Matemáticas para Finanzas con Aplicaciones
Daniel Fragua
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Funciones
En el siglo XV II, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el
término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básico
de las matemáticas y es esencial para su estudio. En el contexto de las finanzas y economía las
funciones juegan un rol importante representado y describiendo diversos procesos presentes en la
realidad.
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En el siglo XV II, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el
término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básico
de las matemáticas y es esencial para su estudio. En el contexto de las finanzas y economía las
funciones juegan un rol importante representado y describiendo diversos procesos presentes en la
realidad.
En forma breve una función es una relación que expresa como una cantidad (variable de salida)
depende de otra cantidad (variable de entrada). Por ejemplo cuando se invierte dinero a alguna
tasa de interés dada, el interés I depende del tiempo t. Suponga que que $100.000 gana un
interés simple a una tasa del 5 %. Entonces el interés y el tiempo están relacionados por la
fórmula
I(t) = 100.000(0, 05)t
(1)
donde I está en pesos y t en años.
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Funciones
En el siglo XV II, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el
término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básico
de las matemáticas y es esencial para su estudio. En el contexto de las finanzas y economía las
funciones juegan un rol importante representado y describiendo diversos procesos presentes en la
realidad.
En forma breve una función es una relación que expresa como una cantidad (variable de salida)
depende de otra cantidad (variable de entrada). Por ejemplo cuando se invierte dinero a alguna
tasa de interés dada, el interés I depende del tiempo t. Suponga que que $100.000 gana un
interés simple a una tasa del 5 %. Entonces el interés y el tiempo están relacionados por la
fórmula
I(t) = 100.000(0, 05)t
(1)
donde I está en pesos y t en años.De esta manera el interés que se gana en 6 meses sería de
I = 100.000(0, 05)( 12 ) = 2.500. Por lo tanto, la relación anterior asigna a la entrada 21 la salida
2500
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Funciones
Definición 1.1 (Función)
Una función f , es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de
salida. Al conjunto de número de entrada ara los cuales para los cuales la regla es aplicada se le
llama el dominio de la función y se denota como D = dom(f ). El conjunto de todos los
números de salida se llama el rango y se denota como ran(f ).
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Definición 1.1 (Función)
Una función f , es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de
salida. Al conjunto de número de entrada ara los cuales para los cuales la regla es aplicada se le
llama el dominio de la función y se denota como D = dom(f ). El conjunto de todos los
números de salida se llama el rango y se denota como ran(f ).
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Ejemplo 1.2
Para la función interés dada por (1), el número de entrada t no puede ser negativo, ya que el
tiempo negativo no tiene sentido. Así dom(I) = {t ∈ R|t ≥ 0} = [0 + ∞). De igual manera, se
puede verificar que ran(I) = [0, ∞)
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Funciones Elementales
Definición 1.3 (Función Lineal)
Cuando decimos que y es una función lineal de x, queremos decir que la gráfica de la función es
una recta, de manera que podemos utilizar la forma pendiente-intersección de
y(x) = mx + b
donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y
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Definición 1.3 (Función Lineal)
Cuando decimos que y es una función lineal de x, queremos decir que la gráfica de la función es
una recta, de manera que podemos utilizar la forma pendiente-intersección de
y(x) = mx + b
donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y
Observación: Un rasgo característico de las funciones lineales es que crecen a una razón
constante.
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Ejemplo 1.4
A continuación se muestra la gráfica de la línea f (x) =
valores
1
x
2
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+ 1 y una tabla con algunos de sus
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Ejemplo 1.4
A continuación se muestra la gráfica de la línea f (x) =
valores
1
x
2
+ 1 y una tabla con algunos de sus
Nótese que cuando x aumenta por 1 unidad, el valor de f (x) aumenta 0,5 unidades. Pero
cuando x aumenta por 0,5 unidades, el valor de f (x) aumenta 0,25 unidades.
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Ejemplo 1.4
A continuación se muestra la gráfica de la línea f (x) =
valores
1
x
2
+ 1 y una tabla con algunos de sus
Nótese que cuando x aumenta por 1 unidad, el valor de f (x) aumenta 0,5 unidades. Pero
cuando x aumenta por 0,5 unidades, el valor de f (x) aumenta 0,25 unidades.
Podemos decir que la razón de crecimiento de f respecto a x es
línea recta dada por f (x) = 21 x + 1
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1
,
2
la cual es la pendiente de la
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Ejemplo 1.5
El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla
adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil
totalmente equipado (subcompacto, pero con mucha potencia) es de $18.000 USD. También
estiman un costo operativo promedio de 0,40 por milla.
Determine la función matemática que representa el costo total C de la posesión y
operación del automóvil en términos de las x millas conducidas.
¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50.000 millas
durante su tiempo de vida?
De una interpretación de la pendiente.
Encuentre el dominio de C
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Funciones Elementales
Veamos algunas funciones cuyas formas y representaciones son especiales.
Función constante: Una función de la forma f (x) = c, en donde c es una constante, se
llama función constante. Por ejemplo
√
f (x) = 2, g(x) = π, h(x) = 2
son funciones constantes.
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Veamos algunas funciones cuyas formas y representaciones son especiales.
Función constante: Una función de la forma f (x) = c, en donde c es una constante, se
llama función constante. Por ejemplo
√
f (x) = 2, g(x) = π, h(x) = 2
son funciones constantes.
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Funciones Elementales
Funciones polinomiales: Una función de la forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
en donde n ∈ N y a0 , a1 , . . . , an son constantes con an 6= 0 se llama función polinomial
(en x). El número n se llama el grado del polinomio. Así
f (x) = 1 − 2x2 + 5x7
es un polinomio de grado 7.
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Funciones polinomiales: Una función de la forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
en donde n ∈ N y a0 , a1 , . . . , an son constantes con an 6= 0 se llama función polinomial
(en x). El número n se llama el grado del polinomio. Así
f (x) = 1 − 2x2 + 5x7
es un polinomio de grado 7.
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Funciones Elementales
Función racional: Una función racional es el cociente de dos polinomios. Es de la forma
f (x) =
p(x)
q(x)
en donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales. Por ejemplo
f (x) =
1+x
x + x3
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Función racional: Una función racional es el cociente de dos polinomios. Es de la forma
f (x) =
p(x)
q(x)
en donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales. Por ejemplo
f (x) =
1+x
x + x3
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Funciones Elementales
Funciones radicales: Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se
encuentra bajo el signo radical. Su forma general es
p
f (x) = n expr(x)
en donde expr(x) es alguna función en la variable x. De particular interés son las
funciones radicales en donde n = 1. Un ejemplo es la función raíz cuadrada
f (x) =
√
x
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Funciones Elementales
Funciones radicales: Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se
encuentra bajo el signo radical. Su forma general es
p
f (x) = n expr(x)
en donde expr(x) es alguna función en la variable x. De particular interés son las
funciones radicales en donde n = 1. Un ejemplo es la función raíz cuadrada
f (x) =
√
x
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Funciones Elementales
Funciones exponenciales: Son aquellas de la forma
f (x) = ax
con a > 0 y a 6= 1. El número a se llama base. Las siguientes funciones son exponenciales
f (x) = 2x , g(x) =
2
1
, h(x) = ex
2
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Funciones exponenciales: Son aquellas de la forma
f (x) = ax
con a > 0 y a 6= 1. El número a se llama base. Las siguientes funciones son exponenciales
f (x) = 2x , g(x) =
2
1
, h(x) = ex
2
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Funciones Elementales
Funciones logarítmicas: Se definen las funciones logarítmicas como las funciones que
tienen la forma
f (x) = loga (x)
con a > 0 y a 6= 1. El número a se llama base de logaritmo. Las siguientes funciones son
algunos ejemplos de funciones logarítmicas
f (x) = log2 (x), g(x) = log 1 (x), h(x) = ln(x)
2
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Funciones logarítmicas: Se definen las funciones logarítmicas como las funciones que
tienen la forma
f (x) = loga (x)
con a > 0 y a 6= 1. El número a se llama base de logaritmo. Las siguientes funciones son
algunos ejemplos de funciones logarítmicas
f (x) = log2 (x), g(x) = log 1 (x), h(x) = ln(x)
2
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Funciones Elementales
Funciones logarítmicas: Se definen las funciones logarítmicas como las funciones que
tienen la forma
f (x) = loga (x)
con a > 0 y a 6= 1. El número a se llama base de logaritmo. Las siguientes funciones son
algunos ejemplos de funciones logarítmicas
f (x) = log2 (x), g(x) = log 1 (x), h(x) = ln(x)
2
Observación: Cuando la base del logaritmo es igual al número de Euler, e, la función
logarítmica resultante se conoce como logaritmo natural y se denota por ln.
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Ejemplo 1.6 (Costos)
Supongamos que Puritron, un fabricante de filtros de agua, tiene un costo fijo mensual de
$10.000 y un costo variable de
−0,0001x2 + 10x donde (0 ≤ x ≤ 40000)
dólares, donde x denota el número de filtros producidos por mes. Encuentre una función C que
da el costo mensual de Puritron en la producción de x filtros.
Ejemplo 1.7 (Demanda)
Usted es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 departamentos, pudiendo
rentar todos los departamentos si cobra una renta de $180 mensuales. A una renta mayor,
algunos de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de $5 en
la renta, 1 departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre una función de
demanda D que da el número de apartamentos que se van a rentar en funci ón del precio de
renta de cada apartamento.
Encuentre una expresión que permita encontrar la renta que se debe cobrar por cada
departamento para obtener un ingreso total de $11475.
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Ejemplo 1.8 (Restricción presupuestaria)
Suponga que la los ingresos de un consumidor es I = $100 semanales y que éste la gasta toda
en una combinación de alimentos (en kilos) y vivienda (en m2 ). Suponga, además, que los
precios de la vivienda y de los alimentos son PV = $5 el metro cuadrado PA = $l0 el kilo,
respectivamente. Encuentre la restricción presupuestaria del consumidor.
Note que si V y A representan las cantidades de vivienda y de alimentos, respectivamente, la
restricción presupuestaria debe satisfacer la ecuación 5V + 10A = 100, que establece
simplemente que el gasto semanal del consumidor en alojamiento (5V ) más su gasto semanal en
alimentos (10A) debe ser igual a sus ingresos semanales (100). Si solucionamos la anterior
5
− 10
V = 10 − 12 V
ecuación para A, se obtiene A = 100
10
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Ejemplo 1.8 (Restricción presupuestaria)
Suponga que la los ingresos de un consumidor es I = $100 semanales y que éste la gasta toda
en una combinación de alimentos (en kilos) y vivienda (en m2 ). Suponga, además, que los
precios de la vivienda y de los alimentos son PV = $5 el metro cuadrado PA = $l0 el kilo,
respectivamente. Encuentre la restricción presupuestaria del consumidor.
Note que si V y A representan las cantidades de vivienda y de alimentos, respectivamente, la
restricción presupuestaria debe satisfacer la ecuación 5V + 10A = 100, que establece
simplemente que el gasto semanal del consumidor en alojamiento (5V ) más su gasto semanal en
alimentos (10A) debe ser igual a sus ingresos semanales (100). Si solucionamos la anterior
5
− 10
V = 10 − 12 V
ecuación para A, se obtiene A = 100
10
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Ejemplo 1.8 (Restricción presupuestaria)
Suponga que la los ingresos de un consumidor es I = $100 semanales y que éste la gasta toda
en una combinación de alimentos (en kilos) y vivienda (en m2 ). Suponga, además, que los
precios de la vivienda y de los alimentos son PV = $5 el metro cuadrado PA = $l0 el kilo,
respectivamente. Encuentre la restricción presupuestaria del consumidor.
Note que si V y A representan las cantidades de vivienda y de alimentos, respectivamente, la
restricción presupuestaria debe satisfacer la ecuación 5V + 10A = 100, que establece
simplemente que el gasto semanal del consumidor en alojamiento (5V ) más su gasto semanal en
alimentos (10A) debe ser igual a sus ingresos semanales (100). Si solucionamos la anterior
5
− 10
V = 10 − 12 V
ecuación para A, se obtiene A = 100
10
V
Utilizando el concepto de costo de oportunidad, la pendiente (− P
= − 12 ) puede ser
PA
interpretada de la siguiente manera: el costo de oportunidad de de un metro adicional de
vivienda es igual a 12 kilo de alimentos.
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Preferencias
Observación: Nótese que además de poder comprar cualquiera de las cestas que se encuentran
en su restricción presupuestaria (la línea recta en la gráfica anterior), el consumidor también
puede comprar cualquier cesta que se encuentre dentro del triángulo presupuestario delimitado
por ésta y por los dos ejes.
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Observación: Nótese que además de poder comprar cualquiera de las cestas que se encuentran
en su restricción presupuestaria (la línea recta en la gráfica anterior), el consumidor también
puede comprar cualquier cesta que se encuentre dentro del triángulo presupuestario delimitado
por ésta y por los dos ejes.
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Preferencias
Observación: Nótese que además de poder comprar cualquiera de las cestas que se encuentran
en su restricción presupuestaria (la línea recta en la gráfica anterior), el consumidor también
puede comprar cualquier cesta que se encuentre dentro del triángulo presupuestario delimitado
por ésta y por los dos ejes.
D es una de esas cestas. La cesta D cuesta $65 a la semana, cantidad que es muy inferior a la
renta del consumidor de $100 semanales. Las cestas que se encuentran en el borde o dentro del
triángulo presupuestario también se denominan conjunto viable o asequible. Se dice que las
cestas, como la E, que se encuentran fuera del triángulo presupuestario son inviables o
inasequibles. E está fuera del alcance del consumidor, ya que cuesta $140 a la semana.
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Las preferencias:
Una ordenación de las preferencias es un sistema que permite al consumidor ordenar el
conjunto X de las diferentes cestas de bienes viables en función de su atractivo o de sus
preferencias. Esto requiere establecer algún tipo de orden entre todos las cestas posibles o
viables del consumidor. Esta ordenación se lleva a cabo comparando todos los planes de
consumo dos a dos. En otras palabras debemos introducir una relación binaria en X.
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Las preferencias:
Una ordenación de las preferencias es un sistema que permite al consumidor ordenar el
conjunto X de las diferentes cestas de bienes viables en función de su atractivo o de sus
preferencias. Esto requiere establecer algún tipo de orden entre todos las cestas posibles o
viables del consumidor. Esta ordenación se lleva a cabo comparando todos los planes de
consumo dos a dos. En otras palabras debemos introducir una relación binaria en X.
Ejemplo 1.9
Suponga una economía formada por 2 bienes: vivienda y alimentos. Consideremos dos cestas, la
A y la B. En la cesta A encontramos 4m2 semanales de vivienda y 2kg semanales de alimentos,
en la B, 3m2 semanales de alojamiento y 3kg semanales de alimentos. ¿Qué cesta es preferible
sobre la otra?
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Las preferencias:
Una ordenación de las preferencias es un sistema que permite al consumidor ordenar el
conjunto X de las diferentes cestas de bienes viables en función de su atractivo o de sus
preferencias. Esto requiere establecer algún tipo de orden entre todos las cestas posibles o
viables del consumidor. Esta ordenación se lleva a cabo comparando todos los planes de
consumo dos a dos. En otras palabras debemos introducir una relación binaria en X.
Ejemplo 1.9
Suponga una economía formada por 2 bienes: vivienda y alimentos. Consideremos dos cestas, la
A y la B. En la cesta A encontramos 4m2 semanales de vivienda y 2kg semanales de alimentos,
en la B, 3m2 semanales de alojamiento y 3kg semanales de alimentos. ¿Qué cesta es preferible
sobre la otra?
Siguiendo con el ejemplo anterior, en general, puede decirse que dadas dos cestas cualesquiera,
el consumidor puede hacer una de las tres siguientes afirmaciones:
1
A B. A es al menos tan preferido como B.
2
B A. B es al menos tan preferido como A
3
A ∼ B. Prefiere por igual la A y la B.
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Preferencias
Las preferencias:
En general, la ordenación de las preferencias suele variar mucho de un consumidor a otro. Sin
embargo, a pesar de estas diferencias, la mayoría de las ordenaciones de las preferencias tienen
en común algunos rasgos importantes.
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Preferencias
Las preferencias:
En general, la ordenación de las preferencias suele variar mucho de un consumidor a otro. Sin
embargo, a pesar de estas diferencias, la mayoría de las ordenaciones de las preferencias tienen
en común algunos rasgos importantes.
Teorema 1.10 (Propiedades de las preferencias)
Las preferencias satisfacen las tres propiedades siguientes:
1
Completitud: Una ordenación de las preferencias es completa si permite al consumidor
ordenar todas las combinaciones posibles de bienes y servicios. Otra forma de ver este
propiedad es la siguiente: ∀x, y ∈ X, o bien x y, o bien y x o ambos.
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Las preferencias:
En general, la ordenación de las preferencias suele variar mucho de un consumidor a otro. Sin
embargo, a pesar de estas diferencias, la mayoría de las ordenaciones de las preferencias tienen
en común algunos rasgos importantes.
Teorema 1.10 (Propiedades de las preferencias)
Las preferencias satisfacen las tres propiedades siguientes:
1
Completitud: Una ordenación de las preferencias es completa si permite al consumidor
ordenar todas las combinaciones posibles de bienes y servicios. Otra forma de ver este
propiedad es la siguiente: ∀x, y ∈ X, o bien x y, o bien y x o ambos.
2
Reflexividad: ∀x ∈ X, x x. Este supuesto es trivial. Dice que cualquier elemento del
conjunto X es al menos tan preferido como si mismo.
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Las preferencias:
En general, la ordenación de las preferencias suele variar mucho de un consumidor a otro. Sin
embargo, a pesar de estas diferencias, la mayoría de las ordenaciones de las preferencias tienen
en común algunos rasgos importantes.
Teorema 1.10 (Propiedades de las preferencias)
Las preferencias satisfacen las tres propiedades siguientes:
1
Completitud: Una ordenación de las preferencias es completa si permite al consumidor
ordenar todas las combinaciones posibles de bienes y servicios. Otra forma de ver este
propiedad es la siguiente: ∀x, y ∈ X, o bien x y, o bien y x o ambos.
2
Reflexividad: ∀x ∈ X, x x. Este supuesto es trivial. Dice que cualquier elemento del
conjunto X es al menos tan preferido como si mismo.
3
Transitividad: ∀x, y, z ∈ X, si x y y y z, entonces x z. Este supuesto de
transitividad evita relaciones de preferencia circulares, postulando así la coherencia del
proceso de decisión del consumidor.
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Las preferencias:
En general, la ordenación de las preferencias suele variar mucho de un consumidor a otro. Sin
embargo, a pesar de estas diferencias, la mayoría de las ordenaciones de las preferencias tienen
en común algunos rasgos importantes.
Teorema 1.10 (Propiedades de las preferencias)
Las preferencias satisfacen las tres propiedades siguientes:
1
Completitud: Una ordenación de las preferencias es completa si permite al consumidor
ordenar todas las combinaciones posibles de bienes y servicios. Otra forma de ver este
propiedad es la siguiente: ∀x, y ∈ X, o bien x y, o bien y x o ambos.
2
Reflexividad: ∀x ∈ X, x x. Este supuesto es trivial. Dice que cualquier elemento del
conjunto X es al menos tan preferido como si mismo.
3
Transitividad: ∀x, y, z ∈ X, si x y y y z, entonces x z. Este supuesto de
transitividad evita relaciones de preferencia circulares, postulando así la coherencia del
proceso de decisión del consumidor.
4
Cuanto más, mejor: Esta propiedad significa simplemente que, manteniéndose todo lo
demás constante, se prefiere una mayor cantidad de un bien a una menor.
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Observaciones:
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Preferencias
Observaciones:
Una relación binaria que satisfaga las propiedades de completitud, reflexividad y
transitividad se denomina un preorden completo. Por lo tanto, la relación binaria es el
preorden completo de preferencias del consumidor.
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Observaciones:
Una relación binaria que satisfaga las propiedades de completitud, reflexividad y
transitividad se denomina un preorden completo. Por lo tanto, la relación binaria es el
preorden completo de preferencias del consumidor.
No todas las relaciones comparativas son transitivas.
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Una relación binaria que satisfaga las propiedades de completitud, reflexividad y
transitividad se denomina un preorden completo. Por lo tanto, la relación binaria es el
preorden completo de preferencias del consumidor.
No todas las relaciones comparativas son transitivas.Por ejemplo, la relación entre las
derrotas en el fútbol no lo es, puede pasar en que algunas temporadas, Atletico Nacional
derrote a América de Cali y América de Cali derrote al Medellín, pero esto no quiere decir
que Atletico Nacional derrotará necesariamente a Medellín.
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Observaciones:
Una relación binaria que satisfaga las propiedades de completitud, reflexividad y
transitividad se denomina un preorden completo. Por lo tanto, la relación binaria es el
preorden completo de preferencias del consumidor.
No todas las relaciones comparativas son transitivas.Por ejemplo, la relación entre las
derrotas en el fútbol no lo es, puede pasar en que algunas temporadas, Atletico Nacional
derrote a América de Cali y América de Cali derrote al Medellín, pero esto no quiere decir
que Atletico Nacional derrotará necesariamente a Medellín.
Respecto a la propiedad ’cuanto más, mejor’, naturalmente se puede imaginar ejemplos en
los que una mayor cantidad de una cosa empeora nuestra situación en lugar de mejorarla
(es el caso de una persona que haya comido demasiado). Pero en estos casos normalmente
hay algún tipo de dificultad práctica, por ejemplo, un problema de autocontrol o de
incapacidad para guardar un bien y utilizarlo en el futuro.
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Ejemplo 1.11 (El orden lexicográfico)
Un ejemplo de orden lexicográfico es el utilizado para ordenar las palabras en un diccionario. Sea
X el conjunto de todas las palabras. Un elemento x ∈ X es un vector de letras que definen una
palabra. Dada la ordenación de las letras del alfabeto, decimos que una palabra tiene preferencia
en el diccionario, i.e. se coloca antes en el diccionario, dadas dos palabras, si la primera letra de
la primera palabra se encuentra antes en el alfabeto que la primera letra de la segunda palabra.
Si la primera letra de ambas palabras es la misma, comparamos la segunda letra. Si esta
también coincide, consideramos la tercera letra, y así sucesivamente.
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Ejemplo 1.11 (El orden lexicográfico)
Un ejemplo de orden lexicográfico es el utilizado para ordenar las palabras en un diccionario. Sea
X el conjunto de todas las palabras. Un elemento x ∈ X es un vector de letras que definen una
palabra. Dada la ordenación de las letras del alfabeto, decimos que una palabra tiene preferencia
en el diccionario, i.e. se coloca antes en el diccionario, dadas dos palabras, si la primera letra de
la primera palabra se encuentra antes en el alfabeto que la primera letra de la segunda palabra.
Si la primera letra de ambas palabras es la misma, comparamos la segunda letra. Si esta
también coincide, consideramos la tercera letra, y así sucesivamente.
Siguiendo con el ejemplo de una economía formada por dos bienes: vivienda y alimentos, y antes
de tener en cuenta la restricción presupuestaria, el conjunto de todas las cestas posibles estaría
dado por X = R2+ , el orden lexicográfico dadas dos cestas x = (v1 , a1 ) y y = (v2 , a2 ) lo
representamos como
(
v1 > v2 , o bien
x y si
v1 = v2 y a1 > a2
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Ejemplo 1.12 (El orden de la suma)
Consideremos el conjunto Rn en el que un punto es un vector n-dimensional
del
Ptipo
P
n
x = (x1 , x2 , . . . , xm ). Definimos el orden x y con el significado n
i=1 yi . Se
i=1 xi ≥
puede probar que esta relación es completa, reflexiva y transitiva. Su interpretación es “x esta al
menos al mismo nivel de y si la suma de los componentes de x no es inferior a la suma de los
componentes de y”.
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Curvas de indiferencia
Uno de los beneficios de las propiedades de las preferencias es que nos permite describir
gráficamente las preferencias del consumidor. Sigamos con el supuesto de un economía formada
por dos bienes: vivienda y alimentos.
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Curvas de indiferencia
Uno de los beneficios de las propiedades de las preferencias es que nos permite describir
gráficamente las preferencias del consumidor. Sigamos con el supuesto de un economía formada
por dos bienes: vivienda y alimentos.
Consideremos primero la cesta A que tiene 12 metros cuadrados semanales de vivienda y 10
kilos semanales de alimentos.
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Curvas de indiferencia
El supuesto según el cual “cuanto más, mejor” nos indica que todas las cestas situadas al noreste
de la A se prefieren a ésta y que ésta se prefiere, a su vez, a todas las situadas al sudoeste.
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Curvas de indiferencia
Así, por ejemplo, este supuesto nos dice que Z, que tiene 28m2 semanales de alojamiento y
12kg semanales de alimentos, se prefiere a A y que A se prefiere a W, que tiene solamente 6m2
semanales de alojamiento y 4kg semanales de alimentos.
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Curvas de indiferencia
Consideremos ahora el conjunto de cestas que se encuentran en la línea que une W y Z.
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Curvas de indiferencia
Como se prefiere la cesta Z a la A y la A a la W, quiere decir que a medida que nos movamos de
Z a W, nos encontraremos con una cesta que se preferirá igual que la A. Sea B la cesta que se
prefiere igual que la A y que contiene 17m2 semanales de vivienda y 8kg semanales de alimentos
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Curvas de indiferencia
Como se prefiere la cesta Z a la A y la A a la W, quiere decir que a medida que nos movamos de
Z a W, nos encontraremos con una cesta que se preferirá igual que la A. Sea B la cesta que se
prefiere igual que la A y que contiene 17m2 semanales de vivienda y 8kg semanales de alimentos
Observación:
Las cantidades exactas de cada bien que haya en B dependerán, por supuesto, del
consumidor específico a cuyas preferencias estemos refiriéndonos
El supuesto según el cual “cuanto más, mejor” nos dice también que en la línea recta que
conecta los puntos W y Z sólo habrá una cesta que reúna esas características.
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Curvas de indiferencia
Siguiendo el mismo procedimiento, podemos hallar otro punto, llamémosle C, que se prefiera
igual que el B. En este caso, C representa la cesta que contiene 20m2 semanales de vivienda y
7kg semanales de alimentos.
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Curvas de indiferencia
Podemos repetir este proceso tantas veces como queramos; al final obtendremos una curva de
indiferencia, es decir, un conjunto de cestas que se prefieren igual que la original, A, y que, por
lo tanto, se prefieren por igual.
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Curvas de indiferencia
La propiedad de la completitud de las preferencias implica que hay una curva de indiferencia que
pasa por todas las cestas posibles. Por lo tanto, las preferencias de un consumidor pueden
representarse por medio de un mapa de curvas de indiferencia
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
1
Dada la propiedad de “cuanto más, mejor”, entre más lejos esté la curva de indiferencia
del origen será más preferida.
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
1
Dada la propiedad de “cuanto más, mejor”, entre más lejos esté la curva de indiferencia
del origen será más preferida.
2
Las curvas de indiferencia son ubicuas. Cualquier cesta tiene una curva de indiferencia que
pasa por ella. Esta propiedad se deduce de la propiedad de la completitud de las
preferencias.
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
1
Dada la propiedad de “cuanto más, mejor”, entre más lejos esté la curva de indiferencia
del origen será más preferida.
2
Las curvas de indiferencia son ubicuas. Cualquier cesta tiene una curva de indiferencia que
pasa por ella. Esta propiedad se deduce de la propiedad de la completitud de las
preferencias.
3
Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Una curva de indiferencia de
pendiente positiva violaría la propiedad de “cuanto más, mejor” al afirmar que una cesta
que tiene una cantidad mayor de ambos bienes es equivalente a una cesta que tiene una
cantidad menor de ambos bienes.
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
1
Dada la propiedad de “cuanto más, mejor”, entre más lejos esté la curva de indiferencia
del origen será más preferida.
2
Las curvas de indiferencia son ubicuas. Cualquier cesta tiene una curva de indiferencia que
pasa por ella. Esta propiedad se deduce de la propiedad de la completitud de las
preferencias.
3
Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Una curva de indiferencia de
pendiente positiva violaría la propiedad de “cuanto más, mejor” al afirmar que una cesta
que tiene una cantidad mayor de ambos bienes es equivalente a una cesta que tiene una
cantidad menor de ambos bienes.
4
Las curvas de indiferencia (del mismo mapa de curvas de indiferencia) no pueden cortarse.
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Curvas de indiferencia
Teorema 1.13 (Propiedades de las curvas de indiferencia)
1
Dada la propiedad de “cuanto más, mejor”, entre más lejos esté la curva de indiferencia
del origen será más preferida.
2
Las curvas de indiferencia son ubicuas. Cualquier cesta tiene una curva de indiferencia que
pasa por ella. Esta propiedad se deduce de la propiedad de la completitud de las
preferencias.
3
Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Una curva de indiferencia de
pendiente positiva violaría la propiedad de “cuanto más, mejor” al afirmar que una cesta
que tiene una cantidad mayor de ambos bienes es equivalente a una cesta que tiene una
cantidad menor de ambos bienes.
4
Las curvas de indiferencia (del mismo mapa de curvas de indiferencia) no pueden cortarse.
5
Cada curva de indiferencia tiene un valor de la utilidad que le proporciona al consumidor,
la más lejana del origen tienen el valor de utilidad mayor.
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Curvas de indiferencia
¿Por qué no se cortan dos curvas de indiferencia?
Supongamos que dos curvas de indiferencia se cortan, de hecho, como en la siguiente figura.
Concluya por qué no se puede dar la anterior situación.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Las preferencias de un consumidor nos ofrecen una propiedad importante que es la relación a la
que está dispuesto a intercambiar un bien por otro. Esta propiedad está representada en
cualquier punto de una curva de indiferencia por la relación marginal de sustitución (RMS),
que es el valor absoluto que tiene la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Las preferencias de un consumidor nos ofrecen una propiedad importante que es la relación a la
que está dispuesto a intercambiar un bien por otro. Esta propiedad está representada en
cualquier punto de una curva de indiferencia por la relación marginal de sustitución (RMS),
que es el valor absoluto que tiene la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.
por ejemplo, la RMS correspondiente al punto A viene dada por el valor absoluto de la
∆AA
pendiente de la tangente a la curva de indiferencia en A, que es el cociente ∆A
, que se
V
interpreta como la cantidad de alimentos que debe recibir el consumidor para compensarlo por la
pérdida de 1 unidad de vivienda y así quedar disfrutando exactamente del mismo nivel de
bienestar que antes de esta sustitución.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Las preferencias de un consumidor nos ofrecen una propiedad importante que es la relación a la
que está dispuesto a intercambiar un bien por otro. Esta propiedad está representada en
cualquier punto de una curva de indiferencia por la relación marginal de sustitución (RMS),
que es el valor absoluto que tiene la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.
por ejemplo, la RMS correspondiente al punto A viene dada por el valor absoluto de la
∆AA
pendiente de la tangente a la curva de indiferencia en A, que es el cociente ∆A
, que se
V
interpreta como la cantidad de alimentos que debe recibir el consumidor para compensarlo por la
pérdida de 1 unidad de vivienda y así quedar disfrutando exactamente del mismo nivel de
bienestar que antes de esta sustitución.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Las preferencias de un consumidor nos ofrecen una propiedad importante que es la relación a la
que está dispuesto a intercambiar un bien por otro. Esta propiedad está representada en
cualquier punto de una curva de indiferencia por la relación marginal de sustitución (RMS),
que es el valor absoluto que tiene la pendiente de la curva de indiferencia en ese punto.
por ejemplo, la RMS correspondiente al punto A viene dada por el valor absoluto de la
∆AA
pendiente de la tangente a la curva de indiferencia en A, que es el cociente ∆A
, que se
V
interpreta como la cantidad de alimentos que debe recibir el consumidor para compensarlo por la
pérdida de 1 unidad de vivienda y así quedar disfrutando exactamente del mismo nivel de
bienestar que antes de esta sustitución.
Si la RMS correspondiente al punto A es 2, significa que el consumidor debe recibir 2 kilos
semanales de alimentos para compensarlo por la perdida de 1 metro cuadrado semanal de
alojamiento.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Observación: Mientras que la pendiente de la restricción presupuestaria
nos indica la relación a la que podemos sustituir vivienda por alimentos sin
modificar el gasto total, la RMS nos indica la relación a la que podemos
sustituir vivienda por alimentos sin alterar la satisfacción total.
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Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Observación: Mientras que la pendiente de la restricción presupuestaria
nos indica la relación a la que podemos sustituir vivienda por alimentos sin
modificar el gasto total, la RMS nos indica la relación a la que podemos
sustituir vivienda por alimentos sin alterar la satisfacción total.
En otras palabras, la pendiente de la restricción presupuestaria es el
coste marginal de la vivienda en función de los alimentos, mientras que la
RMS es el beneficio marginal de la vivienda en función de los alimentos.
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Funciones de utilidad
Definición 1.14 (Función de utilidad)
Una función de utilidad u, es un instrumento para asignar un número a todas las cestas de
consumo posibles de tal forma que las que se prefieren tengan un número más alto que las que
no se prefieren. Es decir, la cesta (v1 , a1 ) se prefiere a la (v2 , a2 ) si y sólo si la utilidad de la
primera es mayor que la utilidad de la segunda; en símbolos:
(v1 , a1 ) (v2 , a2 ) ⇐⇒ u(v1 , a1 ) ≥ u(v2 , a2 )
.
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Funciones de utilidad
Definición 1.14 (Función de utilidad)
Una función de utilidad u, es un instrumento para asignar un número a todas las cestas de
consumo posibles de tal forma que las que se prefieren tengan un número más alto que las que
no se prefieren. Es decir, la cesta (v1 , a1 ) se prefiere a la (v2 , a2 ) si y sólo si la utilidad de la
primera es mayor que la utilidad de la segunda; en símbolos:
(v1 , a1 ) (v2 , a2 ) ⇐⇒ u(v1 , a1 ) ≥ u(v2 , a2 )
.
Observación: En la anterior definición, la función de utilidad u esta en función de más de una
variables. Por lo que surge la necesidad de tener claro el concepto de funciones en varias
variables. Adicionalmente a lo largo de la discusión sobre preferencias del consumidor, se ha
mencionado un concepto de vital importancia en las matemáticas, el de razón de cambio de
una variable respecto a otra, el cual nos lleva a la definición de derivada.
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Concepto de Límite
Motivación: Consideremos la función f (x) = x2 − x + 2, nos interesa saber cuales son los
valores que toma f a medida que x se aproxima a 2.
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Concepto de Límite
Motivación: Consideremos la función f (x) = x2 − x + 2, nos interesa saber cuales son los
valores que toma f a medida que x se aproxima a 2. La siguiente figura ilustra está situación.
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Concepto de Límite
Nótese que los valores de f (x) se aproximan cada vez más a 4 a medida que x esta más cerca
de 2, pero sin ser igual a 2.
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Concepto de Límite
Nótese que los valores de f (x) se aproximan cada vez más a 4 a medida que x esta más cerca
de 2, pero sin ser igual a 2.Lo anterior se suele denotar como
lı́m (x2 − x + 2) = 4
x→2
y se dice que el límite de x2 − x + 2 cuando x tiende a 2, es igual a 4. Es decir, podemos
acercar arbitrariamente los valores de x2 − x + 2 a 4 (tanto como desee) escogiendo una x lo
bastante cercana a 2, pero no igual a 2.
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Concepto de Límite
Nótese que los valores de f (x) se aproximan cada vez más a 4 a medida que x esta más cerca
de 2, pero sin ser igual a 2.Lo anterior se suele denotar como
lı́m (x2 − x + 2) = 4
x→2
y se dice que el límite de x2 − x + 2 cuando x tiende a 2, es igual a 4. Es decir, podemos
acercar arbitrariamente los valores de x2 − x + 2 a 4 (tanto como desee) escogiendo una x lo
bastante cercana a 2, pero no igual a 2.
A continuación vamos a ver una definición formal de límite de una función
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Concepto de Límite
Definición 1.15 (Límite de una función)
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto
posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a a es L, que
se denota como
lı́m f (x) = L
x→a
(2)
si para todo número > 0 existe un número δ > 0 tal que
si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L| < Daniel Fragua dffraguar@eafit.edu.co (Universidad
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Concepto de Límite
Definición 1.15 (Límite de una función)
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto
posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a a es L, que
se denota como
lı́m f (x) = L
x→a
(2)
si para todo número > 0 existe un número δ > 0 tal que
si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L| < Ejemplo 1.16
Demuestre que
lı́m (4x − 5) = 7
x→3
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Concepto de Límite
Teorema 1.17 (Propiedades de los límites)
Suponga que c es una constante y que los siguientes límites existen
lı́m f (x) y lı́m g(x).
x→a
x→a
Entonces
1
lı́mx→a [f (x) ± g(x)] = lı́mx→a f (x) ± lı́mx→a g(x)
2
lı́mx→a [cf (x)] = c lı́mx→a f (x)
3
lı́mx→a [f (x)g(x)] = lı́mx→a f (x) lı́mx→a g(x)
4
Si lı́mx→a g(x) 6= 0, lı́mx→a
f (x)
g(x)
=
lı́mx→a f (x)
lı́mx→a g(x)
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Límites Laterales
La siguiente figura muestra la gráfica de una función f .
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Límites Laterales
Nótese que f (x) no está definida cuando x = 0. Cuando x tiende a 0 por la derecha f (x) se
aproxima a 1. Esto se escribe como
lı́m f (x) = 1
x→0+
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Límites Laterales
Nótese que f (x) no está definida cuando x = 0. Cuando x tiende a 0 por la derecha f (x) se
aproxima a 1. Esto se escribe como
lı́m f (x) = 1
x→0+
Por otro lado, cuando x tiene a 0 por la izquierda f (x) se aproxima a -1. Esto se escrbie como
lı́m f (x) = −1
x→0−
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Límites Laterales
Nótese que f (x) no está definida cuando x = 0. Cuando x tiende a 0 por la derecha f (x) se
aproxima a 1. Esto se escribe como
lı́m f (x) = 1
x→0+
Por otro lado, cuando x tiene a 0 por la izquierda f (x) se aproxima a -1. Esto se escrbie como
lı́m f (x) = −1
x→0−
Los límites como estos se conocen como límites laterales. De la definición de límite (1.15) se
sabe que el límite cuando x → a es independiente de la manera en que x se aproxima a a. Por
tanto, el límite existe si y solo si, ambos límites laterales existen y son iguales.
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Límites Laterales
Definición 1.18 (Límites laterales)
Escriba
lı́m f (x) = L
x→a−
y se lee el límite izquierdo de f (x) cuando x tiende a a o el límite de f (x) cuando x se acerca a
a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de f (x) a L tanto como quiera,
escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a.
De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: el límite de f (x) por la derecha
cuando x se aproxima a a es igual a L y se escribe como
lı́m f (x) = L
x→a+
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Límites Laterales
Definición 1.18 (Límites laterales)
Escriba
lı́m f (x) = L
x→a−
y se lee el límite izquierdo de f (x) cuando x tiende a a o el límite de f (x) cuando x se acerca a
a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de f (x) a L tanto como quiera,
escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a.
De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: el límite de f (x) por la derecha
cuando x se aproxima a a es igual a L y se escribe como
lı́m f (x) = L
x→a+
Teorema 1.19
lı́m f (x) = L si y solo si
x→a
lı́m f (x) = L y
x→a+
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lı́m f (x) = L
x→a−
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Límites Laterales
Ejemplo 1.20
En la figura se muestra la gráfica de una función f . Úsela para dar los valores (si existen) de los
límites siguientes:
1
lı́mx→2− f (x)
3
lı́mx→2 f (x)
5
lı́mx→5+ f (x)
2
lı́mx→2+ f (x)
4
lı́mx→5− f (x)
6
lı́mx→5 f (x)
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Límites al Infinito
Ahora consideremos la función
f (x) =
1
x
cuando x se vuelve arbitrariamente grande, tanto en sentido positivo como sentido negativo.
x
1000
10000
100000
1000000
f(x)
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
x
-1000
-10000
-100000
-1000000
f(x)
-0,001
-0,0001
-0,00001
-0,000001
De la tabla anterior podemos ver que cuando x aumenta sin cota tomando valores positivos, los
valores de f (x) se aproximan a 0. De igual manera, cuando x disminuye sin cota tomando
valores negativos, los valores de f (x) se aproximan a 0. Estas observaciones son claras al ver la
gráfica de f (x) = x1
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Límites al Infinito
Cuando uno se mueve a la derecha sobre la curva tomando valores positivos de x, los
correspondientes valores de y se aproximan a 0. Sucede lo mismo cuando uno se mueve a la
izquierda a lo largo de la curva tomando valores negativos de x.
En forma simbólica se escribe:
lı́m
x→∞
1
= 0;
x
lı́m
x→−∞
1
=0
x
.
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Límites al Infinito
Cuando uno se mueve a la derecha sobre la curva tomando valores positivos de x, los
correspondientes valores de y se aproximan a 0. Sucede lo mismo cuando uno se mueve a la
izquierda a lo largo de la curva tomando valores negativos de x.
En forma simbólica se escribe:
lı́m
x→∞
1
= 0;
x
lı́m
x→−∞
1
=0
x
.
Estos límites se conocen como límites al infinito
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Límites al Infinito
Ejemplo 1.21 (Interés Capitalizable Continuamente)
Suponga que un capital de V P pesos se invierte durante t años a una tasa anual r. Si el interés
se capitaliza k veces en un año, entonces la tasa por período de capitalización es kr y hay kt
períodos de de capitalización. Anteriormente se dijo que el valor futuro al final de los t años esta
dado por
r kt
VF =VP 1+
.
k
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Límites al Infinito
Ejemplo 1.21 (Interés Capitalizable Continuamente)
Suponga que un capital de V P pesos se invierte durante t años a una tasa anual r. Si el interés
se capitaliza k veces en un año, entonces la tasa por período de capitalización es kr y hay kt
períodos de de capitalización. Anteriormente se dijo que el valor futuro al final de los t años esta
dado por
r kt
VF =VP 1+
.
k
Si el número de períodos de capitalización en un año tiende a ∞ se dice que el interés se
capitaliza continuamente, es decir, en cada instante. De esta manera, el valor futuro estaría
dado por
r kt
V F = lı́m V P 1 +
k→∞
k
lo cual puede escribirse como
VF =VP
lı́m
k→∞
1+
r kr
k
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rt
.
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Límites al Infinito
Ejemplo 1.22 (Interés Compuesto - continuación)
Haciendo x =
r
,
k
entonces cuando k → ∞, se tiene que x → 0 y
1
x
1
x
=
k
.
r
Por lo tanto, el límite
dentro de los corchetes tiene la forma lı́mx→0 (1 + x) , el cual es igual al número de Euler e
(ver ...).
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Límites al Infinito
Ejemplo 1.22 (Interés Compuesto - continuación)
Haciendo x =
r
,
k
entonces cuando k → ∞, se tiene que x → 0 y
1
x
1
x
=
k
.
r
Por lo tanto, el límite
dentro de los corchetes tiene la forma lı́mx→0 (1 + x) , el cual es igual al número de Euler e
(ver ...).
Por tanto se tiene la siguiente fórmula
La fórmula
V F = V P ert
proporciona el monto acumulado V F (valor futuro) de un capital de V P pesos después de t
años, a una tasa de interés anual r compuesta de manera continua.
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Límites al Infinito
Ejemplo 1.22 (Interés Compuesto - continuación)
Haciendo x =
r
,
k
entonces cuando k → ∞, se tiene que x → 0 y
1
x
1
x
=
k
.
r
Por lo tanto, el límite
dentro de los corchetes tiene la forma lı́mx→0 (1 + x) , el cual es igual al número de Euler e
(ver ...).
Por tanto se tiene la siguiente fórmula
La fórmula
V F = V P ert
proporciona el monto acumulado V F (valor futuro) de un capital de V P pesos después de t
años, a una tasa de interés anual r compuesta de manera continua.
En particular, si se invierten $100 a una tasa anual de 5 % anual capitalizado continuamente, el
monto acumulado al final de 1 año es
V F = 100e(0,05)(1) ≈ $105, 13.
Al final de 5 años es
V F = 100e(0,05)(5) ≈ $128, 40.
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Continuidad
Muchas funciones tiene la propiedad de que no hay “cortes” en sus gráficas. Por ejemplo,
considere las funciones
x si x 6= 1
f (x) = x, g(x) =
2 si x = 1
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Continuidad
Muchas funciones tiene la propiedad de que no hay “cortes” en sus gráficas. Por ejemplo,
considere las funciones
x si x 6= 1
f (x) = x, g(x) =
2 si x = 1
Cuando x = 1 la gráfica de f no se corta, pero la de g sí tiene un corte.
Viéndolo de otra manera, si se tuviera que trazar ambas gráficas con un lápiz, se tendría que
levantar el lápiz de la gráfica de g, cuando x = 1, pero no se tendría que levantar de la de f .
Esto se pude formalizar por medio de límites.
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Continuidad
Definición 1.23 (Continuidad)
Una función f es continua en un número a si
lı́m f (x) = f (a)
x→a
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Continuidad
Definición 1.23 (Continuidad)
Una función f es continua en un número a si
lı́m f (x) = f (a)
x→a
Observación: Note que la anterior definición requiere implícitamente que:
1
f debe estar de definido en a, es decir que a ∈ Dom(f )
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Continuidad
Definición 1.23 (Continuidad)
Una función f es continua en un número a si
lı́m f (x) = f (a)
x→a
Observación: Note que la anterior definición requiere implícitamente que:
1
f debe estar de definido en a, es decir que a ∈ Dom(f )
2
lı́mx→a f (x) existe
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Continuidad
Definición 1.23 (Continuidad)
Una función f es continua en un número a si
lı́m f (x) = f (a)
x→a
Observación: Note que la anterior definición requiere implícitamente que:
1
f debe estar de definido en a, es decir que a ∈ Dom(f )
2
lı́mx→a f (x) existe
Observación: Decimos que f es discontinua en a, o f tiene una discontinuidad en a, si f no es
continua en a.
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Continuidad
Ejemplo 1.24
En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función f . Determine en que números es
discontinua f .
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Continuidad
Teorema 1.25
Si f y g son funciones continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes
también son continuas en a:
f ±g
cf
fg
f
g
si g(a) 6= 0
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Continuidad
Teorema 1.25
Si f y g son funciones continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes
también son continuas en a:
f ±g
cf
fg
f
g
si g(a) 6= 0
Teorema 1.26
Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo número de sus dominios:
Funciones polinomiales
Funciones racionales
Funciones raíz
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
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Continuidad
Ejemplo 1.27
En dónde es continua la función
f (x) =
ln(x)
x2 − 1
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Derivada y Razón de Cambio
Si una curva C tiene la ecuación y = f (x). Se desea hallar la recta tangente a C en el punto
P = (a, f (a)).
Empecemos por considerar un punto cercano a P , Q = (x, f (x)), donde x 6= a, y calcule la
pendiente de la recta secante P Q:
mP Q =
f (x) − f (a)
x−a
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Derivada y Razón de Cambio
Después, podemos acercar Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mP Q
tiende a un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P con
pendiente m. Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante
P Q cuando Q tiene a P
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Derivada y Razón de Cambio
Definición 1.28 (Recta tangente)
La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P = (a, f (a)) es la recta que pasa por P con
pendiente
m = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x−a
siempre que este límite exista.
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Derivada y Razón de Cambio
Definición 1.28 (Recta tangente)
La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P = (a, f (a)) es la recta que pasa por P con
pendiente
m = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x−a
siempre que este límite exista.
Definición 1.29 (Derivada)
La derivada de una función f en un número x = a, denotada por f 0 (a), es
f 0 (a) = lı́m
h→0
f (a + h) − f (a)
h
siempre que este límite exista.
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Derivada y Razón de Cambio
Definición 1.28 (Recta tangente)
La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P = (a, f (a)) es la recta que pasa por P con
pendiente
m = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x−a
siempre que este límite exista.
Definición 1.29 (Derivada)
La derivada de una función f en un número x = a, denotada por f 0 (a), es
f 0 (a) = lı́m
h→0
f (a + h) − f (a)
h
siempre que este límite exista.
Observación: Si usa la notación tradicional y = f (x) para indicar que la variable independiente
es x y la dependiente es y, en tal caso algunas otras notaciones comunes para la derivada son:
f 0 (x) = y 0 =
dy
df
d
=
=
f (x) = Df (x) = Dx f (x)
dx
dx
dx
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Derivada y Razón de Cambio
Ejemplo 1.30
Encuentre la derivada de la función f (x) = x2 − 8x + 9 en el número x = a. Además halle la
ecuación de la recta tangente a f (x) = x2 − 8x + 9 en (3, −6).
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Derivada y Razón de Cambio
Ejemplo 1.30
Encuentre la derivada de la función f (x) = x2 − 8x + 9 en el número x = a. Además halle la
ecuación de la recta tangente a f (x) = x2 − 8x + 9 en (3, −6).
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Derivada y Razón de Cambio
Cómo deja de ser derivable una función
En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “picos”, es decir, f no es suave,
entonces la gráfica de f no tiene recta tangente en esos puntos y f no es derivable allí.
Además se puede probar que si f es derivable en a entonces f es continua en a. Por lo tanto, f
no es derivable en cualquier discontinuidad.
Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x = a. Es decir
f es continua en a y además lı́mx→a = |f 0 (x)| = ∞
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Derivada y Razón de Cambio
Teorema 1.31 (Reglas básicas de derivación)
Sea f, g funciones en la variable x, c ∈ R una constante. A continuación se resumen las fórmulas
de derivación:
Propiedades:
d
[cf ] = cf 0
dx
d
[f ± g] = f 0
dx
1
Linealidad:
2
Linealidad:
3
Derivada de un producto:
4
Derivada de un cociente:
± g0
d
[f g]
dx
d
dx
h i
f
g
= f 0 g + f g0
=
f 0 g−f g 0
g2
Derivadas de funciones elementales:
1
2
d
[c] = 0
dx
d
[xn ] =
dx
nxn−1 ∀n ∈ R
3
d
[ln(x)]
dx
4
d
[ex ]
dx
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=
1
x
= ex
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Derivada y Razón de Cambio
Ejemplo 1.32
Si D(P ) es la demanda de un producto cuando el precio unitario es P , entonces la función de
ingresos R(P ) = P D(P ). Hallar la expresión de R0 (P )
Ejemplo 1.33
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
1
f (x) = x2 (1 − 2x)
2
g(x) = ax + ln(x) donde a es una constante
3
h(x) =
4
y = (x + 2)2
2
x√
+1
x
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Derivada y Razón de Cambio
Teorema 1.34 (Regla de la cadena)
Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la función compuesta F = f ◦ g
definida mediante F (x) = f (g(x)) es derivable en x, y F 0 está dada por el producto
F 0 (x) = f 0 (g(x))f 0 (x)
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Derivada y Razón de Cambio
Teorema 1.34 (Regla de la cadena)
Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la función compuesta F = f ◦ g
definida mediante F (x) = f (g(x)) es derivable en x, y F 0 está dada por el producto
F 0 (x) = f 0 (g(x))f 0 (x)
Ejemplo 1.35
Encuentre F 0 (x) si
√
F (x) = x3 − 5x + 2
2
F (x) = 100(64 + 4x) 3
3
F (x) = 2x+1
x+3
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Derivada y Razón de Cambio
Razón de cambio promedio
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo
expresamos como y = f (x). Si x cambia de x1 a x2 , entonces el cambio en x, también
conocido como incremento de x, es ∆x = x2 − x1 . Por lo tanto, el cambio correspondiente en y
esta dado por ∆y = f (x2 ) − f (x1 )
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Derivada y Razón de Cambio
Razón de cambio promedio
Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo
expresamos como y = f (x). Si x cambia de x1 a x2 , entonces el cambio en x, también
conocido como incremento de x, es ∆x = x2 − x1 . Por lo tanto, el cambio correspondiente en y
esta dado por ∆y = f (x2 ) − f (x1 )
El cociente de diferencias
∆x
f (x2 ) − f (x1 )
=
∆y
x2 − x1
se denomina a razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo
[x1 , x2 ].
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Derivada y Razón de Cambio
Ejemplo 1.36
Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de producir x metros de
C(30)−C(10)
C
= 20000, quiere decir
este tejido es C = f (x) pesos. De esta manera, si ∆
=
∆x
30−10
que el costo promedio de la producción de un metro de tejido entre el décimo y el trigésimo
metro es $20.000 COP.
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Derivada y Razón de Cambio
Razón de cambio instantánea: Considere la razón de cambio promedio en intervalos cada vez
más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por tanto, hacer que ∆x tienda a 0.
El límite de estas razones de cambio promedio se llama razón de cambio instantánea de y
respecto a x en x = x1 , la cual se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva
y = f (x) en P = (xl , f (x1 ))
razón de cambio instantánea = lı́m
∆x →0
∆y
f (x2 ) − f (x1 )
= lı́m
∆x →0
∆x
x2 − x1
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Derivada y Razón de Cambio
Razón de cambio instantánea: Considere la razón de cambio promedio en intervalos cada vez
más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por tanto, hacer que ∆x tienda a 0.
El límite de estas razones de cambio promedio se llama razón de cambio instantánea de y
respecto a x en x = x1 , la cual se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva
y = f (x) en P = (xl , f (x1 ))
razón de cambio instantánea = lı́m
∆x →0
∆y
f (x2 ) − f (x1 )
= lı́m
∆x →0
∆x
x2 − x1
Observación: De acuerdo a lo anterior se sigue que la derivada f 0 (a) es la razón de cambio
instantánea de y = f (x) respecto a x cuando x = a
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Derivada y Razón de Cambio
¿Qué podemos decir sobre la razón de cambio en P y Q
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Derivada y Razón de Cambio
Ejemplo 1.37 (Costo marginal)
Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de producir x metros de
este tejido es de C = f (x) pesos
1
¿Cuál es el significado de la derivada f 0 (x)? ¿Cuáles son sus unidades?
2
En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f 0 (1000) = $9500?
3
¿Qué le hace pensar que es más grande f 0 50) o f 0 (500)? ¿Qué hay con respecto a
f 0 (5000)?
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Derivadas de orden superior
Si f es una función derivable, entonces su derivada f 0 también es una función, así que f 0 puede
tener una derivada de sí misma, señalada por (f 0 )0 = f 00 Esta nueva función f 00 se denomina
segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f 0 . La segunda derivada de
y = f (x) también se puede denotar de la siguiente manera
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Derivadas de orden superior
Si f es una función derivable, entonces su derivada f 0 también es una función, así que f 0 puede
tener una derivada de sí misma, señalada por (f 0 )0 = f 00 Esta nueva función f 00 se denomina
segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f 0 . La segunda derivada de
y = f (x) también se puede denotar de la siguiente manera
d2 y
d dy
=
dx dx
dx2
Ejemplo 1.38
Si f (x) = x3 − x, halle e interprete f 00 (x).
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Derivadas de orden superior
Si f es una función derivable, entonces su derivada f 0 también es una función, así que f 0 puede
tener una derivada de sí misma, señalada por (f 0 )0 = f 00 Esta nueva función f 00 se denomina
segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f 0 . La segunda derivada de
y = f (x) también se puede denotar de la siguiente manera
d2 y
d dy
=
dx dx
dx2
Ejemplo 1.38
Si f (x) = x3 − x, halle e interprete f 00 (x).
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Funciones de varias variables
En general, no se puede pretender que los diversos procesos que se presentan en la vida
cotidiana pueda ser representados por funciones de una sola variable. Por ejemplo, el nivel de
producción de una compañía depende de diversos factores y en general ninguna variable sola
puede representarlo.
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Funciones de varias variables
En general, no se puede pretender que los diversos procesos que se presentan en la vida
cotidiana pueda ser representados por funciones de una sola variable. Por ejemplo, el nivel de
producción de una compañía depende de diversos factores y en general ninguna variable sola
puede representarlo.
Para ejemplificar lo anterior, es claro que la cantidad de petróleo que se bombea cada semana
desde un campo petrolero depende del número de bombas y el número de horas que las bombas
están funcionando. Lo anterior puede ser representado mediante una función de varias variables
(número de bombas, número de horas en funcionamiento).
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Funciones de varias variables
Definición 1.39 (Funciones de dos variables)
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales
(x, y) de un conjunto D, un único número real que se denota con f (x, y). El conjunto D es el
dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f , es decir, {f (x, y)|(x, y) ∈ D}
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Funciones de varias variables
Definición 1.39 (Funciones de dos variables)
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales
(x, y) de un conjunto D, un único número real que se denota con f (x, y). El conjunto D es el
dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f , es decir, {f (x, y)|(x, y) ∈ D}
Observación: Así como para funciones de una variables, a menudo, escribimos z = f (x, y) para
hacer explícito el valor que toma f en el punto (x, y). Las variables x y y son variables
independientes y z es la variable dependiente.
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Funciones de varias variables
Definición 1.39 (Funciones de dos variables)
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales
(x, y) de un conjunto D, un único número real que se denota con f (x, y). El conjunto D es el
dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f , es decir, {f (x, y)|(x, y) ∈ D}
Observación: Así como para funciones de una variables, a menudo, escribimos z = f (x, y) para
hacer explícito el valor que toma f en el punto (x, y). Las variables x y y son variables
independientes y z es la variable dependiente.
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Funciones de varias variables
Ejemplo 1.40 (Funciones de dos variables)
Sea
√
f (x, y) =
x+y−1
.
x−1
Evalúe f (3, 2). Además determine y grafique el dominio.
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Ejemplo 1.40 (Funciones de dos variables)
Sea
√
f (x, y) =
x+y−1
.
x−1
Evalúe f (3, 2). Además determine y grafique el dominio.
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Ejemplo 1.41 (Función de producción)
En 1928 Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual modelaban el crecimiento
de la economía estadounidense durante el periodo 1899-1922. Consideraron un punto de vista
simplificado de la economía en el cual la producción está determinada por la cantidad de mano
de obra relacionada y la cantidad de capital invertido. Si bien hay muchos otros factores que
afectan el rendimiento económico, su modelo resultó ser notablemente exacto. La función
mediante la cual modelaron la producción era de la forma:
P (L, K) = bLα K 1−α
donde
P la producción total: el valor monetario de todos los bienes que se producen en un año.
L es la cantidad de mano de obra: la cantidad total de horas-hombre trabaja das en un
año.
K es la cantidad de capital invertido: el valor monetario de toda la maquinaria, equipo y
edificios.
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Funciones de varias variables
Otro modo de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su
gráfica
Definición 1.42 (Gráficas de funciones dos variables)
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de
todos los puntos (x, y, z) en R3 tal que z = f (x, y) y (x, y) está en D
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Funciones de varias variables
Otro modo de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su
gráfica
Definición 1.42 (Gráficas de funciones dos variables)
Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de
todos los puntos (x, y, z) en R3 tal que z = f (x, y) y (x, y) está en D
Así como la gráfica de una función f de una variable es una curva C con ecuación y = f (x),la
gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z = f (x, y).
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Ejemplo 1.43
La gráfica de la función de la producción de Cobb-Douglas
√
P (L, K) = 100 2LK
está dada por la siguiente superficie
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Funciones de varias variables
Otro método para representar funciones de dos variables es un mapa de curvas de nivel en el
cual puntos de elevación igual se unen para formar líneas de contorno o curvas de nivel.
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Funciones de varias variables
Otro método para representar funciones de dos variables es un mapa de curvas de nivel en el
cual puntos de elevación igual se unen para formar líneas de contorno o curvas de nivel.
Definición 1.44 (Curvas de nivel)
Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son
f (x, y) = k, donde k es una constante que pertenece al rango de f .
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Funciones de varias variables
Otro método para representar funciones de dos variables es un mapa de curvas de nivel en el
cual puntos de elevación igual se unen para formar líneas de contorno o curvas de nivel.
Definición 1.44 (Curvas de nivel)
Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son
f (x, y) = k, donde k es una constante que pertenece al rango de f .
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Ejemplo 1.45 (Cómo se obtienen las curvas de indiferencia a partir de
la utilidad)
Supongamos una función de utilidad dada por u(x, y) = xy.
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Ejemplo 1.45 (Cómo se obtienen las curvas de indiferencia a partir de
la utilidad)
Supongamos una función de utilidad dada por u(x, y) = xy.
Sabemos que todas las cestas de consumo pertenecientes a una misma curva de indiferencia
representan el mismo bienestar o son igualmente preferibles para el consumidor. Ahora bien, si el
nivel de bienestar o satisfacción esta siendo medido por la función de utilidad u, entonces la
curva de indiferencia con un nivel de bienestar k esta dada por todos los puntos (x, y) tales que
k = u(x, y) = xy.
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Ejemplo 1.45 (Cómo se obtienen las curvas de indiferencia a partir de
la utilidad)
Supongamos una función de utilidad dada por u(x, y) = xy.
Sabemos que todas las cestas de consumo pertenecientes a una misma curva de indiferencia
representan el mismo bienestar o son igualmente preferibles para el consumidor. Ahora bien, si el
nivel de bienestar o satisfacción esta siendo medido por la función de utilidad u, entonces la
curva de indiferencia con un nivel de bienestar k esta dada por todos los puntos (x, y) tales que
k = u(x, y) = xy.
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Observación: los conceptos de límite y continuidad desarrollados para funciones de una variable
pueden ser extrapolados formalmente, a funciones de varías variables.
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Observación: los conceptos de límite y continuidad desarrollados para funciones de una variable
pueden ser extrapolados formalmente, a funciones de varías variables.
Definición 1.46 (Derivadas Parciales)
Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy , definidas
por
fx (x, y) = lı́m
f (x + h, y) − f (x, y)
h
fx (x, y) = lı́m
f (x, y + h) − f (x, y)
h
h→0
h→0
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Observación: los conceptos de límite y continuidad desarrollados para funciones de una variable
pueden ser extrapolados formalmente, a funciones de varías variables.
Definición 1.46 (Derivadas Parciales)
Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy , definidas
por
fx (x, y) = lı́m
f (x + h, y) − f (x, y)
h
fx (x, y) = lı́m
f (x, y + h) − f (x, y)
h
h→0
h→0
Observación: Hay muchas otras notaciones para las derivadas parciales.
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Observación: los conceptos de límite y continuidad desarrollados para funciones de una variable
pueden ser extrapolados formalmente, a funciones de varías variables.
Definición 1.46 (Derivadas Parciales)
Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy , definidas
por
fx (x, y) = lı́m
f (x + h, y) − f (x, y)
h
fx (x, y) = lı́m
f (x, y + h) − f (x, y)
h
h→0
h→0
Observación: Hay muchas otras notaciones para las derivadas parciales.Si z = f (x, y),
escribimos
fx (x, y) = fx =
∂f
∂
=
f (x, y) = f1 = D1 f = Dx f
∂x
∂x
fy (x, y) = fy =
∂f
∂
=
f (x, y) = f2 = D2 f = Dy f
∂y
∂y
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Regla para determinar las derivadas parciales de z = f (x, y):
Para determinar fx , conservar a y constante y derivar f (x, y) con respecto a x.
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Regla para determinar las derivadas parciales de z = f (x, y):
Para determinar fx , conservar a y constante y derivar f (x, y) con respecto a x.
Para determinar fy , conservar a x constante y derivar f (x, y) con respecto a y.
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Funciones de varias variables
Regla para determinar las derivadas parciales de z = f (x, y):
Para determinar fx , conservar a y constante y derivar f (x, y) con respecto a x.
Para determinar fy , conservar a x constante y derivar f (x, y) con respecto a y.
Ejemplo 1.47
Si f (x, y) = x3 + x2 y 3 − 2y 2 , determine fx (2, 1) y fy (2, 1).
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Funciones de varias variables
Interpretación de las derivadas parciales:
Recordemos que la ecuación z = f (x, y) representa una superficie S en el espacio.
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Funciones de varias variables
Interpretación de las derivadas parciales:
Ahora, si f (a, b) = c es porque el punto P (a, b, c) está en la situado sobre la superficie
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Interpretación de las derivadas parciales:
Si hacemos y = b, estamos enfocando la atención en la curva C1 en la cual el plano vertical
y = b interseca a S.
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Funciones de varias variables
Interpretación de las derivadas parciales:
Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x) = f (x, b), de modo que la pendiente de
su tangente T1 en P es g 0 (a) = fx (a, b).
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Interpretación de las derivadas parciales:
De igual manera, el plano vertical x = a interseca a S en una curva C2 . Tanto la curva C1
como C2 pasan por el punto P .
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Interpretación de las derivadas parciales:
De igual manera, el plano vertical x = a interseca a S en una curva C2 . Tanto la curva C1
como C2 pasan por el punto P .Ahora, la curva C2 es la gráfica de la función h(y) = f (a, y), de
modo que la pendiente de su tangente T2 en P es h0 (b) = fy (a, b).
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Funciones de varias variables
Interpretación de las derivadas parciales:
En conclusión, las derivadas parciales fx (a, b) y fy (a, b) se pueden interpretar en forma
geométrica como las pendientes de las tangentes en P (a, b, c) a las trazas C1 y C2 de S en los
planos y = b y x = a.
las derivadas parciales también se pueden interpretar como razones de cambio. Si z = f (x, y),
entonces fx representa la razón de cambio de z respecto a x cuando y permanece constante. De
manera similar, fy representa la razón de cambio de z respecto a y cuando x es constante.
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Ejemplo 1.48 (Productividad Marginal)
2
Consideremos la función de función de producción Cobb–Douglas P (K, L) = 30K 3 Y
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3
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Ejemplo 1.48 (Productividad Marginal)
2
Consideremos la función de función de producción Cobb–Douglas P (K, L) = 30K 3 Y
1
3
Encuentre PK y PL
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Ejemplo 1.48 (Productividad Marginal)
2
Consideremos la función de función de producción Cobb–Douglas P (K, L) = 30K 3 Y
1
3
Encuentre PK y PL
¿Cuál es la productividad marginal del trabajo y la productividad marginal del capital
cunado las cantidades empleadas de trabajo y capital son 125 unidades y 27 unidades,
respectivamente?
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Ejemplo 1.48 (Productividad Marginal)
2
Consideremos la función de función de producción Cobb–Douglas P (K, L) = 30K 3 Y
1
3
Encuentre PK y PL
¿Cuál es la productividad marginal del trabajo y la productividad marginal del capital
cunado las cantidades empleadas de trabajo y capital son 125 unidades y 27 unidades,
respectivamente?
¿Debería el gobierno haber aumentado la inversión de capital en lugar de aumentar el
gasto en mano de obra para aumentar la productividad del país?
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Ejemplo 1.49 (Bienes sustitutos y complementarios)
Consideremos la demanda relativa de dos bienes. Decimos que dos bienes son bienes sustitutos
si un decrecimiento en la demanda de uno implica en un crecimiento de la demanda del otro
(e.g. el café y el té).
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Ejemplo 1.49 (Bienes sustitutos y complementarios)
Consideremos la demanda relativa de dos bienes. Decimos que dos bienes son bienes sustitutos
si un decrecimiento en la demanda de uno implica en un crecimiento de la demanda del otro
(e.g. el café y el té).Por otro lado, decimos que dos bienes son bienes complementarios si un
decrecimiento en la demanda de uno implica un decrecimiento en la demanda del otro (e.g
carros y llantas).
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Ejemplo 1.49 (Bienes sustitutos y complementarios)
Consideremos la demanda relativa de dos bienes. Decimos que dos bienes son bienes sustitutos
si un decrecimiento en la demanda de uno implica en un crecimiento de la demanda del otro
(e.g. el café y el té).Por otro lado, decimos que dos bienes son bienes complementarios si un
decrecimiento en la demanda de uno implica un decrecimiento en la demanda del otro (e.g
carros y llantas).
Mediante el uso de las derivadas parciales se puede obtener un criterio para determinar si dos
bienes A y B, son bienes sustitutos o complementarios.
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Ejemplo 1.49 (Bienes sustitutos y complementarios)
Consideremos la demanda relativa de dos bienes. Decimos que dos bienes son bienes sustitutos
si un decrecimiento en la demanda de uno implica en un crecimiento de la demanda del otro
(e.g. el café y el té).Por otro lado, decimos que dos bienes son bienes complementarios si un
decrecimiento en la demanda de uno implica un decrecimiento en la demanda del otro (e.g
carros y llantas).
Mediante el uso de las derivadas parciales se puede obtener un criterio para determinar si dos
bienes A y B, son bienes sustitutos o complementarios.
Supongamos que las ecuaciones de demanda que relaciona las cantidades demandadas x y y con
los precios por unidad p y q están dadas por
x = f (p, q) y y = g(p, q)
Decimos que los bienes A y B son bienes sustitutos si
f q > 0 y gp > 0
Dos bienes A y B son complementarios si
f q < 0 y gp < 0
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Ejemplo 1.50 (Bienes sustitutos y complementarios)
Supongamos que la demanda diaria de mantequilla está dada por
x = f (p, q) =
3q
1 + p2
y la demanda diaria de margarina esta dada por
y = g(p, q) =
2p
√
1+ q
Donde p y q denotan los precios por libra de mantequilla y margarina, respectivamente, x y y
están medidos en millones de libras. Determine si estos dos bienes son sustitutos,
complementarios o ninguno de los dos.
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