Álgebra III
Facultad de Educación e Idiomas
Departamento de Enseñanza de las Ciencias
Colectivo de Matemática
Unidad I: ESPACIOS VECTORIALES
Objetivos: 


Contenidos: 

Conocer los conceptos de espacio y subespacio vectorial, dependencia e
independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial.
Demostrar las principales propiedades de los espacios vectoriales, así como
también algunas proposiciones que involucran los conceptos de independencia e
independencia lineal.
Aplicar el proceso de Gram-Schmidt en la determinación de bases ortonormales
de ℝ𝑛 .
Introducción a los espacios vectoriales.
Subespacios, espacios generados, base, dimensión, producto interno.
Uno de los mayores logros del siglo pasado es el hallazgo de que hay muchas estructuras
algebraicas que satisfacen las mismas propiedades de
ℝ ℝ ℝ𝑛 , lo que llevó al concepto
general de espacio vectorial. Igualmente, el concepto de vector que se estilaba en los espacios
anteriores se lleva a otro nivel conceptual que amplía el campo de aplicaciones prácticas. Los
vectores pueden ser funciones, matrices, sucesiones, polinomios, etc, que se han convertido en
instrumentos habituales de las ciencias tecnológicas.
En el curso de Álgebra II usted estudió los espacios vectoriales de las matrices y ℝ𝑛 . Todo lo
aprendido en ese curso es la base para la comprensión de los contenidos de esta unidad.
Comenzaremos nuestro estudio introduciendo el sistema axiomático y presentando algunas
propiedades fundamentales de la estructura de espacio vectorial. Además introduciremos las
definiciones de combinación lineal y de subespacio generado y se estudian la dependencia e
independencia lineal y los sistemas de generadores, a fin de caracterizar los conceptos de base y de
dimensión en el caso finito.
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS VECTORIALES
Definición. Un conjunto de objetos
se llama espacio vectorial real (o simplemente espacio
vectorial), y sus elementos vectores, si hay dos operaciones en , la adición (que se escribe +) y la
multiplicación escalar, que cumplen las siguientes propiedades:
Cerradura
1. Si
2. Si
y están en , entonces
está en .
está en y es un número real, entonces
1
está en .
Álgebra III
Adición. Para todos , ,
en :
3.
)
(
)
4. (
5. Existe un elemento en , denotado
6. Para todo
y llamado vector nulo, tal que para todo
.
en , existe un elemento en , denotado
( ) (
Multiplicación escalar. Para todos los números reales
vectores y en :
)
7. (
)
8. (
(
9. ( )
10.
y llamado inverso aditivo de , tal que
)
.
y , llamados escalares, y para todos los
)
Ejemplo 1. Demuestre que (ℝ
[
) con
]
*
[
forma un ℝ
en ,
y definidas por
+
*
]
[
+
]
espacio vectorial.
Demostración
1. La suma de matrices se define componente a componente, así valiéndose de la cerradura de la
suma de números reales entonces cada componente de la matriz suma es un número real,
concluyendo que se cumple la cerradura de la suma de matrices.
2. La multiplicación escalar se define multiplicando el escalar por cada componente de la matriz, así
por la cerradura del producto de números reales, se verifica la cerradura de la multiplicación
escalar.
3. Conmutatividad
[
]
*
+
2
*
+
*
+
Álgebra III
*
+
[
]
4. Asociatividad
([
]
*
+)
*
+
*
+
(
(
*
(
*
)
)
)
(
(
(
(
(
(
)
)
)
[
]
*
[
]
(*
*
+
)
)
)
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
+
(
(
(
)
)+
)
+
+
*
+)
5. Existencia del neutro
[
]
*
*
+
[
]
+
[
]
Por igualdad de matrices:
Luego la matriz buscada tiene todas sus componentes iguales a cero, es decir, la matriz neutra
es
[
]
6. Existencia de opuesto
[
]
*
+
3
[
]
Álgebra III
*
+
[
]
Por igualdad de matrices:
Luego la matriz buscada tiene por componentes los opuestos de las componentes de la matriz
dad, es decir, la matriz opuesta es
[
]
7. Propiedad distributiva respecto a la suma escalar
(
)[
]
(
*(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
) +
)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
8. Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial
([
]
*
+)
*
(
* (
(
+
)
)
)
(
(
(
)
)
)
*
[
4
(
(
(
)
)+
)
+
]
*
+
Álgebra III
[
*
]
+
La propiedad 9 se deduce fácilmente de la asociatividad del producto de números reales y la
propiedad 10 de la propiedad del idéntico multiplicativo en ℝ. Queda como ejercicio la verificación
de estas propiedades.
) con
Ejemplo 2. Demuestre que (
definidas sobre ℝ,
y definidas por
(
)( )
(
)( )
forma un ℝ
*
ℝ
ℝ+ el conjunto de todas las funciones reales
( )
( )
( )
espacio vectorial.
Demostración
)
1. Dom(
2. Dom(
)
Dom( )
Dom( )
Dom( )
ℝ. Además ( )
( )
ℝ, es decir
ℝ. Además
( )
(
( )
( )
( )
( )
(
)( )
( )
, ( )
ℝ, es decir
.
..
3. Conmutatividad
Es decir
)( )
)( )
.
4. Asociatividad
,(
)
-( )
)
(
, ( )
( )
(
).
5. Existencia del neutro
(
)( )
( )
( )
( )
( )
( )
Por lo anterior, la función buscada es la función nula .
6. Existencia de opuesto
(
)( )
( )
5
( )
( )-
( )
,
Por tanto, (
(
( )
(
( )
( ))( )
)-( )
Álgebra III
( )
Por lo anterior, la función buscada es
( )
.
7. Propiedad distributiva respecto a la suma escalar
,(
) -( )
(
) ( )
( )
(
( )
)( )
(
En consecuencia (
)
(
)( )
)( )
.
8. Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial
, (
)-( )
(
)( )
, ( )
( )-
( )
( )
(
Por tanto (
)
)( )
.
La propiedad 9 se deduce fácilmente de la asociatividad del producto de números reales y la
propiedad 10 de la propiedad del idéntico multiplicativo en ℝ. Queda como ejercicio la verificación de
estas propiedades.
Ejemplo 3. El conjunto 𝑛 de todos los polinomios con coeficientes reales de grado
tiene
estructura de espacio vectorial real con las operaciones ordinarias de suma de polinomios y
multiplicación de un polinomio por un escalar.
Un elemento ( )
tiene la forma ( )
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
+
.
La suma de dos polinomios
( )
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
y
( )
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
se define por
( )
( )
(
𝑛
𝑛)
𝑛
(
Si ( ) es el polinomio anterior y
( )
𝑛
𝑛
)
𝑛
𝑛
𝑛
)
(
) +(
).
( ) se define por
ℝ, entonces
𝑛
(
𝑛
.
El vector nulo es el polinomio nulo.
¿Cumple el conjunto de todos los polinomios de grado dos las propiedades de espacio vectorial?
Teorema 1. Sea
a.
b.
un espacio vectorial, y
ℝ. Entonces:
6
Álgebra III
c. Si
d. ( )
, entonces
.
o
Demostración. Por las propiedades del neutro, del opuesto, asociativa, distributividad, neutro en ℝ:
,
a.
(
,
b.
c. Supóngase que
(
)-
(
)-
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
, entonces
(
¿Qué ocurre si
)
?
d. Primero, demostraremos que el inverso de cualquier vector es único. Asumamos que y
son ambos inversos de Entonces
Sumemos a ambos lados de esta
ecuación para obtener
(
)
(
)
o
.
La última igualdad y que es un vector arbitrario, implican la unicidad del inverso. Ahora, por la
Propiedad 10 tenemos que
. Entonces
(
Por tanto, (
)
(
)
) es el inverso de , es decir, (
(
(
)
Ejemplo 4. Demuestre que para cualquier vector
))
.
.
, se cumple que
Demostración. De la igualdad dada en el antecedente, se tiene que el opuesto de
(
)
Dado que
,
(
)-
, entonces
(
)
(
. En consecuencia
)
(
)(
)
es
(
. Luego
)
.
EJERCICIOS
1) Demuestre que (
de la forma 0
) es un ℝ
1, donde
espacio vectorial, siendo
el conjunto de todas las matrices
ℝ, con las operaciones de adición matricial y multiplicación por
un escalar.
2) Suponga que y son vectores en un mismo espacio vectorial y que
Demuestre:
a. Si
, entonces
.
b. Si
y
, entonces
.
7
y
son escalares.
Álgebra III
c. Supongamos que
. Entonces no existe un escalar tal que
implica que
.
d. Dados y , existe un único vector tal que
.
3) Sean
inducción sobre
a. (
b. (
elementos de un espacio vectorial
que
)
.
𝑛)
𝑛
si y solo si
, y
escalares, pruebe por
.
SUBESPACIOS Y ESPACIO GENERADO
Definición. Sea
un espacio vectorial y
. Luego es un subespacio de
si es un
espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y multiplicación por un escalar definidas en
.
Ejemplo 5. Sea un espacio vectorial. El subconjunto * + es un subespacio de
y
para todos los números reales. El subespacio * + es el subespacio nulo.
Ejemplo 6. Todo espacio vectorial
porque
es un subespacio de sí mismo.
Los dos subespacios * + y
del espacio vectorial
se llaman subespacios triviales. Un
subespacio de distinto de * + y se llama subespacio propio.
Teorema 2. Sea un espacio vectorial y
. Entonces es un subespacio de
se cumplen las dos condiciones:
a. Si y pertenecen a , entonces
pertenece a .
b. Si pertenece a y es un número real, entonces
pertenece a .
si y solo si
Demostración. Si asumimos que un subespacio de , entonces se cumplen las propiedades de la
definición de espacio vectorial, dentro de las cuales se encuentran las condiciones a. y b.
Recíprocamente, supongamos que
es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial
que
cumple a. y b. Debemos probar solamente las propiedades
y que corresponden a las de
espacio vectorial, teniendo de antemano la y
Propiedad 5. Existe un elemento
en
tal que
para todo
Como es no vacío, este posee al menos un elemento , y por la propiedad b.,
pertenece a
para todo número real; en particular
pertenece a , pero
por la parte a. del teorema 1.
Propiedad 6. Para todo
en
existe un elemento
en
tal que
(
)
.
Sea
un elemento de . Entonces ( ) pertenece a por la propiedad b., pero por la parte d. del
teorema 1, ( )
, resultando entonces que
pertenece a .
Hemos demostrado que
es un espacio vectorial, entonces
8
es un subespacio vectorial.
Álgebra III
Ejemplo 7. Pruebe que el conjunto
espacio ℝ .
0
Demostración. Sean
0
1
0
subespacio de
¿Por qué
1
de todas las matrices diagonales
1 y
0
0
1 elementos de , y
1
0
y
es un subespacio del
ℝ. Entonces
1 son matrices diagonales y
es un
.
es diferente de vacío?
Definición. Sean
vectores en un espacio vectorial . Toda expresión de la forma
𝑛
𝑛 𝑛,
donde los
son escalares, se llama combinación lineal de
Ejemplo 8. Exprese el polinomio
una combinación lineal de los polinomios
(
Solución.
)
Ejemplo 9. Exprese la matriz 0
0
1 y 0
Solución. 0
en
y
(
𝑛.
(polinomios de grado menor o igual a ) como
.
)
1 en ℝ
como una combinación lineal de las matrices 0
1,
1.
1
0
1
0
1
0
1
*
Definición. Sean
𝑛 vectores en un espacio vectorial . El conjunto
todas las combinaciones lineales de
𝑛 se llama envoltura lineal de
conjunto generado por
𝑛 . Se dice que los vectores
*
𝑛 +.
Ejemplo 10. Investigue si
( )
*
pertenece a
)
(
y
9
tales que
).
Dado que dos polinomios son iguales si los coeficientes de las potencias iguales de
entonces
(
)
(
),
lo que lleva al siguiente sistema de ecuaciones lineales
𝑛
de
𝑛 , o el
generan a
+.
Solución. Para contestar a lo requerido debemos determinar si existen escalares
(
𝑛+
son iguales,
Álgebra III
de lo que
,
.
(
Como
*
)
(
), esto quiere decir que
( )
pertenece a
+.
Teorema 3. Sea *
𝑛 + un subconjunto no vacío de vectores en el espacio vectorial
Entonces:
a) *
𝑛 + es un subespacio de .
b) *
que contiene a
𝑛 + es el subespacio más pequeño de
𝑛.
.
Demostración
a) Obviamente, *
porque
pertenece a este conjunto, para
. A
𝑛+
continuación se muestra la validez de la propiedad de la clausura para el conjunto generado.
Si y pertenecen a *
Sean
y
elementos de *
existen escalares
𝑛 y
𝑛 +,
entonces
pertenece a *
𝑛 +.
𝑛 +, entonces por la definición de conjunto generado
𝑛 tal que
𝑛 𝑛
𝑛 𝑛
Entonces
(
Observamos que
*
𝑛 +.
Si
pertenece a
escalar .
Sea
)
(
)
(
𝑛) 𝑛.
𝑛
es una combinación lineal de
*
en *
𝑛 +,
𝑛+
y
entonces
𝑛
pertenece a
*
y por lo tanto
𝑛+
para cualquier
un escalar cualquiera. Entonces
𝑛 𝑛
para ciertos escalares
𝑛
(
Como resulta que
b)
y
𝑛 𝑛
)
es una combinación lineal de
𝑛 𝑛.
𝑛,
está en *
𝑛 +.
*
para todo
. Sea ahora
un espacio vectorial que
𝑛 + contiene a
contiene a
es cerrado para la suma y la multiplicación por un escalar,
𝑛 . Como
contiene todas las combinaciones lineales
𝑛 𝑛 de
𝑛 , lo cual nos
lleva a asegurar que todo vector de *
𝑛 + está contenido en .
10
Álgebra III
Ejemplo 11. Investigue si las matrices 0
ℝ
de las matrices
Solución. Sea 0
y
1, 0
1 0
1y0
1 generan al espacio vectorial
.
1 una matriz cualquiera
. El propósito es ver si existen escalares
tal que
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
o lo que es lo mismo
0
1
[
]
Esto conduce al sistema de ecuaciones lineales
Calculemos ahora el determinante de la matriz de coeficientes
[
]
lo que muestra que el sistema de ecuaciones anterior siempre tiene solución para cada conjunto de
+. Por consiguiente, las matrices dadas generan al espacio vectorial ℝ .
escalares *
EJERCICIOS
un subespacio de ℝ𝑛
1) ¿Es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores
es un subespacio de ℝ𝑛
2) Pruebe que el conjunto de todas las matrices simétricas
3) Determine si el conjunto de todos los vectores de la forma (
un subespacio de ℝ
) tales que
4) Determine si el conjunto de todos los vectores de la forma (
es un subespacio de ℝ
) donde
5) Exprese cada polinomio como una combinación lineal de los polinomios
( )
y ( )
.
a)
b)
c)
d)
11
𝑛
𝑛
?
.
es
es un número real,
( )
,
Álgebra III
6) Exprese las matrices dadas como combinación lineal de las matrices
0
0
1,
0
1 y
1.
a) 0
1
b) 0
1
*
7) Pruebe que si
combinación lineal de *
0
c)
1
d) 0
+ genera a un espacio vectorial
+, entonces
*
𝑛 + genera a .
𝑛
8) Sea un subespacio del espacio vectorial , y sean
envoltura lineal *
𝑛 + es un subespacio de .
9) Sean
y
vectorial.
1
𝑛
dos subespacios de un espacio vectorial
vectores en
. Probar que
10) Sean y subespacios de un espacio vectorial . Pruebe que el conjunto
vectores dela forma
, donde está en y está en es un subespacio de
y
𝑛
es una
. Pruebe que la
es un espacio
de todos los
.
BASES Y DIMENSIÓN
Los conceptos de dependencia lineal, independencia lineal, base y dimensión son tan importantes
para espacios vectoriales arbitrarios como lo fueron para el espacio ℝ𝑛 . En esta sección se
desarrollan estos conceptos en un marco más general.
Definición. Un conjunto de vectores *
independiente si la ecuación vectorial
𝑛+
de un espacio vectorial
es linealmente
𝑛 𝑛
tiene como única solución
𝑛
20
Ejemplo 12. Considere el conjunto
vectorial de todas las matrices diagonales
.
1 0
. ¿Es
1 0
13 de matrices en el espacio
linealmente independiente?
Solución. Suponga que
0
1
0
1
0
1
0
1
Luego
[
]
0
1,
lo cual genera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas
de donde
, es decir el conjunto dado es linealmente independiente.
12
Álgebra III
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.
*
+ de vectores en el espacio vectorial
Teorema 4. Un conjunto
independiente si y sólo si para todo vector , la representación
única.
Demostración. Si
es linealmente
es
𝑛
es linealmente independiente, y si
⏟
⏟
𝑛
ra
𝑛
da
representación de
representación de
entonces
(
𝑛
(
Pero *
para todo
)
)
(
(
)
𝑛
)
(
+ es linealmente independiente; por tanto,
, siendo la representación de única.
)
para todo
, luego
Recíprocamente, supongamos que siempre que cualquier vector
pueda expresarse como
combinación lineal de
, esta representación es única. Expresemos a
como una
combinación lineal de estos vectores,
𝑛
Por hipótesis esta representación es única, y como
, se concluye que
es la única solución. Por tanto, es linealmente independiente.
𝑛
Definición. Un conjunto de vectores en un espacio vectorial es una base de si todo elemento
de se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de de manera única.
Esta definición no es útil para decidir si un conjunto es, en efecto, una base de un espacio vectorial.
Para este propósito se requiere el teorema 5.
Teorema 5. Un conjunto de un espacio vectorial
linealmente independiente que genera a .
es una base de
si y sólo si
es un conjunto
Demostración. Sea un espacio vectorial, y un subconjunto de . genera a si y sólo si todo
elemento de se puede escribir como combinación lineal de los elementos de . Por el Teorema ,
un conjunto es linealmente independiente en si y sólo si la representación de cualquier elemento
de como una combinación lineal de elementos de es única. Por tanto, es una base de si y
sólo si es un conjunto linealmente independiente que genera a .
Ejemplo 13. Considere los vectores
0
1,
0
1
0
13
1 y
0
1
Pruebe que el conjunto *
Álgebra III
+ forma una base de ℝ
.
Solución. Debemos probar que
es linealmente independiente y que genera a ℝ
mostremos que es es linealmente independiente. Considere la suma
. Primero
Entonces
0
1
0
1
0
1
0
0
Entonces, por igualdad de matrices
linealmente independiente.
genera a ℝ
Para demostrar que
1
0
1
1
0
1
. Por consiguiente,
es un conjunto
, tomemos un elemento arbitrario
0
1
ℝ
.
Obsérvese que
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Por consiguiente, puede expresarse como una combinación lineal de
es arbitrario, genera ℝ .
En conclusión,
es una base de
, llamada base estándar de
.
y
, y como
.
Ejemplo 14. Los polinomios
forman una base de
, llamada la base estándar de
Solución. Puede verse que
comprobarlo, sea ( )
( )
son linealmente independientes, pero también generan
( )
un polinomio arbitrario. Entonces ( )
Dado que ( ) es arbitrario,
generan
, siendo entonces *
+ una base de
.
. Para
( )
.
Observaciones




Todo subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial puede extenderse a una
base de .
Todo conjunto generador de contiene una base de este.
Sea *
de un espacio vectorial . Entonces todo
𝑛 + una base de un subespacio
subconjunto de que contiene más de elementos es linealmente dependiente.
Dos bases finitas de un subespacio de un espacio vectorial, tienen el mismo número de
elementos.
14
Álgebra III
Definición. Si un espacio vectorial tiene una base finita, entonces todas las bases de tienen el
mismo número de elementos. El número de elementos en una base de un espacio vectorial
se
( ).
llama dimensión de y se expresa
Observaciones




La dimensión del subespacio vectorial trivial * + es, por convención, .
Si tiene una base con un número finito de elementos, entonces se dice que es de dimensión
finita.
El mayor número de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial
dimensional es .
Si
es un subespacio de un espacio vectorial
dimensional, entonces
es de dimensión
finita y su dimensión es menor o igual que .
Ejemplo 15. Dado el espacio vectorial
, ¿cuál es su dimensión?
Solución. Los polinomios
forman un conjunto linealmente independiente en el espacio
dimensional . Por lo tanto este conjunto es una base de , es decir que la dimensión de
es .
Ejemplo 16. Determine la dimensión del espacio vectorial
dimensional ℝ
Solución. Las matrices del ejemplo 13 forman una base del espacio vectorial
Por lo tanto es la dimensión de ℝ .
*
Teorema 6. Sea un espacio vectorial
dimensional. Sea
vectores en .
a) Si es linealmente independiente, entonces es una base de .
b) Si es un conjunto generador, entonces es una base de .
𝑛+
.
un conjunto de
Demostración
*
a) Sea
vectores linealmente independientes en el espacio
𝑛 + un conjunto de
vectorial
dimensional . Si genera a , entonces es una base. Si no, entonces existe un
vector en que no pertenece a *
𝑛 +. Analicemos que ocurre con *
𝑛 +.
Sea
𝑛 𝑛
Si
, entonces, resolviendo para ,
.
/
.
/
.
𝑛
/
𝑛
está en *
y luego,
𝑛 +, lo que es una contradicción. Por tanto,
, y como los
son linealmente independientes, todos los
son
𝑛 𝑛
iguales a , concluyendo que
, es decir que *
𝑛
𝑛 + es linealmente
Siguiéndose que
15
independiente, lo cual es imposible. Luego,
es una base de .
está en *
𝑛+ y
Álgebra III
genera a . Por tanto,
b) Queda como ejercicio.
EJERCICIOS
1) Verifique si los conjuntos de matrices en los ejercicios a) y b) son linealmente independientes en
ℝ . En estos ejercicios solo tiene que aplicar el concepto de independencia lineal.
a) 0
1 0
1 0
1
b) 0
1 0
1 0
1 0
1
2) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes en
comas separan los polinomios.
a.
b.
c.
d.
? Las
3) Encuentre la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores dados:
a) 0
4) Sea
que
1 0
1 0
1
b)
el conjunto de todos los vectores de la forma (
es un subespacio de ℝ Encuentre una base de
) tales que
y la dimensión del mismo.
Pruebe
5) Sea *
𝑛 + un conjunto linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial , y
sea cualquier vector en . Pruebe que *
𝑛 + es linealmente dependiente.
+ un subconjunto linealmente
6) Sea un subespacio del espacio vectorial , y sea *
+ es un subconjunto linealmente independiente
independiente de . Pruebe que *
de .
7) Supongamos que *
𝑛 + genera al espacio vectorial , donde
independientes. Pruebe que *
𝑛 + no puede generar a .
𝑛
son linealmente
PRODUCTO INTERNO
Definición. Sea un espacio vectorial sobre los números reales. Un producto interno real en es
⟩ con las siguientes propiedades:
una función que asocia a todo par y en un número real ⟨
⟩ ⟨
⟩
a. ⟨
⟩ ⟨
⟩ ⟨
⟩
b. ⟨
⟩
⟨
⟩
c. ⟨
⟩
⟩
d. ⟨
y⟨
si y solo si
.
Ejemplo 17. Sean
(
)y
(
) dos vectores en ℝ . Defínase
16
⟨
⟨
⟩ es un producto interior en ℝ .
Solución. Evidentemente, ⟨
Si
Álgebra III
⟩
(
⟩
⟨
) y sabiendo que
⟩ porque
.
(
⟨
) , entonces
⟩
(
)
(
(
)
)
⟨
⟩
⟨
(
)
⟩,
quedando probado b.
(
Verificación de la propiedad c. Se sabe que
⟨
Es evidente que ⟨
⟩
(
)
(
⟩
)
)
(
); luego
,
-
⟨
⟩.
.
Finalmente, se cumple la propiedad d.
⟨
Por tanto, ⟨
⟩
⟩
si y sólo si
(
si y solo si
(
Ejemplo 18. Sean
por
𝑛)
⟨
¿Por qué?
).
(
y
𝑛)
dos vectores en ℝ𝑛 . El producto definido
⟩
𝑛 𝑛
es un producto interno porque cumple con las propiedades de la Definición 1, según se ha
comprobado en los cursos anteriores de álgebra.
Teorema 7. Sea un espacio con producto interior, y sean
Entonces:
⟩ ⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
a) ⟨
⟩ ⟨
⟩
b) ⟨
vectores en
y
Demostración
Afirmación
⟨
⟩
⟨
⟩ ⟨
⟩
⟨
⟩
a)
1) ⟨
2) ⟨
3) ⟨
⟩
⟩
⟩
⟨
⟩
⟨
Justificación
_________________________
_________________________
_________________________
⟩
Afirmación
b)
1) ⟨
2) ⟨
3) ⟨
⟩
⟩
⟨
⟨
⟩
Justificación
_________________________
_________________________
_________________________
⟩
⟩
⟨
⟩
17
escalares.
4) ⟨
5) ⟨
Álgebra III
⟩
_________________________
_________________________
⟩
un espacio con producto interior. La norma ‖ ‖ de un vector
Definición. Sea
por
‖ ‖
pertenecientes a un espacio con producto interno,
(
Ejemplo 19. La norma de un vector
‖ ‖
𝑛 ),
⟩
√⟨
(
Ejemplo 20. Dados los vectores
está definida
⟩
√⟨
Definición. Si
y
son dos vectores en
‖ es la distancia entre y .
entonces ‖
en
simbolizada por ‖ ‖ es
√
) y
𝑛
), calcule: a) ‖ ‖
(
b) ‖
‖.
Solución. Aplicando la definición de norma se tiene:
a) ‖ ‖
b) ‖
√
‖
)
√(
(
)
Teorema 8. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si y
son dos vectores pertenecientes a un
espacio con producto interno, entonces
|⟨
⟩| ‖ ‖‖ ‖
⟩ ⟨
⟩
Demostración. Si
, entonces ⟨
. Luego
|⟨
Supóngase que
. Sea
⟩|
⟩
, ⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩-
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩.
⟩ ¿Por qué?, se tiene
⟨
Si hacemos ⟨
‖ ‖‖ ‖
un número distinto de cero arbitrario.
⟨
Puesto que ⟨
| |
,⟨
⟩
y⟨
⟩
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
( )
, entonces (1) se convierte en
Puesto que el polinomio
nunca es negativo, su gráfica nunca esta abajo del eje . Por
consiguiente, no tiene raíz o bien tiene una raíz repetida. Por lo tanto, su discriminante no puede ser
mayor que cero. Esto es,
(
)
o bien ( ⟨
18
⟩)
⟨
⟩⟨
⟩
Álgebra III
y
,⟨
⟩-
⟨
⟩⟨
⟩
( )
Dividiendo (2) entre , y luego extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la desigualdad
resultante, se deduce la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Definición. Si y son dos vectores pertenecientes a un espacio con producto interno, entonces
⟩
y son ortogonales si ⟨
.
(
Ejemplo 21. Determine si los vectores
(
) y
) son ortogonales.
Solución. Se tiene que
( )
es decir,
y
(
)( )
( )
(
)
,
son ortogonales.
+ en un espacio con producto interior es ortogonal
Definición. Un conjunto de vectores *
si y solo si dos vectores cualesquiera distintos son ortogonales.
*
+ es un conjunto de vectores ortogonales no nulos pertenecientes a un
Teorema 9. Si
espacio con producto interno, entonces es linealmente independiente
*
+ de vectores en ℝ es ortonormal si:
Definición. Un conjunto
a)
es ortogonal.
b) Todo vector en
es unitario (es decir, | |
para cada ).
Siempre se puede obtener un vector unitario a partir de un vector no nulo
a fin de obtener
| |
, multiplicando
| |
por ,
Dicho proceso se llama normalización.
Ejemplo 22. Encuentre un conjunto ortonormal a partir del conjunto ortogonal *
( )+.
(
)
Solución. Se puede transformar en un conjunto ortonormal, normalizando cada vector:
| |
√
(
)
√
y | |
√
√
√
Los vectores
| |
| |
(
√
√
(
)
)
Son unitarios y ortogonales y en consecuencia *
(
(
√
√
√
√
)
)
+ es un conjunto ortonormal.
Es posible transformar cualquier base de ℝ𝑛 en una base ortonormal usando una técnica llamada
proceso de Gram-Schmidt.
19
Álgebra III
+ un conjunto
Teorema 10. (Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt). Sea *
𝑛
+
linealmente independiente de vectores de ℝ . Entonces existe un conjunto ortonormal *
𝑛
+, para todo ;
de vectores en ℝ tal que es una combinación lineal de *
.
Demostración. Sea *
Paso 1. Sea
+ un conjunto linealmente independiente.
, claramente | |
|
(
Paso 2. Sea
Puesto que
contrario,
) .
, (
|
y
.
|
)
|
es igual a
para cierto escalar
no serían linealmente independientes. Ahora
,
Por el teorema 9,
Paso 3. Sea
(
y
(
)(
; de lo
es ortogonal a
)
(
ya que
)
son linealmente independientes.
.
|
Desde luego, *
) -
y
|
+ es un conjunto ortonormal.
Supóngase ahora que
construido a partir de *
*
+, donde
, es un conjunto ortonormal que ha sido
+.
Paso 4. Sea
(
Para todo ,
)(
Nuevamente por el teorema 9, *
Entonces *
.
(
)
(
)
, se tiene
(
Paso 5.
)
|
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
+ es un conjunto linealmente independiente.
|
+ es un conjunto ortonormal. Se continúa de esta manera hasta que
Se sabe que vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 forman una base de ℝ𝑛 . Así se tiene el
siguiente corolario.
(
Ejemplo 23. Los vectores
Fórmese una base ortonormal *
),
(
) y
(
) forman una base de ℝ .
+ por el proceso de Gram.Schmidt.
20
Álgebra III
Solución.
Paso 1. Sea
|
|
(
)
)
(
(
Paso 2.
|
|
)
)
(
)
(
)
, así que
|
(
|
)
(
Paso 3.
|
(
|
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, así que
|
(
|
Por tanto, *
)
(
)
+ es una base ortonormal de ℝ .
(
Ejemplo 24. Los vectores
Fórmese una base ortonormal *
),
(
) y
(
) forman una base de ℝ .
+ por el proceso de Gram.Schmidt.
Solución.
Paso 1. Sea
|
|
(
Paso 2.
|
|
√
.
√
|
)
√
[
√
(
)]
.
/
, así que
√
(
(
)
)
(
)
√
0
√
(
)1
√
0
√
(
)1
(
)
, así que
√
|
Por tanto, *
)
/
(
|
(
√
|
Paso 3.
)
)
√
|
|
(
√
0 (
)1
√
(
)
+ es una base ortonormal de ℝ .
EJERCICIOS
1) Determine cuáles de los conjuntos dados son ortogonales:
*(
a)
*(
)(
)(
)+
)(
b)
*(
)(
)(
)+
c) *(
)(
c)
)+
2) Determine cuáles de los conjuntos dados son ortonormales:
a) 2
√
(
)
√
(
)3
b) *(
)(
)(
21
)+
)+
Álgebra III
3) Use el proceso de Gram-Schmidt para transformar las bases dadas en bases ortonormales.
a) *(
d) *(
)(
)+
)(
)(
)+
b) *(
)(
e) *(
)(
)+
c) *(
)(
⟩|
‖ ‖‖ ‖ si y sólo si
y
)(
)+
)+
4) Sea un espacio vectorial con producto interior. Demuestre que si
entonces es ortogonal al subespacio generado por ellos.
5) Demuestre que |⟨
)(
es ortogonal a
,
,
son linealmente dependientes.
BIBLIOGRAFÍA
Gerber, H. (1992). Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Iberoaméricana.
Swokowski, E., & Cole, J. (2013). Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry. Brooks/Cole,
Cengage Learning.
22
,
Álgebra III
Facultad de Educación e Idiomas
Departamento de Enseñanza de las Ciencias
Colectivo de Matemática
Unidad II: TRANSFORMACIONES LINEALES
Objetivos: 

Contenidos: 



Demostrar proposiciones referidas a espacios con producto interno y a
transformaciones lineales.
Aplicar el isomorfismo entre el álgebra de las matrices 𝑚
y el álgebra de las
transformaciones lineales.
Propiedades de una transformación lineal.
Álgebra de las transformaciones lineales.
Representación matricial de una transformación lineal.
Rango y nulidad de una transformación lineal
Las transformaciones lineales están estrechamente ligadas a la geometría escolar. Las traslaciones,
rotaciones alrededor del origen y la reflexión sobre una recta son movimientos del plano expresables
a través de transformaciones lineales con determinadas propiedades métricas. La divisa expresada
por Sophie Germain no es un mero juego de palabras “el álgebra no es otra cosa que la geometría
escrita en símbolos, y la geometría es sencillamente álgebra expresada”.
PROPIEDADES DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición. Sea una función de un espacio vectorial a otro espacio vectorial
una transformación lineal si cumple las dos propiedades:
(
)
( )
( )
a.
( )
b.
ℝ ( )
Ejemplo 1. Pruebe que
ℝ
ℝ definida por ,(
Demostración. Se debe verificar que
a.
,(
)
(
)-
)-
(
es
es una transformación lineal.
cumple las dos propiedades de la definición.
,(
b.
, (
)-
,(
)-
(
)
)
(
)
(
)-
. Entonces
)
(
(
Ejemplo 2. Pruebe que la función
transformación lineal.
)
,(
)-
)
ℝ
ℝ
23
definida por
,(
)-
(
) es una
Álgebra III
Demostración. Se debe verificar que
a.
,(
)
(
)-
cumple las dos propiedades de la definición.
,(
)-
( (
b)
) (
)
(
,(
( (
)
(
(
)
)-
) )
(
(
, (
)
(
)) (
) )
)
,(
)-
).
Puede observar que estas verificaciones son rutinarias y no ofrecen considerable dificultad, pero hay
que realizarlas.
definida por ,(
ℝ
Ejemplo 3. Pruebe que la función
)-
[
] es una transformación
lineal.
Demostración. Se debe verificar que
a.
,(
)
(
)-
cumple las dos propiedades de la definición.
,(
)-
[
b.
, (
]
[
]
,(
)-
[
)-
,(
[
]
,(
]
[
)-
)-
]
,(
)-
Ejemplo 4. Sean , - el conjunto de todas las funciones continuas en , - y , - el conjunto de
, todas las funciones con primera derivada continua definida en , -. Entonces el mapeo
, - definido por ( )
(la derivada de ) es una transformación lineal.
Demostración. Del cálculo se sabe que
( )
( ).
(
)
(
)
Teorema 1. Sea :
una transformación lineal, y sean
y
respectivamente. Entonces:
c) ( )
( )
d) ( )
)
( )
( ),
e) (
ℝ,
( )
( )
f) (
𝑛 𝑛)
𝑛 ( 𝑛 ),
( )
( ) y
los vectores nulos en
ℝ,
(
)
y
,
Demostración
Afirmación
a)
4)
5)
6)
7)
(
(
)
)
( )
( )
(
Justificación
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
)
( )
24
Álgebra III
Afirmación
b)
6)
7)
8)
9)
(
(
)
(
)
( )
( )
d)
(
(
(
)
)
( )
( )
( )
c)
1)
2)
3)
Justificación
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
)
(
)
Afirmación
( )
( )
)
( )
( )
( )
( )
Por inducción sobre . Para
Justificación
_________________________
_________________________
_________________________
, se tiene
(
Supóngase que es válido para
)
(
)
, es decir
(
ℎ ℎ)
(
)
(
)
(
ℎ
ℎ)
se probará que
(
ℎ ℎ
(
ℎ ℎ
ℎ
ℎ
)
ℎ
ℎ
)
(
)
(
)
(
ℎ
,(
ℎ ℎ)
(
ℎ
ℎ ℎ)
(
)
(
)
ℎ
ℎ)
(
(
ℎ)
ℎ
)
-
ℎ
ℎ
(
ℎ
ℎ
ℎ
)
(
ℎ
)
Ejemplo 5. Determine si alguna de las funciones dadas es una transformación lineal.
)- (
)
a)
ℝ
ℝ , definida por ,(
)- (
)
b)
ℝ
ℝ , definida por ,(
Demostración. La función del inciso a) no es una transformación lineal, puesto que
,(
)-
(
)
(
)
Para el inciso b) se puede ver fácilmente que ,( )- ( ), sin embargo esto no garantiza que
sea una transformación lineal. Obsérvese que no se cumple la propiedad b) de la definición.
, (
)-
,(
)-
(
)
Teorema 2. Sea una matriz fija de orden 𝑚
una transformación lineal.
Demostración. Sean
Entonces
,
)
. Entonces
(
)
ℝ𝑛
ℝ
ℝ𝑛 consideradas como matrices de orden
(
(
Por lo tanto,
(
)
)
(
( )
es una transformación lineal.
25
)
(
)
( )
,(
)-
definida por ( )
y
es
cualquier escalar.
Álgebra III
Ejemplo 6. Pruebe que la función ℝ
horario, es una transformación lineal.
ℝ , que rota un vector dado un ángulo
en sentido anti
) en el plano
Demostración. Rotemos un vector (
un ángulo alrededor del punto ( ) en
) . Si la longitud de (
) es , entonces es
sentido anti horario para obtener el nuevo vector (
). Asumamos que el ángulo entre (
) y el eje
también la longitud de (
es
radianes.
Entonces
(
(
y
y
)
)
Por tanto,
(
(
)
)
Estas ecuaciones pueden expresarse en la siguiente forma matricial
0
10 1
[ ]
( )
Por el Teorema 2, la función ℝ
ℝ , que rota un vector dado un ángulo
es una transformación lineal dada por la ecuación ( ).
Ejemplo 7. Sea
ℝ
Encuentre ,( )-.
ℝ una transformación lineal con
,(
)-
(
en sentido anti horario,
) y
,(
)-
(
).
Solución. Aplicando las definiciones de suma de vectores, multiplicación por escalar y
transformación lineal, y la ley de asignación de , resulta:
,(
)-
, (
)
(
)-
,(
)-
,(
)-
(
)
(
)
(
)
EJERCICIOS
1) Determine si la función dada es o no una transformación lineal.
)- (
)
a)
ℝ
ℝ , ,(
)- (
)
b)
ℝ
ℝ , ,(
)- (
)
c)
ℝ
ℝ , ,(
)- (
)
d)
ℝ
ℝ , ,(
)- (
) llamada reflexión en el eje .
e) La función ℝ
ℝ tal que ,(
f)
ℝ
ℝ ,
, (
g)
2) Sea
,(
.0 1/
ℝ
)-
ℝ
(
0
10 1
)
una transformación lineal con
). Encuentre ,(
)-.
26
,(
)-
(
),
,(
)-
(
) y
3) Sea *
⟨
⟩
Álgebra III
𝑛
ℝ𝑛
𝑛 + una base de ℝ . Pruebe que la función
⟩
⟨
𝑛 ⟩ 𝑛 es una transformación lineal.
⟨
ℝ𝑛 definida por
( )
ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición. Sean
transformaciones lineales
y
dos transformaciones lineales. La suma
y es la función de a
definida por
( )
para todos los vectores
(
)( )
( )
de las
( )
en .
Definición. Sea
definida por ( )( )
una transformación lineal y
( ( )).
cualquier escalar. Entonces
ℝ
.
Ejemplo 8. Sean las transformaciones lineales
(
) y ,(
)- (
). Encuentre
ℝ ,y
ℝ
está
ℝ definidas por
,(
)-
Solución. Aplicando las definiciones de suma y multiplicación por escalar, y las leyes de asignación
de las funciones dadas, resulta:
(
),(
)- ( ),(
),(
)* ,(
)-+
(
,(
)
(
(
)
(
Definición. Sean
llamada el producto de
para todos los vectores
-(
y
)
(
)
)
-( )
( ( ))
en
( (
transformaciones lineales. Entonces la función
. Entonces
))
, ( )
( )-
, ( )-
, ( )-
,
-( )
Por tanto
,
Sean
en
y
)
-(
-( )
,
,
-( )
un escalar cualquiera. Entonces,
,
,
en .
Teorema 3. Sean
y
es una transformación lineal.
,
)
y
transformaciones lineales. Entonces la función
y o la composición de y , se define por
,
Demostración. Sean
)-
-(
)
( (
)))
(
( ))
27
( ( ))
,
-( )
,
-( ).
Por tanto, ,
-(
)
,
ℝ
Ejemplo 9. Sean
,(
)- (
Solución. (
),(
)-
Álgebra III
-( ), completando la prueba de que
ℝ , y
ℝ
). Encuentre (
( ,(
)-)
ℝ
),(
,(
es una transformación lineal.
,(
definidas por
)-.
)-
(
)-
(
) y
)
Definición. Sea
una transformación lineal de un espacio vectorial
dimensional
en un
espacio vectorial
dimensional
. Una inversa de
(si existe), denotada por
es la función
de
en
tal que
y
ℝ
Ejemplo 10. Encuentre la inversa de la transformación lineal
( )
Solución. La inversa
de
0
ℝ definida por
1
está definida por
( )
0
1
Obsérvese que
(
)( )
( ( ))
0
1 .0
0
10
1
/
1
0
1
Similarmente,
(
)( )
( ))
(
.0
0
1 /
10
1
0
1
Observación. Para que exista una inversa de la transformación lineal
y
deben tener
la misma dimensión. A pesar de que una transformación
puede no tener inversa, si esta
( ), dado que
existe, es única. Observe que si ( )
, entonces
( )
donde
e
( ( ))
(
)( )
son las transformaciones identidad sobre
( )
y
, respectivamente.
Teorema 4. Si
es una transformación lineal y si
transformación lineal. Además, si
existe, esta es única.
existe, entonces
Demostración. Sean
y
en
(
Dado que
(
, y sean
es una transformación lineal
(
)
)
y
(
)
28
(
) y
(
)
(
)
.
también es una
). Se cumple que
Álgebra III
Luego
(
)
,
así
(
Sea ahora
en
,
)
(
(
)
(
( ) Entonces
cualquier escalar, y
(
Así que
)
)
( )
)
( )
y
.
( ), comprobándose finalmente que
es una transformación lineal.
Se sabe que si una función admite inversa entonces es única, lo cual garantiza que
única.
si existe, es
La inversa del producto de dos transformaciones lineales invertibles es el producto de las inversas,
pero en orden permutado. La demostración es análoga a la del resultado equivalente para matrices.
Definición. Sea
una transformación lineal. El kernel o núcleo de
( )
*
( )
es el conjunto
+
( ), es el conjunto de todos los vectores
Es decir, el núcleo de , denotado por
( )
.
en
tal que
Definición. El rango o imagen de , denotado por ( ), es el conjunto de todos los vectores
tales que existe al menos un elemento en tal que ( )
.
( )
*
( )
ℝ
Ejemplo 11. Considere la transformación lineal
,(
Encuentre
( ) y
ℝ definida por
(
).
( ).
Solución. Para encontrar
( ) se necesita encontrar todos los vectores (
,(
es decir, todos los
)-
+
para alg n
y
)-
(
)
(
),
tal que
La única solución de este sistema de ecuaciones es
( )
, es decir,
*(
)+.
Para encontrar ( ) se deben encontrar todos los posibles vectores (
,(
)-
) tal que
(
)
(
)
(
)
Por tanto,
29
(
)
) tales que
(
)
(
)
en
( )
* (
)
(
)
ℝ
Ejemplo 12. Considere la transformación lineal
,(
Encuentre
( ) y
)-
*(
ℝ+
) (
)+.
Álgebra III
ℝ definida por
(
).
( ).
Solución. Para encontrar
( ) hay que encontrar todos los vectores (
,(
)-
(
)
(
) tal que
),
El sistema
tiene la solución general
,
(
Por tanto,
( )
*(
,
)
. Entonces
)
(
(
)
)+.
) tales que existe un vector (
Para encontrar ( ) hay que determinar todos los vectores (
con la propiedad que
,(
)- (
) (
),
entonces
,(
)- (
) ( ) (
) (
)
(
Por tanto,
( )
*(
)(
)(
)+
)
(
)
(
)
)
ℝ .
Teorema 5. Sea
una transformación lineal. Entonces:
( ) es un subespacio de
a)
b) ( ) es un subespacio de
Demostración. Sea
a)
una transformación lineal.
( ) porque ( )
( )
luego
, se deben verificar las siguientes propiedades.
1) Si
( ), entonces
( ), entonces ( )
(
)
cumpliéndose que
Sean
( ) es un subespacio de
. Para probar que
( ).
y ( )
( )
( )
. Entonces,
,
( )
2) Si
Sea
( )y
( ).
es un escalar, entonces
( ). Entonces ( )
lo cual implica que
( )
. Por tanto, para cualquier escalar , ( )
( ) Esto prueba que
( ) es un subespacio de .
30
Álgebra III
b) Dado que
(
)
,
( ), resultando que ( )
( ). Entonces existen vectores
1) Sean
. Por lo tanto,
(
)
( )
(
( )
Entonces
( ) y
2) Sea ahora
Entonces tenemos que
tal que
)
)
( )
(
)
(
y
)
.
cualquier escalar. Entonces existe un vector
(
Luego
.
tal que ( )
.
.
( ), probándose que ( ) es un subespacio de
EJERCICIOS
1) Dadas las transformaciones lineales
ℝ
ℝ , y
ℝ
ℝ definidas por
(
) y ,(
)- (
), describa las transformaciones siguientes:
a)
b)
c)
d)
,(
)-
2) Encuentre el kernel y el rango de cada una de las siguientes transformaciones lineales:
,(
)- (
)
a)
ℝ
ℝ
,(
)- (
)
b)
ℝ
ℝ
,(
)- (
)
c)
ℝ
ℝ
( )
d)
ℝ
ℝ
3) Pruebe que el conjunto de todas las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales
, es un espacio vectorial con la suma y multiplicación definidas en esta sección.
y
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Existe una relación íntima e importante entre las matrices 𝑚
y las transformaciones lineales
𝑛
ℝ
ℝ . Un ejemplo de esto es el teorema 2 de este capítulo. A continuación se estudia que
dada cualquier transformación lineal ℝ𝑛 ℝ , existe una matriz de 𝑚
tal que ( )
.
Antes de proceder a este estudio, se demuestra una observación sencilla, pero importante, referente
a bases y transformaciones lineales.
Teorema 6. Sea
una transformación lineal entre dos espacios vectoriales
*
está determinada de manera única por * (
𝑛 + es una base de , entonces
( 𝑛 )+.
Demostración. Sea
una transformación lineal entre dos espacios vectoriales
*
supóngase que
y el conjunto de sus imágenes * (
𝑛 + es una base de
( 𝑛 )+. Sea
, y puesto que
es una base de , existen escalares únicos
tales que
𝑛 𝑛.
Dado que es una transformación lineal,
31
y . Si
) ( )
y
)
, y
( )
𝑛
( )
(
𝑛
Dado que los valores de
también de modo único por
Ejemplo 13. Sea
ℝ
(
([
(
)
(
)
𝑛
)
0 1,
0
([ ])
1
]) como el producto de una matriz
([ ])
por [
0 1
].
Solución. Puesto que
[
]
[ ]
[ ]
(
)[ ]
entonces,
([
])
([ ])
0
ℝ
.0
1
1[
(
) ([ ])
)0 1
]
ℝ una transformación lineal, en donde
.0 1/
Exprese
(
([ ])
( )0
0 1
Ejemplo 14. Sea
(
𝑛 ).
Álgebra III
están determinados de manera única, ( ) está determinado
( )
( 𝑛 ).
𝑛
ℝ una transformación lineal, en donde
([ ])
Exprese
𝑛)
[
.0 1/
],
1/ como el producto de una matriz
por 0
[ ]
1.
Solución. Puesto que
0
(
1
)0 1
0 1
entonces,
.0
1/
(
) .0 1/
(
)[
Observe que
32
]
.0 1/
[ ]
[
]
Álgebra III
.0
Teorema 7. Sea
para todo
ℝ𝑛 ,
ℝ𝑛
ℝ
1/
]0
[
1
una transformación lineal. Luego existe una matriz única
tal que
( )
La
es ( ) donde *
ésima columna de
𝑛+
es la base estándar de ℝ𝑛 .
ℝ𝑛
Demostración. Considérese una transformación lineal
estándar de ℝ𝑛 . Asúmase que
ℝ
y sea *
𝑛+
la base
𝑛
( )
[
(
],
)
[
(
]
𝑛)
𝑛
[
].
𝑛
Sea ahora
[
]
𝑛
un vector cualquiera en ℝ𝑛 .
Como
𝑛 𝑛,
se cumple que
( )
( )
(
)
(
𝑛
𝑛)
𝑛
[
]
[
]
𝑛
[
𝑛
]
𝑛
[
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
]
𝑛
𝑛
𝑛
[
][
𝑛
]
𝑛
𝑛
𝑛
[
]
𝑛
Se observa que a toda transformación lineal
ℝ𝑛
𝑚
tal que para todo
ℝ𝑛
( )
33
ℝ
corresponde una matriz
de orden
Álgebra III
La
𝑛
ésima columna de
es ( ) donde *
𝑛 + es la base estándar de ℝ . La matriz
definida de esta manera se llama la matriz estándar de .
Para demostrar que
es única, supóngase que
es otra matriz tal que para todo
( )
ℝ𝑛 ,
.
Por tanto,
(
donde
)
es la matriz columna nula, para todo .
Luego, (
)
para todo
)
Ahora, (
, para todo .
es la
.
ésima columna de
. Es decir, la
es la matriz nula de orden 𝑚
Por tanto,
. En conclusión,
ℝ
Ejemplo 15. Consideremos la transformación lineal
,(
Encuentre
)-
ésima columna de
es
.
ℝ definida por
(
)
.
Solución. Aplicando la función
( )
(
se tiene que
)
(
)
(
)
y
(
)
(
)
Ahora se escriben estos vectores como vectores columna para obtener
[
]
Por el Teorema 7,
([ ])
[
][ ]
En general, lo que queremos probar es que cualquier transformación lineal
entre dos
espacios vectoriales
y
de dimensión finita puede ser considerada una matriz:
*
Sea
𝑛 + una base ordenada de
Entonces cualquier vector
; es decir,
𝑛 𝑛
tiene asociada una matriz columna
, -
[ ]
𝑛
34
se expresa en un orden fijo.
Álgebra III
llamada matriz coordenada de
relativa a
.
Se puede formular ahora el teorema 8.
*
*
+ bases de dos espacios vectoriales y
Teorema 8. Sean
𝑛+ y
respectivamente. Sea
una transformación lineal. Entonces existe una matriz única
, de orden 𝑚
tal que, para todo
en ,
, ( )Demostración. Sea
*
+ de
y
(, -
), - .
la transformación lineal y sean dadas las bases
respectivamente. Si
𝑛 𝑛,
y
( )
(
)
(
)
𝑛
(
*
𝑛+
𝑛)
Si
𝑛
, (
)-
[
, (
]
)-
[
, (
]
𝑛 )-
[
𝑛
],
𝑛
entonces
, ( )-
, (
)-
, (
)-
𝑛,
(
𝑛 )-
𝑛
𝑛
[
][
𝑛
(, -
]
𝑛
), -
Para probar la unicidad supongamos que existe una matriz
, ( )-
(, -
), -
Entonces , para
donde *
implica que la
ésima columna de es igual a la
(, - ) y la matriz es única.
Por tanto,
La matriz , -
recibe el nombre de matriz de
Ejemplo 16. Sea
ℝ
, -
es la base estándar de ℝ𝑛 . Esto
ésima columna de (, - ) para
𝑛+
respecto a las bases
y
.
ℝ la transformación lineal definida por
(
*(
) (
y sean
Encuentre la matriz de
tal que
)
(
)
) (
)+ y
*(
respecto a las bases y
) (
.
)+ bases de ℝ y ℝ , respectivamente.
Solución. Primero se calculan las imágenes de los vectores de la base , así
,(
)-
(
),
,(
)-
(
) y
,(
Ahora deben calcularse las coordenadas de tales vectores en la base
35
)-
(
, esto es
)
Álgebra III
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Luego,
, (
)-
]
, (
, -
[
[
)-
[
, (
]
)-
[
]
Por tanto,
]
EJERCICIOS
1) Encuentre
para las siguientes transformaciones
)- (
)
a)
ℝ
ℝ definida por ,(
)- (
)
b)
ℝ
ℝ definida por ,(
)- (
)
c)
ℝ
ℝ definida por ,(
)- (
d)
ℝ
ℝ definida por ,(
e) Sea la transformación lineal
ℝ
ℝ definida por
).
f) Sea ℝ
ℝ definida por ( )
para todo en ℝ .
2) Encuentre el valor de la transformación lineal
a) 0
1;
,(
)-
b) [
)
donde
es el vector (
en el vector indicado, dada la matriz
,(
];
)-
c) 0
.
1;
,(
)3) Sea
ℝ
ℝ definida por ,(
base de ℝ . Encontrar , - .
4) Sea la transformación lineal
Encuentre , -
, donde
5) Sea la transformación lineal
Encuentre , -
, donde
ℝ
*(
ℝ
,(
*(
)-
(
) donde
ℝ definida por
,(
)- (
)(
)+
y
) (
36
)(
).
*
+.
ℝ definida por
)- (
) (
*(
).
)+
y
*
+.
)+ es la
Álgebra III
*
6) Sea
y sea
𝑛 + una base del espacio vectorial
lineal. Encuentre la representación matricial de respecto de la base
siguientes conjuntos de imágenes.
( )
( 𝑛)
a) ( )
,
b) ( )
, ( )
si
.
c) ( )
para
, donde los son escalares.
una transformación
para cada uno de los
MATRICES Y TRANSFORMACIONES LINEALES: RANGO Y NULIDAD
Teorema 9. Sean
de dimensión finita
y
,
asociada a
y
. Sean
y
,
es
Demostración. Sean , para todo
en ,
y ,
(,
-
transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales
bases de
y
respectivamente. Entonces la matriz
, - .
las matrices asociadas a
-
′
), -
,(
( )-𝐵
, ( )(, -
Ejemplo 17. Sean
ℝ
ℝ y
,(
Calcule
ℝ
)-
, -
′
,
′
′
( )-
), -
(, -
respectivamente. Entonces
)( )-𝐵
,( ( )
De lo anterior se deduce que ,
y
,
(,
,
-
-
.
′
-
′
), -
), -
ℝ definidas por
(
) y
,(
)-
(
).
.
Solución. Se tiene que
,(
)-
(
)
,(
)-
(
,(
)-
(
)
,(
)-
(
0
1
)
).
Entonces
0
y
1
Luego,
0
1
0
1
0
1
Teorema 10. Sea
una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión
finita y
y
bases de
y
respectivamente. Sean , - , la matriz asociada con y
, - .
un escalar. Entonces la matriz , - asociada con
es , - es decir , Demostración. Sean , para todo
en ,
y ,
-
las matrices asociadas a
37
y
respectivamente. Entonces
(,
-
′
), -
,(
,
( )-𝐵
, ( )(, -
De lo anterior se deduce que ,
Ejemplo 18. Sea
ℝ
ℝ
Solución. Obsérvese que
-
, -
es la
′
), -
′
.
,(
definida por
Álgebra III
)( )-𝐵
)-
(
) Calcule
del ejemplo anterior, cuya matriz relativa a la base canónica es
0
1.
Por tanto, según el teorema 10, la matriz asociada con
un escalar no nulo, resulta
0
¿Es válido este resultado si
.
relativa a la base canónica, donde
1
0
es
1
?
Teorema 11. Sean
y
transformaciones lineales entre los espacios vectoriales
de dimensión finita
y
. Sean
y
bases de
y
respectivamente. Finalmente,
sean , - , y , - , las matrices asociadas con y
respectivamente. Entonces
- ,
- , -, - o
la matriz ,
asociada a
es , -, -, es decir, ,
,
-
,
-
, -
Demostración.
(,
De lo anterior se deduce que ,
-
′′
), -
-
,(
,
′′
)( )-𝐵
,
( ( )-
,
-𝐵 𝐵 ,( ( )-
,
-𝐵 𝐵 , -𝐵𝐵 , -𝐵
′
-𝐵 𝐵 , -𝐵𝐵 .
Ejemplo 19. Sean las transformaciones lineales
ℝ
ℝ tal que
( ) (
)
y
Encontrar la matriz estándar de
′′
ℝ
ℝ , definida por
(
)
(
)
.
Solución. Compruébese que
0
1 y
38
[
]
(
)
y
Álgebra III
son las matrices asociadas a las transformaciones
y
Dado que el teorema 11 asegura que
, entonces tenemos que
]0
[
siendo esta última la matriz asociada a
Teorema 12. Sea
de dimensión .
Entonces la matriz ,
respectivamente.
1
[
],
.
una transformación lineal biyectiva entre dos espacios vectoriales
y
,
,
Sean
bases de
y , y sea
la matriz asociada con .
- ,
- , - .
asociada a
es la inversa de , - es decir, ,
Demostración.
,𝑰𝑽 -𝐵
I𝑛
,
-𝐵
,
-𝐵 𝐵 , -𝐵𝐵
Por lo anterior , -𝐵𝐵 admite inversa, y además es ,
Ejemplo 20. Sea
Encuentre
.
ℝ
ℝ
-.
la transformación lineal definida por
,(
)-
(
)
Solución. Dado que que
0
la matriz canónica asociada a
(
es
)
1,
.0
1/
0
ℝ𝑛
Teorema 13. Sea
la matriz estándar de la transformación lineal
el espacio generado por los vectores columna de
.
Demostración. Sea
ℝ𝑛 ℝ
bases canónicas de ℝ𝑛 y ℝ .
La imagen de
una transformación lineal y
1.
es el conjunto de todos los vectores columna
tales que el sistema
es consistente.
pertenece a la imagen de , debe existir un vector
tal que
𝑛
( )
𝑛
[
𝑛
39
( ) es
su matriz asociada respecto a las
( )
Si
ℝ . Entonces
][
]
𝑛
[
],
𝑛
Álgebra III
Por tanto, existen constantes
𝑛
tales que
𝑛
[
]
[
]
𝑛
𝑛
[
]
[
]
𝑛
𝑛
Puede verse que
es una combinación lineal de los vectores columna de
pertenece al espacio generado por los vectores columna de
Definición. Sea
denotado por
una transformación lineal, donde
( ) es la dimensión de ( )
ℝ
Ejemplo 21. Sea la transformación lineal
,(
Encontrar
)-
,
y por tanto,
es de dimensión finita. El rango de
,
ℝ definida por
(
)
( ).
Solución. Escojamos la base *
( )
+ de ℝ . Entonces
(
)
(
)
(
) y
[
]
(
)
(
)
Por tanto
Observe que los vectores (
( )
probarlo? Por tanto,
)(
) y (
( ).
) son linealmente independientes. ¿Puede
Definición. Sea
una transformación lineal, donde
( )
denotada por ( ), es la dimensión de
es de dimensión finita. La nulidad de ,
Ejemplo 22. Encontrar la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo
{
Solución. El sistema se resuelve reduciendo la matriz de coeficientes del sistema a la forma
escalonada reducida por renglones:
[
]
[
Por tanto
{
40
]
Álgebra III
Haciendo
y
, obtenemos
,
,
,
Lo anterior puede expresarse en notación vectorial como
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
donde y son escalares arbitrarios. El conjunto solución del sistema anterior es *(
)(
)+. Para demostrar que estos vectores forman una base del espacio solución es
suficiente demostrar que son linealmente independientes, lo cual puede hacerse fácilmente por
cálculo directo. En conclusión, la dimensión del espacio solución del sistema propuesto es .
Teorema 14. (Teorema de la Dimensión). Sea
dimensión finita. Entonces
( )
( )
Demostración. Sea *
Debemos probar que
𝑚
Como *
( ) existen vectores
+
+ una base de
( )
.
(
Aseguramos que
)
(
*
Probemos primero que
una transformación lineal, donde
es de
( )
( ) y sea *
+ una base de
( ).
tales que
)
(
)
.
+ es una base de .
es linealmente independiente. Si
( )
entonces
(
Ahora,
)
( )
para
(
)
(
(
)
(
)
(
)
( ). Además sabemos que
porque cada
(
)
)
(
)
.
Luego,
Como *
+ es una base de ( ) resulta ser un conjunto linealmente independiente, luego
.
Volviendo a la ecuación ( ) tenemos que
.
Pero *
+ es una base de
( ). Por tanto,
41
Álgebra III
,
siendo entonces
linealmente independiente.
, entonces ( )
tal que
Falta probar que genera a . Sea
de ( ), entonces existen escalares
( )
( ), y siendo *
+ una base
( )
.
Recordemos que
(
)
(
)
(
)
.
Luego ( ) se transforma en
( )
(
)
(
)
(
(
)
)
Entonces
(
(
))
(
Esto implica que
( )
)
Por el hecho de que *
(
)
( ).
+ es una base de
(
( ), existen escalares
tal que
)
.
Finalmente
.
Por tanto,
*
+ genera a , resultando que
ℝ
Ejemplo 23. Sea la transformación lineal
,(
Encontrar
)-
es una base de .
ℝ definida por
(
).
( ).
Solución. Encontremos primero
sistema de ecuaciones lineales
( ). La igualdad
,(
)-
(
) conduce al siguiente
{
Escribiendo la matriz de este sistema y aplicándole reducciones por fila obtenemos
[
Haciendo
]
vemos que
]
[
].
, obteniendo en notación vectorial
(
*(
[
)
)+ es una base del kernel de
Usando el teorema 14, y sabiendo que
(
)
Por tanto,
(ℝ )
(
( )
).
.
tenemos que
42
Álgebra III
( )
.
EJERCICIOS
1) Sean
0
1 y
0
1
las matrices asociadas con las transformaciones lineales
ℝ
ℝ y
ℝ
ℝ
respectivamente. Encuentre
1.
2.
3.
4.
2) Sea
la función identidad en un espacio vectorial dimensional y
una base de este
espacio vectorial. Demuestre que I𝑛 , -𝐵 .
3) Encuentre la dimensión del espacio solución de cada uno de los sistemas homogéneos de
ecuaciones lineales.
a) {
b) {
4) Encuentre el rango y la nulidad de las siguientes transformaciones lineales:
)- (
)
a)
ℝ
ℝ , ,(
b)
ℝ
ℝ ,
,(
)-
(
c)
ℝ
ℝ ,
,(
)-
(
)
)
ℝ
5) Encuentre una transformación lineal
6) Sea una matriz
de rango
es un vector columna?
ℝ cuyo espacio nulo es la recta
¿Cuál es la dimensión del espacio solución de
7) Sea
como en el Teorema de la Dimensión. La dimensión de
en el teorema. Explique la razón.
no aparece mencionada
8) Sea
una transformación lineal entre los espacios y . Pruebe que si *
( 𝑛 )+ genera a ( )
es una base de , entonces * ( ) ( )
9) Sea
una transformación lineal donde
10) Pruebe que
es invertible si y solo si
11) Pruebe que
es invertible si y solo si
12) Pruebe que
es invertible si y solo si
𝑚( )
( )
( )
( )
43
* +
𝑚( )
donde
.
𝑛+
Álgebra III
Facultad de Educación e Idiomas
Departamento de Enseñanza de las Ciencias
Colectivo de Matemática
Unidad II: VALORES CARACTERÍSTICOS
Objetivos: 

Contenidos: 

Calcular valores y vectores característicos de una matriz.
Calcular la matriz diagonal correspondiente a una clase de equivalencia de
matrices semejantes.
Valores y vectores característicos
Diagonalización
El matemático suizo Leonhard Euler, en su búsqueda de herramientas matemáticas para explicar el
movimiento de los planetas, desarrolló los conceptos importantes de valores y vectores propios. En
la terminología moderna, el trabajo de Euler consistía en encontrar las transformaciones lineales que
especificaran un nuevo sistema de ejes de coordenadas.
Supongamos que tenemos una transformación lineal ℝ
ℝ . Nos gustaría encontrar vectores
y
para formar un sistema de coordenadas que quede invariante bajo la acción de . Este
propósito se cumple si ( )
y ( )
, donde los escalares
y
son no nulos. Los
vectores
y
determinan el mismo sistema de coordenadas que
y , aunque las unidades
en los ejes pueden ser diferentes.
En lugar de considerar los vectores
con la propiedad de que ( )
, donde
transformación lineal, consideraremos las matrices
de
con la propiedad de que
donde es una matriz
.
es una
,
También tendremos la oportunidad de ocuparnos de las matrices semejantes, y ver que la
semejanza es una relación de equivalencia. Luego llegaremos al resultado notable de que las
matrices simétricas son diagonalizables, y lo que es todavía más importante, que una matriz sea
simétrica equivale a decir que es ortogonalmente diagonalizable.
VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Definición. Sea una matriz
. Una matriz no nula de
es un vector propio de si existe
un escalar real tal que
. El escalar se llama valor propio de correspondiente a , y es
un vector propio correspondiente a .
Excluiremos la posibilidad de que la matriz nula
sea un vector propio de porque
para toda matriz
y para todo escalar . Por consiguiente, cada uno de los valores propios
debe corresponder a una matriz no nula de
.
44
Álgebra III
Teorema 1. Sea una matriz
(
)
real de
.
Demostración. Sea
. Entonces
es un valor propio de
si y sólo si
es una solución
es un valor propio de . Se tiene que
⟺
para alg n
( )
⟺
⟺ ( )
)
⟺ (
(
)
⟺
es un valor propio de
de
(
) en
Definición. Sea una matriz
e la matriz identidad de orden . El polinomio
(
)
es llamado polinomio característico de . La ecuación
es llamada ecuación
característica de .
0
Ejemplo 1. Determine los valores propios asociados a
1.
ℝ, entonces
Solución. Sea
|
|
|
|
La ecuación característica es
de donde
.
Teorema 2. Sea
columna de
un valor propio de la matriz
de
. El conjunto
𝑛
en ℝ tal que
es un subespacio de ℝ𝑛 .
Demostración. Tenemos que
si y solo si (
de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales.
Por tanto
)
de todas las matrices
. Entonces
es el espacio solución
es un subespacio de ℝ𝑛
Definición. El conjunto
se llama espacio característico o propio de
respecto al valor propio .
El teorema 2 indica cómo se obtienen los vectores propios asociados a un valor propio dado.
Ejemplo 2. Hallar los vectores propios de la matriz
Solución. Sea
[
].
ℝ, entonces
|
|
|
|
La ecuación característica es
45
(
de donde los valores propios son ,
Para obtener
)(
)(
Álgebra III
)
y .
, se encuentra el espacio solución de
(
)
[
][ ]
[ ]
Mediante reducción por renglones se tiene
[ ]
[
de donde
⟨.
[ ]
[
]
]
es el espacio formado por los vectores .
/
.
/. Luego
.
/. Luego
/⟩.
Para obtener
, se encuentra el espacio solución de
(
)
[
][ ]
[ ]
Mediante reducción por renglones se tiene
[ ]
[
de donde
⟨.
[ ]
[
]
]
es el espacio formado por los vectores .
/
/⟩.
Para obtener
, se encuentra el espacio solución de
(
)
[
][ ]
Mediante reducción por renglones se tiene
46
[ ]
Álgebra III
[ ]
[
de donde
⟨.
[ ]
[
]
]
es el espacio formado por los vectores .
/
.
/. Luego
/⟩.
Teorema 3. Sean
valores propios distintos de la matriz
de
con sus
+ es un conjunto linealmente
correspondientes vectores propios
. Entonces *
independiente.
Demostración. Se hará por inducción. Si 𝑚
es linealmente independiente.
, entonces el conjunto * +
, entonces, como
Supongamos ahora que cualesquiera
vectores propios asociados con
valores propios
+ con valores propios
distintos son linealmente independientes. Considérese el conjunto *
distintos
. Sea
( )
No se pierde generalidad si asumimos que
obtenemos
(
Si multiplicamos la ecuación ( ) por la matriz
)
( )
Multipliquemos ahora la ecuación ( ) por
,
( )
Finalmente, restemos la ecuación ( ) de la ( ) para obtener
(
)
(
)
( )
+ es linealmente independiente por ser un conjunto de
El conjunto *
de un conjunto dado de vectores propios. Por tanto
(
)
(
Y como
son distintos, ninguno de los
desprende entonces que
47
)
vectores propios
( )
puede ser igual a cero, se
De la ecuación ( )
independiente.
Álgebra III
Por tanto, *
y como
+ es linealmente
Corolario 1. Sea una matriz
con distintos valores propios
𝑛 Si
los vectores propios de correspondientes a
𝑛 respectivamente, entonces *
𝑛
una base de ℝ
son
𝑛 + es
𝑛
Demostración. Por el teorema anterior,
𝑛 son linealmente independientes, siendo el
resultado inmediato, pues vectores linealmente independientes en ℝ𝑛 forman una base.
EJERCICIOS
1) Encuentre los valores y vectores propios de las matrices siguientes:
a) 0
1
b) [
]
c) [
]
d) [
]
2) Encuentre los valores característicos de una matriz triangular superior (inferior).
3) Determine los valores característicos de una matriz diagonal.
4) Demuestre que si
es un vector propio de una matriz
y
con
ℝ, entonces
.
DIAGONALIZACIÓN
La matriz , - asociada a una transformación lineal
depende de la base elegida para el
espacio . ¿Cuándo es posible elegir una base de de manera que , - sea una matriz diagonal?
Antes de contestar a esta pregunta, se proporciona, en el Teorema 4, la relación entre dos matrices
asociadas a una misma transformación lineal.
Teorema 4. Sea
una transformación lineal y
un espacio vectorial de dimensión finita.
Sean , -𝐵𝐵 y , -𝐵 𝐵 las matrices de con respecto a las bases
y
de . Entonces
, -𝐵𝐵
en donde
, -𝐵 𝐵
es la matriz de transición.
Demostración. Sea
, -𝐵𝐵 donde es la transformación lineal identidad en . Entonces
, -𝐵
, -𝐵
( )
de lo cual
, ( )-𝐵
, ( )-𝐵
( )
Por otra parte,
, ( )-𝐵
, -𝐵𝐵 , -𝐵
, ( )-𝐵
, -𝐵 𝐵 , -𝐵
( )
De ( ) y ( ):
, -𝐵𝐵 , -𝐵
, ( )-𝐵
, ( )-𝐵
48
, -𝐵 𝐵 , -𝐵 ( )
Álgebra III
De ( ):
, -𝐵 𝐵 , -𝐵
Por ( ) y ( ):
, -𝐵 𝐵 , -𝐵
, -𝐵𝐵 , -𝐵
, -𝐵𝐵
( )
, -𝐵 𝐵 , -𝐵
, -𝐵 𝐵
, -𝐵𝐵
, -𝐵 𝐵
Observación. Sean
y
dos bases del espacio vectorial . La matriz de transición de
se define como
, -𝐵𝐵 , donde
es la transformación identidad definida por ( )
todo
.
Definición. Sean y
matrices
existe una matriz invertible tal que
. Se dice que una matriz
es semejante a
a
para
si y sólo si
Corolario 2. Dos matrices son semejantes si y solo si representan la misma transformación lineal
relativa a diferentes bases.
Demostración. Si
semejante a .
y
representan la misma transformación lineal, por el teorema anterior
es
El recíproco se deja como ejercicio al lector.
Teorema 5. Si
y
son semejantes, entonces tienen valores propios iguales.
Demostración. Basta con mostrar que los polinomios característicos son iguales. Supóngase que
existe una matriz invertible tal que
Entonces
(
)
(
)
,
( )
,
(
(
)
( )
(
) (
(
)
)
( )
( )
)
Dado que los polinomios característicos son iguales, entonces los valores propios son iguales.
Definición. Una matriz
es diagonalizable si y solo si es semejante a una matriz diagonal.
49
Álgebra III
Teorema 6. Una matriz
independientes.
es diagonizable si y solo si
tiene
vectores propios linealmente
Demostración. Sea una matriz con vectores propios linealmente independientes
𝑛 y
sean , , …, 𝑛 sus valores propios correspondientes. Sea la matriz cuya
ésima columna es
. Como las columnas de son linealmente independientes, entonces es invertible. Sea
[
]
𝑛
Se probará que
.
La
ésima columna de
es
. Como
es un vector propio de
Fácilmente puede verse que la
ésima columna de
es
. Luego,
Por tanto,
entonces
.
es diagonizable.
Supóngase ahora que
es diagonizable. Entonces
para cierta matriz invertible , en
donde
es diagonal. Sean
y en consecuencia
𝑛 las columnas de , así
. Por tanto,
es invertible estos vectores son
𝑛 son vectores propios. Dado que
linealmente independientes.
Ejemplo 3. Encontrar la matriz
[
que diagonaliza a
]
Solución. Los vectores característicos asociados a los valores propios de esta matriz son
(
) (
) y (
). Tales vectores son linealmente independientes, así
es
diagonalizable. Sea
[
Puede verificar en GeoGebra que la inversa de
]
es
[
]
En consecuencia,
[
[
][
]
50
]
[
]
Álgebra III
Corolario 3. Sea una matriz de orden
es diagonalizable.
Demostración. Dado que
diagonalizable.
tiene
. Si
tiene
valores propios diferentes, entonces
valores propios diferentes, por los teoremas
Teorema 7. La ecuación característica de una matriz simétrica (real)
Demostración. Sea una matriz simétrica
(
Supóngase que
Se tiene que
)
( )
)
)
)
(
)(
(
)
(
es no invertible. Puesto que (
un vector no nulo tal que
((
)
. Se demostrará que
)
)
es no invertible. En consecuencia, ((
de orden
. En particular,
)((
es
tiene solo raíces reales.
es una raíz de la ecuación característica de
)
((
,
y cualquier escalar , entonces
((
)
así (
cualquier matriz
y
)
)
(
es no invertible para
)
)
tiene determinante igual a cero, resulta que existe
)
)
((
)
)
Por lo anterior se tiene
)(
((
Como |(
) |
y
(
)(
(
)(
)
)
)
((
) )(
|(
) |
)
| |
)
| |
| |
, entonces
. Por tanto,
es real.
Teorema 8. Sean
y
valores propios distintos de la matriz simétrica . Si
y
son los
vectores que corresponden a
y , respectivamente, entonces
y
son ortogonales.
Demostración. Si
. Por lo tanto,
y
son vectores columnas
(
)
, y
(
y entonces,
51
)
es una matriz
(
)
, entonces
(
Sean
y
vectores propios de la matriz simétrica
propios, con
. Entonces
(
)
(
)
(
)(
)
Por lo tanto, (
, y de esta manera
Teorema 9. Sea
ortonormales.
y
)
(
Álgebra III
)
, y,
)
y
(
, sus correspondientes valores
)
(
. Puesto que
, entonces
son ortogonales.
una matriz simétrica de orden
. Entonces
)
(
)
. Se concluye que
tiene
vectores característicos
La demostración se deja como ejercicio al lector.
Puesto que todo conjunto de vectores ortonormales es linealmente independiente, este teorema
expresa que toda matriz simétrica es diagonizable. Además, si
es simétrica, entonces ℝ𝑛
*
+ de vectores propios de . Se puede utilizar la matriz cuya
tiene una base
columna −ésima es
para diagonalizar la matriz . Las columnas de
forman un conjunto
ortonormal y entonces
es ortogonal. Recuérdese que si
es ortogonal,
. Cuando se
diagonaliza
con una matriz ortogonal, se dice que es ortogonalmente diagonalizable.
Definición. Una matriz de orden
matriz ortogonal tal que
en donde
es ortogonalmente diagonalizable si y solo si existe una
es una matriz diagonal.
Teorema 10. Una matriz
simétrica.
de orden
es ortogonalmente diagonalizable si y solo si
Demostración. En la observación previa a la definición anterior, se vio que si
entonces es ortogonalmente diagonalizable.
es
es simétrica,
Supóngase que es ortogonalmente diagonalizable. Entonces existe una matriz ortogonal tal
que
, en donde
es una matriz diagonal. Multiplíquese
a izquierda por , y a
derecha por
para obtener
(
)
(
) (
(
)
(
)
Entonces se obtiene
Por lo tanto,
)
es simétrica.
Los teoremas
y
sugieren un procedimiento para encontrar la matriz ortogonal
diagonalice a una matriz simétrica dada:
que
a) Obtener los valores propios de
b) Aplicar el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal de cada espacio
propio de
52
Álgebra III
c) Utilizar los elementos base de todos los espacios propios para formar una base ortogonal
de ℝ𝑛
Ejemplo 4. Hallar la matriz ortogonal
que diagonaliza la matriz simétrica
Solución. La ecuación característica de
[
]
es
[
(
]
Se obtiene que los valores propios son
y
)
. Los espacios propios asociados a estos valores
son
⟨(
(
Se tiene que
)y
)⟩
(
⟨(
) (
)⟩
) son ortogonales. El vector
| |
√
(
√
(
debe ser normalizado, así
)
)
Se normaliza el vector restante, resultando
(
√
)
Por tanto, se elije
√
[
√
√
√
]
Entonces,
√
[√
[
√
√
√
]
]
[
√
√
√
[
]
]
EJERCICIOS
1) Determine si es diagonalizable cada una de las matrices siguientes. En caso de ser
diagonalizable, determine la matriz
que la diagonaliza.
a) 0
1
2) Demuestre que si
b) 0
1
c) 0
es semejante a , entonces
53
1
d) [
es semejante a
]
en donde
es un escalar.
Álgebra III
3) Pruebe que si
4) Sea
todo
5) Sean
es diagonalizable, entonces
una base de un espacio vectorial
, entonces
.
y
es diagonalizable.
de dimensión finita. Pruebe que si , -𝐵
( )
matrices semejantes. Pruebe que
( ).
6) Dadas las siguientes matrices, determine la matriz ortogonal
a) 0
1
b) 0
1
c) [
, -𝐵 para
tal que
es diagonal.
]
BIBLIOGRAFÍA
Gerber, H. (1992). Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Iberoaméricana.
Swokowski, E., & Cole, J. (2013). Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry. Brooks/Cole,
Cengage Learning
54