1
Маърузалар 21-22
Интеграл тенгламалар
1. Чизиқли интеграл тенгламаларнинг асосий кўринишлари
Интеграл тенглама деганда номаълум y(x) функцияни аниқ интеграл остида сақлайдиган тенглама тушунилади. Бундай кейин биз фақатгина чизиқли интеграл тенгламаларни қараш билан чегараланамиз, бунда номаълум функция фақатгина биринчи
даража билан (чизиқли) қатнашади.
Интеграл тенгламаларнинг кўпроқ учрайдиган баъзи типларини келтирамиз. Қуйидаги кўринишдаги тенглама биринчи тур Фредгольм интеграл тенгламаси дейилади
Zb
K(x, s)y(s)ds = f (x),
(1)
a
бунда K(x, s) (ядро) ва f (x) – маълум функциялар.
Zb
y(x) − λ
K(x, s)y(s)ds = f (x),
(2)
a
кўринишдаги тенглама иккинчи тур Фредгольм тенгламаси деган ном билан юритилади, бунда λ – сонли параметр.
λ параметр қуйидаги мулоҳазаларга асосан киритилади: λ нинг берилган қийматида
(2) тенглама ҳар доим ҳам ечимга эга эмас. λ параметрни ўзгартириш натижасида (2)тенгламанинг ечими мавжуд бўлишига эришиш мумкин. Худди шундай λ параметрни
(1)- биринчи тур Фредгольм тенгламасининг чап томонига киритиш ҳам мумкин.
Агар (2)-да f (x) ≡ 0 бўлса, у ҳолда y ≡ 0 нол (тривиал) ечимга эга
Zb
y(x) = λ
K(x, s)y(s)ds
(3)
a
бир жинсли тенгламани оламиз. λ параметрнинг (3)- тенглама тривиал бўлмаган ечимга
эга бўлган қийматлари K(x, s) ядронинг ёки (2)-тенгламага мос хослар қийматлар (хос
сонлар) дейилади, ҳамда уларга мос нол ечимлар хос функциялар дейилади.
Назариянинг асосий натижаси қуйидаги (Фредгольм теоремаси)
1) агар λ сони K(x, s) ядронинг хос қиймати бўлмаса, у ҳолда K(x, s) регуляр ядроли
ва f (x) узлуксиз озод ҳадли бир жинсли бўлмаган (2)-Фредгольм интеграл тенгламаси
y(x) (a ≤ x ≤ b) ягона узлуксиз ечимга эга бўлади;
2) агар λ хос қиймат бўлса, у ҳолда (2)-тенглама ёки ечимга эга эмас, ёки чексиз кўп
ечимга эга.
Амалётда қўллашда K(x, s) симметрик ядроли,
K(x, s) = K(s, x),
1
иккинчи тур Фредгольм тенгламалари муҳим роль ўйнайди.
Симметрик ядро қуйидаги хоссаларга эга:
1) ҳар қандай симметрик ядро учун камида битта хос қиймат мавжуд;
2) симметрик ядронинг барча хос қийматлари ҳақиқий;
3) симметрик ядронинг λ ва µ (λ 6= µ) турли хос қиматларига мос ϕ(x) ва ψ(x) хос
функцилари (a, b) асосий оралиқда ўзаро ортогонал, яъни
Zb
ϕ(x)ψ(x)dx = 0.
a
М и с о л 1. Фараз қилайлик оддий ёпиқ бўлакли-силлиқ контур
x = ξ(t), y = η(t) (0 ≤ t ≤ T )
(Γ)
чекли G соҳани чегараласин. У ҳолда мос дирихле масаласини ечимини берадиган
u(x, y) функция, яъни
∂ 2u ∂ 2u
+
агар (x, y) ∈ G
∆u =
∂x2 ∂y 2
ва
u = f (t) агар (x, y) ∈ Γ
(f (t) – маълум функция), ўринли буладиган функция қуйидагича ифодаланиши мумкин
I
∂θ
u(x, y) = µ(t) dt,
∂t
Γ
бунда
θ(t, x, y) = arctg
η(t) − y
ξ(t) − x
ва µ(t) функция ядроси
K(s, t) =
∂
η(t) − η(s)
arctg
.
∂t
ξ(t) − ξ(s)
бўлган
ZT
πµ(s) +
K(s, t)µ(t)dt = f (s),
0
интеграл тенгламани қаноатлантиради.
Хусусан, масалан,
x = a cos t, y = a sin t (b ≤ a)
эллипс учун
K(s, t) =
ab
(a2 + b2 ) − (a2 − b2 ) cos(s + t)
га эга бўламиз
2
Амалиётда, худди шундай, мос равишда биринчи ва иккинчи тур Вольтерра интеграл тенгламалари деб номланган
Zx
K(x, s)y(s)ds = f (x)
(4)
a
ва
Zx
y(x) − λ
K(x, s)y(s)ds = f (x)
(5)
a
интеграл тенгламалар ҳам учрайди.
(
K ∗ (x, s) =
K(x, s)
0
агар a ≤ s ≤ x,
агар s > x
функцияни киритиб, (4) ва (5) вольтерра тенгламаларини K ∗ (x, s) ядроли мос Фредгольм тенгламалари кўринишида ёзиш мумкин. Шундай қилиб, Вольтерра тенгламалар
назарияси Фредгольм тенгламалар назариясига олиб келинади; аммо баъзи ҳолларда
Вольтерра тенгламаларини алохида ўрганган фойдали.
Биринчи тур Вольтерра тенгламасига мисол қуйидаги Абелнинг умумлашган тенгламаси
Zx
y(s)ds
= f (x) (0 < α < 1),
(6)
(x − s)α
0
бунда f (x) – маълум узлуксиз дифференциалланувчи фукнция. (6)-тенгламанинг ечими


Zx
0
sin απ  f (0)
f (s)ds 
y(x) =
+
1−α
π
x
(x − s)1−α
a
формула билан берилади, бунга тўғридан-тўғри ишонч ҳосил қилиш мумкин.
Агар K(x, s) ядро ва f (x) узлуксиз дифференциалланувчи функциялар бўлса, ҳамда
K(x, x) 6= 0 агар a ≤ x ≤ b бўлса, у ҳолда (4)-биринчи тур Вольтерра тенгламаси (5)иккинчи тур Вольтерра тенгламасига олиб келинади. Ҳақиқатан ҳам, дифференцируя
уравнение (4)-тенгламани x бўйича дифференциаллаб
Zx
K(x, x)y(x) +
Kx0 (x, s)y(s)ds = f 0 (x)
a
га эга бўламиз. Бу ердан
Zx
K1 (x, s)y(s)ds = f1 (x) (a ≤ x ≤ b),
y(x) +
a
бунда
K1 (x, s) =
f 0 (x)
Kx0 (x, s)
, f1 (x) =
.
K(x, x)
K(x, x)
3
Шунинг учун, бундан кейин, биз биринчи тур Вольтерра интеграл тенгламалари билан
алоҳида шуғулланмаймиз.
Кўп сондаги математик физика масалалари чизиқли интеграл тенгламаларга келтирилиши мумкин.
Биз асосан иккинчи тур Фредгольм интеграл тенгламаси билан ва қисман иккинчи тур Вольтерра интеграл тенгламаси билан шуғулланамиз (қисақалик учун бундан
кейин биз уларни оддийгина Фредгольм ва Вольтерра тенгламалари деб омлаймиз).
Бу ерда асосий масалалар қуйидагилар:
1) λ нинг берилган қийматида бир жинсли бўлмаган интеграл тенгламанинг тақрибий ёки ечимларини топиш;
2) бир жинсли интеграл тенгламанинг хос қийматлари ва мос хос функцияларини
топиш.
2. Дифференциал тенгламалар ва Вольтерра тенгламалари орасидаги боғлиқлик
Қуйидаги чизиқли дифференциал тенгламани
du
d2 u
+ p(x) + q(x)u = f (x) (a ≤ x ≤ b)
2
dx
dx
(1)
u(a) = A, u0 (a) = B
(2)
бошланғич шартларда қараймиз.
d2 u
= y(x)
dx2
деб олиб, икки марта интеграллагандан кейин
du
=
dx
(3)
Zx
y(s)ds + C1
a
ва
Zx
u=
Zs
y(t)dt + C1 (x − a) + C2
ds
a
a
ни оламиз. Каррали интегралда интеграллаш тартибини ўзгартириб
Zx
Zs
ds
a
Zx
y(t)dt =
a
Zx
dt
a
Zx
(x − t)y(t)dt ≡
y(t)ds =
t
Zx
a
(x − s)y(s)ds
a
га эга бўламиз. Ундан ташқари, (2)- бошланғич шартлардан x = a да C1 = B, C2 = A
ни топамиз. Шунинг учун
Zx
du
= y(s)ds + B
(4)
dx
a
4
ва
Zx
(x − s)y(s)ds + B(x − a) + A.
u(x) =
(5)
a
(3), (4) ва (5)- ифодаларни в дифференциальное уравнение (1)- дифференциал тенгламага қўйиб, қуйидаги Вольтерра интеграл тенгламасига эга бўламиз
Zx
y(x) =
K(x, s)y(s)ds = F (x),
(6)
a
бунда
K(x, s) = p(x) + q(x)(x − s),
F (x) = f (x) − Bp(x) − [B(x − a) + A]q(x).
y(x) ни билган ҳолда, (5) - формула бўйича u(x) ечимни ва u0 (x) ҳосилани топиш
мумкин; шундай қилиб (6)- интеграл тенглама (1)- дифференциал тенглама учун бошланғич масала (Коши масаласи) билан боғлиқ барча информацияни ўз ичига олади.
Худди шундай натижа n-тартибли чизиқли дифференциал тенглама учун ҳам олинади.
Аксинча, агар K(x, s) ядро s га нисбатан n - даражали бутун полином бўлса, яъни
K(x, s) =
n
X
am (x)sm ,
m=0
у ҳолда (6)-интеграл тенгламани кетма-кет дифференциаллаб бирор чизиқли дифференциал тенглама учун Коши масаласига келамиз.
М и с о л 1. Қуйидаги интеграл тенгламани ечинг
Zx
y(x) +
(2 + x − s)y(s)ds = x2 .
(7)
0
Икки марта кетма-кет дифференциаллаб
0
Zx
y (x) + 2y(x) +
y(s)ds = 2x,
(8)
0
y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = 2
(9)
га эга бўламиз. (7) ва (8)- тенгламалардан x = 0 да
y(0) = 0, y 0 (0) = 0
богланғич шартларни оламиз. Оддий усул билан (9) дифференциал тенгламани ечиб
y(x) = 2 − 2e−x (1 + x)
5
ни топамиз.
3. Кетма-кет яқинлашишлар методи
Қуйидаги Фредгольм тенгламасини қараймиз
Zb
y(x) = f (x) + λ
K(x, s)f (s)ds,
(1)
a
бунда f (x) ва K(x, s) узлуксиз.
Ечимни қуйидаги даражали қатор кўринишида қидирамиз
y(x) =
∞
X
λn ϕn (x).
(2)
n=0
(2)- ифодани (1)-интеграл тенгламага қўйиб ва λ параметрнинг тенг даражалари олдидаги коэффициентларни ўзаро тенглаб


ϕ0 (x) = f (x),

Rb
(3)
ϕn (x) = K(x, s)ϕn−1 (s)ds, (n = 1, 2, ...) 

a
га эга бўламиз. Фараз қилайлик, R {a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b} соҳада |K(x, s)| ≤ M ва
|f (x)| ≤ N бўлсин.
Из формул (3)- формуладан индукция асосида |ϕn (x)| ≤ M n N (b − a)n ни оламиз.
Шунинг учун агар
1
|λ| <
M (b − a)
бўлса (2) - қаторнинг яқинлашиши таъминланади.
y(x) ≈ yn (x) =
n
X
λk ϕk (x)
k=0
деб олиб биз (1)-интеграл тенгламанинг
εn = |y(x) − yn (x)| ≤
∞
X
|λ|k |ϕk (x)| ≤
k=n+1
≤
∞
X
N [M (b − a)|λ|]k =
k=n+1
N [M (b − a)|λ|]n+1
1 − M (b − a)|λ|
(4)
хатолик билан тақрибий ечимини оламиз. (2)-формула (1)- Фредгольм тенгламасининг
λ га нисбатан аналитик ечимини беради. (3)-формулалардан (2)- ечимни
y(x) = f (x) + λ
∞
X
λ
n−1
n=1
Zb
Kn (x, s)f (s)ds
a
6
ёки
Zb
y(x) = f (x) + λ
R(x, s, λ)f (s)ds
(5)
a
кўринишда ёзиш мумкинлиги келиб чиқади, бунда
R(x, s, λ) =
∞
X
λn−1 Kn (x, s).
(6)
n=1
Kn (x, s) нинг, итерацияланувчи ядролар деб аталувчи, коэффициентлари қуйидаги
формулалар бўйича кетма-кет топилиши мумкин
K1 (x, s) = K(x, s),
Zb
Kn (x, s) =
K(x, t)Kn−1 (t, s)dt, (n = 2, 3, ...).
a
R(x, s, λ) функция (1)-тенгламанинг резольвентаси дейилади ва кичкина |λ| ларда (6)-даражали қатор билан аниқланади. Аналитик давом эттиришдан фойдаланиб,
R(x, s, λ) резольвентани λ параметрнинг, резольвентанинг қутблари бўлган λ1 , λ2 , ... хос
қийматлари (махсус нуқталар) дан ташқари, бутун комплекс текислигига давом эттириш мумкин. У ҳолда (5)- формула (1) - интеграл тенгламанинг ихтиёрий λ 6= λk
(k = 1, 2, ...) даги ечимини беради.
Энди мос Вольтерра тенгламасини қараймиз
Zx
y(x) = f (x) + λ
K(x, s)f (s)ds,
(7)
a
бунда a ≤ x ≤ b.
y(x) =
∞
X
λn ψn (x)
(8)
n=0
деб олиб олдингига ўхшаш
Zx
ψ0 (x) = f (x), ψn (x) =
K(x, s)ψn−1 (s)ds (n = 1, 2, ...)
a
ни оламиз. Бу ердан
|ψn | ≤
M n N (b − a)n
(n = 0, 1, 2, ...),
n!
бунда
|K(x, s)| ≤ M при a ≤ x ≤ b, a ≤ s ≤ b
ва
|f (x)| ≤ N при a ≤ x ≤ b.
7
(9)
Демак, (8)- қатор ихтиёрий λ да яқинлашади ва (7)-тенгламанинг ягона ечимини беради.
n
X
Yn (x) =
λk ψk (x)
k=0
тақрибий ечимнинг (9) - баҳо асосида хатолиги
∞
X
|λ|k M k N (b − a)k
=
εn = |y(x) − Yn (x)| ≤
k!
k=n+1
(
)
n
k
X
[|λ|M
(b
−
a)]
= N eM |λ|(b−a) −
k!
k=0
формула билан берилади.
М и с о л 1. Кетма-кет яқинлашишлар методи билан қуйидаги тенгламанинг тақрибий ечимини топинг
Z1
y(s)
y(x) = x + λ
ds (0 ≤ x ≤ 1).
10 + x + s
0
y(x) =
X
λn ϕn (x)
(10)
деб олиб
Z1
ϕ0 (x) = x, ϕ1 (x)
s
11 + x
ds = 1 − (10 + x) ln
10 + x + s
10 + x
0
га эга бўламиз. Шундай қилиб, биринчи яқинлашиш сифатида
1
y1 (x) = x + λ 1 = (10 + x) ln 1 +
10 + x
ни олишимиз мумкин. Бу ерда
1
= 0, 1, N = max x = 1
M = max
0≤x≤1
10 + x + s
1
Демак, (10)- қатор |λ| < 0,1·(1−0) = 10 да яқинлашади.
Хусусан, λ = 1 бўлганда (4)-га асосан ечимнинг аниқлиги
|y(x) − y1 (x)| <
1 · (0, 1 · 1)2
≈ 0, 01
1 − 0, 1 · 1
бўлади.
Шуни ҳам таъкидлаш керакки, кетма-кет яқинлашиш методининг ноқулайлиги квадратураларни ҳисоблашнинг зарурлигидир. Агар интеграллар аниқ ҳисобланмаса, у ҳолда сонли квадратур формулаларга ўтишга тўғри келади.
Адабиёт
1. Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова. Численные методы анализа, приближений функций, дифференциальные и интегральные уравнения. Москва, Наука, 1967
-С. 332-337, 341-345.
8