Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
தரம் 11 கணிதம் – சமன்பாடுகள்
வணக்கம் மாணவர்களே!
நாம் இன்று சமன்பாடுகள் எனும் பாடத்தின் மூலம் விகிதமுறும்
குணகங்களேக் ககாண்ட ஒருங்களம சமன்பாடுகளே உருவாக்கவும்
தீர்க்கவும் ளதளவயான ஆற்றல்களே கபறுவதற்கு கற்க உள்ளோம்.
மாணவர்களே!
முதலில், நாம் தரம்
10
இல் ஒருங்களம சமன்பாடுகளேத் தீர்ப்பது
கதாடர்பாக நீங்கள் கபற்றுக் ககாண்ட அறிவிளன நிளனவுபடுத்திக்
ககாள்ளவாம்.
2x + y = 4 ………………. 1
உ+ம் :
x + y = 3 ………………. 2
இவ்விரு ஒருங்களம சமன்பாடுகளேயும் அவதானியுங்கள். கதரியாக்
கணியங்கோன
x, y
என்பவற்றின் குணகங்களே இனம் காணுங்கள்.
இதற்ளகற்ப;
i.
உங்கோல் மிகவும் இலகுவாக தீர்க்க கூடிய கணியம்
xஆyஆ?
எனக் கூறுங்கள்.
விளட:
ii.
y
முதலாவதாக
நீக்கப்படும்
கணியத்ளத;
நீக்குவதற்காக
சமன்பாடுகள் இரண்ளடயும் கூட்டுதல் ளவண்டுமா? அல்லது
கழித்தல் ளவண்டுமா என தீர்மானித்துக் கூறுங்கள்.
விளட: கழிக்க ளவண்டும்.
1 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
iii.
கழிக்கும் ளபாது கபறப்படும் கணியத்தின் கபறுளபறு யாகதனக்
கூற முடியுமா?
ஆம். விளட: x = 1
iv.
இனி; x = 1 ஐ சமன்பாடு
y
பிரதியிடுவதன் மூலம்
இங்கு சமன்பாடு
2
1
இல்
2
இளலா அல்லது சமன்பாடு
இளலா
இன் கபறுமணத்ளதக் காணுங்கள்.
பிரதியிடல்
உங்களுக்கு
இலகுவாக
இருக்குமா?
1+y=3
ஆம்.
y=3–1
y=2
⸫ நாம் கபற்ற தீர்வுகள்
x=1
எனலாம்.
y=2
(v) தீர்ளவ நீங்கள் விரும்பிய சமன்பாடு ஒன்றில் பிரதியிடுவதன் மூலம்
அதன் உண்ளமத் தன்ளமளய வாய்ப்புப் பார்க்கலாம்.
சமன்பாடு
இ.ப
1
இல்;
சமன்பாடு
=2x1+2
=2+2
=4
இ.ப = வ.ப
இதற்ளகற்ப நாம் கபற்ற தீர்வுகள்
இ.ப
இல்;
=1+2
=3
இ.ப = வ.ப
x = 1, y = 2
என்பது கதளிவாகின்றது அல்லவா?
2 | Zonal
2
Education Office (Colombo)
என்பன சரியானளவ
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
மாணவர்களே!
இனி, நாம் தரம் 11 இற்கான பாடவிடயத்தினுள் கசல்ளவாம்.
13.1. பின்ன வடிவிலான குணகங்களை ககாண்ட ஒருங்களம சமன்பாடுகள்
பின்ன வடிவிலான குணகங்களே ககாண்ட ஒருங்களம சமன்பாடுகளே
உருவாக்குதல் பற்றியும் அவற்றிளனத் தீர்க்கும் விதம் பற்றியும்
பார்ப்ளபாம்.
" கீழ் காணும் பிரசினத்ளதக் கவனமாக வாசியுங்கள்"
உதாரணம் 1:
A, B எனும் சிறுவர்களிடம் குறித்த கதாளக கநல்லிக் கனிகள் உள்ேன. A
யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளகயின்
1/2
யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளகயின்
சமனாகும்.
பங்குடன்
A
B
பங்கானது
1/3
B
பங்கிற்குச்
யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளகயின்
1/4
யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளகயின்
1/6
பங்ளகக் கூட்டும் ளபாது
20
இருவரிடமும்
கநல்லிக்
உள்ே
கநல்லிக் கனிகள் கிளடக்கும் எனின்;
கனிகளின்
எண்ணிக்ளககளே
கவவ்ளவறாக காண்க.
முதலில் மாணவர்களே! நீங்கள் அவதானிக்க ளவண்டிய விடயங்களேக்
கவனியுங்கள்.
இங்கு
ஒருங்களம
தரப்பட்டுள்ேனவா?
இல்ளல.
3 | Zonal
Education Office (Colombo)
சமன்பாட்டுச்
ளசாடிகள்
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
எனளவ நாம் ஒருங்களம சமன்பாடுகளே உருவாக்குதல் ளவண்டும்.
A
யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளக X எனவும், B யிடம் உள்ே
கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளக Y எனவும் ககாள்ளவாம்.
`தரப்பட்ட பிரசினத்தின் படி;
A யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் 1/2 பங்கு = 1/2X ஆகும்.
B யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் 1/3 பங்கு = 1/3Yஆகும்.
இதிலிருந்து நாம்
1/2X = 1/3Y எனத் கதாடர்புபடுத்தலாம்.
அது 1/2X - 1/3Y = 0 என எழுதலாம் அல்லவா?
இதற்கு சமன்பாடு
1
எனப் கபயரிடுளவாம்.
⸫ 1/2X - 1/3Y = 0 ………………. 1
அடுத்ததாக,
A யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின்
எண்ணிக்ளகயின்
1/4
பங்கு = 1/4X ஆகும்.
B யிடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகளின் எண்ணிக்ளகயின் 1/6 பங்கு = 1/6Y
ஆகும்.
இளவயிரண்ளடயும் கூட்டுங்கள்;
1/4X +1/6Y எனப் கபறலாம்.
அது 20 கநல்லிக் கனிகளுக்குச் சமனாவதால்
1/4X +1/6Y = 20 என எழுதலாம்.
4 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
இதற்கு சமன்பாடு
2
எனப் கபயரிடுளவாம்,
⸫ 1/4X + 1/6Y = 20 ……………….
2
தற்ளபாது; ளமற்படி பிரசினத்தின் படி கபற்ற இரு சமன்பாடுகள்
⸫ 1/2X - 1/3Y = 0 ………………. 1
⸫ 1/4X + 1/6Y = 20 ……………..
2
X,Y இனது குணகங்களே அவதானியுங்கள்.
அளவ நிளற எண்களா அல்லது பின்னங்கோ எனக் கூறுங்கள்.
விளட: குணகங்கள் பின்னங்கோகவுள்ேன.
எனளவ இவற்ளற நாம் நிளற எண்கோக மாற்றுதல் ளவண்டும்.
1
இதற்ளகற்ப; சமன்பாடு
இல்; குணகங்களின் பகுதி எண்களின்
கபா.ம.சி இனால் சமன்பாட்ளட இருபுறமும் கபருக்குவதன் மூலம்
இலகுவாக குணகங்களே நிளற எண்கோக மாற்றலாம்.
சமன்பாடு
1
இல்;
2,3 என்பவற்றின் கபா.ம.சி = 6 ஆகும்.
⸫6 இனால் சமன்பாடு 1
இன் இருபுறமும் கபருக்குங்கள்.
6 x 1/2 X – 6 x 1/3 Y = 6 x 0
3X – 2Y = 0 ………………. 3
இவ்வாளற; சமன்பாடு
2
இல் பகுதி எண்கள் 4, 6 இனது
கபா.ம.சி = 12 ஆகும்.
5 | Zonal
எனப் கபயரிடுளவாம்.
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
⸫ 12 இனால் சமன்பாடு
2
இன் இருபுறமும் கபருக்குங்கள்.
12 x 1/4 X + 12 x 1/6 Y = 12 x 20
3X + 2Y = 240 …………………….
4
எனப் கபயரிடுளவாம்.
மாணவர்களே;
சமன்பாடுகள்
1
,
2
சமவலுவான சமன்பாடுகள்
இளனப் தீர்ப்பதற்கு பதிலாக அவற்றுக்குச்
3
ஐயும்
4
ஐயும் தீர்க்கலாம் என்பது
கதளிவாகிறது அல்லவா?
சமன்பாடுகள்
ஐ நீக்கலாம்.
3X – 2Y = 0 …………………… 3
3X + 2Y = 240 ……………………. 4
3 ஐயும் 4 ஐயும் கூட்டுவதன் மூலம் இலகுவாக Y
3 + 4
(3X - 2Y) + (3X + 2Y) = 0 + 240
3X – 2Y + 3X +2Y = 240
6X = 240
X = 40 எனப் கபறப்படும்.
X = 40 ஐ சமன்பாடு 1 இல் பிரதியிடுளவாம்.
3 x 40 – 2Y = 0
120 - 2Y = 0
2Y = 120
Y = 60 எனப் கபறப்படும்.
இதிலிருந்து; A இடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகள் = 40
B இடம் உள்ே கநல்லிக் கனிகள் = 60 ஆகும்.
6 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
இப்பிரசினத்தில் குணகங்களே நிளற எண்கோக மாற்றிய பின்னச்
சமன்பாடுகளே கூட்டுவதன் மூலம்
X
இன்
கபறுமானத்ளதக்
கண்ளடாம். தற்ளபாது நாம் ஒரு கதரியாக் கணியத்ளத எழுவாயாக மாற்றி;
மற்ளறய சமன்பாட்டில் பிரதியிடுவதன் மூலமும் விளடளயப் கபற்றுக்
ககாள்ேலாம் என்பதளனக் கீழ் காணும் உதாரணத்தின் வாயிலாக
பார்ப்ளபாம்.
உதாரணம் 2:
3/5 a + 1/3 b = 3 ……………….
1
1/2 a – 1/3 b = 8 ……………….
2
இச்சமன்பாட்டுச் ளசாடியில் ; ஒரு கதரியாக் களணயத்ளத எழுவாயாக்கி
மற்ளறய சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டு தீர்ப்ளபாம்.
சமன்பாடு
1
ஐக் கருதுங்கள்.
3/5 a + 1/3 b = 3
1/3 b = 3 – 3/5 a
b = 3 ( 3 – 3/5 a) ………………. 3 ஆகும்.
இனி; மாணவர்களே!
சமன்பாடு
2
இல்
b இற்குப் பதிலாக b = 3 ( 3 – 3/5 a)
பிரதியிடுகள்.
1/2 a – 1/3 x 3 (3 – 3/5 a) = 8
1/2 a – 3 + 3/5 a = 8
1/2 a + 3/5 a = 11
7 | Zonal
Education Office (Colombo)
இனைப்
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
2 , 5 இனது கபா.ம.சி 10 இனால் இருபுறமும் கபருக்குங்கள்.
10 x 1/2 a + 10 x 3/5 a = 10 x 11
5 a + 6 a =110
11 a = 110
a = 10
a = 10 ஐ சமன்பாடு 3
எனப் கபறப்படும்.
இல் பிரதியிடுங்கள்.
b = 3 ( 3 – 3/5 x 10)
= 3 ( 3-6)
= 3 x (-3)
b = (-9)
a = 10, b = -9 எனும் தீர்வுகளே தரப்பட்ட சமன்பாடுகளில் பிரதியிட்டு
வாய்ப்புப் பார்ப்ளபாம்.
சமன்பாடு
இ.ப
1
இல்;
= 3/5 x 10 + 1/3 x (-9)
சமன்பாடு
இ.ப
2
இல்;
= 1/2 x 10 – 1/3 x (-9)
= 6 + (-3)
= 5 – (-3)
=3
=8
இ.ப = வ.ப
⸫ இவ்விரு தீர்வுகளும் சமன்பாடுகள்
இ.ப = வ.ப
1 , 2
இத்தீர்வுகள் சரியானளவ எனத் கதளிவாகிறது.
8 | Zonal
Education Office (Colombo)
ஐத் திருப்தி கசய்வதால்
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
ளமலும்;
ஒரு மாறியின் பின்ன வடிவிலான குணகங்களேச் சமப்படுத்துவதன்
மூலம் தீர்க்கலாம் என்பதளன கீழ் காணும் உதாரணம் மூலம் உங்கோல்
விேங்கிக் ககாள்ே முடியும்.
உதாரணம் 03:
இவ்விரு
1/2 m + 2/3 n = 1 …………………
1
5/6 m + 1/3 n = 4 ………………...
2
m , n
சமன்பாடுகளில்
என்பவற்றின்
குணகங்களே
அவதானிக்கும் ளபாது
1
இல்
n இனது குணகம் = 2/3
சமன்பாடு 2
இல்
n இனது குணகம் = 1/3
சமன்பாடு
இதிலிருந்து; நாம் சமன்பாடு
2
இளன
2
ஆல் இருபுறமும்
கபருக்குவதன் மூலம் n இன் குணகங்களேச் சமப்படுத்த முடியும்.
2
x2
2 x 5/6 m + 2 x 1/3 n = 2 x 4
5/3 m + 2/3 n = 8 ………………….
தற்ளபாது
1
,
3
இலிருந்து சமன்பாடு
3
எனும் சமன்பாடுகளே கருதுங்கள். சமன்பாடு
1
ஐக் கழிப்பதன் மூலம் இலகுவாக
நீக்கலாம்.
3
-
1
(5/3 m + 2/3 n) – (1/2m + 2/3n) = 8 – 1
5/3 m + 2/3 n – 1/2 m – 2/3n = 7
9 | Zonal
Education Office (Colombo)
n
3
ஐ
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
5/3 m – ½ m = 7
3 , 2 இனது கபா.ம.சி 6 இனால் இருபுறமும் கபருக்குங்கள்.
6 x 5/3 m – 6 x 1/2 m = 6 x 7
10 m – 3 m = 42
7 m = 42
m=6
சமன்பாடு
1
எனப் கபறப்படும்.
இல் ஐப் பிரதியிடுங்கள்.
1/2 x 6 + 2/3 n = 1
3 + 2/3 n = 1
2/3 n =1 – 3
2/3 n = -2
2n = -6
n = -6/2
n = -3
எனப் கபறப்படும்.
⸫ தீர்வுகள் m = 6, n = -3 இளன வாய்ப்புப் பார்ப்ளபாம்.
10 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
சமன்பாடு
1
இல்;
சமன்பாடு
1/2 m + 2/3 n =1
இ.ப
2
5/6 m + 1/3 n = 4
= 1/2 x 6 + 2/3 x (-3)
இ.ப
= 5/6 x 6 + 1/3 x (-3)
=3-2
=5–1
=1
=4
இ.ப = வ.ப
இ.ப = வ.ப
இதிலிருந்து நாங்கள்
சமன்பாடுகள்
1
m = 6, n = -3
,
2
என்பளவ இவ்விரு தீர்வுகளும்
ஐத் திருப்தி கசய்வதால் இத்தீர்வுகள்
சரியானளவ எனத் கதளிவாகிறது.
11 | Zonal
இல்;
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
வணக்கம் மாணவர்களே!
கடந்த வகுப்பில் நாம் விகிதமுறும் குணகங்களேக் ககாண்ட ஒருங்களம
சமன்பாடுகளே உருவாக்கவும் அவற்றிளனத் தீர்க்கவும் ளதளவயான
ஆற்றல்களேப் கபற்றிருக்கிறீர்கள். இன்று நாங்கள் காரணிகளேப்
பயன்படுத்தி
இருபடிச்சமன்பாடுகளேத்
தீர்க்கத்
ளதளவயான
ஆற்றல்களே கபறுவதற்கு கற்க உள்ளோம்.
13.2 : காரணிகளைப் பயன்படுத்தி இருபடிச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
ax2 + bx +c = 0
எனும் வடிவிலான ஓர் இருப்படிச் சமன்பாட்டின்
தீர்வுகளேக் (மூலங்களே) காணும் முளற பற்றி தரம் இல் கற்ற
விடயங்களேக் கீழ் காணும் உதாரணங்கள் வாயிலாக நிளனவு படுத்திக்க
ககாள்ளவாம்.
உதாரணம் 01 :
x2+ 7x + 10 =0
கபருக்கம் +10 ஆகவும்
கூட்டுத்கதாளக + 7 ஆகவுள்ள இரு எண்கள் +5 உம் +2 உம் ஆகும்.
x2+ 7x + 10 =0
நடு உறுப்பு 7x ஐ + 5x + 2x என
எழுதலாம்.
x2+ 5x + 2x + 10 =0
x (x+5) + 2(x+5) = 0
(x+5) (x+2) = 0
(காரணிப்படுத்துவதால்)
இரு காரணிகளின் கபருக்கம் பூச்சியம் எனின்;
x+5=0
x=-5
அல்லது
அல்லது
x +2 = 0
ஆகும்.
x = -2
⸫ இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் x = - 5 உம் x = -2 உம் ஆகும்.
12 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
உதாரணம் 02 :
2x2 – 7x + 6 =0
ஆகவும் கூட்டுத்கதாளக
கபருக்குத்கதாளக 2 x 6 = 12
- 7 ஆகவும் உள்ே இரு எண்கள் - 4 , - 3
ஆகும்.
⸫நடுஉறுப்பு (-7)x ஐ
-4x + -3x என எழுதலாம்.
2x2 – 7x + 6 =0
2x2 – 4x – 3x + 6 =0
2x (x-2) -3(x-2) = 0
(x-2) (2x - 3) = 0
(காரணிப்படுத்துவதால்)
x-2=0
2x - 3 = 0
அல்லது
(இரு காரணிகளின் கபருக்கம் பூச்சியமாதலால் )
x =2
x = 3/2
அல்லது
⸫ இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்
x = 2 உம் x = 3/2 உம் ஆகும்.
இனி; சமன்பாடுகளேத் தீர்ப்பது பற்றி ளமலும் விரிவாக ஆராய்ளவாம்.
உதாரணம் 03:
𝟐
+
) (
(𝒙−𝟏
𝟑
=1
𝒙+𝟏)
இச்சமன்பாட்ளட அவதானிக்கும் ளபாது ; இது ஒரு இருபடிச்
சமன்பாடகத் கதரியவில்ளல.
இச்சமன்பாட்ளட
பின்னமில்லாத
சமன்பாடாக
மற்றும்
ளபாது
இருபடிச்சமன்பாடு ஓன்று கிளடக்கிறது.
சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலுள்ே பகுதி எண்கள் எளவ? (x-1), (x+1)
என்பன.
13 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
இவற்றின் கபா.ம.சி = (x-1), (x+1) ஆகும்.
இப்
கபா.ம.சி
இனால்
தரப்பட்ட
சமன்பாட்டின்
இருபுறமும்
கபருக்குங்கள்.
(x-1)(x+1) x (
𝟐
+ (x-1) (x+1) x (
)
𝟑
𝒙+𝟏)
𝒙−𝟏
= (x-1) (x+1) x 1
2(x+1) + 3(x-1) = (x-1)(x+1)
2x + 2 +3x – 3 = x2 + x – x – 1
(விரித்து எழுதுவதால்)
x2 – 5x = 0
எனப் கபறப்படும்.
x(x-5) = 0
(கபாது காரணிளய ளவறாக்கல் )
x=0
அல்லது
x - 5 =0
(இருகாரணிகளின் கபருக்கம்
பூச்சியமாதால்)
x=0
அல்லது
x=5
இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் x = 0 உம் x = 5 உம் ஆகும்.
தற்ளபாது
மாணவர்களே
இருபடிச்சமன்பாட்டிளனப்
பயன்படுத்தி
தீர்க்கக் கூடிய பிரசினங்கள் பற்றி ஆராய்ளவாம்.
உதாரணம் 04:
அடுத்துவரும் இரு ஒற்ளற எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்கதாளக
ஆகும். அவ்கவண்களேக் காண்க.
அடுத்துவரும் இரு ஒற்ளற எண்கள்; x, x+2 எனக் கருதுளவாம்.
1வது எண்ணின் வர்க்கம்
14 | Zonal
= x2
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
அடுத்துவரும் எண்ணின் வர்க்கம் = (x+2)2
2
கூட்டுத்கதாளக = x
2
இதிலிருந்து x
+ (x+2)2
+ (x+2)2 = 290
x2 + x2 + 4x + 4 = 290
(பிரசினத்தின் படி)
(விரித்கதழுதுவதால்)
2x2 + 4x + 4 = 290
2x2 + 4x – 286 = 0
2(x2 +2x – 143) = 0
2 ≠ 0 ⸫ x2 + 2x – 143 = 0 ஆகும்.
x2 + 13x – 11x – 143 = 0
x(x+13) – 11(x+13) = 0
(x+13) (x – 11) = 0
x +13 = 0
(காரணிப்படுத்துவதால்)
அல்லது
x – 11= 0
அல்லது
x = 11
(இருகாரணிகளின்
பூச்சியமாவதால்)
x = -13
x ளநகரண் என்பதால்; x = 11 தீர்வு கபாருத்தமானது.
⸫ x+2 = 11 + 2 = 13
⸫ அவ்கவண்கள் 11 , 13 என்பனவாகும்.
15 | Zonal
Education Office (Colombo)
கபருக்கம்
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
உதாரணம் 05:
ஒரு கசவ்வக வடிவிலான காணியின் சுற்றேவு
44 m
ஆகும்.
2
அக்காணியின் பரப்பேவு 120 m ஆகும் எனின்;
i.
காணியின் அகலத்ளத
x
மீற்றர் எனக்
ககாண்டு காணியின்
நீேத்துக்கான ஒரு ளகாளவளய x சார்பில் எழுதுக.
சுற்றேவு = 2(நீேம் + அகலம்) ஆகும்
44 = 2 (நீைம் + x)
நீைம் + x = 44/2 = 22
⸫ நீைம் = 22 – x
ii.
x இலான
எனப் கபறலாம்
இருப்படிச் சமன்பாட்ளடப் கபறுக.
பரப்பேவு = நீேம் x அகலம் ஆகும்.
120 = (22- x) x
x(22 – x) = 120
22x – x2 =120
x2 -22x +120 = 0
16 | Zonal
எனப் கபறலாம்.
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
iii.
சமன்பாட்ளடத் தீர்த்து காணியின் நீேத்ளதயும் அகலத்ளதயும் காண்க.
x2 -22x +120 = 0
x2 – 12x – 10x +120 =0
x(x – 12) – 10(x – 12) =0
(x – 12) (x – 10) = 0
x – 12 = 0
(காரணிப்படுத்துவதால்)
அல்லது
x – 10 = 0
அல்லது
x = 10
(இருகாரணிகளின்
கபருக்கம்
பூச்சியமாவதால்)
x = 12
x = 12 எனின்;
x = 10 எனின்;
22 – x = 22 -12 = 10
22 – x = 22 – 10 =12
⸫கசவ்வகத்தின் நீேம் = 12 m
கசவ்வகத்தின் அகலம் = 10 m
17 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
13.3 வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கல் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
மாணவர்களே!
இவ்விடயத்தினுள் நாம் கசல்வதற்கு முன்னர் தரம் 10 இல் கற்ற நிளற
வர்க்க ளகாளவகள் கதாடர்பான அறிளவ மீே நிளனவுபடுத்துளவாம்.
உதாரணம்:
1.
x2 + 6x + 9 = (x+3)2
2. x2 + 8x + 16 = (x+4)2
3. x2 – 14x + 49 = (x-4)2
4. x2 + 2xy + y2 = (x+y)2
5. a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
இதுவளர
நாம்
இருபடிச்
சமன்பாடுகளேத்
தீர்க்கும்
ளபாது
காரணிப்படுத்தல் மூலம் தீர்வுகளேக் ககாண்டிருந்ளதாம். எனினும்
x2 – 7x – 5 = 0, 3x2 + 11x + 4 = 0 ளபான்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளே
காரணிப்படுத்தித் தீர்ப்பது இலகுவானதல்ல.
ஆகளவ நாம் இவ்வாறான சமன்பாடுகளேத் தீர்ப்பதற்கு வர்க்கப்
பூர்த்தியாக்கல் முளறளயப் பயன்படுத்தலாம்.
உதாரணம்:
x2 + 6x + 5 = 0
வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கல் மூலம் தீர்க்க.
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x = - 5
18 | Zonal
Education Office (Colombo)
எனும் இருபடிச் சமன்பாட்ளட
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
இடது பக்கத்திலுள்ே ளகாளவளய அவதானியுங்கள்.
இக்ளகாளவளய நிளற வர்க்கமாக்குவதற்கு நாம் யாது கசய்ய ளவண்டும்
என சிந்தியுங்கள்.
இங்கு x இன் குணகம் = 6
x இன்
குணகத்தின் அளர மடங்கின் வர்க்கம் = (6/2)
2
= 32 = 9
9 ஐ சமன்பாட்டின் இருபுறமும் கூட்டுங்கள்.
x2 + 6x +9 = - 5 + 9 எனப் கபறலாம்.
x2 + 6x +9 = 4
(x+3)2 = 4
x+3 = ± √4 = ±2
(இருபுறமும் வர்க்கமூலத்ளதக் காணுதல்)
x = -3 ± 2
அதாவது x = -3 + 2
x=-1
2
இதற்ளகற்ப ளமற்குறித்த x
அல்லது
x = -3 - 2
அல்லது
x = -5
+6x + 5= 0 இன்
ஆகும்.
தீர்வுகள் x = - 1 உம்
x = -5 உம் ஆகும்.
உதாரணம்: தீர்க்க.
2x2 – 4x -5 = 0
முதலில் இச்சமன்பாட்டின்
x2
இன்
குணகத்ளத
1
ஆக மாற்றிக்
ககாள்வதன் மூலம் நிளற வர்க்கமாக எழுத இலகுவாக அளமயும்
⸫சமன்பாட்ளட 2 ஆல் இருபுறமும் வகுக்க.
19 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
𝟓
x2 – 2x – = 0
𝟐
𝟓
x2 – 2x =
𝟐
𝟓
x2 – 2x + 12 = + 12 (நிளற வர்க்கமாக எழுதுவதற்காக இருபுறமும் x இன்
𝟐
குணத்தின் 1/2 மடங்கின் வர்கத்ளத இருபுறமும் கூட்டுதல்.)
(x – 1)2 =
(𝟓+𝟐)
(x – 1)2 =
𝟕
𝟐
𝟐
𝟕
x – 1 = ±√
(இருபுறமும் வர்க்க மூலம் காணல்)
𝟐
x = 1 ± √𝟑. 𝟓
x = 1 + √𝟑. 𝟓
அல்லது
x = 1 - √𝟑. 𝟓
x = 1+1.87
அல்லது
x = 1-1.87
அல்லது
x = -0.87
(இங்கு √𝟑. 𝟓=
எனத் தரப்பட்டதால்)
x = 2.87
⸫இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் x = 2.87 உம்
20 | Zonal
Education Office (Colombo)
x = -0.87 உம் ஆகும்.
1.87
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
13.4 சூத்திரத்ளதப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
ax2 + bx +c = 0
தீர்ப்பதற்கான
எனும் வடிவிலான ஓர் இருப்படிச் சமன்பாட்ளடத்
மிக
இலகுவான
முளறளய,
சூத்திரத்ளதப்
பயன்படுத்துவதாகும்.
மாணவர்களே!
முதலில் மூலகங்கள் தரப்படுகின்ற சூத்திரத்ளதப் கபற்றுக் ககாள்ளும்
முளற பற்றி ஆராய்ளவாம். அதாவது சமன்பாடு ax2 + bx +c = 0 என்பளத
வர்க்கப் பூர்த்தியாக்கல் மூலம் தீர்ப்பது என்பளதளய நாம் இங்கு
காண்ளபாம்.
ax2 + bx +c = 0
ax2 + bx = - c
ax2 + bx = - c
a a a
x2+ bx = - c
a a
(a ஆல் வகுப்பதால்)
இடது பக்கத்ளத நிளற வர்க்கமாக எழுதுவதற்காக x இன் குணகத்தின்
அளரமடங்கின் வர்க்கத்ளத இருபுறமும் கூட்டுளவாம்.
2
x +
𝒃𝒙
𝒂
(𝒙 +
𝒃 𝟐 −𝒄
+( ) =
𝟐𝒂
𝒃 𝟐
𝟐𝒂
21 | Zonal
) =
𝒂
𝒃 𝟐
+( )
𝟐𝒂
𝒃𝟐
𝒄
𝟒𝒂
𝒂
𝟐 −
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
(இடது ளகப் பக்கத்ளத நிளறவர்க்கமாக எழுதுவதும் வலது ளகப்பக்கம்
ஒழுங்களமப்பதும்)
2
x + b
2a
= b2 – 4ac
4a2
(வலது பக்களதப் கபாதுப்பகுதி எண்ணுடன் எழுதுவதால்)
⸫ x + b = ±
2a
b2 – 4ac
4a2
⸫ x = -b ±
2a
b2 – 4ac
4a2
𝒙=
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
(கபாதுப்பகுதி எண்ணுடன் எழுதுவதால்)
𝟐𝒂
எனக் கிளடக்கும்.
ஆகளவ
ax2 + bx +c = 0 எனும் வடிவிலான இருபடிச்சமன்பாட்ளடத்
தீர்ப்பதற்கு; 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
எனும் சூத்திரத்ளத நாம் பயன்படுத்த
முடியும்.
உதாரணம் 01:
x2 + 6x +8 = 0
எனும் சமன்பாட்ளடச் சூத்திரத்ளதப்
பயன்படுத்தித் தீர்க்க.
இங்கு;
a = 1, b = + 6, c = +8
பிரதியிடுளவாம்.
22 | Zonal
Education Office (Colombo)
என்பளத கீழ்வரும் சூத்திரத்தில்
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
= - (+6) ±√𝟔𝟐 – 𝟒 𝒙 𝟏 𝒙 𝟖
2x1
(பிரதியிடுவதால்)
= - (+6) ± √𝟑𝟔 − 𝟑𝟐)
2
−𝟔+
− √𝟒
=
x =
⸫x =
𝟐
−𝟔±𝟐
𝟐
−𝟔+𝟐
𝟐
x=
−𝟒
𝟐
x=-2
x=-2 ,x=-4
அல்லது
அல்லது
x=
x =
அல்லது
−𝟔−𝟐
𝟐
−𝟖
𝟐
x=-4
என்பன தரப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலகங்கோகும்.
உதாரணம் 02:
x2 +3x +1 = 0 எனும் சமன்பாட்டிளனச் சூத்திரத்ளதப் பயன்படுத்தித்
தீர்க்க. இங்கு √𝟓= 2.24 எனக் ககாள்க.
x2 + 3x +1 = 0
இங்கு a = 1, b = 3, c = 1 என்பளத கீழ்வரும் சூத்திரத்தில்
பிரதியிடுளவாம்.
23 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
x = -3 ± (√𝟑𝟐 − 𝟒 ) (பிரதியிடுவதால்)
2x1
= -3 ± √𝟗 − 𝟒 )
2
= -3 ± √𝟓
2
x = - 3 ± 2.24 (√5= 2.24 எனத் தரப்பட்டுள்ேது)
2
x = - 3 + 2.24 அல்லது -3 -2.24
2
2
x = - 0.76 அல்லது -5.24
2
2
x = -0.38 அல்லது x = -2.62
⸫ x = -0.38, x = -2.62 என்பன தரப்பட்ட சமன்பாட்டின்
மூலகங்கோகும்.
உதாரணம் 03:
2x2 – 5x + 1 = 0 சமன்பாட்டின் தீர்வுகளே சூத்திரத்ளத
உபளயாகித்துக் காண்க, இங்கு √7 = 4.2 எனக் ககாள்க.
2x2 – 5x + 1 = 0
இங்கு a
= 2, b = -5 , c = 1 ஆகும். இவற்ளற கீழ் காணும் சூத்திரத்தில்
பிரதியிடுளவாம்.
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
= - (-5) ± √−𝟓𝟐 − 𝟒𝒙𝟐𝒙𝟏
24 | Zonal
Education Office (Colombo)
Maths/Grade11/13 - EQUATIONS
2x2
= 5 ± (√𝟐𝟓 − 𝟖)
4
= 5 ± √𝟏𝟕
4
x = 5 ± 4.12
4
x = 5 + 4.12 அல்லது x = 5 - 4.12
4
4
x = 9.12
4
அல்லது
x = 0.88
4
x = 2.28
அல்லது
x = 0.22
⸫ x = 2.28, x = 0.22 என்பன தரப்பட்ட சமன்பாட்டின்
மூலகங்கோகும்.
Prepared by : Mrs. P .Kailayankirinathan {BSc ,PGDE}
C/Vivekananda College
25 | Zonal
Education Office (Colombo)