注意: 用“   N定义” 验证数列极限，关
键是如何由任意给定的   0,寻找 N ？
具体方法：
对任意给定的   0,
从结论“ xn  a   ”出发 ，
解不等式，得 n  关于 的式子 ，
则 N  [ 关于 的式子 ]
注1. 若 xn  a 是一个有理式，则采取分子放大，分母缩小的
办法将其“ 适当地放大” 为 n , 有时先采取部分放大.
注 2. 若 xn  a 中出现根号，则采取分母或分子有理化的方法
将其“ 适当地放大” 为 n .
注3. 若 xn  a 中出现指数形式，则采取二项式定理展开的办
法将其“ 适当地放大” 为 n .
3n 2  5n  1
ex1. lim
 1.
2
n  3n  n  6
nk
ex3. lim n  0(a  1).
n  a
ex 2. lim
n 
n n
 1.
n 1
n 

n
ex : 数列
（ 1）
发散.
n  1

１
证明：a  R,  0  .
２
当a  0时，对N , 奇数n0  N , 有
n0
n0
1
（  1）
a 
a ;
n0  1
n0  1
2
n0
当a  0时，对N , 偶数n0  N , 有
n0
n0
1
（  1）
a 
 a  .即证.
n0  1
n0  1
2
n0
明知不可企及 我们却锲而不舍
历经各种磨难终近我们理想彼岸
2.2、收敛数列的性质
定理2.1.（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。
x n  b, 由定义,
证明：设 lim x n  a , 另外又设 lim
n 
n 
n  N1  xn  a   ;
  0, N 1 , N 2  N , 使得

n  N 2  xn  b   .
取N  max N1 , N 2 , 则n  N , 上述二式同时成立，
 a  b  ( a  x n )  ( x n  b)
 xn  a  xn  b      2 .
由  的任意小性，可知a  b .
证毕
有界数列定义
称xn 为有界数列 数A, B(设A  B), 对n有
A  xn  B. A, B分别为其下界, 上界.
注1、上、下界不唯一。
如上界B , B  1, B  2, B   (  0);
下界A, A  1, A   (  0).
注2
对于数列 𝒙𝒏 ，∃𝑵 ∈ 𝑵+ ，当𝒏 > 𝑵时，有：
𝑨 ≤ 𝒙𝒏 ≤ 𝑩，我们就说数列 𝒙𝒏 往后有界。
往后有界的数列一定有界。
注意到𝑵项之前只有有限多个数𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝑵 ，设
𝜶 = 𝒎𝒊𝒏(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝑵 ) , 𝜷 = 𝒎𝒂𝒙(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝑵 ) ，
则𝒎𝒊𝒏(𝜶, 𝑨) ≤ 𝒙𝒏 ≤ 𝒎𝒂𝒙(𝜷, 𝑩)，也即 𝒙𝒏 有界。
注3
𝒙𝒏 有界
∃𝑴 > 𝟎，使得对∀𝒏，都有 𝒙𝒏 ≤ 𝑴。
∃原点的一个邻域𝑶(𝟎, 𝑴)，使得对∀𝒏，
都有𝒙𝒏 ∈ 𝑶(𝟎, 𝑴)。
𝒙𝒏 无界
∀𝑴 > 𝟎，∃𝒏𝟎 ，都有 𝒙𝒏𝟎 > 𝑴。
定理2.2(有界性). 收敛数列是有界的。
证明：设lim x n  a .据定义，取 0  1，则N , 当
n 
𝒙𝒏 = 𝒙𝒏 − 𝒂 + 𝒂 ≤ 𝟏 + 𝒂
令M  max{ x1 , x 2 ,  , x N , a  1}
𝒙𝒏 ≤ 𝑴.
任意
注：定理表明收敛数列必有界，反之有界数列不


一定收敛. 如 1  1 （0  xn  2）是发散的.
n 1
注：数列无界，则一定发散。
定理2.3 数列极限的有理运算法则
1. 若xn , yn 都收敛, 则xn  yn 也收敛, 且有
lim（xn  yn） lim xn  lim yn .
n
n
n
2. 若xn , yn 都收敛, 则xn yn 也收敛, 且有
lim xn yn  lim xn lim yn .
n
n
n 
特别，
lim cxn  c lim xn , c  const .
n
n
两个无穷小量的代数和
与积仍是无穷小量。
3.
lim xn
xn
lim
 n 
.
n  y
lim yn
n
n 
4.
1
1
1
证明: 先证 收敛且有lim

.
n y
lim yn
n
 yn 
n
设 lim yn  b  0.对  0, N1 ,当n  N1时，有
n
b
b
yn  b   .又取 0  , N 2 ,当n  N 2时，有 yn  b  .
2
2
由 yn  yn  b  b  b  yn  b ,当n  N2时，有
b
1
2
yn  b  或
 .
2
yn
b
取N  max( N1, N2 ), 则当n  N时，有
y n b
1 1
2
 
 2 .
yn b
b yn
b
1 1
1
故 lim
 
.
n y
b lim yn
n
n
xn
1
1
于是，据2，有 lim
 lim xn
 lim xn lim
得证.
n  y
n
y n n  n  yn
n
注1. 两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要
条件。例如：
1
1
2
n
n
  (1) 与  (1) 都发散，但它们的和 收敛。
n
 n

n
1  (1) 与1  (1) 都发散，但它们的积1 （ 1） 收
n
n
2n
 收敛。
敛于零，它们的和2
xn  yn 收敛  xn , yn 都收敛或都发散。
xn yn 收敛，则结论如何？
1 
 与n, 不一定。
n 
注2. 极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷多个
却不成立。
1
例：lim  0,
n  n
1 1
1
1
1
1
lim      lim  lim    lim  0.
n  n
n  n
n 
n n  n n   n



n个
1
( lim n   lim 1  1.)
n 
n n 
定理 2. 4.( 保号性) 若 lim xn  a , a  0，则N  N ，
n 
使得n  N , 有an与a同号.并且，若a  0(或a  0)
则N  N  , 使得n  N , 恒有an  q  0(或an  q  0).
推论2.1.(保序性)
当n  N 时, 有xn  yn，则a  b.
特别, lim xn  a , 且N  N ，当n  N 时, 有xn  b
n 
 则a  b. (取yn＝b，n＝１，２，
).
注: 在推论1中, xn  yn，可能有a  b. 如
１  １  １  １
 与
，
 与－  ０ ( n   )
 n  ２n   n   n 
推论２. 若lim x n  a , 且a  b(或a  b), 则N，当
n 
n  N时, 有xn  b（或xn  b）
.
特别地, 当b  0时，即若lim x n  a  0 (或a  0),
n 
则当n充分大时, 有xn  0(或xn  0)，称为极限保号性.
注: 充分大的n  N ,当n  N时的一切n.
推论3. 若 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,
n 
n 
则N  N ，当n  N 时, 有xn  yn .
ab
证明：取定正数 
，则由xn  a , N 1  N  , 当
2
ab
3a  b
n  N 1时，有
 xn 
;
2
2
3b  a
ab
+
 yn 
.
由𝒚𝒏 → 𝒃, ∃𝑵𝟐 ∈ 𝑵 ，当n  N２时，有
2
2
取N＝max{ N 1 , N 2 }时, 得证。
a b
2
a b
2
(
3b  a
2
)(
b
ab
2
)
a
3a  b
2
x
定理2.5(夹逼性)
lim x n  lim z n  a , 则 lim y n  a .
n 
n 
n 
称“两边夹”法则
证明：  0, N   max{ N , N1 , N 2 }, 当n  N 时，有
a    x n  yn  z n  a   .
( N1 )
(N)
( N2 )
推论: 若N , 当n  N时，有a  yn  zn (或zn  yn  a ),
且lim z n  a , 则lim yn  a .
n 
注：该定理
此方法求极限。
n 
常用数列极限
1
lim
 0;
n  n
1
lim a  0 (a  0);
n n
lim C  C ;
lim q n  0, 其中q  1;
n 
n 
lim n a  1 (a  0);
n 
lim n n  1.
n 
例8 lim n a1n  a2n 
n 
 akn  max(a1 , a2 ,

ak 是k个正数。
, ak ), a1 , a2 ,
A
证明：A  n An  n a1n    akn  n An k  An k , 且
n
k  1(n   ).
例9 lim ( n  1)  n   0(0    1).
n 
1 
1




证明：
0  ( n  1)  n  n (1  )  1  n (1  )  1
n
n






,

1
1
 1 , 且lim 1  0.
n  n
n
例10 lim(
n 
1
n2  1

1
n2  2


1
( n  1)2
)  2.
2n  1
2n  1
2n  1
解：2 

 xn 
 2,
2
2
n 1
( n  1)
n 1
（xn共有2n  1项）
.
例11
1
2
n
1) 求 lim ( 2
 2
 2
),
n n  n  1
n n2
n nn
2) 求 lim (
n 
1
n 1
2

1
n 2
2

1
n n
2
).

1 3
3) 求 lim 
n  2 4


k

N
,
有
2n  1
.
2k  1
2k
2n

，
2k
2k  1
4) 求 lim xn  lim
n 
n 
n
1 3  5
2 46
( 2n  1)
.
2n