E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL
C ÁLCULO V ECTORIAL • H OJA DE EJERCICIOS NO . 1
Semestre 2020-A (1 jun al 5 jun)
Departamento de Formación Básica
1. Dados x = (2, 1, 0), y = (3, 1, 2) y z = (0, −1, 2). Verificar que B = { x, y, z} es una base para el espacio
R3 y expresar el vector u = (8, 0, 10) como una combinación lineal de x, y y z. Finalmente, calcule [u] B .
2. Sean u, v, w y x los puntos en la caja rectangular en R3 que se muestra en la figura:
Encuentre las siguientes:
a) kv − uk,
b) La distancia entre u y el origen,
c) La distancia entre u y v + w,
d) kw − x k.
3. Comprobar la desigualdad triangular de la norma para R2 .
4. Encuentre el trabajo realizado por una fuerza F = (8, −6, 9) que mueve un objeto del punto (0, 10, 8) al
punto (6, 12, 20) a lo largo de una línea recta. La distancia se mide en metros y la fuerza en newtons (se
sabe que el trabajo realizado es el producto punto entre la fuerza y el desplazamiento).
5. Considere un peso de 25 N suspendido de dos alambres, como se ilustra en la figura. Si las magnitudes
de los vectores F1 y F2 son ambas de 75 N; y los ángulos α y β son iguales, obtenga α.
6. Comprobar que, en R n , el único vector ortogonal a sí mismo es el vector 0.
7. Sean x = ( a, 2, 1) y y = (−2, b, 3) vectores en R3 donde a, b ∈ R. Si x ⊥ y, determine el valor de a − b.
8. En R3 , dados los vectores (1, 1, 0) y (0, 1, 1), hallar el conjunto de todos los vectores ortogonales a estos
dos.
9. Dados x, y ∈ R n , comprobar que si x es ortogonal a y, entonces k x + yk2 = k x k2 + kyk2 . ¿El recíproco
es verdadero?
10. Dados x, y ∈ R3 , comprobar que x es ortogonal a x × y.
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11. Dados x, y ∈ R n , con y 6= 0, comprobar proyy ( x ) y normy ( x ) son vectores ortogonales.
12. En R3 , ¿cuál debe ser el valor de α ∈ R para que la proyección del vector (1, 3, α) sobre el vector (1, 1, 1)
sea (2, 2, 2)?
Deduzca una expresión para determinar la norma de proyy x, con x, y ∈ R n distintos de 0. Verifique
con este ejemplo.
13. Dados x, y ∈ R n no nulos tales que x es ortogonal a y. Si z = αx + βy, hallar expresiones para α y β en
términos de los vectores x, y y z.
14. Suponga que α, β ∈ R, sean A = (cos(α), sen(α)) y B = (cos( β), sen( β)) y refiérase a la figura siguiente
Demuestre que:
a) cos(α − β) = cos(α) cos( β) + sen(α) sen( β), utilizando el producto punto de A y B.
b) | sen(α − β)| = | sen(α) cos( β) − cos(α) sen( β)|, utilizando el producto cruz.
15. Sea α el ángulo entre w y u × v. Determinar el volumen del tetraedro generado por los vectores
u = (1, 1, −1),
v = (1, 3, 1)
y
w = (1, 2, 3).
16. Una recta L de V2 contiene el punto P = (−3, 1, 1) y es paralela al vector (1, −2, 3). Determine cuáles de
los siguientes puntos estan en L.
a) (0, 0, 0)
b) (2, −1, 4)
c) (−2, −1, 4)
d) (−4, 3, −2)
e) (2, −9, 16)
17. Entre los ocho puntos siguientes A, B y C están en una recta. Determine todos los subconjuntos de tres
o más puntos que están en línea recta: A = (2, 1, 1), B = (6, −1, 1), C = (−6, 5, 1), D = (−2, 3, 1), E =
(1, 1, 1), F = (−4, 4, 1), G = (−13, 9, 1), H = (14, −6, 1).
18. Escriba un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta en R4 que pasa por el punto (1, 2, 0, 4) y es
paralela al vector (−2, 5, 3, 7).
2
Solución. De la definición de recta
L((1, 2, 0, 4); (−2, 5, 3, 7)) = {( x, y, z, w) = (1, 2, 0, 4) + t(−2, 5, 3, 7) : t ∈ R },
se obtienen la ecuaciones
x = 1 − 2t,
y = 2 + 5t,
z = 3t,
w = 4 + 7t,
que definen paramétricamente a la recta L.
19.∗ Dadas dos rectas en R3 , estas pueden
• Cortarse en infinitos puntos, es decir que las dos rectas son iguales.
• No cortarse, sin que esto quiera decir que son paralelas.
• Cortarse en un punto, es decir existe un plano que contiene a las dos rectas.
Dadas L1 ((1, 2, 3); (1, 1, 1)), L2 ((4, 5, 6); (3, 3, 3)), L3 ((1, 2, 4); (2, 1, 2)) y L4 ((5, 6, 7); (3, 2, 4)) verificar que
a) L1 y L2 se cortan en infinitos puntos.
b) L1 y L3 no se cortan.
c) L1 y L4 se cortan en un punto.
20. Dadas dos rectas L( P; A) y L( Q; B) de Vn que no son paralelas. Demostrar que la intersección es vacía o
consta de un solo punto.
21. Encuentre el punto de intersección de las dos rectas l1 : x = 2t + 3, y = 3t + 3, z = 2t + 1 y l2 : x =
15 − 7t, y = t − 2, z = 3t − 7.
22. Una recta pasa por el punto p = (10, 2, 4) y tiene dirección a = (3, 0, 1). Otra recta pasa por el punto q =
(2, 0, −2) y es paralela al vector b = (−1, 2, 3). Determine si las rectas se intersecan; en caso afirmativo,
encuentre la intersección.
23.∗ La entrada de un hormiguero se encuentra en el punto (20, 20, 20), una hormiga sale del mismo a explorar siguiendo la dirección (−1, −2, −3), avanzado t(−1, −2, −3) cada t segundos. Considere que la
distancia se encuentra medida en centímetros y el tiempo en segundos.
a) Determine el instante cuando la hormiga pasa por el punto (17, 14, 11).
b) ¿En qué instante la hormiga pasará por el punto (1, 1, 1)?
c) ¿Cuál es la distancia recorrida por la hormiga luego de cinco segundos?
24. Encuentre la distancia del punto P = (1, 3, 4) a la recta L( a; b), donde a = (2, 1, 5) y b = (−3, 5, 1).
25.∗
a) Encuentre la distancia del punto P = (−2, 1, 5) a cualquier punto sobre la recta x = 3t − 5, y = 1 − t,
z = 4t + 7.(Su respuesta debe estar en términos del parámetro t).
b) Ahora calcule la distancia entre el punto (−2, 1, 5) y la recta x = 3t − 5, y = 1 − t, z = 4t + 7. (La
distancia entre un punto y una recta es la distancia entre un punto dado y el punto más cercano de
la recta).
26.∗ Encuentre la distancia entre las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son




x
=
−
3
+
t,


 x = 4 + 5t,

y
L2 : y = 8 − 2t,
L1 : y = 7 + 3t,




z = 10 − 4t.
z = 5 + 2t;
3
27. ¿Cuáles de los siguientes puntos están en el plano dado por la ecuación 2x1 + 2x2 − 5x3 = 100?
a) (0, 0, 0)
b) (50, 0, 0)
c) (0, 100, 0)
d) (y1 , 100 + y2 , y3 ) si 2y1 + 2y2 − 5y3 = 0
28.∗ En R3 , determinar el conjunto de todos los vectores normales a la recta que pasa por (1, 0, 1) y tiene
dirección (1, −1, 1).
29.∗ En R3 , determinar el conjunto de todos los vectores normales al plano que pasa por a = (1, 0, 1) y tiene
direcciones b = (1, −1, 1) y c = (1, 2, 0).
30.∗ Dadas las rectas L1 = {(1, −1, 0) + s(1, 2, 3) : s ∈ R } y L2 = {(1, 2, 3) + t(1, −1, 0) : t ∈ R }. Determine
si L1 y L2 se intersecan. En caso afirmativo halle el plano qué contiene a L1 y L2 .
31. La recta L = {(0, 1, 2) + t(1, −3, −2) : t ∈ R } corta a los tres planos coordenados en tres puntos.
Encuentre las coordenadas de estos puntos y determine cual de ellos esta en medio de los otros dos.
32. Dados los planos M = { p + αa + βb : α, β ∈ R } y N = {q + αc + βd : α, β ∈ R }, donde p = (1, 1, 1),
a = (2, −1, 3), b = (−1, 0, 2), q = (2, 3, 1), c = (1, 2, 3) y d = (3, 2, 1), encontrar dos puntos distintos en
la intersección de M y N.
Determinar las ecuaciones cartesianas de los planos M y N.
33.∗ Dados un plano M = { P + sA + tB}, donde P = (2, 3, 1), A = (1, 2, 3) y B = (3, 2, 1), y otro plano M‘
cuya ecuación cartesiana es x − 2y + z = 0.
a) Determinar si M y M‘ son paralelos.
b) Hallar dos puntos en la intersección M‘ ∩ M” si M” tiene la ecuación x + 2y + z = 0.
34. Determine la ecuación lineal cartesiana de la forma ax + by + cz = d para cada uno de los planos
siguientes.
a) Plano que pasa por (2, 3, 1) y está generado por (3, 2, 1) y (−1, −2, −3).
b) Plano que pasa por (2, 3, 1), (−2, −1, −3) y (4, 3, −1).
c) Plano que pasa por (2, 3, 1) y es paralelo al plano que pasa por el origen y está generado por
(2, 0, −2) y (1, 1, 1)
35.∗ Sea L la recta que pasa por (1, 1, 1) paralela al vector (2, −1, 3) y M el plano que pasa por (1, 1, −2) y
generado por los vectores (2, 1, 3) y (0, 1, 1). Probar que existe un punto y solo uno en la intersección
L ∩ M y determinarlo.
36.∗ Encuentre una ecuación para el plano que contiene al punto (9, 5, −1) y es perpendicular a i − 2k.
Los ejercicios para la clase CP son: 19, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 33, 35, 36
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