192)
dv
dA
= (M 2 − 1)
A
v
Iz jenaqine (4.192) moemo izvesti veoma vane zak uqke:
1. Nestix ivo strujae: M → 0
• Sledi da je A v = const - dobro poznata jednaqina kontinuiteta V̇ = const za
nestix ivo strujae.
2. Dozvuqno strujae: 0 ≤ M < 1
• Sledi da je poveae brzine (pozitivno du) je povezano sa smaeem popreqnog
preseka (negativno dA), i obrnuto. Kao xto moemo videti u ovom sluqaju imamo
potpuno analogiju sa nestix ivim strujaem.
3. Nadzvuqno strujae: M > 1
• Poveae brzine je povezano sa sa poveaem popreqnog preseka, i obrnuto. Dakle,
imamo suxtinsku razliku u poreÆeu sa dozvuqnim strujaem;
4. Kritiqno strujae: M = 1
• Iz jednaqine se dobija da je dA/A = 0, xto fiziqki odgovara minimumu ili maksimumu povrxine popreqnog preseka. Naravno, jedino fiziqki realno rexee je
minimalna povrxina popreqnog preseka
PSfrag repla emen
PSfrag repla emen
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
vր
M <1
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
vր
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
vց
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
M >1
vց
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
Slika 4.31. Strujaa u konvergentnim i divergentnim strujnim prostorima
Prethodna razmatraa jasno pokazuju sledee:
MEHANIKA FLUIDA
125
Da bi se izvrxila izentropska ekspanzija gasa od dozvuqnih do nadzvuqnih brzina,
on mora strujati kroz konvergentno-divergentni strujni prostor (konvergentnodiveregentni mlaznik), slika 4.32a. TakoÆe, na osnovu zak uqka iz taqke 4, u
najuem preseku koji razdvaja konvergentni i diveregentni deo moramo imati vrednost M = 1 - u tom sluqaju je najui presek ujedno i kritiqni presek. Najui presek
se naziva jox i grlo mlaznika.
• Da bi se izvrxila izentropska kompresija gasa od nadzvuqih do dozvuqnih brzina,
gas takoÆe mora strujatikroz konvergentno-diveregentni strujniprostor(nadzvuqni
difuzor). I u ovom sluqaju u grlu mlaznika mora biti M = 1 (slika 4.32b).
•
(a)
(b)
M =1
PSfrag repla emen
M <1
vր
M >1
M >1
M =1
vց
M <1
Slika 4.32. Strujae u (a) konvergentno-divergentnom mlazniku i (b) nadzuqnom difuzoru
Na osnovu svega reqenog, jasno je zahto raketni motori imaju velike mlaznike oblika
zvona (slika 4.33) - izduvnigasovi vrxeekspanziju do velikihnadzvuqnihbrzina, poveavajui
na taj naqin potisak rakete.
vo
i
Gor
Komora
za sagorevae
M <1
Izduvni mlaznik
M >1
Oks
ida
ns
PSfrag repla emen
Slika 4.33. Xematski prikaz raketnog motora
Prin ip rada nadzvuqnog aerotunela (slika 4.34) je takoÆe zasnovan na prethodnim
zak uq ima - kod aerotunela gas koji se nalazi u rezervoaru u stau mirovaa vrxi
ekspanziju kroz Lavalov mlaznik2 do nadzvuqnih brzina u radnom delu aerotunela, gde se
obav aju ispitivaa na modelima, zatim obav a kompresiju to malih dozvuqnih brzina,
i potom izlazi u atmosferu.
2
Konvergentno-divergentni mlaznik se naziva jox i Lavalov mlaznik po xvedskom nauqniku Karlu de
Lavalu ( Carl G.P. de Laval). On ga je prvi koristio prilikom konstruk ije parne turbine krajem XIX veka.
MEHANIKA FLUIDA
PSfrag repla emen
126
M =1
M ≈0
p = p0
M >1
Rezervoar
Lavalov
mlaznik
M ≈0
M =1
T = T0
Nadzvuqni difuzor
Radni deo
aerotunela
Slika 4.34. Xematski prikaz nadzvuqnog aerotunela
Kada je u grlu Lavalovog mlaznika M = 1 (grlo mlaznika je ujedno i kritiqni presek)
onda kaemo da Mlaznik radi u proraqunskom reimu. U zada ima emo se baviti
samo proraqunskim reimima, tj. u grlu mlaznika e uvek biti M = 1. Pri tome emo i
pretpostavitida je geometrija mlaznika poznata. Generalno, namena Lavalovog mlaznika je
da dozvuqno strujae prevede u e eno nadzvuqno strujae - to je mogue samo kada je grlo
mlaznika ujedno i kritiqni presek (vidi sliku 4.32). Kada mlaznik radi u proraqunskom
reimu postoji veza izmeÆu povrxine kritiqnogpreseka (grla mlaznika) i povrxine nekog
proizvo nog preseka mlaznika, u funk iji Mahovog broja u proizvo nom preseku. Ta
jednaqina glasi:
A
AK
2
(4.193)
2
1
κ − 1 2 (κ+1)/(κ−1)
= 2
M
1+
M κ+1
2
Jednaqinu moemo tumaqiti i na obrnut
naqin, tj. moemo izraziti M = f (A/A ),
ili pak M = f (A /A) - Mahov broj na bilo
kom mestu u Mlazniku je odreÆen odnosom
povrxina popreqnog preseka na tom mestu
i povrxine popreqnog preseka grla mlaznika u kome je M = 1. Za jedan odnos
povrxina A /A postoje dve vrednosti Mahovog broja - jedna je maa od jedini e, dok
je druga vrednost vea od jedini e. Vrednost M < 1 odgovara preseku koji se naSlika 4.35. Veza izmeÆu Mahovog broja i odnosa lazi u konvergentnom delu, dok vrednost
A /A kod Lavalovog mlaznika
M > 1 odgovara vrednosti u divergentnom
delu. To se lepo moe videti na dijagramu
na sli i 4.35 na kome je prikazana zavisnost A /A − M za κ = 1.4.
Dakle, u proraqunskom reimu strujaa se samo na osnovu odnosa A/A mogu odrediti
sve fiziqke veliqine u bilo kom preseku u mlazniku. Proraqunski reim strujaa je
jedino mogue izentropsko nadzvuqno strujae koje moe nastati u Lavalom mlazniku
(slika 4.36)! Da bi se on ostvario za neki odreÆeni mlaznik, vrednost pritiska na izlazu
1
k
k
0.8
Ak/A
0.6
0.4
k
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
M
2.5
3
3.5
4
k
k
K
MEHANIKA FLUIDA
127
iz mlaznika p mora imati vrednost koja je u potpunosti odreÆena pritiskom u rezervoaru
p i oblikom mlaznika (odnosom A /A ).
e
0
e
k
Ae
Ak
Ai
→∞
Ak
Ag = Ak
M =1
p0
Me > 1
M <1
T0
pe
x
M
PSfrag repla emen
1.0
0
x
p
p0
1.0
0.528
p
=
p0
0
T
T0
1.0
0.833
0
−κ
κ − 1 2 κ−1
1+
M
2
x
T
=
T0
−1
κ−1 2
1+
M
2
x
Proraqunski reim strujaa u Lavalom mlazniku. Ovo je jedino izentropsko nadzvuqno strujae koje moe nastati u Lavalovom mlazniku
Slika 4.36.
MEHANIKA FLUIDA
128
4.20 Strujae neviskoznog gasa sa dovoÆeem toplote
Posmatra se sta ionarno strujae neviskoznog gasa kroz ev (slika 4.37) od preseka 1-1
PSfrag repla emen
do preseka 2-2. Pri tome se gasu dovodi koliqina toplote po jedini i mase q.
q
1
q
2
1
2
p1
v1
p2
v2
T1
ρ1
T2
ρ2
Kontrolna zapremina
Slika 4.37. Strujae gas kroz ev i odgovarajua kontrolna zapremina. Gasu se predaje toplota
od strane okoline preko zida evi.
Primenom integralnih oblika osnovnih jdnaqina na kontrolnu zapreminu sa slike,
dobijaju se sledee jednaqine:
1. Jednaqina kontinuiteta
ρ v =ρ v
(4.194)
2. Jednaqina koliqine kretaa
p + ρ v = p + ρv
(4.195)
3. Jednaqina energije
v
v
+q =h +
h +
(4.196)
2
2
U sluqaju idealnog gasa (h = c T ), na osnovu poznatih vrednosti fiziqkih veliqina
u preseku 1-1, kao i dovedene koliqine toplote q, mogu se iz jednaqina (4.194)-(4.196),
odrediti vrednosti svih veliqina u preseku 2-2. Iz jednaqine energije, dobijamo vanu
rela iju koja pokazuje kako dovoÆee toplote utiqe na totalnu temperaturu gasa.
1
1 1
2 2
2
1 1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
p
q=
v2
cp T2 + 2
2
v2
− cp T2 + 2
2
Na osnovu defini ije totalne temperature, jednaqina (4.169 dolazimo do rela ije koja
povezuje koliqinu toplote koja se predaje (dovodi) gasu i odgovarajue promene totalne
temperature pri tome:
q = c T − c T = c (T − T )
(4.197)
Iz poslede jednaqine moemo zak uqiti sledee:
• DovoÆee toplote (q > 0) dovodi do poveaa totalne temperature gasa (T >
T )
p
02
p
01
p
02
01
02
01
MEHANIKA FLUIDA
•
129
OdvoÆee toplote od gasa (q < 0) dovodi do smaea totalne temperature gasa
(T < T ).
Iz jednaqina (4.194)-(4.196) se mogu dobiti odnosi izmeÆu odgovarajuih fiziqkih veliqina u prese ima 1-1 i 2-2 (p /p , T /T ...) u funk iji Mahovih brojeva u tim preseima. Na primer, za odnos temperatura se dobija sledea jednaqina:
T
M
1+κM
(4.198)
=
T
M
1+κM
Radi jednostavnije metodologije proraquna, koriste se kritiqne vrednosti fiziqkih
veliqina kao referentne. Neka je M = 1; odgovarajue veliqine u tom sluqaju u preseku
1-1 imaju kritiqne vrednosti: p = p , T = T , p = p ...Imajui ovo u vidu jednaqina
(4.198) se svodi na:
1+κ
T
=M
(4.199)
T
1+κM
Sliqno se formiraju i ostali odnosi. Za vazduh (κ = 1.4), u zavisnosti od Mahovog
broja odgovarajue vrednosti su date u tabeli za Strujae sa razmenom toplote, Priruqnik
PSfrag repla
emenstix ivog fluida, str. 29.
za proraqun
strujaa
02
01
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
k
1
01
k
0k
2
2
2
k
PRIMER 4.6: Vazduh ulazi u ev konstantnog popreqnog preseka, i pri tome je M1
i T1 = 273 K. Prilikom strujaa, gasu se dovodi toplota po jedini i mase
Izraqunati M2, v2 , p2 , T2 , ρ2 , T02 i p02 na izlazu iz evi.
p1 = 1 bar
1
= 0.2,
q = 10 J/kg.
6
2
q
p1
v1
T1
ρ1
2
1
p2
v2
T2
ρ2
Na osnovu zadatih vrednosti u preseku 1-1, moemo odrediti totalni pritisak i totalnu temperaturu p i T . Koristimo vrednosti iz tabele za izentropsko strujae (strujae nije izentropsko,
ali koristimo tabelu za izentropsko strujae zbog defini ije totalnih vrednosti.
01
01
M1 = 0.2
=⇒
T01
= 1.008;
T1
p01
= 1.0283
p1
T01 = 1.008 T1 = 1.008 · 273 = 275.2 K
p01 = 1.028 p1 = 1.028 · 1 = 1.028 bar
cp =
κR
1.4 · 287
=
= 1005 J/(kg · K)
κ−1
1.4 − 1
Na osnovu jednaqine (4.197) moemo izraqunati totalnu temperaturu u izlaznom preseku:
T02 =
106
q
+ T01 =
+ 275.2 = 1270 K
cp
1005
MEHANIKA FLUIDA
130
Sada emo iz tabeleza Strujae sa razmenom toplote (Priruqnik, str. 30), zavrednost M = 0.2
nai sledee odnose:
T
T
p
p
M = 0.2 =⇒
= 0.2066;
= 2.2727;
= 1.2346; i
= 0.1736
T
p
p
T
Mahov broj u preseku 2 emo odrediti na osnovu vrednosti totalne temperature T na sledei
naqin:
T
T T
1270
1
1
1
1
01
01
k
k
0k
0k
02
02
T0k
=
02
01
T01 T0k
=
275.2
· 0.1736 = 0.8013
=⇒
M2 = 0.58
Na osnovu ove vrednosti u tabeli za za Strujae sa razmenom toplote, nalazimo i vrednost
Mahovog broja u preseku 2-2: T
02
T0k
= 0.8013
TakoÆe, iz iste tabele nalazimo i sledee odnose:
M2 = 0.58
=⇒
T2
= 0.8955;
Tk
p2
= 1.6316;
pk
p02
= 1.0826
p0k
Na osnovu ovih odnosa, dobijamo vrednosti fiziqkih veliqina u preseku 2-2:
T2 =
T2 Tk
1
T1 = 0.8955 ·
· 273 = 1183 K
Tk T1
0.2066
p2 =
p2 pk
1
p1 = 1.6316 ·
· 1 = 0.718 bar
pk p1
2.2727
p02 =
p02 p0k
1
p01 = 1.0826 ·
· 1.028 = 0.902 bar
p0k p01
1.2346
Do ovih vrednosti se moe doi i na drugaqiji naqin. U preseku 2-2 znamo Mahov broj i
totalnu temperaturu - na osnovu te dve vrednosti moemo odrediti strujnu temperaturu u preseku
2-2, korixeem tabele za Izentropsko strujae, Priruqnik, str. 11:
M2 = 0.58
=⇒
T02
= 1.0673
T2
T2 =
T02
1270
=
= 1190 K
1.0673
1.0673
Kao xto moemo videti, nismo dobili iste brojne vrednosti (razlika je 7 K) - ta razlika potiqe
usled zaokruivaa brojnih vrednosti koje smo dobili, a takoÆe i usled zaokruenih vrednosti
koje su date u tabli ama. Na isti naqin se moe odrediti i totalni pritisak, za osnovu M
i p u preseku 2-2, ili statiqki pritisak na osnovu vrednosti M i p (korixeem tabele za
Izentropsko strujae ).
Gustinu u preseku 2-2 emo odrediti na osnovu jednaqine staa:
2
2
2
ρ2 =
02
p2
0.718 · 105
=
= 0.2115 kg/m3
R T2
287 · 1183
Brzinu strujaa u preseku 2-2 raqunamo na sledei naqin:
v2 = M2 c2 = M2
p
κ R T2 = 400 m/s
Na osnovu ovih brojnih vrednosti moemo doi do sledeih zak uqaka:
MEHANIKA FLUIDA
131
1. Za nadzvuqno strujae u preseku 1-1, tj. M > 1, u sluqaju dovoÆea toplote:
• Mahov broj opada, M < M
• Pritisak raste, p > p
• Temperatura raste T > T
• Totalna temperatura raste, T > T
• Totalni pritisak opada, p < p
• Brzina opada, v < v
2. Za dozvuqno strujae u preseku 1-1, tj. M < 1, u sluqaju dovoÆea toplote
• Mahov broj raste, M > M
• Pritisak opada, p < p
√
√
• Temperatura raste M < 1/ κ , a opada za M > 1/ κ
• Totalna temperatura raste T > T
• Totalni pritisak opada, p < p
• Brzina raste, v > v
U sluqaju kad se odvodi toplota, svi gore navedeni trendovi su suprotni.
Vano je zapamtiti da dovoÆee toplote uvek tei da Mahov broj dovede do 1, tj.
usporava nadzvuqno strujae, a ubrzava dozvuqno strujae. Pogodno je prikazati ovu tenden iju u Molijerovom dijagramu (h − s dijagram) - slika 4.11.
Kriva na sli i se naziva Rejlijeva
h
kriva, i ona se dobija na osnovu zadatih vrednosti u nekom preseku - ako su
e
a
u preseku 1-1 poznate sve fiziqke veli rev
k (M = 1 )
g
a
Z
hine, onda Rejlijeva kriva koja prolazi
rag repla emen
ee
Æ
a
1
kroz taqku 1 predstav a geometrijski skup
Hl
1
<
taqaka svih moguih staa u preseku 2 u
M
sluqaju kada se pri strujau dovodi ili
odvodi toplota. Gde e se nalaziti taqka
na krivoj zavisi od koliqine toplote koja
1
>
se odvodi ili dovodi. U taqki k imamo
1
M
maksimum entropije, i to je kritiqni presek (M = 1). Gora grana (u odnosu na
k) odgovara dozvuqnom strujau, dok doa
s
grana odgovara nadzvuqnom strujau.
Slika 4.38. Rejlijeva (Rayleigh) kriva
Neka je strujae u preseku 1-1 nadzvuqno, sa vrednostima koje odgovaraju taqki 1 na dijagramu. Zagrevae gasa e dovesti
do toga da se uslovi koji vladaju u taqki 2 pribliavaju taqki k, uz smaee Mahovog
broja ka 1. Xto je q vee, taqka 2 e se nalaziti blie taqki k. Konaqno, postojae neka
1
2
2
1
1
2
1
02
02
2
01
01
1
1
2
1
2
1
1
1
02
02
2
1
e
eva
Zag
r
Hl
aÆe
e
′
01
01
MEHANIKA FLUIDA
132
vrednost q, za koje e se taqka 2 i k poklopiti - u preseku 2 je M = 1. Da e poveae
dovodene koliqine toplote e dovesti do promene vrednosti fiziqkih veliqina u taqki 1.
Sada razmotrimo sluqaj kada je strujae u preseku 1-1 dozvuqno, xto odgovara taqki 1 .
Ako se dovodi toplota, taqka 2 e se pribliavati taqki k. Da e poveae q e uti ati na
pribliavae taqke 2 taqki k. Za odreÆenu vrednost q taqka 2 e se poklopiti sa taqkom
k. TakoÆe, da e poveae q e dovesti do promena u taqki 1 .
Imajui ovo u vidu, mogue je je dozvuqno strujae prevesti u nadzvuqno dovoÆeem
toplote sve dok se u ne dostigne M = 1, a zatim od tog preseka (kritiqni presek) treba
odvoditi toplotu da bi se Mahov broj poveavao do e ene vrednosti. Ovakav naqin je
tehniqki vrlo komplikovan, pa se za prevoÆee dozvuqne struje u nadzvuqnu uglavnom
koristi Lavalov mlaznik.
′
′
5 Dinamika viskoznog fluida
5.1 Stae napona i viskozne sile
•
Model napona viskoznog fluida (glava 2)
pn = −p~n + ~pnη
~
•
p~n = P · ~n
p~nη = T · ~n
Rezultujua povrxinska sila R~ i sila usled viskoznosti R~
n
~n =
R
¨
pn dA =
~
A
¨
A
~η =
R
n
Osnovna pitaa
−p~n dA +
¨
A
p~nη
¨
dA =
A
p~nη dA = −
¨
A
T · ~n dA
¨
A
(5.1)
η
n
~ nη
p~n dA + R
(5.2)
(5.3)
Na koji naqin se ispo ava uti aj viskoznosti u strujnom po u?
• Xta se suxtisnki mea u osnovnim jednaqinama dinamike viskoznog fluida u odnosu
na odgovarajue jednaqine strujaa neviskoznog fluida?
•
Odgovori
Sva dosadaxa razmatraa predstav aju kako eline, tako i neophodne osnove i
pripremu za analizirae strujaa sa gubi ima.
• Kvalitativni aspekti viskoznog strujaa: pojava i uti aj smi ajnih (tangen ijalnih) napona; odvajae strujaa uslov eno gradijentom pritiska; provoÆee toplote;
laminarno i turbulentno strujae.
• Kvantitavni aspekti viskoznog strujaa: efekti viskoznosti, provoÆea toplote i
difuzije mase; Navije-Stoksove (Navier-Stokes) jednaqine; jednaqine kretaa neutnovskih fluida; jednaqina energije viskoznog nestix ivog i stix ivog fluida;
teorija sliqnosti i dimenzijska analiza; numeriqka rexea i eksperimenti.
• Jednaqina kontinuiteta ima isti oblika i neviskozan i viskozan fluid.
•
MEHANIKA FLUIDA
134
Jednaqina koliqine kretaa, na primer jednaqina (4.13) sadri novu silu, tj. silu
usled viskoznosti (5.3), koja dopuava desnu stranu jednaqine (4.13)
• Jednaqina energije, na primer(4.13), dopuava se novim qlanovima koji opisuju snagu
viskoznih sila.
• Graniqni uslovi razmatrani u potpoglav u 4.12.1 se zbog uti aja viskoznosti svode
na uslov ne klizaa, lep ea fluida na qvrstoj povrxi! Tako se uslov (4.87)
proxiruje i na tangentnu komponentu brzine, tj. za n = 0 je U~ = 0! Na nepokretnoj
qvrstoj konturi (n = 0) brzina fluidnog delia jednaka je nuli (U~ = 0). Dakle, ako
je U = U (n), onda je U (n = 0) = 0!
•
5.2 Naqelno o uti aju trea - viskozna sila
U glavi 4 ve je napomenuto kako se pomou zakona impulsa tj. jednaqine koliqine
kretaa uzimaju u obzir gubi i usled trea. Oni se pojav uju preko zadatih vrednosti
na grani i kontrolne zapremine, koji se dobijaju mereem ili proraqunom. Ovde se na
jednostavnom primeru odreÆuje uti aj trea.
5.2.1 Kvalitativna analiza uti aja trea i smi ajni napon τ
U i u kvantitativnog odreÆivaa uti aja trea suxtinski se prohiruje teorija
strujnog vlakna, tj. jednodimenzijskog strujaa fluida na problem viskoznog fluida.
Neka pri tome taqke s i n oznaqavaju koordinate u prav u strujaa i upravno na taj prava (5.1). Ovde je potrebno odrediti samo uti aj smi ajnog napona τ koji deluje tangetnto
na prava strujaa. Napomie se da se u sluqaju potpune analize pojav uje tenzor viskoznih napona T ! O tome e kasnije biti reqi. Smi ajni napon τ izraava meÆusobni
uti aj pojedinih slojeva i qesto nastaje mala texkoa u taqnom izboru egovog predznaka.
Analiza se daje za sluqaj prikaz na sli i 5.1. Izdvojena je proizvo na elementarna masa
fluida u proizvo nom profilu brzine u n prav u.
n
n
U
PSfrag repla emen dn
s
ds
Slika 5.1.
Analiza uti aja trea u modelu strujnog vlakna, koje se nalazi u strujnom po u sa
proizvo nim profilom brzine U = U (s, n)
Streli e oznaqavaju smerove sila trea, kojom okolni fluid, dakle spo a, deluje
na posmatranu elementarnu zapreminu fluida. Oqigledno je da ovi smerovi zavise od
MEHANIKA FLUIDA
135
izabranog profila brzine. Za sluqaj prikazan na sli i 5.1 vai za silu trea dR ≡ dR
sila trea = dR = [−(|τ | + d|τ |) + |τ |]dsdb = − 1 d|τ | ,
(5.4)
masa
dm
ρdsdndb
ρ dn
gde je db ivi a elementa mase dm upravna na ravan rtea. Intenzitet napona smi aa
|τ | zadat je utnovom hipotezom

∂U


za ∂U
,
>0
η

 ∂n
∂n
|τ | =
(5.5)


∂U
∂U

 −η
, za
< 0.
∂n
∂n
Za sluqaj prikazan na sli i 5.1 je |τ | = −η , jer je < 0, pa se uvrxtavaem (5.5) u
(5.4) dobija
1 ∂
∂U
dR
(R ≡ R - sila trea)
(5.6)
=
η
dm
ρ ∂n
∂n
Oqigledno je da se i za drugi profil brzine, na primer, za ∂U/∂n < 0, opet dobija isti
izraz (5.6).
U spe ijalnom sluqaju kada je dinamiqka viskoznost konstantna, tj. kada je η = const
rela ija (5.6) se pojednostav uje
η
n
τ
τ
∂U
∂n
∂U
∂n
τ
η
n
τ
(5.7)
Sila trea zavisi od drugog izvoda brzine! Razlog je oqigledno u tome, xto tree
zavisi od promene smi ajnog napona u prav u upravnom na prava strujaa, tj. na strujno
vlakno.
η ∂2U
∂2U
dRτ
=
=
ν
dm
ρ ∂n2
∂n2
5.2.2 Viskozne sile. Analiza sila u dinami i viskoznog fluida
Masene (zapreminske) sile: iner ijalne (lokalne, konvektivne); sila Zem ine tee
• Povrxinske sile: sile pritiska; viskozne sile.
Izraz (5.7) za silu trea, tj. silu usled viskoznosti fluida pokazuje da viskoznost
poveava red diferen ijalne jednaqine kretaa! Jednaqina koliqine kretaa neviskoznog fluida (Ojlerova jednaqina) je diferen ijalna jednaqina prvog reda, dok je u
sluqaju viskoznog utnovskog fluida ona drugog reda (Navije-Stoksova jednaqina).
Zato je u prvom sluqaju dovo an jedan graniqni uslov za odreÆivae jedne integralske konstante, dok se u drugom sluqaju (viskozan fluid!) dve konstante integra ea
odreÆuju iz dva graniqna uslova (uslov prijaaa, lep ea).
• Sile koje deluju na jedini u mase fluida prikazane su u tabeli 5.1
U posledoj vrsti tabele 5.1 su pojedinaqni qlanovi, koji u drugoj vrsti definixu razliqite sile, prikazani pomou izabranih karakteristiqnih referentnih veliqina (razmera) za vreme (t), duinu (l), brzinu (U ), gustinu (ρ) i pritisak (p) datog strujnog po a.
•
MEHANIKA FLUIDA
Fiziqki
efekat
136
Iner ija
lokalna konvektivna
sila
masa
∂U
∂t
Karakteristiqne
veliqine
U
∂U
∂s
g
U2
l
U
t
Tabela 5.1. Sile kao tipiqni predstavni
po u
Zem ina Pritisak Tree
tea
∂z
∂s
1 ∂p
ρ ∂s
g
p
ρl
ν
∂2U
∂n2
νU
l2
i odgovarajuih uti aja i fiziqkih efekata u strujnom
Potrebno je napomenuti da se ovde u prav ima obe ose prirodnog koordinatnog sistema s i
n koristi ista razmera za duinu (l).
5.3 Karakteristiqni bezdimenzijski brojevi - meÆusobni odnosi sila u strujnom po u - zakoni sliqnosti
Jednaqina (4.107) se za sluqaj strujaa viskoznog fluida proxiruje, saglasno tabeli
5.1, i dobija oblik
∂U
∂z
1 ∂p
∂ U
∂U
+ U
+ g
+
− ν
= 0.
(5.8)
∂t
∂s
∂s
ρ ∂s
∂n
2
1
2
3
4
5
2
1 - lokalna iner ijalna sila
4 - sila pritiska
2 - konvektivna iner ijalna sila
5 - viskozna sila (sila trea)
3 - sila Zem ine tee
5.3.1 Zakoni sliqnosti
Zakoni sliqnosti daju odgovor na pitae pod kojim uslovima dve fiziqke pojave deshavaju na isti naqin. U mehani i fluida je ovo vrlo znaqajno, s obzirom na veliku zastup enost modelskih ispitivaa. Proraqunavae podataka sa modela na objekat vrxi se
primenom teorije sliqnosti i dimenzijske analize. Pri tome se tei dinamiqkoj sliqnosti, tj. jednakosti odnosa sila u odgovarajuim prostorno-vremenskim taqakama dva
strujna po a. Pretpostavke za to su zadovo ene geometrijske i kinematiqke sliqnosti.
Potpunu sliqnost je, meÆutim, praktiqno nemogue zadovo iti, pa se pri modelirau pojava na modelu i objektu pribegava delimiqnoj sliqnosti. Dakle, zakoni sliqnosti ne mogu
MEHANIKA FLUIDA
137
istovremeno da budu primeeni na sve vrste sila. Zbog toga je svrsishodno ograniqee na
odnose onih sila koje su najvanije u razmatranom strujnom pro esu. Tako formirani
odnosi karakterixu sliqnost pojava i formiraju parametre sliqnosti, tj. bezdimenzijske
karakteristiqne brojeve sliqnosti. Metoda diferen ijalnih jednaqina je jedna od metoda,
koja je zasnovana na korixeu bezdimenzijskih oblika diferen ijalnih jednaqina i graniqnih uslova, i koja dovodi do zakona sliqnosti i uslova modeliraa strujaa fluida.
Jednaqina (5.8) se pomou izabranih karakteristiqnih veliqina (razmera) jednostavnim
algebarskim opera ijama dovodi na bezdimenzijski oblik. Odnos koefi ijenata uz pojedine qlanove definixe odnose odgovarajuih sila izraene pomou karakteristiqnih
bezdimenzijskih brojeva. Jednakost ovih brojeva u dve pojave odreÆuje ihovu sliqnost,
pod uslovom da se poqetni i graniqni uslovi meÆusobno poklapaju.
5.3.2 Formirae karakteristiqnih bezdimenzijskih brojeva i ihov fiziqki smisao
Iz pet tipiqnih izraza za sile prikazane u tabeli (5.1) mogu se formirati qetiri
nezavisna bezdimenzijska odnosa sila, tj. qetiri karakteristiqna broja. Ovi karakteristiqni brojevi odreÆuju karakter strujnog po a i opisuju bitne fiziqke efekte. Iz
jednaqine (5.8) sledi
1. Struhalov broj
Lokalna iner ijalna sila U/t l
(5.9)
Konvektivna iner ijalna sila ∝ U /l = tU ≡ Sh
Struhalov broj Sh karakterixe nesta ionarne strujne pojave, kao na primer one koje
se jav aju u pogonskim i radnim maxinama sa periodiqim
radnim pro esom. Stru´
halov broj se pojav uje kada se nesta ionarni qlan [∂U (s, t)/∂t]ds u Bernulijevoj
jednaqini (4.109) uporeÆuje sa sta ionarnim qlanovima. Qesto je neophodno utvrditi da li jedno strujae moe da se posmatra kao sta ionarno! Pri tome mora biti
zadovo eno Sh ≪ 1.
2
2
1
2. Frudov broj
Za sluqaj dominantnog uti aja iner ijalnih i gravita ionih sila u sta ionarnom
strujau merodovana kriterijum sliqnosti je Frudov broj.
Konvektivna iner ijalna sila ∝ U /l = U ≡ Fr
(5.10)
Sila Zem ine tee
g
gl
Delimiqna sliqnost u odnosu na Frudov broj je vana u svim onim sluqajevima u
kojima je bitan uti aj sile Zem ine tee, na primer, za strujaa u otvorenim (sa
slobodnom povrxi) tokovima.
2
3. Ojlerov broj
2
p/ρl
Sila pritiska
p
∝
=
Konvektivna iner ijalna sila U /l ρU
2
2
≡ Eu
(5.11)
MEHANIKA FLUIDA
138
U literaturi se qesto umesto naziva Ojlerov broj koristi i utnov broj Ne, tj.
Ne ≡ Eu. Za sluqaj strujaa stix ivog fluida sledi rela ija
p
κp 1 1
1 c
1
Eu =
(5.12)
=
=
=
ρU
ρ U κ
κU
κM
koja povezuje Ojlerov broj sa Mahovim (Mach, 1838-1916) brojem M = .
2
2
2
2
2
U
c
4. Rejnoldsov broj
Konvektivna iner ijalna sila ∝ U /l = U l ≡ Re
(5.13)
Viskozna sila
νU/l
ν
Rejnoldsov broj je vaan bezdimenzijski broj koji obuhvata uti aj viskoznosti! On
predstav a odnos konventivnih iner ijalnih sila i viskoznih sila. On je osnovni
kritetijum sliqnosti pri strujau viskoznog fluida. Ako je
Ul
≫1
(Graniqni sloj - Prantl)!
Re =
(5.14)
ν
tj. ako je nelinearna, konvektivna iner ijalna sila znatno vea od viskozne sile,
onda tree (viskoznost) unutar strujnog po a ima mali uti aj. Viskoznost igra
bitnu ulogu samo u neposrednoj blizini zida (uslov lep ivosti), tj. u graniqnom
sloju. To je osnovna hipoteza Prantlove (Prandtl, 1857-1953) teorije graniqnog sloja
(1904)! Ako je, meÆutim
2
2

 ∼1
Ul 
Re =
<1
ν 

≪1
Stoksova (Stokes, 1819-1903) strujaa)
(
(5.15)
onda je tree u elom strujnom po u znaqajno, tj. uti aj viskoznosti se osea u
svoj oblasti strujaa. Sa vrednostima Re < 1 i Re ≪ 1 su obuhvaena veoma spora
(lagana), tzv. Stoksova strujaa. U takvim sluqajevima se qesti mogu u potpunosti
zanemariti nelinearni iner ijalni qlanovi (konvektivni deo ubrzaa). Tada se
sile pritiskauravnoteavaju sa viskoznim silama. Primeriza to su lagana strujaa
veoma viskoznih u a. Treba napomenutida je rela ija (5.15) takoÆe vana za strujae
fluida ekstremno male gustine, jer je tada i Rejnoldsov broj Re = ρU l/η mali. Ovo su
sluqajevi kretaa satelita na grani i atmosfere, kao i u laboratoriji, na primer,
kod vakuum pumpi.
Najvanija primena karakteristiqnih brojeva sliqnosti je, kao xto je napomenuto,
u eksperimentalnim istraivaima. Rezultati merea i proraquna na geometrijski
sliqnom umaenom modelu u aerotunelu ili vodenom kanalu mogu se preraqunati na
glavno izvoÆee (objekat). Karakteristiqni i vani primeri su modelska ispitivaa turbina i drugih turbomaxina, kao i razliqitih maxinskih i graÆevinskih
ureÆaja i objekata.
MEHANIKA FLUIDA
139
5.4 Model viskoznog fluida. Opxti izrazi za povrxinske
sile
5.4.1 Analiza povrxinskih sila u viskoznom fluidu
Posle deta nih razmatraa osnovnih jednaqina i ihovih primena u glava 2 i 4,
svrsishodno je izvesti opxte matematiqke izraze za povrxinsku silu u viskoznom fluidu. Tako se, ako se posmatra proizvo no izabrana zapremina V ograniqena sa povrxi A,
izraz za rezultujuu povrxinsku silu svodi na:
˚ ‹
‹
py
∂~
px ∂~
∂~
pz
~
(~
px n x + ~
py ny + p~z nz )dA =
p~n dA =
Rn =
+
+
dV
∂x
∂y
∂z
V
A
A
˚ ∂pxx ∂pyx ∂pzx ~
∂pyy
∂pzy ~
∂pyz
∂pzz ~
∂pxy
∂pxz
=
+
+
+
+
+
+
k dV
i+
j+
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
V
(5.16)
Iz rela ije (5.16) sledi da je elementarna povrxinska sila u prav u x-ose dR koja
deluje na jediniqnu masu fluida unutar zapremine V ograniqene sa povrxi A odreÆena
izrazom
1 ∂p
∂p
∂p
dR
(5.17)
=
+
+
dm
ρ
∂x
∂y
∂z
Analogno
slede rela ije i za komponente u y i z prav u elementarne povrxinske sile
−−→
dR (dR ; dR ; dR ). Saglasno rela ijama (2.18), (2.28), (2.29)
p +p +p
p = σ = −p + σ , p = τ , p = τ , p = −
(5.18)
3
izraz (5.17) pomou (5.18) postaje
n,x
xx
n,x
n
n,x
n,y
xx
yx
zx
n,z
η
xx
xx
dRn,x
dm
1
=
yx
1 ∂p
−
ρ ∂x
2
yx
+
zx
1
ρ
xx
zx
η
∂σxx
∂τyx ∂τzx
+
+
∂x
∂y
∂z
3
yy
zz
(5.19)
1 - Povrxinska sila, 2 - Sila pritiska, 3 - Viskozna sila (u prav u x-ose za jediniqnu
masu)= dR
Na osnovu meÆusobne veze izmeÆu vektora napona p~ i vektora viskoznih napona ~p
dobijaju se rela ije (5.1)-(5.3) koje za model viskoznog fluida povezuju rezultujuu povrshinsku silu R~ sa silom pritiska (povrxinska sila usled pritiska) i viskoznom silom
(povrxinskom silom usled normalnih viskoznih napona i smi ajnih, tj. tangen ijalnih
napona). Ova analiza omoguuje formirae jednaqina koliqine kretaa i energije kako
u integralnom, tako i u diferen ijalnom obliku za strujae viskoznih utnovskih ili
neutnovskih fluida.
η
n,x
n
n
η
n
MEHANIKA FLUIDA
140
5.4.2 IzvoÆee diferen ijalnog izraza , tj.
tarne kontrolne zapremine dV = dxdydz
(5.17)
τyx +
∂τyx
dy
∂y
D
τyx +
y
C
u+
dy
∂τyx
dy
∂y
τzx
O
u
w
dx
A
pomou elemen-
v
∂u
dy
∂y
u
(5.19)
x
τyx
z
τyx
∂pxx
dx
∂x
pxx
dy
B
pxx +
dz
dx
τzx +
∂τzx
dz
∂z
Infinitezimalna kontrolna zapremina sa normalnim i smi ajnim naponima u x
prav u. Oznake: p = τ , p = τ , p = −p + σ .
Slika 5.2.
yx
yx
zx
zx
xx
η
xx
Povrxinska sila u x prav u, saglasno sli i 5.2, glasi
dRn,x
∂τyx
∂pxx
dx − pxx dydz + τyx +
dy − τyx dxdz
=
pxx +
∂x
∂y
η
∂τzx
∂p ∂σxx
∂τyx ∂τzx
+ τzx +
dz − τzx dxdy = −
+
+
+
dxdydz.
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
Izrazi (5.17), tj. (5.19) su identiqni izrazu (5.20), jer je dm = ρdxdydz.
5.4.3 Viskozna sila za nestix iv utnovski fluid
(5.20)
Glavna karakterstika utnovskog fluida je linearna reoloxka zavisnost izmeÆu tenzora napona i tenzora brzine deformisaa. Tako je u sluqaju da je fluid nestix iv
• Reoloxke zavisnosti - reoloxke konstitutivne jednaqine.
•
utnovski fluidi - linearna zavisnost izmeÆu napona i brzina deformisaa.
• Trodimenzijsko strujae - uopxtavae jednodimenzijske utnove hipoteze o smi ajnom naponu (jednaqine (5.4)-(5.7)).
• Uopxtena
utnova hipoteza o naponima - Stoksova hipoteza (uslovi simetrije i
linearna zavisnost komponenata tenzora napona p od komponenata tenzora brzine
deformisaa Ṡ - potpoglav e 4.4.2 ⇒ τ = τ ∝ Ṡ ).
• Nestix iv fluid (ρ = const) - Stoksova hipoteza daje za prethodno razmatrane
ij
ij
xy
yx
xy
MEHANIKA FLUIDA
141
napone sledee reoloxke rela ije (sl. 5.2)
τyx
τzx
∂u
η
σxx
= 2η
∂x
∂u ∂v
+
= τxy = η
∂y
∂x
∂u ∂w
+
= τxz = η
∂z
∂x
(5.21)
Za ostale tri komponente viskoznih napona σ , σ i τ = τ analogno slede izrazi
(ρ = const):
∂v ∂w
∂w
∂v
, τ =τ =η
+
.
σ = 2η , σ = 2η
(5.22)
∂x
∂z
∂z
∂y
Uvrxtavaem reoloxkih jednaqina (5.21) u izraz (5.19), tj. (5.20) i korixeem jednaqine
kontinuitetaza nestix iv fluid (divU~ = 0) dobija se za sluqaj η = const sledea rela ija
η
yy
η
zz
η
yy
zy
η
dRn,x
=ν
dm
η
zz
yz
zy
yz
∂2u ∂2u ∂2u
+ 2+ 2
∂x2
∂y
∂z
(5.23)
= ν∆u
kojom je odreÆena elementarna komponenta viskozne sile u prav u x ose za jediniqnu masu
fluida unutar zapremine V ograniqene sa povrxi A. Ostale dve jednaqine za y i z osu koje
ovde nisu navedene dobijaju se ikliqnom permuta ijom. Takav sistem od tri jednaqine
daje sledeu vektorsku jednaqinu
−→η
dRn
~
= ν∆U
dm
⇒
−→η
~
dRn = ν∆UdV
⇒
~ nη = η
R
˚
~ dV
∆U
V
(5.24)
Rezultujui vektor viskozne sile (5.3) za sluqaj utnovskog nestix ivog fluida i η =
const definisan je izrazom (5.24).
Ovim je zaokruena analiza sila koja omoguava da a istraivaa strujaa viskoznog
utnovskog nestix ivog fluida.
5.5 Integralni i diferen ijalni obli i jednaqine koliqine kretaa
5.5.1 Jednaqina koliqine kretaa. Navije-Stoksove jednaqine
Razmatrae je isto kao u poglav u 4.9. Gde nastaje razlika? U izrazu za povrxinsku
silu R~ ! Drugim reqima, u modelu napona za neviskozan i viskozan fluid!
Na osnovu jednaqina (4.67), (5.1) i (5.24) sledi
n
D
Dt
˚
Vm
−−→
DK
~m + R
~n
=R
Dt
˚
‹
˚
~
~
−p ~n dA +
ρf dV +
ρU dV =
Vm
Am
Vm
~ dV.
η∆U
(5.25)
MEHANIKA FLUIDA
142
Primenom potpuno istog postupka kao za jednaqinu (4.68), rela ija (5.25) se transformixe na oblik
!
˚
~
ρ
V
DU
~
− ρf~ + gradp − ν∆U
Dt
dV = 0
iz koga se, zbog proizvo ne zapremine V , dobija diferen ijalna jednaqina
ρ
~
DU
~ − gradp + η∆U
~
= ρF
Dt
(5.26)
L.Navier (1785 − 1836)
G.G.Stokes (1819 − 1903)
1. Izraz (5.26) je Navije-Stoksova jednaqina za strujae nestix ivog fluida. Ovoj
jednaqini se pridodaje jednaqina kontinuiteta za nestix iv fluid, divU~ = 0, qime
se dobijaju qetiri diferen ijalne jednaqine za qetiri zavisno promeive U~ (u, v, w)
i p. Sistem jednaqina je zatvoren! Napomie se da je ovde pretpostav eno ρ = const
i zbog toga nije potrebna nikakva dodatna jednaqina.
2. Za sluqaj neviskoznog fluida (η = 0) Navije-Stoksova jednaqina (5.26) se svodi na
Ojlerovu jednaqinu (4.69)!
3. Red Navije-Stoksove jednaqine je vixi od reda Ojlerove jednaqine. To je oqigledno
zbog qlanova usled viskoznosti. To omoguuje da se graniqni uslov (lep ivost!) na
qvrstoj povrxi moe ispuniti.
4. Navije-Stoksove jednaqine su nelinearne na isti naqin kao i Ojlerove jednaqine.
Isti tip nelinearnosti! Uzrok je u konvektivnim qlanovima, tj. u nelinearnim
iner ijalnim silama.
5. Egzaktna rexea Navije-Stoksovih jednaqina su poznata samo za mali broj problema
strujaa. Neki od tih primera bie prikazani u ovoj glavi, u i u upoznavaa
osnovnih svojstava strujaa viskoznog nestix ivog fluida.
6. Skalarni obli i jednaqine (5.26) u razliqitim koordinatnim sistemima (Dekartovim, ilindriqni, sfernim i ortogonalnim generalisanim) prikazani su kizi
Qantrak S., Hidrodinamika, MF Beograd (2005). Ovde se navodi izraz za x-osu Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema:
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂u
+u
+v
+w
= Fx −
+ν
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂2u ∂2u ∂2u
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
(5.27)
Ostale dve jednaqine za y i z osu dobijaju se ikliqnom permuta ijom. Sve tri
skalarne jednaqine mogu se obuhvatiti indeksnim zapisom
∂u
1 ∂p
∂ u
∂u
+u
=F −
+ν
,
i, j = 1, 2, 3.
(5.28)
∂t
∂x
ρ ∂x
∂x ∂x
i
j
i
j
2
i
i
j
i
j
MEHANIKA FLUIDA
143
5.5.2 Zakon koliqine kretaa u integralnom obliku - primena u tehniqkoj praksi
Fiziqko-matematiqka analiza data je u poglav u 4.9. Kvalitativna razlika je samo u
fiziqkom sadraju qlana 4 u jednaqini (4.71), tj. qlana u jednaqini (4.72). Razlog
za to je uvoÆee viskoznosti! Dakle, opet stae napona i karakter rezultujue povrxinske
sile R~ . S tim u vezi, potrebno je u jednaqinama (4.67)-(4.72) umesto povrxinske sile za
neviskozan fluid uvrstiti izraz za viskozan fluid, tako da se saglasno rela ijama (5.1)
i (5.3) dobija
IV
n
~n =
R
¨
−p~ndA
=⇒
(neviskozan fluid)
A
~n =
R
¨
(−p~n +
p~nη ) dA
=
¨
(−p~n + T · ~n) dA
(viskozan fluid)
A
A
Uvrxtavaem izraza (5.29) u jednaqinu (4.72) kao merodavnog izraza za qlan
jednaqina
∂
∂t
˚
V
~ dV = −
ρU
‹
A
~ (U
~ · ~n)dA +
ρU
˚
V
ρF~ dV −
‹
A
(p~n + p~nη ) dA.
IV
(5.29)
sledi
(5.30)
u kojoj je viskozna sila definisana rela ijom (5.3)
~ nη =
R
ˆ
p~nη dA =
ˆ

T · ~ndA
(sila usled viskoznosti)
A
A

η
σxx
τyx
τzx

T =  τxy
η
σyy

τzy 
η
σzz
τxz
τxy
(5.31)
Jednaqina koliqine kretaa data je izrazom (5.30). en fiziqki smisao analiziran je
u poglav u 4.9. Dodatni efekat usled viskoznosti obuhvaen je rela ijom (5.31), u kojoj
se pojav uju normalni naponi usled viskoznosti (σ , σ , σ ) i tangentni (smi ajni)
naponi (τ = τ , τ = τ i τ = τ ).
η
xx
xy
yx
xz
zx
yz
η
yy
η
zz
zy
Sta ionarno strujae u po u sile Zem ine tee
U ovom sluqaju jednaqina koliqine kretaa (5.30) glasi
‹
A
~ (U
~ · ~n)dA +
ρU
‹
A
p~ndA −
‹
A
T · ~n dA +
˚
V
ρ~g dV = 0
(5.32)
Pogodnim izborom kontrolne zapremine V i kontrolne povrxi A jednaqina (5.32) je veoma
pogodna za rexavae problema u praksi i za odeÆivae sila kako pri unutraxem ( evi,
kanali, mlazni i) tako i pri spo asim (opstrujavae tela) strujaima.
Strujae utnovskog nestix ivog fluida
U ovom sluqaju koristi se jednaqina kontinuiteta u obliku divU~ = 0 i konstitutivne
reoloxke jednaqine za utnovski fluid, tj. linearne meÆuzavisnosti komponenata ten-
MEHANIKA FLUIDA
144
zora napona i komponenata tenzora brzine deformisaa, koje su definisane rela ijama
(5.21) i (5.22). Te rela ije mogu da se objedine linearnom zavisnoxu u matriqnom obliku
T = 2η Ṡ tako da jednaqina koliqine kretaa za utnovski nestix iv fluid glasi
˚
‹ h
˚
i
∂ ~
~ dV.
~ (U
~ · ~n) + p~n − 2η Ṡ · ~n dA +
ρF
ρU
ρU dV = −
(5.33)
∂t
V
A
V
Veliqina Ṡ je tenzor
brzine deformisaa qije su komponente Ṡ definisane izrazom
(4.14), tj. Ṡ =
. Dakle, pomou rela ija (5.21) i (5.22) tenzor viskoznih
+
napona T , tj. matriva napona usled viskoznosti (5.31) za utnovski nestix iv fluid
glasi
ij
1
2
ij
∂ui
∂xj
∂uj
∂xi

T = 2η Ṡ
pηij = 2η Ṡ
pηij
=
(
η
σij
, i=j
⇐⇒
i 6= j



T =



∂u ∂v
∂u
∂u ∂w
2η
η
+
+
η
∂x ∂x ∂x
∂x ∂z
∂w ∂v
∂v
∂u ∂v
+
η
+
2η
η
∂x ∂y ∂y
∂z
∂y
∂w ∂u
∂w ∂v
∂w
η
+
+
η
2η
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z








(5.34)
U prethodnim poglav ima nije bilo potrebno naglaxavati laminarni ili turbulentni
karakter strujaa. MeÆutim, za da u analizu i proraqun strujaa potrebno je utvrditida
li je jedno strujae laminarno ili turbulentno, To jox jednom ukazuje na znaqau ulogu
iner ijalnih i viskoznih sila i strujnom po u. ihov koliqnik, saglasni jednaqini
(5.13), definixe Rejnoldsov broj, koji je osnovni kritetijum za prelazak laminarnog
strujaa u turbulentno! Ovim se bavi linearna i nelinearna teorija hidrodinamiqke
stabilnosti.
τij ,
5.6 Reimi strujaa - laminarna i turbulentna strujaa
5.6.1 Laminarna strujaa
Strujae u slojevima (lamina - sloj). Strujni e odnosno putae fluidnih delia prate
geometriju strujnog prostora - ureÆeno regularno slojevito strujae (5.3)
5.6.2 Hidrodinamiqka stabilnost
Problem stabilnosti laminarnog strujaa je u suxtiniproblem nastanka turbulen ije.
Poremeaji kojima se izlae prvobitno strujae, dovode do znatnog lokalnog poveaa
konvektivnih iner ijalnih sila (konvektivnog dela materijalnog izvoda brzine (U~ · ∇)U~ ).
Viskozne sile priguxuju nastale poremeaje i mehanizmom trea vrxe disipa iju energije. Potpun odgovor na pitae nastanka turbulen ije jox uvek ne postoji! Da li e
laminarno strujae prei u neki drugi oblik laminarnog strujaa, ili e usled predominantnog uti aja viskoznosti uspostaviti isti prvobitni laminarni reim, ili e
pak, doi do pojave turbulen ije zavisi od mnogih faktora. U praktiqnim proraqunima
se govori o vrednostima kritiqnog Rejnoldsovog broja pri kojima u razliqitim kla-
MEHANIKA FLUIDA
145
(b)
(a)
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
111111111111111111111111
000000000000000000000000
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
000000000000000000000000
111111111111111111111111
Sfrag repla emen
(v)
y
U
U∞
Laminarno strujae
O
Prelazna
oblast
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
xk
x
Turbulentno strujae
Taqka prekida
Laminarno i turbulentno strujae. (a) Trajektorije pri laminarnom strujau; (b)
Turbulentno strujae - neregularno kretae i trajektorije, intenzivni pro esi turbulentnog prenosamaterije, impulsa i energije u prav u upravnomna glavnostrujae zbog fluktua ionih brzina;
(v) Prelazak laminarnog u turbulentno strujae (Re = U x /ν - kritiqan Rejnoldsov broj; x kritiqna duina).
Slika 5.3.
k
∞ k
k
sama unutraxih i spo asih strujaa dolazi do prelaska iz laminarnog u turbulentno
strujae (sl. 5.3v).
5.6.3 Turbulentna strujaa
Turbulentna strujaa su neregularna, haotiqna strujaa, uvek nesta ionarna, trodimenzijska i disipativna. Putae delia se meÆusobno mexaju, popreqne fluktua ije
brzina dovode do mehanizma intenzivne turbulentne razmene i do znatno ravnomernijeg
profila brzine nego u sluqaju laminarnog strujaa (sl. 5.3):
"
∂U
∂y
y=0
#
turbulentno
>
"
∂U
∂y
y=0
#
laminarno
,
pri qemu (∂U/∂y) oznaqava izvod brzine na qvrstoj povrxi. To znaqi da su uti aji
trea znatno izraeniji, tj. jaqi u turbulentnom strujau.
y=0
MEHANIKA FLUIDA
146
5.7 Fiziqko-matematiqke osnove turbulentnih strujaa
5.7.1 Svojstva turbulentnih strujaa
Veina strujaa u tehniqkoj praksi i u prirodi su turbulentna. Ovde se qisto fenomenoloxki nabrajaju najvaniji aspekti turbulen ije.
• Turbulentna struaja nastaju pri Rejnoldsovim brojevima veim od kritiqnog Rejnoldsovog broja Re , koji ima razliqite vrednosti za razne klase strujnih problema.
Na primer, potpuno razvijeno strujae u evi je turbulentno ako je Re = Re =
ρU D/η ≥ 2300 (ρ - gustina fluida, U - sreda brzina, D - preqik evi i η - dinamiqka viskoznost fluida).
• Turbulen ija je po pravilu razliqitog intenziteta u raznim domenima strujnog poa. Intenzitet turbulen ije je veliki u oblastima velikih gradijenata (vremenski
osredenih) brzina, na primer u graniqnom sloju u blizini zida. Ovome prethodi
laminarno strujae, koje usled nestabilnosti prelazi u turbulen iju.
• Turbulen ija se odlikuje poveanom razmenom impulsa (koliqine kretaa) u prav u
upravnom na prava glavnog strujaa, xto se izmeÆu ostalog, ispo ava u poveanim
otporima trea!
• Za sluqaj da u nekom strujau du qvrste povrxi postoji opasnost odvajaa strujaa
(kada pritisak u nizstrujnom prav u raste), poveana turbulentna razmena impulsa u
oblasti zidne turbulen ije znaqajno pomera taqku odvajaa nizvodno i time smauje
oblast odvajaa i vrtloni trad. Dakle, struktura turbulentnog strujaa je mae
oset iva na gradijent pritiska nego xto je to sluqaj kod laminarnog strujaa.
• Turbulen ija u opxtem sluqaju izaziva intenzivno mexae i razmenu materije, xto
je od velikog znaqaja u vixefaznim strujaima i razliqitim tehnoloxkim i hemijskim pro esima, kao i strujaima u ivotnoj sredini.
k
k
s
s
5.7.2 Rejnoldsov eksperiment
Na sli i 5.4 su prikazana dva suxtinski razliqita reima (staa) strujaa. Hagen
(Hagen) ih je opisao kvalitativno (1852), a Rejnolds (Reynolds) prvi put kvantitativno
dokazao (1883).
1. Laminarno strujae. Rejnoldsov broj je mali, tj. Re = U d/ν < 2320. Makroskopski posmatrano strujae se obav a u paralelnim slojevima (lamina - sloj). Mikroskopski, tj. molekularno nastaje neregularna razmena impulsa izmeÆu pojedinih
slojeva, xto dovodi do unutraxeg trea.
2. Prelazna oblast. Rejnolds je istraivao prelazak laminarnog u turbulentno strujae i utvrdio da on zavisi samo od karakteristiqnog broja U d/ν . Rejnolds je pretpostavio da se pri tome radi o problemu stabilnosti. Laminarno strujae pri veim
Rejnoldsovim brojevima postaje nestabilno, tj. mali poremeaji, koji su prisutni u
s
s
MEHANIKA FLUIDA
147
PSfrag repla emen
obojena teqnost (farba)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
00000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000
000000000000001111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000
U
1 Laminarno strujae
2 Prelazna oblast
d
ν
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1
2
3 Turbulentno strujae
3
Rejnoldsov eksperiment. Farba se u obliku strujnog vlakna iz mlaznika uba uje u
fluid kinematiqke viskoznosti η koji struji sredom brzinom U = 4V̇ /d π kroz ev preqnika
d. Zapreminski protok V̇ i drugi strujni i geometrijski parametri su meani u mnogobrojnim
eksperimentima.
Slika 5.4.
2
s
prirodi i tehni i, svojim amlitudno-frekventnim karakteristikama izazivaju takva dejstva koja laminarno strujae prevode u turbulentno.
3. Turbulentno strujae. Rejnoldsov broj je veliki, tj. Re = U d/ν > 2320. U ovom
sluqaju nastaje, suprotno od laminarnog, jedan makroskopski, vid iv prenos putem
turbulentnih elemenata (molova mase, razliqitih vrtloga i vrtlonih struktura).
s
Turbulen ija je nesta ionarna prostorno-vremenska evolu ija sluqajnog
kretaa sloenih vrtlonih struktura!
5.7.3 Rejnoldsova statistika
Rejnoldsov opis turbulentnog strujaa podrazumeva razlagae nesta ionarne komponente brzine, na primer u(x, y, z, t), na proseqnu, vremensku sredu vrednost u(x, y, z) i
na fluktua ionu brzinu u (x, y, z, t) saglasno sli i 5.5:
u(x, y, z, t) = u(x, y, z) + u (x, y, z, t).
(5.35)
Vremenska sreda vrednost - proseqna vrednost - vrednost osredena u vremenu podrazumeva vrednost fiziqke veliqine enim osredavaem u vremenu u fiksnoj taqki
strujnog prostora!
Vremenski osredena brzina, tj. proseqna brzina u fiksnoj taqki definisana je izrazom
ˆ
1
u(x, y, z) =
(5.36)
u(x, y, z, t)dt
T
Period osredavaa T se pri tome bira tako da nestane zavisnost u od vremena. Drugim
reqima, T je toliko veliko da egovo da e poveavae ne dovodi do promene u. Period
osredavaa zavisi od statistiqkih svojstava sluqajno promeive!
Analogno (5.36) se odreÆuju i v i w. Defini ija (5.36) ima za posledi u da su vremenski
osredene vrednosti fluktua ionih brzina jednake nuli:
ˆ
ˆ
1
1
u dt =
(u − u)dt = u − u = 0 ⇒
u =
u =v =w =0
(5.37)
T
T
′
′
T
0
T
′
0
T
′
′
0
′
′
MEHANIKA FLUIDA
(a)
148
(b)
u(x, y, z, t)
u(x, y, z, t)
u′ (x, y, z, t)
frag repla emen
u
u(x, y, z, t) = u(~r, t)
u(x, y, z) = u(~r)
t
T
t
Slika 5.5. Turbulentno strujae -brzina kao pokazivae (signal) usijane i e tokom vremena u
fiksnoj taqki: (a) Sta ionarno turbulentno strujae (u = const ⇔ ∂u/∂t = 0); (b) Nesta ionarno
turbulentno strujae (u 6= const → u = u(x, y, z, t)); T - period (vreme) osredavaa.
Prikazani postupak vremenskog osredavaa vai za svaku fiziqku veliqinu f = u, v, w,
~ , e, . . . . Na primer, trenutna vrednost pritiska p razlae se na egovu sredu
p, ρ, T, U
(proseqnu) vrednost, tj. proseqni pritisak p i fluktua ioni pritisak p kako sledi
ˆ
ˆ
1
p dt = 0.
p=p+p,
p=
p =
(5.38)
pdt,
T
Treba jox jednom napomenuti da se pojam sta ionarnosti turbulentnog strujaa odnosi
samo na egove proseqne, tj. vremenski osredene brzine. Turbulen ija je uvek nesta ionarna!
Vektor trenutnebrzine U~ u fiksnoj taqki je vektorskizbir brzine osredene u vremenu
~ i fluktua ione brzine U
~ koja se na sluqajan, stohastiqki naqin mea u vremenu po
U
intenzitetu prav u i smeru:
ˆ
ˆ
1
1
~
~
~
~
~
~
~ dt = 0.
U (~r, t) = U (~r) + U (~r, t),
U=
U =
U (~r, t)dt,
U
(5.39)
T
T
Ukupan intenzitet turbulen ije I definixe se rela ijom
′
T
T
′
′
′
0
0
′
T
′
T
′
0
′
0
u
~
,
r p
1 ′2
2
2
′
′
I~u =
u +v +w
u2 + v2 + w2
3
Iu =
q
(u′ )2
(5.40)
u
U brojio u izraza I je karakteristiqna veliqina fluktua ionog po a u , tj. koren iz
sredeg kvadratnog odstupaa, dok je u imenio u proseqna brzina u na posmatranom mestu,
tj. u datoj taqki.
u
′
MEHANIKA FLUIDA
149
5.7.4 Analiza osredavaa sila u vremenu i novi fiziqki efekti
Vremenski osredene (proseqne) vrednosti sila
Poxto se kretae materijalne sredine opisuje rela ijom
Lokalna
Konvektivna
Sila
Sila
iner ijalna + iner ijalna + Zem ine + pritiska
sila 1
sila 2
tee 3
4
|
Iner ijalna sila
{z
}
Masena sila
|
{z
}
onda uvek vai i sledea rela ija izmeÆu sila
Vremenski osredena
vrednost veliqine sile
(
1
|
+ 2 + 3 + 4 + 5
+
Sila
trea
5
Povrxinska sila
{z
)
=
5
X
= 0
}
~Fi = 0.
i=1
(5.41)
(5.42)
Matematiqki izraz jednaqine (5.42) za osu x u uobiqajenim oznakama ima oblik
(5.43)
i analogno za ose y i z. Vektorski oblik pro esa vremenskog osredavaa Navije-Stoksove
jednaqine (5.26) za sluqaj kada nestix iv fluid struji u po u sile Zem ine tee (F~ = ~g)
glasi
#
"
ˆ
ˆ h
i
~
∂U
1
~ dt.
~ · ∇)U
~ dt = 1
−grad(p + ρgz) + η∆U
+ (U
ρ
(5.44)
T
∂t
T
Oqigledno je da se svaka od vremenski osredenih, tj. proseqnih sila izraava u
funk iji od proseqnih i fluktua ionih veliqina brzine i pritiska! U tom i u se sile
razvrstavaju u tri grupe:
(a) konstante sile (homogeno po e) - sila Zem ine tee
(b) sile definisane linearnim funk ijama - lokalna iner ijalna sila (linearna funkija od U~ ); sila pritiska (linearna funk ija od p); sila trea (viskozna sila) (linearna funk ija od U~ );
(v) sile definisane kvadratnim (nelinearnim) funk ijama - konvektivna iner ijalna
sila (funk ija kvadrata brzine U ili od proizvoda dve komponente brzine - nelinearni qlanovi): u , v , w , uv, uw i vw.
Primenom Rejnoldsove statistike izraqunavaju se proseqne vrednosti pojedinih qalnova u jednaqinama (5.43) odnosno (5.44). Raquni a je data deta no radi lakog i potpunog
shvataa pro esa vremenskog osredavaa. Izraqunavae je zasnovano na qieni i, da
redosled matematiqkih opera ija ne utiqe na kraji rezultat.
Integra ee po intervalu vremena T i diferen irae po vremenu i prostoru, tj. prostornih koordinata mogu da zamene mesta!
1
T
ˆ
T
0
∂u
∂u
∂u
∂u
∂(p + ρgz)
2
+u
+v
+w
− η∇ u dt = 0
+
ρ
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
T
T
0
0
2
2
2
2
MEHANIKA FLUIDA
150
Osredavae qlana sile Zem ine tee
Sila Zem ine tee zavisi od gustine fluidnog delia. Fluktua ije pritiska su
uglavnom suvixe male da bi dovele do promene gustine. Sila Zem ine tee ne zavisi
od strujnog po a u od vrste strujaa i ista je u laminarnim i turbuletnim strujaima.
ena proseqna vrednost jednaka je istoj konstantnoj sili
ˆ
ˆ
1
1
ρg =
(ρg je konstantno, ne zavisi od vremena)
ρgdt = ρg
dT = ρg;
T
T
T
T
0
1
∂
(ρgz) =
∂z
T
0
ˆ
T
0
∂
∂ 1
(ρgz) dt =
∂z
∂z T
Tako se analogno dobija
T
ˆ
ρgzdt =
0
∂
(ρgz) ;
∂z
ρgz = const
u vremenu
(5.45)
Matematiqki izraz za silu Zem ine tee je isti za laminarno i turbulentno strujae!
grad(ρgz) = grad(ρgz).
Vremenski osredena (proseqna) lokalna iner ijalna sila.
~
∂U
ρ
∂t
ρ
∂u ∂v ∂w
ρ ,ρ ,ρ
∂t
∂t
∂t
∂u
∂ 1
=ρ
∂t
∂t T
ˆ
T
⇒
∂u
1
ρ
=
∂t
T
(u + u′ )dt = ρ
0
∂
∂t
ˆ
Analogno izrazu
ρ
ˆ
T
0
∂ 1
udt = ρ
∂t T
T
udt + ρ
0
∂
∂t
ˆ
T
ˆ
T
0
u′ dt = ρ
0
def
udt = ρ
0
∂u
∂t
ili:
∂u′
∂u
∂u
+ρ
=ρ
∂t
∂t
∂t
∂u
∂u
=ρ
∂t
∂t
dobijaju se izrazi i za ostale dve komponente v i w, tako da je
(5.46)
(5.47)
Proseqna vrednost lokalne iner ijalne sile jednaka je iner ijalnoj sili uslov enoj promenom samo proseqne brzine, i izraava se funk ijama istog oblika i u laminarnom i u
turbulentnom strujau. Nema novih qlanova u pro esu vremenskog osredavaa! Ali
treba imati u vidu da su samo u laminarnom strujau veliqine U~ (u, v, w) jednake veliqinama U~ (u, v, w).
ρ
~
~ ∂u ∂v ∂w ∂U
∂U
=ρ
ρ ,ρ ,ρ
.
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
Vremenski osredena sila pritiska.
Analognim postupkom se vrxi osredavae u Vremenu sile pritiska
∂p ∂p ∂p
−gradp − , − , −
∂x ∂y ∂z
MEHANIKA FLUIDA
151
na primeru jedne komponente −∂p/∂x
1
∂p
=−
−
∂x
T
TakoÆe, vai i sledee:
−
pa sledi
∂ 1
∂x T
ˆ
0
T
ˆ
T
0
∂ 1
p dt = −
∂x T
(!)
′
ˆ
T
0
pdt = −
∂p
∂x
(defini ija p).
ˆ
ˆ
ˆ
∂ 1 T
∂ 1 T
∂ 1 T ′
(p + p′ )dt = −
p dt
pdt −
∂x T 0
∂x T 0
∂x T 0
∂
∂
∂p
= −
p′ = − ; (p = p),
(p) −
∂x
∂x
∂x
pdt = −
(5.48)
(5.49)
Prostorne koordinate (x, y, z) i vremenska koordinata (t) su meÆusobno nezavisne koordinate tako da matematiqke opera ije integra ea (po Vremenu) i diferen iraa (po
prostornim koordinatama) mogu da razmene mesta. Direktna posledi a toga je
−
1
−gradp = −
T
ˆ
T
0
∂p
∂p
=− .
∂x
∂x
1
∇pdt = −∇
T
T
ˆ
pdt = −gradp,
0
(5.50)
− gradp = −gradp
Vremenski osredena viskozna sila
Proseqna vrednost sile trea:
~ ≡ η∇2 U
~ η∇2 u, η∇2 v, η∇2 w ,
η∆U
odreÆuje se, za ene komponente pojedinaqno
∂2u
1
η 2 =
∂x
T
ili za opxti vektorski oblik
ˆ
T
0
∆ ≡ ∇2 =
∂ 2 u (!) ∂ 2
η 2 dt = η 2
∂x
∂x
ˆ
0
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
T
udt = η
∂2u
∂x2
(5.51)
(5.52)
Vremenski osredena viskozna sila izraava se samo pomou proseqne brzine i ima isti
oblik kao i analogna stvarna sila. Pri osredavau se ne pojav uju novi qlanovi!
Zak uqak. Pri osredavau linearnih funk ija (veliqina, qlanova) ne nastaju
nikakvi novi dodatni qlanovi! Dakle, sve sile izraene linearnim funk ijama (izrazima), koje odreÆuju proseqno (vremenski osredeno) strujae, definisane su istim mateatiqkim izrazima kako za proseqno turbulentno strujae, tako i za stvarno (trenutno)
strujae, turbulentno ili laminarno. U laminarnom strujau su proseqne veliqine U~ i
~ i p.
p jednake stvarnim trenutnim veliqinama U
1
~ (!)
η∆U
= η∆
T
ˆ
0
T
~
~ dt = η∆U
U
⇒
~ = η∆U
~.
η∆U
MEHANIKA FLUIDA
152
Nelinearna iner ijalna sila
Iz prethodnih razmatraa poznato je da konvektivni deo iner ijalne sile ima oblik
2
~ × rotU
~
~ · ∇)U
~ ≡ ρ grad U − U
ρ(U
2
→
ρuj
∂ui
∂xj
 ∂u
∂u
∂u

+
v
+
w
ρ
u

∂y
∂z ,

 ∂x
∂u
∂u
∂u
ρ u ∂x + v ∂y + w ∂z ,



 ρ u ∂u + v ∂u + w ∂u .
∂x
∂y
∂z
→
Svi qlanovi ove sile su nelinearni, tj. kvadratni jer su propor ionalni veliqini U
ili proizvodu komponenata od U : u , v , w , uv, uw, vw. Pro es osredavaa e se radi
vee jasnoe primeniti na jedan od nelinearnih qlanova, na primer ρu , pa e se dobijeni
rezultat uopxtiti. Tako je postupak vremenskog osredavaa nelinearnog kvadratnog
qlana u :
2
2
2
2
∂u
∂x
2
u2 =
1
T
ˆ
T
u2 dt =
0
1
T
ˆ
T
(u + u′ )2 dt =
0
1
T
ˆ
0
T
u 2 + 2uu′ + (u′ )2 dt.
Osredavae pojedinih qlanova:
ˆ
1
u dt = u
(jer je u konstantno u vremenskom domenu intervala T ),
T
T
2
2
0
(jer je u dt = u = 0),
"
#
ˆ
1
u moe biti nula, pozitivno ili negativno ali je u
(u ) = u
T
uvek pozitivno i u 6= 0
u =u +u
(Novi qlan - u )(!)
(5.53)
Proseqna vrednost kvadrata brzine jednaka je zbiru kvadrata proseqne vrednosti brzine
i proseqne vrednosti kvadrata fluktua ione brzine. Ovde se pri osredavau pojav uje
novi qlan, koji obuhvata uti aj fluktua ionih brzina na proseqno brzinsko po e. Fiziqki smisao ovog qlana dobija se primenom zakona koliqine kretaa.
Osredavaem u vremenu nelinearnog, kvadratnog, mexovitog qlana uv dobija se:
1
T
ˆ
T
0
T
1
2uu dt = 2u
T
′
T
ˆ
1
T
′
u dt = 0
0
ˆ
T
′
′
0
′
′ 2
′2
′2
′2
0
2
2
′2
′2
uv = (u + u′ )(v + v ′ ) = uv + uv ′ + u′ v + u′ v ′
Proseqna (vremenski osredena) vrednost ovog proizvoda je
(5.54)
jer su proseqne vrednosti veliqina uv i u v jednake nuli. Proseqna vrednost proizvoda
jednaka je sumi proizvoda proseqnih vrednosti i proseqnoj vrednosti proizvoda fluktuaionih komponenti. Oqigledno iz (5.54) sledi (5.53) kada se u (5.5) uvrsti v ≡ u.
uv = uv + u′ v ′
′
′
MEHANIKA FLUIDA
153
Da om analizom nelinearnog qlana ρu konvektivnog dela iner ijalne sile sledi:
∂u
∂x
ρu
∂u
∂x
=
=
ˆ
ˆ
∂
1 T
1 T
∂u
u + u′ dt
ρu dt =
ρ u + u′
T 0
∂x
T 0
∂x
ˆ T
′
′
∂u
∂u
ρ
′ ∂u
′ ∂u
u
+u
+u
+u
dt
T 0
∂x
∂x
∂x
∂x
Osredavae svakog qlana pojedinaqno
ˆ
1
∂u
∂u
u dt = u
(u i ∂u
su konstantni u vremenu)
T
∂x
∂x
∂x
T
0
1
T
ˆ
1
T
ˆ
1
T
ˆ
T
0
T
0
T
0
∂u′
∂ 1
u
dt = u
∂x
∂x T
1 ∂u
dt =
u
∂x
T ∂x
′ ∂u
′
′ ∂u
∂ 1
dt =
u
∂x
∂x T
ˆ
ˆ
T
u′ dt,
0
T
u′ dt,
0
ˆ
0
T
u′2
∂
dt =
2
∂x
u′2
2
Uvrxtavaem ovih vrednosti u poqetni izraz dobija se
ρu
∂v
∂v
∂v ′
= ρu
+ ρu′
∂x
∂x
∂x
= u′
∂u′
∂x
(5.55)
∂u
∂u
∂u′
= ρu
+ ρu′
∂x
∂x
∂x
Analognim postupkom dobija se proseqna vrednost qlana ρu
ρu
!
∂v
∂x
(5.56)
Pri osredavau u vremenu nelinearnih funk ija, pojav uju se novi qlanovi, takoÆe nelinearni, odreÆeni korela ijama fluktua ionih veliqina. Dakle, proseqna vrednost konvektivne iner ijalne sile jednaka je sumi konvektivne iner ije usled
proseqne brzine i proseqne konvektivne iner ije uslov ee turbulentnim fluktua ijama.
Zak uqak.
5.7.5 Fiziqka znaqea korela ija ρu i ρu v . Rejnoldsov, turbulentni
smi ajni napon
′2
′ ′
U turbulentnom strujau postoji mae ili vixe izraeno meÆusobno dejstvo vremenski
osredenog (proseqnog) i fluktua ionog po a fiziqkih veliqina. Fiziqki smisao korela ija ρu i ρu v analizirae se na modelu turbulentnog strujaa prikazanog na sli i
5.6.
Glavni prava strujaa, tj. prava proseqne brzine je u prav u x-ose. Iz izlagaa
u prethodnom potpoglav u 5.7.4, saglasno izrazima (5.53)-(5.56), zak uquje se da se korela ije ρu i ρu v pojav uju pri vremenskom osredavau nelinearnih konvektivnih
qlanova. Proseqne vrednosti izvoda ovih korela ija po prostornim koordinatama (v. iz′2
′ ′
′2
′ ′
MEHANIKA FLUIDA
154
~n = ~j
y
~j
v′
~i
~k
u
w
z
~i
~n
u
x
Profil
proseqne brzine
y
~n = −~i
′
u′ > 0
u(y)
dA
~i
dA
~n
u′ > 0
1111111
0000000
′
v′ < 0
v ′ < 0 dA
u
(g)
(d)
Slika 5.6. Turbulentno strujae
- dejstvo fluktua ionih brzina. (a) Model jednodimenzijskog
proseqnog strujaa: u = u+ u′, v = v′, w = w′; (b) fluks (prenos) koliqine kretaa kroz kontrolnu
povrx upravnu na x-osu; prava glavnog proseqnog~ strujaa upravan na kontrolnu povrx; (v)
kontrolna povrx tangentna na x-prava , tj. ~n = j; proseqna brzina u tangentna na kontrolnu
povrx; (g) profil proseqne (vremenski osredene) brzine; (d) odreÆivae predznaka korela ije
(a)
u′ v ′
(b)
(v)
.
raze (5.55) i (5.56)) definixu nelinearne iner ijalne sile usled fluktua ionih kretaa.
Drugim reqima, fiziqki smisao korela ija ρu i ρu v sadran je u konvektivnom delu
iner ijalne sile, tj. u fluksu (prenosu) koliqine kretaa kroz kontrolnu povrx! Ta veliqina je u stvari impulsna sila R~ definisana izrazom (4.75). Iz tih razloga je potrebno
i svrsishodno izraqunati impulsnu silu R~ , koja se od vremenski osredenih korela ija
fluktua ionih brzina prenosi na odreÆenu kontrolnu povrx! U tom i u se za strujni
model prikazan na sl. 5.6 izraqunava fluks (prenos) koliqine kretaa kroz povrx postav enu upravno, odnosno tangentno u odnosu na glavni prava proseqnog strujaa
(sl.
−−→
5.6(b) i (v)). Saglasno izrazu (4.75) sledi izraz za elementarnu impulsnu silu dR
−−→
~ U
~ · ~n)dA.
dR = −ρU(
(5.57)
Za turbulentno strujae (sl. 5.6) trenutna brzina U~ je odreÆena sa
′2
′ ′
i
i
i
i
~ =U
~ +U
~ ′ = (u + u′ )~i + v ′ ~j + w′ ~k.
U
Fiziqki smisao korela ije ρu
′2
Kontrolna povrx se bira upravno na x-osu, tj. na prava proseqnog strujaa (sl.
5.6(b)). Tada je ~n = −~i, a kako je U~ = u~i + v ~j + w ~k, gde je u = u + u , to primena izraza
(5.57) daje
′
−−→
~ dA
dRi = ρuU
→
′
′
~ · ~i)dA
dRi,x = ρu(U
→
Osredavaem u vremenu ovog normalnog napona dobija se
ρu2
1
=
T
ˆ
T
0
dRi,x
= ρu2 .
dA
ρu2 dt = ρ(u + u′ )2 = ρ u2 + 2uu′ + u′2 = ρ u 2 + u′2 .
Ova rela ija je ekvivalentna rela iji (5.53), ali je mnonee da gustinom ρ ovde dobijen
smisao napona
ρu = ρu + ρu .
(5.58)
2
2
′2
MEHANIKA FLUIDA
155
Dakle, usled fluktua ionih brzina pojav uje se dopunski qlan u izrazu za normalni
napon. U analizi koja sledi bie pokazano da veliqina −ρu predstav a jedan od Rejnoldsovih, turbulentnih, tj. prividnih normalnih napona.
′2
Fiziqki smisao korela ije ρu v
′ ′
Kontrolna povrx je postav ena tangentno na glavni prava proseqnog strujaa tako
da sadri x-osu. Sada je proseqna brzina na kontrolnu povrx ~n = ~j (sl. 5.6(v)). Analogno
gorem postupku sledi
dRi,x
= ρuv
dA
−→
ρuv = ρ(u + u′ ) v ′ = ρ uv ′ + u′ v ′ .
Dakle, vremenskim osredavaem tangen ijalnog napona ρuv dobija se vana rela ija
ρuv = ρu v
(u = u + u , v = v ).
(5.59)
Odavde sledi da je u ovom sluqaju proseqna vrednost korela ije ρuv razliqita od nule samo
na osnovu postojaa meÆusobne zavisnosti (korela ije) fluktua ionih brzina u i v . Ova
veliqina definixe dodatni prenos koliqine kretaa u x-prav u izazvan fluktua ijama
brzina u i v . Ovo se u strujnom po u ispo ava kao tangen ijalni (smi ajni) napon.
On je posledi a turbulentnih fluktua ionih brzina uvedenih Rejnoldsovom statistikom
i zbog toga se naziva turbulentnim tangen ijalnim naponom. Kao xto je u poglav u 5.2
razmatran predznak viskoznog tangen ijalnog napona, tako se i u ovom sluqaju mora analizirati predznak! I ovde se radi o efektu prenosa koliqine kretaa. U tom i u se
posmatra pro es turbulentnog prenosa (sl. 5.6 (g), (d)) koji se ostvaruje deliima koji se
kreu odozgo (u negativnom smeru y-ose) i protiqu kroz horizontalnu kontrolnu povrx
dA. Ovakvo kretae delia pokazuje da fluktua ione brzine v < 0 i u > 0 dovode do
pozitivnog turbulentnog napona τ > 0, tj. do pozitivnog tangen ijalnog napona, koji se od
strujaa prenosi na kontrolnu povrx. Na osnovu ovoga definixe se Rejnoldsov, prividni,
turbulentni smi ajni (tangentni) napon
τ ≡ τ = −ρu v
(Rejnoldsov prividni smi ajni napon)
(5.60)
Analogno se na osnovu (5.58) definixe Rejnoldsov, prividni, turbulentni normalni napon
p ≡ σ = −ρu u = −ρu
(5.61)
• Prirodno se postav a sledee pitae: Da li isti uti aj na proseqno brzinsko po e
imaju i preostale korela ije fluktua ionih brzina i kako se ovi rezultati dobijeni
za model jednodimenzijskog proseqnog strujaa u prav u x-ose mogu uopxtitina model
trodimenzijskog proseqnog strujaa?
• Znaqajno je potraiti odgovor i na ovo pitae: Da li se na osnovu prethodnih razmatraa mogu na jedan razum iv i relativno jednostavan naqin, kako sa mateatiqke,
′
′ ′
′
′
′
′
′
t
t
t
yx
′ ′
t
xx
t
xx
′ ′
′2
′
′
MEHANIKA FLUIDA
156
tako i fiziqke taqke gledixta izvesti jednaqina koliqine kretaa, tj. diferen ijalna jednaqina turbulentnog strujaa fluida izraena pomou ukupnih napona?
Odgovore na ova daju sledea poglav a!
5.7.6 Proseqne vrednosti proizvoda fluktua ionih brzina i Rejnoldsovi (turbulentni) naponi
Fluktua ino brzinsko po e sa tri komponente u , v i w formira devet korela ija
drugog reda, koje se saglasno uslovima simetrije svode na sledeih xest:
u , v , w , uv =vu, uw =wu, vw =wv
⇔ u u = u u , i 6= j
(5.62)
Negativne vrednosti korela ija −ρu u imaju isto fiziqko znaqee i uti aj na proseqno
brzinsko po e kao i analizirane korela ije −ρu i −ρu v !
Pokazano je da se fiziqko dejstvo turbulentnog fluktua ionog kretaa na proseqno
brzinsko po e u jednaqini koliqine kretaa ispo ava kao po e dodatnih (dopunskih) napona −ρu u . Ovih devet korela ija drugog reda formiraju matri u turbulentnih napona
′
′2
′2
′2
′ ′
′ ′
′
′
′ ′
′
′
′
′
′ ′
i j
′ ′
′ ′
j i
′ ′
i j
′2
′ ′
′ ′
i j




t
σxx
t
τyx
t
τzx
 t
T t ≡ ||ptij || =  τxy
t
σyy

t  =  −ρu′ v ′
τzy
−ρv ′2 −ρw′ v ′ 
 
t
σzz
−ρu′ w′ −ρv ′ w′ −ρw′2
t
τxz
t
τyz
−ρu′2
−ρv ′ u′
−ρw′ u′
(5.63)
pri qemu su komponente Rejnoldsovih turbulentnih napona date sa
(5.64)
Iz (5.62)-(5.64) se zak uquje da je p = p , i 6= j, tj. da je tenzor turbulentnih napona simetriqan tenzor drugog reda. Uporediti (5.63) sa tenzorom viskoznih napona T , jednaqina
(5.31)! Tenzor turbulentnih napona se obiqno oznaqava kao Rejnoldsov tenzor napona.
ptij = −ρu′i u′j
t
ij
i, j = 1, 2, 3.
t
ji
Rejnoldsovi normalni naponi
t = −ρu′2 ,
σxx
t = −ρv ′2 ,
σyy
t = −ρw ′2
σzz
Rejnoldsovi tangen ijalni (smi ajni) naponi
(5.65)
(5.66)
Oznake: (. . . ) - proseqna (vremenski osredena) vrednost; (. . . ) - fluktua iona vrednost;
(. . . ) - turbulentna veliqina.
t = τ t = −ρu′ v ′ ,
τxy
yx
t = τ t = −ρu′ w ′ ,
τxz
zx
t = τ t = −ρv ′ w ′
τyz
zy
′
t
MEHANIKA FLUIDA
157
5.7.7 Jednaqina koliqine kretaa vremenski osredenog strujaa - Rejnoldsove jednaqine turbulentnog strujaa nestix ivog fluida
Proseqna vrednost nelinearne (konvektivne) iner ijalne sile
Iz prethodnog izlagaa se zak uquje da pri vremenskom osredavau svih sila kod
konvektivnih iner ijalnih sila ρu nastaju dopunske sile uslov ene fluktua ionim
veliqinama. Pokazano je da proseqne vrednosti nelinearnih (kvadratnih) qlanova ρu i
~ · ∇)U
~ → ρu
ρu iner ijalne sile ρ(U
imaju oblik (5.55) i (5.56)
∂ui
j ∂xj
∂u
∂x
∂ui
j ∂xj
∂v
∂x
∂v
∂v
∂v
= ρu
+ ρu
i ρu ∂x
(5.67)
∂x
∂x
Analogno se dobijaju izrazi i za sve ostale nelinearne qlanove ρu . Tako je proseqna
vrednost nelinearne iner ijalne sile u prav u x-ose definisana rela ijom
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
+v
+w
+v
+w
+v
+w
≡ρ u
+ρ u
ρ u
(5.68)
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
ρu
∂u
∂u
∂u′
= ρu
+ ρu′
∂x
∂x
∂x
′
′
∂ui
j ∂xj
′
′
|
{z
1
|
}
′
′
′
′
{z
2
}
Konvektivna iner ija usled proseqnih brzina
2 − Konvektivna iner ija usled fluktua ionih brzina
Analogno ovom izrazu za ρ(U~ · ∇)u dobijaju se i vremenski osredeni izrazi u prav ima
y i z ose pomou proseqnih vrednosti
h
h
i
i
~ · ∇)U
~ ≡ ρ(U
~ · ∇)v
ρ(U
i ρ(U~ · ∇)U~ ≡ ρ(U~ · ∇)w.
1
−
y
z
Rejnoldsove jednaqine za utnovski nestix iv fluid
U potpoglav u 5.7.4 izvrxena je analiza vremenskog osredavaa svih sila saglasno
rela ijama (5.42)-(5.44). Drugim reqima, svaka od sila u Navije-Stoksovim jednaqinama
izraena je u funk iji od proseqnih U~ (u, v, w) i fluktua ionih brzina U~ (u , v , w ) i
potom je primenom Rejnoldsove statistike izvrxeno osredavae u vremenu! Tako dobijene jednaqine predstav aju Rejnoldsove jednaqine turbulentnog strujaa utnovskog
nestix ivog fluida.
Poxto se raspolae sa proseqnim (vremenski osredenim) vrednostima svih sila, onda
se, saglasno rela iji (5.42), formira ihova suma koja za prava x-ose ima oblik
∂u
∂
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
+u
+v
+w
(p + ρgz) + η∆u.
=
(5.69)
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
Analogno se permuta ije veliqine dobijaju izrazi i za ovde navedene jednaqine u prav ima
y i z osa! U tom i u se za da u analizu koristi jednaqina koliqine kretaa za x-osu, tj.
izraz (5.69), koji oznaqava Rejnoldsovu jednaqinu za turbulentno strujae utnovskog
nestix ivog fluida u prav u x-ose!
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
MEHANIKA FLUIDA
158
PoreÆee Navije-Stoksove i Rejnoldsove jednaqine
Uporednaanaliza Navije-Stoksove jednaqine(5.27) i Rejnoldsove jednaqine(5.69): svaka
sila u Rejnoldsovoj jednaqini ima isti matematiqki oblik kao i u Navije-Stoksovoj jednaqini, izraenoj pomou proseqne brzine i proseqnog pritiska! Dakle, trenutne vrednosti su zameene proseqnim!
MeÆutim, u Rejnoldsovoj jednaqini nastaju dopunske iner ijalne sile izazvane fluktua ijama brzina!
Navije-Stoksove
jednaqine
Navije-Stoksove
jednaqine za
proseqne veliqine
Rejnoldsove
jednaqine
vremensko osredavae
+
Sile usled Rejnoldsovih
turbulentnih (prividnih)
napona
=
(5.70)
Rejnoldsove (5.71)
jednaqine
Pri razmatrau proseqnog strujaa iner ijalne sile fluktua ionog kretaa mogu da se
razmatraju analogno kao i sile pritiska i viskozne sile. U tom i u se vrxi izvesna
transforma ija jednaqine (5.69) kako sledi
u′
∂(u′2 ) ∂(u′ v ′ ) ∂(u′ w′ )
∂u′
∂u′
∂u′
+ v′
+ w′
=
+
+
− u′
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂u′ ∂v ′ ∂w′
.
+
+
∂x
∂y
∂z
{z
}
|
~′
divU
(5.72)
Posledi qlan u izrazu (5.72) je u vezi sa jednaqinom kontinuiteta! Potrebno je razmotriti zakon odraa mase, tj. jednaqinu kontinuiteta za turbulentno strujae.
MEHANIKA FLUIDA
159
5.7.8 Jednaqina kontinuiteta za turbulentno strujae nestix ivog fluida
Vremensko osredavae jednaqine kontinuiteta za nestix iv fluid:
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
~ =0
divU
Trenutne brzine (u, v, w)
Rejnoldsova
statistika
∂
∂
∂
u + u′ +
v + v′ +
w + w′ = 0
∂x
∂y
∂z
proseqne brzine (u, v, w) i
fluktua ione brzine (u′ , v′ , w′ )
ui = ui + u′i
Rejnolds - vremensko
osredavae
ˆ
(. . . ) =
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
T
(. . . )dt
0
∂u′ ∂v ′ ∂w′
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
⇐⇒
Nestix iv fluid
~ =0
divU
1
T
(5.73)
~′ = 0
divU
Jednaqine kontinuiteta za proseqno i fluktua iono turbulentno strujae nestix ivog fluida (5.73) dobijene su korixeem rela ija
∂u
∂u
=
,
∂x
∂x
∂ 1
∂u′
=
∂x
∂x T
ˆ
0
T
u′ dt = 0
−→
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
→
∂u′ ∂v ′ ∂w′
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
Zapaa se da je mateatiqki izraz za jednaqinu kontinuiteta proseqnog strujaa istog
oblika kao i za trenutno (stvarno) strujae. Nema dopunskih qlanova, jer se radi o linearnim izrazima. Jednaqina kontinuiteta, saglasno zakonu o odraa mase, mora da bude
zadovo ena i za proseqno i za fluktua iono turbulentno strujae, izraz (5.73). Oqigledno je da Uvrxtavaem (5.73) u (5.72) Rejnoldsova jednaqina dobija svoj zavrxni oblik.
5.7.9 Rejnoldsove jednaqine za utnovski nestix iv fluid izraene
posredstvom Rejnoldsovih napona
Posredstvom jednaqine kontinuiteta (5.73), divU~ = 0 izraz (5.72) dobija oblik
′
u′
∂(u′2 ) ∂(u′ v ′ ) ∂(u′ w′ )
∂u′2 ∂u′ v ′ ∂v ′ w′
∂u′
∂u′
∂u′
+ v′
+ w′
=
+
+
=
+
+
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(5.74)
MEHANIKA FLUIDA
160
Uvrxtavaem (5.74) u (5.69) sledi
∂u
∂u
∂u
∂u
ρ
+v
+w
+u
∂t
∂x
∂y
∂z
|{z} |
{z
}
1
2
!
∂
= −
(p + ρgz) + η∆u
|{z}
∂x
|
{z
}
4
3
∂
∂
∂ −ρu′2 +
−ρu′ v ′ +
−ρu′ w′
+
∂x
∂y
∂z
|
{z
}
5
(5.75)
Fiziqka znaqea pojedinih qlanova u Rejnoldsovoj jednaqini (5.75) za turbulentno strujae nestix ivog utnovskog fluida u po u sile Zem ine tee u prav u x-ose:
1 - Proseqna lokalna iner ijalna sila,
2 - Proseqna konvektivna (nelinearna) iner ijalna sila,
3 - Proseqna vrednost sile pritiska i sile Zem ine tee (sila proseqnog generalisanog pritiska),
4 - Proseqna viskozna sila, tj. sila usled proseqnih vrednosti viskoznih napona
p ,
5 - Sila usled Rejnoldsovih (turbulentnih) napona p !
Sila 5 je posledi a dejstva turbulentnih fluktua ija, tj. Rejnoldsovih napona. Poreklo turbulentnih napona je u nelinearnim (konvektivnim) iner ijalnim silama! Zbog
toga se oni nazivaju prividnim naponima. Korela ije −ρu u nastaju pri vremenskom
osredavau nelinearnih iner ijalnih sila i nazivaju se naponima, jer se ima ostvaruju dopunski, u odnosu na molekularne, makroskopski prenosi koliqine kretaa koji se
u turbulentnom strujnom po u ispo avaju kao dejstvo napona!
Rejnoldsova jednaqina (5.75) moe da se napixe i u obliku (F ≡ g )
η
ij
t
ij
i j
x
ρ
Du
∂p
∂
= ρgx −
+
Dt
∂x ∂x
η
∂u
− ρu′2
∂x
+
∂
∂y
η
∂u
− ρu′ v ′
∂y
+
∂
∂z
η
x
∂u
− ρu′ w′
∂z
(5.76)
Analogni obli i jednaqina su za y i z-osu! One se dobijaju uobiqajenim permu-
ta ijama odgovarajuih veliqina, tj. zavisno i nezavisno promeivih.
Iz jednaqina (5.75), odnosno (5.76) i (5.27) se zak uquje:
(a) U Rejnoldsovim jednaqinama se pojav uju dopunske konvektivne iner ijalne sile
uslov ene turbulentnim fluktua ijama.
(b) Sve ostale sile izraavaju se kao funk ija proseqnih vrednosti brzine i pritiska, tj. umesto trenutnih vrednosti brzina pritiska u Navije-Stoksovim jedna hinama uvrxtavaju se proseqne vrednosti brzina i pritiska.
Sve tri Rejnoldsove jednaqine za ose x, y i z mogu se na osnovu izraza (5.76), zajedno sa
MEHANIKA FLUIDA
161
jednaqinom kontinuiteta (5.73) napisati, pomou indeksne nota ije, u sledeem obliku:
∂u
∂ui
+ ρuj
ρ
∂t
∂xj
∂p
∂
= ρgi −
+
∂xi ∂xj
∂uj
= 0,
∂xj
∂ui
η
∂xj
∂u′j
∂xj
+
∂ −ρu′i u′j ,
∂xj
(5.77)
= 0.
Za sluqaj statistiqki sta ionarnog strujaa je ∂u /∂t = 0 u izrazu (5.77)!
Sistem Rejnoldsovih jednaqina (5.77) je nezatvoren! Rejnoldsovi (turbulentni) naponi
su nepoznati! Osnovni problem se sastoji u povezivau karakteristika fluktua ionog
po a sa po em vremenski osredenih, proseqnih veliqina. Potrebno je formirati modele koji povezuju korela ije fluktua ionih brzina sa proseqnim brzinama. Neophodne
su pretpostavke o turbulentnim naponima! Primena Rejnoldsove statistike dovodi do potrebe modeliraa turbulentnih strujaa. Taj problem u opxtem sluqaju nije rexen do
danaxih dana! Zahteva se jedinstvo teorijskog, eksperimentalnog i numeriqkog rada!
Jox uvek ne postoji egzaktno rexee ni najjednostavnijeg turbulentnog strujaa!
i
5.7.10 Opxte stae napona pri turbulentnom strujau
Na osnovu prethodnih analiza analiza sila i napona, mogue je u ovom trenutku zaokruiti odgovor na tako vano pitae, kao xto je pitae opxteg staa napona. Takvo
stae napona odreÆuje i ukupne sile, masene i povrxinske, koje deluju na fluid i izazivaju
egovo laminarno i turbulentno strujae.
Model jednodimenzijskog proseqnog strujaa (sl. 5.6)
Za primenu u tehniqkoj praksi, na primer, pri turbulentnom strujau u evima, kanalima i graniqnom sloju, dominantna je promena turbulentnog smi ajnog napona −ρu v u
popreqnom y-prav u, pa jednaqina koliqine kretaa u x-prav u (5.76) moe da se napixe
u obliku
~ · ∇)u ≈ ρg + ∂p + ∂ (τ )
ρ(U
(5.78)
ukupno
∂x ∂y
gde je
∂u
+ −ρu v = τ + τ
(τ )ukupno = η
(5.79)
∂y
Model strujaa (5.78) odgovara turbulentnom potpuno razvijenom (∂(. . . )/∂x = 0, ∂u/∂x =
0), ravanskom (∂(. . . )/∂z = 0) jednodimenzijskom proseqnom (u(y), v ≡ w = 0) strujau
utnovskog nestix ivog fluida. Zbog toga je za takve strujne modele uobiqajeno da se
′ ′
x
xy
xy
′ ′
xy
t
xy
MEHANIKA FLUIDA
162
naponi u (5.79) oznaqe uproxeno kako sledi:
(τ )ukupno ≡ τ
−
ukupni (indeks "uk") smi ajni (tangen ijalni) napon;
τ ≡τ ≡τ
−
viskozni ( indeks "η"ili "v") tangen ijalni (smi ajni) napon saglasno
utnovoj hipotezi o naponima;
τ ≡τ
−
turbulentni (indeks "t") tangen ijalni (smi ajni) napon.
Dakle, za jedno turbulentno jednodimenzijsko proseqno strujae vai rela ija (sl. 5.6)
xy
uk
xy
η
v
t
xy
t
τ yx = τ η + τt = η
(5.80)
∂u
+ −ρu′ v ′ .
∂y
Ukupni smi ajni napon τ obuhvata viskozni tangen ijalni napon τ (mikroskopski,
molekularni prenos koliqine kretaa) i turbulentni tangen ijalni napon τ (makroη
uk
skopsku, molarnu razmenu impulsa).
t
Model napona za trodimenzijsko proseqno turbulentno strujae
U opxtem sluqaju turbulentnog trodimenzijskog proseqnog strujaa umesto rela ije
(5.80) pojav uju se tenzori viskoznih i turbulentnih napona. MeÆutim, opxte stae
napona i matri e napona se, na osnovu dosadaxih razmatraa, formiraju jednostavno,
i fiziqki i mateatiqki. Naime, saglasno analizi i oznakama napona u Glavi 2, kao i
izrazima za turbulentne napone (5.63) i (5.64), mogu se napisati sledee rela ije za stae
napona u matriqnom obliku
P = −pE + T + T
(5.81)
gde su P - tenzor ukupnih napona, E - jediniqni tenzor, T - tenzor viskoznih napona i T
- tenzor turbulentnih napona, ili pak u obliku pomou komponenata tenzora napona
p = −pδ + overlinep + p
(5.82)
gde su p - ukupni naponi, p - proseqni pritisak, p - viskozni naponi i p turbulentni
naponi.
Matri a tenzora viskoznih napona T za utnovski nestix iv fluid data je izrazom
(5.34), u koji treba umesto trenutnih uvrstiti proseqne brzine. Matri a tenzora turbulentnih napona T data je rela ijom (5.63). Izrazi za pojedinaqne napone glase:
(a) Ukupni normalni naponi
p ≡ σ = −p + σ + σ ; analogno za σ i σ !
(5.83)
(b) Ukupni tangen ijalni (smi ajni) naponi
(τ ) = τ + τ ; analogno za (τ ) i (τ )
(5.84)
t
t
η
ij
ij
ij
t
ij
η
ij
ij
t
ij
t
xx
η
xx
xx
xy uk
xy
t
xy
t
xx
yy
xz uk
zz
yz uk
MEHANIKA FLUIDA
163
utnovski nestix iv fluid
Normalni naponi:
Smi ajni naponi: (τ )
σ xx = −p + 2η
(5.85)
∂u
− ρu′2
∂x
(5.86)
Izrazi za normalne napone σ i σ su analogni izrazu (5.85), i izrazu (5.86) za smiajne napone (τ ) i (τ ) . Ovim komponentama napona se formiraju tenzori ukupnog napona (5.81), koji su simetriqni tenzori drugog reda. Ukupni naponi odreÆuju po e
ukupnih povrxinskih sila, koje omoguuju uvoÆee odgovarajuih jednaqina strujaa, tj.
jednaqina koliqine kretaa!
xy uk
yy
xz uk
≡ (τ yx )uk = η
∂u ∂v
+
∂y
∂x
− ρu′ v ′
zz
yz uk
5.8 Laminarno strujae kroz prave krune evi
Pretpostavke i defini ije
Nestix iv fluid (ρ = const)
• Sta ionarno strujae (∂(. . . )/∂t = 0)
• Laminarno strujae u pra u podune x-ose (u, v ≡ w = 0)
• Potpuno razvijeno strujae, tj. profil brzine se ne mea u x-prav u (∂u/∂x = 0 ⇒
u 6= u(x))
• Pri slojevitom strujauu evi pritisak p, odnosno generalisani pritisak p su
konstantni u popreqnom preseku (p = const odnosno p ≡ p − Φ = p + ρgz = const ⇔
izrazi (4.99), (4.108) i (4.110))
• Razlika pritiska u prav u strujaa odrava (omoguuje) strujae
•
G
G
5.8.1 Profil brzine i pad pritiska
F
Za odreÆivae raspodele brzine u popreqnom preseku primeuje se zakon koliqine kretaa. Strujae je osnosimetriqno (∂(. . . )/∂ϕ = 0, w = 0, u = u(r)) pa se za kontrolnu
zapreminu (V ) bira koaksijalni (saosni) ilindar polupreqnika r i duine l izmeÆu
preseka 1-1 i 2-2. (sl. 5.7). Saglasno uqienim pretpostavkama ne postoji promena koli hine kretaa, jer je strujae sta ionarno i potpuno razvijeno (jednoliko). U tom sluqaju
jednaqina (5.33) se znatno uproxava i svodi na jednaqinu dinamiqke ravnotee sila pritiska (generalisanog pritiska) i sile trea (viskozne sile) kako sledi (sl. (5.7))
r πp − r πp − |τ |2πrl = 0,
(5.87)
gde je na osnovu rela ije (5.80) τ = τ = τ . Jednaqina (5.87) se svodi na oblik
2l
∆p = |τ | ,
(5.88)
∆p = p − p (pad pritiska na duini l)
r
2
xy
2
1
2
η
1
2
MEHANIKA FLUIDA
164
Ako ev nije horizontalna, onda umesto p i p treba u jednaqinu (5.87) uvrstiti generalisani pritisak p = p + ρgz , i = 1, 2. Veliqina ∆p nije funk ija od radijalne koordinate
r ilindriqnog koordinatnog sistema (x, r, ϕ) ↔ (u, v, w) tako da iz (5.88) slede zak uq i
(a) pad pritiska ∆p = p − p u smeru strujaa od 1-1 ka 2-2 je posledi a trea, tj.
viskoznosti fluida,
(b) smi ajni (tangen ijalni) napon τ je linearna funk ija popreqne koordinate r!
Sada se moe postaviti pitae: kakva raspodela brzine nastaje kao posledi a pada
pritiska ∆p? Odgovor se dobija kada se izraz (5.88) napixe u obliku |τ | = ∆pr/2l uoqava
se da se za zadato ∆p uspostav aju profili brzine koji odgovaraju reoloxkoj jednaqini
fluida koji struji. Napomie se da jednaqina (5.88), nezavisno od reoloxke zakonitosti
τ = τ (γ̇) (poglav e 1.5), odreÆuje τ (r) kao linearnu funk iju od r ! To vai kako za
utnovske, tako i za neutnovske fluide. Dakle, potrebno je zadati reoloxku rela iju
τ = τ (γ̇), gde je u ovom sluqaju γ̇ = du/dr (poglav e 1.5).
U sluqaju utnovskog fluida, saglasno izrazima (5.5) o znaku napona, reoloxka jednaqina za utnovski fluid ima oblik
du
du
< 0, sl. 5.7
|τ | = −η
(5.89)
dr
dr
Da i tok proraquna je razum iva i lagana raquni a, kako sledi. Naime, uvrxtavaem
(5.89) u (5.88) se dobija
∆p
du
=−
r
(5.90)
dr
2η l
Integra eem jednaqine (5.90) uz korixee graniqnog uslova na zidu evi u(r = R) = 0
sledi izraz (sl. 5.7)
1
Gi
i
2
i
1
2
∆p
R2 − r 2 ,
4η l
∆p R2
≡ u(r = 0) =
.
l 4η
(5.91)
u(r) =
um
Profil brzine u(r) je parabola, taqnije obrtni paraboloid. Maksimalna brzina u se
ostvaruje na osi evi (r = 0).
Zapreminski protok V̇ za jednodimenzijsko strujae kroz ev (u(r), v = 0, w = 0) definisan je, posle korixea (5.91), izrazom (sl. 5.7)
ˆ
π ∆p R
1
(5.92)
u(r) 2rπ dr =
V̇ =
= u R π.
8 l η
2
Iz (5.92) slede propor ionalnosti za laminarno strujae
V̇ ∝ ∆p , V̇ ∝ R .
Hagen-Puazejev zakon
(5.93)
Zapreminskiprotok je linearno propor ionalanpadu pritiska! Zavisnost V̇ ∝ R koja pokazuje da je protok propor ionalan qetvrtom stepenu polupreqnika evi, xto je od velike
m
R
4
m
2
r=0
4
4
MEHANIKA FLUIDA
,
165
,
us
~| = U v = 0 w = 0
u = |U
u(r)
11111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111
1
R
p1
1
r
2
τ
r
V
2
τ
(parabola)
p
p1
dr
|τ |
r
p2
x
p2
ρ
x
l
τ (r)
∆p
dp
p1 − p2
=
=−
= const
l
l
dx
111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111
um
l
Yλ = ∆p/ρ
(g)
(v)
(b)
Slika 5.7. Primena zakona koliqine kretaa na laminarno strujae u evi kruznog preseka;
jednodimenzijsko strujae U~ = u~i, v = w = 0: (a) kontrolna zapremina V i osnovne oznake; (b)
paraboliqan profil brzine u(r); u - maksimalna brzina; u - sreda brzina (u = u /2); (v)
linearna raspodela smi ajnog (tangen ijalnog) napona τ u popreqnom preseku; (g) pad pritiska ∆p
je linearna funk ija duine evi l, tj. pad pritiska po jedini i duine (dp/dx) ima konstantnu
vrednost, tj. pritisak se po duini evi x mea po linernom zakonu ; Y = ∆p/ρ - gubitak energije
usled trea na duini l.
(a)
m
s
s
m
λ
vanosti za primenu u medi ini! Smaee R dovodi do drastiqnog smaea protoka!
Puazej je fran uski medini ar koji se bavio istraivaem strujaa u krvi u venama i
arterijama.
5.8.2 Sreda brzina u
s
U potpoglav u 4.16.1 razmatranisu modeli jednodimenzijskog i kvazi-jednodimenzijskog
strujaa. Za primenu i tehniqku praksu je uvoÆee pojma srede brzine U od ogromnog
znaqaja. Defini ija srede brzine:
Sreda brzina je zamix ena, fiktivna, konstantna brzina koja ostvaruje isti
zapreminski protok fluida V̇ kao i stvarni profil brzine U .
Primeeno na model strujne evi sreda brzina strujaa u podrazumeva osredavae
stvarne brzine u po preseku evi ! To treba strogo razlikovati od osredavaa brzine
po vremenu u pojedinim taqkama preseka. Prostorna i vremenska osredavaa su suhtinski deo analize fiziqkih pojava. Sreda i proseqna (vremenski osredea) brzina su
znaqajne, ali potpuno razliqite fiziqke veliqine! Saglasno defini iji srede brzine i
jednodimenzijskom, tj. kvazi-jednodimenzijskom karakteru strujaa u popreqnom preseku
evi A slede rela ije (sl. 5.7)
ˆ
ˆ
V̇
1
(5.94)
U dA = U A =⇒ U =
V̇ =
=
U dA
A
A
gde je A popreqni presek strujne evi u kome strujae ima jednodimenzijski karakter.
Za laminarno strujae kroz ev kruznog popreqnog preseka (sl. 5.7) na osnovu izraza
(5.92) za zapreminski protok V̇ dobija se sledea karakteristiqna vrednost za sredu
s
s
s
s
A
s
A
MEHANIKA FLUIDA
166
brzinu u :
s
V̇
1
us =
= 2
A
R π
ˆ
R
u(r)2rπdr =
0
( ev - laminarno strujae) (5.95)
1
∆p R2
= um
l 8η
2
5.8.3 Izraz za pad pritiska. Gubitak energije usled trea. Koefi ijent
trea
Pad pritiska ∆p = p − p u smeru strujaa ispo ava se usled uti aj trea (dejstvo
viskoznosti)! Prema tome, veliqina Y = ∆p/ρ predstav a gubitak energije usled trea!
Pri tome profil brzine (5.91) se ne mea!
Izraz za pad pritiska se dobija iz (5.91) i (5.95) u obliku
1
2
λ
∆p =
4η l um
ρ ν lus
=8
.
R2
R2
Svrsishodno je u i u da e analize izvrxiti fiziqku dekompozi iju prethodnog izraza
za ∆p, pri qemu se formiraju karakteristiqne geometrijske i strujne veliqine:
ν
ρu
l
u D
∆p =
·
· 64
, D = 2R,
Re =
(5.96)
2
D
u D
ν
|{z}
|{z}
2
s
s
s
1
2
|
{z
3
}
Fiziqko znaqee pojedinih qlanova:
1 - ima dimenziju pritiska i formira se sa sredom brzinom u ,
2 - karakteristikageometrije strujnog prostora; ako ev nije krunog popreqnog preseka
onda se umesto preqnika D uvrxtava hidrauliqki preqnik D definisan izrazom
4A
u D
D =
(5.97)
,
Re =
,
O
ν
gde su: A - povrxina popreqnog preseka; O - okvaxeni obim popreqnog preseka i Re
- Rejnoldsov broj formiran sa hidrauliqkim preqnikom. Za kruni presek D je
identiqno geometrijskom preqniku D jer je A = D π/4, O = Dπ i D = 4A/O = D!
3 - sadri fiziku pro esa trea u evima, tj. obuhvata sloen pojave uti aja viskoznosti i viskoznih sila na strujae fluida i gubitka energije usled trea. Zbog toga
je veliqina λ
konvektivne
iner
ijalne
sile
64
u D
=
(5.98)
λ=
Re =
Re
ν
viskozne sile
koefi ijent trea pri laminarnom strujau u evima i predstav a jednu od
najznaqajnih hidrauliqkih funk ija!
s
h
h
h
s
h
h
h
2
s
h
MEHANIKA FLUIDA
167
Uvrxtavaem (5.98) u (5.96) dobija se Hagen-Puazejev (Hagen-Poiseuille) zakon u obliku
l ρu
∆p
∆p = λ
(gubitak energije usled trea)
(5.99)
,
Y =
D 2
ρ
Ovakva struktura izraza za pad pritiska je tipiqna za strujaa u kanalima!
Dakle, nezavisno od toga da li se radi o potpuno razvijenom laminarnom strujau ili
turbulentnom strujau, ili strujaima u poqetnim deoni ama evi, ili pak o strujaima
u kanalima razliqitih popreqnih preseka (kvadratnih, pravougaonih, eliptiqkih, trougaonih, prstenastih i drugih) uvek je struktura formule za pad pritiska oblika (5.99).
Problem nastaje pri odreÆivau hidrauliqke funk ije, tj. koefi ijenta trea λ! O tome
e biti reqi u poglav ima koja slede.
Rela ija (5.99) sadri i sledee vane zak uqke:
∆p ∝ l
(pad pritiska je linearna funk ija duine evi)
(5.100)
∆p ∝ u
(tipiqna zavisnost za laminarna strujaa)
2
s
λ
s
Koefi ijent trea λ
Koefi ijent trea λ, a samim tim i izgub ena energija usled trea Y , je pri laminarnom strujau funk ija samo od Rejnoldsovog broja Re i teorijski i prakti no ne zavisi
od hrapavosti povrxi evi (δ - apsolutna hrapavost; k = δ/D - relativna hrapavost zida
evi). Naime, kod laminarnog strujaa ne postoji makroskopski prenos koliqine kretaa
u popreqnom prav u, jer se strujae odvija u kretaem delia u slojevima koji prekrivaju
hrapavost povrxi i qine zid evi kvazi-glatkim. Zato se pri laminarnom strujau evi
ponaqaju kao hidrauliqki glatke!
λ
Smi ajni napon τ (r)
Iz (5.91) sledi izraz za raspodelu smi ajnog napona
(5.101)
qija je raspodela prikazana na sli i 5.7(v). Dakle, pritisak p je linearna funk ija
p = p(x) podune koordinate x, dok je smi ajni napon τ linearna funk ija τ = τ (r) od
popreqne koordinate r!
τ (r) = −η
du
2um
4us
= 2 r = 2 r,
dr
R
R
5.8.4 Fluks koliqine kretaa. Presek sa neravnomernim profilom brzine. Korek ioni koefi ijent - Busineskov koefi ijent
Kon ept jednodimenzijskog i kvazi-jednodimenzijskog strujaa razmatran je u potpoglav u 4.16.1. Pri strujau u evima postoje popreqni prese i u kojima je ostvaren jednodimenzijski karakter strujnog po a. Raspodela brzine je, meÆutim, neravnomerna u
MEHANIKA FLUIDA
168
tim prese ima. Na primer, pokazano je da je profil brzine pri laminarnom strujau u
evi paraboliqan. U glavi 4 je pokazano da je za izrazaqunavae fluksa (konvektivne promene) mase, koliqine kretaa i energije kroz povrx A preseka evi potrebno izraqunati
integrale (4.13), (4.13) i (4.13)
¨
¨
¨
U
~
~
~
~ · ~n)dA,
ρU (U · ~n)dA
ρ(U · ~n)dA,
ρ e+
(U
i
2
koji se u sluqaju strujaa homogenog i nestix ivog fluida kroz presek evi A u kome
strujae ima jednodimenzijski karakter, svode na oblike u kojima je izostav ena gustina
¨
¨
¨ U
udA.
i
(5.102)
u ~n dA
udA,
e+
2
2
A
A
A
2
2
A
A
A
U izrazima (5.102) se smatra da je U~ = U~n = u~i, tj. da je strujae u evi u prav u ene
podune x-ose na koju je presek A ortogonalan.
SvoÆee integralnih izraza (5.102) na obiqne algebarske se postie uvoÆeem sredih, konstantnih vrednosti fiziqkih veliqina u prese ima evi. Taj problem je rexen
kod prvog integrala uvoÆeem srede brzine, jednaqina (5.94). Pri tome je zapreminski
protok V̇ invarijantna veliqina, tj. egova vrednost je ista nezavisno da li se raquna
sa stvarnom ili sredom brzinom. Kod protoka V̇ se ne qini nikakva grexka! Sada se
prirodno pojav uje sledee pitae: Da li se pri uvoÆeu srede brzine qine grexke pri
izraqunavau koliqine kretaa i kinetiqke energije? Ovde se razmatra koliqina kretaa, tj. drugi integral u (5.102), dok se kinetiqka energija, tj. deo treeg integrala u
(5.102) analizira u sledeem poglav u 5.9.
Posle jednostavne transforma ije
¨
A
2
u ~n dA ≡
¨
2~
u i dA =
A
1
u2s A
¨
definixe se izvesna veliqina β izrazom
1
β= 2
us A
A
u dA u2s A~i ≡ βu2s A~i = β V̇ u2s ~i
2
¨ 1
u dA =
A
A
¨
2
A
u
us
2
dA
(5.103)
Oqigledno je da se zamenom stvarnih vrednosti brzine u enom sredom vrednoxu qini
grexka, jer iz (5.103) sledi
¨
A
2
u dA 6=
u2s A
→
¨
A
u2 dA = β u2s A.
Veliqina β definisana rela ijom(5.103) fiziqkipredstav a koliqinikstvarne i srede
koliqine kretaa, tj. odnos koliqina kretaa izraqunatih sa stvarnim i sredim brzinama. Na ovaj naqin uvedena veliqina β slui za pro enu grexke i naziva se korek ioni
koefi ijent koliqine kretaa, tj. Busineskov (Boussinesq) koefi ijent. Koefi ijentom
β se na izvrstan naqin pro euje i neravnomernost stvarnog profila brzine, na xta ukazuju egove vrednosti izraqunate za ra liqita laminarna i turbulentna strujaa. Za
MEHANIKA FLUIDA
169
ravnomeran profil nema nikakve korek ije, jer je u tom sluqaju β = 1!
U sluqaju laminarnog strujaa kroz ev krunog popreqnog preseka profil brzine
je odreÆen izrazom (5.91), a vrednost srede brzine rela ijom (5.95), tako da se ihovim
uvrxtavaem u (5.103) dobija
rag repla emen
u
4
r
, A=R π
⇒
, u =
u=u
β=
(5.104)
1−
R
2
3
2
m
m
s
2
2
5.9 Turbulentno strujae u evi
5.9.1 Primena zakona koliqine kretaa
Iz prethodnog izlagaa sledi da je turbulentno strujae neuporedivo tee prouqavati
nego laminarno. U tehniqkim primenama, meÆutim, qesto nisu interesantne sve pojedinosti strujnog po a, ve je dovo no poznavae proseqnih, vremenski osredenih vrednosti.
Problem se razmatra analogno laminarnom strujau u evi. Pretpostav a se da je turbulentno strujae potpuno razvijeno, tj. da je ∂u/∂x = 0 i u = u(r). Zakon koliqine kretaa
se primeuje na kontrolnu zapreminu uzetu preko elog preseka evi (sl. 5.8).
R
1
τw
p1
2
1
r
2
Re = 4 · 103
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111
l
r
u(r)
Viskozni
podsloj
x
Re = 3.2 · 106
ρ
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
um
1.0
x
τw
1.0
laminarno
y
R
p2
V
us /um
0
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
δη ≡ δv
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
us
(v)
(b)
(a)
Slika 5.8. Turbulentno strujae u evi: (a) Kontrolna zapremina V za primenu zakona koliqine
kretaa; p i p - vremenski osredeni (proseqni) pritis i u prese ima 1-1 i 2-2; τ - smi ajni
napon na zidu; (b) stepeni zakon raspodele brzine pri turbulentnom strujau u hidrauliqki glatkoj evi ; profili brzina za dva razliqita Rejnoldsova broja uporeÆena sa paraboliqnim profilom
brzine za laminarno strujae; (v) Raspodela brzine u(r) pri turbulentnom strujau u evi; u
- maksimalna brzina (u osi evi); u - sreda brzina (proseqna brzina u(r) osredena po povrxi
popreqnog preseka evi); δ ≡ δ - deb ina viskoznog podsloja.
1
w
2
m
s
η
v
Pri tome postoji ravnotea izmeÆu sila pritiska i viskoznih sila, tj. sila trea
koje potiqu od smi ajnog napona na zidu τ , tako da jednaqina dinamiqke ravnotee glasi:
p R π − p R π − |τ |2Rπ l = 0.
(5.105)
Jednaqina koliqine kretaa (5.105) je analogna jednaqini (5.87), tako da se diskusija za
pritisak sada prenosi na proseqni (vremenski osredeni) pritisak.
w
1
2
2
2
w
MEHANIKA FLUIDA
170
Iz jednaqine (5.105) sledi vana rela ija
∆p = |τ w |
2l
,
R
∆p = p1 − p2 = p(x1 ) − p(x2 ),
(5.106)
x2 − x1 = l
Napomene u vezi sa jednaqinom (5.106)
(1) Uvrxtavajui vrednosti p = p i p = p + dp i x − x = dx u (5.106) dobija se
diferen ijalni oblik jednaqine koliqine kretaa:
4τ
dx < 0.
dp = −
( ev → τ > 0)
(5.107)
D
Poxto je τ > 0 na zidu evi, sledi da tree u ovom sluqaju (ρ = const, A = const)
dovodi do pada pritiska, tj. da je dp < 0. Moe se smatrati i da je algebarska
rela ija (5.106) dobijena integra eem jednaqine (5.107) za sluqaju τ = const, xto
je za model potpuno razvijenog strujaa ispueno!
(2) Primenom zakona koliqine kretaa na saosne ilindre polupreqika r i R (sl. 5.7 i
5.8) dobijaju se rela ije
(p − p )R π − |τ |2Rπl = 0
i (p − p )r = 2|τ |l
iz kojih sledi linearna raspodela tangen ijalnog napona u popreqnom preseku
evi
y
r
τ =τ
(5.108)
, r =R−y
=τ 1−
R
R
koja vai i za laminarno i za turbulentno strujae.
Naponi τ i τ su ukupni tangen ijalni naponi definisani izrazom
(5.80), tj. τ = τ + τ .
(3) Stae napona u prese ima 1-1 i 2-2 odreÆeno je pritiskom (ili generalisanim pritiskom), normalnim naponima usled viskoznosti i turbulen ije i smi ajnim naponima
usled viskoznosti i turbulen ije. MeÆutim, pri strujau u evima normalni viskozni i turbulentni naponi se u prese ima evi praktiqno zanemaruju u odnosu na
pritisak. Sile koje potiqu od tangen ijalnih napona se, zbog simetriqnog profila
brzine, delimiqno ili potpuno uravnoteavaju u preseku evi, tako da se povrxinske sile svode na sile pritiska, jer se stae napona u preseku po pravilu svodi na
pritisak.
(4) Ukupni smi ajni napon τ = τ je posledi a intenzivne razmene impulsa, tj. koliine kretaa u popreqnom r-prav u. Fluktua iono kretae znatno utiqe na raspodelu brzine i na veliqinu pada pritiska, tj. na gubitke energije. Zbog toga je pri
turbulentnom strujau profil brzine znatno ravnomerniji nego pri laminarnom (sl.
5.8(b)), a takoÆe su i gubi i energije znatno vei nego pri laminarnom strujau. Za
ovaj mehanizam turbulentnog prenosa vezan je i izbor kontrolne zapremine. Naime,
1
2
2
1
w
w
w
w
1
2
2
w
w
w
uk
η
t
uk
1
w
2
MEHANIKA FLUIDA
171
pro ese prenosa mase, impulsa i energije kroz omotaq ilindra polupreqika r (sl.
5.7(a)) u turbulentnom strujau nije mogue analitiqki opisati. Texkoe u istrazhivau su nexto mae ako se kontrolna zapremina proxiri na eo presek evi (sl.
5.8(a)).
U potpoglav u 5.8.3 je pokazano kako tree pri laminarnom strujau utiqe na profil brzine, pad pritiska i gubitke energije. Analogan iskaz u sebi sadri i jednaqina
(5.106). MeÆutim, u turbulentnom strujau je problem izrazito sloeniji. Ukupni tangen ijalni napon τ ≡ τ , w obuvhvata smi ajne viskozne i turbulentne napone na zidu
evi i ima dominantnu ulogu u formirau profila brzine, u proraqunu gubitka energije
i u pro esima prenosa u blizini zida (univerzalni žakon zida").
Dakle poznavae napona τ omoguuje da se posredstvom (5.106) ili (5.107) odredi promena pritiska du x-ose, tj. pad pritiska (ili generalisanog pritiska), odnosno gubitak
energije usled trea. Smi ajni napon na zidu evi krunog popreqnog preseka potpuno je odreÆen zakonom raspodele brzine strujaa (jednaqina (5.101)). Tu nastaje
problem kod turbulentnog strujaa u odnosu na laminarna strujae! Potrebno je odrediti
izraz za silu trea, tj. za smi ajni napon na zidu τ . Vaan i znaqajan rezultat daje
dimenzijska analiza.
w
uk
w
w
5.9.2 Primena dimenzijske analize - tangen ijalni napon na zidu evi Darsijeva formula. Sreda brzina
Funk ionalna zavisnost u uobiqajenim oznakama
Φ(ρ, us , D, ν, δ, τ w ) = 0
se primenom π teoreme, tj. Vaxi-Bakingemove (Vaschy-Buckingham) teoreme svodi na
funk iju
Φ (π , π , π ) = 0
(5.109)
u kojoj su veliqine π , π , π bezdimenzijski π-monomi, koji se pomou usvoje tri
osnovne veliqine (pramere) postupkom dimenzijske analize formiraju na sledei naqin:
1
τw
πτw =
τw
ρx uys D z
⇒
ν
τw
ν
δ
δ
M LT −2 L−2 = (M L−3 )x (LT −1 )y Lz
⇒ x = 1, y = 2, z = 0,
gde u dimenzijskoj jednaqini M oznaqava masu, L duinu i T vreme. Analognim postupkom
se odreÆuju i ostala dva bezdimenzijska monoma, tako da se ihovim uvrxtavaem u (5.109)
dobija
1
1 δ
δ
τ
τ
,
=Φ
,
,k , k =
(relativna hrapavost evi).
⇒
Φ
ρ u Re D
ρu
Re
D
1
w
2
s
w
2
s
2
MEHANIKA FLUIDA
172
5.9.3 Sreda brzina u
s
U prethodnim izrazima sreda brzina pri turbulentnom strujau u evi krunog
popreqnog preseka u definisana je rela ijama
s
1
u(r) =
T
ˆ
T
V̇
1
us =
= 2
A
R π
u(r, t) dt,
0
ˆ
R
u(r) 2rπdr.
0
(5.110)
Prvi integral odreÆuje proseqnu, vremenski osredenu brzinu u(r), a drugi sredu brzinu
u dobijenu osredeavaem proseqne brzine u(r) po popreqnom preseku evi. Brzine u(r)
i u su prikazane na sli i 5.8(v). Dakle, u oznaqava vremensku i prostornu sredu
vrednost brzine. Ovo vano formirae sredih vrednosti brzine u(r, t) moe da se na
osnovu (5.110) prikae izrazom
s
s
s
1
us = 2
R π
ˆ
0
R
1
T
ˆ
T
u(r, t) dt 2πrdr
0
(5.111)
5.9.4 Smi ajni napon na zidu. Darsijeva formula
Iz prethodnih funk ionalnih zavisnosti dobija se izraz za tangen ijalni (smi ajni)
napon na zidu evi τ u obliku
1
τ = f (Re, k) ρu
(5.112)
2
U literaturi je uobiqajeno da se faktor trea f (Re, k) povee sa koefi ijentom trea
λ rela ijom
4f (Re, k) = λ(Re, k).
(5.113)
Uvrxtavaem (5.112) i (5.113) u (5.106) dobija se
w
w
s
(5.114)
Struktura formule za pad pritiska potpuno je ista kao i za laminarno strujae!
MeÆutim, za turbuletno strujae hidrauliqka funk ija λ(Re, k) mora da se odredi eksperimentalnim metodama! Teorijski proraqun za sada nije mogu.
Gubitak energije usled trea (5.99) u turbuletnom strujau definisan je Darsijevom
formulom (5.114) u obliku
∆p = λ(Re, k)
Yλ =
∆p
l u2s
= λ(Re, k)
ρ
D 2
l ρu2s
D 2
Darsijeva formula (H.Darcy, 1803-1855)
(5.115)
Poluempirijski izrazi za funk iju λ(Re, k) zavise od toga da li se ev u odgovarajuem
reimu turbulentnog strujaa ponaxa kao hidrauliqki glatka (λ = λ(Re)), hidrauliqki
hrapava (λ = λ(Re, k)) ili hidrauliqki potpuno hrapava (λ = λ(k)).
MEHANIKA FLUIDA
173
5.9.5 Zakoni trea za turbulentno strujae u hidrauliqki glatkim evima
Za analizu turbulentnog strujaa, imajui u vidu veliku ulogu ukupnog smi ajnog
napona τ ≡ τ , svrsixodno je uvesti dinamiqku, tj. prividnu brzinu u definisanu
izrazom
r
τ
u δ
.
u =
→ δ ≡
(5.116)
ρ
ν
Eksperimenti pokazuju da vae sledei kriterijumi za razvrstavae evi u odnosu na
hrapavost:
(1) δ < 5: hidrauliqki glatka ev, λ = λ(Re) - hrapavost δ ne utiqe na tree
(2) 5 ≤ δ ≤ 70: hidrauliqki hrapava ev; λ = λ(Re, k) - prelazna hrapavost, efekat
sredih vrednosti Rejnoldsovog broja.
(3) δ > 70: hidrauliqki potpuno hrapava ev λ = λ(k) - viskozni podsloj razruxen i
tree ne zavisi od Rejnoldsovog broja.
w
τ
uk,w
w
τ
τ
+
+
+
+
Hidrauliqki glatke evi - koefi ijent trea λ(Re)
Blazijusova formula. Interpola ijom mnogobrojnih ekperimentalnih rezultata
Blazijus je za koefi ijent trea u hidrauliqki glatkim evima krunog popreqnog preseka izveo sledeu empirijsku formulu
0, 3614
u D
λ=
, Re =
(5.117)
< 10 (2320 < Re < 10 )
ν
Re
Prantlova formula. Blazijusova formula odgovara stepenom zakonu raspodele brzine, a Pratnlova formula je u suxtini povezana sa logaritamskim zakonom raspodele
brzine. OdreÆivaem vrednosti pojedinih koefi ijenata iz eksperimentalnih rezultata
Prantl je 1933. izveo poluempirijsku formulu
√ 1
√ = 2 log Re λ − 0, 8 ,
(5.118)
Re < 3, 4 · 10 (10 < Re < 3 · 10 )
λ
s
5
5
1/4
6
5
6
koja definixe Prantlov univerzalni zakon trea. Kod turbulentnog strujaa deb ina
viskoznog podsloja δ ≡ δ (sl. 5.8) i hrapavost zida evi δ znatno utiqu na globalno
ponaxae strujaa, strukturu turbulen ije i gubitke energije. Kod hidrauliqki glatkih
evi hrapavost zida je prekrivena viskoznim podslojem (δ > δ). U prelaznoj oblasti i
kojoj se ev ponaxa kao hidrauliqki hrapava obe veliqine su istog reda veliqine (δ ≈ δ).
U sluqaju hidrauliqki potpuno hrapavih evi elementi hrapavosti povrxi su znatno vei
od deb ine viskoznog podsloja (δ ≪ δ) i na taj naqin odreÆuju tree u turbulentnom
strujau. O zakonima trea u ovim oblastima bie govora u narednom poglav u.
η
v
η
η
η
MEHANIKA FLUIDA
174
5.9.6 Stepeni zakon raspodele brzine
Nikuradze (J.Nikuradse) je mnogobrojna eksperimentalna istraivaa otpora i raspedele brzina u hidrauliqki glatkim evima u xirokom intervalu Rejnoldsovih brojeva
4 · 10 ≪ Re ≪ 3, 2 · 10 objedinio i utvrdio da se profil brzine dobro opisuje stepenom
funk ijom (sl. 5.8(b))
3
6
u = um
y 1/n
R
(5.119)
1 1/n
≡ um 1 −
R
Poveaem Rejnoldsovog broja profil brzine postaje ravnomerniji, tako da je eksponent
1/n funk ija Re - broja, tj. n = n(Re) (tabela 5.2)
Re = us D/ν
n
Tabela 5.2.
broja Re.
4 · 103
6
1.1 · 105
7
1.1 · 106
8.8
2 · 106
9.8
3.2 · 106
10
Zavisnost eksponenta n u izrazu (5.119) za stepeni profil brzine od Rejnoldsovog
Prantl i Karman (Th. v. Kármań, 1881-1963) su ukazali na zavisnost koja postoji
izmeÆu Blazijusovog zakona trea i stepenog zakona raspodele brzine. Naime, kada se
(5.117) uvrsti u (5.112) i pri tome iskoristi stepeni zakon (5.119) dobija se
|τ w | ∝ ρu 7/4 y −7/4n ν 1/4 R7/4 n−1/4 .
Poxto je turbulentno strujae uglavnom, vixe ili mae, odreÆeno lokalnim vrednostima
strujnog po a, Prantl i Karman su postavili hipotezu da bi turbulentni smi ajni
napon za zidu evi τ trebao da bude nezavisan od polupreqnika R! U tom sluqaju je
n = 7, tako da se iz (5.119) dobija vaan 1/7 - stepeni zakon raspodele brzine
w
- profil brzine)
(5.120)
qija se vrednost poklapa sa Blazijusovim zakonom trea (5.117). Ova formula se ne primeuje u oblasti viskoznog podsloja, je na zidu evi profil ima beskonaqno veliki nagib.
Stepeni profil na osi evi ima "prelom". MeÆutim, ovog profila je naxla veliku primenu u tehniqkoj praksi.
Za n = 7 se pomou (5.120) dobija sreda brzina u (sl. 5.8(v))
ˆ
y
u
u =
(5.121)
dy = 0.817 u
2π(R − y)
R π
R
Pad pritiska se odreÆuje iz (5.114) i iznosi za n = 7
∆p ∝ u
(kod laminarnog strujaa je ∆p ∝ u !)
(5.122)
Busineskov koefi ijent je definisan rela ijom (5.103) pa se uvrxtavaem (5.119), odnosno
u = um
y 1/7
R
r 1/7
= um 1 −
R
(1/7
s
m
2
s
7/4
s
R
1/7
m
0
s
MEHANIKA FLUIDA
175
za n = 7 izraza (5.120) u (5.103) dobija (tabela 5.3)
ˆ
1
(n + 1)(2n + 1)
59
; za n = 7 : β =
= 1.020
β=
u dA =
4n (n + 2)
40
u R π
2
2
2
s
2
2
A
n
β
(5.123)
5 6 7 8 9
1.037 1.027 1.020 1.016 1.013
Tabela 5.3. Vrednosti Busineskovog koefi
ijenta za razliqito n u stepenom profilu brzine.
Kod laminarnog strujaa korek ija koliqine kretaa izraqunate pomou srede brzine moe biti vana, jer je β = 4/3 (izraz (5.104)). Kod turbulentnog strujaa, meÆutim,
grexka koja se qini je mala
i najqexe se zanemaruje, tj. ne vrxi se nikakva korek ija
˜
(β ≈ 1) i smatra se da je u dA ≈ u ! Iz (5.123) sledi da za n → ∞ koefi ijent β → 1.
To je u skladu sa fizikom strujaa, jer n ↑ kada Re ↑ (tabela 5.2), a sa porastom Rejnoldsovog broja profil brzine postaje sve ravnomerniji usled intenzivnije makroskopske
razmene koliqine kretaa.
Vano je istai, da se u opxtem sluqaju, dakle nezavisno od zakona raspodele brzine
po popreqnom preseku evi, iz formula (5.112), (5.113) i (5.116) dobija znaqajna funk ionalna zavisnost
u
λ=8
(5.124)
u
koja u sebi sadri sve tajne strujnog po a: zakone raspodele brzina (iz kojih se izraqunava
sreda brzina i smi ajni napon na zidu), zakone trea, pada pritiska i gubitke energije!
Zakon raspodele smi ajnog napona na zidu je bitan ne samo kod unutraxeg, ve i kod
spo aseg strujaa, jer se pomou ega odreÆuje sila otpora kretau tela!
A
2
2
s
τ
2
s
5.9.7 Turbulentno strujae kroz hidrauliqki hrapave i potpuno hrapave
evi
Apsolutna, relativna i ekvivalentna hrapavost
Apsolutna hrapavost je definisana visinom neravnina δ. Hrapave evi, za razliku
od glatkih, nisu geometrijski sliqne, jer je praktiqno nemogue da dve povrxi imaju
istu prirodnu hrapavost, tj. isti oblik i visinu neravnina. UvoÆee pojma relativne
hrapavosti k = δ/D omoguuje da se eksperimentalni rezultati prikau u obliku krivih
λ = λ(Re, k).
U praksi se, meÆutim, koriste tzv. komer ijalne evi koje su proizvedene odgovarajuim
tehnoloxkim postupkom i kod kojih osim visine neravnina δ znaqajnu ulogu ima i oblik
tih neravnina, kao i ihov statistiqki prostorni razmextaj na zidu evi. Ovakva hrapavost se u svojoj ukupnosti i realnosti obuhvata uvoÆeem pojma ekvivalentne hrapavosti. Ekvivalentnom hrapavoxu uzet je u obzir i materijal od koga je ev izraÆena
(beton, drvo, liveno gvoÆe, galvanizirani qelik, staklo, komer ijalni qelik) i naqin
na koji je izraÆena ev (livee, va ae, izvlaqee, presovae i drugo). Kod zapr anih
MEHANIKA FLUIDA
176
i zarÆalih povrxi ekvivalentna hrapavost moe da bude i do 1.6 puta vea od prirodne
apsolutne hrapavosti δ. MeÆutim, da li e jedna povrx da ponaxa kao glatka, hrapava
ili potpuno hrapava zavisi od reima strujaa, tj. od veliqine Re broja i deb ine
viskoznog podsloja δ = δ koji pri tome nastaje. (sl. 5.8(v) i 5.9). Najznaqajnije je da
od svega ovoga zavisi koefi ijent trea, gubi i energije na tree, a sa tim i energetski
bilans hidrauliqkog sistema.
Ovi vani fiziqkimodeli koji su do sada kvalitativnoanaliziranimogu da se odgovarajuom analizom i kvantitativno potvrde. U tom i u se deta nije razmatrana viskozni
podsloj.
η
v
Viskozni podsloj i egova deb ina. Dimenzijska analiza
Deta na istraivaa strukture turbulentnog strujaa ukazuju na posebna svojstva
turbulen ije u blizini zida. Unutar ove oblasti zida postoje tri karakteristiqne oblasti:
viskozni podsloj
• prelazna oblast
• logaritamska oblast
O ovome e u narednim poglav ima biti vixe govora. Ovog trenutka je od interesa analiza
viskoznog podsloja.
U neposrednoj blizini zida postoji viskozni podsloj u kome viskoznost igra dominantnu ulogu. Fiziqka razmatraa pokazuju da je u blizini hidrauliqki glatkog zida
dominantan uti aj zida izraen sledeom funk ijom za lokalnu brzinu
•
u = F (τ w , ρ, ν, y).
Primenom uobiqajenog postupka dimenzijske analize dobija se zavisnost
u=
τw
ρ
1/2
F1
"
τw
ρ
1/2 #
y
ν
u y
u
τ
=f
uτ
ν
⇒
koja se posle uvoÆea bezdimenzijske brzine u i bezdimenzijskog rastojaa od zida y
u
u y
u =
,
y =
(5.125)
u
ν
svodi na oblik
u = f (y )
Univerzalni ”zakon zida"(Prantl)
(5.126)
Funk ija f (y ) je univerzalna funk ija koja ima razliqite oblike u viskoznom podsloju, prelaznoj i logaritamskoj oblasti. Veliqina u definisana je izrazom (5.116).
Svrsishodno je razmatrati fiziqku i matematiqku strukturu izraza (5.80)
+
+
+
+
τ
τ
+
+
+
τ
τ uk = τ η + τt = η
∂u
+ −ρu′ v ′
∂y
MEHANIKA FLUIDA
177
(a)
Turbulentno jezgro
(b)
D
δ
δv
PSfrag repla emen
Turbulentni profil brzine u(y)
Turbulentno jezgro
(v)
(g)
y
1
us
2
δη
δη
Viskozni
podsloj
Slika 5.9. Hrapavost zida evi i struktura turbulentnog strujaa: (a) Karakteristiqni geometrijski parametri strujaa u evi krunog popreqnog preseka (R - polupreqnik evi; δ - apsolutna
hrapavost zida evi, tj. sreda statistiqka vrednost visina neravnina); (b) i (v) Struktura turbulentnog strujaa u blizini (oblast zida) hrapave povrxi zida evi u sluqaju (b) strujaa u
hidrauliqki glatkim evima (δ > δ) i (v) strujaa u hidrauliqki hrapavim (δ ≈ δ) i potpuno
hrapavim (δ ≡ δ ≪ δ) evima; δ ≡ δ - deb ina viskoznog podsloja; (g) Defini ija deb ine
viskoznog podsloja δ ≡ δ ; u - sreda brzina (vremensko-prostorno osredena) turbulentnog
strujaa odreÆenog profilom brzine u(y)
v
v
v
η
v
v
η
η
s
u neposrednoj blizini zida (v → 0), tj. u viskoznom podsloju. Ovde se radi o graniqnom
sluqaju izraza (5.80), kada je raspodela brzine suxtinski odreÆena dominantnim uti ajem
viskozni napona, jer su na samom zidu fluktua ione komponente brzine (graniqni uslov)
jednake nuli. U ovoj oblasti je τ ≫ τ , ali je i y ≪ R tako da se pomou (5.80) i (5.108)
dobija sledei izraz za lokalnu promenu brzine u viskoznom podsloju:

du


τ ≡ τ = τ + τ ≈ η , jer je τ ≫ τ


dy
τ
τ
du
′
η
uk
η
t
t
η
t
⇒
=
w
⇒
u=
w
y+C
jer je
(5.127)
Iz graniqnog uslova na zidu y = 0: u(y = 0) = 0 odreÆuje se vrednost konstante C u
(5.127) koja iznosi C = 0. Uvrxtavaem ove vrednosti u (5.127) izraz za lokalnu proseqnu
brzinu u se pomou (5.125) svodi na oblik
u =y
(5.128)
odnosno u u viskoznom podsloju u je linearna funk ija od y . Imajui u vidu
desnu stranu jednaqine (5.106), univerzalni ”zakon zida” se svodi na linearnu funk iju
τ ≡ τ uk
y
≈ τ w,
= τw 1 −
R



y/R ≪ 1 
+
+
dy
η
+
+
ρν
MEHANIKA FLUIDA
f (y + ) = y +
178
u viskoznom podsloju (sl. 5.9(g)).
Pro ena deb ine graniqnog sloja
Do kog rastojaa od zida evi vai linearna raspodela proseqne brzine u(y)? Eksperimentalni rezultati pokazuju da se deb ina viskoznog podsloja δ ≡ δ ≡ y kod
hidrauliqki glatkih evie moe odrediti rela ijom
η
v
v
(5.129)
Pro ena deb ine viskoznog podsloja se vrxi na osnovu ene defini ije: u sloju deblkjine
δ ≡ y proseqna brzina u treba linearno da naraste od nule do priblino u /2 (sl.
5.9(g)).
Opet je da u analizu merodavan smi ajni napon na zidu τ ! Pomou izraza (5.112),
(5.113) i (5.127) slede rela ije:
δη+ ≡
η
uτ δη
uτ y v
≡
≡ yv+ ≈ 5 ÷ 8
ν
ν
(!)
←→
δ+ ≡
uτ δ
<5
ν
v
s
w
τw =
τw






λ1 2
ρu
42 s
du
=η
dy
y=0
≡η
du
dy
w

us /2 


= ρν

δη
→
(5.130)
δη
4 1
=
D
λ Re
Pro ena reda veliqine relativne hrapavosti viskoznog podsloja δ /D ≡ y /D data je izrazom (5.130) u kome su dva dominantna parametra: koefi ijent trea λ i Rejnoldsov broj
Re = u D/ν .
Ako se zakon trea definixe Blasijovom formulom (5.117), λ = 0.3164Re onda
izraz (5.130) dobija oblik
η
v
s
−0,25
(5.131)
Rela ija (5.131) potvrÆuje prethodnu fiziqku analizu, da profil brzine da porastom
Rejnoldsovog broja postaje sve ravnomerniji (sl. 5.8(b)). Poveae Rejnoldsovog broja
dovodi do smaea relativne deb ine viskoznog podsloja.
δη
yv
12, 64
≡
=
D
D
Re3/4
•
⇒
Brojni primer za red veliqine δ
η
Re ↑
→
δη
↓
D
≡ δv ≡ yv
zaD = 100 mm ⇒ δ ≈ 1 mm.
Znaqajan porast brzine je u neposrednoj blizini zida, tj. u sloju qija je
deb ina priblino jednaka 1% od preqnika evi.
Ako se pro eni i red veliqine prividne brzine u , onda je pomou (5.129) mogue proeniti i deb inu sloja δ . U tom i u se koriste poznate rela ije i koristi podatak za
Re = 104 , λ = 0.03
→
δη /D ≈ 10−2 ;
η
τ
+
η
MEHANIKA FLUIDA
179
strujae u evima λ = 0, 02 tako da se dobija:
s
(5.132)
Dobijena vrednost odgovara redu veliqine fluktua ionih brzine, tako da se u moe shvatiti i kao mera za fluktua ione brzine u i v !
Pomou (5.9.7) i (5.132) dobija se pro ena reda veliqine bezdimenzijske deb ine viskoznog podsloja δ
u δ
u uD δ
u y
≡
=
≈ 0, 05 · 10 · 10 = 5
(5.133)
δ ≡y ≡
ν
ν
u ν D
Ovaj izraz odgovara rela iji (5.129) i predstav a znaqajan podatak, jer izvan ovog sloja
struktura turbulen ije je drugaqija, poqie, prelazna oblast i raspodela brzine vixe
nije linearna (sl. 5.9(g)). Treba uoqiti da se ev ponaxa kao hidrauliqki glatka ako je
bezdimenzijska hrapavost δ ≡ u δ/ν < 5, tj. ako je δ < δ (uporediti izraze (5.129) i
(5.133)). U tom sluqaju viskozni podsloj prekriva neravnine povrxi zida evi - ev je
hidrauliqki glatka (sl. 5.9(b)).
uτ /u =
r
τw
≈
ρu2
τw
=
ρu2s
r
λ
= 0.05
8
τ
′
′
+
η
+
η
τ η
τ
+
v
+
τ
η
4
+
τ
−2
+
η
Zakoni trea za hidrauliqki hrapave i potpuno hrapave evi. NikuradzeMudijev dijagram. Pad pritiska usled trea
Iz prethodnih razmatraa sledi:
• Kod laminarnog strujaa je λ = λ(Re)! Cevi se ponaxaju kao hidrauliqki glatke i
koefi ijent trea na zavisi od hrapavosti evi.
• Za turbulentno strujae postoje tri mogunosti
(1) hidrauliqki glatke evi: δ < 5 → λ = λ(Re)
(2) hidrauliqki hrapave ev: 5 ≤ δ ≤ 70 → λ = λ(Re, k)
(3) hidrauliqki potpuno hrapava ev: δ > 70 → λ = λ(k)
Zakoni trea za (1) su: Blazijusova (5.117) i Prantlova (5.118) formula. U prelaznoj
oblasti (2) za λ = λ(Re, δ/D) vai polu-empirijska Kolbrukova formula.
δ
2.51
1
√
√ = −2 log
(5.134)
+
3.175D Re λ
λ
U sluqaju (3) za potpunohrapavu ev zakon trea λ = λ(k) dat je poznatom polu-empirijskom
formulom
D
D
0.25
,
Re
>
400
log
3,
715
λ= (5.135)
δ
δ
+
+
+
log
3,715D
δ
2
Na sli i 5.10 je prin ipijelnoprikan vrlo znaqajan za hidrauliqke proraqune NikuradzeMudi-Kolbrukov (Nikuradse-Moody-Colebrook) dijagram, koji zakon trea λ = λ(Re, δ/D)
rag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
log
180
Graniqna kriva
λ
k = δ/d
Oblast hidrauliqki potpuno
hrapavih evi
k
hidrauliqki
hrapaveevi, (5.134)
64
λ=
Re
hid
rauliqki glatka
ev
B
l
a
zi
ju
s, (5.117)
Turbulentno
Prantl, (5.118)
strujae
Laminarno
strujae
Rek
7/4
∆p ∝ us
∆p ∝ u2s
∆p ∝ us
log
Re
(glatka ev)
glatka i
(hrapava ev)
hrapava
Slika 5.10. Koefi ijent trea λ u funk iji od Rejnoldsovog broja Re i relativne hrapavosti
k = δ/D za ev. Nikuradze-Mudijev (i Kolbrukov) dijagram. Zavisnost pada pritiska ∆p od srede
brzine u za raliqite sluqajeve strujaa.
s
za sve reime i oblasti strujaa u evima prikazuje u obliku dijagrama. Na sli i su
posebno istaktnute i zavisnosti pada pritiska od srede brzine. Za laminarno strujae
∆p je propor ioanlno brzini u , saglasno izrazu (5.100). Za turbulentno strujae u
hidrauliqki glatkim evima ta zavisnost je data rela ijom (5.122), tj. ∆p ∝ u . U
oblasti potpuno hrapavih evi je λ = λ(k), pa je u skladu sa izrazom (5.114) pad
pritiska kvadratna funk ija srede proseqne brzine , tj. ∆p ∝ u . Ovo se u literaturi
naziva "kvadratnim” zakonom trea (otpora), a pripadna oblast "kvadratnom"oblaxu!
s
7/4
s
2
s
5.9.8 Laminarno i turbulentno strujae u ulaznom (poqetnom) delu evi.
Pad pritiska u poqetnoj deoni i evi
Razvitak laminarnog strujaa i pad pritiska
Struktura strujnog po a pri laminarnom strujau u poqetnoj, tj. ulaznoj deoni i l
evovoda prikazana je na sli i 5.11. Ravnomerni profil brzine u ulaznom preseku 1-1
u = u transformixe se nizvodno pod uti ajem viskoznosti sve do preseka 2-2. Naime,
uti aj trea dovodi do formiraa graniqnog sloja qija da ina nizstrujno raste.
Ulazna deoni a l se zavrxava u preseku 2-2 gde je deb ina graniqnog sloja jednaka
polupreqniku evi R. Od tog preseka pa da e je potpuno razvijeno laminarno strujae
definisano profilom brzine u = u (1 − r /R ) i graniqni sloj jednak polupreqniku evi
R. Oqigledno je da je pad pritiska na poqentnom delul vei od onog koji bi bio pri
potpuno razvijenom strujau, i to iz dva razloga: (1) smi ajni napon na zidu evi je vei
p
s
p
m
2
2
p
MEHANIKA FLUIDA
1
us
p1
181
us
us
2
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
r
u(r, x)
Poten ijalno
jezgro
frag repla emen
R
p2
u = 2u
s
m
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1
x
Graniqni
sloj
u(r) = um 1 −
r2
R2
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
2
lp
Slika 5.11. Razvitak laminarnog strujaa u poqetnoj (ulaznoj) deoni
preseka. Veliqina l je duina poqetne deoni e, a ∆p = p
p
1
− p2
i evi krunog popreqnog
pad pritiska na toj duini.
i (2) za transforma iju profila brzine u(r, x) od ravnomernog profila u = u = const
u preseku 1-1 do potpuno razvijenog profila u = u(r) u preseku 2-2 potrebna je dodatna
razlika pritiska.
Primena Bernulijeve jednaqine - odreÆivae pada pritiska. U poten ijalnom
jezgru (sl. 5.11) uti aj trea (viskoznosti) praktiqno moe da se zanemari, jer se ova
oblast nalazi izvan graniqnog sloja. Primena Bernulijeve jednaqine du ose evi od
preseka 1-1 do preseka 2-2 daje rela iju
s
p1 + ρ
u22
u2
= p2 + ρ m ⇒
2
∆p = p1 − p2 = 3
ρu2s
2
koja pokazuje da se jav a znatan pad pritiska jednak trostrukoj vrednosti dinamiqkog
pritiska ρu /2.
Primena zakona koliqine kretaa - odreÆivae poqetne duine l . Za proraqun duine l mora se uzeti u obzir raspodela smi ajnog napona na zidu evi. Primenom
zakona koliqine kretaa obuhvata se fizika qitave pojave! Ovde se, meÆutim, navodi samo
priblian rezultat
l ≈ 0, 03Re
Primer: Re = u νD → Dl ≈ D
PoreÆee padova pritiska ∆p i ∆p . Pad pritiska pri potpuno razvijenom
(doi indeks "pr") strujau ∆p izraqunava se primenom Darsijevog obras a i zakona
trea za laminarno strujae u evi:
2
s
p
p
p
s
p
pr
pr
∆ppr = λ
lp 1 2
64
1
ρu2
ρus ≈
0.03Re ρu2s = 1.92, s
D 2
Re
2
2
Dopunski (dodatni, poveani) pad pritiska ∆p u poqetnoj deoni i l iznosi
p
dop
∆pdop = ∆p − ∆ppr = 1.08
ρu2s
,
2
MEHANIKA FLUIDA
182
o qemu treba posebno voditi raquna pri proraqunu, posebno kada su u pitau krae deoni e, ili deoni e u kojima se na pojedinim mestima naruxava karakter potpuno razvijenog
strujaa!
Pad pritiska i poqetna deoni a pri turbulentnom strujau
Razvitak strujaa u poqetnoj deoni i l > l prin ipijelno je prikazan na sli i 5.12.
Duina l odgovara kritiqnom Rejnoldsovom broju pri kome laminarni graniqni sloj gubi
stabilnost i prelazi u turbulentn graniqni sloj. Strujae teqnosti u oblasti x ≥ l je
frag repla emen potpuno razvijeno turbulentno strujae u elom preseku sa karakteristiqnim oblastima
viskoznog podsloja, prelaznog domena i turbulentnog jezgra.
p
k
k
k
1
2
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
δl (x)
r
us
δt (x)
u/um = f (r/R, Re)
R
um
3
2
1
x
1
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
2
lk
Potpuno razvijeno turbulentno strujae
lp
1 - viskozni podsloj; 2 - prelazna oblast; 3 - turbulentno jezgro
Slika 5.12. Razvitak turbulentnog strujaa: δl (x) - deb
ina laminarnog graniqnog sloja; δ (x) deb ina turbulentnog graniqnog sloja; l - duina poqentne deoni e.
t
p
K uqno je da iz fizike strujaa sledi da je duina l ulazne, poqetne deoni e maa
nego u sluqaju laminarnog strujaa. Potpuno razvijeni turbulentni profil brzine je
znatno ravnomerniji nego laminarni, i samim tim veoma sliqan ravnomernom profilu
na ulazu u ev. Poda i o duini l su u literaturi razliqiti, jer zavise od raspodele
brzine koja se usvaja ili proraqunava za potpuno razvijeno turbulentno strujae. Poda i
os iluju u intervalu
l ≈ (20 ÷ 30)D
ili l = 2, 45D/√λ (λ je za potpuno razvijeno strujae).
Dopunski pad pritiska je takoÆe mai nego kod laminarnog strujaa, jer i na osi evi
nastaju neznantna ubrzaa. Opet se primenom Bernulijeve jednaqine dobija pad pritiska
pri razvitku turbulentnog strujaa na deoni i l izmeÆu preseka evi 1-1 i 2-2 kako sledi
p
p
p
p
p
1
1
p1 + ρu2s = p2 + ρu2m ,
2
2
MEHANIKA FLUIDA
odnosno na osnovu (5.121), u
s
183
= 0, 817 um
sledi
1
∆p = p1 − p2 = 0.5 ρu2s .
2
Prethodno je izvedeno da se kod razvitka laminarnog strujaa umesto brojno koefi ijenta
0,5 jav a koefi ijent 3!
Dakle, kod turbulentnog strujaa je brojna vrednost koefi ijenta ispred dinamiqkog
pritiska znatno maa nego za laminarno strujae. Ova razlika je jox izrazitija pri
poveau Rejnoldsovog broja.
5.10 Hidrauliqki proraqun prostog evovoda
Pod prostim evovodom se podrazumeva jedna jedinstvena ev konstantnog preqnika, ili
ev koja se sastoji od niza deoni a razliqitog preqnika koje se redno nadovezuju jedna na
drugu.
5.10.1 Uvod - osnovne pretpostavke
Sr mehanike fluida qine tri jednaqine koje opisuju osnovne zakone fizike:
• Zakon o odrau mase -jednaqina kontinuiteta
• Drugi utnov zakon - jednaqina koliqine kretaa
• Zakon o odrau energije - prvi prin ip termodinamike
U najopxtijem sluqaju, radi se o par ijalnim diferen ijalnim jednaqima po tri prostorne koordinate i vremenu, koje nije mogue rexiti. Zato se pri rexavau odreÆenih
problema strujaa mogu definisati pretpostavke koje e znatno olakxati rexavae konkretnog problema. Naravno, mora postojati i opravdani razlog za uvoÆee tih pretpostavki.
Pri prouqavau strujaa teqnosti i gasova veoma vano mesto zauzima i oblast nauke
o strujau pod nazivom dinamika jednodimenzijskih strujaa. To su strujaa kod kojih
se sve fiziqke veliqine zavise samo od jedne prostorne koordinate usmerene u prav u
strujaa, i u nekom najopxtijem sluqaju i od vremena, tj. f = f (t, l). Tipiqan primer
jednodimenzijskog strujaa je strujae kroz strujno vlakno1 jer se u tom sluqaju promene
fiziqkih veliqina po popreqnom preseku mogu zanemariti zbog egovih dimenzija. Ako je
strujae kroz strujno vlakno sta ionarno, tj. ako fiziqke veliqine ne zavise od vremena,
ve samo od prostorne koordinate, osnovne jednaqine kojima se opisuje strujae fluida e
se svesti na algebarske jednaqine. Ovaj model strujaa se primeuje i na strujaa kroz
evi.
Kao xto je reqeno, pri prouqavau strujaa teqnosti kroz evi se uvode sledee pretpostavke:
1
Strujno vlakno je strujna ev infinitezimalnog preqnika dA.
rag repla emen
MEHANIKA FLUIDA
184
strujae je nestix ivo (gustina fluida se ne mea, ρ = const)
• strujae je sta ionarno (fiziqke veliqine se ne meaju tokom vremena)
• strujae je jednodimezijsko (fiziqke veliqine zavise samo od jedne prostorne koordinate usmerene du ose evi)
Glavne fiziqke veliqine koje se odreÆuju prilikom proraquna su pritisak i brzina
strujaa (taqnije sreda brzina strujaa!). Za ihovo odreÆivae nam na raspolagau
stoje dve algebarske jednaqine, koje se dobijaju iz osnovnih jednaqina uz gore navedene pretpostavke, a to su jednaqina kontinuiteta i Bernulijeva jednaqina (dobija se iz jednaqine
koliqine kretaa).
•
5.10.2 Jednaqina kontinuiteta
U sluqaju sta ionarnog i nestix ivog strujaa opxti oblik jednaqine kontinuiteta
se svodi na:
V̇ = const.
(5.136)
gde je sa V̇ oznaqen zapreminski protok kroz evovod. Zapreminski protok kroz neku
povrx se definixe kao fluks vektora brzine kroz tu povrx, tj.
ˆ
V̇ = (~v , ~n) dA
(5.137)
Pokaimo sada na xta e se svesti ovaj izraz u sluqaju strujaa kroz ev, i xta je to
sreda brzina strujaa.
Kao xto je poznato, postoje dva osnovna reima strujaa, laminaran i turbulentan, i
na sli i 5.13 su prikazani profili brzine prilikom strujaa kroz ev u ta dva sluqaja.
A
z
z
v = v(r, z)
r
z
v = v(r, z)
r
v = v(z)
r
Laminarno strujae
Turbulentno strujae
Profil srede brzine
Slika 5.13. Profili strujaa prilikom laminarnog i turbulentnog strujaa kroz ev i profil
srede brzine.
Na osnovu izgleda profila brzina pri laminarnom i turbulentnom strujau, moe se
zak uqiti sledee:
• u oba reima strujaa brzina se mea po popreqnom preseku
• vektor brzine u svakoj taqki popreqnog preseka je ortogonalan na presek
U sluqaju da je ispueno da je vektor brzine u svakoj taqki popreqnog preseka je ortogonalan na presek kaemo da strujae ima jednodimenzijski karakter, i u tom sluqaju
MEHANIKA FLUIDA
185
je mogue uvesti pojmove tzv. sredih vrednosti fiziqkih veliqina i na taj naqin
primeniti jednodimenzijski model. U ovom sluqaju su vektori ~v i ~n kolinearni u svakoj
taqki popreqnog preseka, pa se zapreminski protok svodi na:
ˆ
v dA
V̇ =
(5.138)
Sreda brzina se definixe na sledei naqin:
Sreda brzina je fiktivna, konstantna brzina po popreqnom preseku koja
ostvaruje isti zapreminski protok kao stvarni profil brzine.
¨
¨
1
v dA =⇒
v =
v A=
(5.139)
v dA
A
U svim proraqunima emo koristiti sredu brzinu, i indeks s e biti izostav en,
odnosno ako se kae da je brzina strujaa u nekom evovodu v = 1 m/s, misli se na sredu
brzinu strujaa!
U sluqaju promene popreqnog preseka evi, promenie se i brzina strujaa. U blizini
mesta gde se mea presek, strujae nee imati jednodimenzijski karakter, pa je u tim
prese ima nemogue definisati sredu brzinu strujaa Stoga se moraju usvojiti prese i
koji su na dovo nom rastojau od mesta promene preseka, tako da strujae u ima ima
jednodimenzijski karakter, pa je mogue koristiti srede brzine u tim prese ima.
A
s
s
A
A
Strujae nema jednodimenzijski karakter!
A1
A2
PSfrag repla emen
v1
v2
Slika 5.14. Promena popreqnog preseka
evovoda
Jednaqina kontinuiteta za sluqaj sa slike 5.14 se svodi na:
V̇ = const
=⇒
v1 A1 = v2 A2
gde su v i v srede brzine u prese ima povrxina A i A .
1
2
1
5.10.3 Bernulijeva jednaqina
2
Posmatrajmo jednu ev kroz koju struji teqnost i uoqimo dva preseka 1-1 i 2-2, tako
da u ima strujae ima jednodimenzijski karakter (ovo je vrlo vano - za preseke za koje
se pixe Bernulijeva jednaqina to mora biti zadovo eno!). Uz uvedene pretpostavke, za
preseke 1 i 2 vai sledea jednaqina:
Y =Y +Y
(5.140)
1
2
g1−2
MEHANIKA FLUIDA
186
gde je:
(5.141)
Y - ukupna energija po jedini i mase koju fluid poseduje u i-tom preseku evi, i = 1, 2.
Veliqina α se naziva Koriolisov koefi ijent ili korek ioni koef i ijent
kinetiqke energije. Ovim koefi ijentom se koriguje grexka koja se qini ako se kinetiqka energija raquna preko srede brzine kao v /2, jer fiziqki brzina mea po popreqnom preseku (sreda brzina je zamix ena brzina). Tako e ovaj koefi ijent zavisiti od
reima strujaa:
(
1.058, turbulentno strujae
(5.142)
α=
2,
laminarno strujae
Vidimo da je kod turbulentnog strujaa α ≈ 1 (uvek emo usvajati α = 1 za turbulentno
strujae), dok je kod laminarnog strujaa α = 2. Da je α > α moemo da zak uqimo
i na osnovu izgleda profila brzine za ova dva reima - naime, kod turbulentnog strujaa
u veem delu povrxina popreqnog preseka evi imamo sluquj da je brzina priblino konstantna (turbulentno jezgro), tako da je profil brzine kod turbulentnog strujaa sliqniji
profilu srede brzine, nego xto je to sluqaj za laminarni profil. Ako u zadatku nije
naglaxen reim strujaa, podrazumeva se da se radi o turbulentnom strujau!
pi
v2
+ gzi + αi i
ρ
2
Yi =
i
i
2
i
tur
lam
a
uja
r
st
ms er
1
PSfrag repla emen
2
v2
2
v1
z2
1
z1
referentni nivo
Slika 5.15. Deo evovoda u kome struji fluid
Posledi qlan na desnoj strani jednaqine (2.5) predstav a gubitke strujne energije
prilikom strujaa teqnosti od preseka 1 ka preseku 2, i on je jednak zbiru lokalnih
gubitaka energije i gubitku energije usled trea prilikom strujaa teqnosti od preseka
1 ka preseku 2.
X
X
Y
=
Y
+
Y
(5.143)
g1−2
Lokalni gubi i energije
glok1−2
gtr1−2
Lokalni gubi i energije se dexavaju na nekom odreÆenom mestu u evovodu gde se odreÆena energija fluida "oduzme"od fluida i ona se koristi za stvarae nekog sekundarnog
MEHANIKA FLUIDA
187
strujaa - to su mesta gde ev mea prava svog pruaa (koleno, krivina), mesta gde
dolazi do suea ili proxirea popreqnog preseka, mesta u evovodu na kojima se nalaze
ventili, itd. Svi ovi gubi i energije se odreÆuju na osnovu Vajsbahovog obras a:
v
Y
=ζ
(5.144)
2
gde je odgovarajui ζ koefi ijent lokalnog gubitka energije ili koefi ijent otpora. Vrednosti ovih koefi ijenta e u svim zada ima biti unapred poznate za konkretan evovod.
TakoÆe, stvar dogovora je da je brzina v brzina iza lokalnog otpora. Tako e re imo
za suee popreqnog preseka gubitak energije biti odreÆen izrazom
2
glok
Yg = ζsu
v22
2
Dakle, energija u iznosu ζ je "oduzeta"od fluidne struje za stvarae vrtloga na mestu
gde je doxlo do promene preseka.
Jedini lokalni otpor kod koga e ne koristi Vajsbahov obraza je lokalni otpor usled
naglog proxirea evovoda, slika 5.16
v22
su 2
PSfrag repla emen
e nema jednodimenzijski karakter!
v2
v1
Slika 5.16. Naglo proxiree popreqnog preseka.
Gubitak energije usled naglog proxirea se odreÆuje korixeemBorda-Karnoove formule:
(v − v )
Y
(5.145)
=
2
1
gnp
2
2
Gubi i energije usled trea
Ovi gubi i energije su posledi a trea izmeÆu teqnosti i zida evi. Prilikom strujaa brzinom v kroz ev duine L i povrxine popreqnog preseka A on se odreÆuje na osnovu
Darsijevog obras a:
L v
Y =λ
(5.146)
4R 2
Veliqina R se naziva hidrauliqki radijus i on se definixe kao odnos protoqne povrxine i okvaxenog obima, tj. R = A/O. Tako je za krunu ev preqnika D hidrauliqki
radijus jednak:
2
gtr
h
h
h
Rh =
A
D2 π
D
=
=
O
4Dπ
4
pa se Darsijeva formula za sluqaj strujaa kroz evi (xto e biti sluqaj u gotovo svim
MEHANIKA FLUIDA
188
zada ima!) svodi na:
(5.147)
Veliqina λ se naziva koefi ijent trea i on se u opxtem sluqaju zavisi od Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti evi k. U sluqaju laminarnog strujaa evi se
ponaxaju kao hidrauliqki glatke, koefi ijent trea zavisi samo od Re i ta zavisnost se
dobija iz taqnog rexea Navije-Stoksovih jednaqina za sluqaj strujaa u evima, tj:
64
λ=
(5.148)
− laminarno strujae
Re
U sluqaju turbulentog strujaa, bez obzira da li se ev ponaxa kao hidrauliqki
glatka, hidrauliqki hrapava ili hidrauliqki potpuno hrapava, dobijae taqne zavisnosti λ(Re, k) nije mogue, jer se ne raspolae potrebnim taqnim rexeem Rejnoldsovih
jednaqina. Zato se nepotpuni teorijski rezultati Rejnodsovih jednaqina moraju dopuniti
odgovarajuim ekperimentalnim poda ima. Na taj naqin se doxlo do formula koje su date
u tabeli.
TakoÆe, pored izraza datih u tabeli, koefi ijent trea se moe odrediti i korixeem Mudijevog dijagrama (vidi predavaa).
Ygtr = λ
L v2
D 2
Pumpa u evovodu
U gotovo svim zada ima, a takoÆe i u praksi, u evovodu e biti ugraÆena pumpa. Uti aj
pumpe na strujae e biti obuhvaen preko jediniqnog rada pumpe, Y [J/kg] koji se
moe shvatiti kao energija po jedini i mase koju pumpa predaje fluidu.
p
2 2
Yp
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
PSfrag repla emen
H
V̇
1 1
Slika 5.17. Strujna maxina (pumpa) u
evovodu
Qlan Y se u Bernulijevoj jednaqini uvek pixe sa leve strane, tj. za sluqaj sa
slike 5.17 (smer strujaa je od preseka 1 ka preseku 2)
p
Y1 + Yp = Y2 + Yg1−2
⇐⇒
p1
v2
p2
v2
+ gz1 + α1 1 + Yp = Yi =
+ gz2 + α2 2 + Yg1−2
ρ
2
ρ
2
(5.149)
MEHANIKA FLUIDA
R.broj
189
Zavisnost λ = λ(Re, k)
Oblast primene
Autor
Re < Rek = 2320
-
λ = 0.0025 Re0.333
2320 < Re < 4000
Zajqenko
λ = (1.8 log Re − 1.5)−2
4000 < Re < 3 · 106
λ = 0.3164 Re−0.25
4000 < Re < 105
1.
λ=
2.
3.
4.
5.
1
√ = −2 log
λ
6.
λ = 0.1
7.
λ=
64
Re
2.51
k
√
+
3.71 Re λ
100
1.46k +
Re
1
1.74 + 2 log
k
8.
λ = 0.11k0.25
9.
λ = a + bRe−c
2
− z1 = H
Blazijus
Kolbruk-Vajt
560
23
< Re <
k
k
Altxul
−2
a = 0.0094 k0.225 + 0.53 k
b = 88 k0.44
c = 1.62 k0.34
Kako je z
Konakov
Prantl - Nikuradze
Re >
560
k
Xifrinson
Re < 104
10−5 < k < 0.04
Vud
, jednaqina (2.14) se svodi na:
v2
p2
v2
p1
+ α1 1 + Yp = Yi =
+ gH + α2 2 + Yg1−2
ρ
2
ρ
2
(5.150)
Pk ≡ Ph = ρ V̇ Yp
(5.151)
Korisna ili hidrauliqka snaga pumpe se odreÆuje na osnovu izraza:
MEHANIKA FLUIDA
190
Snaga koja je potrebna za pogon pumpe (snaga koju je potrebno uloiti da bi smo dobili
snagu P ):
P
ρ V̇ Y
P =
(5.152)
=
η
η
gde je η (mehaniqki) stepen korisnosti pumpe.
k
p
k
p
p
p
5.11 Hidrauliqki proraqun sloenog evovoda
Pod pretpostavkom da se radi o sta ionarnom, jednodimenzijskom, nestix ivom strujau (ρ = const), pri proraqunu sloenog evovoda se koriste dva tipa algebarskih jednaqina:
• Jednaqina kontinuiteta
• Bernulijeva jednaqina
5.11.1 Jednaqina kontinuiteta
Jednaqina kontinuiteta pri proraqunu sloenog evovoda se obiqno pixe za mesta u
kojima se evne deoni e granaju ili spajaju - to su qvorovi mree, ili raqve.
V̇n+1
V̇1
V̇n+2
V̇2
PSfrag repla emen
R
V̇n
V̇n+m
Slika 5.18. Qvorno mesto u mrei.
Jednaqina kontinuiteta napisana za qvor sa slike (slika 4.1) glasi:
n
X
i=1
V̇i =
m+n
X
j=n+1
V̇j
(5.153)
tj. suma protoka koji ulaze u qvor (raqvu) je jednaka sumi protoka koji izlaze
iz qvora. U zada ima se qesto moe sresti i sluqaj kada se nivo u rezervoru odrava
konstantnim zahva ujui stalnom proti au fluida kroz ega ("mali"rezervoar) - u ovom
sluqaju takoÆe vai isti prin ip: mora biti zadovo ena jednakost ukupnih dotoka u
rezervoar i ukupnih protoka koji izlaze iz rezervoara.
MEHANIKA FLUIDA
191
5.11.2 Bernulijeva jednaqina
Bernulijeva jednaqina se pixe na potpuno isti naqin kao u sluqaju proraquna prostog
evovoda, i moe se postaviti za bilo koja dva preseka u kojima je zadovo en jednodimenzijski karakter strujaa. Za razliku od proraquna prostog evovoda, ovde je neophodno, pored
jednaqina kontinuiteta postaviti i jox najmae dve Bernulijeve jednaqine. Broj Bernulijevih jednaqina koje je mogue postaviti zavisi od broja raqvi i broja evovoda koji se
spajajaju (granaju u raqvi). Primena Bernulijeve jednaqine se najbo e moe ilustrovati
jednostavnim primerom kada su tri rezervoara meÆusobno povezana sloenim evovodom
(slika 5.19). U ovom konkretnom primeru teqnost se sliva iz rezervoara 1 ka rezervoarima 2 i 3 (smerovi strujaa u deoni ama su poznati). Imajui u vidu da se Bernulijeva
jednaqina uvek pixe u smeru strujaa, sa primer sa slike je mogue postaviti dve Bernulijeve jednaqine, i to 1-2 i 1-3.
1
1
p1
PSfrag repla emen
3
h
H
p3
3
v1
v2
R
2
p2
2
v3
Slika 5.19. Primer sloenog
Bernulijeva jednaqina za nivoe u rezervoarima 1 i 2:
Y1 = Y2 + Yg1−2
⇐⇒
evovoda
Y1 = Y2 + Yg1−R + YgR−2
p1
p2
v2
v2
+ gH =
+ C1 1 + C2 2
ρ
ρ
2
2
(5.154)
Bernulijeva jednaqina za nivoe u rezervoarima 1 i 3:
Y1 = Y3 + Yg1−3
⇐⇒
Y1 = Y3 + Yg1−R + YgR−3
p3
v2
v2
p1
+ gh =
+ C1 1 + C2 3
ρ
ρ
2
2
Ovim jednaqinama treba pridodati i jednaqinu kontinuiteta za raqvu:
(5.155)
(5.156)
Iz jednaqina (5.154), (5.155) i (5.156) se mogu odrediti brzine strujaa u pojedinim
V̇1 = V̇2 + V̇3
⇐⇒
v1 D12 = v2 D22 + v3 D32
MEHANIKA FLUIDA
192
ζR2
ζR2
V̇1
PSfrag repla emen
V̇2
V̇2
V̇1
ζR3
V̇3
V̇3
Slika 5.20. Strujae u raqvi
deoni ama, ako su zadate visine H , h, kao i ekvivalentni koefi ijenti otpora za evovode
1, 2 i 3.
Pri strujau fluida kroz raqvu dolazi do izvesnog gubitka strujne energije fluida,
i taj gubitak se uzima u obzir preko koefi ijenta lokalnog gubitka energije (lokalnog
otpora) u raqvi ζ .
Koefi ijent ζ se uvek vezuje za brzine koje "izlaze"iz raqve. Tako za dvakarakteristiqna primera za slike 4.3:
(a) Imamo gubitke energije Y = ζ v2 i Y = ζ v2 . Ako je u zadatku zadato samo
v
ζ , a imamo ovaj sluqaj onda ζ vezujemo i za brzinu v i v , tj. Y
=ζ
i
2
v
Y
=ζ
.
2
(b) U ovom sluqaju imamo gubitak energije Y = ζ v2
R
R
gR2
R
gR3
R2
2
2
gR3
2
3
R2
R
R
1
2
gR2
R
2
2
2
3
gR
R2
2
2
Zada i
1. U postrojeu prikazanom na sli i 1.3 pumpa transportuje vodu iz rezervoara A i B u
rezervoar C kroz evovode 1, 2, 3, 4 i 5. Nivo vode u rezervoaru A se odrava konstantnim stalnim doti aem konstantnog protoka V̇ = 20 l/s u ega, dok su rezervoari B
i C veliki.Poznati su sledei poda i: p = 10 kPa, p = 50 kPa, d = d = 100 mm,
d = 120 mm, d = d = 150 mm, L = L = 2 m, L = 1 m, L = 24 m, l = 15 m,
λ = 0.025 (za sve evi), H = 5 m, h = 2 m, ζ = 4, ζ = 5, ζ = 8, ζ = 4, ζ = 10 i
ζ = 0.8. Odrediti brzine strujaa u svim deoni ama i snagu pumpe.
m
3
4
5
1
v
2
3
s
k
1
v1
4
v2
2
5
v4
v5
MEHANIKA FLUIDA
193
p
m
C
h
p
v
v4
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
B
u
4
5
k
3
k
H
k
v5
k
v1
1
v2
2
.
V
11
s 00
00
11
000
s111
000
111
A
Rexea: v = 1.354 m/s, v = 1.192 m/s, v = 1.768 m/s, v = 2.262 m/s, v = 1.13 m/s,
i P = 7.263 kW
2. U postrojeu prikazanom na sli i 1.4 pumpa potiskuje vodu iz rezervoara A i V u
rezervoare S i D. Poznati su sledei poda i: H = 5 m, p = 10 kPa, p = 5 kPa,
η = 0.8, ζ = 0.5, ζ = 0.5, λ = 0.03 (za sve evi) i poda i dati u tabeli. Ako je
u deoni i 5 izmerena brzina strujaa v = 1.8 m/s, odrediti protoke kroz sve evne
deoni e, kao i snagu koja je potrebna za pogon pumpe.
1
2
3
4
5
YP = 143.4 J/kg
m
P
u
v
R
5
pv
i
Li [ m]
1 3
2 3.6
3 5
4 4
5 5
di [ mm]
v4
ζvi
180 10
180 2
200 3
120 4
150 5
D
5
4
v3
H
3
v3
pm
v1
u
•
Zapreminski proto i: V̇
•
1
v2
A
Rexea:
Brzine strujaa: v
R
C
,
u
B
R
1
•
v5
2
Slika 4.5
,
,
= 1.377 m/s v2 = 0.532 m/s v3 = 1.546 m/s v4 = 1.483 m/s
v5 = 1.8 m/s
1
,
,
,
= 35.04 l/s V̇2 = 13.54 l/s V̇3 = 45.58 l/s V̇4 = 16.77 l/s
V̇5 = 31.81 l/s
Jediniqni rad i snaga pumpe: Y
P
= 65.3 J/kg
i P = 3.965 kW.
,
,
MEHANIKA FLUIDA
194
3. Na sli i je prikazan sloen evovod u kome pumpa, kroz evne deoni e 1, 2, 3, 5
i 7 transportuje vodu iz velikog otvorenog rezervoara A u rezervore B, C i D.
Istovremeno, evovodom 4 voda se sliva iz rezervoara V u rezervoar S, odnosno iz
evovom 6 iz rezervoara S u rezervoar D. Poznati su sledei poda i: H = 5 m, H =
1 m, H = 2 m, p = 0.2 bar, p = 0.5 bar, λ = 0.03 (za sve evi), η = 0.8, kao i poda i
dati u tabeli. Odrediti snagu potrebnu za pogon pumpe, ukupan zapreminski protok
koji dotiqe u rezervoar D i koefi ijent lokalnog otpora ventila ζ u deoni i 7.
Napomena: Nivoi vode u rezervoarima V, S i D se odravaju konstatnim stalnim
proti aem kroz ih. Sve lokalne otpore, osim ventila zanemariti.
1
2
m
v
P
v7
1
2
3
4
5
6
7
Li [ m]
Di [ mm]
100
80
80
60
60
60
200
Rexea: v
,
300
200
200
200
200
200
200
1
pm
ζ vi
5
5
10
10
5
8
?
,
B
H1
4
v4
H
v6
v2
v5
2
1
A
v1
D
5
.
V
7
3
v1
H2
pv
6
C
v3
v7
Slika 4.6
,
,
,
= 1.717 m/s v2 = v4 = 1.771 m/s v3 = 2.092 m/s v5 = 1.091 m/s v6 =
,
2.862 m/s v7 = 1.001 m/s V̇ =
0.121 m3 /s
,Y
P
,
= 132.56 J/kg P = 20 kW
iζ
v7
.
= 125.6