FI-1101
FISIKA DASAR 1A
INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA
PERKULIAHAN MINGGU KE 6
Usaha Dan Energi
Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan :
• Mampu menyelesaikan persoalan mekanika dengan konsep
usaha-energi kinetik.
• Memahami hubungan gaya konservatif, energi potensial dan
hukum kekekalan energi kinetik, serta
• Memahami penggunaan konsep kekekalan energi mekanik jika
gaya tak konservatif ikut terlibat.
2
Sub-Topik
1. Usaha – Energi Kinetik
2. Gaya Konservatif - Energi Potensial
3. Hukum Kekekalan Energi dengan gaya
konservatif dan non konservatif
3
Usaha
 Usaha dalam
pengertian di Fisika
sebanding dengan
gaya dan perpindahan
 Usaha disimbolkan
dengan lambang W
memiliki satuan
Internasional Joule [J]
Secara Matematis dituliskan dalam bentuk persamaan :
B
WAB  


F  dr
A
Vektor perubahan posisi
Vektor Gaya
Perkalian dot antara 2 Vektor



Secara umum jika gaya tidak konstan dan/atau lintasan tidak
membentuk garis lurus
Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja pada benda
juga besar
Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda belum
bergerak maka tidak ada usaha
 
  F . dr
B
WAB
A
 Jika gaya (F) konstan dan
berimpit dengan perpindahan
(r) benda maka
WAB=F(r)
 Jika gaya (F) konstan dan
tidak berimpit dengan
perpindahan (r) benda maka
 
W  F .r  F (r ) cos

F
A
B
A
F
B
Jika gaya (F) TIDAK KONSTAN dan tidak berimpit
dengan perpindahan (r) benda maka

F
B
A
 
  F . dr
B
WAB
A
CONTOH
Pembahasan Usaha dari lintasan gerak
y(m)
D
Sebuah gaya bekerja pada sebuah
benda sehingga benda tersebut
berpindah dari posisi A A(0,0) ke B (2,4)
melalui titik C. Jika gaya tersebut
merupakan fungsi dari posisi :
B
Tentukan usaha yang dilakukannya ?
A
C
x(m)

drAC  dxiˆ

drCB  dyˆj
B 
  C  

  F.dr   F.drAC   F.drCB
B
WAB
A
A
C
Contoh



Gaya F  yiˆ  2 xˆj N bekerja pada sebuah partikel. Dengan gaya
tersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitung
usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel adalah
y(m)
a. Garis patah ACB
b. Garis patah ADB
c. Garis lurus AB
d. Garis parabola
D
B
Usaha yang dilakukan gaya tsb
dari A ke B adalah
B


WAB   yiˆ  2 xˆj . iˆdx  ˆjdy
A
B

WAB    ydx  2 xdy
A
A
C
x(m)
a. Melalui lintasan ACB
C
B
A
C
WAB  WAC  WCB    ydx  2 xdy    ydx  2 xdy
WAB 
( 2, 0 )
( 2, 4 )
( 0, 0 )
( 2, 0 )
  ydx  2xdy    ydx  2xdy
Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementara
y tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x
tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.
WAB 
( 2, 4 )
4
( 2, 0 )
0
 2 xdy   4dy  16 J
b. Melalui lintasan ADB
D
B
A
D
WAB  WAD  WDB    ydx  2 xdy    ydx  2 xdy
WAB 
( 0, 4 )
( 2, 4 )
( 0, 0 )
( 0, 4 )
  ydx  2xdy    ydx  2xdy
Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementara
x tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y
tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.
WAB 
( 2, 4 )
2
( 0, 4 )
0
 ydx   4dy  8 J
c. Melalui lintasan garis lurus AB
Persamaan garis lurus AB adalah
y  2 x  dy  2dx
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
B
( 2, 4 )
A
( 0, 0 )
WAB    ydx  2 xdy  
  ydx  2 xdy
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis AB
sehingga
2
2
0
0
WAB   2 xdx  4 xdx   6 xdx
WAB  12 J
d. Melalui lintasan garis parabola AB
Persamaan garis parabola AB adalah
y  x2  dy  2xdx
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
B
( 2, 4 )
A
( 0, 0 )
WAB    ydx  2 xdy 
  ydx  2 xdy
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis parabola AB sehingga
2
2
0
0
WAB   x 2  4 x 2 dx   5 x 2 dx
WAB  40 / 3J
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif
 Gaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya
tidak bergantung pada lintasan tempuh
Contoh : Gaya gravitasi, gaya pegas, gaya listrik
 Pada Gaya Konservatif (Fk), usaha yang
dilakukan gaya ini pada suatu lintasan tertutup
sama dengan nol.
C1
A
B
C2
  B  A  B  B 
W   Fnk .dr   Fnk .dr   Fk .dr   Fnk .dr   Fnk .dr  0
A
C1
B
C2
A
C1
A
C2
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif
 Gaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya
bergantung pada lintasan tempuh
Contoh : Gaya gesekan
Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekan adalah
gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnya
selalu melawan perpindahan) sehingga usahayang dilakukan gaya gesekan pada
suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nol
 Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gaya ini
pada suatu lintasan tertutup tidak nol,
C1
A
B
C2
  B  A  B  B 
W   Fnk .dr   Fnk .dr   Fnk .dr   Fnk .dr   Fnk .dr  0
A
C1
B
C2
A
C1
A
C2
Contoh
Diberikan gaya sebagai berikut :



F1  yiˆ  2 xˆj N
Apakah gaya tersebut termasuk gaya non konservatif atau
konservatif ?
Solusi

Gaya F  yiˆ  2 xˆj N


adalah contoh lain gaya non-konservatif,
karena gaya ini bergantung pada lintasan tempuh.
Lihat pada contoh sebelumnya dimana usaha yang dilakukan
berbeda jika lintasan yang diambil berbeda
Daya
 Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap
waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan
per detik
 Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atau
Watt
 
dW F.dr  
P

 F.v
dt
dt
dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan
benda
DEFINISI ENERGI
Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk
melakukan usaha
Beberapa contoh energi
 Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan
energi kinetik
Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik
 Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakan
energi potensial
Energi Kinetik
 Energi kinetik adalah energi yang dimiliki
oleh setiap benda yang bergerak
 Energi kinetik sebanding dengan massa
benda dan sebanding juga dengan kuadrat
laju benda
 Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka
usaha yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah

B
 
dv
WAB   F .dr   m .dr
dt
A
A
B
Ingat Hk. Newton F=ma
B

  mdv.v  12 mvB2  12 mvA2  EkB  EkA
A
dengan EkB adalah energi kinetik di B dan EkA energi kinetik di A
 Dari persamaan terakhir disimpulkan :
Usaha = Perubahan Energi Kinetik
Pembahasan Usaha dari Grafik
 Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan
gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik maka
usaha adalah luas daerah di bawah kurva
F(x)
B
WAB   F ( x)dx
A
= luas daerah arsir
A
B
x
Contoh
Berapa usaha yang dilakukan oleh gaya berikut ini (F cos  ) ?
Usaha = Luas yang diarsir = ?
Usaha = Luas yang diarsir = ?
Pembahasan Usaha dari Grafik
Contoh
Gaya yang bekerja pada benda 2kg digambarkan dalam grafik di
samping. Jika kecepatan awal benda 2 m/s,
berapa kecepatannya setelah 6 detik?
F(N)
8
2
4
6 X(m)
 Usaha = luas daerah di bawah kurva
WAB  8  16  8  32m
 Usaha = perubahan energi kinetik
WAB  12 mv 2  12 mv02  32  12 (2)v 2  12 (2)(2) 2  v  6m / s
Contoh
μk
0,5
4
10 x(m)
Balok 2 kg meluncur ke kanan dengan laju 10 m/s pada lantai
kasar dengan μk seperti grafik di samping
Tentukan :
 Usaha yang dilakukan oleh gaya
gesekan dari x=0 sampai x=10 m
 Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m
 Besar gaya gesekan adalah
f k  k N  k mg  20k
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
Wges  
x 10
x 10
 f dx  20   dx
k
x 0
k
x 0
 20 x(luas daerah kurva)  20(1  3)  80 J
(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan
Karena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)
 Usaha=perubahan energi kinetik
Wges  12 mv2  12 mv02
 80  12 (2)v 2  12 (2)(10) 2
v  20 m / s
Ada gesekan menyebabkan
kecepatan balok menjadi berkurang (perlambatan)
Energi Potensial
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya
konservatif maka usaha yang dilakukan gaya ini
tidak bergantung pada lintasan tempuh,
usahanya hanya bergantung pada titik awal dan
titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada
posisi)
 Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakan fungsi dari posisi awal dan akhir
 
  Fk .dr  U ( B)   U ( A)
B
WAB
A
dengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan
U(A) adalah energi potensial di titik A
 Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titik
acuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.
 Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di
mana U(A)=0 maka
 
WAB   Fk .dr  U ( B)   U ( A)  U ( B)
B
Acuan
 Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial
di posisi r tersebut adalah
 
U (r )    Fk .dr
r
Acuan
Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gaya
Konservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari
Titik acuan ke titik r tersebut
Contoh
 Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada ketinggian h :
h
U (h)   mg( ˆj ). ˆjdy  mgh
0
Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensial
sama dengan nol
 Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistem
pegas yang teregang sejauh x :
x
U ( x)    kxdx  12 kx 2
0
Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaan
Kendur, dengan energi potensial sama dengan nol
Hukum Kekal Energi
 Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif
maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah
B 

WAB   Fk .dr  U ( B)   U ( A)
A
 Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B
sama dengan perubahan energi kinetik
 
WAB   Fk .dr  EkB  EkA
B
A
 Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang
bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka
EkB  EkA  U ( B)   U ( A)
atau
EkB  U ( B)  EkA  U ( A)
 Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi (HKE),
yang arti fisisnya adalah bahwa energi total di titik B sama dengan energi total di titik A (energi di semua titik adalah sama)
EkB  U ( B)  EkA  U ( A)
 Energi total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial
pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya
E  Ek  U (r )
 Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka
hukum kekal energi menjadi
1
2
mvB2  mghB  12 mvA2  mghA
dengan vB dan vA adalah kecepatan di titik B dan A, serta
hB dan hA adalah ketinggian titik B dan A
Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif
 Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya
konservatif dan gaya non konservatif maka gaya total
 

F  Fk  Fnk
 Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah
  B 
  Fk .dr   Fnk .dr
B
WAB
A
A
WAB  U ( B)   U ( A)   Wnk
dengan Wnk
adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif
 Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan
energi kinetik, sehingga
EkB  U (B)  Ek A  U ( A)  Wnk
Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum
Kekal Energi
dalam gaya konservatif dan non konservatif
Contoh
Sebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapa
usaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda sesaat sebelum
sampai di tanah?
 Usaha gaya gravitasi
A
B
WAB  Wgrav   mgdy  mgh  100 J
A
mg
 Mencari kecepatan di tanah (B)
h
WAB  12 mvB2  12 mvB2
B
mgh  12 mvB2
vB  10m / s
Contoh
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepatan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak
AB adalah 5 m, tentukan :
N
 Usaha yang dilakukan gaya
gravitasi dari A ke B
 Kecepatan balok di B
mgsin37
A
hA
mg
x
37o
B
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah

 B
  Fgrav.dr   mg sin 37dx  mg sin 37( AB)  (2)(10)(0,6)(5)  60 J
B
Wgrav
A
A
Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya
Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum
Kekal Energi
1
2
mvB2  mghB  12 mvA2  mghA
1
2
(2)vB2  0  0  2(10)hA ,
vB 
 hA  ( AB) sin 37  3m
60 m / s
Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengan
cara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja,
kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan,
setelah itu cari kecepatan di B.
Contoh
m
A
B
C
Balok m=2 kg bergerak ke kanan dengan laju 4 m/s
kemudian menabrak pegas dengan konstanta pegas k.
Jika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas
Tertekan maksimum, tentukan
 kecepatan balok saat manabrak pegas di B
 konstanta pegas k
Penyelesaian :
 Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B
1
2
mvB2  U ( B)  12 mvA2  U ( A)
karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0
maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A,
yaitu 4 m/s
 Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas
tertekan maksimum sehingga balok berhenti sesaat
sebelum bergerak kembali ke tempat semula
Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C
1
2
mvC2  12 kxC2  12 mvB2  12 kxB2
0  12 k ( BC) 2  12 (2)(4) 2  0
1
2
k ( 12 ) 2  12 (2)(4) 2
k  128 N / m
Contoh
C
Benda bermassa m diputar dengan tali
Sehingga membentuk lintasan lingkaran
vertikal berjejari R
R
T
A
B
 berapa kecepatan awal minimum di titik A
agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)
mg
 berapa kecepatan awal minimum di titik A
agar m dapat mencapai satu putaran penuh
Penyelesaian
 Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m
adalah mg dan T. Usaha yang dilakukan T adalah nol
karena tegak lurus perpindahan
Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B
1
2
mvB2  mghB  12 mvA2  mghA
0  mgR  12 mvA2  0
 v A  2gR
C
R
mg
T
B
A
 Agar m dapat mencapai satu putaran
penuh maka saat m mencapai titik C
semua komponen gaya pada m yang
berarah ke pusat lingkaran harus
bertindak sebagai gaya sentripetal, shg
vC2
T  mg  Fsp  m
R
TR
vC2 
 gR
m
Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C
1
2
mvA2  mghA  12 mvC2  mghC
1
2
mvA2  0  12 m( TR
m  gR)  mg 2 R
v A2  TR
m  5 gR
 vAmin  5gR
(ambil T=0)
Contoh
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepatan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan
μk=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
 Usaha yang dilakukan gaya
gesekan dari A ke B
 Kecepatan balok di B
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
B


Wges   Fges .dr   mk mg cos37dx  (1 / 2)(2)(10)(0,8)(5)  40 J
B
A
A
Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan
Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam
persoalan di atas terdapat Wnk
Wnk  Wges  40 J
Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang
termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas
berlaku Hukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non
konservatif
1
2
mvB2  mghB  12 mvA2  mghA  Wnk
1
2
(2)vB2  0  0  2(10)hA  40,
vB  20 m / s
 hA  ( AB) sin 37  3m
Contoh
B
F
37o
A
Balok 0,1 kg didorong pada bidang
miring dengan gaya horisontal F=10 N
di titik A tanpa kecepatan awal. Jika
bidang miring 37o kasar dengan μk=1/2
dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
 Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
 Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
 Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
 Kecepatan balok di titik B
Penyelesaian
 Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
B


Wgrav   Fgrav.dr   mg sin 37dx  mg sin 37( AB)  (0,1)(10)(0,6)(5)  3 J
B
A
A
 Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
B 
B

Wges   Fges .dr   k (mg cos37  F sin 37)dx
A
A
Wges  (1 / 2){(0,1)(10)(0,8)  (4)(0,6)}(5)  8 J
 Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
B 
 B
WF   F .dr   F cos37dx  (4)(0,8)(5)  16 J
A
A
 Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan
konsep usaha total = perubahan energi kinetik
WAB  Wgrav  Wges  WF  Ek B  Ek A
WAB  3  8  16  12 (0,1)vB2  0
vB  10 m / s