JAWABAN
1.
JAWABAN NOMOR 1
Garis yang melewati titik P (3,0,-2) sehingga dapat ditulis P = ( 3i + 0j - 2k ). Terdapat
titik B sehingga terbentuklah AB dimana AB sejajar dengan garis v , maka PB = t.v .
Sehingga persamaan garis PB adalah:
𝐵 =𝑃+𝑡
(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) = ( 3, 0, − 2 ) + (2, −1, 3)
Persamaan parametriknya adalah:
𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘 = 3𝑖 − 2𝑘 + 2𝑡𝑖 − 1𝑡𝑗 + 3𝑡𝑘
𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘 = (3 + 2𝑡)𝑖 − 1𝑡𝑗 + (−2 + 3𝑡)𝑘
𝑏1 = 3 + 2𝑡; 𝑏2 = −1𝑡; 𝑏3 = −2 + 3𝑡
Persamaan asimetrinya adalah adalah:
3 + 2𝑡 −1𝑡 −2 + 3𝑡
=
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
2.
JAWABAN NOMOR 2
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 3
vektor normal bidang 𝑛 = (2, 3, −4), ambil sembarang vektor di R3 yang tegak lurus
vektor normal bidang. Misal, 𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐).
𝑢. 𝑛 = 0
𝑢 ∙ 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)(2, 3, −4) = 2𝑎 + 3𝑏 − 4𝑐
Misal, 𝑏 = 𝑠 dan 𝑐 = 𝑡 dengan 𝑠 dan 𝑡 berupa parameter
2𝑎 + 3𝑏 − 4𝑐 = 0
2𝑎 + 3𝑠 − 4𝑡 = 0
2𝑎 = −3𝑠 + 4𝑡
3
𝑎 = − 𝑠 + 2𝑡
2
3
Jadi vektornya adalah: 𝑢 = ((− 2) 𝑠 + (2)𝑡, 𝑠, 𝑡). Sehingga akan didapatkan persamaan
3
bidang : ((− 2) 𝑠 + (2)𝑡) 𝑥 + 𝑠𝑦 + 𝑡𝑧 + 𝑑 = 0
Masukan titik-titiknya 𝑃1(2,1,1)
3
((− ) 𝑠 + (2)𝑡) 2 + 𝑠(1) + 𝑡(1) + 𝑑 = 0
2
(−3)𝑠 + 4𝑡 + 𝑠 + 𝑡 + 𝑑 = 0
𝑑 = 2𝑠 − 5𝑡
Masukan titik-titiknya 𝑃1(−1,3,2)
3
((− ) 𝑠 + (2)𝑡) (−1) + 𝑠(3) + 𝑡(2) + 𝑑 = 0
2
3
( ) 𝑠 − 2𝑡 + 3𝑠 + 2𝑡 + 𝑑 = 0
2
3
( ) 𝑠 − 2𝑡 + 3𝑠 + 2𝑡 + 2𝑠 − 5𝑡 = 0
2
13
( ) 𝑠 − 5𝑡 = 0
2
𝑠 = 10/13𝑡
𝑑 = 2𝑠 − 5𝑡
10
20
= 2(
) − 5𝑡 = ( ) 𝑡 − 5𝑡
13𝑡
13
3
10
10
20
Maka persamaan bidangnya → ((− 2) (13) 𝑡 + (2)𝑡) 𝑥 + (13) 𝑡𝑦 + 𝑡 ∙ (13) 𝑡 − 5𝑡+= 0
3.
JAWABAN NOMOR 3
4.
JAWABAN NOMOR 4
𝑟(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡𝑖 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑡𝑗
𝑟 ′ (𝑡) = −3𝑖 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) sin(𝑡) + 3𝑗 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) cos(𝑡)
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑟 ′ ( ) = −3𝑖 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) sin( ) + 3𝑗 𝑠𝑖𝑛2 ( ) cos( )
4
4
4
4
4
𝑟(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡𝑖 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑡𝑗
𝑟 ′′ (𝑡) = (3𝑗 sin(2𝑡) cos(𝑡) − 3𝑗 𝑠𝑖𝑛3 (𝑡)) + 𝑖(6 cos(𝑡) − 9 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑡))
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑟 ′′ ( ) = (3𝑗 sin (2 ) cos ( ) − 3𝑗 𝑠𝑖𝑛3 ( )) + 𝑖(6 cos ( ) − 9 𝑐𝑜𝑠 3 ( ))
4
4
4
4
4
4
𝑟(𝑡)
= 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡𝑖 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑡𝑗
𝑟 ′′′ (𝑡) = (6𝑗 cos(2𝑡) cos(𝑡) − 3𝑗 sin(𝑡) sin(2𝑡) − 9𝑗 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) cos(𝑡) )
+ 𝑖(−6 sin(𝑡) + 27 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡)sin(𝑡))
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑟 ′′′ ( ) = (6𝑗 cos (2 ) cos ( ) − 3𝑗 sin ( ) sin (2 ) − 9𝑗 𝑠𝑖𝑛2 ( ) cos( ) )
4
4
4
4
4
4
4
𝜋
𝜋
𝜋
+ 𝑖(−6 sin ( ) + 27 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) sin( ))
4
4
4
5.
JAWABAN NOMOR 5
Posisi = r(0) = I + 2j + k dan kecepatan v(0) = I + 2k