SERIE
SCHAUM
ELECTROMAGNETISMO
ELECTROMAGNETISMO
Teoría y
310 problemas
resueltos
Joseph A. Edminister
AEPAEP
AEP
AEP
.T. N' 11
8'BLlOT[C.
e.c. [;~ (~AVLORA"
"B. GfJL
LACA'- tiA 535
SERIE DE COMPENDIOS
F~oeRAl
SCHAUM
'TEORIA y PROBLEMAS
DE
I
ELECTROMAGNETISMOI
..
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Por
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JOSEPH A. EDMINISTER,
M.S.E~ROHI810A
de
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VENTA
L
de
TRADUCCION
PEDRO ALBARRACIN
de
s
REVISION
SANTIAGO PINTO
EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA
.
.
,
,
,
S.A.
.
,
,
,
Delhi,
,
,
AEPAEP
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RESERVADOS
Copyright
©
TODOS
LOS DERECHOS
1981, por EDITORIAL
McGRAW-HILL
Bogotá, Colombia
(D.R.)
LATINOAMERICANA
S.A.
Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido
de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia
grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso
escrito del editor.
o
Traducido de la primera edición de
OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS
OF ELECTROMAGNETICS
Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.
SCHAUM'S
IS BN 968-451-004-7
0987654321
Impreso
8765432901
en Colombia
Impresión:
Printed
in Colombia
Italgraf S.A., Bogotá, Colombia
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I
Prefacio
El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagnetismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación.
Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas.
Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una
serie de problemas suplementarios
con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los
principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromagnéticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y
sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que
tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia.
Las matemáticas
han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la
abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en
mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cuidadoso.
Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los
diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias
sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias.
Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi
familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera
escrito.
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A. EDMINISTER
AEP
AEP
AEP
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EOERAl
Contenido
Capitulo 1
ANALISIS VECTORIAL
1
1.1 Notación vectorial
1.2 Algebra vectorial
1.3 Sistemas de coordenadas
menes, superficies y elementos diferenciales de línea
1.5 Campos vectoriales
formaciones
Capitulo 2
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
2.1 Ley de Coulomb
2.2 Intensidad del campo eléctrico
2.4 Configuraciones estándar de carga
Capitulo 3
1.4 Volú1.6 Trans-
...
13
2.3 Distribuciones de carga
FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS
.
27
3.3 Ley de Gauss
3.1 Carga neta en una región
3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo
3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico 3.5 Superficies gausianas especiales
Capitulo 4
DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas
4.4 El operador nabla
4.5 El teorema de la divergencia
Capitulo 5
.
39
4.3 Divergencia de D
ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA.
50
5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento
5.2 Potencial eléctrico entre dos
puntos
5.3 Potencial de una carga puntual
5.4 Potencial de una distribución de carga
5.5 Gradiente
5.6 Relación entre E y
5.7 Energía en campos eléctricos estáticos
Capitulo 6
CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
.
65
6.1 Introducción
6.2 Cargas en movimiento
6.3 Densidad de la corriente de convec6.4 Densidad de la corriente de conducción J
6.5 Conductividad (J . 6.6 Coción J
rriente 1 6.7 Resistencia
6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad
de la corriente
6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico
Capitulo 7
CAPACITANCIA
Y MATERIALES DIELECTRICOS
81
AEP
AEP
7.1 Polarización P y permitividad relativa e,
7.2 D Y E de voltaje constante
7.3 D Y
E de carga constante
7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-
AEP
AEP
CONTENIDO
cas 7.5 Capacitancia
7.6 Condensadores de varios dieléctricos
nada en un condensador.
Capitulo
8
7.7 Energía almace-
ECUACION DE LAPLACE
.
96
8.1 Introducción
8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace
8.3 Formas explicitas de la
ecuación de Laplace
8.4 Teorema de la unicidad
8.5 Teoremas del valor medio y del
valor máximo
8.6 Soluciones cartesianas en una variable
8.7 Solución del producto
cartesiano
8.8 Solución del producto cilíndrico
8.9 Solución del producto esférico
Capítulo
9
LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO
113
9.1 Introducción
9.2 Ley de Biot-Savart
9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional
9.5
Densidad de corriente J y V x H
9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial
vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes
Capítulo 10
FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS
.
128
10.1 Fuerza magnética sobre las partículas
10.2 Campos eléctricos y magnéticos combinados
10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente
10.4 Trabajo y potencia
10.5 Torque
10.6 Momento magnético de una bobina planar
Capítulo 11
INDUCTANCIA
Y CIRCUITOS MAGNETICOS
.
140
11.1 Voltaje de autoinducción
11.2 Inductores e inductancia
11.3 Formas estándar
11.4 Inductancia interna
11.5 Circuitos magnéticos
11.6 Alinealidad de la curva B-H
11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos
11.8 Núcleos con espacios de aire
11.9
Bobinas múltiples
11.10 Circuitos magnéticos paralelos
Capitulo 12
CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO
Y FEM INDUCIDA
.
160
12.1 Corriente de desplazamiento
12.2 Razón entre le y ID
12.3 Ley de Faraday
12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo
12.5 Conductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo
Capitulo 13
ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES
13.1 Introducción
laminar en el límite
Capitulo 14
.
172
13.2 Relaciones límites para campos magnéticos
13.3 Corriente
13.4 Resumen de las condiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
.
181
14.1 Introducción
14.2 Ecuaciones de onda
14.3 Soluciones en coordenadas cartesianas
14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores
14.5 Soluciones para dieléctrico perfectos
14.6 Soluciones para buenos conductores
14.7 Profundidad de
penetración
14.8 Ondas reflejadas
14.9 Ondas estacionarias
14.10 Potencia y vector
de Poynting
APENDICE
INDICE
197
AEP
199
AEP
1
Capítulo
Análisis vectorial
1.1
NOT ACION VECTORIAL
Para distinguir
(cantidades que tienen magnitud y dirección) de
(cantidades que tienen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un
de valor absoluto (o
magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector
unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:
A
aA
=
,A
o
IAI
IAI
=A=~
(ver sección 1.2).
donde
Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes
cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en
de
A
1.2
ALGEBRA
l.
= A"a" +
de un sistema de coordenadas
+
VECTORIAL
Los vectores pueden sumarse y restarse:
A
a" +
B=
+
+
+
2.
y
Las leyes asociativa,
distributiva
+
)
+
y conmutativa
se aplican
A + (B + C) = (A + B) +
e
A+B=B+A
3.
El
de dos vectores es, por definición,
A- B
=
cos 8
(léase "A punto B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación
A -B
En particular,
4.
A-A=
El
nición,
A x B
=
+
de componentes
se puede demostrar
que
+
"
y
z
de dos vectores es, por defi-
=
sen 8}a"
(léase" A cruz B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad
normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de '
un punto común. Existen dos vectores normales a este plano,
así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El
vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la
misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es
Fig. 1-1
AEP
AEP
AEP
AEP
ANALISlS VECTORIAL
2
rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la
ducto vectorial. En cambio, se cumple que
[CAP. 1
ley conmutativa
no se cumple para el pro-
AxB=-BxA
Desarrollando
el producto
vectorial en forma de componentes,
A x B = (Axax
+
B, -
=
lo que se expresa convenientemente
+ Aza.)
+(
x (Bxax
- A~ .
Bx}az
aya.
ax
SISTEMAS
+ B.a.)
+(
-
como un determinante:
A x B
1.3
+
tenemos
=
s,
s,
DE COORDENADAS
U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar
de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innecesariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas cartesianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas
conjuntamente
para ilustrar las similitudes y las diferencias.
z
z
r P(r, q¡, z)
~ P(x,y,z)
I
Iz
iz
I
I
/
I . /
_._-_._--
(a)
1//
8 J, P(r, 8, 4»
I
k---+-----y
•
//
I
I
.x-'--;,---•...
y
/
I
I
X
4>
(b)
Cartesianas
Cilíndricas
'J
(e) Esféricas
Fig.I-2
Un punto
queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico
(r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1- 2. El orden de especificación de las coordenadas es importante y debe seguirse cuidadosamente.
El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y
cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer
lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos
z
z
z
, = const.
8 =
const.
z = const.
I----+-
I----y
/----+-
= const,
4> = consto
AEP
AEP
4> = const.
(a) Cartesiano
(b)
Cilíndrico
Fig. 1-3
(e) Esférico
AEP
AEP
CAP. 1]
ANALISIS
VECTORIAL
3
cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas
mide la distancia desde el eje hasta el punto en
un plano normal al eje
mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El contexto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia.
La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la
figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos
= constante,
= constante y = constante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas cartesianas,
= constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto
circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto
. En coordenadas
esféricas.ó
= constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas,
=constante es
una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el
n.
origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O
z
z
z
3<1>
}-----+-y
-
}-----+-y
(b)
(a) Cartesiano
(e)
Cilíndrico
Esférico
Fig. 1-4
La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad.
tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas
(excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección
de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:
Las formas de componentes
de un vector en los tres sistemas son:
A =
A = Arar
A
+
+ Azaz
+ A",a", + Azaz
(cartesiano)
(cilíndrico)
= Arar + o o + A",a",
(esférico)
Debe notarse que los componentes
etc., no son generalmente
funciones de las coordenadas en el sistema particular.
1.4
VOLUMEN,
SUPERFICIE
Y ELEMENTOS
DIFERENCIALES
constantes
sino a menudo
DE LINEA
) ó
,
,
ó
Cuando las coordenadas del punto
se desarrollan en (x +
+
se forma un volumen diferencial
. En cantidades infinitesimales de primer orden el
volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema
aparece en la figura 1-5.
En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen
diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es
(r
+ dr, O + de,
AEP
AEP
=
dO senO
=
2
senO dO
AEP
AEP
ANALISIS VECTORIAL
4
[CAP. 1
.
z
~------------~
y
=
=,2 sen O
do
(b) Cilíndrico
(a) Cartesiano
dñ
( e) Esférico
Fig. 1-5
El elemento
diferencial
dt2
dt2
dt2
1.5
CAMPOS
de línea, di. es la diagonal
= 2 +
= 2 + r2
= 2 + r2
+ 2
+ 2
+ r2sen
a través de P, por lo que
(cartesiano)
(cilíndrico)
2 ()
(esférico)
VECTORIALES
Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficientes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de
punto a punto, a través de la región de interés.
Considere por ejemplo, el vector
E = -xax
+ yay
Dando diferentes valores a y a se obtiene E en varios puntos. Después que
varios puntos han sido examinados, el
patrón resulta evidente. La figura 1-6
muestra este campo.
Además, un campo vectorial puede
variar con el tiempo. De esta manera al
campo bidimensional examinado puede
agregársele una variación temporal mediante la expresión
E
=
(-xax
----------~==~------+_------~~-----------
+ yay)senwt
ó
Los campos magnéticos y eléctricos de los
capítulos posteriores variarán todos con
el tiempo. Como es de esperarse, serán
diferenciados o integrados respecto del
tiempo. Sin embargo, ambas operaciones
tendrán un curso natural y muy raramente causarán gran dificultad.
AEPAEP
Fig.l-6
AEP
\
AEP
1.6
5
ANALISIS VECTORIAL
CAP. 1]
TRANSFORMACIONES
El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema
de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del
sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión
final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un
campo vectorial, de un sistema a otro.
EJEMPLO 1:
Considérese
= 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a.
, 8. q, pueden expresarse en un sistema
A
en coordenadas esféricas. Las variables
la figura 1-2 y aplicando la trigonometría
cos (J = -;::::;==;===;::
.
Ahora las componentes
de coordenadas
esféricas del campo vectorial
+ l-+
éstas con las componentes
recurriendo
a
y
tanq, =-
Z2
A pueden expresarse
en términos
Los vectores unidad a,. a , ya-</> pueden expresarse también en un sistema de coordenadas
figura 1-4 y aplicando trigonometría
básica. En fecto,
Combinando
cartesianas
básica. De esta manera
transformadas
de
,
y
cartesianas
así:
recurriendo
a la
resulta
Problemas resueltos
1.1.
Demuestre que el vector dirigido de M(x).y). z))
a N(X2. Y2' z2) en la figura 1-7 está dado por
- x¡)a"
+(2 -
+
- z1)a:
Lascoordenadas
de M y N se utilizan para expresar los dos vectores de posición A y B de la figura 1-7_
A = xla.x + Ylay + zla.
B = X2a.x + Y2ay + Z2a.
~------
AEP
AEP
Entonces
Fig.I-7
AEP AEP
6
ANALlSIS VECTORIAL
1.2.
Determine el vector A dirigido de (2,- 4, 1)a (0,- 2, O) en coordenadas
vector unidad a lo largo de A.
A
=
(O - 2)a"
A
221
= 1AT = - 3a" + 3a,
-
el
Determine la distancia entre (5, 3 1t/2, O) Y
(5, 1t /2, 10) en coordenadas cilíndricas.
A
=
-5ay
B = 5ay
Entonces B - A = lOa,
entre los puntos es.
lB-Al
z
(S,1t/2,tO)
+ lOa.
+ 10a.y
la distancia buscada
=
<p
Las coordenadas cilíndricas de los puntos no
pueden utilizarse para obtener un vector entre los
puntos con el mismo método que se siguió en el problema 1.1 en coordenadas cartesianas.
1.4.
y determine
3a•
Primero, obténgase los vectores de posición
A y B (ver figura 1-8).
\
cartesianas
+ (- 2 - ( - 4))ay + (O- 1)a. = - 2a" + 2a, - a.
IAI2 = (_2)2 + (2)2 + (_1)2 = 9
aA
1.3.
[CAP. 1
Muestre que
B
Exprese el producto
B
=
=
+
=
=
1t/2
Fig. 1-8
+
escalar en forma de componentes:
(A"a" +
a,,) •
+
+
+ b,«, + .)
+ (A"a,,)'
ay) +
a,,) .
ay) .
a,,) +
ay) •
ay} +
ay) •
+
a.) •
a,,) +
a.) .
ay) +
a.)
a.) .
a.)
Sin embargo, al<' a" =
ay = a•• a. = 1 puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el
ángulo es cero. Cuando 8 = 90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de los
vectores unidad son iguales a cero. Así pues:
1.5.
Dados A
= 2a" + 4ay
- 3a", y B
A' B
= a" -
=
A x B=
,
1.6.
Demuestre
+
=
A •B
(2)(1)
+
hallar
B Y A x B.
+ (4)( -1) + (-3)(0)
a" a, a.
2 4 - 3
1 -1
O
l
que A = 4a" - 2a)' - a. y B = a"
I
= -
=
-2
3a" - 3ay - 6a.
+ 4a)' - 4a", son perpendiculares.
AEP
AEP
Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente
cualesquiera diferentes de cero, implica que (J = 900.
A . B = (4)(1)
+ (-2)(4) + (-1)( -4) = O
de dos vectores
AEP AEP
CAP. 1]
1.7.
7
ANALISIS VECTORIAL
Dados A = 2a" + 4ay y B = 6ay - 4az, encuentre el menor ángulo entre ellos usando
producto vectorial, (b) el producto escalar.
(a)
~
A x B=
O
6
a,o
-4
I
=
(a)
el
+ 8ay + 12a.
-16a"
IAI = (2)2 + (4)2 + (0)2 = 4.47
IBI =
+ (6)2 + (_4)2 = 7.21
lA x BI = J( -16)2 + (8)2 + (12)2 = 21.54
Entonces, como
lA x BI = IAIIBI
sene
21.54
4.47 )(7.21 ) = 0.668
A' B = (2)(0)
cose
=~=
- l)a" +
B = 5a" - ay + 2a •.
,
+ (4)(6) + (0)( -4) = 24
24
=0745
(4.47)(7.21)
IAIIBI
Dado F =
ó
= (
(b)
1.8.
sen 8,
Ó
hallar el vector en (2,2, 1) Y su proyección sobre B, donde
+ (2)(2)ay
F(2,2, 1) = (2 - l)a"
= a"
+ 4ay
Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un
segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del
segundo vector y utilizando el producto escalar.
\
Proy. A sobre B= A'
B
Proy. A sobre B
AB
=W
Fig.1-9
Entences, en (2, 2, 1),
B
Proy. F sobre B =
1.9.
Dados A = a" + ay,
A x (B x C).
lBT =
B = a" + 2az, y
l
(1)(5)
(A x B) xC
=
1
=
e=
a"
Entonces
+ (4)(-1) + (0)(2)
~
2ay
+ a,; halle (A x B) x
aya"
- 2 - 1
2
1
= -
e
y cornpárelo con
2ay + 4a.
Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay + 3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el
producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial.
1.10.
Utilizando los vectores A, B Y e del problema 1.9, halle A • B x
En el problema 1.9, B x
e=
Bx
-
e
4a" - ay + 2a.. Entonces
e=
(1)(-4)
+ (1)(-1) + (0)(2) = -5
y cornpárelo con A x
C.
AEP
AEP
AEP
AEP
8
ANALISIS
También
1.9, A x B = 2ax-
en el problema
VECTORIAL
. l.
2ay- a, . Entonces
e = (2)(0) + (-2)(2) + (-1)(1)
A x
=
-5
Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el producto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que:
Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos
escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo.
I.lI.
Exprese el vector unidad que apunta desde z = h en el
eje z hacia (r, if>, O) en coordinadas
cilíndricas. Ver
figura 1-10.
h
El vector R es la diferencia
R
aR
=
ra, R
= -
IRI
=
de dos vectores:
ra, - haz
---..,==~-=2
+ h2
Fig. 1-10
El ángulo <jJ no aparece explícitamente en estas expresiones.
De todas maneras, tanto R como a varían con <jJpor intermedio de a..
1.12.
Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde
un punto arbitrario del plano z = - 5, tal como se
muestra en la figura 1-11.
Como el problema está planteado en coordenadas cartesianas, se puede aplicar la fórmula del problema 1.1 referente
a dos puntos.
R = - xax
yay
-
- yay
R = --;~=~~:::---=
a
-xax
x
+ 5az
+ 5az
Fig. 1-11
1.13.
Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~ :=;;; () :=;;;
esférica de radio a (figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~ = O Y = 1t?
El elemento
diferencial
de superficie
sobre la concha
es [véase figura l-5(c)]
dS = r2sen8d8d<jJ
Entonces
A =
J J
o
1.14.
e =9y
P=
1t,
a2sen8d8d<jJ
•
2
- cos P)
(cos
=
Cuando
P
A
=
47t02,
área de toda la esfera.
Fig.I-12
Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio
En la figura l-5(c),
a partir del diferencial de volumen.
do = r2_sen 8 dr dO d<jJ. Entonces
v =
J f J
h
o
"
o
•2
o
r sen8drd8d<jJ
=
4
-3
AEP
AEP
3
AEP
AEP
CAP. 1]
1.15.
ANALISIS VECTORIAL
9
Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área
de la superficie curva de un cilindro recto circular donde r = 2 m,
h = 5 m, y 300 ~ ljJ ~ 1200 (véase figura 1-13).
Sm
El elemento diferencial de superficie es dS
f f
S
A =
o
=
1.16.
=
d4Jdz. Entonces
2Kf3
2d4Jdz
~f6
571:m2
Transforme
,
de coordenadas
cartesianas
/
Fig. 1-13
a cilíndricas,
Recurriendo a la figura 1- 2( b),
x = rcos4J
=
+
=
sen4J
En consecuencia,
En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y az:
a" . ar
=
cos 4J
a, . a, = sen4J
az' a, = O
Así pues
a" . a~ = -sen4J
ay . a~ = cos 4J
a,,' a. = O
ay' a. = O
a.' a4>= O
a% • az = 1
a" = cos 4Ja, - sen4Ja4>
ay = sen4Ja, + cos 4Ja4>
ll: = az
y
1.17.
Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5, 51t/4, O) hacia el origen (figura 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas.
En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como
lOa" donde 4J = 71:/4.En consecuencia
71: 10
= lOcos-=-."
4
fi
y
71: 10
= lOsen-=4 fi
.
=
O
así que
Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario.
Fig. 1-14
Problemas suplementarios
1.18.
1.19.
Dados A = 4ay + lOa. y B = 2a"
+ 3ay, encuentre la proyección de A sobre B.
esp.
12/,ji3
AEP
AEP
Dados A = (lO/fi)(a" + a.) y B = 3(ay + a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la
1.50 (a" + a.)
dirección de A,
sp.
AEPAEP
10
ANALlSIS
VECTORIAL
[CAP. 1
1.20.
Halle el ángulo entre A = lOay + 2a. y 8
vectorial.
sp. 161.5°
1.21.
Halle el ángulo entre A = 5.8 ay + 1.55a. y 8 = - 6.93 ay + 4.0 a. usando tanto el producto
producto vectorial.
sp. 135°
1.22.
+ + 2z = 12, halle
+ 3ay + 2a.)/j2§
Dado el plano 4x
-
.
(4a"
que los campos vectoriales
= - 4ay + 0.5 a.
usando tanto el producto escalar como el producto
escalar como el
el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen.
1.23.
Demuestre
A y B son siempre perpendiculares
1.24.
Halle la relación que deben satisfacer las componentes
paralelos.
cartesianas
+
si
+
= O.
de A y B si los campos vectoriales son siempre
esp.
1.25.
Exprese el vector unidad dirigido
=
esp.
1.26.
hacia el or igen desde un punto arbitrario
sobre la línea descrita por
= O,
3.
a
=
-3a
- za
J9+7
%
Exprese el vector unidad dirigido
hacia el punto (XI' YI' ZI) desde un punto arbitrario
= -5.
en el plano
esp.
1.27.
Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (O, O h) desde un punto arbitrario
plique el resultado cuando h se aproxima a - 2.
esp.
1.28.
a=
=
tal que el ángulo entre A y B sea 45°. Si B tiene también un téry
,
e
1.29.
Demuestre que el valor absoluto de A' 8 x
es el volumen del paralelepípedo
x
es el área de la base.)
enc
Primero demuestre que
1.30.
Dados A
= 2a" - a.,
1.31.
DadosA
escalar.
=
1.32.
Con los vectores del problema
18 CI
esp.
= - 2. Ex-
y
Dados A = 5a" y 8 = 4a" + Byay halle un
mino . a., ¿qué relación debe existir entre
esp.
en el plano
8
= 3a" + ay, y e = -2a" + 6ay - 4a.,
a" - ay, 8 = 2a% yC = -a"
esp. - 4
+ 3ay, halle
demuestre
con aristas A. By C. (Suge-
que C es perpendicular
a B y a A.
A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto
1.31, halle (A x B) x C.
-8a.
/
1.33.
Encuentre
sp.
el vector unidad dirigido desde (2, - 5, - 2) hacia (14, - 5, 3).
a=-a
12
13
x
5
+-a
13
AEP
AEP
z
AEP AEP
[CAP.
1.34.
1
ANALISIS
Indique
('1'
VECTORIAL
11
por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas
Y 2
2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas
l' ZI)
d entre los dos puntos del problema
cilíndricas
esféricas.
para los puntos
1.35.
Verifique que la distancia
1.36.
Halle el vector dirigido desde (10, 3 tt 4, n ] 6) hacia (5, n] 4, n), donde los puntos están dados en coordenadas
esféricas.
sp.
- 9.66 a, - 3.54 ay + 10.61 a,
1.37.
Halle la distancia
3.53
entre (2,
1.38.
Halle la distancia
2.0
entre (1, n/4, O) y (1, 3n/4, n ). Los puntos están dados en coordenadas
1.39.
Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O :<:;;
radio
¿Cuál es el resultado cuando I =
esp.
21 2,
=
ni«,
O) y (1,
n,
1.34 está dada por:
2). Los puntos están dados en coordenadas
1.40.
Utilice coordenadas
radio h.
sp.
1.41.
Utilice coordenadas
cilíndricas e integre para obtener el
volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.
2
sp.
h
1.42.
Utilice coordenadas
esféricas para escribir las áreas
diferenciales de superficie
I y
2 y luego integre para
obtener las áreas de las superficies marcadas con 1y 2 en la
figura 1-15.
sp.
n/4, n/6
:<:;;
cilíndricas.
esféricas.
sobre la concha esférica de
2
cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio
2
y
z
-
1.43.
1.44.
Utilice coordenadas
esféricas para hallar el volumen de
una concha hemisférica de radio interno 2.00 m y radio
externo 2.02 m.
.
0.162 m3
Utilizando coordenadas
esféricas para expresar el diferencial
definido por 1 :<:;; :<:;; 2 m, 0:<:;; O :<:;; n/2, y 0:<:;;
:<:;; n/2.
Fig. 1-15
de volumen,
esp.
7 Ir
-m
integre para obtener
el volumen
ti
6
1.45.
Transforme el vector A =
a, +
cos c + AysencJ»a,
A =
1.46.
Transforme
el vector
A =
a,
+
+ a, a coordenadas cilíndricas.
+ (- AxsencJ> + cos cJ»a4>+ a,
ao
+
a4>a coordenadas
cartesianas.
.
AEP
AEP
AEPAEP
/
ANALISIS VECTORIAL
12
1.47.
Transforme el vector F = r-Ia,
F = xax +
2 +
1.48.
y
CAP. 1]
que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.
+ za.
+ Z2
En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular recto y F = Fa, describe una fuerza que es
normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas.
xax +
2 +
= const., F =
y
.
+
1.49.
Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a,
3xzax +
+ 2 - 2 . F = --"--"--:-''---'::---:;----''--'--''
2 +
+ Z2
1.50.
Dibuje el campo vectorial
F = ya,
+
+ sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas.
.
.
Véase figura 1-16.
y
'lr/8
3'1r/8
1E'------.lr-----Ir-----1>--
Fig. 1-16
'Ir
12
5'1r/8
--40:::---f---+-:---r----
~= 'lr/2
?'lr/8
I~
= plano constante
I
~ = 3'1r/8
Z
= plano
constante
O ~ ~ ~ 'lr/2
~=O
Fig. 1-18
Fig. 1-17
F = 2r cos q, a,
+ ral/>'
1.51.
Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas
1.52.
Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas.
.
AEP
AEP
Véase figura 1-17.
.
Véase figura
AEP
AEP1-18.
.----------------------------~------~~------------------------
Capítulo 2
Fuerzas de Coulomb
e intensidad del campo eléctricozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY
2.1
LEY DE COULOMB
Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional
a las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es la mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
le y d e C o u lo m b , desarrollada
mediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así:
A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas.
La fuerza está dada en newtons (N), la
distancia en metros (m)\y la unidad (derivada) de carga es el coulomb (C). El sistema se racionaliza con el
factor 4 1 t, introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell. e es la p e r m itivid a d del medio, en unidades C2/ N . m 2 o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espacio
libre o vacío,
e
=
(o
=
10-9
12
8.854 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
X 10F/m ~ 3 6 1 t F/m
En un medio diferente al espacio libre, e = iO ir ' donde ir es la p e r m itivid a d r e la tiva o c o n sta n te d ie lé c tr ic a .
En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libre y adoptarse el valor aproximado dado de
(o', a menos que se establezca lo contrario.
Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresar su dirección. De esta manera,
describe una fuerza ejercida
sobre Q (, donde
el vector
a2(
está dirigido
de Q 2 a Q (.
EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q ., 20 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
J 1 ,C , debida a la carga Q 2 ,_ 300 J 1 ,C , sabiendo
que Q . se
sitúa en (O, 1, 2) m y Q2 en (2, O, O) m.
Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan más a menudo en microcoulombs
( ¡ l C ) , nanocoulombs (nC) o picocoulombs
(pC). (Véase apéndice para los prefijos del sistema SI.) Refiriéndonos
a la figura 2-1,
R 21
=
a 21
=
-2a" + ay + 2a.
1
3" (-2a" + ay + 2a,)
z
Entonces
F, = (20 x 10-6 )(-300
x 10-6 ) (-2a"
47t(10 .9j367t)(3)2
=
6e a" - i - 2a,) N
+ ay + 2a,)
y
3
Q2
(2, O, O)
x
La magnitud
hacia Q 2 .
de la fuerza es 6 N Y la dirección
es tal que Q . es atraída
13
Fig.2-1
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
14
DEL CA~PO
ELECTRICO
[CAP. 2
En la región que rodea una carga puntual aislada, existe un mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
c a m p o d e fu e r za de simetría esférica. Este se
pone en evidencia cuando la carga ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q se halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segunda carga, Q T '
se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las
dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coordenadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I
F =
QQT
4nE r 2
o
T
8
,
Q
•
x
Fig.2-3
Fig.2-2
Debe observarse que, a menos que Q
Q , el campo simétrico alrededor de
En el punto 1 de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma
T
~
r. =
FQT
+
Q
está perturbado por
Q
T.
FQ
Esto no debe sorprender, ya que si Q tiene un campo de fuerza, lo mismo sucede con Q T' Cuando las dos
cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto
de los dos campos. Este es el p r in c ip io d e su p e r p o sic ió n para fuerzas de Coulomb y se extiende a un número
cualquiera de cargas.
8
2.2
INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba Q T es suficientemente pequeña como para no
perturbar significativamente el campo de la carga puntual fija Q . Entonces la in te n sid a d d e c a m p o e lé c tr ic o ,
E, debida a Q se define como la fuerza por unidad de carga sobre Q T :
Q
1
E=-Q
F T= - 4
T
nE o r
28,
Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q [figura 2 - 4 ( 0 ) ] .
Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema
arbitrario de coordenadas cartesianas,
donde el vector separación R se define en la figura 2 - 4 ( b ) .
Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).
CAP. 2]
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
15
E
z
/- - I- - - - - - I~
(a )
2.3
x ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Esférico
DISTRIBUCIONES
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
Y
Fig.2-4
(b )
Cartesiano
DE CARGA
Carga volumétrica
Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al
campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces un proceso sumatorio o de integración para
obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un
protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una
d e n sid a d d e c a r g a por
Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que p está dado en C/ m 3 siempre que las
variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (C para Q y m 3 para v ) . Esta convención será
utilizada a lo largo de todo el libro.
En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial
d Q produce un campo eléctrico diferencial
dE = 4
dQ
1tE:o
R2 a R
en.el punto de observación P . Si se supone que la única carga de la
región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total en P
se obtiene por integración sobre el volumen:
E =
f
v
4
pa R
1tE:o
R2
dv
Carga laminar (superficial)
Fig.2-5
La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o
una lámina. Entonces cada carga diferencial d Q que esté sobre la
lámina produce un campo eléctrico diferencial
P /d E
•
en el punto P (véase figura 2-6). Si la d e n sid a d su p e r fic ia l d e c a r g a es
ps (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región,
entonces el campo eléctrico total en P es
E= f
Carga lineal
s
p , a R2 d S
s 41tE:o R
.
Fig.2-6
Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea
produce un campo eléctrico diferencial
16
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO
en mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P (véase figura 2- 7). Y si la d e n sid a d lin e a l d e c a r g a es
P t (Cj m) y no existe ninguna otra carga en la región,
entonces el campo eléctrico total en P es
ELECTRICO
[CAP. 2
z-,
dE .'R
p~
E
=
f
P t a 2 dI
R
R
L
47tE o
Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones de
carga anteriormente citadas y en sus correspondientes
integrales para E, el vector unidad a R es variable y
depende de las coordenadas del elemento de carga d Q .
Así pues, 8 R no puede ser sacado del integrando.
2.4
CONFIGURACIONES
~
L
Fig.2-7
ESTANDAR DE CARGA
Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácil
cálculo. Respecto de estas configuraciones estándar (y de otras que serán analizadas en este capítulo) debe
anotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando un problema establece que la carga está
distribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco con
carga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque se
requiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en una
configuración especial.
Carga puntual
Como se determinó en la sección 2.3, el campo de
una sola carga puntual Q está dado por
E =
Q
(coordenadas esféricas)
a,
---2
47tEor
+00
Véase figura 2 - 4 ( 0 ) . . Este es un campo de simetría esférica
que cumple una le y d e l in ve r so d e l c u a d r a d o (como la
gravitación).
y
Carga de línea infinita
Si la carga está distribuida con densidad u n ifo r m e
P t (C I m) a lo largo de una línea recta in fin ita que
escogeremos como eje z, entonces el campo está dado por
E =~
27tE o r
a
x
(coordenadas cilíndricas)
'
-00
Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica y
es inversamente proporcional a la p r im e r a p o te n c ia de la
distancia desde la línea de carga. Para una derivación de
E, véase el problema 2-9.
I ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Fig.2-8
Cargas de plano infinito
Si la carga está distribuida con densidad u n ifo r m e
P . (C I m-) sobre un plano in fin ito , entonces el campo está
dado por
E=~a
2E o
"
Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constante y
tiene simetría especular con relación al plano de carga.
Para una derivación de E, véase el problema 2.12.
Fig.2-9
CAP. 2]
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
I7
Problemas resueltos
2.1.
Dos cargas puntuales.Q¡ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5 0 / - le
y mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q 2 = 10 / - le ,
están localizadas en ( -1, 1, - 3) m y (3, 1, O) m resz
pectivamente
(figura 2-10). Halle la fuerza sobre Q I'
R 2l
=
-4a"
-4a"
a2l =
F1
- 3a z
5
- 3a z
Q lQ 2
=
2
a21
4 n E o R2 1
=
=
(50 X 10-6)(10-5)
4n(1O 9j36n)(5)2
(0.18)( -0.8a"
(-4a"
- 3a z)
Q¡
5
- 0.6a z)
(-1 ,1 ,-3 )
Fig.2-10
N
La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6a z• En forma de
componentes
F¡ =
2.2.
-O.l44a"
- 0.108a z
N
Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas
iguales de 20 / - le están localizadas en los ejes x y y en ± 4 m.
Considere la fuerza debida a la carga en
y
=
z
4
(10-4)(20 x 10-6) (-4a, + 3a z)
5
4n(10 9j36n)(5)2
La componente y se anula por la carga en y = - 4. En
forma similar, las componentes x debidas a las otras dos
cargas se anulan. Por consiguiente,
x
Fig.2-11
2.3.
Respecto
fuerza
de la figura 2-12, la carga puntual
F 1 = Sa, - 8ay +
debida a la carga
Determine Q 2
R 21 =
puntual
-2a"
48%
Q 2 en
Ql = 300
/ - le ,
situada en [I, - 1, - 3) experimenta
una
N
(3, - 3, - 2) m.
+ 2a, - a z
z
Observe que, como
la fuerza dada está a lo largo de R 21 (véase problema 1.24), como debe ser.
Fig.2-12
Resolviendo. Q 2
= -
40
¡,te.
/
18
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO
2.4.
[CAP. 2
, le que
Halle la fuerza sobre una carga puntual de 50'J,lC en (O, O, 5) m debida a una carga de 50011:JZYXWVUTSRQPON
Z = O m (véase figura 2-13).
está distribuida uniformemente
sobre un disco circular r $; 5 m,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
La densidad
de carga es
_5? _500nx
Ps A
En coordenadas
()2
10-
-02
-.
n 5
0-4C12
xli
+
Sa,
se resuelve
en una fuerza
+
+
= _ (5 -: 0 _ x~ 1 O -:6--,)(p:-:-s-c;-r_dr_d_<
jJ..,.)
(-ra,
dF
-r-
4n(1O
Antes de integrar,
9 /3 6 n )(r
+
2
obsérvese
F =
25)
o
4n(1O
el problema
90n
J
(2
o
r
rdr
+
x
5a.)
25 ,
Fig.2-13
radial se anula y que a, es constante.
(50 x 10-6 )(0.2
f2n f5
,5
=
Jr2
que la componente
o
Reducir
m
(0, O, 5)
Entonces, cada carga diferencial
diferencial
Repita
z
6
cilíndricas,
R = -ra,
2.5.
ELECTRICO
x
En consecuencia,
1 O - 4 )5rdrd< jJ
9 /3 6 n )(r 2
+
[
2 )312a: = 9 0 n
5
25fl2
a.
-1
P+2s
r2 + 25
Js
o
a:
=
16.56.% N
2.4 para un disco de radio igual a 2 m.
el radio tiene dos efectos:
la densidad
de carga se aumenta
por un factor
P 2 = (5)2 = 625
p¡
mientras
la integral
sobre r se convierte
La fuerza resultante
(r 2
+
25)312 = 0.0143
s
fo
en lugar de
rdr
(2
r
+
2 )312 = 0.0586
5
es
F
2.6.
.
en
rdr
2
fo
(2)2
=
0.0143 )
(6,25) ( 0.0586 (16.56a:
N)
=
25.27.:
N
Halle la expresión del campo eléctrico en P debido a una carga puntual
ejercicio con la carga colocada en el origen.
Como
se muestra
Q
en
(X I'
Y I,
Z I)'
Repita el
en la figura 2-14,
z
Entonces
P (x ,y ,z )
Q
E=---a
4 n (0
Cuando
R2
R
Q
(x -
x ¡)a x
4 n (0
t(x -
X ¡)2
+ (y + (y -
y ¡)a y
y ¡)2
+ (z - z¡)az
+ (z - Z ¡ ) 2 ] 3 1 2
la carga está en el origen,
E
pero esta expresión
=.J?..-
xax
4 n (0
(X 2
no muestra
x
y
la simetría
del campo.
En coordenadas
Q
4 n (0
la simetría
es evidente.
Fig.2-14
+ y a + za:
+ y 2 + Z2 )312
E=· --.
y ahora
..) - - - - - ~ y
r2
,
esféricas
con Q en el origen,
CAP. 2]
2.7.
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
Halle E en el origen debido a una carga puntual
das cartesianas.
DEL CAMPO ELECTRICO ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
19
de 64.4 nC localizada
en (-4, 3, 2) m, en coordena-
La intensidad del campo eléctrico debido a una carga mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q situada en el origen es en coordenadas esféricas:
En este problema la distancia es y'Í9 m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R
=
4 8 x-
3 8 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
28 e '
y E
2.8.
=
64.4
4 1 t(1 0
X
10-
9
(4 8 x
3ay - 2az)
-
fo
9 /3 6 1 t)(2 9 )
Halle E en (O, 0,5) m debido a Q , = 0.35
ra 2-15).
R 1 = -4 8 y
+ 58 z
R 2 = -3 8 x
+ 58 z
)J.C
=
(2 )(4a x
00 -
38y
-
yl29
.
-
2az)
en (O, 4, O) m y Q 2 = -0 .5 5 )J .C
=
0.35 X 10(-4 8 y
+ saz)
41t(1O 9 /3 6 1 t)(4 1 )
J4t
=
-48.0a y
=
-0.55 x 10-6 (-3 8 x + 58z)
41t(1O 9 /3 6 1 t)(3 4 )
fo
V/m
en (3, O, O) m (ver figu-
6
El
2
E
=
y
2.9.
7 4 .9 8 x
+ 6O.0a. V/m
-
124.98.
E = El + E 2 = 74.9a x
-
y
x
V/m
4 8 .0 8 y
r:
64.98 z
Fig.2-15
V/m
Una carga se distribuye uniformemente
a lo largo de una línea recta infinita,
Desarrolle la expresión para E en un punto general P .
eje
z
Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de carga el
(ver figura 2-16). En P ,
(r8 r
dE = ~
-
41ttoR2 ~
Como para cada d Q en Z hay otra carga
tes z se cancelan. Entonces
-
Pt r
[
z
- 41tto r2~
] 00
-00
z
con densidad
too
p¡ .
•
Z8 i )
las componen-
d Q e n -z,
8 r -
Pt
21ttor
a
+-00
r
Fig.2-16
2.10.
Sobre la línea descrita por x = 2 m, y= - 4 m se distribuye uniformemente
P t = 2 0 nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2 , -1 ,4 ) m.
una carga de densidad
Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el
problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene
componente z. Respecto de la figura 2-17,
y
E =
20 X 10-9 (-4a x + 3 8 y )
21t(0(5)
5
= - 5 7 .6 8 x + 43.2ay
V/m
F U E R Z A S D E C O U L O M B E IN T E N S ID A D
D E L C A M P O E L E C T R IC O
20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
[C A P . 2
mlkjihgfedcba
y
(0,4, z)
/~
p'/E
y
p/
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(0 , -4 ,.z )
Fig.2-18
Fig.2-17
2.11.
Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad
plano x = O en y=
±4 m. Hallar
a 8 z; sus campos
en P es
son radiales
y paralelos
xy.
Para
distribuidas
sobre un plano infinito
P s'
Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con
la carga en el plano z = O como se muestra en la figura 2-19.
z
dE
\
P (O ,
La simetría respecto del eje z produce
las componentes
radiales.
- P. z [
-
al plano
cargas lineales es, por superposición,
Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente
2.12.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
con densidad
m caen en el
.J2
21U o r
a ambas
nCI
18
Pt
E=--=-V/m
debido
Pt = 4
E en (4, O, 10) m.
Las líneas de carga son ambas paralelas
cualquier carga lineal la magnitud del campo
El campo
x
2<0
-1
J
r2
+
la cancelación
o
%
-
de
y
]co a - P .
Z2
1/1, z)
2<0
x
8
%
Fig.2-19
Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy. Para puntos situados por
debajo del plano xy el vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o
vector unidad normal:
E=
P.
-a.
2(0
El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de carga y su magnitud
plano.
es independiente
de la distancia
al
CAP. 2]
2.13.
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
21
= 3 m se distribuye uniformemente
una carga de
Como se muestra en la figura 2-20, en el plano mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
densidad P . = (1O-s/61t) C/m2. Determine E en todos los puntos.
Para y>
3 m,
»A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::
P.
=-a,.
E
2(0
3, z )
y < 3 m,
y para
E
=
-30a,
V/m
lE
z
Fig.2-20
2.14.
Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada
una con densidad ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P . , se localizan en x == ± 1
(figura 2-21). Determine E en todas las regiones.
En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos
láminas de carga. Ambas láminas producen campos E
que se dirigen a lo largo de x, independiente
de la
distancia. Entonces
p.
p.
--- -E2
~
x
O
E2
~
< -1
-1<x<l
x
El
El
1
2
x>l
--
E2
El
Fig.2-21
2.15.
Repita
el problema
2.14 con P . sobre x
=
-1
en x
y-P .
x <
=
1.
-1
-1<x<l
x> 1
2.16.
Una carga laminar uniforme con P . = (1/31t) n C j m 2 está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-.
forme con P t = (-25/9) nCjm en z= -3 m, y = 3 m. Encuentre E en (x, --1, O) m.
Las dos configuraciones
de carga son paralelas al
eje x. En consecuencia,
la figura 2-22 se trazó mirando
hacia plano x y desde x positivo. Debido a la carga
laminar,
z
P•
E•=-a,.
2(0
En
a,. = -a.
P,
Es
y
5
~ ::- + ~ 4 - - - - - + -
E. = -6a. V/m
Debido
a la carga lineal,
Fig.2-22
y en P
El
El campo
eléctrico
total es la suma
E
=
=
8a, - 6a.
El + E.
=
V/m
8a, - 12a.
V1m.
y
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
22
2.17.
Determinar
están dar de
x = O m con
en x = 4 m
forme en x
DEL CAMPO ELECTRICO
E en (2, O, 2) m debido a las tres distribuciones
carga siguientes: una carga laminar uniforme en ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P ,¡
P .2
P . l = (1 I 3 n ) n C I ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
m -, una carga laminar uniforme
P .2 = (-1 1 3 n ) n C I m? y una carga lineal unicon mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
E
E
= 6 m, y =0 m con P t = -2 n C / m .
~~~-
Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a 8 I ' no
existen componentes z del campo. El punto (2, O, 2) tendrá el mismo
campo (2, O, z ) . En la figura 2-23, P está localizado entre las dos
láminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia de
signo.
O
P (2 ,
x=o
=
2.18.
218" V/m
0,
20 x 10- d z
41[(10 9/361[)(4 +
(28" - Z 8 z)
)4 + Z2
Z2 )
La simetría con respecto al plano z
componente z en el resultado.
180
P t'
dQ
=P
)
V/m
O elimina cualquier
(2, O, O)
E =
=
1678" V/m
Z
r
-s
Fig. 2-24
1678, V/m.
20 X 10-9 d z
(28" - Z 8 z)
- 41[(10 9/361[)(4 + z2) J4+ ?
dE -
(V/m)
N uevamente se elimina la componente z.
138" V/m
-s
En coordenadas cilíndricas,
E
=
138, V/m.
Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18 y 2.19
se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme.
E
= ~
2 1 [(0
r
8,
=
1808, V/m
t
dz
it----y
A lo largo del eje z se distribuye una carga desde z =5 m hasta
00 y desde z= - 5 mhasta - 00 (ver figura 2-25) con la misma
densidad que en el problema 2.18, 20 n Cj m. Halle E en(2, O, O)
m.
=
x
x=4
s
x
f -s (4 + z 2)3/28"
En coordenadas cilíndricas
=
(
2dz
5
E =
"-
,
Fig. 2-23
9
=
¿
z)
Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del eje z se distribuye una carga entre z = ± 5 m con una densidad uniforme
P t = 20 nC [ t n . Determine E en (2, O, O) m en coordenadas
cartesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilíndricas.
dE
2.19.
[CAP. 2
+-00
Fig. 2-25
CAP. 2]
2.20.
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
Halle, en coordenadas
cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico
uniformemente
cargado ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r : : : ; ; a , Z =0 (ver figura 2-26).
23
E en (O,ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
</> ,1 ) debido al disco
Si la densidad de carga constante es P . ,
z
dE\
(O ,rp ,h )
La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p .h
E
.
=
2"
fo (r 2
(-1
p .h
= 21'0
J
r dr d o
G
4 1 tlo fo
+
a2
+
h 2 )3 /2 a.
1)
h
+
h2
y
a.
a
Nótese que cuando a -+ 00, E -+ (P J 2 lo }a .,
debido a una carga laminar uniforme.
2.21.
el campo
Fig. 2-26
Hay una carga sobre el disco circular r s;
(O, </> '
x
a , Z = O de densidad
h ).
dE =
2
p o (sen tjJ )r d r d tjJ
2
4 1 tlo (r 2 + h )
+
+
(-r a r
Jr2
P . = P o sen- </> • Determine
E en
ha.)
h2
La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se
cancelan.
2.22.
Hay una
Determine
carga sobre el disco
E en r
O, Z = 3 m.
circular
=
dE _
: : : ; ;4
r
(l0 -4 / r )r d r d tjJ
-
4 1 tlo (r 2
m,
Z
= O de densidad
+ 3a.)
(-r a r
P+9
+ 9)
P.
=
(1O-4 /r)
(C/m2).
(V/m)
Como en los problemas 2.20 y 2.21 la componente radial desaparece por simetría.
E
2.23.
=
(2.7
10 6)
X
f
2"
o
f
d r d tjJ
4
o
(2
r
+9
)31 2
a.
=
1.51 x 10 6a. V/m
o
1.51a. MV/m
Hay una carga en el plano z= -3 m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;2 m,
2 m con densidad de carga P . = 2 (x 2 + y2 + 9)3 / 2 n c¡ m 2• Halle E en el origen.
- 2 :::;;Y ~
De la figura 2-27
R
dQ
=
p .d xd y
=
-xa x
=
2 (x 2
+ 3a. (m)
+ 9)3/2 X 10-9
ya y
-
+
y2
(C)
d xd y
z
y
así
2 (x 2
dE
+ 9)3/2 x 1 O - 9 d xd y
4 1 tlo (X2 + y2 + 9)
+
y2
dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'(~2,-2, -3)
x ( - xa x
ya
-
+
J X2
y
y2
+ 3a.)
+9
\.k- - - - -
(-2,2, -3)
(V/m)
x
Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E.
(2 , -2 , -3 )
Fig. 2-27
E
2
=
f
-2
f2
- 2
6 x
1 O - 9 d xd y'
4 1 tlo
y
a,
=
864a. V/m
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
24zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.24.
[CAP. 2
P s = 0.2 n Cj cm? cubre el plano 2 x-3 y+ z
Una carga de densidad uniforme mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
lado del plano que contiene el origen.
=
6 m. Halle E en el
Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme, E = p J 2 éo ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y E = (17,O)a n V [ m . Los vectores
unidad normales a un plano Ax + By + Cz = D son
a
=
n
+
-
Aa x
+
+ Caz
Be ;
z
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
j A 2 + B + C2
2
(O, O, 6)
Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son
-+ ----+ -y
De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del
plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo
eléctrico en el origen es
E
=
(17.0)( -2a
x
+
~y
-
x
a,) V/m
Fig. 2-28
v'14
Problemas suplementarios
2.25.
Dos cargas puntuales,
Q¡
=250 ¡,tC y
vamente. Halle la fuerza sobre
2.26.
Dos cargas puntuales,
Q¡
Q 2'
= 30 ¡,tC y
vamente. Halle la fuerza sobre
Q¡.
Q 2= -
300
están localizadas en (5, O,O) m y (O,O, -5) m, respecti-
F 2 = (13.5)( axfia,
Re sp .
Q 2=
}J .C ,
)N
-100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) m y (-1, O,- 2) m, respecti-
F
Re sp .
1
= (0.465)( -
3Jis 7.%) N
2.27.
En el problema 2.26, halle la fuerza sobre
2.28.
Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 I l C , están situadas en el eje x y en el eje y a±4 m. Halle la fuerza sobre
1.73 a , N
una carga puntual de 100 jJ.C situada en (O, O, 3) m. Re sp .
2.29.
Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m
Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo.
Re sp . (79.5)(- a n ) N
2.30.
Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida ¡t una carga puntual de 5007r
IlC
en el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida
sobre un disco circular. Re sp . 28.3 a, N
2.31.
Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el
plano z = O entre x = ± 2 m y y = ± 2 m con una carga total de 500 } J . C , distribuida uniformemente.
Re sp .
4.66 a, N
2.32.
Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de
densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo.
2.33.
Dos cargas puntuales Idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una distancia
eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas.
Re sp .
Si las cargas están en x =0 y x = d . entonces, para O < x < d ,
º
E = 41U o
[1x
2
- F¡
Re sp .
Q 2'
-
(d _
1]
X)2
a,
(V/m)
d
(m). Exprese el campo
CAP. 2]
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD
DEL CAMPO ELECTRICO
25
2.34.
Cargas idénticas de mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (m). Demuestre que la
2
1rE o t ) N .
fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29 Q 2/ 4 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.35.
Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha esférica de densidad
que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro.
2.36.
Desarrolle
la expresión
en coordenadas
mente larga con densidad
uniforme
cartesianas
p~.
de carga uniforme
para E debido a una configuración
E = ~
Re sp .
2nio
xa",
x2
+
+
P . es el mismo
de carga recta infinita-
ya y
y2
2.37.
Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo del eje z con ZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
P ~ = 20 nC/m.
Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo
tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilíndricas.
Re sp .
21.6a", + 28.8a y
V/m, 36a, V/m
2.38.
Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de
mine el campo eléctrico E en (±4, O, z) m.'
P t=
4nC/m,sonparalelasalejezenx
± 18 a x V/m
= O ,y
2.39.
Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de P ~ = 5 n Cr m, son paralelas
otra en z = O, Y = 4 m. Halle E en (4, 1,3) m.
Re sp .
30a z V/m
2.40.
Determinar E en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente,
zada en x = 3 m, y. =4 m.
Re sp .
-7.13a", - 9.50a y
V/m
2.41.
Refiriéndose
2.42.
A dos metros del eje z, se sabe que el E debido a una carga lineal uniforme
Encuentre la densidad de carga uniforme P ~ . Re sp .
2.0 J l.C /m
2.43.
El plano-
al problema
x+ 3 y-6 z
lado que contiene
=
2-40, ¿en qué otros puntos
Re sp .
±4m.
Deter-
30(a", - 3a y
al eje x, una enz = O ,y = - 2 m Y la
será igual el valor de E?
6 m contiene una distribución
el origen.
=
Re sp .
uniforme
+
J46
6a z )
con
p( =
3.30 n C/ m, locali-
(O, O, z)
Re sp .
a lo largo del eje z es 1.80 x 10 4 V/m.
de carga
P.
=
0.53 nC/m 2 •
Encuentre
E enel
V/m
2.44.
Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme P . = (l0-9/6n)
C/m 2 están localizadas en z= -5 y y =
- 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ , necesaria para producir el mismo valor de E en
(4,2,2)
m, si la carga lineal esta localizada en z = O, Y = O.
Re sp .
0.667 nC/m
2.45.
Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguientes: una carga laminar uniforme, de densidad P . = - 50 n Cj m? eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p ( = 0.2 J l.C /m en z = 2m, y =-1 m. ¿En
qué puntos de la región será E igual a cero?
Re sp .
(x, - 2.273,2.0) m
2.46.
Una carga laminar uniforme de P . = (-1/3
n ) n Cj rn- está localizada en z = 5myunacargalinealuniforme
de P t = (- 25/9) n c ¡ m está localizada en z = - 3 m, y = 3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m.
Re sp .
8ay V/m
2.47.
Una carga lineal uniforme de P t = ( f i x 10-8/6) C l tt: se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar
uniforme está localizada en y = 5 m. A lo largo de la línea y = 3 m, z = 3 m el campo eléctrico E tiene solo una
componente
z. ¿Cuál será P . de la carga laminar?
Re sp .
125 p Cj rn?
2.48.
Una carga lineal uniforme de P t = 3.30 n Cj m está localizadaenx
2 m del origen. Halle la carga Q y su localización, de tal manera
Re sp .
5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m.
2.49.
U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = O, con centro en el origen. Si la densidad de carga
uniforme es P t = IOn C/ m, halle la carga puntual Q . en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E
en (O, O, 5) m.
Re sp .
100.5 nC
2.50.
El disco circular
campo
eléctrico
r
~ 2 m en el plano z = O tiene una densidad
E para el punto
(O, < p ' h ).
Re sp .
= 3 m ,y = 4 m. Una carga puntual Qestá a
que el campo eléctrico sea cero en el origen.
de carga
3
1.13 x 10 a, (V/m)
h ..j4
+
h2
P. =
10
8/ r
(C / m-). Determine
el
[CAP. 2
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
26zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.51.
h es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en h que
Examine el resultado del problema 2.50 cuando mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
resulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen.
2.52.
+ y2 + 4)3 12 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( e l m"), yace en el plano z = O para O S x S
Una carga laminar finita de densidad P s = 2 x(x 2 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2 m y O S Y S 2 m. Determine E en (O, O, 2) m.
6
Re sp . (1S x 10 9 )( - 13 a" - 4ay + saz) V/m = 1S( - 1: a" - 4ay + saz) GV/m
2.53.
Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a una carga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largo
del eje x entre x = - 5 m y x = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x = - I m y
x = I m.
Re sp .
2.31 a, V [ ti» , 1.43a x V [ tt:
2.54.
El disco circular
(O, O, 5) m.
r S
Re sp .
I m,
z =
5.66a x
O tiene una densidad de carga
P s = 2 (r2
+
2 5 )3 /2 e -
10.
( e l rnt).
Encuentre E en
GV 1 m
2.55.
Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniformemente cargada.
2.56.
Hay una carga distribuida con densidad constante p a través de un volumen esférico de radio a . Usando los
resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que
l
~a
3/00
E =
,sa
•
3
ap
--a
31'0,2
donde,
,¿a
r
es la distancia desde el centro de la esfera.
Capítulo 3
Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW
3.1
CARGA NETA EN UNA REGION
A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración,
la carga neta que está contenida en un volumen específico. Como jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= pdv
(C )
d Q LKJIHGFEDCBA
. entonces
Q= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f p d v (C)
v
Por supuesto,
3.2
p
no necesita ser constante en todo el volumen v.
FLUJO ELECTRICO
y DENSIDAD
DE FLUJO
Por definición, el flu jo e lé c tr ic o . 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En
ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de
carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia
'P=Q
(C )
En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo abandonan + Q y terminan en - Q . Esto supone que las d os cargas son de igual magnitud.
El caso en que hay una carga positiva y
ninguna carga negativa en la región aparece ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las
líneas de flujo están igualmente espaciadas
a través del ángulo sólido y se alejan hacia
el infinito.
+Q ~
.
.......-Q
~
(a )
(b )
Fig. 3-1
M ientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la d e n s id a d d e flu jo e lé c tr ic o . D, es un campo
vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la
dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es
normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es
D
27
y LEY DE GAUSS
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
[CAP. 3
U na distribución volumétrica de carga de densidad jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la
figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el
flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la
densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la
normal a S. Si, en el elemento de superficie d S, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial
que cruza d S está dado por
d ' l' = D d S cos ()
= D· d s « ,
= D ·d S
donde d S es el elemento vectorial de superficie, de magnitud d S y dirección 8 n • El vector unidad a, se toma
siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d ' l' sea la cantidad de flujo que pasa desde el interior hasta el exterior de S a través de d S.
3.3
LEY DE GAUSS
La integración de la expresión anterior para
'1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ =
d
Q,
f D ' d S = e.,
Esta es la ley de Gauss, que establece que e l flu jo to ta l q u e s a le d e u n a s u p e r fic ie c e r r a d a e s ig u a l a la
d e n tr o d e la s u p e r fic ie . Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser
obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración.
c a r g a n e ta c o n te n id a
3.4
z
RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO
Y LA INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO
Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar)
localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una superficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de
magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a
ella. La ley de Gauss dice entonces que
Q
de donde D =
f
=
Q /4 n r
2
•
D . dS
=
D
f d S = D (4 n r
2
)
Así pues
Q
D = --2
4nr
Q
an
= 4 '" r 2
,.
a,
Fig. 3-4
Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a
Q
es
Se concluye que D = { o E.
M ás en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad
D
=
e,
{E
Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un
factor que es una constante del medio. M ientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es
una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múltiples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de
cada dieléctrico.
3.5
SUPERFICIES
GAUSIANAS ESPECIALES
La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial porque satisface las siguientes condiciones definitorias:
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
CAP. 3]
l.
La superficie
2.
En cada punto
3.
D tiene el mismo valor en todos
29
es cerrada.
de la superficie
D es o normal
los puntos
o tangencial
a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH
de la superficie
donde
D es normal.
Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniforme, con XWVUTSRQPONMLKJIHGF
p ( ( c ¡ m).
Tómese la línea de carga como eje z de las coordenadas
cilíndricas (figura 3-5). Por simetría cilíndrica, D solo puede
tener una componente
r , y esta componente
depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este
problema es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es z (figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss,
EJEMPLO 1:
Q=
f
f
D· dS+
1
f
D'dS+
2
D· dS
3
D Y d S son ortogonales
respecto de las superficies 1 y 3 Y de esta manera las integrales se anulan. Respecto
son paralelas (o antiparalelas,
si p ( es negativa) y D es constante puesto que r es constante. Así pues
Q
=
D
f
dS
=
de 2 , D Y d S
D (2 1 tr L)
• 2
donde
L
es la longitud
del cilindro.
Pero la carga encerrada
D = -~
2 1 tr
Obsérvese
la simplicidad
de la derivación
anterior
and
es Q
=
L.
p(
Por lo tanto,
D=~a
si se compara
2 1 tr
r
con el problema
2.9.
00
D
D
D
-0 0
-0 0
Fig. 3-5
Fig. 3-6
La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado
para configuraciones
altamente simétricas. Sin embargo, para otras configuraciones,
el método puede proveer buenas aproximaciones
al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el problema 3.40.
)
-/
FLUJO
30
ELECTRICO
y LEY DE GAUSS
[CAP.
3
Problemas resueltos
3.1.
Halle la carga en el volumen definido porO ~ jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x ~ l m, O ~ Y ~ l m LKJIHGFEDCBA
y O ~ z ~ l m, si XWVUTSRQPONMLK
p = 3 0 x2 y
(p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m?
Como
dQ
1
Q
=
1
en los límites de y.
o
I
=
=
3.2.
3 0 x2 yd xd yd z
o
5 J .1 .C
Para el cambio
Q
p (x,y,z)
1
f
J J
o o
=
z
= p d v,
J
o
f
1
J
-1
3 0 x2 yd xd yd z
o
x
Fig. 3-7
-5 J .1 .C
Halle la carga en el volumen
definido
por I ~
r ~
2 m en coordenadas
esféricas si
Por integración,
3.3.
Tres cargas puntuales,
ficie S.
Q¡
=
30 nC, Q 2
=
150 nC
-70
y Q3 =
nC, están encerradas
por una super-
¿Qué flujo neto cruza por S?
Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término
tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa.
en una carga nega-
'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC
3.4.
¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distribución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad
p , = (sen? < p ) /2 r
( C jm 2)?
'1' = Q =
J
2n
o
f
4
(sen2cjJ)
o
2r
._ -
r
d r d c jJ
= 211: C
s
Fig. 3-9
Fig. 3-8
3.5.
Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos
¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?
están encerrados
M ientras el flujo puede cruzar la superficie,
cero si las cargas son de la misma magnitud.
en la figura 3-9, el flujo n e to fu e r a d e S será
como se muestra
por una superficie
S.
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
CAP. 3]
3.6.
31
C I m? está encerrado por una
Un disco circular de radio4 m con densidad de carga jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P . = 12 sen 1> p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?
f
'P=Q=
Como el disco contiene
cantidades
2x
o
f
4
(12senq,)rdrdq,=OJlC
o
iguales de cargas positivas
[sen (q, + 7t ) = - sen q,] no
y negativas
hay un flujo neto que cruce por S.
3.7.
Carga en la forma de una hoja plana con
está localizada
densidad P s = 40p.Cjm 2
en z = - 0.5 m. U na carga lineal uniforme de P t = - 6 p . C j m yace a lo largo del
eje y . ¿Qué flujo neto cruza la superficie
de un cubo de 2 m de arista, centrado en el
origen, tal como se muestra en la figura
3-10?
z
--
. . .~. .~• y
La carga encerrada en el plano es Q = (4 m - )
2)
= 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =
( 4 0 J lC /m
(2 m)(-
6Jl
=
C jm )
-
12 ¡,¡C
x
Entonces,Qenc
3.8.
'P
=
=
160 -
12
=
148
J1C
Fig. 3-10
U na carga puntual Q está en el origen
de un sistema de coordenadas
esféricas.
Encontrar
el flujo que cruza la porción
de una concha
esférica descrita
por
()(~ () S (3(figura3-II).
¿Cuál es el resultado si a = O Y P = 1 t j2 ?
z
El flujo total 'P = Q cruza una concha
esférica completa de área 4 n r " . El área de la
franja está dada por
A
=
=
Entonces
f
2. P
o
f
r
neto
Para
sen8d8dq,
---------~ ~
2 n r 2 ( - cos fJ + cos
-
-
-
4 1 tr2
IX
=
es
QJ
Q
= -
O,
fJ
2
(-
cos f3 + cos
n /2
(un
IX)
hemisfe-
Fig. 3-11
rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f 2 .
3.9.
y
IX)
el flujo a través de la franja
A
'f .
2
•
U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i . C j m , yace a lo largo del eje
longitud,
'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y
x.
¿Qué flujo por unidad de
m?
= ± 2
El flujo está uniformemente
distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad
franja se obtiene a partir del ángulo subtendido
comparado
con 2 7t. En la figura 3-12.
IX =
2arctan
(~) = 1.I76-rad
Entonces
!.=
L
50(1.176)
2n
=
9.36
J 1 C fm
que cruza la
32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
[CAP. 3
z jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
e
"
Fig. 3-12
3.10.
Fig. 3-13
Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja plana cuyos bordes son paralelos
lineal pero que no está localizada simétricamente
respecto de la línea de carga.
a una carga
La figura 3-13 muestra una franja de este tipo en el numeral 2 y otra franja en el numeral 1, que está localizada en forma simétrica como en el problema 3.9. Del problema 3.9 el flujo a través de la franja 1 está determinado por el ángulo ( 1 .. Pero, debido a la ausencia de carga en la región a b c d , la ley de Gauss permite ver que el
flujo que entra a XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 debe ser igual al flujo que abandona
2. De esta manera, el flujo a través de 2 también está
determinado
por el ángulo subtendido (1 . •
3.11.
U na carga puntual Q = 30 n e , está localizada en el origen
de las coordenadas
cartesianas. Halle la densidad de flujo
eléctrico D en (1, 3, - 4) m.
Refiriéndose
a la figura
Q
D = 4nR2
=
30
x
.
aR
10-
9
(a" + 3a, -
p
4 n (2 6 )
=
(9.18
3~ 14
X
x
(1 ,3 , -4 )
a" +
10- 1 1 ) (
4a.)
3a, -
4a.\
\D
e /m 2
pJ
o, más convenientemente,
3.12.
D
Fig. 3-14
= 91.8 pC/m2.
Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo largo de los ejes x y
P t = 20 J .l c ¡ m. Obtenga D en (3, 3, 3) m.
La distancia desde el punto de observación
dose primero la carga lineal sobre el eje x,
D 1-
y ahora
_ ..!!!...-
a1 -
hasta cualquiera
_
2 W l'
20
/- le /m
2 n {3 J 2 m )
y
de las cargas lineales es 3
(a, +
---
a.)
.J i
la carga lineal sobre el eje y,
La densidad
total de flujo es la suma vectorial
D
=
20
(a" + a, + 2a,)
2 n {3 J 2 ).J i
=
con densidades
(1.30)(a" + ay + 2a,)
J2
/- lC /m
2
j2
de carga
m. Considerán-
FLUJO ELECTRICO
CAP. 3]
3.13.
= lüxa,
(e/m 2 ),
determine
Dado que D LKJIHGFEDCBA
x = 3 m.
y LEY DE GAUSS
33
el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xen jihgfedcbaZYXWV
Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,
3.14.
Determine
el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r
=
10
m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Z
= 2 m, tP = 53.2 0 si
D
+ 2(1 -
= 2 xa x
y)a ,
+ 4za z
(e/m2)
z
En el punto
P
(ver figura 3-15),
x = 1Ocos53.2° = 6
Y = 1Osen53.2° = 8
Entonces, en
P,
C/m 2
D = 12a" - 14a, + 8a z
El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña comparada con las unidades en D, puede aproximarse así:
x
Fig. 3-15
Por lo tanto,
d 'l'
= D'
1O- 6 (0.6a" + 0.8ay) = -4.0
= (12a" - 14ay + 8a z )'
dS
¡ ,tC
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje
hacia afuera en la dirección de d S.
3.15.
z
antes que
Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los
ejes coordenados.)
'I'=fD'dS=
f
J
(2a,,+3ay)'(dSa,,)+
(~2a,,+3ay)· (-dSa,,)
x=-l
x=l
+
f
[Zxa, + 3ay) .
(d S
f
ay) +
,= 1
+
(2xa" + 3ay) .
(-d S
ay)
y = -I
f
(2xa" + 3a~).'
e=
(d S
a z) +
1
f '
(2xa" + 3a,) .
(-d S
a.)
:=-1
J
= 2
f
dS
,,=1
+ 2
f
+ 3
dS
,,=-1
f
dS
y= 1
-
3
f
dS
+ O + O
,= -1
= (2 + 2 + 3 - 3)(2 2 } = 16 C
3.16.
Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concéntrico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t)
u C ] m 2 • Ambas distribuciones son infinitas en el sentido
de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
Utilizando la superficie gausiana especial
plo 1, sección 3.5,
D-
Pt
A
que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-
- 27tr a,
0<r<2
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
34
Utilizando
la superficie
e., f
=
(P t + 4 7 tp .)L
t
D (2 Ttr L)
=
+ 4 7 tP .
-
los datos
D· jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dS
que
D _ Pt
Para
z
especial XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
B.
gausiana
de lo que se desprende
[CAP. 3
r> 2
Sr
2 7 tr
numéricos,
0.477
-Sr
r
D
=
(¡ .tC ¡ m 2 )
0<r<2m
(¡ .tC /m 2 )
r>2m
Fig. 3-16
0.239
-Sr
r
3.17.
Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son iguales a cero en todos los puntos del plano de un anillo circular uniformemente
cargado, que están dentro del anillo.
z
Considere, en lugar de un anillo, la configuración
de carga
que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente
cargado es infinito en extensión y está formado por muchos anillos. Para la superficie gausiana l .
Q enc
= O =
D
t
Jt-
oo
f dS
~dZ
T
En consecuencia
D = O para r < R . Puesto que '1' tiene dirección radial, se puede tomar una tajada d z del cilindro de carga y el
resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este
anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el
plano del anillo, D y E son cero.
y
X
t
-0 0
Fig. 3-17
3.18.
Una configuración
de carga en coordenadas
la ley de Gauss para hall~r D.
cilíndricas
está dada por
P
=
Sr e :
2r
(C/m 3 ).
Utilice
".
Como P no es una función de ( jJ o z . el flujo '1' es completamente
radial. También es cierto que, para r
constante,
la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial
apropiada
es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de
Gauss es
.\
e., f
D· d S
=
superficie
lateral'
L
f f
O
5 n L[ e - 2 r (
Por consiguiente
D
=
2.5 [1-
2ft
O
f
,
5 r e - 2r r d r
d ( jJ d z
=
D (2 n r L)
O
_r2
-
r
- 1 ) + 1 ] = D (2 n r L)
e - 2r(r 2 + r + 1)]Sr
(C/m2)
r
3.19.
Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad
Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
uniforme de carga p (C/m 3 ).
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
y LEY DE GAUSS
CAP. 3]
De la figura
35
3-18, para O < jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r < 2 m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q.nc
D (2 n r L)
=
p
( C /m 3 )
D=O
Para
2 ~. r ~
4 m,
- 4)
n p L(r 2
D
=.t
(r 2
D (2 n r L)
=
4)a,
-
(C/m2)
2r
Para
r
> 4 m,
/-
12npL
D
3.20.
=
= 6p
r
a,
----- -~---
,
r : ---)
.......•..
-------" "
D (2 n r L)
t
(C/m2)
-0 0
Fig. 3-18
Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::; a contiene una densidad uniforme de carga p . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E correspondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el
mismo campo D para, > a ?
Para
una superficie
gausiana
como
~
que aparece
en la figura
3-19,
z
y
pr
D=-a
Para
puntos
3
r
'
+ - - - - - l~ Y
:5: a
fuera de la distribución
de carga,
x
de donde
pa
D=
-2
3,
a,
r> a
Fig. 3-19
Si una carga puntual Q = (4 /3 }1 ta 3 p
se coloca en el origen, el campo
carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen.
3.21.
r= a
3
D para r > a será el mismo. Esta
U n condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa superior con + p s ( C I m-). La superficie superior de la placa inferior contiene - p , ( C I m"). Desprecie el
efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región si~üada entre las placas.
Todo el flujo que abandona
la carga positiva de la placa
superior termina en la carga negativa igual de la placa inferior.
La frase d e s p r e c ie e l e fe c to d e b o r d e s asegura que todo el flujo
es normal a las placas. Para la superficie gausiana especial
mostrada en la figura 3-20,
Q.nc
=
f
D·
dS
arriba
= 0+
+
f
D . dS +
abajo
f
f
+ P,
D . dS
lado
D ·d S+ O
abajo
ó
~ -P '
p,A= D
fdS= D A
Fig.3-20
FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS
36
[CAP. 3
donde jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A es el área. Por consiguiente,
E LKJIHGFEDCBA
= XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I ! ! . a. (V/m)
(o
y
Ambos
están dirigidos
a
de la placa positiva
la negativa.
Problemas suplementarios
3.22.
Halle la carga neta encerrada
carga es
R e sp .
Halle la carga encerrada
P = 2 z sen-' < p (C/m).
3.24.
Dada
una densidad
halle las cantidades
3.25.
en el volumen I :s;
R e sp .
4.91 C
:s; 3 m, O :s;
r
de carga en coordenadas
de
<p
:s;
n]
3, O :s;
z
:s; 2 m dada la densidad
de carga
esféricas,
de carga en los volúmenes
esféricos
encerrados
por,
= '0'
r
= 5'0
Y
r
=
co.
3.97 P o r ~ , 6.24 P o r ~ , 6.28 P o r~
U na superficie
S contiene
una distribución
¿Qué flujo neto cruza la superficie
3.26.
en el origen, si la densidad
8 4 .9 }J .C
3.23.
R e sp .
en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado
Hay una carga distribuida
S?
finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad
uniforme
- 2 p o (C)
R e sp .
:s; 2 m con densidad
en, una región esférica,
¿Qué flujo neto cruza las superficies,
= I m,
R e sp .
-8001t }J .C , -l600n
}J .C , -l600n}J.C
=
r
de carga
4 m, y
r
=
500 m?
3.27.
Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica
distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie,
= k para
en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente
k < a y k > a?
R e sp .
Q, Q'
3.28.
Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie
centrada en el origen con, = 3 m?
R e sp .
18}J.C
3.29.
Una carga puntual
esférica
,.
esfera, centrada
Q se encuentra
en el origen,
en el origen. Halle una expresión
descrita
por
IX
:s;
<p
:s; p .
para el flujo que cruza la porción
{J -IX
R e sp .
-Q
2n
de una
y LEY DE GAUSS
FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBA
CAP. 3)
37
3.30.
U na carga puntual de jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q (C) está en el centro de un sistema coordenado
esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un
área de 41t m 2 sobre una concha esférica concéntrica
de radio 3 m.
R e s p . XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q 1 9 (C)
3.31.
Un área de 40.2 m 2 sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en
dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen?
Resp.
- 50 J .le
3.32.
Una carga lineal uniforme
plano y = 6 que contiene
3.33.
Una carga puntual,
'JI cruza la porción
3.34.
de flujo de la línea cruza la franja del
Q = 3 rrC, está localizada
del plazo z
Una carga lineal uniforme
Resp.
3.35.
con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje
-1 ::; z : : ; I?
Resp.
5 .2 6 %
(O.356)(2afi
a.)
con
=
en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo
2 m para el que -4 ::; x : : ; 4 m y -4
::; Y : : ; 4 m?
Resp.
0.5 nC
p, =
J .le /m
5
/J C fm
yace a lo largo del eje
x.
Halle D en (3, 2, 1) m.
2
U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas
esféricas, rodeado por una
distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q .
Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a . Obtenga D en todas las regiones.
Resp.
'fI =
4 1 t,2 D
= 10+ Q
r < a
1
,>a
3.36.
Dado que D = 5 0 0 e - O ' 1x a x (J .le l m -), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y
localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m.
Resp.
4 5 2 J .tC , 3 0 3 J .le , 184 J .le
3.37.
Dado que D = 5 x 2 a x + l Oza , (e l m 2 ), halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de
arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes.
Resp.
80 e
3.38.
Dado
que
en coordenadas
z = 5 b (m ).
3.39.
Dado
cilíndricas,
Resp.
halle el flujo saliente que cruza el cilindro
circular
recto descrito
por,
= 2 b , z= O , y
1 2 9 b 2 (C )
que
sencjJ
D
=
2,coscjJa.;
-
3r
a.
en coordenadas
cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a , O ::; cjJ : : ; 1 t/2 .
Repita el ejercicio para 31t I 2 ::; cjJ : : ; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de a z'
a
Resp.
3.40.
a
En coordenadas
cilíndricas, el disco,
::; a , z = O contiene carga con densidad
superficies gausianas especiales apropiadas
para encontrar valores aproximados
cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ) .
Resp.
(a )
p,(O ,cjJ );
2
( b ) .J L
donde
Q =
4 n z2
r
o
no uniforme p,(r , cjJ ). Utilice
de D sobre el eje z , ( a ) muy
fG p,(r ,cjJ )r dr dcjJ
o
3.41.
Una carga puntual
Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas
esféricas. Una distribución
esférica
concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1 m 2 • ¿Qué densidad superficial de carga
> 2 m?
Resp.
-71.2 p e l m?
sobre una concha concéntrica
en r = 2 m produciría D = O para,
3.42.
Dada una distribución
de carga con densidad
para hallar D.
Resp.
(5r 2 /4}a, (e/m2)
P
= 5, (e l rn ') en coordenadas
esféricas,
utilice la ley de Gauss
3 '8
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS
3.43.
Hay una densidad
la ley de Gauss
uniforme
para hallar
de carga de 2 e / m ' en el volumen
D en todas
las regiones.
[CAP. 3
2 :$ jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED
x :$ 4 m (coordenadas
cartesianas). Utilice
R e s p . -2a"
e/m
3.44.
Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está comprendida
un condensador
cilíndrico. El cilindro interior es de radio a . Desprecie
R e s p . p s.(a lr ), p s.(a /(o r )
3.45.
Un conductor de espesor determinado
del conductor.
demuestre que D =
especial.
tiene una densidad
superficial
2,
2 (x - 3)a" (e/m 2 ),
entre los conductores
el efecto de bordes.
2a" e/m 2
concéntricos
de
de carga XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p s : Suponiendo
que 'P = O dentro
construyendo
una superficie gausiana
x: o , apenas fuera del conductor,
Capítulo 4
DivergenciaFEDCBA
y teorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcb
DIVERGENCIA
4.1
La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos
maneras. La primera de ellas es la jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d ive r g e n c ia , que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la
derivada de una función. La segunda es el r o ta c io n a l, vector que se examinará cuando se discutan los campos
magnéticos en el capítulo 9.
Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la región c o n tie n e fu e n te so
su m id e r o s; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos
eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica
positiva aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q . El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que
contiene cargas positivas contiene fu e n te s de 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será
positiva en esta región. U na correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la
carga eléctrica negativa.
La divergencia del campo vectorial A en el punto P está definida por TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d iI V A
.
==
l 'l~m
& v " 'O
-
' _ A - , -d_S
-·
L \v
En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal
4.2
DIVERGENCIA
CARTESIANAS
L \v
que se comprime hasta el punto
EN COORDENADAS
z
La divergencia puede ser expresada para cualquier campo
vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo
en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo
con aristas L \ x , L \ y , y L \ z paralelas a los ejes x, y y z , como se
muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define
en P , esquina del cubo correspondiente a los valores menores de
x,
y
y
P.
ill
1
p
A
I1 x
z
l1 y
y
z.
A
=
Axa x
+ Aya y
+ Aza z
Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6
x
caras. Sobre cada cara la dirección de d S es saliente. Como las
caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará
Fig.4-1
dos caras paralelas cualesquiera.
En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara 1 tiene vista total. Las componentes x de
A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de 1 aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas,
dS,: ; : ;
fA .
-A A x )L \y L \z
c a ra
izquierda
fA '
dS: : : : :
AAx
1
+ L \x )L \y L \z
dS
c a ra
derecha
I1 x
Fig.4-2
39
DIVERGENCIA
40
de manera
Y TEOREMA
DE DIVERGENCIA
[CAP.
4
que el total para estas dos caras es jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a Ax
; ¡ -AxAyAz
vX
El mismo procedimiento
se aplica a los restantes
f A .d S
Dividiendo
por Ax Ay Az
=
pares de caras y se combinan
a Ax
o Ay
O A z)
~( - + - + -
A
••
A
A
los resultados.TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~
ilAuyu",
oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ay
az
Av y haciendo
Av
-+
0, se obtiene
(cartesiano)
El mismo método
puede aplicarse
para coordenadas
cilíndricas
diIV A _--- 1 a ( r A) + 1-a A<
/> a A z
-+ r ar
.
=
dIV A
4.3
DIVERGENCIA
1 a
'2:l
r
(2)
r
A,
or
'
1
+ --()
rsen
r a e/>
a (
~ ( )A g s e n ( )
1
+ --()
)
4.1) Y esféricas.
(cilíndrico)
az
rsen
u
(problema
a A< />
~,.¡.,
(esférico)
vv'
DE D
De la ley de Gauss (sección
3.3),
§ D·
dS
Qenc
=
Av
En el límite,
lím ~ D • d S = d'IV D = u1m
Av
I ! . V " 'O
Este importante
resultado
es una de las ecuaciones
de Maxwell
=p
div D
Qenc
--
I!.v ..• O
Av
p
para campos
div E
y
=
=
estáticos:
e
f
si e es constante en toda la región que se está considerando (si no lo es, div iE =
E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región libre de carga .
p ).
Así pues, ambos campos
.
EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la región r :$ o contiene una densidad uniforme de carga P . Para r
densidad de carga escero. Del problema 2.56, E = E , 8 " donde E , = ( p r f 3 (o) para r s ; o y E , = ( p o 3 / 3 lo r 2 ) para
Entonces para r :$ o ,
.
div E
1
=
~
a ( pr )
a r r 3 io
1 (
2
2
p)
3r 3(0
= ~
> o
r
la
> o.
P
=
~
y, para r > o ,
.
1
d lv E = - 2
a
r 0r
4.4
EL OPERADOR
(2
r
3
pa )
--
3 io
r
2
= 0
NABLA
El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este
punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en co o r d en a d a s
ca r tesia n a s corno
DIVERGENCIA
CAP. 4]
Y TEOREMA
DE DIVERGENCIA TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
41
r
En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representar aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d i d x . Los símbolos
yf
son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V,
solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin
embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vector A , el resultado es la divergencia de A .
V
.A _(i.
i. ~) .( A "a" +
- jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a x a" + a y ay + O Z sr
De aquí en adelante,
[ Ate n c iá n l
escribiremos
la divergencia
A
A)
. ,al' +
_
-
• az
oA"
OX +
de un campo vectorial
oAy
oy
+
oAz -
OZ -
di
IV A
como V . A.
El operador nabla sólo está definido para coordenadas
cartesianas. Si V . A se utiliza para
expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador
nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas cilíndricas se escribe como
1
o
r
or
(véase sección 4.2). Esto n o im p lic a
1 iJ
== -r -a r (r
V
1 0 A .p
oA.
oq,
iJ z
)+ --+ -
V 'A = - - ( r A
r
r
que
lar +
1 iJ ( )
- -r
iJ ( )
iJ q ,
a + --
a
OZ
.p
%
en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría un r e su lta d o fa lso si se utilizara en V V
(el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo 9) ..
4.5
TEOREMA
DE DIVERGENCIA
La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D . d S es igual a la carga encerrada.
Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede
obtenerse de la integración de p en todo el volumen. Así pues,
Pero
p
=
V . D, entonces
f
D' dS
=
J
(V' D )d v
JI
Este es el te o r e m a d e d ive r g e n c ia , también conocido como te o r e m a d e d ive r g e n c ia d e G a u ss. Es el análogo
tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre
D, Q y p , el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.
teorema
de la divergencia
fA'
s
Por supuesto,
E JE M PL O
2:
el volumen
v es aquél
que está encerrado
dS
=
f
(V' A)d v
v
por la superficie
S.FEDCBA
La región r :5: a en coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico
Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.
DIVERGENCIA
Y TEOREMA
DE DIVERGENCIA
42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
[CAP.
4
r TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= b :s ; a . aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Para S, escogemos la superficie esférica jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f
ff (~ : FEDCBA
a ,) .
2.
=
2
•
V.
a,)
(b s e n O d 8 d 4 >
2.
senf
E = ~ ~
2
r
or
pb3
fo fo -
(V, E )d v
y
dO d4>
~
b
(r2 pr)
= f!..
3E
E
P
fo fo fo -
2
r s e n O d rd O d 4 >
E
3E
4 7 tp b 3
4 7 tp b 3
= --
3E
3E
El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticos como a campos variablescon
el tiempo en
cualquier sistema de coordenadas.
El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario
cambiar de una integral de superficie cerrada a una integral de volumen. Pero por eso puede usarse también
para convertir la integral de volumen de una función, que puede ser expresada como la divergencia de un
campo vectorial, en una integral de superficie cerrada.
P r o b le m a s
4 .1 .
Desarrollar
la expresión
para la divergencia
r e s u e lto s
en coordenadas
cilíndricas.
U n volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas Sr , r !l.4 > , y !l.z. El campo vectorial
definido en P , esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r ,4 > , y z, como
A
está
+ AoIJa4> + A.a.
A,a,
=
A
z
Por definición,
.
d¡vA=
,fA '
dS
hm --6 v~ O
!l.v
Para expresar f A ' dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen.
Para la componente radial de A ver la figura 4-4.
En la cara izquierda,
y
dS ~ -A,r !l.4 > !l.z
fA'
F ig .4 - 3
y en la cara derecha,
fA'
dS ~ A,(r + !l.r ){r + !l.r )!l.4 > !l.z
~ (A,
+
°o~ '!l.r )(r
~ A,r A4 > !l.z
+
( A,
+
"OA,)
s
dS
oA )
o
1 a (r A,)!l.v
( A, + r -'or !l.r !l.4 > !l.z = -or (r A,)!l.r !l.4 > !l.z = -;r or
=
r !l.r !l.4 > !l.z.
~ ~ + Ar )
!l.r !l.4 > !l.z
donde el término en ( !l. r)2 ha sido despreciado. La contribución neta de
este par de caras es entonces
ya que !l.v
s-.
+ !l.r )!l.4 > !l.z
~
F ig .4 - 4
(1)
CAP. 4]
DIVERGENCIA
Y TEOREMA
DE DIVERGENCIA
43
a q , dan
En forma similar, las caras normales a TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
para una contribución neta de aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
10Aq,
---L \v
r 04>
y
(2 )
las caras normales a a, dan
L \Z )
y jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( A. + °o~z
r L \ r .1 4 >
para una contribución neta de
oAz
oz
(3)
-L \v
Cuando
( l) ,
§ A . d S , la definición de divergencia es:
(2) Y (3) se combinan para dar
.
1
o(r A,)
or
1
d lv A = - - - + - - + r
4.2.
r
oA4> oAz
04>
oz
Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.
Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas,
E=~a
r
2 1 tE o
'
Entonces
v .E
= ~~
r
or
(r ~)
=
O
r
2 1 tE o
La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r
sión es indeterminada.
4.3.
=
O, donde la expre-
Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.
Para una carga puntual, en coordenadas esféricas,
Q
D = -4
2
1 tr
Entonces, para
r
>
0,
x
4.4.
Dado A
= e -r(c o s
4.5.
Dado A
= x
2
.x
+
a , - sen
y z a )'
+
xyaz,
V ' A
x
a,
ay), hallar V' A.
hallar V' A.
o
=ox
(X2)
o
+ -
ay
o
(y z ) + -
OZ
(x y ) = 2 x+ z
44
4.6.
DIVERGENCIA
V.A
a ( 5x
ax
= -
2
[CAP.
sen-1 t X )
2
1 tX
=
V·
DE DIVERGENCIA
2
A TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5 X jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( sen ~ x )a""
hallar V· A en x = l.
Dado
y
Y TEOREMA
Al
5X2
(
cos -
1t
1 tX
5
- + lOx sen- = 2
2
2
)
2
1 tX
1 tX
cos -
2
2
1 tX
+ 10x sen-
2
10.
=
x=l
4.7.
Dado
A
+ y 2 t 1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).
= (X2
V·
y
Al
=
-8.84
x
10- 2
(2.2.0)
4.8.
Dado
A
=
r sen 4>aFEDCBA
, + 2 r cos 4>a",
1 a
V'
+ 2z 2 a%, hallar V· A.
1 a
+ -(2 r co stj»
r a tj>
(r 2 sen tj»
A = --
r ar
a
+ - (2 z 2 )
az
= 2sentj> - 2sentj> + 4z = 4z
4.9.
Dado A
=
tP
r sen
a,
+ r 2 cos 4>a", + 2 r e - 5%a%,hallar V • A en (1/2, n /2 , O).
1 a 2
V' A = -(r sen tj»
r ar
1 a
+ -(r 2 co stj»
r a tj>
I(1/2.,,/2.0)
4.10.
Dado A
=
10 sen 2 4>
a,
1
1t
V· A
y
a
+ - (2 r e- S % )
az
+ ra", + [ (z2/r )cos 2
=
sen Ba, + r cot
(5 /r 2 )
la
V· A = - 2 r
4.12.
Dado A
=
ar
(5senO) + - -
= ~~
,2 a r
4.13.
Dado
A
=
5 sen O a,
(5 )
+
=
5
(2 .< 1 > . S )
é
a, + rsen
Bcos4>a""
- (r sen O co tO )
ao
(5/r2)a, + (10/senO)a/l - r24>senOa""
V . A
V .A I
y
a
1
r sen O
7
o
4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).
r
Dado A
(1)
1t
= 2sen- - -sen- - 10 - e = -2
2
2
2
2
V' A = 10 sen 2 tj> + 2zcos 2 tj>
4.11.
= 2sentj> - r sen tj> - 1 0 r e- s %
(10) +
_1_~
r sen O
ao
hallar V· A.
a
1
= -1 - sentj>
+ -(r sen O co stj»
r sen O a tj>
hallar
V· A.
(-r 2 tj> sen O )
_1_~
r sen O
=
-r
a tj>
+ 5 sen 4>a"" hallar V· A en (0.5, n /4 , n /4 ).
1
a
1
a'
cosO
costj>
+ 5-V' A = --(5sen 2 0) + - - (5sentj» = 10-r sen o a o
r senO a tj>
r
r sen O
y
V 'A I
=24.14
(0 .S .,,/4 .,,¡4 )
4
CAP. 4]
4 .1 4 .
DIVERGENCIA
Y TEOREMA
45FEDCBA
DE DIVERGENCIA
P o za, en la región - 1 ~ z ~ 1 en coordenadas
Sea D = jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
partes. Halle la densidad de carga.
y D = (P o z/ TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
I z l)a: en las otras
cartesianas
V·D = p
Para - l ~. z ~
y para z < -
ló z >
L a distribución
ra 4-5.
4 .1 5 .
1.
1,
de carga
aparece
F ig . 4 · 5
Sea
en coordenadas
100
P
=--
esféricas,
[ b (r 2 + z 2 r 3 !2 r 2 ]
+ - [ b (r 2 + z2 r 3 J 2 z]
oz
+ (r 2 + z2 r 3 /2 (2 r )]
f - ~ (r 2 + z2 r S/2 (2 r 3 )
=
~
=
b (r 2 + z2 r S/2 [
a menos que r
=
z
-3 r 2
=
de carga.aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
halle la densidad
r or
4 .1 6 .
en la figu-
3 z 2 + (r 2 + Z2 )]
+ (r 2 + z2 )(2 .) -
O. (El campo
dado
+ b f - ~ (r 2 + z2 t
D corresponde
=
SI1 (2 z2 )
+ (r
2
+ z2 t3 /2 ]
o
a una carga puntual
en el origen.)
SeaD=(lOr 3j4)a r ( C j m 2)enlaregiónO
< r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar
otro sitio. Halle la densidad de carga.
( C j m 2) en cualquier
Para O <
r ~
3 m,
y para r > 3 m,
1
o
p = --
r or
4 .1 7 .
(810/4)
=
O
Sea
º2'(1-cos3r)ar
D =
nr
en coordenadas
esféricas,
halle la densidad
p
=..!.. ~
,2
4 .1 8 .
or
de carga.
fr 2 J L (1 - cos 3 r )-]
n r2
1 o
r2
-
or
(7 r 4 )
1
3Q sen 3 r
nr2
,
Sea D = 7 r 2 a, + 28 sen {}alJ en coordenadas
p = -
=
esféricas.
o
+ -- (28sen 2 O )
rsen () 0 0
Halle la densidad
56 cos O ·
=
28r + - -
r
de carga.
DIVERGENCIA
46
4.19.
Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
[CAP. 4
2)
< aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r:S
1 m, D=(-2
x 1 O - 4 /r)a, ( C ! m jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y para r > 1 m, D=(-4
x 1 O - 4 /r 2 )a;
En la región O TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(C/m 2 ), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones.
Para O < r s; l m.
y
4.20.
parar
>
I m,
En la región r :S 2, D = (5r 2 /4)a,
densidad de carga.
para
y
r
> 2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la
Para r : : ; ; 2,
y
para
r
>
2,
1
P = 2 r
4.21.
o
or
( 2 0 ) =O
Sea D = (lOx 3 /3)a x (C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de
un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes.
f n-
dS
f
=
(V '
D )d v
vol
Como O tiene sólo componentes x, D .d S es cero en todas las
caras excepto x = l m y x = - I m (ver figura 4-6).
1
f
fO'dS=
10(1)
1
f
-a x'd yd za " ,
-1
+f
40
y
3
-1
l
f l. 1 0 ( - I )
-1
40
-1
3
a",' d yd z (-a",)
Fig.4-6
80
= -+ -= -c
333
Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O
4.22.
=
10x 2 , entonces
Sea A = 30e-'a, - 2za z en coordenadas cilíndricas.
Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el
volumen encerrado por r = 2, z = O Y z = 5 (figura 4- 7).
Cabe anotar que A z = Opara z = Oy, por consiguiente, A ·d S
es cero sobre esa parte de la superficie.
A,
5
fA'
dS
=
f f
o
=
2,.
2"
2
30e- a,'
o
6Oe- 2 (2n:)(5)"':'
2 d tj> d za, +
f f
o
1O(2n:)(2) = 129.4
2
-2(5)a.·
r d r d tj> a .
o
Fig.4-7
CAP. 4]
DIVERGENCIA
Para el lado derecho
f
4.23.
1
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o
a
3 0 e -'
r
or
= --
A
(3 0 r e -')
+ -
=
2n
o
= --
(-2 z)
oz
2
o
o
-
3 0 e -'
-
2
r
f f f (3--0 e -' 5
(V . A)d v
47
la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
del teorema-de
V'
y
Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
3 0 e -'
- 2
) aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r d r d o d z = 129.4
r
Sea D = (lOr 3 /4)a, ( C r m") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por, = 1 m, r = 2 m, Z = O Y Z = 10 m (ver figura 4-8).
f
D . dS
f
=
(V . D )d v
z
Como D no tiene componente
z, D 'd S es cero para la parte
superior y la inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en
dirección - .,.
10
f f
+
o
- 2001t
=
--
4
-4 (2)3.,' (2 )d < jJd z e ,
o
x
2001t
+ 16--
4
Para el lado derecho
f
y
4.24.
10
2n
Fig.4-8
7501t C
=
del teorema
de la divergencia:
(V' D )d v
f f f
10
=
o
2n
o
2
(lOr
2
)
r
dr d o dz
=
7501t C
1
Sea D = (5,2/4)ar ( C j m-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia
para el volumen encerrado por, = 4 m. y f} = n j4 (ver figura 4-9).
f
dS
D '
f
=
Como D sólo tiene componente
te de cero sólo en la superficie
f
t
2n
D '
dS
=
tt/4
fo
y
1
=
f
--
o
r 20r
radial, D· d S tiene valor diferenr = 4 m.
z
5(4)2
-4 -.r ·
Para el lado derecho
V· D
( V ' D )d v
(4 )2 Se n 8 d 8 d < jJ .r
del teorema
(5 r 4 /4 )
=
2n
(V' D )d v
=
589.1 C
de la divergencia:
5r
f f
o
=
Fig.4-9
n /4
o
f
4
2
(5 r )r se n 8 d r d 8 d < jJ
o
=
589.1 C
48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
P r o b le m a s
4.25.
Desarrolle
4.26.
Muestre
4.27.
El campo
la divergencia
que V • E es cero para el campo
eléctrico
s u p le m e n ta r io s
~ r,
r ~ O y r sen O ~ < jJ .
esféricas. Utilice un volumen delta con aristas aZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
en coordenadas
de un dipolo
[CAP. 4 FEDCBA
producido
con cargas en
±
por una carga laminar
d
uniforme.
f 2 sobre el eje jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z es
Qd
E TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= --3
(2cosOa, +senOa 9 )
4 n (0 r
Demuestre
que la divergencia
de este campo
es cero.
4.28.
Dado
A
=
e 5 xa x
4.29.
Dado
A
=
(3 x + y2 )a x + (x - y2)a)"
4.30.
Dado
A
=
2 xya
x
4.31.
Dado
A
=
4 xya
x -
4.32.
Dado
A
=
2r cos- <jJa, + 3r 2 sen z aoj¡+ 4 z sen- <jJaz
4.33.
Dado
A
=
( 1 O /r
4.34.
Dado
A
=
5 cos ra, + (3 ze - 2'/r)a"
4.35.
Dado
A
=
lOa, + 5 sen O a 9 ,
4.36.
Dado
A
=
ra, - r 2 cot
4.37.
Dado
A
=
[(10 sen- O ) fr ]a "
4.38.
Dado
A
=
r 2 sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A.
4.39.
Demuestre
4.40.
En la región a ~
+ 2cosya y
+ za
y
xy 2 a
+ 2 senz a ,;
+ yz 2 a
y
z
halle
z'
halle
'
3 - 2y
V· A en (2, - 1, 3).
R e sp .
halle V . A en (2, 2, O).
,
halle
en (2,4>
V 'A
V'
1).
halle V • A.
b (coordenadas
- 8.0
R e sp .
A.
5 .0
R e sp .
R e sp .
4 .0
-2 .6 0
- 1.59
R e sp .
3 - r
R e sp .
de E es cero si E
7 .0
(2 + cos O)(lO/r)
R e sp .
halle V . A en ( 2 ,n /4 ,4 » .
que la divergencia
R e sp .
R e sp .
halle V ' A en (n , 4>,z).
halle V . A.
089'
V· A en el origen.
halle V . A.
+ 5 sen z a
2 )a ,+ 5 e - 2 z a
r ~
z,
halle
=
R e sp .
R e sp .
1 .2 5
4r sen O +
C~4» cot e
(lOO/r}a.¡, + 4Oa z •
cilíndricas),
y para r > b ,
Para r < a , D
=
O. Halle
p
en las tres regiones.
4.41.
En la región O < r ~ 2 (coordenadas
cilíndricas),
(2.057/r)a,.
Halle p en ambas regiones.
R e sp .
4.42.
En la región r ~ 2 (coordenadas
cilíndricas),
ambas regiones.
R e sp .
20 + r, O
D
R e sp .
O, P o , O
D = (4r- 1 + 2 e - O . 5 ,
_ e - O .5 "
O
=
(lOr + (r 2 /3)]a"
y
+ 4 r -1e -
para r > 2, D
0.5
=
')ar, y para r>
[3/(128r)]a,.
2. D
=
Halle p en
CAP.
4.43.
4]
DIVERGENCIA
Y TEOREMA
DE DIVERGENCIA
49
Sea D TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 10 sen aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
O FEDCBA
a , + 2 cos O as. Halle la densidad
de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
R e sp .
senO
(18 + 2cot2
O)
r
4.44.
Sea
3r
D
= -2 --a ,
r
en coordenadas
4.45.
1
esféricas.
Halle la densidad
de carga.
R e sp .
3 (r 2 + 3 )/(r 2 + 1)2
esféricas.
Halle la densidad
de carga.
R e sp .
4 O e -l,
Sea
en coordenadas
4.46.
+
En la región
r ~
1 (coordenadas
esféricas).
D (4'3 _ ~)a
5
=
r
y para,
>
l. D
=
[5/(63,l)]a,.
Halle la densidad
r ~ 2 m (coordenadas
esféricas)
= 2 m.
R e sp .
por la concha,
de carga en ambas
tiene un campo
5.03 x 10- 3
La región
encerrada
4.48.
Sea D = (5r 2 /4)a, en coordenadas
men encerrado por, = l Y r = 2.
4.49.
cilíndricas.
Evalúe ambos
Sea D = ( 1 0 r 3 / 4 ) a , en coordenadas
men encerrado por, = 2. Z = O Y Z = 10.
R e sp .
800n
4.50.
Sea D = 10 sen O a, + 2 cos O as' Evalúe ambos lados del teorema de divergencia
2
= 2.
R e sp . 4 0 n
la concha,
esféricas. Evalúe
R e sp .
75n
ambos
=
R e sp .
4 -
,2. O
(5 r x 1O- 5 /E o )a, (V 1 m ) . Halle la carga neta
4.47.
e
E
regiones.
lados del teorema
de divergencia
para el volu-
lados del teorema de divergencia
-
para el volu-
para el volumen encerrado
por
Capítulo 5
Energía y potencial eléctrico
de los sistemas de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
5.1
TRABAJO REALIZADO EN
CARGAS PUNTUALES EN M OVIM IENTO
Q experimenta una
En un campo eléctrico E una carga puntual ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
fuerza que está dada por
F= vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
-Q E
Si esta fuerza se des balancea, se produce una aceleración de la partícula cargada YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y su movimiento se dirige hacia el campo si Q es
positiva. (Ver figura 5 -1.)
Para poner la carga en equilibrio se requiere una fuer za
a plica da igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza del
campo:
Fig.S-l
El trabajo se define como una fuerza que actúa a distancia. Por consiguiente, la fuerza aplicada realiza una
cantidad diferencial de trabajo dW cuando la partícula cargada se mueve (a velocidad constante) a lo largo de
una diferencial de distancia d t. Ahora, el trabajo puede ser positivo o negativo, según la dirección de d i,
vector desplazamiento, con relación a la fuerza aplicada, Fa. Cuando di y F a no están en la misma dirección, la componente de la fuerza en la dirección de d i debe usarse. Todo esto se expresa simplemente por:
·dW
= F "dtcos8
=
F a ' di
Así pues, en un campo eléctrico el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es
dW=
-Q E · dl
Adoptándose esto como expresión definitiva para el trabajo realizado al mover una partícula cargada en un
campo eléctrico, un valor positivo significará que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para ocasionar un cambio de posición y un resultado negativo indicará que el trabajo ha sido realizado por el campo.
En los tres sistemas coordenados las expresiones para di son:
di = dx e;
+ dya y + dz e;
(cartesiano)
= dra , + rdcJ > a ~+ dZ8:
di = dra , + rd8a s + rsen8dcJ>a4>
(cilíndrico)
di
EJEMPLO 1: Halle el trabajo realizado al mover una carga de
línea recta que une los dos puntos, si el campo eléctrico es
E = 2X8 x -
El trabajo
diferencial
dW
4ya ,
dW
=
desde (2, O, O) m hasta (0,2, O) m a lo largo de la
y
(V/m)
es
2(2x8 x
=
-
=
-4xdx+
4Y8,)'
-
(dX8 x + dY8 y + dZ8.)
-4xdx
W
+ 8(2 - x)(-dx)
=
f
(0,2, O)
8ydy
La ecuación de la trayectoria es x + y = 2 y, por lo tanto,
largo de la trayectoria.
Por consiguiente,
y
+2e
.
(esférico)
=
(4x -
dy
= -
di a lo
Trayec.2
16)dx
o
O
(4x -
16)dx
=
24 J
(2, O, O)
Fig.S-l
2
50
x
ENERGIA
CAP. 5]
(Recuérdese
que
1 V/m
=
Y POTENCIAL
1 N /e
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
51
1 J /e · m.)
=
El trabajo realizado en una carga puntual en movimiento vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
Q desde el punto ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
B hasta el punto A en un
campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo
realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:
(campos
Tal campo
vectorial
se denomina
estáticos)
conser va tivo.
campo
EJEMPLO 2:
Halle el trabajo realizado en el campo del ejemplo 1 si la carga de 2 e es movida desde (2, O, O) m hasta
(O, O, O) a lo largo del eje x. Luego desde (O, O, O) m hasta (O, 2, O) m a lo largo del eje y.
La trayectoria
se muestra en la figura 5-2. Sobre el primer segmento, y = dy = dz = O, así pues
dW = -2(2xa"
Sobre
el segundo
segmento,
- Oay)' (dxa " + OBy+ Oa.] = -4.xdx
x = dx = dz = 0, así que:
dW ='-2(Oa"
- 4ya y)'
[Oa; + dYIl}. + Oa.) = 8ydy
Por lo tanto,
W
-4
=
o
f
2
xdx
+ 8
2
este es el mismo
5.2
valor encontrado
POTENCIAL
para la trayectoria
ELECTRICO
ENTRE
f o ydy
del ejemplo
=
24 J
l.
DOS PUNTOS
El potencia / del punto A con respecto al punto B se define como el trabajo
positiva unitaria, Q u' desde B hasta A .
VA B
W
= -
Qu
A
=
-
fE'
di
realizado
al mover una carga
(J/C ó V)
B
Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el
signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza F a = - QE, que
fue' aplicada para poner la carga en equilibrio.
Puesto que E es un campo conservativo,
VA B
=
VA C
-
VB C
de aquí que VA B se considere como la difer encia de potencia /entr e
los puntos A y B. Cuando ~ B es positivo,
debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desde B hasta A y se dice entonces que el
punto A está a un potencial más alto que el punto B . En el ejemplo 1, si el punto B se toma en (2, O, O) m yel
punto A en (O, 2, O) m, entonces
24J
VA B = - =
2C
12V
El punto A está a un potencial más alto que el punto B, (lo está en 12 V). Además, el potencial VaA debe ser
-12 V, ya que V B A difiere de ~ B
sólo por la inversión de los límites superior e inferior en la integral
definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado.
"""
Pt
r=
EJEMPLO
3:
Encuentre el potencial de A , (1, <P, z ), con respecto a B ,
(3,1> ', z"), en coordenadas
cilíndricas, donde el campo eléctrico es producido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8,
( V 1 m ).
Debe anotarse
primero
que d i tiene componentes
en las direcciones'
radial. Entonces E . dI = Ei dr, yasí
aro a~, ya; y que E tiene dirección
A
VA B
=
-
fE '
1
dI
8
El punto
A
está a un potencial
=
-
50
f 3
dr
=
-
1
50 In -.
r
más alto que el punto
3
=
B.
54.9 V
Fig.5-3
3
m
52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ENERGIA
Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP.
5
Como no hay trabajo en movimiento a lo largo de YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
8 4 > o a z'
todos los puntos sobre el cilindro vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT
r = constante deben
estar al mismo potencial. En otras palabras, para una línea uniforme de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son
super ficies equipotencia les.
5.3
POTENCIAL
Como el campo
DE UNA CARGA
eléctrico
VA B
por una carga puntual ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q tiene dirección radial,
producido
A
= -
PUNTUAL
fE'
di
=
-
B
f
rA
E, dr
'8
Q
= -
-
4ltio
f
'A
'8
Q
dr
2
r
= -
4ltio
(1 1)
-
rA
-
-
rB
Para una carga positiva Q el punto A está a un potencial más alto que el punto B cuando
Las superficies equipotenciales
son conchas esféricas concéntricas.
Si al punto de referencia B se le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces
rA
es menor que
r n-
o
En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en
olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta
infinito.
5.4
POTENCIAL
DE UNA D1STRIBUCION
DE CARGA
Si hay carga distribuida
en algún volumen finito con una densidad de carga conocida p (C I m '),
entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de
carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en la figura 5-4. Entonces en P .
dV= --
dQ
dV
4ltio R
La integración
sobre el volumen
~p
da el potencial
V= f
~
vol
4ltio
--
total en P :
R
R
Fig. 5-4
donde dQ está reemplazado por p du. Ahora, no debe confundirse R con r del sistema de coordenadas esféricas. R no es un vector sino la distancia desde dQ hasta el punto P . Finalmente, R casi siempre varía de lugar
a través del volumen y entonces no puede removerse del integrando.
•
Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, la expresión de arriba para Vse cumple, siempre
y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y P s o P t estén usados en lugar de p . Debe hacerse
hincapié en que todas estas expresiones para el potencial en un punto externo están basadas en una r efer encia
cer o en el infinito.
5.5
GRADlENTE
Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5 (a ) muestra dos
puntos vecinos, M y N . de la región en que está definida una función escalar V. El vector separación de los dos
puntos es
dr = dx e; + dye; + dz s,
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
M (x ,y ,z )
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS DE CARGA
53
ZYXWVUTSR
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z
N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ dx ; y + dy ; z + dz)
~
V(x,y,,)",
V (x , Y. z )
y
=
el
y
x
x
(a )
(b)
Fig. S-S
Por el cálculo,
el cambio
en V desde M hasta
N está dado
av
ax
dV = -dx
Ahora,
el operador
De lo que se deduce
nabla,
introducido
av
ay
+ -dy
por
av
az
+ -dz
en la sección 4-4, sobre
V
da
que
dV
=
VV· dr
El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gr a diente de la función escalar V. Se ve que
para una I d r l fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional
a la proyección de VV en esa
V.
dirección. Así pues VV ya ce en la dir ección de má ximo incr emento de la función
Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie
equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = C l [ver figura 5-5 (b)] . Entonces dV = O lo que implica que
V V es perpendicular a dr . Pero dr es tangente a la superficie equipotencial.
En efecto, para una localización
VV debe estar a lo largo
adecuada de N, éste representa cua lquier tangente a través de M. En consecuencia,
de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I
hacia V (x, y , z ) = c 2 , donde C2 >c l• El gr a diente de una función
potencia l es un ca mpo vector ia l el cua l
es en todo punto nor ma l a la s super ficies equipote.ncia les.
El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en
el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la
distancia en dirección del vector unidad particular.
(cartesiano)
(cilíndrico)
av
VV
=
a,:
av
a,
+ r ao
av
ao
+ rsenO acIJ a 4 >
Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier
nabla se define sólo en coordenadas
cartesianas.
(esférico)
sistema coordenado,
debe recordarse
que el operador
54
5.6
ENERGIA Y POTENCIAL
RELACION
ENTRE
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP. 5
E Y ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V
A partir de la expresión integral para el potencial de A respecto de B . el diferencial
como vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dV=
de V puede escribirse
-E·dl
Por otro lado,
dV
= VV ·dr
di YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= dr es un pequeño desplazamiento
arbitrario, se deduce que
Como
E=
-VV
La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida,
tomando simplemente el negativo del gradiente de V . Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las
superficies equipotenciales
dirigido hacia un cambio positivo en V . Con el signo negativo se encuentra que el
campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V .
5.7
ENERGIA
EN CAM POS
ELECTRICOS
ESTATICOS
Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribución
de n = 3 cargas
puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga y con E = O en todas partes.
Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para
Q
colocar la primera carga Q ., en la posición l es cero. Por
1
tanto, cuando Q2, se mueve hacia la región, se requiere un
trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de
Q •. El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es
00
WE = W1 + W2 + W3
=
O + (Q2 V2 .1 ) + (Q3 V3 .1 + Q3 V3 .2 )
El potencial V2 •
notación, poco usual,
campo eléctrico de la
ción.)
Ahora, si las tres
Fig. 5-6
debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la carga Q . en la posición 1". (Esta
no aparecerá de nuevo en este libro.) El trabajo W E es la energía almacenada en el
distribución
de carga. (Ver problema 5.20 para un comentario sobre esta identificacargas se trajeran
a su sitio en orden
inverso,
el trabajo
total sería
WE = W3 + W2 + W¡
,;, O +
Cuando
las dos expresiones
arriba
(Q2
se suman,
V2 • 3 ) + (Qt V1 • 3 + Qt V1 .i)
ei resultado
es dos veces la ~nergía almacenada:
El término Q. (V 1.2 + V 1.3) era el trabajo hecho contra los campos de Q2
región. Así que, V i , 2 + V r , 3 = V ., potencial en la posición 1. Entonces
y
Q3' únicas otras cargas en la
y
para una región que contiene n cargas puntuales.
sumatorio se convierte en una integración,
Para una región con densidad
de carga p (C I m ') el proceso
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
Otras expresiones
(ver problema
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
5.15) para la energía almacenada
DE CARGA
55
son YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
1 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR
~= -f-dv
2 (.
En un circuito
eléctrico,
la energía almacenada
en un condensador
1
WE = -Q V
2
donde C es la capacitancia (en faradios),
yen el condensador
y Q es la magnitud
=
1
-CV
está dada por
2
2
Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores
de la carga total sobre uno de los conductores.
que constitu-
EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las
placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico.
Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)a n entre las placas y E = O en cualquier otro lugar.
WE =
f
21 a : 2
dv
(V)2
2 d f
e
=
+
v.= ..
dv
Fig. 5-7
Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por
medio de la ley de Gauss (sección 3.3).
Entonces
Problemas resueltos
5.1.
Halle el trabajo
en el campo
E
=
realizado
al mover una carga puntual
(~ + 2Y~" + 2X8
y
Q
= - 20
J1.C desde el origen hasta (4, O, O) m
(V/m)
y
Para una trayectoria a lo largo del eje x. di
dW
=
- Q E ' di
=
(20
x
=
dx a".
(4.2. O)
1O-6)(~ + 2Y)dX
(0,0,0)
y
W= (20x
=
80pJ
1O-6)((~+ 2Y)dX
(4.0,0)
I
Fig. 5-8
x
56
5.2.
ENERGIA
Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP.
5
5.1, mueva la carga desde (4, O, O) m hasta (4,2, O) m YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED
y determine el trabajo
En el campo del problema
realizado.
Ahora (sección figura 5-8) vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
di = dya y, y así
5.3.
f
= (20 x 10- 6 )
W
2
2xdy = (20 x 10- 6 )(2)(4)
o
f
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
dy
= 320 J Ú
o
En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizado al mover la carga desde el origen hasta
(4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos.
La ecuación de la línea es x = 2y. de lo cual dx = 2 dy, dz = O. Entonces
y dy se cambian a x/2
x, y
Para integrar respecto de
5.4.
Y
l1 J
320
dx l L.
45
W= (20x1O- 6 )I
que es la suma de 80
y
-xdx= 400J Ú
2
o
datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2.
f.1 J ,
Q
Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual
1t/2), coordenadas esféricas, en el campo
E
10
5e- r /4 a
=
r
+ ---
=
5 p 'e desde el origen hasta (2 m, n/4,
(V/m)
a
r sen (J q,
En coordenadas esféricas,
dI
=
z
dr s, + rdea s
+ rsenedq,a.
Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del
segmento de = dq, = O, y
dW
-QE'
=
dI
(-5
=
A lo largo del segmento 11. dr
dW=
-QE'
dl=(-5
A lo largo del segmento 111. dr
dW
de
=
=
=
-QE'
1O-6)(5e-' 1 4 dr)
x
=
o,
x
1O- 6 )(1Odq,)
y
de/> = O, y
dI
Fig. 5-9
O
=
Por consiguiente,
W
=
(-25
x 10- 6 )
f
2
e- r /4 dr
x 10- 6 )
+ (-50
o
f
_12
dq, = -117.9 J Ú
o
En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 J Ú.
5.5.
Sea el campo E = (k/ r )a" en coordenadas
cilíndricas. Demuestre que el trabajo necesario para
mover una carga puntual desde una distancia
radial r hasta un punto situado a dos veces esa
distancia radial, es independiente
de r.
Como el campo tiene solamente componente radial,
dW = -QE'
dI = -QE,dr
-kQ
= --
Para los límites de integración use r I y 2r
W
= -
l.
2"
kQ
"
independiente de
r.
dr
f -
r
= -
kQ In 2
r
dr
CAP. 5]
5.6.
57
ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA
9 /2)
Dada una carga lineal de ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p , = (10- YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
e / m sobre el eje vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE
z, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes
(4 m , n, 5 m ) .
VAS
= -
f
A
donde
E· dI
S
Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr .
5.7.
5.8.
=
En el campo del problema 5.6, hállese VBC • donde r ,
compárese éste con la suma de VAB y VBC •
4my
rC
=
VB C
= -9[lnr]::
= -9(1n4 -In
10) = 8.25 V
V AC
= -9[lnrt
= -9(ln2
10) = 14.49 V
V AB
+
V BC
= 6.24
-In
+ 8.25 V = 14.49 V =
V
10 m. Luego, determínese
V AC
Dado el campo E = ( -16/ r2 )a , (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto
(2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ).
Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r
sea B . Entonces
VAB
5.9.
VAC Y
=
-
t
2
(-16)
7
dr
=
=
2 m sea A y r
=
4 m,
- 4 V
Una carga lineal de p , = 400 p Cj m yace a lo largo del
eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O,
5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10).
Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.
z
Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordenadas x de los dos puntos pueden ignorarse.
r A= J 9+ 16= 5m
rB
=
y
J 25 + 144 = 13 m
Línea de
carga
Entonces
VA B
Pt
rA
=
-
f r. 27tE:or
--
d
r
=
-
p,
rA
--In
27tE:o r B
=
6.88 V
Fig. 5-10
5.10.
Halle el potencial en r A = 5 m respecto de r » = 15 m producido por una carga puntual Q
p C en el origen y referencia cero en el infinito.
Debido a la carga puntual,
Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero.
12
V AB
=
500 x 10(1
47t(10 9/367t) 5" -
1)
15
=
0.60 V
=
500
58zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP. 5
la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrar ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y V IS '
s YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V15
=
-.JL (~)
47tt:o
=
0.30 V
15
Entonces
5.11.
Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente
alrededor de un anillo circular de 2 m de
radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compare el
resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual.
Con la carga en una línea,
v-
f
-
Aquí
y
(40/3) X 10- 9
2x(2)
p, =
(ver figura 5-11)
R
p,dt
oR
J 29
=
z
41U
m,
10- 8
e /m
= ~
dt
=
(2 m)dq,.
Fig. 5-11
Si la carga está concentrada en el origen.
v=
5.12.
(40/3) X 104Xio(5)
9
=
24.0
V
Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida
de radio (figura 5-12).
uniformemente
sobre un disco..circular de 2 m
Como la carga está sobre una superficie,
p.dS
V =
(40/3)
con
P.
=
R
=
V
=
z
f 4XioR
10- 9
X
X(2)2
J 25 + r
2
10- 8/3x
10- 8
2
Cim
=~
(m)
2"
2
r dr dq,
f f o J 25
4x(10 9/36x) o
+ r2
=
23.1 V
Fig.5-12
5.13.
5.14.
Cinco cargas puntuales
potencial en el origen.
iguales, Q
=
20 nC, están localizadas
en x
=
2,3,4,5
y 6 m. Encuentre
el
Hay una carga distribuida uniformemente
a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L (figura
5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r¡ y'2 sean peque. ños comparados
con la longitud, el potencial Vl2 es el mismo que para una línea infinita de carga.
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS DE CARGA
59
El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, es ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2 vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
fL
p,dz
VI =
o 47Uo(Z2
=
2p,
+
ri)I/2
[1n(z+Jz2+d)]L
47tlo
o
[In (L + J 13 + d ) - In r¡)
= ~
27tfo
En forma similar, el potencial en el punto 2 es
Ahora si
L ~ rl
y
(In2L - ln r.)
V I :::; ~
27tfo
Entonces
-L
Fig. 5-13
lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.
5.15.
Hay una carga distribuida
energía almacenada
Demuestre
en un volumen
que una expresión
equivalente
v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con
para la energía almacenada
es
La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R .
Como p es nula fuera de v,
WE = -
tf
2
pVdv= -J 1·
2
lo'
pVdv= volumen
1f
2
esferoidal
El vector identidad
integrando, da:
WE
= ~f
2
V' V A
(V ,
=
(V'O)Vdv
volumen
esferoidal
Esfera
A' VV + V(V' A), aplicado al
VO)dv - ~
volumen
esferoidal
f
( O ' VV)dv
volumen
esferoidal
Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente
grande. Se debe hacer R ....•co.
La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema
de divergencia, a
1!
VO·dS
-j
2
superficie
esferoidal
Fig. 5-14
ENERGIA Y POTENCIAL
60
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
[CAP. vutsrqponml
S
DE CARGA
Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumen encerrado parece una carga puntual. De esta
manera, en la superficie, D aparece como k ti R2 Y V como k2 / R. Así que el integrando decrece con 1/ R3. Como
el área de la superficie aumenta sólo con R2, se concluye que
límf
V D · dS=O
~-co
superficie
esferoidal
La otra integral da, en el limite,
y como D
= (E. la energía almacenada está también dada por YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ó
5.16.
V = 2 x + 4y (V) en el espacio libre. Halle la energía
Sea la función potencial ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
volumen de 1 m 3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m '.
E= -VV=
OV
- ( -a
ox
oV
+-a
ay
x
OV)
+-a
oz •
y
= -2a
'" -4a
almacenada
en un
(V/m)
Este campo es constante en magnitud (E = .jW V/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la
energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de
placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.)
De todas maneras, es posible hablar de una densida d de ener gía para éste y otros campos. La expresión
sugiere que cada volumen minúsculo dv tendrá asignado un contenido w dv, donde
Para este campo, la densidad de energía es constante:
1
W
=-
2
10- 8
y así cada volumen de 1 m 3 contiene (10 8f361t)
5.17.
= --
(0(20)
J
36n
J/m 3
de energía.
Dos semiplanos conductores delgados, en 4J = O Y 4J = 1 tJ6 , están aislados uno del otro a lo largo del
eje z. La función potencial para O ~ 4J ~ n J6 es V = (-604J/1t) V. Halle la energía almacenada entre
los semi planos para 0.1 ~ r ~ 0.6 m y O ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre.
Para encontrar la energía almacenada, W' E' en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densidad de energía (ver problema 5.16) a través de la región. Entre los semiplanos,
E= -VV=
y
1
--r
a
al/>
(-601/»
--n
60
a.=-a.
'
nr
(V/m)
así
WÉ
e
= ~
2
fo fo f
1
,,/6
0.6
0.1
(60)2
nr
300(
rd rd I/>
dz
= __ o ln6 = 1.51 nJ
n
CAP. 5]
5.18.
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
61
r = 0.01 m y r = 0.05 m está
El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos en vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK
dado por E = (10 5 / r )a , (V / m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada
en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre.
(10
5 )2
e
h+ O.S 2" O.OS
1
2
WÉ= 2f€OE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dv= if
fo
.
-rrdrd< jJdz= 0.224J
f o ol
h
5.19.
Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las
esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610
dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?
donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema.
VI =
Q
Q
+
2
41t(0
R J2
Entonces
+
3
41t(0
R13
2QI
WE =
Q
41tEo
4
=
4
x'
10- 9 (1_ + _1 + _ 1)
1
1
J2
41tfo
R I4
2(4 x 10- 9 )(97.5)
VI =
=
=
97.5 V
780 nJ
Para sólo dos cargas,
E
2W
o
WE
=
Q
=
VI =
I
VI
QI
(4
+ Q2
(4
-9
10)
x
V2 =
x
2QI
10-
¡;
)
=
102 nJ
2
41tEoV
5.20.
VI
9
¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·Q I = 3 nC
radas por una distancia de d = 0.2 m?
por esto
VI
2WE
=
QI
W
=
QIQ2
E
41t/:0
V
+ Q2
=
2
=
QI
(4~:d)
+
d
Q 2 = - 3 nC, sepa-
Q2(4~:d)
9
(3 X 10- )2
41t( 10 9 /361t )(0.2)
_
y.
=
-405 nJ
Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2 , y por consiguiente
WE =
-1
2
f
fE 2
dv
todo el espacio
es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para
ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía
infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo
separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, U i = - 405 nJ, puede tomarse con el significado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las
d ife re n c ia s
de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.
5.21.
Una concha esférica conductora de radio a , centrada en el origen, tiene un campo potencial
v_
{Yo
Voa jr
r ~a
r> a
con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo
representa.
r< a
r > c.
62zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ENERGIA
Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
Obsérvese
que la carga total sobre la concha
Q
=
DA
=
DE CARGA
[CAP.
5
es, según la ley de Gauss,
Voa ) ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
(47ta ) YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED
= 47tEo Voa
~vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
EO
(
mientras que el potencial en la concha es V = ~ . Así pues, WE = !Q V , resultado familiar para la energía alma-cenada en un condensador
(en este caso, un condensador
esférico con la otra placa de radio infinito).
Problemas suplementarios
5.22.
Halle el trabajo realizado al mover una carga Q = - 20
el origen hasta (4, 2, O) m en el campo
E
=
x2
=
el problema 5.4 utilizando
Resp.
- 117.9 J ll
desde
Z
2(x + 4 Y )8 x + 8 X 8 y
a lo largo de la trayectoria
J lC
(V/m)
Resp.
8y.
5.23.
Repita
radial.
una trayectoria
5.24.
Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria
figura 5-15.
Resp.
-117.9 J ll
1.60 m J
de dirección
mostrada
en la
Y
~ - - - - - ll- - -
x
Fig.5-15
5.25.
Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 3 J lC desde (4 m, 7t, O) hasta (2 m, 7t/2, 2 m), coordeResp.
- 0.392 J
nadas cilíndricas, en el campo E = (10 5 /r)a, + 10 5 z8 z (Y/m).
· S.26.
Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q
infinito hasta r = 2 m y desde el infinito hasta r = 4 m, en el campo E ,,;,(10 5 / r)a r (Y / m).
.
Resp.
1.39 x 10- 4 J
5.27.
Una carga total de (40/3) nC está distribuida
en forma de un disco circular de radio 2 m. Halle el potencial
producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Compare este potencial con el que se
obtiene si toda la carga está en el centro del disco.
Resp.
49,7 Y, 60 Y
, 5.28.
5.29.
=2
nC desde el
Z
U na carga lineal uniforme de densidad p ( = 1 nC/ m está arreglada
en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra en la
figura 5 -16. Halle el potencial en (O, O, 5) m.
Resp.
35.6 Y
(O, O, 5)
Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a d
metros medidos radial mente hacia afuera desde el punto medio de
una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad
uniformePr(C/m).
Aplique este resultado, como prueba, al problema 5.28.
y
x
Resp.
~
27tfo
In
L/2 + Jd
2
+ 1 3 /4 ( V )
Fig.5-16
d
superficial
uniforme
de carga P . sobre el
5.30.
Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad
de R.
anillo Z = O, R ~ r ~ R + I es independiente
5.31.
Una carga total de 160 nC está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de
intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
63
plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de
intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límite vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P r = (160/61t) nCfm?
Resp.
247 Y
5.32.
En coordenadas
( -161
punto
Resp.
r2 )a , ( Y
esféricas,
B. Ahora exprese
VA
=
A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo E YXWVUTSR
= ZYXWVUTSRQPON
del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el
la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema
5.8.
el punto
1 m), halle el potencial
2 VD
= -
8 Y
5.33.
Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los
potenciales en r = 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r = 5 m,
pero opuesto en signo?
Resp.
0.45 Y,
0.15 Y,oo
5.34.
cartesianas. Halle la diferencia
U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas
potencial V AB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m.
Resp.
2.70 Y
5.35.
Halle el potencial en coordenadas
eje y= ±d I2 . Suponga r ~ d .
5.36.
Repita
5.37.
Halle las densidades
el problema
esféricas producido por dos cargas puntuales
Resp.
(Q d sen 8)/(41tt.or 2)
5.35 con las cargas
sobre el eje z.
de carga sobre los conductores
iguales, pero opuestas
de
sobre el
(Q d cos 8)j(41tt.o r 2 )
Resp.
del problema
5J 7.
Resp.
5.38.
Una carga lineal uniforme
de potencial
con P r = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny
V AB para los puntos
A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O).
Resp.
-18.4
=3 m. Halle la diferencia
Y
5.39.
Una carga laminar uniforme, con P . = (I/61t) nCfm 2 , está en x =0 y una segunda carga laminar,
(-1/61t)
nCfm 2 , está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O).
Resp.
- 36 Y, - 24 Y, - 60 Y
5.40.
Dados los campos eléctricos en coordenadas
cilíndricas E = (51 r)a , (Y 1 m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1 m
para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O).
Resp.
8.47 Y
5.41.
U n condensador
de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una difeResp.
11.1 nJ
rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada,
suponiendo
que t. = t.o.
5.42.
El condensador
descrito
aplicado de 200 Y.
en el problema
5.41 tiene
con P .
=
un voltaje
Halle la energía almacenada.
M antenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en
200 Y, mientras se aumenta d 2 a 2.2 cm. Halle la energía final
almacenada.
(Suger encia : Mtí, = t(i\C)V2)
Resp.
(a ) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJ l
(a )
(b )
1-
o.sm ---j
Fig.5-17
5.43.
Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales
m de separación entre ellas.
Resp.
180 nJ
5.44.
Repita
el problema
5.43 si la carga en 'el centro
es -2
nC.
iguales, Q
Resp.
-180
=
2 nC, dispuestas
nJ.
en línea con 0.5
64
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
5.45.
5.46.
5.47.
DE CARGA
[CAP. 5
Cuatro cargas puntuales iguales, vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q = 2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de
lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada.
Resp. O, 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ
lll
Dado el campo eléctrico E = - 5e- rZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a r en coordenadas cilíndricas. Halle la energía almacenada en el volumen
Resp. 7.89 x 10-10 a 3
descrito por r S; 2a y O S; z S; 5a .
Dado un potencial V = 3 x 2 + 4y2 (V). Halle la energía almacenada
O:S;; Y S; 1 m y O S; z ~ 1 m.
r esp. 147 pJ
en el volumen
descrito
por O S; x S; 1 m
Capítulo 6
Corriente, densidad de corrienteEDCBA
y conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML
6.1
INTRODUCCION onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C o r r ie n te e lé c tr ic a es la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a través
1 se usa generalmente para corrientes constantes y el símbolo ZYXWVU
i
de una superficie determinada.
El símbolofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es el a m p e r e (1 A = 1 C I s. En el sistema SI, el
ampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada).
La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples, 1= VI R .
Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carga
negativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insuficiente. Por consiguiente, en electromagnetismo,
la densidad de corriente J (A l m") recibe más atención que la
corriente l .
6.2
CARGAS
EN MOVIMIENTO
Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, como
se muestra en la figura 6-1 (a). Esta fuerza, F= + Q E , no es opuesta y produce una aceleración constante. De
esta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partícula
se halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas, como se muestra en la figura 6-1 (b), se
estrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de dirección
al azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan,
y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como ve lo c id a d d e c o r r im ie n to U, a lo largo de la
dirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capas
más exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoría e le c tr ó n ic a d e
lo s g a s e s , estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partícula
cargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico,
u
=
jlE
donde u , la m o vilid a d , se mide en unidades m 2 IV· s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un número
de átomos del orden de 1028• Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo libres
para moverse cuando se aplica un campo. La movilidad u varía con la temperatura y la estructura cristalina
del sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la temperatura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad jl se
reduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisis
de circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinar la r e s is tivid a d para cada material y especificar
un aumento de esta resistividad con temperatura creciente.
u
-~+~Q~.====~--------~
~ E
--------------------~
(b) Líquido o gas
(a) Vacío
Fig.6-1
65
66
6.3
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Y CONDUCTORES
[CAP. 6
DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION,
J
Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK
p en un volumen v aparece en
la figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Se supone que las partículas mantienen su posición relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de carga
pasa una superficie S ello origina una c o r r ie n te d e c o n ve c c ió n , con
densidad
Si la sección transversal defedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
v varía o si la densidad p no es constante a
través de v, entonces J no será constante con el tiempo. Más aún, J será
cero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras,
el concepto de una densidad de corriente causada por una nube de
partículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de la
teoría de campos electromagnéticos.
6.4
DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION,
~
U
J=pU
S
Fig.6-2
J
De más interés es la c o r r ie n te d e c o n d u c c ió n que aparece dentro de los conductores de sección transversal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por
que, en vista de la relación U
= llE ,
puede escribirse
J=
(1E
donde ( 1 = PJl es la c o n d u c tivid a d del material en s ie m e n s p o r m e tr o (S / m). En conductores metálicos los
portadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3).
Por consiguiente, para los electrones, tanto P como Jl son negativos, lo
que produce una conductividad (1, positiva, tal como en el caso de
portadores de carga positivos. Se deduce que J y E tienen la misma
dirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es convencional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargas
positivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a P y jJ como
positivos.
La relación J = ( 1 E se conoce como fo r m a p u n tu a l d e la le y d e
O h m . El factor ( 1 tiene en cuenta la densidad de electrones libres que se
mueven (P) y la facilidad relativa con que se mueven a través de la ess
tructura cristalina (Jl). Como podría esperarse, es una función de la
temperatura.
Fig.6-3
6.5
CONDUCTIVIDAD
(1
En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativos como positivos, algunos con carga sencilla
y otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podría
incluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos los iones negativos son iguales y lo mismo todos los
iones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura 6-4(a). En un conductor metálico, sólo los electrones de valencia están para moverse. En la figura 6-4(b) se muestran en movimiento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad de
carga de los electrones libres para moverse, P e ' por su movilidad, Jle'
Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En la
estructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, a
temperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moverse
fuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea un p a r e le c tr ó n -h u e c o disponible para
CAP. 6]
J
E
CORRIENTE,
----
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
-e
--e ---e
<DZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
-e -e
~~-e
-e :--G
---e
67
--B
J
J
E
E
~
--0
O- onmlkjihgfedcbaZYXW
-G
a = PeIJe
o = » .» : fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+P+IJ+
(b) Conductor
o gas
O-
o--- -e
-= -e
(o ) Liquido
o---
a
= PeIJe
+
PhIJ"
(e) Semiconductor
EDCBA
F ig .6 - 4
conducción. Tales materiales se denominan semiconductores in tr ín s e c o s . Los pares electrón-hueco tienen un
tiempo de vida breve y desaparecen por recombinación.
Sin embargo, otros se van formando por lo que todo
el tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura 6-4(c), la conductividad
consiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos de
valencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores
tip o p o tip o n . El
comportamiento
intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra en
los materiales del tipo n o de huecos extra en los del tipo p . Así, en la conductividad u , una de las densidades,
P e o P h ' excederá a la otra.
6 .6
1
C O R R IE N T E
La corriente
total 1 (en A) que atraviesa
1=
una superficie
S está dada por
f sJ·dS
(ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial de
superficie d S. Así pues, un resultado positivo en 1 indica que la corriente a
través de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto, J no tiene
necesariamente
que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que ser una
superficie plana.
dS
F ig .6 - 5
Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra en
la figura 6-6 si la densidad de corriente es J = 15(1 - e-1000')az (A /m 2 ). El radio del
alambre es 2 mm.
Se escoge una sección transversal para S. Entonces
EJEMPLO 1:
dI
= J.
=
y
I=f
=
dS
15(1 - e-1000')az'
2x
o
1.33
z
r d r d r /a z
0.002
15(1-e-1000')rdrdcp
fo
X
dS
10-4 A
=
0.133 mA
Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste a la superficie externa
del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total, 1 = 0.133 mA,
cruzándola,
J
6 .7
R E S IS T E N C IA
F ig .6 - 6
R
Si un conductor de sección transversal uniforme A y longitud l, como el que se muestra en la figura 6-7.
tiene una diferencia de voltaje V entre sus extremos, entonces
V
E=-
t
y
J= uV
t
68zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
[CAP. 6onmlkjihg
suponiendo que la corriente está uniformemente
distribuida sobre el área A, La corriente total es, entonces,
I= J A= o AV
t
Como la ley de Ohm establece que V
es
R= ~
=
la resistencia
IR ,
(O )
o A ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~ - - + - llll- - - - ~
V
(Observe que 1 S-l = 10; el siemens era anteriormente
conocido como el m h o .) Esta expresión para la resistenFig.6-7 fedcbaZYXWVUTSRQPONM
cia se aplica generalmente a todos los conductores en los
que la sección transversal permanece constante sobre
toda la longitud t . Sin embargo, si la densidad de corriente es mayor a lo largo del área superficial del
conductor que en el centro, entonces la expresión no es válida. Para tal distribución de corriente no uniforme la resistencia está dada por
v
R
=
S
J . dS
Si se conoce E en lugar de la diferencia
=
V
(T-E -'-d= -= -S
-= -S
de voltaje entre las dos caras, la resistencia
está dada por
R = .,S,---E_._d.,..,..1
S
El numerador
(TE· dS
da la caída de voltaje a través de la muestra, mientras el denominador
Encuentre la resistencia presente entre las superficies curvas interna
en la figura 6-8. El material es plata para, la cual a = 6.17 x 107 S jm .
Si la misma corriente 1 cruza la superficie interna y la externa, entonces,
EJEMPLO 2:
J
Entonces (5°
=
f
,0.05
J
k
E=-sr
y
ar
°
k
-a'r
0 .2
.0.0873
J
5 -,
d r e .r
---r
ar
°
k
-
a, . r d4> dz a,
rb
r
In 15
= 1.01 x 10-5
n=
a(0.05)(0.0873)
6.8
externa del bloque que aparece
0.0873 rad),
3 .0
R =
k
= -Sr
r
y
da la corriente total/o
DENSIDAD
DE LA CORRIENTE
3.0 m
n
10.1
_
=
0.05 m
Jl
Fig.6-8
LAMINAR,
K
Algunas veces la corriente está confinada a una superficie de un conductor, tal como las paredes internas
de una guía de onda. Para tal c o r r ie n te la m in a r es útil definir el vector densidad K (en Al m), que da la rata de
transporte de carga por unidad de longitud. (Algunos libros usan la notación J s,) La figura 6-9 muestra una
corriente total/, en forma de hoja cilíndrica, .de radio r , que fluye en dirección z positiva. En este caso,
1
K = -a
2nr
z
en cada punto de la hoja. Para otras hojas, K puede variar de un punto a otro (ver problema 6.19). En general,
la corriente que fluye a través de una curva e dentro de una corriente laminar se obtiene integrando la
CAP. 6]
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
Fig.6-'EDCBA
69
F ig .6 - 1 0
componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
n o r m a l de K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así pues fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
1=
6.9
C O N T IN U ID A D
D E
LA
f cK "d t
C O R R IE N T E
La corriente 1 que cruza una superficie general S ha sido examinada para los casos en queZYXWVUTSRQPONML
J en la superficie era conocida. Ahora, si la superficie es c e r r a d a , para que salga una corriente neta debe haber una disminución de carga positiva adentro:
l J . dS =
j
donde la unidad normal en
dS
1
= -
dQ
dt
= - ~
at
f
p dv
es ta dirección normal hacia afuera. Dividiendo por .1 v,
Cuando .1 v - + 0, el lado izquierdo por definición tiende a V • J, divergencia de la densidad de corriente,
mientras el lado derecho se aproxima a -a p jo t.
Así pues
ap
V 'J =
--
at
Esta es la ecuación de c o n tin u id a d d e c o r r ie n te . En ella p representa la densidad n e ta d e c a r g a y no sólo-la
densidad de carga móvil. Como se verá luego, a p ja t puede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentro
de un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V • J = 0, viene a ser el campo equivalente de la ley de
la corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores es
cero.
En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de un
campo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas.
Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con la c a r g a n e ta , porque cada electrón de conducción
está balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que la sarga neta es cero en cada .1 v del material.
Supóngase, sin embargo, que en un des balanceo temporal, una región situada dentro de un conductor sólido
presenta una densidad n e ta de carga Po en el tiempo t = O. Entonces, como J = <TE = (<T/E:)D,
CORRIENTE,
70
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
[CAP. 6
La operación de divergencia consiste en las derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales. SifedcbaZYX
(J Y onmlkjihgfe
e son constantes, como deben ser en una muestra homogénea, entonces deben ser removidas de las derivadas
parciales.
=
ño
~ (V. D)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB
ot
e
op
(J
-P =
e
op
o
--
ot
(J
a ¡ + € ,P = O
La solución
a esta ecuación es
P
Po
=
e -(a /E )'
Se ve que o . y con ella
op
(J
--p
e
ot
decae exponencialmente
con una constante de tiempo ( /( J , también conocida como tie m p o d e r e la ja c ió n
el tiempo de relajación es
para el material particular. Para la plata, con (J = 6.17 X 107 S/ m y (~(o,
1.44 x 10 -19 s. De esta manera, si una densidad de carga P o pudiera de alguna manera lograrse en el interior
de un bloque de plata, las cargas se separarían debido a las fuerzas de Coulomb, y después de 1.44 x 10 -19 S
la densidad restante sería el 36.8% de P o . Después de cinco constantes de tiempo, o 7.20 x 10-19 s, sóloO.67%
de P o permanecería. Así pues, puede deducirse,' para campos estáticos, que la c a r g a n e ta d e n tr o d e u n c o n d u c to r e s c e r o . Si no hay carga neta presente, debe estar en la superficie externa.
6.10
CONDICIONES
LIMITES
EN CONDUCTOR-DIELECTRICO
Bajo condiciones estáticas toda la carga neta estará en las superficies externas de un conductor yambos
E y D serán por lo tanto cero dentro del conductor. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, la
integral lineal cerrada de E .d l es cero para cualquier trayectoria. Una trayectoria rectangular con esquinas
J" 2, 3, 4 se muestra en la figura 6-11.
f
234
E· dl+
123
f
E ·d l+
f
f
E ·d l+
1
E ·d l= O
1
4
2
Dieléctrico
Si la trayectoria de las longitudes 2 a 3 y 4 a 1 se hacen tender a cero, conservando la interfase entre ellas, entonces la segunda y la cuarta integral
son cero. La trayectoria 3 a 4 está dentro del conductor donde E debe ser
cero. Esto deja
2
fE.
tangencial
,
4
~
Conductor
3
Fig.6-11
2
di =
1
donde E l es la componente
escogerse arbitrariamente,
~ ~ '-..~ ~ "
~
f E, dt = O
1
de E en la superficie del dieléctrico.
Como el intervalo de 1 a 2 puede
E ,= D t= O
en cada punto de la superficie.
Para encontrar las condiciones sobre las componentes normales, un cilindro circular recto, pequeño y
cerrado se coloca a través de la interfase como se muestra en la figura 6-12. La ley de Gauss aplicada a esta
superficie da
f D·
o
f
D ·d S+
arriba
f
dS
D ·d S+
abajo
=
Qcnc
f
D ·d S=
lado
f
P sdS
A
CORRIENTE,
CAP. 6]
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
71
La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D , = O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integral
también es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentro
del conductor, donde D y E son cero. Entonces,
fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f
f EDCBA
D ·d S=
a r r ib a
D n d S=
P sdS
A
a r r ib a
lo que sólo se cumple si
E ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC
= P.
y
f
n
Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero
(componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo,
una carga superficial no implica una carga n e ta en el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga positiva en el origen de coordenadas
esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esférica
conductora d e s c a r g a d a de espesor infinito, como aparece en la figura 6 -1 3 (a ), entonces el campo aún está
dado por
E
=
+Q
4 ------Z a ,
T ta
excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. Las fuerzas de Coulomb causadas por + Q
atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una p s I de signo negativo.
Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga P s 2
positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan la carga puntual + Q , terminan en los electrones de la
superficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13 (b). Entonces, unas líneas de flujo eléctrico 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse que
el flujo no pasa a través del conductor y la carga n e ta en dicho conductor permanece cero.
I
P s 2 -----< ••.•••.
·
\}t
/
/
(b)
(a)
Fig.6-13
P r o b le m a s
6.1.
r e s u e lto s
Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una
corriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico E , la velocidad de corrimiento U , la caída
de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies.
Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es
A =
1t
[(
O.0808PUl)(2.54
2
X1 10-2 m)]2
pul
=
3.31 x 10
-6 m 2
CORRIENTE,
72
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
[CAP. 6
EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1
20
J ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= - =
= 6.04 X 10 6 A/m 2
A
3.31 X 10-6
o
u = 5.8 X 10 7 S/m. Entonces
Para el cobre,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6.04
J
E
= -
=
5.8 x 10
u
=
T
=
1.59 V
1.59
20
=
=
7.95 x 10-
en el cobre es
se encuentra
n
0.0032 m 2/V . s, y como
= 1.81
=
0.0032
la velocidad
2
Jl ,;,
5.8 x 107
=-
Jl
= ~ =
p
Con esta velocidad de corrimiento
de un centímetro en el conductor
=
(J
6.05 X 10
1.81 x 101 0
=
3.34
X
10-4
J = pU
es
U =
30 segundos
= -
3.82
X
107 S/ril y la movilidad
.
3.82 x 10 (
5.3 x 10-
4)
=
,
1.45 x 10' A/m
para recorrer una distancia
a una velocidad de corri-
Jl =
0.0014 m2/V.s
2
0.0014
U
J
= -
=
7
(J
= -
Jl
E
u
de carga es
mis
un electrón tarda aproximadamente
de cobre # 12.
la conductividad
la densidad
101 0 Cjm J
X
¿Qué densidad de corriente e intensidad del campo eléctrico corresponden
miento de 5.3 x 10-4 m is en el aluminio?
Para el aluminio,
PJl,
de corrimiento
6
U
=
3.79
X
10-1 V/m
Jl
(J
6.3.
V/m
R
u
6.2.
1
E l = (1.04 x 10-1 )(50)(12)(0.0254)
de los electrones
= P U
1.04 x 10 -
=
=
P
A partir de J
7
v
V
La movilidad
106
X
Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0 mm y conduce
una corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (para
ser reemplazados por otros) una sección de 100 mm de longitud?
El número de Avogadro es N = 6.02 X 1026átomos/ kmol. La gravedad específica del cobre es 8.96 y el peso
atómico es 63.54. Suponiendo
un electrón de conducción por átomo, el número de electrones por unidad de
volumen es
N.
=
=
El número
de electrones
(6,02
.
102 6 átomOS)( 1 kmol )(8.96
kmol
63.54 kg
X
8.49 x 102 8 electrones/
m3
en 100 mm de longitud
es
N= 7te
Una corriente
de 10 A requiere
fijo. Entonces
x 1028)=6.00
x;0-3f(0.IOO)(8.49
x 1022
que
C) (
1
( 10 -s
1.6 x 10
pasen un punto
x 103 kg)(1 electrÓn)
rn ' o átomo
19
electrÓn)
C
el porcentaje
=
6.25
por segundo
625 X 101 9
6:00 x 1022 (100)
=
-
X'
1019 electrones/ s
que deja los 100 mm de longitud
0.104% poros
es
CORRIENTE,
CAP. 6]
6.4.
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
73
¿Qué corriente se produce si todos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico de
aluminio pasaran un punto determinado en 2.0 S? S upóngase un electrón de conducción por átomo.
La densidad del aluminio es 2.70 x 103 kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. EntoncesfedcbaZYXWVUT
N.
y
= (6.02 x 1026)(_1_)(2.70 x 103) = 6.02 X 1028 electrones/m!
26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
L\Q
= -
1
=
(6.02
1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6
x
10-19 C¡electrón)
2 s
~t
6.5.
x
= 4.82 kA
¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de 0.0046 m2jV· s y una
conductividad de 29.1 M S jm ?
Como a = J1P,
P
= ~ = 29.1
J1
y
N.
6.6.
=
X
6
10 = 6.33
X
109 C/m 3
0.0046
6.33 x 109
19 = 3.96
1.6 x 10
X
1028electrones/m!
Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente.
A 3000 K hay 2.5 x 1019 pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il. =
0.38 m 2/V· s y la movilidad de los huecos es Ilh = 0.18 m 2¡ v . s. Como el material no está contaminado, el
número de electrones y huecos es igual.
6.7.
Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada
108 átomos. La densidad del germanio es 5.32 x 103 k g/m 3 y el peso atómico es 72.6 kgj kmol.
Existen
N
= (6.02 x 1026)(_1_)(5.32 x 103) = 4.41
72.6
X
1028 átomos/m!
y esto nos da
N .=
10-8(4.41 x 1028)=4.41
x 102°electrones/m 3
La concentración intrínseca n ¡ para el germanio a 3000K es 2.5 x 1019 por m '. La le y d e a c c ió n d e m a s a ,
N , N h. = n 2 t> da entonces la densidad de huecos así
Nh
=
(2.5 X 1019)2
20
= 1.42
4.41 x 10
X
101 8 lhuecos/ m 3
Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6,
+ N h e llh
= (4.41 x 102 0 )(1.6 x 10-1 9 )(0.38) + (1.42 x 1'618)(1.6x 10-19)(0.18)
o = N .e ll.
= 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m
En el germanio tipo n el número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018
huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminante
de valencia cinco.
74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
6.8.
U n conductor
una densidad
conductor?
[CAP. 6
de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Y
de corriente de 4.65ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x 10 5onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Al m '. ¿Cuál es la conductividad
del material en el
ComofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
'E = V /t y J = u E ,
4.65 x lOs
6.9.
Una tabla de resistividades
ductividad correspondiente
Un m il c ir c u la r
I
=
u(.!2)
150
ó
u
da 10.4 ohms mil circular
en siemens por metro?
=
5.37
107 S/m
X
por pie de cobre templado.
¿Cuál es la con-
es el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-3 pul).
m)]2
3P
mil cir = 1t [(1O--2- UI)( 0.0254p~1
5.07
=
10-
x
10
m2
. La conductividad es el recíproco de la resistividad.
U
6.10.
_ (_1
pie )(12 ~)(
lOA n . mil cir
pul
Un alambre de aluminio
tividad implica esto?
m)(
I mil cir
) _
7
0.0254pUI 5.07 x 10 10 m 2 - 5.78 x 10 S/m
A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc-
De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils.
1t[
A =
t
=
32
X210-3
(0.0254)
]2
=
5.19
x
10-7 m 2
(1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)=
3.05
x
102 m
Entonces para R = t/u A,
u
6.11.
En un conductor
de acuerdo a
Halle la corriente
3.05 X 102
= (16.7)(5.19 x 10-7) = 35.2 MS/m
cilíndrico de radio 2 mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el eje
total l .
2~
1
=
f
J. d S = f J d S = f
e-
=
6.12.
400,
21t(103) [ (
-400)
0.002
f
o
(-4OOr - 1)
2
Halle la corriente que cruza la porción del plano
0.002 ~ z ~ 0.002 m, si
0.002
I= fJ 'd S=
f
-0.002
1 0 3 e -4 o o 'r d r d r j>
o
f
y
=
] 0.002
o
=
7.51 mA
O definido
0.1
1 Q 2 IXIBy·d xd zBy= 4 m J \
-0.1
por - 0.1 ~
x
~
0.1 m
y
_
CORRIENTE,
CAP. 6]
6.13.
DENSl'DAD DE CORRIENTE
75
Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= Odefinido por -n /4 ~ y ~ n /4 m y -0.01
~ z ~O.Olm, si
1=
r J.
dS =
0.01
f
•
6.14.
Y CONDUCTORES
f
-0.01
1 < /4
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
lOOcos2yax'
-,,/4
d y dz e¿
=
2.0 A
.
Dado J = )03 sen () a- Al m? en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esférica r = 0.02 m.
Como
J
Y
son radiales,
f f
2"
I
6.15.
=
o
"
o
103(0.02)2 sen' O dO dI/J
=
3.95 A
Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con área A y longitud (
está dada por R = (/(lA, suponiendo una distribución uniforme de corriente.
Una sección transversal constante a lo largo de t produce un
E
constante,
y
la caída de voltaje es
v = fE 'd l= E t.
Si la corriente está uniformemente distribuida en el área A ,
I =
f J . dS
= J A = uEA
donde u es la conductividad. Entonces, como R
= V/I,
R= ~
uA
6.16.
Determine la resistencia de aislamiento en una longitud t de cable coaxial, como se muestra en la
figura 6-14.
Suponga una corriente totall desde el conductor interno al
externo. Entonces, a una distancia radial r,
y
I
J = -= A
así
I
2 1 tr t
E = --
I
La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces
.b
y
= -
f • --2 1Itu r t
--t---~
dr
b
= - -I I n - b
2 1 tu t
a -,
la resistencia
V
1
b
R = -= --In -
I
2 1 tu t
a
¡
• )
Fig.6-14
2 1 tu r t
V.
1k-4
CORRIENTE,
76
6.17.
DENSIDAD
DE CORRIENTE
[CAP.
6
= O Ycontiene una corriente
total de lOA
U na hoja de corriente de 4 m de anchura yace en el planofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z ZYXWVUTSRQPONMLKJ
que se dirige desde el origen hasta (1, 3, O) m. Encuentre una expresión para K.
En cada punto de la hoja, la dirección
y
6.18.
Y CONDUCTORES
la magnitud
de K es
(10/4)
de K es el vector unidad
De esta manera,
A /m .
Tal como se muestra en la figura 6-15, una corriente 1T
sigue un filamento que baja por el eje z y entra en una hoja
conductora delgada en z = O. Exprese K para esta hoja.
Considérese un círculo en el plano z = O. La corriente
sobre la hoja se abre uniformemente
sobre la circunferencia
la dirección de K es aro Entonces
1T
Lnr .
y
Ir onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
K = -a
Zn r
r
x
Fig.6-15
6.19.
Para la hoja de corriente
(figura 6-16).
1=
del problema
6.18 encuentre
f
--.I.. rd<jJ =.I..
=
K .dt
f
_ /6
o
1
la corriente
en una sección del plano de 300
1
2 r r .r
12
Sin embargo, la integración no es necesaria, puesto que para una
corriente
uniformemente
distribuida,
un segmento
de 300
o 1 1 12 del total.
contendrá 3 0 °/3 6 0 °
6.20.
Fig.6-16
Una corriente I(A ) entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestra
en la figura 6-17. Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm.
r
En la parte superior,
la corriente
está uniformemente
distribuida sobre cualquier circunferencia 2 r r .r , de tal manera que
1
I
K = -2
rr.r
a,
( A /m )
Hacia abajo, la corriente está uniformemente distribuida
circunferencia
2rr.(0.02 m), de tal manera que
sobre la
Fig.6-17
I
K =
6.21.
0.04rr. (-a%)
( A /m )
En un punto situado sobre la superficie de un conductor,
¿Cuál es la densidad superficial de 't:arga en ese punto?
E = 0.70ax
-
0.35 a, - 1.00a:
V/m.
En la superficie de un conductor bajo condiciones estáticas la componente tangencial E l es cero. En consecuencia, el vector dado debe ser normal al conductor. Suponiendo
espacio libre en la superficie,
P«
= D. =
(o
E.
=
El signo + (más) debería
±fO IE I
=
ser escogido
±
10-9
3 6 r r . J (0 .7 0 )2
si se supiera
+ (0.35)2 + (1.00f
que E apunta
=
±
11.2 pC/m 2
fuera de la superficie.
CAP. 6]
6.22.
CORRIENTE,
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
77
Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial de
P . ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= (P o /z) (Crrn").
Escriba una expresión para E en la superficie.
cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Ya que D n
=
P ..
En
=
En (0.05,
pJ€o.
cp, z),
E= E n a, =~a,
€o z
6.23.
Un conductor
que ocupa la región x ~ 5 tiene una densidad
p
_
J y2
s -
Escriba expresiones
La normal
para E
y
es - a x
externa
:
de carga
Po
+
Z2
D justo afuera del conductor.
Entonces,
y
justo afuera
E=
del conductor,
(-a,.,)
Po
€ o J y2
6.24.
superficial
+
Z2
Dos conductores cilíndricos concéntricos, r a = 0.01 m y r b = 0.08 m, tienen densidades de carga
P sa =40 pC/ m 2 y P sb, tales que D y E existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquier otra
parte. Ver figura 6-18. HallefedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P s b , y escriba las expresiones para D y E entre los cilindros.
Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radial y
solamente función de r. Entonces, para ro < r < rb ,
V •D
1 d
= - -
O
ó
=
e
e, utilice el hecho de que D ;
=
(r D ,)
=
r dr
Para evaluar la constante
en r = ro + O.
e
=
(0.01)(40 x 10-12)
=
4
rD,
D,
=
P ! SO
10-13 C/m
X
Fig. 6-18
y así
D =
4xlO-13
a,
(C/m2)
E
y
r
La densidad
P.b
se encuentra
P&b
= Dn
l
ahora
=,.-0
D
4.52
= =
€o
X
10-2
a,
(V /m]
r
a partir de
= - D,
l
=,.-0
P r o b le m a s
= -
4xlO-13
= - 5 pC /m 2
0.08EDCBA
s u p le m e n ta r io s
6.25.
Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad
38.2 MS/m
densidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29 m - 3.
Resp.
1.40 x 10 - 3 m 2 / V • s
6.26.
Repita
donde
Resp.
el problema 6.25 ( a ) para el cobre, donde (J = 58.0 MS/m
(J = 61.7 MS/m
y N , = 7.44 X 10 28 m-3 .
• s.
(a ) 3.21 x 10-3 m 2 /V • s; (b)5.18 x 1O-3 m 2 /V
y N,
=
1.13
X
10
29
y una
m-3; (b ) para la plata,
78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
6.27.
[CAP. 6
N onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
, en germanio tipo p , donde
ti =10. S / m y la movilidad de los huecos es
Halle la concentración de huecos,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
h
= 0.18 m 2/Y. s. R e s p . 3.47 x 1023m-3•
Jlh
6.28.
Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N ., si la concentración intrínseca es
= 2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x 10 19m -3.
Resp.
1.80 x IO IS m-3
ni
6.29.
6.30.
Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo n para el que
n i = 1.5 x 10 16m-J.
Resp.
4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J
ti
=10.0 S/m, Jl. = 0.13 m 2/Y· s y
Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8 x IOJ
y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo.
Resp.
1.23 x 1029
k g /m !
6.31.
Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si t i =58 MS/m y J.I =3.2 X 10-3
m 2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 x 103
kg/ m J. R e s p . 1.13 x 1029, 1.33
6.32.
Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltaje
de 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad
de corrimiento de los electrones de conducción.
Resp.
21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s.
6.33.
Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A.
Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de
conducción.
Resp.
1.12 x 10-2 Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57 x lO-s m ] » .
6.34.
Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG # z o es 32 mils.
Resp.
5.8 x 107 Sl t» .
6.35.
Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-3 O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Qué
conductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils.
Resp.
1.00 x 107 Sl m .
6.36.
¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetro
del AWG # 32 es 8.0 mils.
Resp,
17.9 MS/m.
6.37.
Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de
32 mm y paredes de 6 mm de espesor. R e s p . 53.4JtO/m.
6.38.
Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado (a) entre bordes
opuestos en la misma cara (b) entre las dos caras del cuadrado.
Resp.
(a ) 1.03 m n ; ( b ) 2.66 pn
6.39.
Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG#
4/0 tiene un diámetro de 460 mils. R e s p . 4.91 mn, 7.46 mO
6.40.
Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo'con una sección transversal circular y un radio
de 1 mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo.
Resp.
2.20 mn
6.41.
Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1 m de largo con una sección transversal cuadrada de 1 mm
de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en el otro extremo.
Resp.
5.75 mn
CAP. 6]
6.42.
CORRIENTE,
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
79
Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la
misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A hasta kA sobre (.
Resp.
~
( In k )
oA
k- l
6.43.
Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12 cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12
tiene un diámetro de 81 mils. R e s p . 9.09 x 106 A/m 2 .
6.44.
Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con r de
acuerdo afedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
J ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
= 1 0 3 1 r (Al m 2).
Resp.
4 1t A.
6.45.
En coordenadas cilíndricas, J = lOe-100'a~ (A/m 2 ) para la región 0.01 ~ r ~ 0.02m,0<
la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano q, = constante.
Resp.
2.33 x 10- 2 A
6.46.
Dada la densidad de corriente
en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica
Resp.
1.38 x 104 A
e
=
1 t,/4 ,
z ~
1 m. Halle
0.001 ~ r ~ 0.080 m.
6.47.
Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a los
ejes coordenados si J = 2x2alO + 2 xy 3 a y + 2 xya . (A/m 2 ).
Resp.
3.0 A
6.48.
Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja
por el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m,
yen e = 1 t/2 entra a una hoja plana. Escriba las expresiones
para las densidades laminares de corriente K en la concha esférica y en el plano.
Resp.
265
sen
Ilg
(A/m ),
7.96 a.
(A/m )
r
é
Fig. 6-19
6.49.
Una corriente de filamento de I(A ) baja por el eje zhasta z = 5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~ q, ~ 1 t/4
de una concha esférica de radio 5 x. 10-2 m. Halle K para esta corriente laminar.
Resp.
801
- - Ilg
1tsene
(A/m )
6.50.
Una corriente laminar de densidad K = 20 a, Al m yace en el plano x = OYhay una densidad de corriente J =
lüa , Al m? en el espacio. (o) Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculo de radio 0.5 m centrado
en el origen en el plano z = O. (b) Halle la corriente que cruza el cuadrado Ix l ~ 0.25 m, Iy l ~ 0.25 m, z = O.
Resp.
(o) 27.9 A; (b) 12.5 A
6.51.
Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de
10 A en la dirección x positiva. Exprese K.
Resp.
l67ax A/m
6.52.
Un conductor sólido tiene una superficie descrita por x + y = 3 m y se extiende hasta el origen. En la superficie
la intensidad del campo eléctrico es 0.35 V [m . Exprese ES D en la superficie y halle P .'
Resp.
± 0.247 (alO + ay) V/m , ±2.19 x 1O-12(alO + ay) C fm . 2 , ± 3.10 x 1O-12Cfm 2•
6.53.
Un conductor que se extiende dentro de la región z < O tiene una cara en el plano t
densidad superficial de carga
=
O en el que hay una
80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CORRIENTE. DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
en coordenadas
cilíndricas.
Resp.
9.45 a, V/m.
6.54.
Un conductor
Po
Halle la intensidad
esférico centrado
del campo
eléctrico
en (0.15 m,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON
n /3 ,0 ).
en el origenZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y de radio 3 mm tiene una densidad
superficial
cos 2 O . Halle E en la superficie.
Resp.
Po
[CAP. 6
de carga
fedcbaZ
P. =
cos? O Sr
(o
6.55.
La intensidad del campo eléctrico sobre un punto de un conductor está dada por E= 0.2 a, - 0.3 ay -0.2 a.
± 3.65 pC¡ m 2
V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de carga en el punto?
Resp.
Un conductor esférico centrado en el origen tiene una intensidad de campo eléctrico en su superficie E = 0.53
(sen? 4> ) a, V/m, en coordenadas esféricas. ¿Cuál es la densidad de carga donde la esfera se encuentre con el
eje y?
Resp.
4.69 pC/ m - ,
Capítulo 7
Capacitancia y materiales dieléctricoszyxwvutsrqponmlkjihgfed
7.1
POLARIZACION
P y PERMITIVIDAD
RELATIVA
1:,
Los materiales dieléctricos se gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p o la r iza n
en un campo eléctrico, produciéndose
una densidad de flujo
eléctrico D mayor de la que se tendría bajo condiciones de espacio libre, con la misma intensidad de campo.
U na teoría simplificada, pero satisfactoria, de la polarización, puede obtenerse considerando un átomo del
material dieléctrico como dos regiones de carga positiva y negativa superpuestas, como se muestra en la
figura 7 -1 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( a ) . Cuando
se aplica un campo E, la región de carga positiva se mueve en la dirección del campo
aplicado, mientras que la región de carga negativa lo hace en la dirección opuesta. Este desplazamiento puede
ser representado
por un m o m e n to e lé c tr ic o d ip o la r , p ""' Qd, como se muestra en la figura 7 -1 ( c ) .
En la mayoría de los materiales, las
regiones de carga regresan a sus posiciones
originales superpuestas
cuando el campo
/
d
ZYXWVUTSRQPONM
aplicado es removido. Al igual que en un
:
~ +
GQ
,
resorte, que cumple la ley de Hooke, el
/--0
\
\
trabajo ejecutado durante la distorsión es
recuperable cuando se permite al sistema
(o)
regresar a su posición original. Durante
esta distorsión se lleva a cabo un almacenamiento de energía en la misma forma que
con el resorte.
Una región 6.. v de un dieléctrico polarizado contiene
define como el momento dipolar por unidad de volumen:
P
'- -
• E
(b)
N
lím -
(e )
momentos
dipolares
p. La polarización
P se
(e/m2)
6 ..v
tiv ~ O
• E
Fig. 7-1
Np
=
G----
/
Esto hace suponer una distribución continua y uniforme de momentos eléctricos dipolares en todo el
volumen, lo que, por supuesto, no se produce. Sin embargo, en una visión macroscópica, la polarización P
puede dar cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según la ecuación
D=l:oE+P
Esta ecuación permite a E y P tener direcciones diferentes, como sucede en ciertos dieléctricos cristalinos. En un material isotrópico y lineal, E y P son paralelos en cada punto, lo que se expresa por
P =
donde la
donde 1:,
s u s c e p tib ilid a d
e lé c tr ic a
Xel:o E
(material
Xe es una constante
adimensional.
Entonces,
(material
isotrópico)
== 1 + Xe es también un número puro. Dado que D
por lo que e , se denomina
p e r m itiv id a d
r e la tiva
(compárese
81
isotrópico)
1: E (sección 3.4),
con la sección 2.1).
82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS
[CAP. 7
7.2
D Y E DE VOLTAJE CONSTANTE
V constante, como el que
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas y voltaje gfedcbaZYXWVUTSRQPONM
se muestra en la figura 7-2, tiene una intensidad de campo eléctrico E constante. Despreciando el efecto de
bordes,WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V
EOV
D=EoE=--a
E=-a
d
d
"
Ahora, cuando un dieléctrico con permitividad
E,
"
llena el espacio entre las dos placas, entonces
D = EoE + P = EoE + Eol e E
y las ecuaciones son:
V
E=-;¡a"
(como en el espacio libre)
D = EoE,E
Como D ; = P . = Q / A , la carga y la densidad de carga aumentan por el factor Er respecto de sus
valores en el espacio vacío. Este aumento de carga es suministrado por la fuente de voltaje V .
I
Fig. 7-2
7.3
D Y E DE CARGA CONSTANTE
El condensador de placas paralelas de la figura 7-3 tiene una carga + Q ~n la placa superior y - Q en la
placa inferior. Esta carga puede haber resultado de la conexión de una fuente de voltaje V que fue posteriormente removida. Con espacio vacío entre las placas y despreciando efecto de bordes, se tiene:
D" = Ps = ~
E
= ti =
Eo
a
EO"
Ps
En este arreglo no hay forma de que la carga aumente o disminuya, puesto que no hay una trayectoria conductora
hacia las placas. Ahora, cuando se supone que un material
dieléctrico llena el espacio entre las placas, las ecuaciones
son:
D " = P s= ~
E=~
-Q
Fig. 7-3
(como en el espacio vacío)
EoEr
Siendo Q y P . constantes, D debe ser igual que bajo condiciones de espacio vacío, mientras que la magnitud de E disminuye por el factor l/E r ' La disminución en Eo E es compensada por la polarización P en la
relación D = E o E + P. Mas generalmente, en un medio homogéneo de permitividad relativa E r' la fuerza
de Coulomb entre cargas se reduce a 1/ e , respecto de su valor en el espacio vacío:
C A P A C IT A N C IA
CAP. 7]
7.4
CONDICIONES
LIMITES
DE DOS CAPACITANCIAS
y M A T E R IA L E S
O IE L E C T R IC O S
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ
83
EN LA ENTRECARA
DIELECTRICAS
Si el conductor de las figuras 6-11 y 6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el
mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites:
(1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
L a c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e E es continua a través de una entrecara
de dieléctricos.
En símbolos,
y
(2 )
L a c o m p o n e n te
n o r m a l d e D tie n e u n a d is c o n tin u id a d d e m a g n itu d
d ie lé c tr ic o s . Si se escoge el vector unidad
normal apuntando
puede ser escrita de la siguiente manera:
condición
f
y
rl
Enl
-
Ip .1
a tr a vé s d e u n a e n tr e c a r a d e
hacia el dieléctrico
f
r
2
E n2
2, entonces
= __P .
fo
Generalmente,
la entrecara
no posee cargas libres
(P s
=
O), por lo que:
y
EJEMPLO 1: Dado El = 2ax - 3ay + Saz V/m en la entrecara de los
O 2,
dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle D 2 y los ángulos 0 1 y WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
La entrecara es un plano z = constante. Las componentes x y y son tangenciales y las componentes
z son normales.
Por continuidad
de la componente
tangencial de E y la componente
normal de D :
E¡
=
2a x
-
3a y +
E2
=
2ax
-
3ay +
=
DI
(o(.¡E¡
D2 =
Las componentes
=
4(oa x
D
desconocidas
x2
6100
ay + lOtoa.
D
ay + 10100 a.
-
a, +
Sa,
a
E%2 %
y2
se hallan a partir de la relación
D2 =
10 0
Fig. 7-4
('2 E 2 .
de lo que se deduce
Los ángulos
Una relación
que se forman con el plano de la entrecara
E¡ • a,
=
IE¡I cos (90° - O ¡ )
5
=
fosenO¡
01
=
54.2°
útil puede obtenerse
se hallan fácilmente
E2 '
a,
=
IE 2 1 cos(90°,-
2
=
fosen02
29.0°
O2 =
de
tan
E% ¡
é¡ = ----0=
Dzdéo
= -,=
J E ~ I + E;¡
En vista de las relaciones
a partir
de continuidad,
JE~¡
+
lO.!
E;!
la división de estas dos ecuaciones da
tan O ¡
(.2
tan
(.1
O2
de
92)
esta
CAPACITANCIA
84
7.5
y MATERIALES
DIELECTRICOS
[CAP.
7
CAPACITANCIA
Dos cuerpos conductores cualesquiera, separados por el espacio ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
v a c ío o por un material dieléctrico
tienen gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
c a p a c ita n c ia
entre ellos. Si se aplica una diferencia de voltaje se produce una carga + Q sobre un
Q sobre el otro. La relación entre el valor absoluto de la carg~. y el valor absoluto de la
conductor y -WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
diferencia de voltaje se define como la capacitancia del sistema:
e=
~
(F )
donde 1 faradio (F) = l c ¡ V.
La capacitancia depende sólo de la geometría del
sistema y de las propiedades del o de los dieléctricos
involucrados. En la figura 7-5, la carga + Q colocada
sobre el conductor l y - Q sobre el conductor 2 crea un
campo de flujo como el que se muestra en la figura. Por
consiguiente se establecen los campos D y E. Si se
doblaran las cargas se doblarían simplemente D y E, Y
por consiguiente, se doblaría la diferencia de voltaje.
Entonces, la relación Q / V permanecería fija.
EJEMPLO
2: . Halle la capacitancia
Con +
Q
en la placa superior
D .
y -
de las placas paralelas
Q en la inferior,
Fig. 7-S
de la figura 7-6, despreciando
el efecto de bordes.
= o, = ~
z
Como
D
es uniforme
entre las placas,
t
d
El voltaje de la placa en z
es
d
V =
=
d
con respecto a la placa inferior
Q
- f o -(o- e , A
y
T
Qd
(-a % )'
dz n, = --
x
fO e , A
Fig. 7-6
así
Obsérvese
que el resultado
no depende de la forma de la placa.
(
7.6
CONDENSADORl<:S DE VARIOS DIELECTRICOS
Cuando.dos dieléctricos se presentan con la entrecara paralela a E y D, como en la figura 7-7 (a),la capacitancia puede encontrarse tratando el arreglo como dos condensadores paralelos:
-= -v
d
(b )
(a )
Fig. 7-7
CAP. 7]
CAPACITANCIA
y MATERIALES
DIELECTRICOS
85
[ver problema WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
7 .8 (a )].
Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos
colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la s u m a d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s .
Cuando la entrecara dieléctrica es normal a D ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y E, como en la figura 7 - 7 ( b ) , la capacitancia puede
hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie:
1
1
1
<,
el
e2
-= -+ -
[ver problema 7 .8 ( b )].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados:
e l r e c íp r o -
c o d e la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la s u m a d e lo s r e c íp r o c o s d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s .
7.7
ENERGIA ALMACENADA
EN UN CONDENSADOR
Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así:
E dv
W E = ~ fD '
donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes.
Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa e , , entonces
D
=
(o
E
+
P
=
(o
e, E
y así
Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía
almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P = 0, e , = 1), bien sea a través del término P • E o a
través del factor f r > I
En términos de capacitancia,
y
aquí, el efecto del dieléctrico se refleja en
e,
que es directamente proporcional a
fr·
Problemas resueltos
7.1.
Halle la polarización P en un material dieléctrico con
fr
=
2.8 si D
=
3.0 x 10- 7a C/m 2.
Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico,
P
Como D = {o i r E
Y
Xe
=
ir
-
x.leE
1,
P =
7.2.
=
i
(
~
-
1)
D = 1.93
X
1O-7a C/m 2
Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5
2.3 x 1O-7a C f m 2 •
Si suponemos que P
y
E tienen la misma dirección,
y
P=
y MATERIALES
DIELECTRICOS
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
86zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
7.3.
[CAP.
Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde e , = 5.2 interactúan con una fuerza de 8.6
1 0 - 3 N . ¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacío?
7
x
La ley de Coulomb, F = Q ¡ Q 2 /(4 1 t(o e, d 2 ), establece que la fuerza es inversamente proporcional ~ f,. En el
espacio libre la fuerza tendrá su máximo valor.
F
7.4.
= (,(8.6
10- 3) = 4.47
x
x
10- 2 N
La región 1, definida por x < O, es espacio vacío, mientras la
región 2, x > O, es un material dieléctrico para el cual e , 2 =
2.4. Ver figura 7-8. Dado
DI =
3a x
halle E 2 y los ángulos
Las componentes
continuos.
4a y + óa,
-
x
(), y ( ) 2 '
x
son normales a la entrecara;WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D ; Y E , son
óa,
Fig. 7-8
De lo que se deduce que
Para encontrar los ángulos:
ID¡lcos(900-8¡)
D¡'a x=
Similarrnente, 8 2
7.5.
=
3
=
j6isen8¡
8¡
=
22.6°
9.83°.
En la región de espacio libre x < O, la intensidad de campo eléctrico es E, = 3a x + 5a y - 3a. V/m.
La región x > O es un dieléctrico para el que f.,2
3.6. Halle el ángulo (}2 que forma el campo del
dieléctrico con el plano x = O
El ángulo formado por El se halla a partir de
IE¡lcos(900-8¡)'
E¡'a x=
3
=
j43sen8¡
8¡
=
27.2°
Entonces, por la fórmula desarrollada en el ejemplo 1, sección 7.4,
I
tan 8 2 = -tan8¡
(rl
7.6.
Una entrecara dieléctrico-espacio
origen de la entrecaratiene
("
=
= 0.1428
"
vacío sigue la ecuación 3 x +
3.0 Y E, = Za , + 5a, V/m.
+ Z = 12 m. El lado queda al
Halle E 2
2y
.CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
87
La entrecara se indica en la figura 7-9 por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado
del espacio libre es:
a
=
3ax + 2ay + a%
fo
·
z
La proyección de El sobre a. es la componente normal de Ken
la entrecara.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
Entonces
Ent
11
l1 A
=
y"
E '1
a.
2.36 ax + 1.57 ay + 0.79 a,
=
x
14
= El - E.1 = -0.36ax
D.1 = fOf'lE.l
1
E.2 = - D.2
fo
=
=
-
1.57 ay + 4.21a%
Fil. 7-9
= E'2
fo(7·08ax + 4.71 ay + 2.37a%) = D.2
7.08 a, + 4.71 ay + 2.378%
y finalmente
7.7.
La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con
espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo constante E 2 dentro del bloque, demuestre que E3 = El.
Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras,
j.1
Por continuidad de WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D . a través de las dos entrecaras (no
hay cargas superficiales),
Fil. 7-10
y también
Por lo tanto,
7 .8 .
(a )
E) =
El
Demuestre que el condensador de la figura
e eq -
(b )
d
+
fo f,2
Demuestre que el condensador de la figura
1
-=
c.,
(o )
fOfrtAt
1
A2
d
f
-
-
7 -7 (b )
1
+
fO fr tA jd t
7 -7 (0 )
f
A jd
o r2
2
tiene una capacitancia
e
1
+
e2
tiene una capacitancia
1
1
et
e,
= -+ -
Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos,
y
D1
D2
--= --= -8
{o (,1
fO f,2
Donde 8. es la normal que baja hacia la placa superior. Como
dos secciones de la placa superior son:
V
d'
D . = P s'
las densidades de carga sobre las
88zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES
DIELECTRICOS
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
[CAP. 7
y la carga total es
De esta manera, la capacitancia del sistema, Ceq
(b)
=
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q I gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V , tiene la forma propuesta.
Sea + Q la carga sobre la placa superior. Entonces
Q
D = -a
A •
en cualquier punto situado entre las placas. Por lo tanto,
Las diferencias de voltaje a través de los dos dieléctricos son, entonces:
y
De
7.9.
aquí
se ve que 1/ Ceq
VI Q tiene la forma propuesta.
=
Halle la capacitancia de un condensador coaxial de longitud
radio a y el externo tiene un radio b . Ver figura 7-11.
L.
donde el conductor interno tiene un
Despreciando el efecto de bordes, la ley de Gauss establece que D o ; llr entre los conductores (ver
problema 6.24). En r = . a . D = P s • donde P s (supuesto positivo) es la densidad superficial de carga sobre el
conductor interno. Por consiguiente,
a
D = P s-
a,
r
y la diferencia de voltaje entre los conductores es
V~ =
-
f
a (P s--a
a)
b
r,
(o E, r
<dr
e ,«
«
= -In (o E,
La carga total enel conductor interno es Q
así
b
a
=
p s (2 n a L ),
y
Fig. 7-11
Q
2 n E o E, L
C = -=
,
I n(b la )
V
7.10.
En el condensador que aparece en la figura 7-12, la región entre las placas se llena con un dieléctrico
que tiene e , = 4.5. Halle la capacitancia.
Despreciando el efecto de bordes, el campo D entre las placas, en coordenadas cilíndricas, debe ser de la ,
forma D = D 4 > a 4 > ' donde D 4 > depende sólo de r. Entonces, si el voltaje de la placa tP = (X con respecto a la placa
cjJ = O es V o ,
De esta manera,
D
4> = .
-
Eo E,
" ó ír e x, y la densidad de carga sobre la placa cjJ
=
a es
y MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CAP. 7]
La carga total sobre la placa está dada
entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
rz i
h
.
Q
= fP sd S = f f
o
i
89
z
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V.
~drdz
ra
rl
Vo h
r,
-=--:........::-ln-
iO ir
a
rl
Por lo tanto
y
Cuando se substituyen
valores numéricos (con a convertido a radianes), se
obtiene C = 7.76 pF.
7.11.
En relación al problema 7.10, halle la
separación d que se produce con la
misma capacitancia
cuando las placas se arreglan en forma paralela con
el mismo dieléctrico en medio.
a
x
=
5° /
/
/
/
/
Fig. 7-12
Con las placas paralelas
iO ir A
C = --
d
así que
a (r 2 -
r¡)
lnh/r¡)
Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensador, mientras que el denominador
es ellogaritmo
de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del
problema 7.\0, arl = 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm.
7.12.
Halle la capacitancia
El potencial
de una concha esférica aislada de radio
de un conductor
de este tipo con referencia
a.
cero en el infinito .es (ver. problema
V= ~
4 1 [(0
C
Entonces
7.13.
a
Q
= - =
V
4 1 t(o a
Halle la capacitancia
entre dos
conchas esféricas de radio a separadas por una distancia d ~ a .
El resultado
del problema
7.12
para la capacitancia
de una concha
esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse
como aproximación.
En la figura 7-13
los dos condensadores
idénticos parecen estar en serie.
Fig. 7-13
1
1
I
-= -+ -
e,
C
C
C2
ClC2
=
e,
+ C2
=
21tio a
2.35):
90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS
7.14.
[CAP. 7
= 1.5
Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,ZYXWVUTSR
Y ('2 = 3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura
7.14. AquígfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
A = 2 m? y d = 10-3 m.
C = fo frlA I = (8.854 x 101
12
)(1.5)1 = 13.3 nF
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d
1 0 -3
De manera similar,
e,
A
d
T
= 31.0 nF. Entonces,
C=C I +C 2 =44.3nF
Fig. 7-14
7.1S.
Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos
pero tienen la entrecara paralela a las placas.
fo e ; A
fo e , A
T
CI =
=
--;¡¡¡-
ocupan cada uno la mitad del volumen·
10-12 )(1.5)2
10 3/2
= 53.1 nF
(8.854
x
=
De manera similar, C 2 = 124 nF. Entonces
C =
7.16.
C IC 2
= 37.2 nF
CI + C2
En el condensador cilíndrico que aparece en la figura
7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen.
Halle la capacitancia.
r
La entrecara dieléctrica es paralela a D y E, así que la
configuración puede tratarse como dos condensadores en
paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la
carga que contendría un cilindro completo, el resultado del
problema 7.9 da
n io
nfo fr2 L
+ In ( b / a )
fr lL
C = C I + C 2 = In ( b / a )
L
L
2nfo fr ava L
In ( b / a )
donde e , ava = t(irl + (r 2 )' Los dos dieléctricos se comportan
como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa
promedio.
7.17.
Halle el voltaje a través de cada dieléctrico
voltaje es 200 V.
Fig. 7-15
en el condensador
que aparece en la figura 7-16 cuando el
t;rnrn
=TIrnrn
5(1)
C I =-1O-3
=5000(0
iO
C 2 = 1000(0/3
y
Fig. 7-16
El campo
D
dentro del condensador se halla ahora a partir de
=
D
=
p
CV
A
s
n
g=
= (2.77
9
x
A
10- )(200) = 5.54
x
10-7 C/m2
1
Entonces
El = -(o
D
de lo que se deduce
VI =
D
4
= 1.25 x 10 V/m
irl
E ld l
= 12.5 V
E2
= - = 6.25
(o
X
10 4 V/m
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
7.18.
91
Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri= 2.0 Y fr2 = 5.0. El
cos de la figura 7-17, dondefrl
conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5
cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad.
La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un
cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo
IX ,
tendrá una capacitancia 1 X /2 1 T . veces la del condensador coaxial
completo. Del problema 7.9,
100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
(F )
V¡
+
V 2 = V,
se deduce que
Fig. 7-17
V¡
=
C2
V
=
C¡+ C2
V2
7.19.
=
(100)
=
74 V
(100)
=
26 V
1 .5 + 4 .2
C¡
C¡ + C2
4.2
V
=
1.5
1.5 + 4.2
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de
voltaje constante. Determine cómo cambian W D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Q . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico
de e = 2 entre las placas.
E
,
r
Relación
Explicación
C2
=
=
=
2C ¡
La fuente V permanece conectada
como E = V j d
W
=
1 S (o e , E d v
C
(o c r A/d
D2
=
2D ¡
D
(o
P s2
=
2ps¡
P.
D .
Q2
=
2Q ¡
Q
p.A
V2
E2
W2
V¡
=
E¡
2
2W¡
crE
En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen constantes.
7.20.
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a
una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian W E , D . E . C. Q . P . ' y V
cuando las placas se apartan a una distancia de separación d 2 = 2 d l sin perturbar la carga.
Relación
7.21.
Q2
=
P .2
=
P .¡
D2
=
D¡
E
= E¡
2
Q¡
Explicación
La carga total no cambia
Q/A
P.
D .
P .
E
W2
=
2W¡
W
C2
=
tC¡
C
V2
= 2 V¡
V
D jf.
o
t S (o E
=
f.o
2
dv,
Y el volumen dobla
A/d
Q /C
U n condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0 cm tiene 29 000 V cuando el espacio
vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm.
M uestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l . r = 6.5) con una resistencia
dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la
figura 7-18.
92
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS
El problema
resulta ser el de dos condensadores
[CAP. 7
en serie
Aire.
o
EO
1.0 cm
d
Vidrio. e ,
Fil. 7-18
Entonces,
como en el poblema
7.18,
Vi
3250
125 + 3250 (29000)
=
.
=
27926 V
y así
27933
El
lo cual excede la resistencia
7.22.
=
dieléctrica
V
0.80 cm
=
34907 V/cm
del aire.
Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radio WVUTSRQPONMLKJIHG
a = 2.5 cm y un
h = 6.0 de él.
plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distancia gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED
U na técnica útil en problemas de esta clase es el m é to d o
espejo del conductor en el
plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte
el negativo de la distribución
de carga del conductor real.
Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está
claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece
la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por
simetría tiene una superficie equipotencial
(sección 5.2)
donde existía el plano de tierra. Por consiguiente,
este
campo es el campo que queda en la región comprendida
entre el conductor real y el plano de tierra.
Aproximando
las distribuciones de carga real e imagen
a cargas lineales + P t Y - P t respectivamente, en el centro de
los conductores,
se obtiene (ver figura 7-19):
d e im á g e n e s . Tome "la imagen
potencial
en el radio
potencial
en el punto
El potencial
madamente
debido
a
a
P debido
+
Pt = -
a
(+27tEo
P t) In a
Fig. 7-19
a - P t = - ( - P t) In ( 2 h - a )
27tE o
debido a - P t n o es constante sobre r = a , la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxisi a ~ h . Con esta aproximación,
entonces, el potencial total del conductor real es
.
v
=
-
a
~lna
27tEo
+ ~
In(2h 27tEo
/
a) ~ -
~ ln a
27tEo
+
~ ln 2 h
27tEo
=
~ln
27tEo
2h
a
Similarmente,
el potencial del conductor imagen es - Va . Así pues, la diferencia de potencial entre los dos
conductores es 2 Va , de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es
deseada por unidad de longitud es, entonces,
t( 2 V .) = v.. La capacitancia
e
Q /L
Pt
Va
V.
L
Para los valores de
a
y h , C /L
=
9.0 p Fj
m,
27tEo
In ( 2 h /a )
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
La anterior expresión para gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C ] L no es exacta, pero da una buena aproximación
cuando
práctico). Una solución exacta da
a
~
h
93
(el caso
Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores
h ) es la mitad del valor encontrado
arriba (la misma
cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
. carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h .
e
7tio
L
In
(d
J ~ -:
+
7tio
4a
2
)
~
In
(d ja )
Problemas suplementarios
7.23.
Halle la magnitud de D en un material
Resp.
4.96 X 10-7 c ¡ m 2
7.24.
Halle las magnitudes de D, P Y i r para un material
Resp.
6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25
7.25.
En un material dieléctrico con
Resp.
8.94 kV/m, 206 nC/m 2 ,
7.26.
Dado E
ir
=
=
3a x + 4a, - 2a,
-
6.5.
-3a x
Resp.
ir
=
die\éctrico
3.6, D
=
para el cual
dieléctrico
285 nC/m 2 •
=
le
1.6 Y
en el cual
E
3.05
=
P
X
10-7
0.15 MV/m
=
Halle las magnitudes
C jm
y
le
2
•
=
4.25.
de E, P Y X •.
2.6
V/m en la región z < O, donde e,
=
2.0. Halle E en la región z > O, para el cual
4
+ 4a, - -a.
6.5
Vjm
7.27.
Dado que D = 2a x - 4a, + 1.5 a. C jm 2
en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O,
2
que es un dieléctrico con i r = 5.0.
Resp.
1.6a x - 16a, + 6a.
C jm
7.28.
La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a.
Y la región 3, z > 1 m, tiene i r = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) .
Resp.
-
1(
5a y + -
iO
7.29.'
7))
a.
2 .5
(V jm ,
7.5 ay + 4.2 a.
C jm ,
2
C fm
2 5 .0 2
El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z
(4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y i r ! = 4.3, mientras en el otro lado, 4 2
Resp.
1.45 X 10 4 ,3.37 X 10\ 5.37 x 10-7 ,83.06
2
•
La región 2, O < z ~ 1 m, tiene
ir
=
2.5.
o
=
=
5. En el lado que incluye el origen,
1.80. Halle
E l'
E 2•
D2 Y
DI
(J 2 '
0
7.30.
Una entrecara
DI
=
dieléctrica
a, + 3a, + 2a,
está descrita por 4 y + 3 z
J J C /m 2 . En el otro lado,
=
ir2
12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con
= 3.6. Halle D 2 y (J 2 '
Resp.
5 .l4 1 lC /m 2 ,4 4 .4 °
7.31.
Halle la capacitancia de un condensador
ración 4.5 mm.
Resp.
5.43 n F
de placas paralelas con un dleléctrico
de
7.32.
Un condensador
de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué
separación se requeriría para obtener la misma capacitancia
con espacio vacío entre las placas?
Resp.
1.67 mm
ir
=
3.0, área 0.92 m? y sepa-
-CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y MATERIALES D1ELECTRICOS
[CAP. 7
94
7.33.
7.34.
7.35.
Halle la capacitancia
entre las superficies curvas interna y
externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie
el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Resp.
6.86 p F
Halle
la capacitancia
por unidad
de longitud
entre
un con-
ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro
paralelo a 28 pies del eje del conductor.
Resp.
8.99 p F / m (fíjese en las unidades)
y un plano
Duplique el diámetro del conductor del problema
la capacitancia
por unidad de longitud.
Resp.
10.1 p Fj m
7-34 y halle
Fig. 7-20
7.36.
Halle la capacitancia
cm y una separación
por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5
entre sus centros de 85 cm.
Resp.
6.92 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p F jm
7.37.
Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m 2 y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras
normales a E y D, como sigue: frl = 3.0, d , = 1.0 mm; fr2 = 4.0, d 2 = 2.0 mm; 43 = 6.0, d ) = 2.5 mm.
Encuentre la capacitancia.
Resp.
2.12 nF
7.38.
Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador
del problema 7.37, halle la diferencia
gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico.
Resp.
267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, \33 kVjm
7.39.
Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno
de 0.5 mm si el dieléctrico tiene e , = 5.2.
Resp.
\39 p F j m
7.40.
Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blindaje cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene e , = 2.70.
Resp.
\37 p F j m
y el
¡o
€r=5.5
7.41.
de potencial
El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor interno de
radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la
capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que
aparecen.
Resp.
45.9 p Fj m
Fig. 7-21
7.42.
Un condensador
de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo
momentáneamente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de e , = 2.0
llenando totalmente el espacio. Compare los valores de W p D , E , P . , Q . Vy Cantes y después de la inserción del
dieléctrico.
Resp.
p a r c ia l
V 2 = tV I
7.43.
A un condensador
de placas paralelas
gía almacenada
permanece fija: W 2
Resp.
p a r c ia l.
P .2 = .j3 P.I
se le cambia el dieléctrico de f rl
Examine los cambios. en
= W¡.
=
V,
2.0 a
C, D ,
C
r2
=
E, Q
6.0. Se nota que la enery P . , si hay alguno.
7.44.
Un condensador
de placas paralelas con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de
voltaje constante mientras las placas son acercadas la una a la otra, desde una separación d hasta ! d . Examine
los cambios que se producen en Q , P . ' C. D , E Y W E •
Resp.
p a r c ia l.
D 2 = 2D ¡
7.45.
U n condensador
de placas paralelas con espacio libre entre las 'placas permanece conectado a una fuente de
voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta 2 d . Exprese los cambios que se producen en D .
E, Q, P . ' C y Wc
Resp.
p a r c ia l.
D2
= t D¡
7.46.
U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación d . Sin perturbar la carga
Q , las placas se acercan, hasta d l / , con un dieléctrico de e , = 3, que llena completamente
el espacio entre las
Resp.
p a r c ia l.
V2 == i V I
placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en D , E , V , C y W E '
CAP. 7]
CAPACITANCIA
y MATERIALES
DIELECTRICOS
95
7.47.
U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este
espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE
i r = 5.4 llena 20% de la distancia
entre las placas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso.
Resp.
0 .8 4
7.48.
Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno
Hay dos aislantes; el primero tiene i r ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0
Y está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm,
que el segundo tiene i r 2 = 3.0 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante.
7.49.
Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual i r = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m .
¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor
interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm?
Resp.
0.376 MV
7.50.
Para el condensador
coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, i r ! = 2.50, i r 2 = 4.0. Halle E l' E 2 • D I Y
(V/m)
D 2 si la diferencia de voltaje es 50 V.
R e s p . p a r c ia l.
E 2 = ±(36.1/r)sr
7.51.
En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto
del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es
espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0.
Halle el voltaje a través de cada región.
Resp.
91.8 V, 8.2 V
7.52.
Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del
problema 7.51.
Resp.
59.9 n J /m , 5.30 n J /m
con respecto al blindaje cilíndrico.
cm del conductor interno, mientras
dentro de la superficie interna del
Resp.
0.645 MV WVUTSRQPONMLKJIHGFED
1 m , 1.03 MV 1 m
e , = 2.0
Fig. 7-22