Nama : Narta
Nim
: 2401966590
Jurusan : Teknik Industri
Tugas Personal ke-2
Minggu ke 7
1. Gunakan aturan rantai untuk menentukan
𝜕𝑤
𝜕𝑢
dan
𝜕𝑤
𝜕𝑣
dari fungsi berikut ini:
a. w = x3 + y3, x = u2 + v2, y = 2uv
b. w = ex cos y, x = ln (u2 + v2), y = √𝑢𝑣
2. Carilah titik ekstrim dari fungsi f(x,y) = x3 – 3xy + y3 + 3 dan tentukan jenisnya.
3. Misalkan x, y dan z adalah bilangan real positif yang jumlah ketiganya adalah 500.
Tentukan nilai x, y dan z agar hasil perkalian ketiga bilangan tersebut maximum.
Jawaban
1. a. Diketahui :
w = x3 + y3, x = u2 + v2, y = 2uv
Ditanya :
Jawab :
𝜕𝑤
? dan
𝜕𝑢
𝜕𝑤
=
𝜕𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑣
?
𝜕𝑤 𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑦
. 𝜕𝑢 +
2
𝜕𝑦
. 𝜕𝑢
2
𝜕𝑤
𝜕𝑣
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
. 𝜕𝑣 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
. 𝜕𝑣
2
= (3x . 2u) + (3y . 2v)
= (3x . 2v) + (3y2 . 2u)
= 6x2u + 6y2v
= 6x2v + 62yu
b. Diketahui :
w = ex cos y, x = ln (u2 + v2), y = √𝑢𝑣
Ditanya :
Jawab :
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑣
? dan
𝜕𝑤
𝜕𝑣
= ex cos y
= -ex sin y
2𝑣
= 𝑢2 +𝑣2
MATH6162 - Mathematics
y = √𝑢𝑣 = (u.v)
𝜕𝑦
1
= 2 u𝑣
𝜕𝑣
•
𝜕𝑤
𝜕𝑣
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
. 𝜕𝑣 +
1⁄
2
−1⁄
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
. 𝜕𝑣
2𝑣
= ex cos y . 𝑢2 +𝑣2 – ex sin y . 2
4
√𝑣
2𝑣
𝑢
= eln (u3 + v2) . cos (√𝑢𝑣) . 𝑢2 +𝑣2 – eln (u3 + v2) . sin (√𝑢𝑣) . 2
√𝑣
=
(𝑢2 +𝑣 2 )2𝑣
𝑢2 +𝑣 2
. cos (√𝑢𝑣) -
= 2v cos (√𝑢. 𝑣) -
•
𝜕𝑤
𝜕𝑢
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
. 𝜕𝑢 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑢3 +4𝑣 2
2√𝑣
(𝑢2 +𝑣 2 )𝑣
2√𝑣
sin (√𝑢𝑣 )
. sin( √𝑢𝑣)
𝜕𝑦
. 𝜕𝑢
2𝑢
1
= ex . cos y . 𝑢2 +𝑣2 – ex sin y . 2 𝑢−
1⁄
2𝑣
2𝑢
= eln ( u2 + v2 ) . cos (√𝑢. 𝑣) . 𝑢2 +𝑣2 – eln(u2 + v2) . sin (√𝑢𝑣) . 2
𝑣
√𝑢
=
(𝑢2 +𝑣 2 ).2𝑣
𝑢2 +𝑣 2
. cos (√𝑢. 𝑣) -
= 2u. cos (√𝑢𝑣) -
𝑢2 𝑣+𝑣 3
2√𝑢
(𝑢2 +𝑣 2
2√𝑢
. sin (√𝑢𝑣)
. sin (√𝑢 . 𝑣 )
2. Diketahui : f (x,y) = x3 – 3xy + y3 +3
Ditanya : Titik ekstrim & Jenisnya ?
Jawab :
f(x,y) = x3 – 3xy + y3 + 3 => z = f (x,y)
Sehingga menjadi
Z = x3 – 3xy + y3 + 3
Syarat titik ekstrim :
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= 0 dan 𝜕𝑦 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 3x2 – 3y = 0
= -3x + 3y2 = 0 => 3y2 – 3x = 0
MATH6162 - Mathematics
Misalkan x = y2, Sehingga :
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑧
+ 𝜕𝑦 = 3x2 – 3y + 3y2 – 3x
3(y2)2 – 3y + 3y2 – 3y2 = 0
3y4 – 3y = 0
3y(y3 – 1) = 0
3y = 0, y = 0, x = 0
y3 – 1 = 0, y = 1, x = 1
Titik kritis (0,0) dan juga (1,1)
Syarat titik kritis menjadi titik ekstrim : (xo,yo) > 0
𝜕2𝑧
𝜕𝑥 2
𝜕2𝑧
𝜕3 𝑧
. 𝜕𝑦 2 – ( 𝜕𝑥𝜕𝑦)2 = 6x.6y – (-3)2
Di (0,0) = 0 – 9 < 0 , bukan merupakan titik ekstrim
Di (1,1) = 6.1 = 6 > 0, merupakan titik ekstrim
Jenis ekstrim maksimum atau minimum, memiliki kententuan :
𝜕2𝑧
𝜕𝑥 2
di (1,1) = 6 . 1 = 6 > 0, maka titik (1,1) merupakan titik esktrim minimum
Harga fungsi minimum,
Zmin = x3 – 3xy + y3 + 3
= (1)3 – 3(1) . (1) + (1)3 + 3
=1–3 +1+3
=2
3. Diketahui :
x,y, dan z merupaka bilangan real positif
x + y + z = 500
Ditanya :
Tentukan nilai x,y,z agar hasil kali ketiga bilangan tersebut maksimum ?
Jawab :
(i)
N + (N + 1 ) + ( N + 1) = 500
3N = 498
MATH6162 - Mathematics
N = 166
Jika x = 166, maka y dan z adalah 167. Hasil kali xyz adalah 4.629.574
Jika x = 166, maka y = 165,dan z = 169. Hasil kali xyz adalah 4.628.91
(ii)
N + (N+2) + (N+2) = 500
3N = 496
N=
496
3
= 165,333
Jika x = 164, maka y = 166 dan z = 170. Hasil kali xyz adalah 4.628.080
Jika x = 168, dan y serta z = 166. Hasil kali xyz adalah 4.629.408
Sehingga hasil kali xyz maksimum adalah 4.629.574, Jika x = 166 maka y&z = 167
MATH6162 - Mathematics