Quantum Mechanics Chapter One: The Physical Foundations of Quantum Physics االسس الفيزيائية للميكانيك الكمي Chapter Two: Elementary Properties of Quantum Mechanics )الصفات االولية للميكانيك الكمي (اهم الفصول الجسيم الحر Chapter Three: Free Particle Chapter Four: Linear Harmonic Oscillator المتذبذب التوافقي الخطي Chapter Five: The One Electron Atoms الذرات أحادية اإللكترون طرق التصحيح Chapter Six: Correction Atoms المصادر References عبد السالم عبد االمير. د، جاسم الحسيني.الميكانيك الكمي ِ ــ د أمجد عبد الرزاق كريجه. د، سالم حسن الشماع.اساسيات ميكانيك الكم ــ د ضياء احمد. د، جاسم عبود.مقدمة في ميكانيك الكم ــ د الجزء الثالث Fundamental University Physics Alonson and Fin Introduction to Quantum Mechanics Matthews Quantum Mechanics Powell and Grasmanu 1 Chapter One Physical Foundations of Quantum Mechanics ماهو ميكانيك الكم او ماهو مفهوم ميكانيك الكم ؟ ذلك التخصص من الفيزياء الذي يتناول دراسة االنظمة المجهرية (الدقيقة) ووجد لفشل الميكانيك الكالسيكي في ح ل بعض المشكالت مثل توليد زوج االلكترون ــ بوزترون ،او ظاهرة كومبتن ان الفيزياء التي يطلق عليها غالبا في وقتنا الحاضر الفيزياء الكالسيكيه ( )Classical physicsاشتملت حتى عام 1909على ثالث مواضيع رئيسيه هي ،الميكانيك وتتم فيه دراسة حركةة االجسةام الظاهريةة والثرموديناميةك وهةو متمم للميكانيك ويعني تناول العمليات التي تنطوي على تفاعالت حرارية بةين االجسةام ووسةطها المحةي والنظريةة الكهرومفتاطيسية وتعني بدراسة المجاالت الكهربائية والمغناطيسية والعالقة فيما بينهما وبين الشحنات والتيار. Classical Mechanics Classical physics Classical E.M.T + Q.M الميكانيك الكالسيكي :يعالج الظواهر التي ترى بالعين المجرده عياني (منضور) Macroscopic system الميكانيك الكمي :يعالج الظواهر التي الترى بالعين المجرده مجرد (دقيق) Microscopic system Quantum Mechanics: is the study of matter and radiation at an atomic level, i.e. study the theory of atomic and nuclear system. 2 س /ماهية ضرورة ميكانيك الكم ? Q/ why the needful of Q.M The needful of Q.M come from the failure of classical physics to explain several physical phenomena Such as Black body Radiation, Stability of atoms, Photoelectric effect, Compton effect ……….etc الميكانيك الكمي ضروري النه يعالج الظواهر التي عجز الميكانيك الكالسيكي عن تفسيرها ومنها :ـ . 1استقرارية الذرة )(Stability of Atoms . 2الظاهره الكهروضوئيه ))Photoelectric Effect . 3ظاهرة كومبتن ))Compton Effect . 4توليد طول موجة االشعة السينية الصغرى Generation of The Minimum x-Ray Wave Length . 5تكوين الزوج (الكترون ـ بوزترون) )(Pair Production . 1استقرار الذرة Stability of Atoms فشل الميكانيك الكالسيكي في تفسير استقرارية الذره في الوقت الذي نجح فيه الميكانيك الكمي من تفسيرها. الجانب الكالسيكي :ـ ان االلكترون في الذرة يدور حول النواة مغير اتجاه حركته باسةتمرار ولةذلك فهةو جسةم معجةل وطبقا للنظرية الكهرومغناطيسية الكالسيكية ان اي شحنة كهربائية متحركه بتعجيةل تبعةا اشةعاعا كهرومغناطيسةيا ولذلك يجب ان يفقد االلكترون الدائر حول النةواه دالةل الةذره جةزءا مةن طاقتةه اثنةاء الةدوران اي انةه يخسةر طاقتةه بصوره مستمره مادامت الحركة مستمرة وبالتالي فيجب ان ينتهي بحركة حلزونيه مقتربا من النواة .ان الذرة تحت الضروف الطبيعية تمثل تركيبا مستقرا اليبعا اي اشعاع. الجانب الكمي ( ......بور) . 1يستطيع االلكترون ان يدور في مدارات متميزه ومستقره اذا كان زلمه الزاوي يساوي حاصل ضرب عدد صحيح في مقدار ثابت وقيمته 1.05x10-34 joule sec L n pr . 2يستطيع االلكترون ان ينتقل من مدار الى الر اذا حصل تغير في الطاقه Eبسبب امتصاص او انبعةاث في االشعاع بحيا ان تردد االشعاع يعطى بالمعادلة 3 E h حيا افترض بور ان االلكترون يدور على مسار دائري مركزه النواة ونصف قطره rوبسرعة زاوية L n pr n mvr n m r 2 n )(1 m r r n حيا nعدد صحيح موجب ويألذ القيم n 1,2,3, e2 هذه القوة تزودنا بالقوة الجاذبةة ولما كانت قوة الجذب االستاتيكي الكهربائي بين االلكترون والنواة هي 4 r 2 1 نحو المركز والتي تساوي كتلة االلكترون mفي تعجيله المركزي 2 rاي e2 m 2 r 2 4 r 1 )(2 وبحذف السرعة الزاوية من المعادلتين ( )2( , )1وحل المعادلة الناتجة لـ rنحصل على 4 2 2 rn n m e2 )(3 وبالتعويض عن قيمة rمن المعادلة ( )3وحل المعادلة الناتجة لـ نحصل على m e4 1 16 n 3 )(4 3 2 2 n نالحظ ان من المعادلة ( )4( , )3هنالك مجموعة واسةعة مةن المةدارات المسةتقرة عةددها النهةائي يتميةز تعضةها عةن البعض بتميز قيم nالممكنة المتعددة n 1,2,3, ولحساب الترددات الممكنة لالشعاع المنبعا حسب فرضية بور الثانية فيجب ان نتعرف علةى طاقةة االلكتةرون فةي المدار المستقر. الطاقة الكامنة لاللكترون تساوي e2 4 r 1 4 واذا عوضنا عن rمن المعادلة ( )3فالطاقة الكامنة تعطى بالمعادلة التالية m e4 1 16 2 2 2 n 2 )(5 1 1 اضةةافة للطاقةةة الكامنةةةة االلكتةةرون يمتلةةةك طاقةةة حركيةةة mv 2او m 2 r 2 2 2 V وبةةةالتعويض عةةن , rمةةةن المعادلتين ()4( , )3 m e4 1 32 n 2 )(6 2 2 2 T والطاقة الكلية En m e4 1 32 2 2 2 n 2 )(7 En T V والخسارة في الطاقة عندما ينتقل االلكترون في حالة مميزة n n1الى حالة مميزة بالعدد n n2 1 1 ) n22 n12 )(8 ( m e4 32 2 2 2 E12 تردد االشعاع المطابق النتقال االلكترون من المدار n1الى المدار n 2 E12 m e4 1 1 )( 2 2 2 3 h 8 n2 n1 )(9 العدد الموجي 1 c يعطي بالعالقة التالية m e4 1 1 ( ) 8 2 c 3 n22 n12 1 1 ) n22 n12 )(10 ( R m e4 R يسمى ثابت ريدبرك Rydberg constantالمعادلة ( )10اعاله تعتبر المقيةاس الرئيسةي حيا 8 2 c 3 لنجاح نطرية بور الانها مماثله لمعادلة تجريبية سبق ان توصل اليها العالم بلمر . 1885 5 . 2الظاهره الكهروضوئيه Photoelectric Effect هي ظاهرة انبعاث االلكترونات من سطح فلز نتيجة اضائته باشعاع كهرومغناطيسي ذي تردد مؤثر. Photonضوء ساقط كاثود انود الكترونات منبعثه _ + A يمكن مالحظة الخواص التالية النبعاث االلكترونات . 1االلكترون الينبعا عندما يكون تردد الفوتون اقل من تردد العتبه. . 2عندما يكون تردد الفوتون اكبر من تردد العتبه كل فوتون يبعا االلكترون بطاقه حركيه تساوي ) K.E h ( تبعا للنظرية الكالسيكيه:ـ االلكترون ينبعا نتيجة المتصاصه طاقه مةن قبةل االلكترونةات فةي المعةدن مةن االشةعاع الساق وكل االلكترون يتطلب طاقة اضافيه ( تعتمد على نوع المعدن) للهروب من المعدن ونتيحه لذلك سيكون من المتوقع انه عندما يمتص االلكترون هذه الطاقة سوف يغادر المعدن بطاقة حركيه مقدارها صفر اليمكن تفسير الخصائص المذكورة للظاهرة الكهروضوئيه لالسباب التالية . 1ليس باالمكان التنبؤ بوجود التردد الحرج بحيا اذا كان تردد الشعاع الساق على سةطح الفلةز اقةل مةن انعدام االنبعاث االلكتروني . . 2لكل الترددات النظرية الكالسيكية تتنبأ بان االلكترونات تغادر بطاقة حركية مقدارها صفر. النظرية الكميه :ـ وضع العالم اينشتاين فرضيته بان الضوء ليس اشعاعا مستمرا من االمواج ولكنةه يتكةون مةن رذاذ من الدقائق اي ان االشعاع يتألف من جسيمات تدعى بالفوتونات طاقة الفوتون الواحد E h ان انبعاث االلكترون يحدث نتيجة اصطدام االلكترون بالفوتون ويمتص طاقته كليا ،وهذه الطاقة تتمثل في عمليتين:ـ 6 . 1الطاقة المطلوبة الزالة االلكترون من المعدن وهي 1 . 2الطاقة الحركية m v 2 2 معادلة اينشتاين h 12 m v 2 اي ان االلكترون ينبعا فق اذا كانت الطاقة التي امتصها اكثر من ويحصل ذلك عنةدما اي اذا كةان سيكون االلكترون منبعثا بطاقة حركيه ) K.E h h ( h . 3تأثير كومبتن Compton effect عند سقوط حزمة من االشعة السينية على صفيحة معدنية فان جزءا من االشعة سوف تتشتت وهذه االشعة المتشتتة تخضع للتغير في الطول الموجي h ) (1 cos mc فشلت النظرية الكالسيكية في تفسير المعادلة اعاله في حين دعم تشتت كومبتن النظرية الكمية .....حيا يفترض ا ن االشعاع هو جسيمات ذات طاقه مكممه hيمكن ان تتفاعل مع الماده بدون امتصاص . ومن تكافؤ الزلم والطاقة : h الفوتون يمتلك طاقه hتكافئ الزلم c حيا ان الفوتون يتحرك بسرعة الضوء ويمتلك زلم: h h c p ومةن قةانون حفةظ الطاقةةة والةزلم يمكةن اشةتقا معادلةةة تشةتت كةومبتن حيةا نفةةرض ان فوتةون سةاق طاقتةةه h h وزلمه c تصادم تصادما مرنا مع االلكتةرون سةاكن حةر طلقتةه السةكونيه m c 2بعةد التصةادم يسةتطير الفوتةون h بزاوية مقدارها فتصبح طاقته وزلمه بعد التصادم , h c 7 h c P h الفوتون المستطار (المتشتت) 1 m 2 2 الكترون الهدف E h h c فوتون ساقط p الكترون مرتد وباستخدام قانوني انحفاض الزلم والطاقة لعملية تصادم كومبتن )(1 h h cos pe cos c c )(2 h sin pe sin c 0 h m c 2 h we )(3 ويمكن حذف زاوية ارتداد االلكترون من المعادلتين ()2( , )1 h 2 2 2h 2 h 2 2 cos 2 pe c2 c2 c نضرب المعادلة اعاله في c 2واضافة وطرح الحد 2h 2 الى طرفها االيسر يمكن ان نكتب )(4 h 2 ( ) 2 2h 2 (1 cos ) pe2 c 2 اما حل المعادلة ( )3لـ weوتربيع الناتج فيعطينا )(5 h 2 ( ) 2 2h 2 m c 2 m2 c 4 we2 وحيا ان طاقة االلكترون الكلية p e , weيرتبطان تبعا لمبادئ النطرية النسبية we2 pe2 c 2 m2 c 4 )(6 8 عندئةةذ يمكةةن حةةذف p e , weوذلةةك بطةةرح المعادلةةة ( )4مةةن المعادلةةة ( )5ومةةن ثةةم التعةةويض عةةن we2 pe2c 2 بالكمية m2 c 4لنحصل على ) 2h( ) m c 2 2h 2 (1 cos والتي باالمكان كتابتها على النحو التالي ( ) c h ) (1 cos m c يمكةن بسةه ولة ان نبةين ان المقةدار فةي الطةرف االيسةةر مةن المعادلةة اعةاله يسةاوي ) ( واليةرا نحصةل علةةى المعادلة الخاصة باستطارة كومبتن h ) (1 cos mc . 4توليد طول موجة االشعة السينية الصغرى Generation of the minimum x-ray wave length من المعلوم ان االلكترونات ذات الطاقات العالية في انبةوب االشةعة السةينية تسةتطيع ان تولةد فوتونةات اشةعة سةينية بطاقة عظمى محدده ،وهي ظاهرة اليمكن تفسيرها اال على اساس ان االشعاع الكهرومغناطيسةي يتصةرف كفوتةون عند تفاعله مع الماده , c 12396 A V 9 min h max e V eV max h c max min ch eV min . 5تكوين الزوج ( االلكترون ـــ بوزترون ) Pair Production تعتبر ظاهرة تكوين الزوج ( ) e ، eدعم آلر للنظرية الكمية لالشعاع ،يتولةد الةزوج فةي الهةواء عنةدما تزيةد طاقةة االشعة السينية على ضعف طاقة السكون لاللكترون والبوزترون . ..اي ان طاقة االشعة السينية يجب ان تكون اكبر من 2m c 2وفقا للمتباينة h 2m c 2اما اقل طاقة فوتون لالشعة السينية لتوليد زوج فهةي بطبيعةة الحةال يجةب ان تسةاوي 2m c 2والتةي تعةادل 1.02MeVوتسةمى الظةاهرة العكسةية لتكةوين الةزوج بفنةاء الةزوج ( ( Annihilationوتتم بتكوين فوتونين طاقة كل منهما hبعد فناء الزوج. ازدواجية الجسيم والموجة لالشعاع الكهرومغناطيسي The Wave – Particle Duality of Electromagnetic Radiation ان االشةةعاع الكهرومغناطيسةةي مكةةون مةةن جسةةيمات (دقةةائق) تسةةمى بالفوتونةةات ومةةن جانةةب آلةةر النتةةائج الخاصةةة بالتدالل والحيود اليمكن تفسيرها اال بافتراض الصفة الموجية لالشعاع الكهرومغناطيسي. فكيف يمكن لهذين الرأيين المتناقضين ظاهريا ان يكونا متوافقين ؟ ان تجارب التدالل والحيود تحتاج الى التفسير الموجي وهي تجارب تتحرى فيها كيف واين يسير الضوء. بينما تجارب الظاهرة الكهروضوئية وتاثير كومبتن وتوليد االشعة السينية الصغرى وتوليد وفناء الزوج .. .. تحتاج الى التفسير الجسيمي فتحرى فيها تفاعل االشعاع الكهرومغناطيسي مع المادة لةةذلك نفتةةرض ان االشةةعاع الكهرومغناطيسةةي يتكةةون اساسةةا مةةن فوتونةةات التسةةير بخطةةوط مسةةتقيمة وهةةو افتراض يختلف عن نظرية نيوتن للدقائق . من ناحية الرى نتعامل مع الفوتونات الساقطة على نقطة من لالل محزز الحيود بناء على هذا التفسير يمكن اعتبار تموجات الضوء :عبارة عن تموجات ترشد ) (guideالفوتونات بحيا ان شدة الموجة في اي نقطة تتناسب مع احتمالية وجود الفوتون في تلك النقطة. ان هذا الوصف يختلف عن الوصف الكالسيكي. فالنظرية الكالسيكية تقدم وصفا سببيا ) )causalمن حيا انها تخص مسارا معينا وعلى درجة كبيرة مةن الدقةة لحركة الجسم في مجال القوة بينما الوصف اعاله ماهو اال وصف احتمال علةى الحصةول الفوتةون فةي محةل مةا ويعطةي فقة احتماليةةة وجةوده فةي ذلةةك المحةل او النقطةة وعنةةد التعامةل مةع عةةدد كبيةر مةن الفوتونةةات فانهةا مةةن التصاص الميكانيك الكمي . اي ان النظرية تعطي االحتمالية فق بالنسبة لجسيم واحد 10 p mv E 2 p 2 c 2 m2 c 4 m 0 كتلة السكون للفوتون For photon E 2 p 2c 2 0 E pc hc E h hc pc h معادلة ديبرولي تجمع بين فكرة الجسيم والموجة طول موجته But p زخمه س) احسب طول موجة دي برولي اللكترون يسير بسرعة v 2106 m/s؟ (كتلة االلكترون هي )Kg me 9.1 10 31ثم قار نها مع جسيم يسير بسرعة 10 m/sوكتلته ( )1 gm؟ Solution: a) For electron h p لاللكترون h h p mv 6.6 10 34 9.1 10 31 2 10 6 3.6 1010 3.6 A when m 1 gm للجسيم b) For particle 6.6 10 34 1 10 3 10 A 22 6.6 10 32 6.6 10 اذن الجسيمات التي كتلتها كبيرة التظهر صفتها الموجية .لذلك االلكترون صفتها الموجية واضحة. مالحظة عندما 0معناها نحن في الميكانيك الكالسيكي 11 المظهر الموجي للجسيمات المادية Wave Aspect of Matter (De Broglis Hypothesis في عام 1924اقترح العالم دي برولي بان الضوء يتكون من فوتونات تقاد بواسطة الموجة وبشكل مشابه ربما يوجد موجة مطابقه والتي تقود جسيمات الموجة وهو يفترض العالقات E h h h c p وتشير هذه العالقات الى ان الطاقة والزلم للجسيمات وبتردد وطول مةوجي للموجةه تبقةى حقيقيةة لجسةيمات المةادة. وقد افترض ان مايكون للموجة هو نفس مايكون للفوتونات ذلةك ان االحتماليةة للجسةيمه الماديةة تكةون فةي اي نقطةه تتناسب مع مربع السعة (الشدة) في تلك النقطة للموجة التي تمتلك تردد وطول موجي معطى حسب العالقة h p وبناء على ذلك فان مدارات االلكترون في ذرة الهيدروجين وطبقا لنظرية بور يمكن ان يعرف بشرط ينص ع لى ان , E h (المدار المغلق يجب ان يكون مساوي لعدد صحيح مضروب في ) وللبرهان على ذلك نفرض ان محي مسار بور الدائري يعطى بالعالقة 2r n حيا nعدد صحيح وبالتعويض عن nمن المعادلة h p h h p mv h n 2 2r n pe m v r n وهذه العالقة هي فرضية بور االولى لقد تحقق زعم ديبرولةي عةام 1928حيةا اكتشةف العالمةان دافيسةون وكريمةر تجريبيةا ان االلكترونةات ذات الطاقةة 200 eVالساقطة على بلورة النيكل تنعكس عنها بطريقة تشةابه الحيةود لموجةات مسةتوية عةن ذرات البلةوره ذات المسافات البينية dالمنتظمة .وقد اثبت بعد تجارب عديدة ان زاوية الحيود حسب النظرية الكالسيكية 12 d ~ موافةق لطةول موجةة يسةاوي بالضةب لطةول موجةة ديبرولةي اللكتةرون طاقتةه 200 eVو يمكةن حسةاب طةول هةةذه الموجة بسهولة من المعادلتين h p 2mE , p h 2mE مبدأ الالدقة لهايزنبرك Uncertainly principle وفق مفاهيم الميكانيك الكالسيكي التوجد هنالةك حةدود تفةرض علةى دقةة القيةاس .ويصةبح نفةس الشةئ فةي الميكانيةك الكمي ولكن لمتغير واحد فق .واالمر يختلف تماما في حالة قياس متغيرين في ان واحد فمثال عن قياس احداثي جسم وزلمه في وقت واحد نجد عند قياس االحداثي يستلم الجسم زلما لارجيا فيةؤثر ذلةك علةى دقةة قيةاس زلمةه االنةي والعكس ايضا صحيح اي عند قياس زلمه في اول االمر فيغير موضعه فيؤثر ذلك على دقة. فاذا كان الالدقة في تحديد موضع الجسيم هو xفي زلمه هو pفعندئذ x p ولتوضيح ذلك نالذ مسالة قياس موضع جسم صغير كااللكترون الذي يمكن ان يتم باستخدام المجهر وللحصول على تحليل عالي يجب استخدام عدسة ذات فتحة كبيرة ةان يكون الضوء ذات طول موجي قصير .ولجعل التشويش اقل مةةايمكن يسةةتخدم ضةةوء شةةدة اضةةائته قليلةةة فاننةةا نفةةرض اسةةتخدام فوتةةون واحةةد .يسةةق ضةةوء ضةةعيف جةةدا طاقتةةه 13 E hعالية على االلكترون فيضيئه .هذا الفوتون بعد اصطدامه فااللكترون يستطير مارا لالل عدسةة المجهةر ويتابع حركته حتى يصل نقطة ما على الحاجز .اما االلكترون فيرتد بسبب اصطدامه مع الفوتون وفي هذه التجربه ماهو مقدار الالدقة التي ادللت على حركته ان موضع االلكترون معروف بصورة تقريبية فق الننا النعلم موقع النقطة على حاجز الحيود التي وصله ا الفوتون وفي الحقيقة تحتاج الى فوتونات عديدة للحصول على التناظر في نم الحيود .لكن نا نستطيع القول فق ان الفوتون باحتمال كبير قد سق على الحاجز ضمن حلقة الحيود االولى .والالدقة معرفةة بداللةة موضةع االلكتةرون تعيةين هنةا باالستناد الى مبادئ البصريات الطبيعية على وجه التقريب بالعبارة f D x ()1 حيا تمثل طةول موجةة الضةوء السةاق f ,البعةد البةؤري D ,قطةر العدسةة الشةيئية للمجهةر .وبسةبب عمليةة التصادم اثناء اجراء القياس لتعيين الموضع فان االلكترون يرتد بمقدار غير معلةوم وذلةك النةه ليسةت هنالةك وسةيلة لمعرفة نت اي جزء من العدسة الشيئية قد نفذ الفوتون .وحيا انه من الممكن ان يكون الفوتون قد نفذ من اي جزء من العدسة فاننا نتوقع ان يكون مقدار الالدقة في مركبة الزلم في االتجاه xيساوي D 2f p p x h D h D c 2f 2f )(2 من المعادلتين ( )2( , )1نجد ان مقداري الالدقةة فةي الموضةع والةزلم يحويةان طةول موجةة الضةوء وابعةاد المجهةر يحيا يكون احدهما مقلوب االلر .عند جعل xصغيرا ينبغي ان يكون pكبيرا والعكس بالعكسه هكذا 2 )(3 x p وهنالك ايضا عالقة مشابهة للعالقة ( )1تخص الطاقة Eوالزمن tبالشكل E t 14 ?Q1) Prove The Impossibility of Finding The Electron Inside Nucleus اثبت استحالة وجود االلكترون دالل النواة ؟ Solution: Since the radius of nucleus is about 10-14 m this means that Δx 1014 m لكي يكون االلكترون في دالل النواة فان مقدار التحديد في موضعه اليزيد عن قطر النواة اي ان Δx 10 14 m Δx Δp وعليه يكون االتحديد في زلمه 1.05 1034 1.05 10 20 kg m s 1 14 Δx 10 p 2 c 2 m2 c 4 Δp E p 2 c 2 m2 c 4 E pc E p c 1.05 10 20 3 108 20MeV Since the average binding energy of particle inside nucleus is 8MeV and 20MeV is grate than thus the electron can not be found inside the nucleus بما ان معدل طاقة الرب الموجوده دالل النواة تقدر بحوالي 8MeVوهذه القيمة اقل بكثير من طاقة االلكترون 20MeVولهذا السبب اليصح وجود االلكترون دالل النواة مبدأ التقابل The correspondence principle هذا المبدأ اقترحه العالم بور وينص على انه: (حركة منظومه كما توصف بواسطة الميكانيك الكمي تتفق مع حركتها التةي توصةف بواسةطة الميكانيةك الكالسةيكي في الغاية التي فيها يمكن اهمال ثابت بالنك ) اذا كانت المنظومة كبيره بما فيه الكفايه ولم تكن حاجتنا لدقة القياس كبيره فان الميكانيك الكالسيكي يزودنا بتقريةب جيةد لحركةة المنظومةه هةذا المبةدأ يسةمى ايضةا بالغايةة الكالسةيكيه ( )classical limitللميكانيةك الكمةي .وان حركةة المتذبذب البسي او الجسيم الحر في صندو الجهد امثله للتحقق من صحة هذا المبدأ. 15