METODY NUMERYCZNE
Wykład 2.
dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH
1
Met.Numer. wykład 2
Plan
• Aproksymacja
• Interpolacja wielomianowa
• Przykłady
Met.Numer. wykład 2
2
1
Aproksymacja
Metody numeryczne zajmują się rozwiązywaniem zadań
matematycznych za pomocą działań arytmetycznych. Zachodzi
zatem potrzeba przybliżania wielkości nie arytmetycznych
wielkościami arytmetycznymi i badania błędów wywołanych
takimi przybliżeniami. Wybór przybliżenia zależy od tego,
którym z możliwych kryteriów posłużymy się w ocenie
skuteczności danego przybliżenia.
Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?
Jak szybko można otrzymać rozwiązanie – jaka jest
szybkość zbieżności danej metody, np. procesu
iteracyjnego?
Met.Numer. wykład 2
3
Co to jest interpolacja ?
Dane są punkty (x0,y0), (x1,y1), ….(xn,yn). Znaleźć nieznaną
wartość y dla dowolnego x.
Met.Numer. wykład 2
4
2
Różnica pomiędzy
aproksymacją i interpolacją
interpolacja
aproksymacja
5
Met.Numer. wykład 2
Aproksymacja
Chcemy przybliżyć funkcję f(x) kombinacją (najczęściej
liniową) funkcji należących do pewnej szczególnej klasy.
Klasy funkcji:
{x n } ( n = 0,1, ...)
dla N pierwszych wyrazów szeregu Taylora
{ pn ( x)} ( n = 0,1, ...)
ogólniej: pn(x) jest wielomianem stopnia n
{sin(nx), cos(nx)} (n = 0,1, 2 ...) wielomiany trygonometryczne
Największe znaczenie posiada aproksymacja wielomianowa
Met.Numer. wykład 2
6
3
Aproksymacja
Aproksymacja liniowa funkcji f(x)
f ( x) ≈ a0 g 0 ( x) + a1 g1 ( x) + ... + am g m ( x)
klasy funkcji:
{g n ( x)} ( n = 0,1, ...)
współczynniki stałe:
ai (i = 0,1, ..., m)
Przybliżenia liniowe stosuje się ponieważ badanie aproksymacji
kombinacjami nieliniowymi funkcji przybliżających jest bardzo
trudne jak analiza większości zagadnień nieliniowych.
Czasami stosuje się przybliżenia wymierne:
f ( x) ≈
a0 g 0 ( x) + a1 g1 ( x) + ... + am g m ( x)
b0 g 0 ( x) + b1 g1 ( x) + ... + bk g k ( x)
7
Met.Numer. wykład 2
Aproksymacja
Kryteria wyboru stałych współczynników
ai (i = 0,1, ..., m)
Trzy typy przybliżeń o dużym znaczeniu
•przybliżenie interpolacyjne
współczynniki są tak dobrane, aby w punktach
xi (i = 1, 2, ... , p )
funkcja przybliżająca wraz z jej pierwszymi ri pochodnymi (ri jest
liczbą całkowitą nieujemną) była zgodna z f(x) i jej pochodnymi (z
dokładnością do błędów zaokrągleń)
Met.Numer. wykład 2
8
4
Aproksymacja
Kryteria wyboru stałych współczynników
ai (i = 0,1, ..., m)
•przybliżenie średniokwadratowe
szukamy minimum wyrażenia będącego całką z kwadratu
różnicy pomiędzy f(x) i jej przybliżeniem w przedziale
<x1,x2> lub sumą ważoną kwadratów błędów rozciągniętą
na zbiór dyskretny punktów z przedziału <x1,x2>
•przybliżenie jednostajne
znalezienie najmniejszego maksimum różnicy między f(x) i
jej przybliżeniem w przedziale <x1,x2>
9
Met.Numer. wykład 2
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa
2
S = ∑ [ y i − (ax i + b )] = min
2
n
i
y
60
f(x)=ax+b
a=3.23, b=-2.08
40
yi
f(x i)
20
0
4
6 x
i
Met.Numer. wykład 2
8
10
x
12
14
16
10
5
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:
∂S 2
=0
∂a
∂S 2
=0
∂b
Otrzymujemy układ równań liniowych dla niewiadomych a i b
a ∑ xi2 + b ∑ xi = ∑ xi yi
a ∑ xi + bn = ∑ yi
Rozwiązując ten układ równań uzyskuje się wyrażenia na a i b
n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
W
2
∑ xi ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi
b =
W
a =
11
Met.Numer. wykład 2
gdzie: wyznacznik główny W wyraża się wzorem
W = n ∑ xi2 − (∑ xi )
2
Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia
standardowe u(a) i u(b) obu parametrów prostej a,b:
u (a ) =
n
n−2
u (b ) = u ( a )
Met.Numer. wykład 2
S2
W
2
∑ xi
n
12
6
Aproksymacja wielomianowa
Zastosowanie w obliczeniach wielomianów jako funkcji
przybliżających wiąże się z faktem, że maszyna cyfrowa
wykonuje w praktyce działania arytmetyczne.
Wspólną właściwością potęg zmiennej i wielomianów
trygonometrycznych (a także funkcji wykładniczych) jest to,
że w przybliżeniach korzystających z każdej z tych klas
przesunięcie układu współrzędnych zmienia współczynniki,
ale nie zmienia postaci przybliżenia.
Jeżeli P(x) jest wielomianem lub funkcją wymierną to
P(x+α) jest również tej postaci, a jeśli T(x) jest liniowym
lub wymiernym przybliżeniem zbudowanym z sinusów lub
cosinusów, to takie jest również T(x+α).
13
Met.Numer. wykład 2
Aproksymacja wielomianowa
Przybliżenia funkcjami
{x n } (n = 0,1, ...)
mają taką zaletę, że przy zmianie skali zmiennej zmieniają
się tylko współczynniki, a nie zmienia się kształt
przybliżenia. Przykład: wielomian P(kx) jest również
wielomianem zmiennej x.
Tej własności nie mają przybliżenia trygonometryczne, gdyż
dla niecałkowitego k na ogół sin(nkx) nie jest elementem
klasy
{sin(nx)} (n = 0,1, 2 ...)
Met.Numer. wykład 2
14
7
Aproksymacja wielomianowa
Najczęściej wybiera się wielomiany gdyż można
łatwo:
obliczać ich wartości
różniczkować
całkować
15
Met.Numer. wykład 2
Uzasadnienie analityczne
Zalety klasy
{x n } (n = 0,1, ...)
mają uzasadnienie w twierdzeniu, że za pomocą funkcji tych
klas można uzyskać dowolnie dobrą dokładność aproksymacji.
n
Twierdzenie analityczne:
Ciąg funkcji { x } ( n = 0,1, ...)
jest zamknięty na każdym przedziale <x1,x2>, tzn. że dla
każdej funkcji f(x) przedziałami ciągłej i każdego ε > 0
istnieją liczba n i współczynniki a0, a1, …, an takie, że
x2
2
n

i
∫  f ( x) − ∑ ai x  dx < ε
i =0

x1 
To twierdzenie gwarantuje, że możemy uzyskiwać dowolnie dobre
przybliżenie średniokwadratowe za pomocą wielomianów
Met.Numer. wykład 2
16
8
Twierdzenie aproksymacyjnie
Weierstrassa
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale skończonym <x1,x2>,
to dla każdego
ε>0
istnieją liczba n (=n(ε)) i wielomian Pn(x) stopnia n takie, że
f ( x) − P( x) < ε
dla wszystkich x z przedziału <x1,x2>
Żądając, aby funkcja była ciągła, a nie tylko przedziałami
ciągła, otrzymujemy nie tylko dowolnie dobre przybliżenia
średniokwadratowe ale i jednostajne
17
Met.Numer. wykład 2
Twierdzenie aproksymacyjnie
Weierstrassa
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla funkcji okresowych
Jeżeli f(t) jest funkcją ciągłą i okresową o okresie 2π, to dla
każdego
ε>0
istnieją liczba n (=n(ε)) i wielomian trygonometryczny
n
S n (t ) = a0 + ∑ (ak cos kt + bk sin kt )
k =1
takie, że dla wszystkich t
f (t ) − S n (t ) < ε
Met.Numer. wykład 2
18
9
Operator podstawowy
•
•
•
•
•
Z przybliżeń wielomianowych wywodzą się metody:
interpolacji
ekstrapolacji
różniczkowania numerycznego
kwadratur
rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
zwyczajnych
Powiązania pomiędzy tymi metodami są łatwo dostrzegalne,
gdyż metody interpolacyjne są podstawą wzorów różniczkowania
numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego
równań różniczkowych.
19
Met.Numer. wykład 2
Operator podstawowy
Wprowadzamy operator liniowy L[f(x)], który jest podstawą
wszystkich metod. Dobierając odpowiednio parametry
(specjalizacja operatora podstawowego) można otrzymać
ogólne wzory interpolacji, ekstrapolacji, różniczkowania
numerycznego, kwadratur i rozwiązywania numerycznego
równań różniczkowych.
różniczkowanie
L [ f ( x ) ]df δ k f
0 ≤ k ≤ m, f
(0)
(k )
m
n
i=0
j =1
( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(a0 j ) = f (a0 j )
δ k = {0 ,1}
Met.Numer. wykład 2
(i )
( a ij )
wielomiany zmiennej
x
stałe
k=0 z wyjątkiem różniczkowania numerycznego
20
10
Operator podstawowy
L [ f ( x ) ]df δ k f
(k )
m
n
i=0
j =1
( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(i )
( a ij )
Wybierając na różne sposoby parametry aij, Aij(x), k, m, n
możemy uzyskać wiele różnych metod numerycznych. Ogólne
postępowanie jest następujące:
A. Tę część operatora L[f(x)], którą chcemy aproksymować,
zastępujemy jej przybliżeniem
L [ f ( x )]
B. Szukane przybliżenie wyznaczamy rozwiązując równanie
L [ f ( x )] = 0
21
Met.Numer. wykład 2
Operator podstawowy
L [ f ( x ) ]df δ k f
(k )
m
n
i=0
j =1
( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(i )
( a ij )
Błąd dowolnego przybliżenia określonego wcześniej opisaną
procedurą wyraża się wzorem:
E [ f ( x )] = L[ f ( x )]− L [ f ( x )] = L[ f ( x )]
bo
Met.Numer. wykład 2
L [ f ( x )] = 0
22
11
Specjalizacja operatora podstawowego
L [ f ( x ) ]df δ k f
L[ f ( x)]
1.
gdy
m
n
i=0
j =1
( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(k )
(i )
( a ij )
jako operator interpolacyjny
δ 0 = 1 ( k = 0 ) x ∈< min a ij , max a ij >
gdy x jest poza tym przedziałem
Ogólna postać:
L[ f ( x)]
df
ekstrapolacja
m
n
i=0
j =1
f ( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(i )
( a ij )
Zazwyczaj używa się wartości samej funkcji czyli m=0
23
Met.Numer. wykład 2
Specjalizacja operatora podstawowego
L [ f ( x ) ]df f ( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
m
n
i=0
j =1
(i )
( a ij )
m =0
x − x0
x − x1
L1 [ f ( x ) ] = f ( x ) −
f ( x0 ) −
f ( x1 )
x 0 − x1
x1 − x 0
Przykład operatora interpolacyjnego
wzór interpolacji
liniowej
L1 [ f ( x ) ] = y ( x ) −
Błąd przybliżenia
Met.Numer. wykład 2
A01 ≠ 0
A02 ≠ 0
x − x0
x − x1
f ( x0 ) −
f ( x1 ) = 0
x 0 − x1
x1 − x 0
E [ f ( x )] = f ( x) − y ( x )
24
12
Specjalizacja operatora podstawowego
L[ f ( x)] δ k f
df
2.
L[ f ( x)]
gdy
δk = 1 , k > 0
(k )
m
n
i=0
j =1
( x ) + ∑ ∑ Aij ( x ) f
(i )
( a ij )
jako operator k-krotnego różniczkowania
numerycznego
i co najmniej jeden współczynnik A0j(x) jest różny od 0
Przykład operatora jednokrotnego różniczkowania
numerycznego:
f (x ) −
L2 [ f ( x ) ] = f ' ( x ) +
L2 [ f ( x ) ] = y ' ( x ) +
f ( x1 )
x1 − x 0
0
f ( x 0 ) − f ( x1 )
=0
x1 − x 0
L2[f(x)] jest pochodną L1[f(x)]
25
Met.Numer. wykład 2
Specjalizacja operatora podstawowego
3.
gdy
L[ f ( x)]
δk = 0
jako operator kwadratury
i wszystkie współczynniki A0j(x) są 0 z
wyjątkiem
A ( x)
A0 j1 ( x ) = 1
0 j2
= −1
i jeśli wszystkie Aij(x) są stałe dla i≥1
Przykład operatora kwadratury:
L 3 [ f ( x ) ] = f ( x 2 ) − f ( x1 ) −
L3 [ f ( x ) ] = I −
1
( x 2 − x1 ) [ f ' ( x 2 ) + f ' ( x1 ) ]
2
1
( x 2 − x1 ) [ f ' ( x 2 ) + f ' ( x1 ) ] = 0
2
I dane jest znanym wzorem trapezów do aproksymacji całki
x2
∫ f ' ( x ) dx
x1
Met.Numer. wykład 2
26
13
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
Założenie:
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) różnych punktów x0, x1, …, xn,
które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji
y = f(x) w tych punktach:
f(xi) = yi dla i = 0, 1, ..., n.
interpolacja
Met.Numer. wykład 2
27
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
Zadanie interpolacji:
Wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących
węzłami oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych wartości.
1. W tym celu należy znaleźć funkcję F(x), zwaną funkcją
interpolującą, która będzie „przybliżać” funkcję f(x) w przedziale
[a,b].
2. Funkcja F(x) w węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości
co funkcja y = f(x).
3. W zagadnieniu interpolacji wielomianowej funkcja F(x) jest
wielomianem stopnia co najwyżej n.
Twierdzenie
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej
n (n≥0), który w punktach x0, x1, …, xn przyjmuje wartości y0, y1, …,
yn .
Met.Numer. wykład 2
28
14
Interpolacja - metoda bezpośrednia
Przez n+1 punktów (x0,y0), (x1,y1), ….(xn,yn) przechodzi
dokładnie jeden wielomian stopnia n
y = a0 + a1x +....................+ an xn.
gdzie a0, a1, …. an są stałymi współczynnikami (R)
•Ułożyć n+1 równań aby znaleźć n+1 stałych
•Podstawić wartość x do wielomianu, aby znaleźć y
29
Met.Numer. wykład 2
Przykład
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
predkosc v(m/s)
1000
t(s)
800
dane
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
czas t(s)
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę
bezpośrednią dla dwóch punktów
Met.Numer. wykład 2
30
15
Interpolacja liniowa
v(t ) = a0 + a1t
y
v(15) = a 0 + a1 (15) = 362.78
(x1 , y1 )
v(20) = a 0 + a1 (20 ) = 517.35
( x0 , y0 )
f1 ( x )
Rozwiązanie układu równań
x
a0 = −100.93
a1 = 30.914
A zatem
v(t ) = −100.93 + 30.914t , 15 ≤ t ≤ 20
v(16) = −100.93 + 30.914(16) = 393.7 m/s
31
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa
v(t ) = a0 + a1t + a2t 2
y
(x1 , y1 )
v(10) = a0 + a1 (10) + a2 (10) = 227.04
2
( x2 , y2 )
v(15) = a0 + a1 (15) + a2 (15) = 362.78
2
v(20) = a0 + a1 (20) + a2 (20) = 517.35
2
f2 (x )
(x 0 , y 0 )
x
Rozwiązanie układu równań
a0 = 12.05
a1 = 17.733 a2 = 0.3766
v (t ) = 12 .05 + 17.733t + 0.3766 t 2 , 10 ≤ t ≤ 20
v(16 ) = 12.05 + 17.733(16 ) + 0.3766(16 )
2
Met.Numer. wykład 2
= 392.19 m/s
32
16
Interpolacja kwadratowa
v (t ) = 12 .05 + 17 .733t + 0.3766 t 2 , 10 ≤ t ≤ 20
v(16 ) = 392.19m / s
1000
800
392.19 − 393.70
∈a =
×100
392.19
= 0.38410%
V(m/s)
Błąd względny
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
33
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja sześcienna
y
v(t ) = a0 + a1t + a2t + a3t
2
(x3 , y3 )
(x1 , y1 )
3
( x2 , y 2 )
(x0 , y0 )
v(10) = 227.04 = a0 + a1 (10) + a2 (10) + a3 (10)
2
3
x
v(15) = 362.78 = a0 + a1 (15) + a2 (15) + a3 (15)
2
f 3 (x )
3
v(20) = 517.35 = a0 + a1 (20) + a2 (20) + a3 (20)
2
3
v(22.5) = 602.97 = a0 + a1 (22.5) + a2 (22.5) + a3 (22.5)
2
Met.Numer. wykład 2
3
34
17
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Rozwiązać układ równań:
a0 + 10a1 + 100a2 + 1000a3 = 227.04
a0 + 15a1 + 225a2 + 3375a3 = 362.78
a0 + 20a1 + 400a2 + 8000a3 = 517.35
a0 + 22.5a1 + 506.25a2 + 11390.625a3 = 602.97
Podać i narysować v(t)
35
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja sześcienna -rozwiązanie
a0 = −4.2540
a1 = 21.266
a2 = 0.13204
10 ≤ t ≤ 22.5
a3 = 0.0054347
v(t ) = −4.2540 + 21.266t + 0.13204t 2 + 0.0054347t 3 ,
v (16 ) = 392 .06 m / s
Błąd względny
Met.Numer. wykład 2
392 .06 − 392 .19
× 100
392 .06
= 0.033269 %
∈a =
36
18
Porównanie
Rząd wielomianu
1
2
3
v(t = 16 ) m/s
393.7
392.19
392.06
błąd względny
----------
0.38410 %
0.033269 %
37
Met.Numer. wykład 2
Obliczenia przemieszczenia
od t=11s do t=16s
v(t ) = −4.2540 + 21.266t + 0.13204t 2 + 0.0054347t 3 ,10 ≤ t ≤ 22.5
16
s (16 ) − s (11) = ∫ v(t )dt
11
(
16
)
= ∫ − 4.2540 + 21.266t + 0.13204t 2 + 0.0054347t 3 dt
11
16

t2
t3
t4 
= − 4.2540t + 21.266 + 0.13204 + 0.0054347 
2
3
4 11

= 1605 m
Met.Numer. wykład 2
38
19
Obliczenia przyspieszenia
ν (t ) = −4.2540 + 21 .266 t + 0.13204 2 + 0.0054347 t 3 ,10 ≤ t ≤ 22 .5
a (t ) =
d
v (t )
dt
d
=
− 4 .2540 + 21 .266 t + 0 .13204 t 2 + 0 .0054347 t 3
dt
= 21 .266 + 0 .26408 t + 0 .016304 t 2 , 10 ≤ t ≤ 22 .5
(
)
a (16 ) = 21 .266 + 0.26408 (16 ) + 0.016304 (16 )2
= 29 .665 m/s 2
39
Met.Numer. wykład 2
Wzór interpolacyjny Newtona
Interpolacja liniowa: dane są punkty
( x0 , y 0 ), ( x1 , y1 ),
szukamy
f1 ( x) = b0 + b1 ( x − x 0 )
b0 = f ( x 0 )
b1 =
f ( x1 ) − f ( x 0 )
x1 − x 0
Met.Numer. wykład 2
40
20
Przykład
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
predkosc v(m/s)
1000
t(s)
800
dane
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
czas t(s)
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę Newtona
41
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja liniowa
v(t ) = b0 + b1 (t − t0 )
Wiadomo, że:
Znajdujemy:
t0 = 15, v(t0 ) = 362.78
b0 = v(t0 ) = 362.78
t1 = 20, v(t1 ) = 517.35
b1 =
v(t1 ) − v(t0 )
= 30.914
t1 − t0
A zatem:
v(t ) = b0 + b1 (t − t0 ) =
= 362.78 + 30.914(t − 15), 15 ≤ t ≤ 20
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej
Met.Numer. wykład 2
42
21
Interpolacja liniowa
v(t ) = b0 + b1 (t − t0 )
Szukana prędkość w chwili t=16 s wynosi:
v(t ) = b0 + b1 (t − t0 ) =
= 362.78 + 30.914(16 − 15)
= 393.69 m / s
520
500
dane
480
v(m/s)
460
440
420
400
380
360
15
16
17
18
19
20
czas t(s)
43
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa
Dane są punkty
( x0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),
szukamy
f 2 ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 )
b0 = f ( x 0 )
b1 =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x 0
f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 )
−
x 2 − x1
x1 − x0
b2 =
x 2 − x0
Met.Numer. wykład 2
44
22
Interpolacja kwadratowa
Wiadomo, że:
Znajdujemy:
t0 = 10, v(t0 ) = 227.04
b0 = v(t0 ) = 227.04
t1 = 15, v(t1 ) = 362.78
t 2 = 20, v(t 2 ) = 517.35
b1 =
v(t1 ) − v(t0 ) 362.78 − 227.04
=
=
t1 − t 0
15 − 10
= 27.148
v(t2 ) − v(t1 ) v(t1 ) − v(t0 )
−
t2 − t1
t1 − t0
30.914 − 27.148
=
=
b2 =
10
t 2 − t0
= 0.37660
45
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa
A zatem:
v(t ) = b0 + b1 (t − t0 ) + b2 (t − t0 )(t − t1 ) =
= 227.04 + 27.148(t − 10) + 0.37660(t − 10)(t − 15), 10 ≤ t ≤ 20
dla t=16s:
v(16) = b0 + b1 (16 − t0 ) + b2 (16 − t0 )(16 − t1 ) =
= 227.04 + 27.148(16 − 10) + 0.37660(16 − 10)(16 − 15)
= 392.19 m / s
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej
Met.Numer. wykład 2
46
23
Interpolacja kwadratowa
550
500
dane
v(m/s)
450
400
350
300
250
200
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
czas t(s)
Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji
∈a
=
392.19 − 393.69
x100
392.19
= 0.38502 %
47
Met.Numer. wykład 2
Ogólna formuła
f 2 ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 )
gdzie
b0 = f [ x0 ] = f ( x0 )
b1 = f [ x1 , x0 ] =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x 0
iloraz różnicowy pierwszego rzędu
f [ x 2 , x1 ] − f [ x1 , x0 ]
b2 = f [ x2 , x1 , x0 ] =
=
x 2 − x0
A zatem
f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x0
x 2 − x0
iloraz różnicowy drugiego rzędu
f 2 ( x) = f [ x0 ] + f [ x1 , x0 ]( x − x0 ) + f [ x 2 , x1 , x0 ]( x − x0 )( x − x1 )
Met.Numer. wykład 2
48
24
Ogólna formuła
Mając (n+1) punktów
(x0 , y 0 ), (x1 , y1 ),......, (xn −1 , y n−1 ), (x n , y n )
f n ( x) = b0 + b1 ( x − x 0 ) + .... + bn ( x − x0 )( x − x1 )...( x − x n −1 )
gdzie
b0 = f [ x 0 ]
b1 = f [ x1 , x0 ]
b2 = f [ x 2 , x1 , x0 ]
⋮
bn −1 = f [ x n −1 , x n − 2 ,...., x 0 ]
bn = f [ x n , x n −1 ,...., x 0 ]
49
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja sześcienna
Wielomian 3-ciego stopnia, mając dane ( x0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), i ( x3 , y 3 ), ma postać:
f 3 ( x ) = f [ x 0 ] + f [ x1 , x0 ]( x − x 0 ) + f [ x 2 , x1 , x0 ]( x − x 0 )( x − x1 )
+ f [ x3 , x 2 , x1 , x0 ]( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 )
b0
x0
b1
f ( x0 )
b2
f [ x1 , x0 ]
x1
f ( x1 )
f [ x 2 , x1 , x0 ]
f [ x 2 , x1 ]
x2
b3
f [ x3 , x 2 , x1 , x 0 ]
f [ x3 , x 2 , x1 ]
f ( x2 )
f [ x3 , x 2 ]
x3
f ( x3 )
Met.Numer. wykład 2
50
25
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie
interpolacji sześciennej Newtona :
v (t ) = b0 + b1 (t − t 0 ) + b2 (t − t 0 )(t − t1 ) + b3 (t − t 0 )(t − t1 )(t − t 2 )
Dane
t0 = 10, v(t0 ) = 227.04
Znaleźć współczynniki bi
t1 = 15, v(t1 ) = 362.78
t 2 = 20, v(t 2 ) = 517.35
t3 = 22.5, v(t3 ) = 602.97
Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć
przyspieszenie w chwili t=16 s.
51
Met.Numer. wykład 2
Rozwiązanie
b0
t0 = 10
227.04
t1 = 15,
362.78
b1
27.148
b2
5.4347 x10
30.914
t 2 = 20,
517.35
t3 = 22.5,
602.97
b3
0.37660
−3
0.44453
34.248
b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347*10-3
Met.Numer. wykład 2
52
26
Porównanie
Rząd wielomianu
v(t=16)
m/s
Błąd względny
przybliżenia
1
393.69
2
392.19
3
392.06
----------
0.38502 %
0.033427 %
53
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja z równo-odległymi węzłami
Dane są wartości funkcji f(xi)=yi dla i=0,1,…n w punktach
rozmieszczonych w jednakowych odstępach:
xi = x0 + ih
Pierwszy wielomian interpolacyjny Newtona ma postać:
∆y0
∆2 y0
( x − xo ) +
( x − xo )( x − x1 ) + ... +
1! h
2!h 2
∆n y0
+
( x − xo )( x − x1 ).....( x − xn −1 )
n!h n
N nI ( x) = y0 +
gdzie ∆kf(x0) jest różnica progresywna k-tego rzędu
Met.Numer. wykład 2
54
27
Interpolacja z równo-odległymi węzłami
Wielomian interpolacyjny Newtona jest korzystny w pobliżu
początku tablicy. W pobliżu końca tablicy stosujemy
∆yn −1
∆2 yn − 2
( x − xn ) +
( x − xn )( x − xn −1 ) + ... +
N ( x) = y n +
1!h
2!h 2
∆n y0
+
( x − xn )( x − xn −1 ).....( x − x1 )
n!h n
II
n
drugi wielomian interpolacyjny Newtona z różnicami wstecznymi
55
Met.Numer. wykład 2
Różnice progresywne
∆yi = f ( xi + h) − f ( xi ) = yi +1 − yi
∆2 yi = ∆( ∆yi ) = ∆yi +1 − ∆yi
Różnice wsteczne
∇yi = f ( xi ) − f ( xi − h) = yi − yi −1
∇ 2 yi = ∇(∇yi ) = ∇yi − ∇yi −1
Met.Numer. wykład 2
56
28
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Inaczej:
n
( x − x0 )( x − x1 )...( x − x j −1 )( x − x j +1 )...( x − xn )
j =0
( x j − x0 )( x j − x1 )...( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )...( x j − xn )
Wn ( x) = ∑ f ( x j )
Ogólnie:
Wn ( x ) = ∑ f (x j )
ωn ( x)
n
j =0
gdzie:
=∑ f (x j )
n
 ω ( x ) 
( x − x j ) n 
 x − x j 
x= x j
j =0
ω n ( x)
( x − x j )ω 'n ( x j )
ωn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn )
ω’n(xj) jest wartością pochodnej wielomianu ωn(x) punkcie xj
będącym zerem tego wielomianu
57
Met.Numer. wykład 2
Przykład
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
predkosc v(m/s)
1000
t(s)
800
dane
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
czas t(s)
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji
wielomianem Lagrange’a dla dwóch punktów
Met.Numer. wykład 2
58
29
Interpolacja liniowa wielomianem
Lagrange’a
1
v(t ) = ∑ Li (t )v(ti ) = L0 (t )v(t0 ) + L1 (t )v(t1 )
i =0
Znajdujemy:
Wiadomo, że:
t −tj
t − t1
t 0 − t1
j =0 t0 − t j
j≠0
1 t −t j
t − t0
L1 (t ) = ∏
=
t1 − t0
j =0 t1 − t j
t0 = 15, v(t0 ) = 362.78
1
L0 (t ) = ∏
t1 = 20, v(t1 ) = 517.35
=
j ≠1
A zatem:
t − t0
t − t1
v(t ) =
v(t0 ) +
v(t1 ) =
t0 − t1
t1 − t0
=
t − 20
t − 15
362.78 +
517.35
15 − 20
20 − 15
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej (wykład 3)
59
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja liniowa wielomianem
Lagrange’a
16 − 20
16 − 15
(362.78) +
(517.35)
15 − 20
20 − 15
= 0.8 (362.78) + 0.2 (517.35) =
v(16) =
= 393.7 m / s
520
500
dane
480
v(m/s)
460
440
420
400
380
360
15
16
17
18
19
20
czas t(s)
Met.Numer. wykład 2
60
30
Interpolacja kwadratowa
Dane są punkty
( x0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
v(t ) = ∑ Li (t )v(ti ) =
2
szukamy
i =0
= L0 (t )v(t0 ) + L1(t )v(t1) + L2 (t )v(t2 )
2
Li (t ) = ∏
t −t j
j =0 ti
j ≠i
−t j
61
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa
Znajdujemy:
Wiadomo, że:
t0 = 10, v(t0 ) = 227.04
t1 = 15, v(t1 ) = 362.78
t 2 = 20, v(t 2 ) = 517.35
2
L0 ( t ) = ∏
j =0
j≠0
2
L1 (t ) = ∏
t −tj
t0 − t j
t −tj
j =0 t1 − t j
j ≠1
2 t −tj
L2 (t ) = ∏
j =0
j ≠2
t2 − t j
=
(t − t1 )(t − t 2 )
(t 0 − t1 )(t 0 − t 2 )
(t − t0 )(t − t2 )
(t1 − t0 )(t1 − t2 )
(t − t0 )(t − t1 )
=
(t2 − t0 )(t2 − t1 )
=
A zatem:
v(t ) =
t − t0 t − t 2
t − t0 t − t1
t − t1 t − t 2
v(t0 ) +
v(t1 ) +
v(t 2 )
t0 − t1 t0 − t 2
t1 − t0 t1 − t 2
t 2 − t0 t 2 − t1
Met.Numer. wykład 2
62
31
Interpolacja kwadratowa
dla t=16s:
(16 − 15) (16 − 20)
(16 − 10) (16 − 20)
(227.04) +
(362.78)
(10 − 15) (10 − 20)
(15 − 10) (15 − 20)
(16 − 10) (16 − 15)
+
(517.35) =
(20 − 10) (20 − 15)
= (−0.08)(227.04) + (0.96)(362.78) + (0.12)(517.35)
= 392.19 m / s
v(16) =
Jako zadanie domowe, proszę sprawdzić czy wynik uzyskany
jest zgodny z wynikiem interpolacji bezpośredniej i metodą
Newtona.
63
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa
550
500
dane
v(m/s)
450
400
350
300
250
200
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
czas t(s)
Błąd względny w odniesieniu do poprzedniej interpolacji
392.19 − 393.70
× 100
392.19
= 0.38502%
∈a =
Met.Numer. wykład 2
64
32
Interpolacja sześcienna
Zadanie domowe
Znaleźć równanie na prędkość i obliczyć v(16s) na podstawie
interpolacji sześciennej Lagrange’a
Dane
t0 = 10, v(t0 ) = 227.04
t1 = 15, v(t1 ) = 362.78
t 2 = 20, v(t 2 ) = 517.35
t3 = 22.5, v(t3 ) = 602.97
Znaleźć drogę przebytą w czasie od 11s do 16 s. Znaleźć
przyspieszenie w chwili t=16 s.
Porównać wyniki z uzyskanymi na podstawie interpolacji metodą
bezpośredniej i Newtona.
65
Met.Numer. wykład 2
Porównanie
Rząd wielomianu
v(t=16)
m/s
Błąd względny
przybliżenia
Met.Numer. wykład 2
1
393.69
2
392.19
3
392.06
----------
0.38502 %
0.033427 %
66
33
Wzór interpolacyjny Lagrange’a przykład
Niech dane będą punkty: 0, 1, 3, 6. Znaleźć wielomian interpolacyjny
Lagrange’a, który będzie przybliżać funkcję
π 
f ( x) = 2 ⋅ sin ⋅ x 
6 
Rozwiązanie:
Wartości funkcji f(x) w węzłach interpolacji są następujące:
y0 = f (0) = 0,
y1 = f (1) = 1,
y2 = f (3) = 2,
y3 = f (6) = 0.
Można pokazać, że wielomian interpolacyjny Lagrange’a przyjmuje
postać:
W3 (x) = −
x3 11x2 17x
−
+
90 90 15
67
Met.Numer. wykład 2
Wzór interpolacyjny Lagrange’a przykład
5
0
funkcja f(x)
-5
-10
y
wielomian
interpolacyjny W3(x)
2sin(π/6∗x)
-15
W3 (x) = −
-20
x3 11x2 17x
−
+
90 90 15
-25
-15
-10
-5
0
5
10
15
x
Wielomian interpolacyjny „przybliża” funkcję f(x) tylko pomiędzy
skrajnymi węzłami, tzn. w przedziale [0,6].
Im mniejsze odległości między węzłami, tym lepsze przybliżenie
uzyskujemy
Met.Numer. wykład 2
68
34
Oszacowanie błędu wzoru
interpolacyjnego
Z jaką dokładnością wielomian interpolacyjny Wn(x) przybliża
funkcję f(x) w pozostałych punktach leżących wewnątrz przedziału
<a, b>?
Zakładamy, że funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale <a, b>
ma pochodne do rzędu (n+1) włącznie.
sup f ( n +1) ( x)
f ( x) − Wn ( x) ≤
x∈< a ,b >
(n + 1)!
n
⋅ ∏ ( x − xi )
i =0
zależy od wyboru węzłów interpolacji
69
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych-spline
Motywacja
Wady interpolacji wielomianowej:
Pogorszenie wyników interpolacji przy zwiększaniu liczby węzłów.
Przykład:
f ( x) = x
Zjawisko Rungego (przykład źle uwarunkowanego zadania):
Interpolacja wielomianami wysokich stopni przy stałych odległościach
węzłów prowadzi do poważnych odchyleń od interpolowanej funkcji
zwłaszcza na końcach przedziału. Interpolacja na środkowych
częściach przedziału jest natomiast bardzo dobra i użyteczna
Przykład:
Met.Numer. wykład 2
f ( x) =
1
1 + 25 x 2
70
35
Interpolacja wielomianowa szczególnych funkcji
f ( x) = x
71
Met.Numer. wykład 2
Zjawisko Rungego
Met.Numer. wykład 2
72
36
Interpolacja za pomocą liniowych
funkcji sklejanych
Mając dane punkty:
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),...( xn−1 , yn−1 ), ( xn , yn )
prowadzimy linie proste pomiędzy punktami.
73
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja za pomocą liniowych
funkcji sklejanych
f ( x) = f ( x0 ) +
f ( x1 ) − f ( x0 )
( x − x0 )
x1 − x 0
x0 ≤ x ≤ x1
f ( x) = f ( x1 ) +
f ( x2 ) − f ( x1 )
( x − x1 )
x2 − x1
x1 ≤ x ≤ x2
.
.
nachylenie prostej
pomiędzy węzłami
.
f ( x) = f ( xn −1 ) +
Met.Numer. wykład 2
f ( xn ) − f ( xn−1 )
( x − xn −1 )
xn − x n−1
xn −1 ≤ x ≤ xn
74
37
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Mając dane punkty:
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),...( xn−1 , yn−1 ), ( xn , yn )
zapisujemy różne funkcje kwadratowe pomiędzy każdą parą
punktów.
75
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
f ( x) = a1 x 2 + b1 x + c1
x0 ≤ x ≤ x1
f ( x) = a2 x 2 + b2 x + c2
x1 ≤ x ≤ x2
.
.
.
f ( x) = an x 2 + bn x + cn
Znaleźć współczynniki
ai , bi , ci
xn −1 ≤ x ≤ xn
i = 1,2,..., n
Mamy 3n niewiadomych czyli potrzebujemy 3n równań
Met.Numer. wykład 2
76
38
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Każda parabola przechodzi przez dwa sąsiednie punkty,
czyli mamy 2n równań
f ( x0 ) = a1 x0 + b1 x0 + c1
2
f ( x1 ) = a1 x12 + b1 x1 + c1
.
.
.
f ( xi −1 ) = ai xi −1 + bi xi −1 + ci
2
f ( xi ) = ai xi + bi xi + ci
2
.
.
.
f ( xn−1 ) = an xn −1 + bn xn −1 + cn
2
f ( xn ) = an xn + bn xn + cn
2
77
Met.Numer. wykład 2
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Dodatkowe warunki otrzymujemy żądając ciągłości
pierwszych pochodnych w n-1 wewnętrznych punktach
węzłowych:
dla
f (x)
a1 x 2 + b1 x + c1
a2 x + b2 x + c2
2
f ' ( x)
2a1 x + b1
2a2 x + b2
a zatem
2a1 x1 + b1 = 2a2 x1 + b2
.
.
.
2an −1 xn −1 + bn −1 = 2an xn −1 + bn
Met.Numer. wykład 2
78
39
Interpolacja kwadratowa za pomocą
funkcji sklejanych
Prowadzi to do n-1 równań postaci:
2a1 x1 + b1 − 2a2 x1 − b2 = 0
2a2 x2 + b2 − 2a3 x2 − b3 = 0
.
.
.
2ai xi + bi − 2ai +1 xi − bi +1 = 0
.
.
.
2an −1 xn −1 + bn −1 − 2an xn−1 − bn = 0
Całkowita liczba równań wynosi 2n+(n-1)=3n-1
Potrzebne jedno równanie może przyjąć postać np.
a1 = 0
Pierwsza funkcja sklejana jest liniowa.
79
Met.Numer. wykład 2
Przykład
Tabela 1 Prędkość v jako funkcja czasu t
v(m/s)
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
predkosc v(m/s)
1000
t(s)
800
dane
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
czas t(s)
Znaleźć prędkość w chwili t=16 s stosując metodę interpolacji
za pomocą kwadratowych funkcji sklejanych
Met.Numer. wykład 2
80
40
Rozwiązanie
v(t ) = a1t 2 + b1t + c1 ,
0 ≤ t ≤ 10
= a 2 t 2 + b2 t + c 2 , 10 ≤ t ≤ 15
= a3 t 2 + b3 t + c3 ,
15 ≤ t ≤ 20
= a 4 t 2 + b4 t + c 4 ,
20 ≤ t ≤ 22.5
= a5 t 2 + b5 t + c5 ,
22.5 ≤ t ≤ 30
81
Met.Numer. wykład 2
Każda funkcja sklejana przechodzi przez
dwa sąsiednie punkty
v(t ) = a1t 2 + b1t + c1 ,
0 ≤ t ≤ 10
a1 (0) 2 + b1 (0) + c1 = 0
a1 (10) 2 + b1 (10) + c1 = 227.04
predkosc v(m/s)
1000
800
dane
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
czas t(s)
Met.Numer. wykład 2
82
41
Dalsze równania
a 2 (10) 2 + b2 (10) + c 2 = 227.04
t(s)
v(m/s)
0
0
a 2 (15) 2 + b2 (15) + c 2 = 362.78
10
227.04
a 3 (15 ) 2 + b3 (15 ) + c 3 = 362 . 78
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
a 3 ( 20 ) 2 + b3 ( 20 ) + c 3 = 517 .35
a 4 ( 20 ) 2 + b4 ( 20 ) + c 4 = 517 .35
a4 (22.5) 2 + b4 (22.5) + c4 = 602.97
Jest 10 równań, 15
poszukiwanych
współczynników
a5 (22.5) 2 + b5 (22.5) + c5 = 602.97
a 5 (30 ) 2 + b5 (30 ) + c 5 = 901 .67
83
Met.Numer. wykład 2
Żądanie ciągłości pochodnych
v(t ) = a1t 2 + b1t + c1 ,
0 ≤ t ≤ 10
= a 2 t 2 + b2 t + c 2 ,
10 ≤ t ≤ 15
(
d
a1t 2 + b1t + c1
dt
)
=
t =10
(
d
a2t 2 + b2t + c2
dt
)
t =10
(2a1t + b1 ) t =10 = (2a2t + b2 ) t =10
2a1 (10) + b1 = 2a2 (10) + b2
20a1 + b1 − 20a2 − b2 = 0
Met.Numer. wykład 2
84
42
Żądanie ciągłości pochodnych - cd
dla t=10s
2a1 (10) + b1 − 2a 2 (10) − b2 = 0
dla t=15s
2a 2 (15) + b2 − 2a 3 (15) − b3 = 0
dla t=20s
2a3 (20) + b3 − 2a 4 (20) − b4 = 0
dla t=22.5s
2a 4 (22.5) + b4 − 2a5 (22.5) − b5 = 0
4 dodatkowe równania
a1 = 0
ostatnie równanie
85
Met.Numer. wykład 2
Ostateczny układ 15 równań na 15 niewiadomych
0
100
0

0
0
0

0
0
0

0
 20
0

0
0
 1
0
0
0
0
0
0
0
10 1
0 0
0
1
0
0
100
0
0 0
10 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
225
0
15 1
0 0
0
225
0 0
15 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
400
0
20 1
0 0
0
400
0
20
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 506.25 22.5 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 − 20 − 1 0
0
0 0
0 30
1 0 − 30 − 1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
40
0
1
0
0
0
− 40
45
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Met.Numer. wykład 2
0   a1 
0   b1 
 
0 c1
 0 
227.04


   227.04
0
0
0   a 2  362.78
0
0
0   b2  362.78
  517.35
0
0
0  c2
  

0
0
0   a3  517.35
0
0
0   b3  = 602.97 
506.25 22.5 1   c3  602.97 

  
900
30 1   a 4  901.67 
0
0
0   b4   0 
0
0
0   c4   0 

  
0
0
0  a5 

 0 
− 45
− 1 0   b5   0 
0
0
0   c5   0 
0
0
0
0
0
0
86
43
bcaii
Wartości współczynników
i
ai
bi
ci
1
0
22.704
0
2
0.8888
4.928
88.88
3
-0.1356
35.66
-141.61
4
1.6048
-33.956
554.55
5
0.20889
28.86
-152.13
Proszę sprawdzić czy podane wartości są prawidłowe
87
Met.Numer. wykład 2
Ostateczne rozwiązanie
v (t ) = 22.704t ,
= 0.8888t 2 + 4.928t + 88.88,
= −0.1356t 2 + 35.66t − 141.61,
0 ≤ t ≤ 10
10 ≤ t ≤ 15
15 ≤ t ≤ 20
= 1.6048t 2 − 33.956t + 554.55,
20 ≤ t ≤ 22.5
= 0.20889t 2 + 28.86t − 152.13,
22.5 ≤ t ≤ 30
Met.Numer. wykład 2
88
44
Prędkość w określonym punkcie
a) Prędkość w chwili t=16s
v(t ) = 22.704t ,
0 ≤ t ≤ 10
= 0 .8888 t + 4 .928 t + 88 .88 , 10 ≤ t ≤ 15
= −0.1356 t 2 + 35.66t − 141 .61, 15 ≤ t ≤ 20
2
= 1.6048t 2 − 33 .956 t + 554 .55, 20 ≤ t ≤ 22.5
= 0.20889t 2 + 28.86t − 152.13, 22.5 ≤ t ≤ 30
v(16) = −0.1356(16) + 35.66(16) − 141.61
= 394.24 m/s
2
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
prędkości z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji
wielomianowej
89
Met.Numer. wykład 2
Przyspieszenie w określonym punkcie
b) Acceleration at t=16
0 ≤ t ≤ 10
v (t ) = 22.704t ,
= 0 . 8888 t + 4 . 928 t + 88 . 88 , 10 ≤ t ≤ 15
= − 0 .1356 t 2 + 35 .66 t − 141 .61, 15 ≤ t ≤ 20
= 1.6048t 2 − 33.956t + 554.55, 20 ≤ t ≤ 22.5
2
= 0.20889t 2 + 28.86t − 152.13, 22.5 ≤ t ≤ 30
a (16) =
Met.Numer. wykład 2
d
v(t ) t =16
dt
90
45
Przyspieszenie w określonym punkcie
,
Funkcja kwadratowa sklejana prawdziwa w punkcie t=16s jest
dana jako
v (t ) = − 0 .1356 t 2 + 35 .66 t − 141 .61,
a (t ) =
15 ≤ t ≤ 20
d
( −0.1356t 2 + 35.66t − 141.61)
dt
= −0.2712t + 35.66,
a (16) = −0.2712(16) + 35.66 = 31.321m/s 2
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
przyspieszenia z wartością otrzymaną za pomocą interpolacji
wielomianowej
91
Met.Numer. wykład 2
Droga z profilu prędkości
c) Znaleźć drogę przebytą przez rakietę od t=11s do t=16s.
v (t ) = 22.704t ,
0 ≤ t ≤ 10
= 0 .8888 t + 4.928 t + 88 .88,
10 ≤ t ≤ 15
= −0.1356t + 35.66t − 141.61,
15 ≤ t ≤ 20
= 1.6048t 2 − 33.956t + 554.55,
20 ≤ t ≤ 22.5
= 0.20889t 2 + 28.86t − 152.13,
22.5 ≤ t ≤ 30
2
2
16
S (16) − S (11) = ∫ v (t )dt
11
Met.Numer. wykład 2
92
46
Droga z profilu prędkości
v (t ) = 0 .8888 t 2 + 4 .928 t + 88 .88 ,
10 ≤ t ≤ 15
15 ≤ t ≤ 20
= − 0 .1356 t 2 + 35 .66 t − 141 .61,
16
15
16
15
11
11
2
15
S (16) − S (11) = ∫ v (t )dt = ∫ v (t )dt + ∫ v (t )dt
= ∫ (0.8888 t + 4.928t + 88 .88) dt
11
16
+ ∫ ( −0.1356 t 2 + 35 .66t − 141 .61) dt
15
= 1595.9 m
Jako zadanie domowe, proszę porównać obliczoną wartość
przebytej odległości z wartością otrzymaną za pomocą
interpolacji wielomianowej
Met.Numer. wykład 2
93
47