UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE
SINALOA
FACULTAD DE INFORMÁTICA CULIACÁN
ASIGNATURA: Probabilidad y Estadística.
DOCENTE: M.C. NIEBLAS AGUILAR
ARANZAZU
GRUPO: 3-1
SEMESTRE: V
TURNO: Matutino
TRABAJO FINAL: TAREA NÚMERO NUEVE:
Regresión y correlación lineal.
REALIZADO POR:
Garcia Gonzalez Alberto Guadalupe
Culiacán, Sinaloa, México. Miércoles 22 de Diciembre de 2021
INDICE DE LA TAREA FINAL NÚMERO NUEVE
TRABAJO FINAL: TAREA NÚMERO NUEVE. ....................................................................... 1
PARTE 1: CORRELACIÓN LINEAL. ................................................................................. 1
PROBLEMA 1. ........................................................................................................ 1
PROBLEMA 2. ....................................................................................................... 3
PROBLEMA 3. ....................................................................................................... 4
PROBLEMA 4. ....................................................................................................... 5
PROBLEMA 5. ....................................................................................................... 8
PROBLEMA 6. ..................................................................................................... 10
PROBLEMA 7. ..................................................................................................... 11
PROBLEMA 8. ..................................................................................................... 14
PARTE 2: MUESTREO. ............................................................................................ 16
PROBLEMAS TEÓRICOS .......................................................................................... 16
PARTE 3: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL. .................................................................... 18
PROBLEMA 9 ...................................................................................................... 18
PROBLEMA 10 ..................................................................................................... 19
PROBLEMA 11 ..................................................................................................... 20
PROBLEMA 12 ..................................................................................................... 21
TRABAJO FINAL: TAREA NÚMERO NUEVE.
INSTRUCCIONES: Conteste los siguientes ejercicios de datos bivariados
PARTE 1: CORRELACIÓN LINEAL.
PROBLEMA 1.
1. Los hombres y mujeres que contestaron un cuestionario acerca de las
diferencias de género están clasificados en tres grupos, según sus respuestas
a la primera pregunta:
d) Genere gráficas de pastel juntas para describir estos datos.
Página 1
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Total
Hombres F. Relativa Ángulo (°)
37
0.2342
84.30
49
0.3101
111.65
72
0.4557
164.05
158
1
360
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Total
Mujeres F. Relativa Ángulo (°)
7
0.0795
28.64
50
0.5682 204.55
31
0.3523 126.82
88
1
360
e) Genere una gráfica de barras lado a lado para describir estos datos.
Hombres
Mujeres
Total
Grupo 1
37
7
44
Grupo 2
49
50
99
Grupo 3
72
31
103
f) ¿Cuál de las tres gráficas describe mejor la diferencia o similitud de las
respuestas de hombres y mujeres?
Creo que la de barras ejemplifica mejor la diferencia entre los dos sexos. En ella
podemos apreciar bien cómo difieren los datos en una sola gráfica. Por otro lado,
tenemos a las graficas de pastel, las cuales tienen que ser separadas en dos
diferentes para apreciar las diferencias. Además de ello, también cuesta un poco
más el realizarlas ya que debemos contar con la frecuencia relativa para obtener
que tanto representa en cada ángulo.
Página 2
PROBLEMA 2.
2. Asocia las rectas de regresión y = –x +16, y = 2x – 12, y = 0,5x + 5 a las
nubes de puntos siguientes:
Primero identificamos las características de cada recta. La recta y = -x+16 cuenta
con una pendiente negativa, lo cual simboliza un ángulo mayor a noventa grados
respecto a la horizontal, siendo la del inciso C) el adecuado para representar
este comportamiento. Las rectas y = 2x-12 y y = 0.5x+5 tienen pendientes
positivas, por lo tanto, su ángulo debe ser menor a noventa grados. Tanto el
inciso a) como el b) representan eso, pero encontramos una diferencia
significativa entre las dos. Cuanto más grande sea la pendiente, más inclinada
hacia arriba está nuestra recta y su ángulo se acerca a noventa grados, siendo
la del inciso b) la que posee mayor pendiente. La recta y = 2x – 12 tiene sentido
que se asocie con el inciso a), debido a que la recta debería estar más inclinada
hacia abajo.
Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las
nubes del problema anterior.
Es importante recordar que la correlación lineal representa que tanta relación
tienen los datos entre sí, siendo aquella correlación que se acerque a uno la más
perfecta y la que se aleje de 1, siendo una correlación mala. Rápidamente
podemos asociar la correlación negativa con la pendiente negativa, siendo el
valor de -0.85 el más cercano a -1, el cual se refleja en que tan juntos están los
puntos teniendo una buena correlación. La correlación más baja y positiva, 0.4,
se le asigna el inciso a). Esto se refleja que tan dispersos están los puntos. Por
último, tenemos a la correlación de r = 0.7, la cual se le asigna el inciso b) que,
pese no ser tan perfecto, si se nota mucho la diferencia entre el inciso a) y b).
Página 3
PROBLEMA 3.
3. El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo
después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente
tabla:
x = N° de horas
y = N° de bacterias
0
1
2
3
4
5
12
19
22
34
54
62
Calcula:
a) Las medias y desviaciones estándar de las variables, número de horas
y número de bacterias.
Realizamos la tabla que nos ayudará a obtener lo que se nos pide:
Total
𝑆𝑥 =
𝑆𝑦 =
𝑥̅ =
x
y
xy
x²
y²
0
1
2
3
4
5
15
12
19
22
34
54
62
203
0
19
44
102
216
310
691
0
1
4
9
16
25
55
144
361
484
1156
2916
3844
8905
(∑ 𝑥𝑖 )2
(15)2
(
)
55
−
𝑛 =√
6 = √3.5 ≈ 1.8708
𝑛−1
6−1
2
√∑ 𝑥𝑖 −
(∑ 𝑦𝑖 )2
(203)2
(8905) −
√
𝑛
6 = √407.4 ≈ 20.183
=
𝑛−1
6−1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= 2.5
6
𝑦̅ =
(12 + 19 + 22 + 34 + 54 + 62)
= 33.83
6
b) La covarianza de la variable bidimensional.
𝑆𝑥𝑦 =
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(15)(203)
(691) −
𝑛
6
=
= 36.7
𝑛−1
6−1
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
c) El coeficiente de correlación e interpretación.
𝛾=
𝑆𝑥𝑦
36.7
=
≈ 0.9719
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (1.8708)(20.183)
Tenemos una relación de 0.9719, muy cercana al valor de 1, por lo tanto, se
acerca mucho a la perfección y por ende, tendremos una dispersión entre los
puntos muy buena, señalando como será la recta de regresión.
Página 4
d) La recta de regresión de Y sobre X.
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
20.183
) = (0.9719) (
) ≈ 10.4853
𝑆𝑥
1.8708
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (33.83) − (10.4853)(2.5) ≈ 7.6167
𝑦 = 7.6167 + 10.4853𝑥
e) Grafique el diagrama de dispersión y la recta de regresión en la misma
grafica
x
y
0
1
2
3
4
5
12
19
22
34
54
62
PROBLEMA 4.
4. La tabla siguiente muestra las notas obtenidas por 8 alumnos en un
examen, las horas de estudio dedicadas a su preparación y las horas que
vieron la televisión los días previos al examen.
Nota
Horas de estudio
Horas de TV
5
6
7
3
5
8
4
9
7
10
8
4
8
10
5
14
7
6
2
11
9
4
9
5
Página 5
a) Representa gráficamente los diagramas correspondientes a notaestudio y nota-TV.
b) ¿Se observa correlación entre las variables estudiadas? ¿De qué tipo?
¿En qué caso estimas que es más fuerte? En la correlación de Nota-Horas
de Estudio, tenemos una correlación positiva, donde la covarianza y el
coeficiente son positivos. Por otro lado, tenemos al diagrama de Nota – Horas
de TV, el cual seguramente debe tener tanto una covarianza y un coeficiente
negativos. A simple vista se puede observar que la primera gráfica tiene una
mayor correlación debido a que los puntos se asemejan más a una recta.
c) Con los datos del problema anterior, halla el coeficiente de correlación
de nota-estudio y nota-TV. ¿Qué puede deducirse con más precisión
conociendo la nota que obtuvo una persona en el examen: el tiempo que
dedicó al estudio o el que dedicó a ver la televisión?
Para la relación de las notas y horas de estudio.
(∑ 𝑥𝑖 )2
(47)2
2−
(
)
∑
𝑥
305
−
𝑖
√
𝑛 =√
8 = √4.125 ≈ 2.0310
𝑆𝑥 =
𝑛−1
8−1
𝑆𝑦 =
(∑ 𝑦𝑖 )2
(66)2
(
)
614
−
√
𝑛
8 = √9.9286 ≈ 3.151
=
𝑛−1
8−1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
Página 6
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(47)(66)
(429) −
𝑛
8
𝑆𝑥𝑦 =
=
= 5.8929
𝑛−1
8−1
𝑆𝑥𝑦
5.8929
𝛾𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 =
=
≈ 0.9208
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (2.0310)(3.151)
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
Para la relación de las notas y horas de televisión.
𝑆𝑥 ≈ 2.0310
𝑆𝑦 =
(∑ 𝑦𝑖 )2
(53)2
(
)
413
−
√
𝑛
8 = √8.8393 ≈ 2.973
=
𝑛−1
8−1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(47)(53)
(276) −
𝑛
8
𝑆𝑥𝑦 =
=
= −5.0536
𝑛−1
8−1
𝑆𝑥𝑦
−5.0536
𝛾𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑇𝑉 =
=
≈ −0.8369
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (2.0310)(2.973)
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
Según la fidelidad de la correlación, tenemos un coeficiente de 0.9208 frente
a uno de -0.8369, por lo tanto, la relación entre las notas y las horas de estudio
tiene una mayor precisión que la de las notas con las horas en televisión. Esto
quiere decir que, es más seguro que tengas una buena o mala nota concorde
a las horas que dediques al estudio.
d) Con los mismos datos, halla las rectas de regresión correspondientes y
estima para un alumno que sacó un 2 en el examen:
Para la relación de las notas y horas de estudio.
𝑥̅ =
(5 + 6 + 7 + 3 + 5 + 8 + 4 + 9)
= 5.875
8
𝑦̅ =
(7 + 10 + 8 + 4 + 8 + 10 + 5 + 14)
= 8.25
8
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
3.151
) = (0.9208) (
) ≈ 1.4285
𝑆𝑥
2.0310
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (8.25) − (1.4285)(5.875) ≈ −0.1424
𝑦𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 = −0.1424 + 1.4285𝑥
Página 7
Para la relación de las notas y horas de estudio.
𝑥̅ = 5.875
𝑦̅ =
(7 + 6 + 2 + 11 + 9 + 4 + 9 + 5)
= 6.625
8
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
2.973
) = (−0.8369) (
) ≈ −1.2250
𝑆𝑥
2.0310
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (6.625) − (−1.2250)(5.875) ≈ 13.8219
𝑦𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑇𝑉 = 13.8219 − 1.225𝑥
Las horas que estudió.
𝑃𝑎𝑟𝑎 (𝑁𝑜𝑡𝑎 = 𝑥 = 2)
𝑦𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 = −0.1424 + 1.4285(2) = 2.7146
Las horas que vio la TV.
𝑃𝑎𝑟𝑎 (𝑁𝑜𝑡𝑎 = 𝑥 = 2)
𝑦𝑁𝑜𝑡𝑎𝑠−𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑇𝑉 = 13.8219 − 1.225(2) = 11.0719
PROBLEMA 5.
5. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son:
Padre
Hijo
170
173
178
167
171
169
184
175
162
177
175
170
179
169
181
187
a) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos
dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo.
x = Padre ; y = Hijo
x
Total
y
xy
170 162 27540
173 177 30621
178 175 31150
167 170 28390
171 179 30609
169 169 28561
184 181 33304
175 187 32725
1387 1400 242900
x = Hijo ; y = Padre
x²
y²
28900
29929
31684
27889
29241
28561
33856
30625
240685
26244
31329
30625
28900
32041
28561
32761
34969
245430
x
Total
y
xy
162 170 27540
177 173 30621
175 178 31150
170 167 28390
179 171 30609
169 169 28561
181 184 33304
187 175 32725
1400 1387 242900
x²
y²
26244
31329
30625
28900
32041
28561
32761
34969
245430
28900
29929
31684
27889
29241
28561
33856
30625
240685
Primeramente, tomaremos a la altura de los hijos como variable independiente. Por
lo tanto, tenemos que:
Página 8
Para la relación de padres y hijos.
(∑ 𝑥𝑖 )2
(1387)2
2−
(
)
∑
𝑥
240685
−
√ 𝑖
𝑛 =√
8
𝑆𝑥 =
= √30.5535 ≈ 5.5275
𝑛−1
8−1
(∑ 𝑦𝑖 )2
(1400)2
(
)
245430
−
√
𝑛
8
=
= √61.4286 ≈ 7.838
𝑛−1
8−1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
𝑆𝑦 =
𝑆𝑥𝑦 =
𝛾𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠−𝐻𝑖𝑗𝑜𝑠
𝑥̅ =
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(1387)(1400)
(242900) −
𝑛
8
=
= 25
𝑛−1
8−1
𝑆𝑥𝑦
25
=
=
≈ 0.5770
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (5.5275)(7.838)
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
(170 + 173 + 178 + 167 + 171 + 169 + 184 + 175)
= 173.375
8
𝑦̅ =
(162 + 177 + 175 + 170 + 179 + 169 + 181 + 187)
= 175
8
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
7.838
) = (0.5770) (
) ≈ 0.8182
𝑆𝑥
5.5275
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (175) − (0.8182)(173.375) ≈ 33.1445
𝑦𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠−𝐻𝑖𝑗𝑜𝑠 = 33.1445 + 0.8182𝑥
Para la relación de hijos y padres.
𝑆𝑥 = 7.838
𝑆𝑦 = 5.5275
𝑆𝑥𝑦 = 0.5770
𝑦̅ = 173.375
𝑥̅ = 175
𝛾𝐻𝑖𝑗𝑜𝑠−𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠 ≈ 0.5770
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
5.5275
) = (0.5770) (
) ≈ 0.4069
𝑆𝑥
7.838
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (173.375) − (0.4069)(175) ≈ 102.1675
𝑦𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠−𝐻𝑖𝑗𝑜𝑠 = 102.1675 + 0.4069𝑥
b) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un
padre, si su hijo mide 190 cm.
𝑆𝑖 (𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒 = 𝑥 = 174) = 33.1445 + 0.8182(174) = 175.51
𝑆𝑖 (𝐻𝑖𝑗𝑜 = 𝑥 = 190) = 102.1675 + 0.4069(174) = 172.9681
Página 9
PROBLEMA 6.
6. Durante su primer año de vida han pesado a Marta cada mes. En la tabla
siguiente se dan sus pesos:
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3,2
4,6
4,2
5,4
5,7
6,5
6,8
7,2
7,9
7,7
8
8,4
En esta tabla, x= representa la edad en meses y y= el peso en kilogramos.
a) Calcula la media y la desviación estándar de los pesos.
Para calcular la media del peso, sumamos los valores registrados y lo dividimos
entre el número de valores. Por lo tanto:
𝑦̅ =
(3.2 + 4.6 + 4.2 + 5.4 + 5.7 + 6.5 + 6.8 + 7.2 + 7.9 + 7.7 + 8 + 8.4)
= 6.3
12
Para calcular la desviación estándar recurrimos a la
siguiente fórmula, de la cual necesitaremos la suma
de los cuadrados de las y las sumas de las y. Por lo
tanto, realizamos la siguiente tabla:
𝑆𝑦 =
(∑ 𝑦𝑖 )2
(75.6)2
(
)
507.28
−
√
𝑛
12
=
𝑛−1
12 − 1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
𝑆𝑦 ≈ √2.8182
𝑆𝑦 ≈ 1.6769
b) Determina la ecuación de la recta de regresión de y sobre x, explicando
detalladamente los cálculos que haces y las fórmulas que utilizas.
Para obtener la recta de regresión será necesario calcular el coeficiente de
correlación entre la edad y el peso. Para ello,
x = Edad (Meses) ; y = Peso (kg)
además de obtener la desviación estándar
x
y
xy
x²
y²
de y, también debemos buscar el de x y la
1
3.2
3.2
1
10.24
covarianza entre x y y.
Total
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.6
4.2
5.4
5.7
6.5
6.8
7.2
7.9
7.7
8
9.2
12.6
21.6
28.5
39
47.6
57.6
71.1
77
88
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
21.16
17.64
29.16
32.49
42.25
46.24
51.84
62.41
59.29
64
12
8.4
100.8
144
70.56
78
75.6
556.2
650
507.28
Para la desviación estándar en x, utilizamos
la siguiente fórmula, cuyos valores lo
obtenemos de la tabla de la izquierda.
𝑆𝑥 =
(∑ 𝑥𝑖 )2
(78)2
(
)
650
−
√
𝑛
12
=
𝑛−1
12 − 1
2
√∑ 𝑥𝑖 −
𝑆𝑥 ≈ √13
𝑆𝑥 ≈ 3.6056
Para la recta, necesitamos la media de x:
Página 10
𝑥̅ =
(∑ 𝑥 = 78)
= 6.5
8
Para la correlación entre x y y, utilizamos la siguiente formula, de la cual sus valores
también
𝑆𝑥𝑦 =
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(78)(75.6)
(556.2) −
𝑛
12
=
≈ 5.8909
𝑛−1
12 − 1
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
Ahora que tenemos la correlación, podemos calcular el coeficiente de correlación
para poder obtener la recta de regresión. Tenemos que:
𝛾𝐸𝑑𝑎𝑑−𝑃𝑒𝑠𝑜 =
𝑆𝑥𝑦
5.8909
=
≈ 0.9742
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (3.6059)(1.6769)
Ya que contamos con el coeficiente, damos paso a calcular la recta de regresión,
cuya forma y parámetros es la siguiente:
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
1.6769
) = (0.9742) (
) ≈ 0.4530
𝑆𝑥
3.6059
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (6.3) − (0.4530)(6.5) ≈ 3.3555
Sólo nos quedaría sustituir los valores en la función, la cual nos queda de la
siguiente manera:
𝛾𝐸𝑑𝑎𝑑−𝑃𝑒𝑠𝑜 = 3.3555 + 0.4530𝑥
PROBLEMA 7.
7. La gente no es más longeva en la actualidad, sino que también lo es de
manera independiente. En el número de mayo/junio del 2006 del imparcial,
se publicó el artículo “análisis multiestadístico de vida activa de las
personas” en el cual dos de las variables estudiadas fueron la edad actual
de una persona y el número esperado de años restantes por vivir.
Edad
Años restantes
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
16.5
15.1
13.7
12.4
11.2
10.1
9
8.4
7.1
6.4
Página 11
a) Elabora el diagrama de dispersión.
Diagrama de dispersión
18
AÑOS RESTANTES
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Edad (años)
b) Determina el coeficiente de correlación de la siguiente tabla de datos:
Completamos la tabla que nos permitirá calcular los parámetros necesarios:
x
Total
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
740
x = Edad ; y = Años restantes
y
xy
x²
y²
16.5
15.1
13.7
12.4
11.2
10.1
9
8.4
7.1
6.4
109.9
1072.5
1011.7
945.3
880.4
817.6
757.5
693
663.6
575.1
531.2
7947.9
4225
4489
4761
5041
5329
5625
5929
6241
6561
6889
55090
272.25
228.01
187.69
153.76
125.44
102.01
81
70.56
50.41
40.96
1312.09
Siguiendo los valores de la tabla, obtenemos las desviaciones estándar y las
medias.
𝑆𝑥 =
(∑ 𝑥𝑖 )2
(740)2
(
)
55090
−
𝑛 =√
10 = √110 ≈ 6.0553
𝑛−1
10 − 1
3
2
√∑ 𝑥𝑖 −
Página 12
𝑆𝑦 =
(∑ 𝑦𝑖 )2
(109.9)2
(
)
1312.09
−
√
𝑛
10
=
= √11.5876 ≈ 3.4041
𝑛−1
10 − 1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
𝑆𝑥𝑦 =
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(740)(109.9)
(7947.9) −
𝑛
10
=
≈ −20.52
𝑛−1
10 − 1
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
Obtenemos el coeficiente de correlación:
𝛾𝐸𝑑𝑎𝑑−𝐴ñ𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 =
𝑆𝑥𝑦
−20.52
=
≈ −0.9956
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (6.0553)(3.4041)
c) Calcula la ecuación de la recta del mejor ajuste utilizando el método de
mínimos cuadrados.
Obtenemos las medias para cada variable, tanto para x como para y.
(∑ 𝑥 = 740)
= 74
10
(∑ 𝑦 = 109.9)
𝑦̅ =
= 10.99
10
𝑥̅ =
Ya que contamos con el coeficiente, damos paso a calcular la recta de
regresión, cuya forma y parámetros es la siguiente:
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
3.4041
) = (−0.9956) (
) ≈ −0.5597
𝑆𝑥
6.0553
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (10.99) − (−0.5597)(74) ≈ 51.4178
Por lo tanto:
𝑦 = 51.4178 − 0.5597𝑥
Página 13
PROBLEMA 8.
8. Estos datos que relacionan la cantidad gastada en alimentos por semana
y el número de miembros de una familia son los siguientes
a) Encuentre la recta de mejor ajuste para estos datos.
Completamos la tablita para obtener los parámetros que nos permitan
conocer la recta de regresión que mejor se ajuste a los datos.
x
x = N. Familia ; y = Cantidad gastada
y
xy
x²
y²
2
2
3
4
1
5
191.5
4
9168.0625
95.75
220.38
4
12141.8361
110.19
354.99
9
14001.9889
118.33
603.68
16
22776.8464
150.92
85.86
1
7371.9396
85.86
903.1
25
32623.5844
180.62
2359.51
59
98084.2579
Total 17 741.67
Siguiendo los valores de la tabla, obtenemos las desviaciones estándar y las
medias.
𝑆𝑥 =
𝑆𝑦 =
(∑ 𝑥𝑖 )2
(17)2
(
)
59
−
𝑛 =√
6 = √13 ≈ 1.4719
𝑛−1
6−1
6
2
√∑ 𝑥𝑖 −
(∑ 𝑦𝑖 )2
(741.67)2
(
)
98084.2579
−
√
𝑛
6
=
= √1281.038 ≈ 35.7916
𝑛−1
6−1
2
√∑ 𝑦𝑖 −
𝑆𝑥𝑦 =
(∑ 𝑥𝑖 )(∑ 𝑦𝑖 )
(17)(741.67)
(2359.51) −
𝑛
6
=
≈ 51.6223
𝑛−1
6−1
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
Obtenemos el coeficiente de correlación:
𝛾𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠−𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 =
𝑆𝑥𝑦
51.6223
=
≈ 0.9799
𝑆𝑥 𝑆𝑦 (1.4719)(35.7916)
Página 14
Obtenemos las medias para cada variable, tanto para x como para y.
𝑥̅ =
(∑ 𝑥 = 17)
≈ 2.8333
6
(∑ 𝑦 = 741.67)
= 123.6117
6
𝑦̅ =
Ya que contamos con el coeficiente y las medias de cada variable, damos paso
a calcular la recta de regresión, cuya forma y parámetros es la siguiente:
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑏 = 𝛾(
𝑆𝑦
35.7916
) = (0.9799) (
) ≈ 23.8262
𝑆𝑥
1.4720
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅ ≈ (123.6117) − (23.8262)(2.8333) ≈ 56.105
Por lo tanto:
𝑦 = 56.105 + 23.8262𝑥
b) Grafique los puntos y la recta de mejor ajuste en la misma gráfica. ¿La
recta resume la información de los puntos de datos?
Cantidad gastada (Kg)
Diagrama de dispersión
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
y = 23.826x + 56.106
R² = 0.9601
0
1
2
3
4
5
6
Número de miembros en la familia
La recta resume de manera adecuada el comportamiento de la cantidad
gastada en alimentos por el número de miembros de la familia. Esto es una
relación creciente, ya que, a mayor número de miembros, mayor cantidad
gastada de alimentos.
c) ¿Qué estimaría usted que gasta por semana una familia de seis en
alimentos?
Para estimar el gasto, recurrimos a la función de la recta, en la cual
interpretamos a la x como seis.
𝑆𝑖 (𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 = 𝑥 = 6) → 𝑦 = 56.105 + 23.8262(6) = 199.0622
Página 15
PARTE 2: MUESTREO.
PROBLEMAS TEÓRICOS
Relacione los casos con los siguientes conceptos y explique el porqué de su
respuesta:
Muestreo por conglomerados Muestreo aleatorio sistemático
Muestreo aleatorio estratificado Muestreo aleatorio simple
Muestreo aleatorio simple:
Una empresa desea saber si sus productos cumplen
con estándares de calidad que tienen preestablecidos. El revisar artículo por
artículo sería muy costoso por lo que se tomarán solo 100 como muestra de una
producción diaria es de 15000 piezas.
Justificación: Notamos que el revisar toda la población implicaría un arduo trabajo
para sacarlo adelante (tanto económico como en esfuerzo y tiempo). Por ello se
recurre a seleccionar aleatoriamente 100 piezas de una población de 15,000,
reflejando esto que se pudieron haber seleccionado más o menos piezas en caso
de ser posibles, teniendo estas la misma probabilidad de selección.
Muestreo aleatorio sistemático: Una empresa de publicidad desea hacer un estudio
para una determinada marca de bebidas. Para ello dispone del listín telefónico de
Culiacán (supongamos 2 millones de teléfonos entre fijos y móviles). Se estima que
con 2000 encuestas se obtiene la fiabilidad deseada y se toma una muestra
empezando en el 1 y con intervalos de 1000 en 1000.
Justificación: Este problema es de los más fáciles de identificar, ya que rápidamente
notamos que de la población se toma una muestra ordenada, fiable y aleatoria, de
la cual se empieza con uno de los primeros k elementos (en este caso 1 de 2000),
y después continuamos en intervalos de 1000 en 1000. Esta sistematización sólo
se da en este tipo de muestreo, por ello fue fácil saber de cuál se trataba.
Muestreo aleatorio simple:
Se desea conocer la opinión de las alumnas del Colegio
Chapultepec sobre las instalaciones con las que cuenta. Por lo que se deposita en
un recipiente el nombre de cada alumna de preparatoria y se extraen los nombres
hasta completar una muestra de 20 alumnas.
Justificación:
Regularmente, utilizamos el muestreo aleatorio simple en muestras
muy pequeñas debido a que no son muy eficaces cuando lo queremos implementar
en muestras grandes. Esto tiene relación con que la muestra n tienen la misma
probabilidad de ser seleccionadas, siendo reflejado en que n serían las 20 alumnas
de la escuela (la cual es la población N), en donde la probabilidad no cambiaría si
por ejemplo aumentamos el número de la muestra a 30.
Página 16
Muestreo por conglomerados:
Se desea conocer el índice de embarazos en
adolescentes en México, pero el realizar un censo sería muy costoso e implicaría
mucho tiempo por lo que se decide muestrear solo 5 estados del país.
Justificación: El muestreo por conglomerados se suele emplear a la hora de dividir
la población en racimos geográficos disponibles, siendo en este caso los 5 estados
de México (este último representando a N). Notamos que esto implica menos coste
de tiempo y dinero, ahorrando el trabajo que llevaría hacerlo en todo el país.
Muestreo aleatorio estratificado: Los directores de una empresa desean conocer un
mayor detalle el clima organizacional que prevalece en la empresa, por lo tanto,
decide tomar muestras por departamento, ya que las opciones dentro de estos son
homogéneos y heterogéneos.
Justificación: Recordemos que el muestreo aleatorio estratificado es aquel en donde
tomamos un estrato (o bien subgrupo), y a este lo analizamos con un muestreo
aleatorio simple. En este ejemplo tenemos a la población como la empresa, y a los
departamentos como los subgrupos, los cuales comparten la característica de ser
homogéneos y heterogéneos. Destacar que esto es importante en los estratos, ya
que deben compartir al menos una característica especifica.
Página 17
PARTE 3: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL.
INSTRUCCIONES: Usando el teorema del Limite Central contesta
PROBLEMA 9
9. Muestras aleatorias de tamaño n se seleccionaron de poblaciones con las
medias y varianzas dadas aquí. Encuentre la media y desviación estándar
de la distribución muestral de la media muestral en cada caso:
a) n = 36,
𝝈𝟐 = 9
µ = 10,
Sabemos que la media de una población es igual a la media muestral de la
distribución muestral. Por lo tanto, podemos decir que:
𝜇 = 𝜇𝑥̅ = 10
En el caso de la desviación estándar, podemos decir que la desviación estándar de
la distribución muestral de la media de la muestra, es igual a la desviación estándar
de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Entonces
tenemos que:
𝜎𝑥̅ =
𝜎
√𝑛
=
√𝜎 2
√𝑛
=
√9
√36
=
3
= 0.5
6
Por lo tanto, la distribución muestral de la media muestral tiene una media de 10 y
una desviación estándar de 0.5
b) n = 100,
𝝈𝟐 = 4
µ = 5,
Teniendo el mismo caso que en el a), tenemos que la media de la distribución
muestral es:
𝜇 = 𝜇𝑥̅ = 5
Para la desviación estándar:
𝜎𝑥̅ =
𝜎
√𝑛
=
√𝜎 2
√𝑛
=
√4
√100
=
2
= 0.2
10
Por lo tanto, la distribución muestral de la media muestral tiene una media de 10 y
una desviación estándar de 0.5
c) n = 8,
µ = 120,
𝛔𝟐 = 1
𝑆𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑎, 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙: 𝜇𝑥̅ = 𝜇 = 120
𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟:
𝜎𝑥̅ =
𝜎
√𝑛
=
√𝜎 2
√𝑛
=
√1
√8
=
√2
≈ 0.3535
4
La distribución muestral de la media muestral tiene una µ = 10 y σ = 0.5.
Página 18
PROBLEMA 10
10. Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35
minutos en llevar un paquete, con una desviación estándar de 8 minutos.
Supongamos que durante el día de hoy han repartido 200 paquetes.
Para contestar lo que se nos pide, del párrafo tenemos que:
𝜇 = 35 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
𝜎 = 8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑛 = 200 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
Siguiendo el teorema del límite central, tenemos que la media de la distribución
muestral es igual a la media poblacional, por lo tanto:
𝜇 = 𝜇𝑥̅ = 35 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Para la desviación estándar de la media muestral, tenemos que:
𝜎𝑥̅ =
𝜎
√𝑛
=
8
√200
=
2√2
≈ 0.5657
5
También tenemos que:
𝑍=
𝑋̅ − 𝜇𝑥̅
𝜎𝑥̅
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de
hoy esté entre 30 y 35 minutos?
𝑃𝑟 (30 ≤ 𝑋̅ ≤ 35) = 𝑃𝑟 (
30 − 35 𝑋̅ − 𝜇𝑥̅ 35 − 35
) = 𝑃𝑟 (−8.83 ≤ 𝑍 ≤ 0)
≤
≤
8
8
𝜎𝑥̅
√200
√200
𝑃𝑟 (−8.83 ≤ 𝑍 ≤ 0) = 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ 0) − 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ −8.83)
𝑃𝑟 (𝑍 ≤ 0) ≈ 0.5000
𝑃𝑟 (𝑍 ≤ −8.83) ≈ 0
∴ 𝑃𝑟 (−8.83 ≤ 𝑍 ≤ 0) = 0.5000 − 0 = 0.5
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑟 (30 ≤ 𝑋̅ ≤ 35) = 0.5
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes
hayan estado más de 115 horas?
Tenemos 115 horas para los doscientos paquetes, pero nuestros datos están
en minutos. Por lo tanto, pasamos las 115 horas a minutos y verificamos
cuantos minutos sería para cada paquete:
115 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
60 𝑚𝑖𝑛
= 6900 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒:
6900 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
= 34.5
200
Página 19
𝑃𝑟 (34.5 ≤ 𝑋̅) = 𝑃𝑟 (
34.5 − 35 𝑋̅ − 𝜇𝑥̅
) = 𝑃𝑟 (−0.88 ≤ 𝑍) = 1 − 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ −0.88) =
≤
8
𝜎𝑥̅
√200
𝑃𝑟 (−0.88 ≤ 𝑍) = 1 − 0.1894 = 0.8106
Por lo tanto:
𝑃𝑟 (34.5 ≤ 𝑋̅ ) = 0.8106
PROBLEMA 11
11. Suponga que consideramos que las temperaturas de personas sanas son
aproximadamente normal, con una media de 98.6 grados Fahrenheit y
desviación estándar de 0.8 grados.
Tenemos que:
𝜇𝑥̅ = 98.6 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝜎 = 0.8 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
a) Si al azar se seleccionan 130 personas sanas, ¿cuál es la probabilidad
de que la temperatura promedio para ellas sea de 98.25 grados
Fahrenheit o menor?
Consideramos a n como 130 personas sanas, y tenemos que X = temperatura
de una persona sana.
Por lo tanto:
𝑋̅ − 𝜇𝑥̅ 98.25 − 98.6
) = 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ −4.9882) ≈ 0
𝑃𝑟 (𝑋̅ ≤ 98.25) = 𝑃𝑟 (
≤
0.8
𝜎𝑥̅
√130
b) ¿Consideraría usted que una temperatura promedio de 98.25 grados es
un suceso poco común, dado que la verdadera temperatura promedio
de personas sanas es de 98.6 grados?
Tiene sentido que de una probabilidad de cero debido a que es muy
complicado que una persona mantenga una temperatura inferior a lo
esperado durante un largo periodo de tiempo, tanto para considerar que
mantenga y se considere una media. Lo normal es que sea cercano a ese
valor esperado, así que muy probablemente una persona que tenga una
temperatura promedio de ese valor no se considere sano. Si lo analizamos
teóricamente, sí; notamos que la media de 98.25 está aproximadamente
alrededor de cinco desviaciones estándar debajo de la media ideal de 98.6.
Página 20
PROBLEMA 12
12. El requerimiento normal diario de potasio en seres humanos está en el
intervalo de 2000 a 6000 miligramos (mg), con cantidades grandes
necesarias durante los meses calurosos de verano. La cantidad de potasio
en alimentos varía, dependiendo de éstos. Por ejemplo, hay alrededor de 7
mg en un refresco de cola, 46 mg en una cerveza, 630 mg en un plátano
(banano), 300 mg en una zanahoria y 440 mg en un vaso de jugo de naranja.
Suponga que la distribución de potasio en un plátano está distribuida
normalmente, con media igual a 630 mg y desviación estándar de 40 mg
por plátano. Usted toma n = 3 plátanos al día y T es el número total de
miligramos de potasio que recibe de ellos.
a) Encuentre la media y desviación estándar de T.
Del párrafo podemos extraer:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜇 = 630 𝑚𝑔 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑙á𝑡𝑎𝑛𝑜
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜎 = 40 𝑚𝑔
𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝑛 = 3 𝑝𝑙á𝑡𝑎𝑛𝑜𝑠
Si tenemos a X1, X2 y X3 como las cantidades de potasio de cada plátano y
sabemos que cuentan con una distribución normal, tenemos que los plátanos
deberán conservar la media poblacional. Por lo tanto, la cantidad total de
miligramos de potasio quedaría como:
𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3
Si cada una de las variables tiene una distribución normal, entonces tenemos
que T también tiene una distribución normal. Por esa propiedad, podemos
afirmar que la suma de las de T de cada variable nos darán la media total de
T.
𝜇 𝑇 = 𝜇𝑥1 + 𝜇𝑥2 + 𝜇𝑥3 = (630 + 630 + 630) = 1890 𝑚𝑔
Tenemos que la media poblacional en una distribución para una media
muestral es igual, por lo tanto:
𝜇 𝑇 = 𝜇𝑥̅ = 1890 𝑚𝑔
En el caso de las desviaciones estándar tenemos algo similar, pero
recordamos la fórmula para obtener la desviación estándar de la media
muestral:
𝜎
𝜎𝑥̅ =
√𝑛
Pero para ello, tenemos que obtener primeramente la desviación total de T,
así que:
𝜎𝑇 = 𝜎𝑥1 + 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑥3 = (40 + 40 + 40) = 120 𝑚𝑔
Página 21
Para la desviación de la media muestral:
𝜎𝑥̅ =
𝜎𝑇
√𝑛
=
120 𝑚𝑔
√3
= 69.2820
b) Encuentre la probabilidad de que su ingesta diaria de potasio de los tres
plátanos exceda de 2 000 mg. (SUGERENCIA: Observe que T es la suma
de tres variables aleatorias, x1, x2 y x3, donde x1 es la cantidad de potasio
en el plátano 1, etcétera.)
Del inciso a) tenemos que:
𝜇𝑥̅ = 1890 𝑚𝑔
𝜎𝑥̅ = 69.282
2000 − 1890 𝑋̅ − 𝜇𝑥̅
𝑃𝑟 (2000 ≤ 𝑋̅) = 𝑃𝑟 (
≤
) = 𝑃𝑟 (1.5877 ≤ 𝑍)
69.282
𝜎𝑥̅
𝑃𝑟 (1.5877 ≤ 𝑍) = 1 − 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ 1.5877)
= 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃𝑟 (𝑍 ≤ 1.5877) 𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 0.9429
𝑃𝑟 (1.5877 ≤ 𝑍) = 1 − 0.9429 = 0.0571
Página 22