ΣΥΝΟΛΑ-SETS
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Εισαγωγή
• Αν μπορούμε να εντοπίσουμε μια ιδιότητα που είναι κοινή σε πολλά
αντικείμενα, είναι συχνά χρήσιμο να τα ομαδοποιήσουμε.
• Μια τέτοια ομαδοποίηση ονομάζεται σύνολο (set).
• Οι μηχανικοί, για παράδειγμα, μπορεί να επιθυμούν να μελετήσουν όλα τα
στοιχεία ενός κύκλου παραγωγής που δεν ικανοποιούν κάποια συγκεκριμένη
ανοχή.
• Οι μαθηματικοί μπορούν να δουν σύνολα αριθμών με συγκεκριμένες ιδιότητες,
για παράδειγμα το σύνολο όλων των ζυγών αριθμών ή το σύνολο όλων των
αριθμών που είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
• Εισάγουμε κάποια ορολογία που χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει τα
σύνολα, και τα αντίστοιχα σύμβολα.
• Η ορολογία θα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θα μελετήσουμε τις πιθανότητες σε
επόμενο κεφάλαιο
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• Προαπαιτούμενα:
• Δεν απαιτείται
• Αναμένεται να:
•
•
•
•
•
καταλάβετε τι σημαίνει ένα σύνολο
χρησιμοποιείτε τα κατάλληλα σύμβολα
κατανοείτε το νόημα των εννοιών της τομής και της ένωσης δύο συνόλων
καταλάβετε τι εννοείται με τη συμπλήρωση ενός συνόλου
χρησιμοποιείτε τα διαγράμματα Venn
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Σύνολα-σετ
• Ένα σύνολο είναι οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων.
• Εδώ, η λέξη «αντικείμενο» χρησιμοποιείται με την πιο γενική έννοια:
• ένα αντικείμενο μπορεί να είναι μια δίοδος, ένα αεροσκάφος, ένας αριθμός
ή ένα γράμμα.
• Ένα σύνολο περιγράφεται συχνά αναφέροντας τη συλλογή των
αντικειμένων - αυτά είναι τα μέλη ή τα στοιχεία του συνόλου.
• Συνήθως γράφουμε αυτόν τον κατάλογο στοιχείων σε αγκύλες και
δηλώνουμε το πλήρες σύνολο με ένα κεφαλαίο γράμμα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Για παράδειγμα,
• C = {οι αντιστάσεις που παράγονται σε εργοστάσιο σε μία
συγκεκριμένη μέρα}
• D = {on, off}
• E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• Τα στοιχεία του συνόλου Α, παραπάνω, είναι οι αντιστάσεις που παράγονται
σε ένα εργοστάσιο σε μια συγκεκριμένη ημέρα. Αυτά θα μπορούσαν να
αναφέρονται χωριστά, αλλά καθώς ο αριθμός είναι μεγάλος, δεν είναι
πρακτικό να το κάνετε αυτό.
• Το σύνολο D απαριθμεί τις δύο πιθανές καταστάσεις ενός απλού διακόπτη.
• Τα στοιχεία του συνόλου Ε είναι τα ψηφία που χρησιμοποιούνται στο
δεκαδικό σύστημα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• Μερικές φορές μπορούμε να περιγράψουμε ένα σύνολο με πρόταση. Για
παράδειγμα,
'A είναι το σύνολο των περιττών αριθμών'.
Σαφώς όλα τα στοιχεία αυτού του συνόλου Α δεν μπορούν να αναφερθούν.
Ομοίως,
'B είναι το σύνολο των δυαδικών ψηφίων' Β = {0, 1}.
Το Β έχει μόνο δύο στοιχεία.
• Ένα σύνολο με ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων ονομάζεται πεπερασμένο
σύνολο.
• Τα Β, C, D και E είναι πεπερασμένα σύνολα.
• Το σύνολο A έχει άπειρο αριθμό στοιχείων και έτσι δεν είναι ένα πεπερασμένο
σύνολο. Είναι γνωστό ως άπειρο σύνολο.
• Δύο σύνολα είναι ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.
Για παράδειγμα, τα σύνολα {9, 10, 14} και {10, 14, 9} είναι ίσα αφού η σειρά με
την οποία γράφονται τα στοιχεία είναι ασήμαντη.
• Σημειώστε επίσης ότι τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία αγνοούνται. Το σύνολο {2,
3, 3, 3, 5, 5} ισούται με το σετ {2, 3, 5}.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Υποσύνολα
• Μερικές φορές ένα σύνολο περιέχεται εντελώς μέσα σε ένα άλλο
σύνολο.
Για παράδειγμα, αν X = {2, 3, 4, 5, 6} και Y = {2, 3, 6} τότε όλα τα
στοιχεία του Y είναι επίσης στοιχεία του X.
Λέμε ότι το Y είναι ένα υποσύνολο του X
γράψτε Y ⊆ X.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Παράδειγμα
• Έστω A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} και C = {0, 1}
Καθορίστε τα υποσύνολα;
• Λύση
Το Α είναι ένα υποσύνολο του Β, δηλαδή το A ⊆ B
Το C είναι ένα υποσύνολο του Β, δηλαδή το C ⊆ B
Το C είναι ένα υποσύνολο του A, δηλαδή C ⊆ A.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Άσκηση
• Ένα εργοστάσιο παράγει αυτοκίνητα σε διάστημα πέντε ημερών. Από
Δευτέρα έως Παρασκευή. Εξετάστε τα ακόλουθα σύνολα,
(α) A = {αυτοκίνητα που παράγονται από Δευτέρα έως Παρασκευή}
(β) Β = {αυτοκίνητα που παράγονται από Δευτέρα έως Πέμπτη}
(γ) C = {αυτοκίνητα που παράγονται την Παρασκευή}
(d) D = {αυτοκίνητα που παράγονται την Τετάρτη}
(ε) E = {αυτοκίνητα που παράγονται την Τετάρτη και την Πέμπτη}
Να ορίσετε τα υποσύνολα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
• (a) B είναι ένα υποσύνολο του A, δηλαδή B ⊆ A.
(b) C είναι υποσύνολο του A, δηλαδή, C ⊆ A.
(c) D είναι ένα υποσύνολο του A, δηλαδή, D ⊆ A.
(d) E είναι ένα υποσύνολο του A, δηλαδή, E ⊆ A.
(e) D είναι ένα υποσύνολο του Β, δηλαδή, D ⊆ B.
(f) E είναι ένα υποσύνολο του Β, δηλαδή, E ⊆ B.
(g) D είναι ένα υποσύνολο του E, δηλαδή D ⊆ E.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Το σύμβολο ∈.
• Για να δείξουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει σε ένα συγκεκριμένο σύνολο
χρησιμοποιούμε το σύμβολο, ∈.
• Αυτό το σύμβολο σημαίνει "είναι μέλος" ή "ανήκει".
• Το σύμβολο Ɇ σημαίνει "δεν είναι μέλος" ή "δεν ανήκει".
Για παράδειγμα, εάν X = {όλοι οι ζυγοί αριθμοί} τότε μπορούμε να
γράψουμε 4 ∈ X, 6 ∈ X, 7Ɇ X και 11Ɇ Χ.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Το κενό σύνολο και το γενικό σύνολο
• Μερικές φορές ένα σύνολο δεν περιέχει στοιχεία. Για παράδειγμα, ας
υποθέσουμε ότι ορίζουμε το σύνολο:
K = {όλοι οι περιττοί αριθμοί που διαιρούνται με το 4}
Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν περιττοί αριθμοί που διαιρούνται με το 4,
τότε το Κ δεν έχει στοιχεία. Το σύνολο χωρίς στοιχεία ονομάζεται κενό
σύνολο και δηλώνεται με ∅.
• Από την άλλη πλευρά, το σετ που περιέχει όλα τα αντικείμενα που
ενδιαφέρουν μια συγκεκριμένη κατάσταση ονομάζεται γενικό σύνολο, το
οποίο δηλώνεται από το S.
Το ακριβές γενικό σύνολο θα εξαρτηθεί από το περιεχόμενο. Αν, για
παράδειγμα, έχουμε τους φυσικούς αριθμούς, τότε το S θα είναι το
σύνολο των φυσικών αριθμών.
Αν έχουμε τα δεκαδικά ψηφία τότε παίρνουμε S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9}.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Το συμπλήρωμα ενός συνόλου
• Έστω ένα σύνολο Α και ένα καθολικό σύνολο S, τότε μπορούμε να
ορίσουμε ένα νέο σύνολο, το οποίο ονομάζεται συμπλήρωμα του Α
και δηλώνεται από τον Α΄.
• Το συμπλήρωμα του Α περιέχει όλα τα στοιχεία του καθολικού
συνόλου που δεν βρίσκονται στο Α.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Παράδειγμα:
• Δίνεται A = {2, 3, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4} και S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(α) Α΄;
(β) Β΄;
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
• (α) Τα στοιχεία του Α΄ είναι εκείνα που ανήκουν στο S αλλά όχι στο Α.
Α΄= {0, 1, 4, 5, 6, 8, 9}
• (β)
Β΄ = {5, 6, 7, 8, 9}
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• Μερικές φορές ένα σετ περιγράφεται με μαθηματικό τρόπο. Ας
υποθέσουμε ότι το σύνολο Q περιέχει όλους τους αριθμούς που
διαιρούνται με το 4 και 7.
• Μπορούμε να γράψουμε
Q = {x: x διαιρείται με 4 και x διαιρείται με 7}
Το σύμβολο (:) σημαίνει "τέτοιο ώστε". Διαβάζουμε τα παραπάνω
ως "Q είναι το σετ που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία x, έτσι ώστε το
x να διαιρείται με το 4 και με το 7".
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Διαγράμματα Venn
• Τα σύνολα συχνά αντιπροσωπεύονται
εικονογραφικά από τα διαγράμματα Venn
• Εδώ τα Α, Β, Γ, Δ αντιπροσωπεύουν σύνολα.
• Τα σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, και δεν
σχηματίζουν κοινή περιοχή.
• Τα σετ C, D έχουν κάποια κοινά στοιχεία, έτσι ώστε
να επικαλύπτονται.
• Σε ένα διάγραμμα Venn το γενικό σύνολο
αντιπροσωπεύεται πάντοτε από ένα ορθογώνιο και
τα σύνολα που μας ενδιαφέρουν περιέχονται μέσα
σε αυτό το ορθογώνιο.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Παράδειγμα
• Αναπαραστήστε τα σύνολα A = {0, 1} και B = {0, 1, 2, 3, 4}
χρησιμοποιώντας ένα διάγραμμα Venn.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
• Τα στοιχεία 0 και 1 είναι στο σύνολο Α, που αντιπροσωπεύεται από τον μικρό κύκλο.
• Ο μεγάλος κύκλος αντιπροσωπεύει το σύνολο Β και έτσι περιέχει τα στοιχεία 0,1, 2, 3 και 4.
• Ένα κατάλληλο γενικό σύνολο στην περίπτωση αυτή είναι το σύνολο όλων των ακεραίων. Το
γενικό σύνολο εμφανίζεται από το ορθογώνιο.
• Σημειώστε ότι A ⊆ B. Αυτό φαίνεται στο διάγραμμα Venn από το A να είναι εντελώς μέσα στο Β.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• Για A = {0, 1} και B = {2, 3, 4} τραβήξτε τα διαγράμματα Venn που
δείχνουν
(α) Α και Β (β) Α΄ και (γ) Β΄
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• (α) Σημειώστε ότι τα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία. Αυτό
αντιπροσωπεύεται εικονογραφικά στο διάγραμμα Venn με κύκλους
οι οποίοι είναι εντελώς ξεχωριστοί μεταξύ τους. Τα σύνολα Α και Β
δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• (β) Το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των οποίων τα στοιχεία
δεν ανήκουν στο Α. Το σύνολο Α΄ φαίνεται στο σχήμα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• (c) Το σετ, Β΄ παρουσιάζεται στο Σχήμα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Ένωση και τομή συνόλων
• Τομή
Έστω δύο σύνολα Α και Β, η τομή των Α και Β είναι ένα
σύνολο που περιέχει στοιχεία που είναι κοινά στο Α
και Β.
Γράφουμε A∩B για να δηλώσουμε την τομή των Α και
Β.
A ∩ B = {x : x ∈ A και x ∈ B}
• Αυτό λέει ότι η τομή περιέχει όλα τα στοιχεία x; τέτοια
ώστε το x ανήκει στο Α και επίσης το x ανήκει στο B.
• Σημειώστε ότι τα A ∩ B και B ∩ A είναι πανομοιότυπα.
Η τομή δύο συνόλων μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα
διάγραμμα Venn όπως φαίνεται στο σχήμα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Παράδειγμα
• Έστω: A = {3, 4, 5, 6}, B = {3, 5, 9, 10, 15} και C = {4, 6, 10}
• Βρείτε:
(a) A ∩ B
(b) B ∩ C
• Και σχεδιάστε τα διαγράμματα Venn.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
• Λύση
(a) Τα στοιχεία που είναι κοινά για τα δύο A και B είναι 3 και 5.
Επομένως A ∩ B = {3, 5}
(β) Το μόνο στοιχείο που είναι κοινό για τα Β και C είναι 10.
Επομένως B ∩ C = {10}
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Παράδειγμα
• Έστω; D = {a, b, c} και F = {the entire alphabet} βρείτε το D ∩ F
Λύση
• Τα στοιχεία που είναι κοινά για τα D και F είναι a, b και c, και έτσι D
∩ F = {a, b, c}
Σημειώστε ότι το D είναι ένα υποσύνολο του F και έτσι D ∩ F = D.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Άσκηση
• Έστω; A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5} και C = {2, 3, 4, 7, 9} βρείτε τα:
(a) A ∩ B (b) (A ∩ B) ∩ C (c) B ∩ C (d) A ∩ (B ∩ C)
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
• (α) Τα στοιχεία που είναι κοινά για τα Α και Β είναι 1, 2 και 3 έτσι
A ∩ B = {1, 2, 3}
(b) Πρέπει να εξετάσουμε τα σύνολα (A ∩ B) και C.
A ∩ B δίνεται στο (α). Τα στοιχεία (A ∩ B) και C είναι 2 και 3.
Επομένως (A ∩ B) ∩ C = {2, 3}
(c) Τα στοιχεία που είναι κοινά για τα B και C είναι 2, 3 και 4 έτσι
B ∩ C = {2, 3, 4}
(δ) Εξετάζουμε τα σύνολα Α και (Β ∩ C). Τα κοινά στοιχεία είναι 2 και
3. Ως εκ τούτου A ∩ (B ∩ C) = {2, 3}
**Σημείωση από (β) και (d) ότι (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
• Για οποιαδήποτε σύνολα Α, Β και C ισχύει:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Συνεπώς, μπορούμε να γράψουμε:
A∩B∩C
• Έστω ότι τα σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία. Τότε λέμε ότι
τα Α και Β είναι διαφορετικά σύνολα. Το εκφράζουμε ως
A∩B=∅
• Θυμηθείτε ότι το ∅ είναι το κενό σύνολο. Τα διαφορετικά σύνολα
αντιπροσωπεύονται από ξεχωριστές περιοχές στο Venn
διάγραμμα.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Ένωση
• Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα
στοιχεία του Α μαζί με όλα τα στοιχεία του Β.
• Γράφουμε A ∪ B για να δηλώσουμε την ένωση των Α και Β.
Μπορούμε να περιγράψουμε το σύνολο
A ∪ B = {x : x ∈ A ή x ∈ B ή και τα δύο}
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Άσκηση
• Έστω: A = {0, 1}, B = {1, 2, 3} και C = {2, 3, 4, 5}
(a) A ∪ B
(b) A ∪ C
(c) B ∪ C
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
(a) A∪B = {0, 1, 2, 3}.
(b) A∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
(c) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5}.
Θυμηθείτε ότι δεν χρειάζεται να επαναλάβετε στοιχεία σε ένα σύνολο.
Είναι σαφές ότι η σειρά της ένωσης είναι ασήμαντη,
ώστε A ∪ B = B ∪ A.
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Άσκηση
• Έστω A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10} και C = {3, 5, 7, 9, 11}
(a) A∪B
(b) (A∪B)∩C
(c) A∩B
(d) (A∩B)∪C
(e) A∪B∪C
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας
Λύση
(α) Α ∪ Β = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
(b) Πρέπει να δούμε τα σύνολα (A ∪ B) και C. Τα στοιχεία που είναι
κοινά και στα δύο αυτά σύνολα είναι 3 και 5. Επομένως (A ∪ B) ∩ C =
{3, 5}.
(c) Α ∩ Β = {2, 4, 6}
(d) Θεωρούμε τα σύνολα (A ∩ B) και C. Δημιουργούμε την ένωση
αυτών των δύο συνόλων για να αποκτήσουμε
(A ∩ B) ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11}.
(ε) Το σύνολο που σχηματίζεται από την ένωση και των τριών συνόλων
θα περιέχει όλα τα στοιχεία από όλα
τα σύνολα.
A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Δρ. Ιωάννης Δ. Κεχαγιάς, Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλίας