الميكانيكا الإحصائية

‫الميكانيكا أإلحصائية‬ ‫‪Statistical Mechanics‬‬ ‫(مفاهيم ومسائل محلولة)‬ ‫تأليف‬ ‫أ‪ .‬د ‪ /‬عبدالهادي محمد حمدان البرغوثي‬ ‫قسم الفيزياء‬ ‫جامعة أم القرى‪ -‬مكة المكرمة (سابقا)‬ ‫جامعة القدس – فلسطين ( سابقا)‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫‪0202‬‬ ‫‪1‬‬ ‫©‬ ‫حقوق الطبع محفوظة للمؤلف‬ ‫‪2‬‬ ‫أهداء‪...‬‬ ‫الى زوجتى وأبنتى الع يز بزين‬ ‫‪3‬‬ ‫أأأأأأ‬ ‫الفهرس‬ ‫مقدمة ‪6 ............................................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل األول‪ :‬اساسيات الميكانيكا اإلحصائية ‪8 ............................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.1‬مقدمة ‪8 ....................................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪)1.1‬المفاهيم األساسية في الميكانيكا اإلحصائية ‪9 ........................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.1‬الفرضيات األساسية في الميكانيكا اإلحصائية ‪11 .................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الثاني ‪ :‬دوال اإلحتمال ‪11 ...........................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (2.1‬تعريف اإلحتمالية‪11 ....................................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (2.2‬تطبيق نتائج نظرية اإلحتماالت في الميكانيكا اإلحصائية ‪18 ....................................................................................................‬‬ ‫)‪ (2.3‬التوقع ‪ ،‬التباين واإلنحراف المعياري ‪11 ...........................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (2.4‬تطبيقات للمفاهيم اإلحصائية في حالة توزيع ذي الحدين ‪12 ................................................................................................. :‬‬ ‫)‪ (2.5‬دالة توزيع جاوس ( التوزبع الطبيعي) ‪12 ..........................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.6‬نظرية األعداد الكبيرة ‪11 ..............................................................................................................................................‬‬ ‫تمارين ‪11 .........................................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الثالث ‪ :‬قانون التوزيع ‪13 ............................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (3.1‬قانون التوزيع للطاقم المجهري القانوني‪13 .........................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (3.2‬معادلة بولتزمان ‪21 ....................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.1‬توزيع بولتزمان ‪22 ....................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.2‬توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان ‪28 .......................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.3‬دالة التجزئة ‪35 ..........................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الرابع ‪ :‬الميكانيك اإلحصائي التقليدي ‪31 ..........................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.1‬مقدمة ‪31 ..................................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.1‬الطاقم اإلحصائي ‪32 ....................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.1‬فضاء الطور للنظام الكالسيكي ‪32 ...................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (4.3‬نظرية ليوفيلي ‪32 ......................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.4‬فرضية تساوي اإلحتمالية المسبقة ‪65 ...............................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.3‬خواص الطاقم المجهري القانوني ‪61 ................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (4.6‬تطبيقات الطاقم المجهري ‪61 .........................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الخامس ‪:‬الميكانيكا اإلحصائية وقوانين الثيرموديناميكا ‪62 ......................................................................................................‬‬ ‫)‪ (5.1‬القانون األول في الثيرموديناميكا ‪62 ................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )3.1‬القانون الثاني للديناميكا الحرارية ‪69 ................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )3.1‬القانون الثالث للثيرموديناميكا ‪21 .....................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (5.4‬حساب المتغيرات الديناميكا الحرارية ‪22 ..........................................................................................................................‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مسائل محلولة ‪81 ................................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل السادس ‪ :‬الطاقم القانوني ‪83 ..........................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )1.6‬مقدمة ‪83 .................................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )6.1‬اتزان النظام مع الخزان الحراري ‪86 ..............................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (6.3‬خصائص نظام ما في الطاقم القانوني ‪82 ..........................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (6.4‬األهمية الفيزيائية للكميات اإلحصائية في الطاقم القانوني ‪91 .................................................................................................. .‬‬ ‫(‪ )6.5‬دالة تجزئة مستويات الطاقة المتحللة ‪92 ...........................................................................................................................‬‬ ‫)‪ ( 6.6‬األنظمة الكالسيكية ‪93 .................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل السابع ‪ :‬تطبيقات احصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان على بعض األنظمة الكمية ‪111 ...........................................................................‬‬ ‫(‪ )2.1‬انظمة المتذبذبات التوافقية المكممة ‪111 .............................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )2.1‬نظام غاز ثنائي الذرات ‪112 ..........................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (7.3‬نظام المواد البارامغناطيسية ‪111 .....................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (7.4‬صالحية ونهاية اإلحصاء الكالسيكية ‪112 ..........................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الثامن ‪ :‬اإلحصاء الكمي ‪119 ........................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (8.1‬مقدمة ‪119 ..............................................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )8.1‬الخصائص الكمية للجسيمات غير المميزة‪111 ..................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )8.1‬إحصاء بوز – أينشتين ‪111 ...........................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (8.4‬احصاء فيرمي‪ -‬ديراك ‪118 ..........................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (8.5‬مقارنة التوزيعات اإلحصائية‪ :‬ماكسويل‪ -‬بولتزمان‪،‬فيرمي‪ -‬ديراك‪ ،‬و بوز‪ -‬اينشتين ‪125 ..............................................................‬‬ ‫امثلة متنوعة ‪121 ................................................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل التاسع ‪:‬الطاقم القانوني الكبير ‪129 .................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )9.1‬مقدمة ‪129 ................................................................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (9.2‬دالة التوزيع اإلحتمالي ‪135 ............................................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )9.1‬التقلبات في الطاقم القانوني الكبير ‪139 ..............................................................................................................................‬‬ ‫الفصل العاشر‪ :‬تطبيقات احصاء فيرمي – ديراك ‪161 ...................................................................................................................‬‬ ‫)‪ (10.1‬اإللكترونات الحرة في المعادن ‪161 ..............................................................................................................................‬‬ ‫(‪ )15.1‬بارامغناطيسية – باولي ‪125 .......................................................................................................................................‬‬ ‫الفصل الحادي عشر ‪ :‬تطبيقات احصاء بوز – اينشتين ‪122 ...........................................................................................................‬‬ ‫(‪ )11.1‬اشعاع الجسم األسود – غاز الفوتون المثالي ‪122 .............................................................................................................‬‬ ‫(‪ )11.1‬معالجة بوز الرياضية إلشعاع الجسم األسود‪126 ...............................................................................................................‬‬ ‫ألباب الثاني ‪188 ...............................................................................................................................................................‬‬ ‫تمارين محلولة ‪189 ............................................................................................................................................................‬‬ ‫المراجع ‪121 ......................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪Preface‬‬ ‫بسم الله الرحمن الرحيم والصالة على والسالم على رسوله الكريم وبعد ‪.‬‬ ‫تعتبر نظريات ومفاهيم الميكانيكا اإلحصائية من اهم المواضيع التي يجب على الطالب الجامعي‬ ‫المتخصص في دراسة علم الفيزياء تحليلها وفهمها بالشكل المعمق‪ ،‬اذ ان هذا الموضوع يرتبط بشكل وثيق‬ ‫مع مفاهيم المقررات الفيزيائية األخرى ‪ :‬الميكانيكا الكالسيكية والكمية ‪ ،‬والديناميكا الحرارية‪ .‬لذلك ‪ ،‬ننصح‬ ‫طالب الفيزياء في مرحلة دراسته الجامعية األولى ان يكون على دراية واسعة بهذه المقررات قبل التسجيل‬ ‫في مقرر الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬ليسنى له الفهم الجيد لهذا الموضوع‪.‬‬ ‫عند عرض مادة هذا الكتاب ‪ ،‬تم اإلعتماد اساسا على نصوص المحاضرات التي قمت بإعطائها خالل‬ ‫تدريسي لمقرر الميكانيكا اإلحصائية لطلبة تخصص الفيزياء ‪ .‬يحتوي هذا الكتاب على بابين ‪ :‬حيث تناول‬ ‫الباب األول المفاهيم األساسية لعلم الميكانيكا اإلحصائية الكالسيكية وبداية تطور الميكانيكا اإلحصائية الكمية‪.‬‬ ‫كما تناول الباب الثاني حلول مسائل متعلقة بالمفاهيم والمفردات التي عرضت في الباب األول ‪ ،‬مما يساعد‬ ‫الطالب على الفهم والتحليل الجيد لسلوك األنظمة الفيزيائية في حاالت اإلتزان الحراري من خالل النهج‬ ‫اإلحصائي ‪.‬‬ ‫يشتمل هذ ه الكتاب على احد عشر فصال والتي تعرض نظريات و اساسيات الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫وتطبيقاتها العملية ‪ .‬حيث تناول الفصل األول شرحا لحاالت النظام الفيزيائي بشكل عام ‪ :‬الحاالت المجهرية‬ ‫والعيانية ومعادلة حالة هذا النظام والتي تشكل اساس هذا العلم وارتباطه مع المتغيرات في الديناميكا الحرارية‬ ‫في حالة اإلتزان الحراري ‪ .‬لتسهيل اشتقاق القوانين األساسية في الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬تم في الفصل الثاني‬ ‫تقديم مراجعة عامة لمبادئ مفاهيم نظرية دالة اإلحتماالت ومعاييرها ‪ ،‬كما تم عرض التوزيعات اإلحصائية‬ ‫والتي تعتبر مدخال هاما لفهم وتحليل نظريات الميكانيكا اإلحصائية ‪.‬‬ ‫كما يعرض الفصل الثالث ‪،‬الرابع ‪ ،‬والخامس من هذا الكتاب مبادئ وطرق توزيع الجسيمات في‬ ‫الطواقم اإلحصائية القانونية‪ ،‬والتي تعتبر حجر الزاوية في دراسة نظريات الميكانيكا اإلحصائية الكالسيكية‬ ‫( توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان )‪ .‬كما تم عرض الصورة الرياضية لمفهوم دالة التجزئة ‪ .‬كما تم تقديم العالقات‬ ‫التي تربط بين دوال التجزئة إلنظمة كالسيكية تقليدية ( الغازالمثالي‪ -‬احادي الذرة والمتذبذب التوافقي البسيط)‬ ‫‪6‬‬ ‫مع متغيرات الديناميكا الحرارية ‪ ،‬وذلك من خالل تطبيق مفهوم فراغ الطور ونظرية تساوي اإلحتمال‬ ‫المسبق ‪.‬‬ ‫اما في الفصل السادس والسابع ‪ ،‬فقد تم عرض خصائص الطاقم القانوني وتقديم األهمية الفيزيائية‬ ‫للكميات اإلحصائية في هذا الطاقم ‪ .‬كما تناولت هذه الفصول دراسة دوال التجزئة لمستويات الطاقة المنحلة‬ ‫في بعض األنظمة الفيزيائية ‪ ،‬وتطبيق توزيع ماكسويل لحساب معدل السرع لجزيئات الغاز المثالي ‪ .‬كما تم‬ ‫عرض تقلبات الطاقة في الطاقم القانوني وتوزيع طاقة الجسيمات حول متوسط الطاقة الداخلية للنظام ‪ ،‬وتم‬ ‫ايضاح تطبيقات احصاء ماكسويل – بولتزمان على نظام الغاز المثالي – ثنائي الذرات ‪ ،‬ونظام المواد‬ ‫البارامغناطيسية‪.‬‬ ‫ويقدم الفصل الثامن من هذه الكتاب تمهيدا لمفاهيم األحصاء الميكانيكي الكمي ‪ ،‬من خالل توضيح‬ ‫خصائص الجسيمات المميزة وغير المميزة ‪ ،‬كمل يعرض نموذجين مهمين في علم الميكانيكا اإلحصائية ‪:‬‬ ‫إحصاء فيرمي – ديراك وإحصاء بوز – اينشتين ‪ .‬كما تقديم مقارنة بين مفاهيم اإلحصائيات الثالثة ‪ ،‬من‬ ‫حيث توزيع الجسيمات على مستويات الطاقة للنظام ‪.‬‬ ‫كما يعرض الفصل التاسع مفهوم الطاقم القانوني الكبير والعالقة الرياضية لدالة التوزيع اإلحتمالي‬ ‫وتقلبات الكميات الفيزيائية في هذا الطاقم ( الطاقة ورقم اشغال الجسيمات لمستويات الطاقة ) ‪.‬‬ ‫اما في الفصل العاشر ‪ ،‬فقد تم تقديم شروحا لتطبيقات احصاء فيرمي – ديراك لفهم سلوك اإللكترونات‬ ‫الحرة في المعادن ‪ ،‬والمواد البارامغناطيسية‪ -‬باولي ‪ .‬واخيرا‪ ،‬عرض في الفصل الحادي عشر تطبيق احصاء‬ ‫بوز‪ -‬اينشتين لدراسة اشعاع الجسم األسود المثالي ‪ ،‬ودراسة ظاهرة تكثيف بوز‪ -‬اينشتين ‪.‬‬ ‫ولتعميق فهم وتحليل المفردات المقدمة في الباب األول من هذا الكتاب ‪ ،‬فقد رأى المؤلف ان يتضمن‬ ‫الباب الثاني تمارين محلولة ومتنوعة والتي تتناول هذه المفردات بالتفصيل ‪ ،‬كما احتوى هذه الباب ملحقا‬ ‫رياضيا لعالقات مهمة في دراسة الميكانيكا اإلحصائية‪.‬‬ ‫والله من وراء القصد ‪،،،،،‬‬ ‫ا‪.‬د‪ /‬عبدالهادي محمد حمدان البرغوثي‬ ‫عابود‪ /‬رام الله‪ /‬فلسطين‬ ‫‪7‬‬ ‫الفصل األول‪ :‬اساسيات الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫‪The Fundamentals of Statistical‬‬ ‫‪Mechanics‬‬ ‫(‪ )1.1‬مقدمة‬ ‫‪Introduction‬‬ ‫علم الميكانيكا اإلحصائية هو فن تحويل القوانين المجهرية ( ‪ (Microscopic Laws‬في الفيزياء الى طبيعة‬ ‫وصفية في المقياس العياني (‪ ، )Macroscopic scale‬و يتم ذلك بإستخدام نظريات اإلحصاء ( نظرية‬ ‫اإلحتماالت والقيم المتوسطة للكميات الفيزيائية) في دراسة التجمعات ( الطواقم ‪ ) Ensembles -‬المحتوية‬ ‫على اعداد كبيرة جدا من الجسميات ( ذرات او جزيئات) ‪.‬‬ ‫وبعبارة اخرى‪ ،‬تشكل الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫اطارا يربط بين الخواص المجهرية للجزيئات مع الخواص العيانية للمواد التي تتألف من هذه الجزيئات ‪ ،‬مما‬ ‫يعطينا فكرة عن اصل خواص هذه المواد المشاهدة في حياتنا اليومية‪ .‬ويهتم هذا العلم بخصائص المادة في‬ ‫حالة التوازن ويهدف الى اشتقاق جميع خصائص الحالة العيانية لجزيئات النظام من قوانين الديناميكا الجزئية‬ ‫‪.‬‬ ‫في القرن التاسع عشر الميالدي ‪ ،‬بدأت دراسة األنظمة العيانية (غاز محصور في وعاء مغلق) مما ادى‬ ‫الى اكتشاف قوانين رياضية تحكم سلوك هذه األنظمة ‪ ،‬وهذه القوانين اسست علم الثيرموديناميكا ( التحريك‬ ‫الحراري) ‪ .‬وفي النصف الثاني من هذا القرن‪ ،‬اكتشفت النظريات الذرية للمواد ‪ ،‬مما ادى الى الحصول على‬ ‫مفاهيم ذرية شكلت وجهات نظر مجهرية لألنظمة الفيزيائية‪ ،‬وبالتالي بدأ تطوير نهج جديد في الفيزياء يتعامل‬ ‫مع هذه األنظمة ذات الجسيمات الكبيرة‪ .‬وبعبارة ادق ‪ ،‬يمكن القول ان هذا النهج الذري ( ‪Atomic‬‬ ‫‪ )approach‬لمسائل األنظمة العيانية بدأ من خالل دراسة النظرية الحركية للغازات المخففة ( ‪dilute gases‬‬ ‫) على يد زمرة من العلماء‪ :‬كالوسيوس ‪ ،‬ماكسويل ‪ ،‬وبولتزمان‪ .‬حيث‪ ،‬اكتشف ماكسويل (‪ )9581‬قوانين‬ ‫تحدد التوزيع الرياضي لسرع جسيمات الغاز المثالي ‪ ,‬بينما وضع بولتزمان معادلة ‪ ،‬التي نتناول شرحها في‬ ‫الفصل الثالث ‪ ،‬عرفت بإسمه (‪ .)9581‬اما الصورة الحديثة لهذه النظرية ‪ ،‬فقد تم تطويرها على يد العلماء‬ ‫شبمان )‪ )Chapman‬و انسكوج )‪ (Enskog‬خالل الفترة ( ‪. )9198-9191‬‬ ‫ويمكن القول ‪ ،‬ان معظم منهاج الميكانيكا اإلحصائية التقليدية ( الذي يستخدم قوانين الميكانيكا الكالسيكية) قد‬ ‫تم تطويره على يد بولتزمان (‪ ، )9581‬ثم من خلفه جبس ( ‪ ) Gibbs‬في عام ‪ . 9191‬وفيما بعد‪ ،‬ساهم تطور‬ ‫‪8‬‬ ‫نظريات ميكانيكا الكم في عدة تغييرات للهياكل األساسية لنظريات هذا المنهاج وعرفت فيما بعد الميكانيكا‬ ‫اإلحصائية الكمية ‪.‬‬ ‫لماذا نحتاج الى دراسة الميكانيكا اإلحصائية ؟‪.‬‬ ‫عند دراسة فروع الفيزياء المختلفة ‪ ،‬نحتاج الى وضع قوانين ( معادالت) لوصف األنظمة الفيزيائية‬ ‫المطلوب دراستها وتحليلها ‪ ،‬ويتم ذلك عن طريق حل هذه المعادالت ‪ ،‬اما بشكل دقيق ( ‪ )exact‬او بشكل‬ ‫تقريبي ( ‪ . )none exact‬لنفرض اننا نريد دراسة سلوك نظام فيزيائي ( غاز في وعاء مغلق) ‪ ،‬من المعلوم‬ ‫ان المول الواحد من المادة ‪ ،‬تحت الظروف المعيارية ‪ ،‬يحوي على عدد افوجادرو ( ‪ )Avogadro‬من‬ ‫الجزيئات ‪ 𝑁𝐴 = 6 × 1023 ،‬جزيء ‪ .‬اي نحن بحاجة الى كتابة ‪ 1023‬معادلة مع الشروط اإلبتدائية‬ ‫لوصف هذا النظام ‪ ،‬وهذا يجعل من الصعب جدا حل هذه المعادالت بالطرق الرياضية العادية وتحديد حالة‬ ‫كل جزيء ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يكون من األسهل استبدال عدد درجات الحرية للنظام ( 𝐴𝑁‪ )3‬بكميات فيزيائية محدودة‬ ‫والتي تحدد الخواص الثيرموديناميكية للنظام ( الحجم ‪ ،‬الحرارة ‪ ،‬الضغط ‪ ،‬والسعة الحرارية ) ‪ .‬وبالتالي ‪،‬‬ ‫يمكن دراسة معدل ( ‪ )Average‬حركة الجسيمات في هذا النظام بإستخدام الخصائص اإلحصائية لهذه‬ ‫الجسيمات ‪.‬‬ ‫(‪)1.1‬المفاهيم األساسية في الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫‪Basic Concepts in statistical Mechanics‬‬ ‫‪‬‬ ‫حالة النظام الفيزيائي ‪Physical system state‬‬ ‫النظام الفيزيائي هو مصطلح يطلق على اي كمية من المادة ( صلب‪ ،‬سائل ‪ ،‬غاز) التي تحدد‬ ‫خواصها‬ ‫بشكل وحيد وكامل بتعيين محددات او معامالت ( ‪ )Parameters‬عيانية ( اي يمكن مالحظتها‬ ‫بالحواس الملموسة )‪ .‬وكمثال على ذلك الغاز المحصور في وعاء ‪ ،‬حيث تكون المادة ( جسيمات الغاز)‬ ‫محدودة بجدران فيزيائية ( جدران الوعاء) عن المحيط الخارجي ‪.‬‬ ‫يمكن تصنيف األنظمة الفيزيائية ‪ ،‬وفقا لتفاعل هذه المادة مع المحيط الى ما يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫النظام المعزول ‪ : Isolated System‬هو النظام الذي ال يتفاعل مع المحيط ‪ ،‬وذلك عندما تكون‬ ‫جدران الوعاء غير منفذة ألي شكل من الطاقة او المادة ‪ .‬وفي هذه الحالة ‪ ،‬تكون الطاقة الكلية ‪E‬‬ ‫‪ ،‬عدد الجسيمات ‪ ، N‬والحجم ‪ V‬لهذا النظام كميات محفوظة ‪ . conserved‬ويمكن استخدام هذه‬ ‫الكميات لتمييز ووصف حالة النظام العيانية ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫النظام المغلق ‪ : closed system‬هو النظام الذي يسمح بتبادل الطاقة مع محيطه الخارجي ولكن‬ ‫بدون تبادل المادة ‪ ،‬وفي هذه الحالة تكون الطاقة الكلية للنظام غير محفوظة ( متتغيرة مع الزمن)‪ .‬وفي‬ ‫حالة وصول هذا النظام الى وضع التوازن مع المحيط ‪ ،‬يمكن افتراض ان معدل قيم هذه الطاقة‬ ‫‪9‬‬ ‫يرتبط مع درجة حرارة هذا النظام ‪ ، T‬ولذلك يمكن وصف حالة النظام العيانية بالمحددات التالية‬ ‫‪. )N, V, T( :‬‬ ‫‪‬‬ ‫النظام المفتوح ‪: Open system‬هو النظام الذي يسمح بتبادل الطاقة والمادة مع محيطه ‪ .‬وعليه ‪،‬‬ ‫تكون كال من ‪ E, N‬كميات غير محفوظة ‪ .‬وعندما يكون النظام في حالة توازن مع محيطه ‪ ،‬يمكن‬ ‫اإلفتراض ان معدل الطاقة وعدد الجسميات في هذا النظام مرتبطة مع درجة الحرارة والجهد‬ ‫الكيماوي(‪( chemical potential )μ‬كما سيرد شرحه في الفصول الالحقة)‪.‬‬ ‫في دراسة الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬يمكن ان نصنف األنظمة الفيزيائية ‪ ،‬حسب الحيز الذي تشغله (‬ ‫‪ ، )size‬الى نوعين هما‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫نظام مجهري ( ‪ ، )Microscopic system‬حيث تكون ابعاد هذا النظام من رتبة األبعاد الذرية (‬ ‫‪. )99A‬‬ ‫‪‬‬ ‫نظام عياني او جهري ( ‪ , )Macroscopic system‬حيث تكون ابعاده اكبر من الميكرون (‪1μ‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫معادلة حالة النظام ‪System State Equation‬‬ ‫تسمى الكميات العيانية التي تصف او تحدد بصورة تامة حالة النظام الفيزيائي كميات الحالة ‪state‬‬ ‫‪ .quantities‬اضافة الى الكميات التي وردت سابقا (‪ ، ) E, V,N, T, P, μ‬يمكن اعتبار الشحنة ‪ ،‬العزم‬ ‫المغناطيسي ‪ ،‬معامل أإلنكسار ‪ ،‬واللزوجة كميات حالة ‪ .‬وهناك دالة حالة تعبر عن ميل النظام نحو الفوضوية‬ ‫‪ ، disorder number‬وتدعى هذه الدالة أإلنتروبيا (‪ )Entropy‬ويمز لها بالرمز (‪ .)S‬من جهة اخرى ‪ ،‬ال‬ ‫تعتبر الخواص المجهرية للنظام ‪ ،‬مثل موقع وكمية حركة الجسيمات في النظام ‪ ،‬من كميات الحالة‪.‬‬ ‫تصنف كميات الحالة الى نوعين هما‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫كميات شاملة ‪ Extensive‬وهي الكميات التي تتناسب مع كمية مادة النظام قيد الدراسة ‪ ،‬مثل حجم‬ ‫النظام ‪ ، V‬عدد الجسيمات ‪ .N‬كذلك مفهوم اإلنتروبيا ‪ S‬يعتبر من الكميات الشاملة لكونه مرتبطا‬ ‫مع مع عدد الحالت المجهرية للنظام ( كما سيرد شرحه الحقا)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫كميات مكثفة ‪ Intensive‬وهي الكميات التي ال تعتمد على كمية مادة النظام ‪ ،‬مثل الضغط ‪، P‬‬ ‫درجة الحرارة ‪.T‬‬ ‫عند اعتبار كثافة الطاقة الحجمية للنظام ( ‪ )E/V‬تصبح هذه الكمية كمية مكثفة ‪ ،‬وبالمثل عدد الجسيمات‬ ‫في وحدة الحجم ( ‪. )N/V‬‬ ‫اما معادلة الحالة ‪ state equation‬فهي دالة رياضية تربط بين محددات( معامالت) النظام العيانية ‪ ،‬ويعبر‬ ‫عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪ ، f ( P,V,T)= 0‬وهذه الدالة تعطى‪ ،‬باإلفتراض ‪ ،‬كجزء من وصف او تحديد‬ ‫النظام‪ .‬كمثال على ذلك ‪ ،‬معادلة الحالة للغاز المثالي (نظام ديناميكي حراري) تعطى معادلة الحالة بواسطة‬ ‫‪10‬‬ ‫قانون بويل ( ‪ )Boyle‬عند ثبوت درجة الحرارة على الصورة التالية ‪ = PV/ N :‬كمية ثابتة ‪ ،‬ويعتمد‬ ‫مقدار الكمية الثابتة على التدريج التجريبي لدرجة الحرارة المستخدم ‪ .‬ان معادلة الحالة للغاز المثالي تحدد‬ ‫او تعرف تدريج درجة الحرارة ‪ ،‬درجة حرارة الغاز المثالي ‪ ، T‬بالصورة الرياضية التالية ‪𝑃𝑉 =:‬‬ ‫𝑇 𝐵𝐾𝑁‪ ،‬وهذه نتيجة احصائية ‪ ،‬حيث تربط معدل الضغط مع معدل الحجم ومع معدل الحرارة ‪ ،‬اما‬ ‫الثابت ‪K 𝐵 = 1.38 × 10−16 𝑒𝑟𝑔⁄𝑑𝑒𝑔.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ،‬يعرف بثابت بولتزمان ‪.‬‬ ‫الحاالت المجهرية ‪Microstates‬‬ ‫تعرف الحالة المجهرية بأنها حالة النظام الذي تكون فيه معامالته الخاصة بقوامه ‪( constituent‬‬ ‫الجسيمات) محددة ‪ .‬هناك عدة حاالت مجهرية لكل حالة من النظام وتكون معينة بداللة المتغيرات العيانية‬ ‫(… ‪ ، )E, N,V,‬كما يوجد عدة محددات لكل حالة‪ .‬وعند دراسة الحالة المجهرية‪ ،‬تتبلور وجهتا نظر وهما ‪:‬‬ ‫النهج الميكانيكي الكالسيكي ‪ ،‬حيث نعتبر مكان وكمية الحركة لكل جسيم في النظام ‪ ،‬مما يجعل عدد‬ ‫درجات الحرية للنظام المكون من ‪ N‬جسيم مساو الى ‪ . 6N‬اما النهج اآلخر فهو النهج الميكانبكي الكمي‪،‬‬ ‫حيث نعبر عن مستويات الطاقة وحاالت جسيمات النظام بأرقام كمية ‪ Quantum numbers‬وذلك لتحديد‬ ‫معامالت الحالة المجهرية ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫الحالة العيانية ‪Macro state‬‬ ‫تعرف هذه الحالة بأنها حالة النظام التي يحدد فيها توزيع الجسيمات على مستويات الطاقة ‪energy‬‬ ‫‪ . levels‬اي ان الحالة العيانية تشتمل على مستويات الطاقة وعلى عدد الجسيمات ذات الطاقة الخاصة ‪.‬‬ ‫حيث ان هناك عدة طرق لترتيب المتغيرات المجهرية في النظام ‪ ،‬لذلك يكون هناك لكل حالة عيانية عدد من‬ ‫الحاالت المجهرية ‪ .‬كما ان هناك نزعة ( ميل) لوصول النظام نحو التوازن ‪ ، equilibrium‬اي وجود‬ ‫النظام في الحالة العيانية التي تكون اكثر ثباتا ( استقرارا) ‪ .‬ويمكن اإلعتماد على اإلفتراض البديهي ‪priori‬‬ ‫‪ assumption‬الذي ينص على ان الحالة العيانية هي الحالة التي تحوي على األغلبية الساحقة من الحاالت‬ ‫المجهرية ‪ .‬وهذا يعزز النهج اإلحتمالي في الفيزياء ‪.‬‬ ‫(‪ )1.1‬الفرضيات األساسية في الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫‪Basic Assumption in statistical Mechanics‬‬ ‫تعتمد نظريات الميكانيكا اإلحصائية على المبادئ األساسية التالية‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ )9‬الطاقم إلحصائي ‪ ، statistical ensemble‬هو مجموعة كل األنظمة الفيزيائية التي لها نفس المتغيرات‬ ‫المحددة للحالة العيانية ‪ ،‬وتكون نتيجة المشاهدة لقياس الحالة العيانية هي المعدل للمتغير على كل هذا الطاقم‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ) 1‬تكون جميع الحاالت المجهرية المتوفرة في النظام المعزول والمتزن لها نفس اإلحتمالية ( متساوية‬ ‫اإلحتمال) ‪. equally likely‬‬ ‫‪ )3‬اذا كان عدد الحاالت المجهرية الكلية للنظام ذي الطاقة الثابتة ‪ E‬تساوي )‪ ، Ω )E‬فإن احتمالية تواجد‬ ‫هذا النظام في اي حالة معطاة تكون كالتالي ‪ ، 𝑃(𝑛) = 1⁄Ω(𝐸) :‬بينما تكون احتمالية ان يكون النظام‬ ‫بطاقة ال تساوي هذه الطاقة صفرا ‪ .‬ويعرف هذا التوزيع اإلحتمالي بالطاقم المجهري القانوني ( المشرع)‬ ‫‪. micro canonical ensemble‬‬ ‫‪12‬‬ ‫الفصل الثاني ‪ :‬دوال اإلحتمال‬ ‫‪Probability Functions‬‬ ‫ندرس في هذا الفصل ملخصا لقوانين نظرية اإلحتمال والتي يحتاجها الطالب في دراسته لعلم الميكانيكا‬ ‫اإلحصائية‪.‬‬ ‫)‪ (2.1‬تعريف اإلحتمالية ‪Definition of Probability‬‬ ‫في علم اإلحصاء الرياضي ‪ ،‬تعرف التجربة العشوائية على انها كل اجراء نعلم مسبقا جميع النتائج‬ ‫الممكنة له ‪ ،‬وان كنا ال نستطيع ان نتنبأ اي هذه النتائج سيتحقق فعال في محاولة معينة ‪ .‬من األمثلة على‬ ‫التجارب العشوائية ‪ :‬رمي حجر النرد ‪ ،‬رمي قطعة نقود ‪...‬‬ ‫تسمى مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية ما فراغ ( فضاء) العينة ويرمز له بالرمز ‪ ، Ω‬فمثال‬ ‫في تجربة رمي حجر النرد يكون الفراغ العينة كالتالي‪:‬‬ ‫}‪ . Ω ={1,2,3,4,5,6‬ويعرف الحدث )‪ (event‬او الحادثة بإنه اي مجموعة جزئية من فراغ العينة ‪ .‬فمثال‬ ‫حادثة الحصول على األعداد الفردية عند رمي حجر النرد تمثل بالمجموعة التالية ‪. A={1,3,5} :‬‬ ‫اذا كان فراغ العينة منتهي ويحتوي على ‪ n‬عنصرا ‪ ،‬اي } 𝑛𝑎 ‪ ، Ω = {𝑎1 , 𝑎2 , … .‬فإنه يمكن تعيين‬ ‫عدد حقيقي ) 𝑖‪ P(a‬للعنصر 𝑖‪ a‬يسمى احتمال هذا العنصر على ان يحقق الشرطين التاليين‪:‬‬ ‫‪)9‬‬ ‫‪0 ≤ 𝑃( 𝑎𝑖 ) ≤ 1‬‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪. ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝑎𝑖 ) = 1‬‬ ‫ويعرف احتمال اي حادثة على انه مجموع احتماالت العناصر المكونة لها‪ .‬فمثال عند رمي حجر النرد مرة‬ ‫واحدة ‪ ،‬فإن ‪ ...، P(2)=1/6 ، P(1)= 1/6‬وهكذا ‪.‬‬ ‫اما اذا كان الفضاء العينة لتجربة ما ليس اعدادا في كل الحاالت ‪ ،‬فإنه يمكن تخصيص عدد معين لكل‬ ‫ناتج ‪ ،‬بحيث تكون قيمته متغيرة في كل حالة ‪ ،‬ويسمى هذا العدد متغيرا عشوائيا ‪. Random Variable‬‬ ‫يرمز لهذا المتغير العشوائي 𝑋 ‪ ،‬وتصنف المتغيرات العشوائية الى نوعين هما‪:‬‬ ‫(‪ )a‬المتغيرات العشوائية المتقطعة ‪ ، discrete‬حيث تكون القيم الممكنة لهذه المتغيرات مجموعة منتهية‬ ‫من األعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫)‪ (b‬المتغيرات العشوائية المتصلة ‪ ، continuous‬حيث يمكن تمثيل قيم المتغير بفترة ‪ interval‬من‬ ‫األعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫نتناول اوال دلراسة دوال اإلحتمال للمتغيرات العشوائية المتقطعة ‪ ،‬ثم للمتغيرات المتصلة ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫دالة اإلحتمال ‪Probability function‬‬ ‫اذا كانت التجربة العشوائية رمي قطعتي نقود مرة واحدة ‪ ،‬واردنا معرفة عدد القطع التي تظهر عليها‬ ‫الصورة ‪ ،‬فإن هذا العدد ( عدد مرات ظهور الصورة) اما ان يكون صفرا ( اي ال تظهر الصورة) واما ان‬ ‫يكون ‪ 9‬واما ان يكون ‪ . 1‬فإذا رمزنا لظهور الصورة بالرمز 𝑥 ‪ ،‬كمتغير عشوائي ‪ ،‬تكون له القيم ( نتائج‬ ‫التجربة) التالية ‪ .{ x = 0, 1, 2 } :‬يكون الفراغ العينة لهذه التجربة مجموعة األزواج المرتبة التالية ‪:‬‬ ‫‪(} = Ω‬ص‪،‬ص{‪(،‬ص‪،‬ك)‪( ،‬ك‪،‬ص) ‪( ،‬ك‪،‬ك) { ‪ ،‬حيث ص ‪ :‬تمثل ظهور الصورة عند الرمي ‪ ،‬بينما ك‬ ‫‪ :‬تمثل ظهور الكتابة ‪ .‬اي انه يوجد ‪ 4‬حاالت من النتائج الممكنة لهذه التجربة‪.‬‬ ‫ويمكن تلخيص نتائج هذه التجربة كما في الجدول التالي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f(x) 1/4 2/4 1/4‬‬ ‫من الجدول نجد ان احتمال عدم الحصول على صورة ( ‪ )x = 0‬يساوي ‪:‬‬ ‫‪ ، 1/4‬او ‪ ، f(0)= 1/4‬وهكذا‪ ، ....‬اي ان دالة اإلحتمال لمتغير عشوائي متقطع ‪ X‬عند اي نقطة ‪x‬‬ ‫هي‪:‬‬ ‫)𝑥 = 𝑋(𝑃 = )𝑥(𝑓‬ ‫‪‬‬ ‫دالة التوزيع ‪Distribution Function‬‬ ‫أحيانا يكون المطلوب ان تكون ‪ X‬اقل من قيمة معينة او تساويها‪ ،‬فمثال اذا اردنا ايجاد احتمال الحصول‬ ‫على عدد من الصور في المثال السابق ( رمي قطعتي نقد مرة واحدة) اقل او يساوي ‪ ،9‬هذا يعني احتمال ان‬ ‫‪14‬‬ ‫يكون عدد الصور اما يساوي ‪ 9‬واما ان يساوي صفرا ‪ ،‬وحيث ان العمليتين منفصلتان فإ ننا نجمع اإلحتمالين‬ ‫كالتالي‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪+ = 3/4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫رياضيا ‪ ،‬نعبر عن ذلك بما يلي‪:‬‬ ‫= )‪𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1‬‬ ‫)𝑥 ≤ 𝑋(𝑃 = )𝑥(𝐹‬ ‫وتسمى الدالة )𝑥(𝐹 دالة التوزيع ‪ .‬ويمكن تحويل الجدول السابق على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪F(x)=P(𝑋 ≤ 𝑥) 1/4 3/4 1‬‬ ‫اما العالقة بين دالة اإلحتمال ودالة التوزيع للمتغير المتقطع يمكن ان يعبر عنها كالتالي‪:‬‬ ‫𝑖𝑥‬ ‫)𝑥(𝑓 ∑ = ) 𝑖𝑥(𝐹‬ ‫‪𝑥=𝑥0‬‬ ‫اي ان دالة التوزيع عند اي نقطة تساوي مجموع اإلحتماالت من اول المدى ( اول نقطة) الى النقطة‬ ‫المطلوبة ‪ .‬ونالحظ ان دالة التوزيع تنحصر قيمتها بين الصفر والواحد الصحيح ‪ ،‬وهي دالة متزايدة‪.‬‬ ‫اما في حالة المتغيرات العشوائية المتصلة فإنه ال يوجد احتمال عند نقطة ( او قيمة واحدة محددة) ‪،‬‬ ‫وعليه يتم حساب اإلحتماالت للمتغيرات المتصلة عن طريق المساحات تحت منحنى الدالة ‪.‬وحيث انه ال توجد‬ ‫مساحة عند نقطة فإن اإلحتمال في هذه الحالة يساوي صفرا‪ .‬لذلك يجب ان تكون هناك مساحة محصورة بين‬ ‫نقطتين ‪ ،‬من ن قطة ابتدائية الى نهاية المدى للمتغير المتصل ‪ ،‬لحساب اإلحتماالت ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يمكن ان نعرف‬ ‫مفهوم جديد لدالة اإلحتمال كالتالي‪:‬‬ ‫𝑥∆‪𝑓𝑐 (𝑥) = lim 𝑃 (𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + ∆𝑥)/‬‬ ‫‪∆𝑥→0‬‬ ‫وتسمى هذه الدالة دالة كثافة اإلحتمال ‪ ، probability density function‬وهذه الدالة تحقق الشرطين‬ ‫التاليين‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪∫ 𝑓𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 = 1‬‬ ‫;‬ ‫‪𝑓𝑐 (𝑥) ≥ 0‬‬ ‫𝑎‬ ‫حيث قيمة المتغير المتصل محصورة بين القيمتين ‪ . a, b‬كما نالحظ ان الشرط الثاني كان يقابله في حالة‬ ‫المتغير المتقطع ان مجموع اإلحتماالت يساوي الواحد الصحيح ‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫وفي كال النوعين من المتغيرات العشوائية ( المتقطعة والمتصلة) ‪ ،‬تبقى دالة التوزيع كما هي ‪ ،‬اي‬ ‫)𝑥 ≤ 𝑋(𝑃 = )𝑥( 𝑐𝐹‬ ‫ومن خصائص دالة التوزيع للمتغير المتصل ما يلي‪:‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫‪𝐹𝑐 (𝑎) = 0 , 𝐹𝑐 (𝑏) = 1‬‬ ‫)‪ (2‬اذا كانت 𝑏 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 ‪ ،‬فإن‬ ‫)‪P(a < X ≤ b) = F𝑐 (b) − F𝑐 (a‬‬ ‫‪‬‬ ‫العالقة بين دالة كثافة اإلحتمال ودالة التوزيع‬ ‫في حالة المتغيرات المتصلة ‪ ،‬تكون العالقة بين هاتين الدالتين على النحو التالي‪:‬‬ ‫𝑐𝐹𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫= )𝑥( 𝑐𝑓‬ ‫اي ان دالة كثافة اإلحتمال ما هي اال المشتقة األولى لدالة التوزيع ‪ .‬ويمكن اعادة كتابة هذه العالقة على‬ ‫الصورة التالية‪:‬‬ ‫‪𝑥0‬‬ ‫𝑥𝑑)𝑥( 𝑐𝑓 ∫ = ) ‪F𝑐 (𝑥0‬‬ ‫𝑎‬ ‫حيث ‪ a‬تمثل قيمة البداية للمتغير المتصل ‪ ،X‬اما ‪ 𝑥0‬تمثل النقطة المطلوب ايجاد دالة التوزيع عندها ‪.‬‬ ‫وهذه العالقة تعطي دالة التوزيع بمعلومية دالة كثافة اإلحتمال وال تتغير اذا كانت البداية (∞‪. ) -‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫اذا كان ‪ X‬متغيرا متصال في المدى ‪ 0 < X ≤ 3‬وكانت دالة التوزيع له كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝐹𝑐 (𝑥) = 𝑘𝑥 3‬‬ ‫جد دالة كثافة أإلحتمال ؟‬ ‫الحل‬ ‫بأخذ المشتقة األولى لدالة التوزيع نحصل على ما يلي‬ ‫‪𝑓𝑐 (𝑥) = 3𝑘𝑥 2‬‬ ‫بإستخدام خاصية دالة التوزيع ‪:‬‬ ‫‪F𝑐 (3) = 𝑘(3)3 = 1 → 𝑘 = 1/27‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) 𝑥 2 = 𝑥 2 /9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫( ‪𝑓𝑐 (𝑥) = 3‬‬ ‫مثال )‪(2‬‬ ‫اذا كان ‪ X‬متغيرا عشوائيا متصال في المدى ‪ 0 ≤ 𝑋 ≤ 4‬وكانت دالة كثافة اإلحتمال له كالتالي‪:‬‬ ‫)‪𝑓𝑐 (𝑥) = 𝑘(𝑥 2 + 2𝑥 + 2‬‬ ‫جد ما يلي‪ (a) :‬دالة التوزيع )𝑥( 𝑐‪F‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫)‪F𝑐 (2‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫)‪𝑃(1 < 𝑥 ≤ 3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫نستخدم تكامل دالة كثافة اإلحتمال لنحصل على مقدار الثابت 𝑘‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∫ 𝑓𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∫ 𝑘(𝑥 2 + 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑘 ( 3 + 𝑥 2 + 2𝑥)⌉ = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑘 = 3/136‬‬ ‫وعليه‪،‬‬ ‫‪)𝑥 2 +2x+2) dx‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪𝐹𝑐 (𝑥) = ∫0‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪3 𝑥3‬‬ ‫= )𝑥( 𝑐𝐹‬ ‫⌉)𝑥‪( + 𝑥 2 + 2‬‬ ‫‪136 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 𝑥3‬‬ ‫)𝑥‪( + 𝑥 2 + 2‬‬ ‫‪136 3‬‬ ‫( ‪)b‬‬ ‫= )𝑥( 𝑐𝐹‬ ‫بالتعويض بقيمة ‪ ، 𝑥 = 2‬نجد ان‬ ‫‪𝐹𝑐 (2) = 4/17‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪𝑃(1 < 𝑥 ≤ 3) = 𝐹𝑐 (3) − 𝐹𝑐 (1) = 136 − 136 = 136‬‬ ‫‪17‬‬ ‫)‪ (2.2‬تطبيق نتائج نظرية اإلحتماالت في الميكانيكا اإلحصائية‬ ‫بالرجوع الى الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬لنفرض اننا نتعامل مع عدد كبير جدا من األنظمة الفيزيائية‬ ‫المتشابهة ‪ ،‬ويسمى هذا التجمع من هذه األنظمة بالطاقم أإلحصائي ‪ ، statistical ensemble‬ونرمز له‬ ‫بالرمز ∑ ‪ .‬لتكن التجربة العشوائية مراقبة هذا الطاقم ‪ ،‬واذا اردنا معرفة احتمالية الحصول على النتيجة 𝑋‪،‬‬ ‫فإنه من تعريف دالة أإلحتمال‪ ،‬نجد ان‬ ‫)𝑋(‪Ω‬‬ ‫)‪Ω(Σ)→∞ Ω(Σ‬‬ ‫‪𝑃(𝑋) = lim‬‬ ‫)‪(2.1‬‬ ‫اي ان إحتمالية الحصول على هذه النتيجة تساوي النسبة بين عدد األنظمة في الطاقم التي تظهرفيها النتيجة‬ ‫‪ X‬الى العدد الكلي ألنظمة هذا الطاقم ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫اإلحتماالت المترابطة‬ ‫‪Combining Probabilities‬‬ ‫لنفرض ان نتيجتين منفصلتين في تجربة عشوائية هما ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ، X, Y‬وكانت دالتي احتمالهما ‪P(X) ,‬‬ ‫)‪ P(Y‬على الترتيب ‪ .‬فإن دالة احتمالية الحصول على النتيجة ‪ X‬او ‪ ، Y‬يرمز لها بالرمز‬ ‫)‪P(X⋃Y‬وتعرف‬ ‫كالتالي‪:‬‬ ‫)‪(2.2‬‬ ‫)𝑌⋃𝑋(‪Ω‬‬ ‫)‪Ω(Σ)→∞ Ω(Σ‬‬ ‫‪P(X⋃Y) = lim‬‬ ‫حيث ( 𝑌⋃𝑋(‪ = Ω‬عدد األنظمة التي تظهر فيها النتيجة ْ ‪ X‬أو النتيجة ‪ .Y‬اذا كانت الحادثتين متنافيتان‬ ‫‪ ، mutually exclusive events‬بمعنى ان وقوع احداهما يمنع او ينفي وقوع األخرى ‪ .‬وفي هذه الحالة‬ ‫فإن ‪ . 𝑋 ∩ 𝑌 = Φ‬وعليه‬ ‫)‪(2.3‬‬ ‫)‪Ω(X, Y) = Ω(X) + Ω(Y‬‬ ‫او‬ ‫)‪(2.4‬‬ ‫)‪P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y‬‬ ‫‪18‬‬ ‫لنفرض اننا اخذنا نتيجة مشاهدة تجربة عشوائية على الطاقم وكانت النتيجة في الحالة األولى هي ‪ ،X‬ثم اخذنا‬ ‫حالة ثانية بشكل مستقل وكانت النتيجة هي ‪ ، Y‬اي ان النتيجتين مستقلتان بمعنى احتمال حدوث النتيجة ‪ X‬ال‬ ‫يتأثر بحدوث النتيجة ‪ .Y‬تكون احتمالية الحصول على النتيجة ‪ X‬في الحالة أألولى و ( ‪ (and‬احتمال الحصول‬ ‫على النتيجة في الحالة الثانية ‪ ،Y‬رياضيا يعبر عن ذلك كالتالي ‪ ، 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) :‬ويعطى بالعالقة التالية ‪:‬‬ ‫)‪(2.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝑌(𝑃 ‪𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑃(𝑋).‬‬ ‫التوزيعات اإلحتمالية المتقطعة ‪Discrete probability distribution‬‬ ‫نتناول دراسة اثنين من التوزيعات اإلحتمالية المتقطعة وهما توزيع بيرنوللي ‪ Bernoulle’s Trial‬و‬ ‫توزيع ذي الحدين ‪. Binomial distribution‬‬ ‫)‪ )a‬توزيع بيرنوللي‬ ‫يدرس هذا التوزيع التجربة العشوائية التي لها نتيجتين اثنتين فقط ‪ ،‬مثل تجربة رصد نتيجة طالب في‬ ‫اإلختبار ( نجاح او رسوب) ‪ ،‬تجربة تسجيل جنس مولود( ذكر او انثى) ‪ ،‬او تجربة فحص قطعة من انتاج‬ ‫مصنع ( سليمة او تالفة)‪ .‬في هذه التجارب يكون الفراغ العينة مكون من عنصرين فقط ‪ ،‬اي }‪Ω = {0,1‬‬ ‫‪ .‬لنفرض ان احتمال النجاح ( الحصول على النتيجة األولى) هي ‪ ، P(X = 1) = p‬واحتمال الفشل (‬ ‫الحصول على النتيجة الثانية ) هي ‪ . P(X = 0) = q‬بما ان مجموع اإلحتماالت يساوي ‪ ، 9‬لذلك تكون‬ ‫‪ . 𝑞 = 1 − 𝑝 :‬وبصورة عامة يمكن التعبير عن دالة احتمال المتغير العشوائي ‪ X‬عند القيمة ‪ ، x‬عند‬ ‫اجراء التجربة ( المحاولة ) مرة واحدة كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝑝x (1 − 𝑝)1−x‬‬ ‫‪x = 0,1‬‬ ‫{ = )‪𝑃(𝑋 = x) = 𝑓(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x ≠ 0,1‬‬ ‫ويسمى هذا التوزيع نتوزيع بيرنوللي والمحدد ( معلم) هو ‪. p‬‬ ‫)‪ (b‬توزيع ذي الحدين ‪Binomial Distribution‬‬ ‫لنفرض ان التجربة العشوائئية تتكون من تكرار محاولة بيرنوللي عدد من المرات وتحت الشروط‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫(‪ )9‬عدد المحاوالت ‪ )1( ، N‬المحاوالت مستقلة ‪ )3( ،‬احتمال النجاح )‪ p = 𝑃(1‬يكون ثابتا لجميع‬ ‫المحاوالت‪ .‬تكون مجموعة القيم للمتغير العشوائي هي }‪.{0,1,2,……N‬‬ ‫→‪𝑝+𝑞 =1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫𝑝‪𝑞 = 1−‬‬ ‫)‪......(2.6‬‬ ‫وهذه المعادلة تسمى شرط المعايرة ‪ Normalization Condition‬وهي تعني ان مجموع إحتماالت كل‬ ‫نتائج التجربة العشوائية يساوي الواحد الصحيح‪.‬‬ ‫لنفرض اننا اجرينا التجربة العشوائية ‪ N‬مرة‪ .‬ولنفرض ان المتغير العشوائي ‪ X‬على انه عدد مرات‬ ‫النجاح عند تكرار محاولة بيرنوللي وفق الشروط السابقة ‪ ،‬تكون دالة اإلحتمال للمتغير العشوائي عند ‪𝑛1‬‬ ‫‪ X = x = :‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪𝑁 𝑛1 𝑁−𝑛1‬‬ ‫𝑞 𝑝)‬ ‫}𝑁 … … ‪; 𝑞 = 1 − 𝑝 ; 𝑛1 = {0,1,2,‬‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫( = ) ‪𝑃𝑁 (𝑋 = 𝑛1‬‬ ‫)‪………(2.7‬‬ ‫𝑁‬ ‫حيث ) ( = عدد الطرق المختلفة لترتيب 𝑁 من األشياء غير المميزة التي تتكون من مجموعتين مميزتين‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫عدد عناصرهما ‪ 𝑛1‬و ‪ . 𝑁 − 𝑛1‬ويعطى عدد هذه الطرق كالتالي ‪:‬‬ ‫!𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫=)‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫!) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫)‪( 2.8‬‬ ‫(‬ ‫كما تسمى دالة أإلحتمال المعطاة في معادلة )‪ (2.7‬بدالة توزيع ذي الحدين ‪، Binomial Distribution‬‬ ‫ألن مفكوك القوس ذو الحدين والذي اسه ‪ N‬يعطى كالتالي‪:‬‬ ‫)‪(2.9‬‬ ‫!𝑁‬ ‫‪(𝑝)𝑛1 (𝑞)𝑁−𝑛1‬‬ ‫!) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫𝑁‬ ‫∑ = 𝑁)𝑞 ‪(𝑝 +‬‬ ‫‪𝑛1 =0‬‬ ‫بأخد التجميع على معادلة )‪ (2.7‬نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫!𝑁‬ ‫𝑁)𝑞 ‪(𝑝)𝑛1 (𝑞)𝑁−𝑛1 = (𝑝 +‬‬ ‫!) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫)‪(2.10‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫∑ = ) ‪∑ 𝑃𝑁 (𝑛1‬‬ ‫‪𝑛1 =0‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫حيث ‪𝑝 + 𝑞 = 1 :‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪𝑛1 =0‬‬ ‫مثال)‪: (3‬‬ ‫عند رمي ‪ 1‬قطع من النقود في آن واحد ‪ ،‬جد احتمال الحصول على نتيجة صورتين في هذه التجربة ؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫½ = ‪ ، N=6 , n1=2 , p= q‬بإستخدام معادالة )‪ (2.7‬نحصل على التالي ‪:‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪1 4 15‬‬ ‫= ) ( ‪𝑃6 (2) = ( ) ( )2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪64‬‬ ‫)‪ (2.3‬التوقع ‪ ،‬التباين واإلنحراف المعياري‬ ‫‪The Expectation , Variance , and Standard Deviation‬‬ ‫عند التعامل مع نظريات الميكانيكا الكالسيكية يلزم تعريف بعض المفاهيم اإلحصائية بداللة دالة اإلحتمال‬ ‫كالتالي ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬التوقع( المتوسط) ‪ :‬لنفرض ان متغيراعشوائيا ما ‪ ،‬مثل 𝑋 ‪ ،‬له مجموعة من القيم المختلفة هي ‪:‬‬ ‫} 𝑛𝑥 ‪ ،{ 𝑥0 , 𝑥2 , … .‬بحيث كانت دالة احتمال الحصول على اي من هذه القيم في التجربة العشوائية‬ ‫هي ) 𝑖𝑥(‪ . P‬تكون القيمة المتوقعة لهذا المتغير كالتالي‪:‬‬ ‫𝑛=𝑖‬ ‫) 𝑖𝑥(‪𝐸(𝑋) = 𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 P‬‬ ‫)‪(2.11‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫اي ان التوقع هو القيمة المتوسطة للمتغير ‪.‬‬ ‫اذا كان 𝑋 متغيرا متصال في المدى 𝑏 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 فإن التوقع يكون كالتالي‪:‬‬ ‫𝑏‬ ‫̅‬ ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑃𝑥 ∫ = ‪X‬‬ ‫𝑎‬ ‫كما ان توقع اي دالة لهذا المتغير ‪ ، f(x) ،‬يعطى بنفس التعريف )‪ ، (2.11‬اي‬ ‫𝑛=𝑖‬ ‫)‪(2.12‬‬ ‫) 𝑖𝑥(𝑓) 𝑖‪̅̅̅̅̅̅ = ∑ P(x‬‬ ‫)𝑥(𝑓‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬يكون معدل مجموع اي دالتين يساوي مجموع معدل كال من الدالتين على انفراد‪ .‬اي‬ ‫‪21‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅̅ ‪̅̅̅̅̅̅ +‬‬ ‫)𝑥(𝑓 = )𝑥(𝑔 ‪𝑓(x) +‬‬ ‫)𝑥(𝑔‬ ‫)‪(2.13‬‬ ‫يعرف انحراف اي قيمة عن توقع )معدل) القيم ‪ ، ∆x ،‬كالتالي ‪ . ∆x = 𝑥 − 𝑥̅ :‬وعليه ‪ ،‬يكون معدل‬ ‫هذا اإلنحراف كالتالي‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪(𝑥 − 𝑥̅ ) = 𝑥̅ − 𝑥̅ = 0‬‬ ‫)‪(2.14‬‬ ‫تكون خصائص التوقع كالتالي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬توقع المقدار الثابت يساوي الثابت نفسه‪.‬‬ ‫)‪ (b‬اذا كان ‪ a‬مقدار ثابت ‪ ،‬فإن‬ ‫̅‬ ‫̅̅̅ = )𝑋𝑎(𝐸‬ ‫‪aX = aX‬‬ ‫)‪ (c‬إذا كان ‪ a, b‬مقدارين ثابتين ‪ ،‬فإن‬ ‫𝑏 ‪𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝑋̅ +‬‬ ‫مثال )‪(4‬‬ ‫اذا رمينا حجر نرد مرة واحدة ‪ ،‬وكان 𝑋 يرمز لعدد النقط التي تظهر على الوجه العلوي ( المتغير العشوائي)‬ ‫‪ ،‬احسب القيمة المتوقعة للمتغير 𝑋 ؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫القيم المكنة للمتغير العشوائي هي المجموعة التالية (فراغ العينة) ‪:‬‬ ‫}‪Ω = {1,2,3,4,5, 6‬‬ ‫يكون إإلحتمال متساوي لكل عنصر في فراغ العينة ‪ ،‬اي‬ ‫‪P(x𝑖 ) = 1/6‬‬ ‫اذن‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ( ‪𝐸(𝑋) = 𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 1 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) + 4 ( ) + 5 ( ) + 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫‪= 21/6‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫في مثال (‪ )4‬جد )‪ E(10X+3‬؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪E (10X+3 )= 10E(X)+3 =10(21/6)+ 3=38‬‬ ‫‪22‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫)‪ (b‬التباين ‪ :‬يعرف التباين بأنه متوسط( معدل) مربع انحرافات القيم عن معدلها ‪ ،‬ويرمز له = ‪(∆x)2‬‬ ‫‪. 𝜎𝑥 2‬‬ ‫رياضيا ‪ ،‬يعطى التباين بداللة دالة اإلحتمال كالتالي ‪:‬‬ ‫𝑛=𝑖‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅ = ‪𝜎𝑥 2‬‬ ‫‪(∆x)2 = ∑ P(x𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖 )2‬‬ ‫)‪(2.15‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫اذا رمزنا للقيمة المتوسطة بالرمز‪ ، µ‬حيث ‪ ، E(X)= µ‬فإن تباين المتغير 𝑋 يكون كالتالي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝜎𝑥 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 = 𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2‬‬ ‫ويمكن اشتقاق عالقة رياضية للتباين كالتالي‪:‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ‪(∆x)2‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ‪(x − x̅)2‬‬ ‫‪𝑥 2 − 2𝑥𝑥̅ + 𝑥 2‬‬ ‫̅̅̅ =‬ ‫̅̅̅ = ‪𝑥 2 − 2𝑥̅ 𝑥̅ + 𝑥̅ 2‬‬ ‫‪𝑥 2 − (𝑥̅ )2‬‬ ‫او‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝜎𝑥 = E(𝑋 2 ) − [𝐸(𝑋)]2‬‬ ‫مالحظة‪ :‬تكون الخصائص الرياضية للتباين مشابهة لتلك الخصائص التي شرحت في حالة التوقع‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫في مثال (‪ )4‬جد تباين المتغير العشوائي ‪ X‬؟‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫وجدنا في مثال (‪ )8‬ان ‪E(X)= 21/6=3.5 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ( ‪= ∑ 𝑥 2 𝑃(𝑥) = 1 ( ) + 4 ( ) + 9 ( ) + 16 ( ) + 25 ( ) + 36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪𝑥=1‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪= 15.16‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝜎𝑥 = 15.16 − (3.5)2 = 2.91‬‬ ‫)‪ )c‬اإلنحراف المعياري‬ ‫‪23‬‬ ‫=‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑋(𝐸‬ ‫يعرف اإلنحراف المعياري بأنه مقدار الجذر التربيعي للتباين ‪ ،‬ورمزه 𝑥‪ ، σ‬اي‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅√ = 𝑥𝜎‬ ‫‪(∆x)2‬‬ ‫)‪(2.16‬‬ ‫ويعبر اإلنحراف المعياري عن اتساع المدى لتوزيع القيم حول القيمة المتوسطة لها ( معدلها) ‪.‬‬ ‫مثال (‪)7‬‬ ‫جد توقع (متوسط) ‪ ،‬تباين ‪ ،‬األنحراف المعياري للمتغير العشوائي ‪ X‬الذي دالة احتماله كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪fx(x)=P(X=x) 0.6 0.3 0.1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬التوقع ( المتوسط) ‪:‬‬ ‫(‪ (b‬التباين ‪:‬‬ ‫)‪ (c‬اإلنحراف المعياري‬ ‫‪μ𝑥 = ∑ 𝑥 fx (𝑥) = 0.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝜎x = 𝐸(x 2 ) − 𝜇x 2 = 0.7- 0.25= 0.45‬‬ ‫‪= √0.45 = 0.6708‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝜎√ = ‪𝜎x‬‬ ‫)‪ (2.4‬تطبيقات للمفاهيم اإلحصائية في حالة توزيع ذي الحدين ‪:‬‬ ‫في هذا البند نتناول ايجاد عالقات رياضية تربط بين دالة اإلحتمال والمفاهيم اإلحصائية المشروحة في‬ ‫البند السابق )‪ ، (2.4‬اي في حالة دالة توزيع ذي الحدين ‪ .‬عند اجراء المشاهدة لعدد كبير جدا )‪، (𝑁 ≫ 1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫واذا اردنا ايجاد توقع ( متوسط) تكرار النتيجة (‪ ، )9‬اي ‪ ، ، E(𝑛1 ) = 𝑛̅1‬نستخدم معادالة (‪ )1.99‬لنحصل‬ ‫على ما يلي ‪:‬‬ ‫بإستخدام العالقة التالية ‪:‬‬ ‫يمكن اعادة كتابة التجميع على النحو التالي‪:‬‬ ‫حيث المقدار بين القوسين هو مفكوك القوس ذي الحدين 𝑁)‪ ، (p + q‬نجد ما يلي‪:‬‬ ‫حيث ان ‪ ، p+ q =1 :‬نجد ما يلي ‪:‬‬ ‫)‪..........(2.17‬‬ ‫‪‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅‬ ‫حساب التباين 𝟐‬ ‫‪: (∆n‬‬ ‫)𝟏‬ ‫‪25‬‬ ‫𝟐‬ ‫̅̅̅ ‪ ،‬فقط اآلن نريد ايجاد‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ‪ ،‬وجدنا مقدار ‪𝑛1‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐) 𝟏𝑛∆(‬ ‫𝑛( ‪(𝑛1 )2 −‬‬ ‫)̅̅̅‬ ‫من تعريف مقدار التباين ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅̅ كالتالي ‪:‬‬ ‫‪(𝑛1 )2‬‬ ‫بإستخدام العالقة الرياضية التالية ‪،‬‬ ‫نجد ان ‪،‬‬ ‫حيث ‪ ، p+ q =1‬فإن‬ ‫حيث ان 𝑝𝑁 = ‪ ، 𝑛̅1‬بالتعويض نحصل على ما يلي‬ ‫)‪........)2.18‬‬ ‫‪‬‬ ‫حساب اإلنحراف المعياري‪:‬‬ ‫‪26‬‬ ‫من تعريف اإلنحراف المعياري ‪ ،‬نجد ان ‪:‬‬ ‫)‪(2.19a‬‬ ‫𝑞𝑝𝑁√ = ‪σ‬‬ ‫حيث تعبر قيمة ‪ σ‬عن اتساع المدى الذي تتوزع عليه ‪ n1‬حول قيمتها المتوسطة ) ‪، )𝑛̅1‬ويعطى هذا اإلتساع‬ ‫النسبي للتوزيع بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑁√‬ ‫𝑞‬ ‫𝑝√ =‬ ‫𝑞𝑝𝑁√‬ ‫𝑝𝑁‬ ‫=‬ ‫𝜎‬ ‫‪𝑛̅1‬‬ ‫)‪........(2.19b‬‬ ‫من هذه العالقة ‪ ،‬نستنتج ان هذا اإلتساع يتناقص مع زيادة 𝑁 ‪ .‬وكلما زاد عدد مرات اجراء التجربة العشوائية‬ ‫يكون في الغالب اقتراب قيمة ‪ n1‬من قيمة ‪. 𝑛̅1‬‬ ‫)‪ (2.5‬دالة توزيع جاوس ( التوزبع الطبيعي) ‪Gaussian Distribution Function‬‬ ‫نتناول في هذا البند اشتقاق الصيغة الرياضية لكثافة دالة اإلحتمال في التوزيع الطبيعي ‪ ،‬وذلك‬ ‫بإستخدام النتائج السابقة ‪.‬‬ ‫لنفرض ان اجراء تجربة عشوائية يتم بعدد كبير من المرات ‪ ،‬اي ‪ ، N ≫ 1‬لدرجة تجعل ‪ 𝑛̅1‬اكبر‬ ‫من الواحد الصحيح ‪ ،‬اي ‪ . 𝑛̅1 = 𝑁𝑝 ≫ 1‬عند هذه الغاية ‪ ، limit‬يكون اإلنحراف المعياري للمتغير‬ ‫المتقطع ‪ n1‬اكبر بكثير من الواحد الصحيح ‪ ،‬اي‪:‬‬ ‫‪ .σ = √𝑁𝑝𝑞 ≫ 1‬وعليه ‪ ،‬يكون هناك عدة قيم محتملة للمتغير ‪ ، n1‬وتكون هذه القيم متشتة ‪scattered‬‬ ‫حول قيمة ‪ . 𝑛̅1‬هذا يوحي الى ان احتمالية الحصول على تكرار ‪ n1‬ال تتغير بشكل ملموس عند اإلنتقال من‬ ‫اي قيمة محتملة للمتغير ‪ n1‬الى قيمة مجاورة لها ‪ ،‬اي ان‬ ‫)‪.........(2.20‬‬ ‫وفي هذه الحالة ‪ ،‬من الممكن اعتبار ان هذه اإلحتمالية تكون على هيئة دالة متصلة (‪ ) smooth‬للمتغير‬ ‫المتقطع ‪. n1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫لنفرض ان ‪ n‬يمثل متغيرا متصال ‪ ،‬والذي يشيرالى عدد تكرار النتيجة (‪ ، )9‬حيث قيمها صحيحة‬ ‫موجبة ‪ .‬لذلك يمكن تعريف احتمالية ان تقع ‪ n‬بين نقطتين قريبتين جدا‪ ،‬في الفترة‬ ‫]𝑛𝑑 ‪ ، [𝑛, 𝑛 +‬كالتالي‪:‬‬ ‫)‪………(2.21‬‬ ‫حيث الدالة )‪ 𝒫 )n‬هي دالة كثافة اإلحتمال ‪ ،‬كما سبق شرحه في البنود السابقة‪ .‬وتكون قيمة هذه الدالة غير‬ ‫معتمدة على مقدار ‪ . dn‬اما التعبير عن هذه اإلحتمالية بهذه الصورة ‪ ،‬فإنه يعود الى انه من الممكن فك او‬ ‫نشر (‪ ) expand‬دالة اإلحتمال )𝑛𝑑 ‪ 𝑃(𝑛, 𝑛 +‬على هيئة متسلسلة تايلور ‪ Taylor series‬والتي تؤول‬ ‫الى الصفر عندما تقترب 𝑛𝑑 من الصفر ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يمكن الحصول على المعادلة التالية ‪:‬‬ ‫)‪……..(2.22‬‬ ‫هذا يعني ان دالة كثافة اإلحتمال تكافئ دالة اإلحتمال المتقطعة) ‪ P𝑁 ( 𝑛1‬خالل المدى‬ ‫‪. 𝑛1 ± 1/2‬‬ ‫من معادلة )‪ ، (2.20‬يمكن تقريب معادلة )‪ ) 2.22‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫)‪……(2.23‬‬ ‫في حالة ‪ ، 𝑁 ≫ 1‬تعطي معادلة (‪ ( 1.19b‬ما يلي ‪≪ 1:‬‬ ‫𝜎‬ ‫‪𝑛̅1‬‬ ‫‪ ،‬اي يكون األتساع النسبي لتوزيع دالة‬ ‫اإلحتمال صغير جد ‪ ،‬وهذا يوحي الى النتيجة الهامة التالية‪ :‬يكون لكثافة دالة اإلحتمال ‪ ،𝓟 )n) ،‬قيمة‬ ‫𝒏=̅‬ ‫عظمى حادة )‪ ( peak‬عند النقطة 𝟏 ̅‬ ‫𝒏‪.‬‬ ‫ولنفرض ان الدالة )𝑛(𝒫 ‪ ln‬تحتفظ بقيمتها العظمى عند ̅𝑛 = 𝑛 ‪ ،‬وانها تتغير بشكل بطيء حول‬ ‫هذه النقطة ‪ ،‬لذلك يمكن ان ننشر هذه الدالة بإستخدام مفكوك تايلور ‪ ،‬كالتالي ‪:‬‬ ‫)‪(2.24‬‬ ‫‪𝜂2‬‬ ‫⋯ ‪ln 𝒫( 𝑛̅ + 𝜂) ≅ ln 𝒫(𝑛̅) + 𝜂𝐵1 + 𝐵2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫حيث تعطى المعامالت في هذا المفكوك كالتالي‪:‬‬ ‫بأخذ لوغارتم الطرفين في معادلة )‪(2.23‬‬ ‫‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫)‪(2.25‬‬ ‫في حالة ‪ ، 𝑛 ≫ 1‬فإن دالة )!𝑛(‪ ln‬تكون متصلة ‪ ،‬اي تتغير مقدار بسيط جدا عندما تزداد قيمة 𝑛‬ ‫بمقدار الوحدة ‪ ،‬وعليه تكون المشتقة األولى لهذه الدالة بالنسبة ل 𝑛 كالتالي ‪:‬‬ ‫وبتكامل هذه العالقة األخيرة نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫𝑛 ‪ln 𝑛! ≅ 𝑛 ln 𝑛 −‬‬ ‫تسمى هذه المعادلة بتقريب ستيرلنج (‪ . Stirling )1771‬وسيرد استعمال هذا التقريب في الفصول التالية‬ ‫‪.‬‬ ‫بالرجوع الى تعريف معامالت الحدود في متسلسلة تايلور وبإستخدام معادلة )‪ ، (2.23‬نجد ان‬ ‫𝒫 ‪𝑑 ln‬‬ ‫𝑞 ‪= − ln 𝑛̅ + ln(𝑁 − 𝑛̅) + ln 𝑝 − ln‬‬ ‫𝑛𝑑‬ ‫اذا كان ‪ ، 𝐵1 = 0‬فإن 𝑞̅𝑛 = 𝑝)̅𝑛 ‪ ، (𝑁 −‬وحيث ‪ ، p+ q=1‬نجد ان ‪:‬‬ ‫= ‪𝐵1‬‬ ‫‪ . 𝑛̅ = 𝑁𝑝 = 𝑛̅1‬وهذا‬ ‫يعني ان القيمة العظمى )𝑛(𝒫 ‪ ln‬تقع تماما عند ̅𝑛 = 𝑛 ‪.‬‬ ‫بأخذ المشتقة الثانية للوغارتم دالة كثافة اإلحتمال‪ ،‬اي‬ ‫𝒫 ‪𝑑2 ln‬‬ ‫‪𝑑𝑛2‬‬ ‫= ‪ ، 𝐵2‬نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐵2 = − −‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪=− 2‬‬ ‫)𝑝 ‪𝑛̅ (𝑁 − 𝑛̅) 𝑁𝑝 𝑁(1 −‬‬ ‫𝑞𝑝𝑁‬ ‫𝜎‬ ‫وعليه ‪ ،‬تصبح معادلة )‪ (2.22‬على النحو التالي‬ ‫‪𝜂2‬‬ ‫‪2𝜎 2‬‬ ‫𝑛(𝒫 ‪ln‬‬ ‫‪̅̅̅1 + 𝜂) = ln 𝒫(𝑛̅1 ) −‬‬ ‫او‬ ‫)‪(2.24‬‬ ‫‪2 /2𝜎 2‬‬ ‫)̅̅̅̅‬ ‫𝑛‪−(𝑛−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝒫 (n) = 𝒫(n‬‬ ‫𝑒)̅̅̅‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 𝒫(n‬بإستخدام شرط المعايرة التالي‬ ‫)̅̅̅‬ ‫حيث يتم تحديد قيمة الثابت ‪1‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪∫ 𝒫(𝑛)𝑑𝑛 = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2.25‬‬ ‫𝜎 𝜋‪√2‬‬ ‫‪𝒫(n‬‬ ‫)̅̅̅‬ ‫= ‪1‬‬ ‫بالتعويض في معادلة )‪ ، (2.24‬تكون دالة كثافة اإلحتمال كما يلي‬ ‫)‪(2.26‬‬ ‫‪2 /2𝜎 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)̅̅̅̅𝑛‪𝑒 −(𝑛−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜎𝜋‪√2‬‬ ‫= )‪𝒫 (n‬‬ ‫تسمى هذه بدالة كثافة احتمال توزيع جاوس نسبة الى عالم الرياضيات األلماني كارل جاوس ‪ .‬وعادة‬ ‫تعرف هذه المعادلة )‪ (2.26‬بمعادلة التوزيع الطبيعي ‪ . Normal Distribution Equation‬يكون المنحنى‬ ‫̅̅̅ للمتغير العشوائي ‪ .‬ويأخذ شكل الجرس‬ ‫الممثل لهذه المعادلة ( المنحنى الطبيعي) متماثال حول المتوسط ‪𝑛1‬‬ ‫( كما في الشكل ‪.)1.9‬‬ ‫‪30‬‬ ‫شكل )‪ (2.1‬منحنى توزيع جاوس ( التوزيع الطبيعي)‬ ‫اذا كان المتغير العشوائي )‪ (Z‬يتوزع وفق التوزيع الطبيعي بمتوسط = صفر ‪ ،‬وتباين =‪ ، 9‬عندها يسمى‬ ‫هذا التوزيع بالتوزيع الطبيعي المعياري ( القياسي) ‪ .standard normal distribution‬وتكون دالة كثافة‬ ‫اإلحتمال للمتغير العشوائي على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫‪𝑧2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(2.27‬‬ ‫‪𝑒−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜋‪√2‬‬ ‫= )𝑧( 𝑧𝑓‬ ‫حيث ‪ z‬تسمى القيمة المعيارية ‪.‬‬ ‫ويعبر عن دالة أإلحتمال لهذا المتغير الذي قيمته 𝑎 ≤ 𝑍 كالتالي‬ ‫‪𝑧2‬‬ ‫𝑧𝑑 ‪𝑒 − 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑎‬ ‫∫ = 𝑧𝑑)𝑧( 𝑧𝑓 ∫ = )‪P(Z ≤ a‬‬ ‫𝜋‪−∞ √2‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫وهي تمثل المساحة تحت منحنى التوزيع على يسار النقطة ‪ . a‬وهناك جدول خا ص يسمى جدول التوزيع‬ ‫الطبيعي المعياري يعطي مباشرة دالة احتمال المتغير العشوائي ‪، Z‬او )‪ P(Z ≤ z‬دون الحاجة الى اجراء‬ ‫عملية التكامل ‪ .‬اما طريقة تحويل التوزيع الطبيعي الى توزيع طبيعي معياري تتلخص كالتالي‪ :‬نحول اوال‬ ‫المتغير العشوائي ‪ X‬الى متغير عشوائي معياري ‪ Z‬بإستخدام العالقة التالية‪:‬‬ ‫‪x−μ‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫ثم نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري إليجاد الدالة )‪. P(Z ≤ z‬‬ ‫مثال (‪)8‬‬ ‫لنفرض ان مستوى هيموجلوبين الدم في احد المجتمعات البشرية يتوزع وفق التوزيع الطبيعي بمتوسط‬ ‫‪ 91‬وانحراف معياري ‪ ، 9.1‬اذا اختير احد األشخاص بشكل عشوائي فما احتمال ان يكون مستوى الدم لهذا‬ ‫الشخص اكبر من ‪ 94‬؟‬ ‫‪31‬‬ ‫الحل‬ ‫‪μ = 16, σ = 0.9‬‬ ‫‪14 − 16‬‬ ‫‪= −2.22‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫)‪P(X > 14) = 1 − P(Z < −2.22‬‬ ‫‪= 1 − 0.0132 = 0.9868‬‬ ‫تكون نسبة األشخاص الذين لديهم هذا المستوى من الدم =‪15.15%‬‬ ‫(‪ )2.6‬نظرية األعداد الكبيرة ‪De Moivre’s Theorem‬‬ ‫تنص نظرية دي موافر على ما يلي‪:‬‬ ‫اذا كان لدينا مجتمع احصائي كبير جدا ( يمكن اعتباره غير نهائي) وسحبنا منه عينة عشوائية حجمها ‪n‬‬ ‫وكان عدد المفردات التي تتصف بصفة معينة في العينة هو ‪ ، x‬وان احتمال المفردات في المجتمع التي‬ ‫تتصف بالصفة نفسها هي ‪ ، p‬فإنه كلما زاد حجم العينة اقترب توزيع العدد ‪ ( x‬وهو ذو الحدين) من التوزيع‬ ‫الطبيعي بوسط حسابي يساوي ‪ np‬وانحراف معياري يساوي ‪. √npq‬‬ ‫وبعبارة اخرى ‪ ،‬تقول هذه النظرية ان توزيع ذي الحدين يؤول الى التوزيع الطبيعي كلما كبر حجم العينة‬ ‫‪n‬‬ ‫____________________________________________________________‬ ‫‪32‬‬ ‫تمارين‬ ‫(‪ )9‬اذا كان ‪ X‬متغيرا عشوائيا في المدى ‪ 0 ≤ 𝑋 ≤ 1‬وكانت دالة التوزيع له ‪ ، F(x) = x 2‬جد دالة‬ ‫كثافة اإلحتمال )‪ ، f(x‬ثم جد )‪ P(X ≤ 0.8‬؟‬ ‫(‪ )1‬اذا كان ‪ X‬متغيرا عشوائيا متصال في المدى ‪ 0 ≤ X ≤ 2‬وكانت دالة كثافة احتماله هي‪:‬‬ ‫)‪ . f(x) = k(x 2 + x + 3‬جد (‪ )a‬قيمة الثابت ‪k‬‬ ‫)‪F(1) )b‬‬ ‫(‪P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) )c‬‬ ‫؟‬ ‫(‪ )3‬اذا كانت دالة التوزيع للمتغير ‪ X‬هي‬ ‫‪F(x) = kx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث ‪ ، 0 ≤ X ≤ 1‬جد )‪𝜎𝑥 ، E(X‬‬ ‫؟‬ ‫(‪ )4‬اذا كانت دالة كثافة اإلحتمال للمتغير ‪ X‬المتصل في المدى ‪ 0 ≤ 𝑋 ≤ 1‬هي‪:‬‬ ‫)‪f(x) = k(1 − x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اثبت ان ‪ 𝜎𝑥 = 1/18‬؟‬ ‫(‪ )8‬اذا رمينا حجري نرد مرة واحدة وكان ‪ X‬متغير عشوائي يمثل مجموع النقط على الوجهين العلويين ‪،‬‬ ‫جد توقع ( متوسط) هذا المتغير ‪ ،‬اي‬ ‫)‪ ، E(X‬ثم جد )‪ E(5X+1‬؟‬ ‫‪33‬‬ ‫(‪ )1‬اذا كانت نسبة اإلنتاج التالف ألجد مصانع المصابيح هي ‪ ، 99 %‬اذا اخذت عينة مكونة من ‪ 8‬مصابيح‬ ‫بشكل عشوائي من انتاج هذا المصنع ‪ ،‬استخدم توزيع ذي الحدين إليجاد احتمال الحصول على مصباح‬ ‫واحد تالف على األقل بإعتبار ان نتيجة النجاح هي الحصول على مصباح تالف؟‬ ‫‪34‬‬ ‫الفصل الثالث ‪ :‬قانون التوزيع‬ ‫‪Distribution Law‬‬ ‫نتناول في هذا الفصل الطرق التي يتم بها توزيع جسيمات النظام الفيزيائي ‪ ،‬محدودة العدد ‪ ،‬على‬ ‫مستويات الطاقة من خالل مفهوم منهج الطاقم ‪ . Ensemble Approach‬حيث يعتمد قانون التوزيع‬ ‫على الكيفية التي يحدد ( يعين) بها النظام فإن هذه الطرق تختلف وفقا لهذه الكيفية ‪ .‬وهناك ثالثة انواع من‬ ‫الطواقم هي‪ :‬الطاقم المجهري القانوني ‪ ، Micro Canonical Ensemble‬الطاقم‬ ‫القانوني ‪ ، Canonical Ensemble‬واخيرا الطاقم القانوني الكبير ‪. Grand Canonical Ensemble‬‬ ‫)‪ (3.1‬قانون التوزيع للطاقم المجهري القانوني‬ ‫في هذا البند ‪ ،‬نتناول كيفية توزيع الجسيمات المحددة العدد على مستويات الطاقة في حالتين هما ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬مستويات الطاقة غير المنحلة )‪( non degenerated levels‬‬ ‫)‪ (b‬مستويات الطاقة المنحلة )‪.(degenerated levels‬‬ ‫عند البدء بتوزيع الجسيمات ‪ ،‬يجب تحديد فيما اذا كانت هذه الجسيمات مميزة ‪ distinguishable‬او‬ ‫غير مميزة ‪ ، indistinguishable‬حيث أن في حالة توزيع الجسيمات غير المميزة على مستويات الطاقة‬ ‫للنظام تكون كل حالة عيانية هي حالة مجهرية واحدة فقط ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬التوزيع في حالة مستويات الطاقة غير المنحلة )‪( non degenerated levels‬‬ ‫نتناول دراسة توزيع الجسيمات في النظام عندما تكون األنظمة في هذا الطاقم معزولة ‪ ،‬وذات طاقة‬ ‫كلية )‪ (E‬ثابتة ‪ ،‬وكذلك يكون عدد الجسيمات في هذه األنظمة )‪ (N‬ثابت‪ .‬فمثال اذا اردنا توزيع ‪ 3‬جسيمات‬ ‫( مستقلة‪ ،‬متماثلة‪ ،‬ومميزة) وهي ‪ A, B, C‬على اربع مستويات من الطاقة ‪ ،‬حيث الطاقة الكلية لهذه‬ ‫المستويات كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝜀3 = 3𝜖1‬‬ ‫‪𝜀2 = 2𝜖1 ,‬‬ ‫‪𝜀1 = 𝜖1 ,‬‬ ‫‪𝜀0 = 0 ,‬‬ ‫وبشرط ان تبقى الطاقة الكلية للنظام تساوي ‪. E=3𝜖1‬‬ ‫اذا رمزنا الى عدد الجسيمات في كل من هذه المستويات ( يسمى هذا العدد رقم اإلشغال ‪occupation‬‬ ‫‪ )number‬كالتالي‪:‬‬ ‫‪ ، N0, N1, N2 N3‬أي رقم اإلشغال في المستوى األول هو ‪ N0‬وهكذا على الترتيب ‪ .‬بتطبيق الشروط‬ ‫السابقة ( ‪ ، ( N=3 , E=3𝜖1‬نحصل على التوزيعات التالية ( كما في الجدول ادناه)‪:‬‬ ‫‪35‬‬ ‫من هذا الجدول ‪ ،‬نالحظ ان التوزيع للجسيمات يعطي ‪ 3‬حاالت عيانية ‪. macro- states‬‬ ‫بما ان الجسيمات الموزعة على المستويات مميزة ‪ ،‬لذلك يكون لكل حالة عيانية عدد من الحاالت المجهرية‬ ‫والناتجة عن تباديل ‪ permutation‬امكنة الجسيمات في المستويات ‪ .‬ويكون عدد الحاالت المجهرية المرافقة‬ ‫لكل حالة عيانية مساويا لعدد طرق ترتيب الجسيمات في المواقع المختلفة لمستويات الطاقة لكل حالة عيانية‬ ‫‪ ،‬كما يظهر في الجدول التالي ‪:‬‬ ‫نالحظ من هذا الجدول ان الحالة العيانية الثانية يكون لها اكبر عدد ممكن من الحاالت المجهرية (‬ ‫)‪. ΩΙΙ = 6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫شكل (‪ )3.9‬العالقة بين الحاالت المجهرية والحالة العيانية‪.‬‬ ‫ويمكن تعميم ذلك كالتالي ‪:‬اذا رسمنا عالقة بيانية لعدد الحاالت المجهرية المصاحبة لكل من الحاالت‬ ‫العيانية في النظام ( الشكل ‪ . )3.9‬نجد ان عند إإلتزان ‪ ، equilibrium‬يكون هذا النظام اكثر احتماال‬ ‫للتواجد ‪ most probable‬في الحالة العيانية التي لها اكبر عدد من الحاالت المجهرية ( اي الحالة‬ ‫التي تكون عندها ‪ Ω‬اعظم ما يمكن) ‪.‬‬ ‫تعميم ‪ :‬لعدد من الجسيمات المميزة ‪ ، N‬اذا كان اإلشغال انفرادي ‪ ،‬اي ‪ ، Ni=1‬فإن القيمة العظمى للحاالت‬ ‫المجهرية ( 𝑥𝑎𝑚‪ (Ω‬يعطى بالعالقة التالية ‪:‬‬ ‫!‪ . Ω = N‬في هذا المثال ‪ ،‬حيث ‪ ، N=3‬تكون‪:‬‬ ‫‪. Ω𝑚𝑎𝑥 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6‬‬ ‫اما اذا كان رقم اإلشغال اكبر من ‪ ، (N𝑖 > 1 ( 9‬فإن‬ ‫)‪.............(3.1‬‬ ‫بإستخدام معادلة )‪ ، (3.1‬نجد ان عدد الحاالت المجهرية للحالة العيانية األولى كالتالي‪:‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪3×2×1‬‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪2! 0! 0! 1! 2 × 1 × 1 × 1‬‬ ‫‪37‬‬ ‫= 𝐼‪Ω‬‬ ‫)‪ (b‬التوزيع في حالة مستويات الطاقة المنحلة ‪Degenerate levels‬‬ ‫لنفرض اننا نريد توزيع عدد من الجسيمات المستقلة ( اي ان هذه الجسيمات ال تؤثر على اشغال بعضها‬ ‫البعض بسبب عدم وجود تفاعل بينها )على مستويات طاقة ثابتة ‪ .‬نفرض ان كل مستوى )‪ (j‬يملك طاقة كلية‬ ‫𝑗‪ ، ε‬وان عدد انحالله ‪ degeneracy‬تمثل بالرمز 𝑗𝑔 ‪ ،‬ورقم اإلشغال له 𝑗𝑛 ‪ .‬حيث ان النظام معزول ‪،‬‬ ‫تكون المعلمات ‪ parameters‬المحددة لهذا النظام‬ ‫( ‪ (E, N,V‬كميات ثابتة ‪ .‬اي‬ ‫𝑗𝑛 𝑗∑ = ‪N‬‬ ‫)‪(3.2‬‬ ‫𝑗𝜀 𝑗𝑛 𝑗∑ = 𝐸‬ ‫اذا اردنا توزيع ‪ N‬من الجسيمات المميزة والمستقلة ‪ ،‬بحيث نضع ‪ n1‬من هذه الجسيمات في المستوى‬ ‫األول ‪ ،‬يكون عدد الطرق ( ‪ (w1‬التي يتم بها هذا الحدث ( كما مر منعنا في الفصل الثاني) كالتالي‪:‬‬ ‫𝑁‬ ‫!𝑁‬ ‫=)‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫( = ‪𝑤1‬‬ ‫بينما يكون عدد الطرق لتوزيع ‪ 𝑛2‬في المستوى الثاني كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫!) ‪(𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫( = ‪𝑤2‬‬ ‫=)‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫!) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1 − 𝑛2‬‬ ‫وبنفس الطريقة نجد عدد طرق توزيع الجسيمات المتبقية ‪.‬‬ ‫اما العدد الكلي لطرق التوزيع على كل المستويات فيكون مساويا لحاصل ضرب طرق كل مستوى ‪ ،‬اي‬ ‫!𝑁‬ ‫!) ‪(𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫×‬ ‫‪….‬‬ ‫!) ‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1 ) 𝑛2 ! (𝑁 − 𝑛1 − 𝑛2‬‬ ‫= ‪𝑊 = 𝑤1 𝑤2 … … .‬‬ ‫!𝑁‬ ‫! 𝑗𝑛 ‪𝑛1 ! 𝑛2 ! … . .‬‬ ‫‪38‬‬ ‫=‬ ‫حيث ان للمستوى ‪ j‬انحالل 𝑗𝑔 ‪ ،‬فيمكن ألي جسيم من الجسيمات 𝑗𝑛 ان يشغل اي من هذه المستويات‬ ‫𝑛‬ ‫المنحلة 𝑗𝑔 ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يكون عدد طرق التوزيع في اي مستوى منحل يساوي 𝑗 𝑗𝑔 ‪ .‬ويكون العدد الكلي‬ ‫لطرق التوزيع في كل المستويات المنحلة مساويا لناتج ضرب عدد طرق كل مستوى منحل ‪ ،‬اي‬ ‫𝑛‬ ‫𝑗 𝑗𝑔 𝑗∏ = 𝑔𝜔‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون عدد الحاالت المجهرية ‪ = Ω‬العدد الكلي لطرق التوزيع ‪ ،‬ويعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫)‬ ‫)‪(3.3‬‬ ‫𝑗 𝑗𝑔‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫( 𝑗∏ !‪Ω = 𝑊. 𝜔𝑔 = Ν‬‬ ‫مثال (‪)1.1‬‬ ‫جد الحاالت العيانية والمجهرية الناتجة عن توزيع ‪ 1‬جسيمات مميزة على ‪ 1‬من مستويات الطاقة ‪ ،‬حيث‬ ‫المستوى األول له انحاللية ‪ ، 𝑔1 = 2‬بينما المستوى الثاني له ‪ 𝑔2 = 5‬؟‬ ‫الحل‬ ‫حيث ان ال يوجد شرط على الطاقة الكلية للمستوى اثناء التوزيع ‪ ،‬لذلك تكون الحاالت العيانية الممكنة‬ ‫والناتجة عن وضع ستة جسيمات في المستويين المذكورين هي‪:‬‬ ‫)‪.(6,0), (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5), (0,6‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون عدد الحاالت العيانية ‪ 8‬حالة‪ .‬اما عدد الحاالت المجهرية لكل حالة عيانية فنحصل عليها‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ . )3.3‬فمثال ‪ ،‬يكون عدد الحاالت المجهرية للحالة العيانية األولى (‪ )1,9‬كما يلي ‪:‬‬ ‫‪ ، 𝑁 = 6, 𝑗 = 1,2, 𝑛1 = 6, 𝑛2 = 0.‬وعليه‬ ‫‪26 50‬‬ ‫‪ΩΙ = 6! [ × ] = 26 = 64‬‬ ‫!‪6! 0‬‬ ‫بينما يكون عدد الحاالت المجهرية للحالة العيانية الثانية )‪ )5,1‬كما يلي‬ ‫‪25 51‬‬ ‫‪ΩΙI = 6! [ × ] = 960‬‬ ‫!‪5! 1‬‬ ‫وهكذا لجميع الحاالت العيانية الباقية ‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫مثال(‪)1.0‬‬ ‫لديك نظام مكون من ‪ 8‬من مستويات الطاقة المتساوية التفريق بينها بمقدار 𝐸‪ Δ‬و ‪ 1‬جسيمات موزعة‬ ‫كما في الشكل ادناه ‪ .‬على فرض ان التفاعل بين هذه الجسيمات ضعيف بحيث ال تتأثر طاقة المستوى نتيجة‬ ‫انتقال الجسيمات بين المستويات ‪ .‬فاذا انتقل جسيم من المستوى الثالث الى المستوى الثاني ‪ ،‬ثم انتقل جسيم‬ ‫̅̅̅̅ ‪ Ω,‬للحاالت العيانية في هذا النظام ؟‬ ‫آخر من المستوى األول الى الثاني ‪ ،‬جد ‪n1‬‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان ترتيب الجسيمات في مستويات الطاقة كما في الشكل )‪:(3.2‬‬ ‫شكل (‪ )3.1‬توزيع الجسيمات على مستويات الطاقة‪.‬‬ ‫من الشكل ‪ ،‬نجد ان عدد الحاالت المجهرية للحالة العيانية األولى ‪ (5,0,1,0,0) :‬كالتالي‬ ‫‪6 1 1 0 0‬‬ ‫‪ΩΙ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 6‬‬ ‫‪5 0 1 0 0‬‬ ‫في الحالة العيانية الثانية ‪(4,2,0,0,0) :‬‬ ‫‪6 2 0 0 0‬‬ ‫‪ΩΙΙ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 15‬‬ ‫‪4 2 0 0 0‬‬ ‫اما في حالة اإلتزان ‪:‬‬ ‫𝑖‪n̅𝑗 = ∑ 𝑛𝑗 Ω𝑖 (𝑛𝑗 )/ ∑ Ω‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝑗‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5 × 6 + 4 × 15‬‬ ‫‪= 90/21‬‬ ‫‪6 + 15‬‬ ‫= ‪𝑛̅1‬‬ ‫‪0 × 6 + 2 × 15‬‬ ‫‪= 30/21‬‬ ‫‪6 + 15‬‬ ‫‪1 × 6 + 0 × 15‬‬ ‫= ‪𝑛̅3‬‬ ‫‪= 6/21‬‬ ‫‪6 + 15‬‬ ‫= ‪𝑛̅2‬‬ ‫‪𝑛̅5 = 0‬‬ ‫نالحظ ان‬ ‫‪𝑛̅4 = 0 ,‬‬ ‫‪∑𝑗 𝑛̅𝑗 = 6‬‬ ‫ويساوي هذا العدد عدد الجسيمات ألي حالة عيانية في النظام ‪.‬‬ ‫)‪ (3.2‬معادلة بولتزمان ‪Equation of Boltzmann‬‬ ‫لنفرض ان لدينا نظامان فيزيائيان ‪ A2 ، A1‬في حالة اتزان ومعزوالن عن المحيط بهما ( كما في الشكل‬ ‫‪)3.3‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫)‪(E2,N2,V2‬‬ ‫)‪(E1,N1,V1‬‬ ‫‪)1))N‬‬ ‫شكل )‪ (3.3‬نظامان معزوالن وفي حالة اتزان‬ ‫لنفرض ان عدد الحاالت المجهرية لهما ‪ 𝛺1 , 𝛺2‬على الترتيب ‪ .‬واننا جعلنا هذين النظامين في اتصال‬ ‫حراري ‪ ،‬وذلك بجعل الحاجز األوسط بينهما يسمح بتبادل الطاقة‪ ،‬مما يغير في قيم الطاقة لكل منهما ‪،‬‬ ‫بشرط ان يبقى مجموع الطاقة الكلية للنظامين مقدارا ثابتا ‪ ،‬اي‬ ‫‪𝐸 ∗ = 𝐸1 + 𝐸2 = constant‬‬ ‫حيث ‪ = E ∗ :‬طاقة النظام المركب من النظامين ‪ ،‬اي‬ ‫‪ . 𝐴∗ = 𝐴1 + 𝐴2‬على فرض انه في‬ ‫اية لحظة زمنية ‪ ،‬يكون احتمال تواجد النظام الفرعي ‪ 𝐴1‬او ‪ 𝐴2‬في الحاالت المجهرية ‪ 𝛺1 , 𝛺2‬على‬ ‫‪41‬‬ ‫األرجح متساوي ( فرضية تساوي اإلحتمالية المسبقة ) ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يكون النظام المركب ∗𝐴 متساوي اإلحتمال‬ ‫∗‬ ‫ألن يكون في اي من الحاالت المجهرية ) ‪𝛺 ( 𝐸1 , 𝐸2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وكما مر شرحه في نظرية اإلحتماالت ‪ ،‬فإن‬ ‫∗‬ ‫) ‪Ω ( E1 , E2 ) = Ω (E1 ). Ω(E2‬‬ ‫) ‪= Ω (E1 ). Ω(E ∗ − E1 ) = Ω∗ (𝐸 ∗ , 𝐸1‬‬ ‫وهذا يعني ان عدد الحاالت المجهرية للنظام المركب يتغير مع قيمة ‪ . 𝐸1‬ولكن السؤال عند اي قيمة للمتغير‬ ‫‪ 𝐸1‬يكون النظام المركب ∗𝐴 في حالة اتزان ؟‬ ‫يمكن القول ان هذا يحدث عند قيمة ‪ 𝐸1‬التي تجعل ) ‪ 𝛺 ∗ (𝐸 ∗ , 𝐸1‬اعظم ما يمكن ‪ ،‬كما مر سابقا ‪ ،‬فإن‬ ‫الحالة العيانية للنظام التي لها اكبر عدد من الحاالت المجهرية ( األغلب احتماال) هي التي تمثل حالة اإلتزان‬ ‫للنظام ‪.‬‬ ‫لنفرض ان ‪̅1‬‬ ‫‪ 𝐸̅2 , E‬يمثالن قيم ‪ 𝐸2 , 𝐸1‬في حالة اإلتزان ‪ ،‬على الترتيب ‪ .‬حتى تكون ∗ 𝛺 اعظم ما‬ ‫يمكن ‪ ،‬يجب ان يتحقق الشرط التالي‪:‬‬ ‫‪𝜕𝐸2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪𝜕𝐸1‬‬ ‫‪Ω1 (𝐸̅1 ).‬‬ ‫) ‪∂Ω2 (𝐸2‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪∂E2‬‬ ‫‪Ω2 (𝐸̅2 ) +‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪∂Ω1 (𝐸1‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪∂E1‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بما ان‬ ‫‪𝜕𝐸2‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪𝜕𝐸1‬‬ ‫⟹‬ ‫‪𝐸 ∗ = 𝐸1 + 𝐸2‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫) ‪Ω1 (𝐸̅1‬‬ ‫) ‪∂Ω2 (𝐸2‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪∂E2‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪∂Ω1 (𝐸1‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪∂E1‬‬ ‫= ) ‪Ω2 (𝐸̅2‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بقسمة طرفي المعادلة على ) ‪ ، Ω (𝐸̅1 ). 𝛺(𝐸̅2‬نحصل على شرط اإلتزان للنظام على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪42‬‬ ‫) ‪1 ∂Ω2 (𝐸2‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪Ω2 ∂E2‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪1 ∂Ω1 (𝐸1‬‬ ‫⌉‬ ‫𝐸 ‪Ω1 ∂E1‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫𝐸= ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن ان نعبر عن شرط اإلتزان للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫𝛽 =‬ ‫̅𝐸=𝐸‪𝑁,𝑉,‬‬ ‫⌉‬ ‫‪𝜕 ln Ω‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫)‬ ‫)‪.......................(3.4‬‬ ‫هذا يعني ان تبادل الطاقة بين النظامين يستمر حتى الحصول على القيم اإلتزانية لكلتا الطاقتين في النظامين‬ ‫̅̅̅ ‪ ، 𝐸̅1 ,‬وبعدها يتوقف تبادل الطاقة بين النظامين ‪.‬‬ ‫‪𝐸2 :‬‬ ‫بالرجوع الى قوانين الثيرموديناميكا ‪ ،‬تعرف درجة الحرارة ألي نظام بواسطة مفهوم اإلنتروبيا على‬ ‫النحوالتالي ‪:‬‬ ‫)𝑉 ‪∂𝑆(𝐸,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪∂E‬‬ ‫𝑇‬ ‫)‪.........(3.5‬‬ ‫̅̅̅ ‪ )𝐸̅1 ,‬بحيث تمتلك األنظمة الفرعية نفس درجة الحرارة ‪ ،‬ان درجة الحرارة‬ ‫لذلك تكون القيم ) ‪𝐸2‬‬ ‫المعرفة في المعادلة )‪ (3.5‬هي بالضبط نفس درجة الحرارة المطلقة في الديناميكا الحرارية ‪ .‬انها ليست‬ ‫معامل يتعلق مع شرط التوازن فحسب ‪ ،‬وانما يتعلق باإلنتروبيا عن طريق هذه المعادلة ‪.‬‬ ‫يمكن ربط المعادلة )‪ (3.5‬مع معادلة (‪)3.4‬‬ ‫)‪(3.6‬‬ ‫‪ ،‬إليجاد 𝛽 كالتالي‪:‬‬ ‫‪∂S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫𝑘 = ثابت =‬ ‫)‪∂ (ln Ω‬‬ ‫𝑇𝛽‬ ‫بتكامل معادلة (‪ )3.1‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫)‪(3.7‬‬ ‫‪𝑆 = 𝑘𝐵 ln Ω‬‬ ‫ويعرف الثابت 𝐵𝑘 بثابت بولتزمان ومقداره يساوي ‪ ، 1.38 × 10−23 J/K‬وتكون قيمة 𝛽 بداللة ثابت‬ ‫بولتزمان كالتالي ‪:‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‬ ‫=‪β‬‬ ‫وتعتبر معادلة (‪ )3.8‬المعادلة األساسية التي تربط بين قوانين الميكانيكا اإلحصائية وقوانين الثيرموديناميكا‬ ‫( كما سيرد شرحه في الفصول الالحقة )‪.‬‬ ‫(‪ )1.1‬توزيع بولتزمان ‪Boltzmann Distribution‬‬ ‫في عام ‪ ،9515‬وضع بولتزمان قانونا يبين التوزيع اإلحتمالي للجسيمات في األنظمة المعزولة وذات التركيب‬ ‫الثابت في حلة التوازن الحراري مع محيط هذا النظام ( اي في حالة نظام موضوع في حمام حراري ‪heat‬‬ ‫‪ . ) bath‬وفي عام ‪ ،9191‬طور العالم جوسيه جبس ‪ Josiah Gibbs‬هذا القانون الصورة الحالية ‪ ،‬حتى‬ ‫انه يعرف بإسمه احيانا في المراجع العلمية‪.‬‬ ‫إلشتقاق هذا القانون ‪ ،‬نستخدم معادلة بولتزمان (‪ )3.8‬في حالة اإلتزان ‪ ،‬حيث تكون اإلنتروبياا المقابلة للحالة‬ ‫األكثر احتماال ‪ most probable‬اعظم ما يمكن ) اي عندما تكون 𝑥𝑎𝑚‪. )Ω‬‬ ‫اذا كان لدينا ‪ N‬من الجسيمات المميزة والمستقلة والمتماثلة موزعة على ‪ r‬من مستويات الطاقة ذات القيم‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫‪ ε0 , ε1 , ε3 , … . . , ε𝑟−1‬بحيث تكون ارقام اشغال هذه المستويات كالتالي‪ . 𝑁0 , 𝑁1 , … . 𝑁𝑟−1 :‬اذا كانت‬ ‫الشروط لهذا التوزيع هي ‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪∑ 𝑁𝑖 = 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛.‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫)𝑏(‬ ‫‪∑ 𝑁𝑖 𝜀𝑖 = 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛.‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫حيث يكون الوزن اإلحصائي األعظم كالتالي‪:‬‬ ‫)‪(3.8‬‬ ‫!‪N‬‬ ‫! 𝑖𝑁‬ ‫‪Ω = ∏𝑟−1‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫مع مالحظة انه اذا كانت ‪ Ω‬عظمى ‪ ،‬فإن ‪ ln Ω‬يكون له قيمة عظمى ‪ .‬بأخذ لوغاريتم الطرفين في معادلة‬ ‫(‪ ، )3.5‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫! 𝑖𝑁 ∏ ‪ln Ω = ln 𝑁! − ln‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑖𝑁 ‪= ln 𝑁! − ∑ ln‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن استخدام تقريب ستيرلنج ( في حالة ‪ )N ≫ 1‬لنحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑟−01‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑖𝑁 ‪ln Ω = 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 − ∑(𝑁𝑖 ln 𝑁𝑖 − 𝑁𝑖 ) = 𝑁 ln 𝑁 − ∑ 𝑁𝑖 ln‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫بإستخدام شرط القيمة العظمى للدالة ‪ ln Ω‬على هذه المعادلة ‪ ،‬اي‬ ‫‪∂ ln Ω‬‬ ‫‪) =0‬‬ ‫𝐸‪∂N𝑖 𝑁,‬‬ ‫(‬ ‫بدال من األشتقاق المباشر لهذه المعادلة ‪ ،‬نلجأ الى اخذ تفاضلة الحدود كالتالي‪:‬‬ ‫‪−𝛿(ln Ω) = 𝛿 ∑(𝑁𝑖 ln 𝑁𝑖 ) = ∑ 𝑁𝑖 𝛿 ln 𝑁𝑖 + ∑ ln 𝑁𝑖 𝛿𝑁𝑖 = 0‬‬ ‫بما ان ‪،‬‬ ‫𝑖𝑁𝛿‬ ‫𝑖𝑁‬ ‫= 𝑖𝑁 ‪ ، 𝛿 ln‬بالتعويض في هذه المعادلة نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪−δ ln Ω = ∑ 𝛿𝑁𝑖 + ∑ ln 𝑁𝑖 𝛿𝑁𝑖 = 0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫)‪………….. (3.9‬‬ ‫لحل هذه المعادلة ‪ ،‬نستخدم طريقة مضاعفات الكرانج ‪ Lagrange multiplier method‬المستخدمة في‬ ‫الميكانيكا الكالسيكية وتتلخص كالتالي‪:‬‬ ‫نستخدم معادالت الشروط السابقة الذكرفي التوزيع ‪،‬ونأخذ تفاضلة الحدود ( حيث تفاضلة الثابت تساوي‬ ‫الصفر) ونضربها بمتغيرات ونبحث عن حل لهذه المتغيرات كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪N = ∑ 𝑁𝑖 = 0 → − λδN = −λ ∑ 𝛿𝑁𝑖 = 0,‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪𝐸 = 𝑐𝑜𝑛. → 𝛿𝐸 = 0 → −𝛽𝛿𝐸 = −𝛽 ∑ 𝜀𝑖 𝛿𝑁𝑖 = 0‬‬ ‫عند تجميع هذه المعادالت مع معادلة (‪ )3.99‬نحصل على المعادلة التالية‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪∑ 𝛿𝑁𝑖 + ∑ ln 𝑁𝑖 𝛿𝑁𝑖 + 𝜆 ∑ 𝛿𝑁𝑖 + 𝛽 ∑ 𝜀𝑖 𝛿𝑁𝑖 = 0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫او‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪∑ 𝛿𝑁𝑖 [1 + ln 𝑁𝑖 + 𝜆 + 𝛽𝜀𝑖 ] = 0‬‬ ‫)‪(3.10‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫لتحديد قيم 𝛽 ‪ ، 𝜆,‬حيث يمكن اختيار 𝑖𝑁𝛿 بشكل مطلق لكي يكون ما بداخل القوس في معادلة (‪)3.99‬‬ ‫يساوي الصفر ‪ ،‬اي‬ ‫‪1 + ln 𝑁𝑖 + 𝜆 + 𝛽𝜀𝑖 = 0‬‬ ‫او‬ ‫𝑖𝜀𝛽 ‪ln 𝑁𝑖 = −(1 + 𝜆) −‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪N𝑖 = e−(λ+1) 𝑒 −𝛽𝜀𝑖 = 𝛼𝑒 −‬‬ ‫)‪(3.11‬‬ ‫تحديد قيمة 𝛼‬ ‫بأخذ التجميع على حدود معادلة (‪ ، )3.99‬نجد ان‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪𝑒 −‬‬ ‫∑𝛼 = 𝑁 ⇒‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑒 𝛼 ∑ = 𝑖𝑁 ∑‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫)‪(3.12‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪𝛼 = 𝑁/ ∑ 𝑒 −‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫تحديد قيمة ‪: β‬‬ ‫‪46‬‬ ‫حيث ان‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪𝐸 = ∑ 𝑁𝑖 𝜀𝑖 → 𝛼 ∑ 𝜀𝑖 𝑒 −‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫بالتعويض بدل قيمة 𝛼 في هذه المعادلة ‪ ،‬نجد ما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝑁‪= −‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪∑ 𝑒 −𝛽𝜀𝑖 ⁄∑ 𝑒 −‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪𝑁 ∑𝑟−1‬‬ ‫𝑒 𝑖𝜀 ‪𝑖=0‬‬ ‫=𝐸‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪∑𝑟−1‬‬ ‫𝑒 ‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝑁‪= −‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪ln ∑ 𝑒 −‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫)‪(3.13‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )3.91‬فإن معادلة (‪ )3.93‬تصبح كالتالي‪:‬‬ ‫)𝛼 ‪𝜕(ln‬‬ ‫)‬ ‫)‪(3.14‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫( 𝑁 = ) ‪ln(𝛼 −1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫𝑁‪E = −‬‬ ‫بالرجوع الى معادلة بولتزمان وبالتعويض عن قيمة ‪ ، ln Ω‬ومن ثم إستخدام تقريب ستيرلنج نحصل على‬ ‫ما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫] 𝑖𝑁 ‪S = k[ N ln 𝑁 − ∑ 𝑁𝑖 ln‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )3.99‬نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪𝑆 = 𝑘[𝑁 ln 𝑁 − 𝛼 ∑𝑟−1‬‬ ‫) 𝑖𝜀𝛽‪ln(𝛼𝑒 −‬‬ ‫𝑒 ‪𝑖=0‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪= 𝑘[ 𝑁 ln 𝑁 − 𝛼 ∑𝑟−1‬‬ ‫) 𝑖𝜀𝛽 ‪(ln 𝛼 −‬‬ ‫𝑒 ‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑟−1‬‬ ‫𝑁‬ ‫] 𝑖𝜀𝛽‪= 𝑘[ 𝑁 ln 𝑁 − (𝛼 ln 𝛼) ( ) + 𝛼𝛽 ∑ 𝜀𝑖 𝑒 −‬‬ ‫𝛼‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫)‪(3.15‬‬ ‫]𝐸𝛽 ‪= 𝑘[𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 ln 𝛼 +‬‬ ‫وكما اشرنا سابقا الى تعريف درجة حرارة النظام بداللة اإلنتروبيا (‪ ، (S‬معادلة )‪ ، (3.5‬فإن‬ ‫‪47‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫) (‪T = ( ) = ( )𝑁,𝑉 ⁄‬‬ ‫𝑉 𝑆𝜕‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫𝑉‪𝜕𝛽 𝑁,‬‬ ‫بإستخدام معادلتي (‪ ، ) 3.98 ،3.94‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝑉‪= 𝑘[ 𝛽 𝜕𝛽]𝑁,‬‬ ‫)‪(3.16‬‬ ‫𝑆∂‬ ‫‪∂β‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬نجد ان‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇𝑘 = 𝛽 ⇒ 𝛽𝑘 = 𝑇‬ ‫)‪(3.17‬‬ ‫بالتعويض من معادلة (‪ )3.98‬في معادلة (‪ ، )3.99‬نجد ان ‪:‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑁𝑒 −𝜀𝑖 /‬‬ ‫)‪(3.18‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑒 −𝜀𝑖 /‬‬ ‫‪∑𝑟−1‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫= 𝑖𝑁‬ ‫وهذه المعادلة تعطي توزيع بولتزمان لعدد كبير جدا من الجسيمات)‪ (N‬المميزة على المستويات التي ليس‬ ‫لها انحالل وطاقتها تساوي 𝑖‪ε‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪ )1.3‬توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان ‪Maxwell- Boltzmann distribution‬‬ ‫كما سبق شرحه في حالة توزيع الحسيمات المميزة على مستويات الطاقة ذات اإلنحالل ‪ ،‬فإن عدد الحاالت‬ ‫المجهرية ( معادلة ‪ )3.3‬هي‬ ‫𝑛‬ ‫)‬ ‫𝑗 𝑗𝑔‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫( 𝑗∏ !‪Ω = Ν‬‬ ‫عندما تكون قيمة ‪ Ω‬اعظم ما يمكن ‪ ،‬فإن ‪ ln Ω‬يكون اعظم ما يمكن ايضا ‪ ،‬مما يحقق شرط القيمة‬ ‫العظمى وهو ‪ . 𝑑(ln Ω𝑚𝑎𝑥 ) = 0‬وعليه ‪،‬‬ ‫!) 𝑗𝑛(‪ln Ω = ln 𝑁! + ∑ 𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − ∑ ln‬‬ ‫𝑗‬ ‫𝑗‬ ‫نستخدم تقريب ستيرلنج لنحصل على التالي‪:‬‬ ‫) 𝑗𝑛 ‪ln Ω ≈ 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 + ∑(𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 ln 𝑛𝑗 +‬‬ ‫𝑗‬ ‫‪48‬‬ ‫𝑗𝑛 ‪= 𝑁 ln 𝑁 + ∑(𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 ln‬‬ ‫𝑗‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫) (‪= 𝑁 ln 𝑁 − ∑ ln‬‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫𝑗‬ ‫عند تطبيق القيود السابقة على النظام ‪ ، 𝑁, 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ،‬نحصل على النتائج التالية ‪:‬‬ ‫‪∑ 𝑑𝑛𝑗 = 0 , ∑ 𝜀𝑗 𝑑𝑛𝑗 = 0,‬‬ ‫𝑗‬ ‫𝑗‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫‪∑ ln ( ) 𝑑𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫𝑗‬ ‫نستخدم طريقة مضاعفات الكرانج ‪ ،‬لنحصل على التالي‪:‬‬ ‫‪α ∑ 𝑑𝑛𝑗 = 0 , −𝛽 = ∑ 𝜀𝑗 𝑑𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫𝑗‬ ‫𝑗‬ ‫نختار قيم 𝛽 ‪ 𝛼,‬بحيث تحقق المعادلة التالية ‪:‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫‪ln ( ) + 𝛼 − 𝛽𝜀𝑗 = 0‬‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫حل هذه المعادلة يعطي ما يلي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪𝑛𝑗 = 𝑔𝑗 𝑒 −𝛼 𝑒 −‬‬ ‫بإستخدام قيمة ‪ α‬التي وجدناها في البند السابق و التعويض في هذه المعادلة نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪𝑒 −‬‬ ‫𝑗𝑔𝑁‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪∑𝑗 𝑔𝑗 𝑒 −‬‬ ‫= 𝑗𝑛‬ ‫)‪………..(3.19‬‬ ‫ويسمى هذا بتوزيع ماكسويل – بولتزمان ‪ .‬يعتبر هذا التوزيع اساس الميكانيكا اإلحصائية الكالسيكية‬ ‫ويستخدم لتوزيع الجسيمات المحددة العدد على مستويات الطاقة ( المنحلة وغير المنحلة) المتقطعة ‪.‬‬ ‫‪49‬‬ ‫(‪ )1.3‬دالة التجزئة ‪Partition Function‬‬ ‫في معادلتي (‪ ، )3.91( ، )3.95‬يمكن ان ندخل ترميز جديد للمقام ‪ ، Z ،‬وهذا الرمز هو اول حرف‬ ‫للكلمة األلمانية "‪ “Zustandssume‬وهي تعني مجموع حاالت التوزيع لجسيمات النظام الفيزيائي ‪،‬‬ ‫وتعرف في الميكانيكا اإلحصائية بدالة التجزئة ‪ ، Partition function‬و تكون الصيغة الرياضية لها‬ ‫على النحو التالي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪𝑍 = ∑𝑗 𝑔𝑗 𝑒 −‬‬ ‫)‪(3.20‬‬ ‫وبداللة ‪ Z‬يصبح توزيع بولتزمان على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫𝑖𝜀𝛽‪𝑒 −‬‬ ‫=‬ ‫𝑁‬ ‫𝑍‬ ‫وتكون صيغة دالة احتمال تواجد النظام في الحالة ‪ j‬على النحو التالي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪𝑒 −‬‬ ‫𝑍‬ ‫= 𝑗𝑃‬ ‫تستخدم دالة التجزئة في الحسابات الثيرموديناميكية بدال من التعامل مباشرة مع ‪ ، Ω‬وذلك لسهولة التعامل‬ ‫الجبري مع هذه الدالة كما سيرد ايضاحه في الفصول القادمة من هذا الكتاب‪ .‬وتحتوي هذه الدالة على جميع‬ ‫المعلومات التي نحتاجها لوصف النظام الفيزيائي ‪.‬كما ان هذه الدالة تتناسب عكسيا مع درجة حرارة النظام ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث ‪. 𝛽 = 𝑘𝑇 ،‬‬ ‫ولنوضيح اهمية هذه الدالة ‪ ،‬نورد بعض األمثلة التي تبين اشتقاقها وعملية استخدامها في دراسة الميكانيكا‬ ‫اإلحصائية‪.‬‬ ‫مثال (‪)1.1‬‬ ‫جد دالة التجزئة لجسيم منفرد عند توزيعه على مستويين للطاقة ‪ ،‬حيث طاقتيهما )𝜖 ‪ (0,‬على الترتيب ؟‬ ‫‪50‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫نفرض ان دالة التجزئة للجيسم المنفرد ‪ ، Z9‬من تعريف دالة التجزئة فإن‬ ‫𝛽𝜖‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪𝑍1 = ∑ 𝑒 −𝛽𝜀𝑗 = 𝑒 −𝛽(0) + 𝑒 −𝛽(𝜖) = 1 + 𝑒 −𝜖𝛽 = 2𝑒 −𝜖𝛽/2 cosh‬‬ ‫‪𝑗=0‬‬ ‫مثال (‪)1.3‬‬ ‫جد دالة التجزئة لنظام مركب من نظامين ( ال تفاعل بينهما) ‪ ،‬اذا كانت دالة التجزئة لهما ‪ 𝑍2 , 𝑍1‬على‬ ‫الترتيب ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪(2‬‬ ‫] 𝑗𝜀‪+‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑖𝜀[𝛽‪𝑍𝑡𝑜𝑡 = ∑ 𝑒 −‬‬ ‫𝑗‪𝑖,‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪−‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑒 ∑ ‪= ∑ 𝑒 −𝛽𝜀𝑖 .‬‬ ‫𝑗‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪−‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑒 ‪= ∑ 𝑒 −𝛽𝜀𝑖 .‬‬ ‫𝑗‪𝑖,‬‬ ‫𝑖‬ ‫اي‬ ‫‪𝑍𝑡𝑜𝑡 = 𝑍1 𝑍2‬‬ ‫يمكن تعميم ذلك ‪ ،‬في حالة عدد ‪ N‬من الجسيمات ‪ ،‬تكون دالة التجزئة للنظام كالتالي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬اذا كانت الجسيمات المراد توزيعها على المستويات مميزة ‪ ،‬متماثلة ‪ ،‬غير متفاعلة ‪ ،‬فإن دالة التجزئة‬ ‫هي ‪:‬‬ ‫)‪(3.20‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁∏ = 𝑁‪Z‬‬ ‫𝑍 = ‪𝑗=1 𝑍1‬‬ ‫)‪ (b‬اذا كانت هذه الجسيمات غير مميزة‪ ،‬فإن دالة التجزئة للنظام ( كما سيرد شرحه الحقا) هي ‪:‬‬ ‫)‪(3.21‬‬ ‫𝑁‪𝑍1‬‬ ‫!𝑁‬ ‫= 𝑁𝑍‬ ‫مثال(‪)1.5‬‬ ‫‪51‬‬ ‫جد دالة التجزئة لنظام مكون من ‪ 3‬مستويات للطاقة وبمقدار 𝜖 ‪ −𝜖 , 0,‬على الترتيب ؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫𝜖𝛽‪𝑍𝑡𝑜𝑡 = 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −0 + 𝑒 +𝛽𝜖 = 𝑒 −𝛽𝜖 + 1 + 𝑒 +‬‬ ‫‪52‬‬ ‫الفصل الرابع ‪ :‬الميكانيك اإلحصائي التقليدي‬ ‫‪Classical Statistical Mechanics‬‬ ‫نتاول في هذا الفصل مفاهيم وخواص الطواقم اإلحصائية ‪ ،‬كما يقدم مفهوم فضاء الطور كممثل للنظام‬ ‫ا إلحصائي ‪ .‬كما نتناول تطبيقات الطاقم المجهري القانوني لدراسة المتغيرات الديناميكا الحرارية في حالة‬ ‫الغاز المثالي احادي الذرة ونظام المتذبذب التوافقي البسيط ‪.‬‬ ‫(‪ )3.1‬مقدمة‬ ‫يتعامل الميكانيك أإلحصائي مع مواصفات المادة عند التوازن بالمعنى التجريبي المستخدم في الديناميكا‬ ‫الحرارية ‪ .‬ويهدف الميكانيك اإلحصائي الى اشتقاق كل المواصفات للنظام الجزيئي العياني في حالة التوازن‬ ‫من خالل القوانين الحركية الجزيئية ‪ ،‬وكذلك الى اشتقاق الدوال النوعية الديناميكية الحرارية للنظام قيد‬ ‫الدراسة ‪.‬‬ ‫يعتبر النظام تقليدي ( كالسيكي ) اذا كان يحتوي على عدد كبير من الجزيئات )‪ (N‬ويشغل حجم كبير )‪(V‬‬ ‫‪ ،‬حيث القيم النموذجية لهذه الكميات كما يلي‪ ، N ≅ 1023 , 𝑉 ≅ 1023 :‬ونظرا ألن هذه القيم كبيرة جدا‬ ‫‪ ،‬فمن المناسب اعتبار الحالة الغائية ‪ limit case‬كما يلي‬ ‫)‪(4.1‬‬ ‫𝑁‪𝑁 → ∞ , 𝑉 → ∞ , 𝑣 = 𝑉 ⁄‬‬ ‫حيث 𝑣 الحجم النوعي ويعطى بشكل محدد‪.‬‬ ‫اذا كانت التفاعالت بين النظام والمحيط الخارجي ضعيفة ‪ ،‬فإن طاقة النظام تبقى ثابتة بصورة تقريبية ‪،‬‬ ‫بمعنى ان الطاقة هي ثابت الحركة ‪ ،‬وهذه مجرد فكرة مثالية ‪ ،‬اذ ال يوجد في المعمل نظام معزول بصورة‬ ‫حقيقية وتامة اال اذا كانت الجدران الحاوية للنظام عاكسة تماما بصورة مثالية‪.‬‬ ‫‪53‬‬ ‫(‪ )3.1‬الطاقم اإلحصائي ‪Statistical Ensemble‬‬ ‫لوصف اي نظام عياني ‪ ، macroscopic system‬ادخل العالم جبس ‪ Gibbs‬فكرة الطاقم اإلحصائي‬ ‫‪ ،‬وتتلخص هذه الفكرة كما يلي‪:‬‬ ‫من الواضح ان عددا كبير جدا ( ال نهائي ) من الحاالت للنظام تماثل او تقابل شرط عياني محدد للنظام ‪ .‬على‬ ‫سبيل المثال ‪ ،‬شرط احتواء غاز ما في صندوق محدد الحجم يتناغم مع عدد النهائي من الطرق لتوزيع‬ ‫جزيئاته في هذا الحيز‪ .‬ومن خالل القياسات العيانية ال نستطيع التمييز بين غازين متواجدين في حاالت‬ ‫مختلفة ولكن يحققان نفس الشروط العيانية ‪ .‬وعليه ‪ ،‬عند دراسة سلوك غاز تحت شروط عيانية معينة‪ ،‬فإننا‬ ‫ال نشير في الحقيقة الى حالة مفردة ( او احادية ) ‪ ،‬ولكن نشير الى عدد ال نهائي من الحاالت ‪ .‬وبعبارة اخرى‪،‬‬ ‫نشير الى تجميع من األنظمة المتشابهة في التركيب والشرط العياني ( الحالة العيانية) ولكنها في حاالت‬ ‫مختلفة‪ .‬سمى جبس هذا التجميع من األنظمة الطاقم أإلحصائي ‪ . Statistical Ensemble‬اي ‪ ،‬يمكن‬ ‫تعريف الطاقم اإلحصائي كما يلي‪ :‬تجمع من العدد الكبير جدا من الحاالت المجهرية ‪microscopic states‬‬ ‫والتي لها نفس الحالة العيانية‪.‬‬ ‫في األنظمة الكالسيكية ‪ ،‬يعتبر الطاقم اإلحصائي اطارا لدراسة سلوك هذه األنظمة في فضاء يسمى فضاء‬ ‫جاما 𝑒𝑐𝑎𝑝𝑠 ‪ ، 𝛤 −‬او احيانا يسمى فضاء الطور ‪ ، Phase space‬كما سيرد شرحه في البند التالي‪.‬‬ ‫(‪ )3.1‬فضاء الطور للنظام الكالسيكي ‪Phase Space of classical System‬‬ ‫في الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬يمكن دراسة حركة الجسيمات بما يعرف بأإلحداثيات العمومية ‪Generalized‬‬ ‫‪ ،Coordinates‬والزخوم الخطية العمومية ‪ ، Generalized momenta‬ويرمز لها كما يلي ‪:‬‬ ‫𝑁‪; 𝑖 = 1,2,3 … … . .3‬‬ ‫) 𝑖𝑝 ‪(𝑞𝑖 ,‬‬ ‫حيث ان عدد درجات الحرية لحركة الجسيم يساوي ‪ N ، 3‬عدد جسيمات النظام‪ .‬قياسا على ذلك ‪ ،‬بين‬ ‫جبس انه من الممكن تحديد او وصف حالة النظام في الميكانيكا اإلحصائية قيد الدراسة بواسطة )‪ (3N‬من‬ ‫هذه اإلحداثيات القانونية‬ ‫) 𝑁‪ ( 𝑞1 ,𝑞2 ,………𝑞3‬و‬ ‫)‪ (3N‬من الزخوم المرافقة لكل احداثي‬ ‫) 𝑁‪.(𝑝1 , 𝑝2 , … … . . 𝑝3‬‬ ‫يسمى الفضاء اإلتجاهي)‪ (6N‬المحدد بواسطة ) 𝑖𝑝 ‪ (𝑞𝑖 ,‬بفضاء الطور للنظام )‪ ، ( Phase Space‬وتمثل‬ ‫النقطة في هذه الفضاء حالة النظام الكلي الذي به ‪ N‬من الجسيمات وتشير الى نقطة ممثلة ‪(representative‬‬ ‫)‪. point‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬استنادا الى فكرة جبس فإن الطاقم اإلحصائي يتم تمثيله هندسيا بواسطة توزيع النقاط الممثلة في فضاء‬ ‫الطور ‪ ،‬وعادة يكون هذا التوزيع متصل )‪. (continuous distribution‬‬ ‫‪54‬‬ ‫اذا كانت هذه اإلحداثيات دالة للزمن )‪ ، (t‬فإنه يمكن تحديد حركة هذا النظام بواسطة المعادالت التالية‪:‬‬ ‫)‪………..(4.2‬‬ ‫حيث الدالة ) 𝑖𝑝 ‪ 𝐻(𝑞𝑖 ,‬هي دالة هاملتون )‪ . (Hamilton function‬وتعطي هذه المعادالت وصفا لحركة‬ ‫النقطة الممثلة في هذا الفضاء ‪ ،‬اي ان مسار النقطة قد يكون منحنيا مغلقا ال يتقاطع مع نفسه ابدا ‪ .‬إضافة‬ ‫الى ذلك ‪ ،‬فإن المحل الهندسي لنقطتين ممثلتين محدودتين ال يمكن ان يتقاطع ابدا‪.‬‬ ‫مع مرور الزمن ‪ ،‬فإن احداثيات النقطة) 𝑖𝑝 ‪ ، ) 𝑞𝑖 ,‬التي تعرف الحالة المجهرية ‪ ،‬تكون متغيرة بإستمرار‪.‬‬ ‫وبالمقابل ‪ ،‬ترسم النقاط الممثلة في فراغ الطور مسارات ‪ trajectories‬والتي تكون في اتجاهات يحددها‬ ‫متجه السرعة ) 𝑖̇𝑝 ‪ 𝒗(𝑞̇ 𝑖 ,‬المعطى في معادلة ) ‪ .) 4.1‬وتبقى هذه المسارات ضمن منطقة محصورة في هذا‬ ‫الفراغ ‪ ،‬ألن حجم النظام ‪ V‬المحدد ينحصر بقيم اإلحداثي 𝑖𝑞‪ .‬بينما طاقة النظام المحددة ‪ E‬تقيد قيم كال من‬ ‫𝑖𝑝 ‪ 𝑞𝑖 ,‬من خالل دالة هاملتون‪ .‬وبشكل خاص‪ ،‬اذا كان لطاقة النظام الكلية قيمة مضبوطة ‪precise value‬‬ ‫‪ ، E ،‬فإن المسار المقابل للنقطة الممثلة يبقى مقيدا على السطح الفوقي ‪ hypersurface‬لفضاء الطور ‪،‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫هذا يعني ‪ ،‬ان الطاقة الكلية للنظام تقع ضمن المدى } ‪ ، {𝐸 − 2 , 𝐸 + 2‬ويكون المسار المقابل مقيدا‬ ‫في الغالف الفوقي المعرف بهذه القيم من الطاقة ‪.‬‬ ‫لنعتبر انظمة من الطاقم المكون من نسخ ذهنية ( فكرية ) والتي ال تتفاعل بينها ‪ ،‬في اي لحظة زمنية‪،‬‬ ‫يمكن تصنيف اعضاء ( عناصر) هذا الطاقم كحاالت مجهرية ممكنة ‪ ،‬وكل عضو يتفق مع الحالة العيانية‬ ‫للنظام ونفترض ان يكون هذا العضو ممثال عاما لكل اعضاء الطاقم ‪.‬‬ ‫ومع مرور الزمن ‪ ،‬يخ ضع كل عضو في الطاقم لتغير مستمرفي الحاالت ‪ ،‬ويتحرك عبر مسارات فضاء‬ ‫الطور ‪ ،‬لذلك ‪ ،‬يمكن تشبيه هذا الوضع من خالل دالة تعتمد على األحداثيات ‪ ،‬الزخوم ‪ ،‬والزمن ‪ ،‬وتسمى‬ ‫هذه بدالة الكثافة ‪ ، density function‬ويرمز لها )𝑡 ‪ . ρ(𝑞, 𝑝,‬لنفرض ان عنص حجمي في فراغ الطور‬ ‫)𝑝 𝑁‪ ( 𝑑 3𝑁 𝑞 𝑑3‬حول النقطة )𝑝 ‪ ،)𝑞,‬الشكل‪)4.9‬‬ ‫‪55‬‬ ‫شكل (‪ )4.9‬خلية فراغ الطور‪.‬‬ ‫‪ ،‬يكون عدد النقاط الممثلة في هذا العنصر كما يلي‬ ‫𝑝 𝑁‪𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡)𝑑 3𝑁 𝑞 𝑑3‬‬ ‫)‪(4.3‬‬ ‫فيزيائيا ‪ ،‬تعبر دالة الكثافة عن كيفية توزيع عناصر الطاقم لجميع الحاالت المجهرية الممكنة في اللحظات‬ ‫الزمنية المختلفة‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫معدل الطاقم‬ ‫‪Average Ensemble‬‬ ‫لنفرض ان )‪ f(q,p‬تمثل كمية فيزيائية قابلة للقياس في نظام ما ‪ ،‬مثل الطاقة او الزخم ‪ ،‬والتي تكون‬ ‫قيمها مختلف ة في أألنظمة المختلفة للحاالت المجهرية ‪ .‬وعندما يكون هذا النظام في حالة توازن‬ ‫ديناميكي حراري‪ ،‬فإن القيمة المشاهدة لهذه الكمية هي نتيجة ما نحصل عليه بإجراء عملية اخذ‬ ‫معدلها على جميع الحاالت المجهرية لهذا النظام ( جميع اعضاء الطاقم ) ‪ .‬رياضيا ‪ ،‬يعرف معدل‬ ‫الطاقم ‪ ، ⟨𝑓⟩ ،‬كما يلي‬ ‫)‪.........................................(4.4‬‬ ‫مع مالحظة ان التكامل في معادلة )‪ ( 4.4‬يمتد على جميع المناطق في فراغ الطور ‪ ،‬وحقيقة ان المناطق‬ ‫المشغولة في هذا الفضاء ( حيث ‪ )𝜌 ≠ 0‬هي التي تساهم في هذا التكامل‪ .‬وعموما ‪ ،‬يكون معدل الطاقم دالة‬ ‫زمنية‪.‬‬ ‫تعريف‪ :‬يسمى الطاقم الذي له دالة كثافة غير معتمدة على الزمن بالطاقم المستقر ( الساكن) ‪stationary‬‬ ‫‪ ، ensemble‬اي تكون ‪= 0‬‬ ‫‪∂ρ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫لكل األزمنة ‪ .‬في هذه الحالة ‪ ،‬يكون معدل الطاقم ( معادلة ‪ )4.3‬مستقال‬ ‫زمنيا ‪ ، time independent‬ويكون الطاقم المستقر جديرا بتمثيل النظام في حالة أإلتزان‪.‬‬ ‫مالحظة هامة‪:‬‬ ‫هناك نوعان من معدل الكمية الفيزيائية وهما‪:‬‬ ‫(‪ )9‬القيمة األكثر احتمالية ‪ most probable value‬وهي القيمة او المقدار )‪ f(q, p‬التي لها اكبر عدد‬ ‫من أنظمة الطاقم ( كما ورد شرحه في الفصل الثالث من الكتاب)‪.‬‬ ‫‪56‬‬ ‫(‪ )1‬معددل الطاقم ‪ ،‬والذي يحدد بالمعادلة (‪. )4.4‬‬ ‫يكون معدل الطاقم مساويا تقريبا للقيمة األكثر احتمالية اذا كان مربع التقلبات للكمية صغيرا ‪ ،‬ويعبر‬ ‫عن هذا الشرط رياضيا كما يلي‬ ‫‪< 𝑓 2 > −< 𝑓 >2‬‬ ‫‪≪ 1‬‬ ‫‪< 𝑓 >2‬‬ ‫اذا لم يتحقق هذا الشرط ‪ ،‬فليس هناك طريقة احادية إليجاد كيفية قياس القيمة المشاهدة للكمية الفيزيائية ‪f(q,‬‬ ‫)‪. p‬‬ ‫يمكن القول ان لكل الحاالت الفيزيائية ‪ ،‬يكون معدل مربع التقلبات هو في حدود )‪ .(1/N‬وبالتالي عندما‬ ‫∞ → ‪ ، N‬فإن معدل الطاقم والقيمة األكثر احتمالية تصبح متشابه‪.‬‬ ‫)‪ (4.3‬نظرية ليوفيلي ‪Liouville’s Theorem‬‬ ‫تنص نظرية ليوفيلي على ما يلي‪:‬‬ ‫تكون الكثافة المحلية للنقاط الممثلة ‪ ،‬كما تشاهد من المراقب المتحرك مع اي نقطة ممثلة ‪ ،‬ثابتة مع الزمن‪.‬‬ ‫ويمكن التعبير رياضيا عن هذا النص كما يلي‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫‪+ [𝜌 , 𝐻] = 0‬‬ ‫‪∂ρ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫=‬ ‫‪dρ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حيث يعرف المقدار ]𝐻 ‪ [𝜌 ,‬قوس بوسون ‪ ، Poisson Bracket‬ويعبر عنه رياضيا كالتالي‬ ‫فيزيائيا ‪ ،‬يمكن مشابهة حركة سرب من النقاط الممثلة في فراغ الطور بسريان المائع غير القابل‬ ‫لإلنضغاط في الفضاء الفيزيائي‪.‬‬ ‫البرهان‬ ‫لنفرض ان حجما ما ‪ ،‬مثل ‪ ، ω‬في منطقة فراغ الطور ‪ ،‬ولنفرض ان ‪ σ‬تمثل السطح المغلف لهذا الحجم‬ ‫‪ .‬يكون المعدل الزمني لزيادة عدد النقاط الممثلة ( الشكل (‪ ))4.2‬كما يلي‬ ‫‪57‬‬ ‫𝜔𝑑 𝜔∫‬ ‫∂‬ ‫𝑡∂‬ ‫شكل (‪ : )4.1‬عنصر حجمي في فراغ الطور‪.‬‬ ‫حيث‪𝑑𝜔 = 𝑑 3𝑁 𝑞 𝑑 3𝑁 𝑝 :‬‬ ‫‪،‬ويكون صافي ‪ net‬جريان النقاط الممثلة الى خارج هذا العنصرمن‬ ‫الحجم وعبر السطح المغلف له كما يلي‬ ‫𝜎𝑑̂𝑛 ‪∫𝜎 𝜌𝒗.‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫حيث ̂𝑛 متجه وحدة خارج من عنصر السطح‪.‬‬ ‫بإستخدام نظرية التباعد ( ‪ ، )divergence theorem‬تؤول معادلة (‪ )4.1‬الى الصورة التالية‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝜔𝑑)𝒗𝜌(‪∫ 𝜎 𝜌𝒗. 𝑛̂𝑑𝜎 = ∫𝜔 div‬‬ ‫حيث‬ ‫)‪……..(4‬‬ ‫في حالة عدم وجود مصدر او تسرب في فراغ الطور ‪ ،‬فإن عدد النقاط الممثلة يبقى ثابتا‪ ،‬وهذا يعني‬ ‫رياضيا ما يلي‬ ‫‪58‬‬ ‫)‪( 5‬‬ ‫∂‬ ‫⟹ 𝜔𝑑)𝒗𝜌(‪∫ 𝑑𝜔 = − ∫ div‬‬ ‫𝜔 𝑡∂‬ ‫𝜔‬ ‫)‪(6‬‬ ‫𝜌𝜕‬ ‫‪+ 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝝂)]𝑑𝜔 = 0‬‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫[ ∫‬ ‫𝜔‬ ‫اي ان‬ ‫‪+ 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝜈) = 0‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫𝜌𝜕‬ ‫𝑡𝜕‬ ‫فيزيائيا ‪ ،‬تمثل معادلة (‪ )8‬معادلة اإلستمرارية لحركة سرب النقاط الممثلة‪.‬‬ ‫بدمج معادلتي (‪ )4‬و معادلة (‪ ، )8‬نجد ان‬ ‫(‪...........)5‬‬ ‫يكون الحد األخير في معادلة (‪ ) 5‬يساوي صفرا ‪ ،‬بسبب التماثل ويمكن اثبات ذلك بإستخدام معادالت‬ ‫الحركة ‪ ،‬عند التجميع على كل قيم )‪ ،(i‬اي‬ ‫)‪………)9‬‬ ‫بينما الحد الثاني في معادلة (‪ )8‬يمثل قوس بوسون ‪ ،‬وعليه تصبح معادلة (‪ ، )5‬اذا كانت )𝑡 ;𝑝 ‪𝜌(𝑞,‬‬ ‫‪،‬على النحو التالي‬ ‫(‪.........)10‬‬ ‫وتعرف معادلة (‪ )10‬بمعادلة ليوفيلي (‪.)9535‬‬ ‫وحتى يكون مقدار قوس بوسون صفرا ‪ ،‬اي‬ ‫(‪........)11‬‬ ‫يجب ان يتحقق الشرط التالي ‪ :‬ان تكون ‪ ρ‬ليست دالة زمنية بشكل صريح ‪ ،‬وتكون دالة لألحدثيات‬ ‫)‪ (q, p‬فقط ‪ ،‬اي‬ ‫‪59‬‬ ‫)‪(12‬‬ ‫ثابت = )𝑝 ‪𝜌(𝑞,‬‬ ‫اي ان دالة الكثافة تساوي مقدارا ثابتا في المنطقة ذات العالقة )‪ )relevant‬في فراغ الطور (وطبعا في كل‬ ‫مكان في فراغ الطور) ‪ ،‬ويعنى ذلك ‪ ،‬ان تكون انظمة الطاقم موزعة بإنتظام على جميع الحاالت المجهرية‬ ‫وفي كل األزمنة‪ .‬في هذه الحالة ‪ ،‬يكون معدل الطاقم ( معادلة ‪ )3‬كما يلي‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜔𝑑)𝑝 ‪< 𝑓 > = 𝜔 ∫𝜔 𝑓(𝑞,‬‬ ‫)‪(13‬‬ ‫حيث 𝜔 تشير الى الحجم الكلي في هذه المنطقة من الفراغ الطوري ‪ ،‬ويمكن تعميم ذلك الى المنطقة المجاورة‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪ )3.4‬فرضية تساوي اإلحتمالية المسبقة ‪Postulate of Equal a Priori Probability‬‬ ‫عندما يكون نظام عياني في حالة توازن ديناميكي حراري ‪ ،‬فإن حالته على األرجح ‪equally likely‬‬ ‫) تكون بصورة متساوية في اي حالة تحقق الشروط العيانية للنظام ‪ ،‬لكل الحاالت المجهرية المختلفة ( او‬ ‫عناصر الحجم المختلفة( في فراغ الطور المسمح بها‪.‬‬ ‫تتضمن هذه الفرضية ان النظام في التوازن الديناميكي الحراري هو عضو او عنصر من طاقم يسمى بالطاقم‬ ‫المجهري القانوني ( ‪ )micro canonical ensemble‬الذي يمتلك دالة الكثافة التالية ‪:‬‬ ‫∆ ‪𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑖𝑓 𝐸 < 𝐻(𝑞, 𝑝) < 𝐸 +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒‪𝑜𝑡ℎ‬‬ ‫{ = )𝑝 ‪ρ(𝑞,‬‬ ‫حيث كل اعضاء الطاقم يمتلك نفس العدد من الجسيمات )‪ (N‬ونفس الحجم )‪.(V‬‬ ‫لفهم معادالة (‪ ، )99‬يجب اإلفتراض ان ‪ ρ‬تعتمد على اإلحداثيات )‪ (q , p‬من خالل دالة هملتون ‪ ،‬اي‬ ‫)‪(14‬‬ ‫])𝑝 ‪𝜌(𝑞, 𝑝) = 𝜌[ 𝐻(𝑞,‬‬ ‫وهذه المعادلة تعطي صفا من دوال الكثافة التي يكون عندها الطاقم مستقرا ‪.‬‬ ‫في الفصل التالي ‪ ،‬يمكن اختيار طواقم تحقق الشرط التالي‬ ‫)‪(15‬‬ ‫)𝑝‪𝐻(𝑞,‬‬ ‫]‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‬ ‫‪𝜌 (𝑞, 𝑝) ∞ exp[−‬‬ ‫ويدعى هذا الطاقم بالطاقم القانوني ‪. canonical ensemble‬‬ ‫كما نعرض في البند التالي خواص الطاقم المجهري وارتباطه مع اإلنتروبيا للنظام في معادلة تستخدم لإليجاد‬ ‫متغيرات النظام العياني‪.‬‬ ‫‪60‬‬ ‫(‪ )3.3‬خواص الطاقم المجهري القانوني‬ ‫‪Properties of micro canonical ensemble‬‬ ‫في هذا الطاقم‪ ،‬يعرف النظام العياني قيد الدراسة بعدد الجسيمات )‪ ، )N‬حجم )‪ ، (V‬وطاقة كلية )‪. (E‬‬ ‫ولكن عوضا عن قيمة حادة للطاقة ‪ sharp value‬نحدد مدى من قيم الطاقة كما يلي ∶‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪E−2 , 𝐸+2‬‬ ‫‪ ،‬ويبقى اإلختيار قائما لحالة النظام العياني في ان يكون اي واحد من الحاالت المجهرية الكثيرة ‪ .‬وكذلك في‬ ‫الفراغ الطوري ‪ ،‬تكون النقاط الممثلة للطاقم لها الخيار‬ ‫في ان تقع خالل القشرة الفوقية المحددة بالشرط التالي‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪E − 2 ≤ 𝐻(𝑞, 𝑝) ≤ 𝐸 + 2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫ويكون حجم فراغ الطور المغلف لهذه القشرة كما يلي‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫𝑝 𝑁‪ω = ∫ 𝑑𝜔 = ∫ 𝑑 3𝑁 𝑞 𝑑 3‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫حيث التكامل المؤشر عليه ‪ ،‬يعني امتداد التكامل على الجزء من فراغ الطور الخاضع للشرط (‪ . )9‬اي ان‬ ‫‪ ω‬تكون دالة للبراميترات التالية ( ∆ ‪ . (N,V, E,‬وعليه‪ ،‬يعرف الطاقم المجهري القانوني بأنه تجمع من‬ ‫األنظمة ذات دالة الكثافة ‪( ،‬في كل األوقات ) التالية‪:‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪≤ 𝐻(𝑞, 𝑝) ≤ 𝐸 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ثابت‬ ‫‪𝑖𝑓 𝐸 −‬‬ ‫عدا ذلك‬ ‫)‪(3‬‬ ‫{ = )𝑝 ‪𝜌(𝑞,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وفقا لذلك ‪ ،‬تكون القيمة المتوقعة ‪ Expected value‬لعدد النقاط الممثلة والواقعة ضمن عنصر الحجم 𝜔𝑑‬ ‫في المنطقة المعتبرة من القشرة الفوقية تتناسب طرديا مع 𝜔𝑑 ‪ .‬وبعبارة اخرى ‪ ،‬تكون اإلحتمالية المسبقة‬ ‫إليجاد النقطة الممثلة في عنصر الحجم المعطى 𝜔𝑑 مساوية إليجاد النقطة الممثلة في نفس الحجم المكافئ‬ ‫ل 𝜔𝑑 الموضوع في اي مكان في هذه القشرة الفوقية ‪ ،‬وهذا يتفق مع فرضية تساوي اإلحتماالت المسبقة‬ ‫ألي عضو في هذاالطاقم ‪.‬‬ ‫اذا كان الطاقم مستقرا ‪ ،‬فإن المعدل الزمني ألي كمية فيزيائية قابلة للقياس ال يعطي نتائج جديدة‪ ،‬وهذا يعطي‬ ‫ما يلي‬ ‫𝑝𝑥𝑒𝑓 = > 𝑓 <‬ ‫‪61‬‬ ‫حيث > 𝑓 < يمثل المعدل الزمني لمتوسط الطاقم خالل فترة زمنية طويلة ‪ ،‬بينما 𝑝𝑥𝑒𝑓 تمثل القيمة المتوقعة‬ ‫للكمية الفيزيائية عند اجراء التجربة في فترة زمنية طويلة ‪ .‬اي ان ‪ ،‬من خصائص الطاقم المجهري ان يكون‬ ‫معدل الطاقم ألي كمية فيزيائية مماثال للقيمة المتوقع الحصول عليها بإجراء القياس المناسب على النظام ‪.‬‬ ‫ايضا ‪ ،‬من خصائص هذا الطاقم ‪ ،‬انه يمكن ربط اعضاء الطاقم مع قوانين الديناميكا الحرارية عن طريق‬ ‫المقابلة المباشرة بين حاالت الطاقم المجهرية و الموقع الممثلة في فراغ الطور‪.‬‬ ‫ولتوضيح ذلك ‪ ،‬نفرض ان ‪ ω‬تمثل المنطقة المسموحة في فراغ الطور ‪ ،‬وان ‪ Γ‬يمثل عدد الحاالت المجهرية‬ ‫‪ ،‬لإليجاد العالقة بين ‪ ω‬و ‪ Γ‬نحتاج الى تعريف حجم اساسي ‪ Fundamental volume ω0‬وهو الحجم‬ ‫الكافئ لحالة مجهرية واحدة ‪ ،‬بحيث‬ ‫‪Γ = 𝜔⁄𝜔0‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون العالقة بين اإلنتروبيا وعدد الحاالت المجهرية كما يلي‬ ‫) ‪𝑆 = 𝑘 ln Γ = 𝑘 ln(𝜔⁄𝜔0‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫حيث تكون ‪ ω0‬مماثلة لطبيعة الزخم الزاوي ‪ ، angular momentum‬اي ذات بعد 𝑁‪ ،(𝑞𝑝)3‬وهناك‬ ‫وجهتا نظر لتحديد ‪ ω0‬وهما ‪ :‬فكرة فراغ الطور ‪ ،‬و فكرة توزيع الحاالت في ميكانيكا الكم ‪Quantum‬‬ ‫‪ . states‬سنعرض امثلة على ذلك في البند الالحق ‪.‬‬ ‫)‪ (4.6‬تطبيقات الطاقم المجهري‬ ‫نعرض في هذا البند بعض األمثلة لنظم كالسيكية‪ ،‬وذلك بإستخدام خواص الطاقم المجهري ‪ ،‬ومن هذه‬ ‫النظم الغاز المثالي و المتذبدب التوافقي البسيط في بعد واحد ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫الغاز المثالي – جسيم احادي الذرة ‪monoatomic ideal gas‬‬ ‫يكون حجم فراغ الطور المسموح به لتواجد النقاط الممثلة إلعضاء الطاقم المجهري كما يلي ‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫𝑝 𝑁‪ω = ∫ … … ∫ 𝑑 3𝑁 𝑞 𝑑3‬‬ ‫ويكون التكامل في المعادلة (‪ )9‬مقيدا بالشروط التالية ‪:‬‬ ‫)‪ (I‬حصر الجسيمات في الفراغ الفيزيائي الذي حجمه ‪. V‬‬ ‫)‪ (II‬اعتبار قيم الطاقة الكلية للنظام ضمن مدى الطاقة المحدد التالي‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫𝐸 ≪∆ ∶ } ‪, 𝐸 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪{𝐸−‬‬ ‫‪62‬‬ ‫في حالة الغاز المثالي ‪ ،‬تكون دالة هاملتون دالة للزخم الخطي ‪ ، pi‬وعليه يمكن اجراء التكامل على‬ ‫اإلحادثي المكاني ‪ qi‬مباشرة ‪ ،‬وتكون نتيجة هذا التكامل كما يلي ‪. ω = 𝑉 𝑁 :‬‬ ‫بينما التكامل على الزخوم‪:‬‬ ‫𝑝 𝑁‪∫ … … . . 𝑑 3‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫يعطي مقدارا يساوي حجم القشرة الفوقية ‪ ، hypershell‬والذي ابعاده )‪ ، (3N‬ويكون‬ ‫محصورا بأنصاف اقطار مقدارها‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫)‪، √2𝑚 (𝐸 + 2) , √2𝑚 (𝐸 − 2‬‬ ‫في حالة 𝐸 ≪∆ ‪ ،‬يكون هذا الحجم مساويا تقريبا لحاصل ضرب سمك القشرة ‪،‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫)𝐸‪ ، ∆(𝑚⁄2‬بمساحة‬ ‫القشرة التي نصف قطرها 𝐸𝑚‪.√2‬‬ ‫وبتخطي العمليات الرياضية المعقدة ‪ ،‬يمكن اثبات ان‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝒩 ‪ω0 = h‬‬ ‫حيث 𝒩 = عدد درجات الحرية للجسيم ‪ ،‬فمثال في حالة الجسيم المنفرد يكون هذا العدد يساوي ‪ . 3‬وعليه‬ ‫‪ ،‬ويكون عدد الحاالت المجهرية = حجم المنطقة المسموح بها لحركة الجسيمات في فراغ الطور مقسوما‬ ‫على ‪. ℎ3‬‬ ‫لنفرض ان )‪ = ∑ (P‬عدد الحاالت المجهرية المتوفرة للجسيمات الحرة والمحصورة في حجم ‪ V‬من الفراغ‬ ‫الفيزيائي ‪ ،‬والتي لها كمية زخم خطي ‪ ، p‬بحيث يكون 𝑃 ≤ 𝑝 ‪.‬‬ ‫إليجاد )‪ ، ∑ (P‬نستخدم التكامل في فراغ الطور على جميع العناصر ‪ ،‬او‬ ‫)‪……..(4‬‬ ‫من معادلة (‪ ، )4‬يمكن الحصول على عدد الحاالت المجهرية التي لها زخم خطي قيمته ضمن المدى {‬ ‫‪ ، p+ d p , p} :‬كما يلي‬ ‫‪63‬‬ ‫𝑉‬ ‫𝑝𝑑) ‪≈ ℎ3 (4𝜋𝑝2‬‬ ‫(‪)8‬‬ ‫)𝑝( ‪𝑑Σ‬‬ ‫𝑝𝑑‬ ‫= 𝑝𝑑)𝑝(𝑔‬ ‫وتسمى الدالة )𝑝(𝑔 = كثافة الحاالت الزخمية ‪.‬‬ ‫بالرجوع الى الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬يكون الزخم الخطي بداللة الطاقة ‪ ،𝑝 = √2𝑚𝐸 :‬لذلك يمكن ان‬ ‫نجد عدد الحاالت المجهرية بداللة الطاقة ‪ ، E‬اي‬ ‫‪(2𝑚𝐸)3/2‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫𝜋‪𝑉 4‬‬ ‫‪ℎ3 3‬‬ ‫≈ )𝐸( ‪Σ‬‬ ‫من معادلة (‪ ، )1‬يمكن الحصول على عدد الحاالت المجهرية التي لها طاقة واقعة ضمن مدى الطاقة‬ ‫) 𝜀 ‪(𝜀 + 𝑑𝜀 ,‬كما يلي‬ ‫)‪...........(6‬‬ ‫تسمى الدالة )‪ 𝑎(ε‬كثافة الحالة الطاقية ‪. energy state density‬‬ ‫‪‬‬ ‫المتذبذب التوافقي البسيط – في بعد واحد‬ ‫‪simple harmonic oscillator in one dimension‬‬ ‫في الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬تعرف دالة هاملتون بمجموع الطاقة الحركية وطاقة الوضع الميكانيكية ‪ .‬وعليه‬ ‫‪ ,‬تكون الصيغة الرياضية لهذه الدالة ‪ ،‬في حالة المتذبذب التوافقي البسيط ( في بعد واحد) كما يلي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪𝐻(𝑞, 𝑝) = 2𝑚 + 2 𝑘𝑞 2‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫حيث ‪ = k‬ثابت الزنبرك ‪ = m ،‬كتلة الجسم المثبت في الزنبرك ‪ (q,p) ،‬اإلحداثي المكاني وزخم الجسيم‬ ‫الخطي ‪ ،‬والتي تكون دوال زمنية كما يلي‬ ‫)‪(9‬‬ ‫حيث‬ ‫)𝜃 ‪𝑞(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) ; 𝑝(𝑡) = 𝑚𝑞̇ = −𝑚𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 +‬‬ ‫𝑚‪، ω = √𝑘/‬‬ ‫‪ = A‬سعة الذبذبة ‪ .‬تكون الطاقة الكلية للمتذبذب كالتالي‬ ‫‪64‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = 2 𝑚𝜔2 𝐴2‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫اما مسار النقطة الممثلة في فراغ الطور يحدد بحذف الزمن )‪ (t‬في معادلة (‪ ، )1‬ويكون كما يلي‬ ‫‪=1‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫‪𝑞2‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) 𝜔𝑚‪(2𝐸 ⁄‬‬ ‫)𝐸𝑚‪(2‬‬ ‫تمثل معادلة (‪ )99‬معادلة مسار بيضاوي ‪ ، ellipse‬طول محوريه ‪:‬‬ ‫‪. (2𝑚𝐸)1/2 ، (2𝐸 ⁄𝑚𝜔2 )1/2‬‬ ‫كما تكون مساحته ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜔‪𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝜋 ((2𝐸 ⁄𝑚𝜔2 )2 (2𝑚𝐸)2 ) = 2𝜋𝐸 ⁄‬‬ ‫∆‬ ‫‪.‬‬ ‫∆‬ ‫عند تقييد طاقة المتذبذب بالفترة الطاقية ‪ ،{ 𝐸 − 2 , 𝐸 + 2 } :‬فإن النقطة الممثلة في فراغ الطور تكون‬ ‫محصورة ‪ bounded‬فقط في المنطقة المحددة بالمسارات البيضاوية والمقابلة لقيم الطاقة هذه ( الشكل‬ ‫‪ .)4.3‬ويمكن اعتبار ان مقدار الحجم يساوي مقدار المساحة للقشرة الفوقية ( كما سبق شرحه) ‪ ،‬ويمكن‬ ‫التعبير عن ذلك رياضيا كما يلي‪:‬‬ ‫(‪..........)91‬‬ ‫بالرجوع الى نظريات ميكانيكا الكم الخاصة بحركة المتذبذب التوافق ‪ ،‬نجد ان القيم الخاصة ‪eigenvalues‬‬ ‫لطاقة المتذبذب تكون كما يلي‪:‬‬ ‫(‪)93‬‬ ‫بداللة فراغ الطور ‪ ،‬يمكن القول ان النقطة الممثلة للنظام تتحرك عبر احد المسارات المختارة (كما في‬ ‫شكل ‪)4.3‬‬ ‫‪65‬‬ ‫شكل (‪ :)4.3‬الحاالت الخاصة في حركة المتذبذب التوافقيالبسيط‪.‬‬ ‫من معادلة (‪ ، )91‬حيث‬ ‫𝜔‪ ، ∆= ℏ‬تكون مساحة فراغ الطور بين مسارين متعاقبين تساوي ‪. 2𝜋ℏ‬‬ ‫عند القيم المطلقة للمقادير 𝐸 ‪ ، Δ ,‬وتحت الشرط التالي‪ ، E ≫ ∆ ≫ ℏω :‬يكون عدد الحاالت الخاصة‬ ‫المسموح بها في مدى الطاقة السابق مساويا 𝜔‪ . ∆⁄ℏ‬وتكون مساحة فراغ الطور مكافئة لحالة خاصة‬ ‫واحدة وتعطى تقريبا بالمقدار‬ ‫اما في حالة حركة ‪ N‬من هذه المتذبذبات التوافقية ‪ ،‬فإن ‪ ، 𝜔0 = ℎ3‬وهذه النتيجة تتفق مع ما تم‬ ‫الوصول اليه سابقا ‪.‬‬ ‫________________________________________________________‬ ‫‪-------------------------‬‬‫‪---------‬‬ ‫‪66‬‬ ‫الفصل الخامس ‪:‬الميكانيكا اإلحصائية وقوانين الثيرموديناميكا‬ ‫يتناول هذا الفصل الترابط الفيزيائي والرياضي بين قوانين الميكانيكا اإلحصائية مع قوانين الديناميكا‬ ‫الحرارية ‪ ،‬كما يتطرق الى حساب متغيرات الديناميكا الحرارية والمتعلقة بوصف اي نظام فيزيائي ‪.‬‬ ‫)‪ (5.1‬القانون األول في الثيرموديناميكا‬ ‫‪First law in Thermodynamics‬‬ ‫يمثل هذا القانون تعبيرا فيزيائيا لقانون حفظ الطاقة ( اي الحرارة شكل من اشكال الطاقة) ‪ ،‬الذي يعتمد في‬ ‫اساسه التجريبي على مبدأ جول ‪ ، Joule‬وهذا المبدأ ينص على التكافؤ بين الحرارة والطاقة الميكانيكية ( او‬ ‫تحول الشغل الميكانيكي الى حرارة)‪.‬‬ ‫لنفرض ان ‪ ∆Q‬تمثل صافي كمية الحرارة من قبل نظام ما في عملية تحول ديناميكي عشوائي ‪ ،‬وان 𝑊∆‬ ‫تمثل صافي الشغل المنجز من قبل هذا النظام في عملية التحول ‪ ،‬تكون الصورة الرياضية لهذا الفانون كالتالي‬ ‫‪:‬‬ ‫‪∆U = ∆Q − ∆W‬‬ ‫حيث تكون الكمية ‪ ∆U‬هي نفسها لكل التحوالت المؤدية من حالة ابتدائية للنظام الى حالتة النهائية ‪ ،‬وتسمى‬ ‫‪ U‬الطاقة الداخلية للنظام ‪ ،‬وهذه الكمية كمية شاملة ‪ Extensive‬وتعنى ان الطاقة الداخلية للنظام تعتمد على‬ ‫كمية مادة النظام ‪ .‬اذا كانت عملية التحول للنظام متناهية في الصغر ‪ ، infinitesimal‬فإن الصورة الرياضية‬ ‫لهذا القانون تؤول الى ما يلي‪:‬‬ ‫𝑊𝑑 ‪𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 −‬‬ ‫)‪(5.1‬‬ ‫في نهج الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬يمكن التعبير عن الكميات المشار اليها في معادلة (‪ )8.9‬بداللة عدد جسيمات‬ ‫النظام وطاقة الحالة التي يمكن ان يتواجد فيها هذا النظام كما يلي ‪:‬‬ ‫تكونالطاقة الكلية للنظام ‪ ، E ،‬على الصورة التالية‪:‬‬ ‫‪67‬‬ ‫𝑗𝜀 𝑗𝑛 ∑ = ‪E = U‬‬ ‫)‪(5.2‬‬ ‫𝑗‬ ‫بإستخدام مبادئ التفاضل ‪ ،‬نجد ان التغير في الطاقة الداخلية للنظام هو‬ ‫𝑗𝜀𝑑 𝑗𝑛 𝑗∑ ‪𝑑𝐸 = 𝑑𝑈 = ∑𝑗 𝜀𝑗 𝑑𝑛𝑗 +‬‬ ‫)‪(5.3‬‬ ‫بمقارنة الحدود في معادلتي (‪ )8.9‬و (‪ ، )8.3‬نجد ما يلي ‪:‬‬ ‫)‪(5.4‬‬ ‫𝑗𝑛𝑑 𝑗𝜀 ∑ = 𝑄𝑑‬ ‫𝑗‬ ‫اذا كان ضغط النظام 𝑝 ‪ = 𝑑𝑉 ،‬التغير في حجم هذا النظام ‪ ،‬فإن الشغل المنجز هو ‪:‬‬ ‫)‪(5.5‬‬ ‫𝑗𝜀𝑑 𝑗𝑛‬ ‫𝑉𝑑‬ ‫𝑗∑ ‪𝑑𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 = ∑𝑗 𝑛𝑗 𝑑𝜀𝑗 ⇒ 𝑝 = −‬‬ ‫ويمكن ان نمثل عملية تحول هذا النظام كما في الشكل (‪)8.9‬‬ ‫شكل (‪ )8.9‬تمثيل القانون األول في الثيرموديناميكا بمفهوم الميكانيكا اإلحصائية ‪.‬‬ ‫هذا يعني ان التغير في حرارة النظام يكون ناتجا عن اعادة ترتيب جسيمات النظام في التوزيع اإلحصائي‬ ‫لهذا النظام ‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫(‪ )3.1‬القانون الثاني للديناميكا الحرارية‬ ‫في عام ‪ ، 9518‬صاغ العالم األلماني رودلف كالوسيوس قانونا يتعلق بمفهوم جديد في علم الديناميكا‬ ‫الحرارية ‪،‬وهو ما يعرف باألنتروبيا "‪ " Entropy‬ويمز له بالرمز ‪ . S‬ويعرب هذا المصطلح ب" اإلعتالج"‬ ‫او القصور الحراري ‪ ،‬وعمليا يعني حالة الفوضى في النظام ‪ disorder‬او حالة الهرجلة ‪ .‬وبلغة مبسطة‬ ‫ينص هذا القانون على ما يلي ‪ :‬تميل اإلنتروبيا في الكون الى نهاية عظمى ‪ .‬اي ان ‪،‬‬ ‫‪≥0‬‬ ‫‪dS‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ .‬فمثال‬ ‫عند اذابة قليل من ملح الطعام في كوب من الماء ‪ ،‬تنتشر جزيئات الملح وتتوزع بالتساوي في الماء ‪ ،‬وهذه‬ ‫عملية طبيعية ذاتية ‪ .‬ويمكن القول ان انتروبيا النظام قد زادت ‪ ،‬اذ ان مجموع انتروبيا ملح الطعام النقي ‪+‬‬ ‫انتروبيا الماء النقي تكون اصغر من انتروبيا المخلوط ‪ ،‬اي تزداد انتروبيا النظام بأكمله ( الماء النقي ‪+‬الملح)‬ ‫بمرور الزمن بعد الخلط ‪ .‬وبعبارة اخرى ‪ ،‬عند الوصول الى حالة توازن ثيرموديناميكي تزداد اإلنتروبيا‬ ‫الكلية او على األقل ال تتغير ‪ .‬ويتبع ذلك ان انتروبيا نظام معزول ال يمكن ان تنخفض ‪ ،‬وان العمليات الطبيعية‬ ‫التلقائية تزيد من انتروبيا النظام ‪.‬‬ ‫تكون الصيغة الرياضية لهذا القانون كالتالي‪:‬‬ ‫في حالة عملية عكوسة ‪ ( reversible process‬وهي عملية تحول للنظام والتي تتم ببطء شديد وال يحدث‬ ‫خاللها اي ضياع للطاقة بفعل اإلحتكاك) ‪ ،‬يكون التغير في كمية الحرارة ‪ ، 𝛿𝑄 ،‬الداخلة للنظام تساوي‬ ‫حاصل ضرب درجة حرارة النظام مع التغير في انتروبيا هذا النظام ‪ .‬او‬ ‫𝑄𝑑‬ ‫𝑇‬ ‫)‪(5.6‬‬ ‫⇒ 𝑆𝑑𝑇 = 𝑄𝛿‬ ‫= 𝑆𝑑‬ ‫ويتبع من هذه العالقة ما يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫في عملية التحول العكوسة ‪،‬ال يعتمد التكامل‬ ‫𝑄𝑑‬ ‫𝑇‬ ‫∫ على المسار ويعتمد فقط على الحالة األبتدائية‬ ‫والنهائية للتحول ‪.‬‬ ‫لنفرض وجود حالة مثبتة عشوائية مثل (‪ )O‬كحالة مرجعية إلنتروبيا النظام ‪ ،‬يمكن تعريف‬ ‫انتروبيا هذا النظام في حالة اخرى مثل )‪ ) A‬كالتالي‪:‬‬ ‫𝑄𝑑 𝐴‬ ‫)‪(5.7‬‬ ‫𝑇‬ ‫‪69‬‬ ‫𝑜∫ = )𝐴(𝑆‬ ‫اي ان التكامل يعبر عن اي مسار عكوس يربط الحالة المرجعية)‪ (O‬بالحالة األخرى )‪ .(A‬على اية حال ‪،‬‬ ‫يمكن تعريف الفرق في اإلنتروبيا للحالتين )‪ (A‬و )‪ (B‬بصورة تامة بالشكل التالي‪:‬‬ ‫𝑄𝑑 𝐵‬ ‫)‪(5.8‬‬ ‫𝑇‬ ‫𝐴∫ = )𝐵(𝑆 ‪𝑆(𝐴) −‬‬ ‫اي ان مسار التكامل هو اي مسار عكوس يربط الحالة )‪ (B‬بالحالة )‪. (A‬‬ ‫من الممكن مالحظة الصفات التالية لإلنتروبيا ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫في حالة التحول العشوائي ‪ ، spontaneous‬يمكن تبني المتبانية ادناه اذا كان التحول عكوسا" ‪ ،‬اي‬ ‫)‪(5.9‬‬ ‫‪‬‬ ‫)𝐴(𝑆 ‪≤ 𝑆(𝐵) −‬‬ ‫𝑄𝑑 𝐵‬ ‫𝑇‬ ‫𝐴∫‬ ‫ال يمكن ان تتناقص انتروبيا النظام المعزول حراريا ‪ ،‬حيث النظام المعزول ال يتبادل الحرارة مع‬ ‫المحيط الخارجي‪ ،‬اي ‪ ، 𝑑𝑄 = 0‬فإن معادالة )‪ (5.9‬تعطي التالي‪:‬‬ ‫)‪(5.10‬‬ ‫‪S(B) − S(A) ≥ 0 ⇒ ∆S ≥ 0‬‬ ‫ومعنى ذلك ‪ ،‬ألي عملية تحول في النظام المعزول تكون ‪ ∆S = 0‬في حالة العمليات العكوسة ‪ ،‬بينما‬ ‫تكون ‪ ∆S > 0‬للعمليات غير العكوسة ‪ ( irreversible‬مثل العمليات التي تتم من تلقاء نفسها ويحدث‬ ‫خاللها احتكاك وضياع للطاقة )‪.‬‬ ‫اما نهج الميكانيكا اإلحصائية لمفهوم اإلنتروبيا فيتبلورفي اعتبار ان اإلنتروبيا متغير حر عند قياس الخواص‬ ‫المجهرية للنظام ‪ ،‬وهي كمية مضافة ‪ ، Additive quantity‬اي ان انتروبيا النظام المركب (‪ (S12‬من‬ ‫نظامين ثانويين ‪ ،‬وليس بينهما تفاعل ‪ ،‬يعطى بجمع انتروبيا النظامين‪ , S1 ، S2‬كال على انفراد ‪ .‬اي ‪،‬‬ ‫‪S12 = S1 + S2‬‬ ‫وان الحالة الجديدة إلتزان النظام هي التي تجعل قيمة ‪ S‬اعظم ما يمكن ‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫وتصبح معادلة بولتزمان )‪ ، (3.7‬في حالة اتزان النظام ‪ ،‬كالتالي ‪:‬‬ ‫𝑥𝑎𝑚‪S𝑚𝑎𝑥 = k 𝐵 ln Ω‬‬ ‫)‪(5.11‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون النظام تام الترتيب عندما ‪ ، 𝛺 = 1‬او ‪ . 𝑆 = 0‬وعندما يكون هناك اكثر من حالة مجهرية‬ ‫للنظام ‪ ،‬اي ‪ 𝛺 > 1‬فإن ‪ ، 𝑆 > 0‬وهذا يعني انه كلما زادت فوضوية النظام كلما نقصت معلومتنا عن‬ ‫هذا النظام ‪.‬‬ ‫اما متغيرات ( محددات ) النظام المكثفة ‪ ، intensive parameters‬يمكن التعبير عنها بداللة اإلنتروبيا‬ ‫كما يلي ‪:‬‬ ‫لنفرض ان متغيرات نظام فيزيائي هي ‪ :‬الطاقة الداخلية ‪ ، E‬الحجم ‪ ، V‬وعدد جسيماته ‪ . N‬و هذه الكميات‬ ‫تمثل مجموعة من المتغيرات الثيرموديناميكية المستقلة ‪ ،‬والمضافة والشاملة ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يمكن تعريف دالة‬ ‫اإلنتروبيا بالصورة التالية ‪:‬‬ ‫)𝑁 ‪ . 𝑆 = 𝑆(𝐸, 𝑉,‬وانما تعرف هذه الدالة بالعالقة األساسية المستخدمة‬ ‫إلشتقاق كل الكميات الثيرموديناميكية األخرى ‪ .‬اما الكميات المكثفة كدرجة الحرارة )‪ ، (T‬الضغط )‪، (p‬‬ ‫والجهد الكيماوي )‪ (μ‬هي مشتقات دالة اإلنتروبيا بالنسبة للمتغيرات الشاملة ‪ .‬اي‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫𝑇‬ ‫𝑝‬ ‫=‬ ‫𝑇‬ ‫𝜇‬ ‫=‬ ‫𝑇‬ ‫)‪............... )5.12‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن التعبير عن التغير في اإلنتروبيا كالتالي ‪:‬‬ ‫)‪(5.13‬‬ ‫)𝑁𝑑𝜇 ‪( 𝑑𝐸 + 𝑝𝑑𝑉 −‬‬ ‫مثال ( ‪)5.1‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇‬ ‫= ‪dS‬‬ ‫جد بإستخدام معادلة (‪ )5.13‬السعة الحرارية عند ثبوت الحجم ‪ ، 𝐶𝑉 ،‬وبداللة مشتقات اإلنتروبيا ‪𝐶𝑉 = :‬‬ ‫‪∂E‬‬ ‫‪∂T‬‬ ‫؟‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عند ثبوت الحجم ‪ ،‬وعدد الجسيمات ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )8.93‬الى التالي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝜕𝑆/𝜕𝐸)𝑉 2‬‬ ‫‪∂E‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑇( 𝜕 ‪1‬‬ ‫= ) ( = 𝑉‪C‬‬ ‫(‪= − 2‬‬ ‫‪) =− 2‬‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫𝑉) ‪(𝜕 𝑆/𝜕𝐸 2‬‬ ‫𝑉 ‪∂T‬‬ ‫𝑇‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫) (‬ ‫𝑉 𝐸𝜕‬ ‫𝑉‬ ‫اذا اردنا التعبير عن التعريف المجهري لإلنتروبيا ‪ ،‬بإستخدام الديناميكا المجهرية والتي لها خواص اإلضافة‬ ‫والقيم العظمى ‪ ،‬فإننا نحتاج الى بعض الفرضيات اإلحصائية األساسية ‪ ،‬وهي كالتالي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫الحاالت المجهرية المقابلة لنفس المتغيرات في الحالة العيانية )‪ ( E,V, p‬ال يمكن تمييزها ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫تجمع كل المجموعات من األنظمة التي لها نفس المتغيرات في الحالة العيانية تشكل ما يسمى الطاقم ‪،‬‬ ‫وان القياسات للحالة العيانية هي متوسط ( معدل) القيم في الطاقم المقابل ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫جميع الحاالت المجهرية في النظام المعزول تكون متساوية اإلحتمال ( فرضية تساوي اإلحتمالية المسبقة‬ ‫‪.)Postulate of equal priori probability‬‬ ‫‪‬‬ ‫يقابل اإلتزان في النظام الحالة العيانية التي لها اإلحتمالية العظمى ( اي الحالة العيانية التي لها اكبر‬ ‫عدد من الحاالت المجهرية )‪.‬‬ ‫وبناء" عليه‪ ،‬يمكن بإ ستخدام شرط الثبات الثيرموديناميكي التالي‬ ‫‪= 1⁄𝑇 ≥ 0 ،‬‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫تحويل معادلة (‪ )8.93‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫)‪(5.14‬‬ ‫𝑁𝑑𝜇 ‪𝑑𝐸 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 +‬‬ ‫بمقارنة المعادلتين (‪ ، )8.94 ،8.93‬نالحظ ان الدوال ‪ S, E‬تحتوي على نفس المعلومات المحددة للنظام‬ ‫‪ .‬وعليه ‪ ،‬عند ازالة القيد عن ثبات الطاقة ‪ ،‬فإن ‪ S‬تزداد ‪ ،‬اي ان ‪ E‬تزداد مع ازدياد ‪ . S‬فيزيائيا ‪ ،‬هذا‬ ‫يعني ان الطاقة يمكن انقاصها عند ازالة قيد ثبات ‪ . S‬اي‪ ،‬تتصرف طاقة النظام ‪ E‬كجهد ثيرموديناميكي‬ ‫بثبات اإلنتروبيا ‪. S‬‬ ‫‪72‬‬ ‫(‪ )3.1‬القانون الثالث للثيرموديناميكا‬ ‫ينص هذا القانون على ان انتروبيا اي نظام ما عند درجة الصفر المطلق )‪ (00 K‬هي ثابت عام‪ ،‬والذي‬ ‫من المحتمل ان يأخذ قيمة الصفر ‪ ،‬وذلك بغض النظر عن مقادير المعامالت اآلخرى التي تكون اإلنتروبيا‬ ‫دالة لها ‪ .‬ويدل هذا القانون ضمنا على ان السعة الحرارية ألي نظام يجب ان تتالشي عند الصفر المطلق ‪.‬‬ ‫وغالبا ما يطلق على عدم امكانية الوصول الى درجة الصفر المطلق بالقانون الثالث للديناميكا الحرارية ‪.‬‬ ‫وبناء" على ما تقدم ‪ ،‬يمكنا تلخيص نهج الميكانيكا اإلحصائية في تفسير هذا القانون كالتالي‪:‬‬ ‫عندما تكون كل جسيمات النظام في الحالة األرضية ‪ ، (𝐸0 ) ground state‬فإن ‪، 𝛺 (𝐸0 ) = 1‬‬ ‫وعليه تكون للحالة العيانية للنظام حالة مجهرية واحدة فقط ‪ .‬اي انه ال يوجد تباديل اخرى في توزيع ماكسويل‬ ‫– بولتزمان ( كما مر شرحه سابقا) ‪ .‬ويمكن التعبير عن ذلك رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝑆 = 𝑘𝐵 ln Ω(𝐸0 ) = 0‬‬ ‫قد يكون هذا التحليل صحيحا من الناحية النظرية ‪ ،‬اما عمليا فهذا غير ممكنا وذلك بسبب التفاعالت الصغيرة‬ ‫في النواة ‪ ،‬حيث تمنع هذه التفاعالت من اصطفاف متجهات العزوم المغناطيسية النووية ‪magnetic dipole‬‬ ‫‪ moments‬في نفس اإلتجاه عندما تكون ‪ ،T=0‬وهذا قد يرفع من امكانية انحالل المستوى األرضي ‪.‬‬ ‫وبعبارة اخرى ‪ ،‬اذا كانت 𝑡𝑛𝑖𝜀 > 𝑇𝑘 فإن ‪ 𝑆 ≠ 0‬عند درجة حرارة معينة ‪ ،‬اي ان ‪:‬‬ ‫‪ ، 𝑆 → 𝑆0‬عندما ‪ ، 𝑇 → 0‬حيث ‪ = 𝑆0‬اإلنتروبيا المصاحبة للتفاعالت النووية الصغيرة التي لها < 𝑡𝑛𝑖𝜀‬ ‫𝑇𝑘 ‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن اعادة نص القانون الثالث للديناميكا الحرارية ‪ ،‬حسب وجهة نظر الميكانيكا اإلحصائية كالتالي‪:‬‬ ‫عندما ‪ 𝑇 → 0‬فإن ‪ ، 𝑆 → 0‬وهذا يؤدي الى األقتراب من المستوى األرضي )‪ ، ( 𝐸(𝑇) → 0‬مما‬ ‫يجعل رقم الفوضى ‪. 𝛺 → 1‬‬ ‫‪73‬‬ ‫)‪ (5.4‬حساب المتغيرات الديناميكا الحرارية‬ ‫‪calculation of thermodynamics variables‬‬ ‫في الفصل الثالث من هذا الكتاب ‪ ،‬عرفنا دالة التجزئة كدالة لدرجة الحرارة وطاقة المستويات في النظام‬ ‫كالتالي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪Z = ∑ 𝑔𝑗 𝑒 −‬‬ ‫𝑗‬ ‫هنا ‪ ،‬يمكن التعبير عن الكميات الثيرمودينامكيةاألخرى بداللة ‪ ، Z‬وهذه الكميات هي ‪:‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫طاقة النظام الداخلية ‪E‬‬ ‫حيث ان ‪،‬‬ ‫𝑗𝜀 𝑗𝑛 ∑ = ‪E‬‬ ‫𝑗‬ ‫بإستخدام دالة توزيع مكسويل – بولتزمان ‪ ،‬تكون الطاقة الداخلية لهذا النظام كما يلي‪:‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑗𝜀 ‪𝐸 = 𝑍 ∑𝑗 𝑔𝑗 𝑒 −𝛽𝜀𝑗 .‬‬ ‫)‪(5.15‬‬ ‫حيث ان مشتقة ‪ Z‬بالنسبة ل ‪ β‬هي ‪:‬‬ ‫𝑍𝜕‬ ‫𝑗𝜀 ‪| = − ∑ 𝑔𝑗 𝑒 −𝛽𝜀𝑗 .‬‬ ‫𝑉‪𝜕𝛽 𝑁,‬‬ ‫𝑗‬ ‫اذن‬ ‫𝑍𝜕 𝑁‬ ‫|‬ ‫𝑉‪𝑍 𝜕𝛽 𝑁,‬‬ ‫)‪(5.16‬‬ ‫يمكن اعادة كتابة معادلة ( ‪ (5.16‬بداللة درجة الحرارة ‪ T‬كالتالي ‪:‬‬ ‫بإستخدام المتطابقات التالية ‪:‬‬ ‫𝑍 ‪𝜕 ln‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫=‬ ‫𝑍𝜕 ‪1‬‬ ‫𝛽𝜕 𝑍‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑇2‬‬ ‫𝑘‬ ‫‪= −‬‬ ‫𝛽𝑑‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫‪74‬‬ ‫‪𝐸=−‬‬ ‫نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫𝑍 ‪𝜕 ln‬‬ ‫( ‪𝑬 = 𝑁𝑘𝑇 2‬‬ ‫)‬ ‫𝑉‪𝜕𝑇 𝑁,‬‬ ‫)‪(5.17‬‬ ‫كما سبق ذكره ‪ ،‬تكون الطاقة الداخلية في الطاقم المجهري القانوني ثابتة ‪ ،‬بينما تكون هذه الطاقة في الطاقم‬ ‫القانوني ‪ canonical ensemble‬غير ثابتة‪ .‬لذلك نتناول حساب متوسط الطاقة لهذا الطاقم ) ̅𝐸( بداللة‬ ‫دالة التجزئة كالتالي ‪:‬‬ ‫بإستخدام تعريف متوسط (معدل ) اي كمية فيزيائية ‪ ،‬نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪𝜀𝑗 𝑒 −‬‬ ‫𝑍‬ ‫∑ = 𝑗𝜀 𝑗𝑃 ∑ = ̅‬ ‫𝑬‬ ‫𝑗‬ ‫𝑗‬ ‫)𝑍 ‪𝜕 (ln‬‬ ‫)‪(5.18‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫اما مدى انتشار قيم‬ ‫‪=−‬‬ ‫طاقة هذا الطاقم حول المتوسط ( المعدل) في التوزيع اإلحتمالي ‪ ،‬وهذا ما يعرف‬ ‫بالتقلبات في الطاقة ‪ ، Energy fluctuations‬فيمكن دراسته من خالل حساب التباين ‪ ،‬اي‬ ‫)‪(5.18‬‬ ‫̅𝐸𝜕‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫‪= −‬‬ ‫)𝑍 ‪𝜕2 (ln‬‬ ‫‪𝜕𝛽 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫̅̅ = 𝐸‪σ‬‬ ‫= ‪𝐸̅̅2 − (𝐸̅ )2‬‬ ‫)يترك للطالب برهان ذلك )‪.‬‬ ‫مثال (‪)5.2‬‬ ‫برهن ان ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑉𝐶 ‪ ، σ𝐸 = 𝑘𝐵 𝑇2‬حيث 𝑉𝐶 السعة الحرارية عند ثبات الحجم ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫من تعريف السعة الحرارية عند الحجم الثابت ‪ ،‬اي‬ ‫̅𝐸𝜕‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫= 𝑉‪C‬‬ ‫‪75‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )4.95‬نجد ان‬ ‫𝑉𝐶 ‪= 𝑘𝑇 2‬‬ ‫̅𝐸𝜕‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫‪= 𝑘𝑇 2‬‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫‪.‬‬ ‫̅𝐸𝜕‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫‪=−‬‬ ‫̅𝐸𝜕‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪σ𝐸 = −‬‬ ‫)‪ (b‬حساب اإلنتروبيا بداللة ‪Z‬‬ ‫من تعريف ‪ ، Ω‬بالرجوع الى الفصل الثالث ‪ ،‬حيث‬ ‫𝑛‬ ‫⇒‬ ‫𝑗 𝑗𝑔‬ ‫! 𝑗𝑛‬ ‫∏ !‪Ω = N‬‬ ‫𝑗‬ ‫!) 𝑗𝑛(‪ln Ω = ln(𝑁!) + ∑ 𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − ln‬‬ ‫𝐽‬ ‫وبإستخدام تقريب ستيرلنج في حالة ‪ ، N ≫ 1‬نجد ان ‪:‬‬ ‫]!) 𝑗𝑛(‪ln Ω = 𝑁 ln 𝑁 + ∑[𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 ln‬‬ ‫)‪(5.20‬‬ ‫𝑗‬ ‫ويتبع ذلك ما يلي‬ ‫) 𝑗𝑛‪ln Ω ≈ 𝑁 ln 𝑁 + ∑𝑗 𝑛𝑗 ln (𝑔𝑗 ⁄‬‬ ‫)‪(5.21‬‬ ‫بإستخدام توزيع ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝜀𝛽 𝑍 𝑗𝑔‬ ‫𝜀𝛽‪𝑁 −‬‬ ‫→ 𝑗 𝑒𝑔‬ ‫𝑗 𝑒 =‬ ‫𝑍‬ ‫𝑁 𝑗𝑛‬ ‫= 𝑗𝑛‬ ‫بالتعويض في معادلة (‪ ، )5.21‬نحصل على ما يلي‬ ‫𝑁 ‪ln Ω = 𝑁 ln 𝑁 + 𝛽 (∑ 𝑛𝑗 𝜀𝑗 ) + 𝑁 ln 𝑍 − 𝑁 ln‬‬ ‫𝑗‬ ‫او‬ ‫𝑍 ‪ln Ω = 𝛽𝐸 + 𝑁 ln‬‬ ‫اذن‬ ‫𝑍 ‪S = k 𝐵 ln Ω = 𝑘𝐵 𝛽𝐸 + 𝑁𝑘𝐵 ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وبالتعويض بدل 𝑇𝑘 = ‪ ، β‬تؤول هذه المعادلة الى‬ ‫)‪(5.22‬‬ ‫𝐸‬ ‫𝑍 ‪𝑆 = + 𝑁𝑘𝐵 ln‬‬ ‫𝑇‬ ‫‪76‬‬ ‫)‪ (c‬حساب جهود الديناميكا الحرارية ‪Thermodynamic Potentials‬‬ ‫في الثيرموديناميكا ‪ ،‬يمكن تعريف دوال حالة مفيدة في حساب حالة التوازن للنظام غير المعزول وهي‬ ‫طاقة هيلمهولتز الحرة ‪ ،Helmholtz free energy‬ويرمز لها بالرمز )‪ ، (F‬وجهد جبس الديناميكي‬ ‫الحراري ‪ Gibbs free energy‬ويرمز لها بالرمز )‪ . (G‬وتكون الصور الرياضية لهذه الدوال بداللة‬ ‫محددات النظام كما يلي ‪:‬‬ ‫)‪(5.23‬‬ ‫𝑆𝑇 ‪𝐹 = 𝐸 −‬‬ ‫)‪(5.24‬‬ ‫𝑉𝑝 ‪𝐺 = 𝐹 + 𝑝𝑉 = 𝐸 − 𝑇𝑆 +‬‬ ‫والمعنى الفيزيائي للطاقة الحرة )‪ (F‬يأتي من حقيقة انه في التحول األيسوثرمي ( بدون تغير في درجة حرارة‬ ‫النظام ) ‪ ،‬فإن التغير في الطاقة الحرة هو اعظم شغل محتمل يتم انجازه من قبل النظام بإشارة سالبة ‪.‬‬ ‫وبإستخدام القانون األول والثاني للثيرموديناميكا مع اعتبار تعريف الطاقة الحرة وثبات درجة الحرارة ‪ ،‬يمكن‬ ‫برهان ان المتباينة التالية صحيحة اذا كان هذا التحول عكوسا" وهي ‪:‬‬ ‫𝐹∆‪𝑊 ≤ −‬‬ ‫)‪(5.25‬‬ ‫ومن هذه المعادلة ‪ ،‬يمكن استنتاج ما يلي ‪ :‬اذا كان ‪ 𝑊 = 0‬وكان النظام معزوال ومحفوظا عند درجو‬ ‫حرارة ثابتة ‪ ،‬فإن طاقة هيلمهولتز الحرة ال تزداد بتاتا" ‪ .‬اي انه ألي نظام ميكانيكي معزول ومحفوظ عند‬ ‫درجة حرارة ثابتة ‪ ،‬فإن حالة التوازن هي حالة طاقة هيلمهولتز الحرة الدنيا ( في حالتها الدنيا) ‪.‬‬ ‫اما لتعريف دالة الطاقة الحرة بداللة دالة التجزئة كالتالي ‪:‬‬ ‫𝐸‬ ‫]𝑍 ‪𝐹 = 𝐸 − 𝑇𝑆 = 𝐸 − 𝑇[ + 𝑁𝑘 ln‬‬ ‫𝑇‬ ‫𝑍 ‪= −𝑁𝑘𝑇 ln‬‬ ‫)‪(5.26‬‬ ‫في عمليات التحول العكوسة والصغيرة جدا ‪ ،‬فإن‬ ‫𝑇𝑑𝑆 ‪𝑑𝐹 = 𝑑𝐸 − 𝑇𝑑𝑆 −‬‬ ‫حيث ان‪:‬‬ ‫𝑉𝑑𝑝 ‪𝑑𝐸 = 𝑇𝑑𝑆 −‬‬ ‫بالتعويض ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪(5.27‬‬ ‫𝑉𝑑𝑝 ‪𝑑𝐹 = −𝑆𝑑𝑇 −‬‬ ‫‪77‬‬ ‫اذا كانت الدالة )‪ F ( V, T‬معرفة ‪ ،‬فإن بإستخدام قانون التفاضل للدالة ذات المتغيريين ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝑇𝑑 )𝑇𝜕( ‪𝑑𝐹 = (𝜕𝑉) 𝑑𝑉 +‬‬ ‫)‪(5.28‬‬ ‫𝑇‬ ‫𝑉‬ ‫بمساواة المعادالت (‪ )8.18‬و (‪ )8.15‬ومقارنة الحدود المتناظرة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝑇𝑑 ) ( ‪) 𝑑𝑉 +‬‬ ‫𝑇 𝑉𝜕‬ ‫𝑉 𝑇𝜕‬ ‫(‬ ‫= 𝑉𝑑𝑝 ‪−𝑆𝑑𝑇 −‬‬ ‫اي‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑉 𝑇𝜕‬ ‫;‬ ‫(‪𝑆 = −‬‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑇 𝑉𝜕‬ ‫(‪𝑝 = −‬‬ ‫تسمى العالقات التي تعطي الضغط واإلنتروبيا بداللة مشتقات طاقة هيلمهولتز‬ ‫بعالقتي ماكسويل‬ ‫‪ .Maxwell relations‬والعدد الكلي لعالقات ماكسويل يساوي ثمانية عالقات ( سيرد ذكرها الحقا في هذا‬ ‫الفصل )‪.‬‬ ‫ومن فوائد هذه العالقات انها تستخدم للتعبير عن الضغط واإلنتروبيا بداللة دالة التجزئة كالتالي‪:‬‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫) (‪𝑝 = −‬‬ ‫𝑇 𝑉𝜕‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )8.11‬نحصل على ما يلي‬ ‫𝑉)‬ ‫)‪(5.29‬‬ ‫𝑍 ‪𝜕 ln‬‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫(𝑇 𝐵𝑘𝑁 = 𝑝‬ ‫اما للتعبير عن اإلنتروبيا بإستخدام عالقات ماكسويل ‪ ،‬يكون كما يلي‪:‬‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑉 𝑇𝜕‬ ‫(‪𝑆 = −‬‬ ‫حيث‬ ‫𝑍𝜕 𝑇 𝐵𝑘𝑁‬ ‫𝑍‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫𝐸‬ ‫𝑇‬ ‫‪𝐹 = −𝑁𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍 ⇒ S = Nk 𝐵 ln 𝑍 +‬‬ ‫‪= 𝑁𝑘𝐵 ln 𝑍 +‬‬ ‫وهذه المعادلة هي نفس معادلة (‪. )8.11‬‬ ‫‪78‬‬ ‫فيما يلي ندرس مفهوم جهد جبس ‪ Gibbs’ potential‬والذي تكمن اهميته في النظرية التالية ‪:‬‬ ‫لنظام محفوظ عند درجة حرارة وضغط ثابتين فإن جهد جبس ال يزداد بتاتا ‪ .‬ومن هذه النظرية يمكن ان نستنتج ان‬ ‫النظام يكون في حالة توازن عندما تكون حالة جهد جبس ادنى ما يمكن ( الحالة الدنيا)‪ .‬من تعريف دالة جهد جبس‬ ‫( معادلة ‪ ، )3.11‬نجد ان التغير في هذا الجهد في حالة التحول العكوس الصغير جدا يعطى كالتالي‪:‬‬ ‫‪∆𝐺 = ∆𝐹 + 𝑝∆𝑉 ≤ 0‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑝𝑑𝑉 ‪𝑑𝐺 = −𝑆𝑑𝑇 +‬‬ ‫من هذه المعادلة نستنتج ما يلي ‪:‬‬ ‫𝐺𝜕‬ ‫) (=𝑉‬ ‫𝑇 𝑇𝜕‬ ‫𝐺𝜕‬ ‫) (‪𝑆 = −‬‬ ‫𝑝 𝑇𝜕‬ ‫;‬ ‫وهذا يعطي الزوج الثاني من عالقات ماكسويل السابقة الذكر ‪.‬‬ ‫كما نعرض دالة اخرى ‪ ،‬تستخدم في الثيرموديناميكا ‪ ،‬تسمى اإلنثالبي (المحتوى الحراري) ‪ ، Enthalpy‬ويمز لها‬ ‫بالرمز (‪ ، )H‬وتعرف رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝑉𝑝 ‪𝐻 = 𝐸 +‬‬ ‫)‪(5.30‬‬ ‫والتغيرات التفاضلية لهذه الدالة هي كما يلي ‪:‬‬ ‫𝑝𝑑𝑉 ‪𝑑𝐻 = 𝑇𝑑𝑆 +‬‬ ‫ومن هذه المعادلة يتبع العالقات التالية ‪:‬‬ ‫𝐻𝜕‬ ‫) (=𝑇‬ ‫𝑝 𝑆𝜕‬ ‫𝐻𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑆 𝑝𝜕‬ ‫;‬ ‫(=𝑉‬ ‫وهذا يمثل الزوج الثالث من عالقات ماكسويل ‪.‬‬ ‫والزوج األخير من عالقات ماكسويل ‪ ،‬فيتبع من الصيغة التفاضلية للقانون األول في الثيرموديناميكا ‪،‬‬ ‫حيث‬ ‫𝑆𝑑𝑇 ‪𝑑𝐸 = −𝑝𝑑𝑉 +‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑆 𝑉𝜕‬ ‫(‪𝑝 = −‬‬ ‫;‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑉 𝑆𝜕‬ ‫(=𝑇‬ ‫‪79‬‬ ‫يمكن الحصول على عالقات ماكسويل بشكل ميسر من خالل المخطط المبين في شكل (‪.)8.9‬‬ ‫ان الدوال )‪ ( F,G,H, E‬قد احيطت من جانبيها بواسطة متغيراتها الطبيعية ‪ ،‬على سبيل المثال ‪،‬‬ ‫‪𝐻 = 𝐻(𝑆, 𝑝) ; 𝐹 = 𝐹(𝑉, 𝑇), ….‬‬ ‫اما مشتقة اي دالة بالنسبة لمتغير واحد مع بقاء اآلخر ثابتا ‪،‬فيمكن ايجاده من هذا المخطط وذلك بالمرور على‬ ‫طول الخط المائل ‪ ،‬اما بإتجاه السهم او عكس اتجاه السهم ‪ .‬مع اعتبارالمرور عكس اتجاه السهم يعظي اشارة‬ ‫سالبة ‪ .‬للتوضيح ‪ ،‬إليجاد‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫)𝑇𝜕( نبدأ بالتحرك من ‪ F‬نحو ‪ ، T‬ثم نتابع السيرعلى الخط المائل لنصل‬ ‫𝑉‬ ‫الى ‪ ، S‬وبما ان السير عكس اتجاه السهم الواصل بين ‪ S‬و ‪ T‬لذلك يكون الجواب‪:‬‬ ‫)𝑆‪ ،(−‬وهكذا ‪.....‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪H‬‬ ‫شكل (‪ )3.1‬مخطط عالقات ماكسويل ‪.‬‬ ‫يوضح الجدول التالي)‪ ) 5.1‬كل المتغيرات الديناميكا الحرارية بداللة دالة تجزئة جسيم واحد ‪𝑍𝑠𝑝 = 𝑍1 ،‬‬ ‫‪ ،‬حيث يمكن استخدامه لحل مسائل الميكانيكا اإلحصائية‪.‬‬ ‫‪80‬‬ ‫جدول )‪ : (5.1‬العالقات بين دالة التجزئة ومتغيرات الديناميكا الحرارية‪.‬‬ ‫‪81‬‬ ‫مسائل محلولة‬ ‫(‪ )9‬برهن ان اإلنتروبيا تعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫𝑖𝑃 ‪S = − ∑ 𝑃𝑖 ln‬‬ ‫𝑖‬ ‫حيث 𝑖𝑃 = احتمالية تواجد النظام في الحالة ‪ ، i‬وعدد األنظمة ‪ N‬كبير جدا ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان ‪ =W‬عدد الطرق التي يتم بها ترتيب أألنظمة المعتبرة ‪ ، 𝑛0 , 𝑛1 , 𝑛2 , … . 𝑛𝑖 ،‬وتكون كالتالي‬ ‫!𝑁‬ ‫‪𝑛0 ! 𝑛1 ! … . .‬‬ ‫حيث القيد ‪:‬‬ ‫=𝑊‬ ‫𝑁 = 𝑖𝑛 ‪𝑛0 + 𝑛1 + ⋯ +‬‬ ‫وكما مر معنا سابقا ‪ ،‬فإن اإلنتروبيا تكون كالتالي‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑊 ‪ln‬‬ ‫𝑁‬ ‫بإستخدام تقريب ستيرلنج للوغارتم ‪ ،‬نحصل على ما يلي‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] 𝑖𝑛 ∑ ‪[𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 − ∑ 𝑛𝑖 ln 𝑛𝑖 +‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑖‬ ‫=‪S‬‬ ‫𝑖‬ ‫حيث 𝑖𝑛 𝑖∑ = ‪ ، N‬فإن هذه المعادلة تؤول الى‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑛‬ ‫] 𝑖𝑛 ‪S = [ln 𝑁 − 𝑁 ∑𝑖 𝑛𝑖 ln 𝑛𝑖 ]=[ ln 𝑁 − ∑𝑖 𝑁𝑖 ln‬‬ ‫بإستخدام تعريف اإلحتمالية ‪،‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫𝑁‬ ‫= 𝑖𝑃 ‪ ،‬فإن‬ ‫𝑖𝑛 ‪S = ln 𝑁 − ∑ 𝑃𝑖 ln‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝑁‬ ‫)𝑁 𝑖𝑃 (‪S = ln 𝑁 − ∑ 𝑃𝑖 ln 𝑛𝑖 . ( ) = ln 𝑁 − ∑ 𝑃𝑖 ln‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑖‬ ‫𝑖‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫‪82‬‬ ‫𝑁 ‪S = ln 𝑁 − ∑ 𝑃𝑖 ln 𝑃𝑖 − ∑ 𝑃𝑖 ln‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝑖‬ ‫) 𝑖𝑃 ∑( 𝑁 ‪S = ln 𝑁 − ∑ 𝑃𝑖 ln 𝑃𝑖 − ln‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝑖‬ ‫بما ان ‪ ، ∑𝑖 𝑃𝑖 = 1‬لذلك تؤول هذه المعادلة الى ما يلي‬ ‫𝑖𝑃 ‪S = − ∑ 𝑃𝑖 ln‬‬ ‫𝑖‬ ‫(‪ )1‬يتكون نظام فيزيائي من ثالث مستويات من الطاقة هي‪ −𝜀, 0, 𝜀 :‬على الترتيب ‪ .‬جد متوسط‬ ‫الطاقة ‪ ،‬اإلنتروبيا لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫نجد اوال دالة التجزئة كالتالي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜀𝛽‪Z = ∑ 𝑔𝑖 𝑒 −𝛽𝜀𝑖 = [(1)𝑒𝛽𝜀 + (1)𝑒 0 + (1)𝑒 −𝛽𝜀𝑖 ] = 𝑒 𝛽𝜀 + 1 + 𝑒 −‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫𝑍𝜕 𝑁‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜀‬ ‫) ‪𝐸̅ = (−‬‬ ‫] 𝜀𝛽 𝑒 ‪= − [𝜀𝑒 𝛽𝜀 + 0 + (−𝜀)𝑒 −𝛽𝜀 ] = [𝑒 −𝛽𝜀 −‬‬ ‫𝛽𝜕 𝑍‬ ‫𝑍‬ ‫𝑍‬ ‫نالحظ من هذه العالقة ما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑇 → ∞ ⇒ 𝐸̅ ⟶ 0‬‬ ‫;‬ ‫𝜀‪𝑇 → 0 ⇒ 𝐸̅ = −‬‬ ‫̅𝐸‬ ‫𝜀𝛽‪𝑘𝐵 𝛽𝜀 −‬‬ ‫= 𝑍 ‪+ 𝑁𝑘𝐵 ln‬‬ ‫𝑒[‬ ‫] 𝜀𝛽‪− 𝑒 𝛽𝜀 ] + (1)𝑘𝐵 ln[𝑒 𝛽𝜀 + 1 + 𝑒 −‬‬ ‫𝑇‬ ‫𝑍‬ ‫=𝑆‬ ‫نالحظ من هذه العالقة ما يلي‬ ‫‪𝑇 → ∞ ⇒ 𝑆 ⟶ ln 3‬‬ ‫; ‪𝑇→0⇒ 𝑆=0‬‬ ‫(‪ )3‬يتكون نظام ما من ‪ N‬من الجسيمات المستقلة وغير المتفاعلة ‪ ،‬بحيث يتواجد جسيم واحد في كل حالة‬ ‫التي لها طاقة تساوي‪ ، ε𝑛 = nϵ :‬حيث يمثل ‪ n‬عدد اإلنحالل في المستوى ‪. ϵ > 0, 𝑛 = 1,2,3 …. ،‬‬ ‫جد دالة تجزئة للنظام ‪ ،‬ومنها جد متوسط الطاقة ‪ ،‬وكذلك اإلنتروبيا لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫‪83‬‬ ‫𝑁‪Z = 𝑍1‬‬ ‫𝜖𝛽 𝑒‬ ‫‪(𝑒𝛽𝜖 − 1)2‬‬ ‫= 𝜖𝑛𝛽‪𝑍1 = ∑ 𝑛𝑒 −‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝜖𝛽 𝑒‬ ‫𝜖𝑁𝛽 𝑒‬ ‫𝜖𝛽 [ = 𝑍‬ ‫𝜖𝛽 = ]‬ ‫‪(𝑒 − 1)2‬‬ ‫𝑁‪(𝑒 − 1)2‬‬ ‫متوسط الطاقة ‪:‬‬ ‫𝑍 ‪𝜕 ln‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫𝑁‪𝑈 = 𝐸̅ = −‬‬ ‫)‪ln 𝑍 = 𝑁𝛽𝜖 − 2𝑁 ln(𝑒 𝛽𝜖 − 1‬‬ ‫𝑍 ‪𝜕 ln‬‬ ‫𝜖𝛽 𝑒𝜖𝛽𝑁‪2‬‬ ‫𝜖𝛽 ‪= 𝑁𝜖 −‬‬ ‫)‪(𝑒 − 1‬‬ ‫𝛽𝜕‬ ‫𝜖𝛽 𝑒𝜖𝛽‪2‬‬ ‫]‬ ‫)‪(𝑒𝛽𝜖 − 1‬‬ ‫‪𝐸̅ = −𝑁 2 [𝜖 −‬‬ ‫إنتروبيا النظام‪:‬‬ ‫̅𝐸‬ ‫𝑍 ‪+ 𝑁𝑘𝐵 ln 𝑍 = 𝛽𝑘𝐸̅ + 𝑁𝑘𝐵 ln‬‬ ‫𝑇‬ ‫‪84‬‬ ‫=𝑆‬ ‫الفصل السادس ‪ :‬الطاقم القانوني‬ ‫‪Canonical ensemble‬‬ ‫نتناول في هذا الفصل وصفا لحالة اتزان نظام ما موضوعا في خزان حراري ‪ ،‬كما نقدم مفهوم الطاقم‬ ‫القانوني واألهمية الفيزيائية لهذا الطاقم ‪ .‬ونعرض اشتقاقا لدالة التجزئة لمستويات الطاقة المنحلة ‪ .‬وتطبيقا‬ ‫على ذلك ‪ ،‬نتناول توزيع ماكسويل لسرع الجزيئات وتقلبات الطاقة في بعض األنظمة الكالسيكية ( الغاز‬ ‫المثالي احدي الذرة )‪ .‬ونقدم مناقشة لمتناقضة جبس ونظرية التوزيع المتساوي للطاقة‪.‬‬ ‫(‪ )1.1‬مقدمة‬ ‫في الفصل الرابع ‪ ،‬تم عرض خصائص واستخدام الطاقم المجهري القانوني ‪ ،‬الذي يعرف من خالل‬ ‫ثبات عدد جسيمات ‪ ،‬حجم ‪،‬و طاقة النظام ‪.‬وكان محور البحث كيفية تحديد عدد الحاالت المجهرية المسموح‬ ‫بها بإعتبار قيمة محددة للطاقة ‪ ، E‬اي ايجاد عدد )‪ ، Ω (N, V, E‬او بإعتبار شريط ضيق لفترة من‬ ‫الطاقة ‪ ،‬مثل )∆ ;‪ ، Γ( N, V, , E‬ومن ثم استخدام هذه األعداد إلشتقاق متغيرات الديناميكية الحرارية ‪.‬‬ ‫ولكن في معظم األنظمة الفيزيائية ‪ ،‬تكون المسألة الرياضية لتحديد هذه األعداد شاقة‪ .‬لذلك كان من الضروري‬ ‫البحث عن نهج بديل في نظرية الطواقم اإلحصائية‪.‬‬ ‫عمليا ‪ ،‬تبدو فكرة تثبيت الطاقة للنظام الفيزيائي غير مريحة ‪ ،‬وذلك لسببين هما‪ :‬صعوبة قياس طاقة النظام‬ ‫الكلية ‪ ، E‬و صعوبة المحافظة على النظام تحت المراقبة الفيزيائية ‪ .‬من هنا ‪ ،‬انبثقت فكرة ثبات درجة حرارة‬ ‫النظام الفيزيائي ‪ ، T‬حيث يمكن قياس وضبط هذه الكمية الفيزيائية من خالل وضع النظام في خزان حراري‬ ‫‪ ، heat reservoir‬وبذلك يعمل التبادل الحراري بينهما على المحافظة على درجة الحرارة ( اتزان حراري)‪.‬‬ ‫اي ان ‪،‬في الطاقم القانوني ‪ ،‬يعرف النظام العياني بداللة )‪ . (N,V, T‬إذا كان خزان الحراري يحتوي على‬ ‫عدد النهائي من النسخ التصورية ‪ mental copies‬للنظام ‪ ،‬فإنه يتوفر لدينا انظمة من الطواقم القانونية ‪.‬‬ ‫وعبارة اخرى ‪ ،‬في الطاقم القانوني ‪ ،‬تكون ‪ E‬متغيرة القيمة ‪ ،‬وتأخذ القيم ما بين )∞ → ‪. (0‬‬ ‫وهنا يبرز السؤال التالي‪ :‬ما هي احتمالية ‪ ، 𝑃𝑟 ،‬تواجد النظام في اي من الحاالت ذات الطاقة‬ ‫𝑟𝐸 ‪ ،‬على‬ ‫اعتبار ان النظام يكون في حالة اتزان حراري مع الخزان الحراري عند درجة حرارة مشتركة ‪. T‬‬ ‫يوجد طريقتان لتحديد اعتماد 𝑟𝑃 على 𝑟𝐸 ‪ ،‬وهما ‪ :‬الطريق األولى حيث تعتمد على دراسه احصائية لتبادل‬ ‫الطاقة بين النظام والخزان الحراري ‪ .‬و تعتمد الطريقة الثانية على اعتبار ان النظام عضو في الطاقم القانوني‬ ‫)‪ (N,V,T‬والذي طاقته 𝓔 والناتجة عن مساهمة 𝒩 من األنظمة المتماثلة والمكونة للطاقم ‪ ،‬ومن ثم الدراسة‬ ‫اإلحصائية لعملية المساهمة ‪ .‬فإذا ما تم تحديد 𝑟𝑃 ‪ ،‬فإن اشتقاق قوانين الحركة الحرارية تصبح سهلة في كلتا‬ ‫الطريقتين ‪ ،‬وتكون النتائج واحدة في النهاية ‪.‬‬ ‫‪85‬‬ ‫(‪ )1.1‬اتزان النظام مع الخزان الحراري‬ ‫لنفرض ان نظاما فيزيائيا ما مثل ‪ A‬مغموسا في خزان حراري )‪ ( ( A′‬الشكل ‪ ،)6.1‬ولنفرض ان في حالة‬ ‫اإلتزان الحراري تكون درجة الحرارة المشتركة ‪ ، T‬وان طاقة النظام المؤلف من النظام والخزان ) = )‪A(0‬‬ ‫‪ ( A′ + A‬تساوي )‪ . 𝐸 (0‬في اللحظة ‪ ، t‬تكون قيمة هذه الطاقة ما بين ) ‪. )𝐸 (0) , 0‬‬ ‫شكل (‪ )1.9‬نظام مغمور في خزان حراري‪.‬‬ ‫لنفرض في لحظة ما ‪ ،‬تكون طاقة النظام) 𝑟‪ ، (E‬بينما طاقة الخزان ) ‪ ، ( 𝐸𝑟′‬حيث‬ ‫(‪.........)9‬‬ ‫وعلى اعتبار ان القيمة العملية لطاقة الخزان اكبر بكثير من طاقة النظام‪ ،‬تكون نسبة 𝑟‪ E‬الى )‪ 𝐸 (0‬كسرا‬ ‫اصغر من الواحد ‪ .‬بإستخدام معادلة (‪ ، )9‬نجد ان‬ ‫)‪……..(2‬‬ ‫عند تحديد حالة النظام ‪ ، A‬فإن حالة الخزان تكون قي اي واحد من الحاالت المتوافقة مع الطاقة ‪ ، 𝐸𝑟′‬وتكون‬ ‫‪′‬‬ ‫هذه الحاالت كبيرة العدد ‪ ،‬ويمثلها الرمز ) ‪ . Ω (𝐸𝑟′‬وكلما كثر عدد هذه الحاالت ‪ ،‬زادت احتمالية تواجد‬ ‫الخزان في حالة الطاقة الخاصة ) ‪ ، (𝐸𝑟′‬مع أإلفتراض ان طاقة النظام المقابلة 𝑟‪ .E‬وتكون الحاالت الممكنة‬ ‫والمتوفرة ( عند قيمة معينة للطاقة ) على األرجح متساوية الحدث ( فرضية تساوي اإلحتمالية المسبقة )‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون إحتمالية التواجد متناسبة طرديا مع عدد الحاالت ‪ ،‬اي‬ ‫)‪……….(3‬‬ ‫عند نشر معادلة (‪ )3‬حول القيمة ‪ ، E𝑟 ~0‬اي عندما تقترب )‪ ، 𝐸𝑟′ → 𝐸 (0‬ولكي يكون المفكوك تقاربي‬ ‫‪ ،‬نعتمد على مفكوك تايلور للوغارتم الدالة كما يلي‬ ‫‪86‬‬ ‫)‪……….(4‬‬ ‫كما مر معنا سابقا ‪ ،‬اي‬ ‫‪𝜕 ln Ω‬‬ ‫; 𝛽 = )‬ ‫𝑉‪𝜕𝐸 𝑁,‬‬ ‫(‬ ‫اذن‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪′‬‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‪β = β = 1⁄‬‬ ‫من معادلتي (‪ ، )8( ، )4‬نحصل على ما يلي‬ ‫(‪..........)1‬‬ ‫بمعايرة دالة اإلحتمالية ‪ ،‬نجد ان الصورة الرياضية لهذه الدالة تكون كما يلي‬ ‫)‪…….(7‬‬ ‫حيث يكون التجميع في مقام معادلة (‪ )8‬على كل المستويات المتاحة للنظام ‪. A‬‬ ‫في البند التالي ‪ ،‬نقوم بفحص هذه المسألة من وجهة نظر الطواقم اإلحصائية ‪.‬‬ ‫)‪ (6.3‬خصائص نظام ما في الطاقم القانوني‬ ‫لنعتبر طاقم مكون من 𝒩 نظاما متماثال والتي يعبر عنها بعناصر المجموعة التالية ‪{1 ,2 … . 𝒩} :‬‬ ‫‪ ،‬والتي تتقاسم الطاقة الكلية ‪ . ℰ‬لنفرض ان ) ‪ 𝐸𝑟 (𝑟 = 0,1,2 … . .‬قيم الطاقة الخاصة لألنظمة‪ ،‬كما ان‬ ‫‪87‬‬ ‫𝑟𝑛 = عدد األنظمة التي تمتلك طاقة 𝑟𝐸 في اي لحظة زمنية ‪ .‬ويشترط ان مجموعة األعداد } 𝑟𝑛{ يجب ان‬ ‫تحقق الشروط التالية‬ ‫𝒩 = 𝑟𝑛 ∑‬ ‫𝑟‬ ‫𝒰𝒩 = ‪∑𝑟 𝑛𝑟 𝐸𝑟 = ℰ‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫حيث 𝒩‪ 𝒰 = ℰ ⁄‬وهذه الكمية تمثل معدل ( متوسط) الطاقة لكل نظام في الطاقم ‪.‬‬ ‫كما ان اي مجموعة} 𝑟𝑛{ التي تحقق الشرط المبين في معادلة (‪ )9‬تمثل النمط الممكن لتوزيع الطاقة الكلية ‪ℰ‬‬ ‫بين 𝒩 عضوا في الطاقم ‪ .‬وهكذا ‪ ،‬يمكن ادراك اي نمط توزيعي بعدة طرق ‪ ،‬وذلك بتعديل القيم الختلفة‬ ‫لطاقة اعضاء هذا الطاقم لنحصل على طاقم متميز ‪ distinct‬عن الطاقم األصلي‪ .‬لنفرض ان عدد الطرق‬ ‫المختلفة لعمل ذلك يساوي } 𝑟𝑛{𝑊 ‪ ،‬وتحدد رياضيا كما يلي‬ ‫(‪........)1‬‬ ‫حيث ان كل حاالت في الطاقم‪ ،‬التي تتوافق مع الشرو ط ( معادلة ‪ ، )9‬تكون عل األرجح متساوية الحدث ‪،‬‬ ‫ويتناسب تكرار مجموعة التوزيع } 𝑟𝑛{ طرديا مع العدد } 𝑟𝑛{𝑊 ‪ .‬ويسمى نمط التوزيع المقابل للقيمة‬ ‫العظمى للمقدار } 𝑟𝑛{𝑊 بمجموعة التوزيع األكثر احتماآل‪ ، most probable distribution‬ونرمز‬ ‫لهذه المجموعة } 𝑟 ∗𝑛{ ‪.‬‬ ‫تعريف ‪ :‬القيمة المتوقعة ( متوسط القيمة) للعدد 𝑟𝑛 يعطى بالعالقة التالية‬ ‫‪88‬‬ ‫(‪..........)3‬‬ ‫ويعني التجميع المؤشر عليه ان هذا المجموع يتضمن فقط كل المجموعات المحققة للشروط (‪.)9‬‬ ‫اما النسبة‪ < 𝑛𝑟 >⁄𝒩 :‬تماثل دالة اإلحتمال 𝑟𝑃 ‪ .‬ويمكن البرهنة على ان‬ ‫∗𝑟𝑛 = > 𝑟𝑛 < ‪ ،‬اذا كان ∞ → 𝒩 𝑚𝑖𝑙 ‪.‬‬ ‫‪ ‬صيغة 𝒓∗𝒏 الرياضية‬ ‫يتم اشتقاق هذه الصيغة بإستخدام طريقة القيم األكثر احتماال ‪ ،‬وتتلخص الخطوات الرياضية كما يلي‪:‬‬ ‫بإعتبار اللوغارتم للمعادلة (‪ ، )1‬نجد ان‬ ‫)‪......... (4‬‬ ‫نفرض ان ∞ → 𝒩 ‪ ، lim‬وكذلك‬ ‫∞ → 𝑟𝑛 ‪ ، lim‬وعليه يمكن اعطاء اللوغارتم بصورة مفكوك (‬ ‫يسمى مفكوك ستيرلنج ) كما يلي ( راجع الملحق الرياضي في الباب الثاني) ‪:‬‬ ‫𝑛 ‪ln(𝑛)! ≈ 𝑛 ln 𝑛 −‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫)‪………(5‬‬ ‫اذا غيرنا قيمة } 𝑟𝑛{ ← } 𝑟𝑛𝛿 ‪ ، { 𝑛𝑟 +‬وحيث 𝒩 ثابتة ‪ ،‬ونعتبر التغير في معادلة (‪ )8‬لنحصل على‬ ‫(‪..........)1‬‬ ‫)‪..........(7‬‬ ‫‪89‬‬ ‫بإستخدام طريقة مضاعفات آلكرانج ‪ ،‬التي تتلخص بضرب المعادالت (‪ )8‬في الثوابت 𝛽 ‪ 𝛼 ,‬وجمع الناتج‬ ‫مع معادلة (‪ ، )1‬نحصل على التالي‬ ‫(‪.........)5‬‬ ‫يكون حل هذه المعادلة كما يلي‬ ‫(‪...........)1‬‬ ‫ويكون حل معادلة (‪ )1‬كما يلي‬ ‫حيث 𝐶 ‪ β,‬ثوابت ‪ .‬ويمكن تحديد قيمة ‪ C‬بتطبيق شرط معادلة (‪ )9‬بعد اخذ التجميع على معادلة (‪. )1‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪..........)99‬‬ ‫بإستخدام شرط الطاقة ( معادلة‪ )9‬مع معادلة (‪ ، )99‬يكون معدل الطاقة كما يلي‬ ‫(‪...............)99‬‬ ‫‪90‬‬ ‫)‪ (6.4‬األهمية الفيزيائية للكميات اإلحصائية في الطاقم القانوني ‪.‬‬ ‫لنبدأ بإستخدام التوزيع القانوني التالي‪:‬‬ ‫(‪..............)9‬‬ ‫حيث ‪ ،‬نحدد ‪ β‬بالمعادلة التالية‬ ‫(‪.............)1‬‬ ‫لدراسة استنباط الخواص العيانية لنظام ما على اساس النتائج اإلحصائية ‪ ،‬تكون البداية من عالقات الديناميكا‬ ‫الحرارية المتعلقة بطاقة هلمهولتز الحرة ‪ , (A (,Helmholtz free energy‬والتي تعرف كما يلي‬ ‫(‪...........)3‬‬ ‫(‪...................)4‬‬ ‫(‪..........................)8‬‬ ‫وعند مقارنة معادلتي (‪ ، )8( ، )1‬يمكن التنبؤ عن وجود عالقات وثيقة بين كميات الديناميكا الحرارية و‬ ‫نتائج الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬وعلى الخصوص ‪ ،‬العالقات التالية‬ ‫‪91‬‬ ‫(‪...............)1‬‬ ‫حيث ‪ = k‬ثابت بولتزمان ‪ .‬وتشكل معادلة (‪ )1‬النتيجة األصولية لنظرية الطاقم القانوني‪ ،‬ويمكن اعادة‬ ‫صياغتها على الشكل التالي ‪:‬‬ ‫(‪...............)8‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫(‪.......................)5‬‬ ‫تعريف ‪ :‬تسمى الكمية )𝑇 ‪ 𝑄𝑁 (𝑉,‬دالة التجزئة ‪ partition function‬للطاقم القانوني ‪ ،‬وتعني التجميع‬ ‫على الحاالت ‪ .sum-over- states‬وهذه الدالة تعتمد على درجة حرارة النظام ‪ ، T‬كما يكون اعتمادها‬ ‫على ‪ N, V‬ضمنيا من خالل القيم الخاصة للطاقة 𝑟𝐸 ‪.‬‬ ‫كما تكون الكميات 𝑄 ‪ 𝐴(𝑁, 𝑉, 𝑇) , ln‬كميات شاملة )‪ ( extensive‬ألنها تتناسب مع كمية المادة‬ ‫في النظام قيد الدراسة‪.‬‬ ‫وبعد معرفة طاقة هلمهلتز الحرة ‪ ،‬يمكن ايجاد باقي كميات الديناميكا الحرارية مباشرة ‪ ،‬بينما استخدام‬ ‫معادلة (‪ )4‬يعطي اإلنتروبيا ‪ ،‬الضغط ‪ ،‬الجهد الكيماوي ‪ ،‬وكذلك الحرارة النوعية عند الحجم الثابت ‪، 𝐶𝑉 ،‬‬ ‫تكون كما يلي‪:‬‬ ‫(‪...........................)1‬‬ ‫كما ان طاقة جبس الحرة ‪ Gibbs free energy, G,‬تحدد كما يلي‬ ‫‪92‬‬ ‫(‪.........................)99‬‬ ‫بإستخدام معادلتي (‪ )1( ، )4‬نحصل على عالقة الضغط ‪ ،‬وتكون كما يلي‬ ‫(‪........................)99‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫(‪...........................)91‬‬ ‫في معادلة (‪ ، )91‬يكون الطرف األيمن مساويا للتغير في معدل طاقة النظام ( في الطاقم) ‪،‬والناتج من‬ ‫عملية تبديل مستويات الطاقة 𝑟𝐸 بدون تغيير اإلحتمالية ‪.‬‬ ‫كما يتم تحديد انتروبيا النظام بداللة اإلحتمالية كما يلي‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫𝑟𝐸𝛽‪، 𝑃𝑟 = 𝑄 −1 𝑒 −‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫اي ان‬ ‫(‪.............................)93‬‬ ‫تعني معادلة (‪ )93‬ان انتروبيا النظام يمكن تحديدها بداللة اإلحتمالية‪.‬‬ ‫فيزيائيا ‪ :‬اذا كان النظام في الحالة األرضية )‪ - ، (ground state‬عند درجة الصفر المطلق ‪- T=0 K‬‬ ‫تكون هناك حالة واحدة فقط يمكن ان يتواجد النظام فيها ‪ ،‬وعليه تكون قيمة 𝑟‪ P‬تساوي ‪ ،9‬بينما احتماالت‬ ‫باقي الحاالت = ‪ . 9‬وعليه ‪ ،‬تكون انتروبيا النظام ‪ ،‬معادلة (‪ ،)93‬مساوية للصفر ‪ ،‬وهذا يتفق مع القانون‬ ‫الثالث في الديناميكا الحرارية ‪.‬‬ ‫‪93‬‬ ‫كما ان صالحية معادلة (‪ )93‬تنطبق على الطاقم الجهري القانوني‪ ،‬حيث كل عضو في هذا الطاقم يكون على‬ ‫األرجح متساوي الحدث ‪ ،‬اي ان‪:‬‬ ‫‪ ، 𝑃𝑟 = 1⁄Ω‬وعليه تؤول معادلة (‪ )93‬الى التالي‬ ‫(‪)94‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑆 = −𝑘 ∑Ω‬‬ ‫‪𝑟=1 Ω ln Ω = 𝑘 ln Ω‬‬ ‫حيث ان معادلة (‪ )94‬تشكل النتيجة المركزية في نظرية الطاقم المجهري القانوني‪.‬‬ ‫(‪ )6.5‬دالة تجزئة مستويات الطاقة المتحللة‬ ‫‪Partition function of degenerate Energy Levels‬‬ ‫في معظم الحالالت الفيزيائية ‪ ،‬تملك مستويات الطاقة صفة التحلل ( اإلنحاللية ) ‪ ، Degeneracy‬اي‬ ‫يوجد للمستوى الواحد عدد‪ ،‬مثل 𝑖𝑔 ‪ ،‬من المستويات الثانوية التي لها نفس الطاقة 𝑖‪ . E‬وعليه يمكن اعادة‬ ‫كتابة دالة التجزئة ( معادلة ‪ )5‬بالصورة التالية‬ ‫(‪.................................)9‬‬ ‫وتكون المعادلة الرياضية إلحتمالية ان يكون النظام موجودا في حالة ذات طاقة 𝑖𝐸 كما يلي‬ ‫(‪..........................................)1‬‬ ‫وكما سبق شرحه ‪ ،‬تكون الحاالت ‪ g i‬ذات الطاقة المشتركة ‪ Ei‬على األرجح متساوية الحدث‪ .‬وعليه ‪ ،‬تكون‬ ‫احتمالية ان يكون للنظام طاقة ‪ Ei‬تتناسب مع مضاعفات ‪ g i multiplicity‬لهذا المستوى ‪ ،‬كما يلعب هذه‬ ‫العدد دور معامل الثقل ‪ weight factor‬للمستوى ‪ . Ei‬وتكون اإلحتمالية الفعلية محددة بهذا العامل ‪ ،‬اضافة‬ ‫الى عامل بولتزمان ) ‪ Exp(−βEi‬لهذا المستوى ‪.‬‬ ‫مع العلم ان كثرة عدد الجسيمات في النظام والحجم الذي يحتويها يؤدي الى تقارب قيم الطاقة ‪ Ei‬الى درجة‬ ‫يمكن عندها اعتبار هذه الطاقة متغي متصل ( مستمر بدون انفصال) ‪ .‬اي ان مدى الطاقة ]‪[E, E + dE‬‬ ‫يحتوي على عدد كبير جدا من مستويات الطاقة الثانوية‪ .‬وعليه ‪ ،‬يمكن تعريف المقدار ‪ P(E)dE‬كإحتمالية‬ ‫‪94‬‬ ‫النظام الذي هو عضو في الطاقم القانوني ‪ .‬وبعبارة اخرى ‪،‬تكون هذه اإلحتمالية مساوية لحاصل ضرب‬ ‫إحتمالية الحالة المنفردة بعدد حاالت الطاقة هذا المدى من الطاقة ‪ .‬ويعبر عن ذلك رياضيا كما يلي‬ ‫(‪....................................)3‬‬ ‫حيث نسمي )𝐸(𝑔 كثافة الحاالت ‪ density of states‬حول قيمة الطاقة ‪. E‬‬ ‫وعند معايرة معادلة (‪ )3‬نحصل على التالي‬ ‫(‪....................................................)4‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون المقام في معادلة (‪ )4‬معبرا عن دالة التجزئة للنظام ‪ ،‬اي‬ ‫(‪...................................)8‬‬ ‫وكما سبق اإلشارة اليه ‪ ،‬فإن القيمة المتوقعة لكمية فيزيائية ‪،‬ما مثل ‪ ، f‬تكون كما يلي‬ ‫(‪...........................................)1‬‬ ‫)‪ ( 6.6‬األنظمة الكالسيكية‬ ‫‪The Classical Systems‬‬ ‫فيما يلي نعرض تطبيق ما تم التوصل اليه من النظريات في البنود السابقة على بعض النظم التي تخضع‬ ‫لتأثير مبادئ ميكانيكا الكم ‪ ،‬مثل نظام الغاز المثالي و حركة المتذبذب التوافقية ‪ ،‬مع انه من الممكن معالجتها‬ ‫وفقا لنظريات الميكانيكا الكالسيكية ‪ .‬عند استخدام فراغ الطور ‪ ،‬نستبدل التجميع على الحاالت الكمية‬ ‫‪ quantum states‬بالتكامل على هذا الفراغ ‪.‬‬ ‫لنفرض ان كمية فيزيائية مثل )‪ f(q,p‬معرفة لجميع نقاط فراغ الطور ‪ ،‬يكون معدل الطاقم لهذه الكمية كما‬ ‫يلي‬ ‫‪95‬‬ ‫(‪..........................................)9‬‬ ‫لنفرض ان دالة كثافة الحالة ‪ ، ρ(𝑞, 𝑝) ،‬تشير الى النقاط الممثلة للنظام في الفراغ الطوري ‪ ،‬وان الطاقم‬ ‫في حالة استقرار ‪ .‬لذلك ‪ ،‬تكون هذه الدالة مقياسا إلحتمالية تواجد نقطة ممثلة في جوار ( محيط) النقطة‬ ‫)‪ . (q, p‬وهذه الدالة تقابل قيمة دالة هاملتون )‪ H(q, p‬للنظام ‪ ،‬اي‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)𝑝‪ρ (𝑞, 𝑝) ∞ 𝑒 −𝛽 𝐻(𝑞,‬‬ ‫بالمقارنة بين معادلة (‪ )1‬مع المعادلة ) 𝑟𝐸𝛽‪ ، 𝑃𝑟 ∞ 𝑒𝑥𝑝(−‬تصبح الصيغة الرياضية لمعدل الطاقم‬ ‫للكمية الفيزيائية كما يلي‬ ‫(‪.................................................)3‬‬ ‫وكما سبق شرحه ‪ ،‬يكون العنصر الحجمي في فراغ الطور لنظام مكون من ‪ N‬من الجسيمات ‪ ،‬وبداللة‬ ‫ثابت بالنك ‪ ،‬كما يلي‬ ‫(‪.....................................)4‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤؤل دالة التجزئة الى الصيغة التالية‪:‬‬ ‫(‪.............................)8‬‬ ‫علما ان التكامل في معادلة (‪ )8‬يمتد على كامل فراغ الطور ‪.‬‬ ‫‪96‬‬ ‫وفيما يلي نعرض استخدام معادلة (‪ )8‬إلشتقاق دالة التجزئة للغاز المثالي ‪ ،‬ومن ثم استخدام هذه الدالة للتعبير‬ ‫عن المتغيرات في الديناميكا الحرارية ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫نظام الغاز المثالي – احادي الذرة ‪Ideal Gas System – monoatomic‬‬ ‫يعرف الغاز المثالي بأنه الغاز المكون من جسيمات متماثلة ‪، identical particles‬حيث يوجد تفاعل‬ ‫ضعيف بين هذه الجسيمات ألنها تكون متباعدة و تكون كثافة الغاز منخفضة ‪ ،‬وهذا يعني ان طاقة الوضع‬ ‫لهذه الجسيمات صغيرة مقارنة مع طاقتها الحركية ‪ ،‬وتكون طاقة النظام ناتجة عن الطاقة الحركية للجسيمات‬ ‫‪ .‬وتعتبر الغازات الخاملة ‪ ،‬كغاز الهيليوم و غاز النيون ‪ ، ....‬من الغازات المثالية وهي ايضا غازات احادية‬ ‫الذرة ‪.‬‬ ‫لنفرض ان نظاما من غاز مثالي يتكون من ‪ N‬جسيما ومحصورا في حجم ثابت ‪ ، V‬في حالة اتزان حراري‬ ‫مستقر( ساكن) عند درجة حرارة ‪ . T‬تكون طاقة هذا النظام ( دالة هاملتون) كما يلي‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑁∑ = )𝑝 ‪𝐻(𝑞,‬‬ ‫𝑚‪𝑖=1 𝑝𝑖 ⁄2‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫حيث 𝑖𝑝 = زخم ( كمية الحركة ) الجسيم الخطي ‪ .‬تعطي معادلة (‪ )8‬دالة التجزئة لهذ النظام كما يلي‬ ‫(‪...................................)8‬‬ ‫في هذه المعادلة ‪ ،‬يعطي التكامل على احداثيات المكان ‪ space coordinates‬القيمة 𝑁 𝑉 ‪ ،‬ويبقى التكامل‬ ‫على الزخوم على الصورة التالية‪:‬‬ ‫(‪.......................................)5‬‬ ‫وبإستخدام الجداول الرياضية ‪ ،‬نجد ان هذا التكامل يعطي النتيجة التالية‬ ‫)‪…………………..(9‬‬ ‫𝑁‪3‬‬ ‫𝑉‬ ‫‪1‬‬ ‫[‬ ‫] ‪(2𝜋𝑚𝑘𝑇)3/2‬‬ ‫𝑁‪𝑁! ℎ3‬‬ ‫وبإستخدام دالة التجزئة هذه ‪ ،‬نجد ان طاقة هلمهولتز الحرة كما يلي‬ ‫‪97‬‬ ‫= )𝑇 ‪Q𝑁 (𝑉,‬‬ ‫(‪..............................)99‬‬ ‫وتعتبر معادلة (‪ )99‬حجر الزاوية إلشتقاق كل متغيرات الديناميكا الحرارية ‪ ،‬وتتلخص كالتالي‬ ‫(‪..........................)99‬‬ ‫(‪....................................)91‬‬ ‫(‪...........................)93‬‬ ‫نالحظ ان معادلة (‪ )91‬تعطي قانون الغازات العام‪:‬‬ ‫]𝑇𝑘𝑁 = 𝑉𝑝[‪.‬‬ ‫إضافة الى ما سبق ‪ ،‬يمكن الحصول على معدل الطاقة للنظام بإستخدام دالة التجزئة كما يلي‬ ‫)‪..................................)14‬‬ ‫اذا فرضنا ان دالة التجزئة للجسيم المنفرد هي )𝑇 ‪ ، 𝑄1 (𝑉,‬فإنه يمكن التعبير عن دالة تجزئة النظام‬ ‫بداللة هذه الدالة كما يلي‬ ‫(‪.......................)98‬‬ ‫ويمكن فهم معادلة (‪ )98‬على اساس ان جسيمات النظام غير متفاعلة ‪ ،‬وعليه تكون طاقة النظام الكلية‬ ‫تساوي مجموع طاقات كل جسيمات هذا النظام‪.‬‬ ‫إليجاد الصيغة الرياضية لدالة التجزئة لجسيم منفرد‪ ،‬نستخدم كثافة الحالة للطاقة ‪ ،‬وهي بالصورة التالية‬ ‫‪98‬‬ ‫(‪..................................)91‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون الصيغة الرياضية لدالة الجسيم المنفرد كما يلي‬ ‫(‪...........................)98‬‬ ‫وبعد ذلك ‪ ،‬يمكن ان نجد دالة التجزئة للنظام بإستخدام معادلة (‪.)98‬‬ ‫‪‬‬ ‫توزيع ماكسويل لسرعة الجزيئات في الغاز المثالي‬ ‫‪Maxwell Distribution for velocities in Ideal Gas‬‬ ‫نتناول في هذا البند حساب معدل سرعة الجزيئات في الغاز المثالي ‪ ،‬حيث تكون هذه الجزيئات عير‬ ‫متفاعلة ‪ ،‬بمعنى انه اذا كان النظام يحتوي على ‪ N‬من هذه الجزيئات ‪ ،‬فإن هذه الجسيمات ال تؤثر على‬ ‫بعضها البعض‪ .‬ويمكن القول ‪ ،‬ان كل فرد منها يشكل بنفسه نظاما ‪ ،‬وفي نفس الوقت يشكل حالة مجهرية ‪.‬‬ ‫بينما باقي جسيمات في الغاز تشكل خزان حراري عند درجة حرارة معينة‪ .‬وبعبارة اخرى ‪ ،‬يمكن القول ان‬ ‫احتمال وجود الجسيم الواحد في حالة مجهرية ما يكون مستقال عن الحالالت المجهرية للجسيمات األخرى ‪.‬‬ ‫وهذا األمر ال يكون صحيحا في حالة الجسيمات المتفاعلة ‪ ،‬حيث تؤثر الحاالت المجهرية على بعضها ‪.‬‬ ‫لدراسة توزيع السرعات في الغاز المثالي نتبع ما يلي‪:‬‬ ‫نبدأ من دالة هاملتون للجيزيئات ‪ ،‬حيث‬ ‫(‪.............................................)9‬‬ ‫تكون دالة كثافة احتمال تواجد جسيم واحد في فراغ الطور كما يلي ‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝛽‬ ‫) ‪𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑚 𝑝2‬‬ ‫‪𝜆3‬‬ ‫𝑉‬ ‫=‬ ‫})‪exp{−β H(q,p‬‬ ‫‪𝑄1‬‬ ‫حيث‬ ‫‪99‬‬ ‫= )‪ρ (q, p‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون احتمالية تواجد اي جسيم من هذه الجسيمات في الغاز المثالي ضمن فترة األحداثيات المكانية‬ ‫}𝑞𝑑 ‪ ، {𝑞, 𝑞 +‬وفترة اإلحداثيات الزخمية }𝑝𝑑 ‪ {𝑝, 𝑝 +‬كما يلي‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون دالة توزيع السرعة ‪ ، f(v) ،‬كما يلي‬ ‫(‪.................................)3‬‬ ‫حيث ‪ ،𝒑 = 𝑚𝒗 ،‬وتكون السرعة والزخم الخطي للجسيم كميات متجهة ‪ .‬بينما يعطي التكامل على‬ ‫اإلحداثيات المكانية الحجم ‪ ،‬اي 𝑉 = 𝑞 ‪ ، ∫ 𝑑 3‬لذلك تؤول معادلة (‪ )3‬الى التالي‬ ‫(‪.............................)4‬‬ ‫تمثل معادلة (‪ )4‬دالة توزيع السرعات لجسيمات الغاز المثالي ‪.‬‬ ‫إلن السرعة المتجهة في الفراغ المكاني لها ثالثة مكونات ‪ ،‬هي ) )𝑧𝜈 ‪ ، ⃗⃗𝜈 ( 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 ,‬وبما انه ال‬ ‫يكون لهذه السرعة اتجاه محدد ‪ ،‬فإن هذه الجسيمات تتوزع على سطح كرة نصف قطرها 𝜈 ‪ ،‬حيث‬ ‫𝜈 = | 𝜈| = 𝑧‪√𝜈 2 = √ ν2𝑥 + ν2𝑦 + ν2‬‬ ‫لنفرض ان‬ ‫)‪(5‬‬ ‫𝑣𝑑)𝑣(𝑓 = )𝑣(𝜔 ‪𝑑3‬‬ ‫حيث هنا تشير الكمية‪ ، d3 ω ،‬الى احتمالية تواجد الجسيم بسرعة تقع ضمن الفترة المحصورة بين‬ ‫) 𝑧𝜈 ‪ (𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 ,‬و ) 𝑧𝑣𝑑 ‪ ، . (𝑣𝑥 + 𝑑𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 + 𝑑𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 +‬وال يعتمد هذا المقدار على موقع الجسيم‬ ‫‪ .‬وتكون قيمة هذه اإلحتمالية ‪ ،‬بداللة مقدار السرعة |𝑣| ‪ ،‬ضمن الفترة }|𝑣|𝑑 ‪ {|𝑣|, |𝑣| +‬كما يلي‬ ‫‪100‬‬ ‫(‪.......................................)1‬‬ ‫تسمى معادلة (‪ )1‬توزيع ماكسويل لسرعات الحسيمات الغاز المثالي ‪.‬‬ ‫فيما يلي ‪ ،‬سنعرض استخدام هذه المعادلة ( توزيع ماكسويل للسرع) إليجاد السعة األكثر احتماال ‪ ،‬معدل‬ ‫السرعة ‪ ،‬و معدل مربع السرعة ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫حساب السرعة األكثر احتماال ‪most probable velocity‬‬ ‫لنفرض ان الدالة التالية‪:‬‬ ‫)𝑣(𝐹 =‬ ‫𝜔𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫يمكن تعريف السرعة األكثر احتماال بأنها تلك السرعة التي تجعل الدالة )𝑣(𝐹 اعظم ما يمكن ‪،‬‬ ‫رياضيا ‪ :‬المشتقة األولى لهذه الدالة تساوي صفرا عند هذه السرعة ‪ .‬اي‬ ‫(‪.............................)8‬‬ ‫‪‬‬ ‫معدل القيمة المطلقة للسرعة ‪mean speed value‬‬ ‫من تعريف متوسط ( معدل ) مقدار السرعة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪......................................)5‬‬ ‫إلجراء التكامل في معادلة (‪ ، )5‬نفرض ان 𝑇𝑘‪ ، 𝑦 = 𝑚𝑣 2 ⁄2‬ثم بالتعويض والتكامل ( راجع‬ ‫الملحق الرياضي في الباب الثاني ) في هذه المعادلة ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫‪101‬‬ ‫وبعد اإلختصار والترتيب ‪ ،‬مع العلم ان‪ ، Γ )1(= 9‬نجد ان‬ ‫(‪................................................)1‬‬ ‫‪‬‬ ‫معدل مربع السرعة‬ ‫نستخدم نفس الخطوات السابقة لنحصل على معدل مربع السرعة ‪ ،‬وتكون كما يلي‬ ‫مالحظة ‪:‬‬ ‫يلي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝜋√ ‪ ، Γ (2) = (2) (2) Γ (2) = 4‬وعليه ‪ ،‬فإن معدل مربع السرعة يصبح كما‬ ‫(‪.............................)99‬‬ ‫يمثل الشكل (‪ )1.9‬منحنى توزيع السرع لماكسويل ‪.‬‬ ‫‪102‬‬ ‫شكل (‪ )6.1‬منحنى توزيع السرع لماكسويل‪.‬‬ ‫يالحظ من هذا الشكل ما يلي‬ ‫⟩ ‪𝑣 ∗ < ⟨𝑣⟩ < √⟨𝑣 2‬‬ ‫حيث ان جميع هذه الكميات تعطى بداللة وحدة 𝑚‪. 𝑘𝑇⁄‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون معدل الطاقة الحركية للجسيم كالتالي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑚⟨𝑣 2 ⟩ = 𝑘𝑇.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ⟩ 𝑛𝑖𝑘‪⟨ℇ‬‬ ‫كما ان بسبب تماثل المناحي لدالة التوزيع )𝑣(𝑓 ‪ ،‬يكون‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑚‪⟨𝑣𝑥2 ⟩ = ⟨𝑣𝑦2 ⟩ = ⟨𝑣𝑧2 ⟩ = ⟨𝑣 2 ⟩ = 𝑘𝑇⁄‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫تقلبات الطاقة في الطاقم القانوني‬ ‫‪Energy fluctuation in Canonical ensemble‬‬ ‫كما نعلم ان في الطاقم القانوني ‪ ،‬تكون قيم الطاقة ما بين ]∞ ‪ ، [0,‬بينما تكون قيم الطاقة في الطاقم‬ ‫المجهري مقيدة ضمن شريط ضيق ]𝐸𝑑 ‪ ، [𝐸, 𝐸 +‬مع ذلك نجد ان خواص الديناميكا الحلرارية‬ ‫والمشتقة من قوانين كال الطاقمين متماثلة ‪ ،‬خصوصا فيما يتعلق بنظام الغاز المثالي ( كما سبق شرحه) ‪.‬‬ ‫ولكن ألي حد ممكن عنده ان يبقى هذه صحيحا ؟‪ .‬لألجابة عن هذا السؤال ‪ ،‬ال بد من دراسة توزيع الطاقة‬ ‫للطاقم القانوني ‪ ،‬اي تحديد مدى انتشار هذه الطاقة ‪ ،‬بإستخدم معدل طاقة النظام في كال من الطاقمين‬ ‫اإلحصائيين‪ .‬اي ‪،‬‬ ‫‪103‬‬ ‫(‪.........................................)9‬‬ ‫ثم نجد المشتقة األولى لهذا المعدل بالنسبة ل )𝛽( ‪ ،‬ويكون كالتالي‬ ‫(‪.....................................)1‬‬ ‫بترتيب الحدود في معادلة (‪ ، )1‬نحصل على ما يلي‬ ‫(‪......................)3‬‬ ‫حيث الطرف األيسر يساوي معدل مربع التغير في الطاقة ‪ ،‬او مربع اإلنحراف المعياري ( الفصل الثاني‬ ‫من هذا الكتاب )‪ .‬او‪،‬‬ ‫‪ ‬توزيع الطاقة بين مختلف اعضاء الطاقم القانوني‪:‬‬ ‫لنفرض ان طاقة الطاقم القانوني ‪ ،E ،‬متغيرا مستمرا ( متصال) ‪ ،‬بالرجوع الى معادلة كثافة‬ ‫اإلحتمال التالية‪:‬‬ ‫نالحظ ان كثافة دالة اإلحتمال ‪ ، P(E) ،‬هي ناتج حاصل ضرب عامالن هما ‪ :‬معامل بولتزمان و دالة‬ ‫كثافة الحاالت ‪ .‬وحتى تكون قيمة حاصل الضرب هذا متطرفة ‪، Extreme‬عند قيمة محددة من طاقة‬ ‫النظام مثل ∗ 𝐸 ‪ ،‬يجب ان يتحقق الشرط التالي‪:‬‬ ‫‪104‬‬ ‫(‪...........................)4‬‬ ‫نستخدم اإلشتقاق المباشر لهذه المعادلة لنحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫(‪..................................)8‬‬ ‫وكما سبق شرحه ‪ ،‬بخصوص العالقة بين اإلنتروبيا وكثافة حاالت الطاقة ‪ ،‬نستذكر ما يلي‬ ‫)𝐸(𝑆𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫( ; )𝐸(𝑔 ‪𝑆 = 𝑘 ln‬‬ ‫)‬ ‫𝛽𝑘 = =‬ ‫𝑈=𝐸 𝐸𝜕‬ ‫𝑇‬ ‫وهذا يعطي ما يلي‬ ‫𝑈 = ∗𝐸‬ ‫)‪(6‬‬ ‫اي ‪ ،‬القيمة األكثر احتماال للطاقة تساوي معدل الطاقة للطاقم القانوني ‪ .‬وبإستخدام مفكوك تايلور‬ ‫للوغارتم دالة كثافة اإلحتمال حول النقطة 𝑈 ≈ ∗ 𝐸 ‪ ،‬نحصل على ما يلي‬ ‫(‪................................................)8‬‬ ‫بتحويل الدالة اللوغارتمية الى دالة اسية ‪ ،‬نحصل على التالي ‪:‬‬ ‫(‪...................................)5‬‬ ‫تمثل معادلة (‪ )5‬توزيع جاوس لطاقة النظام ‪ ،‬ويمكن عرض ذلك بيانيا كما في شكل (‪ ،)1.3‬حيث يمثل‬ ‫هذه الشكل سلوك الدوال ‪ 𝑔(𝐸), 𝑒 −𝛽𝐸 , 𝑔(𝐸)𝑒 −𝛽𝐸 :‬كدوال للطاقة ‪ E‬في حالة ‪. N=10‬‬ ‫‪105‬‬ ‫شكل(‪ )6.1‬توزيع جاوس لطاقة النظام‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫انتروبيا الغاز األحادي الذرة‪ -‬معادلة ساكور‪ -‬تترود‬ ‫‪Entropy of monatomic Gas - Sackur- Tetrode Equation‬‬ ‫لنعتبر غازا مثاليا احادي الذرة ( مثل الغازات الخاملة ‪ :‬هيليوم ‪ ،‬نيون ‪ ، )....‬حيث تكون الطاقة الداخلية‬ ‫لهذا النظام ناجمة فقط عن الحركة اإلنتقالية للذرات ‪ .‬تكون دالة التجزئة اإلنتقالية للجسيم المنفرد كما يلي ‪:‬‬ ‫وكما تمت اِإلشارة اليه سابقا‪ ،‬فاذا كان هذا النظام مكونا من ‪ N‬من الجسيمات غير المميزة ‪ ،‬فإن دالة‬ ‫التجزئة اإلنتقالية للنظام تكون كما يلي‬ ‫ويكون معدل الطاقة الداخلية للنظام بفعل الحركة اإلنتقالية كما يلي‬ ‫‪106‬‬ ‫ولحساب انتروبيا النظام ‪ ،‬نستخدم طاقة هلمهولتز الحرة ‪ ،‬اي‬ ‫وبإستخدام تقريب ستيرلنج ‪ ،‬نجد ان‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫او ‪،‬‬ ‫وتعرف هذه العالقة بمعادلة ساكور‪ -‬تترود ‪. Sackur - Tetrode Equation‬‬ ‫‪‬‬ ‫انتروبيا الخليط – متناقضة جبس ‪Entropy Mixing- Gibbs Paradox‬‬ ‫بالرجوع الى معادلة ساكور‪ -‬تترود ‪ ،‬يمكن وصف انتروبيا النظام بالصفة الشاملة (𝑁 ∝ 𝑆(‪.‬‬ ‫‪107‬‬ ‫ومع بداية تشكل نظريات الديناميكا الحرارية اإلحصائية ‪ ،‬حصل نقاش طويل حول فهم اإلختالف الناتج عن‬ ‫كون جسيمات الغاز غير مميزة ‪ ،‬وما تأثير ذلك على انتروبيا النظام ‪ ،‬وهذا ما عرف حينئذ بمتناقضة جبس‬ ‫‪ ،‬ويمكن تلخيص هذه المتناقضة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (1‬لنفرض ان صندوقا بداخله فاصال ‪ ،‬بحيث يقسمه الى قسمين متساويين وحجم كال منهما ‪ ، V‬و كان احد‬ ‫القسمين يحوي على غاز مثالي ‪ ،‬بيمنا القسم اآلخر فارغا‪ .‬في ذلك الوقت ‪ ،‬طرح جبس السؤال التالي ‪ :‬ما‬ ‫هو التغير في اإلنتروبيا عند ازالة الفاصل بين قسمي الصندوق ؟ (الحظ الشكل المرفق ‪) 6.4‬‬ ‫شكل (‪ )1.4‬صندوق الغازات قبل وبعد ازالة الفاصل‬ ‫في الحالة )‪(a‬‬ ‫تكون دالة التجزئة اإلنتقالية ‪:‬‬ ‫في الحالة )‪ ، (b‬يصبح الحجم ‪ ، 2V‬وتكون دالة التجزئة كما يلي‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون التغير في طاقة هلمهولتز الحرة كما يلي‬ ‫بما ان درجة الحرارة ثابتة ‪ ،‬وال يعتمد معدا الطاقة على الحجم ‪ ،‬لذلك يكون التغير في انتروبيا النظام كما‬ ‫يلي‬ ‫)‪ (2‬لنعتبر نفس الترتيب السابق ‪ ،‬ولكن بوضع غازين مختلفين في قسمي الصندوق ( كما في الشكل ‪)6.5‬‬ ‫‪108‬‬ ‫شكل (‪ )1.8‬حالة غازين مختلفين في الصندوق‪.‬‬ ‫هنا ‪ ،‬يكون التغير في انتروبيا لكل غاز يساوي ‪ ، ∆𝑆 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑙𝑛 2‬ويكون التغير الكلي إلنتروبيا للنظام ‪:‬‬ ‫‪. ∆𝑆 = 2𝑘𝐵 𝑇 𝑙𝑛 2‬‬ ‫)‪ (3‬اخيرا ‪ ،‬لنفرض ان قسمي الصندوق محتوية على نفس النوع من الغازات ( كما في الشكل ‪)1.1‬‬ ‫في الطرح األصلي ( حالة ‪ ، )9‬اعتبرت الجسيمات مميزة ‪ ،‬ثم كانت الحالة (‪ )3‬مماثلة للحالة (‪ ، )1‬وكان‬ ‫التغير في انتروبيا الخليط يساوي ‪ ، ∆𝑆 = 2𝑘𝐵 𝑇 𝑙𝑛 2‬اي لم يحدث اي اختالف؟ وهنا يكمن التناقض ؟‬ ‫‪ .‬ويمكن ادراك النقاش الصحيح في حالة خلط الغازات كالتالي‪:‬‬ ‫في حالة كون الجسيمات غير مميزة ‪ ،‬تكون دالة التجزئة للنظام قبل )‪ ، (a‬وبعد ازالة الفاصل)‪ (b‬بين قسمي‬ ‫الصندوق كما يلي‬ ‫بينما تكون الطاقة الحرة قبل وبعد ازالة الفاصل كما يلي‬ ‫‪109‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون التغير في انتروبيا النظام يساوي ‪ ، ∆ 𝑆 = 0‬ويكون هذا صحيحا ‪.‬‬ ‫وبعبارة اخرى ‪ ،‬يزول تناقض جبس عند اعتبار الجسيمات غير مميزة ‪ .‬رياضيا ‪ ،‬يجب قسمة المقام في دالة‬ ‫التجزئة للنظام في حالة هذه الجسيمات على مضروب عدد هذه الجسيمات ( !𝑁( ‪ ،‬وهذا ما يعرف بتصحيح‬ ‫جبس ‪. Gibbs correction‬‬ ‫‪‬‬ ‫نظرية التوزيع المتساوي ‪Equipartition Theorem‬‬ ‫𝐻𝜕‬ ‫لنفرض ان 𝑗𝑥 ‪ 𝑥𝑖 ,‬يمثالن اي من ‪ 6N‬من األحداثيات المعممة )‪ ، (q, p‬يكون معدل الكمية 𝑥𝜕 𝑖𝑥 في‬ ‫𝑗‬ ‫الطاقم القانوني كما يلي‬ ‫(‪...................................)9‬‬ ‫بإ ستخدم التكامل بالتجزئة في بسط هذه المعادلة على المتغير 𝑗𝑥 ‪ ,‬نحصل على التالي ‪:‬‬ ‫حيث ان‬ ‫‪2‬‬ ‫) 𝑗𝑥 ( ‪ (𝑥𝑗 )1 ,‬هي القيم المتطرفة لإلحداثي 𝑗𝑥 ‪ ،‬لذلك ينعدم التكامل في الحد األول من هذه‬ ‫المعادلة بسبب هذه القيم التي تجعل قيمة هاملتون النظام غير محدود ‪ ، infinite‬و ال يبقى إال التكامل في‬ ‫الحد الثاني من المعادلة ‪ ،‬حيث نرمز للمقدار‬ ‫𝑗𝑖𝛿 = 𝑗𝑥𝜕‪ ، 𝜕𝑥𝑖 ⁄‬وعليه ‪ ،‬تكون الصورة التكاملية‬ ‫للحد الثاني كما يلي‬ ‫بالتعويض في معادلة (‪ ، )9‬نحصل على ما يلي ‪:‬‬ ‫‪110‬‬ ‫(‪...................................)1‬‬ ‫ندرس معادالة (‪ )1‬في الحاالت التالية‬ ‫)‪ (a‬اذا كان‬ ‫𝑖𝑝 = 𝑗𝑥 = 𝑖𝑥 ‪ ،‬فإن معادلة (‪ )1‬تؤول الى التالي‬ ‫𝑇𝑘 = ⟩ ‪⟩ = ⟨𝑝𝑖 𝑞̇ 𝑖.‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝐻𝜕‬ ‫𝑗𝑝𝜕‬ ‫𝑖𝑝⟨‬ ‫)‪ (b‬اذا كان 𝑖𝑞 = 𝑗𝑥 = 𝑖𝑥 ‪ ،‬فإن معادلة (‪ )1‬تؤول الى ما يلي ‪:‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫𝑇𝑘 = ⟩ ‪⟩ = − ⟨𝑞𝑖 𝑝̇𝑖.‬‬ ‫𝐻𝜕‬ ‫𝑖𝑞𝜕‬ ‫𝑖𝑞⟨‬ ‫بأخذ التجميع على )‪ ، (i‬حيث ‪ ، i=1,…3N‬ثم اخذ المعدل للكميات في معادلتي (‪ ، )4( ، )3‬نحصل‬ ‫على التالي‬ ‫(‪.......................................)8‬‬ ‫(‪................................)1‬‬ ‫في معظم الحاالت الفيزيائية ‪ ،‬يمكن كتابة دالة هاملتون الى معادلة من الدرجة الثانية في اإلحداثيات‬ ‫المعممة ‪ ،‬كما يلي‬ ‫(‪..............................)8‬‬ ‫حيث 𝑗𝐵 ‪ 𝐴𝑗 ,‬ثوابت ‪ ،‬بينما 𝑗𝑄 ‪ 𝑃𝑗 ,‬المرافقات القانونية ( المعممة) لإلحداثيات ) 𝑗𝑞 ‪. (𝑝𝑗 ,‬‬ ‫في هذا النظام ‪ ،‬وبإستخدام معادلة (‪ )8‬واإلشتقاق المباشر ‪ ،‬يكون‬ ‫‪111‬‬ ‫بالرجوع الى معادلتي (‪ ، )4( ، )3‬نجد ان‬ ‫𝑇𝑘𝑓‬ ‫)‪(8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ⟩𝐻⟨‬ ‫حيث ‪ f‬عدد المعامالت الالصفرية في معادلة (‪ ، )8‬وهي تعتمد على عدد درجات الحرية للحركة‪.‬‬ ‫في حالة المتذبذب التوافقي ‪ ،‬نجد ان كل حد في دالة هاملتون يساهم بمقدار 𝑇𝑘‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫في معدل طاقة النظام‬ ‫‪ ،‬وتعرف هذه النظرية بنظرية التوزيع المتساوي للطاقة ‪ ،‬والتي تم الكشف عنها على يد العالم بولتزمان‬ ‫( ‪. )9589‬‬ ‫اما السعة الحرارية للنظام بثبوت الحجم ‪ ،‬تكون على الصورة التالية‬ ‫)‪(9‬‬ ‫𝑘‬ ‫𝑓‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑉‪C‬‬ ‫وعلية ‪ ،‬تكون السعة الحرارية معتمدة على درجات الحرية للحركة في النظام ‪ ،‬مما أدى الى تناقض‬ ‫ظاهري من نظرية التوزيع المتساوي للطاقة ‪ ،‬اي ان في الفيزياء التقليدية ( الكالسيكية) تكون درجة الحرية‬ ‫غير محددة ( ال نهائية ) ‪ ،‬مما يجعل السعة الحرارية ألي نظام غير محددة‪ .‬وقد تم حل هذا التناقض بواسطة‬ ‫نظريات ميكانيكا الكم ‪ ،‬حيث يمكن اعتبار درجة حرية النظام واضحة وجلية فقط عندما تكون هناك طاقة‬ ‫كافية إلثارة درجة الحرية ‪ ،‬وان درجة الحرية التي ال يمكن اثارتها يمكن نسيانها ‪ .‬وتكون معادلة (‪ )1‬صحيحة‬ ‫فقط عندما تكون درجة الحرارة كبيرة بصورة كافية‪.‬‬ ‫‪112‬‬ ‫الفصل السابع ‪ :‬تطبيقات احصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان على بعض األنظمة الكمية‬ ‫‪Application of Maxwell- Boltzman Statistics : Quantum Systems‬‬ ‫نتناول في هذا الفصل المعالجة الرياضية إلحصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان لبعض األنظمة التي تخضع‬ ‫في دراستها على قواعد الميكانيكا الكمية ‪ ،‬ومن هذه األنظمة ‪ :‬المتذبذبات التوافقية‬ ‫المتماثلة والمميزة ‪ ،‬وانظمة الغاز المثالي حيث الجزيئات تتكون من ذرتين ‪. Diatomic Gases‬‬ ‫كما نبين ان التوزيع في الطاقم القانوني يبقى صالحا إلشتقاق متغيرات الديناميكا الحرارية‪.‬‬ ‫(‪ )1.1‬انظمة المتذبذبات التوافقية المكممة ‪Quantized Harmonic Oscillators‬‬ ‫نفرض ان لدينا ‪ N‬من المتذبذبات التوافقية المتماثلة ‪ .‬وفقا لمبادئ الميكانيكا الكمية ‪ ،‬تكون القيم الخاصة‬ ‫لطاقة المتذبذب كما يلي‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑁 … … … ‪; 𝑛 = 0,1,2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ε 𝑛 = ℏ𝜔 ( 𝑛 + 2‬‬ ‫حيث يتم تحديد المتذبذب بالرقم الكمي ‪ ( n‬عدد صحيح موجب )‪ .‬كما يمكن اعتبار هذا النظام‬ ‫من المتذبذبات طاقم قانوني ‪ ،‬وتكون كثافة فراغ الطور لكل متذبذب كما يلي‬ ‫(‪..........)1‬‬ ‫حيث )‪ 𝑍(𝑇, 𝑉, 1‬هي دالة التجزئة للمتذبذب المنفرد‪.‬‬ ‫مما يجب مالحظته انه عند اإلنتقال من اإلحصاء الكالسيكي الى اإلحصاء الكمي ‪ ،‬فإن الرقم الكمي ‪n‬‬ ‫يؤخذ دور الحاالت المجهرية )‪ .(q,p‬وعليه ‪ ،‬يتم التجميع على كل هذه األرقام الكمية أليجاد دالة التجزئة‬ ‫المنفردة ‪ ،‬اي ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى الصورة التالية‬ ‫(‪.........................)3‬‬ ‫‪113‬‬ ‫هذا يعني ان الحاالت المجهرية تترقم بشكل منفصل بالرقم الكمى ‪ . n‬ويكون احتمال تواجد المتذبذب في حالة‬ ‫ذات رقم كمي ‪ n‬هي 𝑛‪. ρ‬‬ ‫اذا كانت الجسيمات غير متفاعلة ومتميزة ‪ ،‬فإن دالة التجزئة الكلية للنظام تكون كما يلي‬ ‫(‪.....................)4‬‬ ‫كما نحصل على طاقة النظام الكلية بتجميع كل طاقة الجسيمات على انفراد ‪ ،‬وتكون بالصورة التالية‪:‬‬ ‫(‪.............)8‬‬ ‫حيث الجسيم ‪ 9‬يشغل الحالة الكمية ‪ ، n1‬الجسيم ‪ 1‬يشغل الحالة الكمية ‪......... ، n2‬الخ ‪.‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫(‪........................)1‬‬ ‫وكما سبق ذكره ‪ ،‬فإن من المكن استنتاج المتغيرات في الديناميكا الحرارية بإستخدام دالة التجزئة المحتواة‬ ‫في معادلة طاقة هلمهولتز الحرة كما يلي ‪:‬‬ ‫)𝑁 ‪𝐹 (𝑇, 𝑉, 𝑁) = −𝑘𝑇 ln 𝑍(𝑇, 𝑉 ,‬‬ ‫نبدأ بإستخدام معاداة (‪ )9‬لتحديد دالة التجزئة للمتذبذب المنفرد ‪ ،‬ثم لجميع المتذبذبات ‪ ، N‬و تكون الخطوات‬ ‫الرياضية كما يلي‬ ‫(‪...................)8‬‬ ‫‪114‬‬ ‫من مبادئ الجبر ‪ ،‬يكون مجموع المتسلسلة الهندسية كما يلي‬ ‫(‪.............................)5‬‬ ‫بما ان المتذبذبات متميزة ‪ ،‬فإن‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول الصيغة الرياضية لطاقة هلمهولتز الحرة الى التالي ‪:‬‬ ‫(‪................. )1‬‬ ‫وكما في حالة المتذبذب الكالسيكي ‪ ،‬فإن المتذبذب الكي ال يؤئر باي ضغط (انعدام الضغط في هذا النظام )‬ ‫بسبب عدم قدرة المتذبذب على الحركة اإلنتقالية ‪.‬‬ ‫(‪....................)99‬‬ ‫وتكون الطاقة الداخلية للنظام كما يلي‬ ‫(‪..................)99‬‬ ‫‪115‬‬ ‫تظهر اهمية معادلة (‪ )99‬في كونها تتفق مع فرضية ان معادلة الطاقة الكلية للنظام تساوي حاصل ضرب‬ ‫عدد المتذبذبات بمعدل طاقة المتذبذب المنفرد ‪ ،‬اي‬ ‫(‪.....................)91‬‬ ‫مقارنة بالمعادلة (‪ ، )9‬نجد ان ‪:‬‬ ‫(‪.................)93‬‬ ‫اي ‪ ،‬يكون معدل الرقم الكمي هو معدل المستوى المتهيج للمتذبذب عند درجة الحرارة ‪.T‬‬ ‫وفي حالة ‪ N‬من المتذبذبات الكالسيكية ‪ ،‬نجد ان معدل الطاقة الداخلية يعطى كما يلي‬ ‫𝑇𝑘𝑁 = 𝑠𝑠𝑎𝑙𝑐𝑈‬ ‫(‪.....................)94‬‬ ‫وللمقارنة بين نتائج المتذبذب الكالسيكي والمتذبذب الكمي ‪ ،‬نفك معادلة (‪ )99‬للحالة الغائية ( حالة المنتهى)‬ ‫‪ ، limiting case‬اي عند ‪ ، 𝑇 → ∞ , 𝛽ℏ𝜔 → 0‬حيث نجد ‪:‬‬ ‫(‪...........................)98‬‬ ‫من هذا ‪ ،‬نالحظ التقارب بين النتائج الخاصة بمعدل الطاقة الداخلية في هذه الحالة ‪.‬‬ ‫بينما في حالة درجة الحرارة المنخفضة ‪ ،‬اي عند ∞ → ‪ ، T → 0 , βℏω‬نجد ان‬ ‫‪116‬‬ ‫)‪.................(16‬‬ ‫وهنا نالحظ التباعد الكبير بين هذه النتائج ‪ .‬ويبدو هذا اإلختالف جليا في حالة حساب السعات الحرارية ‪،‬‬ ‫بثبوت الحجم ‪ ،‬حيث تؤول الصورة الرياضية الى التالي‪:‬‬ ‫في حالة المتذبذب الكمي ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪................)98‬‬ ‫بينما تؤول هذه المعادلة‪ ،‬في حالة المتذبذب الكالسيكي ‪،‬الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫(‪ )1.1‬نظام غاز ثنائي الذرات‬ ‫‪Diatomic Gas System‬‬ ‫عند معالجة نظام الغاز المثالي احادي الذرة ‪ ،‬كان اإلفتراض ان الجزيء يمثل بنقطة مادية ‪ ،‬وهذا‬ ‫الفرض قد يكون تقريبيا في حالة الغازات الخاملة ‪ :‬الهيليوم ‪ ،‬النيون‪ . ...‬بينما في الواقع ‪ ،‬تكون الغازات‬ ‫مكونة من جزيئات لها حركة داخلية‬ ‫‪ ، internal motion‬مما يسبب تأثيرا على خصائص الديناميكا‬ ‫الحرارية لهذه الغازات‪.‬‬ ‫نفرض ان درجة حرية الجزئ المنفرد مستقلة عن األخرى ‪ ،‬لذلك تكون دالة الهاملتون للجزئ المنفرد كما‬ ‫يلي‬ ‫(‪............................)9‬‬ ‫حيث يمثل كل حد في معادلة (‪ )9‬ما يلي‪:‬‬ ‫𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡‪ : H‬هاملتون الحركة اإلنتقالية لمركز ثقل الجزيئ ‪.𝑅⃗ ،‬‬ ‫𝑡𝑜𝑟‪ : H‬هاملتون الحركة الدورانية للجزيئ ‪ ،‬وهذه الدالة تعتمد على زوايا اويلر ‪(θ, ϕ, ψ) Euler angles‬‬ ‫‪ ،‬والزخم الزاوي ‪. anguler momentum‬‬ ‫‪117‬‬ ‫𝑏𝑖𝑣‪: H‬طاقة اهتزازة الجزيئ ‪ ،‬وهذ ا يعتمد على اإلحداثيات العمومية ) 𝑖𝑝 ‪. (𝑞𝑖 ,‬‬ ‫في حالة الجزيئات ثنائية الذرات ‪ ،‬تكون الطاقة الكلية للجسيم ناتجة عن الحركة اإلنتقالية لهذه الجزيئات‬ ‫‪ translational motion‬وعن الحركة الداخلية ‪ ، internal motion‬وهذه الحركة تكون ناتجة عن ثالثة‬ ‫انواع هي ‪ :‬الحركة الدورانية ‪ ،‬الحركة اإلهتزازية تهيج اإللكترونات في ( الشكل‪)8.9‬‬ ‫شكل (‪ )8.9‬حركات الجزيئات ثنائية الذرات‪.‬‬ ‫وعليه‪ ،‬تكون الطاقة الكلية للجزيئ المنفرد تساوي مجموع الطاقات الناتجة عن هذه الحركات ‪ ،‬لنفرض ان‬ ‫الجزيئ في مستوى الطاقة ) ‪ . (r‬وعليه‪ ،‬تكون طاقة هذا المستوى تساوي مجموع الطاقة اإلنتقالية‬ ‫والطاقة الداخلية ‪.‬‬ ‫تكون دالة التجزئة للجسيم المنفرد ‪ ،‬وفقا إلحصاء ماكسويل – بولتزمان كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.............)1‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫(‪............)1‬‬ ‫‪118‬‬ ‫وتكون دالة التجزئة للغاز الذي يحوي على ‪ N‬من الجزيئات كالتالي‪:‬‬ ‫(‪..................)3‬‬ ‫اذا كان ‪ ، N ≫ 1‬فإن طاقة الغاز الحرة ( طاقة هلمهولتز ) تكون بداللة دالة التجزئة للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫(‪....................)4‬‬ ‫هذه المعادلة تشير الى ان الطاقة الحرة الكلية تساوي مجموع الطاقات الناتجة عن مساهمات درجات الحرية‬ ‫المنفردة ‪ ،‬وهذا يكون صحيحا في حالة الكميات الشاملة األخرى ‪ .‬تتطلب الحدود في معادلة (‪ )4‬تحديد‬ ‫دالة التجزئة لكل حركة من حركات الجزيئ وتكون كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬دالة التجزئة اإلنتقالية‪:‬‬ ‫من نظريات الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬تكون دالة الهاملتون للحركة اإلنتقالية للجزيئ المنفرد‪ ،‬بداللة الزخم‬ ‫الخطي وكتلة هذا الجزيئ ‪ ،M‬كما يلي‬ ‫(‪.................)8‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )8‬نحصل على دالة التجزئة و التي تكون مماثلة لدالة التجزئة في حالة الغاز المثالي‬ ‫‪ ،‬وهي‪:‬‬ ‫(‪.........)1‬‬ ‫)‪ (b‬دالة التجزئة الدورانية ‪:‬‬ ‫إليجاد هذه الدالة ‪ ،‬نستخدم دالة آلكرانج ‪ ، Lagrangian‬في الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬والتي تعطى بداللة‬ ‫عزوم القصور الذاتية حول محاور الدوران ‪ ، I ،‬وزوايا اويلر ( الشكل ‪)8.1‬‬ ‫‪119‬‬ ‫(‪..............................)8‬‬ ‫شكل (‪ )8.1‬زوايا اويلر في الحركة الدورانية ‪.‬‬ ‫‪. Ι1 = Ι2‬‬ ‫حيث يفترض ان الجسيم متناظر حول محور ‪ ، z‬وعليه ‪ ،‬يكون‬ ‫ويمكن اعادة كتابة معادلة (‪ )8‬بداللة العزوم المرافقة لمشتقات زوايا اويلر ‪ ،‬وذلك بإستخدام المعادلة التالية‬ ‫‪:‬‬ ‫𝐿𝜕‬ ‫𝐿𝜕‬ ‫𝐿𝜕‬ ‫= 𝜙𝑝 ‪,‬‬ ‫= 𝜓𝑝 ‪,‬‬ ‫̇‬ ‫̇‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫𝜙𝜕‬ ‫̇𝜓𝜕‬ ‫= 𝜃𝑝‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )8‬الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫(‪..............................)5‬‬ ‫تصبح دالة التجزئة الدورانية كما يلي‬ ‫(‪........................)1‬‬ ‫بإستخدام الجداول الرياضية ‪ ،‬نحصل على قيم التكامالت ‪ ،‬وبعد الترتيب واإختصار نحصل على ما يلي‬ ‫‪120‬‬ ‫(‪........)99‬‬ ‫نالحظ ان معادلة (‪ ، )99‬التي تعطي دالة التجزئة الدورانية ‪ ،‬مماثلة تماما لدالة التجزئة اإلنتقالية ‪ .‬اي ‪،‬‬ ‫𝑇𝑘𝐼𝜋‪2‬‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ ‪↔ 𝜋 −3‬‬ ‫𝑇𝑘𝑀𝜋‪2‬‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√ ‪V −3‬‬ ‫حاالت خاصة‪:‬‬ ‫في بعض الجزيئات ثنائية الذرات ‪ ،‬قد تكون الذرتان متشابهتين ‪ ،‬مثل جزيء ‪ ، O2‬او مختلفة ‪ ،‬مثل جزيء‬ ‫‪ .HCl‬وقد يكون ‪ I3‬حول محور التماثل ( شكل ‪ )8.3‬صفرا مما يجعل دالة هاملتون تتالشى في معادلة‬ ‫(‪ ، )99‬ولهذا السبب يجب ان نحذف درجة الحرية ‪ ψ‬في دالة الكرانج ‪ ،‬وعليه وتصبح دالة هاملتون الجديدة‬ ‫(‪ )′‬كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.......)99‬‬ ‫عند اعادة الحسابات السابقة من البداية ‪ ،‬مع اهمال الجذر التربيعي األخير في معادلة (‪ ، )99‬فإن دالة‬ ‫التجزئة الجديدة ( ‪ ) ′‬كما يلي‬ ‫(‪.......)91‬‬ ‫شكل (‪ )8.3‬الحركة الدورانية حول محور التماثل ‪.‬‬ ‫اما اذا كانت الذرتان من نفس النوع ( متشابهة ) ‪ ،‬فإن الجزيء يدور حول ‪ ϕ = π‬كما في الشكل (‪. )8.4‬‬ ‫وقيم ‪ ϕ‬تكون ضمن الفترة ]𝜋 ‪ ، [0,‬ويساهم 𝜙𝑑 ∫ بعامل ‪ ، 2π‬وتكون دالة التجزئة كما في معادلة‬ ‫(‪ )91‬ولكن بدون المعامل (‪. )1‬‬ ‫‪121‬‬ ‫شكل (‪ )8.4‬جزيء ثنائي ذرات متماثلة‪.‬‬ ‫في هذه الحالة ‪ ،‬تكون الطاقة الحرة الدورانية لجزيء ثنائي الذرة كما يلي‬ ‫(‪.........)93‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝜋‬ ‫حيث‬ ‫{ = 𝑥𝑎𝑚‪ϕ‬‬ ‫‪ ،‬وتكون القيمة العلوية للذرات المختلفة في الجزيء ‪ ،‬بينما القيمة السفلية للذرات المتماثلة فيه‪.‬‬ ‫من معادالة (‪ )93‬نحصل على دالة اإلنتروبيا وتكون كما يلي‬ ‫(‪................)94‬‬ ‫وتكون الطاقة الداخلية الناتجة عن الحركة الدورانية كما يلي‬ ‫(‪..........................)98‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون الطاقة الداخلية للغاز ثنائي الذرات تساوي مجموع الطاقة الداخلية للغاز المثالي‬ ‫‪ 𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 3𝑁𝑘𝑇 ⁄2‬والطاقة الدورانية (معادلة ‪ ، )98‬اي‬ ‫(‪...........)91‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫الحركة اإلهتزازية‬ ‫في حالة الجزيء ثنائي الذرات ‪ ،‬تكون حركة هذه الذرات ( النمط العادي لإلهتزازة ) في اتجاهين‬ ‫متضادين على طول محور هذا الجزيء ‪ ،‬لذلك يمكن اعتبار هذه الحركة اإلهتزازية مماثلة لحركة المتذبذب‬ ‫التوافقي في بعد واحد ‪ .‬وعليه‪ ،‬يكون هاملتون هذه الحركة كما يلي‬ ‫‪122‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑓‬ ‫) ‪𝐻𝑣𝑖𝑏 = ∑𝑖=1 (2𝑀𝑖 + 2 𝑀𝑖 𝜔𝑖 2 𝑞𝑖2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑖‬ ‫‪ = f‬عدد انماط اإلهتزازات ‪ ،‬في حالة الجزيء الواحد يكون هناك نمط عادي واحد ‪ ،‬اي ‪. f=1‬‬ ‫إليجاد دالة التجزئة للحركة األهتزازية ‪ ، 𝑍𝑣𝑖𝑏 ،‬نستخدم النتائج التي تم التوصل اليها في بند )‪(6.6.1‬‬ ‫والخاصة بالمتذبذب التوافق الكمي المنفرد ‪ ،‬وتكون كما يلي‬ ‫(‪.........................)1‬‬ ‫كما تكون دالة التجزئة الكلية للنظام على شكل حاصل ضرب دالة التجزئة الفردية لإلهتزازة ‪ ،‬اي‬ ‫(‪...............)1‬‬ ‫كما تكون مساهمة هذه الحركة اإلهتزازية في طاقة هلمهولتز الحرة كما يلي‬ ‫(‪.................................................)4‬‬ ‫كما تكون الطاقة الداخلية للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.................................)8‬‬ ‫كما تكون السعة الحرارية مع ثبوت الحجم كما يلي‬ ‫(‪.............................)6‬‬ ‫)‪ (7.3‬نظام المواد البارامغناطيسية ‪Paramagnetic materials system‬‬ ‫لنفرض نظام ما مكون من ‪ N‬ثنائي قطب مغناطيسي ‪ ، magnetic dipoles‬حيث لكل منهما عزم‬ ‫مغناطيسي ‪ . μ‬عند تسليط مجال مغناطيسي خارجي شدته ‪ ، Η‬فإن ثنائيات األقطاب تميل الى اإلصطفاف‬ ‫‪123‬‬ ‫‪ align‬في اتجاه هذا المجال ‪ ،‬وتصبح العينة ممغنطة جزئيا ‪ ،‬وذلك بسبب الهزات الحرارية التي تعمل على‬ ‫منع اإلصطفاف الكامل لهذه الثنائيات المغناطيسية ‪ .‬وتعتمد درجة التغنط على درجة حرارة النظام ‪ ،‬من خالل‬ ‫العالقة التالية ‪. 𝜇𝐻 ⁄𝑘𝑇:‬‬ ‫في هذه الدراسة ‪ ،‬نفرض ان النمط المعتمد يتكون من ‪ N‬ثنائي قطب مغناطيسي ‪ ،‬بحيث تكون مميزة ‪ ،‬متماثلة‬ ‫‪ ،‬وغير كتفاعلة‪ .‬تكون طاقة النظام ناتجة عن المجال المغناطيسي الخارجي ‪ ،‬وتكون على صورة طاقة وضع‬ ‫لثنائيات القطب المغناطيسي ‪ .‬رياضيا ‪،‬‬ ‫(‪........................................)9‬‬ ‫وتكون دالة التجزئة للنظام كما يلي‬ ‫(‪.........................................)1‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫(‪..........................................)3‬‬ ‫اما معدل التمغنط ‪ Μ ،‬في اتجاه المجال المغناطيسي ‪ ( H‬لنفرض اتجاه محور ‪، ) z -‬فيكون كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.............................................)4‬‬ ‫‪124‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬لتحديد درجة التمغنط هذه ‪ ،‬يجب ان نجد قيمة دالة التجزئة المنفردة ( معادلة ‪ ، )3‬وذلك بإستخدام‬ ‫طريقة النجفن‬ ‫‪ . )9198 ( Langevin‬كالسيكيا ‪ ،‬تتلخص هذه الطريقة كما يلي‪:‬‬ ‫نعتمد على عنصر الزاوية المجسمة في مستوى )‪ ، ( θ , ϕ‬والذي يمثل ترتيبا لثنائي قطب مغناطيسي ضمن‬ ‫مدي صغير ‪ ،‬فتكون دالة التجزئة كما يلي‬ ‫(‪............................)8‬‬ ‫لنعرف معدل العزوم المغناطيسية على النحو التالي ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪..................................)1‬‬ ‫تسمى الدالة ‪:‬‬ ‫𝐻𝜇𝛽 = 𝑥 ; )𝑥(𝐿 بدالة النجفن ‪ ، Langevin function‬ويمكن تمثيا هذه الدالة‬ ‫بيانيا كما في الشكل (‪. )7.4‬‬ ‫شكل (‪ )7.4‬دالة النجفن‬ ‫رياضيا ‪ ،‬تكون هذه الدالة بالصورة التالية‪:‬‬ ‫‪125‬‬ ‫لنفرض ان ‪ = N0‬عدد ثنائيات القطب المغناطيسي لكل حجم في النظام ‪ ،‬يكون معدل العزم المغناطيسي‬ ‫لوحدة الحجم كما يلي‪:‬‬ ‫(‪............................................)5‬‬ ‫في حالة المجال المغناطيسي الخارجي القوي ‪ ،‬اي ‪ ، 𝑥 ≫ 1 → 𝐿(𝑥) → 1‬وهذا يعني ان النظام‬ ‫يكون مشبعا مغناطيسيا ‪ ،‬ويكون معد ل العزم المغناطيسي كما يلي‬ ‫(‪.............................)1‬‬ ‫اما في حالة المجال المغناطيسي الخارجي الضعيف ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫)‪(10‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪45‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑥 ≪ 1 → 𝐿(𝑥) ≈ −‬‬ ‫ويصبح مقدار التمغنط تقريبا كما يلي‬ ‫(‪................................)99‬‬ ‫من تعريف القابلية المغناطيسية للمادة ‪ ، magnetic Susceptibility‬نحصل على ما يلي‬ ‫(‪.....................................)91‬‬ ‫وهذا يعرف بقانون كوري ‪ ، Curie Law‬كما يسمى الثابت ‪ C‬بثابت كوري‬ ‫‪126‬‬ ‫)‪ (7.4‬صالحية ونهاية اإلحصاء الكالسيكية‬ ‫‪Validity and the limit of classical statistics‬‬ ‫نعرض فيما يلي اشتقاق الشرط الالزم تحقيقه حتى يكون استخدام احصاء ماكسويل – بولتزمان‬ ‫صحيحا لوصف نظام الغاز المثالي الكالسيكي (التقليدي)‪ .‬لنفرض ان غازا مثاليا يحتوي على جسيم‬ ‫𝑟𝑡‬ ‫واحد في حالة معينة ( ‪ ) s- state‬وطاقته الحركية 𝑠‪ ، ε‬تكون دالة احتمال ‪ ، Ps ،‬تواجد هذا الجسيم‬ ‫كالتالي‪:‬‬ ‫̅̅̅ ‪ (،‬معدل عدد‬ ‫وفي حالة احتواء النظام على ‪ N‬من الجسيمات ‪ ،‬فإن متوسط رقم األشغال ‪𝑛𝑠 ،‬‬ ‫الجسيمات في المستوى ‪ ) s‬يعطى كالتالي ‪:‬‬ ‫𝑠𝑃𝑁 = 𝑠𝑛‬ ‫̅̅̅‬ ‫̅̅̅ ‪ ،‬اي‬ ‫حيث ان النظام المثالي ( التقليدي) يجب ان يحقق الشرط ‪𝑛𝑠 ≪ 1‬‬ ‫بإستخدام دالة التجزئة اإلنتقالية للجسم المنفرد ( بند ‪ ، 1.1.9‬معادلة ‪ ، )1‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫𝑟𝑡 𝜀‬ ‫‪𝑁ℎ3‬‬ ‫𝑠 ‪−‬‬ ‫‪−3/2‬‬ ‫)𝑇 𝐵𝑘𝑚𝜋‪(2‬‬ ‫= 𝑠̅𝑛‬ ‫‪𝑒 𝑘𝑇 ≪ 1‬‬ ‫𝑉‬ ‫وعليه يكون الشرط الواجب توفرة لصالحية المعالجة السابقة للنظام التقليدي هو ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(𝑁ℎ3 /𝑉)(2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇)−2 ≪ 1‬‬ ‫‪127‬‬ ‫لجميع قيم ‪ . s‬وهذا الشرط يتطلب ان تكون درجة حرارة النظام ( ‪ )T‬عالية ويكون النظام مخففا ( الكثافة‬ ‫منخفضة) ‪.‬‬ ‫__________________________________________________________________‬ ‫‪128‬‬ ‫الفصل الثامن ‪ :‬اإلحصاء الكمي ‪Quantum Statistics‬‬ ‫يتناول هذا الفصل شرحا لتطور نظريات اإلحصاء الكمي ‪ ،‬وذلك من خالل وصف الخصائص الكمية‬ ‫للجسيمات المميزة ‪ .‬كما يعرض دوال التوزيع في نموذجين احصائيين هما ‪ :‬احصاء بوز‪ -‬اينشتين واحصاء‬ ‫فيرمي – ديراك ‪ ،‬ويقدم مقارنة بين هذه التوزيعات مع التوزيع الكالسيكي ( توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان) ‪.‬‬ ‫إضافة الى عرض عدة تمارين محلولة كتطبيقات عملية لهذه النماذج اإلحصائية‬ ‫)‪ (8.1‬مقدمة‬ ‫تعتمد نظريات الميكانيكا الكالسيكية على فرضية امكانية تحديد موقع الجسيم وكمية حركته الخطية وبدقة‬ ‫متناهية في وقت واحد‪ ،‬ولكن هذه الفرضية تعتبر غير مقبولة في نظريات ميكانيكا الكم وذلك بسبب مبدأ‬ ‫الشك او الاليقين ‪ uncertain principle‬لهيزنبيرغ والتي يعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒉 ≫ 𝒑∆ 𝒓∆‬ ‫لنفرض حركة جسيم ما في غاز ما ‪ ،‬فيمكن التعبير عن هذا المبدا بداللة متوسط قيم كمية الحركة ( الزخم)‬ ‫للجسيم 𝒗𝒂𝒑 ومتوسط موقع هذه الجسيم 𝒗𝒂𝒓 على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫𝒉 ≫ 𝒗𝒂𝒑 𝒗𝒂𝒓‬ ‫فاذا تحقق هذه الشرط ‪ ،‬يكون الوصف الكالسيكي لحركة هذا الجسيم ممكنا ‪.‬‬ ‫بإستخدام معادلة دي‪ -‬برولي للجسيم المتحرك والتي تعطي طول الموجة المصاحبة للجسيم بداللة كمية‬ ‫زخمه ‪،‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫𝑝‬ ‫= ‪ ، λ‬نحصل على الشروط لبيان نهاية الميكانيكا الكالسيكية ونهاية الميكانيكية الكمية‬ ‫وهي‪:‬‬ ‫𝑡𝑖𝑚𝑖𝑙 𝑙𝑎𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎𝑙𝑐‪،‬‬ ‫𝑣𝑎‪𝒓𝒂𝒗 ≫ λ‬‬ ‫𝑡𝑖𝑚𝑖𝑙 𝑚𝑢𝑡𝑛𝑎𝑢𝑄‪،‬‬ ‫𝑣𝑎‪𝒓𝒂𝒗 ≪ λ‬‬ ‫لتوضيح ذلك ‪ ،‬نفرض ان غازا مثاليا مكونا من ‪ N‬من الجسيمات وان كل جسيم ( جزئ ) مستقر في‬ ‫مكعب طول ضلعه 𝒗𝒂𝒓 ‪ ،‬فيكون حجم الفراغ الذي تشغله هذه المكعبات كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑉 1/3‬‬ ‫) (=‬ ‫𝑁‬ ‫𝑣𝑎𝑟 ⟹ 𝑉 = 𝑁‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑣𝑎𝑟‬ ‫بالرجوع الى تعريف متوسط الطاقة الحركية للجسيم ‪ ،‬نجد ان متوسط كمية الزخم كالتالي‪:‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪̅𝛆 = 𝑝𝑎𝑣 = 3𝑘𝐵 𝑇 ⟹ 𝑝 = ( 3𝑚𝑘 𝑇)1/2‬‬ ‫𝑣𝑎‬ ‫𝐵‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اذن‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫=‬ ‫𝑣𝑎𝑝‬ ‫‪( 3𝑚𝑘𝐵 𝑇)1/2‬‬ ‫=‬ ‫𝑣𝑎‪λ‬‬ ‫اذن ‪ ،‬يكون شرط صالحية استخدام الوصف الكالسيكي لنظام غاز كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑉 1/3‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫≫ ) (‬ ‫𝑁‬ ‫‪( 3𝑚𝑘𝐵 𝑇)1/2‬‬ ‫نستنتج من هذا الشرط ان الوصف الكالسيكي يكون مالئما اذا تحقق النظام الظروف التالية‬ ‫(‪ )9‬ان يكون عدد جسيمات النظام قليلة ( الغاز مخفف او ذو كثافة منخفضة)‪.‬‬ ‫(‪ )1‬ان تكون درجة حرارة النظام مرتفعة‪.‬‬ ‫(‪ )3‬ان تكون كتلة الجزئ ليست صغيرة جدا‪.‬‬ ‫لتوضيح ذلك ‪ ،‬نعتبر األنظمة التالية وهي ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬جزيئات غاز ما في الظروف المعيارية )‪(NTP‬‬ ‫في حالة الظروف المعيارية ‪ ،‬حيث تكون كثافة الجزيئات تساوي ‪ρ𝑚𝑜𝑙 = molecules/m3‬‬ ‫‪ ، 1025‬ويكون حجم الجزئ المتاح ‪= 1025 𝑚3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑙𝑜𝑚𝜌‬ ‫= 𝑉 ‪ ،‬بينما يكون نصف قطر الجزئ‬ ‫𝑚 ‪𝑟𝑚𝑜𝑙 ≈ 10−10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون الحجم الحقيقي للجزئ ‪. 𝑉 ≈ 3 𝜋(𝑟𝑚𝑜𝑙 )3 ≈ 10−30 m3‬‬ ‫من هذه القيم نستنتج ان‪ :‬في الغازات يكون حجم الجزئ الحقيقي اصغر بكثير من حجمه المتاح‪ ،‬ولذلك‬ ‫يمكن التعامل مع هذا الغاز وفقا للوصف الكالسيكي‪.‬‬ ‫)‪ (b‬الكترونات التوصيل في المعادن‬ ‫‪130‬‬ ‫في هذا النظام ‪ ،‬تكون الكثافة الحجمية‬ ‫𝑛𝑜𝑟𝑡𝑐𝑒𝑙𝑒‬ ‫‪𝑚3‬‬ ‫‪ ، ρ𝑒𝑙𝑒𝑐 = 1028‬الحجم المتاح = 𝑐𝑒𝑙𝑒‪V‬‬ ‫‪ ، 1⁄ρ𝑒𝑙𝑒𝑐 = 10−28 m3‬ويتم حساب نصف قطر اإللكترون كما يلي‪:‬‬ ‫𝑚 ‪𝑟𝑒𝑙𝑒𝑐 = ℎ⁄𝑝 = ℎ⁄√2𝑚𝐸(1𝑒𝑣) = 10−9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟 𝜋‬ ‫وعليه يكون الحجم الحقيقي لإللكترون مساويا للمقدار ‪= 10−25 𝑚3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑐𝑒𝑙𝑒𝑉‪.‬‬ ‫وبناء" عليه ‪ ،‬نجد ان ‪ :‬في المواد الموصلة ‪ ،‬يكون حجم اإللكترون الحقيقي اكبر من حجمه المتاح ‪ ،‬ويسبب‬ ‫ذلك تداخال بين المويجات المصاحبة لحركة اإللكترونات ( مبدأ دي برولي) الى حد ال نستطيع معه تحديد‬ ‫موضع هذه اإللكترونات في الموصل المعدني ‪ .‬وعليه تكون اإللكترونات‬ ‫جسيمات غير مميزة‬ ‫‪ ، Indistinguishable particles‬وهذا استوجب البحث عن نظام احصائي جديد لهذه الجسيمات مختلفا‬ ‫عن احصاء ماكسويل – بولتزمان والذي يتعامل مع نظام الجسيمات المميزة ( كما سبق شرحه في الفصل‬ ‫الثالث)‪.‬‬ ‫(‪ )8.1‬الخصائص الكمية للجسيمات غير المميزة‬ ‫يعود سبب كون بعض الجسيمات في الطبيعة غير مميزة الى ظاهرة ميكانيكا الكم ‪ ،‬وبذلك ال يمكن تحري‬ ‫نتيجة عملية تبديل مواقع ( التغيير البيني ‪ )interchange‬هذه الجسيمات في النظام ‪ .‬ويمكن التعبير عن‬ ‫ذلك رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫لنفرض ان الدالة الموجية لكل جسيم منفرد هي ‪ ، Φ‬يكون الربط الخطي ‪Combination Linear‬‬ ‫لهذه الدوال معا يعطي الدالة الموجية الكلية للنظام والمكون من هذه الجسيمات ويرمز لهذه الدالة ‪ .ψ‬لنفرض‬ ‫ان نظاما ما مكون من ‪ 3‬جسيمات ‪ ،‬تكون دالتة الموجية الكلية كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ψ = Φ𝑎 (1) Φ𝑏 (2) Φ𝑐 (3‬‬ ‫وعند التغيير البيني لهذه الجسيمات نحصل على ست تبديالت ممكنة ‪ ،Permutations‬وتكون على النحو‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫𝑐𝑡𝑒 … … … ‪Φ𝑎 (2) Φ𝑏 (1) Φ𝑐 (3) ، Φ𝑎 (2) Φ𝑏 (3) Φ𝑐 (1) ،‬‬ ‫‪131‬‬ ‫فإذا كانت جميع الجسيمات متماثلة ‪ ، identical‬تعطي كل هذه التبديالت حلوال لمعادلة شرودنجر ‪ ،‬وكذلك‬ ‫تكون جميع اإلرتباطات الخطية حلوال لهذه المعادلة ‪ .‬ولكن الجدير بالذكر انه يوجد حالن لهما معنى فيزيائي‬ ‫وهما‪:‬‬ ‫(‪ )9‬ان تكون الدالة الموجية الكلية متناظرة ( ‪ ،(Symmetric‬ويرمز لها 𝑆‪ ، ψ‬ويعبر عنها كالتالي‪:‬‬ ‫⋯ ‪ψ𝑆 = Φ𝑎 (1) Φ𝑏 (2) Φ𝑐 (3) + Φ𝑎 (2) Φ𝑏 (1) Φ𝑐 (3) +‬‬ ‫(‪ )1‬ان تكون الدالة الموجية الكلية للنظام غير متناظرة )‪ ، ( Asymmetric‬ورمز هذه الدالة 𝑆𝐴‪ ، ψ‬وتكون‬ ‫صورتها الياضية كالتالي‪:‬‬ ‫⋯ ‪ψ𝐴𝑆 = Φ𝑎 (1) Φ𝑏 (2) Φ𝑐 (3) − Φ𝑎 (2) Φ𝑏 (1) Φ𝑐 (3) +‬‬ ‫وبشكل عام ‪ ،‬يمكن تصنيف الجسيمات األولية الموجودة في الطبيعة الى نوعين هما‪:‬‬ ‫)‪ (a‬البوزونات )‪ : (Bosons‬وهي الجسيمات ذات دوال موجية متناظرة ويكون لها رقم لف ( برم) كمي‬ ‫‪ S‬بشكل عدد صحيح ‪( .Integer‬ويسمى النظام الذي يتكون من ‪ N‬من هذه الجسيمات المتشابهة نظام بوز‬ ‫)‪. ( Bose System‬ومن األمثلة على جسيمات بوز ‪:‬‬ ‫الفوتون )‪ ، (S=1‬الفونون )‪ π − meson ، (S=0‬حيث ) ‪. (S=0‬‬ ‫)‪ (b‬الفيرمونات )‪ : (Fermions‬وهي الجسيمات ذات الدالة الموجية الكلية غير المتناظرة ‪ ،‬ويكون لها رقم‬ ‫لف كمي بصورة نصف عدد صحيح ‪ .Half Integer‬ويسمى النظام الذي يتكون ‪ N‬من هذه الجسيمات‬ ‫المتشابهة نظام فيرمي )‪ . (Fermi System‬ومن األمثلة على الفيرمونات ‪ :‬البروتون ‪ ،‬النيترون ‪،‬‬ ‫واإللكترون ‪ ،‬حيث ‪ S=1/2‬لكل منهما ‪.‬‬ ‫مثال (‪)8.1‬‬ ‫حدد ألي نظام جسيمي تتبع الذرات التالية ‪He4 :‬‬ ‫‪ He3 ،‬؟‬ ‫‪132‬‬ ‫الحل‬ ‫تتكون ذرة ‪ He4‬من التالي ‪ 1 :‬بروتون ‪ 1 +‬نيوترون ‪ 1 +‬الكترون ‪ ،‬وبما ان العدد زوجي من جسيمات‬ ‫فيرمي ‪ ،‬فإن هذه الذرة تتبع نظام بوز ‪.‬‬ ‫بينما تتكون ذرة ‪ He3‬من التالي‪ 1 :‬بروتون ‪ 9+‬نيوترون ‪ 1 +‬الكترون ‪ ،‬اي ‪ 8‬من جسيمات فيرمي ‪ ،‬وعليه‬ ‫تتبع هذه الذرة نظام فيرمي ‪.‬‬ ‫من اجل المقارنة الرياضية ‪ ،‬اعتبر علماء الميكانيكا اإلحصائية نظاما ثالثا (نظام بولتزمان) ‪ ،‬والذي سبق‬ ‫اإلشارة الى توزيعاته اإلحصائية في الفصل الثالث والخامس من هذا الكتاب ‪ .‬في الحقيقة ال يوجد تعريفا لهذا‬ ‫النظام في الطبيعة ‪ ،‬ويعتبرفقط نموذجا ‪ model‬مفيدا لدراسة نظريات الميكانيكا اإلحصائية ‪ ،‬حيث عند‬ ‫درجات الحرارة العالية ‪ ،‬فإن السلوك الديناميكي الحراري لكل من نظام بوز ونظام فيرمي يقترب من السلوك‬ ‫الديناميكي الحراري لنظام بولتزمان ‪ ،‬وسنتناول ذلك في سياق الفصول القادمة ‪.‬‬ ‫(‪ )8.1‬إحصاء بوز – أينشتين‬ ‫‪Bose – Einstein Statistics‬‬ ‫يتناول هذا اإلحصاء سلوك الجسيمات غير المميزة ( البوزونات) والتي تملك دوال موجية متناظرة وال تخضع‬ ‫لمبدأ باولي لإلستبعاد ‪ ،‬و تكون الحركة المغزلية ذات اعداد صحيحة من المقدار ‪ . ℏ‬كما ال يحدد في اإلحصاء‬ ‫عدد الجسيمات التي تشغل نفس المستوى الكمي‪ ،‬و تعتبر هذه الجسيمات مثالية عند اهمال طاقة التفاعل بينها‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫عدد الحاالت المجهرية 𝛀‬ ‫لنعتبر ان منسوبا من الطاقة )𝑗( له عدد من المستويات ( درجة انتماء) 𝑗𝑔 والتي تحتوي على 𝑗‪n‬‬ ‫من الجسيمات غير المميزة وبدون قيود على عددها في هذا المستوى ‪ .‬يمكن تبسيط الصورة بإعتبارهذه‬ ‫الجسيمات موضوعة على خط ( الكرات السوداء) وتفصل بينها حواجز ‪ barriers‬عددها ) ‪، ) 𝑔𝑗 - 1‬‬ ‫( الشكل ‪. )5.9‬‬ ‫شكل(‪ : )5.9‬ترتيب ‪ 93‬بوزون مقسمة على ‪ 5‬حواجز والتي تمثل مستويات متساوية الطاقة ‪.‬‬ ‫‪133‬‬ ‫يمكن الحصول على حاالت مجهرية جديدة بواسطة خلط الخطوط والجسيمات بشرط اإلحتفاظ بثبوت‬ ‫عدد كل من 𝑗𝑔 ‪ . n𝑗 ,‬ويكون عدد هذه الحاالت المجهرية المصاحبة لمنسوب الطاقة ‪ j‬مساويا لعدد‬ ‫الطرق التي يتم فيها ترتيب )‪ )𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1‬من األشياء ( مجموع الحواجز والكرات) في عدد من‬ ‫األماكن 𝑗𝑛 و )‪ . (𝑔𝑗 − 1‬وحسب نظرية اإلحتماالت ( الفصل الثاني) ‪ ،‬يكون عدد هذه الحاالت ) 𝑗‪( Ω‬‬ ‫لكل منسوب طاقة ‪ j‬كالتالي‪:‬‬ ‫!)‪(𝑛𝑗 +𝑔𝑗 −1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫! 𝑗𝑔 ! 𝑗𝑛‬ ‫= 𝐸𝐵𝑗‪Ω‬‬ ‫كما يعطى العدد الكلي للحاالت المجهرية لنظام بوز – أينشتين بحاصل ضرب العدد الكلي للحاالت‬ ‫المجهرية المصاحبة لكل منسوبات الطاقة في هذا النظام وتكون كالتالي‪:‬‬ ‫!)‪(𝑛𝑗 +𝑔𝑗 −1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫! 𝑗𝑔 ! 𝑗𝑛‬ ‫‪Ω𝐵𝐸 = ∏𝑛𝑗=1‬‬ ‫مثال (‪)9‬‬ ‫جد عدد الحاالت المجهرية المصاحبة لمستوى الطاقة ‪ j‬عند توزيع ‪ 1‬من جسيمات بوز على ‪ 3‬منسوبات‬ ‫من الطاقة ؟‬ ‫الحل‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )9‬حيث ان ‪ ، 𝑛𝑗 = 2 , 𝑔𝑗 = 3‬نحصل على ما يلي‬ ‫!)‪(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1)! (2 + 3 − 1‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=6‬‬ ‫! 𝑗𝑔 ! 𝑗𝑛‬ ‫!‪2! 2‬‬ ‫!‪2! 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= 𝐸𝐵𝑗‪Ω‬‬ ‫ويمكن تمثيل هذا التوزيع كما في الجدول )‪ ( 5.9‬التالي‪:‬‬ ‫مستويات الطاقة‬ ‫عدد الحاالت المجهرية‬ ‫‪K1 K2 K3 K4 K5 K6‬‬ ‫‪𝑔j‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪134‬‬ ‫‪III‬‬ ‫جدول(‪ : )5.9‬توزيع بوز‪ -‬اينشتين لجسيمين غير مميزين على ‪ 3‬مستويات من الطاقة‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫توزيع بوز – اينشتين ‪Bose – Einstein Distribution‬‬ ‫إليجاد توزيع بوز‪ -‬اينشتين ‪ ،‬نتبع نفس الخطوات الرياضية المستخدمة سابقا في توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان‬ ‫( الفصل الثالث )‪ ،‬ونبدا بإيجاد اللوغارتم الطبيعي للدالة المعطاة في معادلة (‪ )1‬والبحث عن القيمة العظمى‬ ‫لهذه الدالة ‪ ،‬او‬ ‫‪𝜕(ln Ω𝐵𝐸 ⁄𝜕𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫باعتبار تعريف الطاقم المجهري المقبول ‪ ،‬نحصل على الشرطين التاليين وهما‪:‬‬ ‫‪∑𝑗 𝑛𝑗 = 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⟹ 𝛿(∑𝑗 𝑛𝑗 ) = 0‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪∑𝑗 𝜀𝑗 𝑛𝑗 = 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⟹ 𝛿(∑𝐽 𝜀𝑗 𝑛𝑗 ) = 0‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫!)‪ln Ω𝐵𝐸 = ∑[ln(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1)! − ln 𝑛𝑗 ! − ln(𝑔𝑗 − 1‬‬ ‫𝑗‬ ‫بإستخدام مفكوك ستيرنج ( الفصل الثالث) للوغارتم ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫‪ln Ω𝐵𝐸 = ∑𝑗[(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1) ln(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1) − (𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 − 1) − 𝑛𝑗 ln 𝑛𝑗 + 𝑛𝑗 −‬‬ ‫])‪(𝑔𝑗 − 1) ln(𝑔𝑗 − 1) − (𝑔𝑗 − 1‬‬ ‫] 𝑗𝑔 ‪ln Ω𝐵𝐸 = ∑[ (𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 ) ln(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 ) − 𝑛𝑗 ln 𝑛𝑗 − 𝑔𝑗 ln‬‬ ‫𝑗‬ ‫اذا كان ‪ ، 𝑛𝑗 , 𝑔𝑗 ≫ 1‬فإن بإستخدام معادلة (‪ )5.3‬نجد ان‬ ‫‪135‬‬ ‫‪𝑑(ln Ω𝐵𝐸 ) = ∑ 𝑑𝑛𝑗 ln(𝑛𝑗 + 𝑔𝑗 ) + 𝑑𝑛𝑗 − 𝑑𝑛𝑗 ln 𝑛𝑗 − 𝑑𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫𝑗‬ ‫وتبسيط هذه المعادلة يعطي التالي‬ ‫‪𝑑𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫) 𝑗𝑔‪(𝑛𝑗 +‬‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫‪∑𝑗( ln‬‬ ‫بضرب معادالت (‪ )8( ، )4‬بمعامالت الكرانج المضخمة ‪، α، β‬على الترتيب ‪ ،‬واضافة الناتج مع‬ ‫معادلة (‪ ، )1‬نحصل على التالي‬ ‫) 𝑗𝑔 ‪(𝑛𝑗 +‬‬ ‫𝑗𝑔 ‪𝑛𝑗 +‬‬ ‫⟹ ‪+ 𝛼 − 𝛽 𝜀𝑗 ) 𝑑𝑛𝑗 = 0‬‬ ‫𝑗𝜀𝛽 𝑒 𝛼‪= 𝑒 −‬‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫إذن ‪،‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫‪∑(ln‬‬ ‫𝑗‬ ‫= 𝑗𝑛‬ ‫‪𝑒 −𝛼+𝛽𝜀𝑗 − 1‬‬ ‫وبقسمة طرفي المعادلة على 𝑗𝑔 ‪ ،‬نحصل على رقم اإلشغال األكثر احتماال ‪ ،‬ويكون كالتالي‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫وهذا يسمى بتوزيع بوز – اينشتين‪.‬‬ ‫حيث‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇𝐵‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪−𝛼+‬‬ ‫𝑒‬ ‫=‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫= ∗𝑗𝑛‬ ‫𝑘=‪. β‬‬ ‫تحديد المعامل 𝜶‬ ‫حيث ان مقدار ‪ β‬يرتبط مع الطاقة ‪ ،‬فإن مقدار 𝛼 يرتبط مع عدد الجسيمات في النظام ‪ ،‬اي مع بعض‬ ‫خواص هذا النظام العيانية ‪. macroscopic properties‬‬ ‫ولتحديد قيمة هذا المعامل نبدأ من تعريف طاقة هلمهولتز الحرة ( ‪ ، )F‬اي‬ ‫𝑆𝑇 ‪𝐹 = 𝐸 −‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫𝑖𝜀 𝑖𝑛 𝑖∑ = ‪S = k 𝐵 T ln Ω𝑖 (n𝑖 ) ، E‬‬ ‫اذن‬ ‫)‪(8‬‬ ‫}) 𝑖‪𝐹 = ∑𝑖 𝐹𝑖 = ∑𝑖{𝑛𝑖 𝜀𝑖 − k 𝐵 T ln Ω𝑖 (n‬‬ ‫‪136‬‬ ‫لنعتبر عدد اإلشغال في مستوى طاقة ما 𝑗𝑛 ‪ ،‬والذي يحدد بداللة العدد الكلي لجسيمات النظام كما يلي‬ ‫𝑖𝑛 𝑗≠𝑖∑ ‪𝑛𝑗 = 𝑁 −‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تصبح معادلة (‪ )5‬على الصورة التالية‬ ‫}) 𝑖‪𝐹 = 𝑛𝑗 𝜀𝑗 − k 𝐵 T ln Ω𝑗 (n𝑗 ) + ∑𝑖≠𝑗 {𝑛𝑖 𝜀𝑖 − k 𝐵 T ln Ω𝑖 (n‬‬ ‫)‪(10‬‬ ‫بتطبيق شرط القيمة الصغرى للدالة ‪ F‬المبينة في معادلة (‪ ، )5.99‬اي ‪= 0‬‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝑗𝑛‬ ‫] 𝑛𝜕[ ‪ ،‬نحصل على‬ ‫𝑖‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫𝑗𝑛𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝑛𝜕 ]) 𝑗‪[𝜀𝑗 − k 𝐵 T 𝜕𝑛 ln Ω𝑗 (n‬‬ ‫𝑖‬ ‫) 𝑖‪𝜕 ln Ω𝑖 (n‬‬ ‫‪]=0‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )1‬نجد ان‬ ‫𝑗‬ ‫‪+ [∑𝑖≠𝑗 𝜀𝑖 − k 𝐵 T‬‬ ‫‪∂nj‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪∂ni‬‬ ‫وبالتعويض في معادالة (‪ ، )99‬نجد ان‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪ln Ω𝑖 (n𝑖 )] = [𝜀𝑗 − k 𝐵 T‬‬ ‫]) 𝑗‪ln Ω𝑗 (n‬‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫𝑗𝑛𝜕‬ ‫‪[𝜀𝑖 − k 𝐵 T‬‬ ‫وهذا يمثل مقدار محدود لكل المجموعات ‪ ،‬ولذلك نفرض ان‬ ‫𝜕‬ ‫) 𝑖‪ξ = 𝜀𝑖 − k 𝐵 T 𝜕𝑛 ln Ω𝑖 (n‬‬ ‫𝑖‬ ‫او‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln Ω𝑖 (n𝑖 ) = −‬‬ ‫𝑖‪(ξ − ε𝑖 ) = 𝛽(ξ − ε𝑖 ) = −𝜆 − 𝛽ε‬‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‬ ‫حيث بالفرض ‪ ، α = e−λ :‬اذن ‪ ،‬من تعريف معامالت الكرانج المضخمة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝜉𝛽 𝑒 = ‪α = e−λ‬‬ ‫مقارنة مع نظريات الثيرموديناميكا ‪ ،‬يعرف الجهد الكيماوي ) ‪ = (μ‬مقدار ثابت ‪،‬على النحو التالي‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫‪) = ∑[ 𝜀𝑖 − k 𝐵 T‬‬ ‫]) 𝑖‪ln Ω𝑖 (n‬‬ ‫𝑇‪𝜕𝑁 𝑉,‬‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑖‬ ‫𝑖𝑛𝜕‬ ‫𝑖𝑛 𝑖∑ 𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝜉=‬ ‫𝜉=‬ ‫𝜉 =‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫]𝜉 [∑ =‬ ‫𝑖‬ ‫𝜇‬ ‫𝑇𝑘‪𝛼 = 𝑒 𝛽𝜇 = 𝑒 −‬‬ ‫‪137‬‬ ‫(=‪μ‬‬ ‫)‪ (8.4‬احصاء فيرمي‪ -‬ديراك ‪Fermi- Dirac Statistics‬‬ ‫في عام ‪ 9111‬وضع فيرمي وديراك نظام احصائي جديد على اساس نظريات ميكانيكا الكم ويتعامل‬ ‫هذا النظام مع الفيرمونات ( اإللكترونات ‪ ،‬البروتونات ‪ ،‬والميزونات ) ذات الدوال الموجية غير المتماثلة ‪،‬‬ ‫والتي تخضع لمبدأ باولي لألستبعاد ( ال يمكن ألي جسيمين لهما نفس األرقام القدرية او الكمية ان يتواجدا‬ ‫في نفس المستوى الكمي مع األخذ بعين األعتبار الحركة المغزلية لهما) ‪ .‬ويمكن اعتبار جسيمات فيرمي‬ ‫مثالية عند اهمال طاقة التفاعل بينهما ‪ .‬ولهذا اإلحصاء عدة تطبيقات مهمة منها دراسة سلوك اإللكترونات‬ ‫الحرة في المعادن واشباه الموصالت ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫عدد الحاالت المجهرية ‪Ω‬‬ ‫يفترض في هذا اإلحصاء ان كل مستوى طاقة اما ان يمأل بجسيم واحد فقط او يكون فارغا (‬ ‫كما في الشكل‪.)5.1‬‬ ‫شكل (‪ )5.1‬نوزيع ‪ 4‬من جسيمات فيرمي على ‪ 8‬من مستويات الطاقة 𝑗‪.ε‬‬ ‫على فرضية ان يكون في هذا النظام عدد الجسيمات المراد توزيعها اصغر او تساوي انحاللية ( درجة‬ ‫اإلنتماء) لكل مستوى من الطاقة ‪ ( j‬اي ‪ ، ( 𝑛𝑗 ≤ 𝑔𝑗 :‬فإنه يمكن تقسيم مجموعة المستويات الفرعية‬ ‫او اإلنحاللية 𝑗𝑔 الى مجموعتين‪ :‬المجموعة األولى عددها 𝑗𝑛 ‪ ،‬حيث يحتوي كل مستوى فرعي منها على‬ ‫جسيم واحد ‪ ،‬بينما المجموعة الثانية فارغة من اي جسيم ويكون عددها ) 𝑗𝑛 ‪ . ( 𝑔𝑗 −‬وعليه ‪ ،‬يصبح‬ ‫توزيع الجسيمات كما في حالة التجربة العشوائية ( حالة رمي ‪ N‬قطعة نقد وتسجيل نتائج هذه التجربة ‪،‬‬ ‫معادلة ‪.) 1.5‬‬ ‫اي ‪ ،‬يكون عدد الحاالت المجهرية لمستوى الطاقة 𝑗 في احصاء فيرمي – ديراك )‪ (FD‬كالتالي ‪:‬‬ ‫‪138‬‬ ‫! 𝑗𝑔‬ ‫)‪(12‬‬ ‫𝐷𝐹‬ ‫𝑛 = 𝑗‪Ω‬‬ ‫!) 𝑗𝑛‪𝑗 !(𝑔𝑗 −‬‬ ‫مثال (‪)0‬‬ ‫بين على شكل جدول طرق توزيع ‪ 1‬من الفيرمونات ‪ ،‬وفق احصاء فيرمي‪ -‬ديراك ‪ ،‬في حالة ‪ 3‬مستويات‬ ‫طاقة فرعية ؟‬ ‫الحل‬ ‫نالحظ ان ‪𝑛𝑗 ≤ 𝑔𝑗 :‬‬ ‫‪𝑛𝑗 = 2, 𝑔𝑗 = 3 ،‬‬ ‫عدد الحاالت المجهرية عدد مستويات الطاقة‬ ‫‪K1‬‬ ‫‪K2‬‬ ‫‪K3‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫‪Ι‬‬ ‫‪ΙΙ‬‬ ‫‪ΙΙΙ‬‬ ‫شكل (‪ )5.3‬توزيع ‪ 1‬جسيم فيرمي على ‪ 3‬مستويات طاقة فرعية ‪.‬‬ ‫بإستخدام القانون ( معادلة ‪ ، )91‬نجد ان عدد الحاالت المجهرية‪:‬‬ ‫! 𝑗𝑔‬ ‫!‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫!‪𝑛𝑗 ! (𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 )! 2! 1‬‬ ‫=‬ ‫𝐷𝐹‬ ‫𝑗‪Ω‬‬ ‫او بالتوزيع المباشر للجسيمات في المستويات الفرعية كما في شكل (‪ ، )5.3‬نجد ان عدد الحاالت‬ ‫المجهرية يساوي ‪.3‬‬ ‫اما العدد الكلي للحاالت المجهرية المصاحبة لترتيب عيني مسموح به ‪ ،‬يكون كالتالي‬ ‫! 𝑗𝑔‬ ‫)‪(13‬‬ ‫!) 𝑗𝑛‪𝑛𝑗 !(𝑔𝑗 −‬‬ ‫‪= ∏𝑛𝑗=1‬‬ ‫𝐷𝐹‬ ‫‪Ω‬‬ ‫إليجاد توزيع فيرمي‪ -‬ديراك األكثر احتماآل ‪ ،‬نستخدم نفس الخطوات الرياضية التي سبق شرحها في حالة‬ ‫توزيع بوز‪ -‬اينشتين ‪ ،‬مع استعمال معادلة (‪ )5.93‬وأخذ اللوغارتم الطبيعي لهذه المعادلة ‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫𝑗𝜀𝛽‪−𝛼+‬‬ ‫𝑒(‬ ‫= ∗𝑗𝑛‬ ‫او‬ ‫‪139‬‬ ‫∗𝑗𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜀𝛽‪= −𝛼+‬‬ ‫‪𝑗 +1‬‬ ‫𝑗𝑔‬ ‫𝑒‬ ‫)‪………….(14‬‬ ‫حيث ∗𝑗𝑛 يمثل عدد الفيرمونات التي لها طاقة 𝑗‪ ε‬وهو يعطي نفس العدد من المستويات التي تملك هذه‬ ‫الطاقة ‪ .‬كما تكون قيم 𝛼 ‪ 𝛽 ،‬مساوية لمقاديرها السابقة‪.‬‬ ‫وتسمى معادلة (‪ )94‬توزيع فيرمي – ديراك لحاالت مستويات الطاقة المنفصلة ‪.‬‬ ‫اما في حالة الطيف المتصل‪ ،‬فيؤول هذا التوزيع الى دالة )𝜀(𝑓 والتي تكون على الصورة الرياضية‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑒 (𝜀−𝜇)/𝑘𝐵 𝑇 + 1‬‬ ‫= )𝜀(𝑓‬ ‫)‪ (8.5‬مقارنة التوزيعات اإلحصائية‪ :‬ماكسويل‪ -‬بولتزمان‪،‬فيرمي‪ -‬ديراك‪ ،‬و بوز‪ -‬اينشتين‬ ‫كما مر معنا في الفصول السابقة ‪ ،‬فإن الميكانيك اإلحصائي يتعامل مع مواصفات المادة عند التوازن ‪ .‬وتكون‬ ‫عملية الوصول الى التوازن في حالة توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان عملية بسيطة ‪ .‬ويكون من المكن اشتقاق‬ ‫هذا توزيع بطريقة بسيطة‪ ،‬حيث ال تعتمد على تفصيالت التفاعالت الجزيئية ‪.‬‬ ‫في الفصل الثالث ‪ ،‬تم عرض اشتقاق توزيع ماكسويل – بولتزمان بدون الرجوع الى حاالت 𝑖𝑔 ( التي لها‬ ‫طاقة محصورة بين ) 𝑖𝜀 ‪ ) )𝜀𝑖 + 𝑑𝜀𝑖 ,‬التي فيها يتم توزيع 𝑖𝑛 من الجسيمات ‪ .‬في هذا اإلحصاء التقليدي ‪،‬‬ ‫يمكن توزيع الجسيمات المميزة على المستويات المنحلة ( الفرعية) بدون قيد او تحديد سوى األخذ اإلعتبار‬ ‫التبديل بين هذه الجسيمات في كل من هذه المستويات والذي ال ينتج عنه حاالت مجهرية جديدة‪.‬‬ ‫يوضح الجدول ادناه مقارنة بين توزيع الجسيمات حسب كونها تتبع اي من اإلحصاءات الثالثة السابقة‪.‬‬ ‫الجسيمات‬ ‫دالة الموجة‬ ‫الحركة المغزلية‬ ‫رقم اإلشغال‬ ‫عدد الحاالت‬ ‫المجهرية‬ ‫ماكسويل – بولتزمان‬ ‫)‪(MB‬‬ ‫مميزة‬ ‫متماثلة وغير متماثلة‬ ‫اي رقم‬ ‫‪9,9,1,3``` …..‬‬ ‫! 𝑖𝑛‪ω𝑀𝐵 = 𝑔𝑖 !⁄‬‬ ‫)‪(FD‬فيرمي – ديراك‬ ‫)‪(BE‬بوز – اينشتين‬ ‫غير مميزة‬ ‫غير مميزة‬ ‫غير متماثلة‬ ‫‪ℏ⁄2 , 3ℏ⁄2 ….‬‬ ‫‪0,1‬‬ ‫متماثلة‬ ‫‪9 , ℏ....,‬‬ ‫‪0,1,2 ….‬‬ ‫𝐷𝐹𝜔‬ ‫}! ) 𝑖𝑛 ‪= 𝑔𝑖 !⁄{𝑛𝑖 ! (𝑔𝑖 −‬‬ ‫𝐸𝐵𝜔‬ ‫𝑖𝑔( ! 𝑖𝑛{‪= (𝑛𝑖 − 𝑔𝑖 − 1)!⁄‬‬ ‫}!)‪− 1‬‬ ‫‪140‬‬ ‫عدد الحاالت‬ ‫الكلي‬ ‫دالة التوزيع‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝐵𝑀‪Ω𝑀𝐵 = ∏ ω‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽 ‪= 𝑒𝛼−‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫𝑖𝑔‬ ‫𝑟‬ ‫𝐷𝐹‪Ω𝐹𝐷 = ∏ ω‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫𝑖𝜀𝛽 ‪−𝛼+‬‬ ‫𝑒 ( ‪= 1⁄‬‬ ‫𝐸𝐵‪Ω𝑀𝐵 = ∏ ω‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫)‪= 1⁄( 𝑒−𝛼+ 𝛽𝜀𝑖 − 1‬‬ ‫𝑖𝑔‬ ‫امثلة متنوعة‬ ‫(‪ )9‬يتكون نظام ما من ‪ 3‬جسيمات ومنسوبين ذ و طاقة ‪ ، 𝜀1 , 𝜀2‬حيث ‪ ( 𝜀1 < ε2‬كما في الشكل) ‪،‬‬ ‫اذا كانت انحاللية المنسوب األول ‪ ، 1‬ويتشبع بجسيمين ‪ ،‬بينما انحاللية المنسوب الثاني ‪ 9‬ويتشبع بجسيم ‪9‬‬ ‫‪ ،‬احسب العدد الكلي للحالت المجهرية في انظمة األحصاء الثالثة ؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪141‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫𝑖𝑔‬ ‫من المعطى نعلم ان‪:‬‬ ‫‪𝑔2 = 1, 𝑛2 = 1‬‬ ‫‪𝑛1 = 2,‬‬ ‫‪𝑔1 = 2,‬‬ ‫وبإستخدام جدول المقارنة ‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫(‪ )0‬يتكون نظام ما من جسيمين بداخل حجم ‪ ، V‬اذا كان بإمكان اي من الجسمين التواجد في اي من‬ ‫المستويات الكمية الثالث ذات الطاقات التالية‪ . ε1 = 0 ، ε2 = ε ، ε3 = 3𝜀 :‬جد توزيع ودالة‬ ‫التجميع على فرض ان هذه الجسيمات تتبع‪:‬‬ ‫‪ )a‬احصاء ماكسويل – بولتزمان‬ ‫‪ (b‬احصاء بوز – اينشتين‬ ‫‪ (c‬احصاء فيرمي – ديراك ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ (a‬في احصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬تكون الجسيمات مميزة ونفرض انها ممثلة بالرموز ‪، A, B‬‬ ‫وبإمكان المستوى ان يتشبع بجسيم او اكثر ‪ ،‬وعليه نبدأ بتوزيع الجسيمين على مستويات الطاقة بدون تحديد‬ ‫الطاقة الكلية للنظام مما ينتج عنه الحاالت المجهرية كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪142‬‬ ‫نحسب الطاقة الكلية للنظام من المعادلة التالية‪ ، E𝑖 = ∑3𝑖=1 𝑛𝑖 𝜀𝑖 :‬مثال في الحالة المجهرية ‪ 𝑘1‬تكون‬ ‫الطاقة ‪ ، E𝑖 = 2 × 0 + 0 × 1 + 0 × 3 = 0 :‬بينما في الحالة المجهرية ‪ ، 𝑘3‬تكون × ‪E𝑖 = 0‬‬ ‫‪ ، 0 + 0 × 1 + 2 × 3 = 6‬وهكذا ‪.....‬‬ ‫نحسب دالة التجميع من المعادلة التالية‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑖𝐸𝛽‪Z𝑀𝐵 = ∑ 𝑔𝑖 𝑒 −‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝜀𝛽‪−4‬‬ ‫‪+ 2e‬‬ ‫𝜀𝛽‪−3‬‬ ‫‪+ 2e‬‬ ‫𝜀𝛽‪−‬‬ ‫‪+ 2e‬‬ ‫𝜀𝛽‪−6‬‬ ‫‪+e‬‬ ‫𝜀𝛽‪−2‬‬ ‫‪Z𝑀𝐵 = 1 + e‬‬ ‫ويكون العدد الكلي للمستويات المجهرية ‪ 3 ( 1‬مستويات فيها ‪ 1 :‬جسيم مميز‪ 1 +‬مستويات بها جسيم‬ ‫واحد فقط ) ‪.‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة احصاء بوز‪ -‬اينشتين ‪ ،‬يحتوي المستوي على اي عدد من الجسيمات غير المميزة ولنرمز لها‬ ‫‪ . A, A‬يكون توزيع الجسيمات كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫لنفرض ان ‪ Ki‬ترمز الى الحالة المجهرية ‪εi ،‬‬ ‫ترمز الى طاقة المستوى ‪ Ei ،‬طاقة النظام ‪.‬‬ ‫يكون توزيع الجسيمات على المستويات كما يلي‪:‬‬ ‫‪143‬‬ ‫يكون العدد الكلي للحاالت المجهرية يساوي ‪ ، 1‬وتكون دالة التجزئة لهذا النظام من الجسيمات كالتالي‬ ‫𝜀𝛽‪𝑍𝐵𝐸 = 1 + 𝑒 −2𝛽𝜀 + 𝑒 −6𝛽𝜀 + 𝑒 −𝛽𝜀 + 𝑒 −3𝛽𝜀 + 𝑒 −4‬‬ ‫)‪ (c‬في احصاء فيرمي – ديراك ‪ ،‬يكون الشرط في توزيع الجسيمات ان ال يحتوي المستوى على اكثر‬ ‫من جسيم واحد غير مميز ‪ ،‬ولنفرض رمزه ‪ . A‬وعليه يكون توزيع الجسيمات كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫ويكون عدد الحاالت المجهرية ‪ 3‬فقط ‪ .‬اما دالة التجزئة فهي كالتالي‪:‬‬ ‫𝜀𝛽‪Z𝐹𝐷 = 𝑒 −𝛽𝜀 + 𝑒 −3𝛽𝜀 + 𝑒 −4‬‬ ‫مثال ( ‪)1‬‬ ‫يتكون نظام ما من جسيمين غير مميزين‪ ،‬اذا كان بإمكان اي من الجسيمين التواجد في اي مستوى من‬ ‫المستويات الكمية الثالثة وذات الطاقات التالية ‪𝜀1 = 0 , 𝜀2 = 1𝜖 , 𝜀3 = 2𝜖 :‬‬ ‫اذا كانت انحاللية هذه المستويات كالتالي‪ . 𝑔3 = 1, 𝑔2 = 1, 𝑔1 = 2 :‬جد دالة التجميع ومتوسط‬ ‫الطاقة لهذا النظام اذا كانت الجسيمات تتبع‬ ‫(‪ )9‬احصاء فيرمي‪ -‬ديراك‬ ‫(‪ )1‬احصاء بوز – اينشتين‬ ‫(‪ )3‬نهاية متوسط الطاقة عندما ∞ → 𝑇‬ ‫الحل‬ ‫(‪ )9‬يكون توزيع الجسيمات في احصاء فيرمي‪ -‬ديراك كما في الجدول ادناه‪:‬‬ ‫‪144‬‬ ‫𝑖𝐸𝛽‪𝑍𝐹𝐷 = ∑ 𝑔𝑖 𝑒 −‬‬ ‫𝑖‬ ‫‪= 𝑒 −𝛽𝐸0 + 𝑒 −𝛽𝐸1 + 𝑒 −𝛽𝐸2 + 𝑒 −𝛽𝐸3 + 𝑒 −𝛽𝐸4 + 𝑒 −𝛽𝐸5‬‬ ‫𝜖𝛽‪= 1 + 2𝑒 −𝛽𝜖 + 2𝑒 −2𝛽𝜖 + 𝑒 −3‬‬ ‫الطاقة المتوسطة ‪:‬‬ ‫𝜖𝛽‪1 𝜕𝑍𝐹𝐷 2𝜖𝑒 −𝛽𝜖 + 4𝜖𝑒 −2𝛽𝜖 + 3𝜖𝑒 −3‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫=‬ ‫𝛽𝜕 𝐷𝐹𝑍‬ ‫𝜖𝛽‪1 + 2𝑒 −𝛽𝜖 + 2𝑒 −2𝛽𝜖 + 𝑒 −3‬‬ ‫𝜖‪3‬‬ ‫→‬ ‫∞ → 𝑇 𝑠𝑎‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )1‬في حالة توزيع بوز – اينشتين ‪ ،‬نحصل على ما يلي‬ ‫وتكون دالة التجميع بالصورة التالية‪:‬‬ ‫‪Z𝐵𝐸 = 3 + 2e−βϵ + 3e−2βϵ + e−3βϵ + e−4βϵ‬‬ ‫متوسط الطاقة‬ ‫𝐸𝐵𝑍𝜕 ‪1‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫𝛽𝜕 𝐸𝐵𝑍‬ ‫𝐸𝐵𝑈‬ ‫‪145‬‬ ‫𝐷𝐹𝑈‬ ‫𝜀𝛽‪2𝜖𝑒 −𝛽𝜀 + 6𝜖𝑒 −2𝛽𝜀 + 3𝜖𝑒 −3𝛽𝜀 + 4𝜖𝑒 −4‬‬ ‫‪3 + 2e−βϵ + 3e−2βϵ + e−3βϵ + e−4βϵ‬‬ ‫𝜖‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫= 𝐸𝐵𝑈 ‪lim‬‬ ‫∞→𝑇‬ ‫مالحظة‪ :‬عند درجة الحرارة العالية ‪ ،‬فإن احصاء فيرمي‪ -‬ديراك واحصاء بوز‪ -‬اينشتين كال منهما يؤول‬ ‫الى احصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان التقليدي ‪.‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫يتكون نظام ما من جسيمين غير مميزين بداخل حجم ‪ ، V‬اذا كان بإمكان اي من الجسمين التواجد في‬ ‫المستويات الكمية الثالثة ذات الطاقات التالية‪:‬‬ ‫𝜖‪𝜀1 = 0 , 𝜀2 = 1𝜖 , 𝜀3 = 2‬‬ ‫جد متوسط رقم اإلشغال في هذه المستويات اذا كانت هذه الجسيمات تتبع احصاء بوز – اينشتين‬ ‫الحل‬ ‫يكون توزيع هذه الجسيمات في حالة احصاء بوز‪ -‬اينشتين كما في الجدول ادناه‬ ‫الحاالت المجهرية‬ ‫‪K6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜖‪4‬‬ ‫‪K5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜖‪3‬‬ ‫‪K4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜖‪2‬‬ ‫‪K3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜖‪2‬‬ ‫𝑖𝜀‬ ‫‪K2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜖‪2‬‬ ‫‪K1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜖‪𝜀3 = 2‬‬ ‫𝜖‪𝜀2 = 1‬‬ ‫‪𝜀1 = 0‬‬ ‫‪Ei‬‬ ‫نجد اوال دالة التجميع من الجدول اعاله ‪ ،‬وتكون كالتالي‪:‬‬ ‫𝑖𝐸𝛽‪𝑍𝐵𝐸 = ∑ 𝑒 −𝛽 ∑𝑠 𝑛𝑠 𝜀𝑠 = ∑ 𝑔𝑖 𝑒 −‬‬ ‫𝑖‬ ‫𝜖𝛽‪−2‬‬ ‫𝜖𝛽‪−‬‬ ‫} 𝑖𝑛{‬ ‫𝑒‪=1+‬‬ ‫𝑒‪+ 2‬‬ ‫𝜖𝛽‪+ 𝑒 −3𝛽𝜖 + 𝑒 −4‬‬ ‫) 𝜖𝛽‪= (1 + 𝑒 −2𝛽𝜖 )(1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −3‬‬ ‫بإستخدام دالة التجميع على الصورة التالية‬ ‫‪Z𝐵𝐸 = 𝑒 −2𝛽𝜀1 + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀2 ) + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀3) + 𝑒 −2𝛽𝜀2 + 𝑒 −𝛽(𝜀2 +𝜀3 ) + 𝑒 −2𝛽𝜀3‬‬ ‫‪146‬‬ ‫واستخدام القانون العام‬ ‫𝑖𝜀≠ 𝑗‬ ‫𝐸𝐵𝑍𝜕 ‪1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜀‪𝛽𝑍𝐵𝐸 𝜕𝜀𝑖 𝑇,‬‬ ‫‪𝑛̅𝑖 = −‬‬ ‫نجد ان متوسط رقم اشغال كل مستوى كما يلي‬ ‫) ‪2𝑒 −2𝛽𝜀1 + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀2 ) + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀3‬‬ ‫𝐸𝐵𝑍‬ ‫=‬ ‫𝑖𝜀≠ 𝑗‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐸𝐵𝑍𝜕‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜀‪𝛽𝑍𝐵𝐸 𝜕𝜀1 𝑇,‬‬ ‫‪𝑛̅1 = −‬‬ ‫𝜖𝛽‪2 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫=‬ ‫) 𝜖𝛽‪(1 + 𝑒 −2𝛽𝜖 )(1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫) ‪2𝑒 −2𝛽𝜀2 + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀2 ) + 𝑒 −𝛽(𝜀2 +𝜀3‬‬ ‫𝐸𝐵𝑍‬ ‫=‬ ‫𝑖𝜀≠ 𝑗‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐸𝐵𝑍𝜕‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜀‪𝛽𝑍𝐵𝐸 𝜕𝜀2 𝑇,‬‬ ‫‪𝑛̅2 = −‬‬ ‫) 𝜖𝛽‪𝑒 −𝛽𝜖 (1 + 4𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫=‬ ‫) 𝜖𝛽‪(1 + 𝑒 −2𝛽𝜖 )(1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫) ‪2𝑒 −2𝛽𝜀3 + 𝑒 −𝛽(𝜀1 +𝜀3 ) + 𝑒 −𝛽(𝜀2 +𝜀3‬‬ ‫𝐸𝐵𝑍‬ ‫=‬ ‫𝑖𝜀≠ 𝑗‬ ‫𝐸𝐵𝑍𝜕 ‪1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝜀‪𝛽𝑍𝐵𝐸 𝜕𝜀3 𝑇,‬‬ ‫) 𝜖𝛽‪𝑒 −2𝛽𝜖 (1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 2𝑒 −2‬‬ ‫=‬ ‫) 𝜖𝛽‪(1 + 𝑒 −2𝛽𝜖 )(1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫الطاقة الداخلية ‪:‬‬ ‫في حالة ‪،‬‬ ‫‪ ، 𝑇 → 0 ⟹ 𝑒 −𝛽𝜖 → 1‬تؤول متوسط ارقام االشغال ومتوسط الطاقة الى ‪:‬‬ ‫‪𝑈 →0‬‬ ‫‪𝑛̅3 → 0 ,‬‬ ‫وفي هذه الحالة‪ ،‬تتجمع الجسيمات في المستوي األرضي‪.‬‬ ‫‪147‬‬ ‫‪𝑛̅1 → 2 , 𝑛̅2 → 0 ,‬‬ ‫‪𝑛̅3 = −‬‬ 148 ‫الفصل التاسع ‪:‬الطاقم القانوني الكبير‬ ‫‪Grand Canonical Ensemble‬‬ ‫يتناول هذا الفصل تعريفا لطاقم احصائي جديد يسمى الطاقم القانوني الكبير ‪ ،‬ويستعرض طريقة ايجاد دالة‬ ‫التوزيع اإلحصائي لهذا الطاقم ‪ ،‬حيث بإستخدام هذه الدالة نجد معادالت تقلبات الطاقة في النظام ‪.‬‬ ‫(‪ )1.1‬مقدمة‬ ‫في الفصول السابقة ‪ ،‬تم تقديم نوعين من الطواقم اإلحصائية‪ :‬الطاقم القانوني المجهري ‪ ،‬والذي يصف‬ ‫سلوك انظمة مغلقة‪ ،‬حيث الحالة العيانية توصف بالثوابت )‪ . ( E, V, N‬والطاقم القانوني ‪ ،‬الذي يصف‬ ‫انظمة فيزيائية محاطة بخزان حراري بحيث يجعل الكميات الفيزيائية الخاصة بالحالة العيانية ثابتة ‪(T,V, ،‬‬ ‫)‪. N‬‬ ‫في هذا الفصل نقدم وصفا إلنظمة مفتوحة ‪ ، open systems‬حيث تكون طاقتها وعدد الجسيمات فيها متغيرة‬ ‫بسبب التبادل بينها وبين الوسط المحيط بها ‪ ،‬اي ان الكميات الفيزيائية للحالة العيانية )‪ (T,V, μ‬متغيرات‬ ‫مستقلة ‪ .‬في هذه الحالة ‪ ،‬ينتج ما يعرف بالجهد الكيماوي ‪ μ‬مشابه لدرجة حرارة الخزان الحراري ( الشكل‬ ‫‪. )1.9‬‬ ‫شكل (‪ :)1.9‬نظام داخل خزان حراري ‪.‬‬ ‫حيث ‪ ،‬الدليل (‪ )s‬يشير الى كميات النظام المعتبر ‪ ،‬بينما يشير الدليل (‪ )hb‬الى الكميات الخاصة بالحمام‬ ‫الحراري لخزان الجسيمات ‪.particle reservoir‬‬ ‫اذا كان خزان الجسيمات ‪ Reservoir‬كبيرجدا الى درجة تجعل هذا الجهد يعتمد فقط على خصائص هذا‬ ‫الحزان ‪ .‬وعليه ‪ ،‬ال يكون للنظام المعتبر عدد محدد من الجسيمات بفعل التبادل بين النظام والخزان ‪ .‬ومن‬ ‫األمثلة العملية على هذه الحالة قطرات الماء في الغالف الجوي ‪ ،‬لنعتبر سائال ما في حالة اتزان مع البخار‬ ‫‪ vapor‬في وعاء عند درجة حرارة معينة ‪ ،‬حيث يكون النظام هو ذلك السائل ‪ ،‬بينما يكون الحمام الحراري‬ ‫‪ heat bath‬هو البخار )الحظ الشكل ‪ . ( 1.9‬في هذا الوضع ‪ ،‬تمر الجزيئات بإستمرار من السائل الى الطور‬ ‫‪149‬‬ ‫الغازي ‪ ، gaseous phase‬ويمكن ان نصف النظام الكلي المكون من ( الحمام الحراري ‪ +‬السائل ‪ +‬البخار‬ ‫) بالطاقم المجهري القبول ‪ ،‬بينما نصف النظام المكون من ( السائل ‪ +‬البخار ) بالطاقم القانوني ‪ .‬اما اذا‬ ‫اعتبرنا فقط الخواص إلحد هذه األطوار ‪ ،‬فيمكن وصف ذلك بواسط الطاقم القانوني الكبير ‪.‬‬ ‫بداية ‪ ،‬نحدد كثافة فراغ الطور للنظام عند القيم المعطاة من ‪ ، T, V, μ‬وهذه الكثافة ال يدل فقط على احتمال‬ ‫تواجد النظام في طور فراغي بعدد ‪ N‬من الجزيئات ‪ ،‬بل تشير الى احتمال ان يكون في النظام عدد ‪ N‬من‬ ‫الجزيئات ‪ ،‬حيث ‪ . N=0,1,2,......∞ ،‬وبعد تحديد هذه الكثافة ‪ ،‬نحدد دالة التوزيع اإلحتمالي للجسيمات (‬ ‫كما سبق شرحه في حالة الطاقم القانوني)‪.‬‬ ‫)‪ (9.2‬دالة التوزيع اإلحتمالي‬ ‫إلشتقاق دالة التوزيع اإلحصائي ‪ ،‬نطبق فكرة الطاقم المجهري على النظام الكلي كما يلي‪:‬‬ ‫𝑅𝐸 ‪𝐸 = 𝐸𝑠 +‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑅𝑁 ‪𝑁 = 𝑁𝑠 +‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫حيث ‪ E , N‬تمثل الطاقة وعدد الجسيمات الكلي ( النظام ‪ +‬الخزان) وهي كميات ثابتة ‪ ،‬فرضا" ان الخزان‬ ‫كبير جدا مقارنة مع النظام ‪ ،‬فيمكن الحصول على ما يلي ‪:‬‬ ‫(‪.......................)3‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫}𝑁 … … ‪. 𝐸𝑠 ∈ {0, … … … . 𝐸} ∶ N𝑠 ∈ {0,1,2‬‬ ‫اذا فرضنا ان النظام في حالة مجهرية معينة‪ ،‬ومميزة بعدد من الجسيمات 𝑠‪ N‬ونقطة فراغ طور)‪ (i‬وبطاقة‬ ‫𝑖𝐸 = 𝑠𝐸 ‪ .‬وكان للخزان عدد كبير من الحاالت المجهرية 𝑅‪ Ω‬وبطاقة وعدد من الجسيمات كما يلي ‪:‬‬ ‫𝑖𝑁 ‪𝑁𝑅 = 𝑁 −‬‬ ‫; 𝑖𝐸 ‪𝐸𝑅 = 𝐸 −‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون احتمالية ‪ ، 𝑝𝑖,𝑁𝑖 ،‬تواجد النظام في هذه الحالة المجهرية ‪ i‬وبعدد من الجسيمات 𝑠‪ N‬تتناسب‬ ‫طرديا مع ) 𝑅𝑁 ‪ ، Ω𝑅 (𝐸𝑅 ,‬او‬ ‫(‪............................)4‬‬ ‫‪150‬‬ ‫يمكن نشر هذه المعادلة ‪ ،‬تحت شرط معادلة (‪ ، )3‬وبأخذ لوغارتم 𝑅‪ ، ln Ω‬كما يلي‪:‬‬ ‫(‪........................)8‬‬ ‫ويتبع ذلك ما يلي‪:‬‬ ‫(‪..........................)6- 7‬‬ ‫بإستخدام معادلتي (‪ )1،8‬في معادلة (‪ )8‬وترتيب الحدود نحصل على التالي‪:‬‬ ‫(‪................................)5‬‬ ‫على فرض ان )𝑁 ‪ Ω𝑅 (𝐸,‬عامل ثابت ‪ ،‬تكون هذه اإلحتمالية كما يلي ‪:‬‬ ‫(‪..................................)1‬‬ ‫وبمعايرة دالة اإلحتمال هذه ‪ ،‬اي 𝑠𝑁 𝑖𝑝 𝑖∑ 𝑠𝑁∑ = ‪ ، 1‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫(‪.................)99‬‬ ‫‪151‬‬ ‫حيث في معادلة (‪ ، )99‬تم اسقاط الدليل )‪ )s‬على اعتبار ان 𝑠𝑁 ↔ 𝑁 ‪ ،‬كما يكون التجميع على كل الحاالت‬ ‫المجهرية في فراغ الطور المحتوي على ‪ N‬من الجسيمات ‪ .‬اي ان معادلة (‪ )99‬تعطي احتمالية تواجد النظام‬ ‫في حالة مجهرية ‪ i‬وبطاقة ‪ ، Ei‬وبعدد من الجسيمات ‪ N‬عند درجة حرارة ‪ T‬وجهد كيماوي ‪. μ‬‬ ‫كما نحصل على كثافة فراغ الطور 𝑐𝑔‪ ρ‬المقابلة بإستبدال التجميع بالتكامل كما يلي‪:‬‬ ‫(‪..................)99‬‬ ‫تعرف معادلتي (‪ )99( ، )99‬بدالة التوزيع اإلحتمالي في الطاقم القانوني الكبير ‪ .‬وهذه المعدالت تمثل‬ ‫التوزيع األكثر احتماال عند القيم المعطاة من ‪ ، T, μ‬ولبرهان ذلك ‪ ،‬نتبع ما يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫التوزيع األكثر احتماال في الطاقم القانوني الكبير‬ ‫لنفرض ان طاقما ما يحوي على 𝒩 نظاما متماثال عند قيم معطاة من ‪ . T ، µ‬وعند لحظة ما كان كل‬ ‫من هذه األنظمة تحوي على عدد محدد ‪ ، N‬عند نقطة ما في فراغ الطور ‪ .‬نقسم كل فراغات الطور الى‬ ‫عدد كبير من الخاليا المتساوية ونرمز لها بالرمز 𝑁‪ ، ∆ω𝑖,‬حيث الدليل هنا يشير الى كل هذه الخاليا في‬ ‫فراغ الطور لعدد من الجسيمات ‪ . N‬ولنفرض ان في كل من هذه الخاليا عدد محدد 𝑁‪ 𝑛𝑖,‬من األنظمة‬ ‫∗‬ ‫𝑁‪ {𝑛𝑖,‬يرمز الى التوزيع األكثر احتماال ‪.‬‬ ‫المكونة للطاقم ‪ .‬وان }‬ ‫نفرض ان العدد 𝑁‪ 𝑛𝑖,‬يحقق القيود التالية ‪:‬‬ ‫(‪.........)91‬‬ ‫(‪.....................)93‬‬ ‫كما يجب توفر الشرط التالي في حالة اإلتزان ‪:‬‬ ‫‪152‬‬ ‫(‪.......................)94‬‬ ‫حيث ان عدد الجسيمات غير ثابت ‪ ،‬نتعامل مع معدل عدد هذه الجسيمات ‪.‬‬ ‫بالرجوع الى احتمالية توزيع ما } 𝑁‪ {𝑛𝑖,‬في الطاقم المجهري ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪..........)98‬‬ ‫حيث 𝑁‪ ω𝑖,‬يساوي احتما وجود حالة مجهرية في الخلية 𝑁‪. ∆ω𝑖,‬‬ ‫نبدا بالبحث عن القيم المتطرفة للعدد 𝑁‪ ، 𝑛𝑖,‬وذلك بإستخدام الطرق الرياضية التي سبق شرحها ‪ ،‬وهي‬ ‫عملية ضرب معادالت القيود السابقة (‪ )94-91‬بمضخمات الكرانج وجمع النواتج للحصول على التالي‪:‬‬ ‫(‪.........................)91‬‬ ‫(‪.............................)98‬‬ ‫(‪.................................)95‬‬ ‫وحتى تتحقق صحة معادلة (‪ ، )95‬يجب تالشي القوس ‪ ،‬وعند يحويل الدالة اللوغارتمية الى دالة اسية‬ ‫نحصل على التالي‪:‬‬ ‫(‪....................)91‬‬ ‫‪153‬‬ ‫ويمكن تحديد الكمية ‪ λ‬بواسطة معادالة (‪ . )91‬على فرض ان احتماالت 𝑁‪ ω𝑖,‬تكون متماثلة لجميع خاليا‬ ‫فراغ الطور ‪ ،‬نجد ان ‪:‬‬ ‫(‪...............................)19‬‬ ‫في حين يمكن تحديد قيم ‪ α ،β‬من معادالت (‪ )94( ، )93‬كما يلي‪:‬‬ ‫(‪..................................)19‬‬ ‫(‪................................)11‬‬ ‫كما يمكن تحديد قيمها من التعبير الرياضي لإلنتروبيا ( كما سيوضح الحقا )‪.‬‬ ‫في حالة التوزيع المتصل ‪ ،‬نجد ان معادلة (‪ )19‬تعطي ما يلي‪:‬‬ ‫(‪..........................)13‬‬ ‫يمثل المقام في معادلة (‪ )13‬دالة تعرف بدالة التجزئة للطاقم القانوني الكبير ‪ ،‬اي‬ ‫(‪..........................)14‬‬ ‫‪‬‬ ‫اإلنتروبيا‬ ‫من تطبيقات دالة التجزئة ايجاد الصورة الرياضية إلنتروبيا الطاقم ‪ ،‬وذلك بداللة معدل الطاقم ‪ ،‬تكون كما‬ ‫يلي‬ ‫‪154‬‬ ‫(‪...............................................)18‬‬ ‫وتؤول هذه المعادلة في الطاقم القانوني الكبير ‪ ،‬لتعطي صراحة التعبير الرياضي لإلنتروبيا‪ ،‬الى ما يلي‪:‬‬ ‫(‪................................... )11‬‬ ‫حيث ال يعتمد الحد االول في قوس معادلة (‪ )11‬على نقطة فاراغ الطور وال على عدد الجسيمات ‪،‬‬ ‫فيمكن اخراجه من تحت اشارة التكامالت ‪ .‬اما الحد الثاني يعطي معدل الطاقة ‪:‬‬ ‫(‪.............................)39‬‬ ‫كما ان الحد الثالث يعطي معدل عدد الجسيمات ‪ ،‬او‬ ‫(‪.......................)39‬‬ ‫وبناء" عليه ‪ ،‬يمكن ان نعيد كتابة الصورة الرياضية لإلنتروبيا كما يلي‪:‬‬ ‫(‪........................)31‬‬ ‫ونالحظ من هذه المعادلة ان ⟩𝐻⟨ يقابل طاقة الديناميكا الحرارية للنظام ‪ ، U‬كما ان ⟩𝑁⟨ يقابل عدد‬ ‫جسيمات الديناميكا الحرارية ‪ . N‬ومن استخدامات هذه المعادلة ما يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫تحديد قيم 𝛂 ‪𝛃 ,‬‬ ‫حيث ان ‪ β‬دالة للطاقة ‪ ، U‬يمكن اخذ مشتقة اإلنتروبيا في معادلة (‪ )31‬لنحصل على التالي‬ ‫‪155‬‬ ‫(‪........................... )33‬‬ ‫حيث ان‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫(‪...................)34‬‬ ‫كما يعطي اشتقاق معادلة (‪ )31‬بالنسبة لمعدل عدد الجسيمات ما يلي‪:‬‬ ‫(‪...........................)38‬‬ ‫حيث‬ ‫وبإستخدام المعادالة التالية ‪:‬‬ ‫𝑃 𝑈𝑑‬ ‫𝜇‬ ‫𝑁𝑑 ‪+ 𝑑𝑉 −‬‬ ‫𝑇 𝑇𝑑‬ ‫𝑇‬ ‫= 𝑆𝑑‬ ‫نجد ان ‪،‬‬ ‫(‪......................)31‬‬ ‫وبتعويض قيم ‪ α , β‬في معادلة (‪ )31‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫(‪.......................)38‬‬ ‫تعريف ‪ :‬الطرف األيسر من معادلة (‪ )38‬يسمى جهد الطاقم القانوني الكبير ‪grand canonical‬‬ ‫‪ potential function‬ويرمز له ‪. ϕ‬‬ ‫وعلية ‪ ،‬يمكن اعادة كتابة هذه المعادلة (‪ )38‬بداللة جهد الطاقم كما يلي‪:‬‬ ‫‪156‬‬ ‫(‪............................)35‬‬ ‫وتبرزاهمية هذه الدالة في انها تلعب دور طاقة هلمهولتز الحرة ‪ F‬عند اشتقاق متغيرات الديناميكا‬ ‫الحرارية ‪.‬‬ ‫اما دالة التجزئة للطاقم القانوني الكبير ‪ ،‬في حالة الجسيمات غير المميزة ‪ ،‬تكون كما يلي‪:‬‬ ‫(‪....................................)31‬‬ ‫في حالة الجسيمات المميزة ‪ ،‬يمكن الربط بين دوال التجزئة للطاقم القانوني والطاقم القانوني الكبير كما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫(‪...............................)49‬‬ ‫اي ان دالة التجزئة للطاقم الكبير تعبر عن الجمع الموزون ‪weighted sum‬‬ ‫لدالة تجزئة الطاقم‬ ‫القانوني ‪ ،‬ويكون عامل الوزن هو )‪ . z = exp(μ⁄kT‬كما تمثل معادلة (‪ )49‬القاعدة التي تربط‬ ‫دوال التجزئة لكل من الطواقم اإلحصائية السابقة ( المجهري ‪ ،‬القانوني ‪ ،‬والقانوني الكبير ) ‪ ،‬وبعبارة‬ ‫اوضح ‪ ،‬يمكن التعبير عن دالة التجزئة القانونية كما يلي‬ ‫(‪.................)49‬‬ ‫وهنا يكون معدل الطاقة ‪ ،‬وليس مقدار الطاقة ‪ ،‬مقدارا ثابتا ‪ ،‬بينما درجة الحرارة هي مقدار ثابت بفعل‬ ‫الحمام الحراري ‪.‬‬ ‫حيث ان في حالة الجسيمات غير المتفاعلة وغير المميزة ‪ ،‬يمكن التعبير عن دالة تجزئة الطاقم القانوني‬ ‫بداللة دالة التجزئة المنفردة كما يلي‪:‬‬ ‫‪157‬‬ ‫(‪.....................)41‬‬ ‫وبدمج معادلة (‪ )41‬في معادلة (‪ ، )49‬نجد ان‬ ‫(‪...............................)43‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫جد دالة التجزئة للطاقم القانوني الكبير لنظام الغاز المثالي ؟‬ ‫الحل‬ ‫دالة الجسيم المنفرد في الطاقم القانوني هي‪:‬‬ ‫حيث‪،‬‬ ‫تكون دالة التجزئة بالصورة التالية ‪:‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون دالة الجهد للطاقم القانوني الكبير كما يلي‬ ‫ونحصل على معادالت الحالة للنظام بأخذ المشتتقات لدالة الجهد هذا ‪ ،‬ويكون الناتج كما يلي‬ ‫(‪......)44‬‬ ‫‪158‬‬ ‫(‪..................)48‬‬ ‫(‪.....................)41‬‬ ‫و نحصل على معادلة الغاز المثالي العامة وذلك بدمج معادلة (‪ )41‬مع معادالت (‪ ، )44-48‬وتكون‬ ‫بالصورة التالية ‪𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇 :‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن ان نجمل العالقات التي تربط دوال التجزئة في الطوقم اإلحصائية ( المجهري ‪ ،‬القانوني‬ ‫‪،‬و القانوني الكبير على الترتيب ) مع متغيرات الديناميكا الحرارية كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.............................)48‬‬ ‫(‪ )1.1‬التقلبات في الطاقم القانوني الكبير‬ ‫‪Fluctuations in Grand canonical Ensemble‬‬ ‫بما ان الطاقة وعدد الجسيمات في الطاقم القانوني الكبير ليست ثابتة ‪ ، fixed‬لذلك نلجأ الى حساب‬ ‫التقلبات ‪ ،‬حساب اإلنحراف المعياري لعدد جسيمات وطاقة هذا الطاقم ‪ ،‬وذلك كما يلي ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫حساب اإلنحراف المعياري 𝑵𝛔‬ ‫وجدنا سابقا ان دالة احتمالية تواجد نظام ما في الطاقم القانوني الكبير هي‬ ‫(‪.................................)1‬‬ ‫‪159‬‬ ‫حيث ‪ Ei‬تمثل طاقة خلية فراغ الطور)‪ ، (i‬وبذلك تكون دالة التجزئة للطاقم القانوني الكبير كما يلي‬ ‫(‪.......................... )1‬‬ ‫لنفرض ان الدالة )𝐸( 𝑁𝑔‬ ‫‪N‬‬ ‫تمثل عدد الحاالت المجهرية في الفترة 𝐸𝑑 ‪ ، 𝐸, 𝐸 +‬وبعدد جسيمي‬ ‫‪ ،‬فتكون كثافة اإلحتمال لتواجد هذا النظام في الطاقم القانوني كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.................................)1‬‬ ‫كما تكون دالة التجزئة في الطاقم القانوني الكبير كما يلي‪:‬‬ ‫(‪...........................)2‬‬ ‫بإستخدام دالة اإلحتمال‪ ،‬يكون معدل العدد الجسيمي ⟩𝑁⟨ كما يلي‬ ‫(‪.........................)8‬‬ ‫من هذه المعادلة نالحظ ان معدل العدد الجسيمي ⟩𝑁 ⟨ يماثل العدد الجسيمي ‪ N‬في الديناميكا الحرارية ‪.‬‬ ‫وهو يساوي عدد جسيمي ثابث في الطاقم المجهري ‪ ،‬حيث ‪،‬‬ ‫𝜙𝜕‬ ‫]‬ ‫𝑉‪𝜕𝜇 𝑇,‬‬ ‫‪𝑁=−‬‬ ‫ويمكن التعبير عن التشتت ( التباين) في معدل القيم في حالة الطاقم القانوني الكبير كما يلي‪:‬‬ ‫‪160‬‬ ‫(‪...................................)1‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫(‪.......................................)8‬‬ ‫ويمكن اعادة كتابة هذه العالقة ( معادلة ‪ )8‬بداللة المشتقة األولى لدالة التجزئة كما يلي ‪:‬‬ ‫إلن ‪،‬‬ ‫لذلك تؤول معادلة (‪ )2‬الى التالي ‪:‬‬ ‫(‪...........................)8‬‬ ‫بدمج معادلتي (‪ )3,8‬في معادلة (‪ ، )6‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫(‪.........................)9‬‬ ‫‪‬‬ ‫اإلنحراف المعياري للطاقة في الطاقم القانوني الكبير 𝑬𝛔‬ ‫من تعريف معدل قيمة الطاقة في الطاقم القانوني الكبير ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪........................)1‬‬ ‫في هذا اإلشتقاق ‪،‬اعتبرنا ان ‪ z‬تبقى كمية ثابتة اثناء عملية التفاضل ‪ .‬وبنفس الخطوات الرياضية‬ ‫السابقة ‪ ،‬نجد ان معدل مربع هذه الطاقة تساوي التالي‪:‬‬ ‫‪161‬‬ ‫(‪............................)1‬‬ ‫(‪................................)1‬‬ ‫اذا استبدلنا معدل الطاقة بالرمز ‪ ، U‬والتعويض بقيمة 𝑇𝑘‪ ، β = 1⁄‬تصبح معادلة (‪ )3‬كما يلي‪:‬‬ ‫(‪..............................)2‬‬ ‫‪162‬‬ ‫الفصل العاشر‪ :‬تطبيقات احصاء فيرمي – ديراك‬ ‫‪Fermi- Dirac Statistics Applications‬‬ ‫نقدم في هذا الفصل دراسة لسلوك اإللكترونات الحرة في المعادن عند درجات الحرارة المختلفة ‪ ،‬وذلك‬ ‫بإعتبار ان إللكترونات الحرة في المعادن تتبع احصاء فيرمي – ديراك‪ .‬كما نتناول دراسة الخواص‬ ‫المغناطيسية للمواد وفق هذا النموذج اإلحصائي‪.‬‬ ‫)‪ (10.1‬اإللكترونات الحرة في المعادن ‪Free Electrons in Metals‬‬ ‫من المعلوم ان المعادن ( المواد الموصلة) تحتوي على عدد كبير من اإللكترونات الحرة ( الكترونات‬ ‫التكافؤ) والتي تتحرك عشوائيا خالل المسافات البينية لذرات هذه المعادن في حالة عدم وجود مجال كهربي‬ ‫خارجي مسلطا على عينة من تلك المعدن‪ .‬ويمكن اعتبار هذه اإللكترونات نموذجا يشبه حركة جزيئات‬ ‫الغاز المحصور‪ .‬وبما ان هذه اإللكترونات هي جسيمات فيرمي فهي تخضع لقاعدة باولي اإلستثنائية ‪،‬‬ ‫وعليه يمكن اعتبارها تشكل نظام فيرمي يتبع احصاء فيرمي – ديراك من حيث التوزيع ‪ .‬وحتى يتحقق هذا‬ ‫‪ ،‬يجب مراعاة ما يلي‪ :‬اهمال التفاعالت بين هذه اإللكترونات والشبكة ‪ Lattice‬بحيث تنتشر موجات هذه‬ ‫اإللكترونات بحرية ‪ ،‬و ان ال يكون هناك اي تصادم بين هذه اإللكترونات ( اي تكون الشبكة درعا يحمي‬ ‫هذه األلكترونات من بعضها البعض) ‪.‬‬ ‫بالرجوع الى الفصل الثامن‪ ،‬وجدنا ان متوسط رقم اإلشغال في توزيع فيرمي‪ -‬ديراك يعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫بإهمال الحركة المغزلية لإللكترون في الغاز اإللكتروني ‪ ،‬تكون طاقة هذا اإللكترون طاقة انتقالية فقط ‪،‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يمكن التعبير عن كثافة الحاالت بداللة الزخم الخطي 𝓅 وطاقة اإللكترون كما يلي‪:‬‬ ‫‪163‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫𝓹 𝝅𝟐‬ ‫𝒉‬ ‫= ‪ k‬ويسمى العدد الموجي‪ ،‬وتكون كثافة الحالت بداللة الزخم الخطي تصبح كما‬ ‫يلي‬ ‫‪4πV𝓅2‬‬ ‫= 𝓅𝑑)𝓅(‪N‬‬ ‫𝓅𝑑‬ ‫‪ℎ3‬‬ ‫وفي حالة السرع غير النسبية ‪ ،‬تعطى الطاقة الحركية بداللة الزخم كما يلي‬ ‫‪𝑑ℰ‬‬ ‫𝑒𝑚‬ ‫‪2ℰ‬‬ ‫√ = 𝓅𝑑 ⟹ ‪ℰ = 𝓅𝟐 ⁄2 𝑚𝑒 ⟹ 𝓅 = √2𝑚𝑒 ℰ‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون كثافة الحاالت بداللة الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫وبسبب اهمال الحركة المغزلية لإللكترونات ‪ ،‬تكون هذه المعادلة غير دقيقة ‪.‬‬ ‫وحيث انه يمكن تسكين الكترونين في اي مستوى من الطاقة وبدون اإلخالل بمبدأ باولي ( كما في الشكل‬ ‫‪ ، ) 99.9‬لذلك تكون الصورة الرياضية التي تعطي كثافة الحاالت بداللة طاقة المستوى كما يلي‪:‬‬ ‫شكل (‪ )99.9‬توزيع اإللكترونات على مستويات الطاقة ‪.‬‬ ‫من هذه العالقة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪ 𝑑N(ε‬الذي يعطي عدد اإللكترونات ذات الطاقة ما بين ‪ε+dε ، ε‬يعطى‬ ‫كما يلي ‪:‬‬ ‫‪164‬‬ ‫حيث ‪. 𝑛̅(ℇ) = 𝑛̅𝐹𝐷 (ℇ) :‬‬ ‫اما العدد الكلي ‪ N‬لأللكترونات في المعدن ‪ ،‬نحصل عليه بمعايرة هذه المعادلة على النحو التالي‪:‬‬ ‫)‪........ (1‬‬ ‫‪ ‬طاقة فيرمي‪:‬‬ ‫‪Fermi Energy‬‬ ‫حيث ان الجهد الكيماوي يكون دالة للمتغيرات الديناميكية الحرارية ‪ ،‬او )‪ ، μ = μ(T, V, N‬وفي حالة‬ ‫ثبات الكميات ‪ ، N, V‬فإن هذا المعامل يعتمد فقط على درجة الحرارة ‪ .‬لذلك من الممكن أإلتفاق على حد‬ ‫ادنى ‪ lower boundary‬لطاقة النظام ( درجة حرارة مميزة) بواسطة الجهد الكيماوي ‪ ،‬وعليه يسمى‬ ‫الجهد الكيماوي ‪ µ‬عند درجة الصفر المطلق بطاقة فيرمي ‪ ، Fermi energy‬اي )‪.ℰ𝐹 = μ( 0K‬‬ ‫ولتحديد مقدار هذه الطاقة ‪ ،‬نفحص اشارة ‪ μ‬في معادلة (‪ )9‬كما يلي‪:‬‬ ‫نفرض ان‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫)‪......... ( 2‬‬ ‫لفحص صحة هذه المعادلة ‪ ،‬نستخدم الحد األدنى للجهد الكيماوي ‪ ،‬اي عندما 𝐹‪ ، μ → ε‬لمقادير سالبة‬ ‫وموجبة من طاقة فيرمي ‪ ،‬ويكون هناك حالتان هما‪:‬‬ ‫الحالة األولى‪:‬‬ ‫اي ‪،‬‬ ‫‪ ، N = 0‬وهذه النتيجة غير معقولة ‪.‬‬ ‫‪165‬‬ ‫اما الحالة الثانية ‪:‬‬ ‫وهذه النتيجة لها معني فيزيائي ‪ ،‬اي تكون ‪ N‬عدد كبير جدا ‪.‬‬ ‫وعند فحص المقام الموجود تحت اشارة التكامل في معادلة (‪ ، )1‬نجد ان قيمة متوسط رقم اإلشغال‬ ‫لتوزيع فيرمي – ديراك ‪ ،‬عند اقتراب درجة الحرارة من الصفر المطلق ‪ ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫ويمكن تمثيل العالقة بين متوسط رقم اإلشغال لفيرمي كدالة للطاقة النسبية ) 𝐹𝜀‪ (𝜀 ⁄‬كما في الشكل‬ ‫‪)99.1‬‬ ‫شكل (‪ )99.1‬العالقة بين متوسط رقم اإلشغال والطاقة النسبية‪.‬‬ ‫والمعنى الفيزيائي لهذه النتيجة يستند على مبدأ باولي اإلستثنائي ‪ ،‬حيث ال يمكن ان يتواجد جسمين في نفس‬ ‫الحالة الكمية ( اي تمتلك نفس األعداد الكمية)‪ .‬وبالتالي تشغل الجسيمات في الحالة األرضية ‪ground‬‬ ‫‪ state‬المستويات الواطئة الممكنة ( المحتملة) ‪ ،‬إذ تشغل المستويات األعلى بطاقة او مستوى طاقة محددة‬ ‫‪166‬‬ ‫( طاقة فيرمي) ‪ .‬لذلك ‪ ،‬يمكن تعريف طاقة فيرمي كما يلي ‪ :‬طاقة مستوى لجسيم منفرد تحته (‪ )N‬من‬ ‫الحاالت‪.‬‬ ‫لنفرض ان الجسيمات في فضاء الزخم الخطي ‪ linear momentum space‬تشغل كرة نصف قطرها‬ ‫𝐹𝓅 ويطلق على سطح هذه الكرة سطح فيرمي ‪.‬‬ ‫𝑁‬ ‫هذا يعني ان ) ‪ ( 2‬من مستويات الطاقة يكون مشغوال وتكون طاقة القطع ‪ cutoff‬عند طاقة فيرمي ‪ ،‬وما‬ ‫فوق هذه الطاقة تكون المستويات فارغة (شكل ‪. )5.3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫شكل(‪ )99.3‬توزيع اإللكترونات في مستويات الغاز اإللكتروني‪.‬‬ ‫وتكون مشتقة عدد اإللكترونات بالنسبة للطاقة ) 𝜀𝜕‪ ) 𝜕𝑁(𝜀)⁄‬كدالة للطاقة النسبية ) 𝐹𝜀‪ )𝜀 ⁄‬كما في‬ ‫الشكل (‪. )15.2‬‬ ‫شكل (‪: )99.4‬التغير في عدد الجسيمات بالنسبة للطاقة ‪.‬‬ ‫إليجاد مقدار طاقة فيرمي ‪ ،‬نتبع ما يلي‪:‬‬ ‫بإهمال المقام في المعادلة (‪ ، )9.‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪167‬‬ ‫وعليه‪ ،‬تكون طاقة ودرجة حرارة فيرمي كما يلي‪:‬‬ ‫(‪...............)3‬‬ ‫اما الطاقة الكلية للغاز اإللكتروني في المعدن وعند درجة الصفر المطلق فتكون مساوية للمساحة تحت‬ ‫المنحنى في الشكل (‪ ، )99.4‬وتعطى رياضيا بالعالقة التالية ‪:‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )3‬نجد ان هذه الطاقة الكلية تساوي‬ ‫او‬ ‫‪3‬‬ ‫𝐹‪𝑁ℇ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫ويكون معدل الطاقة الكلية كما يلي‪:‬‬ ‫𝐸‬ ‫‪3‬‬ ‫𝐹‪= ℇ‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪5‬‬ ‫=̅‬ ‫‪E‬‬ ‫الجدول التالي يوضح قيم طاقة ودرجة حرارة فيرمي لبعض المعادن‬ ‫‪168‬‬ ‫من هذا الجدول نجد ان مقدار 𝐹‪ T‬يكون اكبر كثيرا من درجة الحرارة العادية ( درجة حرارة المعمل) ‪،‬‬ ‫وعليه ‪،‬عند هذه الدرجة يصبح المعدن في حالة المادة البالزمية‪.‬‬ ‫ولحساب الطاقة الكلية لإللكترون الغازي ‪،‬عند ما تكون 𝐹𝑇 = 𝑇 ‪ ،‬ال يمكن التعويض بدل‬ ‫قيمة ‪ ، N(ℇ) = 0 , 1‬وانما نستخدم عملية التكامل كالتالي‪:‬‬ ‫حيث من الصعب اجراء عملية التكامل في هذه المعادلة جبريا ‪ ،‬نضطر إلستخدام طريقة التحليل العددي ‪،‬‬ ‫وتكون النتيجة ‪ ،‬بعد ترتيب الحدود‪ ،‬للحهد الكيماوي كدالة لدرجة الحرارة كالتالي‪:‬‬ ‫مثال عددي ‪ :‬اثبت ان الطاقة الكلية للغاز اإللكتروني عند درجة الحرارة النسبية ‪ ، 𝑇⁄𝑇𝐹 = 0.2‬اي‬ ‫عند ‪ ، 𝑇 = 2000𝐾, 𝑇𝐹 = 104 ،‬تعطى تقريبا بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫نعتبر مدى من الطاقة حول طاقة فيرمي بمقدار ‪ ، k 𝐵 T‬فيكون عدد اإللكترونات المهيجة كالتالي‪:‬‬ ‫‪N𝑒𝑥𝑐 = 𝑁(ℇ). k 𝐵 T‬‬ ‫‪،‬‬ ‫وتصبح العالقة (‪ )9‬على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪169‬‬ ‫بالتعويض بدل طاقة فيرمي ‪ ،‬نحصل على‪:‬‬ ‫ويكون العدد التقريبي لإللكترونات المهيجة في هذه الفترة من الطاقة كما يلي ‪:‬‬ ‫في هذا الحل التفريبي وغير الدقيق ‪ ، non exact solution‬تكون الطاقة المهيجة لكل الكترون غازي‬ ‫تقريبا تساوي ‪ ، k 𝐵 T‬وعليه تكون الطاقة الكلية كالتالي‬ ‫اما الحرارة النوعية الحجمية ‪ ،‬تكون كالتالي‪:‬‬ ‫𝐹𝑇‪C𝑉 (T) = 𝜕𝐸(𝑇)⁄𝜕𝑇 = 3𝑁𝑘𝐵 𝑇⁄‬‬ ‫(‪ )11.1‬بارامغناطيسية – باولي ‪Pauli- Paramagnetism‬‬ ‫لنعتبر حالة ذرة وحيدة ‪ ،‬حيث المسافات بين الذرات كبيرة لدرجة يمكن معها اهمال التفاعل الناتج عن‬ ‫ترابط الحركة المغزلية لهذه الذرات ‪ ، spin- spin interaction‬يكون رقم اللف الكمي ‪spin quantum‬‬ ‫‪ number‬مساويا ‪ . 𝐼 = 1/2 :‬إليجاد مقدار تمغنط ‪ Magnetism‬عينة من مادة المعدن بإستخدام احصاء‬ ‫فيرمي – ديراك ومبدا باولي اإلستثنائي ‪ ،‬نعنبر جميع الكترونات التوصيل ( الحرة) مصحوبة مع حركتها‬ ‫المغزلية في آن واحد ‪.‬‬ ‫حيث ان تمغنط المادة يعطى بدالة تعرف دالة النجفن ‪ Langevin function‬ويكون كما يلي ‪:‬‬ ‫حيث ‪ = B‬شدة المجال المغناطيسي الخارجي ‪ (μ𝐵 )،‬بور ماجنتون ‪.Bohr magneton‬‬ ‫‪170‬‬ ‫لنفرض ان السهم )↑( يشير الى حركة غزل اإللكترون ( اللف) الى اعلى ‪ ،‬بينما )↓( يشير الى‬ ‫حركة غزل اإللكترون ( اللف) الى األسفل ( كما في شكل ‪. )99.8‬‬ ‫عند تسليط مجال مغناطيسي خارجي شدته ‪ ، B‬تكون الطاقة المغناطيسية المخزونة لكل الكترون تساوي ما‬ ‫يلي‬ ‫𝐵 𝐵𝜇 ‪𝐸𝑚 = −‬‬ ‫حيث ‪ ، 𝐸𝑚 ≪ 𝜀𝐹 :‬عند تسليط مجال مغناطيسي شدته ‪ 1‬تسال ‪ ،‬فهذا يعني ان الحركة المغزلية تنتج‬ ‫حاالت منحلة عند الصفر المطلق مماثلة للحاالت عند درجة الحرارة العادية ( بعكس الحركة اإلنتقالية ) ‪،‬‬ ‫وتكون قريبة من الحالة األرضية ‪ ،‬ولذلك نبدأ بمعالجة هذه المسألة عند درجة حرارة الصفر المطلق ‪.‬‬ ‫وسنعرض حالتين هما ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬حالة 𝟎 = 𝑩 ‪𝑻 = 𝟎 ,‬‬ ‫في هذه الحالة ‪ ،‬تملئ اإللكترونات الحاالت األرضية وتكون حركة اللف الى اعلى واسفل ( كما في الشكل‬ ‫)‪ ، ) 10.5‬بحيث تعطي عزوم مغناطيسية مرتبة‪ .‬كما تكون ذات طاقة كلية اقل من طاقة فيرمي ( طاقة‬ ‫القطع)‬ ‫شكل(‪ )10.5‬توزيع الحركة المغزلية لإللكترونات في غياب المجال المغناطيسي الخارجي وعند درجة‬ ‫حرارة الصفر المطلق‪.‬‬ ‫)‪ (b‬حالة‬ ‫𝟎≠𝑩‬ ‫‪𝑻=𝟎,‬‬ ‫عند تسليط مجال مغناطيسي خارجي على العينة‪ ،‬يكون التغير في طاقة الجسيم المنفرد مساويا لما يلي‪:‬‬ ‫𝐵 𝐵𝜇‪∆ℇ↑ = −𝜇𝐵 𝐵 , ∆ℇ↓ = +‬‬ ‫بفعل الطاقة المزودة من المجال تنزاح بعض اإللكترونات من اسفل الى اعلى ( كما في شكل ‪ ، )99.1‬وهذا‬ ‫يستهلك طاقة مقدارها كما يلي ‪:‬‬ ‫‪171‬‬ ‫𝐵 𝐵𝜇‪∆ℇ = ∆ℇ↑ − ∆ℇ↓ = −2‬‬ ‫ولكن بسبب مبدا باولي اإلستثنائي وكون جميع الحاالت األرضية مشغولة بالجسيمات ‪ ،‬فإن هذه الحاالت‬ ‫المنزاحة تقفز الى طاقة اعلى من طاقة فيرمي ( اي تتخطى عتبة فيرمي) ولكن بمقدار صغير ( ≪ 𝑚𝐸(‬ ‫𝐹‪ ، ℇ‬ولذلك يبقى اإلفتراض بإن كثافة الحاالت للف العلوي = كثافة الحاالت للف السفلي ≈ ) 𝐹‪𝑁(ℇ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫شكل (‪ )99.1‬توزيع حركة لف اإللكنرونات بوجود المجال المغناطيسي‪.‬‬ ‫لنفرض ان 𝑠𝑛 يساوي عدد اإللكترونات المنزاحة بفعل المجال المغناطيسي ‪ ،‬وتعطى كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ان كل الكترون مزاح يزداد عزمه المغناطيسي بمقدار 𝐵𝜇‪ ، 2‬لذلك يكون العزم المغناطيسي الكلي‬ ‫بإتجاه المجال المغناطيسي ‪ B‬لعدد ‪ N‬من هذه اإللكترونات كما يلي‬ ‫ويكون العدد الكلي لإللكترونات ذات العزم الموازي للمجال (‪ )+‬او المعاكس له )‪ ) −‬كالتالي‪:‬‬ ‫)‪........(4‬‬ ‫حيث 𝑛̅ = متوسط عدد اإللكترونات ويحدد هذا الرقم بتوزيع فيرمي – ديراك ‪ ،‬ويمكن استبدال 𝜇 بطاقة‬ ‫فيرمي ( حيث يتشابه النظام مع حالة اإلتزان عند الصفر المطلق)‪ .‬اي‬ ‫‪172‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون حدود التكامل في معادلة (‪ )4‬كما يلي‬ ‫كما يكون صافي العزوم المغناطيسية للعينة ( التمغنط العياني ) كما يلي‬ ‫ويكون تمغنط باولي كالتالي‬ ‫ونالحظ ان هذا المقدار يتفق مع دالة النجفن في حالة العينة المعزولة ‪ isolated‬وعند درجة الصفر‬ ‫المطلق ‪ ،‬اي‬ ‫وهذا يعني ان كل لف اإللكترونات المنعزلة يتجه الى اعلى ‪.‬‬ ‫______________________________________________________‬ ‫_____________________‬ ‫‪173‬‬ ‫الفصل الحادي عشر ‪ :‬تطبيقات احصاء بوز – اينشتين‬ ‫‪Bose – Einstien Statistic Applications‬‬ ‫يتناول هذا الفصل تطبيقا إلحصاء بوز – اينشتين على اشعاع الجسم األسود ‪ ،‬بإعتبار ان الفوتونات‬ ‫تشكل نظام غاز بوز المثالي ‪ ،‬كما يعرض مقارنة بين النتائج الناجمة عن هذا اإلحصاء مع النظريات التقليدية‬ ‫التي وضعها بالنك‪ .‬كما يتناول ظاهرة تكثيف بوز – اينشتين وفقا إلسس هذا أإلحصاء‪.‬‬ ‫(‪ )11.1‬اشعاع الجسم األسود – غاز الفوتون المثالي‬ ‫‪Blackbody Radiation – Ideal Photon Gas‬‬ ‫يعرف الجسم األسود بأنه الجسم الذي له اعلى قدرة امتصاصية لألشعة الكهرومغناطيسية الساقطة‬ ‫عليه ‪ ،‬بمعنى ال ينعكس عنه اي ضوء ساقطا عليه‪ .‬وحيث ان له قدرة امتصاصية عالية ‪ ،‬فإن له ايضا‬ ‫قدرة اشعاعية ‪ .‬ويمثل الجسم األسود بجسم مغلق ‪ ،‬اجوف ‪ ،‬وبه فتحة ( ثقب صغير ) ومطلي بأألسود من‬ ‫الداخل ( الشكل ‪.)11.1‬‬ ‫شكل (‪ )99.9‬إشعاع جسم اسود مثالي ‪.‬‬ ‫يمتص هذا الجسم كل الضوء الساقط عليه من خالل الثقب وال يسمح له بالخروج نتيجة لإلنعكاسات‬ ‫ال متتالية عى جدرانه الداخلية‪ .‬وعندما يسخن الجسم األسود ‪ ،‬فإنه يشع ضوء يحتوي على كل األطوال‬ ‫الموجية اعتمادا على درجة الحرارة ‪.T‬‬ ‫اما معالجة بالنك ( عام ‪ )9199‬التقليدية لظاهرة اشعاع الجسم األسود ‪ ،‬فكانت تستند على اعتبار ان‬ ‫الطاقة الممتصة او المشعة تكون على صورة حزم من الطقة غير مجزئة تسمى الكونتا ‪ Quanta‬وهي‬ ‫طاقة الفوتون‪ .‬اما التفسير الفيزيائي لهذه الظاهرة فيعتبر ان الفوتونات تنبعث بسبب اهتزاز ذرات الجسم‬ ‫األسود ‪ ،‬كما في حالة اهتزاز المتذبذب التوافقي ‪.simple harmonic oscillator‬‬ ‫‪174‬‬ ‫وفقا لنظريات الميكانيكا الكمية ( حلول معادلة شرودنجر للمتذبذب التوافقي ) ‪ ،‬تكون القيم الخاصة لدالة‬ ‫الهاملتون كالتالي‪:‬‬ ‫حيث تكون طاقة النقطة الصفرية تساوي‬ ‫𝜈‪ℎ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ε0‬‬ ‫افترض بالنك ان طاقة المتذبذب تكون ما يلي ‪:‬‬ ‫بالرجوع الى الجدول المبين في الفصل الرابع ‪ ،‬نجد ان‬ ‫او ‪،‬‬ ‫و يعطي ترتيب هذه المعادلة ما يلي‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝐶‪+‬‬ ‫𝑛𝜀‬ ‫𝑇𝐵‬ ‫𝑘 = 𝑍 ‪𝑑𝑇 ⟹ ln‬‬ ‫𝑛𝜀‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑇𝐵‬ ‫𝑘 ∫ = )𝑍 ‪𝑑(ln‬‬ ‫حيث 𝐶 ثابت التكامل‪.‬‬ ‫بإستخدام الدالة أألسية ‪ ،‬نجد ان دالة التجزئة لنمط منفرد ‪ single mode‬في الجسم األسود تكون‪: :‬‬ ‫)‪........(.2‬‬ ‫تسمى هذه النتيجة بنظرية ديباي ‪.Debye Theory‬‬ ‫افترض بالنك ان ثوابت معادلة (‪ )99.1‬تساوي ‪ .9‬وعليه تصبح دالة التجميع لجميع األنماط كالتالي‪:‬‬ ‫‪175‬‬ ‫بتطبيق قاعدة مجموع المتسلسلة الهندسية ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪……….. (3‬‬ ‫𝑇 𝐵𝑘 ≪ 𝜈‪ℎ‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜈‪ℎ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑇𝑘 𝑒‪1−‬‬ ‫= 𝑙𝑙𝑎𝑍‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون الطاقة الكلية لجميع األنماط كما يلي‪:‬‬ ‫)‪.......)4‬‬ ‫(‪ )11.1‬معالجة بوز الرياضية إلشعاع الجسم األسود‬ ‫بما ان الفوتون ال يمتلك خاصية اللف )‪ ، ( spin =0‬لذلك يخضع غاز الفوتون المثالي إلحصاء بوز‪ -‬اينشتين‬ ‫‪ .‬لذلك ‪ ،‬نستخدم كثافة الحاالت بداللة التردد ‪ ،‬مع اعتبار ان الضوء يكون له اتجاهين لألستقطاب ‪ ،‬وهذا‬ ‫يجعل لكل مستوى طاقة درجتين من اإلنحاللية ‪ .‬وعليه‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫ويكون متوسط رقم اإلشغال في احصاء بوز – اينشتين كما يلي‪:‬‬ ‫بما اننا نتعامل مع نظام مفتوح ‪ ، open system‬اي عدد الفوتونات غير ثابتا ( يتغير مع درجة الحرارة)‬ ‫‪ ،‬وعليه يكون الجهد الكيماوي غير معرف ‪ ، undefined‬بمعنى‬ ‫‪176‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون عدد الفوتونات التي يقع ترددها ضمن المدى ‪ 𝜈 + 𝑑𝜈 ، ν‬كالتالي‪:‬‬ ‫وتكون كثافة الطاقة الطيفية ‪ spectral energy desity‬كالتالي‪:‬‬ ‫اما كثافة اإلشعاع الطيفي ‪ ،‬تكون كما يلي‪:‬‬ ‫)‪……….(5‬‬ ‫وجد بالنك ان القدرة اإلشعاعية للجسم األسود تكون دالة لطول الموجة ولدرجة الحرارة ( الشكل ‪)99.1‬‬ ‫شكل (‪ )99.1‬كثافة اإلشعاع كدالة مع طول الموجة ‪.‬‬ ‫‪177‬‬ ‫ويمكن مناقشة اإلعتماد الحراري للتوزيع األعظم ) 𝑥𝑎𝑚𝜈 )‬ ‫نفرض ان‪:‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ )8‬كما يلي‪:‬‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‪ ، 𝑥 = ℎ𝜈 ⁄‬تصبح هذه المعادلة بداللة 𝑥 ‪ ،‬كما يلي‬ ‫)‪……..(6‬‬ ‫بإستخدام شرط القيمة العظمى على القدرة اإلشعاعية ) ‪= 0‬‬ ‫ان‬ ‫)𝑥( 𝑟𝜌𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫) ‪،‬المعطاة في معادلة (‪ ، )1‬نجد‬ ‫‪𝑒 𝑥𝑚𝑎𝑥 (3 − 𝑥𝑚𝑎𝑥 ) = 3 ⟹ 𝑥𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 ⁄𝑘𝐵 𝑇 = 2.8214‬‬ ‫او‬ ‫‪ . 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 5.87 × 1010‬ويسمى هذا بقانون ازاحة فين ‪ Wein Displacement‬والذي ينص‬ ‫على ان قمة المنحنى في طيف الجسم األسود تنزاح مع ارتفاع درجة الحرارة في اتجاه تناقص درجة‬ ‫الحرارة ‪،‬ويعبر رياضياعن القانون كما يلي ‪:‬‬ ‫ثابت = 𝑇 𝑥𝑎𝑚‪λ‬‬ ‫وبتكامل معادلة (‪ )1‬نحصل على قانون ستيفان – بولتزمان والذي ينص على ما يلي‪:‬‬ ‫تكون الطاقة اإلشعاعية الكلية لوحدة المساحة تحت المنحنى وعند درجة حرارة ‪ T‬كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝐸 = 𝑏 𝑇4‬‬ ‫‪178‬‬ ‫شكل (‪ )99.8‬الطاقة اإلشعاعية كدالة للتردد وفي حاالت مختلفة من درجة الحرارة‪.‬‬ ‫(‪ )11.1‬تكثيف بوز – اينشتين ‪Bose – Einstein condensation‬‬ ‫بما ان البوزونات ال تخضع لمبدأ باولي اإلستثنائي ‪ ،‬لذلك تستقر في الحالة األرضية عند درجة الصفر‬ ‫المطلق ( ‪ ( . (T=0‬الحظ الشكل ‪)99.1‬‬ ‫شكل (‪ )99.1‬توزيع البوزونات في الحالة األرضية ‪.‬‬ ‫‪179‬‬ ‫يكون متوسط رقم اإلشغال في توزيع بوز‪ -‬اينشتين كالتالي‪:‬‬ ‫)‪……….(7‬‬ ‫حيث 𝑖‪. μ < ε‬‬ ‫كما تكون كثافة الحاالت بداللة الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪........ (8‬‬ ‫إليجاد ما يؤول اليه نظام بوز‪ -‬اينشتين في الحاالت التالية‪ ،‬وعند التغير درجة حرارة النظام ‪ ،‬نتبع التالي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬عند ‪T → 0K‬‬ ‫حيث ان البوزونات تحاول تقلل من طاقتها قدر اإلمكان واإلستقرار في الحالة األرضية ‪ ، ε1‬لذلك تصبح‬ ‫طاقة النظام الكلية كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝐸(0) = 𝑁𝜀1‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫̅̅̅ → 𝑖̅𝑛 ‪lim‬‬ ‫𝑁 → ‪𝑛1‬‬ ‫‪𝑇→0‬‬ ‫لفهم معنى نهاية الدالة األسية عند األقراب من الصفر المطلق ‪ ،‬وكما هو مطلوب ان يكون ‪ N‬عدد كبير‬ ‫‪ ،‬فإن ذلك يستوجب ما يلي∶‬ ‫‪μ < 𝜀1‬‬ ‫‪ .‬ويمكن تحليل ذلك رياضيا كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ان القوة قي الدالة األسية صغيرة ‪ ،‬يمكن نشر هذه الدالة بالصورة التقريبية والتعويض في المقام في‬ ‫معادلة )‪ ، (7‬ومن ثم استبدال متوسط رقم اإلشغال في المعادلة بعدد الجسيمات الكلي ‪ ، N ،‬لنحصل على‬ ‫التالي ‪:‬‬ ‫‪180‬‬ ‫وعلى الرغم من ان الحد الثاني في هذه النهاية صغيرجدا ‪ ،‬يكون الجهد الكيماوي اصغر من مقدار‬ ‫طاقة الحالة األرضية ‪ ،‬اي‬ ‫𝑖‪ . μ < ε‬وهذا يعني عمليا ان كل 𝑖̅𝑛 التي لها ‪ ، 𝑖 > 1‬تكون مفرغة‬ ‫‪ ( emptied‬بدون جسيمات ) عند الصفر المطلق‪.‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫𝐾‪: 𝑇 >0‬‬ ‫عندم ا تكون درجة الحرارة اكبر من الصفر المطلق ( ولكن بالقرب من هذه الدرجة) ‪ ،‬لتحديد اشارة معامل‬ ‫الجهد الكيماوي بإستخدام احصاء بوز‪ -‬اينشتين وكثافة حاالت الطاقة‪ ،‬نتبع التالي‪ :‬بدمج معادلتي (‪)5( ، )8‬‬ ‫‪ ،‬نجد ان‬ ‫او‬ ‫)‪..................... (9‬‬ ‫تعطي هذذه المعذادلة عالقة تكاملية بين كثافة الحاالت الحجمية ودرجة الحرارة ‪ ،‬وحيث ان ‪ N, V‬توابت ‪،‬‬ ‫يكون 𝑉‪ 𝑁⁄‬مقذذدار ثذذابذذت ‪ ،‬وعليذذه يجذذب ان يعطي التكذذامذذل ‪ ،‬مع اختالف ‪ ،T‬نتيجذذة ثذذابتذذة ‪ .‬وألن (‬ ‫‪ ، μ < ε(≈ ε1‬يجب ان يزداد ‪ µ‬مع نقصان ‪.T‬‬ ‫وبغض النظر ‪ ،‬عندما‪:‬‬ ‫) ‪ ، 𝑇 → 0 𝐾 ( 𝜀, 𝜇 → 𝜀1‬يجب ان يعطي التكامل مقدارا من كثافة حالة يمكن‬ ‫قياسذذها ‪ ، measurable density‬وهذا يؤدي الى ان تكون ‪ μ‬كمية سذذذالبة ‪ ،‬او تكون قيمة |‪ |μ‬متناقصذذذة‬ ‫مع درجة الحرارة‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬عندما تكون درجة الحرا رة اكبر من الصذذذذذذفر المطلق ‪ ،‬فإن ‪ μ‬تكون سذذذذذذالبة ‪ ،‬واخيرا تصذذذذذذل الى‬ ‫‪ μ = ε1‬عند 𝐾 ‪ . 𝑇 = 0‬ولجعل هذا ممكنا ‪ ،‬نفترض ان طاقة الحالة األرضية هي المقياس الصفري ‪،‬‬ ‫اي ‪.(ε1 = 0 , μ ≤ 0 ) ،‬‬ ‫‪181‬‬ ‫درجة تكثيف بوز – اينشتين الحرارية‬ ‫تعرف اصذذذذذذغر درجة حرارة ‪ ،‬ويرمز لها 𝐶𝑇 ‪ ،‬التي‬ ‫تجعل ‪ ، μ = 0‬بدرجة تكثيف بوز – اينشذذذذذذتين ‪.‬‬ ‫إليجاد هذه الدرجة نسذذذذتخدم معادلة (‪ )1‬مع اسذذذذتبدال‬ ‫𝐶𝑇 → 𝑇 ‪ ،‬وعليه تصذذذذبح الصذذذذورة الجديدة لهذه‬ ‫المعادلة كما يلي‬ ‫نفرض ان‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول هذه المعادلة الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫او‬ ‫ما الخطأ في هذا األشتقاق ؟‬ ‫في معادلة (‪ ، )1‬اعتمدنا على اعتبار التكامل مدرجا بمقياس 𝜀√ ‪ ،‬وهذا يعطي الحالة األرضية وزنة خاطئة‬ ‫)‪ ، ( wrong weight‬لذلك يجب تصحيح ذلك بإعتبار طاقة الحالة اإلرضية في الحساب ‪ ،‬وتكون المعالجة‬ ‫الرياضية الصحيحة كالتالي ‪:‬‬ ‫̅̅̅ = 𝑖̅𝑛 𝑖∑ = 𝑁‬ ‫‪𝑛1 + 𝑛̅𝜀>𝜀1‬‬ ‫‪182‬‬ ‫اي ان عدد الجسيمات الكلي= متوسط عددها في الحالة األرضية ‪ +‬متوسط عددها في الحاالت األخرى ‪ .‬اي‬ ‫‪،‬‬ ‫او‬ ‫(‪.........)99‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يجب تحديد قيمة ‪ μ‬مرة اخرى ‪.‬‬ ‫𝐶‪ ، T < T‬وفي حالة األقتراب من الصفر المطلق ‪ ،‬فإن ‪ . μ ≈ ε1‬وكما وجدنا سابقا (‬ ‫نعلم ان عند‬ ‫معادلة ‪ ، )8‬او‬ ‫𝑇 𝐵𝑘‬ ‫𝑁‬ ‫‪𝑇 ≈ 0 𝐾 → 𝜇 = ε1 −‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون في مستويات الطاقة األخرى ‪ ، ε‬ما يلي‬ ‫ويكون متوسط رقم اإلشغال في هذا المستوى كالتالي‬ ‫تحت الشرط ‪:‬‬ ‫ويكون هذا الشرط صحيحا لجميع الحالت عدا الحالة األرضية ‪ ،‬ونحصل على توزيع بوز – اينشتين مع‬ ‫‪. μ = ε1‬‬ ‫مثال العددي‪:‬‬ ‫‪183‬‬ ‫نفرض وجود ذرات ‪ 𝐻𝑒24‬محصورة في صندوق حجمه‬ ‫) ‪ ، (𝑉 = 𝐿3‬تكون دالة الموجة في الحالة‬ ‫األرضية كما في الشكل (‪ . )99.8‬وحسب قانون دي برولي ‪ ،‬تكون طول الموجة 𝐿 ‪ . λ = 2‬بينما في‬ ‫الحالة المستثارة األولى ‪ ، first excited state‬يكون طول الموجة 𝐿 = 𝜆 ‪ .‬وعليه ‪،‬‬ ‫شكل (‪)99.8‬‬ ‫من معادلة دي برولي ‪ ،‬نجد ان الزخم الخطي للجسيم ‪ ،‬في الحالتين يكون كما يلي ‪:‬‬ ‫𝐿‪𝓅1 = ℎ⁄2𝐿 , 𝓅2 = ℎ⁄‬‬ ‫ويكون الفرق بين مستويات الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝓅 − 𝓅1‬‬ ‫‪3ℎ2‬‬ ‫‪∆ε = ε2 − ε1 = 2‬‬ ‫=‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫) ‪4 (2𝑚 𝐿2‬‬ ‫لنفرض ان 𝑚𝑐 ‪ ، 𝐿 = 1‬تكون‬ ‫ومن ثم ‪ ،‬يمكن اعتبار ‪ 𝜇 = 0‬عندما تكون 𝐶𝑇 < 𝑇 ‪ .‬ومع هذا الفرض ‪ ،‬يمكن حل معادلة (‪ )99‬كما يلي‬ ‫‪:‬‬ ‫‪184‬‬ ‫وهذا يمثل عدد الجسيمات غير الموجودة في الحالة األرضية ‪ ،‬وفي درجة حرارة ضمن المدى‬ ‫𝐶𝑇 < 𝑇 < ‪ ، 0‬وعليه يكون العدد الكلي للجسيمات كما يلي‬ ‫بترتيب هذه المعادلة ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫)‪.......(11‬‬ ‫وتعني معادلة (‪ )99‬ان عند درجة الحرارة ‪ ،‬حيث 𝐶𝑇 < 𝑇 ‪ ،‬التي تكون اصغر من درجة تكاثف بوز‪-‬‬ ‫اينشتين ‪ ،‬تبدأ البوزونات بالتكاثف في الحالة األرضية ويزداد عددها كلما اقتربت درجة حرارة النظام من‬ ‫الصفر المطلق ‪ .‬وعندما تكون كلها او معظمها في نفس المستوى ‪ ،‬ويكون لها دالة الموجة تتصرف هذه‬ ‫الجسيمات وكأنها جسيم منفر د ( ال تفاعل داخلي بينها) ‪ ،‬ويصبح للنظام خواص جديدة وتسمى هذه الحالة‬ ‫بحالة بوز–اينشتين التكاثفية ‪. ( BEC ) Bose-Einstein condensate‬‬ ‫يوضح الشكل (‪ )99.5‬العالقة البيانية لعدد الجسيمات النسبي في الحالة األرضية مع درجة حرارة النظام ‪.‬‬ ‫شكل (‪ )99.5‬العالقة البيانية لعدد الجسيمات النسبي في الحالة األرضية مع درجة حرارة النظام ‪.‬‬ ‫ويبين هذا الشكل ان عند درجات الحرارة التي تكون تحت 𝐶‪ ، T‬فإن عاز بوز‪ -‬اينشتين المثالي ينقسم الى‬ ‫مجموعتين هما ‪:‬غاز عادي ‪ Normal Gas‬وغاز ‪ BEC‬المتكثف الذي ال يساهم في طاقة النظام او ضغطه‬ ‫‪.‬‬ ‫‪185‬‬ ‫حساب معدل الطاقة في المدى ‪0 < 𝑇 < 𝑇𝐶 :‬‬ ‫نحسب معدل الطاقة كما يلي‬ ‫وبإستخدام معادلة (‪ ، )99‬نحصل على التالي‬ ‫حيث ان الحد األول تقريبا يساوي صفرا ‪ ،‬والحد الثاني يتناسب مع ‪ ، 𝑇 5/2‬لذلك يمكن ان يكون الحل‬ ‫التقريبي لمعدل الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪.......(12‬‬ ‫وتكون الحرارة النوعية المولية ‪ molar specific heat‬كالتالي ‪:‬‬ ‫)‪………(13‬‬ ‫𝑇‬ ‫اما العالقة البيانية لمعامل الجهد الكيماوي ‪ μ‬كدالة ( 𝑇( ‪ ،‬تكون كما في شكل (‪)99.1‬‬ ‫𝐶‬ ‫‪186‬‬ ‫𝑇‬ ‫شكل (‪ )99.1‬لمعامل الجهد الكيماوي ‪ μ‬كدالة ( 𝑇( ‪،‬‬ ‫𝐶‬ ‫اما قيم ‪ ،μ‬فتكون كالتالي‬ ‫ومن ثم يمكن تحديد معدل الطاقة من معادلة (‪ ، )91‬ونجد الحرارة النوعية المولية (‪ )93‬وتمثيلها بيانيا (‬ ‫الشكل ‪ ( 99.99‬كما يلي‪:‬‬ ‫شكل (‪ )99.99‬الحرارة النوعية المولية كدالة لدرجة الحرارة‪.‬‬ ‫ويبين هذه الشكل ان درجة حرارة النظام العالية تجعل ‪ ، 𝐶̃𝑉 → 3𝑅 ⁄2‬ووالتي تساوي القيمة التقليدية‬ ‫للحرارة النوعية المولية ‪ ،‬وذلك عند درجة 𝐶𝑇 ‪.10‬‬ ‫‪187‬‬ ‫ألباب الثاني‬ ‫‪188‬‬ ‫‪ -I‬تمارين محلولة‬ ‫(‪ )1‬تحتوي غرفة ‪ ،‬ذات حجم ‪ ، 27 m3‬على هواء في الظروف المعيارية ‪ ،‬على فرض ان جزيئات الهواء‬ ‫هي جسيمات مستقلة ‪ ،‬جد احتمال وجود حيز ‪ 1cm3‬في مكان ما من الغرفة خالي من الهواء ‪ ،‬وذلك بسبب‬ ‫التقلبات اإلحصائية ؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫نفرض ان ‪ = V0‬حجم الغرفة ‪ = V ،‬الحجم تحت اإلعتبار ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يكون احتمال وجود جسيم في الحجم‬ ‫‪ V‬يساوي ‪ . 𝑉 ⁄𝑉0‬بينما تكون احتمالية وجود هذا الجسيم في اي مكان آخر قي الغرفة يساوي‬ ‫𝑉‬ ‫‪𝑉0‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪ .‬اذا كان عدد الذرات المستقلة في الهواء ‪ ، N‬فإن احتمال وجود اي من الذرات في الحجم ‪ V‬يساوي ‪:‬‬ ‫𝑁 𝑉‬ ‫𝑉‬ ‫}) ‪) = 𝑒𝑥𝑝 {𝑁 ln(1 −‬‬ ‫‪𝑉0‬‬ ‫‪𝑉0‬‬ ‫‪𝑃 = (1 −‬‬ ‫اذا كان‬ ‫‪𝑉 ⁄𝑉0 ≪ 1 ⟹ ln (1 − 𝑉 ⁄𝑉0 ) ≈ − 𝑉 ⁄𝑉0‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫‪𝑃 = 𝑒 −𝑁𝑉⁄𝑉0‬‬ ‫حيث يكون حجم المول الواحد في الظروفالمعيارية ‪ ، 22.4 × 103 𝑐𝑚3‬كما ان كل ‪ 9‬مول يحتوي‬ ‫على عدد افوجادرو من الجسيمات ‪ ،‬اذن‬ ‫‪27 × 106‬‬ ‫=‪N‬‬ ‫) ‪× (6.62 × 1023‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪22.4 × 10‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪𝑃 = 𝑒 −2.7×10‬‬ ‫(‪ )0‬في حالة الغاز المثالي تحت الشروط المعيارية ‪ ،‬جد احتمالية تواجد ذرة ‪ ، 𝑃(𝑟)،‬في‬ ‫}𝑟𝑑 ‪ {𝑟, 𝑟 +‬؟‬ ‫الحل‬ ‫‪189‬‬ ‫المدى‬ ‫نفرض ان‬ ‫𝑉‪ ، 𝑛 = 𝑁⁄‬يكون احتمال وجود ذرة في الحجم 𝑉𝑑 يساوي ‪𝑛𝑑𝑉 :‬‬ ‫كما يكون احتمال عدم تواجد ذرة في هذا الحجم يساوي ‪ . 1 − 𝑛𝑑𝑉 :‬اما احتمالية عدم تواجد ذرة في‬ ‫الحجم ‪ V‬يساوي‬ ‫𝑉𝑛‪. 𝑒 −‬‬ ‫لنفرض ان ‪ r‬نصف قطر عنصر الحجم ‪ ، 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ،‬اذن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑟𝜋‪𝑃(𝑟)𝑑𝑟 = (𝑛𝑑𝑉)(𝑒 −𝑛𝑉 ) = 𝑛(4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟)𝑒 −𝑛3‬‬ ‫اذن‬ ‫)‪𝑃(𝑟) = 4𝜋𝑟 2 𝑛 exp(− 𝑛4𝜋𝑟 3 ⁄3‬‬ ‫)‪ (3‬بإستخدام حجم فراغ الطور‪ ،‬احسب عدد الحاالت المجهرية في الطاقم المجهري القانوني للغاز المثالي‬ ‫؟‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان فراغ الطور مقسما الى كرات ذات ابعاد ‪ n‬نصف قطركل منها ‪ ، R‬يكون حجم الكرة النونية‬ ‫(انظر للملحق الرياضي) كما يلي‪:‬‬ ‫𝑛‪Φ𝑛 = C𝑛 R‬‬ ‫حيث 𝑛‪ C‬ثوابت ‪ .‬تكون المساحة السطحية لهذه الكرة‬ ‫‪:‬‬ ‫إليجاد قيمة 𝑛‪ C‬نتبع ما يلي‬ ‫نستخدم المتطابقة التالية ‪:‬‬ ‫𝑛‪𝑑Φ‬‬ ‫‪= 𝑛𝐶𝑛 𝑅 𝑛−1‬‬ ‫𝑅𝑑‬ ‫= )‪Σ𝑛 (R‬‬ ‫∞‬ ‫𝜆‪∫−∞ 𝑑𝑥 exp(−𝜆𝑥 2 ) = √𝜋⁄‬‬ ‫وعليه‪،‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪(𝜋⁄𝜆) 2‬‬ ‫∞‬ ‫= } ‪𝑑𝑥𝑛 𝑒𝑥𝑝{−𝜆(𝑥12 + ⋯ 𝑥𝑛2‬‬ ‫∞‬ ‫∫ ‪∫ 𝑑𝑥1 … … … .‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫(‪.........)9‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫حيث ‪ ، 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2 < 𝑅 2‬ويمكن كتابة الطرف األيسر لمعادلة (‪ )9‬كمايلي‪:‬‬ ‫نفرض ان ‪ ، 𝑡 = 𝜆𝑅 2‬بالتعويض ‪:‬‬ ‫∞‬ ‫) ‪= 𝑛𝐶𝑛 ∫ 𝑑𝑅 𝑅 𝑛−1 exp(−𝜆𝑅 2‬‬ ‫∞‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑅𝜆‪∫ 𝑑𝑅 Σ(𝑅) exp(−‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪190‬‬ ‫بإستخدام تعريف دالة جاما بالصورة التكاملية ‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑛‬ ‫= ) ‪𝐶𝑛 Γ ( 2‬‬ ‫‪𝑛 1‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪2 𝜆2‬‬ ‫𝑛‬ ‫= 𝑡𝑑 )𝑡‪𝑡 (2 −1) exp(−‬‬ ‫∞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛𝐶𝑛 𝜆𝑛/2 ∫0‬‬ ‫بمساواة األطراف اليمنى في معادلتي (‪ )9‬و (‪ )1‬وبإستخدام تعريف دالة جاما ‪ ،‬نجد ان‬ ‫‪2𝜋 𝑛/2‬‬ ‫𝑛 = 𝑛𝐶‬ ‫)‪Γ(2 + 1‬‬ ‫(‪ )3‬اذا كانت دالة هاملتون لجسيمات الغاز المثالي ‪ ،‬حيث ‪ N‬عدد هذه الجسيمات ‪ ،‬وعلى فرض ان = 𝑚‪2‬‬ ‫‪ ،1‬تعطى كما يلي‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑁‪𝐻(𝑝) = 𝑝12 + 𝑝22 + ⋯ 𝑝3‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫اثبت ان حجم فراغ الطور يكون كما يلي‬ ‫)𝐸√( 𝑛‪Γ (E, V) = K 0 𝑉 𝑁 Σ‬‬ ‫حيث ‪ ،‬ثابت = ‪n= 3N ، K 0‬‬ ‫)‪ (b‬جد المساحة السطحية الطاقية‪ Σn (√E) :‬؟‬ ‫)‪ (c‬جد األنتروبيا )‪. S(E,V‬‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان )‪ = Γ( E,V‬حجم فراغ الطور الكلي‪.‬‬ ‫ويعرف بداللة كثافة الحاالت عند الطاقة ‪( E‬الحظ‬ ‫الشكل ادناه) ‪ ،‬وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫)‪𝜕Φ(E‬‬ ‫∆)‪) ∆= Σ (E‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫( = )‪Γ( E, V‬‬ ‫‪191‬‬ ‫او بداللة التكامل على جميع نقاط فراغ الطور كما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‬ ‫‪𝑑𝑝 … 𝑑𝑝𝑛 𝑑𝑞1 … . . 𝑑𝑞𝑛 .‬‬ ‫‪ℎ3𝑁 𝑝12 +⋯𝑝𝑛2<𝐸 1‬‬ ‫= )𝑉 ‪Γ(𝐸,‬‬ ‫بما ان هاملتون النظام ال يعتمد على اإلحداثيات العمومية ‪ ،‬فإن التكامل على هذه األحداثيات يعطي حجما‬ ‫لفراغ المكاني يساوي 𝑁 𝑉 ‪ ،‬ولنفرض ان‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑁‪ ، 𝐾0 = ℎ3‬اذن‬ ‫)𝑅( 𝑛‪Γ(E, V) = K 0 𝑉 𝑁 ∫𝑝2 +⋯𝑝2 <𝐸 𝑑𝑝1 … … 𝑑𝑝𝑛 = K 0 V𝑁 Φ‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث ان حجم الكرة النونية التي نصف قطرها 𝑅 يعطى كما يلي‪:‬‬ ‫𝑛‪ ، Φ𝑛 (𝑅) = C𝑛 R‬ومن تعريف الطاقة بداللة الزخم الحطي نجد ان ‪:‬‬ ‫‪R ↔ 𝑝 = √2𝑚𝐸 = 𝐸1/2‬‬ ‫)‪Σ𝑛 (√𝐸) = 𝑛𝐶𝑛 𝑅 (𝑛−1‬‬ ‫(‪...................)1‬‬ ‫)‪ (b‬من معادلة (‪ ، )1‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪Σ𝑛 (√𝐸) = 𝑛 𝐶𝑛 𝐸 (𝑛−1)/2‬‬ ‫‪192‬‬ ‫من نتيجة سؤال (‪ ،)3‬يكون الثابت كما يلي‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫→ 𝑛𝐶 ‪⟹ ln‬‬ ‫)‪ln 𝜋 − ( 2) ln( 2) + ( 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2𝜋 𝑛/2‬‬ ‫𝑛‬ ‫)‪Γ( +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑛𝐶‬ ‫)‪ (c‬إليجاد اإلنتروبيا نستخدم العالقة التالية‪:‬‬ ‫)𝑉 ‪S(E, V) = k 𝐵 ln Γ (𝐸,‬‬ ‫حيث 𝐵 ‪ k‬ثابث بولتزمان ‪.‬‬ ‫𝑁‬ ‫} ‪Γ(𝐸, 𝑉 ) = (𝐾0 𝑉 )𝑁 Φ(𝑅) = (𝐾0 𝑉 )𝑁 𝐶𝑛 𝑅 𝑛 = 𝐶𝑛 {𝐾0 𝑉(𝐸)3/2‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫}𝐸 ‪𝑆(𝐸, 𝑉) = 𝑘𝐵 {ln 𝐶𝑛 + 𝑁 ln(𝐾0 𝑉) + (2) 𝑁 ln‬‬ ‫(‪ )5‬بإستخدام دالة توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان للزخم الخطي ‪ ،‬اثبت ان التباين في طاقة ذرات الغاز المثالي‬ ‫والناتج عن التصادم بين هذه الذرات يكون كما يلي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(𝑘 𝑇)2‬‬ ‫𝐵 ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪σ𝜖 = ⟨𝜖 2 ⟩ − ⟨𝜖⟩2‬‬ ‫الحل‬ ‫)𝑝(𝑓𝜖𝑝 ‪∫ 𝑑 3‬‬ ‫)𝑝(𝑓𝑝 ‪∫ 𝑑 3‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫= ⟩𝜖⟨‬ ‫حيث‬ ‫‪𝛽𝑝2‬‬ ‫) 𝑚‪𝑑 3 𝑝 = 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝 , 𝑓(𝑝) = 𝑐e(− 2‬‬ ‫𝛽‬ ‫نفرض ان ‪ ، (2𝑚 = 𝜆) :‬اذن بالتعويض في معادلة (‪ ، )9‬نحصل على‬ ‫∞‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑝𝑑 𝑝𝜆‪1 ∫0 𝑝4 𝑒 −‬‬ ‫= ⟩𝜖⟨‬ ‫𝑝𝑑 ‪2𝑚 ∫∞ 𝑝2 𝑒 −𝜆𝑝2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وبإستخدام التكامل التالي ‪:‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪√𝜆2𝑛+1‬‬ ‫)‪(2𝑛−1‬‬ ‫)𝑛‪2(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡𝜆‪∫0 𝑡 2𝑛 𝑒 −‬‬ ‫نجد ان‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑇 𝑘‬ ‫𝐵 ‪2‬‬ ‫= ⟩𝜖⟨‬ ‫بالمثل ‪ ،‬نجد ان‬ ‫‪193‬‬ ‫اذن ‪ ،‬يكون التباين كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (6‬بإستحدام دالة توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان ‪ ،‬برهن ان ضغط الغازالمثلي والمحصور في وعاء حجمه ‪V‬‬ ‫‪ ،‬بحيث تكون جدرانه مصقولة جدا ‪ ،‬يعطى كما يلي ‪:‬‬ ‫𝐸‪2‬‬ ‫𝑉‪3‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫حيث ‪ 𝐸 ،‬الطاقة الحركية لكل جزئ ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يعرف الضغط على انه القوة الواقعة على وحدة المساحة العمودية ‪ .‬لنفرض ان جدار الوعاء العمودي على‬ ‫حركة الجزيئات في اتجاه محور ‪ x‬وان مركبة سرعة الجزئ في هذا اإلتجاه هي 𝑥‪ ( ν‬كما في الشكل المرفق‬ ‫)‪.‬‬ ‫من تعريف القوة الواقعة على الجدار في الثانية الواحدة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝑥𝑝∆‬ ‫𝑥𝑣𝑚‪→ 2‬‬ ‫𝑡∆‬ ‫= 𝑥𝐹‬ ‫وعليه‪ ،‬يكون الضغط الناتج كما يلي‪:‬‬ ‫)𝜙() 𝑥𝑣𝑚‪𝑃 = (2‬‬ ‫حيث 𝜙 = فيض الذرات الساقطة على وحدة المساحة والموجودة في األسطوانة ‪ ،‬حيث تساوي مساحة‬ ‫المقطع وحدة واحدة وطولها 𝑥𝑣 ‪ .‬اذا فرضنا ان كثافة الغاز الحجمية‬ ‫كما يلي‬ ‫)𝑝(𝑓 𝑥𝑣) 𝑥𝑣𝑚‪P = 𝑛 ∫ 𝑑3 𝑝 (2‬‬ ‫‪194‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑉‬ ‫= 𝑛 ‪ ،‬فإن الضغط الكلي يكون‬ ‫‪𝑣3‬‬ ‫حيث تكون مركبات السرعة في جميع اإلتجاهات متساوية ‪ ،‬نجد ان 𝑚‪= 𝑝2 ⁄3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪𝑣𝑥2‬‬ ‫ويكون الضغط الكلي كما يلي‪:‬‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫𝐸𝑛‪2‬‬ ‫𝐸𝑁‪2‬‬ ‫= )𝑝(𝑓 ) (𝑝 ‪∫ 𝑑 3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑉‪3‬‬ ‫=𝑃‬ ‫(‪ )7‬اذا كانت درجة حرارة عمود من الهواء ال تعتمد على األرتفاع عن سطح األرض‪ ،‬برهن ان كثافة‬ ‫جزيئات في هذه العمود تعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚‪n(z) = n(0)e−β‬‬ ‫حيث ‪ z‬األرتفاع عن سطح األرض ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان عمودا من الهواء مساحة مقطعه الوحدة ‪ ،‬وجسيمات الهواء ساكنة ‪ .‬تكون طاقة وضع الجسيم عند‬ ‫األرتفاع ‪ z‬كما يلي‪:‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚 = )𝑧(‪U‬‬ ‫بإستخدام دالة توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚𝛽‪𝑓(𝑧) = 𝐶𝑒 −𝛽𝑈(𝑧) = 𝐶𝑒 −‬‬ ‫حيث ان كثافة الهواء تخضع إلحصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬فإن‬ ‫𝑧𝑑 𝑧𝑔𝑚𝛽‪𝑛(𝑧) = 𝐶 ∫ 𝑒 −‬‬ ‫∞ 𝑧𝑔𝑚𝛽‪−1 −‬‬ ‫𝑒[‬ ‫⟹ ‪]0‬‬ ‫𝛽𝑔𝑚‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‬ ‫𝐶 = 𝑧𝑑 𝑧𝑔𝑚𝛽‪𝑑𝑛(𝑧) = 𝐶 ∫ 𝑒 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝐶‬ ‫𝛽𝑔𝑚‬ ‫∫‬ ‫)‪𝑛(0‬‬ ‫= )‪𝑛(0‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚𝛽‪𝑛(𝑧) = 𝑛(0)𝑒 −‬‬ ‫)‪ (8‬في طبقات الغالف الجوي ‪ ،‬تتغير درجة الحرارة مع أإلرتفاع عن سطح األرض ‪ .‬فاذا كانت حالة‬ ‫الهواء ساكنة ( مستقرة) وال يوجد تبادل حراري في اإلتجاه الرأسي )‪ ، (z‬برهن ان‪:‬‬ ‫‪195‬‬ ‫)‪(𝛾 − 1‬‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫‪=−‬‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝛾‬ ‫𝑘‬ ‫ثم جد )𝑧(𝑇 ‪ .‬عند اي ارتفاع تكون درجة الحرارة صفرا ؟‬ ‫الحل‬ ‫من معادالت الديناميكا الحرارية ‪ ،‬تكون معادلة الحالة للهواء كما يلي‪:‬‬ ‫𝑡𝑠𝑛𝑜𝑐 = ‪𝑉 = 𝑐0‬‬ ‫)‪(𝛾−1‬‬ ‫𝛾‬ ‫‪−‬‬ ‫‪P‬‬ ‫بأخذ لوغارتم الطرفين ثم اشتقاق كل حد ‪ ،‬نحصل على‪:‬‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝛾‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑃‬ ‫𝑇 )‪(𝛾 − 1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫كذلك ‪ ،‬من معادلة حالة الغاز المثالي ونتيجة السؤال (‪ ، )8‬نجد ان‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫‪𝑃 = 𝐶𝑛(𝑧) = 𝐶𝑛(0)𝑒 −‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫)𝑧𝑑 𝑇𝑘 ‪(−‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫𝑒)‪𝑑𝑃 = 𝐶𝑑𝑛(𝑧) = 𝐶𝑛(0‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬بقسمة معدلة (‪ )3‬على معادلة (‪ ، )1‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫𝑧𝑑 𝑔𝑚‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫‪=−‬‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝑃‬ ‫وبمساواة معادلتي (‪ )9‬مع (‪ ، )4‬نجد ان‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫)𝛾‪(1−‬‬ ‫𝛾‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫= 𝑧𝑑 𝑘‬ ‫اذن ‪ ،‬بإستخدام التكامل لهذه المعادلة ‪ ،‬نحصل على‪:‬‬ ‫‪𝛾−1‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚‬ ‫𝛾‬ ‫‪𝑘 𝑇(𝑧) = 𝑘𝑇0 −‬‬ ‫بحل هذه المعادلة ‪،‬عندما تكون درجة الحرارة صفرا‪ ،‬اي ‪ ، T(z ∗ ) = 0‬نجد التالي‪:‬‬ ‫]𝑔𝑚)‪𝑧 ∗ = 𝑘𝑇0 𝛾⁄[(𝛾 − 1‬‬ ‫لنفرض ان‪:‬‬ ‫‪196‬‬ ‫‪ ، k = 1.381 × 10−16 ، γ = 7/5 ، 𝑇0 = 300‬بتعويض هذه القيم في المعادلة ‪ ،‬نجد مقدار‬ ‫اإلرتفاع الذي تنعدم عنده درجة الحرارة يساوي‪:‬‬ ‫𝑟𝑒𝑡𝑒𝑚 ‪𝑧 ∗ = 3.17 × 104‬‬ ‫(‪ )7‬بالرجوع الى سؤال (‪ ، )5‬برهن ان ضغط الهواء يتغير مع اإلرتفاع كما يلي‪:‬‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝑧𝑑𝑔𝑚‬ ‫‪= −‬‬ ‫𝑃‬ ‫)𝑧(𝑇𝑘‬ ‫ثم بالتكامل ‪ ،‬جد )𝑧(𝑃 ؟‬ ‫الحل‬ ‫بالرجوع الى نتيجة سؤال (‪ ، )5‬يمكن اعادة ترتيب المعادلة ليعطي درجة الحرارة كما يلي‪:‬‬ ‫𝑔𝑚 )‪(𝛾 − 1‬‬ ‫𝑔𝑚 )‪(𝛾 − 1‬‬ ‫= 𝜆 ; ]𝑧𝜆 ‪𝑧] = 𝑇0 [1 −‬‬ ‫‪𝛾 𝑘𝑇0‬‬ ‫‪𝛾 𝑘𝑇0‬‬ ‫وكذلك ‪ ،‬بإستخدام معادلة (‪ )4‬في سؤال (‪ )5‬والتعويض بدل)𝑧(𝑇‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫𝑘‬ ‫=𝛼‬ ‫‪ ،‬نحصل على‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝛼‪= −‬‬ ‫;‬ ‫𝑃‬ ‫)𝑧(𝑇‬ ‫𝛼‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫]𝑧𝜆‪0 [1−‬‬ ‫𝑇‪= −‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪𝑇(𝑧) = 𝑇0 [1 −‬‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝑃‬ ‫نكامل معادلة (‪ )9‬لنحصل على التالي‪:‬‬ ‫𝑃‬ ‫𝑃𝑑‬ ‫𝑧𝑑 𝑧 𝛼‬ ‫∫ ‪= −‬‬ ‫]𝑧𝜆 ‪𝑇0 0 [1 −‬‬ ‫𝑃 ‪𝑃0‬‬ ‫∫‬ ‫𝛾‬ ‫𝑃‬ ‫𝛼‬ ‫𝛾‬ ‫=‬ ‫= ]𝑧𝜆 ‪ln[1 −‬‬ ‫)‪ln(1 − 𝜆𝑧) = ln[1 − 𝜆𝑧](𝛾−1‬‬ ‫‪𝑃0‬‬ ‫‪𝜆𝑇0‬‬ ‫)‪(𝛾 − 1‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫𝛾‬ ‫)‪(𝛾−1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝛾‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫]𝑧‬ ‫𝑔𝑚)‪(𝛾−1‬‬ ‫‪𝑘𝑇0‬‬ ‫‪= [1 −‬‬ ‫𝑃‬ ‫‪𝑃0‬‬ ‫𝑐‬ ‫)‪P0 = ( 𝑇0 )(𝛾−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ (10‬وضع غازين مخففين ‪ ،‬كتلة جزيئاتهما ‪ m1 , m2‬في جهاز طرد مركزي يدور بسرعة زاوية ‪ ، ω‬اذا‬ ‫كان البعد عن محور الدوران ‪ r‬جد عالقة رياضية لنسبة كثافتي هذين الغازين بداللة ‪ r‬؟‬ ‫الحل‬ ‫‪197‬‬ ‫القوة المركزية المؤثرة على الجزيء ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐹(𝑟) = −𝑚𝜔2 𝑟 ⟹ 𝑈(𝑟) = − ∫ 𝐹(𝑟)𝑑𝑟 = ( ) 𝑚𝜔2 𝑟 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫) ‪(𝑈2 − 𝑈1‬‬ ‫𝑈‬ ‫)𝑟( ‪𝑛1‬‬ ‫⟹)‬ ‫[ 𝑝𝑥𝑒 =‬ ‫]‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫)𝑟( ‪𝑛2‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(2) 𝜔2 𝑟 2 (𝑚2 − 𝑚1‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫‪𝑛(𝑟) = 𝑛(0) exp (−‬‬ ‫[ 𝑝𝑥𝑒 =‬ ‫)‪ (11‬اذا كانت دالة التوزيع لجسيمات غاز ما تعطى بالعالقة التالية ‪:‬‬ ‫‪−𝑝2‬‬ ‫[ 𝑝𝑥𝑒‬ ‫]‬ ‫𝑇𝑘𝑚‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫]𝑇𝑘𝑚𝜋‪𝑓(𝑝, 𝑟) = 𝐶(1 + 𝛾𝑥)[2‬‬ ‫حيث ‪ = x‬البعد عن نقطة اصل المحاور وبإتجاه محور ‪ . x‬جد طبيعة القوة المؤثرة على الجسيمات ؟‬ ‫الحل‬ ‫تكون دالة هاملتون لهذا النظام ‪ ،‬حسب دالة التوزيع كما يلي‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫‪𝐻(𝑝, 𝑞) = 𝑈(𝑞) +‬‬ ‫بالمقارنة مع دالة التوزيع المعطاة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)𝑞(𝑈‬ ‫)𝑥𝛾 ‪)] = 𝐶0 (1 +‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫‪exp [(−‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تتولد قوة فعالة على الجسيمات بفعل هذه الطاقة ( طاقة الوضع)‪ ،‬مما يجعل درجة الحرارة معتمدة‬ ‫على موضع الجسيم ‪ .‬باخذ لوغارتم الطرفين لهذه المعادلة ‪ ،‬نجد ان‬ ‫])𝑥𝛾 ‪𝑈(𝑥) = −𝑘𝑇 ln[𝐶0 (1 +‬‬ ‫𝑈𝑑‬ ‫𝛾𝑇𝑘‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫)𝑥𝛾 ‪𝐶0 (1 +‬‬ ‫‪𝐹(𝑥) = −‬‬ ‫(‪ )11‬اذا كانت دالة توزيع بولتزمان‪ -‬ماكسويل للغاز ( في حالة السرع النسبية ) تعطى كما يلي‪:‬‬ ‫)𝑇𝑘‪𝑓(𝑝) = 𝐶𝑒𝑥𝑝(− √𝑝2 + 𝑚2 ⁄‬‬ ‫جد تعبيرا رياضيا للضغط ‪ ،‬ثم برهن ان‪:‬‬ ‫𝑈‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ ، PV‬حيث ‪ U‬معدل الطاقة ‪ ،‬وتحت الشرط ≫ 𝑇𝑘‬ ‫𝑚‪.‬‬ ‫‪198‬‬ ‫الحل‬ ‫كما سبق شرحه ‪ ،‬يكون الضغط بداللة دالة التوزيع كما يلي‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)𝑝(𝑓 ‪𝑑 3 𝑝 (2𝑚𝑣𝑥 )𝑣𝑥 𝑓(𝑝) = 2𝑚 ∫ 𝑑 3 𝑝 𝑣𝑥2‬‬ ‫𝑣∫ = 𝑃‬ ‫‪𝑥>0‬‬ ‫نحول معادلة ((‪ )9‬بداللة السرعة النسبية لتصبح كما يلي‪:‬‬ ‫‪→ 𝑣𝑥 = 𝑝𝑥 ⁄√𝑝𝑥 2 + 𝑚2‬‬ ‫𝑥𝑣𝑚‬ ‫) ‪√(1 − 𝑣𝑥 2‬‬ ‫= 𝑥𝑝‬ ‫( على فرض ان سرعة الضوء ‪ ، c=1‬وذلك لتبسيط الحل ) ‪ ،‬وعليه‬ ‫تصبح معادلة (‪ )9‬كما يلي‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)𝑝(𝑓‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√𝑝2 +𝑚2‬‬ ‫𝑝‪𝑃 = 3 ∫ 𝑑3‬‬ ‫نستخدم التحويل التالي‪𝑝2 = 𝑝2 + 𝑚2 − 𝑚2 :‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪≈ √𝑝2 + 𝑚2‬‬ ‫‪ ،‬اذن‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪𝑝2 +𝑚2‬‬ ‫‪√𝑝2 +𝑚2‬‬ ‫𝑚‪√𝑝2 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪√𝑝2 +𝑚2‬‬ ‫في معادلة (‪ ،)3‬يكون التقريب صحيحا في الحالة الفوق نسبية ( ‪.(𝑝2 ≫ 𝑚2‬‬ ‫بالتعويض في معادلة (‪ ، )1‬نحصل على التالي‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) 𝑝(𝑓 ‪𝑃 = 3 ∫ 𝑑 3 𝑝 √𝑝2 + 𝑚2‬‬ ‫نعلم من النظرية النسبية ان الطاقة الكلية ( طاقة الفوتون )‪ ،‬تكون كما يلي‬ ‫‪𝐸 2 = 𝑝2 𝑐 2 + (𝑚0 𝑐 2 )2‬‬ ‫حيث ‪ 𝑚0 𝑐 2‬تمثل طاقة السكون ‪ ،‬على فرض ان سرعة الضوء هي الوحدة ‪ ،‬فإن الطاقة الكلية للجزيئ‬ ‫الغاز في الحالة النسبية تؤول الى التالي‪:‬‬ ‫‪𝐸 = √𝑝2 + 𝑚2‬‬ ‫مقارنة معادلة (‪ )4‬مع كثافة الطاقة الحجمية‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝑈‬ ‫)𝑝(𝑓 ‪= ∫ 𝑑 3 𝑝 √𝑃2 + 𝑚2‬‬ ‫𝑉‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫‪199‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑈‬ ‫‪3‬‬ ‫→ 𝑉𝑃‬ ‫)‪ (15‬اعتمادا على مسألة (‪ ، )14‬جد السرعة األكثر احتماال في توزيع السرعة النسبية ؟‬ ‫الحل‬ ‫تعرف دالة السرعة في الحالة النسبية كما يلي‬ ‫(‪.............................)9‬‬ ‫بإستخدام الزخم الخطي النسبي التالي ‪،‬‬ ‫نجد ان‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑣𝑑 ‪𝑑 3 𝑝 = 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝 = 4𝜋 𝑚3 𝑣 2 ⁄( 1 − 𝑣 2 )5/2‬‬ ‫𝑚‬ ‫كذلك ‪،‬‬ ‫) ‪√(1−𝑣 2‬‬ ‫= ‪√𝑝2 + 𝑚2‬‬ ‫نحصل على دالة توزيع السرعة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫]‬ ‫𝑚‬ ‫) ‪𝑘𝑇√(1−𝑣 2‬‬ ‫‪𝐶𝑚3‬‬ ‫‪𝑓(𝑣) = (1−𝑣2 )5/2 𝑒𝑥𝑝 [−‬‬ ‫بإستخدم مفكوك تايلور للدالة األسية ‪ ، e𝑥 ≈ 1 + 𝑥 ،‬نحصل على يلي‪:‬‬ ‫……‪] ≈ 1 − (𝑚⁄2𝑘𝑇) [1 − 𝑣 2 ]−1/2 +‬‬ ‫𝑚‬ ‫) ‪𝑘𝑇√(1−𝑣 2‬‬ ‫‪𝑒𝑥𝑝 [−‬‬ ‫اما في حالة السرعة غير النسبية ‪ ،‬فيكون التقريب التالي مقبوال ‪ ،‬اي‬ ‫كما يكون شرط الحصول على السرعة األكثر احتماال كالتالي‪:‬‬ ‫‪200‬‬ ‫])𝑣(𝑓 ‪𝑑[𝑣 2‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫)‪] … … … . (4‬‬ ‫𝑚‬ ‫) ‪𝑘𝑇√(1−𝑣 2‬‬ ‫‪𝐶𝑚3 𝑣 2‬‬ ‫‪𝑣 2 𝑓(𝑣) = (1−𝑣2 )5/2 𝑒𝑥𝑝 [−‬‬ ‫بتطبيق شرط القيمة العظمى على معادلة (‪ )4‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫(‪.........................)8‬‬ ‫لنفرض ان ‪ v0‬تساوي جذور معادلة (‪ ، )8‬حيث ‪:‬‬ ‫‪ c‬سرعة الضوء ‪.‬‬ ‫)‪ (16‬اذا كانت طاقة نيترينو تعطى كما يلي‪ ، 𝜖(𝑝) = 𝑐𝑝 :‬حيث ‪ c‬سرعة الضوء ‪ ،‬وكان ‪ N‬من هذه‬ ‫الجسيمات محصورة في حجم ‪ V‬عند درجة حرارة مرتفعة ‪ ،T،‬الى درجة كافية إلعتبار ان هذا النظام‬ ‫يمثل غاز تقليدي يتبع احصاء بولتزمان‪ -‬ماكسويل ‪ .‬جد‬ ‫(‪ )9‬السعة الحرارية للنظام 𝑉𝐶‬ ‫)‪ (2‬ضغط الغاز بداللة الطاقة الداخلية ‪ U‬؟‬ ‫الحل‬ ‫(‪ )9‬تكون دالة توزيع الزخم الخطي كما يلي‪:‬‬ ‫)𝑝𝑐𝛽‪𝑓(𝑝) ∞ 𝑒𝑥𝑝(−‬‬ ‫و يكون معدل الطاقة الداخلية كما يلي‪:‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫𝑝𝑐𝛽‪𝑈⁄𝑁 = 𝑐⟨𝑝⟩ = 𝑐 ∫0 𝑑 3 𝑝 𝑝 𝑒 −𝛽𝑐𝑝 ⁄∫0 𝑑 3 𝑝 𝑒 −‬‬ ‫حيث ‪𝑑 3 𝑝 = 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝 :‬‬ ‫‪،‬‬ ‫بالتعويض واستخدام التكامل التالي‪:‬‬ ‫‪201‬‬ ‫)‪(2𝑛 − 1‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪√ 2𝑛+1‬‬ ‫)𝑛‪2(2‬‬ ‫𝛼‬ ‫∞‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑡𝑑 𝑡𝛼‪∫ 𝑡 2𝑛 𝑒 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ايضا ‪ ،‬بإستخدام التحويل ‪ ، p = x 2‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫𝑈‬ ‫𝑇𝑘𝑁‪= 3𝑘𝑇 → 𝑈 = 3‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑈𝑑‬ ‫= 𝑉𝐶‬ ‫𝑇𝑘𝑁‪= 3‬‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫)‪ ( 2‬اعتمادا على نتيجة سؤال (‪ ، )94‬نجد ان‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇𝑘𝑁 = 𝑈‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑉𝑃‬ ‫اذن ‪ ،‬يكون الضغط كما يلي‪:‬‬ ‫𝑈‬ ‫𝑇𝑘𝑁‬ ‫=‬ ‫𝑉‪3‬‬ ‫𝑉‬ ‫=𝑃‬ ‫)‪ (17‬غاز مثالي موضوع في وعاء ‪ ،‬بحيث كان سطح هذا الوعاء الداخلي يمتص جميع الجزيئات‬ ‫الساقطة عليه بسرعة اكبر من ‪ ، v0‬جد معدل اإلمتصاص ‪ W‬لكل وحدة مساحة ؟‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان الجزيئات تسقط عموديا على السطح بسرعة 𝑥𝑣 ‪ ،‬كما يقع السطح في المستوى ‪. yz -‬‬ ‫يكون تدفق الجزيئات لكل وحدة مساحة في الثانية الواحدة يساوي ‪ ، n vx‬حيث ‪ n‬كثافة عدد الجزيئلت‬ ‫الحجمية ‪.‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)𝑝(𝑓 𝑥𝑣 𝑛 𝑝 ‪𝑑 3‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪𝑝2 = 𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑣∫ = 𝑊‬ ‫‪𝑥>𝑣0‬‬ ‫; 𝑧𝑝𝑑 𝑦𝑝𝑑 𝑥𝑝𝑑 = 𝑝 ‪𝑑 3‬‬ ‫نفرض ان‬ ‫𝑧 𝑝𝑑 = 𝑦𝑝𝑑 ; ‪𝑝𝑦2 = 𝑝𝑧2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى التالي‪:‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪2‬‬ ‫] 𝑦𝑝𝜆‪𝑊 = 𝑛 ∫𝑚𝑣 𝑑𝑝𝑥 𝑣𝑥 𝑒 −𝜆𝑝𝑥 [∫−∞ 𝑑𝑝 𝑦 𝑒 −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪202‬‬ ‫حيث ‪، λ = [2𝑚𝑘𝑇]−1 ،‬‬ ‫‪𝑣2‬‬ ‫) ‪0‬‬ ‫𝑇𝑘𝑚‪2‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫𝑒 𝑚𝜋‪𝑊 = 𝑛 √2‬‬ ‫)‪ (18‬يحتوي الغالف الجوي على جزبئات ذات سرعة تمكنها من اإلنفالت من مجال جاذبية األرض ‪ ،‬جد‬ ‫نسبة جزبئات غاز الهيدروجين عند سطح البحروالقادرة على اإلنفالت عند درجة الحرارة ‪. T=300‬‬ ‫الحل‬ ‫من نظريات الميكانيكا الكالسيكية ‪ ،‬نجد ان سرعة إنفالت الجسيم من المجال األرضي (اي‪ ،‬عندما تتساوى‬ ‫الطاقة الحركية مع طاقة الوضع ) تكون‬ ‫𝑀𝐺‪2‬‬ ‫𝑅‬ ‫√ = 𝑐𝑣 ‪ ،‬بينما السرعة األكثر احتماال تساوي = ‪𝑣0‬‬ ‫𝑇𝑘‪2‬‬ ‫𝑚‬ ‫√‪.‬‬ ‫تكون نسبة الجزيئات المنفلتة من المجال األرضي ) ‪ ) f‬كما يلي‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫نفرض ان‪، λ = (2𝑚𝑘𝑇)−1 :‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫∞‬ ‫𝐶‬ ‫‪𝑓 = ∫𝑚𝑣 4𝜋𝑝2 𝑒𝑥𝑝 [−‬‬ ‫]‬ ‫𝑛‬ ‫𝑇𝑘𝑚‪2‬‬ ‫‪ ، 𝑥 2 = 𝜆𝑝2‬وبالتعويض في معادلة (‪ )9‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑥‪𝑒 −‬‬ ‫‪, 𝐶 = 𝑛(2𝜋𝑚𝑘𝑇)−3/2‬‬ ‫‪4 ∞ 2‬‬ ‫𝑥 ∫‬ ‫𝑦 𝜋√‬ ‫=𝑓‬ ‫‪ ، 𝑦 = 𝑣𝑐 ⁄𝑣0‬رياضيا ‪ ،‬يعرف التكامل في معادلة (‪ )1‬كما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪−𝑦 2‬‬ ‫𝑒‬ ‫𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫≈ )𝑦(𝑐𝑓𝑟𝑒‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‪𝑒 −‬‬ ‫𝑦‪2‬‬ ‫𝜋√‬ ‫≈𝑓‬ ‫مثال ‪ ،‬عند‬ ‫‪𝑦 = 4.5 → 𝑓 ≈ 5 × 10−8‬‬ ‫‪203‬‬ ‫(‪ )17‬يتكون نظام من ‪ N‬من الجسيمات غير المتفاعلة والمميزة ومن مستويين من الطاقة ‪ ،‬بحيث = ‪𝐸0‬‬ ‫𝜖 = ‪ ، 0, 𝐸1‬ويمكن ألي جسيم التواجد في اي من هذه المستويات ‪ .‬اذا كان رقم اشغال المستوى ‪𝐸1‬‬ ‫يساوي ‪ ، n9‬وفي المستوى ‪ 𝐸0‬يساوي‬ ‫‪. n0‬‬ ‫)‪ (a‬جد انتروبيا النظام بداللة طاقته الداخلية ‪U‬‬ ‫)‪ (b‬احسب السعة الحرارية للنظام اذا كان ‪ N‬عدد ثابت ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪(a‬‬ ‫𝑈‬ ‫𝜖‬ ‫= ‪𝑈 = 𝑛0 𝐸0 + 𝑛1 𝐸1 = 𝑛1 𝐸1 ⟹ 𝑛1‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑈‬ ‫𝜖‬ ‫‪𝑛0 = 𝑁 −‬‬ ‫يكون عدد طرق توزيع الجسيمات على المستويات كما يلي‬ ‫!𝑁‬ ‫!)‪𝑛1 ! (𝑁 − 𝑛1‬‬ ‫=𝑊‬ ‫من تعريف اإلنتروبيا ( معادلة بولتزمان ) نحصل على التالي ‪:‬‬ ‫𝑊 ‪𝑆 = 𝑘 ln‬‬ ‫بأستخدام تقريب ستيرلنج للوغارتم ‪ ،‬نحصل على ما يلي‬ ‫بالتعويض بدل قيمة ‪ 𝑛1‬بداللة الطاقة الداخلية ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪ (b‬من العالقة بين درجة الحرارة واإلنتروبيا ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫وبترتيب هذه النتيجة كدالة اسية ‪ ،‬نحصل علىما يلي‪:‬‬ ‫‪204‬‬ ‫ومن تعريف السعة الحراية ( المشتقة األولى لطاقة النظام الداخلية ) ‪ ،‬نجد ان‬ ‫(‪ )02‬لنفرض ان شبكة من البلورات تتكون من ‪ N‬من الذرات التي لها رقم لف كمي ‪، (𝑠 = −1) :‬‬ ‫بحيث ان كل ذرة يمكنها اشغال اي من الحاالت التالية ‪ .(s𝑧 = −1,0,1) :‬فاذا كان رقم اشغال هذه الحاالت‬ ‫هو } ‪. {𝑛1 , 𝑛0 , 𝑛−1‬جد القيمة العظمى إلنتروبيا هذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫على فرض ان الذرات مميزة ‪ ،‬يكون عدد طرق توزيع الذرات على الحاالت كما يلي‪:‬‬ ‫نستخدم شرط القيمة العظمى لهذه الدالة اللوغارتمية ‪:‬‬ ‫𝑊 ‪𝜕 ln‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪𝜕𝑛−1‬‬ ‫𝑊 ‪𝜕 ln‬‬ ‫‪=0,‬‬ ‫‪𝜕𝑛1‬‬ ‫لنحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫‪ln 𝑊 = 𝑁 ln 𝑁 − 3 ( ) ln( ) ⇒ 𝑁 ln 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن‬ ‫‪𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 ln 𝑊 = 𝑘𝑁 ln 3‬‬ ‫)‪ (21‬يتكون سطحا صلبا من شبكة بلورية ذات بعدين ويوجد به ‪ Ns‬موقعا ‪ ،‬لنفرض ان ‪ Na‬من الذرات‬ ‫تتكاثف على هذا السطح ‪ ،‬بحيث ان كل موقع يشغل اما بصفر او واحد من هذه الذرات ‪ ,‬اذا كانت طاقة الذرة‬ ‫‪205‬‬ ‫المتكاثفة ‪:‬‬ ‫‪ ، E = −ϵ ; ϵ > 0‬وال يوجد تفاعل بين هذه الذرات على السطح ‪ .‬استخدم الطاقم القانوني‬ ‫إليجاد الجهد الكيماوي‬ ‫) ‪ μ ( T, ϵ, Ns ⁄Na‬؟‬ ‫الحل‬ ‫تكون دالة التجزئة للطاقم القانوني كما يلي‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑠𝑁‬ ‫‪Q = 𝑁 ! ∑𝑖=1‬‬ ‫𝑖𝐸𝛽‪𝑒 −‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑎‬ ‫حيث تكون طاقة النظام كما يلي‪:‬‬ ‫𝑠𝑁‬ ‫𝜖 𝑎𝑁‪∑ 𝐸𝑖 = −‬‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫وكذلك يكون عدد طرق ترتيب الذرات كما يلي ‪:‬‬ ‫! 𝑠𝑁‬ ‫!) 𝑎𝑁‪(𝑁𝑠 −‬‬ ‫‪،‬‬ ‫اذن ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى ما يلي‪:‬‬ ‫𝜖 𝑎𝑁𝛽 𝑒‬ ‫)‪(2‬‬ ‫! 𝑠𝑁‬ ‫!) 𝑎𝑁‪𝑁𝑎 !(𝑁𝑠 −‬‬ ‫=𝑄‬ ‫بفرض ان ‪،‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫تصبح معادلة (‪ )1‬كما يلي‪:‬‬ ‫𝜖𝑎𝑁𝛽 𝑒‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝑎𝑁) 𝑠𝑁(‬ ‫=𝑄‬ ‫! 𝑎𝑁‬ ‫لنفرض ان ‪:‬‬ ‫𝑎‪Z ∞ e−βμN‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫وبأخذ اللوغارتم لكل من معادلتي (‪ ، )4( ، )3‬مع اعتبار تقريب ستيرلنج لمضروب الكميات ‪ ،‬نجد ان ‪،‬‬ ‫𝑎𝑁 ‪𝑁𝑎 ! = 𝑁𝑎 ln 𝑁𝑎 − 𝑁𝑎 ≈ 𝑁𝑎 ln‬‬ ‫وبمساواة النواتج ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫𝑁‬ ‫𝑠𝑁 ‪𝜇 = −𝜖 − 𝑘𝑇 ln‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪206‬‬ ‫)‪ (22‬يتكون نظاما ما من ‪ N‬من الجسيمات المستقلة ‪ ،‬حيث ان كل جسيم يمكن ان يتواجد في اي واحد من‬ ‫مستويات الطاقة ] ‪ ، [−𝜖0 , 𝜖0‬جد عدد طرق توزيع هذه الجسيمات ( الثقل الديناميكي الحراري ) ‪ ،‬ثم جد‬ ‫اإلنتروبيا ‪ ،‬ودرجة الحلرارة ‪ ،‬و السعة الحرارية ؟‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان ‪ 𝑁−‬عدد الجسيمات في مستوى الطاقة ‪ ، −𝜖0‬وان ‪ N+‬عدد الجسيمات في مستوى الطاقة‬ ‫‪ . 𝜖0‬وعلية تكون طاقة النظام لهذا التوزيع كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑀 = 𝑁+ − 𝑁−‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫; ‪𝐸 = −𝑁− 𝜖0 + 𝑁+ 𝜖0 = 𝑀𝜖0‬‬ ‫حيث ان العدد الكلي للجسيمات ثابت ‪ ،‬لذلك‬ ‫‪𝑁 = 𝑁+ + 𝑁−‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫بحل المعادلتين (‪ ، )9،1‬نجد ان‪:‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑀 ‪𝑁− = 2 (𝑁 − 𝑀) ; 𝑁+ = 2 (𝑁 −‬‬ ‫يكون عدد طرق اختيار ‪ 𝑁−‬جسيم من 𝑁 ليشغل مستوى الطاقة ‪ ، −𝜖0‬حيث كل طريقة تعطي حالة‬ ‫مجهرية مختلفة في الطاقة ‪ ،‬يساوي‬ ‫!𝑁‬ ‫)‪(4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫!])𝑀‪[ (𝑁−𝑀)]![ (𝑁+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!𝑁‬ ‫! ‪𝑁− !𝑁+‬‬ ‫= 𝑀𝑊‬ ‫𝑀𝑊 ‪𝑆(𝐸) = 𝑘 ln‬‬ ‫بإستخدام معادلة (‪ ، )4‬وتطبيق تقريب ستيرلنج على الضروبات ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫)‪(5‬‬ ‫})‬ ‫‪𝑁+‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫(‪S(E) = −k {𝑁− ln( 𝑁−) + 𝑁+ ln‬‬ ‫ز‬ ‫ومن تعريف درجة الحرارة بداللة اإلنتروبيا ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪(6‬‬ ‫𝑀‪𝑁−‬‬ ‫𝑘 ‪1‬‬ ‫]𝑀‪= 2 𝜖 ln [𝑁+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑆𝜕 ‪1‬‬ ‫𝑀𝜕 ‪𝜖0‬‬ ‫=‬ ‫𝑀𝜕 𝑆𝜕‬ ‫𝐸𝜕 𝑀𝜕‬ ‫=‬ ‫كما يمكن بإستخدام معادلة (‪ )1‬الحصول على ما يلي‪:‬‬ ‫𝑇𝑘‪= 𝑒 2𝜖0/‬‬ ‫𝑀‪𝑁−‬‬ ‫𝑀 ‪𝑁+‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑁−‬‬ ‫‪𝑁+‬‬ ‫‪207‬‬ ‫𝑆𝜕‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇‬ ‫او‬ ‫‪𝑁−‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑒𝜖0/‬‬ ‫𝑇𝑘‪= 𝜖 /‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑇𝑘‪𝑒 0 + 𝑒−𝜖0/‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑒−𝜖0/‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑒𝜖0/𝑘𝑇 +𝑒−𝜖0/‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫‪𝑁+‬‬ ‫=‬ ‫𝑁‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)𝑇𝑘‪𝐸 = −(𝑁− − 𝑁+ )𝜖0 = −𝑁𝜖0 tanh( 𝜖0 /‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫اذن ‪ ،‬من تعريف السعة الحرارية ‪،‬وإستخدام معادلة (‪ ، )5‬نجد ان‪:‬‬ ‫‪𝜖 2‬‬ ‫) ‪𝑁𝑘 ( 0‬‬ ‫𝐸𝜕‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫= ) ( = 𝑉𝐶‬ ‫𝜖‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑉 𝑇𝜕‬ ‫) ( ‪cosh‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫)‪ (23‬وضع غاز مثالي في اسطوانة غير متناهية الطول وتحت تاثير الجاذبية األرضية ‪ ،‬وكان الغاز في‬ ‫حالة اتزان حراري ‪ .‬فاذا كان عدد جسيمات هذا الغاز ‪ N‬وكتلته ‪ ، m‬ويخضع لإلحصاء الكالسيكي ‪ ،‬جد‬ ‫دالة التجزئة لهذا النظام ‪ ،‬طاقة هلمهولتز الحرة ‪ ،‬معدل الطاقة الداخلية ‪ ،‬والسعة الحرارية ؟‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان محور ‪ ( z‬محور اإلسطوانة ) يشير الى الموضع الرأسي للجسيمات ‪ .‬تكون دالة هاملتون‬ ‫اإلنتقالية لكل جسيم كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑝𝑥2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2‬‬ ‫𝑧𝑔𝑚 ‪+‬‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫= 𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡𝐻‬ ‫اذن ‪ ،‬تكون دالة التجزئة للجسيم المنفرد ‪:‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡𝐻‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫∬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫∫‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫∭‬ ‫𝑝𝑑‬ ‫𝑝𝑑‬ ‫𝑝𝑑‬ ‫𝑒‬ ‫𝑥‬ ‫𝑦‬ ‫𝑧‬ ‫𝜎 ‪ℎ3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪208‬‬ ‫= 𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡𝑍‬ ‫بالتعويض بقيمة هاملتون النظام ‪،‬فصل الحدود المتشابهة ‪ ،‬وتكامل كل حد على انفراد ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝜎 ∞ −𝑚𝑔𝑧⁄‬‬ ‫‪𝑘𝑇 2𝜋𝑚𝑘𝑇 3/2‬‬ ‫𝜎= ‪2‬‬ ‫∫‬ ‫𝑒‬ ‫‪𝑑𝑧.‬‬ ‫)𝑇𝑘𝑚‪(2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪ℎ3 0‬‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫= 𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡𝑍‬ ‫حيث ‪ 𝜎 ،‬مساحة مقطع األسطوانة ‪ ،‬وموقع قاعدة اإلسطوانة عند ‪. 𝑧 = 0‬‬ ‫تكون دالة التجزئة الكلية للنظام ( الجسيمات غير مميزة) كما يلي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑘𝑇 𝑁 2𝜋𝑚𝑘𝑇 3𝑁/2‬‬ ‫𝜎( = 𝑁) 𝑠𝑛𝑎𝑟𝑡𝑍(‬ ‫( )‬ ‫)‬ ‫!𝑁‬ ‫𝑔𝑚 !𝑁‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫من العالقة بين طاقة هلمهولتز الحرة ودالة التجزئة للنظام ‪ ،‬نجد ان‬ ‫‪𝑘𝑇 2𝜋𝑚𝑘𝑇 3/2‬‬ ‫𝜎[ ‪𝐹 = −𝑘𝑇 ln 𝑍 = −𝑁𝑘𝑇 ln‬‬ ‫(‬ ‫] )‬ ‫𝑔𝑚‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫ويكون معدل الطاقة الداخلية كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝜕 ln 𝑍 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑘𝑁 = 𝑉𝐶 ; 𝑇𝑘 𝑁 =‬ ‫𝑇𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝐸 = 𝑘𝑇 2‬‬ ‫)‪ (24‬اذا كانت دالة التجزئة الدورانية لجزيء ثنائي الذرة غير المتجانس تعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫∞‬ ‫𝑘𝐼 ‪; Θ = ℎ2 ⁄8𝜋 2‬‬ ‫}𝑇‪Z𝑟𝑜𝑡 = ∑(2𝑙 + 1) 𝑒𝑥𝑝{−𝑙(𝑙 + 1)Θ/‬‬ ‫‪𝑙=0‬‬ ‫جد مفكوك هذه الدالة عند درجة الحرارة العالية ‪ ،‬بإستخدام قانون اويلر‪ -‬مكلورين للتجميع ؟‬ ‫الحل‬ ‫عند درجة الحرارة المرتفعة ‪ ،‬اي ‪ ، 𝑇 ≫ Θ‬يكون مفكوك اويلر – مكلورين ألي دالة تحليلية كما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑓(0) − 𝑓 ′ (0) +‬‬ ‫‪𝑓 ′′′ (0) −‬‬ ‫)‪𝑓 𝑉 (0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪30240‬‬ ‫∞‬ ‫‪∑ 𝑓(𝑛) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫…⋯ ‪+‬‬ ‫لنفرض ان ‪:‬‬ ‫𝑇‪; 𝜎 = Θ⁄‬‬ ‫∞‬ ‫𝑥𝑑]𝜎)‪𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒𝑥𝑝[−𝑥(𝑥 + 1‬‬ ‫‪𝑓(0) = 1 , 𝑓 ′ (0) = 2 − 𝜎 , 𝑓 ′′′ (0) = −12𝜎 + 12𝜎 2 − 𝜎 3‬‬ ‫… ⋯ ‪𝑓 𝑉 (0) = 120𝜎 2 − 180𝜎 3 + 30𝜎 4 +‬‬ ‫‪209‬‬ ‫‪𝑛=0‬‬ ‫‪1 1 𝜎 4𝜎 2‬‬ ‫‪𝑍𝑟𝑜𝑡 (𝑇) = + +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪+ 𝑂(𝜎 3‬‬ ‫‪𝜎 3 15 315‬‬ ‫𝑇‬ ‫‪Θ‬‬ ‫‪1 Θ 2‬‬ ‫‪𝑍𝑟𝑜𝑡 (𝑇) = {1 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫}‪( ) + ⋯….‬‬ ‫‪Θ‬‬ ‫𝑇 ‪3𝑇 15‬‬ ‫)‪ (25‬متذبذب توافقي بسيط كتلته ‪ m‬وثابت الزنبرك ‪ α‬اذا كانت طاقته الكلية ‪ ، E‬جد دالة كثافة اإلحتمال‬ ‫)𝑥(𝑃 ‪ ،‬حيث 𝑥𝑑)𝑥(𝑃 احتمالية تواجد الكتلة المتذبذبة في فترة الموضع المحصور ما بين ]𝑥𝑑 ‪[𝑥, 𝑥 +‬‬ ‫؟‬ ‫الحل‬ ‫معادلة الطاقة للمتذبذب التوافقي هي كما يلي‪:‬‬ ‫‪ℓ2‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛼‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪𝐸 = 2 𝛼𝑥 2 + 2 𝑚𝑥̇ 2‬‬ ‫حيث ‪ ℓ‬تمثل سعة اإلهتزازة ‪.‬‬ ‫يمكن اعادة كتابة معادلة (‪ )9‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪2𝐸−𝛼𝑥 2‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑚‬ ‫√ =‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫بتكامل معادلة (‪ )1‬على زمن الذبذبة ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫𝛼‪= 2𝜋√𝑚⁄‬‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑚‪− 𝛼𝑥 2 )⁄‬‬ ‫∫‪𝑇 = 2‬‬ ‫𝐸‪−ℓ √(2‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫𝑡𝑑‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑚‬ ‫( =‬ ‫)‬ ‫𝑇‬ ‫‪𝑇 2𝐸 − 𝛼𝑥 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝛼‬ ‫( = )𝑥(𝑃‬ ‫)‬ ‫‪𝜋 2𝐸 − 𝛼𝑥 2‬‬ ‫= 𝑥𝑑)𝑥(𝑃‬ ‫(‪ )06‬وضع عدد كبير من الجسيمات )‪ (N‬في مجال مغناطيسي ‪ ،‬اذا كان لكل جسيم رقم لف كمي ‪، 1/2‬‬ ‫جد عدد الحاالت المسموح بها كدالة في 𝑠𝑀 ( مركبة رقم اللف الكلي في اتجاه ‪ ) z‬؟‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان ↑‪ = N‬عدد الجسيمات ذات رقم اللف )½)‬ ‫↓‪ = N‬عدد الجسيمات ذات رقم اللف )½ ‪)-‬‬ ‫‪ ،‬اي في اتجاه المجال المغناطيسي‪،‬‬ ‫‪ ،‬اي ضد اتجاه المجال المغناطيسي‪.‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑁 = ↓‪(N↑ − N↓ ) ; N↑ + N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑠𝑀‬ ‫‪210‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑠𝑀 ‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ↓‪N‬‬ ‫;‬ ‫𝑁‬ ‫𝑠𝑀 ‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ↑‪N‬‬ ‫عدد الحاالت الممكنة للنظام ‪:‬‬ ‫!𝑁‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪2‬‬ ‫!) 𝑠𝑀‪( −‬‬ ‫𝑁‬ ‫!) 𝑠𝑀‪( +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫!𝑁‬ ‫! ↓‪N↑ !N‬‬ ‫=𝑄‬ ‫بإستخدام مفكوك ستيرلنج ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫(‪.....................)3‬‬ ‫باشتقاق معادلة (‪ ، )3‬وبمساواة الناتج بالصفر ( شرط القيمة العظمى )‪ ،‬نحصل على‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪→ 𝑀𝑆 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ↑‪N‬‬ ‫)‪ (27‬يتكون نظاما ما من ‪ N‬من الجسيمات المستقلة وغير المتفاعلة ‪ .‬اذا كانت هذه الجسيمات موزعة على‬ ‫مستويين من الطاقة هما ‪ ، 𝐸1 , 𝐸2‬بحيث كان عدد الجسيمات في كل من المستويين ‪ . 𝑛1 , 𝑛2 :‬حيث ‪،‬‬ ‫‪ ، N = n1 + n2‬فإذا كان هذا النظام محاط بخزان حراري عند درجة حرارة ‪ T‬وحدث انبعاث كمي‬ ‫منفرد في الخزان‪ ،‬مما ادى الى تغيير رقم اإلشغال في مستويي الطاقة الى التالي‪:‬‬ ‫‪ ، 𝑛2 → 𝑛2 − 1 ; 𝑛1 → 𝑛1 + 1‬حيث ‪𝑛2 ≫ 1, 𝑛1 ≫ 1 :‬‬ ‫)‪ )a‬جد التغير في انتروبيا النظام ؟‬ ‫)‪ (b‬التغير في انتروبيا الخزان ؟‬ ‫)‪ (c‬من نتائج )‪(a) , (b‬ى جد عالقة بولتزمان للنسبة ‪ 𝑛1 ⁄𝑛2‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬حيث ‪ ، S = k ln Ω‬لذلك يكون التغير في إنتروبيا النظام كما يلي‪:‬‬ ‫!𝑁‬ ‫!𝑁‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫) ( ‪) ≈ 𝑘 ln‬‬ ‫[ ‪] − 𝑘 ln‬‬ ‫( ‪] = 𝑘 ln‬‬ ‫!)‪(𝑛2 − 1)! (𝑛1 + 1‬‬ ‫! ‪𝑛2 ! 𝑛1‬‬ ‫‪𝑛1 + 1‬‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫‪211‬‬ ‫[ ‪∆S𝑎 = k ln‬‬ ‫)‪ (b‬التغير في انتروبيا الخزان الحراري ‪:‬‬ ‫‪𝐸2 − 𝐸1‬‬ ‫𝑇‬ ‫= 𝑏‪∆S‬‬ ‫)‪ (c‬في حالة اإلتزان ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪𝐸2 − 𝐸1‬‬ ‫( ‪∆S𝑎 + ∆S𝑏 = 0 → 𝑘 ln ( ) +‬‬ ‫‪)=0‬‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫𝑇‬ ‫إذن ‪،‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫) ‪(𝐸2 − 𝐸1‬‬ ‫‪= 𝑒𝑥𝑝 [−‬‬ ‫]‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫)‪ )28‬لنعتبر نظاما مكونا من ‪ N‬من الجسيمات غير المتفاعلة ‪ ،‬الثابتة في مواقعها ‪ ،‬ولكل منها عزم‬ ‫مغناطيسي ‪ . μ‬اذا سلط على النظام مجال مغناطيسي خارجي ‪ ، B‬مما جعل لكل جسيم احتمالية التواجد في‬ ‫حالتي من الطاقة الخاصة ‪. 𝐸 = 0 , 𝐸 − 2𝜇𝐵 :‬على فرض ان هذه الجسيمات مميزة ‪ .‬جد‬ ‫)‪ (a‬القانون الرياضي إلنتروبيا النظام في الحالة العلوية من الطاقة ‪ ، 𝑆(𝑛) ،‬حيث ‪ n‬عدد الجسيمات‬ ‫هذه الحالة ؟‬ ‫)‪ (b‬قيمة ‪ n‬التي تجعل الدالة )𝑛(𝑆 اعظم ما يمكن ؟‬ ‫الحل‬ ‫حيث الجسيمات مميزة ‪ ،‬فإن‬ ‫!𝑁‬ ‫!)𝑛 ‪𝑛! (𝑁 −‬‬ ‫=‪W‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫نالحظ ان ‪،‬‬ ‫!𝑁‬ ‫!)𝑛‪(𝑁−‬‬ ‫!𝑛 ‪𝑆(𝑛) = k ln 𝑊 = 𝑘 ln‬‬ ‫‪𝑆(𝑛 = 0) = 𝑆(𝑛 = 𝑁) = 0‬‬ ‫باستخدام تقريب ستيرلينج للمضروبات ‪ ،‬نجد ان‬ ‫𝑆‬ ‫𝑁‬ ‫𝑛‬ ‫[ ‪≈ 𝑁 ln‬‬ ‫‪] − 𝑛 ln‬‬ ‫𝑘‬ ‫𝑛‪𝑁−‬‬ ‫)𝑛 ‪(𝑁 −‬‬ ‫وبتطبيق شرط القيمة العظمى على دالة اإلنتروبيا ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)𝑛(𝑆𝑑‬ ‫𝑁‬ ‫𝑛‬ ‫⟹‪=0‬‬ ‫‪− 1 − ln 𝑛 −‬‬ ‫‪+ ln(𝑁 − 𝑛) = 0‬‬ ‫𝑛𝑑‬ ‫𝑛‪𝑁−‬‬ ‫𝑛‪𝑁−‬‬ ‫‪212‬‬ ‫بحل هذه المعادلة ‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝑛‬ ‫اي تكون اإلنتروبيا اعظم ما يمكن عندما يكون عدد الجسيمات في الحالة العلوية للطاقة يساوي نصف العدد‬ ‫‪1‬‬ ‫الكلي لهذه الجسيمات ‪ ،‬وتكون طاقة النظام ‪ ،‬في هذه الحالة ‪𝐸 = 𝑛𝜖 = 2 𝑁𝜖 ،‬‬ ‫الشكل التالي يوضح )𝑛(𝑆 كدالة ‪n‬‬ ‫)‪ (29‬يتكون نظاما ما من عدد كبير جدا من الجسيمات المميزة وغير المتفاعلة (‪ ، ) N‬بحيث يمكن لكل‬ ‫جسيم التواجد في مستويين من الطاقة ‪ . 0 ، ϵ :‬اذا كان معدل الطاقة لكل جسيم 𝑁‪ ، 𝐸/‬جد األنتروبيا‬ ‫لكل جسيم بداللة معدل الطاقة لكل جسيم ؟‬ ‫الحل‬ ‫طاقة النظام هي‬ ‫𝜖‪𝐸 = 0 + 𝜖 𝑛 → 𝑛 = 𝐸/‬‬ ‫حيث ‪ n‬عدد الجسيمات في في مستوى الطاقة 𝜖 ‪.‬‬ ‫اذن‪ ،‬عدد الحاالت المجهرية للنظام هي‬ ‫!𝑁‬ ‫𝐸‬ ‫𝐸‬ ‫!) 𝜖 ‪( 𝜖 ) ! (𝑁 −‬‬ ‫=‪Ω‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫⟹ ‪𝑆 = 𝑘 ln Ω‬‬ ‫اذا كان‬ ‫𝐸‬ ‫‪≫1 ، 𝑁−𝜖 ≫1‬‬ ‫𝐸‬ ‫𝜖‬ ‫‪ ،‬نجد بإستخدام مفكوك ستيرلنج ما يلي‬ ‫‪213‬‬ ‫(‪ )12‬تتكون سلسلة ذات بعد واحد من ‪ n‬من القطع كما في الشكل ‪:‬‬ ‫إذا كان طول القطعة ذات المحور الموازي لطول السلسلة يساوي ‪ ، a‬بينما يكون هذا الطول يساوي صفرا‬ ‫في حالة التعامد مع طول هذه السلسلة ‪ .‬ويوجد لكل قطعة حالتين من الترتيب وهما الترتيب األفقي و العمودي‬ ‫‪ .‬فإذا كان طول السلسلة 𝑥𝑛 ‪ ،‬جد‬ ‫)‪ (a‬عدد الحاالت المجهرية لهذه النظام ‪ ،‬ومن ثم جد انتروبيا النظام ؟‬ ‫)‪ (b‬العالقة بين درجة حرارة السلسلة ‪ T‬واإلجهاد ‪ stress‬الالزم للمحافظة على ثبات طول السلسلة ‪ nx‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪(a‬‬ ‫لنفرض ان عدد القطع الموازية لطول السلسلة هو ‪ ، m‬حيث‬ ‫𝑥𝑛‬ ‫𝑎‬ ‫=𝑚‬ ‫اذن ‪ ،‬يكون عدد الحاالت المجهرية كما يلي‬ ‫!𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫=) ( =‪Ω‬‬ ‫𝑚‬ ‫!)𝑚 ‪𝑚! (𝑛 −‬‬ ‫!𝑛‬ ‫𝑥𝑛 [ ‪𝑆 = 𝑘 ln Ω = 𝑘 ln‬‬ ‫] 𝑥𝑛‬ ‫!) 𝑎 ‪( 𝑎 ) ! (𝑛 −‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫لنفرض ان قوة اإلجهاد هي ‪ ، F‬يكون فرق الطاقة بين الحالة الموازية والعمودية للقطعة هو‬ ‫‪ ، Fa‬ويعطى معدل طول القطعة ‪ ℓ‬كما يلي‪:‬‬ ‫)𝑇𝑘‪𝑎 𝑒𝑥𝑝(𝐹𝑎/‬‬ ‫))𝑇𝑘‪1 + 𝑒𝑥𝑝(𝐹𝑎/‬‬ ‫=‪ℓ‬‬ ‫إذن‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑎𝐹‬ ‫)‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫𝑎𝐹‬ ‫) (‪1+exp‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫(‪𝑛𝑎 exp‬‬ ‫= ‪𝑛𝑥 = 𝑛ℓ‬‬ ‫‪214‬‬ ‫في حالة ∞ → 𝑇 ‪ ، lim‬يمكن استخدام تقريب الدالة األسية كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑒𝑢 ≈ 1 + 𝑢 ; 𝑢 ≪ 1‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى التالي‪:‬‬ ‫)‪ (31‬تحتوي كتلة من مادة صلبة على ‪ N‬من الذرات المغناطيسية ذات رقم اللف )‪ . (1/2‬عند ارتفاع درجة‬ ‫الحرارة العالية الى حد يصبح اتجاه اللف عشوائيا ‪ ،‬بينما عندما تنخفض درجة الحرارة الى درجة معينة ‪،‬‬ ‫بحيث يكون اتجاه اللف موحد اإلتجاه ( تصبح المادة ممغنطة ) ‪ .‬فإذا كانت السعة الحرارية كدالة لدرجة‬ ‫الحرارة كما يلي‪:‬‬ ‫‪if T1 /2 < T < T1‬‬ ‫𝑇‪2‬‬ ‫‪− 1),‬‬ ‫‪𝑇1‬‬ ‫( ‪𝑐1‬‬ ‫‪otherwise‬‬ ‫{ = )‪C(T‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫حيث ‪ 𝑇1‬ثابت ‪ ،‬جد ‪ 𝑐1‬عند القيمة العظمى للسعة الحرارية بإستخدام مفهوم اإلنتروبيا ؟‬ ‫الحل‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫𝑆𝑑 ‪1‬‬ ‫𝐶‬ ‫=𝐶‬ ‫∫ = 𝑆𝑑 ∫ ⟹‬ ‫𝑇𝑑‬ ‫𝑇𝑑 𝑇‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑇 ‪0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫)‪− ) 𝑑𝑇 = 𝑐1 (1 − ln 2‬‬ ‫𝑇 ‪𝑇1‬‬ ‫حيث ‪𝑆(0) = 0،‬‬ ‫‪𝑇1‬‬ ‫( ‪𝑆(∞) − 𝑆(0) = ∫ 𝑐1‬‬ ‫‪𝑇1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 𝑆(∞) = 𝑁𝑘 ln 2 ،‬اذن ‪،‬‬ ‫)‪𝑁𝑘 ln 2 = 𝑐1 (1 − ln 2‬‬ ‫‪𝑁𝑘 ln 2‬‬ ‫‪1 − ln 2‬‬ ‫= ‪𝑐1‬‬ ‫)‪ (32‬تحتوي شبكة بلورية على ‪ N‬من النقاط وعلى نفس العدد من المواقع الفراغية (وهي األماكن الممكن‬ ‫للذرات الجلوس فيها ) ‪ .‬اذا كانت ‪ E‬تمثل الطاقة الالزمة إلزالة ذرة ما من موقع الشبكة الى الفراغ ‪ n ،‬عدد‬ ‫الذرات التي تشغل مواقع الفراغات في حالة اإلتزان ‪ .‬جد ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬الطاقة الداخلية للنظام ؟‬ ‫)‪ (b‬انتروبيا النظام في حالة ‪ 𝑛 ≫ 1‬؟‬ ‫‪215‬‬ ‫)‪ (c‬في حالة اإلتزان ودرجة الحرارة ‪ ، T‬جد ‪ n‬كدالة لدرجة الحرارة ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪(a‬‬ ‫لنفرض ان ‪ U0‬هي الطاقة الداخلية في حالة خلو المواقع الفراغية من اي من الذرات ‪ ،‬بينما تكون‬ ‫الطاقة الداخلية عند اشغال ‪ n‬من المواقع الفراغية كما يلي‪:‬‬ ‫𝐸𝑛 ‪𝑈 = 𝑈0 +‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪ (b‬عدد طرق اختيار ‪ n‬ذرة من ‪ N‬هي ) ( ‪ ،‬بينما عدد الطرق التي يتم فيها توطين ‪ n‬من الذرات في‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫المواقع ‪ N‬يساوي ) ( ‪ ،‬وعليه يكون عدد الحاالت المجهرية كما يلي ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪𝑁 2‬‬ ‫) ( =‪Ω‬‬ ‫𝑛‬ ‫وتكون اإلنتروبيا كالتالي‬ ‫!𝑁‬ ‫)‬ ‫!)𝑛 ‪𝑛! (𝑁 −‬‬ ‫( ‪𝑆 = 𝑘 ln Ω = 2𝑘 ln‬‬ ‫اذا كان ‪ ، n ≫ 1 , (N − n) ≫ 1‬فإن تقريب ستيرلنج للمضروبات يكون صحيحا ‪ ،‬وعليه ‪،‬‬ ‫})𝑛 ‪𝑆 = 2𝑘{𝑁 ln 𝑁 − 𝑛 ln 𝑛 − (𝑁 − 𝑛) ln(𝑁 −‬‬ ‫)‪ (c‬عند ثبوت درجة الحرارة ‪ T‬والحجم ‪ ،‬تكون طاقة هلمهولتز الحرة اقل ما يمكن عند اإلتزان ‪ ،‬اي‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫‪=0‬‬ ‫𝑛𝜕‬ ‫⟹ 𝑆𝑇 ‪𝐹 = 𝑈0 + 𝑛𝐸 −‬‬ ‫])𝑛 ‪0 = 𝐸 − 2𝑘𝑇[− ln 𝑛 + ln(𝑁 −‬‬ ‫إذن‬ ‫𝑁‬ ‫𝐸‬ ‫𝑁‬ ‫( ‪= 1 + exp‬‬ ‫=𝑛⟹)‬ ‫𝐸‬ ‫𝑛‬ ‫𝑇𝑘‪2‬‬ ‫(‪1 + exp‬‬ ‫)‬ ‫𝑇𝑘‪2‬‬ ‫)‪ (33‬يتكون نظاما ما من ‪ N‬جسيما ‪ ،‬اذا كان لهذا النظام مستويين من الطاقة ‪ 𝐸0 , 𝐸1 :‬عند درجة حرارة‬ ‫‪ ، T‬وكان توزيع الجسيمات على مستويات الطاقة يخضع لقانون التوزيع الكالسيكي ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬جد معدل طاقة الجسيم ؟‬ ‫‪216‬‬ ‫)‪ (b‬جد ما تؤول اليه طاقة الجسيم عند ∞ → 𝑇 ‪ 𝑇 → 0 ,‬؟‬ ‫)‪ (c‬اشتق عالقة الحرارة النوعية بداللة درجة الحرارة ؟‬ ‫)‪ (d‬جد ما تؤول اليه الحرارة النوعية عند ‪ T → 0 , T → ∞ :‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬نفرض ان ‪ u‬معدل طاقة الجسيم ‪ ،‬حيث ‪:‬‬ ‫لنفرض ان فرق طاقة المستويين ‪ ، ∆𝐸 = 𝐸1 − 𝐸0 :‬اذن‬ ‫)‪...................................(1‬‬ ‫)‪ (b‬عند ‪ ، T → 0‬اي ∞ → ‪ ، β‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫اما عند ∞ → ‪ ، T‬او ‪ ، β → 0‬تؤول معادلة (‪ )9‬الى‬ ‫)‪ (c‬تعرف الحرارة النوعية ( لكل مول) كما يلي‪:‬‬ ‫(‪.....................................)1‬‬ ‫في حالة ‪ ، T → 0‬تؤول معادلة (‪ )1‬الى ما يلي‪:‬‬ ‫اما في حالة ∞ → ‪ ، T‬فإن معادلة (‪ )1‬تصبح كما يلي‪:‬‬ ‫‪217‬‬ ‫(‪ )13‬اذا كانت طاقة المستويات الثالثة الدنيا لجزيء ما كالتالي‪:‬‬ ‫‪E1 = 0 , E2 = 𝜖 , E3 = 10ϵ‬‬ ‫)‪ (a‬بين انه في حالة درجة الحرارة المنخفضة لدرجة ما بحيث تجعل المستويات ‪ 𝐸1 , 𝐸2‬غير مشغولة (‬ ‫فارغة) ‪.‬‬ ‫)‪ (b‬جد معدل طاقة الجزيء عند درجة الحرارة ‪ T‬؟‬ ‫)‪ (c‬جد مساهمة هذه المستويات للحرارة النوعية المولية ( لكل ‪ 9‬مول) ؟‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان النظام يحتوي على ‪ N‬من الجسيمات ‪ ،‬وبإعتبار فقط المستويات الثالثة الدنيا ‪ .‬وفقا إلحصاء‬ ‫بولتزمان‪ ،‬نجد ان ‪:‬‬ ‫ولذلك ‪،‬‬ ‫عندما ال يكون هناك اشغال في المستوى الثالث ‪ ،‬اي ‪، 𝑁3 < 1‬نفرض ان درجة الحرارة تكون < 𝑇‬ ‫𝑐𝑇 ‪ ،‬وعندها تكون المستويات األول والثاني هي المشغولة فقط ‪ ،‬وهذا يتم اذا كانت 𝑐𝑇 تحقق الشرط التالي‪:‬‬ ‫(‪.............................)0‬‬ ‫في حالة ‪ ، 𝑁 ≫ 1‬يمكن حل معادلة (‪ )1‬كما يلي|‪:‬‬ ‫𝑐𝑇𝑘‪1 + e9ϵ⁄𝑘𝑇𝑐 + e10ϵ⁄𝑘𝑇𝑐 = 1 + e10ϵ⁄𝑘𝑇𝑐 (e−ϵ⁄𝑘𝑇𝑐 + 1) ≈ 1 + e10ϵ⁄𝑘𝑇𝑐 ≈ e10ϵ⁄‬‬ ‫‪218‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تصبح معادلة (‪ )1‬بالصورة التقريبية كما يلي‪:‬‬ ‫𝑐𝑇𝑘‪= 1 ⟹ ln 𝑁 = 10𝜖/‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑐𝑇𝑘‪e10ϵ⁄‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫من تعريف معدل الطاقة للجسيم ‪ ،‬نجد ان‬ ‫وتكون الحرارة النوعية المولية كالتالي‪:‬‬ ‫حيث ‪ R‬الثابت العام للغازات ‪،‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪deg‬‬ ‫‪ ،R = 8.315‬و 𝐴‪ N‬عدد افوجادرو ‪:‬‬ ‫𝑒𝑙𝑜𝑚‪N𝐴 = 6.205 × 1023 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑠/‬‬ ‫في حالة درجة الحرارة العالية ‪ ، 𝑘𝑇 ≫ 𝜖 ،‬تؤول هذه المعادلة الى التالي‪:‬‬ ‫اما في حالة درجة الحرارة المنخفضة ‪ ، 𝑘𝑇 ≪ 𝜖،‬تؤول المعادلة الى التالي‪:‬‬ ‫يوضح الشكل التالي العالقة بين الحرارة النوعية كدالة لدرجة الحرارة ‪.‬‬ ‫‪219‬‬ ‫(‪ )15‬وضح اإلختالف بين احصئيات بولتزمان ‪ ،‬فيرمي ‪ ،‬و بوز ‪ .‬ثم جد الشرط الالزم على درجة حرارة‬ ‫حتي يختفي هذا التميز بين اإلحصائيات المذكورة ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬في احصاء بولتزمان ‪ ،‬يكون النظام مكونا من جسيمات مميزة ومتموضعة ‪ ،‬ويكون عدد الجسيمات في‬ ‫الحالة الكمية غير محدد ‪ .‬ويعطى معدل عدد الجسيمات ‪ ، ⟨nℓ ⟩ ،‬في مستوى الطاقة ‪ 𝜀ℓ‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪⟨nℓ ⟩ = 𝑔ℓ 𝑒 −𝛼−𝛽𝜀ℓ‬‬ ‫حيث ‪ 𝑔ℓ‬درجة انحاللية المستوى ‪.‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة احصاء فيرمي ‪ ،‬يتكون النظام من جسيمات ( فيرمونات) غير مميزة ‪ ،‬وتخضع لقاعدة باولي‬ ‫الحصرية ‪ ،‬ويكون معدل عدد الجسيمات ‪ ، ⟨nℓ ⟩ ،‬في مستوى الطاقة ‪ 𝜀ℓ‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑔ℓ‬‬ ‫𝜀𝛽‪⟨nℓ ⟩ = 𝛼+‬‬ ‫‪ℓ +1‬‬ ‫𝑒‬ ‫)‪ (c‬في حالة احصاء بوز ‪ ،‬يتكون النظام من البوزونات ( جسيمات غير مميزة) ‪ ،‬ويكون معدل عدد‬ ‫الجسيمات ‪ ، ⟨nℓ ⟩ ،‬في مستوى الطاقة ‪ 𝜀ℓ‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝑔ℓ‬‬ ‫𝜀𝛽‪⟨nℓ ⟩ = 𝛼+‬‬ ‫‪ℓ −1‬‬ ‫𝑒‬ ‫نالحظ من العالقات الثالثة السابقة لمعدل عدد الجسيمات ‪ ،‬ان هذا المعدل يقترب من نفس القيمة اذا تحقق‬ ‫الشرط التالي‪:‬‬ ‫‪𝑒 𝛼 ≫ 1 → 𝑒 −𝛼 ≪ 1‬‬ ‫اي يصبح معدل عدد الجسيمات في مستوى الطاقة متساوي ‪،‬‬ ‫‪⟨nℓ ⟩ = 𝑔ℓ 𝑒 −𝛼−𝛽𝜀ℓ‬‬ ‫لنفرض ان ‪ n‬تمثل كثافة الجسيمات في النظام ‪ ،‬فإن هذا الشرط يؤول الى الصورة التالية‪:‬‬ ‫‪𝑛2/3 ℎ2‬‬ ‫𝑘𝑚𝜋‪2‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫≫𝑇⟹‪≪1‬‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫[𝑛‬ ‫]‬ ‫𝑇𝑘𝑚𝜋‪2‬‬ ‫اي عند درجة الحرارة العالية يتالشى الفرق بين هذه اإلحصائيات الثالثة ‪.‬‬ ‫‪220‬‬ ‫(‪ )16‬بين اي من اإلحصائيات الثالثة يكون مالئما لحل المسائل التالية ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬كثافة غاز ‪ 𝐻𝑒 4‬عند الظروف العيارية ؟‬ ‫)‪ (b‬كثافة اإللكترونات في مادة النحاس عند درجة حرارة الغرفة ؟‬ ‫)‪ (c‬كثافة اإللكترونات والثقوب في عينة من مادة الجرمانيوم ‪ Ge‬عند درجة حرارة الغرفة ‪ ،‬علما ان‬ ‫اتساع شريط الثغرة ‪ band gap‬يساوي ‪ 1eV‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬بتطبيق الشرط التالي ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫‪≈ 3 × 10−6 ≪ 1‬‬ ‫𝑃‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫= 𝜆𝑛‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝑇𝑘𝑚𝜋‪𝑘𝑇 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون احصاء بولتزمان هو اإلحصاء المناسب في هذه المسألة‪.‬‬ ‫)‪ (b‬ألن اإللكترونات هي فيرمونات ‪ ،‬وطاقة فيرمي لإللكترون الغازي في النحاس ‪ 1ev‬وهذا يكافئ درجة‬ ‫حرارة 𝐾 ‪ ، 104‬لذلك عند درجة حرارة الغرفة ‪ ،‬يكون للغاز اإللكتروني مستويات منحلة من الطاقة‪.‬‬ ‫وعليه‪ ،‬يكون اإلحصاء المناسب للمسألة هو احصاء فيرمي – ديراك‪.‬‬ ‫‪ (c‬في هذه الحالة ‪ ،‬يكون احصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان مالئما للتطبيق وذلك بسبب عدم قدرة اإللكترونات‬ ‫والثقوب على تجاوز الثغرة ألنها ال تملك الطاقة الالزمة عند درجة حرارة الغرفة ‪.‬‬ ‫)‪ (37‬برهن صحة العالقة التالية في حالة الغاز المثالي ‪:‬‬ ‫𝜇‬ ‫𝑄𝑉𝑛 = 𝑇𝑘 𝑒 = ‪λ‬‬ ‫حيث ‪ μ ، λ ≪ 1 :‬الجهد الكيماوي ‪ n ،‬كثافة الغاز ‪ ،‬كما ان الحجم الكمي 𝑄𝑉 يساوي‬ ‫‪3/2‬‬ ‫‪ℎ2‬‬ ‫[ = 𝑄𝑉‬ ‫]‬ ‫𝑇𝑘𝑚𝜋‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫اذا كان ‪ ، λ ≪ 1‬فإن كال من احصاء فيرمي‪ -‬ديراك واحصاء بوز – اينشتين يؤول الى احصاء مكسويل‬ ‫– بولتزمان ‪ ،‬اي‬ ‫‪221‬‬ ‫وتصبح كثافة الغاز المثالي ( بدون اعتبار حاالت اللف ) كما يلي‪:‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫𝑄𝑉𝑛 = ‪λ‬‬ ‫)‪ (38‬اذا كانت الدائرة الكهربية المبينة في الشكل المرفق في حالة اتزان حراري مع المحيط بها ‪ ،‬عند‬ ‫درجة حرارة ‪ ، T‬جد جذر معدل التيار 𝑠𝑚𝑟𝐼 المار في الملف ؟‬ ‫الحل‬ ‫ينتج عن التقلبات في حركة اإللكترونات في الملف تقلبات في شدة التيار الكهربي في الدائرة‪ ،‬لنفرض ان ‪:‬‬ ‫)‪ I(t‬يمثل شدة تيار الملف ‪ ،‬لذلك ‪ ،‬يكون معدل طاقة الملف كما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⟩ ‪⟨𝑊⟩ = ( ) 𝐿⟨𝐼 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بإستخدام نظرية تساوي الطاقة ‪Equipartition theory‬‬ ‫‪ ،‬نجد ان ‪:‬‬ ‫‪⟨𝑊⟩ = (1/2)kT‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫√ = 𝑠𝑚𝑟𝐼 = ⟩ ‪√⟨𝐼 2‬‬ ‫𝐿‬ ‫‪222‬‬ ‫)‪ (39‬يتكون نظام شبكة بلورية من موقعين مميزين ‪ ،‬بحيث يمكن اشغال كل منهما بذرة ذات لف )‪، (s=1‬‬ ‫وتكون مرتبة بحيث تملك ثالثة قيم من الطاقة‪ ϵ = 10،، − 1 :‬وبنفس مقدار اإلحتمالية ‪ .‬اذا كانت هذه‬ ‫الذرات غير متفاعلة ‪ ،‬جد معدل القيم التالية في الطاقم ‪:‬‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅‬ ‫𝑈 ‪ ،‬حيث ‪ U‬طاقة النظام الناتجة من عملية اللف فقط ؟‬ ‫‪, 𝑈2‬‬ ‫الحل‬ ‫نجد اوال معدل طاقة الذرة الواحدة وتكون كالتالي‪:‬‬ ‫ويكون معدل الطاقة للنطام كما يلي ‪:‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅‬ ‫‪𝛆𝟏 𝛆𝟐 = ̅̅̅̅.‬‬ ‫̅̅̅ 𝟏𝛆‬ ‫𝟐𝛆‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫(‪ )32‬يتكون نطام ما من جسيمات تشغل مستويات طاقية منفردة وتتبع احصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬اذا‬ ‫كان هذا النظام مالمسا لخزان حراري عند درجة حرارة ‪ ، T‬وكان التوزيع اإلسكاني في مستويات الطاقة‬ ‫كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪223‬‬ ‫جد درجة حرارة النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫بإستخدام توزيع ماكسويل ‪ -‬بولتزمان للجسيمات في مستوى الطاقة ‪ ،‬نجد ان النسبة بين كثافتي عدد‬ ‫الجسيمات في اي حالتين كما يلي‪:‬‬ ‫وبحل هذه المعادلة إليجاد درجة الحرارة ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫بإستخدام الجدول المعطى في المسألة ‪ ،‬نحصل على ما يلي‬ ‫ويكون متوسط درجة الحرارة ‪ ، ⟨ 𝑇⟩ ،‬هو ‪. 11.49 K‬‬ ‫(‪ )31‬لنفرض ان التفاعل التالي ‪ 𝐻 → 𝑝 + 𝑒 :‬يحدث عند درجة حرارة ‪ ، T=4000K‬حيث تكون كثافة‬ ‫الغاز منخفضة جدا ( ال يوجد انحالل في مستويات الطاقة ) ‪ .‬جد الجهد الكيماوي بداللة عدد الكثافة لكل من‬ ‫‪ . [𝑒]، [𝑝]، [𝐻] :‬لتسهيل الحل ‪ ،‬اعتبر الحالة األرضية فقط ؟‬ ‫الحل‬ ‫بالرجوع الى احصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬نجد ان كثافة الغاز تعطى كما يلي‪:‬‬ ‫𝜇‬ ‫‪𝑛 = 𝑒 𝑘𝑇 [2𝜋𝑚𝑘𝑇/𝑘𝑇]3/2‬‬ ‫حيث ان كال من البروتون واإللكترون لها رقم لف )‪ ، (1/2‬لذلك يكون تركيزهما كما يلي‪:‬‬ ‫‪224‬‬ ‫اما بالنسبة لذرة الهيدروجين فإن ترتيبات البروتونات واإللكترونات تشكل (‪ )4‬حاالت وبطاقة تأين 𝑑‪. E‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون تركيز ذرة الهيدروجين كما يلي‪:‬‬ ‫(‪)30‬اذا كان طاقة الوضع لجزيء من الهيدروجين )𝑚𝑔 ‪ (𝑚𝐻 = 1.672 × 10−24‬تعطى كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫‪D = 7 × 10−12 𝑒𝑟𝑔,‬‬ ‫𝑚𝑐 ‪𝑎 = 2 × 108 𝑐𝑚−1 , 𝑟0 = 8 × 10−9‬‬ ‫جد عند اي درجة حرارة تبدأ درجة الحرارة الدورانية ودرجة الحرارة اإلهتزازية بالمساهمة في الحرارة‬ ‫النوعية لغاز الهيدروجين ؟‬ ‫الحل‬ ‫يكون معدل المسافة بين ذرتي الهيدروجين مساويا تقريبا لمسافة اإلتزان )‪ ، )d‬ويحدث هذا اإلتزان اذا‬ ‫تحقق الشرط التالي‪:‬‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫)‬ ‫‪= 0 → 𝑑 = 𝑟0‬‬ ‫𝑑=𝑟 𝑟𝜕‬ ‫(‬ ‫ويكون التردد الزواي لحركة الذرات كما يلي‪:‬‬ ‫‪ω = √𝑘⁄𝜇 , 𝜇 = 𝑚𝐻 ⁄2‬‬ ‫‪ µ‬كتلة الجزيئ المختصرة ‪. reduced mass‬‬ ‫بإستخدام مفكوك تايلور لدالة طاقة الوضع حول نقطة اإلتزان ‪ ،‬نجد ان‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫تكون الطاقة المميزة للمستوى الدوراني كما يلي‪:‬‬ ‫‪225‬‬ ‫وبالتعويض نحصل على التالي‪:‬‬ ‫كذلك ‪ ،‬بإستخدام الطاقة المميزة اإلهتزازية ‪ ، 𝑘Θ𝑣 = ℏ𝜔 ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫هذا يعني ان الحركة الدورانية لذرات الجزيئ تبدأ بالمساهمة في الحرارة النوعية لجزئ الهيدروجين عند‬ ‫درجة حرارة ‪ 88 K‬وما فوق ‪ ،‬بينما الحركة اإلهتزازية تبدأ بالمساهمة في الحرارة النوعية عند درجة‬ ‫الحرارة العالية ‪.‬‬ ‫)‪ (43‬جد الحرارة النوعية اإلهتزازية لغاز ثنائي الذرة كدالة لدرجة الحرارة ‪ ،‬ثم بين ما تؤول اليه هذه العالقة‬ ‫عند درجات الحرارة المنخفضة والمرتفعة ؟‬ ‫الحل‬ ‫في حالة الحركة اإلهتزازية ‪ ،‬تكون طاقة المستويات كما يلي‪:‬‬ ‫وتكون دالة التجزئة على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫حيث ‪ . 𝑥 = 𝛽ℏ𝜔 :‬ومن تعريف طاقة هلمهولتز الحرة ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫وتكون الطاقة الداخلية كما يلي‪:‬‬ ‫من تعريف الحرارة النوعية المولية ‪ ،‬نحصل على التالي‬ ‫‪226‬‬ ‫وهنا ‪ ،‬نالحظ ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬اذا كان ‪ ، T ≫ θ → x ≪ 1‬فإن 𝑅 = 𝑣‪C‬‬ ‫)‪ (b‬اذا كان ‪ ، T ≪ θ → x ≫ 1‬فإن ‪:‬‬ ‫(‪ )33‬اذا كان متذبذب توافقي في بعد واحد في حالة اتزان مع حمام حراري عند درجة حرارة ‪ ، T‬جد ما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬معدل طاقة المتذبذب كدالة لدرجة الحرارة ؟‬ ‫)‪ (b‬الجذرالتبيعي لمعدل مربع التقلبات في الطاقة حول القيمة المتوسطة ( اإلنحراف المعياري ) ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬دالة التجزئة للنظام ‪:‬‬ ‫ومن تعريف معدل الطاقة بداللة دالة التجزئة ‪ ،‬نجد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (b‬يكون جذر معدل مربع التقلب في الطاقة ‪ ، ∆E ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪ (c‬في حالة 𝜔‪ ، 𝑘𝑇 ≪ ℏ‬نجد ان ‪:‬‬ ‫‪227‬‬ ‫وفي حالة 𝜔‪ ، 𝑘𝑇 ≫ ℏ‬فإن ‪:‬‬ ‫(‪ )35‬اعتبر جزئ ثنائي الذرات ‪ ،‬غير المتشابهة ‪ ،‬وذات عزم قصور ذاتي ‪ . I‬بإعتبار الحركة الدورانية‬ ‫لذرات هذا الجزئ فقط ‪ ،‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬الصيغة الرياضية للحرارة النوعية ‪ ، C(T) ،‬لهذا النظام‪.‬‬ ‫)‪ (b‬دالة تجزئة النظام ومعدل الطاقة فيه ‪ ،‬حيث طاقة المستوى ‪ j‬تعطى كما يلي‪:‬‬ ‫وتكون انحاللية هذا المستوى تساوي )‪ (2j+1‬؟‬ ‫‪ (c‬بتبسيط العالقة في فرع )‪ ، (b‬اشتق عالقة )‪ C(T‬لدرجات الحرارة المنخفضة ؟‬ ‫)‪ (d‬اشتق عالقة تقريبية للحرارة النوعية وحدد مدى صالحية هذا التقريب ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬كالسيكيا ‪ ،‬تكون طاقة الجزئ الدورانية في المستوى )𝜑 ‪ ، (𝜃,‬دالة التجزئة ‪ ،‬ومعدل طاقة الجزئ‬ ‫‪ ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون الحرارة النوعية كما يلي‪:‬‬ ‫𝑘 = )𝑇(𝐶‬ ‫)‪ (b‬وفقا للميكانيكا اإلحصائية الكمية ‪ ،‬تكون دالة التجزئة ومعدل الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫‪228‬‬ ‫)‪ (c‬في حالة درجة الحرارة المنخفضة التي تحقق الشرط التالي ‪:‬‬ ‫‪𝛽ℏ2‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫⟹‪≫1‬‬ ‫‪≫1‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫يكون اول حدين في المجموع‪ ، [𝑗 = 0, 1] ،‬هما الحدود المهمة ‪ ،‬وعليه ‪،‬‬ ‫لذلك ‪،‬‬ ‫)‪ (d‬في حالة الحدود العليا لدرجة الحرارة ‪ ،‬اي عندما يتحقق الشرط التالي‪:‬‬ ‫‪𝛽ℏ2‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫≫ 𝑇𝑘 ⟹ ‪≫ 1‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫ويمكن استبدال التجميع بالتكامل ‪ ،‬لنحصل على التالي‪:‬‬ ‫‪229‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫𝑘 = )𝑇(𝐶‬ ‫)‪ (46‬اذا كان معدل الطاقة الحركية لذرة الهيدروجين في الغالف الجوي النجمي ( على فرض حالة اإلتزان‬ ‫الحراري ) يساوي ‪ ، 1.0 eV‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬درجة حرارة هذا الغالف ؟‬ ‫)‪ (b‬النسبة بين عدد الذرات الموجودة في المستوى المهيج الثاني الى عددها في الحالة األرضية ؟‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان درجة حرارة هذا الغالف ‪ ، T‬وعليه‬ ‫)‪ (b‬تعطى طاقة المستويات في ذرة الهيدروجين كما يلي‬ ‫بإستخدام توزيع بولتزمان ‪ ،‬نجد ان‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث ‪𝑒𝑉, 𝑘𝑇 = (3) 𝑒𝑉 :‬‬ ‫‪13.6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ، 𝐸1 = −13.6 𝑒𝑉, 𝐸3 = −‬وبتعويض هذه القيم نجد ان‪:‬‬ ‫(‪ )74‬يتكون نظام غازي احادي الذرة من مستووين للطاقة الداخلية‪ :‬الحالة األرضية ‪ ،‬حيث اإلنحاللية‬ ‫‪ 𝑔1‬وطاقة مميزة ‪ ، 𝐸0‬ومستوى ىالحالة المهيجة األولى والذي إنحالليتة ‪ 𝑔2‬وطاقته 𝐸 فوق طاقة‬ ‫الحالة األرضية ‪ .‬جد الحرارة النوعية لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫حسب توزيع بولتزمان ‪ ،‬يكون معدل طاقة الذرات كما يلي‪:‬‬ ‫‪230‬‬ ‫ومن تعريف الحرارة النوعية ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫(‪ )38‬استخدم توزيع ماكسويل – بولتزمان للطاقة إليجاد عدد الجسيمات النيتروجين في الغالف الجوي على‬ ‫ارتفاع ‪ z‬عن سطح البحر ( في حالة التوازن الحراري ) ‪ ،‬ثم جد عند اي ارتفاع ينخفض عدد هذه‬ ‫الجسيمات في وحدة الحجم الى النصف من قيمته عند سطح البحر ؟‬ ‫الحل‬ ‫في حالة التوازن الحراري ‪ ،‬يكون عدد الجسيمات في المدى}𝑟𝑑 ‪ { 𝑑𝑟, 𝑟 +‬والتي تتحرك بسرعة ضمن‬ ‫المدى }𝒗𝑑 ‪ {𝑑𝒗, 𝒗 +‬كما يلي‪:‬‬ ‫حيث‪ n0 :‬عدد الجسيمات في وحدة الحجم عند سطح البحر )‪ ϵ ، (z = 0‬طاقة الجسيم ‪𝑑𝑟 = ،‬‬ ‫𝑧𝑣𝑑 𝑦𝑣𝑑 𝑥𝑣𝑑 = 𝑣𝑑 ; 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑 ‪.‬‬ ‫حسب توزيع ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬يكون عدد الجسيمات في العنصر الحجمي وعند اإلرتفاع ‪ z‬كما‬ ‫يلي ‪:‬‬ ‫ونجد بالتكامل عدد الجسيمات لكل وحدة حجم كالتالي ‪:‬‬ ‫بأخذ لوغارتم الطرفين وحل المعادلة الناتجة ‪ ،‬نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪231‬‬ ‫حيث ‪ ،‬الوزن الجزيئي للنيتروجين ‪ μ‬يساوي ‪T=300K ،𝑅 = 8.31 𝐽⁄𝐾. 𝑚𝑜𝑙𝑒 ، 15 gm/mole‬‬ ‫اذا كان ‪ ، 𝑛0 ⁄𝑛 = 2‬وبالتعويض بهذه القيم في هذه المعادلة ‪ ،‬نجد ان 𝑟𝑒𝑡𝑒𝑚 ‪.𝑧 = 6297‬‬ ‫(‪ )37‬الشكل ادناه يمثل اسطوانة ممتلئة بغاز من الجسيمات غير المتفاعلة ‪ ،‬حيث ‪ m‬كتلة كل جسيم واقعا‬ ‫تحت تأثير الجاذبية األرضية ‪ .‬اذا كانت هذه الجسيمات في حالة توازن حراري عند درجة حرارة ‪ ، T‬جد‬ ‫الحرارة النوعية لجسيمات هذا النظام ‪ ،‬ثم بين ما تؤول اليه الناتج عند اقتراب درجة الحرارة من حدودها‬ ‫]∞ ‪ [0 ,‬؟‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان جسيما ما عند ارتفاع ‪ z‬من قعر اإلسطوانة ‪ ،‬لذلك يكون معدل طاقة هذا الجسيم كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ‪ 𝑧̅ ،‬يمثل معدل ارتفاع الجسيم عن قاعدة اإلسطوانة السفلية ‪.‬‬ ‫حسب توزيع ماكسويل‪ -‬بولتزمان ‪ ،‬نجد ان كثافة إحتمال تواجد الجسيم عند هذا اإلرتفاع كما يلي"‬ ‫]𝑇𝑘‪𝑃(𝑧) ∝ 𝑒𝑥𝑝[− 𝑚𝑔𝑧⁄‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون معدل اإلرتفاع كما يلي‪:‬‬ ‫‪232‬‬ ‫وتكون معدل طاقة الجسيم ‪:‬‬ ‫من تعريف الحرارة النوعية لكل جسيم ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫(‪ )52‬يتكون نظام بارامغناطيسي من ‪ N‬ثنائي قطب مغناطيسي عزمه ‪ µ‬والتي يمكن وصفها كالسيكيا ‪.‬‬ ‫اذا سلط مجال مغناطيسي شدته ‪ H‬على هذا النظام وحفظ عند درجة حرارة ‪ ، T‬جد‪:‬‬ ‫)‪ (a‬مقدار التمغنط التأثيري للنظام ؟‬ ‫)‪ (b‬سعة النظام الحرارية بثبوت المجال المغناطيسي ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬من تعريف متوسط العزم المغناطيسي لثنائي القطب ‪ ،‬نجد ان‬ ‫حيث‪، 𝑥 = 𝜇𝛽𝐻 :‬‬ ‫ويكون معدل التمغنط التأثيري للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (b‬من تعريف السعة الحرارية بداللة معدل الطاقة ‪ ،‬مع ثبات شدة المجال المغناطيسي ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫‪233‬‬ ‫)‪ (51‬تتكون مادة ما من ‪ n‬من الجسيمات المستقلة ‪ ،‬اذا كانت هذه المادة موضوعة في مجال مغناطيسي‬ ‫ضعيف ‪ ، H‬وكان العزم المغناطيسي للجسيم في اتجاه المجال يساوي ‪ ، m μ‬حيث ‪𝑚 = −𝐽, … 0, … +‬‬ ‫𝑗 ‪ J ،‬عدد صحيح ‪ .‬اذا كانت درجة حرارة هذا النظام ‪ ،T‬جد ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬دالة تجزئة النظام ؟‬ ‫)‪ (b‬معدل شدة تمغنط المادة ̅‬ ‫𝑀 ؟‬ ‫)‪ (c‬الصورة التقريبية لمدل التمغنط عند درجة الحرارة العالية ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬دالة التجزئة ‪:‬‬ ‫)‪ (b‬متوسط شدة التمغنط‪:‬‬ ‫)‪ (c‬اذا كان ‪ ، kT ≫ μH‬يمكن استخدام التفريب التالي‪:‬‬ ‫)‪ (52‬يتكون جزي من غاز مثالي من ذرتين كتلة كل منهما ‪ ، m‬وكان هذا الجزيء يمثل ثنائي قطب‬ ‫كهربي شحنته ‪ q‬والبعد بين ذرتيه ‪ ، d‬فاذا وضع هذا الغاز في مجال كهربي شدته ‪ ، ε‬جد معدل استقطاب‬ ‫الجزيئ والحرارة النوعية للنظام ؟‬ ‫‪234‬‬ ‫الحل‬ ‫نفرض ان ‪ θ‬تمثل الزاوية بين اتجاه المجال الكهربي واتجاه العزم الكهربي لثنائي القطب ‪.‬‬ ‫تكون الطاقة الكهربية لهذا الثنائي كما يلي‪:‬‬ ‫𝜀𝑑𝑞 = ‪E = −E0 cos 𝜃 ; 𝐸0‬‬ ‫ويكون متوسط استقطاب ثنائيات القطب بفعل المجال كما يلي‪:‬‬ ‫ويكون متوسط الطاقة لثنائي القطب كما يلي‪:‬‬ ‫القابلية ( التأثيرية الكهربية ) لإلستقطاب ‪:‬‬ ‫وتكون الحرارة النوعية للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫‪235‬‬ ‫)‪ (53‬يمكن وصف استجابة بعض المواد للمجال الجهربي الخارجي بنموذج احصائي كالسيكي ‪ ،‬وذلك‬ ‫بإعتبار ان الجزئيات هي ثنائيات قطب كهربي ذات عزم كهربي 𝒑 ‪ .‬جد معدل استقطاب ( عدد ثنائيات‬ ‫األقطاب لكل وحدة حجم) في نظام مخفف من الجسيمات بكثافة حجمية ‪ ، n‬وعند درجة حرارة ‪ ، T‬موضوعة‬ ‫في مجال كهربي خارجي ‪ E‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬تكون طاقة ثنائي القطب الكهربي‪ ،‬بفعل المجال الخارجي ‪ ،‬كما يلي‬ ‫وتكون دالة التجزئة كالتالي‪:‬‬ ‫يكون معدل اإلستقطاب ‪:‬‬ ‫)‪ (54‬يتكون نظاما ما من ‪ N‬بوزون ‪ ،‬حيث تكون متماثلة وموضوعة في صندوق حجمه ‪ ، V = L3‬فاذا‬ ‫كان كتلة كل جسيم ‪ m‬ودرجة الحرارة ‪ ، T‬جد ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬العالقة الرياضية التي تعطي عدد الجسيمات )‪ n(E‬والتي طاقتها ضمن المدى ]𝜖𝑑 ‪ [𝜖, 𝜖 +‬بداللة‬ ‫متغيرات هذا النظام ؟‬ ‫‪236‬‬ ‫)‪ (b‬برهن ان توزيع الجسيمات يصبح مماثال للتوزيع التقليدي ( توزيع بولتزمان ) ‪ ،‬اذا كان ‪، d ≫ λ‬‬ ‫حيث ‪ d‬البعد بين الجسيمات ‪ λ ،‬طول موجة دي برولي الحرارية ؟‬ ‫)‪ (c‬جد معدل طاقة هذا النظام في تقريب الدرجة األولى وتحت الشرط 𝜆 ≫ 𝑑 ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬بإستخدام دالة توزيع بوز‪ -‬اينشتين ‪ ،‬نجد ان عدد الجسيمات ‪،‬كدالة للطاقة ‪ ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫𝜇‬ ‫)‪ (b‬في التقريب للغاز المخفف ‪ ،‬حيث ‪ ، 𝑒 −𝑘𝑇 ≫ 1 ،‬يكون توزيع بوز‪ -‬اينشتين مماثال لتوزيع‬ ‫بولتزمان ‪.‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون عدد الجسيمات كدالة للطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫اي ‪،‬‬ ‫حيث ‪، λ = ℎ⁄√2𝜋𝑚𝑘𝑇 ،‬وهي تساوي طول موجة دي برولي الحراري ‪ .‬وكذلك ‪ ،‬يكون = 𝑑‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑁‪ . √𝑉 ⁄‬وعليه ‪ ،‬يكون التقريبان متكافئين ‪ ،‬اي‪:‬‬ ‫𝜆 ≫ 𝑑 ⟺ ‪𝑒 −𝜇⁄𝑘𝑇 ≫ 1‬‬ ‫)‪ (c‬في التقريب األولى ‪ ،‬يكون‬ ‫ويكون معدل الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫‪237‬‬ ‫)‪ (55‬يتكون نظاما ما من غاز كمي ( بوزونات غير متفاعلة ولها رقم لف صفري ‪ ، )s=0‬فاذا كانت كتلة‬ ‫البوزون ‪ m‬ويتحرك بحرية في حجم ‪، V‬‬ ‫)‪ (a‬جد طاقة النظام وسعته الحرارية عند درجات الحرارة المخفضة؟‬ ‫)‪ (b‬برهن ان الحسابات في الفرع )‪ (a‬يمكن تعديلها لتنطبق على نظام مكون من الفوتونات ( ‪ ، ) m=0‬ثم‬ ‫بين ان الطاقة في هذه الحالة تتناسب مع ‪ 𝑇 4‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬يتطلب توزيع بوز‪ -‬اينشتين ان يكون ‪ ، μ ≤ 0‬ويكون هذا التوزيع كما يلي‪:‬‬ ‫وعموما ‪ ،‬يكون عدد الجسيمات كما يلي‪:‬‬ ‫وعندما تتناقص ‪ T‬فإن ‪ μ‬تزداد حتى تصل الى الصفر ‪ ،‬وفي هذه الحالة يكون عدد الجسيمات كما يلي‪:‬‬ ‫وهنا يحدث تكاثف بوز – اينشتين ‪ ،‬ولذلك‪ ،‬عند درجة الحرارة المنخفضة ‪ ،‬ويمكن اعتبار نظام بوز‬ ‫كنظام له ‪ ، μ = 0‬وعدد جسيماته غير محفوظة ( غير ثابتة) ‪.‬‬ ‫تكون طاقة هذا النظام كما يلي‪:‬‬ ‫وتكون السعة الحرارية كالتالي‪:‬‬ ‫‪238‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة الغاز الفوتوني ‪ ،‬حيث ‪ ، μ = 0‬تكون طاقة الفوتون ‪ ، ε = ℏω‬وكثافة الحاالت‬ ‫𝜔𝑑 ‪𝜔2‬‬ ‫‪𝜋2 𝑐 3‬‬ ‫‪ ،‬حيث ‪ c‬سرعة الضوء ‪ .‬وتكون كثافة الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (56‬يتكون غاز من ‪ N‬من البوزونات المتماثلة وغير متفاعلة ‪ ،‬بين ان ظاهرة تكثيف بوز‪ -‬اينشتين‬ ‫المستخدمة في نظام الغاز ثالثي األبعاد ‪ ،‬يمكن استخدامها في حالة الغاز ثنائي واحادي األبعاد ؟‬ ‫الحل‬ ‫بإختصار ‪ ،‬يحدث تكاثف بوز – اينشتين في حالة ‪ ، μ = 0 :‬ويكون عدد الجسيمات للغاز ثنائي األبعاد كما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫اذا كان ‪ ، μ = 0‬يكون التعبير السابق لعدد الجسيمات دالة متباعدة ‪ .‬ولذلك ‪ ، μ ≠ 0،‬وال يحدث تكاثف‬ ‫بوز – اينشتين في هذه الحالة ( ثنائي البعد) ‪.‬‬ ‫اما في حالة الغاز احادي البعد ‪ ،‬يكون عدد الجسيمات كما يلي‪:‬‬ ‫𝜖𝑑‬ ‫∞ 𝐿 𝑚𝜋‪√2‬‬ ‫∫‬ ‫𝜖 )‪(𝜖−𝜇)/𝑘𝑇 − 1‬‬ ‫‪2ℎ‬‬ ‫√‬ ‫𝑒( ‪0‬‬ ‫=𝑁‬ ‫اذا كان ‪ ، μ = 0‬يكون التكامل متباعدا ‪ ،‬ومرة اخرى ال يحدث تكاثف بوز‪ -‬اينشتين ‪.‬‬ ‫‪239‬‬ ‫)‪ (57‬غاز من الفوتونات محصور في حجم محدد ‪ ، V‬وفي حالة اتزان حراري عند درجة حرارة ‪ . T‬اذا‬ ‫كانت طاقة الفوتون ( عديم الكتلة) تساوي 𝑐𝑝 = ‪ ، ε‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬الجهد الكيماوي للغاز‬ ‫)‪ (b‬كثافة الفوتونات الحجمية‬ ‫)‪ (c‬اذا كانت كثافة الطاقة تعطى بالعالقة التالية‪:‬‬ ‫جد )‪ ρ(ω‬؟‬ ‫)‪ (d‬جد اإلعتماد الحراري لمعدل الطاقة لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬الجهد الكيماوي للغاز الفوتوني يساوي الصفر ‪ ،‬حيث يكون عدد الفوتونات غير ثابتا عند اي من درجة‬ ‫الحرارة والحجم المعطيين ‪= 0 ،‬‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫𝑉‪𝑇,‬‬ ‫)̅𝑁𝜕( ‪ ،‬اذن‬ ‫𝐹𝜕‬ ‫‪μ= ( ) =0‬‬ ‫𝑉‪̅ 𝑇,‬‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫)‪ (b‬حيث يمكن تعريف كثافة عدد الحاالت كما يلي ‪:‬‬ ‫𝑝𝑑 ‪8𝜋𝑉𝑝2‬‬ ‫‪ℎ3‬‬ ‫‪ ،‬او‬ ‫𝜔𝑑 ‪𝑉𝜔2‬‬ ‫‪𝜋2 𝑐 3‬‬ ‫يكون عدد الفوتونات كما يلي‬ ‫)‪ (c, d‬يكون معدل الطاقة لوحدة الحجم كما يلي‪:‬‬ ‫‪240‬‬ ‫حيث 𝑇𝑘‪. ξ = ℏω/‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫ونالحظ ان معدل الطاقة يكون كما يلي‬ ‫)‪ (a) (58‬اثبت ان للغاز المثالي تكون العالقة بين الضغط وكثافة الطاقة الحجمية كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (b‬بإستخدام العالقة في الفرع )‪ (a‬وقوانين الديناميكا الحرارية ‪ ،‬جد اعتماد كثافة الطاقة على درجة‬ ‫الحرارة لهذه النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬كثافة الحاالت ‪:‬‬ ‫حيث ‪ α ،‬ثابت ‪.‬‬ ‫لنفرض ان دالة تجزئة النظام هي ‪ . Ξ‬لذلك ‪ ،‬بإستخدام لوغارتم دالة التجزئة ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫كما نحصل على الضغط ‪،‬‬ ‫)‪ (b‬في اإلشعاع الحراري ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫وبإستخدام القنون األول والثاني في الديناميكا الحرارية ‪ ،‬اي‬ ‫‪241‬‬ ‫نجد ان ‪،‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون كثافة الطاقة الحجمية كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ‪ γ‬ثابت‪.‬‬ ‫)‪ (59‬لنفرض ان مكعبا طول ضلعه ‪ ، L‬مفرغا من الداخل ‪ ،‬وجدرانه محفوظة عند درجة حرارة ‪ ، T‬في‬ ‫حالة اتزان حراري مع مجال اشعاع كهرومغناطيسي في الداخل ‪ ،‬جد ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬معدل الطاقة الكهرومغناطيسية لكل وحدة حجم ضمن فترة التردد ]𝜔𝑑 ‪ [𝜔, 𝜔 +‬؟‬ ‫)‪ (b‬اإلعتماد الحراري لهذا المعدل ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬معدل الطاقة الكهرومغناطيسية في مدى الزخم ]𝑝𝑑 ‪: [𝑝, 𝑝 +‬‬ ‫حيث الضرب بالمعامل )‪ (2‬يعود الى حالتي اإلسنقطاب للموجة الكهرومغناطيسية ‪. 𝑉 = 𝐿3 ،‬‬ ‫وزخم الفوتون ‪. 𝑝 = ℏ𝜔/𝑐 :‬‬ ‫اما معدل الطاقة الكهرومغناطيسية ضمن الفترة ]‪: [ω ، ω + dω‬‬ ‫تكون كثافة الطاقة لوحدة الحجم كما يلي‪:‬‬ ‫‪242‬‬ ‫)‪ (b‬بتكامل العالقة األخيرة في الفرع )‪ ، (a‬نحصل على كثافة الطاقة الكلية لوحدة الحجم ‪:‬‬ ‫حيث‬ ‫𝜔‪ℏ‬‬ ‫𝑇𝑘‬ ‫=𝑥‪.‬‬ ‫)‪ (a) (60‬برهن ان عدد الفوتونات الموجودة في فجوة حجمها ‪ V‬وفي حالة اتزان حراري عند درجة‬ ‫حرارة ‪ T‬تكون كما يلي‬ ‫‪𝑘𝑇 3‬‬ ‫]‬ ‫𝑐‪ℏ‬‬ ‫[ 𝑉𝛼 = 𝑁‬ ‫حيث 𝛼 ثابت عددي ‪.‬‬ ‫)‪ (b‬استخدم نتيجة الفرع )‪ (a‬إليجاد سعة حرارة هذا النظام بثبات الحجم ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬كثافة الحاالت للغاز الفوتوني ‪:‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫)‪ (b‬كثافة الطاقة ‪:‬‬ ‫اذن ‪→ 𝐶𝑣 ∝ 𝑇 3 ،‬‬ ‫‪𝑢 ∝ 𝑇4‬‬ ‫)‪ (61‬تخيل ان الكون عبارة عن فجوة كروية نصف قطرها ‪ ، 9915 cm‬على فرض ان جدران هذه الفجوة‬ ‫غير منفذة ‪.‬‬ ‫‪243‬‬ ‫)‪ (a‬اذا كانت درجة الحرارة داخل هذه الفجوة ‪ ، 3 K‬اعط تقديرا لعدد الفوتونات في الكون وكذلك الطاقة‬ ‫المحتواة في هذه الفوتونات ؟‬ ‫)‪ (b‬اذا كانت درجة حرارة الكون ‪ 0 K‬والكون يحوي على ‪ 1080‬الكترون بتوزيع فيرمي ‪ ،‬احسب زخم‬ ‫فيرمي لهذه اإللكترونات ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬عدد الفوتونات ضمن مدى السرعة الزاوية }𝜔𝑑 ‪: {𝜔 , 𝜔 +‬‬ ‫بالتكامل نجد العدد الكلي للفوتونات ‪ ،‬ويكون كما يلي‪:‬‬ ‫الطاقة الكلية ‪:‬‬ ‫)‪ (b‬زخم فيرمي لإللكترونات ‪:‬‬ ‫)‪ (62‬يتكون نظام كمي غازي من جسيمات فيرمي عند درجة حرارة ‪ ، T‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬دالة احتمالية وجود ‪ n‬من الجسيمات قي الحالة المنفردة للجسيم كدالة لمتوسط رقم اإلشغال ⟩𝑛⟨ ؟‬ ‫)‪ (b‬جذر معدل مربع عدد الجسيمات ( التقلب في عدد الجسيمات ) ‪ -‬اإلنحراف المعياري‪ -‬؟‬ ‫‪244‬‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬لنفرض ان ‪ ε‬طاقة حالة الجسيم المنفرد ‪ ،‬تكون دالة التجزئة للنظام كما يلي‪:‬‬ ‫متوسط رقم اإلشغال ‪:‬‬ ‫دالة أإلحتمالية ‪:‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫بيانيا ‪:‬‬ ‫)‪ (63‬في حالة غاز الكتروني مثالي ‪ ،‬اذا كان عدد الجسيمات التي تشغل حالة انفرادية بطاقة ‪ Ei‬كما يلي‬ ‫جد عالقة رياضية تعطي قيمة ‪ μ‬بداللة كثافة الجسيمات ‪ n‬؟‬ ‫الحل‬ ‫‪245‬‬ ‫نفرض ان 𝑇𝑘‪ ، 𝑥 = 𝜀 ⁄‬تكون كثافة عدد الجسيمات ‪:‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫اذن ‪ ،‬تكون العالقة المطلوبة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (64‬اذا كان لديك نظاما مكونا من ‪ 4.2 × 1021‬الكترونا ‪ ،‬ومحصورا في صندوق حجمه ‪، 1 cm3‬‬ ‫)‪ (a‬احسب قيمة متجه فيرمي ؟‬ ‫)‪ (b‬جد طاقة فيرمي لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬عدد الجسيمات الكلي ‪:‬‬ ‫طول موجة فيرمي ‪:‬‬ ‫طاقة فيرمي‪:‬‬ ‫)‪ (65‬احسب معدل طاقة الجسيم في نظام غاز فيرمي عند درجة حرارة ‪ ، T = 0‬اذا كانت سرعة‬ ‫الجسيمات غير نسبية ‪ ،‬وفي حالة كون هذه السرعة نسبية ؟‬ ‫‪246‬‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬في الحالة غير النسبية ‪ ،‬اي‬ ‫𝑚‪𝑝 ≪ 𝑚𝑐 → 𝜀 = 𝑝2 ⁄2‬‬ ‫تكون كثافة الحاالت كما يلي‪:‬‬ ‫𝜀√ ∝ )𝜀(𝐷‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون معدل الطاقة كما يلي‪:‬‬ ‫حيث 𝐹‪ ε‬طاقة فيرمي للجسيم‪.‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة السرع النسبية ‪ ،‬يكون‬ ‫𝑐𝑝 = 𝜀 → 𝑐𝑚 ≫ 𝑝‬ ‫وتكون كثافة الحاالت ‪:‬‬ ‫‪𝐷(𝜀) ∝ 𝜀 2‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬يكون متوسط الطاقة للجسيم كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (66‬جد كثافة الحاالت ‪ ، 𝐷(𝜖) ،‬كدالة لطاقة الجسيم في غاز الكتروني ذي بعد واحد ( استخدم الشروط‬ ‫الحدودية الدورية لسلسة خطية طولها ‪ . )L‬احسب طاقة فيرمي عند درجة الحرارة الصفرية لعدد ‪ N‬من‬ ‫جسيمات هذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫حيث طاقة الجسيم ‪:‬‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫= ‪ ، ϵ‬فإن‬ ‫‪247‬‬ ‫بما انه يوجد حالتين من اللف ( الغزل ) لكل الكترون ‪ ،‬لذلك ‪،‬‬ ‫𝑚‪2‬‬ ‫)‬ ‫𝜖‬ ‫او‪:‬‬ ‫عند درجة الحرارة‬ ‫(√‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪D(ϵ) = L‬‬ ‫‪ ، T = 0‬تكون جميع الحاالت التي طاقتها في المدى ] 𝐹𝜀 ‪ [0 ,‬مشغولة بإلكترونات ‪،‬‬ ‫اي ان‬ ‫بالتعويض واجراء التكامل ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫)‪ (67‬اذا كانت )𝐸(𝐷 تمثل كثافة الحاالت لمعدن ما ‪ ،‬وكانت 𝐹𝐸 تمثل طاقة فيرمي للنظام ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬جد العالقة التي تعطي عدد اإللكترونات الكلي في النظام بداللة 𝐹𝐸 ‪ ، 𝐷(𝐸) ،‬عند ‪ T=0‬؟‬ ‫)‪ (b‬اشتق عالقة تعطي عدد هذه اإللكترونات عند ‪ T ≠ 0‬بداللة الجهد الكيماوي ‪D(E) ،µ‬‬ ‫؟‬ ‫)‪ (c‬احسب اإلعتماد الحراري على الجهد الكيماوي عند درجة الحرارة المنخفضة ‪ ،‬اي 𝑇𝑘 ≫ ‪. μ‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫استخدم التكامل التالي‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫كثافة الحاالت ‪:‬‬ ‫‪248‬‬ ‫)‪ (a‬عند ‪ ، T=0‬فإن عدد اإللكترونات الكلي ‪:‬‬ ‫)‪ (b‬عند ‪ ، 𝑇 ≠ 0‬فإن عدد اإللكترونات الكلي يكون ‪:‬‬ ‫‪ ، μ ≫ kT‬فإن‪:‬‬ ‫)‪ (c‬في حالة درجة الحرارة المنخفضة ‪ ،‬حيث‬ ‫وعليه ‪ ،‬نجد ان‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫)‪ (68‬لنعتبر ان نموذج غاز فيرمي ينطبق على نواة الذرة ‪ ،‬حيث يفترض ان مكونات النواة ( النويات) في‬ ‫النواة الثقيلة تتحرك بإستقاللية في حجم كروي ‪ ، V‬بحيث تشابه حركة جسيمات غاز فيرمي المنحل تماما ‪.‬‬ ‫اذا كان العدد الكتلي للنواة )‪ (A‬يساوي مجموع عدد النيوترونات )‪ (N‬وعدد البروتونات )‪ ، (z‬وبفرض ان‬ ‫𝑁 = 𝑧 ‪ ،‬احسب الطاقة الحكية لكل نوية ‪) ،‬‬ ‫𝑛𝑖𝑘𝐸‬ ‫𝐴‬ ‫( ‪ ،‬حيث )‬ ‫‪4𝜋 𝑅03‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( 𝐴 = ‪R 0 = 1.4 × cm ، V‬‬ ‫‪10−13‬؟‬ ‫الحل‬ ‫في فضاء الزخم ‪ ،‬تكون كثافة عدد النيوترونات في مدى الزخم الخطي ]𝑝𝑑 ‪ [𝑝, 𝑝 +‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪249‬‬ ‫وبالتكامل ‪ ،‬نجد العدد الكلي لهذه النيوترونات ‪:‬‬ ‫(‪............)9‬‬ ‫حيث 𝐹𝑝 زخم فيرمي الخطي‪.‬‬ ‫الطاقة الحركية للنيوترونات ‪:‬‬ ‫(‪..........)1‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫(‪.............................)3‬‬ ‫بحل معادلتي (‪ )1( ، )9‬في الحجم ‪ ، V‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫(‪..................)4‬‬ ‫( على فرض ان ‪ . )ℏ = 1‬تعطي معادلة (‪ )4‬ما يلي‪:‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫‪250‬‬ ‫(‪ )67‬تعتبر النجوم البيضاء الصغيرة ‪ ، the white Dwarf Stars‬نظام غازي الكتروني منحل عند‬ ‫درجة حرارة منتظمة والتي تكوناقل بكثير من درجة فيرمي ‪ .‬كما يعتبر هذا النظام مستقرا ومقاوما‬ ‫لإلنهيار الناجم عن قوة الجاذبية طالما ان سرعة هذه اإللكترونات غير نسبية ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬جد كثافة اإللكترونات اذا كان زخم فيرمي يساوي ‪ ، 𝑝𝐹 = 0.1𝑚𝑒 𝑐 :‬حيث 𝑒𝑚 كتلة السكون‬ ‫لإللكترون ‪ 𝑐 ،‬سرعة الضوء ؟‬ ‫)‪ (b‬احسب ضغط الغاز اإللكتروني المنحل تحت هذه الشروط ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪(a‬‬ ‫يكون العدد الكلي لإللكترونات ( بإعتبار حالتي اللف ) كما يلي‪:‬‬ ‫وتكون كثافة هذا العدد كما يلي‪:‬‬ ‫وبالتعويض بقيم زخم فيرمي ‪ ،‬نجد ان‬ ‫)‪ (b‬في حالة غاز فيرمي المنحل بقوة ‪ ،‬نجد ان معدل طاقة اإللكترون كما يلي‪:‬‬ ‫ويكون ضغط هذا الغاز اإللكتروني كما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (70‬يتكون غاز منحل من ‪ N‬من اإللكترونات غير التفاعلة في حجم ‪ V‬وعند درجة حرارة ‪ . T‬جد ما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫‪251‬‬ ‫)‪ (a‬التعبير الرياضي بين الضغط والطاقة والحجم لهذا الغاز في الحالة النسبية المتطرفة ( مع اهمال كتلة‬ ‫اإللكترون )‪.‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة الغاز اإللكتروني الحقيقي ( حيث الكتلة ‪ ، )m‬جد الشرط الالزم تحقيقه على ‪V ، N‬‬ ‫حتى تبقى نتيجة الفرع )‪ (a‬صالحة ؟‬ ‫الحل‬ ‫تكون طاقة اإللكترون غير المتفاعل والمنحل كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ‪ ε‬طاقة اإللكترون الواحد ‪ 𝑝𝐹 ،‬زخم فيرمي لهذا اإللكترون ‪،‬‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫)‪ (a‬في الحالة النسبية المتطرفة ‪ ،‬اي ‪ ، ε = 𝑐𝑝 ،‬تكون طاقة النظام كما يلي‪:‬‬ ‫ويكون الضغط ‪:‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون معادلة الحالة كما يلي‬ ‫‪1‬‬ ‫𝐸‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪pV‬‬ ‫)‪(b‬في حالة اإللكترون الحقيقي ‪ ،‬نجد ان ‪:‬‬ ‫حيث ‪ p‬الزخم الخطي لإللكترون ‪ .‬وتكون طاقة النظام ‪:‬‬ ‫حتى تبقى نتيجة الفرع )‪ (a‬صالحة ‪ ،‬يجب ان يكون‬ ‫𝑐𝑚 ≫ 𝐹𝑝 ‪.‬‬ ‫‪252‬‬ ‫او‬ ‫يتحقق هذا الشرط ‪ ،‬في حالة ∞ → 𝑁 او ‪. V → 0‬‬ ‫)‪ (71‬يتكون نظاما ما من تجمع ازواج من اإللكترونات والبزوترونات وفوتونات في حالة اتزان ‪ ،‬اذاكان‬ ‫حجم الوعاء ‪ ،V‬ودرجة الحرارة ‪ ، T‬وعلى فرض ان اإلتزان يتأسس من التفاعل التالي ‪ ،‬والذي‬ ‫يحدث بمساعدة جدران الوعاء ‪،‬‬ ‫جد ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬الجهود الكيماوية لهذه الفيرمونات ؟‪:‬‬ ‫)‪ (b‬متوسط عدد األزواج من اإللكترونات – البزوترونات في النهايتين التاليتين ‪:‬‬ ‫‪, 𝑘𝑇 ≪ 𝑚𝑒 𝑐 2‬‬ ‫‪𝑘𝑇 ≫ 𝑚𝑒 𝑐 2‬‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬بشكل عام ‪ ،‬نفرض التفاعل التالي‪:‬‬ ‫𝐶 ‪ ، 𝐴 ↔ 𝐵 +‬وفي حالة اإلتزان ‪ ،‬تكون العالقة بين الجهود الكيماوية كما يلي‬ ‫بما ان جهد الفوتون الكيماوي يساوي صفرا ‪ ،‬لذلك ‪،‬‬ ‫بإستخدام خاصية التماثل للجسيم وضده ‪ ،‬نجد ان‬ ‫وهكذا ‪،‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة النهاية ‪𝑘𝑇 ≫ 𝑚𝑒 𝑐 2 :‬‬ ‫بإهمال كتلة اإللكترون ‪ ،‬تكون الطاقة النسبية التقريبية ‪ ،‬اي 𝑐𝑝~𝐸 ‪ ،‬نجد ان عدد اإللكترونات كما يلي‪:‬‬ ‫‪253‬‬ ‫اما في حالة النهاية ‪ ، 𝑘𝑇 ≪ 𝑚𝑒 𝑐 2 :‬فيمكن اهمال الرقم (‪ )9‬في مقام نوزيع فيرمي ‪ ،‬او‬ ‫لنجد ان طاقة البروتون تصبح كما يلي‪:‬‬ ‫ويكون عدد البروتونات او النيوترونات ‪:‬‬ ‫)‪ (72‬في المراحل األولى للكون ‪ ،‬يمكن اإلفتراض ان كتل الجيسيمات والجهد الكيماوي كميات مهملة‬ ‫بالنسبة للمقدار ‪ ، kT‬وبناء" عليه ‪ ،‬جد متوسط كثافة الطاقةلنظام مكون من الفيرمونات غير المتفاعلة ‪،‬‬ ‫في حالة اتزان حراري ؟‬ ‫الحل‬ ‫تكون الصورة الرياضية للتقريب المفروض في هذه المسألة كما يلي‪:‬‬ ‫‪𝜖 = 𝑝𝑐 ; 𝜇 ⁄𝑘𝑇 = 0‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫لنفرض ان 𝑇𝑘‪ ، 𝑥 = 𝑝𝑐⁄‬يكون متوسط عدد الجسيمات لكل وحدة حجم كما يلي‪:‬‬ ‫‪254‬‬ ‫ويكون متوسط كثافة الطاقة ‪:‬‬ ‫‪ρ = 𝑛ϵ‬‬ ‫اذن‪،‬‬ ‫)‪ (73‬اذا كانت السعة الحجمية لنظام ما تعطى بداللة متوسط طاقة هذا النظام كما يلي‬ ‫⟩𝐸⟨𝜕‬ ‫)‬ ‫𝑉‪𝜕𝑇 𝑁,‬‬ ‫( = 𝑣𝐶‬ ‫استخدم فكرةالطاقم اإلحصائي القانوني لبرهان ما يلي‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫دالة التجزئة لهذا الطاقم ‪:‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)‪ (74‬اعتبر نظام كالسيكي مكون من حالتين من مستويات الطاقة المنفصلة ‪ ،‬وذات الطاقات‪، E0 E1 :‬‬ ‫جد‬ ‫)‪ (a‬العالقة بين السعة الحرارية و ومشتقة دالة التجزئة ؟‬ ‫)‪ (b‬دالة التجزئة ‪ ،‬والسعة الحرارية بداللة طاقة المستويات لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫‪255‬‬ ‫نستخدم دالة هلمهولتز بداللة دالة التجزئة ‪:‬‬ ‫𝑍 𝑛𝑙 𝑇𝑘‪𝐹 = −‬‬ ‫ومن العالقات الديناميكا الحرارية ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫اذن‬ ‫)‪(b‬‬ ‫)‪ (75‬يتكون نظام ما من ذرتين ‪ ،‬حيث كل ذرة لها حاالت طاقة كمية كما يلي ‪ . 0, ϵ, 2ϵ :‬فاذا كان النظام‬ ‫في اتصال مع حافظ حراري عند درجة حرارو ‪ . T‬جد دالة التجزئة لهذا النظام اذا كانت الجسيمات تتبع‬ ‫الحاالت اإلحصائية التالية ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬اإلحصاء التقليدي للجسيمات الميزة‬ ‫)‪ (b‬اإلحصاء التقليدي للجسيمات غير المميزة‬ ‫‪256‬‬ ‫)‪ (c‬إحصاء فيرمي – ديراك‬ ‫)‪ (d‬أحصاء بوز – اينشتين‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬حيث ‪ ، N=2‬نجد ان دالة تجزئة الجسيم المنفرد كما يلي ‪:‬‬ ‫𝜖𝛽‪z = 1 + 𝑒 −𝛽𝜖 + 𝑒 −2‬‬ ‫‪𝑍𝑎 = 𝑧 2‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫‪𝑍𝑏 = 𝑍𝑎 ⁄2‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫𝜖𝛽‪Z𝐹𝐷 = z 𝑒 −‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫) 𝜖𝛽‪Z𝐵𝐸 = z(1 + 𝑒 −2‬‬ ‫)‪ (76‬يتكون نظام من جسيمين متماثلين ‪ ،‬ويمكن ألي منهما التواجد في اي من مستويات الطاقة التالية ‪:‬‬ ‫… ‪ ، ε𝑛 = 𝑛𝜖 ; 𝑛 = 0,1,2‬فاذا كانت طاقة الحالة األرضية ‪ ، ϵ0 = 0‬وذات انحالل يساوي ‪، 1‬‬ ‫جد دالة التجزئة وطاقة النظام في الحاالت التالية ‪:‬‬ ‫)‪ (a‬الجسيمات تخضع إلحصاء فيرمي – ديراك‬ ‫)‪ (b‬الجسيمات تخضع إلحصاء بوز – اينشتين‬ ‫‪ (c‬إحصاء ماكسويل – بولتزمان للجسيمات المميزة‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يمثل هذا النظام الطاقم اإلحصائي القانوني ‪ ،‬وتكون دالة التجزئة كما يلي‪:‬‬ ‫حيث 𝑛‪ ω‬انحاللية مستوى الطاقة ‪. n‬‬ ‫)‪ )a‬في حالة احصائية فيرمي‪ -‬ديراك ‪:‬‬ ‫‪257‬‬ ‫ويكون توزيع الجسيمات كما في الشكل التالي‪:‬‬ ‫)‪ (b‬في حالة احصاء بوز‪ -‬اينشتين‪:‬‬ ‫)‪ (c‬اما في حالة احصاء ماكسويل‪ -‬بولتزمان (الجسيمات مميزة) ‪:‬‬ ‫‪258‬‬ ‫)‪ (77‬اعتبر تجمعا ما من ‪ N‬من انظمة ذات مستويين من الطاقة وفي حالة اتزان حراري عند درجة حرارة‬ ‫‪ ، T‬فاذا كان لكل نظام حالتين هما ‪ :‬األرضية ( طاقة صفر ) ‪ ،‬و المثارة ( طاقة ‪ ، ) ϵ‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬احتمالية تواجد اي نظام في الحالة المثارة ؟‬ ‫)‪ (b‬انتروبيا هذا التجمع ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬األحتمالية ‪:‬‬ ‫𝑇𝑘‪; 𝑧 = 1 + 𝑒 −𝜖/‬‬ ‫𝑇𝑘‪1 −𝜖/‬‬ ‫𝑒‬ ‫𝑧‬ ‫اذن‪،‬‬ ‫ويمكن تمثيل هذه العالقة بيانيا كما يلي‬ ‫)‪ (b‬حيث ان ‪:‬‬ ‫تكون اإلنتروبيا كما يلي‪:‬‬ ‫‪259‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫)‪ (78‬يتكون نظام ما من ‪ N‬جسيما ‪ ،‬والتي تخضع إلحصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ .‬اذا كان لكل جسيم امكانية التواجد في اي‬ ‫‪ ،‬و كانت هذه المستويات غير منحلة ‪ ،‬و النظام متالمسا مع‬ ‫من مستويات الطاقة الثالثة والتي طاقتها كما يلي ‪−𝐸, 0, +𝐸 :‬‬ ‫خزان حراري عند درجة حرارة ‪ ، T‬جد ما يلي‪:‬‬ ‫)‪ (a‬انتروبيا النظام عند ‪ (b) . 𝑇 = 0‬انتروبيا النظام العظمى ؟‬ ‫)‪ (c‬طاقة النظام الصغرى ؟‬ ‫)‪ (d‬دالة تجزئة النظام ؟‬ ‫)‪ (e‬الطاقة األكثر احتماال للنظام ؟‬ ‫)‪ (f‬اذا كانت السعة الحرارية للنظام )‪ ، C(T‬فما قيمة‬ ‫𝑇𝑑)𝑇(𝐶 ∞‬ ‫𝑇‬ ‫‪ ∫0‬؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬عند ‪ ، T=0‬فإن‬ ‫‪S(0)= 0‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫)‪ (c‬الطاقة الصغرى الممكنة للنظام هي ‪) -NE ( :‬‬ ‫)‪ (d‬دالة التجزئة ‪:‬‬ ‫)‪ )e‬اذا كان ‪ ، 𝑁 ≫ 1‬فإن الطاقة األكثر احتماال تساوي معدل طاقة النظام ‪ ،‬اي‬ ‫‪260‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫𝑇𝑘‪𝑎 = 𝑒 𝐸/‬‬ ‫)‪(f‬‬ ‫)‪ (79‬جد متغيرات الديناميكا الحرارية لنظام غازي تقليدي مكون من جسيمات غير مميزة ‪ ،‬ويخضع‬ ‫إلحصاء ماكسويل – بولتزمان ‪ ،‬على اعتبار نهاية السرعة النسبية ( حيث طاقة الجسيم تعطى بداللة الزخم‬ ‫الخطي ‪ = 𝑐 ، 𝜀 = 𝑝𝑐 :‬سرعة الضوء ‪.‬؟‬ ‫الحل‬ ‫لنفرض ان ‪ z‬دالة التجزئة للجسيم المنفرد ‪ Z ،‬دالة التجزئة للنظام ‪ ،‬وعليه ‪،‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫يكون ضغط النظام كما يلي‪:‬‬ ‫وتكون انتروبيا النظام ‪:‬‬ ‫‪261‬‬ ‫وتكون الطاقة الداخلية للجسيم الواحد ‪:‬‬ ‫)‪ (80‬جد دالة التجزئة لذرة ( بدون لف ‪ ) spinless‬وتتحرك في حجم ‪ ، V = L3‬ثم عبر عن هذه النتيجة‬ ‫بداللة ما يسمى التركيز الكمي ‪:‬‬ ‫‪𝑀𝑘𝑇 3/2‬‬ ‫)‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫( = 𝑞𝑛‬ ‫؟‬ ‫الحل‬ ‫قيم الطاقة الخاصة ( حل معادلة شرودنجر لجسيم في مكعب ) ‪:‬‬ ‫حيث ‪ ، 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 = 0, ±1, … … ،‬فيمكن اعتبار ان مستويات الطاقة شبه متصلة ‪ .‬وعليه ‪ ،‬يكون‬ ‫عدد الحاالت الكمية ضمن المدى 𝑝𝑑 ‪ 𝑝, 𝑝 +‬يساوي‬ ‫𝑝𝑑 ‪𝑝2‬‬ ‫𝑉𝜋‪4‬‬ ‫‪ℎ3‬‬ ‫‪ ،‬بينما يكون‬ ‫عدد حاالت الطاقة في المدى 𝜖𝑑 ‪ ϵ, 𝜖 +‬كما يلي‪:‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون دالة التجزئة كالتالي‪:‬‬ ‫)‪ (81‬يتكون غاز مثالي تقليدي من ‪ N‬من الذرات ( عديمة اللف) والتي تشغل حجم ‪ V‬عند درجة حرارة‬ ‫‪ . T‬اذا كان لكل ذرة مستويين من الطاقة منفصلة بمقدار ∆ من وحدات الطاقة ‪ .‬جد متغيرات الديناميكا‬ ‫الحرارية لهذا النظام ؟‬ ‫الحل‬ ‫بما ان النظام يحقق شرط عدم اإلنحاللية ‪ ،‬نكون دالة التجزئة المنفردة كما يلي‪:‬‬ ‫‪262‬‬ ‫حيث ‪. ϵ2 = ϵ1 + ∆ :‬‬ ‫وتكون دالة تجزئة النظام الكلية ‪:‬‬ ‫الطاقة الحرة ( طاقة هلمهولتز الحرة ) ‪:‬‬ ‫الجهد الكيماوي ‪:‬‬ ‫الضغط ‪:‬‬ ‫انتروبيا النظام ‪:‬‬ ‫السعة الحرارية (مع ثبات الضغط ) ‪:‬‬ ‫‪263‬‬ ‫)‪ (82‬يتكون غاز مثالي من ‪ N‬من الجسيمات ‪ ،‬كتلة كل منهما ‪ ، m‬ومحصورة في حجم ‪ V‬عند درجة حرارة‬ ‫‪ ،T‬بإعتبار ان هذه الجسيمات غير مميزة ‪ ،‬استخدم التقريب التقليدي لدالة التجزئة إليجاد الجهد الكيماوي‬ ‫لهذا الغاز ؟‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫دالة التجزئة التقليدية ‪:‬‬ ‫من تعريف طاقة جبس ‪ ،‬نجد ان‪:‬‬ ‫)‪ (83‬اذا تم امتصاص الغاز المثالي ( في السؤال ‪ ) 51‬بواسطة سطح مساحته ‪ ، A‬بحيث نتج عن ذلك غاز‬ ‫‪𝑝2‬‬ ‫مثالي يتحرك في بعدين وعند درجة حرارة ‪ . T‬فاذا كانت طاقة الجسيم الممتص ‪ϵ = 2𝑚 − 𝜖0 :‬‬ ‫‪ 𝜖0‬طاقة الربط السطحية لكل جسيم ‪ ،‬جد الجهد الكيماوي للغاز الممتص ؟‬ ‫الحل‬ ‫دالة التجزئة للغاز المثالي في بعدين ‪:‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫‪264‬‬ ‫‪ ،‬حيث‬ ‫)‪ (84‬جد جذر متوسط مربع التقلب في عدد الفوتونات ( اإلنحراف المعياري) في نمط (حالة ) التردد ‪، ω‬‬ ‫اذا كانت هذه الفوتونات محصورة في فجوة مستطيلة ذات جدران موصلة ‪ ،‬ثم قارن هذه النتيجة مع متوسط‬ ‫عدد الفوتونات في هذا النمط ؟‬ ‫الحل‬ ‫لنعتبر نمط ما من الفوتونات بتردد ‪ ، ω‬و لنفرض ان من الممكن ان يشغل هذا النمط بعدد من الفوتونات ‪:‬‬ ‫‪ . n=0,1,2…..‬وعليه ‪ ،‬يكون متوسط عدد الفوتونات كما يلي‪:‬‬ ‫حيث ‪ ، 𝜆 = ℏ𝜔⁄𝑘𝑇 :‬ودالة التجزئة هي‪:‬‬ ‫اذن ‪،‬‬ ‫)‪ (85‬يتكون سطح مكثف من ‪ N‬من المواقع ‪ ،‬بحيث يكثف كل موقع جزئ واحد فقط من غاز مثالي ‪ .‬اذا‬ ‫كان هذا السطح في اتصال مع غاز مثالي له جهد كيماوي ‪ μ‬وكانت طاقة الجزئ المكثف ‪ −𝜖0‬مقارنة مع‬ ‫الجزئ الحر ‪ .‬جد‪:‬‬ ‫)‪ (a‬دالة التجزئة القانونية الكبيرة ؟‬ ‫)‪ (b‬نسبة عدد الجزيئات المتكثفة الى عدد المواقع المكثفة على هذا السطح ؟‬ ‫الحل‬ ‫)‪ (a‬لنفرض ان ‪ N1‬عدد الجزيئات المتكثفة على السطح ‪ ،‬يكون عدد الهيئات المختلفة الممكنة كما يلي‪:‬‬ ‫‪265‬‬ ‫وعليه ‪ ،‬تكون الصورة الرياضية لدالة التجزئة القانونية الكبيرة كما يلي‪:‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫لنفرض ان ‪ ، α = − 𝜇 ⁄𝑘𝑇 :‬لذلك تكون النسبة المطلوبة كما يلي‬ ‫‪ - II‬ملحق رياضي ‪Mathematical Appendix‬‬ ‫‪266‬‬ ‫)‪ (a‬دالة جاما ‪Gamma Function‬‬ ‫تكامالت بداللة دالة جاما‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫)‪ (b‬دالة بيتا ‪Beta Function‬‬ ‫‪267‬‬ ‫حيث ‪،‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫)‪ (c‬قانون ستيرلنج للمضروب ‪Stirling’s Formula‬‬ ‫حيث ‪. 𝑣 ≫ 1‬‬ ‫عمليا ‪:‬‬ ‫)‪ (d‬دالة ديراك ‪Dirac 𝛿 - Function‬‬ ‫دالة توزيع جاوس ‪:‬‬ ‫حيث ‪:‬‬ ‫الرسم البياني للدالة ‪:‬‬ ‫‪268‬‬ ‫الرسم البياني لدالة توزيع جاوس‪.‬‬ ‫تعرف هذه الدالة بدالة ديراك ‪ ،‬ومن خصائصها ما يلي‪:‬‬ ‫الصورة التكاملية لهذه الدالة في فضاء – ‪: k‬‬ ‫)‪ (e‬حجم ومساحة كرة نصف قطرها نوني أإلبعاد‬ ‫‪n- dimensional Sphere of Radius R‬‬ ‫يعبر عن العنصر الحجمي في الفضاء النوني ‪ ، 𝑑𝑉𝑛 ،‬كما يلي‪:‬‬ ‫اما الحجم ‪:‬‬ ‫‪269‬‬ ‫او‬ ‫حيث ‪ 𝐶𝑛 ،‬ثابت ويعتمد على ابعاد الفضاء ‪.‬‬ ‫لنفرض ان )𝑅( 𝑛𝑆 يمثل سطح تلك الكرة ‪ ،‬تكون العالقة بين عنصر الحجم ومساحة السطح لهذه الكرة‬ ‫كما يلي‬ ‫لحساب 𝒏𝑪 ‪:‬‬ ‫نستخدم التكامل التالي‬ ‫بضرب ‪ n‬من هذه التكامالت ‪ ،‬واحد لكل 𝑖𝑥 ‪ ،‬نحصل على التالي‪:‬‬ ‫( مع اعتبار ‪ α‬تساوي ‪. )9‬‬ ‫وعليه ‪،‬‬ ‫ويكون الحجم ومساحة ذلك السطح الكروي كما يلي‬ ‫‪270‬‬ References ‫المراجع‬ (1) R.H. Pathria , and Paul D . , Beale , Statistical Mechanics, 3rd Edition, Elsevier, USA, (2011). (2) W. Greiner, L. Neise, and H. Stoker, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer , New York , (1994). (3) Kerson Huang, Introduction to Statistical Physics, Taylor and Francis Inc., London, (2001). (4) Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill Inc., USA, (1965). (5) Silvio Salinas , Solution Manual for Introduction to Statistical Physics, New York, (2001). (6) Lim Yung Kuo, Problems and solutions of Thermodynamics and Statistical Mechanics, World Scientific Publishing Co. , Pte. Ltd., (1990). (7) Peter Bl𝑢̈ mler, University of Kent at Canterbury, Course PH 605, entitled: “Thermal and Statistical Physics”. (8) W. David McComb. , Study notes for Statistical Physics, 1st Edition, Bookboon.com , (2015). 271 (9) Dalvit Diago A.R, J. Frastia , and I.D. Lawrie, Problems on Statistical Mechanics, Institute of Physics Publishing, Philadelphia, PA , (1999). (10) Ryogo Kubo , Statistical Mechanics, North- Holland Publishing Company , Amsterdam, (1964). (11) Donald A. McQuarie , Statistical Mechanics, Harper & Row Publishers, New York. (12) David Tong, Statistical Physics, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, Cambridge, UK. :‫المراجع العربية‬ ‫ دار صفاء للنشر‬، ‫ الطبعة األولى‬، ‫ الديناميكا الحرارية والميكانيك اإلحصائي‬، ‫( مناف عبد حسن‬13) . )1994( ‫ األردن‬-‫ عمان‬، ‫والتوزيع‬ – ‫ الظهران‬، ‫ جامعة البترول والمعادن‬، ‫ مبادئ اساسية في الفيزياء اإلحصائية‬،‫) ابراهيم محمود ناصر‬14( .)1998(، ‫السعودية‬ 272

الميكانيكا الإحصائية

Products

Support

الميكانيكا الإحصائية

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib