Toán cao cấp 2
(Giải tích hàm một biến thực)
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn
Faculty of Science, Electric Power University
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
1 / 95
Mục lục
1
Chương I: Giới hạn và tính liên tục của hàm số
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
2 / 95
Mục lục
1
Chương I: Giới hạn và tính liên tục của hàm số
2
Chương II: Đạo hàm và vi phân
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
2 / 95
Mục lục
1
Chương I: Giới hạn và tính liên tục của hàm số
2
Chương II: Đạo hàm và vi phân
3
Chương III: Tích phân
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
2 / 95
Mục lục
1
Chương I: Giới hạn và tính liên tục của hàm số
2
Chương II: Đạo hàm và vi phân
3
Chương III: Tích phân
4
Chương IV: Chuỗi
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
2 / 95
Chương 1: Giới hạn và tính liên tục của hàm số
Bài 1: Giới hạn của hàm số
Bài 2: Hàm số liên tục
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
3 / 95
Bài 1. Giới hạn của hàm số
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
4 / 95
Bài 1. Giới hạn của hàm số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho D là một tập con của R và f : D → R, x 7→ f (x) là hàm số xác
định trên D.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
4 / 95
Bài 1. Giới hạn của hàm số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho D là một tập con của R và f : D → R, x 7→ f (x) là hàm số xác
định trên D.
Định nghĩa 1: (Ngôn ngữ ε − δ) Ta nói rằng số A là giới hạn của
f (x) khi x tiến tới x0 , nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với
mỗi x ∈ D mà 0 < |x − x0 | < δ thì |f (x) − A| < ε.
Ký hiệu: lim f (x) = A, hoặc f (x) → A khi x → x0 .
x→x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
4 / 95
Bài 1. Giới hạn của hàm số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho D là một tập con của R và f : D → R, x 7→ f (x) là hàm số xác
định trên D.
Định nghĩa 1: (Ngôn ngữ ε − δ) Ta nói rằng số A là giới hạn của
f (x) khi x tiến tới x0 , nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với
mỗi x ∈ D mà 0 < |x − x0 | < δ thì |f (x) − A| < ε.
Ký hiệu: lim f (x) = A, hoặc f (x) → A khi x → x0 .
x→x0
Định nghĩa 2: (Ngôn ngữ dãy) Ta nói rằng số A là giới hạn của
f (x) khi x tiến tới x0 , nếu với mọi dãy số {xn } ⊂ D mà xn → x0 khi
n → ∞ thì f (xn ) → A khi n → ∞.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
4 / 95
Chú ý: Định nghĩa 1 ⇔ Định nghĩa 2
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
5 / 95
Chú ý: Định nghĩa 1 ⇔ Định nghĩa 2
Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa trên, chứng minh rằng
x2 − 1
= 2.
x→1 x − 1
lim
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
5 / 95
Chú ý: Định nghĩa 1 ⇔ Định nghĩa 2
Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa trên, chứng minh rằng
x2 − 1
= 2.
x→1 x − 1
lim
Ví dụ 2: Sử dụng định nghĩa trên, chứng minh rằng
lim sin x = sin x0 .
x→x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
5 / 95
1.2. Các tính chất cơ bản
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
6 / 95
1.2. Các tính chất cơ bản
Định lý 1: Nếu tồn tại giới hạn lim f (x) thì giới hạn này là duy
x→x0
nhất.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
6 / 95
1.2. Các tính chất cơ bản
Định lý 1: Nếu tồn tại giới hạn lim f (x) thì giới hạn này là duy
x→x0
nhất.
Định lý 2: Giả sử lim f (x) = A và lim g(x) = B. Khi đó
x→x0
x→x0
(1) lim [f (x) ± g(x)] = A ± B
x→x0
(2) lim [f (x).g(x)] = A.B
x→x0
(3) lim
x→x0
giảng viên
f (x)
A
=
g(x)
B
(nếu B 6= 0)
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
6 / 95
Định lý 3: (Nguyên lý kẹp) Giả sử ta có bất đẳng thức
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
đúng với mọi x thuộc lân cận nào đó của x0 (có thể trừ ra điểm x0 )
và
lim g(x) = lim h(x) = A
x→x0
x→x0
Khi đó: lim f (x) = A.
x→x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
7 / 95
Định lý 3: (Nguyên lý kẹp) Giả sử ta có bất đẳng thức
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
đúng với mọi x thuộc lân cận nào đó của x0 (có thể trừ ra điểm x0 )
và
lim g(x) = lim h(x) = A
x→x0
x→x0
Khi đó: lim f (x) = A.
x→x0
Ví dụ 3: Chứng minh rằng giới hạn
lim sin
x→0
1
x
không tồn tại.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
7 / 95
Ví dụ 4: Tìm giới hạn
lim x sin
x→0
giảng viên
1
x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
8 / 95
Ví dụ 4: Tìm giới hạn
lim x sin
x→0
1
x
1.3. Giới hạn trái và giới hạn phải
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
8 / 95
Ví dụ 4: Tìm giới hạn
lim x sin
x→0
1
x
1.3. Giới hạn trái và giới hạn phải
Giới hạn trái: lim f (x) = A khi và chỉ khi
x→x−
0
(
lim f (x) = A
x→x0
x < x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
8 / 95
Giới hạn phải: lim+ f (x) = A khi và chỉ khi
x→x0
(
lim f (x) = A
x→x0
x > x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
9 / 95
Giới hạn phải: lim+ f (x) = A khi và chỉ khi
x→x0
(
lim f (x) = A
x→x0
x > x0
Định lý 4: Tồn tại giới hạn lim f (x) = A khi và chỉ khi
x→x0
lim− f (x) = lim+ f (x) = A
x→x0
giảng viên
x→x0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
9 / 95
Giới hạn phải: lim+ f (x) = A khi và chỉ khi
x→x0
(
lim f (x) = A
x→x0
x > x0
Định lý 4: Tồn tại giới hạn lim f (x) = A khi và chỉ khi
x→x0
lim− f (x) = lim+ f (x) = A
x→x0
x→x0
√
Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) =
x − 4, nếu x > 4
8 − 2x, nếu x < 4
xác định xem giới hạn lim f (x) có tồn tại hay không ?
x→4
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
9 / 95
1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
10 / 95
1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn
a) Vô cùng bé: Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé khi
x → x0 , nếu
lim f (x) = 0
x→x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
10 / 95
1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn
a) Vô cùng bé: Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé khi
x → x0 , nếu
lim f (x) = 0
x→x0
b) Vô cùng lớn: Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng lớn khi
x → x0 , nếu
lim |f (x)| = +∞
x→x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
10 / 95
1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn
a) Vô cùng bé: Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng bé khi
x → x0 , nếu
lim f (x) = 0
x→x0
b) Vô cùng lớn: Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng lớn khi
x → x0 , nếu
lim |f (x)| = +∞
x→x0
Nhận xét: Nếu f (x) là VCB thì
1
f (x)
là VCL và ngược lại. Do đó ta
chỉ trình bày các vấn đề về VCB.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
10 / 95
Mệnh đề: Giả sử f (x) và g(x) là hai VCB khi x → x0 . Khi đó
f (x) ± g(x) và f (x).g(x)
cũng là các VCB khi x → x0 .
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
11 / 95
Mệnh đề: Giả sử f (x) và g(x) là hai VCB khi x → x0 . Khi đó
f (x) ± g(x) và f (x).g(x)
cũng là các VCB khi x → x0 .
c) So sánh các vô cùng bé: Giả sử f (x) và g(x) là hai VCB khi
x → x0 . Ta nói rằng
(i) f (x) là VCB bậc cao hơn g(x), nếu
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
Ký hiệu f (x) = o g(x) khi x → x0 .
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
11 / 95
(ii) f (x) và g(x) là hai VCB cùng bậc, nếu
lim
x→x0
f (x)
= C (const 6= 0)
g(x)
Ký hiệu f (x) = O g(x) khi x → x0 .
Đặc biệt: Khi C = 1, ta nói rằng f (x) và g(x) là hai VCB tương
đương và ký hiệu
f (x) ∼ g(x), x → x0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
12 / 95
Bài 2. Hàm số liên tục
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
13 / 95
Bài 2. Hàm số liên tục
2.1. Khái niệm về hàm liên tục
Cho f (x) là hàm số xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0 .
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
13 / 95
Bài 2. Hàm số liên tục
2.1. Khái niệm về hàm liên tục
Cho f (x) là hàm số xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0 .
Định nghĩa: - Hàm f (x) gọi là liên tục tại điểm x0 nếu
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
- Nếu hàm f (x) không liên tục tại điểm x0 , thì ta nói nó gián đoạn
tại điểm x0 .
- Hàm f (x) gọi là liên tục trên tập D nếu nó liên tục tại mọi x ∈ D.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
13 / 95
Bài 2. Hàm số liên tục
2.1. Khái niệm về hàm liên tục
Cho f (x) là hàm số xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0 .
Định nghĩa: - Hàm f (x) gọi là liên tục tại điểm x0 nếu
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
- Nếu hàm f (x) không liên tục tại điểm x0 , thì ta nói nó gián đoạn
tại điểm x0 .
- Hàm f (x) gọi là liên tục trên tập D nếu nó liên tục tại mọi x ∈ D.
Nhận xét: Hàm f (x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi
lim f (x) = lim f (x) = f (x0 )
x→x−
0
giảng viên
x→x+
0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
13 / 95
2.2. Các tính chất cơ bản về hàm liên tục
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
14 / 95
2.2. Các tính chất cơ bản về hàm liên tục
Định lý 1: a) Nếu hai hàm số f (x) và g(x) liên tục tại điểm x0 , thì
các hàm
f (x) + g(x); f (x).g(x);
f (x)
g(x)
với g(x0 ) 6= 0
cũng liên tục tại điểm x0 .
b) Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x0 và hàm số g(y) liên tục tại y0
với y0 = f (x0 ), thì hàm số hợp g(f (x)) cũng liên tục tại x0 .
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
14 / 95
2.2. Các tính chất cơ bản về hàm liên tục
Định lý 1: a) Nếu hai hàm số f (x) và g(x) liên tục tại điểm x0 , thì
các hàm
f (x) + g(x); f (x).g(x);
f (x)
g(x)
với g(x0 ) 6= 0
cũng liên tục tại điểm x0 .
b) Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại x0 và hàm số g(y) liên tục tại y0
với y0 = f (x0 ), thì hàm số hợp g(f (x)) cũng liên tục tại x0 .
Định lý 2: (Định lý Bolzano-Cauchy) Giả sử hàm số f (x) liên tục
trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0. Khi đó tồn tại điểm x0 ∈ (a; b) sao
cho f (x0 ) = 0.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
14 / 95
Định lý 3: Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng
1. Hàm đa thức
3. Hàm căn thức
2. Hàm phân thức hữu tỉ
4. Hàm lượng giác
5. Hàm lượng giác ngược
6. Hàm số mũ
7. Hàm số logarit
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
15 / 95
Định lý 3: Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng
1. Hàm đa thức
3. Hàm căn thức
2. Hàm phân thức hữu tỉ
4. Hàm lượng giác
5. Hàm lượng giác ngược
6. Hàm số mũ
7. Hàm số logarit
2.3. Một số ví dụ
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
15 / 95
Định lý 3: Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng
1. Hàm đa thức
3. Hàm căn thức
2. Hàm phân thức hữu tỉ
4. Hàm lượng giác
5. Hàm lượng giác ngược
6. Hàm số mũ
7. Hàm số logarit
2.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau
1) f (x) =
giảng viên
x2 − x − 2
x−2
2) f (x) =

 x2 − x − 2
nếu x 6= 2
1
nếu x = 2
x−2
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
15 / 95
Ví dụ 2. Xác định miền liên tục của các hàm số sau
1) f (x) =
giảng viên
ln x + tan−1 x
x2 − 1
2) f (x) = ln(1 + cos x)
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
16 / 95
Ví dụ 2. Xác định miền liên tục của các hàm số sau
1) f (x) =
ln x + tan−1 x
x2 − 1
2) f (x) = ln(1 + cos x)
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0
có nghiệm nằm giữa 1 và 2.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
16 / 95
Ví dụ 2. Xác định miền liên tục của các hàm số sau
1) f (x) =
ln x + tan−1 x
x2 − 1
2) f (x) = ln(1 + cos x)
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình
4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0
có nghiệm nằm giữa 1 và 2.
Ví dụ 4. Xác định a để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó
(
f (x) =
giảng viên
sin3 x
x
a
nếu x 6= 0
nếu x = 0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
16 / 95
Bài tập chương 1
A. Giới hạn hàm số
πx
x→1
2
√
√
3
x+1− 1−x
3) lim
x→0
x
1) lim (1 − x) tan
5) lim
x→∞
x2 + 1
x2
x2 +1
tan x − sin x
x→0
x3
7) lim
giảng viên
cos x − cos 2x
x→0
1 − cos x
2) lim
2
ex − cos x
4) lim
x→0
x sin x
√
√
cos x − 3 cos x
6) lim
x→0
sin2 x
1
8) lim (1 + sin x) x
x→0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
17 / 95
ln(1 + tan x)
x→0 x2 + sin3 x
π
x
11) lim x
− arctan
x→+∞
4
x+1
9) lim
sin x − π3
13) limπ
x→ 3 1 − 2 cos x
arcsin √
1 − x2
ln(1 − x)
10) lim
x→0
ln(cos x)
x→0 tan2 x
12) lim
15) lim
x→0
sin x
x
17) lim
x→+∞
giảng viên
14) lim
x2 + 5x + 4
x2 − 3x + 7
p
x
x→0+
1
1−cos
x
x
√
cos x
ln(cos x)
x→0 ln(1 + x2 )
√
√
1+x− 1−x
√
18) lim √
x→0 3 1 + x − 3 1 − x
16) lim
x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
18 / 95
19) So sánh các VCB sau khi x → 0
a) f (x) = x2 và g(x) = sin x
b) f (x) =
p
x(1 − x) và g(x) = x
c) f (x) = 2x cos x và g(x) = x
d) f (x) = xe3x và g(x) = x
e) f (x) = ln(1 + 2x) và g(x) = x
√
f) f (x) = ln(1 + x sin x) và g(x) = x
p
√
g) f (x) = 3 1 + x − 1 và g(x) = x
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
19 / 95
B. Hàm số liên tục
1) Tìm f (0) để hàm số sau liên tục tại x = 0
f (x) =
eax − ebx
x
2) Xác định a để hàm số sau liên tục tại x = 0
f (x) =

 sin x2
nếu x 6= 0
ex + 1
a
nếu x = 0
4
3) Xác định a để hàm số sau liên tục trên R
f (x) =
giảng viên
x+1
3 − ax2
nếu x ≤ 1
nếu x > 1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
20 / 95
4) Xác định a, b để hàm số sau liên tục trên R
f (x) =


−2 sin x


a sin x + b


cos x
π
nếu x ≤ −
π 2
π
nếu − < x <
2π
2
nếu x ≥
2
5) Xét tính liên tục của hàm số sau trên R
(
f (x) =
giảng viên
x −1 πx
cos
2
nếu |x| > 1
nếu |x| ≤ 1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
21 / 95
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Bài 1: Đạo hàm và vi phân
Bài 2: Các định lý cơ bản về hàm khả vi
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
22 / 95
Bài 1. Đạo hàm và vi phân
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
23 / 95
Bài 1. Đạo hàm và vi phân
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm x0 . Ta đặt
4x = x − x0 , x 6= x0
4y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + 4x) − f (x0 ).
Ta gọi 4x là số gia của biến số tại điểm x0 và gọi 4y là số gia của
hàm số tương ứng.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
23 / 95
Bài 1. Đạo hàm và vi phân
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm x0 . Ta đặt
4x = x − x0 , x 6= x0
4y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + 4x) − f (x0 ).
Ta gọi 4x là số gia của biến số tại điểm x0 và gọi 4y là số gia của
hàm số tương ứng.
Định nghĩa 1: a) Đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x0 , ký hiệu bởi
f 0 (x0 ), được xác định bởi giới hạn (hữu hạn)
4y
4x→0 4x
f 0 (x0 ) = lim
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
23 / 95
b) Hàm số f (x) gọi là khả vi tại điểm x0 nếu ta biểu diễn được
4y = A.4x + o(4x), khi 4x → 0
ở đây A = const.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
24 / 95
b) Hàm số f (x) gọi là khả vi tại điểm x0 nếu ta biểu diễn được
4y = A.4x + o(4x), khi 4x → 0
ở đây A = const.
Nhận xét:
(i) Đạo hàm ⇔ Khả vi. Khi đó ta có: A = f 0 (x0 ).
(ii) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại
điểm ấy (Điều ngược lại nói chung không đúng).
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
24 / 95
b) Hàm số f (x) gọi là khả vi tại điểm x0 nếu ta biểu diễn được
4y = A.4x + o(4x), khi 4x → 0
ở đây A = const.
Nhận xét:
(i) Đạo hàm ⇔ Khả vi. Khi đó ta có: A = f 0 (x0 ).
(ii) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại
điểm ấy (Điều ngược lại nói chung không đúng).
Định nghĩa 2: Ta gọi vi phân của hàm số f (x) tại điểm x là biểu
thức
df (x) = f 0 (x)dx
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
24 / 95
Ví dụ 1: Tìm những điểm mà tại đó hàm số f (x) = |x| là khả vi ?
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
25 / 95
Ví dụ 1: Tìm những điểm mà tại đó hàm số f (x) = |x| là khả vi ?
1.2. Các tính chất cơ bản
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
25 / 95
Ví dụ 1: Tìm những điểm mà tại đó hàm số f (x) = |x| là khả vi ?
1.2. Các tính chất cơ bản
Định lý 1: Giả sử tồn tại các đạo hàm u0 (x) và v 0 (x). Khi đó
1) (u ± v)0 = u0 ± v 0
2) (u.v)0 = u0 v + uv 0
u 0 u0 v − uv 0
3)
=
v
v2
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
25 / 95
Ví dụ 1: Tìm những điểm mà tại đó hàm số f (x) = |x| là khả vi ?
1.2. Các tính chất cơ bản
Định lý 1: Giả sử tồn tại các đạo hàm u0 (x) và v 0 (x). Khi đó
1) (u ± v)0 = u0 ± v 0
2) (u.v)0 = u0 v + uv 0
u 0 u0 v − uv 0
3)
=
v
v2
Định lý 2: (Đạo hàm hàm số hợp) Cho hàm số hợp y = f (u), với
u = u(x). Khi đó
yx0 = yu0 .u0x
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
25 / 95
Định lý 3: (Đạo hàm hàm số ngược) Giả sử hàm số y = f (x) có
hàm số ngược x = g(y). Khi đó
yx0 =
giảng viên
1
x0y
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
26 / 95
Định lý 3: (Đạo hàm hàm số ngược) Giả sử hàm số y = f (x) có
hàm số ngược x = g(y). Khi đó
yx0 =
1
x0y
Định lý 4: (Đạo hàm theo tham số) Giả sử hàm số y = f (x) có
dạng tham số
x = x(t)
y = y(t)
(t là tham số)
Khi đó
yx0 =
giảng viên
yt0
x0t
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
26 / 95
Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm
Hàm số
giảng viên
1) y = C
y0 = 0
2) y = xα
y 0 = αxα−1
3) y = sin x
y 0 = cos x
4) y = cos x
y 0 = − sin x
5) y = tan x
y0 =
1
cos2 x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
27 / 95
giảng viên
6) y = cot x
y 0 = − sin12 x
7) y = ax ; y = ex
y 0 = ax ln a; y 0 = ex
8) y = loga x; y = ln x
y0 =
1
0
x ln a ; y
9) y = arcsin x
y0 =
√ 1
1−x2
10) y = arccos x
1
y 0 = − √1−x
2
11) y = arctan x
y0 =
12) y = arccot x
1
y 0 = − 1+x
2
=
1
x
1
1+x2
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
28 / 95
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = xx (0 < x 6= 1).
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
29 / 95
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = xx (0 < x 6= 1).
Ví dụ 3: Khảo sát tính khả vi của hàm số sau tại điểm x = 0
1)
2)
giảng viên
x sin x1
0
x2 sin x1
0
f (x) =
f (x) =
nếu x 6= 0
nếu x = 0
nếu x 6= 0
nếu x = 0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
29 / 95
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = xx (0 < x 6= 1).
Ví dụ 3: Khảo sát tính khả vi của hàm số sau tại điểm x = 0
1)
2)
x sin x1
0
x2 sin x1
0
f (x) =
f (x) =
nếu x 6= 0
nếu x = 0
nếu x 6= 0
nếu x = 0
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược
1)
giảng viên
f (x) = arcsin x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
29 / 95
2)
3)
4)
giảng viên
f (x) = arccos x
f (x) = arctan x
f (x) = arccot x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
30 / 95
2)
3)
4)
f (x) = arccos x
f (x) = arctan x
f (x) = arccot x
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có dạng tham số
x = t3 + 3t + 1
y = t3 − 3t + 1
(t là tham số)
00
1) Tìm các đạo hàm yx0 và yxx
2) Tìm cực trị của hàm số trên.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
30 / 95
1.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
31 / 95
1.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Định nghĩa 3: Đạo hàm cấp n của hàm số f (x) được định nghĩa bởi
công thức
f (n) (x) = [f (n−1) (x)]0
Quy ước: f (0) (x) = f (x).
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
31 / 95
1.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Định nghĩa 3: Đạo hàm cấp n của hàm số f (x) được định nghĩa bởi
công thức
f (n) (x) = [f (n−1) (x)]0
Quy ước: f (0) (x) = f (x).
Định nghĩa 4: Vi phân cấp n của hàm số f (x) được định nghĩa bởi
công thức
dn f (x) = d[dn−1 f (x)]
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
31 / 95
Định lý 5: (Công thức Leibnitz) Cho các hàm số u = u(x) và
v = v(x). Khi đó
(n)
(uv)
=
n
X
Cnk u(k) v (n−k)
k=0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
32 / 95
Định lý 5: (Công thức Leibnitz) Cho các hàm số u = u(x) và
v = v(x). Khi đó
(n)
(uv)
=
n
X
Cnk u(k) v (n−k)
k=0
Ví dụ 6: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số
giảng viên
1
1+x
1)
f (x) =
3)
f (x) = sin x
2)
4)
1
1−x
x2
f (x) = √
1+x
f (x) =
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
32 / 95
Bài 2. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
33 / 95
Bài 2. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
2.1. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
33 / 95
Bài 2. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
2.1. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
Định lý Fermat: Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 và tồn tại
f 0 (x0 ). Khi đó f 0 (x0 ) = 0.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
33 / 95
Bài 2. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
2.1. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
Định lý Fermat: Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 và tồn tại
f 0 (x0 ). Khi đó f 0 (x0 ) = 0.
Định lý Rolle: Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b], khả vi
trên khoảng (a; b), f (a) = f (b). Khi đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho
f 0 (x0 ) = 0.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
33 / 95
Bài 2. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
2.1. Các định lý cơ bản về hàm khả vi
Định lý Fermat: Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 và tồn tại
f 0 (x0 ). Khi đó f 0 (x0 ) = 0.
Định lý Rolle: Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b], khả vi
trên khoảng (a; b), f (a) = f (b). Khi đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho
f 0 (x0 ) = 0.
Định lý Lagrange: Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b], khả
vi trên khoảng (a; b). Khi đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
33 / 95
f (b) − f (a)
= f 0 (x0 )
b−a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
34 / 95
f (b) − f (a)
= f 0 (x0 )
b−a
Định lý Cauchy: Giả sử các hàm số f (x) và g(x) liên tục trên đoạn
[a; b], khả vi trên khoảng (a; b) và g 0 (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a; b). Khi
đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a)
f 0 (x0 )
= 0
g(b) − g(a)
g (x0 )
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
34 / 95
f (b) − f (a)
= f 0 (x0 )
b−a
Định lý Cauchy: Giả sử các hàm số f (x) và g(x) liên tục trên đoạn
[a; b], khả vi trên khoảng (a; b) và g 0 (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a; b). Khi
đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a)
f 0 (x0 )
= 0
g(b) − g(a)
g (x0 )
2.2. Khai triển Taylor
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
34 / 95
Định lý: Giả sử hàm số f (x) khả vi đến cấp n + 1 trong lân cận của
điểm x0 . Khi đó ta có công thức khai triển
f 0 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n
1!
n!
f (n+1) (x)
+
(x − x0 )(n+1)
(n + 1)!
f (x) = f (x0 ) +
ở đây: x = x0 + θx , 0 < θ < 1.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
35 / 95
Định lý: Giả sử hàm số f (x) khả vi đến cấp n + 1 trong lân cận của
điểm x0 . Khi đó ta có công thức khai triển
f 0 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n
1!
n!
f (n+1) (x)
+
(x − x0 )(n+1)
(n + 1)!
f (x) = f (x0 ) +
ở đây: x = x0 + θx , 0 < θ < 1.
Chú ý: Khi x0 = 0 thì công thức khai triển Taylor còn được gọi là
công thức khai triển Maclaurin.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
35 / 95
Khai triển Maclaurin một số hàm số sơ cấp:
(1)
x
e =
n
X
xk
k=0
(2)
(3)
sin x =
cos x =
k!
n
X
(−1)k x2k+1
k=0
n
X
k=0
giảng viên
+ o(xn )
(2k + 1)!
+ o(x2n+1 )
(−1)k x2k
+ o(x2n )
(2k)!
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
36 / 95
n
(4)
(5)
(6)
(7)
X
1
=
(−1)k xk + o(xn )
1+x
1
=
1−x
k=0
n
X
xk + o(xn )
k=0
ln(1 + x) =
(1 + x)α =
n
X
k=1
n
X
(−1)k−1
α k
x
k
xk
+ o(xn )
k
+ o(xn ), α ∈ R \ {0}.
k=0
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
37 / 95
Quy tắc L’Hospital: Xét giới hạn
lim
x→x0
f (x)
(dạng 0/0, ∞/∞).
g(x)
Khi đó
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
nếu giới hạn ở vế phải là tồn tại.
Chú ý: Khi x → ∞ mà giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, thì ta vẫn
áp dụng được quy tắc L’Hospital.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
38 / 95
Ví dụ: Sử dụng quy tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau
1)
3)
giảng viên
ln x
x→1 x − 1
tan x − x
lim
x→0
x3
lim
2)
4)
ln x
lim √
x→+∞ 3 x
lim xx
x→0+
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
39 / 95
Bài tập chương 2
1) Tính đạo hàm các hàm số sau
q
p
√
a) y = x + x + x
b) y = x|x|
c) y = ln |x|
d) y = x2
x
2) Cho hàm số y = x2 e−x . Tính dy, d2 y. Từ đó tìm cực trị hàm số.
3) Cho hàm số y =
giảng viên
ln x
. Tính dy, d2 y. Từ đó tìm cực trị hàm số.
x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
40 / 95
1
4) Cho hàm số y = e x − x
a) Tính vi phân dy tại x0 = −1, ∆x = 0, 1.
b) Khi x > 0, chứng minh rằng phương trình y = 0 có nghiệm duy
nhất.
5) Cho hàm số y = a ln x + bx2 + x
Tìm a, b để hàm số đạt cực trị tại x1 = 1, x2 = 2. Đó là cực trị loại
nào ?
6) Cho hàm số
sin3 x
, x 6= 0
x
a, x = 0
(
f (x) =
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
41 / 95
a) Tìm a để hàm số liên tục trên miền xác định
b) Với a vừa tìm được hãy xét tính khả vi của hàm số tại x = 0.
7) Cho hàm số
x = 2t − t2
y = 3t − t3
00
a) Tìm các đạo hàm yx0 , yxx
b) Tìm cực trị của hàm số trên.
8) Cho hàm số
f (x) =
giảng viên
1 − cos x, x < 0
ln(1 + x) − x, x ≥ 0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
42 / 95
a) Khảo sát tính liên tục của hàm số trên miền xác định
b) Hàm số có khả vi tại x = 0 hay không.
9) Cho hàm số
f (x) =
2x cos x, x < 0
sin 2x, x ≥ 0
a) Khảo sát tính liên tục của hàm số trên miền xác định
b) Hàm số có khả vi tại x = 0 hay không.
10) Cho hàm số
(
f (x) =
(x2 − 1) sin
a,
giảng viên
π
,
x−1
x 6= 1
x=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
43 / 95
Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1. Xét tính khả vi của hàm số tại
x = 1.
11) Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a) y = cos2 x
b) y = sin ax + cos bx
c) y = sin4 x + cos4 x
ax + b
d) y =
cx + d
1+x
e) y = √
1−x
1
f) y = 2
x −x
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
44 / 95
12) Tìm các giới hạn sau bằng quy tắc L’Hospital
tan x − x
a) lim
x→0 x − sin x
3 tan4 x − 12 tan x
b) lim
x→0 sin 4x − 12 sin x
√
3
tan x − 1
c) lim
x→π/4 2 sin2 x − 1
ax − x a
d) lim
x→a x − a
sin x − x cos x
e) lim
x→0
sin3 x
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
45 / 95
3
ex − 1 − x3
f) lim
x→0
sin6 x
2
g) lim x ln
arctan x
x→+∞
π
h) lim
h
x→0
(1+x)1/x
e
i1/x
i) lim | ln x|2x
x→0+
j) lim
x→∞
tan
k) lim xx
x
πx
2x + 1
1/x
−1
x→0+
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
46 / 95
Chương 3: Tích phân
Bài 1: Tích phân xác định
Bài 2: Tích phân suy rộng
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
47 / 95
Bài 1. Tích phân xác định
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
48 / 95
Bài 1. Tích phân xác định
1.1. Khái niệm tích phân xác định
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
48 / 95
Bài 1. Tích phân xác định
1.1. Khái niệm tích phân xác định
Định nghĩa: Tích phân xác định của hàm số f (x) từ a đến b được
định nghĩa
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→∞
n
X
f (ci )∆xi
i=1
trong đó x0 = a < x1 < ... < xn = b là một phân hoạch tùy ý của
đoạn [a; b] và ci ∈ [xi−1 ; xi ] là một điểm tùy ý, ∆xi = xi − xi−1 .
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
48 / 95
Bài 1. Tích phân xác định
1.1. Khái niệm tích phân xác định
Định nghĩa: Tích phân xác định của hàm số f (x) từ a đến b được
định nghĩa
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→∞
n
X
f (ci )∆xi
i=1
trong đó x0 = a < x1 < ... < xn = b là một phân hoạch tùy ý của
đoạn [a; b] và ci ∈ [xi−1 ; xi ] là một điểm tùy ý, ∆xi = xi − xi−1 .
1.2. Các tính chất cơ bản
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
48 / 95
b
Z
a
Z
f (x)dx = −
(1)
f (x)dx
a
b
(2) Nếu α, β là các hằng số, thì
Z
b
b
Z
[αf (x) ± βg(x)]dx = α
a
Z
a
b
Z
(3)
Z
f (x)dx =
a
c
g(x)dx
a
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx ± β
b
f (x)dx
c
(4) Nếu f (x) ≥ g(x) với mọi x ∈ [a; b], thì
Z
b
b
Z
f (x)dx ≥
a
giảng viên
g(x)dx
a
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
49 / 95
(5) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a; b] thì
Z
m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
50 / 95
(5) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a; b] thì
Z
m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
Định lý 1: Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a; b], thì ∃c ∈ [a; b] sao cho
Z
b
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
50 / 95
(5) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a; b] thì
Z
m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
Định lý 1: Nếu f (x) liên tục trên đoạn [a; b], thì ∃c ∈ [a; b] sao cho
Z
b
f (x)dx = f (c)(b − a)
a
Định lý 2: (Công thức Newton-Leibnitz)
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a), F 0 (x) = f (x)
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
50 / 95
1.3. Một số ứng dụng của tích phân xác định
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
51 / 95
1.3. Một số ứng dụng của tích phân xác định
a) Diện tích miền phẳng: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các
đường: y = f (x), y = 0, x = a, x = b, (a < b), cho bởi công thức
Z
b
|f (x)|dx
S=
(1)
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
51 / 95
1.3. Một số ứng dụng của tích phân xác định
a) Diện tích miền phẳng: Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các
đường: y = f (x), y = 0, x = a, x = b, (a < b), cho bởi công thức
Z
b
|f (x)|dx
S=
(1)
a
Mở rộng:
(i) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = f (x), y = g(x),
x = a, x = b, (a < b), cho bởi công thức
Z
b
|f (x) − g(x)|dx
S=
(2)
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
51 / 95
(ii) Nếu đường cong y = f (x) có phương trình tham số
x = x(t)
y = y(t)
(t1 ≤ t ≤ t2 )
thì công thức (1) trở thành
t2
Z
|y(t)x0 (t)|dt
S=
(3)
t1
(iii) Nếu đường cong y = f (x) có phương trình trong tọa độ cực
r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2
thì công thức (1) trở thành
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
52 / 95
1
S=
2
giảng viên
Z
ϕ2
r2 (ϕ)dϕ
(4)
ϕ1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
53 / 95
1
S=
2
Z
ϕ2
r2 (ϕ)dϕ
(4)
ϕ1
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x2 + y 2 = R 2
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
53 / 95
1
S=
2
Z
ϕ2
r2 (ϕ)dϕ
(4)
ϕ1
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x2 + y 2 = R 2
Ví dụ 2: Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường
giảng viên
1)
y = x2 , y = 2x − x2
2)
y = x − 1, y 2 = 2x + 6
3)
y = |x|, y = x2 − 2
4)
y = 3x2 , y = 8x2 , 4x + y = 4, x ≥ 0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
53 / 95
b) Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay thu
được khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = f (x), y = 0,
x = a, x = b, (a < b), xung quanh trục Ox cho bởi công thức
Z
V =π
b
[f (x)]2 dx
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
54 / 95
b) Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay thu
được khi quay miền phẳng giới hạn bởi các đường: y = f (x), y = 0,
x = a, x = b, (a < b), xung quanh trục Ox cho bởi công thức
Z
V =π
b
[f (x)]2 dx
a
Ví dụ 3: Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay miền
phẳng giới hạn bởi các đường
1) y = 1 − x2 , y = 0 xung quanh trục Ox
√
2) y = 25 − x2 , y = 0, x = 2, x = 4 xung quanh trục Ox
√
3) x = 2 y, x = 0, y = 9 xung quanh trục Oy
4) y = ln x, y = 1, y = 2, x = 0 xung quanh trục Oy
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
54 / 95
c) Độ dài đường cong phẳng:
(i) Độ dài đường cong phẳng y = f (x), a ≤ x ≤ b, cho bởi công thức
L=
Z bp
1 + [y 0 (x)]2 dx
a
(ii) Độ dài đường cong phẳng có phương trình tham số
x = x(t)
y = y(t)
(t1 ≤ t ≤ t2 )
cho bởi công thức
Z
t2
L=
p
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt
t1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
55 / 95
(iii) Độ dài đường cong phẳng có phương trình trong tọa độ cực
r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2
cho bởi công thức
Z
ϕ2
L=
p
[r(ϕ)]2 + [r0 (ϕ)]2 dϕ
ϕ1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
56 / 95
(iii) Độ dài đường cong phẳng có phương trình trong tọa độ cực
r = r(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2
cho bởi công thức
Z
ϕ2
L=
p
[r(ϕ)]2 + [r0 (ϕ)]2 dϕ
ϕ1
Ví dụ 4: Tìm độ dài các đường cong phẳng sau
1) y = ln(1 − x2 ), 0 ≤ x ≤ 1/2
1
1
2) y = x2 − ln x, 1 ≤ x ≤ e
4
2
1 6
1
3) x = t , y = 2 − t4 , (t là tham số), đoạn đồ thị nằm giữa các
6
4
giao điểm của nó với 2 trục tọa độ.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
56 / 95
4) y = x2/3 , 1 ≤ x ≤ 4
5) y 2 = 4(x + 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2, y > 0
6) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ π/3
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
57 / 95
4) y = x2/3 , 1 ≤ x ≤ 4
5) y 2 = 4(x + 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2, y > 0
6) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ π/3
Ví dụ 5: Cho 2 cột điện cách nhau một khoảng bằng 2a, độ võng
của đường dây (dạng parabol) là h. Tìm độ dài đường dây.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
57 / 95
4) y = x2/3 , 1 ≤ x ≤ 4
5) y 2 = 4(x + 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2, y > 0
6) y = ln(cos x), 0 ≤ x ≤ π/3
Ví dụ 5: Cho 2 cột điện cách nhau một khoảng bằng 2a, độ võng
của đường dây (dạng parabol) là h. Tìm độ dài đường dây.
d) Diện tích mặt tròn xoay: Diện tích mặt tròn xoay sinh bởi cung
đường cong y = f (x), a ≤ x ≤ b khi quay xung quanh trục Ox cho
bởi công thức
b
Z
p
|f (x)|
S = 2π
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
57 / 95
Ví dụ 6: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi cung đường cong
y = tan x, 0 ≤ x ≤ π/4, khi quay xung quanh trục Ox.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
58 / 95
Bài 2. Tích phân suy rộng
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
59 / 95
Bài 2. Tích phân suy rộng
2.1. Tích phân với cận vô cùng (Dạng 1)
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
59 / 95
Bài 2. Tích phân suy rộng
2.1. Tích phân với cận vô cùng (Dạng 1)
Định nghĩa 1: a) Giả sử hàm số f (x) liên tục trên miền [a, +∞).
Khi đó ta định nghĩa
+∞
Z
b
Z
f (x)dx = lim
f (x)dx
b→+∞
a
a
b) Giả sử hàm số f (x) liên tục trên miền (−∞, b]. Khi đó ta định
nghĩa
Z
b
Z
f (x)dx = lim
−∞
giảng viên
a→−∞
b
f (x)dx
a
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
59 / 95
Ta nói rằng các tích phân suy rộng nêu trên là hội tụ nếu giới hạn ở
vế phải là hội tụ (hữu hạn) và gọi là phân kỳ nếu ngược lại.
c) Ta định nghĩa
Z
+∞
Z
c
f (x)dx =
−∞
Z
f (x)dx +
−∞
+∞
f (x)dx
c
với c là hằng số tùy ý.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
60 / 95
Ta nói rằng các tích phân suy rộng nêu trên là hội tụ nếu giới hạn ở
vế phải là hội tụ (hữu hạn) và gọi là phân kỳ nếu ngược lại.
c) Ta định nghĩa
Z
+∞
Z
c
f (x)dx =
−∞
Z
+∞
f (x)dx +
−∞
f (x)dx
c
với c là hằng số tùy ý.
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng sau và tính
giá trị nếu nó hội tụ
Z
+∞
1)
−∞
giảng viên
1
dx
1 + x2
Z
0
xex dx
2)
−∞
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
60 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng (α là
tham số)
Z
a
+∞
dx
, a>0
xα
2.2. Tích phân hàm số không bị chặn (Dạng 2)
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
61 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng (α là
tham số)
Z
a
+∞
dx
, a>0
xα
2.2. Tích phân hàm số không bị chặn (Dạng 2)
Định nghĩa 1: a) Giả sử hàm số f (x) liên tục trên [a, b) và không bị
chặn tại b nghĩa là lim f (x) = ∞ . Khi đó ta định nghĩa
x→b−
b
Z
Z
f (x)dx = lim
a
giảng viên
c→b−
c
f (x)dx
a
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
61 / 95
b)
Giả sử hàm số f (x) liêntục trên (a, b] và không bị chặn tại a
nghĩa là lim f (x) = ∞ . Khi đó ta định nghĩa
x→a+
b
Z
a
b
Z
f (x)dx = lim+
c→a
f (x)dx
c
Ta nói rằng các tích phân suy rộng nêu trên là hội tụ nếu giới hạn ở
vế phải là hội tụ (hữu hạn) và gọi là phân kỳ nếu ngược lại.
c) Nếu hàm f (x) không bị chặn tại c ∈ (a; b), thì ta định nghĩa
b
Z
Z
f (x)dx =
a
giảng viên
c
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx
c
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
62 / 95
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng sau và tính
giá trị nếu nó hội tụ
Z
1)
2
giảng viên
5
1
√
dx
x−2
Z
1
√
2)
−1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
dx
1 − x2
63 / 95
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng sau và tính
giá trị nếu nó hội tụ
Z
1)
2
5
1
√
dx
x−2
Z
1
√
2)
−1
dx
1 − x2
Ví dụ 4. Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng (α là
tham số)
Z
a
giảng viên
b
1
dx , a < b
(b − x)α
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
63 / 95
2.3. Một số dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
64 / 95
2.3. Một số dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng
Định lý 1: (D.h.s.s 1) Giả sử các hàm số f (x), g(x) là liên tục trên
[a; +∞) và thỏa mãn 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với x đủ lớn. Khi đó
+∞
Z
(a) Nếu
g(x)dx là hội tụ, thì
a
Z
(b) Nếu
f (x)dx cũng hội tụ.
a
+∞
Z
+∞
g(x)dx cũng phân kỳ.
f (x)dx là phân kỳ, thì
a
giảng viên
+∞
Z
a
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
64 / 95
2.3. Một số dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng
Định lý 1: (D.h.s.s 1) Giả sử các hàm số f (x), g(x) là liên tục trên
[a; +∞) và thỏa mãn 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với x đủ lớn. Khi đó
+∞
Z
(a) Nếu
+∞
Z
g(x)dx là hội tụ, thì
a
Z
(b) Nếu
f (x)dx cũng hội tụ.
a
+∞
Z
a
+∞
g(x)dx cũng phân kỳ.
f (x)dx là phân kỳ, thì
a
Định lý 2: (D.h.s.s 2) Giả sử các hàm số f (x), g(x) là liên tục trên
[a; +∞) và thỏa mãn f (x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 với x đủ lớn, đồng thời
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
64 / 95
f (x)
= k (0 < k < +∞)
x→+∞ g(x)
lim
+∞
Z
Khi đó các tích phân suy rộng
+∞
Z
f (x)dx ,
a
g(x)dx sẽ cùng
a
hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
65 / 95
f (x)
= k (0 < k < +∞)
x→+∞ g(x)
lim
+∞
Z
Khi đó các tích phân suy rộng
+∞
Z
f (x)dx ,
a
g(x)dx sẽ cùng
a
hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Z
+∞
|f (x)|dx là hội tụ, thì tích
Định lý 3: Nếu tích phân suy rộng
Z
phân suy rộng
+∞
a
f (x)dx cũng hội tụ.
a
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
65 / 95
Chú ý: Ta cũng có các định lý tương tự đối với tích phân suy rộng
dạng 2.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
66 / 95
Chú ý: Ta cũng có các định lý tương tự đối với tích phân suy rộng
dạng 2.
Ví dụ 5: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng
Z
+∞
1)
−x2
e
dx
2)
0
Z
3)
0
giảng viên
+∞
Z
1
+∞
x2
x4 − x2 + 5
Z
dx
4)
0
1
1 + e−x
dx
x
1
dx
tan x − x
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
66 / 95
Bài tập chương 3
A. Tính các tích phân suy rộng
1
Z
1)
0
(2 − x)
√
dx
1−x
+∞
Z
3)
2
+∞
Z
5)
√
2
+∞
Z
7)
dx
√
x x2 − 1
e
0
giảng viên
1
dx
2
x +x−2
√
− x
1
Z
2)
0
+∞
Z
4)
1
Z
√
dx
x x2 + 1
1
8)
x ln x
dx
(1 + x2 )2
+∞
6)
Z
dx
ln3 x
dx
x
+∞
√
3
arctan x
dx
x2
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
67 / 95
B. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân suy rộng
+∞
Z
1)
0
1
Z
3)
0
5)
1 − cos
1
+∞
Z
7)
1
giảng viên
2
x
1
√
dx
3
x x2 + 1
+∞
1
dx
ln(ln x)
1
Z
4)
e2
+∞
Z
dx
6)
1
2
e−x
dx
x2
+∞
2)
1
dx
tan x − x
+∞ Z
Z
arctan x
dx
xα
Z
8)
1
+∞
ln(1 + x2 )
dx
x
1 + x2
dx
x3
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
68 / 95
+∞
Z
9)
√
−x
xe
Z
dx
0
2
Z
11)
2
giảng viên
10)
+∞
+∞
dx
x ln x
sin x
dx
x2
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
69 / 95
Chương 4: Chuỗi
Bài 1: Chuỗi số
Bài 2: Chuỗi số dương
Bài 3: Chuỗi số đan dấu
Bài 4: Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
70 / 95
Bài 1. Chuỗi số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
71 / 95
Bài 1. Chuỗi số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa: Cho dãy số vô hạn {un : n ≥ 1}, ta gọi tổng hình thức
có dạng
∞
X
un = u1 + u2 + ... + un + ...
n=1
là một chuỗi số.
• Phần tử un được gọi là phần tử tổng quát của chuỗi.
• Tổng Sn =
n
X
uk = u1 + u2 + ... + un được gọi là tổng riêng thứ
k=1
n của chuỗi.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
71 / 95
• Nếu lim Sn = S (hữu hạn), thì ta nói chuỗi
n→∞
tổng là S. Khi đó ta viết:
∞
X
∞
X
un là hội tụ và có
n=1
un = S
n=1
• Nếu lim Sn = ∞ hoặc không tồn tại, thì ta nói chuỗi
n→∞
∞
X
un là
n=1
phân kỳ.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
72 / 95
• Nếu lim Sn = S (hữu hạn), thì ta nói chuỗi
n→∞
tổng là S. Khi đó ta viết:
∞
X
∞
X
un là hội tụ và có
n=1
un = S
n=1
• Nếu lim Sn = ∞ hoặc không tồn tại, thì ta nói chuỗi
n→∞
∞
X
un là
n=1
phân kỳ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng chuỗi sau hội tụ và tính tổng của nó
∞
X
n=1
giảng viên
1
n(n + 1)
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
72 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi cấp số nhân (q: công
bội)
∞
X
qn
n=1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
73 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi cấp số nhân (q: công
bội)
∞
X
qn
n=1
1.2. Các tính chất
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
73 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi cấp số nhân (q: công
bội)
∞
X
qn
n=1
1.2. Các tính chất
Định lý 1: (Đk cần để chuỗi HT) Nếu chuỗi số
∞
X
un là hội tụ, thì
n=1
lim un = 0
n→∞
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
73 / 95
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi cấp số nhân (q: công
bội)
∞
X
qn
n=1
1.2. Các tính chất
Định lý 1: (Đk cần để chuỗi HT) Nếu chuỗi số
∞
X
un là hội tụ, thì
n=1
lim un = 0
n→∞
Hệ quả: Nếu un 9 0 khi n → ∞, thì chuỗi số
giảng viên
P∞
n=1 un
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
là phân kỳ.
73 / 95
Ví dụ 3: Chuỗi số
∞
X
arctan
n=1
un = arctan
giảng viên
n
là phân kỳ, vì
n+1
n
π
→ 6= 0, n → ∞
n+1
4
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
74 / 95
Ví dụ 3: Chuỗi số
∞
X
arctan
n=1
un = arctan
n
là phân kỳ, vì
n+1
n
π
→ 6= 0, n → ∞
n+1
4
Định lý 2: (Đk cần và đủ để chuỗi HT-Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi số
∞
X
un là hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N
n=1
sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi p ∈ N thì
|Sn+p − Sn | < ε
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
74 / 95
Ví dụ 3: Chuỗi số
∞
X
arctan
n=1
un = arctan
n
là phân kỳ, vì
n+1
n
π
→ 6= 0, n → ∞
n+1
4
Định lý 2: (Đk cần và đủ để chuỗi HT-Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi số
∞
X
un là hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N
n=1
sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi p ∈ N thì
|Sn+p − Sn | < ε
Ví dụ 4: CMR chuỗi điều hòa
∞
X
1
n=1
giảng viên
n
là phân kỳ
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
74 / 95
Định lý 3: Nếu các chuỗi số
(i)
(ii)
∞
X
cun = c
n=1
∞
X
un
n=1
(un ± vn ) =
n=1
giảng viên
∞
X
∞
X
n=1
P∞
n=1 un và
P∞
n=1 vn
là hội tụ, thì
(c: constant)
un ±
∞
X
vn
n=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
75 / 95
Định lý 3: Nếu các chuỗi số
(i)
(ii)
∞
X
cun = c
n=1
∞
X
∞
X
un
n=1
(un ± vn ) =
n=1
∞
X
n=1
P∞
n=1 un và
P∞
n=1 vn
là hội tụ, thì
(c: constant)
un ±
∞
X
vn
n=1
Định lý 4: Sự HT hay PK của một chuỗi số sẽ không thay đổi khi ta
thêm vào hay bớt đi một số hữu hạn các số hạng đầu tiên của chuỗi.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
75 / 95
Bài 2. Chuỗi số dương
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
76 / 95
Bài 2. Chuỗi số dương
2.1. Chuỗi số dương
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
76 / 95
Bài 2. Chuỗi số dương
2.1. Chuỗi số dương
Định nghĩa: Chuỗi số
∞
X
un được gọi là chuỗi số dương nếu
n=1
un > 0 , ∀n
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
76 / 95
Bài 2. Chuỗi số dương
2.1. Chuỗi số dương
Định nghĩa: Chuỗi số
∞
X
un được gọi là chuỗi số dương nếu
n=1
un > 0 , ∀n
Nhận xét: Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {Sn }
bị chặn trên.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
76 / 95
2.2. Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
77 / 95
2.2. Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
Dấu hiệu so sánh 1: Cho 2 chuỗi số dương
∞
X
un và
n=1
∞
X
vn . Giả
n=1
sử tồn tại n0 ∈ N sao cho un ≤ vn với mọi n ≥ n0 . Khi đó
a) Nếu chuỗi
b) Nếu chuỗi
giảng viên
∞
X
vn hội tụ, thì chuỗi
n=1
P∞
n=1 un
∞
X
un cũng hội tụ.
n=1
phân kỳ, thì chuỗi
P∞
n=1 vn
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
cũng phân kỳ.
77 / 95
2.2. Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
Dấu hiệu so sánh 1: Cho 2 chuỗi số dương
∞
X
un và
n=1
∞
X
vn . Giả
n=1
sử tồn tại n0 ∈ N sao cho un ≤ vn với mọi n ≥ n0 . Khi đó
a) Nếu chuỗi
b) Nếu chuỗi
∞
X
vn hội tụ, thì chuỗi
n=1
P∞
n=1 un
∞
X
un cũng hội tụ.
n=1
phân kỳ, thì chuỗi
P∞
Dấu hiệu so sánh 2: Cho 2 chuỗi số dương
n=1 vn
∞
X
cũng phân kỳ.
un và
n=1
∞
X
vn . Giả
n=1
sử
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
77 / 95
un
=k
n→∞ vn
lim
(0 < k < +∞)
khi đó 2 chuỗi trên sẽ cùng HT hoặc cùng PK.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
78 / 95
un
=k
n→∞ vn
lim
(0 < k < +∞)
khi đó 2 chuỗi trên sẽ cùng HT hoặc cùng PK.
Ví dụ 1: Xét sự HT, PK của các chuỗi số sau
1)
∞
X
n=1
3)
∞
X
1 √
n=1
giảng viên
1
ln 1 +
n
n
n+1−
2)
∞
X
n=1
√
n−1
4)
√
sin
3
n2
∞
X
ln(1 + n)
n=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
n2
78 / 95
Dấu hiệu d’Alembert: Cho chuỗi số dương
∞
X
un . Giả sử
n=1
un+1
=k
n→∞ un
lim
Khi đó
(a) Nếu k < 1, thì chuỗi là HT.
(b) Nếu k > 1, thì chuỗi là PK.
(c) Nếu k = 1, thì chưa có kết luận về sự HT hay PK của chuỗi (ta
phải sử dụng cách khác).
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
79 / 95
Dấu hiệu d’Alembert: Cho chuỗi số dương
∞
X
un . Giả sử
n=1
un+1
=k
n→∞ un
lim
Khi đó
(a) Nếu k < 1, thì chuỗi là HT.
(b) Nếu k > 1, thì chuỗi là PK.
(c) Nếu k = 1, thì chưa có kết luận về sự HT hay PK của chuỗi (ta
phải sử dụng cách khác).
Dấu hiệu Cauchy: Cho chuỗi số dương
∞
X
un . Giả sử
n=1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
79 / 95
lim
n→∞
√
n
un = k
Khi đó
(a) Nếu k < 1, thì chuỗi là HT.
(b) Nếu k > 1, thì chuỗi là PK.
(c) Nếu k = 1, thì chưa có kết luận về sự HT hay PK của chuỗi (ta
phải sử dụng cách khác).
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
80 / 95
lim
n→∞
√
n
un = k
Khi đó
(a) Nếu k < 1, thì chuỗi là HT.
(b) Nếu k > 1, thì chuỗi là PK.
(c) Nếu k = 1, thì chưa có kết luận về sự HT hay PK của chuỗi (ta
phải sử dụng cách khác).
Ví dụ 2: Xét sự HT, PK của các chuỗi số
1)
3)
∞
X
(n!)2
n=1
∞
X
n=1
giảng viên
(2n)!
n2
n!
2)
4)
∞
X
1
n=1
∞
X
n=1
2n
1
1+
n
n2
2.5...(3n − 1)
4.6...(2n + 2)
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
80 / 95
Dấu hiệu tích phân: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương, đơn điệu
giảm trên miền [1, +∞) và un = f (n). Khi đó chuỗi số
Z
khi và chỉ khi tích phân suy rộng
∞
X
un là HT
n=1
+∞
f (x)dx là HT.
1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
81 / 95
Dấu hiệu tích phân: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương, đơn điệu
giảm trên miền [1, +∞) và un = f (n). Khi đó chuỗi số
Z
khi và chỉ khi tích phân suy rộng
∞
X
un là HT
n=1
+∞
f (x)dx là HT.
1
Ví dụ 3: Biện luận theo α sự HT, PK của chuỗi số
∞
X
1
n=1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
nα
81 / 95
Dấu hiệu tích phân: Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương, đơn điệu
giảm trên miền [1, +∞) và un = f (n). Khi đó chuỗi số
Z
un là HT
n=1
+∞
khi và chỉ khi tích phân suy rộng
∞
X
f (x)dx là HT.
1
Ví dụ 3: Biện luận theo α sự HT, PK của chuỗi số
∞
X
1
n=1
Ví dụ 4: Xét sự HT, PK của chuỗi số
∞
X
n=2
giảng viên
nα
1
n ln n
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
81 / 95
Bài 3. Chuỗi số đan dấu
3.1. Chuỗi đan dấu
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
82 / 95
Bài 3. Chuỗi số đan dấu
3.1. Chuỗi đan dấu
Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
∞
X
(−1)n un , un > 0 ∀n
n=1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
82 / 95
Bài 3. Chuỗi số đan dấu
3.1. Chuỗi đan dấu
Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
∞
X
(−1)n un , un > 0 ∀n
n=1
Ví dụ 1: Dưới đây là các chuỗi số có dạng đan dấu
1)
∞
X
(−1)n−1
n=1
giảng viên
n
=1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
82 / 95
2)
∞
X
(−1)n
n=1
giảng viên
n
1 2 3 4
= − + − + − ...
n+1
2 3 4 5
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
83 / 95
2)
∞
X
(−1)n
n=1
n
1 2 3 4
= − + − + − ...
n+1
2 3 4 5
Dấu hiệu Leibnizt: Nếu chuỗi đan dấu thỏa mãn đồng thời 2 điều
kiện
(i)
(ii)
un ≥ un+1 ∀n
lim un = 0
n→∞
thì chuỗi đan dấu là hội tụ.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
83 / 95
Ví dụ 2: Xét sự HT, PK của chuỗi số
1)
3)
∞
X
(−1)n−1
n=1
∞
X
giảng viên
n
(−1)n+1
n=1
2)
∞
X
(−1)n
n=1
n
n+1
n2
n3 + 1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
84 / 95
Ví dụ 2: Xét sự HT, PK của chuỗi số
1)
3)
∞
X
(−1)n−1
n=1
∞
X
2)
n
(−1)n+1
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
n2
n3 + 1
Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối: Giả sử
∞
X
un là chuỗi số với số hạng
n=1
có dấu bất kỳ. Khi đó nếu chuỗi giá trị tuyệt đối
thì chuỗi
∞
X
n
n+1
∞
X
|un | là hội tụ,
n=1
un cũng hội tụ.
n=1
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
84 / 95
Định nghĩa: • Chuỗi số
trị tuyệt đối
• Chuỗi số
∞
X
n=1
giảng viên
∞
X
∞
X
un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi giá
n=1
|un | là hội tụ.
n=1
∞
X
un gọi là bán hội tụ (hay hội tụ tương đối) nếu chuỗi
n=1
un là hội tụ nhưng chuỗi giá trị tuyệt đối
∞
X
|un | phân kỳ.
n=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
85 / 95
Định nghĩa: • Chuỗi số
trị tuyệt đối
• Chuỗi số
∞
X
∞
X
∞
X
un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi giá
n=1
|un | là hội tụ.
n=1
∞
X
un gọi là bán hội tụ (hay hội tụ tương đối) nếu chuỗi
n=1
un là hội tụ nhưng chuỗi giá trị tuyệt đối
n=1
|un | phân kỳ.
n=1
Ví dụ 3: Chuỗi số
∞
X
(−1)n
n=1
giảng viên
∞
X
n
là bán hội tụ.
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
85 / 95
Bài 4. Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
86 / 95
Bài 4. Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa
4.1. Chuỗi hàm
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
86 / 95
Bài 4. Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa
4.1. Chuỗi hàm
Định nghĩa: Cho dãy vô hạn các hàm số {fn (x) : n ≥ 1} cùng xác
định trên miền D ⊂ R. Khi đó chuỗi có dạng
∞
X
fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ...
n=1
được gọi là chuỗi hàm.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
86 / 95
Bài 4. Chuỗi hàm và chuỗi lũy thừa
4.1. Chuỗi hàm
Định nghĩa: Cho dãy vô hạn các hàm số {fn (x) : n ≥ 1} cùng xác
định trên miền D ⊂ R. Khi đó chuỗi có dạng
∞
X
fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ...
n=1
được gọi là chuỗi hàm.
Chú ý: • Cố định x = x0 ∈ D. Khi đó chuỗi hàm trở thành chuỗi số
và ta có thể sử dụng các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số để xét sự HT,
PK của chuỗi hàm.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
86 / 95
• Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số
tương ứng
∞
X
fn (x0 ) là hội tụ.
n=1
• Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
87 / 95
• Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số
tương ứng
∞
X
fn (x0 ) là hội tụ.
n=1
• Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm.
4.2. Chuỗi lũy thừa
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
87 / 95
• Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số
tương ứng
∞
X
fn (x0 ) là hội tụ.
n=1
• Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm.
4.2. Chuỗi lũy thừa
Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng
∞
X
cn x n
n=0
trong đó cn được gọi là các hệ số.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
87 / 95
Nhận xét: Chuỗi hàm có dạng
∞
X
cn [f (x)]n
n=0
luôn đưa được về chuỗi lũy thừa bằng phép đặt: X = f (x)
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
88 / 95
Nhận xét: Chuỗi hàm có dạng
∞
X
cn [f (x)]n
n=0
luôn đưa được về chuỗi lũy thừa bằng phép đặt: X = f (x)
Định lý Aben: Cho chuỗi lũy thừa
∞
X
cn xn . Khi đó xảy ra một
n=0
trong ba khả năng sau:
a) Chuỗi lũy thừa chỉ HT tại điểm x = 0.
b) Chuỗi lũy thừa HT với mọi x ∈ R
c) Tồn tại một số R > 0 sao cho
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
88 / 95
• Chuỗi lũy thừa HT nếu |x| < R
• Chuỗi lũy thừa PK nếu |x| > R.
• Khi |x| = R thì chưa có kết luận về sự HT, PK của chuỗi lũy thừa
(lúc này ta phải kiểm tra trực tiếp).
Số R nói trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
giảng viên
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
89 / 95
• Chuỗi lũy thừa HT nếu |x| < R
• Chuỗi lũy thừa PK nếu |x| > R.
• Khi |x| = R thì chưa có kết luận về sự HT, PK của chuỗi lũy thừa
(lúc này ta phải kiểm tra trực tiếp).
Số R nói trên được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Công thức bán kính HT: Cho chuỗi lũy thừa
∞
X
cn xn . Ta đặt:
n=0
ρ = lim
n→∞
Khi đó: R =

1/ρ

giảng viên
0
+∞
p
cn+1
= lim n |cn |
n→∞
cn
nếu 0 < ρ < +∞
nếu ρ = +∞
nếu ρ = 0
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
89 / 95
Ví dụ: Tìm MHT của các chuỗi hàm sau
1)
3)
∞
X
xn
n=1
∞
X
n=0
5)
(n + 1)5 x2n
2n + 1
∞
X
(−1)n xn
n=1
giảng viên
n4n
n2 .5n
2)
4)
∞
X
n=1
∞ X
n=1
6)
n
x
n
n+1 2
n
2n + 1
2n−1
xn
∞
X
2n (x − 2)n
n=1
(n + 2)!
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
90 / 95
Bài tập chương 4
A. Xét sự HT, PK của các chuỗi số sau
1)
3)
5)
∞
X
n=1
∞
X
1
√
n
2 n
giảng viên
ln 1 + tan
n=1
∞ X
n=1
2)
1−
1
n
1
n2
4)
2
n
6)
∞
X
√
1
n+3
n=1
∞ p
X
n=1
∞
X
n2 + 1 − n
nn sinn
2
n=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
n
91 / 95
7)
9)
11)
∞
X
n=1
∞
X
π
1
tan ( − 2 )
4 n
8)
2n + n
3n + n3 + 3
10)
n
n=1
∞
X
13)
n=1
∞
X
n=1
giảng viên
1
p
n(n + 1)
√
−3n
e
12)
14)
∞
X
4n (n!)2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
(2n)!
4n [n!]2
(2n)!
1
p
n=1
∞
X
n=1
n!
n(n2 + 1)
2 n
n
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
92 / 95
∞
X
15)
n=1
∞
X
17)
n=1
√
2 −3n
n e
3 + (−1)n
2n
16)
18)
∞
X
1
(ln n)α
n=2
∞ X
n=1
2n2 + 2n − 1
5n2 − 2n + 1
n
B. Xét sự HT, PK của các chuỗi đan dấu sau
1)
3)
√
n
(−1)
n + 100
2)
1
(−1)n √
n − (−1)n
4)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
giảng viên
n
∞
X
(−1)n
2n + 100
3n2 + n
(−1)n
1
n + (−1)n+1
n=2
∞
X
n=1
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
93 / 95
5)
∞ X
p
√ n
n + (−1) − n
n=1
6)
∞
X
n=1
(−1)n−1
ln 1 +
nα
C. Tìm bán kính HT và MHT của chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát
sau
1) un (x) = (−1)n+1
n
3) un (x) = x ln n
5) un (x) =
giảng viên
(5x)n
n!
xn
n
2) un (x) =
(x − 4)n
√
n
4) un (x) =
6) un (x) =
n2 + 3n − 1
n+3
xn
n!
xn
nα
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
94 / 95
7) un (x) = (3n + 1)x3n
8) un (x) = (2n + 3n )xn
9) un (x) = (nx)n
1
11) un (x) = 1 +
n
giảng viên
n2
(x − 1)n
10) un (x) =
n!
(x − 2)n
nn
12) un (x) =
xn
nn
Phạm Trí Nguyễn (Faculty of Science,
Toán cao
Electric
cấp 2Power
(Giải University)
tích hàm một biến thực)
95 / 95