Modelo de Crecimiento de
Solow
Gustavo Solórzano Andrade
PAO I, 2021
Modelo de Crecimiento de Solow
• El modelo de crecimiento de Solow fue desarrollado en los años 50 del siglo XX.
Este modelo analiza el crecimiento económico como el producto de la
acumulación de capital que se produce cuando los agentes económicos ahorran.
Lo interesante es que realmente este modelo no logra generar crecimiento de
largo plazo, pero en esta falla logra encontrar que está detrás del crecimiento de
largo plazo, el aumento de la productividad.
• Se supone una economía donde las decisiones de cuanto consumir y ahorrar
(acumular capital) están centralizadas.
Modelo de Crecimiento de Solow
• Se supone que solo hay un tipo de bien que sirve para consumo y ahorro
(supuesto neo-clásico) y que porcentaje de la producción se consume y cuanto
se ahorra viene dado exógenamente (¿preferencia del planificador?). El ahorro
tiene que compensar a la depreciación y lo que sobra genera aumentos en el
stock de capital (también puede ser insuficiente y el capital disminuye).
• Por otra parte, la población crece a una tasa constante exógena por lo que el
producto debería aumentar por encima del crecimiento poblacional para poder
generar mejoras materiales en los agentes. Como se dijo en el párrafo anterior
esto no ocurre por la sola acumulación del capital.
Modelo de Crecimiento de Solow
La Función de Producción Neo-clásica
• Detrás de los resultados del modelo de Solow están los supuestos sobre la
función de producción que son comúnmente aceptados en los modelos neoclásicos. Los tres supuestos estándares son:
1. Retornos constantes a escala. Este supuesto se basa en la idea de replicación
de la producción. Si con una cierta cantidad de factores se logra un cierto nivel
de producción, el duplicar los factores debería generar el doble de producto
porque se supone que los factores adicionales pueden replicar lo que están
haciendo los originales.
Modelo de Crecimiento de Solow
2.
3.
Productos marginales decrecientes. Este supuesto implica que el aumento de un solo factor (a
diferencia de los retornos a escala en los que se aumentan todos los factores) incrementa la
producción, pero cada vez en menor medida. Una banca más en la clase es un alumno más
aprendiendo (más producto), pero si cada vez le toca estar más lejos del pizarrón la calidad de
su aprendizaje será menor. Si aumentamos las aulas y los profesores además de las aulas,
entonces podrá darse la misma calidad de enseñanza a los nuevos estudiantes.
Condiciones de Inada. Estas condiciones llevan el supuesto de productos marginales
decrecientes al extremo. Básicamente suponen que, si un factor crece de manera
desproporcionada, su aporte a la producción no solo que es cada vez más pequeño, sino que
eventualmente llegará a 0. Un profesor más, cuando ya están tomadas todas las horas de los
salones de clases, no aporta nada a la formación de los alumnos. Por esta razón la primera
unidad de un factor tiene un producto marginal infinito.
Modelo de Crecimiento de Solow
• Formalmente, si suponemos que la producción depende de capital y mano de
obra, se establecen estas condiciones de la siguiente manera:
1. 𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝑓 𝐾, 𝐿 , 𝜆 > 0
2. 𝑓𝐾 𝐾, 𝐿 > 0, 𝑓𝐾𝐾 𝐾, 𝐿 < 0, 𝑓𝐿 𝐾, 𝐿 > 0, 𝑓𝐿𝐿 𝐾, 𝐿 < 0
3. lim 𝑓𝐾 𝐾, 𝐿 = ∞, lim 𝑓𝐾 𝐾, 𝐿 = 0 ,
k→0
𝑘→∞
lim 𝑓𝐿 𝐾, 𝐿 = ∞, lim 𝑓𝐿 𝐾, 𝐿 = 0
L→0
𝐿→∞
Modelo de Crecimiento de Solow
• Las implicaciones de estos supuestos en el modelo de crecimiento de Solow son las
siguientes:
• El supuesto de retornos constantes a escala permite que el análisis se pueda centrar
en el nivel de capital per cápita, ya que el nivel solamente re-escala la economía en
función de su tamaño.
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝑓 𝐾, 𝐿 ,
𝜆=
1
𝐾
1
⇒𝑓
, 1 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
𝐿
𝐿
𝐿
• El segundo supuesto, aunque razonable, usualmente se utiliza para garantizar que las
condiciones de primer orden sean necesarias y suficientes. En el presente caso no es
necesario esto ya que no haremos optimización.
Modelo de Crecimiento de Solow
• El tercer supuesto es bastante importante ya que el beneficio de invertir más se
reduce tanto como queramos (hasta 0) lo que garantiza que pueda tomar
cualquier valor positivo. Es decir que podemos encontrar un punto en el que el
beneficio equipare el costo de una unidad adicional de capital y como veremos
esto será muy importante.
Modelo de Crecimiento de Solow
El proceso de acumulación de capital
• La regla de acumulación de capital es muy simple, los agentes van a consumir
una fracción de la renta y van a ahorrar la otra fracción. Este ahorro debe igualar
a la inversión en capital físico ya que estamos analizando a nivel agregado en una
economía cerrada. Por lo tanto:
𝐼 = 𝑆 = 𝑠 ∗ 𝑓(𝐾, 𝐿)
• Y el crecimiento del capital es igual a la inversión neta, es decir, la inversión
(bruta) menos la depreciación (que suponemos es lineal). Formalmente:
𝐾 = 𝐼 − 𝛿𝐾
Modelo de Crecimiento de Solow
• Y como se supuso que la población tiene una tasa de crecimiento constante
exógena:
𝐿 =𝑛∗𝐿
• De manera que el análisis en términos per cápita sería:
𝑘≡
𝐾
𝐾𝐿 − 𝐾𝐿 𝐾 𝐾 𝐿 𝐾
⇒𝑘=
= − ∗ = − 𝑛𝑘
𝐿
𝐿2
𝐿 𝐿 𝐿 𝐿
⇒
𝐾
=𝑘+𝑛∗𝑘
𝐿
Modelo de Crecimiento de Solow
𝐾 = 𝐼 − 𝛿 ∗ 𝐾 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝐾, 𝐿 − 𝛿 ∗ 𝐾
𝐾
𝑓 𝐾, 𝐿
𝐾
=𝑠∗
−𝛿∗
𝐿
𝐿
𝐿
𝑘+𝑛∗𝑘 =𝑠∗
𝑓 𝐾, 𝐿
𝐿
−𝛿∗𝑘
Modelo de Crecimiento de Solow
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝑓 𝐾, 𝐿
1
𝐾 𝐿
1
𝜆= ⇒𝑓
, = ∗ 𝑓(𝐾, 𝐿)
𝐿
𝐿 𝐿
𝐿
𝑘 + 𝑛 ∗ 𝑘 = 𝑠 ∗ 𝑓(𝑘, 1) − 𝛿 ∗ 𝑘
Modelo de Crecimiento de Solow
• Por lo que la ecuación fundamental del modelo se transforma en:
𝑘 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝑘, 1 − 𝑛 + 𝛿 ∗ 𝑘
• Como puede verse, desde el punto de vista per cápita el crecimiento poblacional
es como parte de la depreciación del capital. En realidad, no es que reduce la
cantidad de capital, como si hace la depreciación, pero al aumentar el número
de personas entre los que se reparte da el mismo efecto.
Modelo de Crecimiento de Solow
• De manera que el capital per cápita aumenta si el ahorro (inversión bruta) es mayor
que la depreciación y crecimiento poblacional. Es aquí donde toma valor el supuesto
3 de la función de producción. Al aumentar el nivel de capital cada vez es menor el
incremento de la producción por lo tanto el ahorro – inversión mientras que la
depreciación más crecimiento poblacional mantiene la misma fuerza (por ser
lineales). Es decir que es de esperar que el incremento del capital sea cada vez menor
por el supuesto 2, pero garantizado llega a 0 por el supuesto 3.
• Por lo tanto, en este modelo la economía va a empezar creciendo, pero cada vez
menos hasta que llega al punto en que la inversión solo compensa la depreciación
más crecimiento poblacional y por lo tanto ya no se aumenta el nivel de capital per
cápita. Este punto donde la economía se estanca es conocido como el estado
estacionario del modelo (por una idea ya planteada por David Ricardo en el siglo XIX).
Modelo de Solow
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
k
Modelo de Crecimiento de Solow
• De manera que el modelo de crecimiento de Solow no logra generar crecimiento
de largo plazo. Pero Robert Solow no se quedó ahí, sino que entendió una de las
lecciones más importantes de la economía: para crecer de largo plazo se necesita
que aumente la productividad, es decir la capacidad de producir más sin tener
que aumentar el uso de los recursos.
Modelo de Crecimiento de Solow
Modelo de Solow con Crecimiento de la Productividad
• En esta versión vamos a suponer que la productividad de la mano de obra aumenta
de manera exógena a una tasa constante. Entender porque aumenta la productividad
es la tarea de los modelos de crecimiento endógeno que son posteriores a Solow.
• Formalmente, suponemos que la función de producción es:
𝑓(𝐾, 𝐴𝐿)
• Donde 𝐴 mide la productividad del trabajador y crece a una tasa constante y exógena
𝑥. Este tipo de aumento de la productividad se conoce como aumentador de trabajo
(labor augmenting).
Modelo de Crecimiento de Solow
• En este caso el producto per cápita aumenta en el tiempo incluso si el nivel de
capital per cápita permanece constante.
1
𝐾
𝑓 𝐾, 𝐴𝐿 = 𝑓
,𝐴
𝐿
𝐿
• De modo que la ecuación fundamental se transforma en el sistema;
𝑘 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝑘, 𝐴 − 𝑛 + 𝛿 ∗ 𝑘
𝐴 = 𝑥𝐴
Modelo de Crecimiento de Solow
• Para evitar el tener que resolver un sistema, utilizaremos el mismo “truco” de antes y
transformaremos las variables del modelo de variables per cápita a variables por
trabajador efectivo.
𝑘≡
𝐾𝐴𝐿 − 𝐾 𝐴𝐿 + 𝐴𝐿
𝐾
𝐾
𝐾
𝐴 𝐿
⇒𝑘=
=
−
∗
+
𝐴𝐿
𝐴𝐿 2
𝐴𝐿 𝐴𝐿
𝐴 𝐿
• De manera que la ecuación de la dinámica del capital por trabajador efectivo se
vuelve:
𝐾
= 𝑘 + 𝑘 𝑥 + 𝑛 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝑘, 1 − 𝛿 𝑘
𝐿
𝑘 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝑘, 1 − 𝑛 + 𝑥 + 𝛿 𝑘
Modelo de Crecimiento de Solow
• Por lo tanto, el razonamiento anterior sobre que el capital per cápita debía llegar
a un estado estacionario es ahora aplicable al capital por trabajador efectivo. Así
que en el largo plazo el capital por trabajador efectivo, y por ende el PIB por
trabajador efectivo y el consumo por trabajador efectivo, será constante. Es decir
que el capital, PIB y consumo per cápita crecerán a una tasa constante en el largo
plazo. Esto es lo que se conoce como senda de crecimiento estable (Balanced
Growth Path).
𝑘 𝑡 = 𝑘𝑠𝑠 ∗ 𝐴 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑠𝑠 ∗ 𝐴(𝑡)
𝑐 𝑡 = 𝑐𝑠𝑠 ∗ 𝐴(𝑡)
Modelo de Crecimiento de Solow
• Donde la productividad crece a la tasa exógena 𝑥.
𝐴 𝑡 = 𝐴 0 ∗ 𝑒 𝑥𝑡
Acumulación de Capital Eficiente
• Una pregunta importante, que nos puede ayudar a contestar el modelo de
Solow, es si se está acumulando cantidades eficientes de capital. Recuerde que
en economía la eficiencia se entiende como eficiencia Paretiana, es decir que no
sea posible mejorar a todos los agentes cambiando la decisión, sino que solo se
pueda mejorar la situación de uno si se perjudica al menos a otro.
Modelo de Crecimiento de Solow
• En este caso lo que nos preguntaremos es si es posible mejorar a una generación
sin sacrificar a otra.
• La variable que podemos utilizar es la tasa de ahorro, así que es la que
responderá nuestra pregunta. ¿Se puede mejorar a todas las generaciones si se
cambia el nivel de ahorro?
• Es claro que si se baja la tasa de ahorro va a consumir más la generación actual,
pero las siguientes tendrán por un lado menos que ahorrar, pero menos ingresos
porque se tendría menos capital, así que la pregunta es cual efecto domina.
Modelo de Crecimiento de Solow
• Para hacer este análisis vamos a ver qué les pasa a las generaciones en el largo
plazo. Como es obvio, si hay crecimiento exógeno de la productividad, van a
consumir infinito, pero eso por el efecto del aumento de la productividad y no
por la acumulación de capital. Así que analizaremos el nivel de consumo
quitándole el efecto del crecimiento de la productividad.
• Por lo que veremos el nivel de consumo por unidad de eficiencia 𝑐. Es decir, el
incremento de la productividad es como si aumentaran las personas que pueden
trabajar por lo que el consumo por unidad de eficiencia es el consumo per cápita
de esas personas ficticias.
𝑐 = 1 − 𝑠 ∗ 𝑓(𝑘, 1)
Modelo de Crecimiento de Solow
• Pero el capital por unidad de eficiencia en el largo plazo es el que cumple:
𝑘 = 𝑠 ∗ 𝑓 𝑘, 1 − 𝑛 + 𝑥 + 𝛿 𝑘 = 0
• Para encontrar la relación entre el capital y la tasa de ahorro supondremos una
función de producción Cobb – Douglas.
𝑠 ∗ 𝑘 𝛼 − 𝑛 + 𝑥 + 𝛿 𝑘 = 0 ⇒ 𝑘𝑠𝑠 =
𝑠
𝑛+𝑥+𝛿
1
1−𝛼
Modelo de Crecimiento de Solow
• Por lo que la tasa de ahorro que maximiza el consumo por trabajador efectivo de
largo plazo es:
𝛼
𝑠
1−𝛼
𝑐 = 1−𝑠 ∗
𝑛+𝑥+𝛿
𝛼
𝑠
𝛼
𝑠
1−𝛼
⇒−
+ 1−𝑠 ∗
∗
𝑛+𝑥+𝛿
1−𝛼 𝑛+𝑥+𝛿
−1 +
𝛼
1−𝛼−1
1−𝑠
𝛼
∗
=0⇒𝑠=𝛼
𝑠
1−𝛼
∗
1
=0
𝑛+𝑥+𝛿
Modelo de Crecimiento de Solow
• Este nivel de tasa de ahorro se conoce como el nivel de la regla de oro (maximiza
el consumo de las generaciones futuras porque es lo que hubieras querido que
las generaciones pasadas hicieran por ti).
• De manera que, si la tasa de ahorro es inferior a la de regla de oro, disminuirla
beneficia a la generación de hoy (menos consumo), pero perjudica a la de largo
plazo (mientras más nos alejamos de la tasa de regla de oro menor será el
consumo en el largo plazo). En cambio, si la tasa de ahorro es superior a este
nivel, disminuirla beneficia a la generación actual y a la de largo plazo (por ende,
a todas en el medio). Esta situación no es Pareto eficiente ya que si se puede
mejorar a todos (no hay que perjudicar a alguien para beneficiar a otro).
Modelo de Crecimiento de Solow
• Si se ahorra por encima de la tasa de la regla de oro la economía es
dinámicamente ineficiente.
• En la gráfica siguiente se puede ver el efecto en el consumo per cápita de bajar la
tasa de ahorro cuando se está por debajo de la tasa de regla de oro. Al bajar la
tasa de ahorro se beneficia a las generaciones presente y cercanas, pero se
perjudica a las generaciones futuras.
Efecto de bajar s
c
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
t
Modelo de Crecimiento de Solow
• En esta otra gráfica se ve el efecto de bajar la tasa de ahorro cuando se está por
sobre la regla de oro. En este caso todas las generaciones salen beneficiadas.
Ahorrar por sobre el nivel de regla de oro es ineficiente porque es posible
beneficiar a la sociedad (sin ningún perjudicado) si se disminuye la tasa de
ahorro.
Efecto de bajar s
c 6
5
4
3
2
1
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
t