סיכום קורס פיזיקה של התקני מל“מ
שנת תשפ“א 2021­2020
סיכום מאת נדב עם­שלום.
הרצאות של פרופ’ אוריאל לוי
תוכן העניינים
I
הרצאות שבוע 1פיזיקה של התקני מל“מ
7
1
רקע
7
2
מבנה גבישי
7
2.1
מבנים פשוטים ­ דוגאמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.1
מבנה קובי
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
מבנה קובי ­ ) BCCממורכז גוף( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.3
מבנה קובי ­ ) F CCממורכז פאה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.4
מבנה יהלום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
כיצד מייצרים גבישים?
8
4
מבנה פסים בחומר
9
II
5
הרצאות שבוע 2פיזיקה של התקני מל“מ
פסי אנרגיה
5.1
12
12
פסי אנרגיה בסיליקון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6
מודל קרוניג פני )(Kronig­Penney
14
7
פתרון משוואת שרדינגר
14
7.1
משפט בלוך . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
פתרונות למשוואה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
עבור חלקיק חופשי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
עבור חלקיק לא חופשי )קשור לגביש( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
7.2.1
7.2.2
III
8
הרצאות שבוע 3פיזיקה של התקני מל“מ
מודל קרונינג פנינג
8.1
14
17
17
אזורי בירלואן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
9הולכה חשמלית
9.1רמות ופסי אנרגיה בגביש . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
9.2
זרם סחיפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
9.3
מסה אפקטיבית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
9.3.1
עבור אלקטרון חופשי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
9.3.2
אלקטרון בפס הולכה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
10חורים
10.1מתכת ,מבודד ומל“מ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
10.1.1מבודד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
11הרחבת מבנה הפסים לתלת מימד
IV
הרצאות שבוע 4פיזיקה של התקני מל“מ
25
25
26
12צפיפות המצבים
12.1פונקציית צפיפות המצבים הקוונטים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
12.1.1אלקטרונים חופשיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
12.1.2במולכים למחצה )אלקטרונים לא חופשיים( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
12.1.3תרגיל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
12.2פונקציית סיכוי לאכלוס מצב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
12.2.1מצב שבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T = 0
30
12.2.2מצב שבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T > 0
31
12.3אכלוס מצבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
13רמת פרמי EF
V
32
הרצאות שבוע 5פיזיקה של התקני מל“מ
14נשאי מטען במוליכים למחצה
33
14.1חישוב האלקטרונים בפס ההולכה
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
14.2חישוב מספר החורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
14.3חישוב רמת פרמי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
15מל“מ אקסטרינזי
36
15.1תוספת אלקטרון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doner
36
15.1.1רמות האנרגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
15.2תוספת חור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acceptor
36
15.3חישוב רדיוס הקשר ואנרגית הקשר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
15.3.1עבור n − type
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
15.3.2עבור p − type
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
15.4מל“מ מנוון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
16סטטיסטיקה של זיהומים
16.1ינון מלא/סימום ”קפוא“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
16.2דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
16.2.1דוגמא ­ טמפרטורת החדר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
16.2.2דוגמא ­ יינון קפוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
16.2.3מסקנות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
17חישוב ריכוז נושאי המטען
VI
32
הרצאות שבוע 6פיזיקה של התקני מל“מ
18מל“מ אקסטרינזי
41
41
41
18.1דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
18.2ריכוז האלקטרונים בפס ההולכה כתלות בטמפרטורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
19מיקום רמת פרמי במל“מ אקסטרינזי
43
19.1עבור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N − T ype
43
19.2עבור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P − T ype
43
19.3סיכום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
19.4מוביליות של נושאי מטען ומוליכות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
19.5סחיפה של נושאי מטען . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
19.5.1חישוב זרם סחיפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
19.5.2פיזור סריגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
19.5.3פיזור על­ידי סיגים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
19.5.4מודל של התנגשויות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הרצאות שבוע 7פיזיקה של התקני מל“מ
VII
20מודל למהירות סחיפה ממוצעת
46
46
46
20.1הנחות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
20.2פירוט המודל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
20.3מוביליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
20.4צפיפות זרם סחיפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
20.4.1מה ההבדל בין התנגדות להתנגדות סגולית? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
VIII
הרצאות שבוע 8פיזיקה של התקני מל“מ
51
21ריכוז אלקטרונים
51
22רוויה של מהירות הסחיפה
52
23דיפוזיה של נושאי מטען
53
23.1קשר בין מוביליות למקדם דיפוזיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
23.1.1שדה בחומר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
23.2דרך נוספת לקשר בין מוביליות למקדם דיפוזיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
23.3הוכחה :רמת פרמי קבועה בכל הדגם בש“מ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
23.1.2מציאת הקשר בין D, µ
24יציאה משיווי משקל
IX
24.1מל“מ אינטרינזי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
24.1.1בשיווי משקל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
24.1.2יציאה ממצב שיווי משקל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
הרצאות שבוע 9פיזיקה של התקני מל“מ
25יציאה משיווי משקל
60
60
25.1עבור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P − T ype
60
25.2עבור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N − T ype
61
25.3גנרציה קבועה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
26איפיון נושאי מטען בעודף
X
57
61
26.1משוואת הרציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
26.2משוואת הדיפוזיה התלויה בזמן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
26.3טרנספורט אמביפולרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
26.4בעיתייות המשוואה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
26.5רקומבינציה וגנרציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
הרצאות שבוע 10פיזיקה של התקני מל“מ
27המשוואה האמביפולארית
66
67
27.1דוגמא ­ דעיכה לאחר סיום הגנרציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
27.2דוגמא ­ 2גנרציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
27.3דוגמא ­ 3קומינציה ורקומבינציה משולבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
27.4דוגמא ­ 4שדה חיצוני )סחיפה ודיפוזיה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
70
28מדידת הפרמטרים החשמליים של המל“מ
28.1מדידת מוליכות או התנגדות סגולית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
28.1.1מדידה על ידי שני מגעים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
28.1.2מדידה בשיטה של 4מגעים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 − points
71
28.1.3שיטת 4המגעים המתקדמת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Van Der pauw 28.1.5
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.3שיטת הבחון החם . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
28.4ניסוי היינס שוקלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haynes Shockley
28.4.1אופן פעולת הניסוי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
28.4.2ניתוח מתמטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
28.1.4התנגדות יריעה Rs
28.2אפקט הול
29צומת P N
78
29.1מבנה צומת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P N
הרצאות שבוע 11פיזיקה של התקני מל“מ
XI
30צומת P N
78
78
79
30.1מחסום פוטנציאל פנימי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
30.2שדה חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
30.3פונטציאל חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
30.4צומת P Nתחת ממתח אחורי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
30.4.1קיבול הצומת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
30.4.2צומת חד צדדית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
30.5צומת P Nתחת ממתח קדמי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
30.5.1זרם חשמלי בצומת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P N
87
XII
הרצאות שבוע 21פיזיקה של התקני מל“מ
31ניתוח מתמטי של צומת P N
87
87
31.1ממתח קדמי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
31.3זרמים בצומת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P N
91
31.4דיודה באורך סופי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.5צומת קצר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
93
31.6צומת לא סימטרית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
31.2רמות פארמי קווזיות Quasi Fermi Level
32מנגנוני פריצה בדיודה
94
32.1ממתח אחורי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
32.1.1פריצת מנהור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T unneling
94
32.1.2פריצת מפולת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
XIII
הרצאות שבוע 13פיזיקה של התקני מל“מ
33פריצת מפולת
96
96
33.1תנאים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
33.2השדה הקריטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
33.3סיכום פריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
34דיודה מעשית
34.1זרמי גנרציה­רקומבינציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SRH (Shokley­Read­Hall) 34.2
98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reverse bias generation current 34.3
99
34.4זרמי רקומבינציה בממתח קדמי 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.5זרם כללי בממתח קדמי 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XIV
הרצאות שבוע 14פיזיקה של התקני מל“מ
103
35דיודה בממתח קדמי תחת הזרקה חזקה
103
36דיודה במעגל חשמלי
104
37מל“מ כגלאי אור
106
37.1גלאי פוטוקונדקטיב
106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.2אופן העבודה 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XV
תרגולים
107
חלק I
הרצאות שבוע 1פיזיקה של התקני מל“מ
1רקע
נחלק את ההתקנים ל 2קבוצות
.1התקנים אקטיביים ­ התקן שניתן לשלוט על זרימת האלקטרונים בו .בדר“כ 3הדקים או יותר .השליטה יכולה להיות חשמלית
אך לאו דווקא )התקנים אופטיים ותרמיים לדוגמא( .התקנים אקטיביים לדוגמא :טרנזיסטורים ,שפופרות ואקום וכו’..
.2התקנים פאסיביים ­ התקן שלא ניתן לשלוט על זרימת האלקטרונים בו .בדר“כ 2הדקים ,למשל :נגד ,קבל ,סליל ,דיודה.
את החלקים האקטיביים נחלק ל 4מקרים עיקריים:
.1שליטה על זרם בעזרת זרם.
.2שליטה על זרם בעזרת מתח.
.3שליטה על מתח בעזרת זרם.
.4שליטה על מתח בעזרת מתח.
מה זה מוליך למחצה?
מוליך למחצה הוא חומר שמורכב ממבודד ומחומר מוליך כך שהוא מוליך במקרים מסויימים ומבודד במקרים אחרים.
• מבודד ­ התנגדות סגולית גבוהה ]ρ > 106 [Ω · cm
• מוליך ­ התנגדות סגולית נמוכה ]ρ < 10−5 [Ω · cm
2
מבנה גבישי
במבנה חד­גבישי יש פסי אנרגיה מוגדרים היטב .התכונות החשמליות קשורות לעובדה שהאלקטרונים נעים בתוך החומר במבנה
מחזורי של אטומים או מולקולות .מבנה גבישי הוא מבנה מסודר ומחזורי .במבנה רב­גבישי נוצר ממספר רב של זרעים כך שהסדר
לא נשמר לזמן רב ובכך נוצר מצב של מעין פסיפס במל“͏מּ.
איור :1
נתחיל בחד מימד ,כל אטום נמצא במרחק קבוע מהאטום שלפניו ואחרי.
בדו­מימד יש כמה אפשרויות:
איור :2
בתלת­מימד יש 14אפשרויות שונות לסידור האטומים כך שהם יהיו מחזוריים והם קרויים שריגי בראבה )(Bravais lattice
2.1
מבנים פשוטים ­ דוגאמות
2.1.1
מבנה קובי
קוביה כאשר אטום יושב בכל אחד מהקודקודים .אבל כל אטום משותף ל 8תאי יחידה שונים ,ולכן גביש קובי מכיל אטום אחד בתא
יחידה) .כל אטום תורם
1
8
אטום(
איור :3
2.1.2
מבנה קובי ­ ) BCCממורכז גוף(
כמו קובייה בתוספת של אטום אחד באמצע הקובייה ,סה“כ מכיל 2אטומים בתא יחידה + 1 = 2
1
8
·8
איור :4
2.1.3
מבנה קובי ­ ) F CCממורכז פאה(
כמו קובייה רגילה אך עם תוספת של אטום בכל פאה ולכן הוא מכיל סה“כ 4אטומים בתא יחידה = 4
1
2
·+6
1
8
·8
איור :5
2.1.4
מבנה יהלום
מורכב מ F CC 2מוזזים אחד ביחס לשני ב 14מנקודת הייחוס
איור :6
3
כיצד מייצרים גבישים?
.1שיטת ייצור צורלסקי Czochralski
נתחיל עם פיסה קטנה של חד­גביש )כל האטומים נמצאים באוריינטציה זהה( ,זרע ­ seedשנמצא במגע עם אמבט של אותו
החומר ומחומם מעט מעל טמפרטורת הרתיחה ולכן הוא נוזלי כאשר ה seedהוא מוצק.
כאשר החומר הנוזלי בא במגע עם ה seedהמוצק ,החומר הנוזלי מתחיל להתמצק באותה אוריינטציה של ה.seed
האזור שהתמצק נמשך כלפי מעלה והתהליך חוזר על עצמו ,ההעלאה נעשית תוך כדי סיבוב המוט בשביל לקבל פיזור חום
וזיהומים יותר אחיד.
מהגליל הענק חותכים פרוסות של סיליקון ליצירת ,wafersכיום בקוטר של 30סנטימטר.
איור :7
.2שיטת גידול אפיטקסיאלית
מגדלים שכבה דקה של חד­גביש על מצע חד גבישי.
• הומואפיטקיסיאלי ­ גידול חומר על מצע מאותו חומר )מאותו הסוג(
• הטרואפיטקסיאלי ­ גידול של חומר מסוג ב’ על מצע של חומר מסוג א’
בדר“כ גידול על­ידי ­ CVD­Chemical vapor depositionהחומר הרצוי לגידול נמצא המצב צבירה של גז )מאודה(
ואז מתמצק על המצע.
איור :8
השיטה הזו יוצרת שכבה דקה עם תכונות מיוחדות.
.3איך מייצרים סיליקון בכלל?
סיליקון ) (Siהוא חומר נפוץ בטבע בתרכובת ) SiO2חול למשל( .הסיליקון עובר תהליך טיהור ומגיע לרמה של 99%של
טהירות .מתקבל לנו סיליקון מטלורגי ,זהו אחוז לא טוב מספיק )על כל 100אטומים יש לנו אטום לא רצוי( ולכן נדרשים
תהליכים נוספים .הסיליקון מטופל ביחד עם חומצה פלורית והופך להיות נוזל בהרכב כימי .הנוזל עובר תהליך טיהור נוסף עם
מימן והופך להיות .Si + Hclלבסוף אדי הסיליקון האלו משוקעים על מוטות דקים העשויים סיליקון .הסיליקון המשוקע
יוצר מוטות עבים של סיליקון רב גבישי )פוליסיליקון( .הגבישים האלו בעלי רמת זיהום אופיינית של 1 : 109אטומים
)זיהום אחד על כל מיליארד אטומים!(.
אפשר להגיע לרמה יותר נקייה בעזרת שיטה שנקראת ”טיהור אזורי“ .Zone refinment
.4שיטת טיהור אזורי
• ­ CLאחוז הזיהומים בחלק המותך.
• ­ CSאחוז הזיהומים בחלק המוצק.
• <1
CS
CL
= Kמקדם ההפרדה.
• נקבל כי אחוז הזיהומים נתון על­ידי הביטוי
h
i
kx
C (x) = C0 1 − (1 − k) e− L
כאשר Lהוא אורך המוט והנוסחא מתארת התפלגות זיהום.
4
מבנה פסים בחומר
בחומר )מערכת אטומית( יש לנו קוונטיזציה של רמות האנרגיה ,כתוצאה מהתיחום הקוונטי .כלומר יש רמות מותרות ורמות אסורות.
לדוגמא :אטום המימן:
איור :9
כאשר יש נוסחא לרמות האנרגיה ] [eV
−13.6
n2
= ) Enפתרון משוואת שרדינגר עבור אטום המימן(
פס אנרגיה כולל בתוכו שילוב של מספר רמות אנרגיה .עבור אטום בודד ,פונקציית הגל של מצב היסוד היא
e− a0
r
32
1
a0
1
√=
π
ψ100
איור :10
פונקציית ההסתברות למציאת אלקטרון במרחב לפי הרדיוס תהיה:
φ (r) ∝ r |ψ| dr ∝ re− a0
2r
2
איור :11
ז“א ככל שהרדיוס יגדל מעבר ל­ a0הסיכוי למצוא את האלקטרון ישאף ל.0
כעת נניח 2אטומים צמודים זה לזה ,נשרטט את פונקציות ההסתברות שלהן בצמוד:
איור :12
אפשר לראות שיש הסתברות שהאלקטרון מאטום אחד ימצא בתחום של אטום שני ,זה גורם לכך שיש לנו מערכת שמושפעות
מ 2אטומים ,בכך למעשה יש לנו מצב שבו כל רמת אנרגיה מתפצלת ל­ .2ניתן לתאר את המערכת עם פונקצית גל חדשה של 2
אלקטרונים:
איור :13
למצבים אלו קוראים בונדינג )חיבור של 2פונקציות הגל( ואנטי­בונדינג )החיסור של 2פונקציות הגל(
איור :14
איור :15
אם ניקח בחשבון אינטרקציה עם עוד אטומים )למשל במבנים תלת­מימדים( נקבל פיצולים רבים יותר של רמות אנרגיה:
איור :16
אפשר להתייחס להמון פיצולים קרובים כפס של רמות אנרגיה.
­ r0מרחק שיווי משקל בין האטומים.
נניח גביש עם 1019אטומים ולכל אטום נניח שיש אלקטרון אחד כאשר המרחק בין המקסימום למינימום של רמות האנרגיה
הוא ,1eVזה גורר למרווח אנרגיה אפסי של 10−19ולכן אפשר לבצע הנחה של פס.
חלק II
הרצאות שבוע 2פיזיקה של התקני מל“מ
5
פסי אנרגיה
ניזכר בכך שרמת אנרגיה מתפצלת כאשר יש השפעה מאטום אחר על האטום הבודד .זה קורה כאשר האטומים קרובים אחד לשני
איור :17
כאשר יש המון אטומים שמסודרים באותו אזור ,רמות האנרגיה מתפצלות המון פעמים כך שנוצר לנו פס אנרגיה עם מינימום
ומקסימום.
נניח גביש דמיוני ,שמכיל אלקטרונים עד רמה ) n = 3כל אלקטרון יכול להימצא באחת מ 3רמות(
נתחיל לקרב את האטומים ,האלקטרונים ברמה ,n = 3יותר מרוחקים מהמרכז ,ולכן הם ירגישו את ההפרעה ראשונים .ולכן
הפיצול יתחיל קודם כל ברמות הגבוהות:
איור :18
לאלקטרון יש רצף אנרגיות שהוא יכול לקבל ברמה ,n = 3רצף קטן יותר ברמה ,n = 2ורמה בדידה ב.n = 1
פסי אנרגיה בסיליקון
5.1
חלוקת האלקטרונים לרמות אנרגיה בסיליקון:
.1ברמה הראשונה n = 1יש 2אלקטרונים.
.2ברמה השנייה n = 2יש 8אלקטרונים.
.3וב n = 3ישנם 4אלקטרונים.
האלקטרונים שנמצאים ברמה 1+2נמצאים קרוב לגרעין ולא מסוגלים לבצע אינטרקציות ,אך ברמה n = 3ישנם 4אלקטרונים
שמסוגלים לבצע אינטראקציות.
לרמה 3יש 2אורביטלים ,S, Pכאשר רמה Sמוגדרת כבעלת אנרגיה קטנה יותר מאשר .Pבאורביטל Sיש 2מצבים לכל
אטום ,ובאורביטל Pיש 6מצבים לכל אטום.
סה“כ יש לנו 4אלקטרונים חופשיים כך שיש לנו 4Nאלקטרונים ,מתוכם 2Nימלאו את אורביטל ) 3Sרמה אנרגטית נמוכה
יותר תתאכלס קודם( ו 2Nיאכלסו את אורביטל ) 3Pמה שנותר(.
כעת נתחיל לקרב את האלקטרונים כך שיווצר לנו פיצול ברמות האנרגיה:
איור :19
אפשר לראות כי יש לנו טווח של אנרגיה שבו אין אלקטרונים שנקרא פער אנרגיה ,Energy Gapאלקטרונים יכולים ”לקפוץ“
מעליו ולהגיע לפס האנרגיה המותר הבא ,אך זה מתרחש רק בהשקעה של אנרגיה.
נזכיר כי המספרים הקוונטים הם ,n, l, mכאשר 0<l<n­1 n∈Rו­ ­l<m<lוכל מספר קוונטי נמצא במרחק שלם מהמספר
הקודם.
אנו מדברים רק על רמה :n = 3
• אורביטל 3Sמייצג ) n = 3, l = 0, m = 0יש רק מצב אחד כזה ,כל מצב מתקשר ל 2אלקטרונים ,אחד בספין אפ ואחד
בספין דאון(.
• אורביטל 3Pמייצג ) n = 3, l = 1, m = ±1, 0יש 3מצבים ) ,(m = 1, −1, 0ובכל אחד מהם 2אפשרויות ,אפ ודאון,
ולכן סה“כ 6מצבים(
ב T = 0האלקטרונים נמצאים כולם ברמה הנמוכה ורמה זו מלאה לחלוטין ,כך שכל המצבים ברמה הגבוהה )רמת ההולכה
(conduction bandריקים.
פער האנרגיה Egבין הקצה העליון של רמת הערכיות לבין הקצה התחתון של רמת ההולכה ,הוא הרוחב של הפס האסור.
מודל קרוניג פני )(Kronig­Penney
6
פוטנציאל של אטום בודד עם אלקטרון בודדV (r) ∝ − 1r :
איור :20
הפעם נצייר את הבעיה כאשר יש לנו מספר אטומים בעלי אלקטרון אחד כאשר עדין כל פוטנציאל נראה מהצורה V (r) ∝ − 1r
שרטוט של כל אטום בנפרד:
איור :21
נוכל לשים לב כי יש חפיפות ולכן נוכל לשרטט את הפוטנציאל באופן הבא:
איור :22
כעת נשנה את הפוטנציאל )נקרב אותו( כדי שנוכל להכניס אותה בצורה יותר נוחה למשוואת שרדינגר וכדי שהיא תהיה פתירה.
איור :23
נחפש לפתור את משוואת שרדינגר עבור אלקטרונים עם אנרגיה שמקיימת את התנאי ) E < V0תנאי שמשמעותו כי האלקטרון
קשור לגביש(
האלקטרונים נמצאים בבורות הפוטנציאל אך יש סיכוי שהם יוכלו לבצע מנהור ולעבור לבור פוטנציאל שונה.
פתרון משוואת שרדינגר
7
כדי לפתור את משוואת שרדינגר בפוטנציאל מחזורי נשתמש במשפט בלוך.
7.1
משפט בלוך
פונקצית גל בפוטנציאל מחזורי מהצורה הבאה ψ (x) = U (x) · ejkxכך ש­ ) U (xהיא מחזורית ,כלומר ) U (x) = U (x + T
בעלת מחזור .T
E
jkx −j ( h )t
e
,ψ (x, t) = ψ (x) ϕ (t) = U (x) eל kקוראים מספר הגל.
הפתרון הכללי נתון על ידי
אנו צריכים לפתור את משוואת שרדינגרת שאינה תלויה בזמן
∂ 2 ψ (x) 2m
+ 2 [E − V (x)] ψ (x) = 0
∂x2
h
נפתור ראשית באזור 1שבו ,V (x) = 0נציב את משפט בלוך
)dU1 (x
)d2 U1 (x
+ 2jk
− k 2 − α2 U1 (x) = 0
2
dx
dx
E
h2
α2 = 2m
כעת נפתור באזור 2שבו V (x) = V0ונקבל
)d2 U2 (x
)dU2 (x
+ 2jk
− k 2 − β 2 U2 (x) = 0
2
dx
dx
2mV0
2
h
[E − V0 ] = α2 −
2m
h2
= β2
אם E > V0נקבל מספר ממשי ,ואם E < V0נקבל מספר מרוכב.
7.2
פתרונות למשוואה
• אזור 1
U1 (x) = Aej(α−k)x + Be−j(α+k)x
• אזור 2
−j(β+k)x
∂ψ
∂x
נדרוש כעת רציפות של ψוגם של הנגזרת הראשונה
+ De
j(β−k)x
U2 (x) = Ce
)דרישה לרציפות תנע( ולכן גם )U (x
dU
ו dx
רציפים .נתבונן ב:x = 0
.1מהדרישה כי ) U1 (0) = U2 (0נקבל תנאי:
A+B−C −D =0
.2מהדרישה
dU2
dx |0
=
dU1
dx |0
נקבל כי
(α − k) A − (α + k) β − (β − k) C + (β + k) D = 0
.3ניזכר כי הפונקציה מחזורית ולכן נקבל תנאי נוסף
Aej(α−k)a + Be−j(α+k)a − Ce−j(β−k)b − Dej(β+k)b = 0
.4נוכל לדרוש מחזוריות גם בנגזרת
dU2
dx |x=b
=
dU1
dx |x=a
ולקבל תנאי אחרון
(α − k) Aej(α−k)a − (α + k) βe−j(α+k)a − (β − k) Ce−j(β−k)b + (β + k) Dej(β+k)b = 0
קיבלנו 4פונקציות הומוגניות עם 4נעלמים .הפתרון מתקבל על­ידי השוואת הדטרמיננטה ל­ 0והוא מהצורה הבאה
− α2 + β 2
))· sin (αa) sin (βb) + cos (αa) sin (βb) = cos (k (a + b
2αβ
המשוואה מקשרת בין מספר הגל kלבין האנרגיות ) E, Vמרכיבים את ,(α, βז“א עבור פוטנציאל נתון Vxנוכל למצוא קשר בין
kמספר הגל לאנרגיה .E
אמרנו מקודם כי אנו מעוניינים בתחום שבו ) E < V0התחום שבו האלקטרון קשור לגביש( שבו βמדומה .נוכל לרשום את
הפתרון כך שבמקום β = jγונקבל
γ 2 − α2
))· sin (αa) sinh (γb) + cos (αa) sinh (γb) = cos (k (a + b
2αγ
כעת נבצע מספר הנחות כדי לפתור בקלות את המשוואה הסתומה .נניח כי b → 0וכי ∞ → ,Vaאך נשמור את המכפלה
b · Vaסופית.
כעת נוכל להציב b = 0ונקבל
)mVa ba sin (αa
)+ cos (αa) = cos (kα
2
αa
h
נגדיר
mV0 ba
2
h
′
= Pונקבל
)sin (αa
)+ cosαa = cos (ka
αa
′
P
זוהי המשוואה שנצטרך לפתור.
7.2.1
עבור חלקיק חופשי
במצב שבו bVa = 0ז“א יש לנו אלקטרון חופשי )לא נמצא בפוטנציאל( נקבל כי
)cos (αa) = cos (ka
P′ = 0
⇒α = k
זה מצב שאין אנרגיה פוטנציאלית למערכת ,כך שכל האנרגיה היא קינטית .נשים לב כי
קינטית בלבד ולכן
mv
p
=
h
h
כעת מהפתרון נקבל כי = a
p
h
=
m2 v 2
2
s
=
h
1
mv 2
2
2mE
2
h
q
= αכעת Eהיא אנרגיה
s
2m
2
=α
h
= ,kז“א ,kמספר הגל ,הוא ביטוי כלשהו שקשור לתנע.
אנו יודעים כי
2
p2
k2 h
=E
=
2m
2m
כך שניתן לשרטט גרף שמקשר בין האנרגיה לבין מספר הגל באופן הבא:
איור :24
נשים לב כי האנרגיה פורפוציונית למספר הגל בקשר פרבולי.
7.2.2
עבור חלקיק לא חופשי )קשור לגביש(
הפעם ,bV0 ̸= 0ז“א שנתחשב בפוטנצאיל השריג .בצד שמאל של המשוואה במקרה הקודם היה לנו את הביטוי:
′
)sin (αa
)+ cosαa = P sinc (αa) + cos (αa
αa
f (αa) = P +
כאשר ) ,f (αa) = cos (kaכלומר אנו יודעים כי ) −1 < f (αa) < 1קוסינוס מוגבל( ,ז“א יש ערכי ,αלמעשה אנרגיה,
שלא נותנים פתרון לבעיה הזו ,כלומר יש לנו ערכי אנרגיה אסורים!
כעת נשרטט את הביטוי ) ,f (αaכשנחלק את השרטוט ל­) 2האיבר הראשון והאיבר השני של הפונקציה(
.1שרטוט של האיבר הראשון
איור :25
.2שרטוט של האיבר השני
איור :26
.3שרטוט של שניהם ביחד
איור :27
בשרטוט מסומן כבר האזור שבהם יש פתרון )בתוך הקווים ,בין (−1, 1
חלק III
הרצאות שבוע 3פיזיקה של התקני מל“מ
8
מודל קרונינג פנינג
נתפור את המשוואה שקיבלנו בפעם הקודמת
)sin (αa
)+ cos (αa) = cos (ka
αa
mV0 ba
2
h
נזכיר כי ­ αביטוי שמקושר לאנרגיה של החלקיק ­ a ,רוחב האזור שבו הפוטנציאל הוא .0
תתקיים אגף שמאל חייב להיות בין 1ל ,−1מכיוון ש) cos (kaחסום בערכים הללו.
שהמשוואה
כדי
כעת נסמן
mV0 ba
2
h
= ,P ′ונקבל את המשוואה:
)sin (αa
)+ cos (αa) = cos (ka
αa
אנו נתבונן במצב של kממשי ,נסתכל במצב שבו V0 = 0כך שנקבל
)cos (αa) = cos (ka
a=k
ונקבל מצב של חלקיק חופשי ,ואנרגיה כמתואר בגרף:
P′
איור :28
מקרה שבו V0 ̸= 0נקבל כי האגף הימני נראה כך:
איור :29
) ,f (αa) = P ′ sin(αaוסימנו את המקומות שבהם הפונקציה היא בתחום ].[−1, 1
כאשר )+ cos (αa
αa
האזור שלא בתחום הם אזורים ללא פתרון ,ז“א עבור ערכי αשגורמים לפונקציה להיות לא בתווך ] ,[−1, 1אין אנרגיות
שמקיימות את המשוואה ,מה שאומר שחלקיק לא יכול היות בעל ערך אנרגיה כזו שגורמת ל αכזה.
החלקיק יכול להיות בעל אנרגיות כאלו שגורמות לפונקציה להיות בתוך ].[−1, 1
זה מוביל אותנו למונח ,band gapיש לנו פסי אנרגיה שמותרים )מסומנים בשרטוט בכחול( ופסים אסורים )בלבן בשרטוט(
הפרמטר αמקושר לאנרגיה באופן הבא .α2 = 2m E2
h
עבור כל αaנוכל למצוא ערך kשמקיים את המשוואה ,בדומה נוכל למצוא עבור כל ערך kאת ערכי αaשיקיימו את המשוואה,
מכן נוכל לבנות גרף שמקשר בין kל Eשמקיימים את המשוואה:
איור :30
בגרף אפשר לראות קפיצות אנרגיה כך שנקבל גרף שממש ממחיש לנו את רמות האנרגיה האסורות ואת פסי האנרגיה.
אפשר לראות כי ככל שמתקדמים ב kפערי האנרגיה יותר קטנים ויותר דחוסים .זה נובע מהדעיכה של ה) sinc (αaמאיור ,2
ז“א יש פחות אזורי אנרגיה אסורים) .בגבול האנרגיות הגבוהות זה כבר לא מורגש(
8.1
אזורי בירלואן
לאזורים המותרים קוראים אזורי בירלואן.
יש דרך מסודרת להעתיק את כל אזורי בירלואן כך שכולם יופיעו באותו גרף:
איור :31
הולכה חשמלית
9
9.1
רמות ופסי אנרגיה בגביש
נשרטט את הקשרים הכימיים של אטומים הסיליקון בגביש
איור :32
.1בT = 0
• כל 4Nהאלקטרונים נמצאים בפס הערכיות )הרמה הכי גבוה שלא מוליכה(.
• בפס ההולכה יש 0אלקטרונים ­ ריק מאלקטרונים ,אין הולכה חשמלית.
.2כעת כשמחממים את הגביש ,T > 0ישנם אלקטרונים בפס הערכיות שמקבלים אנרגיה תרמית ברמה שמספיקה להם לשבור
את הקשר הקוולנטי ולעלות לפס ההולכה.
איור :33
בסה“כ יש לנו מטען חיובי בגודל של אלקטרון אחד בפס הערכיות ,ומטען שלילי בפס ההולכה בגודל של יחידת אלקטרון אחת.
ככל שנחמם יותר ההסתברות של אלקטרונים לעלות רמה ,נהיית גדולה יותר ,ז“א יותר אלקטרונים שעולים לפס ההולכה ,מה
שיגרור למטען חיובי גדול יותר בפס הערכיות ומטען שלילי יותר בפס ההולכה.
נשרטט כעת את הדיאגרמה של ) E (kבדגש על רמת הערכיות ופס ההולכה ,פעם ב T = 0ופעם ב:T > 0
איור :34
• בגרף ) (aרואים כי ב T = 0יש לנו מצבים ריקים בפס ההולכה ,ואין לנו מצבים ריקים ברמת הערכיות.
• בגרף ) (bרואים כי ב T > 0יש לנו חלקים שמתחלפים ,כך שבפס ההולכה יש לנו מצבים תפוסים בעוד שברמת הערכיות
יש לנו מצבים ריקים.
כל עוד אנחנו במצב שלא מופעל כח חיצוני נניח כי הגרף סימטרי עבור kחיובי ושלילי.
kחיובי ושלילי מקושרים לתנע בגודל זהה בכיוון שלילי ,ולכן כל עוד לא נפעיל שדה נניח כי יש לנו סימטריה מבחינת תנועת
האלקטרונים בגביש ,כך שהממוצע של התזוזה היא .0
9.2
זרם סחיפה
כעת נפעיל מתח )כח חיצוני( נצפה לקבל זרם ,תזוזה של חלקיקים טעונים בכיוון מסוים.
זרם ­ תוצאה של תנועת מטענים שקולה ,כך שסך התנועה לא מתמצע ל­.0
לדוגמא :אוסף של יונים טעונים חיובית ,בעלי צפיפות נפחית N ) N cm−3יונים לסמ“ק( הנעים במהירות סחיפה ממוצעת
,vd cmאזי צפיפות הזרם תהיה:
s
A
cm2
Jd = qN vd
ז“א נצטרך לדעת 3גדלים כדי לחשב את הזרם בגביש :צפיפות נפחית של המטענים ,מהירות הסחיפה שלהם ,והמטען שלהם.
באופן שקול אפשר לרשום:
vi
N
X
Jd = q
i=1
כשנפעיל כח ,האלקטרונים ינועו ויעלו באנרגיה:
dE = F · dx = F · v · dt
כאשר Fהוא הכח המופעל dx ,המרחק הדיפרנציאלי שהחלקיק זז dE ,תוספת האנרגיה של החלקיק.
** נשים לב שמדובר כאן על מתח )כח( בגודל שלא משפיע על רמת הערכיות ,ורק גורם לאלקטרונים בפס ההולכה לנוע.
בהפעלת מתח נקבל מצב שבו הסימטריה של פס ההולכה נשברה ,ויש לנו כיוון מועדף באופן הבא:
איור :35
יותר אלקטרונים נעו כלפי הצד השמאלי )שלילי( של ציר ה ,kז“א השקול של התנועה לא אפס ,יותר אלקטרונים ינועו בכיוון
השלילי .כך שצפיפות הזרם תהיה:
vi
N
X
J = −e
i=1
מסה אפקטיבית
9.3
מה זה מסה? הקשר בין הכח החיצוני שנפעיל על גוף לבין התאוצה שלו לפי החוק השני של ניוטון.
אך אלקטרון בשריג הוא לא גוף חופשי ,יש גם כוחות פנימיים שמקורם במבנה הגביש )כוחות גרעיניים וכימיים( כוחות אלה
משפיעים על תנועת האלקטרון בגביש.
ולכן עבור אלקטרון בגביש ,Fext ̸= maאלא משוואה זו נכונה עבור הכח השקול
Ftot = Fext + Fint = ma
כדי לחשב את כל הכוחות הפנימיים בגביש נצטרך לבצע חישובים מורכבים וקשים ולכן נעדיף להימנע מהם.
במקום זה ,ננסה להגיע לביטוי של מסה אפקטיבית כך ש
Fext = m∗ a
כך ש ∗ mהיא מסה אפקטיבית שכוללת בתוכה את ההשפעה של הכוחות הפנימיים.
נרצה לקשר בין המסה האפקטיבית לפסי האנרגיה.
באופן כללי במל“מ נתעסק בפסי אנרגיה שכמעט ריקים מאלקטרונים )פס ההולכה( או שמלאים באלקטרונים כמעט באופן מלא
)רמת הערכיות(
9.3.1
עבור אלקטרון חופשי
עבור אלקטרון חופשי
2 2
h k
2m
= ,Eכך שנקבל גרף פרבולי של האנרגיה כתלות ב.k
כעת נגזור את האנרגיה לפי kונקבל
2
dE
h
h
=
k= p
dk
m
m
1 dE
p
⇒
=
=v
m
h dk
ז“א אפשר למצוא את מהירות האלקטרון מהאנרגיה שלו .נגזור כעת פעם נוספת
2
h
d2 E
=
dk 2
m
1 d2 E
1
2 dk 2 = m
h
⇒
ז“א הנגזרת השנייה של האנרגיה פורפוציונית הפוך למסת האלקטרון.
אם היינו מדברים על אלקטרון חופשי המסה הייתה גודל קבוע )בהזנחת אפקטים יחסותיים( ולכן הנגזרת השנייה של Eביחס
ל kהיא גם קבועה.
אנו נצא מנקודת הנחה כי המסה היא חיובית ,ולכן אנו מבינים כי הפרבולה של גרף ) E (kאכן בעלת מינימום ולא מקסימום.
• כעת נפעיל שדה חשמלי על האלקטרון החופשי:
F = ma
−eE = ma
−eE
m
=a
ז“א האלקטרון מואץ בכיוון הפוך מכיוון השדה החשמלי.
9.3.2
אלקטרון בפס הולכה
כעת נפעיל שדה חשמלי עבור אלקטרון שנמצא בתחתית פס ההולכה .
נסתכל על גרף פס ההולכה כתלות ב kעם קירוב של פרבולה
איור :36
מכיוון שפס ההולכה מאוכלס בצורה מזערית ,אנו יכולים להניח שהאלקטרונים נמצאים בתחתית פס ההולכה ,כך שהם נמצאים
תחת הקירוב הפרבולי ,אך נצטרך תיקון קטן לכך ,והתיקון ההוא יהיה המסה האפקטיבית.
למעשה המסה האפקטיבית היא התיקון לשיפוע הגרף של החלקיק החופשי לעומת פס ההולכה.
נכתוב את הביטוי של התיקון:
2
E (k) − Ec = C1 k
אנו יודעים כי האנרגיה ) E (kצריך להיות גדולה מ Ecולכן C1 > 0ונקבל כי
d2 E
= 2C1
dk 2
כך שנוכל לרשום
2C1
1
1 d2 E
= 2 dk 2
∗2 = m
h
h
2
h
2C1
= ∗m
ולכן גם המסה האפקטיבית חיובית m∗ > 0
המסה האפקטיבית היא תיאור של אלקטרון בפס ההולכה ,והיא גודל חיובי.
מה שמקשר לנו בין העולם הקוונטי של פסי האנרגיה והמשוואת הקוונטיות של האנרגיה והתנע היא המסה האפקטיבית.
התאוצה של אלקטרון בפס ההולכה יהיה
−eE
=a
m∗n
כך שהאלקטרון בפס ההולכה יואץ לפי המסה האפקטיבית ולא המסה הכוללת.
הסימון mnמסמל את העובדה שהיא מסה אפקטיבית עבור אלקטרון )(n for negetive
חורים
10
חור ­ כשאלקטרון עולה לפס ההולכה נוצר מצב ריק בפס הערכיות .למצב הזה יש מטען חיובי.
ב ,T > 0לאלקטרונים בפס הערכיות יש אנרגיה קינטית ,יכולים לעבור בין המצבים בפס הערכיות )יש מצבים פנויים כי
אלקטרונים עברו לפס ההולכה( ז“א הם יכולים לנוע ולתפוס את אחד המצבים שנשארו ריקים על­ידי האלקטרונים שעברו לרמת
ההולכה.
ולכן במקום להגיד שיש אלקטרון שנע למצב הריק ,אפשר להגיד שיש זרימה של החור לכיוון ההפוך מכיוון האלקטרון.
כך אפשר לדמיין שיש לנו בגביש סוג נוסף של נושאי מטען ,בעלי מטען חיובי ,שהם המצב הריק ,שיכולים לתרום לזרם.
נושא המטען הזה נקרא ”חור“ ,בעל מטען חשמלי חיובי כגודל מטען האלקטרון.
לחור נתייחס כחלקיק קלאסי ,שתנועתו מתוארת בעזרת משוואת ניוטון.
צפיפות הזרם:
צפיפות זרם סחיפה שנגרם מתנועת אלקטרונים בפס הערכיות
vi
X
J = −e
i
בצורה אקוויולנטית אפשר להגדיר את צפיפות הזרם באופן הבא
vi
X
vi + e
iholes
X
J = −e
itotal
ז“א צפיפות הזרם היא כל המצבים פחות מספר החורים שיש לנו.
מהי מהירות האלקטרון? מצאנו כבר
1 ∂E
= )v (E
h ∂k
עבור כל אלקטרון עם מהירות חיובית יש לנו חלקיק בעל מהירות שלילית )במצב שלא מופעל מתח חיצוני( ולכן הסכימה על כל
המצבים תתאפס.
ולכן צפיפות הזרם תהיה:
vi
X
J = 0 + e
iholes
ז“א הזרם מושפע לסוף רק מתנועת החורים.
לכן נוכל למעשה לתאר את המערכת עם הרבה מצבים שמאוכלסים על ידי אלקטרונים )טעונים שלילית( עם מספר מצבים
מועטים ריקים ,כמערכת שמאוכלסות במעט מצבים על ידי חלקיקים טעונים חיובית )חורים( והמון מצבים ריקים:
איור :37
גם עבור המערכת הזו נוכל לקרב את פס הערכיות לפרבולה ולהגיע לביטוי של מסה אפקטיבית:
E − Ev = −C2 k 2
כך שהפעם בחרנו לכתוב −C2כי הפרבולה קעורה .מכאן נקבל
2
d2 E
h
∗ = = −2C2
dk 2
m
נשים לב כי המסה האפקטיבית הזו היא המסה האפקטיבית של אלקטרון בפס הערכיות ולא של חור מאחר ופס הערכיות מתאר
אנרגיה של אלקטרון.
המסה האפקטיבית במקרה זה היא שלילית )פס האנרגיה קעור( ,נוכל לראות כי
−eE
eE
=
∗
| − |m
| ∗|m
=a
ז“א אלקטרון בפס הערכיות ינוע עם כיוון השדה.
נחליף את האלקטרון בחלק העליון של פס הערכיות בחלקיק הנקרא חור בעל מסה ומטען חיוביים.
10.1
מתכת ,מבודד ומל“מ
10.1.1
מבודד
במבודד כמעט כל נושאי המטען נמצאים בפס הערכיות ומטה ולכן אין אלקטרונים שיוליכו זרם .פער האנרגיה בין פס הערכיות לפס
ההולכה גדול יחסית ] Eg > 3.5 [eVולכן האלקטרונים לא מצליחים להגיע לפס ההולכה:
איור :38
מל“מ
פער האנרגיה קטן יותר ,מסדר גודל של ] .Eg = 1 [eVעדין יש הרבה אלקטרונים בפס הערכיות וקצת מצבים ריקים,
ועוד קצת אלקטרונים בפס ההולכה עם הרבה מצבים ריקים:
איור :39
יש הולכה אך לא כזאת גדולה .למשל בסיליקון צפיפות נושאי המטען בפס ההולכה בטמפרטורת החדר היא N ∼ 1010 cm−3
מתכת במתכת יש לנו 2אופציות:
.1פס הערכיות ופס ההלכה מופרדים אנרגטית )כמו שראינו במלמ ומבודד( פס הערכיות מלא כולו ,ופס ההולכה מלא באופן חלקי.
איור :40
במקרה זה ישר נוכל להוליך ,בגלל הימצאות האלקטרונים בפס ההולכה.
.2פס עליון ופס תחתון חופפים אנרגטית.
איור :41
האלקטרונים תמיד ינועו לפס שבו יש רמה אנרגטית נמוכה יותר ולכן האלקטרונים ינסו לתפוס מקום בפס התחתון ,כך שיש
לנו מצבים ריקים ועדין אפשר להוליך במתכת.
11
הרחבת מבנה הפסים לתלת מימד
עד כה ,פיתחנו את דיאגרמת E − kשלנו במימד אחד ,אך למעשה הגביש הוא תלת­מימדי.
איך נתייחס למקרים שבהם אפשר לנוע בכל הגביש בכל הכיוונים?
נשרטט מבנה F CCבמישור ) ,(100שמראה את כיוון ] [110וכיוון ][100
איור :42
אפשר לראות כי צפיפות האטומים של הגביש שונה בין כיוון ] [100וכיוון ] .[110המרווחים בין האטומים שונים ,ולכן דיאגרמת
E − kשלנו תצטרך להיות תלויה גם בכיוון ההתקדמות של האלקטרונים.
בכל כיוון משוואת שרדינגר תהיה שונה עם פתרון שונה )הפוטנציאל יהיה שונה ולכן יגרור פתרון אחר(
כעת נשרטט את רמות האנרגיה בסיליקון וב.GaAs
איור :43
מכיוון שיש סימטריה בכיוון kחיובי לשלילי אנו נחלק את הגרף ל 2חלקים כך שהצד הימני מסמל את רמות האנרגיה עבור כיוון
] [100והצד השמאלי עבור ].[111
• עבור ,GaAsמקסימום פס הערכיות ומינימום פס ההולכה נמצאים ב ,k = 0ולכן הוא נקרא מל“מ בעל פער אנרגיה ישיר.
• עבור ,Siנראה כי מקסימום פס הערכיות ומינימום פס ההולכה לא נמצאים באותו ערך ,kולכן הוא נקרא מל“מ בעל פער
אנרגיה לא ישיר.
אם המל“מ ישיר ,אז האלקטרון יעבור מפס הערכיות לפס ההולכה באותו ערך .k
כשהמל“מ לא ישיר ,אז האלקטרון יעבור מפס הערכיות לפס ההולכה בערך kשונה.
אנו יודעים כי kפורפוציוני לתנע ,ז“א במעבר הזה האלקטרון מאבד/מרוויח תנע ,מאיפה זה מגיע? חוק שימור התנע אומר
שהתנע חייב להישמר הרי.
התנע מגיע מתנודות הגביש שאפשר למדל כחלקיקים שנקראים פונונים שמהם האלקטרון מקבל או נותן תנע.
חלק IV
הרצאות שבוע 4פיזיקה של התקני מל“מ
צפיפות המצבים
12
ראינו כי המוליכות/הזרם תלויים בכמות האלקטרונים שיש לנו בפס ההולכה .ככל שיש לנו יותר אלקטרונים המוליכות עולה ,והזרם
המקסימלי גדל.
אנו נרצה מצב שבו יש לנו הרבה אלקטרונים בפס ההולכה והרבה חורים בפס הערכיות ,כך שנקבל מוליכות גבוהה.
השינוי במספר האלקטרונים בפס הערכיות יכול לשנות את תכונות החומר ממבודד למוליך )למשל במוליכימה זה אומר בכלל
נפח במרחב ) ?kתדירות מרחבית(ם למחצה(.
נסתכל על נוסחא שמייצגת אכלוס אלקטרונים בפס ההולכה:
)n (E) = gc (E) · fF (E
היחידות הן
1
cm−3
.
אנו רואים כי האכלוס הוא מכפלה של 2גורמים ,פונקציה gcופונקציה .fF
נסביר כל אחת מהפונקציות:להגיע
• ) ­ gc (Eפונקציית צפיפות המצבים הקוונטים בפס ההולכה.
• ) ­ fF (Eפונקציית התפלגות אנרגטית )הסיכוי של חלקיק להיות לרמה מסויימת(
אפשר לחשוב על ) fF (Eכיכולת להגיע למצב מסויים ,ו) gc (Eכסיכוי שמצב מסויים יהיה פנוי לאכלוס.
12.1
פונקציית צפיפות המצבים הקוונטים
) gc (Eהיא פונקציית צפיפות המצבים הקוונטים בפס ההולכה.
אנו מכירים את חוק האיסור של פאולי )אסור ל 2פרמיונים להיות באותו מצב( ,ולכן עבור nמצבים קוונטים יכולים להיות n
פרמיונים )עד כדי ספין ובמקרה זה נכפיל ב.(2
אנו מבינים כי שיש מספר סופי של מצבים מותרים בגביש )פסי אנרגיה מותרים( ,ולכן יש לנו גם מספר סופי של אלקטרונים,
ולכן יש לנו צפיפות מצבים סופית ,כך שאפשר לחשב אותה.
12.1.1
אלקטרונים חופשיים
נניח שאלקטרונים יכולים לנוע בחופשיות בגביש ,אך הם לא יכולים לצאת ממנו .ז“א יש פוטנציאל
0<x<a
0<y<a
0
0<z<a
∞ else
= )V (x, y, z
כך שנוכל לפתור עבור הפוטנציאל הזה את משוואת שרדינגר ונקבל
= k 2 = kx2 + ky2 + kz2
π 2
· = n2x + n2y + n2z
a
זה פתרון ישיר של משוואת שרדינגר עבור הפוטנציאל הנ“ל.
• ­ aצלע הגביש
• nx , ny , nzקבועים שלמים וחיוביים) .מספרים טבעי(
מהו ”הנפח“ שתופס מצב קוונטי במרחב ?k
2mE
2
h
כדי לענות על השאלה נצטרך קודם לדעת מה המרווחים בין המצבים הקוונטים .נסתכל רק בציר ה­:x
) ∆kx = k (nx+1 ) − k (nx
π
π
= (nx+1 ) − nx
a
a
π
=
a
מכיוון ש­ nהוא מספר שלם כך ש 2מספרים בעלי אינדקסים עוקבים הם במרווחים של 1אחד מהשני.
כנ“ל עבור .kx , kyלכן ,הנפח של מצב קוונטי במרחב kהוא
π 3
a
= Vk
מהו הנפח הכללי במרחב kבין ערך kוערך ?k + dk
נוכל לחשוב על הבעיה כמו קליפה כדורית שהנפח שלה הוא Vshell = 4πk 2 dk
איור :44
הנקודות בגרף הם מצבים קוונטים שונים.
אם אנו יודעים את הנפח של הקליפה במרחב ,kואנו יודעים כי הנפח של מצב הוא
π 3
a
= ,Vkאז נוכל לומר כי צפיפות
המצבים הדיפרנציאלית ) (dkהקוונטית במרחב kהיא נפח הקליפה מחולק בנפח מצב
1 4πk 2 dk
·
π 3
8
· gT (k) dk = 2
a
a3 k 2 dk
=
π2
ה 18היא פקטור שנובע מכך ש kשלילי יתן את אותה תוצאה ,וה­ 2נובע מכך ש 2אלקטרונים יכולים לאכלס כל מצב )ספין(
pm
dk = h1 2Eונקבל
,k 2 = 2mEו­dE
כעת נציב
2
h
r
a3 2mE 1
π 2 h2 h
m
dE
2E
√ 3
4πa3
· (2m) 2 EdE
=
3
h
= gT (E) dE
הביטוי הזה מתאר את כל המצבים בין אנרגיה ,Eלאנרגיה ,E + dEבגביש שהנפח שלו הוא .a3אם נרצה את הצפיפות
ליחידת נפח ויחידת אנרגיה נצטרך לחלק בגדלים האלו ,באופן הבא:
gT (E) dE
dE · a3
= )g (E
√ 3
4π
(2m) 2 E
3
h
= )g (E
וסיימנו.
הביטוי הנ“ל רלוונטי לאלקטרון חופשי בתוך קובייה בלי התייחסות לפסים.
כל מימד מוסיף לנו E
√
לתלות ,ז“א אם היינו פותרים בעיה דו­מימדית לא היינו מקבלים תלות באנרגיה ,ועבור בעיה חד
מימדית יחס פורפוציוני ל . √1E
12.1.2
במולכים למחצה )אלקטרונים לא חופשיים(
פס ההולכה
כדי לדבר על מל“מ נידרש לבצע 2שינויים:
• להחליף את המסה במסה אפקטיבית
2
• להסתכל על אנרגית פס ההולכה
אלקטרון במל“מ.
h k2
∗2m
n
­ Ec .E = Ec +נקודת רפרנס לתחילת הפס ,ו m∗nהיא מסה אפקטיבית של
נציב ונקבל כי צפיפות המצבים בפס ההולכה:
3 p
4π
(2m∗n ) 2 E − Ec
3
h
= )gc (E
האנרגיה היא ביחס לתחתית פס ההולכה ) .Ecאפשר להיזכר כבר כי Evהיא מקסימום פס הערכיות ,כך שבאזור Ev − Ec
אין פסי אנרגיה(
נשים לב כי התחום הרלוונטי עבור צפיפות המצבים הוא .E ≥ Ec
פס הערכיות
באותו האופן נוכל למצוא ביטוי עבור פס הערכיות ,כשנבצע את ההתאמות המתאימות,
m → m∗p
2
2
h k2
h k2
⇒
E
−
E
=
v
2m∗p
2m∗p
E = Ev −
כך שנוכל לרשום את פונקציית צפיפות המצבים באופן הבא:
3 p
4π
(2m∗n ) 2 Ev − E
3
h
= )gv (E
כאשר התחום הרלוונטי E ≤ Ev
בפער האנרגיה band­gap
בתחום Ev ≤ E ≤ Ecנקבל כי פונקציית צפיפות המצבים מתאפסת ,gband−gap (E) = 0מכיוון שבתחום זה אין מצבים
מותרים.
כך שנוכל לשרטט גרף של פונקציית צפיפות המצבים:
איור :45
12.1.3תרגיל
חשב את מספר המצבים בסיליקון בפס ההולכה בין Ecל­ EC + KB Tכאשר .m∗n = 1.08 · me
כדי לפתור נצטרך לבצע אינטגרל על צפיפות המצבים בתחום האנרגיה.
3 p
4π
(2m∗n ) 2 E − Ec · dE
3
h
ˆ EC
+KB T
=N
EC
Ec +kT
) 4π (2m∗n
2
3/2
=
) · · (E − Ec
h3
3
Ec
−31 3/2
3/2
4π 2(1.08) 9.11 × 10
2
=
· · (0.0259) 1.6 × 10−19
3
−34
3
) (6.625 × 10
3/2
−3
]= 2.12 × 1019 [cm
ביצענו אינטגרל ולא סכימה מכיוון שאנו מדברים על פסי אנרגיה )המרחק האנרגטי בין 2רמות הוא זניח( ולא על רמות אנרגיה
)שבהם המרחק האנרגטי הוא לא זניח(
12.2
פונקציית סיכוי לאכלוס מצב
ראינו שיש מצבים רבים ,כעת נשאל האם ניתן לאכלס אותם.
הפונקציה ) f (Eמגדירה לנו את הסיכוי לאכלס מצב.
ניזכר במכניקה סטטיסטית ,יש לנו 2פרמטרים חשובים שמובילים את ההתפלגויות השונות:
• האם אנו מדברים על חלקיקים ברי הבחנה או לא ברי הבחנה )מודל קלאסי ומודל קוונטי(
• וכמה חלקיקים יכולים לאכלס כל מצב קוונטי )פרמיונים ובוזונים(
יש לנו 3סוגי התפלגויות בעולם החלקיקי:
.1התפלגות מקסוול­בולצמן :חלקיקים ברי הבחנה ,ואין מגבלה על מספר חלקיקים בכל מצב .חלקיקים כדוריים קלאסיים.
.2התפלגות בוזה­איינשטיין :מבוססת על ההנחה שחלקיקים אינם ברי הבחנה ,ואין מגבלה על מספר החלקיקים שיכולים לאכלס
כל מצב .פוטונים מקיימים את ההתפלגות הזו.
.3התפלגות פרמי­דיראק :מבוססת על ההנחה שחלקיקים אינם ברי הבחנה ,ויש מגבלה על מספר החלקיקים שיכולים לאכלס
כל מצב) .חוק האיסור של פאולי( אלקטרונים בגביש מקיימים התפלגות זו.
פתרון הסיכוי לאיכלוס מצב עבור התפלגות פרמי­דיראק הוא:
)N (E
1
=
E−EF
)g (E
1 + e KB T
= )fF (E
זוהי התפלגות פרמי­דיראק המתארת את ההסתברות שמצב קוונטי באנרגיה Eיאוכלס על­ידי אלקטרון.
• ) ­ N (Eמספר החלקיקים ליחידת נפח ליחידת אנרגיה.
• ) ­ g (Eמספר המצבים הקוונטים ליחידת נפח ליחידת אנרגיה.
• ­ EFאנרגיית פרמי /רמת פרמי.
12.2.1
מצב שבו T = 0
כאשר E < EFהאקספוננט מתאפס )מינוס אינסוף( ונקבל .1
כאשר E > EFנקבל אקספוננט אינסופי ונקבל ביטוי שמתאפס.
איור :46
דוגמא למצבים בדידים
איור :47
נסתכל בציור ,בכל רמת אנרגיה יש לנו מספר מצבים שונה ,כך שבכל הרמות כל המצבים מאוכלסים מלבד ברמה ,5נניח כי T = 0
מכאן אנו מבינים כי רמת פרמי נמצאת בתחום .E4 < EF < E5
מהחלק הקודם אנו מבינים כי ב ,T = 0רמת פרמי היא אנרגיה מסויימת שעבור כל ערך אנרגטי שקטן ממנה המצבים בו
מאוכלסים לחלוטין ,ועבור כל ערך אנרגטי שגדול ממנה המצבים שלו לא מאוכלסים בכלל.
איור :48
כך שהקו המקווקו מסמל לנו את )) n (Eמספר החלקיקים( .ניזכר כי ) ,n (E) = g (E) · fF (Eעבור T = 0נקבל כי
g (E) E < E
F
= )n (E
0
E > EF
מהו סך כל האכלוס?
ˆEF
=N
g (E) dE
0
ז“א אם נדע את ) g (Eואת ,Nב T = 0נוכל לחלץ את .EF
מצב שבו T > 0
12.2.2
נקבל פונקציית סיכוי אכלוס ) fF (Eלא בינארית ,שמשתנה עבור כל Tבאופן הבא:
איור :49
תכונות התפלגות פרמי דיראק:
• ככל ש Tגדל כך הגרף יותר מעוקל.
•
1
2
= ) ,F (E = EFלכל ערך ) T > 0במקרה שבו T = 0ו E = EFאנו נמצאים בנקודה לא מוגדרת(.
• ,F (E = 0) = 1כל הגרפים מתחילים מפונקציית מדרגה
• בהתפלגות זו החלקיק מעדיף להיות באנרגיות נמוכות .בכל אנרגיה E > EFההתפלגות דועכת ל­.0
• עבור KB T = 26 · 10−3 [eV ]) ,E − EF >> KB Tבטמפרטורת החדר ,ולכן ההנחה היא הגיונית(
E − EF
fF (E) ≈ exp −
KB T
שזה קרוב להתפלגות מקסוול­בולצמן ­ הגבול הקלאסי.
• ההסתברות שהמצב יהיה ריק )חור( הינה )P (hole) = 1 − fF (E
איור :50
אכלוס מצבים
12.3
פס ההולכה
צפיפות נושאי מטען כתלות באנרגיה בפס ההולכה של מל“מ נתונה על­ידי
)n (E) = gc (E) fF (E
אם נרצה למצוא את סך כל האלקטרונים בפס ההולכה נצטרך לבצע אנטגרל
E
ˆtop
=N
gc (E) fF (E) dE
Ec
כאשר ­ Ecתחתית פס ההולכה ­ Etop ,האנרגיה המקסימלית בפס ההולכה.
פס הערכיות
באותו אופן פילוג החורים בפס הערכיות כתלות באנרגיה יהיה
))p (E) = gv (E) (1 − fF (E
בלי לדעת את EFלא נוכל לדעת את צפיפות נושאי המטען.
13
רמת פרמי EF
נניח מל“מ אינטרינזי אידיאלי )ללא זיהומים( ,ולכן נניח כי בין פס הערכיות לפס ההולכה אין מצבים מותרים.
ב T = 0כל המצבים בפס הערכיות מלאים וכל המצבים בפס ההולכה ריקים .לכן ,רמת פרמי נמצאת בין פס ההולכה לפס
הערכיות .Ev < EF < Ec
נחמם את המל“מ כך ש ,T > 0מספר מועט של אלקטורנים יעלו מפס הערכיות לפס ההולכה ,כתוצאה מכך נוצרים חורים בפס
הערכיות.
במל“מ אינטרינזי ,אלקטרונים וחורים נוצרים בזוגות )כל מעבר של אלקטרון בין רמות גורר יצירה של חום באנרגיה שהוא עזב(
ולכן מספר החורים בפס ההולכה יהיה שווה למספר האלקטרונים בפס הערכיות) .הסיכוי שאלקטרון מרמות נמוכות יותר יעלה
לראש פס הערכיות הוא אפסי ­ תופעה מסדר רביעי(
חלק V
הרצאות שבוע 5פיזיקה של התקני מל“מ
נשאי מטען במוליכים למחצה
14
נניח שאנו נמצאים בשיווי משקל תרמודינמי ,נשרטט גרף שמקשר את כל הממצאים שלנו משיעור שעבר:
איור :51
ניזכר בפונקציות שמצאנו בשיעור הקודם:
•
1
E−EF
KB T
= ) fF (Eהיא פונקציית סיכוי לאכלוס מצב.
1+e
• E − Ec
√
3
√
3
• Ev − E
(2m∗n ) 2
4π
h3
= ) ­ gc (Eפונקציית צפיפות המצבים הקוונטים בפס ההולכה.
(2m∗n ) 2
4π
h3
= ) ­ gV (Eפונקציית צפיפות המצבים הקוונטים בפס הערכיות.
• )) ­ p (E) = gv (E) (1 − fF (Eצפיפות מספר החורים בפס הערכיות.
• ) ­ n (E) = g (E) · fF (Eצפיפות מספר האלקטרונים בפס ההולכה.
ננתח את הגרפים בשרטוט:
• ציר ה xהוא פונקציית ) ,fF (Eככל שהסיכוי יעלה כך gcיעלה ו gvירד.
• צד ימין של הגרף מייצג את מספר האלקטרונים/חורים:
– כאשר gc = 0 ,E = Ecולכן נקבל .n (Ec ) = 0
– כאשר fF ,E >> Ecקטן ,המשמעות היא שלא נוכל לאכלס את האנרגיות הגבוהות ,ולכן גם כאשר E >> Ec
.n (E) = 0
– מכיוון שמספר האלקטרונים בפס ההולכה שווה למספר החורים בפס הערכיות השטחים יהיו שווים .זה לא אומר שהם
יהיו באותה התפלגות ,אך סך כל השטח יהיה שווה.
נניח כי המסות האפקטיביות שוות ,m∗n = m∗pאזי gvו gcשוות ,ובמקרה זה ,מכיוון שהשטחים שווים ,פונקציית סיכוי אכלוס
המצבים fFתהיה סימטרית כך ש Efתהיה בידיוק באמצע הפס:
EC + EV
2
= Ef
14.1
חישוב האלקטרונים בפס ההולכה
נחשב את מספר האלקטרונים בפס ההולכה בשיווי משקל תרמודינמי:
ˆ
= n0
gc (E) fF (E) dE
נבצע קירוב לפונקציית האכלוס ) fF (Eשנקרא קירוב בולצמן עבור אנרגיות גבוהות
E − Ef
≈ exp −
E−E
KB T
1 + exp KB Tf
1
= )fF (E
כעת נסתכל על הגבולות של האינטגרל ,הגבול התחתון הוא ,Ecבעוד שהגבול העליון יהיה ∞ מכיוון שאנו לא יודעים מהו סוף
פס ההולכה ,מותר לבצע את השינוי מכיוון שפונקציית פרמי­דיראק דועכת מאוד מהר כך שהקירוב טוב מספיק
3 p
E − Ef
4π
∗ 2
E − Ec exp −
) (2mn
dE
h3
KB T
∞ˆ
= n0
Ec
נבצע חילוף משתנה
E−Ec
KB T
= ,ηונקבל
∞ˆ
3
3
4π
) (Ec − Ef
√ −η
∗ 2
2
n0 = 3 (2mn ) (KB T ) exp −
ηe dη
h
KB T
0
) − (EC − EF
KB T
נגדיר צפיפות מצבים אפקטיבית
ואז נקבל
23
32
exp
2πm∗n KB T
h2
2πm∗n KB T
h2
=2
NC = 2
) − (EC − EF
n0 = NC · exp
KB T
הגדרנו כאן צפיפות מצבים אפקטיבית ,אך מה הביטוי מסמל? הביטוי מסמל את צפיפות המצבים באזור תחתית פס ההולכה
כאילו לקחנו כל מצב הורדנו אותו לפס ההולכה והכפלנו בפונקציית משקל ,בעוד שהאקספוננט שתלוי ב EC − EFולא ב ,Eמסמל
את הסיכוי להגיע למצבים.
.m∗n
נניח כי מסת האלקטרון היא בערך מסת האלקטרון במנוחה = me
בטמפרטורת החדר ] T = 300 [Kולכן .Nc = 2.5 · 1019 cm−3
ההבדלים בין המל“מים השונים יבואו לידי ביטוי במסה האפקטיבית השונה) .רמות אנרגיה שונות(
14.2
חישוב מספר החורים
נחשב את מספר החורים באותה הדרך כמו מקודם
Ef − E
1 − fF (E) ≈ exp −
KT
3 p
Ef − E
4π
∗ 2
E
−
E
·
exp
−
2m
v
p
h3
KT
∞−
Ef − EV
= NV · exp −
KT
ˆEv
= p0
כאשר Ev − E
√ 32
2m∗p
4π
h3
= ,ֳNVהיא צפיפות המצבים האפקטיבית עבור חורים.
עבור סיליקון מתקיים m∗p = 0.56m0ו m∗n = 1.08m0ולכן
NV = 1.04 · 1019 cm−3
NC = 2.8 · 1019 cm−3
אנו לא יודעים איפה Efממוקם ביחס ל Ec − Evאנו יודעים כי ,p0 = n0ולכן נוכל למצוא את Efבעזרתם.
נגדיר niככמות האלקטורנים במל“מ אינטרזני )ששווה גם למספר החורים( ונקבל
n2i = n0 · p0
) − (EC − EF
EF − EV
exp
= NC · NV · exp −
KB T
KB T
EF − EV
) − (EC − EF
= NC · NV · exp −
+
KB T
KB T
Ec − Ev
= NC · NV · exp −
KT
Eg
= NC · NV · exp −
KT
p
Eg
ni = NC · NV · exp −
2KT
כך נוכל למצוא ישירות את ,niובעזרתו את .Ef
עבור סיליקון Eg = 1.2eVנקבל .ni = 6.95 · 109 cm−3
בפועל ממדידות חשמליות מקבלים את הערך = 1.5 · 1010 cm−3
.ni−measured
ממה נובע ההבדל?
• קונספט המסה האפקטיבית מגיע ממודל מקורב )קירוב פרבולי(.
• ערכו שלהמסה האפקטיבית נמדדת בניסוי בטמפרטורות נמוכות אך ערכים אלו משתנים בטמפ’ שונות ועל כל לא מדוייקים
בטמפ’ החדר.
ערכים אופיינים של מל“מים שונים ב) T = 300Kבמדידה(:
.1עבור סיליקוןni = 1.5 · 1010 cm−3 :
.2עבור ni = 1.8 · 106 cm−3 :GaAs
.3עבור גרמניוםni = 2.4 · 1013 cm−3 :
14.3
חישוב רמת פרמי
נחשב כעת את רמת פרמי:
) − (EC − EF
Ef − EV
= NV · exp −
KB T
KT
נגדיר ) (EV + EC
1
2
m∗p
m∗n
p0 = n0 ⇒ NC · exp
1
3
(EV + EC ) + KB T · ln
2
4
= Ef i
= Emid−gapונקבל
m∗p
m∗n
3
= Emid−gap + KB T · ln
4
Ef i
כלומר קיבלנו כי רמת פרמי נעה באמצע הפסים ביחידות של KB Tכך שיחסית ל Emid−gapהתוספת קטנה מאוד.
2אפשרויות:
• :m∗p < m∗nרמת פרמי מתחת לאמצע הפס.
• :m∗p > m∗nרמת פרמי מעל לאמצע הפס.
מל“מ אקסטרינזי
15
הגדרה :מל“מ שסומם עם יונים של חומר אחר.
נחליף את אחד מאטומי הסיליקון באטום מעמודה 5/3בטבלה המחזורית.
15.1
תוספת אלקטרון Doner
ניקח אטום מהטור ה 5בטבלה המחזורית ,לאטום זה יש 5אטומי ערכיות .האטום החדש מחליף אטום סיליקון 4 ,מהאלקטרונים של
האטום החדש יצרו קשרים טובים ויציבים עם אטומי הסיליקון אך ישאר לנו אלקטרון אחד כמעט חופשי )אנרגיית הקשר שלו לאטום
שלו מאוד חלשה(.
כך נקבל אלקטרון חופשי במל“מ מבלי לייצר חור .באמצעות חימום אפשר להפוך את האלקטרון לאלקטרון חופשי.
איור :52
לזיהום שכזה קוראים .Doner
15.1.1
רמות האנרגיה
אנו רואים כי שיש לאלקטרון החדש אנרגיה שקרובה מאוד לפס הערכיות.
לכן נגדיר ­ Edרמת האנרגיה שיש לאלקטרון החדש כדי להגיע לפס ההולכה:
איור :53
האנרגיה הדרושה כדי להעביר את האלקטרון לרמת ההולכה היא .E = Ec − Ed
כך שב­ T ̸= 0האלקטרון יעבור למצב ההולכה ויתפוס בה מצב.
עד כה ידענו כי מספר חורים שווה למספר האלקטרונים ,במל“מ אקסטרינזי כבר לא נוכל לטעון זאת.
לחומר מסוג זה נקרא .N − type
15.2
תוספת חור Acceptor
הפעם נחזור על אותו תהליך רק שנחליף את אטום הסיליקון באטום מהעמודה ה­ 3בטבלה המחזורית ,כך שנוצר מצב שבו אחד
האלקטרונים מאטומי הסיליקון לא יצר קשר עם האטום החדש.
איור :54
מבחינת רמות אנרגיה נוכל לחשוב על התהליך כהוספה של חור לרמת הערכיות ,על ידי הוספה של רמת אנרגיה ,Eaכך
שאלקטרונים יכולים לעלות מפס הערכיות לרמה Eaולא להגיע לרמת ההולכה.
איור :55
ב ,T = 0האלקטרונים עדין לא יאכלסו את רמת ,Eaאך כאשר T ̸= 0אלקטרונים יוכלו לקבל מספיק אנרגיה ולהגיע ל ,Ea
כך שלמעשה יווצרו חורים בפס הערכיות אך לא יהיו אלקטרונים בפס ההולכה.
לחומר מסוג זה קוראים .P − type
15.3
חישוב רדיוס הקשר ואנרגית הקשר
נוכל לחשוב על אלקטרון מסביב לגרעין ולכתוב את הכוחות שפועלים עליו
m∗ · v 2
e2
= n
2
4πϵrn
rn
כאשר rnהוא רדיוס המסלול ברמה ה­ ,nו­ vהיא מהירות האלקטרון.
נצטרך לבצע קוונטיזציה של תנע זוויתי ונקבל
∗
m rn v = nh
בעזרת 2המשוואות נחשב את אנרגית הקשר והרדיוס האופייני.
15.3.1
עבור n − type
נשרטט מחדש את הגרפים ונסתכל על צפיפות המצבים ומספר נושאי המטען
איור :56
עבור n − typeיש יותר אלקטרונים ברמת ההולכה מאשר שיש חורים בפס הערכיות ולכן ,n0 > p0מכיוון ש gcהיא צפיפות
המצבים שלא יכולה להשתנות ,הדבר היחידי שיכול להשתנות היא רמת פרמי ,Efכך שנקבל כי Efכבר לא קרובה לאמצע בין
הרמות אלא היא תהיה הרבה יותר קרובה לרמת ההולכה.
15.3.2
עבור p − type
איור :57
עבור p − typeיש יותר חורים ברמת הערכיות מאשר שיש אלקטרונים בפס ההולכה ולכן ,p0 > n0מכיוון ש gvהיא צפיפות
המצבים שלא יכולה להשתנות ,הדבר היחידי שיכול להשתנות היא רמת פרמי ,Efכך שנקבל כי Efכבר לא קרובה לאמצע בין
הרמות אלא היא תהיה הרבה יותר קרובה לרמת הערכיות.
נוכל לסכם זאת על­ידי:
• עבור ) n0 > p0 ,Ef > Ef i :n − typeרוב של אלקטרונים(
• עבור ) p0 > n0 ,Ef < Ef i :p − typeרוב של חורים(
נוכל להראות זאת מתמטית
) (Ec − EF i ) + (Ef − Ef i
n0 = Nc exp −
=
KT
EC − EF i
Ef − Ef i
= NC · exp −
·exp
KT
KT
|
{z
}
()1
ni
Ef − Ef i
= ni · exp
KT
) (Ef − Ef i
p0 = ni · exp −
KT
()2
כאשר niהוא מספר נושאי המטען במצב אינטרניזי.
עבור ,n0 > niנובע ממשוואה 1כי צריך להתקיים Ef > Ef iבמקרה זה נקבל ממשוואה 2כי .P0 < ni
נבחן את המכפלה של n0ו p0ונקבל
) (Ef − Ef i
Ef − Ef i
n0 · p0 = ni · exp −
· ni · exp
= n2i
KT
KT
המכפלה לא השתנתה! זהה למקרה האינטרינזי .לכן בהינתן אחד מהם נוכל לחשב את השני על ידי קשר זה.
15.4
מל“מ מנוון
ככל שנעלה את אחוז האטומים המסוממים במל“מ נוכל להגיע למצב שהם מספיק קרובים שתהיה איזו שהיא אינטראקציה ביניהם.
נוכל להגיע למצב אפילו שהאינטרקציות גוררות יצירה של פסי אנרגיה נוספים ,שעלולים לפגוש בפס ההולכה של המל“מ המקורי.
אפקט זה מתרחש כאשר רמת הסימום זהה לצפיפות המצבים.
נסתכל על רמות האנרגיה בחומר pו:n
איור :58
סטטיסטיקה של זיהומים
16
עבור מל“מ מזוהם אנו יודעים כי כל זיהום תורם אלקטרון אחד ,לכן אנו יודעים כי אפילו שחוק האיסור של פאולי מתיר ל 2פרמיונים
לחלוק מצב אחד )כל אחד בספין שונה( בפועל האלקטרון של התורם יוכל להיות רק במצב אחד )ספין ספציפי(
עבור תורמים
ההסתברות של אלקטרון לאלכלס את רמת הסימום Edהיא
Nd
E −E
· exp Kd B T f
1
2
= nd
1+
nd
= ) P (Ed
Nd
­ Ndריכוז הסימום )כמה זיהומים הכנסנו למל“מ(
­ ndריכוז האלקטרונים שמאכלסים את רמת ) Edלא מיוננים(
כאשר פקטור החצי בפרמי דיראק נובע מההסבר הנ“ל לגבי מספר האלקטרונים שיכולים לאכלס מצב.
נוכל לרשום גם
Nd+
nd = Nd −
כאשר Nd+הוא ריכוז היונים ,כלומר ריכוז האטומים המיוננים ,הגודל החשוב עבורנו.
אטום מיונן :אטום מסומם שאלקטרון עבר מהם לפס ההולכה .כך שאטום הזיהום יהפוך להיות יון חיובי )במקרה של (n − type
עבור אקספטורים
נוכל לכתוב ביטוי שקול לחורים ברמה Ea
Na
E −E
· exp fKT a
1
g
= pa
1+
­ paריכוז החורים ברמת הסימום של האקספטורים )לא עברו ינון(
­ Naריכוז האקספטורים שהכנסנו לחומר
­ gניוון
pa = Na − Na−
­ Na−ריכוז החורים המיוננים בחומר.
16.1
ינון מלא/סימום ”קפוא“
נניח כי אנו במצב שבו ,KB T << Ed − Efנוכל לבצע קירוב לנוסחא של פרמי דיראק כך שנקבל
) (Ed − Ef
nd ≈ 2Nd · exp −
KT
ניזכר כי
) (Ec − Ef
n0 = Nc · exp −
KT
נוכל לחשב את אחוז האלקטרונים שנמצאים במצב התרומה בהשוואה לכלל האלקטרונים:
i
) −(Ed −EF
KT
h
2Nd exp
nd
h
i
h
i
=
) c −EF
) d −EF
nd + n0
2Nd exp −(EKT
+ Nc exp −(EKT
1
) −Ed
· exp − (ECKT
Nc
2Nd
nd
=
nd + n0
1+
כאשר ) (EC − Edהיא אנרגיית היינון של אטום תורם )פער האנרגיה שאלקטרון צריך להתגבר עליו כדי להפוך לאלקטרון
חופשי(
16.2דוגמאות
16.2.1דוגמא ­ טמפרטורת החדר
נניח שאנו בטמפ’ החדר ] ,Nd = 1016 cm−3 ,T = 300 [Kונניח זיהום מסוג פוספור ז“א
] Ec − Ed = 0.045 [eV
נציב בביטוי שמצאנו ונקבל
1
) −Ed
· exp − (ECKT
Nc
2Nd
nd
=
nd + n0
1+
= 0.0041 = 0.41%
קיבלנו יינון מלא )פחות מאחוז מהאטומים לא עברו יוניזציה( בטמפרטורת החדר.
התוצאה שקיבלנו נכונה גם עבור חורים.
16.2.2
דוגמא ­ יינון קפוא
נניח כי אנו בטמפרטורת האפס ] ,T = 0 [Kכך שהרמות הנמוכות ביותר יהיו הרמות שמאוכלסות.
במקרה כזה נקבל ) Nd+ = 0אין אטומים מסוממים שעברו יוניזציה ­ אין מספיק אנרגיה לגרום לינון(
כך שנקבל מצב שבו .nd = Nd
אם היינו עובדים עם חורים היינו מקבלים = 0 ,pa = Na
.Na−
)אלקטרונים לא מצליחים לעבור לרמת האקספטורים מרמת
הערכיות(
כדי לקבל Nd = ndנצטרך לדרוש כי:
Nd
E −E
· exp Kd B T f
=0
1
2
Ed − Ef
KT
= nd
1+
⇒ exp
Ef > Ed
רמת הדונורים Edנמצאת מתחת לרמת פרמי ב.T = 0
ובאופן דומה רמת האקספטורים Eaנמצאת מעל לרמת פרמי ב.T = 0
זהו מצב של יינון קפוא.
16.2.3
מסקנות
• רמת פרמי היא גודל סטטיסטי שמשתנה בין המצבים השונים כדי להתאים את עצמה לפתרון הרצוי.
• טמפרטורות ביניים יתנו לנו מצבי ביניים של יינונים.
• ככל שנעלה בטמפרטורה יהיה לנו יותר יונים מיוננים.
• ככל שנרד בטמפרטורה יהיו לנו פחות יונים מיוננים.
17
חישוב ריכוז נושאי המטען
נרצה לחשב את ריכוז האלקטרונים והחורים בשיווי משקל כתלות בריכוז הזיהומים.
נגדיר את המונחים הבאים:
• נטרליות חשמלית :בשיווי­משקל המל“מ נטרלי מבחינה חשמלית.
• מל“מ מקוזז ­Compensated Semiconductorמל“מ שמכיל זיהומים מ 2הסוגים גם דונורים וגם אקספטורים באותו
אזור.
מל“מ זה מוגדר כמל“מ מסוג n − typeאם Nd > Naוכמל“מ מסוג p − typeאם .Na > Nd
עבור ­ Na = Ndנחזור למל“מ אינטרינזי )מקוזז באופן מלא(.
נניח שמתקיימת נטרליות חשמלית ולכן
Nd+
= p0 +
} | {z
Na−
}
n0 +
| {z
negative
positive
• ­ Na−יון מיונן שקיבל אלקטרון מפס הערכיות ,ולכן יש לו מטען שלילי.
• ­ Nd+יון מיונן שנתן אלקטרון לפס ההולכה ,ולכן יש לו מטען חיובי.
• ­ n0 , p0ריכוי החורים והאלקטרונים בשיווי משקל בפס הערכיות ובפס ההולכה.
נוכל להציב במשוואה את הקשרים שמצאנו מקודם
] n0 + [Na − pa ] = p0 + [Nd − nd
כעת נניח כי אנו בטמפרטורת החדר ,ז“א יינון מלא ולכן .nd , pa → 0נמשיך עם הביטוי
n0 + Na = p0 + Nd
ניזכר כי ,n0 · p0 = n2iנוכל לבודד את p0ולקבל
n2i
n0
n0 + Na = Nd +
n20 − [Nd − Na ] n0 − n2i = 0
נפתור את המשוואה הריבועית
2
+ n2i
Nd − Na
2
s
Nd − Na
= n0
+
2
זאת משוואה כללית לפתרון מספר האלקטרונים במל“מ כלשהו.
חלק VI
הרצאות שבוע 6פיזיקה של התקני מל“מ
18
מל“מ אקסטרינזי
במל“מ אינטרניזי קיבלנו מספר משוואות
n0 + Na− = p0 + Nd+
2
) n0 p0 = (ni
2
+ n2i
Nd − Na
2
s
Nd − Na
= n0
+
2
­ Ndריכוז הסימום )כמה זיהומים הכנסנו למל“מ(
­ Naריכוז האקספטורים שהכנסנו לחומר
נוכל לכתוב גם משוואה לפי ,p0כך שנקבל
2
+ n2i
Na − Nd
2
s
Na − Nd
= p0
+
2
במשוואה הראשונה נשתמש כשהמל“מ הוא (Nd > Na ) N − T ypeונשתמש בשנייה כשהמל“מ הוא Na >) P − T ype
(Nd
דוגמא
18.1
ניקח מל“מ בטמפרטורת החדר ,T = 300 [K] ,ni = 1.5 × 1010 cm−3כך ש Nd = 3 · ,Na = 1016 cm−3
1015 cm−3
נשים לב כי Na > Ndולכן המלמ הוא P − T ypeולכן נשתמש בנוסחא השנייה
p0 = 7 · 1015 cm−3
n2i
= 3.2 · 1015 cm−3
p0
= n0
מסקנה
אם מתקיים ,(Na − Nd ) >> niלפחות 2סדרי גודל ,אזי אפשר להגיד כי .p0 ≈ Na − Nd
)עבור .(n0 ≈ Nd − Na ⇐ ,N − T ype
ז“א אם הסימום הרבה יותר גדול מהריכוז האינטרינזי ,אז נוכל להזניח את הריכוז האנטרינזי .כמעט בכל מקרה סביר התנאי
מתקיים.
18.2
ריכוז האלקטרונים בפס ההולכה כתלות בטמפרטורה
נצייר גרף של תלות האלקטרונים בפס ההולכה כתלות בטמפרטורה.
נניח מל“מ מסוג ,N − T ypeכאשר .Nd = 1016 cm−3
נשרטט גרף של n0כגרף של הטמפרטורה:
איור :59
• הגרף מתחיל ב ,T = 0ריכוז האלקטרונים
• כשנחמם את המל“מ ,רמת ההולכה קרובה מאוד לרמת הסימום ,ולכן אלקטרונים מרמת הסימום מתחילים לעלות לפס ההולכה.
• בטמפרטורת החדר החלק האקסטרינזי מעביר את רוב האלקטרונים שלו לפס ההולכה ,אך החלק האינטרינזי לא תורם הרבה
n0 (Troom ) ≈ 1.5 · 1010
• בטמפרטורות גבוהות יותר נתחיל לראות שחרור יותר מאסיבי של אלקטרונים מהמל“מ האינטרינזי כך שהגרף ממשיך לעלות.
• הקו המקווקו יסמל לנו את הריכוז האינטרינזי ,niגבוה מאוד בטמפרטורות גבוהות) .בשלב זה התרומה של החלק האקסטרינזי
כבר זניחות ,והמל“מ חוזר להיות מל“מ אינטרינזי(
19
מיקום רמת פרמי במל“מ אקסטרינזי
19.1עבור N − T ype
נתחיל מהנוסחא לריכוז האלקטרונים בפס ההולכה
) (Ec −Ef
KB T
Nc
n0
−
n0 = Nc e
Ec − Ef = KB T · ln
נניח כי המל“מ הוא מסוג ,N − T ypeשמקיים ,Nd >> niז“א ,n0 ≈ Ndולכן
Nc
Nd
Ec − Ef = KB T · ln
עבור מל“מ מקוזז נצטרך לבצע תיקון:
Nc
Nd − Na
Ec − Ef = KB T · ln
Nc
Nd − Na
Ef = Ec − KB T ln
ככל ש Ndגדל כך נצפה ש Efתתקרב יותר לרמת פס ההולכה .Ec
כעת ננסה למצוא את הסטייה של Efמ ) Ef iהרמה האינטרינזית(
Ef −Ef i
KB T
n0
ni
n0 = ni e
Ef − Ef i = KB T ln
עבור n0 = niנקבל Ef = Ef iכמצופה עבור מל“מ אינטרינזי.
ככל ש n0עולה כך גם Ef iסוטה יותר מ .Ef
19.2עבור P − T ype
נכתוב ביטוי לכמות החורים
עבור Na >> niנקבל
Ef −Ev
KB T
Nv
p0
Nv
Na
−
p0 = Nv e
Ef − Ev = KB T ln
Ef − Ev = KB T ln
עבור מלמ מקוזז נחלףי את .Na → Na − Nd
נוכל למצוא גם את רמת פרמי האינטרינזית
Ef −Ef i
KB T
p0
ni
−
p0 = ni e
Ef i − Ef = KB T ln
הערה ­ הנוסחאות נכונות עבור ,T >> 0באיזורים של ,T = 0הקירובים שבעזרתם פיתחנו את הנוסחאות לא נכונים.
19.3סיכום
.1מל“מ EF > Ef i ⇐ n0 > ni :N − T ype
.2מל“מ Ef > Ef i ⇐ p0 > ni :P − T ype
איור :60
.3אפשר לשרטט גרף של מיקום רמת פרמי כתלות ב Na , Nd
איור :61
.4רמת פרמי היא הרמה שמעליה אין מצבים מאוכלסים ושמתחתיה כל המצבים מאוכלסים ,ולכן עבור ,T → 0רמת פרמי
האינטרינזית Ef iתצטרך להיות בין ,Ec − Edמכיוון שברמה ,Edיש לנו מצבים מאוכלסים על­ידי הדונורים ,ובT = 0
אין לנו אכלוס ב ,Ecולכן רמת פרמי תצטרך להיות בתחום בין .Ec − Ed
איור :62
.5בטמפרטורה מאוד חמה ,המל“מ יתנהג כמו מל“מ אינטרינזי ולכן .Ef = Ef i
.6נשרטט גרף של ההפרש בין רמת פרמי האקסטרינזית לאינטריזנית כתלות בטמפרטורה:
איור :63
** ככל שסיממנו יותר את החומר ,כך קשה יותר להחזיר את המל“מ למצב אינטרינזי ולכן נצטרך לחמם אותו יותר.
19.4
מוביליות של נושאי מטען ומוליכות
מהם התנאים הנדרשים כדי שיזרום זרם בחומר?
.1נושאי מטען חופשיים.
.2נושאי המטען יהיו מסוגלים לנוע בחומר) .להקנות לנושאי המטען מהירות(
נבחין בין 2תופעות עיקריות שיכולות לייצר זרם במל“מ.
.1סחיפה של נושאי מטען ,כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני למל“מ.
.2דיפוזיה של נושאי מטען ,כתוצאה מגרדיאנט ריכוזים.
19.5
סחיפה של נושאי מטען
נניח כי אנו במצב שבו יש לנו נושאי מטען בפס ההולכה/ערכיות.
נפעיל שדה חשמלי על המל“מ שיגרום לנושאי מטען להתחיל לנוע עקב הכח שמפעיל השדה.
תזוזה השקולה של המטען בהשפעת השדה החשמלי נקראת סחיפה ).(drift
ולזרם הנוצר כתוצאה מתזוזת נושאי המטען נקרא זרם סחיפה )(drift current
19.5.1
חישוב זרם סחיפה
נניח כי צפיפות המטען הנפחית חיובית ,ρ > 0שנעה במהירות סחיפה ממוצעת .vd
A
cm2
J d = ρ · vd
נניח אלקטרון חופשי
F = me a = −qE
qE
·t
me
vd = a · t = −
במל“מ התיאור של אלקטרון חופשי לא מדויק ,האלקטרון יעבו התנגשויות ופיזורים שיגבילו את המהירות שלו ,ולכן נצטרך
לבצע תיקונים.
אילו פיזורים יש?
פיזור סריגי
19.5.2
מדובר על התנגשויות של נושאי מטען ניידים ,עם הפרעות במחזוריות של השריג.
אנו יודעים ממצב מוצק כי משמעותה של טמפרטורה מסויימת היא שיש לאטומים במוצק אנרגיה קינטית ממוצעת של
. 12 KB T
ז“א שהאטומים תמיד נמצאים בתנועה מתמדת )המרחב בין האטומים מתרחב ומתכווץ כל הזמן(.
כך הגענו לתיאור של חלקיק שנקרא פונון שמתאר את התנודות של האטומים .נוכל גם אפוא ,להישאר בתיאור הגלי של האטומים
ולהסביר את העובדה שתנועות האטומים מפריעים לתנועות האלקטרונים ,מה שיגרום לסטייה מההתקדמות הרגילה של האלקטרון.
פיזור על­ידי סיגים
19.5.3
נושא מטען חופשי העובר ליד יון )דונור או אקספטור( משנה את כיוון תנועתו כתוצאה מהכח החשמלי שהיון מפעיל עליו.
הפיזור הסיגי נחלש כאשר נושא המטען נע במהירות גבוה יותר .פחות זמן לאינטראקציה .בנוסף ,הפיזור הסיגי נחלש עם
הטמפרטורה ­ יותר אנרגיה קינטית לאלקטרון מה שאומר שהאנרגיה החשמלית מהיון משפיעה פחות.
19.5.4
מודל של התנגשויות
.1נניח התנגשויות אלסטיות.
.2עם הפעלת שדה חשמלי חיצוני ,נושא המטען צובר אנרגיה קינטית )מתחיל לנוע(.
.3תוך כדי התנועה ,נושא המטען עובר פיזור ובתהליך ההתנגשות מאבד את האנרגיה שרכש מהשדה החשמלי ומעביר אותה
לפונונים בגביש.
.4כלומר מתרחש מעבר של אנרגיה מהשדה החשמלי לאנרגיה תרמית )שדה←אלקטרונים←פונונים( זה למעשה חוק ג’אול
שנוצר כאשר זרם עובר דרך התקן )זרם שעובר דרך נגד מחמם אותו(
.5לאחר ההתנגשות שוב מתחיל נושא המטען בצבירת אנרגיה עד להתנגשות הבאה ,וחוזר חלילה.
.6הפרמטר המעניין במודל הוא הגודל τשמגדיר את הזמן הממוצע בין התנגשויות ,ככל שהחומר חם יותר ,יש יותר תנודות
תרמיות ופיזור האלקטרונים משמעותי יותר.
חלק VII
הרצאות שבוע 7פיזיקה של התקני מל“מ
20
מודל למהירות סחיפה ממוצעת
20.1הנחות
.1אלקטרון/חור מתנהגים עם מסה אפקטיבית.
.2תוספת המהירות מהשדה החשמלי ,קטנה ביחס למהירות התרמית.
2
• האנרגיה התרמית שווה לאנרגיה הקינטית = 32 KB T
, 21 m∗e Vthכאשר
7 cm
s
Vth ∼ 10היא המהירות התרמית
של האלקטרון.
• אנו מדברים על מצב שבו ,a · t << Vthכאשר aהיא תאוצה מהשדה החשמלי ,ו tהוא זמן עד להתנגשות.
20.2
פירוט המודל
.1ב t = 0נניח n0נושאי מטען חופשיים ,המתחילים לנוע בהשפעת השדה החשמלי החיצוני.
.2אחרי זמן tישארו רק ) n (tנושאי מטען שעדין לא עברו פיזור ,ועדין מואצים בכיוון המקורי של השדה.
.3בטווח הזמן ] ,[t : t + dtיעברו dnנושאי מטען פיזור ,ויאבדו את התנע שלהם בכיוון השדה החיצוני.
.4מספר נושאי המטען שעדין מואצים ולא עברו התנגשות ,יפחת באינטרוול הזמן הזה ב­.dn
dn .5יהיה גודל שלילי )הפחתה של נושאי מטען(
−dn = k · n · dt
נגדיר
1
τ
=k
פתרון המשוואה יהיה
t
n = n0 exp −
τ
מהי ההסתברות לפיזור במשך הזמן ?dt
dn
n0
)סך האלקטרונים שהתפזרו ב dtזה לפי הגדרה ,dnולכן
אם נגזור את המשוואה נקבל
dt
−t
τ
= )P (dt
dn
n0
היא ההסתברות לפיזור במשך זמן (dt
1
exp
τ
=
−dn
n0
d
dt
צד ימין מתאר התפלגות פואסונית ,שמתארת הסתברות לפיזור בכל זמן וזמן.
ככל שעבר יותר ויותר זמן נרצה שכל החלקיקים יתפזרו.
זמן ממוצע בין פיזורים
מהו הזמן הממוצע בין פיזורים?
עלינו לסכם את הזמנים ולתת לכל זמן פונקציית משקל )סיכוי להתנגשות( משלו.
||dn
n0
ˆn0
= ⟩⟨t
·t
0
כאשר
dn
n0
הוא הסיכוי להתנגשות ,ולכל סיכוי שכזה מתאים ערך ,tמתאים להתנגשות.
נציב את הביטויים שמצאנו מקודם ונקבל
1
· n · dt
τ
∞ˆ
= ⟩⟨t
·t
0
לאחר האינטגל נקבל
t
1
n0 e− τ dt
τ
∞ˆ
1
= ⟩⟨t
n0
·t
0
1 −t
τ
dt
t
·
e
|{z} τ
u
} | {z
∞ˆ
=
0
v′
נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל
−1 · e− τ dt
t
∞ˆ
∞| ⟨t⟩ = −te− τ
0 −
t
0
האיבר הראשון מתאפס )ב 0יש מכפלה ב 0ובאינסוף האקספוננט דועך ל(0
נבצע את האינטגרל השני ונקבל
⟨t⟩ = τ
הזמן הממוצע בין התנגשויות כצפוי הוא .τ
הזמן הממוצע בריבוע יהיה
dn
= ..
n0
ˆn0
t2
=
2
t
2
t
0
= 2τ 2
נחסוך מאיתנו את האלגברה.
כעת נמצא את המהירות הממוצעת של נושאי המטען )כתוצאה מהשדה החיצוני(
לאחר שנושא מטען מואץ בהשפעת שדה חשמלי למשך זמן tהמרחק שלו מנקודת המוצא יהיה
qE t2
m∗ 2
r (t) − r0 = v0 t +
שזו משוואת התנועה של ניוטון:
• ) ­ r (tמיקום נושאי המטען בזמן t
• ­ r0מיקום נושאי המטען בזמן t = 0
•
qE
∗m
היא תאוצת נושא המטען )(F = ma = qE
לכן המרחק הממוצע שעובר נושא מטען בזמן תאוצתו יהיה
qE t2
m∗ 2
⟨r (t) − r0 ⟩ = ⟨v0 t⟩ +
המהירות v0והזמן לא תלויים אחר בשני ולכן נוכל לבצע מיצוע של כל אחד בנפרד
⟩⟨v0 t⟩ = ⟨v0 ⟩ ⟨t
אנו יודעים כי בזמן ) ⟨v0 ⟩ = ⟨Vth ⟩ = 0 ,t = 0המהירות התרמית הממוצעת שווה ל­ 0מכיוון שכל חלקיק נע בכיוון אקראי(
ולכן
⟨v0 t⟩ = 0
אנו יודעים כי מהירות הסחיפה תהיה המרחק שכל חלקיק נע חלקי הזמן הממוצע
qτ
·E
∗m
=
2
⟩ qE ⟨t
∗
m
2
⟩⟨t
qτ
·E
∗m
אפשר לסמן
qτ
∗m
e,n
⟩ ⟨r − r0
=
= vd
⟩⟨t
= vd
= ,µe,hכמוביליות של נושא מטען ולסמן
vd = µe,n · E
מוביליות בטמפרטורת החדר של מספר מל“מים שונים:
איור :64
i
כאשר היחידות של מוביליות הן
cm2
V ·s
h
= ]) [µסנטימטר בריבוע לוולט לשנייה(.
אפשר לראות שסיליקון לא נותן לנו את יחסי המוביליות הטובים ביותר ,אך הוא הכי כלכלי ונח לשימוש.
מוביליות
20.3
משוואות המוביליות:
qτ
m∗e,n
vd
=
E
= µe,h
µe,h
מה שמגביל את המוביליות ,הוא הפיזורים של נושאי המטען ,כך שיש פחות פיזורים נקבל מוביליות יותר גדולה.
מכיוון שיש תנועה בחומר יש זמן אופייני להתנגשות שהוא ,τככל שיש יותר התנגשויות τקטן )פחות זמן בין התנגשויות( כך
שגם המוביליות קטנה.
τלמעשה יהיה הגורם במשוואת המוביליות שמסמל את ההתנגשויות )ובעקבות זאת את הטמפרטורה( בחומר.
תלות הפיזור בטמפרטורה
הסיכוי לפיזור תלוי במהירות נושאי המטען ובחתך הפעולה לפיזור.
ניתן לרשום
1
∝ ⟨v⟩ · σscqt
τ
• ­ σscqtחתך הפעולה לפיזור.
• ⟩ ­ ⟨vמהירות ממוצעת של נושא מטען )שווה בקירוב למהירות התרמית(
2
, 12 m∗ Vthולכן T
אנו יודעים כי = 32 KB T
√
∝ ⟩.⟨v
• פיזור סריגי­ פיזור כתוצאה מתנודות השריג ,חתך הפעולה לפיזור תלוי בעוצמת התנודות.
ככל שהטמפרטורה עולה כך גם תנודות השריג גדלות מה שגורר עוצמת תנודות גדולה יותר.
עוצמת התנודות פרופורציונית לריבוע האמפליטודה ,והיא עולה לינארית )מניסויים( עם .T
√
3
1
∝ T ·T ∝T2
τL
µL ∝ τL ∝ T − 2
3
כאשר Lמייצג שזה מוביליות מפיזור השריג.
המוביליות יורדת משמעותית עם הטמפרטורה.
• פיזור סיגי­ פיזור כתוצאה של מעבר נושאי מטען בקרבת יון ,דרך אינטראקציה חשמלית) .נושא המטען נע בסביבה של
יונים טעונים ,ומדי פעם נמשך ליון או נדחה ומשנה את תנועתו( זהו פיזור רתרפורד .Rutherford Scattering
חתך הפעולה לפיזור רתרפורד
−4
⟩ ,σscat ∝ ⟨vכלומר ,σscat ∝ T −2כך ש
√
3
1
∝ T · T −2 = T − 2
τI
3
µI ∝ τI ∝ T 2
בהנחה שהפיזורים הם בלתי תלויים ,נקבל שההסתברות הכללית לפיזור בזמן dtיהיו
dt
dt
dt
=
+
τ
τL
τI
1
1
1
=
+
µ
µL
µI
הקטנה מבין µL , µIתקבע את המוביליות .אנו יודעים כי µIתלוי ביונים )סיגים( וככל שיהיו לנו יותר מאלחים הוא יהיה יותר
דומיננטי.
1
∝ µI
NI
ככל שיהיו יותר פיזורים ,נקבל מוביליות קטנה יותר) .זמן ממוצע בין פיזורים קטן ,ולכן גם מוביליות קטנה(
20.4
צפיפות זרם סחיפה
צפיפות זרם הסחיפה נתונה לפי
Jdr = ρ · vd
­ ρצפיפות החלקיקים כפול המטען שלהם.
נוכל לרשום זאת גם בדרך אחרת
Jdr = e [µn · n + µp · p] E
• ­ eמטען אלקטרון.
• ­ nריכוז האלקטרונים בפס ההולכה.
• ­ pריכוז החורים בפס הערכיות.
ניזכר בחוק אוהם
J = σE
ולכן נוכל לקבל ביטוי למוליכות הסגולית של החומר
]σ = e [µn · n + µp · p
יחידות של מוליכות סגולית יהיו
כעת ההתנגדות הסגולית תהיה
20.4.1
1
Ω·cm
= ].[σ
1
1
= =ρ
σ
]e [µn · n + µp · p
מה ההבדל בין התנגדות להתנגדות סגולית?
נניח מוט של מל“מ באורך Lושטח חתך .Aנפעיל מתח ,Vבין 2הקצוות שלו
איור :65
נחשב את צפיפות הזרם
השדה החשמלי הוא
I
A
=J
V
=E
L
אנו יודעים כי
J = σE
I
V
=σ
A
L
LI
= V
Aσ
נוכל להמשיך ולקבל
I
ρL
A
= V
אנו יודעים גם כי ) V = IRחוק אוהם בתצורה שונה( ולכן
ρL
=R
A
ההתנגדות ,Rתלויה בגאומטריה של החומר ובתכונה של החומר.
ρהיא תכונה בסיסית של החומר ,ובשינוי גאומטריה מסויימת נקבל Rשונה.
ולכן כשנרצה להשוות בין חומרים שונים ,נשווה בין ρ, σולא בין .R
נניח מלמ מסוג ,pעם ריכוז אקספטורים Naשמקיים ,Na >> niאז נקבל
= )σ = e (µn n + µp p
1
ρ
= = eµp p + eµp Na
שרטוט
גרף איכותי של המוביליות כפונקציה של הטמפרטורה
איור :66
ניזכר כי המוביליות הקטנה היא זו שקובעת את המגמה.
• עבור ∞ → ,Tהמוביליות השריגית תהיה ,0ולכן המוביליות הכללית גם תהיה אפס ,והמוביליות תשאף ל.0
• עבור ,T → 0המוביליות השריגית היא גבוה ,אין תנודות של האטומים והמוביליות השריגית תהיה אינסופית ,המוביליות
הסיגית תהיה קטנה ,המהירות מאוד איטית ,ולכן חתך הפעולה לפיזור סיגית גבוה ,והמוביליות הסיגית תהיה אפסית ,ולכן
המוביליות הכללית תהיה גם אפסית.
• עבור ,N1 < N2 < N3נקבל נקודות שונות כאשר המוביליות הסיגית משפיעה ,מכיוון שאנו יודעים כי
ש Nגדול המוביליות יותר קטנה ,ולכן הגרף של N1 , N2מעל זה של (N3
חלק VIII
הרצאות שבוע 8פיזיקה של התקני מל“מ
21
ריכוז אלקטרונים
נשרטט גרף של ריכוז האלקטרונים כתלות בטמפרטורה.
1
N
∝ ) µIככל
איור :67
• ניזכר כי ] ,σ = e [µn · n + µp · pז“א עולה עם המוביליות ועם מספר נשאי המטען.
• נשים לב כי ציר האיקס הוא למעשה
1000
T
ולכן צד ימין מתקשר לטמפרטורת נמוכות ,וצד שמאל לטמפרטורות גבוהות.
• אנו רואים מצב שבו nהוא כמעט קו ישר ,שלמעשה כל הדופנטים מיוננים .לכן בחלק הזה µיקבע את ההתנהגות של .σ
• אפשר לראות בגרף של σכי יש לנו מקסימום מקומי שנובע ממקסימום של המוליכות עבור מספר נשאי מטען.
– בטמפרטורה גבוהה σ ,עולה מכיוון ש nעולה אקספוננציאלית.
22
רוויה של מהירות הסחיפה
נכתוב את משוואת זרם הסחיפה
vdrif t = µ · E
נוכל לכאורה להגדיל את המהירות עד אינסוף כתלות בשדה )בהנחה שהמוביליות היא גודל שלא משתנה כשהשדה משתנה(
נכתוב את משוואת האנרגיה
1
3
2
mVth
= KB T
2
2
3
] = [0.0259[eV ]] = 0.03886 [eV
2
.Vth ∼ 107 cm
התרמית
s
נוכל לחלץ את המהירות h 2 i
V
,µn = 1350 cmנניח שדה של E = 75 cm
עבור אלקטרון בסיליקון V ·s
h cm i
sec
vd = 105
ז“א שמהירות הסחיפה היא 1%מהמהירות התרמית ,הגיוני לפי הנחות המודל.
V
אם נפעיל שדה של cm
7500נקבל כי המהירות התרמית ומהירות הסחיפה הן באותו סדר גודל ,וזה עומד בניגוד להנחות
המודל שלנו!
בפועל נראה סטייה מהקשר הלינארי
איור :68
נגדיר מהירות של אלקטרון/חור
vs
= vn,p
S 2 12
En,p
1+ E
כאשר:
• ­ vsמהירות רוויה
s
­ En,pהשדה במהירות הרוויה
•
s
En,p
Eולכן נקבל כי
עבור שדות Eקטנים >> 1
E
· vs
s
En,p
23
= vn,p
דיפוזיה של נושאי מטען
נניח שיש לנו מיכל עם חלקיקי גז כך שיש הפרדה בין האזור עם הגז לאזור ללא גז.
איור :69
לאחר הסרת ההפרדה החלקיקים יתפשטו בכל המיכל.
תהליך דיפוזיה ­ החלקיקים נעים מאזור בעל ריכוז גבוה לאזור בעל ריכוז נמוך.
אם מולקולות הגז היו טעונות ,בתהליך הדיפוזיה ,התנועה הייתה גורמת לזרם חשמלי.
במל“מ
נניח מודל בו ריכוז של נ“מ משתנה מרחבית כפי שניתן לראות בשרטוט הבא:
איור :70
נניח כי אנו בטמפטרטורה אחידה ז“א Vthקבוע.
כדי לחשב את צפיפות הזרם ,נמצא את כמות האלקטרונים השקולה שחוצה את המישור ,x = 0ליחידת זמן ליחידת שטח.
בזמן נתון מחצית מהאלקטרונים נמצאים ב x = −lינועו ימינה לעבר ) x = 0מודל של מימד אחד( ומחצית ינועו שמאלה.
באופן דומה מחצית מהאלקטרונים שנמצאים ב x = lינועו לעבר .x = 0
סה“כ קצב זרימת האלקטרונים בכיוון החיובי של ציר ה xבמישור x = 0יהיה:
1
1
n (−l) · Vth − n (+l) Vth
2
2
= Fn
1
])Vth [n (−l) − n (+l
2
= Fn
נפתח טור טיילור סביב x = 0ונקבל
dn
− n (0) + l
dx
dn
dx
n (0) − l
1
Vth
2
= Fn
נקבל
dn
· Fn = −Vth · l
dx
אנו התייחסנו לכל האלקטרונים כאילו הגיעו ממרחק ,lולכן נוכל לסמנו כ lmf pכאשר .mpf ­ mean free pass
צפיפות הזרם תהיה
dn
dx
· J = −eFn = e · Vth · lmf p
ז“א זרם האלקטרונים הוא עם כיוון הגרדיאנט )מכיוון שמטענם שלילי והם נעים במורד הגרדיאנט הזרם יהיה בכיוון החיובי(
נוכל לסמן את זרם הדיפוזיה עבור אלקטרונים באופן הבא:
dn
dx
n
Jdif
f = e · Dn
2
Dn = Vth · lmf p = (Vth ) · τn
i
כאשר Dnהוא מקדם הדיפוזיה של אלקטרונים והיחידות שלו הן
cm2
s
h
= ] ) .[Dnניזכר כי (l = Vth · τ
באותו אופן עבור חורים:
dp
dx
2
Dp = Vth lpmf p = (Vth ) τp
p
Jdif
f = −e · Dp
נסתכל על הגרפים הבאים:
איור :71
• בשרטוט ,aהגרדינאט הוא בכיוון ̂ ,xתנועת האלקטרונים היא לכיוון ̂ ,−xמה שגורם לזרם בכיוון ̂.x
• בשרטוט ,bהגרדיאנט הוא בכיוון ̂ ,xתנועת החורים היא לכיוון ̂ ,−xמה שגורם לזרם בכיוון ̂.−x
• ז“א שטף נ“מ הוא תמיד נגד כיוון הגרדינאט והזרם תלוי במטען החלקיק.
סה“כ הזרם הוא סכום של דיפוזיה וסחיפה
dn
dp
− eDp
dx
dx
J = enµn Ex + epµp Ex + eDn
בהרחבה לתלת­מימד
J⃗ = unµn E + epµp E + eDn ∇n − eDp ∇p
כדי למצוא את הזרם נצטרך למצוא 4פרמטרים בלתי תלויים לכאורה.
אך למעשה ,כעת נראה כי יש קשר בין µוD
23.1
קשר בין מוביליות למקדם דיפוזיה
23.1.1
שדה בחומר
נדגים את הקשר בין µל Dבעזרת דוגמא של מל“מ בעל ריכוז סימום משתנה מרחבית.
נניח סימום מסוג דונורים ,Ndכאשר הסימום גדל בכיוון השלילי של ציר ה.(−x̂) x
נניח כי אנו בשיווי משקל ,ולכן רמת פרמי היא אחידה.
אך אנו יודעים כי ככל ש NDגדל ,רמת פרמי אמורה להיות יותר קרובה לפס ההולכה .מאחר שרמת פרמי קבועה ,פס ההולכה
ישתנה.
איור :72
רמת פרמי מתקרבת לרמת ההולכה ככל ש xקטן )ריכוז Ndגדל בכיוון ̂.(−x
ברגע ,t = 0יהיו יותר נושאי מטען בצד שמאל של המל“מ.
לאחר מכן אלקטרונים בפס ההולכה יתחילו לנוע ימינה נגד כיוון הגרדיאנט ,כך שהם ישאירו אחריהם יונים חיוביים )מרבית
הדונורים בצד שמאל של המל“מ( כך שיווצר שדה פנימי בחומר:
חיובי בצד שמאל ,ושלילי בצד ימין.
השדה הפנימי בחומר יהיה נגד כיוון הגרדיאנט .השדה הפנימי הזה הוא גורם שמעכב את הדיפוזיה כך שנגיע למצב של שיווי
משקל.
השדה הפנימי יאזן את תהליך הדיפוזיה.
נחשב את השדה:
1
])ϕ (x) = [Ef − Ef i (x
e
הפונטנציאל החשמלי ניתן ע“י האנרגיה הפוטנציאלית מחלוק במטען האלקטרון) .ביחס לרמת פרמי(
כעת נמצא את השדה מהפוטנציאל:
dϕ
1 dEf i
E (x) = −
=
dx
e dx
­ Efקבועה ולכן נופלת.
ננסה להבין איך נראית Ef iוהתלות שלה ב.x
ניזכר בקשר
Ef − Ef i
KB T
n = ni exp
מכיוון ש Nd >> niניתן להניח כי n ≈ Ndולכן
Ef − Ef i
KB T
)Nd (x
= KB T ln
ni
Nd = ni exp
Ef − Ef i
נוכל לגזור לפי xולקבל
dEf i
)KB T dNd (x
−
=
·
dx
)Nd (x
dx
כעת נוכל לקבל ביטוי לשדה
KB T
)1 dNd (x
E (x) = −
e Nd (x) dx
יש לנו שדה והוא פורפוציונלי לנגזרת של ריכוז הדופנטים )עם סימן מינוס(.
מסקנה אם יש גרדיאנט ריכוזים בדופנטים יווצר לנו שדה פנימי במל“מ.
ז“א כבר שרואים מצב שבו פסי האנרגיה משתנים במרחב אפשר להניח כי יש שדה פנימי במל“מ.
23.1.2
מציאת הקשר בין D, µ
כל עוד אין שדה חיצוני )המל“מ לא מחובר למגעים חיצוניים( ,והמל“מ בשיווי משקל תרמי ,סה“כ זרם החורים וסה“כ זרם
האלקטרונים חייבים להתאפס.
dn
dx
Jn = enµn Ex + eDn
)n (x) ∼ Nd (x
נשים לב כי Exבמשוואת זרם הסחיפה יהיה במקרה זה השדה הפנימי .נציב את הביטוי לשדה שמצאנו ,ואת הקשר בין n − Nd
ונקבל
)dNd (x
=0
dx
enµn Ex + eDn
)1 dNd (x
KB T
dn
+ eDn
=0
e Nd (x) dx
dx
נפשט ונקבל
Dn
KB T
=
µn
e
באופן דומה לחורים
KB T
Dp
=
µp
e
יחס זה נראה יחס אינשטיין.
עבור ] T = 300 [Kנקבל את הערכים הבאים:
איור :73
i
יחידות של מוביליות ומקדם דיפוזיה
23.2
cm2
s
i
h
= , Dn
cm2
V ·s
h
=µ
דרך נוספת לקשר בין מוביליות למקדם דיפוזיה
2
• מהגדרת מקדם הדיפוזיה .Dn = (Vth ) τn
• הגדרת המוביליות
qτn
∗m
= .µn
−enµn
• נחלק ביניהם ונקבל
Dn
) m∗ (Vth
=
=
µn
q
2 1
2
) = · m∗e (Vth
q |2 {z
}
2
Ek
2 1
= · KB T
q 2
Dn
KB T
=
µn
q
בידיוק אותה התוצאה.
23.3
הוכחה :רמת פרמי קבועה בכל הדגם בש“מ
טענה
רמת פרמי שווה בכל חלקי הדגם בשיווי משקל.
הוכחה בעזרת דוגמא
ניקח 2פיסות מל“מ עם סימום שונה ונחבר אותן.
כתוצאה מהחיבור ינועו אלקטרונים בין 2הפיסות ,עד ליצירה של שיווי משקל חדש.
.1התזוזה של נושאי מטען ממל“מ Aלמל“מ Bניתנות על­ידי ,NC fFAD · NC 1 − fFBD · kכאשר:
• אכלוס במל“מ .NC fFAD A
• מקומות פנויים במל“מ 1 − fFBD B
.NC
• kקבוע קצב המעבר.
.2התזוזה ממל“מ Bלמל“מ Aנתונה על ידי NC fFBD · NC 1 − fFAD · k
.3בשיווי משקל 2הגדלים שווים
NC fFAD · NC 1 − fFBD · k = NC fFBD · NC 1 − fFAD · k
fFAD · 1 − fFBD = fFBD · 1 − fFAD
הפתרון היחיד שמקיים זאת
fFAD = fFBD
⇒Ef A = Ef B
⇒Ef = const
24
יציאה משיווי משקל
נאיר על הדגם ,האור יבלע וייצר נושאי מטען בעודף )עודף אלקטרונים בפס ההולכה ,עודף חורים בפס הערכיות(
• עודף ­ מעבר לריכוזי שיווי משקל
• גנרציה ­ תהליך שבו נוצרים נושאי מטען חופשיים )אלקטרונים וחורים(
• רקומבינציה ­ תהליך שבו מחוסלים נושאי מטען חופשיים )אלקטרונים וחורים(
24.1
מל“מ אינטרינזי
24.1.1
בשיווי משקל
בשיווי משקל ריכוז האלקטרונים והחורים בפס ההולכה והערכיות קבועים בזמן.
תמיד יתרחשו קומבינציות וריקומבינציות שיאזנו אחד את השני.
מאחר וסה“כ ריכוז המטען קבוע בזמן ,קצב הגנרציה שווה לקצב הריקומבינציה.
#elctrons
נסמן Gp0 , Gn0כקצב הגנרציה התרמית של אלקטרונית וחורים .יחידות של cm3 ·sec
איור :74
במל“מ אינטרנזי אלקטרונים וחורים נוצרים בזוגות ולכן
Gn0 = Gp0
באותו אופן Rp0 , Rn0הם קצבי הריקומבינציה של חורים ואלקטרונים בעלי אותם יחידות כמו קצב הגנרציה.
במל“מ אינטרינזי ,חורים ואלקטרונים עוברים רקומבינציה בזוגות ולכן
Rn0 = Rp0
בשיווי משקל תרמי הריכוזים קבועים בזמן ולכן אנו מסיקים כי
Gn0 = Gp0 = Rn0 = Rp0
24.1.2
יציאה ממצב שיווי משקל
שלב א’ ­ הארה
על­ידי הארה בפוטונים בעלי אנרגיה מספיקה כדי להקפיץ אלקטרון מפס הערכיות לפס ההולכה נוכל לצאת משיווי משקל.
יצרנו אלקטרון עודף בפס ההולכה וחור עודף בפס הערכיות.
עודף ­ כי הזוג )אלקטרון/חור( מתווסף לריכוז שיווי המשקל.
נניח כי האלקטרונים העודפים נוצרים בקצב של ,gn′והחורים העודפים קצב של
.gp′
מכיוון שעדין חורים ואלקטרונים נוצרים בזוגות .gn′ = gp′
ריכוז האלקטרונים בפס ההולכה יהיה ­ n0 ) n = n0 + δnריכוז אלקטרונים בש“מ δn ,תוספת(
וריכוז החורים בפס הערכיות יהיה ­ p0 ) p = p0 + δpריכוז חורים בש“מ δp ,תוספת(
אנו כבר לא בשיווי משקל ולכן
n2i
= n · p ̸= n0 p0
אם נתמיד בהארה לא נוכל לקבל מצב שבו יווצרו עוד ועוד נושאי מטען בעודף.
אם עוצמת ההארה קבועה נגיע למצב עמיד .Steady State ,במצב עמיד האלקטרונים העודפים יעברו רקומבינציה באותו קצב
שבו מתבצעת הגנרציה.
פיתוח מתמטי
נגדיר Rn′ , Rp′כקצב הרקומבינציה עבור אלקטרונים וחורים עודפים
#
cm3 ·sec
קצב הרקומבינציה של חורים עודפים ושל אלקטרונים עודפים שווה אחד לשני במל“מ אינטרינזי.
Rn′ = Rp′
תהליך הרקומבינציה הוא ספונטני כלומר מתרחש באופן אקראי )בהסתברות שקבועה בזמן(
רקומבינציה היא למעשה כליאה של אלקטרון חופשי בפס הערכיות במצב ריק.
כדי שתהיה רקומבינציה צריך 2דברים:
.1אלקטרונים חופשיים שיכלאו.
.2מצבים ריקים )חורים(
ולכן קצב הרקומבינציה פורפוציוני לריכוז האלקטרונים וריכוז החורים
Ri′ ∝ n, p
איור :75
שלב ב’ ­ הפסקת ההארה
נניח שלאחר שהגענו למצב יציב הפסקנו את ההארה ,במצב זה קצב הגנרציה יקטן יותר מקצב הרקומבינציה כך שמספר נושאי המטען
בפס הערכיות ירד.
לאחר הפסקת ההארה קצב הגנרציה יהפוך לקצב הגנרציה התרמית .ריכוזי נושאי המטען הם מעל ריכוזי שיווי המשקל ,ומספרם
ידעך עד שנחזור לשיווי משקל.
איור :76
נתאר את הדינמיקה של התהליך )לאחר כיבוי ההארה( בצורה מתמטית:
])d [n (t
)= αr n2i − n (t) p (t
dt
בואו נפרק את המשוואה:
• מצד שמאל :שינויי נושאי המטען בזמן
• מצד ימין ­ αr :קצב הגנרציה ולכן:
– ­ αr n2iריכוז שיווי משקל מתאר את הגנרציה התרמית.
– )) ­ αr (n (t) · p (tמספר האלקטרונים והחורים מתאר רקומבינציה )תרמית של נושאי המטען בעודף(
אנו יודעים כי
)n (t) = n0 + δn (t
)p (t) = p0 + δp (t
δp = δn
נקבל כי
d
)dδ (t
dn
=
= ])[n0 + δn (t
dt
dt
dt
נשווה בין 2הצדדים
)dδ (t
)= αr n2i − n (t) p (t
dt
)dδ (t
))= αr n2i − (n0 + δn (t)) (p0 + δp (t
dt
)dδ (t
])= −αr δn (t) [n0 + p0 + δn (t
dt
נפתור את המשוואה תחת קירוב הזרקה חלשה ,קירוב זה אומר כי תוספת נושאי המטען קטנה ביחס לריכוז נ“מ בשיווי משקל.
ספציפית מדובר על מצב שבו ריכוז נ“מ בעודף קטן ביחס לריכוז נושאי מטען בשיווי משקל של רוב נושאי המטען.
עבור .n0 >> p0 ,N − T ype
עבור .p0 >> n0 ,P − T ype
ניקח מל“מ מסוג .P − T ypeאנו יודעים כי מתקיים ) p0 >> n0קירוב הזרקה חלשה(
לכן נוכל להתייחס רק לרכיב p0במשוואה ונקבל
)dδ (t
])= −αr δn (t) [n0 + p0 + δn (t
dt
)dδ (t
= −αr δn (t) p0
dt
δ (t) = δn (0) · e−αr p0 ·t
קיבלנו אקספוננט דועך כך שנוכל לסמן = τn0
1
αr p0
ולסמן
δ (t) = δn (0) · e− τn0
t
המשוואה מתארת את ריכוז נושאי המטען בעודף שבמיעוט )האלקטרונים כתלות בזמן(.
τn0מסמל לנו את זמן החיים של נ“מ במיעוט.
חלק IX
הרצאות שבוע 9פיזיקה של התקני מל“מ
25
יציאה משיווי משקל
25.1עבור P − T ype
ניזכר בנוסחא משיעור קודם
δn (t) = δn (0) e− τn0
t
שמתארת את נושאי המטען העודפים שנמצאים במיעוט במל“מ .כך ש τn0הוא זמן החיים של נ“מ במיעוט )אלקטרונים(
1
αr p0
= τn0
סימנו את קצב הרקומבינציה של נושאי מטען במיעוט שנמצאים בעודף
])d [δn (t
dt
Rn′ = −
שלמעשה מסמן את קצב ההפחתה של נושאי המטען שנמצאים בעודף) .הוספנו את המינוס מכיוון שמספר נושאי המטען יורד
ולכן הנגזרת שלילית ,אך כשאנו מדברים על קצב אנו רוצים לדבר על גדלים חיוביים(
נגיע לביטוי מפורש:
])d [δn (t
)= αr p0 δn (t
dt
)δn (t
= Rn′
τn0
Rn′ = −
קצב הרקומבינציה של נושאי מטען במיעוט )אלקטרונים( בעודף ,שווה לקצב הרקומבינציה של נושאי מטען ברוב )חורים(
בעודף.
)δn (t
=
τn0
Rp′
=
Rn′
25.2עבור N − T ype
כל מה שנעשה עד כה לגבי מל“מ p − typeנוכל לבצע גם עבור מל“מ .n0 >> p0 ,n − type
תחת הזרקה חלשה .δn (t) << n0נקבל שריכוז נ“מ במיעוט )חורים( ידעך עם קבוע הזמן
1
α r n0
= τp0
כך שקצב הרקומבינציה
)δn (t
=
τn0
Rp′
=
Rn′
כלומר קצב הרקומבינציה של נושאי מטען בעודף נקבע לפי זמן החיים של נושאי המטען במיעוט.
25.3
גנרציה קבועה
מה קורה כאשר יש גנרציה קבועה בזמן? )מקור אור קבוע בזמן(
נייצר עוד ועוד נושאי נטען ,כך שקצב הרקומבינציה יעלה ,עד שקצב הרקומבינציה ישתווה לקצב הגנרציה ונגיע למצב עמיד.
נחשב זאת מתמטית
)dδn (t
= −αr p0 δn (t) + gn′
dt
כאשר
• ­ gn′גנרציה עודפת.
• ) ­ αr p0 δn (tרקומבינציה עודפת.
מדובר במשוואה דיפרנציאלית שניתנת לפתרון באופן הבא
)dδn (t
)δn (t
=−
+ gn′
dt
τn0
h
i
t
δn (t) = gn′ τn0 1 − e− τn0
נשרטט גרף של הפתרון:
איור :77
איפיון נושאי מטען בעודף
26
נטפל בתכונותיהם של נושאי מטען בעודף ,נפאט ונעקוב אחרי ההתפתחות שלהם בזמן ובמרחב.
נשתמש בכלי שנקרא משוואת הרציפות.
26.1
משוואת הרציפות
נסתכל על תיבה בעלת מימדים של ,dx, dy, dzכך שיש שטף של חורים שנכנס לתיבה במיקום xויוצא במיקום .x + dx
נסמן שטף באופן הבא:
+
∂Fpx
(x) +
dx
∂x
+
Fpx
= )(x + dx
+
Fpx
כאשר:
• F = F luxשטף של חורים.
• ­ +מסמל שטף בכיוון החיובי של ציר ה.x
• ­ pמסמל חורים.
+ 1
• יחידות Fpx = cm2 ·sec
איור :78
מהו השינוי במספר החורים ליח’ זמן בתוך התיבה?
∂p
dxdydz = −∇Fp+ dxdydz
∂t
כדי לשמור על פשטות נשאר בשטף בחד מימד כך שנקבל
+
∂Fpx
∂p
dxdydz = −
dxdydz
∂t
∂x
במודל הנ“ל לא התייחסנו לתופעת הריקומבינציה והגנרציה שתורמות גם הן למספר החורים ביחידת נפח.
נוסיף אותם ונקבל
+
∂Fpx
p
−
+ gp −
dxdydz
∂x
τpt
∂p
= dxdydz
∂t
.1האיבר הראשון הוא שינוי בכמות החורים ליחידת זמן כתוצאה משינוי בשטף.
.2האיבר השני הוא שינוי בכמות החורים ליחידת זמן כתוצאה מגנרציה של חורים.
.3האיבר השלישי הוא שינוי בכמות החורים ליחידת זמן כתוצאה מרקומבינציה של חורים.
אין טעם להסתכל על ,dxdydzנוכל לחלק בו ולהסתכל על שינוי בשטף ליחידת שטח ונקבל
+
∂Fpx
∂p
p
=−
+ gp −
∂t
∂x
τpt
נוכל לרשום באותו אופן לאלקטרונים
∂n
∂F −
n
= − nx + gn −
∂t
∂x
τnt
כאשר τnt/ptהם זמני החיים של אלקטרונים/חורים בשיווי משקל תרמי ובעודף.
26.2
משוואת הדיפוזיה התלויה בזמן
נעבור ממשוואת הרציפות למשוואת הדיפוזיה התלויה בזמן.
נזכור כי צפיפות הזרם של אלקטרונים וחורים נתונה על­ידי
∂p
∂x
∂n
Jn = eµn · n · E + eDn
∂x
Jp = eµp · p · E − eDp
נחלק את הזרם במטען ,מה נקבל?
נקבל את מספר חלקיקי המטען )במקום כמות מטען( שיחצו משטח ביחידת שטח ביחידת זמן.
ולכן נוכל להשוות ביטוי זה לביטוי שמצאנו לעיל:
Jp
∂p
= Fp+ = µp · p · E − Dp
)(+e
∂x
Jn
∂n
= Fn− = −µn · n · E − Dn
)(−e
∂x
נפעיל דיברגנץ
∂Fp+
)∂ (p · E
∂2p
· = µp
− Dp 2
∂x
∂x
∂x
∂Fn−
)∂ (n · E
∂2n
· = −µn
− Dn 2
∂x
∂x
∂ x
כעת נוכל להציב את הביטוי הנ“ל במשוואת הרציפות ששם גזרנו את השטף לפי המרחב.
נציב במשוואת הרציפות:
+
∂Fpx
∂p
p
=−
+ gp −
∂t
∂x
τpt
∂p
)∂ (p · E
∂2p
p
· = −µp
+ Dp 2 + gp −
∂t
∂x
∂x
τpt
כנ“ל לאלקטרונים
∂n
∂F −
n
= − nx + gn −
∂t
∂x
τnt
)∂ (n · E
n
∂n
∂2n
· = µn
+ Dn 2 + gn −
∂t
∂x
∂ x
τnt
קיבלנו 2ביטויים
)∂ (p · E
p
∂2p
∂p
· = −µp
+ Dp 2 + gp −
∂t
∂x
∂x
τpt
∂n
)∂ (n · E
n
∂2n
· = µn
+ Dn 2 + gn −
∂t
∂x
∂ x
τnt
כעת הבעייתיות שלנו היא בביטויים
) , ∂(n/p·Eנפרק את הביטוי לפי כלל השרשת
∂x
)∂ (n · E
∂n
∂E
=E
+n
∂x
∂x
∂x
)∂ (p · E
∂p
∂E
=E
+p
∂x
∂x
∂x
משוואות הדיפוזיה שתלויות בזמן עבור אלקטרונים וחורים
∂p
p
∂p
∂E
∂2p
= −µp · E
+p
+ Dp 2 + gp −
∂t
∂x
∂x
∂x
τpt
∂n
∂n
∂E
∂2n
n
= +µn · E
+n
+ Dn 2 + gn −
∂t
∂x
∂x
∂ x
τnt
נזכיר כי
n = n0 + δ n
p = p 0 + δp
כך ש n0 , p0לא תלויים בזמן או מרחב )בהנחת מל“מ הומוגני(
ולכן נוכל לרשום מחדש את המשוואה באופן הבא:
]∂ [δp
]∂ [δp
∂E
]∂ 2 [δp
p
= −µp · E
+p
+ Dp
+ gp −
2
∂t
∂x
∂x
∂x
τpt
]∂ [δn
]∂ [δn
∂E
]∂ 2 [δn
n
= +µn · E
+n
+ Dn 2
+ gn −
∂t
∂x
∂x
∂ x
τnt
26.3
טרנספורט אמביפולרי
כשנאיר על המל“מ ניצור אלקטרונים וחורים בעודף ,אם נפעיל גם שדה חיצוני במצב זה ,החורים ינועו בכיוון השדה והאלקטרונים
נגד כיוון השדה ,בעצם הפעולה הזו ניצור שדה פנימי שפועל בכיוון הפוך לזה של השדה החיצוני .שדה זה משמש ככח שקושר את
האלקטרונים והחורים.
לפיכך השדה הכללי יכול להיכתב באופן הבא
E = Eapp + Eint
כאשר
• ­ Eappהשדה החיצוני שמופעל.
• ­ Eintהשדה הפנימי שמחזי את החורים והאלקטרונים ביחד.
לכן האלקטרונים והחורים יעברו דיפוזיה ויסחפו ביחד במעיין ענן של אלקטרונים וחורים )קצת מופרדים( שנסחפים ביחד .לכל ענן
כזה יהיה מקדם דיפוזיה אפקטיבי ומקדם סחיפה אפקטיבי יחודיים.
איור :79
החלק החשוב כאן הוא שנצטרך להסתכל על הענן כיחידה אחת.
מעבר למשוואות הדיפוזיה נדרוש עוד תנאי )לקשירה של אלקטרונים וחורים( ,שהוא למעשה משוואת פואסון )נניח אלקטרוסטטיקה(
e
]· [δp − δn
εs
= ∇Eint
כאשר εsהוא פרמיטיביות של המל“מ .נעבור לגזירה לפי מימד אחד לשם פשטות ולכן
e
∂Eint
=
]· [δp − δn
∂x
εs
נפתור את משוואות הדיפוזיה עם משוואת פואסון ,כדי לקבל פתרון נצטרך לבצע קירובים.
בדר“כ | ) |Eint | << |Eappהשדה הפנימי חלש ביחס לשדה החיצוני(
אבל באותו הזמן ∇ · Eintלא זניח.
נפשט את משוואת הדיפוזיה התלויה בזמן ונפשט אותה .נשתמש בעובדה כי
Gn0 = Gp0
gn′ = gp′
⇒ gn = gp = g
Rn0 = Rp0
Rn′ = Rp′
n
p
= = Rp
=R
= ⇒ Rn
τnt
τpt
בנוסף נדרוש נייטרליות חשמלית
δn ≈ δp
ז“א שריכוז האלקטרונים העודפים שווים לריכוז החורים העודפים )במרחב זה לא תמיד נכון ,כי יש הפרדה בין האלקטרונים
לבין החורים ,אך ברזולוציות גבוהות זה כן נכון(
לשם נוחות נשתמש רק ב .δn
נרשום את משוואות הדיפוזיה
]∂ [δn
]∂ [δn
∂E
]∂ 2 [δn
= −µp · E
+p
+ Dp
+g−R
∂t
∂x
∂x
∂x2
]∂ [δn
∂E
]∂ 2 [δn
]∂ [δn
= +µn · E
+n
+ Dn 2
+g−R
∂t
∂x
∂x
∂ x
נכפיל את המשוואה הראשונה ב µn nואת השנייה ב µp pונחבר אותן
∂ 2 δn
∂δn
∂δn
+ µn µp (p − n) E
]+ [µn n + µp p] (g − R) = [µn n + µp p
∂x2
∂x
∂t
] [µn nDp + µp pDn
נחלק ב­ µn n + µp pונקבל את משוואת הטרנספורט האמביפולרי )משוואת של ענן החלקיקים כגוש אחד בעלי מקדמים
אפקטיביים(
2
∂δn
∂δn
∂ δn
+ µ′ E
= )+ (g − R
∂x2
∂x
∂t
D′
כאשר מקדמי הדיפוזיה והסחיפה האפקטיבים נתונים על­ידי
•
µn nDp + µp pDn
µn n + µp p
)µn µp (p − n
•
µn n + µp p
= D′
= µ′
נוכל לפשט עוד קצת את המשוואה על­ידי
µn
µp
e
=
=
Dn
Dp
KB T
)Dn Dp (n + p
Dn n + Dp p
26.4
= D′
בעיתייות המשוואה
הבעיה במשוואה היא שהמקדמים של המשוואה הלינארית גם תלויים ב ,nמה שהופך את המשוואה למשוואה דיפרנציאלית חלקית
לא לינארית.
כדי לפתור את הבעיה נניח כי אנו נמצאים במל“מ אקסטרינזי לדוגמא p − typeכך ש .p0 >> n0
אם נניח הזרקה חלשה ) (p >> nנוכל לקבל כי
D′ = Dn
µ′ = µn
ככה שהמקדמים שלנו לא תלויים בריכוזים והמשוואה הופכת ללינארית.
באותו אופן עבור מל“מ n − typeבהזרקה חלשה נקבל
D ′ = Dp
µ′ = −µp
קיבלנו כי דווקא נושאי המטען במיעוט הם אלו שיקבעו את מקדמי המל“מ.
26.5
רקומבינציה וגנרציה
בדר“כ קצב הגנרציה ורקומבינציה של חורים ואלקטורנים שווים זה לזה
n
p
=
=R
τnt
τpt
כך ש τnt , τptהם זמני החיים הממוצעים של אלקטרונים וחורים )כולל שיווי משקל ועודף(.
1
τnt
1
τpt
­ הסיכוי ליחידת זמן שבו אלקטרון יתחבר עם חור ויעבור רקומבינציה.
­ הסיכוי שחור יתחבר עם אלקטרון ויעבור רקומבינציה.
נניח מל“מ p − typeבהזרקה חלשה ,כך שניתן לומר כי ריכוז נושאי המטען ברוב )במקרה זה חורים( הוא קבוע.
ולכן הסיכוי של אלקטרון )נושא מטען במיעוט( לפגוש חור ולעבור רקומבינציה הוא גם קבוע )מספר החורים לא משתנה ,ולכן
הסיכוי לפגוש חור נשאר זהה(
ולכן
τnt = τn
גם אם נוסיף עוד קצת חורים בתהליך של גנרציה עדין מספר החורים שיראה האלקטרון לא השתנה כמעט )מספר החורים גדול
מאוד ביחד לכמות החורים שנוספו( ולכן הסיכוי קבוע.
באופן דומה עבור מל“מ מסוג ,n − typeנוכל להגיד כי
τpt = τp
עבור p − type
נחזור לביטוי של גנרציה ורקומבינציה )(g − R
] g − R = gn − Rn = [Gn0 + gn′ ] − [Rn0 + Rn′
תחת ההנחה כי Gn0 = Rn0נקבל כי
δn
τn
(g − R) = gn′ − Rn′ = gn′ −
עבור n − tpye
δp
τp
(g − R) = gp − Rp = gp′ −
נחזור למשוואה האמביפולארית
• עבור p − type
∂δn
∂ 2 δn
∂δn
δn
′
+
µ
E
Dn
+
g
=
−
n
n
2
∂x
∂x
τn
∂t
• עבור n − type
∂δp
δp
∂δp
∂ 2 δp
′
+ gp −
=
Dp 2 − µp E
∂x
∂x
τp
∂t
נושאי המטען ברוב ינועו ביחד עם נושאי המטען במיעוט והם מואלצים על­ידם.
חלק X
הרצאות שבוע 10פיזיקה של התקני מל“מ
27
המשוואה האמביפולארית
• עבור P − typeקיבלנו את המשוואה הבאה:
∂ 2 δn
∂δn
δn
∂δn
′
+
µ
E
+
g
−
=
n
∂x2
∂x
τn
∂t
Dn
• עבור N − typeקיבלנו את המשוואה הבא:
δp
∂δp
∂ 2 δp
∂δp
′
+
g
−
=
−
µ
E
p
∂x2
∂x
τn
∂t
27.1
Dp
דוגמא ­ דעיכה לאחר סיום הגנרציה
נתון מלמ ,n − typeללא הפעלת שדה חיצוני .נתון כי ב t = 0יש ריכוז אחיד של נושאי מטען בגביש.
ב t > 0נתון כי .g ′ = 0ז“א החל מהרגע t ≥ 0אין יותר גנרציה.
מהו ריכוז נושאי המטען בעוד כתלות בזמן?
נרשום את המשוואה האמביפולרית עבור n − type
∂ 2 δp
∂δp
δp
∂δp
′
Dp 2 − µp E
+ g −
=
∂x
∂x
τn
∂t
מכיוו שנתון שיש ריכוז אחיד בגביש
∂ 2 δp
∂δp
=
=0
2
∂x
∂x
מהנתון שאין גנרציה ב t ≥ 0נקבל כי ,g ′ = 0ולכן המשוואה מצטמצת ל
δp
∂δp
=
τn
∂t
− τtp
−
δp (t) = δp0 e
אם נרצה נוכל לפתור גם עבור אלקטרונים
)δn (t) = δp (t
27.2
דוגמא ­ 2גנרציה
נניח שב t > 0המלמ היה בשיווי משקל וב t ≥ 0יש גנרציה אחידה במרחב.
מהו ריכוז נושאי המטען במיעוט שבעודך?
גם כאן
∂ 2 δp
∂δp
=
=0
∂x2
∂x
אך הפעם הגנרציה לא זניחה
∂δp
δp
=
τn
∂t
g′ −
i
h
−τ
⇒ δp (t) = g ′ τp 1 − e p
27.3
דוגמא ­ 3קומינציה ורקומבינציה משולבים
נניח מלמ p − typeחד מימדי אינסופי .נניח גנרציה קבועה בזמן רק בx = 0
מצא את ) δn (xבמצב יציב ,הנח כי אין שדה חיצוני.
∂
. ∂t
נרצה למצוא מצב יציב ולכן נדרוש עבורו כי = 0
ללא קשר למצב היציב הנתון הוא כי E = 0וכי )g′ (x) = δ (x
.1המשוואה עבור x ̸= 0
∂ 2 δp
∂δp
δp
∂δp
′
−
µ
·
0
·
+
g
−
=
p
∂x2
∂x
τn
∂t
2
∂ δp
δp
Dp 2 −
=0
∂x
τn
δp
∂ 2 δp
−
=0
∂x2
Dn · τn
δp
∂ 2 δp
− 2 =0
2
∂x
Ln
כאשר Dn τn
√
Dp
= ,Lnמרחק הדיפוזיה ,המרחק האופייני שגרדיאנט הריכוזים דועך בו.
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית
−x
x
δn (x) = Ae Ln + Be Ln
כשנוסעי מטען עוברים דיפוזיה מהמקור ב ,x = 0הם עוברים ריקומבינציה כאשר הם מתרחקים ,ולכן נרצה לבחור את
הפתרונות שאכן מעידים על דעיכה.
• עבור x > 0נקבע את הקבוע .B = 0
• עבור x < 0נקבע את הקבוע .A = 0
x>0
δn (0) e− Lxn
x<0
δn (0) e+ Lxn
= )δn (x
איור :80
.2עבור x = 0נצטרך לפתור בדרכים מתוחכמות שלא במסגרת הקורס.
27.4
דוגמא ­ 4שדה חיצוני )סחיפה ודיפוזיה(
נניח ב t = 0יצרנו מספר סופי של זוגות אלקטרון­חור ב .x = 0נניח כי המל“מ הוא ) .n − typeב x = 0יש איזה תנאי התחלה
ממוקד(
עבור t ≥ 0מפסיקים את ההארה .כלומר .g ′ (t > 0) = 0
מפעילים שדה חיצוני קבוע ̂.E = E0 · x
מצא את ריכוז נושאי המטען בעודף כתלות בזמן ובמרחב.
נכתוב את המשוואה האמביפולרית
∂ 2 δp
∂δp
∂δp
δp
′
=
Dp 2 − µp E
+ g −
∂x
∂x
τn
∂t
נשים לב כי הפעם האיבר היחידי שנופל זה הגנרציה
∂ 2 δp
∂δp
δp
∂δp
− µp E
−
=
∂x2
∂x
τn
∂t
Dp
ננחש פתרון מהצורה
− τtp
δp (x, t) = A (x, t) · e
נציב במשוואה ונקבל
i
h
− t
∂ A (x, t) · e τp
∂t
=
h
i
− t
A (x, t) · e τp
τn
i
h
− τtp
∂ A (x, t) · e
−
i
∂x
− τtp
− µp E
])∂ [A (x, t
])∂ 2 [A (x, t
])∂ [A (x, t
=
− µp E
∂x2
∂x
∂t
h
∂ 2 A (x, t) · e
∂x2
Dp
כעת יש לנו משוואה דיפרנציאלית עבור ) ,A (x, tשהפתרון עבורו
2
)(x−µp E0 t
δp0
−
4Dp t
A (x, t) = p
e
4πDp t
כך שהפתרון הכללי
t
−
)δp0 · e τp − (x−µ4Dp pEt0 t
δp (x, t) = p
e
4πDp t
2
באחד חלקי שורש הזמן(.
יש לנו גאוסין שתלוי במרחב ובזמן ,עם הזמן הגאוסיין קטן
)מוכפל
רוחב הגאוסיין גדל עם הזמן ,אך בגלל הרקומבינציה )איבר
יש 3תופעות פיזיקליות במשוואה:
.1סחיפה )הזזה של הגאוסיין ב(x
.2דיפוזיה )הרוחב של הגאוסיין גדל בזמן והפיק שלו קטן(
.3רקומבינציה )
− τtp
(e
במקרה שהשדה ,E = 0אין סחיפה:
איור :81
שרטוט במקרה שבו ,E ̸= 0יש סחיפה:
− τtp
( eנקבל כי השטח לא קבוע וקטן עם הזמן.
Dp
איור :82
מדידת הפרמטרים החשמליים של המל“מ
28
נרצה למדוד מספר גדלים עבור מל“מ שנייצר
• מוליכות סגולית σאו התנגדות סגולית ρ
• ריכוזי נ“מ ברוב
• סוג המל“מ
• ניידות
• מקדם דיפוזיה
• זמני חיים
בעזרת הגדלים הללו נוכל לאפיין את המל“מ ולהחליט על השימוש שלו במכשירים שנתכנן.
28.1
מדידת מוליכות או התנגדות סגולית
28.1.1
מדידה על ידי שני מגעים
• הפעלת זרם ומדידת מתח בין פאות הפיסה
• הפעלת מתח ומדידת זרם בין פאות הפיסה
איור :83
עבור שטח הפאה Aומרחק Lבין הפאות אנו יודעים כי
L
V = RI = ρ I
A
בשיטה זו יכולה להיות בעיות בחיבור של מכשירי המדידה לפיסת המל“מ.
יש לנו 2חומרים שונים ויכולה להיות התנגשות ביניהם כדי שיווצר זרם.
28.1.2
מדידה בשיטה של 4מגעים 4 − points
נבטל את השפעת איכות המגע של דיוק המדידה בעזרת שיטת 4המגעים.
נזרים זרם דרך 2מגעים חיצוניים .נחבר מקור זרם שקובע את הזרם
איור :84
נחבר מקור זרם ל ,A − Bומודד מתח בין .C, Dכך שהזרם בכל המלמ הוא זהה ,והמתח שנמדוד יהיה התנגדות CDכפול
הזרם במעגל .מכאן נוכל לחלץ את ההתנגדות הסגולית של המל“מ .אנו גורמים לחיבור טורי של נגדים ובכך דואגים כי הזרם בהם
יהיה זהה .הוולטמטר היא בעלת התנגדות אינסופית ,ולכן מה שנמדוד יהיה ההתנגדות של הפיסות כפול הזרם שהזרמנו במעגל.
28.1.3
שיטת 4המגעים המתקדמת
מבוססת על שימוש בגשש מסחרי בעל 4חודי מתכת שמשמשים כמגעים ומסודרים בשורה:
איור :85
הבעיה כעת היא שהזרם לא באמת קבוע בכל החתך.
שרטוט מההרצאה:
איור :86
איור :87
אם הדגם דק ביחס למודד המדידה בסדר ,אם לא יפתרו בדרך אנליטית.
.1עבור ) s << dמל“מ דק(
V
]ρ = 2πs [Ω · cm
I
.2עבור ) s >> dמל“מ לא דק(
π V
=ρ
]· d [Ω · cm
ln2 I
התנגדות יריעה Rs
28.1.4
Ω
מיועד לשכבות דקות ביחידות של
.
Rsמוגדר כהתנגדות של ריבוע משטח בעובי השכבה
Ω
ρ
V
= 4.53
d
I
L
R = Rs
W
= Rs
ז“א Rsהוא נירמול ב.d
Van Der pauw
28.1.5
4מגעים שממוקמים באופן שרירותי על היקף הדגם ,נועד לפיסות בעלות פיסה לא מסודרת.
איור :88
­ dעובי הדגם.
מתקיים
=1
πd
ρ ·RBC,DA
+ e−
πd
ρ ·RAB,CD
e−
כאשר
•
VD −VC
IAB
= RAB,CD
•
VA −VD
IBC
= RBC,DA
מקרה פרטי
כאשר הפיסה סימטרית נקבל
πd VCD
=ρ
·
ln2 IAB
28.2
אפקט הול
מדידה של ריכוז נ“מ ברוב ,ניידות ,סוג המלמ.
אפקט שהתגלה ב 1874ועד היום משמש אותנו .התופעה נובעת מכח לורנץ.
כח לורנץ :הכח המופעל על מטען qהנע במהירות vתחת השפעת שדה Bיהיה
F = qv × B
איור :89
נפעיל שדה חשמלי בכיוון xעל תיבה באורך Wברוחב Lובגובה ,dכך שיזרום זרם במל“מ .נפעיל שדה מגנטי ̂ B · zונבצע
מדידה בין 2הדקים בכיוון .y
נמדוד את המתח בין 2הפאות שמקבילות לציר ה yכך שהוא יהיה מתח הול .VH
כשהאלקטרונים ינועו במל“מ הם ירגישו את כח הול.
למשל חורים ,אמורים לנוע משמאל לימין ,אך פועל עליהם כח ̂.F ∝ v × B = x̂ × ẑ = −y
על אלקטרונים הנעים לכיוון ̂ ,−xיפעל כח גם לכיוון ̂ −yמכיוון שהפעם המטען שלהם שלילי ,ולכן
̂F = −q · vB · −x̂ · ẑ = −qvB · ŷ = qvB · −y
כיוון שדה הול EHיקבע על­ידי ריכוז נושאי המטען ברוב.
• אם רוב נ“מ הם חורים )חיוביים( שדה הול יהיה בכיוון ̂ yוהמתח יהיה חיובי ,המל“מ יהיה .p − type
• אם רוב נ“מ הם אלקטרונים )שלילים( שדה הול יהיה בכיוון ̂ −yוהמתח יהיה שלילי ,המלמ יהיה .n − type
במצב עמיד כח לורנץ מתאזן עם הכח החשמלי שנוצר כתוצאה משדה הול.
F = q [E + v × B] = 0
כך שנקבל
Ey = vx · Bz
לכן ממדידת שדה הול ,נוכל לחלץ גם את המהירות של נושאי המטען.
נוכל להגדיר את מתח הול
V H = EH · W
ולכן
VH = vx · Bz · W
כעת נקשר בין מהירות לזרם הסחיפה:
Jx
Ix
=
=
e·p
e·p·W ·d
vdr
כאשר W · dהוא שטח החתך כך ש .Jx · W · d = Ixמכאן נוכל לקבל כי
Ix Bz
e·p·d
= VH
מכאן נוכל לקבל את מספר נשאי המטען ברוב.
Ix Bz
e · d · VH
=p
עבור n − typeנקבל ביטוי מאוד דומה
Ix Bz
n=−
e · d · VH
כעת לאחר שחישבנו את ריכוז נושאי המטען נוכל לחשב ניידות.
Ix
= epµp E
Wd
Vx
= epµp
L
= Jx
כאשר Vxהוא השדה שאנו הפעלנו כדי לגרום לזרם
Ix · L
e · p · Vx · W · d
= µp
באותו אופן לn − type
Ix · L
= µn
e · n · Vx · W · d
28.3
שיטת הבחון החם
נוכל לקבוע את סוג נ“מ הניידים בעזרת שיטת הבחון החם
איור :90
מחברים שני גפיים למוליך למחצה .אחת הגפים מחוממת באמצעות חוט להט מלופף ,כך שלמעשה אנחנו מחממים אזור ספציפי
במל“מ.
דבר זה גורם לנושאי המטען באזור זה לקבל עוד אנרגיה מה שמוביל לתנועה יותר מהירה מהאזור החם לאזור הקר.
אם נושאי המטען הם אלקטרונים ,התנועה של האלקטרונים מהאזור החם של המל“מ יוצרת אזור בעל מטען חשמלי חיובי
)אלקטרונים עזבו(
אם נושאי המטען הם חורים ,התנועה של החורים מהאזור החם של המל“מ יוצרת אזור בעל מטען חשמלי שלילי )פחות חורים(
נוכל למדוד את המתח באזור לעומת מתח באזור בעל טמפרטורה נמוכה.
• מתח שלילי ⇐ נ“מ ברוב הם חורים.
• מתח חיובי ⇐ נ“מ ברוב הם אלקטרונים.
ניזכר בביטוי הזרם
]∂ [D · n
+ qµnEx
Je (x) = q
∂x
יחסי אינשטיין
KB T
=D
µ
q
ולכן הזרם
∂T
Je (x) = nµKB
+ qµnEx
∂x
מכיוון שההתנגדות גדולה נוכל להניח כי הזרם הוא 0ולכן נקבל כי
KB ∂T
q ∂x
Ex = −
אנו מודדים בפועל מתח ולא שדה ולכן נעבור למתח
ˆ
V =−
Edx
ˆ
KB
∂t
= V
= dx
q
∂x
ˆ
KB
dt
=
q
KB
= V
∆T
q
V = 8.62 · 10−5 ∆T
המכשיר יכול לשמש גם כמד טמפרטורה.
28.4
ניסוי היינס שוקלי Haynes Shockley
28.4.1
אופן פעולת הניסוי
קביעת ניידות ,מקדם דיפוזיה ,וזמן חיים של נ“מ במיעוט.
מהשיעור:
איור :91
הנקודה aמוארת באור ,ובנקודה cהמלמ הוא .p − type
נסגור מעגל בין A − Bכך שאנו מאלצים זרם במל“מ ,ויוצרים שם שדה.
יצרנו צומת P Nבנקודה ,cולמעשה יצרנו שם דיודה.
תכונה חשובה של צומת P Nכאשר איזור Pנמצא במתח שלילי ביחס לאזור ,Nנושאי מטען ברוב מתרחקים מהצומת ולא
יכולים לחצות אותה.
לעומת זאת ,נושאי מטען במיעוט )חורים באזור ,Nאלקטרונים באזור (Pכן יכולים לחצות את הצומת על­ידי סחיפה.
חזרה לניסוי כל עוד אין הארה ריכוז נושאי המטען במיעוט קטן ,לכן הזרם דרך נקודה cזניח )מעט מאוד נושאי מטען במיעוט
חוצים את הצומת(
באופן מעשי נקודת המגע Cהיא כמעט מוארקת.
אם ניצור פולס של אור ,ניצור גם פולס של נ“מ במיעוט שינועו לכיוון נקודה Cבגלל הסחיפה של השדה החשמלי שאנו מפעילים.
רבים מהחורים האלו יחצו את הצומת ויגרמו למפל מתחים על נגד R1גדול יותר ,ונוכל למדוד אותו.
איור :92
נשרטט את δpכתלות בזמן ,בהנחה ש dקטן
איור :93
נשרטט את השדה כתלות בזמן:
איור :94
28.4.2
ניתוח מתמטי
המשוואה האמביפולרית עבור המל“מ )ללא נקודות הגנרציה(
∂ (δp) δp
)∂ (δp
)∂ 2 (δp
− µp E0
−
=
2
∂x
∂x
τp
∂t
Dp
ננחש פתרון
−t
δp (x, t) = A (x, t) e τp
δp (0, 0) = δp0
נציב במשוואה ונקבל כי הפתרון
)
−t
(x−µp E0 t)2
e τp
4Dp t
(
−
δp0
δp (x, t) = p
e
2 πDp t
מדידת המוביליות
נשים לב כי קיבלנו פולס של נ“מ שנעים במהירות
vdp = µp E0
לכן ,נמדוד את הזמן מרגע יצירת הפולס עד לרגע הופעתו בסקופ.
מידיעת ,t1נוכל לחלץ את המוביליות
d
t1
d
= ⇒ µp
t1 E0
= vdp = µp E0
כאשר E0ידוע לנו כי אנו הפעלנו את מתח הסחיפה.
מציאת מקדם הדיפוזיה
אפשר לחשב את מקדם הדיפוזיה על ידי מדידת רוחב הגאוסיאן .נצטרך לנטרל את הסחיפה על­ידי החלפת משתנים
−t1
τp
)
e
x′2
4Dp t1
x ′ = x − vd t 1
(
δp0
−
δp (x′ , t) = p
e
2 πDp t1
כך שנקבל גאוסין שממוקד ב 0שלא נע בזמן.
איור :95
נרצה למצוא את הנקודות שבהן הגאוסיאן הוא בחצי מגובהו המקסימלי ז“א
1
2
δ2
= e− 4Dt1
נקבל כי
2
δ = 4Dp t1 ln2
t1מדוד על­ידי האוסילוסקופ ,ולכן נותרנו עם 2משתנים .δ, Dp
נחפש קשר נוסף נוכל למדוד את הזמן בו הגאוסין יורד מחצי ועולה לחצי מגובהו המרכזי בעזרת האוסילוסקופ כך שנקבל עוד
קשר
2δ
vd
= ∆t
ולכן
p
2 4Dp t1 ln2
d
t1
= ∆t
2
)(d∆t
16 · ln (2) · t31
= Dp
­ t1הזמן שבו הגאוסין מגיע לשיאו
­ ∆tהזמן שבו לוקח לגאוסין לרדת מחצי מהגודל שלו.
מציאת זמן מחצית החיים
ניזכר במשוואה
−t
e τp
)2
( x−µ
p E0 t
4Dp t
δp0
−
δp (x, t) = p
e
2 πDp t
הרקומבינציה תקטין את השטח מתחת לגרף נושאי המטען בפקטור של
− τtp
e
אם נבצע אינטגרל על נושאי המטען נוכל לחלץ את זמן החיים .הגאוסין המתמטי שלנו מנורמל ל­ 1ולכן לאחר אינטגרציה
t
מרחבית נישאר רק עם .δp0 · e τp
הגורם היחידי שמקטין את השטח הוא גורם הרקומבינציה.
−t
)2
e τp dx
( x−µ
p E0 t
4Dp t
−
∞ˆ
e
∞−
δp0
S= p
2 πDp t
−t1
τp
נפעיל lnונקבל
= δp0 e
t1
ln (S) = ln (δp0 ) −
τp
נוכל להפעיל שדות שונים כך שנקבל t1שונה כל פעם ונוכל לקבל את הגרף הבא:
איור :96
1
שיפוע הגרף יהיה m = − τ1pכך ש
m
τp = −
29צומת P N
ניקח פיסת מלמ p − typeנצמיד אותה לפיסת מלמ .n − type
את המצב המתואר אפשר לייצר על­ידי תהליך מיקרואלקטרוניקה כגון השתלת יונים ודיפוזיה.
רוב התקני המל“מ מכילים לפחות צומת P Nאחת.
29.1
מבנה צומת P N
איור :97
נצייר את ריכוז הסימום ב­ 2האזורים:
איור :98
צומת מדרגה ,ריכוז הסימום אחיד בכל אחד מהאזורים ויש קפיצה חדה בסימום באזור הצומת .x = 0
חלק XI
הרצאות שבוע 11פיזיקה של התקני מל“מ
30צומת P N
כפי שראינו בשבוע שעבר ריכוז המאלחים נראה כמו צומת מדרגה ,ריכוז הסימום אחיד בכל אחד מהאזורים ויש קפיצה חדה בסימום
באזור הצומת .x = 0
איור :99
בגלל שיקולי דיפוזיה ,נרצה לראות מצב שבו האלקטרונים ינועו בהתאם שמאלה ,והחורים ירצו לנוע ימינה.
נקבל מצב כזה ,שיהיה צבר של נושאי יונים חיוביים בצד ה ,nוצבר של יונים שליילים בצד ה­.p
תהליך זה ימשיך עד שיווצר שדה חשמלי בתוך החומר עצמו כך שיאזן את השפעת הדיפוזיה ,שיגדל עד שניגע לשיווי משקל.
איור :100
כבר ראינו תופעה כזו כשהיה הבדל ריכוזים במל“מ ,ואכן בכל מצב שיש גרדיאנט ריכוזים יווצר שדה פנימי בחומר.
האזור שבו יש את יונים החיוביים/שליליים ,נקרא אזור המחסור) .space charge region, depletion region ,אין נ“מ
חופשיים באזור זה ,הוא טעון מהיונים(.
הנחות:
.1התפלגות בולצמן תקפה
.2ניוון מלא ,כלומר כל הסיגים מיוננים.
30.1
מחסום פוטנציאל פנימי
כאשר לא מפעילים ממתח על הצומת ,היא נמצאת בשיווי משקל ,ולכן רמת פרמי קבועה בכל חלקי הדגם.
מהי המשמעות שרמת פרמי זהה בשני אזורי הדגם?
• באזור ה p − typeרמת פרמי תהיה נמוכה יחסית וקרובה לפס הערכיות
• באזור ה n − typeרמת פרמי תהיה קרובה לרמת ההולכה
נשרטט:
איור :101
נקבל המרחק בין EC−pלבין EC−nיהיה
∆EC = e · Vbi
כאשר Vbiהוא מתח בנוי.
אלקטרון שנמצא בצד ה n − typeלא יוכל לנוע לאזור ה ,pמכיוון שיש ”גבעה“ שהוא צריך לטפס אליה כדי להגיע לפס ההולכה
של ה.p − type
באופן דומה ,חור שנמצא ב p − typeלא יוכל לנוע לאזור ה nבגלל הגבעה ברמת הערכיות )עבור חור המטען הפוך ולכן
האנרגיות הנמוכות גבוהות יותר(
מחסום הפוטנציאל הזה מקורו בשדה הפנימי של החומר .תופעה זו נקראת ”כיפוף פסים“.
נגדיר פוטנציאלים ,ϕf n , ϕf pכך ש
| Vbi = |ϕf n | + |ϕf p
ניזכר כי נושאי המטען החופשיים יהיה
Ef −Ef i
KB T
Ec −Ef
KB T
= ni e
−
n0 = NC e
נשים לב כי לפי ההגדרה Ef i − Ef = e · ϕf nולכן
−e · ϕf n
KB T
n0 = ni · exp
בצד ה ,n − typeכאשר Nd >> niנקבל כי
n0 = Nd
כך שנקבל
Nd
ni
KB T
=−
ln
e
ϕf n
ז“א שנוכל לחשב בצורה די מדוייקת את כיפוף הפסים עבור המל“מ.
עבור Na >> ni ,p − type
Ef i − Ef
KB T
נציב ,eϕf p = Ef i − Efונקבל
Na
ni
p0 = Na = ni exp
KB T
=
ln
e
ϕf p
כדי לקבל את כיפוף הפסים הכללי נחבר בין הביטויים
| Vbi = |ϕf n | + |ϕf p
Nd
KB T
Na
KB T
ln
+
ln
=
e
ni
e
ni
KB T
Nd · Na
=
ln
e
n2i
כך שהביטווי הסופי יהיה
Nd · Na
n2i
Vbi = Vtherm ln
כך ש
KB T
e
= Vthermהוא המתח התרמי.
כמהנדסים נוכל לבחור את Nd , Naכדי לשנות את גודל הכיפוף.
30.2
שדה חשמלי
נסתכל על צפיפות המטענים באזור צומת P N
איור :102
נכתוב את משוואת פואסון בחד מימד
d2 ϕ
)ρ (x
=−
2
dx
εs
ניזכר כי )= −E (x
dϕ
dx
ולכן
2
)dE (x
)d ϕ (x
=−
dx2
dx
נקבל כי
)dE (x
)ρ (x
=
dx
εs
• ) ­ ρ (xהתפלגות צפיפות המטען
• ) ­ ϕ (xהפוטנציאל החשמלי במרחב
• ­ εsהמקדם הדיאלקטרי של המלמ )פרמטיביות(
נסתכל על ) ,ρ (xבמרחב הוא מחולק ל 4אזורים שונים )לפי השרטוט(
−xp < x < 0
0 < x < xn
else
−e · Na
ρ (x) = +e · Nd
0
נפתור את המשוואה עבור השדה החשמלי על­ידי אינטגרציה בx
ρ (x′ ) ′
dx
εs
ˆx
= )E (x
∞−
נחלק לאזורים:
.1עבור אזור −xp < x < 0נקבל
ρ (x′ ) ′
dx
εs
ˆx
ρ (x′ ) ′
ρ (x′ ) ′
dx +
dx
εs
εs
−xp
{z
}
ˆx
= )∞E (x) − E (−
∞−
−x
ˆ p
=
∞−
|
0
eNa
) (x + xp
E (x) = −
εs
.2עבור אזור 0 < x < xnנקבל
ρ (x′ ) ′
dx
εs
∞ˆ
= )E (∞) − E (x
x
∞ˆ
ρ (x′ ) ′
dx
εs
xn
|
{z
}
ρ (x′ ) ′
dx +
εs
ˆxn
= )−E (x
x
0
e · Nd
E (x) = −
)(xn − x
εs
.3עבור שאר האזורים
E (x) = 0
השדה החשמלי עובר רציף בצומת המטלורגית ) ,(x = 0ולכן נדרוש תנאי שפה ב.x = 0
כך שתנאי השפה יניב לנו את הקשר הבא
Na x p = Nd x n
ז“א שהמטען בצד ימין יהיה שווה למטען בצד שמאל ,הרוחב לא חייב להיות שווה ,אלא סך המטען.
נשים לב כי השדה כולו שלילי ,ז“א שהכיוון שאליו הוא מכוון הוא לכיוון ה.p − type
שרטוט של מטען במקרה סימטרי:
איור :103
30.3
פונטציאל חשמלי
כדי למצוא את הפוטנציאל נבצע אינטגרציה על השדה
ˆ
E (x) dx
ϕ (x) = −
נחלק לאזורים:
.1אזור p − type
ˆ
ϕp (x) = − E (x) dx
ˆ
eNa
=
(x + xp ) dx
εs
2
eNa x
=
+ xp · x + C1
εs
2
נקבע באופן שרירותי כי ϕ (−xp ) = 0ולכן
eNa 2
x
2εs p
eNa
2
) (x + xp
= )ϕp (x
2εs
= C1
.2עבור אזור n − type
ˆ
ϕn (x) = − E (x) dx
ˆ
eNd
=
(xn − x) dx
εs
eNd
x2
=
xn · x −
+ C2
εs
2
נדרוש רציפות ב x = 0ונקבל
eNa
2
= C2
) (xp
2εs
כך שהפוטנציאל יהיה שווה ל
eNd
x2
eNa 2
= )ϕn (x
xn · x −
+
x
εs
2
2εs p
.3עבור x > xnהפוטנציאל יהיה קבוע על הערך ) ϕn (xn
.4עבור x < −xpהפוטנציאל יהיה קבוע על ) 0כך קבענו את נקודת הייחוס(
שרטוט של הפוטנציאל:
איור :104
הפרש הפוטנציאלים המקסימלי יהיה Vbiולכן
) Vbi = ϕ (xn
eNd
x2
eNa 2
=
xn · xn − n +
x
εs
2
2εs p
e
Nd x2n + Na x2p
=
2εs
נחשב את רוחב שכבת המחסור:
מהמשוואת נוכל לחלץ כי
Nd xn
Na
12
2εs Vbi Na
1
= xn
e
Nd
Na + Nd
= xp
נציב את המשוואה השנייה בראשונה
12
2εs Vbi Nd
1
= xp
e
Na
Na + Nd
נחשב את רוחב שכבת המחסור
= ) W = xn − (−xp
= xn + xp
נציב את המשוואות
1
2εs Vbi Na + Nd 2
= W
e
Na Nd
אנו יכולים לחשב את Vbiמהריכוזים ,גם את Na , Ndאנו יודעים ו εsהוא תכונה של החומר.
לכן אנו יכולים לדעת את רוחב שכבת המחסור בלי בעיה.
30.4צומת P Nתחת ממתח אחורי
ההדק החיובי מחובר ל n − typeוהשלילי ל p − type
איור :105
במקרה זה המל“מ לא יהיה בשיווי משקל אלא במצב יציב ולכן .Ef ̸= constאלא תוזז ב VRשהפעלנו על המל“מ.
איור :106
המתח החיצוני מופעל בכיוון השדה הפנימי ולכן הוא מחזק אותו ומתווסף אליו .כיפוף הפסים יגדל בידיוק ב .e · VRהשדה
יגדל על שנגיע למצב יציב.
נחשב את המתח הכולל במל“מ:
Vtot = |ϕf n | + |ϕf p | + VR
Vtot = Vbi + VR
מכיוון שהשדות באותו כיוון Vtotהוא חזק יותר מ .Vbi
המשמעות של מתח גדול יותר הוא שדה גדול יותר ,ממשוואת פואסון האפשרויות להגדלת השדה הן או הגדלת צפיפות הריכוז
או הגדלת השטח.
אנו יודעים שאנו ביינון מלא ולכן צפיפות הריכוז לא יכולה לגדול ,והמשמעות היא ששכבת המחסור גדלה.
נקבל כי רוחב שכבת המחסור תקבע לפי הביטוי הבא:
12
Na + Nd
Na · Nd
) 2εs (Vbi + VR
= W
e
השדה החשמלי ישאר אותו דבר ,כאשר xp , xnיגדלו.
השדה המקסימלי יהיה
12
−2e (Vbi + VR ) Na Nd
εs
Na + Nd
= Emax
נוכל להציב את כל הקשרים שמצאנו ונקבל
) −2 (Vbi + VR
W
= Emax
מזכיר שדה של קבל לוחות שמפולג לאורך השטח של שכבת המחסור) .המטען מפולג ולא נמצא רק בלוחות(
30.4.1
קיבול הצומת
נשרטט שוב את צפיפות המטען כפונקציה של :x
איור + :107
כך שהחלק המסומן בתכלת הוא עבור ,VR = VR + dVRכך שהתוספת במתח גרמה לתוספת בשכבת המחסור = xn
.xn + dxn , xp = xp + dxp
כתוצאה מהגדלת שכבת המחסור יש הגדלה גם בכמות המטען ב .dQ′
הגדרת הקיבול
′
dQ
= C
dVR
′
′
כך ש Cו dQ′הם קיבול/מטען ליחידת שטח.
המטען ליחידת שטח
dQ′ = eNd dxn
dxn
dVR
′
C = eNd
ניזכר בהגדרה של xp , xn
12
12
2εs (Vbi + VR ) Na
1
e
Nd Na + Nd
= xn
2εs (Vbi + VR ) Nd
1
= xp
e
Na Na + Nd
נציב את xnונקבל
] d [xn
dVR
h
i
1
a
d 2εs (Vbie +VR ) N
Nd Na +Nd
· = eNd
dVR
12
′
eεs Na Nd
= C
) 2 (Vbi + VR ) (Na + Nd
′
C = eNd
נוכל לבטא את זה גם בעזרת W
εs
W
′
= C
′
כך ש Cהוא הקיבול ליחידת שטח.
30.4.2
צומת חד צדדית
כאשר אחד הצדדים של הצומת מסומם בריכוז גבוה משמעותית מהצד השני ,הצומת נקראת צומת חד­צדדית.
דוגמא
,Na >> Ndבמקרה זה רוב נושאי המטען יהיו באוזר של ה.n − type
ולכן ,xp << xnכך ש .W ≈ xnצומת כזו תיקרא ) P + Nהריכוז של Pגדול מהריכוז של ה (N
איור :108
הקיבול ינתן לפי
eεs Nd
= C
) 2 (Vbi + VR
נכתוב את הגודל הבא
) 2 (Vbi + VR
=
eεs Nd
2
′
1
C′
זו דרך לעשות מדידה לינארית ,ולקבל את נושאי המטען ממכשיר שמודד קיבול.
איור :109
אם VRהוא המשתנה שלנו נוכל לשרטט גרף כך שהשיפוע שלו הוא
2
eεs Nd
30.5צומת P Nתחת ממתח קדמי
הפעם נפעיל מתח באופן כזה שהוא מנוגד לשדה הפנימי בחומר:
איור :110
=m
במקרה זה נקטין את מחסום הפוטנציאל כך שנאפשר זרימת מטענים בהתקן ,חורים ואלקטרונים יכולים לעבור דרך הצומת
באמצעות דיפוזיה מכיוון שהשדה הכולל חלש ולא מצליח לאזן את פעולת הדיפוזיה:
איור :111
30.5.1
זרם חשמלי בצומת P N
החורים שמגיעים לצד ה nוהאלקטרונים שמגיעים לצד ה pיהיו נושאי מטען במיעוט בתוך החומר.
אנו כבר מכירים את המשוואה האמביפולרית ונוכל להשתמש בה כדי לתאר את תנועת החורים והאלקטרונים בהתקן.
חלק XII
הרצאות שבוע 21פיזיקה של התקני מל“מ
31
ניתוח מתמטי של צומת P N
נפתח את המודל המתמטי להתנהגות של נושאי מטען במיעוט בצומת .P N
הנחות המודל:
.1צומת מדרגה ­ ריכוז אחיד ) (Naבצד ה ,Pריכוז אחיד ) (Ndבצד ה Nוהמעבר הוא לא הדרגתי ,אלא חד.
.2קירוב מקסוול­בולצמן ) ,(M Bתקף.
.3הזרקה חלשה ­ נושאי מטען במיעוט בעודף קטנים מריכוז נושאי המטען ברוב.
.4יינון מלא.
.5סה“כ זרם קבוע בכל מקום )סכום של זרם אלקטרונים וזרם חורים יכול להיות מושפע גם מדיפוזיה וגם מסחיפה(
.6ריכוז האלקטרונים והחורים הם גודל רציף.
.7באיזור המחסור זרמי האלקטרונים וזרמי החורים הם גודל קבוע בכל אזור המחסור.
נשרטט את פס ההולכה של צומת P Nבמצב שיווי משקל
איור :112
הפוטנציאל
Na Nd
n2i
Vbi = VT ln
כך שנקבל את המשוואה
n2i
=
Na Nd
מכיוון שאנו ביינון מלא נסמן ,nn0 = Ndכאשר:
qVbi
BT
−K
e
• nn0הוא ריכוז של האלקטרונים בצד ה.N − T ype
• נוכל לסמן np0את ריכוז האלקטרונים בצד ה,P − type
n2i
Na
= n p0
נוכל להציב את הביטויים החדשים שהגדרנו במשוואה של המתח המובנה ונקבל
−qVbi
KB T
np0 = nn0 · exp
ז“א יש קשר בין האלקטרונים בצד ה nוצד ה pכך שמחסום הפוטנציאל מגדיר את היחס ביניהם.
31.1
ממתח קדמי
איור :113
עם הפעלת מתח חיובי Vaעל איזור Pביחס לאזור Nמחסום הפוטנציאל יקטן.
ערכו החדש יהיה ,Vbi − Vaולכן
) −q (Vbi − Va
np (−xp ) = nn0 · exp
KB T
qVa
np (−xp ) = np0 · exp exp
KB T
ז“א מספר האלקטרונים בצד ה P − typeגדל!
בהנחת הזרקה חלשה ,ריכוז נושאי המטען ברוב נשאר קבוע.
אך ריכוז נושאי המטען במיעוט משתנה בכמה סדרי גודל בהשוואה לשיווי המשקל.
על­ידי הפעלה של ממתח חיובי הגדלנו מאוד את מספר נושאי המטען במיעוט שבעודף.
באותו אופן ,תהליך דומה קורה עבור חורים בצד ה N − typeכך שנקבל
qVa
KB T
pn (xn ) = pn0 · exp
• ­ pnריכוז החורים באזור ה.N − type
• ­ pn0ריכוז החורים באזור ה N − typeבשיווי משקל.
שרטוט:
איור :114
מה שקיבלנו הוא תנאי שפה עבור .xn , −xp
כדי למצוא את ) n (x, t) , p (x, tנצטרך לפתור את המשוואה האמביפולרית.
נכתוב את המשוואה האמביפולארית עבור חורים )ז“א שאנו פותרים את המשוואה עבור החלק של ה ,N − typeשם חורים
קובעים את קצב וזמן החיים של נמ בעודף(
∂ 2 δpn
∂δpn
δpn
∂δpn
′
Dpn
+ µ pn E
+ g −
=
∂x2
∂x
τp0
∂t
כאשר ­ δpn = pn − pn0ריכוז נמ במיעוט בעודף באזור ה.N − type
מכיוון שאנו באזור ה N − typeאנו פותרים את המשוואה עבור ∞ < .xn < x
עבור ,x > xnהשדה מתאפס )רק באזור המחסור( ,ואין גנרציה לא תרמית )אין הארה ,ואין הזרקת מטענים עבור (x ̸= xn
וגם .g ′ = 0
אנו נמצאים במצב עמיד מכיוון שהמתח קבוע ,ולכן = 0
∂δp
∂t
ונישאר עם המשוואה הבאה:
∂ 2 δpn
δpn
−
=0
∂x2
τp0
Dpn
δpn
∂ 2 δpn
− 2 =0
∂x2
Lp
עבור .L2p = τp0 · Dpn
באותו האופן נוכל לרשום את המשוואה עבור אלקטרונים באזור הP − type
∂ 2 δnp
δnp
− 2 =0
2
∂x
Ln
עבור .L2n = τn0 · Dnp
לכל משוואה נצטרך 2תנאי שפה כדי לקבל פתרון מלא.
לכל אחת כבר יש לנו תנאי שפה אחד
qVa
KB T
qVa
np (xn ) = np0 exp
KB T
pn (xn ) = pn0 exp
נוכל להניח כי באינסוף ומינוס אינסוף הריכוזים יהיו
pn (x → ∞) = pn0
np (x → −∞) = np0
המטען העודף יעבור ריקומבינציה ,ולכן נצפה שלא ישארו ריכוזים עודפים בקצוות ונחזור לריכוז המקורי.
כאשר המרחק שיגדיר לנו את השלב עד להיעלמות נושאי המטען העודפים יהיה .Ln /Lp
הפתרון של המשוואות יהיה
} {x > xn
− Lxp
x
δpn (x) = pn (x) − pn0 = Ae Lp + Be
} δnp (x) = np (x) − np0 = Ce Ln + De− Ln {x < −xp
x
x
נציב תנאי שפה ב∞ ±ונקבל כי A, D = 0ומתנאי השפה בנקודות המעבר נקבל כי
xn −x
qVa
δpn (x) = pn0 exp
} − 1 e Lp {x > xn
KB T
xp +x
qVa
δnp (x) = np0 exp
} − 1 e Ln {x < −xp
KB T
שרטוט:
איור :115
31.2
רמות פארמי קווזיות Quasi Fermi Level
בשיווי משקל אמרנו שרמת פרמי קבועה ,וקבענו את הריכוזים ביחד לרמת פרמי.
בשיווי משקל ראינו כי
EF − EF i
KB T
EF i − EF
p0 = ni · exp
KB T
n0 = ni · exp
כאשר צומת P Nבממתח קדמי שיווי המשקל מופר ורמת פרמי אינה מוגדרת.
כל אזור בנפרד נמצא בשיווי משקל ולכן ניתן להגדיר 2קווזי רמות פרמי ,אחת באזור ה N −typeוהשנייה באזור ה.P −type
כך שמספר נושאי המטען בכל אזור יהיה
EF n − EF i
n = n0 + δn = ni · exp
KB T
EF i − EF p
p = p0 + δp = ni · exp
KB T
• ­ EF nרמת קוואזי פרמי עבור אלקטרונים.
• ­ EF pרמת קאווזי פרמי עבור חורים.
נוכיח כי הרמות מופרדות בשיעור של המתח המופעל .Va
בקצה אזור המחסור ,x = xnולכן ניתן לרשום
qVa
n0 · pn0 (xn ) = n0 · pn0 · exp
KB T
qV
a
2
= ni · exp
KB T
נכפיל את המשוואות של מספר נושאי המטען
EF i − EF p
KB T
EF n − EF i
· ni · exp
n · p = ni · exp
KB T
Efn − Ef p
= n2i · exp
KB T
נשווה בין הביטויים ונקבל
Efn − Ef p = qVa
איור :116
31.3
זרמים בצומת P N
סה“כ הזרם הוא סכום של זרם האלקטרונים וזרם החורים .כל אחד מהגדלים הללו קבוע לאורך שכבת המחסור.
איור :117
כדי לחשב את הזרם נצטרך לחשב 2זרמים שונים ,כל אחד בנקודה אחרת ) (xn , xpולחבר אותם כך שסכומם יהיה הזרם.
הזרם מורכב מזרם סחיפה )מושפע משדה חשמלי( וזרם דיפוזיה .מחוץ לאזור המחסור השדה מתאפס ולכן זרם הסחיפה יתאפס,
אך יש גרדיאנט ריכוזים ולכן זרם הדיפוזיה יהיה הגורם המשפיע על זרם האלקטרונים והחורים.
נחשב את הזרם בקצה אזור המחסור ,כך שהגורם שנחשב יהיה רק זרם הדיפוזיה:
= ) J = Jp (xn ) + Jn (xn
) = Jp (xn ) + Jn (−xp
נציב את הביטוי לזרם הדיפוזיה בנוקדה מסויימת.
)dpn (x
|xn
dx
Jp (xn ) = −q · Dp
מהעובדה כי pn = pn0 + δpnולכן
)dδpn (x
|xn
dx
Jp (xn ) = −q · Dp
נציב את הביטוי עבור δpnולאחר גזירה נקבל
qVa
q · Dp · pn0
exp
−1
= ) Jp (xn
Lp
KB T
זרם החורים בממתח קדמי הוא לכיוון החיובי של ציר ה­ ,xז“א מאזור ה P − typeלכיוון ה .N − type
באותו אופן נרשום ביטוי לזרם האלקטרונים ב x = −xp
q · Dn · np0
qVa
= ) Jn (−xp
exp
−1
Ln
KB T
ניזכר כי כיוון זרם האלקטרונים וכיוון תנועת האלקטרונים הם בכיוונים הפוכים ,זאת בגלל המטען השלילי של האלקטרון.
הזרם לא מבטלים אחד את השני ,אלא מתווספים אחד לשני )אותם כיוונים(
סך כל הזרם יהיה
= ) Jtot = Jn (−xp ) + Jp (xn
q · Dn · np0
qVa
q · Dp · pn0
qVa
=
exp
−1 +
exp
−1
Ln
KB T
Lp
KB T
q · Dp · pn0
q · Dn · np0
qVa
=
+
exp
−1
Lp
Ln
KB T
נגדיר גודל חדש
כך שהזרם הכולל יהיה
q · Dp · pn0
q · Dn · np0
= Js
+
Lp
Ln
qVa
= Js exp
−1
KB T
Jtot
זה למעשה האופיין של הדיודה שאנו מכירים מקורסים קודמים.
דיודה הוא רכיב לא סימטרי )בלתי אפשרי ליצור זרם שלילי גדול מ (Jsולא לינארי )אקספוננט שתלוי במתח(.
איור :118
31.4
דיודה באורך סופי
נדבר על מקרה כללי שבו אורך הדיודה הוא סופי:
איור :119
נכתוב את המשוואה האמביפולרית ללא שדה חשמלי ושינוי זמני
∂ 2 (δpn ) δpn
− 2 =0
∂x2
Lp
כדי לקבל פתרון מלא צריך 2תנאי שפה .התנאי הראשון
qVa
KB T
pn (x = xn ) = pn0 exp
אך כעת התנאי ב∞ לא מתקיים .צריך תנאי עבור .x = xn + Wn
בדר“כ יש בקצה הדיודה מגע אוהמי ,ושם יש קצב רקומבינציה מהיר מאוד שמחסל את עודף נושאי המטען במיעוט.
ולכן אפשר להניח כי
pn (x = xn + Wn ) = pn0
ז“א אילצנו גרדיאנט יותר חזק .נכתוב פתרון כללי חדש למשוואה
= δpn (x) = pn (x) − pn0
−x
x
= Ae Lp + Be Lp
sinh xn +Wn −x
Lp
qVa
δpn (x) = pn0 exp
· −1
W
KB T
sinh Lpn
נציב תנאי שפה
נוכל להראות כי עבור Wn >> Lpנקבל את הביטוי המקורי.
נכתוב את הביטוי לזרמים
))d (δpn (x
))d (δnp (x
Jp = −qDn
, Jn = qDn
dx
dx
qDP np0
Wn
qVa
− 1 coth
exp
Lp
KB T
Lp
Wp
qDP np0
qVa
− 1 coth
= ) Jn (−xp
exp
Lp
KB T
Ln
= ) Jp (xn
כך שהזרם הכולל יהיה
−1
31.5
qVa
KB T
exp
Wn
Dn np0
Wp
Dp Pn0
coth
+
coth
Lp
Lp
Ln
Ln
Jtot = q
צומת קצר
עבור ,Wp < Ln , Wn < Lpנקבל
−1
qVa
KB T
exp
Dp Pn0
Dn np0
=q
+
Wp
Wn
Jtot
תנאי השפה החדש גורם לריכוז לדעוך מהר ,כך שהדעיכה היא בגלל רקומבינציה בקצוות ולא הדיפוזיה.
31.6
צומת לא סימטרית
במקרים רבים אחד האזורים קצר משמעותית ביחס לאחר וגם ביחס למרחק הדיפוזיה של נ“מ במיעוט.
דוגמא) Wn << Wp ,Wn << Lp :האזור ה nקטן(
איור :120
במקרה זה
Lp
→
Wn
ולכן
Wn
Lp
coth
q · pn0 · Dp
qVa
=
exp
−1
Wn
KB T
Jtot
במקרה שבו .coth → 1 ⇐ W >> L
מנגנוני פריצה בדיודה
32
ראינו שבממתח קדמי הזרם
32.1
qVa
KB T
,I ∝ expובממתח אחורי הזרם נמוך וקבוע.
ממתח אחורי
עבור מתחים קטנים ,עד מספר ווטלטים ,הדיודה מתאימה למודל אידיאלי ,אבל מעל ערך מסויים של ממתח אחורי נבחין בעליה חזקה
בזרם ,עקב תהליכי פריצה.
המתח האוחרי שעבורו נקבל עלייה בזרם נקרא מתח פריצה
.VB /VBV
נדבר על 2מנגנוני פריצה עיקריים:
32.1.1
פריצת מנהור T unneling
√1
N
∝ ,Wרוחב שכבת המחסור פורפוציונית הפוך לריכוז סימום.
מתרחש במל“מ עם ריכוז יונם גבוה ,כזכור
עבור ,N = 1019 cm−3נקבל ].W = 10 [nm
איור :121
אלקטרונים מפס הערכיות באזור ה pיכולים לעבור לפס ההולכה של אזור ה nעל­ידי מנהור בגלל שהמרחק קטן.
V
השדה הדרוש לפריצת מנהור הוא
.E ≈ 106 cm
נוכל להשתמש בתופעה זו לטובתנו ,למשל דיודת זנר:
איור :122
32.1.2
פריצת מפולת
אלקטרונים וחורים שנעים באזור המחסור מקבלים מספיק אנרגיה קינטית מהשדה באזור המחסור ,ויוצרים זוגות אלקטרון­חור
על­ידי התנגשות באלקטרונים של האטום.
החורים והאלקטרונים החדשים נעים בכיוונים הפוכים בהשפעת השדה ,הם תורמים לזרם ובנוסף הם יכולים בעצמם ליצור עוד
התנגשויות ,וייצרו זוגות חדשים וכן הלאה..
עד ליצירת מפולת.
איור :123
זה המנגנון הדומיננטי ברוב צמתי .P N
נניח שזרם זליגה של אלקטרונים In0נכנס לצומת ב ,x = 0מה יקרה לו ב ?x = W
לפי התהליך שתיארנו הזרם יגדל בגלל ההתנגשויות שמעוררות עוד אלקטרונים ,ולכן הזרם יגדל עם המרחק דרך שכבת המחסור.
נוכל לסמן
In (W ) = Mn In0
איור :124
נרשום ביטוי להגדלת זרם האלקטרונים לאורך מקטע dx
dIn (x) = In (x) · αn · dx + Ip (x) · αp · dx
• ­ αp , αnסיכוי ליינון ליחידת אורך ,מספר זוגות האלקטרון חור ,שנוצרים בכל יחידת אורך ,על ידי אלקטרון/חור בהתאמה.
נוכל לחלק ב dxולקבל
)dIn (x
= In (x) · αn + Ip (x) · αp
dx
אנו יודעים כי I = Itot − Inולכן
)dIn (x
= In (x) · [αn − αp ] + Itot · αp
dx
נניח αn = αp = αולכן
)dIn (x
= Itot · α
dx
נוכל לבצע אינטגרל מ­ 0עד Wולקבל
ˆW
In (W ) − In (0) = Itot
αdx
0
ניזכר כי ,In (W ) = Mn · In0אם נניח כי גורם ההכפלה גדול כך ש I0 ) Mn · In0 = Itotזניח ביחס ל (Mn Inולכן
נקבל
ˆW
αdx
)Mn In (0) − In (0
=
Itot
0
נציב את הקירובים ונקבל
ˆW
1
=
Mn
αdx
1−
0
αdx
1
´W
0
מתי נקבל פריצה?
כדי לקבל פריצה נדרוש כי ∞ → Mnז“א αdx → 1
= Mn
1−
´W
0
.
במצב כזה נקבל
∞→
αdx
I0
´W
0
1−
=I
עבור מתחים נמוכים מעט ממתח הפרציה נוכל להגדיר מקדם הכפלה )חוק אימפירי(
ˆW
αdx = CV m
0
עבור αdx = 1
´W
0
המתח יהיה ) V = VBמתח הפריצה( ולכן
1
m
) (VB
ולכן
1
m
V
VB
=C
1−
=M
בדר“כ .2 < m < 6
­Mגורם ההכפלה יהיה גדול מ­ 1הרבה לפני מתח הפריצה ,כבר שם נקבל עלייה בזרם.
ההבדל הוא שעבור מתח הפריצה Mיהיה אינסופי.
.1פריצת מנהור מתקיימת עבור אחוזי סימום גדולים ומתחים קטנים.
.2פריצת מפולת יכולה להתרחש מעל .5V
חלק XIII
הרצאות שבוע 13פיזיקה של התקני מל“מ
פריצת מפולת
33
33.1תנאים
כדי לקבל פריצת מפולת נדרוש כי רוחב שכבת המחסור יהיה קטן אך יותר גדולה ממרווח התנועה של האלקטרונים
33.2
השדה הקריטי
הקשר בין השדה שמופעל על המלמ הינו
12
−2qVR Na Nd
εs Na + Nd
≈ Emax
כאשר הזנחנו את ה Vbiמכיוון שהוא יהיה קטן לעומת VRבמתחים שגורמים לפריצת מפולת.
נבדוק מה השדה עבור מתח הbreakdown
εs Na + Nd 2
E
2q Na · Nd critical
= VB
אפשר למצוא את השדה בצורה אימפירית )או דרך חישוב אחר( והוא תכונה של החומר .ממנו נוכל לדעת מה יהיה VBהדרוש.
ניקח צומת חד­צדדית ­ הסימום באזור אחד גדול מהסימום באזור האחר ,נניח כי Nd >> Naונקבל
ε s Nd
E2
2q Na · Nd critical
εs 1 2
=
E
2q Na critical
= VB
מתח הפריצה בפריצת מפולת עולה עם עליית הטמפרטורה.
33.3
סיכום פריצות
• פריצת מנהור יכולה לקרות רק כאשר שכבת המחסור קטנה )לאפשר מתמטית מנהור של אלקטרון(
• פריצת מפולת יכולה לקרות רק כאשר שכבת המחסור גדולה )לאפשר התנגשויות של אלקטרונים ויונים כדי לקבל את אפקט
ההכפלה(
• נקבל לכן עבור אורך שכבת מחסור קבוע פריצה אחת דומיננטית בהתאם לאורך שכבת המחסור.
דיודה מעשית
34
מודל אידיאלי של דיודה כפי שראינו הינו
qV
I = Is exp
−1
KB T
מודל זה הזניח מספר אפקטיים:
• זרמים נוספים שנובעים מגנרציה וריקומבינציה תרמית ,וגם כתוצאה מההזרקה באזור המחסור.
• בדיודה מעשית התנאי להזרקה חלשה לא תמיד מתקיים .ככל שנפעיל מתח גבוה יותר ההזרקה מתחזקת ובשלב מסויימת כבר
לא נהיה בהזרקה חלשה.
• ישנן התנגדויות טוריות.
• המודל האידיאלי לא מטפל במנגנוני פריצה בממתח אחורי.
34.1
זרמי גנרציה­רקומבינציה
ישנן מספר תהליכים גל גנרציה ורקומבינציה במל“מ:
­ Photo generation .1אלקטרון עובר בין פסי אנרגיה ומשתחרר פוטון במעבר הזה
איור :125
­ SRH .2על שם 3המדענים שפיתחו את התהליך הזה ­ כולאים אלקטרון אלקטרון מפס הערכיות/הולכה ברמת אמצע ,באמצעות
מלכודת )(trapp assisted
איור :126
­ Auger .3כשהאלקטרון יורד מרמה מסויימת ,האנרגיה העודפת עוברת לאלקטרון אחר
באופן כללי ניתן להניח שהמל“מ בשיווי משקל תרמודינמי ולכן
) Gth (T ) = R (T
ומתקיים גם
n2i
=n·p
כאשר המערכת יוצאת משיווי משקל .n · p ̸= n2i
• ­ n · p > n2iהמערכת תנסה לחזור לשיווי משקל על­ידי רקומבינציה )עודף בנושאי מטען(
• ­ n · p < n2iהמערכת תנסה לחזור לשיווי משקל על­ידי גנרציה )חוסר בנושאי מטען(
34.2
)SRH (Shokley­Read­Hall
נסתכל על מקרה ) SRHכולאים אלקטרון ברמת אמצע( ישנם כמה מקרים:
.1פליטת חור ­ רמת המלכודת ריקה ,אלקטרון מרמת הערכיות עובר לרמת המלכודת ,מה שגרם ליצירה של חור בפס הערכיות
שלא לוותה ביצירת אלטרון ברמת ההולכה.
.2לכידת חור ­ רמת המלכודת מלאה ,שחרור אלקטרון מרמת המלכודת לרמת הערכיות ,גרם לביטול של חור ברמת הערכיות
ללא ביטול של אלקטרון ברמת ההולכה.
.3פליטת אלקטרון ­ רמת המלכודת מלאה ,אלקטרון מרמת המלכודת עבר לרמת ההולכה ,גרם להוספה של אלקטרון לרמת
ההולכה ללא חור ברמת ההולכה.
.4לכידת אלקטרון ­ רמת המלכודת ריקה ,אלקטרון מרמת ההולכה עבר לרמת המלכודת ,הורדה של נושא מטען שלילי ברמת
ההולכה ללא הורדה של חור
איור :127
המנגנון נל הוא המנגנון הדומיננטי במלמ לא ישיר.
הרקומבינציה יכולה להיות מתאורת על­ידי הביטוי הבא:
cn · cp · Nt n · p − n2i
=
] cn [n + n′ ] + cp [p + p′
RSRH
• ­ Nt cm−3ריכוז המלכודות.
h 3i
­ cn , cp cmמקדמי לכידה של אלקטרון/חור.
•
sec
• Etהיא רמת האנרגיה של המלכודת.
t
­ n′ = Nc exp − EKc −Eריכוז האכלוס עבור אלקטרונים ברמת המלכודת.
•
T
B
v
­ p′ = Nv exp − EKt −Eריכוזי האכלוס עבור חורים ברמת המלכודת.
•
BT
הנחות המודל
עבור מל“מ n − typeתחת הזרקה חלשה נניח את היחסים הבאים:
n0 >> p0 .1
n0 >> δp .2
­ n0 >> p′ ,n0 >> n′ .3נובע מכך ש Etקרוב לאמצע הפס ולכן קרוב ל Ef iולכן p′ , n′ ∼ ni
נציב את ההנחות במודל הרקומבינציה:
cn · cp · Nt n · p − n2i
=
] cn [n + n′ ] + cp [p + p′
cn · cp · Nt n · p − n2i
≈
] cn [n + n′
cp · Nt n · p − n2i
≈
n
RSRH
לאחר הצבה של n = n0 + δn, p = p0 + δpנקבל
RSRH = cp Nt δp
זמן החיים הממוצע
אנו יודעים כי קצב הרקומבינציה יכול להיות מתואר על ידי
δp
τp0
=R
ולכן
δp
τp0
1
=
c p Nt
= cp Nt δp
⇒ τp0
Reverse bias generation current 34.3
נסתכל על אזור המחסור.
אנו יודעים כי אין נושאי מטען חופשיים בשכבת המחסור ולכן
cn · cp · Nt
· n
p − n2i
=
′
[ cn
n + n′ ] + cp [p
]+p
RSRH
כך שנקבל כי הרקומבינציה באזור המחסור היא:
cn · cp · Nt n2i
cn n′ + cp p′
RSRH = −
אפשר לראות כי הרקומבינציה שלילית ,מה שאומר שיש לנו תוספת של נושאי מטען )הגיוני כי במודל האידיאלי הנחנו כי אין
נושאי מטען בשכבת המחסור ולכן אנו לא יכולים לרדת מ 0נושאי מטען( ,נסביר זאת:
• נניח כי המלכודות מלאות באלקטרונים והן באזור אמצע הפס.
• אלקטרונים מ Evעולים למלכודת ­ נוצרים חורים בפס הערכיות.
• אלקטרונים מהמלכודת עולים ל ­ Ecנוצרים אלקטרונים בפס ההולכה.
• האלקטרונים ינועו לכיוון ה ,n − typeהחורים ינועו לכיוון ה ,p − typeיווצרו לנו זרמים בשכבת המחסור.
• Etבאמצע הפס ולכן n′ , p′ = ni
איור :128
הרקומבינציה תהיה לכן
cn · cp · Nt n2i
cn n i + cp n i
ni
⇒− 1
1
cp Nt + cn Nt
ni
=−
τp0 + τn0
RSRH = −
נוכל לסמן
τp0 +τn0
2
= ,τ0ולכן
ni
R=−
= −G
2τ0
צפיפות הזרם תתקבל על­ידי אינטגרציה של הגנרציה על­פני שכבת המחסור
q · ni · W
2τ0
ˆW
= q · Gdx
= Jgen
0
נקבל הזרם הכולל יהיה סכום של זרם הגנרציה וזרם המודל האידיאלי ,זרם הרוויה ) (Js
JR = Js + Jgen
בממתח אחורי רוחב שכבת המחסור גדל ככל שהממתח האחורי גדל ,ולכן גם זרם הגנרציה יגדל והזרם הכולל בשכבת המחסור
יגדל
VR
VR
p
p
∝ W
∝ ⇒ Jgen
איור :129
34.4
זרמי רקומבינציה בממתח קדמי
בממתח אחורי הנחנו שאין אלקטרונים וחורים בשכבת המחסור ולכן .n ≈ p ≈ 0
בממתח קדמי אלקטרונים וחורים מוזרקים דרך שכבת המחסור .כלומר בפועל קיימים נושאי מטען בשכבת המחסור תחת הפעלת
ממתח קדמי.
כעת יש 2אפשרויות:
• חלק מנושאי המטען יעברו את שכבת המחסור לצד השני pאו nבהתאמה.
• חלק מנושאי המטען יעברו רקומבינציה באזור המחסור.
נסתכל שוב על הביטוי לרקומבינציה
cn · cp · Nt n · p − n2i
=
] cn [n + n′ ] + cp [p + p′
np − n2i
] τp0 [n + n′ ] + τn0 [p + p′
RSRH
=
שרטוט של רמות האנרגיה בממתח קדמי:
איור :130
כעת נציב
Ef n − Ef i
KB T
Ef i − Ef p
p = ni exp
KB T
n = ni exp
ניזכר כי מתקיים
(Ef n − Ef i ) + (Ef i − Ef p ) = q · Va
כאשר Vaהוא הממתח הקדמי שמופעיל.
′
′
נניח כי המלכודות הן בערך באמצע הפס ⇐ .n = p = ni
כמו כן אפשר להניח כי .τp0 ≈ τn0
נציב בנוסחא לרקומבינציה את הכל:
E n −Ef p
n2i exp fK
−
1
BT
i
h
=R
Ef n −Ef i
Ef i −Ef p
+
exp
+
2
ni τ0 exp
KB T
KB T
נסתכל על אמצע שכבת המחסור מתוך הנחה ששם הרקומבינציה מקסימלית.
נניח גם כי יש הפרדה סימטרית בין הרמות ז“א ,Ef n − Ef i = Ef i − Ef n = q V2aולכן נקבל:
h
i
qVa
ni exp KB T − 1
h
i
=
2τ0 exp qVa + 1
Rmax
2KB T
אנו יודעים כי בדר“כ >> 1
Va
KB T
expולכן
qVa
2KB T
ni
exp
2τ0
= Rmax
איור :131
כדי למצוא את זרם הרקומבינציה נצטרך לבצע אינטגצריה על הרקומבינציה
ˆW
qR · dx
= JRec
0
בגלל שה Rתלוי בהפרש בין רמות פרמי שמשתנות בשכבת המחסור האינטגרל די מסובך .כדי לבצע אותו נוכל לקחת R′עבור
אזור מחסור ברוחב שונה מלבנית כדי לקבל את התוצאה בדרך אנליטית:
איור :132
כך שזרם הרקומבינציה יהיה
q · Va
2KB T
q · x′ · ni
=
exp
2τ0
JRec
נוכל להחליף את x′ב ,Wולשנות את τ0בהתאמה
q · Va
2KB T
34.5
q · W · ni
exp
2τ0′
q · Va
2KB T
= JRec
JRec = Jro exp
זרם כללי בממתח קדמי
הזרם הכללי בממתח קדמי יהיה זרם הדיפוזיה בנוסף לזרם הרקומבינציה.
נתבונן בריכוז נ“מ במיעוט )חורים( באזור nהניטרלי:
איור :133
התפלגות הריכוזים באזור nהיא התפלגות שנובעות מדיפוזיה ,כדי לשמור על רציפות במעבר בין שכבת המחסור לצד ה ,nעוד
חורים צריכים להיפלט מאזור ה pלשכבת המחסור ,מכיוון שחלק מהחורים עוברים רקומבינציה באזור המחסור ,תוספת זו תסומן
כ.∆p
הזרם הכולל לכן יהיה
= J = JRec + JD
q · Va
q · Va
= Jro exp
+ JD exp
2KB T
VT
נפעיל lnונקבל
qVa
2KB T
qVa
ln (JD ) = ln Js +
KB T
ln (Jrec ) = ln Jr0 +
נקבל 2שיפועים שונים עבור הזרם ,מה שיוצר תמונה יותר מורכבת של זרמי מלמ:
איור :134
מכאן נקבל כי הזרם האמיתי בדיודה יהיה
q · Va
=1
J = J0 exp
n · KB T
• J0הוא קבוע כלשהו.
• ,1 < n < 2נוטה ל­ 1כאשר זרם דיפוזיה משמעותי יותר ,נוטה ל­ 2כאשר זרם הרקומבינציה משמעותי יותר.
חלק XIV
הרצאות שבוע 14פיזיקה של התקני מל“מ
35
דיודה בממתח קדמי תחת הזרקה חזקה
כאשר מעלים את הממתח הקדמי ,ריכוז נושאי המטען במיעוט שבעודף גדל.
הריכוז של נושאי המטען במיעוט יכול להמשיך לגדול ואף לעבור את ריכוז נושאי המטען ברוב המקורי.
כשפיתחנו את הקשרים בדיודה אידיאלית השתמשנו בקשר
!
Va
KB T
q
כאשר δn = δpקיבלנו כי
!
Va
KB T
q
n · p = n2i exp
(n0 + δn) (p0 + δp) = n2i exp
נניח כי δn > n0 , δp > p0ז“א הזרקה חזקה ,ולכן
!
Va
δn = δp = ni exp
2 KBq T
הזרם בדיודה פורפוציוני לריכוז נ“מ המטען בעודף ,ולכן בהזרקה חזקה נקבל כי הזרם פורפוציוני לאקספוננט
!
Va
2 KBq T
I ∝ exp
איור :135
1
2
ל­.1
• במתח נמוך ,זרמי גנרציה ורקומבינציה חזקים יותר והשיפוע הוא בין
• לאחר מכן יש לנו את המודל האידיאלי I ∝ exp KVBaT ,בסקאלת לן נקבל שיפוע .1
q
Va
• משם יש לנו את המודל של הזרקה חזקה
KB T
q
2
I ∝ expבסקאלת לן נקבל שיפוע . 12
• במתח מאוד גבוה נקבל תלות בהתנגדות טורית.
36
דיודה במעגל חשמלי
איור :136
קודם כל נרצה למצוא את נקודת העבודה.
נניח כי מדובר בדיודה אידיאלית ולכן
qVD
ID = IS exp
−1
KB T
כמו כן מדובר במעגל עם חיבור טורי ולכן הזרם בדיודה שווה לזרם בנגד
VDD − VD
R
= IR
נוכל למצוא את נקודת העבודה על ידי השוואה של שני האופיינים בצורה נומרית
qVD
KB T
VD = VDD − RIS exp
איור :137
נקודת העבודה תהיה מוגדרת כנקודת החיתוך של הגרפים ,כך שמדובר במתח DCשסביבו אנו עובדים.V0 , I0 ,
כעת נסתכל על מתח ,ACונסתכל על שינויים קטנים סביב נקודת העבודה:
איור :138
המתח ישתנה קצת סביב נקודת העבודה ,∆Vוגם הזרם ישתנה .∆I
לכן ,באות קטן נסתכל על הדיודה כעל נגד ששווה לערכו של השיפוע של הגרף סביב נקודת העבודה
∂ID
1
=
|V
rd
∂VD 0
= gd
נמצא את gdמאופיין הדיודה
h
i
∂ IS exp KqVBDT − 1
qVD
qIS
exp
=
|V0
KB T
KB T
qV0
q
IS exp
= gd
KB T
KB T
q
I0
≈ ⇒ gd
= · I0
KB T
VT
כאשר VTהוא המתח התרמי
q
KB T
∂VD
= gd
= .VT
המעבר האחרון נעשה מכיוון שהביטוי של I0מאוד דומה לביטוי שקיבלנו )צריך לחסר אחד(
מכאן ההתנגדות של הדיודה תהיה
VT
= rd
I0
∆I
∆V
ולכן נגדיר
37
מל“מ כגלאי אור
37.1
גלאי פוטוקונדקטיב
איור :139
נסתכל על מעגל חשמלי שמחוברת אליו פיסת מל“מ ,לפיסה זו יש מוליכות בסיסית .σ0
כתוצאה מההארה תהיה גנרציה .גנרציה זו תשנה את המוליכות של המוליך למחצה.
] σ0 = q [µn n0 + µp p0
])σ = q [µn (n0 + δn) + µp (p0 + δp
נניח מל“מ מסוג .n − typeבמצב עמיד .δn = δpאנו יודעים כבר כי
δp = GL · τp
כאשר GLהוא קצב הגנרציה של נושאי מטען בעודף .נוכל לחשב אותו בעזרת עוצמת ההארה
cm−3
sec
αI
= GL
hν
• ­ αמקדם הבליעה ­ פונקציה של אורך הגל.
• Iעוצמת ההארה.
• ­ hνאנרגיית פוטון.
כעת נחשב את המוליכות החדשה.
])σ = q [µn (n0 + δn) + µp (p0 + δp
] ∆σ = qδp [µn + µp
ול ∆σנקרא פוטו­מוליכות
37.2
אופן העבודה
מפעילים מתח בין ההדקים ,כך שנוצר שדה E
J = J0 + JL = (σ0 + ∆σ) E
JL = ∆σE
מכאן נוכל לחשב את הזרם כתוצאה מההארה
= IL = JL · A = ∆σ · A · E
= qδp [µn + µp ] · A · E
= q · GL · τp [µn + µp ] · A · E
הזרם לינארי עם הגנרציה ,והגנרציה לינארית עם עוצמת האור.
ניזכר כי vd = µEז“א הזרם פורפוציוני למהירות הסחיפה.
נגדיר כעת ­ τnזמן המעבר ,כזמן שלוקח לאלקטרון לעבור בגלאי באורך L
L
L
=
vd
µn E
= τn
לא לבלבל עם τn0שזה זמן החיים של אלקטרונים בעודף.
נציב בנוסחא לזרם
IL = q · GL · τp [µn + µp ] · A · E
τp
µp
· IL = GL
1+
·A·L
τn
µn
נגדיר את ההגבר של הגלאי הפוטו מוליך
IL
=
q · GL · A · L
Γph
המכנה הוא המטען שיצרנו ,קצב הגנרציה כפול המטען ,כפול הנפח ,והמונה הוא הזרם שקיבלנו .IL
ז“א היחס ביניהם יהיה ההגבר ,הזרם שמדדנו לעומת הזרם שיצרנו.
מהיחסים שמצאנו נקבל כי
τp
µp
=
1+
τn
µn
Γph
כדי לשמור על נייטרליות חשמלית כאשר אלקטרון מגיע לקצה הפיסה אלקטרון אחר נוצר בקצוות הדגם השני ועובר את המסלול
של כל הדגם מחדש.
אם זמן הרקומבינציה יותר גדול מהזמן של המסלול ,פוטון אחד שפגע בדגם ,יכול לתרום לזרם מספר פעמים )עובר כמה
מסלולים(.
היחס בין זמן המעבר בהתקן לזמן הרקומבינציה הוא ההגבר הפוטו­וולטאי.
הבעיה היא במדידה של הזרם כתוצאה מההארה לעומת רעש ,נצטרך לגרום לזרם הארה חזק יותר מהרעשים כדי שנוכל לראות
את האפקט שלו.
חלק XV
תרגולים
תרגול - 1פיסיקה של מוליכים למחצה
נושאים:
.1על התרגול ,תרגילים ,דרכי פנייה וכיו"ב.
.2קצת על מוליכים למחצה.
.3סיליקון.
.4טיהור סיליקון.
.5כיוונים שריגיים ומישורי שריג
.1כללי
תרגילים :סדר גודל של עשרה תרגילים .חובת הגשה.80% :
דרך הגשה :במודל ,בתא או בתירגול .בזמן.
חלק מציון.20% :
מיילamir.ziv@mail.huji.ac.il :
ספר מומלץSemiconductor Physics and Devices: Basic Principles - Donald A. Neamen :
.2מוליכים למחצה -כללי
חומרים בעלי תכונות שנעות על הגבול בין מוליכים למבודדים.
𝐿
𝐴
𝐴
𝐿
תזכורת :הקשר בין התנגדות להתנגדות סגולית)𝑅 = 𝜌 ( ρ = 𝑅 ⋅ -
מוליכות
סיווג
מוליכים
מבודדים
−5
𝜌 < 10 Ωcm
𝜌 > 105 Ωcm
דוגמאות
זהב ,כסף ,אלומינום
קווארץSi02 ,
מוליכים למחצה :מבודדים ,אך ניתן לשנות את תכונתיהם כך שיוליכו ,יבלעו אור ויפלטו אור באורכי
גל שונים.
דוגמאות:
קבוצה ,Si, Ge :4מיקרואלקטרוניקה ,מצע תאים פוטווולטאיים
קבוצה InGaAs ,AlGaAs ,GaAs :3-5אלקטרואופטיקה
קבוצה ZnSe , CdSe :2-6
סיליקון הוא החומר הנפוץ ביותר בתעשייה ,נגיד עליו מספר מילים:
.3סיליקון
𝑠𝑛𝑜𝑟𝑡𝑐𝑒𝑙𝑒 4
𝑐𝑜𝑟𝑒−10
⏞ .סה"כ 14אלקטרונים 10 .אלקטרוני ליבה ,ו 4-אלקטרוני
⏞ 1𝑆 2 2𝑆 2 2𝑃6
מבנה אלקטרוני3𝑆 2 3𝑃2 :
ערכיות .מבנה כימי יציב 4 :קשרים קוולנטיים.
מקור מומלץ לטבלה המחזורית ומידע על יסודות/https://ptable.com :
באופן סכמטי :המבנה הגבישי הוא של מבנה יהלום .ניתן לתארו באמצעות מבנה ה FCCעם בסיס
בנקודות:
𝑎
) ̂𝑧 0, (𝑥̂ + 𝑦̂ +
4
כלומר ,מדובר בשני גבישי FCCהמוזזים זה ביחס לזה בוקטור+ 𝑦̂ + 𝑧̂ ) :
𝑎
̂𝑥(
4
דוגמאות לאתרים המאפשריים הדגמה תלת מימדית של מבנים גבישיים שונים:
/https://atom.calpoly.edu/crystal .1
/https://demonstrations.wolfram.com/SimpleCrystalStructuresAndMillerIndices .2
הערה :כאשר במבנה זה יש שני סוגים של אטומים שונים ,מתקבל מבנה בשם .zinc-blendeדוגמא
היא המוליך למחצה .GaAsאפשרות נוספת של מבנה -מבנה הקסגונלי (.)GaN
מס' אטומים בתא יחידה:
1
⋅+ 6
⏟ +
4 =8
⏟
2
𝑒𝑑𝑖𝑠𝑛𝐼
𝑠𝑒𝑐𝑎𝐹 𝑡𝐴
1
⋅8
⏟
8
𝑠𝑟𝑒𝑛𝑟𝑜𝐶 𝑛𝐼
סופרים את מספר האטומים בתא היחידה ,שעה שבמידה ואטום נמצא במקביל ביותר בתא יחידה
אחד ,מחלקים במספר התאים בהם הוא משתתף.
אחוז נפחי:
אחוז נפחי -כמה נפח בתא היחידה תופסים האטומים.
אורך צלע הינו ] .𝑎 = 5.43 [Åנניח שהאטומים הם כדורים צפידים וצמודים .המרחק בין שני אטומים
צמודים (שכנים קרובים) הינו רבע מאלכסון הקוביה:
1
𝑎𝑑 = √3
4
מכאן ,נקבל (נשים לב שרדיוסו של אטום בודד הינו מחצית המרחק בין שכנים קרובים):
4
𝑑 3
=
⏟
8
) ( 𝜋 ⋅
⏟
3
2
𝑠𝑚𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑜 #
𝑓𝑜 𝑒𝑚𝑢𝑙𝑜𝑉
𝑚𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑜
⏟V
𝑠𝑚𝑜𝑡𝑎
𝑒𝑚𝑢𝑙𝑜𝑣 𝑒𝑇ℎ
𝑛𝑖 𝑠𝑚𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑜
𝑙𝑙𝑒𝑐 𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑎
האחוז הנפחי:
3
4
1 1
)𝑎8 ⋅ ⋅ π ⋅ ( √3
𝑠𝑚𝑜𝑡𝑎𝑉
3
8 4
=
= 0.34
𝑙𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑛𝑢𝑉
𝑎3
צפיפות אטומית ,מוגדרת כמספר האטומים ליחידת נפח:
8
8
=
= 4.996 ⋅ 1022 𝑐𝑚−3
3
(5.43 ⋅ 10−8 )3
𝑎
=𝑛
.4טיהור סיליקון:
במהלך הקורס נלמד על תכונות ההולכה החשמלית של מוליכים למחצה ,וכיצד ניתן לשלוט בתכונות
אלה .אולם ,לשם כך חייבים לשלוט ברמה הטוהר של המוליך למחצה! נתן כדוגמא את הטיהור של
סיליקון:
ישנם כמה שלבים בטיהור סיליקון .כאן המטרה ,היא להגיע לרמה של מזהם אחד לכל 100מליארד
חלקיקים של סיליקון .סיליקון הוא חומר נפוץ ביותר בצורה של חול ( )𝑆𝑖𝑂2השלב הראשוני הוא שלב
כימי שבו מבצעים את האינטרקציה הבאה:
𝑖𝑆 → 𝑆𝑖 𝑂2
כאשר עושים זאת (באמצעות כמה תהליכים כימיים שונים) ,מקבלים רמת נקיון של כמה חלקים
למליארד ,אשר אינה מספיקה לנו .לשם טיהור נוסף ,יש צורף בשימוש בשיטות טיהור נוספות.
שיטה אחת לטהר סיליקון :שיטת ה:Zone refining-
בשיטה זו ,מתיכים אזור מסויים באורך Lשל מוט סיליקון .מזיזים באיטיות את האיזור המותך ,כך
שכל פעם מתיכים איזור אחר .המסיסות של המזהמים בנוזל גבוהה יותר מאשר במוצק .מכאן ,נקבל
"הסעה" של המזהמים בתוך הנוזל ,ונקבל גביש נקי.
נמדל את התהליך:
המשתנים:
)Cs(x
CL
C0
K= Cs/ CL < 1
L
I
I0
ריכוז מזהמים באיזור המוצק
ריכוז מזהמים באיזור המותך
ליחידת אורך
ריכוז התחלתי של מזהמים בדגם
ליחידת אורך
מקדם הפרדה -היחס בין ריכוז
המזהמים במוצק לבין ריכוז
המזהמים בנוזל .נניח כי אין תלות
ב.x-
אורך האיזור המותך
מספר המזהמים בנוזל
מספר מזהמים התחלתי באיזור
המותך
נרצה למצוא את ריכוז המזהמים באיזור המוצק ) ,Cs(xאחרי מחזור טיהור אחד.
בהזזת האיזור המותך ב ,dx-השינוי במספר המזהמים בנוזל הינו:
⏟ 𝐶0 −
𝑥𝑑] )𝑥( 𝐿𝐶𝑘
⏟
𝑔𝑛𝑖𝑚𝑜𝑐𝑛𝑖
𝑔𝑛𝑖𝑜𝑔𝑡𝑢𝑜
[ = 𝐼𝑑
#
יחידות𝐶 ⋅ 𝑑𝑥 = [𝑐𝑚 𝑐𝑚] :
הסבר :ריכוז המזמהים ההתחלתי בדגם הוא .C0בשעה שאנו מתיכים ,אנו מתיכים C0מזהמים.
אולם חלקם יוצאים מהנוזל ומתמצקים ,חלק זה הינו 𝐿𝐶𝑘 .מאחר ו k-קטן מאחד ,זהו חלק קטן
מהמזהמים שנכנסו לנוזל ,ולכן מתחילים להצטבר מזהמים בחלק המותך .נזכור כי:
𝐼
𝐿
= 𝐿𝐶
מכאן ,נעביר אגפים ונבצע אינטגרל:
I
dI
kI
−L
𝑥
∫ = 𝑥𝑑 ∫
0
𝐼0 C
0
נקבל:
𝐼𝑘
𝐿 𝐶0 −
𝐿
( 𝑥 = − ln
)
𝐼𝑘
𝑘
𝐶0 − 𝐿0
kI
= Cs
L
𝐼0
= C0
L
𝐿
𝐶0 − Cs
( 𝑥 = − ln
)
𝑘
𝐶0 − kC0
𝑘
])𝑥 𝐶𝑠(𝑥) = 𝐶0 [1 − (1 − 𝑘) exp (−
𝐿
ככל ש k-יותר קטן הניקוי יהיה טוב יותר והפרופיל המתקבל יהיה אחיד יותר.
דוגמאות עבור מקדמי הפרדה של מזהמים שונים:
ברזל𝑘 = 4 ⋅ 10−4 :
נחושת𝑘 = 8 ⋅ 10−6 :
בורון𝑘 = 0.8 :
טיהור הגביש ממזהמים הוא תנאי הכרחי ,אך לא מספיק .יש גם צורך בחד-גביש .למה?
א .מוליכות חשמלית
ב .עמידות מכנית
ג .כיוון קריסטולגרפי אחיד לצ'יפ.
.5כיוונים שריגיים ומישורי שריג:
כיוון שריגי בגביש מיוצג ע"י השלשה [ .]hklהשיטה למצוא כיוונים אלו היא:
א .מוצאים את הוקטור הרצוי.
ב .מכפילים במכנה משותף על מנת לקבל מספר שלמים.
דוגמא:
סימון של קו מעל אחד המספרים מסמן כיוון שלילי .ישנה אקויולנטיות בין כיוונים אשר אינם מקבילים.
למשל בגביש קובי:
מישור שריגי מיוצג על ידי השלשה ( )hklשימו לב להבדל בסוגריים לעומת כיוון שריגי! "מתכון"
למציאת כיוונים אלו:
א .אם המישור עובר דרך ראשית הצירים נבחר מישור אקויולנטי ,או נעתיק את ראשית הצירים.
ב .נקבע את החיתוך עם הצירים( .a b c ,כאשר אין חיתוך מספר זה יהיה אין-סוף)
ג .ניקח את השלשה ההפכית.
ד .מכפילים במכנה מושתף על מנת לקבל מספר שלמים.
דוגמאות:
נושאים:
.1מכניקת הקוונטים -חזרה.
.2מבנה פסים ,חורים ,ומסה אפקטיבית.
.1מכניקת הקוונטים -חזרה
א .אלקטרון חופשי
נפתור את משוואת שרדיגנר הבלתי תלויה בזמן:
𝐻Ψ
⏞
𝑚∂ 𝜓 2
ℏ2 𝜕 2 Ψ
𝐸(
+
−
𝜓)𝑉
=
0
)− 𝑉Ψ = 𝐸Ψ
(
𝜕𝑥 2 ℏ2
2𝑚 𝜕𝑥 2
2
בעבור אלקטרון חופשי ,הפוטנציאל שווה לאפס ( ,)𝑉 = 0מכאן נקבל את הפתרונות:
)𝑥𝑘𝑖ψ(𝑥) = 𝐴1 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐴2 exp (−
כאשר:
𝐸𝑚2
ℏ2
√=𝑘
נזכור כי בפונקציית הגל ישנו חלק התלוי בזמן ,ולכן סה"כ נקבל שני גלים נוסעים:
𝐸
𝐸
)𝑡 ) ( 𝑖 ψ(x, t) = 𝐴1 exp (𝑖𝑘𝑥 − 𝑖 ( ) 𝑡) + 𝐴2 exp (−𝑖𝑘𝑥 −
ℏ
ℏ
יחסי דה-ברולי ,ויחס אינשטיין-פלנק:
𝑝𝜆 = ℎ/
𝑓 = 𝐸/ℎ
מכאן ,נוכל לרשום ,למשל בעבור הגל הנוסע בכיוון החיובי:
)𝑡𝜔𝑖 ψ(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑥 −
𝑘 = √2𝑚𝐸/ℏ2 = 𝑝/ℏ
ב .בור פוטנציאל אין-סופי
נפתור את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בשלושה אזורים שונים .באיזור האמצעי נקבל:
)𝑥𝑘( ψ = 𝐴1 cos(𝑘𝑥) + 𝐴2 sin
נשית את תנאי השפה:
ψ(𝑥 = 0) = 𝜓(𝑥 = 𝐿) = 0
מכאן נקבל ש A1חייב להתאפס ונוותר עם התנאי הבא:
)𝐿𝑘( ψ(𝑥 = 𝐿) = 0 = 𝐴2 sin
מכאן נקבל תנאי על :k
𝜋𝑛
𝐿
=𝑘
בעבור nחיוביים .המספרים השלילים אינם נותנים לנו אינפורמציה חדשה.
נוכל למצוא את A2באמצעות נרמול:
∞
∫ ψ(x)ψ∗ (x)dx = 1
∞−
מכאן נקבל:
2
𝑥𝜋𝑛
( ψ(𝑥) = √ sin
)
𝐿
𝐿
כלומר ,קיבלנו גל עומד .נוכל ,באמצעות הקשר שלעיל בין מספר הגל לבין האנרגיה לרשום תנאי
קוונטוט על האנרגיה:
ℏ2 𝜋 2
2𝑚𝐿2
𝐸𝑛 = 𝑛2
בציור:
בעבור בור פוטנציאל עם רוחב של nm 0.5נקבל:
En = n2 1.51 eV
ואז:
𝑉𝑒 E1 = 1.51𝑒𝑉 𝐸2 = 6.04𝑒𝑉 𝐸3 = 13.59
פיתוח אינטואיציה למושג התנע הסריגי:
תזכורת ,משפט בלוך:
בנוכחות פוטנציאל מחזורי ,פונקציית הגל תהייה כשל חלקיק חופשי עם "אפנון" ,לו מחזוריות כשל
הגביש.
𝑥𝑘𝑖 𝑒)𝑥(𝑢 = )𝑥(Ψ
)𝑎 𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑥 +
פתרון של האנרגיות בפוטנציאל מחזורי ,נותן מבנה פסים.
הערה :ניתן לחשוב על הבעייה של אלקטרון בפוטנציאל מחזורי (כפי שיש בגביש) באופן הבא:
נחשוב על אלקטרון הכלוא בבור פוטנציאל (תא יחידה) ,מאחר והוא כלוא בבור פוטנציאל ,יהיו לו
רמות אנרגיה דיסקרטיות .ברגע ש"נתפור" את תאי היחידה זה לזה -נקבל מבנה של פסי אנרגיה
(כמובן שיש לפתור עבור כל תנע בנפרד).
מושג חמקמק הקשה לעיכול הוא ההגדרה של התנע הסריגי .בעזרת התרגיל הבא ננסה להבינו טוב
יותר .נחשוב על הבעיה של פוטנציאל מחזורי מנקודת מבט אחרת :של חלקיק הפוגע במחסום
פוטנציאל סופי .ישנה הסתברות סופית לחלקיק לחצות את מחסום הפונציאל.
נניח ולחלקיק ישנה אנרגיה ספציפית ,מוגדרת:
ℏ2 𝐾 2
𝑚2
=𝜖
מכאן שגם התנע של החלקיק מוגדר .באזורים מחוץ למחסום ,הפוטנציאל הוא אפס ,ולכן פונקציית
הגל מחוץ למחסום תהיה סכום של גל מישוריים:
𝑎
𝑒 𝑖𝐾𝑥 + 𝑟𝑒 −𝑖𝐾𝑥 𝑥 ≤ −
2
{ = )𝑥( 𝑙Ψ
𝑎
𝑥𝐾𝑖
𝑒𝑡
≥𝑥
2
לא נתמקד במציאת הפרמטרים של ההעברה וההחזרה ,נניח כי אלו פרמטרים נתונים .נביט בבעיה
המחזורית הבאה בה המחסום הוא פונקציה מחזורית (לצורת הפוטנציאל המדויקת אין חשיבות):
במקום לפתור את הבעיה בכל המרחב ,מספיק לפתור אותה בתא יחידה .ניתן לתאר את פונקציית
הגל כסופרפוזיציה של גל המגיע מימין ומשמאל:
)𝑥( 𝑟Ψ(𝑥) = 𝐴Ψ𝑙 (𝑥) + 𝐵Ψ
בלבד.
𝑎
2
𝑎
2
< 𝑥 < −באזור
על פי משפט בלוך ,בנוכחות פוטנציאל מחזורי ,פונקציית הגל מקיימת:
)𝑥(Ψ(𝑥 + 𝑎) = 𝑒 𝑖𝑘𝑎 Ψ
𝑘 ≠ 𝐾 .הוא וקטור השריג ההופכי 𝑘 ,הוא קבוע הסריג ו𝑎-שעה ש-
גזירה של תנאי זה ,תניב תנאי נוסף:
)𝑥(Ψ′(𝑥 + 𝑎) = 𝑒 𝑖𝑘𝑎 Ψ′
𝑎
הצבה של ,𝑥 = − 2נותנת:
𝑎
𝑎
) Ψ ( ) = 𝑒 𝑖𝑘𝑎 Ψ(−
2
2
𝑎
𝑎
) Ψ′ ( ) = 𝑒 𝑖𝑘𝑎 Ψ′(−
2
2
נתקבלו שתי משוואות ,אשר בעזרתן ניתן לפתור ולהגיע לקשר המבוקש (דילגנו כאן על הרבה
אלגברה):
𝑎𝐾𝑖𝑡 2 − 𝑟 2 𝑖𝐾𝑎 1 −
𝑒
𝑒 +
𝑡2
𝑡2
אם ,𝑡 = 1המשמעות היא שישנה הסתברו של 100%לחלקיק לעבור את המחסום ,ושום דבר אינו
מוחזר מאחר ו 𝑟 = 0-אז גם שום דבר אינו מוחזר ,דבר כזה מתרחש כאשר הפוטנציאל מתאפס ,ואז
אנחנו חוזרים למקרה של חלקיק חופשי .במקרה כזה המשוואה הופכת ל-
= )𝑎𝑘(cos
𝑎𝐾𝑖𝑒 𝑖𝐾𝑎 + 𝑒 −
)𝑎𝐾( = cos
2
כלומר ש .𝑘 = 𝐾-כאשר אין פוטנציאל ,אין כוחות פנימיים "בגביש" (כי אין גביש) ,ואז אין הבדל בין
התנע הגבישי לתנע האמיתי של האלקטרון ,כפי שהיינו מצפים .בכל מקרה אחר יש הבדל בין תנע
הגביש לתנע החלקיק.
= )𝑎𝑘(cos
מודל קרונינג-פני:
מודל קרונינג-פני הוא דוגמא פשוטה לפוטנציאל מחזורי -בורות פוטנציאל החוזרים על עצמם:
בהרצאה תגיעו למשוואה הקושרת בין האנרגיה ,מספר הגל והפרמטרים השונים המתארים את
הפוטנציאל .פישטנו עוד יותר קשר זה ידי החלפת המחסומים בפונקציות דלתא ,קיבלנו:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘( + cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼
כאשר:
𝑎𝑏 mV0
ℏ2
= P′
𝐸𝑚2
𝛼=√ 2
ℏ
נשים לב כי המכפלה bV0נותרת קבועה כאשר מדובר בפונקציית דלתא.
המשמעות של המשוואה הזאת היא למעשה קשר בין האנרגיה לבין מספר הגל .זהו אינו הפתרון
למשוואת שרדינגר ,אלה משוואה המתארת את התנאים לקיום פתרון שכזה.
במידה ו( 𝑉0 = 0-מצב בו אין פוטנציאל ,זהו חלקיק חופשי) אז נקבל:
)𝑎𝑘(cos(𝛼𝑎) = cos
ואכן ,הצבה של 𝛼 מראה את יחס הדיפרסיה של חלקיק חופשי .באופן כללי יותר ניתן לשרטט את
הקשר בין 𝐸 ו 𝑘-ולקבל מבנה של פסים אנרגטיים ,עם פערי אנרגיה אסורים.
תרגיל:
𝜋
קבע את גודל הפס האסור הממוקם ב .𝑘 = 𝑎-נתון כי 𝑃′ = 8ו.𝑎 = 4.5 Å-
ידועה לנו הנוסחה:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘( + cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼
נציב ונקבל:
)𝑎𝛼(sin
+ cos(𝛼𝑎) = −1
𝑎𝛼
⋅8
עלינו למצוא את ערכו הקטן ביותר של 𝛼 שמקיים משוואה זו ,וכך נוכל למצוא את האנרגיה בחלקו
התחתון של הפער האסור .איך עושים זאת? נשים לב:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘( + cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼 ⏟
)𝑎𝛼(𝑓
כך שאפשר לפתור את הבעיה באופן גרפי ,צד שמאל הוא סכום של פונקציית סינק וקיסנוס ,אשר
יכולים לקבל רק את הערכים ] .[−1,1ניתן לראות בפתרון הגרפי כי עבור הערך הנמוך יותר של
𝜋 = 𝑎𝑘 מתקיים.𝛼𝑎 = 𝜋 :
נציב ונקבל את האנרגיה הנמוכה יותר:
𝜋 2 ℏ2
π2 (1.054 ⋅ 10−34 )2
=
]𝐽[ = 2.971 ⋅ 10−19
2𝑚𝑎2 2(9.11 ⋅ 10−31 )(4.5 ⋅ 10−10 )2
= 𝐸1
לעומת זאת ,הערך "הגבוהה יותר" של 𝑎𝛼 עבורו ka = πהוא פחות מיידי וניתן להגיע אליו על ידי
ניסוי וטעייה:
αa = 5.141
]𝐽[ → 𝐸2 = ⋯ = 7.958 ⋅ 10−19
מכאן שפער האנרגיה הינו:
]𝐽[ Egap = 𝐸2 − 𝐸1 = 7.958 ⋅ 10−19 − 2.972 ⋅ 10−19 = 4.986 ⋅ 10−19
𝐽
אלקטרון וולט הוא האנרגיה הדרושה להאיץ אלקטרון במתח של וולט אחד (𝐶 ) לכן ,כדי לקבל את
האנרגיה באלקטרון וולט נחלק במטען האלקטרון:
4.986 ⋅ 10−19
]𝑉𝑒[= 3.12
1.6 ⋅ 10−19
= 𝑔𝐸
הערה :אנחנו מניחים שכל אלקטרון תופס "מיקום" מאוד מוגדר ומסוים במרחב התנע (מרחב 𝑘),
בשביל שנוכל לטעון את זה אנחנו צריכים להגדיר בוודאות מהו אותו 𝑘 ,כלומר ,שהשגיאה 𝑘 Δמאוד
קטנה .אם ניזכר בעיקרון אי הודאות:
ℏ
2
≥ 𝑥Δ𝑝Δ
לכן ,השגיאה ב 𝑥-גדולה מאוד ,כך שלאלקטרון אין מיקום מוגדר ,במילים אחרות ,הוא "מרוח" על פני
הגביש.
מבנה פסים ,חורים ומסה אפקטיבית
עקומת הדיספרסיה ,קרי האנרגיה כפונקציה של מספר הגל (דוגמא :מצאנו קודם לכן את עקומת
הדיספרסיה של חלקיק חופשי) ,מכילה אינפורמציה על האינטרקציות בין האלקטרונים ולמבנה
הגבישי .לאור אינטרקציה זו אלקטרון יכול להגיב לשדה החשמלי באופן שונה .כלומר ,מאחר
והאלקטרון אינו חלקיק חופשי ומרגיש את הכוחות שמפעיל עליו הגביש ,הוא יענה לכוח חיצוני בצורה
שונה .לעיתים יהיה לו קל לנוע ,ולעיתים יהיו לו קשה לנוע .מכאן ,ניתן ברוח זו להגדיר לו מסה
אפקטיבית שתבטא את הכוחות הנוספים הללו .כלומר ,להמיר את את האינטראקציה של
האלקטרון עם הגביש (אשר בתורם נובעים מיחס הדיספרסיה )𝑬(𝒌) ,במסה אפקטיבית השונה
מהמסה של אלקטרון חופשי .במילים אחרות ,נתייחס לחלקיק כאילו הוא חלקיק חופשי.
המסה האפקטיבית:
1
𝐸1 𝜕2
=
)
𝑚𝑒𝑓𝑓 ℏ 𝜕𝑘 2
−1
(
𝐸𝜕2
]= ℏ [ 2
𝑘𝜕
2
∗𝑒𝑚
אנלוגיה :גולה במים ובשמן הנופלת בכוח המשיכה תצבור מהירות (תואץ) באופן שונה .מתח
חשמלי=גרביטציה ,הצמיגות של המים=הכוחות הפנימיים.
יש קשר בין הכוחות הפנימיים לבין לבין עקומת הדיספרסיצה (הקשר בין התנע הגבישי ,𝑘 ,לבין
האנרגיה.)E ,
כך שנוכל לכתוב את משוואות התנועה:
𝐸𝑒−
∗𝑚
= 𝑎 → 𝐸𝑒𝐹 = 𝑚∗ 𝑎 = −
מסה אפקטיבית שלילית :מאחר ואנחנו מנסים להכניס בכוח את התוצאות של מכניקת הקוונטים
לתוך המסה האפקטיבית וכך למעשה להתייחס לחלקיק כאל חלקיק קלאסי ,אנחנו מקבלים תוצאות
מוזרות .תוצאה שכזו היא המסה האפקטיבית השלילית.
אנלוגיה :נחזור למיכל המים ,שהכנסנו אליו גולה שנפלה תחת כוח המשיכה .אם ננסה להכניס קובית
קרח אל תוך המיכל ,במקום שהיא תפול למטה ,היא עלה למעלה .אנחנו יודעים שהדבר נובע מכוחות
הציפה ,שקשורים לתכונות פנימיות של החומר .כך גם המקרה במסה אפקטיבית שלילית ,כוחות
פנימיים גורמים לחלקיק לנוע הפוך.
תנע גבישי:
𝑘𝑝 = ℏ
הרחבה :במידה ופועל על האלקטרון שדה חשמלי חיצוני ,ניתן לכתוב סמי-קלאסית את החוק השני
של ניוטון:
̅𝐸𝑒 = ̇𝑘𝑝̇ = ℏ
שעה ש k-הוא התנע הגבישי .כמו כן ניתן להראות שהמהירות תלויה באנרגיה באופן הבא:
1
)𝑘( 𝐸 ̅ ∇
𝑛 𝑘 ℏ
= 𝑘𝑛> ̅𝑣 <
התאוצה היא הנגזרת של הביטוי הזה בזמן .מצד שני .F = 𝑚𝑎 ,כך שנוכל לבודד ביטוי עבור המסה
האפקטיבית ,שתלויה בנגזרת של האנרגיה לפי .kבאופן כללי ,המסה האפקטיבית היא טנזור,
כלומר ,שהיא תלויה בכיוון בו האלקטרון נע בגביש.
(הערה :התנע הקלאסי ,שהינו מכפלת המהירות במסה ,לא יתן תוצאה זהה לזו של התנע הגבישי.
תנע גבישי אלקטרוני הוא שונה מאשר התנע של האלקטרון .למשל ,קצב השינוי בזמן של התנע
השריגי מתכונתי לכוחות החיצונים (שדה חשמלי מגנטי) הפועלים על האלקטרון ללא הכוחות
המחזורים של השריג .זאת בניגוד לתנע של האלקטרון אשר השינוי שלו בזמן מתכונתי לסך הכוחות
הפועלים עליו ,זאת אומרת הן הכוחות המחזוריים של השריג והן הכוחות החיצוניים)
אם נתבונן בפס ערכיות ,ובפס הולכה אזי בקירוב הפרבולי ניתן לרשום:
נתבונן במבנה הפסים של :GaAs
ℏ2 k 2
∗𝑒𝑚2
EC = Ec0 +
ℏ2 k 2
∗2𝑚ℎ
EV = EV0 −
.1מסות אפקטיביות בנקודות שונות:
א .בפס ההולכה של .GaAsהאם המסה האפקטיבית של אלקט' בנקודה Aחיובית או
שלילית?
-הפונקציה קמורה> 0 ,
𝐸 𝜕2
𝜕𝑘 2
𝑚𝑒∗ > 0
=>
ב .אלקטרון בנק' 0שבפס הערכיות:
-הפונקציה קעורה< 0 ,
𝐸 𝜕2
𝜕𝑘 2
𝑚𝑒∗ < 0
=>
מה המשמעות של מסה שלילית? ̅𝑎 ∗𝑚 = ̅𝐸𝑒 = 𝐹
תכונות של חורים ,תזכורת:
צפיפות הזרם בפס:
∑
)𝑘(𝑣
𝑒J = −
𝑑𝑒𝑖𝑝𝑢𝑐𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠
בעבור פס ערכיות ,יש לנו מצבים רבים מלאים .ניתן לרשום:
)𝑘(𝑣 ∑ )𝑒− (−
𝑦𝑡𝑝𝑚𝑒 ⏟
𝑓𝑜 𝑛𝑜𝑖𝑡𝑐𝑢𝑑𝑒𝑟
𝑠𝑒𝑖𝑐𝑛𝑎𝑐𝑎𝑣 𝑒𝑡ℎ
)𝑘(𝑣 ∑ 𝑒−
𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠 𝑙𝑙𝑎 ⏟
=J
𝑡𝑐𝑎𝑓 𝑒=0,𝑑𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑡ℎ
𝑑𝑒𝑖𝑝𝑢𝑐𝑐𝑜 𝑦𝑙𝑙𝑢𝑓 𝑎 𝑛𝑖 𝑡𝑎𝑡ℎ
𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑏𝑎𝑛𝑑,𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑖𝑠 𝑡ℎ
𝑘𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑜𝑓+𝑘 𝑎𝑛𝑑−
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠,𝑡ℎ𝑢𝑠 𝐽=0
מאחר וצפיפות הזרם על פס מלא מתאפסת (ראו הסבר בנוסחה מעלה) ,נוכל לרשום:
)𝑘(𝑣 ∑ )𝑒( = J
𝑦𝑡𝑝𝑚𝑒
מכאן שנוכל להסתכל על הזרם ,כזרם של חלקיקים חיוביים ,בעלי מהירות חבורה של האלקטרון
הנעדר.
תכונות:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מטען חיובי.
מהירות חבורה זהה לזו של האלקטרון.
מסה הפוכה לזו של האלקטרון.
אנרגיה הפוכה לזו של האלקטרון.
תנע גבישי הפוך לזה של האלקטרון( .בהתחלה סך התנע של פס הערכיות שווה לאפס,
הסרת אלקטרון גורמת לכך שלמערכת יש פחות תנע של אלקטרון ,קרי 𝑒𝑘)𝑘ℎ = −
ג .חור בנקודה 0שבפס הערכיות:
.𝑞 > 0 𝑚ℎ∗ > 0מסה אפקטיבית של העדר אלקטרון היא הפוכה בסימן .באותוהאופן ניתן לחשוב על ציר האנרגיה עבור חור כעל ציר הפוך לאלקטרון .מינימום אנרגיה
לחור זה ראש הפס.
.2פס ערכיות:
א .מדוע יש כמה פסי אנרגיה בפס הערכיות? מדובר באלקטרונים באורביטלים שונים (S
ו )Pביתר פירוט ,פס ההולכה סביב המינימום ( )p=0הוא מסוג ,)l=0( sזאת אומרת
סימטרי לחלוטין לסיבובים ולכן יש לו ניוון .לעומת זאת פס הערכיות סביב המקסימום
( )p=0הוא מסוג ,)l=1( pזאת אומרת שהסימטרי לסיבובים נשברה ולכן יש שבירת ניוון
ולפיכך מספר branchesלפס.
ב .לאיזה פס מסה אפקטיבית גבוהה יותר?
הפס העליון שטוח יותר >-יותר כבד (מהירות חבורה שלילית ,וקטנה יותר מאשר
הפס התחתון – יותר קשה להזיז אלקטרון (אחורה ,בגלל המסה השלילית) )
עכשיו נעמוד על ההבדל בין אלקטרון לחור:
מסה
אפקטיבי
ת
מטען
מהירות
חבורה
אנרגיה
תנע
גבישי
אלקטרון בפס ההולכה
אלקטרון בפס הערכיות
חור בפס הערכיות
חיובית
שלילית
חיובית
שלילי
כשל אלקטרון
שלילי
כשל אלקטרון
חיובי
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
הפוכה מזו של האלקטרון
הפוך מזה של האלקטרון
תרגול - 2פיסיקה של מוליכים למחצה
מאטום בודד למוצק:
נעמוד על ההבדלים בין רמות האנרגיה של אטום ,מולקולה וגביש ,וננסה לתת אנלוגיה ואינטואיציה.
אטום בודד
גביש
מולקולה דו אטומית
קומבינציה של Nאורביטלים
ℏ2 2
𝑒2
∇ Ψ−
Ψ
𝑚2
𝑟 4𝜋𝜖0
= 𝐸Ψ
−
ℏ2 2
𝑒2 1
∇ Ψ−
(
𝑚2
4𝜋𝜖0 𝑟1
1
+
𝑟2
1
− )Ψ
𝑅
= 𝐸Ψ
−
זהו המילטוניאן של אלקטרון
בודד עם שני גרעינים (יון
מימן)
קירוב שכנים קרובים:
ℏ2 2
𝑒2
1
1
1
∇i Ψ −
+ +
(
𝑚2
4𝜋𝜖0 𝑟𝑖−1 𝑟𝑖 𝑟𝑖+1
1
−
𝑅𝑖,𝑖−1
1
−
) Ψ = 𝐸Ψ
𝑅𝑖,𝑖+1
−
גם כאן ,מדובר בהמילטוניאן של
אלקטרון בודד
כלומר שהשרטוט לא מדויק,
יש להחסיר אלקטרון אחד
אורביטלות שונות.s,p,d… ,
למשל אורביטלת :s
3
𝑟1 2 −
=Ψ
( ) 𝑒 𝑎0
√𝜋 𝑎0
1
קשה לפתור את אותו קירוב ,אוסף המצבים של האטום
ההמילטוניאן ,עושים קירוב ,הבודד משמש בסיס למצב הגבישי:
לפיו הפתרון הכולל הוא
𝑁
קומבינציה של הפתרונות
𝑗Ψ = ∑ 𝑐𝑗 Φ
עבור אטום בודד .נביט רק
𝑗=1
בקומבינציה של אורביטלת :s
ΨH2 = 𝑐1 Φ𝑠1 + 𝑐2 Φ𝑠2
עבור אורביטלה בודדת:
אורביטלה נוספת תתן פס נוסף.
הפס קיימים בכל מקרה ,השאלה היא
אם ישנם אלקטרונים באורביטלות.
(בנוסף נדרש משפט בלוך)
אנלוגיה (לא מדויקת!)
שתי מטוטלות מצומדות
מטוטלת
מודל קרונינג-פני:
מודל קרונינג-פני הוא דוגמא פשוטה לפוטנציאל מחזורי -בורות פוטנציאל החוזרים על עצמם:
בהרצאה הגעתם למשוואה הקושרת בין האנרגיה ,מספר הגל והפרמטרים השונים המתארים את
הפוטנציאל .פישטנו עוד יותר קשר זה ידי החלפת המחסומים בפונקציות דלתא ,קיבלנו:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘(+ cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼
כאשר:
𝑎𝑏 mV0
ℏ2
= P′
𝐸𝑚2
𝛼=√ 2
ℏ
נשים לב כי המכפלה bV0נותרת קבועה כאשר מדובר בפונקציית דלתא.
המשמעות של המשוואה הזאת היא למעשה קשר בין האנרגיה לבין מספר הגל .זהו אינו הפתרון
למשוואת שרדינגר ,אלה משוואה המתארת את התנאים לקיום פתרון שכזה.
במידה ו( 𝑉0 = 0-מצב בו אין פוטנציאל ,זהו חלקיק חופשי) אז נקבל:
)𝑎𝑘(cos(𝛼𝑎) = cos
ואכן ,הצבה של 𝛼 מראה את יחס הדיפרסיה של חלקיק חופשי .באופן כללי יותר ניתן לשרטט את הקשר
בין 𝐸 ו 𝑘-ולקבל מבנה של פסים אנרגטיים ,עם פערי אנרגיה אסורים.
הערה :אנחנו מניחים שכל אלקטרון תופס "מיקום" מאוד מוגדר ומסוים במרחב התנע (מרחב 𝑘) ,בשביל
שנוכל לטעון את זה אנחנו צריכים להגדיר בוודאות מהו אותו 𝑘 ,כלומר ,שהשגיאה 𝑘 Δמאוד קטנה .אם
ניזכר בעיקרון אי הודאות:
ℏ
2
≥ 𝑥Δ𝑝Δ
לכן ,השגיאה ב 𝑥-גדולה מאוד ,כך שלאלקטרון אין מיקום מוגדר ,במילים אחרות ,הוא "מרוח" על פני
הגביש.
תרגיל:
𝜋
קבע את גודל הפס האסור הממוקם ב .𝑘 = 𝑎-נתון כי 𝑃′ = 8ו.𝑎 = 4.5Å-
ידועה לנו הנוסחה:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘(+ cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼
נציב ונקבל:
)𝑎𝛼(sin
+ cos(𝛼𝑎) = −1
𝑎𝛼
⋅8
עלינו למצוא את ערכו הקטן ביותר של 𝛼 שמקיים משוואה זו ,וכך נוכל למצוא את האנרגיה בחלקו
התחתון של הפער האסור .איך עושים זאת? נשים לב:
)𝑎𝛼(P′ sin
)𝑎𝑘(+ cos(𝛼𝑎) = cos
𝑎𝛼 ⏟
)𝑎𝛼(𝑓
כך שאפשר לפתור את הבעיה באופן גרפי ,צד שמאל הוא סכום של פונקציית סינק וקיסנוס ,אשר יכולים
לקבל רק את הערכים ] .[−1,1ניתן לראות בפתרון הגרפי כי עבור הערך הנמוך יותר של 𝜋 = 𝑎𝑘
מתקיים.𝛼𝑎 = 𝜋 :
נציב ונקבל את האנרגיה הנמוכה יותר:
𝜋 2 ℏ2
π2 (1.054 ⋅ 10−34 )2
=
]𝐽[ = 2.971 ⋅ 10−19
2𝑚𝑎2 2(9.11 ⋅ 10−31 )(4.5 ⋅ 10−10 )2
= 𝐸1
לעומת זאת ,הערך "הגבוהה יותר" של 𝑎𝛼 עבורו ka = πהוא פחות מיידי וניתן להגיע אליו על ידי ניסוי
וטעייה:
αa = 5.141
]𝐽[ → 𝐸2 = ⋯ = 7.958 ⋅ 10−19
מכאן שפער האנרגיה הינו:
]𝐽[ Egap = 𝐸2 − 𝐸1 = 7.958 ⋅ 10−19 − 2.972 ⋅ 10−19 = 4.986 ⋅ 10−19
𝐽
אלקטרון וולט הוא האנרגיה הדרושה להאיץ אלקטרון במתח של וולט אחד (𝐶 ) לכן ,כדי לקבל את
האנרגיה באלקטרון וולט נחלק במטען האלקטרון:
4.986 ⋅ 10−19
]𝑉𝑒[= 3.12
1.6 ⋅ 10−19
= 𝑔𝐸
מבנה פסים ,חורים ומסה אפקטיבית
עקומת הדיספרסיה ,קרי האנרגיה כפונקציה של מספר הגל (דוגמא :מצאנו קודם לכן את עקומת
הדיספרסיה של חלקיק חופשי) ,מכילה אינפורמציה על האינטרקציות בין האלקטרונים ולמבנה הגבישי.
לאור אינטרקציה זו אלקטרון יכול להגיב לשדה החשמלי באופן שונה .כלומר ,מאחר והאלקטרון אינו
חלקיק חופשי ומרגיש את הכוחות שמפעיל עליו הגביש ,הוא יענה לכוח חיצוני בצורה שונה .לעיתים יהיה
לו קל לנוע ,ולעיתים יהיו לו קשה לנוע .מכאן ,ניתן ברוח זו להגדיר לו מסה אפקטיבית שתבטא את
הכוחות הנוספים הללו .כלומר ,להמיר את את האינטראקציה של האלקטרון עם הגביש (אשר בתורם
נובעים מיחס הדיספרסיה )𝑬(𝒌) ,במסה אפקטיבית השונה מהמסה של אלקטרון חופשי .במילים
אחרות ,נתייחס לחלקיק כאילו הוא חלקיק חופשי.
המסה האפקטיבית:
1
𝐸1 𝜕2
=
)
𝑚𝑒𝑓𝑓 ℏ 𝜕𝑘 2
−1
(
𝐸𝜕2
]= ℏ [ 2
𝑘𝜕
2
∗𝑒𝑚
אנלוגיה :גולה במים ובשמן הנופלת בכוח המשיכה תצבור מהירות (תואץ) באופן שונה .מתח
חשמלי=גרביטציה ,הצמיגות של המים=הכוחות הפנימיים.
יש קשר בין הכוחות הפנימיים לבין לבין עקומת הדיספרסיצה (הקשר בין התנע הגבישי ,𝑘 ,לבין
האנרגיה.)E ,
מסה אפקטיבית שלילית :מאחר ואנחנו מנסים להכניס בכוח את התוצאות של מכניקת הקוונטים לתוך
המסה האפקטיבית וכך למעשה להתייחס לחלקיק כאל חלקיק קלאסי ,אנחנו מקבלים תוצאות מוזרות.
תוצאה שכזו היא המסה האפקטיבית השלילית.
אנלוגיה :נחזור למיכל המים ,שהכנסנו אליו גולה שנפלה תחת כוח המשיכה .אם ננסה להכניס קובית
קרח אל תוך המיכל ,במקום שהיא תפול למטה ,היא עלה למעלה .אנחנו יודעים שהדבר נובע מכוחות
הציפה ,שקשורים לתכונות פנימיות של החומר .כך גם המקרה במסה אפקטיבית שלילית ,כוחות פנימיים
גורמים לחלקיק לנוע הפוך.
תנע גבישי:
𝑘𝑝 = ℏ
הרחבה :במידה ופועל על האלקטרון שדה חשמלי חיצוני ,ניתן לכתוב סמי-קלאסית את החוק השני של
ניוטון:
̅𝐸𝑒 = ̇𝑘𝑝̇ = ℏ
שעה ש k-הוא התנע הגבישי .כמו כן ניתן להראות שהמהירות תלויה באנרגיה באופן הבא:
1
)𝑘( 𝐸 ̅ ∇
𝑛 𝑘 ℏ
= 𝑘𝑛> ̅𝑣 <
התאוצה היא הנגזרת של הביטוי הזה בזמן .מצד שני .F = 𝑚𝑎 ,כך שנוכל לבודד ביטוי עבור המסה
האפקטיבית ,שתלויה בנגזרת של האנרגיה לפי .kבאופן כללי ,המסה האפקטיבית היא טנזור ,כלומר,
שהיא תלויה בכיוון בו האלקטרון נע בגביש.
(הערה :התנע הקלאסי ,שהינו מכפלת המהירות במסה ,לא יתן תוצאה זהה לזו של התנע הגבישי .תנע
גבישי אלקטרוני הוא שונה מאשר התנע של האלקטרון .למשל ,קצב השינוי בזמן של התנע השריגי
מתכונתי לכוחות החיצונים (שדה חשמלי מגנטי) הפועלים על האלקטרון ללא הכוחות המחזורים של
השריג .זאת בניגוד לתנע של האלקטרון אשר השינוי שלו בזמן מתכונתי לסך הכוחות הפועלים עליו ,זאת
אומרת הן הכוחות המחזוריים של השריג והן הכוחות החיצוניים)
אם נתבונן בפס ערכיות ,ובפס הולכה אזי בקירוב הפרבולי ניתן לרשום:
דוגמא :1גליום-ארסניד
נתבונן במבנה הפסים של :GaAs
ℏ2 k 2
∗𝑒𝑚2
EC = Ec0 +
ℏ2 k 2
∗2𝑚ℎ
EV = EV0 −
.1מסות אפקטיביות בנקודות שונות:
א .בפס ההולכה של .GaAsהאם המסה האפקטיבית של אלקט' בנקודה Aחיובית או שלילית?
-הפונקציה קמורה> 0 ,
𝐸 𝜕2
𝜕𝑘 2
𝑚𝑒∗ > 0
=>
ב .אלקטרון בנק' 0שבפס הערכיות:
-הפונקציה קעורה< 0 ,
𝐸 𝜕2
𝜕𝑘 2
=>
𝑚𝑒∗ < 0
מה המשמעות של מסה שלילית? ̅𝑎 ∗𝑚 = ̅𝐸𝑒 = 𝐹
תכונות של חורים:
צפיפות הזרם בפס:
∑
)𝑘(𝑣
𝑒J = −
𝑑𝑒𝑖𝑝𝑢𝑐𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠
בעבור פס ערכיות ,יש לנו מצבים רבים מלאים .ניתן לרשום:
)𝑘(𝑣 ∑ )𝑒− (−
𝑦𝑡𝑝𝑚𝑒 ⏟
𝑓𝑜𝑛𝑜𝑖𝑡𝑐𝑢𝑑𝑒𝑟
𝑠𝑒𝑖𝑐𝑛𝑎𝑐𝑎𝑣𝑒𝑡ℎ
)𝑘(𝑣 ∑ 𝑒−
𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠𝑙𝑙𝑎 ⏟
=J
𝑡𝑐𝑎𝑓𝑒=0,𝑑𝑢𝑒𝑡𝑜𝑡ℎ
𝑑𝑒𝑖𝑝𝑢𝑐𝑐𝑜𝑦𝑙𝑙𝑢𝑓𝑎𝑛𝑖𝑡𝑎𝑡ℎ
𝑒𝑚𝑎𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑑,𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒𝑖𝑠𝑡ℎ
𝑘𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡𝑜𝑓+𝑘𝑎𝑛𝑑−
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠,𝑡ℎ𝑢𝑠𝐽=0
מאחר וצפיפות הזרם על פס מלא מתאפסת (ראו הסבר בנוסחה מעלה) ,נוכל לרשום:
)𝑘(𝑣 ∑ )𝑒( = J
𝑦𝑡𝑝𝑚𝑒
מכאן שנוכל להסתכל על הזרם ,כזרם של חלקיקים חיוביים ,בעלי מהירות חבורה של האלקטרון הנעדר.
נעמוד על ההבדל בין אלקטרון לחור:
אלקטרון בפס ההולכה
אלקטרון בפס הערכיות
חור בפס הערכיות
מסה
אפקטיבי
ת
חיובית
שלילית
חיובית
מטען
שלילי
שלילי
חיובי
מהירות
חבורה
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
אנרגיה
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
הפוכה מזו של האלקטרון
תנע
גבישי
כשל אלקטרון
כשל אלקטרון
הפוך מזה של האלקטרון
תכונות:
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
מטען חיובי.
מהירות חבורה זהה לזו של האלקטרון.
מסה הפוכה לזו של האלקטרון.
אנרגיה הפוכה לזו של האלקטרון.
תנע גבישי הפוך לזה של האלקטרון( .בהתחלה סך התנע של פס הערכיות שווה לאפס ,הסרת
אלקטרון גורמת לכך שלמערכת יש פחות תנע של אלקטרון ,קרי 𝑒𝑘)𝑘ℎ = −
ג .חור בנקודה 0שבפס הערכיות:
.𝑞 > 0 𝑚ℎ∗ > 0מסה אפקטיבית של העדר אלקטרון היא הפוכה בסימן .באותו האופןניתן לחשוב על ציר האנרגיה עבור חור כעל ציר הפוך לאלקטרון .מינימום אנרגיה לחור זה
ראש הפס.
.2פס ערכיות:
א .מדוע יש כמה פסי אנרגיה בפס הערכיות? מדובר באלקטרונים באורביטלים שונים ( Sו)P
ביתר פירוט ,פס ההולכה סביב המינימום ( )p=0הוא מסוג ,)l=0( sזאת אומרת סימטרי
לחלוטין לסיבובים ולכן יש לו ניוון .לעומת זאת פס הערכיות סביב המקסימום ( )p=0הוא
מסוג ,)l=1( pזאת אומרת שהסימטרי לסיבובים נשברה ולכן יש שבירת ניוון ולפיכך מספר
branchesלפס.
ב .לאיזה פס מסה אפקטיבית גבוהה יותר?
הפס העליון שטוח יותר >-יותר כבד (מהירות חבורה שלילית ,וקטנה יותר מאשר הפס
התחתון – יותר קשה להזיז אלקטרון (אחורה ,בגלל המסה השלילית) )
דוגמא :2סיליקון
מבנה הפסים של סיליקון:
1.14eV
A
A
B
.1
.2
.3
.4
.5
מהו רוחב הפס האסור?
האם זהו מל"מ עם פער ישיר או עקיף?
מהו התנע הקלאסי של אלקטרון המצוי בתחתית פס ההולכה? מהו התנע הגבישי?
מהי המסה האפקטיבית של אלקטרון בנקודה ?Aשל חור בנקודה ?A
מהי המסה האפקטיבית של חור בנקודה ?Bשל אלקטרון בנקודה ?B
זרם חשמלי:
תזכורת ,הנוסחה לזרם חשמלי ניתנת על ידי:
𝑣𝑞𝑛 = 𝑗
במילים ,הזרם החשמלי יושפע מגודל המטען ,כמות המטען והקלות שבה הוא זורם .כעת ,אנו עוסקים
בשאלה -כמה מטענים זמינים לנו לשם הפקת זרם חשמלי?
אז ,איך סופרים אלקטרונים?
לעיתים קרובות אנו מחפשים דרך לעבור מסכימה מהסוג:
𝑘𝑛 ∑ = 𝑛
k
כלומר ,לספור כמה אלקטרונים ישנם בכל kמסוים ,לאינטגרל מהסוג:
)𝑇 𝑛(𝐸,
⏟
)𝐸(𝑔
⏟
𝑦𝑡𝑖𝑙𝑖𝑏𝑎𝑏𝑜𝑡𝑝𝑒𝑊ℎ𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡ℎ
𝑦𝑔𝑟𝑒𝑛𝑒𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑎𝑛𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑡𝑜𝑏𝑒𝑎𝑡𝑡ℎ
𝑒𝑙𝑏𝑎𝑙𝑖𝑎𝑣𝑎𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑆𝑦𝑛𝑎𝑀𝑤𝑜𝐻
𝐸𝑑 ∫ = 𝑛
כלומר ,לסכום על האנרגיה .זאת למשל ,כאשר מנסים לסכום את כלל האנרגיות של כללי המצבים המותרים במערכת.
לשם כך אנו זקוקים לפונקציה המביעה את צפיפות המצבים באנרגיה מסוימת:
]𝐸𝑑 𝑔(𝐸)𝑑𝐸 = 𝑁𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑜𝑓𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡ℎ𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙[𝐸, 𝐸 +
r
/
j
l
1
I
I
1t
l
lr
I
r
I
,
i
I
'
,
,1 1' .t
'
:
/ .J;,
~
I
,
l
1
'
'(.l '
I,u)
I
· ·
l .
6'
I0
t ()
l .
1 -1
T
..// .
I
1
T
1
Q'
r
--A\ j
r'Q
·t
t
I
Ji
,"-X
I" ,1
! r
'
--
'4
-c
1 (,
r
l
r
r
1
1
1 '
i-
1
I
,,..t
vv,
,
,,
r
i
'1,
T
r
I
i
1
:
r
1
J
:
I
;
t
vr
i
r
'
I
I
T
Iit
11, 1
j
I
·tr,
'
,
(J I rl-0 :
II (1
(
I
c_ -f
(l
f'1
t
1-
ol<:(
I
tt
]
I
_
1
'
I
I
'
~;oi :
It
, r j --
'
I
I\
r rR,!
l
I
I
I
II !
I .
t
1
1
i
I
-t
•-r
•--t
:
i
T T
w·
;)
I
l
!
f ~ [ .}
~r_ ~Ir"l
Iu
I
I
I
I4
'J
1- I
fr
I
_
I
I'":
I~ :
jl<J1
I
r
I.~
1
'
I
,-__
l· I
I
I {3
0
I
,.._
rl,()
~
l
I
1
I
1
1
t-_
1
1
'
r
I
t
/'
•
I
1
~
r
f
I
r
I
I
I
A
I
rI rI ~ .
I
I :
1
.
~
~
I
t
I
I
r
I
I
r
1
Jr-
. ('"\
I
t
I
I
t
I
(
/:'
I~
1
,. ..._..
I
LA
,
I
~
I
'
r
I
i
I
I
r '
Y,:;- ' '
8
l
l
.;..._.
_,,
I
I : v ' ~.
1- ~
Cl
/";
1-1
!
ra
£~
I ' I
!
I f
J
I {_")
I
T,- l . ·
-.:--
' I
~
I
'\3 l_y
!-
I~
v--1
1 • /.\
fl_!'
'Vi
·1 I
r
, _.,...!
I ,
,
'2~
tf-C; ,°'"I
J
rl
~l
I C
,
I I
1·
I
-
1
l
1
r
jl
1 ~-- ' t
I!
I r
t
I
I
I
lrl
1 ().'
'----0
I
1
1
1
1
1
J
t
I
I
•
,
t
I
j
!
1
,
;
I
l
,
t r
1
f
I
t
J
t
[
I
'
I
'1\ 1
-~J i
I
I
t
t
lI r r ,
)
C,
r--
1
jt
l
:-
t;,i
) l'
I
o t
'_ ('
\
1 ,.. 1
,,J
•
1· .,..
[
l~ J
I".:\I
1 L'
,.Y
~
1 l .
1
...J, l I J
1
j,
1'
j j ~-J
,1;.,
l i
~j
t
I
,
t
f
1
r,-1 l 1_::i 1
1 j
I
1
'
t
T
I~
i
I
I
J
i
i
#r.
...,,
,~Q ·i
rrJ
_ 1I , [
-;:;? I o
rv~ 1 . t
i I ~v
I
"1 -- . '
:-e;-:
0,...;_ ,' ·D;:.1 ; t ' 'J i? -..I, ;::=, • c '-4
I ' ' '~ , "
1.·
~fi1
s, ,cJ ' ....j
,C:,, '~ ;
·-
_I
~
T
'
f
r
I
T
r
,,......
)4
La
!
1
I
o)-1.
7) _
If(i--ri- .j>1, ''/
'
-a~' )
-
!~ I Ci
1'
T
i ('1
l \· r
. r-__., 1
: i
::1 )'
0
i.;
r (I
I
i
1
I
I
l
!
,I 1
l
~
1 t
a ,i i ---'~1; lj ], i I l~ r,_:
{Th
11\
J
I~
I .
Ia r
ig}
.r I
I
rrr'.rri·,1,
t
j
I
' 1 tr , t ' ,
r ·1 I
I : F~' i ' I
' : ! .i I.
iI li ~-'
;, r
.
'lrt·r
!
t
,
1
t
~
j
.
;1 I
,,....
(' ·
-1)
r ·~n_
t
I "5
Y•
I '
! ['.~
I
1
r
~.,I 1f , ,.~---tI
Il / 1I 1
1 .
t,
r
1
r
i
t
1
1
i
r
1
1
T
i
I
I
l
t
t
I
r
.
J
1
I
t
'
t
I
I l
f
'
!
1
I
~
'
i
I
l
t
l
I
t
I
l
I..- '_ I
I
I
j
I
T
T
I
t
I
l
-r
I
I
!
r
i
t
I
'
I
I
r
I
r
!
'
r
I
r
j
I
I
t
I
I
i
I
i
I
]
I
[
1
l
I
I
I
J
1
'
I
1
t
I
I
I
rI
r
I
1
I 1l
t
I
l
I
l
I
t
I
j
I
I
T
I,
I
I
I
l
f
I
I
I
I
I
I
I
J
I
I
'
[
'
.....,~
i
' ~ ~\
I
I
ir
I
I
I
I
I
I
I
1
I
l
/)
'.
!
I
I
I
1( )
I
I
I
I
4
1
'
I
r
,,.
:
r~
Vi
_ /· t~
' $;
\)
~
S
e
{J'G
~
.
J!
JP'
)..0
9
/)
0
~J) , Ii ~
,.S)
~
fll
q
__
co~
I O
,,J,
GJ
,,
*
,
I
·-r· .9 ,
I
'
I
I
1
Q .
1
1
c6f V)
II
-
~
--£,
"<
c«r,I..)Q , , '°
11
~g cbl
Q r ('
Ii ,
t.!..
('
,-..
r
(.!:: :
f
.
I
I
/'\
q. 1) 1\ ·
l ,: \
I
I
r'
,
'Tr·.
,.. ,
.:s- i CY
~
•
! [
' ..-{
,'cl
/JJ .
V <:i,
..S
fcJ ~
1
I
I
I
I
l
I
I
I i ,l,'.o
, ;_~
_- : -;he~ ·_ I
,/7:~
~ - '. ~- '
' , [l .~. Ef)
'
1
t
I
dJ '
1
I
I -.r''.:rt_J'
~
r"
1
I
6r
J
.
r
.,.:r- [
1I
I
I
I
·,-
·
-,.:;;;:I
r
I
1
t
I
'_ l v,J. . . /),
..L
·-i
.• 1,,
I
I :
I
i
I
I
,' x
.l
I
!
, It
!
t
i
T
T I
I
I
I
I
I
t
'
I
f
i
I
T
>l.. I
I
I
! I ! ! : !
r
I
I
I
i
+
i
1 I
I
, rkJ ~
i
II
T
l
I
!
I
t
r
:2
t
I [~
t
l
t t
t
t
T
t
1
1
I
i i
1 t
''""
J.._j,/
r
t '
l
1
i
1
t
t
r
!
,
I
i
I
l
•
I
]
1
1
1
r
1
!
t
t
t
j
t
I
i
I
r
j
1
'
I
'
I
T
i
I
•.
T
1
l
t
t
l
t
!
1
~
~
-
~ 1 1ch
jI
1
fiil}
I ,...., ,
I
i
i
fr
17 !
1
~
I,
1
1
t 1
1
t
:
I
r
1
,
1
I
1
I
1·
1 I
1 ,
t
1
r
r '
i
1
1
t 1
1
+
1
T
r::r
I
f.
,
I
t
t
1
I
\
1_
T
I ;l '
1
r- I
.\,.J
t r,I
l
1
(.,Iii
1 /,.
;;)
,...
J;;z·1
i C
1
t
1
1
I
j
1
1"
J!"...
1
t
~
,
I
r •.::1
I _..J
::;
1
(l-
I
~
{u
,.
1
1
J
:
1
1
'"
f_
'
T
<
1
1
r·•:ttf ar -.t;Jl
~r
I
1,
'
T .
.
J· \..?
:!I
(l
1
i
·,·
1_
I
.I
!i f
r
i
I
T
+
r
i
I
t
I
l
i
I
I
l
I
1
r
!
I
,
I
T
•
I
i :
,
r
I
•I
I-
r
I
,
I
j
t
r_j
I
I
r
!
I
1_
f
I
1
I
,
'
I
I
!
t
f':
i
l
I
1
1
1
1
t
II :r
~
!
l l I
l it I
l~
! ~
t
I /0'-2_
1
•
JI , /1\ I .
'
I
'
tII
t
r
1
II
~
t
t
I
I
r
f I
I
j [
r
t
t
1
1
!
I
T
'1
I
I
/',:)
J,c
I
i
l
I
t
I
I
'(' 1
...;;;,
.'k
~
1o
~
•
j
I
I l
,
-- __;:_.
II'
,
, I
;
1
I
1
r I
r
'\]
Lsrvu
r
i,
f
.J.
,..__,
I
-.,I
I !~
1
I
T
V. . 1
,
' \
~~L/)1,.i~r_. 11
,J I
f_ '&
.. I
_I
p
I
-I JJ
I
_2
,
O
,rf
t
1
'
U) '
) j]
1
I
k
I,) '
f
I ,
I
"'a
..:rl 1 r,)
I:;?
1
r
r 1.
!k '
.
I
I
I
T
'I
r
tlll1l1tt
I
I
l
I
I
V!
I -
:
,11'
.
· ~
~~
1
)
I
I
T
,1
J
L,
1
j
'
r
t
j'
•
.
I
J
nl
d
• '
.-
lr-J
t!;.
I
ltJl
j
l 1
Jr
.
1
:
:
I
'I
I
I
1!l
·
1
I,w9 i- ~ ~U'
1
I C_;_
~
l ·,,..
•
1
I
., d
·01
";: '
I~
l
1
1
I
1 i
t
~
~
r~:
t
Iii
'
1
l
1
I
l
1 1
t
1
I
r
I
Y"
£
I
I
I
r
1
:
,
, : r i I r
1
I
f t f f t
t : r
-~1
I
r I r r·r
r, -.
!
Cr ' ~
1~
# i' .1~:
q-)(1:)
Y,:'
-r £V
· 1 . :!t\
r.::' ~-:
~
J
i
ti
,-+1
'1·
f
r
J__
f °'
T
'
.
'r
I V
·-,I
. l . .' J '~ '
ti}J:g r&
1
I~~;
1'rr ~·~ ,
!
t1f[1 ii i
l
r1'[II bQ--1~
_i ~
1
I
r
I
r
f 1 , 1 "'R
i
[ t f t I I
1 t
I l
l ~
111-}r
Jr
r11
t
1
r
.
l t t ~ 1 \l f r l fl
•I i
t
f
r , r
I
I
t i ('l I T I 1 .::£ a r
t
r
11
r
1
,,
1 _?
t 1(21
,, r
'
tI
'1·
r t
I
I
'
I
.
£
I
t
t
)
i
I
t
I
T
j
1i
r
1
t 1 :
/1'.. r !
.!'
r
1
1
1 1
t1f·t1
1t·
1
1
1
,~
1
'
l ·
r
11_
i
.. -• -- .
t
~~!>( T
.
'
'"-l
'
1 ,.~
l
,-._:,
•
/'-..j
I
""'
k t'·,,
I
I
\'
I
I
1 , 1
I
l
,
~
.
j.j
jl
'
I
I
1
•
I
+_
;-[ -1:
\
_\
.
1··
~'
r i ·
t··-.. ~ \ [ '_ . 1_ I 9
101_
J ' _r. \·1 a, ! ·1_l ~
,
•
1
'
:t
\
\·"f-:
1\
\
t i ' l __ t .!.
r t
1 ·
l.
I
I
1 ·-'
J
1
1
1
r ,
t -- ,
1
t 1
1
j
t
!I
!
T
1
I
r
t
'
1
T
;
j'
I
J
j
,'
1
1
'
t
1
r
1
l
J
1
,
t
;
t
I
t
r_
Jll
!
11 1
r
f
j!
1
1 r
1
fff
I
I
'
r r 1
I
·1111;
rr
1 .
1 1
r j
1
1
trr·
t
f '
11
t
r
r
!
I : tf /
,
f
i
r,t
r r
t ,
I
I
1
l i
1
.
r
I
r r r
j
t
1.
l
t
I
i
l
~
,·,
,J~
~1
·'
)1
I
I
1
I
i
6 "'
--4S
'
__, O'
I
:i
IA) '.
(),()
/J
' -i
; •'
I Sl
I
j
,
I
I I
1
I
'
I
1
I
l
t
l!
!~
I
I
j
I
'
,
[
I
I
l
t
r
i
t
r
I
t
:
1
I
,~a
~lri
I
;ci/~~~i:
t
c6
I
II l
l
'
J I
I
j/\
'
I&
('f
~{~
i
; II ,
, • I
j
. ' /{)
I
i
,(/}
r
I
:
rl
I
1
I
•
l
I
I
r
:
j
t
I
1
]
I
I fi0
i
I
f'
r
I
r
1
i
r
__,. _ _
-+
--r--------· -- ----
+--e---+-- - - -
---+ -
-4~-
~
-
--'-+----
-+--,.-~
~ ~ _ b:L-+-rE2GC>_~~---0':;)~ __-::?)3;?"6, __ ~~' A1-~ _ J~:~..~-----~--.
-
-1
-
-+-
-+
---,~.-
-t
-.1.- - - - - - --
-
--t---J- +--+--+---,.
~~~~=-==
- 1 - - ·__ _J ___...__........
--l---+---------4------· - --+-----1 - ) - - - -
~--
--+-_.__. 'IC:)~~) - - - - . ~
----
~: -~1c~~:)---~ -~ ....
- -------,,
-+
--,-
- -+
-j
--+--4-
-t
----+--- -
---,,---
--t
---;
--t-
-+
--f
- .- --+
-,--,.
- _,
_
---i-------
--t
1=-;~~~;-1,j:
~
- - - -4
%
0
- ,{-
~
---s---
I
r
-
-
. -~-
_
/o~ {)- , _
-<;::_,
=-~~-~- ~1~-i. -
--
t=C0
-t
- -,- ,-
1-- -- \ - -- ~
--
-
~
_,...
-- -
----
~
---·----1--
--+
___ - \ _
----------r--·-
--+
_ _j -
-
~
-
-......
-
\fz:o.., ;;J.:.
,
T
i
1
t
t
t
+
T
I
j
I~
I
] ....._,
Lil
~c...d
/}
-,
I
1
I
j
.
---
~
I
'
I
r/)(}
·~
.'
t
' ) ].
I+ :
~ .I
10
:
lq)
j
-~
I 11 Ii :-xn
'I ,l) , I~('
o"'
i
': ..r
I
I
T
J
~~ I
i-f~
1
I
I
c_9
'
t
I
t
1
I
1, ,
I
~
.r
'
1
1
T
'
I
I
I
1
I
~o
4
rf)
]. \1
T
l
I
I
+
l
I
t
l '
• l
i
•
j
I
l
1
1]'
,
~
0
'
I
(l.l
• ' .
I
1
j
'L
!
!
I
t
!
l
1
t
Ir·
tI
t
,
I
...
•
T
t'
t
:
I
I
,
t
'.
,
1
r
1
r
rr~:
r,
I
t
l
1
II
1
I
l.
1
..
I
t
l ;III.
1
•I
f
I
..
1
I
•
,
I
I
I
1) I
Oi
+~
I
f
1
;2'.
G
I
1
f
I
I
i j
)
<P
l (..ti
0
;n
0,
c
I
· ,l
T
+
t
1·
I
I
i
tr
I
t
I.
....
I
1V()
I
l
I
l
'
1
'
t
I
cO
'·
I
f
/
i
1
I
t
l
I
j
I
l
I
1
l
I
I
1,/'
i
i
r
I
I
t
I t
i
r
f
I
l1
I
T
I
1
1
t·
I
t
t
I
l I ~, . i I
T
T
I \,,<!'.:
r
t
I
j c;jlJ./
,<D
I
' @;
1•
I
•
t
&
1~
I
1
(<)~ .()_
1
1~,'
/J
l-'l
I
;
£A
c: , ,
~
c
~
.
i
1·
j1
I'
." .
IQ...
I '
!
i
t
t
f
I
I
1
I
'
: , , ,
[t tt l [I I
'
I I I
I ;[.
f
I
..
t ~
j
11'
1
+
1
1
I
r .,.---.__·
1
-
I
l p)J\ I
1
'
1
I
ft
~~
1cf) / 7 ~
r.
'"':~
. I
1
·~
_.----'O
·--3
• I
I
rs-,
+
-+
t
l-,--.1 •
! :
E
1
' dtf
t
.
t
1 ·t- 1r'J
I I L
\.J.91
; 1
t '
!
'
t
·tr
1I
'F J\ r(\
j1 ~
r
I
l
I j I' j
J'"""i l
'l ~
l?
,;' ~
w(.) 1 ;. d r I ; 1 ' S
t
1 :
T
lt .
1
t
1 :
I~
I
I
t
, 1~
I
r ,
I .d '.
I '~ 1 11:~I
l1)ttrt
i f
I
;1
I
r
t
t
i W
~1. l!I
1
1 · ,~
t
r
I
t
i
I
r !
1
'\
j
t
I
l
1
1
I
I
j
I
I
1
I
t
I
'. ~'..
fI
1
r • ,
-
f;ot
!
,
I
t)
,,-,
\ 1
~
1
I
j
I
)
~
(:
,_ i
i-
I
, I
j
r
1(" ~
(cJ le )
IG
1
'-(·)' I
L:S
•l-0 1
,
I
I
10
Er
"') .~
''\
~
I '
]
I
'
t
'
·
I
f r
{'
D
"
---:1'
'0
~.
;;
I
l
l
I
0
r;J
I "
l ~
l ' ;)
tf
U
& :~ i
I(..;()
j
~
d 00
C'
/"',
a
-{)
1
i .~ 1 C.:
1
T
I 1
1
d
! l ®,
I
1'
I 1-.
rf1
I
I I
r
I t
i
, f
.x
!
I
I
t
t
l
I
!
I
1
r
I
]' l
1
1
I
I
I
:
~
"
. c'
l
I
I
I
/),
l 'r
C·
I
a!
j ·~
l
l
I~
~
Ll)
f
I
I
t
l
I
1 '.
I
I
I
1
I
,,;(J
·rr
-~
j
,.,
1
I
I
I
0
'vd
II
I
1) ; -,-
~
- I
,<1!!.
-3
c-- rl
~ C:
'c)
vu
f',,!
I ' {)
I
t
U1 ~
I
I
I
~
+
~
G
t
t
"---1
~c
c..--
§
~
I
c-;1
I
T
jI
j
'. ~
I
I
I ,;-:;,
~
I
l
~
,-..,
1721
[0
I
I
v1,rc?) , ·~.~
2'.:
~~
I
/()
.
~1 .V,
j
1·
T
I
I
I
j
I
1
1
1
l
1
f
I I r
i lJ J j
o ,.., · ~.
Jc , : ~
1 I
(vi
1>?,
J
i
r
; ·n
C:..
r.---:- ~
<
I C}
\
!
f1 ,·
~
lo
I
1
·1
II [)
''
r
t
i
I
I
t
1I
r
l
'
I
t1
j
r
1
t
t
tl
I
l~
r
·
I
1
~1 1
:
1
1
r
1
r
l
t
,
I
T
1
t
I
:
1
1 :
r
I
1
I
1
1
1
l
1
r
I
I
',
I
It
I
1
1
:
!
J
I
I
t
I
l"- 1
1
I
t
" I ,, '
! :
i
1
J
I
:
1
1
j
1
t
/
t
t+
,
I
I
'
I
t
!
r
t
I
r 1
I
,
,
t
1
I
1
l
,
I
I
,
I
r
I ' .
t
•.
I
T
l
1
1
I
I
1
i
rr
I
,
i
I
I
~
-0
r~r
1 I rY
0 I
0
le
·~c
,.1
,....,
•'?
8)
I
.
I )) ;
ch l~l
I
.
,.,
,
r
I
;
1
1
I
If
1
Il l
(.J--1 ,
r
!1l
1
I
G...
I ;;._;
~
1
1
\
I
I
r
I
I
1
I
I
I
l
1
I
l t
rl
t
)2
.
.
I
I
1
I
(D
I
r
!
I
I
r,
f
t '"
;
-
I
r
I
t
i
1
I
t
I
! I
t
I
(
[
i
1,
VJ
c:;.-:,
/'
T
1
I
1
,
',
+
i
t
I
I
r
'
~
('i
T
i i
'
/
I
1V....)
r .-:.
1.
I
1
r .
(,J,l
,-.
.r '
I
~
0
:
1
: I
I
t-->
:
t
1
I
f
'. ,
I
~
t
,
I
;
1
,
,
! I ' '
T
t
I
•
,.
~
·s 9
, (r__
I
('.; • •
,
!
r
; l
,
r
~
I
t
I
I
t
I
I
1
r
1
I
,
! ,r
t
I
I
1/
~ 1
I j,./)~
.,_'j
1
I
:
I
t
1
:
I'
r
,
r
I
r
•
I
I
I'
r r
1 (: '
I ,
l
l , , ~Y'f
i r 1v I
j
l l 'cl.
:
1
r
I
:
I
[
!
,
1
I
I
'
I
.
IQ I 1
' I
tJ
I~
; : : I
()
<('
j
f:
j
[
I \I
1;... 1
0
·"2 cf}
I
I
1
r
i
t
I
Q
f j ti: I r ; .
/''
1'1!'
1
,
I
l i :j : ~r
1 1
f
1
r
t :
f
I
I
I
I
1
1
r
I
I
t'-i'
I ' -)
1
1
I
1
1
l
I
! 1
1
1
1
I
t r
1
1
l
t
l
1'J~~ lfg 11 7r,J :n .
t
It/;
ti
t
1
I ! '0
1
r
!
j
1
I
I
..
l
I
r
I
'
I
,
I
I l
r
I
;
I
t
I
+
J 1
r
i
i
1
1
r
r i
r
'!T1!f'"t:
1
t
:
! r
t
T
I
l
:
1
1 [
t
•
t
! I '
I 1 ,
..
1
r ,-~
I
:x
r
f
;r·+rir
,
I
r -r r
I f
r
r r
1
,
t
1
r r
1
r
'f,
1 1
l r
r
r :
I
1
1
1
I•
r
d :
J l"'.~~ ~1,!r
Lo
I:J
I
j
t
lLI
I
I
"
I
1
0
,oc) h It~
i
r
f
I ( ,
1
I
I
T
1
I
r
r I I
r ' ,
'
I
'
1
I
l
1
1
I
I'
J
t
I
I
1
I
<:( · , · ,
'
T
l
r
t
I .
t
1
.
j
1 ..
i
I j
:
T
1
I
1 I
- I)
j
I .
I
'
T
I
1
P\
>:::'I
:
!fl
...+
Q:\1
'
r.r,1 01a '
_1~
1
l 1 j
t
t
t
I
t
i11
1
t
l
t t
r ~
'
r
1· ~
t
t
I
,
1
1
r
:
1
1
r
'l'.4
-o,,
1~
:
_4 1 ,
-..../ ,
1!11
,
r
I
I
,
r
I
J
f
I
, e,G) I 1
~
,
l ;::i
I
r1
I
1
1
r
!'
t
i
1
T
t r .
1
i
c:::::r<J...--.
id=
-..__/
'I'"".'
I I '\J' IC..
1,
If
..
L l@
.0 I f I :
(' I
1 (.·
r•,11•1t+•i;
'.i
~
r
Jr
I ~
I
1
I
r
/
I
J
T,
~
t
t1 e ~
11irrr
r l 1
I
')9 l T t
. ,
--;:;;J
'/)., !
_J..-
!
1
t
j '"f
I
•
t
t
T
t
1
r
J
I 1 r t~
I
I
r
1
1
I
l
i '. · t
:
"j-' -f ·
r
I
I
I
!
r
I
I
1
i
r l
1
l I
I
1
1
I
I
I
i
r
r
I
1
\
t
1
I ,
!
~
fa', r ]
111
:
1
1
I
Il
1
1
I
r
1
r
t
1
:
I 1.
Tl r
1
i
t
1
t
i
T
--
r I
/1,J
i
i ,
1r1i-1
I 11 :
Ir ' I I 'I
~
I
t
1 ,
l
r
.. ,
r.['"t
lf
T
t
I
J
l!
-
I . f + ---- r I
t
1
·
r
'.
l\ '
f
l
r
r
J
I
t 1
I I
l
,
1
I
lfl
I
'
I
I
r
f
r (11
1
qj
d
r(Q
l
~
,
<.::Y
T
I
Jtlff
!
I
i
\
r r
j) "
'
1
l
I
-..;c ,
r
1
f
I
t
<I
1 <'
v'J
I
l 1
i
j 1
1
1 , 1 1 :
t t
1
1
1.;Gf_I l
I
H 41 '
1
r 1
1
rI
t
1
I
t
r
]
I :
1
JI
1
1 I
fr r
~
1
I
r
.,
I
T
r
l
I 1 tI I
t
1
t 1 i
'
l t 1 ) I ' t 1
I f T r
I
I
j
1 t 1
1 I 1 i.
l 1
r
r ' 1
i
1 1 , 1 l t
t 1
r ,
1 1 , 1 1. 1 ,
11111!!'
1
I rtj
I
I
I
•
I
r
-t-
~ 'b_j)C.·'"5)
'
'
..:;-- kc-
-
-,
1
~ ~)5;)
I
\
1· 1
-'.-I
I
I
I
I
r
T
lr
t
1
t
TcoJ'
>-
.f :n_
r
I
•
T
l
I [
~
)
I (-r-r l
rl I 1
1
F_
r r9;
t
i
r
r
f
1
t '
l
1
T
1
1
,
l
I
1
.
r
+
rnf;
I .
1
f
r
,
r
r
i
t
i d rI£"l\\
i
1 ('
t
I
l
r
r
I
{).r
1
.
0
T
' ::1
rI_ \.1_
~
~CT
t
)2'!
I
.l
1 r
(,l l_
l
r (1 1
ij
-~
r~ I 6
r
t
r
l
1 (?
1[ ,~
q
'
l .~ ~
!r
j ~
1
I
i
I
l
I
f
lJ
T
f
r
l
1
·
I
I
I
T
r
t
t
l
t
t
i
.1
l i
I I
11
l
r
l Cl
~
'[
' o_
f
I
' ~
1
4J
-4)
1
t
1
1
l
I
1
1
:
I
f
:
I
II
j
I
1
1
I
r
I
r
r
I
r
r
r
I
5I
r
I
11
I
t
I
•
I ~
.
r
tf
,
i25}
..L..
I
, ·'ill)
BJ
( -~QA
r
'· j
I
1
•
I
_,)
I
1
,
!
r
•
,
·t
_
. : 5
,
7
11
r:1
1.~
T '. "¥
r
I
1
t.
I
I
r
I
,
I
t
t_r
t
·
I
I
t
I
t
I t
I
·I 1
I
I
Ci ([)
1
I
•·
+
r
I
r
T
1
I
~
•
f
t :
•
I,
I
,
1
1
f
--
J
.
~;
' /l
1
I
1
1
~
r
I
I .
1
i
,
•
, ! '
I •
!
-~
~
f Ia..
I
'~
..
r0
.
I
I
.
~
1
1
1
'
I
l
I
I
r
C,
"J
~
:::-
I
~
-~
•
~
~
I~
'~
I
ri :--;;!. j I14-1l ; I '.f--;if
I .Y .oJ ' ; ,;;J
l
I
r
t
r r l·
r- •
;£
ui :
I:
1
o
"'
l
I
r. e;...
C,..
:
1
I
.
' l) J
~ 1
1-o
!
~
t i:',
~
1 I tj.·
1
!
1
1
,
t 2.
)
"fi l
r
!
I
r
~
1
I
t
I I
,
I
•
1
r
I
I
1•
i
0..
,;;.
-"J..
4
:;J
r
'0,-
cl
_; ;)
,E)
ip
(r_
T"'
LL!
a.'
T .n t ~
~)
r ;..ILl 1 ·,,+1'a) I~ '
r
I 1)
1
: ~ , ,f· _ ~-,_
c? :
.
I (~
,
r
I
I
rJ
c{Jrn
11
T
l
1
1 1 ;
,
lI
UJ
I
1
I
1
1
I
1
, ]
.
I
r' r 1>I
~I £ t 'X -l :
1
.
1
I
! _J:::,,..._
I
T 11.! r
I
r
l
r
1
11
'
I
I
1
t
+
1
l
I
I
'
1·
I
1
r .
,· ('1
r (
1
0_~ ,
~ l
nl
I\P
,,...,
r
1
~
f. r
4
r
~
I :_q
·.
I
j
t
:~1 (1)
3
~
r .
I
I :
, .l
ruJ
I
,
I~
I
' )<
'11 ;
I
5-~)
I t --,
f.'.J ] ·
~
T
t l
r
J
l T
rr:7'"7
r_
.
f,I !~0
~
UJ,
I
t , !il_ 1 1l
1 r r-1
r
l
r
f
I
I
l :Crt ~ ~
i .
I
I
r
l
.
l
T
.e
r ) 1
I ~ :
j
i
r v-0
.1
1
I
r
;.Z l I
r;..
,
1
I
1~
!I
: sf
r
•
t
I
'. .~r
r ,
1 1
1
l
t
i , ~ ,
t
I
j
I ~ 1
1
I
1
I
f
,
I : [.'
I r~ . r
t
1
:
1
1~
1 I ,.
t
1
l
1
T
I
1
I ·1 i
r
r
t
t-
~ ~
t
:
'
1
'.
,
t
!'.
r
1
t
t
_::l ,
1 ''
I
@
t~
l , , .d . l r
~ t ..)( 1 t
J ,, :
~
I
Ir,
l
.
J..
I~
~
I
I
(2
~ :X$
T
f
{lS
I
r7~
t l y:
J ")
T
r
f ---1
t~
r
1
1 t
I I
! I
t j
<ct l r
;y· 1 R
T·'"'1
r, 1 ,
1 -~
1
1 :
I
1
t
I
1·.
,
1 ! 1*1 '
l t I ~ I ,
1 19-t
I
I
T
l
I
r
,
I
1
1
I r j 1 :
r-:
I r r r ; j
I f
I
t
r
1
T
r
I
1
i
•
1
t
J
,
1 t
11 r
I
,
t 1 1 r
r
T
1
j
1
1 [ ~ , ·· , I
1 1 I
111
1 1
t
1·
t
l
i t
~ l<J I ~
~1
t r 1 ),.-{ .'. l~~~
I
0. tl 1I 1 ~I
r l f I
I
~
I I~~ I . 1•3. . 'f ! I - ( ( i" i _ : .A
r t ( 'i ~ I e,- ' ' 'itl"'
~ t t:;
·
t
1
I
I
:::5!
1-
1
r-1
Q
1
1
r .r
1·
1
..
I
1
!_
,
l r
r r
lJ..
)id
1-...C.J
r~~ Q.)
T
-
r
t,,
T_
<61
r
1
t
,t
~
I ,,___
l
?r-1
r
,
I
~
!
1
I
J I
0
1
!
~, j •,
.:-1)
1 -
1
q: I
I Q
r
l
I
r
1
1
J
'
f~!..
s R
r~
I ()
t <i
n
Il
1
1
I 'f1
1
I
r
1 11 )
:(or
e5f r ~
a...r t . 1
aw R?1 - .
~ ~;1 Mt r Jur %
t G:,. r.•vl
X'T
I
l /\~
r ·r1 1 ·j\l.li
~
1 i
1
u:V .
r l
t-
l
T
r
T
I
1
r I
1
t t I
I I r Oi l I
t I ~
t 1 c1
1 1
G
t r ·r !
t
j
1 l
t
I
1
1
(Q 1
1 1 I {)-!
~j
1
J
J
~ l~
T
' ;I
r
I
j )
! ~. 11'0
I
t
' L1"1 !
1
1
. .[ r
r l'1 f
1
t l
l I : ()
r T°)
)
I
t
t
t
I
i
j
1
j
1-I
I
r ;...r r
Cd
r I
j
.· \.d. ·. -~
r
,
1
r
l
1 r t2f
("
'
r-::z
l
I
r'78 () ,
i
T
r
"
1
~
I
r
1
I
l ; l~
l
l
/J,
C-- fJ1)
tr T ~-
V\J r.:
11
1••• /'
.
." T
I
I
R' j
I
t
t
1
l!
(1 1 .1
,V t ~
ri
R~J
111) Ir i 1. i t
r11 t
,
l"r
r l+ 1
t~ t
.
T
I
f
t
,tr I I
l~
r;:!-
\I';
' L<J1
t IrfI r ' j. ~
-!
~ 1
t:J ~ : rr ,
tr-t
1U?i
I
D_·
r (I;
1
r
I
t
t
1 -. 11
I ·~
:D
i 1 t
1
' r~ 1
jr
T J
i
1
lI 1j~ l Bd
l
t
1
t
I
r
I
i 1
!
i
1
r r
r
T
T
,l j
II
I
I
1
r
1
t
r 1
1
1
1
1
i
J
1
1
T T
I 1-l
1
1 1 >l
~
1~ , r 1
r_
1
13 . 1
1
T
1
1
1 1 1 '!i 1 1 r , 1
t 11 Q.! f
1 !r
11 1 > r u r .Q·
l
1 1 ]
l
1
r
1
t
r
. t r
t
l
1
1 !
j r 1 T;zo_T
r t 1
t
r
r I 1l
1
I l r
1
'
)(:;o
---+
I
-,
I
i
I
I
l
I
'
t
l
I
תרגול - 3פיסיקה של מוליכים למחצה
נושאים:
.1צפיפות מצבים.
.2פונקצית הסתברות.
.3צפיפות איכלוס.
.1צפיפות מצבים:
לעיתים קרובות אנו מחפשים דרך לעבור מסכימה מהסוג:
n
לאינטגרל מהסוג:
=
∫=
,
זאת למשל ,כאשר מנסים לסכום את כלל האנרגיות של כלל המצבים המותרים במערכת .לשם כך
אנו זקוקים לפונקציה המביעה את צפיפות המצבים בתדר )או אנרגיה( מסויימת:
]
ספירת מצבים וגזירה:
+
[
=
ℎ
נתבונן במרחב .k
בשלב הראשון נרצה למצוא כמה מצבים יש לנו עד kמסויים .לשם כך ,ניקח יחידת אורך/שטח/נפח
בגודל הרצוי )בהתאם למימד( ונחלק באורך/שטח/נפח מצב בודד.
למשל ,בדו מימד:
& (& $%
& 2$
=
& $%
2$
)('
&
N=2
כאשר הפקטור 2נובע משני מצבי הספין של האלקטרון .כעת ,נרצה למצוא את צפיפות המצבים:
בעבור אלקטרון חופשי ,יש לנו
(& % %
$
&,ℏ/
=
%
=
%
= & %ולכן:
=
E
*
3
2
&
(& % 2
2
(& 2
=
0
1
=
&$ ℏ
&ℏ
&$ ℏ
*
אם נרצה צפיפות מצבים ליחידת שטח ,נחלק ב L2ונקבל:
2
&$ℏ
=
הערה :מדוע יש לנו מצב מינימלי (:2$/
ניקח שרשרת באורך ,Lעם N+1נקודות שריג .נקבע תנאי שפה מחזוריים ,ופתרון:
;9 −
מתנאי השפה נקבל את המודים הבאים:
0 exp
2$ 4$ 6$
$
,± ,± ,…,
(
(
(
(
=
9 = 0, ±
אם נשנה את תנאי השפה ,לתנאי שפה קשיח )התאפסות בקצוות( )כאשר שיש לנו שריג חד מימדי
באורך Lעם נקודות שריג ,s=0:Nוסה"כ N+1נקודות שריג (.נקבל פתרון כללי לכל מוד:
במצב כזה נקבל:
9
sin
−1 $
(
ABC D
=
0
$ 2$ 3$
, ,
,…,
( ( (
@
=9
אולם במקרה כזה ,יש לנו רק Kים חיובים ,מאחר וסימן מינוס לא יתן מוד חדש ,אלא רק פאזה יחסית
)בניגוד למצב עם תנאי השפה המחזוריים ,בו יש לנו גלים נוסעים ומודים שונים לתנועה "ימינה"
ו"שמאלה"( ,לשם כך ניקח חצי מהמרחב )הלינארי( בספירת המצבים ,ונקבל תוצאה זהה לזו
הקודמת.
בתלת מימד ,וביקורב הפרובלוי בפס הוולכה ראיתם כי:
I
M −
L
∗
& J
4$ 2
=
ℎL
I
תרגיל :קבעו את כמות המצבים הקוונטים בסיליקון בין תחתית פס ההולכה ובמרחב kTממנו.
נוכל לרשום:
I
M −
L
∗
& J
4$ 2
ℎL
* -O P
=N
-O
L -O P T
R
I & |-O
−
נציב:
2L
2
3
⋅
L
∗
& J
4$ 2
=
ℎL
L
4π[2 1.08 9.11 ⋅ 102L3 ]& 2
\&⋅ [0.0259 ⋅ 1.6 ⋅ 1023[ ]L/& = 2.12 ⋅ 10
6.625 ⋅ 102LZ L
3
[3
= 2.12 ⋅ 10 ] 2L
.2התפלגות פרמי דיראק:
1
−
%
_
1
1 + exp 0
=
^
כפי שראיתם בכיתה ,נהוג לקרב את התפלגות פרמי דיראק .כאשר עושים זאת ,בגבול ≫ _ −
%מקבלים את התפלגות בולצמן .עד כמה קירוב זה מדוייק .נשאל מתי הערכים שונים האחד
מהשני בחמש אחוז:
= 0.05
1
נכפיל את המונה ואת המכנה ב )
−
%
_
1
1 + exp 0
1
-2 -e
*
1 − 1 = 0.05
_
_
d−
1
−
1 + exp 0 %
d ⋅ 1 + exp 0
נקבל:
d = 0.05
מכאן:
_c
' 1 + expונקבל:
−
%
_c
1
1 ≈ 3kT
0.05
b −
%
exp a−
b −
%
_c
b −
%
exp a−
exp a−
E − Ef = kTln 0
כלומר ,כאשר האנרגיה היא בטווח של 3kTמאנרגיית פרמי ,נקבל שששתי ההסתברויות הינן שונות
אחת מהשנייה בחמש אחוז.
.3צפיפות איכלוס:
תזכורת:
ריכוז נושאי המטען בפס ההולכה בשיווי משקל תרמי ניתן ע"י:
^
I
∫=
k
מכאן ,בהנתן הקירוב הפרבולי ובהשתמש במסה אפקטיבית נתונה נקבל:
&L/
1
באותו אופן עבור חורים:
&L/
d
∗
J%
&ℎ
∗
q%
&ℎ
2$
= 20
2$
= 2a
p
I
p
r
^
r
−
%
−
%
mn o−
I
^
mn o−
תרגיל :חשב את ההסתברות שמצב מאוכלס בפס ההולכה באנרגיה
נושאי המטען בסיליקון בטמפ' 300קלווין.
*
&
=
I
l
r
=
q
+
I
=
וחשב את ריכוז
נניח כי אנרגית פרמי היא 0.25אלקטרון וולט מתחת לפס ההולכה וכי בטמפ' זו ⋅ = 2.8
.103[ ] 2L
I
פתרון:
ההסתברות ע"פ פרמי דיראק לאכלוס הינה:
)_
\t = 3.9 ⋅ 102
2L
%
+ 2 −
%
I
'
1 = exp s−
0.25
] \1 = 1.8 ⋅ 103
0.0259
_
− +
≈ exp 0
%
1
= 2.8 ⋅ 103[ exp 0−
_
k
1
−
1 + exp 0
%
תזכורת ,ראיתם כי ריכוז נושאי המטען האינטרינזי:
u
%
−
r exp
⋅
I
=
&
A
תרגיל :חשבו את צפיפות המטען האינטרינזית בעבור סיליקון בטמפ' 250מעלות ו 400מעלות .נניח:
א( בטמפ' החדר ) 300קלווין( ערכי Ncו Nvהינם 2.8 ⋅ 103[ ] 2Lו1.04 ⋅ 103[ ] 2L-
ב( ה Band-gapהינו 1.12אלקטרון וולט ואינו משתנה בעבור טווח טמפ' זו.
פתרון:
בטמפ' של 250קלווין:
→
2v
250 L
1.12
= 2.8 ⋅ 103[ ⋅ 1.04 ⋅ 103[ 0
1 exp s−
] \t = 4.9 ⋅ 103
250
300
' ⋅ 0.0259
)
300
2L
בטמפ' של 400קלווין:
] = 7.0 ⋅ 10y
A
&
A
&
A
400 L
1.12
= 2.8 ⋅ 103[ ⋅ 1.04 ⋅ 103[ 0
1 exp s−
t = 5.67 ⋅ 10&Z ]
400
300
0.0259 ⋅ '
)
300
A
= 2.38 ⋅ 103& ]
2L
2v
→
רמת פרמי האינטרינזית:
שאלה – מדוע רמת פרמי האינטרינזית צריכה להיות סביב מרכז פס ההולכה? ממה נובע התיקון?
תשובה – אינטואטיבית ,אנחנו יכולים מייד לומר כי רמת פרמי חייבת להיות מעל פס ההולכה או לכל הפחות בדיוק בשיאו .מעבר
לכך ,נחשוב על טמפרטורה סופית כלשהי ,במקרה כזה ישנה הסתברות סופית (לפי החוקיות של אקספוננט בולצמן) שאלקטרון
יקפוץ לפס ההולכה .במקרה כזה ,נוצרים זוגות של אלקטרונים וחורים .המיקום של רמת פרמי צריך לבטא את האיזון בין חורים
לבין אלקטרונים ,במידה וצפיפויות המצבים אינן זהות ,יש לתקן במעט את מיקום של רמת פרמי ביחס למרכז פער האנרגיה ,כך
שתהיה כמות זהה של חורים ואלקטרונים (זהו למעשה חוק שימור המטען) .צפיפות המצבים באה לידי ביטוי במסה האפקטיבית.
ראיתם בכיתה כי ,מיקום רמת פרמי האינטרנזית מתקבלת על ידי השוואות צפיפות האלקטרונים והחורים (למעשה תנאי של
שימור מטען ,שכן ,כל אלקטרון בפס ההולכה מגיע על חשבון אלקטרון בפס הערכיות) במוליך למחצה אינטרינזי:
EF − EV
𝑖Ec − EF
) = N𝑉 exp (− i
)
kT
kT
Nc exp (−
ניקח לוג טבעי ,ונשתמש בהגדרה בעבור הצפיפות האפקטיביות Ncו Nv-ונקבל:
m∗p
3
) ∗ ( 𝐸𝐹𝑖 − 𝐸𝑚𝑖𝑑𝑔𝑎𝑝 = kTln
4
mn
m∗p
1
3
→ ) ∗ ( EF𝑖 = (Ec + EV ) + kTln
2
4
mn
למעשה קיבלנו הסחה ממרכז הפס האסור ,אשר תלויה בצפיפות המצבים ,אשר באה לידי ביטוי במסה האפקטיבית (זיכרו ,הביטוי
למסה האפקטיבית מכיל את הנגזרת השניה של )𝑘(𝐸).
תרגיל :חשבו את מיקום רמת פרמי האינטרינזית בעבור סיליקון בטמפ' החדר:
3
0.56
( 𝐸𝐹𝑖 − 𝐸𝑚𝑖𝑑𝑔𝑎𝑝 = (0.0259)ln
𝑉𝑒𝑚) = −0.0128 = −12
4
1.08
תרגיל:
חשבו את מיקום רמת פרמי האינטרינזית של סיליקון בטמפרטורה של חנקן נוזלי ( 77קלווין) ,בטמפרטורת החדר ( 300קלווין)
וב 100-מעלות צלזיוס .נתון .mp = 1 ⋅ 𝑚0 , 𝑚𝑛 = 0.19 ⋅ 𝑚0 :האם זה הגיוני להניח שרמת פרמי האינטרינזית נמצאת
במרכז הפס האסור?
נציב באותה נוסחה ,נקבל את הנוסחה הכללית הבאה:
𝑇 3
1
( (0.0259)ln
)
4 300
0.62
= 𝑝𝑎𝑔𝑑𝑖𝑚𝐸 𝐸𝐹𝑖 −
הצבה תיתן:
)T (k
𝐾 77
𝐸𝑓𝑖 − 𝐸𝑚𝑖𝑑𝑔𝑎𝑝 (𝑒𝑉0
2.54 ⋅ 10−3
300 K
373 K
0.009
0.012
ניתן לראות כי השינויים כפונקציה של הטמפרטורה אינה גדולים ,ומתכתחילה ,ערכי התיקון קטנים בשלושה סדרי גודל ביחס
לפער האנרגיה.
יש לציין כי גם פער האנרגיה עצמו משתנה כפונקציה של הטמפרטורה ,אולם גם שם השינויים אינה גדולים.
לכן זה יהיה קירוב טוב להניח כי רמת פרמי האינטרינזית נמצאת המרכז הפס האסור.
הדבר נכון גם עבור מולכים למחצה אחרים ,עבור החומרים גרמניום וגליום ארסניד:
]𝑉𝑒[G𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑖𝑢𝑚 (𝐺𝑒): 𝑚𝑝∗ = 0.37𝑚0 , 𝑚𝑛∗ = 0.55𝑚0 → −0.0077
]𝑉𝑒[𝐺𝑎𝑙𝑙𝑖𝑢𝑚 𝐴𝑟𝑠𝑒𝑛𝑖𝑑𝑒 (𝐺𝑎𝐴𝑠): 𝑚𝑝∗ = 0.48𝑚0 𝑚𝑛∗ = 0.067𝑚0 → +0.038
התרגיל הבא ייקשר אותנו לנושא הבא (אילוח):
הטמפרטורה האינטרינזית:
מצא את הטמפרטורה בה לסיליקון ריכוז נשאי מטען אינטרינזיים של ] .1015 [𝑐𝑚−3
כאמור ראינו את הנוסחה:
אשר מאפשרת לנו לקבל את התלות )𝑇( 𝑖𝑛 .יש לשים לב כי גם 𝑉𝑁 𝑁𝐶 ,תלויים בטמפרטורה .מתקבל הגרף הבא:
מה שאומר שעבור ריכוז מטען של ] ,𝑛𝑖 = 1015 [𝑐𝑚−3נאלץ לחמם את המל"מ ל 555-קלויין שאלו 282מעלות
צלזיוס .לאותה תוצאה ניתן להגיע בטמפרטות החדר בעזרת אילוח ,וזו אחת הסיבות מדוע מוליכים למחצה הם כה
שימושיים .על ידי הוספה של מזהמים ניתן לשנות דרמטית את תכונות ההולכה שלהם .לכן מוגדרת הטמפרטורה
האינטרינזית ,הטמפרטורה שבה ההולכה האינטרנזית שווה לריכוז נשאי המטען הודות לאילוח.
דונורים ואקספטורים
כעת נדון בנושא אילוח ,כלומר הכנסת דונורים או אקספטורים לתוך המוליך למחצה ,ובכך שליטה על נושאי המטען.
תוצאות עיקריות:
הנוסחאות עבור ריכוז תלויות ברמת פרמי ,ואינן משתנות:
3/2
𝑇𝑘 ∗2𝜋𝑚ℎ
)
ℎ2
𝐹𝐸 𝐸𝑐 −
]
𝑇𝑘
( 𝑁𝑐 = 2
𝑛0 = 𝑁𝑐 𝑒𝑥𝑝 [−
באותו אופן עבור חורים:
3/2
𝑇𝑘 ∗𝑝𝑚𝜋2
)
ℎ2
𝑣𝐸 𝐸𝐹 −
]
𝑇𝑘
( 𝑁𝑣 = 2
𝑛𝑝 = 𝑁𝑣 𝑒𝑥𝑝 [−
דוגמא :ראינו ,בעבור סיליקון בטמפ' החדר 𝑁𝑐 = 2.8 ⋅ 1019 𝑐𝑚−3 ,ו-
] Nv = 1.04 ⋅ 1019 [𝑐𝑚−3ורמת פרמי 0.25אלקטרון וולט מתחת לפס הערכיות כי:
0.25
) = 1.8 ⋅ 1015 𝑐𝑚−3
0.0259
𝑛0 = 2.8 ⋅ 1019 exp (−
בנוסף ,נוכל להראות כי:
0.87
) = 2.7 ⋅ 104 𝑐𝑚−3
0.0259
p0 = 1.04 ⋅ 1019 exp (−
כלומר ,אנו רואים שריכוז האלקטרונים והחורים משתנים בצורה דרסטית מהריכוז האינטרינזי.
דוגמא/הערה שאומרת שיש לנו מעט חורים לעומת הריכוז האינטרינזי של החורים מלכתחילה.
בנוסף:
) 𝑖𝐹𝐸 (𝐸𝐹 −
]
𝑇𝑘
𝑝0 = 𝑛𝑖 𝑒𝑥𝑝 [−
𝑖𝐹𝐸 𝐸𝐹 −
]
𝑇𝑘
[ 𝑝𝑥𝑒 𝑖𝑛 = 𝑛0
חוק המסות:
𝑛0 𝑝0 = 𝑛𝑖2
נדגיש כי מל"מ אקסטרינזי אינו מכיל באופן מפורש ריכוז אינטרינזי (אלקטרון לא "יודע" אם הוא אינטרינזי או כתוצאה
מאילוח) ,מאחר וזה משתנה בגלל הכנסת הדופנטים .מכאן ,יש להתייחס ל 𝒊𝒏 כאל פרטמר של החומר ,טרם הכנסת
הדופנטים.
ריכוז דונורים:
כעת נראה כי לא נשארים נשאי מטען במאלחים
ראיתם כי:
𝐹𝐸 𝐸 −
𝑑 2𝑁𝑑 exp (−
)
𝑑𝑛
1
𝑇𝑘
=
=
) 𝑑𝐸 𝑛𝑑 + 𝑛0 2𝑁 exp (− 𝐸𝑑 − 𝐸𝐹 ) + 𝑁 exp(−(𝐸 − 𝐸 )/𝑘𝑇) 1 + 𝑁𝑐 exp(− 𝐸𝑐 −
𝑑
𝑐
𝑐
𝑓
𝑑𝑁2
𝑇𝑘
𝑇𝑘
הערה :נובע מהתפלגות פרמי דיראק עבור איכלוס ברמות התורמים:
𝑑𝑛
1
=
1
) 𝐹𝐸 𝑁𝑑 1 + exp (𝐸 −
𝑑
𝑔
𝑇 𝐾
𝐵
שעה שעבור סיליקון וגליום ארסניד .𝑔 = 2
תרגיל :נחשב את הריכוז ברמת הדונרים בסיליקון בטמפ' החדר .נניח אילוח של פוספורוס בריכוז של .𝑁𝑑 = 1016 𝑐𝑚−3
נקבל:
𝑑𝑛
1
=
= 0.041 = 0.41%
0.045
𝑛𝑑 + 𝑛0 2.8 ⋅ 1019
exp(−
)
16
0.0259
2 ⋅ 10
כלומר ,מתוך כלל האלקטרונים ברמת ההולכה והדונורים ,פרקציה קטנה נשאר ברמת הדונורים.
תרגיל:
א) עבור סיליקון ,ב 𝑇 = 300𝐾-קבע את 𝑝0אם נתון ]𝑉𝑒[ .𝐸𝑓𝑖 − 𝐸𝑓 = 0.35
ב) נניח כי נתון 𝑝0שנמצא בסעיף א' ,מצא 𝑓𝐸 𝐸𝑓𝑖 −כאשר 𝐾.𝑇 = 400
ג) מצא את ערכי 𝑛0עבור סעיפים א' וב'.
פתרון:
א)
) 𝑖𝐹𝐸 (𝐸𝐹 −
0.35
( ] = 1.5 ⋅ 1010 exp
) = 1.11 ⋅ 1016 𝑐𝑚−3
𝑇𝑘
0.0259
𝑝0 = 𝑛𝑖 𝑒𝑥𝑝 [−
ב)
בעבור 400קלווין ,גם הצפיפות האינטרינזית משתנה ,לפי הנוסחה:
𝑔𝐸
𝑛𝑖2 = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 exp (−
)
𝑇 𝐵𝐾
ערך זה משתנה משמעותית עם שינוי הטמפרטורה:
]𝑽𝒆[ 𝑻 𝐁 𝐊
] 𝟑𝐧𝐢 [𝒄𝒎−
0.01727
7.68 ⋅ 104
0.03453
2.38 ⋅ 1012
0.0518
9.74 ⋅ 1014
נציב את הטמפרטורה המתאימה והצפיפות האינטריזנית שמצאנו לנוסחה:
)𝐊( 𝐓
200
400
600
) 𝑖𝐹𝐸 (𝐸𝐹 −
]
𝑇𝑘
𝑝0 = 𝑛𝑖 𝑒𝑥𝑝 [−
אנו מניחים ש 𝑝0 -נשאר קבוע .כלומר ,אם הריכוז נשאר זהה והטמפרטורה זזה ,רמת פרמי צריכה לתקן את מיקומה .ראשית:
400
( 𝐾𝐵 𝑇 = 0.0259
]) = 0.03453 [eV
300
𝑝0
) ( 𝐸fi − 𝐸𝑓 = 𝐾𝐵 𝑇 ⋅ ln
𝑖𝑛
1016
⋅ = (0.03453 ) ⋅ ln (1.11
]𝑉𝑒[ ) = 0.292
2.38 ⋅ 1012
ג)
כעת נחשב את n0בשני המקרים (שימו לב! יש להשתמש בחוק המסות ולא לחשב ממהתחלה)
מתוך מה שנמצא בסעיף א':
𝑛𝑖2 (1.5 ⋅ 1010 )2
= 𝑛0
=
] = 2.03 ⋅ 104 [𝑐𝑚−3
𝑝0
1.11 ⋅ 1016
ואילו מתוך מה שנמצא בסעיף ב':
𝑛𝑖2 (2.38 ⋅ 1012 )2
= 𝑛0
=
] = 5.10 ⋅ 108 [𝑐𝑚−3
𝑝0
1.11 ⋅ 1016
.3מודל פסאדו-בוהר
המטרה שלנו בללמוד מודל זה היא להראות שקל "לנתק" את האלקטרונים מהזיהומים.
במקרה של אטום דונור ,נוכל לחשוב על האלקטרון כסובב את יון הדונור בסביבה של המוליך למחצה .לפיכך נשתמש
בפרמטטיביות של המוליך למחצה בחשבונות שלנו (במקום זה של הריק) .בנוסף נשתמש במסה האפקטיבית של האלקטרון.
נתחיל ממשוואת כוחות:
𝑒2
𝑚∗ 𝑣 2
=
𝑛𝑟
4𝜋𝜖𝑟𝑛2
נדרוש כי התנע הזוויתי (𝑝 × 𝑟) יהיה מקונטט:
𝑚∗ 𝑟𝑛 𝑣 = 𝑛ℏ
שילוב שתי המשוואות יניב את הרדיוס:
𝜖𝜋𝑛2 ℏ2 4
𝑚∗ 𝑒 2
= 𝑛𝑟
מכאן ,כמובן קיבלנו שגם הרדיוסים מקוונטטים .רדיוס בוהר מוגדר:
4𝜋𝜖0 ℏ2
= 0.53Å
𝑚0 𝑒 2
= 𝑎0
מכאן נוכל לרשום:
rn
𝑚0
) ∗ ( 𝑟𝜖 = 𝑛 2
a0
𝑚
כאשר * mהינה המסה האפקטיבית להולכה.
דוגמא:
אם ניקח את האנרגיה הנמוכה ביותר ,n=1נניח סביבה של סיליקון ( )ϵ𝑟 = 11.7וניקח מסה אפקטיבית ביחס של
m*/m0=0.26נקבל:
𝑟1
= 45 𝑜𝑟 𝑟1 = 23.9Å.
𝑎0
כלומר ,האלקטרון אינו קשור בצורה חזקה ליון ,בשל אפקט המיסוך של הסיליקון .נרצה לחשב את האנרגיה הכוללת:
E =T+V
e2
m ∗ e4
=−
(𝑛ℏ2 )2 (4𝜋𝜖)2
𝑛𝑟𝜖𝜋4
V=−
1
m ∗ e4
= T = m∗ v 2
2
2(𝑛ℏ2 )2 (4𝜋𝜖)2
m∗ e4
2(𝑛ℏ)2 (4𝜋𝜖)2
E=−
אנרגיית היוניזציה של מימן הינה 𝑉𝑒 .13.6בעבור סיליקון זה יהיה 𝑉𝑒𝑚 , 25.8זו אנרגיה הקטנה משמעותית! זו תהיה
האנרגיה הדרושה ליינון הדונור ,או האנרגיה הדרושה להעבירו לפס ההולכה.
שאלה :בתירגולים הקודמים אמרנו שקירוב בולצמן תקף כשאנו רחוקים מרמת פרמי ,האם הדבר משתנה כאשר יש אילוח?
תשובה :לא ,עדיין כמות המטענים דלה ביחס לצפיפות המצבים .חישבנו בתירגולים הקודמים שצפיפות המצבים היא מסדר גודל
של ] 1019 [cm−3ואילו באילוח ,למרות שהעלנו משמעותית את צפיפות נשאי המטען לסדר גודל של ] 1016 [cm−3עדיין
הצפיפות קטנה פי 1000ביחס לצפיפות המצבים וקירוב בולצמן הינו עדיין קירוב טוב.
תרגיל (מועד א' :)2017
נתון מל"מ ,הבנוי מאטומים עם 4אלקטרוני ערכיות .המל"מ מאולח בשלושה סוגים שונים של מאחלים .הדונורים הם בעלי 6
אלקטרוני ערכיות ,והאקספטורים בעלי 3אלקטרוני ערכיות.
נתון:
] NA2 = 𝑁𝐴1 = 𝑁𝐷 = 1016 [𝑐𝑚−3
] NC = 8 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3 ] , 𝑁𝑉 = 8 ⋅ 1018 [𝑐𝑚−3
] 𝑛𝑖 = 7 ⋅ 108 [𝑐𝑚−3
א .מהו פער האנרגיה של המל"מ?
𝑔𝐸
−
𝑇 𝐵𝐾𝑒 2
𝑉𝑁 𝐶𝑁√ = 𝑖𝑛
7 ⋅ 108
) 2 ⋅ 0.0259 = −3.33
8 ⋅ 1017 ⋅ 8 ⋅ 1018
]𝑉𝑒[ → 𝐸𝑔 = 3.33
שימו לב כי פער האנרגיה אינו תלוי במאלחים אלא הוא תכונה של המל"מ.
( ) ⋅ 2𝐾𝐵 𝑇 = ln
𝑖𝑛
𝑉𝑁 𝐶𝑁√
( → −𝐸𝑔 = ln
ב .נמדד כי זהו מל"מ מסוג ,Nהסבר מדוע יש יותר אלקטרונים מחורים?
הריכוז של כל אחד מהמאלחים זהה .לכן ,מאחר וכל דונור תורם שני אלקטרונים ,וכל אקספטור תורם חור אחד ,נצפה
כי כמות האלקטרונים תהייה זהה לכמות החורים .אולם ,נשים לב כי 𝑑𝐸 ו E𝑎2 -קרובים מאוד לפס ההולכה והערכיות,
בהתאמה ,כך שבעוד שעבורים נוכל להניח יינון מלא ,הרמה 𝐸𝑎1נמצאת עמוק בתוך פס ההולכה ,ולכן לא תהייה
מיוננת באופן מלא.
ג.
נמדד כי ,𝑛0 = 2.5 ⋅ 1015מהו מיקום רמת פרמי ביחס לפס ההולכה?
𝑓𝐸𝐸𝐶 −
𝑓 𝑇𝐸𝑛0 −𝐸𝐾𝐶 −
−
𝐵
→ 𝑇 𝐵𝐾 𝑒 ⋅ 𝐶𝑁 = 𝑛0
𝑒⋅
𝐶𝑁
𝑓𝐸 𝐸𝐶 −
𝑛0
𝑛0
( ln ( ) = −
) 𝑓𝐸 ) → 𝐾𝐵 𝑇 ⋅ ln ( ) = −(𝐸𝐶 −
𝐶𝑁
𝑇 𝐵𝐾
𝐶𝑁
2.5 ⋅ 1015
( EC − 𝐸𝑓 = −0.0259 ⋅ ln
]𝑉𝑒[ ) = 0.149
8 ⋅ 1017
תירגול 4
.1נייטרליות מטען ועקרון הקומפנסציה
מל"מ ,Compensatedהוא כזה המכיל גם דונורים וגם אקספטורים ,באותו איזור .במקרה ויש לנו:
𝑒𝑝𝑦𝑡 N𝑑 > 𝑁𝑎 → 𝑁 −
𝑒𝑝𝑦𝑇 𝑁𝑎 > 𝑁𝑑 → 𝑃 −
הערה :למה לעשות את זה מלכתחילה? כי מבחינה מעשית ,יותר משתלם לאלח וויפר שלם באילוח
מסוג מסויים ,ולאחר מכן לאלח באילוח מהסוג השני אזורים מסוימים בלבד.
אינטואיציה :במידה וישנם גם אלקטרונים וגם חורים ,אז האלקטרונים העודפים יעדיפו להיכנס
לקשרים הפנויים שנוצרו כתוצאה מנוכחות הנוטלים (הם "ייכנסו" לחורים).
ראיתם כי (בהנחה של ינון מוחלט):
𝑎𝑁 𝑁𝑑 −
𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 2
(√ +
) + 𝑛𝑖2
2
2
= 𝑛0
כאשר 𝑑𝑁 ריכוז הדונורים ,ו 𝑎𝑁 ריכוז האקספטורים.
וכי:
𝑑𝑁 𝑁𝑎 −
𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 2
(√ +
) + 𝑛𝑖2
2
2
= 𝑝0
נחשב את ריכוז הדונורים בגרמניום בטמפ' החדר כאשר 𝑁𝑑 = 5 ⋅ 1013 𝑐𝑚−3ו .Na = 0נניח כי
הריכוז האינטרינזי הינו ( 𝑛𝑖 = 2.4 ⋅ 1013 𝑐𝑚−3שאלה -האם אתם מעריכים שהשינוי יהיה גדול?
עד כמה?):
2
5 ⋅ 1013 − 0
5 ⋅ 1013 − 0
(√ +
) + (2.4 ⋅ 1013 )2 = 5.97 ⋅ 1013 𝑐𝑚−3
2
2
= 𝑛0
ריכוז החורים לעומת זאת (הערה :עדיף להשתמש בחוק המסות!):
𝑛𝑖2 (2.4 ⋅ 1013 )2
=
= 9.65 ⋅ 1012 𝑐𝑚−3
𝑛0
5.97 ⋅ 1013
= 𝑝0
כלומר ,אין שינוי גדול של הריכוז האינטרינזי ,מאחר וריכוז הדופנטים היה בעל אותו סדר גודל של
הריכוז האינטרינזי.
דוגמא נוספת:
נניח גביש סיליקון מסוג ,nבטמפ' החדר .ריכוז הדונורים הינו ,𝑁𝑑 = 1016 𝑐𝑚−3וריכוז האקספטורים
זניח .הריכוז האינטרינזי הינו .ni = 1.5 ⋅ 1010 cm−3מה הריכוזים של החורים והאלקטרונים?
2
1016
1016
= n0
(√ +
) + (1.5 ⋅ 1010 )2 ≈ 1016 𝑐𝑚−3
2
2
𝑛𝑖2 (1.5 ⋅ 1010 )2
=
≈ 104 𝑐𝑚−3
𝑛0
1 ⋅ 1016
= 𝑝0
הערה :באופן עקרוני ,ניתן לחשב את את שני הריכוזים באמצעות שתי הנוסחות שלעיל .אולם
פרקטית ,זה קשה לביצוע מאחר ואנו מחסירים מספר מאוד גדול ממספר אחר מאוד גדול.
𝑁𝑑 2
𝑑𝑁
) + 𝑛𝑖2 −
2
2
(√ = 𝑝0
זה כמובן שקול לכך שהיינו מחשבים את 𝑛0עם שגיאה קטנה מהערך של ,𝑝0מה שכמובן איננו
עושים מטעמים פרקטיים .לכן ,ברגע שנידע את ריכוז נושאי המטען ברוב ,נשתמש בחוק המסות.
דוגמא אחרונה:
נתון מל"מ מסוג סיליקון בטמפרטורת החדר .המל"מ מאולח באופן הבא 𝑁𝐷 = 3 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3 ] :ו-
] .𝑁𝐴 = 6 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3
א) מהו ריכוז נושאי המטען ברוב ,ומה סוגו?
מאחר ו 𝐷𝑁 ≫ 𝐴𝑁 ניתן להזניח את כמות התורמים .כך שזה יהיה מל"מ מסוג .p-typeכמו כן,
ניתן גם להזניח את נשאי המטען האינטרינזיים 𝑖𝑛 ≫ 𝐴𝑁 .ולכן ריכוז נושאי המטען יהיה𝑝0 = :
] .6 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3
ב) מהו ריכוז נושאי המטען במיעוט?
נשתמש בחוק המסות:
𝑛𝑖2 (1.5 ⋅ 1010 )2
=
] = 375[𝑐𝑚−3
𝑝0
6 ⋅ 1017
= 𝑛0
ג) מדוע ריכוז נשאי המטען במיעוט אינו שווה לריכוז נושאי המטען ברוב?
הכנסנו כמות גבוהה בהרבה של סיגים נוטלים בהשוואה לתורמים ,סיגים אלה נטלו ("שתו")
את האלקטרונים ולכן העודף הגדול של החורים ביחס לאלקטרונים..
.2מיקום רמת פרמי האקטסרינזית:
ראיתם כי:
Nc
)
n0
( Ec − Ef = kTln
במקרה ו 𝑖𝑛 ≫ 𝑑 Nנקבל ש( n0 ≈ Ndבדיוק מה שראינו בדוגמה הקודמת) ואז:
Nc
)
Nd
( Ec − Ef = kTln
אם יש לנו מל"מ בעל תערובת של אקספטורים ודונורים ,נחליף בכמות הדונורים האפקטיבית:
Nc
)
Nd − Na
( Ec − Ef = kTln
תרגיל:
נרצה לקבוע את ריכוז הדונורים על מנת לקבל אנרגיית פרמי ספציפית :סיליקון בטמפ' החדר מכיל
ריכוז אקספטורים של .𝑁𝑎 = 1016 𝑐𝑚−3קבע את ריכוז הדונורים כך שהסיליקון יהיה n-typeורמת
פרמי תהיה 0.2אלקטרון וולט מתחת לפס ההולכה.
ראינו כי:
Nc
)
Nd − Na
( Ec − Ef = kTln
נוכל לרשום זאת:
𝐹𝐸 𝐸𝑐 −
0.2
) = 2.8 ⋅ 1019 exp (−
) = 1.24 ⋅ 1016 𝑐𝑚−3
𝑇𝑘
0.0259
Nd − Na = Nc exp (−
מכאן:
N𝑑 = 2.24 ⋅ 1016 𝑐𝑚−3
כלומר ,יש לנו דרגת חופש השולטת על ריכוז נושאי המטען ,ומכאן על מיקום רמת פרמי.
לשלמות ,נרשום גם את הנוסחא בעבור :p-type
Nv
)
p0
( EF − Ev = kTln
וכאשר Na ≫ niנקבל:
Nv
)
Na
( EF − Ev = kTln
תרגיל :נרצה לקבוע מיקום רמת פרמי ,והסימום המקסימלי שניתן לעשות כך שקירוב בולצמן
(שאלה :מהו קירוב בולצמן? מה צריך כדי שהוא יהיה תקף? תשובה :בקירוב בולצמן אנחנו רחוקים
מאוד מרמת פרמי ,כך שיש מעט אלקטרונים והעובדה שהאלקטרונים פרמיונים הופכת זניחה.לכן
התנאי צריך להיות קשור למרחק האנרגטי מרמת פרמי) עדיין יהיה תקף .נניח p-typeסיליקון בטמפ'
החדר ,עם מזהמים מסוג בורון .נניח שגבול קירוב בולצמן הוא ,כפי שראינו בעבר.Ef − Ea = 3kT ,
נרצה להשתמש בנוסחה הבאה:
𝑝0
𝑎𝑁
) ( 𝑛𝑙𝑇𝑘 ≈ ) ( 𝑛𝑙𝑇𝑘 = 𝐹𝐸 𝐸𝐹𝑖 −
𝑖𝑛
𝑖𝑛
→
) 𝑖𝐹𝐸 −(𝐸𝐹 −
)
𝑇𝑘
( 𝑝0 = 𝑛𝑖 exp
מכאן:
𝑔𝐸
]) 𝑎𝐸 − [(𝐸𝑎 − 𝐸𝑣 ) + (𝐸𝐹 −
2
⏟𝐸
𝑖𝐹
= 𝐹𝐸 −
𝑝𝑎𝑔𝐴𝑠𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑔 𝐸𝑓𝑖 ≈𝐸𝑚𝑖𝑑−
(הערה :על-ידי ציור של רמות האנרגיה ניתן להבין את המשוואה)
נקבל:
𝑎𝑁
)
𝑖𝑛
⏟−
( 3 ⋅ 0.0259 = 0.437 = 0.0259 ⋅ ln
𝑛𝑒𝑣𝑖𝐺
−
0.045
⏟
𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑧𝑖𝑛𝑜𝐼 𝑛𝑜𝑟𝑜𝐵
) 𝑉𝐸𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 (𝐸𝑎 −
0.56
⏟
𝑒𝐻𝑎𝑙𝑓 𝑜𝑓 𝑡ℎ
𝑝𝑎𝑔𝑑𝑛𝑎𝑏 𝑖𝑆
מכאן:
0.437
0.437
( ) = 1.5 ⋅ 1010 exp
) = 3.2 ⋅ 1017 𝑐𝑚−3
0.0259
0.0259
( Na = ni exp
כלומר ,כאשר יש לנו ריכוז מאלחים הגדול מערך זה ,אז קירוב בולצמן נהיה פחות מדוייק ,וכך גם
הנוסחאות שפיתחנו בהנחה זו .כלומר ,מראש הערך של רמת פרמי לפי הנוסחה לא יהיה מדויק.
.3זרם סחיפה
מוביליות:
ראיתם כי:
נושא מטען מאיץ בשדה עד שמתרחש אירוע פיזור .כלומר ,המהירות שלו עולה ,עד שהוא מתנגש
ומאבד את כל או רוב מהירותו .תהליך זה קורה פעמים רבות ,אך בממוצע נקבל מהירות סופית ,אשר
יש לה מקדם פרופרציה לשדה:
𝐸 𝑝𝑣𝑑𝑝 = μ
𝐸 𝑛𝑣𝑑𝑛 = −μ
מכאן נוכל למשל לרשום זרם לאלקטרונים:
𝐸𝑛 𝑛𝜇𝑒 = )𝐸 𝑛J𝑛 = 𝜌𝑣𝑑 = (−𝑒𝑛)(−μ
הזרם הוא בכיוון השדה .כיוון תנועת האלקטרונים היא בכייוון הפוך לשדה/זרם .ראיתם כי סך הזרם:
𝐸)J𝑑𝑟𝑓 = e(μn n + μp p
תרגיל:
נרצה לחשב את צפיפות הזרם ב GaAsבטמפ' החדר .נניח 𝑁𝑑 = 1016 𝑐𝑚−3ו .N𝑎 = 0נניח יוניזציה
מלאה .נניח שדה חשמלי של 10וולט לס"מ.
באותו אופן כפי שעשינו בתחילת השיעור:
𝑎𝑁 𝑁𝑑 −
𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 2
√
=𝑛
( +
) + 𝑛𝑖2 ≈ 1016 cm−3
2
2
מכאן:
) 𝑛𝑖2 (1.8 ⋅ 106
=
≈ 10−4 cm−3
𝑛
1016
=𝑝
נקבל:
𝐴
𝑐𝑚2
J𝑑𝑟𝑓 = e(μn n + μp p)𝐸 ≈ e(μn n)𝐸 = 1.6 ⋅ 10−19 (8500) ⋅ 1016 ⋅ 10 = 136
כלומר ,קיבלנו זרם משמעותי ע"י הפעלת שדה חשמלי יחסית נמוך .כמו כן ,ראינו כי הזרם נקבע ע"י
נושאי המטען ברוב.
תרגיל( :אשקרופט ומרמין)
נניח מל"מ בטמפ' אחידה בשדה Eקבוע .אלקטרון חווה התנגשות ולאחר זמן tהתנגשות שנייה .ע"פ
המודל ,האנרגיה אינה נשמרת בהתנגשויות .הראו:
א .האנרגיה הממוצעת (מיצוע על כלל הכיוונים שההאלקטרון נע אחרי ההתנגשות) שנאבדה
בהתנגשויות עם היונים (זאת שצבר בין ההתנגשות הראשונה והשנייה) בזמן tהינה 𝑚.(𝑒𝐸𝑡)2 /2
ב .הראו כי האנרגיה ההמוצעת שנאבדה ליונים בעבור כל אלקטרון ,בעבור כל התנגשות הינה
𝑚 (𝑒𝐸𝜏)2 /ומכאן שצפיות הספק האיבוד הינה = 𝜎𝐸 2
𝑛(𝑒)2 𝜏 2
𝐸
𝑚2
.הניחו כי בעבור מל"מ באורך L
ושטח חתך Aכי האיבוד הינו 𝑅 I( 𝐼 2הזרם ,ו Rההתנגדות).
פתרון:
א .האנרגיה הקינטית של נושא המטען (נניח מכאן שמדובר באלקטרון) טרם שפגע במפזר:
1
E𝑖 = 𝑚𝑒∗ v
⃗2
2
vהינה המהירות האקראית של נושא המטען אחרי הפגיעה (אשר נגזר מהתפלגות התרמית
כאשר ⃗
הנתונה) .אחרי זמן tשהאלקטרון מרגיש כוח 𝐸𝑒 𝐹 = −נקבל שהאנרגיה הינה:
1
𝑒𝐸 2
Ef = 𝑚𝑒∗ ( v
)𝑡 ∗ ⃗ −
2
𝑒𝑚
האנרגיה הממוצעת שהאלקטרון צבר לאחר זמן tתהיה:
1
𝑒𝐸 2 1
1
𝑒𝐸 ⋅ v
⃗
𝑒𝐸 2
⟨𝐸𝑓 − 𝐸𝑖 ⟩ = ⟨ 𝑚𝑒∗ ( v
⃗ − ∗ 𝑡) − 𝑚𝑒∗ v
⃗ 2 ⟩ = ⟨ 𝑚𝑒∗ ( −2
𝑡
+
(
⟩) )𝑡
2
𝑒𝑚
2
2
∗𝑒𝑚
∗𝑒𝑚 ⏟
𝑐𝑖𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖 𝑠𝑖 𝑉
1 e2 E 2 2
=
𝑡
∗𝑒𝑚 2
זוהי גם האנרגיה שהאלקטרון מאבד כל התנגשות ,בזמן .t
ב .נרצה לבצע שקלול זמני עם ההסתברות הפואסנית להתנגשות קרי:
𝑑𝑡 1 e2 E2 2
𝑒 2 𝐸2𝜏 2
𝑡
=
τ 2
∗𝑒𝑚
∗𝑒𝑚 ⏟
∞
⟨Δ𝐸⟩ = ∫ e−t/τ
0
𝑠𝑠𝑜𝑙 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑛𝑒
𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ
𝑛𝑜𝑖𝑠𝑖𝑙𝑙𝑜𝑐
מכאן שצפיפות ההספק לאיבוד (אנרגיה ליחידת נפח ליחידת זמן) בזמן הממוצע להתנגשות 𝜏 בעבור
כלל נשאי המטען יהיה:
⟩𝐸𝑛⟨Δ
𝜏𝑒 2 𝐸2
=n
= 𝑛𝜇𝑒 𝑒𝐸 2 = 𝜎𝐸 2
𝜏
∗𝑒𝑚
=𝑝
מכאן נוכל לרשום בהנתן אורך Lושטח חתך :A
𝐴𝐿
L
Lρ
= (𝜎𝐸)2
= (Aj)2
(Aj)2 = R ⋅ I 2
𝜎
𝜎𝐴
A
= P = V ⋅ p = L ⋅ 𝐴 ⋅ 𝑝 = 𝐿𝐴𝜎𝐸 2
______________________________________________
כמה מילים על התלות בטמפ' .ישנם שני תהליכי פיזור:
א .פיזור שריגי/פונוניμ𝐿 ~𝑇 −3/2:
כלומר ,המוביליות קטנה ככל שנגדיל את הטמפ' .זאת מאחר ויש לנו סיכוי גדול יותר לאירוע
התנגשות.
ב .פיזור ממזהמים:
3
𝑇2
~ 𝐼μ
𝐼𝑁
כאשר NIהיא כמות היונים כתוצאה ממזהמים .הגדלת היונים המזהמים ,מקטינה את המוביליות ,אך
מאידך ככל שהטמפ' גבוהה יותר הזמן שנושא המטען "מבלה" בסביבת היון קטן ,מאחר ומהירות
האלקטרון גדולה יותר.
כמו כן ,ראיתם כי:
1 1
1
= +
μ μI μL
תרגיל:
Ω
נתון מל"מ מקוזז מסוג n-typeבטמפרטורה של 𝐾 .T = 300נתונה המוליכות 𝜎 = 16 [𝑐𝑚] :ו𝑁𝐴 =-
] .1017 [𝑐𝑚−3
מצאו את ריכוז התורמים 𝐷𝑁 והמוביליות.
פתרון:
בהנחה שמתקיים 𝑖𝑛 ≫ 𝐴𝑁 𝑁𝐷 −נוכל לבטא את המוליכות:
) 𝐴𝑁 𝜎 ≈ 𝑞𝑛𝜇𝑛 = 𝑞𝜇𝑛 (𝑁𝐷 −
כך שנקבל אחרי הצבה:
) 16 = (1.6 ⋅ 10−19 )μn (𝑁𝐷 − 1017
זו משוואה עם שני נעלמים .אולם ,גם המוביליות תלויה בכמות נשאי המטען (בטמפרטורה הנתונה),
נוכל להסתכל בגרף האמפירי הבא עבור סיליקון:
וכך ,על ידי ניסוי וטעייה ,למצוא את הצמד של ערכי 𝐷𝑁 ו 𝜇𝑛 -שיקיימו את המשוואה .מקבלים:
] 𝑁𝐷 ≈ 3.5 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3
𝑐𝑚2
𝑠𝑉
Ω
]
𝑚𝑐
𝜇𝑛 ≈ 400
[ → 𝜎 = 16
כפי שראיתם ,ניתן למשל לרשום זרם לאלקטרונים:
𝐸𝑛 𝑛𝜇𝑒 = )𝐸 𝑛J𝑛 = 𝜌𝑣𝑑 = (−𝑒𝑛)(−μ
הזרם הוא בכיוון השדה .כיוון תנועת האלקטרונים היא בכייוון הפוך לשדה/זרם .ראיתם כי סך הזרם:
𝐸)J𝑑𝑟𝑓 = e(μn n + μp p
מוליכות:
)σ = e(μn n + μp p
1
)e(μn n + μp p
=ρ
תרגיל :נרצה לתכנן נגד מל"מ עם התנגדות ידועה ,ואשר עומד בצפיפות זרם נתונה.
נתון גביש סיליקון בטמפ' החדר ,אשר מסומם עם דונורים בצפיפות של .𝑁𝑑 = 5 ⋅ 1015 𝑐𝑚−3נוסיף
אקספטורים על מנת ליצור מל"מ ,Compensatedמסוג .pעל המוליך להיות בעל מוליכות של 10𝑘Ω
וצפיפות זרם של 50 𝐴/𝑐𝑚2בהנתן 5וולט.
פתרון:
הזרם על נגד שכזה ,בהנתן המתח:
𝑉
𝐴𝑚= 0.5
𝑅
=𝐼
שטח החתך יהיה ,ע"פ ההנחה לעיל:
I 0.5 ⋅ 10−3 A
= =A
= 10−5 𝑐𝑚2
J
50 𝐴/𝑐𝑚2
נגביל את השדה להיות 100וולט לס"מ ,ולכן אורך הנגד יהיה:
V
5
=
= 5 ⋅ 10−2 cm
E 100
=L
המוליכות:
𝐿
= 0.5 ⋅ (Ω𝑐𝑚)−1
𝐴𝑅
=σ
המוליכות של מוליך ptype compensatedהינו:
) 𝑑𝑁 σ ≈ 𝑒𝜇𝑝 𝑝 = 𝑒𝜇𝑝 (𝑁𝑎 −
כך שהבעייה שלנו הינה למצוא את המוביליות אשר תלוייה בסך ריכוז הסיגים המיוננים ,וגם למצוא
הפרש אשר יקיים את המשוואה .לשם כך ,נעזר בגרף הבא:
As the impurity concentration increases, the number of impurity scattering centers increases, thus
reducing mobility.
ע"י ניסוי וטעיה ,אם ניקח 𝑁𝑎 = 1.25 ⋅ 1016 𝑐𝑚−3אזי נקבל ש:
𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 = 1.75 ⋅ 1016 𝑐𝑚−3
מהגרף ,ניתן להראות כי אז
𝑐𝑚2
𝑠𝑣
𝜇𝑝 = 410ומכאן המוליכות:
σ = 𝑒𝜇𝑝 (𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 ) = 1.6 ⋅ 10−19 ⋅ 410 ⋅ (1.25 ⋅ 1016 − 5 ⋅ 1015 ) = 0.492 (Ω𝑐𝑚)−1
קרוב לערך שרצינו.
תרגילים נוספים:
מציבים ומקבלים:
𝑠𝑣𝑑 = 1350 ⋅ 10 = 1.35 ⋅ 104 𝑐𝑚/
מכאן:
𝑉𝑒 𝑇 = 5.6 ⋅ 10−8
בעבור השדה החזק נקבל 4סדרי גודל יותר (בגלל העלאה בריבוע של המהירות)
𝑉𝑒 T = 5.6 ⋅ 10−4
ניתן לרשום:
𝑇 −3/2
)
300
( μ𝑛 = 1300
מכאן:
2388𝑐𝑚2
𝐾@ 200
𝑠𝑣
= 𝑛μ
844𝑐𝑚2
𝐾@ 400
𝑠𝑣
= 𝑛μ
פיסיקה של מוליכים למחצה -תרגול 5
.1דיפוזיה
א .משוואת הדיפוזיה:
𝑛𝜕
𝑛𝑑
משוואות הדיפוזיה/חום (שילוב של חוק פיק הראשון + , J = 𝑒𝐷𝑛 𝑑𝑥 ,משוואות הרציפות:()𝑒 𝜕𝑡 + ∇𝐽 = 0 ),
𝑛𝜕
𝑛𝜕2
=𝐷 2
𝑡𝜕
𝑥𝜕
נפתור בהפרדת משתנים:
)𝑡(𝑇 ⋅ )𝑥(𝑛(𝑥, 𝑡) = X
תחת התנאים הבאים( :ניקח את מקדם הדיפויזה להיות 1לצורך הנוחות -שימו לב ליחידות)
תנאי שפה (נוימן)
𝑢𝑡 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡),
𝑚 > 𝑡 0 < 𝑥 < 𝑙,
𝑢𝑥 (0, 𝑡) = 0,
𝑢𝑥 (𝑙, 𝑡) = 0
)𝑥(𝜑 = )𝑢(𝑥, 0
תנאי התחלה
נקבל אחרי הצבה פשוטה:
)𝑥( Ṫ(𝑡) 𝑋 ′′
=
𝜆=
)𝑡(𝑇
)𝑥(𝑋
בעבור תנאי שפה נוימן שהזכרנו לעיל (נגזרות בשפה לפי המקום שוות לאפס בכל נקודת זמן -המשמעות היא
שאין כניסה או יציאה של חלקיקים בקצוות) נקבל פתרון כולל כדלקמן:
∞
𝒙𝜋𝑛
( 𝑢(𝒙, 𝒕) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 𝑒 𝜆𝑛 𝒕 cos
)
𝑙
𝑛=1
𝑛𝜋 2
) (𝜆 = −
𝐿
ב .דוגמא:
כעת ,בבעייה נתונה ,ניקח את תנאי ההתחלה ( )𝑡 = 0ונפתור .למשל ,ניקח את האיבר הראשון בטור ,עם רמת
,DCקרי:
𝜋
)𝑥 ( ϕ(𝑥) = 1 + cos
𝐿
המשמעות היא שככל שתמקדם הזמן ,הגרדיאנט נעלם ואנו מקבלים ריכוז אחיד.
.2זרם דיפוזיה במל"מ
במל"מ במידה וישנו גרדיאנט ריכוזים ,יתקבל זרם דיפוזיה .נבחין בין זרם דיפוזיה לחורים ולאלקטרונים:
𝑛𝑑
𝑥𝑑
𝑝𝑑
𝑥𝑑
𝑛𝐷𝑒 = Jnx|dif
𝑝𝐷𝑒Jpx|dif = −
שימו לב לסימן במשוואות השונות ,הבא לידי ביטוי בשרטוטים הבאים:
תרגיל :נניח גביש GaAsמסוג nבטמפ' החדר .ריכוז האלקטרונים נע לינארת מערך של 1018עד
] ,7 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3על אורך של 0.1ס"מ .חשבו את צפיפות זרם הדיפוזיה אם מקדם הדיפוזיה הינו = 𝑛𝐷
𝑠225 𝑐𝑚2 /
פתרון:
) (1018 − 7 ⋅ 1017
𝑛𝑑
𝑛Δ
𝑛𝐷𝑒 ≈
)= 1.6 ⋅ 10−19 (225
= 108𝐴/𝑐𝑚2
𝑥𝑑
𝑥Δ
0.1
𝑛𝐷𝑒 = 𝑓𝑓𝑖𝑑𝑛J
ג .זרמים כוללים:
𝑛𝑑
𝑝𝑑
𝜇𝑛𝑒 = 𝐽
𝑝𝐷𝑒 −
𝐷𝑒 ⏟ 𝑛 𝐸𝑥 + 𝑒𝑝𝜇𝑝 𝐸𝑥 +
𝑥𝑑 𝑛 ⏟
𝑥𝑑
𝑡𝑓𝑖𝑟𝑑
𝑛𝑜𝑖𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑑
שדה חשמלי ב:Graded Distribution-
ראיתם ,שכאשר יש מל"מ אשר מסומם בצורה לא אחידה ,נוצר שדה בנוי אשר מתנגד לתנועת נושאי המטען .אם
נסתכל על דונורים נקבל:
𝑇 𝐵𝐾
)𝑥( 𝑑𝑁𝑑 1
)
𝑥𝑑 )𝑥( 𝑑𝑁 𝑒
( 𝐸x = −
הערה :הביטוי מתקבל על ידי ההנחה שריכוז נשאי המטען שווה לריכוז הדונורים .במקרה כזה,
)
𝑖𝑓𝐸𝐸𝑓 −
𝑇𝑘
(𝑝𝑥𝑒 𝑖𝑛 = .𝑁𝑑 (𝑥) = 𝑛0אם ניקח את הנגזרת של הביטוי הזה (לפי המקום) ,ונזכור כי רמת פרמי קבועה
על פני כלל המל"מ נוכל לקבל תלות בין הנגזרת של רמת פרמי האינטרינזית לנגזרת המרחבית של הדונורים.
מאחר והנגזרת של רמת פרמי האינטרינזית היא פורפוצינאלית לשדה החשמלי ,נקבל את המשוואה המבוקשת.
תרגיל :נניח ריכוז דונורים במל"מ מסוג nבשו"מ אשר משתנה לינארית עם המיקום בצורה הבאה:
𝑥 ⋅ N𝑑 (𝑥) = 1016 − 1019
כאשר 𝑥 נתון בס"מ ,בתחום שבין 0למיקרון אחד .מצאו את השדה הבנוי.
פתרון:
)𝑥( 𝑑𝑁𝑑
) = −1019 (𝑐𝑚−4
𝑥𝑑
מכאן:
−1019
𝑥 1016 − 1019
⋅ E𝑥 = −0.0259
אשר למשל ב x=0-שווה ל 25.9וולט לס"מ .הכוח שמפעיל השדה על אלקטרון הוא בכיוון השלילי ואילו תנועת
האלקטרונים כתוצאה מהדיפוזיה היא בכיוון החיובי.
יחסי אינשטיין:
מקדם הדיפוזיה והמוביליות קשורים אחד לשני באמצעות קשרי אינשטיין .ניתן להראות זאת למשל ,ע"י הדרישה
כי סכום זרם החורים/אלקטרונים ,וזרם הסחיפה אשר נובע מהשדה הבנוי מתאפס .ההתאפסות תהיה בנפרד
בעבור החורים והאלקטרונים .מכאן מקבלים:
𝑇𝑘 D𝑛 Dp
=
=
𝑒𝜇 𝑛𝜇
𝑒
הערה :קשר זה נובע ממשפט הפלוקטואציה-דיסיפציה ,לפיה התגובה של מערכת להפרעה (הפעלה של שדה
חשמלי למשל) זהה לתגובה כתוצאה מפלוקטואציה (כמו תנועה אקראית של נושא מטען העושה דיפוזיה).
דוגמא:
𝑐𝑚2
אם נניח מוביליות של 𝑐𝑒𝑠 𝑉 1000בטמפ' החדר ,נקבל מקדם דיפוזיה של:
𝑇𝑘
𝑐𝑚2
𝜇 = 0.0259 ⋅ 1000 = 25.9
𝑒
𝑠
=D
.2יציאה משיווי משקל
הוסברו המושגים -גנרציה ,רקומבינציה.
בשיווי משקל נקבל שקצב הגנרציה התרמית והרקומבינציה התרמית שווים:
G𝑛0 = 𝐺𝑝0 = 𝑅𝑛0 = 𝑅𝑝0
אלקטרונים בפס הערכיות יוכלים להיות מעוררים לפס ההולכה .כאשר זה קורה ,אנו מקבלים חור ואלקטרון
נוספים בפס הערכיות וההולכה ,בהתאמה .נושאי מטען אלו נקראים .Excess Electrons and Holes
נניח שהגנרציה הזו מתרחשת בעקבות הארה .נדרוש שימור אנרגיה (וגם תנע ,אך נדבר על כך בנפרד) .נניח יש
לנו מל"מ עם פער אנרגיה ,הנתון באלקטרון וולט .מה אורך הגל של האור המתאים לכך?
𝑐
𝜆
E𝑔𝑎𝑝 (𝑒𝑉) ⋅ 𝑒 = ℎ𝜈 = ℎ
מכאן:
]𝑚𝜇[
1.24
)𝑉𝑒( 𝑝𝑎𝑔E
= ]𝑚[
hc
) (1.24 ⋅ 10−6
e
=𝜆=
)𝑉𝑒( 𝑝𝑎𝑔E
)𝑉𝑒( 𝑝𝑎𝑔E
כלומר ,ככל שנגדיל את פער האנרגיה ארוך הגל המתאים יקטן .כמובן שאורך גל קטן יותר הוא גם אנרגטי יותר.
קצת על שו"מ אל מול מצב עמיד
שיווי משקל תרמודינמי)Thermo dynamic equilbrium( :
מצב בו אין למערכת שינוי של פאזה ,ואין זרימה של חומר (חלקיקים) או אנרגיה.
מצב עמיד)Steady State( :
מצב בו תכונה כלשהי של המערכת (כמו מהירות זרימה) אינו משתנה עם הזמן.
מערכת שנמצאת במצב שו"מ נמצאת גם במצב עמיד.
מערכת שנמצאת במצב עמיד לא בהכרח בשו"מ.
.1משוואת הטרנספורט ,בעבור נושאי המטען בעודף:
ראיתם בהרצאה את משוואת הטרנספורט האמביפולרי:
)𝑛𝛿(𝜕
𝑡𝜕
=
𝑔
𝑅 ⏟−
𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑛𝑖𝑏𝑚𝑜𝑐𝑒𝑅𝐺𝑒𝑛𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛−
)𝑛𝛿( 𝜕 2
)𝑛𝛿(𝜕
D′
𝐸 + 𝜇′
+
⏟ 𝜕𝑥 2
⏟
𝑥𝜕
𝑡𝑓𝑖𝑟𝐷
𝑛𝑜𝑖𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝐷
כאשר:
𝑛𝐷𝑝 𝑝𝜇 𝜇𝑛 𝑛𝐷𝑝 +
𝑝 𝑝𝜇 𝜇𝑛 𝑛 +
)𝑛 𝜇𝑛 𝜇𝑝 (𝑝 −
𝑝 𝑝𝜇 𝜇𝑛 𝑛 +
= D′
= 𝜇′
בהנחת מל"מ אקסטרינזי והזרקה חלשה ,נקבל:
מל"מ אקסטרינזי מסוג:
משמעות ההזרקה החלשה
תוצאה
n-type 𝑛𝑜 ≫ 𝑝0
𝛿𝑝 ≪ 𝑛0
𝒑𝜇𝐷 ′ = 𝐷𝒑 𝜇′ = −
p-type 𝑝0 ≫ 𝑛0
𝛿𝑛 ≪ 𝑝0
𝒏𝜇 = 𝐷 ′ = 𝐷𝒏 𝜇′
שימו לב -המקדמים הם של נשאי המטען במיעוט! כלומר ,המשוואות מצטמצמות לכדי משוואות המתארות
את התנועה המשותפת של נושאי המטען בעודף ,אשר נעים אפקטיבית עם קבוע דיפוזיה ומוביליות של נושאי
המטען במיעוט.
בסופו של דבר ,ניתן לרשום:
בעבור :p-type
)𝑛𝛿( 𝜕 2
)𝑛𝛿(𝜕
)𝑛𝛿(𝜕 𝑛𝛿
𝐸 𝒏𝜇 +
+ 𝑔′ −
=
2
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝜏𝑛0
𝑡𝜕
𝒏D
בעבור :n-type
)𝑛𝛿( 𝜕 2
)𝑛𝛿(𝜕
)𝑛𝛿(𝜕 𝑛𝛿
𝐸 𝒑𝜇 +
+ 𝑔′ −
=
2
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝜏𝑛0
𝑡𝜕
𝒑D
עד כאן המתמטיקה ,ננסה לתת אינטואיציה למה זה נכון.
נחשוב על התהליך הבא:
כתוצאה מהזרקה ,נוצר שינוי קטן בכמות נשאי המטען ברוב.
בהתאמה ,נוצר שינוי של נשאי המטען במיעט.
מופעל שדה חיצוני ,ונשאי המטען נספחים עימו.
חורים ואלקטרונים נעים בכיוונים הפוכים.
התהליך אמור לגרום לאובדן הנייטרליות החשמלית .אך
בפועל "מישהו" צריך לאזן אחד את השני .לנשאי המטען
ברוב יש הרבה נשאי מטען על מנת לעשות זאת ,ולכן יתאימו
עצמם לנשאי המטען במיעוט.
נקבל תנועה מתואמת (אבל לא של אותם נשאי המטען ברוב!
הם כל הזמן יחליפו אחד את השני) אשר מתאימה את עצמה
לנשאי המטען במיעוט ,ולכן יש לה את הפרמטרים של נשאי
המטען במיעוט.
במילים אחרות ,התנועה של נשאי המטען ברוב מוגבלת עקב ההצמדה לנשאי המטען במיעוט .מאחר ובכל
פעם נשאי מטען אחרים מבין כלל נשאי המטען ברוב מוצמדים לנשא מטען במיעוט ,אז באופן קולקטיבי
הפרמטרים (דיפוזציה ,מוביליות) הם של אלה שבמיעוט.
.2דוגמאות:
א .חזרה לשיווי משקל – זמן חיים
תרגיל :נניח מל"מ הומוגני מסוג 𝑛 אשר לא מופעל עליו שדה חשמלי .בזמן 𝑡 = 0ריכוז אחיד (וקטן מהריכוז
בש"מ) של נושאי מטען בעודף קיים בגביש ,אולם גנרציה זו מכובה ( )𝑔′ = 0בזמנים .𝑡 > 0נחשב את ריכוז
נושאי המטען בעודף כפונקציה של הזמן.
פתרון:
תחת התנאים שהנחנו ,נקבל ,מתוך המשוואה הכללית שראינו בתחילת התירגול שעלינו לפתור את המשוואה:
)𝑝𝛿(𝜕
𝑝𝛿
=−
𝑡𝜕
𝜏𝑝0
שפתרונה:
𝑡
𝜏𝑝0
−
𝑒)𝛿𝑝(𝑡) = 𝛿𝑝(0
כלומר ,יש לנו דעיכה אקספוננצליאלית עם קבוע דעיכה של הרקובינציה.
ב .הגעה למצב עמיד
תרגיל :נניח כעת את המקרה ההפוך .כלומר "נדליק" את הגנרציה בזמן ,𝑡 > 0ונרצה לחשב את ריכוז נושאי
המטען בעודף כפונקציה של הזמן.
פתרון:
תחת התנאים שהנחנו ,נקבל:
)𝑝𝛿(∂
𝑝𝛿
= 𝑔′ −
𝑡𝜕
𝜏𝑝0
והפתרון:
)
𝑡
𝜏𝑝0
−
𝑒 δ𝑝(𝑡) = 𝑔′ 𝜏𝑝0 (1 −
כלומר ,כאשר ∞ → 𝑡 יתקבל מצב עמיד ,בו ישנו ריכוז קבוע של נושאי המטען בעודף (.)𝑔′ 𝜏𝑝0
ג .חישוב מצב עמיד במקרה של ריכוז מרחבי נושאי מטען בעודף
תרגיל :נתבונן במל"מ מסוג 𝑝 אשר לא מופעל עליו שדה חשמלי .נניח שעבור מל"מ חד מימדי זה ,מייצרים נושאי
מטען בעודף בנקודה .𝑥 = 0נחשב את ריכוז נושאי המטען כפונקציה של המרחב ,במצד עמיד.
פתרון:
נכתוב שוב את המשוואה האמביפולרית ,עבור מל"מ 𝑒𝑝𝑦𝑡 :𝑝 −
)𝒏𝜹(𝝏
𝒕𝝏⏟
𝒆𝒕𝒂𝒕𝒔 𝒚𝒅𝒂𝒆𝒕𝒔 𝒓𝒐𝒇𝟎,
𝑛𝛿
=
𝜏𝑛0
𝒈
⏟′
−
𝟎≠𝒙 𝒓𝒐𝒇𝟎,
)𝑛𝛿( 𝜕 2
)𝒏𝜹(𝝏
𝑬 𝒏𝝁 +
+
⏟
𝜕𝑥 2
𝒙𝝏
𝒏D
𝟎=𝑬
המשוואה מצטמצמת ל:
𝑛𝛿 )𝑛𝛿( 𝜕 2
−
=0
𝜕𝑥 2
𝜏𝑛0
Dn
נחלק את המשוואה בקבוע הדיפוזיה:
)𝑛𝛿( 𝜕 2
𝑛𝛿
𝑛𝛿 )𝑛𝛿( 𝜕 2
−
=
− 2 =0
𝜕𝑥 2
Dn 𝜏𝑛0
𝜕𝑥 2
𝑛𝐿
כאשר הגדרנו 𝐿𝑛 = √𝐷𝑛 𝜏𝑛0 :הינו אורך הדיפוזציה .הפתרון למשוואה הזו הינו:
𝑥
𝑛𝐿 𝑒𝐵 +
𝑥
𝑛𝐿
−
𝑒𝐴 = )𝑥(𝑛δ
מאחר ונדרוש התאפסות ב ±∞-נקבל את הפתרון הבא:
𝑥
±
𝑛𝐿
𝑒)δ𝑛(𝑥) = δ𝑛(0
כאשר ה ±-מקבל ערך שלישי עבור 𝑥 > 0וערך חיובי עבור .𝑥 < 0
לדגומא אם ניקח סיליקון 𝑝 עם ] 𝐷𝑛 = 25[𝑐𝑚2 ] ,𝜏𝑛0 = 5 ⋅ 10−7 [𝑠𝑒𝑐] ,𝑁𝑎 = 5 ⋅ 1016 [𝑐𝑚−3ו𝛿𝑛(0) =-
] 1015 [𝑐𝑚−3נקבל:
]𝑚𝜇[𝐿𝑛 = √𝐷𝑛 𝜏𝑛0 = √25 ⋅ 5 ⋅ 10−7 = 35.4
מכאן נקבל:
𝑥
] δ𝑛(𝑥) = 1015 𝑒 −35.4 [𝑐𝑚−3
ד.
נרצה למצוא פתרון כללי למקרה בו יש לנו גם שדה ,וגם גנרציה בנקודה 𝑥 = 0עד זמן .t=0כלומר בזמנים 𝑡 > 0
הגנרציה הינה ( 0ולכן יש לקחת בחשבון ריקומבינציה) .נניח שדה קבוע בכיוון החיובי של ציר 𝑥.
)𝑝𝛿( 𝜕 2
)𝑝𝛿(𝜕 𝑝𝛿 )𝑝𝛿(𝜕
+ 𝜇𝒑 𝐸0
−
=
𝜕𝑥 2
𝑥𝜕
𝜏𝑝0
𝑡𝜕
𝒑D
פתרון למשוואה זו הינו (שכן כפונקציה של הזמן המשוואה היא טריוואלית):
𝑡
−
𝜏𝑝 0
𝑒)𝑡 𝛿𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝′ (𝑥,
נציב חזרה (נגזרת של מכפלה ,בצד הימני של המשוואה ,מביאה לכך שהערך
𝑝𝛿
𝑝0
𝜏 מצטמצם):
)𝑡 𝜕 2 𝑝′(𝑥,
)𝑡 𝜕𝑝′(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑝′(𝑥,
+ 𝜇𝒑 𝐸0
=
𝜕𝑥 2
𝑥𝜕
𝑡𝜕
𝒑D
באמצעות התמרת לפלס ,ניתן להראות שהפתרון למשוואה דיפרנציאלית חלקית זו נתון על ידי:
2
)𝑡 (𝑥 − 𝜇𝑝 𝐸0
= )𝑡
exp (−
)
𝑡 𝑝𝐷4
𝑡 𝑝𝐷𝜋√4
1
′ (𝑥,
𝑝
נציב לצורת הפתרון של )𝑡 :𝛿𝑝(𝑥,
2
𝑡
𝑜𝑝𝜏
−
)𝑡 (𝑥 − 𝜇𝑝 𝐸0
= )𝑡
exp (−
)
𝑡 𝑝𝐷4
𝑡 𝑝𝐷𝜋√4
𝑒
′ (𝑥,
𝑝
כאשר אין שדה חיצוני ( )𝐸0 = 0נקבל גאוסיאן הדועך בזמן:
במידה והשדה אינו אפס ,וקבוע ,נקבל גאוסיאן מוזז בזמן ,ודועך (שאלה -למה? מה קורה כאן?):
קצבי ריקומבינציה וזמני חיים:
ראיתם בכיתה כי מתקיים:
)𝑡(𝑛𝑑
])𝑡(𝑝 ⋅ )𝑡(𝑛 = 𝛼𝑟 [𝑛𝑖2 −
𝑡𝑑
כאשר:
– 𝛼𝑟 𝑛𝑖2גנרציה תרמית.
)𝑡(𝑛 𝑟𝛼 – קצב הריקומבינציה של נושאי מטען.δ𝑛(𝑡) = 𝛿𝑝(𝑡) .
)𝑡(𝑝 ⏟
⏟
𝑝𝛿𝑛0 +𝛿𝑛 𝑝0 +
מכאן ,אחרי פתיחת סוגריים וההנחה של הזרקה חלשה ,נקבל (למשל ,עבור חומר מסוג :)p
𝑡
))𝑡(𝑛𝛿(𝑑
𝜏= −𝛼𝑟 𝑝0 𝛿𝑛(𝑡) → 𝛿𝑛(𝑡) = 𝛿𝑛(0)𝑒 −𝛼𝑟 𝑝0 𝑡 = 𝛿𝑛(0)𝑒 −
𝑡𝑑
כאשר 𝜏𝑛0 = (𝛼𝑟 𝑝0 )−1הוא זמן החיים של נושאי המטען במיעוט של נשאי המטען במיעוט .כאשר 𝑛𝛿 ידעך
לאפס ,נחזור לשיווי משקל .שימו לב ,זמן חיים זה תלוי בריכוז נושאי המטען ברוב .אינטואטיבית ,ניתן להבין זאת
ע"י כך שככל שיש לנו יותר נושאי מטען ברוב (במקרה זה -חורים) אזי יש לאלקטרון יותר "מקומות" לבצע
רקובמבינציה ,לכן זמן החיים יקטן.
מכאן ראיתם שניתן לכתוב את קצב הריקומבינציה (אשר זהה לאלקטרונים וחורים) בתור:
)𝑡(𝑛𝛿
𝜏𝑛0
ניתן כמובן לרשום משוואה זהה עבור :n-type
= 𝑅𝑛′ = 𝑅𝑝′
)𝑡(𝑛𝛿
𝜏𝑝0
= 𝑅𝑛′ = 𝑅𝑝′
ככלל ,כפי שראיתם בהמשך ,קצב הריקומבינציה הכולל:
𝑛
𝑝
= 𝑝𝑅 =
𝑡𝑛𝜏
𝑡𝑝𝜏
= 𝑛𝑅
כאשר קבועי הזמן כוללים גם את זמן החיים של שו"מ תרמודינמי ,ושל נושאי המטען בעודף .כך למשל ,בשו"מ
תרמודינמי (כמובן ללא נשאי מטען בעודף) נוכל לרשום למשל ,ב:n-type-
𝑛0
𝜏𝑛0
= 𝑅𝑛0
תרגיל ממבחן:
נתון מל"מ .𝑁𝑎 = 1016 [𝑐𝑚−3 ] ,P-typeהמל"מ מואר כך שקצב הגנרציה של נשאי מטען הינו = 𝑔1
] .1020 [𝑐𝑚−3 𝑠−1
𝑐𝑚2
א.
נתונים מקדמי הדיפוזיה:
ב.
החיים של נשאי המטען במיעוט?
האם קירוב ההזרקה החלשה מתקיים? נמקו.
ג.
כעת המל"מ מואר כך שבחלקו השמאלי קצב גנרציה 𝑔1ובחלקו הימני קצב גנרציה .𝑔2 = 𝑔1כמתואר
𝑠
𝐷𝑛 = 33.75ו-
𝑐𝑚2
𝑠
𝐷𝑝 = 12.43ומרחק הדיפוזיה ]𝑚 .𝐿𝑛 = 1[μמהו זמן
1
2
באיור הבא:
ד.
עבור מצב עמיד ,כתבו את המשוואה האמביפולרית המתאימה .הסבירו בקצרה אילו רכיבים הסרתם
מהמשוואה ומדוע.
פיתרו את המשוואה .הדרכה :יש להניח פתרון עבור כל אזור בנפרד ,רחוק מ 𝑥 = 0-על הפתרון להישאר
סופי ובנוסף ישנם תנאי רציפות מתאימים ב.𝑥 = 0-
1
ה.
שרטטו והסבירו איכותית את הפתרון שהתקבל ,כיצד הוא ישתנה במידה ו?𝑔1 = 𝑔2 -
ו.
נתון מל"מ אחר ,ללא הארה ,עם פרופיל האילוח הבא:
2
הסבירו מה דומה ומה שונה בהשוואה לסעיפים הקודמים.
פתרון:
.1נשתמש בנוסחה:
−8
10
]𝑐𝑒𝑠[ = 2.96 ⋅ 10−10
33.75
=
(10−4 )2
33.75
=
𝑛𝐿2
𝑛𝐷
= 𝑛𝜏 → 𝑛𝜏 𝑛𝐷 = 𝑛𝐿2
.2נבדוק מהי כמות נשאי המטען במצב עמיד:
] δ𝑛 = 𝑔𝜏 = 1020 ⋅ 2.96 ⋅ 10−10 = 2.96 ⋅ 1010 [𝑐𝑚−3
] δ𝑛 = 2.96 ⋅ 1010 [𝑐𝑚−3 ] ≪ 𝑁𝑎 = 1016 [𝑐𝑚−3
קירוב ההזרקה החלשה מתקיים.
.3המשוואה אותה יש לפתור:
𝑛𝛿 )𝑛𝑑 2 (δ
𝑛0 = D
−
𝑖𝑔 +
𝑑𝑥 2
𝑛𝜏
האיברים שהושמטו הם
)𝑛𝛿(𝑑
𝑡𝑑
(מצב עמיד) ו( 𝐸 = 0-לא מופעל מתח) .לא ניתן להתעלם מחלק
הדיפוזיה ,מאחר וישנו interfaceאשר גורם לחוסר איזון בריכוז נשאי המטען בעודף.
𝑖 = 1,2בהתאם לאזור.
.4נפתור את המשוואה:
)𝑛𝑑2 (δ
𝑛0 = L
𝜏 𝑖𝑔 − 𝛿𝑛 +
𝑑𝑥 2
זאת משוואה הדיפוזיה ,לא הומוגנית .הפתרון עבור כל אזור:
𝑥
𝑛𝐿 𝑒 𝑙𝐵 +
𝑥
𝑛𝐿 𝑒 𝑟𝐵 +
𝑥
−
𝑛𝐿
𝑥
𝑛𝐿
−
𝑒 𝑙𝐴 𝛿𝑛𝑙 (𝑥) = 𝑔1 𝜏𝑛 +
𝑒 𝑟𝐴 𝛿𝑛𝑟 (𝑥) = 𝑔2 𝜏𝑛 +
מאחר ועבור ∞ 𝑥 → ±על הפונקציה להישאר סופית ,נישאר עם:
𝑥
𝑛𝐿 𝑒 𝑙𝐴 𝛿𝑛𝑙 (𝑥) = 𝑔1 𝜏𝑛 +
𝑥
𝑛𝐿
−
𝑒 𝑟𝐴 𝛿𝑛𝑟 (𝑥) = 𝑔2 𝜏𝑛 +
נדרוש רציפות ב:𝑥 = 0-
𝑟𝐴 𝑔1 𝜏𝑛 + 𝐴𝑙 = 𝑔2 𝜏𝑛 +
A𝑙 = 𝜏𝑛 (𝑔2 − 𝑔1 ) + 𝐴𝑟 → 𝐴𝑙 = 𝜏𝑛 (−𝑔2 ) + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑟 − 𝜏𝑛 𝑔2
נדרוש רציפות הנגזרת ב:𝑥 = 0-
1
1
⋅ 𝑟𝐴= −
𝑛𝐿
𝑛𝐿
⋅ 𝑙A
נציב בחזרה ונקבל:
𝜏𝑛 𝑔2
= 𝑟𝐴 → −Ar = 𝐴𝑟 − 𝜏𝑛 𝑔2
2
𝜏𝑛 𝑔2
𝐴𝑙 = −
2
הפתרונות ייראו כך:
𝜏𝑛 𝑔2
𝑥
) ( exp
2
𝑛𝐿
2𝑔2
𝜏𝑛 𝑔2
𝑥
𝛿𝑛𝑟 (𝑥) = 𝑔2 𝜏𝑛 +
) exp (−
2
𝑛𝐿
{
𝑔 = )𝑥( 𝑙𝑛𝛿
⏟1 𝜏𝑛 −
1
𝑥
]) ( 𝛿𝑛𝑙 (𝑥) = 𝜏𝑛 𝑔2 [2 − exp
2
𝑛𝐿
1
𝑥
]) 𝛿𝑛𝑟 (𝑥) = 𝜏𝑛 𝑔2 [1 + exp (−
{
2
𝑛𝐿
מאחר וישנו מפל ריכוזים בממשק בין שתי עוצמות ההארה ,תהיה דיפוזיה של נשאי מטען בעודף מצד
שמאל לצד ימין.
במידה ויתהפכו עוצמות ההארה ,יתהפך כיוון הדיפוזיה.
3
בנקודה 𝑥 = 0מתקיים ,𝛿𝑛(𝑥 = 0) = 𝑔2 𝜏𝑛 :שזה בדיוק הממוצע בין שתי עוצמות ההארה.
2
פיסיקה של מוליכים למחצה -תירגול 6
אפקט הול:
נפתח את משוואות התנועה באופן מעט שונה מהאופן בו פותחו בהרצאה:
משוואות התנועה עבור אלקטרונים:
̅𝑝
⏟
𝜏
𝑔𝑛𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑐𝑆
𝑝𝑑
̅𝑝
= −𝑒 (𝐸̅ + × 𝐵̅) −
⏟ 𝑡𝑑
𝑛
𝑒𝑐𝑟𝑜𝐹 𝑧𝑡𝑛𝑒𝑟𝑜𝐿
במצב עמיד ,התנע קבוע (מהירות קבועה) ,נפרק לרכיבים:
תזכורת ,מכפלה וקטורית:
̂𝑧
) 𝑧𝐵 𝑥𝑝(̂𝑦 𝑝𝑧 | = 𝑥̂(𝑝𝑦 𝐵𝑧 ) +
𝑧𝐵
נגדיר:
𝑧𝐵𝑒
𝑚
𝑧𝐵𝑒
𝑥𝑝
𝑝𝑦 −
𝑚
𝜏
0 = −𝑒𝐸𝑥 −
𝑦𝑝
𝑧𝐵𝑒
𝑝𝑥 −
𝑚
𝜏
0 = −𝑒𝐸𝑦 −
= 𝜔.
נכפיל כל אחת מהמשוואות
𝑒𝑛𝜏
ב-
𝑚
̂𝑦
𝑦𝑝
0
̂𝑥
𝑥𝑝| = ̅𝐵 × ̅𝑃
0
ונקבל:
τ𝑛𝑒 2
𝑣𝑒𝑛 𝐸 = −𝜔𝑐 τ
𝑥⏟
𝑣𝑒𝑛 ⏟𝑦 −
⏟
𝑥 𝑚
𝑥𝑗
𝑦𝑗
𝜎
τ𝑛𝑒 2
𝑣𝑒𝑛 𝐸 = −𝜔𝑐 τ
𝑣𝑒𝑛 ⏟𝑥 −
𝑦⏟
⏟
𝑦 𝑚
𝑥𝑗
𝑦𝑗
𝜎
למעשה עברנו לשפה של צפיפויות זרם:
𝑥𝑗 𝜎𝐸𝑥 = −𝜔𝑐 τ𝑗𝑦 −
𝑦𝑗 𝜎𝐸𝑦 = −𝜔𝑐 τ𝑗𝑥 −
כעת ,במצב עמיד ,אחרי בניית השדה 𝑗𝑦 = 0ולכן (אחרי פתיחה של הפרמטרים 𝑐𝜔 :)𝜎,
𝐵
𝑗
𝑥 𝑒𝑛
𝐸𝑦 = −
עבור אלקטרונים ,מתח הול יהיה (𝑊 𝑦𝐸 = 𝑦𝑉 ו:)𝑗𝑥 ⋅ (𝑊 ⋅ 𝑑) = 𝐼𝑥 -
𝑧𝐵 𝑥𝐼
𝑧𝐵 𝑥𝐼
→𝑛=−
𝑑𝑛𝑒
𝐻𝑉𝑑𝑒
𝑉𝐻 = −
עבור חורים מתקבל:
𝑧𝐵 𝑥𝐼
𝑧𝐵 𝑥𝐼
=𝑝→
𝑝𝑛𝑒
𝐻𝑉𝑑𝑒
= 𝐻𝑉
מרגע שמדדנו את צפיפות נושאי המטען ברוב ,נוכל למצוא את המוביליות .בקובפיגורציה שלנו:
𝑥𝐼
𝑥𝑉
𝑝𝜇 𝑝𝑒 =
⏟
𝑑𝑊
𝐿
→ 𝑥𝐸 𝑝𝜇𝑝𝑒 = 𝑥𝑗
𝑥𝑣
מכאן נוכל לחלץ את המוביליות של החורים:
𝐿 𝑥𝐼
𝑑𝑊 𝑥𝑉𝑝𝑒
= 𝑝μ
ואת מוביליות האלקטרונים:
𝐿 𝑥𝐼
𝑑𝑊 𝑥𝑉𝑛𝑒
= 𝑛μ
דוגמא (:)1
נניח ויש לנו מל"מ אקסטרינזי ,עם הגאומטריה שלעיל .נניח𝑊 = 10−2 [𝑐𝑚] ,𝐿 = 10−1 [𝑐𝑚]:
.𝑑 = 10−3 [𝑐𝑚] ,נניח כי הזרם הוא ]𝐴𝑚[ 𝐼𝑥 = 1והמתח .𝑉𝑥 = 12.5 [𝑉] :כמו כן ,השדה המגנטי הינו
]𝑠𝑠𝑢𝑎𝐺[ .)5 ⋅ 10−2 [𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎]=( 500נמדד מתח הול של. −6.25 [𝑚𝑉] :
א .מה ריכוז וסוג נשאי המטען?
ב .מהי המוביליות?
פתרון:
א .מתח הול שלילי ,לכן המל"מ הוא מסוג .nנשתמש בנוסחה עבור הריכוז ונקבל:
𝑧𝐵 Ix
10−3 ⋅ 5 ⋅ 10−2
n=−
=
] = 5 ⋅ 1021 [𝑚−3 ] = 5 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3
) 𝑒𝑑𝑉𝐻 1.6 ⋅ 10−19 ⋅ (10−5 )(−6.25 ⋅ 10−3
ב .כעת יש לנו יכולת לקבוע מהי המוביליות:
𝐿 𝑥𝐼
10−3 10−3
𝑐𝑚2
= 𝑛μ
=
=
0.1
[
]
𝑒𝑛𝑉𝑥 𝑊𝑑 1.6 ⋅ 10−19 ⋅ 5 ⋅ 102 ⋅ 12.5 ⋅ 10−4 ⋅ 10−5
𝑐𝑒𝑠 ⋅ 𝑣
𝑚2
[ = 103
]
𝑐𝑒𝑠 ⋅ 𝑣
דוגמא (:)2
נניח ויש לנו מל"מ סיליקון בטמפרטורת החדר ,עם הגאומטריה שלעיל .נניח𝐿 = 10−1 [𝑐𝑚]:
.𝑑 = 10−3 [𝑐𝑚] ,𝑊 = 10−2 [𝑐𝑚] ,נניח כי הזרם הוא ]𝐴𝑚[ 𝐼𝑥 = 0.75והמתח .𝑉𝑥 = 15 [𝑉] :כמו
כן ,השדה המגנטי הינו ]𝑠𝑠𝑢𝑎𝐺[ .1000נמדד מתח הול של. +5.8 [𝑚𝑉] :
פתרון:
מאחר ומתח הול שנמדד הוא חיובי ,מדובר ב .p-type-הצבה תתן:
] 𝑝 = 8.08 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3
𝑐𝑚2
[ 𝜇𝑝 = 387
]
𝑠⋅𝑣
ניסוי היינס-שוקלי:
ראינו בתירגול הקודם:
2
𝑡
𝑒 𝜏𝑝0
)𝑡 (𝑥 − 𝜇𝑝 𝐸0
= )𝑡 δ𝑝(𝑥,
exp (−
)
𝑡 𝑝𝐷4
𝑡 𝑝𝐷𝜋√4
השאלה היא איך מודדים את זה? בהרצאה ראיתם את המערכת הבאה:
הפולס יגיע לנקודה ,Bכקירוב ראשוני כאשר יתקיים:
⏟𝜇 𝑥 −
𝑝 𝐸0 𝑡 = 0
𝑣
מכאן נקבל:
𝑑
𝐸0 𝑡0
= 𝑝𝜇
נגדיר את רוחב הפיק בתור 𝑡2 − 𝑡1 = Δ𝑡 :כאשר 𝑡1,2אלו הזמנים בהם הפולס בגובה .𝑒 −1אם נניח כי
המקדמים אינם תלויים בזמן אז נקבל את המשוואה עבור :𝑡1,2
2
)𝑡 (𝑑 − 𝜇𝑝 𝐸0
=1
𝑡 𝑝𝐷4
משילוב שתי המשוואת ניתן לבודד את מקדם הדיפוזיה:
2
(𝜇𝑝 𝐸0 ) Δ𝑡 2
16𝑡0
= 𝑝𝐷
האינטגרל של הפולס פרופורציונאלי לכמות נשאי המטען אשר לא ביצעו ריקומבינציה.
נוכל לשנות את השדה החשמלי ,ולקבל גרף אשר ייתן לנו את זמן החיים של נשאי המטען במיעוט.
𝑡0
𝑑
) = 𝜅 exp (−
)
𝜏𝑝0
𝜇0 𝐸0 𝜏𝑝0
𝑆 = 𝜅 exp (−
דוגמא:
נתון גביש גרמניום ,n-type ,ומבצעים בו ניסוי היינס-שוקלי (בטמפרטורת החדר) .אורך הדגם :ס"מ.
המתח הופעל הינו ]𝑉[ .2.5המרחק בין המגעים .0.75 [𝑐𝑚] :הפיק של הפולס מגיע למגע השני אחרי
]𝑠𝜇[ .160רוחב הפולס הינו.Δ𝑡 = 75.5 [𝜇𝑠] :
קבעו את :מוביליות החורים וזמן הדיפוזיה .השוו ליחס איינשטיין.
פתרון:
𝑑
0.75
𝑐𝑚2
=
[ = 1875
]
𝐸0 𝑡 (2.5) 160 ⋅ 10−6
𝑠⋅𝑉
1
= 𝑑𝜇
נציב את ערך המוביליות שנתקבל ונמצא את ערך הדיפוזיה:
2.5
−6 2
) (𝜇0 𝐸0 )2 (Δ𝑡)2 [1875 ( 1 )] (75.5 ⋅ 10
𝑐𝑚2
= 𝑝𝐷
=
[ = 48.9
]
−6
16𝑡0
) 16(160 ⋅ 10
𝑠
מיחסי אינשטיין נקבל:
𝐷𝑝 𝐾𝐵 𝑇 48.9
=
=
= 0.02608
𝑝𝜇
𝑒
1875
לשם השוואה:
𝑒𝑙𝑢𝑜𝑗 𝑛𝑖 𝐵𝐾
𝑉𝑒 𝑛𝑖 𝐵𝐾
⏞ 𝑇KB
⏞ 1.380 ⋅ 10−23 ⋅ 300
=
= 8.61733 ⋅ 10−5 ⋅ 300 = 0.025875
𝑒
1.6 ⋅ 10−19
נתונה פיסת סיליקון ,𝑁𝑎 = 1016 [𝑐𝑚−3 ] ,P-Typeבטמפרטורת החדר .לא מופעל שדה חשמלי .הפיסה
מוארת משמאלה ,כך שבנקודה 𝑥 = 0יש עודף נושאי מטען בריכוז𝛿𝑛(𝑥 = 0) = 𝛿𝑛0 = 5 ⋅ :
𝑐𝑚2
] .1012 [𝑐𝑚−3נתונים נוספים :מוביליות האלקטרונים ]𝑐𝑒𝑠𝑉[ ,𝜇𝑛 = 1400אורך הפיסה ]𝑚𝑐[ ,𝐿 = 1זמן
החיים לאלקטרונים ] 𝑐𝑒𝑠[ .𝜏𝑛 = 5 ⋅ 10−7
א) מהו מקדם ומרחק הדיפוזיה לאלקטרונים?
ב) האם קירוב ההזרקה החלשה תקף? מדוע?
ג) מהו ריכוז האלקטרונים בעודף בנקודות?𝑥 = 1,100,1000[𝜇𝑚] :
ד) מהו זרם הדיפוזיה של האלקטרונים בנקודות אלה? מהו זרם הדיפוזיה של החורים?
ה) האם הזרם קבוע? מדוע? כיצד הדבר מתיישב עם חוקי קירכהוף?
פתרון:
א) נעשה שימוש ביחסי אינשטיין:
𝑇 𝐵𝐾
𝑐𝑚2
[ 𝜇𝑛 = 0.0259 ⋅ 1400 = 34.9
]
𝑒
𝑠
= 𝑛𝐷
מרחק הדיפוזיה:
]𝑚𝜇[= 41.7
]𝑚𝑐[ −3
= 4.17 ⋅ 10
10−7
⋅ Ln = √𝐷𝑛 𝜏𝑛 = √34.9 ⋅ 5
ב) קירוב ההזרקה החלשה תקף ,מאחר וכמות נושאי המטען בעודף ,𝛿𝑛0 ,קטן במספר סדרי גודל בהשוואה
לכמות נושאי המטען ברוב .כלומר.δ𝑛0 ≪ 𝑁𝑎 :
ג) משוואת הטרנספורט המלאה:
𝑛𝛿
𝑛𝜏
−
(2
𝑔
𝑛⏟
𝑒𝑟𝑒𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑒 𝑡ℎ
𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑟𝑒𝑛𝑒𝑔 𝑜𝑛 𝑠𝑖
)𝑛𝛿 𝜕
)𝑛𝛿(𝜕
𝐸𝜕
𝐸[
]+
−
𝜇
⋅
+
𝑛𝛿
𝑛
𝜕𝑥 2
𝑥𝜕
𝑥𝜕
⏟
𝑠𝑒𝐸=0, 𝑡ℎ𝑢𝑠 𝑣𝑎𝑛𝑖𝑠ℎ
𝑛𝐷 =
)𝑛𝛿(𝜕
𝑡𝜕⏟
𝑦𝑑𝑎𝑒𝑡𝑠 𝑛𝑖=0,
𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠
שעה שמקדמי הדיפוזיה והמוביליות הם של נושאי המטען במיעוט (אלקטרונים) .מאחר ואנו
עוסקים במצב יציב ,אין שדה חשמלי ואין גנרציה עבור .𝑥 > 0מכאן שנישאר עם המשוואה:
𝑛𝛿 )𝑛𝛿( 𝜕 2
=
𝜕𝑥 2
𝑛𝜏
𝑛𝐷
שפתרונה:
)
𝑥
]𝑚𝜇[41.7
) = 5 ⋅ 1012 exp (−
|𝑥|−
𝑛𝜏 𝑛𝐷√
( 𝛿𝑛(𝑥) = 𝛿𝑛0 exp
ולכן:
] 𝛿𝑛(1𝜇𝑚) = 4.88 ⋅ 1012 [𝑐𝑚−3
] 𝛿𝑛(100𝜇𝑚) = 4.54 ⋅ 1012 [𝑐𝑚−3
] 𝛿𝑛(500𝜇𝑚) = 192.4[𝑐𝑚−3
ד) זרם הדיפוזיה נתון ע"פ הנוסחה:
מכאן שהזרמים יהיו:
)𝑛𝛿𝜕(
𝑥𝜕
𝑛𝐷𝑒 = J
𝑛𝐷𝑒
𝑥
)
𝛿𝑛0 exp (−
𝑛𝐿
]𝑚𝜇[41.7
זרם החורים זהה לזרם האלקטרונים אך הפוך בסימן.
=J
ה) הזרם אינו קבוע ,הוא משתנה כתלות בגדיראנט הריכוז .זו אינה סתירה עם חוק קירכהוף ,מאחר וסך הזרם
(חורים+אלקטרונים) מתאפס ,שכן כיוון זרם הדיפוזיה של החורים והאלקטרונים זהה ,אך הם הפוכים בסימן.
למרות שיש להם מקדמי דיפוזיה שונים ,בשל המשיכה האלקטרוסטטית ביניהם ,הם ינועו כמקשה אחת.
צומת - PNעקרונות:
.1צומת בין חומר p-typeל .n-typeאנו נניח בתרגול זה צומת מדרגה.
.2בצומת יש שדה בנוי המתנגד לדיפוזיה של נושאי המטען מה pל nולהיפך.
מתח בנוי:
ראיתם כי המתח הבנוי נתון על ידי הביטוי הבא:
kT
Na Nd
𝑑𝑁 𝑎𝑁
) ln ( 2 ) = 𝑉𝑇 ln ( 2
e
ni
𝑖𝑛
= Vbi
תרגיל :נרצה לחשב את הפוטנציאל בעבור צומת PNמסיליקון בטמפרטורת החדר .נניח:
] 𝑁𝑎 = 1018 [𝑐𝑚−3ו Nd = 1015 [cm−3 ] -וריכוז אינטרינזי של ] .1.5 ⋅ 1010 [𝑐𝑚−3מכאן נקבל:
1018 1015
[ 𝑉𝑏𝑖 = 0.0259
]𝑉[ ] = 0.754
(1.5 ⋅ 1010 )2
תרגיל
נניח צומת PNאחידה עם ריכוזי סימום של ] 𝑁𝑎 = 5 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3ו.𝑁𝑑 = 1017 [𝑐𝑚−3 ] -
א .חשבו את 𝑖𝑏𝑉 בטמפ' החדר.
ב .קבעו את הטמפ' שבה המתח הבנוי קטן באחוז.
פתרון:
א.
𝑑𝑁 𝑎𝑁
5 ⋅ 1017 ⋅ 1017
( 𝑉𝑏𝑖 = 𝑉𝑡 ln( 2 ) = 0.0259 ln
𝑉) = 0.8556
(1.5 ⋅ 1010 )2
ni
ב.
באופן מקוצר (ולא מדויק) ,נניח כי התלות בטמפ' הינה כולה ב) :𝑛𝑖 -
𝑔𝐸
𝑇𝑘
𝑛𝑖2 ~ exp (−
לכן נוכל לרשום:
V𝑏𝑖 (𝑇2 ) 0.99
𝐷𝑁 𝑎𝑁
𝐷𝑁 𝑎𝑁
=
= ln [ 2
] / ln [ 2
]
)𝑉𝑏𝑖 (𝑇1
1
) 𝑛𝑖 (𝑇2
) 𝑛𝑖 (𝑇1
אחרי קצת אלגברה מקבלים:
𝐾E𝑔 = 𝑘 ⋅ 42.9 𝑇2 → 𝑇2 = 302.4
שדה חשמלי:
ראיתם כי בצומת מדרגה ,תחת ההנחה של איזור מחסור מוגדר בין הנקודות 𝑝𝑥 ו 𝑥𝑛 -כי השדה באיזור :p
− 𝑥𝑝 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑎𝑁𝑒
) 𝑝𝑥 (𝑥 +
𝑠𝜖
E=−
כאשר 𝑠𝜖 הינו הפרמטטיביות של המל"מ .ואילו השדה באיזור :n
𝑛𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑑𝑁𝑒
)𝑥 (𝑥𝑛 −
𝑠𝜖
E=−
מרציפות השדה בנקודה 0נקבל:
𝑛𝑥 𝑑𝑁 = 𝑝𝑥 𝑎N
כלומר ,מספר המטענים השליליים באיזור ה pשווה למספר המטענים באיזור ה .nסה"כ אם נצייר את
השדה:
פוטנציאל חשמלי:
− 𝑥𝑝 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑎𝑁𝑒
2
) 𝑝𝑥 (𝑥 +
𝑠𝜖2
= )𝑥(ϕ
ואילו השדה באיזור :n
𝑛𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑑𝑁𝑒
𝑥2
𝑒𝑁𝑎 2
𝑥
(𝑥𝑛 𝑥 − ) +
𝑠𝜖
2
𝑝 𝑠𝜖2
= )ϕ(x
מכאן המתח הבנוי יכול להרשם באופן הבא:
𝑒
) (𝑁 𝑥 2 + 𝑁𝑎 𝑥𝑝2
𝑛 𝑑 𝑠𝜖2
= ) 𝑛𝑥 = 𝑥(𝜙 = 𝑖𝑏𝑉
רוחב שכבת המחסור:
ראיתם כי:
1/2
𝑎𝑁 𝑖𝑏𝑉 𝑠𝜖2
1
) (
]
𝑒
𝑑𝑁 𝑁𝑑 𝑁𝑎 +
[ = 𝑛𝑥
1/2
𝑑𝑁 𝑖𝑏𝑉 𝑠𝜖2
1
) (
]
𝑒
𝑑𝑁 𝑁𝑎 𝑁𝑎 +
וסך האיזור:
[ = 𝑝𝑥
𝑝𝑥 W = 𝑥𝑛 +
מכאן:
2𝜖𝑠 𝑉𝑏𝑖 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 1/2
[=W
(
])
𝑒
𝑑𝑁 𝑎𝑁
תרגיל:
נניח צומת PNבטמפ' החדר ,עם ריכוזים ] 𝑁𝑎 = 1016 [𝑐𝑚−3ו.𝑁𝑑 = 1015 [𝑐𝑚−3 ] -
ראשית נחשב את המתח הבנוי:
1016 1015
[ 𝑉𝑏𝑖 = 0.0259
𝑉] = 0.635
(1.5 ⋅ 1010 )2
מכאן:
1/2
2𝜖𝑠 𝑉𝑏𝑖 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 1/2
2 ⋅ 11.7 ⋅ 8.85 ⋅ 10−14 ⋅ 0.635 1016 + 1015
[=W
(
[= ])
(
])
𝑒
𝑑𝑁 𝑎𝑁
1.6 ⋅ 10−19
1016 1015
𝒎𝝁 𝟏𝟓𝟗 = 0.951 ⋅ 104 𝑐𝑚 = 𝟎.
ניתן למצוא בהשתמש בנוסחאות שלעיל כי:
𝑚𝜇 𝑥𝑝 = 0.086
𝑑𝑛𝑎
𝑚𝜇 𝑥𝑛 = 0.864
השדה המקסימלי:
𝑑𝑁𝑒
−1.6 ⋅ 10−19 ⋅ 1015 ⋅ 0.864 ⋅ 10−4
𝑉
= ) 𝑛𝑥(
] [ = −1.34 ⋅ 104
−14
𝑠𝜖
11.7 ⋅ 8.85 ⋅ 10
𝑚𝑐
E=−
כלומר ,מקבלים שדה חשמלי מאוד חזק .יש לזכור שאין שם נושאי מטען ניידים אשר יכולים לתרום לזרם.
כמו כן ,אנו רואים שאיזור כל שכבת מחסור פורפוצינואלית הפוך לריכוז הדופנטים.
ממתח אחורי
ראיתם כי רוחב שכבת המחסור בהפעלת ממתח אחורי 𝑅𝑉:
2𝜖𝑠 (𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅 ) 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 1/2
(
])
𝑒
𝑑𝑁 𝑎𝑁
[=W
תרגיל:
נרצה לחשב את רוחב שכבת המחסור בממתח אחורי בסיליקון .ניקח ריכוז דופנטים של 1016ו1015-
(ס"מ קובי ,אקספטורים ודונורים בהתאמה) .נניח ] 𝑛𝑖 = 1.5 ⋅ 1010 [𝑐𝑚−3וממתח אחורי של 5וולט.
פתרון:
1/2
2 ⋅ 11.7 ⋅ 8.85 ⋅ 10−14 ⋅ (0.635 + 5) 1016 + 1015
(=W
⋅ ( 16
))
1.6 ⋅ 10−19
10 ⋅ 1015
]𝑚𝜇[ W = 2.83 ⋅ 10−4 [𝑐𝑚] = 2.83
כלומר ,רוחב הצומת גדל מ 0.951-מיקרון ל 2.83-מיקרון.
קיבול צומת:
1/2
𝑑𝑁 𝑎𝑁 𝑠𝜖𝑒
}
) 𝑑𝑁 2(𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅 )(𝑁𝐴 +
{ = 𝐶′
למה תלות הפוכה לממתח אחורי -כי הוא מגדיל את אזור המחסור והנוסחה לקבל לוחות:
𝐴𝜖
𝑑
=𝑐
תרגיל:
ניקח דוגמא של סיליקון ,של ממתח אחורי של 5וולט וריכוז דופנטים של 1016ו( 1015-אקספטורים
ודונורים בהתאמה) ,נקבל:
1/2
= 3.66 ⋅ 10−9 𝐹/𝑐𝑚2
1.6 ⋅ 10−19 ⋅ 11.7 ⋅ 8.85 ⋅ 10−14 ⋅ 1016 ⋅ 1015
(= C
)
) 2(0.635 + 5)(1016 + 1015
′
אם נניח שטח חתך של ] 10−4 [𝑐𝑚2ומכאן שסך הקיבול:
]𝐹[ 𝐶 = 𝐶 ′ 𝐴 = 0.366 ⋅ 10−12
תרגיל:
נניח צומת PNמ GaAs-בטמפ' החדר .נתון היחס בין קיבול הצומת בממתח אחורי של 0וולט וב 10-וולט
הינו .3.13כמו כן ,נתון כי תחת הממתח האחורי רוחב שכבת המחסור בצד ה P -הינו 20אחוז מרוחב
שכבת המחסור הכולל .קבעו:
א .את .Vbi
ב .את 𝑎𝑁 ו 𝑑𝑁
פתרון:
א) ראשית נמצא את היחס בין הנוסחאות של הקיבולים במתחים השונים:
𝐶1
𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅2
𝑉𝑏𝑖 + 10
10
√=
√ = → 3.13
= 𝑖𝑏𝑉 →
]𝑉[= 1.14
𝐶2
𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅1
𝑖𝑏𝑉
3.132 − 1
ב) ידועה הנוסחה הבאה למתח הבנוי:
𝑇 𝐵𝐾
𝑑𝑁 𝑎𝑁
) ) ln ( 2
𝑒
𝑖𝑛
חסר לנו יחס בין 𝑎 Nו .𝑁𝑑 -מתוך דרישת הרציפות של השדה החשמלי בצומת המטלורגית ,נקבל:
𝑎𝑁 𝑝𝑥 = 𝑑𝑁 𝑛𝑥
( = 𝑖𝑏𝑉
נשתמש בנתון לפיו= 4 :
𝑛𝑥
ולכן= 4 :
𝑝𝑥
6
𝑑𝑁
𝑎𝑁
.נציב בחזרה בנוסחה:
0.25𝑁𝑎2
10
1.14
)
( 1.14 = 0.0259 ⋅ ln
⋅ ) → 𝑁𝑎 = 1.8
( exp
(1.8 ⋅ 106 )2
2
⋅
0.0259
√0.25
] Na = 1.13 ⋅ 1016 [𝑐𝑚−3
] N𝑑 = 3.25 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3
תרגיל - 11פיסיקה של מל"מ
ריכוז אלקטרוני וחורי מיעוט:
ככלל ,ניתון לשייך את ריכוז נושאי המיעוט בצד אחד ,לריכוז נושאי הרוב בצד השני באמצעות המתח
הבנוי:
=n
exp −
n
ראיתם כי ריכוז אלקטרוני המיעוט באיזור ה) pקצה( הינו:
=
exp
כמו כן ריכוז חורי המיעוט בקצה שכבת המחסור באיזור ה nהינו:
exp
p =p
תרגיל:
נרצה לחשב את ריכוז נושאי המטען בקצה שכבת המחסור בהנתן מתח חיובי .נניח צומת pn
מסיליקון בטמפ' החדר ,כך ש .n = 1.5 ⋅ 10 cmנניח סימום n-typeשל "! ,10וממתח
חיובי של 0.6וולט .חשבו את ריכוז נושאי המטען במיעוט בקצה שכבת המחסור.
פתרון:
יש לנו:
&$%
)
('
exp #
p =p
בשיווי משקל תרמודינמי יש לנו:
"! = 2.25 ⋅ 102
לכן נקבל:
1.5 ⋅ 10
10
0.6
"! = 2.59 ⋅ 10 2
0.0259
=
.
-
/0
= +,
+, = 2.25 ⋅ 102 exp
כלומר ,קיבלנו ריכוז משמעותי של נשאי מטען במיעוט .שימו לב שעדיין מדובר בהזרקה חלשה.
כמובן ,שניתן גם להציב ערכים שלילים לנוסחאות שלעיל ,ואז לקבל שריכוז נושאי המטען במיעוט
בקצה שכבת המחסור נהייה קטן.
ריכוז נושאי המטען במיעוט מחוץ לשכבת המחסור:
7 ≥ 7,
7 ≤ −7
7, − 7
=
<
; − 1: exp
7 +7
<,
− 1: exp
5+, 678 = +, 678 − +, = +, 9exp
9exp
=
מכאן ,ראיתם כי הזרמים בקצוות )מכניסים למשוואת הדיפויזה וגוזרים(:
678 −
= 678
5
B C,
9exp
<
− 1:
− 1:
B,
<,
9exp
= A 67, 8
= A, D−7 E
הנחתם כי הזרמים הכוללים קבועים על פני כלל הצומת ,אז מכאן:
− 1:
− 1: = AI 9exp
B +,
B,
+
<
<,
H 9exp
כאשר הגדרתם:
H
B +,
B,
+
<
<,
J = J 67, 8 + A, D−7 E = G
AI = G
תרגיל:
נרצה לחשב את זרם הסטארוציה בממתח אחורי בהנתן הנתונים הבאים:
"! = 1.5 ⋅ 10
N
= M, = 5 ⋅ 10
PQ = 11.7
פתרון:
H
M
"! N = /0 = 10
!".
L
D = 25
D = 10 !". /L
B +,
B,
+
<
<,
AI = G
ניתן לכתוב משאווה זו בצורה הבאה:
1 B
1 B,
+
T U
T
/0 M
/ M,
S
.
1 B
1 B,
G
+
=H
< /0
/ <,
.
= AI
מציבים את הפרטמרים ומקבלים:
נניח שטח חתך של !".
2
A
cm.
10נקבל [
Z
JV = 4.15 ⋅ 10
YI = 4.15 ⋅ 10
\
\
המשך :כעת ,נרצה שהדיודה תזרים זרם אלקטרונים של _^] J = 20וזרם חורים של _^] A = 5
במתח של = 0.65
) .נניח מקדמי דיפוזיה וזמני חיים כמקודם ,אולם נשנה את הסימום(
ראינו כי:
D .
− 1: = T
9exp
τ, /
− 1:
9exp
B,
<,
= J,
מכאן נוכל לחלץ את :Na
"! N = 1.01 ⋅ 10 Z
באותו אופן:
− 1:
D .
− 1: = T
9exp
τ /0
תרגיל:
"! N0 = 2.55 ⋅ 10 Z
B, +,
9exp
<
= J,
נרצה לחשב את השדה החשמלי הדרוש על מנת לקבל זרם מסויים .נניח צומת pnמסיליקון בטמפ'
החדר .עם ממתח חיובי של 0.65וולט.
0.65
[
− 1: = 3.29
0.0259
!".
9exp
J = 4.15 ⋅ 10
הזרם הכולל רחוק מהצומת יהיה זרם סחיפה של נשאי המטען ברוב:
J = J ≈ eμ Nd E
ריכוז הדופנטים הינו
החשמלי יהיה:
"! ,/0 = 10ומכאן בהנתן מוביליות של
"!= 1.52 V/
_^]
]% I$
A,
3.29
=
f/0 1.6 ⋅ 10 g 61350810
f, = 1350השדה
=E
כלומר ,למרות שהנחנו בפיתוח שהשדה החשמלי הינו 0רחוק מהצומת ,השדה החשמלי אינו .0
ואולם ,ערכו קטן.
תרגיל:
נניח צומת pnארוכה ,בטמפ' החדר .אזור ה nמסומם עם ריכוז דונורים של "! 10ואיזור ה pעם
"! .5 ⋅ 10זמני החיים במיעוט הן M, = 0.05fLו .M = 0.01fLקבועי הדיפוזיה של נשאי
המטען במיעוט הם B, = 23 !". /Lו .B = 8 !". /Lהממתח הקידמי הינו . = 0.61
א .חשבו את ריכוז החורים בעודף כפונקציה של xבעבור 'xים חיובים.
ב .את צפיפות זרם הדיפויזה של החורים בנקודה "! .7 = 3 ⋅ 10 2
ג .את צפיפות זרם האלקטרונים בנקודה "! 7 = 3 ⋅ 10 2
פתרון:
א.
7, − 7
=
<
; − 1: exp
−7
=
<
5+, 678 = +, 678 − +, = +, 9exp
; − 1: exp
= +, 9exp
נמצא את ריכוז נשאי המטען מסוג pבצד ה nבשיווי משקל:
61.5 ⋅ 10 8.
n.
⋅=
"! = 2.25 ⋅ 102
/0
10
ומרחק הדיפוזיה:
"= k8 ⋅ 60.01 ⋅ 10 8 = 2.83f
מכאן:
)
ב .יש לנו:
= 0.59 [/!".
2
= +,
L = kB M
0.61
−7
− 1: exp #
0.0259
2.83 ⋅ 10
7
2
)
= 3.81 ⋅ 10 exp #−
2.83 ⋅ 10 2
5+, 678 = 2.25 ⋅ 102 9exp
rs
⋅
−7
exp #
) =. . m|@ pq
2.83 ⋅ 10 2
2
2
l65+, 8
3.81 ⋅ 10
= B
l7
2.83 ⋅ 10
A =− B
ג .נרצה לחשב את הזרם הכולל ולהחסיר ממנו את זרם חורי המיעוט שמצאנו קודם.
"<, = 10.7f
7+
u l
B,
<,
= t,
"! = 4.5 ⋅ 10
1.6 ⋅ 10 g ⋅ 23 ⋅ 4.5 ⋅ 10
exp60.61/0.0268 = 0.262 [/!".
10.7 ⋅ 10 2
= 1.72 [/!".
A
= J,
In the same way:
− A 63f"8 = 0.262 + 1.72 − 0.597 = 1.39[/!".
At 7 = 3f":
A, 63f"8 = A, + A
תוכלו להתבונן ב"סרטון" המדגים את דינמיקה של התהליכים באפליקציה הג'אווה באתר הבא:
http://www.acsu.buffalo.edu/~wie/applet/students/jiawang/pn.html
מנגנוני פריצה
נזכיר את שמתרחש בעת הפעלת ממתח אחורי על צומת :PN
את הממתח האחורי בצומת PNלא ניתן להגדיל ללא הגבלה .למעלה ממתח אחורי מסוים ,תרשם גדילה
משמעותית של הזרם בדיודה – זה נקרא פריצה.
באופן כללי האופיין נראה כך:
ישנם שני מנגנונים מרכזיים שמסבירים את זרם הפריצה.
מינהור ):(Tunneling
בהינתן מתח אחורי גדול מספיק אלקטרון יכול להתמנהר מבעד למחסום הפוטנציאל .בתמונה מטה ניתן לראות
אלקטרון מתמנהר מבעד למחסום ומותיר מאחוריו חור.
נדרש שדה מאוד גדול כדי שתופעה כזו תתרחש .כלל האצבע לגבי סוג המנגנון:
מינהור
𝑔𝐸4
𝑒
< VBD
שילוב בין מינהור ומפולת
𝑔𝐸4
𝑔𝐸6
< < VBD
𝑒
𝑒
מפולת
𝑔𝐸6
< VBD
𝑒
מפולת ):(Avalanche
המנגנון מתואר בתרשים הבא:
אלקטרון ,המעורר תרמית ,מואץ בממתח אחורי ,הוא מתנגש באטום בגביש ואם הוא צובר אנרגיה קינטית גבוהה
מספיק ,הוא יכול לשבור את הקשרים בגביש וליצור זוג אלקטרון-חור ,אשר בתורו מואץ גם כן ויכול ליצור זוג נוסף
וכך הלאה...
ראינו בהרצאה כי מתקיים הקשר הבא:
2<𝑚<6
1
𝑚 𝑉
) 𝑉( 1 −
𝐵
=𝑀
שעה שפריצה מוגדרת כאשר ∞ → 𝑀( .שהרי ) 𝐼𝑛 (𝑊) = 𝑀𝐼𝑛 (0קל לראות שהתנאי מתקיים כאשר 𝐵𝑉 = 𝑉 .אך
מהו אותו מתח פריצה?
מתח הפריצה מתקבל כאשר רוחב שכבת המיחסור (שאפוא תלוי במתח המופעל) גדול משמעותית ביחס למהלך
החופשי הממוצע (ואז יש יותר סיכוי ליצירת זוג אלקטרון חור) .הדבר מוביל לנוסחה:
𝜖𝑠 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 2
⋅
𝐸
𝑖𝑟𝑐 𝑑𝑁 𝑎𝑁 𝑒2
= VBD
שעה ש E𝑐𝑟𝑖 -הינו השדה הקריטי לפריצה.
תרגיל:
נתונה צומת חד צדדית 𝑝 𝑛+עם ] .𝑁𝑎 = 4 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3 ] ,𝑁𝑑 = 3 ⋅ 1018 [𝑐𝑚−3השדה הקריטי הינו
] .3.7 ⋅ 105 [𝑐𝑚−3
פתרון:
הצבה בנוסחה תניב:
2
𝑡𝑖𝑟𝑐𝐸 𝑠𝜖
) 𝑑𝑁 (𝑁 +
𝑎 𝑑𝑁 𝑎𝑁𝑒2
= 𝐵𝑉
נשים לב כי 𝑑𝑁 ≪ 𝑎𝑁 ולכן (נשאר רק האילוח הנמוך! כי הוא צוואר הבקבוק):
2
(11.7)(8.85 ⋅ 10−14 )(3.7 ⋅ 105 )2
𝑡𝑖𝑟𝑐𝐸 𝑠𝜖
=
]𝑉[= 110
𝑎𝑁𝑒2
) 2(1.6 ⋅ 10−19 )(4 ⋅ 1015
ע"י משחק באילוח הצומת ,ניתן לשלוט במתח הפריצה.
תרגיל:
הסבר מדוע מתח ה break down-עולה יחד עם עליית הטמפרטורה.
פתרון:
ניתן להראות כי הזרם האחורי בדיודה עולה כפונקציה של הטמפרטורה:
= 𝐵𝑉
𝑝𝐷𝑒
𝑛𝐷𝑒
𝑔𝐸 𝑇 3 −
[ = )𝑇( 𝑠𝐽
+
( 𝑉𝑁 𝐶𝑁 ]
𝑇 𝐵𝐾 𝑒 )
𝐿𝑝 𝑛𝑛0 𝐿𝑛 𝑝𝑝0
300
לכן ,כאשר הטמפרטורה עולה ,זרם האלקטרונים גם עולה ,כאשר זה קורה ,גוברת ההסתברות להתנגשות בין
האלקטרונים ולכן יותר אנרגיה תאבד בהתנגשות מסוג זה ,במקום ביצירת זוגות אלקטרונים-חורים.
זרם אחורי עולה >-עולה כמות האלקטרונים >-גובר הסיכוי לפיזור אלקטרון-אלקטרון >-נדרש מתח אחורי
גבוהה יותר.
תרגיל:
𝑉
נתון כי השדה הקריטי לצומת סיליקון חד צדדית מסוג 𝑛 𝑝+הינו ]𝑚𝑐[ ,2.8 ⋅ 105וכי האילוחים הינם:
] .ND = 1015 [𝑐𝑚−3
מהו עובי שכבת המחסור במתח ה?break down-
פתרון:
נשתמש בנוסחה על מנת למצוא את מתח הפריצה:
𝜖𝑠 𝑁𝑎 + 𝑁𝑑 2
𝜖𝑠 1 2
11.9 ⋅ 8.85 ⋅ 10−14
]𝑉[ (1015 )−1 (2.8 ⋅ 105 )2 = 258
⋅
≈ 𝑖𝑟𝑐𝐸
⋅
= 𝑖𝑟𝑐𝐸
𝑑𝑁 𝑎𝑁 𝑒2
𝑑𝑁 𝑒2
2 ⋅ 1.6 ⋅ 10−19
= VBD
את הערך הזה ,נציב לתוך הנוסחה לרוחב שכבת המחסור:
) 𝑅𝑉 2𝜖𝑠 (𝑉𝑏𝑖 +
𝑅𝑉 𝑠𝜖2
11.9 ⋅ 8.85 ⋅ 10−14 ⋅ 258
√=W
√≈
√=
]𝑚𝑐[ = 1.843 ⋅ 10−3
𝐷𝑁𝑒
𝐷𝑁𝑒
11.6 ⋅ 10−19 ⋅ 1015
נתון מוט סיליקון אינטרינזי בטמפ' החדר ,עם שטח חתך 𝐴 = 10𝑋10𝜇𝑚 ,ואורך .L = 1 [cm] ,מופעל מתח של
.10V
.1מהו הזרם הזורם דרך הדגם?
כעת המוט מואר בהארה אחידה במרחב וקבועה בזמן בהספק של ] .1[Wאורך הגל 𝑚𝜇 .1ניתן להניח כי האור
נבלע כולו במוט .זמן החיים של נושאי המטען הינו ]𝑐𝑒𝑠[ .𝜏 = 10−7
.2מהו הזרם הזורם דרך הדגם?
פתרון:
במצב זה ,ישנו זרם סחיפה:
J = σE
] 𝑛0 = 𝑝0 = 𝑛𝑖 = 1.5 ⋅ 1010 [𝑐𝑚−3
נחשב את ההתנגות:
1
1
𝐿
=
=𝑅→
) 𝑝𝜇 𝜎 𝑒𝑛𝑖 (𝜇𝑒 +
) 𝑝𝜇 𝐴𝑒𝑛𝑖 (𝜇𝑒 +
=𝜌
הצבת מספרים תתן:
1
]= 2.27 ⋅ 1011 [Ω
)⋅ 1.5 ⋅ 1010 (480 + 1350
10−19
⋅ ⋅ 1.6
V
10
=
]𝐴[ = 4.405 ⋅ 10−11
R 2.27 ⋅ 1011
(10 ⋅ 10−4 )2
=R
=I
תחת הארה:
ראשית נבדוק כי אורך הגל מתאים לבליעה בסיליקון:
1.24
𝑝𝑎𝑔𝐸 = ]𝑉𝑒[= 1.24[𝑒𝑉] → 1.12
1
= 𝑛𝑜𝑡𝑜𝐸𝑝ℎ
בשלב הבא ,נבדוק כמה פוטונים נוצרו:
𝑃
𝑃𝜆 1
=
] [
𝑠 𝑐ℎ𝜈 ℎ
= 𝑠𝑛𝑜𝑡𝑜N𝑝ℎ
זו הכמות הפוטונים שמגיעים בכל שנייה .אם נכפיל בזמן החיים ,נוכל לדעת מה פוטונים נוספו בזמן עמיד.
𝑝𝜆𝜏 1
𝜏𝜆𝑃
=
] = ⋯ = 5.03 ⋅ 1017 [𝑐𝑚−3
𝐿𝐴𝑐ℎ𝑐 𝑉 ℎ
= 𝑛δ
זו כמות הגדולה בהרבה מכמות נשאי המטען האינטרינזית .בדומה לסעיף הקודם ,נחשב:
𝜌=
1
1
𝐿
=
→𝑅=
= ⋯ = 6789[Ω]
𝜎 𝑒𝑛𝑖 (𝜇𝑒 + 𝜇𝑝 )
𝐴𝑒𝑛𝑖 (𝜇𝑒 + 𝜇𝑝 )
→ 𝐼 = 1.472[𝑚𝐴]
פיזיקה של התקני מל"מ -תירגול :8
נושא :צומת PNלא אידיאלית.
ישנם ארבעה אפקטים שלא נלקחו בחשבון בעת פיתוח הנוסחאות עבור דיודה לא אידיאלית.
.1
.2
.3
.4
זרם הנובע מגרנציה וריקובינציה בשכבת המחסור.
קירוב הזרקה חלשה אינו תמיד תקף.
התנגדות מגעים
מנגנוני פריצה בממתח אחורי.
.1זרם גנרציה-ריקומבינציה:
ישנם שלושה מנגנונים המייצרים נשאי מטען באזור המחסור :הארה auger ,ו .SRH-השניים הראשונים
רלוונטים למל"מ בעל פער ישיר ,לכן נעסוק ב ,)Shockley-Read-Hall( SRH-המנגנון הדומיננטי בל"מ
בעל פער לא ישיר (כגון סיליקון).
בעת פיתוח דיודה אידיאלית ,הנחנו כי אין גנרציה או ריקומבינציה של נשאי מטען בשכבת המיחסור .בפועל,
כן ישנה היווצרות של נשאי מטען והגורם המרכזי הגורם לכך הוא מצבי אנרגיה של מלכודות ()trap states
הנמצאים במרכז הפס האסור.
הנוסחה עבור לקצב הריקובינציה לפי :SRH
] 𝐶𝑛 𝐶𝑝 𝑁𝑡 [𝑛 ⋅ 𝑝 − 𝑛𝑖2
) 𝐶𝑛 (𝑛 + 𝑛′ ) + 𝐶𝑝 (𝑝 + 𝑝′
= 𝐻𝑅𝑆𝑅
כאשר:
ריכוז המלכודות – trap states concetrations
מקדמי לכידה של אלקטרונים/חורים
𝑡𝑁
𝑐𝑚3
[ 𝑝𝐶 𝐶𝑛 ,
]
𝑠
𝑇𝐸 𝐸𝑐 −
)
𝑛′ = 𝑁𝐶 exp (−
𝑇 𝐵𝐾
𝑉𝐸 𝐸𝑇 −
)
𝑝′ = 𝑁𝐶 exp (−
𝑇 𝐵𝐾
הריכוז של נשאי מטען לכודים
לאחר לקיחה בחשבון של ההנחות ,נוכל לעדכן את זמן החיים של נשאי המטען בעודף:
א -הזרקה חלשה ,ב -המלכודות ממקומות במרכז הפס האסור
1
𝑇𝑁 𝑝𝐶
1
=
𝑇𝑁 𝑛𝐶
= 𝜏𝑝0
𝑝𝛿 𝑡𝑁 𝑝𝐶 = 𝐻𝑆𝑅
𝜏𝑛0
𝑛𝛿 𝑡𝑁 𝑛𝐶 = 𝐻𝑆𝑅
Ntype
Ptype
ומה קורה באזור שכבת המחסור?
בשכבת המחסור אין נשאי מטען חופשיים ,שכן אם היו ,היו נסחפים מייד בשל השדה .במקרה כזה הנוסחה
עבור 𝐻𝑅𝑆𝑅 תהיה:
𝐶𝑛 𝐶𝑝 𝑁𝑡 𝑛𝑖2
𝐶𝑛 𝑛′ + 𝐶𝑝 𝑝′
𝑅=−
נשאים לב כי המשמעות של ריקובנציה שלילית היא גנרציה ,ראיתם בהרצאה כי ניתן לפשט את הביטוי עבור
הגנרציה:
𝑖𝑛
2𝜏0
𝑅 = −𝐺 = −
כאשר:
𝜏𝑝0 + 𝜏𝑛0
2
= 𝜏0
נעמוד שוב על השתלשלות הדברים:
התקבלה ריקומבינציה שלילית
↓
זו למעשה גרנציה ,ישנה תוספת של נשאי מטען
↓
קיים שדה בשכבת המחסור ,נשאי מטען אלה נסחפים
↓
נוסף זרם נוסף בדיודה -זרם גנרציה
צפיפות זרם הגנרציה תתקבל ע"י אינטגרציה של הגנרציה על פני רוחב שכבת המחסור:
𝑊 𝑖𝑛𝑒
𝑛𝑒𝐺𝐽 =
2𝜏0
𝑊
= 𝑥𝑑𝐺𝑒 ∫ = 𝐽
0
מה קורה בעת הפעלת ממתח אחורי?
נקבל תוספת לזרם הסטורציה שהיה לנו מקודם.𝐽𝑅 = 𝐽𝑠 + 𝐽𝐺𝑒𝑛 :
הגדלת ממתח אחורי מגדילה את שכבת המחסור ← יגדל זרם הגנרציה.
מאחר ושכבת המחסור גדלה לפי 𝑅𝑉√ אז 𝑅𝑉√ ∝ 𝐽
תרגיל:
על צומת PNמופעל ממתח אחורי 𝑉 .𝑉𝑅 = 5נתון כי ] .𝑁𝑎 = 𝑁𝑑 = 4 ⋅ 1016 [𝑐𝑚−3נניח את זמני
החיים .𝑡𝑜 = 𝜏𝑛𝑜 = 𝜏𝑝𝑜 = 10−7 [𝑠] :שטח החתך.𝐴 = 10−4 [𝑐𝑚2 ] :
א .מהו זרם הסטורציה האידיאלי?
נציב בנוסחה:
𝑛𝐷 1
𝑝𝐷 1
√
+
] √
𝑁𝑎 𝜏𝑛0 𝑁𝑑 𝜏𝑝0
]
10
10−7
√
1
16
4 ⋅ 10
+
25
−7
10
√
1
16
4 ⋅ 10
[ 𝐼𝑠 = 𝐴𝑒𝑛𝑖2
[ ⋅ 𝐼𝑠 = (10−4 )(1.6 × 10−19 )(1.5 × 1010 )2
]𝐴[ → 𝐼𝑠 = 2.323 ⋅ 10−15
א .מהו זרם הגנרציה?
נשתמש בנוסחה שהגדרנו זה עתה:
𝑊 𝑖𝑛𝑒
2𝜏0
𝐴 = 𝑛𝑒𝐺𝐽 ⋅ 𝐴 = 𝑛𝑒𝐺𝐼
עלינו למצוא את 𝑊 ,רוחב שכבת המחסור .לשם כך עלינו למצוא את המתח הבנוי:
) (4 ⋅ 1016 )(4 ⋅ 1016
[ 𝑛𝑙 )𝑉𝑏𝑖 = (0.0259
]𝑉[] = 0.766
(1.5 ⋅ 1010 )2
ערך זה נציב בנוסחה עבור רוחב שכבת המחסור:
1/2
𝑑𝑁 2𝜖𝑠 (𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅 ) 𝑁𝑎 +
[=𝑊
(
])
𝑒
𝑑𝑁 𝑎𝑁
1
2(11.7)(8.85 × 10−14 )(0.766 + 5) 4 × 1016 + 4 × 1016 2
[=
[⋅
]]
) (4 × 1016 )(4 × 1016
1.6 × 10−19
]𝑚𝑐[ → 𝑊 = 6.109 ⋅ 10−5
כעת נחזור לנוסחה עבור זרם הגנרציה:
) (10−4 )(1.6 ⋅ 10−19 )(1.5 ⋅ 1010 )(6.109 ⋅ 10−5
]𝐴[ = 7.33 ⋅ 10−11
) 2(10−7
= 𝑛𝑒𝑔𝐼
היחס בין הזרמים יהיה:
𝐼𝑔𝑒𝑛 7.331 ⋅ 10−11
=
= 3.16 ⋅ 104
𝑠𝐼
2.323 ⋅ 10−15
הבדל של ארבעה סדרי גודל ,הזרם גנרציה משנה משמעותית את המודל האידאלי!
מה קורה בעת הפעלת ממתח קדמי?
בממתח קדמי ,אלקטרונים וחורים מוזרקים דרך שכבת המחסור .מאחר וישנן מלכודות בשכבת המחסור ,חלק
מאותם נשאי מטען המוזרקים דרך שכבת המחסור ,יעברו ריקומבינציה טרם יצלחו את שכבת המחסור.
ראיתם כי קצב הריקומבינציה המקסימלי ניתן על ידי:
𝑖𝑛
𝑎𝑉𝑒
)
( exp
2𝜏0
𝑇 𝐵𝐾2
≈ 𝑥𝑎𝑚𝑅
בעיקרון ,על מנת למצוא את זרם הריקובינציה ,עלינו לחשב את האינטגרל:
𝑊
𝑥𝑑𝑅𝑒 ∫ = 𝑐𝑒𝑟𝐽
0
אולם 𝑅 אינו קבוע לאורך שכבת המחסור .לכן מגדירים רוחב אפקטיבי של שכבת המחסור ,𝑥′ומתייחבים
אליו ואל 𝜏0כאל פרמטרי התאמה (.)fitting parameters
𝑖𝑛𝑊𝑒
𝑎𝑉𝑒
)
( exp
𝑇 𝐵𝐾2
⏟2𝜏0
= 𝑐𝑒𝑟𝐽
𝐽𝑟0
מאחר ונשאי מטען מבצעים ריקומבינציה בשכבת המחסור ,חורים נוספים מאזור ה( P-או ה ,N-בהתאמה)
יוזרקו אל שכבת המחסור בשביל לפצות את ההפסד ,כפי שניתן לראות מהתרשים הלקוח מספר הקורס:
כל שבסך הכל נקבל תוספת לזרם:
𝑎𝑉𝑒
𝑎𝑉𝑒
( ) + 𝐽𝐷 exp
)
( 𝐽 = 𝐽𝑟𝑒𝑐 + 𝐽𝐷 = 𝐽𝑟𝑜 exp
𝑇 𝐵𝐾2
𝑇 𝐵𝐾
לכל אחר מהאקספוננטים שיפועים שונים ,לכן נהוג לכתוב:
𝑎𝑉𝑒
]) − 1
𝑇 𝐵𝐾𝑛
( 𝐼 = 𝐼𝑠 [exp
כאשר 1 < 𝑛 < 2בהתאם למנגנון הדומיננטי -דיפוזציה או ריקובינציה.
תרגיל – תלות בטמפרטורה והשוני בממתח קדמי:
על צומת PNמופעל ממתח אחורי 𝑉 .𝑉𝑅 = 5נתון כי ] .𝑁𝑎 = 𝑁𝑑 = 4 ⋅ 1016 [𝑐𝑚−3נניח את זמני
החיים .𝑡𝑜 = 𝜏𝑛𝑜 = 𝜏𝑝𝑜 = 10−7 [𝑠] :שטח החתך.𝐴 = 10−4 [𝑐𝑚2 ] :
א .בהנחה שהדבר היחיד שתלוי בטמפרטורה הוא 𝑖𝑛 ,באיזו טמפרטורה 𝑛𝑒𝐺𝐼 = 𝑠𝐼?
נשווה בין הנוסחאות הרלוונטיות:
𝑛𝐷 1
𝑝𝐷 1
𝑊 𝑖𝑛𝑒𝐴
√
+
=] √
𝑁𝑎 𝜏𝑛0 𝑁𝑑 𝜏𝑝0
2𝜏0
𝑊
2𝜏0
6.109 ⋅ 10−5
) 2(10−7
=]
𝑝𝐷
𝜏𝑝0
10
= ] −7
10
√
1
𝑑𝑁
√
16
+
𝑛𝐷
𝜏𝑛0
1
√
1
𝑎𝑁
25
4 ⋅ 10
−7 +
10
[ 𝐴𝑒𝑛𝑖2
[ 𝑖𝑛
√
16
1
4 ⋅ 10
[ 𝑖𝑛 →
] → 𝑛𝑖 = 4.73 ⋅ 1014 [𝑐𝑚−3
ואז:
𝑇 3
)−(1.12)(300
[ 𝑝𝑥𝑒 )
]
)𝑇()(0.0259
300
( ) 𝑛𝑖2 = 2.2407 × 1029 = (2.8 × 1019 )(1.04 × 1019
𝑇 3
)−(1.12)(300
[ 𝑝𝑥𝑒 )
]
)𝑇()(0.0259
300
( = 7.6947 × 10−10
ניתן לפתור את המשוואה בצורה נומרית ולקבל .𝑇 ≈ 567𝐾 :טמפרטורה משמעותית!
נוכל אף למצוא את ערכי הזרמים על ידי הצבת 𝑖𝑛 שמצאנו בנוסחה:
) 𝐴𝑒𝑛𝑖 𝑊 (10−4 )(1.6 ⋅ 10−19 )(4.734 ⋅ 1014 )(6.109 ⋅ 10−5
=
]𝐴𝜇[= 2.31
2𝜏0
) 2(10−7
= 𝑛𝑒𝑔𝐼 = 𝑠𝐼
ב .חשבו את הממתח הקדמי שבו הזרם האידאלי שווה לזרם הריקובינציה בטמפרטורה של 𝐾.𝑇 = 300
נזכיר כי מצאנו בשאלה הקודמת את זרם הסטורציה וזרם הגנרציה:
]𝐴[ 𝐼𝑠 = 2.323 ⋅ 10−15
]𝐴[ 𝐼𝑔𝑒𝑛 = 7.33 ⋅ 10−11
אפוא יש הבדל של ארבעה סדרי גודל בין הזרמים ,כך שאפקטיבית𝐼𝑠 + 𝐼𝑔𝑒𝑛 ≅ 𝐼𝑔𝑒𝑛 -
נשווה בין הנוסחה לזרם האידיאלי בממתח קדמי (כלומר רק זרם הנובע מדיפוזיה) לבין הדרם הנובע
מריקומבינציה:
𝑎𝑉
𝑎𝑉
) ( 𝑝𝑥𝑒 𝑛𝑒𝑔𝐼 = ) ( 𝑝𝑥𝑒 𝑠𝐼
𝑡𝑉
𝑡𝑉2
⏟
⏟
𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑛𝑜𝑖𝑏𝑚𝑜𝑐𝑒𝑅
𝑛𝑜𝑖𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑑
𝑎𝑉
𝑎𝑉
) ( 𝑝𝑥𝑒 ) (2.323 × 10−15 ) 𝑒𝑥𝑝 ( ) = (7.331 × 10−11
𝑡𝑉
𝑡𝑉2
]𝑉[→ 𝑉𝑎 = 0.536
תרגיל – זרם גנרציה כתוצאה מהארה:
נתונה צומת PNעם אילוח ] 𝑁𝐴 = 𝑁𝐷 = 5 ⋅ 1015 [𝑐𝑚−3וזמני חיים 𝑠 .𝜏0 = 𝜏𝑝𝑜 = 𝜏𝑛0 = 10−7
מופעל ממתח אחורי של 𝑉 .𝑉𝑅 = 10מקור אור פוגע בצומת ויוצר מטעני מטען בעודף בשכבת המיחסור
באופן אחיד במרחב בקצב ] .𝑔 = 4 ⋅ 1019 [𝑐𝑚−3 𝑠 −1
מהו זרם הגנרציה?
נרצה להשתמש בנוחה:
𝑊 𝐽𝑔𝑒𝑛 = 𝑒𝑔′
כאשר ההבדל הוא שמקור הגנרציה הוא הארה ולא RSHכפי שלמדנו קודם .עלינו לחשב את 𝑊 כמקודם:
𝑑𝑁 𝑎𝑁
]𝑉[) = ⋯ = 0.659
𝑛𝑖2
( 𝑛𝑙 𝑡𝑉 = 𝑖𝑏𝑉
1/2
]𝑚𝑐[ = ⋯ = 2.35 ⋅ 10−4
𝑑𝑁 2𝜖𝑠 (𝑉𝑏𝑖 + 𝑉𝑅 ) 𝑁𝑎 +
[=𝑊
(
])
𝑒
𝑑𝑁 𝑎𝑁
ואז:
𝐴
]
𝑐𝑚2
[ 𝐽𝑔𝑒𝑛 = (1.6 × 10−19 )(4 × 1019 )(2.35 × 10−4 ) = 1.5 ⋅ 10−3
כך למעשה עובדת צומת PNכגלאי אור (פוטודיודה) .לכך כל זרם גנרציה שיווצר ממנגנון מתחרה (למשל )SRH
יוסיף רעש ויפגע ברגישות הגלאי.
.2הזרקה חזקה:
ככל שנגדיל את הממתח הקדמי ,נזריק יותר ויותר נשאי מטען במיעוט מחוץ לשכבת המחסור ,עד שנגיע
למצב שבו הם כבר לא יהיו במיעוט ,כלומר ,לא יהיו קטנים בהשוואה לנשאי המטען ברוב.
תחת ההנחה לפיה 𝛿𝑛 > 𝑛0ראיתם כי מתקיים:
𝑎𝑉𝑒
)
𝑇 𝐵𝐾2
( 𝐼 ∝ exp
כך שלסיכום נוכל לעסוק בשלושה תחומים:
ממתח קדמי חלש
זרם הריקומבינציה דומיננטי,
מתקבל מקדם אידיאליות
1<𝑛<2
ממתח קדמי בתחום ביניים
זרם הדיפוזיה דומיננטי ,מקדם
האידאליות שואף ל𝑛~1 .1-
ממתח קדמי גבוהה
קירוב ההזרקה החלשה אינו תקף,
.𝑛 = 2
כלומר שבמתחים קדמיים גבוהים ,נצטרך להשקיע יותר מתח חשמלי בשביל להעלות את הזרם בהשוואה
למודל האידיאלי.
