Elektrische Netzwerke II
Sommersemester 2020
Elektrische Netzwerke II
 Vorlesung (3 SWS)
Dr.-Ing. Sanam Moghaddamnia
 Übung (2 SWS)
Ferruh Ilhan
E-Mail: ilhan@tau.edu.tr
 Zwischenprüfung
 Literatur

 Elektrotechnik für Ingenieure 3, W. Weißgerber, Springer, 2015
 Electric Circuits, JW Nilsson, S Riedel, Pearson, 2015
Referenz
 Signale und Systeme, Vorlesungsskript, Leibniz Universität
Hannover
Lernplan
 Laplace-Transformation und deren
Umsetzung in praktischen Anwendungen
 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
 Passive und aktive Filterschaltungen
 Mehrpolige Netzwerke
Rückblick
Einfache Berechnung des Ausgleichsvorgangs mit einer
sinusförmigen Eingangsfunktion mittels Übertragungsfunktion
 Eingangssignal
 Übertragungsfunktion
( )
Fourier-Reihe
 Praktischer Aspekt


In der Praxis ist die Annahme sinusförmiger Wechselgrößen in
elektrischen Netzen nicht haltbar
Nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen
 Konstruktionsbedingt keine rein sinus-förmige Spannungsgenerierung in den




Generatoren
Nichtlinearitäten von Netzparametern (Induktivitäten mit Eisenkernen – Die
durch die Sättigung der Eisenkerne verzerrte Magnetisierungsströme in den
Transformatoren)
Nichtlineare Übertragungseigenschaften von aktiven Bauelementen
(Transistoren)
Erzeugung nichtsinusförmige periodische Wechselgrößen wie der
Sägezahnfunktionen, Rechteckimpulse via Funktionsgeneratoren zur
Ermittlung der Filtergüte (Q-Faktor)
Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Vorgänge durch die
Überlagerung sinusförmiger Schwingungen unterschiedlicher
Frequenzen
Fourier-Reihe
 Definition von Periodischen Funktionen
Funktion
heißt periodisch in
mit der Periode
 In der Elektrotechnik ist die Variable häufig die Zeit , da
hier oft mit zeitveränderlichen Größen gearbeitet wird
 Fourier-Reihe (FR)


Ein Mittel zur Beschreibung periodischer Funktionen, das ihre
Eigenschaften besser heraushebt als
Anschaulichste Verfahren zur Darstellung von periodischen
Zeitfunktionen durch Frequenz- und Phasenparameter
Fourier-Reihe
 Fourier-Reihe in reeller Darstellung
Elementarfunktionen
sind hier
 Periodisch mit der Periode

Periodisch sind auch
 Gestauchte oder gedehnte Elementarfunktionen
 Linearkombinationen der Elementarfunktionen (Trigonometrische
Polynome)
Fourier-Reihe
 Approximation der periodischen Funktion
trigonometrisches Polynom
 Fourier-Reihe von

Mit Fourier-Koeffizienten
durch ein
Fourier-Reihe
 Voraussetzung zur Approximation


Eigentlich und uneigentlich Integrierbarkeit von auf den
Intervall
Stückweise Integrierbarkeit von auf den Intervall
Hinweis
Uneigentliche Integrale: Integrale über unbeschränkte Bereichen
,
,
Fourier-Reihe
 Anwendung auf periodische Zeitfunktionen

Substitution

Ferner

Fourier-Reihe von

Mit Fourier-Koeffizienten
Hinweis
Die Lage des Integrationsintervalls ist beliebig wegen der Periodizität der Funktionen,
sofern die Länge beträgt
Fourier-Reihe
 Alternativdarstellung
Beispiel

Fourier-Reihe der Rechteckschwingung mit der Periode
Reelle Darstellung
Fourier-Reihe
Beispiel Darstellung des Betrags- und Phasenspektrums
sowie der Fourier-Koeffizienten für die Rechteckschwingung
Fourier-Reihe
 Vereinfachungen bei der Berechnung der FourierKoeffizienten bei Symmetrie-Eigenschaften der gegebenen
nicht sinusförmigen periodischen Funktion
 Symmetrie 1. Art: gerade Funktionen mit

Symmetrie 2. Art: ungerade Funktionen
Fourier-Reihe
 Vereinfachungen bei der Berechnung der FourierKoeffizienten bei Symmetrie-Eigenschaften der gegebenen
nicht sinusförmigen periodischen Funktion

Symmetrie 3. Art:
k gerade
k ungerade
Fourier-Reihe
 Fourier-Reihe in komplexer Darstellung

Eulersche Formel

Zusammenfassung

Anwendung der Eulerschen Formeln auf die Fourier-Reihe in
reeller Darstellung
Fourier-Reihe
 Fourier-Reihe in komplexer Darstellung

Fourier-Reihe von

Mit Komplexe Fourier-Koeffizienten
Fourier-Koeffizienten
in komplexer Darstellung
ein Abbild von f(t), und daher die Schreibweise
oder
Hinweis
- Die Koeffizienten sind komplex
- Im Spektrum treten negative Frequenzen
auf
∗ , falls f(t) reell
Realteile und Beträge sind gerade in 𝑘
Imaginärteile und Phasenwinkel sind ungerade in 𝑘
-
},
} für
Fourier-Reihe
Beispiel
FR der Rechteckschwingung in komplexer Darstellung
Betrag- und Phasenspektrum, sowie Real- und Imaginärteil der
Koeffizienten
Fourier-Reihe
Beispiel
Nicht gleichmäßige Approximation unstetiger Zeitfunktion durch FR
Antreten eines Überschwingens der FR an den Sprungstellen (Gibbssches
Phänomen)
Verdeutlichen dieses Effekte durch den Abbruch der FR nach dem -ten
Glied
Fourier-Reihe
 Eigenschaften des Systems der Exponentialfunktion

Orthogonalität
Zwei komplexe Funktionen f(t), g(t) heißen orthogonal
im Intervall [a, b], wenn das Skalarprodukt verschwindet, d.h.
Das Funktionensystem
heißt orthogonal im Intervall
, da jeweils zwei Funktionen mit unterschiedlichem k orthogonal sind
Fourier-Reihe
 Eigenschaften des Systems der Exponentialfunktion

Konsequenzen der Orthogonalität
 Die Koeffizienten der einzelnen Glieder der Fourier-Reihe können


unabhängig voneinander bestimmt werden
Jedes weitere Glied einer Fourier-Reihe verkleinert den
Approximationsfehler
Approximationsfehler der Reihendarstellung
 Bilden einer Näherung 𝑓 𝑡 von 𝑓 𝑡 mit nur 2𝑁 Koeffizienten
 Ermittlung der mittleren quadratischen Fehler 𝜌 (mittlerer Leistung) zwischen
Näherung und Original
Fourier-Reihe
 Eigenschaften des Systems der Exponentialfunktion

Approximationsfehler der Reihendarstellung

 Ausmultiplizieren des Betrags
 Auflösen des Integrals
Fourier-Reihe
 Eigenschaften des Systems der Exponentialfunktion

Approximationsfehler der Reihendarstellung
 Besselsche Ungleichung

→ Parsevalsche Gleichung


Spannung am Widerstand
Die mittlere Leistung P kann auch aus den Fourier-Koeffizienten von f(t) ermittelt werden
- 𝑃 → Effektivwert von f(t)
-
⋯
⋯
→ Klirrfaktor (K)
Fourier-Reihe
Beispiel
Gegeben sei die Fourier-Reihe einer Sägezahnfunktion.
Berechnen Sie den Effektivwert und den Klirrfaktor dieser Funktion
Lösung
Anwendung der Fourier-Reihe
 Beispiel
Für die im gezeichnete RC-Schaltung wird eine
Rechteckschwingung angelegt. Berechnen Sie die Ausgangsspannung.
Lösung
𝑣 t = Acos ωt + φ
H s ,
s = jω ⇒ H jω = H(jω) e
𝑣 t = A H(jω) cos ωt + φ + θ(ω)
𝑉 s = H(s) 𝑉 𝑠
1
𝐻 𝑠 =
1 + 𝑅𝐶𝑠
( )
k gerade
→
Anwendung der Fourier-Reihe
 Beispiel
Für die im gezeichnete RC-Schaltung wird eine
Rechteckschwingung angelegt. Berechnen Sie die Ausgangsspannung.
Lösung
𝐻 𝑗𝜔 =
1
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
,
𝑣
𝑣
=?
𝐻 𝑗𝜔
=
1
1+𝜔 𝑅 𝐶
𝜃(𝜔 ) = 𝑡𝑎𝑛
(𝜔 𝑅𝐶)
β = φ + θ(𝜔 )
𝑣 =
𝑣 =
𝑣 =𝑣
+𝑣
+𝑣
+⋯
Zusammenfassung