Econometrı́a de Series de Tiempo
Conceptos básicos, estacionalidad y tendencia
José Gabriel Castillo, Ph.D.
Castillo, J.G. (FCSH-ESPOL)
Series de Tiempo
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¿Por qué estudiar Series de Tiempo?
Analice los siguientes gráficos, ¿puede argumentar una relación “causal
(causa-efecto)”? Correlación
Mucha de la información disponible es de carácter temporal, ordenada,
dependiente. Requiere de técnicas especı́ficas para un correcto análisis.
Los métodos de series de tiempo se emplean en diversas áreas:
I negocios, finanzas, economı́a, polı́tica pública, estadı́stica, ingenierı́a,
metereologı́a, geologı́a, ...
Aplicaciones muy útiles en el trabajo de series de tiempo son:
I Elaboración de pronósticos / forecast: balances de empresas, flujos
de fondos, ventas, variables macro de interés (ej. inflación), el clima.
I Evaluación de factores determinantes: causalidad dinámica, ej.
¿cómo afecta a las ventas el incremento de los impuestos?, estrategias
de control de procesos, etc.
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Introducción a las series de tiempo
Cualquier variable evaluada en una sola dimensión (ordenada y
secuencial) puede pensarse como una serie de tiempo (Diebold 2016).
La preocupación principal de las series de tiempo: la dependencia
temporal.
yt ; t = 1, 2, ..., T
Usos en economı́a? múltiples!
I
I
I
I
I
Análisis de ciclo económico
Análisis de riesgos: financiero y crediticio
Valoración de activos
Pronóstico
Evaluación de polı́tica pública
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Introducción a las series de tiempo
Un slide sobre el software:
Stata: el machete del economista
EViews: la más amigable caja negra
R: el más poderoso y gratuito proyecto colectivo
Matlab: si eres ingeniero (o siempre quisiste serlo)
Fortran, C++, Python: si eres fı́sico (o siempre quisiste serlo)
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MCO con series de tiempo
Series de datos en el tiempo: Inflación, Riesgo Paı́s, Tasas de interés, etc.
Modelos estáticos: Evalúan los efectos contemporaneos (en el
perı́odo t).
yt = β0 + β1 xt + ut
Modelos dinámicos: Evalúan los efectos de regresores en varios
perı́odos del tiempo (rezagos) en un perı́odo del tiempo determinado.
yt = β0 + β1 xt + β2 xt−1 + γ1 yt−1 + ut
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MCO con series de tiempo
Notación y terminologı́a 1
Rezago 1: yt−1
Rezago j: yt−j
Primera diferencia: ∆y = yt − yt−1
Diferencia de orden j:
∆j y = (yt − yt−1 ) − (yt−1 − yt−2 ) − ... − (yt−j+1 − yt−j )
Diferencia de Logaritmos:
∆ln(yt ) = ln(yt ) − ln(yt−1 ) ≈
yt − yt−1
yt−1
100∆ln(yt ) ≈ %∆yt
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Algunos operadores básicos en Stata
Lags:
l.var = var_t-1
l2.var = var_t-2
Forward:
f.var = var_t+1
Differences:
d.var = var_t - var_t-1
d2.var = (var_t - var_t-1) - (var_t-1 - var_t-2)
Seasonals:
s.var = var_t - var_t-1
s2.var = var_t - var_t-2
s12.var = var_t - var_t-12
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MCO con series de tiempo
Revisión de los supuestos
yt = β0 + β1 xt + β2 zt + β3 wt + ut
yt = Xt0 β + ut
,
Xt0 = {1, xt , zt , wt }
Linealidad
Multicolinealidad imperfecta
Exogeneidad:
I E (u |X ) = 0, ∀t, exogeneidad estricta→ coeficientes insesgados y
t
consistentes.
Homoscedasticidad: Var (ut |X ) = σ 2
No Correlación Serial: Corr (ut , us |X ) = 0, ∀t 6= s
Bajo estos supuestos, el Teorema de Gauss-Markov se cumple y los
estimadores son MELI, similar al caso con información de corte transversal.
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MCO con series de tiempo
Exogeneidad en series de tiempo
La exogeneidad estricta en series de tiempo puede constituir un
supuesto muy restrictivo.
Modelos dinámicos difı́cilmente cumplen esta condición.
xt = β0 + β1 xt−1 + ut ,
I
ut ∼ iid(0, σ 2 )
Note que: E (ut |X ) 6= 0, ∀t
Alternativamente, un supuesto más “realista:”
I
E (ut |xt ) = 0, “exogeneidad contemporanea”
I
Coeficientes sesgados. Consistentes?
I
Coeficientes insesgados. Consistentes?
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Modelos de tendencia
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Modelos de tendencia
Algunas series crecen/decrecen persistentemente en el tiempo. A este
proceso lo denominamos tendencia.
No reconocer este proceso en un modelo puede llevarnos a pensar,
equivocadamente, que cambios en un fenómeno responden a otro
fenómeno (regresor) cuando en realidad ambos son un efecto del paso
del tiempo (independiente).
Modelo de tendencia lineal:
yt = β0 + β1 t + ut
en donde t, es una variable “artificial” de tiempo.
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Modelos de tendencia
Otros modelos de tendencia dependen tanto del orden polinomial
como de los valores de los coeficientes. Por ejemplo, el modelo
polinomial de tendencias.
yt = β0 + β1 t + β2 t 2 + ut
I
I
I
I
Si
Si
Si
Si
β1
β1
β1
β1
>0
>0
<0
<0
y
y
y
y
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β2
β2
β2
β2
> 0:
< 0:
< 0:
> 0:
creciente
forma U invertida
decreciente
forma de U
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Modelos de tendencia
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Modelos de tendencia
Otras funciones populares:
Modelo exponencial de tendencia
t)
(β1 = ∆ln(y
∆t , tasa de crecimiento)
ln(yt ) = β0 + β1 t + ut
Curva de Gompertz
ln(yt ) = β0 + β1 r t ;
∀ 0 < r < 1.
Función recı́proca
ln(yt ) = β0 + β1
1
t
Función de tendencia logı́stica
yt =
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1
;
β0 + β1 r t
∀ 0 < r < 1.
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Criterios de selección
Emplear múltiples factores (polinomios en el caso de las tendencias) en los
modelos reduce los grados de libertad. En el caso de especificaciones
combinadas, qué modelo escoger?
R 2 (conversamente MSE): informativo si comparamos modelos con igual
número de regresores.
R 2 (ajustado) : Mejor alternativa, penaliza los grados de libertad “pero no lo
suficiente para un procedimiento consistente de selección”(Diebold 2015).
−1 PT
2
(T − k)
t=1 ut
R̄ = 1 −
P
−1
T
(T − 1)
t=1 (yt − ȳ )
2
Para T observaciones y k regresores.
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Criterios de selección
Criterios de información (pérdida de información), basados en MLE:
Akaike’s Information Criterion (AIC): Inconsistente pero asintóticamente
eficiente. Preferible si se trata del DGP verdadero (difı́cil).
2k − 2ln(L)
Schwarz’s Bayesian Information Criterion (BIC): Consistente pero
asintóticamente ineficiente
k × ln(T ) − 2ln(L)
Hannan-Quinn Information Criterion (HQC): Asintóticamente ineficiente
pero fuertemente consistente (en el sentido lnlnT )
2k ln(ln(T )) − 2ln(L)
En la práctica generalmente sugieren la misma especificación.
En caso de contradicción, la preferencia depende de las condiciones de la
información.
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Modelos de tendencia
Por qué no emplear polinomios de mayor orden?
Cómo nos ayuda el conocer la tendencia? (regresión espúrea)
Cómo eliminar (considerar) la tendencia en variables - Detrending?
Cómo realizar un pronóstico - forecast?
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Cambios de tendencia
Qué hacer si hay un cambio de tendencia claramente identificada? Hay
dos alternativas:
Estimar el modelo por separado y realizar el pronóstico a partir de la última
sección; o estimar un modelo con dummies e interacciones:
I en donde: d = 1(t ≥ τ ) y τ es la fecha de cambio de tendencia.
t
I Problemas: discontinuidad, corta memoria.
yt = α0 + α1 t + α2 dt + α3 t ∗ dt + ut
Estimar el modelo mediante un Spline:
yt = β0 + β1 t + β2 (t − τ ) ∗ dt + t
I
I
Ventajas: cambio de tendencia contı́nuo (suavizado-smooth).
Problemas: corta memoria.
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Ajustes estacionales
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Estacionalidad
Factores estacionales pueden ser estocásticos o determinı́sticos.
Patrones de movimiento pueden derivarse de fenómenos estacionales:
clima, institucionalidad/calendario, etc.
Ajustar o no ajustar (ahı́ está el detalle!)?
I
Pronóstico: Nos interesa aprovechar la variabilidad de la serie para la
estimación, en el pronóstico es preferible emplear la serie bruta (a
nivel).
I
Análisis de fundamentales: el ajuste estacional elimina la distracción
para concentrarse en los movimientos del ciclo y la tendencia.
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Ajustes estacionales
Serie bruta
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Ajustes estacionales
Serie ajustada
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Estacionalidad
Una serie puede descomponerse en varios componentes:
yt = St + Tt
en donde: St es un proceso estacional y Tt un proceso en tendencia.
Si la estacionalidad es determinı́stica, cómo modelarla?
yt =
S
X
γi δit + ut
i=1
en donde δi corresponde a una dummy por cada perı́odo estacional (ej.
semana, mes, trimestre).
Si además necesitamos incluir un proceso en tendencia, entonces estimamos:
yt =
S
X
γi δit +
i=1
k
X
αk t k + ut
j=1
Cómo realizar un pronóstico - forecast?
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Estacionalidad
Los modelos pueden ser más complejos e incluir adicionalmente dummies
que capturan las variaciones relacionadas a los feriados o momentos de
ejecución de transacciones (m), etc.; de la siguiente forma:
yt =
S
X
i=1
γi δit +
k
X
αk t k +
j=1
m
X
ωh Fh + ut
h=1
Podemos estimar un intervalo de confianza para la estimación en la forma
tradicional: ŷt+h ± 1.65σ̂ en donde σ̂ es la desviación estándar de los
residuos (asumiendo ut ∼ N(µ, σ 2 )).
Los bancos centrales y las agencias de gobierno emplean versiones más
sofisticadas de ajustes estacionales. Algunos software populares son:
X12-ARIMA (US Census Bureau), TRAMO-SEATS (Banco de España) y
DEMETRA (EuroStat).
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