Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА»
Г.И. Кольниченко, В.И. Панферов
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по образованию в области лесного дела в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки 250400 «Технология лесозаготовительных и
деревоперерабатывающих производств
Москва
Издательство Московского государственного университета леса
2012
2
УДК 620.9:338.9
К62
Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО-2000 на основе примерной программы общеобразовательной дисциплины
"Общая электротехника и электроника", утвержденной руководителем департамента общеобразовательных программ и стандартов профессионального образования
министерства образования РФ в 2000 г.
Рецензенты: Рецензенты: заведующий кафедрой электротехники МГТУ
им. Косыгина, д.т.н., профессор А. Е. Поляков;
профессор кафедры автоматики и промышленной электроники
МГТУ им. Косыгина, д.т.н., профессор А.Б. Козлов
Работа подготовлена на кафедре электроэнергетики лесных комплексов
Кольниченко Г.И.
К62 Электрические цепи в примерах и задачах : учебное пособие /
Г.И. Кольниченко, В.И. Панферов. – М.: МГУЛ, 2012. – 146 с.
ISBN 5-135-0323-4
Пособие содержит основные положения теории расчета электрических цепей, приведены примеры решения задач с изложением последовательности электротехнических расчётов и объяснением каждого этапа вычислений. В отдельных параграфах даны задачи для контрольных заданий
студентам заочной формы обучения и для выполнения самостоятельной
работы студентам дневного и вечернего обучения.
УДК 620.9:338.9
ISBN 5-135-0323-4
© Г.И. Кольниченко, В.И.Панферов, 2012
© ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано с целью повышения активности самостоятельной работы студентов. Пособие охватывает разделы курса
электротехники, связанные с расчётом цепей постоянного и переменного
синусоидального тока и призвано помочь студентам быстро и самостоятельно освоить ряд методов расчёта электрических цепей. В связи с этим в
пособии в доступной форме представлены основные положения теории
рассматриваемых вопросов и приведены примеры решения электротехнических задач. При этом авторы строго стремились придерживаться правила, чтобы рассматриваемые задачи были снабжены подробными пояснениями, что облегчает самостоятельную работу студентов над последующими
аналогичными задачами. Поэтому предлагаемое учебно-методическое пособие может быть полезно для студентов – заочников, изучающих электротехнику, а также студентам тех специальностей, где занятия по электротехнике предусмотрены в малом объёме (не более 1 семестра).
Учебное пособие предназначено студентам дневного, вечернего и заочного обучения, изучающих дисциплины электротехнического профиля в
университете.
4
Глава 1. Цепи постоянного тока
1.1. Предварительные сведения
Электрической цепью называют систему, состоящую из источников
электрической энергии (источников питания), приёмников (потребителей)
и соединяющих их электрических проводов, вдоль которых энергия от источника передаётся потребителю. Источники питания, провода и потребители являются основными элементами электрической цепи. Кроме основных электрические цепи содержат дополнительные элементы в виде приборов, оборудования и аппаратуры, обеспечивающих контроль и управление режимами работы цепи в целом и её элементов.
Источники питания образуют внутреннюю часть электрической цепи, а потребитель совместно с соединительными проводами, приборами,
выключателями и т.д. – внешнюю часть.
Если электрическая цепь замкнута, то по ней проходит электрический ток. Его прохождение по цепи связано с процессами непрерывного
преобразования энергии в каждом из её элементов:
 в источниках питания имеет место преобразование в электрическую
энергию других видов энергии: механической энергии в электрическую в генераторах, химической в электрическую в гальванических
элементах и аккумуляторах, тепловой – в термоэлементах, лучистой
– в фотоэлементах и т.д.;
 в приёмниках происходит обратное преобразование электрической
энергии в другие виды энергии: в механическую в двигателях, в тепловую в нагревательных устройствах, в световую в источниках света
и химическую в аккумуляторах и установках различных отраслей
промышленности.
В источниках питания в процессе преобразования каких-либо видов
энергии в электрическую возбуждается электродвижущая сила (ЭДС), которая вызывает в замкнутой цепи электрический ток. Участки цепи, содержащие ЭДС, называют активными, а без ЭДС – пассивными. Для удобства изображения, анализа и расчёта электрические цепи при графическом
изображении представляются в виде схем замещения, которые называются
электрическими схемами. Эти схемы состоят из отдельных условно изображённых реальных элементов, соединённых тем или иным образом. Схема замещения является расчётной моделью реальной цепи.
Электрические цепи в зависимости от ряда характерных для них
признаков подразделяются на группы и имеют свои наименования. Так,
цепи, по которым проходят постоянные токи, называются электрическими
цепями постоянного тока. Если электрическое сопротивление цепи не зависит от проходящего по нему тока, то такие цепи называются линейными
электрическими цепями. В этих цепях каждый элемент имеет вольтамперную характеристику (т.е. зависимость U = f(I)) в виде прямой линии. Если
вольт-амперная характеристика элемента цепи непрямолинейна, то такой
5
элемент называется нелинейным. Электрические цепи, в которые входит
хотя бы один нелинейный элемент, называют нелинейными.
В зависимости от числа приёмников электрической энергии, числа
источников питания и способа их соединений различают электрические
цепи простые (или неразветвлённые) и сложные (или разветвлённые), цепи с одним источником питания и цепи с несколькими источниками питания.
На рис. 1.1 приведена схема простой (т.е. неразветвлённой) электрической цепи постоянного тока с одним источником питания.
I
1
I
1
1 +
I
E+
+
R
U
E
R0 –
U
R0 –
2
а)
R
2 –
б)
Рис. 1.1. Схема неразветвлённой электрической цепи
с одним источником питания
2
R
U
в)
Элементами схемы 1.1а являются аккумулятор (или гальванический
элемент) с ЭДС Е и внутренним сопротивлением R0 и приёмник с сопротивлением R. Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало и поэтому не учитывается в данном случае. На рис. 1.1б изображена такая же простейшая цепь, в которой источник питания – генератор постоянного тока с ЭДС Е и внутренним сопротивлением R0.
На схемах указаны положительные направления ЭДС (Е), напряжения (U) и тока (I). На схеме 1.1а знаками «+» и «–» обозначена полярность
внешних зажимов источника. Напомним, что электрический ток – это
направленное движение электрических зарядов. На внешнем пассивном
участке ток направлен от положительного полюса источника к отрицательному, а внутри источника – от точек низшего потенциала (т.е. от «–»)
к точкам высшего потенциала (т.е. к «+»). Перенос зарядов во внешней цепи происходит под действием электрического поля в проводнике, а перемещение их в источнике возможно только за счёт сил неэлектрического
происхождения, называемых сторонними силами. Интенсивность сторонних сил характеризуется значением ЭДС. Сторонние силы, как уже называлось, могут быть обусловлены химическими процессами (в гальванических элементах и аккумуляторах) и др.
Таким образом, стрелка, обозначающая положительное направление ЭДС, направлена от минуса к плюсу, а стрелка, обозначающая положительное направление напряжения, – от плюса к минусу. За положительное направление тока также выбрано направление от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала (т.е. от плюса к минусу).
6
В реальных электрических цепях потребители не присоединяются
непосредственно к зажимам источника. Они подключаются к проводам
электрических сетей, питание которых осуществляется от электрических
станций или подстанций. В подобных случаях можно говорить, что потребитель подключается к зажимам 1 и 2 с напряжением U, как показано на
схеме рис. 1.1в.
Работа реальных электрических элементов цепи характеризуется
определёнными величинами, связанными с их токами, напряжениями, ЭДС
и мощностями. Поэтому задачей анализа и расчёта электрической цепи является установление связи между ЭДС, напряжениями, токами и параметрами цепи. При этом параметрами цепей постоянного тока в установившемся режиме являются их сопротивления R (единица измерения [Ом]) и
проводимости G (единица измерения – сименс [См]).
Важными понятиями, характеризующими топологические свойства
электрических цепей и необходимыми для их анализа, являются понятия
узла, ветви и контура.
Узлом (точкой разветвления) называют точку электрической цепи, в
которой соединяется 3 или более проводников (ветвей). Под узлом понимают также провод с нулевым сопротивлением, к которому подключено
три и более ветвей.
Ветвь – это участок цепи без разветвлений между двумя соседними
узлами, по которому проходит один и тот же ток.
Контур – замкнутый путь по ветвям схемы. Существуют важные понятия независимого и зависимого контура (см. раздел 1.3.1).
Элементы электрических цепей могут соединяться последовательно
или параллельно. При последовательном соединении элементов по ним
проходит один и тот же ток, поэтому в пределах ветви ток один и тот же.
Таким образом, в любой электрической цепи токов столько, сколько ветвей.
Параллельным называют такое соединение, при котором две или более ветвей присоединены к двум узлам, отличающимся друг от друга потенциалами.
Смешанным соединением элементов цепи называют сочетание их
последовательных и параллельных соединений. Например, на рис. 1.2 приведена схема разветвлённой цепи постоянного тока со смешанным соедиR3
нением её элементов.
I2
а
R1
+
1
I1
U
I3
R4
I4
R5
U12
2
I1
R2
б
–
Рис. 1.2. Электрическая схема разветвлённой цепи постоянного тока
7
Схема рис. 1.2 содержит 4 ветви. В первой ветви, по которой протекает ток I1, соединяются последовательно: сопротивление R1, источник питания с напряжением U на его зажимах а и б и сопротивление R2. Между
точками 1 и 2 с напряжением U12 включены параллельные ветви, каждая со
своим сопротивлением (R3, R4 и R5) и соответственно с токами I2, I3, I4.
Элементы первой ветви соединены последовательно с участком 1-2, образуя таким образом схему смешанного соединения.
Основными законами, устанавливающими соотношения между ЭДС,
напряжениями, токами и сопротивлениями, являются закон Ома и I и II
законы (правила) Кирхгофа. С помощью этих законов можно провести
анализ и расчёт любых электрических цепей. Так в неразветвленной схеме
рис. 1.1 а, б под действием ЭДС Е будет возникать ток I, значение которого определяется законом Ома:
Е
I=
,
R0 + R
где Е – ЭДС источника;
R0 – внутреннее сопротивление источника.
Для участка электрической цепи, сопротивление которого R и
напряжение на котором U, закон Ома записывается в виде
U
I
или U  I  R .
R
Произведение I·R называют падением напряжения. Таким образом,
напряжение на любом пассивном участке электрической цепи (т.е. не содержащем ЭДС) равно произведению тока участка на сопротивление этого участка.
Сложные (т.е. разветвлённые) схемы можно рассчитывать с помощью законов Кирхгофа, которые являются следствием закона сохранения
энергии.
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле
(точке разветвления) электрической цепи равна нулю.
 I  0.
При этом токи, направленные к узлу, следует брать с одним (произвольно выбранным) знаком, а токи, направленные от узла, – с противоположным знаком.
Для узла «1» рис. 1.2 уравнение I закона Кирхгофа можно записать в
виде
I1 – I2 – I3 – I4 = 0
или
I1 = I2 + I3 + I4 ,
что позволяет I закон сформулировать так: сумма токов, направленных к
узлу, равна сумме токов, направленных от узла.
Уравнения II закона Кирхгофа записываются для контуров электрической цепи. Согласно II закону Кирхгофа в замкнутом контуре алгебраи-
8
ческая сумма падений напряжений на элементах этого контура равна алгебраической сумме ЭДС
 I  R   E.
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа произвольно
намечаются направления обхода контуров, при этом положительными считаются те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода
контура, а падения напряжения считаются положительными на тех участках, на которых совпадают направление тока (напряжения) и направление
обхода контура.
Напишем уравнения II закона Кирхгофа для контуров схемы рис. 1.2,
обходя их по часовой стрелке
для контура 2, R2, б, а, R1, R3, 2:
I1· R2 – U + I1· R1 + I2· R3 = 0;
для контура 1, R3, 2, R4, 1:
I2· R3 – I3· R4 = 0;
для контура 1, R4, 2, R5, 1:
I3· R4 – I4· R5 = 0.
1.2. Работа и мощность в цепи постоянного тока
Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из источника энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением R0 и приемника
энергии в виде сопротивления Rаб (рис. 1.2).
I
W
а
R0
Uаб
Rаб
+
E –
б
Рис. 1.3. Электрическая цепь с ваттметром W
Под действием электрического поля, создаваемого ЭДС E, в электрической цепи возникает ток I и энергия электрического поля затрачивается на перемещение электрических зарядов по цепи. Можно подсчитать
работу и мощность как во всей цепи, так и на её отдельных участках.
На участке аб работа будет
Ааб  U аб  q  U аб  I  t  I 2  Rаб  t ,
где q =I∙t – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за
время t.
9
Работа для всей цепи
А  E  q  E  I  t или А  I 2  ( Rаб  R0 )  t .
Единицей работы служит Джоуль:
1 Дж = В∙А∙с.
Мощность Р характеризует интенсивность преобразования энергии
из одного вида в другой в единицу времени. Мощность, развиваемая источником электрической цепи рис. 1.3, равна:
A
P   E  I  I 2  Rаб  I 2  R0  I 2  ( Rаб  R0 ),
t
а на участке аб:
2
Aаб
U аб
2
Pаб 
 U аб  I  I  Rаб 
,
t
Rаб
U
где вместо тока I введено его выражение I  аб .
Rаб
Единицей мощности называется Ватт (Вт):
1 Вт = Дж/с = В·А,
т.е. 1 Вт – это мощность, при которой за одну секунду (1 с) совершается
работа в 1 Дж. В системе СИ Ватт используется как единица для измерения самых различных видов мощности. В частности, для электрических
цепей Ватт есть мощность тока в 1 Ампер при напряжении на концах проводника в 1 Вольт.
Кратные единицы мощности:
 милливатт (мВт), 1 мВт = 10-3 Вт;
 киловатт (кВт), 1 кВт = 103 Вт;
 мегаватт (МВт), 1 МВт = 106 Вт = 103 кВт;
 гигаватт (ГВт), 1 ГВт = 109 Вт = 1000 МВт.
Основная единица энергии (работы) Джоуль очень мал. Поэтому практической единицей электрической энергии служит 1 киловатт·час
(кВт·ч). Имея в виду, что 1 кВт = 103 Вт, а 1 час = 3600 секунд, получим
1 кВт·ч = 1000·3600 = 3600000 Дж = 3,6·106 Дж.
Баланс мощности электрической цепи. На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источником электрической энергии,
должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:
 E  I   I 2  R,
где
 E  I – сумма мощностей, развиваемых источниками;
 I 2  R – сумма мощностей всех приёмников и необратимых
преобразований энергии внутри источников (потери из-за внутренних
сопротивлений).
10
Если положительное направление тока совпадает с направлением
ЭДС и в результате расчёта получено положительное направление тока, то
источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию. Если при
расчёте получено отрицательное значение тока, то произведение E ·I отрицательно, источник работает в режиме потребителя и является приёмником
электрической энергии (например, электрический двигатель, аккумулятор
в режиме зарядки).
В нашем случае (схема рис. 1.3) уравнение баланса мощности имеет
вид
E  I  I 2  Rаб  I 2  R0 .
Измерение мощности в цепях постоянного тока производится при
помощи электроизмерительных приборов – ваттметров (см. рис 1.3, прибор W). В ваттметре имеются две катушки: неподвижная и подвижная. Неподвижная катушка ваттметра (последовательная цепь прибора) включается последовательно с тем сопротивлением, мощность в котором измеряется, подвижная катушка (параллельная цепь ваттметра) включается параллельно тому сопротивлению, в котором прибор измеряет мощность. В схеме рис. 1.3 ваттметр измеряет мощность в сопротивлении Rаб: неподвижная
катушка прибора (изображённая утолщённой линией на схеме) включена
последовательно с Rаб, а подвижная катушка (изображенная вертикальной
тонкой линией) включена параллельно Rаб. Поэтому показание прибора
равно
PW  U аб  I  I 2  Rаб [ВВт.
1.3. Линейные электрические цепи с одним источником питания
1.3.1. Пояснения к расчету и пример выполнения задания № 1
При анализе электрических цепей постоянного тока чаще всего приходится иметь дело со сложными, т.е. разветвлёнными цепями. Если такие
цепи состоят из соединения линейных пассивных (т.е. без ЭДС) элементов,
то анализ существенно упрощается, если в схемах цепей провести определённые эквивалентные преобразования.
Метод эквивалентного преобразования схем заключается в том, что
сложные участки цепи заменяются более простыми, им эквивалентными.
Эквивалентным элементом называется такой элемент, который будучи
включен в схему вместо группы заменяемых элементов, не изменяет распределения токов, напряжений, а значит, мощностей в оставшейся неизменной части схемы. Другими словами, преобразование будет эквивалентным, если оно не оказывает влияния на режим той части схемы, которая не
затронута преобразованием.
11
Примером такого преобразования служит замена последовательного
или параллельного или смешанного соединения элементов одним эквивалентным сопротивлением.
При последовательном соединении сопротивлений эквивалентное
сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных элементов
n
Rэкв   Ri ,
i 1
где Ri – сопротивление i-го элемента в последовательном соединении;
n – количество последовательно соединённых сопротивлений.
В цепи с параллельно соединёнными элементами эквивалентная проводимость Gэкв равна сумме проводимостей n отдельных ветвей
n
Gэкв   Gi ,
i 1
где Gi – проводимость i-ой параллельной ветви, равная величине, обратной сопротивлению этой (т.е. i-ой) ветви;
По величине Gэкв определяется эквивалентное сопротивление разветвлённого участка
1
Rэкв 
.
Gэкв
Для примера вычислим эквивалентное сопротивление участка 1-2
схемы рис. 1.2:
1
1
1
Gэкв12  G  G  G 


,
R3 R4 R5
где G , G , G  – соответственно проводимости первой, второй и третьей параллельной ветви участка 1-2.
1
Rэкв12 
.
Gэкв12
В частном, но весьма распространенном случае, когда параллельно
соединены два сопротивления R1 и R2, формула для расчёта эквивалентного сопротивления будет иметь вид:
R R
1
1
1 R1  R2



, откуда Rэкв  1 2 .
Rэкв R1 R2 R1  R2
R1  R2
Схемы смешанного соединения разнообразны. Рассмотрим пример
расчёта одной из таких схем, представленных на рис. 1.4.
Пример
Исходные условия:
1. дана схема цепи (рис. 1.4);
2. дано входное напряжение U = 100 В;
12
3. даны численные значения сопротивлений (на схеме рис.1.4).
6
I2
3
I4
+
I1
а
4
I3
в
с
I5
4
2
U = 100 В
W
R´´´= 7
–
Рис. 1.4. Схема цепи со смешанным соединением сопротивлений
Цель расчёта:
Рассчитать численные значения токов, текущих по ветвям схемы,
определить показание ваттметра (W).
Решение:
Схема рис. 1.4 содержит 3 узла (а, в, с). Количество ветвей, включённых между узлами, равно 5-ти. По каждой из них протекает свой ток
(I1, I2, I3, I4, I5), т.е. количество неизвестных токов равно 5-ти. Для их
нахождения применим метод эквивалентирования с целью упрощения
схемы и приведения её к схеме с единственным эквивалентным сопротивлением. Каждый этап преобразования схемы связан с расчётом эквивалентных сопротивлений преобразуемых участков. Каждому этапу преобразования отвечает новая всё более простая схема (рис. 1.5 – 1.7).
1 этап: расчёт эквивалентного сопротивления участка вс
1
1
1
  ,
Rвс R R
где R = 3 Ом – сопротивление верхней ветви участка вс;
R = 4 + 2 = 6 Ом – сопротивление нижней ветви участка вс;
1
1 1 1
   См,
Rвс 3 6 2
Rвс = 2 Ом.
Результатом первого этапа преобразования явилось то, что вместо
разветвлённого участка между точками «в» и «с» на рис. 1.5 появилось
сопротивление Rвс, которое вошло в состав нижней ветви между узлами
«а» и «с» и соединяется последовательно с сопротивлением 4 Ома, ток
которого I3. Следовательно и по Rвс протекает тот же ток I3. Заметим, что
точка «в» перестала быть узлом, но она обязательно должна быть
13
сохранена в схеме рис. 1.5, что необходимо, как будет показано ниже, для
последующего расчёта, связанного с определением токов I4 и I5.
6
I2
+
I1
а
4
в
Rвс = 2
I3
с
Uвс
U = 100 В
W
R´´´=
7 7
–
Рис. 1.5. Схема – результат 1 этапа преобразования
2 этап: расчёт эквивалентного сопротивления участка ас (рис. 1.6.)
1
1
1
    ,
Rас R
R
где R  = 6 Ом – сопротивление верхней ветви участка ас;
R  = 4 + 2 = 6 Ом – сопротивление нижней ветви участка ас;
1
1 1 1
   См,
Rас 6 6 3
Rас = 3 Ом.
В результате получим схему рис. 1.6.
+
I1
а
Rас = 3
с
Uас
U = 100 В
W
R´´´= 7
–
Рис. 1.6. Схема – результат 2 этапа преобразования
Заменой разветвлённого участка ас эквивалентным сопротивлением
Rас = 3 Ома получим схему последовательного соединения двух сопротивлений (3 и 7 Ом), в которой точки а и с перестали быть узловыми, но их
обозначения мы сохраняем в схеме рис. 1.6, что необходимо для последующего расчёта Uас и токов I2 и I3.
14
Поскольку все сопротивления схемы рис. 1.6 соединяются
последовательно, следовательно, по всем элементам её, в том числе и по
сопротивлению Rас, протекает ток I1.
3 этап: расчёт эквивалентного сопротивления всей схемы
Rэкв = 3 + 7 = 10 Ом,
что соответственно приводит исходную схему к простейшему виду
(рис. 1.7).
+
I1
а
Rэкв = 10
U = 100 В
–
Рис. 1.7. Схема – результат 3 этапа преобразования
Далее воспользуемся законом Ома для нахождения напряжений и
токов. Из схемы рис. 1.7 определим ток I1
U
100
I1 

 10 А.
Rэкв 10
Из схемы рис. 1.6 видно, что напряжение Uас равно
Uас = I1 · Rас = 10 ∙ 3 = 30 В,
а из схемы рис. 1.5 рассчитаем токи I2 и I3:
U
30
I 2  ac

 5 А;
6
R
U
30
I 3  ac

 5 А.
R  4  2
Из схемы рис. 1.5
Uвс = I3 · Rвс = 5 ∙ 2 = 10 В,
а из схемы рис. 1.4
U
10
1
I 4  вc   3 А;
R
3
3
U
10
2
I 5  вc   1 А.
R
6
3
Определяем показания ваттметра W:
P = I21 ∙ R´´´ = 102 ∙7 =700 Вт.
Расчёт токов завершим проверкой правильности их определения. С
этой целью запишем уравнения 1-го закона Кирхгофа для узлов а, в и с
(рис. 1.3), подставив в них численные значения токов
для узла «а»: I1 – I2 – I3 = 0,
10А – 5А – 5А = 0;
для узла «в»: I3 – I4 – I5 = 0,
1
2
5А – 3 А – 1 А = 0;
3
3
15
для узла «с»: I2 + I4 + I5 – I1 = 0,
1
2
5А + 3 А + 1 А – 10А = 0.
3
3
Равенство нулю алгебраической суммы токов в каждом узле свидетельствует о правильности выполненных расчётов.
1.3.2. Задание № 1
Дано:
 схема электрической цепи в соответствии с номером варианта;
 входное напряжение и численные значения сопротивлений, нанесенные на схему.
Определить расчётом:
 численные значения токов, текущих по ветвям схемы;
 показание ваттметра (W).
Вариант 1
+
I1
6
8
10
I2
6
I3
W
9
I4
U = 220 В
2
–
Вариант 2
I2
+
I1
2
I3
I4
U = 200 В
W
5
–
4
2
5
3
1
18
16
Вариант 3
1
I2
+
I1
2
3
W
6
I3
U = 180 В
4
–
Вариант 4
W
1
I2
+
I1
5
4
I3
5
I4
U = 120 В
4
3
4
–
Вариант 5
I2
+
10
W
5
I1
12
I3
U = 150 В
–
14
2
8
I5
4
I6
I7
6
I4
17
Вариант 6
I2
+
9
I1
12
6
9
I3
2
I4
1
3
U = 100 В
W
8
–
Вариант 7
I3
+
I1
3
I2
4
I4
W
U = 100 В
18
9
10
I5
2
–
Вариант 8
W
8
I2
+
U = 140 В
I1
I3
6
I4
2
3
–
I5
4
5
18
Вариант 9
6
I2
I3
2
+ I1
7
6
I4
U = 160 В
I5 2
5
W
3
–
Вариант 10
5
I3
+
I1
I2
2
4
1,5
U = 200 В
5
I4
W
8
I5
4
–
Вариант 11
I2
+
I1
1
2
3
W
I3
U = 180 В
4
–
6
19
Вариант 12
4
+ I1
7
I2
I4
I5
24
5
12
U = 140 В
W
4
I3
–
Вариант 13
I2
+
I1
7
4
8
I3
4
I4
6
2
I5
U = 180 В
I7
I6
W
4
–
Вариант 14
+
I1
I2 1,75
I3 4
U = 220 В
4,5
I5
I6
6
W
9
–
2
7
I4
3
3
20
Вариант 15
W
+ I1
3
2
I3
I2
I6
I5
3
I4
U = 140 В
8
12
24
6
I7
10
–
1.4. Расчет сложных электрических цепей на основе
уравнений I и II законов Кирхгофа
1.4.1. Пояснения к расчету и пример выполнения задания № 2
Задачей электрического расчёта является, как правило, нахождение
токов, напряжений и мощностей всей цепи или её отдельных участков по
заданным значениям ЭДС (или входного напряжения) и параметрам элементов цепи. Для цепей постоянного тока такими параметрами являются
значения входящих в цепь сопротивлений или проводимостей.
Классическим примером расчёта сложных электрических цепей с
многими источниками ЭДС является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчёта электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.
Количество независимых уравнений, которые должны быть составлены по I и II законам Кирхгофа определяется числом неизвестных токов
электрической цепи, которых ровно столько, сколько ветвей. Напомним,
по каждой ветви протекает свой собственный ток.
При составлении уравнений учитывают направления токов в ветвях,
а так как токи в начале расчёта неизвестны, то предварительно произвольно
выбирают эти направления.
Число независимых уравнений, которые можно составить по I закону
Кирхгофа, равно числу узлов схемы без одного, т.е. (m-1), где m – число
узлов. Составляя уравнения по I закону Кирхгофа, следует токи, приходящие к узлу и уходящие от него, брать с разными знаками.
Так как общее количество независимых уравнений равно n (где n –
количество ветвей), то число уравнений, записываемых по II закону
21
Кирхгофа, будет равно [m-(n-1)], что в точности равно числу независимых
контуров электрической цепи. Уравнения II закона Кирхгофа должны быть
записаны для независимых контуров. Независимым контуром называется
такой, в котором есть хотя бы одна (а может быть и больше) новая ветвь,
т.е. не вошедшая в ранее избранные контуры.
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи,
направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением
обхода контура, берут с положительным знаком, остальные – с отрицательным. Следует помнить, что все Ui = Ii ∙Ri расписываются в одной части
уравнения, а ЭДС – в другой.
Решая систему из n независимых уравнений (записанных по I и II законам Кирхгофа), получаем численные значения n неизвестных токов в
ветвях.
Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся
отрицательными, то это будет указывать на то, что действительное
направление этих токов противоположно выбранным направлениям их на
схеме.
Пользуясь II законом Кирхгофа, можно определить напряжение
между двумя произвольными точками схемы (см. ниже пример расчёта).
Пример
Исходные условия:
дана схема электрической цепи, в которой полагаются известными все
ЭДС, внутренние сопротивления источников и внешние сопротивления
цепи (рис.1.8)
Рис. 1.8. Схема сложной электрической цепи с тремя источниками ЭДС
Выполнение задания следует начать с того, что должны быть введены обозначения всех ЭДС (Е1, Е2, Е3), внутренних сопротивлений источников (R01, R02, R03) и внешних сопротивлений цепи (R1, R2… R7)
(см. рис.1.9).
22
Е1
R01
f
R3
I1
1
R1
R2
Е2
R02
I2
a
R7 I
3
R4
2
3
R6
h
в
I6
I4
I5
Е3
R03
4
R5
g
c
Рис. 1.9. Схема цепи с введёнными обозначениями ЭДС и сопротивлений
I1 – I2 + I5 – I6 = 0
2) для узла с:
I3 + I4 – I5 + I 6 = 0
3) для 1контура (а, f, в, а): I1 · R1 + I1 ·R01 + I1 ·R3 + I2 ·R02 + I2 ·R2 = –Е1 +Е2
4) для 2 контура (а, в, c, а): – I2 · R2 – I2 · R02 + I6 · R4 – I3 · R7 = – Е2
5) для 3 контура (а, с, h, а): I3 · R7 – I4 · R6 = 0
6) для 4 контура (в, g, c, в): – I6 · R4 – I5 · R5 – I5 · R03 = –Е3
[ n – (т – 1)]
1) для узла в:
(т – 1)
n уравнений
Методика написания уравнений I и II законов Кирхгофа включает
нижеследующие пункты.
1. Подсчёт числа узлов (m), т = 3. В схеме рис. 1.9 узлами являются точки
а, в, с;
2. Подсчёт числа ветвей (включённых между узлами схемы), то есть определение числа токов в ветвях, а значит и общего числа уравнений, записываемых по законам Кирхгофа (n), n = 6;
3. Выбор (произвольно) токов в ветвях с их обозначением на схеме рис.
1.8 (в виде стрелок);
4. Подсчёт числа независимых уравнений, которые записываются по I закону Кирхгофа, (т – 1) = (3 –1) =2 уравнения;
5. Подсчёт числа независимых уравнений, которые предстоит записать по
II закону Кирхгофа, n – (т – 1) = 6 – (3–1) = 4 уравнения;
6. Выбор четырёх независимых контуров схемы рис. 1.9 (контуры 1, 2, 3, 4);
7. Выбор (произвольно) направления обхода каждого из контуров. В
нашем случае все контуры будем обходить по часовой стрелке.
8. Запись двух уравнений I закона Кирхгофа для узлов «в» и «с». Условимся втекающие в узел токи считать положительными, а вытекающие
– отрицательными (см. ниже уравнения 1 и 2 ).
9. Запись четырёх уравнений II закона Кирхгофа для выбранных четырёх
независимых контуров (уравнения 3, 4, 5, 6).
23
Заметим, что точки f, g, h не являются узловыми и введены в схему
рис.1.9 лишь с целью более чёткого обозначения независимых контуров,
что облегчает процедуру написания уравнений II закона Кирхгофа.
В объём настоящего задания не входит нахождение токов в ветвях,
так как не заданы численные значения ЭДС и сопротивлений.
Напомним, что для определения величины токов в полученную систему уравнений следовало бы подставить численные значения ЭДС и сопротивлений и только в результате решения этой системы уравнений относительно искомых токов будут получены их численные значения.
Как уже было сказано выше, II закон Кирхгофа позволяет рассчитать
напряжение между двумя произвольными точками схемы. Пусть, например, надо найти напряжение Ufв между точками «f» и «в» схемы рис. 1.10,
которая является частью схемы рис. 1.9.
Е1
R01
f I1
R3
Ufв
R1
R2
a
I2
Е2
R02
в
Рис. 1.10. Схема для определения Ufв
Чтобы применить II закон Кирхгофа, необходимо предположить
наличие включенной между точками f и в ветви с сопротивлением Rfв =  .
Ток этой ветви равен 0, поэтому включение сопротивления Rfв не изменяет
режима работы цепи. Учитывая, что на этом сопротивлении (т.е. в точках f
и в) действует напряжение Ufв, напишем уравнение II закона Кирхгофа для
контура f, в, f (в схеме рис. 1.10 этот контур вверху справа), обходя его
против часовой стрелки:
U fв  I1  R3  I1  R01  E1 ,
откуда
U fв  E1  I1  ( R3  R01 ).
Напряжение Ufв можно также определить, написав аналогично уравнение II закона Кирхгофа для соседнего контура f, в, а, f (в схеме рис. 1.10
этот контур внизу слева), обходя его по часовой стрелке:
U fв  I 2  R02  I 2  R2  I 1  R1  E2 ,
откуда
U fв  E2  I 1  R1  I 2  ( R02  R2 ).
24
1.4.2. Задание № 2
Дано:
 схема электрической цепи в соответствии с номером варианта;
 считаются заданными (в буквенном обозначении) ЭДС, внутренние сопротивления источников и внешние сопротивления цепи.
Буквенные обозначения ЭДС и сопротивлений должен нанести на
схему студент, выполняющий задание.
Вариант 1
Вариант 2
25
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
26
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
27
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
28
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
29
Вариант 15
30
Глава 2. Цепи однофазного синусоидального тока
2.1. Определения и параметры
В современной технике наибольшее распространение получили переменные электрические токи, то есть токи, изменяющиеся во времени.
Формы переменных токов весьма разнообразны. Различают токи периодические и непериодические.
Периодическим называется ток, значения которого повторяются через равные промежутки времени.
Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой или косинусоидой, то такой ток называют синусоидальным током.
Если кривая тока отличается от синусоиды или косинусоиды, то такой ток
называют несинусоидальным.
В качестве примера на рис. 2.1 приведены непериодический ток
(рис. 2.1 а), периодический несинусодальный ток, изменяющийся по трапецевидной кривой (рис.2.1 б) и синусоидальный ток (рис.2.1 в).
i
i
i
а)
t
б)
t
t
в)
Рис.2.1. Различные формы кривых переменных токов
Синусоидальные токи по сравнению с другими токами имеют то
преимущество, что позволяют наиболее экономично осуществлять производство, передачу и распределение электрической энергии. Только при
помощи синусоидальных токов удается сохранить неизменными формы
кривых токов и напряжений во всех участках сложной линейной электрической цепи.
Синусоидальный ток впервые применил для питания своей «свечи»
русский электротехник П.Н.Яблочков. Им был создан первый генератор
синусоидального тока, а затем и трансформатор.
Синусоидальный ток получил всеобщее признание благодаря успешным работам инженера М.О. Доливо-Добровольского, изобретателя самого
распространенного ныне трехфазного электрического двигателя – асинхронного. Именно ему принадлежит руководящая роль в организации
электрической передачи энергии на основе трехфазного тока с помощью
изобретенных им трехфазных трансформаторов.
Синусоидально изменяющуюся величину (ток, напряжение, ЭДС
и т.п.) можно записать в виде уравнения с тригонометрической функцией
или изобразить на декартовой плоскости в виде кривой (т.е. в виде волновой диаграммы).
31
На рис. 2.2 изображена волновая диаграмма синусоидального тока,
закон изменения которого описывается уравнением i = IM sin ωt
ί
i
IM
t
Т
Рис. 2.2 Волновая диаграмма тока, изменяющегося по закону i = IМ sin ωt
Перечислим параметры, которыми характеризуется синусоидально изменяющаяся величина, используя рис.2.2:
 мгновенное значение, то есть ее значение в любой момент времени.
Обозначается строчной буквой латинского алфавита (i – для тока,
u – для напряжения, е – для ЭДС и т.д.);
 максимальное (амплитудное) значение. Для его обозначения служат
прописные буквы латинского алфавита с индексом «M» (IМ – для тока,
UМ – для напряжения, ЕМ – для ЭДС);
 период Т, т.е. минимальный интервал времени, за который синусоидально изменяющаяся величина совершает одно полное изменение по
величине и направлению. Период измеряется в секундах (с);
 частота f = 1/Т, численно равная числу периодов периодического
тока в одну секунду. Единицей измерения частоты служит герц (Гц);
 фаза – аргумент синуса в выражении для тока, т. е. угол синусоиды.
В нашем примере фаза равна ωt;
 круговая или угловая частота ω, характеризующая скорость изменения угла синусоиды. Угловая частота определяется на основе следующего
рассуждения: за время одного периода угол синусоиды меняется на 360о,
т.е. на 2π радиан. Отсюда
2

 2f [c-1]
Т
Из формулы видно, что угловая частота ω зависит от частоты
тока f;
 среднее значение. Обозначается прописной буквой латинского алфавита с индексом «ср» (ICР – для тока, UCР – для напряжения, ЕCР – для
ЭДС). Под средним значением синусоидального тока понимается его
средне-интегральное значение за половину периода, т.е. Т/2.
Подробности доказательства приведены в /1/.
 действующее значение. Обозначается прописной буквой латинского
алфавита (I – для тока, U – для напряжения, Е – для ЭДС).
32
Действующим значением переменного тока называется такое значение
постоянного тока, при котором за время, равное одному периоду, на одном и
том же сопротивлении выделится такое же количество тепла (энергии), что и
при переменном токе. Не трудно доказать, что действующее значение синусоидального тока меньше его амплитудного значения в 2 раз, т.е.
I
I  м  0,707  I м .
2
Аналогично определяются действующие значения напряжения и ЭДС:
U
E
U  м ;E м .
2
2
Другими словами, под действующим значением синусоидального
тока понимается средне-квадратичное его значение на отрезке времени,
равном периоду (T).
Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики
синусоидальной величины из-за того, что в большинстве электроизмерительных систем вращающий момент пропорционален действующему значению.
Кроме того, эти приборы пригодны для измерения постоянного тока,
то есть, будучи проградуированными для постоянного тока при включении
в цепь переменного тока они показывают его действующее значение.
В качестве примера напомним, что если действующее значение синусоидального напряжения равно 220 В, то его максимальное значение будет в 2 раз больше, т.е. Uм = U ∙ 2 = 220 ∙ 1,41 = 310,2 В.
2.2. Волновые и векторные диаграммы. Сдвиг фаз.
Синусоидальные величины можно графически изображать двумя
способами: в виде синусоид или в виде вращающихся векторов.
При изображении их синусоидами (т.е. в виде волновых диаграмм) в
определённом масштабе на оси ординат откладывают мгновенные значения величин (i, u, е), а на оси абсцисс (также в масштабе) откладывают
время или фазовые углы, соответствующие этому времени.
Проследим взаимосвязь двух форм изображения синусоидального
тока на рис. 2.3.
i
ĪМ (t2)
3
2
ĪМ (t4)
IМ
1
ĪМ (t3)
4
ĪМ (t1)
5
ĪМ (t=0)
t4
t1
t2
t5
t3
ĪМ (t5)
Рис. 2.3. Построение синусоидальной кривой, изменяющейся
по закону i = IМ sin ωt
t
33
С этой целью возьмем вектор ĪМ, длина которого в масштабе равна
IМ, и направим его в прямоугольной системе координат по горизонтали
вправо, что и будет его исходным положением в нулевой момент времени
(t = 0).
Вектор пусть вращается с постоянной угловой частотой ω против
часовой стрелки. Когда с момента начала отсчета пройдет время t1, тогда
вектор ĪМ повернется на угол α1 = ωt1. Из конца вектора ĪМ, опустим перпендикуляр на горизонтальную ось,
длина которого будет равна
IМ sin ωt1. Спустя четверть периода с момента начала отсчета времени, т.е.
в момент t2 = Т/4 вектор ĪМ расположится перпендикулярно горизонтальной оси, а длина перпендикуляра будет
IМ sin ωt2 = IM sin
2 Т
2
= IM.
 = IM sin
Т 4
4
Т
синусоидальная величина проходит через
2
нулевое значение IМ sin ωt3 = IM sin ωπ = 0 – кривая пересекает ось абсцисс
– вектор ĪМ примет горизонтальное значение.
Затем, вращаясь, вектор опустится ниже горизонтальной оси (моменты t4 и t5), а перпендикуляр IМ sin ωt будет уже отрицательной величиной,
и синусоидальная кривая окажется ниже оси абсцисс, т.е. в области отрицательных значений.
Таким образом, любая синусоидально изменяющаяся величина может быть изображена вектором, длина которого равна амплитудному значению, который вращается против часовой стрелки с угловой частотой
ω = const, а проекция этого вектора на вертикальную ось (т.е. перпендикуляр, опущенный на горизонтальную ось) дает мгновенное значение синусоидальной величины в любой момент времени.
Приведенным на рис. 2.4 и 2.5 графикам двух синусоидальных
токов соответствуют уравнения
i1 = IM1sin (ωt+Ψ1);
В момент времени t3 
i1
ω
i2 = IM2sin (ωt - Ψ2)
ĪМ1
ψ1
а 0
ψ1
Рис.2.4 . Изображение тока i1 в виде вектора и синусоидальной кривой
t
34

б
ψ2
t
0
ĪМ2
ψ2
Рис.2.5. Изображение тока i2 в виде вектора и синусоидальной кривой
Значение аргументов двух синусоидальных токов i1 и i2 называют,
как было сказано выше, фазами синусоид:
(ωt + ψ1) – фаза i1;
(ω t- ψ 2) – фаза i2.
Значение фаз в начальный момент времени, т.е. при t = 0, называют
начальной фазой:
ψ1 – начальная фаза i1;
(- ψ2) – начальная фаза i2.
Будем называть началом синусоиды ближайшую к началу координат
точку ее перехода через ноль от отрицательных значений к положительным. Это точки a и б на рис. 2.4 и 2.5.
Если угол начальной фазы положителен, то синусоида оказывается
сдвинутой влево относительно начала координат на этот угол ψ1 (точка а
на рис. 2.4 лежит левее). Если же угол начальной фазы отрицателен, то –
вправо (точка б на рис. 2.5 лежит правее на величину угла ψ2).
При векторном изображении, если угол начальной фазы положителен, то он отсчитывается от горизонтальной положительной полуоси против часовой стрелки (угол ψ1 на рис. 2.4 ), определяя тем самым положение
вектора ĪМ1 в начальный момент времени (t=0).
Если угол начальной фазы отрицателен (–ψ2), то он отсчитывается по
часовой стрелке, определяя начальное положение вектора ĪМ2 на рис. 2.5.
Если угол начальной фазы равен нулю, то синусоида берет свое
начало из начала координат, что подтверждает рис. 2.3: ток i начинается
из начала координат, т.к. его начальная фаза равна 0 (ωt = 0 при t = 0).
При совместном рассмотрении двух синусоидально изменяющихся
величин одной частоты разности их фазовых углов, равные разности
начальных фаз, называют углом сдвига фаз.
Например, даны две синусоиды (напряжения и тока):
u  U M sin(t   u ); i  I M sin(t   i ).
Угол сдвига фаз будет равен:
  (t   u )  (t   i ) = t + u - t -i = u - i
35
На рис. 2.6 эти напряжение и ток изображены в виде синусоидальных кривых, а на рис. 2.7 в виде вращающихся векторов.
u, i
i
u
б
а


i

t
u
Рис.2.6. Кривые напряжения и тока (u и i)


ŪМ
1
ĪМ1
u
i
Рис.2.7. Векторное изображение напряжения и тока (u и i)
Начало синусоиды напряжения (точка а) левее начала синусоиды
тока (точка б), то есть напряжение раньше проходит через нулевое значение, чем ток. В этом случае говорят, что напряжение опережает ток по фазе на угол  или другими словами ток отстает по фазе от напряжения на
угол , равный разности начальных фаз рассматриваемых синусоид.
Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины
(ЭДС, напряжения, токи) одной частоты, в соответствии со значениями их
амплитуд и фазовых углов называют векторными диаграммами.
2.3. Сложение и вычитание векторных величин
Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе и
расчете цепей переменного тока. Их применение делает расчет цепи более
наглядным и простым.
Это упрощение основывается на том, что сложение и вычитание
мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.
36
На рис . 2.8 показано сложение и вычитание двух токов:
i  I sin( t   ) и i  I sin(t   )
1 м1
1
2 м2
2
I M  I M1  I M2
ĪM1
Ī´M
-ĪM2
ĪM2
1

ĪM1
1
ĪM
2
2
ĪM2
ψ′
I M  I M1  I M2
ĪM2
а)
б)
Рис.2.8. Сложение и вычитание векторов двух токов
Напомним, что для сложения векторов требуется к концу одного
вектора – слагаемого пристроить второй вектор – слагаемое, при этом вектором суммы является вектор, соединяющий начало координат с концом
последнего вектора – слагаемого (ĪМ на рис.2.8 а).
Для получения вектора разности необходимо к концу вектора –
уменьшаемого пристроить вектор – вычитаемое, направленный в сторону,
противоположную положительному его направлению. Вектор, соединяющий начало координат с концом последнего вектора, есть вектор разности
(Ī М на рис. 2.8 б).
В итоге сложения (вычитания) мы получаем результирующий вектор суммы (разности), длина которого есть максимальное значение результирующего тока, а угол между ним и положительной полуосью – его
начальная фаза.
Знание этих параметров позволяет записать законы изменения полученных синусоидальных величин. В нашем случае ток, полученный в результате сложения i1 и i2, имеет закон
i = IM sin (ωt+ψ),
а полученный в результате вычитания
i = I′M sin (ωt+ψ )
Напомним, что если бы угол начальной фазы результирующего вектора был бы отрицательным, (т.е. отсчитывался от положительной полуоси
абсцисс по часовой стрелке), то начальная фаза вошла бы в закон изменения результирующего вектора со знаком минус.
37
2.4. Задания к самостоятельным работам № 3, № 4, № 5
Задание № 3
Заданы аналитические выражения для напряжения и тока:
u  U M sin( t   u );
i  I M sin( t   i ).
В табл. 1 даны численные значения Uм, Iм, ω, ψu и ψi для каждого
из 15-ти вариантов.
Необходимо выполнить следующее:
 написать выражение для фазы напряжения и тока;
 рассчитать действующие и средние значения напряжения и тока, их
частоту (f), период (Т), угол сдвига фаз () между ними;
 построить волновые и векторные диаграммы, изобразив напряжение
на волновой и векторной диаграмме в едином масштабе напряжений,
а ток на обеих диаграммах в едином масштабе токов.
Изобразить на общей диаграмме ток и напряжение, обозначив на ней
угол сдвига фаз () между ними.
Таблица 1
Параметр
Uм, [В]
Iм, [A]
ω, [c-1]
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
100 200 150 110 220 300 250 310 160 140 180 210 400 450 380
15
10
12
20
25
40
30
35
18
24
32
38 50
42
45
314 628 942 314 628 942 314 628 942 314 628 942 628 314 942
ψu, [град] 120
-60 -120 60
30 150 -150 -90 -60
ψi , [град]
90
90 -120 90
30
-30 -90
45
150 -30 -90
-60
90 60
30
-60
45 -60 -45 120 150
Задание № 4
Заданы аналитические выражения трёх токов:
i1  18 sin( t   i1 );
i2  10 sin( t   i 2 );
i3  24 sin( t   i 3 ).
Углы начальных фаз токов представлены в табл. 2.
Таблица 2
Угол
начальной фазы
[град]
№ варианта
1
2
3
4
5
6
ψi1
120
60
90
30
0
150
ψi2
-30
-90
-60 -120 -150 60
ψi3
-60
-120 -90 -30 -60
7
8
60 120
0
30
9
10
11
12
13
14
15
30
90
-60
90 -30
0
30
-60
30 -150 -30 -120 -90
30 -150 -60 -120 -150 60
-60
-120 90 -120 -90
38
На векторной диаграмме, построенной в масштабе, изобразить векторы токов и обозначить углы их начальных фаз.
Определить расчётным путём углы сдвига фаз: 12, 23, 13 и обозначить их на векторной диаграмме.
Отдельным построением получить на векторных диаграммах результирующие векторы от сложения и вычитания заданных векторов:
( I М1  I M 2  I M 3 );
( I М1  I M 2  I M 3 );
( I М2  I M 3  I M1 );
( I М1  I M 2 );
( I М1  I M 3 );
Примечание: все построения выполнить в масштабе.
Задание № 5
у
α
Ī1
х
β
Ī2
На рис. 2.9 изображены
два вектора тока. Их положение
в системе координат определяется углами α и β, значения которых представлены в табл. 3
для каждого из 15-ти вариантов.
В табл. 3 также заданы действующие значения токов и их
частота.
Рис. 2.9
Необходимо выполнить следующее:
 рассчитать максимальные значения заданных токов, их начальные фазы, угловую частоту, сдвиг фаз;
 написать аналитические выражения для заданных токов;
 определить геометрическим построением, выполненным в масштабе, амплитуду и начальную фазу тока, равного сумме заданных токов;
 написать аналитическое выражение суммарного тока;
 определить интервал времени, соответствующий найденному
сдвигу фаз;
 повернуть систему координат таким образом, чтобы полуось ох
совпала по направлению с вектором первого тока в новой системе координат. Написать аналитические выражения для токов i1 и
i2 в новой системе координат и определить угол сдвига фаз ( )
между ними.
39
Исходные данные к заданию 5 представлены в табл.3.
Таблица 3
№ варианта
Параметр
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
α
30
45
0
135
45
60
90
45
180
90
90
0 135 90 180
β
60
90
45 180
45
30
30
0
135
0
90
60 90
45
90
I1
20
10
60
2
8
15
30
20
12
4
40
30 15
15
15
I2
15
30
40
4
12
20
15
15
8
2
60
10 20
30
30
f
10
20
30
40
50
40
30
20 100 150 150 200 400 100 100
2.5. Примеры выполнения заданий № 3, № 4, № 5
Пример к заданию № 3
Даны аналитические выражения для напряжения и тока:
u  300 sin( 628t  30  );
i  10 sin( 628t  60  ).
Из этих выражений выписываем параметры
величин:
Uм = 300 В, Iм = 10 А;
ω = 628 с-1;
ψu = 30º; ψi = – 60º.
Напишем выражения для
 фазы напряжения
(628t  30  );
 фазы тока
(628t  60  ).
Рассчитаем действующие значения:
 напряжения
U
300
U M 
 213 B;
2 1,41
 тока
I
10
I M 
 7,07 A.
2 1,41
Рассчитаем средние значения:
 напряжения
2
2
U СР   U M 
 300  191 В;

3,14
синусоидальных
40
 тока
2
I СР 
 IM 

2
 10  6,36 A;
3,14
Определим:
 частоту напряжения и тока из выражения для ω = 2πf, откуда

628
f 

 100 Гц;
2 2  3,14
 период напряжения и тока
1
1
Т 
 0,0 1 c;
f 100
 угол сдвига фаз между напряжением и током
 = ψu – ψi = 30º – (–60º) = 90º.
Изобразим напряжение и ток на векторной и волновой диаграммах,
выбрав предварительно масштаб: для напряжения в 1 см 100 В; для тока в
1 см 5 А.
u, В
300
ŪМ
200
u
100
30º = ψu
а
–30º
0
30º
ωt
30º –100
60º 90º
240º
330º
240º
330º
120º 150º 180º
–200
–300
i, А
10
i
5
 = 90º
а
ψi = –60º –30º
ĪМ
0
30º
–5 60º
б
90º
–10
Рис. 2.10
150º
ωt
41
Заметим, что масштаб при изображении угла синусоиды (по оси абсцисс) для кривых u и i должен быть один и тот же. В нашем случае принимаем, что в 1 см 30º, т.е.
30º
1 см
(см. волновые диаграммы рис. 2.10).
Угол сдвига фаз () между векторами ŪМ и ĪМ находим на общей для
ŪМ и ĪМ векторной диаграмме в результате её построения ( = 90º).
ŪМ
ψu = 30º

ψi = – 60º
ĪМ
На волновой диаграмме угол  есть расстояние на оси абсцисс между точками а и б, где:
а – точка начала синусоиды u;
б – точка начала синусоиды i.
Пример к заданию № 4
Даны аналитические выражения для трёх токов:
i1  20 sin(t  60  );
i2  10 sin(t  90  );
i3  30 sin(t  135  ).
Из приведённых выражений следует, что амплитудные значения
токов равны:
Iм1 = 20 А; Iм2 = 10 А; Iм3 = 30 А,
а углы начальных фаз составляют:
ψi1 = 60º; ψi2 = – 90º; ψi3 = 135º.
Выбираем масштаб для токов и изобразим векторы заданных токов
на векторной диаграмме, в 1 см 10 А,
10А
1 см
ĪМ3
ĪМ1
ψi3 = 135º
ψi1 = 60º
ψi2 = –90º
ĪМ2
42
Рассчитаем углы сдвига фаз:
 между первым и вторым током
12 = ψi1 – ψi2 = 60º– (– 90º) = 150º;
 между первым и третьим током
13 = ψi1 – ψi3 = 60º– 135º = –75º,
заметим, что знак «–» свидетельствует о том, что первый ток отстаёт по
фазе от третьего тока на 75º.
 между третьим и вторым током
32 = ψi3 – ψi2 = 135º– (– 90º) = 225º.
ĪМ3
ĪМ1
13
32
12
ĪМ2
На векторных диаграммах найдём суммы и разности векторов токов:
 для (ĪМ1 + ĪМ2 + ĪМ3)
(ĪМ1 + ĪМ2 + ĪМ3)
ĪМ3
ĪМ3
ĪМ2
ĪМ1
ĪМ2
 для (ĪМ1 + ĪМ2)
ĪМ1
ĪМ2
(ĪМ1 + ĪМ2)
ĪМ2
 для (ĪМ1 – ĪМ2 – ĪМ3)
– ĪМ2
ĪМ1
– ĪМ3
(ĪМ1 – ĪМ2 – ĪМ3)
43
 для (ĪМ2 + ĪМ3 – ĪМ1)
ĪМ3
– ĪМ1
ĪМ2
(ĪМ2 + ĪМ3 – ĪМ1)

Пример к заданию № 5
Заданы два вектора тока с параметрами
α = 30º; β = 120º; I1 = 12 А; I2 = 18 А; f = 50 Гц.
Рассчитаем:
 максимальные значения токов
I M1  2  I 1  2  12  16,94 A;
I M2  2  I 2  2  18  25,4 A.
 период
T
1 1

 0,02 c.
f 50
 угловую частоту токов
  2    f  2  3,14  50  314 c -1 .
Выбираем масштаб для изображения векторов токов. Изобразим
векторы Ī1 и Ī2 на векторной диаграмме. В 1 см 6 А
6А

у
1 см
α=30º
Ī1
ψi1
0
Ī2
ψi2
β=120º
х
Из рассмотрения векторной диаграммы следует, что
ψi1 = 60º; ψi2 = 30º;
13 = ψi1 – ψi2 = 60º– 30º = 30º.
Аналитические выражения для токов будут иметь вид:
i1  I M1 sin(t   i1 )  16,94 sin( 314t  60  );
i2  I M2 sin(t   i 2 )  25,4 sin( 314t  30  ).
Геометрическим сложением токов Ī1 и Ī2 получим суммарный век-
тор Ī.
44
Ī2
у
Ī
Ī1
ψ
Ī2
х
0
В результате построения имеем:
I = 6 · 4,7 см =28,2 А;
ψ = 41º;
I M  2  I  2  28,2  39,5 A.
Аналитическое выражение для суммарного тока примет вид
i  I M sin(t   )  39,5 sin(314t  41 ).
Интервал времени, соответствующий сдвигу фаз (), определим из
соотношения
Т
360º;
х
41º,
откуда
T
0,02  41
x
 
 0,00228 c.

360
360
Повернув оси координат таким образом, что ось ох совпадёт с Ī1, получим новые значения начальных фаз для токов
ψ'i1 = 0º; ψ'i2 = – 30º.
х
у
Ī1
ψi2
Ī2
0
Соответственно с этим аналитические выражения для токов в новой
системе координат примут вид:
i1  I M1 sin(t   i1 )  16,94 sin 314t;
i2  I M2 sin(t   i2 )  25,4 sin( 314  t  30  ).
При этом угол сдвига фаз  остался неизменным
 = ψ'i1 – ψ'i2 = 0º– (– 30º) = 30º.
45
2.6. Фазовые соотношения в резистивном, индуктивном
и емкостном элементах цепей синусоидального тока
Элементами электрической цепи синусоидального тока являются:
 резистивный
элемент
(резистор),
обладающий
активным
сопротивлением R;
 индуктивный элемент (индуктивная катушка без потерь) с
индуктивностью L;
 емкостный элемент (конденсатор без потерь) с емкостью С.
Индуктивный элемент характеризуется величиной реактивного
индуктивного сопротивления XL =L = 2 f L.
Емкостный элемент характеризуется величиной реактивного
1
1
емкостного сопротивления X c 
.

С 2fС
Сопротивления R, XL, XC имеют одинаковую размерность – Ом.
Проходящий по ним синусоидальный ток I создает на каждом из них
падения напряжения, которые подсчитываются по закону Ома:
 для максимальных значений напряжений
UМа = IМ R;
UМL = IМ XL;
UМС = IМ XC;
 для действующих значений напряжений
Uа = I R;
UL = I XL;
UC = I XС,
где IM и I - соответственно максимальное и действующее значение тока.
Из теории переменного тока известно, что:
 напряжение на активном сопротивлении Uа имеет одинаковую фазу
с током I, проходящим через резистор R. В этом случае говорят, что
напряжение и ток активного сопротивления совпадают по фазе
(рис. 2.11а);
 напряжение на индуктивности UL опережает ток I по фазе на 90° или,
что то же самое, ток I отстает по фазе от напряжения UL на 90° (рис.
2.11б);
 напряжение на емкости UС отстает от тока I по фазе на 90° или, что
то же самое, ток I опережает по фазе напряжение UС на 90°
(рис.2.11в).
Заметим, что на рис. 2.11 изображены действующие значения токов
и напряжений, которые меньше максимальных значений в 2 .
46
XL
R
XС
I
I
I
Ūа
φ=0
Lφ
ω
ω
ŪL
ω
UC
UL
Uа
Ī
φ = - 90°
= 90°
ŪC
Ī
Ī
а)
б)
в)
Рис. 2.11. Токи и напряжения на активном, индуктивном
и емкостном сопротивлениях
Указанные фазовые соотношения позволяют строить векторные диаграммы, что необходимо при расчете и анализе цепей синусоидального
тока.
2.7. Электрическая цепь синусоидального тока с R, XL и XC
Для электрической цепи рис. 2.12 с последовательным соединением
R, XL и XC напишем уравнение для действующих значений напряжений,
используя II закон Кирхгофа:
I
U
R
XL
Uа
UL
UC
XC
R
Рис. 2.12. Цепь с последовательным соединением R, XL и XC
 Ū + Ūа + ŪL + ŪC = 0, откуда
Ū = Ūа + ŪL + ŪC,
где Ū  вектор действующего напряжения на входе цепи;
Ūа, ŪL и ŪC  векторы действующих напряжений на сопротивлениях
R, XL и XC.
Построение векторной диаграммы в этом случае начинается с построения вектора тока Ī. Направление его выбирается произвольно. Векторы напряжений Ūа, ŪL, ŪC выстраиваем в соответствии с теорией переменного тока, помня, что все векторы на векторной диаграмме вращаются
против часовой стрелки с частотой ω:
 вектор Ūа совпадает по направлению с вектором тока Ī;
 вектор ŪL на 90° опережает вектор Ī;
47
 вектор ŪC отстает на 90° от вектора ĪC.
Согласно полученному для Ū выражению вектор Ū находим как геометрическую сумму векторов Ūа, ŪL, ŪC, то есть это вектор, соединяющий
начало координат с концом последнего вектора ŪC (рис. 2.13).
ŪC
ŪL
ŪL
Ū
φ
ŪC
UР=IX
Ūа
Ī
Рис. 2.13. Векторная диаграмма для схемы рис. 2.12.
Из рассмотрения, полученного на векторной диаграмме прямоугольного треугольника напряжений по теореме Пифагора
U  U 2  U 2  U 2  (U  U ) 2 .
a
р
a
L
C
Имея ввиду то, что Uа = I R, UL = I XL, UC = I XС
U  I 2 R 2  ( IX  IX )2  I  R 2  ( X  X )2  I  Z ,
L
C
L
C
где Z  полное сопротивление цепи;
X = XL  XC  реактивное сопротивление цепи.
Полное сопротивление цепи всегда положительно (Z > 0), реактивное
сопротивление Х может быть как положительным, так и отрицательным:
 если Х > 0, то электрическая цепь носит индуктивный характер, так
как XL > XC;
 если Х < 0, то электрическая цепь носит емкостный характер, так как
XC > XL.
Из треугольника напряжений (рис. 2.13) может быть получен треугольник сопротивлений (рис. 2.14) делением всех сторон треугольника
напряжений на величину тока I.
Умножив все стороны треугольника напряжений (рис. 2.13) на величину тока I или все стороны треугольника сопротивлений (рис. 2.14) на I2,
получим подобный треугольник мощностей (рис. 2.15).
Мощность в активном сопротивлении (обозначается буквой Р) называется активной мощностью
P = I2R = UаI.
48
XC
XL
Z
X=XL -XC
φ
R
Рис. 2.14. Треугольник сопротивлений
QC
QC´
S
QL
Q = QL – QC
S´
φ' φ
Q´ = QL – QC´
P
Рис. 2.15. Треугольник мощностей
Единица измерения активной мощности Ватт (Вт). Активная мощность поступает от источника электрической энергии в активный элемент
и преобразуется в нем в другие виды мощности (энергии), а именно: в тепловую, световую, механическую и т.д., и назад источнику не возвращается, рассеиваясь за пределами электрической цепи.
Активная мощность – это средняя мощность за период.
В индуктивном элементе (катушке с сопротивлением ХL) поступившая от источника электрическая мощность (энергия) запасается в магнитном поле катушки (в одну четверть периода изменения тока Т/4), а в следующую четверть периода вся запасенная катушкой энергия отдается
назад источнику. Далее все повторяется, т.е. имеют место колебания энергии между источником электроэнергии и магнитным полем катушки. Амплитуда этих колебаний выражается величиной реактивной индуктивной
мощности. В нашем случае
QL = I2 XL= UL I.
В емкостном элементе происходит аналогичный процесс обмена
мощностями: мощность, переданная источником, сначала запасается в
электрическом поле конденсатора за время Т/4, а в следующий такой же
интервал времени отдается обратно источнику. Амплитуда колебания
мощности характеризуется значением реактивной емкостной мощности
QC = I 2 XC = UC I.
49
Активная мощность всегда положительная.
Реактивные мощности QL и QС имеют разные знаки:
 реактивная индуктивная мощность QL – положительная;
 реактивная емкостная мощность QС – отрицательная.
Их алгебраическая сумма (т.е. с учетом знаков) называется суммарной реактивной мощностью Q = QL – QC = I 2 (XL – XC) = I 2 X.
Q, QL и QС имеют одинаковую размерность – вольтампер реактивный
(вар).
На рис. 2.15 катеты треугольника  это активная мощность Р (прилежащий катет) и реактивная мощность Q = I 2 X = QL – QC = UР I (противолежащий катет), а гипотенуза, обозначенная буквой S, его полная мощность
S =I2 Z = UI.
Единицей измерения полной мощности S является вольтампер (В∙А).
Из прямоугольного треугольника мощностей согласно теореме Пифагора имеем:
S  P 2  Q 2  P 2  (Q  Q )2.
L
C
Полная мощность определяет величину тока:
S
I .
U
Ранее было отмечено, что все полезные виды энергии, полученные в
результате преобразования электроэнергии в резистивном элементе (т.е.
активном сопротивлении R), заключены в величине Р. Из рис. 2.15 видно,
что одно и тоже значение Р может быть получено при различных значениях угла , т.е. при различных значениях S (см. пунктирные значения Q и S
на рис. 2.15).
P
Отношение
 cos называют коэффициентом мощности, а
S
Q
– коэффициентом реактивной мощности.
tg 
P
На практике стремятся за счет изменения (регулирования) реактивной мощности Q увеличить значение cosφ до уровня 0,92 ÷ 0,95, при этом
коэффициент реактивной мощности близок к значению tgφ = 0,33.
Уменьшение величины реактивной мощности Q введением дополнительных реактивных элементов соответствующего знака (емкостных или
индуктивных) называется компенсацией реактивной мощности.
Если в электрической системе имеет место избыток индуктивной
мощности, то компенсация предполагает искусственное включение дополнительных емкостных элементов. При этом уменьшается суммарная реак , уменьшается полная мощность
тивная мощность Q  QL  QC
50
S
, что приU
водит к уменьшению потерь мощности (которые пропорциональны квадрату тока) от величины P  I 2 R до величины P  I  2 R , т.е. P  P ,
так как I   I .
Если же преобладает в системе емкостная мощность (что бывает
значительно реже), то для компенсации вводятся дополнительные индуктивные элементы.
Компенсация реактивной мощности позволяет получить все те же
полезности при меньшем значении токов и создаваемых ими потерь во
всех элементах системы электроснабжения. Именно поэтому она является
важнейшим мероприятием, обеспечивающим экономию электроэнергии, а
значит сбережение энергетических ресурсов, которые используются на
электростанциях для производства электроэнергии.
S   P 2  Q2 , благодаря чему становится меньше ток I  
2.8. Пояснения к расчету и пример выполнения задания №6
В цепях переменного тока индуктивные элементы характеризуются
величиной индуктивности (L), а конденсаторы  величиной емкости (С).
Напомним, что реактивные сопротивления связаны с L и С следующими
соотношениями:
 реактивное индуктивное сопротивление XL = L = 2 f L,
где  = 2 f  угловая частота (с-1);
f  частота тока (Гц);
L  индуктивность в Генри (Гн).
1
1
 реактивное емкостное сопротивление X c 
,

С 2fС
где С  емкость в Фарадах (Ф).
Пример:
В цепь синусоидального тока частотой f = 50 Гц включены индуктивный элемент (катушка) с L = 0,12 Гн и конденсатор емкостью С = 130
мкФ = 13010-6 Ф.
Рассчитать реактивное сопротивление индуктивности (XL) и реактивное сопротивление емкости (XC).
Решение:
XL = 2 f L = 23,14500,12 = 37,68 Ом.
1
1
1
X 


 24,5 Ом.
c С 2fС 2  3,14  50  130  10  6
Следует иметь ввиду, что на неразветвленном участке электрической
цепи может быть соединены последовательно несколько активных, индук-
51
тивных и емкостных сопротивлений. Полное сопротивление участка находим по известной формуле
Z  R2  ( X L  X C )2 ,
n
где R  R1  R2  ...  Rn   Ri ;
n1
n
X L  X L1  X L2  ...  X Ln   X Li ;
n1
n
X C  X C1  X C 2  ...  X Cn   X Ci .
n1
Например, если последовательно соединяются сопротивления R1, R2,
XL1, XL2, XL3, XC1, XC2, то
Z  ( R1  R2 ) 2  ( X L1  X L 2  X L3  X С1  X С 2 ) 2 .
Пример выполнения задания №6. Для схемы рис. 2.16 даны входное
действующее значение напряжения U = 127 В и последовательно соединенные сопротивления R1 =20 Ом, R2 =30 Ом, XL = 37,68 Ом, XC = 24,5 Ом.
Рассчитать:
 ток в цепи I;
 падения напряжения на всех сопротивлениях (Uа1, Uа2, UL , UC);
 мощности Р, QL, QC, Q и S;
 угол сдвига фаз между Ū и Ī.
Построить векторную диаграмму.
I
U
R1
XL
Uа 1
UL
R2
UC
XC
R
Uа 2
Рис. 2.16. Схема для цепи с последовательным
соединением сопротивлений
Решение:
Полное сопротивление цепи
Z  ( R1  R2 ) 2  ( X L  X С ) 2  (20  30) 2  (37,68  24,5) 2  51,63 Ом.
Действующее значение тока
U 127
I 
 2,46 A.
Z 51,63
52
Действующие значения напряжений
U a1  I  R1  2,46  20  49,2 В,
U а 2  I  R2  2,46  30  73,8 В,
U a  I  ( R1  R2 )  2,46  30  123 В,
U L  I  X L  2,46  37,68  92,7 В,
U C  I  X C  2,46  24,5  60,3 В,
Мощности в цепи:
активная P  I 2  ( R1  R2 )  2,46 2  (20  30)  302,6 Вт;
индуктивная QL  I 2  X L  2,462  37,68  228 вар;
емкостная QC  I 2  X C  2,462  24,5  148 вар;
суммарная реактивная Q  QL  QC  228  148  80 вар;
полная S  U  I или S  I 2 Z или S  P 2  Q 2 .
Все три формулы дают значение S = 312,4 ВА.
Построение векторной диаграммы предшествует выбор масштаба
для тока и напряжений. В данном случае принимаем:
 для тока  в 1 см 0,5 А;
 для напряжений  в 1 см 30 В.
Длины векторов тока и напряжений в мм будут следующими:
Параметр
Длина вектора, мм
I
Uа1
Uа2
Uа
UL
UC
49,2
16,4
24,6
41,0
30,9
20,0
Построение векторной диаграммы начинается с построения вектора
тока Ī, направление которого выбирают произвольно, например, по горизонтали вправо (рис. 2.17). Ūа1 и Ūа2 совпадают по направлению с током.
Вектор ŪL на 90 опережает вектор Ī, а ŪC отстает по фазе на 90 от Ī.
ŪL
ŪC
Ū
ŪC
Ūа1
φ
Ūа
Ūа2
ŪL
UР=IX
Ī
Рис. 2.17. Векторная диаграмма к схеме 2.16
53
Вектор входного напряжения Ū получен на диаграмме как результат
геометрического сложения векторов Ū = Ūа1 + Ūа2 + ŪL + ŪC (согласно II
закону Кирхгофа).
Из диаграммы виден способ расчета и угла сдвига по фазе  между
током Ī и напряжением Ū:
U UC
92,7  60,3
  arctg L
 arctg
 arctg (0,264)  14,8 .
U a1  U a 2
49,2  73,8
2.9. Задание № 6




Дано:
схема электрической цепи на рис. 2.18;
численные значения сопротивлений в табл. 4;
входное действующее напряжение U = 220 В;
Рассчитать:
ток в цепи I;
 падения напряжения на всех сопротивлениях (Uа1, Uа2, UL1 , UL2,UC1,
UC2);
 мощности (Р, QL, QC, Q и S);
 рассчитать угол сдвига фаз между Ū и Ī.
Построить векторную диаграмму для тока и всех напряжений (включая Ū).
I
U =220 В
R1
XL1
XC1
Uа 1
UL1
UC1
XC2
R2
UС2
Uа 2
UL2
XL2
Рис. 2.18. Схема цепи к заданию № 6
Таблица 4
Сопротивление
№ варианта
1
2
3
4
5
6
R1
R2
XL1
XL2
XC1
XC2
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
4
0
3
0
6
0
0
3
4
5
0
6
4
3
3
0
3
8
10
12
0
4
4
4
8
0
12
12
10
0
0
4
0
3
0
5
54
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
5
6
4
0
0
4
0
6
0
0
4
0
5
8
0
10
0
6
0
0
3
6
5
12
10
12
Продолжение табл. 4
4
8
3
2
0
8
7
3
6
6
6
0
0
2
12
0
3
2
0
10
3
0
0
7
3
8
0
2.10. Эквивалентные зависимости, связывающие сопротивления
и проводимости в цепи переменного тока
При решении задач расчета электрических цепей переменного тока
зачастую приходится преобразовывать сопротивления последовательной
цепи в проводимости и наоборот.
Напомним формулы, позволяющие осуществить такие преобразования. На рис. 2.19а представлена схема последовательного соединения R, XL
и XC, которая преобразуется в схему параллельного соединения трех ветвей (рис. 2.19б):
 первая ветвь с активной проводимостью g;
 вторая ветвь с индуктивной проводимостью вL;
 третья ветвь с емкостной проводимостью вC.
I
I
а
а
R
IL
IС
Iа
U
XL
U
вL
g
б)
a)
XС
в
в
Рис. 2.19. Эквивалентные схемы:
а  последовательного соединения; б  параллельного соединения.
Условием эквивалентности этих схем является одинаковость токов I
(за пределами участка ав) при приложении к входным зажимам схем одного и того же напряжения U.
Формулы для преобразования последовательной схемы (рис. 2.19а) в
параллельную (рис. 2.19б):
вС
55
R
R
 2
;
2
Z
R  ( X L  X C )2
X
XL
вL  2L  2
;
Z
R  ( X L  X C )2
X
XC
вC  C2  2
,
Z
R  ( X L  X C )2
g
где Z  R 2  ( X L  X C ) 2 – полное сопротивление последовательной цепи.
С помощью проводимостей можно рассчитать токи в параллельных
ветвях эквивалентной схемы:
I a  U  g ; I L  U  в L ; I C  U  вC .
Для преобразования параллельной схемы рис. 2.19б в последовательную рис. 2.19а служат формулы:
g
g
R 2  2
;
y
g  ( в L  вC ) 2
в
вL
X L  L2  2
;
y
g  (вL  вC ) 2
в
вC
X C  C2  2
,
y
g  ( в L  вC ) 2
где y  g 2  (вL  вC ) 2 – полная проводимость параллельной цепи (участка
ав рис. 2.19б).
Заметим, что в формулах для <Z> знак «+» имеют индуктивные сопротивления, а в формуле для <y> положительной проводимостью является емкостная проводимость вС, а индуктивная вL имеет знак «–».
2.11. Пример выполнения задания №7
Определить действующие значения токов I, I1 и I2, активную (P), реактивную (Q) и полную (S) мощности всей цепи, изображенной на рис.
2.20. Построить векторную диаграмму.
I
R1
U
I1
R2
I2
L (XL1)
Рис. 2.20. Схема разветвленной цепи
C (XC2)
56
Дано:
1) мгновенное значение входного напряжения u  226 sin 314t;
2) активные сопротивления R1 = 9 Ом, R2 = 16 Ом;
3) индуктивность катушки L = 0,003 Гн;
4) емкость конденсатора C = 260 мкФ = 260·10–6 Ф.
При заданном максимальном значении входного напряжения его
действующее значение будет равно
U
226
U М 
 159,8 В.
2 1,41
Расчет приведенной на рис. 2.20 схемы цепи возможен двумя способами, изложенными ниже:
1) расчет цепи методом проводимостей;
2) расчет цепи с помощью векторной диаграммы.
1-й способ. Расчет цепи методом проводимостей.
Основное содержание этого способа состоит в аналитическом (с помощью приведенных выше формул) определении активной и реактивной
составляющих проводимостей параллельных ветвей, которые используются для расчета токов и их составляющих (активной и реактивной) в указанных ветвях.
Решение:
Проводимости 1-й ветви (с сопротивлениями R1 и XL1):
 индуктивное сопротивление 1-й ветви
X L1    L  314  0,003  10,68 Ом,
где   314 задана в законе изменения входного напряжения (u);
 полное сопротивление 1-й ветви
Z1  R12  X L21  92  10,682  13,97 Ом.
 активная проводимость 1-й ветви
R
9
g1  12 
 0,0461 См.
Z1 13,97 2
 индуктивная проводимость 1-й ветви
X
10,68
вL1  2L 
 0,0548 См.
Z
13,97 2
 емкостная проводимость 1-й ветви
вС1  0 , т.к. емкость в 1-й ветви отсутствует.
Проводимости 2-й ветви (с сопротивлениями R2 и XС2):
 емкостное сопротивление 2-й ветви
1
1
X С2 

 12,25 Ом,
  С 314  260 10 6
 полное сопротивление 2-й ветви
Z 2  R22  X С22  16 2  12,252  20,15 Ом.
57
 активная проводимость 2-й ветви
R
16
g 2  22 
 0,0394 См.
Z 2 20,15 2
 индуктивная проводимость 2-й ветви
вL2  0 , т.к. индуктивность во 2-й ветви отсутствует.
 емкостная проводимость 2-й ветви
X
12,25
вС2  С22 
 0,0302 См.
Z2
20,152
Расчет активных и реактивных проводимостей ветвей схемы рис.
2.20 приводит её к схеме рис. 2.21.
I
I1
Iа1
U
g1
I2
Iа2
IL1
IС2
вL g 2
вC2
1
Рис.2.21. Эквивалентная схема с проводимостями
Рассчитаем полные проводимости параллельных ветвей и всей цепи:
 полная проводимость 1-й ветви
y1  g12  (вL1 ) 2  0,04612  (0,0548) 2  0,0716 См.
 полная проводимость 2-й ветви
2
y2  g 22  вС1  0,0394 2  0,0302 2  0,0496 См.
 полная проводимость всей цепи
y  ( g1  g 2 ) 2  (вC2  вL1 ) 2 
(0,0461  0.394 ) 2  (0.0302  0,0548 ) 2  0,089 См.
Действующие значения токов в параллельных ветвях схем рис.2.20
или рис. 2.21:
U
I1 
 U  y1  159,8  0,0716  11,44 А.
Z1
I a1  U  g1  159,8  0,0461  7,37 А.
I L1  U  вL1  159,8  0,0548  8,75 А.
U
I2 
 U  y2  159,8  0,0496  7,93 А.
Z2
I a 2  U  g 2  159,8  0,0394  6,29 А.
I C 2  U  вC2  159,8  0,0302  4,82 А.
58
Действующее значение тока в неразветвленной части цепи и его
активной и реактивной составляющих (рис.2.22):
 активная составляющая
I a  I a1  I a 2  7,37  6,29  13,66 А;
 реактивная составляющая
I Р  I L1  I С 2  8,75  4,82  3,93 А;
 ток в неразветвленной части цепи
I  U  y  I a2  I P2  159  0,089  14,21 А.
Расчет мощности электрической цепи:
 активная P  I 2 R1  I 2 R2  11,44 2  9  7,932  16  2184 Вт;
 реактивная Q  I 2 X L1  I 2 X С2  11,442 10,68  7,932 12,25  628 вар;
 полная S  UI  P 2  Q 2  2184 2  628 2  2270 В·А.
Для схемы параллельного соединения построение векторной диаграммы обычно начинают с построения вектора напряжения Ū, поскольку
он является общим для параллельных ветвей (рис. 2.22).
Векторы токов I a1 и I a 2 в соответствии с теорией переменного тока
совпадают по фазе с напряжением Ū. Вектор I L1 отстаёт от Ū по фазе на
90º, а вектор I С2 на 90º опережает по фазе вектор Ū.
Согласно I-му закону Кирхгофа из рис. 2.21 следует, что
I1  I a1  I L1 ;
I 2  I a 2  I С1 ;
I  I1  I 2 .
Поэтому на векторной диаграмме векторы токов I1 , I 2 и I найдём в
соответствии с этими уравнениями как геометрическую сумму соответствующих векторов.
При этом предварительно выбираем масштаб для напряжения и токов (см. рис. 2.22):
2А
20В
для U
; для I 1 см .
1 см
ĪC2
ĪC2
Ī2
φ2 Īa2 Īa1
ĪP
φ1
ĪC2
ĪL1 Ī1
φ
Īa2
Īa
Ī
Īa
ĪP
ĪL1
Ī2
Рис. 2.22. Векторная диаграмма
U
59
Векторная диаграмма подтверждает, что
I а  I a1  I а 2 ;
I p  I L1  I С 2 ;
I  I a  I P , т.е. I  I a2  I p2 ,
Ip
3,9
 arctg
 16,1,
Ia
13,66
что позволяет рассчитать мощности также по формулам:
 активная P  UI cos  159,8  14,27 cos16,1  2184 Вт;
 реактивная Q  UI sin   159,8  14,21sin 16,1  628 вар;
 полная S UI  2270 В·А.
Те же значения мощностей можно получить, используя параметры
схемы рис. 2.21:
  arctg
P  UI a1  UI a 2  U 2 g1  U 2 g 2  U 2 ( g1  g 2 )  U 2 g  159,82 (0,0461  0,0394) 
 2184 Вт;
Q  QL  QC  U 2вL1  U 2вC 2  U 2 (вL1  вC 2 )  159,82 (0,0548  0,032)  628 вар;
S  U 2 y  159,82  0,089  2270 В·А,
т.е. расчет разными способами даёт одинаковые результаты.
2-й способ. Расчет цепи с помощью векторной диаграммы.
Решение:
Полные сопротивления параллельных ветвей:
Z1  R12  X L12  92  10,682  13,97 Ом;
Z 2  R22  X С22  16 2  12,252  20,15 Ом.
Действующие значения токов ветвей:
U 159,8
I1  
 11,44 А;
Z1 13,97
U 159,8
I2 

 7,93 А.
Z 2 20,15
Углы сдвига фаз 1 и  2 между токами I1 и I 2 и напряжение Ū определяется из треугольников сопротивлений, построенных для каждой из параллельных ветвей.
Напомним, что сторонами прямоугольного треугольника сопротивлений в общем случае являются (см. раздел 2.7):
 прилежащий катет – активное сопротивление R;
 противолежащий катет – реактивное сопротивление Х = XL – XC;
 гипотенуза – полное сопротивление Z.
Исходя из этого:
60
1  arc sin
R1
X
 arc cos L ;
Z1
Z1
 2  arc sin
X
R2
 arc cos С .
Z2
Z2
 реактивная Q  UI sin   159,8  14,21sin 16,1  628 вар;
 полная S UI  2270 В·А.
Можно в масштабе построить на векторной диаграмме векторы токов I1 и I 2 , а вектор I найти построением как геометрическую сумму
( I1  I 2 ). Векторная диаграмма будет выглядеть аналогично тому, что мы
имеем на рис. 2.22, а именно: вектор тока I 1 будет отставать от вектора Ū
по фазе на угол  1 , так как в первой ветви суммарное реактивное сопротивление является индуктивным (ХР1 = XL), а вектор I 2 (во второй ветви)
опережает напряжение Ū по фазе на угол  2 , так как реактивная составляющая сопротивления Z2 есть емкостное сопротивление (ХР2 = XС). При известной длине вектора I и выбранном масштабе действующее значение
этого тока равно произведению его длины в сантиметрах на количество
ампер в 1 см.
Действующее значение тока I можно определить как и в первом
способе через активные и реактивные составляющие токов I1 и I 2 , т.е. в
нашем случае
R
9
cos1  1 
;
Z1 13,97
R
16
cos 2  2 
;
Z 2 20,15
X
10,68
sin 1  L 
;
Z1 13,97
X
12,25
sin 2  C 
,
Z 2 20,15
что позволяет рассчитать аналитически активные и реактивные составляющие токов I1 , I 2 и I и действующее значение тока I .
Активные составляющие токов ветвей:
9
I а1  I1 cos1  11,44 
 7,37 А;
13,97
16
I а 2  I 2 cos 2  7,93 
 6,29 А.
20,15
Реактивные составляющие токов ветвей:
10,68
I p1  I L1  I1 sin 1  11,44 
 8,75 А;
13,97
61
12,25
 4,82 А.
20,15
Активная и реактивная составляющие тока I
I  I a2  I p2  13,66 2  3,932  14,21 А.
I p2  I C2  I 2 sin 2  7,93 
Мощности определяются аналогично тому, как это сделано в предыдущем способе решения.
2.12. Задание № 7
Для схемы рис. 2.23 рассчитать:
 численные значения токов I , I1 , I 2 и их активные и реактивные составляющие;
 активную Р, реактивную Q, полную S мощности.
Построить векторную диаграмму для U , I , I1 , I 2 и их составляющих.
I
а
R2
R1
U=200 В
I1
I2
XL1
XС1
XL2
XС2
в
Рис. 2.23. Схема к заданию № 7
Дано:
 входное напряжение U = 200В;
 численные значения R1 , X L1 , X C1 , X L2 , X C2 приведены в табл. 5
Таблица 5
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R1
XL1
XC1
R2
XL2
XC1
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
3
5
4
0
8
0
6
4
4
6
0
2
4
8
0
0
5
7
0
4
0
0
2
4
0
10
2
4
3
3
5
0
5
5
3
0
0
8
0
8
10
2
4
0
0
8
0
6
6
0
3
8
0
5
62
10
11
12
13
14
15
60
0
0
4
5
6
8
0
6
0
10
8
0
5
0
3
3
4
Продолжение табл. 5
10
6
4
10
6
10
8
0
0
0
0
8
0
5
3
6
4
0
2.13. Пояснения к расчёту и пример выполнения задания № 8
Задание № 8 связано с расчетом схемы смешанного соединения, то
есть когда есть неразветвлённый участок с последовательным соединением
активных и реактивных сопротивлений и разветвленный участок, состоящий из двух параллельных ветвей, в которые также включены активные,
индуктивные и емкостные сопротивления (рис. 2.24). Разветвлённый участок 1–2 заменяется сначала проводимостями, которые используются для
нахождения эквивалентных сопротивлений (активного и реактивного) разветвлённого участка 1–2. Это необходимо для замены схемы смешанного
соединения схемой последовательного соединения, которая позволит рассчитать ток неразветвлённого участка, напряжение разветвлённого участка
1–2 и токи его параллельных ветвей.
Пример выполнения задания № 8. Для схемы рис. 2.24 определить
действующие значения токов I1 , I 2 , I 3 , если действующее значение напряжения на входе цепи U =100 В.
Дано: R1 = 6 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 8 Ом; XL1 = 10 Ом; XL2 = 25 Ом;
XС1 = 30 Ом; XС2 = 13 Ом.
Расчет цепи будем вести методом проводимостей, которые необходимы для замены параллельных ветвей эквивалентной ветвью между точками 1–2 цепи.
I1
R1
XL1
1
R3
R2
U
I3
I2
XС1
2
Рис. 2.24. Схема смешанного соединения
С этой целью определяются:
XL2
XС2
63
 полные сопротивления ветвей разветвлённого участка 1–2
Z   R22  X С12  152  30 2  33,54 Ом,
Z   R32  ( X L2  X С 2 ) 2  82  (25  13) 2  14,42 Ом.
 активная и реактивные проводимости первой ветви разветвлённого
участка (с сопротивлением R1 и XС1):
R
15
g   22 
 0,0133 См,
Z
33,54 2
вL  0,
т.к. индуктивное сопротивление в этой ветви отсутствует;
X
30
вС  С21 
 0,0267 См.
Z
33,54 2
 активная и реактивные проводимости второй ветви разветвлённого
участка 1–2 (с сопротивлением R3, XL2 и XС2):
R
8
g   32 
 0,0385 См,
Z
14,42 2
X
25
вL  L22 
 0,12 См,
Z
14,42 2
X
13
вС  С22 
 0,0625 См.
Z
14,42 2
 полная активная проводимость участка 1–2
g12  g   g   0,0133  0,0385  0,0518 См.
 индуктивная проводимость участка 1–2
вL12  вL  вL  0,12 См.
 емкостная проводимость участка 1–2
вC12  вC  вC  0,0892 См.
 суммарная реактивная проводимость участка 1–2
в12  сС 12  вL12   0,031См.
Заметим, что реактивная проводимость в12 является чисто индуктивной
проводимостью, т.к. вL12  вC12 . В противном случае в12 была бы ёмкостной.
Таким образом, после подсчёта g12 и в12 схема рис 2.24 примет вид
рис. 2.25а, а после замены разветвлённого участка между точками 1–2
появится последовательный участок из сопротивлений R1 и XL12, значения
которых вычислим по формулам (см. раздел 2.10):
 полная проводимость участка 1–2
y12  g122  в L212  0,0518 2  0,0312  0,0604 См.
 эквивалентные параметры последовательного участка между точками 1–2 (рис. 2.25б)
64
I1
R1
XL1
I1
1
R1
XL1
1
R12
g1
U
в12
U
U12
XL12
а)
2
б)
Рис. 2.25. Схемы, эквивалентные исходной схеме:
а) с разветвлённым участком; б) без разветвления
2
g12 0,0518

 14,2 Ом,
y122 0,0604 2
в
0,031
X 12  122 
 8,5 Ом.
y12 0,0604 2
 полное сопротивление всей цепи (рис.2.25б)
Z  ( R1  R12 ) 2  ( X L1  X L12 ) 2  (6  14,2) 2  (10  8,5) 2  27,4 Ом;
 ток в неразветвленной части цепи рис. 2.24
U 100
I1  
 3,65 А;
Z 27,4
 сопротивление участка 1–2 цепи (рис.2.25б)
1
1
Z12  R122  X L212 

 16,6 Ом;
y12 0,0604
R12 
 напряжение U12 между точками 1–2
U 12  I1 Z12  3,65  16,6  60,4 В;
 токи в параллельных ветвях исходной схемы (рис. 2.24)
U
60,4
I 2  12 
 1,8 А;
Z
33,54
U
60,4
I 3  12 
 4,19 А.
Z
14,42
2.14. Задание № 8
Для схемы рис. 2.26 определить действующие значения токов
I 1 , I 2 и I 3 , если действующее значение напряжения на входе цепи
U  200 В, численные значения сопротивлений приведены в табл. 6.
65
I1
XС1
XL1
R1
1
I2
U=200 В
I3
R2
U12
R3
XL3
XL2
XС2
XС3
2
Рис. 2.26. Схема к заданию № 8
Таблица 6
R1
XL1
XC1
R2
XL2
XC2
R3
XL3
XC3
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
1
3
4
0
4
0
8
3
6
0
2
6
0
8
3
8
0
5
0
4
3
0
5
7
3
0
6
4
2
0
4
4
0
8
5
8
6
0
4
0
5
10
6
0
0
10
0
8
8
2
6
2
0
3
5
2
3
0
0
4
7
4
1
0
3
0
0
4
5
10
8
7
0
8
0
0
5
4
7
2
9
0
6
3
0
10
6
6
8
0
10
5
0
2
5
4
10
0
0
5
11
4
3
0
3
6
10
0
6
0
12
2
0
10
6
8
0
4
0
3
13
0
2
8
4
0
0
5
10
3
14
6
0
3
5
4
8
6
0
0
15
5
2
0
0
0
8
6
8
4
№
варианта
66
2.15. Символический метод (метод комплексных величин)
расчета цепей синусоидального тока
2.15.1. Предварительные сведения
Этот метод широко используется для расчёта цепей переменного тока, так как он позволяет выразить в алгебраической форме геометрические
операции с векторами синусоидальных токов и напряжений. С помощью
символического метода оказывается возможным применить все методы
расчета цепей постоянного тока (законы Кирхгофа, методы наложения,
контурных токов, узловых напряжений и т.д.) для расчёта цепей переменного тока.
В основе символического изображения векторов переменного тока
лежит следующее простое положение – I можно разложить на составляющие (I' и I''), направленные по двум осям прямоугольной системы координат (см. рис. 2.27).
+j
I
jI''
α I'
0
–j
Рис. 2.27. Вектор I на комплексной плоскости
Ось абсцисс на рис. 2.27 называется осью действительных чисел (или
вещественных величин), а ось ординат – осью мнимых величин, причём
составляющая вектора I на мнимой оси выделена посредством особого
множителя – символа j.
Таким образом, в символической форме вектор I будет равен:
I  I   jI  .
Если некоторый вектор U , направленный по действительной оси,
умножить на j, то вектор jU будет повёрнут по отношению к U на угол
90º против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении, имея ввиду то, что все векторы векторной диаграммы вращаются против часовой
стрелки (см. раздел2.2). Умножение вектора U на j2 поворачивает вектор
U на 180º, а такой поворот эквивалентен отрицательному значению исходного вектора, т.е.
2
j 2U  U ,
следовательно
j 2  1, j   1,
67
т.е. множитель j равен мнимой единице, в соответствии с чем и было дано
наименование оси ординат (ось мнимых), составляющие вектора по которой сопровождаются множителем j.
Таким образом, при символическом изображении вектор рассматривается как комплексная величина, а плоскость, на которой вектор изображается через действительную и мнимую составляющие, именуется комплексной плоскостью. В соответствии с этим символический метод называют также методом комплексных величин.
Применяются следующие формы записи комплексной величины,
например, вектор переменного тока:
1. Алгебраическая форма
I  I   jI  ;
2. Тригонометрическая форма (рис. 2.27)
I  I cos   j sin  ,
где I – модуль комплексного числа ( I  I  2  jI  2 );
I 
α – аргумент комплексного числа (   arctg ).
I
3. Показательная форма, которая получена с помощью формулы Эйлера ( e j  cos  j sin  , в которой е = 2,718 – основание натурального логарифма),
4. Полярная форма I  Ie j ; I  I .
2.15.2. Действия над комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются (вычитаются) действительные части комплексных чисел и отдельно
мнимые части
где с  с1  с2  (а1  а2 )  j (в1  в2 ),
с1  а1  в1 ;
с2  а 2  в 2 .
Сложение комплексных чисел соответствует геометрическому сложению векторов, поэтому при сложении или вычитании векторов удобнее
пользоваться сложением или вычитанием комплексных чисел.
Умножение или деление комплексных чисел
В этих случаях, как правило, удобнее использовать показательную
форму комплексных чисел:
 при умножении модули комплексных чисел перемножаются, а их
аргументы складываются
с  с1  с 2  с1e j1  c2e j 2  с1  с2e j (1  2 ) ;
 при делении комплексных чисел модули их делятся, а аргументы
вычитаются
68
c1 с1e j 1
с1 j ( 1  2 )
с


e
;
c 2 с 2 e j 2 с 2
 умножение комплексного числа на e j не изменяет длины вектора,
но поворачивает весь вектор в положительном направлении на угол
β, если β > 0
c  e j  сe j  e j  сe j (   ) .
В случае если угол отрицательный (т.е. равен «–β»), то исходный
вектор повернётся по часовой стрелке
с  e j  сe j  e  j  сe j (  ) ;
 произведения сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа, т.е. действительному числу. Напомним,
сопряжёнными комплексными числами называются два комплексных числа, отличающиеся друг от друга знаком перед мнимой частью.
Например,
если
даны
с  а  jв
и

c  a  jв ,
то

с  с  а2  в2  с2 ;
 умножение вектора на j  e j 90 поворачивает этот вектор на 90º против часовой стрелки;
 умножение вектора на  j  e  j 90 поворачивает вектор на 90º по часовой стрелке;
 деление единицы (или любого вещественного числа) на комплексное
число, заданное в алгебраической форме, равно



1 1 с
1
а  jв
а
в
  

 2

j
,
с с с а  jв а  jв а  в 2
а2  в2

где: с  а  jв, с  а  jв .
При таком делении применяется искусственный приём – числитель и
знаменатель дроби умножается на сопряжённый комплекс знаменателя.
Действия с оператором j   1 :
j 2  1,  j 2  1;
1
1
  j;
 j.
j
j
2.15.3. Изображение электрических параметров
в символической форме
Изображение в символической форме сопротивлений в цепи переменного тока определяется характером воздействия этих сопротивлений на
сдвиг фаз между напряжением и током.
Как уже отмечалось, в цепи переменного тока различают три вида сопротивлений: R, XL и XC.
69
Согласно теории переменного тока на активном сопротивлении (R)
напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. сдвиг по фазе между напряжением и током равен нулю. Это возможно лишь при условии, что R – вещественное число. Умножение комплекса тока на вещественное число (по закону Ома U R  I  R) даст вектор U R , совпадающий по фазе с током.
На индуктивном сопротивлении XL вектор напряжения U L должен на
90º опережать вектор тока, что возможно только в случае, если индуктивное сопротивление является положительным мнимым числом, т.е.
U L  I  jX L .
Соответственно ёмкостное сопротивление XС должно быть отрицательным мнимым числом, благодаря чему вектор напряжения U С на емкости будет отставать по фазе от тока на 90º, U С  I  ( jX С ) .
Таким образом, в символической форме сопротивления в цепи переменного тока изображаются:
 активное – вещественным числом R;
 индуктивное – положительным мнимым числом jXC;
 ёмкостное – отрицательным мнимым числом (–jXC).
При последовательном соединении R, XL и XC полное сопротивление
цепи в символическом изображении равно
Z  R  j ( X L  X C ).
Комплексную полную проводимость Y можно подсчитать как величину, обратную полному комплексному сопротивлению
1
Y   g  j (вc  в L ) .
Z
Это выражение показывает, что составляющие комплексной проводимости в символической форме изображаются:
 активная – вещественным числом g ;
 индуктивная – отрицательным мнимым числом ( jвL ) ;
 ёмкостная – положительным мнимым числом ( jвc ) .
Мощность в символическом изображении может быть получена как
произведение комплекса действующего значения напряжения U на со
пряжённый комплекс действующего значения тока I

S  U I  Ue j  Ie  j  UIe j (   )  UIe j 
u
i
u
i
 UI cos  jUI sin   P  jQ  P  j (QL  QC ),
где u , i – соответственно начальные фазы напряжения и тока;
 – сдвиг фаз между напряжением и током.
Действительная часть комплексной мощности равна активной мощности (Р), а мнимая часть – реактивной мощности (Q = QL – QC).
70
Для расчёта электрических цепей синусоидального тока используют
выражения основных законов электротехники в символической форме записи.
Законы Ома для участка цепи
а) для максимальных значений б) для действующих значений
напряжения и тока
напряжения и тока
U
U
IM  M ;
I ;
Z
Z
I M  U M Y;
I  U Y
где Z  R  jX – комплекс полного сопротивления участка цепи;
X  X L  X C – реактивное сопротивление участка цепи;
Y  G  jB – комплекс полной проводимости участка цепи;
B  BC  BL – реактивная проводимость участка цепи.
Законы Кирхгофа
Первый закон: алгебраическая сумма комплексов токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи синусоидального тока, равна нулю
n
I
k 1
k
 0.
Второй закон: алгебраическая сумма комплексов напряжений на всех
пассивных элементах контура электрической цепи синусоидального тока
равна алгебраической сумме комплексов ЭДС этого контура
n
I k Zk 
k 1
m
 E k  0.
k 1
2.15.4. Примеры решения простейших задач
символическим методом
Изложенный выше теоретический материал проиллюстрируем следующими примерами.
Пример 1
Даны законы изменения напряжения и тока:
u  100 2 sin(t  30  );
i  60 2 sin(t  45 ).
Записать комплексы действующих значений синусоидальных функций в показательной, алгебраической и полярной формах.
Решение:
1. Комплексы действующих значений напряжения и тока в показательной форме

U
U  M e j u  100 e j 30 В;
2
71

I M j i
e
 60e  j 45 А.
2
2. Комплексы действующих значений напряжения и тока в алгебраической форме:
U
U  M (cos u  j sin u )  100 (cos30   j sin 30  )  50 3  j 50 В;
2
I
60
60
А.
I  M (cos i  j sin i )  60 cos(45 )  j sin( 45 ) 
 j
2
2
2
3. Комплексы действующих значений напряжения и тока в полярной
форме:
U
U  M  u  100 30  В;
2
I
I  M  i  60  45 А.
2
I


Пример 2
Заданы комплексы действующих значений напряжения в показа

тельной форме: U 1  120 e j 60 , U 2  240e  j 20 , U 3  360e j 35 .

Записать выражения для мгновенных значений напряжений.
Решение:
U M 1  120 2 B; U M 2  240 2 B; U M 3  360 2 B;
 u1  60  ; u 2  20  ; u 3  145 .
u1  120 2 sin(t  60  );
u 2  240 2 sin(t - 20  );
u3  360 2 sin(t  145  ).
Здесь
U 3  360 j 35  360 j 35  (1  e  j180 )  360e j ( 35 180 )  360e j ( 145 )







т.к. (-1)  1  e180 .
Пример 3
Заданы комплексы действующих значений токов в алгебраической
форме:
I 1  4  j 3 A, I 2  4  j 3 A, I 3  4  j 3 A, I 4  4  j 3 A.
Записать выражения для мгновенных значений токов.
Решение:
1. I 1  4  j 3  4  3  e
2
2
jarctg
3
4

 5e j 36 .9 A.
72
Мгновенное значение тока i1  5 2sin t  36,9  A.
2. I 2  4  j 3  4  3  e
2
2
jarctg
3
4

 5e  j 36.9 A.


Мгновенное значение тока i2  5 2sin t  36,9  A.
3
jarctg
 2

2
 j 36.9
j143,1
4 
3. I 3  4  j3  (4  j3)   4  3  e


5
e

5
e
A.





Мгновенное значение тока i3  5 2sin t  143,1 A.
3
jarctg 
 2
2
j 36.9
 j143,1
4

4. I 4  4  j3  (4  j3)   4  3  e


5
e

5
e
A.





Мгновенное значение тока i4  5 2sin t  143,1 A.
Векторы токов на комплексной плоскости изображены на рис. 2.28.
+j
+j
+j
I1
+36,9º
0
+j
I3
0
+1
+143,º
–1
+1
–1
0
0
– 36,9º
–143,º
I2
I4
Рис. 2.28. Векторы токов I 1 , I 2 , I 3 , I 4
Пример 4
Напряжения представлены комплексами действующих значений

U 1  (5  j12)4e j 30 B, U 2  (28  j 96) B. Записать выражения для мгновенных значений напряжений.
Решение:
1. U 1  (5  j12)4e
j 30 
 5  12  e
2
2
jarctg
12
5



тогда u1  52 2 sin( t  97,4  ).
2. U 2  28  j 96  28  96  e
2
2
jarctg
96
28

 4e j 30  13e j 67 , 4  4e j 30  52e j 97 , 4 B,

 100 e  j 73, 7 B,
тогда u 2  100 2 sin( t  73,7  ).
Пример 5
Комплексы действующих значений напряжения и тока равны
U  12,5  j 30 B, I  1,6  j1,2 A. Определить сдвиг фаз между напряжением
и током.
73
Решение:
1. Комплексы действующих значений напряжения и тока в показательной форме:
U  12,5 2  30 2  e
jarctg
30
12 ,5
jarctg

 32,5e j 67 , 4 B,
1, 2
1,6

I  1,6 2  1,2 2  e
 2e j 36 ,9 A.
2. Сдвиг фаз между напряжением и током:
   u   i  67,4  36,9  30,5.
Пример 6.
Определить комплекс амплитудного значения и мгновенное значение падения напряжения на участке цепи с комплексным сопротивлением
Z  26  j 42 Ом, если мгновенное значение тока через элементы цепи составляет i  1,25 sin(t  25 ) А.
Записать комплексы действующих значений синусоидальных функций в показательной, алгебраической и полярной формах.
Решение:
Согласно закону Ома напряжение на участке: U M  I M Z .
Комплекс амплитудного значения тока:

I M  1,25e j 25 А.
Комплекс амплитудного значения падения напряжения:
U M  I M Z  1,25e

j 25 

26 
j 42   1,25e
j 25 
 26  42  e
2
2
jarctg
42
26


1,25e j 25  49,4e j 58 , 2  61,75 j 83, 2 B.
Мгновенное значение падения напряжения на участке:
u  U M sin( t   u )  61,75 2 sin(t  83,2 ) В.
Пример 7.
Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость
цепи,
если
напряжение
и
ток
на
входе
цепи:


u  220 2 sin(t  40 ) B, i  5 2 sin(t  10 ) А.
Решение:
Согласно закону Ома комплексное сопротивление цепи: Z 
UM
.
IM
74
Комплекс амплитудных значений напряжения и тока:
U M  U M e j u  220 2e j 40 B,

I M  I M e j i  5 2e j10 A.
Комплексное сопротивление:


U M 220 2e j 40
j 30 
Z


44
e
 38,1  j 22 Ом.

IM
5 2e j10
Комплексная проводимость:
I
1
1
 j 30 
Y M  

0
,
023
e
 (19,68  j11,36)10  3 Cм.

U M Z 44e j 30
Пример 8.
В узле цепи (рис. 2.29а) соединены три ветви. Определить комплекс


действующего значения тока I 3 , если I 1  1,4  e j 43 А, I 2  3,6e j 60 А.
а)
б)
i2
I1
I3
i1
i3
i4
I2
Рис. 2.29. Узлы цепи
Решение:
На основании первого закона Кирхгофа, согласно рис. 2.29:


I 3  I 2  I 1  3,6e j 60  1,4e  j 43  (1,8  j 3,12)  (1,02  j 0,95)

 0,78  j 4,07  4,14e j 79, 2 А.
Пример 9.
В узле цепи (рис. 2.29б) соединены четыре ветви. Определить мгновенное значение тока i1 , если мгновенные значения остальных токов равны: i2  15 sin( t  15 ) A, i3  25 sin( t  35 ) A, i4  12 sin( t  60  ) A.
Решение:
На основании первого закона Кирхгофа для комплексов амплитудных значений токов
75
I 1M  I 2 M  I 3M  I 4 M
Найдем

I 2 M  15e  j15  14,5  j 3,9 А,

I 3M  25e j 35  20,5  j14,3 А,

I 4 M  12e  j 60  6  j10,4 А.
Следовательно,

I 1M  14,5  j 3,9  20,5  j14,3  (6  j10,4)  29  j 20,8  35,7e j 35 ,7 А.
Мгновенное значение тока i1 :
i1  35,7 sin( t  35,7  ) A.
Пример 10
Найти комплексные сопротивления и комплексные проводимости
участков цепи (рис. 2.30а,б,в), если R = 25 Ом, XL = 60 Ом, XС = 30 Ом.
XL
R
XС
R
а)
XС
R
XL
в)
б)
Рис. 2.30. Участки электрической цепи
Решение:
Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 2.30а:
Z 1  R  jX L  25  j 60  65e j 67, 4 Ом,

1
1
1


 0,0154 e  j 67, 4  0,0059  j 0,0142 См.
j 67 , 4
Z 1 25  j 60 65e
Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 2.30б:
Y1 


Z 2  R  jX С  25  j 30  39,1e  j 50, 2 Ом,

1
1
1


 0,0256 e j 50, 2  0,0164  j 0,0196 См.
 j 50, 2
Z 2 25  j 30 39,1e
Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 2.30в:
Y2 


Z 3  R  jX L  jX С  25  j 60  j 30  25  j 30  39,1e j 50, 2 Ом,

Y3 
1
1
1


 0,0256 e  j 50, 2  0,0164  j 0,0196 См.
j 50, 2
Z 3 25  j 30 39,1e


76
Пример 11
Определить параметры элементов и характер цепи, состоящей из
двух последовательно включённых сопротивлений R и X, если мгновенное
значение напряжения на входе и ток соответственно равны:
u  100 2 sin 100t  15  В, i  3,8 2 sin 100t  38  A, а частота f  50 Гц.
Решение:
1. Комплексы амплитудных значений напряжения и тока:

U M  100 2e j15 B, I M  3,8 2
2. Комплексное сопротивление цепи:
 j 38
A.

U M 100 2e j15
Z

 15,8  j 21 Ом.
 j 38
IM
3,8 2e
5. Активное сопротивление является действительной составляющей
(вещественной частью) комплексного сопротивления:
R  Rе( Z )  Rе(15,8  j 21)  15,8 Ом.
Реактивное сопротивление является мнимой составляющей комплексного сопротивления:
Х  Im( Z )  Im(15,8  j 21)  21 Ом.
Так как реактивное сопротивление имеет знак «+», следовательно,
оно является индуктивным сопротивлением (см. рис.2.31), т.е. X=XL.
15,8
j21
i
u
Рис. 2.31. Схема к Примеру 11
Индуктивность определяется по известной формуле:
X
X
21
L L  L 
 0,067 Гн.
 2fL 2  3,14  50
2.16. Задание № 9
Вариант задания каждому студенту задаётся в виде двух чисел, из
которых первое  это вариант задания входного напряжения (табл. 7), а
второе  вариант последовательности элементов цепи и значения их параметров (табл. 8). В схеме, содержащей 4 последовательно соединённых
элемента, студент располагает их соответственно порядку, указанному в
табл. 8, и при построении векторной диаграммы придерживается такого же
порядка расположения векторов напряжений.
77
Таблица 7
№ варианта
задания
напряжения
Напряжение, В
1
u  141sin 314t
2
3
u  141sin(314t  53 ) u  141sin(314t  37  )
Таблица 8
№
вар.
Последовательность
элементов цепи
Значения параметров элементов цепи [Ом]
R1 [Ом]
R1 [Ом]
L [мГн]
C [мкФ]
1.
R1  L R2 C
4
3
9,55
353
2.
R1  L R2 C
5
2
38,22
796
3.
R1L R2C
4
6
12,74
265
4.
R1  C  R2  L
3
3
28,66
1060
5.
R1  L R2 C
2
4
38,22
796
6.
R1  L R2 C
3
5
12,74
265
7.
L  R1  C  R2
4
4
9,55
353
8.
L  R1  C  R2
2
4
38,22
796
9.
L  R1  C  R2
5
1
12,74
265
10.
C  R1  L  R2
6
2
28,66
1060
11.
C  R1  L  R2
5
3
38,22
796
12.
C  R1  L  R2
2
4
12,74
265
13.
L  R1  R2  C
5
1
9,55
353
14.
L  R1  R2  C
6
2
38,22
796
15.
R1  L C  R2
4
5
28,66
1060
16.
L  R1  R2  C
3
3
12,74
265
На основе представленной в табл. 7 и табл. 8 исходной информации
необходимо:
 начертить схему замещения электрической цепи;
 рассчитать действующие значения тока и напряжений на всех элементах цепи;
 рассчитать активную, реактивную и полную мощности всей цепи;
78
 построить векторную диаграмму, изобразив на ней действующие
значения тока и напряжений на всех элементах цепи и входное напряжение
как сумму падений напряжений на всех участках цепи.
2.17. Пример выполнения задания № 9
Для расчета задан вариант 1; 16, что означает:
 входное напряжение берётся из табл. 7 по варианту 1, равным
u  141sin 314t .
 последовательность элементов и численные значения параметров берутся из табл.8 по варианту 16: R1 = 3 Ом, R2 = 3 Ом, L = 12,74 мГн, C =265
мкФ. В соответствии с этим расчётная схема будет иметь вид, изображённый на рис. 2.32.
I
U =220 В
XL
R1
R2
XC
UL
UR 1
UR 2
UC
Рис. 2.32. Схема к примеру расчёта
Определить действующие значения тока цепи и напряжений на всех
элементах цепи. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности
всей цепи. Построить векторную диаграмму.
Решение:
1. Реактивные сопротивления:
X L  L  2fL  2  3,14  50 12,74 103  4 Ом;
1
1
1
XC 


 12 Ом.
C 2fC 2  3,14  265 10 6
2. Комплекс полного сопротивления цепи:
Z  j 4  3  3  j12  6  j8  10e  j 53  10  53 .
3. Действующие значения входного напряжения:
Исходя из выражения для мгновенного значения напряжения
u  141sin 314t , имеем максимальное значение напряжения UМ = 141 В, при
U
141
 100 B, а угол начальной фазы
этом действующее значение U  M 
2
2
ψu = 0.
4. Комплекс тока цепи:
U
100
I 
 1053  (6  j8) А.

Z 10  53
5. Комплексы напряжений на всех участках цепи:
79
U L  I  jX L  1053  j 4  1053  490   40143  (32  j 24) B;
U R1  I  R1  1053  30  3053  40143  (18  j 24) B;
U R2  I  R2  1053  30  3053  40143  (18  j 24) B;
U C  I ( jX C )  1053  12  90   120   37   (96  j 24) B.
6. Комплекс полной мощности:

S 1  U  I 1  1000  10  53  1000   53  (600  j800) B  A,
откуда
 активная мощность первой ветви Р = 600 Вт;
 реактивная мощность первой ветви Q = – 800 вар,
т.е. реактивная ёмкость является ёмкостной, о чём свидетельствует её знак
(«–»);
 полная мощность S  P 2  Q 2  1000 B  A.
Напомним (см. раздел 2.15), что запись комплекса в виде, например,

10  53 , равнозначна записи 10e j 53 , т.е. так записан комплекс, модуль
которого10, а аргумент 53º (причём положительный угол отсчитывается
против часовой стрелки). Перевод такого комплекса в алгебраическую
форму и действия с ним производятся по общим правилам.
7. Векторная диаграмма (см. рис. 2.33).
Предварительно выбираются масштабы:
 для тока (в 1 см 1А);
 для напряжений (в 1 см 20 В).
+j
I
U R2
UС
U R1
U R1
UL

U R2
0
U
+
U R1
Рис. 2.33. Векторная диаграмма
к примеру задания № 9
UС
j
80
Проверка:
Согласно второму закону Кирхгофа
U  U L  U R1  U R2  U C 
 (32  j 24)  (18  j 24)  (18  j 24)  (96  j 72)  100 B,
что подтверждается сложением векторов падений напряжений на векторной диаграмме (рис. 2.23). Их геометрическая сумма оказалась равной вектору входного напряжения U , что свидетельствует о правильности расчётов.
2.18. Задание № 10
Вариант задания каждому студенту даётся в виде двух чисел, из которых первое  это вариант задания входного напряжения (табл. 9), а второе  вариант совокупности параметров трёх параллельно соединённых
ветвей цепи:
Z 1  R1  j ( X L1  X C1 );
Z 2  R2  j ( X L2  X C2 );
Z 3  R3  j ( X L3  X C3 ).
Численные значения активных, индуктивных и емкостных сопротивлений в Омах представлены в табл. 10.
Таблица 9
№ варианта задания
напряжения
Напряжение, В
1
u  70,5sin 314t
2
u  70,5sin(314t  53 )
3
u  70,5sin(314t  37  )
4
u  70,5sin(314t  37  )
5
u  70,5sin(314t  53 )
Таблица 10
№ варианта
задания сопротивлений ветвей
Номера ветвей
1
2
3
1
R1
3
XL1
6
XC1
10
R2
3
XL2
12
XC2
9
R3
10
XL3

XC3

2
3
2
6
3
7
3


50/16
3
3
9
13
3
6
2

50/16

81
Продолжение табл. 10
4
3
8
12
3
3
7

50/16

5
3
1
5
3
8
12

50/32

6
3
7
3
3
6
10
10


7
3
9
5
3
2
6

50/16

8
3
11
7
3
9
13


50/16
9
3
10
6
3
9
5


50/16
10
3
12
8
3
10
6


50/32
11
3
6
10
3
6
10
1,5
2

12
4
7
10
4
9
6


50/12
13
4
5
8
4
10
7

50/12

14
4
4
7
4
3
6

50/12

15
4
2
5
4
1
4

50/24

16
4
10
7
4
10
7
2

1,5
На основе представленных в табл. 9 и 10 исходных данных необходимо:
 начертить схему замещения электрической цепи;
 рассчитать действующие значения токов во всех ветвях цепи;
 рассчитать активную, реактивную и полную мощности ветвей (по
указанию преподавателя) и всей цепи;
 построить векторную диаграмму, изобразив на ней токи во всех ветвях, включая разветвлённый участок цепи.
2.19. Пример выполнения задания № 10
Для расчёта задан вариант № 1;16, что означает:
 входное напряжение берётся из табл. 9 по варианту № 1 равным
u  70,5sin 314t ;
 численные значения сопротивлений берутся из табл. 10 по варианту
№16:
R1 = 4 Ом; XL1 = 10 Ом; XC1 = 7 Ом;
R2 = 4 Ом; XL2 = 10 Ом; XC2 = 7 Ом;
R3 = 2 Ом; XL3 = 0 Ом; XC3 = 1,5 Ом;
В соответствии с этим расчётная схема разветвлённой цепи будет
иметь вид, изображённый на рис. 2. 34.
82
Для схемы рис. 2.34 определить действующие значения токов
I 1 , I 2 , I 3 и I . Рассчитать активную, реактивную и полную мощности для
первой ветви и для всей цепи.
I
а
R2
R1
I1
I2
jXL1
jXL2
R3
I3
–jXС2
–jXС2
–jXС1
в
Рис. 2.34. Схема к примеру № 10
Решение:
Из выражения для мгновенного значения входного напряжения
определим его действующее значение
U
70,5
U M 
 50 В.
2
2
Так как угол начальной фазы входного напряжения  u  0 , то комплекс действующего входного напряжения определится как
U  Ue j  50e j 0  50 В.
Комплексы полных сопротивлений ветвей (см рис 2.34) будут равны
Z 1  4  j10  j 7  (4  j 3) Ом;
Z 2  4  j10  j 7  (4  j 3) Ом;
Z 3  (2  j 5) Ом.
Комплексы полных проводимостей определяются как величины, обратные комплексам сопротивлений:
 для первой ветви
1
1
4  j3
Y1 


 (0,16  j 0,12) См;
Z 1 4  j3 (4  j3)  (4  j3)
 для второй ветви
1
1
Y2 

 (0,16  j 0,12) См;
Z 2 4  j3
 для третьей ветви

u
1
1
2  j1,5



Z 3 2  j1,5 (2  j1,5)  (2  j1,5)
2
1,5
j 2
 (0,32  j 0,24) См;
2
2
2  1,5
2  1,52
Y3 
83
 для всей цепи
Y  Y 1  Y 2  Y 3  0,16  j 0,12  0,16  j 0,12  0,32  j 0,24  0,64 См.
Токи в ветвях и неразветвлённой части цепи:
I 1  U Y 1  50  (0,16  j 0,12)  (8  j 6) A  10e  j 37 ;

I 2  U Y 2  50  (0,16  j 0,12)  (8  j 6) A  10e  j 37 ;

I 3  U Y 3  50  (0,32  j 0,24)  (16  j12) A  20e j 37 ;
I  U Y  50  0,64  32 A.
Комплекс полной мощности первой ветви


S 1  U  I 1  50  (8  j 6)  400  j300  50e j 37 B  A,
 активная мощность первой ветви Р = 400 Вт;
 реактивная мощность первой ветви Q = 300 вар.
Эта мощность является индуктивной, о чём свидетельствует знак «+»
мнимой части численного значения S 1 .
Комплекс полной мощности всей цепи


S  U  I  50  32  1600 B  A, откуда
 активная мощность цепи (вещественная часть S ) Р = 1600 Вт;
 реактивная мощность цепи Q = 0 вар,
так как мнимая составляющая комплекса полной мощности отсутствует.
Волновую диаграмму построим в масштабе, для чего выберем масштабы:
 для тока (в 1 см 5 А)
 для напряжения (в 1 см 5 В).
+j
I3
U

0
I1
+
I
I2
I2
I3
Рис. 2.35. Векторная диаграмма к примеру задания № 10
j
84
Проверка:
Согласно первому закону Кирхгофа
I  I 1  I 2  I 3  8  j 6  8  j 6  16  j12  32 A,
что подтверждается сложением векторов токов на векторной диаграмме
(рис. 2.35). Их геометрическая сумма оказалась равной вектору I , что свидетельствует о правильности расчётов.
2.20. Задание № 11
Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.36,
заданы входное напряжение цепи (табл.11) и численные значения сопротивлений (табл. 12). Таким образом, каждому студенту вариант задания даётся в виде двух чисел, первые из которых вариант входного напряжения,
а второе число  вариант заданных в табл. 12 сопротивлений.
Z1
I1
1
I2
U
I3
Z3
Z2
2
Рис. 2.36. Схема электрической цепи к заданию № 11
Таблица 11
№ варианта задания напряжения
Напряжение, В
u  141sin 314t
u  70,5sin 314t
u  282 sin 314t
u  141sin(314t  53 )
u  141sin(314t  37  )
u  282 sin(314t  120  )
Таблица 12
1
2
3
4
5
6
Сопротивления, Ом
№ варианта задания
Z1
Z2
Z3
1
0,21 + j0,21
4 + j3
3 + j4
2
0,80 + j0,80
2 + j2
3 + j3
3
0,89 + j0,89
12 + j16
16 + j12
4
3,0 + j12,0
6  j8
6  j8
85
Продолжение табл. 12
5
4,17 + j8,33
3  j4
3 + j4
6
6,43 + j6,43
8 + j6
6 + j8
7
0,21 j0,21
4  j23
3  j4
8
0,80  j0,80
2  j2
3  j3
9
0,89  j0,89
12  j16
16  j12
10
3,0  j12,0
6 + j8
6 + j8
11
4,17  j8,33
3 + j4
3  j4
12
6,43  j6,43
8  j6
6  j8
13
13,5 + j50
20
12  j26,5
На основе представленной в табл. 11 и 12 информации необходимо
рассчитать действующие значения токов I 1 , I 2 , I 3 , проверить правильность
произведённых расчётов, построить векторную диаграмму.
2.21. Пример выполнения задания № 11
Для расчёта задан вариант № 6; 13, что означает:
 входное напряжение берётся из табл. 11 по варианту № 6 равным
u  282 sin(314t  120 ); ;
 численные значения сопротивлений берутся из табл. 12 по варианту
№ 13:
Z 1  13,5  j50  Ом,
Z 2  20 Ом,
Z 3  12  j 26,5  Ом.
В соответствии с этим расчётная схема разветвлённой цепи будет
иметь вид, изображённый на рис. 2. 37.
I1
13,5
j50
а
12
U  200  120 
I2
20
I3
–j26,5
б
Рис. 2.37. Схема к примеру № 11
86
Для схемы рис. 2.37 определить действующие значения токов
I 1 , I 2 , I 3 и проверить правильность произведённых расчётов.
Решение:
Из выражения для мгновенного значения входного напряжения
определим его действующее значение
U
282
U M 
 200 В.
2
2
Так как угол начальной фазы входного напряжения  u  120  , то
комплекс действующего входного напряжения определится как
U  Ue j  50e j120  200  120  В.
Комплекс сопротивления разветвлённого участка аб (см рис 2.37)
Z Z
20  (12  j 26,5) 240  j 530
Z аб  2 3 


Z 2  Z 3 20  (12  j 26,5) 32  j 26,5
(240  j 530 )  (32  j 26,5)
 (12,5  j 6,1) Ом,
(32  j 26,5)  (32  j 26,5)

u
что приводит рис. 2.37 к схеме рис. 2.38
I1
13,5
j50
а
12,5
U  200  120 
U аб
Z аб  12,5  j 6,1
I3
–j6,1
б
Рис. 2.38. Эквивалентная схема (без разветвления)
Комплекс полного сопротивления всей ветви:
Z  Z 1  Z 23  13,5  j50  12,5  j 6,1  26  j 43,9  5160 ,
что преобразует схему рис. 2.38 к схеме 2.39.
Из схемы рис. 2.39 определим ток I 1
U 200  120 
I1  
 3,85  180   3,85e  j180  3,85 А.

Z
51,960

87
I1
26
j43,9
U  200   120 
Рис. 2.39. Эквивалентная схема (конечная)
U аб
Из схемы 2.38 находим напряжение разветвлённого участка аб
 I 1 Z аб  (3,85)  (12,5  j 0,12)  (8  j 6,1)  -48,1  j23,5  53,5154 .
Из схемы 2.37 находим токи в параллельных ветвях I 2 и I 3 :
U аб 53,5154 
I2 

 2,67154   (2,42  j1,17) А;
Z2
20
U аб 53,5154 
I3 

 1,84220   (1,43  j1,17) А;

Z3
29,1  66
Проверка:
По первому закону Кирхгофа для узла а имеем
I 1  I 2  I 3  0,
откуда
I 1  I 2  I 3  2,42  j1,17  1,43  j1,17  3,85 А,
что свидетельствует о правильности расчётов.
Векторная диаграмма в задании № 11 строится аналогично тому, как
это рекомендовано в заданиях № 9 и № 10.
2.22. Расчет сложных цепей синусоидального тока
символическим методом
Существует большое разнообразие схем электрических цепей, содержащих один источник электрической энергии, к которому подключено
множество различных электрических устройств, схемы замещения которых представляют смешанные (т.е. последовательно-параллельные или параллельно-последовательные) соединения резистивных, индуктивных и
емкостных элементов. Для определения токов и напряжений во всех случаях используют метод эквивалентных преобразований. Для схем смешанного соединения оказывается достаточным использование формул последовательного и параллельного соединения. Эти формулы позволяют постепенным преобразованием сложную схему смешанного соединения привести к простейшей схеме цепи, состоящей из последовательно соединённых источника электрической энергии и одного эквивалентного пассивного элемента. Такой расчёт подробно рассмотрен в разделе 1.3.1. Необходимо при этом помнить, что при расчёте цепей синусои 0дального тока
вместо резистивных сопротивлений цепи постоянного тока (R) использу-
88
ются комплексные сопротивления ( Z ). Последовательность такого расчёта
также рассмотрена в примере к заданию № 11.
В ряде сложных электрических цепей встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному соединению. Типичным примером такой сложной цепи является мостовая цепь (рис. 2.40). В этом случае часть цепи образует треугольник,
вершинами которого являются три узла (например, а,в и с), а сторонами –
три ветви с сопротивлениями Z ав , Z вс , Z са , включенные между этими узлами.
c
c
Z сd
Z вс
в
Iв
Z aв
Ia
Z
d
в
Ic
Zв
Ia
Z аd
а
Z сd
Zc
Ic
Zа
Iв
d
Z аd
а
U
U
а)
б)
Рис. 2.40. Исходная (а) и преобразованная (б) схемы мостовой цепи
Расчёт цепи рис. 2.40а становится возможным при эквивалентной
замене трёх её ветвей, соединённых треугольником, тремя ветвями, соединёнными трёхлучевой звездой, т.е. т.е. сопротивлениями Z а , Z в , Z с рис.
2.40б. В результате такой замены мостовая цепь рис. 2.40а преобразуется в
цепь со смешанным (т.е. последовательно-параллельным) соединением
элементов, расчёт которой уже рассмотрен многократно ранее (в частности, в разделах 1.3.1, 1.21 и др.)
Формулы для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду имеют вид /1/:
Z ав  Z са
Zа 
;
Z ав  Z вс  Z ca
Z вс  Z ав
Zв 
;
Z ав  Z вс  Z ca
Z са  Z вс
Zс 
,
Z ав  Z вс  Z ca
89
а для преобразования звезды в эквивалентный треугольник используются
формулы:
Z Z
Z ав  Z а  Z в  а в ;
Zc
Z вс  Z в  Z с 
Zв Zс
;
Zc
Zс Zа
.
Zв
Рассмотрим пример, использующий преобразование звезды в эквивалентный треугольник (рис 2.41).
Z са  Z с  Z а 
а)
б)
1
I2
I6
I1
R1
ХL2
I2
I1
Z3
Z2
ХL1
Z1
3
I3
R2
в)
Z4
2
I3
R2
2
3
Е
I
I1
I
Е
1
U 12
U 31
Z5
Z1
3
2
I3
I
–jХС2
jХL2
I5
I4
ХС1
ХС2
1
г)
Z экв
R2
Е
I
Рис. 2.41. Этапы преобразования схемы:
а) исходная схема;
б) и в) промежуточные варианты;
а) окончательный вариант схемы
Е
90
Пример:
Для схемы рис. 2.41а дано:
R1 = 26 Ом; R2 = 32 Ом; XL1 = 15 Ом; XL2 = 15 Ом; XC1 = 36 Ом;
XC2 = 12 Ом. Известен также закон изменения ЭДС е  169,2 sin t .
Определить действующие значения токов в ветвях схемы и мощность, отдаваемую источником
Решение:
1. Определить комплекс действующего значения ЭДС источника:
169,2 j 0
Е
e  120 0 В.
2
2. Преобразуем звезду сопротивлений R1, XL1, XC1, подключённую к
точкам 1,2 и 3, в эквивалентный треугольник (рис. 2.41б).
Комплексные сопротивления эквивалентного треугольника:
jX L1  ( jX C1 )
j18  ( j 36)
Z 1  jX L1  jX C1 
 j18  j 36 
 25  j18 Ом,
R1
26
Z 2  R1  jX C1 
R1  ( jX C1 )
26  ( j 36)
 26  j 36 
 26  j 36 Ом,
jX L1
j18
R1  jX L1
26  j18
 26  j18 
 13  j18 Ом/
 jX C1
 j 36
3. Сопротивление XL2 соединено параллельно с Z 2 , а сопротивление
XC2 параллельно с Z 3 (рис. 2.41б), их общие комплексные сопротивления равны (рис. 2.41в)
jX L 2  Z 2
j15  (26  j 36)
Z4 

 5,2  j19,2  19,9105,2 Ом,
jX L 2  Z 2
j15  26  j 36
Z 3  R1  jX L1 
Z5 
 jX C 2  Z 3  j12  (13  j18)

 9,1  j16,2  18,5  60,7 Ом.
 jX C 2  Z 3  j12  13  j18
4. Комплекс тока I  (рис.4.7):
E
1200
1200

I 


 24,4  37,6 A.

Z 4  Z 5 3,9  j3 4,937,6
Комплексы напряжений U 31 и U 12

U 31  I  Z 4  24,4  37,6 19,9105,2   485,667,6 В,

U 12  I  Z 5  24,4  37,6 18,560,7   451,4   98,3 В.
5. Комплексы действующих токов I 1 и I 2 найдём через комплексы
напряжений U 31 и U 12 (рис. 2.41б):
91
I1 
U 31 485,667,6

 32,4  22,4 A,
jX L 2
j15
U 12
451,4  98,3
I2 

 37,6  8,3 A.
 jX C 2
 j12
6. Комплекс действующего тока I 3 :
E 1200
I3 

 3,80 A.
R2
32
7. Комплекс полного сопротивления Z экв всей цепи и комплекс действующего тока I (рис. 2.41г).
Согласно (рис. 2.41в) Z экв запишем:
1
1
1
1



,
Z экв Z 1 Z 4  Z 5 R2
откуда получим:
Z 1 ( Z 4  Z 5 ) R2
Z ЭКВ 

R2 Z 1  R2 ( Z 4  Z 5 )  Z 1 ( Z 4  Z 5 )
(25  j18)(3,9  j 3)32

32(25  j18)  32(3,9  j 3)  (25  j18)(3,9  j 3)
4,9  10 3 1,8
 4,125,6 Ом.
3

1,2  10   23,8
Комплекс действующего тока:
E
120 0
I

 29,3  25,6 A.

Z ЭКВ 4,125,6
8. Комплексы действующих значений токов звезды сопротивлений
(рис.2.41а) определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:
I 4  I  I 1  I 3  29,3  25,6  32,4  22,4  3,80  7,4  176,6 A,
I 5  I  I 2  I 3  29,3  25,6  37,6  8,3  3,80  16,3  153,6 A,
I 6  I 1  I 2  32,4  22,4  37,6  8,3  10  136,3 A.
9. Окончательно для действующих значений токов имеем:
I  29,3 A, I 1  32,4 A, I 2  37,6 A, I 3  3,8 A,
I 4  7,4 A, I 5  16,3 A, I 6  10 A,
10. Мощность, отдаваемая источником.
Комплекс полной мощности источника:
S  E  I  1200  29,325,6  3516 25,6  3170,8  j1519,2 ВА,
где I  29,3  25,6 A  сопряженный комплекс тока.
Активная мощность источника:
P  Re( S )  Re ( 3170 ,8  j1519,2)  3170,8 Вт.
92
Реактивная мощность источника:
Q  Im( S )  Im ( 3170 ,8  j1519 ,2)  1519 ,2 вар.
Расчет сложных цепей синусоидального тока с несколькими источниками можно провести, используя все те методы, которые применяются
для расчёта цепей постоянного тока с той лишь разницей (как уже указывалось выше), что приходится оперировать не вещественными, а комплексными числами, которыми изображаются параметры сети и режима в
цепях переменного тока. С этой целью применяют: уравнения первого и
второго законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых напряжений, эквивалентного генератора и т.д.
Например, анализ любой электрической системы можно провести
путём непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа. Количество и правила записи этих уравнений рассмотрены в разделе
1.4. Решение полученной системы уравнений после подстановки численных значений заданных параметров (комплексных сопротивлений, ЭДС
или напряжений) проводятся любым из математических методов, разработанных в высшей алгебре, в результате чего будут найдены численные
значения искомых токов в комплексном виде.
2.23. Задачи для самостоятельного решения с ответами*
Задача 1
Мгновенные значения напряжения и тока: u  220 2 sin( t  20  ) В,
i  3 2 sin( t  15 ) А. Записать комплексы для действующих значений
функций в показательной, алгебраической и полярной формах.


Ответ: 1. U  220 e  j 20 B, I  3e j15 A;
2. U  206,7  j 75,2 B, I  2,9  j 0,78 A;
3. U  220  20 B, I  315 A.
Задача 2
Написать выражения для мгновенных значений напряжений. Действующие значения напряжений заданы в алгебраической форме:
U 1  25  j 60 B, U 2  60  j 25 B, U 3  25  j 60 B, U 4  60  j 25 B.
Ответ:
u1  65 2 sin(t  67,4 ) B, u2  65 2 sin(t  22,6 ) B,
u3  65 2 sin(t  112,6 ) B, u4  65 2 sin(t  157,4 ) B.
Задача 2
Токи представлены комплексными выражениями для действующих
значений:
* Примечание
Задачи раздела 2.23 и 3.5 взяты из /2/ и /3/.
93
40  j 36
230   64 
I1 
A, I 2 
A,
50  j 60
320  j 280
(24  j 30)(4  j12)
120  j150
I4 
A,
I

A.

4
(3  j 6)6543
260 e  j 60
i1  0,69 2 sin(t  92,2 ) A, i2  0,54 2 sin(t  22,8 ) A,
Ответ:
i3  1,87 2 sin(t  62,9 ) A, i4  0,44 2 sin(t  157,8 ) A.
Задача 4
Определить комплексное сопротивление участка цепи в полярной и
алгебраической форме, если падения напряжения на участке и ток соответственно равны: u  220 2 sin( t  120  ) В, i  2 2 sin( t  36  ) А.
Ответ: Z 1  110  84 Ом, Z 1  11,5  j109,4 Ом.
Задача 5
Мгновенное значение тока задано суммой i1  i2  i3  i4 . Записать
выражение для комплексной амплитуды этого тока в показательной, полярной и алгебраической форме, если:
i2  1,6 sin(t  120  ) A, i3  2,4 sin(t  15 ) A,
i4  1,2 sin(t  30 ) A.

Ответ: I 1m  3,3 j128,6 A, I 1m  3,3128,6 A, I 1m  2,1  j 2,6 A.
Задача 6
Определить ток i , равный разности токов i2  i1 . Дано:
i1  3,2 sin(t  60 ) A и i2  4,6 sin(t  45 ) A.
Ответ: i  1,72 sin(t  16,2 ) A.
Задача 7
Определить закон изменения тока через элемент цепи с комплексным сопротивлением Z  112  j 58 Ом, если закон изменения напряжения
на элементе u  124 sin(t  90 ) В.
Ответ: i  0,98 sin(t  62,6 ) A.
Задача 8
Вычислить параметры схемы из двух последовательно включённых
сопротивлений, если напряжение и ток соответственно равны:
u  300 sin( 628t  45 ) В, i  1,24 sin( 628t  86 ) А.
Ответ: R  182,6 Ом, X  X C  158,7 Ом.
94
Задача 9
Записать закон измерения напряжения на входе цепи с последовательным соединением сопротивлений, если мгновенное значение тока равно i  4,6 sin(314t  64 ) А. Дано: R  2,5 Ом, L  4,5 102 Гн, C  600 мкФ.
Ответ: u  42,2 sin( 314t  138,2 ) B.
Задача 10
Рассчитать комплексное сопротивление Z цепи (рис. 2.42), если
R1  24 Ом, R2  32 Ом, R3  15 Ом, L2  7,91  10 2 Гн,
C1  120 мкФ, C3  50 мкФ,   628 с -1.
R2
а)
R1
L2
Z2
б)
C1
Z1
R3
C3
Z3
Рис. 2.42. Схема к задаче 10:
а) с активными и реактивными составляющими сопротивлений участков цепи;
б) с полными сопротивлениями тех же участков.
1
1
; X C3 
; X L 2  X C1  2fL2 ;
2fC1
2fC3
Z Z
Z 1  R1  jX C1; Z 2  R2  jX L 2 ; Z 3  R3  jX C 3 ; Z  Z 1  2 3 .
Z2  Z3
Ответ: Z  60,43  j32,92  68,81  28,6 Ом.
Напомним, что здесь X C1 
Задача 11
Определить комплексное сопротивление всей цепи, схема которой
приведена на рис. 2.43. Дано:
R1  120 Ом, R2  60 Ом, R3  200 Ом, L1  0,14 Гн, L2  0,1 Гн,   1000 с-1.
R1
C1
L2
R2
L1
R3
Рис. 2.43. Схема к задаче 11
Ответ: Z ВХ  321,223,8 Ом.
95
Задача 12
Определить комплексное сопротивление всей цепи (рис. 2.44), если
сопротивления элементов цепи при заданной частоте источника питания:
R1  3 Ом, R2  6 Ом, X L1  2 Ом, X L 2  4 Ом, X L 3  8 Ом, X C1  5 Ом.
jХL1
R1
R2
jХL3
jХL2
jХC1
Рис. 2.44. Схема к задаче 12
Ответ: Z ВХ  6,2  46,4 Ом.
Задача 13
Определить комплексы действующих значений токов цепи (рис.
2.45), если мгновенное значение напряжение на входе схемы составляет
u  60 2 sin( t  32  ) В.
Дано: R1  28 Ом, X L1  16 Ом, X L 2  36 Ом, X C1  12 Ом.
I1
XL1
I3
I2
R1
XL2
XC1
Рис. 2.45. Схема к задаче 13
Ответ: I 1  1,25  15,5 A, I 2  1,26  73,3 A, I 3  1,4833,9 A.
96
Задача 14
Определить показания приборов электромагнитной системы и активную мощность всей цепи, схема которой приведена на рис. 2.46, если:
U  36 B, R1  21 Ом, R2  15 Ом, X L1  10 Ом, X C1  26 Ом.
R1
A1
A2
A3
XL1
U
XC1
R2
Рис. 2.46. Схема к задаче 14
Ответ: I A1  1,2 A, I A2  0,82 A, I A3  0,87 A, P  41,8 Вт.
Задача 15
В схеме рис. 2.47 включены приборы электромагнитной системы.
Определить показания приборов, если вольтметр V2 показывает напряжение U V 2  24,5 B.
Дано: R1  120 Ом, X L1  60 Ом, X C1  90 Ом, X C 2  30 Ом.
XL1
A1
A3
A2
V1
V2
XC2
XC1
R1
Рис. 2.47. Схема к задаче 15
Ответ: I A1  0,82 A, I A2  0,66 A, I A3  0,49 A, U V 1  41,9 В.
Задача 16
Определить комплекс действующего значения ЭДС источника на
входе цепи (рис. 2.48), если комплекс тока I 3  6  j8 A :
Дано: R1  4 Ом, R2  3 Ом, X L1  6 Ом, X C1  12 Ом.
97
I1
R1
I2
Е
I3
R2
 jXC1
jXL1
Рис. 2.48. Схема к задаче 16
Ответ: E  68,1125 В.
Задача 17
В цепи (рис. 2.49) последовательно включена катушка индуктивности с активным сопротивлением и конденсатор. Определить ёмкость конденсатора, при которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти
ток, активную мощность, выделяемую в цепи, напряжение на катушке и
конденсаторе. Дано: U  48 B, LK  0,06 Гн, RK  20 Ом, f  100 Гц.
C1
UC
Lк
Uк
U
Rк
Рис. 2.49. Схема к задаче 17
Ответ: С  42,3 мкФ, I  2,4 A, P  115 ,2 Вт, U K  102,4 B, U C  90,4 B.
Задача 18
Цепь (рис. 2.50) настроена на резонанс. Показание ваттметра соответствует мощности Р = 200 Вт, а показание амперметра току IA = 5 А.
Определить параметры цепи и приложенное к входу цепи напряжение, если напряжение на конденсаторе U С  160 B, угловая частота 0  500 с -1.
98
W
C
UC
L
U
R
A
Рис. 2.50. Схема к задаче 18
Ответ: R  8 Ом, L  64 103 Гн, C  62,5 мкФ, U  40 B.
Задача 19
При резонансе приборы электромагнитной системы, установленные
в цепи (рис. 2.51), показали: UV1 = 100 В, UV2 = 40 В, UV3 = 50 В, IA = 0,5 A.
Определить параметры цепи, если угловая частота 0  500 с -1.
C
R1
V2
V1
V3
L
R2
A
Рис. 2.51. Схема к задаче 19
Ответ: R1  60 Ом, R2  140 Ом, L  0,16 Гн, C  25 мкФ.
Задача 20
Определить значение сопротивления R2, при котором в цепи (рис.
2.52) установится резонанс напряжений на частоте f  100 Гц . Рассчитать
входное сопротивление цепи и ток в неразветвлённой части схемы, соответствующие резонансному режиму.
Дано: U  96 B, R1  6 Ом, L  0,015 Гн, С  120 мкФ.
99
I
R1
L
U
R2
C
Рис. 2.52. Схема к задаче 20
Ответ: R2  20,8 Ом, RВХ  12 Ом, I  8 A.
Задача 21
Для цепи (рис. 2.53) определить резонансную частоту и эквивалентное сопротивление при резонансе токов, если R = 16 Ом, L =0,04 Гн,
С = 5 мкФ.
L
R
C
Рис. 2.53. Схема к задаче 21
Ответ: 0  2200 с-1, RЭКВ  500 Ом.
Задача 22
Для схемы (рис. 2.54) рассчитать резонансные частоты и соответствующие частотам входные сопротивления, если:
R1  200 Ом, L1  8  10 3 Гн, L2  10  10 3 Гн, С2  25 мкФ.
L1
ZВХ
R1
C2
L2
Рис. 2.54. Схема к задаче 22
Ответ: 1) резонанс токов: 0  2000 с-1, Z ВХ   Ом;
2) резонанс напряжений: 0  3000 с-1, Z ВХ  200 Ом.
100
Задача 23
В цепи (рис. 2.55) имеет место резонанс. Показание амперметра,
установленного на входе цепи, соответствует току IA = 2 A. Определить
напряжение на входе цепи, если: R  10 Ом, X С  20 Ом.
A
R
XL
U
XC
Рис. 2.55. Схема к задаче 23
Ответ: U  100 B.
Задача 24
В цепи (рис. 2.56) резонанс токов. Показания амперметров соответствуют токам IA2 = 0,5 A, IA3 = 0,4 A. Определить показание амперметра
IA1.
C
R
A2
A1
L
A3
Рис. 2.56. Схема к задаче 24
Ответ: I А1  0,3 А.
101
Глава 3. Трехфазные цепи
3.1. Предварительные сведения
Трехфазной электрической системой называют такую систему, в которой действуют три синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые друг относительно друга на угол 2/3 π (120º) и создаваемые общим источником электроэнергии. Этим источником является чаще
всего трёхфазный синхронный генератор, который вырабатывает симметричную систему ЭДС.
Примечание. Многофазная система ЭДС называется симметричной,
2
если все ЭДС системы одинаковы по величине и угол сдвига фаз  
,
m
где m – число фаз. В трехфазной системе m =3.
В трёхфазном генераторе на статоре уложены три обмотки с зажимами A–x, B–y; C–z, смещённые относительно друг друга вдоль окружности статора на угол 120º. Эти обмотки называют фазными обмотками или
просто фазами (рис. 3.1а). Ротор трёхфазного генератора представляет собой электромагнит постоянного тока. При вращении ротора его магнитное
поле наводит в каждой обмотке ЭДС, которые будут иметь одинаковые частоты, амплитуды и будут сдвинуты по фазе относительно друг друга на
угол 120º (рис. 3.1б).
А
ЕА
UА
ЕА
ЕС
120
120
ЕВ
120
С
UС
ЕС
UВ
ЕВ
В
Рис. 3.1. Трёхфазная обмотка:
а) обозначение начал и концов фазных обмоток
б) векторная диаграмма фазных ЭДС
В трёхфазной цепи термин «фаза» имеет два значения:
 во-первых, как и ранее, этим термином обозначают угол синусоиды
(тока, напряжения, ЭДС);
102
 во-вторых, фазой называют часть трёхфазной цепи, в которой действует одна из трёх ЭДС: ЕА, ЕВ, ЕС.
Математически эти ЭДС можно записать в виде:
eA  EMA sin t ,
eB  EMB sin(t  120  ),
eC  EMC sin(t  240  )  EMC sin(t  120  ).
Выражения для ЭДС симметричной трёхфазной системы удобно записывать, используя оператор поворота на 120º, который ещё называют
фазным множителем трёхфазной системы:

1
3
а  е j120  cos120   j sin 120     j
 0,5  j 0,866 .
2
2
Умножение любого вектора на этот оператор не изменяет длины вектора, но поворачивает его на угол 120º в положительную сторону (т.е. против часовой стрелки).
Если оператор а возвести во вторую степень, получим



1
3
а 2  (а j120 ) 2  е j 240  e  j120    j
 0,5  j 0,866 .
2
2
Умножение на а 2 не изменяет величину вектора, но поворачивает его
на угол 240º в положительную сторону или (что то же самое) на угол 120º в
отрицательную сторону (т.е. по часовой стрелке).
Основные свойства операторов поворота заключаются в том, что
1  а  а 2  1  (0,5  j 0,866)  (0,5  0,0866 )  0.
Выражения для ЭДС симметричной трёхфазной системы можно записать так
Е МА  E M ,
Е МВ  а 2  E MА  а 2  ЕM ,
Е МС  а  E MА  а  ЕM .
Симметричные ЭДС трёхфазной цепи обладают следующим свойством
Е МА  Е МВ  Е МС  ЕM (1  а  а 2 )  0.
Разделив максимальное значение ЭДС на 2 , получим выражение
для действующих значений симметричной системы
Е А  Е В  Е С  0.
Шесть концов трёхфазных обмоток могут соединяться одним из двух
самых распространенных способов: звездой или треугольником.
При соединении фаз генератора и приёмника по схеме звезды (рис.
3.2) концы фазных обмоток генератора Х, У и Z включают в общий узел N,
называемый нейтралью генератора, а концы фаз приёмника (с сопротивле-
103
ниями ZА, ZВ, ZС), соединяясь в общую точку, образуют нейтраль приёмника n.
а
А
U АВ
UА
U СА
U ав
U са
Za
Uа
n
N
Uв
Zв
С
UС
UВ
В
Zc
Uс
с
в
U вс
U ВС
Рис. 3.2. Четырехпроводная трёхфазная цепь с соединением фаз
источника и приёмника по схеме «звезда с нейтральным проводом»
Начала фаз генератора и приёмника соединены проводами Аа, Вв и
Сс, которые называются линейными проводами. В схеме рис. 3.2 нейтрали
генератора и приёмника соединены проводом nN, который называется
нейтральным (нулевым) проводом. При наличии нейтрального провода
цепь называют четырёхпроводной, а при его отсутствии – трёхпроводной.
Напряжение между началом фазной обмотки генератора (А, В или С)
и концом обмотки (нейтраль N) называется фазным напряжением генератора, т.е. U А ,U В ,U С – фазные напряжения потребителя.
Напряжения между точками А и В, В и С, С и А называются линейными напряжениями генератора. Напряжения между точками а и в, в и с,
с и а называются линейными напряжениями потребителя.
Таким образом:
 U АВ ,U ВС ,U СА  линейные напряжения генератора;
 U ав ,U вс ,U са  линейные напряжения электроприёмника.
В общем случае фазное напряжение (UФ)  это напряжение между
линейным и нейтральным проводами, а линейные  это напряжение между
двумя линейными проводами (UЛ).
Токи, протекающие в фазах генератора или нагрузки, называются
фазными токами (IФ), а токи в линейных проводах – линейными токами (IЛ).
104
Как видно из схемы рис. 3.2 при соединении звездой линейный и фазный
токи (генератора и нагрузки)  это один и тот же ток, т.е. в схеме звезды
фазный ток равен линейному (IФ = IЛ).
На основе II-го закона Кирхгофа легко доказывается, что в схеме
звезды линейное напряжение равно геометрической сумме разности соответствующих фазных напряжений:
U АВ  U A  U B
U ВС  U B  U C
для генератора
U СА  U C  U A
Аналогичные выражения можно написать и для нагрузки.
Если векторы фазных напряжений образуют симметричную звезду
(т.е. векторы фазных напряжений равны по величине и сдвинуты по фазе
относительно друг друга на 120), легко доказать, что
U Л  3 UФ.
На зажимах трёхфазных генераторов это соотношение выполняется
всегда.
На
нагрузочных
сопротивлениях,
соединённых
звездой,
U Л  3  U Ф в следующих случаях:
 когда мы имеем четырёхпроводную звезду, т.е. схему с нейтральным
(нулевым) проводом, обладающим пренебрежимо малым сопротивлением;
 либо в трёхпроводной схеме звезды с симметричной нагрузкой.
Нагрузка называется симметричной, если равны комплексы полных
сопротивлений всех фаз
Z А  Z В  Z С,
а это возможно, когда соблюдаются:
1. условие равномерности нагрузки z А  z В  zС ;
2. условие однородности нагрузки  А   В   С ,
т.е. токи в фазах нагрузки сдвинуты относительно соответствующих фазных напряжений на один и тот же угол.
Из уравнения I-го закона Кирхгофа, записанного для узла n схемы
четырёхпроводной звезды (рис. 3.2) следует, что комплекс тока нейтрального провода будет равен сумме комплексов фазных токов
I nN  I А  I B  I C , .
Прохождение тока I nN в в нейтральном проводе создаёт падение
напряжения, величиной которого зачастую практически можно пренебречь
из-за того, что Z nN  0 . Поэтому потенциалы нейтралей n и N будут одинаковы и, следовательно, звезда векторов фазных напряжений на нагрузке
останется симметричной даже при несимметричной нагрузке (рис. 3.3а),
что приводит к выполнению соотношения U Л  3  U Ф .
105
UA
Ua
U ca
U ав
N
U ав
U ca
n
Uв
Uc
Ua
N
U nN
n
Uв
UC
UB
Uc
а)
б)
Рис. 3.3. Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений:
а) для четырёхпроводной звезды;
б) для трёхпроводной звезды
Это соотношение в трёхпроводной схеме с несимметричной нагрузкой теряет силу, так как между точками N и n появляется напряжение U nN
(рис. 3.3б), которое называется напряжением смещения нейтрали. От степени несимметрии нагрузки в трёхпроводной схеме звезды зависит напряжение смещения нейтрали U nN , которое, в свою очередь, определяет отличие фазных напряжений нагрузки от фазных напряжений генератора (рис.
3.3б)
U а  U A  U nN ;
U в  U B  U nN ;
U С  U C  U nN .
Трёхпроводную схему звезды применяют при условии симметрии
нагрузки, в этом случае симметрия фазных напряжений обеспечивается и
без нейтрального провода.
Нейтральный провод необходим в случае несимметрии нагрузки, так
как именно он обеспечивает симметрию фазных напряжений нагрузки в
этом случае.
Полезно помнить, что при отключении нейтрального провода
несимметрия нагрузки приводит к искажению фазных напряжений на
нагрузке, что недопустимо при эксплуатации.
Напряжение смещения нейтрали в трёхпроводной цепи определяется
по формуле
U Y  U BY в  U CY c
U nN  A a
,
Y A Y B YC
где U А ,U В ,U С  комплексы фазных напряжений генератора;
106
Y A  Y B  Y C  комплексы проводимостей фаз приёмника (включая сопротивления линейных проводов).
Важно помнить, что в четырёхпроводной схеме звезды, строго говоря, напряжение смещения нейтрали равно нулю только при условии равенства нулю сопротивления нейтрального провода Z nN , которым зачастую в
расчётах пренебрегают. Наличие сопротивления Z nN приводит к появлениюU nN в четырёхпроводной схеме звезды даже при симметричной
нагрузке. Величину напряжения смещения в этом случае определяют по
формуле:
U nN 
U AY a  U BY в  U CY c
,
Y A  Y B  Y C  Y nN
1
 проводимость нейтрального провода.
Z nN
В трёхфазной системе фазы генератора и приёмника энергии могут
быть соединены по схеме треугольника.
При соединении приёмников треугольником конец одной фазы соединяется с началом следующей, то есть «х» соединяется с «в», «у» с «с», а
«z» с «а» (рис. 3.4а). К вершинам образовавшегося треугольника а, в, и с
присоединяются линейные провода, идущие от трёхфазного источника.
где Y .nN 
А
Ia
а
U АВ
Iaв
Uca
Uaв
Iс
Iвc
Ica
В Iв
 I са
Zaв
Zca
с
в
Zвc
С Ic
 I вс
U СА
30
I вс
I са
30
Iв
Uвc
a)
Iа
I ав
 I ав
U ВС
б)
Рис. 3.4. Трехфазная цепь с соединением фаз приёмника треугольником:
а) схема цепи;
б) векторная диаграмма токов и напряжений
В трёхфазной цепи при соединении приёмников треугольником различают:
U АВ ,U ВС ,U СА  линейные и в то же время фазные напряжения нагрузки.
Z ав  Z вс  Z са  сопротивления фаз нагрузки;
I ав  I в с  I са  фазные токи нагрузки;
107
I а  I в  I с  линейные токи нагрузки.
Фазные напряжения, как и при соединении звездой, сдвинуты относительно друг друга на 120 и образуют симметричную звезду (рис. 3.4б). Как
уже было сказано выше
UФ  UЛ .
В то же время линейные токи согласно I-му закону Кирхгофа для точек а, в, и с могут быть выражены через фазные токи следующим образом:
I а  I ав  I са ;
I в  I вс  I ав ;
I с  I са  I вс .
На рис. 3.4б приведена векторная диаграмма для симметричной
нагрузки. Легко доказывается, что в случае симметричной нагрузки линейный ток больше фазного в 3 раз: I Л  3  I Ф .
При несимметричной нагрузке это выражение теряет силу. Фазные
токи при любой нагрузке определяются по закону Ома:
U
U
U
I aв  aв ; I вc  вc ; I ca  ca .
Z aв
Z вc
Z ca
3.2. Примеры расчета трехфазных цепей
с симметричной нагрузкой
Задача 1.
Для симметричной трёхфазной системы с действующими напряжением 220 В при соединении обмоток генератора звездой (рис. 3.5) записать
выражения для комплексных мгновенных и действующих значений фазных и линейных напряжений. Построить векторную диаграмму напряжений.
Решение
Если принять за начало отсчёта момент, когда ЭДС фазы проходит
через ноль (то есть вектор ЭДС фазы А совпадает с направлением положительной полуоси вещественных чисел), при прямом чередовании фаз мгновенные значения напряжений фаз равны
uA  U M sin t  220 2 sin t;
uB  U M sin(t  120  )  220 2 (sin t  120  );
uC  U M sin(t  120  )  220 2 (sin t  120  ).
Примечание:
1. Прямым чередованием фаз называют такую последовательность чередования фаз, когда вектор напряжения фазы А опережает вектор напряжения фазы В на угол 120, а вектор напряжения фазы В опережает вектор
напряжения фазы С на угол 120.
108
2. Если пренебречь внутренним сопротивлением обмоток генератора,
то в этом случае фазные напряжения uА, uВ, uС оказываются равными соответствующим ЭДС еА, еВ, еС, то есть
uА = еА;
u В = еВ ;
u С = еС .
А
+1
U АВ
UА
UА
30
U СА
ЕА
ЕС
UС
N
U АВ
U АВ
ЕВ
 90
150
120
+j
UВ
 120
U ВС
N
U СА
В
U ВС
а)
UС
U ВС
С
UВ
б)
U СА
Рис. 3.5. Соединение звездой:
а) схема соединения;
б) векторная диаграмма
Выражения для действующих значений фазных напряжений в комплексном виде:


U А  Ue j 0  220 e j 0  220 0 B;


U B  Ue j120  220 e  j120  220   120  B;


U C  Ue j120  220 e j120  220 120  B.
Комплексы действующих значений этих же напряжений в алгебраической форме:
109
U А  220 e j 0  220 (1  j 0)  220 B;

1
3
U B  220 e  j120  220 (  j )  110  j190,5 B;
2
2
1
3
U C  220 e j120  220 (  j )  110  j190,5 B.
2
2
Примечание: Комплексы действующих значений фазных напряжений
в показательной форме могут быть записаны с помощью фазного множителя трёхфазной системы:
U A  U , U B  a 2U , U C  aU ,
1
3 2
1
3
; a  e j120  e j 240  e  j120    j
.
где a  e j120   j
2
2
2
2
Значение суммы: 1  a  a 2  0.
Комплексы действующих значений линейных напряжений будут
иметь вид
U АВ  U A  U B  220  (110  j190 )  330  j190  38030  B;








U ВC  U B  U C  (110  j190 )  (110  j190)   j 380  380  90  B;
U CА  U C  U A  (110  j190)  220  330  j190  380150  B.
Векторная диаграмма (рис. 3.5б) построенная в масштабе напряжений, иллюстрирует тот факт, что линейные напряжения U АB , U BC , U CA по
величине в 3 раз больше фазных напряжений U А , U B , U C и сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол 120, при этом вектор U АB располагается под углом 30 по отношению к положительной полуоси, U BC  под
углом (90), а вектор U CA  под углом 150. Напомним, что положительные углы отсчитываются от положительной оси вещественных чисел (в
нашем случае вертикальная ось) против часовой стрелки, а отрицательный
угол (для U BC ) по часовой стрелке.
Задача 2
Для симметричной трёхфазной системы с действующим фазным
напряжением 220 В при соединении обмоток генератора треугольником
написать выражение для комплексных мгновенных и действующих значений (рис. 3.6а).
Приняв, как и в предыдущей задаче , за начало отсчёта момент, когда
ЭДС фазы А проходит через 0, получим при прямом чередовании фаз выражения для мгновенных значений фазных и линейных напряжений:
u A  u АВ  U M sin t  220 2 sin t В;
u B  u ВС  U M sin(t  120  )  220 2 sin(t  120  ) B;
uC  uCA  U M sin(t  120  )  220 2 (t  120  ) B.
Комплексы для действующих значений напряжений:
110
U А  U АВ  220 0  B;
U B  U ВС  220   120  B;
U C  U СА  220 120  B.
А
UА
ЕС
UС
U СА
ЕА
ЕВ
U А  U АВ
U AВ
+j
120
В
240
U ВС
UВ
120
С
U С  U CA
а)
U В  U ВC
б)
Рис. 3.6. Соединение треугольником:
а) схема соединения;
б) векторная диаграмма
Комплексы для действующих значений:
U А  U АВ  220 0  B;
U B  U ВС  220   120  B;
U C  U СА  220 120  B.
Векторная диаграмма напряжений при соединении обмоток генератора треугольником изображена на рис. 3.6б.
Задача 3
К выводам симметричного трёхфазного генератора (рис. 3.7а) с фазной ЭДС ЕФ = 220 В присоединена нагрузка, соединённая звездой без
нейтрального провода. Сопротивление каждой фазы нагрузки составляет R
= 6 Ом, XС = 8 Ом.
Определить комплексы действующих значений токов. Построить
векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение
1. ЭДС фазных обмоток генератора, соединённых звездой, образуют
симметричную систему
Е А  ЕФ e j 0  220 0  B;

Е B  ЕФ e  j120  220   120  B;

Е C  ЕФ e j120  220 120  B.

111
R
R
R
Рис. 3.7. Электрическая цепь с соединением обмоток генератора
и нагрузочных сопротивлений звездой без нейтрального провода:
а) электрическая схема;
б) векторная диаграмма
2. Комплексы сопротивлений фаз нагрузки
Z А  Z В  Z С  R  jX C  6  j8  10  53,1 Ом.
3. Нагрузка симметричная, следовательно, напряжение смещения
нейтрали U nN  0. Токи в линиях (фазах нагрузки) равны между собой по
величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120.
Расчёт токов достаточно выполнить только по одной фазе А:
EA
2200 
IA 

 2253,1 A.

Z A 10  53,1
Соответствующие токи в фазах А и В получим с помощью фазного
множителя:
I B  a 2  I A  e  j120  2253,1  22  66,9  A.

I C  a  I A  e j120  2253,1  22173,1 A.
Проверка решения по первому закону Кирхгофа:
I A  I B  I C  2253,1  22  66,9   22173,1  0 A.
При построении векторной диаграммы предварительно выбираем
масштаб напряжений и масштаб токов. В выбранном масштабе на комплексной плоскости строим симметричную систему ЕА, ЕВ, ЕС и линейные
напряжения U АB , U BC и U CA как разности соответствующих фазных ЭДС.
Поскольку, как и в предыдущей задаче принято, что сопротивления
фазных обмоток равны 0, следовательно:
EA U А , EB U B, EC U C
и поэтому
U АВ  U A  U B  E A  E B ;
U ВC  U B  U C  E B  E C ;
U CА  U C  U A  E C  E A .

112
Так как нагрузка симметричная, то напряжение смещения U nN  0 ,
следовательно, фазные напряжения генератора и нагрузки равны. Напомним также, что токи IА, IВ, IС являются фазными и линейными одновременно.
Задача 4
К трёхфазному генератору (рис. 3.8) с действующими значениями
фазных ЭДС ЕФ = 127 В подключена симметричная нагрузка. Определить
комплексы действующих значений токов в фазах нагрузки, если сопротивления фаз нагрузки R = 16 Ом, сопротивления линейных проводов ХL = 12
Ом. Построить векторную диаграмму.
R
R
R
Рис. 3.8. Электрическая цепь с соединением обмоток генератора
и нагрузочных сопротивлений по схеме четырехпроводной звезды
1. Фазные ЭДС генератора образуют симметричную систему. Комплексы действующих значений фазных ЭДС:
Е А  Е Ф e j 0  127 0 B;

Е B  а 2  Е А  e  j120  127 0   127   120  B;

Е C  а  Е А  e j120  127 0   127 120  B.
2. Наличие симметрии фаз указывает на равенство нулю тока в
нейтральном проводе (IN = 0). Напряжение между нейтральными точками
генератора и нагрузки тоже не возникает  U nN  0 . Линейные (фазные)
токи равны между собой по величине и сдвинуты относительно друг друга
по фазе на угол 120.
Комплекс действующего значения тока в фазе А:
EA
127 0 
IA 

 6,35  36,9  A.
R  jX L 16  j12
Соответствующие токи в фазах А и В получим с помощью фазного
множителя:
I B  a 2  I A  e  j120  6,35  36,9   6,35  156,9  A.


I C  a  I A  e j120  6,3536,9   6,3583,1 A.

113
Проверка решения по первому закону Кирхгофа:
I A  I B  I C  6,35  36,9   6,35  156,9   6,3583,1  0 A.
3. Рассчитать фазные напряжения на нагрузке:
U А  I A R  6,35  36,9   16  101,6   36,9  B;
U B  I B R  6,35  156,9   16  101,6   156,9  B;
U C  I C R  6,3583,1  16  101,6 83,1 B.
4. В выбранном масштабе напряжений и токов на комплексной плоскости строим векторы напряжений генератора и нагрузки (рис. 3.9). С учётом
углов сдвига фаз строим на диаграмме векторы линейных (фазных) токов
I A,I B,I C .
UAa
UСс
UВв
Рис. 3.9. Векторная диаграмма к Задаче 4
Падения напряжения в линейных проводах можно определить двояким образом:
 из векторной диаграммы (см.на рис. U Аа , U Bв и U Cс );
 аналитическим расчётом по формуле закона Ома:
U Аа  I A  jX L ;
U Bв  I B  jX L ;
U Cс  I C  jX L .
3.3. Задачи для самостоятельного расчета трехфазных цепей
с симметричной нагрузкой с ответами
Задача 1
К выводам симметричного трёхфазного генератора подключены три
одинаковые нагрузки, соединённые звездой (рис. 3.10). Определить комплексы
действующих
значений
линейных
токов,
если
Е А  400 е j 0 ; Z Ф  24  j 32 Ом.

114
Рис. 3.10. Схема к Задаче 1
Ответ: I A  10  53,1 А; I B  10  173,1 А; I C  1066,9  А.
Задача 2
К трёхпроводной линии (рис. 3.11) подключена симметричная
нагрузка, соединённая звездой. Определить линейное напряжение источника, если показание амперметра электромагнитной системы, установленного в фазе В, равно 12,2 А, а сопротивление каждой фазы нагрузки
Z Ф  10  j 24 Ом.
Рис. 3.11. Схема к Задаче 2
Ответ: U Л  550 В.
Задача 3
Симметричный трёхфазный генератор питает трёхфазную нагрузку,
соединённую звездой (рис. 3.12). Определить комплексы действующих
значений линейных токов и напряжений на нагрузке, если
Е А  250е j 0 В; R  6 Ом, X L  4 Ом, X C  12 Ом.

115
R
R
R
Рис. 3.12. Схема к Задаче 3
Ответ: I A  2553,1 А; I B  25  66,9  А; I C  25173,1 А,
U A  300  36,9  B; U B  300  156,9  B; U C  30083,1 B.
Задача 4
На рис. 3.13 представлена симметричная трёхфазная система. Найти
фазные и линейные токи, если линейное напряжение источника
U АB  120е j 30 B, сопротивление нагрузки, соединённой треугольником,
Z Н  100  j100 Ом.

Рис. 3.13. Схема к Задаче 4
Ответ: I ав  0,8575  А; I вс  0,85  45  А; I са  0,85195  А,
I A  1,4745  А; I B  1,47  75  А; I C  1,47165  А.
Задача 5
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, подключена к
трёхпроводной линии (рис. 3.14). Линейное напряжение в линии
U АB  380е j 30 B, сопротивления элементов схемы R = 15 Ом, ХL = 5 Ом.
Определить комплексы действующих значений линейных и фазных токов.

116
R
R
R
Рис. 3.14. Схема к Задаче 5
Ответ: I A  31,11  45  А; I B  31,11  165  А; I C  31,1175  А.
I ав  17,96  15  А; I вс  17,96  135  А; I са  17,96105  А.
Задача 6
К симметричной трёхфазной цепи с линейным напряжением
UЛ = 650 В подключены два трёхфазных приёмника, соединённых звездой
и треугольником (рис. 3.15). Определить показания амперметров, установленных в схеме, если сопротивления фаз приёмников соответственно равны R = 12,5 Ом, ХC = 90 Ом.
R
R
R
Рис. 3.15. Схема к Задаче 6
Ответ: I A1  32,5 А; I А2  30 А; I А3  12,5 А, I А4  7,2 А.
117
3.4. Примеры расчета трехфазных цепей
с несимметричной нагрузкой
Задача 1
К симметричному трёхфазному генератору, соединённому звездой с
фазной ЭДС ЕФ = 220 В, присоединена несимметричная нагрузка, также
соединённая звездой (рис. 3.16а). Определить комплексы действующих
значений токов в фазах нагрузки, если R = 25 Ом, ХL = 30 Ом, ХC = 10 Ом.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение
1. Комплексы действующих значений фазных ЭДС симметричного генератора. Примем Е А  ЕФ е j 0  220 0  В, тогда

Е B  a 2  Е A  e  j120  2200   220  120  В,

Е С  a  Е А  e j120  2200   220120  В.

2. Напряжение смещения нейтрали между нейтральными точками nN
находим по формуле:
U nN
ЕА
ЕB
ЕC
220 0  220   120  220 120 




R
jX L  jX C
25
j 30
 j10



1
1
1
1
1
1




R jX L  jX C
25 j 30  j10
18,15  156,2 

 232,69144,8 В.

0,07859
R
а)
б)
Рис. 3.16. Схема к Задаче 1:
а) схема цепи;
б) векторная диаграмма
118
3. Напряжение на фазах нагрузки найдём по второму закону Кирхгофа:
U а  Е A  U nN  220 0   232,69144,8  431,52   18,1 B,
U в  Е B  U nN  220   120   232,69144,8  334,4   76,1 B,
U c  Е C  U nN  220 120   232,69144,8  97,9935,1 B.
4. Комплексы действующих значений токов в фазах найдём по закону
Ома:
U a 431,52   18,1
IA 

 17,26  18,1 A,
R
25
U в 334,4   76,1
IB 

 11,15  166,1 A,
jX L
j 30
Uc
97,99 35,1
IC 

 9,8125,1 A.
 jX C
 j10
Проверка по первому закону Кирхгофа:
I A  I B  I C  17,26  18,1  11,15  166,1  9,8125,1  0.
5. Для построения векторной диаграммы напряжений и токов (рис.
3.16б) в выбранном масштабе на комплексной плоскости строим векторы
фазных ЭДС Е A , Е B и Е C . Из точки N откладываем вектор напряжения
U nN , получим нейтральную точку n нагрузки. Соединив точки А, В и С с
точкой n, получим векторы фазных напряжений U а , U в и U c . Векторы фазных (линейных) токов строим из точки n в зависимости от характера
нагрузки в фазах или по известному значению аргумента при токе.
Задача 2
К выводам симметричного трёхфазного генератора с фазной ЭДС
Е Ф  240 В подключена несимметричная нагрузка, соединённая звездой с
нейтральным (нулевым) проводом (рис. 3.17). Сопротивления фаз нагрузки
Ra  6 Ом, Rв  12 Ом, Rc  24 Ом. Сопротивление каждого провода линии
R  3 Ом, X L  4 Ом
и
сопротивление
нейтрального
провода
R0  8 Ом. Определить показания приборов электромагнитной системы,
установленных в схеме.
R
Rа
R0
R
R
Rс
Rb
119
Рис. 3.17. Схема к Задаче 2
Решение
1. Комплексы действующих значений фазных ЭДС генератора. Пусть
Е А  ЕФ е j 0  240 0  В, тогда

Е B  a 2  Е A  e  j120  2200   240  120  В,

Е С  a  Е С  e j120  2200   240120  В.
2. Комплексные сопротивления фаз нагрузки и линии:
Z А  R  Ra  jX L  9  j 4 Ом.

Z В  R  Rв  jX L  15  j 4 Ом.
Z С  R  Rc  jX L  27  j 4 Ом.
3. Комплекс действующего значения напряжения смещения нейтрали:
240 0 240   120  240 120 
ЕА ЕB ЕC




9  j4
15  j 4
27  j 4
ZA ZB ZC
U nN 


1
1
1
1
1
1
1
1






Z A Z B Z C R0
9  j 4 15  j 4 27  j 4 8
15,04  57,4

 46,56  46,1 В.

0,323  11,3
4. Комплексы действующих значений линейных (фазных) токов:
E A  U nN 240 0   46,56  46,1
IA 

 21,36  14,8  A,
ZA
9  j4
E B  U nN 240   120   46,56  46,1
IB 

 14,91  146,1 A,
ZB
15  j 4
E C  U nN 240 120   46,56  46,1
IC 

 10,46113,8  A.
ZC
27  j 4
5. Комплекс действующего значения тока в нейтральном проводе:
U
46,56  46,1
I N  nN 
 5,82  46,1 A.
R0
8
Проверка решения по первому закону Кирхгофа:
I A  I B  I C  I N  21,36  14,8  14,91  146,1 
 10,46113,8   5,82  46,1  0.
6. Измерительные приборы показывают действующие значения
величин:
I A1  I A  21,36 А; I А2  I B  14,91 А; I А3  I C  10,46 А,
I А0  I N  5,82 А, UV  U nN  46,56 В.
Задача 3
120
В четырёхпроводную линию трёхфазной симметричной сети с
фазным напряжением U Ф  120 В включена несимметричная трёхфазная
нагрузка, соединённая звездой (рис. 3.18а). Определить показания амперметров на каждой фазе нагрузки и нейтральном проводе, если
Z A  16  j12 Ом, Z В  8  j 6 Ом, Z С  24  j18 Ом. Построить
диаграмму
напряжений и векторную диаграмму токов.
Решение
1. Комплексы действующих значений фазных напряжений трёхфазной
цепи. Примем U А  U Ф е j 0  120 0  В, тогда

U B  a 2  U A  e  j120  1200   120  120  В,

U С  a  U A  e j120  1200   120120  В.

б)
а)
Рис. 3.18. Схема к Задаче 3:
а) схема цепи;
б) векторная диаграмма
2. Так как по условиям задачи сопротивления линейных и нейтрального проводов равны нулю, то напряжение каждой фазы сети приложено
непосредственно к соответствующей фазе нагрузки.
Комплексы действующих значений токов в фазах нагрузки рассчитываем по закону Ома:
U А 120 0
IA 

 6  36,9  A,
Z A 16  j12
IB 
U В 120   120 

 12  156,9  A,
ZB
8  j6
U С 120 120 
IC 

 4156,9  A.
ZC
24  j18
121
6. Комплекс действующего значения тока в нейтральном проводе
определим по первому закону Кирхгофа:
I N  I A  I B  I C  6  36,9  12  156,9   4156,9   12  145,8 A.
4. Амперметры показывают действующие значения величин
I A1  I A  6 А; I А2  I B  12 А; I А3  I C  4 А, I А0  I N  12 А.
5. Выбрав масштабы напряжений и токов, строим векторную диаграмму (рис. 3.18б). Вектор тока в нейтральном проводе получим как геометрическую сумму векторов фазных токов.
Задача 4
К выводам симметричного трёхфазного генератора с фазным напряжением U Ф  220 В подключена несимметричная нагрузка, соединённая
треугольником (рис. 3.19). Определить линейные, фазные токи и показания
амперметров, если сопротивления нагрузки равны R  X L  X C  25 Ом.
R
Рис. 3.19. Схема к Задаче 4
Решение
1. Комплексы действующих значений линейных напряжений. Пусть
U АВ  3  U Ф е j 0  3  220 e j 0  380 0  B,
тогда
U ВC  a 2 U AB  e  j120  380   0   380   120  B,



U CА  aU AB  e j120  380   0   380 120  B.
2. Комплексы действующих значений фазных токов:
U АВ 380 0 
I ав 

 15,20  A,
R
25
U ВС 380   120 
I вс 

 15,2150  A,
jX L
j 25

U СА
380 120 
I са 

 15,2  150  A.
 jX C
 j 25
122
3. Комплексы действующих значений линейных токов вычислим по
первому закону Кирхгофа через разность фазных токов:
I A  I ав  I са  15,20   15,2  150   29,415  А,
I B  I вс  I ав  15,2150   15,20   29,4165  А,
I C  I са  I вс  15,2  150   15,2150   15,2  90  А.
4. Амперметры показывают действующие значения величин фазных и
линейных токов
I A1  I А2  29,4 А; I А3 ...I А6  15,2 А.
3.5. Задачи для самостоятельного расчета трехфазных цепей
с несимметричной нагрузкой с ответами
Задача 1
К трёхфазному симметричному генератору с фазной ЭДС
Е А  200e j 0 В подключена несимметричная нагрузка, соединённая звездой
(рис. 3.20а). Определить комплексы действующих токов в фазах и построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов, если Z а  45 Ом, Z в  25 Ом, Z с  225 Ом.

Uа
Uв
Uс
а)
б)
Рис. 3.20. Схема к Задаче 1
а) схема цепи;
б) векторная диаграмма
Ответ: I A  4,8924,8 А; I B  5,14  141,1 А; I C  1,26110,6  А,
совмещённая диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 3.20б.
Задача 2
К четырёхпроводной трёхфазной линии (рис. 3.21а) с фазным
напряжением U А  130e j 0 В присоединена несимметричная нагрузка.
Определить комплексы действующих значений токов в фазах и нейтральном
проводе,
если
комплексные
сопротивления
нагрузки
Z A  1,2  j1,6 Ом,

123
Z B  0,8  j 0,6 Ом, Z C  1,2  j 0,5 Ом.
токов и напряжений.
Построить векторную диаграмму
б)
а)
Рис. 3.21. Схема к Задаче 2
а) схема цепи;
б) векторная диаграмма
Ответ:
I A  65  53,1 А; I B  130  83,1 А; I C  100142,6  А, I N  123  101,7  А.
Совмещённая диаграмма напряжений и токов приведена на рис. 3.21б.
Задача 3
В трёхфазной цепи (рис. 3.22) известны токи амперметров:
I A1  8 А; I А2  3 А, I А3  4 А. Определить показание амперметра, установленного в нейтральном проводе.
R
Ответ: I N  2 А.
Рис. 3.22. Схема к Задаче 3
Задача 4
Для трёхфазной цепи (рис. 3.23) определить показания амперметра,
установленного в нейтральном проводе, если линейное напряжение
U Л  380 В, сопротивления фаз R  115 Ом, X L  52 Ом, X C  24 Ом.
124
R
Ответ: I N  10 А.
Рис. 3.23. Схема к Задаче 4
Задача 5
К выводам симметричного трёхфазного генератора с фазной ЭДС
ЕФ  200 В присоединена несимметричная нагрузка, соединённая в звезду
(рис. 3.24). Определить показания вольтметра электромагнитной системы,
если
сопротивления
фаз
соответственно
равны
Z A  40  j 20 Ом, Z B  25  j 50 Ом, Z C  200  j120 Ом.
Ответ: U V  35,5 B.
Рис. 3.24. Схема к Задаче 5
Задача 6
Для трёхфазной цепи (рис. 3.25) определить комплексы действующих значений линейных и фазных токов, если напряжение фазы А симметричного источника U A  110e j 0 В, сопротивления фаз несимметричной
нагрузки R  60 Ом, X L  40 Ом, X C  120 Ом.

125
R
Рис. 3.25. Схема к Задаче 6
Ответ: I A  4,6239,9 А; I B  7,68168,1 А; I C  4,2  19,1 А,
I ав  3,1830  А; I вс  4,76180  А; I са  1,59  120  А.
Задача 7
Несимметричная нагрузка, соединённая треугольником, подключена
к трёхпроводной линии (рис. 3.26). Определить показания амперметров,
установленных в линейных проводах, если сопротивления элементов схемы R  200 Ом, X L  400 Ом, X C  100 Ом.
А
В
С
А1
А1
А2
ХС
ХС
ХС
b
R
R
ХL
a
Рис. 3.26. Схема к Задаче 7
Ответ: I A1  1,25 А; I А2  1,83 А, I А3  2,72 А.
c
126
Задача 8
К зажимам четырёхпроводной сети с фазным напряжением
U A  150e j 0 В подключена несимметричная нагрузка (рис. 3.27). Определить комплекс действующего значения тока в нейтральном проводе, если
сопротивления
элементов
цепи
соответственно
равны
R  10 Ом, X L  20 Ом, X C  15 Ом, R0  10 Ом, X 0  4 Ом.

R0
R
Рис. 3.27. Схема к Задаче 8
Ответ: I N  0,96  117 ,1 А.
3.6.
Задания № 12, 13, 14
3.6.1. Общие указания для заданий № 12, 13, 14
Каждый студент выполняет свой вариант заданий. Номер варианта
задаётся преподавателем в виде двух чисел: первое число определяет вариант задания напряжения (табл. 13), а второе число  вариант задания численных значений сопротивлений (табл. 14). Например, для варианта №2-10
следует взять 2-ой вариант задания напряжений (т.е. 220 В) из табл. 13 и
10-й вариант задания сопротивлений – из табл. 14.
К заданиям № 12 и 13 (для схем четырёхпроводной и трёхпроводной
звезды) задаётся фазное напряжение генератора, а к заданию № 14 (схема
треугольника) задаётся линейное напряжение генератора. Сопротивлением
линейных и нейтрального проводов во всех заданиях пренебрегаем.
127
Варианты задания напряжений
Таблица 13
Фазное напряжение
генератора
(к заданию №12, 13)
Линейное напряжение
генератора
(к заданию №14)
1
2
3
4
UФ
UЛ
127
220
380
660
Вариант задания напряжения
Варианты задания сопротивлений
Таблица 14
№
Варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
R1
1 2 3 4 2 2 1 2 3 4 1 1 4 3 2 2 1 2 4 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 1 3
R1
2 3 4 2 1 4 2 1 2 3 2 4 3 2 1 1 1 4 3 2 1 2 4 3 2 2 1 3 1 3 2
R1
3 4 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2 3 4 2 4 3 2 1 2 4 3 2 2 1 2 4 3 2 1
ХL
4 2 1 2 3 2 3 4 2 1 4 1 1 3 3 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 2 4 3 2 1 2
ХС
2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 1 2 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 2 3 4 1
3.6.2. Задание № 12
Включением выключателя «В» на рис 3.28 образуется четырёхпроводная электрическая цепь с соединением фаз источника и приёмника по
схеме звезды с нейтральным проводом. К зажимам А, В и С со стороны источника электроэнергии (который на рисунке не показан) подведено симметричное трёхфазное напряжение. Значение U Ф линии приведено в
табл.13, а численные значения сопротивлений нагрузки в табл. 14.
Используя эти данные, следует:
1. написать выражения для мгновенных значений фазных напряжений
на линии (в точках А, В и С) и на нагрузке;
2. рассчитать:
 действующие значения токов в линейных проводах и нейтральном (нулевом) проводе, показания амперметров А1, А2, А3, А0;
 активную, реактивную и полную мощности каждой фазы нагрузки и всей трёхфазной системы.
3. построить векторную диаграмму фазных и линейных напряжений и
токов.
128
IА
А
А1
R1
jXL
N
В
А0
n
R2
– jXC
В
А2
С
А3
R3
IВ
IС
Рис. 3.28. Схема цепи к заданиям № 12, 13
3.6.3. Задание № 13
К зажимам А, В, С рис 3.28 со стороны источника электроэнергии
(который на рисунке не показан) подведена симметричная трёхфазная система напряжений. Выключатель «В» отключен, что делает цепь рис. 3.28
трёхпроводной, т.е. без нейтрального провода, с подключённой к точкам А,
В, С неравномерной нагрузкой, соединённой по схеме звезды.
Значение U Ф линии приведено в табл.13, а численные значения сопротивлений нагрузки  в табл. 14.
Используя эти данные, следует:
1) написать выражения для мгновенных значений фазных напряжений
источника;
2) вычислить:
 действующие значения напряжения смещения U nN и фазных
напряжений на нагрузке;
 токов линии (нагрузки), т.е. показания амперметров А1, А2, А3;
 активную, реактивную и полную мощности каждой фазы нагрузки и всей трёхфазной системы.
3) построить векторную диаграмму, построив векторы фазных и линейных напряжений в точках А, В и С, напряжения смещения и токов
нагрузки (линейных проводов).
3.6.4. Задание № 14
К зажимам А, В, С рис 3.29 со стороны источника электроэнергии
(который на рисунке не показан) подведена симметричная трёхфазная система напряжений.
129
А
А1
IA
R3
Iaв
jXL
А31
В
С
IB
А2
А3
R1
– jXC
А12
Ica
R2
А23
Iвc
IC
Рис. 3.29. Схема цепи к заданиям № 14
Значение линейного напряжения U Л приведено в табл.13, а численные значения сопротивлений нагрузки, соединённой по схеме треугольника, приведены в табл. 14.
Используя эти данные, следует:
1) написать выражения для мгновенных значений линейных напряжений в точках А, В и С;
2) вычислить
 действующие значения фазных токов нагрузки ( I aв , I вс , I ca ) и токов линейных проводов( I A , I B , I C );
 активные и реактивные мощности каждой фазы нагрузки, а также
активную, реактивную и полную мощность всей трёхфазной нагрузки.
3) построить векторную диаграмму напряжений, фазных и линейных
токов нагрузки.
3.7. Примеры выполнения заданий № 12, 13, 14
3.7.1. Пример выполнения задания № 12
Для схемы четырёхпроводной звезды (рис 3.30) задано:
U Ф  50 B, R1  1 Ом, R2  5 Ом, R3  4 Ом, X L  3 Ом, X C  2 Ом.
Необходимо выполнить все 3 пункта задания 12.
Задание 12 может быть выполнено двумя способами:
 с помощью метода комплексных величин (т.е. символическим
методом);
 графоаналитическим методом.
А
130
IА
А1
– jXC
UA
R1
N
InN
А0
jXL
UC
UB
В
А2
С
А3
n
R3
R2
IВ
IС
Рис. 3.30. Схема к примеру Задания № 12
Выполнение задания № 12 методом комплексных величин
Для написания выражения для мгновенных значений фазных напряжений необходимо произвольно задаться направлением любого из фазных
напряжений в точках А, В, С. Будем считать, что вектор напряжения фазы
А на комплексной плоскости направлен вдоль положительной полуоси вещественных чисел (рис. 3.31). Тогда выражения для действующих значений фазных напряжений в показательной, полярной и алгебраической
форме будут иметь вид:
U А  50e j 0  500  50  B;

U В  50e  j120  50  120   25  j 43,3 B;

U C  50e  j 240  50120   25  j 43,3 B.
Для мгновенных значений можно написать следующие выражения:
uA  U МА sin t  50 2 sin t ;

uB  U МB sin(t  120  )  50 2 sin(t  120  );
uC  U МC sin(t  120  )  50 2 sin(t  120  ).
Поскольку по условиям задачи мы пренебрегаем сопротивлением
линейных проводов, а также благодаря наличию нейтрального провода
(также с нулевым сопротивлением) напряжения на нагрузке (фазные и линейные) будут такими же, как и в точках А, В, С, законы их изменения
одинаковы. Следовательно:
действующие значения
мгновенные значения
Ua  UА;
ua  uА ;
Uв  UB;
uв  u B ;
Uc  UC;
uc  uC ;
131
Действующие значения линейных напряжений на нагрузке находим
как разность векторов соответствующих фазных напряжений (рис. 3.31).
j
U C U c
U a
U aв
–
U в
30º
U сa
U B U в
U A U a
30º
+
U вс
U c
–j
Рис. 3.31. Фазные и линейные напряжения на нагрузке
на комплексной плоскости
Рассчитаем численные значения фазных токов нагрузки, которые одновременно являются линейными токами. С этой целью запишем выражения для сопротивлений фаз нагрузки в символической форме:
Z a  R1  jX C  1  j 2 Ом;
Z в  R2  jX L  5  j 3 Ом;
Z c  R3  4 Ом;
Фазные токи нагрузки определяем по закону Ома:
U
50
50(1  j 2)
Ia  a 

 10  j 20  22,3663 A;
Z a 1  j 2 (1  j 2)(1  j 2)
U
 25  j 43,3
Iв  в 
 7,5  j 4,16  8,58  143,7  A;
Zв
5  j3
U
 25  j 43,3
Ic  c 
 6,25  j10,82  12,5120  A.
Zc
4
Ток нейтрального провода определяем по уравнению 1-го закона
Кирхгофа:
I nN  I a  I в  I c  (10  j 20)  (7,5  j 4,16)  (6,25  j10,82) 
 3,75  j 26,66  26,997,6 A.
На рис. 3.32 изображены вычисленные токи.
Показания приборов равны модулям соответствующих токов, т.е.
показания приборов следующие:
A1  22,36 A;
A2  8,58 A;
A3  12,5 A;
A0  26,9 A.
132
Uc
I nN
Iс
–
φв=23,7º
Iв
I сI в I
a
63º
97,6º
Ua
+
Uв
Рис. 3.32. Токи на комплексной плоскости
Полные мощности фаз нагрузки вычисляем по формулам:

S a  U a  I a  50( 10  j 20)  500  j1000 B  A,
т.е. Рa = 500 Вт;
Qa = 1000 вар (является емкостной нагрузкой).

S в  U в  I в  (25  j 43,3)(  7,5  j 4,16)  367,6  j 220,7 кB  A,
т.е. Рв = 367,6 Вт;
Qв = 220,7 вар (является индуктивной нагрузкой).

S с  U с  I с  (25  j 43,3)(6,25  j10,82)  625 B  A,
т.е. Рc = 625 Вт;
Qa = 0 вар.
Полную мощность трёхфазной нагрузки определим как алгебраическую сумму комплексов трёх фаз:
S  S а  S в  S с  500  j1000  367,6  j 220,7  625  1492 ,6  j 779,3 B  A.
т.е. Р = 1492,6 Вт;
Qa = – 779,3 вар.
Суммарная реактивная мощность трёхфазной нагрузки Q отрицательная, т.е. имеет ёмкостный характер.
Модуль полной мощности
S  1492,62  (779,3) 2  1683,8 В·А.
Пример выполнения задания № 12 графоаналитическим методом
Для написания выражения для мгновенных значений фазных напряжений будем полагать, что вектор напряжения фазы А ( U A ) на векторной
диаграмме рис. 3.33 направлен по горизонтали вправо. Вектор фазного
напряжения U В отстаёт от U A на угол 120º, а вектор U С отстаёт от U В на
угол 120º.
Поскольку по условиям задачи мы пренебрегаем сопротивлением
линейных проводов, а также благодаря наличию нейтрального провода,
133
имеющего также нулевое сопротивление, фазные напряжения на нагрузке
будут равны фазным напряжениям источника:
действующие значения
мгновенные значения
Ua UА;
ua  uА ;
Uв  UB;
uв  u B ;
Uc  UC;
uc  uC ;
Выражения для мгновенных значений фазных напряжений на
нагрузке напишем, исходя из того, что максимальное значение напряжения
больше действующего значения в 2 :
u a  u А  50 2 sin t;
uв  u B  50 2 sin(t  120  );
uc  uC  50 2 sin(t  120  ).
Действующие значения линейных напряжений на нагрузке (рис.
3.33) получим как геометрическую разность соответствующих фазных
напряжений.
U a
Uс UС
U сa
Uв UВ
120º
120º
U aв
30º
U в
Uа UА
U вс
U c
Рис. 3.33. Фазные и линейные напряжения на нагрузке
Рассчитаем численные значения фазных токов нагрузки, которые в
схеме звезды одновременно являются линейными токами. С этой целью
рассчитаем численные значения полных сопротивлений фаз нагрузки.
Z a  R12  X C2  12  2 2  2,24 Ом;
Z в  R22  X L2  52  32  5,83 Ом;
Z c  R3  4 Ом.
Фазные токи нагрузки определим по закону Ома:
134
Ia 
Ua
50

 22,3 A;
Z a 2,24
Iв 
Uв
50

 8,58 A;
Z в 5,83
U c 50

 12,5 A.
Zc
4
Напомним, что по условию задачи U a  U в  U с  U Ф  50 В.
Углы сдвига токов фаз нагрузки от соответствующих фазных напряжений нагрузки:

X
2
 а  ( I a ; U a )  arcsin c  arcsin
 63 ;
Za
2,24
Ic 

в  ( I в ; U в )  arcsin
XL
3
 arcsin
 23,7 ;
Zв
5,84

с  ( I с ; U с )  0.
На рис. 3.34 ток I a опережает по фазе напряжение U a на
угол  а (как активно-ёмкостный ток). Ток I в отстаёт по фазе от вектора U в
как активно-индуктивный ток. Ток I с совпадает по фазе с U с на
угол  а как чисто активный ток (  с  0 ).
Ток нейтрального провода определяем графически согласно уравнению I-го закона Кирхгофа, записанного для узла n (рис. 3.30), как сумму
фазных токов нагрузки:
I nN  I a  I в  I c .
Uc
I nN
Iс
φв
Iв
I сI в I
a
φa
Ua
Uв
Рис. 3.34. Векторная диаграмма токов
Из рис. 3.34 находим численные значения I nN : зная масштаб токов
(который задаётся перед построением векторной диаграммы) и умножив
длину вектора I nN на масштаб токов, получим I nN  26,9 А.
Вычисленные значения действующих значений токов и является показателями амперметров, измеряющих эти токи:
А1 ––––––––––– 22,3 А;
А2 ––––––––––– 8,58 А;
А3 ––––––––––– 12,5 А;
135
А0 ––––––––––– 26,9 А;
Мощность фаз рассчитываем по формулам:
 для фазы A
Ра  I a2  R1  22,32 1  500 Вт;
Qa  I a2  ( X c )  22,32  (2)  1000 вар,
т.е. Qа – емкостная мощность;
 для фазы В
Рв  I в2  R1  8,58 2  3  367,6 Вт;
Qв  I в2  X L  8,58 2  3  220.7 вар,
т.е. Qв – индуктивная мощность;
 для фазы С
Рc  I c2  R3  12,5 2  4  625 Вт;
Qc  0.
Мощность трёхфазной нагрузки:
 активная
P   Pi  500  367 ,6  625  1492,6 Вт;
 реактивная
Q   Qi  1000  220,7  779,3 вар;
 полная
S  1492 ,6 2   779,32  1683,8 В  А.
3.7.2. Пример выполнения задания № 13
Для схемы трёхпроводной звезды (рис. 3.35) задано фазное напряжение источника: U Ф  50 B, R1  1 Ом, R2  5 Ом, R3  4 Ом, X L  3 Ом, X C  2 Ом.
IA
А
А1
– jXC
Uа
UА
R1
U nN
N
n
jXL
Uв
R3
UС
UВ
Uс
IС
В
C
IB
R2
А2
А3
Рис. 3.35. Схема трёхпроводной звезды при соединении
136
фаз приёмника звездой
Для написания выражений для мгновенных значений фазных напряжений необходимо задаться направлением любого из фазных напряжений
источника на комплексной плоскости. Будем считать, что вектор напряжения фазы А на комплексной плоскости направлен вдоль положительной
полуоси оси мнимых чисел (рис. 3.36). В этом случае выражения для действующих значений фазных напряжений источника в показательной, полярной и алгебраической форме будут иметь вид:

U А  50e j 90  5090   j50  B;

U В  50e  j 30  50  30   43,3  j 25 B;

U C  50e  j150  50150   43,3  j 25 B.
Выражения для мгновенных значений источника:
uA  U МА sin(t  90  )  50 2 sin(t  90  );
uB  U МB sin(t  30  )  50 2 sin(t  30  );
uC  U МC sin(t  150  )  50 2 sin(t  150  ),
где U МА  U A  2 и т.д.
Запишем выражения для сопротивлений фаз нагрузки в символической форме:
Z a  R1  jX C  1  j 2 Ом;
Z в  R2  jX L  5  j3 Ом;
Z c  R3  4 Ом;
Рассчитаем комплексы проводимостей фаз нагрузки:
1
1
Ya 

 0,2  j 0,4 См;
Z a 1  j2
Yв 
1
1

 0,147  j 0,088 См;
Z в 5  j3
1 1
  0,25 См.
Zc 4
Напряжение смещения нейтрали определим по известной формуле:
U Y U В Y в U С Y с
U nN  A a

Ya Yв Yс
Yc 
j 50(0,2  j 0,4)  (43,3  j 25)  (0,147  j 0,88)  (43,3  j 25)  0,25

(0,2  j 0,4)  (0,147  j 0,88)  0,25
 25,665  j 3,75
 36,3  j0,25 B.
0,597  j 0,312
137
Фазные напряжения на нагрузке вычислим как разности фазных
напряжений источника и напряжением смещения:
U a  U А  U nN  j 50  (36,3  j12,8)  36,3  j 37,2 B;
U в  U B  U nN  (43,3  j 25)  (36,3  j12,8)  79.6  j 37,8 B;
U c  U C  U nN  (43,3  j 25)  (36,3  j12,8)  7  j 37,8 B;
На векторной диаграмме построим напряжения фаз источника
U А ,U В ,U C и напряжение смещения нейтрали U nN , а векторы фазных
напряжений на нагрузке получим как разности векторов фазных напряжений источника и вектора U nN (рис. 3.36).
+j
Ua
UA
UnN
–
UB
Uc
UC
+
Uв
–j
Рис. 3.36. Векторная диаграмма напряжений для трёхпроводной
схемы звезды
Фазные токи равны линейным в схеме звезды. Вычислим их по формулам закона Ома:
U
36,3  j 37,2
Ia  a 
 6,65  j 22 A;
Za
1  j2
Iв 
U в 79,6  j 37,8

 8,4  j12,6 A;
Zв
5  j3
U c  7  j 37,8

 1,75  j 9,4 A.
Zc
4
Правильность расчёта токов проверим с помощью уравнения I закона Кирхгофа, записанного для узла «n»:
I a  I в  I c  (6,65  j 22)  (8,4  j12,6)  (1,75  j 9,4)  0.
Равенство нулю суммы комплексов фазных токов нагрузки свидетельствует о правильности проведённых расчётов.
Ic 
138
Построенные на векторной диаграмме токи в соответствии с принятым масштабом при их геометрическом сложении должны дать нулевой
результат.
Расчёт мощностей отдельных фаз и всей трёхфазной нагрузки следует провести аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе.
Напомним, что комплекс мощности определяется как произведение комплекса напряжения на сопряжённый комплекс тока:

S U  I .
3.7.3. Пример выполнения задания № 14
Рассчитать значения фазных и линейных токов, активной, реактивной и полной мощностей трёхфазной цепи, в которой нагрузочные ветви
соединены по схеме треугольника (рис. 3.37).
При этом задано линейное напряжение источника U Ф  200 B, , а
также сопротивления:
R1  3 Ом, R2  2 Ом, R3  4 Ом, X L  1 Ом, X C  5 Ом.
А
IA
Uca
R3
Uaв
Iaв
R1
– jXC
Ica
R2
В
Iвc
jXL
IB
Uвc
С
IC
Рис. 3.36. Схема трехфазной цепи при соединении
сопротивлений нагрузки треугольником
Задание № 14 может быть выполнено двумя способами:
 с помощью метода комплексных величин (символического метода);
 графоаналитическим способом.
Выполнение задания № 14 методом комплексных величин
При соединении фаз нагрузки треугольником фазные напряжения
являются одновременно линейными, т.е. U Ф  U Л . Будем считать, что вектор фазного напряжения U АВ направлен вдоль положительной полуоси
139
мнимых чисел. Тогда выражения для действующих значений фазных (линейных) напряжений в показательной, полярной и алгебраической форме
будут иметь вид:

U АВ  200 e j 90  200 90   j 200  B;

U ВC  200 e  j 30  200   30   173,2  j100 B;

U CA  200 e  j150  200 150   173,2  j100 B.
Выражения для мгновенных значений этих напряжений с учётом того, что U M  2U , запишутся в виде:
u AB  U МAB sin(t  90  )  200 2 sin(t  90  );
u BC  U МBC sin(t  30  )  200 2 sin(t  30  );
uCA  U МCA sin(t  150  )  200 2 sin(t  150  ).
Запишем выражения для сопротивлений фаз нагрузки в комплексном
виде:
Z АВ  R1  3 Ом;
Z ВС  R2  jX L  2  j1 Ом;
Z СА  R3  jX С  4  j 5 Ом;
Фазные токи нагрузки определим по закону Ома:
U
j 200
I АВ  АВ 
 j 66,6 A;
Z АВ
3
U
173,2  j100
I ВС  ВС 
 49,28  j 74,64A;
Z ВС
2  j1
U
 173,2  j100
I СА  СА 
 4,7  j 30,09 A.
Z СА
4  j5
На основе первого закона Кирхгофа определяем линейные токи
I А  I АВ  I СА  j 66,6  (4,7  j 30,09)  4,7  j 97,5 A;
I B  I ВС  I АВ  (49,28  j 74,64)  j 66,6  49,28  j141 A;
I C  I СA  I ВC  (4,7  j 30,09)  (49,28  j 74,64)  53,98  j 43,74 A.
Мощность отдельных фаз и всей трёхфазной нагрузки рассчитывается
аналогично тому, как это сделано в 3.7.1 (пример выполнения задания № 12).
Задавшись предварительно масштабом напряжений и токов, строим
на комплексной плоскости напряжения, фазные и линейные токи по их
численным значениям, полученным выше.
Выполнение задания № 14 графоаналитическим методом
140
Для написания выражений для мгновенных значений фазных (линейных) напряжений условимся, что вектор действующего фазного напряжения UАВ на векторной диаграмме (рис. 3.38) занимает вертикальное положение. Назовём этот момент времени (когда UАВ вертикален) нулевым
(т.е. t = 0). Тогда выражения для мгновенных значений фазных напряжений будут иметь вид:
uAВ  U АВ 2 sin t  200 2 sin t;
uBС  U BС 2 sin(t  120  )  200 2 sin(t  120  );
uCА  U CА 2 sin(t  120  )  200 2 sin(t  120  ),
т.е. на векторной диаграмме (рис. 3.38) фазные (линейные) напряжения
изображаются тремя векторами, равными по величине и сдвинутыми друг
относительно друга на угол 120.
Рассчитаем численные значения фазных токов нагрузки. С этой целью предварительно определим численные значения полных сопротивлений фаз нагрузки:
Z АВ  R1  3 Ом;
Z ВС  R22  X L2  2 2  12  2,24 Ом;
Z СA  R32  X C2  4 2  52  6,4 Ом.
Фазные токи нагрузки определяем по закону:
I АВ 
U АВ 200

 66,7 A;
Z АВ
3
I ВС 
U ВС 200

 89,3 A;
Z ВС 2,24
U СА 200

 31,25 A.
Z СА 6,4
Напомним, что по условиям задачи U АВ  U ВС  U СА  200 B.
Углы сдвига по фазе каждого из фазных токов по отношению к своему напряжению рассчитаем по известным формулам:

X
0
 АВ  U АВ ; I АВ  arcsin АВ  arcsin  0 ;
Z АВ
3
I СА 

 ВC  U ВC ; I ВC  arcsin
XL
1
 arcsin
 26,5 ;
Z ВC
2,24

XC
5
 arcsin
 52 .
Z CА
6,4
 CА  U CА ; I CА  arcsin
141
Задаёмся масштабом напряжений и масштабом токов и строим на
рис. 3.38 фазные напряжения и фазные токи, используя углы  АВ , ВC , CА .
При этом векторы I AB и U AB совпадают по фазе, I BC на 26,5 отстаёт от
U BC (т.к. I BC имеет активно-индуктивный характер), I CA опережает U CA
(т.к. I CA имеет активно-емкостной характер).
Действующие значения линейных токов получим на рис. 3.38 как
геометрическую разность соответствующих векторов фазных токов (согласно I закону Кирхгофа):
I А  I АВ  I СА ;
I B  I ВC  I АB ;
I C  I CА  I BС .
Масштаб напряжений
Масштаб токов
40 В
20 А
U АВ
 I CA
I AB
IA
IC
 I BC
I CA
I BC
U СА
U ВС
IB
 I AB
Рис. 3.38. Векторная диаграмма напряжений и токов
Измерив линейкой токи I А , I В , I С в см и умножив эти длины на масштаб токов, получим численные значения линейных токов в Амперах:
I А  97,6 А;
I В  149,4 А;
I С  69,5 А.
Вычислим мощности:
 фаза AВ
142
2
РAB  I AB
 R1  66,7 2  3  13347 Вт;
QAB  0 вар,
т.к. реактивных сопротивлений в фазе АВ нет;
 фаза ВС
2
РВС  I ВС
 R2  89,32  2  15949 Вт,
2
QВС  I ВС
 X L  89,32 1  7974 вар;
 фаза СА
2
РСА  I СА
 R3  31,252  4  3906 Вт,
2
QСА  I СА
 ( X С )  31,25 2  (5)  4883 вар.
Полная мощность всей трёхфазной нагрузки:
S   P 2  ( QL   QC ) 2  ( PAB  PBC  PCA ) 2  QBC  QCA  
2
 33202 2  30912  33347 В  А  33,35 кВ  А.
Библиографический список
1. Касаткин, А.С. Курс электротехники : учебник для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – М.: Высшая школа, 2005. – 541 с.: ил.
2. Малинин, Л.И. Основы теории цепей в упражнениях и задачах :
учеб. Пособие. – Новосибирск : Издательство НГТУ, 2007. – 296 с.
3. Кольниченко, Г.И. Электротехника и энергетический сектор : учеб.
Пособие / Г.И. Кольниченко, В.И. Панферов. – 2-е изд. – М.: ФГБОУ
ВПО МГУЛ, 2010. – 131 с.
143
144
Оглавление
Предисловие……………………………………………..………………
Глава 1.
3
Цепи постоянного тока…...………………………………… 4
1.1. Предварительные сведения………………………………… 4
1.2. Работа и мощность в цепи постоянного тока……..………. 8
1.3. Линейные электрические цепи с одним
источником питания……………...………………………… 10
1.3.1. Пояснения к расчету и пример выполнения
задания № 1………………………………………………….. 10
1.3.2.
Задание № 1…………..………………………....................... 15
1.4. Расчет сложных электрических цепей на основе
уравнений I и II законов Кирхгофа….……………………… 20
1.4.1. Пояснения к расчету и пример выполнения
задания № 2…………………………………………………… 20
1.4.2. Задание № 2…………………………………………………… 24
Глава 2.
Цепи однофазного синусоидального тока….…………….
30
2.1. Определения и параметры …………………………………. 30
2.2. Волновые и векторные диаграммы. Сдвиг фаз…………….. 32
2.3. Сложение и вычитание векторных величин……………….. 35
2.4. Задания к самостоятельным работам № 3, № 4, № 5….….... 37
2.5. Примеры выполнения заданий № 3, № 4, № 5..……...…….. 39
2.6 Фазовые соотношения в резистивном, индуктивном
и емкостном элементах цепей синусоидального тока……... 45
2.7. Электрическая цепь синусоидального тока
с R, XL и XC…………………………………………………..... 46
2.8. Пояснения к расчету и пример выполнения задания №6….. 50
2.9. Задание № 6…………………………………………………… 53
2.10. Эквивалентные зависимости, связывающие сопротивления
и проводимости в цепи переменного тока………………… 54
2.11. Пример выполнения задания № 7…………………………… 55
2.12. Задание № 7…………………………………………………… 61
2.13. Пояснения к расчёту и пример выполнения задания № 8…. 62
145
2.14. Задание № 8…………...………………………………………. 64
2.15. Символический метод (метод комплексных величин)
расчета цепей синусоидального тока…….…………………. 66
2.15.1. Предварительные сведения………………….………………. 66
2.15.2. Действия над комплексными числами…………………...…. 67
2.15.3. Изображение электрических параметров
в символической форме……………………………………… 68
2.15.4. Примеры решения простейших задач
символическим методом……………………………………... 70
2.16. Задание № 9…………………………………………………… 76
2.17. Пример выполнения задания № 9…………………………… 78
2.18. Задание № 10………………………………………………… 80
2.19. Пример выполнения задания № 10………………………… 81
2.20. Задание № 11.………………………………………………… 84
2.21. Пример выполнения задания № 11.………………………… 85
2.22. Расчет сложных цепей синусоидального тока
символическим методом……………………………………... 87
2.23 Задачи для самостоятельного решения с ответами………… 92
Глава 3. Трехфазные цепи……………………………………………... 101
3.1. Предварительные сведения………………………………….. 101
3.2. Примеры расчета трехфазных цепей
с симметричной нагрузкой…………………………………... 107
3.3. Задачи для самостоятельного расчета трехфазных цепей
с симметричной нагрузкой с ответами
113
3.4. Примеры расчета трехфазных цепей
с несимметричной нагрузкой………………………………….117
3.5. Задачи для самостоятельного расчета трехфазных цепей
с несимметричной нагрузкой с ответами………………….. 122
3.6. Задания № 12, 13, 14………………………………………….. 126
3.6.1. Общие указания для заданий № 12, 13, 14………………….. 126
3.6.2. Задание № 12………………………………………………….. 127
3.6.3. Задание № 13………………………………………………….. 128
146
3.6.4. Задание № 14………………………………………………….. 128
3.7. Примеры выполнения заданий № 12, 13, 14…...…………… 129
3.7.1. Пример выполнения задания № 12…………..……………… 129
3.7.2. Пример выполнения задания № 13…………..……………… 135
3.7.3. Пример выполнения задания № 14…………..……………… 138
Библиографический список……………………………….…………..... 142
Оглавление………………………………………………………………... 143
147
Учебное пособие
Георгий Иванович Кольниченко
Виталий Иванович Панферов
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Под редакцией проф. Кольниченко Г.И.
Компьютерный набор и верстка Панферов В.И.
По тематическому плану внутривузовских изданий учебной литературы на
2012 г.
Лицензия ЛР № 020718 от 02.02.1998г.
Лицензия ПД № 00326 от 14.02.2000г.
Подписано к печати
Бумага 80 г/см2 "Снегурочка"
Объем 9,25 п.л.
Тираж 300 экз.
Формат 60х88/16
Ризография
Заказ №
Издательство Московского государственного университета леса.
141005. Мытищи-5, Московская обл., 1-я Институтская, 1, МГУЛ.
Телефоны: (498) 687-43-77, 687-37-14, 687-37-80.
E-mail: izdat@mgul.as.ru.