Ramsey con Mercados
Hogares:
∞
𝑈 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢(𝑐(𝑡))𝑑𝑡
0
𝐾̇ (𝑡) = 𝑤(𝑡)𝐿(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝐾(𝑡) − 𝐿(𝑡)𝑐(𝑡)
𝑘̇ + 𝑛𝑘 = 𝑤 + 𝑅𝑘 − 𝑐
∞
∞
min max ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢(𝑐(𝑡))𝑑𝑡 + ∫ 𝜆(𝑡)[𝑤(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡) − 𝑘̇ (𝑡)]𝑑𝑡
𝜆(𝑡) 𝑐(𝑡),𝑘(𝑡) 0
0
𝑐(𝑡): 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′ (𝑐(𝑡)) − 𝜆(𝑡) = 0
𝑘(𝑡): 𝜆(𝑡)[𝑅(𝑡) − 𝑛] + 𝜆̇(𝑡) = 0
𝜆(𝑡): 𝑤(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡) − 𝑘̇ (𝑡) = 0
𝜆(𝑡) = 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′ (𝑐(𝑡)) ⇒ 𝜆̇(𝑡) = (𝑛 − 𝜌)𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′ (𝑐(𝑡)) + 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′′ (𝑐(𝑡))𝑐̇ (𝑡)
𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′ (𝑐(𝑡))[𝑅(𝑡) − 𝑛] = (𝜌 − 𝑛)𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′ (𝑐(𝑡)) − 𝑒 −𝜌𝑡 𝑒 𝑛𝑡 𝑢′′ (𝑐(𝑡))𝑐̇ (𝑡)
−𝑢′′ (𝑐(𝑡))𝑐̇ (𝑡) = 𝑢′ (𝑐(𝑡))[𝑅(𝑡) − 𝜌]
𝑘̇ (𝑡) = 𝑤(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)
Empresas:
𝑓(𝐾(𝑡), 𝐿(𝑡)) − 𝑤(𝑡)𝐿(𝑡) − (𝑅(𝑡) + 𝛿)𝐾(𝑡)
𝐾(𝑡): 𝑓𝐾 (𝐾(𝑡), 𝐿(𝑡)) − (𝑅(𝑡) + 𝛿) = 0
𝐿(𝑡): 𝑓𝐿 (𝐾(𝑡), 𝐿(𝑡)) − 𝑤(𝑡) = 0
𝑓(𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝜆𝑓(𝐾, 𝐿)
𝑓𝐾 (𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝑓𝐾 (𝐾, 𝐿)
𝑓𝐿 (𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝑓𝐿 (𝐾, 𝐿)
𝑓(𝜆𝐾, 𝜆𝐿) = 𝜆𝑓(𝐾, 𝐿) ⇒ 𝑓𝐾 (𝜆𝐾, 𝜆𝐿) ∗ 𝐾 + 𝑓𝐿 (𝜆𝐾, 𝜆𝐿) ∗ 𝐿 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
𝑓(𝐾, 𝐿) = 𝑓𝐾 (𝐾, 𝐿)𝐾 + 𝑓𝐿 (𝐾, 𝐿)𝐿
𝑓(𝑘, 1) = 𝑓𝐾 (𝑘, 1)𝑘 + 𝑓𝐿 (𝑘, 1)
𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑓(𝐾, 𝐿) − 𝑤𝐿 − (𝑅 + 𝛿)𝐾 = 𝑓(𝐾, 𝐿) − 𝑓𝐿 (𝐾, 𝐿) ∗ 𝐿 − 𝑓𝐾 (𝐾, 𝐿) ∗ 𝐾 = 0
−𝑢′′ (𝑐(𝑡))𝑐̇ (𝑡) = 𝑢′ (𝑐(𝑡))[𝑅(𝑡) − 𝜌]
𝑘̇ (𝑡) = 𝑤(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)
𝑓𝐾 (𝑘(𝑡), 1) − 𝛿 = 𝑅(𝑡)
𝑓𝐿 (𝑘(𝑡), 1) = 𝑤(𝑡)
𝑘̇ (𝑡) = 𝑤(𝑡) + 𝑅(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡) ⇒ 𝑘̇ (𝑡)
= 𝑓𝐿 (𝑘(𝑡), 1) + 𝑓𝐾 (𝑘(𝑡), 1)𝑘(𝑡) − 𝛿𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)
𝑘̇ (𝑡) = 𝑓(𝑘(𝑡), 1) − 𝛿𝑘(𝑡) − 𝑛𝑘(𝑡) − 𝑐(𝑡)
−𝑢′′ (𝑐(𝑡))𝑐̇ (𝑡) = 𝑢′ (𝑐(𝑡))[𝑓𝐾 (𝑘(𝑡), 1) − 𝛿 − 𝜌]