Aliran Fluida Internal dan Eksternal Ainul Ghurri 2015
Aliran Fluida
Internal dan Eksternal
Ainul Ghurri Ph.D.
Jurusan Teknik Mesin
Universitas Udayana
2 0 1 5
Aliran Fluida
Internal dan Eksternal
Ainul GhurriPh.D.
Hak Cipta  2015 oleh Jurusan Teknik Mesin –
Universitas Udayana.Dilarang mereproduksi
dan mendistribusi bagian dari publikasi ini
dalam bentuk maupun media apapun tanpa
seijin Jurusan Teknik Mesin – Universitas
Udayana.
Dipublikasikan dan didistribusikan oleh Jurusan Teknik Mesin – Universitas
Udayana, Kampus Bukit Jimbaran, Bali 80362, Indonesia.
i
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat ide,
pengetahuan dan kekuatan yang diberikanNYA maka penulisan buku diktat “Aliran Fluida
Internal dan Eksternal” ini dapat terselesaikan.
Diktat ini bisa dikatakan merupakan kumpulan dari penggalan-penggalam materi kuliah
mekanika fluida khususnya Mekanika Fluida 2, yang disusun dari berbagai sumber materi
antara lain buku teks, handbook, jurnal ilmiah dan diperkaya denganhasil penelitian. Pada
bagian materi presentasi/handout meskipun pada dasarnya merupakan versi untuk
pemaparan dalam perkuliahan, namun kadang-kadang juga merupakan bagian yang
memperkaya isi diktat.
Diktat ini masih jauh dari ideal, baik secara materi maupun dalam detail penjelasan dan
perincian sub-babnya. Kami berharap dapat melaksanakan pembaruan dalam waktu dekat di
masa mendatang. Kami berterima kasih kepada dosen-dosen dalam grup pembelajaran
Mekanika Fluida, dan kepada pihak jurusan yang telah membantu penerbitan diktat ini.
Terakhir, semoga diktat ini memberi manfaat terutama bagi mahasiswa sebagai materi
pembuka cakrawala pengetahuan tentang mekanika fluida baik secara teori dan praktis.
Denpasar, 23 Desember 2015
Penulis,
Ainul Ghurri Ph.D.
ii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar
ii
Daftar Isi
iii
Bab 1
Analisis Dimensional dan Keserupaan Dinamik
1.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik
1
1.2. Teori BUCKINGHAM PI
3
1.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π)
4
Bab 2
Aliran Internal
2.1. Pengertian
11
2.2. Penerapan Fully Developed Laminar Flow
12
2.3. Perubahan Energi Aliran Dalam Pipa Sirkular
19
2.4. Perhitungan Head loss
20
2.5. Penyelesaian Problem-Problem Aliran Dalam Pipa
21
2.6. Pengukuran Aliran
27
Bab 3
Aliran Eksternal
3.1. Pengertian
34
3.2. Ketebalan Lapisan Batas (Boundary layer)
34
3.3. Persamaan Integral Momentum
37
3.4. Pressure Gradient Dalam Viscous – Boundary Layer Flows
39
3.5. Aliran Fluida Melalui Benda Penghalang (Fluid flow about bluff bodies)
40
iii
3.6. Contoh-Contoh Pemanfaatan Gaya Angkat dan Gaya Hambat
Bab 4
43
Aliran Fluida Kompresibel
4.1. Review Termodinamika
45
4.2. Kecepatan Suara
47
4.3. Tipe-Tipe Aliran &Mach Cone
49
4.4. Keadaan Referensi: Local Isentropic Stagnation Properties
50
4.5. Aliran Fluida Kompresibel 1-Dimensi
52
4.6. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Gaya Gesek
59
4.7. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Pertukaran Kalor
60
4.8. Normal Shock (Gelombang Kejut Normal/Tegak Lurus)
62
Handout/Materi Presentasi Perkuliahan
[92 hal]
iv
Bab 1
ANALISIS DIMENSIONAL
dan KESERUPAAN DINAMIK
Dalam bidang keteknikan, metode penyelesaian atau pemecahan masalah pada umumnya
mempergunakan tiga metode meliputi:
1. Analitis
Pendekatan ini merupakan pendekatan secara teoritis dan matematis. Pendekatan ini banyak
melibatkan asumsi-asumsi yang sebenarnya merupakan faktor signifikan. Contoh: analisis
control volume dan persamaan Fluida Sempurna yang mengabaikan gravitasi atau friksi
(karena tidak terjangkau oleh pendekatan teoritis).
2. Empiris atau Eksperimental
Pendekatan ini lebih menitikberatkan pada pengukuran, pengumpulan data lalu dianalisis
mempergunakan persamaan yang ada, baik persamaan teoritis maupun empiris.
3. Kombinasi antara Analitis-Empiris.
4.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik
Problem-problem dalam Mekanika Fluida, dan engineering pada umumnya melibatkan geometri dan
parameter-parameter
aliran
yang
kompleks
sehingga
menimbulkan
kesulitan
pengujian
eksperimental, meliputi:
Banyaknya variabel atau parameter yang harus dikontrol.
Pelaksanaan pengujian harus memiliki keserupaan dinamik (keserupaan model dan keadaan
aliran) antara model yang diuji dengan prototipe benda uji.
Keserupaan dinamik berarti:
1. Terdapat keserupaan geometris.
2. Perbandingan tekanan-tekanan dinamik pada titik-titik yang berkesesuaian adalah konstan.
3. Garis-garis alirannya secara geometris serupa.
Ilustrasi
Anda diminta menganalisis gaya hambat drag sebuah profil bola yang ditempatkan dalam
sebuah aliran yang uniform. Berapa banyak eksperimen yang harus dilakukan untuk
menentukan gaya hambat tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus
mengidentifikasi parameter-parameter penting yang mempengaruhi gaya hambat.
Gaya hambat sebuah objek/benda tergantung pada parameter-parameter berikut: dimensi
bola (dinyatakan sebagai diameter, D); kecepatan alir fluida,V; viskositas, µ; dan
densitas, ρ. Gaya hambat, F, kita rumuskan sebagai berikut:
F = f (D, V, µ, ρ)
Persamaan atau fungsi tersebut mengandung parameter-parameter yang dapat dikontrol
dan diukur dalam eksperimen laboratorium. Sedangkan parameter lain yang penting
seperti kekasaran permukaan kita abaikan karena menyulitkan dalam
memformulasikannya dalam persamaan.
Sekarang, bayangkan kita akan melakukan serangkaian eksperimen untuk mengetahui
ketergantungan F terhadap D, V, µ, dan ρ. Setelah peralatan percobaan selesai dibuat,
eksperimen segera dimulai. Untuk mendapatkan grafik F vs V pada nilai D, µ, dan ρ yang
tetap, misalnya kita menguji sebanyak 10 nilai V. Untuk mengetahui pengaruh diameter,
D, kita membutuhkan 10 diameter yang berbeda. Jika prosedur ini diberlakukan juga
untuk 10 nilai µ dan ρ secara bergiliran, secara sederhana kita tahu bahwa kita
membutuhkan 104 pengujian yang berbeda. Jika setiap pengujian membutuhkan waktu ½
jam dan kita bekerja 8 jam sehari, secara keseluruhan pengujian membutuhkan waktu 2 ½
tahun. Kita juga mengalami kesulitan dalam mempresentasikan data. Untuk memplotkan
grafik F vs V dengan D sebagai parameter untuk tiap kombinasi µ dan ρ, dibutuhkan 100
grafik. Jadi, untuk mengatasi kerumitan ini apa yang harus dilakukan?
Untuk mengatasi hal tersebut diatas maka dipergunakan analisis dimensional untuk
mengurangi jumlah variabel yang dikontrol (mengurangi jumlah pengujian) dan
menghasilkan keserupaan dinamik.
Seluruh data untuk gaya hambat, F, tersebut dapat diplotkan sebagai hubungan fungsional
antara 2 parameter nondimensional dalam bentuk:
 ρVD 
F

= f 
2
2
ρV D
 µ 
Fungsi tersebut memang masih harus diuji secara eksperimental. Akan tetapi kita bisa
mengurangi keharusan melaksanakan 10000 eksperimen menjadi 10 eksperimen saja,
waktu yang dihemat sangat besar, dan kita tidak perlu mencari fluida dengan 10 macam µ
dan ρ, tidak juga harus menggunakan 10 diameter atau kecepatan. Yang kita butuhkan
 ρVD 
 , yang secara sederhana dapat dilakukan dengan
hanya 10 macam nilai 
 µ 
memvariasikan V atau D.
Prosedur untuk mendapatkan fungsi tersebut di atas dibahas dalam Analisis Dimensional
& Keserupaan Dinamik.
Contoh : Mengukur gaya hambat (drag force).
Gaya hambat misalnya pada mobil, gedung, kapal selam, pesawat,dsb dipengaruhi oleh
ukuran obyek (dimensi), kecepatan aliran fluida (V), massa fluida (ρ) dan viskositas fluida (μ).
Permasalahannya ada empat parameter dan pengujian skala penuh yang tidak
memungkinkan. Empat parameter tersebut membentuk satu group bilangan tak berdimensi
yang disebut Bilangan Reynolds.
Re =
ρVD
µ
Selanjutnya pelaksanaan pengujian mengacu pada Bilangan Reynolds tersebut, sehingga dua
pengujian yang berbeda bisa menghasilkan keadaan aliran yang serupa (Re yang sama).
Masing-masing disesuaikan dengan fluida, peralatan dan besar ruangan yang dimiliki.
4.2. Teori BUCKINGHAM PI
Teori Buckingham Pi merupakan sebuah pernyataan mengenai hubungan antara sebuah
fungsi yang diekspresikan dalam parameter dimensional dan sebuah fungsi lain yang
diekspresikan dalam fungsi parameter nondimensional. Teori Buckingham PI digunakan
untuk mendapatkan bilangan atau angka nondimensional.
Suatu problem fisik mempunyai “n” parameter; salah satunya merupakan parameter tak
bebas, maka hubungan parameter-parameter tersebut dinyatakan:
q1 = f (q2 , q3,………qn)
dimana;
q1
= variabel tak bebas
q2, q3,…..qn = n-1 variabel bebas.
Pernyataan matematis yang ekuivalen:
g (q1, q2, q3,……qn) = 0
dimana: g berbeda dari f
Untuk kasus Drag Force :
Re = f ( D, V, ρ, μ )
g( Re, D, V, ρ, μ )
Teori Buckingham PI menyatakan : Dalam suatu soal fisik dengan n besaran dimana terdapat
m dimensi (kecuali beberapa kasus), maka akan terdapat n-m parameter tanpa dimensi atau
disebut π parameter, yang memenuhi persamaan :
G (π1, π2,………πn-m ) = 0
π = G1 ( π2, π3,……...πn-m )
Hubungan antara parameter π ( bilangan tak berdimensi ) tersebut ditentukan secara
eksperimental, tidak memakai teori Buckingham PI.
π bukan variable tak berdimensi bebas, apabila dapat dibentuk oleh
parameter-parameter π lainnya.
π5=
3
2π 1
π 4
π6 = 12
π3
;
π 2π 3
π 5 ; π 6 tidak bebas!
4.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π)
Contoh: Tentukan group tak berdimensi untuk problem gaya hambat ( F ) yang tergantung
pada V, D, ρ, μ.
Data ; F = f ( ρ, V, D, μ ) untuk obyek dengan profil bulat.
1) Susun seluruh variabel yang terlibat.
F V D ρ μ
n = 5 variabel.
2) Tulis dimensi-dimensi primer variable di atas.
Dipilih : M L T
3) Tulis seluruh dimensi variabel sesuai dimensi primer yang dipakai.
F
V
ML
t2
L
t
D
ρ
L
M
L3
μ
M
Lt
r = 3 dimensi primer.
4) Pilih “variabel berulang “ dengan jumlah yang sama dengan r dan semua dimensi
primer ada pada variabel berulang.
Variabel berulang : variabel yang digunakan pada perhitungan seluruh π groups.
Variabel-variabel berulang bisa muncul dalam π , jadi jangan salah pilih variabel tak
bebas sebagai variabel berulang.
ρ V D
m = r = 3 variabel berulang
5) Susun ( n-m ) persamaan untuk mendapatkan dimensionless groups.
n - m = 2 ; sehingga terdapat 2 group tak berdimensi.
a
b
M  L
c  ML 
→ π 1 = ρ aV b D c F =  3    (L )  2  = M 0 L0 t 0
 t 
L  t 
Tentukan a, b, c berdasar eksponen M, L, t dikedua ruas :
M:a+1=0
a = -1
L : -3a + b + c + 1 = 0
π1 =
b = -2
t : -b – 2 = 0
F
ρV 2 D 2
c = -2
2
L4  t  1
F
→ π1 =
=F
=1
 
ρV 2 D 2
Ft 2  L  L2
atau
= M L t −2 M −1 L +3 t 2 L −2 L −3 = 1
d
e
M 
M  L
→ π 2 = ρ V D µ =  3    L f   = M 0 L0 t 0
 Lt 
L  t 
d
e
f
M:d+1=0
d = -1
L : -3d + e + f – 1 = 0
f = -1
t : -e – 1 = 0
e = -1
π2=
µ
ρVD
=
π2 =
µ
ρVD
Ft L4 t 1
=1
L2 Ft 2 L L
 µ 

Hubungan fungsional : π 1 = f 
 ρVD 
Fungsi f ditentukan secara eksperimental.
Menentukan π groups jika variabel-variabel dapat dinyatakan dalam sistem dimensi
yang berbeda.
Contoh: Jika sebuah pipa kecil dicelupkan dalam liquid yang tidak mengalir, tegangan
permukaan menyebabkan timbulnya efek kapilaritas yang menyebabkan cairan dalam pipa
naik atau turun terhadap permukaan bebas tergantung sudut kontak antar muka liquid – solid –
gas. Eksperimen menunjukkan ( ∆ h) merupakan fungsi diameter pipa (D) , berat jenis liquid
(γ) , gaya tarik permukaan (σ). Tentukanlah π !
Data : ∆ h = ( D, γ, σ )
∆h
1. variabel-variabel ∆ h, D, γ, σ.
n=4
2. dimensi primer M L t dan F L t
3. M L t
FLt
γ
σ
∆h D
γ
σ
M
L2 t 2
M
t2
L
F
L3
F
L
∆h D
L
D
L
r = 3 dimensi primer
L
r = 2 dimensi primer
m ditentukan dengan menghitung nilai determinan matrik dimensional.
∆h D
γ
σ
M
0
0
1
1
F 0
0
L
1
1 -2
0
L
1 -3 1
t
0
0 -2 -2
∆h D
1
γ σ
1 1
nilai m = orde matrik yang mempunyai determinan non zero (det ≠ 0) terbesar.
0
1
1 −2
1
0
0 −2 −2
= 0 – (1 ∗ −2 ) + (1 ∗ −2 ) =0
−2 0
−2 −2
=4 ≠ 0
m = 2 → m≠ r
4. m = 2 ; D, γ sebagai variabel berulang.
5. n – m = 2 group tak berdimensi.
1
1
− 3 −1
= -1 + 3 = 2 ≠ 0
m=2
m=r
b
f
 M 
L
2 2 
Lt 
F
L = F 0 L0 t 0
3 
L 
π 1 = D a γ b ∆h = L2 
π 1 = D e γ f ∆h = L
= M 0 L0 t 0
M:b+0=0
F:f=0
L : a – 2b+1 = 0
L : e – 3f + 1 = 0
t : -2b + 0
→ π1 =
b=0
f=0
a = -1
e = -1
∆h
D
→ π1 =
h
 M M
π2=D γ σ =L  2 2  2
Lt t
c
F F
π2=D γ σ =L  3 
L  L
c
d
∆h
D
g
= M 0 L0 t 0
g
h
= F 0 L0 t 0
M:d+1=0
F:h+1=0
L : c – 2d = 0
L : g - 2h – 1 = 0
t
: -2d – 2 = 0
→π2 =
d = -1
h = -1
c = -2
g = -2
σ
→π2 =
D γ
2
σ
D 2γ
π 1 = f (π 2 )
∆h
=
D
 σ
f  2
D γ



Contoh soal :
Gaya hambat sebuah “sonar transducer” diprediksi berdasarkan data tes wind tunnel.
Prototipe-nya berdiameter 300 mm ditarik dengan kecepatan 5 knot (nautical miles per hour ;
1 nautical mile = 1852 m) didalam air laut pada 50 C. Modelnya berdiameter 150 mm.
Tentukan kecepatan tes yang disyaratkan di udara (dengan fluida udara). Jika gaya hambat
model pada kondisi tes itu adalah 24,8 N. Dan tentukan pula gaya hambat prototype!
Prototipe
Model
Dp = 300 mm
Dm = 150 mm
Fm = 24.8 N
Vm
Fp
Vp = 5 knot
Udara
Sea water 5 oC
Re model = Re prototype
Model dan Prototype mempunyai Keserupaan Dinamik
ρ = 1025 kg
Air laut pada 5 0C
m3
ν = 1,4 . 10 −6 m
Vp = 5 knot =
Rep =
Vp Dp
5 ⋅ 1852m
h
= 2,57 m
⋅
s
h
3600
=
νp
2,57 ⋅ 0,3
= 5,51 ⋅ 10 5
1,4 ⋅10 −6
ρ = 1,23 kg
Udara standar
m3
ν = 1,45 ⋅ 10 −5 m
Rem = Rep =
Vm =
Vm =
Vm Dm
νm
Re p ν m
Dm
5,51 ⋅10 5 ⋅ 1,45 ⋅ 10 −5
=53,3 m
s
0,15
s
s2
Gaya drag prototipe :
Fp
ρ pV p D p
2
2
=
Fm
ρ mVm 2 Dm 2
ρ p Vp2 Dp 2
1025 2,57 2 0,3 2
24
,
8
⋅
Fp =
=
1,23 53,3 2 0,15 2
ρ m Vm 2 Dm 2
= 192 N
4.4. Arti Fisik Bilangan Tak Berdimensi
Reynold Number.
Re =
=
ρV 2 L2
ρVD ρVL
=
=
µ
µ
µ V L L2
(
)
dynamic _ pressure ⋅ area
inertia _ forces
≈
viscous _ stress ⋅ area
viscous _ forces
Mach Number.
M=
≈
V
=
c
ρV 2
ρc 2
inertia _ forces
compressibility _ forces
Froude Number
Fr =
≈
V
gL
V2
ρV 2 L2
→ Fr =
=
gL
ρgL3
2
inertia _ forces
gravity _ forces
Pressure Coefficient.
Ev = Cp =
≈
∆p
1 ρV 2
2
local _ pressure − freestream _ pressure
kinetic _ energy _ of _ free − stream
Soal-soal
1. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa penurunan tekanan (pressure drop) pada aliran
fluida melalui penyempitan luas penampang aliran (sudden contraction) dapat
diekspresikan sebagai ∆P = p1 – p2 = f(ρ, µ, V, d, D). Anda diminta untuk menyusun dan
mengumpulkan data penelitian. Tentukan bilangan tak berdimensi (nondimensional =
dimensionless) untuk kasus ini.
V
D
∆P = p1 – p2 = penurunan tekanan[(N/m2)=Pa]
ρ = densitas fluida (kg/m3)
µ = viskositas absolut [(N.s/m2)=(Pa.s)
V = Kecepatan rata-rata fluida (m/s)
D = Diameter pipa kecil (m)
d = Diameter pipa besar (m)
d
1
2
2. Persamaan perpindahan kalor konveksi dinyatakan sebagai berikut
Q = h A ∆T
-----------dimana
Q = Laju perpindahan panas [(J/s)=Watt]
A = Luas permukaan perpindahan panas (m2)
∆T = Beda temperatur , oC
h = Koefisien perpindahan panas W/(m2.oC)
Bilangan tak berdimensi yang merupakan fungsi h disebut Bilangan Stanton, yang juga
merupakan fungsi densitas fluida yang memindahkan panas ρ (kg/m3), panas jenis
fluida Cp (J/(kg.oC)dan kecepatan aliran fluida V (m/s). Jadi Bilangan Stanton = f(h, ρ,
Cp, V). Tentukan formula Bilangan Stanton tersebut !
3. Ketika diuji dalam air 20 oC (ρ = 998 kg/m3; µ = 0.001 kg/m.s) berkecepatan alir 2 m/s,
sebuah bola berdiameter 8 cm menerima gaya hambat sebesar 5 N. Berapa kecepatan
fluida dan gaya hambat pada bola (balon) berdiameter 1.5 m yang berada dalam
udara atmosfer (ρ = 1.2255 kg/m3; µ = 1.78 x 10-5 kg/m.s) yang mempunyai kondisi
dinamik yang sama dengan bola yang diuji ?
Entah anda pikir anda bisa atau anda pikir anda tidak bisa
--- anda sepenuhnya benar.
-- Henry Ford --
Keberhasilan sebuah pengambilan keputusan, lebih tergantung pada sikap si
pengambil keputusan, bukan pada pilihan yang tersedia.
-- G.A.G. --
Bab 2
ALIRAN INTERNAL
5.1. Pengertian
Aliran internal adalah aliran fluida dimana tempat aliran fluida dibatasi/dikelilingi
permukaan padat.
Fluida kental (viscous fluid) adalah fluida yang faktor perubahan gradien kecepatan dan
shear stress atau viscous stress-nya tidak diabaikan. Kebalikan viscous fluid adalah
non-viscous atau inviscid fluid.
Fluida inkompresibel adalah fluida yang tidak mengalami perubahan densitas, atau
perubahannya sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
Aliran Laminer Berkembang Penuh
Uo
r
x
U
Entrance length (L)
D
Fully developed region (region dimana profil
kecepatan tidak berubah lagi).
Boundary layer
Gambar 5.1 Entrance Length dan Fully Developed Region
Perhatikan aliran fluida pada sisi masuk seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1 di atas.
Sebelum mengalami kontak dengan permukaan padat fluida memiliki kecepatan seragam
sebesar Uo. Setelah fluida menyentuh dinding saluran maka akan terbentuk boundary layer
akibat adanya efek viscous dan gesekan fluida dengan pipa, sehingga akan terjadi perubahan
profil kecepatan fluida ke arah hilir aliran. Pada jarak tertentu dari titik awal fluida masuk
profil kecepatan aliran akan menjadi tetap. Fluida dalam dalam keadaan demikian dikatakan
telah berkembang penuh (fully developed), sedangkan daerah pada arah hilir dimana fluida
telah berkembang penuh disebut fully developed region. Panjang sisi masuk sesuai arah
aliran sampai fully developed region disebut entrance length.
Untuk aliran laminar:
L
≈ 0.06 Re → EntranceLength, L = 0.06 ⋅ D ⋅ Re = 0.06 ⋅ 2300 D = 138 D
D
5.2. Penerapan Fully Developed Laminar Flow
Interest dalam sub-bab ini adalah untuk memperoleh informasi tentang medan kecepatan
aliran untuk perhitungan shear stress (distribusi kecepatan atau profil kecepatan), pressure
drop (penurunan tekanan) & laju alir massa atau laju alir volumetris, untuk beberapa kasus
aliran laminer internal.
5.2.1. Fully developed laminar flow di antara 2 plat paralel tak terhingga
Kedua plat stasioner (tidak bergerak).
(τ
a
Control
volume
2
y
x
a
p τyx
dy
dx
yx
+
d τ yx dx
⋅
)
dy
2
∂p dx 
∂p dx

⋅ 
⋅
→ p ⋅ τ yx ← − p +
∂x 2 
∂x 2

d τ yx dy
− τ yx
⋅
dy
2
τyx = gaya geser dalam arah x, bekerja pada
bidang yang ⊥ y
p−
Gambar 5.2 Distribusi Gaya Permukaan Fluida
Gambar 2.2 menunjukkan fluida di antara 2 plat paralel stasione. Perhatikan sebuah kontrol
volume elemen fluida dengan ukuran tinggi dy dan panjang dx, yang memiliki tekanan p dan
gaya geser τyx . Gaya-gaya permukaan yang bekerja kemudian diuraikan seperti pada Gambar
2.2 sebelah kanan.
Kondisi batas
Pada
y=0
u=0
y=a
u=0
Panjang plat tak arah z tak terhingga.
Gaya-gaya yang bekerja pada sisi-sisi control volume:
dτ yx dy 
dτ yx dy 


∂p dx 
∂p dx 


⋅ dydz −  p +
⋅ dydz − τyx −
⋅ dxdz + τyx +
⋅ dxdz = 0
p−
∂x 2 
dy
dy
∂x 2 
2
2 





dτ yx ∂p
∂p dτ yx
=
+
=0
atau
berlaku untuk semua nilai x & y
−
dy
∂x
∂x
dy
 dτ yx ∂p


C = konstan
=
= C 
∂x
 dy

 ∂p 
Integrasi
τyx =   y + c1
 ∂x 
du  ∂p 
µ.
=  y + c 1
dy  ∂x 
c1
1 ∂p
ydy + dy
du = ⋅
µ ∂x
µ
u=
1  ∂p  2 C1
y + C y + C2
 y +
2 µ  ∂x 
µ
pada y = 0 , u = 0 ; shg C2 = 0. pada y = a , u = 0 shg
0=
u=
sehingga
1  ∂p  2 C1
a
 a +
2µ  ∂x 
µ
1
2µ
 ∂p 
C1 = - ½   a
 ∂x 
1  ∂p 
 ∂p  2
 ay

y −

2 µ  ∂x 
 ∂x 
2
a 2  ∂p   y   y  
⋅     −   
u=
2µ  ∂x   a   a  
Ini merupakan persamaan untuk menentukan profil kecepatan aliran fluida di
antara 2 plat paralel stasioner.
Distribusi Shear Stress
1  ∂p 
 ∂p 
 ∂p 
 y + C1 =   y −   a
2  ∂x 
 ∂x 
 ∂x 
 ∂p  y 1 
= a  − 
 ∂x  a 2 
τ yx = 
τ yx
Laju Alir Volumetris
Untuk kedalaman l pada arah z
Q = ∫ V dA
A
Q
1  ∂p  2
1  ∂p  3
=∫
  y − ay dy = −
 a
l 0 2 µ  ∂x 
12 µ  ∂x 
a
(
)
Q
sebagai fungsi pressure drop:
l
p 2 − p1
∆p ∂p
=−
=
l
l
∂x
1  − ∆p  3 a 3 ∆p
Q
=−
a =

12 µ  l 
12 µ ⋅ l
l
Kecepatan rata-rata
Q
1  ∂p  a 3l
=−
 
A
12 µ  ∂x  l ⋅ a
1  ∂p 
V =−
 a
12 µ  ∂x 
V =
Titik kecepatan Maksimum
Kecepatan maksimum terjadi jika
∂u a 2  ∂p  2 y 1 
∂u
− =0
=
=0→
 
∂y 2 µ  ∂x  a 2 a 
∂y
a
y=
2
Pada y =
a
→
2
u = umax = −
1  ∂p  2 3
 a = V
8 µ  ∂x 
2
Transformasi Koordinat
Pada pembahasan persamaan-persamaan di atas titik asal O(0,0) terletak di pojok kiri bawah
plot. Jika titik asal dipindah ke centerline, kondisi-kondisi batasnya menjadi :
u = 0 pada
y’= ½ a
u = 0 pada
y=-½a
y = y’+ ½ a
a 2  ∂p   y '  1 
u=
   −
2µ  ∂x   a  4 
½
y’/2
y
a
O
x
-½
1
u
u
=
u max
−
2
 ∂p 
 
8 µ  ∂x 
a
Contoh soal:
Suatu sistem hidroulik beroperasi pada pressure gage 20 MPa, 55oC, menggunakan fluida oli
SAE 10 W, SG = 0.92. Sebuah control valve terdiri dari sebuah piston Φ 25mm, fitted
terhadap silinder dengan clearance radial rata-rata 0.005 mm, tentukan laju alir kebocoran
jika pressure gage pada sisi tekanan rendah piston 1.0 MPa (panjang piston 15mm) µ = 0.018
kg/(m.sec).
P1 = 20 MPa (gage)
asumsi:-
L = 15 mm
a = 0.005 mm
-
laminar flow
steady
incompressible
fully developed (
L
= 3000 )
a
P2 = 1 MPa (gage)
Lebar clearance sangat kecil sehingga aliran dapat dianggap sebagai aliran diantara 2 plat
paralel; Lebar plat, l = π D
πDa 3 ∆p π
m. sec
1
kg.m
Q=
= × 25mm × 0.005 3 mm 3 × (20 − 1) ⋅10 6 ×
×
×
12 µL
12
0.018 15mm N . sec
Q = 57.6mm 3 / sec
Cek bilangan Re:
Q
Q
V = =
= 0.147 m / s
A πDa
ρV a SGoil ⋅ ρH 2 O ⋅ V ⋅ a
Re =
=
= 0.0375
µ
µ
Laminer, artinya penggunaan rumus di atas sudah memenuhi syarat.
Plat bagian atas bergerak dengan kecepatan konstan U.
U
Control volume
a
p τyx
dy
y
dx
x
Distribusi Kecepatan
U=
Uy a 2  ∂p   y   y 
+
   − 
a 2µ  ∂x   a   a 
Jika
∂p
= 0 maka U linier terhadap y
∂x
Distribusi Tegangan Geser
τ yx
U a 2  ∂p  2 y 1 
∂p  y 1 
U
=µ +
  2 −  = µ + a  − 
a
∂x  a 2 
a
a
2  ∂x  a
Laju Alir Volumetris
Q Ua
1  ∂p  3
=
−
 a
l
2 12µ  ∂x 
Kecepatan Rata-rata
1  ∂p  3 
V ⋅ a
 2 − 12 µ  ∂x a 
1 ∂p 2
Q
   U
a
V = =
= −
l⋅a
2 12µ ∂x
A
Titik Kecepatan Maksimum
Kecepatan maksimum terjadi jika
du U a 2  2 y 1 
= +
− =0

dy a 2µ  a 2 a 
U
a
2
→ pada → y = −
2  1  ∂p 
  
 µ  ∂x 
Bentuk profil kecepatan dan kecepatan maksimum yang mungkin, ditunjukkan pada gambar
berikut ini:
1.0
y
a
U
∂p
= 0
∂x
∂p
>0
∂x
y
a
x
∂p
< 0
∂x
0
u/U
3.0
Contoh :
Sebuah journal bearing poros engkol, dilumasi oli mesin SAE 30 pada 210 oF (99oC); µ = 9.6
x 10-3N.s/m2 (2.0 x 10-4 lbf/ft2). Diameter bearing 3 in; clearance 0.0025 in, berputar 3600
rpm dan lebar 1.25 inchi. Bearing dalam keadaan tanpa beban sehingga gap atau clearancenya simetrik. Tentukan torsi yang dibutuhkan untuk memutar journal & daya yang dihasilkan
oleh putaran tersebut.
Clearance sangat kecil; aliran dianggap sebagai aliran diantara 2
plat parallel.
a = ½ 0.0025 inc
D=3 in
u
ω
a
τ yx = µ
Asumsi :
y
x
∂p  y 1 
u
+a  − 
∂x  a 2 
a
- laminar, steady, incompressible
- fully developed
- lebar tak terhingga ( l/a = 1000)
∂p
= 0 ( aliran simetris, tanpa beban )
∂x
τ yx = µ
ωR
ωD
u
=µ
=µ
a
a
2a
τ yx = 2 ⋅ 10 4 × 3600 × 2π ×
1
1
1
× 3× ×
2 0.00125
60
τ yx = 90.5 lbf/ft2
Torsi
T = FR = τ yx ⋅ π ⋅ D ⋅ l ⋅ R =
T=
π
2
⋅ 90.5 × 3 2 ×
π
2
τ yx ⋅ D 2 ⋅ l
ft 2
× 1.25 = 11.1lbf .inch
144in 2
Daya yang dihasilkan W = F . U = F R ω = T ω
W = 11.1 [lbf.in] x 3600 [rev/min] x 1/60 [min/sec] x 2π [rad/rev] x 1/12 [ft/in] x 1/550 [hp.s/ft.lbf]
W = 0.634 hp
5.2.2 Fully developed laminer flow dalam sebuah pipa
Annular control volume
y
R
x
r
p , τrx
dr
dr
dx
Gambar 5.3 Control volume untuk aliran dalam pipa.
Distribusi kecepatan
2
1  ∂p  2
R 2  ∂p    r  
2
u=
  1 −   
 r −R =−
4µ  ∂x 
4 µ  ∂x    R  
(
)
Shear Stress Distribution
τ rx = µ
du r  ∂p 
=  
dr 2  ∂x 
Volumetric Flowrate
Q=−
πR 4
8µ
πR 4  − ∆p  π∆pR 4 π∆pD 4
 ∂p 
=
=
 =−
8µ  L 
8µL
128µL
 ∂x 
Average Velocity
Q
Q
R 2  ∂p 
=−
V = =
 
8µ  ∂x 
A πR 2
Point of Maximum Velocity
Kecepatan maksimum terjadi jika
du
=0
dr
1  ∂p 
  = 0 atau pada r = 0
2µ  ∂x 
Pada r = 0
U = Umax = −
R 4  ∂p 
  = 2V
4 µ  ∂x 
Kecepatan max terjadi pada centerline of pipe !
Berdasar formula U pada distribusi kecepatan dan Umax di atas diperoleh:
U
u
r
= =1−  
U max U
R
2
Aliran turbulen
Profil kecepatan ditentukan dengan persamaan empiris :
1
u 
r n
= 1 − 
U  R
n = 6 untuk
Re = 4 . 103
n=7
Re = 1.1 . 105
n = 10
Re = 3.6 . 106
Perbandingan kecepatan rata-rata terhadap kecepatan maximum:
V
2n 2
=
U (n + 1)(2n + 1)
Profil kecepatan untuk laminar dan turbulen flow pada Re = 4 . 103 ditunjukkan sbb :
( V & Q sama)
Turbulent
Laminer
Laminer
Turbulent
Pipe Centerline
V
u
u
U
Gambar 2.4 Efek transisi (laminar ke turbulen): gradien kecepatan pada dinding lebih besar.
5.3. Perubahan Energi Aliran Dalam Pipa Sirkular (circular pipe)
Bentuk energi aliran fluida dalam pipa
potensial (elevasi)
tekanan
kecepatan
Perubahan bentuk energi tersebut dievaluasi dengan persamaan Bernoulli. Kehilangan energi
(losses) akibat gesekan dinding pipa tidak ter-cover dalam persamaan Bernoulli.
Losses :
- Major losses (akibat gesekan pada area constan)
- Minor losses (akibat katup, belokan, perubahan luas penampang, dsb);
pressure drop akibat entrance length termasuk minor losses.
Kesetimbangan energi antara dua titik pada aliran dalam pipa
α V 2 α V 2
 p 2 p1 
Q = m& (u 2 − u1 ) + m& 
−  + m& g ( z 2 − z1 ) + m&  2 2 − 1 1
 2
2
ρ
 ρ





2
2

p
 p
V
V
δQ
2
2
1
1
 +α
+ α2
+ gz 2  = (u 2 −u1 ) −
+ gz1  − 
1


ρ

2
2
dm
ρ


 
E-mekanis sisi 1
per satuan massa
E-mekanis sisi 2
per satuan massa
Selisih E-mekanis antara
sisi 1 & 2 per satuan massa
Head loss via
pembuangan panas
disebut total head loss
Energi mekanis yang hilang
berubah bentuk menjadi energi panas yang dibuang ke
 δQ 
lingkungan 
 dan menjadi energi dalam yang dikandung molekul-molekul fluida (u2-u1).
 dm 
α = kinetic energy flux coefficient
α = 2 untuk laminar flow
3
2n 2
u
 V  (3 + n )(3 + 2n )
α = 
Satuan head loss
:
untuk turbulent flow
Energi
Energi
J
atau
=
=m
berat
massa kg
5.4. Perhitungan Head loss
Major losses (akibat friction factor)
ML
o Losses akibat gesekan pada region fully developed dalam penampang yang
tetap.
ML =
∆p
ρ
2
•
Laminar flow
 64  L V
ML =  
 Re  D 2
2
•
Turbulent flow
LV
ML = f
D 2
f = friction factor, ditentukan dari data eksperimental yang
diplotkan dalam Diagram Moody.
Dalam Diagram Moody f ditentukan berdasarkan Re dan kekasaran relatif
permukaan,
ε
D
yang ditentukan berdasarkan besarnya diameter pipa.
Bandingkan ML untuk laminar dan turbulen, diperoleh :
64
f =
untuk aliran laminar ; hal ini sesuai hasil eksperimen bahwa untuk laminar
Re
ε
tidak berpengaruh.
D
Seperti disebut sebelumnya, transisi dari laminar ke turbulen menyebabkan gradien kecepatan
flow ; f hanya tergantung Re, sedangkan
dekat dinding menjadi lebih besar. Pada awalnya kenaikan friction factor ini hanya
dipengaruhi Re, tapi semakin tinggi Re profil kecepatan semakin tumpul (fuller): viscous sublayer dekat dinding semakin tipis. Kekasaran permukaan ikut berperan. Jika Re semakin besar
lagi friksi sepenuhnya dipengaruhi kekasaran permukaan (fully rough flow).
Minor losses ( mL )
Losses yang bukan diakibatkan gesekan, tapi akibat adanya katup, belokan,
pembesaran/kontraksi penampang mendadak, efek inlet, entrance length, dsb.
2
2
V
Le V
mL = K
= f
2
D 2
K = Koefisien losses
Le = panjang ekuivalen
Nilai K dan
Le
disajikan dalam bentuk Tabel atau Grafik (yang disusun berdasar dataD
data eksperimental).
5.5. Penyelesaian Problem-Problem Aliran Dalam Pipa
Contoh Soal 1
Udara disuplai untuk proses pembuatan baja melalui pipa sirkular D = 6” , berakhir mendadak
ke dalam chamber yang besar. Seorang engineer baru mengajukan saran untuk mengurangi
penggunaa daya dengan cara mengganti sistem perpipaan yang memiliki 2 belokan 90o (center
line radius 2”) dengan kombinasi pipa lurus dan diffuser. Area ratio diffuser, AR=1.35 sistem
perpipaan yang diusulkan mengurangi belokan, mengurangi 8” panjang pipa dan penambahan
diffuser. Kecepatan udara yang dibutuhkan 150 ft/s, tekanan outlet = tekanan atmosferik.
Efisiensi blower 80%. Bera pa daya yang bias dihemat oleh sistem baru tersebut?
Wshaft (blower)
D = 6 in
R = 2 ft
Sistem yang ada:
Patm
Wshaft (blower)
Sistem yang diusulkan:
•
N
Lbaru
Difuser, AR=1.35
Lbaru + N + 8” = Llama
Sistem yang ada
2
Losses total
LV
= M L + mL = f
+ mL
D 2
2
Losses total = K ent
2
2
2
Le,bend V 1
L
V1
V1
V1
+ f lama
+2f
+ K exit
2
D 2
D 2
2
Entrance
2 elbow
Mayor.L
Exit
Dari grafik untuk elbow diperoleh :
Untuk
Le,bend
r
2'
=
=4→
= 13.5
D 0.5'
D
Dari tabel exit pipe
Kexit = 1.0
2
L
V

Losses total =  K ent + f lama + 2(13.5) f + 1.0 1
D
 2

; V1 =V 2
Sistem yang disarankan
2
Lossestotal
Lossestotal
LV
= M L + mL = f
+ mL
D 2
2
2
2
V1
Lnew V1
V3
= K ent
+f
+ m L − diffuser + K exit
2
D 2
2
Pilih diffuser dengan AR = 1.35 (lihat grafik koefisien losses untuk difuser), Cp = 0.4
dengan N/R1=1.5
N = R1 = 1.5 = 0.25*1.5 = 0.375 ft
2
m L − diff
V
= 2
2
m L −exitloss
2
2
V2
1

 V2
1 − AR 2 − Cp  = 2 [1 − 0.549 − 0.4] = 0.051 2
2
A
V3
=K
= K  2
2
 A3
2
2
2
2
 V3 2
V3
 1  V3

= 0.549
= 1

2
 1.35  2
 2
V3 ≈ V2 ≈ V1
2
Losses total −baru
L
V

=  K ent + f baru + 0.051 + 0.549 1
D
 2

2
L
V

Losses total −baru =  K ent + f baru + 0.6 1
D
 2

Jika sisi outlet pada kedua sistem kita notasikan sebagai titik 4, maka persamaan volume
kontrol untuk kedua sistem di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
.
.
Q + Ws + Wshear + Wother

V2
P
∂
= ∫ e ⋅ ρ ⋅ d∀ + ∫  u +
+ gz +  ρV ⋅ dA
ρ
2
∂t cv
cs 
Asumsi : steady state, uniform, α = 1.0 , incompressible
2
•  P
 • 
 P V 2
V
δQ 
Wslama = m  4 + 4 + gz 4  −  θ + 0 + gz 0  + m u 4 − u 0 −

ρ
dm
2
2


 ρ


 
 P4 V4 2
  Pθ V0 2
 •

= m
+
+ gz 4  −  +
+ gz 0  + m .Losses total −lama


 ρ
2
2
 ρ
 

•
Wslama
2
•  P
 •
 P V 2
V
Wsbaru = m  4 + 4 + gz 4  −  θ + 0 + gz 0  + m .Lossestotal −baru


2
2
 ρ
 ρ

•
∆Ws = Wslama − Wsbaru = m( Losses total −lama − Losses total −baru ) = ρV1 A1 ∆Losses total
Substitusikan persamaan dan   L − Lbaru 
V
∆Ws = ρV1 A1  f  lama
 + 27 f + 0.4 1
D

 
 2
1
VD
→ Re =
= 150 * 0.5 *
= 469.000
v
1.6 * 10 − 4
→ f = 0.0134; Llama − Lbaru = N + 8 = 8.38
2
∆Ws = 0.00238 *150 *
∆Win =
∆Ws
η
=
π 0.5 2 
4
8.38
1
1
2
0.0134 0.5 + 27(0.0134) + 0.4 2 ⋅ 150 ⋅ 550 = 1.41Hp
1.41
= 1.76 Hp
0.8
Contoh Soal 2
Air pendingin dipompa melalui perpipaan seperti tampak pada gambar. Laju alir 135 m3/h,
kecepatan air pada nosele keluar = 36 m/s. hitung tekanan suplai minimum pada sisi buang
pompa. Berapa daya pompa input yang dibutuhkan jika effisiensi pompa 70%?
Bahan pipa Aluminium
D = 100 mm; panjang total, L =
210 m; Sambungan = 15, K = 1
120 m
Pump
Data: D = 100 mm
L = 210 mm
V2= 36 m/s
Q = 135 m3/h
= 0.0375 m3/s
z1 ≈ 0
z 2 ≈ 120m
P1-P2 = ….?
Gate valve; open
2
2
P1 V1
P V
+
+ z1 = 2 + 2 + z 2 + M L + m L
ρg 2 g
ρg 2 g
P1 − P2 V2 − V1
=
+ z2 + M L + mL
2g
ρg
2
2
P1 − P2 36 2 − 4.8 2
=
+ 120 + M L + m L
20
ρg
P1 − P2
= 183.65m + M L + m L
ρg
V1=V rata-rata sepanjang pipa
Q
0.0375
=
= 4.8m / s
=
A  0.12 
 π

4 

ML = Mayor losses = losses akibat gesekan
2
LV
Pipa Al ≈ galvanized iron, D = 100 mm
= f
D 2g
Untuk mendapatkan satuan “m”
dari grafik diperoleh, ε/D = 0.00125
Re =
Viskositas dinamik air 20oC
V D 4.8 * 0.1
=
= 4.8 ∗ 10 5
v
10 −6
Dari diagram Moody : Re = 4.8*105 & ε/D = 0.00125
M L = 0.021
f = 0.021
210 4.8 2
= 50.8m
0.1 2 ∗ 10
mL = Minor losses = losses akibat 15 sambungan + 1 gate valve dalam keadaan
terbuka + 2 belokan pipa
V2
= 13.02m
2g
Sambungan
: 15 K
Gate Valve
: lihat tabel, diperoleh panjang ekivalen Le/D = 8
2
4.8 2
 Le  V
: f 
= 0.021 ∗ 8 *
= 0.2m
20
 D  2g
: asumsikan belokan dengan θ ≈ 60o ; lihat grafik, diperoleh Le/D = 20
2
4.8 2
 Le  V
:
= 0.021 * 20 *
f 
* 2 = 0.97 m
20
 D  2g
Belokan
mL = 13.02 + 0.2 + 0.97 = 14.19 m
Sehingga :
P1 − P2
= 183.65 + M L + m L = 183.65 + 50.8 + 14.190 = 248.64m
ρg
∆P = P1 − P2 = ρg 248.64 = 1000 * 10 * 248.64 = 2.4864 *10 6 Pa = 2.5MPa
Daya aktual pompa = ∆P * Q = 2.5 * 106 * 0.0375 = 93750 W = 93.75 kW
Daya input pompa =
93.75
η
=
93.75
= 133.9 ≈ 134kW
0.7
Contoh Soal 3
Air dipompa melalui pipa D = 0.25 m sepanjang 5 km dari pompa ke suatu reservoir terbuka
berketinggian (level air) 7 m. kecepatan rata –rata air dalam pipa 3 m/s. Hitung tekanan P1
pada sisi buang pompa.
7m
Pompa
Data : D = 0.25 m
L = 5000 m
Z2 = 7m
Z1 = 0
V2 = 0
P1 = Pdischarge
P2 = 1 atm = 105 Pa
V = 3 m/s
α=1
2
2
P
 P

V
V
∴  1 + α 1 1 + Z1  −  2 + α 2 2 + Z 2  = Losses total = M L
2g
2g
 ρg
  ρg


  10 5
 P1 3 2

+ 7  = M L
+
+ 0  − 

 ρg 20
  ρg
(karena gesekan saja)
ρ air = 1000 kg/m3
g = 10 m/s2
P1
− 16.55 = M L
ML = losses akibat gesekan pipa sepanjang 5km
10 4
L V2
ML = f
L = 5000 m ; D = 0.25 m3 ; V = 3 m/s
D 2
Asumsi digunakan pipa “galvanized iron” D = 250 mm
dari grafik diperoleh
kekasaran relatif ε/D = 0.0005
V D 3 ⋅ 0.25
Re =
=
= 7.5 * 10 5
v
10 −6
v = viskositas air pada 20 oC
Lihat Diagram Moody ε/D = 0.0005
Re =7.5 * 105
M L = 0.018
5000 3 2
m2
= 1620 2
0.25 2
s
M L = 162m
diperoleh f = 0.018
Untuk mendapatkan losses dalam satuan
“meter”, dibagi dengan gravitasi
P1
= M L + 16.55 = 162 + 16.55 = 178.55
10 4
N
kg m  kg ⋅ m 1

= 2 = Pa 
P1 = 178.55m ⋅ 10 4 3 ⋅ 2 =
2
m s 
s m m

P1 = 1.7855 ⋅ 10 6 Pa = 1.79MPa
5.6. Pengukuran Aliran
Pemilihan cara pengukuran aliran disesuaikan harga, akurasi, kapasitas, tingkat kemudahan
penanganan data dan servis life.
Ada beberapa metode pengukuran aliran
Metode langsung : mengukur massa atau volume liquid dalam selang waktu tertentu.
Pengukuran “internal flow” secara teoritis – empiris :
P1 − P2 =
Flow
V1
D1
V2
Dt
ρV 2 2 
2
D2
V2 =
Cv
(
A
1 −  2
  A1

2(P1 − P2 )
ρ 1 − ( A2 / A1 )2
“ Internal Flow “
•
m th = ρV2 A2 = ρ
•
m th =
m th =
ρ 1 − ( A2 / A1 )
CAt
[1 − ( A / A ) ]
2
2
•
[
2(P1 − P2 )
CAt
1− β 4
2
=
] [1 − (A
2 ρ ( P1 − P2 )
1
2 ρ (P1 − P2 )
•
m th = KAt 2 ρ (P1 − P2 )
A2
2 / A1 )
2
]
2 ρ (P1 − P2 )
; C = koefisien discharge (ditentukan secara
empiris)
D
A
; β= t = t
D1 A1
C
;K=
1− β 4
Internal flowmeter ada 3 tipe: Orifice plate (Low cost ; High Head Loss)
Flow nozzle (Intermediate cost & head loss)
Venturi
( High Cost ; Low Head Loss)
Linear flowmeter; misalnya float type flowmeter (flowmeter yang menggunakan jarum
penunjuk terapung), dan turbine flowmeter.
Transversing methods (menggunakan tabung pitot); misalnya thermal anemometer dan
laser dopler anemometer.
Tidak ada pemandangan yang lebih menyedihkan
Melihat daripada seorang muda yang pesimis.
-- Mark Twain --
)



2




Suplemen untuk Bab II : Aliran Fluida Dalam Pipa
Setiap sistem aliran fluida dalam pipa dan perpipaan harus mempertimbangkan
distribusi tekanan dan penurunan tekanan yang terjadi sepanjang aliran. Sebagai contoh,
sistem aliran air PDAM, sistem penyaluran bahan bakar minyak, termasuk juga ducting
system pada AC sentral harus memperhitungkan secara hati-hati losses atau kehilangan
energi akibat penurunan tekanan tersebut karena mempengaruhi energi total dalam
sistem. Kehilangan energi (head losses) tersebut terjadi akibat adanya gesekan antara
fluida yang mengalir dengan permukaan pada tempat fluida mengalir, sehingga disebut
juga friction losses.
Friction losses dibedakan menjadi dua macam. Pertama, friction loss di sepanjang
perpipaan, disebut juga major losses karena losses akibat gesekan ini mempunyai porsi
yang besar. Kedua, friction loss yang terjadi pada fitting (sambungan, belokan, perubahan
penampang aliran, dsb), disebut juga minor losses. Minor losses besar jika kecepatan
aliran tinggi dan banyak fitting di sepanjang aliran.
a. Major Losses
Major losses terjadi akibat gesekan aliran fluida di sepanjang pipa. Besarnya major
losses dipengaruhi oleh panjang pipa (L), diameter pipa (D), kecepatan aliran fluida
(V), viskositas fluida (µ), dan material/bahan pipa.
Major losses dihitung dengan
persamaan Darcy-Weisbach sbb:
HL = f .
L V2
.
D 2.g
dimana
(1)
HL
= Major losses (m)
f
= Faktor gesekan (tak berdimensi)
L
= Panjang lintasan pipa (m)
D
= Diameter pipa (m)
V
= Kecepatan rata-rata aliran fluida (m/s)
g
= Gravitasi, 9.81 (m/s2)
Persamaan Darcy-Weisbach di atas disebut juga persamaan tekanan-kecepatan
karena memuat suku yang menunjukkan pengaruh tekanan-kecepatan aliran, yaitu
V2/2g.
Nilai faktor gesekan f dipengaruhi oleh rezim aliran (laminer, transisi, atau turbulen)
dan material pipa. Material pipa menentukan besarnya kekasaran permukaan pipa.
Rezim aliran ditentukan oleh besarnya bilangan Reynolds:
Re =
ρ.V.D
µ
dimana
(2)
Re
= Bilangan Reynold (tak berdimensi)
ρ
= Densitas fluida (kg/m3)
µ
= Viskositas mutlak fluida (N.s/m2)
Untuk aliran laminer, nilai faktor gesekan f merupakan fungsi sederhana dari Bilangan
Reynold Re:
f=
64
Re
(3)
Untuk aliran transisi, nilai faktor gesekan f dihitung dengan Persamaan Colebrook
sbb:
ε
2.51
= 2 log  D +
 3.7 Re . f
f

1
dimana




(4)
ε
= Kekasaran permukaan pipa (m)
ε/D
= Kekasaran relatif pipa (tak berdimensi)
Persamaan Colebrook ini harus diselesaikan secara iteratif untuk mendapatkan nilai f.
Untuk aliran turbulen, nilai faktor gesekan f ditentukan dengan urutan sbb:
-
Berdasarkan data kekasaran relatif permukaan (ε/D); nilai ε/D bisa ditentukan
berdasarkan diameter pipa dan material pipa dari diagram atau grafik yang
ditunjukkan pada Gambar 1.
-
Berdasarkan harga kekasaran relatif permukaan pipa (ε/D) dan Bilangan Reynold,
harga f dicari dengan menggunakan Diagram Moody yang ditunjukkan pada
Gambar 2.
Nilai f untuk aliran transisi bisa juga dicari dengan menggunakan Diagram Moody,
akan
tetapi
beberapa
penelitian
yang
mengkonfirmasikan
menentukan nilai f aliran transisi dengan cara ini.
ketidakakuratan
Gambar 1. Grafik Kekasaran Relatif Pipa
Gambar 2. Diagram Moody
b. Minor Losses
Minor losses terjadi akibat adanya perubahan arah aliran, perubahan penampang
aliran dan perubahan gesekan akibat adanya fitting (belokan, percabangan, katup,
dsb). Ada dua macam prosedur dasar untuk menghitung minor losses, yaitu:
-
Metode Panjang Ekuivalen (equivalent length method)
Metode panjang ekuivalen mengasumsikan bahwa setiap fitting atau variasi aliran
mengakibatkan losses yang sama dengan losses yang ditimbulkan oleh pipa lurus
dengan panjang ekuivalen tertentu. Sebagai contoh, sebuah gate valve 2 inchi
mengakibatkan losses sama besar dengan losses yang diakibatkan oleh pipa lurus
berdiameter 2 inchi sepanjang 1.5 feet (= 0.46 m). Sehingga, dikatakan panjang
ekuivalen gate valve adalah 1.5 feet. Panjang ekuivalen untuk semua minor losses
digunakan dalam persamaan Darcy-Weisbach. Metode panjang ekuivalen hanya
digunakan untuk aliran turbulen. Metode ini sederhana dan mudah digunakan tapi
mengharuskan adanya tabel nilai ekuivalen. Panjang ekuivalen untuk fitting tertentu
bisa berbeda-beda, tergantung pada pembuat (produsen) pipa, material, dan cara
pemasangannya. Contoh panjang ekuivalen untuk beberapa fitting ditunjukkan dalam
Tabel 1 dan Tabel 2 di bawah ini.
Tabel 1. Panjang Ekuivalen Fitting Pipa (dalam satuan British)
Panjang Ekuivalen (ft)
Tipe Fitting
Diameter Pipa (inchi)
1”
2”
4”
5.2
8.5
13
Long Radius 90 Elbow
2.7
3.6
4.6
Regular 45o Elbow
1.3
2.7
5.5
Tee
3.2
7.7
17
180 Return Bend
5.2
8.5
13
Globe Valve
29
54
110
Gate Valve
0.84
1.5
2.5
Angle Valve
17
18
18
Swing Check Valve
11
19
38
0.29
0.45
0.65
o
Regular 90 Elbow
o
o
Coupling or Union
Sumber: Engineer-In-Training Reference Manual, 8th Ed, Michael R. Lindeburg, PE, Professional Publications, Inc.
Belmont, CA, 1992
Tabel 2. Panjang Ekuivalen Tak Berdimensi (Le/D)
Tipe Fitting
Panjang Ekuivalen
Valve (fully open)
Gate valve
Globe valve
Angle valve
Ball valve
Lift check valve: globe lift
: angle lift
Foot valve with strainer : poppet disk
: hinged disk
Standard elbow 90o
o
Standard elbow 45
Return bend, close pattern
Standard tee : flow through run
: flow through branch
Le
*)
D
8
340
150
3
600
55
420
75
30
16
50
20
60
 Le  V 2
.
 D  2.g
*) Berdasar rumus H L = f .
-
Menggunakan Koefisien Losses
Setiap fitting mempunyai koefisien loss , K, yang jika dikalikan dengan suku tekanankecepatan menghasilkan besarnya losses.
M L = K.
Dimana
V2
2.g
(5)
ML
= Minor losses (m)
K
= Koefisien losses (tak berdimensi)
Nilai K untuk semua fitting ditentukan secara empiris (berdasar hasil percobaan), dan
tidak dapat diturunkan secara teoritis. Beberapa koefisien losses bisa juga dihitung
berdasarkan panjang ekuivalen yang telah diketahui.
K = f.
Le
D
(6)
Nilai empiris koefisien losses, K, biasanya dipresentasikan dalam bentuk grafik atau
tabel. Contoh grafik koefisien losses belokan ditampilkan pada Gambar 3.
K
Gambar 3. Koefisien Losses Belokan Pipa
Soal-soal
1. Suatu fluida dengan ρ = 950 kg/m3 mengalir dalam pipa silindris horisontal
berdiameter 5 cm, dengan kecepatan rata-rata 10 m/s. Tekanan fluida dalam pipa
diukur untuk tiap interval 1 m, diperoleh data sebagai berikut:
x, m
P, kPa
0
304
1
273
2
255
3
240
4
226
5
213
6
200
Hitunglah: (a). Tegangan geser (τ) rata-rata yang terjadi pada dinding pipa; (b).
Tegangan geser pada dinding dalam “fully developed region” pipa.
2. Air raksa pada 20 oC (ρ=13350 kg/m3; µ=0.00156 kg/m.s mengalir di dalam pipa
smooth berdiameter 7 mm dan panjang 4 m, dengan kecepatan rata-rata 3 m/s.
Hitunglah losses yang terjadi sepanjang aliran dan besarnya pressure drop yang
terjadi.
3. Sistem tangki dan pipa seperti dalam gambar di bawah ini, digunakan untuk
mengalirkan paling sedikitnya 11 m3/h air 20 oC (ρ=998 kg/m3 ; µ=0.001 kg/m.s).
Berapa kekasaran permukaan maksimum yang diperbolehkan ?
4m
L = 5 m, d = 3 cm
2m
Seorang pesimis adalah orang yang tanpa menghiraukan dan mensyukuri
masa kini, telah kecewa terhadap masa depan.
-- Anonim --
Seorang pesimis selalu berdalih tentang kesulitan (yang dibuat-buat) dalam
kesempatan yang dimilikinya. Seorang optimis bisa menciptakan kesempatan
dalam kesulitan yang dihadapinya.
-- Reginald B. Mansell --
Bab 3
ALIRAN EKSTERNAL
6.1. Pengertian
Aliran eksternal: aliran yang berada di luar atau melalui obyek/benda padat yang
dikelilingi aliran fluida.
Tujuan: memperhitungkan (secara numerik) pengaruh perilaku fluida viscousincompressible pada aliran luar terhadap benda padat, serta mempelajari perilaku
aliran fluida melalui benda padat.
Contoh aliran luar: aliran melalui permukaan padat, airfoil, mobil, kincir angin,
lambung kapal, dsb.
6.2. Ketebalan Lapisan Batas (Boundary layer)
U
U
U
laminer
transisi
turbulen
Gambar 6.1. Boundary Layer
Faktor-faktor yang mempengaruhi daerah transisi antara lain: gradien tekanan, kekasaran
permukaan, perpindahan panas, gaya badan yang bekerja, dan gangguan yang terjadi terhadap
aliran bebas.
U
0.99U
∞
Area = ∫ u (U − u )dy
0
δ
u
∞
Area = ∫ (U − u )dy
0
y
δ*
a. Displacement thickness, δ*
θ
b. Momentum Thickness, θ
∞
∞
Uδ = ∫ (U − u )dy
U θ = ∫ u (U − u )dy
∗
2
0
0
Gambar 6.2. Definisi Ketebalan Lapisan Batas
Tebal gangguan lapisan batas, δ : Jarak dari permukaan padat sampai layer dengan kecepatan
sebesar 0,99 kecepatan aliran bebas (U).
Tabal pergeseran , δ * : Jarak dimana permukaan padat dipindahkan ke aliran tanpa gesekan,
sehingga menyebabkan defisit laju alir massa sebesar massa yang berada dalam
boundary layer.
Tebal momentum, θ : Tebal layer fluida dimana flux momentum-nya sama dengan momentum
yang hilang melalui boundary layer.
Efek gaya viscous dalam boundary layer adalah memperlambat aliran sehingga mengurangi
laju alir massa (dibanding tanpa boundary layer). Penurunan laju alir massa akibat gaya
viscous;
∞
ρUδ ∗ w = ∫ ρ (U − u )wdy
0
w = lebar permukaan pada arah tegak lurus aliran.
Untuk incompressible flow, ρ =konstan.
∞
δ
u
u


δ = ∫ 1 − dy ≈ ∫ 1 − dy
U
U
0
0
∗
Melambatnya aliran dalam boundary layer mengurangi flux momentum ; laju alir massa aktual
δ
dalam boundary layer :
∫ ρuwdy
. Penurunan momentum dalam boundary layer adalah
0
∞
wρU θ = ∫ ρu (U − u )wdy
2
0
untuk incompressible flow, ρ= konstan.
δ
∞
u
u
u
u
1 − dy ≈ ∫ 1 − dy
U U 
U U 
0
0
θ =∫
Asumsi-asumsi dalam analisis boundary layer;
•
u
U pada y = δ
•
∂u
∂y
0 pada y = δ
•
u << U dalam boundary layer
•
Variasi tekanan arah melintang diabaikan.
Contoh soal.
Sebuah terowongan angin berpenampang persegi dengan garis tengah 305 mm, diobservasi
∗
profil kecepatannya di dua tempat. Pada bagian dimana U1 = 26 m/s diketahui δ 1 = 1,5mm .
∗
Pada posisi pada arah hilir dari posisi diperoleh δ 2 = 2,1mm . Hitung perubahan tekanan
statis antara -dibandingkan tekanan dinamis aliran bebas pada .
Pengamatan dilakukan pada Patm standar.
L-2δ*
L-2δ*
δ*
a. Profil kecepatan
aktual.
b. Profil kecepatan
hipotetis.
Persamaan Bernoulli untuk aliran di luar δ ∗ :
P1
2
2
V
P V
+ 1 + gz1 = 2 + 2 + gz 2
ρ
2
ρ
2
c. Penampang melintang
wind runnel.
L = 305 mm
Asumsi: steady, incompressible, uniform diluar δ ∗ , tak ada efek friksi diluar δ ∗ , aliran
sepanjang streamline antara dan , z1=z2 .
P1 − P2 =
(
1
ρ V2 2 − V1 2
2
)

1
1
2
2
2 U
= ρ U 2 − U 1 = ρU 1  2
2
2
 U 1
(
)
2


 − 1


2
P1 − P2  U 2 
 −1
= 
1
2
U 1 

ρU 1
2
; V1 A1 = U 1 A1 = V2 A2 = U 2 A2
U2
A
= 1
U 1 A2
(
A = L − 2δ ∗
(
(
2
 L − 2δ ∗
P1 − P2  A1 
1
=   − 1 = 
1
2
A
 L − 2δ 2 ∗
 2
ρU 1
2
) 
) 
2
2
)
2
= luas efektif aliran
4
−1
4
 305 − 2 ⋅ 1,5 
=
 − 1 = 0,0161 = 1,61%
 305 − 2 ⋅ 2,1
6.3. Persamaan Integral Momentum
c
c
U(x)
y
b
δ(x)
CV
x
d
a
dδ
b
δ
a
dx
dx
Gambar 6.3. Voleme Kontrol Dalam Boundary Layer
d
Persamaan integral momentum merupakan analisis untuk memprediksi pertumbuhan
(ketebalan) boundary layer laminar dan turbulen sebagai fungsi jarak pada arah aliran.
Momentum flux netto melalui control surface (permukaan kontrol) arah x;
_
δ

δ

u
V
dA
u
udy
w
ρ
ρ
+
⋅
=
−
∫ uρudy w
∫

∫cs
0

0

 ∂  δ
 ∂  δ
 
 
+   ∫ uρudy  dx w − U   ∫ ρudy  dx w
 ∂x  0
 ∂x  0
 
 
δ
_
_
 ∂  δ
 

∂ 
u
ρ
V
d
A
u
ρ
udy
dx
U
−
⋅
=
 ∫
 ∫ ρudy  dx w

∫cs
∂x  0
 ∂x  0
 

Sedangkan komponen gaya-gaya arah x yang bekerja pada cv ;
1 dp
1
 dp

dxdδ − τ w dx − dτ w dx w
Fsx = − δdx −
2 dx
2
 dx

Karena dxdδ <<< δdx dan dτ w <<< τ w maka :
1 dp
dxdδ = 0
2 dx
1
dτ w dx = 0
2
 dp

Fsx = ∫ uρv ⋅ dA− δdx − τ w dx w
 dx

cs
δ
 ∂  δ
 

dp
∂ 
=   ∫ uρudy  dx − U  ∫ ρudy  dx w − δ
−τ w
x
dx
∂

 ∂x  0
0

 

δ
=
δ
∂
∂
uρudy − U ∫ ρudy
∫
∂x 0
∂x 0
δ
Jika δ = ∫ dy dan
0
dp
du
= − ρu
(persamaan Bernoulli untuk inviscid flowdi luar boundary
dx
dx
layer) maka:
δ
δ
δ
∂
∂
dU
τ w = − ∫ uρudy + U ∫ ρudy +
ρudy
∂x 0
∂x 0
dx ∫0
δ
δ
δ
δ
∂
∂
dU
dU
τ w = − ∫ uρudy + ∫ ρuUdy −
ρudy +
ρUdy
∫
∂x 0
∂x 0
dx 0
dx ∫0
δ
τw =
δ
∂
dU
ρu (U − u )dy +
ρ (U − u )dy
∫
∂x 0
dx ∫0
δ
τw =
δ
u
u
dU
u
∂ 2

U ∫ ρ 1 − dy + U
ρ 1 −  dy
∫
U U
dx 0  U 
∂x
0
τw d 2
dU
(
=
U θ ) + δ ∗U
ρ dx
dx
“Momentum Integral Equation (MIE)”
Menentukan Boundary Layer Thickness sebagai fungsi x dengan menggunakan MIE.
1. Tentukan atau asumsikan distribusi kecepatan aliran bebas (berdasarkan teori aliran
inviscid/non-viscous/tanpa boundary layer), U(x). tekanan dalam boundary layer
dihubungkan terhadap U(x) dengan menggunakan persamaan Bernoulli.
2. Tentukan atau asumsikan profil kecepatan yang “reasonable” dalam boundary layer.
3. Tentukan atau nyatakan hubungan antara tegangan geser dinding ( τ w ) dan medan atau
distribusi kecepatan.
6.4. Pressure Gradient Dalam Viscous – Boundary Layer Flows
Region 1
Region 2
Region 3
∂p
<0
∂x
∂p
=0
∂x
∂p
>0
∂x
y
Back flow
δ(x)
x
Separation point =
∂u 
=0
∂y  y =0
Gambar 6.4. Gradien Tekanan Dalam Saluran Dengan Penampang Bervariasi
Efek dari gaya viscous dalam adalah terjadinya gesekan sehingga energi atau momentum
aliran fluida semakin menurun (boundary layer semakin tebal) pada arah aliran fluida.
Region 1 merupakan keadaan yang diharapkan karena tidak terjadi penurunan kecepatan aliran
yang cukup berarti. Pada region 2 ( ∂p
∂x
= 0) boundary layer semakin tebal, sehingga fluida
yang terhambat dinding makin besar. Pada region 3 ( ∂p
∂x
> 0 ) boundary layer makin tebal
dan terdapat suatu titik dimana ∂u
∂y y = 0
= 0 dan fluida memisah dari dinding padat karena
momentum fluida lebih kecil dari pada momentum dan tekanan dari arah hillir (down stream).
Titik tersebut disebut Separation Point. Pada arah hilir dari separation point akan terjadi
aliran balik. Region dengan gradien tekanan positif (Adverse Pressure Gradient) merupakan
keadaan yang tidak menguntungkan karena titik separasi mengakibatkan berkurangnya jumlah
bersih kerja aliran yang dapat dilakukan suatu elemen fluida terhadap fluida sekitarnya.
Pada region ∂p
∂x
> 0 tidak selalu terjadi separasi. ∂p
∂x
> 0 merupakan suatu
“syarat perlu” (necessary condition) untuk terjadinya separasi. Namun bukan
“syarat cukup” (sufficient condition) untuk terjadinya separasi.
6.5. Aliran Fluida Melalui Benda Penghalang (Fluid flow about bluff bodies)
Jika suatu benda padat terendam dalam suatu fluida dan terdapat gerak relatif antara keduanya
maka akan ada gaya yang bekerja terhadap benda tersebut. Komponen gaya yang bekerja
dengan arah paralel terhadap gerakan disebut Drag Force (gaya hambat), FD. Sedangkan
komponen gaya yang tegak lurus terhadap arah gerakan disebut Lift Force (gaya angkat), FL.
Drag force atau Lift force bisa menguntungkan (dimanfaatkan) atau merugikan (dihindari),
tergantung fungsi engineering dan tujuan desain benda tersebut.
Gaya angkat terjadi akibat tekanan yang terdistribusi di permukaan benda padat sehingga
perbedaan tekanan antara dua sisi benda padat menimbulkan efek “lift”. Sedangkan gaya
hambat yang dihasilkan oleh efek penghalangan benda padat terhadap aliran. Kebanyakan
desain engineering memanfaatkan gaya angkat untuk menghasilkan atau memanfaatkan energi
aliran fluida.
FL
FL
FD
FD
Gambar 6.5. Gaya Angkat dan Gaya Hambat
Airfoil, sudu turbin didesain untuk menghasilkan gaya angkat. Desain aerodinamis mobil
dibuat supaya drag force-nya sekecil mungkin, juga lift force-nya. Ini bertujuan agar mobil
tersebut pada kecepatan tinggi tetap mencengkram tanah. Beberapa desain sudu turbin angin
ditujukan untuk memanfaatkan drag force sebesar mungkin.
Selain untuk membangkitkan energi FD dan FL digunakan untuk memprediksi beban yang
diterima solid body tersebut. Misalnya, beban gaya yang diterima tiang penopang jembatan
dan pipa-pipa kondensor akibat aliran fluida yang melaluinya.
Angin
Angin
a. Desain Persia
b. Desain China
Angin
Angin
c. Savonious 2 Sudu
c. Savonious 3 Sudu
Gambar 6.6. Contoh Sudu Kincir Angin Yang Memanfaatkan Gaya Hambat
Gaya hambat terdiri dari:
•
Skin friction drag: memiliki arah paralel dengan elemen permukaan.
•
Pressure drag: memiliki arah tegak lurus tiap elemen permukaan benda padat.
Non-dimensional parameter of drag:
Drag coefficient, CD =
FD
; C D = f (Re)
1
ρV 2 A
2
CD tergantung bentuk benda padat dan merupakan fungsi bilangan Reynold aliran. Desain
aerodinamis mobil sejak tahun 1920-an sampai sekarang telah mengalami perubahan yang
sangat drastis, dimana koefisien gaya hambatnya dibuat sekecil mungkin. Bodi kendaraan
dibuat se-aerodinamis mungkin. Streamlining body bertujuan untuk mengurangi terjadinya
adverse pressure gradient atau menghindari terjadinya separasi aliran, sehingga pressure drag
menjadi lebih kecil.
Bilangan tak berdimensi berkaitan dengan gaya angkat disebut lift coefficient.
Lift coefficient, CL =
FL
1
ρV 2 A
2
CL = f(Re, α )
α = sudut serang (angle of attack)
FL
V∞
R
Tekanan rendah
α
FD
Tekanan tinggi
Gambar 6.7. Sebuah Airfoil dengan Sudut Serang α
Standar desain airfoil mengacu pada NACA (the National Advisory Committee for
Aeronautics)
Stalling: fenomena dimana gaya angkat secara mendadak menurun dan sebaliknya gaya
hambat meningkat dengan cepat akibat semakin besarnya sudut serang. Sebagai contoh airfoil
NACA 662-215 akan mengalami kenaikan gaya angkat jika α diperbesar akan tetapi pada
α ≈ 17 0 gaya angkat akan mengalami penurunan.
6.6. Contoh-Contoh Pemanfaatan Gaya Angkat dan Gaya Hambat
Gambar 6.8. Kincir Angin Propeler ini
mengandalkan gaya angkat pada
sudunya untuk mengekstrak energi
angin yang melewatinya.
Sudu Savonious memanfaatkan gaya
hambat untuk mengekstrak energi kinetik
angin yang melewatinya. Sudu Savonious
memiliki self-starting yang sangat baik.
Sudu Darrieus memanfaatkan gaya angkat,
memiliki self-starting buruk tapi bisa
menyimpan inersia jauh lebih baik.
Made in Teknik Mesin UNUD, 2003.
Arif Budiman, M’96
Catur Hendro, M’97
Gambar 6.9. Kincir Angin Darrieus-Savonious.
Memiliki daya mekanis ± 1000 W, jika
kecepatan angin rata-rata 6 m/s.
Di bagian ini didesain supaya menghasilkan downforce sehingga
mobil lebih “mencengkeram” aspal, dan tidak “terbang”.
Gambar 6.10. Mobil Formula 1, dibuat seaerodinamis mungkin dengan koefisien
hambat sekecil-kecilnya.
Kualitas diri seseorang, terlihat dari standar-standar yang ia
tetapkan untuk dirinya sendiri.
-- Ray Kroc --
Bab 4
Aliran Fluida Kompresibel
7.1. Review Termodinamika
Compressible fluid = fluida kompresibel = fluida termampatkan = fluida mampu mampat.
Kompresibel ≈ kerapatan/densitas fluida berubah-ubah.
Kebanyakan gas pada T dan P moderat, berlaku persamaan Gas Ideal :
P=ρRT
Dimana :
R
= konstanta gas
= Ru/Mm
Ru = konstanta gas universal
= 8314 N.m/(Kgmol.K)
Mm = berat molecular gas
• Internal energi , u = u (v,T)
du =
d + ∂u dv
∂v dT
∂T
∂v
v
T
; untuk gas ideal
∂u
∂v
=0
T
∂u
∂v
du = Cv dT
; Cv = Cv (T)
= Cv
v
• Entalpi , h = u + P/ρ
h = u + RT
dh =
∂h dT +
∂T
p
; h = h(P,T)
∂h dp
∂p
T
u2-u1
= Cv (T2 – T1)
h2 – h1 = Cp (T2 – T1)
dh = Cp dT
dh = du + R dT
∴ Cp dT = Cv dT + R dT
Cp = Cv + R
; R = Cp – Cv
Jika k = Cp/Cv , maka :
;
Cp = k R
k-1
Cv =
R
k-1
• Entropi , S
∆S = ∫rev δQ
T
atau
dS = δQ
T rev
Hukum Termodinamika II (ketidaksamaan Clausius) :
dS ≥ δQ
T
Atau
TdS = δQ
dm
(proses reversibel)
TdS > δQ
dm
(proses irreversibel)
Untuk proses adiabatik
TdS ≥ δQ
δQ = 0
dm
ds = 0 (proses adiabatik reversibel = isentropis)
ds > 0 (proses adiabatik irreversibel)
• Persamaan Gibbs
Tds = du + P dv
= d(h – Pv)+ P dv
= dh - P dv –v dp + P dv
= dh – v dp
∫
dQ
≤0
T
Gas ideal
ds = dv + Pdv = Cv dT + R dv
T
T
T
v
ds = dh – v dp = Cp dT - R dp
T
T
T
p
Untuk Cp & Cv konstan :
S2 – S1 = Cv ln T2 + R ln v2
T1
v1
S2 – S1 = Cp ln T2 - R ln P2
T1
P1
Untuk proses isentropik :
0 = dv + Pdv = Cv dT + Pdv
0 = dh – v dp = Cp dT – v dp
dT = v dp = - P dv
Cp
Cv
atau
dp + Cp dv = dp + k dv = 0
P
Cv v
P
v
Jika k = konstan
ln P + k ln v = ln C
ln P + ln vk = ln C
pvk = konstan
ρ/ρk = konstan
7.2. Kecepatan Suara
Kecepatan suara merupakan gelombang tekanan dengan kekuatan yang sangat kecil.
Kompresibilitas ( pada aliran kompressibel) sangat penting. Terutama untuk aliran kecepatan
tinggi dan temperatur tinggi. Perubahan tekanan melibatkan pula perubahan tekanan. Untuk
aliran gas, perubahan tekanan secara signifikan dipengaruhi oleh densitas dan temperatur.
Sehingga dalam aliran kompressibel kecepatan suara merupakan acuan yang sangat penting
dalam menggambarkan bagaimana aliran fluida menimbulkan gangguan (dan perubahan)
terhadap keadaan aliran secara menyeluruh.
Karakteristik nondimensional compressible flow → Bilangan Mach (M)
M =
v kecepatan aliran lokal
=
c kecepatan suara lokal
Untuk M < 1, tekanan menyebarkan/merambatkan (propagates) gangguan dengan
sebesar kecepatan sebesar kecepatan suara yang lebih besar dari kecepatan alir fluida.
Jika M > 1, berarti kecepatan alir fluida lebih besar dari perambatan gangguan.
V
ρVA = (ρ + dρ)(V + dV)A
V + dV
ρdV + Vdρ = 0
P
ρ
A
P + dp
ρ + dρ
A
Persamaan Kontinuitas :
Persamaan Momentum :
PA – (P + dp)A = ρVA(V + dV – V)
dp = - ρVdA
Gambar 7.1. Aliran Dalam Konduit
Substitusikan kedua persamaan , maka diperoleh :
V2 =
dp
dρ
Kecepatan perambatan suara : C =
dp
dρ
Perambatan suara mendekati isentropic : p ρ -k = konstan
dp k ⋅ p
=
dρ
ρ
∴
C=
kp
ρ
C = kRT
; p=ρ RT
→ kecepatan suara dalam gas sempurna merupakan fungsi
suhu mutlak saja.
7.3. Tipe-Tipe Aliran & Mach Cone
Aliran Subsonik
: M<1
Aliran Supersonik
: M>1
Aliran Transonik
: 0,9 ≤ M ≤ 1,2
Perbedaan kualitatif antara subsonik dengan supersonik dapat dideduksikan dari pergerakan
sumber suara. Perhatikan Gambar 4.2. di bawah ini. C = kecepatan perambatan gangguan.
Pada waktu t, posisi gelombang pada posisi awal dari posisi to dinyatakan oleh sebuah
lingkarandengan radius c(t - to) dengan posisi pusat lingkaran sama dengan posisi gangguan
pada to. V = kecepatan sumber.
V(3∆t)
V(2∆t)
c∆t
V(∆t)
c(2∆t)
c(3∆t)
c(3∆t)
c∆t
c(2∆t)
(a) V = 0
(b) V < C
c(3∆t)
3
2
c(2∆t)
1
•3
• • •
3 2 1
Locus of wave fronts
•2
V(2∆t)
(d) V > C
(c) V = C
Gambar 7.2. Perambatan Suara
•1
α
Outside cone:
unaware of sound
•
inside cone:
aware of sound
V>c ; M > 1
Gambar 7.3. Mach Cone
Berdasarkan kecepatan sumber gangguan, terdapat 4 macam perambatan gangguan:
a. V = 0 , Pola perambatan suara uniform ke semua arah dan konsentrik.
b. 0 < V < C , Pola perambatan tidak konsentrik namun secara individual tetap spheris.
Jika sumber bergerak dengan kecepatan V, polanya seperti Gambar 4.2.b. Pengamat
yang diam mendengar suara yang lebih keras saat sumber mendekat daripada setelah
melewatinya → disebut Efek Dopller.
c. V = C , Posisi sisi terdepan seluruh gelombang berupa bidang datar ⊥ lintasan sumber.
Tidak ada gelombang suara di depan sumber, sehingga pengamat di depan sumber
tidak mendengar sumber suara mendekat.
d. V > C , Posisi sisi terdepan gelombang membentuk sudut (kerucut). Pengamat diam
tidak mendengar sumber suara mendekat.
α = Mach angle
Region inside cone disebut Zone of Action.
Region outside cone disebut Zone of Silence.
sin α =
c
1
 1 
=
⇒ α = sin -1  
V M
M 
7.4. Keadaan Referensi: Local Isentropic Stagnation Properties
Keadaan fluida pada titi-titik medan aliran dinyatakan dengan 2 sifat intensif termodinamis
(temperatur, T & tekanan, P) dan kecepatan pada titik tersebut.Untuk aliran kompresibel,
“keadaan stagnasi”(stagnation state) digunakan sebagai “reference state”.
Keadaan stagnasi dikarakteristikkan dengan kecepatan nol; dan sifat-sifat stagnasi pada setiap
titik pada medan aliran merupakan sifat-sifat yang diperoleh jika fluida pada titi-titik tersebut
diperlambat dari kondisi lokal ke kecepatan nol melalui proses isentropik (adiabatik &
frictionless). Perubahan sifat-sifat tersebut dari titik dalam medan aliran memberi informasi
tentang proses aliran antar titik-titik tersebut.
Proses perlambatan hipotetis ditunjukan gambar steam tube volume kontrol di bawah ini :
Volume kontrol
YA
Aliran
y
X
x
0
1
ρ
Vx
A
P
T
dx
ρ + dρ
Vx + d Vx
A + dA
P + dp
T + dT
Gambar 7.4. Keadaan Stagnasi
V=0
P = Po→Tekanan
Stagnasi
T = To→Temperatur
Stagnasi
Dengan menerapkan persamaan kontinuitas dan persamaan momentum,maka diperoleh :
Po  k − 1 ρV 2 
= 1+
P 
2 2 p 
k −1
k
k
 k − 1 V 2  k −1
P
; Gas ideal P = ρ RT ⇒ 0 = 1 +
P 
2 kRT 
k
P  k − 1 V 2   k − 1 2  k −1
M 
Kecepatan sonic, C = kRT ⇒ 0 = 1 +
 = 1+
P 
2 C 2  
2

1
ρ
 P k T
P 
Sifat-sifat stagnasi isentropik : o =  o  ; o =  o 
ρ P T P
k −1
k
∴Local isentropic stagnation properties:
k
Po 
k − 1 2  k - 1 To 
k −1 2 
= 1 +
M 
;
= 1 +
M 
P
2
T
2




1
ρ o  k − 1 2  k −1
= 1+
M


ρ
2
Keadaan hipotetis lain yang digunakan sebagai referensi adalah keadaan kritis (critical
condition) dimana kecepatannya adalah sonic, M = 1.
Contohnya keadaan pada penampang aliran yang minimum yaitu pada leher atau (throat).
Keadaan kritis ditandai dengan (*) →
Jika M = 1 ; V* = C*
Sifat-sifat stagnasi isentropik menjadi (k = 1,4)
k
∗
Po* = Critical stagnation pressure
Po
 k − 1 k −1
= 1 +
= 1.893
∗
2 
P

P* = Critical pressure
∗
To
k −1
=1+
= 1.2
∗
2
T
1
ρ o ∗  k − 1 k −1
= 1+
= 1.577
2 
ρ ∗ 
C ∗ = kRT * = V *
*
Ideal gas:
To
2
*
T =
=
⋅ To
1 + (k − 1) / 2 k + 1
*
∗
V =C =
*
2kRTo
k +1
*
7.5. Aliran Fluida Kompresibel 1-Dimensi
Sifat-sifat fluida dalam aliran kompresibel dipengaruhi oleh :
-
Perubahan luas penampang
-
Friksi
-
Heat transfer
-
Normal shock.
Semua kegagalan berasal dari orang yang suka mengeluh dan
mempunyai kebiasaan membuat alasan.
-- George Washington Carver --
7.5.1 Persamaan aliran isentropik
Rx = Komponen x gaya permukaan
yang bekerja pada volume kontrol.
Rx
Y
X
Aliran
Kontrol volume untuk
aliran isentropik.
T1
P1
ρ1
A1
V1
T2
P2
ρ2
A2
V2
Gambar 7.5. Volume Kontrol Untuk Aliran Isentropik Dalam Saluran
Persamaan kontinuitas : ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2 = ρ V A = m& = konstan
Persamaan momentum : Rx + P1 A1 – P2 A2 = m& V2 - m& V1
V1
V2
V2
h +
= h2 +
= h+
= kons tan
Hukum Termodinamika I: 1
2
2
2
V2
2
Hukum Termodinamika II: S2 = S1 = S = konstan
Persamaan keadaan
2
2
h0 = h +
: h = h(s,p)
ρ = ρ(s,p)
h
h
h0 = konstan
p = p2
h0
Sifat-sifat stagnasi sama di
semua titik (aliran
isentropik).
Keadaan awal
Ek
h
Ek per unit massa = h – h0
p0
Etotal
h = h3
s=s1= konstan
s
s
Gambar 7.6. Aliran Isentropik Pada Diagram h – s (Entalpi-Entropi)
Jika seluruh sifat pada keadaan diketahui terdapat 7 variabel yang harus dihitung dari
keenam persaman diatas. Karena sifat S1 = S2 maka terdapat 6 variabel (P2, A2, ρ2, h2, V2, dan
Rx) dari 5 persamaan, sehingga salah satu variabel harus diasumsikan.
7.5.2. Pengaruh perubahan luas penampang terhadap sifat-sifat aliran isentropik
Efek perubahan kecepatan terhadap kecepatan dan tekanan dinyatakan oleh persamaan
berikut:
dA − dV
=
1− M 2
A
V
Rezim Aliran
[
]
Nozzle
dp < 0
dV > 0
Diffuser
dp > 0
dV < 0
Subsonic
M<1
Supersonic
M<1
Jika M = 1 maka
dA
= 0 , secara matematis hal ini berarti A bernilai minimum atau
dV
maksimum. Dalam aliran kompresibel M = 1 terjadi pada “throat” dimana luasan A minimum.
Untuk mempercepat aliran ke M > 1 , pada bagian hulu digunakan “subsonic converging
nozzle”; M =1 pada area minimum (throat); kemudian untuk mendapatkan M > 1
digunakan “supersonic diverging nozzle”.
Untuk memperlambat aliran dari M > 1 digunakan desain saluran yang sebaliknya:
“supersonic converging diffuser”-“throat”-“subsonic diverging diffuser”. Luasan throat
lebih besar dari yang dibutuhkan untuk mencapai M = 1 akibat terjadinya “adverse
pressure gradient”. Pada sisi “diverging diffuser” akan terjadi “normal shock” yang
menyebabkan entropi meningkat (aliran tidak isentropik).
7.5.3. Aliran isentropik gas ideal
Persamaan Dasar:
Kontinuitas
ρ1V1 A1 = ρ 2V2 A2 = ρVA = m&
Momentum
R x + P1 A1 − P2 A2 = m& V2 − m& V1
Hukum Termodinamika I
V
V
V
h1 + 1 = h2 + 2 = h +
2
2
2
Hukum Termodinamika II S1 = S 2 = S
Persamaan Keadaan
Proses isentropik
2
2
2
P = ρRT
P
ρk
= kons tan
∆h = h2 − h1 = Cp(∆T ) = Cp(T2 − T1 )
Kondisi Referensi Aliran Isentropik Gas Ideal
Kondisi-kondisi referensi aliran isentropik gas ideal dinyatakan sebagai tekanan stagnasi,
temperature stagnasi, densitas stagnasi, tekanan kritis, temperature kritis, densitas kritis, serta
kecepatan kritis.
Luasan penampang kritis A* dimana M =1 dinyatakan sbb:
( k +1)
 k − 1 2  2 ( k −1)
1+
M 
A
1 
2
=


A∗ M  1 + k − 1 

2

4
3,5
3
A
A∗
Terdapat 2 katagori M untuk A/A* > 1
2,5
Hal ini konsisten dengan pembahasan
2
sebelumnya: untuk mempercepat aliran
1,5
dari subsonic ke supersonic diperlukan
1
desain saluran “converging-diverging”
dengan throat yang berpenampang
0,5
minimum.
0
0
0,5
1
1,5
2
Gambar 7.7. Variasi A/A* Terhadap M (k=1,4)
7.5.4. Aliran isentropik dalam converging nozzle
m&
Pb
Ke
pompa
vakum
Po
To
Vo = 0
Aliran
Pe
Katup
0
i
ii
1.0
1.0
P/Po
P ∗ / Po
1.0 Pb/Pa
Regime 1
iii
iv
P*/Po
v
Throat
0
Pe / Po
Regime 1
Pb = back pressure
Pe = P pada exit nozzle
P ∗ / Po
1.0 Pb/Pa
X
∗
P / Po
Gambar 7.8. Aliran Isentropik Dalam Converging Nozzle
Keterangan:
(i)
Katup tertutup, tak ada aliran, tekanan stagnasi (Po) berlaku pada seluruh bagian.
(ii)
Pb diturunkan dengan membuka katup, terjadi penurunan tekanan ke arah hilir.
(iii) Sama dengan (ii), flow rate meningkat.
(iv) Pb diturunkan lagi, M = 1, terjadi P kritis (P*) ; Pb/Pa = P ∗ / Po
(v)
Pb < P* tidak ada perubahan keadaan aliran sama sekali (nozzle dikatakan dalam
keadaan “dicekik “ = choked).
Rezim I : 1 ≥ Pb/Po ≥ P*/Po , aliran menuju throat isentropik; Pe = Pb
Rezim II : Pb/Po < P*/Po , aliran menuju throat isentropik. Ekspansi isentropik terjadi
pada aliran meninggalkan nozzle; Pe = P* > Pb .
T
p0
T0
T*
s = konstan
p*
Nozzle exit plane
Pb < p*
s ≠ konstan
s
Gambar 7.9. Diagram T- s UntukRezim II Aliran Dalam Converging Nozzle
Untuk kasus (ii) dan (iii) , Pb > P* ; Pe = Pb, ekspansi mulus / halus, tapi kecepatan gas
dan gaya dorong masih di bawah desain katup.
Untuk kasus (iv) , Pb = Pe, ekspansi mulus / halus, Pe = P* , gaya dorong dan kecepatan
bernilai maksimum. Laju alir massa maksimum. “Nozzle is Choked”.
Untuk kasus (v) , Pb < P* ; Pe = P*. Gaya dorong dan kecepatan maksimum, tapi sedikit
di belakang outlet nozzle terjadi penurunan tekanan mendadak dari Pe ke Pb. Akibatnya
energi terbuang dalam turbulensi. Keadaan ini disebut “shock” dan sangat tidak
diinginkan.
Analisis di atas sangat penting karena pada engine pesawat, Pb akan semakin kecil jika
ketinggian terbang pesawat ditambah.
7.5.5. Aliran isentropik dalam converging-diverging nozzle
Pb
Po
To
Vo = 0
Aliran
Ke
pompa
vakum
Throat
Pe
Katup
1.0
i
ii
iii
P/Po
Me < 1
P*/Po
M=1
iv
Me > 1
v
X
0
Gambar 7.10. Aliran Dalam Converging-Diverging Nozzle
Keterangan:
(i)
Katup terbuka sedikit, jika flow rate kecil aliran incompressible & subsonic.
Converging-Diverging nozzle = Venturi.
(ii)
Bukaan katup diperbesar → compressible dan subsonic.
(iii) Bukaan katup diperbesar. M = 1 pada throat, flowrate maksimum (nozzle dalam keadaan
dicekik).
m& = P *V * A*
(iv) Pb diturunkan lagi, terjadi akselerasi isentropik pada bagian diverging nozzle. Jadi ada
dua kemungkinan kondisi aliran isentropik pada C-D nozzle (lihat Gambar 4.7. A*/A vs
M).
(v)
Pbv < Pbiv ; tidak ada perubahan kondisi aliran. Nozzle beroperasi “Under expanded”
Jika Pb =Piv , disebut “Design Conditions”. Desain C-D nozzle digunakan pada ruang bakar
turbin gas untuk mendapatkan gaya dorong maksimum.
Jika Piii > Pb > Pib = over expanded, karena tekanan pada nozzle < Pb. Untuk mengatasinya
panjang diverging section harus dikurangi.
Untuk kasus (iv) Pb = P(iv) , ekspansi mulus /halus /smooth , Pe = Pb terjadi “supersonic
jet” , P* = Pt , Nozzle is choked.
Untuk kasus (v) Pb < P(iv) , Pe = P(iv) , ekspansi smooth , terjadi supersonic jet , P* = Pt ,
Nozzle is choked. Terjadi shock akibat penurunan tekanan mendadak. Energi terbuang
dalam turbulensi.
7.6. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Gaya Gesek
Persamaan dasar untuk aliran adiabatis dijelaskan di bawah ini. Asusmsi adiabatis dapat
diterima dengan catatan saluran cukup pendek.
T1
Aliran ρ1
P1
V1
T2
ρ2
P2
V2
Rx
Y
X
m&
A
Persamaan kontinuitas
:
ρ1V1 = ρ 2V 2 = G =
Persamaan momentum
:
R x + p1 A − p 2 A = m& V2 − m& V1
2
Hukum Termodinamika I :
h1 +
2
V1
V
= h2 + 2
2
2
h01 = h02
(adiabatis)
T2
p
− R ln 2
T1
p1
Hukum Termodinamika II :
s1 − s 2 = Cp ln
Persamaan keadaan
:
p = ρRT
Perubahan entalpi
:
∆h = h2 − h1 = Cp (T2 − T1 )
Terdapat 6 persamaan dengan 7 variable unknown. Jika semua keadaan diketahui; T2
diasumsikan, maka sifat-sifat dan Rx dapat diketahui. Semua kondisi aliran adiabatik (arah
hilir) yang mungkin dinyatakan dengan Garis Fanno.
Efek friksi pada aliran subsonic: meningkatkan M menuju M = 1 dan mengurangi Local
isentropic stagnation pressure (P02 < P01).
Efek friksi pada aliran supersonic: menurunkan M menuju M = 1 dan mengurangi Local
isentropic stagnation pressure (P02’ < P01’).
T
T
Po1 = Po1’
M<1 1
M<1 1
Po2 = Po2’
2
M=1
M=1
2’
1’
M>1
M>1
1’
s
s
Gambar 7.11. Garis Fanno: Aliran Adiabatis
Dengan Gesekan
Gambar 7.12. Pengurangan Tekanan Isentropik
Stagnasi Lokal Akibat Gesekan
Pada Garis Fanno To = konstan; dan karena s2 – s1 > 0 maka dalam Diagram T – s aliran selalu
ke arah kanan.
7.7. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Pertukaran
Kalor
Aliran
P1
ρ1
V1
P2
ρ2
V2
δQ
dm
m&
: ρ 1V1 = ρ 2V 2 = G =
A
a. Persamaan kontinuitas
p1 A − p 2 A = m& V2 − m& V1
b. Persamaan momentum :
p1 + ρ 1V1 = p 2 + ρ 2V2
2
δQ
m
2
h1 +
2
2
V1
V
= h2 + 2
2
2
δQ
= h02 - h01
m
c. Hk. Thermo I
:
d. Hk. Thermo II
: s1 − s 2 = Cp ln
T2
p
− R ln 2
T1
p1
e. Persamaan keadaan
:
p = ρRT
f. Perubahan entalpi
:
∆h = h2 − h1 = Cp (T2 − T1 )
M= 1
T
M<1
k
M=1
Terdapat 6 persamaan dengan 7 variabel
unknown. Jika seluruh variable diketahui
Heating
dan T2 diasumsikan, maka seluruh variabel Cooling
dan δQ/dm dapat dihitung. Seluruh keadaan
M>1
Heating
yang mungkin, dalam T-S diagram disebut
Cooling
Rayleigh Line.
s
Gambar 7.13. Garis Rayleigh
~ T max terjadi pada M =
1
k
.
~ S max terjadi pada M = 1.
~ S naik akibat heating dan turun akibat cooling.
~ Pada M =
~ Pada
1
k
1
k
dan M >1, T naik akibat heating dan turun akibat cooling.
< M < 1, penambahan kalor menyebabkan T turun dan pembuangan panas
menyebabkan T naik.
~ Local isentropic stagnation pressure selalu turun akibat heating. Pengurangan Po
menghasilkan akibat yang nyata untuk proses heating (misalnya dalam ruang bakar).
Penambahan δQ/dm yang sama (pada perubahan To) mengakibatkan perubahan Po yang
lebih besar untuk supersonic flow, karena heating pada T rendah menyebabkan perubahan
entropi yang besar.
Percayalah bahwa anda kalah, tidak perlu terlalu lama, dan hal itu
akan segera menjadi kenyataan.
-- Norman Vincent Peale --
7.8. Normal Shock (Gelombang Kejut Normal/Tegak Lurus)
Normal shock: diskontinuitas irreversible dalam sifat-sifat fluida, terjadi pada aliran
supersonic. Ketebalan gelombang kejut ini ≈ 0,2 µm. Dalam ketebalan yang sangat kecil
tersebut terjadi perubahan yang sangat besar terhadap tekanan, temperatur,dan sifat yang
lainnya.
Persamaan dasar untuk gelombang kejut:
CV
T1
P1
V1
Aliran
y
T2
P2
V2
x
Gambar 7.14. Volume Kontrol Untuk Gelombang Kejut Normal
a. Persamaan kontinuitas
: ρ 1V1 = ρ 2V2 = G =
b. Persamaan momentum
:
m&
A
p1 A − p 2 A = m& V2
p1 + ρ 1V1 = p 2 + ρ 2V 2
2
2
h1 +
2
2
V1
V
= h2 + 2
2
2
h02 = h01
c. Hukum Termodinamika I
:
d. Hukum Termodinamika II
: s1 − s 2 = Cp ln
e. Persamaan keadaan
:
p = ρRT
f. Perubahan entalpi
:
∆h = h2 − h1 = Cp (T2 − T1 )
T2
p
− R ln 2
T1
p1
∴Terdapat 6 persamaan dengan 6 variabel unknown.
Asumsikan kondisi diketahui. Aliran melalui normal shock memenuhi enam persamaan di
atas. Garis Fanno memenuhi semua persamaan kecuali b. Garis Rayleigh memenuhi semua
persamaan kecuali c.
Jadi garis aliran melalui normal shock adalah titik-titik yang memenuhi Garis Fanno dan
Garis Rayleigh (Lihat gambar di bawah ini).
T
T
Fanno Line
s2 – s1
M=1
Po1
M=1
Po2
Rayleigh Line
To1 = To2
P2
T2
P1
T1
s
s
Gambar 7.15. Normal Shock Pada Diagram T - s
Arah proses / aliran harus memenuhi Hukum Termodinamika II (S2 < S1).
Normal shock hanya terjadi pada aliran yang pada keadaan awalnya supersonic (aliran
berubah dari supersonic ke subsonic)
Aliran Supersonic Dengan gelombang Kejut
Supersonic flow merupakan “syarat perlu” untuk terjadinya normal shock. Tapi kadangkadang shock ‘harus’ terjadi untuk menyesuaikan dengan tekanan hilir. Semakin kuat shock,
semakin besar penurunan Po. Sangatlah penting untuk mengetahui lokasi terjadinya shock
untuk mendapatkan performa supersonic channel yang acceptable.
Seseorang yang bahagia bukanlah seseorang yang berada dalam
situasi yang serba pasti; tapi lebih pada seseorang yang mempunyai
sikap yang serba pasti.
-- Hugh Downs --
Pb
Po
To
Vo = 0
Aliran
Ke
pompa
vakum
Throat
Pe
Katup
1.0
i
ii
iii
P/Po
Me < 1
Regime II
vi
P*/Po
M=1
iv
vii
viii
Me > 1
v
0
Regime I
Regime III
Regime IV
X
Gambar 7.16. Distribusi Tekanan Aliran Converging-Diverging Nozzle Dengan Shock
Terdapat 4 rezim aliran :
1. Rezim I; kondisi aliran subsonic di seluruh bagian. Flow rate meningkat sebanding
dengan penurunan Pb. Pada kondisi iii, Mt = 1
2. Rezim II; jika Pb diturunkan di bawah iii, terjadi normal shock pada arah hilir throat.
Terjadi kenaikan tekanan dan perlambatan aliran (M<1 di belakang shock) saat aliran
melintasi shock. Pada rezim I dan II exit flow dalam keadaan subsonic, sehingga Pe = Pb.
3. Rezim III; Pb > Pe (lihat viii) tapi tidak cukup tinggi untuk menahan terjadinya normal
shock. Oblique shock (shock dengan arah miring) terjadi di luar nozzle, menuju Pb.
Prediksi matematis oblique shock tidak bisa dilakukan dengan teori 1-D.
4. Rezim IV; aliran bergerak menju Pb yang lebih rendah melalui oblique expansion waves
di luar nozzle.
T
s2 – s1
Po1
Po2
Pe
Po
To
Vo = 0
To = C
Te
P2
T2
T* = C
P2 *
P1 *
P1
e
T1
s
Gambar 7.17. Diagram T-s Aliran Dalam C-D Nozzle Dengan Shock
Entropi meningkat akibat shock, T* = C ; P2* < P1* ; ρ * = P * / RT * berkurang pada arah
hilir. Aliran subsonic pada arah hilir meninggalkan nozzle pada tekanan Pb; jadi Pb = Pe.
*
Pb
P
P P
P
P
A
A
A
= e = b × 02 = e × 1 * = e × t × e*
P01 P01 P02 P01 P02 A2
P02 Ae A2
Pb
⇒ parameter yang diketahui ;
P01
At
= geometri nozzle
Ae
Pe
P
⇒ Rumus
P02
P0
Ae
A2
*
⇒ Rumus
A
A*
Gelombang kejut (shock) pada dasarnya adalah kerugian aliran (≈dissipasi energi aliran)
akibat adverse pressure gradient, sehingga energi/daya yang diperlukan untuk mengalirkan
fluida kompresibel tersebut menjadi lebih besar.
Aplikasinya antara lain pada aliran gas dalam pipa; desain C-D nozzle ruang bakar (turbin gas
pada mesin pesawat), nosel untuk turbin uap; dan terowongan angin wind tunnel.
Contoh: Nozzle pada turbo jet engine pesawat.
Combustors
Udara
Inlet
Throat
Gas
Kompresor
Turbin Gas
Nozzle
Outlet
Rasio Tekanan Kritis
Jika tekanan inlet nozzle, P1 dijaga konstan dan tekanan throat Pt perlahan-lahan dikurangi,
kecepatan pada throat akan meningkat menuju kecepatan sonic, yang merupakan kecepatan
maksimum pada throat. Pada keadaan ini Pt disebut tekanan kritis Pc ; Laju alir massa melalui
throat maksimum, nozzle dikatakan “tercekik”(choked).
k
⇒ M=1
P1  k − 1 2  k −1
M 
= 1+
Pt 
2

Pt = Pc
k = index ekspansi
k
Pc  2  k −1
=
P1  k + 1
= 1,4 untuk udara
= 1,3 untuk superheated steam
= 1,13 untuk saturated steam
Contoh Soal.
Di dalam suatu model roket, gas hasil pembakaran masuk convergent-nozzle tekanan 2 bar dan
temperatur 1500
ο
C; ekspnsi terjadi secara isentropik. Hitung tekanan throat untuk
mendapatkan “maxsimum discharge”. Jika diameter throat 10 mm, berapa gaya dorong yang
dihasilkan roket tersebut?
Data Cp = 1150 J/Kg ; Cv = 865 J/Kg
P1 = 2 × 10 5 N / m 2
T1 = 1500 + 273 = 1773K
Oxygen
Fuel
P1= 2 bar
t1 = 1500oC
V1= 0
P2 = ?
V2 = ?
V1 = 0 ; V2 = ....?
d 2 = 0,01
k = Cp / Cv = 1,33
d2 = 10 mm
k
 2  k −1
∴ Pc = P1 
= 2 × 10 5 × 0,54 = 1.08 × 10 5 N / m 2

k
+
1


Untuk mendapatkan maximum discharge , Pc = Pt = 1,08 × 10 5 N / m 2
∴ Berdasarkan hitungan isentropik
1, 33−1
P
T2 = T1  2
 P1
 k −1
1,08  1, 33

= 1773
= 1521K
 2 
 k
2
2

V1  
V2 
∴ Menghitung V2 = h 1 +
 = h2 +

2  
2 

V2 = 2(h1 − h2 ) + V1
& =
m
P2V2
RT2
2
⇒ h1 − h2 = ∆h = Cp (T1 − T2 )
= 2 × 289800 + 0
= 1150(1773 - 1521)
= 761 m/s
= 289,8 × 10 3 J / Kg
& = V ⋅ A = 761 ⋅ π ⋅ 0.01 = 0,06m 3 / s
→ V
2
2
2
4
2
R = Cp − Cv = 1150 − 865 = 285 J / Kg ⋅ K
1.08 × 10 5 × 0,06
= 0,0149 Kg / s
285 × 1521
Gaya dorong = laju perubahan momentum
& (V2 − V1 )
=m
& =
m
= 0,0149 × 761 = 11,3 N
Contoh-Contoh Soal Bab IV.
1. 5 Kg udara pada tekanan 10 bar berekspansi secara isothermal menuju tekanan 2 bar,
kemudian ditekan kembali pada tekanan awalnya memenuhi persamaan politropik PV1.3 =
konstan. Cp = 1005 J/Kg ; Cv = 718 J/Kg. Hitung perubahan entropi selama menjalani 2
proses tersebut.
Data : P1 = 10 bar
T1 = T2 (isothermal)
P2 = 2 bar
m = 5 Kg
P3 = P1 = 10 bar
n = 1,3
P
T
1
P1 = P3
2
3
1
2
S1
S3
S2
P2
2
S
S
S1 =SS2 = S
2
3
1-2 : Isoterm (T = konstan)
2-3 : Politropik (grafik lebih curam)
S 2 − S1 = Cp ln
T2
P
− R ln 2
T1
P1
Proses Politropik
n−1
T3  P3 
= 
T2  P2 
= 1,45
2
= 0 - 287 ln
10
= 462 J/Kg ⋅ K
S 2 − S 3 = Cp ln
n
1,3−1
10 1,3
= 
2
T3
P
− R ln 3
T2
P2
= -89 J/Kg ⋅ K
∴ S 3 − S1 = (S 2 − S1 ) − (S 2 − S 3 )
= 373 J/Kg ⋅ K ⇒ 5 Kg udara
S 3 − S1 = 5 × 373 J/Kg ⋅ K
= 1865 J/K
2. Dalam sebuah turbin, uap pada 10 bar dan 500 oC memasuki convergent-divergent nozzle
dan diekspansikan secara isentropik ke tekanan 0,2 bar. Laju alir massa uap 100 kg/h.
hitung kecepatan pada throat dan sisi exit nozzle. Hitung juga diameter exit nozzle [data
tambahan: k = 1,3 ; keadaan uap panas lanjut h1 = 3480 kJ/kg ; hthroat = 3275 kJ/kg ; h2 =
2560 kJ/kg ; fraksi uap X2 = 0,98 , volume specifik pada sisi exit V2 = 7,648 m3/kg].
Convergent-divergent nozzle.
1
2
k
 2  k +1
= P1 

 n + 1
= 5,45 bar
P1 = 10 bar
Pthroat
T1 =773 K
Tthroat = …..?
m& = 100 kg/h
Vthroat = 2(h1 − hthroat ) + V1
→ V1 ≈ 0
2
→ jika h throat tidak tersedia datanya
= ......m/s
V2 = 2(h1 − h2 ) + V1
dalam soal maka harus dicari dalam
2
tabel thermodinamika, berdasarkan
= ......m/s
nilai Pthroat & Tthroat.
volume spesifik pada sisi 2 :
V&2 = Vg 2 × 0,98 ≈ 7,5 m 3 / kg
Laju alir massa
m& =
A2 × V2
V&2
[kg / s] = [m3 / s ] = [kg / s ]
[m3 / kg ]
A2 = ……. m2 ⇒
¼ πD22
D2 = ……. mm
3. Gas hasil pembakaran memasuki nozzle mesin jet pada 3,8 bar dan 820 oC. Nozzle
terisolasi sempurna (proses adiabatik), gas berekspansi ke 1,1 bar ; Cp=1150 J/Kg ; k = n
= 1,32. hitung temperatur
dan kecepatan gas pada sisi exit nozzle, dengan asumsi
kecepatan pada sisi inlet dapat diabaikan !
Proses ekspansi politropik
k −1
1
2
P2 = 1,1 bar
V2 = …?
T2 = …?
P  k
T2 = T1  2 
 P1 
= 809,3 K
P1 = 3,8 bar
t1 = 820 oC = 1093 K
V1= 0
V2 = 2(h1 − h2 + V1
2
= 808 m/s
h1= Cp T1
= 12,7.105 J/Kg
h2 = 9,307.105 J/Kg
Soal-Soal.
1. 5 kg udara dalam sistem tertutup berekspansi secara reversibel dengan entropi konstan dari
300 kPa (abs), 60oC, menuju 150 kPa (abs). Hitung temperatur pada akhir proses ekspansi.
Tunjukkan titik-titik proses tersebut dalam diagram T-s. [T = 273 K]
2. Udara diekspansi dalam aliran steadi melalui sebuah turbin. Kondisi awalnya 1300oC dan
2.0 Mpa (abs). Kondisi akhir proses 500oC dan tekanan atmosferik. Tunjukkan proses
tersebut pada Diagram T-s. Hitung perubahan ebergi dalam, entalpi dan entropi proses
tersebut. [∆u = -574 kJ/kg; ∆h = -803 kJ/kg; ∆s = 143 J/(K.kg)]
3. Gas hasil pembakaran memasuki convergent nozzle mesin jet pada 3.8 bar dan 820oC.
Nozzle terisolasi sempurna (proses adiabatis), gas berekspansi ke 1.1 bar. Cp=1150 J/kg.K;
Cv=865 J/kg.K, asumsikan proses yang terjadi isentropis (k=1.4).
a. Hitung Temperatur dan kecepatan gas pada sisi exit nozzle, dengan asumsi
kecepatan pada sisi inlet dapat diabaikan.
b. Jika diameter sisi exit nozzle sebesar 11 mm, hitung besarnya gaya dorong yang
terjadi.
Jika engkau menutup pintumu dari semua kesalahan, maka
kebenaran-pun akan ikut terhalang masuk.
-- Rabindranath Tagore --